--- Título: Si R es un anillo y a, b ∈ R tales que a+b=0, entonces a=-b Autor: José A. Alonso --- Demostrar con Lean4 que si R es un anillo y a, b ∈ R tales que

   a + b = 0

entonces

   a = -b

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs
import Mathlib.Tactic

variable {R : Type _} [Ring R]
variable {a b : R}

example
  (h : a + b = 0)
  : a = -b :=
sorry

Demostración en lenguaje natural [mathjax] 1ª demostración en LN Por la siguiente cadena de igualdades \begin{align} a &= (a + b) + -b &&\text{[por la concelativa]} \\ &= 0 + -b &&\text{[por la hipótesis]} \\ &= -b &&\text{[por la suma con cero]} \end{align} 2ª demostración en LN Sumando \(-a\) a ambos lados de la hipótesis, se tiene \[(a + b) + -b = 0 + -b\] El término de la izquierda se reduce a \(a\) (por la cancelativa) y el de la derecha a \(-b\) (por la suma con cero). Por tanto, se tiene \[a = -b\] Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs
import Mathlib.Tactic

variable {R : Type _} [Ring R]
variable {a b : R}

-- 1ª demostración (basada en la 1ª en LN)
example
  (h : a + b = 0)
  : a = -b :=
calc
  a = (a + b) + -b := by rw [add_neg_cancel_right]
  _ = 0 + -b       := by rw [h]
  _ = -b           := by rw [zero_add]

-- 2ª demostración (basada en la 1ª en LN)
example
  (h : a + b = 0)
  : a = -b :=
calc
  a = (a + b) + -b := by simp
  _ = 0 + -b       := by rw [h]
  _ = -b           := by simp

-- 3ª demostración (basada en la 1ª en LN)
example
  (h : a + b = 0)
  : a = -b :=
by
  have h1 : (a + b) + -b = 0 + -b := by rw [h]
  have h2 : (a + b) + -b = a := add_neg_cancel_right a b
  have h3 : 0 + -b = -b := zero_add (-b)
  rwa [h2, h3] at h1

-- 4ª demostración
example
  (h : a + b = 0)
  : a = -b :=
add_eq_zero_iff_eq_neg.mp h

Demostraciones interactivas Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web. Referencias

J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 11.