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Título: En ℝ, si 1 ≤ a y b ≤ d, entonces 2 + a + eᵇ ≤ 3a + eᵈ
Autor: José A. Alonso
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Demostrar con Lean4 que si \(a\), \(b\) y \(d\) números reales tales que \(1 \leq a\) y \(b \leq d\), entonces \(2 + a + e^b \leq 3a + e^d\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Log.Basic
open Real
variable (a b d : ℝ)
example
(h1 : 1 ≤ a)
(h2 : b ≤ d)
: 2 + a + exp b ≤ 3 * a + exp d :=
by sorry
Demostración en lenguaje natural
[mathjax]
De la primera hipótesis (\(1 \leq a\)), multiplicando por \(2\), se obtiene
\[2 \leq 2a\]
y, sumando a ambos lados, se tiene
\[2 + a \leq 3a \tag{1}\]
De la hipótesis 2 (\(b \leq d\)) y de la monotonía de la función exponencial se tiene
\[e^b \leq e^d \tag{2} \]
Finalmente, de (1) y (2) se tiene
\[2 + a + e^b \leq 3a + e^d\]
Demostraciones con Lean4
import Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Log.Basic
open Real
variable (a b d : ℝ)
-- 1ª demostración
example
(h1 : 1 ≤ a)
(h2 : b ≤ d)
: 2 + a + exp b ≤ 3 * a + exp d :=
by
have h3 : 2 + a ≤ 3 * a := calc
2 + a = 2 * 1 + a := by linarith only []
_ ≤ 2 * a + a := by linarith only [h1]
_ ≤ 3 * a := by linarith only []
have h4 : exp b ≤ exp d := by
linarith only [exp_le_exp.mpr h2]
show 2 + a + exp b ≤ 3 * a + exp d
exact add_le_add h3 h4
-- 2ª demostración
example
(h1 : 1 ≤ a)
(h2 : b ≤ d)
: 2 + a + exp b ≤ 3 * a + exp d :=
calc
2 + a + exp b
≤ 3 * a + exp b := by linarith only [h1]
_ ≤ 3 * a + exp d := by linarith only [exp_le_exp.mpr h2]
-- 3ª demostración
example
(h1 : 1 ≤ a)
(h2 : b ≤ d)
: 2 + a + exp b ≤ 3 * a + exp d :=
by linarith [exp_le_exp.mpr h2]
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias