甲组10人，平均分80。乙组30人，平均分60。两组合并，平均分是多少？

很多人的第一反应是70。

正确答案是65。

平均数的公式并不难，总分除以人数。可如果直接把80和60加起来除以2，就漏掉了一个条件。甲组只有10人，乙组有30人。乙组人数更多，它的60分自然会对合并结果产生更大的影响。

一次答错说明不了你脑子里缺少图式。你可能没学过加权平均，也可能学过却没想起来，还可能只是算得太急。先把这些可能放在一边，看看错误发生的那一刻。你看到"两个平均数"，很快把它认成了"两个数求平均"，于是调出了不合适的算法。

图式首先管的就是这一步。它帮助我们根据眼前的线索，认出自己遇到的是哪一类问题。

刚学认字的孩子看到"中""华""人""民""共""和""国"，需要逐字辨认。成年人看到这七个字，通常会直接认出"中华人民共和国"这个整体。

这个例子更适合说明"组块"。大脑把几个熟悉的元素合成一个整体，处理起来就省力多了。不过，组块还没有讲完整个图式。

万维钢在《表征、图式、心智模型和解释框架》中用了另一个比喻。单个表征像一块乐高零件，图式则像许多零件搭成的赛车底盘。你一眼认出它是什么，还会预期下一步可能要装轮子。按照他的说法，图式是一种模式识别的模板。组块是把几个零件粘在一起省力气，图式还要告诉你这个整体属于哪一类、接下来该做什么。

放到平均数题里，"平均数""人数""总分"都是你已经认识的元素。图式把它们组织成一个熟悉的问题结构。看到几个规模不同的群体需要合并，你会想到每组人数代表各自的分量，接着先算总分，再除以总人数。

具体到这道题，甲组总分是10乘以80，乙组总分是30乘以60。两组总分相加，再除以40，结果是65。

公式当然表达了关系，但记住公式的写法，只能说明你记住了这行算式。题目换一种说法、换一组数字以后还能不能认出它，要看你有没有形成相应的图式。

在更广的图式理论里，图式还会包含一类情境中常见的角色、关系和预期。它让你看到少量线索就认出局面，也会把材料没有明说的部分补出来。

美国认知科学家鲁梅尔哈特在1980年提出，图式是人们头脑中没有说出口的私人理论。我们理解一句话时，会先根据已有知识猜测它讲的是什么，再用后面的信息修正判断。

他用过三个很短的改编故事来说明。

玛丽听到冰淇淋车开过来，想起自己的生日钱，跑进屋里。你多半会把故事补成这样。玛丽想买冰淇淋，进屋拿钱去了。原文没有说她是孩子，也没有说她准备买什么，这些内容都是读者自己补上的。

把冰淇淋车换成公交车，故事立刻变得不好解释。公交车和生日钱有什么关系？

再把生日钱换成枪。玛丽听到冰淇淋车过来，想起自己的枪，跑进屋里。你刚才补出的故事已经用不上了，只能重新猜。

句子只换了一个词，读者调用的图式便可能跟着改变。图式让理解变快，因为我们不用等材料把每个细节都交代清楚。它也会带来风险。脑子补进去的内容来自过去的经验，未必符合眼前这一次。

这跟开头的平均数题是同一个动作。你看到几个线索，立刻认出这是哪一类局面，同时把没说出来的部分补上。认对了，理解就快；认错了，后面的操作就全跟着偏。平均数题里，你看到"两个平均数"，很快调出了"相加后除以2"的熟悉程序。这个程序本身没有错，人数相同时正好能用。眼前两组人数不同，它就认错了局面。

图式会影响一个人注意哪些线索。1981年，季清华、费尔托维奇和格拉泽找来8名物理系高年级博士生，以及8名刚学完一个学期力学的本科生，让他们给24道力学题分类。

博士生更常按照物理原理分组。两道题看上去一个讲斜面，一个讲弹簧，只要都涉及能量守恒，他们就可能把题目放在一起。本科生更容易跟着题目的外观走，把斜面题放一组，弹簧题放另一组。

这项实验常被用来说明熟手和新手怎样看问题。熟手较容易抓住题目之间共享的结构，新手则更容易被题目里显眼的物体和情境带着走。按原理分组，意味着博士生脑子里已经形成了以物理原理为组织方式的图式；按外观分组，则说明本科生的图式还停在表面特征层面。

这项研究说的是总体倾向，不能拿来给个人贴标签。2011年，Mason和Singh用更大的样本做了类似研究，发现本科生和研究生的表现有不少重叠。学历不能直接等同于专业水平，一次分类也读不出一个人完整的知识结构。分类结果只能提供一条线索，不能代替实际求解。

回到开头的题。熟悉合并均值结构的人看到"两组平均分"，往往会先找每组人数。没有先问这一句，原因仍然可能有好几种，不能马上断定这个人"没有图式"。

做错以后，先分清错误发生在哪一步。不同问题需要不同的补法。

第一种，关系没有建立。你记得"平均数等于总分除以人数"，却说不清两个班合并时为什么要先算总分。看完答案以后，你仍然无法解释每一步。这类情况常被称为形成不足，需要把概念之间的关系和适用条件重新接起来。

第二种，学过却没想起。你知道合并均值要看人数，换一种题面就认不出来。一看答案，马上觉得"这道题我明明会"。这属于激活失败。多比较几个外表不同、结构相同的例子，能增加以后认出它的机会。

第三种，认成了另一类问题。你熟练地用了某个办法，做到一半才发现题目条件对不上。比如把人数不同的两组均值当成两个普通数字，或者拿合并平均数的办法去处理两个班的中位数。这时要回头找题目中的冲突信息，看看哪个条件不符合原来的套路。

第四种最简单。你已经认对了问题，列式也没错，只在最后加错了数。这是执行失误，检查计算过程就行，不必把它解释成知识结构出了问题。

前三种和图式的形成、调用有关，第四种主要发生在执行环节。把它们混在一起，人很容易补错地方。明明只是粗心，却回去重学一遍概念；明明没有弄懂关系，却只多刷几道同类型的题。

下面这套练习综合了类比学习、自我解释和变式训练的思路。它不是某一项实验直接验证过的固定流程，可以把它当作一次检查知识结构的练习。

四步很好记。写解释，找对照，改条件，再换一个场景。

第一步，关掉材料，写下自己的解释。问题要选得窄一些，比如"怎样合并两个平均分"。不用追求完整，先把自己当前的想法写出来，再标出拿不准的地方。假如你写的是"把两个平均分相加后除以2"，接着问一句，人数不同时还能这样算吗？

第二步，找两个结构相同、条件不同的例子放在一起看。

甲组10人，平均80分；乙组30人，平均60分，合并均值是65。

把人数交换。甲组30人，平均80分；乙组10人，平均60分，合并均值变成75。

两组平均分都没有变，只换了人数，答案就跟着变了。人数多的一组占的分量更大。金特纳和同事1999年的研究发现，把两个案例放在一起比较，有助于学习者看出它们共享的关系结构。

第三步，只改一个条件，再算一次。甲组20人，平均50分；乙组20人，平均90分，合并均值是70。把乙组人数改成40，合并均值就变成约76.7。简单平均仍然是70，两种方法在这里给出了不同答案。

还有一个容易忽略的特例。两组均值相同时，即使人数不同，简单平均也会恰好相等。这个结果没有推翻加权关系，只是因为两组的均值本来就一样。

第四步，换场景。渠道A有1000名访客，转化率5%；渠道B有5000名访客，转化率2%。在统计口径相同的前提下，两个渠道的合并转化率是2.5%，不能直接把5%和2%平均成3.5%。换到转化率以后还能想到访客数，说明你已经能把同一个关系用到新问题里。

做完四步，只能说明你把这个知识点重新整理了一遍。它能不能稳定调用，还要看下一次没有提示时，你会不会自己认出相同的结构。下面四种表现可以帮你粗略定位。

可以用下面四种表现做一次粗略自测。

只能照着原题复述，大多还停在记忆阶段。

数字换了仍然会做，说明你掌握了基本程序。

题目从平均分换成转化率、混合浓度或单价合并，你仍能找到权重，说明这个图式开始在新情境中被调用。

遇到相近问题时，你还能说清哪里不能套用。例如两个班的中位数不能用同样的方法合并，这说明你已经注意到适用边界。

这四种表现不是严格的能力量表，只用来帮你定位。最有用的一关通常是换场景。原题做得再熟，也可能只是记住了题目的样子。

AI很适合批量生成变式题。它可以改数字、换场景，也可以故意放进一个容易误导人的条件。答案先藏起来，练习才有意义。

可以把下面这段话直接交给AI。

回答之前，先写下自己把题目认成了哪一类问题，以及哪几个线索支持这个判断。答完后再让AI解释错误发生在哪里。这样会留下一次可以回看的判断过程，AI最后给出的解释只作辅助。

AI也会出错，涉及事实和计算时自己再验一遍。AI判定你答对了，不等于下一道没有提示的新题你也能认出来。

图式帮我们省下大量思考时间。看到餐厅、会议或考试的几个线索，我们通常就知道接下来会发生什么，不用每次从头摸索。

麻烦也出在这里。图式来自过去的经验，眼前的情境只要长得有几分相似，它就可能抢先接管判断。平均数题里，"两个数"这个线索太显眼，人数不同这个条件反倒被忽略了。

图式本身也可能是错的。一个人可以把错误关系组织得很完整，一群人也可能长期共享同一套错误解释。知识结构是否可靠，仍要靠新题、实际任务和可信来源来检验。

画思维导图可以帮人整理概念，却不能证明图式已经形成。图上有节点、有连线，做题时仍可能想不起来。判断图式是否形成，可以看两件事。换一个场景后能否认出相同结构，遇到不适用的情况能否停下来。

图式也不能拿来给人贴标签。同一个人在熟悉领域会按原理看问题，到了陌生领域照样可能被表面线索带着走。一次做错，只能说明这一次出了问题，不能据此判断一个人的能力。

主要参考

1. 万维钢，《表征、图式、心智模型和解释框架》，《现代思维工具100讲》，得到APP。

2. David E. Rumelhart, Schemata: The Building Blocks of Cognition, 1980.

3. Michelene T. H. Chi, Paul J. Feltovich and Robert Glaser, Categorization and Representation of Physics Problems by Experts and Novices, 1981.

4. Allison Mason and Chandralekha Singh, Non-Passing Rates in Introductory Physics, 2011.

5. Jeffrey Loewenstein, Lindsey E. Thompson and Dedre Gentner, Analogical Transfer: The Influence of Surface and Structural Similarity, 1999.

6. Michelene T. H. Chi and Ruth Wylie, The ICAP Framework, 2014.