--- Título: Si R es un anillo y a ∈ R, entonces a - a = 0 Autor: José A. Alonso --- [mathjax] Demostrar con Lean4 que si \(R\) es un anillo y \(a \in R\), entonces \[a - a = 0\] Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs
variable {R : Type _} [Ring R]
variable (a : R)

example : a - a = 0 :=
sorry

Demostración en lenguaje natural Por la siguiente cadena de igualdades: \begin{align} a - a &= a + -a &&\text{[por definición de resta]} \\ &= 0 &&\text{[por suma con opuesto]} \end{align} Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs
variable {R : Type _} [Ring R]
variable (a : R)

-- 1ª demostración
example : a - a = 0 :=
calc
  a - a = a + -a := by rw [sub_eq_add_neg a a]
      _ = 0      := by rw [add_right_neg]

-- 2ª demostración
example : a - a = 0 :=
sub_self a

-- 3ª demostración
example : a - a = 0 :=
by simp

Demostraciones interactivas Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web. Referencias

J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 12.