\(E(\chi^2)\) \(D(\chi^2)\) \(E(X_i) = 0\) \(D(X_i) = 1 = E(X_i^2) - (E(X_i^2))^2\) \(E(X_i^2) = 1 + 0 = 1\), \(E(X_i^4) = 3\) \(D(X_i^2) = E(X_i^4) - (E(X_i^2))^2 = 3 - 1^2 = 2\) \[E(\chi^2) = n\] \[D(\chi^2) = 2n\] |
\(F\) 分布 随机变量 \(X\sim \chi^2(n_1), Y\sim \chi^2(n_2)\) ，自由度为 \(n_1, n_2\) 的\(F\) 分布: \[F = \frac{X/n_1}{Y/n_2}\] 记为 \(F \sim F(n_1, n_2)\). |
\(F\) 分布的结论
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\(\chi^2\) 分布 \(X_i(i = 1, 2, \cdots, n)\) 相互独立且服从标准正态分布，自由度为 \(n\) 的\(\chi^2 分布\) : \[\chi^2 = X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2\] 记为 \(\chi^2 \sim \chi^2 (n)\). |
\(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}x\) 用这个算： \(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{1}{2}x^2}\mathrm{d}x = 1\) |
\(t\) 分布 随机变量 \(X\sim N(0, 1), Y\sim \chi^2(n)\) ，自由度为 \(n\) 的\(t\) 分布: \[T = \frac{X}{\sqrt{Y/n}}\] 记为 \(T \sim t (n)\). |
\(t\) 分布的上分位点结论 \(t_{1 - a}(n) = -t_a(n)\) |
乘法公式 \(P(AB) = P(B)P(A|B)\) |
二项分布 \(B(n, p)\) 的分布律 \[ p_k = P(X = k) = \binom{n}{k}p^kp^{n-k} \] |
二项分布的方差 \(np(1-p)\) |
二项分布的期望 \(np\) |
二项分布的泊松逼近 若 \(p\) 很小（\(p \le 0.05\)）、\(n\) 较大（\(n \ge 20\) ）时，近似计算公式： \[b(k;n,p) = \binom{n}{k}p^kp^{n-k} \approx p(k;np) = \frac{(np)^k}{k!}e^{-np}\] 若 \(p\) 很大，转换成 \(b(n-k, n, 1-p)\) |
全概率公式
等价地，若每次试验的时候\(\{B_i|i\in I\}\) 中至少有一个发生且只有一个发生，则\(\{B_i|i\in I\}\) 是完备事件组.
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分布函数 \(F(x) = P(X \le x), -\infty < x < \infty\)
\(P(a |
切比雪夫不等式 对任意随机变量\(X\) ，若\(D(X)\) 存在，则对任意\(\varepsilon > 0\) ，有 \[P(|X-E(X)|\ge \varepsilon) \le \frac{D(X)}{\varepsilon^2}\] |
加法公式
\[P(\cup_{i=1}^nA_i)=\sum_{i=1}^nP(A_i)-\sum_{1\leqslant i < j \leqslant n}P(A_iA_j)+\sum_{1\leqslant i < j < k \leqslant n}P(A_iA_jA_k)-\cdots+(-1)^{n-1}P(A_1A_2\cdots A_n)\] |
区间估计\(\mu\) 单个正态\(N(\mu, \sigma^2)\)，\(\sigma\) 未知 枢轴量： \[\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n - 1)\] \(\mu\) 的置信度为 \(1-\alpha\) 的置信区间为 \[\left(\overline{X} \pm \frac{S}{\sqrt{n}}t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \right)\] |
区间估计\(\mu\) 单个正态\(N(\mu, \sigma^2)\)，已知\(\sigma\) 枢轴量： \[\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0, 1)\] \(\mu\) 的置信度为 \(1-\alpha\) 的置信区间为 \[\left(\overline{X} \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\frac{\alpha}{2}}\right)\] |
区间估计\(\mu_1 - \mu_2\) 两正态\(N(\mu_1, \sigma_1^2), N(\mu_2, \sigma_2^2)\)，\(\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma\) 未知 枢轴量： \[ \frac{(\overline{X} - \overline{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \sim t(n_1 + n_2 - 2) \] \(\mu_1 - \mu_2\) 的置信度为 \(1-\alpha\) 的置信区间为 \[\left(\overline{X} - \overline{Y} \pm S_w \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}t_{\frac{\alpha}{2}}(n_1 + n_2 - 2)\right)\] \(S_w^2 = \frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}\) |
区间估计\(\mu_1 - \mu_2\) 两正态\(N(\mu_1, \sigma_1^2), N(\mu_2, \sigma_2^2)\)，\(\sigma_1, \sigma_2\) 已知 枢轴量： \[ \frac{(\overline{X} - \overline{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_1^2}{n_1}}} \sim N(0, 1) \] \(\mu_1 - \mu_2\) 的置信度为 \(1-\alpha\) 的置信区间为 \[\left(\overline{X} - \overline{Y} \pm z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_1^2}{n_1}} \right)\] |
区间估计\(\sigma\) 单个正态\(N(\mu, \sigma^2)\)，\(\mu\) 未知 枢轴量： \[\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\] \(\sigma\) 的置信度为 \(1-\alpha\) 的置信区间为 \[\left(\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)}}, \sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1 - \frac{\alpha}{2}}(n-1)}}\right)\] |
区间估计\(\sigma_1^2/\sigma_2^2\) 两正态\(N(\mu_1, \sigma_1^2), N(\mu_2, \sigma_2^2)\)，\(\mu_1,\mu_2\) 未知 枢轴量： \[\frac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2} = \frac{\frac{(n_1 - 1)S_1^2}{\sigma_1^2}/(n_1-1)}{\frac{(n_2 - 1)S_2^2}{\sigma_2^2}/(n_2-1)} \sim F(n_1 - 1, n_2 - 1)\] \(\sigma_1^2/\sigma_2^2\) 的置信度为 \(1-\alpha\) 的置信区间为 \[\left(\frac{S_1^2/S_2^2}{F_{\frac{\alpha}{2}}(n_1 - 1, n_2 - 1)}, \frac{S_1^2/S_2^2}{F_{1 - \frac{\alpha}{2}}(n_1 - 1, n_2 - 1)}\right)\] |
协方差 \(\operatorname{Cov}(X, Y) = E\left((X-E(X)(Y-E(Y))\right)\) \[D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\operatorname{Cov}(X,Y) \] |
协方差的性质
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协方差计算公式 \[\operatorname{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)\] |
和的分布 (卷积公式) \(X\) 与 \(Y\) 相互独立，\(Z = X + Y\) \[ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\mathrm{d}x \] |
商的分布 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立，\(Z = \frac{X}{Y}\) \[ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}|y|f(zy,y)\mathrm{d}y\] |
在 \(n\) 重伯努利实验中事件 \(A\) 恰好发生 \(k\) 次的概率 \[ \binom{n}{k}p^kp^{n-k} \] |
均匀分布 \(U(a,b)\) 的概率密度函数 \(f(x)=\frac{1}{b - a}I_{[a, b]}(x)\) |
均匀分布的方差 \(\frac{(b-a)^2}{12}\) |
均匀分布的期望 \(\frac{a + b}{2}\) |
指数分布 \(\mathcal{E}(\lambda)\) 的概率密度函数 \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\) |
指数分布的方差 \(\frac{1}{\lambda^2}\) |
指数分布的期望 \(\frac{1}{\lambda}\) |
方差 \(D(X) = E\left((X - E(X))^2\right)\) 标准差（均方差）为 \[ \sigma_X = \sqrt{D(X)} \] |
方差的性质
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方差的计算公式 \[D(X) = E(X^2) - \left(E(X)\right)^2\] |
期望的性质
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条件概率 \(P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}\) |
样本平均值 \[\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i\] |
样本平均值的方差 \[D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}\] |
样本平均值的期望 \[E(\overline{X}) = \mu\] |
样本方差 \[S^2 = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^n(X_i - \overline{X})^2\] |
样本方差的期望 \[E(S^2) = \sigma^2\] |
棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 设\(n_A\) 为\(n\) 重伯努利试验中事件\(A\) 出现的次数，又每次试验中\(A\) 发生的概率为$p$，则 \[ \frac{n_A - np}{\sqrt{np(1-p)}} \] 的分布函数收敛到标准正态分布函数 \(\varPhi(x)\). 当\(p\) 很接近 0 或 1 时用正态分布近似二项分布要求\(n\) 相当大，否则不如泊松近似. |
概率密度函数 若\(F(x)\) 是分布函数，如果存在定义在 \((-\infty, \infty)\) 上的非负实值函数\(f(x)\) 使得 \[ F(x) = \int_{-\infty}^{x}f(y)\mathrm{d}y,\quad -\infty < x < \infty\] 则\(f(x)\) 是 \(X\) 的概率密度函数. |
概率的基本性质
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正态分布概率密度函数 \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2}, -\infty < x < \infty\) |
正态分布的方差 \(\sigma^2\) |
正态分布的期望 \(\mu\) |
正态总体基本定理
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正态概率计算公式 \(\varPhi(x)\) 是标准正态分布函数. \[ P(a < X \le b) = \varPhi(\frac{b - \mu}{\sigma}) - \varPhi(\frac{a - \mu}{\sigma}) \] |
泊松分布 \(\mathcal{P}(\lambda)\) 的分布律 \(p(k;\lambda) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, \quad k = 0, 1, 2, \cdots\) |
泊松分布的方差 \(\lambda\) |
泊松分布的期望 \(\lambda\) |
相互独立 设\(A\) ，\(B\) 是两事件，若 \(P(AB)=P(A)P(B)\) ，则称事件\(A\) 与事件\(B\) 相互独立. 这些也相互独立： \[ \{\overline{A}, B\}, \{A, \overline{B}\}, \{\overline{A}, \overline{B}\} \] |
相关系数 \[\rho = \rho_{XY} = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}{\sqrt{D(Y)}}}\] |
相关系数的意义
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离散型随机变量的期望 \[E(X) = \sum_{k \ge 1}x_kp_k\] |
若干个随机变量的最 大 值的分布 相互独立的随机变量 \(X_1, \cdots, X_n\) ，\(X_i\) 的分布函数为\(F_{X_i}(x), i = 1, \cdots, n\) \[F_{\mbox{max}}(x) = \prod_{i = 1}^n F_{X_i}(x)\] |
若干个随机变量的最 小 值的分布 相互独立的随机变量 \(X_1, \cdots, X_n\) ，\(X_i\) 的分布函数为\(F_{X_i}(x), i = 1, \cdots, n\) \[F_{\mbox{min}}(x) = 1 - \prod_{i = 1}^n (1 - F_{X_i}(x))\] |
莱维-林德伯格中心极限定理 独立同分布随机变量序列 \(\{X_n\}\) ，\(E(X)=\mu\) ， \(D(X_n) = \sigma^2 > 0\) ，则随机变量 \[ \frac{1}{\sqrt{n}\sigma}\left(\sum_{k = 1}^{n}X_k - n\mu\right)\] 的分布函数收敛到标准正态分布函数 \(\varPhi(x)\). |
贝叶斯公式 设\(\{B_i|i\in I\}\) 是一个完备事件组且\(P(B_i)>0\) ，\(A\) 是一个事件且 \(P(A)>0\) ，则 \[ P(B_i|A) = \frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B_j)} \] 贝叶斯公式的意义：导致结果\(A\) 有各种原因（或条件）\(B_1, B_2, \cdots\) ，通过检验已知\(A\) 已经发生 ，再看各原因（或条件）发生的概率，可用 贝叶斯公式. 贝叶斯公式又称 逆概率公式.
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连续型随机变量函数的期望 \[ E(g(x)) = \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\mathrm{d}x \] |
连续型随机变量的期望 \[ E(x) = \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\mathrm{d}x \] 若 \(\int_{-\infty}^{\infty}|x|f(x)\mathrm{d}x = \infty\) 则不存在. |
随机变量函数分布的积分转化法 \(g(x)\) 是（分段）连续或（分段）单调函数，如果对任何有界连续函数 \(h(x)\) ，成立 \[ \int_{-\infty}^{+\infty}h[g(x)]f_X(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x = \int_\alpha^\beta h(y)p(y)\mathop{}\!\mathrm{d}y \] 其中 \(-\infty\leqslant\alpha<\beta\leqslant+\infty\) ，则 \(Y=g(X)\) 的概率密度为 \[ f_Y(y) = \left\{ \begin{array}{lc} \; p(y), & \alpha < y < \beta \\ \; 0,\mbox{其他} & \end{array} \right. \] 二维随机变量函数分布与此类似. |
马尔可夫不等式 设\(X\) 是数学期望存在的随机变量，则对任何 \(c>0\) \[ P(|X|\ge c) \le \frac{E(|X|)}{c} \] |