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Título: Si ab = cd y e = f, entonces a(be) = c(df)
Autor:  José A. Alonso
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Demostrar con Lean4 que si ab = cd y e = f, entonces a(be) = c(df)

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

<pre lang="lean">
import Mathlib.Tactic
import Mathlib.Data.Real.Basic

example
  (a b c d e f : ℝ)
  (h1 : a * b = c * d)
  (h2 : e = f)
  : a * (b * e) = c * (d * f) :=
by sorry
</pre>
<!--more-->

<b>Demostración en leguaje natural</b>

[mathjax]
Por la siguiente cadena de igualdades
\begin{align}
   a(be)
   &= a(bf)    &&\text{[por la segunda hipótesis]} \\
   &= (ab)f    &&\text{[por la asociativa]} \\
   &= (cd)f    &&\text{[por la primera hipótesis]} \\
   &= c(df)    &&\text{[por la asociativa]}
\end{align}

<b>Demostraciones con Lean</b>

<pre lang="lean">
import Mathlib.Tactic
import Mathlib.Data.Real.Basic

-- 1ª demostración
example
  (a b c d e f : ℝ)
  (h1 : a * b = c * d)
  (h2 : e = f)
  : a * (b * e) = c * (d * f) :=
calc
  a * (b * e)
    = a * (b * f) := by rw [h2]
  _ = (a * b) * f := by rw [←mul_assoc]
  _ = (c * d) * f := by rw [h1]
  _ = c * (d * f) := by rw [mul_assoc]

-- 2ª demostración
example
  (a b c d e f : ℝ)
  (h1 : a * b = c * d)
  (h2 : e = f)
  : a * (b * e) = c * (d * f) :=
by
  rw [h2]
  rw [←mul_assoc]
  rw [h1]
  rw [mul_assoc]

-- 3ª demostración
example
  (a b c d e f : ℝ)
  (h1 : a * b = c * d)
  (h2 : e = f)
  : a * (b * e) = c * (d * f) :=
by
  simp [*, ←mul_assoc]
</pre>

<b>Demostraciones interactivas</b>

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en <a href="https://lean.math.hhu.de/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/Calculemus2/main/src/a(be)_eq_c(df).lean" rel="noopener noreferrer" target="_blank">Lean 4 Web</a>.

<b>Referencias</b>

<ul>
<li> J. Avigad y P. Massot. <a href="https://bit.ly/3U4UjBk">Mathematics in Lean</a>, p. 6.</li>
</ul>