{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Curvas no espaço\n",
    "\n",
    "Vimos que as curvas no plano são essencialmente definidas por sua curvatura. Porém, isso não é verdade no espaço. Considere, por exemplo, a hélice circular \n",
    "$$\n",
    "\\alpha(t) = \\left(\\frac{1}{2}\\cos(t), \\frac{1}{2}\\sin(t), \\frac{1}{2}t\\right)\n",
    "$$\n",
    "Ela está parametrizada pelo comprimento de arco. Então, se formos calcular a curvatura (usando a mesma noção de curvas planas), teremos que \n",
    "$$\n",
    "\\kappa_{\\alpha}(t) = ||\\alpha''(t)|| = 1\n",
    "$$\n",
    "Entretanto, a hélice não é uma circunferência de raio 1! Para isso, vamos precisar introduzir o conceito de **torção**. Veja também que não é possível definir uma função ângulo! Então, **curvatura com sinal** é um conceito vago no espaço. Assim, para lembrar, definimos curvatura para uma curva parametrizada pelo comprimento de arco no espaço como \n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\kappa_{\\alpha}(t) = ||\\alpha''(t)||\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Se a curva $\\alpha$ é regular qualquer, seja $\\beta = \\alpha \\circ h$ uma reparametrização pelo comprimento de arco. Definimos a curvatura de $\\alpha$ como \n",
    "$$\n",
    "\\kappa_{\\alpha}(t) = \\kappa_{\\beta}(h^{-1}(t))\n",
    "$$\n",
    "Em particular, teremos que \n",
    "$$\n",
    "\\kappa_{\\alpha}(t) = \\frac{||\\alpha'(t) \\times \\alpha''(t)||}{||\\alpha'(t)||^3}\n",
    "$$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Dizemos que uma curva $\\alpha$ é **2-regular** (ou regular de sgunda ordem) quando os vetores $\\alpha'(t)$ e $\\alpha''(t)$ são linearmente independentes para todo $t$. Se a curva for parametrizada pelo comprimento de arco, isso equivale a dizer que $\\alpha'' \\neq 0$ (verifique!). Se a curva for regular, isso é equivalente a provar que $\\kappa_{\\alpha}(t) > 0$ (verifique!). "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Triedo de Frenet\n",
    "\n",
    "Já vimos que não faz sentido rotacionar o vetor tangente. Por isso, definimos o vetor **normal principal** de uma curva $\\alpha$ parametrizada pelo comprimento de arco como \n",
    "$$\n",
    "N(s) = \\frac{1}{\\kappa_{\\alpha}(s)}(\\dot{T}(s))\n",
    "$$\n",
    "onde $T(s) = \\alpha'(s)$. Veja que ambos os vetores são unitários e ortogonais (quando a curva é parametrizada pelo comprimento de arco, a primeira e segunda derivadas são ortogonais). Definimos, então o vetor **binormal** como \n",
    "$$\n",
    "B(s) = T(s) \\times N(s)\n",
    "$$\n",
    "De fato $B$ é ortogonal a $T$ e a $N$ e, além disso, \n",
    "$$\n",
    "||B(s)|| = ||T(s)||||N(s)|| - 2\\langle T(s), N(s) \\rangle = 1\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Definimos, portanto, uma base ortonormal $\\{T(s), N(s), B(s)\\}$ para $\\mathbb{R}^3$. "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Torção\n",
    "\n",
    "Observe que \n",
    "$$\n",
    "\\dot{B}(s) = \\dot{T}(s) \\times N(s) + T(s) \\times \\dot{N}(s)\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Como $\\dot{T}(s) \\parallel N(s)$m, então \n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\dot{B}(s) = T(s) \\times \\dot{N}(s)\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Como $B(s)$ é um vetor unitário, $B(s) \\perp \\dot{B}(s)$ (veja que isso acontece com qualquer função vetorial unitária). Além disso $\\dot{B}(s) \\perp T(s)$ pela equação acima. Pelo Triedro de Frenet, \n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\dot{B}(s) \\perp N(s) \\implies \\dot{B}(s) = \\tau(s)N(s)\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "chamamos $\\tau$ de torção. Alguns livros, $\\tau$ tem o sinal oposto (mas isso é só questão de convenção e não trás problemas teóricos. Mais uma vez, se a curva $\\alpha$ é uma curva regular, tomamos uma reparametrização pelo comprimento de arco $\\beta = \\alpha \\circ h$ e \n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\tau_{\\alpha}(s) = \\tau_{\\beta}(h^{-1}(s))\n",
    "$$\n",
    "Em especial \n",
    "$$\n",
    "\\tau = \\frac{\\langle \\dot{\\alpha} \\times \\ddot{\\alpha}, \\dddot{\\alpha} \\rangle}{||\\dot{\\alpha}\\times\\ddot{\\alpha}||^2}\n",
    "$$\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Equações de Frenet\n",
    "\n",
    "Já sabemos que $\\dot{T}(s) = \\kappa_{\\alpha}(s)N(s)$ e $\\dot{B}(s) = \\tau_{\\alpha}(s)N(s)$. Agora, vamos calcular $\\dot{N}(s)$. Sabemos que \n",
    "\n",
    "$$\n",
    "B = T \\times N \\implies N = B \\times T \\implies \\dot{N}(s) = \\dot{B}(s) \\times T(s) + B(s) \\times \\dot{T}(s)\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Portanto, \n",
    "$$\n",
    "\\dot{N}(s) = \\tau_{\\alpha} N(s) \\times T(s) + \\kappa_{\\alpha} B(s) \\times N(s) = -\\tau_{\\alpha} B(s) - \\kappa_{\\alpha} T(s)\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Chegamos então que, se $\\alpha$ é uma curva parametrizada pelo comprimento de arco regular de ordem 2, então\n",
    "\n",
    "$\n",
    "\\dot{T} = \\kappa N\n",
    "$\n",
    "\n",
    "$\n",
    "\\dot{N} = - \\kappa T - \\tau B\n",
    "$\n",
    "\n",
    "$\n",
    "\\dot{B} = \\tau N\n",
    "$\n",
    "\n",
    "Observe que se $x(s) = (T(s), N(s), B(s)) \\in \\mathbb{R}^9, \\dot{x}(s) = Ax(s)$, onde \n",
    "\n",
    "$$\n",
    "A = \\begin{bmatrix}\n",
    "0_{3\\times 3}         & \\kappa I_{3\\times 3} & 0_{3\\times 3}       \\\\\n",
    "-\\kappa I_{3\\times 3} & 0_{3\\times 3}        & -\\tau I_{3\\times 3} \\\\\n",
    "0_{3\\times 3}         & \\tau I_{3\\times 3}   & 0_{3\\times 3}\n",
    "\\end{bmatrix}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Para curvas regulares quaisquer, a definição se dá usando a inversa do comprimento de arco, como fizemos com a curvatura e a torção. "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Planos \n",
    "\n",
    "**Plano Osculador:** Determinado pelos vetores tangente e normal. O vetor binormal é normal ao plano osculador e, portanto, podemos escrever sua equação como $(x - \\alpha(s))\\cdot B(s) = 0$. \n",
    "\n",
    "**Plano Normal:** Plano determinado pelos vetores normal e binormal. \n",
    "\n",
    "**Plano Retificante:** Plano determinando pelos vetores tangente e normal. \n",
    "\n",
    "Alguns simples desenhos podem ser vistos [nesse site](http://mathonline.wikidot.com/normal-rectifying-and-osculating-planes). "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Consequências \n",
    "\n",
    "### Curva plana e torção nula\n",
    "\n",
    "Seja $\\alpha : I \\to \\mathbb{R}^3$ uma curva 2-regular, parametrizada por comprimento de arco. Então, $\\alpha$ é plana se, e somente se, sua torção $\\tau_{\\alpha}$ é identicamente nula.\n",
    "\n",
    "> A demonstração desse fato se divide na ida e volta. Supondo que a curva seja plana, devemos inserir a curva em um plano. Assim, para cada $s \\in I, \\langle \\alpha(s) - p, v \\rangle = 0$ para algum $p$ nesse plano. Em particular, obtermos que $v = \\pm B_{\\alpha}(s)$, pois obteremos, derivando, que a tangente e a normal são ortogonais a $v$. Nesse caso $B'_{\\alpha}(s) = 0$, pois esse vetor será constante. A recíproca usa o fato que $B_{\\alpha}(s)$ será constante e quer se provar que $f(s) = \\langle \\alpha(s) - \\alpha(s_0), B_{\\alpha}(s) \\rangle \\equiv 0$.  \n",
    "\n",
    "### Circunferência e curvatura constante \n",
    "\n",
    "Seja $\\alpha$ uma curva parametrizada pelo comprimento de arco em $\\mathbb{R}^3$ com consntate curvatura e torção nula. Então $\\alpha$ é parametrização de (parte de) um círculo. \n",
    "\n",
    "> Sabemos pelo item anterior que estaremos em um plano. A ideia é provar que $\\alpha - \\frac{1}{\\kappa_{\\alpha}}n$ é um vetor constante para provarmos que a curva está contida em uma esfera. Assim, basta provar que a curva está contida na intersecção de uma esfera e um plano. \n",
    "\n",
    "## Teorema Fundamental da Teoria Local das Curvas Espaciais\n",
    "\n",
    "Sejam $\\alpha(s)$ e $\\gamma(s)$ duas curvas parametrizadas pelo comprimento de arco em $\\mathbb{R}^3$ com a mesma curvatura $\\kappa(s) > 0$ e a mesma torção $\\tau(s), \\forall s$. Então, existe um movimento rígido direto $M$ tal que $\\alpha(s) = M(\\gamma(s)), \\forall s$. Além disso, se $\\kappa$ e $\\tau$ são funções suaves, tal que $\\kappa > 0$ em toda parte, existe uma curva parametrizada pelo comprimento de arco em $\\mathbb{R}^3$ cuja curvatura é $\\kappa$ e cuja torção é $\\tau$. \n",
    "\n",
    "> A demonstração desse teorema super importante pode ser encontrada na página 52 do livro do Pressley de Introdução à Geometria Diferencial. É uma aplicação do Teorema da Existência e Unicidade de Equações Diferenciais nas Equações de Frenet-Sarret. "
   ]
  }
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