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Título: Si r ⊆ s y s ⊆ t, entonces r ⊆ t
Autor: José A. Alonso
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Demostrar con Lean4 que si \\(r ⊆ s\\) y \\(s ⊆ t\\), entonces \\(r ⊆ t\\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Tactic
open Set
variable {α : Type _}
variable (r s t : Set α)
example
(rs : r ⊆ s)
(st : s ⊆ t)
: r ⊆ t :=
by sorry
Demostración en lenguaje natural
[mathjax]
1ª demostración en LN
Tenemos que demostrar que
\\[ (∀ x) [x ∈ r → x ∈ t] \\]
Sea \\(x\\) tal que
\\[ x ∈ r \\]
Puesto que \\(r ⊆ s\\), se tiene que
\\[ x ∈ s \\]
y, puesto que \\(s ⊆ t), se tiene que
\\[ x ∈ t \\]
que es lo que teníamos que demostrar.
2ª demostración en LN
Tenemos que demostrar que
\\[ (∀ x) [x ∈ r → x ∈ t] \\]
Sea \\(x\\) tal que
\\[ x ∈ r \\]
Tenemos que demostrar que
\\[ x ∈ t \\]
que, puesto que \\(s ⊆ t\\), se reduce a
\\[ x ∈ s \\]
que, puesto que \\(r ⊆ s\\), se redece a
\\[ x ∈ r \\]
que es lo que hemos supuesto.
Demostraciones con Lean4
import Mathlib.Tactic
open Set
variable {α : Type _}
variable (r s t : Set α)
-- 1ª demostración
example
(rs : r ⊆ s)
(st : s ⊆ t)
: r ⊆ t :=
by
intros x xr
-- xr : x ∈ r
have xs : x ∈ s := rs xr
show x ∈ t
exact st xs
-- 2ª demostración
example
(rs : r ⊆ s)
(st : s ⊆ t)
: r ⊆ t :=
by
intros x xr
-- x : α
-- xr : x ∈ r
apply st
-- ⊢ x ∈ s
apply rs
-- ⊢ x ∈ r
exact xr
-- 3ª demostración
example
(rs : r ⊆ s)
(st : s ⊆ t)
: r ⊆ t :=
fun _ xr ↦ st (rs xr)
-- 4ª demostración
example
(rs : r ⊆ s)
(st : s ⊆ t)
: r ⊆ t :=
-- by exact?
Subset.trans rs st
-- 5ª demostración
example
(rs : r ⊆ s)
(st : s ⊆ t)
: r ⊆ t :=
by tauto
-- Lemas usados
-- ============
-- #check (Subset.trans : r ⊆ s → s ⊆ t → r ⊆ t)
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias