2014年1月，一个网名为"诺丁山的邂逅"的网友，拿出原本准备买房的48万元积蓄，买入100枚比特币，在百度贴吧开帖直播。接下来的监管收紧和币价暴跌让他的资产大幅缩水，买房要用钱，持仓又在亏，贴吧里还有冷嘲热讽。2016年初比特币回暖时，他割肉离场，亏损18万。不到两年后，2017年底，比特币一度飙升到约13万元人民币。

连经常讨论概率与决策的科普作家万维钢，也曾在买入比特币不到一个月后卖出。后来，他感叹："没有人能拿住。"

从早期不足1美分，到2025年一度超过12万美元，比特币的涨幅以千万倍计。但买过比特币的人，照样可能亏钱。

你可能觉得原因很简单：拿不住，意志力不够，太贪心。但拿不住未必只是意志力问题。把恐惧和贪婪全部拿掉，只留下一枚硬币，你会发现问题仍然存在：即使平均收益为正，多数参与者最后也可能亏钱。

比特币当然不等于下面这个硬币游戏。它的价格路径受政策、技术和市场情绪驱动，远比抛硬币复杂。但它揭示了同一个问题：一项资产从起点涨到终点，不等于每个进入其中的人都能走完整条路径。

物理学家Ole Peters在2019年发表于《Nature Physics》的论文中，用一个更简单的版本，把这个机制说给你看。

游戏规则：初始财富100元。每轮抛硬币，正面财富上涨50%，反面财富下跌40%，概率各50%。每轮结束后，账户里的全部财富都继续参加下一轮。

先算单轮期望值：50%的概率涨50%，50%的概率跌40%，平均下来是0.5×1.5 + 0.5×0.6 = 1.05。每轮期望收益率是正5%。如果决策标准只有期望财富，这个游戏会被判断为值得玩。

那玩两轮呢？四条路径，清清楚楚：

涨涨，225元。涨跌，90元。跌涨，90元。跌跌，36元。

四条路径的平均财富是110.25元，确实比100元多，但四条路里有三条亏钱。平均值上涨，是因为225元那条路径把平均数拉高了，它不等于多数路径都上涨。

两轮结果先让我们看到，平均财富上涨不等于多数路径都赚钱。但非遍历性的关键还在后面，这个游戏会反复进行，而且上一轮剩下的钱就是下一轮的本金。

再看100轮。如果把所有可能路径按照发生概率加权，平均财富是：100 × 1.05的100次方，大约13150元。但对一个连续玩100轮的人来说，上涨次数最可能落在50次附近。假设正好上涨50次、下跌50次，最终财富就是：100 × 1.5的50次方 × 0.6的50次方，等于100 × 0.9的50次方，大约0.52元。100轮里至少需要56次上涨，财富才能超过最初的100元。出现56次或更多上涨的概率只有约13.6%。反过来说，约86%的路径最后都会亏损。

同一个游戏，同一个正5%的期望值，按概率加权计算，平均财富变成了最初的约131倍，但100轮后的典型财富却只剩5毛钱。

每轮平均赚5%并没有算错，问题在于这个5%回答的是另一个问题：如果把许多可能的结果同时摊开，平均会有多少钱。

可你不是许多个自己，你只有一份本金，必须把上一轮剩下的钱带进下一轮。

横着看所有可能，平均财富在增长；竖着看同一个人，典型财富却在缩水。

这里有两个概念需要区分。集合平均是把同一时刻很多人的财富放在一起算平均。想象10万人同时玩这个游戏，第一轮结束后5万人变成150元，5万人变成60元，总财富确实增加了5%。但少数运气极好的人将拥有天量财富，把集合平均拉高。长期来看，作为运气一般的普通人，你的财富却在缩水。时间平均是一个人沿着一条路走很久的结果。你只能经历其中一条路径，不能同时走十条路再取平均。

严格地说，0.52元是100轮后的典型终值。对应到长期增长速度，这条典型路径平均每轮约缩水5.1%。在这个游戏里，集合平均显示每轮增长5%，时间平均却显示每轮缩水约5.1%。两者不相等，这才是非遍历性的关键。

因为这是一个乘法过程，每期结果按比例改变当前状态，你上一轮的结果改变了下一轮的起点。涨50%再跌40%，不是回到原点，而是乘以0.9。100元涨50%变150元，150元跌40%变90元。一涨一跌之后，本金少了10元。

每一轮的涨跌都是按照当时的本金计算，因此不能把"上涨50%"和"下跌40%"直接相加。这个游戏中，财富先乘以1.5再乘以0.6，两个财富乘数相乘只有0.9，所以经历一次上涨和一次下跌后，本金只剩原来的90%。

波动拖累已经够狠了，但还有另一层风险：生存边界。原始的硬币游戏其实没有吸收壁，因为1.5和0.6都大于零，只要初始财富大于零，任何有限轮次后财富都不会严格归零，只是沿着典型的长期路径，财富会不断逼近零。如果规则进一步规定财富低于10元就不能继续参与，10元才构成一个退出边界，一旦越过这条线，这一轮游戏就结束了。

现实中的退出边界有两类。有些人因为强制平仓，资金链断裂或资本耗尽，被迫退出；也有人因为买房用钱，家庭压力或心理承受能力，主动退出。两者的可逆性不同，但都会结束当前这条持仓或经营路径。

48万哥撞上的不是数学意义上的吸收壁，而是现实中的个人生存边界。理论上他还可以重新买入，但对这一次投资来说，他的路径已经结束，后来的上涨不再属于他。

强制平仓，资金链断裂和失去继续参与的资本，更接近现实中的吸收边界。它们未必永远不可逆，却足以终止当前这条持仓或经营路径，撞上之后，后面涨多少都跟你无关。

非遍历性不只属于投资。一个项目按全年测算可能盈利，不代表企业一定撑得到利润兑现，如果第三个月现金流断裂，后九个月的预期利润不会回来救它。

因此，仅仅说"长期来看会涨"，对个体决策仍然不够。资产最后涨没涨是一回事，你能不能持有到那个终点是另一回事。生存边界不是非遍历性的定义，而是它在现实决策中最重要的后果之一。

应对策略的核心就一件事：别让自己被清出场。面对一项需要反复投入的投资、项目或其他决策时，先问自己四个问题：

以下四条策略都从这四个问题出发。

第一，不要全押。降低每次投入的比例，不让一次失败摧毁继续参与的能力。在上涨50%下跌40%的游戏中，如果每轮重新投入总财富的10%而不是全部押上，其余90%假设收益为零，那么上涨时总财富乘以1.05，下跌时总财富乘以0.96。在这组参数下，典型路径的长期增长率从每轮约负5.1%，变成每轮约正0.4%。同样的赔率和概率，仅仅改变投入比例，典型的长期结果就从持续缩水变成缓慢增长。10%只是说明仓位会改变长期结果，不是普遍最优答案。到底投多少，留给下一篇凯利准则回答。

第二，不要单押。分散真正独立的风险，不把全部结果寄托在一只股票、一个项目或一个客户上。分散不是简单地买得多，关键是让风险来源尽量不同。十只同一行业的股票看起来不少，但它们可能同时受到同一种风险冲击。一家公司70%的收入来自同一个客户，也是单押。真正的分散，是一个风险发生时不会让所有筹码一起失效。Bessembinder在2018年的研究发现，1926至2016年间，表现最好的约4%上市公司，贡献了美国股市相对于一个月期国库券的全部净收益；其余股票合在一起，长期表现大体只与国库券相当。广泛分散持有，能够降低漏掉少数超级赢家的风险。

第三，保留续命资金。建立现金和时间缓冲，避免因为短期波动，追缴保证金或现金流断裂被迫退出。很多出局不是因为方向错，是中间撑不住。缓冲不能保证判断正确，但能避免判断尚未得到验证就因为现金流断裂而被迫退出。

第四，转移不可承受的损失。保险公司把大量相对独立的风险汇集起来，并让保费覆盖预期赔付、运营成本和风险资本。对个人来说，购买保险是用一笔确定、可承受的小成本，转移一个概率不高但可能无法承受的大损失。

非遍历性不等于"永远别冒险"，也不是劝人永远拿住。期望为负、逻辑已经改变的选择，撑得再久也不会自动变好。期望值概括的是所有可能结果的概率加权平均，非遍历性进一步追问：当选择反复发生时，这个平均能不能代表你的长期路径。它并不直接判断一件事值不值得做，只是提醒你，不能不加检查地把所有可能结果的平均当成个人的长期结果。至于是否值得冒险，还要结合赔率、目标、机会成本和个人约束判断。并不是有波动就叫非遍历，也不是所有平均数都不可信，关键在于集合平均能不能代表同一个体的长期时间平均。

数学上可以确定的是，在这个乘法游戏中，按概率计算的平均财富持续增长，典型路径的长期增长率却为负。学界真正争论的是，能不能进一步把"长期时间增长率"当成所有经济决策的统一标准。本文不做这么强的主张，只使用一个较稳妥的提醒：面对会重复、会复合的选择，不能未经检验就把整体平均当成个人结果。2020年发表在《Nature Physics》上的一篇评论，主要针对的就是Peters提出的更强经济学主张，并不否认上述乘法计算本身。