--- Título: Si R es un anillo y a, b ∈ R tales que a+b=0, entonces -a=b Autor: José A. Alonso --- Demostrar con Lean4 que si R es un anillo y a, b ∈ R tales que

   a + b = 0

entonces

   -a = b

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs
import Mathlib.Tactic

variable {R : Type _} [Ring R]
variable {a b : R}

example
  (h : a + b = 0)
  : -a = b :=
sorry

Demostraciones en lenguaje natural (LN) [mathjax] 1ª demostración en LN Por la siguiente cadena de igualdades \begin{align} -a &= -a + 0 &&\text{[por suma cero]} \\ &= -a + (a + b) &&\text{[por hipótesis]} \\ &= b &&\text{[por cancelativa]} \end{align} 2ª demostración en LN Sumando \(-a\) a ambos lados de la hipótesis, se tiene \[-a + (a + b) = -a + 0\] El término de la izquierda se reduce a \(b\) (por la cancelativa) y el de la derecha a \(-a\) (por la suma con cero). Por tanto, se tiene \[b = -a\] Por la simetría de la igualdad, se tiene \[-a = b\] Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs
import Mathlib.Tactic

variable {R : Type _} [Ring R]
variable {a b : R}

-- 1ª demostración (basada en la 1º en LN)
example
  (h : a + b = 0)
  : -a = b :=
calc
  -a = -a + 0       := by rw [add_zero]
   _ = -a + (a + b) := by rw [h]
   _ = b            := by rw [neg_add_cancel_left]

-- 2ª demostración (basada en la 1º en LN)
example
  (h : a + b = 0)
  : -a = b :=
calc
  -a = -a + 0       := by simp
   _ = -a + (a + b) := by rw [h]
   _ = b            := by simp

-- 3ª demostración (basada en la 2º en LN)
example
  (h : a + b = 0)
  : -a = b :=
by
  have h1 : -a + (a + b) = -a + 0 := congrArg (HAdd.hAdd (-a)) h
  have h2 : -a + (a + b) = b := neg_add_cancel_left a b
  have h3 : -a + 0 = -a := add_zero (-a)
  rw [h2, h3] at h1
  exact h1.symm

-- 4ª demostración
example
  (h : a + b = 0)
  : -a = b :=
neg_eq_iff_add_eq_zero.mpr h

Demostraciones interactivas Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web. Referencias

J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 11.