-- Preorden_transitiva.lean
-- Si ≤ es un preorden, entonces < es transitiva.
-- José A. Alonso Jiménez <https://jaalonso.github.io>
-- Sevilla, 5-enero-2024
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-- Demostrar que si ≤ es un preorden, entonces < es transitiva.
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-- Demostración en lenguaje natural
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-- Se usará la siguiente propiedad de los preórdenes
--    (∀ a, b)[a < b ↔ a ≤ b ∧ b ≰ a]
-- Con dicha propiedad, lo que tenemos que demostrar se transforma en
--    a ≤ b ∧ b ≰ a → b ≤ c ∧ c ≰ b → a ≤ c ∧ c ≰ a
-- Para demostrarla, supongamos que
--    a ≤ b                                                          (1)
--    b ≰ a                                                          (2)
--    b ≤ c                                                          (3)
--    c ≰ b                                                          (4)
-- y tenemos que demostrar las siguientes relaciones
--    a ≤ c                                                          (5)
--    c ≰ a                                                          (6)
--
-- La (5) se tiene aplicando la propiedad transitiva a (1) y (3).
--
-- Para demostrar la (6), supongamos que
--    c ≤ a                                                          (7)
-- entonces, junto a la (1), por la propieda transitiva se tiene
--    c ≤ b
-- que es una contradicción con la (4).

-- Demostraciones con Lean4
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import Mathlib.Tactic
variable {α : Type _} [Preorder α]
variable (a b c : α)

-- 1ª demostración
-- ===============

example : a < b → b < c → a < c :=
by
  simp only [lt_iff_le_not_ge]
  -- ⊢ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a → b ≤ c ∧ ¬c ≤ b → a ≤ c ∧ ¬c ≤ a
  rintro ⟨h1 : a ≤ b, _h2 : ¬b ≤ a⟩ ⟨h3 : b ≤ c, h4 : ¬c ≤ b⟩
  -- ⊢ a ≤ c ∧ ¬c ≤ a
  constructor
  . -- ⊢ a ≤ c
    exact le_trans h1 h3
  . -- ⊢ ¬c ≤ a
    contrapose! h4
    -- h4 : c ≤ a
    -- ⊢ c ≤ b
    exact le_trans h4 h1

-- 2ª demostración
-- ===============

example : a < b → b < c → a < c :=
by
  simp only [lt_iff_le_not_ge]
  -- ⊢ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a → b ≤ c ∧ ¬c ≤ b → a ≤ c ∧ ¬c ≤ a
  rintro ⟨h1 : a ≤ b, _h2 : ¬b ≤ a⟩ ⟨h3 : b ≤ c, h4 : ¬c ≤ b⟩
  -- ⊢ a ≤ c ∧ ¬c ≤ a
  constructor
  . -- ⊢ a ≤ c
    exact le_trans h1 h3
  . -- ⊢ ¬c ≤ a
    rintro (h5 : c ≤ a)
    -- ⊢ False
    have h6 : c ≤ b := le_trans h5 h1
    show False
    exact h4 h6

-- 3ª demostración
-- ===============

example : a < b → b < c → a < c :=
by
  simp only [lt_iff_le_not_ge]
  -- ⊢ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a → b ≤ c ∧ ¬c ≤ b → a ≤ c ∧ ¬c ≤ a
  rintro ⟨h1 : a ≤ b, _h2 : ¬b ≤ a⟩ ⟨h3 : b ≤ c, h4 : ¬c ≤ b⟩
  -- ⊢ a ≤ c ∧ ¬c ≤ a
  constructor
  . -- ⊢ a ≤ c
    exact le_trans h1 h3
  . -- ⊢ ¬c ≤ a
    exact fun h5 ↦ h4 (le_trans h5 h1)

-- 4ª demostración
-- ===============

example : a < b → b < c → a < c :=
by
  simp only [lt_iff_le_not_ge]
  -- ⊢ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a → b ≤ c ∧ ¬c ≤ b → a ≤ c ∧ ¬c ≤ a
  rintro ⟨h1 : a ≤ b, _h2 : ¬b ≤ a⟩ ⟨h3 : b ≤ c, h4 : ¬c ≤ b⟩
  -- ⊢ a ≤ c ∧ ¬c ≤ a
  exact ⟨le_trans h1 h3, fun h5 ↦ h4 (le_trans h5 h1)⟩

-- 5ª demostración
-- ===============

example : a < b → b < c → a < c :=
by
  simp only [lt_iff_le_not_ge]
  -- ⊢ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a → b ≤ c ∧ ¬c ≤ b → a ≤ c ∧ ¬c ≤ a
  exact fun ⟨h1, _h2⟩ ⟨h3, h4⟩ ↦ ⟨le_trans h1 h3,
                                  fun h5 ↦ h4 (le_trans h5 h1)⟩

-- 6ª demostración
-- ===============

example : a < b → b < c → a < c :=
  lt_trans

-- Lemas usados
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-- #check (lt_iff_le_not_ge : a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a)
-- #check (le_trans : a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c)
-- #check (lt_trans : a < b → b < c → a < c)
