假设你碰到这样一段合作。

你交的资料，对方拿去就能用；对方交来的东西，却接连两次缺少关键内容。为了不耽误进度，你只好追问、补齐，多花不少时间。

你想把要求说得严一点，又担心伤了关系。毕竟，以后还要合作。

可你也会困惑，既然以后还要合作，为什么对方没有同样的顾虑？继续帮忙，怕下次还是如此；跟着敷衍，又怕把事情彻底做坏。

重复博弈能帮我们分析这类处境。它研究同一组参与者反复打交道时，怎样根据过去的互动决定接下来怎么做。

先问一个具体问题。

如果无论这次做得怎样，下次得到的帮助都一样，"以后还要合作"就未必能让他改变今天的选择。

用一个假设场景，把这件事算清楚。

两支团队每周共享处理过的客户问题。大家约好，把问题表现、处理步骤和解决办法写进同一个问题库，到时间一起提交。另一队遇到类似问题，就能照着处理。

写清楚要二十分钟。省掉处理步骤，只留现象和结果，能省十分钟。对方拿到这样的记录，还得重新摸索；你却仍然可以用对方写全的解决办法。

先不考虑考核等其他影响，只看写记录的付出和得到的帮助。用一组教学分数表示双方每周的得失。

分数综合表示时间成本和获得帮助的价值，没有对应的金钱或工时换算。

只看这一周，对方写全，你少写得10分，比8分高；对方少写，你也少写得3分，比0分高。双方都这样选，就从原本各得8分，变成各得3分。这就是囚徒困境——只看一次，双方都有动力少做。

如果以后还要合作，会有什么不同？

先设一条很严厉的规则。双方从完整记录开始，只要此前没人省略关键步骤，就继续写全。一旦任何一方这样做过，从下一周起，双方都永久改交简略记录。这里暂且假定，谁省略了步骤，双方都看得清楚，不会误判。

这叫冷酷触发策略。一次违约，就永久失去原来的合作待遇。

按这个规则，你这周少写，多得2分；以后双方都少写，你每周只能得3分，比继续合作少5分。

现在要比较的，就是眼前多拿2分，值不值得用以后每周少拿5分来换。

对方也得有理由执行这条规则。假如你以后一直少写，对方继续写全只能得0分，跟着少写能得3分。在这组收益下，跟着少写是他愿意执行的回应，威胁有可信性。

未来的损失究竟有多大，还要看合作能延续多久，以及双方多看重未来的收益。本文这组数字的具体计算放在文末。

永久交简略记录有个明显的问题。万一对方只是忙中漏写，一次差错，就让双方从此用不上彼此的经验。

有没有能恢复合作的规则？

1980年，罗伯特·阿克塞尔罗德发表了两次计算机策略锦标赛的结果。参赛者把自己的应对办法写成程序，让程序反复选择合作或背叛。第一届有14份参赛策略，第二届有62份，两届都另设了一个随机策略。

两次得分冠军都是阿纳托尔·拉波波特提交的"以牙还牙"。它的规则很短，第一轮合作，以后每轮照着对方上一轮的做法行动。

对方合作，它就合作；对方背叛，它下一轮就背叛。看到对方恢复合作，它也恢复。

冠军按与所有对手交手的总得分评定。跟愿意合作的对手一起拿高分，也能提高排名，因此总分最高，并不意味着每次交手都压过对方。

不过，把这条规则搬回工作中，会碰上一个麻烦。

假设甲乙两队已经顺利合作了一百周。第一百零一周，甲队意外漏掉关键步骤。如果双方随后严格照着对方上一周的做法行动，就会出现下面的情况。

第102周，甲队看到乙队上周写得完整，就恢复了完整记录。可乙队正在回应甲队上周的漏写，开始交简略记录。下一周，两队又各自回应对方上周的行为，位置对调了。

双方都觉得自己在回应上一次的不配合，却总是错开一周。如果没有新的沟通或规则调整，这个循环可以一直延续。

2015年《PLOS ONE》的一篇论文重新分析了早期锦标赛，指出对以牙还牙的评价取决于赛制、成功标准和收益设定，不能从两次夺冠推出普遍最优。

所以，实际合作还要说清楚，差错怎样核实，补正以后如何恢复正常协作。加入这些安排，就已经调整了原来的策略。单凭"他上次怎么对我，我这次就怎么对他"，处理不了所有误会。

容许补正，能帮助双方处理误会。但如果合作快结束了，下一次回应的机会也快没了呢？

给问题库案例换一组条件。项目下月底结束，此后两队不再合作，今天的表现也不会影响后续考核、声誉或收入。每周仍按前面的收益计算，双方都知道终点，都只按这些收益作选择，也知道对方明白这些条件，依此类推。

先看最后一周。无论对方怎么写，自己少写的分数都更高，后面又没有合作可以受影响，双方都会少写。

再看倒数第二周。既然最后一周双方都会少写，那么这周认真写，也换不来最后一周更好的记录。于是，这周少写仍然更划算。

同样的推理可以继续往前走，直到第一周。即使总共合作一百次，在这组条件下，也能一路倒推。

这叫逆向归纳。倒推是推理的顺序，模型直接预测双方从第一周就少写。技术上，"双方逐期少写"是这个设定下唯一的子博弈精炼均衡，即无论此前发生过什么，任何一方都无法在对方后续做法不变时，靠单独改变策略获得更高收益。

前面的电脑锦标赛，比较程序按预设规则运行后的得分；这里分析双方可以自行改变策略时的选择。冠军排名不能代替这种分析。

实际项目还要检查其他后果。合同可能要求完整交付，交接质量可能影响考核，两队也可能在别的项目重逢。这些因素都会改变刚才的设定。

项目结束和所有后果结束，需要分别确认。就算只和某个客户交易一次，他的评价也可能影响其他客户以后是否找你。

回到开头的处境。接下来还有共同任务，对方最近两次交来的记录却都缺了关键步骤。你不知道他是忙不过来，还是想省事。

先把具体缺漏找出来。篇幅变短未必影响使用；少了必要步骤，导致别人无法复用，才是可以拿出来讨论的问题。

你可以拿着工单问对方："这两份记录缺了处理步骤，我们没法直接用。最近是任务太多，还是之前没说清楚要写哪些内容？这些步骤什么时候能补上？"

对方说工作量太大，可以一起查看新增任务和分工；双方对"完整"的理解不同，就先明确必填内容。随后再看能否按约定补齐。一句解释可以提供线索，还需要事实和后续行动印证。

接着，要谈以后怎么协作。

例如，两队负责人可以在权限内约定，彼此额外提供的复盘讲解，以提交可复用的记录为前提。发现缺漏先要求补齐；屡次未按约定补齐，就暂缓额外讲解，补齐后恢复。岗位要求的正常交付仍须完成。

这只是一个可以讨论的方案。它能不能起作用，要看双方是否在意那部分支持，以及负责人是否愿意照约定执行。

假如额外讲解每周能帮对方省半小时，他少写记录只省十分钟，看起来未来合作很有吸引力。但如果他怎么写都能照常得到讲解，这半小时就没有成为违约的代价。只能把违约后确实会失去的帮助，算进比较里。

要判断你们的安排是否站得住，可以一起回答下面七个问题。每项都写下依据，不知道的就标为"待确认"。

看任务、排期或约定。只说"以后有机会"，还不能判断合作继续的可能有多大。

是否续约，会不会在其他项目重逢，今天的表现是否影响以后的评价？

分清主体是个人还是团队。团队的利益可以延续，也要看今天作决定的人是否在意这些利益。

记录要能对应到相关主体，也要进入后续决定。可以定期复核，不必每次出错都立即惩罚。

把约定、实际缺漏、工作量和补录情况放在一起看，先确认事实。

提前说清楚调整办法、执行权限和恢复条件。也要看执行者到时是否愿意执行。

分别比较违约的额外好处与实际失去的未来收益，考虑继续合作的可能、等待的代价和替代伙伴。

这七项不用打总分。缺信息，先核实；确认条件不足，就调整安排，或承认现有办法支撑不了合作；条件满足，再观察实际行为。

对眼前这两份记录，下一步就是核实缺漏和原因，商定补录要求，再确定后续协作怎么调整。七项检查帮你找到该补哪一步，也让双方有一份可以共同讨论的清单。

还不能。

回到前面的得分表。如果对方决定每周都交简略记录，你独自写全只能得0分，跟着少写还能得3分。因此，"双方一直少写"也可以维持下去。未来足够重要，只是给合作提供了可能，双方仍要实际采用能够支持合作的策略。

惩罚更严，也不自动更有效。要看它能否执行，会不会让偶发差错变成长期冲突，以及对方到底会失去多少有价值的帮助。

反过来，观察到长期配合，也不能就此认定是未来合作在发挥作用。考核、当期奖金，以及对工作负责的价值观，都可能影响选择。

重复博弈给你的，是一个检查合作条件的角度。它不能替你认定对方的动机，也不会让一份约定自动得到执行。

下次有人说"以后还要合作"，不妨把话接下去。

想核对前面的计算，可以看这一段。

假定合作没有已知的最后一期，每周都有继续的可能。用δ表示下周收益折算到本周的权重，0≤δ<1。它合并考虑合作继续的可能性，以及当事人对未来收益的重视程度。假定双方使用相同的δ，而且每周不变，各周收益可以按这些权重相加。

下周的1分，今天算δ分；再过一周的1分，今天算δ²分。

双方都采用前文的冷酷触发策略时，把每周收益按相应权重加起来，就能比较两条路径。

持续写全，8/(1−δ)。

这周少写、此后双方都少写，10+3δ/(1−δ)。

持续写全的总收益不低于另一条路径时，未来权重需要达到下面的门槛。

等号成立时，两种选择收益相同。比如δ取0.5，持续合作得16分，这周少写后触发回应得13分。

0.29只对应本文的收益和冷酷触发策略，还假定双方了解收益、能准确观察行动。双方收益或未来权重不同时，要分别核验各自的条件；不能拿这个数字直接衡量现实中的合作。

看不清行动、参与者多于两方、合作有固定期限，也都属于重复博弈可以研究的情况，只是需要相应的分析方法。