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      "# Observador din\u00e2mico e observador de Luenberger\n",
      "\n",
      "## Exemplo:\n",
      "Comecemos com o exemplo:\n",
      "$$ \\ddot{x} + a \\dot{x}+ bx = u(t) $$ que pode ser colocado na seguinte forma matricial com a posi\u00e7\u00e3o como observa\u00e7\u00e3o:\n",
      "$$ \\begin{gather}\n",
      "\\begin{pmatrix}\\dot{x} \\\\ \\dot{v} \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ -b & -a \\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} x \\\\ v\\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\end{pmatrix} u \\\\[0.4cm] y = \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} x \\\\ v\\end{pmatrix} \\end{gather}$$\n"
     ]
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      "\u00c9 natural que procuremos uma realimenta\u00e7\u00e3o de estabiliza\u00e7\u00e3o da forma $u = Ly$. Neste caso a forma do sistema em malha fechada seria:\n",
      "$$\\dot{\\mathbf{x}} = \\left(\\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ -b & -a \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ L & 0 \\end{pmatrix}\\right) \\mathbf{x}$$\n",
      "que tem o polin\u00f4mio caracter\u00edstico $p(\\lambda) = \\lambda^2 + a\\lambda + b - L$ que s\u00f3 poder\u00e1 ser estabilizado se $a>0$."
     ]
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      "## Observador din\u00e2mico\n",
      "A ideia \u00e9 construir uma estimativa da vari\u00e1vel de estado que chamaremos $\\mathbf{x}_e$. Seja ent\u00e3o o sistema linear da forma\n",
      "$$ \\dot{\\mathbf{x}} = A\\mathbf{x} + Bu \\\\\n",
      "\\mathbf{y} = C\\mathbf{x} $$\n",
      "\n",
      "Um sistema \n",
      "$$\\begin{gather}\n",
      "\\dot{\\mathbf{z}} = D\\mathbf{z} + E\\mathbf{y} + Fu \\\\\n",
      "\\mathbf{x}_{e} = G\\mathbf{z}\n",
      "\\end{gather}$$\n",
      "\u00e9 um **observador din\u00e2mico** se para toda condi\u00e7\u00e3o inicial temos que $\\|\\mathbf{x}(t) - \\mathbf{x}_e(t)\\|$ tende a zero quando $t\\to \\infty$."
     ]
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     "source": [
      "## Observador de Luenberger\n",
      "Um caso a considerar \u00e9 quando $G=I$, e neste caso temos a equa\u00e7\u00e3o\n",
      "$$ \\dot{\\mathbf{x}}_e= D\\mathbf{x}_e + E\\mathbf{y} + Fu  $$\n",
      "Para ser um observador \u00e9 preciso ainda que $e(t) = \\mathbf{x}(t) - \\mathbf{x}_e(t)$ v\u00e1 para zero quando $t$ vai a infinito.\n",
      "Mas temos:\n",
      "$$ \\dot{e}(t)= \\dot{\\mathbf{x}}(t) - \\dot{\\mathbf{x}}_e(t)= A\\mathbf{x} + Bu -D\\mathbf{x}_e - EC\\mathbf{x} - Fu $$\n",
      "Nesta equa\u00e7\u00e3o, se tivermos $A-EC = D$ e $B=F$ obtemos:\n",
      "$$ \\dot{e}(t) = (A-EC)e(t) $$ e $e(t)$ ir\u00e1 a zero se a matriz $(A-EC)$ for est\u00e1vel.\n",
      "Se existir uma matriz $E$ que satisfaz esta propriedade diremos que o par $(A,C)$ \u00e9 **detect\u00e1vel** e a equa\u00e7\u00e3o:\n",
      "$$ \\dot{\\mathbf{x}}_e= (A-EC)\\mathbf{x}_e + E\\mathbf{y} + Bu  $$\n",
      "\u00e9 chamado de observador de *Luenberger*."
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