-- La_equipotencia_es_una_relacion_simetrica.lean
-- La equipotencia es una relación simétrica.
-- José A. Alonso Jiménez <https://jaalonso.github.io>
-- Sevilla, 20-junio-2024
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-- Dos conjuntos A y B son equipotentes (y se denota por A ≃ B) si
-- existe una aplicación biyectiva entre ellos. La equipotencia se puede
-- definir en Lean por
--    def es_equipotente (A B : Type _) : Prop :=
--      ∃ g : A → B, Bijective g
--
--    local infixr:50 " ⋍ " => es_equipotente
--
-- Demostrar que la relación de equipotencia es simétrica.
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-- Demostración en lenguaje natural
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-- Sean A y B tales que A ⋍ B. Entonces, existe f: A → B biyectiva. Por
-- tanto, f tiene una inversa g: B → A que también es biyectiva. Luego,
-- B ⋍ A.

-- Demostraciones con Lean4
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import Mathlib.Tactic

open Function

def es_equipotente (A B : Type _) : Prop :=
  ∃ g : A → B, Bijective g

local infixr:50 " ⋍ " => es_equipotente

def inversa (f : X → Y) (g : Y → X) :=
  (∀ x, (g ∘ f) x = x) ∧ (∀ y, (f ∘ g) y = y)

def tiene_inversa (f : X → Y) :=
  ∃ g, inversa g f

lemma aux1
  (hf : Bijective f)
  : tiene_inversa f :=
by
  cases' (bijective_iff_has_inverse.mp hf) with g hg
  -- g : Y → X
  -- hg : LeftInverse g f ∧ Function.RightInverse g f
  aesop (add norm unfold [tiene_inversa, inversa])

lemma aux2
  (hg : inversa g f)
  : Bijective g :=
by
  rw [bijective_iff_has_inverse]
  -- ⊢ ∃ g_1, LeftInverse g_1 g ∧ Function.RightInverse g_1 g
  exact ⟨f, hg⟩

-- 1ª demostración
-- ===============

example : Symmetric (. ⋍ .) :=
by
  unfold Symmetric
  -- ⊢ ∀ ⦃x y : Type ?u.17753⦄, (fun x x_1 => x ⋍ x_1) x y → (fun x x_1 => x ⋍ x_1) y x
  intros x y hxy
  -- x y : Type ?u.17753
  -- hxy : x ⋍ y
  -- ⊢ y ⋍ x
  unfold es_equipotente at *
  -- hxy : ∃ g, Bijective g
  -- ⊢ ∃ g, Bijective g
  cases' hxy with f hf
  -- f : x → y
  -- hf : Bijective f
  have h1 : tiene_inversa f := aux1 hf
  cases' h1 with g hg
  -- g : y → x
  -- hg : inversa g f
  use g
  -- ⊢ Bijective g
  exact aux2 hg

-- 2ª demostración
-- ===============

example : Symmetric (. ⋍ .) :=
by
  intros x y hxy
  -- x y : Type ?u.17965
  -- hxy : x ⋍ y
  -- ⊢ y ⋍ x
  cases' hxy with f hf
  -- f : x → y
  -- hf : Bijective f
  cases' (aux1 hf) with g hg
  -- g : y → x
  -- hg : inversa g f
  exact ⟨g, aux2 hg⟩

-- 3ª demostración
-- ===============

example : Symmetric (. ⋍ .) :=
by
  rintro x y ⟨f, hf⟩
  -- x y : Type ?u.18159
  -- f : x → y
  -- hf : Bijective f
  -- ⊢ y ⋍ x
  cases' (aux1 hf) with g hg
  -- g : y → x
  -- hg : inversa g f
  exact ⟨g, aux2 hg⟩

-- Lemas usados
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-- variable (α β : Type _)
-- variable (f : α → β)
-- #check (bijective_iff_has_inverse : Bijective f ↔ ∃ g, LeftInverse g f ∧ RightInverse g f)