{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Les matrices de rotations permettent de calculer des mouvements dans l'espace en changeant de référentiel. Pour cela, on effectue une rotation centrée sur l'origine de notre repère.\n",
    "Voyons un exemple :\n",
    "J'ai le vecteur A, x=5 et y=3. Je fais effectuer une rotation de 35° à ce vecteur et je veux connaitre ses nouveaux coordonnées dans l'espace ? "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Tout d'abord nous allons avoir besoin des fonctions mathématiques de base."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 1,
   "metadata": {
    "collapsed": true
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "import numpy as np\n",
    "from math import *"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Ensuite, nous pouvons utiliser les matrices de rotations pour connaitre les nouveaux coordonnés."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 2,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "[[ 2.37503091]\n",
      " [ 5.32533831]]\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "a = radians(35)\n",
    "Rot = np.mat([[cos(a),-sin(a)], [sin(a),cos(a)]])\n",
    "A = np.mat([[5],[3]])\n",
    "A_rotate = Rot*A\n",
    "print A_rotate"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Les nouveaux coordonnées de notre vecteur sont x=2,37..   et  y=5,32.."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Il faut bien comprendre qu'une rotation d'un vecteur selon un angle alpha est exactement identique a effectuer une rotation du repère selon un angle -alpha. En effet, soit vous laisser le repère fixe est vous faîte tourner le vecteur de 35°, soit vous laisser le repère fixe et vous tourner le repère de -35°, le résultat de l'un par rapport à l'autre est strictement identique.\n",
    "Cela veut dire que lorsque j'ai un vecteur A dans un repère XY, je peux connaitre les coordonnées de ce même vecteur dans le repère XY' résultat d'une rotation du repère XY.\n",
    "Voyons un exemple :\n",
    "J'ai le vecteur A, x=5 et y=3. J'effectue une rotation du repère de 70°, je desire connaitre les coordonnées de A dans le nouveau repère ?\n",
    "La rotation de mon repère de 70° est équivalente à une rotation du vecteur de -70°."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 25,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "[[ 4.52917858]\n",
      " [-3.67240267]]\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "a = radians(-70)\n",
    "Rot = np.mat([[cos(a),-sin(a)], [sin(a),cos(a)]])\n",
    "A = np.mat([[5],[3]])\n",
    "A_rotate = Rot*A\n",
    "print A_rotate"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Les coordonnées de notre vecteur dans le nouveau repère sont x=4,5..  et y=-3,67.."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "La même technique s'applique pour des modifications de repère dans l'espace. Il faut alors utiliser les matrices de rotation en 3 dimensions. Vous pouvez trouver ces matrices [ici](http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_de_rotation) "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Imaginons un exemple avec un vecteur déplacement U (2,4,9). Le repère subit 3 rotations suivant les axes x, y et z de 30° autour de l'axe x puis de 40° autour de l'axe y et enfin de 50° autour de l'axe z. Qu'elle sont les coordonnées du vecteur U dans le nouveau repère ?"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 3,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "[[ 5.82509129]\n",
      " [ 5.33050168]\n",
      " [ 6.2172392 ]]\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "U = np.mat([[2],[4],[9]])\n",
    "a = radians(30)\n",
    "b = radians(40)\n",
    "g = radians(50)\n",
    "Rx = np.mat([[1,0,0], [0,cos(a),-sin(a)], [0,sin(a),cos(a)]])\n",
    "Ry = np.mat([[cos(b),0,sin(b)], [0,1,0], [-sin(b),0,cos(b)]])\n",
    "Rz = np.mat([[cos(g),-sin(g),0], [sin(g),cos(g),0], [0,0,1]])\n",
    "Rot = Rz*Ry*Rx\n",
    "U_rotate = Rot*U\n",
    "print U_rotate"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": true
   },
   "outputs": [],
   "source": []
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 2",
   "language": "python",
   "name": "python2"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 2
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython2",
   "version": "2.7.9"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 0
}