{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "This is a first IJulia notebook to demonstrate features of Polymake.jl.\n", "\n", "Author: Michael Joswig" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 1, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "using Cxx" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 2, "metadata": {}, "outputs": [ { "name": "stdout", "output_type": "stream", "text": [ "polymake version 3.1.1\n", "Copyright (c) 1997-2018\n", "Ewgenij Gawrilow, Michael Joswig (TU Berlin)\n", "http://www.polymake.org\n", "\n", "This is free software licensed under GPL; see the source for copying conditions.\n", "There is NO warranty; not even for MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.\n" ] } ], "source": [ "using Polymake" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Produce a 6-dimensional polytope with 20 vertices, drawn uniformly at random on the unit sphere, and print its f-vector." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 3, "metadata": {}, "outputs": [ { "name": "stderr", "output_type": "stream", "text": [ "polymake: used package cdd\n", " cddlib\n", " Implementation of the double description method of Motzkin et al.\n", " Copyright by Komei Fukuda.\n", " http://www-oldurls.inf.ethz.ch/personal/fukudak/cdd_home/\n", "\n" ] }, { "data": { "text/plain": [ "pm::Vector\n", "20 167 636 1173 1026 342" ] }, "execution_count": 3, "metadata": {}, "output_type": "execute_result" } ], "source": [ "P = rand_sphere(6,20)\n", "give( P, \"F_VECTOR\" )" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Now for the g-vector of the same polytope, but this time it is converted to a Julia Array." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 4, "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "text/plain": [ "4-element Array{Int32,1}:\n", " 1\n", " 13\n", " 68\n", " 66" ] }, "execution_count": 4, "metadata": {}, "output_type": "execute_result" } ], "source": [ "g = convert(Array{Int32}, give( P, \"G_VECTOR\" ))" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Let's do a census of 100 random samples and plot the result. Since g_0=1 and g_1=#vertices-dimension-1 are constant, it suffices to plot g_2 versus g_3." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 5, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "n_vertices=20\n", "n_samples=100\n", "g_vectors = Array{Int32}(n_samples,2)\n", "\n", "for i=1:n_samples\n", " RS = rand_sphere(6,n_vertices)\n", " g = convert(Array{Int32}, give( RS, \"G_VECTOR\" ))\n", " g_vectors[i,1] = g[3] # notice index shift as Julia counts from 1\n", " g_vectors[i,2] = g[4]\n", "end" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 7, "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "image/svg+xml": [ "\n", "\n", "\n", " \n", " g_2\n", " \n", " \n", " 60\n", " 65\n", " 70\n", " 75\n", " 80\n", " \n", "\n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", "\n", " \n", " 60\n", " 70\n", " 80\n", " 90\n", " 100\n", " 110\n", " \n", " \n", " g_3\n", " \n", "\n", "\n", " \n", " \n", "\n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", "\n", "\n" ], "text/html": [ "\n", "\n", "\n", " \n", " g_2\n", " \n", " \n", " 35\n", " 40\n", " 45\n", " 50\n", " 55\n", " 60\n", " 65\n", " 70\n", " 75\n", " 80\n", " 85\n", " 90\n", " 95\n", " 100\n", " 105\n", " 40\n", " 41\n", " 42\n", " 43\n", " 44\n", " 45\n", " 46\n", " 47\n", " 48\n", " 49\n", " 50\n", " 51\n", " 52\n", " 53\n", " 54\n", " 55\n", " 56\n", " 57\n", " 58\n", " 59\n", " 60\n", " 61\n", " 62\n", " 63\n", " 64\n", " 65\n", " 66\n", " 67\n", " 68\n", " 69\n", " 70\n", " 71\n", " 72\n", " 73\n", " 74\n", " 75\n", " 76\n", " 77\n", " 78\n", " 79\n", " 80\n", " 81\n", " 82\n", " 83\n", " 84\n", " 85\n", " 86\n", " 87\n", " 88\n", " 89\n", " 90\n", " 91\n", " 92\n", " 93\n", " 94\n", " 95\n", " 96\n", " 97\n", " 98\n", " 99\n", " 100\n", " 40\n", " 60\n", " 80\n", " 100\n", " 40\n", " 42\n", " 44\n", " 46\n", " 48\n", " 50\n", " 52\n", " 54\n", " 56\n", " 58\n", " 60\n", " 62\n", " 64\n", " 66\n", " 68\n", " 70\n", " 72\n", " 74\n", " 76\n", " 78\n", " 80\n", " 82\n", " 84\n", " 86\n", " 88\n", " 90\n", " 92\n", " 94\n", " 96\n", " 98\n", " 100\n", " \n", "\n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", "\n", " \n", " 0\n", " 10\n", " 20\n", " 30\n", " 40\n", " 50\n", " 60\n", " 70\n", " 80\n", " 90\n", " 100\n", " 110\n", " 120\n", " 130\n", " 140\n", " 150\n", " 160\n", " 170\n", " 0\n", " 2\n", " 4\n", " 6\n", " 8\n", " 10\n", " 12\n", " 14\n", " 16\n", " 18\n", " 20\n", " 22\n", " 24\n", " 26\n", " 28\n", " 30\n", " 32\n", " 34\n", " 36\n", " 38\n", " 40\n", " 42\n", " 44\n", " 46\n", " 48\n", " 50\n", " 52\n", " 54\n", " 56\n", " 58\n", " 60\n", " 62\n", " 64\n", " 66\n", " 68\n", " 70\n", " 72\n", " 74\n", " 76\n", " 78\n", " 80\n", " 82\n", " 84\n", " 86\n", " 88\n", " 90\n", " 92\n", " 94\n", " 96\n", " 98\n", " 100\n", " 102\n", " 104\n", " 106\n", " 108\n", " 110\n", " 112\n", " 114\n", " 116\n", " 118\n", " 120\n", " 122\n", " 124\n", " 126\n", " 128\n", " 130\n", " 132\n", " 134\n", " 136\n", " 138\n", " 140\n", " 142\n", " 144\n", " 146\n", " 148\n", " 150\n", " 152\n", " 154\n", " 156\n", " 158\n", " 160\n", " 0\n", " 50\n", " 100\n", " 150\n", " 200\n", " 0\n", " 5\n", " 10\n", " 15\n", " 20\n", " 25\n", " 30\n", " 35\n", " 40\n", " 45\n", " 50\n", " 55\n", " 60\n", " 65\n", " 70\n", " 75\n", " 80\n", " 85\n", " 90\n", " 95\n", " 100\n", " 105\n", " 110\n", " 115\n", " 120\n", " 125\n", " 130\n", " 135\n", " 140\n", " 145\n", " 150\n", " 155\n", " 160\n", " \n", " \n", " g_3\n", " \n", "\n", "\n", " \n", " \n", "\n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", "\n", "\n", "\n", "\n" ], "text/plain": [ "Plot(...)" ] }, "execution_count": 7, "metadata": {}, "output_type": "execute_result" } ], "source": [ "using Gadfly\n", "plot(x=g_vectors[1:n_samples,1], y=g_vectors[1:n_samples,2],\n", " Guide.xlabel(\"g_2\"), Guide.ylabel(\"g_3\"))" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Comparing with the maximal g-vector from McMullen's upper bound theorem shows that the random polytopes have rather few faces." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 8, "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "text/plain": [ "pm::Vector\n", "1 13 91 455" ] }, "execution_count": 8, "metadata": {}, "output_type": "execute_result" } ], "source": [ "give( upper_bound_theorem(6,n_vertices), \"G_VECTOR\" )" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "The lesson to learn here is the following.\n", "\n", "By just looking at this class of random polytopes, one cannot get an adequate intuition about the set of all 6-polytopes with 20 vertices, not even the simplicial ones." ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Julia 0.6.2", "language": "julia", "name": "julia-0.6" }, "language_info": { "file_extension": ".jl", "mimetype": "application/julia", "name": "julia", "version": "0.6.2" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 2 }