你面前有两个选项：

A，确定拿到500元。

B，50%的概率拿到1000元，另外50%什么也拿不到。

如果把每个结果乘以发生的概率，再相加，两个方案的期望金额都是500元：

A是100%乘以500元，等于500元。

B是50%乘以1000元，再加上50%乘以0元，也等于500元。

可同样是500元，一个稳稳到手，另一个可能翻倍，也可能落空。期望金额看不出这个差别，真正做选择时，你却很难忽略它。

很多人会选A，理由很朴素：落袋为安。

这不算算错。你在意的，本来就不只是平均能拿多少。

经济学把"一个结果对你有多大价值"称为效用。一个简单的规律是：手里的钱越多，再增加同样一笔钱，带来的价值感越小。

假设你现在有1万元。从1万元增加到1.5万元，带来的价值感，会大于从1.5万元增加到2万元。

虽然两次都增加了5000元，但这5000元对你的意义并不相同。

因此，两个方案的期望金额相同，不代表它们对你的价值也相同。对有些人来说，确定拿到500元，就是比"一半机会拿1000元，一半机会拿不到钱"更有价值。

期望金额回答的是"平均能拿多少"。期望效用多问一步：每种结果落到你身上，分别值多少？整个方案加起来，又值多少？

1738年，瑞士数学家丹尼尔·伯努利在一篇论文中，讨论了由他堂兄尼古拉·伯努利提出的一个难题。

赌局的规则是：彼得不断抛一枚正反面概率各为二分之一的硬币，直到第一次出现正面。

第一次就出现正面，保罗得到2个达科特——这是当时的一种货币；第二次才出现，得到4个；第三次，得到8个；第四次，得到16个……

正面每晚出现一轮，奖金就翻一倍。这是今天最常见的版本。

这个赌局的期望金额是多少？

第一次就出现正面的概率是二分之一，奖金是2：

二分之一乘以2，等于1。

第二次才出现正面，意味着第一次是反面，第二次是正面。概率是四分之一，奖金是4：

四分之一乘以4，仍然等于1。

第三次才出现正面，意味着前两次都是反面，第三次是正面。概率是八分之一，奖金是8：

八分之一乘以8，还是等于1。

规律已经很清楚了：无论正面在第几次出现，这种结果对期望金额的贡献都是1。

理论上，正面可能在任意一轮才出现，所以要把无穷多个1加起来：

1＋1＋1＋1……

这个加法没有尽头，因此赌局的期望金额是无穷大。

如果只看期望金额，而且无论奖金多高都能兑现，那么任何有限的入场费，算下来都值得支付。

可真要掏钱，人们通常不愿为这场赌局付出高价。

一个期望金额无穷大的赌局，现实中却不值多少钱——这就是圣彼得堡悖论。

伯努利认为，问题出在把钱的数量直接当成了钱的价值。

他的模型有一个关键特点：它看的不是你能拿到多少奖金，而是赌局结束后你的总财富变成了多少。

假设一个人原本已经有一笔钱。财富从100元增加到200元，翻了一倍；从1000元增加到2000元，同样翻了一倍。在伯努利的模型里，这两次翻倍带来的效用增量相同，而不是后一种增加得更多。

数学上，这种关系叫"对数函数"。你不需要会计算对数，只要抓住一点：财富越多，再增加一笔钱，带来的价值感往往越小。

圣彼得堡赌局的奖金虽然从2、4、8一路翻倍，奖金到手的概率却越来越低。把每种结果下的最终财富换成对数效用，再按概率加起来，算出来的期望效用是有限的。

于是，与不参加赌局相比，一个人愿意支付的最高入场费也会是有限的。

这是解释圣彼得堡悖论的经典方案之一。

伯努利真正改变的，是我们看待风险的方式：不能只问"可能拿到多少钱"，还要问"这些钱对这个人有多大价值"。

但还有一个问题没有解决：什么样的选择，才能稳定地用期望效用表示？

1944年，数学家冯·诺依曼和经济学家奥斯卡·摩根斯坦出版了《博弈论与经济行为》。1947年的第二版又补入了效用的公理化推导。

他们研究的是这样一类选择：结果并不确定，但每种结果发生的概率大致已知。

今天，这套理论通常被概括为四个条件：完备性、传递性、连续性和独立性。

只要一个人对风险方案的偏好符合这些条件，就可以用效用函数表示，也可以把他的选择描述为：选择期望效用最高的方案。

那么，效用到底是什么？

可以先把效用理解成：一个结果对你有多大价值。

这里的"价值"不是幸福指数，而是面对不同结果时，你更看重哪个、更愿意选择哪个。

效用也不是一张可以随手填写的评分表。它需要根据你在一连串选择中表现出的偏好，反过来推算出来。

重要的不是某个结果究竟"得了多少分"，而是用同一套刻度比较不同方案时，能不能始终得到与你实际选择一致的结果。

同样增加1万元，对只有10万元储蓄的人和拥有1000万元资产的人，意义完全不同。同样失去1万元，两个人承受的后果也可能天差地别。

期望效用的计算方法并不复杂。

计算期望金额，是把每种"金额乘以概率"算出来，再全部加在一起。

计算期望效用，则是先判断每种结果对你有多大价值，把结果换成效用，再把每种"效用乘以概率"加在一起。

与期望金额相比，它只多了一步：先把结果转换成效用。

但恰恰是这一步，让计算考虑到了一个事实：同样一笔钱，落在不同的人、不同的处境里，分量并不一样。

期望效用理论最实用的地方，是能把一句含糊的"我不喜欢冒险"，拆成三个可以判断的东西。

先说风险态度。

风险态度，说的是一个人面对不确定性时，更愿意避开、无所谓，还是主动承担。

面对期望金额相同的两个方案，风险厌恶的人通常更喜欢确定的结果；有些人对确定与不确定没有明显偏好；还有些人愿意为了更高的可能收益冒险。

不过，风险态度不是固定不变的性格标签。

同一个人可能在投资时很谨慎，换工作时却愿意冒险。手里有多少钱、赌注有多大、最好与最坏的结果相差多远，以及多久之后才能看到结果，都会影响他的选择。

接着看确定性等价。

所谓确定性等价，就是问：

要给你多少确定的钱，你才会觉得它和这个风险方案一样值？

回到开头的赌局：50%的概率拿1000元，50%的概率拿0元。面对这个赌局和确定的500元，你选择了500元。

现在把确定金额慢慢往下降：450元、420元、400元……

降到多少时，你会觉得两个方案差不多，选择哪一个都可以？

假设确定金额降到420元时，你觉得"直接拿420元"和"参加赌局"都可以。

那么在你心里，这个赌局就相当于确定拿到420元。420元，就是它的确定性等价。

有了确定性等价，风险溢价也能算出来。

风险溢价，就是你为了摆脱不确定性，愿意放弃多少期望金额。

算法很简单：

风险溢价＝期望金额－确定性等价。

这个赌局的期望金额是500元，确定性等价是420元。500元减去420元，等于80元。

这80元表示：为了把不确定的赌局换成确定的钱，你愿意少拿80元。

再看保险。

假设事故发生的概率是1%，一旦发生会损失10万元。按概率计算，平均损失是：

1%乘以10万元，等于1000元。

如果保险能够赔掉全部损失，而你最多愿意支付1500元保费，那么其中1000元对应按概率计算的平均损失，多出来的500元，就是你愿意为消除不确定性支付的风险溢价。

这额外的500元，买的是确定性。

企业做项目选择也是一样。

项目A，80%的概率赚300万元，20%的概率亏100万元。

它的期望收益是：

80%乘以300万元，减去20%乘以100万元，等于220万元。

项目B，确定赚180万元。

只看期望收益，A更划算。但A有20%的概率亏损100万元。

对一家现金紧张的企业来说，这100万元可能意味着发不出工资、还不上到期债务，甚至让主营业务停摆。

这样一来，在企业眼里，项目A可能还不如确定赚180万元。换成前面的术语，就是项目A的确定性等价可能低于180万元。

这时选择B，不是因为企业不会算账，而是因为同样一笔亏损，在不同处境下会造成完全不同的后果。

有人可能会问：既然效用反映的是我的个人判断，那我直接给每个结果打分，再乘以概率，不就可以了吗？

不能这么做。

效用会因人而异，但"因人而异"不等于"想怎么打分都可以"。

如果这些分数不能稳定地反映你的实际选择，最后算出来的只是分数的平均值，并不是期望效用。

效用要从一组稳定、前后一致的选择中反推出来。

今天，期望效用理论通常用下面四个条件来判断，一个人的风险选择能否保持一致。

第一条，完备性。

面对任意两个方案，你最终至少能作出三种判断中的一种：更喜欢A，更喜欢B，或者认为两者没有差别。

完备性不是要求你立刻决定。它只是说，这两个方案对你来说最终可以比较。

第二条，传递性。

如果你更喜欢A而不是B，又更喜欢B而不是C，那么你也应该更喜欢A而不是C。

否则，你的偏好就会形成一个圈：A胜过B，B胜过C，C又胜过A。

假设每次换到"更喜欢"的方案时，你都愿意支付一点手续费，别人就可能顺着这个圈让你不断交换。

绕了一圈，你最后又拿回原来的东西，钱却少了。这就是所谓的"钱泵"。

第三条，连续性。

假如你最喜欢A、最不喜欢C，而B排在两者中间，那么应该能找到一个由A和C组成的抽签方案，让你觉得它和B差不多。

例如：

A是确定拿100元。

B是确定拿50元。

C是确定拿0元。

现在不断调整"拿100元"和"拿0元"的概率，应该能找到一个比例，让你觉得参加抽签和确定拿50元没有差别。

这个比例可能是60%的概率拿100元、40%的概率拿0元，也可能是其他数字。具体比例因人而异。

连续性说的是：在你的偏好中，A、B、C之间没有一道完全跨不过去的断层。

第四条，独立性。

独立性的意思是：两个方案中完全相同的部分，不应该让你对其余部分的偏好发生翻转。

现在把它们改成两个新方案：

第一个新方案有50%的概率执行A，另外50%的概率执行X。

第二个新方案有50%的概率执行B，另外50%的概率执行X。

两个新方案中，"50%的概率执行X"这一部分完全相同。

独立性认为，这个共同部分可以缩小A和B之间的差别，却不应该把原来的偏好颠倒过来。既然你原本更喜欢A，加入相同的X之后，你仍然应该更喜欢包含A的方案。

在概率已知的标准模型中，这四个条件可以保证：一个人的选择能够用"选择期望效用最高的方案"来表示。

如果其中某个条件被持续违反，并不一定说明这个人不会思考。只说明标准期望效用模型已经无法完整描述他的选择。

所以，期望效用理论更像一把检查选择是否前后一致的尺子，而不是一本描述人类实际行为的说明书。

它告诉我们，前后一致的风险选择应该满足哪些条件；但它不保证现实中的人每次都会这样选择。

人们为什么经常偏离这把尺，恰恰成了后来许多研究的起点。

日常决策不需要每次都建立完整的效用模型。把期望效用用到现实中，可以按照下面三步来做。

第一步，先排硬约束。

比较能赚多少之前，先找出那些不能用其他收益交换的底线，例如违法、突破伦理底线，或者造成自己真正承受不起的后果。

面对破产、生命安全这类发生概率可能不高、但一旦发生后果特别严重的风险，不能一看到"可能发生"就把方案排除，也不能只看平均收益轻轻带过。

还要继续追问：发生概率能不能降低？有没有更安全的替代方案？万一真的发生，自己能不能承担？

比如考虑裸辞创业，不要急着先算成功后能赚多少钱。

先算清楚存款能维持多久，失败会不会影响基本生活，以及能不能通过兼职、小规模试水等方式降低风险。

采取这些保护措施之后，如果最坏结果仍然无法承受，这个方案才应该出局。

第二步，把模糊感受变成具体判断。

不要只说"我觉得不划算"或者"心里不踏实"。继续问下去：这个风险方案相当于确定拿到多少钱？为了摆脱不确定性，我最多愿意放弃多少钱？如果概率稍有变化，我的选择会不会立刻翻转？

不一定非要得到一个非常精确的数字。能估出大致金额或范围，就已经比停留在模糊感觉上前进了一大步。

第三步，检查一致性。

如果结果和概率都没有变化，只是换了一种说法，你的选择就完全反转了，那就需要检查：是不是表达方式影响了判断？是不是漏掉了某种后果？还是原来的概率本身就不可靠？

对于低风险决定，排除底线问题后，如果不同结果对你的影响都不大，可以粗略比较按概率计算的平均结果。

对于中等风险决定，可以进一步估算确定性等价和风险溢价。

对于高风险决定，则要把三步全部走完，并重点检查概率从哪里来，以及最坏情况究竟会造成什么后果。

期望效用理论最直接处理的是"风险"。

这里的风险是指：我们不知道最后会出现哪种结果，但大致知道每种结果发生的概率。

轮盘、有大量历史赔付数据的保险，以及故障率比较明确的设备，都属于这种情况。

但现实中的许多决定，连概率本身都说不清楚。

1954年，美国统计学家萨维奇在《统计学基础》中建立了主观期望效用理论。

他提出，概率不一定都来自客观统计，也可以用一个人对事件发生可能性的判断来表示。这种由个人判断得到的概率，叫作主观概率。

这让期望效用可以处理更多现实问题，但不意味着我们可以随手编一个概率，再装作自己已经精确计算过。

现实中的选择还会遇到下面几类困难。

确定性效应：人们会对100%另眼相看。

1953年，法国经济学家莫里斯·阿莱发表了两组选择题。

第一组，在A和B中选一个。

第二组，在C和D中选一个。

表中的三列代表三种不会同时发生的情况，概率加起来正好是100%。

把这张表翻译成更直白的话：

A无论出现哪种情况，都能拿到1亿法郎，也就是确定拿到1亿。

B有89%的概率拿到1亿，10%的概率拿到5亿，还有1%的概率什么也拿不到。

C有10%的概率拿到5亿，其余90%的概率拿不到钱。

D有11%的概率拿到1亿，其余89%的概率拿不到钱。

很多人在第一组中选择A，在第二组中选择C。

问题出在哪里？

A和B都有一个完全相同的部分：89%的概率拿到1亿法郎。

现在把这个共同部分同时换成"89%的概率拿到0"。

经过这次相同的替换，A变成了D，B变成了C。

按照独立性条件，既然两边替换的是完全相同的部分，原来的偏好顺序就不应该改变。

因此，如果你在第一组中认为A比B好，那么替换之后，你也应该认为D比C好。

但很多人的实际选择是A和C：第一组认为A比B好，第二组却认为C比D好。偏好发生了翻转。

阿莱悖论揭示的，不只是人们喜欢稳妥的结果。

它说明，当"确定拿到"变成"很可能拿到"时，人们对方案的评价可能出现一次明显跳跃。

一种常见解释是：人们会给100%的确定性额外的分量，而标准期望效用在坚持独立性条件时，无法同时解释这两次选择。

概率模糊：人们不只怕风险，也怕"根本不知道概率"。

1961年，丹尼尔·埃尔斯伯格提出了一个经典实验。

一个瓮里有90个球。

其中30个确定是红球，其余60个是黑球或黄球，但没有人告诉你黑球和黄球各有多少。

每次选择中，只要押中颜色，就能获得同样的奖金。

第一次，让你在下面两个选项中选择：

摸到红球就获奖。

摸到黑球就获奖。

很多人会选择红球。因为红球的概率明确是三分之一，黑球有多少却不知道。

第二次，让你选择：

摸到非红球就获奖。

摸到非黑球就获奖。

"非红球"就是黑球或者黄球。这两种球加起来确定有60个，所以获奖概率明确是三分之二。

"非黑球"就是红球或者黄球。由于黄球有多少并不知道，这个选项的获奖概率仍然无法确定。

很多人因此选择"非红球"。

可把两次选择放在一起，问题就出现了。

第一次，你更愿意赌红球，而不是黑球。

现在给两个选项同时加上一条完全相同的规则：摸到黄球也算获奖。

加上这条规则后，"摸到红球就获奖"变成了"摸到红球或黄球就获奖"，也就是非黑球。

"摸到黑球就获奖"则变成了"摸到黑球或黄球就获奖"，也就是非红球。

按照萨维奇主观期望效用理论中的"确定性原则"——它与前面讲的独立性精神相近——既然两边在摸到黄球时增加的是完全相同的结果，原来的偏好顺序就不应该改变。

第一次你更喜欢红球，所以增加黄球之后，按理应该更喜欢"红球或黄球"，也就是非黑球。

可很多人在第二次却选择了非红球。

只要两次选择使用同一组主观概率和同一套结果效用，就不可能同时解释这两种偏好：第一次选择红球，意味着红球比黑球更可能出现；第二次选择非红球，却意味着黑球比红球更可能出现。

人们往往更愿意选择概率依据明确的方案，回避概率依据不清楚的方案。这种倾向通常叫作"模糊厌恶"。

小额风险：拒绝一次小赌局，真能说明你很怕风险吗？

2000年，加州大学伯克利分校的马修·拉宾发表了一项重要研究。

先看一个小赌局：

50%的概率赚110元，50%的概率亏100元。

按概率计算，这个赌局的平均收益是：

50%乘以110元，减去50%乘以100元，等于5元。

它的金额不大，但平均收益为正。

现在加上一个很强的前提：在很宽的财富范围内，无论一个人当时有多少钱，他都拒绝这样的赌局。

如果在以最终财富为结果的期望效用模型中，只用凹形的财富效用函数来解释这种选择，就必须让同样一笔新增财富带来的效用，随着财富增加而下降得非常快。

可把同一条效用曲线用于大额赌局，又会推出一个很难相信的结果：即使一个赌局可能带来极高的收益，而可能损失的金额相对有限，这个人仍然会拒绝。

为了解释他为什么始终拒绝一个很小的赌局，模型不得不把他的风险厌恶设定得极强。一旦把同样的设定推到大额选择上，结论就会变得夸张。

这并不是说，拒绝一次小赌局就一定不合理。

拉宾的结论针对的是一个更强的情况：一个人在很宽的财富范围内都拒绝同一种小额有利赌局，而且我们只用凹形的财富效用函数来解释这种行为。

现实中，人们拒绝小赌局还可能有其他原因。

例如，亏掉100元带来的痛苦，可能强于赚到110元带来的快乐；人们也可能只盯着眼前这一次输赢，没有把它放进整体财富和长期重复的机会中考虑。

这些问题并不意味着期望效用理论已经失效。

它仍然是一把重要的判断标准，可以帮助我们检查风险选择是否前后一致。

但它不能自动解释人们为什么特别看重100%的确定性，为什么回避概率不清楚的方案，以及为什么会以当前状态为起点判断得失。

这些现象还需要前景理论等其他模型来回答。

如果概率本身只是猜的，即使把计算做到小数点后很多位，结果也不会因此变得更可靠。

精确的数字，只会给不确定性披上一件精确的外衣。

下次面对风险选择，不妨再多问一句：

这些结果真正落到我身上时，这个方案究竟值多少？