--- Título: Si R es un anillo, entonces -0 = 0 Autor: José A. Alonso --- Demostrar con Lean4 que si R es un anillo, entonces

   -0 = 0

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs
import Mathlib.Tactic

variable {R : Type _} [Ring R]

example : (-0 : R) = 0 :=
sorry

Demostraciones en lenguaje natural (LN) [mathjax] 1ª demostración en LN Por la suma con cero se tiene \[0 + 0 = 0\] Aplicándole la propiedad \[\forall a b ∈ R, a + b = 0 \to -a = b\] se obtiene \[-0 = 0\] 2ª demostración en LN Puesto que \[\forall a b ∈ R, a + b = 0 \to -a = b\] basta demostrar que \[0 + 0 = 0\] que es cierta por la suma con cero. Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs
import Mathlib.Tactic

variable {R : Type _} [Ring R]

-- 1ª demostración (basada en la 1ª en LN)
example : (-0 : R) = 0 :=
by
  have h1 : (0 : R) + 0 = 0 := add_zero 0
  show (-0 : R) = 0
  exact neg_eq_of_add_eq_zero_left h1

-- 2ª demostración (basada en la 2ª en LN)
example : (-0 : R) = 0 :=
by
  apply neg_eq_of_add_eq_zero_left
  rw [add_zero]

-- 3ª demostración
example : (-0 : R) = 0 :=
  neg_zero

-- 4ª demostración
example : (-0 : R) = 0 :=
by simp

Demostraciones interactivas Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web. Referencias

J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 11.