{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "looking-guest",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Прикладные дифференциальные уравнения\n",
    "## Домашнее задание №1\n",
    "\n",
    "\n",
    "*Илья Щуров*\n",
    "\n",
    "Факультет компьютерных наук, Прикладная математики и информатика, 2021-22 учебный год\n",
    "\n",
    "[Страница курса](http://math-info.hse.ru/2021-22/Прикладные_дифференциальные_уравнения)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "later-valuation",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Задание выполнил(а): *впишите ваше имя*"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "prostate-blend",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Задание выполняется самостоятельно. Вам запрещено смотреть в чужое решение до сдачи работы или давать своё решения для прочтения кому-либо, а также совершать эквивалентные действия — например, обсуждать решения устно, если в результате такого обсуждения тексты работ могут оказаться настолько сходными, чтобы вызвать подозрения в несамостоятельном решении.\n",
    "\n",
    "В случае сдачи работы после срока сдачи оценка будет вычисляться как решение дифференциального уравнения $\\dot x = -x$ с начальным условием $x(0)=x_0$, где $x_0$ — оценка, которую вы получили бы за работу, если бы сдали её в срок; время измеряется в днях, но течёт непрерывно, округлений нет."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "unable-domain",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Задача 1\n",
    "Изучите с помощью компьютерной симуляции, как зависит ошибка метода Эйлера от длины шага $\\Delta t = (T-t_0) / N$, где $N$ — количество шагов? Возьмите уравнение с известным решением (например, $\\dot x = x$) и для какого-то фиксированного начального условия и фиксированного $T$ найдите точное решение $x(T)$ и его приближение $x_{Euler}(t; N)$ для $N$ шагов. Постройте график $|x(T) - x_{Euler}(t; N)|$ как функции от $N$ при больших $N$. Умножьте ошибку на $N$ и на $N^2$ и постройте графики получающихся функций. Возьмите логарифм ошибки и поделите его на логарифм $N$, постройте график этой функции при больших $N$. Сделайте вывод о скорости уменьшения ошибки в терминах $O$-больших или $\\Theta$ от $N$ и $\\Delta t$."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 1,
   "id": "derived-adult",
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "# ваше решение здесь"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "voluntary-citation",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Задача 2\n",
    "Модифицируйте функцию `euler_multidim` таким образом, чтобы она обрабатывала случай `T < t_0`."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 1,
   "id": "fleet-network",
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "# ваше решение здесь"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "electric-future",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Задача 3\n",
    "Найдите все положения равновесия в модели Лотки — Вольтерры. Покажите, что существует единственное положение равновесия в области $x>0$, $y>0$. Изучите с помощью компьютерных экспериментов, как ведут себя решения вблизи этого положения равновесия и вдалеке от него. Является ли на ваш взгляд это положение равновесия устойчивым? Объясните, почему. В каких случаях решения похожи на решения уравнения осциллятора (близки к гармоническим колебаниям)? В каких случаях не похожи? Зависит ли период от выбора начального условия? Как вы думаете, как объясняются эти результаты?"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 1,
   "id": "legal-answer",
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "# ваше решение здесь"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.6.10"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 5
}