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   "source": [
    "## 线性方程组\n",
    "\n",
    "- 线性方程组\n",
    "- 线性方程组的解有三种情况：\n",
    "    1. 无解\n",
    "    2. 唯一解\n",
    "    3. 无穷多解\n",
    "- 线性方程组的系数 -> 矩阵 -> 增广矩阵\n",
    "- 解线性方程组 -> 增广矩阵的行初等变换：\n",
    "    1. 倍加变换\n",
    "    2. 对换变换\n",
    "    3. 倍乘变换\n",
    "- 行阶梯形矩阵 (一般是上三角，故称为 $U$(upper)) -> 基本变量与自由变量\n",
    "\n",
    "> **定理1** (简化阶梯形矩阵的**唯一**性) 每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵。\n",
    "\n",
    "> **定理2** (**存在与唯一性**定理) 线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列。就是说，增广矩阵的阶梯形没有形如 $$ [0 \\cdots 0 \\quad b] \\quad b \\neq 0 $$ 的行，若线性方程组相容，它的解集可能有两种情形：(1) 当没有自由变量时，有唯一解；(2) 若至少有一个自由变量，有无穷多解。\n",
    "\n",
    "- 仅有一列的矩阵 -> 列向量 -> 向量\n",
    "    - 是有序对\n",
    "    - 加法 $u + v$ 与数乘 c$u$   \n",
    "- 给定 $\\mathbb{R}^{n}$ 中向量 $v_1,v_2, \\cdots, v_p$ 和标量 $c_1, c_2, \\cdots, c_p$，向量 $$ y = c_{1}v_{1}+ \\cdots + c_{p}v_{p} $$ 称为向量 $v_1, v_2, \\cdots, v_p$ 以 $c_1, c_2, \\cdots, c_p$ 为**权**的**线性组合**。\n",
    "- 向量方程 <=> 增广矩阵的线性方程组\n",
    "- 一个基本思想：把向量的线性组合看作是**矩阵与向量的积**。\n",
    "\n",
    "> **定理3** 若 $A$ 是 $m \\times n$ 矩阵，它的各列为 $a_1, \\cdots, a_n$，而 $b$ 属于 $\\mathbb{R}^m$，则矩阵方程 $$ Ax = b $$ 与向量方程 $$x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+ \\cdots +x_{n}a_{n}=b$$ 有相同的解集。它又与增广矩阵为 $$ [a_1 \\quad a_2 \\cdots a_n \\quad b]$$ 的线性方程组有相同的解集。\n",
    "\n",
    "> **定理4** 设 $A$ 是 $m \\times n$ 矩阵，则下列命题是逻辑上等价的，也就是说，对某个 $A$，它们都成立或者都不成立。\n",
    "> 1. 对 $\\mathbb{R}^m$ 中的每个 $b$，方程 $Ax=b$ 有解。\n",
    "> 2. $\\mathbb{R}^m$ 中的每个 $b$ 都是 $A$ 的列的一个线性组合。\n",
    "> 3. $A$的各列生成$\\mathbb{R}^m$。\n",
    "> 4. $A$在每一行都有一个主元位置。\n",
    "\n",
    "- 主对角线上元素为 1， 其他位置上元素为 0， 这个矩阵称为**单位矩阵**，记为 $I$。\n",
    "\n",
    "> **定理5** 若 $A$ 是 $m \\times n$ 矩阵，$u$ 和 $v$ 是 $\\mathbb{R}^n$ 中向量，$c$ 是标量，则\n",
    "> 1. $A(u + v) = Au + Av$\n",
    "> 2. $A(cu) = c(Au)$\n",
    "\n",
    "- 线性方程组如果可以写成 $Ax=0$ 的形式，其中 $A$ 是 $m \\times n$ 矩阵而 $0$ 是 $\\mathbb{R}^m$ 中的零向量，则称为**齐次**的。这样的方程组至少有一个解，即 $x=0$，这个解称为它的**平凡解**。\n",
    "- 齐次方程 $Ax=0$ 有非平凡解，当且仅当方程至少有一个自由变量。\n",
    "- 参数向量方程 $x = su+tv$\n",
    "\n",
    "> **定理6** 设方程 $Ax=b$ 对某个 $b$ 是相容的， $p$ 为一个特解， 则 $Ax=b$ 的解集是所有形如 $w=p+v_k$ 的向量的集，其中 $v_k$ 是齐次方程 $Ax=0$ 的任意一个解。\n",
    "\n",
    "- $\\mathbb{R}^n$ 中一组向量 ${v_1, \\cdots, v_p}$ 若在向量方程 $$ x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}+\\cdots+x_{p}v_{p}=0 $$ 仅有平凡解，则称之为 **线性无关**. 若存在不全为零的权 $c_1, \\cdots, c_p$，使 $$ c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\\cdots+c_{p}v_{p}=0 $$, 则称之为 **线性相关**。\n",
    "\n",
    "> **定理7** (线性相关集的特征) 两个或更多个向量的集合 $S={v_1,\\cdots, v_p}$ 线性相关，当且仅当 $S$ 中至少有一个向量是其他向量的线性组合，事实上，若 $S$ 线性相关，且 $v_1 \\neq 0$，则某个 $v_j(j>1)$ 是它前面几个向量 $v_1, \\cdots, v_{j-1}$ 的线性组合。\n",
    "\n",
    "> **定理8** 若一个向量组的向量个数超过每个向量元素个数，那么这个向量组线性相关。就是说，$\\mathbb{R}^n$ 中任意向量组 ${v_1, \\cdots, v_p}$，当 $p>n$ 时线性相关。\n",
    "\n",
    "> **定理9** 若向量组 $S={v_1, \\cdots, v_p}$ 包含零向量，则它线性相关。\n",
    "\n",
    "- 矩阵变换\n",
    "线性变换强调映射的性质，而矩阵变换描述这样的映射如何实现。\n",
    "\n",
    "> **定理10** 设 $T:\\mathbb{R}^n\\rightarrow\\mathbb{R}^m$ 为线性变换，则存在唯一的矩阵 $A$，使 $$T(x)=Ax，对 \\mathbb{R}^n 中的一切x$$ 事实上，$A$ 是 $m\\times n$ 矩阵，它的第 $j$ 列是向量 $T(e_j)$，其中 $e_j$ 是单位矩阵 $I_n$ 的第 $j$ 列：$$A = [T(e_1) \\cdots T(e_n)]$$\n",
    "\n",
    "> **定理11** 设 $T:\\mathbb{R}^n \\rightarrow \\mathbb{R}^m$ 为线性变换，则 $T$ 是一对一当且仅当方程 $Ax=0$ 仅有平凡解。\n",
    "\n",
    "> **定理12** 设 $T:\\mathbb{R}^n \\rightarrow \\mathbb{R}^m$ 是线性变换，设 $A$ 为 $T$ 的标准矩阵，则\n",
    "> 1. $T$ 把 $\\mathbb{R}^n$ 映射到 $\\mathbb{R}^m$，当且仅当 $A$ 的列生成 $\\mathbb{R}^m$。\n",
    "> 2. $T$ 是一对一的，当且仅当 $A$ 的列线性无关。"
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    "A = [0  3 -6  6 4 -5\n",
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