# 动态规划之正则表达
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读完本文，你不仅学会了算法套路，还可以顺便解决如下题目：
| LeetCode | 力扣 | 难度 |
| :----: | :----: | :----: |
| [10. Regular Expression Matching](https://leetcode.com/problems/regular-expression-matching/) | [10. 正则表达式匹配](https://leetcode.cn/problems/regular-expression-matching/) | 🔴
| - | [剑指 Offer 19. 正则表达式匹配](https://leetcode.cn/problems/zheng-ze-biao-da-shi-pi-pei-lcof/) | 🔴
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正则表达式是一个非常强力的工具，本文就来具体看一看正则表达式的底层原理是什么。力扣第 10 题「正则表达式匹配」就要求我们实现一个简单的正则匹配算法，包括「.」通配符和「*」通配符。
这两个通配符是最常用的，其中点号「.」可以匹配任意一个字符，星号「*」可以让之前的那个字符重复任意次数（包括 0 次）。
比如说模式串 `".a*b"` 就可以匹配文本 `"zaaab"`，也可以匹配 `"cb"`；模式串 `"a..b"` 可以匹配文本 `"amnb"`；而模式串 `".*"` 就比较牛逼了，它可以匹配任何文本。
题目会给我们输入两个字符串 `s` 和 `p`，`s` 代表文本，`p` 代表模式串，请你判断模式串 `p` 是否可以匹配文本 `s`。我们可以假设模式串只包含小写字母和上述两种通配符且一定合法，不会出现 `*a` 或者 `b**` 这种不合法的模式串，
函数签名如下：
```cpp
bool isMatch(string s, string p);
```
对于我们将要实现的这个正则表达式，难点在那里呢？
点号通配符其实很好实现，`s` 中的任何字符，只要遇到 `.` 通配符，无脑匹配就完事了。主要是这个星号通配符不好实现，一旦遇到 `*` 通配符，前面的那个字符可以选择重复一次，可以重复多次，也可以一次都不出现，这该怎么办？
对于这个问题，答案很简单，对于所有可能出现的情况，全部穷举一遍，只要有一种情况可以完成匹配，就认为 `p` 可以匹配 `s`。那么一旦涉及两个字符串的穷举，我们就应该条件反射地想到动态规划的技巧了。
### 一、思路分析
我们先脑补一下，`s` 和 `p` 相互匹配的过程大致是，两个指针 `i, j` 分别在 `s` 和 `p` 上移动，如果最后两个指针都能移动到字符串的末尾，那么久匹配成功，反之则匹配失败。
**如果不考虑 `*` 通配符，面对两个待匹配字符 `s[i]` 和 `p[j]`，我们唯一能做的就是看他俩是否匹配**：
```cpp
bool isMatch(string s, string p) {
int i = 0, j = 0;
while (i < s.size() && j < p.size()) {
// 「.」通配符就是万金油
if (s[i] == p[j] || p[j] == '.') {
// 匹配，接着匹配 s[i+1..] 和 p[j+1..]
i++; j++;
} else {
// 不匹配
return false;
}
}
return i == j;
}
```
那么考虑一下，如果加入 `*` 通配符，局面就会稍微复杂一些，不过只要分情况来分析，也不难理解。
**当 `p[j + 1]` 为 `*` 通配符时，我们分情况讨论下**：
1、如果 `s[i] == p[j]`，那么有两种情况：
1.1 `p[j]` 有可能会匹配多个字符，比如 `s = "aaa", p = "a*"`，那么 `p[0]` 会通过 `*` 匹配 3 个字符 `"a"`。
1.2 `p[i]` 也有可能匹配 0 个字符，比如 `s = "aa", p = "a*aa"`，由于后面的字符可以匹配 `s`，所以 `p[0]` 只能匹配 0 次。
2、如果 `s[i] != p[j]`，只有一种情况：
`p[j]` 只能匹配 0 次，然后看下一个字符是否能和 `s[i]` 匹配。比如说 `s = "aa", p = "b*aa"`，此时 `p[0]` 只能匹配 0 次。
综上，可以把之前的代码针对 `*` 通配符进行一下改造：
```cpp
if (s[i] == p[j] || p[j] == '.') {
// 匹配
if (j < p.size() - 1 && p[j + 1] == '*') {
// 有 * 通配符，可以匹配 0 次或多次
} else {
// 无 * 通配符，老老实实匹配 1 次
i++; j++;
}
} else {
// 不匹配
if (j < p.size() - 1 && p[j + 1] == '*') {
// 有 * 通配符，只能匹配 0 次
} else {
// 无 * 通配符，匹配无法进行下去了
return false;
}
}
```
整体的思路已经很清晰了，但现在的问题是，遇到 `*` 通配符时，到底应该匹配 0 次还是匹配多次？多次是几次？
你看，这就是一个做「选择」的问题，要把所有可能的选择都穷举一遍才能得出结果。动态规划算法的核心就是「状态」和「选择」，**「状态」无非就是 `i` 和 `j` 两个指针的位置，「选择」就是 `p[j]` 选择匹配几个字符**。
### 二、动态规划解法
根据「状态」，我们可以定义一个 `dp` 函数：
```cpp
bool dp(string& s, int i, string& p, int j);
```
引用本文的文章
- [最优子结构原理和 dp 数组遍历方向](https://labuladong.online/algo/fname.html?fname=最优子结构)
- [经典动态规划：编辑距离](https://labuladong.online/algo/fname.html?fname=编辑距离)
引用本文的题目
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======其他语言代码======
### javascript
[10.正则表达式匹配](https://leetcode-cn.com/problems/regular-expression-matching/)
```js
var isMatch = function (s, p) {
// 备忘录
let memo = {}
let dp = function (s, i, p, j) {
let m = s.length, n = p.length;
// base case
if (j === n) {
return i === m;
}
if (i === m) {
if ((n - j) % 2 === 1) {
return false;
}
for (; j + 1 < n; j += 2) {
if (p[j + 1] !== '*') {
return false;
}
}
return true;
}
// 记录状态（i，j），消除重叠子问题
let key = i + ',' + j
if (memo[key] !== undefined) {
return memo[key];
}
let res = false;
if (s[i] === p[j] || p[j] === '.') {
// 匹配
if (j < n - 1 && p[j + 1] === '*') {
// 1.1 通配符匹配 0 次或多次
res = dp(s, i, p, j + 2) || dp(s, i + 1, p, j);
} else {
// 1.2 常规匹配1次
res = dp(s, i + 1, p, j + 1);
}
} else {
// 不匹配
if (j < n - 1 && p[j + 1] === '*') {
// 2.1 通配符匹配0次
res = dp(s, i, p, j + 2)
} else {
// 2.2 无法继续匹配
res = false
}
}
// 将当前结果记入备忘录
memo[key] = res;
return res;
}
// 指针 i，j 从索引 0 开始移动
return dp(s, 0, p, 0);
};
```
### C++
```c++
class Solution {
public:
map memo;
bool isMatch(string s, string p) {
// 指针 i，j 从索引 0 开始移动
return dp(s, 0, p, 0);
}
/* 计算 p[j..] 是否匹配 s[i..] */
bool dp(string& s, int i, string& p, int j) {
int m = s.size(), n = p.size();
// base case
if (j == n) {
return i == m;
}
if (i == m) {
if ((n - j) % 2 == 1) {
return false;
}
for (; j + 1 < n; j += 2) {
if (p[j + 1] != '*') {
return false;
}
}
return true;
}
// 记录状态 (i, j)，消除重叠子问题
string key = to_string(i) + "," + to_string(j);
if (memo.count(key)) return memo[key];
bool res = false;
if (s[i] == p[j] || p[j] == '.') {
if (j < n - 1 && p[j + 1] == '*') {
res = dp(s, i, p, j + 2)
|| dp(s, i + 1, p, j);
} else {
res = dp(s, i + 1, p, j + 1);
}
} else {
if (j < n - 1 && p[j + 1] == '*') {
res = dp(s, i, p, j + 2);
} else {
res = false;
}
}
// 将当前结果记入备忘录
memo[key] = res;
return res;
}
};
```
