--- Título: Si ¬(∀a)(∃x)[f(x) > a]​, entonces f está acotada superiormente. Autor: José A. Alonso --- [mathjax] Demostrar con Lean4 que si \\(¬(∀a)(∃x)[f(x) > a]\\)​, entonces \\(f\\) está acotada superiormente. Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4: 
import Mathlib.Data.Real.Basic

def CotaSuperior (f : ℝ → ℝ) (a : ℝ) : Prop :=
  ∀ x, f x ≤ a

def acotadaSup (f : ℝ → ℝ) :=
  ∃ a, CotaSuperior f a

variable (f : ℝ → ℝ)

example
  (h : ¬∀ a, ∃ x, f x > a)
  : acotadaSup f :=
by sorry
Demostración en lenguaje natural Tenemos que demostrar que \\(f\\) es acotada superiormente; es decir, que \\[ (∃a)(∀x)[f(x) ≤ a] \\] que es exactamente la fórmula obtenida interiorizando la negación en la hipótesis. Demostraciones con Lean4 
import Mathlib.Data.Real.Basic

def CotaSuperior (f : ℝ → ℝ) (a : ℝ) : Prop :=
  ∀ x, f x ≤ a

def acotadaSup (f : ℝ → ℝ) :=
  ∃ a, CotaSuperior f a

variable (f : ℝ → ℝ)

-- 1ª demostración
-- ===============

example
  (h : ¬∀ a, ∃ x, f x > a)
  : acotadaSup f :=
by
  unfold acotadaSup
  -- ⊢ ∃ a, CotaSuperior f a
  unfold CotaSuperior
  -- ⊢ ∃ a, ∀ (x : ℝ), f x ≤ a
  push_neg at h
  -- h : ∃ a, ∀ (x : ℝ), f x ≤ a
  exact h

-- 2ª demostración
-- ===============

example
  (h : ¬∀ a, ∃ x, f x > a)
  : acotadaSup f :=
by
  unfold acotadaSup CotaSuperior
  -- ⊢ ∃ a, ∀ (x : ℝ), f x ≤ a
  push_neg at h
  -- h : ∃ a, ∀ (x : ℝ), f x ≤ a
  exact h

-- 3ª demostración
-- ===============

example
  (h : ¬∀ a, ∃ x, f x > a)
  : acotadaSup f :=
by
  push_neg at h
  -- h : ∃ a, ∀ (x : ℝ), f x ≤ a
  exact h
Demostraciones interactivas Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web. Referencias