{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 3,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    ":opt no-lint"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Untyped $𝜆$-calculus\n",
    "타입없는 람다계산법의 문법과 줄일 수 있는 식(reducible expression)의 개념 등에 대해 알아본다.\n",
    "\n",
    "\"줄일 수 있는 식\"이라는 말이 너무 길기 때문에 '주는식'(redex)과 같은 줄임말을 보통 더 많이 사용한다."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 문법\n",
    "$  x \\in \\textit{Nm} $\n",
    "\n",
    "$  e \\in \\textit{Tm}\n",
    "\\\\ e ::=~ x ~\\mid~ (\\lambda x.e) ~\\mid~ (e_1~e_2)\n",
    "$\n",
    "\n",
    "보통 수학에서 $f(x) = x^2$과 같이 정의하는 함수 $f$를 람다계산법에서는 아래와 같은 방식으로 표현한다.\n",
    "\n",
    "$(\\lambda x.x^2)$\n",
    "\n",
    "그리고 보통 수학에서 정의된 함수를 호출하는 $f(3)$과 같은 표현은 람다계산법에서는 괄호 없이 함수와 인자를 나열하여 아래와 같은 방식으로 표현한다.\n",
    "\n",
    "$((\\lambda x.x^2)~3)$\n",
    "\n",
    "수학에서도 그렇듯 람다계산법에서도 어떤 함수가 다른 함수를 받아 또 다른 함수를 만들어낼 수 있다.\n",
    "가장 대표적인 예로 '미분'이라는 개념을 함수를 받아 함수를 돌려주는 함수로 이해할 수도 있다.\n",
    "\n",
    "$((미분~(\\lambda x.x^2))~3) \\longrightarrow\\cdots\\longrightarrow ((\\lambda x.\\,2\\times x)~3) \\longrightarrow 2\\times 3 \\longrightarrow 6$\n",
    "\n",
    "물론 순수한 람다계산법에는 미분이나, 제곱, 곱하기, 등의 개념을 기본적으로 제공하지는 않으며 심지어 자연수도 기본 구성요소로 제공되지 않는다. 위에 예제는 개념적인 이해를 돕기 위한 설명이다. 참고로 Alonzo Church의 람다계산법은 Alan Turing의 튜링머신과 마찬가지로 괴델이 \"수학명제 자동판별 문제\"가 해결 불가능함을 증명한 불완전성 정리를 그들 나름의 방식으로 좀더 직접적으로 간략하게 증명하기 위한 이론적 도구 혹은 소품으로 만들어진 것이다. 가정하는 것이 아니라 하지만 이후 이런 소품들의 이론적 계산능력이 동일하다는 것이 밝혀지면서 오늘날 우리가 이해하는 컴퓨터로 할 수 있는 모든 계산의 이론적 범위를 발견한 것으로 받아들여지고 있는데 이를 처치-튜링 논제(Church-Turing thesis)라고 한다. 이와 관련한 역사적 배경 및 좀더 자세한 내용이 궁금한 사람들은 다음 온라인에 공개된 [컴퓨터과학이 여는 세계](https://www.youtube.com/watch?v=HTWSPoDLmHI&list=PL0Nf1KJu6Ui7yoc9RQ2TiiYL9Z0MKoggH) 강의 시리즈의 1.4, 1.5, 1.6 내용 영상 등이 참고가 될 것이다."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 4,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "-- 변수 이름은 문자열 나타낸다\n",
    "type Nm = String\n",
    "\n",
    "-- 람다식 문법 구조\n",
    "data Tm = Var Nm       -- x\n",
    "        | Lam Nm Tm    -- (λx.e)\n",
    "        | App Tm Tm    -- (e1 e2)\n",
    "        deriving (Show, Eq)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 5,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "-- 람다식을 보기좋게 문자열로 변환해주는 함수\n",
    "ppTm (Var x) = x\n",
    "ppTm (Lam x e) = \"\\\\\" ++ x ++ \" -> \" ++ ppTm e\n",
    "ppTm (App e1 e2) = pp1 e1 ++ \" \" ++ pp2 e2\n",
    "  where\n",
    "  pp1 e@(Lam{}) = paren (ppTm e)\n",
    "  pp1 e         = ppTm e\n",
    "  pp2 e@(Var{}) = ppTm e\n",
    "  pp2 e         = paren (ppTm e)\n",
    "\n",
    "paren s = \"(\" ++ s ++ \")\"\n",
    "brack s = \"[\" ++ s ++ \"]\"\n",
    "latex s = \"$\" ++ s ++ \"$\"\n",
    "\n",
    "-- 람다식을 보기좋게 TeX 코드로 변환해주는 함수\n",
    "texTm (Var x) = x\n",
    "texTm (Lam x e) = \"\\\\lambda \" ++ x ++ \".\" ++ texTm e\n",
    "texTm (App e1 e2) = tex1 e1 ++ \"~\" ++ tex2 e2\n",
    "  where\n",
    "  tex1 e@(Lam{}) = paren (texTm e)\n",
    "  tex1 t         = texTm t\n",
    "  tex2 s@(Var{}) = texTm s\n",
    "  tex2 s         = paren (texTm s)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 6,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "idTm = Lam \"x\" (Var \"x\")\n",
    "ttTm = Lam \"x\" (Lam \"y\" (Var \"x\")) \n",
    "ffTm = Lam \"x\" (Lam \"y\" (Var \"y\")) "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 7,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "\\x -> x"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "\\x -> \\y -> x"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "\\x -> \\y -> y"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "putStr $ ppTm idTm\n",
    "putStr $ ppTm ttTm\n",
    "putStr $ ppTm ffTm"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 8,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "<style>/* Styles used for the Hoogle display in the pager */\n",
       ".hoogle-doc {\n",
       "display: block;\n",
       "padding-bottom: 1.3em;\n",
       "padding-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-code {\n",
       "display: block;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-text {\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-name {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-head {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-sub {\n",
       "display: block;\n",
       "margin-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-package {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-module {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-class {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".get-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "white-space: pre-wrap;\n",
       "}\n",
       ".show-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "margin-left: 1em;\n",
       "}\n",
       ".mono {\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".err-msg {\n",
       "color: red;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       "#unshowable {\n",
       "color: red;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".err-msg.in.collapse {\n",
       "padding-top: 0.7em;\n",
       "}\n",
       ".highlight-code {\n",
       "white-space: pre;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-warning { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
       "}\n",
       ".suggestion-error { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: red;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-name {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       "</style>$\\lambda x.x$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    },
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "<style>/* Styles used for the Hoogle display in the pager */\n",
       ".hoogle-doc {\n",
       "display: block;\n",
       "padding-bottom: 1.3em;\n",
       "padding-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-code {\n",
       "display: block;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-text {\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-name {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-head {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-sub {\n",
       "display: block;\n",
       "margin-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-package {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-module {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-class {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".get-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "white-space: pre-wrap;\n",
       "}\n",
       ".show-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "margin-left: 1em;\n",
       "}\n",
       ".mono {\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".err-msg {\n",
       "color: red;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       "#unshowable {\n",
       "color: red;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".err-msg.in.collapse {\n",
       "padding-top: 0.7em;\n",
       "}\n",
       ".highlight-code {\n",
       "white-space: pre;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-warning { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
       "}\n",
       ".suggestion-error { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: red;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-name {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       "</style>$\\lambda x.\\lambda y.x$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    },
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "<style>/* Styles used for the Hoogle display in the pager */\n",
       ".hoogle-doc {\n",
       "display: block;\n",
       "padding-bottom: 1.3em;\n",
       "padding-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-code {\n",
       "display: block;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-text {\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-name {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-head {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-sub {\n",
       "display: block;\n",
       "margin-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-package {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-module {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-class {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".get-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
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       "display: block;\n",
       "white-space: pre-wrap;\n",
       "}\n",
       ".show-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "margin-left: 1em;\n",
       "}\n",
       ".mono {\n",
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       "display: block;\n",
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       "#unshowable {\n",
       "color: red;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".err-msg.in.collapse {\n",
       "padding-top: 0.7em;\n",
       "}\n",
       ".highlight-code {\n",
       "white-space: pre;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-warning { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
       "}\n",
       ".suggestion-error { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: red;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-name {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       "</style>$\\lambda x.\\lambda y.y$"
      ]
     },
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     "output_type": "display_data"
    },
    {
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      "text/html": [
       "<style>/* Styles used for the Hoogle display in the pager */\n",
       ".hoogle-doc {\n",
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       "padding-bottom: 1.3em;\n",
       "padding-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-code {\n",
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       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
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       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-name {\n",
       "color: green;\n",
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       "}\n",
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       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-sub {\n",
       "display: block;\n",
       "margin-left: 0.4em;\n",
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       "}\n",
       ".hoogle-module {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-class {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
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       "color: green;\n",
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       "margin-left: 1em;\n",
       "}\n",
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       "display: block;\n",
       "}\n",
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       "padding-top: 0.7em;\n",
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       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
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       "}\n",
       "</style>$x~y~z$"
      ]
     },
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       "<style>/* Styles used for the Hoogle display in the pager */\n",
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       "font-weight: bold;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "}\n",
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       "}\n",
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       "font-family: monospace;\n",
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       ".mono {\n",
       "font-family: monospace;\n",
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       "}\n",
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       "padding-top: 0.7em;\n",
       "}\n",
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       "}\n",
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       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
       "}\n",
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       "font-weight: bold;\n",
       "color: red;\n",
       "}\n",
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       "}\n",
       "</style>$x~(y~z)$"
      ]
     },
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     "output_type": "display_data"
    },
    {
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       "<style>/* Styles used for the Hoogle display in the pager */\n",
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       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
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       "}\n",
       ".mono {\n",
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       "#unshowable {\n",
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       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".err-msg.in.collapse {\n",
       "padding-top: 0.7em;\n",
       "}\n",
       ".highlight-code {\n",
       "white-space: pre;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-warning { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
       "}\n",
       ".suggestion-error { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: red;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-name {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       "</style>$(\\lambda x.\\lambda y.y)~(\\lambda x.x)~(\\lambda x.\\lambda y.x)$"
      ]
     },
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    },
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "<style>/* Styles used for the Hoogle display in the pager */\n",
       ".hoogle-doc {\n",
       "display: block;\n",
       "padding-bottom: 1.3em;\n",
       "padding-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-code {\n",
       "display: block;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-text {\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-name {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-head {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-sub {\n",
       "display: block;\n",
       "margin-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-package {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-module {\n",
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       "}\n",
       ".hoogle-class {\n",
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       "}\n",
       ".get-type {\n",
       "color: green;\n",
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       "}\n",
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       "color: green;\n",
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       "font-family: monospace;\n",
       "margin-left: 1em;\n",
       "}\n",
       ".mono {\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".err-msg {\n",
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       "white-space: pre;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       "#unshowable {\n",
       "color: red;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".err-msg.in.collapse {\n",
       "padding-top: 0.7em;\n",
       "}\n",
       ".highlight-code {\n",
       "white-space: pre;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-warning { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
       "}\n",
       ".suggestion-error { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: red;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-name {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       "</style>$(\\lambda x.\\lambda y.y)~((\\lambda x.x)~(\\lambda x.\\lambda y.x))$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "import IHaskell.Display\n",
    "\n",
    "html . latex $ texTm idTm\n",
    "html . latex $ texTm ttTm\n",
    "html . latex $ texTm ffTm\n",
    "html . latex $ texTm (App (App (Var \"x\") (Var \"y\")) (Var \"z\"))\n",
    "html . latex $ texTm (App (Var \"x\") (App (Var \"y\") (Var \"z\")))\n",
    "html . latex $ texTm (App (App ffTm idTm) ttTm)\n",
    "html . latex $ texTm (App ffTm (App idTm ttTm))"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 부분식(sub-expression)\n",
    "람다식의 부분식은 그 식의 일부로 나타나는 람다식이다. 전체 식 자체도 자기 자신의 부분식이라고 하자.\n",
    "\n",
    "하스켈 데이타 타입 `Tm`으로 표현된 어떤 람다식의 부분식을 모두 나열하는 리스트를 구하는 함수를 다음과 같이 작성할 수 있다."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 9,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "[2,3,4,7,8]"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "[2,3,4] ++ [7,8]"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 10,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "subTm :: Tm -> [Tm]\n",
    "subTm (Var x) = [(Var x)] -- (Var x) : []\n",
    "subTm (Lam x e1) = (Lam x e1) : subTm e1\n",
    "subTm (App e1 e2) = (App e1 e2) : subTm e1 ++ subTm e2"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 13,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "<style>/* Styles used for the Hoogle display in the pager */\n",
       ".hoogle-doc {\n",
       "display: block;\n",
       "padding-bottom: 1.3em;\n",
       "padding-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-code {\n",
       "display: block;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-text {\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-name {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-head {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-sub {\n",
       "display: block;\n",
       "margin-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-package {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-module {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-class {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".get-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "white-space: pre-wrap;\n",
       "}\n",
       ".show-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "margin-left: 1em;\n",
       "}\n",
       ".mono {\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".err-msg {\n",
       "color: red;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       "#unshowable {\n",
       "color: red;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".err-msg.in.collapse {\n",
       "padding-top: 0.7em;\n",
       "}\n",
       ".highlight-code {\n",
       "white-space: pre;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-warning { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
       "}\n",
       ".suggestion-error { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: red;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-name {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       "</style>$(\\lambda x.x)~(\\lambda y.y)$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "[App (Lam \"x\" (Var \"x\")) (Lam \"y\" (Var \"y\")),Lam \"x\" (Var \"x\"),Var \"x\",Lam \"y\" (Var \"y\"),Var \"y\"]"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    },
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "<style>/* Styles used for the Hoogle display in the pager */\n",
       ".hoogle-doc {\n",
       "display: block;\n",
       "padding-bottom: 1.3em;\n",
       "padding-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-code {\n",
       "display: block;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-text {\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-name {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-head {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-sub {\n",
       "display: block;\n",
       "margin-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-package {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-module {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-class {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".get-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "white-space: pre-wrap;\n",
       "}\n",
       ".show-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "margin-left: 1em;\n",
       "}\n",
       ".mono {\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".err-msg {\n",
       "color: red;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       "#unshowable {\n",
       "color: red;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".err-msg.in.collapse {\n",
       "padding-top: 0.7em;\n",
       "}\n",
       ".highlight-code {\n",
       "white-space: pre;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-warning { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
       "}\n",
       ".suggestion-error { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: red;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-name {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       "</style>$(\\lambda x.x)~(\\lambda y.y)$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    },
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "<style>/* Styles used for the Hoogle display in the pager */\n",
       ".hoogle-doc {\n",
       "display: block;\n",
       "padding-bottom: 1.3em;\n",
       "padding-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-code {\n",
       "display: block;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-text {\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-name {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-head {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-sub {\n",
       "display: block;\n",
       "margin-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
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       "font-weight: bold;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-module {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-class {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".get-type {\n",
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       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
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       "}\n",
       ".show-type {\n",
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       "margin-left: 1em;\n",
       "}\n",
       ".mono {\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
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       "#unshowable {\n",
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       "}\n",
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       "padding-top: 0.7em;\n",
       "}\n",
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       "}\n",
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       "font-weight: bold;\n",
       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
       "}\n",
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       "font-weight: bold;\n",
       "color: red;\n",
       "}\n",
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       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       "</style>$\\lambda x.x$"
      ]
     },
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       "<style>/* Styles used for the Hoogle display in the pager */\n",
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       "}\n",
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       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
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       "color: red;\n",
       "}\n",
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       "}\n",
       "</style>$x$"
      ]
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    },
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       ".hoogle-name {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
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       "}\n",
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       "margin-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-package {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-module {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-class {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".get-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "white-space: pre-wrap;\n",
       "}\n",
       ".show-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "margin-left: 1em;\n",
       "}\n",
       ".mono {\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".err-msg {\n",
       "color: red;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       "#unshowable {\n",
       "color: red;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".err-msg.in.collapse {\n",
       "padding-top: 0.7em;\n",
       "}\n",
       ".highlight-code {\n",
       "white-space: pre;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-warning { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
       "}\n",
       ".suggestion-error { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: red;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-name {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       "</style>$\\lambda y.y$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    },
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "<style>/* Styles used for the Hoogle display in the pager */\n",
       ".hoogle-doc {\n",
       "display: block;\n",
       "padding-bottom: 1.3em;\n",
       "padding-left: 0.4em;\n",
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       ".hoogle-code {\n",
       "display: block;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-text {\n",
       "display: block;\n",
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       ".hoogle-name {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-head {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
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       "display: block;\n",
       "margin-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-package {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-module {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-class {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".get-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "white-space: pre-wrap;\n",
       "}\n",
       ".show-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "margin-left: 1em;\n",
       "}\n",
       ".mono {\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
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       ".err-msg {\n",
       "color: red;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       "#unshowable {\n",
       "color: red;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".err-msg.in.collapse {\n",
       "padding-top: 0.7em;\n",
       "}\n",
       ".highlight-code {\n",
       "white-space: pre;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-warning { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
       "}\n",
       ".suggestion-error { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: red;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-name {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       "</style>$y$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "e = App (Lam \"x\" (Var \"x\")) (Lam \"y\" (Var \"y\"))\n",
    "\n",
    "html . latex . texTm $ e\n",
    "\n",
    "subTm e\n",
    "\n",
    "map (html . latex . texTm) (subTm e)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "패턴매칭에서 부분별로 이름을 붙임과 동시에 구조 전체에도 이름을 붙여주려면 `@`을 활용한다.\n",
    "예컨대 위의 `subTm`과 같은 함수를 다음과 `@`패턴을 활용하면 더 간결하게 정의되며,\n",
    "컴파일러가 구조 전체를 함수 결과에서 그대로 참조할 수 있는 추가 정보가 돌 수 있으므로\n",
    "컴파일된 코드의 성능이 개선될 가능성도 있다."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 14,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "subTm' :: Tm -> [Tm]\n",
    "subTm' e@(Var _) = [e]\n",
    "subTm' e@(Lam x e1) = e : subTm e1\n",
    "subTm' e@(App e1 e2) = e : subTm e1 ++ subTm e2"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 15,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "[App (Lam \"x\" (Var \"x\")) (Lam \"y\" (Var \"y\")),Lam \"x\" (Var \"x\"),Var \"x\",Lam \"y\" (Var \"y\"),Var \"y\"]"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    },
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "<style>/* Styles used for the Hoogle display in the pager */\n",
       ".hoogle-doc {\n",
       "display: block;\n",
       "padding-bottom: 1.3em;\n",
       "padding-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-code {\n",
       "display: block;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-text {\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-name {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-head {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-sub {\n",
       "display: block;\n",
       "margin-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-package {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-module {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-class {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".get-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "white-space: pre-wrap;\n",
       "}\n",
       ".show-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "margin-left: 1em;\n",
       "}\n",
       ".mono {\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".err-msg {\n",
       "color: red;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       "#unshowable {\n",
       "color: red;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".err-msg.in.collapse {\n",
       "padding-top: 0.7em;\n",
       "}\n",
       ".highlight-code {\n",
       "white-space: pre;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-warning { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
       "}\n",
       ".suggestion-error { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: red;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-name {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       "</style>$(\\lambda x.x)~(\\lambda y.y)$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    },
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "<style>/* Styles used for the Hoogle display in the pager */\n",
       ".hoogle-doc {\n",
       "display: block;\n",
       "padding-bottom: 1.3em;\n",
       "padding-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-code {\n",
       "display: block;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-text {\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-name {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-head {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-sub {\n",
       "display: block;\n",
       "margin-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-package {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-module {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-class {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".get-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "white-space: pre-wrap;\n",
       "}\n",
       ".show-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "margin-left: 1em;\n",
       "}\n",
       ".mono {\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".err-msg {\n",
       "color: red;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       "#unshowable {\n",
       "color: red;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".err-msg.in.collapse {\n",
       "padding-top: 0.7em;\n",
       "}\n",
       ".highlight-code {\n",
       "white-space: pre;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-warning { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
       "}\n",
       ".suggestion-error { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: red;\n",
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       "</style>$x$"
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    },
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       "padding-top: 0.7em;\n",
       "}\n",
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       "white-space: pre;\n",
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       "}\n",
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       "font-weight: bold;\n",
       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
       "}\n",
       ".suggestion-error { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: red;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-name {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       "</style>$\\lambda y.y$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    },
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "<style>/* Styles used for the Hoogle display in the pager */\n",
       ".hoogle-doc {\n",
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       "display: block;\n",
       "margin-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
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       "font-style: italic;\n",
       "}\n",
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       "}\n",
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       "}\n",
       ".get-type {\n",
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       "display: block;\n",
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       "}\n",
       ".show-type {\n",
       "color: green;\n",
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       "font-family: monospace;\n",
       "margin-left: 1em;\n",
       "}\n",
       ".mono {\n",
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       "display: block;\n",
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       "#unshowable {\n",
       "color: red;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".err-msg.in.collapse {\n",
       "padding-top: 0.7em;\n",
       "}\n",
       ".highlight-code {\n",
       "white-space: pre;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-warning { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
       "}\n",
       ".suggestion-error { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: red;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-name {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       "</style>$y$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "e = App (Lam \"x\" (Var \"x\")) (Lam \"y\" (Var \"y\"))\n",
    "\n",
    "subTm' e\n",
    "\n",
    "map (html . latex . texTm) (subTm' e)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 주는식(redex)\n",
    "람다계산법의 실행의미는 그 문법만큼이나 매우 단순하다.\n",
    "함수정의식 $(\\lambda x.e)$를 인자 $e_2$에 적용한\n",
    "함수적용식 $((\\lambda x.e)~e_2)$는 곧바로 줄일 수 있는\n",
    "주는식(redex)이며 그것을 한 걸음 줄인 결과는\n",
    "$e$에 나타나는 $x$를 $e_2$로 치환한 식,\n",
    "즉 $x$의 자리에 $x$대신 $e_2$로 끼워넣은 식이 된다.\n",
    "달리 말하지면 주는식이란 즉시 함수 호출을 할 수 있는 형태의 함수적용식을 말하는 것이다.\n",
    "왜냐하면 즉시 함수 호출이 가능하려면 왼쪽에 오는 함수 부분이 람다로 시작하는 함수정의식이어야 하니까.\n",
    "이러한 계산 규칙을 $\\beta$-줄이기($\\beta$-reduction)이라고 하며\n",
    "아래와 같이 나타낸다. 참고로 줄이는 방법이 한 가지가 아니라 여러 가지 규칙이 포함된\n",
    "람다계산법의 변이들도 가능한데 그런 경우 특정 규칙에 따라 주는식임을 표현하기 위해\n",
    "$\\beta$-주는식($\\beta$-redex)이라고 줄이는 규칙의 이름을 앞에 붙여서 말하기도 한다.\n",
    "\n",
    "$((\\lambda x. e)~e_2) \\longrightarrow \\{x\\mapsto e_2\\}e$\n",
    "\n",
    "여기에서 $\\{x\\mapsto e_2\\}e$는 바로 $e$에서 $x$를 $e_2$로 치환한 식을 의미하는 표기법이다.\n",
    "예컨대 $\\big(\\big(\\lambda x.(\\lambda y.(y~x)~x)\\big)~z\\big)$를\n",
    "줄이면 $\\{x\\mapsto z\\}(\\lambda y.(y~x)~x)$ 그러니까 $(\\lambda y.(y~z)~z)$가 된다.\n",
    "\n",
    "참고로 위의 $\\beta$-줄이기 규칙을 핵심으로 하되, 어떤 식이 그 자체로는 $\\beta$-줄이기 규칙의\n",
    "적용 대상이 아니더라도 규칙이 적용되는 부분을 찾아 그 부분의 식에 $\\beta$-줄이기를 적용하는\n",
    "규칙들을 추가로 정의할 수 있다. 예컨대, $\\big(\\big((\\lambda x.x)~(\\lambda y.y)\\big)~(\\lambda z.z)\\big)$는\n",
    "그 자체로는 식 전체에 $\\beta$-줄이기 규칙을 적용할 수 없지만\n",
    "그 부분식인 $\\big((\\lambda x.x)~(\\lambda y.y)\\big)$에는 $\\beta$-줄이기 규칙을 적용할 수 있다.\n",
    "사실 부분식에 $\\beta$-줄이기를 어떻게 적용할지는 여러 가지\n",
    "방법 혹은 전략이 가능한데 지금은 일단 적당히 아무 곳에나 적용한다고 하고 넘어가기로 하고 이후에\n",
    "다시 이에 대해 생각해 보겠다.\n",
    "\n",
    "하스켈 데이타 타입 `Tm`으로 표현된 어떤 람다식이\n",
    "그 자체로 $\\beta$-줄이기 규칙을 바로 적용할 수 있는 주는식(redex)인지\n",
    "검사하는 함수를 다음과 같이 작성할 수 있다."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 14,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "isRedEx :: Tm -> Bool\n",
    "isRedEx (App (Lam{}) _) = True\n",
    "isRedEx _               = False"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 15,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "<style>/* Styles used for the Hoogle display in the pager */\n",
       ".hoogle-doc {\n",
       "display: block;\n",
       "padding-bottom: 1.3em;\n",
       "padding-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-code {\n",
       "display: block;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-text {\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-name {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-head {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-sub {\n",
       "display: block;\n",
       "margin-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-package {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-module {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-class {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".get-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "white-space: pre-wrap;\n",
       "}\n",
       ".show-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "margin-left: 1em;\n",
       "}\n",
       ".mono {\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".err-msg {\n",
       "color: red;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       "#unshowable {\n",
       "color: red;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".err-msg.in.collapse {\n",
       "padding-top: 0.7em;\n",
       "}\n",
       ".highlight-code {\n",
       "white-space: pre;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-warning { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
       "}\n",
       ".suggestion-error { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: red;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-name {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       "</style>$\\lambda x.x$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "False"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    },
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "<style>/* Styles used for the Hoogle display in the pager */\n",
       ".hoogle-doc {\n",
       "display: block;\n",
       "padding-bottom: 1.3em;\n",
       "padding-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-code {\n",
       "display: block;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-text {\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-name {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-head {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-sub {\n",
       "display: block;\n",
       "margin-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-package {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-module {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-class {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".get-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "white-space: pre-wrap;\n",
       "}\n",
       ".show-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "margin-left: 1em;\n",
       "}\n",
       ".mono {\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".err-msg {\n",
       "color: red;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "display: block;\n",
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       "#unshowable {\n",
       "color: red;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".err-msg.in.collapse {\n",
       "padding-top: 0.7em;\n",
       "}\n",
       ".highlight-code {\n",
       "white-space: pre;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-warning { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
       "}\n",
       ".suggestion-error { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: red;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-name {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       "</style>$(\\lambda x.x)~(\\lambda x.x)$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "True"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    },
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "<style>/* Styles used for the Hoogle display in the pager */\n",
       ".hoogle-doc {\n",
       "display: block;\n",
       "padding-bottom: 1.3em;\n",
       "padding-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-code {\n",
       "display: block;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-text {\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-name {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-head {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-sub {\n",
       "display: block;\n",
       "margin-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-package {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-module {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-class {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".get-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "white-space: pre-wrap;\n",
       "}\n",
       ".show-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "margin-left: 1em;\n",
       "}\n",
       ".mono {\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".err-msg {\n",
       "color: red;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       "#unshowable {\n",
       "color: red;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".err-msg.in.collapse {\n",
       "padding-top: 0.7em;\n",
       "}\n",
       ".highlight-code {\n",
       "white-space: pre;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-warning { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
       "}\n",
       ".suggestion-error { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: red;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-name {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       "</style>$\\lambda x.(\\lambda x.x)~(\\lambda x.x)$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "False"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "e1 = idTm\n",
    "e2 = App idTm idTm\n",
    "e3 = (Lam \"x\" e2)\n",
    "\n",
    "html . latex $ texTm e1\n",
    "isRedEx e1\n",
    "html . latex $ texTm e2\n",
    "isRedEx e2\n",
    "html . latex $ texTm e3\n",
    "isRedEx e3"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "주어진 식 자체로는 주는식(redex)이 아니더라도 어떤 부분의 부분식에 주는식을 포함하고 있을 수도 있다.\n",
    "그 자체로 주는 식인 경우 뿐만 아니라 부분식으로 주는식을 포함하는 식인지까지 검사하는 `hasRedEx` 함수를\n",
    "다음과 같이 작성할 수 있다."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 18,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "hasRedEx :: Tm -> Bool\n",
    "hasRedEx (Var _) = False\n",
    "hasRedEx (Lam _ e1) = hasRedEx e1\n",
    "hasRedEx e@(App e1 e2) = isRedEx e || hasRedEx e1 || hasRedEx e2"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 19,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "<style>/* Styles used for the Hoogle display in the pager */\n",
       ".hoogle-doc {\n",
       "display: block;\n",
       "padding-bottom: 1.3em;\n",
       "padding-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-code {\n",
       "display: block;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-text {\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-name {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-head {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-sub {\n",
       "display: block;\n",
       "margin-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-package {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-module {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-class {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".get-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "white-space: pre-wrap;\n",
       "}\n",
       ".show-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "margin-left: 1em;\n",
       "}\n",
       ".mono {\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".err-msg {\n",
       "color: red;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       "#unshowable {\n",
       "color: red;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".err-msg.in.collapse {\n",
       "padding-top: 0.7em;\n",
       "}\n",
       ".highlight-code {\n",
       "white-space: pre;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-warning { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
       "}\n",
       ".suggestion-error { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: red;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-name {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       "</style>$\\lambda x.x$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "False"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    },
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "<style>/* Styles used for the Hoogle display in the pager */\n",
       ".hoogle-doc {\n",
       "display: block;\n",
       "padding-bottom: 1.3em;\n",
       "padding-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-code {\n",
       "display: block;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-text {\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-name {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-head {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-sub {\n",
       "display: block;\n",
       "margin-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-package {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-module {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-class {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".get-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "white-space: pre-wrap;\n",
       "}\n",
       ".show-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "margin-left: 1em;\n",
       "}\n",
       ".mono {\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".err-msg {\n",
       "color: red;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       "#unshowable {\n",
       "color: red;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".err-msg.in.collapse {\n",
       "padding-top: 0.7em;\n",
       "}\n",
       ".highlight-code {\n",
       "white-space: pre;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-warning { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
       "}\n",
       ".suggestion-error { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: red;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-name {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       "</style>$(\\lambda x.x)~(\\lambda x.x)$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "True"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    },
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "<style>/* Styles used for the Hoogle display in the pager */\n",
       ".hoogle-doc {\n",
       "display: block;\n",
       "padding-bottom: 1.3em;\n",
       "padding-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-code {\n",
       "display: block;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-text {\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-name {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-head {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-sub {\n",
       "display: block;\n",
       "margin-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-package {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-module {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-class {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".get-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "white-space: pre-wrap;\n",
       "}\n",
       ".show-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "margin-left: 1em;\n",
       "}\n",
       ".mono {\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".err-msg {\n",
       "color: red;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       "#unshowable {\n",
       "color: red;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".err-msg.in.collapse {\n",
       "padding-top: 0.7em;\n",
       "}\n",
       ".highlight-code {\n",
       "white-space: pre;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-warning { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
       "}\n",
       ".suggestion-error { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: red;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-name {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       "</style>$\\lambda x.(\\lambda x.x)~(\\lambda x.x)$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "True"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "e1 = idTm\n",
    "e2 = App idTm idTm\n",
    "e3 = (Lam \"x\" e2)\n",
    "\n",
    "html . latex $ texTm e1\n",
    "hasRedEx e1\n",
    "html . latex $ texTm e2\n",
    "hasRedEx e2\n",
    "html . latex $ texTm e3\n",
    "hasRedEx e3"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "참고로 위와 같은 일을 하는 다른 방법으로도 정의할 수 있다.\n",
    "앞서 정의한 `subTm` 함수로 부분식을 모두 나열하여\n",
    "그 중 하나라도 주는 식이 있는지 검사하는 `isRedEx` 함수와 함께\n",
    "표준라이브러리 고차함수 `any`를 활용하면 알아볼 수 있으므로\n",
    "똑같은 일을 하는 함수를 다음과 같이 정의할 수도 있다."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 21,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "False"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "True"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "even 3\n",
    "even 4"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 23,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "False"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "True"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "any even [1,3,5,7,9]\n",
    "any even [1,3,4,7,9]"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 25,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "hasRedEx' = any isRedEx . subTm"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 26,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "<style>/* Styles used for the Hoogle display in the pager */\n",
       ".hoogle-doc {\n",
       "display: block;\n",
       "padding-bottom: 1.3em;\n",
       "padding-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-code {\n",
       "display: block;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-text {\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-name {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-head {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-sub {\n",
       "display: block;\n",
       "margin-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-package {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-module {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-class {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".get-type {\n",
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       "display: block;\n",
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       "}\n",
       ".show-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "margin-left: 1em;\n",
       "}\n",
       ".mono {\n",
       "font-family: monospace;\n",
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       "}\n",
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       "#unshowable {\n",
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       "}\n",
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       "padding-top: 0.7em;\n",
       "}\n",
       ".highlight-code {\n",
       "white-space: pre;\n",
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       "}\n",
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       "font-weight: bold;\n",
       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
       "}\n",
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       "font-weight: bold;\n",
       "color: red;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-name {\n",
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       "}\n",
       "</style>$\\lambda x.x$"
      ]
     },
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    },
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       "False"
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       "<style>/* Styles used for the Hoogle display in the pager */\n",
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       "padding-bottom: 1.3em;\n",
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       "display: block;\n",
       "}\n",
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       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
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       "margin-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
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       "font-weight: bold;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "}\n",
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       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
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       "}\n",
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       "display: block;\n",
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       "}\n",
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       "color: green;\n",
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       "font-family: monospace;\n",
       "margin-left: 1em;\n",
       "}\n",
       ".mono {\n",
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       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".err-msg {\n",
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       "display: block;\n",
       "}\n",
       "#unshowable {\n",
       "color: red;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".err-msg.in.collapse {\n",
       "padding-top: 0.7em;\n",
       "}\n",
       ".highlight-code {\n",
       "white-space: pre;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-warning { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
       "}\n",
       ".suggestion-error { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: red;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-name {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       "</style>$(\\lambda x.x)~(\\lambda x.x)$"
      ]
     },
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    },
    {
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       "True"
      ]
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    },
    {
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       "<style>/* Styles used for the Hoogle display in the pager */\n",
       ".hoogle-doc {\n",
       "display: block;\n",
       "padding-bottom: 1.3em;\n",
       "padding-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-code {\n",
       "display: block;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-text {\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-name {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-head {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-sub {\n",
       "display: block;\n",
       "margin-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-package {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-module {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-class {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".get-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "white-space: pre-wrap;\n",
       "}\n",
       ".show-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "margin-left: 1em;\n",
       "}\n",
       ".mono {\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".err-msg {\n",
       "color: red;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       "#unshowable {\n",
       "color: red;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".err-msg.in.collapse {\n",
       "padding-top: 0.7em;\n",
       "}\n",
       ".highlight-code {\n",
       "white-space: pre;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-warning { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
       "}\n",
       ".suggestion-error { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: red;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-name {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       "</style>$\\lambda x.(\\lambda x.x)~(\\lambda x.x)$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "True"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "e1 = idTm\n",
    "e2 = App idTm idTm\n",
    "e3 = (Lam \"x\" e2)\n",
    "\n",
    "html . latex $ texTm e1\n",
    "hasRedEx' e1\n",
    "html . latex $ texTm e2\n",
    "hasRedEx' e2\n",
    "html . latex $ texTm e3\n",
    "hasRedEx' e3"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "----"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 27,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "-- texTm을 적절히 변경하여 함수적용식 (e1 e2)에서\n",
    "-- 함수 부분인 e1에 빨강 인자 부분인 e2에 파랑 사각형 테두리 추가\n",
    "texTmColor (Var x) = x\n",
    "texTmColor (Lam x e) = \"\\\\lambda \" ++ x ++ \".\" ++ texTmColor e\n",
    "texTmColor (App e1 e2) = box1(tex1 e1) ++ \"~\" ++ box2(tex2 e2)\n",
    "  where\n",
    "  tex1 e@(Lam{}) = paren (texTmColor e)\n",
    "  tex1 t         = texTmColor t\n",
    "  tex2 s@(Var{}) = texTmColor s\n",
    "  tex2 s         = paren (texTmColor s)\n",
    "  box1 = red  . boxed . black\n",
    "  box2 = blue . boxed . black\n",
    "\n",
    "color c s = \"\\\\color{\"++c++\"}{\"++s++\"}\"\n",
    "boxed s = \"\\\\boxed{\"++s++\"}\"\n",
    "\n",
    "black = color \"black\"\n",
    "red = color \"red\"\n",
    "blue = color \"blue\""
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 28,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "<style>/* Styles used for the Hoogle display in the pager */\n",
       ".hoogle-doc {\n",
       "display: block;\n",
       "padding-bottom: 1.3em;\n",
       "padding-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-code {\n",
       "display: block;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-text {\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-name {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-head {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-sub {\n",
       "display: block;\n",
       "margin-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-package {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-module {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-class {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".get-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "white-space: pre-wrap;\n",
       "}\n",
       ".show-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "margin-left: 1em;\n",
       "}\n",
       ".mono {\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".err-msg {\n",
       "color: red;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       "#unshowable {\n",
       "color: red;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".err-msg.in.collapse {\n",
       "padding-top: 0.7em;\n",
       "}\n",
       ".highlight-code {\n",
       "white-space: pre;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-warning { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
       "}\n",
       ".suggestion-error { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: red;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-name {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       "</style>$(\\lambda f.(\\lambda x.x)~((\\lambda x.x)~(f~f)))~((\\lambda x.x)~(\\lambda x.x))$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "\\color{red}{\\boxed{\\color{black}{(\\lambda f.\\color{red}{\\boxed{\\color{black}{(\\lambda x.x)}}}~\\color{blue}{\\boxed{\\color{black}{(\\color{red}{\\boxed{\\color{black}{(\\lambda x.x)}}}~\\color{blue}{\\boxed{\\color{black}{(\\color{red}{\\boxed{\\color{black}{f}}}~\\color{blue}{\\boxed{\\color{black}{f}}})}}})}}})}}}~\\color{blue}{\\boxed{\\color{black}{(\\color{red}{\\boxed{\\color{black}{(\\lambda x.x)}}}~\\color{blue}{\\boxed{\\color{black}{(\\lambda x.x)}}})}}}"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    },
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "<style>/* Styles used for the Hoogle display in the pager */\n",
       ".hoogle-doc {\n",
       "display: block;\n",
       "padding-bottom: 1.3em;\n",
       "padding-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-code {\n",
       "display: block;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-text {\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-name {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-head {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-sub {\n",
       "display: block;\n",
       "margin-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-package {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-module {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-class {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".get-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "white-space: pre-wrap;\n",
       "}\n",
       ".show-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "margin-left: 1em;\n",
       "}\n",
       ".mono {\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       ".err-msg {\n",
       "color: red;\n",
       "font-style: italic;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
       "display: block;\n",
       "}\n",
       "#unshowable {\n",
       "color: red;\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       ".err-msg.in.collapse {\n",
       "padding-top: 0.7em;\n",
       "}\n",
       ".highlight-code {\n",
       "white-space: pre;\n",
       "font-family: monospace;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-warning { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
       "}\n",
       ".suggestion-error { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: red;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-name {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       "</style>$\\color{red}{\\boxed{\\color{black}{(\\lambda f.\\color{red}{\\boxed{\\color{black}{(\\lambda x.x)}}}~\\color{blue}{\\boxed{\\color{black}{(\\color{red}{\\boxed{\\color{black}{(\\lambda x.x)}}}~\\color{blue}{\\boxed{\\color{black}{(\\color{red}{\\boxed{\\color{black}{f}}}~\\color{blue}{\\boxed{\\color{black}{f}}})}}})}}})}}}~\\color{blue}{\\boxed{\\color{black}{(\\color{red}{\\boxed{\\color{black}{(\\lambda x.x)}}}~\\color{blue}{\\boxed{\\color{black}{(\\lambda x.x)}}})}}}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "e1 = Lam \"f\" (App idTm (App idTm (Var \"f\" `App` Var \"f\"))) `App` App idTm idTm\n",
    "html . latex $ texTm e1\n",
    "putStr $ texTmColor e1\n",
    "html . latex $ texTmColor e1"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 30,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "-- texTmRedEx :: Tm -> String\n",
    "-- texTm을 적절히 변경하여 함수적용식 (e1 e2)에서\n",
    "-- 함수 부분인 e1에 빨강 인자 부분인 e2에 파랑 사각형 테두리 추가\n",
    "texTmRedEx (Var x) = x\n",
    "texTmRedEx (Lam x e) = \"\\\\lambda \" ++ x ++ \".\" ++ texTmRedEx e\n",
    "texTmRedEx e@(App e1 e2) =\n",
    "  if isRedEx e then box1(tex1 e1) ++ \"~\" ++ box2(tex2 e2)\n",
    "               else      tex1 e1  ++ \"~\" ++      tex2 e2\n",
    "  where\n",
    "  tex1 e@(Lam{}) = paren (texTmRedEx e)\n",
    "  tex1 t         = texTmRedEx t\n",
    "  tex2 s@(Var{}) = texTmRedEx s\n",
    "  tex2 s         = paren (texTmRedEx s)\n",
    "  box1 = red  . boxed . black\n",
    "  box2 = blue . boxed . black"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 31,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "\\color{red}{\\boxed{\\color{black}{(\\lambda f.\\color{red}{\\boxed{\\color{black}{(\\lambda x.x)}}}~\\color{blue}{\\boxed{\\color{black}{(\\color{red}{\\boxed{\\color{black}{(\\lambda x.x)}}}~\\color{blue}{\\boxed{\\color{black}{(f~f)}}})}}})}}}~\\color{blue}{\\boxed{\\color{black}{(\\color{red}{\\boxed{\\color{black}{(\\lambda x.x)}}}~\\color{blue}{\\boxed{\\color{black}{(\\lambda x.x)}}})}}}"
      ]
     },
     "metadata": {},
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    },
    {
     "data": {
      "text/html": [
       "<style>/* Styles used for the Hoogle display in the pager */\n",
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       "display: block;\n",
       "padding-bottom: 1.3em;\n",
       "padding-left: 0.4em;\n",
       "}\n",
       ".hoogle-code {\n",
       "display: block;\n",
       "font-family: monospace;\n",
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       "}\n",
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       "}\n",
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       "}\n",
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       "}\n",
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       "}\n",
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       "font-weight: bold;\n",
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       ".hoogle-module {\n",
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       "}\n",
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       "}\n",
       ".get-type {\n",
       "color: green;\n",
       "font-weight: bold;\n",
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       "}\n",
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       "}\n",
       ".mono {\n",
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       "}\n",
       ".err-msg {\n",
       "color: red;\n",
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       "font-family: monospace;\n",
       "white-space: pre;\n",
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       "}\n",
       "#unshowable {\n",
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       ".err-msg.in.collapse {\n",
       "padding-top: 0.7em;\n",
       "}\n",
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       "font-family: monospace;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-warning { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: rgb(200, 130, 0);\n",
       "}\n",
       ".suggestion-error { \n",
       "font-weight: bold;\n",
       "color: red;\n",
       "}\n",
       ".suggestion-name {\n",
       "font-weight: bold;\n",
       "}\n",
       "</style>$\\color{red}{\\boxed{\\color{black}{(\\lambda f.\\color{red}{\\boxed{\\color{black}{(\\lambda x.x)}}}~\\color{blue}{\\boxed{\\color{black}{(\\color{red}{\\boxed{\\color{black}{(\\lambda x.x)}}}~\\color{blue}{\\boxed{\\color{black}{(f~f)}}})}}})}}}~\\color{blue}{\\boxed{\\color{black}{(\\color{red}{\\boxed{\\color{black}{(\\lambda x.x)}}}~\\color{blue}{\\boxed{\\color{black}{(\\lambda x.x)}}})}}}$"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "e1 = Lam \"f\" (App idTm (App idTm (Var \"f\" `App` Var \"f\"))) `App` App idTm idTm\n",
    "putStr $ texTmRedEx e1\n",
    "html. latex $ texTmRedEx e1"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "----"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 표준형(normal form)\n",
    "\n",
    "표준형은 규칙에 따라 더 이상 줄일 수 있는 부분식을 포함하지 않는 형태의 람다식을 말한다.\n",
    "구체적으로 $\\beta$-줄이기로 더 이상 줄일 수 있는 부분식이 전혀 포함하지 않는 람다식을 $\\beta$-표준형이라 일컫는다.\n",
    "\n",
    "주어진 람다식 $e$에 $\\beta$-줄이기를 반복적으로 적용해 얻을 수 있는 $\\beta$-표준형을\n",
    "$e$의 $\\beta$-표준형이라 말하는데, 타입없는 람다계산법에서는\n",
    "주어진 람다식의 $\\beta$-표준형이 존재한다면 유일하다는\n",
    "**처치-로서 정리(Church-Rosser theorem)**가 성립힌다.\n",
    "\n",
    "람다계산법의 처치-로서 정리를 직접 설명하기보다는\n",
    "우선 직관적으로 처치-로서 정리가 어떤 성질을 의미하는지 덧셈식을 통해 간단히 개념만 알아보자.\n",
    " \n",
    "예를 들어 (1 + 2) + (4 + 5) 라는 덧셈식이 있다면 어떤 덧셈을 먼저 하든 관계없이 항상 같은 결과값을 얻는다.\n",
    "즉 덧셈식에서는 덧셈을 줄여나가는 것에 대한 처치-로서 정리의 성질이 성립한다고 말할 수 있다.\n",
    "\n",
    "$(1 + 2) + (4 + 5) ~\\longrightarrow~ 3 + (4 + 5) ~\\longrightarrow~ 3 + 9 ~\\longrightarrow~ 12$\n",
    "\n",
    "$(1 + 2) + (4 + 5) ~\\longrightarrow~ (1 + 2) + 9 ~\\longrightarrow~ 3 + 9 ~\\longrightarrow~ 12$\n",
    "\n",
    "하지만 타입없는 람다계산법의 경우 계산이 일반적으로 항상 끝난다는 보장이 없다.\n",
    "즉 어떤 람다식은 표준형이 아예 존재하지 않을 수도 있으며\n",
    "표준형이 존재하더라도 어떤 줄일식을 먼저 계산하는가에 따라\n",
    "계산이 끝날 수도 있고 끝나지 않을 수도 있다. 그래서 타입없는\n",
    "람다계산법에서의 처치-로서 정리는 표준형이 존재하는 식의 경우\n",
    "표준형에 도달할 수 있는 모든 계산 경로 끝에 있는 표준형이 모두 \"같다\"는 의미이다.\n",
    "\n",
    "참고로 표준형이 없는 끝나지 않는 계산을 하는 대표적인 예가 바로 다음과 같은 람다식이다.\n",
    "\n",
    "$\n",
    "\\big((\\lambda x.x~x)~(\\lambda x.x~x)\\big)\n",
    "\\longrightarrow\n",
    "\\big((\\lambda x.x~x)~(\\lambda x.x~x)\\big)\n",
    "\\longrightarrow\n",
    "~~\\cdots$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## $\\alpha$-변환 ($\\alpha$-conversion), $\\alpha$-동치 ($\\alpha$-equivalence)\n",
    "\n",
    "잠깐, 근데 \"같다\"는 게 무엇인지 우리가 아직 정확히 정의하지 않았다.\n",
    "\n",
    "일단 확실한 것은 글자 하나도 틀리지 않고 똑같으면 분명히 같은 것이다.\n",
    "하지만 이것은 너무나 협소한 같음의 정의다.\n",
    "왜냐하면 $(\\lambda x.x)$와 $(\\lambda y.y)$의 경우\n",
    "비록 글자 하나하나를 비교하면 다른 점이 있기는 하지만\n",
    "분명히 똑같은 식이라고 볼 수 있기 때문이다.\n",
    "$(\\lambda x.x)$에서 함수 인자의 이름을 $x$대신 $y$로 바꾼 함수가 $(\\lambda y.y)$이다.\n",
    "이렇게 함수 인자의 이름을 일괄적으로 바꿔는 것을 $\\alpha$-변환이라고 하며,\n",
    "함수 인자 이름만 바꿔나가면 똑같아지는 관계에 있는 람다식들을 $\\alpha$-동치 관계에 있다고 한다.\n",
    "\n",
    "## $\\beta$-동치 ($\\beta$-equivalence)\n",
    "$((\\lambda x.x)~(\\lambda y.y))$와 $((\\lambda y.(\\lambda x.x))~z)$는 $\\alpha$-동치가 아니다.\n",
    "하지만 이를 $\\beta$-줄이기로 한단계만 계산하면 계산 결과로 나오는 식들이 $\\alpha$-동치임을 알 수 있다.\n",
    "\n",
    "$((\\lambda x.x)~(\\lambda y.y)) \\longrightarrow (\\lambda y.y)$\n",
    "\n",
    "$((\\lambda y.(\\lambda x.x))~z) \\longrightarrow (\\lambda x.x)$\n",
    "\n",
    "\n",
    "이와 같이 $\\beta$-줄이기를 (일반적으로는 한 걸음만 아니라 여러 걸음으로) 적용해서 같아지는\n",
    "관계를 $\\beta$-동치라고 한다. 덧셈식으로 비유하자면 ((3+4)+5)와 (2+(5+6))처럼 구조나 생김새가\n",
    "설령 다르더라도 계산 결과가 같은 관계에 해당한다. 표준형이 있는 람다식끼리 비교하는 경우라면 처치-로서 정리의 성질에\n",
    "의거해 서로의 표준형을 구해 같은지 알아봄으로써 $\\beta$-동치 관계인지 검사가 가능하다."
   ]
  },
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