{ "metadata": { "name": "" }, "nbformat": 3, "nbformat_minor": 0, "worksheets": [ { "cells": [ { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Spl\u0105tanie stan\u00f3w mieszanych\n", "===========================\n", "\n", "Plan\n", "----\n", "\n", "1. Kryterium Peresa spl\u0105tania stan\u00f3w\n", "2. Twierdzienie Horodeckich\n", "3. Ujemno\u015b\u0107 jako miara splatania\n", "4. Numeryczne obliczenie ujemno\u015bci\n", "5. Wizualizacja ujemno\u015bci w depolarayzacji stanu Bella\n", "6. Zadania" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Rozwa\u017cmy uk\u0142ad kwantowy sk\u0142adaj\u0105cy si\u0119 z dwu poduk\u0142ad\u00f3w $A$ oraz $B$. Przestrze\u0144 Hilberta takie uk\u0142adu ma struktur\u0119 iloczynu tensorowego \n", "\n", "$\\mathcal{H}=\\mathcal{H}_A\\otimes \\mathcal{H}_B$\n", "\n", "przy czym rozwa\u017camy przypadek, gdy wymiar przestrzeni jest sko\u0144czony $dim\\mathcal{H}<\\infty$. \n", "\n", "Dowolny stan uk\u0142adu $AB$ mo\u017cna zapisa\u0107 w wybranej bazie ortonormalnej nast\u0119puj\u0105co:\n", "\n", "$ \\rho=\\sum_{i,j,k,l} q_{i,j,k,l} |i,j\\rangle\\langle k,l| $\n", "\n", "gdzie $|i,j\\rangle\\langle k,l|=|i\\rangle\\langle k|\\otimes |j\\rangle\\langle l|$.\n", "\n", "Sumowanie przebiega od $1$ do wymiaru odpowiedniej przestrzeni Hilberta. W szczeg\u00f3lno\u015bci w przypadku pary qubit\u00f3w \n", "sumowanie jest sum\u0105 poczw\u00f3rn\u0105 od $1$ do $2$ ka\u017cda. \n", "\n", "Problem rozpoznania, czy stan czysty $\\rho$ jest spl\u0105tany jest prawie trywialny. Obliczamy\n", "\u015blad cz\u0119\u015bciowy po dowolnym poduk\u0142adzie:\n", "\n", "$\\rho_A=\\mbox{Tr}_B \\rho$\n", "\n", "a nast\u0119pnie sparwdzamy, czy uzyskany stan $\\rho_A$ jest mieszany obliczaj\u0105c na przyk\u0142ad jego entropi\u0119 liniow\u0105:\n", "\n", "$S_L[\\rho_A]=1-\\mbox{Tr}\\rho_A^2$\n", " \n", "$S_L=0$ wtedy i tyko wtedy, gdy $\\rho$ jest separowalny.\n", "\n", "\n", "\n", "W przypadku stan\u00f3w mieszanych sytuacja si\u0119 komplikuje. W pierwszym kroku musimy zdefiniowa\u0107, co znaczy _splatany_ w odniesieniu do stanu mieszanego. Ju\u017c tu napotykamy na trudno\u015b\u0107. Definicja jest zaskakuj\u0105ca: \n", "\n", "__Definicja__ \n", "\n", "Je\u015bli stan uk\u0142adu $AB$ mo\u017cemy zapisa\u0107 nastepuj\u0105co:\n", "\n", "$\\rho=\\sum_i p_i \\rho_i^A \\otimes \\rho_i^B \\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\, (\\bullet)$\n", "\n", "gdzie $\\rho_i^{A,B}$ s\u0105 pewnymi _stanami_ poduk\u0142ad\u00f3w $A$ oraz $B$ __to__ stan $\\rho$ __nie jest spl\u0105tany__.\n", "\n", "\"Nie jest spl\u0105tany\"- a wi\u0119c _jaki_ ? Rozwa\u017cmy sytuacje:\n", "\n", "a. $p_i=\\delta_{i,j}$ w\u00f3wczas stan jest __separowalny__\n", "\n", "b. $p_i \\neq \\delta_{i,j}$ w\u00f3wczas stan nazwiemy __niespl\u0105tanym, skorelowanym klasycznie__. \n", "\n", "je\u017celi stan $\\rho$ nie daje si\u0119 zapisa\u0107 w \u017cadnej z powy\u017cszych postaci mo\u017ce by\u0107 __spl\u0105tany__. Na mocy kontrapozycji: je\u017celi jest spl\u0105tany to nie da si\u0119 go zapisa\u0107 w postaci $(\\bullet)$. \n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "__Kryterium Peresa__\n", "\n", "\n", "Aby rozpozna\u0107, czy stan jest w postaci $(\\bullet)$ wykorzystamy operacj\u0119 __cz\u0119\u015bciowej transpozycji__ :\n", "\n", "$ \\rho^{PT}=\\sum_{i,j,k,l} q_{i,j,k,l} |i\\rangle\\langle k|^T\\otimes |j\\rangle\\langle l| $\n", "\n", "operacja ta dzia\u0142a jak transpozycja na jednym z poduk\u0142ad\u00f3w daj\u0105c macierz:\n", "\n", "$ \\rho^{PT}=\\sum_{i,j,k,l} q_{i,j,k,l} |k\\rangle\\langle i|\\otimes |j\\rangle\\langle l| $\n", "\n", "Zauwa\u017cmy, \u017ce w przypadku stanu ($\\bullet$) wynikiem cz\u0119\u015bciowej transpozycji stanu $\\rho$\n", "jest nowy __stan__ $\\rho'$:\n", "\n", "$\\rho^{PT}=\\sum_i p_i [\\rho_i^A]^T \\otimes \\rho_i^B =\\rho'$\n", "\n", "gdy\u017c stany $\\rho_i^A$ s\u0105 hermitowskie. \n", "\n", "\n", "Mo\u017ce si\u0119 jednak zdarzy\u0107, \u017ce cz\u0119sciowa traspozycja daje macierz, kt\u00f3ra nie jest stanem:\n", "\n", "$\\rho^{PT}\\neq \\rho'$\n", "\n", "i nie jest nieujemnie okre\u015blona (ma ujemne warto\u015bci w\u0142asne). Je\u015bli tak si\u0119 zdarzy wiemy, \u017ce stan $\\rho$ jest spl\u0105tany. Taki typ stanu spl\u0105tanego nazywamy stanem NPT (negative wr. to partial transposition). \n", "\n", "__Uwaga__ Stany NPT nie s\u0105 jedynymi stanami splatanymi. W og\u00f3lno\u015bci istniej\u0105 stany splatane, kt\u00f3rych cz\u0119\u015bciowa transpozycja prowadzi do innego stanu, S\u0105 to stany splatane PPT. \n", "\n", "__Twierdzenie Horodeckich__\n", "\n", "W przypadku, gdy uk\u0142ad $AB$ sk\u0142ada si\u0119 z pary qubit\u00f3w (wymiar $2\\otimes 2$) lub pary qubit-qutrit (wymiar $2\\otimes 3$)\n", "wszystkie stany spl\u0105tane s\u0105 NPT. \n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "__Ujemno\u015b\u0107__ (negativity)\n", "\n", "Kryterium Peresa pozwala na kostrukcj\u0119 u\u017cytecznej miary splatania. Ujemno\u015b\u0107 pozwala oceni\u0107 jak bardzo stan jest splatany. \n", "Miara ta zdefiniowana jest nast\u0119puj\u0105co:\n", "\n", "$ N[\\rho]=\\sum_i (|\\lambda_i|-\\lambda_i)$\n", "\n", "gdzie $\\rho^{PT}|\\lambda_i\\rangle = \\lambda_i|\\lambda_i\\rangle$, innymi s\u0142owy, $\\lambda_i$ to warto\u015bci w\u0142asne macierzy $\\rho^{PT}$.\n", "\n", "Je\u015bli $N[\\rho]>0$ to stan $\\rho$ jest stanem spl\u0105tanym (NPT). \n", "\n", "__Uwaga__ Detekcja stan\u00f3w spl\u0105tanych PPT za pomoc\u0105 ujemno\u015bci jest niemo\u017cliwa. \n", "\n", "Ujemno\u015b\u0107 jest miar\u0105 alternatywn\u0105 do _concurrence_. Zalet\u0105 $N$ jest \u0142atwo\u015b\u0107 jej obliczenia _niezale\u017cnie_ od wymiaru przestrzeni stan\u00f3w. " ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Przyst\u0105pimy do konstrujcji narz\u0119dzia numerycznego do obliczania ujemno\u015bci. Rozpocznijmy od pobrania odpowiednich narz\u0119dzi:" ] }, { "cell_type": "code", "collapsed": false, "input": [ "from qutip import *\n", "from pylab import *\n", "%pylab inline" ], "language": "python", "metadata": {}, "outputs": [ { "output_type": "stream", "stream": "stdout", "text": [ "Populating the interactive namespace from numpy and matplotlib\n" ] }, { "output_type": "stream", "stream": "stderr", "text": [ "WARNING: pylab import has clobbered these variables: ['power', 'linalg', 'draw_if_interactive', 'random', 'save', 'load', 'info', 'fft']\n", "`%pylab --no-import-all` prevents importing * from pylab and numpy\n" ] } ], "prompt_number": 1 }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Jako przyk\u0142ad wykorzystamy jeden ze stan\u00f3w Bella:" ] }, { "cell_type": "code", "collapsed": false, "input": [ "B0=(tensor(basis(2,0),basis(2,0))+tensor(basis(2,1),basis(2,1))).unit()" ], "language": "python", "metadata": {}, "outputs": [], "prompt_number": 2 }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Ujemno\u015b\u0107 oblicza\u0107 b\u0119dziemy za pomoc\u0105 zdefiniowanej poni\u017cej funkcji negat() wykorzystuj\u0105cej funkcj\u0119 QuTipa partial_transpose():" ] }, { "cell_type": "code", "collapsed": false, "input": [ "def negat(rho):\n", " xx=partial_transpose(rho,[0,1])\n", " vv=xx.eigenenergies()\n", " n=0.0\n", " for i1 in range(0,rho.shape[0]):\n", " n=n+abs(vv[i1])-vv[i1]\n", " return n" ], "language": "python", "metadata": {}, "outputs": [], "prompt_number": 3 }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Dalej przedstawimy wizualizacj\u0119 ujemno\u015bci dla nast\u0119puj\u0105cej rodziny stan\u00f3w:\n", "\n", "$\\rho=(1-p)\\rho_{Bell}+\\frac{p}{4}\\mathbf{I}, p\\in[0,1]$\n", "\n", "czyli zdepolaryzowanych stan\u00f3w Bella. Nale\u017cy zauwa\u017cy\u0107, \u017ce wyb\u00f3r ten pozwala na weryfikacj\u0119 uzyskanych wynik\u00f3w poprzez por\u00f3wnanie z wynikami analitycznymi." ] }, { "cell_type": "code", "collapsed": false, "input": [ "plist=linspace(0,1,50)\n", "nlist=zeros(len(plist))" ], "language": "python", "metadata": {}, "outputs": [], "prompt_number": 4 }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Po zdefiniowaniu list zawieraj\u0105cych warto\u015bci $p$ i $N$ obliczmy:" ] }, { "cell_type": "code", "collapsed": false, "input": [ "for i1 in range(len(plist)):\n", " p=plist[i1]\n", " rho=(1.0-p)*ket2dm(B0)+p/4.0*tensor(qeye(2),qeye(2))\n", " nlist[i1]=negat(rho)" ], "language": "python", "metadata": {}, "outputs": [], "prompt_number": 5 }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "A nast\u0119pnie wykre\u015blmy wynik:" ] }, { "cell_type": "code", "collapsed": false, "input": [ "plot(plist,nlist,'-',label='', linewidth=4)\n", "xlabel('p',fontsize=20)\n", "ylabel('N',fontsize=20)\n", "show()" ], "language": "python", "metadata": {}, "outputs": [ { "metadata": {}, "output_type": "display_data", "png": "iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAYoAAAERCAYAAABl3+CQAAAABHNCSVQICAgIfAhkiAAAAAlwSFlz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\nAHERCgBAXIQCABAXoQAAxEUoAABx/T8JyFMYQaZZtQAAAABJRU5ErkJggg==\n", "text": [ "" ] } ], "prompt_number": 6 }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Zadania\n", "-------\n", "\n", "1. Obliczy\u0107 analitycznie warto\u015b\u0107 najmniejszego $p$, dla kt\u00f3rego $N=0$ w powy\u017cszym przyk\u0142adzie\n", "2. Powt\u00f3rzy\u0107 wizualizacj\u0119 przy u\u017cyciu funkcji concurrence(). Wyci\u0105gn\u0105\u0107 wnioski.\n", "3. Przprowadzi\u0107 analogiczn\u0105 analiz\u0119 dla innych stan\u00f3w Bella." ] }, { "cell_type": "code", "collapsed": false, "input": [], "language": "python", "metadata": {}, "outputs": [], "prompt_number": 6 } ], "metadata": {} } ] }