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Título: La suma de dos funciones pares es par
Autor:  José A. Alonso
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Demostrar con Lean4 que la suma de dos funciones pares es par.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

<pre lang="lean">
import Mathlib.Data.Real.Basic

variable (f g : ℝ → ℝ)

-- (esPar f) expresa que f es par.
def esPar (f : ℝ → ℝ) : Prop :=
  ∀ x, f x = f (-x)

example
  (h1 : esPar f)
  (h2 : esPar g)
  : esPar (f + g) :=
by sorry
</pre>
<!--more-->

<b>Demostración en lenguaje natural</b>

[mathjax]
Supongamos que \\(f\\) y \\(g\\) son funciones pares. Tenemos que demostrar que \\(f+g\\) es par; es decir, que
\\[ (∀ x ∈ ℝ) [(f + g)(x) = (f + g)(-x)] \\]
Sea \\(x ∈ ℝ\\). Entonces,
\\begin{align}
   (f + g) x &= f(x) + g(x)   \\\\
             &= f(-x) + g(x)  &&\\text{[porque \\(f\\) es par]} \\\\
             &= f(-x) + g(-x) &&\\text{[porque \\(g\\) es par]} \\\\
             &= (f + g)(-x)
\\end{align}

<b>Demostraciones con Lean4</b>

<pre lang="lean">
import Mathlib.Data.Real.Basic

variable (f g : ℝ → ℝ)

-- (esPar f) expresa que f es par.
def esPar (f : ℝ → ℝ) : Prop :=
  ∀ x, f x = f (-x)

-- 1ª demostración
-- ===============

example
  (h1 : esPar f)
  (h2 : esPar g)
  : esPar (f + g) :=
by
  intro x
  have h1 : f x = f (-x) := h1 x
  have h2 : g x = g (-x) := h2 x
  calc (f + g) x
       = f x + g x       := rfl
     _ = f (-x) + g x    := congrArg (. + g x) h1
     _ = f (-x) + g (-x) := congrArg (f (-x) + .) h2
     _ = (f + g) (-x)    := rfl

-- 2ª demostración
-- ===============

example
  (h1 : esPar f)
  (h2 : esPar g)
  : esPar (f + g) :=
by
  intro x
  calc (f + g) x
       = f x + g x       := rfl
     _ = f (-x) + g x    := congrArg (. + g x) (h1 x)
     _ = f (-x) + g (-x) := congrArg (f (-x) + .) (h2 x)
     _ = (f + g) (-x)    := rfl

-- 3ª demostración
-- ===============

example
  (h1 : esPar f)
  (h2 : esPar g)
  : esPar (f + g) :=
by
  intro x
  calc (f + g) x
       = f x + g x       := rfl
     _ = f (-x) + g (-x) := by rw [h1, h2]
     _ = (f + g) (-x)    := rfl
</pre>

<b>Demostraciones interactivas</b>

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en <a href="https://live.lean-lang.org/#url=https://raw.githubusercontent.com/jaalonso/Calculemus2/main/src/Suma_funciones_pares.lean" rel="noopener noreferrer" target="_blank">Lean 4 Web</a>.

<b>Referencias</b>

<ul>
<li> J. Avigad y P. Massot. <a href="https://bit.ly/3U4UjBk">Mathematics in Lean</a>, p. 26.</li>
</ul>