--- Título: En los retículos, x ⊓ y = y ⊓ x Autor: José A. Alonso --- Demostrar con Lean4 que en los retículos se verifica que \[x ⊓ y = y ⊓ x\] Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Order.Lattice
variable {α : Type _} [Lattice α]
variable (x y z : α)

example : x ⊓ y = y ⊓ x :=
by sorry

Demostración en lenguaje natural [mathjax] Es consecuencia del siguiente lema auxiliar \[ (∀ a, b)[a ⊓ b ≤ b ⊓ a] \tag{1} \] En efecto, sustituyendo en (1) \(a\) por \(x\) y \(b\) por \(y\), se tiene \[ x ⊓ y ≤ y ⊓ x \tag{2} \] y sustituyendo en (1) \(a\) por \(y\) y \(b\) por \(x\), se tiene \[ y ⊓ x ≤ x ⊓ y \tag{3} \] Finalmente, aplicando la propiedad antisimétrica de la divisibilidad a (2) y (3), se tiene \[ x ⊓ y = y ⊓ x \] Para demostrar (1), por la definición del ínfimo, basta demostrar las siguientes relaciones \begin{align} y ⊓ x &≤ x \\ y ⊓ x &≤ y \end{align} y ambas se tienen por la definición del ínfimo. Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Order.Lattice
variable {α : Type _} [Lattice α]
variable (x y z : α)

-- 1ª demostración del lema auxiliar
lemma aux : x ⊓ y ≤ y ⊓ x :=
by
  have h1 : x ⊓ y ≤ y :=
    inf_le_right
  have h2 : x ⊓ y ≤ x :=
    inf_le_left
  show x ⊓ y ≤ y ⊓ x
  exact le_inf h1 h2

-- 2ª demostración del lema auxiliar
example : x ⊓ y ≤ y ⊓ x :=
by
  apply le_inf
  { apply inf_le_right }
  { apply inf_le_left }

-- 3ª demostración del lema auxiliar
example : x ⊓ y ≤ y ⊓ x :=
le_inf inf_le_right inf_le_left

-- 1ª demostración
example : x ⊓ y = y ⊓ x :=
by
  have h1 : x ⊓ y ≤ y ⊓ x :=
    aux x y
  have h2 : y ⊓ x ≤ x ⊓ y :=
    aux y x
  show x ⊓ y = y ⊓ x
  exact le_antisymm h1 h2

-- 2ª demostración
example : x ⊓ y = y ⊓ x :=
by
  apply le_antisymm
  { apply aux }
  { apply aux }

-- 3ª demostración
example : x ⊓ y = y ⊓ x :=
le_antisymm (aux x y) (aux y x)

-- 4ª demostración
example : x ⊓ y = y ⊓ x :=
by apply le_antisymm; simp ; simp

-- 5ª demostración
example : x ⊓ y = y ⊓ x :=
-- by apply?
inf_comm

-- Lemas usados
-- ============

-- #check (inf_comm : x ⊓ y = y ⊓ x)
-- #check (inf_le_left : x ⊓ y ≤ x)
-- #check (inf_le_right : x ⊓ y ≤ y)
-- #check (le_antisymm : x ≤ y → y ≤ x → x = y)
-- #check (le_inf : z ≤ x → z ≤ y → z ≤ x ⊓ y)

Demostraciones interactivas Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web. Referencias

J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 20.