--- Título: Si R es un anillo y a, b ∈ R, entonces (a + b) + -b = a Autor: José A. Alonso --- En Lean4, se declara que R es un anillo mediante la expresión 
   variable {R : Type _} [Ring R]
Como consecuencia, se tiene los siguientes axiomas 
   add_assoc    : ∀ a b c : R, (a + b) + c = a + (b + c)
   add_comm     : ∀ a b : R,   a + b = b + a
   zero_add     : ∀ a : R,     0 + a = a
   add_left_neg : ∀ a : R,     -a + a = 0
   mul_assoc    : ∀ a b c : R, a * b * c = a * (b * c)
   mul_one      : ∀ a : R,     a * 1 = a
   one_mul      : ∀ a : R,     1 * a = a
   mul_add      : ∀ a b c : R, a * (b + c) = a * b + a * c
   add_mul      : ∀ a b c : R, (a + b) * c = a * c + b * c
Demostrar que si R es un anillo, entonces 
   ∀ a, b : R, (a + b) + -b = a
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4: 
import Mathlib.Algebra.Ring.Defs

variable {R : Type _} [Ring R]
variable (a b : R)

example : (a + b) + -b = a :=
sorry
Demostración en lenguaje natural [mathjax] Por la siguiente cadena de igualdades \begin{align} (a + b) + -b &= a + (b + -b) &&\text{[por la asociativa]} \\ &= a + 0 &&\text{[por suma con opuesto]} \\ &= a &&\text{[por suma con cero]} \end{align} Demostraciones con Lean4 
import Mathlib.Algebra.Ring.Defs

variable {R : Type _} [Ring R]
variable (a b : R)

-- 1ª demostración
example : (a + b) + -b = a :=
calc
  (a + b) + -b = a + (b + -b) := by rw [add_assoc]
             _ = a + 0        := by rw [add_right_neg]
             _ = a            := by rw [add_zero]

-- 2ª demostración
example : (a + b) + -b = a :=
by
  rw [add_assoc]
  rw [add_right_neg]
  rw [add_zero]

-- 3ª demostración
example : (a + b) + -b = a :=
by rw [add_assoc, add_right_neg, add_zero]

-- 4ª demostración
example : (a + b) + -b = a :=
  add_neg_cancel_right a b

-- 5ª demostración
example : (a + b) + -b = a :=
  add_neg_cancel_right _ _

-- 6ª demostración
example : (a + b) + -b = a :=
by simp
Demostraciones interactivas Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web. Referencias