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Título: El producto de una función par por una impar es impar
Autor:  José A. Alonso
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Demostrar con Lean4 que el producto de una función par por una impar es impar.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

<pre lang="lean">
import Mathlib.Data.Real.Basic

variable (f g : ℝ → ℝ)

-- (esPar f) expresa que f es par.
def esPar (f : ℝ → ℝ) : Prop :=
  ∀ x, f x = f (-x)

-- (esImpar f) expresa que f es impar.
def esImpar  (f : ℝ → ℝ) : Prop :=
  ∀ x, f x = - f (-x)

example
  (h1 : esPar f)
  (h2 : esImpar g)
  : esImpar (f * g) :=
by sorry
</pre>
<!--more-->

<b>Demostración en lenguaje natural</b>

[mathjax]
Supongamos que \\(f\\) es una función par y \\(g\\) lo es impar. Tenemos que demostrar que \\(f·g\\) es imppar; es decir, que
\\[ (∀ x ∈ ℝ) (f·g)(x) = -(f·g)(-x) \\]
Sea \\(x ∈ ℝ\\). Entonces,
\\begin{align}
   (f·g) x &= f(x)g(x)        \\\\
           &= f(-x)g(x)       &&\\text{[porque \\(f\\) es par]} \\\\
           &= f(-x)(-g(-x))   &&\\text{[porque \\(g\\) es impar]} \\\\
           &= -f(-x)g(-x))    \\\\
           &= -(f·g)(-x)
\\end{align}

<b>Demostraciones con Lean4</b>

<pre lang="lean">
import Mathlib.Data.Real.Basic

variable (f g : ℝ → ℝ)

-- (esPar f) expresa que f es par.
def esPar (f : ℝ → ℝ) : Prop :=
  ∀ x, f x = f (-x)

-- (esImpar f) expresa que f es impar.
def esImpar  (f : ℝ → ℝ) : Prop :=
  ∀ x, f x = - f (-x)

-- 1ª demostración
example
  (h1 : esPar f)
  (h2 : esImpar g)
  : esImpar (f * g) :=
by
  intro x
  have h1 : f x = f (-x) := h1 x
  have h2 : g x = -g (-x) := h2 x
  calc (f * g) x
       = f x * g x            := rfl
     _ = (f (-x)) * g x       := congrArg (. * g x) h1
     _ = (f (-x)) * (-g (-x)) := congrArg (f (-x) * .) h2
     _ = -(f (-x) * g (-x))   := mul_neg (f (-x)) (g (-x))
     _ = -(f * g) (-x)        := rfl

-- 2ª demostración
example
  (h1 : esPar f)
  (h2 : esImpar g)
  : esImpar (f * g) :=
by
  intro x
  calc (f * g) x
       = f x * g x          := rfl
    _  = f (-x) * -g (-x)   := by rw [h1, h2]
    _  = -(f (-x) * g (-x)) := by rw [mul_neg]
    _  = -(f * g) (-x)      := rfl

-- 3ª demostración
example
  (h1 : esPar f)
  (h2 : esImpar g)
  : esImpar (f * g) :=
by
  intro x
  calc (f * g) x
       = f x * g x          := rfl
     _ = -(f (-x) * g (-x)) := by rw [h1, h2, mul_neg]
     _ = -((f * g) (-x))    := rfl

-- Lemas usados
-- ===========

-- variable (a b : ℝ)
-- #check (mul_neg a b : a * -b = -(a * b))
</pre>

<b>Demostraciones interactivas</b>

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en <a href="https://live.lean-lang.org/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/Calculemus2/main/src/Producto_funcion_par_e_impar.lean" rel="noopener noreferrer" target="_blank">Lean 4 Web</a>.

<b>Referencias</b>

<ul>
<li> J. Avigad y P. Massot. <a href="https://bit.ly/3U4UjBk">Mathematics in Lean</a>, p. 26.</li>
</ul>