{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Основы работы с блокнотом Jupyter Notebook и примеры решения задач"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "[К оглавлению](00_contents.ipynb)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Структура блокнота и основные операции"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Ячейка Markdown\n",
    "\n",
    "**Markdown** - простой язык для оформления документов. Ячейки этого типа используются для пояснения методики расчетов. \n",
    "Помимо обычного текста, ячейка может содержать:\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "- списки:\n",
    "\n",
    " 1. первый\n",
    " 1. второй\n",
    " 1. третий\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "\n",
    "\n",
    "- таблицы:\n",
    "\n",
    "Заголовок 1  | Заголовок 2\n",
    ":------------|:------------\n",
    " Ячейка 1    | Ячейка 2   \n",
    " Ячейка 3    | Ячейка 4        \n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "\n",
    "- математические формулы: $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2 $,\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "- [гиперссылки](http://yandex.ru),"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "- изображения: \n",
    "![Менделеев](http://www.new-cccp.ru/naukab/1341.jpg \"Менделеев\") \n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "- другие объекты, которые можно разместить на веб-странице (с помощью HTML-тегов).\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Ячейка кода\n",
    "\n",
    "В ячейках кода необходимо писать команды в соответствии с правилами Python. Эти команды при вычислении ячейки интерпретируются и выполняются. Результат выводится сразу после ячейки. \n",
    "\n",
    "При вычислении ячейки с кодом она получает последовательный номер ввода - `In[?]`. А результат вычисления ячейки - номер вывода - `Out[?]`:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "2 * 2"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Режимы работы\n",
    "\n",
    "- режим выполнения (command mode) [Esc]\n",
    "- режим редактирования ячейки (edit mode) [Enter]"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Выполнение кода в ячейках\n",
    "\n",
    "- `Shift-Enter` - выполнить и перейти к следующей\n",
    "- `Ctrl-Enter` - выполнить без перехода к следующей ячейке\n",
    "- `Alt-Enter` - выполнить и добавить новую  ячейку ниже"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "print('Hello!') # Потренируйтесь на этой ячейке"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Справка по клавишам\n",
    "\n",
    "Для часто выполняемых действий назначены \"горячие\" клавиши. \n",
    "\n",
    "См. Help/Keyboard Shortcuts"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Операции с блокнотом\n",
    "\n",
    "- создание\n",
    "- переименование\n",
    "- сохранение\n",
    "- загрузка (.ipynb и .html)\n",
    "- открытие существующего блокнота\n",
    "- [nbviewer](http://nbviewer.jupyter.org)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Примеры решения задач"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "collapsed": true
   },
   "source": [
    "### Построение графика функции одной переменной\n",
    "\n",
    "\n",
    "Построить в одной системе координат графики функций:\n",
    "\n",
    "- $ f_1(x) = x^2 - 4 $\n",
    "- $ f_2(x) = x + 4$\n",
    "\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Подключаем пакеты:\n",
    "import numpy as np #работа с массивами\n",
    "import matplotlib.pyplot as plt #графики\n",
    "# Инициализация отображения графиков в блокноте:\n",
    "%matplotlib inline "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false,
    "run_control": {
     "marked": false
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Задаем диапазон изменения независимой переменной:\n",
    "x = np.linspace(-5, 5, 21)\n",
    "\n",
    "# Задаем функции:\n",
    "f1 = lambda x: x**2 - 4\n",
    "f2 = lambda x: x + 4"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "# График \"по-быстрому\"\n",
    "plt.plot(x, f1(x))\n",
    "plt.plot(x, f2(x));"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false,
    "run_control": {
     "marked": false
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "# График красивый\n",
    "plt.plot(x, f1(x), label='$f_1(x)$')\n",
    "plt.plot(x, f2(x), label='$f_2(x)$')\n",
    "plt.xlabel('$x$', fontsize=16)\n",
    "plt.title('График функции', fontsize=18)\n",
    "plt.legend(loc='best', fontsize=14);"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "> **Задание**:\n",
    "> Построить \"красивый\" график функций: sin(x) и cos(x) на интервале $(-4\\pi;4\\pi)$\n",
    "\n",
    "\n",
    "> *Совет*: необходимые функции и константа содержатся в пакете numpy. К ним можно обратиться так: `np.pi`, `np.sin()`\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": true
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Здесь ваш код"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Работа с матрицами\n",
    "\n",
    "Вычислить скалярное произведение векторов: $V (1, 0, 0)$ и $W (6, 5, 4)$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "V = np.array([1, 0, 0])\n",
    "W = np.array([6, 5, 4])\n",
    "\n",
    "V.dot(W)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Для заданной матрицы \n",
    "\n",
    "$$ A =\n",
    "    \\begin{pmatrix} \n",
    "        1 & -2 & -3\\\\\n",
    "        4 & 5 & 6\\\\\n",
    "        7 & 8 & 9\\\\\n",
    "    \\end{pmatrix}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "вычислить: \n",
    "\n",
    "- $A^T$, \n",
    "- $|A|$, \n",
    "- ранг $A$, \n",
    "- $A^{-1}$,\n",
    "- $A^{-1}A$,\n",
    "- $A\\cdot V$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Задаем матрицу:\n",
    "A = np.matrix([[1, -2, -3],\n",
    "              [4, 5, 6],\n",
    "              [7, 8, 9]])\n",
    "A"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Транспонирование:\n",
    "A.T"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Определитель:\n",
    "np.linalg.det(A)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "np.round(np.linalg.det(A)) #округление"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Ранг:\n",
    "np.linalg.matrix_rank(A)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Обратная матрица:\n",
    "A.I"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false,
    "scrolled": true
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Произведение матриц:\n",
    "A.I * A"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "np.round(A.I * A)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Произведение матрицы на вектор:\n",
    "print(A, V)\n",
    "A.dot(V)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "> **Задание**:\n",
    "> Проверить, имеет ли решение данная система линейных уравнений:\n",
    "\n",
    "\n",
    ">$\n",
    "\\left{\n",
    "\\begin{array}\\\\\n",
    "     x - y + z  = 1 \\\\\n",
    "     y + 2z = 2 \\\\\n",
    "    x + z  = 3   \n",
    "\\end{array}\n",
    "\\right.\n",
    "$\n",
    "\n",
    "> Если решение существует, то найти его"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Построение графика функции двух переменных\n",
    "\n",
    "Пусть требуется построить график функции: $ g(x,y) = \\sin \\sqrt{x^2 + y^2} $"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": true
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "g = lambda x, y: np.sin(np.sqrt(x**2 + y**2))"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Интервалы изменения по X и Y\n",
    "x = np.linspace(-5, 5, 101)\n",
    "y = x"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Координаты узлов сетки для построения графика\n",
    "X, Y = np.meshgrid(x, y)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Значения функции в узлах сетки\n",
    "Z = g(X, Y)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": true
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Графики встраиваются в блокнот\n",
    "%matplotlib inline"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "#### Способ 1: Визуализация матрицы значений функции в узлах сетки как изображения"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "plt.imshow(Z, cmap=plt.cm.viridis)\n",
    "plt.colorbar();"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "#### Способ 2: Контурный график"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false,
    "scrolled": true
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "plt.contourf(X, Y, Z, 50, cmap = plt.cm.viridis)\n",
    "plt.colorbar()\n",
    "contours = plt.contour(X, Y, Z, 5, colors='black')\n",
    "plt.clabel(contours, inline=1);"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "#### Способ 3: График поверхности"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "# График в отдельном окне\n",
    "%matplotlib"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D\n",
    "fig = plt.figure()\n",
    "ax = fig.gca(projection='3d')\n",
    "\n",
    "ax.plot_surface(X, Y, Z, alpha=0.3, cmap=plt.cm.viridis, linewidth=0, rstride=4, cstride=4)\n",
    "\n",
    "ax.set_xlabel('X')\n",
    "ax.set_ylabel('Y')\n",
    "ax.set_zlabel('Z')\n",
    "ax.set_title('График поверхности')\n",
    "\n",
    "# Направление обзора и расстояние до наблюдателя\n",
    "ax.view_init(elev=45, azim=23)\n",
    "#ax.dist=6\n",
    "\n",
    "plt.show()"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "> **Задание**: Требуется построить контурный график и поверхность функции Розенброка:\n",
    ">\n",
    ">\n",
    ">$f(x,y) = (1-x)^2 + 100(y-x^2)^2 $\n",
    ">\n",
    "> Интересным является поведение функции в окрестности точки $(0, 0)$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Символьная математика\n",
    "\n",
    "Символьные вычисления (symbolic math) используются для аналитического решения математических задач. Например, можно вычислять производные, интегралы, оперировать с матрицами, искать корни уравнений, упрощать выражения... \n",
    "\n",
    "В Python символьные вычисления реализованы в пакете SymPy.\n",
    "\n",
    "\n",
    "#### Исследование функции\n",
    "Необходимо найти нули и экстремумы функции:\n",
    "\n",
    "$ f(x) = x^2 - 2x + 1 $\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": true
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "import sympy as sp\n",
    "sp.init_printing() "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "x = sp.symbols('x') # Переменная x теперь содержит символ 'x'"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "f = x**2 - 2*x + 1  - 4# Выражение для функции\n",
    "f"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "# График функции\n",
    "%matplotlib inline\n",
    "sp.plot(f, (x, -2, 4)); #sympy содержит свою функцию для быстрого построения графиков"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Нули функции:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "sp.solve(f, x) #Корни уравнения f(x) = 0"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Производная:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "df = f.diff(x)\n",
    "df"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Вычислить значение производной при x = 5:\n",
    "df.subs(x, 5)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Стационарные точки:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "sp.solve(df) # Точки, в которых производная равна 0"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Тип экстремума:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "f.diff(x, 2) # Вторая производная"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Знак второй производной положителен, следовательно найден минимум"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "> **Задание**: Найти экстремумы функции: $ f(x) = x^4 - 4x^3 - 8x^2$ и определить их тип.\n",
    ">\n",
    "> Проверить решение с помощью графика"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "hide_input": false,
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.4.3"
  },
  "latex_envs": {
   "bibliofile": "biblio.bib",
   "cite_by": "apalike",
   "current_citInitial": 1,
   "eqLabelWithNumbers": true,
   "eqNumInitial": 0
  },
  "toc": {
   "toc_cell": false,
   "toc_number_sections": false,
   "toc_threshold": 4,
   "toc_window_display": false
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 0
}