# 接雨水问题详解
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读完本文，你不仅学会了算法套路，还可以顺便解决如下题目：
| LeetCode | 力扣 | 难度 |
| :----: | :----: | :----: |
| [11. Container With Most Water](https://leetcode.com/problems/container-with-most-water/) | [11. 盛最多水的容器](https://leetcode.cn/problems/container-with-most-water/) | 🟠
| [42. Trapping Rain Water](https://leetcode.com/problems/trapping-rain-water/) | [42. 接雨水](https://leetcode.cn/problems/trapping-rain-water/) | 🔴
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力扣第 42 题「接雨水」挺有意思，在面试题中出现频率还挺高的，本文就来步步优化，讲解一下这道题。
先看一下题目：
就是用一个数组表示一个条形图，问你这个条形图最多能接多少水。
```java
int trap(int[] height);
```
下面就来由浅入深介绍暴力解法 -> 备忘录解法 -> 双指针解法，在 O(N) 时间 O(1) 空间内解决这个问题。
### 一、核心思路
所以对于这种问题，我们不要想整体，而应该去想局部；就像之前的文章写的动态规划问题处理字符串问题，不要考虑如何处理整个字符串，而是去思考应该如何处理每一个字符。
这么一想，可以发现这道题的思路其实很简单。具体来说，仅仅对于位置 `i`，能装下多少水呢？
能装 2 格水，因为 `height[i]` 的高度为 0，而这里最多能盛 2 格水，2-0=2。
为什么位置 `i` 最多能盛 2 格水呢？因为，位置 `i` 能达到的水柱高度和其左边的最高柱子、右边的最高柱子有关，我们分别称这两个柱子高度为 `l_max` 和 `r_max`；**位置 i 最大的水柱高度就是 `min(l_max, r_max)`**。
更进一步，对于位置 `i`，能够装的水为：
```python
water[i] = min(
# 左边最高的柱子
max(height[0..i]),
# 右边最高的柱子
max(height[i..end])
) - height[i]
```
这就是本问题的核心思路，我们可以简单写一个暴力算法：
```java
int trap(int[] height) {
int n = height.length;
int res = 0;
for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
int l_max = 0, r_max = 0;
// 找右边最高的柱子
for (int j = i; j < n; j++)
r_max = Math.max(r_max, height[j]);
// 找左边最高的柱子
for (int j = i; j >= 0; j--)
l_max = Math.max(l_max, height[j]);
// 如果自己就是最高的话，
// l_max == r_max == height[i]
res += Math.min(l_max, r_max) - height[i];
}
return res;
}
```
有之前的思路，这个解法应该是很直接粗暴的，时间复杂度 O(N^2)，空间复杂度 O(1)。但是很明显这种计算 `r_max` 和 `l_max` 的方式非常笨拙，一般的优化方法就是备忘录。
### 二、备忘录优化
之前的暴力解法，不是在每个位置 `i` 都要计算 `r_max` 和 `l_max` 吗？我们直接把结果都提前计算出来，别傻不拉几的每次都遍历，这时间复杂度不就降下来了嘛。
**我们开两个数组 `r_max` 和 `l_max` 充当备忘录，`l_max[i]` 表示位置 `i` 左边最高的柱子高度，`r_max[i]` 表示位置 `i` 右边最高的柱子高度**。预先把这两个数组计算好，避免重复计算：
```java
class Solution {
int trap(int[] height) {
if (height.length == 0) {
return 0;
}
int n = height.length;
int res = 0;
// 数组充当备忘录
int[] l_max = new int[n];
int[] r_max = new int[n];
// 初始化 base case
l_max[0] = height[0];
r_max[n - 1] = height[n - 1];
// 从左向右计算 l_max
for (int i = 1; i < n; i++)
l_max[i] = Math.max(height[i], l_max[i - 1]);
// 从右向左计算 r_max
for (int i = n - 2; i >= 0; i--)
r_max[i] = Math.max(height[i], r_max[i + 1]);
// 计算答案
for (int i = 1; i < n - 1; i++)
res += Math.min(l_max[i], r_max[i]) - height[i];
return res;
}
}
```
这个优化其实和暴力解法思路差不多，就是避免了重复计算，把时间复杂度降低为 O(N)，已经是最优了，但是空间复杂度是 O(N)。下面来看一个精妙一些的解法，能够把空间复杂度降低到 O(1)。
### 三、双指针解法
::: note 我的建议
这个解法作为思路拓展，看看就好，不必过于执着最优解。因为对于大部分人，在真实的面试/笔试中，能够使用朴实无华的方法见招拆招，写出上面的解法就可以了。虽然多了一些空间复杂度，但一般判题平台还是能过的。
除非过不了所有测试用例，且你写完了其他题目还有富余的时间，再花时间针对上面的解法进行优化也不迟。
:::
这种解法的思路是完全相同的，但在实现手法上非常巧妙，我们这次也不要用备忘录提前计算了，而是用双指针**边走边算**，节省下空间复杂度。
首先，看一部分代码：
```java
int trap(int[] height) {
int left = 0, right = height.length - 1;
int l_max = 0, r_max = 0;
while (left < right) {
l_max = Math.max(l_max, height[left]);
r_max = Math.max(r_max, height[right]);
// 此时 l_max 和 r_max 分别表示什么？
left++; right--;
}
}
```
对于这部分代码，请问 `l_max` 和 `r_max` 分别表示什么意义呢？
很容易理解，**`l_max` 是 `height[0..left]` 中最高柱子的高度，`r_max` 是 `height[right..end]` 的最高柱子的高度**。
明白了这一点，直接看解法：
```java
class Solution {
int trap(int[] height) {
int left = 0, right = height.length - 1;
int l_max = 0, r_max = 0;
int res = 0;
while (left < right) {
l_max = Math.max(l_max, height[left]);
r_max = Math.max(r_max, height[right]);
// res += min(l_max, r_max) - height[i]
if (l_max < r_max) {
res += l_max - height[left];
left++;
} else {
res += r_max - height[right];
right--;
}
}
return res;
}
}
```
你看，其中的核心思想和之前一模一样，换汤不换药。但是细心的读者可能会发现次解法还是有点细节差异：
之前的备忘录解法，`l_max[i]` 和 `r_max[i]` 分别代表 `height[0..i]` 和 `height[i..end]` 的最高柱子高度。
```java
res += Math.min(l_max[i], r_max[i]) - height[i];
```
但是双指针解法中，`l_max` 和 `r_max` 代表的是 `height[0..left]` 和 `height[right..end]` 的最高柱子高度。比如这段代码：
```java
if (l_max < r_max) {
res += l_max - height[left];
left++;
}
```
此时的 `l_max` 是 `left` 指针左边的最高柱子，但是 `r_max` 并不一定是 `left` 指针右边最高的柱子，这真的可以得到正确答案吗？
其实这个问题要这么思考，我们只在乎 `min(l_max, r_max)`。**对于上图的情况，我们已经知道 `l_max < r_max` 了，至于这个 `r_max` 是不是右边最大的，不重要。重要的是 `height[i]` 能够装的水只和较低的 `l_max` 之差有关**：
这样，接雨水问题就解决了。
### 扩展延伸
下面我们看一道和接雨水问题非常类似的题目，力扣第 11 题「盛最多水的容器」：
函数签名如下：
```java
int maxArea(int[] height);
```
这题和接雨水问题很类似，可以完全套用前文的思路，而且还更简单。两道题的区别在于：
**接雨水问题给出的类似一幅直方图，每个横坐标都有宽度，而本题给出的每个横坐标是一条竖线，没有宽度**。
我们前文讨论了半天 `l_max` 和 `r_max`，实际上都是为了计算 `height[i]` 能够装多少水；而本题中 `height[i]` 没有了宽度，那自然就好办多了。
举个例子，如果在接雨水问题中，你知道了 `height[left]` 和 `height[right]` 的高度，你能算出 `left` 和 `right` 之间能够盛下多少水吗？
不能，因为你不知道 `left` 和 `right` 之间每个柱子具体能盛多少水，你得通过每个柱子的 `l_max` 和 `r_max` 来计算才行。
反过来，就本题而言，你知道了 `height[left]` 和 `height[right]` 的高度，能算出 `left` 和 `right` 之间能够盛下多少水吗？
可以，因为本题中竖线没有宽度，所以 `left` 和 `right` 之间能够盛的水就是：
```python
min(height[left], height[right]) * (right - left)
```
类似接雨水问题，高度是由 `height[left]` 和 `height[right]` 较小的值决定的。
解决这道题的思路依然是双指针技巧：
**用 `left` 和 `right` 两个指针从两端向中心收缩，一边收缩一边计算 `[left, right]` 之间的矩形面积，取最大的面积值即是答案**。
先直接看解法代码吧：
```java
class Solution {
public int maxArea(int[] height) {
int left = 0, right = height.length - 1;
int res = 0;
while (left < right) {
// [left, right] 之间的矩形面积
int cur_area = Math.min(height[left], height[right]) * (right - left);
res = Math.max(res, cur_area);
// 双指针技巧，移动较低的一边
if (height[left] < height[right]) {
left++;
} else {
right--;
}
}
return res;
}
}
```
代码和接雨水问题大致相同，不过肯定有读者会问，下面这段 if 语句为什么要移动较低的一边：
```java
// 双指针技巧，移动较低的一边
if (height[left] < height[right]) {
left++;
} else {
right--;
}
```
**其实也好理解，因为矩形的高度是由 `min(height[left], height[right])` 即较低的一边决定的**：
你如果移动较低的那一边，那条边可能会变高，使得矩形的高度变大，进而就「有可能」使得矩形的面积变大；相反，如果你去移动较高的那一边，矩形的高度是无论如何都不会变大的，所以不可能使矩形的面积变得更大。
至此，这道题也解决了。
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======其他语言代码======
[42.接雨水](https://leetcode-cn.com/problems/trapping-rain-water)
### java
[Yifan Zhang](https://github.com/FanFan0919) 提供 java 代码
**双指针解法**：时间复杂度 O(N)，空间复杂度 O(1)
对cpp版本的解法有非常微小的优化。
因为我们每次循环只会选 left 或者 right 处的柱子来计算，因此我们并不需要在每次循环中同时更新`maxLeft`和`maxRight`。
我们可以先比较 `maxLeft` 和 `maxRight`，决定这次选择计算的柱子是 `height[left]` 或者 `height[right]` 后再更新对应的 `maxLeft` 或 `maxRight`。
当然这并不会在时间上带来什么优化，只是提供一种思路。
```java
class Solution {
public int trap(int[] height) {
if (height == null || height.length == 0) return 0;
int left = 0, right = height.length - 1;
int maxLeft = height[left], maxRight = height[right];
int res = 0;
while (left < right) {
// 比较 maxLeft 和 maxRight，决定这次计算 left 还是 right 处的柱子
if (maxLeft < maxRight) {
left++;
maxLeft = Math.max(maxLeft, height[left]); // update maxLeft
res += maxLeft - height[left];
} else {
right--;
maxRight = Math.max(maxRight, height[right]); // update maxRight
res += maxRight - height[right];
}
}
return res;
}
}
```
附上暴力解法以及备忘录解法的 java 代码
**暴力解法**：时间复杂度 O(N^2)，空间复杂度 O(1)
```java
class Solution {
public int trap(int[] height) {
if (height == null || height.length == 0) return 0;
int n = height.length;
int res = 0;
// 跳过最左边和最右边的柱子，从第二个柱子开始
for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
int maxLeft = 0, maxRight = 0;
// 找右边最高的柱子
for (int j = i; j < n; j++) {
maxRight = Math.max(maxRight, height[j]);
}
// 找左边最高的柱子
for (int j = i; j >= 0; j--) {
maxLeft = Math.max(maxLeft, height[j]);
}
// 如果自己就是最高的话，
// maxLeft == maxRight == height[i]
res += Math.min(maxLeft, maxRight) - height[i];
}
return res;
}
}
```
**备忘录解法**：时间复杂度 O(N)，空间复杂度 O(N)
```java
class Solution {
public int trap(int[] height) {
if (height == null || height.length == 0) return 0;
int n = height.length;
int res = 0;
// 数组充当备忘录
int[] maxLeft = new int[n];
int[] maxRight = new int[n];
// 初始化 base case
maxLeft[0] = height[0];
maxRight[n - 1] = height[n - 1];
// 从左向右计算 maxLeft
for (int i = 1; i < n; i++) {
maxLeft[i] = Math.max(maxLeft[i - 1], height[i]);
}
// 从右向左计算 maxRight
for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
maxRight[i] = Math.max(maxRight[i + 1], height[i]);
}
// 计算答案
for (int i = 1; i < n; i++) {
res += Math.min(maxLeft[i], maxRight[i]) - height[i];
}
return res;
}
}
```
### javascript
**暴力解法**
```js
/**
* @param {number[]} height
* @return {number}
*/
var trap = function (height) {
let n = height.length;
let res = 0;
for (let i = 1; i <= n - 2; i++) {
let l_max = 0, r_max = 0;
// 找右边高的柱子
for (let j = i; j < n; j++) {
r_max = Math.max(r_max, height[j])
}
// 找左边高的柱子
for (let j = i; j >= 0; j--) {
l_max = Math.max(l_max, height[j])
}
// 如果自己就是最高的话
// l_max == r_max == height[i]
res += Math.min(l_max, r_max) - height[i]
}
return res;
};
```
**备忘录优化**
```js
/**
* @param {number[]} height
* @return {number}
*/
var trap = function (height) {
let n = height.length;
if (n <= 2) {
return 0;
}
let res = 0;
// 数组充当备忘录
let l_max = new Array(n);
let r_max = new Array(n);
// 初始化base case
l_max[0] = height[0];
r_max[n - 1] = height[n - 1];
// 从左往右算l_max
for (let i = 1; i < n; i++) {
l_max[i] = Math.max(height[i], l_max[i - 1])
}
// 从右往左计算r_max
for (let i = n - 2; i >= 0; i--) {
r_max[i] = Math.max(height[i], r_max[i + 1])
}
// 计算答案
for (let i = 1; i <= n - 2; i++) {
res += Math.min(l_max[i], r_max[i]) - height[i];
}
return res;
};
```
**双指针解法**
```js
/**
* @param {number[]} height
* @return {number}
*/
var trap = function (height) {
let n = height.length;
if (n <= 2) {
return 0;
}
let res = 0;
let left = 0;
let right = n - 1;
let l_max = height[0];
let r_max = height[n - 1];
while (left <= right) {
l_max = Math.max(l_max, height[left]);
r_max = Math.max(r_max, height[right]);
// res += min(l_max, r_max) - height[i]
if (l_max < r_max) {
res += l_max - height[left];
left++;
} else {
res += r_max - height[right];
right--;
}
}
return res;
};
```
