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Título: Si f es par y g es impar, entonces (f ∘ g) es par
Autor: José A. Alonso
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Demostrar con Lean4 que si \\(f\\) es par y \\(g\\) es impar, entonces \\(f ∘ g\\) es par.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic
variable (f g : ℝ → ℝ)
-- (esPar f) expresa que f es par.
def esPar (f : ℝ → ℝ) : Prop :=
∀ x, f x = f (-x)
-- (esImpar f) expresa que f es impar.
def esImpar (f : ℝ → ℝ) : Prop :=
∀ x, f x = - f (-x)
example
(h1 : esPar f)
(h2 : esImpar g)
: esPar (f ∘ g) :=
by sorry
Demostración en lenguaje natural
[mathjax]
Supongamos que \\(f\\) es una función par y \\(g\\) lo es impar. Tenemos que demostrar que \\(f ∘ g\\) es par; es decir, que
\\[ (∀ x ∈ ℝ) (f ∘ g)(x) = (f ∘ g)(-x) \\]
Sea \\(x ∈ ℝ\\). Entonces,
\\begin{align}
(f ∘ g)(x) &= f(g(x)) \\\\
&= f(-g(-x)) &&\\text{[porque \\(g\\) es impar]} \\\\
&= f(g(-x)) &&\\text{[porque \\(f\\) es par]} \\\\
&= (f ∘ g)(-x)
\\end{align}
Demostraciones con Lean4
import Mathlib.Data.Real.Basic
variable (f g : ℝ → ℝ)
-- (esPar f) expresa que f es par.
def esPar (f : ℝ → ℝ) : Prop :=
∀ x, f x = f (-x)
-- (esImpar f) expresa que f es impar.
def esImpar (f : ℝ → ℝ) : Prop :=
∀ x, f x = - f (-x)
-- 1ª demostración
example
(h1 : esPar f)
(h2 : esImpar g)
: esPar (f ∘ g) :=
by
intro x
calc (f ∘ g) x
= f (g x) := rfl
_ = f (-g (-x)) := congr_arg f (h2 x)
_ = f (g (-x)) := (h1 (g (-x))).symm
_ = (f ∘ g) (-x) := rfl
-- 2ª demostración
example
(h1 : esPar f)
(h2 : esImpar g)
: esPar (f ∘ g) :=
by
intro x
calc (f ∘ g) x
= f (g x) := rfl
_ = f (-g (-x)) := by rw [h2]
_ = f (g (-x)) := by rw [← h1]
_ = (f ∘ g) (-x) := rfl
-- 3ª demostración
example
(h1 : esPar f)
(h2 : esImpar g)
: esPar (f ∘ g) :=
by
intro x
calc (f ∘ g) x
= f (g x) := rfl
_ = f (g (-x)) := by rw [h2, ← h1]
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias