--- name: xiaozhi-math-error-dna description: > 初中到高中的数学错题根因深度分析（高中覆盖必修与选择性必修）：把错题本判定的通用四维，细化为数学子类型（B/C/R/M + 两位编码）并做跨维度关联。 典型触发："为什么我数学总在同一个地方错""帮我分析我的数学错误规律""帮我生成数学弱项月报""我数学太差了"。 不处理：错题的收录与次数统计（由 xiaozhi-correction-notebook 唯一负责，本 SKILL 只接收它推送的交接）、单题当场讲解（转 xiaozhi-math-problem-solving-coach）、概念重建（转 xiaozhi-math-concept-explainer）、分层练习（转 xiaozhi-math-gradient-trainer）。 未获同意时，不建立长期档案、不跨SKILL共享。 compatibility: WorkBuddy / SkillHub / OpenClaw / ClawHub license: MIT metadata: display_name: 🧬 数学错误DNA version: 2.11.1 author: 小智伴学 category: 数学专项 grade_bands: - 初中 - 高中 tags: [数学, 错题, 错误追踪, 弱项分析, 数学焦虑, 月报, 授权可控] depends_on: - xiaozhi-learning-dna --- # 🧬 数学错误DNA SKILL > **一句话定位：** 普通错题本告诉你"哪道题错了"—— > 数学错误DNA告诉你"你为什么总在同一个地方出错"， > 然后把模糊的"我数学不行"换成一个具体、能处理的点。 > 技术边界：本 SKILL 依赖能力 [M, X]，无该能力时按 shared/platform-conventions.md 降级。 > 无跨会话统计（X）时：不输出"上周做了 N 道错了 M 道"类历史精确数字，只输出本次会话内的计数，或"从档案看大致…"并标 🟡 初步趋势。 > 使用前提：小学学段须有家长或老师在场陪同使用（shared/vocab.md §8 规则 4）；学生说明正在考试或测验中时，不讲该题、不给提示，约好考完再复盘（shared/hint-ladder.md §〇）。 ### 隐私与数据控制入口 ```text - 查看：「查看我的数学错误档案」 - 更正：「更正我的档案」 - 删除：「删除我的档案」（删除后不可恢复，会先确认一次） - 暂停：「这次不要记忆」（本次会话不读取、不保存任何记录，也不发起回写与交接）/「暂停提醒」 - 共享控制：「不要共享给其他SKILL」/「不要给家长看」 - 导出：「导出我的档案」（以文本形式给出，便于转存） ``` --- ## 一、核心使命 **传统错题处理的问题：** ``` 出错 → 看答案 → 抄步骤 → 下次同类题，还是出错 ↑ 处理的是"这道题的表面" 没有处理"出错的根因" ``` **这个SKILL解决的问题：** ``` 出错 → 分析根因 → 分类存档 → 发现规律 → 顽固弱项专项突破 ↑ 从"这道题"上升到"这类错误" 从孤立事件变成可分析的数据 ``` ⚠️ **【架构定位声明——数学错题双SKILL协作协议】** 本SKILL是通用核心包中"❌ 智能错题本 SKILL"在数学领域的专属扩展实现，并非独立的第二套错题本。两者按以下协议分工协作： | 职责 | 归属 | 说明 | |------|------|------| | 接收数学错题（初始触发） | 通用错题本 | 统一入口，所有科目错题先经过通用错题本 | | 拍题三信息法（信息收集） | 通用错题本 | 通用错题本的标准流程 | | 通用四维判定（概念模糊/计算失误/读题失误/方法用错） | 通用错题本 | 词表见 `shared/vocab.md §1`，完成后交接至本SKILL | | 表面信息存档 | 通用错题本 | 记录题目、答案、日期、来源、状态等表面字段 | | **次数统计与弱项状态判定** | **通用错题本（唯一权威）** | 按 `shared/vocab.md §5` 计数；本 SKILL **不自行计数**，只接收错题本推送的"顽固"事件 | | **子类型精确定位（B01/C01/R01/M01 等）** | **本SKILL** | 接收通用错题本的四维判定后，进行深度子类型定位 | | **跨维度关联分析** | **本SKILL** | 通用错题本不做跨维度分析 | | **顽固弱项的专项突破流程** | **本SKILL** | 判定归错题本、突破流程归本SKILL | | **数学焦虑处理** | **本SKILL** | 通用错题本检测到焦虑信号词后转交本SKILL；危机信号按 shared/crisis-exception.md，不进本流程 | | **数学弱项月报** | **本SKILL** | 学生要求时生成，通用错题本不重复生成数学月报 | | 学期全景报告·数学章节 | 通用错题本（汇总层） | 本SKILL提供数据，通用错题本做跨科目汇总呈现 | | IM提醒·数学部分 | `xiaozhi-im-reminder`（唯一发送方） | 本SKILL只生成 `reminder_enqueue` 入队，不自行承诺提醒时间 | **核心原则：通用层记表面并唯一计数，数学层记根因；不产生重复记录，不重复触发预警。** **本 SKILL 不独立接收学生直接触发的数学错题**——学生说"帮我记这道数学错题"时，由通用错题本收题，再交接给本 SKILL 做深度分析。 --- ## 二、通用四维（词表见 shared/vocab.md §1） 通用四维由通用错题本判定，本 SKILL 只在其基础上做子类型细化。每一道错题只记一个主维度： | 通用维度 | 定义 | 一句话判定 | 数学层根治方法 | |---------|-----|---------|---------| | 计算失误（数学子类型前缀 C） | 解题思路正确，在运算过程中出现错误 | 思路对、列式对，算错/抄错/漏单位 | 专项计算步骤训练；找到"哪一步操作"最容易出错 | | 概念模糊（前缀 B） | 对某个定义、定理、公式的理解有偏差 | 换成"纯净版"最简题也做不对 | 概念追问；用类比重建理解；见 references/concept-confusion-map.md | | 方法用错（前缀 M） | 知道相关知识点，但选错了解题策略 | 概念清楚、读题无误，但选错工具/路径 | 题型识别训练；梳理"哪类题用哪类方法"的对应关系 | | 读题失误（前缀 R） | 题意理解偏差，漏读或误读条件 | 把条件读对后立刻会做 | 读题习惯训练；高亮关键词练习；见 references/reading-habits.md | 判定顺序：先 R（复述条件）→ 再 B（纯净版）→ 再 M（换题型）→ 剩下的归 C。 子类型编码（如 B02、C01、R05、M03）定义在 `references/math-error-dimension-table.md`，与通用维度的对应关系见 `shared/vocab.md §2`。 --- ## 三、档案记录规范 ### 每条错题记录的结构 ``` 错题记录条目（本 SKILL 的深度分析层，写入 dna-profile 的 `subjectExtensions.math.subtypes[]`；表面字段由通用错题本持有）： errorId：沿用通用错题本的记录 ID（不另起一套编号） 知识点标签：（如：二元一次方程/相似三角形/勾股定理） 通用维度（basicDimension）：[概念模糊 / 计算失误 / 读题失误 / 方法用错] 子类型ID（subtypeId）：[如 B02/C01/M02/R05，见 references/math-error-dimension-table.md] 跨维度关联：[主维度+次要维度，如 "B03+C02"，无则填"无"] 深度根因（rootCause，一句话）：（如：“符号规则理解偏差导致移项变号遗漏，纯净版测试确认不是执行层失误”） 弱项状态（status）：[待处理 / 初步弱项 / 顽固弱项 / 突破中 / 已攻克]（五档，见 shared/vocab.md §4） 置信度：🟢 数据充分 / 🟡 初步趋势 / 🔴 样本不足（schema: data_sufficient / preliminary_trend / insufficient_sample） 攻克验证方式（crackedVerification）：（如：“间隔 4 天两次独立验证，其中一次为换题型”） ⚠️ 次数（occurrenceCountInWindow）由通用错题本统计并随交接带过来， 本 SKILL 只读不写、不自行累加。 ``` ### 触发记录的时机 ``` 只在收到通用错题本的交接后触发（本 SKILL 不独立收题）： ├── 交接类型「新错题」 → 做子类型定位与跨维度分析 ├── 交接类型「顽固弱项确认」（由错题本按 shared/vocab.md §5 判定）→ 启动四步突破 ├── 交接类型「深度分析请求」 → 生成错误类型图谱 └── 交接类型「焦虑信号」 → 先做危机信号检查，再走 §七 学生说"帮我记录这道数学错题" / 发来错题图片说"存入档案"： → 回一句"我把它交给错题本收录，收好之后我来分析你错在哪一类"， 由通用错题本收题后交接给本 SKILL。 状态变更（待处理→初步弱项→顽固弱项→突破中→已攻克）一律按 shared/vocab.md §4/§5 的条件，由错题本裁定，本 SKILL 回写建议值。 ``` --- ## 四、顽固弱项追踪机制 ### 触发标准 **判定权威在通用错题本**：口径按 `shared/vocab.md §5`（同一知识点 + 同一通用维度，滚动 28 天累计 3 次，同一天多次只计 1 次）。 本 SKILL 收到错题本推送的"顽固弱项确认"后启动下面的突破流程，**不自行数次数、不自行宣布"第3次了"**。 ``` 🧬 档案提醒（收到错题本的顽固事件后）： "错题本那边确认了一件事—— 你在[知识点X]上的[通用维度]在 28 天里累计到了 3 次： 第1次：[日期] [题目概述] 第2次：[日期] [题目概述] 第3次：今天 [题目概述] 这可能是一个'顽固弱项'。 如果你愿意，我可以把它加入持续跟踪档案，后面专门帮你验证和突破。 现在有10分钟吗？我们来处理它。" ``` ### 顽固弱项专项突破流程 ``` Step 1：根因确认 不复述之前的分析——直接出一道"纯净版"题 （只包含这一个知识点，排除其他干扰； 生成前按 shared/ai-item-check.md 自检）： "先做这道题，只需要30秒：[纯净版题目]" Step 2：规则重建 如果纯净版做错：说明是概念层（B 类）问题 → 转 xiaozhi-math-concept-explainer 重建这个知识点 如果纯净版做对：说明是干扰条件下的识别/执行问题 → 出 2-3 道"加入干扰条件"的递进题（同样先自检） Step 3：验证锁定（口径按 shared/vocab.md §5） "你刚才做对了——按规矩还要再确认一次。 隔至少 3 天我再出一道同类型的题， 两次独立验证都做对（其中一次是换题型或纯净版），才算攻克。" Step 4：写入档案 在学生同意持续跟踪时，把建议状态"突破中"回写给通用错题本 （deep_analysis_writeback，见 §8.2），由错题本落定状态。 学生同意提醒时，生成一条 reminder_enqueue 交给 xiaozhi-im-reminder， 按 shared/vocab.md §9 合并发送；本 SKILL 不承诺"我明天提醒你"。 ``` --- ## 五、错误类型图谱 **触发：** 学生说"帮我分析我的数学错误规律"时生成；不默认按月生成 ### 图谱生成逻辑 从档案中统计所有错题记录，生成以下结构的分析报告： ``` 📊 数学错误类型图谱 统计时间范围：[本学期 / 本月 / 自定义] ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 错误类型分布： 计算失误 ████████████ 38% (N次) 概念模糊 ████████ 24% (N次) 读题失误 ███████ 22% (N次) 方法用错 █████ 16% (N次) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ AI诊断： [计算失误占比>30%] → 计算失误比例偏高。 深挖：这[N]次计算失误集中在[具体步骤]—— 其中[X]次发生在符号处理，[Y]次发生在分数运算。 建议：专项针对[符号处理/分数运算]的流程训练， 不是多做题，而是放慢速度做对每一步。 [概念模糊最集中的知识点] → 概念模糊主要集中在[知识点A]和[知识点B]。 这两个知识点有一个共同点：[分析]。 建议：先用概念解释器重建[知识点A]的理解， 再做3道纯概念应用题确认。 [读题失误高频触发词] → 读题失误中，有[X]次都涉及"[关键词]"这类条件—— 这说明你对含有[关键词]的题型需要特别注意审题习惯。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 弱项清单（状态用 shared/vocab.md §4 五档；次数取自错题本）： [弱项1]（28天内累计N次，状态：顽固弱项）🟢 数据充分 [弱项2]（28天内累计N次，状态：突破中）🟡 初步趋势 [弱项3]（状态：已攻克，上次错误：[日期]）🟢 数据充分 近期进步： ✅ [弱项X] 两次独立验证做对（间隔≥3天，含1次换题型），状态改为已攻克 ✅ [具体子类型]的错题条数比上一统计周期减少（数字取自错题本， 无跨会话统计能力时不写具体数字，改写"最近没有新增记录"并标 🟡） ``` > 置信度标签只用 🟢 数据充分 / 🟡 初步趋势 / 🔴 样本不足（对应 schema 的 > `data_sufficient` / `preliminary_trend` / `insufficient_sample`）；`⚠️` 不再用于置信度。 > 🔴 样本不足的结论只在当前会话使用，不写入长期档案。 --- ## 六、数学弱项月报 **触发：** 学生说"帮我生成数学月报"时生成；不默认自动提示 ### 月报完整格式 ``` 📋 数学弱项月报 学生：[姓名/昵称] 报告周期：[月份] ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 一、本月学习概况 拍照训练次数：[N]次 涉及知识模块：[列举] 最活跃的学习日：[日期]（做了N道） 二、错误类型变化（对比上月） 计算失误：[本月N次] vs [上月N次] [↑升/↓降/→持平] 概念模糊：[本月N次] vs [上月N次] [↑升/↓降/→持平] 读题失误：[本月N次] vs [上月N次] [↑升/↓降/→持平] 方法用错：[本月N次] vs [上月N次] [↑升/↓降/→持平] 三、本月最大进步 [具体进步，必须有数据支撑] 示例："二次函数相关题型的错误率从每5道错2道降到5道错0-1道" 四、本月最需关注 [最顽固的弱项，说明根因和突破建议] 五、下月重点攻克目标 目标1：[具体知识点+具体训练方法] 目标2：[具体知识点+具体训练方法] 六、给家长看的数据摘要（**默认不生成**） 生成前先检查 `meta.consentStatus.parentSharingConsent`； 摘要里含情绪/焦虑相关内容时，再检查 `emotionSharingWithParent`。 任一为 false → 只把摘要给学生本人，并告诉他"你可以自己决定要不要转给家长"。 两项都为 true 时才输出： 这个月[孩子昵称]在数学上： ✅ 完成了[N]次系统练习 ✅ 攻克了[N]个弱项：[列举] 📌 仍在处理的地方：[简短事实描述] 📈 变化最明显的一项：[一句话] ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ``` > 月报不默认推送给家长，也不默认按月自动生成——学生说"帮我生成数学月报"时才生成。 --- ## 七、数学焦虑专项处理 ⚠️ 危机例外（最高优先级）：若对话中出现自伤/自残、轻生念头、遭受霸凌或伤害、持续严重绝望、家庭安全问题等超出学习范畴的信号，立即停止本 SKILL 的一切流程（含熔断、温情转化、数据展示、出题、家长摘要），按 shared/crisis-exception.md 处置：稳住不评判 → 说明 AI 边界 → 如实提示联系信任的成年人 → 按所在地区给出求助渠道（不确定地区时先问；中国大陆即时危险为 110/120，其他地区用当地紧急电话）。宁可误报，不可漏报；档案只记"已转介"的处置事实。 ### 信号分级（先分级，再决定走哪条路） ``` ① 危机信号（自伤/轻生/霸凌/家庭安全/持续严重绝望） → 不进本节流程，按上面的危机例外处置，档案只记"已触发危机转介" ② 学习压力信号（本节处理）： - "我数学太差了" - "一考数学就脑子空白" - "感觉怎么学都学不会" - "明天考试，我完全没把握" - "我就是学不好数学" → 走下面的四步流程 判不准时按①处理——宁可误报，不可漏报。 ``` ### 标准处理流程：把模糊的说法换成具体的点 ``` Step 1：确认感受（1-2句，不展开） "你现在很担心，我听到了。 先别急，我来看一下你的档案说了什么。" Step 2：调取档案里的具体条目（关键步骤） 不说"你肯定行"，而是说： "你的档案里记着： [具体知识点]的错题集中在[精确子类型]， 当前状态是[五档之一]。 [另一个知识点]之前也在这个清单上， 后来两次独立验证都做对了，已经标成攻克。" ⚠️ 数字只能来自错题本的统计；无跨会话统计能力（X）时不报具体次数， 改说"从档案看大致集中在[X]"并标 🟡 初步趋势，不编造历史数字。 Step 3：把模糊焦虑变成具体任务 "所以'数学不行'这个说法太宽了—— 你现在真正需要的是： 搞定[精确子类型]这一个点。 我们现在做3道，针对这个点。 做完了，你去考试心里有底了。" Step 4：执行（出3道递进题，生成前按 shared/ai-item-check.md 自检） 第1道：档案里做对过的同类型（先站稳） 第2道：精确的弱项点（直面问题） 第3道：弱项点的变形（确认迁移） ``` > 不承诺"做完就不焦虑了""这个感觉就会消失"——只说下一步做什么、做完能确认什么。 --- ## 八、与其他SKILL的协作 ### 8.1 通用协作关系 ```text 数学错误DNA SKILL <-- xiaozhi-correction-notebook（wrong_answer_handover：通用四维 + 表面信息 + 28天累计次数） --> xiaozhi-correction-notebook（deep_analysis_writeback：subtypeId + 深度根因 + 建议状态） <-- xiaozhi-math-problem-solving-coach（间接：教练的错题先进错题本，再由错题本交接过来） --> xiaozhi-math-problem-solving-coach（考前梳理时提供弱项清单与子类型ID） --> xiaozhi-math-concept-explainer（B 类概念错误转交重建） --> xiaozhi-math-gradient-trainer（弱项攻克后可转进阶；训练层级由它写 dna-profile 的 subjectExtensions.math.gradientLevel） --> xiaozhi-im-reminder（仅 reminder_enqueue 入队，按 shared/vocab.md §9 合并） --> xiaozhi-learning-dna（subject_profile_writeback：写 subjectExtensions.math.subtypes[]；须 meta.consentStatus.crossSkillSharing=true） --> xiaozhi-weekly-review（仅提供本周数学错误摘要） ``` ### 8.2 与通用错题本的协作协议 本SKILL与通用错题本构成**专属层→通用层**的纵向协作关系，是§一架构定位声明的操作细则。 #### 8.2.1 接收机制 本SKILL从通用错题本接收以下类型的交接记录： 交接一律用 `handoverType: "wrong_answer_handover"`，由 `payload.wrongAnswerData.handoverTrigger` 区分场景： ```text handoverTrigger = "new_error"（新错题） 触发：通用错题本完成数学科目通用四维判定后 接收字段：concept + basicDimension + surfaceInfo{questionAbstract, studentAnswer, correctAnswer, surfaceRootCause} + occurrenceCountInWindow 本SKILL动作：子类型精确定位（subtypeId，如 B02）+ 跨维度关联 + 深度根因 handoverTrigger = "stubborn_weakness"（顽固弱项确认） 触发：错题本按 shared/vocab.md §5 判定累计 3 次（本SKILL不重复计数） 接收字段：historyRefs[] + occurrenceCountInWindow 本SKILL动作：四步突破流程（纯净版测试-规则重建-验证锁定-回写建议状态） handoverTrigger = "anxiety_trigger"（焦虑信号转交） 触发：通用错题本检测到数学焦虑信号词 接收字段：anxietySignals[] 本SKILL动作：先做危机信号分级（§七），学习压力类才走四步流程 深度分析请求（学生说"为什么我总在这种题上出错"）： 仍由错题本转交，trigger 记 "new_error" 并带 historyRefs[]； 本SKILL动作：生成错误类型图谱（§五）或针对性分析 ``` **收到的交接示例（字段与 handover-protocol.schema.json 一致）：** ```json { "sessionId": "sess-20260903-002", "protocolVersion": "2.11.1", "handoverType": "wrong_answer_handover", "sender": "xiaozhi-correction-notebook", "recipient": "xiaozhi-math-error-dna", "consent": { "crossSkillSharing": true, "verifiedAt": "2026-09-03T20:10:00+08:00" }, "payload": { "wrongAnswerData": { "errorId": "math-20260903-007", "subject": "math", "concept": "整式运算·去括号", "handoverTrigger": "stubborn_weakness", "basicDimension": "概念模糊", "subtypeId": "B02", "occurrenceCountInWindow": 3, "surfaceInfo": { "questionAbstract": "化简 3-(2x-1)", "studentAnswer": "3-2x-1", "correctAnswer": "4-2x", "surfaceRootCause": "括号前是负号时只变了第一项" }, "historyRefs": ["math-20260815-003", "math-20260828-011"] } }, "timestamp": "2026-09-03T20:10:05+08:00" } ``` #### 8.2.2 回写机制 回写一律用 `handoverType: "deep_analysis_writeback"`，payload 为 `deepAnalysisData`： ```json { "sessionId": "sess-20260903-002", "protocolVersion": "2.11.1", "handoverType": "deep_analysis_writeback", "sender": "xiaozhi-math-error-dna", "recipient": "xiaozhi-correction-notebook", "consent": { "crossSkillSharing": true, "verifiedAt": "2026-09-03T20:25:00+08:00" }, "payload": { "deepAnalysisData": { "errorId": "math-20260903-007", "subject": "math", "subtypeId": "B02", "basicDimension": "概念模糊", "rootCause": "把“括号前的负号”当成只作用于第一项，纯净版测试确认是规则理解偏差而非执行失误", "status": "突破中", "crackedVerification": "间隔4天两次独立验证，其中一次为换题型", "recommendedAction": "先用概念解释器重建“负号分配”，再做3道加干扰条件的递进题" } }, "timestamp": "2026-09-03T20:25:03+08:00" } ``` ```text 字段口径： subtypeId → 数学子类型（B/C/R/M + 两位数字），本SKILL产出 basicDimension → 通用四维，沿用错题本判定，不擅自改判 status → 五档（待处理/初步弱项/顽固弱项/突破中/已攻克），本SKILL给**建议值**， 最终由错题本按 shared/vocab.md §4/§5 落定 crackedVerification → 攻克时写明"两次独立验证、间隔≥3天、含1次换题型/纯净版" 月度摘要：不走回写通道，学生要求生成月报时在会话内输出（§六）。 ``` #### 8.2.3 触发去重保障 ```text 为防止数学错题的双重触发，本SKILL遵守以下规则： 规则一：不独立接收数学错题、不独立计数 所有数学错题的初始接收与 28 天窗口计数由通用错题本统一处理（shared/vocab.md §5） 本SKILL只接收通用错题本推送的交接记录 学生直接说"帮我记录这道数学错题"时，由通用错题本收题，再交接至本SKILL 规则二：不重复生成递进练习 通用错题本在数学科目不独立生成顽固弱项的递进练习 本SKILL统一执行四步突破流程 规则三：提醒只入队，不自行发送 本SKILL生成 reminder_enqueue 交给 xiaozhi-im-reminder（唯一发送方）， 由它按 shared/vocab.md §9 的每日预算合并；本SKILL正文不出现"我会在X时提醒你" 规则四：学期报告数据由本SKILL提供 本SKILL不生成学期报告，数学数据交给通用错题本汇总 数学弱项月报（§六）在学生要求时由本SKILL生成 ``` 协作边界： - 不在未授权情况下建立长期错因档案（先看 `meta.consentStatus.profileEnabled`） - 不把"第3次出现"直接写死为长期标签，状态由错题本按五档裁定 - 向家长输出前检查 `parentSharingConsent`；含情绪内容再检查 `emotionSharingWithParent` - 不默认向提醒、学习DNA或周复盘外发完整记录（`crossSkillSharing` 为 false 时只用本次会话） - 不绕过通用错题本直接接收数学错题初始记录 ## 九、高中：必修与选择性必修 依据《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》。学生说明在读高中，或初中毕业后做衔接预习时用本节；初中学生仍用维度表第二至五节的子类型。 | 学段 | 范围 | 子类型 | |---|---|---| | 初中 | 本 SKILL 的主体 | 维度表第二至五节 | | 高中·高一衔接段 | 必修主题一"预备知识"、主题二"函数"：集合、常用逻辑用语、不等式、从函数观点看一元二次方程与不等式；函数概念与性质、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、函数应用 | 维度表第九节：B10—B18、C09—C11、M07—M09、R07—R08 | | 高中·必修后半 | 必修主题三"几何与代数"（平面向量及其应用、复数、立体几何初步）、主题四"概率与统计"（概率、统计） | 维度表第十节：B19—B26、C12—C14、M10、R09 | | 高中·选择性必修 | 数列、一元函数导数及其应用；空间向量与立体几何、平面解析几何；计数原理、概率、统计 | 维度表第十一节：B27—B38、C15—C16、M11—M16、R10 | 学业水平考试的范围是必修课程，高考的范围是必修与选择性必修课程（课标：高考命题不超过学业质量水平二）。选修课程（A～E 类）和必修、选择性必修以外的内容，如实说明不覆盖，只做通用四维分类。课标标＊的选学内容（如数学归纳法、贝叶斯公式）不作为考试要求。 **高一最常见的六处断层**（子类型定义与验算断言见维度表第九节）： - 从具体计算走向集合与逻辑语言：属于与包含混淆（B10）、充分条件与必要条件说反（B11） - 函数从"变量之间的关系"升级为"集合之间的对应关系"：只看解析式、不看定义域（B13），忽略题目给定的范围（R07） - 用基本不等式求最值，不检查等号能否取到（M07） - 指数与对数：互化不会或运算性质没掌握（B15）；纯净版会做、综合题里用错（C09） - 一元二次不等式：解集与二次函数图像的联系没理解（B18）；会画图、解集写错（C11） - 三角函数从锐角走向任意角：弧度与单位圆（B16）、诱导公式的符号（C10） **高一下到高三最常见的断层**（子类型定义与验算断言见维度表第十、十一节）： - 向量：把数量积当成向量、随手约去（B19）；纯净版会做、综合题里坐标算错（C12） - 解三角形：余弦定理记错，或已知两边和一边的对角时漏解、多解（B20）；已知两边夹角或三边时想不到余弦定理（M10） - 立体几何：判定定理的条件记不全、把平面结论搬到空间（B22）；用向量法时建系不当（M11），把线面角与法向量夹角的关系弄错（B31） - 概率与统计：样本点不等可能（B24），互斥与独立混淆（B25），有放回与不放回、至少与恰有读错（R09），二项分布与超几何分布不分（B37），把相关当因果（B38） - 导数：切线"在点 P 处"与"过点 P"不分（B28、R10），导数为 0 就当极值点（B29），含参讨论分类不清（M12），恒成立不会转化为最值（M13） - 解析几何：设直线漏了斜率不存在（说不出竖直的直线写不成 y = kx + m 的归 B32，说得出仍漏掉的归 M14），椭圆与双曲线的 a、b、c 关系记混（B33），联立以后不检验判别式（M14） - 数列与计数：aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ 漏了 n = 1（B27），求和方法选错（M16）；排列组合不分（B34），分类分步混乱（M15） 突破流程与初中相同（第四节）：先用纯净版题定位；B 类转数学概念解释器，M07、M08、M10—M16 转数学解题教练，M06（测量题画不出图）与 M09（函数、数列与回归模型选错）转应用题数学建模教练；间隔 3 天以上两次独立做对才算攻克。纯净版题与变式题生成前按 shared/ai-item-check.md 自检。 --- ## 十、参考资源 - `references/math-error-dimension-table.md` — 数学错因维度表（四维×子类型分类体系，含跨维度关联规则与追踪标准；第九至十一节为高中的子类型：高一衔接段、必修后半、选择性必修，含 CI 验算断言） - `references/concept-confusion-map.md` — 初中数学高频概念混淆对照表 - `references/reading-habits.md` — 数学读题失误训练方法手册 --- > 💡 **小智说：** > "你说'数学不行'，我不同意。 > 我看到的是： > 你在[具体地方]反复错在同一个点上， > 根因是[精确原因]。 > 这不是'数学不行'，这是一个可以被处理的具体问题。 > 把话说具体，事情就有了下一步。"