--- Título: En ℝ, a < b → ¬(b < a) Autor: José A. Alonso --- Demostrar con Lean4 que en \\(ℝ\\), \\(a < b → ¬(b < a)\\). Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic

variable (a b : ℝ)

example
  (h : a < b)
  : ¬ b < a :=
by sorry

Demostración en lenguaje natural [mathjax] Por hipótesis \\(a < b\\) y tenemos que demostrar que \\(¬(b < a)\\). Supongamos que \\(b < a\\). Entonces, por la propiedad transiva \\(a < a\\) que es una contradicción con la propiedad irreflexiva. Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Data.Real.Basic

variable (a b : ℝ)

-- 1ª demostración
example
  (h : a < b)
  : ¬ b < a :=
by
  intro h1
  -- h1 : b < a
  -- ⊢ False
  have : a < a := lt_trans h h1
  apply lt_irrefl a this

-- 2ª demostración
example
  (h : a < b)
  : ¬ b < a :=
by
  intro h1
  -- h1 : b < a
  -- ⊢ False
  exact lt_irrefl a (lt_trans h h1)

-- 3ª demostración
example
  (h : a < b)
  : ¬ b < a :=
fun h1 ↦ lt_irrefl a (lt_trans h h1)

-- 4ª demostración
example
  (h : a < b)
  : ¬ b < a :=
lt_asymm h

-- Lemas usados
-- ============

-- variable (c : ℝ)
-- #check (lt_asymm : a < b → ¬b < a)
-- #check (lt_irrefl a : ¬a < a)
-- #check (lt_trans : a < b → b < c → a < c)

Demostraciones interactivas Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web. Referencias

J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 32.