--- Título: Para cualquier conjunto s, s ⊆ s Autor: José A. Alonso --- Demostrar con Lean4 que para cualquier conjunto \\(s\\), \\(s ⊆ s\\). Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

variable {α : Type _}
variable (s : Set α)

example : s ⊆ s :=
by sorry

Demostración en lenguaje natural [mathjax] Tenemos que demostrar que \\[ (∀ x) [x ∈ s → × ∈ s] \\] Sea \\(x\\) tal que \\[ x ∈ s \\tag{1} \\] Entonces, por (1), se tiene que \\[ x ∈ s \\] que es lo que teníamos que demostrar. Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Tactic

variable {α : Type _}
variable (s : Set α)

-- 1ª demostración
example : s ⊆ s :=
by
  intro x xs
  exact xs

-- 2ª demostración
example : s ⊆ s :=
  fun (x : α) (xs : x ∈ s) ↦ xs

-- 3ª demostración
example : s ⊆ s :=
  fun _ xs ↦ xs

-- 4ª demostración
example : s ⊆ s :=
  -- by exact?
  rfl.subset

-- 5ª demostración
example : s ⊆ s :=
by rfl

Demostraciones interactivas Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web. Referencias

J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 27.