{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "# Introducción a la Programación en MATLAB (C10)\n", "\n", "Mauricio Tejada\n", "\n", "ILADES - Universidad Alberto Hurtado\n", "\n", "Agosto 2017" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Contenidos\n", "\n", "- [Ecuaciones No Lineales](#10.-Ecuaciones-No-Lineales)\n", " - [Métodos Numéricos y Ecuaciones No Lineales: Ideas Básicas](#10.1-Métodos-Numéricos-y-Ecuaciones-No-Lineales:-Ideas-Básicas)\n", " - [Las Funciones fzero y fsolve](#10.2-Las-Funciones-fzero-y-fsolve)\n", "\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## 10. Ecuaciones No Lineales\n", "\n", "*La exposición en esta sección sigue de cerca el capítulo 3 del libro de Miranda y Fackler.*\n", "\n", "Los problemas que envuelven sistemas de ecuaciones no lineales son muy comunes en economía. Éstos se presentan en dos formatos:\n", "\n", "- Búsqueda de raíces: $$f(x) = 0$$ con $f:R^n \\rightarrow R^n$ y $x\\in R^n$\n", "- Punto fijo: $$x = g(x)$$ con $g:R^n \\rightarrow R^n$ y $x\\in R^n$ \n", "\n", "Ambas formas son equivalentes: \n", "\n", "- Problema de raíces expresado como un problema de punto fijo: $$g(x) = x - f(x)$$\n", "- Problema de punto fijo expresado como un problema de raíces: $$f(x) = x-g(x)$$\n", "\n", "En muchas aplicaciones económicas, no es posible encontrar una solución analítica a un problema no lineal y por tanto la solución tiene que hallarse de manera numérica.\n", "\n", "Problemas:\n", "- Los métodos numéricos con iterativos y son sensibles a la condición inicial.\n", "- Los sistemas no lineales pueden tener más de una solución.\n", "\n", "Vamos a analizar métodos que no usan derivadas (método de bisección y método de iteración de la función) y métodos de usan derivadas (Método de Newton y Método de quasi-Newton). \n", "\n", "Existen métodos más sofisticados basados en los métodos mencionados y sólo realizaremos una descripción escueta." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### 10.1 Métodos Numéricos y Ecuaciones No Lineales: Ideas Básicas" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "#### Método de Bisección\n", "\n", "Es el método más simple y robusto para hallar la raíz de una función no lineal definida en $R$ en el intervalo $[a,b]$.\n", "\n", "Buscamos resolver: $$f(x)=0$$ con $f:R \\rightarrow R$.\n", "\n", "Es un método iterativo que evalúa el signo en los puntos extremos y en el punto medio del intervalo y en función de ello reduce el intervalo de búsqueda. Repite este proceso hasta que el intervalos resultante sea menor que un nivel de tolerancia.\n", "\n", "![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Bisection_method.png/250px-Bisection_method.png)\n", "