---
title: "統計データ解析I"
subtitle: "第8講 練習問題"
date: "`r Sys.time()`"
format:
    html: 
      toc: true
      html-math-method: katex
      self-contained: true
      grid: 
        margin-width: 350px
execute: 
  echo: true
  warning: false
reference-location: margin
citation-location: margin
tbl-cap-location: margin
fig-cap-location: margin
editor: visual
editor_options: 
  chunk_output_type: console
---

## 準備

以下で利用する共通パッケージを読み込む．

```{r}
library(conflicted)  # 関数名の衝突を警告
conflicts_prefer(    # 優先的に使う関数を指定
    dplyr::filter(),
    dplyr::select(),
    dplyr::lag(),
    )
library(tidyverse)
#' 日本語を用いるので macOS ではフォントの設定を行う
if(Sys.info()["sysname"] == "Darwin") { # macOS か調べて日本語フォントを指定
    theme_update(text = element_text(family = "HiraginoSans-W4"))
    update_geom_defaults("text", list(family = theme_get()$text$family))
    update_geom_defaults("label", list(family = theme_get()$text$family))}
```

## 二項分布

### 問題

二項分布に関して以下を考察せよ．

-   平均と分散の理論計算を確認しなさい．

-   $X_{1},\dotsc,X_n$ を成功確率 $p$ の Bernoulli 分布に従う独立同分布な確率変数列とする． このとき $\sum_{i=1}^nX_i$ の分布は，試行回数 $n$ , 成功確率 $p$ の二項分布に従う．これをグラフに描画して確認しなさい．

## Poisson 分布

### 問題

Poisson 分布に関して以下を考察せよ．

-   平均と分散の理論計算を確認しなさい．

-   $X,Y$ を独立な2つの確率変数とし，それぞれ強度 $\lambda_{1},\lambda_{2}$ の Poisson 分布に従うとする． このとき, 和 $X+Y$ の分布は強度 $\lambda_{1}+\lambda_{2}$ の Poisson 分布に従う． これをグラフに描画して確認しなさい．

## 正規分布

### 問題

正規分布に関して以下を考察せよ．

-   $U_{1},U_{2}$ を $(0,1)$ 上の一様分布に従う独立な確率変数とする． このとき $$
      \begin{align}
        X_{1}&=\sqrt{-2\log(U_{1})}\cos(2\pi U_{2}),\\
        X_{2}&=\sqrt{-2\log(U_{1})}\sin(2\pi U_{2})
      \end{align}
    $$ とおくと， $X_{1},X_{2}$ は独立かつともに標準正規分布に従う． これをグラフに描画して確認しなさい．

    ::: callout-note
    この変換を Box-Muller 変換と呼ぶ．
    :::

## $\chi^2$ 分布

### 問題

$\chi^2$ 分布に関して以下を考察せよ．

-   標準正規分布に従う $k$ 個の独立な確率変数の二乗和は自由度 $k$ の $\chi^2$ 分布に従うことを確認しなさい．

## $t$ 分布

### 問題

$t$ 分布に関して以下を考察せよ．

-   $Z$ を標準正規分布に従う確率変数，$Y$ を自由度 $k$ の $\chi^2$ 分布に従う確率変数とし，$Z,Y$ は独立であるとする． このとき確率変数 $$
      \begin{equation}
        \frac{Z}{\sqrt{Y/k}}
      \end{equation}
    $$ は自由度 $k$ の $t$ 分布に従うことを確認しなさい．

## $F$ 分布

### 問題

$F$ 分布に関して以下を考察せよ．

-   $Y_{1},Y_{2}$ をそれぞれ自由度 $k_{1},k_{2}$ の $\chi^2$ 分布に従う独立な確率変数とする． このとき, 確率変数 $$
     \begin{equation}
       \frac{Y_{1}/k_{1}}{Y_{2}/k_{2}}
     \end{equation}
    $$ は自由度 $k_{1},k_{2}$ の $F$ 分布に従うことを確認しなさい．