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Título: La suma de dos funciones pares es par
Autor: José A. Alonso
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Demostrar con Lean4 que la suma de dos funciones pares es par.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic
variable (f g : ℝ → ℝ)
-- (esPar f) expresa que f es par.
def esPar (f : ℝ → ℝ) : Prop :=
∀ x, f x = f (-x)
example
(h1 : esPar f)
(h2 : esPar g)
: esPar (f + g) :=
by sorry
Demostración en lenguaje natural
[mathjax]
Supongamos que \\(f\\) y \\(g\\) son funciones pares. Tenemos que demostrar que \\(f+g\\) es par; es decir, que
\\[ (∀ x ∈ ℝ) [(f + g)(x) = (f + g)(-x)] \\]
Sea \\(x ∈ ℝ\\). Entonces,
\\begin{align}
(f + g) x &= f(x) + g(x) \\\\
&= f(-x) + g(x) &&\\text{[porque \\(f\\) es par]} \\\\
&= f(-x) + g(-x) &&\\text{[porque \\(g\\) es par]} \\\\
&= (f + g)(-x)
\\end{align}
Demostraciones con Lean4
import Mathlib.Data.Real.Basic
variable (f g : ℝ → ℝ)
-- (esPar f) expresa que f es par.
def esPar (f : ℝ → ℝ) : Prop :=
∀ x, f x = f (-x)
-- 1ª demostración
-- ===============
example
(h1 : esPar f)
(h2 : esPar g)
: esPar (f + g) :=
by
intro x
have h1 : f x = f (-x) := h1 x
have h2 : g x = g (-x) := h2 x
calc (f + g) x
= f x + g x := rfl
_ = f (-x) + g x := congrArg (. + g x) h1
_ = f (-x) + g (-x) := congrArg (f (-x) + .) h2
_ = (f + g) (-x) := rfl
-- 2ª demostración
-- ===============
example
(h1 : esPar f)
(h2 : esPar g)
: esPar (f + g) :=
by
intro x
calc (f + g) x
= f x + g x := rfl
_ = f (-x) + g x := congrArg (. + g x) (h1 x)
_ = f (-x) + g (-x) := congrArg (f (-x) + .) (h2 x)
_ = (f + g) (-x) := rfl
-- 3ª demostración
-- ===============
example
(h1 : esPar f)
(h2 : esPar g)
: esPar (f + g) :=
by
intro x
calc (f + g) x
= f x + g x := rfl
_ = f (-x) + g (-x) := by rw [h1, h2]
_ = (f + g) (-x) := rfl
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias