# 常用的位操作
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读完本文，你不仅学会了算法套路，还可以顺便解决如下题目：
| LeetCode | 力扣 | 难度 |
| :----: | :----: | :----: |
| [136. Single Number](https://leetcode.com/problems/single-number/) | [136. 只出现一次的数字](https://leetcode.cn/problems/single-number/) | 🟢 |
| [191. Number of 1 Bits](https://leetcode.com/problems/number-of-1-bits/) | [191. 位1的个数](https://leetcode.cn/problems/number-of-1-bits/) | 🟢 |
| [231. Power of Two](https://leetcode.com/problems/power-of-two/) | [231. 2 的幂](https://leetcode.cn/problems/power-of-two/) | 🟢 |
| [268. Missing Number](https://leetcode.com/problems/missing-number/) | [268. 丢失的数字](https://leetcode.cn/problems/missing-number/) | 🟢 |
**-----------**
位操作（Bit Manipulation）可以有很多技巧，有一个叫做 Bit Twiddling Hacks 的网站收集了几乎所有位操作的黑科技玩法，网址如下：
http://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html
但是这些技巧大部分都过于晦涩，我觉得可以作为字典查阅，没必要逐条深究。但我认为那些有趣的、有用的位运算技巧，是我们每个人需要掌握的。
所以本文由浅入深，先展示几个有趣（但没卵用）的位运算技巧，然后再汇总一些在算法题以及工程开发中常用的位运算技巧。
## 一、几个有趣的位操作
```java
// 1. 利用或操作 `|` 和空格将英文字符转换为小写
('a' | ' ') = 'a'
('A' | ' ') = 'a'
// 2. 利用与操作 `&` 和下划线将英文字符转换为大写
('b' & '_') = 'B'
('B' & '_') = 'B'
// 3. 利用异或操作 `^` 和空格进行英文字符大小写互换
('d' ^ ' ') = 'D'
('D' ^ ' ') = 'd'
// 以上操作能够产生奇特效果的原因在于 ASCII 编码
// ASCII 字符其实就是数字，恰巧空格和下划线对应的数字通过位运算就能改变大小写
// 有兴趣的读者可以查 ASCII 码表自己算算，我就不展开讲了
// 4. 不用临时变量交换两个数
int a = 1, b = 2;
a ^= b;
b ^= a;
a ^= b;
// 现在 a = 2, b = 1
// 5. 加一
int n = 1;
n = -~n;
// 现在 n = 2
// 6. 减一
int n = 2;
n = ~-n;
// 现在 n = 1
// 7. 判断两个数是否异号
int x = -1, y = 2;
boolean f = ((x ^ y) < 0); // true
int x = 3, y = 2;
boolean f = ((x ^ y) < 0); // false
```
如果说前 6 个技巧的用处不大，这第 7 个技巧还是比较实用的，利用的是**补码编码**的符号位。整数编码最高位是符号位，负数的符号位是 1，非负数的符号位是 0，再借助异或的特性，可以判断出两个数字是否异号。
当然，如果不用位运算来判断是否异号，需要使用 if else 分支，还挺麻烦的。你可能想利用乘积来判断两个数是否异号，但是这种处理方式容易造成整型溢出，从而出现错误。
## `index & (arr.length - 1)` 的运用
我在 [单调栈解题套路](https://labuladong.online/algo/data-structure/monotonic-stack/) 中介绍过环形数组，其实就是利用求模（余数）的方式让数组看起来头尾相接形成一个环形，永远都走不完：
```java
int[] arr = {1,2,3,4};
int index = 0;
while (true) {
// 在环形数组中转圈
print(arr[index % arr.length]);
index++;
}
// 输出：1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4...
```
但模运算 `%` 对计算机来说其实是一个比较昂贵的操作，所以我们可以用 `&` 运算来求余数：
```java
int[] arr = {1,2,3,4};
int index = 0;
while (true) {
// 在环形数组中转圈
print(arr[index & (arr.length - 1)]);
index++;
}
// 输出：1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4...
```
> [!IMPORTANT]
> 注意这个技巧只适用于数组长度是 2 的幂次方的情况，比如 2、4、8、16、32 以此类推。至于如何将数组长度扩展为 2 的幂次方，这也是有比较巧妙的位运算算法的，可以参考 https://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html#RoundUpPowerOf2
简单说，`& (arr.length - 1)` 这个位运算能够替代 `% arr.length` 的模运算，性能会更好一些。
那问题来了，现在是不断地 `index++`，你做到了循环遍历。但如果不断地 `index--`，还能做到环形数组的效果吗？
答案是，如果你使用 `%` 求模的方式，那么当 `index` 小于 0 之后求模的结果也会出现负数，你需要特殊处理。但通过 `&` 与运算的方式，`index` 不会出现负数，依然可以正常工作：
```java
int[] arr = {1,2,3,4};
int index = 0;
while (true) {
// 在环形数组中转圈
print(arr[index & (arr.length - 1)]);
index--;
}
// 输出：1,4,3,2,1,4,3,2,1,4,3,2,1...
```
我们自己写代码一般用不到这个技巧，但在学习一些其他代码库时可能会经常看到，这里留个印象，到时候就不会懵逼了。
## `n & (n-1)` 的运用
**`n & (n-1)` 这个操作在算法中比较常见，作用是消除数字 `n` 的二进制表示中的最后一个 1**。
看个图就很容易理解了：
其核心逻辑就是，`n - 1` 一定可以消除最后一个 1，同时把其后的 0 都变成 1，这样再和 `n` 做一次 `&` 运算，就可以仅仅把最后一个 1 变成 0 了。
### 计算汉明权重（Hamming Weight）
这是力扣第 191 题「位 1 的个数」：
就是让你返回 `n` 的二进制表示中有几个 1。因为 `n & (n - 1)` 可以消除最后一个 1，所以可以用一个循环不停地消除 1 同时计数，直到 `n` 变成 0 为止。
```java
int hammingWeight(int n) {
int res = 0;
while (n != 0) {
n = n & (n - 1);
res++;
}
return res;
}
```
### 判断 2 的指数
力扣第 231 题「2 的幂」就是这个问题。
一个数如果是 2 的指数，那么它的二进制表示一定只含有一个 1：
```java
2^0 = 1 = 0b0001
2^1 = 2 = 0b0010
2^2 = 4 = 0b0100
```
如果使用 `n & (n-1)` 的技巧就很简单了（注意运算符优先级，括号不可以省略）：
```java
boolean isPowerOfTwo(int n) {
if (n <= 0) return false;
return (n & (n - 1)) == 0;
}
```
## `a ^ a = 0` 的运用
异或运算的性质是需要我们牢记的：
一个数和它本身做异或运算结果为 0，即 `a ^ a = 0`；一个数和 0 做异或运算的结果为它本身，即 `a ^ 0 = a`。
### 查找只出现一次的元素
这是力扣第 136 题「只出现一次的数字」：
对于这道题目，我们只要把所有数字进行异或，成对儿的数字就会变成 0，落单的数字和 0 做异或还是它本身，所以最后异或的结果就是只出现一次的元素：
```java
int singleNumber(int[] nums) {
int res = 0;
for (int n : nums) {
res ^= n;
}
return res;
}
```
### 寻找缺失的元素
这是力扣第 268 题「丢失的数字」：
给一个长度为 `n` 的数组，其索引应该在 `[0,n)`，但是现在你要装进去 `n + 1` 个元素 `[0,n]`，那么肯定有一个元素装不下嘛，请你找出这个缺失的元素。
这道题不难的，我们应该很容易想到，把这个数组排个序，然后遍历一遍，不就很容易找到缺失的那个元素了吗？
或者说，借助数据结构的特性，用一个 HashSet 把数组里出现的数字都储存下来，再遍历 `[0,n]` 之间的数字，去 HashSet 中查询，也可以很容易查出那个缺失的元素。
排序解法的时间复杂度是 O(NlogN)，HashSet 的解法时间复杂度是 O(N)，但是还需要 O(N) 的空间复杂度存储 HashSet。
这个问题其实还有一个特别简单的解法：等差数列求和公式。
题目的意思可以这样理解：现在有个等差数列 `0, 1, 2,..., n`，其中少了某一个数字，请你把它找出来。那这个数字不就是 `sum(0,1,..n) - sum(nums)` 嘛？
```java
int missingNumber(int[] nums) {
int n = nums.length;
// 虽然题目给的数据范围不大，但严谨起见，用 long 类型防止整型溢出
// 求和公式：(首项 + 末项) * 项数 / 2
long expect = (0 + n) * (n + 1) / 2;
long sum = 0;
for (int x : nums) {
sum += x;
}
return (int)(expect - sum);
}
```
不过，本文的主题是位运算，我们来讲讲如何利用位运算技巧来解决这道题。
再回顾一下异或运算的性质：一个数和它本身做异或运算结果为 0，一个数和 0 做异或运算还是它本身。
而且异或运算满足交换律和结合律，也就是说：
```java
2 ^ 3 ^ 2 = 3 ^ (2 ^ 2) = 3 ^ 0 = 3
```
而这道题索就可以通过这些性质巧妙算出缺失的那个元素，比如说 `nums = [0,3,1,4]`：
为了容易理解，我们假设先把索引补一位，然后让每个元素和自己相等的索引相对应：
这样做了之后，就可以发现除了缺失元素之外，所有的索引和元素都组成一对儿了，现在如果把这个落单的索引 2 找出来，也就找到了缺失的那个元素。
如何找这个落单的数字呢，**只要把所有的元素和索引做异或运算，成对儿的数字都会消为 0，只有这个落单的元素会剩下**，也就达到了我们的目的：
```java
class Solution {
public int missingNumber(int[] nums) {
int n = nums.length;
int res = 0;
// 先和新补的索引异或一下
res ^= n;
// 和其他的元素、索引做异或
for (int i = 0; i < n; i++)
res ^= i ^ nums[i];
return res;
}
}
```
由于异或运算满足交换律和结合律，所以总是能把成对儿的数字消去，留下缺失的那个元素。
到这里，常见的位运算差不多都讲完了。这些技巧就是会者不难难者不会，也不需要死记硬背，只要有个印象就完全够用了。
引用本文的文章
- [【强化练习】哈希表更多习题](https://labuladong.online/algo/problem-set/hash-table/)
- [【强化练习】用「遍历」思维解题 I](https://labuladong.online/algo/problem-set/binary-tree-traverse-i/)
- [一文秒杀所有丑数系列问题](https://labuladong.online/algo/frequency-interview/ugly-number-summary/)
- [如何同时寻找缺失和重复的元素](https://labuladong.online/algo/frequency-interview/mismatch-set/)
引用本文的题目
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| LeetCode | 力扣 | 难度 |
| :----: | :----: | :----: |
| [1457. Pseudo-Palindromic Paths in a Binary Tree](https://leetcode.com/problems/pseudo-palindromic-paths-in-a-binary-tree/?show=1) | [1457. 二叉树中的伪回文路径](https://leetcode.cn/problems/pseudo-palindromic-paths-in-a-binary-tree/?show=1) | 🟠 |
| [389. Find the Difference](https://leetcode.com/problems/find-the-difference/?show=1) | [389. 找不同](https://leetcode.cn/problems/find-the-difference/?show=1) | 🟢 |
| - | [剑指 Offer 15. 二进制中1的个数](https://leetcode.cn/problems/er-jin-zhi-zhong-1de-ge-shu-lcof/?show=1) | 🟢 |
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