| Software | Version |
|---|
| Python | 2.7.9 64bit [GCC 4.4.7 20120313 (Red Hat 4.4.7-1)] |
| IPython | 2.3.1 |
| OS | Linux 3.13.0 44 generic x86_64 with debian jessie sid |
| re | 2.2.1 |
| numpy | 1.9.1 |
| matplotlib | 1.4.2 |
| pandas | 0.15.2 |
| quantities | 0.10.1 |
| scipy | 0.15.1 |
| Sat Jan 24 17:14:54 2015 CET |
"
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"{\"Software versions\": [{\"version\": \"2.7.9 64bit [GCC 4.4.7 20120313 (Red Hat 4.4.7-1)]\", \"module\": \"Python\"}, {\"version\": \"2.3.1\", \"module\": \"IPython\"}, {\"version\": \"Linux 3.13.0 44 generic x86_64 with debian jessie sid\", \"module\": \"OS\"}, {\"version\": \"2.2.1\", \"module\": \"re\"}, {\"version\": \"1.9.1\", \"module\": \"numpy\"}, {\"version\": \"1.4.2\", \"module\": \"matplotlib\"}, {\"version\": \"0.15.2\", \"module\": \"pandas\"}, {\"version\": \"0.10.1\", \"module\": \"quantities\"}, {\"version\": \"0.15.1\", \"module\": \"scipy\"}]}"
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"\\begin{tabular}{|l|l|}\\hline\n",
"{\\bf Software} & {\\bf Version} \\\\ \\hline\\hline\n",
"Python & 2.7.9 64bit [GCC 4.4.7 20120313 (Red Hat 4.4.7-1)] \\\\ \\hline\n",
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"Software versions\n",
"Python 2.7.9 64bit [GCC 4.4.7 20120313 (Red Hat 4.4.7-1)]\n",
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"Sat Jan 24 17:14:54 2015 CET"
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"input": [
"# Definici\u00f3n de nuevas constantes:\n",
"earth_radius = 6378160.0 * pq.m\n",
"moon_radius = 1740000.0 * pq.m\n",
"sun_radius = 695000000.0 *pq.m\n",
"earth_mass = 5.97219e24 * pq.kg\n",
"sun_mass = 332946 * earth_mass\n",
"Hubble_constant = 67.80 * (pq.km/pq.s)/(1e6*pq.pc)\n",
"\n",
"# Definici\u00f3n de nuevas unidades\n",
"Mly = pq.UnitQuantity('megalight_year', 1e6*pq.ly, symbol = 'Mly')\n",
"Mpc = pq.UnitQuantity('megaparsec', 1e6*pq.pc, symbol = 'Mpc')"
],
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"Un poco de teoria"
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"La expansi\u00f3n homogenea e is\u00f3tropa del universo"
]
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"source": [
"Una caracter\u00edstica de la expansi\u00f3n del universo es que es homogenea (igual en todos los puntos) e is\u00f3tropa (igual en todas las direcciones). Una expansi\u00f3n de estas caracter\u00edsticas conserva la forma de los objetos. Por ejemplo, un tri\u00e1ngulo se convertir\u00eda, pasado un cierto timpo, en un tri\u00e1ngulo mayor pero semejante al primero. La raz\u00f3n de semejanza, llamada **factor de escala** depender\u00e1 del instante $t$ considerado, y por ello se la designa por $a(t)$.\n",
"\n",
"Consideremos pues dos galaxias, y sea $\\vec r(t_0)$ el vector que los une en el instante $t_0$, que podemos suponer por ejemplo que es el momento actual. En otro instante $t$ el vector que une estos mismos dos objetos ser\u00e1:\n",
"\n",
"$$\\vec r(t) = a(t) \\, \\vec r(t_0)$$\n",
"\n",
"La velocidad de alejamiento de las dos galaxias ser\u00e1 pues (representando con un punto la derivada con respecto al tiempo):\n",
"\n",
"$$\\vec v_r(t) = \\dot a(t) \\, \\vec r(t_0) = \\dot a(t) \\frac{\\vec r(t)}{a(t)}$$\n",
"\n",
"Es decir:\n",
"\n",
"$$ \\vec v_r = \\frac{\\dot a}{a} \\vec r $$\n",
"\n",
"Y llamando $H(t) = \\dot a(t) / a(t)$:\n",
"\n",
"$$\\vec v_r = H \\vec r$$\n",
"\n",
"O bien, eliminando la notaci\u00f3n vectorial: $v = H \\, r$\n",
"\n",
"Es decir, la velocidad de alejamiento mutuo de las galaxias es proporcional a la distancia que las separa. El factor de proporcionalidad, $H$ puede variar con el tiempo, pero en cada instante es la mismo en todos los puntos del universo. $H = H(t)$ es conocido como **par\u00e1metro de Hubble** y como hemos mencionado no es constante puesto que puede cambiar con el tiempo. Pero lo m\u00e1s importante es tener en cuenta que esta relaci\u00f3n entre velocidades y distancias es una propiedad fundamental, exacta, consecuencia matem\u00e1tica de una expansi\u00f3n homogenea e is\u00f3tropa del universo, y no debe confundirse con la ley de Hubble que veremos a continuaci\u00f3n y que tiene un car\u00e1cter observacional.\n",
"\n",
"\n"
]
},
{
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"source": [
"Corrimiento c\u00f3smico hacia el rojo"
]
},
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"source": [
"Cuando observamos la luz emitida en cualquier longitud de onda por un objeto alejado, se constata una diferencia entre la longitud de onda medida por el observador y la de la luz emitida por el objeto. Esta discrepancia se conoce como **corrimiento al rojo** y se caracteriza por la cantidad sin unidades $z$ definida como:\n",
"\n",
"$$z = \\frac{\\lambda_{\\text{obs}}-\\lambda_{\\text{emit}}}{\\lambda_{\\text{emit}}} = \\frac{\\Delta \\lambda}{\\lambda_{emit}}$$\n",
"\n",
"Que tambi\u00e9n se expresa como:\n",
"\n",
"$$ z + 1 = \\frac{\\lambda_{obs}}{\\lambda_{emit}} $$\n",
"\n",
"Ahora solo voy a considerar el efecto de corrimiento al rojo que es consecuencia de la expansi\u00f3n del universo. Si imaginamos este como una cuadr\u00edcula en expansi\u00f3n, estar\u00edamos en el caso en que tanto la fuente emisora como el observador ocupan nodos de esta cuadr\u00edcula. Es decir, suponemos que no existen movimientos peculiares propios de cada objeto (en realidad siempre existir\u00e1n, pero dadas las grandes distancias que se consideran, su efecto ser\u00e1 despreciable).\n",
"\n",
"Pues bien, en este caso puede demostrarse que la longitud de onda instantanea $\\lambda(t)$ es proporcional al factor de escala, y se puede escribir:\n",
"\n",
"$$\\lambda = \\text{cte} \\cdot a \\Rightarrow \\lambda \\propto a$$\n",
"\n",
"Es decir, al expandirse el espacio, la longitud de onda se expande en la misma proporci\u00f3n, y midiendo la longitud de onda recibida y comparandola con la emitida, es posible saber cuanto se ha expandido el universo mientras que la luz ha estado viajando hasta llegar a nosotros. Es como si la expansi\u00f3n del universo \"estirara\" las ondas de luz que viajan a su trav\u00e9s.\n",
"\n",
"Por ejemplo, si en el instante $t_{emit}$ se emite un pulso luminoso y nosotros lo recibimos en el instante $t_{ahora}$, podremos escribir:\n",
"\n",
"$$1 + z = \\frac{\\lambda_{ahora}}{\\lambda_{emit}} = \\frac{a(t_{ahora})}{a(t_{emit})}$$\n",
"\n",
"A este corrimiento al rojo, que no es una manifestaci\u00f3n del efecto Doppler, sino que es consecuencia exclusivamente de la expansi\u00f3n del universo, y est\u00e1, como se ha visto, \u00edntimamente relacionado con el factor de escala de la expansi\u00f3n, se le llama **corrimiento al rojo cosmol\u00f3gico**, y es al que nos referiremos en lo sucesivo en este post."
]
},
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"source": [
"Ley de Hubble"
]
},
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"source": [
"Como ya hemos comentado, en 1929 Hubble formul\u00f3 su famosa ley que afirma la proporcionalidad entre la cantidad de corrimiento al rojo medida en el espectro de la luz que observamos proveniente de las galaxias, y su distancia obtenida por diversos m\u00e9todos, aunque principalmente mediante la utilizaci\u00f3n del m\u00f3dulo de distancia resultante de la comparaci\u00f3n entre la magnitud absoluta y la magnitud aparente del objeto:\n",
"\n",
"$$ z = \\frac{H_0}{c}d $$\n",
"\n",
"En su momento, Hubble interpret\u00f3 el corrimiento al rojo de las galaxias como una manifestaci\u00f3n del efecto Doppler como consecuencia de su alejamiento de nosotros. Como por otro lado, para valores de z peque\u00f1os el efecto Doppler admite la aproximaci\u00f3n $v \\approx cz$, siendo $v$ la velocidad de alejamiento de la fuente, la ley de Hubble se escribe a menudo como $v = H_0 d$, si bien, para dejar claro el m\u00e9todo de obtenci\u00f3n de esta velocidad, es preferible escribir la ley de Hubble como:\n",
"\n",
"$$ c \\, z = H_0 \\, d $$\n",
"\n",
"Sobre esto cabe hacer una serie de precisiones:\n",
"\n",
"* A diferencia de la ley te\u00f3rica $v = H(t) \\, r$, la ley de Hubble $c \\, z = H_0 \\, d$ es puramente experimental, siendo el resultado de m\u00faltiples observaciones. De hecho, esta relaci\u00f3n lineal deja de cumplirse para altos valores de z\n",
"\n",
"* La distancia $r$ que aparece en la relaci\u00f3n te\u00f3rica entre velocidades de recesi\u00f3n y distancias, es la distancia propia, exacta, que nos separa del objeto, medida en un sistema de referencia inercial del observador. Es decir, ser\u00eda la distancia que mediriamos poniendo una a continuaci\u00f3n de otra reglas que no se expanden con el universo.\n",
"\n",
"* Por el contrario, $d$ (observese el cambio de notaci\u00f3n) es la distancia estimada por diferentes m\u00e9todos de observaci\u00f3n. Lo m\u00e1s frecuente es que d sea la \"distancia de luminosidad\" $d_L$ calculada mediante el m\u00f3dulo de distancia que por ejemplo se vio en este [post](http://balbuceosastropy.blogspot.com.es/2013/10/el-color-de-los-objetos-celestes.html). La distancia de luminosidad proporciona una buena aproximaci\u00f3n a la distancia propia $r$ para objetos \"pr\u00f3ximos\", pero se desvia de ella en el caso de los objetos m\u00e1s lejanos.\n",
"\n",
"* La ley $v = H(t) \\, r$ relaciona velocidades y distancias en el momento \"actual\", es decir, son velocidades y distancias ahora, en el momento de hacer la observaci\u00f3n, medidas en el tiempo propio del observador. En cambio, $z$ y $d$ est\u00e1n referidos al momento en que la luz fue emitida por el objeto observado.\n",
"\n",
"* Debido a la coincidencia de la velocidad $v$ con la magnitud $c \\, z$ para valores peque\u00f1os de $z$, podemos escribir: $H(t_{actual}) = H_0$. La constante de Hubble es el valor que toma, en el instante actual, el par\u00e1metro de Hubble.\n",
"\n",
"Una excelente explicaci\u00f3n de todas estas sutilezas en relaci\u00f3n con la ley de Hubble se puede encontrar en las notas del [curso de astronom\u00eda extragal\u00e1ctica](http://www.astro.virginia.edu/class/whittle/astr553/Topic16/Lecture_16.html) de Mark Whittle.\n",
"\n",
"Tras esta introducci\u00f3n te\u00f3rica paso a obtener el diagrama de Hubble correspondiente a las supernovas de tipo Ia de la encuesta de supernovas del SDSS."
]
},
{
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"source": [
"C\u00e1lculo de la distancia a una supernova"
]
},
{
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"source": [
"Tal como se ha comentado, centrar\u00e9 mi atenci\u00f3n en las supernovas de tipo Ia. Sus principales caracter\u00edsticas con vistas a su utilizaci\u00f3n en la elaboraci\u00f3n de un diagrama de Hubble son las siguientes:\n",
"\n",
"* Su magnitud absoluta m\u00e1xima en los filtros azul (B) y visual (V) en el sistema fotom\u00e9rico UBV de Johnson es:\n",
"\n",
" $$M_U \\approx M_V = -19.3 \\pm 0.3$$\n",
"\n",
"* La magnitud aparente $m$ se determina examinando **su curva de luz** que es una curva que representa la evoluci\u00f3n de su magnitud $m$ en funci\u00f3n del tiempo.\n",
"\n",
"* Al ser (aproximadamente) fija su magnitud absoluta $M$, se dice que las supernovas de tipo Ia son \"candelas est\u00e1ndar\".\n",
"\n",
"* Una vez disponemos del dato de magnitud relativa $m$, podemos calcular la distancia utilizando el **m\u00f3dulo de distancia**, que expresando la distancia $d_{Mpc}$ en Megaparsec se formula como:\n",
"\n",
" $$\\mu = m - M = 5 \\, \\log_{10}d_{Mpc} + 25$$"
]
},
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"input": [
"# Ejemplo: supongamos que en la curva de luz de la supernova Ia\n",
"# medimos una magnitud aparente con el filtro V de 19.5\n",
"m = 19.5\n",
"M = -19.3\n",
"k = (m-M)/5 - 5\n",
"d = 10**k\n",
"print \"La distancia de luminosidad es de %d Mpc\" %d"
],
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"text": [
"La distancia de luminosidad es de 575 Mpc\n"
]
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],
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},
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"source": [
"Para calcular la magnitud m\u00e1xima pueden aplicarse correcciones adicionales, siendo probablemente la m\u00e1s importante la [Phillips relationship](http://en.wikipedia.org/wiki/Phillips_relationship), que no vamos a utilizar en este post."
]
},
{
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"source": [
"Lectura de las curvas de luz"
]
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"source": [
"Para progresar en nuestro estudio necesitaremos las curvas de luz de las supernovas de tipo Ia identificadas por la encuesta del SDSS. Estas han sido publicadas en el siguiente art\u00edculo: [\"The Sloan Digital Sky Survey-II: Photometry and Supernova Ia Light Curves from the 2005 data\"](http://arxiv.org/abs/0908.4277) de Holtzman et al 2008, AJ, 136, 2306.\n",
"\n",
"Realmente lo que nos van a interesar m\u00e1s son las propias curvas de luz en formato electr\u00f3nico, las cuales pueden descargarse de la propia p\u00e1gina del [SDSS Supernova Survey](http://classic.sdss.org/supernova/lightcurves.html)\n",
"\n",
"As\u00ed pues, lo primero que debemos hacer es descargar todos estos ficheros en un subdirectorio de nuestro directorio de trabajo. En mi caso este subdirectorio va a llamarse \"SDSS_light_curves\". Lo que sigue a continuaci\u00f3n asume que ya se han descargado las curvas de luz en dicho directorio."
]
},
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"input": [
"# Lista con nombres de todos los ficheros en el subdirectorio\n",
"lc_files = !ls ../SDSS_light_curves\n",
"lc_files = list(lc_files.n.split('\\n'))\n",
"lc_files = lc_files[1:] # Eliminamos de la lista el fichero ReadMe"
],
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"prompt_number": 4
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{
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"input": [
"#Una muestra de los nombres\n",
"print lc_files[0:3]"
],
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"outputs": [
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"stream": "stdout",
"text": [
"['SN10028.snphot-5.04.sum', 'SN10096.snphot-5.04.sum', 'SN10106.snphot-5.04.sum']\n"
]
}
],
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"source": [
"Abriendo uno cualquiera de estos ficheros con un editor de texto se observa que las 18 primeras filas contienen una descripci\u00f3n de los diferentes campos de los datos. La l\u00ednea 19 es una l\u00ednea de cabecera con los nombres de las columnas de datos, y luego hay una serie de l\u00edneas con datos separados por espacios en blanco. Se va a leer a continuaci\u00f3n el primero de los ficheros creando un dataframe de Pandas con los campos que nos interesan. Una vez creado el dataframe con los datos del primer fichero, recorrer\u00e9 todos los ficheros en el subdirectorio agregando a nuestro dataframe los datos de la \"light curve\" de cada supernova."
]
},
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"input": [
"filename = lc_files[0]\n",
"df = pd.read_table('../SDSS_light_curves/'+filename, \n",
" skiprows=18, sep=r'\\s+') #Separaci\u00f3n por espacios\n",
"df.columns"
],
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{
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"text": [
"Index([u'#FLAG', u'MJD', u'FILT', u'MAG', u'MERR', u'MSKYERR', u'MGALERR', u'FLUX', u'FLUXERR', u'SKYERR', u'GALERR', u'NPRE', u'TELE', u'RUN', u'STRIP'], dtype='object')"
]
}
],
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{
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"input": [
"# Utilizar\u00e9 solamente las cuatro primeras columnas\n",
"df = df.ix[:,0:4]\n",
"\n",
"# Cambiando el nombre de la primera columna\n",
"df = df.rename(columns={'#FLAG':'FLAG'})\n",
"df.head()"
],
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"