--- Título: El producto de una función par por una impar es impar Autor: José A. Alonso --- Demostrar con Lean4 que el producto de una función par por una impar es impar. Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic

variable (f g : ℝ → ℝ)

-- (esPar f) expresa que f es par.
def esPar (f : ℝ → ℝ) : Prop :=
  ∀ x, f x = f (-x)

-- (esImpar f) expresa que f es impar.
def esImpar  (f : ℝ → ℝ) : Prop :=
  ∀ x, f x = - f (-x)

example
  (h1 : esPar f)
  (h2 : esImpar g)
  : esImpar (f * g) :=
by sorry

Demostración en lenguaje natural [mathjax] Supongamos que \\(f\\) es una función par y \\(g\\) lo es impar. Tenemos que demostrar que \\(f·g\\) es imppar; es decir, que \\[ (∀ x ∈ ℝ) (f·g)(x) = -(f·g)(-x) \\] Sea \\(x ∈ ℝ\\). Entonces, \\begin{align} (f·g) x &= f(x)g(x) \\\\ &= f(-x)g(x) &&\\text{[porque \\(f\\) es par]} \\\\ &= f(-x)(-g(-x)) &&\\text{[porque \\(g\\) es impar]} \\\\ &= -f(-x)g(-x)) \\\\ &= -(f·g)(-x) \\end{align} Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Data.Real.Basic

variable (f g : ℝ → ℝ)

-- (esPar f) expresa que f es par.
def esPar (f : ℝ → ℝ) : Prop :=
  ∀ x, f x = f (-x)

-- (esImpar f) expresa que f es impar.
def esImpar  (f : ℝ → ℝ) : Prop :=
  ∀ x, f x = - f (-x)

-- 1ª demostración
example
  (h1 : esPar f)
  (h2 : esImpar g)
  : esImpar (f * g) :=
by
  intro x
  have h1 : f x = f (-x) := h1 x
  have h2 : g x = -g (-x) := h2 x
  calc (f * g) x
       = f x * g x            := rfl
     _ = (f (-x)) * g x       := congrArg (. * g x) h1
     _ = (f (-x)) * (-g (-x)) := congrArg (f (-x) * .) h2
     _ = -(f (-x) * g (-x))   := mul_neg (f (-x)) (g (-x))
     _ = -(f * g) (-x)        := rfl

-- 2ª demostración
example
  (h1 : esPar f)
  (h2 : esImpar g)
  : esImpar (f * g) :=
by
  intro x
  calc (f * g) x
       = f x * g x          := rfl
    _  = f (-x) * -g (-x)   := by rw [h1, h2]
    _  = -(f (-x) * g (-x)) := by rw [mul_neg]
    _  = -(f * g) (-x)      := rfl

-- 3ª demostración
example
  (h1 : esPar f)
  (h2 : esImpar g)
  : esImpar (f * g) :=
by
  intro x
  calc (f * g) x
       = f x * g x          := rfl
     _ = -(f (-x) * g (-x)) := by rw [h1, h2, mul_neg]
     _ = -((f * g) (-x))    := rfl

-- Lemas usados
-- ===========

-- variable (a b : ℝ)
-- #check (mul_neg a b : a * -b = -(a * b))

Demostraciones interactivas Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web. Referencias

J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 26.