\nEn esta lección veremos conceptos algebraicos usados en la\nmodelización de series temporales.\n
\n\n
\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"735f79dd-31dd-459c-bb32-b55a2724a3f1","metadata":{},"source":["$\n\\newcommand{\\lag}{\\mathsf{B}}\n\\newcommand{\\Sec}[1]{\\boldsymbol{#1}}\n\\newcommand{\\Pol}[1]{\\boldsymbol{#1}}\n$\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"e57ba9b3-8df8-464c-829d-e84179306221","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"slide"}},"source":["## Secuencias de números\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"daca85cf-778d-4200-962f-100d2bb91096","metadata":{},"source":["### El espacio vectorial de las secuencias infinitas $\\big({\\mathbb{R}}^\\mathbb{Z},+,\\cdot\\big)$\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"5deb0e42-6c51-41cc-b7ff-c360830c2680","metadata":{},"source":["Consideremos el conjunto ${\\mathbb{R}}^\\mathbb{Z}$ de secuencias\ninfinitas de números reales \n\n$$\n\\boldsymbol{x} \n\\quad = \\quad\n(\\ldots,\\ x_{-2},\\ x_{-1},\\ x_{0},\\ x_{1},\\ x_{2},\\ldots) \n\\quad = \\quad\n(x_t \\mid t\\in\\mathbb{Z}) \n$$\n\nLas secuencias se pueden sumar y también se pueden multiplicar por\nescalares. \n\nSi $\\;\\boldsymbol{x},\\boldsymbol{y}\\in{\\mathbb{R}}^\\mathbb{Z}\\;$ y\n$\\;a\\in\\mathbb{R}$, entonces\n$$\\boldsymbol{x}+\\boldsymbol{y}=(x_t+y_t \\mid t\\in\\mathbb{Z})$$ y\n$$a\\cdot\\boldsymbol{x}=\\big(a\\cdot x_t \\mid t\\in\\mathbb{Z}\\big).$$ El conjunto\n${\\mathbb{R}}^\\mathbb{Z}$ junto con la suma elemento a elemento y el\nproducto por escalares constituyen un espacio vectorial.\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"a397dca7-41b7-491f-929b-7e32db7b2ca4","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"subslide"}},"source":["#### Notación mediante funciones generatrices\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"67867531-9dd9-472c-81c3-344532218ea7","metadata":{},"source":["En la expresión $\\;\\boldsymbol{x} \\quad = \\quad (\\ldots,\\ x_{-2},\\\nx_{-1},\\ x_{0},\\ x_{1},\\ x_{2},\\ldots)\\;$ separamos los elementos por\ncomas, e indicamos la posición con un subíndice. Pero en\n$$\\boldsymbol{a} \\quad = \\quad (\\ldots,\\ 0,\\ 1,\\ 4,\\ 9,\\ 2,\n0,\\ldots) $$ ¿qué posición ocupan estos números en la secuencia?\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"e21e86a7-a417-464c-8f62-eec508f3b3a2","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"fragment"}},"source":["Las funciones generatrices resuelven este problema. En ellas los\nelementos se separan con el símbolo \"$+$\" y la posición es indicada\ncon la potencia del símbolo \"$z$\"\n\n$$\n\\boldsymbol{a} \n\\quad = \\quad\n\\cdots + 0z^{-2} + 1z^{-1} + 4z^{0}+ 9z + 0z^{2}+\\cdots\n$$ \n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"8783c84a-ec4b-41c6-b1a9-e76373461075","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"fragment"}},"source":["Así podemos denotar la secuencia $\\boldsymbol{x}$ de manera muy\ncompacta del siguiente modo $$\\boldsymbol{x} \\quad = \\quad\n\\sum_{t=-\\infty}^\\infty x_t z^t \\quad\\equiv\\quad \\boldsymbol{x}(z)$$\n**¡Pero esta expresión no es una suma!** es solo un modo de expresar una\nsecuencia. Dicha expresión se denomina *función generatriz*.\n\nLa sucesión $\\;\\boldsymbol{0}=\\sum_{t=-\\infty}^\\infty 0 z^t\\;$ se denomina *sucesión nula*.\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"27a0d9c0-00c7-41ad-96b2-c00d7c72d0bb","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"subslide"}},"source":["#### Características de algunas secuencias\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"3793437c-87f3-4814-a9e8-3fcf96eebe94","metadata":{},"source":["En una sucesión $\\boldsymbol{a}$ no nula llamamos\n\n- **Grado:** al menor índice entero que verifica la propiedad: $$j >\n grado(\\boldsymbol{a}) \\Rightarrow a_j=0$$ Para la sucesión,\n $\\boldsymbol{0}$, diremos que su grado es menos infinito\n $\\;(grado(\\boldsymbol{0}) = -\\infty)$.\n- **Cogrado:** al mayor índice entero que verifica la propiedad: $$j <\n cogrado(\\boldsymbol{a}) \\Rightarrow a_j=0$$ Para la sucesión,\n $\\boldsymbol{0}$, diremos que su cogrado es infinito\n $\\;(cogrado(\\boldsymbol{0}) = \\infty)$.\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"4d74fd0c-a3e3-4571-92b8-f0523abaa904","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"fragment"}},"source":["Una sucesión $\\boldsymbol{a}$ es \n\n- **Absolutamente sumable ($\\ell^1$):** si $\\quad\\sum_{t=-\\infty}^\\infty |a_t| < \\infty$\n- **De cuadrado sumable ($\\ell^2$):** si $\\quad\\sum_{t=-\\infty}^\\infty a_t^2 < \\infty$\n\nUna sucesión absolutamente sumable siempre es de cuadrado sumable,\n$\\ell^1\\subset \\ell^2$.\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"912b6e77-f0a0-4acb-9950-f3b52985b5d5","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"subslide"}},"source":["#### Algunos subespacios de $\\big({\\mathbb{R}}^\\mathbb{Z},+,\\cdot\\big)$\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"e95bbe0d-4212-4dcd-b038-c0c7ae0f3e49","metadata":{},"source":["- **Secuencias con final:** si tienen grado (a partir de cierto índice son\n cero). $$\\boldsymbol{a}(z) = (\\ldots,\\ a_{p-3},\\ a_{p-2},\\ a_{p-1},\\ a_{p},\\ 0,\\ 0,\\ 0,\\ldots) = \\sum_{t=-\\infty}^p a_t z^t$$\n- **Secuencias con principio:** si tienen cogrado (antes de cierto índice\n son cero). $$\\boldsymbol{a}(z) = (\\ldots,\\ 0,\\ 0,\\ 0,\\ a_{k},\\ a_{k+1},\\ a_{k+2},\\ a_{k+3},\\ldots) = \\sum_{t=k}^\\infty a_t z^t\\qquad k\\in\\mathbb{Z}$$\n - **[Series formales](https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series):** si su cogrado $\\geq 0$.\n $$\\boldsymbol{a}(z) = (\\ldots,\\ 0,\\ 0,\\ 0,\\ a_{0},\\ a_{1},\\ a_{2},\\ a_{3},\\ldots) = \\sum_{t=k}^\\infty a_t z^t\\qquad k\\geq0$$\n- **Polinomios:** son series formales con grado \n $$\\boldsymbol{a}(z) = (\\ldots,\\ 0,\\ 0,\\ 0,\\ a_{0},\\ a_{1},\\ldots,\\ a_{p},\\ 0,\\ 0,\\ 0,\\ldots) = \\sum_{t=k}^p a_t z^t\\qquad k\\geq0$$\n (p.e. $\\;a_0+a_1z+a_2z^2\\;$ es un polinomio de grado 2).\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"bad44973-9c3c-49e3-a368-78d784a3ff31","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"slide"}},"source":["### Producto convolución\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"6433b0d0-01a0-4241-bbf2-e2de55d372bf","metadata":{},"source":["Sean $\\boldsymbol{a}$ y $\\boldsymbol{b}$ sucesiones con principio\n(con cogrado). Su producto convolución es la sucesión:\n$$(\\boldsymbol{a}*\\boldsymbol{b})_t=\\sum_{r+s=t} a_rb_s; \\qquad\nr,s,t\\in\\mathbb{Z}$$\n\nEl cogrado de $\\boldsymbol{a}*\\boldsymbol{b}$ es la suma de los\nrespectivos cogrados.\n\nLa convolución también está definida entre sucesiones:\n\n- con final (con grado). El grado del producto es la suma de los\n respectivos grados.\n\n- absolutamente sumables ($\\ell^1$).\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"a5058738-1fc9-406c-9e88-97f02fe742d4","metadata":{},"source":["
\nTODO Incluir las demos en los apuntes \n
\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"94c593a4-8bf2-4c42-9f32-1d08af47fda4","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"skip"}},"source":["### Anillos conmutativos y cuerpos\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"0ac045b0-dcbf-4f74-9149-c2d8a8057528","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"slide"}},"source":["#### Anillos conmutativos\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"623b1297-703f-461d-853f-a5a10196d943","metadata":{},"source":["Un **anillo conmutativo** es un conjunto $\\mathsf{S}$ equipado con dos\noperaciones binarias, la suma $+$ y el producto $*$ que satisfacen\ntres conjuntos de axiomas.\n\nEn cuanto a la suma \n\n- $(\\boldsymbol{a} + \\boldsymbol{b}) + \\boldsymbol{c} = \\boldsymbol{a} + (\\boldsymbol{b} + \\boldsymbol{c})\\;$ para todo $\\boldsymbol{a}, \\boldsymbol{b}, \\boldsymbol{c}$ en $\\mathsf{S}\\qquad$ (i.e. $+$ es asociativa).\n- $\\boldsymbol{a} + \\boldsymbol{b} = \\boldsymbol{b} + \\boldsymbol{a}\\;$ para todo $\\boldsymbol{a}, \\boldsymbol{b}$ en $\\mathsf{S}\\qquad$ (i.e. $+$ es conmutativa).\n- Existe un elemento $\\boldsymbol{0}$ tal que $\\boldsymbol{a} + \\boldsymbol{0} = \\boldsymbol{a}$ para todo $\\boldsymbol{a}\\in \\mathsf{S}$.\n- Para cada $\\boldsymbol{a}\\in \\mathsf{S}$ existe $-\\boldsymbol{a}\\in \\mathsf{S}$ tal que $\\boldsymbol{a} + (−\\boldsymbol{a}) = \\boldsymbol{0}$.\n\nEn cuanto al producto \n\n- $(\\boldsymbol{a} * \\boldsymbol{b}) * \\boldsymbol{c} = \\boldsymbol{a} * (\\boldsymbol{b} * \\boldsymbol{c})\\;$ para todo $\\boldsymbol{a}, \\boldsymbol{b}, \\boldsymbol{c}$ en $\\mathsf{S}\\qquad$ (i.e. $*$ es asociativo).\n- $\\boldsymbol{a} * \\boldsymbol{b} = \\boldsymbol{b} * \\boldsymbol{a}\\;$ para todo $\\boldsymbol{a}, \\boldsymbol{b}$ en $\\mathsf{S}\\qquad$ (i.e. $*$ es conmutativo).\n- Existe un elemento ${{1}}$ tal que $\\boldsymbol{a} * {{1}} = \\boldsymbol{a}$ para todo $\\boldsymbol{a}\\in \\mathsf{S}$.\n\nEl producto es distributivo respecto de la suma: Para todo $\\boldsymbol{a}, \\boldsymbol{b}, \\boldsymbol{c}$ en $\\mathsf{S}$\n\n- $\\boldsymbol{a}*(\\boldsymbol{b}+\\boldsymbol{c})=(\\boldsymbol{a}*\\boldsymbol{b})+(\\boldsymbol{a}*\\boldsymbol{c})\\;$\n- $(\\boldsymbol{b}+\\boldsymbol{c})*\\boldsymbol{a}=(\\boldsymbol{b}*\\boldsymbol{a})+(\\boldsymbol{c}*\\boldsymbol{a})\\;$\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"cf270257-05f0-46f8-b018-1d925b607625","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"subslide"}},"source":["#### Cuerpos\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"3b92b561-4027-45ba-8fbe-9882bac3062e","metadata":{},"source":["Un **cuerpo** es un anillo conmutativo que adicionalmente satisface:\n\n- Para cada $\\boldsymbol{a}\\in \\mathsf{S}$ no nulo\n ($\\boldsymbol{a}\\ne\\boldsymbol{0}$), existe $\\boldsymbol{b}\\in \\mathsf{S}$\n tal que $\\boldsymbol{a}*\\boldsymbol{b}={{1}}$.\n \n (*Todo elemento no nulo del conjunto tiene una inversa en dicho\n conjunto*)\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"7e753c42-b136-41a2-8f2c-3a1442bca816","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"fragment"}},"source":["### Clasificación de algunos subconjuntos de sucesiones\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"fb3a2900-eaa4-457a-9cf8-6f47c5a5b04e","metadata":{},"source":["- **Son anillos el conjunto de:** series formales (cogrado $\\geq0$), polinomios y\n $\\ell^1$.\n \n Para algunas sucesiones (no nulas) de estos subconjuntos o no existe\n inversa o, cuando existe, es una sucesión de otro tipo (p.e. las\n inversas de un polinomio no son polinomios en general).\n\n- **Son cuerpos el conjunto de:** secuencias con principio, secuencias\n con final (y el [Cuerpo de fracciones de polinomios](Lecc04.md))\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"d3cc9246-22ad-4eee-81c3-77bd184bb20a","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"skip"}},"source":["### Inversas\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"e95763d4-39a2-449e-b9cd-6b2ddd7a1ec5","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"subslide"}},"source":["#### Inversas de secuencias con principio\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"53097da5-9478-4da5-aa90-796116fd8b7b","metadata":{},"source":["Supongamos que $\\boldsymbol{a}\\ne\\boldsymbol{0}$ y que $k =\ncogrado(\\boldsymbol{a})$. Definimos $\\boldsymbol{b}$ del siguiente modo:\n\n$$b_j=\n\\begin{cases}\n0 & \\text{ si } j<-k\\\\\n\\frac{1}{a_k} & \\text{ si } j=-k\\\\\n\\frac{-1}{a_k}\\sum_{r=-k}^{j-1}b_r a_{j+k-r} & \\text{ si } j>-k\n\\end{cases}$$\n\nPor construcción, $cogrado(\\boldsymbol{b})=-k$ y en consecuencia\n$(\\boldsymbol{a}*\\boldsymbol{b})_j=0$ si $j<0$. Obviamente,\n$(\\boldsymbol{a}*\\boldsymbol{b})_0=1$; y además\n$(\\boldsymbol{a}*\\boldsymbol{b})_j=0$ si $j>0$.\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"fd5117d3-953a-4c30-bebc-0ac6611ec7f9","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"fragment"}},"source":["**Ejemplo**: Para el polinomio $1-az$\n\n$$(1-az)^{-\\triangleright}=\\text{inversa con principio de }(1-az)=\n\\begin{cases}\n0 & \\text{ si } j<0\\\\\n1 & \\text{ si } j=0\\\\\na^{j} & \\text{ si } j>0\n\\end{cases}$$\nes decir\n$(\\ldots,0,\\ \\fbox{${\\color{blue}{1}}$},\\ a,\\ a^2,\\ a^3,\\ldots)=\\sum_{j=0}^\\infty a^j z^j;\\quad$\n(donde la posición $j=0$ está marcada con un recuadro).\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"1d84e63b-b8a5-48d0-990e-fd5c9ad45c9b","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"subslide"}},"source":["#### Inversas de secuencias con final\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"d5bac6f9-55b4-4977-a25e-5b10b0e01d52","metadata":{},"source":["Supongamos que $\\boldsymbol{a}\\ne\\boldsymbol{0}$ y que $p =\ngrado(\\boldsymbol{a})$. Definimos $\\boldsymbol{b}$ del siguiente modo:\n$$b_j=\n\\begin{cases}\n0 & \\text{ si } j>-p\\\\\n\\frac{1}{a_p} & \\text{ si } j=-p\\\\\n\\frac{-1}{a_p}\\sum_{r=j-1}^{-p}b_r a_{j+p-r} & \\text{ si } j<-p\n\\end{cases}$$\nPor construcción, $grado(\\boldsymbol{b}) = -p$.\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"9be24d35-1bac-4096-a31e-ea4c3c5f9b0e","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"fragment"}},"source":["**Ejemplo**: Para el polinomio $1-az$\n\n$$(1-az)^{\\blacktriangleleft-}=\\text{inversa con final de }(1-az)=\n\\begin{cases}\n0 & \\text{ si } j>-1\\\\\n\\frac{-1}{a} & \\text{ si } j=-1\\\\\n\\frac{-1}{a^j} & \\text{ si } j<-1\n\\end{cases}$$\nes decir\n$(\\ldots,\\ \\frac{-1}{a^3},\\ \\frac{-1}{a^2},\\ \\frac{-1}{a},\\fbox{${\\color{blue}{0}}$},\\ldots)=\\sum_{j=-\\infty}^{-1} -a^j z^j$\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"7ad6e347-28cc-4423-a464-4ae3654333b0","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"subslide"}},"source":["#### Inversas de polinomios\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"2eb153fa-490a-4696-b30f-ea97bd25f8b6","metadata":{},"source":["Ahora sabemos que todo polinomio\n\n- **por tener cogrado:** tiene una inversa con cogrado (con principio)\n- **por tener grado:** tiene una inversa con grado (con final)\n\ny que dichas inversas no son de la forma $\\;\\sum_{t=k}^\\infty a_t z^t\\;$ ó $\\;\\sum_{t=-\\infty}^k a_t z^t\\;$ (i.e., no son polinomios).\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"a89d1f7c-d84d-497f-88cd-3b59e4abf392","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"fragment"}},"source":["Por el ejemplo anterior sabemos que para $\\;1-az\\;$ ambas inversas son\n\n- $(1-az)^{-\\triangleright}=\\sum_{j=0}^\\infty a^j z^j \\quad=\\quad (\\ldots,0,\\ \\fbox{${\\color{blue}{1}}$},\\ a,\\ a^2,\\ a^3,\\ldots)$\n\n- $(1-az)^{\\blacktriangleleft-}=\\sum_{j=-\\infty}^{-1} -a^j z^j \\quad=\\quad (\\ldots,\\ \\frac{-1}{a^3},\\ \\frac{-1}{a^2},\\ \\frac{-1}{a},\\fbox{${\\color{blue}{0}}$},\\ldots)$\n\nEs evidente que si $|a|\\ne1$ una de las inversas está en $\\ell^1$ y la\notra no.\n\nPero si $|a|=1$ ninguna de las inversas pertenece a $\\ell^1$\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"054d0cec-a889-4d28-8ba9-0875572fcdbb","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"subslide"}},"source":["Podemos factorizar un polinomio $\\boldsymbol{a}$ sin raíces de módulo $1$ como\n$$\\boldsymbol{a}=\\boldsymbol{b}*\\boldsymbol{c}$$\n\n- donde $\\boldsymbol{b}$ es un polinomio con las raíces de módulo menor que $1$ y\n- donde $\\boldsymbol{c}$ es un polinomio con las raíces de módulo mayor que $1$\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"01165ac1-b5d1-48c3-b68d-7dc7e732406f","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"fragment"}},"source":["Como tanto los polinomios $\\boldsymbol{a}$, $\\boldsymbol{b}$ y\n$\\boldsymbol{c}$ como las inversas\n$\\boldsymbol{b}^{\\blacktriangleleft-}$ y\n$\\boldsymbol{c}^{-\\triangleright}$ pertenecen al anillo $\\ell^1$,\n$$\\boldsymbol{a}*(\\boldsymbol{b}^{\\blacktriangleleft-}*\\boldsymbol{c}^{-\\triangleright})\n=(\\boldsymbol{b}*\\boldsymbol{c})*(\\boldsymbol{b}^{\\blacktriangleleft-}*\\boldsymbol{c}^{-\\triangleright})\n=\\boldsymbol{b}*\\boldsymbol{b}^{\\blacktriangleleft-}*\\boldsymbol{c}*\\boldsymbol{c}^{-\\triangleright}={{1}}*{{1}}={{1}}.$$\nLa secuencia\n$\\;(\\boldsymbol{b}^{\\blacktriangleleft-}*\\boldsymbol{c}^{-\\triangleright})\\;$\nes \"la\" inversa de $\\boldsymbol{a}$ en $\\ell^1$.\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"9f4d7a94-e656-4119-8158-2b18cf4e40e2","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"fragment"}},"source":["En general, dicha inversa no tiene grado ni cogrado finitos y se\ndenota con $\\boldsymbol{a}^{-1}=\\frac{1}{\\boldsymbol{a}}$. \n(*es la inversa que aparece en los libros de\nseries temporales*)\n\nEvidentemente dicha inversa no existe si $\\boldsymbol{a}$ tiene alguna raíz de módulo $1$.\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"1f2b469d-251b-410e-a238-c67f9ef49bfa","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"fragment"}},"source":["En los manuales de *series temporales* se dice que un polinomio $\\boldsymbol{a}$ **es invertible** si \n\n$$\\text{(la inversa con principio) }\\;\\boldsymbol{a}^{-\\triangleright}=\\boldsymbol{a}^{-1}\\; \\text{ (la inversa absolutamente sumable)}.$$\n(y solo es posible *si sus raíces están fuera del círculo unidad*).\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"cdabb5ba-23b1-4c20-a9d5-b63757e3db70","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"slide"}},"source":["#### Cuerpo de fracciones de polinomios\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"4908c7af-8982-47e1-92c5-d76872d37c50","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"fragment"}},"source":["El *cuerpo de fracciones de polinomios*\n$$\\left\\{\\boldsymbol{p}*\\boldsymbol{q}^{-\\triangleright} \\mid\n\\boldsymbol{p} \\text{ y } \\boldsymbol{q} \\text{ son polinomios y }\n\\boldsymbol{q}\\ne\\boldsymbol{0} \\right\\};$$ es un subcuerpo del cuerpo\nde las sucesiones con principio (i.e., con cogrado finito)\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"a6aa2eee-d622-4a78-8041-8a965854e3bf","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"fragment"}},"source":["Cuando las raíces del polinomio $\\boldsymbol{q}$ están fuera del\ncirculo unidad (i.e.,\n$\\;\\boldsymbol{q}^{-\\triangleright}=\\boldsymbol{q}^{-1}$) es habitual\ndenotar la secuencia $\\boldsymbol{p}*\\boldsymbol{q}^{-\\triangleright}$\nasí $\\frac{\\boldsymbol{p}}{\\boldsymbol{q}}$\n $$(\\boldsymbol{p}*\\boldsymbol{q}^{-\\triangleright})(z)=\\frac{\\boldsymbol{p}(z)}{\\boldsymbol{q}(z)}$$\n\nEste conjunto es fundamental en la modelización ARIMA. \n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"b5649cf8-ddac-4354-ac7a-3ba8d4478dc3","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"slide"}},"source":["### Operador retardo $\\mathsf{B}{}$ y suma de los elementos de una secuencia.\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"25d35805-f3bc-432d-b937-a1cb95a9fa4b","metadata":{},"source":["Por conveniencia se usa el operador retardo $\\mathsf{B}$ en la notación:\n$$\\mathsf{B} x_t = x_{t−1},\\quad \\text{para } t\\in\\mathbb{Z}.$$\n\nAplicando el operador $\\mathsf{B}{}$ repetidamente tenemos $$\\mathsf{B}^k x_t =\nx_{t−k},\\quad \\text{para } t,z\\in\\mathbb{Z}$$ \n\nAsí, si la secuencia $\\boldsymbol{x}(z)=\\sum_{t=-\\infty}^\\infty x_t z^t$ es\nsumable, entonces la expresión \n$$\\boldsymbol{x}(\\mathsf{B})=\\sum_{t=-\\infty}^\\infty x_t \\mathsf{B}^t\\;=\\;\\cdots+x_{-2}+x_{-1}+x_{0}+x_{1}+\\cdots$$ tiene sentido como suma.\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"d52cf6f1-f9a5-4369-bee0-f38795e2f988","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"subslide"}},"source":["#### Polinomios y secuencias en el operador retardo $\\boldsymbol{a}(\\mathsf{B}{})$ actuando sobre secuencias\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"36745ec1-9ce4-4f9b-b3de-b99b285dc722","metadata":{},"source":["Así, para el polinomio $\\boldsymbol{a}(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+a_3z^3$, y la\nsecuencia $\\boldsymbol{y}$, tenemos\n\n\\begin{align*}\n\\boldsymbol{a}(\\mathsf{B})y_t \n& = (a_0+a_1\\mathsf{B}+a_2\\mathsf{B}^2+a_3\\mathsf{B}^3) y_t \\\\\n& = a_0 y_t + a_1 \\mathsf{B}^1 y_t + a_2 \\mathsf{B}^2 y_t + a_3 \\mathsf{B}^3 y_t \\\\\n& = a_0y_t+a_1y_{t-1}+a_2y_{t-2}+a_3y_{t-3} \\\\\n& =\\sum\\nolimits_{r=0}^3 a_r y_{t-r} \\\\\n& =(\\boldsymbol{a}*\\boldsymbol{y})_t\n\\end{align*}\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"83f7c3f5-5a84-4586-904a-a083f58ab45c","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"fragment"}},"source":["Y en general, si $\\boldsymbol{a}$ e $\\boldsymbol{y}$ son secuencias sumables, entonces\n\n\\begin{align*}\n\\boldsymbol{a}(\\mathsf{B})y_t \n& = (\\cdots+a_{-2}\\mathsf{B}^{-2}+a_{-1}\\mathsf{B}^{-1}+a_0+a_1\\mathsf{B}+a_2\\mathsf{B}^2+\\cdots) y_t \\\\\n% & = a_0 y_t + a_1 \\mathsf{B}^1 y_t + a_2 \\mathsf{B}^2 y_t + a_3 \\mathsf{B}^3 y_t \\\\\n& = \\cdots+a_{-2}y_{t+2}+a_{-1}y_{t+1}+a_0y_t+a_1y_{t-1}+a_2y_{t-2}+\\cdots \\\\\n% & =\\sum\\nolimits_{r=0}^3 a_r y_{t-r} \\\\\n& =(\\boldsymbol{a}*\\boldsymbol{y})_t\n\\end{align*}\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"7cb2ac27-8148-4364-84be-b2df0ba8e48b","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"slide"}},"source":["### Convolución de una serie formal con el \"*reverso*\" de otra\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"d5759794-cb2f-4740-a4ba-4cc6525bf9bf","metadata":{},"source":["Por último, si tenemos dos series formales $\\boldsymbol{a}$ y\n$\\boldsymbol{b}$, entonces\n\n\\begin{align*}\n\\boldsymbol{a}(z)*\\boldsymbol{b}(z^{-1})\n=&(a_0z^0+a_1z^1+a_2z^2+\\cdots)(\\cdots+b_2z^{-2}+b_1z^{-1}+b_0z^0)\\\\\n=&\\Big(\\ldots,\n\\sum_{j\\in\\mathbb{Z}}a_{j+2}b_j,\\; \n\\sum_{j\\in\\mathbb{Z}}a_{j-1}b_j,\\;\n\\fbox{\\({\\color{blue}{\\sum_{j\\in\\mathbb{Z}}a_jb_j}}\\)},\\;\n\\sum_{j\\in\\mathbb{Z}}a_{j+1}b_j,\\;\n\\sum_{j\\in\\mathbb{Z}}a_{j+2}b_j,\\ldots\\Big)\\\\\n=&\\Big(\\sum_{j\\in\\mathbb{Z}}a_{j+k}b_j\\mid k\\in\\mathbb{Z}\\Big)\n\\end{align*}\n\nes decir,\n\n\\begin{equation}\n \\label{eqConvolucionConSuReverso}\n \\Big(\\boldsymbol{a}(z)*\\boldsymbol{b}(z^{-1})\\Big)_k=\\sum_{j\\in\\mathbb{Z}}a_{j+k}b_{j}.\n\\end{equation}\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"1195bf43-788d-42e8-a0c0-10d1efdec751","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"skip"}},"source":["Del mismo modo que denotamos con ${{1}}$ la secuencia\n$$1=(\\ldots,0,0,{\\color{blue}{1}},0,0,\\ldots)=1 z^0,$$ denotamos con\n${{z}}$ la secuencia\n$$z=(\\ldots,0,0,{\\color{blue}{0}},1,0,\\ldots)=1 z^1;$$\ny con ${{z^{-1}}}$ la secuencia\n$$z^{-1}=(\\ldots,0,1,{\\color{blue}{0}},0,0,\\ldots)=1 z^{-1}.$$\nEvidentemente\n$$z^2=z*z=(\\ldots,0,0,{\\color{blue}{0}},0,1,\\ldots)=1 z^{2}.$$\nDe ese modo $$\\boldsymbol{x}*z^k=\\sum_{t\\in\\mathbb{Z}}x_t\nz^{t+k}=(\\mathsf{B}^kx_t\\mid t\\in\\mathbb{Z}).$$\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"eb7c3b69-120a-48a2-b467-dd3cdd9161cd","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"skip"}},"source":["El producto elemento a elemento (o producto Hadamard) de $\\boldsymbol{a}$ y $\\boldsymbol{b}$ es la secuencia\n$$\\boldsymbol{a}\\odot\\boldsymbol{b}=(a_tb_t\\mid\nt\\in\\mathbb{Z})=\\sum_{t\\in\\mathbb{Z}}a_tb_t z^t.$$ Por tanto\n$$\\boldsymbol{x}\\odot(\\boldsymbol{y}*z^k)=(x_t y_{t-k}\\mid\nt\\in\\mathbb{Z})=\\sum_{t\\in\\mathbb{Z}}x_t y_{t-k} z^t;$$ y si\n$\\boldsymbol{\\phi}$ es el polinomio $\\;1-\\phi_1 z^1-\\cdots-\\phi_p\nz^p$,\n$$(\\boldsymbol{\\phi}*\\boldsymbol{x})\\odot(\\boldsymbol{y}*z^k)=\\Big(\\big(\\boldsymbol{\\phi}(\\mathsf{B})x_t\\big)\ny_{t-k}\\mid\nt\\in\\mathbb{Z}\\Big)=\\sum_{t\\in\\mathbb{Z}}\\big(\\boldsymbol{\\phi}(\\mathsf{B})x_t\\big)\ny_{t-k} z^t,$$ donde\n\n\\begin{align*}\n\\big(\\boldsymbol{\\phi}(\\mathsf{B})x_t\\big) y_{t-k}\n= & \\big(x_t-\\phi_1x_{t-1}-\\cdots-\\phi_px_{t-p}\\big)y_{t-k}\\\\\n= & x_ty_{t-k}-\\phi_1x_{t-1}y_{t-k}-\\cdots-\\phi_px_{t-p}y_{t-k}.\n\\end{align*}\n\n"]}],"metadata":{"org":null,"kernelspec":{"display_name":"R","language":"R","name":"ir"},"language_info":{"codemirror_mode":"r","file_extension":".r","mimetype":"text/x-r-source","name":"R","pygments_lexer":"r","version":"3.3.2"}},"nbformat":4,"nbformat_minor":5}