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 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
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   "source": [
    "# 확률의 종류"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "###1. 확률변수와 확률분포\n",
    "\n",
    "####1) 확률변수\n",
    "\n",
    "- 표본공간 내 각 사건들의 실수값을 대응시키는 함수\n",
    "- Event(사건 등)의 수치적인 표현\n",
    "\n",
    "####2) 확률분포\n",
    "\n",
    "- 확률변수가 취할 수 있는 값과 그 값에 대한 가능성\n",
    "- 이산형분포(discrete probability distribution) & 연속형 분포(continuous probability distribution)\n",
    "- 확률질량함수(probability mass function, PMF) & 확률밀도함수(probability density function, PDF)\n",
    "\n",
    "###2. 확률질량함수와 확률밀도함수\n",
    "\n",
    "####1) 확률질량함수 특징\n",
    "\n",
    "- P(X - $x_{\\rm i}$) $\\dashrightarrow$ X라는 값이 $x_{\\rm i}$ 라는 특정값을 가질 확률\n",
    "- 0 $\\le$ P(x) $\\le$ 1, i = 1,2,3,... n\n",
    "- $\\sum_{i=1}^n$P($x_{\\rm i}$) = 1\n",
    "\n",
    "####2) 확률밀도함수 특징\n",
    "\n",
    "- $f(x)\\ge0$, $-\\infty\\lt x \\lt \\infty$\n",
    "- $\\int_{i=1}^nf(x_{\\rm i})dx = 1$\n",
    "- 임의 수 c, d에 대해 $P(c\\le x \\le d) = \\int_c^df(x)dx$\n",
    "\n",
    "####3) 확률질량함수와 확률밀도함수의 차이점\n",
    "\n",
    "- $f(x)$는 확률 X, 1초과가 가능하다.\n",
    "- 확률변수 X가 c와 d사이에서 취할수 있는 값들은 $f(x)$의 면적\n",
    "- $P(x = a) = 0 \\dashrightarrow P(a \\le x \\le b) = p(a \\lt x \\lt b) = p(a \\le x \\lt b)$  \n",
    "\n",
    "###3. 분포의 종류\n",
    "\n",
    "####1) 누적분포함수(Cumulative Distribution Function, CDF)\n",
    "\n",
    "- 어떤 확률 분포에 대해 확률 변수가 특정값보다 작거나 같은 확률 {$X \\le x$}\n",
    "- $F(x) = P(X \\le x)$ : 확률변수 X의 누적분포함수\n",
    "- 이산형과 연속형에 동일하게 적용가능\n",
    "- $F(x)$는 $x$에 대한 비감소 함수(감소하지 않음)\n",
    "- $\\lim_{x\\rightarrow\\infty}F(x) = F(\\infty)  = 1$\n",
    "- $\\lim_{x\\rightarrow\\infty}F(x) = F(-\\infty) = 0$\n",
    "\n",
    "\n",
    "####2) 결합확률분포(Joint Probability Distribution)\n",
    "\n",
    "- 두개 이상의 변수가 확률적 관계를 가지고 관측된 경우의 대응확률\n",
    "- Marginal probability 주변확률, 결합확률분포에서 하나의 사건에 대한 확률\n",
    "- $P(X = x | Y = y) = \\frac{P(X=x, Y=y)}{P(Y=y)} = \\frac{P(x, y)}{P{\\rm y}(Y)}$\n",
    "- $P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)$ \n",
    "\n",
    "####3) 푸아송 분포 \n",
    "\n",
    "- 이산형 분포\n",
    "- 독립적인 사건이 발생하는 상한이 정해지지 않은 분포\n",
    "- 예를들어 물고기에게 먹이를 주었을 경우, 물고기가 몇 마리 올까? $\\rightarrow$ 물고기 \"온다/안온다\" 자체는 독립적인 사건이지만 몇마리나 올지에 대한 상한선은 정해지지 않았음.\n",
    "- $\\lambda$(람다) : 구간 내 평균 발생 횟수\n",
    "- 푸아송 분포 확률 질량 함수 : $f(x) = \\sum_{r=0}^xP(x = r)$\n",
    "- 푸아송 분포 확률 질량 함수 평균 : $E(x) = \\sum_{x=0}^{\\infty}x\\frac{\\lambda*e^{-\\lambda}}{x!}$\n",
    "- 문제 $\\rightarrow$ 아마존 한달 평균 30명이 피라냐 습격으로 죽는다. $\\rightarrow$ 한 달 30명이 죽을 확률, 하루에 2건이상 사고발생\n",
    "\n",
    "####4) 정규분포 \n",
    "\n",
    "- 연속형 분포\n",
    "- 확률변수 X 의 확률 밀도 함수가 $f(x) = \\frac{1}{\\root\\of{2\\pi\\sigma}}*e\\frac{-(x-m)^2}{2\\sigma^2}$ (단, $-\\infty < x < \\infty$) 일때 X의 확률분포를 정규분포라하고 $N(m, \\sigma^2)$\n",
    "- 임의의 실수 x에 대해 $f(x) > 0$\n",
    "- 곡선은 직선 x - m에 관해 대칭\n",
    "- 곡선과 x축 사이의 넓이는 1이다.\n",
    "- x의 확률 분포 평균은 m이고, 분산은 $\\sigma^2$이다.\n",
    "- X가 [a, b]에 속할 확률은 $P(a \\le x \\le b)$는 구간 [a, b]에서 곡선과 x축 사이의 넓이와 같음.\n",
    "\n",
    "####5) 지수분포\n",
    "\n",
    "- 어떤 독립적 사건이 푸아송 분포에 의해 발생할 때, 지정된 시점으로부터 이 사건이 일어 날때 까지의 걸린시간을 측정\n",
    "- 지수함수 $f(x) = \\lambda * e^{-\\lambda x}$\n",
    "- 평균, 분산 (생략)\n",
    "- 문제 $\\rightarrow$ 물고기가 평균 10분에 5번 입질, 첫번째 입질로부터 다음입질이 올때까지 걸린 시간 (평균 1분에 0.5번 입질, $\\lambda$ = 0.5)\n",
    "- $f(t) = 0.5e^{-0.5t}$, t>0인 분포를 따름\n",
    "\n",
    "####6) 균등분포\n",
    "\n",
    "- 연속확률 분포 중, 특정구간내의 값들이 나타날 가능성이 균등한 분포\n",
    "\n",
    "####7) Z - 분포\n",
    "\n",
    "- 표준정규분포\n",
    "- 정규분포를 표준화 시킨 것\n",
    "- $Z = \\frac{X-\\mu}{\\sigma}$\n",
    "\n",
    "####8) $\\chi^2$분포\n",
    "\n",
    "- $Z^2 = \\frac{(X-\\mu)^2}{\\sigma^2}, \\nu = 1$\n",
    "- 자유도 : n - 1 $\\rightarrow$ 1은 추정된 모수\n",
    "- 표본 평균과 모평균이 같다고 가정할 수 있는 이유는 모평균의 불편측정치(unbiased estimated value) 때문\n",
    "- 모평균과 표본평균이 같다고 가정하기 때문에 n번째 표본은 나머지 표본이 정해지면 자동으로 정해짐, 따라서 자유도는 n-1\n",
    "\n",
    "####9) t - 분포\n",
    "\n",
    "- W.S.Gosset\n",
    "- 표준정규분포를 따르는 확률변수를 독립인 $\\chi^2/\\nu$의 제곱근으로 나눈 확률 변수\n",
    "- t ~$\\frac{N(0,1)}{\\root\\of{\\chi^2/\\nu}}$\n",
    "- 모집단 확률 변수 X가 정규분포를 따르고 그에 따라 표본집단이 정규분포를 따르는 경우 $\\frac{\\bar X - \\mu}{S/\\root\\of{n}}$이 식은 자유도 n-1인 t분포를 따른다."
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