{"cells":[{"cell_type":"markdown","id":"b339b165-04be-468c-9817-05cc432bf586","metadata":{},"source":"Econometría Aplicada. Lección 8\n===============================\n\n**Author:** Marcos Bujosa\n\n"},{"cell_type":"markdown","id":"c076a5a3-f1f6-4e19-9982-7c1be7da7244","metadata":{},"source":["
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\nEn esta lección repasamos los instrumentos de identificación y\ndiagnosis del análisis univariante. Extendemos la notación para\nincorporar modelos con raíces unitarias. Presentamos modelos\nestacionales y finalmente resumimos las ideas principales del análisis\nunivariante.\n

\n\n
\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"abfd7af3-2c99-4763-8cdb-433e5bef0dc1","metadata":{},"source":["$\n\\newcommand{\\lag}{\\mathsf{B}}\n\\newcommand{\\Sec}[1]{\\boldsymbol{#1}}\n\\newcommand{\\Pol}[1]{\\boldsymbol{#1}}\n$\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"33e8025c-79d1-41a8-8383-902daa798939","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"notes"}},"source":["#### Carga de algunas librerías de R\n\n"]},{"cell_type":"code","execution_count":1,"id":"8a81ee7a-5cf9-45f1-b5cc-e1d1457e4d3a","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"notes"}},"outputs":[],"source":["# cargamos algunas librerías de R\nlibrary(tfarima) # librería de José Luis Gallego para Time Series\nlibrary(readr) # para leer ficheros CSV\nlibrary(ggplot2) # para el scatterplot (alternaticamente library(tidyverse))\nlibrary(ggfortify) # para pintar series temporales\nlibrary(jtools) # para representación resultados estimación\nlibrary(zoo) # para generar objetos ts (time series)\n# y fijamos el tamaño de las figuras que se generan en el notebook\noptions(repr.plot.width = 12, repr.plot.height = 4, repr.plot.res = 200)"]},{"cell_type":"markdown","id":"f1ae938c-1ad7-403c-b041-4a567ee66d05","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"slide"}},"source":["## Identificación y diagnosis\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"877bb0ed-4b44-4b98-87cc-a502fef4cef8","metadata":{},"source":["- Combinando las herramientas gráficas y estadísticas que hemos visto,\n se puede inferir el modelo subyacente a los datos.\n\n- Este proceso de especificación empírica del modelo es conocido como\n \"*identificación*\"\n\nEl proceso de identificación puede estructurarse como una secuencia de\npreguntas:\n\n1. ¿Es estacionaria la serie?\n2. ¿Tiene una media significativa?\n3. ¿Es persistente la ACF? ¿sigue alguna pauta reconocible?\n4. ¿Es persistente la PACF? ¿sigue alguna pauta reconocible?\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"caf1f9ee-8688-486b-9c77-54946b7f24a3","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"subslide"}},"source":["- La identificación se basa en estadísticos, como la media muestral o\n las autocorrelaciones, cuya representatividad respecto de los\n momentos teóricos depende de la estacionariedad (y la ergodicidad).\n\n- Tras inducir la estacionariedad, especificamos un modelo tentativo\n decidiendo cuál de las funciones ACF o PACF es finita y cuál es\n persistente\n\n\n| |ACF finita|ACF persistente|\n|---|---|---|\n| PACF finita|Ruido blanco: retardos conjuntamente NO significativos|AR: orden indicado por la PACF|\n| PACF persistente|MA: orden indicado por la ACF|ARMA|\n\nLa parametrización de mayor orden en modelos ARMA con series\neconómicas suele ser ARMA($2,1$)\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"2ba61a77-7f05-4ac3-84c9-545fac5d5cd6","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"slide"}},"source":["### Instrumentos de identificación\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"0359aedc-008b-4f99-824d-733b991c6388","metadata":{},"source":["\n| |Instrumento|Objetivo y observaciones|\n|---|---|---|\n| Transf. logarítmica|Gráficos rango-media y serie temporal|Conseguir independizar la variabilidad de los datos de su nivel. Las series económicas necesitan esta transformación frecuentemente|\n| $d$, orden de diferenciación|Gráfico de la serie temporal. ACF (caída lenta y lineal). Contrastes de raíz unitaria (DF o ADF y KPSS)|Conseguir que los datos fluctúen en torno a una media estable. En series económicas, $d$ suele ser 0, 1 ó 2|\n| Constante|Media de la serie transformada. Desviación típica de la media|Si la media de la serie transformada es significativa, el modelo debe incluir un término constante|\n| $p$, orden AR|Si PACF de orden $p$ y ACF infinita|En series económicas $p$ suele ser $\\leq2$|\n| $q$, orden MA|Si ACF de orden $q$ y PACF infinita|En series económicas q suele ser $\\leq1$|\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"b278d823-07d6-4b30-a247-49d5465cc46b","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"slide"}},"source":["### Instrumentos de diagnosis\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"ba2b2dfd-2d31-47a8-b981-e927456a97b6","metadata":{},"source":["\n| |Instrumento|Posible diagnóstico|\n|---|---|---|\n| $d$, orden de diferenciación|Proximidad a 1 de alguna raíz de los polinomios AR o MA|Conviene diferenciar si la raíz es AR; o quitar una diferencia si es MA (salvo si hay tendencia determinista)|\n| $d$, orden de diferenciación|Gráfico de los residuos|Si muestra rachas largas de residuos positivos o negativos, puede ser necesaria una diferencia adicional.|\n| Constante|Media de los residuos|Si es significativa: añadir una constante|\n| Constante|Constante estimada|Si NO es significativa: el modelo mejorará quitando el término constante|\n| $p$ y $q$,|Contrastes de significación de los parámetros estimados|Pueden sugerir eliminar parámetros irrelevantes|\n| $p$ y $q$,|ACF/PACF residuos. Test Q de Ljung-Box|Indican posibles pautas de autocorrelación no modelizadas|\n| $p$ y $q$,|Correlaciones elevadas entre los parámetros estimados|Puede ser síntoma de sobreparametrización|\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"31ac09ee-3960-4fda-a431-9d262f554116","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"subslide"}},"source":["Aún, una vez superadas las pruebas de diagnostico, se puede aplicar un\nanálisis exploratorio consistente en añadir parámetros AR y/o MA, para\ncomprobar si resultan significativos y mejoran el modelo\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"69513dab-6643-42f3-ab23-a6c5d714cc63","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"skip"}},"source":["## Raíces unitarias\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"dca01a88-4f20-4a82-b025-7fb0f5d9d4ae","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"slide"}},"source":["### Notación: operadores retardo y diferencia y modelos ARIMA\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"8371f3b3-35fd-4a62-a77c-5bceafe87dcb","metadata":{},"source":["El operador diferencia $\\nabla$ se define a partir del operador retardo como $\\nabla=(1 - \\mathsf{B})$:\n$$\\nabla Y_t = (1 - \\mathsf{B})Y_t = Y_t - Y_{t-1}$$\nEl operador diferencia estacional es \n${\\nabla}_{_S} = (1 - \\mathsf{B}^S)$:\n$$\\nabla_{_S}Y_t = (1 - \\mathsf{B}^S)Y_t = Y_t - Y_{t-S}$$\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"21ceea35-701a-4c9e-8fac-70e20aa925a3","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"skip"}},"source":["#### Notación: ARIMA\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"bdc3fa7d-0cb6-4956-a000-b38c950442d3","metadata":{},"source":["Extendemos la notación a procesos con raíces autorregresivas unitarias\nCon \\`\\`ARIMA($p,d,q$)''; donde $d$ indica el número de diferencias que\nla serie necesita para ser $I(0)$,\n$$\\boldsymbol{\\phi}_p*\\nabla^d*\\boldsymbol{Y} = \\boldsymbol{\\theta}_q*\n\\boldsymbol{U}$$ es decir $$\\boldsymbol{\\phi}_p(\\mathsf{B})\\nabla^d\nY_t = \\boldsymbol{\\theta}_q(\\mathsf{B}) U_t; \\quad t\\in\\mathbb{Z}$$\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"4ae8271e-5a27-40e4-8b00-5b49366a541e","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"subslide"}},"source":["### Raíces unitarias en los polinomios AR y MA\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"df0266c2-ae03-4213-bd37-6e98600ef745","metadata":{},"source":["Cuando un polinomio tiene alguna raíz igual a uno se dice que tiene\n“raíces unitarias”.\n\nSi el polinomio AR estimado tiene alguna raíz \"próxima a uno\" es \nsíntoma de infradiferenciación.\n\nSi el polinomio MA estimado tiene alguna raíz \"próxima a uno\" es\nsíntoma de sobrediferenciación.\n\nEjemplos:\n\n\n| Modelo expresado con raíces unitarias en $\\boldsymbol{\\phi}$ o $\\boldsymbol{\\theta}$|Modelo equivalente sin raíces unitarias en $\\boldsymbol{\\phi}$ o $\\boldsymbol{\\theta}$|\n|---|---|\n| $(1-1.5\\mathsf{B}+.5\\mathsf{B}^2) Y_t = U_t$|${\\color{blue}{(1-0.5\\mathsf{B})\\nabla Y_t=U_t}}$|\n| $(1-.5\\mathsf{B}+0.7\\mathsf{B}^2)\\nabla^2Y_t=(1-\\mathsf{B})U_t$|${\\color{blue}{(1-.5\\mathsf{B}+0.7\\mathsf{B}^2)\\nabla Y_t = U_t}}$|\n| $\\nabla Y_t = \\beta+ (1-\\mathsf{B}) U_t$|${\\color{blue}{Y_t = \\beta t + U_t}}\\quad$ (¡no estacionario!)|\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"cea663ea-0dac-479b-9622-5a8a05d17e31","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"subslide"}},"source":["### Paseos aleatorios\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"6d96d3bb-aeb4-4be2-a241-51485b1f8b0c","metadata":{},"source":["Un paseo aleatorio representa una variable cuyos cambios son ruido\nblanco: $$Y_t = \\mu + Y_{t-1} + U_t$$\n\nCuando $\\mu\\ne0$ se denomina *paseo aleatorio con deriva*: $\\;\\nabla Y_t = \\mu + U_t$\n\n"]},{"cell_type":"code","execution_count":1,"id":"c3e99363-5677-4db1-9885-4cf716719c44","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"skip"}},"outputs":[],"source":["options(repr.plot.width = 12, repr.plot.height = 4, repr.plot.res = 200)\nrwcd <- um(i = \"(1 - B)\",\n mu=.25)\nide(sim(rwcd, n = 500),\n lag.max = 20,\n graphs = c(\"plot\", \"acf\", \"pacf\", \"pgram\"),\n main = \"Paseo aleatorio con deriva (mu=0.25)\")"]},{"cell_type":"markdown","id":"a33241a6-d7b9-40db-a0c9-46ea7e788cd2","metadata":{},"source":["![img](./img/lecc08/ACF-RWcd.png)\n\nEl proceso tiene mayor inercia cuanto mayor es $|\\mu|$. El signo de\n$\\mu$ determina el signo de la pendiente global.\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"cc862082-0b08-4157-b7b8-919e1f3a5808","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"subslide"}},"source":["Cuando $\\mu=0$ se denomina sencillamente *paseo aleatorio*: $\\;\\nabla Y_t = U_t$\n\n"]},{"cell_type":"code","execution_count":1,"id":"75b97aff-3722-4dd5-8c36-e52e4efde7c5","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"skip"}},"outputs":[],"source":["options(repr.plot.width = 12, repr.plot.height = 4, repr.plot.res = 200)\nrw <- um(i = \"(1 - B)\")\nide(sim(rw, n = 500), lag.max = 20, graphs = c(\"plot\", \"acf\", \"pacf\", \"pgram\"), main = \"Paseo aleatorio\")"]},{"cell_type":"markdown","id":"dc3e50d1-0efd-49d4-bc29-9774ec72ed44","metadata":{},"source":["![img](./img/lecc08/ACF-RW.png)\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"e0a760e5-43b2-4377-adc4-19564cf02ee0","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"slide"}},"source":["## Modelos ARIMA estacionales (SARIMA)\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"a1bf4a93-0427-4943-8ce3-31032872fb56","metadata":{},"source":["El período estacional $S$ es el número mínimo de observaciones\nnecesarias para recorrer un ciclo estacional completo. Por ejemplo,\n$S=12$ para datos mensuales, $S=4$ para datos trimestrales, $S=24$\npara datos horarios, etc.\n\nDescribiremos comportamientos estacionales con modelos\nARIMA$(p,d,q)\\times(P,D,Q)_S$ \n\n$$\\boldsymbol{\\phi}_p(\\mathsf{B})\\boldsymbol{\\Phi}_P(\\mathsf{B}^S)\\nabla^d\\nabla_{_S}^D\nY_t =\n\\boldsymbol{\\theta}_q(\\mathsf{B})\\boldsymbol{\\Theta}_q(\\mathsf{B}^S)\nU_t; \\quad t\\in\\mathbb{Z}$$ donde\n\n\\begin{align*}\n\\boldsymbol{\\Phi}_P(\\mathsf{B}^S) = & 1-\\Phi_1\\mathsf{B}^{1\\cdot S}-\\Phi_2\\mathsf{B}^{2\\cdot S}-\\cdots-\\Phi_P\\mathsf{B}^{P\\cdot S}\\\\\n\\boldsymbol{\\Theta}_Q(\\mathsf{B}^S) = & 1-\\Theta_1\\mathsf{B}^{1\\cdot S}-\\Theta_2\\mathsf{B}^{2\\cdot S}-\\cdots-\\Theta_Q\\mathsf{B}^{Q\\cdot S}\\\\\n{\\nabla}_{_S}^D = & (1 - \\mathsf{B}^S)^D\n\\end{align*}\n\nEs decir, el modelo consta de polinomios autorregresivos y de media\nmóvil tanto regulares (en minúsculas) como estacionales (en\nmayúsculas).\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"2a8a5a44-7e14-4fb8-9b1e-6b6b66b75cad","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"fragment"}},"source":["Veamos un ejemplo de un modelo MA($1$) estacional y otro de un modelo\nAR($1$) estacional…\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"bc6b9ef3-ed68-490b-a872-9830f30c3fa2","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"notes"}},"source":["### MA(1) estacional con raíz positiva\n\n"]},{"cell_type":"code","execution_count":1,"id":"f76d3fab-d4dc-4b2c-b547-25ff4b850d24","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"skip"}},"outputs":[],"source":["options(repr.plot.width = 12, repr.plot.height = 2, repr.plot.res = 200)\nSMA1 <- um(ma = \"(1 - 0.9B12)\")\ndisplay(list(SMA1), lag.max = 50, byrow = TRUE)"]},{"cell_type":"markdown","id":"63798b9a-1174-49c8-9526-9e2fa4a5a98f","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"subslide"}},"source":["MA($1$) estacional:\n$\\quad\\boldsymbol{\\Theta}=1-0.9z^{12}\\quad\\Rightarrow\\quad X_t= (1-0.9\n\\mathsf{B}^{12})U_t$\n\n![img](./img/lecc08/ACF-SMA1p.png)\n\n"]},{"cell_type":"code","execution_count":1,"id":"e8448e8d-ae75-48ef-b1b5-0d2a32a837fd","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"skip"}},"outputs":[{"name":"stdout","output_type":"stream","text":"1. \n | Real | Imaginary | Modulus | Frequency | Period | Mult. |\n |---------------+---------------+----------+------------+--------+-------|\n | 1.008819e+00 | 1.082287e-14 | 1.008819 | 0.00000000 | Inf | 1 |\n | 8.736626e-01 | 5.044094e-01 | 1.008819 | 0.08333333 | 12.0 | 1 |\n | 8.736626e-01 | -5.044094e-01 | 1.008819 | 0.08333333 | 12.0 | 1 |\n | 5.044094e-01 | -8.736626e-01 | 1.008819 | 0.16666667 | 6.0 | 1 |\n | 5.044094e-01 | 8.736626e-01 | 1.008819 | 0.16666667 | 6.0 | 1 |\n | 1.288336e-14 | -1.008819e+00 | 1.008819 | 0.25000000 | 4.0 | 1 |\n | -2.057493e-17 | 1.008819e+00 | 1.008819 | 0.25000000 | 4.0 | 1 |\n | -5.044094e-01 | -8.736626e-01 | 1.008819 | 0.33333333 | 3.0 | 1 |\n | -5.044094e-01 | 8.736626e-01 | 1.008819 | 0.33333333 | 3.0 | 1 |\n | -8.736626e-01 | -5.044094e-01 | 1.008819 | 0.41666667 | 2.4 | 1 |\n | -8.736626e-01 | 5.044094e-01 | 1.008819 | 0.41666667 | 2.4 | 1 |\n | -1.008819e+00 | -1.257046e-14 | 1.008819 | 0.50000000 | 2.0 | 1 |\n #+caption: A matrix: 12 × 6 of type dbl"}],"source":["roots(SMA1)"]},{"cell_type":"code","execution_count":1,"id":"55dc1444-2e3d-4420-9c1d-0441d04271b5","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"skip"}},"outputs":[],"source":["options(repr.plot.width = 12, repr.plot.height = 5, repr.plot.res = 200)\nide(sim(SMA1, n = 500),\n lag.max = 50,\n lags.at = 12,\n graphs = c(\"plot\", \"acf\", \"pacf\", \"pgram\"))"]},{"cell_type":"markdown","id":"387f9c9f-3af3-4ee6-a35b-4e3171048e70","metadata":{},"source":["![img](./img/lecc08/Sim-SMA1p.png)\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"197a67e7-98e2-473b-aa29-bf4194161ade","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"notes"}},"source":["### AR(1) estacional con raíz positiva\n\n"]},{"cell_type":"code","execution_count":1,"id":"3b149e6c-cac1-4cb8-9209-774bd8615b02","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"skip"}},"outputs":[],"source":["options(repr.plot.width = 12, repr.plot.height = 2, repr.plot.res = 200)\nSAR1 <- um(ar = \"(1 - 0.9B12)\")\ndisplay(list(SAR1), lag.max = 50, byrow = TRUE)"]},{"cell_type":"markdown","id":"e75f54e7-e98d-4082-bbc7-704a9c58c2db","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"subslide"}},"source":["AR($1$) estacional:\n$\\quad\\boldsymbol{\\Phi}=1-0.9z^{12}\\quad\\Rightarrow\\quad (1-0.9\n\\mathsf{B}^{12})X_t= U_t$\n\n![img](./img/lecc08/ACF-SAR1p.png)\n\n"]},{"cell_type":"code","execution_count":1,"id":"8ccdbae5-1b4a-4197-9af9-2c8ea03069ef","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"skip"}},"outputs":[],"source":["roots(SAR1)"]},{"cell_type":"markdown","id":"857c7904-b6b5-488a-958c-894165956f42","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"notes"}},"source":["Evidentemente las raíces son iguales a las del caso anterior (aunque ahora corresponden al polinomio autorregresivo).\n\n"]},{"cell_type":"code","execution_count":1,"id":"f7857fb7-f9f5-4665-a456-45f979d7d4d9","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"skip"}},"outputs":[],"source":["options(repr.plot.width = 12, repr.plot.height = 5, repr.plot.res = 200)\nide(sim(SAR1, n = 500),\n lag.max = 50,\n lags.at = 12,\n graphs = c(\"plot\", \"acf\", \"pacf\", \"pgram\"))"]},{"cell_type":"markdown","id":"7869b238-a9dd-4d53-9d80-4e969686a362","metadata":{},"source":["![img](./img/lecc08/Sim-SAR1p.png)\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"1feb4e63-61d8-4fdb-91ef-5dd93f731f00","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"subslide"}},"source":["Con estos dos ejemplos hemos podido apreciar que:\n\n- las pautas de autocorrelación son análogas a las de los MA(1) y\n AR(2), pero ahora los retardos significativos corresponden a los\n retardos estacionales, es decir, a múltiplos del período estacional\n $S$.\n\n- En estos ejemplos, en los que $S=12$, los retardos estacionales son:\n 12, 24, 36, 48, 60,…\n\n- las correlaciones correspondientes a los “retardos regulares” (es\n decir, todos menos menos los estacionales) son no significativas en\n general.\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"4e0b3dd4-f584-4343-9b26-85044b29f923","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"fragment"}},"source":["Veamos ahora un par de ejemplos de modelos estacionales\nmultiplicativos (i.e., con parte regular y parte estacional).\n\n"]},{"cell_type":"markdown","id":"1d733fb9-350e-45d8-a3a8-b03b1f2d45ec","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"notes"}},"source":["### ARIMA$(0,0,1)\\times(0,0,1)_{12}$\n\n"]},{"cell_type":"code","execution_count":1,"id":"8a3a4356-cd0e-49a2-a73d-7faf7fc16a65","metadata":{"slideshow":{"slide_type":"skip"}},"outputs":[],"source":["options(repr.plot.width = 12, repr.plot.height = 2, repr.plot.res = 200)\nMA1SMA1 <- um(ma = \"(1 - 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Algunos\n controles estándar son:\n - Significatividad de los parámetros estimados\n - Estacionariedad y homocedasticidad de los residuos\n - ¿Existe un patrón de autocorrelación residual que podría ser\n modelado? ¿O hemos logrado que los residuos sean ***\"ruido blanco\"***?\n\nSi la diagnosis no es satisfactoria, se vuelve a la primera fase.\n\nSi la diagnosis es satisfactoria… ¡hemos logrado un modelo\naceptable!\n\n"]}],"metadata":{"org":null,"kernelspec":{"display_name":"R","language":"R","name":"ir"},"language_info":{"codemirror_mode":"r","file_extension":".r","mimetype":"text/x-r-source","name":"R","pygments_lexer":"r","version":"3.3.2"}},"nbformat":4,"nbformat_minor":5}