--- Título: ¬¬P → P. Autor: José A. Alonso --- [mathjax] Demostrar con Lean4 que \\(¬¬P → P\\). Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
variable (P : Prop)

example
  (h : ¬¬P)
  : P :=
by sorry

Demostración en lenguaje natural Por reducción al absurdo. Supongamos \\(¬P\\). Entonces, tenemos una contradicción con la hipótesis (\\(¬¬P\\)). Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Tactic
variable (P : Prop)

-- 1ª demostración
-- ===============

example
  (h : ¬¬P)
  : P :=
by
  by_contra h1
  -- h1 : ¬P
  -- ⊢ False
  exact (h h1)

-- 2ª demostración
-- ===============

example
  (h : ¬¬P)
  : P :=
by_contra (fun h1 ↦ h h1)

-- 3ª demostración
-- ===============

example
  (h : ¬¬P)
  : P :=
-- not_not.mp h
of_not_not h

-- 4ª demostración
-- ===============

example
  (h : ¬¬P)
  : P :=
by tauto

-- Lemas usados
-- ============

-- #check (of_not_not : ¬¬P → P)

Demostraciones interactivas Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web. Referencias

J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 33.