--- Título: Si a es una cota superior no negativa de f y b es es una cota superior de la función no negativa g, entonces ab es una cota superior de fg Autor: José A. Alonso --- Sean \\(f\\) y \\(g\\) funciones de \\(ℝ\\) en \\(ℝ\\). Demostrar con Lean4 que si \\(a\\) es una cota superior no negativa de \\(f\\) y \\(b\\) es es una cota superior de la función no negativa \\(g\\), entonces \\(ab\\) es una cota superior de \\(fg\\). Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4: 
import Mathlib.Data.Real.Basic

-- (CotaSuperior f a) se verifica si a es una cota superior de f.
def CotaSuperior (f : ℝ → ℝ) (a : ℝ) : Prop :=
  ∀ x, f x ≤ a

-- (CotaInferior f a) expresa que a es una cota inferior de f.
def CotaInferior (f : ℝ → ℝ) (a : ℝ) : Prop :=
  ∀ x, a ≤ f x

variable (f g : ℝ → ℝ)
variable (a b : ℝ)

example
  (hfa : CotaSuperior f a)
  (hgb : CotaSuperior g b)
  (nng : CotaInferior g 0)
  (nna : 0 ≤ a)
  : CotaSuperior (f * g) (a * b) :=
by sorry
Demostración en lenguaje natural [mathjax] Se usará el siguiente lema \\[ \\{a ≤ b, c ≤ d, 0 ≤ c, 0 ≤ b\\} ⊢ ac ≤ bd \\tag{L1} \\] Hay que demostrar que \\[ (∀ x ∈ ℝ) [f(x)g(x) ≤ ab] \\tag{1} \\] Para ello, sea \\(x ∈ R\\). Puesto que \\(a\\) es una cota superior de \\(f\\), se tiene que \\[ f(x) ≤ a \\tag{2} \\] puesto que \\(b\\) es una cota superior de \\(g\\), se tiene que \\[ g(x) ≤ b \\tag{3} \\] puesto que \\(g\\) es no negativa, se tiene que \\[ 0 ≤ g(x) \\tag{4} \\] y, puesto que \\(a\\) es no negativo, se tiene que \\[ 0 ≤ a \\tag{5} \\] De (2), (3), (4) y (5), por L1, se tiene que \\[ f(x)g(x) ≤ ab \\] que es lo que había que demostrar. Demostraciones con Lean4 
import Mathlib.Data.Real.Basic

-- (CotaSuperior f a) se verifica si a es una cota superior de f.
def CotaSuperior (f : ℝ → ℝ) (a : ℝ) : Prop :=
  ∀ x, f x ≤ a

-- (CotaInferior f a) expresa que a es una cota inferior de f.
def CotaInferior (f : ℝ → ℝ) (a : ℝ) : Prop :=
  ∀ x, a ≤ f x

variable (f g : ℝ → ℝ)
variable (a b : ℝ)

-- 1ª demostración
example
  (hfa : CotaSuperior f a)
  (hgb : CotaSuperior g b)
  (nng : CotaInferior g 0)
  (nna : 0 ≤ a)
  : CotaSuperior (f * g) (a * b) :=
by
  have h1 : ∀ x, f x * g x ≤ a * b
  { intro x
    have h2 : f x ≤ a := hfa x
    have h3 : g x ≤ b := hgb x
    have h4 : 0 ≤ g x := nng x
    show f x * g x ≤ a * b
    exact mul_le_mul h2 h3 h4 nna }
  show CotaSuperior (f * g) (a * b)
  exact h1

-- 2ª demostración
example
  (hfa : CotaSuperior f a)
  (hgb : CotaSuperior g b)
  (nng : CotaInferior g 0)
  (nna : 0 ≤ a)
  : CotaSuperior (f * g) (a * b) :=
by
  intro x
  dsimp
  apply mul_le_mul
  . apply hfa
  . apply hgb
  . apply nng
  . apply nna

-- 3ª demostración
example
  (hfa : CotaSuperior f a)
  (hgb : CotaSuperior g b)
  (nng : CotaInferior g 0)
  (nna : 0 ≤ a)
  : CotaSuperior (f * g) (a * b) :=
by
  intro x
  have h1:= hfa x
  have h2:= hgb x
  have h3:= nng x
  exact mul_le_mul h1 h2 h3 nna

-- 4ª demostración
example
  (hfa : CotaSuperior f a)
  (hgb : CotaSuperior g b)
  (nng : CotaInferior g 0)
  (nna : 0 ≤ a)
  : CotaSuperior (f * g) (a * b) :=
by
  intro x
  specialize hfa x
  specialize hgb x
  specialize nng x
  exact mul_le_mul hfa hgb nng nna

-- 5ª demostración
example
  (hfa : CotaSuperior f a)
  (hgb : CotaSuperior g b)
  (nng : CotaInferior g 0)
  (nna : 0 ≤ a)
  : CotaSuperior (f * g) (a * b) :=
λ x ↦ mul_le_mul (hfa x) (hgb x) (nng x) nna

-- Lemas usados
-- ============

-- variable (c d : ℝ)
-- #check (mul_le_mul : a ≤ b → c ≤ d → 0 ≤ c → 0 ≤ b → a * c ≤ b * d)
Demostraciones interactivas Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web. Referencias