# 递归关系的观察商、严格拼接与相容完备化 本卷是理论参考输入，不是 Lean 验证收据。输入原稿由用户在当前会话提供，作者类型为 mixed；原稿指定 GPT PRO 作为主推理来源，本批规范化、仓库摄入与审查由 Codex 完成。输入日期为 2026-09-15，所依据的项目读取基准为 the-omega-institute/trureturing 的 dev 快照；具体提交身份由本批工作树与 Git 记录保存。Lean 声明、证明项及其公理闭包仍是仓库唯一真源，本文的定义、命题和证明均不得据此标记为 kernel-verified。 ## 1. 有类型关系与带见证的递归层 **定义 1.1（有类型部分操作）。** 设 \(S\) 为种类集合，\(X_s\) 为每个 \(s\in S\) 的载体。一个有限有类型操作 \(\omega\) 包含输入种类 \(s_0,\ldots,s_{k-1}\)、输出种类 \(t\)、准入域 \[ D_\omega\subseteq\prod_{jj_{n-1}$ 使 $$ \iota_Y(y_j)\in V_n(\eta). $$ 可以取满足条件的最小自然数 $j$。初始步骤同理由 $\eta\in F_0$ 得到。 对任意固定的 $m$，当 $n\ge m$ 时， $$ \iota_Y(y_{j_n})\in V_n(\eta)\subseteq V_m(\eta). $$ 故 $$ \iota_Y(y_{j_n})\longrightarrow\eta. $$ 现在定义 $$ A=\{y_{j_{2r}}:r\in\mathbb N\}, \qquad B=\{y_{j_{2r+1}}:r\in\mathbb N\}. $$ 由于原序列的元素互异，$A\cap B=\varnothing$；由于两个子序列均收敛到 $\eta$， $$ \eta\in \overline{\iota_Y[A]} \cap \overline{\iota_Y[B]}. $$ 这违反 (P)。 事实上，这个障碍在每个有限层都有明确表现： $$ \forall n\in\mathbb N,\qquad \pi_n(\eta)\in q_n[A]\cap q_n[B], $$ 尽管 $$ A\cap B=\varnothing. $$ 因此，每层都存在候选中间读数，并不提供同一个实际中间元素。 结合第一步与第二步，得到 (a) 蕴含 (b)。 第三步：有限且观察单射，必在某个有限层已经单射。 假设 (b)。对每对不同的 $y,y'\in Y$，定义其首次分离层 $$ n(y,y') = \min\{n\in\mathbb N:q_n(y)\ne q_n(y')\}. $$ 该集合非空，因为 $\iota_Y$ 单射。令 $$ N = \max\Bigl( \{0\} \cup \{n(y,y'):y,y'\in Y,\ y\ne y'\} \Bigr). $$ 由于 $Y$ 有限，这个最大值存在。 若 $q_N(y)=q_N(y')$，则沿塔下投影，在所有不高于 $N$ 的层都有相同读数。若 $y\ne y'$，这与第 $n(y,y')$ 层已经分离矛盾。因此 $q_N$ 单射，得到 (c)。 反之，若 (c) 成立，则 $Y$ 单射到有限集合 $Q_N$，所以 $Y$ 有限；并且 $$ \iota_Y(y)=\iota_Y(y') \Longrightarrow q_N(y)=q_N(y') \Longrightarrow y=y'. $$ 故 (c) 蕴含 (b)。 第四步：有限且观察单射，足以通过所有单点测试。 假设 (b)。任意 $A,B\subseteq Y$ 的观察像都是 Hausdorff 空间 $K_Y$ 中的有限集，因而闭。于是 $$ \overline{\iota_Y[A]} \cap \overline{\iota_Y[B]} = \iota_Y[A]\cap\iota_Y[B] = \iota_Y[A\cap B]. $$ 故 (P) 成立，从而 (a) 成立。 最后，$\iota_Y[Y]$ 是有限闭集，又由实际像塔的基本性质稠密于 $K_Y$，因此 $$ K_Y=\iota_Y[Y]. $$ 有限 Hausdorff 空间离散。证毕。 假设与选择原则的使用边界。 有限像保证完成空间的紧致性，也使“某层单射”推出载体有限。可数塔提供了上述可数柱邻域基；第二步正是在这里把紧致聚集现象转换成一条可拆成两部分的收敛序列。证明没有另行调用可度量性定理，所用的是更具体的可数柱邻域基；当然，该完成空间本身可度量。 通常选择原理的一项明确使用，是从任意无限 $Y$ 取出互异元素序列。给定该序列与题设紧致性之后，子列指标可以用自然数最小元递归选定。有限层分离、有限集合闭性及非单射障碍均不需要无限选择。本节记录的是上述证明的依赖，不声称这是最弱的选择公理配置。 **定理 9.2（紧致中间空间中，单点测试已经刻画任意端点的普遍交换）。** 设 $Y$ 为集合，$K$ 为紧致 Hausdorff 空间，$j:Y\to K$ 为映射。本定理不要求中间观察系统可数。 以下两个条件等价： 闭包分离条件： $$ \forall A,B\subseteq Y,\quad A\cap B=\varnothing \Longrightarrow \overline{j[A]}\cap\overline{j[B]}=\varnothing. $$ 普遍端点交换条件：对任意集合 $X,Z$、任意拓扑空间 $L_X,L_Z$、任意映射 $$ j_X:X\to L_X, \qquad j_Z:Z\to L_Z, $$ 以及任意关系 $$ R\subseteq X\times Y, \qquad S\subseteq Y\times Z, $$ 定义 $$ \widehat R = \overline{(j_X\times j)[R]}, \qquad \widehat S = \overline{(j\times j_Z)[S]}, $$ $$ \widehat{S\circ R} = \overline{(j_X\times j_Z)[S\circ R]}. $$ 则恒有 $$ \widehat{S\circ R} = \widehat S\circ\widehat R. $$ 特别地，在定理 9.1 的可数有限实际像塔假设下，(a)、(b)、(c) 还等价于：对任意端点观察塔及任意关系 $R,S$，上述端点交换成立。**不需要端点实际像闭，也不需要端点观察映射单射或满射到完成空间。** **证明。** 普遍端点交换蕴含闭包分离，只需取两个单点端点，并使用定理 9.1 证明开头的单点计算。该计算本身没有使用中间塔的可数性。 下面证明反方向。 先证明由中间紧致性保证的包含方向。 令 $$ \mathcal F = \{(\xi,\eta,\zeta)\in L_X\times K\times L_Z: (\xi,\eta)\in\widehat R,\quad (\eta,\zeta)\in\widehat S\}. $$ 由于 $\widehat R,\widehat S$ 闭，$\mathcal F$ 闭。其端点投影恰为 $$ C = \widehat S\circ\widehat R. $$ 中间因子 $K$ 紧致，保证 $C$ 闭。具体地，若 $(\xi,\zeta)\notin C$，则对每个 $\eta\in K$，存在开邻域 $$ U_\eta\ni\xi,\qquad H_\eta\ni\eta,\qquad V_\eta\ni\zeta $$ 使 $$ (U_\eta\times H_\eta\times V_\eta)\cap\mathcal F = \varnothing. $$ 从 $(H_\eta)_{\eta\in K}$ 中取有限子覆盖，再分别交对应的 $U_\eta$ 与 $V_\eta$，便得到 $(\xi,\zeta)$ 的一个与 $C$ 不交的乘积开邻域。因此 $C$ 闭。 每个实际复合见证 $y\in Y$ 都给出完成空间中的见证 $j(y)$，所以 $$ (j_X\times j_Z)[S\circ R]\subseteq C. $$ 取闭包得到 $$ \widehat{S\circ R} \subseteq \widehat S\circ\widehat R. $$ 再证明闭包分离排除额外端点。 设 $$ (\xi,\zeta)\in\widehat S\circ\widehat R. $$ 取 $\eta\in K$ 使 $$ (\xi,\eta)\in\widehat R, \qquad (\eta,\zeta)\in\widehat S. $$ 任取开邻域 $$ U\ni\xi, \qquad V\ni\zeta. $$ 定义对应的实际中间见证集合 $$ A_U = \{y\in Y: \exists x\in X,\quad j_X(x)\in U\ \land\ (x,y)\in R\}, $$ $$ B_V = \{y\in Y: \exists z\in Z,\quad j_Z(z)\in V\ \land\ (y,z)\in S\}. $$ 对 $\eta$ 的任意开邻域 $H$，由 $(\xi,\eta)\in\widehat R$ 可知 $$ (U\times H)\cap(j_X\times j)[R]\ne\varnothing. $$ 故 $H\cap j[A_U]\ne\varnothing$。因此 $$ \eta\in\overline{j[A_U]}. $$ 同理， $$ \eta\in\overline{j[B_V]}. $$ 闭包分离条件的逆否命题给出 $$ A_U\cap B_V\ne\varnothing. $$ 取 $y\in A_U\cap B_V$。根据定义，存在 $x\in X$ 与 $z\in Z$，使 $$ j_X(x)\in U,\qquad j_Z(z)\in V, $$ $$ (x,y)\in R,\qquad (y,z)\in S. $$ 于是 $$ (x,z)\in S\circ R, $$ 从而 $$ (U\times V)\cap(j_X\times j_Z)[S\circ R]\ne\varnothing. $$ 由于 $U,V$ 任意， $$ (\xi,\zeta)\in\widehat{S\circ R}. $$ 这证明了反向包含，故等式成立。证毕。 适用边界。 证明只在保证闭关系复合闭合的方向使用中间空间紧致性；排除虚假端点的方向使用闭包分离条件。两个端点空间甚至不必紧致或 Hausdorff。因而，端点完成所增加的点，以及端点实际像可能不闭，都不构成这里的额外障碍。 上述结论比较的是两个完成关系，本身不保证关系像闭，闭包符号不能据此删去。按第 6.1 节对推论 3.6 的校正，对关系 $T\subseteq U\times V$ 及观察映射 $e:U\times V\to L_U\times L_V$，若 $e[T]$ 闭，则 $\overline{e[T]}=e[T]$，每个完成关系点已经有某个 $t\in T$ 作为实际关系代表，无须再为该存在性附加实现假设。在此闭像条件下，代表唯一当且仅当 $e|_T$ 单射。对一个指定实际端点对 $t_0$，$e(t_0)\in\overline{e[T]}$ 只保证存在 $t\in T$ 与 $t_0$ 观察相同；要推出 $t_0\in T$，还可要求 $T$ 对 $e$ 的纤维饱和，或要求 $e$ 在整个原始端点乘积上单射。整个环境 $L_U\times L_V$ 的每一点都有实际端点代表，则要求 $e$ 对该环境满射；若要求代表均取自 $T$，则要求 $e[T]=L_U\times L_V$。这些量词均不能与完成关系内部的代表存在性混同。[^rro9_repo] **命题 9.3（全部有限分划给出无限反例，但单点测试与一般端点交换仍然等价）。** 设 $Y$ 为任意无限集合。以 $Y$ 的全部有限分划为观察指标：每个分划只含非空块，细分划向粗分划映射到包含它的块。记这一共滤指标系统为 $\mathfrak P_f(Y)$，并定义 $$ q_{\mathcal P}:Y\twoheadrightarrow\mathcal P, \qquad q_{\mathcal P}(y)=\text{分划 }\mathcal P\text{ 中包含 }y\text{ 的块}, $$ $$ K_Y^{\mathrm{all}} = \varprojlim_{\mathcal P\in\mathfrak P_f(Y)}\mathcal P. $$ 则 $K_Y^{\mathrm{all}}$ 可识别为 $Y$ 上全部超滤子组成的 Stone 空间，即离散空间 $Y$ 的 Stone–Čech 完成；实际元素 $y$ 对应主超滤子 $$ \delta_y=\{A\subseteq Y:y\in A\}. $$ 有限分划与超滤子的标准对应见文献中的有限分划刻画。[^rro9_ultrafilter] 对每个 $A\subseteq Y$，记 $$ A^\ast = \{\mathfrak u\in K_Y^{\mathrm{all}}:A\in\mathfrak u\}. $$ 则 $$ \overline{\delta[A]}=A^\ast, $$ 并且对所有 $A,B\subseteq Y$， $$ \overline{\delta[A]} \cap \overline{\delta[B]} = (A\cap B)^\ast. $$ 因此，所有单点端点测试均通过，但 $Y$ 无限，且没有任何有限分划层能够单射。这是**去掉可数塔限制后**对有限性结论的反例，不是对定理 9.1 的反例。 此外，对这个固定的中间完成，任意端点观察塔及任意关系仍满足 $$ \widehat{S\circ R} = \widehat S\circ\widehat R. $$ 端点无须也采用全部有限分划。 **证明。** 首先，有限分划的总集合是一个集合，任意有限组分划都有由非空块交组成的共同细化。因此，上述系统确为共滤的有限实际像观察系统。 每个分划空间有限离散，逆极限是其乘积中由相容等式确定的闭子空间。在 ZFC 中，由乘积紧致性可知 $K_Y^{\mathrm{all}}$ 紧致 Hausdorff。每个实际元素给出一条相容线程，故它非空。 线程与超滤子的对应。 给定一条线程 $$ \xi=(C_{\mathcal P})_{\mathcal P\in\mathfrak P_f(Y)}, \qquad C_{\mathcal P}\in\mathcal P, $$ 定义 $$ \mathfrak u_\xi = \{A\subseteq Y: \exists\mathcal P\in\mathfrak P_f(Y),\quad C_{\mathcal P}\subseteq A\}. $$ 它包含 $Y$ 而不包含空集，并显然向上封闭。 若 $A,B\in\mathfrak u_\xi$，分别取所需分划 $\mathcal P,\mathcal Q$，再取共同细化 $\mathcal R$。线程相容性给出 $$ C_{\mathcal R} \subseteq C_{\mathcal P}\cap C_{\mathcal Q} \subseteq A\cap B. $$ 故 $A\cap B\in\mathfrak u_\xi$。 对任意 $A\subseteq Y$，考察删去空块后的二分划 $$ \{A,Y\setminus A\}\setminus\{\varnothing\}. $$ 线程选中的块包含于 $A$ 或 $Y\setminus A$，所以两者之一属于 $\mathfrak u_\xi$；两者不能同时属于这个真滤子。因此 $\mathfrak u_\xi$ 是超滤子。 反之，一个超滤子在每个有限分划中恰含一个块：不能含两个不交块；若一个块也不含，则所有块的补集都属于它，其有限交为空，矛盾。令 $C_{\mathcal P}$ 为该唯一块。向上封闭性保证这些选择在细化下相容。两个构造互为逆。 指定线程的某个分划坐标为一个块 $C$，恰对应超滤子满足 $C\in\mathfrak u$。因此，该对应也保持柱拓扑。 子集闭包的精确计算。 由二分划可知，对任意 $A\subseteq Y$，$A^\ast$ 开闭，且 $$ K_Y^{\mathrm{all}}\setminus A^\ast = (Y\setminus A)^\ast. $$ 这些集合构成拓扑基，并满足 $$ A^\ast\cap B^\ast=(A\cap B)^\ast. $$ 由于 $\delta[A]\subseteq A^\ast$ 且 $A^\ast$ 闭， $$ \overline{\delta[A]}\subseteq A^\ast. $$ 反过来，设 $\mathfrak u\in A^\ast$，并取它的任意基本邻域 $C^\ast$。则 $$ A\in\mathfrak u, \qquad C\in\mathfrak u, $$ 所以 $$ A\cap C\in\mathfrak u, \qquad A\cap C\ne\varnothing. $$ 取 $y\in A\cap C$，便有 $$ \delta_y\in\delta[A]\cap C^\ast. $$ 故 $\mathfrak u\in\overline{\delta[A]}$，证明 $$ \overline{\delta[A]}=A^\ast. $$ 取 $A=Y$ 也得到实际像稠密。 于是 $$ \overline{\delta[A]} \cap \overline{\delta[B]} = (A\cap B)^\ast, $$ 而 $$ (A\cap B)^\ast\ne\varnothing \quad\Longleftrightarrow\quad A\cap B\ne\varnothing. $$ 反向蕴含由交集中的任意实际元素所确定的主超滤子给出。因此所有单点端点测试均成立。 与此同时，$\delta$ 单射，因为不同实际元素可由二分划分开；但 $Y$ 无限，所以它不可能单射到任何一个有限分划的块集合。故去掉可数性后，条件 (a) 可以成立，而条件 (b)、(c) 均不成立。 一般端点的复合也成立。 这里已有紧致中间空间和闭包分离条件，故定理 9.2 直接适用。为明确实际见证如何产生，设 $$ (\xi,\mathfrak u)\in\widehat R, \qquad (\mathfrak u,\zeta)\in\widehat S. $$ 对任意端点邻域 $U\ni\xi$、$V\ni\zeta$，采用定理 9.2 中的实际见证集合 $A_U,B_V$。由闭包定义及刚证明的闭包公式， $$ \mathfrak u\in\overline{\delta[A_U]}=A_U^\ast, \qquad \mathfrak u\in\overline{\delta[B_V]}=B_V^\ast. $$ 所以 $$ A_U,B_V\in\mathfrak u, \qquad A_U\cap B_V\ne\varnothing. $$ 交集中的一个实际 $y$，连同其定义提供的 $x,z$，就在 $U\times V$ 中给出实际复合端点。反向包含因此成立；另一方向由中间紧致性成立。这是闭包和滤子有限交性质的直接证明，不以函子保复合或保弱拉回的名称代替论证。证毕。 可数性、选择原则与实现性的边界。 该反例保留了每层有限、实际像满射、共滤相容和完成空间紧致等条件；改变的是观察指标不再要求可数。定理 9.1 中提取收敛实际子列的一步不能推广到这里：若主点序列 $(\delta_{y_n})$ 的实际元素互异，取 $$ A=\{y_{2n}:n\in\mathbb N\}, $$ 则序列的偶数项位于开闭集 $A^\ast$，奇数项位于其补集，因此这条序列不可能收敛。同样的分割论证适用于任何互异主点子列。 无限 $Y$ 的余有限子集构成真滤子；由超滤子引理扩张得到的超滤子不含任何有限集，因而非主。[^rro9_ultrafilter] 所以 $$ \delta[Y]\subsetneq K_Y^{\mathrm{all}}, $$ 尽管所有上述端点交换都成立。这里的任意指标紧致性与超滤子存在性均在 ZFC 中使用，不据此主张无选择或有效构造版本。 这里使用全部有限分划组成的指标系统，不能将它视为定理 9.1 的可数塔。端点交换不把非主完成见证变成实际元素，也不包含关于其他关系提升定义或任意函子弱拉回保持性的断言。 ## 10. 本批的来源、边界与核验 **文献表态。** 第 9 节沿用完整卷基准 `1f193e8045b4091637dd5483f218cfc4fbfb352a` 中定理 3.4、定义 4.1、定理 4.2、第 6.1 节及第 7 节的关系完成框架。[^rro9_repo] 有限分划的超滤子刻画、主超滤子、余有限滤子的非主超滤子扩张，以及离散空间的 Stone–Čech 完成，均是标准构件；Leinster 第 1 节给出相应定义、例子与命题，并将有限分划刻画归于 Galvin 与 Horn。[^rro9_ultrafilter] 定理 9.1、定理 9.2 与命题 9.3 的闭包公式及端点交换在正文给出纸面论证，不主张全球原创性，也不将这些完整陈述归为所引文献或 Mathlib 已直接证明的同名结果。 源码核对固定在 Mathlib 提交 `db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d`。在 [Mathlib/Topology/Compactification/StoneCech.lean](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Topology/Compactification/StoneCech.lean) 中，`ultrafilterBasis_is_basis`、`ultrafilter_isOpen_basic`、`ultrafilter_isClosed_basic` 对应 $A^\ast$ 的开闭基，`ultrafilter_compact` 与 `Ultrafilter.t2Space` 对应超滤子空间的紧致 Hausdorff 性，`denseRange_pure` 与 `isDenseEmbedding_pure` 对应离散载体的主超滤子稠密嵌入，`ultrafilter_extend_extends` 与 `continuous_ultrafilter_extend` 给出到紧致 Hausdorff 空间的连续延拓构件。在 [Mathlib/Topology/Ultrafilter.lean](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Topology/Ultrafilter.lean) 中，`mem_closure_iff_ultrafilter` 刻画闭包成员资格，`Ultrafilter.clusterPt_iff` 刻画超滤子的聚点与收敛关系。这些核对限于相关声明及其源码，不构成本批三条结果的 Lean 证明。 **产地。** 追加结构采用 theory-volume-template 及其 APPEND 模板，协作载体为 sshx；ChatGPT Pro 提供主数学推理与正式结果草稿，Codex 依据该草稿、固定仓库来源及文献作源码核对与格式实施。 **本批不主张的。** 本批是 ZFC 下的纸面结果，未新增或运行 Lean，未 kernel-verified。可数塔、紧致中间空间及所用选择原则的边界分别见三条结果正文；不把非主超滤子当作实际元素，不断言无选择或有效构造版本。 [^rro9_repo]: 完整卷固定提交 `1f193e8045b4091637dd5483f218cfc4fbfb352a`，[RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/1f193e8045b4091637dd5483f218cfc4fbfb352a/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)：定理 3.4“联合关系的有限观察闭包”、定义 4.1“有限观察塔”、定理 4.2“观察完备化的基本性质”、第 6.1 节“第 3.6 与 5.1 条：闭像、关系代表与环境满射”，以及第 7 节“观察完备化与共同中间见证的关系复合”。旧推论 3.6 的实现性措辞按第 6.1 节解释。 [^rro9_ultrafilter]: Tom Leinster, *Codensity and the ultrafilter monad*, *Theory and Applications of Categories* **28** (2013), 332–370，[arXiv:1209.3606v3](https://arxiv.org/html/1209.3606v3)。标准构件对应第 1 节定义 1.1–1.2、例 1.3–1.4、命题 1.5（Galvin 与 Horn），以及该节末尾关于离散空间 Stone–Čech 完成与超滤子的说明。本批核对其 HTML 正文；本节所需的闭包公式及端点复合等式在正文直接证明。 ## 追加锚（本行以下为增补区） ## 11. 增补·重复历史的观察商与运算扩展 **定义 11.0（约定）。** 本节采用通常外部集合论中的自然数 $\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$，并以外部自然数归纳解释有限迭代。对映射 $f$，记 $\ker f=\{(x,y):f(x)=f(y)\}$；这里的“核”始终指等值关系，不指零元的原像。历史载体为集合 $H$，初始历史为 $e\in H$，后继为 $S:H\to H$；端状态映射为 $E:H\to X$，观察映射为 $q:H\to B$，其中 $X,B$ 分别为端状态和观察记录的载体。历史载体、端状态、观察记录及观察记录上的运算分别指定，不预先认定它们保存相同的区别。实际像、严格响应及上下文的约定见定义 2.1、2.4 与命题 2.6。[^rro11_volume] **定理 11.1（无混淆、无遗漏生成的自然数刻画）。** 设 $H$ 为集合，$e\in H$，$S:H\to H$。以下三种表述等价。 生成表述：每个历史都由有限次后继生成，而且后继无混淆、初始历史没有前驱，即 $$ H=\{S^n(e):n\in\mathbb N\},\qquad S\text{ 单射},\qquad e\notin S[H]. $$ 同构表述：存在唯一双射 $\nu:\mathbb N\to H$，满足 $$ \nu(0)=e,\qquad \nu(n+1)=S(\nu(n)). $$ 该双射必为 $\nu(n)=S^n(e)$。 归纳表述：$S$ 单射、$e\notin S[H]$，并且对每个外部子集 $A\subseteq H$ 都有 $$ e\in A\ \land\ S[A]\subseteq A \quad\Longrightarrow\quad A=H. $$ 在这些等价条件下，对任意集合 $Y$、$y_0\in Y$ 和映射 $T:Y\to Y$，存在唯一映射 $f:H\to Y$，使得 $$ f(e)=y_0,\qquad f\circ S=T\circ f. $$ 其值由 $$ f(\nu(n))=T^n(y_0) $$ 唯一确定。 这里对 $A\subseteq H$ 的量化是外部全子集量化，不是仅针对某个固定语言中可定义谓词的形式归纳模式。自然数及其归纳已用于表述和证明该刻画。 **证明。** 先假设生成表述成立。定义 $\nu(n)=S^n(e)$，无遗漏条件立即给出满射性。若 $\nu(m)=\nu(n)$ 且 $mi,\ i\sim j\}, \qquad p=\min\{d\ge1:t\sim t+d\}. $$ 两个集合均非空，故最小值存在。由平移稳定性， $$ n\sim n+p\qquad(n\ge t). $$ 先证明 $0,1,\ldots,t+p-1$ 的读数两两不同。若 $ia, \end{cases} \qquad d_{\mathrm p}(a,b)= \begin{cases} \operatorname{ok}(a-b),&b\le a,\\ \bot,&b>a. \end{cases} $$ 这里部分减法的“严格”指失败必须被记录并向外传播，准入域仍是 $b\le a$。对含部分运算的上下文，使用观察 $$ q_\bot(\operatorname{ok}(n))=\operatorname{ok}(q(n)), \qquad q_\bot(\bot)=\bot, $$ 其中失败标签与两个成功标签均不同。部分运算的强同余须同时保持准入性和成功结果的等价类。 对 $\Sigma_{\mathrm t}=\Sigma_1\cup\{d_{\mathrm t}\}$ 与 $\Sigma_{\mathrm p}=\Sigma_1\cup\{d_{\mathrm p}\}$，均有 $$ \equiv_{\Sigma_{\mathrm t}} =\equiv_{\Sigma_{\mathrm p}} =\Delta_{\mathbb N}. $$ 于是这些观察商的类数依次为 $2$、$3$ 和 $\aleph_0$。这是相对于明确操作语言的身份细化，不是几何维数的增长。 **证明。** 首先，任何包含于 $\ker q$ 的运算同余都使全部有限一孔上下文保持观察相等：对上下文的构造作归纳，孔的位置使用所给等价，其他位置使用固定参数的自反等价，再使用基本运算的相容性。部分情形同时归纳失败传播和成功结果的等价。因此，只要一个候选关系本身是相应同余，并且关系外的每一对都能被某个上下文区分，就证明了它恰为所求最粗同余。 在 $\Sigma_0$ 中，加法和乘法都只依赖输入的奇偶来决定输出奇偶。故 $\ker q$ 对两种运算相容，上下文归纳给出 $$ \ker q\subseteq\equiv_{\Sigma_0}. $$ 恒等上下文给出反向包含，故二者相等。 令 $R$ 表示“奇偶相同且同时为零或同时非零”。先证明 $R$ 对 $\Sigma_1$ 的全部基本运算相容。对自然数， $$ a+b=0\Longleftrightarrow a=b=0, \qquad ab=0\Longleftrightarrow a=0\ \lor\ b=0. $$ 结合和、积的奇偶规则可知，和与积的零性及奇偶性均由两个输入的 $R$-类决定。 由自然幂的递归定义，对指数归纳得到 $$ a^b=0\Longleftrightarrow a=0\ \land\ b>0, $$ 以及 $$ q(a^b)= \begin{cases} 1,&b=0,\\ q(a),&b>0. \end{cases} $$ 这些公式包括 $a=b=0$ 的情形。因此幂结果的零性与奇偶性也完全由两个输入的 $R$-类决定，$R$ 确为 $\Sigma_1$ 同余。上下文归纳于是给出 $$ R\subseteq\equiv_{\Sigma_1}. $$ 反向包含不能只靠一个反例，而须排除所有关系外的对。若 $n,m$ 奇偶不同，恒等上下文已经区分它们。若奇偶相同但零性不同，则其中一个为 $0$，另一个为某个正偶数 $2k$。上下文 $$ C(x)=0^x $$ 满足 $$ q(C(0))=1,\qquad q(C(2k))=0. $$ 故这类对也全部可区分。除此以外的对正是 $R$，所以 $\equiv_{\Sigma_1}=R=R_{1,2}$。 对截断减法，任取 $n1$ 时，阈值条件和周期条件缺一不可。 这里 $\lambda(p)\mid p$ 等价于“每个素因子 $\ell\mid p$ 都满足 $\ell-1\mid p$”，是 Novák–Carmichael 数的标准判据，参见 Alexander Kalmynin，*Novák-Carmichael numbers and shifted primes without large prime factors*，第 2 节引理 1，[arXiv:1706.07343v1](https://arxiv.org/html/1706.07343v1)。下面证明本条所需的等价及其与观察核条件的联系。 **证明。** 先说明有限群指数的基本性质。若 $g$ 的阶为 $r$，则对正整数 $d$ 作带余除法，得到 $$ g^d=1_G\quad\Longleftrightarrow\quad r\mid d. $$ 对群中所有元素取最小公倍数，因而 $$ \forall g\in G,\ g^d=1_G \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{exp}(G)\mid d. $$ 因此，对 $p\ge2$， $$ \lambda(p)\mid p \quad\Longleftrightarrow\quad \forall a\in\mathbb N,\ \gcd(a,p)=1\Longrightarrow a^p\equiv1\pmod p. $$ 由定理 11.2，$R_{t,p}$ 已对乘法的两个槽位相容。固定指数 $b$，对 $b$ 归纳便得 $$ a\mathrel{R_{t,p}}a' \quad\Longrightarrow\quad a^b\mathrel{R_{t,p}}(a')^b. $$ 归纳起点是两边都等于 $1$，所以也涵盖零底数与零指数。故新增要求恰在指数槽。 更精确地，双槽保幂等价于 $$ \forall a\in\mathbb N,\qquad a^t\mathrel{R_{t,p}}a^{t+p}. $$ 必要性来自 $t\mathrel{R_{t,p}}t+p$。反之，假设上述关系成立。对任意 $n\ge t$，利用乘法相容性得到 $$ a^{n+p} =a^{n-t}a^{t+p} \mathrel{R_{t,p}} a^{n-t}a^t =a^n. $$ 若 $b\mathrel{R_{t,p}}b'$ 且 $b\ne b'$，交换二者后可写成 $$ b\ge t,\qquad b'=b+kp,\qquad k\ge1. $$ 反复应用上述关系即得 $a^b\mathrel{R_{t,p}}a^{b'}$。结合底数槽的相容性， $$ a^b\mathrel{R_{t,p}}(a')^b \mathrel{R_{t,p}}(a')^{b'}, $$ 便得到双槽保幂。 先处理 $t=0$。因 $0\mathrel{R_{0,p}}p$，取底数 $a=0$，保幂必要求 $$ 1=0^0\mathrel{R_{0,p}}0^p=0. $$ 而 $R_{0,p}$ 就是模 $p$ 同余，所以 $p\mid1$，即 $p=1$。反之，$R_{0,1}$ 是全关系，当然保幂。 以下设 $t\ge1$。底数 $a=0$ 时， $$ 0^t=0^{t+p}=0; $$ 底数 $a=1$ 时，两边都等于 $1$。当 $a\ge2$ 时，自然数归纳给出 $$ a^t\ge2^t\ge t,\qquad a^{t+p}\ge a^t. $$ 两项均在周期尾部。因此，前述指数槽条件恰等价于 $$ \forall a\in\mathbb N,\qquad a^{t+p}\equiv a^t\pmod p. $$ 假设这个同余恒等式成立。对每个 $\ell^e\parallel p$，取底数 $a=\ell$，得到 $$ \ell^e\mid \ell^{t+p}-\ell^t =\ell^t(\ell^p-1). $$ 由于 $\ell\nmid\ell^p-1$，右侧的 $\ell$-进赋值恰为 $t$，故 $e\le t$。于是 $$ h(p)\le t. $$ 另一方面，若 $\gcd(a,p)=1$，则可在模 $p$ 的单位群中消去 $a^t$，得到 $$ a^p\equiv1\pmod p. $$ 群指数的基本性质于是给出 $\lambda(p)\mid p$。当 $p=1$ 时，这个整除关系按约定也成立。必要性得证。 现在证明所需的周期判据 $$ \lambda(p)\mid p \quad\Longleftrightarrow\quad \forall\ell\in\operatorname{Pr}(p),\ \ell-1\mid p. $$ $p=1$ 时两边都成立，以下设 $p>1$。 先设 $\lambda(p)\mid p$，固定 $\ell^e\parallel p$，写 $$ p=\ell^e m,\qquad \gcd(\ell,m)=1. $$ 每个模 $\ell$ 的非零剩余类 $x$ 都可提升为模 $p$ 的单位：取不被 $\ell$ 整除的整数代表 $u$，再由中国剩余定理选择 $$ a\equiv u\pmod{\ell^e},\qquad a\equiv1\pmod m. $$ 于是 $\gcd(a,p)=1$，从而 $x^p=1$ 于域 $\mathbb F_\ell$ 中。 令 $d=\operatorname{exp}(\mathbb F_\ell^\times)$。有限群的陪集分割表明每个元素的阶整除群阶，故 $d\mid\ell-1$。另一方面，$\mathbb F_\ell$ 上的非零多项式 $X^d-1$ 在全部 $\ell-1$ 个非零元素处消失；域上次数为 $d$ 的非零多项式至多有 $d$ 个根，故 $d\ge\ell-1$。因此 $$ d=\ell-1. $$ 既然每个非零元素的 $p$ 次幂都是 $1$，群指数的基本性质给出 $d\mid p$，即 $\ell-1\mid p$。这个论证也包括 $\ell=2$。 反之，设每个素因子 $\ell\mid p$ 都满足 $\ell-1\mid p$。对 $\ell^e\parallel p$，有 $$ \ell^{e-1}\mid p,\qquad \ell-1\mid p,\qquad \gcd(\ell^{e-1},\ell-1)=1, $$ 所以 $$ \ell^{e-1}(\ell-1)\mid p. $$ 模 $\ell^e$ 的单位群恰有 $$ \ell^e-\ell^{e-1}=\ell^{e-1}(\ell-1) $$ 个元素。因此，对任何满足 $\ell\nmid a$ 的底数，有限群的阶整除性质给出 $$ a^p\equiv1\pmod{\ell^e}. $$ 特别地，若 $\gcd(a,p)=1$，上式对 $p$ 的每个素数幂因子都成立；这些因子两两互素，故 $$ a^p\equiv1\pmod p. $$ 于是 $\lambda(p)\mid p$，周期判据得证。此证明不要求模合数的单位群为循环群，也未把非单位底数当作单位处理。 最后证明充分性。设 $$ t\ge\max\{1,h(p)\},\qquad \lambda(p)\mid p. $$ 由已证周期判据，对每个 $\ell^e\parallel p$ 都有 $\ell-1\mid p$。固定任意底数 $a\in\mathbb N$。 若 $\ell\mid a$，则 $t\ge e$，所以 $$ a^t\equiv a^{t+p}\equiv0\pmod{\ell^e}. $$ 若 $\ell\nmid a$，则上一段已经证明 $a^p\equiv1\pmod{\ell^e}$，故 $$ a^{t+p}=a^t a^p\equiv a^t\pmod{\ell^e}. $$ 这两个分支逐个处理了每个素数幂因子，因而也涵盖“对某些因子是单位、对另一些因子不是单位”的底数。由素数幂因子的两两互素性， $$ a^{t+p}\equiv a^t\pmod p. $$ $p=1$ 时该同余无条件成立。结合已经证明的阈值判断与指数槽化约，得到双槽保幂。两种参数表述的等价性也随之成立。证毕。 **定理 13.2（阈值—周期核的有限保幂修复与唯一最粗细化）。** 固定任意 $t\ge0$、$p\ge1$。定义有限素数集序列 $$ S_0=\operatorname{Pr}(p), $$ $$ S_{j+1} =S_j\cup \bigcup_{\ell\in S_j}\operatorname{Pr}(\ell-1), \qquad 0\le j0}, \qquad (t,p)\preceq(u,v)\quad\Longleftrightarrow\quad t\le u\quad \land\quad p\mid v. $$ 指标越大表示观察越细。对 $\alpha=(t,p)$，定义 $$ n\mathrel{R_\alpha}m \quad\Longleftrightarrow\quad n=m\quad \lor\quad \bigl(n,m\ge t\quad \land\quad n\equiv m\pmod p\bigr), \qquad Q_\alpha=\mathbb{N}/R_\alpha, $$ 并记商映射为 $q_\alpha$。每个 $Q_\alpha$ 取有限离散拓扑。若 $\alpha\preceq\beta$，记规范映射为 $$ b_{\beta\alpha}:Q_\beta\longrightarrow Q_\alpha, \qquad b_{\beta\alpha}(q_\beta(n))=q_\alpha(n). $$ 自然数加法幺半群的非等号同余具有上述阈值—周期形式；其包含次序见 [East–Ruškuc，*Classification of congruences of twisted partition monoids*，arXiv:2010.04392v3，第 2.1 节及式 (2.2)](https://arxiv.org/html/2010.04392v3)。这里引用的范围是加法同余的分类与包含次序。 令 $J\subseteq I$ 为双槽保幂指标集，即 $$ \alpha\in J \quad\Longleftrightarrow\quad \forall a,a',b,b'\in\mathbb{N},\quad \bigl(a\mathrel{R_\alpha}a'\quad \land\quad b\mathrel{R_\alpha}b'\bigr) \Longrightarrow a^b\mathrel{R_\alpha}(a')^{b'}. $$ 对所考虑的指标子集 $D$，定义 $$ K_D= \left\{(x_\alpha)_{\alpha\in D}\in\prod_{\alpha\in D}Q_\alpha: \forall\alpha,\beta\in D,\quad \alpha\preceq\beta\Longrightarrow b_{\beta\alpha}(x_\beta)=x_\alpha \right\}, \qquad \iota_D(n)=(q_\alpha(n))_{\alpha\in D}, $$ 赋予 $K_D$ 乘积拓扑的子空间拓扑，坐标投影记为 $\pi_\alpha$。保序映射 $f:D\to E$ 称为共尾映射，若对每个 $e\in E$，存在 $d\in D$ 使 $e\preceq f(d)$。 **假设 14.0a（第 13 节的算术前置）。** 采用第 13.1 条的如下双槽保幂判据： $$ J=\{(0,1)\}\quad \cup\quad \left\{(t,p):t\ge1,\quad \forall\,\ell^e\parallel p,\quad e\le t\quad \land\quad \ell-1\mid p \right\}. $$ 其中 $\ell$ 遍历素数。沿用 $\operatorname{Pr}(p)$ 表示 $p$ 的素因子集，并令 $$ h(p)=\max\bigl(\{0\}\cup\{v_\ell(p):\ell\in\operatorname{Pr}(p)\}\bigr). $$ 对每个 $p\ge1$，使用第 13.2 条的有限构造 $$ S_0=\operatorname{Pr}(p), \qquad S_{j+1}=S_j\cup\bigcup_{\ell\in S_j}\operatorname{Pr}(\ell-1) \quad(0\le j0$ 且 $01$，令 $$ M=2\operatorname{lcm}(v,z,p), $$ 并比较 $$ (n,m)=(A,A+1), \qquad (n',m')=(A+M,A+1). $$ 两个槽位的输入读数仍分别相同；输出为 $0$ 与 $M-1$，而 $$ M-1\equiv-1\not\equiv0\pmod p. $$ 这证明每个非平凡截断减法输出层的全输入精度逃逸。对于 $(0,1)$，$Q_{0,1}$ 只有一点，输出当然恒定。 对严格总响应，令 $M=\operatorname{lcm}(v,z)$，比较 $$ (n,m)=(A,A), \qquad (n',m')=(A,A+M). $$ 第一槽完全相同，第二槽在 $R_\gamma$ 下相关；两个响应却为 $$ D(A,A)=\operatorname{ok}(\iota(0)), \qquad D(A,A+M)=\perp. $$ 所有 $Q_\alpha^\perp$ 都保留这个区别，即使 $Q_\alpha$ 本身只有一点。因此严格响应在每个输出层都有所断言的逃逸。由有限因子化判据，两个联合连续延拓都不存在。反例对全部 $\beta,\gamma\in I$ 成立，自然也对 $J$ 中的输入精度成立。 现在固定实际参数 $c$。若 $$ n\mathrel{R_{t+c,p}}n', $$ 则或者 $n=n'$，或者两者都不小于 $t+c\ge c$，且模 $p$ 同余。后一种情形中，两次减法均成功，差值均不小于 $t$ 且模 $p$ 同余。因此 $(t+c,p)$ 同时决定指定层的截断结果和严格响应；可能失败的输入 $nc$ 放入同一尾类。在单元素类上结果完全确定；在尾类上，截断结果恒为 $0$，严格响应恒为 $\perp$。特别地，$m=c$ 的成功零值不会与 $m>c$ 的失败混同。于是对每个有限输出层都有一个足够的一元输入精度，第 4.4 条给出四种连续延拓；自然数像稠密且相应目标 Hausdorff，故延拓唯一。进一步细化输入不会破坏因子化，所以 $\kappa$ 替换同样有效。 最后证明分别连续延拓的障碍。在 profinite 半群中，阶乘幂序列收敛的标准事实见 [Kyriakoglou–Perrin，*Profinite semigroups*，arXiv:1703.10088v1，第 5.5 节](https://arxiv.org/html/1703.10088v1)；以下直接给出本处所需、同时包含固定自然数偏移的坐标证明。 对 $\alpha=(t,p)$，记 $\tau_\alpha(\bar r)$ 为其尾部中模 $p$ 剩余类 $\bar r$ 所对应的商类。固定 $c\in\mathbb{N}$。当 $k$ 足够大时，$p\mid k!$ 且 $k!-c\ge t$，所以 $$ q_\alpha(F(k!,c))=\tau_\alpha(\overline{-c}). $$ 因此每个有限坐标最终恒定；这些最终坐标相容，因为过渡等式在原序列的每一项上成立。于是存在 $$ \omega_c=\lim_{k\to\infty}\iota(F(k!,c))\in K, \qquad \pi_\alpha(\omega_c)=\tau_\alpha(\overline{-c}). $$ 取 $c=0$ 得 $\omega=\omega_0=\lim_k\iota(k!)$。在指标 $(1,1)$ 上，$\omega$ 的坐标是正数尾类，而 $\iota(0)$ 的坐标是零的单元素类，故 $\omega\ne\iota(0)$。 再令 $c=s_l=l!$。对每个固定输出周期 $p$，当 $l$ 足够大时 $p\mid s_l$，所以 $$ \pi_\alpha(\omega_{s_l}) =\tau_\alpha(\overline{-s_l}) =\tau_\alpha(\bar0) =\pi_\alpha(\omega). $$ 因而 $\omega_{s_l}\to\omega$。固定 $l$ 后，让 $k\to\infty$，得到 $$ \lim_{k\to\infty}f_{k,l}=\omega_{s_l}, \qquad \lim_{k\to\infty}d_{k,l}=\operatorname{ok}(\omega_{s_l}), $$ 因为此时最终都有 $s_k\ge s_l$。再令 $l\to\infty$，得到第一种顺序的两个极限。 另一方面，固定 $k$ 后，当 $l$ 足够大时 $s_l>s_k$，所以 $$ f_{k,l}=\iota(0), \qquad d_{k,l}=\perp. $$ 先令 $l\to\infty$ 再令 $k\to\infty$，得到第二种顺序的两个极限。以上全部收敛都发生在明确指定的 $K$ 或 $K^\perp$ 拓扑中。 若存在任一响应的分别连续延拓 $\widetilde H$，由于两个输入序列都收敛到 $\omega$，先对一个固定输入使用切片连续性，再对另一个输入使用切片连续性，必有 $$ \lim_{l\to\infty}\lim_{k\to\infty} \widetilde H(\iota(s_k),\iota(s_l)) =\widetilde H(\omega,\omega) =\lim_{k\to\infty}\lim_{l\to\infty} \widetilde H(\iota(s_k),\iota(s_l)). $$ 对截断减法，这将强制 $\omega=\iota(0)$；对严格响应，这将强制 $\operatorname{ok}(\omega)=\perp$。二者均矛盾，故分别连续延拓也不存在。证毕。 ## 追加锚（本行以下为增补区） ## 15. 连续辅助观察：有限覆盖标签与对跖商的欧氏障碍 **定义 15.0（覆盖、纤维分离与三种辅助量）。** 记 $\mathbb N_0=\{0,1,2,\ldots\}$，$[N]=\{1,\ldots,N\}$，其中 $[0]=\varnothing$，并给每个 $[N]$ 离散拓扑。设 $X,B$ 为 Hausdorff 空间，$B\ne\varnothing$，$d\ge1$ 为固定整数。称连续满射 $q:X\to B$ 为固定 $d$ 页覆盖，若每个 $b\in B$ 都有开邻域 $U$，使 $$ q^{-1}(U)=\bigsqcup_{i=1}^{d}V_i, \qquad q|_{V_i}:V_i\longrightarrow U $$ 是同胚，且各 $V_i$ 在 $X$ 中开。特别地，每条纤维恰有 $d$ 个点。本节不预设 $X$ 或 $B$ 连通。 对映射 $r:X\to Y$，称 $r$ 分离 $q$ 的纤维，若 $$ q(x)=q(y)\ \land\ r(x)=r(y)\quad\Longrightarrow\quad x=y. $$ 这等价于联合映射 $$ J_r=(q,r):X\longrightarrow B\times Y $$ 单射。这里对联合观察 $J_r$ 应用定理 2.2，目标取 $\operatorname{id}_X$；要求恢复的是点本身，而不是只恢复某个较粗目标。覆盖在 $B$ 上的平凡化，是满足 $\operatorname{pr}_B\circ H=q$ 的同胚 $H:X\to B\times[d]$。连续截面是满足 $q\circ s=\operatorname{id}_B$ 的连续映射 $s:B\to X$。 定义 $$ \lambda_{\mathrm{set}}(q) = \min\{N\in\mathbb N_0:\exists r:X\to[N],\ J_r\text{ 单射}\}, $$ $$ \lambda_{\mathrm{disc}}(q) = \min\{N\in\mathbb N_0:\exists\text{ 连续 }r:X\to[N],\ J_r\text{ 单射}\}, $$ $$ \mu_{\mathbb R}(q) = \min\{m\in\mathbb N_0:\exists\text{ 连续 }r:X\to\mathbb R^m,\ J_r\text{ 单射}\}. $$ 候选集合为空时，相应值约定为 $\infty$；$\mathbb R^0$ 是单点空间。第一项不要求标签连续，第二项要求离散标签连续，第三项最小化固定商映射下连续欧氏辅助读数的坐标数。 覆盖的局部页定义参考：Allen Hatcher，*Algebraic Topology*，§1.3，第 56 页，[原书](https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf)。 **定理 15.1（恰好一页一个标签的精确等价）。** 对定义 15.0 的固定 $d$ 页覆盖，以下三种数据相互确定： （甲）连续映射 $r:X\to[d]$，在每条 $q$-纤维上单射。 （乙）在 $B$ 上的平凡化 $H:X\to B\times[d]$。 （丙）有序的 $d$ 条连续截面 $s_1,\ldots,s_d$，满足对每个 $b\in B$， $$ s_i(b)\ne s_j(b)\quad(i\ne j), \qquad q^{-1}(b)=\{s_1(b),\ldots,s_d(b)\}. $$ 对应关系为 $$ H(x)=(q(x),r(x)), \qquad s_i(b)=H^{-1}(b,i), \qquad r(s_i(b))=i. $$ 因此，对给定的 $r$，逐纤维单射恰好保证 $(q,r)$ 本身是平凡化，而不只是集合双射。此结论包括 $d=1$，不要求连通性。 **证明。** 先证覆盖映射 $q$ 是开映射。若 $O\subseteq X$ 开，在任意均匀覆盖邻域 $U$ 上， $$ q(O)\cap U=\bigcup_{i=1}^{d}q(O\cap V_i), $$ 右侧在 $U$ 中开，故 $q(O)$ 在 $B$ 中开。 给定甲，令 $X_i=r^{-1}(\{i\})$。这些集合开闭。每条纤维有 $d$ 个点，标签也恰有 $d$ 个，故逐纤维单射实际是逐纤维双射。因此 $$ q_i=q|_{X_i}:X_i\longrightarrow B $$ 是连续双射。由于 $X_i$ 开且 $q$ 开，$q_i$ 也是开映射，因而是同胚。令 $s_i=q_i^{-1}$，便得到丙；同时 $H=(q,r)$ 的逆映射在每个开片 $B\times\{i\}$ 上为 $(b,i)\mapsto s_i(b)$，故连续，得到乙。 给定乙，公式 $s_i(b)=H^{-1}(b,i)$ 直接给出丙。为从丙恢复甲，须验证截面像确实开，而不能只用集合分解。取 $x=s_i(b)$，选取含 $b$ 的均匀覆盖邻域 $U$ 及含 $x$ 的局部页 $V$。集合 $$ W=U\cap s_i^{-1}(V) $$ 是含 $b$ 的开邻域。由截面方程和 $q|_V$ 的单射性， $$ s_i(W)=V\cap q^{-1}(W), $$ 故 $s_i(W)$ 在 $X$ 中开。于是每个 $s_i(B)$ 都开；其补集是其余截面像的并，故也开。由穷尽性与互异性定义 $r(s_i(b))=i$，每个单点的原像均开，所以 $r$ 连续，并且逐纤维单射。 上述公式还说明三次构造彼此互逆。若 $d=1$，同一证明表明 $q$ 是同胚，唯一标签与唯一截面分别为常值标签与 $q^{-1}$。证毕。 **定理 15.2（增加有限离散标签不能绕过平凡化障碍）。** 对定义 15.0 的覆盖及任意 $N\in\mathbb N_0$， $$ \exists\text{ 连续 }r:X\to[N]\text{ 分离 }q\text{ 的纤维} \quad\Longleftrightarrow\quad N\ge d\ \land\ q\text{ 在 }B\text{ 上平凡}. $$ 特别地， $$ \lambda_{\mathrm{disc}}(q)= \begin{cases} d,&q\text{ 平凡},\\ \infty,&q\text{ 不平凡}. \end{cases} $$ 此处不需要 $B$ 连通。 更精确地，对任何这样的 $r$，令 $$ S(b)=\{r(x):q(x)=b\}\subseteq[N]. $$ 则 $S(b)$ 恒有 $d$ 个元素，且 $b\mapsto S(b)$ 局部常值。联合映射 $(q,r)$ 是到开闭子空间 $$ E_r=\{(b,a)\in B\times[N]:a\in S(b)\} $$ 的同胚。若 $N>d$，则 $E_r\ne B\times[N]$；迫使平凡化的是可以把标签连续压缩到 $d$ 个，而不是原联合映射满射到较大乘积。 **证明。** 纤维非空且恰有 $d$ 个点，逐纤维单射首先给出 $N\ge d$。固定 $b_0\in B$，取均匀覆盖邻域 $U$，记各局部逆分支为 $t_i:U\to V_i$。每个 $r\circ t_i$ 连续且值域离散，因此 $$ W=\bigcap_{i=1}^{d} (r\circ t_i)^{-1}\bigl(\{r(t_i(b_0))\}\bigr) $$ 是 $U$ 中含 $b_0$ 的开邻域。在 $W$ 上，每条局部页的标签都恒定，故 $S$ 恒定。这里仅取有限次交，没有使用局部连通性或连通性。 按 $[N]$ 的通常次序定义 $$ \rho(x) = 1+\#\{a\in S(q(x)):ad$，每个 $b$ 上都有未使用标签，故 $E_r$ 是真子集。 若 $B$ 连通，局部常值映射 $S$ 进一步必为常值，此时可以固定一个 $d$ 元子集统一重编号；平凡化结论并不需要这一步。无连通性时，排名一般依赖 $(q(x),r(x))$，不能断言只对 $r(x)$ 作一个固定后处理便可压缩。对此有明确反例：令 $$ B=\bigl\{\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\bigr\}, \qquad X=\{(A,a):A\in B,\ a\in A\}, $$ 两者都取离散拓扑，令 $q(A,a)=A$、$r(A,a)=a$。这是两页覆盖及连续三值分离标签。任意函数 $\varphi:[3]\to[2]$ 都把某两个不同元素送到同一值，而这两个元素恰构成某条纤维的标签集，故 $\varphi\circ r$ 不分离该纤维。上述依赖 $q$ 的排名仍给出连续二值分离标签。证毕。 **命题 15.3（一个一般覆盖截面只保证劈出一页）。** 对定义 15.0 的覆盖，若存在连续截面 $s$，则 $s(B)$ 在 $X$ 中开闭，且 $$ q|_{s(B)}:s(B)\longrightarrow B $$ 是同胚。若 $d\ge2$，则限制映射 $$ q|_{X\setminus s(B)}:X\setminus s(B)\longrightarrow B $$ 是固定 $d-1$ 页覆盖。因此两页覆盖有一个连续截面当且仅当平凡，但一般有限覆盖不能把一个截面等同于完全平凡化；即使基空间连通也不能。 **证明。** 截面像开及限制映射为同胚，已由定理 15.1 证明中的局部论证给出，该论证不需要其他截面。固定 $b\in B$，选取均匀覆盖邻域 $U$，把含 $s(b)$ 的局部页记为 $V_1$，并缩小到 $$ W=U\cap s^{-1}(V_1). $$ 在 $W$ 上，$s$ 恰为第一局部逆分支，所以 $$ q^{-1}(W)\setminus s(B) = \bigsqcup_{i=2}^{d}\bigl(V_i\cap q^{-1}(W)\bigr). $$ 这既证明补集开，也证明它是固定 $d-1$ 页覆盖。若 $d=2$，补集上的一页覆盖是同胚，其逆给出第二条截面，再用定理 15.1 即得平凡化。 为证明最后的否定结论，取两个圆周的拓扑不交并 $$ X=S^1\sqcup S^1,\qquad B=S^1, $$ 并令第一份上的映射为 $z\mapsto z$，第二份上的映射为 $z\mapsto z^2$。小圆弧有两条连续平方根分支，故这是三页覆盖。第一份圆周的包含给出连续截面。然而若它平凡，定理 15.1 将给出连续三值分离标签。第二份圆周连通，所以该标签在第二份上必为常值；但其中 $z$ 与 $-z$ 是同一纤维中的不同点，矛盾。证毕。 圆周幂映射的覆盖结构参考：Hatcher，*Algebraic Topology*，§1.3，第 56 页，[原书](https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf)。 **命题 15.4（紧致自由对合的差映射桥）。** 设 $K\ne\varnothing$ 为紧致 Hausdorff 空间，$\tau:K\to K$ 连续，满足 $$ \tau^2=\operatorname{id}_K, \qquad \tau(x)\ne x\quad(x\in K). $$ 令 $Q=K/\langle\tau\rangle$ 取商拓扑，$q:K\to Q$ 为轨道商。则 $Q$ 紧致 Hausdorff，$q$ 是两页覆盖。 对每个整数 $m\ge1$，以下存在性条件等价：存在连续纤维分离读数 $r:K\to\mathbb R^m$；存在连续映射 $f:K\to\mathbb R^m\setminus\{0\}$ 满足 $f(\tau x)=-f(x)$；存在连续映射 $u:K\to S^{m-1}$ 满足 $u(\tau x)=-u(x)$。其中球面取标准欧氏单位球面。 对给定的连续 $r$，有精确判据 $$ (q,r)\text{ 单射} \quad\Longleftrightarrow\quad \Delta_r(x):=r(x)-r(\tau x)\ne0\quad(\forall x\in K). $$ 满足判据时， $$ u_r(x)=\frac{\Delta_r(x)}{\|\Delta_r(x)\|} $$ 是上述奇映射，而且 $$ \min_{x\in K}\|\Delta_r(x)\|>0. $$ 此时 $(q,r)$ 是到 $Q\times\mathbb R^m$ 中闭子空间的拓扑嵌入。零维欧氏目标不可能分离纤维；一维欧氏分离读数存在，当且仅当 $q$ 平凡，也当且仅当 $q$ 有一个连续截面。 **证明。** 由 $\tau^2=\operatorname{id}_K$，$\tau$ 是同胚。对开集 $V\subseteq K$， $$ q^{-1}(q(V))=V\cup\tau(V) $$ 开，故商映射 $q$ 是开映射。对任意 $x$，用 Hausdorff 性选取分别包含 $x,\tau x$ 的不交开集 $A,C$。令 $V=A\cap\tau^{-1}(C)$，则 $x\in V$ 且 $V\cap\tau(V)=\varnothing$。于是 $$ q^{-1}(q(V))=V\sqcup\tau(V), $$ 而两片各自通过 $q$ 连续、开且双射地映到 $q(V)$，所以都是同胚。这证明两页覆盖性质。 不同轨道 $O,P$ 是互不相交的有限集。对每个 $a\in O$、$b\in P$，取包含相应点的不交开集 $A_{ab},C_{ab}$。令 $$ A_0=\bigcup_{a\in O}\bigcap_{b\in P}A_{ab}, \qquad C_0=\bigcup_{b\in P}\bigcap_{a\in O}C_{ab}. $$ 它们分别包含 $O,P$，都是开集且互不相交。将它们替换为 $$ A_0\cap\tau(A_0), \qquad C_0\cap\tau(C_0), $$ 得到仍包含相应轨道的不交饱和开集；它们在商中的像是不交开邻域，故 $Q$ Hausdorff。它又是紧致空间 $K$ 的连续像，所以紧致。 商纤维恰为 $\{x,\tau x\}$，且两点不同。因此联合单射恰好要求 $r(x)\ne r(\tau x)$，即差映射处处非零。直接计算得到 $$ \Delta_r(\tau x) = r(\tau x)-r(\tau^2x) = -\Delta_r(x). $$ 非零差映射连续，除以其连续正范数就得到连续奇映射 $u_r$。反过来，若 $f$ 是处处非零的连续奇映射，则把 $f$ 本身作为读数，有 $$ f(x)-f(\tau x)=2f(x)\ne0. $$ 而球面值奇映射本来就处处非零。这证明三种存在性条件等价；并未假设原读数 $r$ 是奇映射。 连续正函数 $x\mapsto\|\Delta_r(x)\|$ 在非空紧致空间上取得最小值，该值不能为零。又因 $Q\times\mathbb R^m$ Hausdorff，任意闭集 $F\subseteq K$ 都紧致，其像 $(q,r)(F)$ 紧致而闭。所以联合映射在其实际像上的连续逆存在，且整个实际像紧致而闭，得到所述嵌入。 当 $m=0$ 时，读数只有一个值，不能区分任意一对 $x,\tau x$。当 $m=1$ 时，归一化的奇映射取值于离散两点集 $S^0=\{-1,1\}$，因而由定理 15.1 给出平凡化。反向地，任何平凡化的二值标签在每条二点纤维上取两个不同值，将它们分别记为 $-1,1$，即得连续奇实值读数。若只给一个连续截面 $s$，则 $s$ 与 $\tau\circ s$ 连续、逐点互异并穷尽纤维，仍由定理 15.1 得平凡化；平凡化当然给出截面。证毕。 局部轨道商覆盖参考：Hatcher，*Algebraic Topology*，命题 1.40(a)，第 72 页，[原书](https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf)。差映射与归一化参考：Jiří Matoušek，*Using the Borsuk–Ulam Theorem*，§2.1，第 24 页，[第 2 章样章](https://beckassets.blob.core.windows.net/product/readingsample/250866/9783540003625_excerpt_001.pdf)。二值余坐标与截面的对应亦是《QUANTITATIVE_DIAGONALIZATION_OBSERVER_COMPLETION》[定理 5.1](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/c4ef9baf3444a8e1992f6859eecc64e5faa6e0cb/docs/develop/theory/QUANTITATIVE_DIAGONALIZATION_OBSERVER_COMPLETION.md)的两元素群特例；上面的证明只使用本条明列的假设。 **定理 15.5（对跖商的集合二值补充与连续离散障碍）。** 对任意 $n\in\mathbb N_0$，令 $$ S^n=\left\{(x_0,\ldots,x_n)\in\mathbb R^{n+1}: \sum_{i=0}^{n}x_i^2=1\right\}, \qquad q_n:S^n\longrightarrow\mathbb{RP}^n=S^n/(x\sim-x). $$ 则 $q_n$ 是紧致 Hausdorff 空间之间的两页覆盖，并且 $$ \lambda_{\mathrm{set}}(q_n)=2. $$ 当 $n\ge1$ 时，不存在到任何离散空间的连续纤维分离读数，因而 $$ \lambda_{\mathrm{disc}}(q_n)=\infty, $$ 且 $q_n$ 无连续截面、不平凡。当 $n=0$ 时， $$ S^0=\{-1,1\}, \qquad \mathbb{RP}^0=\{*\}, \qquad \lambda_{\mathrm{disc}}(q_0)=2, $$ 并且 $q_0$ 平凡。 **证明。** 对合 $\tau(x)=-x$ 连续且自由，因为单位向量不可能等于其负向量。球面非空、紧致 Hausdorff，故命题 15.4 给出商空间性质和两页覆盖。 对于任意 $x\in S^n$，定义 $$ k(x)=\min\{i\in\{0,\ldots,n\}:x_i\ne0\}, \qquad \varepsilon(x)= \begin{cases} 1,&x_{k(x)}>0,\\ -1,&x_{k(x)}<0. \end{cases} $$ 至少一个坐标非零，所以定义总是有意义。显然 $k(-x)=k(x)$ 且 $\varepsilon(-x)=-\varepsilon(x)$。将 $1,-1$ 重编号为 $1,2$，得到分离每条纤维的二值集合标签。另一方面，任何一条纤维都有两个不同点，故少于两个标签不可能分离它。这证明集合标签数恰为二，并且不需要从每条纤维任意选择代表。事实上还得到显式集合截面 $$ s([x])=\varepsilon(x)x, $$ 因为右侧在把 $x$ 替换成 $-x$ 时不变。 当 $n\ge1$ 时，$S^n$ 道路连通：若 $x,y$ 不互为对跖点，规范化线段 $$ t\longmapsto \frac{(1-t)x+ty}{\|(1-t)x+ty\|}, \qquad 0\le t\le1, $$ 给出连接二者的道路；若 $y=-x$，在 $\mathbb R^{n+1}$ 中选一个不与 $x$ 共线的单位向量，经过它连接两段上述道路。连续映射把连通空间送到连通子空间，而离散空间的非空连通子空间只能是单点。因此任何连续离散读数都恒定，不能区分 $x$ 与 $-x$。由定理 15.1 和命题 15.3，两页覆盖的平凡化及连续截面也均不存在。特别地，刚构造的集合二值标签与集合截面在这些维数下不能是连续的。 当 $n=0$ 时，定义域就是离散两点集，商是单点。标签 $\varepsilon(x)=x$ 连续并分离该纤维，且 $q_0$ 显然是单点基空间上的平凡两页覆盖。证毕。 **定理 15.6（对跖商的最小连续欧氏辅助坐标数）。** 对任意 $n,m\in\mathbb N_0$， $$ \exists\text{ 连续 }r:S^n\to\mathbb R^m \text{ 使 }(q_n,r)\text{ 单射} \quad\Longleftrightarrow\quad m\ge n+1. $$ 因此 $$ \mu_{\mathbb R}(q_n)=n+1, $$ 且满足单射条件的每个联合映射，都是到 $\mathbb{RP}^n\times\mathbb R^m$ 中闭子空间的拓扑嵌入。结合定理 15.5， $$ \bigl(\lambda_{\mathrm{set}}(q_n), \lambda_{\mathrm{disc}}(q_n), \mu_{\mathbb R}(q_n)\bigr) = \begin{cases} (2,2,1),&n=0,\\ (2,\infty,n+1),&n\ge1. \end{cases} $$ 等价地，对 $m\ge1$，存在连续奇映射 $S^n\to S^{m-1}$ 当且仅当 $m\ge n+1$。 **证明。** 下界使用 Borsuk–Ulam 定理的如下形式：对每个整数 $k\ge0$ 和每个连续映射 $F:S^k\to\mathbb R^k$，存在 $x\in S^k$ 使 $F(x)=F(-x)$。这里不要求 $F$ 为奇映射。参考：Matoušek，*Using the Borsuk–Ulam Theorem*，定理 2.1.1 的 BU1a，第 23 页，及第 24 页与 BU1b 的等价证明，[第 2 章样章](https://beckassets.blob.core.windows.net/product/readingsample/250866/9783540003625_excerpt_001.pdf)；亦见 Hatcher，*Algebraic Topology*，推论 2B.7，第 176 页，[原书](https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf)。 首先，$m=0$ 时读数恒定，任意对跖点仍有相同联合读数，所以对所有 $n\ge0$ 都不可能单射。其次，设 $n\ge1$ 且 $1\le m\le n$。对任意连续 $r:S^n\to\mathbb R^m$，补零得到连续映射 $$ \widetilde r:S^n\longrightarrow\mathbb R^n, \qquad \widetilde r(x)=\bigl(r(x),0_{\mathbb R^{n-m}}\bigr). $$ 当 $m=n$ 时这里就是原映射。Borsuk–Ulam 给出 $x$ 使 $$ \widetilde r(x)=\widetilde r(-x), $$ 于是 $r(x)=r(-x)$；同时 $q_n(x)=q_n(-x)$ 且 $x\ne-x$，所以联合映射不单射。这同时覆盖 $m=n$ 和 $m0}$ 记 $\nu_p(N)$ 为素数 $p$ 的指数，并定义 $$ \eta(N)=(Z(\nu_p(N)))_{p\in\mathcal P}\in K^{\mathcal P}. $$ 其实际像准确为 $$ \eta[\mathbb N_{>0}] =\{x\in K^{\mathcal P}:x_p\in Z[\mathbb N]\text{ 对每个 }p, \ \{p:x_p\ne0_K\}\text{ 有限}\}. $$ 对有限素数集 $S$ 和逐行有限精度 $\ell:S\to\mathbb N$，令 $$ Q_{S,\ell}(N)=(q_{\ell(p)}(\nu_p(N)))_{p\in S}. $$ 其实际像恰为有限集 $\prod_{p\in S}D_{\ell(p)}$。按扩大 $S$、提高各行精度组成的逆系统，其逆极限为 $K^{\mathcal P}$，且 $\eta[\mathbb N_{>0}]$ 在其中稠密。无限完整素数表不是这个系统的一个有限层；有限素数窗口中一条无限精度行也不是有限层。 固定素数 $p$ 后，$n\mapsto p^n$ 是 $(\mathbb N,+)$ 到乘法子幺半群 $\{p^n:n\ge0\}$ 的同构。不存在紧致 Hausdorff 空间 $M$、映射 $j:\mathbb N_{>0}\to M$、联合连续乘法 $\mu:M^2\to M$ 和连续 $h_p:M\to\{0,1\}$ 同时满足 $$ \mu(j(N),j(R))=j(NR),\qquad h_p(j(N))=q_1(\nu_p(N)). $$ 这里甚至不要求 $j[\mathbb N_{>0}]$ 稠密。 **证明。** 甲中，Tychonoff 定理和闭子空间的紧致性给出 $L_d$ 紧致。投影像是 $K$ 中含有稠密集 $Z[\mathbb N]$ 的紧集，因 $K$ Hausdorff 而闭，所以投影满射。投影的最低位读数连续，故定理16.1排除 $A$；该定理的乙条件直接排除 $B$。对于有限摘要 $c$，若 $c(n)=c(m)$，则对所有 $k$， $$ q_1(n+k)=g(c(n),c(k))=g(c(m),c(k))=q_1(m+k). $$ 由 $\equiv_{q_1}$ 为相等关系，必有 $n=m$。这迫使 $c$ 将无限集单射到有限集，矛盾。 乙中的偶位和恒等式在 $k=0$ 时为 $G_0=G_1-1$；若对 $k$ 成立，则加上 $G_{2k+2}$ 并使用递推式，得到下一项。奇位和同理从 $G_1=G_2-1$ 归纳。再由 $$ a_k+b_k=G_{2k+1}+G_{2k}-1=G_{2k+2}-1 $$ 得到全部恒等式。显示的偶位和、奇位和及单个权值都是合法规范字，故其补零字就是相应的 $Z$ 值。若 $2k\ge m$，$Z(b_k)$ 的前 $m$ 位均为零；$Z(a_k)$ 的最低位为一，$Z(c_k)$ 的最低位为零。逐坐标最终稳定给出三个极限。原加法图中的 $$ (Z(0),Z(a_k),Z(a_k)),\qquad (Z(b_k),Z(a_k),Z(c_k)) $$ 分别趋于所列三元组，故它们属于 $\Gamma$。特别 $k=2$ 时，$a_2=1+3+8=12$、$b_2=8$、$c_2=2+5+13=20$。 丙中使用既有相位结论：$K$ 紧致，$Z[\mathbb N]$ 稠密，$H$ 连续满射，$H\circ Z=\gamma$；$H$ 的二点纤维恰位于 $E$，自然轨道上的纤维为单点；并且 $H(u)=H(v)=[-\phi]$。[^rro16_phase] 由 $\phi$ 无理，$\gamma$ 单射；由 $H$ 满射及核心稠密，$\gamma[\mathbb N]$ 稠密。 连续性 $H\circ Z=\gamma$ 给相位拓扑包含于数字拓扑。反之，设 $U\subseteq K$ 开且 $Z(n)\in U$。单点纤维性质保证 $\gamma(n)\notin H(K\setminus U)$。后者为紧闭集，所以 $$ V=\mathbb T\setminus H(K\setminus U) $$ 是包含 $\gamma(n)$ 的开集，且 $H^{-1}(V)\subseteq U$。拉回核心即得反向拓扑包含。于是核心数字读数经 $\gamma$ 表示后连续。 但 $u_j\ne v_j$ 对每个 $j$ 成立，而 $H(u)=H(v)$，故任何 $\delta_j$、任何正长度前缀 $\pi_L$ 都不能经 $H$ 因子化。圆周连通，连续映射到有限离散空间必为常函数；核心 $q_L$ 对 $L\ge1$ 非常值，故不存在其连续全圆周延拓。这里 $\gamma$ 在核心上的单射性与边界处数字不能恢复是不同断言。 紧空间上的连续映射 $H$ 一致连续，因此恒等映射从数字一致结构到相位一致结构一致连续。乙中的两列却满足 $$ \rho(\gamma(a_k),\gamma(c_k))\longrightarrow0,\qquad d_K(Z(a_k),Z(c_k))=1-2^{-(2k+2)}\longrightarrow1. $$ 第一式来自共同极限相位，第二式来自前 $2k+2$ 位逐位相反、其余均为零。故反向恒等映射不一致连续。两个紧度量空间都完备，并分别含有相应稠密等距核心，因而是所列两个度量的完成。 相位核心在圆周加法下封闭，且 $\gamma(n+m)=\gamma(n)+\gamma(m)$；故加法在相位核心连续，也就在相同的数字核心拓扑连续。数字核心不是紧空间：它在 Hausdorff 紧空间 $K$ 中稠密且不含 $u$，若紧则必闭而等于 $K$，矛盾。另一方面，既有连续后继 $T$ 的固定迭代 $T^h$ 延拓固定自然平移；其存在不满足定理16.1所要求的二元联合连续运算契约。[^rro16_phase] 丁中，由素因子分解的存在唯一性，每个正整数只有有限个非零素数指数；每个指数有唯一有限规范行。因此 $\eta$ 单射并落入显示的实际像。反之，对显示集合中的表，逐个非零行解码为自然指数 $e_p$，有限乘积 $\prod_p p^{e_p}$ 恢复原表，证明像的准确性。 给定任意 $(d_p)_{p\in S}\in\prod_{p\in S}D_{\ell(p)}$，令 $$ e_p=\sum_{j<\ell(p)}G_j(d_p)_j,\qquad N=\prod_{p\in S}p^{e_p}. $$ 合法字补零仍为规范字，故 $Q_{S,\ell}(N)=(d_p)_{p\in S}$，包括空窗口与零精度情形。这证明每个有限层的实际满性。兼容的全部有限窗口在每个素数轴上给出唯一无限合法行，反之无限行表给出兼容窗口；这些对应保持有限柱集，故得到拓扑逆极限 $K^{\mathcal P}$。有限层满性又使每个非空基本柱集都遇到实际像，证明稠密性。 在固定 $p$ 的幂子幺半群上，$\eta(p^n)$ 只有 $p$ 行可能非零，该行为 $Z(n)$；其闭包是仅允许 $p$ 行任取 $K$、其余行全零的子空间。若所列 $M,j,\mu,h_p$ 存在，令 $$ j_p(n)=j(p^n),\qquad B=h_p\circ\mu. $$ 则 $$ B(j_p(n),j_p(m))=q_1(\nu_p(p^{n+m}))=q_1(n+m), $$ 与定理16.1矛盾。 有限窗口上的逃逸也由同一证据直接得到：给定 $S,\ell$，取 $m=\ell(p)$ 当 $p\in S$，否则取 $m=0$，再取 $2k\ge m$。两输入对 $$ (1,p^{a_k}),\qquad (p^{b_k},p^{a_k}) $$ 在两个槽位的 $Q_{S,\ell}$ 读数分别相同，但两个乘积的 $p$ 行最低位分别为 $q_1(a_k)=1$ 与 $q_1(c_k)=0$。所有其他素数行均为零。证毕。 **定义 16.3（二点相位纤维的定向标记）。** 置 $$ a=-\alpha,\qquad b=\alpha^2,\qquad I=[a,b],\qquad c_*=-\alpha^3,\qquad \theta_*=[-\phi]. $$ 将无限合法字唯一解析为块 $0$、$10$。对有限块字 $w$，记展开后的数字长度为 $L(w)$，并置 $$ S_w=\sum_{jk$ 时 $C(x_k,y_l)=w_1$；对每个固定 $l$，当 $k\ge l$ 时 $C(x_k,y_l)=w_0$。因此 $$ \lim_{k\to\infty}\lim_{l\to\infty}C(x_k,y_l)=w_1, \qquad \lim_{l\to\infty}\lim_{k\to\infty}C(x_k,y_l)=w_0. $$ 这与定理 19.3 矛盾。取 $Y=W=\{0,1\}$、$q$ 为恒等映射，即得第一项断言。证明只使用观察后的常值尾，不要求未观察输出在 $Y$ 中的任何迭代极限存在。证毕。 **定理 19.5（任意紧标签及保留读数的紧历史扩张）。** 设 $A$ 为任意紧标签空间，$t:\mathbb N\to A$ 为任意集合映射，并令 $$ j(n)=(Z(n),t(n)). $$ 对任何包含 $j[\mathbb N]$ 的闭子空间 $X\subseteq K\times A$，定义连续读数 $$ r=d_0\circ\operatorname{pr}_K:X\to\{0,1\}. $$ 不存在分别连续的 $\mu:X\times X\to X$ 使 $$ r(\mu(j(n),j(m)))=f(n+m)\qquad(n,m\in\mathbb N). $$ 这包括整个 $K\times A$ 以及 $j[\mathbb N]$ 的闭包，也包括要求 $\mu(j(n),j(m))=j(n+m)$ 的更强情形。 又设 $\widetilde X$ 为紧 Hausdorff 空间，$\pi:\widetilde X\to K$ 为连续满射。任取满足 $$ \pi(\widetilde j(n))=Z(n) $$ 的提升 $\widetilde j:\mathbb N\to\widetilde X$。不存在分别连续的 $\widetilde\mu:\widetilde X\times\widetilde X\to\widetilde X$，使得对全部 $n,m\in\mathbb N$ 有 $$ d_0\bigl(\pi(\widetilde\mu(\widetilde j(n),\widetilde j(m)))\bigr)=f(n+m). $$ 因而，仅要求 $$ \pi(\widetilde\mu(\widetilde j(n),\widetilde j(m)))=Z(n+m) $$ 而允许输出历史在该数字纤维内任意变化，也不能避开障碍。 **证明。** 违反无相邻一条件的数字向量构成开柱集的并，所以 $K$ 是紧 Hausdorff 乘积 $\{0,1\}^{\mathbb N}$ 的闭子空间。坐标观察 $d_0$ 连续。故 $K\times A$ 紧，闭子空间 $X$ 紧，且所定义的 $r$ 连续。将 $q=r$ 代入定理 19.4，即得标签空间上的结论。 历史扩张上，$d_0\circ\pi$ 同样连续。满射性在 ZFC 中保证可以选择所述提升，而定理 19.4 对每一种这样的选择均适用。证明不要求 $\pi$ 有连续截面，也不要求 $\widetilde\mu$ 结合、交换、有单位或可逆。证毕。 **定理 19.6（逐个固定平移不能补成全参数分别连续运算）。** 令 $T:K\to K$ 为连续后继，满足 $T(Z(n))=Z(n+1)$。对每个固定 $h\in\mathbb N$，$T^h$ 连续，并且是 $Z(n)\mapsto Z(n+h)$ 的唯一连续延拓。然而 $$ Z(b_l)\longrightarrow o,\qquad T^{b_l}(u)=Z(b_l-1)\longrightarrow v\ne u=T^0(u). $$ 因此，逐个固定自然参数的连续平移族不能补成分别连续映射 $K\times K\to K$，使第二参数 $Z(h)$ 对应 $T^h$。连续后继的存在见《情境时空算术：Zeckendorf》第 375.2 条。([raw.githubusercontent.com](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/c4ef9baf3444a8e1992f6859eecc64e5faa6e0cb/docs/develop/theory/CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_ZECKENDORF.md)) **证明。** 任意 $x\in K$ 的有限前缀补零后仍合法，故由规范唯一性，它是某个自然数的 $Z$ 像。这些截断逐坐标收敛到 $x$，所以 $Z[\mathbb N]$ 在 $K$ 中稠密。连续复合及对 $h$ 的归纳给出 $T^h$ 的连续性与核心等式；两个连续映射若在该稠密集上相同，由目标的 Hausdorff 性便处处相同。 由数字展开，$Z(a_k)\to u$，而 $a_k+1=G_{2k+1}$ 使 $$ T(Z(a_k))=Z(G_{2k+1})=e_{2k+1}\longrightarrow o. $$ 连续性给 $T(u)=o$。因此，对每个 $h\ge1$， $$ T^h(u)=T^{h-1}(o)=Z(h-1). $$ 取 $h=b_l$，定理 19.2 的奇数位置求和式给 $$ T^{b_l}(u)=\sum_{j=0}^{l-1}e_{2j+1}\longrightarrow v. $$ 同时 $Z(b_l)=e_{2l}\to o$。 若存在所述分别连续映射 $M$，则 $M(u,Z(b_l))=T^{b_l}(u)$，而 $M(u,o)=T^0(u)=u$。第二变量的连续性将迫使同一输出序列收敛到 $u$，与其极限 $v$ 不同矛盾。若只给定核心上的完整加法等式，则第一变量的连续性及稠密性已迫使每个切片 $M(\,·\,,Z(h))=T^h$，故同一矛盾仍成立。证毕。 **定理 19.7（加法图闭包的一个精确二点纤维与选择障碍）。** 定义闭关系 $$ \Gamma=\overline{\{(Z(n),Z(m),Z(n+m)):n,m\in\mathbb N\}}\subseteq K^3, $$ 以及其输出纤维 $$ \Gamma(x,y)=\{z\in K:(x,y,z)\in\Gamma\}. $$ 每个 $\Gamma(x,y)$ 均为非空紧集，并有 $$ \Gamma(Z(n),Z(m))=\{Z(n+m)\},\qquad \Gamma(u,o)=\{u,v\}. $$ 不存在分别连续的选择 $s:K\times K\to K$ 满足 $s(x,y)\in\Gamma(x,y)$。 **证明。** $\Gamma$ 是紧 Hausdorff 空间 $K^3$ 的闭子空间，因此紧。它向前两个坐标的投影是 $K^2$ 的紧闭子集，包含稠密集 $Z[\mathbb N]\times Z[\mathbb N]$，故投影为整个 $K^2$。这给出每个纤维的非空性；纤维在 $K$ 中闭，因而紧。 取 $\phi=(1+\sqrt5)/2$、$\alpha=\phi^{-1}$，并令 $$ \theta(x)=\left[\sum_{j\ge0}(-1)^{j+1}\alpha^{j+2}x_j\right]\in\mathbb T=\mathbb R/\mathbb Z. $$ 由《情境时空算术：Zeckendorf》第 371.2、372.4 条，$\theta$ 连续，且 $$ \theta(Z(n))=[n\phi],\qquad \theta^{-1}(\{[n\phi]\})=\{Z(n)\}\quad(n\in\mathbb N), $$ $$ \theta(o)=0,\qquad \theta(u)=\theta(v)=[-\phi],\qquad \theta^{-1}(\{[-\phi]\})=\{u,v\}. $$ 这些是同一圆周映射在自然相位及接缝相位处的准确纤维。([raw.githubusercontent.com](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/c4ef9baf3444a8e1992f6859eecc64e5faa6e0cb/docs/develop/theory/CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_ZECKENDORF.md)) 条件 $\theta(z)=\theta(x)+\theta(y)$ 在 $K^3$ 中定义闭集，且包含原始加法图，所以 $$ (x,y,z)\in\Gamma\quad\Longrightarrow\quad \theta(z)=\theta(x)+\theta(y). $$ 在输入 $(Z(n),Z(m))$ 处，输出因而属于自然相位 $[(n+m)\phi]$ 的单点纤维；原始图又包含 $Z(n+m)$，故得到第一个纤维等式。 在输入 $(u,o)$ 处，相位条件给 $\Gamma(u,o)\subseteq\{u,v\}$。另一方面， $$ a_k+b_{k+1}=a_{k+1} $$ 使原始图中的三元组 $(Z(a_k),Z(b_{k+1}),Z(a_{k+1}))$ 收敛到 $(u,o,u)$。定理 19.2 的对角展开又使 $$ (Z(a_k),Z(b_k),Z(a_k+b_k))\longrightarrow(u,o,v). $$ 因此两个输出都属于该闭包纤维，得到准确等式 $\Gamma(u,o)=\{u,v\}$。 任意选择 $s$ 都因核心纤维的单点性而满足 $s(Z(n),Z(m))=Z(n+m)$。若它分别连续，$d_0\circ s$ 就违反定理 19.4。证毕。 **定理 19.8（固定素数乘法上的同一障碍）。** 固定素数 $p$，令 $$ P_p=\{p^n:n\in\mathbb N\},\qquad f_p(p^n)=f(n). $$ 不存在紧空间 $X$、集合映射 $\iota:P_p\to X$ 及分别连续映射 $B:X\times X\to\{0,1\}$，使 $$ B(\iota(r),\iota(s))=f_p(rs)\qquad(r,s\in P_p). $$ 特别地，不存在同时具有连续读数 $d:X\to\{0,1\}$ 和分别连续乘法 $\mu:X\times X\to X$ 的紧实现，使 $$ d(\iota(p^n))=f(n),\qquad \mu(\iota(p^n),\iota(p^m))=\iota(p^{n+m}). $$ **证明。** 素数幂的指数唯一，故 $f_p$ 定义良好。令 $j(n)=\iota(p^n)$。恒等式 $$ p^np^m=p^{n+m} $$ 将第一项假设变为 $B(j(n),j(m))=f(n+m)$，与定理 19.4 矛盾。第二项中的 $B=d\circ\mu$ 分别连续，并满足同一等式。其显式三角见证为 $$ f_p\bigl(p^{a_k}p^{b_l}\bigr)=1\quad\Longleftrightarrow\quad k0,\ p_{L-1}=0,\\ S_p+r^{L+1}I,&L>0,\ p_{L-1}=1. \end{cases} $$ The circle boundaries of these images are exactly $$ B_0^{\mathrm{pos}}=\varnothing,\qquad B_L^{\mathrm{pos}} =\bigcup_p\partial_{\mathbb T}H[C_p] =\{e_1,\ldots,e_{G_L}\}\quad(L\ge1). $$ These are boundaries in the circle, not boundaries of the clopen sets $C_p$ in $K$. Every phase outside $E$ has a singleton $H$-fiber, and each $e_m$ has exactly two lifts. Give these two lifts their negative-side and positive-side names $x_m^-,x_m^+$. At the circle seam they are $$ x_1^-=v,\qquad x_1^+=u. $$ For $m\ge2$, there is a unique finite word $w$ made of the blocks $0$ and $10$ such that, with digit length $d=|w|$ and $N_w=\sum_{jt+1$ the two lifts have the same word and lie in one atom. Continuity and compactness give $H[A_J]=\overline J$: the image is contained in this closed arc and contains the dense natural phases in $J$. Its phase boundaries are therefore exactly the displayed cut set. $\square$ Attached reference: the classical complexity characterization of Sturmian words is stated in Glen–Justin, *Episturmian Words: A Survey*, §1.1, p. 1; Berstel, §2.1, p. 25, Theorem 1 gives the associated eventual-periodicity threshold. The concrete arc distinction and endpoint count here are proved directly. ([arxiv.org](https://arxiv.org/pdf/0801.1655)) **theorem 20.6 (Equal partitions, both exact moduli, and sharpness).** For all $L,t\ge0$, $$ \mathcal Q_L=\mathcal V_{G_L-1}, \qquad \ker(q_L)=\ker(v_{G_L-1}), $$ and more generally $$ \ker(v_t)\subseteq\ker(q_L) \quad\Longleftrightarrow\quad t\ge G_L-1, $$ $$ \ker(q_L)\subseteq\ker(v_t) \quad\Longleftrightarrow\quad t\le G_L-1. $$ Thus the least length of consecutive lowest-digit observations determining the first $L$ positional digits is $$ t_{\min}(L)=G_L-1, $$ and the least positional depth determining a prescribed length-$t$ itinerary is $$ L_{\min}(t)=\min\{L\ge0:G_L\ge t+1\}. $$ In particular $L_{\min}(0)=0$, and for $L\ge1$, $$ L_{\min}(t)=L \quad\Longleftrightarrow\quad G_{L-1}\le t\le G_L-1. $$ **Proof.** At $L=0$ both relevant partitions have one atom. For $L\ge1$, put $s=G_L-1$. Theorems 20.2 and 20.5 give exactly the same circle cut set for $\mathcal Q_L$ and $\mathcal V_s$. Their atoms are also exactly the same closures of the same natural-core points in the complementary arcs. This proves equality on the full compact carrier, rather than only equality on its natural core. The orientation formulas assign each boundary lift to the same atom in both descriptions. There is an explicit relabeling. For an admissible prefix $p$, let $N_p=\sum_{js$, and take $m=G_L+1$. The pair above $e_m$ has the same $L$-digit prefix, including the case $L=0$, but its first temporal difference is at index $G_L-1=s0}=\{1,2,\ldots\}$，并令 $$ \phi=\frac{1+\sqrt5}{2},\qquad \alpha=\phi^{-1},\qquad G_0=1,\quad G_1=2,\quad G_{j+2}=G_{j+1}+G_j. $$ 令 $Z(n)$ 为自然数 $n$ 的有限 Zeckendorf 规范字按低位到高位补零所得的无限字，且 $$ K=\{x\in\{0,1\}^{\mathbb N}:x_jx_{j+1}=0\text{ 对所有 }j\},\qquad 0_K=Z(0). $$ 数字空间取乘积拓扑，置 $$ \mathbb T=\mathbb R/\mathbb Z,\qquad H(x)=\left[\sum_{j\ge0}(-1)^{j+1}\alpha^{j+2}x_j\right],\qquad P_L(x)=(x_0,\ldots,x_{L-1}), $$ $$ E_m=[-m\phi]\quad(m\ge1),\qquad E=\{E_m:m\ge1\},\qquad \Sigma=\{-1,+1\}. $$ 定义加法闭图及其输入纤维为 $$ \Gamma=\overline{\{(Z(n),Z(k),Z(n+k)):n,k\in\mathbb N\}}^{K^3},\qquad \Gamma(x,y)=\{z\in K:(x,y,z)\in\Gamma\}. $$ 全域单值选择是函数 $A:K^2\to K$，满足 $$ \forall x,y\in K,\quad A(x,y)\in\Gamma(x,y). $$ 结合性指 $A(A(x,y),z)=A(x,A(y,z))$ 对全部有序三元组成立；定义不预设交换性、单位或连续性。 **假设 21.1（相位资料与精确保留的闭图纤维前提）。** 采用以下相位资料：$K$ 紧致可度量，$Z[\mathbb N]$ 稠密，$H$ 连续满射，且 $$ H(Z(n))=[n\phi],\qquad H^{-1}(\{0\})=\{0_K\}. $$ 每个 $\theta\notin E$ 的纤维为单点；每个 $\theta\in E$ 的纤维恰为两个不同的点 $z_\theta^{+1},z_\theta^{-1}$。定向标记沿用定义16.3，特别 $$ u=(10)^\omega=z_{E_1}^{+1},\qquad v=(01)^\omega=z_{E_1}^{-1}. $$ 对拓扑结论另采用其具体数字纤维表示：除 $\{u,v\}$ 外，每个二点纤维均为 $\{w0v,w10v\}$，其中 $w$ 为由块 $0$、$10$ 组成的有限块字；两字首次不同的数字位置为 $w$ 的展开长度。[^rro21_phase] 令 $$ \mathcal S(x)= \begin{cases} \{s\},&x=z_\theta^s,\ \theta\in E,\ s\in\Sigma,\\ \Sigma,&H(x)\notin E. \end{cases} $$ 本节明确以下式为数学假设，而非仅假设输出相位正确：对每个 $x,y\in K$，令 $\theta=H(x)+H(y)$，则 $$ \boxed{\quad \Gamma(x,y)= \begin{cases} H^{-1}(\{\theta\}),&\theta\notin E,\\ \{z_\theta^t:t\in\mathcal S(x)\cup\mathcal S(y)\},&\theta\in E. \end{cases}\quad} $$ 以下结论均以这一精确纤维式为前提。[^rro21_fibers] **定义 21.2（两个候选与保留、余留部分）。** 对每个 $s\in\Sigma$，令 $j_s:\mathbb T\to K$ 为满足 $$ H(j_s(\theta))=\theta,\qquad j_s(E_m)=z_{E_m}^s $$ 的唯一函数：非分裂相位由其单点纤维决定。置 $$ g_s(m)=j_s(E_m),\qquad b_s(m)=z_{E_m}^{-s},\qquad I_s=j_s(\mathbb T),\qquad B_s=\{b_s(m):m\ge1\},\qquad c_s=j_s\circ H. $$ 于是 $K=I_s\sqcup B_s$，且 $I_s$ 在每个相位纤维中恰含一点。定义 $$ A_s(x,y)= \begin{cases} b_s(m+n),&x=b_s(m),\ y=b_s(n),\ m,n\ge1,\\ j_s(H(x)+H(y)),&\text{其余情形}. \end{cases} $$ 等价地，输出相位分裂时，只有两个输入均为符号 $-s$ 的分裂点才选择符号 $-s$；其余输入选择符号 $s$。非分裂输出取唯一点。 **定理 21.3（候选存在、完整乘法表及结合性）。** 每个 $A_s$ 均为交换、结合的全域单值选择。其完整乘法表为 $$ A_s(j_s(a),j_s(b))=j_s(a+b)\qquad(a,b\in\mathbb T), $$ $$ A_s(j_s(a),b_s(m))=A_s(b_s(m),j_s(a))=j_s(a+E_m)\qquad(a\in\mathbb T,\ m\ge1), $$ $$ A_s(b_s(m),b_s(n))=b_s(m+n)\qquad(m,n\ge1). $$ 每个全域选择，包括这两个候选，均满足 $$ H(A(x,y))=H(x)+H(y),\qquad A(Z(n),Z(k))=Z(n+k)\quad(n,k\in\mathbb N). $$ 两个候选不同。 **证明。** $\phi$ 无理使各 $E_m$ 两两不同，并给出 $$ 0\notin E,\qquad E_m+E_n=E_{m+n},\qquad [n\phi]\notin E\quad(n\ge0). $$ 最后一个断言若失败，则某个正整数倍 $(n+m)\phi$ 为整数。精确纤维式直接给任意选择的相位等式；自然和的相位不分裂，而 $Z(n+k)$ 是该纤维的一点，因此核心加法等式也被强制。 若两个输入均在 $B_s$，它们是同号 $-s$ 的分裂点，纤维式恰强制输出 $b_s(m+n)$。其余情形至少一个输入在 $I_s$：该输入或者不分裂，或者具有符号 $s$，故其符号集合必含 $s$。输出相位分裂时选择 $j_s(\theta)$ 因而合法，非分裂时选择唯一点也合法。这证明选择性及显示的全部乘法表。 乘法表说明 $I_s$ 为双侧理想，且两个 $B_s$ 元素的乘积仍在 $B_s$。对任意有序三元组，若三个输入都在 $B_s$，两种括号方式均得 $b_s(m+n+k)$；否则至少一个输入在 $I_s$，两种括号方式的最终输出均在 $I_s$，且具有相同的总相位。$I_s$ 每相位恰有一点，故两个输出相等。表的左右对称性给交换律。最后 $$ A_{+1}(0_K,u)=u,\qquad A_{-1}(0_K,u)=v, $$ 而 $u\ne v$，所以确有两个不同候选。证毕。 **定理 21.4（不预设交换性的零作用刚性）。** 设 $A$ 为任意结合的全域选择，简记 $x*y=A(x,y)$，并置 $$ c_L(x)=0_K*x,\qquad c_R(x)=x*0_K. $$ 这两个映射均在每个 $H$ 纤维上恒定，而且 $c_L=c_R=:c$。进一步， $$ H\circ c=H,\qquad c^2=c, $$ $$ c(x*y)=c(x)*y=x*c(y)=c(x)*c(y). $$ 因此 $M=c(K)$ 为双侧理想，$c$ 是到 $M$ 的半群收缩。存在唯一双射 $j:\mathbb T\to M$，使 $$ H\circ j=\operatorname{id}_{\mathbb T},\qquad j\circ H=c,\qquad j(a)*j(b)=j(a+b). $$ 特别 $M$ 是以 $0_K=j(0)$ 为单位、以 $j(-a)$ 为 $j(a)$ 之逆元的抽象交换群。 **证明。** 令 $q=[1/2]$。无理性给出 $$ q\notin E,\qquad (q+E)\cap E=\varnothing,\qquad q+q=0. $$ 事实上，$q+E_m=E_n$ 将使 $(m-n)\phi$ 等于一个半整数；若 $m=n$ 则直接矛盾，若 $m\ne n$ 则使 $\phi$ 有理。$q\in E$ 同样不可能。取相位 $q$ 的唯一点 $t$，则相位等式和零纤维唯一性强制 $$ t*t=0_K. $$ 若 $H(x)=H(x')\in E$，则 $t*x,t*x'$ 位于同一个非分裂纤维，故相等；$x*t,x'*t$ 也相等。结合性给 $$ c_L(x)=(t*t)*x=t*(t*x)=t*(t*x')=c_L(x'), $$ $$ c_R(x)=x*(t*t)=(x*t)*t=(x'*t)*t=c_R(x'). $$ 在非分裂纤维上原本只有一点，所以两映射在全部相位纤维上恒定。相位等式又给 $H(c_L(x))=H(c_R(x))=H(x)$。 现在只对有序三元组 $(0_K,x,0_K)$ 使用结合性，得到 $$ c_R(c_L(x))=(0_K*x)*0_K=0_K*(x*0_K)=c_L(c_R(x)). $$ 由于两内层点均与 $x$ 同相位，纤维恒定性使左端为 $c_R(x)$、右端为 $c_L(x)$。故 $c_L=c_R=c$，并由同一纤维恒定性得到 $c^2=c$。 再次分别在左端、右端乘以 $0_K$，得 $$ c(x*y)=(0_K*x)*y=c(x)*y, $$ $$ c(x*y)=x*(y*0_K)=x*c(y). $$ 于是 $$ c(x)*c(y)=c(x*c(y))=c(c(x*y))=c(x*y). $$ 这些等式证明理想性与收缩同态性质；没有交换两个一般输入。 定义 $j(a)=c(x)$，其中 $H(x)=a$。满射性保证存在这种 $x$，纤维恒定性保证选择无关。$H(j(a))=a$，且 $M$ 中任何同相位两点相等，所以 $j$ 是所述双射。两个像点的乘积属于 $M$，相位为 $a+b$，故等于 $j(a+b)$。圆周加法的单位、逆元和交换律遂逐项给出所述抽象群结构。证毕。 **定理 21.5（全部结合选择的二元分类）。** 对任意全函数 $A:K^2\to K$，以下条件等价：$A$ 是结合的全域单值选择；存在唯一 $s\in\Sigma$ 使 $A=A_s$。因此不存在额外的非交换结合选择。 **证明。** 充分性由定理21.3得到。反向应用定理21.4，取唯一 $s$ 使 $j(E_1)=z_{E_1}^s$。证明 $$ j(E_m)=z_{E_m}^s\qquad(m\ge1). $$ 基步即 $s$ 的定义。若断言对 $m$ 成立，则像群的乘法与同号输入的强制纤维给 $$ j(E_{m+1})=j(E_m)*j(E_1) =z_{E_m}^s*z_{E_1}^s=z_{E_{m+1}}^s. $$ 所以分支符号不能随 $m$ 改变。非分裂相位本就没有选择，故 $j=j_s$、$M=I_s$、$c=c_s$。 若 $x$ 或 $y$ 在 $I_s$，双侧理想性使 $x*y\in I_s$，相位等式遂强制 $$ x*y=j_s(H(x)+H(y)). $$ 这同时处理非分裂输入、零输入，以及两种有序混合符号输入；例如 $$ z_{E_m}^s*z_{E_n}^{-s}=z_{E_n}^{-s}*z_{E_m}^s=z_{E_{m+n}}^s. $$ 若两输入均不在 $I_s$，它们分别为 $b_s(m),b_s(n)$，同号 $-s$ 的精确纤维强制乘积为 $b_s(m+n)$。所有有序输入对已穷尽，故 $A=A_s$。定理21.3中的不同零切片值给参数唯一性。证毕。 **定理 21.6（严格单位、群部分与余留半群）。** 固定 $s$。$I_s$ 是 $(K,A_s)$ 的唯一最小非空双侧理想，也是唯一最大子群；映射 $j_s$ 给出抽象群同构 $$ (\mathbb T,+)\cong(I_s,A_s),\qquad j_s(a)^{-1}=j_s(-a). $$ 映射 $m\mapsto b_s(m)$ 给出半群同构 $$ (\mathbb N_{>0},+)\cong(B_s,A_s), $$ 其与群部分的全部混合乘积已由定理21.3确定。唯一幂等元为 $0_K$，但整个 $K$ 没有严格左单位，也没有严格右单位。以幂等元 $0_K$ 构成的局部幺半群恰为 $$ 0_K*K*0_K=I_s, $$ 其全部元素均为该局部幺半群的可逆元；不能将其称为整个 $K$ 的单位群。 关系 $\Gamma$ 的唯一弱左、弱右单位均为 $0_K$，但它不是关系的严格单位。结合性对于上述函数单位障碍不可删除：存在以 $0_K$ 为严格双侧单位的非结合全域选择。 **证明。** 群同构、双侧理想和正整数半群同构分别来自定理21.4与乘法表；后一个映射的单射性由各 $E_m$ 不同得到。若 $x*x=x$，则 $2H(x)=H(x)$，所以 $H(x)=0$，进而 $x=0_K$；而 $0_K*0_K=0_K$。 任一子群的单位必幂等，因而只能是 $0_K$。该子群中的 $x$ 必满足 $c_s(x)=0_K*x=x$，即 $x\in I_s$，故 $I_s$ 是唯一最大子群。若 $J$ 为非空双侧理想，取 $x\in J$，则 $c_s(x)=0_K*x\in J\cap I_s$。再与其像群逆元相乘得 $0_K\in J$，继而任意 $a\in\mathbb T$ 均满足 $j_s(a)=0_K*j_s(a)\in J$。因此 $I_s\subseteq J$，证明最小理想断言。 若 $e$ 是整个 $K$ 的严格左单位，则 $e*0_K=0_K$，相位等式迫使 $e=0_K$。然而 $$ 0_K*b_s(m)=g_s(m)\ne b_s(m). $$ 故左单位不存在；严格右单位同理由 $0_K*e=0_K$ 和 $b_s(m)*0_K=g_s(m)$ 排除。收缩等式给 $0_K*K*0_K=I_s$。特别地，虽然 $$ b_s(m)*Z(m)=Z(m)*b_s(m)=0_K, $$ 但 $b_s(m)$ 不在任何子群中：乘积为 $0_K$ 的方程不能替代单位作用条件。 由 $\mathcal S(0_K)=\Sigma$ 及精确纤维式， $$ \Gamma(0_K,x)=\Gamma(x,0_K)=H^{-1}(\{H(x)\})\ni x. $$ 任一弱左或弱右单位对输入 $0_K$ 的相位条件都迫使它等于 $0_K$，而分裂纤维不是单点，故关系严格单位不存在。 最后定义 $$ \widehat A_s(x,y)= \begin{cases} y,&x=0_K,\\ x,&x\ne0_K,\ y=0_K,\\ A_s(x,y),&x\ne0_K,\ y\ne0_K. \end{cases} $$ 刚证的弱单位包含式保证这是全域选择，并以 $0_K$ 为严格双侧单位。取定理21.4中的半转点 $t$。相位 $q+E_1$ 非分裂且非零，因此 $$ \widehat A_s(\widehat A_s(t,t),b_s(1))=b_s(1), $$ $$ \widehat A_s(t,\widehat A_s(t,b_s(1)))=g_s(1). $$ 第二式的两次外于零输入的运算分别经过非分裂相位 $q+E_1$ 和分裂相位 $E_1$，最后选择符号 $s$。两个结果不同，故这个严格有单位的选择不结合。证毕。 **定理 21.7（具体半群模型、相位商与理想商）。** 在不交并 $$ \mathscr M=(\mathbb T\times\{0\})\sqcup(\mathbb N_{>0}\times\{1\}) $$ 上定义 $$ (a,0)\circ(b,0)=(a+b,0),\qquad (m,1)\circ(n,1)=(m+n,1), $$ $$ (a,0)\circ(m,1)=(m,1)\circ(a,0)=(a+E_m,0). $$ 双射 $$ F_s(a,0)=j_s(a),\qquad F_s(m,1)=b_s(m) $$ 是到 $(K,A_s)$ 的半群同构。此模型正是二元链 $0<1$ 上的强半格半群：下层为圆周群，上层为正整数加法半群，唯一非恒等连接同态为 $m\mapsto E_m$。[^rro21_semilattice] 自然核心及相位在此模型中分别为 $$ Z(n)=F_s([n\phi],0),\qquad (H\circ F_s)(a,0)=a,\qquad(H\circ F_s)(m,1)=E_m. $$ 相位相等关系是半群同余，且 $$ \ker c_s=\ker H,\qquad (K,A_s)/{\ker H}\cong(\mathbb T,+). $$ 这里核均指相等关系核。更精确地，对所有 $z\in\Gamma(x,y)$， $$ c_s(z)=A_s(c_s(x),c_s(y))=j_s(H(x)+H(y)). $$ 但是 $A_s$ 本身不能经 $H\times H$ 因子化，且函数 $(x,y)\mapsto j_s(H(x)+H(y))$ 并非 $\Gamma$ 的全域选择。 另将整个理想 $I_s$ 压为一个吸收点 $\bot$，得到的 Rees 商为 $$ Q=\mathbb N_{>0}\sqcup\{\bot\},\qquad m\cdot n=m+n,\qquad \bot\cdot q=q\cdot\bot=\bot. $$ 因此 $(K,A_s)$ 是圆周群的收缩理想扩张。[^rro21_retract] 吸收点 $\bot$ 不是自然数加法的单位；该理想商也不是相位商。 **证明。** 显示的模型乘法与定理21.3逐项一致，故 $F_s$ 保乘法且双射。连接映射保乘法正是 $E_{m+n}=E_m+E_n$；二元链中的其余连接映射为恒等，复合相容性随即成立。这给出所述强半格构造，而不要求上层为群。自然核心与相位的显示式由定义直接得到。 $c_s=j_sH$ 且 $j_s$ 单射，故两相等关系核一致；相位等式使这个核为同余，$H$ 的满射性给所述商同构。对任意允许输出 $z$，其相位已固定，应用 $c_s$ 得到同一个 $j_s(H(x)+H(y))$；乘法表又给另一等号。然而 $$ A_s(b_s(m),b_s(n))=b_s(m+n),\qquad A_s(g_s(m),g_s(n))=g_s(m+n), $$ 两对输入逐槽同相位而输出不同，所以 $A_s$ 不能经 $H\times H$ 因子化。同时 $$ j_s(E_m+E_n)=g_s(m+n)\notin \Gamma(b_s(m),b_s(n))=\{b_s(m+n)\}, $$ 排除了直接由相位截面回填整个乘法的办法。 令理想商映射在 $I_s$ 上取 $\bot$，在 $b_s(m)$ 上取 $m$。混合乘积落入 $I_s$，两个余留点的乘积为 $b_s(m+n)$，所以商乘法恰为显示的 $Q$。收缩同态是 $c_s$。这个商把全部自然核心送到 $\bot$，相位商则保留 $[n\phi]$，故不能混同。证毕。 **定理 21.8（闭图障碍与零切片的精确连续点）。** 不存在联合连续的全域单值选择，无须在此断言中假设结合性。[^rro21_graph] 对两个结合选择， $$ A_s(0_K,x)=A_s(x,0_K)=c_s(x), $$ 且这两个零切片作为 $K\to K$ 的函数，其连续点集恰为 $I_s$，不连续点集恰为 $B_s$。因此 $A_s$ 也不是分别连续的二元运算。 **证明。** 若选择 $A$ 联合连续，其函数图在 $K^3$ 中闭：它是映射 $(x,y,z)\mapsto(A(x,y),z)$ 下闭对角线的原像。由核心加法等式，此闭图包含全部自然加法三元组，因此包含它们的闭包 $\Gamma$。但 $$ (0_K,u,u),(0_K,u,v)\in\Gamma,\qquad u\ne v, $$ 与函数图在一个输入处只有一个输出矛盾。 固定 $s$。函数 $c_s$ 在 $I_s$ 上为恒等，在 $b_s(m)$ 处改取 $g_s(m)$。对每个 $L\ge1$，令 $$ D_L=\{b_s(m):P_L(b_s(m))\ne P_L(g_s(m))\}. $$ 这是有限集：接缝纤维至多贡献一个点；其余纤维为 $\{w0v,w10v\}$，只有展开长度小于 $L$ 的 $w$ 才可能贡献，而这样的有限块字只有有限多个。这个论证不依赖分支方向的奇偶性。 给定 $x\in I_s$，集合 $$ U_L=P_L^{-1}(\{P_L(x)\})\setminus D_L $$ 是包含 $x$ 的开邻域。每个 $y\in U_L$ 满足 $$ P_L(c_s(y))=P_L(y)=P_L(x)=P_L(c_s(x)). $$ 有限前缀柱集构成拓扑基，故 $c_s$ 在 $x$ 连续。 反之，固定 $b_s(m)$ 并截断其数字，令 $$ n_L=\sum_{j0\text{ and }p_{L-1}=0,\\ S_p+r^{L+1}I,&L>0\text{ and }p_{L-1}=1. \end{cases} $$ **Proof 22.3.** The series defining $d_K$ is a metric by the coordinatewise triangle inequality and positivity of every coordinate weight. Agreement in the first $L$ coordinates gives distance at most $2^{-L}$; distance less than $2^{-L}$ forces such agreement. Thus the metric gives the product topology, with the stated countable clopen cylinder base. From any sequence in $K$, successively choose infinite subsequences constant in the next coordinate and take a diagonal subsequence. Its coordinatewise limit is still legal, since each adjacent pair eventually stabilizes. The tail estimate for $d_K$ gives metric convergence. Sequential compactness of a metric space implies compactness, proving the assertion for $K$ and hence for its finite products. For $x\in K$ put $N_L=\sum_{jj}\frac{2}{3^{k+1}} =\frac1{3^{j+1}}>0. $$ Thus $e$ is injective and preserves the stated order. Compactness makes it a homeomorphism onto $e[K]$. The image of each nonempty compact fiber has an attained minimum and maximum, giving unique $A_{\min}$ and $A_{\max}$. Moreover, $$ \{\xi:e(A_{\min}(\xi))\leq t\}=\operatorname{Hit}(\{z:e(z)\leq t\}), $$ $$ \{\xi:e(A_{\max}(\xi))\geq t\}=\operatorname{Hit}(\{z:e(z)\geq t\}). $$ These sets are closed by Theorem 22.4, proving the two scalar semicontinuity claims. For a same-target construction, partition $X$ by the first $n$ digits of each input. This is a finite clopen partition. Denote the cell containing $\xi$ by $C_n(\xi)$, and define $$ T_n(\xi)=\bigcup_{\eta\in C_n(\xi)}\Gamma(\eta). $$ It is a nonempty compact set, being the projection of $\Gamma\cap(C_n(\xi)\times K)$. These sets decrease with $n$, and $$ \bigcap_{n\geq1}T_n(\xi)=\Gamma(\xi). $$ The inclusion from right to left is immediate. For the reverse inclusion, if $z$ belongs to every $T_n(\xi)$, choose $\eta_n\in C_n(\xi)$ with $z\in\Gamma(\eta_n)$. The cell diameter is at most $2^{-n}$, so $\eta_n\to\xi$. Closedness gives $z\in\Gamma(\xi)$. Set $$ a_n(\xi)=e^{-1}\bigl(\min e[T_n(\xi)]\bigr),\qquad b_n(\xi)=e^{-1}\bigl(\max e[T_n(\xi)]\bigr). $$ Each map is constant on each cell of a finite clopen partition, hence is continuous as a map into $K$. At a fixed $\xi$, the numbers $e(a_n(\xi))$ increase and are bounded above by $e(A_{\min}(\xi))$. Let their limit be $\ell$. A convergent subsequence of $a_n(\xi)$ has limit in every $T_m(\xi)$: all sufficiently late terms lie there, and the set is closed. Thus its limit belongs to $\Gamma(\xi)$ and has $e$-value $\ell$. Minimality gives $\ell\geq e(A_{\min}(\xi))$, proving equality. Continuity of $e^{-1}$ on $e[K]$ now gives convergence of the full sequence to $A_{\min}(\xi)$. For the maximum, $e(b_n(\xi))$ decreases and is bounded below by $e(A_{\max}(\xi))$; the same compact-limit argument places its limiting value in the fiber, where maximality gives the reverse inequality. Hence $$ a_n(\xi)\longrightarrow A_{\min}(\xi),\qquad b_n(\xi)\longrightarrow A_{\max}(\xi) $$ in $K$ at every input. The approximants are continuous digit-space-valued maps, but are not required to be selections at their own inputs. For completeness, any pointwise limit $f$ of continuous $K$-valued maps $f_n$ is Borel. For a proper nonempty open $O\subset K$, distance to the nonempty closed set $K\setminus O$ gives $$ f^{-1}(O)= \bigcup_{k,N\geq1}\ \bigcap_{n\geq N} \{\xi:d_K(f_n(\xi),K\setminus O)\geq1/k\}. $$ If $f(\xi)\in O$, its distance to the complement is positive; convergence gives the displayed eventual inequality for a sufficiently large $k$. Conversely, that inequality passes to the limit and excludes membership in the complement. Each inner intersection is closed, so the inverse image is $F_\sigma$. Empty and full open sets give empty and full inverse images. Applying this to $a_n$ and $b_n$ proves Borelness. This construction, rather than an inference from meagre discontinuities or from an ambient real-valued approximation, proves the claimed target-valued Baire class. **theorem 22.10 (Strict measurable distinctions among selections).** There exist Borel selections that are not of Baire class one. There also exist selections that are not measurable for the completion of a Borel probability measure on $X$, hence are neither Borel nor universally measurable. Nevertheless every point selection is Baire-property measurable. All these selections still have exactly the continuity locus $G$. **Proof 22.10.** Choose a Cantor set $M$ as in Theorem 22.7, with its constant two-point fiber. Write the two outputs as $z^{(0)},z^{(1)}$, choosing an index $j$ at which $z^{(0)}_j=0$ and $z^{(1)}_j=1$. For any subset $B\subseteq M$, define the selection $$ A_B(\xi)= \begin{cases} z^{(1)},&\xi\in B,\\ z^{(0)},&\xi\in M\setminus B,\\ A_{\min}(\xi),&\xi\notin M. \end{cases} $$ Each branch lies in the required fiber, so this is a selection for every $B$, regardless of measurability. Let $R$ be a countable dense subset of $M$, obtained, for example, by carrying the eventually-zero binary sequences through a homeomorphism onto $M$. The map $A_R$ is Borel: $M$ is closed, $R$ is countable and Borel, and its three pieces use constant maps or the Borel map $A_{\min}$. We first prove that $M\setminus R$ is not $F_\sigma$ in $M$. Otherwise, write it as a countable union of relatively closed sets. Each has empty relative interior because $R$ is dense. Each singleton of $R$ also has empty relative interior because a Cantor space has no isolated points. This would express $M$ as a countable union of relatively closed nowhere dense sets. Such a covering is impossible: transfer it to binary sequence space, successively choose a nonempty cylinder inside the preceding cylinder and disjoint from the next closed nowhere dense set, and require the prescribed prefix lengths to increase. Closedness and empty interior permit each choice. The unique sequence extending all chosen prefixes avoids every member of the proposed covering, a contradiction. If continuous $K$-valued maps $f_n$ converged pointwise to $A_R$, then on $M$ the continuous real functions $g_n(\xi)=(f_n(\xi))_j$ would converge to the indicator $\mathbf1_R$. Therefore $$ M\setminus R=\bigcup_{N\geq1}\ \bigcap_{n\geq N} \{\xi\in M:g_n(\xi)\leq1/4\}, $$ a relatively $F_\sigma$ set. Indeed, a limit of zero eventually satisfies the bound, whereas a limit of one cannot. This contradicts the preceding paragraph and proves that $A_R$ is not Baire one. For a precise nonmeasurable choice, equip $\mathcal C=\{0,1\}^{\mathbb N}$ with the fair-coin product probability $\mu$. Two sequences are equivalent when they differ in only finitely many coordinates. Choose one representative from each equivalence class and call the representative set $V$. For every finite $s\subseteq\mathbb N$, let $T_s$ flip exactly the coordinates in $s$. The sets $T_s[V]$ are pairwise disjoint and cover $\mathcal C$: two representations of the same point force their representatives to be equivalent and hence equal, and a nonempty finite flip fixes no sequence. There are countably infinitely many finite subsets $s$. Every $T_s$ preserves $\mu$, since it permutes cylinders of any specified length without changing their measures; uniqueness of the probability measure determined by cylinders gives invariance on Borel sets. It also preserves the completed measure, since it preserves Borel null sets and their subsets. If $V$ were measurable in this completion, all its disjoint translates would have the same measure $t$. For $t=0$, their countable union would have measure zero instead of one. For $t>0$, a sufficiently large finite union would already have measure greater than one. Thus $V$ is not completed-measurable. Fix a homeomorphism $\psi:\mathcal C\to M$, set $B=\psi[V]$, and let $\nu=\psi_*\mu$, viewed as a Borel probability on $X$ supported on $M$. If $B$ were measurable in the completion of $\nu$, pulling back a Borel representative and its Borel null error would make $V$ measurable in the completion of $\mu$. Hence it is not. Since $$ M\cap A_B^{-1}(\{z\in K:z_j=1\})=B, $$ and the digit cylinder is clopen, $A_B$ is not measurable for the completion of $\nu$. In particular it is not Borel or universally measurable. This construction uses choice to select the representatives. Finally, any selection $A$ agrees with $A_{\min}$ outside the meagre set $D$. Thus for every open $O\subseteq K$, the symmetric difference of $A^{-1}(O)$ and $A_{\min}^{-1}(O)$ is contained in $D$. The latter inverse image is $F_\sigma$ by Theorem 22.9 and has the Baire property: a countable union of closed sets differs from the union of their interiors by a subset of the countable union of their nowhere dense boundaries. Every subset of a meagre set is meagre, because its intersections with the given nowhere dense covering sets are still nowhere dense. This proves the Baire property for $A^{-1}(O)$, even for the nonmeasurable construction above. The common continuity locus follows from Theorem 22.6, not from any of these measurability properties. **Definition 22.11 (Admissible probability assignments and kernels).** Let $\mathcal P(K)$ be the Borel probability measures on $K$, with the weak topology generated by $$ \mu\longmapsto\int_K f\,d\mu\qquad(f\in C(K,\mathbb R)). $$ An admissible probability assignment is any map $P:X\to\mathcal P(K)$ such that $$ P(\xi)(\Gamma(\xi))=1\qquad(\xi\in X). $$ This condition expresses support inside the closed fiber. No measurability is included in the word assignment. A Borel probability kernel additionally requires $\xi\mapsto P(\xi)(B)$ to be Borel for every Borel $B\subseteq K$. A Baire-one probability assignment is a pointwise weak limit of continuous maps $X\to\mathcal P(K)$. Write $\delta_z$ for the Dirac probability at $z$. **theorem 22.12 (Probability outputs have the identical obstruction).** Every admissible probability assignment, measurable or not, satisfies $$ P(Z(n),Z(m))=\delta_{Z(n+m)},\qquad \operatorname{Cont}(P)=G. $$ In particular, no such assignment is globally continuous, or continuous on a nonempty open subspace of $X$. **Proof 22.12.** A probability giving mass one to a singleton is its Dirac probability, proving the natural-input assertion. If $\Gamma(\xi)=\{z\}$, then $P(\xi)=\delta_z$. Fix a continuous real function $f$ and a positive $\varepsilon$. Choose an open neighborhood $V$ of $z$ such that $|f(w)-f(z)|<\varepsilon/2$ for $w\in V$. Upper semicontinuity of $\Gamma$ gives an input neighborhood on which every fiber lies in $V$. For every input $\eta$ in that neighborhood, support inside its fiber implies $$ \left|\int_K f\,dP(\eta)-f(z)\right| \leq\int_K|f-f(z)|\,dP(\eta)\leq\varepsilon/2<\varepsilon. $$ Intersecting the neighborhoods for finitely many test functions verifies every basic weak neighborhood of $\delta_z$. Thus $P$ is continuous at $\xi$. If the fiber contains distinct $z_0,z_1$, Theorem 22.4 gives two sequences of actual finite input pairs tending to $\xi$, with their actual sums tending respectively to $z_0,z_1$. Along these sequences $P$ is forced to be the Dirac measure at the actual sum. These probabilities converge weakly to $\delta_{z_0}$ and $\delta_{z_1}$: each test integral is simply the value of its continuous test function at the approaching sum. Choose a digit coordinate $j$ where $z_0$ and $z_1$ differ. The continuous moment $\mu\mapsto\int z_j\,d\mu$ then has two different limiting values along these two input sequences. Continuity at $\xi$ would force both to be its value at $P(\xi)$, a contradiction. This proves the exact locus using approaching actual sums, without an appeal to compactness of the probability space. Density of $D$ and eventual membership of the sequences in any open neighborhood give the remaining assertions. **theorem 22.13 (Measurable genuine randomization and strict regularity distinctions).** For every constant $\lambda\in[0,1]$, the assignment $$ P_\lambda(\xi)=(1-\lambda)\delta_{A_{\min}(\xi)}+\lambda\delta_{A_{\max}(\xi)} $$ is a Borel probability kernel, a Borel map into the weak topology, and Baire one with that target topology. For $0<\lambda<1$, its support is exactly the two-point fiber on $D$. There are also Borel probability kernels that are not weakly Baire one, and admissible assignments that are not measurable for a completed Borel probability on $X$. Nevertheless all admissible probability assignments are Baire-property measurable into the weak topology. **Proof 22.13.** Both selected atoms belong to the fiber, so the support condition holds. They coincide exactly on $G$ and differ on $D$, proving the support assertion for interior weights. With the continuous $K$-valued approximants of Theorem 22.9, define $$ P_{\lambda,n}(\xi)=(1-\lambda)\delta_{a_n(\xi)}+\lambda\delta_{b_n(\xi)}. $$ For each continuous $f$, its integral against this measure is $$ (1-\lambda)f(a_n(\xi))+\lambda f(b_n(\xi)), $$ a continuous function of $\xi$. Hence $P_{\lambda,n}$ is weakly continuous. Pointwise convergence of $a_n,b_n$ gives convergence of every test integral to the corresponding integral against $P_\lambda$. This is precisely a same-target weak Baire-one approximation. Support inside the input fiber is required of the limit, not of these continuous approximating maps. The map $(z,w)\mapsto(1-\lambda)\delta_z+\lambda\delta_w$ is weakly continuous by the same test calculation. The pair $(A_{\min},A_{\max})$ is Borel into $K^2$: a countable base of product cylinders reduces inverse images of open sets to countable unions of intersections of Borel sets. Composition proves weak-topology Borelness of $P_\lambda$. Moreover, for every Borel $B\subseteq K$, $$ P_\lambda(\xi)(B)=(1-\lambda)\mathbf1_B(A_{\min}(\xi))+ \lambda\mathbf1_B(A_{\max}(\xi)) $$ is Borel, proving the probability-kernel assertion itself. Use the Borel non-Baire-one selection $A_R$ of Theorem 22.10. Its Dirac assignment is a Borel probability kernel and a weakly Borel map. Suppose it were the pointwise weak limit of continuous maps $Q_n:X\to\mathcal P(K)$. On the same Cantor set $M$, the continuous real functions $$ g_n(\xi)=\int_K z_j\,dQ_n(\xi) $$ would tend to $\mathbf1_R$. The eventual $1/4$ bound in Proof 22.10 would again make $M\setminus R$ relatively $F_\sigma$, which was proved impossible. Thus this kernel is not weakly Baire one. For the non-completed-measurable selection $A_B$ there, the same digit moment of $\delta_{A_B}$ restricts on $M$ to $\mathbf1_B$. Its inverse image of $(1/2,\infty)$, intersected with $M$, is $B$. Hence this admissible assignment is not measurable for the completion of the probability $\nu$ constructed there, and in particular is not weakly Borel. Finally let $P$ be any admissible assignment. Outside $D$ it equals $\delta_{A_{\min}}$. For a weakly open set $O\subseteq\mathcal P(K)$, the set $\{z:\delta_z\in O\}$ is open in $K$, since the Dirac map is weakly continuous. Its inverse image under $A_{\min}$ is $F_\sigma$ by Theorem 22.9. The inverse image $P^{-1}(O)$ differs from that set only inside $D$, so the same meagre-error argument as in Proof 22.10 gives the Baire property. Thus probability-valued continuity and descriptive regularity have the asserted distinct meanings and boundaries. **theorem 22.14 (Algebraic laws are not consequences of the regularity statements).** The selections $A_{\min}$ and $A_{\max}$, and each constant-weight kernel $P_\lambda$, are commutative. Both of these point selections fail associativity and fail to have $0_K$ as an identity. None of these constant-weight kernels has the Dirac identity law at $0_K$. There also exists a noncommutative Baire-one point selection. Conversely, commutativity alone forces neither Borelness nor Baire class one among selections. All these examples retain exact natural addition and the common continuity locus already proved. **Proof 22.14.** Swapping the first two coordinates preserves the set of actual finite addition triples. The swap is a homeomorphism, so it preserves its closure. Hence $\Gamma(x,y)=\Gamma(y,x)$. Taking the least or greatest element of the same fiber proves commutativity of both canonical selections. Their constant-weight mixture of Dirac probabilities is commutative as well. Put $p_2=0v$ and $q_2=10v$. Assumption 22.2, including its specified labels, gives $$ \Gamma(0_K,u)=\Gamma(0_K,v)=\{u,v\},\qquad \Gamma(u,u)=\{p_2\},\qquad\Gamma(v,v)=\{q_2\}, $$ $$ \Gamma(0_K,p_2)=\Gamma(0_K,q_2)=\{p_2,q_2\}. $$ Indeed, $H(0_K)=0\notin E$, so its sign set permits both signs; the other phases in the last display are $[-2\phi]\in E$. The same-sign rule gives the two diagonal singleton fibers. In lexicographic order $v0\}\text{ 有限}, \ \sum_{x\in\operatorname{supp}\mu}\mu(x)=1\right\}. $$ 记 $\delta_x$ 为集中在 $x$ 的分布，$\mu(x)$ 也记为 $\mu\{x\}$。一个可容许概率核是任意函数 $$ P:K\times K\to\mathcal D_f(K),\qquad \operatorname{supp}P_{x,y}\subseteq\Gamma(x,y). $$ 允许一个许可输出的质量为零；不预设连续性、Borel 可测性、交换律或单位律。相对于 $P$，定义有限卷积 $$ \mu*\nu= \sum_{x\in\operatorname{supp}\mu} \sum_{y\in\operatorname{supp}\nu} \mu(x)\nu(y)P_{x,y}. $$ 称 $P$ 结合，若对所有 $x,y,z\in K$， $$ \sum_{u\in\operatorname{supp}P_{x,y}}P_{x,y}(u)P_{u,z} = \sum_{v\in\operatorname{supp}P_{y,z}}P_{y,z}(v)P_{x,v}. $$ 等号是分布逐点相等，而非支撑集合相等。这里的有限凸组合与展平采用有限分布单子的通常含义，其单位和展平分别为 $$ \eta_X(x)=\delta_x,\qquad m_X\left(\sum_i a_i\delta_{\mu_i}\right)=\sum_i a_i\mu_i. $$ 此处单子的单位是映射 $\eta_X$，不是二元操作 $P$ 的单位元。相关定义见 Bart Jacobs，*Duality for Convexity*，[arXiv:0911.3834，§2，Example 2(3)—(4)，PDF第3—4页](https://arxiv.org/pdf/0911.3834)。 **定理 23.3（有限卷积的闭合与结合延拓）。** 定义23.2的卷积总是属于 $\mathcal D_f(K)$。可容许核的点态结合律等价于 $\mathcal D_f(K)$ 上全部有限分布的结合律。每个 $P_{x,y}$ 都集中在相位 $H(x)+H(y)$；若 $\Gamma(x,y)=\{w\}$，则 $P_{x,y}=\delta_w$。 **证明。** 卷积的支撑包含在有限集合 $$ \bigcup_{\substack{x\in\operatorname{supp}\mu\\y\in\operatorname{supp}\nu}} \operatorname{supp}P_{x,y} $$ 中，其大小至多为 $2|\operatorname{supp}\mu|\,|\operatorname{supp}\nu|$。各质量非负，总质量为 $$ \sum_{x,y}\mu(x)\nu(y)\sum_w P_{x,y}(w) =\sum_{x,y}\mu(x)\nu(y)=1. $$ 以上及以下求和都限制在相应有限支撑中。 若点态结合律成立，把三个有限分布的卷积展开，得到 $$ (\mu*\nu)*\xi =\sum_{x,y,z}\mu(x)\nu(y)\xi(z)\bigl(P_{x,y}*\delta_z\bigr), $$ $$ \mu*(\nu*\xi) =\sum_{x,y,z}\mu(x)\nu(y)\xi(z)\bigl(\delta_x*P_{y,z}\bigr). $$ 点态结合律使每个相应括号相等，故两式相等。反向取三个 Dirac 分布即可。假设23.1给出全部许可输出的同一相位；支撑包含关系将此性质传给 $P$。支撑包含于单点而总质量为一时，该点质量只能为一。证毕。 **定理 23.4（分裂相位的加法与半周平移）。** 分裂相位满足 $$ E_m=E_n\Longleftrightarrow m=n,\qquad E_m+E_n=E_{m+n}, \qquad [k\phi]\notin E\quad(k\in\mathbb N). $$ 置 $\tau=[1/2]$，则 $$ \tau\notin E,\qquad (E+\tau)\cap E=\varnothing. $$ 因而存在唯一 $t=k_\tau\in K$。对任意可容许核， $$ P_{t,t}=\delta_{0_K}, \qquad P_{t,x}=P_{x,t}=\delta_{k_{\theta+\tau}} \quad\text{当 }H(x)=\theta\in E. $$ **证明。** $\phi$ 无理。相位相等 $E_m=E_n$ 意味着 $(m-n)\phi$ 为整数，故 $m=n$；相位加法公式直接成立。若 $[k\phi]=E_m$，则 $(k+m)\phi$ 为整数，其中 $k+m>0$，矛盾。 若 $\tau=E_m$，则 $m\phi$ 为半整数，亦矛盾。若 $E_m+\tau=E_n$，则 $(n-m)\phi+1/2$ 为整数；当 $n=m$ 时不可能，当 $n\ne m$ 时又迫使 $\phi$ 有理。所以两集合不交。假设23.1保证半周相位有唯一原像，而 $2\tau=0$ 的原像为 $0_K$。当 $\theta\in E$ 时，$\theta+\tau$ 非分裂，故两个有序乘积的许可纤维是同一单点。定理23.3遂给所列 Dirac 等式，不需要预设交换律。证毕。 **定理 23.5（零切片下降与双侧平均恒等式）。** 设 $P$ 可容许且结合。则存在唯一一族 $\pi_\theta\in\mathcal D_f(K)$，使 $$ P_{0_K,x}=P_{x,0_K}=\pi_{H(x)} \quad(x\in K). $$ 每个 $\pi_\theta$ 支撑于 $H^{-1}(\{\theta\})$，且 $\pi_0=\delta_{0_K}$。对所有 $\theta,\rho\in\mathbb T$ 和 $x,y\in K$， $$ \pi_\theta*\delta_y=\pi_{\theta+H(y)},\qquad \delta_x*\pi_\rho=\pi_{H(x)+\rho},\qquad \pi_\theta*\pi_\rho=\pi_{\theta+\rho}. $$ **证明。** 先分别证明左、右零切片仅依赖相位。非分裂相位的输出纤维只有一个点，所以两个零切片均为 $\delta_{k_\theta}$。对分裂相位 $\theta$，置 $w_\theta=k_{\theta+\tau}$。任取 $H(x)=\theta$，在两个不同有序三元组上使用结合律及定理23.4，得到 $$ \delta_{0_K}*\delta_x =(\delta_t*\delta_t)*\delta_x =\delta_t*(\delta_t*\delta_x) =P_{t,w_\theta}, $$ $$ \delta_x*\delta_{0_K} =\delta_x*(\delta_t*\delta_t) =(\delta_x*\delta_t)*\delta_t =P_{w_\theta,t}. $$ 右端均与该纤维内的输入分支无关。于是左、右零切片分别定义为 $L_\theta,R_\theta$，暂不假设二者相等。它们均支撑于相位 $\theta$。 对三元组 $(0_K,x,0_K)$ 使用结合律。左括号给出 $$ L_\theta*\delta_{0_K} =\sum_{u\in\operatorname{supp}L_\theta}L_\theta(u)R_\theta =R_\theta, $$ 右括号给出 $$ \delta_{0_K}*R_\theta =\sum_{v\in\operatorname{supp}R_\theta}R_\theta(v)L_\theta =L_\theta. $$ 故 $L_\theta=R_\theta$，记为 $\pi_\theta$。满射性保证这族分布在全部相位上定义且唯一；零相位的单点纤维给 $\pi_0=\delta_{0_K}$。 固定 $\theta$，由满射性取 $H(x)=\theta$。若 $H(y)=\rho$，则 $$ \pi_\theta*\delta_y =(\delta_{0_K}*\delta_x)*\delta_y =\delta_{0_K}*P_{x,y} =\sum_u P_{x,y}(u)\pi_{\theta+\rho} =\pi_{\theta+\rho}. $$ 这里每个中间点 $u$ 都具有相位 $\theta+\rho$。同理， $$ \delta_x*\pi_\rho =\delta_x*(\delta_y*\delta_{0_K}) =P_{x,y}*\delta_{0_K} =\sum_u P_{x,y}(u)\pi_{\theta+\rho} =\pi_{\theta+\rho}. $$ 最后，$\pi_\rho$ 的每个支撑点具有相位 $\rho$，故再对第一式作有限平均，得到 $\pi_\theta*\pi_\rho=\pi_{\theta+\rho}$。全程没有使用 $0_K$ 是单位元。证毕。 **定理 23.6（单个分裂相位的零切片必为 Dirac 分布）。** 设 $P$ 可容许且结合。固定 $m\ge1$，记 $$ x_+=z_{E_m}^{+1},\quad x_-=z_{E_m}^{-1},\qquad y_+=z_{E_{2m}}^{+1},\quad y_-=z_{E_{2m}}^{-1}, $$ 并定义 $$ p=\pi_{E_m}(x_+),\qquad q=\pi_{E_{2m}}(y_+),\qquad a=P_{x_+,x_-}(y_+),\qquad b=P_{x_-,x_+}(y_+). $$ 则以下两个恒等链同时成立： $$ q=p+(1-p)b=pa,\qquad q=p+(1-p)a=pb. $$ 它们强制 $$ p=q=a=b\in\{0,1\}. $$ 特别地，每个 $\pi_{E_m}$ 都是 Dirac 分布。 **证明。** 精确支撑契约给出 $$ P_{x_+,x_+}=\delta_{y_+},\qquad P_{x_-,x_-}=\delta_{y_-}, \qquad \pi_{E_m}=p\delta_{x_+}+(1-p)\delta_{x_-}. $$ 定理23.5分别对 $$ \pi_{E_m}*\delta_{x_+},\quad \delta_{x_+}*\pi_{E_m},\quad \pi_{E_m}*\delta_{x_-},\quad \delta_{x_-}*\pi_{E_m} $$ 给出同一分布 $\pi_{E_{2m}}$。读取 $y_+$ 的质量，依次得到 $$ q=p+(1-p)b,\qquad q=p+(1-p)a,\qquad q=pa,\qquad q=pb. $$ 这证明两个恒等链，且没有把两个有序混合乘积预先等同。 由 $0\le a,b,p\le1$，第一式给 $q\ge p$，第三式给 $q\le p$，所以 $q=p$。代回四式可得 $$ (1-p)b=0,\qquad (1-p)a=0,\qquad p(1-a)=0,\qquad p(1-b)=0. $$ 若 $0j. \end{cases} $$ If there is no adjacent $00$, set $Tx=Z(0)$. Thus the two alternating points $u=(10)^\infty$ and $v=(01)^\infty$ both map to $Z(0)$. No inverse of $T$ is assumed. Define $$ F(x)=\sum_{j\ge0}(-1)^{j+1}\alpha^{j+2}x_j,\qquad H(x)=[F(x)]\in\mathbb T=\mathbb R/\mathbb Z,\qquad e_s=[-s\phi]\quad(s\ge1). $$ The circle is oriented by increasing real coordinates. All subsequent fibre conditions quantify over the whole carrier $K$, including its non-eventually-zero points. Set $$ \mu_k(L)=\min\{m\in\mathbb N_0:\forall x,y\in K,\ q_m(x)=q_m(y)\Longrightarrow q_L(T^kx)=q_L(T^ky)\}, $$ with $\min\varnothing=+\infty$ until finiteness is proved. The carrier, phase, and successor conventions are those of [Z: `CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_ZECKENDORF.md`, Sections 371-375, revision `c4ef9baf3444a8e1992f6859eecc64e5faa6e0cb`](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/c4ef9baf3444a8e1992f6859eecc64e5faa6e0cb/docs/develop/theory/CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_ZECKENDORF.md). The actual-image factorization convention is [R: `RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md`, Definition 2.1 and theorem 2.2, revision `c74985438ae17d205509255934bbd3ecf1f94d71`](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/c74985438ae17d205509255934bbd3ecf1f94d71/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md). **theorem 24.2 (Exact uniform precision and finite sharpness).** For every $k\ge0$, $\mu_k(0)=0$. For every $k\ge0$, $L\ge1$, and $m\ge0$, the following are equivalent: $$ \forall x,y\in K,\quad q_m(x)=q_m(y)\Longrightarrow q_L(T^kx)=q_L(T^ky); $$ $$ \exists!\,f_{k,L,m}:X_m\longrightarrow X_L,\qquad q_L\circ T^k=f_{k,L,m}\circ q_m; $$ $$ G_m\ge G_L+k. $$ The same criterion holds if the fibre implication is required only for $x=Z(a)$ and $y=Z(b)$ with $a,b\in\mathbb N_0$. Whenever the factor exists, it is $$ f_{k,L,m}(p)=q_L\bigl(Z(V_m(p)+k)\bigr). $$ Consequently, $$ \boxed{\ \mu_k(L)=\min\{m\ge0:G_m\ge G_L+k\}\quad(L\ge1).\ } $$ For $J=\mu_k(L)$, there are distinct nonnegative integers $a,b0}=\{1,2,\ldots\}$，置 $$ G_0=1,\qquad G_1=2,\qquad G_{j+2}=G_{j+1}+G_j,\qquad \phi=\frac{1+\sqrt5}{2},\qquad \alpha=\phi^{-1}, $$ $$ K=\{x\in\{0,1\}^{\mathbb N}:x_jx_{j+1}=0\text{ 对所有 }j\},\qquad F(x)=\sum_{j\ge0}(-1)^{j+1}\alpha^{j+2}x_j,\qquad H(x)=[F(x)]\in\mathbb T=\mathbb R/\mathbb Z. $$ 记 $Z(n)$ 为以权 $G_j$ 展开的有限 Zeckendorf 规范字补零所得的点，$0_K=Z(0)$，并沿用定义16.0的闭图 $$ \Gamma=\overline{\{(Z(a),Z(b),Z(a+b)):a,b\in\mathbb N\}}^{\,K^3},\qquad \Gamma(x,y)=\{w:(x,y,w)\in\Gamma\}. $$ 对 $m\ge1$，记 $$ E_m=[-m\phi],\qquad E=\{E_m:m\ge1\},\qquad x_m^+=z_{E_m}^{+1},\qquad x_m^-=z_{E_m}^{-1}. $$ 这里的标记严格取定义16.3的相位正、负侧定向，不另行逐纤维交换；特别 $x_1^+=(10)^{\mathbb N}$、$x_1^-=(01)^{\mathbb N}$。[^rro25-graph] **假设 25.1（精确纤维与精确闭图）。** 本节采用下述显式前提。$H$ 满射，并且 $$ H^{-1}(\{E_m\})=\{x_m^+,x_m^-\},\qquad x_m^+\ne x_m^-, $$ $$ H^{-1}(\{\theta\})=\{k_\theta\}\quad(\theta\notin E),\qquad H^{-1}(\{[n\phi]\})=\{Z(n)\}\quad(n\in\mathbb N). $$ 特别 $k_0=0_K$。[^rro25-phase] 定义 $$ \mathcal S(x)= \begin{cases} \{+1\},&x=x_m^+\text{，某个 }m\ge1,\\ \{-1\},&x=x_m^-\text{，某个 }m\ge1,\\ \{-1,+1\},&H(x)\notin E. \end{cases} $$ 对 $\sigma=H(x)+H(y)$，要求准确等式 $$ \Gamma(x,y)= \begin{cases} \{k_\sigma\},&\sigma\notin E,\\ \{x_r^s:s\in\mathcal S(x)\cup\mathcal S(y)\},&\sigma=E_r. \end{cases} $$ 其中 $x_r^{+1}=x_r^+$、$x_r^{-1}=x_r^-$。这是定理16.4的完整输入纤维公式，而不是仅有 $H(w)=H(x)+H(y)$ 的相位条件。[^rro25-graph] **定义 25.2（归一化实有符号核与有限卷积）。** 令 $$ A=\mathbb R^{(K)} =\{a:K\to\mathbb R:\operatorname{supp}(a)\text{ 有限}\},\qquad \operatorname{supp}(a)=\{x:a(x)\ne0\}, $$ $$ \delta_x(w)= \begin{cases}1,&w=x,\\0,&w\ne x,\end{cases} \qquad \varepsilon(a)=\sum_{x\in K}a(x),\qquad A_\theta=\{a\in A:\operatorname{supp}(a)\subseteq H^{-1}(\{\theta\})\}. $$ 所有和均为有限和。$\varepsilon(a)=1$ 表示仿射系数归一化，不要求各系数非负。[^rro25-affine] 一个满足精确闭图支撑条件的归一化实有符号核，是映射 $P:K^2\to A$，满足 $$ \varepsilon(P_{x,y})=1,\qquad \operatorname{supp}(P_{x,y})\subseteq\Gamma(x,y). $$ 这里要求的是支撑包含于准确的 $\Gamma(x,y)$，不要求支撑等于该集合。定义双线性乘法 $$ a*b=\sum_{x,y\in K}a(x)b(y)P_{x,y}, \qquad \delta_x*\delta_y=P_{x,y}. $$ 称 $P$ 结合，若对每个有序三元组 $(x,y,z)\in K^3$， $$ (\delta_x*\delta_y)*\delta_z =\delta_x*(\delta_y*\delta_z). $$ 交换律和单位律不属于此定义。用 $0_A$ 区别于点 $0_K$。另记 $\mathbb R[\mathbb T]$ 为基向量 $b_\theta$ 的有限实形式和，乘法由 $$ b_\theta b_\rho=b_{\theta+\rho} $$ 双线性扩张，并定义线性映射 $H_\#:A\to\mathbb R[\mathbb T]$，使 $$ H_\#(\delta_x)=b_{H(x)}. $$ 此处的群代数只使用有限形式和。[^rro25-algebra] **定理 25.3（有限延拓、增广与相位分次）。** 定义25.2的乘法良定义，且 $$ \varepsilon(a*b)=\varepsilon(a)\varepsilon(b),\qquad A_\theta*A_\rho\subseteq A_{\theta+\rho},\qquad H_\#(a*b)=H_\#(a)H_\#(b). $$ $H_\#$ 满射。点质量有序三元组上的结合律等价于整个 $A$ 上的结合律。 **证明。** 对给定 $a,b$，仅有有限多个输入对参与求和，每个 $P_{x,y}$ 又有有限支撑。因此乘积的支撑包含于有限多个有限集的并。由各核的系数和为一， $$ \varepsilon(a*b) =\sum_{x,y}a(x)b(y)\varepsilon(P_{x,y}) =\sum_{x,y}a(x)b(y) =\varepsilon(a)\varepsilon(b). $$ 假设25.1使 $P_{x,y}$ 支撑于相位 $H(x)+H(y)$；这给分次包含，并给 $$ H_\#(P_{x,y})=b_{H(x)+H(y)}. $$ 双线性扩张即得乘法相容性。每个相位有原像，所以每个 $b_\theta$ 都在像中，满射成立。最后，任意 $a,b,c$ 的结合子等于有限和 $$ (a*b)*c-a*(b*c) =\sum_{x,y,z}a(x)b(y)c(z) \bigl((\delta_x*\delta_y)*\delta_z-\delta_x*(\delta_y*\delta_z)\bigr). $$ 因此点质量上的结合律推出全空间结合律，反向是限制。证毕。 **定理 25.4（零切片唯一化与有符号平均恒等式）。** 设 $P$ 结合，置 $e=\delta_{0_K}$。存在唯一一族 $\pi_\theta\in A_\theta$，使 $$ \varepsilon(\pi_\theta)=1,\qquad e*\delta_x=\delta_x*e=\pi_{H(x)}. $$ 此外 $\pi_0=e$、$e*e=e$，并且对 $a\in A_\theta$， $$ e*a=a*e=\varepsilon(a)\pi_\theta. $$ 对任意 $x,y\in K$ 及 $\theta,\rho\in\mathbb T$， $$ \pi_{H(x)}*\delta_y=\delta_x*\pi_{H(y)} =\pi_{H(x)+H(y)},\qquad \pi_\theta*\pi_\rho=\pi_{\theta+\rho}. $$ **证明。** $\phi$ 无理，故 $E_m$ 两两不同，且 $E_m+E_n=E_{m+n}$。置 $\tau=[1/2]$。$\tau\notin E$：否则 $m\phi$ 与一个半整数相等，矛盾。同样， $$ (E+\tau)\cap E=\varnothing, $$ 因为 $E_m+\tau=E_n$ 会使 $(n-m)\phi+1/2$ 为整数；$n=m$ 时不可能，$n\ne m$ 时则迫使 $\phi$ 有理。 令 $h=k_\tau$、$a_h=\delta_h$。相位零只有 $0_K$，故归一化与精确支撑给 $$ a_h*a_h=e. $$ 固定 $\theta=E_m$。对该纤维的任意 $x$，因 $\theta+\tau\notin E$， $$ a_h*\delta_x=\delta_x*a_h=\delta_{k_{\theta+\tau}}. $$ 所以 $$ e*\delta_x=a_h*(a_h*\delta_x) =a_h*\delta_{k_{\theta+\tau}}, $$ $$ \delta_x*e=(\delta_x*a_h)*a_h =\delta_{k_{\theta+\tau}}*a_h. $$ 左、右零切片各自在该相位纤维上恒定。非分裂纤维只有一个输入点，恒定性也成立。分别将这两个切片记为 $L_\theta,R_\theta$。它们均属于 $A_\theta$，且系数和均为一。 对 $H(x)=\theta$，结合律在 $(0_K,x,0_K)$ 上给 $$ L_\theta*e=e*R_\theta. $$ 逐项使用右切片恒定性，左边是 $\varepsilon(L_\theta)R_\theta=R_\theta$；逐项使用左切片恒定性，右边是 $\varepsilon(R_\theta)L_\theta=L_\theta$。因此二者相等，记为 $\pi_\theta$。此步只使用系数和为一，允许负系数。满射性保证每个 $\pi_\theta$ 都由这些切片唯一确定。对 $a\in A_\theta$ 逐项求和，即得所述平均恒等式。零相位单点性还给 $\pi_0=e$、$e*e=e$。 最后，若 $H(x)=\theta,H(y)=\rho$，则 $$ \pi_\theta*\delta_y =(e*\delta_x)*\delta_y =e*P_{x,y} =\pi_{\theta+\rho}, $$ $$ \delta_x*\pi_\rho =\delta_x*(\delta_y*e) =P_{x,y}*e =\pi_{\theta+\rho}. $$ 在第二槽对系数和为一的 $\pi_\rho$ 求和，得到 $\pi_\theta*\pi_\rho=\pi_{\theta+\rho}$。整个论证没有交换任意两个未知乘积。证毕。 **定理 25.5（所有实切片系数下的实际基）。** 任取实数序列 $(p_m)_{m\ge1}$，定义 $$ \pi_{E_m}=p_m\delta_{x_m^+}+(1-p_m)\delta_{x_m^-},\qquad \pi_\theta=\delta_{k_\theta}\quad(\theta\notin E),\qquad v_m=\delta_{x_m^+}-\delta_{x_m^-}. $$ 不论该序列是否来自结合核，集合 $$ \{\pi_\theta:\theta\in\mathbb T\}\ \cup\ \{v_m:m\ge1\} $$ 都是 $A$ 的代数基。准确地， $$ \delta_{x_m^+}=\pi_{E_m}+(1-p_m)v_m,\qquad \delta_{x_m^-}=\pi_{E_m}-p_m v_m. $$ 若 $$ V=\operatorname{span}_{\mathbb R}\{\pi_\theta:\theta\in\mathbb T\},\qquad J=\operatorname{span}_{\mathbb R}\{v_m:m\ge1\}, $$ 则 $A=V\oplus J$、$\ker H_\#=J$，且 $H_\#|_V$ 是到 $\mathbb R[\mathbb T]$ 的线性同构。 **证明。** 两个显示的逆变换逐项展开即可验证；非分裂纤维的点质量就是 $\pi_\theta$。因此每个点质量，进而每个有限支撑形式和，都有这些向量的有限线性展开。 为证线性无关，取任意有限线性关系 $$ \sum_\theta a_\theta\pi_\theta+\sum_m b_m v_m=0_A. $$ 按相位分组。每个相位分量的系数总和为 $a_\theta$，因为 $\varepsilon(\pi_\theta)=1$、$\varepsilon(v_m)=0$。故所有 $a_\theta=0$。余下的 $v_m$ 分属不同相位，而且各自有两个不同支撑点，其系数分别为一与负一，故所有 $b_m=0$。这证明基与直和，尤其包括 $p_m=0$ 或 $p_m=1$ 的情形，没有除以这些数。 又 $H_\#(\pi_\theta)=b_\theta$、$H_\#(v_m)=0$。利用已证的唯一有限展开，核恰为 $J$，在 $V$ 上的限制把一组基双射到另一组基，故为所述同构。证毕。 **定理 25.6（全部乘法自由度及同号强制方程）。** 对任意结合核，以定理25.4的切片唯一写成 $$ \pi_{E_m}=p_m\delta_{x_m^+}+(1-p_m)\delta_{x_m^-}. $$ 存在唯一实数 $c_{m,n}$，使其全部乘法在定理25.5的基上满足 $$ \pi_\theta*\pi_\rho=\pi_{\theta+\rho},\qquad \pi_\theta*v_m=v_m*\pi_\theta=0_A,\qquad v_m*v_n=c_{m,n}v_{m+n}. $$ 对所有正整数 $m,n,\ell$，有 $$ (1-p_m)(1-p_n)c_{m,n}=1-p_{m+n},\qquad p_mp_nc_{m,n}=-p_{m+n}, $$ $$ (1-p_m-p_n)c_{m,n}=1,\qquad c_{m,n}=\frac1{1-p_m-p_n}\ne0, $$ $$ p_{m+n}=\frac{p_mp_n}{p_m+p_n-1},\qquad c_{m,n}c_{m+n,\ell}=c_{n,\ell}c_{m,n+\ell}. $$ 特别 $p_m+p_n\ne1$、$p_m\ne1/2$，而且乘法必定交换。 **证明。** 非分裂切片由单点性唯一确定；分裂切片由总和一唯一确定 $p_m$。定理25.4使 $\pi_\theta$ 与同一相位的两个点质量相乘时得到相同结果，两者相减给两侧湮灭恒等式。 由相位分次，$v_m*v_n$ 属于 $A_{E_{m+n}}$；其系数和为 $\varepsilon(v_m)\varepsilon(v_n)=0$。该二点纤维上系数和为零的空间恰为 $\mathbb Rv_{m+n}$，所以 $c_{m,n}$ 存在且唯一。 精确闭图在两个同号分裂输入处给单点支撑，因此归一化迫使 $$ \delta_{x_m^+}*\delta_{x_n^+}=\delta_{x_{m+n}^+},\qquad \delta_{x_m^-}*\delta_{x_n^-}=\delta_{x_{m+n}^-}. $$ 将定理25.5的逆变换代入，分别得到 $$ \pi_{E_{m+n}}+(1-p_m)(1-p_n)c_{m,n}v_{m+n} =\pi_{E_{m+n}}+(1-p_{m+n})v_{m+n}, $$ $$ \pi_{E_{m+n}}+p_mp_nc_{m,n}v_{m+n} =\pi_{E_{m+n}}-p_{m+n}v_{m+n}. $$ 比较非零向量 $v_{m+n}$ 的系数即得前两个方程。第一个方程减去第二个方程，得到 $$ \bigl((1-p_m)(1-p_n)-p_mp_n\bigr)c_{m,n}=1, $$ 即 $(1-p_m-p_n)c_{m,n}=1$。因此分母和 $c_{m,n}$ 都不为零，所列递推随之成立；取 $n=m$ 排除每个 $p_m=1/2$。 定理25.3允许将结合律用于 $v_m,v_n,v_\ell$。比较非零向量 $v_{m+n+\ell}$ 的系数，得到余循环等式。最后，$c_{m,n}$ 的已证公式关于 $m,n$ 对称；相位基上的乘法交换，交叉乘积两侧都为零。因此所有基向量两两交换，双线性扩张给整个 $A$ 的交换律。证毕。 **定理 25.7（包括退化项的参数穷尽）。** 定理25.6的系数必且仅可能落入下列参数形式之一： $$ p_m=\frac{t^m}{t^m-1},\qquad c_{m,n}=-\frac{(t^m-1)(t^n-1)}{t^{m+n}-1} \quad\text{，某个 }t\in\mathbb R\setminus\{-1,1\}, $$ 或 $$ p_m=1,\qquad c_{m,n}=-1\quad\text{ 对所有 }m,n\ge1. $$ 第一种形式中的 $t=0$ 正是 $p_m=0,c_{m,n}=1$ 的情形。任何一项 $p_m=0$ 都迫使全部项为零；任何一项 $p_m=1$ 都迫使全部项为一。其余情形的每一项都避开零和一。 **证明。** 先作必要性分类。若 $p_1=0$，由 $p_mp_1c_{m,1}=-p_{m+1}$ 得 $p_{m+1}=0$，所以全部项为零，再由 $(1-p_m-p_n)c_{m,n}=1$ 得 $c_{m,n}=1$。若 $p_1=1$，由 $(1-p_m)(1-p_1)c_{m,1}=1-p_{m+1}$ 得全部项为一，并得 $c_{m,n}=-1$。 若 $p_1\notin\{0,1\}$，用 $$ p_{m+1}=-p_mp_1c_{m,1},\qquad 1-p_{m+1}=(1-p_m)(1-p_1)c_{m,1} $$ 归纳。$c_{m,1}\ne0$ 保证每一步的两个右端都非零。因此所有 $p_m$ 都不等于零或一。这也排除了在较大指标才出现退化项的可能性。 现在仅在这一非退化情形定义 $$ t_m=-\frac{p_m}{1-p_m}. $$ 两个强制方程及各个非零分母给 $$ t_{m+n} =\frac{p_mp_nc_{m,n}}{(1-p_m)(1-p_n)c_{m,n}} =t_mt_n. $$ 置 $t=t_1$，对 $m$ 归纳得 $t_m=t^m$。每个 $t_m$ 非零，而且 $t_m=1$ 会给 $-p_m=1-p_m$，矛盾。因此 $t^m\ne1$。特别 $t\ne1$，且 $t=-1$ 会使 $t_2=1$，也被排除。解出 $p_m$ 得 $$ p_m=\frac{t^m}{t^m-1}. $$ 代入 $c_{m,n}=1/(1-p_m-p_n)$，得到 $$ 1-p_m-p_n =-\frac{t^{m+n}-1}{(t^m-1)(t^n-1)}, $$ 从而得到所列 $c_{m,n}$。 反向核对这些系数方程本身。实数 $t\ne\pm1$ 的任意正整数次幂均不等于一：奇数次幂等于一只能有 $t=1$；偶数次幂等于一只能有 $t=\pm1$。所以全部分母非零。令 $A_m=t^m-1$，则 $$ 1-p_m=-\frac1{A_m},\qquad c_{m,n}=-\frac{A_mA_n}{A_{m+n}}. $$ 直接相乘给 $$ (1-p_m)(1-p_n)c_{m,n}=-\frac1{A_{m+n}}=1-p_{m+n}, $$ $$ p_mp_nc_{m,n}=-\frac{t^{m+n}}{A_{m+n}}=-p_{m+n}. $$ 余循环的两个乘积都等于 $$ \frac{A_mA_nA_\ell}{A_{m+n+\ell}}. $$ 这些计算包括 $t=0$，因为全部指标严格为正，不涉及零次幂。对于另列的常值 $p_m=1,c_{m,n}=-1$，两个强制方程分别为零等于零、负一等于负一，余循环两边均为一。故列出的参数也满足全部系数方程；其确实给出全载体核将在定理25.9证明。证毕。 **定义 25.8（全部候选核的显式构造）。** 取参数集合 $$ \Lambda=(\mathbb R\setminus\{-1,1\})\sqcup\{\infty\}. $$ $\infty$ 是另加的形式符号，不表示任何极限。对有限参数 $t$，采用定理25.7的 $p_m,c_{m,n}$；对参数 $\infty$，另行定义 $p_m=1,c_{m,n}=-1$。由这些系数和定理25.5组成实际基，并在该基上定义 $$ \pi_\theta*_t\pi_\rho=\pi_{\theta+\rho},\qquad \pi_\theta*_t v_m=v_m*_t\pi_\theta=0_A,\qquad v_m*_t v_n=c_{m,n}v_{m+n}. $$ 双线性扩张后，定义 $$ P^{(t)}_{x,y}=\delta_x*_t\delta_y. $$ 每个参数的 $\pi_\theta,p_m,c_{m,n}$ 均取该参数自己的值。 **定理 25.9（全载体构造、全部三元组与精确同号支撑）。** 对每个 $t\in\Lambda$，定义25.8给出一个归一化实有符号结合核。其支撑包含于准确的 $\Gamma(x,y)$，而且 $$ P^{(t)}_{Z(a),Z(b)}=\delta_{Z(a+b)}\qquad(a,b\in\mathbb N). $$ 若至少一个输入非分裂，则 $$ P^{(t)}_{x,y}=\pi_{H(x)+H(y)}. $$ 若两个输入为分裂点，则同号输入准确地给出 $$ P^{(t)}_{x_m^+,x_n^+}=\delta_{x_{m+n}^+},\qquad P^{(t)}_{x_m^-,x_n^-}=\delta_{x_{m+n}^-}. $$ 对有限参数，其两个有序异号公式为 $$ P^{(t)}_{x_m^+,x_n^-} =\frac{t^n(t^m-1)}{t^{m+n}-1}\delta_{x_{m+n}^+} +\frac{t^n-1}{t^{m+n}-1}\delta_{x_{m+n}^-}, $$ $$ P^{(t)}_{x_m^-,x_n^+} =\frac{t^m(t^n-1)}{t^{m+n}-1}\delta_{x_{m+n}^+} +\frac{t^m-1}{t^{m+n}-1}\delta_{x_{m+n}^-}. $$ 对形式参数 $\infty$，两个异号输出均为 $\delta_{x_{m+n}^+}$。 **证明。** 定理25.5保证构造所用的确实是一组基，每个乘法规则的输出都是有限形式和，所以双线性乘法良定义。$\varepsilon(\pi_\theta)=1$、$\varepsilon(v_m)=0$。逐对检查基向量可见 $$ \varepsilon(u*_t v)=\varepsilon(u)\varepsilon(v), $$ 故此恒等式由双线性对所有形式和成立，特别每个点质量乘积的系数和为一。 逐类验证结合律。三个相位基向量的两个括号均给 $\pi_{\theta+\rho+\sigma}$。三个差分基向量的两个括号分别为 $$ c_{m,n}c_{m+n,\ell}v_{m+n+\ell},\qquad c_{n,\ell}c_{m,n+\ell}v_{m+n+\ell}, $$ 由定理25.7中已经直接计算的余循环相等；有限参数的共同标量为 $$ \frac{(t^m-1)(t^n-1)(t^\ell-1)}{t^{m+n+\ell}-1}, $$ 形式参数 $\infty$ 的共同标量为一。其余六种有序类型逐一为 $$ (\pi_\theta*_t\pi_\rho)*_t v_m =\pi_\theta*_t(\pi_\rho*_t v_m)=0_A, $$ $$ (\pi_\theta*_t v_m)*_t\pi_\rho =\pi_\theta*_t(v_m*_t\pi_\rho)=0_A, $$ $$ (v_m*_t\pi_\theta)*_t\pi_\rho =v_m*_t(\pi_\theta*_t\pi_\rho)=0_A, $$ $$ (\pi_\theta*_t v_m)*_t v_n =\pi_\theta*_t(v_m*_t v_n)=0_A, $$ $$ (v_m*_t\pi_\theta)*_t v_n =v_m*_t(\pi_\theta*_t v_n)=0_A, $$ $$ (v_m*_t v_n)*_t\pi_\theta =v_m*_t(v_n*_t\pi_\theta)=0_A. $$ 每个等式均由混合乘积为零及差分乘积仍为差分倍数得到。因此全部基三元组满足结合律；有限三线性扩张覆盖整个 $A$，当然也覆盖全部点质量有序三元组。 还须验证比相位相容更强的实际支撑。若至少一个输入非分裂，其点质量为某个 $\pi_\theta$；另一个输入为 $\pi_\rho$ 或 $\pi_\rho$ 加一个差分倍数，乘积遂为 $\pi_{\theta+\rho}$。和相位非分裂时，这是唯一允许点的点质量；和相位分裂时，非分裂输入的符号集含两个符号，因此 $\Gamma(x,y)$ 允许两个分支，$\pi_{\theta+\rho}$ 的支撑合法。 若两个输入分别位于 $E_m,E_n$，和相位必为 $E_{m+n}$。两个同号乘积展开为 $$ \pi_{E_{m+n}}+(1-p_m)(1-p_n)c_{m,n}v_{m+n} =\pi_{E_{m+n}}+(1-p_{m+n})v_{m+n} =\delta_{x_{m+n}^+}, $$ $$ \pi_{E_{m+n}}+p_mp_nc_{m,n}v_{m+n} =\pi_{E_{m+n}}-p_{m+n}v_{m+n} =\delta_{x_{m+n}^-}. $$ 这证明同号处的反号系数准确为零，并非只检查整个二点相位纤维。 对于输入 $(x_m^+,x_n^-)$，展开为 $$ \pi_{E_{m+n}}-(1-p_m)p_nc_{m,n}v_{m+n}. $$ 其正支系数利用 $p_{m+n}=-p_mp_nc_{m,n}$ 化为 $-p_nc_{m,n}$；有限参数下这等于 $$ \frac{t^n(t^m-1)}{t^{m+n}-1}. $$ 负支系数是一减正支系数，等于 $(t^n-1)/(t^{m+n}-1)$。另一个有序异号公式同理由展开 $\pi_{E_{m+n}}-p_m(1-p_n)c_{m,n}v_{m+n}$ 得到。二者的两个系数都相加为一，且异号输入允许两个分支，所以即使有负系数，其支撑仍合法。形式参数 $\infty$ 下，$p_m=p_n=1$ 使两个异号展开中的差分修正均为零，$\pi_{E_{m+n}}=\delta_{x_{m+n}^+}$。 这些情况穷尽输入对，完成精确支撑验证。最后，自然数相位及其和相位都非分裂，假设25.1使相应唯一点为 $Z(a),Z(b),Z(a+b)$，从而得到自然数核心等式。证毕。 **定理 25.10（完全分类及单个切片系数参数）。** 在假设25.1下，映射 $$ t\longmapsto P^{(t)} $$ 是 $\Lambda$ 到全部归一化实有符号结合核的双射。等价地，全部核由一个实数 $$ q=P_{0_K,x_1^+}(x_1^+)\in\mathbb R\setminus\{1/2\} $$ 唯一参数化。两种参数的转换为 $$ q=\frac{t}{t-1}\quad(t\ne\infty),\qquad q=1\quad(t=\infty), $$ $$ t=\frac{q}{q-1}\quad(q\ne1),\qquad t=\infty\quad(q=1). $$ 若置 $D_m(q)=q^m-(q-1)^m$，则所有情形统一为 $$ p_m=\frac{q^m}{D_m(q)},\qquad c_{m,n}=-\frac{D_m(q)D_n(q)}{D_{m+n}(q)}. $$ **证明。** 对任意给定核，定理25.4从其实际零切片唯一确定全部 $\pi_\theta$，定理25.6唯一确定其余基乘法系数，并证明不存在额外混合项。定理25.7穷尽这些系数：全零情形对应 $t=0$，全一情形对应 $\infty$，非退化情形对应唯一的 $t=-p_1/(1-p_1)$。因此在定理25.5的实际基上，原乘法与定义25.8的对应乘法完全相同；双线性和张成性使它们在全部点质量上相同。这证明满射，不留下额外的非交换或零余循环分支。 反向，对于构造出的核，由 $\delta_{0_K}=\pi_0$ 和混合湮灭式， $$ P^{(t)}_{0_K,x_m^+}=P^{(t)}_{0_K,x_m^-}=\pi_{E_m}. $$ 所以零切片读回的确实是所指定的 $p_m$。特别读回的 $q=p_1$ 满足所列转换式；有限参数的 $q$ 不可能等于一，而 $q\ne1$ 时转换唯一可逆，故参数映射单射。$q=1/2$ 已由定理25.6的倍增方程排除；任何其他 $q$，若 $q=1$ 则对应 $\infty$，否则 $q/(q-1)$ 既不等于一，也只有在 $q=1/2$ 时才等于负一。因此每个允许的 $q$ 都有对应核。 检查统一公式的分母。若奇数 $m$ 满足 $q^m=(q-1)^m$，实数奇次幂的单射性给 $q=q-1$，不可能。若偶数 $m$ 满足该等式，则 $|q|=|q-1|$，平方后得 $q=1/2$，也被排除。因此每个 $D_m(q)\ne0$。当 $q\ne1$ 时，将 $t=q/(q-1)$ 代入定理25.7公式并约去 $(q-1)$ 的幂，得到所列统一式。当 $q=1$ 时，$D_m(1)=1$，统一式直接给 $p_m=1,c_{m,n}=-1$，与另行定义的形式参数核相同，不使用极限。证毕。 **定理 25.11（余边界、代数直和与单位障碍）。** 对有限参数定义 $d_m=1-t^m$，对形式参数 $\infty$ 定义 $d_m=-1$。则 $d_m\ne0$，并且 $$ c_{m,n}=\frac{d_md_n}{d_{m+n}}. $$ 因此这是正整数加法半群上的乘法余边界；这里该术语指所显示的公式。[^rro25-cocycle] 置 $u_m=v_m/d_m$，则 $$ u_m*_t u_n=u_{m+n}. $$ 作为不要求有单位的实代数，有同构 $$ (A,*_t)\cong\mathbb R[\mathbb T]\times X\mathbb R[X], $$ 其中第二因子为常数项为零的实多项式代数，两个因子的交叉乘积为零。整个 $A$ 不存在左单位或右单位，尽管 $\delta_{0_K}$ 是相位子代数 $V$ 的单位。 **证明。** 有限参数的公式由 $$ \frac{(1-t^m)(1-t^n)}{1-t^{m+n}} =-\frac{(t^m-1)(t^n-1)}{t^{m+n}-1} $$ 得到；形式参数下 $(-1)(-1)/(-1)=-1$。全部 $d_m$ 非零已由参数域保证。故 $$ u_m*_t u_n =\frac{c_{m,n}}{d_md_n}v_{m+n} =\frac{v_{m+n}}{d_{m+n}} =u_{m+n}. $$ 定理25.5的基经各个非零标量重标度后，$\{\pi_\theta\}\cup\{u_m\}$ 仍为基。定义线性映射 $$ \pi_\theta\longmapsto(b_\theta,0),\qquad u_m\longmapsto(0,X^m). $$ 右边也是所列直积的基：两个坐标均只涉及有限形式和。因此该映射双射。相位基的乘法是群加法，正整数基的乘法是指数相加，而交叉乘积两侧都为零；逐对检查基向量，便知双射保持乘法。这也直接证明 $V,J$ 都是双侧理想，并给出代数直和，而非仅仅向量空间直和。 若 $a\in A$，将它作唯一有限展开 $$ a=\sum_\theta a_\theta\pi_\theta+\sum_{n\ge1}b_n v_n. $$ 则 $$ a*_t v_1=\sum_{n\ge1}b_nc_{n,1}v_{n+1},\qquad v_1*_t a=\sum_{n\ge1}b_nc_{1,n}v_{n+1}. $$ 两者在基向量 $v_1$ 上的系数都为零，不可能等于 $v_1$。因此不存在任何左单位或右单位。另一方面 $\pi_0=\delta_{0_K}$ 与每个 $\pi_\theta$ 相乘给 $\pi_\theta$，确是 $V$ 的单位。上述抽象代数同构没有要求保持每个 $\delta_x$；定理25.10是在固定点质量基上的核相等分类，二者不混同。证毕。 **定理 25.12（非负系数边界恰为两个确定性核）。** 对本节的任意结合核，下列条件等价：所有 $P_{x,y}(w)$ 非负；每个 $P_{x,y}$ 都是一个点质量；参数属于 $\{0,\infty\}$。参数零的核在分裂和相位处，只有两个正号分裂输入的输出为正支，其余输入输出负支。形式参数 $\infty$ 的核在分裂和相位处，只有两个负号分裂输入的输出为负支，其余输入输出正支。和相位非分裂时二者都输出其唯一点。 **证明。** 假设全部点质量乘积的系数非负。由实际零切片 $P_{0_K,x_m^+}=\pi_{E_m}$，每个 $p_m$ 都属于 $[0,1]$。令 $q=p_1$。若 $00, $$ 也矛盾。$q=1/2$ 对任何结合核均不可能。因此 $q=0$ 或 $q=1$，分别对应参数零与形式参数 $\infty$。 当 $t=0$ 时，所有 $\pi_{E_m}=\delta_{x_m^-}$。定理25.9中同号正输入输出正支，同号负输入输出负支；两个异号公式在所有正指标处均给正支系数零、负支系数一；含非分裂输入的分裂和相位输出为其负支切片。这正是所述默认负支规则。形式参数 $\infty$ 时，切片及异号输出均为正支，同号负输入仍被强制为负支，得到所述默认正支规则。因此两个参数都给点质量核，进而给非负系数核。任何点质量核显然非负，三者等价。 对其他参数，$q\notin\{0,1\}$，所以 $P_{0_K,x_1^+}$ 已有两个非零系数，不是点质量。若 $q$ 在 $[0,1]$ 之外，该切片直接含负系数；若 $q$ 在其内部，则上面的倍增计算说明第二个分裂零切片含负系数。因此其余核确实需要允许负系数。证毕。 **定理 25.13（一个显式非 Dirac 核）。** 参数 $t=2$ 给出全 $K$ 上的归一化实有符号结合核，并满足 $$ P^{(2)}_{0_K,x_1^+} =P^{(2)}_{0_K,x_1^-} =2\delta_{x_1^+}-\delta_{x_1^-}, $$ $$ P^{(2)}_{x_1^+,x_1^+}=\delta_{x_2^+},\qquad P^{(2)}_{x_1^-,x_1^-}=\delta_{x_2^-}, $$ $$ P^{(2)}_{x_1^+,x_1^-} =P^{(2)}_{x_1^-,x_1^+} =\frac23\delta_{x_2^+}+\frac13\delta_{x_2^-}. $$ 因此精确闭图支撑与结合性并不单独强制 Dirac 输出，而附加系数非负性恰将全部核缩减为定理25.12的两个确定性核。 **证明。** 参数二避开禁止值，故定理25.9已经证明其在全载体上的存在、结合性和精确支撑。直接代入得 $$ p_1=2,\qquad p_2=\frac43,\qquad c_{1,1}=-\frac13. $$ 零切片遂为显示的两个系数，其和是 $2-1=1$，且负支系数为负一，所以不是点质量，也不是非负系数组合。同号公式直接来自定理25.9中已经逐项证明的强制支撑恒等式；异号公式代入 $m=n=1,t=2$ 给 $2/3$ 与 $1/3$。最后的非负性结论由定理25.12的参数穷尽推出。证毕。 [^rro25-graph]: *RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION*，固定提交 c74985438ae17d205509255934bbd3ecf1f94d71，定义16.0、16.3及定理16.4（包括单侧逼近与共同输入序列的完整证明），[固定文本](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/c74985438ae17d205509255934bbd3ecf1f94d71/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)。 [^rro25-phase]: *CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_ZECKENDORF*，固定提交 c4ef9baf3444a8e1992f6859eecc64e5faa6e0cb，第371—372节，特别定理371.2、372.2—372.4，[固定文本](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/c4ef9baf3444a8e1992f6859eecc64e5faa6e0cb/docs/develop/theory/CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_ZECKENDORF.md)。 [^rro25-affine]: Mathlib contributors, *Affine combinations*, 关于系数和为一的有限仿射组合及其与基点无关性的定义和恒等式，[数学文档](https://leanprover-community.github.io/mathlib4_docs/Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.html)。 [^rro25-algebra]: Mathlib contributors, *Monoid algebras*, 关于有限形式线性组合、加法群代数及有限卷积的定义，[数学文档](https://leanprover-community.github.io/mathlib4_docs/Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Defs.html)。 [^rro25-cocycle]: Laurent Rigal and Pablo Zadunaisky, *Twisted semigroup algebras*, arXiv:1406.2985v2 (2014), §3.1，Definition 3.1.1、Remark 3.1.2及 Lemma 3.1.3；乘法余循环与余边界的术语参照，[正文](https://arxiv.org/html/1406.2985v2#S3.SS1)。 ## 追加锚（本行以下为增补区） ## 26. Weakly almost periodic Zeckendorf observations and the phase quotient **definition 26.0 (Carrier, observations, and one-sided compactness classes).** Put $$ \mathbb N_0=\{0,1,\ldots\},\qquad G_0=1,\quad G_1=2,\quad G_{\ell+2}=G_{\ell+1}+G_\ell,\qquad \phi=\frac{1+\sqrt5}{2},\quad \alpha=\phi^{-1}. $$ Use the low-to-high digit carrier and its metric $$ K=\{x\in\{0,1\}^{\mathbb N_0}:x_jx_{j+1}=0\text{ for every }j\},\qquad d_K(x,y)=\sum_{j\ge0}2^{-j-1}|x_j-y_j|. $$ Here $Z(n)$ is the unique finite legal Zeckendorf expansion of $n$, padded by zeros, so that $n=\sum_jG_jZ(n)_j$. Write $$ \mathbb T=\mathbb R/\mathbb Z,\qquad \rho([s],[t])=\min_{k\in\mathbb Z}|s-t-k|,\qquad F(x)=\sum_{j\ge0}(-1)^{j+1}\alpha^{j+2}x_j,\qquad H(x)=[F(x)]. $$ These are the carrier and phase conventions of Definition 16.0 and the Zeckendorf volume, Definition 371.1. ([RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/c74985438ae17d205509255934bbd3ecf1f94d71/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md), Definition 16.0, pinned commit `c74985438ae17d205509255934bbd3ecf1f94d71`; [CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_ZECKENDORF.md](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/c4ef9baf3444a8e1992f6859eecc64e5faa6e0cb/docs/develop/theory/CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_ZECKENDORF.md), Definition 371.1, pinned commit `c4ef9baf3444a8e1992f6859eecc64e5faa6e0cb`.) Fix a scalar field $\mathbb F\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$. Let $$ B_{\mathbb F}=\ell^\infty(\mathbb N_0,\mathbb F),\qquad (S^ka)(n)=a(n+k),\qquad \mathcal O(a)=\{S^ka:k\in\mathbb N_0\}. $$ A sequence $a\in B_{\mathbb F}$ is AP when $\mathcal O(a)$ has compact norm closure. It is WAP when $\mathcal O(a)$ has compact closure for the Banach weak topology $\sigma(B_{\mathbb F},B_{\mathbb F}^*)$, where the dual is taken over $\mathbb F$. WAP does not mean relative compactness for pointwise convergence or for $\sigma(\ell^\infty,\ell^1)$. For $f\in C(K,\mathbb F)$ define $a_f(n)=f(Z(n))$. All translation classes in this section use nonnegative translates, including the zeroth translate. **Assumption 26.1 (Established structure of the fixed carrier).** Use the following published carrier facts. The space $K$ is compact, $Z(\mathbb N_0)$ is dense, and $H$ is a continuous surjection satisfying $$ H(Z(n))=[n\phi]. $$ Its nonsingleton fibers are exactly $$ E_m=[-m\phi],\qquad H^{-1}(\{E_m\})=\{x_m^-,x_m^+\}\quad(m\ge1). $$ Every other fiber is a singleton; in particular $H^{-1}(\{[n\phi]\})=\{Z(n)\}$ for $n\ge0$. The orientation is $$ x_1^+=u=(10)^\infty,\qquad x_1^-=v=(01)^\infty. $$ For each $m$, if $\epsilon_k\to0$ with a fixed strict sign and $H(y_k)=E_m+[\epsilon_k]$, then $$ y_k\longrightarrow x_m^+\ \text{if }\epsilon_k>0,\qquad y_k\longrightarrow x_m^-\ \text{if }\epsilon_k<0. $$ This holds for arbitrary choices of the lifts $y_k$, including lifts over other split phases. There is a continuous map $T:K\to K$ with $$ TZ(n)=Z(n+1),\qquad H(Tx)=H(x)+[\phi],\qquad Tu=Tv=Z(0). $$ These facts are the conclusions of the Zeckendorf volume, theorems 371.2, 372.2–372.4, 375.2–375.3, 381.2, and 382.1, with the oriented labels of Definition 381.1 and Definition 16.3. ([CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_ZECKENDORF.md](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/c4ef9baf3444a8e1992f6859eecc64e5faa6e0cb/docs/develop/theory/CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_ZECKENDORF.md), sections 371–375 and 381–382, specifically theorems 371.2, 372.2–372.4, 375.2–375.3, 381.2 and 382.1 and Definition 381.1, pinned commit `c4ef9baf3444a8e1992f6859eecc64e5faa6e0cb`; [RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/c74985438ae17d205509255934bbd3ecf1f94d71/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md), Definition 16.3, pinned commit `c74985438ae17d205509255934bbd3ecf1f94d71`.) **theorem 26.2 (Explicit full-state double limits at every split phase).** For $m\ge1$ define $$ r_m=\min\{r\in\mathbb N_0:G_{2r+1}\ge m\},\qquad A_i^{(m)}=G_{2(i+r_m)+1}-m,\qquad B_j=G_{2j}\quad(i,j\ge0). $$ These are nonnegative integer inputs. For every fixed $i$ and every fixed $j$, respectively, $$ \lim_{j\to\infty}Z(A_i^{(m)}+B_j)=Z(A_i^{(m)}),\qquad \lim_{i\to\infty}Z(A_i^{(m)}+B_j)=T^{B_j}x_m^+. $$ Both iterated limits exist in the full space $K$, and their orientations are $$ \lim_{i\to\infty}\lim_{j\to\infty}Z(A_i^{(m)}+B_j)=x_m^+,\qquad \lim_{j\to\infty}\lim_{i\to\infty}Z(A_i^{(m)}+B_j)=x_m^-. $$ Consequently every $f\in C(K,\mathbb F)$ satisfies $$ \lim_{i\to\infty}\lim_{j\to\infty}a_f(A_i^{(m)}+B_j)=f(x_m^+),\qquad \lim_{j\to\infty}\lim_{i\to\infty}a_f(A_i^{(m)}+B_j)=f(x_m^-). $$ The full-lift convergence used here is the arbitrary-lift statement of theorem 382.1, not merely a lowest-digit assertion. ([CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_ZECKENDORF.md](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/c4ef9baf3444a8e1992f6859eecc64e5faa6e0cb/docs/develop/theory/CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_ZECKENDORF.md), theorem 382.1, including its arbitrary-lift one-sided convergence statement and proof, pinned commit `c4ef9baf3444a8e1992f6859eecc64e5faa6e0cb`.) **Proof.** The positive Fibonacci recurrence makes $G_\ell$ strictly increasing and unbounded, so $r_m$ exists and $A_i^{(m)}\ge0$. Also $B_j\ge1$. First establish the exact signed error $$ \phi G_\ell-G_{\ell+1}=(-1)^{\ell+1}\alpha^{\ell+2}. $$ The left-hand sequence satisfies the Fibonacci recurrence. The right-hand sequence does also, because $1-\alpha=\alpha^2$. Their initial values agree: $$ \phi-2=-\alpha^2,\qquad 2\phi-3=\alpha^3. $$ Induction therefore proves the identity. Taking classes modulo one gives $$ H(Z(A_i^{(m)}))=E_m+[\alpha^{2(i+r_m)+3}],\qquad H(Z(B_j))=[-\alpha^{2j+2}]. $$ The first offset is strictly positive and tends to zero. Assumption 26.1 therefore yields $$ Z(A_i^{(m)})\longrightarrow x_m^+. $$ On the other hand $Z(B_j)$ has its only nonzero digit at position $2j$. Thus every fixed initial segment is eventually zero, and $$ Z(B_j)\longrightarrow Z(0). $$ Induction from $TZ(n)=Z(n+1)$ gives $T^hZ(n)=Z(n+h)$ for every nonnegative integer $h$. Fixing $i$ and using continuity of the single fixed iterate $T^{A_i^{(m)}}$ proves $$ Z(A_i^{(m)}+B_j)=T^{A_i^{(m)}}Z(B_j) \longrightarrow T^{A_i^{(m)}}Z(0)=Z(A_i^{(m)}). $$ Fixing $j$ instead and using the single fixed iterate $T^{B_j}$ proves $$ Z(A_i^{(m)}+B_j)=T^{B_j}Z(A_i^{(m)}) \longrightarrow T^{B_j}x_m^+. $$ Taking the outer limit in the first identity already gives $x_m^+$. For the second outer limit, the exact forward-iterate rule is $$ T^hx_m^\pm= \begin{cases} x_{m-h}^\pm,&0\le h0$ tending to zero. They converge to $x_m^\pm$. Their images under $T^h$ have phases $E_{m-h}\pm[\epsilon_k]$, and hence converge to $x_{m-h}^\pm$. Continuity and uniqueness of limits give the first case. For $h\ge m$, semiconjugacy gives the phase $[(h-m)\phi]$, whose fiber is the singleton $\{Z(h-m)\}$, proving the second case. Since $B_j\to\infty$, eventually $$ T^{B_j}x_m^+=Z(B_j-m). $$ For those indices, $B_j-m$ is a nonnegative integer and $$ H(Z(B_j-m))=E_m+[-\alpha^{2j+2}]. $$ These phases approach from the strict negative side. The arbitrary-lift convergence in Assumption 26.1 gives $Z(B_j-m)\to x_m^-$. The finitely many indices with $B_j0$, uniform continuity of $g$ supplies $\delta>0$ such that $\rho(s,t)<\delta$ implies $|g(s)-g(t)|<\epsilon$. Translation invariance of $\rho$ then gives $$ \rho(\theta,\eta)<\delta \quad\Longrightarrow\quad \|\Phi_g(\theta)-\Phi_g(\eta)\|_\infty\le\epsilon. $$ Hence $\Phi_g$ is norm-continuous, and its image is norm-compact. Since $$ S^ka_f=\Phi_g([k\phi])\qquad(k\ge0), $$ this compact image contains the translation orbit and its norm closure. Therefore $a_f$ is AP. Finally, if an orbit has compact norm closure $C$, the identity from $C$ with its norm topology to $B_{\mathbb F}$ with its weak topology is continuous. Its image is weakly compact and, since the weak topology is Hausdorff, weakly closed. It contains the weak closure of the orbit, which is consequently compact. Thus AP implies WAP and the four conditions are equivalent. Everything in the argument holds separately over $\mathbb R$ and $\mathbb C$. In the complex case, equality of the two values of $f$ on every split fiber is equivalent to those equalities for both $\operatorname{Re}f$ and $\operatorname{Im}f$. Applying the already proved real and complex classifications establishes the coordinate assertions. No minimal-flow theorem or invertibility of $T$ is required. $\square$ **theorem 26.5 (Finite Hausdorff observations and the required scalar coordinates).** Let $Y$ be Hausdorff and $q:K\to Y$ continuous with finite image $D=q(K)$. Let $(\psi_\lambda:D\to\mathbb F)_{\lambda\in\Lambda}$ jointly separate points of $D$, meaning that distinct points have different values for at least one coordinate. Then $$ \bigl(\psi_\lambda(q(Z(n)))\bigr)_{n\ge0} \text{ is WAP for every }\lambda \quad\Longleftrightarrow\quad q\text{ is constant}. $$ The same equivalence holds with AP in place of WAP. A single injective real-valued labelling of $D$ suffices. **Proof.** A finite Hausdorff space is discrete: each singleton is closed, and its complement, being a finite union of closed singletons, is also closed. Thus every map $\psi_\lambda$ on $D$ is continuous. The co-restriction $q:K\to D$ is continuous, so $f_\lambda=\psi_\lambda\circ q$ belongs to $C(K,\mathbb F)$. Under the WAP hypothesis, theorem 26.4 gives $f_\lambda=g_\lambda\circ H$ with $g_\lambda$ continuous. Since $H$ is onto, $$ g_\lambda(\mathbb T)=f_\lambda(K)=\psi_\lambda(D), $$ which is finite. The circle is connected, being the continuous image of the connected interval $[0,1]$. Its continuous image under $g_\lambda$ is therefore connected. A finite Hausdorff connected space has only one point, so every $f_\lambda$ is constant. If $q(x)\ne q(y)$, point separation would give a coordinate with $f_\lambda(x)\ne f_\lambda(y)$, a contradiction. Therefore $q$ is constant. The converse follows because a constant sequence has a singleton translation orbit. Theorem 26.4 identifies AP and WAP for each of these continuous scalar observations. To obtain one scalar coordinate, assign distinct real numbers to the finitely many elements of $D$. This is a continuous injection on $D$; no scalar embedding of all of $Y$ is needed. If coordinates are instead prescribed as continuous functions on $Y$, their restrictions must jointly separate $D$. Hausdorffness alone is not being used to assert such a global scalar representation. Both qualifications are necessary. Without separation, take the nonconstant continuous observation $q(x)=x_0$ but only the constant scalar coordinate: that coordinate gives a constant sequence. Without continuity on $K$, take $$ q_0(x)=\mathbf 1_{\{u\}}(x). $$ It is nonconstant, while $q_0(Z(n))=0$ for every $n$, because $u$ is not a finite padded word. Moreover $Z(A_i^{(1)})\to u$ while all those values are zero and $q_0(u)=1$, proving the discontinuity. Thus no constancy conclusion for arbitrary discontinuous finite observations follows. $\square$ **theorem 26.6 (The phase observation algebra and deterministic closed-graph readout).** Define $$ \mathcal R:C(K,\mathbb F)\longrightarrow B_{\mathbb F},\quad \mathcal Rf=a_f,\qquad H^*g=g\circ H,\qquad \mathscr A_{\mathbb F}=H^*C(\mathbb T,\mathbb F). $$ Both $\mathcal R$ and $H^*$ are isometries. The space $\mathscr A_{\mathbb F}$ is a closed unital algebra, closed under conjugation when $\mathbb F=\mathbb C$, and $$ \begin{aligned} \mathcal R(C(K,\mathbb F))\cap\operatorname{WAP}(\mathbb N_0,\mathbb F) &=\mathcal R(C(K,\mathbb F))\cap\operatorname{AP}(\mathbb N_0,\mathbb F)\\ &=\mathcal R(\mathscr A_{\mathbb F}). \end{aligned} $$ The equivalence relation detected by all these continuous WAP observations is exactly the phase relation: $$ \bigl(\forall f\in\mathscr A_{\mathbb F},\ f(x)=f(y)\bigr) \quad\Longleftrightarrow\quad H(x)=H(y). $$ Retain the closed addition graph $$ \Gamma=\overline{\{(Z(n),Z(k),Z(n+k)):n,k\in\mathbb N_0\}}\subseteq K^3,\qquad \Gamma(x,y)=\{z:(x,y,z)\in\Gamma\}. $$ For $f\in C(K,\mathbb F)$, the following are also equivalent to the conditions of theorem 26.4: $f$ has one common value on every nonempty output set $\Gamma(x,y)$; and there exists a continuous $D_f:K^2\to\mathbb F$ satisfying $$ D_f(Z(n),Z(k))=f(Z(n+k))\qquad(n,k\ge0). $$ When these conditions hold, this extension is unique and equals $$ D_f(x,y)=g(H(x)+H(y)). $$ The graph input-fiber classification used below is theorem 16.4. ([RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/c74985438ae17d205509255934bbd3ecf1f94d71/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md), theorem 16.4, complete statement and proof of the closed-addition-graph input-fiber classification, pinned commit `c74985438ae17d205509255934bbd3ecf1f94d71`.) **Proof.** Density of the finite core and continuity give $$ \|\mathcal Rf\|_\infty=\sup_{n\ge0}|f(Z(n))|=\sup_{x\in K}|f(x)|. $$ Surjectivity of $H$ similarly gives $\|H^*g\|_\infty=\|g\|_\infty$. Completeness of $C(\mathbb T,\mathbb F)$ and this isometry make its range closed. Pullback preserves constants, sums, products, and, over $\mathbb C$, conjugation. This proves the algebra assertions. The intersection identity is exactly theorem 26.4 applied to every $f$. Equal phases give equal values for all pullbacks. Conversely, if $H(x)\ne H(y)$, the real continuous function $g(\theta)=\rho(\theta,H(x))$ gives $$ (g\circ H)(x)=0,\qquad (g\circ H)(y)>0. $$ It belongs to the real algebra and, by regarding its values as complex, to the complex algebra. This proves the asserted equivalence relation. For any $x,y$, density supplies sequences of core inputs converging to $x,y$. Compactness of $K$ supplies a convergent subsequence of their sums, showing that $\Gamma(x,y)$ is nonempty. Continuity of $H$ on a convergent core triple gives $$ \Gamma(x,y)\subseteq H^{-1}(\{H(x)+H(y)\}). $$ In addition, theorem 16.4, with its first input $Z(0)$ having an unsplit phase, gives $$ \Gamma(Z(0),x_m^+)=\{x_m^+,x_m^-\}\qquad(m\ge1). $$ Thus constancy of $f$ on every graph output set forces equality on every split pair, and theorem 26.4 gives $f=g\circ H$. In the reverse direction, the displayed phase containment makes every value $f(z)$ on $\Gamma(x,y)$ equal to $g(H(x)+H(y))$. If the phase factorization holds, the displayed formula for $D_f$ is continuous and has the required core values. Conversely, suppose such a continuous extension exists. For any $(x,y,z)\in\Gamma$, metrizability gives a sequence of core triples converging to it. Continuity of $D_f$ and $f$ yields $D_f(x,y)=f(z)$. Hence $f$ is constant on every output set and therefore factors through $H$. Any two continuous extensions agree on the dense set $Z(\mathbb N_0)^2$, so agree everywhere. This scalar determinism for fixed full inputs does not assert that a binary operation can be recovered from the two scalar summaries alone. Indeed, let $g([t])=\cos(2\pi t)$ and $f=g\circ H$. Choose phases $[1/4]$ and $[3/4]$ for the first input and phase $[1/4]$ for the second. The two scalar input pairs are both $(0,0)$, whereas the prescribed outputs are respectively $-1$ and $1$. Surjectivity of $H$ realizes these choices in $K$. Thus no function of just those two scalar summaries can represent this $D_f$ on all inputs. Finally, the intersection restriction is essential. Define $b(0)=1$ and $b(n)=0$ for $n\ge1$. Its nonnegative translation orbit is $\{b,0\}$, so it is AP under Definition 26.0. Nevertheless $b$ has no continuous extension along $Z$: since $G_{2j}\ge1$ and $Z(G_{2j})\to Z(0)$, such an extension would have values zero converging to its value one at $Z(0)$. Consequently the classification does not identify the full sequence spaces $\operatorname{WAP}(\mathbb N_0,\mathbb F)$ and $\operatorname{AP}(\mathbb N_0,\mathbb F)$. $\square$ **theorem 26.7 (Exact uniform distance to continuous phase observations).** For $f\in C(K,\mathbb F)$ put $$ \Delta(f)=\sup_{m\ge1}|f(x_m^+)-f(x_m^-)|. $$ Then $$ \inf_{g\in C(\mathbb T,\mathbb F)}\|f-g\circ H\|_\infty = \inf_{b\in\mathcal R(\mathscr A_{\mathbb F})}\|a_f-b\|_\infty = \frac{\Delta(f)}2. $$ In particular the sequence-space distance here is to the WAP observations already continuous on $K$, as identified in theorem 26.6, not an assertion about distance to all WAP sequences. **Proof.** Write $d=\Delta(f)/2$. For every $g$ and every split pair, the triangle inequality gives $$ |f(x_m^+)-f(x_m^-)| \le |f(x_m^+)-g(E_m)|+|f(x_m^-)-g(E_m)| \le2\|f-g\circ H\|_\infty. $$ Taking the supremum over $m$ gives the lower bound $d$. Fix $\epsilon>0$. For each $\theta\in\mathbb T$, choose a center $c_\theta\in\mathbb F$: use the value of $f$ on a singleton fiber, and the midpoint of its two values on a double fiber. Since every fiber has at most two points, $$ |f(x)-c_\theta|\le d\qquad(H(x)=\theta). $$ The set $$ C_\theta=\{x\in K:|f(x)-c_\theta|\ge d+\epsilon\} $$ is compact and disjoint from the fiber over $\theta$. Its image under $H$ is closed. Therefore $$ U_\theta=\mathbb T\setminus H(C_\theta) $$ is an open neighborhood of $\theta$, and every $x$ whose phase belongs to $U_\theta$ satisfies $|f(x)-c_\theta|0$ implies $t\in U_\ell$. Set $$ g_\epsilon(t)=\sum_{\ell=1}^Np_\ell(t)c_\ell. $$ For $x\in K$, all positively weighted centers satisfy the preceding strict estimate at $t=H(x)$. Hence $$ |f(x)-g_\epsilon(H(x))| \le\sum_{\ell=1}^Np_\ell(H(x))|f(x)-c_\ell| \le d+\epsilon. $$ It follows that the infimum of the uniform error is at most $d+\epsilon$. Letting $\epsilon$ decrease to zero proves equality with $d$. This midpoint and convex-combination argument is valid over both $\mathbb R$ and $\mathbb C$. Finally, the isometry $\mathcal R$ from theorem 26.6 gives the equality with the stated sequence-space infimum. The proof constructs arbitrarily accurate approximants and does not assert attainment of the infimum. $\square$ ## 追加锚（本行以下为增补区） ## 27. Absolute summability, exact norms, and the compact digit topology **Assumption 27.0 (Fixed carrier, exact graph, and classified finite multiplication).** Retain the carrier, phase map, oriented exceptional fibers, and finite addition graph of Definition 25.0, together with the exact-fiber and exact-graph hypotheses of Assumption 25.1. In particular, $$ \Gamma=\overline{\{(Z(a),Z(b),Z(a+b)):a,b\in\mathbb N\}}^{\,K^3}. $$ Fix $$ t\in\Lambda=(\mathbb R\setminus\{-1,1\})\sqcup\{\infty\}, $$ and use the finite multiplication and kernel of Definitions 25.2 and 25.8 and theorems 25.6–25.9. Thus the product on $A=\mathbb R^{(K)}$ is associative and commutative, each row has coefficient sum one and support contained in the exact set $\Gamma(x,y)$, and $$ P^{(t)}_{Z(a),Z(b)}=\delta_{Z(a+b)}\qquad(a,b\in\mathbb N). $$ The symbols $p_m,c_{m,n},\pi_\theta,v_m$ always have their values for this fixed parameter. The parameter $\infty$ remains a separate formal symbol. **definition 27.1 (Absolute sums and norm constants).** For a nonnegative family $(h_s)_{s\in S}$ over an arbitrary set, define $$ \sum_{s\in S}h_s=\sup_{F\subseteq S,\ F\text{ finite}}\sum_{s\in F}h_s. $$ Define $$ \ell^1(S)=\left\{a:S\to\mathbb R:\|a\|_1:=\sum_{s\in S}|a(s)|<\infty\right\}. $$ No support restriction is imposed in this definition. A subscript ${\mathrm d}$ on a topological set denotes its underlying set equipped with the discrete topology. Thus $\ell^1(K_{\mathrm d})$ and $\ell^1(\mathbb T_{\mathrm d})$ use counting sums, not integration against a measure associated with their original compact topologies.[^rro27-l1] For a finite signed atomic measure, use the total variation norm $$ \left\|\sum_{w\in F}a_w\delta_w\right\|_{\mathrm{TV}}=\sum_{w\in F}|a_w|, $$ where the points of $F$ are distinct. This convention has no factor of one half. Define $$ \rho_t=\begin{cases} |t|,&t\ne\infty,\ |t|<1,\\ |t|^{-1},&t\ne\infty,\ |t|>1,\\ 0,&t=\infty, \end{cases} \qquad C_t=\frac{1+\rho_t}{1-\rho_t}. $$ Consequently, $$ 0\le\rho_t<1,\qquad C_t=\frac{1+|t|}{|1-|t||}\quad(t\ne\infty),\qquad C_\infty=1. $$ **theorem 27.2 (Exact row variation and exact finite bilinear norm).** For every parameter in Assumption 27.0, $$ \max_{x,y\in K}\|P^{(t)}_{x,y}\|_{\mathrm{TV}}=C_t. $$ The maximum is attained at $(0_K,x_1^+)$ for every finite $t\ge0$ in the parameter domain, at $(x_1^+,x_1^-)$ for every $t<0$ in the parameter domain, and at $(0_K,0_K)$ for the formal parameter $\infty$. Moreover, $$ \sup_{\substack{a,b\in A\\\|a\|_1\le1,\ \|b\|_1\le1}}\|a*_t b\|_1=C_t. $$ **Proof.** We first bound every row. When at least one input is nonexceptional, theorem 25.9 gives the output $\pi_{H(x)+H(y)}$. A nonexceptional output phase gives a Dirac measure and hence norm one. At an exceptional phase, for finite $t$ and $r=|t|$, $$ \|\pi_{E_m}\|_{\mathrm{TV}} =|p_m|+|1-p_m| =\frac{1+r^m}{|1-t^m|}. $$ If $t<0$ and $m$ is odd, this expression is one. In every other finite-parameter case it equals $$ \frac{1+\rho_t^m}{1-\rho_t^m}\le\frac{1+\rho_t}{1-\rho_t}=C_t. $$ Here the inequality follows from $0\le\rho_t^m\le\rho_t<1$ and the monotonicity of $(1+u)/(1-u)$ on $[0,1)$. This also covers $t=0$. For the formal parameter, every $\pi_\theta$ is a Dirac measure. Two exceptional inputs with the same sign give a Dirac measure by theorem 25.9, for all indices and every parameter. It remains to bound the two mixed-sign types. For finite $t$, put $$ M_{m,n}(t)=\|P^{(t)}_{x_m^+,x_n^-}\|_{\mathrm{TV}} =\frac{|t|^n|t^m-1|+|t^n-1|}{|t^{m+n}-1|}. $$ The reversed-sign type has norm $M_{n,m}(t)$, as is seen directly from its formula in theorem 25.9. For $t=0$, the mixed row is $\delta_{x_{m+n}^-}$, so its norm is one. For $t>0$, both mixed coefficients are nonnegative: when $t<1$, their relevant factors and denominator have the corresponding negative signs, and when $t>1$ all those factors are positive. Their sum is one, so again $M_{m,n}(t)=1$. Suppose next that $t=-r$ with $00$, the definition by finite suprema supplies a finite $F\subseteq S$ with $$ \sum_{s\in F}|a(s)|>\|a\|_1-\epsilon. $$ Taking finite suprema on the complement gives $$ \|a-a\mathbf1_F\|_1=\sum_{s\notin F}|a(s)|<\epsilon. $$ This proves finite-support density. For completeness, let $(a_j)$ be a Cauchy sequence. Each coordinate is Cauchy because $$ |a_j(s)-a_k(s)|\le\|a_j-a_k\|_1. $$ Let $a(s)$ be its limit. The Cauchy sequence has bounded norms, say bounded by $M$. For every finite $F$, $$ \sum_{s\in F}|a(s)|=\lim_{j\to\infty}\sum_{s\in F}|a_j(s)|\le M. $$ Thus $a\in\ell^1(S)$. Given $\epsilon>0$, take $N$ such that $\|a_j-a_k\|_1<\epsilon$ for $j,k\ge N$. Fixing $j\ge N$, taking the limit in each finite coordinate sum, and then taking its finite supremum yields $$ \|a_j-a\|_1\le\epsilon. $$ Therefore $a_j\to a$ in norm. The triangle inequality, homogeneity, and definiteness of the norm follow directly from its finite-supremum definition. QED. **definition 27.4 (The convolution direct sum).** Put $$ \mathcal G=\ell^1(\mathbb T_{\mathrm d}),\qquad \mathcal S=\ell^1(\mathbb N_{>0}),\qquad \mathcal B=\mathcal G\oplus_1\mathcal S. $$ The products within the two summands are the discrete convolutions $$ (f*_{\mathbb T}f')(\theta)=\sum_{\rho\in\mathbb T}f(\rho)f'(\theta-\rho), $$ $$ (g*_{+}g')(k)=\sum_{\substack{m,n\ge1\\m+n=k}}g_mg'_n. $$ An empty sum is zero; in particular, every product in $\mathcal S$ has first coordinate zero. Define $$ (f,g)\diamond(f',g')=(f*_{\mathbb T}f',\ g*_{+}g'),\qquad \|(f,g)\|_{\oplus}=\|f\|_1+\|g\|_1. $$ Thus convolution is performed separately in the two summands, and cross products between the summands vanish. It is not pointwise multiplication of the sequences.[^rro27-ba] **theorem 27.5 (Unique bounded multiplication, augmentation, and phase map).** There is a unique bounded bilinear extension of $*_t$ to $$ B=\ell^1(K_{\mathrm d}). $$ It is associative and commutative, has exact bilinear norm $C_t$ in the coefficient norm, and is given by the unconditionally convergent series $$ a*_t b=\sum_{x,y\in K}a(x)b(y)P^{(t)}_{x,y}. $$ In particular, $$ (a*_t b)(w)=\sum_{x,y\in K}a(x)b(y)P^{(t)}_{x,y}(w), $$ with the absolute-summability estimate $$ \sum_{x,y,w\in K}|a(x)b(y)P^{(t)}_{x,y}(w)| \le C_t\|a\|_1\|b\|_1. $$ The maps $$ \varepsilon(a)=\sum_{x\in K}a(x),\qquad (H_{\#}a)(\theta)=\sum_{H(x)=\theta}a(x) $$ are bounded linear maps of norm one, and $$ \varepsilon(a*_t b)=\varepsilon(a)\varepsilon(b),\qquad H_{\#}(a*_t b)=(H_{\#}a)*_{\mathbb T}(H_{\#}b). $$ The phase map $H_{\#}:B\to\mathcal G$ is surjective. With the equivalent norm $$ \|a\|_{\mathrm{alg},t}=C_t\|a\|_1, $$ the resulting algebra, denoted $B_t$, is a Banach algebra with a submultiplicative norm. The original coefficient norm itself is submultiplicative exactly for $t\in\{0,\infty\}$. **Proof.** By theorem 27.3, the supports of $a$ and $b$ are at most countable. Their Cartesian product is at most countable, and the union of the finite row supports over these pairs is also at most countable. Moreover, $$ \sum_{x,y}\|a(x)b(y)P^{(t)}_{x,y}\|_1 \le C_t\sum_{x,y}|a(x)|\,|b(y)| =C_t\|a\|_1\|b\|_1. $$ The last equality follows by taking suprema of finite rectangular sums of a nonnegative product family. Consequently the vector-valued series has arbitrarily small norm tails and converges in the complete space $B$, independently of its ordering. Expanding the row norms gives the stated absolute sum over $x,y,w$. Absolute convergence permits every regrouping used in the coordinate formula. Bounded coordinate evaluation shows that the coordinate formula agrees with the vector-valued sum. The sum is bilinear and satisfies $$ \|a*_t b\|_1\le C_t\|a\|_1\|b\|_1. $$ In particular, $$ \|a*_t b-a' *_t b'\|_1 \le C_t\bigl(\|a-a'\|_1\|b\|_1+\|a'\|_1\|b-b'\|_1\bigr). $$ Choose finite-support sequences converging respectively to $a,b,c$. Their norms are bounded, their pairwise products converge by this inequality, and applying the inequality a second time shows that both bracketings of their triple products converge to the corresponding bracketings for $a,b,c$. The finite associativity identity therefore passes to the limit. Finite commutativity passes to the limit in the same way. Any bounded bilinear extension must agree on limits of finite-support pairs, proving uniqueness. The attaining point-mass pairs from theorem 27.2 still belong to $B$, so the extended bilinear norm remains exactly $C_t$. The same absolute-sum argument applies to any discrete semigroup with rows $\delta_s*\delta_u=\delta_{su}$: every row has norm one, and semigroup associativity holds on the finite core. Applied to the group $\mathbb T_{\mathrm d}$ and the additive semigroup $\mathbb N_{>0}$, it proves that both convolutions in Definition 27.4 are associative bounded products satisfying $$ \|f*_{\mathbb T}f'\|_1\le\|f\|_1\|f'\|_1,\qquad \|g*_{+}g'\|_1\le\|g\|_1\|g'\|_1. $$ Together with theorem 27.3 this also proves completeness and submultiplicativity for $\mathcal B$, since $$ \|(f,g)\diamond(f',g')\|_{\oplus} \le\|f\|_1\|f'\|_1+\|g\|_1\|g'\|_1 \le\|(f,g)\|_{\oplus}\|(f',g')\|_{\oplus}. $$ Absolute summability gives $$ |\varepsilon(a)|\le\|a\|_1,\qquad \|H_{\#}a\|_1\le\sum_{\theta}\sum_{H(x)=\theta}|a(x)|=\|a\|_1. $$ Both operator norms equal one by evaluation on $\delta_{0_K}$. On finite-support inputs, multiplicativity is theorem 25.3. Finite-support density and the established continuity of all the products and linear maps extend both identities to $B$. For surjectivity, if $f\in\mathcal G$, the series $$ a=\sum_{\theta\in\mathbb T}f(\theta)\pi_\theta $$ converges absolutely in $B$, because theorem 27.2 bounds every $\|\pi_\theta\|_1$ by $C_t$. Since $H_{\#}\pi_\theta=\delta_\theta$, boundedness of $H_{\#}$ gives $H_{\#}a=f$. Finally, $$ \|a*_t b\|_{\mathrm{alg},t} =C_t\|a*_t b\|_1 \le C_t^2\|a\|_1\|b\|_1 =\|a\|_{\mathrm{alg},t}\|b\|_{\mathrm{alg},t}. $$ Completeness is unchanged by this positive scalar rescaling. Under the convention that a Banach-algebra norm is submultiplicative, this supplies such a norm.[^rro27-ba] If $t=0$ or $t=\infty$, then $C_t=1$, so the coefficient norm already suffices. Every other admissible parameter has $C_t>1$, and an attaining pair of norm-one point masses has product norm greater than one. Thus the unscaled coefficient norm is not submultiplicative in those cases. QED. **theorem 27.6 (Uniformly bounded nonzero coboundary representatives).** Define $$ d'_m=\begin{cases} 1-t^m,&t\ne\infty,\ |t|<1,\\ t^{-m}-1,&t\ne\infty,\ |t|>1,\\ -1,&t=\infty. \end{cases} $$ For every positive $m,n$, $$ 1-\rho_t\le|d'_m|\le1+\rho_t,\qquad c_{m,n}=\frac{d'_m d'_n}{d'_{m+n}}. $$ In particular every $d'_m$ is nonzero, and the finite vectors $$ u_m=\frac{v_m}{d'_m} $$ satisfy $$ u_m*_t u_n=u_{m+n}. $$ **Proof.** For finite $t$ with $|t|<1$, the identity is the direct calculation $$ \frac{(1-t^m)(1-t^n)}{1-t^{m+n}} =-\frac{(t^m-1)(t^n-1)}{t^{m+n}-1} =c_{m,n}. $$ For $|t|>1$, write $$ d'_m=t^{-m}(1-t^m). $$ The factors $t^{-m}$ form a multiplicative character of the positive-index additive semigroup, so they cancel in the quotient: $$ \frac{d'_m d'_n}{d'_{m+n}} =\frac{t^{-m}t^{-n}}{t^{-(m+n)}} \frac{(1-t^m)(1-t^n)}{1-t^{m+n}} =c_{m,n}. $$ This calculation is valid for negative $t$ as well; no positivity of the character is needed. For the formal parameter, the quotient is $(-1)(-1)/(-1)=-1=c_{m,n}$. In each finite case, $|d'_m|$ has the form $|1-s^m|$ with $|s|=\rho_t<1$. Hence $$ 1-\rho_t\le1-\rho_t^m\le|1-s^m|\le1+\rho_t^m\le1+\rho_t. $$ This proves the bounds for every index and sign. For $\infty$, both bounds are one. Therefore division by $d'_m$ is legitimate, and $$ u_m*_t u_n =\frac{c_{m,n}}{d'_m d'_n}v_{m+n} =\frac{v_{m+n}}{d'_{m+n}} =u_{m+n}. $$ In particular $d'_m=1$ at $t=0$, whereas $d'_m=-1$ at the formal parameter; neither case requires a limiting argument. QED. **theorem 27.7 (Explicit bounded coordinate isomorphism).** For $a\in B$, write $$ a_m^+=a(x_m^+),\qquad a_m^-=a(x_m^-). $$ Define $\Phi_t(a)=(f,g)$ by $$ f(\theta)=\begin{cases} a(k_\theta),&\theta\notin E,\\ a_m^++a_m^-,&\theta=E_m, \end{cases} $$ $$ g_m=d'_m\bigl((1-p_m)a_m^+-p_m a_m^-\bigr). $$ The second coordinate can equivalently be written without $p_m$ as $$ g_m=\begin{cases} a_m^++t^m a_m^-,&t\ne\infty,\ |t|<1,\\ t^{-m}a_m^++a_m^-,&t\ne\infty,\ |t|>1,\\ a_m^-,&t=\infty. \end{cases} $$ Then $\Phi_t$ is a bounded algebra isomorphism from $B_t$ to $\mathcal B$. Its inverse $\Psi_t$ is given by $$ \Psi_t(f,g)(k_\theta)=f(\theta)\qquad(\theta\notin E), $$ $$ \Psi_t(f,g)(x_m^+)=p_m f(E_m)+\frac{g_m}{d'_m},\qquad \Psi_t(f,g)(x_m^-)=(1-p_m)f(E_m)-\frac{g_m}{d'_m}. $$ In the original coefficient norm, these maps satisfy $$ \|\Phi_t(a)\|_{\oplus}\le2\|a\|_1, $$ $$ \|\Psi_t(f,g)\|_1 \le C_t\|f\|_1+\frac{2}{1-\rho_t}\|g\|_1 \le\frac{2}{1-\rho_t}\|(f,g)\|_{\oplus}. $$ In particular, $$ \frac{1-\rho_t}{2}\|a\|_1\le\|\Phi_t(a)\|_{\oplus}\le2\|a\|_1. $$ Under this isomorphism, the phase map is the first-coordinate projection and the augmentation is the sum of the first coordinate. All parameters yield isomorphic Banach algebras, but distinct parameters still yield distinct kernels on the fixed oriented point masses. **Proof.** The simplifications of $g_m$ follow from explicit identities. When $|t|<1$, $$ p_m=-\frac{t^m}{d'_m},\qquad 1-p_m=\frac1{d'_m}. $$ When $|t|>1$, $$ p_m=-\frac1{d'_m},\qquad 1-p_m=\frac{t^{-m}}{d'_m}. $$ For $\infty$, one has $p_m=1$ and $d'_m=-1$. Substitution gives each displayed formula for $g_m$. The coordinates of $f$ are precisely the fiber sums $H_{\#}a$, so $\|f\|_1\le\|a\|_1$. In the two finite cases the additional coefficient in the formula for $g_m$ has absolute value at most one. Consequently, including the formal case, $$ \sum_{m\ge1}|g_m|\le\sum_{m\ge1}(|a_m^+|+|a_m^-|)\le\|a\|_1. $$ This proves that $\Phi_t$ is a well-defined bounded linear map on the actual space of all absolutely summable families, and proves its stated upper bound. Conversely, the formulas for $\Psi_t$ specify every coordinate of $K$, because the fibers in Assumption 25.1 exhaust $K$. Theorem 27.2 and theorem 27.6 imply $$ \begin{aligned} \|\Psi_t(f,g)\|_1 &\le\sum_{\theta\notin E}|f(\theta)| +\sum_{m\ge1}(|p_m|+|1-p_m|)|f(E_m)| +2\sum_{m\ge1}\frac{|g_m|}{|d'_m|}\\ &\le C_t\|f\|_1+\frac{2}{1-\rho_t}\|g\|_1. \end{aligned} $$ Thus the inverse formulas also give an actual absolutely summable family. Since $C_t=(1+\rho_t)/(1-\rho_t)\le2/(1-\rho_t)$, the final inverse bound follows. The inverse identities can be checked coordinate by coordinate without any infinite basis assertion. Starting with $a$, one has $$ \frac{g_m}{d'_m} =(1-p_m)a_m^+-p_m a_m^- =a_m^+-p_m f(E_m). $$ Substitution into the formulas for $\Psi_t$ recovers both $a_m^+$ and $a_m^-$. Nonexceptional coordinates are unchanged. Starting instead with $(f,g)$, the two reconstructed exceptional coefficients sum to $f(E_m)$, and $$ (1-p_m)\left(p_m f(E_m)+\frac{g_m}{d'_m}\right) -p_m\left((1-p_m)f(E_m)-\frac{g_m}{d'_m}\right) =\frac{g_m}{d'_m}. $$ Hence the second coordinate is also recovered. Therefore $\Psi_t\Phi_t$ and $\Phi_t\Psi_t$ are the respective identity maps on their full absolutely summable spaces. The norm-equivalence inequality follows by applying the inverse bound to $\Phi_t(a)$. It remains to prove multiplicativity. On the finite core, theorem 25.5 and nonzero rescaling give an algebraic basis consisting of the $\pi_\theta$ and $u_m$. The coordinate formulas give $$ \Phi_t(\pi_\theta)=(\delta_\theta,0),\qquad \Phi_t(u_m)=(0,\delta_m). $$ The finite products of these vectors are $$ \pi_\theta*_t\pi_\eta=\pi_{\theta+\eta},\qquad \pi_\theta*_t u_m=u_m*_t\pi_\theta=0,\qquad u_m*_t u_n=u_{m+n}. $$ The last identity is theorem 27.6, and the others are the finite rules from Section 25. They agree exactly with the products of the corresponding coordinate vectors in $\mathcal B$. Thus $\Phi_t$ is multiplicative on the finite core. The finite core is dense, both products are bounded by theorem 27.5, and $\Phi_t$ is bounded. Taking finite-support limits proves multiplicativity on $B$. Its bounded inverse is consequently multiplicative as well. The estimates remain bounded estimates when the domain uses the equivalent norm $\|\cdot\|_{\mathrm{alg},t}$, establishing the claimed Banach-algebra isomorphism. The formula for $f$ gives $f=H_{\#}a$. Absolute summability permits regrouping by fibers and gives $$ \varepsilon(a)=\sum_{\theta\in\mathbb T}f(\theta). $$ The two inverse images $$ V_t=\Phi_t^{-1}(\mathcal G\oplus\{0\}),\qquad J_t=\Phi_t^{-1}(\{0\}\oplus\mathcal S) $$ are closed two-sided ideals, their cross products vanish, and $J_t=\ker H_{\#}$. Moreover, $$ \Phi_t(\delta_{0_K})=(\delta_0,0), $$ so $\delta_{0_K}$ is the unit of $V_t$ and annihilates $J_t$. For any two parameters, composing one coordinate isomorphism with the inverse of the other gives an abstract Banach-algebra isomorphism. This does not identify the kernels on the fixed point-mass carrier. Indeed, their actual zero-slice coefficient is $$ P^{(t)}_{0_K,x_1^+}(x_1^+)=\begin{cases} \dfrac{t}{t-1},&t\ne\infty,\\ 1,&t=\infty. \end{cases} $$ A finite parameter never gives the value one, and equality of the finite values implies equality of the parameters by cross multiplication. Thus distinct parameters give distinct kernels, even though the completed algebras are isomorphic. QED. **theorem 27.8 (Absence of every one-sided approximate identity).** The algebra $B_t$ has no left approximate identity and no right approximate identity in its norm topology, even when unbounded nets are allowed. Hence it has no two-sided approximate identity and no left or right unit. **Proof.** In $\mathcal B$, let $z=(0,\delta_1)$. For any $(f,g)\in\mathcal B$, the second coordinate of $$ (f,g)\diamond z $$ has first coefficient zero: positive integers cannot sum to one. The second coordinate of $z$ has first coefficient one. Therefore $$ \|(f,g)\diamond z-z\|_{\oplus}\ge1. $$ The identical argument gives $$ \|z\diamond(f,g)-z\|_{\oplus}\ge1. $$ Since $\Phi_t(u_1)=z$, the forward bound in theorem 27.7 yields, for every $a\in B$, $$ \|a*_t u_1-u_1\|_1\ge\frac12,\qquad \|u_1*_t a-u_1\|_1\ge\frac12. $$ No net can therefore approximate the identity on even this one element, on either side. The coefficient norm and the Banach-algebra norm induce the same topology. A one-sided unit would provide a constant one-sided approximate identity, so units are excluded as well. The element $(\delta_0,0)$ is nevertheless a unit on the first summand alone; it annihilates $z$ and is not a unit of the direct sum. QED. **definition 27.9 (Measure topologies).** Give $K$ its original digit topology, metrized by $$ d_K(x,y)=\sum_{j\ge0}2^{-j-1}|x_j-y_j|. $$ Let $C(K)$ denote the real continuous functions with the supremum norm, and let $M(K)$ denote the finite signed regular Borel measures with norm $$ \|\mu\|_{\mathrm{TV}}=|\mu|(K). $$ The measure weak topology used here is $$ \sigma(M(K),C(K)), $$ namely the topology generated by the maps $$ \mu\longmapsto\int_K f\,d\mu\qquad(f\in C(K)). $$ On a compact space, continuous functions are bounded, so this agrees with weak convergence of signed measures tested against all bounded continuous functions. Under the Riesz representation identification $M(K)=C(K)^*$, it is exactly the weak-star topology on that dual.[^rro27-measures] The Banach weak topology on the measure space is instead $$ \sigma(M(K),M(K)^*), $$ where $M(K)^*$ is the full norm-continuous dual of the total-variation Banach space. The norm topology is the topology of $\|\cdot\|_{\mathrm{TV}}$. These definitions distinguish the measure weak topology from the Banach weak topology.[^rro27-topology] **theorem 27.10 (Compactness and the atomic isometric embedding).** The digit space $K$ is compact and metrizable by $d_K$. Every $a\in B$ defines a finite signed regular Borel measure $$ \iota(a)(D)=\sum_{x\in D}a(x)\qquad(D\subseteq K\text{ Borel}), $$ and this gives a linear isometric embedding $$ \iota:B\longrightarrow M(K),\qquad \|\iota(a)\|_{\mathrm{TV}}=\|a\|_1. $$ In particular, all the kernels can be regarded as finite signed regular Borel measures. For distinct points, $$ \|\delta_x-\delta_y\|_1 =\|\delta_x-\delta_y\|_{\mathrm{TV}}=2. $$ **Proof.** Agreement of the first $N$ digits bounds $d_K$ by the tail sum $2^{-N}$, while $d_K(x,y)<2^{-N}$ forces agreement of the first $N$ digits. Thus the metric induces the digit topology. Given a sequence in $K$, successively choose subsequences constant in each digit and take a diagonal subsequence. It converges coordinatewise, hence in $d_K$. Its limit still has no adjacent ones, since each prohibited adjacent pair is determined by two coordinates. Therefore $K$ is sequentially compact, and hence compact as a metric space. For $a\in B$, theorem 27.3 gives at most countable support. Absolute summability permits interchange over disjoint Borel sets, so the displayed formula for $\iota(a)$ is countably additive. Splitting the coefficients into their positive and negative parts shows that its variation is $$ |\iota(a)|(D)=\sum_{x\in D}|a(x)|. $$ For completeness, the positive and negative coefficient measures are concentrated on disjoint countable Borel sets, so they are mutually singular and form the Jordan decomposition. The asserted variation formula follows. This variation measure is regular. Given a Borel set $D$ and $\epsilon>0$, choose a finite subset of $D\cap\operatorname{supp}(a)$ whose omitted mass inside $D$ is less than $\epsilon$; this subset is compact and proves inner regularity. For outer regularity, choose a finite $F\subseteq\operatorname{supp}(a)$ with total omitted mass less than $\epsilon$. The open set $$ U=K\setminus(F\setminus D) $$ contains $D$ and satisfies $$ |\iota(a)|(U\setminus D)<\epsilon. $$ Thus the variation, and consequently both Jordan parts, are regular. Taking $D=K$ in the variation formula proves the isometry. Linearity follows from absolute summability, and injectivity follows by evaluating singleton sets. Finally, for $x\ne y$, the two nonzero coefficients of $\delta_x-\delta_y$ have absolute value one, giving norm two. QED. **theorem 27.11 (Exact continuity locus for the compact digit topology).** For each fixed parameter, the map $$ K^2\longrightarrow M(K),\qquad (x,y)\longmapsto P^{(t)}_{x,y}, $$ with the digit topology on its domain and $\sigma(M(K),C(K))$ on its codomain, is continuous at $(x,y)$ if and only if $\Gamma(x,y)$ is a singleton. Equivalently, its continuity locus is exactly $$ \{(x,y):H(x)+H(y)\notin E\} \ \cup\ \{(x_m^s,x_n^s):m,n\ge1,\ s\in\{+1,-1\}\}. $$ No parameter gives a jointly continuous map on all of $K^2$. **Proof.** First suppose $\Gamma(x,y)=\{w\}$. Normalization and support inclusion imply $$ P^{(t)}_{x,y}=\delta_w. $$ Let $U$ be any open neighborhood of $w$. The set $$ \Gamma\cap\bigl(K^2\times(K\setminus U)\bigr) $$ is compact: $K^3$ is compact and $\Gamma$ is closed. Its projection to $K^2$ is compact, hence closed, and does not contain $(x,y)$. Its complement therefore supplies a neighborhood $W$ of $(x,y)$ such that $$ \Gamma(x',y')\subseteq U\qquad((x',y')\in W). $$ Fix $f\in C(K)$ and $\epsilon>0$. Choose $U$ small enough that $$ |f(z)-f(w)|<\frac{\epsilon}{C_t}\qquad(z\in U). $$ For the corresponding neighborhood $W$, normalization of every row and theorem 27.2 give $$ \begin{aligned} \left|\int_K f\,dP^{(t)}_{x',y'}-f(w)\right| &=\left|\int_K(f-f(w))\,dP^{(t)}_{x',y'}\right|\\ &\le\int_K|f-f(w)|\,d|P^{(t)}_{x',y'}|\\ &\le\|P^{(t)}_{x',y'}\|_{\mathrm{TV}}\,\frac{\epsilon}{C_t} \le\epsilon. \end{aligned} $$ One may shrink $U$ further to make the last bound strict. Thus every continuous test integral is continuous at $(x,y)$, which is precisely continuity into $\sigma(M(K),C(K))$. This argument uses the uniform variation bound for signed rows; normalization alone would not control the absolute value of the integral. Conversely, suppose $\Gamma(x,y)$ has two points. By Assumption 25.1 there is an index $r$ such that these points are $$ w^+=x_r^+,\qquad w^-=x_r^-,\qquad w^+\ne w^-. $$ Use the maximum product metric on $K^3$. For each sign $s$ and each integer $j\ge1$, membership of $(x,y,w^s)$ in the closure defining $\Gamma$ supplies actual natural numbers $a_j^s,b_j^s$ such that $$ \max\left\{ d_K(Z(a_j^s),x),\ d_K(Z(b_j^s),y),\ d_K(Z(a_j^s+b_j^s),w^s) \right\}<\frac1j. $$ For each sign this is one simultaneous approximation by a genuine input pair and its genuine finite sum, not a choice of unrelated input and output approximations. In particular, $$ (Z(a_j^s),Z(b_j^s))\longrightarrow(x,y),\qquad Z(a_j^s+b_j^s)\longrightarrow w^s. $$ Finite-core consistency yields $$ P^{(t)}_{Z(a_j^s),Z(b_j^s)}=\delta_{Z(a_j^s+b_j^s)}. $$ For every $f\in C(K)$, its integral against the right side tends to $f(w^s)$. Thus these two sequences of output measures tend in the measure weak topology to $\delta_{w^+}$ and $\delta_{w^-}$, respectively. The continuity of point masses in this topology follows directly from evaluation on continuous functions.[^rro27-topology] The two limits are distinct: some digit $q$ satisfies $w_q^+\ne w_q^-$, and the continuous function $f_q(z)=z_q$ separates the corresponding Dirac measures. Interleave the two actual input-pair sequences. The interleaved sequence still converges to $(x,y)$, whereas the integrals of its output measures against $f_q$ have two different subsequential limits. Hence the output map is not continuous at $(x,y)$. This conclusion applies even if the particular row $P^{(t)}_{x,y}$ itself is a Dirac measure. It remains to identify the singleton locus. For a nonexceptional sum phase the exact graph formula in Assumption 25.1 gives a singleton. For an exceptional sum phase, the union of the two input sign sets is a singleton exactly when both inputs are exceptional and have the same sign. Their indices then add, producing precisely the second set in the displayed locus. Finally, $0_K$ is nonexceptional and $$ \Gamma(0_K,x_1^+)=\{x_1^+,x_1^-\}, $$ so every parameter has at least this discontinuity. QED. **theorem 27.12 (Separation from Banach weak and norm continuity).** For every parameter, the kernel map is measure-weak continuous at $(0_K,0_K)$ but is neither Banach-weak continuous nor total-variation-norm continuous there. The measure weak topology equals the weak-star topology specified in Definition 27.9, is strictly weaker than the Banach weak topology on $M(K)$, and the latter is strictly weaker than the total variation norm topology. Bounded bilinearity on $\ell^1(K_{\mathrm d})$ therefore does not imply digit-topology continuity of the point-mass kernel. **Proof.** Let $$ y_j=Z(G_j). $$ This is the admissible digit word with its only nonzero digit at position $j$, so $y_j\to0_K$ in the digit topology and $y_j\ne0_K$. Finite-core consistency gives, independently of the parameter, $$ P^{(t)}_{y_j,0_K}=\delta_{y_j},\qquad P^{(t)}_{0_K,0_K}=\delta_{0_K}. $$ For every $f\in C(K)$ one has $f(y_j)\to f(0_K)$, so the displayed outputs converge measure-weakly. Also $\Gamma(0_K,0_K)=\{0_K\}$ by Assumption 25.1, and theorem 27.11 proves continuity at that pair. In contrast, $$ \|\delta_{y_j}-\delta_{0_K}\|_{\mathrm{TV}}=2 $$ for every $j$, excluding norm continuity. The functional $$ L:M(K)\to\mathbb R,\qquad L(\mu)=\mu(\{0_K\}) $$ is norm-continuous because $|L(\mu)|\le\|\mu\|_{\mathrm{TV}}$. It is consequently one of the tests defining the Banach weak topology. But $$ L(\delta_{y_j})=0,\qquad L(\delta_{0_K})=1, $$ so Banach weak continuity also fails. The same coordinate evaluation is a bounded functional on the coefficient space $B$. Every continuous-function integral is norm-continuous on $M(K)$, so the measure weak topology is weaker than the Banach weak topology, which in turn is weaker than the norm topology. The preceding sequence makes the first inclusion strict. For strictness of the second, consider any basic Banach weak neighborhood of zero, defined by finitely many bounded linear functionals $L_1,\ldots,L_N$. The $N+1$ distinct point masses $\delta_{y_1},\ldots,\delta_{y_{N+1}}$ are linearly independent, as singleton evaluation verifies. The restriction of $(L_1,\ldots,L_N)$ to their span therefore has a nonzero kernel vector $\mu$. Every scalar multiple of $\mu$ satisfies all the defining zero-centered weak inequalities. Thus this weak neighborhood is unbounded in total variation, and no weak neighborhood of zero can be contained in a norm ball. The Banach weak and norm topologies are distinct. Finally, the point-mass input map from digit $K$ to coefficient $B$ is not norm-continuous along $y_j\to0_K$, since its images stay at distance two. The bounded bilinear map in theorem 27.5 uses the coefficient norm on both input spaces, not the digit topology. There is therefore no implication from that bounded bilinearity to the digit-topology continuity excluded above. QED. [^rro27-l1]: Adam Bobrowski and Wojciech Chojnacki, *Isolated points of spaces of homomorphisms from ordered AL-algebras*, Dissertationes Mathematicae, online-first text (2022), §3.1.3, pp. 21–22, especially equation (3.2), DOI 10.4064/dm845-11-2021. The cited section defines absolutely summable families over arbitrary sets and discrete semigroup convolution. [Mathematical text](https://cs.adelaide.edu.au/~wojtek/papers/dm845-11-2021.pdf). [^rro27-ba]: Szymon Draga and Tomasz Kania, *When is multiplication in a Banach algebra open?*, arXiv:1704.08608v2, 7 October 2017, §§2.2–2.3. These sections specify the submultiplicative Banach-algebra norm convention and the convolution product for arbitrary discrete semigroups, for real or complex scalars. [Mathematical text](https://arxiv.org/html/1704.08608v2). [^rro27-measures]: Martin Herdegen, Gechun Liang, and Osian Shelley, *Vague and weak convergence of signed measures*, arXiv:2205.13207v2 (2022), §1.1, Definition 1.1 and Theorem 1.2(a), pp. 2–3. These give the continuous-test definition of weak convergence for finite signed Radon measures and the Riesz representation identification with the continuous-function dual. [Mathematical text](https://arxiv.org/pdf/2205.13207v2). [^rro27-topology]: Daniel V. Tausk, *Weak\** topology for the space of finite measures on a topological space*, notes dated 17 January 2024, Definition 3.1, p. 5; Proposition 4.1 and its proof, p. 8; Corollary C.6 and §C.1, p. 55. These distinguish the continuous-test topology from the Banach weak topology and establish continuity of the Dirac embedding in the former topology. [Mathematical text](https://www.ime.usp.br/~tausk/texts/WeakTopologyMeasures.pdf). ## 追加锚（本行以下为增补区） ## 28. All Radon measures, signed Borel convolution, and the boundary of uniqueness **Assumption 28.0 (Fixed carrier and exact finite multiplication).** Retain Definition 25.0 and the exact-fiber and exact-graph hypotheses of Assumption 25.1. Give $K$ its original compact digit topology, and give $\mathbb T=\mathbb R/\mathbb Z$ its original compact group topology. Fix $$ t\in(\mathbb R\setminus\{-1,1\})\sqcup\{\infty\}, $$ where $\infty$ is a separate formal parameter. Use the finite multiplication of Definition 25.8 and theorem 25.9. In particular, its rows $P^{(t)}_{x,y}$ are finite real signed measures, have mass one, are supported in the exact fiber $\Gamma(x,y)$, and satisfy $$ P^{(t)}_{Z(a),Z(b)}=\delta_{Z(a+b)}. $$ Write $$ S=\{x_m^+,x_m^-:m\ge1\},\qquad K^\circ=K\setminus S,\qquad \mathbb T^\circ=\mathbb T\setminus E, $$ $$ v_m=\delta_{x_m^+}-\delta_{x_m^-},\qquad \pi_{E_m}=p_m\delta_{x_m^+}+(1-p_m)\delta_{x_m^-},\qquad \pi_\theta=\delta_{k_\theta}\quad(\theta\notin E). $$ The quantities $p_m,c_{m,n},\pi_\theta$ have the values belonging to this fixed parameter. All conclusions below are conditional on these exact carrier and graph hypotheses. **definition 28.1 (Measure spaces and bounded residual coordinates).** For a compact metric space $X$, let $M(X)$ be the real vector space of all finite real signed regular Borel measures, with $$ \|\mu\|_{\mathrm{TV}}=|\mu|(X),\qquad \varepsilon_X(\mu)=\mu(X). $$ There is no factor of one half in this norm. A Borel map $f:X\to Y$ has pushforward $$ (f_\#\mu)(D)=\mu(f^{-1}(D)). $$ We use the classical compact Riesz representation identification $M(X)=C(X)^*$; in particular, $M(X)$ is complete. Its weak-star topology is $\sigma(M(X),C(X))$, not the Banach weak topology $\sigma(M(X),M(X)^*)$. These conventions are those of [Daniel V. Tausk, *Weak\* topology for the space of finite measures on a topological space*, §2, Definition 3.1, Corollary C.6 and §C.1](https://www.ime.usp.br/~tausk/texts/WeakTopologyMeasures.pdf). Define $$ \rho_t=\begin{cases} |t|,&t\ne\infty,\ |t|<1,\\ |t|^{-1},&t\ne\infty,\ |t|>1,\\ 0,&t=\infty, \end{cases} \qquad C_t=\frac{1+\rho_t}{1-\rho_t}, $$ $$ d'_m=\begin{cases} 1-t^m,&t\ne\infty,\ |t|<1,\\ t^{-m}-1,&t\ne\infty,\ |t|>1,\\ -1,&t=\infty. \end{cases} $$ For each positive integer $m$, define the Borel scalar function $$ r_m(x)=d'_m\bigl((1-p_m)\mathbf1_{\{x_m^+\}}(x)-p_m\mathbf1_{\{x_m^-\}}(x)\bigr). $$ Thus each $r_m$ is supported on its specified two-point fiber. **theorem 28.2 (Uniform numerical bounds and actual maximizing rows).** For all positive integers $m,n$, $$ 1-\rho_t\le |d'_m|\le1+\rho_t,\qquad c_{m,n}=\frac{d'_m d'_n}{d'_{m+n}}. $$ The residual functions are explicitly $$ r_m(x)=\begin{cases} \mathbf1_{\{x_m^+\}}(x)+t^m\mathbf1_{\{x_m^-\}}(x),&|t|<1,\\ t^{-m}\mathbf1_{\{x_m^+\}}(x)+\mathbf1_{\{x_m^-\}}(x),&|t|>1,\\ \mathbf1_{\{x_m^-\}}(x),&t=\infty. \end{cases} $$ The finite-parameter cases in this display exclude the formal parameter. Consequently, $$ \sum_{m\ge1}|r_m(x)|\le1\qquad(x\in K). $$ Furthermore, $$ \sup_{\theta\in\mathbb T}\|\pi_\theta\|_{\mathrm{TV}}\le C_t, \qquad \max_{x,y\in K}\|P^{(t)}_{x,y}\|_{\mathrm{TV}}=C_t. $$ The maximum is attained at $(0_K,x_1^+)$ for finite $t\ge0$, at $(x_1^+,x_1^-)$ for finite $t<0$, and at $(0_K,0_K)$ for $t=\infty$. **Proof.** If $|t|<1$, direct substitution gives $$ d'_m(1-p_m)=1,\qquad -d'_mp_m=t^m. $$ If $|t|>1$, it gives $$ d'_m(1-p_m)=t^{-m},\qquad -d'_mp_m=1. $$ For the formal parameter these two quantities are zero and one. This proves the formulas for $r_m$. Since the split fibers are pairwise disjoint and the displayed coefficients have absolute value at most one, the sum bound follows. For $|t|<1$, the coboundary identity follows by substituting $d'_m=1-t^m$. For $|t|>1$, one has $d'_m=t^{-m}(1-t^m)$, and the character factors cancel in the quotient. For $\infty$, the quotient is $-1$. In both finite cases, $|d'_m|$ is of the form $|1-s^m|$ with $|s|=\rho_t<1$, so $$ 1-\rho_t\le1-\rho_t^m\le|1-s^m|\le1+\rho_t^m\le1+\rho_t. $$ The formal case has absolute value one. At a split phase, for finite $t$, $$ \|\pi_{E_m}\|_{\mathrm{TV}}=\frac{1+|t|^m}{|1-t^m|}. $$ For $|t|<1$, the reverse triangle inequality bounds this by $(1+\rho_t^m)/(1-\rho_t^m)\le C_t$. For $|t|>1$, divide numerator and denominator by $|t|^m$ and apply the same argument to $t^{-1}$. All other phase slices are Dirac measures. The formal parameter also gives only Dirac slices. Rows with at least one non-split input are phase slices, and equal-sign split inputs give Dirac measures. For the remaining mixed row, theorem 25.9 gives $$ M_{m,n}(t):=\|P^{(t)}_{x_m^+,x_n^-}\|_{\mathrm{TV}} =\frac{|t|^n|t^m-1|+|t^n-1|}{|t^{m+n}-1|}. $$ The other mixed type has norm $M_{n,m}(t)$. When $r=|t|<1$, triangle and reverse triangle inequalities give the sign-independent estimate $$ M_{m,n}(t) \le\frac{1+2r^n+r^{m+n}}{1-r^{m+n}} \le\frac{1+2r+r^2}{1-r^2} =\frac{1+r}{1-r}=C_t. $$ This includes $t=0$. When $|t|>1$, multiplication by $|t|^{m+n}$ in the formula at $t^{-1}$ gives $$ M_{m,n}(t)=M_{n,m}(t^{-1}), $$ which reduces the estimate to the preceding case. Formal-parameter mixed rows are Dirac measures. This proves the bound for every row without a positivity assumption. For finite $t\ge0$, $$ \|P^{(t)}_{0_K,x_1^+}\|_{\mathrm{TV}} =\frac{1+t}{|1-t|}=C_t. $$ For finite $t<0$, the actual first mixed row simplifies to $$ P^{(t)}_{x_1^+,x_1^-} =\frac{t}{t+1}\delta_{x_2^+}+\frac1{t+1}\delta_{x_2^-}, $$ whose norm is $(1+|t|)/|t+1|=C_t$. The denominator is nonzero by the parameter restriction. Finally, $P^{(\infty)}_{0_K,0_K}=\delta_{0_K}$. These are actual input pairs, proving attainment. QED. **theorem 28.3 (The inverse away from the split phases is a homeomorphism).** The restricted map $$ H|_{K^\circ}:K^\circ\longrightarrow\mathbb T^\circ $$ is a homeomorphism for the subspace topologies, and hence a Borel isomorphism. In particular, $$ s(\theta)=\begin{cases} k_\theta,&\theta\notin E,\\ x_m^-,&\theta=E_m \end{cases} $$ defines a Borel section $s:\mathbb T\to K$ with $H\circ s=\operatorname{id}_{\mathbb T}$. **Proof.** The no-adjacent-ones condition defines a closed subset of the compact product $\{0,1\}^{\mathbb N}$, so $K$ is compact and metrizable. The series defining $F$ converges uniformly, because the absolute values of its terms are bounded by a summable geometric sequence. Each partial sum is continuous. Thus $F$, and consequently $H$, is continuous. The exact-fiber assumption makes the restriction a continuous bijection. To prove continuity of its inverse, fix $\theta\in\mathbb T^\circ$ and an open neighborhood $U\subseteq K$ of $k_\theta$. The set $H(K\setminus U)$ is compact and therefore closed in $\mathbb T$. It does not contain $\theta$, since $H^{-1}(\{\theta\})=\{k_\theta\}$. Hence $$ W=\mathbb T\setminus H(K\setminus U) $$ is an open neighborhood of $\theta$, and $k_\eta\in U$ for every $\eta\in W\cap\mathbb T^\circ$. This proves the inverse continuity; it does not require $K^\circ$ to be compact. Both $E$ and $S$ are countable Borel sets. For a Borel set $D\subseteq K$, the inverse image of $D$ under $s$ is the union of the Borel subset of $\mathbb T^\circ$ obtained from the inverse homeomorphism and a subset of the countable set $E$. It is therefore Borel in $\mathbb T$. The section identity follows from the fiber definitions. Choosing the other branch at any subset of the split phases also gives a Borel section, although the displayed choice will remain fixed. QED. **theorem 28.4 (Setwise integration of uniformly bounded signed kernels).** Let $X,Y$ be compact metric spaces. Suppose that $Q_y\in M(X)$ for every $y\in Y$, that $$ y\longmapsto Q_y(D),\qquad y\longmapsto |Q_y|(D) $$ are Borel for every Borel $D\subseteq X$, and that $\sup_y\|Q_y\|_{\mathrm{TV}}\le B<\infty$. For $\eta\in M(Y)$ define $$ I_Q\eta(D)=\int_Y Q_y(D)\,d\eta(y). $$ Then $I_Q\eta$ is a finite signed regular Borel measure, depends linearly on $\eta$, and satisfies $$ |I_Q\eta|(D)\le\int_Y|Q_y|(D)\,d|\eta|(y),\qquad \|I_Q\eta\|_{\mathrm{TV}}\le B\|\eta\|_{\mathrm{TV}}. $$ For every bounded real Borel function $f$ on $X$, the function $$ Qf(y)=\int_X f\,dQ_y $$ is Borel and bounded, and $$ \int_X f\,d(I_Q\eta)=\int_Y Qf\,d\eta. $$ All these integrals are scalar signed-measure integrals. For finite signed measures $\mu\in M(X)$ and $\eta\in M(Y)$, their signed product measure is intrinsic and satisfies $$ |\mu\otimes\eta|=|\mu|\otimes|\eta|. $$ Every bounded Borel function on $X\times Y$ satisfies signed Fubini, with either integration order. The same assertion holds for finitely many factors. The setwise measurability and measurable Jordan-part conditions are the signed-kernel conditions appearing in [Riccardo Passeggeri, *On the extension and kernels of signed bimeasures and their role in stochastic integration*, Theorem 3.4(d)–(e′)](https://arxiv.org/html/2009.10657v2). The positive-measure Fubini theorem used below is [Stephan Tornier, *Haar Measures*, Theorem 1.11](https://arxiv.org/html/2006.10956v1). **Proof.** Each defining integrand is bounded by $B$, so it is integrable against every finite signed $\eta$. If $D_j$ are pairwise disjoint Borel sets, then $$ Q_y\Bigl(\bigcup_{j=1}^N D_j\Bigr)\longrightarrow Q_y\Bigl(\bigcup_{j\ge1}D_j\Bigr), $$ and all the expressions on the left have absolute value at most $B$. Dominated convergence against $|\eta|$ proves countable additivity of $I_Q\eta$. The set function $$ R(D)=\int_Y|Q_y|(D)\,d|\eta|(y) $$ is a finite positive Borel measure by monotone convergence, with $R(X)\le B\|\eta\|_{\mathrm{TV}}$. For every finite Borel partition $D=\bigsqcup_i D_i$, $$ \sum_i|I_Q\eta(D_i)| \le\int_Y\sum_i|Q_y(D_i)|\,d|\eta|(y) \le R(D). $$ Taking the supremum over these partitions proves the variation domination and norm bound. For completeness, every finite positive Borel measure on a compact metric space is regular. An open set is an increasing union of compact subsets, obtained from positive distance to its closed complement. The class of Borel sets admitting inner compact and outer open approximations is closed under complements. It is closed under countable unions: choose outer open approximations with summable errors; for inner approximation, first retain finitely many members of the union up to a small measure error and then take a finite union of their compact approximations. Thus this class contains the Borel sigma-algebra. Apply this argument to the positive and negative parts of $I_Q\eta$. This also shows why a merely Borel section in theorem 28.3 still produces regular measures here. The standard regularity statement is also [Tausk, Lemma 3.4 and Corollary 3.5](https://www.ime.usp.br/~tausk/texts/WeakTopologyMeasures.pdf). For a simple Borel function $f$, measurability of $Qf$ and the integration identity follow by finite linearity. Every bounded real Borel function has uniformly convergent simple approximations $f_j$. Since $$ |Q(f_j-f)(y)|\le B\|f_j-f\|_\infty, $$ the functions $Qf_j$ converge uniformly to $Qf$. Passing to the limit on both sides proves the assertion for every bounded Borel $f$. Linearity and independence of any representation of $\eta$ as a difference of positive measures follow from the intrinsic scalar signed integral. For the product assertion, the four products of the Jordan parts define a finite signed measure whose value on a measurable rectangle is $\mu(A)\eta(B)$. Finite signed measures on the product sigma-algebra are determined by rectangles, by the pi-lambda theorem applied to their difference. Consequently any other positive-minus-positive decompositions produce the same measure, and this construction is bilinear. Alternatively, write $$ \mu=h_\mu|\mu|,\qquad \eta=h_\eta|\eta|, $$ where the measurable signs have absolute value one almost everywhere with respect to the corresponding variation measures. The product measure has density $h_\mu(x)h_\eta(y)$ with respect to $|\mu|\otimes|\eta|$. This proves the variation identity. A bounded Borel function is absolutely integrable against that positive product, so positive-measure Fubini applied with these sign densities proves signed Fubini. Compact metric spaces have countable bases, hence their product Borel sigma-algebra is their Borel product sigma-algebra. Repeating the argument proves the finite-factor version. QED. **theorem 28.5 (The Borel affine lift, including signed atom corrections).** For every Borel $D\subseteq K$, both $$ \theta\longmapsto\pi_\theta(D),\qquad \theta\longmapsto|\pi_\theta|(D) $$ are Borel. The formulas $$ L_t\nu(D)=\int_{\mathbb T}\pi_\theta(D)\,d\nu(\theta),\qquad \nu\in M(\mathbb T), $$ define a bounded linear map $L_t:M(\mathbb T)\to M(K)$ satisfying $$ \|L_t\nu\|_{\mathrm{TV}}\le C_t\|\nu\|_{\mathrm{TV}},\qquad H_\#L_t\nu=\nu. $$ With the section of theorem 28.3, there is the actual total-variation-convergent formula $$ L_t\nu=s_\#\nu+\sum_{m\ge1}p_m\nu(\{E_m\})v_m. $$ In particular, $$ (L_t\nu)(\{x_m^+\})=p_m\nu(\{E_m\}),\qquad (L_t\nu)(\{x_m^-\})=(1-p_m)\nu(\{E_m\}). $$ No positivity of $p_m$ is required. **Proof.** For every Borel $D$, $$ \pi_\theta(D)=\mathbf1_D(s(\theta)) +\sum_{m\ge1}\mathbf1_{\{E_m\}}(\theta)p_m v_m(D). $$ At each phase the sum has at most one nonzero term, so this is a Borel function. The variation evaluation is $$ |\pi_\theta|(D)=\begin{cases} \mathbf1_D(k_\theta),&\theta\notin E,\\ |p_m|\mathbf1_D(x_m^+)+|1-p_m|\mathbf1_D(x_m^-),&\theta=E_m. \end{cases} $$ It is Borel for the same reason. Theorem 28.2 and theorem 28.4 therefore construct $L_t$ with the asserted bound and regularity. For any finite signed measure, finite partitions give $$ \sum_{m\ge1}|\nu(\{E_m\})|\le\|\nu\|_{\mathrm{TV}}. $$ Also $|p_m|\le C_t$ by theorem 28.2. Thus $$ \sum_{m\ge1}\|p_m\nu(\{E_m\})v_m\|_{\mathrm{TV}} \le2C_t\|\nu\|_{\mathrm{TV}}<\infty. $$ The displayed correction series converges in $M(K)$. Absolute scalar domination permits integration of the preceding Borel formula term by term and proves that its sum is exactly $L_t\nu$. Since $s$ chooses the negative branch, evaluating the series on the two singleton sets gives the claimed atom formulas. Finally, every $\pi_\theta$ has mass one and is supported on $H^{-1}(\{\theta\})$. Hence for every Borel $B\subseteq\mathbb T$, $$ \pi_\theta(H^{-1}(B))=\mathbf1_B(\theta). $$ Integrating proves $H_\#L_t\nu=\nu$. The construction uses setwise integration, not a total-variation Bochner integral. QED. **definition 28.6 (The original-circle measure algebra and the residual algebra).** On $M(\mathbb T)$ use the ordinary signed measure convolution $$ (\nu*_{\mathbb T}\xi)(B) =\int_{\mathbb T}\int_{\mathbb T}\mathbf1_B(\theta+\eta)\,d\xi(\eta)\,d\nu(\theta). $$ This is convolution of Borel measures on the original compact circle. It is not convolution on $\ell^1(\mathbb T_{\mathrm d})$. The usual measure-algebra convention is recalled in [Matthew Daws, *Characterising weakly almost periodic functionals on the measure algebra*, §2](https://arxiv.org/html/0904.0436v2). Let $$ \mathcal S=\ell^1(\mathbb N_{>0}),\qquad \mathcal C=M(\mathbb T)\oplus_1\mathcal S, $$ with standard sequence vectors $e_m$ and $$ (g*_+h)_k=\sum_{\substack{m,n\ge1\\m+n=k}}g_mh_n, $$ $$ (\nu,g)\diamond(\xi,h)=(\nu*_{\mathbb T}\xi,g*_+h),\qquad \|(\nu,g)\|_\oplus=\|\nu\|_{\mathrm{TV}}+\|g\|_1. $$ Cross products between the two summands are zero. In particular, $e_1*_+e_1=e_2$, and the first sequence coordinate of every residual product is zero. **theorem 28.7 (The integrated point kernel on all measures, with its sharp norm).** For every Borel $D\subseteq K$, the maps $$ (x,y)\longmapsto P^{(t)}_{x,y}(D),\qquad (x,y)\longmapsto|P^{(t)}_{x,y}|(D) $$ are Borel on $K^2$. The exact pointwise formula is $$ P^{(t)}_{x,y} =\pi_{H(x)+H(y)} +\sum_{m,n\ge1}\frac{r_m(x)r_n(y)}{d'_{m+n}}v_{m+n}. $$ At each input pair the sum has at most one nonzero term. For all $\mu,\eta\in M(K)$, the formula $$ (\mu\star_t\eta)(D) =\int_K\int_K P^{(t)}_{x,y}(D)\,d\eta(y)\,d\mu(x) $$ defines a bounded bilinear commutative operation on $M(K)$. Its outputs are finite signed regular Borel measures, and $$ |\mu\star_t\eta|(D) \le\int_{K^2}|P^{(t)}_{x,y}|(D)\,d(|\mu|\otimes|\eta|)(x,y), $$ $$ \|\mu\star_t\eta\|_{\mathrm{TV}} \le C_t\|\mu\|_{\mathrm{TV}}\|\eta\|_{\mathrm{TV}},\qquad \|\star_t\|_{\mathrm{bil}}=C_t. $$ It satisfies $$ \varepsilon_K(\mu\star_t\eta)=\varepsilon_K(\mu)\varepsilon_K(\eta), $$ $$ H_\#(\mu\star_t\eta)=(H_\#\mu)*_{\mathbb T}(H_\#\eta). $$ It is the unique operation satisfying the displayed setwise kernel-integration law for every pair of measures and every Borel set. This assertion is not uniqueness from agreement on Dirac measures. The operation takes every pair of positive measures to a positive measure exactly when $t\in\{0,\infty\}$. **Proof.** The finite inverse basis formulas give, pointwise, $$ \delta_x=\pi_{H(x)}+\sum_{m\ge1}\frac{r_m(x)}{d'_m}v_m, $$ with at most one nonzero summand. Multiplying these two finite expressions, using the zero cross products and the coboundary identity of theorem 28.2, proves the displayed row formula. The base term is Borel in every set evaluation by theorem 28.5 and continuity of addition and $H$. Every scalar summand in the correction is Borel, so the pointwise finite countable sum is Borel. In particular, ordinary nonexceptional output phases use their singleton measure, exceptional phases use the specified signed slice, and the remaining corrections occur only on the countable Borel set $S\times S$. For variation measurability, outside $S\times S$ the row is exactly $\pi_{H(x)+H(y)}$, whose variation evaluations are Borel. On $S\times S$, its variation evaluation is obtained by replacing values at countably many Borel singleton input pairs by the variations of their actual finite rows. Such a replacement preserves Borel measurability. Thus both kernel hypotheses of theorem 28.4 hold, with bound $C_t$. Apply that theorem to the signed product measure $\mu\otimes\eta$ on $K^2$. It gives countable additivity, variation domination, finite total variation and regularity. Signed Fubini gives both displayed iterated-integral interpretations. It also proves independence from choices of positive-minus-positive decompositions. Bilinearity follows from intrinsic signed integration and bilinearity of the signed product measure. The symmetry of the finite rows, followed by signed Fubini, gives commutativity. The variation estimate proves the bilinear upper bound. Each attaining pair from theorem 28.2 consists of two norm-one Dirac measures, and their product is its actual row. Therefore the bilinear norm is exactly $C_t$. Every row has mass one, so integration with $D=K$ proves the mass identity. Every row is supported in the phase fiber of $H(x)+H(y)$ and has mass one; consequently $$ P^{(t)}_{x,y}(H^{-1}(B))=\mathbf1_B(H(x)+H(y)). $$ Integrating, and using the pushforward integration formula in each variable, proves the phase-convolution identity for every Borel $B$. Equality on all Borel sets also proves uniqueness under the stated integration contract. Finally, a real signed measure of mass one and total variation one is positive: its Jordan decomposition has negative mass zero. When $t\in\{0,\infty\}$, theorem 28.2 therefore makes every row positive, and integration against positive input measures preserves positivity. At every other parameter, $C_t>1$ and an attaining row has mass one but variation greater than one, so it is not positive. Its two positive Dirac inputs disprove positivity of the operation. QED. **theorem 28.8 (The full phase kernel and the bounded coordinate isomorphism).** The phase pushforward has precisely the kernel $$ \ker H_\# =\left\{\sum_{m\ge1}b_mv_m:(b_m)_{m\ge1}\in\ell^1(\mathbb N_{>0})\right\}. $$ Every such series converges in total variation, and $$ \left\|\sum_{m\ge1}b_mv_m\right\|_{\mathrm{TV}}=2\sum_{m\ge1}|b_m|. $$ For $\mu\in M(K)$, define $$ R_t\mu=(g_m)_{m\ge1},\qquad g_m=\int_K r_m\,d\mu =d'_m\bigl((1-p_m)\mu(\{x_m^+\})-p_m\mu(\{x_m^-\})\bigr), $$ $$ \Phi_t\mu=(H_\#\mu,R_t\mu). $$ Then $\Phi_t:M(K)\to\mathcal C$ is a bounded linear bijection with inverse $$ \Psi_t(\nu,g)=L_t\nu+\sum_{m\ge1}\frac{g_m}{d'_m}v_m. $$ The bounds are $$ \|\Phi_t\mu\|_\oplus\le2\|\mu\|_{\mathrm{TV}}, $$ $$ \|\Psi_t(\nu,g)\|_{\mathrm{TV}} \le C_t\|\nu\|_{\mathrm{TV}}+\frac{2}{1-\rho_t}\|g\|_1 \le\frac{2}{1-\rho_t}\|(\nu,g)\|_\oplus. $$ In particular, $$ \frac{1-\rho_t}{2}\|\mu\|_{\mathrm{TV}} \le\|\Phi_t\mu\|_\oplus\le2\|\mu\|_{\mathrm{TV}}. $$ **Proof.** Suppose first that $H_\#\mu=0$. If $D\subseteq K^\circ$ is Borel, theorem 28.3 implies that $H(D)$ is Borel in $\mathbb T^\circ$, hence in $\mathbb T$. Uniqueness of these fibers gives $H^{-1}(H(D))=D$, and therefore $$ \mu(D)=(H_\#\mu)(H(D))=0. $$ Thus the restriction of $\mu$ to $K^\circ$ is zero as a signed measure, and $\mu$ is concentrated on $S$. On each split fiber, $$ \mu(\{x_m^+\})+\mu(\{x_m^-\})=(H_\#\mu)(\{E_m\})=0. $$ Set $b_m=\mu(\{x_m^+\})$. Countability of $S$ and finite variation now give $$ \mu=\sum_{m\ge1}b_mv_m,\qquad 2\sum_{m\ge1}|b_m|=\|\mu\|_{\mathrm{TV}}. $$ Conversely, every such absolutely convergent series has zero phase pushforward, since $H_\#v_m=0$ and pushforward is a contraction. This proves the kernel description using the Borel inverse, not density of atomic measures. For arbitrary $\mu$, the simplified formulas in theorem 28.2 give $$ \sum_{m\ge1}|g_m| \le\sum_{m\ge1}\bigl(|\mu(\{x_m^+\})|+|\mu(\{x_m^-\})|\bigr) =|\mu|(S)\le\|\mu\|_{\mathrm{TV}}. $$ Also $\|H_\#\mu\|_{\mathrm{TV}}\le\|\mu\|_{\mathrm{TV}}$, by the variation inequality for pushforward, or directly by taking preimages of finite partitions. Thus $\Phi_t$ is well-defined and has the forward bound. The lower bound on $|d'_m|$ proves absolute total-variation convergence of the inverse series and yields its stated estimate. On the phase lift, theorem 28.5 gives $$ R_tL_t\nu=0. $$ Indeed, each coordinate equals $d'_m((1-p_m)p_m-p_m(1-p_m))\nu(\{E_m\})=0$. Furthermore, $$ H_\#(v_m/d'_m)=0,\qquad R_t(v_m/d'_m)=e_m. $$ Boundedness of these maps permits passage through the absolutely convergent inverse series, proving $\Phi_t\Psi_t=\operatorname{id}_{\mathcal C}$. For the other composition, put $\nu=H_\#\mu$. The measure $\mu-L_t\nu$ has zero phase pushforward and hence is a split-difference series by the first part of the proof. Its positive-branch coefficient is $$ \mu(\{x_m^+\})-p_m\nu(\{E_m\}) =(1-p_m)\mu(\{x_m^+\})-p_m\mu(\{x_m^-\}) =\frac{g_m}{d'_m}. $$ Thus $\Psi_t\Phi_t\mu=\mu$. Applying the inverse bound to $\Phi_t\mu$ proves the norm equivalence. QED. **theorem 28.9 (Multiplicativity on all measures and associativity).** The coordinate bijection is an algebra isomorphism: $$ \Phi_t(\mu\star_t\eta)=\Phi_t\mu\diamond\Phi_t\eta \qquad(\mu,\eta\in M(K)). $$ Consequently $\star_t$ is associative on all of $M(K)$, and $$ (M(K),\star_t)\cong M(\mathbb T)\oplus\ell^1(\mathbb N_{>0}) $$ as real algebras with bounded maps in both directions. The norm $$ N_t(\mu)=\|H_\#\mu\|_{\mathrm{TV}}+\|R_t\mu\|_1 $$ is complete, equivalent to total variation, and submultiplicative. The alternative norm $C_t\|\mu\|_{\mathrm{TV}}$ is also complete and submultiplicative. The unscaled total variation norm is submultiplicative exactly for $t\in\{0,\infty\}$. Writing $g=R_t\mu$ and $h=R_t\eta$, the full product formula is $$ \mu\star_t\eta =L_t\bigl((H_\#\mu)*_{\mathbb T}(H_\#\eta)\bigr) +\sum_{k\ge1}\frac{(g*_+h)_k}{d'_k}v_k. $$ In particular, $L_tM(\mathbb T)$ and $\ker H_\#$ are closed ideals whose cross products vanish. **Proof.** First, circle convolution is a contractive associative commutative product on $M(\mathbb T)$. Contractivity follows by pushforward under addition from $$ |\nu\otimes\xi|=|\nu|\otimes|\xi|. $$ For a bounded Borel test function and three input measures, both bracketings of circle convolution are the integral of $f(\theta+\eta+\zeta)$ against the same signed product measure. Its absolute integral is bounded by the product of the three variation norms times $\|f\|_\infty$. Theorem 28.4 therefore justifies all changes of integration order and proves associativity; symmetry proves commutativity. Absolute summation proves the analogous assertions and norm bound for $*_+$. Hence $\diamond$ is associative, commutative and submultiplicative for $\|\cdot\|_\oplus$, and $\mathcal C$ is complete. The first coordinate of the desired multiplicativity is theorem 28.7. For a fixed positive integer $k$, the point-kernel formula and the identities used in theorem 28.8 give the exact scalar identity $$ (R_tP^{(t)}_{x,y})_k =\sum_{\substack{m,n\ge1\\m+n=k}}r_m(x)r_n(y). $$ The left side is a fixed finite linear combination of two singleton evaluations of the output measure. Consequently the defining setwise integration law permits this coordinate to pass through the integral. The sum on the right is finite. Signed Fubini and the product-function identity now give $$ \begin{aligned} (R_t(\mu\star_t\eta))_k &=\int_{K^2}(R_tP^{(t)}_{x,y})_k\,d(\mu\otimes\eta)(x,y)\\ &=\sum_{m+n=k}\left(\int_Kr_m\,d\mu\right)\left(\int_Kr_n\,d\eta\right)\\ &=(g*_+h)_k. \end{aligned} $$ This proves every residual coordinate for arbitrary signed measures, including non-atomic inputs. No approximation by atomic measures has been used. Since $\Phi_t$ is injective and $\diamond$ is associative, both bracketings of any triple product in $M(K)$ have the same image under $\Phi_t$ and are equal. Applying $\Psi_t$ to the coordinate product proves the full product formula. Its series converges absolutely because $$ \sum_{k\ge1}\left\|\frac{(g*_+h)_k}{d'_k}v_k\right\|_{\mathrm{TV}} \le\frac{2}{1-\rho_t}\|g*_+h\|_1 \le\frac{2}{1-\rho_t}\|g\|_1\|h\|_1. $$ The norm $N_t$ is the pullback of the complete submultiplicative direct-sum norm. Its equivalence to total variation is theorem 28.8. The sharp bilinear bound gives $$ C_t\|\mu\star_t\eta\|_{\mathrm{TV}} \le(C_t\|\mu\|_{\mathrm{TV}})(C_t\|\eta\|_{\mathrm{TV}}). $$ When $C_t>1$, an attaining pair of unit-norm Dirac measures disproves submultiplicativity of the unscaled norm. When $C_t=1$, that norm is submultiplicative by theorem 28.7. Finally, the two coordinate summands are closed ideals with zero cross products, and their inverse images are exactly the two asserted ideals. QED. **theorem 28.10 (Atomic and non-atomic signed parts are linear projections).** Let $X$ be a compact metric space. Every $\mu\in M(X)$ has a unique decomposition $$ \mu=\mu_{\mathrm{at}}+\mu_{\mathrm{na}},\qquad \mu_{\mathrm{at}}=\sum_{x\in X}\mu(\{x\})\delta_x, $$ where the sum has at most countably many nonzero terms and converges in total variation, while $\mu_{\mathrm{na}}$ is non-atomic. Here non-atomic means that its variation measure has no atoms, not that it is absolutely continuous with respect to Haar measure. The two parts are mutually singular in variation and satisfy $$ \|\mu\|_{\mathrm{TV}}=\|\mu_{\mathrm{at}}\|_{\mathrm{TV}}+\|\mu_{\mathrm{na}}\|_{\mathrm{TV}}. $$ Both assignments are bounded linear projections of norm at most one. Their ranges $M_{\mathrm{at}}(X)$ and $M_{\mathrm{na}}(X)$ are closed. On the circle, $M_{\mathrm{at}}(\mathbb T)$ is a convolution subalgebra, $M_{\mathrm{na}}(\mathbb T)$ is a convolution ideal, and $$ (\nu*_{\mathbb T}\xi)_{\mathrm{at}} =\nu_{\mathrm{at}}*_{\mathbb T}\xi_{\mathrm{at}}. $$ In particular, $$ a:M(\mathbb T)\to\mathbb R,\qquad a(\nu)=\nu_{\mathrm{na}}(\mathbb T) $$ is a bounded linear functional with $|a(\nu)|\le\|\nu\|_{\mathrm{TV}}$, and vanishes on every atomic measure. It is not asserted to be multiplicative. This classical measure-algebra decomposition is recalled in [Daws, §3, the paragraph immediately preceding Lemma 3.7](https://arxiv.org/html/0904.0436v2). **Proof.** For every positive integer $j$, there are only finitely many points with $|\mu(\{x\})|\ge1/j$, since any finite collection of them contributes its absolute masses to a variation bound. Thus $$ A_\mu=\{x:\mu(\{x\})\ne0\} $$ is countable and $$ \sum_{x\in A_\mu}|\mu(\{x\})|\le\|\mu\|_{\mathrm{TV}}. $$ The atomic series is therefore a measure in $M(X)$ and equals the restriction of $\mu$ to $A_\mu$. Its difference from $\mu$ is the restriction to $X\setminus A_\mu$. Since $|\mu|(\{x\})=|\mu(\{x\})|$, the latter restriction has zero variation on every singleton. The two restrictions are mutually singular, which proves the norm identity. On a compact metric space, a finite positive Borel measure with no singleton atoms has no atoms at all. Indeed, construct refining finite Borel partitions whose mesh tends to zero. If a Borel set were an atom of positive mass, in each partition exactly one cell would contain its full mass. These cells can be selected nested. Continuity from above then gives full positive mass to their intersection with the atom, while the vanishing mesh makes that intersection contain at most one point. This would be a singleton atom. Apply this argument to the variation of the non-atomic restriction. Linearity of the atomic part does not require the sets $A_\mu$ to be fixed as $\mu$ varies. For two measures, work on the countable union of their atomic sets. At every point, singleton evaluation is linear; the corresponding absolutely convergent atomic series is therefore linear as well. The non-atomic part is the difference from the identity and is consequently linear. The norm identity proves contractivity. Uniqueness follows because the non-atomic part has zero singleton masses and an atomic measure is determined by its singleton masses. The projection identities and closed ranges follow. On $\mathbb T$, the convolution of two atomic measures is the absolutely convergent series of products of their atom coefficients at summed phases, so it remains atomic. If $\nu$ is non-atomic and $\xi$ is arbitrary, signed Fubini gives, for each $\theta$, $$ (\nu*_{\mathbb T}\xi)(\{\theta\}) =\int_{\mathbb T}\nu(\{\theta-\eta\})\,d\xi(\eta)=0. $$ Thus this convolution is non-atomic. Commutativity handles the other order. Expanding the two atomic/non-atomic decompositions proves the atomic-part convolution identity. Finally, $a$ is the composition of the non-atomic projection and the mass functional, both contractive linear maps. QED. **theorem 28.11 (The Haar lift and the proper atomic completion).** Let $\lambda$ be normalized Haar measure on the original circle. Its existence as a regular probability measure follows from the classical Haar theorem; see [Tornier, Definition 2.1, Theorem 2.2 and Proposition 2.9](https://arxiv.org/html/2006.10956v1). Then $$ \mathfrak m=L_t\lambda=s_\#\lambda $$ is a non-atomic probability measure on $K$, independent of $t$ and independent of the branch choices at the split phases. It satisfies $$ H_\#\mathfrak m=\lambda,\qquad R_t\mathfrak m=0,\qquad \mathfrak m\star_t\mathfrak m=\mathfrak m. $$ The atomic measures form a closed proper subalgebra $$ M_{\mathrm{at}}(K)\cong\ell^1(K_{\mathrm d})\subsetneq M(K), $$ with the isometric atomic embedding and the multiplication of Section 27. Under $\Phi_t$, this entire atomic subalgebra corresponds to $$ \mathcal C_{\mathrm{at}}=M_{\mathrm{at}}(\mathbb T)\oplus\mathcal S. $$ For every atomic signed measure $\alpha$ on $K$, the exact individual distance is $$ \|\mathfrak m-\alpha\|_{\mathrm{TV}}=1+\|\alpha\|_{\mathrm{TV}}. $$ Consequently, $$ \operatorname{dist}_{\mathrm{TV}}(\mathfrak m,M_{\mathrm{at}}(K))=1. $$ The distance to each atomic probability measure is two. Thus the distance one is a distance to the atomic signed subspace, not the distance to every member of that subspace. **Proof.** Translation invariance makes all singleton Haar masses equal. For any positive integer $N$, selecting $N$ distinct points bounds this common mass by $1/N$, so it is zero. Hence $\lambda$ is non-atomic by theorem 28.10, and $\lambda(E)=0$. The atom-correction formula of theorem 28.5 reduces to $L_t\lambda=s_\#\lambda$. This is a probability measure. For $x\in K$, $$ \mathfrak m(\{x\})=\lambda(s^{-1}(\{x\}))\le\lambda(\{H(x)\})=0, $$ so it is non-atomic. Changing the section only on $E$ does not change its pushforward of $\lambda$, and the formula has no remaining parameter dependence. The lift and residual identities have already been proved. Translation invariance also gives, for every Borel $B$, $$ (\lambda*_{\mathbb T}\lambda)(B) =\int_{\mathbb T}\lambda(B-\theta)\,d\lambda(\theta)=\lambda(B). $$ The coordinate product then proves the idempotent identity for $\mathfrak m$. Theorem 28.10 identifies atomic measures isometrically with absolutely summable point coefficients and proves their closedness. For atomic inputs, their signed product measure is itself an absolutely summable atomic measure on $K^2$. Thus the setwise integral in theorem 28.7 is the total-variation-convergent series $$ \sum_{x,y}\mu(\{x\})\eta(\{y\})P^{(t)}_{x,y}, $$ whose sum of term norms is at most $C_t\|\mu\|_{\mathrm{TV}}\|\eta\|_{\mathrm{TV}}$. It remains atomic and is exactly the discrete convolution extension. If $\mu$ is atomic, its phase pushforward is atomic. Conversely, if $\nu$ is atomic, $L_t\nu$ is atomic by its defining slices and absolute convergence, and the residual inverse series is atomic. This proves the assertion about $\mathcal C_{\mathrm{at}}$. For the distance formula, choose a countable Borel set supporting the variation of $\alpha$. The non-atomic measure $\mathfrak m$ assigns that set mass zero. Therefore $\mathfrak m$ and $|\alpha|$ are mutually singular and $$ |\mathfrak m-\alpha|=\mathfrak m+|\alpha|. $$ Taking total mass proves the individual formula; its infimum is one, attained at the zero atomic measure. Atomic probabilities have norm one, giving distance two. Finite atomic measures are dense in $M_{\mathrm{at}}(K)$ by truncation of absolutely convergent series, and their closure in $M(K)$ is precisely this closed proper subspace. Hence the total-variation completion of the finite coefficient space is still $\ell^1(K_{\mathrm d})$. Passing to all of $M(K)$ enlarges the permitted measures; it is not that completion. The same conclusion holds for the equivalent norms in theorem 28.9. QED. **theorem 28.12 (Setwise Borel measurability does not give norm-Borel measurability).** The maps $$ x\longmapsto\delta_x\in M(K),\qquad \theta\longmapsto\pi_\theta\in M(K) $$ are not Borel maps when the target is given its total variation norm topology. Nevertheless, their Borel-set evaluations are Borel. Moreover, the map $\theta\mapsto\pi_\theta$ is not strongly measurable for normalized Haar measure in the total variation norm, and $L_t\lambda$ cannot be interpreted as its total-variation Bochner integral. **Proof.** Distinct Dirac measures have total variation distance two. Also, for $\theta\ne\eta$, contraction of phase pushforward gives $$ \|\pi_\theta-\pi_\eta\|_{\mathrm{TV}} \ge\|\delta_\theta-\delta_\eta\|_{\mathrm{TV}}=2. $$ For any subset $A\subseteq\mathbb T$, the norm-open set $$ O_A=\bigcup_{\theta\in A}B_{\mathrm{TV}}(\pi_\theta,1) $$ has inverse image exactly $A$ under the phase-slice map. The circle has non-Borel subsets, so this map cannot be norm-Borel. The same argument applies to the Dirac map on $K$. Indeed, $K$ has cardinality continuum because it maps onto the circle and is a subspace of $\{0,1\}^{\mathbb N}$; its Borel sigma-algebra has cardinality at most continuum, whereas its power set is larger. The scalar set evaluations were proved Borel in theorem 28.5, and are immediate for Dirac measures. A strongly measurable Banach-valued function is, outside a null set, contained in the closure of the countable union of the ranges of its simple approximations, hence in a norm-separable set. A norm-separable set contains at most countably many members of a family whose distinct elements are separated by distance at least two. Thus strong measurability of $\theta\mapsto\pi_\theta$ would force a full Haar-measure set of phases to be countable. This contradicts non-atomicity of $\lambda$. Since Bochner integrability requires strong measurability, the proposed Bochner interpretation is impossible. The setwise construction of $L_t\lambda$ is unaffected. QED. **theorem 28.13 (Explicit nonuniqueness despite agreement on the entire atomic algebra).** For each $\tau\in\mathbb R$, define $$ U_\tau(\nu,g)=(\nu,g+\tau a(\nu)e_1) \qquad((\nu,g)\in\mathcal C), $$ where $a$ is the bounded linear functional of theorem 28.10. Then $U_\tau$ is a bounded linear isomorphism with inverse $U_{-\tau}$ and $$ \|U_\tau\|\le1+|\tau|,\qquad \|U_\tau^{-1}\|\le1+|\tau|. $$ Define the transported product $$ z\diamond_\tau w =U_\tau^{-1}\bigl(U_\tau z\diamond U_\tau w\bigr). $$ This is a bounded associative commutative bilinear product. It agrees with $\diamond$ on the whole subalgebra $\mathcal C_{\mathrm{at}}$, has the same first-coordinate convolution, and preserves the first-coordinate mass character. The corresponding products on $M(K)$, $$ \mu\star_{t,\tau}\eta =\Psi_t\bigl(\Phi_t\mu\diamond_\tau\Phi_t\eta\bigr), $$ are bounded associative commutative extensions of the entire atomic algebra. They preserve mass and the usual phase convolution, and satisfy the same point rows $$ \delta_x\star_{t,\tau}\delta_y=P^{(t)}_{x,y} \qquad(x,y\in K). $$ Nevertheless they are pairwise distinct as $\tau$ varies. For $z=(\lambda,0)$, $$ z\diamond_\tau z=(\lambda,\tau^2e_2-\tau e_1), $$ and therefore $$ \mathfrak m\star_{t,\tau}\mathfrak m =\mathfrak m-\frac{\tau}{d'_1}v_1+\frac{\tau^2}{d'_2}v_2. $$ For every nonzero $\tau$, this product fails the setwise integration contract of theorem 28.7 and is not a positive operation. **Proof.** Linearity of $a$ proves linearity of $U_\tau$. Since $U_\tau$ does not change the first coordinate, applying $U_{-\tau}$ subtracts exactly the same correction and proves the inverse formula. The bound follows from $$ \|U_\tau(\nu,g)\|_\oplus \le\|\nu\|_{\mathrm{TV}}+\|g\|_1+|\tau|\,|a(\nu)| \le(1+|\tau|)\|(\nu,g)\|_\oplus. $$ The inverse has the identical bound. Transport through a linear isomorphism preserves bilinearity, associativity and commutativity. Explicitly, applying $U_\tau$ to either bracketing of a triple product gives the corresponding bracketing of $U_\tau z\diamond U_\tau w\diamond U_\tau u$. Also, $$ \|z\diamond_\tau w\|_\oplus \le(1+|\tau|)^3\|z\|_\oplus\|w\|_\oplus. $$ Thus the transported product is bounded. Its complete submultiplicative norm can be taken to be $\|U_\tau z\|_\oplus$. For $z=(\nu,g)$ and $w=(\xi,h)$, direct expansion gives $$ \begin{aligned} z\diamond_\tau w =\bigl(\nu*_{\mathbb T}\xi,\;&g*_+h +\tau a(\nu)(e_1*_+h) +\tau a(\xi)(g*_+e_1)\\ &+\tau^2a(\nu)a(\xi)e_2 -\tau a(\nu*_{\mathbb T}\xi)e_1\bigr). \end{aligned} $$ Only linearity of $a$ is used; no multiplicativity assumption about it is needed. This formula proves directly that the first coordinate remains the ordinary circle convolution. Since its mass is the product of the two input masses, the mass character is preserved. For every member of $\mathcal C_{\mathrm{at}}$, its first coordinate is atomic and hence has $a$ equal to zero. Thus $U_\tau$ is the identity on this whole subspace. The product of two such elements remains in $\mathcal C_{\mathrm{at}}$, because atomic circle measures form a convolution subalgebra. The inverse shear is therefore also the identity on their product, proving agreement on the full atomic subalgebra, not merely on finite sums or Dirac pairs. The bounded coordinate isomorphisms transport these properties to $M(K)$. For example, an explicit sufficient total variation bound is $$ \|\mu\star_{t,\tau}\eta\|_{\mathrm{TV}} \le\frac{8(1+|\tau|)^3}{1-\rho_t} \|\mu\|_{\mathrm{TV}}\|\eta\|_{\mathrm{TV}}. $$ No sharpness is claimed for this estimate. Every Dirac measure belongs to the atomic subalgebra, giving the stated identical point rows. Finally, $a(\lambda)=1$ and $\lambda*_{\mathbb T}\lambda=\lambda$. Hence $$ U_\tau z=(\lambda,\tau e_1),\qquad U_\tau z\diamond U_\tau z=(\lambda,\tau^2e_2). $$ Applying the inverse shear gives the asserted Haar test. Its first residual coefficient is $-\tau$, so distinct real parameters give distinct products, including parameters with opposite signs. The original setwise integral of the same rows against $\mathfrak m\otimes\mathfrak m$ is $\mathfrak m$, by theorem 28.11. In contrast, for $\tau\ne0$, $$ (\mathfrak m\star_{t,\tau}\mathfrak m)(\{x_1^+\})=-\frac{\tau}{d'_1}\ne0, $$ whereas $\mathfrak m(\{x_1^+\})=0$. Thus the sheared product fails that integration law on an actual Borel set. Moreover, the masses at $x_1^+$ and $x_1^-$ are nonzero opposites, because $\mathfrak m$ has no atoms and the second split fiber is disjoint from the first. One is negative. Therefore two positive input probabilities can have a nonpositive output. These sheared extensions are not probability-kernel integrations, even when their common point rows are probability measures. QED. **theorem 28.14 (The global joint weak-star obstruction remains).** No globally jointly continuous product $$ M(K)\times M(K)\longrightarrow M(K) $$ for the topology $\sigma(M(K),C(K))$ on each measure space can agree with the prescribed point rows. In particular, neither the integrated product nor any sheared extension can have this global joint weak-star continuity. This concerns weak-star continuity, not total variation boundedness or the Banach weak topology. **Proof.** The Dirac map from the original compact $K$ into $M(K)$ is weak-star continuous, because $$ \int_K f\,d\delta_x=f(x)\qquad(f\in C(K)). $$ This standard observation is [Tausk, Proposition 4.1 and its proof](https://www.ime.usp.br/~tausk/texts/WeakTopologyMeasures.pdf). A globally jointly weak-star continuous product agreeing on Diracs would therefore make $$ (x,y)\longmapsto P^{(t)}_{x,y} $$ continuous on $K^2$. The exact graph hypothesis gives $$ \Gamma(0_K,x_1^+)=\{x_1^+,x_1^-\}. $$ For each sign $s\in\{+,-\}$, membership of $(0_K,x_1^+,x_1^s)$ in the closure defining $\Gamma$ supplies a sequence of genuine natural-number input pairs with $$ Z(a_j^s)\longrightarrow0_K,\qquad Z(b_j^s)\longrightarrow x_1^+,\qquad Z(a_j^s+b_j^s)\longrightarrow x_1^s. $$ These are simultaneous approximations of the input pair and its actual finite sum. Finite-core consistency gives $$ P^{(t)}_{Z(a_j^s),Z(b_j^s)}=\delta_{Z(a_j^s+b_j^s)}. $$ Consequently the two output sequences have weak-star limits $\delta_{x_1^+}$ and $\delta_{x_1^-}$. They are distinct: a digit coordinate at which the two points differ is a continuous function separating the limits. Interleaving the input sequences still gives convergence to $(0_K,x_1^+)$, but the corresponding continuous-test integrals have two different subsequential limits. The point-row map is therefore discontinuous there, independently of the parameter and independently of whether its value at that pair is itself a Dirac measure. This contradicts the proposed global joint continuity. QED. ## 追加锚（本行以下为增补区） ## 29. 原数字拓扑下的弱星拓扑中心与参数无关无原子理想 **定义 29.0（原载体、实测度与核记号）。** 沿用第25节的原数字载体及相位映射 $$ K=\{x\in\{0,1\}^{\mathbb N}:x_jx_{j+1}=0\text{ 对所有 }j\},\qquad d_K(x,y)=\sum_{j\ge0}2^{-j-1}|x_j-y_j|, $$ $$ \phi=\frac{1+\sqrt5}{2},\qquad \alpha=\phi^{-1},\qquad H(x)=\left[\sum_{j\ge0}(-1)^{j+1}\alpha^{j+2}x_j\right]\in\mathbb T=\mathbb R/\mathbb Z. $$ 记 $$ E_m=[-m\phi],\qquad E=\{E_m:m\ge1\},\qquad S=H^{-1}(E),\qquad \mathcal O_+=\{[n\phi]:n\ge0\}. $$ 分裂纤维的定向点仍为 $x_m^+,x_m^-$，非分裂纤维的唯一点记为 $k_\theta$。记 $M(K)$ 为全部有限实有符号正则 Borel 测度，$C(K)$ 为实连续函数空间，并置 $$ \|\mu\|_{\mathrm{TV}}=|\mu|(K),\qquad \langle\mu,f\rangle=\int_K f\,d\mu,\qquad M_c(K)=\{\mu\in M(K):\mu(\{x\})=0\text{ 对每个 }x\in K\}. $$ 这里的无原子条件约束每个单点质量，不是仅要求总质量为零。圆周上的 $M(\mathbb T)$ 与 $M_c(\mathbb T)$ 同样定义。对 Borel 映射 $R$，推前定义为 $R_\#\mu(D)=\mu(R^{-1}(D))$。由 Riesz 表示定理，$M(K)=C(K)^*$，本文的弱星拓扑严格指 $$ \sigma(M(K),C(K)), $$ 而不是 $\sigma(M(K),M(K)^*)$ 或总变差范数拓扑。[^rro29-riesz] 取 $$ \Lambda=(\mathbb R\setminus\{-1,1\})\sqcup\{\infty\},\qquad P_t=P^{(t)},\qquad v_m=\delta_{x_m^+}-\delta_{x_m^-}, $$ 其中 $P^{(t)}$ 是定义25.8的固定点核，$\infty$ 是独立的形式参数。$\pi_\theta,p_m,c_{m,n}$ 均使用该参数在第25节中的值。行界记为 $$ C_t=\frac{1+|t|}{\bigl|1-|t|\bigr|}\quad(t\ne\infty),\qquad C_\infty=1. $$ **假设 29.1（精确几何与全测度逐集合积分契约）。** 采用假设25.1的精确相位纤维及精确闭图公式、假设26.1的任意提升严格单侧收敛，以及定理25.6—25.9的有限核恒等式和定理27.2的统一行界。特别，$K$ 紧致，$H$ 连续满射， $$ H^{-1}(\{E_m\})=\{x_m^+,x_m^-\},\qquad H^{-1}(\{\theta\})=\{k_\theta\}\quad(\theta\notin E),\qquad H^{-1}(\{[n\phi]\})=\{Z(n)\}\quad(n\ge0). $$ 闭集 $\Gamma\subseteq K^3$ 是实际有限加法图的闭包，每行满足 $$ P_t(a,x)(K)=1,\qquad \operatorname{supp}P_t(a,x)\subseteq\Gamma(a,x)\subseteq H^{-1}(\{H(a)+H(x)\}),\qquad \|P_t(a,x)\|_{\mathrm{TV}}\le C_t. $$ 若 $\theta\notin E$，则相位 $\theta$ 的纤维为单点；若 $\epsilon_n>0$ 趋于零，且任意所选提升满足 $H(y_n)=E_j+[s\epsilon_n]$，其中 $s\in\{+1,-1\}$ 固定，则 $y_n\to x_j^s$。 对每个所讨论的参数 $t$，另假定给定有界双线性运算 $$ \star_t:M(K)\times M(K)\longrightarrow M(K), $$ 并满足以下逐集合契约：对每个 Borel 集 $D\subseteq K$，函数 $(a,x)\mapsto P_t(a,x)(D)$ 在 $K^2$ 上联合 Borel 可测，且 $$ (\mu\star_t\nu)(D)=\int_K\left(\int_K P_t(a,x)(D)\,d\mu(a)\right)d\nu(x). $$ 各行均为有限实有符号测度，且具有上述统一总变差界。本节关于全测度乘法的结论均以这一契约为前提。这里的有界有符号核及其积分算子采用通常的逐集合可测定义。[^rro29-kernel] **定理 29.2（直接有符号积分恒等式与结合交换律）。** 对任意有界 Borel 实函数 $f$，定义 $$ P_{t,f}(a,x)=\int_K f(z)\,dP_t(a,x)(z). $$ 该函数联合 Borel 可测，并且 $$ |P_{t,f}(a,x)|\le C_t\|f\|_\infty, $$ $$ \langle\mu\star_t\nu,f\rangle=\int_K\int_K P_{t,f}(a,x)\,d\mu(a)\,d\nu(x). $$ 这些积分可交换顺序。运算满足 $$ \|\mu\star_t\nu\|_{\mathrm{TV}}\le C_t\|\mu\|_{\mathrm{TV}}\|\nu\|_{\mathrm{TV}},\qquad (\mu\star_t\nu)(K)=\mu(K)\nu(K), $$ 且在全部 $M(K)$ 上结合、交换。 **证明。** 对简单 Borel 函数，$P_{t,f}$ 的可测性及测试积分公式直接来自逐集合契约和线性。任意有界 Borel 实函数均可由简单 Borel 函数一致逼近。行界给出 $$ \sup_{a,x}|P_{t,f}(a,x)-P_{t,g}(a,x)|\le C_t\|f-g\|_\infty, $$ 故一致极限仍可测，并给出所述界。测试积分公式的左边可用输出测度的有限总变差取一致极限，右边则由上述界取一致极限，因此公式对全部有界 Borel $f$ 成立。 对任意输入测度，实际绝对可积界为 $$ \int_K\int_K|P_{t,f}(a,x)|\,d|\mu|(a)\,d|\nu|(x)\le C_t\|f\|_\infty\|\mu\|_{\mathrm{TV}}\|\nu\|_{\mathrm{TV}}<\infty. $$ 将每个有符号输入写成其两个有限正 Jordan 部分，对所得四个正乘积测度应用 Fubini 定理，便可交换两个积分。此处使用联合 Borel 可测性、有限性及明确的绝对可积界，不仅使用两个迭代积分各自存在。相同的 Jordan 分解也把下文的有符号支配收敛化为对有限正变差测度的通常支配收敛。[^rro29-integration] 对 $\|f\|_\infty\le1$ 的连续函数取上确界，并使用 Riesz 等距表示，即得乘法范数估计。取 $f=1$，由每行质量为一得到质量恒等式。取两个点质量，逐集合契约给 $$ \delta_a\star_t\delta_x=P_t(a,x). $$ 因此第25节的每条有限线性组合恒等式，对这些有限测度同样成立。 第25节的点核交换律由其实际基乘法推出：相位基按圆周加法相乘，混合项为零，而 $c_{m,n}=c_{n,m}$。故 $P_t(a,x)=P_t(x,a)$。结合上面已经合法的有符号 Fubini，得到 $\mu\star_t\nu=\nu\star_t\mu$。 为证明全测度结合律，固定有界 Borel $f$，置 $$ A_f(a,b,c)=\int_K P_{t,f}(u,c)\,dP_t(a,b)(u),\qquad B_f(a,b,c)=\int_K P_{t,f}(a,v)\,dP_t(b,c)(v). $$ 有限点核的结合律给出每个有序三元组上的实际等式 $A_f(a,b,c)=B_f(a,b,c)$。二者均为 Borel 函数：带参数核积分的可测性先对函数 $\mathbf1_D(u)\mathbf1_F(c)$ 由逐集合可测性成立，再对有界单调极限使用每行有限变差的支配收敛；函数单调类定理遂覆盖全部有界联合 Borel 被积函数。并且 $$ |A_f(a,b,c)|,\ |B_f(a,b,c)|\le C_t^2\|f\|_\infty. $$ 两次应用已证的测试积分公式，并对有限 Jordan 部分应用 Fubini，得到 $$ \langle(\mu\star_t\nu)\star_t\omega,f\rangle=\iiint A_f(a,b,c)\,d\mu(a)\,d\nu(b)\,d\omega(c), $$ $$ \langle\mu\star_t(\nu\star_t\omega),f\rangle=\iiint B_f(a,b,c)\,d\mu(a)\,d\nu(b)\,d\omega(c). $$ 每次展开的绝对积分不超过 $$ C_t^2\|f\|_\infty\|\mu\|_{\mathrm{TV}}\|\nu\|_{\mathrm{TV}}\|\omega\|_{\mathrm{TV}}. $$ 逐点等式 $A_f=B_f$ 因而给出两种括号的积分相等。对指标函数取值即得测度相等。这一证明直接积分点核恒等式，没有使用原子测度在全测度空间中的总变差稠密性。证毕。 **定义 29.3（指定乘法的弱星拓扑中心）。** 对 $\mu\in M(K)$，定义 $$ L_\mu^{(t)}\nu=\mu\star_t\nu,\qquad \mathcal T_\mu^{(t)}f(x)=\int_K P_{t,f}(a,x)\,d\mu(a). $$ 令 $$ Z_{\mathrm{top}}(\star_t)=\{\mu\in M(K):L_\mu^{(t)}\text{ 在全部 }M(K)\text{ 上弱星连续}\}. $$ 这里弱星连续是相对于定义29.0的同一个拓扑，在定义域和陪域上均取 $\sigma(M(K),C(K))$。该定义采用左乘算子的全域弱星连续性这一通常的拓扑中心含义；不预先假设整个乘法具有任何一侧的全域弱星连续性。[^rro29-center] **定理 29.4（精确的前伴随判据）。** 对固定 $\mu$，以下条件等价：$\mu\in Z_{\mathrm{top}}(\star_t)$；对每个 $f\in C(K)$，实际有界 Borel 函数 $\mathcal T_\mu^{(t)}f$ 属于 $C(K)$。条件成立时， $$ \mathcal T_\mu^{(t)}:C(K)\longrightarrow C(K) $$ 是有界线性算子，且 $$ \|\mathcal T_\mu^{(t)}\|\le C_t\|\mu\|_{\mathrm{TV}},\qquad L_\mu^{(t)}=(\mathcal T_\mu^{(t)})^*. $$ **证明。** 对任意 $g\in C(K)$，$\langle\delta_x,g\rangle=g(x)$，故 $x\mapsto\delta_x$ 从 $K$ 到弱星测度空间连续。若 $L_\mu^{(t)}$ 弱星连续，则 $$ x\longmapsto\langle L_\mu^{(t)}\delta_x,f\rangle=\mathcal T_\mu^{(t)}f(x) $$ 是连续映射的复合，得到必要性。 反之，假定每个实际函数 $\mathcal T_\mu^{(t)}f$ 连续。积分线性及定理29.2的界表明它们组成所述有界线性算子。对任意 $\nu\in M(K)$，直接有符号积分给 $$ \langle L_\mu^{(t)}\nu,f\rangle=\int_K\mathcal T_\mu^{(t)}f(x)\,d\nu(x)=\langle\nu,\mathcal T_\mu^{(t)}f\rangle. $$ 因此它正是前伴随。若任意网 $\nu_i\to\nu$ 弱星收敛，对每个固定 $f\in C(K)$，右边按弱星收敛定义趋于 $\langle\nu,\mathcal T_\mu^{(t)}f\rangle$，所以 $L_\mu^{(t)}\nu_i\to L_\mu^{(t)}\nu$ 弱星收敛。这里不对输入网另加范数有界假设。判据约束全部连续测试在全部 $K$ 上的连续性，不是只检查若干输入处的点行连续性。证毕。 **定理 29.5（无原子测度的充分性）。** 对每个参数及每个 $\mu\in M_c(K)$， $$ \mu\in Z_{\mathrm{top}}(\star_t),\qquad \|\mathcal T_\mu^{(t)}\|\le\|\mu\|_{\mathrm{TV}}. $$ **证明。** 对实有符号测度，单点上的变差满足 $|\mu|(\{a\})=|\mu(\{a\})|$。因此无原子 $\mu$ 的变差对每个可数集合为零。 固定极限输入 $x$，考虑 $$ N_x=H^{-1}\bigl(E\cup(E-H(x))\bigr),\qquad E-H(x)=\{E_r-H(x):r\ge1\}. $$ 集合 $E$ 与 $E-H(x)$ 都可数，而每个 $H$ 纤维至多含两个点，所以 $N_x$ 可数，并且 $|\mu|(N_x)=0$。这同时涵盖固定分裂集与该输入所对应的平移分裂集。 设 $x_n\to x$，固定 $a\notin N_x$。此时 $H(a)+H(x)\notin E$，精确闭图给 $\Gamma(a,x)=\{w\}$。对任意 $w$ 的开邻域 $U$，最终有 $\Gamma(a,x_n)\subseteq U$。否则可取子列及 $w_n\in\Gamma(a,x_n)\setminus U$；由紧致性再取 $w_n$ 的收敛子列，闭图性使其极限属于 $\Gamma(a,x)$，同时属于闭集 $K\setminus U$，矛盾。 固定 $f\in C(K)$。利用行质量一、行支撑及统一总变差界，得到 $$ |P_{t,f}(a,x_n)-f(w)|\le C_t\sup_{z\in\Gamma(a,x_n)}|f(z)-f(w)|\longrightarrow0. $$ 且 $P_{t,f}(a,x)=f(w)$。所以被积函数对 $|\mu|$ 几乎处处收敛，差值由可积常数 $2C_t\|f\|_\infty$ 支配。对 $|\mu|$ 使用支配收敛，再用 Jordan 分解，得到 $$ \mathcal T_\mu^{(t)}f(x_n)\longrightarrow\mathcal T_\mu^{(t)}f(x). $$ 由于 $K$ 为度量空间，这证明实际函数连续。定理29.4给出弱星连续性。 对每个固定 $x$，在 $N_x$ 外的实际行是点质量，故还有 $$ |\mathcal T_\mu^{(t)}f(x)|\le\|f\|_\infty|\mu|(K). $$ 取上确界即得改进的算子范数界。证明只得到连续测试积分的收敛，并未把不同点质量误认为在总变差范数中相近。证毕。 **定理 29.6（Borel 截面与无原子相位提升）。** 对 $s\in\{+1,-1\}$，定义实际截面 $s_s:\mathbb T\to K$：当 $\theta\notin E$ 时，$s_s(\theta)=k_\theta$；当 $\theta=E_m$ 时，$s_s(\theta)=x_m^s$。这两个截面均为 Borel 映射，并满足 $H\circ s_s=\operatorname{id}_{\mathbb T}$。推前限制 $$ H_\#:M_c(K)\longrightarrow M_c(\mathbb T) $$ 是等距线性双射，其逆为任一 $(s_s)_\#$。特别，对 $\eta\in M_c(\mathbb T)$，两个截面给出同一个提升。 **证明。** 若 $F\subseteq K$ 闭，则 $H(F)$ 紧而闭，且 $$ s_s^{-1}(F)=\bigl(H(F)\setminus E\bigr)\cup\{E_m:x_m^s\in F\}. $$ 右边是 Borel 集，所以 $s_s$ 为 Borel 映射。截面恒等式由定义逐相位成立。 为说明这些 Borel 推前仍属于所指定的正则测度空间，先核对紧度量空间上有限 Borel 测度的正则性。对有限正 Borel 测度 $\xi$，闭集 $F$ 可由开集 $\{x:d(x,F)<1/n\}$ 从外逼近；由有限测度的向下连续性，外误差趋于零。开集 $U$ 可由闭集 $\{x:d(x,X\setminus U)\ge1/n\}$ 从内逼近；$U=X$ 时直接取 $X$。允许任意小紧内逼近及开外逼近误差的 Borel 集族对补集封闭。它也对可数并封闭：外逼近选可求和误差，内逼近先用有限性截取有限个集合使遗漏质量任意小，再取这些集合的有限个紧内逼近之并。该集族包含闭集，故包含全部 Borel 集。对有限有符号测度的两个 Jordan 部分分别应用，即得所需正则性。 任意 Borel 推前均满足 $$ \|R_\#\xi\|_{\mathrm{TV}}\le\|\xi\|_{\mathrm{TV}}, $$ 因为任意有限 Borel 分割的原像仍是可测分割。若 $\eta\in M_c(\mathbb T)$，则 $s_s^{-1}(\{x\})$ 至多为单点，故 $(s_s)_\#\eta$ 无原子。反之，若 $\mu\in M_c(K)$，每个 $H$ 纤维至多为二点，故 $H_\#\mu$ 无原子。 截面恒等式给 $H_\#(s_s)_\#\eta=\eta$。另一方面，$s_s\circ H$ 与 $\operatorname{id}_K$ 只可能在可数集 $S$ 上不同，而 $|\mu|(S)=0$，所以对每个 Borel $D$，其两个原像的对称差为 $|\mu|$ 零集。因此 $$ (s_s)_\#H_\#\mu=\mu. $$ 这证明互逆关系及截面选择无关性。对互逆映射分别使用推前范数不增，便得 $$ \|H_\#\mu\|_{\mathrm{TV}}=\|\mu\|_{\mathrm{TV}},\qquad \|(s_s)_\#\eta\|_{\mathrm{TV}}=\|\eta\|_{\mathrm{TV}}. $$ 整个逆构造使用了实际 Borel 截面，而不是集合基数比较。证毕。 **定理 29.7（共同闭理想、通常圆周卷积与 Haar 提升）。** 在原圆周上，以 $$ (\eta*_{\mathbb T}\beta)(B)=\int_{\mathbb T}\int_{\mathbb T}\mathbf1_B(\lambda+\rho)\,d\eta(\lambda)\,d\beta(\rho) $$ 表示通常的有限有符号测度卷积。对任意 $\mu,\nu\in M(K)$， $$ H_\#(\mu\star_t\nu)=(H_\#\mu)*_{\mathbb T}(H_\#\nu). $$ 若两个输入至少一个属于 $M_c(K)$，则对任一截面 $s_s$，都有更强的实际测度等式 $$ \mu\star_t\nu=(s_s)_\#\bigl((H_\#\mu)*_{\mathbb T}(H_\#\nu)\bigr)\in M_c(K), $$ $$ \|\mu\star_t\nu\|_{\mathrm{TV}}\le\|\mu\|_{\mathrm{TV}}\|\nu\|_{\mathrm{TV}}. $$ 因此只要所比较的运算均满足假设29.1，这个乘积就与参数无关。$M_c(K)$ 是所有这些代数共同的非零、真、总变差闭双侧理想，且 $$ H_\#:(M_c(K),\star_t)\longrightarrow(M_c(\mathbb T),*_{\mathbb T}) $$ 是等距实代数同构。通常测度代数中的连续测度理想采用的正是这种无单点原子的含义。[^rro29-ideal] 此外，若 $\mu\in M_c(K)$、$f\in C(K)$，则 $$ \mathcal T_\mu^{(t)}f=g_{\mu,f}\circ H,\qquad g_{\mu,f}(\theta)=\int_{\mathbb T}f(s_s(\lambda+\theta))\,d(H_\#\mu)(\lambda),\qquad g_{\mu,f}\in C(\mathbb T). $$ 令 $m_{\mathbb T}$ 为圆周上的归一化 Haar 测度，定义 $$ \lambda_K=(s_s)_\#m_{\mathbb T}. $$ 该定义与符号选择无关，且对每个 $\mu\in M(K)$， $$ \lambda_K\star_t\mu=\mu\star_t\lambda_K=\mu(K)\lambda_K. $$ **证明。** 圆周加法连续，因此上述通常卷积是有限有符号乘积测度在加法映射下的推前；有限 Jordan 分解及定理29.6证明中的正则性论证保证它是有限正则测度。其总变差不超过 $\|\eta\|_{\mathrm{TV}}\|\beta\|_{\mathrm{TV}}$。 对 Borel $B\subseteq\mathbb T$，点核的相位支撑及行质量给 $$ P_t(a,x)(H^{-1}(B))=\mathbf1_B(H(a)+H(x)). $$ 直接代入逐集合积分契约，再用推前的积分公式，即得对任意两个全测度成立的相位乘法恒等式。 现设 $\mu\in M_c(K)$。固定第二输入 $x$，除去定理29.5中的可数集 $N_x$ 后，和相位非分裂，故实际行准确等于 $$ P_t(a,x)=\delta_{s_s(H(a)+H(x))}. $$ 两个逐集合被积函数在 $N_x$ 上可能不同，但该集对 $|\mu|$ 为零。所以对每个 Borel $D\subseteq K$， $$ \int_K P_t(a,x)(D)\,d\mu(a)=\int_K\mathbf1_D(s_s(H(a)+H(x)))\,d\mu(a). $$ 右边的联合被积函数是 Borel 且有界。对 $x$ 积分，并应用有限有符号 Fubini 及两次推前公式，得到所述提升公式。 若 $\eta\in M_c(\mathbb T)$、$\beta\in M(\mathbb T)$，则对每个 $\theta\in\mathbb T$，直接有符号积分给 $$ (\eta*_{\mathbb T}\beta)(\{\theta\})=\int_{\mathbb T}\eta(\{\theta-\rho\})\,d\beta(\rho)=0. $$ 因此圆周卷积无原子。定理29.6表明其提升也无原子，并且两个截面产生同一个实际测度。所得公式不含参数，给出参数独立性。范数不等式由圆周卷积范数界及提升等距性得到。若第二输入无原子，则利用定理29.2已经由积分证明的交换律，得到同样结论。 每个单点评价 $\mu\mapsto\mu(\{x\})$ 都是总变差有界线性泛函，所以 $$ M_c(K)=\bigcap_{x\in K}\ker\bigl(\mu\mapsto\mu(\{x\})\bigr) $$ 是闭线性子空间。刚证明的乘积性质使其成为双侧理想。定理29.6的等距双射与相位乘法恒等式给出等距代数同构；在该理想上，总变差范数本身具有常数一的次乘性。 取第二输入为 $\delta_x$，提升公式给出所述 $g_{\mu,f}$ 的逐点表达。它表明 $\mathcal T_\mu^{(t)}f$ 在每个 $H$ 纤维上恒定，而该函数由定理29.5连续。连续满射 $H$ 从紧空间到 Hausdorff 空间，因而是闭商映射。具体地，对闭集 $F\subseteq\mathbb R$， $$ g_{\mu,f}^{-1}(F)=H\bigl((\mathcal T_\mu^{(t)}f)^{-1}(F)\bigr) $$ 为闭集，故 $g_{\mu,f}$ 连续。此结论不把截面本身称为连续映射。 归一化圆周 Haar 测度可取为 $[0,1)$ 上 Lebesgue 测度的商推前，因而无原子且质量为一。定理29.6保证其无原子提升唯一。圆周平移不变性及有符号积分给 $$ (m_{\mathbb T}*_{\mathbb T}\beta)(B)=\int_{\mathbb T}m_{\mathbb T}(B-\rho)\,d\beta(\rho)=m_{\mathbb T}(B)\beta(\mathbb T). $$ 对 $\beta=H_\#\mu$ 应用提升公式，得到 Haar 提升恒等式。$\lambda_K(K)=1$，所以共同理想非零；任一点质量不属于它，所以它是真理想。证毕。 **定理 29.8（全部有符号原子分解与连续柱集检测）。** 任意 $\mu\in M(K)$ 唯一分解为 $$ \mu=\mu_c+\mu_a,\qquad \mu_c\in M_c(K),\qquad \mu_a=\sum_{a\in A_\mu}\mu(\{a\})\delta_a, $$ 其中 $$ A_\mu=\{a\in K:\mu(\{a\})\ne0\} $$ 至多可数，级数在总变差范数中绝对收敛，并且 $$ \|\mu\|_{\mathrm{TV}}=\|\mu_c\|_{\mathrm{TV}}+\|\mu_a\|_{\mathrm{TV}},\qquad \|\mu_a\|_{\mathrm{TV}}=\sum_{a\in A_\mu}|\mu(\{a\})|. $$ 任意非零绝对可和原子测度 $\zeta$，都可由某个有限数字柱集的连续指示函数检测，即存在柱集 $U\subseteq K$ 使 $$ \mathbf1_U\in C(K),\qquad \langle\zeta,\mathbf1_U\rangle\ne0. $$ 特别，对任意绝对可和实序列 $(q_r)_{r\ge1}$， $$ \left\|\sum_{r\ge1}q_rv_r\right\|_{\mathrm{TV}}=2\sum_{r\ge1}|q_r|, $$ 该和是正则有符号测度，且它对全部连续测试为零当且仅当每个 $q_r=0$。 **证明。** 对每个正整数 $j$，集合 $\{a:|\mu(\{a\})|\ge1/j\}$ 有限，否则有限子集上的变差可以任意大。因此 $A_\mu$ 可数。单点分割给 $$ \sum_{a\in A_\mu}|\mu(\{a\})|\le|\mu|(K). $$ 由有符号测度的可数可加性及该绝对可和性，$\mu_a$ 正是 $\mu$ 在可数 Borel 集 $A_\mu$ 上的限制，$\mu_c$ 则是其在补集上的限制。逐点检查得 $\mu_c(\{a\})=0$。两个限制的变差集中于互不相交的 Borel 集，故范数相加。唯一性由每个单点质量唯一确定全部原子系数而得。 一般地，若不同点 $z_i$ 的实系数满足 $\sum_i|d_i|<\infty$，则 $$ \zeta(D)=\sum_{z_i\in D}d_i $$ 可数可加，其正负系数部分集中于不交可数集，故 $$ |\zeta|(D)=\sum_{z_i\in D}|d_i|. $$ 这也直接证明总变差绝对收敛。正则性还可不依赖一般正则性定理而核对：对 Borel $D$，从 $D$ 内的原子选有限子集，使遗漏质量任意小，得到紧内逼近；从全部原子选有限集 $F$ 使尾质量任意小，则开集 $K\setminus(F\setminus D)$ 包含 $D$，并给出同样小的外误差。 若 $\zeta\ne0$，选 $z$ 使 $d_z\ne0$，再选包含 $z$ 的有限原子集 $F$，使 $$ \sum_{y\notin F}|d_y|<|d_z|/2. $$ 每个 $F\setminus\{z\}$ 中的点与 $z$ 在某个有限位不同。取足够长的 $z$ 的前缀，其柱集 $U$ 包含 $z$ 而排除 $F\setminus\{z\}$。柱集在数字拓扑中既开又闭，所以 $\mathbf1_U$ 连续，且 $$ \left|\int_K\mathbf1_U\,d\zeta\right|\ge|d_z|-\sum_{y\notin F}|d_y|>|d_z|/2>0. $$ 因此无限原子的正负尾项也不能使所有连续测试同时看不见这个非零测度。 不同 $E_r$ 互异，每对 $x_r^+,x_r^-$ 中两点不同，故不同 $v_r$ 的有限二点支撑两两不交。将上述变差公式用于这些实际原子，就得到最后的准确范数公式及检测结论。这里比较的是各原子的实际系数，不要求无限原子集合的拓扑闭包彼此分离。 最后，若 $\eta\in M_c(K)$ 而 $\zeta$ 为可数原子测度，$|\eta|$ 对 $\zeta$ 的可数原子集为零，故 $$ \|\eta-\zeta\|_{\mathrm{TV}}=\|\eta\|_{\mathrm{TV}}+\|\zeta\|_{\mathrm{TV}}. $$ 因此非零无原子测度不可能由原子测度在总变差范数中逼近。证毕。 **定理 29.9（完整原子测度的两个单侧极限与精确跳跃）。** 设 $\sigma\in M(K)$ 为任意可数原子测度，并记 $$ \beta=H_\#\sigma,\qquad b_\lambda=\beta(\{\lambda\}),\qquad \sum_\lambda|b_\lambda|\le\|\sigma\|_{\mathrm{TV}}. $$ 对每个 $\theta\in\mathbb T$，存在两条非分裂输入序列 $y_n^+,y_n^-$，其相位分别从严格正侧、负侧趋于 $\theta$，使 $$ \sigma\star_t\delta_{y_n^s}\longrightarrow R_\theta^s:=\sum_\lambda b_\lambda\delta_{s_s(\lambda+\theta)}\quad\text{于 }\sigma(M(K),C(K)),\qquad s\in\{+1,-1\}. $$ 若 $\theta\notin E$，两条输入序列均趋于 $k_\theta$；若 $\theta=E_j$，则分别趋于 $x_j^+$、$x_j^-$。两个极限测度及其差都是正则有符号测度，且 $$ \|R_\theta^s\|_{\mathrm{TV}}\le\|\beta\|_{\mathrm{TV}},\qquad J_\theta:=R_\theta^+-R_\theta^-=\sum_{r\ge1}b_{E_r-\theta}v_r, $$ $$ \|J_\theta\|_{\mathrm{TV}}=2\sum_{r\ge1}|b_{E_r-\theta}|\le2\|\beta\|_{\mathrm{TV}}. $$ **证明。** 令 $A=\{a:\sigma(\{a\})\ne0\}$，这是实际原子集合，不是其可能更大的拓扑闭包。集合 $$ F_\sigma=E\cup\bigcup_{a\in A}(E-H(a)) $$ 可数。对每个 $n\ge1$ 和每个符号 $s$，可选 $$ 0<\epsilon_n^s<\min(1/4,1/n),\qquad \theta_n^s=\theta+[s\epsilon_n^s]\notin F_\sigma, $$ 因为非空圆周开弧不可能由可数集合耗尽。定义 $y_n^s=k_{\theta_n^s}$。若 $\theta$ 非分裂，紧致性及唯一纤维保证任意这些提升趋于 $k_\theta$：任何子列聚点都必须落在该唯一纤维。若 $\theta=E_j$，假设29.1的严格单侧任意提升结论给出对应的定向极限。 对每个实际原子 $a$，$H(a)+\theta_n^s\notin E$，所以实际核行准确为 $$ P_t(a,y_n^s)=\delta_{k_{H(a)+\theta_n^s}}. $$ 在逐集合积分中对可数原子求和，并按相位 regroup，得到 $$ \sigma\star_t\delta_{y_n^s}=\sum_\lambda b_\lambda\delta_{k_{\lambda+\theta_n^s}}. $$ 重排合法，因为原始系数的绝对和不超过 $\|\sigma\|_{\mathrm{TV}}$。特别，同一相位上的正负分支在此处以它们的完整相位质量相加，不能遗漏这种抵消。 对每个固定 $\lambda$，相位 $\lambda+\theta_n^s$ 以同一严格符号趋于 $\lambda+\theta$。若极限相位非分裂，其唯一提升给出收敛；若它是 $E_r$，严格单侧提升给出收敛至 $x_r^s$。因此对任意 $f\in C(K)$， $$ f(k_{\lambda+\theta_n^s})\longrightarrow f(s_s(\lambda+\theta)). $$ 各项由 $\|f\|_\infty|b_\lambda|$ 支配，而该系数族绝对可和。对级数使用支配收敛，得到声明的全部连续测试极限。定理29.8保证这些绝对可和原子和是实际正则测度。 两个截面只在 $E$ 上不同，所以极限差仅保留 $\lambda+\theta=E_r$ 的项，准确地给出 $J_\theta$。指标 $r$ 对应互异相位 $E_r-\theta$，故系数绝对和不超过 $\|\beta\|_{\mathrm{TV}}$；再用定理29.8的二点差分变差公式，得到准确范数。所有极限均为连续测试意义的弱星极限，不声称总变差收敛。证毕。 **定理 29.10（任意实有符号原子的排除与拓扑中心完全分类）。** 在假设29.1下，对每个 $t\in\Lambda$， $$ Z_{\mathrm{top}}(\star_t)=M_c(K). $$ 更具体地，若 $\mu$ 的原子部分非零，则存在有限数字柱集 $U$、点 $x\in K$ 及序列 $x_n\to x$，使 $$ \mathcal T_\mu^{(t)}\mathbf1_U(x_n)\not\longrightarrow\mathcal T_\mu^{(t)}\mathbf1_U(x). $$ 结论包括总质量为零、相位推前原子部分为零以及同一分裂纤维正负质量抵消的情形，也包括参数 $0$ 与形式参数 $\infty$。 **证明。** 无原子的充分性已经由定理29.5证明。拓扑中心是线性子空间，因为定理29.4中的连续函数条件对线性组合封闭。若 $\mu$ 属于拓扑中心，作定理29.8的分解 $\mu=\mu_c+\sigma$，其中 $\sigma=\mu_a$。由于 $\mu_c$ 已在中心中，$\sigma$ 也在中心中。因此必要性归结为证明：中心中的可数原子测度只能为零。 先对 $\sigma$ 使用定理29.9，记其完整相位质量为 $b_\lambda$。若 $\theta\notin E$，两条输入序列均趋于同一点 $k_\theta$。弱星连续性使它们的输出极限相同，故 $J_\theta=0$。由于 $J_\theta$ 是总变差绝对可和的正则原子测度，定理29.8给出 $$ b_{E_r-\theta}=0\qquad(r\ge1,\ \theta\notin E). $$ 现固定 $\lambda\notin\mathcal O_+$，取 $\theta=E_1-\lambda$。这个 $\theta$ 不属于 $E$：否则 $\theta=E_j$ 会推出 $$ \lambda=E_1-E_j=[(j-1)\phi]\in\mathcal O_+, $$ 矛盾。上式取 $r=1$ 得 $b_\lambda=0$。所以完整相位原子质量只能留在非负整数旋转轨道 $\mathcal O_+$ 上。 由于 $\phi$ 无理，$E\cap\mathcal O_+=\varnothing$，故每个分裂纤维的完整相位质量已经为零。非分裂纤维只有一个点，且 $[n\phi]$ 的唯一点为 $Z(n)$。因此 $\sigma$ 必有准确展开 $$ \sigma=\sum_{n\ge0}b_n\delta_{Z(n)}+\sum_{m\ge1}a_mv_m, $$ $$ b_n=\sigma(\{Z(n)\}),\qquad a_m=\sigma(\{x_m^+\})=-\sigma(\{x_m^-\}),\qquad \|\sigma\|_{\mathrm{TV}}=\sum_{n\ge0}|b_n|+2\sum_{m\ge1}|a_m|. $$ 第一项保留全部尚未排除的相位原子，第二项保留相位推前完全看不见的分支差分；两者不能混同。 固定 $j\ge1$。定理29.9在输入相位 $E_j$ 给出 $$ R_{E_j}^s=\sum_{n=0}^{j-1}b_n\delta_{x_{j-n}^s}+\sum_{n\ge j}b_n\delta_{Z(n-j)}, $$ 因为 $[n\phi]+E_j=E_{j-n}$ 当 $n0$，可数性保证存在 $y\in D_*$ 满足 $\eta(\{y\})>0$。将此质量分别全部放在该纤维的两个不同点上，并保持其他系数相同，得到两个不同正提升。这证明充要条件及其特别情形。 最后，$\rho\ge0$ 且 $h_\#\rho=0$ 时， $$ \rho(X)=(h_\#\rho)(Y)=0, $$ 故 $\rho=0$。这只是正锥与推前核的交为零，并不表示两个任意正测度的相同推前总能决定它们相等；两者之差未必正，多点纤维上的上述自由度正是区别。证毕。 **定理 30.2（正性与质量给出的自动全变差压缩）。** 设 $X$ 为非空紧度量空间，$B:M(X)^2\to M(X)$ 实双线性、保持正测度对的正性，并对全部正输入满足 $$ \varepsilon_X(B(\mu,\nu))=\varepsilon_X(\mu)\varepsilon_X(\nu). $$ 则对任意实有符号输入都有测度不等式及范数估计 $$ |B(\mu,\nu)|\le B(|\mu|,|\nu|),\qquad \|B(\mu,\nu)\|_{\mathrm{TV}} \le\|\mu\|_{\mathrm{TV}}\|\nu\|_{\mathrm{TV}}. $$ 质量恒等式也对全部实有符号输入成立，并且 $$ \|B\|_{\mathrm{bil}}=1. $$ 特别，假设30.0的全测度相位契约蕴含这里的质量前提。 正算子的自动连续性具有经典的一般理论，参见 Wolfgang Arendt、Robin Nittka，*Equivalent complete norms and positivity*，*Archiv der Mathematik* 92 (2009), 414–427，[定理2.8及例2.3(a)，作者公开全文](https://www.researchgate.net/publication/226200984_Equivalent_complete_norms_and_positivity)。正多线性映射的模支配也见 Geraldo Botelho、Vinícius C. C. Miranda，*Compact positive multilinear operators on Banach lattices*，[§1的正多线性映射定义之后](https://arxiv.org/html/2509.04652v1)。本结论中的精确常数由以下质量计算直接得到。 **证明。** 对任意 $\mu,\nu$ 取 Jordan 分解，定义两个正测度 $$ U=B(\mu^+,\nu^+)+B(\mu^-,\nu^-),\qquad V=B(\mu^+,\nu^-)+B(\mu^-,\nu^+). $$ 仅由双线性即有 $$ B(\mu,\nu)=U-V,\qquad B(|\mu|,|\nu|)=U+V. $$ 对任意 Borel 集 $A$ 的有限 Borel 分割 $A=\bigsqcup_i A_i$， $$ \sum_i |(U-V)(A_i)| \le\sum_i\bigl(U(A_i)+V(A_i)\bigr)=U(A)+V(A). $$ 取分割上确界得到 $|U-V|(A)\le U(A)+V(A)$，故得测度支配。再用质量前提于两个正测度 $|\mu|,|\nu|$，得到 $$ \|B(\mu,\nu)\|_{\mathrm{TV}} \le B(|\mu|,|\nu|)(X) =|\mu|(X)|\nu|(X). $$ 这没有先使用 $B$ 的任何连续性。对四个 Jordan 项分别读取质量，则得到全部有符号输入的质量恒等式。 正概率输入的输出是质量一的正测度，因而范数恰为一。由于 $X$ 非空，Dirac 概率存在；它们使双线性范数下界达到一，而已证估计给上界一。因此 $\|B\|_{\mathrm{bil}}=1$。 对满足假设30.0契约的 $B$，在相位等式上读取整个圆周的质量，得到 $$ B(\mu,\nu)(K) =\bigl((H_\#\mu)*_{\mathbb T}(H_\#\nu)\bigr)(\mathbb T) =\mu(K)\nu(K) $$ 对全部正输入成立。最后，$H_\#$ 线性、圆周卷积双线性，所以同样的四项 Jordan 展开还证明：相位契约对全部正输入成立，等价于它对全部实有符号输入成立。这里使用的是相位契约对四对 Jordan 正部的适用性，而不是从 Dirac 对推出全测度相位律。证毕。 **定理 30.3（含非原子因子的乘积完全由相位强制）。** 对原始 $H:K\to\mathbb T$，正测度 $\mu$ 非原子当且仅当 $H_\#\mu$ 非原子。设 $B$ 满足假设30.0的正性与全测度相位契约。若 $\mu,\nu\in M_+(K)$ 且至少一个非原子，则 $$ B(\mu,\nu) =s_\#\bigl((H_\#\mu)*_{\mathbb T}(H_\#\nu)\bigr), $$ 其输出非原子，且在 $S$ 上质量为零。 同一等式对全部实有符号 $\mu,\nu$ 仍成立，只要至少一个输入的全变差非原子；此时输出的全变差在 $S$ 上为零，且输出非原子。 **证明。** 先处理正测度。对任意 $\theta\in\mathbb T$，纤维有限给出 $$ (H_\#\mu)(\{\theta\}) =\sum_{x\in H^{-1}(\{\theta\})}\mu(\{x\}). $$ 故 $\mu$ 无单点原子时，其推前也无单点原子。反之， $$ 0\le\mu(\{x\})\le(H_\#\mu)(\{H(x)\}) $$ 给出逆向蕴含。在紧度量空间上，无单点原子等价于非原子性，所需论证已包含在定理28.10的有限网格分割证明中。 若 $\alpha,\beta$ 为圆周上的正测度，且 $\alpha$ 非原子，则对每个 $\theta$，由定理28.4的 Fubini 定理， $$ (\alpha*_{\mathbb T}\beta)(\{\theta\}) =\int_{\mathbb T}\alpha(\{\theta-\eta\})\,d\beta(\eta)=0. $$ 因此该卷积非原子；另一因子的情形由圆周卷积的交换律得到，不需要 $B$ 交换。这个非原子卷积理想是经典测度代数分解的一部分，参见 Matthew Daws，*Characterising weakly almost periodic functionals on the measure algebra*，[§3，引理3.7紧前的原子／非原子分解段落](https://arxiv.org/html/0904.0436v2)；其实有符号形式已在定理28.10证明。 令 $$ \omega=(H_\#\mu)*_{\mathbb T}(H_\#\nu). $$ 在本定理的正输入情形，$\omega$ 正且非原子，所以 $\omega(E)=0$。全测度相位律与输出正性给出 $$ B(\mu,\nu)\ge0,\qquad H_\#B(\mu,\nu)=\omega. $$ 定理30.1在 $D=E$ 时给出唯一正提升 $s_\#\omega$，因而得到所列等式。它在 $S$ 上的质量为 $\omega(E)=0$；对每个 $x$，又有 $$ (s_\#\omega)(\{x\}) =\omega(s^{-1}(\{x\})) \le\omega(\{H(x)\})=0. $$ 所以输出非原子。 现在令 $\mu$ 为实有符号非原子测度，$\nu$ 为任意实有符号测度。由于 $$ 0\le\mu^\pm\le|\mu|, $$ 两个 Jordan 部分 $\mu^\pm$ 均非原子。分别对四对正输入 $(\mu^\pm,\nu^\pm)$ 应用刚证结论，再按照双线性符号相加。Borel 推前 $s_\#$ 的线性及圆周卷积的双线性给出同一公式。每个正输出均在 $S$ 上为零且非原子；其有限有符号和也无单点质量，因而非原子，其全变差也在 $S$ 上为零。非原子因子位于第二槽时，同样在该槽取 Jordan 分解并应用正输入结论。 因此本证明从未将“有符号推前为零”误当成“原测度为零”。若允许任意有符号输出，$v_m=\delta_{x_m^+}-\delta_{x_m^-}$ 的推前确实为零；这里先在四个正输出上排除所有分裂质量，再取有限有符号和，故没有留下可由正负抵消掩盖的分裂残差。证毕。 **定理 30.4（正相位提升由点行唯一决定的显式公式）。** 设 $B:M(K)^2\to M(K)$ 满足假设30.0的正性与全测度相位契约，记其实际点行为 $$ Q_{x,y}=B(\delta_x,\delta_y). $$ 对任意 $\mu,\nu\in M(K)$，置 $$ \Omega_{\mu,\nu} =(H_\#\mu)*_{\mathbb T}(H_\#\nu) -(H_\#\mu_{\mathrm{at}})*_{\mathbb T}(H_\#\nu_{\mathrm{at}}). $$ 则 $\Omega_{\mu,\nu}$ 非原子，并且 $$ B(\mu,\nu) =\sum_{x,y\in K}\mu(\{x\})\nu(\{y\})Q_{x,y} +s_\#\Omega_{\mu,\nu}. $$ 级数只涉及两个输入实际原子集的乘积，在全变差中绝对收敛，且 $$ \sum_{x,y} \bigl\|\mu(\{x\})\nu(\{y\})Q_{x,y}\bigr\|_{\mathrm{TV}} =\|\mu_{\mathrm{at}}\|_{\mathrm{TV}}\, \|\nu_{\mathrm{at}}\|_{\mathrm{TV}}. $$ 因此，两个满足正性及全测度相位契约的实双线性运算，若在所有 Dirac 对上相同，则在整个 $M(K)^2$ 上相同。此结论不要求交换律、结合律或点行的联合 Borel 可测性。 **证明。** 定理30.2保证 $B$ 自动双线性压缩。每个 $Q_{x,y}$ 为正测度，质量一，所以 $$ \|Q_{x,y}\|_{\mathrm{TV}}=1. $$ 相位律还给 $$ H_\#Q_{x,y}=\delta_{H(x)+H(y)}. $$ 由正性，$Q_{x,y}$ 集中在对应有限相位纤维上，因而也是有限原子测度。 由定理28.10，$\mu,\nu$ 的实际原子集至多可数，且 $$ \mu_{\mathrm{at}}=\sum_x\mu(\{x\})\delta_x,\qquad \nu_{\mathrm{at}}=\sum_y\nu(\{y\})\delta_y $$ 均在全变差中绝对收敛。结合点行范数一，立即得到双重级数的所列绝对范数和，故该级数在完备空间 $M(K)$ 中收敛。 为证明其和确实是 $B(\mu_{\mathrm{at}},\nu_{\mathrm{at}})$，取两个原子级数的有限截断 $a_n,b_n$。双线性压缩给 $$ \begin{aligned} &\|B(\mu_{\mathrm{at}},\nu_{\mathrm{at}})-B(a_n,b_n)\|_{\mathrm{TV}}\\ &\quad\le \|\mu_{\mathrm{at}}-a_n\|_{\mathrm{TV}}\|\nu_{\mathrm{at}}\|_{\mathrm{TV}} +\|a_n\|_{\mathrm{TV}}\|\nu_{\mathrm{at}}-b_n\|_{\mathrm{TV}} \longrightarrow0. \end{aligned} $$ 有限双线性展开给出 $B(a_n,b_n)$ 的对应有限双重和，故原子乘积正是所列级数。这仅使用有限原子测度在 $M_{\mathrm{at}}(K)$ 内的稠密性；定理28.11已经区分它与整个 $M(K)$ 的全变差拓扑，后者没有所需的原子稠密性。 非原子有符号测度的 Jordan 部分非原子，所以定理30.3也保证其相位推前非原子。原子测度的相位推前则仍原子。展开两种输入的典范分解，得到 $$ \begin{aligned} \Omega_{\mu,\nu} ={}&(H_\#\mu_{\mathrm{na}})*_{\mathbb T}(H_\#\nu_{\mathrm{at}})\\ &+(H_\#\mu_{\mathrm{at}})*_{\mathbb T}(H_\#\nu_{\mathrm{na}})\\ &+(H_\#\mu_{\mathrm{na}})*_{\mathbb T}(H_\#\nu_{\mathrm{na}}). \end{aligned} $$ 每一项均非原子，由定理28.10的非原子卷积理想性质得出 $\Omega_{\mu,\nu}$ 非原子。对 $B$ 的相应三个混合项分别应用定理30.3，再用 $s_\#$ 线性，其和恰为 $s_\#\Omega_{\mu,\nu}$。加上已经确定的原子乘积，即得全部有符号输入的公式。 公式中的第一项保留 $K$ 上每个实际原子的系数，而不是仅保留其相位总质量。因此，同一分裂纤维内输入系数的正负抵消不会遗漏原子残差；这些残差的乘积已经由点行级数确定。其余三项则已经在定理30.3的正输入阶段排除了分裂残差。于是相同点行使两运算的公式逐项相同，证明唯一性。证毕。 **定理 30.5（两个正核在全部实有符号测度上的唯一延拓）。** 固定 $t\in\{0,\infty\}$。实双线性运算 $B:M(K)^2\to M(K)$ 满足正性、全测度相位律及 $$ B(\delta_x,\delta_y)=P^{(t)}_{x,y}\qquad(x,y\in K) $$ 当且仅当 $$ B(\mu,\nu)=\mu\star_t\nu\qquad(\mu,\nu\in M(K)). $$ 特别，以上三个条件自动强制全部 Borel 集上的积分公式 $$ B(\mu,\nu)(A) =\int_K\int_KP^{(t)}_{x,y}(A)\,d\nu(y)\,d\mu(x) \qquad (\mu,\nu\in M(K),\ A\subseteq K\text{ Borel}). $$ 该积分表示是结论而非前提。此运算自动交换、在全部测度上结合，且双线性全变差范数为一。 **证明。** 定理28.7已经用 Borel 点行和逐集合有符号积分构造 $\star_t$，证明其值为有限实有符号正则 Borel 测度，并证明它在两个端点参数保持正性、满足全部测度的相位律且具有指定点行。因此 $\star_t$ 本身满足本定理的三个条件。 反过来，任意满足这些条件的 $B$ 与 $\star_t$ 均适用定理30.4，且点行完全相同，所以在全部实有符号输入上相同。将定理28.7的积分公式代入此相等，得到所列逐集合公式；没有对未知 $B$ 预设积分性或连续性。交换律由定理28.7、全部测度上的结合律由定理28.9传递而来，范数一也可直接由定理30.2得到。证毕。 **定理 30.6（仅假设 Dirac 三元组结合的全部正运算分类）。** 设 $B:M(K)^2\to M(K)$ 实双线性。下列条件合在一起，等价于 $B$ 恰为 $\star_0$ 或 $\star_\infty$：$B$ 保持正测度对的正性；它满足假设30.0的全测度相位律；对全部 $x,y\in K$ 有准确闭图的支撑包含条件 $$ \operatorname{supp} B(\delta_x,\delta_y)\subseteq\Gamma(x,y); $$ 并且仅要求下列有序 Dirac 三元组结合律： $$ B\bigl(B(\delta_x,\delta_y),\delta_z\bigr) =B\bigl(\delta_x,B(\delta_y,\delta_z)\bigr) \qquad(x,y,z\in K). $$ 这里支撑条件是包含于准确的 $\Gamma$，不是支撑等于 $\Gamma$。无需另行假设全部测度的结合律、交换律、有界性或积分表示。 若把支撑包含条件加强为 $$ \operatorname{supp}B(\delta_x,\delta_y)=\Gamma(x,y) \qquad(x,y\in K), $$ 则不存在满足其余条件的运算。 **证明。** 记 $Q_{x,y}=B(\delta_x,\delta_y)$。正性与相位律给出 $$ Q_{x,y}\ge0,\qquad Q_{x,y}(K)=1,\qquad Q_{x,y}\bigl(K\setminus H^{-1}(\{H(x)+H(y)\})\bigr)=0. $$ 该相位纤维至多两点。因此 $Q_{x,y}$ 是有限概率分布，其拓扑支撑恰为纤维内具有严格正质量的点集；支撑包含假设恰使它成为定义23.2的可容许概率核。 因为每个中间行有限，双线性本身就给 $$ B(Q_{x,y},\delta_z) =\sum_{u\in\operatorname{supp}Q_{x,y}} Q_{x,y}(\{u\})Q_{u,z}, $$ $$ B(\delta_x,Q_{y,z}) =\sum_{v\in\operatorname{supp}Q_{y,z}} Q_{y,z}(\{v\})Q_{x,v}. $$ 故所假设的 Dirac 三元组结合律正是定义23.2的有限核结合律，没有在此处使用无限级数或全空间稠密性。定理23.9遂给出唯一全局符号，迫使 $Q=P^{-1}$ 或 $Q=P^{+1}$。由定理25.12，它们分别是 $P^{(0)}$ 和 $P^{(\infty)}$。再应用定理30.5，便得 $B=\star_0$ 或 $B=\star_\infty$。 反向，定理28.7、28.9保证这两个运算保持正性、满足全测度相位律且在全部测度上结合；其点行由定理25.9满足准确支撑包含条件，故当然满足所列较弱的三元组要求。两者在 $(\delta_{0_K},\delta_{x_1^+})$ 处分别给出 $\delta_{x_1^-}$ 与 $\delta_{x_1^+}$，所以确有两个不同解。 最后，假设25.1给 $$ \Gamma(0_K,x_1^+)=\{x_1^+,x_1^-\}, $$ 而两个分类解在该输入对处都只有单点支撑。因此全支撑等式排除两者，故无解。 本证明中，Dirac 三元组首先只决定有限概率核的结合性；从这些点行到任意测度的唯一性则另外使用定理30.4的正性、全测度相位律及典范测度分解。它不是关于任意实双线性运算都由 Dirac 值决定的断言。证毕。 **定理 30.7（删去全测度相位律后的正结合反例）。** 即使保留正性、质量乘法律、双线性范数一、全部测度上的交换律及结合律，并要求在整个原子子代数上与 $\star_t$ 相同，也不能省略定理30.5中的全测度相位律。 准确地，固定任一 $t\in\{0,\infty\}$，取定理28.11的非原子 Haar 概率提升 $\mathfrak m=s_\#\lambda$，并定义 $$ \widehat B_t(\mu,\nu) =\mu_{\mathrm{at}}\star_t\nu_{\mathrm{at}} +\Bigl(\varepsilon_K(\mu)\varepsilon_K(\nu) -\varepsilon_K(\mu_{\mathrm{at}}) \varepsilon_K(\nu_{\mathrm{at}})\Bigr)\mathfrak m. $$ 则 $\widehat B_t$ 具有上述所有保留性质，因而有全部指定点行及其准确闭图支撑，却不满足全测度相位律，也不等于 $\star_t$。 **证明。** 定理28.10保证原子投影线性，故该公式实双线性；各项均为有限实有符号正则 Borel 测度，所以运算良定义。 若 $\mu,\nu\ge0$，其原子与非原子部分均正。记四部分的质量为 $$ a_0=\varepsilon_K(\mu_{\mathrm{at}}),\quad u_0=\varepsilon_K(\mu_{\mathrm{na}}),\quad b_0=\varepsilon_K(\nu_{\mathrm{at}}),\quad v_0=\varepsilon_K(\nu_{\mathrm{na}}). $$ $\mathfrak m$ 的系数为 $$ (a_0+u_0)(b_0+v_0)-a_0b_0=a_0v_0+u_0b_0+u_0v_0\ge0. $$ 第一项也是正测度，故 $\widehat B_t$ 保持正性。对任意有符号输入，第一项的质量为 $\varepsilon_K(\mu_{\mathrm{at}})\varepsilon_K(\nu_{\mathrm{at}})$，故直接读取整个空间的质量得到 $$ \varepsilon_K(\widehat B_t(\mu,\nu)) =\varepsilon_K(\mu)\varepsilon_K(\nu). $$ 因此定理30.2适用，给出双线性范数恰为一。交换律由公式及 $\star_t$ 的交换律直接得到。 定理28.11保证两个原子测度的 $\star_t$ 乘积仍原子，而 $\mathfrak m$ 非原子。因此 $$ \bigl(\widehat B_t(\mu,\nu)\bigr)_{\mathrm{at}} =\mu_{\mathrm{at}}\star_t\nu_{\mathrm{at}}. $$ 为检查全部有符号输入的结合律，记 $$ a=\mu_{\mathrm{at}},\quad b=\nu_{\mathrm{at}},\quad c=\xi_{\mathrm{at}}, \qquad M=\varepsilon_K(\mu),\quad N=\varepsilon_K(\nu),\quad R=\varepsilon_K(\xi). $$ 刚证的原子部分及质量公式使左括号准确等于 $$ (a\star_t b)\star_t c +\Bigl(MNR-\varepsilon_K(a)\varepsilon_K(b) \varepsilon_K(c)\Bigr)\mathfrak m, $$ 右括号准确等于 $$ a\star_t(b\star_t c) +\Bigl(MNR-\varepsilon_K(a)\varepsilon_K(b) \varepsilon_K(c)\Bigr)\mathfrak m. $$ 原子子代数的结合律使两式相等。这证明全部测度上的结合律，而不只是 Dirac 三元组的结合律。 若 $\mu,\nu$ 均原子，$\mathfrak m$ 的系数为零，所以 $\widehat B_t(\mu,\nu)=\mu\star_t\nu$。于是整个原子子代数、所有 Dirac 点行及其闭图支撑均被保留。 最后给出全测度相位律的实际失败输入。令 $$ J=\{[r]\in\mathbb T:0\le r<1/2\},\qquad \sigma=2\lambda|_J,\qquad n=s_\#\sigma. $$ $J$ 是闭半圆去掉一个端点所得的 Borel 集，且 $J$ 与其半周平移不交并覆盖圆周。Haar 平移不变性给 $\lambda(J)=1/2$，所以 $\sigma$ 是非原子概率，并且 $$ \sigma(J)=1\ne\tfrac12=\lambda(J). $$ Borel 截面推前使 $n$ 为正则概率且 $H_\#n=\sigma$；由定理30.3的正测度非原子判据，$n$ 非原子。因此公式给 $$ \widehat B_t(\delta_{0_K},n)=\mathfrak m, $$ 但 $$ H_\#\widehat B_t(\delta_{0_K},n)=\lambda \ne\sigma =\delta_0*_{\mathbb T}\sigma =(H_\#\delta_{0_K})*_{\mathbb T}(H_\#n). $$ 这在两个具体正概率输入处违反全测度相位契约。定理30.3则给 $\delta_{0_K}\star_t n=s_\#\sigma=n$，所以两运算确实不同。由此，正性、全变差有界性乃至完整结合律和全部原子乘法，都不能代替被省略的全测度相位要求。证毕。 ## 追加锚（本行以下为增补区） ## 31. 复乘法观察的完全分类、测度重建与可逆性边界 **假设 31.0（原载体、完整闭图与全测度乘法）。** 沿用定义25.0及假设25.1的固定定向。具体地，令 $$ \phi=\frac{1+\sqrt5}{2},\qquad \alpha=\phi^{-1},\qquad K=\{x\in\{0,1\}^{\mathbb N}:x_jx_{j+1}=0\},\qquad \mathbb T=\mathbb R/\mathbb Z, $$ $$ d_K(x,y)=\sum_{j\ge0}2^{-j-1}|x_j-y_j|,\qquad H(x)=\left[\sum_{j\ge0}(-1)^{j+1}\alpha^{j+2}x_j\right]. $$ 这里始终使用原数字拓扑及原圆周群拓扑。令 $E_m=[-m\phi]$、$E=\{E_m:m\ge1\}$。采用准确纤维等式 $$ H^{-1}(\{E_m\})=\{x_m^+,x_m^-\},\qquad H^{-1}(\{\theta\})=\{k_\theta\}\quad(\theta\notin E),\qquad H^{-1}(\{[n\phi]\})=\{Z(n)\}\quad(n\ge0). $$ 映射 $H$ 连续且满射。符号集 $\mathcal S(x)$ 在 $x_m^+$、$x_m^-$ 处分别为 $\{+1\}$、$\{-1\}$，在其他点处为 $\{-1,+1\}$。完整加法闭图为 $$ \Gamma=\overline{\{(Z(a),Z(b),Z(a+b)):a,b\in\mathbb N\}}^{\,K^3}, $$ 并采用准确输入纤维公式 $$ \Gamma(x,y)=\begin{cases}\{k_\sigma\},&\sigma=H(x)+H(y)\notin E,\\ \{x_r^s:s\in\mathcal S(x)\cup\mathcal S(y)\},&\sigma=H(x)+H(y)=E_r.\end{cases} $$ 固定 $t\in(\mathbb R\setminus\{-1,1\})\sqcup\{\infty\}$，其中 $\infty$ 是形式参数。使用定理25.9的点核 $P^{(t)}_{x,y}$，以及定理28.7—28.9在全部有限实有符号正则 Borel 测度上给出的乘法 $$ (\mu\star_t\eta)(D)=\int_K\int_KP^{(t)}_{x,y}(D)\,d\eta(y)\,d\mu(x) $$ 和实际有界代数同构 $$ \Phi_t^{\mathbb R}\mu=(H_\#\mu,R_t\mu),\qquad \Psi_t^{\mathbb R}(\nu,g)=L_t\nu+\sum_{m\ge1}\frac{g_m}{d'_m}v_m. $$ 这里 $v_m=\delta_{x_m^+}-\delta_{x_m^-}$。所采用的是逐 Borel 集积分等式和全测度同构，而不只是点质量乘法一致性。本节结论均在这些前提下成立。数学依据为假设25.1、定理25.9、定理28.2—28.9。 **定义 31.1（复测度、复化与序列代数）。** 对紧致度量空间 $X$，记 $M_{\mathbb C}(X)$ 为有限复正则 Borel 测度空间，采用 $$ \|\mu\|_{\mathrm{TV}}=|\mu|(X),\qquad \langle f,\mu\rangle=\int_Xf\,d\mu. $$ 每个复测度唯一写成 $\mu=\mu_1+i\mu_2$，其中 $\mu_1,\mu_2\in M(X)$。定义实乘法的复双线性延拓为 $$ (\mu_1+i\mu_2)\star_t(\eta_1+i\eta_2)=\mu_1\star_t\eta_1-\mu_2\star_t\eta_2+i(\mu_1\star_t\eta_2+\mu_2\star_t\eta_1). $$ 同样复线性延拓 $L_t,R_t,\Phi_t^{\mathbb R},\Psi_t^{\mathbb R}$，以下仍记为 $L_t,R_t,\Phi_t,\Psi_t$。保留 $$ p_m=\frac{t^m}{t^m-1}\quad(t\ne\infty),\qquad p_m=1\quad(t=\infty), $$ $$ \rho_t=\begin{cases}|t|,&|t|<1,\\ |t|^{-1},&|t|>1,\\0,&t=\infty,\end{cases}\qquad C_t=\frac{1+\rho_t}{1-\rho_t},\qquad d'_m=\begin{cases}1-t^m,&|t|<1,\\t^{-m}-1,&|t|>1,\\-1,&t=\infty.\end{cases} $$ 有限参数分支不包括形式参数。令 $$ r_m=d'_m\bigl((1-p_m)\mathbf1_{\{x_m^+\}}-p_m\mathbf1_{\{x_m^-\}}\bigr),\qquad (R_t\mu)_m=\int_Kr_m\,d\mu,\qquad u_m=\frac{v_m}{d'_m}. $$ 置 $$ \mathcal M=M_{\mathbb C}(\mathbb T),\qquad \mathcal S_+=\ell^1(\mathbb N_{>0},\mathbb C),\qquad \mathcal S_0=\ell^1(\mathbb N_0,\mathbb C). $$ $\mathcal M$ 使用原圆周测度卷积；两个序列空间使用指数相加的卷积。其标准向量记为 $e_m$，并把 $\mathcal S_+$ 识别为 $\mathcal S_0$ 中常数项为零的闭理想。直和 $\mathcal M\oplus_1\mathcal S_+$ 的乘法为 $$ (\nu,g)(\xi,h)=(\nu*\xi,g*h),\qquad \|(\nu,g)\|_\oplus=\|\nu\|_{\mathrm{TV}}+\|g\|_1. $$ 交叉乘积为零。 **定理 31.2（全复测度接口与准确范数）。** 定义31.1的复化在全部 $M_{\mathbb C}(K)$ 上良定义、交换且结合，并仍满足逐集积分公式。其准确总变差乘法常数为 $$ \|\mu\star_t\eta\|_{\mathrm{TV}}\le C_t\|\mu\|_{\mathrm{TV}}\|\eta\|_{\mathrm{TV}},\qquad \|\star_t\|_{\mathrm{bil}}=C_t. $$ 映射 $$ \Phi_t\mu=(H_\#\mu,R_t\mu) $$ 是复代数同构，逆为 $$ \Psi_t(\nu,g)=L_t\nu+\sum_{m\ge1}g_mu_m. $$ 它满足 $$ \|\Phi_t\mu\|_\oplus\le2\|\mu\|_{\mathrm{TV}},\qquad \|\Psi_t(\nu,g)\|_{\mathrm{TV}}\le C_t\|\nu\|_{\mathrm{TV}}+\frac{2}{1-\rho_t}\|g\|_1, $$ $$ \frac{1-\rho_t}{2}\|\mu\|_{\mathrm{TV}}\le N_t(\mu):=\|H_\#\mu\|_{\mathrm{TV}}+\|R_t\mu\|_1\le2\|\mu\|_{\mathrm{TV}}. $$ 范数 $N_t$ 完备且次乘法；$C_t\|\cdot\|_{\mathrm{TV}}$ 也是完备次乘法范数。原总变差范数次乘法当且仅当 $t\in\{0,\infty\}$。以下以 $A_t$ 表示配备 $N_t$ 的这个复 Banach 代数。 **证明。** 实部与虚部分解唯一，所以所给公式是唯一的复双线性延拓。展开两个复输入的实部和虚部，并使用假设31.0的实逐集公式，立即得到复逐集公式；每个输出是四个有限实正则测度的复线性组合。 为取得准确常数，而非仅由四项展开得到较大常数，写 $\mu=a|\mu|$、$\eta=b|\eta|$，其中相应密度几乎处处模长为一。复乘积测度因而具有密度 $a(x)b(y)$，且其变差为 $|\mu|\otimes|\eta|$。对任意有限 Borel 分割 $D=\bigsqcup_jD_j$，有 $$ \sum_j|(\mu\star_t\eta)(D_j)|\le\int_{K^2}\sum_j|P^{(t)}_{x,y}(D_j)|\,d(|\mu|\otimes|\eta|)\le C_t\|\mu\|_{\mathrm{TV}}\|\eta\|_{\mathrm{TV}}. $$ 取分割上确界得到所述上界。定理28.2的实点质量最大化输入仍属于复测度空间，因此下界同为 $C_t$。 同一分割估计应用于相位切片，给出 $\|L_t\nu\|_{\mathrm{TV}}\le C_t\|\nu\|_{\mathrm{TV}}$。推前仍为压缩映射。由定理28.2的实际 Borel 函数恒等式， $$ \sum_{m\ge1}|r_m(x)|\le1, $$ 故 $$ \sum_{m\ge1}\left|\int_Kr_m\,d\mu\right|\le\int_K\sum_{m\ge1}|r_m|\,d|\mu|\le\|\mu\|_{\mathrm{TV}}. $$ 这证明正向界。又 $|d'_m|\ge1-\rho_t$，所以逆映射中的级数在总变差中绝对收敛，并满足所述逆向界。 实映射的两个逆恒等式对实部、虚部分别成立，故复映射仍互逆。实全测度上的乘法相容恒等式两边都是复化后的双线性表达式，展开实部、虚部便得复全测度上的相容性。这一步使用的是全实测度恒等式，不使用有限原子测度的总变差稠密性。 复测度空间完备：总变差 Cauchy 序列的实部、虚部分别在实测度空间中 Cauchy，而 $$ \|\operatorname{Re}\mu\|_{\mathrm{TV}},\ \|\operatorname{Im}\mu\|_{\mathrm{TV}}\le\|\mu\|_{\mathrm{TV}}\le\|\operatorname{Re}\mu\|_{\mathrm{TV}}+\|\operatorname{Im}\mu\|_{\mathrm{TV}} $$ 使两个实极限组成复总变差极限。复序列空间的完备性由逐坐标极限和绝对和估计得到。复圆周卷积通过加法推前复乘积测度，故为压缩乘法；复 Fubini 将两种三重乘积都写成同一个三重积分，证明结合性。序列卷积的相应结论由绝对求和得到。因此直和代数完备、交换、结合且次乘法，其拉回范数正是 $N_t$。 准确乘法估计又给出 $C_t\|\mu\star_t\eta\|_{\mathrm{TV}}\le(C_t\|\mu\|_{\mathrm{TV}})(C_t\|\eta\|_{\mathrm{TV}})$。当 $C_t>1$ 时，已有最大化点质量对排除未缩放总变差范数的次乘法性；当 $C_t=1$ 时，上界直接证明次乘法性。参数定义给出 $C_t=1$ 恰当且仅当 $t\in\{0,\infty\}$。证毕。 **定义 31.3（单位化、字符与两种弱星拓扑）。** 定义 $$ A_t^{\#}=\mathbb C\oplus A_t, $$ $$ (\lambda,\mu)(\kappa,\eta)=(\lambda\kappa,\lambda\eta+\kappa\mu+\mu\star_t\eta),\qquad \|(\lambda,\mu)\|_{\#}=|\lambda|+N_t(\mu). $$ 其单位记为 $1^{\#}=(1,0)$，原代数嵌入为 $\mu\mapsto(0,\mu)$。记 $e=\delta_{0_K}\in A_t$；$e$ 与 $1^{\#}$ 是不同对象。 对复 Banach 代数 $B$，$\Delta(B)$ 表示非零、连续、复线性且满足 $\chi(ab)=\chi(a)\chi(b)$ 的泛函集合，赋予逐元素收敛的字符拓扑，即 $\sigma(B^*,B)$ 的子空间拓扑。对有单位的 $B$，定义 $$ \sigma_B(b)=\{w\in\mathbb C:w1_B-b\text{ 不可逆}\}. $$ 对本节非单位代数，约定 $\sigma_{A_t}(\mu)=\sigma_{A_t^{\#}}(0,\mu)$。 原测度弱星拓扑另记为 $$ \tau_K=\sigma(M_{\mathbb C}(K),C(K,\mathbb C)), $$ 其连续测试是 $\mu\mapsto\int_Kf\,d\mu$，$f\in C(K,\mathbb C)$。它不是字符空间上逐测度收敛的拓扑，也不是总变差 Banach 弱拓扑。令 $\overline{\mathbb D}=\{z\in\mathbb C:|z|\le1\}$。 **定理 31.4（单位化的实际直积模型）。** $A_t$ 没有左单位或右单位。$A_t^{\#}$ 是单位范数为一的交换复 Banach 代数，并且 $$ \Theta_t:A_t^{\#}\longrightarrow\mathcal M\times\mathcal S_0,\qquad \Theta_t(\lambda,\mu)=(\nu+\lambda\delta_0,\lambda e_0+g),\quad (\nu,g)=\Phi_t\mu, $$ 是有界有界逆的单位复代数同构。这里 $\delta_0$ 是原圆周上的零点质量。目标直积采用范数 $$ \|(\xi,h)\|_{\max}=\max\{\|\xi\|_{\mathrm{TV}},\|h\|_1\}. $$ 其逆为 $$ \Theta_t^{-1}(\xi,h)=\left(h_0,\Psi_t(\xi-h_0\delta_0,h-h_0e_0)\right), $$ 其中第二个序列参数取其正指标部分，并且 $$ \|\Theta_t a\|_{\max}\le\|a\|_{\#},\qquad \|\Theta_t^{-1}(\xi,h)\|_{\#}\le3\|(\xi,h)\|_{\max}. $$ **证明。** 因为 $\Phi_tu_1=(0,e_1)$，而任意两个正指标序列的卷积在第一坐标均为零，所以任意 $a\in A_t$ 都不满足 $a\star_tu_1=u_1$，也不满足 $u_1\star_ta=u_1$。这排除两侧单位。 单位化范数的完备性由直和完备性得到；次乘法性由 $$ |\lambda\kappa|+N_t(\lambda\eta+\kappa\mu+\mu\star_t\eta)\le(|\lambda|+N_t(\mu))(|\kappa|+N_t(\eta)) $$ 得到。乘法公式直接给出单位 $1^{\#}$，其范数为一。 把两个输入的 $\Theta_t$ 像相乘，其第一坐标为 $$ \nu*\xi+\lambda\xi+\kappa\nu+\lambda\kappa\delta_0, $$ 第二坐标为 $$ g*h+\lambda h+\kappa g+\lambda\kappa e_0. $$ 这正是单位化乘积的像。所列逆公式逐坐标恢复输入，因而证明双射及乘法相容；单位被送至 $(\delta_0,e_0)$。 正向范数界来自三角不等式。逆向计算使用 $\|h-h_0e_0\|_1=\|h\|_1-|h_0|$，得到 $$ \|\Theta_t^{-1}(\xi,h)\|_{\#}=|h_0|+\|\xi-h_0\delta_0\|_{\mathrm{TV}}+\|h-h_0e_0\|_1\le\|\xi\|_{\mathrm{TV}}+\|h\|_1+|h_0|. $$ 于是得到常数三。目标两个因子分别具有范数为一的单位，最大范数使其直积单位也具有范数一。证毕。 **定理 31.5（自动连续性与经典谱接口）。** 在任意完备次乘法范数的复 Banach 代数 $B$ 上，每个非零复线性乘法泛函自动连续，并满足 $|\chi(b)|\le\|b\|$。若 $B$ 另有范数为一的单位，则 $\chi(1_B)=1$，且 $$ \sigma_B(b)=\{\chi(b):\chi\in\Delta(B)\}. $$ 此时 $\Delta(B)$ 在字符拓扑下紧致。这里的谱等式是经典交换复 Banach 代数定理；谱等式及紧致性部分假设 $B$ 交换且非零。[^rro31-spectrum] **证明。** 先考虑任意非零复线性乘法泛函，不预设连续性。它在通常单位化上的延拓 $$ \chi^{\#}(\lambda,b)=\lambda+\chi(b) $$ 是单位代数同态。若 $c=\chi(b)$ 满足 $|c|>\|b\|$，则 $$ (c1^{\#}-b)^{-1}=c^{-1}\sum_{j\ge0}(b/c)^j $$ 在单位化范数中收敛。但 $\chi^{\#}(c1^{\#}-b)=0$，与单位代数同态把可逆元素送为非零标量矛盾。因此 $|\chi(b)|\le\|b\|$。这一论证只要求复线性和乘法性，不要求事先连续。 若原代数有单位，选择 $b$ 使 $\chi(b)\ne0$，从 $\chi(1_B)\chi(b)=\chi(b)$ 得 $\chi(1_B)=1$。故任一字符值属于谱，否则应用字符于逆元恒等式即得矛盾。 反之，若 $w1_B-b$ 不可逆，则其生成的理想为真理想，并包含于某个极大理想 $J$。这个极大理想闭：若其闭包含有单位，则某个 $j\in J$ 满足 $\|1_B-j\|<1$，Neumann 级数使 $j$ 可逆，矛盾；故闭包仍为真理想，由极大性等于 $J$。商 $B/J$ 因而是完备复 Banach 除代数。经典 Gelfand–Mazur 定理将它识别为复标量域；商映射组成的字符满足 $\chi(b)=w$。这证明谱等式。所用最大理想—Gelfand–Mazur 接口正是引文中的经典接口。 最后，字符均属于对偶单位球。在逐元素收敛下，方程 $\chi(1_B)=1$ 和 $\chi(ab)=\chi(a)\chi(b)$ 定义闭集。因此 Banach–Alaoglu 定理给出字符空间的紧致性。证毕。 **定理 31.6（解析 Wiener 代数及其零常数项理想）。** 对 $h\in\mathcal S_0$ 定义 $$ \mathscr G_h(z)=\sum_{m\ge0}h_mz^m\qquad(z\in\overline{\mathbb D}). $$ 该级数在闭圆盘上一致绝对收敛，在开圆盘内全纯，并将序列卷积变为函数逐点乘法。由系数绝对和赋范所得的函数代数是经典解析 Wiener 代数。[^rro31-wiener] $\mathcal S_0$ 的全部字符恰为 $$ \operatorname{ev}_z(h)=\mathscr G_h(z),\qquad z\in\overline{\mathbb D}, $$ 而 $\mathcal S_+$ 的全部非零字符恰为这些求值在 $0<|z|\le1$ 时的限制。其在 $\mathcal S_+$ 上的范数准确为 $|z|$；$z=0$ 的限制是零泛函。并且 $$ \sigma_{\mathcal S_0}(h)=\mathscr G_h(\overline{\mathbb D}). $$ **证明。** 闭圆盘上的一致绝对收敛由 $\sum_m|h_m|<\infty$ 得到。在任意半径 $r<1$ 的圆盘上，导数级数由 $\sup_m mr^{m-1}<\infty$ 控制，故可逐项求导。绝对收敛允许按总指数重组双重级数，所以 $\mathscr G_{h*k}=\mathscr G_h\mathscr G_k$。系数唯一性也可直接从任意 $01,\\ \displaystyle\sum_{m\ge1}z^ma_m^-,&t=\infty.\end{cases} $$ 等价地，它是实际 Borel 读数 $$ \mathcal E_z(\mu)=\int_Kq_{t,z}\,d\mu,\qquad q_{t,z}(x)=\sum_{m\ge1}z^mr_m(x). $$ 在每个 $x$ 处，最后一个和至多有一项非零。两类泛函在 $N_t$ 范数下及原总变差范数下的算子范数分别准确为 $$ \|\mathcal P_\chi\|=1,\qquad \|\mathcal E_z\|=|z|. $$ **证明。** 通过 $\Phi_t$，把任意字符写成 $\ell(\nu,g)=a(\nu)+b(g)$。若两个限制都非零，可选择 $\nu,g$ 使 $a(\nu)b(g)\ne0$；但 $(\nu,0)(0,g)=0$，乘法性将给出 $a(\nu)b(g)=0$，矛盾。因此恰有一个限制非零。第一种情形正是 $\Delta(\mathcal M)$，第二种由定理31.6分类。反向的乘法性来自各自坐标的乘法性，非零性来自坐标满射。这也证明不存在两类的非平凡混合。 定理28.2中 $r_m$ 的显式系数公式在复积分中不变，代入即得原测度公式。其绝对收敛由 $$ \sum_{m\ge1}(|a_m^+|+|a_m^-|)\le\|\mu\|_{\mathrm{TV}} $$ 保证。由于 $\sum_m|z^mr_m(x)|\le|z|$，支配收敛证明级数读数与 Borel 积分相等。 相位字符在 $\mathcal M$ 上具有范数一，且推前为总变差压缩，所以 $|\mathcal P_\chi(\mu)|\le\|\mu\|_{\mathrm{TV}}$；同样它不超过 $N_t(\mu)$。元素 $e$ 在这两个范数下均为一，且 $\mathcal P_\chi(e)=1$，故两种算子范数都为一。 剩余读数的两种上界分别由 $\|R_t\mu\|_1\le\|\mu\|_{\mathrm{TV}}$ 和定义 $N_t$ 得到。因为 $N_t(u_1)=1$ 且 $\mathcal E_z(u_1)=z$，其 $N_t$ 算子范数为 $|z|$。在 $|t|<1$ 时取 $\delta_{x_1^+}$，在 $|t|>1$ 或 $t=\infty$ 时取 $\delta_{x_1^-}$，它们的总变差为一，剩余读数均为 $z$。因此总变差算子范数也准确为 $|z|$。证毕。 **定理 31.8（字符拓扑及零点的准确地位）。** 在字符拓扑下，存在自然同胚 $$ \Delta(A_t)\cong\Delta(\mathcal M)\sqcup(\overline{\mathbb D}\setminus\{0\}). $$ 两部分各自开闭。若把零泛函也加入 $A_t^*$，则 $$ \Delta(A_t)\cup\{0\}\cong\Delta(\mathcal M)\sqcup\overline{\mathbb D}. $$ 特别，当 $z\to0$ 时，$\mathcal E_z\to0$ 甚至在算子范数中成立；它不收敛到任何非零相位字符。零点不是 $A_t$ 的剩余字符。 **证明。** 相位字符的拓扑嵌入由复合 $H_\#$ 给出；其逆通过在所有 $L_t\nu$ 上求值给出，所以两向都为逐元素连续。剩余参数到泛函的映射连续，因为对每个固定 $\mu$，级数 $\mathscr G_{R_t\mu}$ 在闭圆盘上一致收敛，因而连续。逆参数映射是 $\ell\mapsto\ell(u_1)$，所以也是连续的。此论证包括把 $z=0$ 送为零泛函的情形。 对相位字符有 $\mathcal P_\chi(e)=1$，对剩余字符及零泛函有 $\mathcal E_z(e)=0$。对 $e$ 的求值因此将两部分分成开闭集合，并使上述两块同胚组成整体同胚。定理31.7又给出 $\|\mathcal E_z\|=|z|$，证明算子范数收敛。零泛函不满足字符的非零条件，且对 $e$ 的求值排除任何相位字符作为该极限。证毕。 **定理 31.9（原测度弱星连续乘法观察的完全分类）。** 定义 $$ \mathcal F_n(\mu)=\int_K\exp(2\pi i nH(x))\,d\mu(x),\qquad n\in\mathbb Z. $$ 这里 $\exp(2\pi i n[\theta])=\exp(2\pi i n\theta)$。$\Delta(A_t)$ 中对 $\tau_K$ 连续的元素恰为 $\{\mathcal F_n:n\in\mathbb Z\}$，且整数参数唯一。特别，没有非零剩余字符对 $\tau_K$ 连续。连续函数分解所用的逼近定理是复 Stone–Weierstrass 定理。[^rro31-sw] **证明。** 先说明连续预伴随的必要性。若复线性泛函 $\ell$ 对 $\tau_K$ 连续，则存在有限多个 $f_1,\ldots,f_N\in C(K,\mathbb C)$，使共同核 $$ \bigcap_{j=1}^N\ker\left(\mu\mapsto\int_Kf_j\,d\mu\right) $$ 包含于 $\ker\ell$。否则在一个共同核向量上任意放大将违反零点连续性。因此 $\ell$ 通过这些测试组成的有限维映射之像分解，并可把该像上的线性泛函延拓到 $\mathbb C^N$。于是某个 $f=\sum_jc_jf_j\in C(K,\mathbb C)$ 满足 $$ \ell(\mu)=\int_Kf\,d\mu\qquad\text{对全部 }\mu. $$ 反向由 $\tau_K$ 的定义成立。 若 $\ell=\mathcal E_z$，则其连续预伴随必须满足 $f(x)=\mathcal E_z(\delta_x)=q_{t,z}(x)$。每个有限字 $Z(n)$ 的相位非分裂，所以这些点上的值都是零。截断任意合法无限字并补零，仍是有限合法 Zeckendorf 字，故 $Z(\mathbb N)$ 稠密于 $K$。连续性迫使 $f=0$；然而定理31.7中某个第一纤维点的读数为 $z\ne0$，矛盾。这也给出实际不连续序列：取该点的有限字截断，Dirac 测度弱星收敛，而读数从恒零变为 $z$。 现在设 $\ell=\mathcal P_\chi$ 弱星连续，连续预伴随为 $f$。对点质量求值得 $$ f(x)=\chi(\delta_{H(x)}), $$ 故 $f$ 在每个完整相位纤维上常值。连续满射 $H$ 从紧致空间到 Hausdorff 空间，因而是商映射；于是存在唯一 $h\in C(\mathbb T,\mathbb C)$ 满足 $f=h\circ H$。 必须同时确定字符在全部圆周测度上的作用。对任意 $\nu\in\mathcal M$，使用实际右逆而非原子稠密性，得到 $$ \chi(\nu)=\ell(L_t\nu)=\int_Kh\circ H\,d(L_t\nu)=\int_{\mathbb T}h\,d\nu. $$ 最后一步只使用 $H_\#L_t\nu=\nu$，不要求 $L_t$ 弱星连续。乘法性在圆周 Dirac 测度上给出 $$ h(\theta+\eta)=h(\theta)h(\eta),\qquad h(0)=1. $$ 所以 $h$ 处处非零。其连续像有界，若某个 $|h(\theta)|>1$，正整数次幂即无界；若小于一，则逆元素的值大于一。因此 $|h|=1$。 为准确分类这样的 $h$，注意三角多项式代数包含常数、对共轭封闭，且函数 $\theta\mapsto e^{2\pi i\theta}$ 分离圆周点。复 Stone–Weierstrass 定理使它在 $C(\mathbb T,\mathbb C)$ 中一致稠密。若对所有整数 $n$ 都有 $$ a_n:=\int_{\mathbb T}h(\theta)e^{-2\pi i n\theta}\,d\lambda_{\mathbb T}(\theta)=0, $$ 其中 $\lambda_{\mathbb T}$ 是归一化 Haar 测度，则由一致逼近 $\overline h$ 得 $\int|h|^2\,d\lambda_{\mathbb T}=0$，与 $|h|=1$ 矛盾。因此某个 $a_n\ne0$。平移不变性及乘法性给出 $$ a_n=\int_{\mathbb T}h(\theta+\eta)e^{-2\pi i n(\theta+\eta)}\,d\lambda_{\mathbb T}(\theta)=h(\eta)e^{-2\pi i n\eta}a_n. $$ 故 $h(\eta)=e^{2\pi i n\eta}$，从而 $\ell=\mathcal F_n$。 反之，函数 $x\mapsto e^{2\pi i nH(x)}$ 连续，故其积分给出实际连续预伴随。复 Fubini 和相位卷积恒等式给出 $\mathcal F_n(\mu\star_t\eta)=\mathcal F_n(\mu)\mathcal F_n(\eta)$，而 $\mathcal F_n(e)=1$。整数参数唯一，因为不同整数给出不同圆周指数函数，且 $H$ 满射。证毕。 **定理 31.10（连续 Dirac 限制仍不足以确定字符）。** 存在显式字符 $$ \mathfrak a(\nu)=\sum_{\theta\in\mathbb T}\nu(\{\theta\}),\qquad \nu\in\mathcal M, $$ 其中只对至多可数个非零原子质量求绝对收敛和。它满足 $$ \mathfrak a(\delta_\theta)=1\quad\text{对所有 }\theta,\qquad \mathfrak a(\lambda_{\mathbb T})=0. $$ 因此 $\mathcal P_{\mathfrak a}$ 与 $\mathcal F_0$ 在整个原子子代数上一致，且 Dirac 限制都是连续常数一，但它们是不同泛函，前者不对 $\tau_K$ 连续。在原测度上， $$ \mathcal P_{\mathfrak a}(\mu)=\sum_{x\in K}\mu(\{x\}). $$ **证明。** 定理28.10的原子投影逐实部、虚部复化；也可直接用绝对收敛级数 $\nu_{\mathrm{at}}=\sum_\theta\nu(\{\theta\})\delta_\theta$ 定义。非原子复测度与任意有限复测度的卷积没有单点质量，因为复 Fubini 给出 $$ (\nu_{\mathrm{na}}*\xi)(\{\theta\})=\int_{\mathbb T}\nu_{\mathrm{na}}(\{\theta-\eta\})\,d\xi(\eta)=0. $$ 原子测度的卷积仍为原子测度，所以 $$ (\nu*\xi)_{\mathrm{at}}=\nu_{\mathrm{at}}*\xi_{\mathrm{at}}. $$ 取总质量便得 $\mathfrak a(\nu*\xi)=\mathfrak a(\nu)\mathfrak a(\xi)$；且 $|\mathfrak a(\nu)|\le\|\nu\|_{\mathrm{TV}}$、$\mathfrak a(\delta_0)=1$，故它是字符。 有限相位纤维的质量等于其各单点质量之和。非原子原测度推前后仍没有单点质量，而原子部分的总质量在推前下不变。这证明原测度上的公式。Haar 测度没有原子，因此两个字符在 $L_t\lambda_{\mathbb T}$ 上分别取零和一。 若 $\mathcal P_{\mathfrak a}$ 有连续预伴随 $f$，则在每个 Dirac 测度上求值将给出 $f(x)=1$，从而它在所有测度上都应等于总质量。Haar 提升已经排除这一结论。因此它不弱星连续。证毕。 **定理 31.11（整个测度的精确重建）。** 全部相位 Fourier 读数和全部非零剩余求值共同分离 $M_{\mathbb C}(K)$。更准确地， $$ \bigcap_{n\in\mathbb Z}\ker\mathcal F_n=\ker H_\#=\left\{\sum_{m\ge1}b_mv_m:(b_m)\in\ell^1(\mathbb N_{>0},\mathbb C)\right\}, $$ $$ \bigcap_{0<|z|\le1}\ker\mathcal E_z=\ker R_t=L_t\mathcal M, $$ 而这两个核的交为零。固定任意非零序列 $z_j\to0$，仅保留 $\mathcal E_{z_j}$ 已经足以与全部 $\mathcal F_n$ 共同分离测度。 若 $\nu=H_\#\mu$、$g=R_t\mu$，则 $\nu$ 由 $\mathcal F_n(\mu)$ 唯一确定，且对任意 $0m}g_kz^{k-m},\qquad \left|\sum_{k>m}g_kz^{k-m}\right|\le|z|\sum_{k>m}|g_k|. $$ 所以左边在 $z\to0$ 时趋于非零数 $g_m$，不可能在所有充分大的 $z_j$ 上为零。这证明采样求值也分离 $\mathcal S_+$。应用于两个测度的差即可。 这里 Fourier 系数单独重建的是圆周测度 $\nu$；在原空间上，它们的共同核正是显示的非零剩余理想。证毕。 **定理 31.12（单位化字符、完整谱及逆元）。** 若 $a=(\lambda,\mu)\in A_t^{\#}$，且 $\Phi_t\mu=(\nu,g)$，则 $A_t^{\#}$ 的全部字符准确为 $$ \mathcal P_\chi^{\#}(a)=\lambda+\chi(\nu),\qquad \chi\in\Delta(\mathcal M), $$ $$ \mathcal E_z^{\#}(a)=\lambda+\mathscr G_g(z),\qquad z\in\overline{\mathbb D}. $$ 特别 $\mathcal E_0^{\#}(\lambda,\mu)=\lambda$ 是非零单位化字符，其在 $A_t$ 上的限制才是零泛函。字符空间同胚于 $\Delta(\mathcal M)\sqcup\overline{\mathbb D}$。完整谱为 $$ \sigma_{A_t^{\#}}(\lambda,\mu)=\bigl(\lambda+\sigma_{\mathcal M}(\nu)\bigr)\cup\{\lambda+\mathscr G_g(z):|z|\le1\}. $$ 因此 $a$ 可逆当且仅当 $$ \nu+\lambda\delta_0\text{ 在 }\mathcal M\text{ 中可逆},\qquad \lambda+\mathscr G_g(z)\ne0\quad\text{对每个 }|z|\le1. $$ 这些条件特别要求 $\lambda\ne0$。当它们成立时，令 $\xi=\nu+\lambda\delta_0$、$h=\lambda e_0+g$，则 $$ a^{-1}=\left(\lambda^{-1},\Psi_t\left(\xi^{-1}-\lambda^{-1}\delta_0,h^{-1}-\lambda^{-1}e_0\right)\right). $$ 这里 $h^{-1}$ 在 $\mathcal S_0$ 中取逆，第二个剩余参数的常数项为零。[^rro31-spectrum][^rro31-wiener] **证明。** 对单位化字符限制到 $A_t$，或者得到零泛函，此时原字符必为标量投影；或者得到定理31.7的一个字符，此时单位性迫使延拓为 $\lambda+\chi(\mu)$。这给出显示的全部字符。其拓扑描述也可通过 $\Theta_t$：两个直积幂等元将两部分分开，分别恢复 $\Delta(\mathcal M)$ 和闭圆盘的求值拓扑。 直积中的一个元素可逆当且仅当两个坐标都可逆，因为任何逆元恒等式都逐坐标成立，反向把两个逆元配成一对即可。因此 $\Theta_t$ 给出 $$ \sigma_{A_t^{\#}}(a)=\sigma_{\mathcal M}(\nu+\lambda\delta_0)\cup\sigma_{\mathcal S_0}(\lambda e_0+g). $$ 第一项由谱定义等于 $\lambda+\sigma_{\mathcal M}(\nu)$；第二项由定理31.6等于显示的闭圆盘像。这里 $\mathcal M$ 和 $\mathcal S_0$ 都已具有完备复次乘法范数、交换乘法和范数为一的单位，故经典谱接口的全部假设均已满足。谱公式及可逆条件随之成立。 在 $z=0$ 处的第二条件给出 $\lambda\ne0$。若 $h^{-1}=k$，卷积的常数项恒等式给出 $\lambda k_0=1$，所以 $k_0=\lambda^{-1}$。将直积逆元 $(\xi^{-1},h^{-1})$ 代入定理31.4的逆映射，就得到所列实际逆元公式。证毕。 **定理 31.13（完全显式的剩余圆盘谱）。** 元素 $u_1=v_1/d'_1$ 满足 $$ \mathcal P_\chi(u_1)=0\quad\text{对全部 }\chi\in\Delta(\mathcal M),\qquad \sigma_{A_t}(u_1)=\overline{\mathbb D}. $$ 特别，全部相位字符不能区分 $0$ 与 $u_1$，但二者的谱分别为 $\{0\}$ 和闭单位圆盘。单位化元素 $$ c=1^{\#}-2u_1 $$ 与 $1^{\#}$ 具有相同的全部相位字符值一，却不可逆。 **证明。** $\Phi_tu_1=(0,e_1)$，所以所有相位字符都为零。下面直接验证圆盘谱，不依赖 Wiener–Pitt 存在性。当 $|w|>1$ 时，$w1^{\#}-u_1$ 的直积像是 $(w\delta_0,we_0-e_1)$，其逆为 $$ \left(w^{-1}\delta_0,\sum_{m\ge0}w^{-m-1}e_m\right). $$ 第二坐标绝对可和，直接卷积给出单位。当 $|w|\le1$ 时，第二坐标上的求值 $\operatorname{ev}_w$ 将 $we_0-e_1$ 送为零，所以该坐标不可逆。这证明完整闭圆盘谱。 最后，$\Theta_t c=(\delta_0,e_0-2e_1)$。第一坐标的所有字符值均为一，而第二坐标在 $z=1/2$ 处的求值为零，故 $c$ 不可逆。单位 $1^{\#}$ 当然可逆。证毕。 **定理 31.14（经典 Wiener–Pitt–Šreĭder 现象的准确传递）。** 存在正圆周概率测度 $\beta$，使 $$ \widehat\beta(n):=\int_{\mathbb T}e^{2\pi i n\theta}\,d\beta(\theta)\in[-1,1]\quad(n\in\mathbb Z),\qquad \sigma_{\mathcal M}(\beta)=\overline{\mathbb D}. $$ 此存在性采用经典 Šreĭder 测度定理，准确出处为 Nikolski §3.1.1，印刷页1962。[^rro31-wp] 对任一这样的 $\beta$，令 $$ a_\beta=L_t\beta\in A_t,\qquad b_\beta=1^{\#}+a_\beta-(1+i/2)e\in A_t^{\#}. $$ 则 $$ \sigma_{A_t}(a_\beta)=\overline{\mathbb D},\qquad \mathcal F_n(a_\beta)=\widehat\beta(n)\in\mathbb R,\qquad \mathcal E_z(a_\beta)=0, $$ $$ \sigma_{A_t^{\#}}(b_\beta)=(\overline{\mathbb D}-i/2)\cup\{1\}. $$ 特别 $b_\beta$ 不可逆，尽管其全部普通单位化读数满足 $$ \left|1+\mathcal F_n\bigl(a_\beta-(1+i/2)e\bigr)\right|=|\widehat\beta(n)-i/2|\ge\frac12, $$ $$ \mathcal E_z^{\#}(b_\beta)=1\qquad(z\in\overline{\mathbb D}). $$ 整数 Fourier 字符在 $\Delta(\mathcal M)$ 中不稠密；把它们连同全部剩余字符使用，也仍不穷尽 $A_t$ 的完整字符谱。 **证明。** 原圆周是非离散局部紧交换群。所引经典定理因此提供一个正测度，其总变差为一、群 Fourier 值位于 $[-1,1]$，而完整 Gelfand 值域为闭单位圆盘。定理31.5把完整 Gelfand 值域识别为测度代数谱；正性及总变差一说明它是概率测度。Fourier 指数的正负约定只重排整数指标，不改变这些性质。 由实际坐标恒等式，$\Phi_ta_\beta=(\beta,0)$。定理31.12立即给出 $a_\beta$ 的谱及所有显示的读数。再由 $\Phi_te=(\delta_0,0)$，得到 $$ \Theta_t b_\beta=(\beta-(i/2)\delta_0,e_0). $$ 第一坐标谱为闭单位圆盘平移 $-i/2$，第二坐标谱为 $\{1\}$。由于 $i/2\in\sigma_{\mathcal M}(\beta)$，第一坐标的平移谱包含零，故 $b_\beta$ 不可逆。普通 Fourier 值均为实数减去 $i/2$，其模长至少为 $1/2$；剩余坐标恒为单位，故全部剩余求值均为一。 最后，定理31.5提供 $\chi_*\in\Delta(\mathcal M)$，使 $\chi_*(\beta)=i/2$。非空字符开集 $$ \{\chi\in\Delta(\mathcal M):|\chi(\beta)-i/2|<1/4\} $$ 不含任何整数 Fourier 字符，因为后者在 $\beta$ 上都取实值。因此这些 Fourier 字符不稠密。把 $\chi_*$ 拉回 $A_t$，它在 $a_\beta$ 上取 $i/2$；普通 Fourier 及剩余读数在该元素上却都取实值。这也直接给出完整模型字符谱中一个普通读数无法达到的非空开集。证毕。 **定理 31.15（重建表示不是谱保持表示）。** 令 $\mathscr X_t$ 为下列单位化字符组成的集合： $$ \mathcal F_n^{\#}(\lambda,\mu)=\lambda+\mathcal F_n(\mu)\quad(n\in\mathbb Z),\qquad \mathcal E_z^{\#}\quad(z\in\overline{\mathbb D}). $$ 定义普通观察表示 $$ \mathcal O_t:A_t^{\#}\longrightarrow\ell^\infty(\mathscr X_t),\qquad \mathcal O_t(a)(\omega)=\omega(a). $$ 它是有界、单射、保单位的复代数同态。若 $a=(\lambda,\mu)$、$\Phi_t\mu=(\nu,g)$，则 $$ \sigma_{\ell^\infty(\mathscr X_t)}(\mathcal O_t(a))=\lambda+\left(\overline{\{\widehat\nu(n):n\in\mathbb Z\}}\cup\mathscr G_g(\overline{\mathbb D})\right), $$ 而原单位化谱为定理31.12的较大集合。因此对这个元素保持谱，准确等价于 $$ \sigma_{\mathcal M}(\nu)\subseteq\overline{\{\widehat\nu(n):n\in\mathbb Z\}}\cup\mathscr G_g(\overline{\mathbb D}). $$ 特别，$\mathcal O_t$ 并非对所有元素保持谱，其像也不逆封闭：存在 $a$ 使 $\mathcal O_t(a)$ 在目标代数中可逆，而 $a$ 在原单位化中不可逆。 **证明。** 每个 $\omega\in\mathscr X_t$ 都是单位化字符，因此逐点的线性、乘法性及保单位性质成立。定理31.5给出 $|\omega(a)|\le\|a\|_{\#}$，所以表示有界。若 $\mathcal O_t(\lambda,\mu)=0$，先在 $\mathcal E_0^{\#}$ 上求值得 $\lambda=0$；随后全部 Fourier 及剩余读数为零，定理31.11给出 $\mu=0$。所以表示单射。 对任意集合 $X$ 和 $f\in\ell^\infty(X)$，函数 $w-f$ 可逆当且仅当 $\inf_{x\in X}|w-f(x)|>0$。充分性由有界逐点倒数给出；必要性来自任一有界逆函数必须满足 $(w-f(x))h(x)=1$。因此 $$ \sigma_{\ell^\infty(X)}(f)=\overline{f(X)}. $$ 应用于 $\mathcal O_t(a)$，其 Fourier 部分的值域闭包是 $\lambda+\overline{\{\widehat\nu(n)\}}$；剩余部分是连续函数在紧闭圆盘上的像 $\lambda+\mathscr G_g(\overline{\mathbb D})$，已经闭。有限并取闭包给出所述谱公式。与定理31.12比较，并使用 Fourier 字符值必属于 $\sigma_{\mathcal M}(\nu)$，即得准确等价条件。 取定理31.14的 $a=b_\beta$。它的全部 $\mathscr X_t$ 读数模长至少为 $1/2$，因此 $\mathcal O_t(b_\beta)$ 在目标代数中具有有界逐点逆；但 $b_\beta$ 在原代数中不可逆。若这个目标逆属于 $\mathcal O_t(A_t^{\#})$，写成 $\mathcal O_t(c)$，则单射性会把 $\mathcal O_t(b_\beta c)=1$ 提升为 $b_\beta c=1^{\#}$，矛盾。因此像不逆封闭，表示也不保持谱。 表示的单射性同时说明：完整精确读数唯一确定元素，因而也唯一确定其谱和可逆性。上面的反例所排除的是用读数值域或逐点非零条件直接替代原代数谱与可逆性，而不是排除从完整数据所确定的元素进行进一步分析。证毕。 [^rro31-spectrum]: Mathlib contributors，复 Banach 代数的最大理想—字符及谱定理，固定版本 `db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d`：[GelfandDuality，ComplexBanachAlgebra 部分，特别 Ideal.toCharacterSpace、WeakDual.CharacterSpace.exists_apply_eq_zero、WeakDual.CharacterSpace.mem_spectrum_iff_exists](https://raw.githubusercontent.com/leanprover-community/mathlib4/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Analysis/CStarAlgebra/GelfandDuality.lean)；自动连续性与字符同态接口见同版本 [Spectrum，AlgHom.toContinuousLinearMap 及 WeakDual.CharacterSpace.equivAlgHom](https://raw.githubusercontent.com/leanprover-community/mathlib4/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean)。这里只用一般复 Banach 代数定理，不附加或假借 C*-代数结论。 [^rro31-wiener]: J. Esterle、E. Strouse、F. Zouakia，Closed ideals of the algebra of absolutely convergent Taylor series，Bulletin of the American Mathematical Society 31 (1994)，39—43，§1首段，[正文](https://arxiv.org/pdf/math/9407215)。解析 Wiener 代数采用 Taylor 系数绝对和范数。闭圆盘极大理想空间的经典陈述亦见 Raymond Mortini、Amol Sasane，Some algebraic properties of the Wiener–Laplace algebra，Journal of Applied Analysis 16 (2010)，§1，第2页关于 $W^+(\mathbb D)$ 的段落，[正文](https://personal.lse.ac.uk/sasane/JAA_MS.pdf)。 [^rro31-sw]: 复 Stone–Weierstrass 定理：紧致空间上的保常数、共轭封闭且分离点的复函数子代数一致稠密。对应数学条目见 Mathlib contributors，固定版本 `db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d`，ContinuousMap.starSubalgebra_topologicalClosure_eq_top_of_separatesPoints，[数学文本](https://raw.githubusercontent.com/leanprover-community/mathlib4/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Topology/ContinuousMap/StoneWeierstrass.lean)。 [^rro31-wp]: Nikolai Nikolski，In search of the invisible spectrum，Annales de l'Institut Fourier 49(6) (1999)，1925—1998，§3.1.1，印刷页1962，[正文](https://www.numdam.org/item/10.5802/aif.1743.pdf)。该处明确陈述非离散局部紧交换群上正 Šreĭder 测度的存在性、实 Fourier 值及闭单位圆盘完整谱；§0.1，页1926—1927，说明统一远离零的 Fourier 值不充分保证可逆性。圆周测度代数中的相同经典现象亦见 Przemysław Ohrysko、Michał Wojciechowski，On the relationships between Fourier–Stieltjes coefficients and spectra of measures，arXiv:1305.3324v2，§1，第1—2页，[正文](https://arxiv.org/pdf/1305.3324)。 ## 追加锚（本行以下为增补区） ## 32. Bounded-Borel observation, uniqueness, and order-sensitive compact completions **Assumption 32.0 (Original carrier and exact multiplication).** Work in classical mathematics, including the ultrafilter lemma and the Hahn–Banach theorem. Retain the original compact digit topology and the original compact circle topology. Thus $$ \mathbb N=\{0,1,2,\ldots\},\qquad \phi=\frac{1+\sqrt5}{2},\qquad \alpha=\phi^{-1}, $$ $$ K=\{x\in\{0,1\}^{\mathbb N}:x_jx_{j+1}=0\text{ for every }j\},\qquad H(x)=\left[\sum_{j\ge0}(-1)^{j+1}\alpha^{j+2}x_j\right]\in\mathbb T=\mathbb R/\mathbb Z. $$ Use the finite Zeckendorf map $Z$ of Definition 25.0, with $0_K=Z(0)$. Assume precisely the exact fibers of Assumption 25.1: $$ E_m=[-m\phi],\qquad E=\{E_m:m\ge1\},\qquad H^{-1}(\{E_m\})=\{x_m^+,x_m^-\},\qquad x_m^+\ne x_m^-, $$ $$ H^{-1}(\{\theta\})=\{k_\theta\}\quad(\theta\notin E),\qquad H^{-1}(\{[n\phi]\})=\{Z(n)\}\quad(n\in\mathbb N). $$ The signs remain the fixed phase-side signs of Definition 25.0. Put $\mathcal S(x_m^+)=\{+1\}$, $\mathcal S(x_m^-)=\{-1\}$, and $\mathcal S(x)=\{-1,+1\}$ on every nonsplit fiber. Assume the full graph identity, not merely phase compatibility: $$ \Gamma=\overline{\{(Z(a),Z(b),Z(a+b)):a,b\in\mathbb N\}}^{\,K^3}, $$ $$ \Gamma(x,y)= \begin{cases} \{k_\sigma\},&\sigma=H(x)+H(y)\notin E,\\ \{x_r^s:s\in\mathcal S(x)\cup\mathcal S(y)\},&\sigma=E_r. \end{cases} $$ Fix $t\in(\mathbb R\setminus\{-1,1\})\sqcup\{\infty\}$, where $\infty$ is a separate symbol. Let $P^{(t)}$ be the actual finite signed rows of Definition 25.8 and Theorem 25.9, and let $\star_t$ be their setwise integrated product on $M(K)$ from Theorems 28.7–28.9. In particular, these rows are symmetric and associative, have mass one, are supported in the displayed exact graph, and satisfy $$ P^{(t)}_{Z(a),Z(b)}=\delta_{Z(a+b)},\qquad \sup_{x,y}\|P^{(t)}_{x,y}\|_{\mathrm{TV}}=C_t<\infty. $$ Here $C_t=(1+\rho_t)/(1-\rho_t)$, with $\rho_t=|t|$ for finite $|t|<1$, $\rho_t=|t|^{-1}$ for finite $|t|>1$, and $\rho_\infty=0$. For every Borel $D\subseteq K$, both row evaluations $P^{(t)}_{x,y}(D)$ and $|P^{(t)}_{x,y}|(D)$ are jointly Borel, as proved in Theorem 28.7. All subsequent carrier-specific assertions retain these assumptions. Measures in $M(K)$ are finite real signed regular Borel measures; total variation has no factor of one half. **Definition 32.1 (The actual observation topologies).** Write $\mathcal B=\mathcal B(K)$ and $$ B_b(K)=\{f:K\to\mathbb R:f\text{ is Borel and bounded}\},\qquad \|f\|_\infty=\sup_{x\in K}|f(x)|, $$ $$ \langle\mu,f\rangle=\int_K f\,d\mu,\qquad \tau_B=\sigma(M(K),B_b(K)). $$ Functions here are literal functions, not equivalence classes modulo a measure's null sets. The topology $\tau_B$ is generated by all seminorms $\mu\mapsto|\langle\mu,f\rangle|$ with $f\in B_b(K)$. Let $\mathcal E$ be the linear span of Borel indicators, equivalently the finite-valued Borel functions, and put $$ \tau_{\mathrm{ev}}=\sigma(M(K),\mathcal E),\qquad \tau_C=\sigma(M(K),C(K)),\qquad \tau_w=\sigma(M(K),M(K)^*). $$ Here $M(K)^*$ is the Banach dual for total variation. Eventwise convergence means convergence of $\mu_i(D)$ on every $D\in\mathcal B$; it is exactly convergence for $\tau_{\mathrm{ev}}$. Denote Radon probabilities by $\mathcal P(K)$. **theorem 32.2 (Bounded nets and the signed-net distinction).** The space $B_b(K)$ is Banach, and its simple Borel functions are uniformly dense. Every $\tau_B$-convergent net is eventwise convergent. Conversely, if a net $(\mu_i)$ is eventually bounded in total variation and $\mu_i(D)\to\mu(D)$ for every Borel $D$, then $\mu_i\to\mu$ for $\tau_B$. Consequently $\tau_B$ and $\tau_{\mathrm{ev}}$ induce the same topology on every fixed total-variation ball and on $\mathcal P(K)$. They also have the same convergent nets on the positive cone, without a separately imposed bound. For arbitrary signed nets the two topologies differ. In fact, there is a net of two-point signed measures converging eventwise to zero but not even converging to zero for $\tau_C$. **Proof.** A uniformly Cauchy sequence of bounded functions has a bounded uniform limit. A pointwise limit of a sequence of real Borel functions is Borel, so $B_b(K)$ is complete. Partitioning a bounded real range into finitely many intervals of length at most $\epsilon$ gives a finite-valued Borel approximation with uniform error at most $\epsilon$. Indicators belong to $B_b(K)$, which proves the first implication. For the converse suppose $\|\mu_i\|_{\mathrm{TV}}\le R$ on one common tail. Given $f\in B_b(K)$, choose a simple Borel $s$ with $\|f-s\|_\infty<\delta$. On that tail, $$ |\langle\mu_i-\mu,f\rangle| \le |\langle\mu_i-\mu,s\rangle| +(R+\|\mu\|_{\mathrm{TV}})\delta. $$ The first term tends to zero by finite linearity. Making $\delta$ arbitrarily small proves the claim. The same inequality gives equality of the relative topologies on a fixed ball: each bounded-Borel test can be controlled there by finitely many event evaluations. For probabilities the bound is one. For positive measures, eventwise convergence on $K$ gives an eventual bound on $\mu_i(K)=\|\mu_i\|_{\mathrm{TV}}$. The probability-space equivalence is classical; see Ma, Definitions 2.8–2.11 and Theorem 2.13.[^rro32-setwise] For the counterexample define the continuous function $$ h(x)=\sum_{j\ge0}3^{-j-1}x_j. $$ Its range is infinite, since the points with a single digit one give the distinct values $3^{-j-1}$. Direct the finite families $\mathcal F\subseteq\mathcal B$ by inclusion. The atoms of the finite Boolean algebra generated by $\mathcal F$ form a finite Borel partition. Some atom contains two points $u_{\mathcal F},v_{\mathcal F}$ with different $h$-values; otherwise $h$ would have finite range. Choose such points and set $$ \zeta_{\mathcal F} =\frac{\delta_{u_{\mathcal F}}-\delta_{v_{\mathcal F}}} {h(u_{\mathcal F})-h(v_{\mathcal F})}. $$ For a fixed Borel $D$, every $\mathcal F$ containing $D$ satisfies $\zeta_{\mathcal F}(D)=0$, because the two selected points lie in the same partition atom. Thus the net is eventwise null. Nevertheless $$ \langle\zeta_{\mathcal F},h\rangle=1 $$ at every index. It is not $\tau_C$-null and hence not $\tau_B$-null. There is no hidden uniformly bounded tail. Given a starting family and $\epsilon>0$, adjoin a finite partition of the range of $h$ into intervals of length at most $\epsilon$, pulled back to $K$. Every subsequent selected pair then satisfies $|h(u)-h(v)|\le\epsilon$, so $$ \|\zeta_{\mathcal F}\|_{\mathrm{TV}} =\frac{2}{|h(u_{\mathcal F})-h(v_{\mathcal F})|}\ge\frac2\epsilon. $$ This proves precisely why the bounded-net implication cannot be applied to this signed net. No assertion that arbitrary convergent nets must have a norm-bounded tail is needed. QED. **theorem 32.3 (Actual bounded-Borel preadjoints).** Every signed kernel $Q_y\in M(X)$ satisfying the hypotheses of Theorem 28.4 has the bounded linear observation operator $$ Q^\flat:B_b(X)\to B_b(Y),\qquad Q^\flat f(y)=\int_X f\,dQ_y, $$ with $\|Q^\flat f\|_\infty\le B\|f\|_\infty$. Its integrated operator satisfies $$ \langle I_Q\eta,f\rangle=\langle\eta,Q^\flat f\rangle $$ and is continuous for the corresponding bounded-Borel observation topologies. This is a preadjoint for the indicated dual pairing, not an assertion that $M(X)=B_b(X)^*$. For the actual product of Assumption 32.0, put $$ k_f(x,y)=\int_K f\,dP^{(t)}_{x,y}. $$ For every $f\in B_b(K)$ this is jointly Borel and bounded by $C_t\|f\|_\infty$. For $\eta\in M(K)$ the actual preadjoint is $$ T_\eta f(x)=\int_K k_f(x,y)\,d\eta(y),\qquad \|T_\eta f\|_\infty\le C_t\|\eta\|_{\mathrm{TV}}\|f\|_\infty, $$ and $$ \langle\mu\star_t\eta,f\rangle =\langle\mu,T_\eta f\rangle =\langle\eta,T_\mu f\rangle. $$ Thus $\star_t$ is separately $\tau_B$-continuous for every allowed parameter. **Proof.** For simple $f$, measurability of $Q^\flat f$ follows from the set evaluations of the kernel. Uniform simple approximation and the row-variation bound show that $Q^\flat f$ is a uniform limit of Borel functions, with the displayed bound. The integration identity is first finite linearity for simple functions and then uniform approximation on both sides. This proves the first assertion and its continuity directly from the defining seminorms. The measurable signed-row and Jordan-part hypotheses are the ones recorded in Passeggeri, Theorem 3.4(d)–(e′); the present bounded operator conclusion follows from this argument and Theorem 28.4.[^rro32-kernels] Apply the same simple-approximation argument to parameter space $K^2$ and the rows $P^{(t)}_{x,y}$. This proves joint Borel measurability and boundedness of $k_f$. We spell out the remaining parameter integration. For a finite positive Borel measure $\eta$, the collection of Borel sets $A\subseteq K^2$ for which $x\mapsto\eta(A_x)$ is Borel contains rectangles. It is closed under complements and countable disjoint unions, by finiteness and countable additivity. The pi-lambda theorem therefore gives every member of $\mathcal B\otimes\mathcal B$. This is the Borel sigma-algebra of $K^2$, since $K$ is second countable. Simple approximation then proves Borel measurability of $x\mapsto\int g(x,y)\,d\eta(y)$ for every bounded jointly Borel $g$. Applying this to the two Jordan parts proves the signed version. These are the parameter-integration and Fubini facts of Hunter, Theorems 5.15 and 5.18.[^rro32-fubini] It follows that $T_\eta f\in B_b(K)$, with the asserted bound. Theorem 28.4 and the actual setwise integration law yield the first pairing identity. Signed Fubini and symmetry of the rows give the second. For fixed $\eta$, each output test is therefore a single bounded-Borel input test. This proves separate continuity; measurability alone has not been substituted for continuity. QED. **theorem 32.4 (Finite-partition density is a net statement).** For every $\mu\in M(K)$ there is a net of finite atomic measures $\mu_{\mathcal P}$ such that $$ \mu_{\mathcal P}\longrightarrow\mu\quad\text{for }\tau_B,\qquad \|\mu_{\mathcal P}\|_{\mathrm{TV}}\le\|\mu\|_{\mathrm{TV}},\qquad \mu_{\mathcal P}(K)=\mu(K). $$ If $\mu$ is positive or is a probability, every approximant can have the same property. No sequence of finite atomic signed measures can converge eventwise to a nonatomic probability. In particular, finite atomic probabilities are $\tau_B$-dense but not sequentially dense in $\mathcal P(K)$. **Proof.** Direct all finite Borel partitions of $K$ into nonempty cells by refinement. Choose one point $x_A\in A$ for each cell of each partition and define $$ \mu_{\mathcal P}=\sum_{A\in\mathcal P}\mu(A)\delta_{x_A}. $$ The mass identity, positivity assertions, and variation bound follow immediately from finite additivity and the definition of variation. For every bounded Borel $f$, $$ |\langle\mu_{\mathcal P}-\mu,f\rangle| \le \sum_{A\in\mathcal P}\int_A|f(x_A)-f(x)|\,d|\mu|(x) \le \|\mu\|_{\mathrm{TV}}\max_{A\in\mathcal P}\operatorname{osc}_A(f), $$ where $\operatorname{osc}_A(f)=\sup_{x,y\in A}|f(x)-f(y)|$. For any finite family of tests and any $\epsilon>0$, partition their bounded ranges into intervals of length at most $\epsilon$ and take the common Borel refinement. Every finer partition has oscillation at most $\epsilon$ for all those tests. This proves convergence of the displayed net. For a sequence $(\alpha_n)$ of finite atomic measures, let $D$ be the countable union of their finite supports. It is Borel. Then $\alpha_n(K\setminus D)=0$ for every $n$, whereas a nonatomic probability $\mu$ has $\mu(K\setminus D)=1$. Eventwise convergence is impossible. The same argument works for a sequence of countably atomic measures, using countable sets on which their variations are concentrated. The nonatomic Haar lift $\mathfrak m$ of Theorem 28.11 supplies such a probability on this actual $K$. Its variation distance from a finite atomic signed $\alpha$ is $$ \|\mathfrak m-\alpha\|_{\mathrm{TV}}=1+\|\alpha\|_{\mathrm{TV}}, $$ because $\mathfrak m$ and $|\alpha|$ are concentrated on disjoint measurable parts. Thus the preceding density is not total-variation density. Also, allowing atoms at all points of $K$ is essential: probabilities concentrated on the countable set $Z(\mathbb N)$ cannot approximate $\mathfrak m$ under the event test $Z(\mathbb N)$. QED. **theorem 32.5 (Uniqueness restored, with the topology comparisons kept distinct).** The product $\star_t$ is the unique separately $\tau_B$-continuous bilinear map $M(K)\times M(K)\to M(K)$ having the prescribed rows $P^{(t)}_{x,y}$ for every $x,y\in K$. No variation bound on a competing map is required. Consequently the nontrivial sheared products of Theorem 28.13 are not separately $\tau_B$-continuous. The proved topology comparisons are $$ \tau_C\subsetneq\tau_B\subsetneq\tau_w\subseteq\tau_{\mathrm{TV}}. $$ On all signed measures, $\tau_C$ and $\tau_{\mathrm{ev}}$ are incomparable. These statements do not identify either topology with total variation. **Proof.** Let $B_1,B_2$ be two maps as in the statement. Bilinearity and equality on all point pairs give equality on pairs of finite atomic measures. Fix a finite atomic first argument and approximate an arbitrary second argument by the net of Theorem 32.4. Continuity in the second argument gives equality there. Now fix that arbitrary second argument and approximate an arbitrary first argument by finite atomic measures. Continuity in the first argument gives equality everywhere. The target is Hausdorff because Borel indicators separate measures. Existence is Theorem 32.3. The sheared products are distinct from $\star_t$ while having the same rows, by the explicit Haar test in Theorem 28.13, so uniqueness excludes their separate $\tau_B$-continuity. The inclusions follow from $$ C(K)\subseteq B_b(K)\longrightarrow M(K)^*,\qquad f\longmapsto\bigl(\mu\mapsto\langle\mu,f\rangle\bigr), $$ where the last map is isometric: the upper bound is the variation inequality and the lower bound follows by testing Dirac measures. Every Banach-dual functional is norm continuous. Let $z_j\in K$ have a single digit one at position $j$. Then $z_j\to0_K$ in the digit topology, hence $\delta_{z_j}\to\delta_{0_K}$ for $\tau_C$. Their values on $\{0_K\}$ are all zero, so there is no $\tau_B$ or eventwise convergence to $\delta_{0_K}$. This proves the first strict inclusion and one direction of incomparability. The signed net in Theorem 32.2 proves the other direction of incomparability. By Theorem 28.10, $$ a_K(\mu)=\mu_{\mathrm{na}}(K) $$ is a bounded linear functional on $M(K)$, vanishing on all atomic measures and taking value one at $\mathfrak m$. The finite atomic net approaching $\mathfrak m$ in Theorem 32.4 therefore does not converge weakly in the Banach sense. This proves $\tau_B\subsetneq\tau_w$. It also explains why the density argument cannot be silently repeated with the Banach weak topology. Indeed, every bounded bilinear product is separately Banach-weak continuous: composing a bounded linear slice with any bounded linear functional remains a bounded linear functional. The nonunique shears satisfy this Banach-weak slice-continuity requirement, but not the bounded-Borel continuity requirement just proved decisive. QED. **Definition 32.6 (Charges on a specified sigma-algebra).** Write $\operatorname{Pow}(X)=\{A:A\subseteq X\}$ for the full power set, keeping $\mathcal P(K)$ for Radon probabilities. For a nonempty measurable space $(X,\Sigma)$, let $ba(X,\Sigma)$ be the real vector space of finitely additive functions $q:\Sigma\to\mathbb R$ with $q(\varnothing)=0$ and finite variation norm $$ \|q\|_{ba}=\sup_{\mathcal P}\sum_{A\in\mathcal P}|q(A)|, $$ where $\mathcal P$ ranges over finite measurable partitions of $X$. A probability charge is a positive member with $q(X)=1$. Write $B_b(X,\Sigma)$ for the bounded real $\Sigma$-measurable functions. On the actual carrier abbreviate $$ ba(\mathcal B)=ba(K,\mathcal B(K)),\qquad \mathcal Q_B(K)=\{q\in ba(\mathcal B):q\ge0,\ q(K)=1\}. $$ Finite additivity is part of this definition; countable additivity is not. **theorem 32.7 (The actual bounded-Borel dual).** Integration gives an isometric identification $$ B_b(X,\Sigma)^*=ba(X,\Sigma). $$ Under this identification, positivity and probability normalization agree on the two sides. For compact metric $K$, the canonical embedding $$ J:M(K)\longrightarrow B_b(K)^*,\qquad J\mu(f)=\int_K f\,d\mu, $$ is isometric, and its image consists exactly of the countably additive members of $ba(\mathcal B)$. The topology induced on this image by $\sigma(B_b(K)^*,B_b(K))$ is exactly $\tau_B$. **Proof.** Given $q\in ba(X,\Sigma)$ and a simple function $s=\sum_{A\in\mathcal P}a_A\mathbf1_A$, define $$ I_q(s)=\sum_{A\in\mathcal P}a_Aq(A). $$ A common refinement of any two representing partitions, followed by finite additivity, proves independence of representation. Moreover $$ |I_q(s)|\le\|s\|_\infty\sum_{A\in\mathcal P}|q(A)| \le\|s\|_\infty\|q\|_{ba}. $$ Uniform density of simple functions therefore extends $I_q$ uniquely to a bounded linear functional on $B_b(X,\Sigma)$. For every finite partition choose $a_A$ to be the sign of $q(A)$, with sign zero at zero. The resulting simple function has norm at most one and gives $$ I_q(s)=\sum_{A\in\mathcal P}|q(A)|. $$ Taking the supremum proves $\|I_q\|=\|q\|_{ba}$. Conversely, for $L\in B_b(X,\Sigma)^*$ put $q(A)=L(\mathbf1_A)$. Finite additivity follows from the indicator identity for disjoint sets. Using the same sign function on a partition gives $$ \sum_{A\in\mathcal P}|q(A)|\le\|L\|. $$ Thus $q$ has bounded variation. The functional $I_q$ agrees with $L$ on simple functions and hence everywhere. The constructions are inverse isometries. A positive charge has a nonnegative integral on nonnegative simple functions and then on all bounded nonnegative functions by uniform approximation. Conversely, positivity of the functional implies positivity on indicators. For a positive functional, $|I_q(f)|\le q(X)\|f\|_\infty$, and equality at the constant one gives $\|q\|_{ba}=q(X)$. This proves the assertions about states. The duality and its simple-function construction are also given in Müller, Theorems 3 and 6.[^rro32-ba] For $\mu\in M(K)$, its charge norm is its total variation by the finite-partition definition of variation. Conversely a countably additive bounded-variation Borel charge is a finite signed Borel measure. Its positive and negative parts are finite Borel measures and are regular on compact metric $K$, by the regularity argument in Theorem 28.4. It therefore belongs to $M(K)$. Finally, restricting the weak-star tests $L\mapsto L(f)$ to $J(M(K))$ gives precisely the tests defining $\tau_B$. QED. **theorem 32.8 (Compact charge completion and exact finite-event marginals).** In the dual of Theorem 32.7, $$ \overline{J(\mathcal P(K))}^{\,\sigma(B_b(K)^*,B_b(K))} =\mathcal Q_B(K). $$ The right side is compact and Hausdorff for this weak-star topology. Finite atomic probabilities already have this closure. More precisely, every probability charge has finite atomic probabilities that reproduce any specified finite family of event values exactly and converge to it on all bounded Borel tests as a net. For any measurable space $(X,\Sigma)$, every signed $q\in ba(X,\Sigma)$ likewise has a weak-star convergent net of finite atomic charges with norms at most $\|q\|_{ba}$. This latter statement refers to charge duality, not to total-variation approximation of Radon measures. **Proof.** Probability charges are exactly those dual functionals satisfying $$ L(1)=1,\qquad L(f)\ge0\quad(f\in B_b(K),\ f\ge0). $$ These conditions are weak-star closed, and each such functional has norm one. The closed dual unit ball is weak-star compact by the classical Banach–Alaoglu theorem; its hypotheses apply because $B_b(K)$ is a normed space. Thus $\mathcal Q_B(K)$ is compact. Weak-star separation by all test functions makes it Hausdorff. Banach–Alaoglu in this form is recalled in Tausk, Section 6.[^rro32-alaoglu] For the density assertion, let $q\in ba(X,\Sigma)$. Direct finite measurable partitions into nonempty cells by refinement, choose $x_A\in A$, and put $$ q_{\mathcal P}=\sum_{A\in\mathcal P}q(A)\delta_{x_A}. $$ Then $\|q_{\mathcal P}\|_{ba}\le\|q\|_{ba}$ and $q_{\mathcal P}(X)=q(X)$. Positivity is preserved. If $D$ is a union of cells, then $q_{\mathcal P}(D)=q(D)$ exactly. In particular, a partition generated by finitely many specified events reproduces all their values. For $f\in B_b(X,\Sigma)$, define the simple function $s_{\mathcal P,f}$ to equal $f(x_A)$ on $A$. Then $$ q_{\mathcal P}(f)=q(s_{\mathcal P,f}),\qquad |q_{\mathcal P}(f)-q(f)| \le\|q\|_{ba}\|s_{\mathcal P,f}-f\|_\infty \le\|q\|_{ba}\max_{A\in\mathcal P}\operatorname{osc}_A(f). $$ A common range partition for finitely many bounded measurable tests makes all these oscillations arbitrarily small, uniformly over subsequent refinements. Hence $q_{\mathcal P}\to q$ weak-star. On compact metric $K$ the finite atomic probabilities are Radon, proving density in $\mathcal Q_B(K)$. Conversely all Radon probabilities lie in this weak-star closed state space, so their closure cannot be larger. The compactness theorem used here is classical; the displayed finite-partition construction establishes the stated density for the specified Borel observation space. QED. **theorem 32.9 (Descending events, an ultrafilter limit, and loss of Radon compactness).** A positive probability charge $q$ is countably additive if and only if $$ D_n\downarrow\varnothing\quad\Longrightarrow\quad q(D_n)\longrightarrow0. $$ There is a weak-star limit of Dirac probabilities in $\mathcal Q_B(K)$ which fails this condition. Consequently $\mathcal P(K)$ is not compact for $\tau_B$, although it is compact for $\tau_C$. **Proof.** Countable additivity implies continuity from above for a finite positive measure. Conversely, let $(A_n)_{n\ge0}$ be pairwise disjoint measurable sets and $A=\bigcup_{n\ge0}A_n$. The sets $$ D_N=A\setminus\bigcup_{n0). $$ Existence follows by applying compactness to the closures of the sets of values indexed by members of $\mathcal U$ inside a fixed compact interval. They have the finite intersection property. If a point of their intersection failed the displayed neighborhood condition, the complementary index set would belong to the ultrafilter and its value closure would exclude that point. Uniqueness follows because disjoint neighborhoods of two proposed limits cannot both have preimages in an ultrafilter. Intersecting the good index sets for two convergent bounded sequences proves additivity and scalar homogeneity. Order is preserved, and the constant one has limit one. Thus ultrafilter limit is a positive norm-one linear functional on $\ell^\infty(\mathbb N)$. Take distinct points $y_n=Z(n)$; their distinctness also follows from the distinct phases $[n\phi]$. Define $$ Q_{\mathcal U}(f)=\lim_{\mathcal U} f(y_n)\qquad(f\in B_b(K)). $$ This is a probability charge, and for a Borel set $D$, $$ Q_{\mathcal U}(D)= \begin{cases} 1,&\{n:y_n\in D\}\in\mathcal U,\\ 0,&\{n:y_n\in D\}\notin\mathcal U. \end{cases} $$ The countable sets $S_N=\{y_n:n\ge N\}$ are Borel, decrease to the empty set, and satisfy $Q_{\mathcal U}(S_N)=1$. Thus this charge is not countably additive. Equivalently, it assigns mass one to $S_0$ and zero to each of its singleton subsets, which no Radon probability can do. It is an actual weak-star limit of a net of Dirac measures. Direct $\mathcal U$ by reverse inclusion and choose $n(A)\in A$ for every $A\in\mathcal U$. For each bounded Borel $f$ and each $\epsilon>0$, its good index set belongs to $\mathcal U$, and every sufficiently late $A$ is contained in that set. Consequently $$ \delta_{y_{n(A)}}\longrightarrow Q_{\mathcal U} \quad\text{in }\sigma(B_b(K)^*,B_b(K)). $$ If $\mathcal P(K)$ were $\tau_B$-compact, its image under $J$ would be compact in a Hausdorff space and hence closed. The preceding limit contradicts closedness. In contrast, Riesz representation identifies $\mathcal P(K)$ with the positive norm-one functionals on $C(K)$, a weak-star closed subset of its compact dual unit ball. It is therefore $\tau_C$-compact. The finite-constraint assertion has a precise scope. For finitely many Borel events, the ultrafilter chooses their membership or nonmembership patterns with a nonempty common index set. A single $y_n$ in that set reproduces all the corresponding values of $Q_{\mathcal U}$ exactly. More generally Theorem 32.8 puts finite atomic probabilities in every weak-star neighborhood specified by finitely many tests and positive tolerances. These consistencies do not impose descending-event continuity. This does not say that arbitrary exact finite constraints are always realizable by Radon measures, or that no finite constraint can force countable additivity. For example the bounded Borel function $$ b(y_n)=\frac1{n+1},\qquad b(x)=1\quad(x\notin S_0) $$ is strictly positive everywhere but has $Q_{\mathcal U}(b)=0$. Every countably additive probability has positive integral of $b$: the increasing union of the sets $\{b\ge1/j\}$ is $K$, so one of them has positive measure. Thus this one exact function value is not a Radon probability value. Conversely the event constraint $q(\{x\})=1$ forces a positive probability charge to be $\delta_x$. The closure theorem concerns finite observation neighborhoods and exact finite event marginals, not these different exact-constraint assertions. QED. **Definition 32.10 (The two orders on the countable natural core).** Give $\mathbb N$ its power-set sigma-algebra and write $$ ba(\mathbb N)=ba(\mathbb N,\operatorname{Pow}(\mathbb N)) =\ell^\infty(\mathbb N)^*. $$ For $u,v\in\ell^1(\mathbb N)$ let $$ (u*v)(k)=\sum_{m+n=k}u_m v_n. $$ For $p,q\in ba(\mathbb N)$ and $f\in\ell^\infty(\mathbb N)$ define two orders by $$ (p\mathbin{\square}q)(f) =p\bigl(m\mapsto q(n\mapsto f(m+n))\bigr), $$ $$ (p\mathbin{\lozenge}q)(f) =q\bigl(n\mapsto p(m\mapsto f(m+n))\bigr). $$ These formulas specify which functional is applied first: the inner one is applied first. Every bounded function on $\mathbb N$ is measurable, so the displayed outer functions belong to $\ell^\infty(\mathbb N)$ without an additional invariance hypothesis. These are respectively the first and second Arens orders for this convolution algebra, with the order convention of Hennefeld, Definitions 1.1–1.2.[^rro32-arens] **theorem 32.11 (Bounded associative extensions and their actual continuity sides).** Both products of Definition 32.10 are bounded bilinear associative products of bilinear norm one. They preserve positivity, have unit $\delta_0$, and satisfy $$ \|p\mathbin{\square}q\|\le\|p\|\|q\|,\qquad \|p\mathbin{\lozenge}q\|\le\|p\|\|q\|, $$ $$ (p\mathbin{\square}q)(1)=(p\mathbin{\lozenge}q)(1)=p(1)q(1),\qquad p\mathbin{\lozenge}q=q\mathbin{\square}p. $$ They extend convolution on $\ell^1(\mathbb N)$ and agree whenever at least one factor is in $\ell^1(\mathbb N)$. For fixed $q$, the map $p\mapsto p\mathbin{\square}q$ is weak-star continuous. For fixed $p$, the map $q\mapsto p\mathbin{\lozenge}q$ is weak-star continuous. Here and below the weak-star topology is $\sigma(ba(\mathbb N),\ell^\infty(\mathbb N))$. If finite atomic nets $u_i\to p$ and $v_j\to q$ weak-star, their two iterated limits exist and are $$ p\mathbin{\square}q =\mathop{\mathrm{w}^{*}\!\text{-}\!\lim}_i\, \mathop{\mathrm{w}^{*}\!\text{-}\!\lim}_j(u_i*v_j), $$ $$ p\mathbin{\lozenge}q =\mathop{\mathrm{w}^{*}\!\text{-}\!\lim}_j\, \mathop{\mathrm{w}^{*}\!\text{-}\!\lim}_i(u_i*v_j). $$ Such approximating nets exist for every signed pair by Theorem 32.8. No interchange of the two limits is asserted. **Proof.** First, $\ell^1(\mathbb N)^*=\ell^\infty(\mathbb N)$: a bounded functional is determined by its values on the vectors $\delta_n$, these values form a bounded sequence, and absolute convergence represents its action on any $\ell^1$ element. Conversely every bounded sequence defines such a functional with the same norm. Together with Theorem 32.7 this identifies $ba(\mathbb N)$ with the bidual of $\ell^1(\mathbb N)$. For the first order, the inner function satisfies $$ \sup_m|q(n\mapsto f(m+n))|\le\|q\|\|f\|_\infty. $$ Applying $p$ proves boundedness and the norm estimate; linearity at each stage proves bilinearity. The proof for the other order is identical. Dirac factors show the bilinear norms are exactly one. If $p,q$ are positive and $f\ge0$, both inner and outer evaluations are nonnegative, proving positivity. The constant-one calculation proves multiplicativity of mass, and substitution of $\delta_0$ proves both unit identities. Renaming the two variables and using $m+n=n+m$ proves the opposite-product identity $p\mathbin{\lozenge}q=q\mathbin{\square}p$. For associativity of the first order, evaluating $((p\mathbin{\square}q)\mathbin{\square}r)$ at $f$ gives $$ p\bigl(i\mapsto q(j\mapsto r(k\mapsto f((i+j)+k)))\bigr). $$ Evaluating $p\mathbin{\square}(q\mathbin{\square}r)$ gives the same expression with $f(i+(j+k))$. These functions are equal by associativity of natural addition. All functions on which a functional is applied are bounded, and no evaluation orders have been exchanged. This proves associativity. The second order is the opposite of an associative product, so it is associative as well. For $u\in\ell^1(\mathbb N)$ the series $$ \sum_m u_m(n\mapsto f(m+n)) $$ converges uniformly in $n$, since its uniform tail is bounded by $\|f\|_\infty$ times the corresponding $\ell^1$ tail of $u$. A bounded functional may therefore pass through this series. This proves agreement of the two orders when the first factor is $u$; the opposite-product identity gives agreement when the second factor is in $\ell^1$. When both are in $\ell^1$, the absolutely convergent double series is the usual convolution pairing. Absolute summation also gives $\|u*v\|_1\le\|u\|_1\|v\|_1$. For a fixed $q$ and a fixed test $f$, the outer function $m\mapsto q(n\mapsto f(m+n))$ is a single member of $\ell^\infty$. This proves weak-star continuity in $p$ of the first order. The second continuity assertion is proved from its displayed formula in the same way. These are the exact continuity sides and base-factor agreement in Hennefeld, Lemmas 1.4–1.5.[^rro32-arens] For fixed finite $u_i$, agreement of the orders and their stated continuity give $u_i*v_j\to u_i\mathbin{\square}q$ as $j$ varies. Then first-variable continuity gives $u_i\mathbin{\square}q\to p\mathbin{\square}q$. For the reverse iteration, first let $i$ vary with finite $v_j$ fixed, obtaining $p\mathbin{\lozenge}v_j$, and then let $j$ vary using second-variable continuity. This proves both iterated formulas, the special case here of Hennefeld, Lemma 2.2.[^rro32-arens] QED. **theorem 32.12 (Ultrafilter products and an exact arithmetic double limit).** The zero-one probability charges on $\operatorname{Pow}(\mathbb N)$ form the usual ultrafilter space $\beta\mathbb N$, compact for its inherited weak-star topology, with the principal ultrafilters dense. Both products in Definition 32.10 preserve this space. For the first order the exact event formula is $$ A\in p\mathbin{\square}q \quad\Longleftrightarrow\quad \{m:\{n:m+n\in A\}\in q\}\in p, $$ where an ultrafilter is identified with its probability charge. This is the classical ultrafilter semigroup order described by Hindman and Strauss, Section 1.[^rro32-ultrafilters] Choose any free ultrafilters $\mathcal U,\mathcal V$ on $\mathbb N$ and put $$ a_i=2^{2i},\qquad b_j=2^{2j+1},\qquad D=\{a_i+b_j:i0$、$\delta>0$ 及任意 $A\subseteq Y$，采用不乘任何归一化系数的外测度定义 $$ \mathcal H^q_{e,\delta}(A)= \inf\left\{\sum_i(\operatorname{diam}_e A_i)^q: A\subseteq\bigcup_i A_i,\ \operatorname{diam}_e A_i\le\delta\right\}, \qquad \mathcal H^q_e(A)=\lim_{\delta\downarrow0}\mathcal H^q_{e,\delta}(A). $$ 覆盖至多可数，覆盖集不要求可测；空集和单点的正次幂直径贡献为零。Hausdorff 维数定义为使该测度为零的正指数之下确界。 附引：本条的动力与分裂端点前置为[第 20.1–20.7 条](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/3a015d0d429b5ef52dcf7f04f26fa9f2c28678f0/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)。 **定理 33.1（真实柱直径与相容的非原子概率）。** 存在唯一 Borel 概率 $\nu$ 满足 $\nu(K)=1$ 及 $$ \nu(C_p)= \begin{cases} \alpha^L,&L=|p|\ge1,\ p_{L-1}=0,\\ \alpha^{L+1},&L=|p|\ge1,\ p_{L-1}=1. \end{cases} $$ 它具有满支撑且无原子。全部非空柱集满足精确等式 $$ \operatorname{diam}_d K=1,\qquad \operatorname{diam}_d C_p= \begin{cases} 2^{-L},&p_{L-1}=0,\\ 2^{-(L+1)},&p_{L-1}=1, \end{cases} \qquad \nu(C_p)=(\operatorname{diam}_d C_p)^s. $$ **证明。** 末位为零时，所有延伸共享前 $L$ 位，而延伸 $p0^\infty$ 与 $p10^\infty$ 恰在第 $L$ 位不同，故柱直径为 $2^{-L}$。末位为一时，第 $L$ 位强制为零，因此 $C_p=C_{p0}$；在强制零之后选择零或一，得到首差为 $L+1$ 的两个延伸，故直径为 $2^{-(L+1)}$。空前缀的直径由 $0^\infty$ 与 $10^\infty$ 达到。 记上述候选柱质量为 $w(p)$。根层满足 $w(0)+w(1)=\alpha+\alpha^2=1$。若 $p$ 以零结尾，则 $$ w(p0)+w(p1)=\alpha^{L+1}+\alpha^{L+2}=\alpha^L=w(p). $$ 若 $p$ 以一结尾，则唯一子柱是 $C_{p0}=C_p$，两者质量同为 $\alpha^{L+1}$。因此逐层相容。 每个开闭集都是有限个同深度柱集的不交并；在这样的表示上求和定义 $w$，相容性保证定义不依赖深度或表示。若一列不交开闭集的并仍是开闭集 $B$，它们是紧集 $B$ 的开覆盖，故有有限子覆盖；不交性迫使其余成员为空。这证明 $w$ 是开闭代数上的有限预测度。该代数生成 Borel 集，有限测度扩张定理给出唯一 Borel 概率 $\nu$。 每个非空柱质量严格为正，柱集又构成拓扑基，故支撑为 $K$。对每个 $x$， $$ \nu(\{x\})\le\nu(C_{q_L(x)})\le\alpha^L\longrightarrow0, $$ 所以没有原子。最后 $2^{-s}=\alpha$，将真实柱直径代入即得质量与直径幂的等式。证毕。 附引：有限预测度的扩张与唯一性见 Scott Sheffield，[18.175 Lecture 2，PDF 第 28 页的 Carathéodory 扩张定理](https://math.mit.edu/~sheffield/2016175/Lecture2.pdf#page=28)。 **定理 33.2（任意集合的质量界、精确临界测度及 Ahlfors 界）。** 令 $\nu^*$ 为 $\nu$ 的外测度。对每个集合 $A\subseteq K$， $$ \nu^*(A)\le(\operatorname{diam}_d A)^s. $$ 而且对所有 $\delta>0$ 都有更强的等式 $$ \mathcal H^s_{d,\delta}(A)=\mathcal H^s_d(A)=\nu^*(A). $$ 特别地，作为 Borel 测度， $$ \mathcal H^s_d=\nu,\qquad \mathcal H^s_d(K)=1,\qquad \dim_{\mathrm H}(K,d)=s. $$ 对所有 $x\in K$ 和 $00$ 和 $\varepsilon>0$，取右边总质量小于 $\nu^*(A)+\varepsilon$ 的开闭覆盖。将每个 $B_i$ 分成足够深的有限个柱集，使它们的直径均不超过 $\delta$。按定理 33.1，这些柱集的直径 $s$ 次幂之和恰为 $\nu(B_i)$。因此 $$ \mathcal H^s_{d,\delta}(A)\le\nu^*(A)+\varepsilon. $$ 令 $\varepsilon\downarrow0$ 得每个尺度上的等式，继而得到所述 Borel 测度等式。 若 $0s$，长度 $L$ 的全部柱覆盖的 $q$ 次幂直径和不超过 $$ 2^{-L(q-s)}\sum_{|p|=L}\nu(C_p)=2^{-L(q-s)}\longrightarrow0. $$ 因此所有 $q>s$ 的 Hausdorff 测度为零，维数恰为 $s$。 对 $0s$，相应比值为 $$ \frac{d_{\mathbb T}(H(a_k),H(b_k))}{d(a_k,b_k)^\gamma} =(2^\gamma\alpha)^k\longrightarrow\infty. $$ 故不存在更大指数的统一 Hölder 界。因为 $s<1$，Lipschitz 情形亦被排除。证毕。 附引：柱实区间及其端点值使用[第 20.2 条](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/3a015d0d429b5ef52dcf7f04f26fa9f2c28678f0/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)。 **定理 33.4（覆盖维数与观察核的严格区分）。** 以有限开覆盖存在重数至多 $n+1$ 的有限开加细来定义紧空间的覆盖维数，则 $$ \dim_{\mathrm{top}}K=\dim_{\mathrm{top}}X_\beta=0,\qquad \dim_{\mathrm{top}}\mathbb T=1. $$ 同时 $H$ 是商映射，且 $$ \ker\Phi=\Delta_K\subsetneq\ker H, \qquad \Delta_K=\{(x,x):x\in K\}. $$ 因此本例中覆盖维数的增大与观察纤维的合并同时发生，而不是与观察核的细化同时发生。 **证明。** $K$ 的任意有限开覆盖被某个共同深度的柱分割加细：先在每个点选包含于某一覆盖成员的柱，利用紧致性取有限子覆盖，再统一增加深度。柱分割的重数为一，故非空空间 $K$ 的覆盖维数为零。由同胚 $\Phi$，$X_\beta$ 的覆盖维数也为零。 对圆周任意有限开覆盖取 Lebesgue 数 $\delta>0$，使直径小于 $\delta$ 的集合都包含于某一覆盖成员。选 $N\ge4$ 使 $3/(2N)<\delta$，以 $j/N$ 为中心、$3/(4N)$ 为半径取 $N$ 个开弧。它们覆盖圆周，每个直径小于 $\delta$，且任一点至多落入两个弧：一个长度为 $3/(2N)$ 的弧不可能容纳三个间隔为 $1/N$ 的中心。这给出重数至多二的开加细，故圆周覆盖维数至多为一。 圆周是区间 $[0,1]$ 的连续像，因而连通。若其覆盖维数为零，取两个不同点 $a,b$，则由两个真开集 $\mathbb T\setminus\{a\}$、$\mathbb T\setminus\{b\}$ 组成的覆盖应有重数一的有限开加细。该加细是不交开分割；连通性迫使唯一非空成员为整个圆周，但整个圆周不包含于上述任何一个真开集，矛盾。因此维数恰为一。 $H$ 是紧空间到 Hausdorff 空间的连续满射，闭集的像紧而闭，故为商映射。$\Phi$ 单射给出 $\ker\Phi=\Delta_K$；$u\ne v$ 而 $H(u)=H(v)$ 给出严格包含。核的这个包含方向正是点被合并的方向。证毕。 附引：满射、同胚与接缝双点使用[第 20.2、20.7 条](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/3a015d0d429b5ef52dcf7f04f26fa9f2c28678f0/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)；所需覆盖维数结论已在本条直接证明。 **定理 33.5（两种距离的精确统一模量及全部首差区间）。** 对映射 $A:(Y,e)\to(Z,e')$ 定义 $$ \omega_A(r)=\sup\{e'(A(y),A(y')):e(y,y')\le r\}. $$ 置 $$ \ell(t)=\max\{L\ge0:G_L\le t+1\}\qquad(t\in\mathbb N). $$ 则 $$ \omega_\Phi(2^{-L})=2^{-(G_L-1)},\qquad \omega_{\Phi^{-1}}(2^{-t})=2^{-\ell(t)}. $$ 更精确地，若 $x\ne y$ 的位置首差为 $k$、时间首差为 $n=n(\Phi x,\Phi y)$，则 $$ G_k-1\le n\le G_{k+1}-2. $$ 对每个 $k\ge0$，这个整数区间内的每个 $n$ 都由实际分裂点对达到。对任意 $00$，令 $$ C_\gamma=\sup_{k\ge0}2^{\gamma k-G_k+1}. $$ 则 $1\le C_\gamma<\infty$，并且 $$ \rho(\Phi x,\Phi y)\le C_\gamma d(x,y)^\gamma. $$ 但 $\Phi^{-1}$ 对任何正指数都不是 Hölder 映射。其逆模量满足 $$ \omega_{\Phi^{-1}}(r)\asymp \bigl(1+\log_2(1/r)\bigr)^{-\kappa} \qquad(r\downarrow0), \qquad \kappa=\frac{\log2}{\log\phi}. $$ 令 $c=\phi^2/\sqrt5$，则在精确二进尺度上还有 $$ \liminf_{t\to\infty}(t+1)^\kappa\omega_{\Phi^{-1}}(2^{-t})=c^\kappa, \qquad \limsup_{t\to\infty}(t+1)^\kappa\omega_{\Phi^{-1}}(2^{-t})=2c^\kappa. $$ 因此对数阶不能改成更快的幂，也不能把这两个极限压成同一个非零渐近系数。 **证明。** 递推或第 20.9 条的闭式给出 $$ G_k=\frac{\phi^{k+2}-(-\phi^{-1})^{k+2}}{\sqrt5}, \qquad G_k\ge\phi^k. $$ 指数增长支配 $\gamma k$，故定义 $C_\gamma$ 的序列趋于零，其上确界有限；$k=0$ 的项为一。由定理 33.5，位置首差为 $k$ 时， $$ \rho(\Phi x,\Phi y)\le2^{-(G_k-1)} \le C_\gamma\,2^{-\gamma k}. $$ 相等点的情形显然，因此得到正向 Hölder 界。 再次取 $m=G_L+1$ 的分裂点对。对任意 $\gamma>0$， $$ \frac{d(x_m^-,x_m^+)} {\rho(\Phi x_m^-,\Phi x_m^+)^\gamma} =2^{-L+\gamma(G_L-1)}\longrightarrow\infty. $$ 所以任何有限统一常数都不能给出逆向正指数 Hölder 界。 令 $L=\ell(t)$，则 $$ G_L-1\le t\le G_{L+1}-2,\qquad \omega_{\Phi^{-1}}(2^{-t})=2^{-L}. $$ 由 $\phi^L\le G_L\le\phi^{L+1}$ 得到适用于所有 $t\ge0$ 的界 $$ (t+1)^{-\kappa} \le\omega_{\Phi^{-1}}(2^{-t}) \le4(t+1)^{-\kappa}. $$ 将 $t$ 换成 $N(r)$，且 $N(r)$ 与 $\log_2(1/r)$ 相差不足一，得到所述对数阶。 为确定锐利振幅，在整个第 $L$ 个台阶上， $$ \frac{G_L}{\phi^L} \le\frac{t+1}{\phi^L} \le\frac{G_{L+1}-1}{\phi^L}, \qquad (t+1)^\kappa2^{-L} =\left(\frac{t+1}{\phi^L}\right)^\kappa. $$ 左、右端分别趋于 $c$ 和 $c\phi$。取实际台阶端点 $t=G_L-1$ 与 $t=G_{L+1}-2$，两界分别达到；这些模量值又分别由定理 33.5 的实际分裂点对达到。因此下极限为 $c^\kappa$，上极限为 $(c\phi)^\kappa=2c^\kappa$。这也证明：若把对数衰减指数增大为任意 $\kappa'>\kappa$，便不可能保留统一上界。证毕。 附引：Fibonacci 闭式使用[第 20.9 条](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/3a015d0d429b5ef52dcf7f04f26fa9f2c28678f0/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)；模量与振幅由本条结合实际端点证明，而不是由词数推断。 **定理 33.7（时间首差尺度的零 Hausdorff 维数）。** 对每个 $q>0$， $$ \mathcal H^q_\rho(X_\beta)=0,\qquad \dim_{\mathrm H}(X_\beta,\rho)=0. $$ 将时间距离拉回为 $$ \widehat d(x,y)=\rho(\Phi x,\Phi y), $$ 则 $\widehat d$ 与 $d$ 给出相同拓扑，但 $$ \dim_{\mathrm H}(K,\widehat d)=0 < s=\dim_{\mathrm H}(K,d). $$ 这些等式不把完整合法位置空间 $(K,d)$ 识别为零维的时间度量空间。 **证明。** 长度 $t$ 的时间前缀只有 $t+1$ 个。它们的柱集覆盖 $X_\beta$，每个 $\rho$ 直径至多为 $2^{-t}$，故总 $q$ 次幂直径代价至多为 $$ (t+1)2^{-qt}\longrightarrow0. $$ 覆盖直径趋于零；对每个固定允许尺度，亦可任意增大 $t$，因此所有正指数 Hausdorff 测度都为零。由定义，Hausdorff 维数为零。 $\Phi$ 是同胚，故拉回距离给出原拓扑；它又按定义是从 $(K,\widehat d)$ 到 $(X_\beta,\rho)$ 的等距双射，所以二者 Hausdorff 测度及维数相同。与定理 33.2 比较即得严格不等式。这里的变化来自距离，而不是从载体中删除位置序列。证毕。 附引：所需时间词数是[第 20.5、20.7 条](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/3a015d0d429b5ef52dcf7f04f26fa9f2c28678f0/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)的既有结果。 **定理 33.8（算术不变概率的唯一性与不变满测度同构）。** $\nu$ 是 $T$ 的唯一不变 Borel 概率，且是 Haar 测度在 $H$ 下的唯一概率提升。令 $$ \Omega=\{[n\phi]:n\in\mathbb Z\},\qquad \mathbb T_0=\mathbb T\setminus\Omega,\qquad K_0=H^{-1}(\mathbb T_0). $$ 则 $m(\mathbb T_0)=\nu(K_0)=1$，并有 $$ R(\mathbb T_0)=R^{-1}(\mathbb T_0)=\mathbb T_0,\qquad T^{-1}(K_0)=K_0,\qquad T(K_0)=K_0. $$ 限制映射 $$ H_0:(K_0,\nu|_{K_0},T|_{K_0}) \longrightarrow(\mathbb T_0,m|_{\mathbb T_0},R|_{\mathbb T_0}) $$ 是保持测度的双可测同构，且 $H_0$ 及其逆事实上连续。相应地，$\Phi_*\nu$ 是 $(X_\beta,S)$ 的唯一不变 Borel 概率。 **证明。** 首先证明 Haar 提升唯一。若 $\eta$ 是 Borel 概率且 $H_*\eta=m$，则对每个正深度柱 $C_p$，第 20.2 条给出 $$ H^{-1}(H[C_p])\setminus C_p \subseteq H^{-1}(\partial_{\mathbb T}H[C_p]). $$ 右侧在 $\eta$ 下为零，因为相位边界是有限集且 $H_*\eta=m$。因此 $$ \eta(C_p)=m(H[C_p])=\nu(C_p). $$ 柱集生成 Borel 集，两个概率在所有柱上相同，故 $\eta=\nu$。定理 33.3 已给出这一提升的存在。 任意 $R$ 不变概率 $\lambda$ 都无原子：同一旋转轨道上的单点质量相同，而无理性使该轨道无限，正原子质量会违反总质量有限。进一步，对任意连续 $g$，旋转不变性使 $$ \int g(\theta+[n\phi])\,d\lambda(\theta)=\int g(\theta)\,d\lambda(\theta). $$ 无理旋转的轨道稠密，一致连续性使此式对任意平移 $a\in\mathbb T$ 成立。再对 $a$ 按 $m$ 积分，利用 Fubini 定理及 Haar 平移不变性， $$ \int g\,d\lambda =\int_{\mathbb T}\int_{\mathbb T}g(\theta+a)\,d\lambda(\theta)\,dm(a) =\int g\,dm. $$ 故 $\lambda=m$。 若 $\mu$ 是 $T$ 不变概率，由 $HT=RH$，$H_*\mu$ 是 $R$ 不变概率，因此等于 $m$，唯一提升迫使 $\mu=\nu$。这里也明确得到 $$ \mu(H^{-1}(\Omega))=m(\Omega)=0, $$ 所以全部分裂纤维及其所需轨道饱和集都不能携带不变概率的正质量。反过来，$H_*(T_*\nu)=R_*m=m$，唯一提升给出 $T_*\nu=\nu$，证明存在性与唯一性。 $\Omega$ 可数且在 $R$ 的正、反向下不变，故 $\mathbb T_0$ 是不变满测度 Borel 集。全部非单点相位纤维都位于 $$ E=\{[-m\phi]:m\ge1\}\subseteq\Omega, $$ 所以 $H_0$ 双射。$HT=RH$ 立即给出 $T^{-1}(K_0)=K_0$。对任意 $x\in K_0$，$R^{-1}H(x)$ 在 $\mathbb T_0$ 中有唯一提升 $y$，并且 $H(Ty)=H(x)$；该纤维单点，故 $Ty=x$，证明 $T(K_0)=K_0$ 以及限制后继的可逆性。 设 $J=H_0^{-1}$。对每个正深度柱，其相位弧内部记为 $J_p$。边界均已从 $\mathbb T_0$ 删除，因而 $$ J^{-1}(C_p\cap K_0)=J_p\cap\mathbb T_0. $$ 右侧在 $\mathbb T_0$ 中开，柱集在 $K_0$ 中构成基，故 $J$ 连续。$H_0$ 的连续性继承自 $H$，于是双方均可测。推前恒等式及其双射性证明它保持测度，半共轭恒等式给出所述同构。 仅删除 $H^{-1}(E)$ 不足以得到上述正、反向不变的同构：接缝双点 $u,v$ 都被 $T$ 送到相位为零的 $Z(0)$，而 $0\notin E$。删除整个双向轨道 $\Omega$ 才同时排除这一进入点及其全部轨道。最后，利用同胚共轭 $\Phi T=S\Phi$，任意 $S$ 不变概率经 $\Phi^{-1}$ 推前成为 $T$ 不变概率，故必为 $\Phi_*\nu$。证毕。 附引：全部纤维、接缝合并及算术半共轭使用[第 20.1、20.2、20.4、20.7 条](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/3a015d0d429b5ef52dcf7f04f26fa9f2c28678f0/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)；唯一提升和满测度同构在本条直接构造。 **定理 33.9（几何概率的初始律与位置平稳概率的密度）。** 按状态 $0,1$ 排列，令 $$ p=(\alpha,\alpha^2),\qquad P=\begin{pmatrix}\alpha&\alpha^2\\1&0\end{pmatrix},\qquad \pi=\left(\frac1{1+\alpha^2},\frac{\alpha^2}{1+\alpha^2}\right). $$ 几何概率 $\nu$ 是初始律为 $p$、转移矩阵为 $P$ 的单侧 Markov 概率。以 $\pi$ 为初始律、以同一个 $P$ 为转移矩阵的概率 $\mu_{\mathrm{st}}$ 是 $\sigma$ 不变的，并且 $$ \frac{d\mu_{\mathrm{st}}}{d\nu}(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac1{\alpha(1+\alpha^2)},&x_0=0,\\[4pt] \displaystyle\frac1{1+\alpha^2},&x_0=1. \end{cases} $$ 因此二者相互绝对连续但不相等，而且 $$ \sigma_*\nu\ne\nu,\qquad T_*\mu_{\mathrm{st}}\ne\mu_{\mathrm{st}}. $$ **证明。** 初始柱质量为 $\nu(C_0)=\alpha$、$\nu(C_1)=\alpha^2$。以零结尾的任意正质量前缀，其两个子柱与父柱的质量比为 $\alpha,\alpha^2$；以一结尾时唯一下一位为零，条件概率为一。因此所有有限历史的下一位条件律只依赖末状态，且等于 $P$ 的相应行。这证明 Markov 表示。 $P$ 的各行和为一，且 $\pi P=\pi$。有限柱公式 $$ \mu_{\mathrm{st}}(C_u) =\pi_{u_0}\prod_{j=0}^{L-2}P_{u_ju_{j+1}}\qquad(L=|u|\ge1) $$ 相容，按定理 33.1 的扩张论证定义唯一概率。对于任意柱，对所有可能的前置状态求和，并用 $\pi P=\pi$，得到 $$ \mu_{\mathrm{st}}(\sigma^{-1}C_u)=\mu_{\mathrm{st}}(C_u). $$ 故该概率在 $\sigma$ 下不变。 $\nu$ 的对应柱公式只把初始 $\pi$ 换成 $p$，所以两个柱质量的比值为 $\pi_{u_0}/p_{u_0}$。令 $D(x)$ 为声明中的正函数，则 $D\nu$ 与 $\mu_{\mathrm{st}}$ 在所有柱上的质量相同，因此是同一 Borel 概率，证明密度公式。密度有严格正的上下界，故相互绝对连续。但 $$ \nu(C_1)=\alpha^2\ne\frac{\alpha^2}{1+\alpha^2} =\mu_{\mathrm{st}}(C_1), $$ 所以它们不相等。另外， $$ \nu(\sigma^{-1}C_1)=\nu(C_{01})=\alpha^3\ne\alpha^2, $$ 故 $\nu$ 不是位置平稳概率。由于 $T$ 的不变概率唯一且为 $\nu$，不同的 $\mu_{\mathrm{st}}$ 不可能在 $T$ 下不变。证毕。 附引：初始律与平稳化密度的经典结构见 W. Parry，[Intrinsic Markov chains，Theorems 4–5，印刷页 61](https://scispace.com/pdf/intrinsic-markov-chains-4eajvwuaan.pdf#page=7)；本条的初始律和密度由柱公式直接确定。 **定理 33.10（位置最大熵概率的完整不等式与唯一等号情形）。** 对任意 $\sigma$ 不变 Borel 概率 $\mu$， $$ h_\mu(\sigma)\le\log\phi, $$ 并且 $$ h_\mu(\sigma)=\log\phi \quad\Longleftrightarrow\quad \mu=\mu_{\mathrm{st}}. $$ 因此，结合第 20.9 条既有的 $h_{\mathrm{top}}(\sigma)=\log\phi$，$\mu_{\mathrm{st}}$ 是完整位置移位的唯一最大熵概率，而临界 Hausdorff 概率是与它不同的 $\nu$。 **证明。** 全部熵使用自然对数及约定 $0\log0=0$。有限分割 $\mathcal A$ 的熵记为 $$ \mathsf H_\mu(\mathcal A) =-\sum_{A\in\mathcal A}\mu(A)\log\mu(A), $$ $h_\mu(\sigma)$ 定义为所有有限 Borel 分割的迭代熵率之上确界。置 $X_j(x)=x_j$。 先说明位置坐标确实计算全部测度熵。有限柱代数生成 Borel 集。可在 $\mu$ 测度下由该代数逼近的 Borel 集构成一个 $\sigma$ 代数：补集与有限并的逼近直接成立；可数并先以有限部分逼近，再用有限测度的下连续性控制余项。因此每个有限 Borel 分割 $\mathcal A$ 都能以只依赖有限前缀的标签预测，且错误概率 $e$ 任意小：分别用柱代数中的集合逼近各原子，输出包含该点的第一个逼近集合的标签，无匹配时输出固定标签；错误集合包含于各对称差之并。若 $\mathcal A$ 有 $r$ 个原子，加入预测是否错误的二元变量给出 $$ \mathsf H_\mu(\mathcal A\mid\mathcal Q_L) \le -e\log e-(1-e)\log(1-e)+e\log r. $$ 当无错误时真实标签已确定；错误时至多有 $r$ 个可能标签，这证明该界。因此条件熵随 $L\to\infty$ 趋于零。 链式法则、增加条件不增熵及不变性给出 $$ \mathsf H_\mu\left(\bigvee_{j=0}^{n-1}\sigma^{-j}\mathcal A\right) \le \mathsf H_\mu(\mathcal Q_{n+L-1}) +n\,\mathsf H_\mu(\mathcal A\mid\mathcal Q_L). $$ 这里使用位置窗口的精确恒等式 $$ \bigvee_{j=0}^{n-1}\sigma^{-j}\mathcal Q_L=\mathcal Q_{n+L-1}. $$ 除以 $n$，先令 $n\to\infty$，再令 $L\to\infty$，并对 $\mathcal A$ 取上确界；反向使用分割 $\mathcal Q_1$，得到 $$ h_\mu(\sigma)= \lim_{n\to\infty}\frac1n \mathsf H_\mu(X_0,\ldots,X_{n-1}). $$ 极限存在，因为不变性与链式法则使块熵次可加。这同时给出了此处所需的单侧生成分割论证。 现在取允许转移矩阵及正向量 $$ A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad v_0=1,\quad v_1=\alpha. $$ 直接计算 $Av=\phi v$，且在所有允许边上 $$ P_{ij}=\frac{A_{ij}v_j}{\phi v_i},\qquad -\log P_{ij}=\log\phi+\log v_i-\log v_j. $$ 对长度 $n\ge1$ 且 $\mu(C_u)>0$ 的历史 $u$，令 $q^u$ 为下一位的条件分布。它仅支持于从末状态 $u_{n-1}$ 出发的允许边。定义 $$ D(q^u\Vert P_{u_{n-1},\cdot}) =\sum_{j:q^u_j>0}q^u_j \log\frac{q^u_j}{P_{u_{n-1},j}}. $$ 这是非负的，且等号当且仅当两行概率完全相等。确实，由 $\log z\le z-1$， $$ \sum_{j:q_j>0}q_j\log\frac{P_j}{q_j} \le\sum_{j:q_j>0}P_j-1\le0. $$ 若等号成立，所有正质量位置都满足 $P_j=q_j$，且不存在被 $q$ 遗漏的正 $P_j$；反之显然。上述相对熵非负性也证明混合分布的熵不小于分量熵的平均，因而证明前面使用的增加条件不增熵。 令 $$ h_n=\mathsf H_\mu(X_n\mid X_0,\ldots,X_{n-1}). $$ 相对熵恒等式及相邻坐标具有相同边缘分布给出 $$ h_n=\log\phi- \sum_{\substack{|u|=n\\\mu(C_u)>0}} \mu(C_u)\, D(q^u\Vert P_{u_{n-1},\cdot}) \le\log\phi. $$ 其中势差 $\log v_{X_{n-1}}-\log v_{X_n}$ 的期望为零，正是使用 $\sigma$ 不变性的地方。进一步， $$ h_{n+1} \le\mathsf H_\mu(X_{n+1}\mid X_1,\ldots,X_n) =h_n, $$ 故 $h_n$ 单调下降。由块熵链式法则， $$ \mathsf H_\mu(X_0,\ldots,X_{n-1}) =\mathsf H_\mu(X_0)+\sum_{j=1}^{n-1}h_j, $$ 所以 $h_\mu(\sigma)=\lim_{n\to\infty}h_n\le\log\phi$。 若等号成立，单调性与每个 $h_n\le\log\phi$ 迫使所有 $h_n=\log\phi$。每个正质量历史的相对熵因此都为零，故该历史后的条件转移恰为 $P$。于是 $\mu$ 是转移矩阵为 $P$ 的 Markov 概率。其初始边缘 $a=(a_0,a_1)$ 因不变性满足 $aP=a$，即 $$ a_1=\alpha^2a_0,\qquad a_0+a_1=1, $$ 从而 $a=\pi$。所有柱质量均等于 $\mu_{\mathrm{st}}$，故 $\mu=\mu_{\mathrm{st}}$。这个论证未预先要求 $\mu$ 满支撑。 反之，在 $\mu_{\mathrm{st}}$ 下，每个正质量历史后的条件分布都是 $P$，上述所有相对熵为零，因而 $h_n=\log\phi$ 对每个 $n\ge1$ 成立，得到 $h_{\mu_{\mathrm{st}}}(\sigma)=\log\phi$。定理 33.9 已证明 $\nu\ne\mu_{\mathrm{st}}$ 且 $\nu$ 不在位置移位下不变，所以不能将临界 Hausdorff 概率与位置最大熵概率混同。证毕。 附引：单侧生成分割定理见 B. Solomyak，[Ergodic Theory—Lecture 6 Summary，Theorem 1.6(i)，第 3 页](https://u.math.biu.ac.il/~solomyb/GRAD/15/ET/Lec6.pdf#page=3)；经典最大熵唯一性见 W. Parry，[Intrinsic Markov chains，§4，Theorem 10，印刷页 65–66](https://scispace.com/pdf/intrinsic-markov-chains-4eajvwuaan.pdf#page=11)。此处对所有位置不变概率的不等式及等号情形已直接证明。 ## 追加锚（本行以下为增补区） ## 34. Convolution powers, exact finite-observation escape, and Haar limits **Assumption 34.0 (The exact compact carrier, oriented fibers, and multiplication graph).** Put $$ \phi=\frac{1+\sqrt5}{2},\qquad \alpha=\phi^{-1},\qquad G_0=1,\quad G_1=2,\quad G_{j+2}=G_{j+1}+G_j, $$ $$ K=\{x\in\{0,1\}^{\mathbb N}:x_jx_{j+1}=0\text{ for all }j\},\qquad H(x)=\left[\sum_{j\ge0}(-1)^{j+1}\alpha^{j+2}x_j\right]\in\mathbb T=\mathbb R/\mathbb Z. $$ The topology on $K$ is its original compact digit topology. Write $Z(a)$ for the finite Zeckendorf expansion of $a\in\mathbb N$, padded by zeros, and put $$ E_m=[-m\phi],\qquad E=\{E_m:m\ge1\},\qquad S^\pm=\{x_m^\pm:m\ge1\},\qquad S=S^+\cup S^-. $$ Retain the following exact premises from Sections 20 and 25. The continuous map $H$ is onto, its fibers are $$ H^{-1}(\{E_m\})=\{x_m^+,x_m^-\},\qquad H^{-1}(\{\theta\})=\{k_\theta\}\quad(\theta\notin E), $$ $$ H^{-1}(\{[a\phi]\})=\{Z(a)\}\quad(a\in\mathbb N), $$ and $x_m^-,x_m^+$ have the fixed negative-side and positive-side phase orientation. In particular, $$ x_1^-=(01)^\infty,\qquad x_1^+=(10)^\infty. $$ For $$ \Gamma=\overline{\{(Z(a),Z(b),Z(a+b)):a,b\in\mathbb N\}}^{\,K^3}, $$ define $$ \mathcal S(x)= \begin{cases} \{+1\},&x\in S^+,\\ \{-1\},&x\in S^-,\\ \{-1,+1\},&x\notin S. \end{cases} $$ The graph premise is the full equality $$ \Gamma(x,y)= \begin{cases} \{k_{H(x)+H(y)}\},&H(x)+H(y)\notin E,\\ \{x_r^s:s\in\mathcal S(x)\cup\mathcal S(y)\},&H(x)+H(y)=E_r. \end{cases} $$ It is not replaced by phase compatibility alone. Let $q_L(x)=(x_0,\ldots,x_{L-1})$, and let $C_p$ denote a nonempty length-$L$ cylinder. For $L\ge1$, retain the precise conclusion of Theorem 20.2: the $G_L$ cylinder images are consecutive closed circle arcs with disjoint interiors $J_p$, their boundary set is $$ B_L=\{E_1,\ldots,E_{G_L}\}, $$ and $$ H^{-1}(J_p)\subseteq C_p\subseteq H^{-1}(\overline{J_p}),\qquad q_L(x_m^+)\ne q_L(x_m^-)\ \Longleftrightarrow\ m\le G_L. $$ At every boundary the positive-side lift belongs to the following arc and the negative-side lift to the preceding arc, in the positive circle orientation. The lengths are $$ \lambda(J_p)= \begin{cases} \alpha^L,&p_{L-1}=0,\\ \alpha^{L+1},&p_{L-1}=1, \end{cases} $$ where $\lambda$ is normalized circle Haar measure. At depth zero there is a single cylinder and no phase boundary. All conclusions below are conditional on these premises and use the multiplication specified next.[^rro34-input] **Definition 34.1 (The actual all-measure algebra and positive powers).** Fix $$ t\in\Lambda=(\mathbb R\setminus\{-1,1\})\sqcup\{\infty\}, $$ with $\infty$ a separate formal parameter. Use the setwise integrated multiplication $\star_t$ of Theorem 28.7 on the real signed regular Borel measures $M(K)$, not an arbitrary extension agreeing only on atomic measures. Thus $$ (\mu\star_t\eta)(D)=\int_{K^2}P^{(t)}_{x,y}(D)\,d(\mu\otimes\eta)(x,y) $$ for every Borel $D\subseteq K$. Total variation is $\|\mu\|_{\mathrm{TV}}=|\mu|(K)$, without a factor of one half. For $m\ge1$, put $$ p_m(t)= \begin{cases} \dfrac{t^m}{t^m-1},&t\ne\infty,\\ 1,&t=\infty, \end{cases} \qquad v_m=\delta_{x_m^+}-\delta_{x_m^-}, $$ $$ \rho_t= \begin{cases} |t|,&t\ne\infty,\ |t|<1,\\ |t|^{-1},&t\ne\infty,\ |t|>1,\\ 0,&t=\infty, \end{cases} \qquad C_t=\frac{1+\rho_t}{1-\rho_t}, $$ $$ d'_m= \begin{cases} 1-t^m,&t\ne\infty,\ |t|<1,\\ t^{-m}-1,&t\ne\infty,\ |t|>1,\\ -1,&t=\infty. \end{cases} $$ Write $$ \pi^{(t)}_{E_m}=p_m(t)\delta_{x_m^+}+(1-p_m(t))\delta_{x_m^-},\qquad \pi^{(t)}_\theta=\delta_{k_\theta}\quad(\theta\notin E), $$ and retain the lift $L_t\nu=\int\pi^{(t)}_\theta\,d\nu(\theta)$ in the setwise sense of Theorem 28.5. The residual coordinate is $$ (R_t\mu)_m=d'_m\bigl((1-p_m(t))\mu(\{x_m^+\})-p_m(t)\mu(\{x_m^-\})\bigr). $$ The imported coordinate isomorphism of Theorems 28.8–28.9 is $$ \Phi_t\mu=(H_\#\mu,R_t\mu),\qquad \Phi_t(\mu\star_t\eta)=\bigl(H_\#\mu*_{\mathbb T}H_\#\eta,\ R_t\mu*_+R_t\eta\bigr), $$ with inverse $$ \Psi_t(\nu,g)=L_t\nu+\sum_{m\ge1}\frac{g_m}{d'_m}v_m. $$ Here $*_\mathbb T$ is convolution on the original compact circle and $*_+$ is convolution on $\ell^1(\mathbb N_{>0})$. The inverse series converges in total variation. In particular, $$ \|R_t\mu\|_1\le\|\mu\|_{\mathrm{TV}},\qquad \|L_t\nu\|_{\mathrm{TV}}\le C_t\|\nu\|_{\mathrm{TV}},\qquad \sup_{x,y}\|P^{(t)}_{x,y}\|_{\mathrm{TV}}=C_t. $$ The measure $$ \mathfrak m=L_t\lambda $$ is the already constructed non-atomic probability of Theorem 28.11, independent of $t$. For a probability $\mu\in M(K)$, define only positive powers, $$ \mu_t^{(1)}=\mu,\qquad \mu_t^{(n+1)}=\mu_t^{(n)}\star_t\mu\quad(n\ge1), $$ and write $$ \nu=H_\#\mu,\qquad g=R_t\mu,\qquad \nu^{(n)}=\nu^{*_{\mathbb T}n},\qquad g^{(n)}=g^{*_+n}, $$ $$ D_{t,n}=\mu_t^{(n)}-L_t\nu^{(n)},\qquad \overline\mu_{t,N}=\frac1N\sum_{n=1}^N\mu_t^{(n)},\qquad \overline\nu_N=\frac1N\sum_{n=1}^N\nu^{(n)}. $$ Weak-star convergence always means testing against $C(K)$ or $C(\mathbb T)$, as appropriate. Setwise convergence means convergence on every fixed Borel set. For $f\in C(K)$, define its cylinder oscillation by $$ \omega_L(f)=\sup\{|f(x)-f(y)|:q_L(x)=q_L(y)\}. $$ Compactness and the digit topology give $\omega_L(f)\to0$: otherwise pairs agreeing at arbitrarily large depths would have convergent subsequences with the same limit but a fixed positive difference of function values. **theorem 34.2 (Exact powers and an n-independent total-variation bound).** For every probability $\mu$, every admissible $t$, and every $n\ge1$, $$ \Phi_t\mu_t^{(n)}=(\nu^{(n)},g^{(n)}),\qquad \mu_t^{(n)}=L_t\nu^{(n)}+\sum_{k\ge n}\frac{g^{(n)}_k}{d'_k}v_k, $$ $$ \mu_t^{(n)}(K)=1,\qquad \|g^{(n)}\|_1\le\|g\|_1^n\le1, $$ $$ \|D_{t,n}\|_{\mathrm{TV}} =2\sum_{k\ge n}\frac{|g^{(n)}_k|}{|d'_k|} \le\frac{2\|g\|_1^n}{1-\rho_t^n}. $$ Moreover, $$ \boxed{\ \|\mu_t^{(n)}\|_{\mathrm{TV}}\le C_t\quad(n\ge1).\ } $$ In fact, for arbitrary signed $\eta_1,\ldots,\eta_n\in M(K)$, $$ \|\eta_1\star_t\cdots\star_t\eta_n\|_{\mathrm{TV}} \le C_t\prod_{j=1}^n\|\eta_j\|_{\mathrm{TV}}. $$ For $n=1$ the product means the single measure. No zero-fold product is specified. **Proof.** Multiplicativity of $\Phi_t$ proves the coordinate formula by induction. A sum of $n$ strictly positive residual indices is at least $n$, so $g^{(n)}_k=0$ for $kG_L. $$ If $g=0$, the residual is identically zero at every time. Uniformly over all probability inputs, the exact disappearance threshold is $$ \boxed{\ n>G_L.\ } $$ At depth zero the residual is invisible for every $n\ge1$. The Cesaro residual satisfies $$ \left\|(q_L)_\#\bigl(\overline\mu_{t,N}-L_t\overline\nu_N\bigr)\right\|_{\mathrm{TV}} \le\frac{2C_t\min\{N,G_L\}}{N}. $$ **Proof.** Theorem 20.2 makes $(q_L)_\#v_m$ zero precisely for $m>M$, proving the finite formula. Arrange the boundary indices in their circular order as $r_1,\ldots,r_M$, with indices interpreted cyclically. Let the cylinder associated with the arc from $E_{r_i}$ to $E_{r_{i+1}}$ be $C_i$. The fixed side convention implies that the coefficient of $C_i$ in $\sum_m b_mw_{m,L}$ is $$ b_{r_i}-b_{r_{i+1}}. $$ Consequently the resulting histogram is zero exactly when all boundary coefficients are equal. This also explains why individual nonzero boundary terms can cancel at time one: the complete boundary cycle has the relation $\sum_{m=1}^M w_{m,L}=0$. For $n\ge2$, the first residual coordinate is zero, so $b_1^{(n)}=0$. Equality of all the boundary coefficients therefore means that they all vanish. If $a$ is the first nonzero coordinate of $g$, then $$ g_k^{(n)}=0\quad(k1\text{ or }t=\infty. \end{cases} $$ For $\mu=\delta_{x_1^{\sigma_t}}$, the explicit residual functions of Theorem 28.2 give $R_t\mu=e_1$. The exact same-sign law gives $$ \mu_t^{(n)}=\delta_{x_n^{\sigma_t}},\qquad D_{t,n}=\frac1{d'_n}v_n. $$ Thus every $1\le n\le G_L$ is detected at depth $L$. In particular, at the claimed endpoint, $$ \left\|(q_L)_\#D_{t,G_L}\right\|_{\mathrm{TV}}=\frac2{|d'_{G_L}|}>0. $$ At depth zero every residual has mass zero and hence has zero pushforward. For the Cesaro estimate, terms with $n>G_L$ vanish after pushforward. Each remaining term has variation at most $2C_t$, because both $\mu_t^{(n)}$ and $L_t\nu^{(n)}$ have variation at most $C_t$. Pushforward is contractive, and averaging proves the bound. $\square$ **theorem 34.4 (Disappearance relative to the own lift is not parameter independence).** Let $s,t\in\Lambda$, use the same probability input $\mu$, and let $n>G_L$ with $L\ge1$. Then $$ (q_L)_\#\bigl(\mu_t^{(n)}-\mu_s^{(n)}\bigr) =\sum_{m=1}^{G_L}\bigl(p_m(t)-p_m(s)\bigr)\nu^{(n)}(\{E_m\})w_{m,L}. $$ In particular, absence of mass at the finitely many phases in $B_L$ implies equality of the two prefix laws. The universal cutoff alone does not imply that equality. For every prescribed $L\ge1$, every $n>G_L$, and every two distinct parameters, there is a probability input for which the two depth-$L$ laws at time $n$ differ. There is also a single fixed probability input satisfying the strict Fourier-modulus condition whose depth-one laws for $t=0$ and $t=\infty$ differ at every time $n\ge7$. **Proof.** Theorem 34.3 removes each residual relative to its own lift. The signed atom-correction formula of Theorem 28.5 gives $$ (L_t-L_s)\xi=\sum_{m\ge1}\bigl(p_m(t)-p_m(s)\bigr)\xi(\{E_m\})v_m $$ for every circle measure $\xi$. This series converges in total variation. Pushforward discards exactly the terms with $m>G_L$, proving the formula. For the first counterexample put $\theta=[-\phi/n]$. If $\theta=E_m$, then $(m-1/n)\phi$ is an integer. Since $n\ge2$, its rational coefficient is nonzero, contradicting irrationality of $\phi$. Thus $\theta\notin E$. For $\mu=\delta_{k_\theta}$, all residual coordinates are zero, and $$ \mu_t^{(n)}=\pi^{(t)}_{E_1},\qquad \mu_s^{(n)}=\pi^{(s)}_{E_1}. $$ The coefficient $p_1$ distinguishes the parameters by Theorem 25.10, and $q_L$ separates the two lifts of $E_1$. Hence the two prefix laws differ. Notice that in this example every residual is already zero: the entire difference belongs to the phase lifts. For a fixed-input example take $$ \theta=[-\phi/2],\qquad \mu=\frac12\bigl(\delta_{Z(0)}+\delta_{k_\theta}\bigr). $$ Both support points are nonsplit, so $R_t\mu=0$ for every parameter. The binomial expansion on the circle gives $$ \nu^{(n)}=2^{-n}\sum_{j=0}^n\binom nj\delta_{j\theta}. $$ Irrationality shows that $j\theta=E_m$ exactly when $j=2m$. At depth one, $$ w_{1,1}=\delta_1-\delta_0,\qquad w_{2,1}=\delta_0-\delta_1, $$ by the explicit oriented fibers in Theorem 20.2. Since the endpoint lifts have $p_m(\infty)-p_m(0)=1$, the difference of the probabilities of digit one is $$ \bigl((q_1)_\#\mu_\infty^{(n)}-(q_1)_\#\mu_0^{(n)}\bigr)(\{1\}) =2^{-n}\left(\binom n2-\binom n4\right). $$ Binomial coefficients beyond $n$ are interpreted as zero. For $n\ge7$, $$ \frac{\binom n4}{\binom n2}=\frac{(n-2)(n-3)}{12}>1, $$ so the difference is nonzero. Nevertheless, for every nonzero integer $k$, the two unit complex numbers $1$ and $e^{2\pi i k\theta}$ are distinct. Their average has modulus less than one. This input therefore satisfies the ordinary convergence criterion proved in Theorem 34.7. $\square$ **theorem 34.5 (Weak-star escape and the exact residual norm dichotomy).** For every probability input and every fixed admissible parameter, $$ D_{t,n}\longrightarrow0\quad\text{in }\sigma(M(K),C(K)). $$ More precisely, with $$ \Delta_n(f)=\sup_{m\ge n}|f(x_m^+)-f(x_m^-)|, $$ one has $$ \left|\int_K f\,dD_{t,n}\right| \le\frac{\Delta_n(f)}{1-\rho_t^n}\|R_t\mu\|_1^n,\qquad \Delta_n(f)\longrightarrow0. $$ Let $S^{\sigma_t}$ be the sign class selected in the proof of Theorem 34.3. Then $$ \|R_t\mu\|_1=1\quad\Longleftrightarrow\quad\mu(S^{\sigma_t})=1. $$ Consequently there is the dichotomy $$ \|D_{t,n}\|_{\mathrm{TV}}\longrightarrow \begin{cases} 0,&\mu(S^{\sigma_t})<1,\\ 2,&\mu(S^{\sigma_t})=1. \end{cases} $$ In the first case the bound in Theorem 34.2 gives geometric decay with base $\|R_t\mu\|_1<1$. **Proof.** For $n>G_L$, every pair entering the supremum defining $\Delta_n(f)$ has the same length-$L$ prefix. Hence $\Delta_n(f)\le\omega_L(f)$, which proves its convergence to zero. Testing the absolutely convergent residual series and applying the denominator bound gives the asserted inequality. Its right side tends to zero, because the residual norm is at most one. This also proves weak-star convergence of the Cesaro residual averages by ordinary scalar averaging. On the selected sign class, the nonzero residual scalar is exactly one. On the opposite sign class its absolute value is at most $\rho_t$, and it vanishes outside $S$. Therefore, if $b=\mu(S^{\sigma_t})$, $$ \|R_t\mu\|_1\le b+\rho_t(1-b). $$ This is strictly less than one when $b<1$. If $b=1$, then $$ g_m=\mu(\{x_m^{\sigma_t}\})\ge0,\qquad\sum_m g_m=1, $$ so the residual norm equals one. This proves the equivalence. When that norm is less than one, Theorem 34.2 proves total-variation decay. In the other case every $g^{(n)}$ is a probability distribution on the positive integers, supported in indices at least $n$. The exact variation formula then gives $$ \frac2{1+\rho_t^n}\le\|D_{t,n}\|_{\mathrm{TV}}\le\frac2{1-\rho_t^n}. $$ Both bounds tend to two. This persistent norm concerns the difference from the own phase lift; it is compatible with vanishing against every fixed continuous readout. $\square$ **theorem 34.6 (Continuity at an exceptional-set-null phase target).** Suppose $\xi_j,\xi$ are circle probabilities, $$ \xi_j\longrightarrow\xi\quad\text{weak-star},\qquad \xi(E)=0. $$ For every fixed admissible $t$, $$ L_t\xi_j\longrightarrow L_t\xi=s_\#\xi\quad\text{weak-star in }M(K), $$ where $s$ is the Borel section of Theorem 28.3. The measures $L_t\xi_j$ may be signed, but have variation at most $C_t$. There is a second assertion requiring positivity rather than a chosen lift: if $\eta_j$ are arbitrary probabilities on $K$ with $H_\#\eta_j\to\xi$ and $\xi(E)=0$, then $$ \eta_j\longrightarrow s_\#\xi\quad\text{weak-star}. $$ In particular, $s_\#\xi$ is the unique positive lift of such a phase probability. The condition $\xi(E)=0$ is weaker than non-atomicity. **Proof.** For real $f\in C(K)$ define $$ h_{t,f}(\theta)=\int_K f\,d\pi^{(t)}_\theta. $$ This is a bounded Borel function with $\|h_{t,f}\|_\infty\le C_t\|f\|_\infty$, by the setwise kernel results of Section 28. It is continuous at every $\theta_0\notin E$, including with respect to approaches through exceptional phases. Indeed, choose a neighborhood $U$ of the unique point $k_{\theta_0}$ on which $|f-f(k_{\theta_0})|<\varepsilon/C_t$. The compact set $H(K\setminus U)$ does not contain $\theta_0$. For all phases sufficiently close to $\theta_0$, the entire fiber therefore lies in $U$. Since every slice has mass one and variation at most $C_t$, $$ |h_{t,f}(\theta)-f(k_{\theta_0})|<\varepsilon. $$ Thus its discontinuities are contained in $E$. Apply the positive-measure bounded-Borel testing criterion to the probabilities $\xi_j$, the target $\xi$, and the function $h_{t,f}$. It gives $$ \int_K f\,dL_t\xi_j=\int_{\mathbb T}h_{t,f}\,d\xi_j \longrightarrow\int_{\mathbb T}h_{t,f}\,d\xi=\int_K f\,dL_t\xi. $$ This is Proposition 4.9(g) of Tausk, applied on the circle before lifting.[^rro34-port] It is not an application of positive Portmanteau inequalities to the signed measures $L_t\xi_j$. The atom-correction formula gives $L_t\xi=s_\#\xi$ because $\xi(E)=0$. No assertion that $\xi_j(E)\to0$ has been used. For the second assertion put $\zeta_j=H_\#\eta_j$. Positivity and the exact cylinder inclusions give $$ \zeta_j(J_p)\le\eta_j(C_p)\le\zeta_j(\overline{J_p}). $$ The two endpoints belong to $E$ and have zero $\xi$-mass. The continuity-set part of the same theorem therefore makes both outside quantities converge to $\xi(J_p)$. The middle quantity converges to this value, which is also $(s_\#\xi)(C_p)$. Finite linear combinations of cylinder indicators approximate every continuous function uniformly: choose one function value in each depth-$L$ cylinder and use $\omega_L(f)\to0$. All measures here are probabilities, so these approximations pass to their integrals uniformly in $j$. This proves weak-star convergence. Applying it to a constant sequence of positive lifts proves uniqueness. $\square$ **theorem 34.7 (Necessary and sufficient ordinary and Cesaro Haar criteria).** For a circle measure use the Fourier convention $$ \chi_k(\theta)=e^{2\pi i k\theta},\qquad \widehat\nu(k)=\int_{\mathbb T}\chi_k\,d\nu\quad(k\in\mathbb Z). $$ Complex testing means testing the real and imaginary parts. Let $\mu$ be any fixed probability on $K$ and $\nu=H_\#\mu$. For every admissible $t$, $$ \boxed{\ \mu_t^{(n)}\longrightarrow\mathfrak m\text{ weak-star} \quad\Longleftrightarrow\quad |\widehat\nu(k)|<1\text{ for every }k\ne0.\ } $$ Likewise, $$ \boxed{\ \overline\mu_{t,N}\longrightarrow\mathfrak m\text{ weak-star} \quad\Longleftrightarrow\quad \widehat\nu(k)\ne1\text{ for every }k\ne0.\ } $$ These criteria and the limiting measure are independent of $t$, although the finite-time laws need not be. For $k\ne0$, failure of the strict-modulus condition means that the support of $\nu$ lies in one level set of $\chi_k$, equivalently a coset of $\ker\chi_k$. Failure of the Cesaro condition means that its support lies in $\ker\chi_k$ itself. **Proof.** Circle convolution and signed Fubini give $$ \widehat{\nu^{(n)}}(k)=\widehat\nu(k)^n. $$ Positivity gives $|\widehat\nu(k)|\le1$. Haar invariance gives $\widehat\lambda(0)=1$ and $\widehat\lambda(k)=0$ for $k\ne0$: translating by a phase on which $\chi_k$ is not one multiplies the integral by that nonunit character value. Integer characters have dense complex linear span in $C(\mathbb T,\mathbb C)$.[^rro34-fourier] Hence convergence of their integrals for circle probabilities implies weak-star convergence. Explicitly, if a trigonometric polynomial $P$ approximates a continuous $f$ within $\varepsilon$, the difference between the two measure integrals of $f-P$ has absolute value at most $2\varepsilon$. Convergence on the finitely many characters of $P$ then gives convergence on $f$. It follows that $\nu^{(n)}\to\lambda$ exactly when $\widehat\nu(k)^n\to0$ for all $k\ne0$, which is exactly the strict-modulus condition. This is the classical compact-Abelian criterion, here used only for the circle component.[^rro34-power] For the averages put $$ A_N(z)=\frac1N\sum_{n=1}^N z^n. $$ For $|z|\le1$, $$ A_N(1)=1,\qquad A_N(z)=\frac{z(1-z^N)}{N(1-z)}\quad(z\ne1), $$ $$ |A_N(z)|\le\min\left\{1,\frac2{N|1-z|}\right\}\quad(z\ne1). $$ Thus $A_N(z)\to0$ exactly when $z\ne1$. Applying the same finite-polynomial approximation proves $$ \overline\nu_N\to\lambda\quad\Longleftrightarrow\quad \widehat\nu(k)\ne1\quad(k\ne0). $$ The averaging convention begins at one, as in the classical compact-group Cesaro theorem.[^rro34-cesaro] For sufficiency on $K$, Theorem 34.6 applies because $\lambda(E)=0$. It gives convergence of $L_t\nu^{(n)}$, or of $L_t\overline\nu_N$, to $\mathfrak m$. Theorem 34.5 removes the residual, or its Cesaro average. The uniform bound $\|\mu_t^{(n)}\|\le C_t$ ensures that these are genuine bounded signed-measure limits. For necessity, continuous pushforward by $H$ sends the proposed limit to $\lambda$ and the powers or averages to their stated circle counterparts. The already proved circle necessities apply. Finally, if $z=\int\chi_k\,d\nu$, then $$ \int|\chi_k-z|^2\,d\nu=1-|z|^2. $$ When $|z|=1$, this forces $\chi_k=z$ almost everywhere, hence on the support by continuity. The converse is immediate. The equality $z=1$ forces precisely the level set $\chi_k=1$. These prove the two support descriptions. $\square$ **theorem 34.8 (Natural finite-support walks and all endpoint laws).** Let $D\subseteq\mathbb N$ be finite and nonempty, let $a_d>0$ for $d\in D$, and suppose $\sum_{d\in D}a_d=1$. Put $$ \mu=\sum_{d\in D}a_d\delta_{Z(d)}. $$ For every $t\in\Lambda$ and every $n\ge1$, $$ \mu_t^{(n)} =\sum_{s\in nD}\left(\sum_{\substack{d_1,\ldots,d_n\in D\\d_1+\cdots+d_n=s}} \prod_{j=1}^n a_{d_j}\right)\delta_{Z(s)}, $$ where $nD$ is the set of sums of $n$ members of $D$. This is a probability, its support is exactly $Z(nD)$, and it is independent of the parameter. Furthermore, $$ R_t\mu=0,\qquad \mu_t^{(n)}=L_t\nu^{(n)},\qquad \mu_t^{(n)}(\{x_m^\pm\})=0\quad(m\ge1). $$ Ordinary convergence to $\mathfrak m$ holds exactly when $D$ has at least two elements. Cesaro convergence holds exactly when $D$ contains a positive integer. In particular, the deterministic step $\delta_{Z(1)}$ has powers $\delta_{Z(n)}$, which do not converge to $\mathfrak m$, while $$ \frac1N\sum_{n=1}^N\delta_{Z(n)}\longrightarrow\mathfrak m. $$ The lazy step $$ \mu_{\mathrm{lazy}}=\frac12\bigl(\delta_{Z(0)}+\delta_{Z(1)}\bigr) $$ has the ordinary limit $$ \mu_{\mathrm{lazy},t}^{(n)} =2^{-n}\sum_{j=0}^n\binom nj\delta_{Z(j)} \longrightarrow\mathfrak m. $$ Its two extreme coefficients, at $Z(0)$ and $Z(n)$, are both $2^{-n}$. Whenever ordinary convergence holds, the exact limiting cylinder probabilities are $$ \mu_t^{(n)}(C_p)\longrightarrow\mathfrak m(C_p)= \begin{cases} \alpha^L,&L\ge1,\ p_{L-1}=0,\\ \alpha^{L+1},&L\ge1,\ p_{L-1}=1,\\ 1,&L=0. \end{cases} $$ The analogous statement holds for Cesaro averages under their criterion. **Proof.** The formula follows by induction from the exact natural addition law $P^{(t)}_{Z(a),Z(b)}=\delta_{Z(a+b)}$ and finite multilinearity. Every coefficient corresponding to an attainable sum is positive; summing all coefficients gives $(\sum_d a_d)^n=1$. This proves both the exact support and total mass, without appealing to positivity of the full kernel at a signed parameter. Natural phases avoid $E$: equality $[s\phi]=[-m\phi]$ would make $(s+m)\phi$ an integer. Thus all displayed output points are nonsplit, no split singleton has mass, and the input residual is zero. The coordinate formula gives equality with the own phase lift at every time. For $k\ne0$, $$ \widehat\nu(k)=\sum_{d\in D}a_d e^{2\pi i k d\phi}. $$ Two distinct $d$ give distinct character values, since $k(d-d')\phi$ cannot be an integer. The equality case proved in Theorem 34.7 shows that the modulus is strictly less than one exactly when at least two support points occur. If there is only one support point, the modulus is one. Similarly, a coefficient can equal one only if every support value is one. The presence of a positive $d$ excludes this for every $k\ne0$; if $D=\{0\}$, all coefficients equal one. The two classifications now follow from Theorem 34.7. For the lazy step, $$ \left|\widehat\nu(k)\right|= \left|\frac{1+e^{2\pi i k\phi}}2\right| =|\cos(\pi k\phi)|<1\quad(k\ne0), $$ and counting the choices of the unit step proves the binomial formula and its extreme coefficients. For the deterministic unit step all coefficients have modulus one but none with $k\ne0$ equals one, proving the stated distinction. Finally, cylinder indicators are continuous on $K$, so the weak-star limits give the cylinder laws. The lift of Haar assigns zero mass to every split point, and its mass on $C_p$ is therefore the Haar length of $J_p$. The exact lengths in Assumption 34.0 give the displayed values. $\square$ **theorem 34.9 (Atomic walks do not converge setwise or in total variation).** Every sequence or Cesaro sequence from Theorem 34.8 that converges weak-star to $\mathfrak m$ nevertheless fails to converge to it setwise and satisfies, at every finite time, $$ \|\mu_t^{(n)}-\mathfrak m\|_{\mathrm{TV}}=2,\qquad \|\overline\mu_{t,N}-\mathfrak m\|_{\mathrm{TV}}=2. $$ For the fixed lazy step, define bounded operators on $M(K)$ by $$ P_t\eta=\eta\star_t\mu_{\mathrm{lazy}},\qquad \Pi\eta=\eta(K)\mathfrak m. $$ For all $n,N\ge1$, $$ \|P_t^n-\Pi\|_{\mathrm{TV}\to\mathrm{TV}}\ge2,\qquad \left\|\frac1N\sum_{n=1}^N P_t^n-\Pi\right\|_{\mathrm{TV}\to\mathrm{TV}}\ge2. $$ Both inequalities are equalities at $t=0$ and $t=\infty$. There is also no convergence rate uniform over all natural two-point step probabilities, even for a single fixed continuous readout. **Proof.** The fixed countable Borel set $A=Z(\mathbb N)$ carries every natural finite-time law and every finite Cesaro average. Thus all these measures assign $A$ mass one. The measure $\mathfrak m$ is non-atomic and assigns it mass zero. This one fixed set disproves setwise convergence. Mutual singularity gives $$ |\mu_t^{(n)}-\mathfrak m|=\mu_t^{(n)}+\mathfrak m, $$ and the same identity holds for the averages. Their variation distances are therefore exactly two, as in the atomic-distance identity of Theorem 28.11. Associativity gives $P_t^n\eta=\eta\star_t\mu_{\mathrm{lazy},t}^{(n)}$. Although $\delta_{Z(0)}$ is not a global algebra identity, the exact natural addition law does give $$ P_t^n\delta_{Z(0)}=\mu_{\mathrm{lazy},t}^{(n)}. $$ This norm-one input and the preceding distance calculation prove both operator lower bounds. At the two positive parameters, the operators $P_t^n$ and their averages are contractions on total variation, because they integrate probability kernels; $\Pi$ is also a contraction. The triangle inequality supplies the matching upper bound two. For the final assertion take $$ \mu_\varepsilon=(1-\varepsilon)\delta_{Z(0)}+\varepsilon\delta_{Z(1)},\qquad 0<\varepsilon<1, $$ and $f(x)=\operatorname{Re}\chi_1(H(x))$. Every such step satisfies the strict-modulus criterion, while $\int f\,d\mathfrak m=0$ and $f(Z(0))=1$. For each fixed $n$, its binomial law assigns $Z(0)$ mass $(1-\varepsilon)^n\to1$ as $\varepsilon\downarrow0$. Since $|f|\le1$, $$ \sup_{0<\varepsilon<1}\left|\int f\,d\mu_{\varepsilon,t}^{(n)}-\int f\,d\mathfrak m\right|=1. $$ Hence no bound tending to zero can hold uniformly over this class of step laws for this readout. $\square$ **theorem 34.10 (Pure residual powers and a positive full-carrier walk).** For $m\ge1$ define the signed mass-zero element $$ u_m=\frac{v_m}{d'_m}. $$ Then $$ u_m^{\star_t n}=\frac{v_{mn}}{d'_{mn}},\qquad \|u_m^{\star_t n}\|_{\mathrm{TV}}=\frac2{|d'_{mn}|}\longrightarrow2, $$ while $u_m^{\star_t n}\to0$ weak-star. It does not converge setwise to zero. Moreover, for the complete submultiplicative norm $$ N_t(\eta)=\|H_\#\eta\|_{\mathrm{TV}}+\|R_t\eta\|_1, $$ one has $$ N_t(u_m^{\star_t n})=1,\qquad \lim_{n\to\infty}N_t(u_m^{\star_t n})^{1/n}=1. $$ Thus this weak-star-null power sequence is not an instance of quasinilpotence. For either fixed sign $\sigma\in\{+,-\}$, the probability $$ \zeta^\sigma=\frac12\bigl(\delta_{x_1^\sigma}+\delta_{x_2^\sigma}\bigr) $$ has, for every parameter, the same powers $$ (\zeta^\sigma)_t^{(n)}=2^{-n}\sum_{j=0}^n\binom nj\delta_{x_{n+j}^\sigma}. $$ These converge weak-star to $\mathfrak m$, remain supported on $S^\sigma$, fail to converge setwise, and have total-variation distance two from $\mathfrak m$. If $\sigma=\sigma_t$, their differences from their own phase lifts have variation tending to two; for the opposite sign those differences tend to zero in variation. **Proof.** The coordinate of $u_m$ is $(0,e_m)$, so positive powers have coordinate $(0,e_{mn})$. The inverse formula proves the power identity and exact norms. Since $|d'_{mn}|\to1$, their total variation tends to two. Every fixed prefix annihilates the pair once $mn>G_L$, and the uniform variation bound extends this vanishing from cylinder functions to all continuous functions. Thus the powers are weak-star null. On the fixed Borel set $S^+$ their values are $1/d'_{mn}$, tending to one when $|t|<1$ and to negative one when $|t|>1$ or $t=\infty$. This disproves setwise convergence to zero. The exact value of $N_t$ follows from the coordinate $(0,e_{mn})$; its norm-power radius is one rather than zero. The element has mass zero and is not a probability or an identity. The same-sign multiplication law makes each ordered tuple of indices one and two yield the point with their summed index. Counting tuples gives the binomial formula for $\zeta^\sigma$. Its phase Fourier coefficient is $$ \frac{e^{-2\pi i k\phi}+e^{-4\pi i k\phi}}2, $$ whose modulus is $|\cos(\pi k\phi)|<1$ for $k\ne0$. Theorem 34.7 gives the weak-star limit. The countable set $S^\sigma$ has mass one under every finite-time law and zero under $\mathfrak m$, proving both stronger-topology failures. The last assertions are the two cases of Theorem 34.5. $\square$ **theorem 34.11 (Positive endpoint dynamics, arbitrary starting laws, and switching).** Fix a probability step $\mu$ and put $\nu=H_\#\mu$. Let $\eta_0$ be any probability on $K$, choose any sequence $$ \boldsymbol\tau=(\tau_1,\tau_2,\ldots)\in\{0,\infty\}^{\mathbb N_{>0}}, $$ and define recursively $$ \eta_n=\eta_{n-1}\star_{\tau_n}\mu\quad(n\ge1). $$ These are probabilities and $$ H_\#\eta_n=(H_\#\eta_0)*_{\mathbb T}\nu^{(n)}. $$ If $|\widehat\nu(k)|<1$ for every $k\ne0$, then $\eta_n\to\mathfrak m$. More strongly, for each fixed $f\in C(K)$, $$ \lim_{n\to\infty}\sup_{\eta_0,\boldsymbol\tau} \left|\int f\,d\eta_n-\int f\,d\mathfrak m\right|=0, $$ where the supremum is over initial probabilities and endpoint sequences. If $\widehat\nu(k)\ne1$ for every $k\ne0$, the analogous statement holds for the averages $N^{-1}\sum_{n=1}^N\eta_n$. Each criterion is also necessary for its conclusion to hold for every initial probability. It need not be necessary for convergence from a particular initial law, such as $\mathfrak m$ itself. The displayed uniformity concerns each fixed continuous readout, not the supremum over its unit ball. The varying-parameter recursion is not asserted to be a power in a single algebra. **Proof.** Theorem 25.12 and the integrated positivity theorem 28.7 show inductively that each $\eta_n$ is a probability. Phase compatibility at each step proves the stated phase identity without requiring a common multiplication parameter. Put $\xi=H_\#\eta_0$. For a trigonometric polynomial $P=\sum_k a_k\chi_k$, $$ \left|\int P\,d(\xi*_{\mathbb T}\nu^{(n)}-\lambda)\right| \le\sum_{k\ne0}|a_k|\,|\widehat\nu(k)|^n, $$ because $|\widehat\xi(k)|\le1$. Under the ordinary criterion this tends to zero independently of $\xi$. Uniform approximation by trigonometric polynomials therefore proves uniform convergence on every fixed continuous circle function. For the averages the same proof replaces $\widehat\nu(k)^n$ by $A_N(\widehat\nu(k))$. To transfer this uniformity to $K$, fix a cylinder $C_p$. Its probabilities lie between the phase probabilities of $J_p$ and $\overline{J_p}$. Given $\varepsilon>0$, choose continuous circle functions $a,b$ with $$ a\le\mathbf1_{J_p}\le\mathbf1_{\overline{J_p}}\le b,\qquad \int(b-a)\,d\lambda<\varepsilon. $$ Such functions are obtained by linearly smoothing the two endpoints inside arbitrarily short arcs. Uniform phase convergence on $a,b$ then implies uniform convergence of $\eta_n(C_p)$ to $\lambda(J_p)$. The same argument applies to the positive averages. There are finitely many cylinders at a fixed depth. Approximating $f$ by a function constant on these cylinders, with error at most $\omega_L(f)$, proves the displayed uniform assertion. For necessity take $\eta_0=\delta_{Z(0)}$. Its phase is $\delta_0$, so the phases of the resulting laws are exactly $\nu^{(n)}$, independently of all endpoint choices. The circle necessities in Theorem 34.7 apply. Conversely, starting at $\mathfrak m$ gives the constant sequence $\mathfrak m$ for every step probability: its coordinate is $(\lambda,0)$, and $\lambda*_{\mathbb T}\nu=\lambda$. Thus necessity must not be claimed for each particular starting law. The classical fixed-readout uniformity on the circle is consistent with Kawada–Ito Theorem 9; the cylinder squeeze is the additional full-carrier argument here.[^rro34-uniform] The operator-norm obstruction in Theorem 34.9 shows why the quantifier on the readout cannot be strengthened to its entire unit ball. $\square$ **theorem 34.12 (Exceptional atomic targets and the necessity of positivity in the stronger transfer).** A phase probability charging $E$ need not determine a parameter-independent limiting probability on $K$. In actual endpoint dynamics, even a constant phase sequence can coexist with two different full-carrier limits or with no full-carrier limit. Furthermore, for signed measures, even the constant Haar phase does not by itself force the Haar lift. **Proof.** Fix $m\ge1$, start at $\eta_0=\delta_{x_m^+}$, and use the zero step $\mu=\delta_{Z(0)}$. The exact zero-slice law gives, for either split input sign, $$ \delta_{x_m^\pm}\star_0\delta_{Z(0)}=\delta_{x_m^-},\qquad \delta_{x_m^\pm}\star_\infty\delta_{Z(0)}=\delta_{x_m^+}. $$ Thus the constant zero-parameter dynamics have limit $\delta_{x_m^-}$ and the constant infinity-parameter dynamics have limit $\delta_{x_m^+}$. Their phase laws are identically $\delta_{E_m}$. Alternating the parameters alternates these two output measures after every step. A digit coordinate separating $x_m^+$ and $x_m^-$ is continuous, so that sequence has no weak-star limit. This example violates the Fourier criteria, since the step phase is $\delta_0$. More generally, the existing positive lifts of a phase probability $\xi$ include the two Borel-section lifts choosing respectively the negative and positive branches on $E$. Their difference is $$ \sum_{m\ge1}\xi(\{E_m\})v_m. $$ The series converges in total variation, and disjointness of the split fibers shows it is nonzero exactly when $\xi(E)>0$. This is the precise positive uniqueness obstruction excluded in Theorem 34.6. For the signed assertion take the constant sequence $\eta_j=\mathfrak m+v_1$. It has mass one, bounded variation, and phase $H_\#\eta_j=\lambda$, but is not equal to $\mathfrak m$. A continuous digit readout separating the first split pair detects the difference. Thus the signed power theorem needs its proved residual escape; positivity alone supplies the stronger arbitrary-lift transfer only in its stated positive domain. $\square$ **theorem 34.13 (A finite-depth trigonometric estimate with explicit approximation errors).** Let $\mu$ be a probability, fix $t$, and take a real $f\in C(K)$. Write $F=\|f\|_\infty$. Fix $L\ge1$ and choose one point in each length-$L$ cylinder to define a cylinder-constant function $f_L$ satisfying $$ \|f-f_L\|_\infty\le\omega_L(f),\qquad \|f_L\|_\infty\le F. $$ Choose $\delta>0$ smaller than one quarter of the smallest gap between consecutive members of $B_L$, and put $$ w(\theta)=\max\left\{0,\min\left\{1,2-\frac{\operatorname{dist}(\theta,B_L)}\delta\right\}\right\},\qquad A=(C_t+1)F. $$ There is a real continuous circle function $a$ with $\|a\|_\infty\le F$ such that, for $$ h(\theta)=\int_K f_L\,d\pi^{(t)}_\theta, $$ one has $$ |h-a|\le A w,\qquad \int w\,d\lambda\le4G_L\delta. $$ For any $\varepsilon>0$, choose trigonometric polynomials $$ P=\sum_{|k|\le J}a_k\chi_k,\qquad W=\sum_{|k|\le J}b_k\chi_k $$ with $\|P-a\|_\infty\le\varepsilon$ and $\|W-w\|_\infty\le\varepsilon$, enlarging $J$ and adding zero coefficients when necessary. Then every $n>G_L$ satisfies $$ \begin{aligned} \left|\int f\,d\mu_t^{(n)}-\int f\,d\mathfrak m\right| \le{}&(C_t+1)\omega_L(f)+2(1+A)\varepsilon+8A G_L\delta\\ &+\sum_{0<|k|\le J}\bigl(|a_k|+A|b_k|\bigr)|\widehat\nu(k)|^n. \end{aligned} $$ This estimate is valid without assuming the Fourier criterion. For the natural lazy step its final factors are exactly $|\cos(\pi k\phi)|^n$. **Proof.** Off $B_L$, all points of a phase fiber belong to the same length-$L$ cylinder, even when the fiber itself is split at an index greater than $G_L$. Since each slice has mass one, $h$ there is simply the corresponding value of $f_L$. Thus it is constant on each complementary open arc and is independent of $t$ off the finite boundary set. On the complement of the radius-$\delta$ neighborhoods of the boundary points, set $a=h$. Across each such neighborhood interpolate linearly between its two endpoint values in the positive circle coordinate. The neighborhoods are disjoint by the choice of $\delta$. This produces a continuous real function bounded by $F$. Outside those neighborhoods $h-a=0$. Inside them $|h|\le C_tF$ and $|a|\le F$, while $w=1$. Hence $|h-a|\le Aw$. The support of $w$ is contained in the union of $G_L$ circle balls of radius $2\delta$, each of Haar length at most $4\delta$, proving the integral bound. The required polynomials exist by continuous circle Fourier density.[^rro34-fourier] Put $\eta=\nu^{(n)}$. Both $\eta$ and $\lambda$ are probabilities. Character multiplication gives $$ \left|\int P\,d(\eta-\lambda)\right| \le\sum_{0<|k|\le J}|a_k|\,|\widehat\nu(k)|^n, $$ $$ \left|\int W\,d(\eta-\lambda)\right| \le\sum_{0<|k|\le J}|b_k|\,|\widehat\nu(k)|^n. $$ Uniform approximation therefore yields $$ \eta(w)\le\lambda(w)+2\varepsilon+ \sum_{0<|k|\le J}|b_k|\,|\widehat\nu(k)|^n. $$ Together with $|h-a|\le Aw$, this gives $$ \begin{aligned} \left|\int h\,d(\eta-\lambda)\right| \le{}&2(1+A)\varepsilon+2A\lambda(w)\\ &+\sum_{0<|k|\le J}\bigl(|a_k|+A|b_k|\bigr)|\widehat\nu(k)|^n. \end{aligned} $$ For $n>G_L$, Theorem 34.3 gives $$ \int f_L\,d\mu_t^{(n)}=\int h\,d\eta, \qquad \int f_L\,d\mathfrak m=\int h\,d\lambda. $$ Replacing $f_L$ by $f$ costs at most $(C_t+1)\omega_L(f)$, by Theorem 34.2 and the unit mass of $\mathfrak m$. Inserting the bound for $\lambda(w)$ proves the estimate. The lazy-step substitution follows from Theorem 34.8. Its finitely many coefficients and approximation parameters remain explicit; no bound uniform over step laws or over all Fourier indices follows from this formula. $\square$ [^rro34-input]: *RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION*, fixed revision `da6db9e70387e95fc513039a96bf8e90a9af83de`, Theorem 20.2, Assumption 25.1, Theorems 25.9–25.12, and Theorems 28.2–28.11. These supply the exact oriented fibers and cylinders, the classified finite rows, the actual integrated multiplication, its bounded coordinate isomorphism, and the Haar lift. [Fixed mathematical text](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/da6db9e70387e95fc513039a96bf8e90a9af83de/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md). [^rro34-fourier]: Mathlib contributors, *Fourier analysis on the additive circle*, fixed revision `db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d`, `AddCircle.fourierSubalgebra_closure_eq_top` and `AddCircle.span_fourier_closure_eq_top`, lines 239–248. The mathematical statement is density in continuous complex circle functions. [Fixed source](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean#L239-L248). [^rro34-port]: Daniel V. Tausk, *Weak* topology for the space of finite measures on a topological space*, January 17, 2024, Proposition 4.9(a),(f),(g), pp. 11–12, and Example 4.10, pp. 12–13. The bounded-Borel testing and continuity-set equivalences used here have positive incoming measures; the example explains the signed-measure boundary. [Text](https://www.ime.usp.br/~tausk/texts/WeakTopologyMeasures.pdf). [^rro34-power]: Jean-Pierre Conze and Michael Lin, *Almost everywhere convergence of convolution powers on compact Abelian groups*, Annales de l'Institut Henri Poincare, Probabilites et Statistiques **49** (2013), 550–568, Proposition 2.1, p. 551. Its equivalence concerns strict character modulus, continuous group readouts, and support in cosets of proper closed subgroups. [Article](https://www.numdam.org/article/AIHPB_2013__49_2_550_0.pdf). [^rro34-cesaro]: Yukiyosi Kawada and Kiyosi Ito, *On the Probability Distribution on a Compact Group. I*, Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan, third series, **22** (1940), 977–998, Theorem 7, p. 987, with proof on p. 991. The average in the theorem is over powers one through $n$. [Original article](https://www.jstage.jst.go.jp/article/ppmsj1919/22/12/22_12_977/_pdf/-char/en). [^rro34-uniform]: Kawada and Ito, the same article, Theorem 9, pp. 992–993, especially formulas (50)–(51). The uniformity is over starting group elements for each fixed continuous function, not over a norm unit ball of functions. [Original article](https://www.jstage.jst.go.jp/article/ppmsj1919/22/12/22_12_977/_pdf/-char/en). ## 追加锚（本行以下为增补区） ## 35. The critical logarithmic Hausdorff measure of temporal Zeckendorf observation **Definition 35.0 (The space, gauges and normalization).** Put $$ \phi=\frac{1+\sqrt{5}}2,\qquad \alpha=\phi^{-1},\qquad \beta=\alpha^2=1-\alpha, $$ $$ G_0=1,\qquad G_1=2,\qquad G_{L+2}=G_{L+1}+G_L. $$ For the single auxiliary index needed below, set $G_{-1}=1$. All other indices are nonnegative. Let $$ K=\{x\in\{0,1\}^{\mathbb N}:x_jx_{j+1}=0\text{ for all }j\},\qquad \mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}. $$ Use the successor $T$, phase map $H$, coding homeomorphism $\Phi:K\to X_\beta$, and one-sided shift $S$ of Section 20. Thus $\Phi T=S\Phi$ and $HT=RH$, where $R(\theta)=\theta+[\phi]$. The exact cylinder intervals, split fibers, endpoint conventions and temporal cut sets of 20.2–20.7 are standing inputs. In particular, the cuts for a positive temporal length $t$ are exactly $$ \{e_1,\ldots,e_{t+1}\},\qquad e_m=[-m\phi], $$ and the temporal cylinders are the corresponding arc atoms with their assigned split endpoints, not arcs augmented by singleton boundary atoms. Use the geometric probability $\nu$ and its temporal image $\eta=\Phi_*\nu$ from Section 33. For an admissible positional word $p$ of length $L\ge1$, its cylinder $C_p$ satisfies $$ \nu(C_p)= \begin{cases} \alpha^L,&p_{L-1}=0,\\ \alpha^{L+1},&p_{L-1}=1. \end{cases} $$ The measure $\nu$ is nonatomic, has full support, is the unique $T$-invariant probability and the unique probability lift of circle Haar measure $m$ under $H$. The probability $\eta$ is the unique $S$-invariant probability. We also use the established Markov representation of $\nu$, with initial law $(\alpha,\alpha^2)$ and transition matrix $$ P=\begin{pmatrix}\alpha&\alpha^2\\1&0\end{pmatrix}. $$ This is not a stationarity assumption for positional deletion. For distinct $y,z\in X_\beta$, set $$ n(y,z)=\min\{n\ge0:y_n\ne z_n\},\qquad \rho(y,z)=2^{-n(y,z)}, $$ and set $\rho(y,y)=0$. All balls in this section are closed balls. For $p>0$, define $$ h_p(0)=0,\qquad h_p(r)=\bigl(1+\log_2(1/r)\bigr)^{-p}\quad(01$. In particular, $$ h_p(2^{-n})=(n+1)^{-p}. $$ For a gauge $g$ and an arbitrary subset $A\subseteq X_\beta$, define $$ \mathcal H^g_{\rho,\delta}(A)=\inf\left\{\sum_i g(\operatorname{diam}_\rho A_i):A\subseteq\bigcup_i A_i,\ \operatorname{diam}_\rho A_i\le\delta\right\}, \qquad \mathcal H^g_\rho(A)=\lim_{\delta\downarrow0}\mathcal H^g_{\rho,\delta}(A). $$ The covers are at most countable; their members are arbitrary subsets and need not be measurable. Empty sets and singletons have cost zero. No multiplicative normalization is included. Write $\eta^*$ for the outer measure associated with $\eta$. Unsubscripted logarithms are natural logarithms. The constants used below are $$ A_-:=\frac1{\sqrt{5}},\qquad A_0:=\frac{\phi^2}{\sqrt{5}},\qquad A_+:=\frac{\phi^3}{\sqrt{5}}. $$ Finally, put $u=(10)^\infty$, $v=(01)^\infty$ and $w=\Phi(Z(0))$. The identities $\Phi(u)=1w$ and $\Phi(v)=0w$ are those of 20.7. Reference: Aedo–Grimm–Short, [Forward limit sets of semigroups of substitutions, §9, pp. 16–19](https://arxiv.org/pdf/2305.00078v2#page=16), uses arbitrary-subset diameter covers and inverse-logarithmic gauges. Its substitution-semigroup forward limit sets are different from the fixed-slope space here; its dimension statements do not determine the normalization below. **theorem 35.1 (The complete branching clock and actual cylinder diameters).** Let $\mathcal B$ be the set of finite concatenations of the blocks $0$ and $10$, including the empty word. For $p\in\mathcal B$, write $$ L=|p|,\qquad N_p=\sum_{j0$, $$ \frac{\eta^*(A)}{A_+}\le\mathcal H^{h_1}_{\rho,\delta}(A) \le\eta^*(A). $$ The limiting outer measure is a finite Borel measure, and $$ 0<\frac1{A_+}\le\mathcal H^{h_1}_\rho(X_\beta)\le1. $$ **Proof.** The density formula uses the exact exponent $k_p=M_p-2$, so its denominator is $k_p+1=M_p-1$. The full range of $N_p$ in 35.1 gives both finite-depth extrema. Induction on the recurrence gives $G_L\ge\phi^L$, hence $\alpha^LG_L\ge1$. The Fibonacci closed form gives $$ G_L=\frac{\phi^{L+2}-(-\alpha)^{L+2}}{\sqrt{5}}, $$ and therefore $$ \alpha^L(G_{L+1}-1) =A_+-\alpha^L-\frac{(-1)^{L+3}\alpha^{2L+3}}{\sqrt{5}}t$, the two cases yield respectively $$ \mathscr R(y,r)\ge G_d\alpha^{d+1}\ge\alpha, \qquad \mathscr R(y,r)\ge G_d\alpha^{d+2}\ge\alpha^2. $$ At $r=1$ the ball is the whole space and the ratio is one. For $y=1w$ and $r<1$ tending to one, the ball is the first-symbol cylinder of mass $\alpha^2$, whereas $h_1(r)\to1$. Hence the global lower constant cannot be increased. To establish the small-scale lower limit, use $t+1=G_L+a$ as in 35.2. Since $1+\log_2(1/r)>t$, the ratios in the three mass classes are bounded below by $$ (G_L-1)\alpha^L,\qquad (G_L-1)\alpha^{L+1},\qquad G_L\alpha^{L+2}, $$ respectively. The last bound uses $a\ge1$, which is necessary for the third class to exist. As $L\to\infty$, these three bounds tend respectively to $$ A_0,\qquad \alpha A_0,\qquad A_-. $$ Thus the ratios are uniformly at least $A_--o(1)$ at small scales. All block prefixes of $0^\infty$ are $0^L$. The lifetimes from 35.1 are $$ b_{0^L}=G_L-1,\qquad k_{0^L}=G_{L+1}-2\qquad(L\ge1). $$ Within this lifetime the ball mass is $\alpha^L$. The factor $1+\log_2(1/r)$ ranges, with the appropriate one-sided endpoint limits, from $G_L-1$ to $G_{L+1}-1$. The closed form for $G_L$ proves the two stated limits at $w$. In particular the actual radii $$ r_L=2^{-(G_{L+1}-2)} $$ give $\overline B_\rho(w,r_L)=D_{0^L}$ and ratios tending to $A_+$, proving sharpness of both upper assertions. For $u=(10)^\infty$, the nonempty block prefixes are $p_j=(10)^j$, of length $2j$. The recurrence gives $$ N_{p_j}=G_{2j-1}-1. $$ Their exact lifetimes are $$ b_{p_j}=G_{2j-2},\qquad k_{p_j}=G_{2j}-1, $$ and their masses are $\alpha^{2j}$. Therefore the lower and upper limiting ratios along these lifetimes are $$ \lim_{j\to\infty}G_{2j-2}\alpha^{2j}=A_-,\qquad \lim_{j\to\infty}G_{2j}\alpha^{2j}=A_0. $$ These are all sufficiently small balls about $1w=\Phi(u)$, which proves both limits there. For example the exact radii $2^{-G_{2j-2}}$ already give ratios $(G_{2j-2}+1)\alpha^{2j}\to A_-$. This supplies an explicit witness for the small-scale uniform lower constant. $\square$ **theorem 35.5 (Local gauge invariance and the exact branch overlap).** Let $U_i=\{y\in X_\beta:y_0=i\}$ for $i=0,1$. For every subset $A\subseteq U_i$, $$ \mathcal H^{h_1}_\rho(SA)=\mathcal H^{h_1}_\rho(A). $$ Moreover, $$ S(U_0)\cup S(U_1)=X_\beta,\qquad S(U_0)\cap S(U_1)=\{w\}. $$ Consequently $\mathcal H^{h_1}_\rho$ is $S$-invariant. If $$ c_0:=\mathcal H^{h_1}_\rho(X_\beta), $$ then, as Borel measures, $$ \mathcal H^{h_1}_\rho=c_0\eta,\qquad A_+^{-1}\le c_0\le1. $$ **Proof.** On $U_i$, the shift is injective and satisfies the exact similarity law $$ \rho(Sy,Sz)=2\rho(y,z). $$ For positive $r\downarrow0$, $$ \frac{h_1(2r)}{h_1(r)} =\frac{1+\log_2(1/r)}{\log_2(1/r)}\longrightarrow1. $$ Intersect an arbitrary diameter cover of $A$ with $U_i$ and apply $S$. For every $\epsilon>0$, at sufficiently small diameters the image costs are at most $1+\epsilon$ times the original costs. Taking the infimum and then the scale limit gives $$ \mathcal H^{h_1}_\rho(SA)\le(1+\epsilon)\mathcal H^{h_1}_\rho(A). $$ Conversely, intersect any cover of $SA$ with $S(U_i)$ and apply the inverse of the restricted similarity. The same argument, now for multiplication of distances by $1/2$, gives the reverse inequality after $\epsilon\downarrow0$. Zero-diameter sets remain zero-cost sets. This proves equality for arbitrary subsets. The union of the images is the whole space because $S$ is surjective. Suppose $Sy=Sz$ with $y\in U_0$ and $z\in U_1$. Write $y=\Phi(x)$ and $z=\Phi(x')$. Then $Tx=Tx'$, so the injectivity of the circle rotation in $HT=RH$ gives $H(x)=H(x')$. As $x\ne x'$, they form one of the split pairs $x_m^-,x_m^+$. For $m\ge2$, their images are the distinct points $x_{m-1}^-,x_{m-1}^+$. Thus only $m=1$ is possible, giving $\{x,x'\}=\{u,v\}$ and common image $Z(0)$. Hence the only common shift image is $w$. Conversely $S(0w)=S(1w)=w$, proving the exact intersection. The restriction of $S$ to each compact $U_i$ is a homeomorphism onto its closed image. Thus it maps Borel subsets of $U_i$ to Borel subsets of $X_\beta$. Singletons have zero gauge measure. For every Borel set $B$, the local equality and the null overlap give $$ \mathcal H^{h_1}_\rho(S^{-1}B) =\sum_{i=0}^1\mathcal H^{h_1}_\rho(U_i\cap S^{-1}B) =\sum_{i=0}^1\mathcal H^{h_1}_\rho(B\cap S(U_i)) =\mathcal H^{h_1}_\rho(B). $$ By 35.3 the total mass $c_0$ is finite and positive. Normalizing therefore gives an invariant probability, which is $\eta$ by 33.8. No global inverse of $S$ has been used. $\square$ Reference: the general unique-branch-point formula for a one-sided Sturmian shift is Brix, [Sturmian subshifts and their C*-algebras, §2.1, equation (2.7)](https://arxiv.org/html/2107.10613v1#S2.SS1). The proof above identifies its precise word and verifies the overlap from the specified split fibers. **theorem 35.6 (Almost-everywhere upper density and long zero blocks).** For $\eta$-almost every $y$, $$ \limsup_{r\downarrow0}\frac{\eta(\overline B_\rho(y,r))}{h_1(r)}=A_+. $$ More precisely, for $\nu$-almost every $x$, the densities $\mathcal D(p)$ along its block prefixes have upper limit $A_+$. **Proof.** Fix an integer $k\ge1$. Conditional on any admissible positional history, the probability that the next $k$ digits are all zero is at least $\alpha^k$. If the previous state is zero, it is exactly $\alpha^k$; if that state is one, the first zero is forced and the probability is $\alpha^{k-1}\ge\alpha^k$. The initial history satisfies the same lower bound. Inspect any consecutive collection of $J$ disjoint blocks of $k$ positions. Successive conditioning shows that the probability all $J$ tests fail is at most $$ (1-\alpha^k)^J. $$ Letting $J\to\infty$ and then considering every starting block proves that an all-zero block of length $k$ occurs infinitely often with probability one. Intersecting these full-measure sets over $k$ proves that almost every $x$ has arbitrarily late zero runs of every prescribed length. This uses the transition law of $\nu$, not positional stationarity. If a prefix $p=x_0\cdots x_{L-1}$ ends in $k$ zeros, then it is a block word and the finite Zeckendorf value bound gives $$ N_p\le G_{L-k}-1. $$ Consequently $$ \mathcal D(p)\ge\alpha^L\bigl(G_{L+1}-G_{L-k}\bigr). $$ For fixed $k$ and $L\to\infty$, the right side tends to $$ A_+-A_0\alpha^k. $$ Almost every point has infinitely many such prefixes for every $k$. Letting $k\to\infty$ and using the universal upper bound $\mathcal D(p)0$, $$ \boxed{\mathcal H^{h_1}_{\rho,\delta}(A)=\mathcal H^{h_1}_\rho(A)=c\eta^*(A).} $$ In particular, as Borel measures, $$ \mathcal H^{h_1}_\rho=c\eta,\qquad \mathcal H^{h_1}_\rho(X_\beta)=c,\qquad \mathcal H^{h_1}_\rho(D_p)=c\alpha^{|p|}. $$ For every clopen $B\subseteq X_\beta$ (in particular, every block cylinder), every $\delta>0$ and every $\tau>0$, there is a finite cover of $B$ by block cylinders of $\rho$-diameter at most $\delta$ and total $h_1$-cost at most $c\eta(B)+\tau$, obtained by stopping different positional paths at different depths. For arbitrary subsets $A$, the matching upper bound is obtained from at most countable covers. **Proof.** The lower bound at every scale is already proved in 35.3. We construct the matching upper covers, including all exceptional paths. Fix $\epsilon$ with $0<\epsilon0$, and a block cylinder $D_q$. Choose $k\ge1$ so large that $$ A_0\alpha^k<\epsilon/2. $$ By the closed form for $G_L$, choose $L_0\ge k$ sufficiently large that for every $L\ge L_0$, $$ \alpha^L\bigl(G_{L+1}-G_{L-k}\bigr)\ge A_+-\epsilon, \qquad 2^{-(G_L-1)}\le\delta. $$ Hence every block prefix of length at least $L_0$ ending in $k$ zeros satisfies $$ \mathcal D(p)\ge A_+-\epsilon, \qquad \operatorname{diam}_\rho D_p\le\delta. $$ The latter diameter bound follows from $k_p\ge G_L-1$. Choose $L_*\ge\max\{L_0,|q|\}$. Along each positional path in $C_q$, inspect in order the $J$ disjoint blocks of positions $$ L_*+(j-1)k,\ldots,L_*+jk-1,\qquad 1\le j\le J. $$ At the first all-zero test block, stop and take the cylinder of the entire prefix ending at that block. Its prefix ends in zero and has length at least $L_0$, so it is a block cylinder satisfying the preceding density and diameter bounds. Different first stops are prefix-incomparable, hence their cylinders are disjoint. For paths failing all $J$ tests, take their full positional prefixes of length $L_*+Jk$ as fallback cylinders. If such a prefix ends in one, append its forced zero without changing the cylinder. These are again block cylinders of diameter at most $\delta$. There are only finitely many stopped and fallback cylinders, and together they form a partition of $D_q$ after application of $\Phi$. Let $B_J\subseteq D_q$ be the union of the fallback cylinders. The conditional estimate in 35.6, applied inside $C_q$, gives $$ \eta(B_J)\le\eta(D_q)(1-\alpha^k)^J. $$ Every stopped cylinder has cost at most its mass divided by $A_+-\epsilon$. Every fallback cylinder has cost at most its mass by 35.3. Therefore this finite cover has total cost at most $$ \frac{\eta(D_q)}{A_+-\epsilon}+\eta(D_q)(1-\alpha^k)^J. $$ Letting $J\to\infty$ proves $$ \mathcal H^{h_1}_{\rho,\delta}(D_q)\le\frac{\eta(D_q)}{A_+-\epsilon}. $$ Now let $\epsilon\downarrow0$. Together with the arbitrary-cover lower bound, this gives $$ \mathcal H^{h_1}_{\rho,\delta}(D_q)=\frac{\eta(D_q)}{A_+}. $$ In particular, no null exceptional set was omitted from any finite covering argument. A clopen set is a finite disjoint union of block cylinders, so subadditivity gives its upper bound with the same factor $A_+^{-1}$. Finally take any countable clopen cover of an arbitrary $A$. Applying the clopen bound and then the clopen outer-measure formula of 35.3 yields $$ \mathcal H^{h_1}_{\rho,\delta}(A) \le\frac1{A_+}\inf\left\{\sum_i\eta(B_i):A\subseteq\bigcup_iB_i,\ B_i\text{ clopen}\right\} =\frac{\eta^*(A)}{A_+}. $$ The lower inequality holds for every arbitrary-subset diameter cover, proving equality at every scale. Taking the scale limit proves the measure identity and shows that the constant $c_0$ in 35.5 is $c$. Finally $\phi^3=2+\sqrt{5}$, so rationalization gives $$ \frac{\sqrt{5}}{\phi^3}=\frac{\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=5-2\sqrt{5}. $$ The denominator $M_p-1$ throughout came from the actual diameter exponent $M_p-2$ and the specified additive one in the gauge. $\square$ **theorem 35.8 (Complete same-level covers do not attain the Hausdorff infimum).** Let $\mathcal C_t$ be the partition of $X_\beta$ by temporal prefixes of length $t$, and define its true-diameter cost by $$ J_t:=\sum_{D\in\mathcal C_t}h_1(\operatorname{diam}_\rho D). $$ For $t\ge1$, write $N=t+1=G_L+a$ with $0\le a7/5$: squaring the positive sides reduces this inequality to $\phi>37/23$, which follows from $5>(51/23)^2$. Also $\log z>2(z-1)/(z+1)$ for $z>1$, as follows by differentiating the difference and using its value zero at one. Thus $2\log z>2/3$, whereas $5-2\sqrt{5}<2/3$. The strict gap follows. The simpler assignment of the upper diameter $2^{-t}$ to each of the $t+1$ cylinders would give total cost one. Neither that upper estimate nor the actual same-level costs compute the adaptive infimum proved in 35.7. $\square$ **theorem 35.9 (Critical index, general gauge comparison and normalization robustness).** Let $g$ be a continuous nondecreasing gauge with $g(0)=0$ and $g(r)>0$ for $r>0$ sufficiently small. If $$ \lim_{r\downarrow0}\frac{g(r)}{h_1(r)}=a\in[0,\infty), $$ then for every subset $A\subseteq X_\beta$, $$ \mathcal H^g_\rho(A)=ac\eta^*(A). $$ If instead $g(r)/h_1(r)\to\infty$, then $$ \mathcal H^g_\rho(A)=\infty\qquad\text{whenever }\eta^*(A)>0. $$ More generally, if $$ 01. \end{cases} $$ For $01$, multiplies that measure by $\log b/\log2$. **Proof.** If $g(r)\le C h_1(r)$ for all sufficiently small $r$, every sufficiently fine admissible cover satisfies the same cost inequality, including its zero-diameter members. Thus $$ \mathcal H^g_\rho(A)\le C\mathcal H^{h_1}_\rho(A). $$ The reverse gauge inequality gives the reverse measure inequality. These statements concern arbitrary-subset covers, so they do not require measurability of $A$. For a finite positive limit, apply both inequalities with constants tending to $a$ and use 35.7. For a zero limit, apply the upper inequality with every positive $C$; the critical measure is finite on every subset of $X_\beta$, so the result is zero. For an infinite limit, apply the lower inequality with every finite $C$; positive $\eta^*(A)$ makes the critical measure positive, forcing infinity. The liminf and limsup bounds follow by the same argument with constants approaching their respective endpoints. Here $$ \frac{h_p(r)}{h_1(r)}=\bigl(1+\log_2(1/r)\bigr)^{1-p}, $$ which tends to infinity for $p<1$ and to zero for $p>1$. This proves the exact critical index and all the stated subset qualifications. Every countable set has zero measure for all these gauges, since it is covered by countably many zero-cost singletons; this also shows why the positive-mass condition cannot be suppressed. Finally, for fixed $a_*>0$ and $b>1$, the gauge $$ g(r)=\bigl(a_*+\log_b(1/r)\bigr)^{-1} $$ satisfies $$ \frac{g(r)}{h_1(r)}\longrightarrow\frac{\log b}{\log2}. $$ The finite-limit comparison proves both normalization assertions. $\square$ Reference: the general small-scale gauge comparison appears in Aedo–Grimm–Short, [§9, p. 16](https://arxiv.org/pdf/2305.00078v2#page=16). Its application here uses the actual finite measure and normalization established in 35.7. **theorem 35.10 (The arithmetic probability, the logarithmic metric and the two positional laws).** Define $$ d_{\log}(y,z)=h_1(\rho(y,z)). $$ This is an ultrametric with the same topology as $\rho$, and $$ \mathcal H^p_{d_{\log}}=\mathcal H^{h_p}_\rho\quad(p>0). $$ Consequently $$ \dim_{\mathrm H}(X_\beta,d_{\log})=1,\qquad \mathcal H^1_{d_{\log}}=c\eta. $$ In contrast, the ordinary Hausdorff dimension of $(X_\beta,\rho)$ is zero, as already established in 33.7. If $\widehat d(x,x')=\rho(\Phi(x),\Phi(x'))$, then $$ \mathcal H^{h_1}_{\widehat d}=c\nu,\qquad (\Phi^{-1})_*\left(c^{-1}\mathcal H^{h_1}_\rho\right)=\nu, $$ and $$ (H\circ\Phi^{-1})_*\left(c^{-1}\mathcal H^{h_1}_\rho\right)=m. $$ Thus the normalized temporal critical measure is precisely the arithmetic Haar lift, transported by the coding. It is not the stationary Parry probability $\mu_{\mathrm{st}}$ for positional deletion on the full carrier $K$. **Proof.** A nondecreasing function vanishing only at zero preserves the ultrametric inequality under composition, and $h_1(r)\to0$ exactly when $r\to0$, proving the metric and topology assertions. Every nonsingleton subset of $X_\beta$ has its $\rho$-diameter attained, by the minimum-first-difference argument of 35.3. Therefore $$ \operatorname{diam}_{d_{\log}}A=h_1(\operatorname{diam}_\rho A), $$ with the same identity for empty sets and singletons. Since $h_p=h_1^p$, the cover costs agree, and the admissible scales correspond by the continuous increasing map $h_1$. This proves the measure identity for every $p>0$. Its dimension and critical-measure consequences follow from 35.9. The map $\Phi:(K,\widehat d)\to(X_\beta,\rho)$ is an isometry by definition, so transporting the arbitrary-set identity of 35.7 gives $\mathcal H^{h_1}_{\widehat d}=c\nu$. The remaining pushforward formulas use $\eta=\Phi_*\nu$ and the existing equality $H_*\nu=m$ from 33.3 and 33.8. For the original positional first-difference metric $d$, Section 33 instead gives $$ \mathcal H^s_d=\nu,\qquad s=\frac{\log\phi}{\log2}. $$ The stationary positional probability is different, since 33.9 gives $$ \nu(C_1)=\alpha^2,\qquad \mu_{\mathrm{st}}(C_1)=\frac{\alpha^2}{1+\alpha^2}. $$ Its positional stationarity must not be transferred to $\nu$, nor confused with the arithmetic invariance of the normalized temporal gauge measure. The preservation result in 35.5 used explicit local similarities and a proved null branch overlap; it was not a claim that Hausdorff measures are preserved by arbitrary homeomorphisms. $\square$ Reference: reciprocal-prefix metrics and bounded-type Sturmian geometry are treated in Bellissard–Julien, [§4.1 and §5.2](https://arxiv.org/pdf/1202.4330v2#page=11). Their metric uses bilateral agreement around the origin; the one-sided metric and exact measure in this theorem are determined by the preceding proofs. ## 追加锚（本行以下为增补区） ## 36. Quadratic observation-size mixing for the Bernoulli successor **Definition 36.1 (Fixed carrier, phase geometry, and observation classes).** Retain the original carrier and maps of Definition 20.1: $$ \phi=\frac{1+\sqrt5}{2},\qquad \alpha=\phi^{-1},\qquad \beta=\alpha^2, $$ $$ K=\{x\in\{0,1\}^{\mathbb N}:x_jx_{j+1}=0\text{ for every }j\},\qquad H(x)=\left[\sum_{j\ge0}(-1)^{j+1}\alpha^{j+2}x_j\right]. $$ Here $T$ is precisely the continuous surjective successor of Definition 20.1, and $R(\theta)=\theta+[\phi]$. We use the established identities $$ HT=RH,\qquad T Z(j)=Z(j+1). $$ For $L\ge1$, write $$ q_L(x)=(x_0,\ldots,x_{L-1}),\qquad \mathcal W_L=q_L[K],\qquad Q_L=|\mathcal W_L|=G_L, $$ where $G_0=1$, $G_1=2$, and $G_{j+2}=G_{j+1}+G_j$. For $w\in\mathcal W_L$, put $C_w=q_L^{-1}(\{w\})$. The exact geometry imported from Theorem 20.2 is as follows. The exceptional phases are $$ e_r=[-r\phi],\qquad E=\{e_r:r\ge1\}. $$ Every phase outside $E$ has a singleton fiber, and the fiber over $e_r$ is $\{x_r^-,x_r^+\}$. Every $C_w$ has an open phase-arc interior $J_w$ satisfying $$ H^{-1}(J_w)\subseteq C_w\subseteq H^{-1}(\overline{J_w}),\qquad H[C_w]=\overline{J_w}. $$ The arcs $J_w$ partition the circle away from the cuts $e_1,\ldots,e_{Q_L}$. Their lengths are $\alpha^L$ when $w_{L-1}=0$ and $\alpha^{L+1}$ when $w_{L-1}=1$. Theorem 20.4 gives $$ Tx_r^\pm=x_{r-1}^\pm\quad(r\ge2),\qquad Tx_1^-=Tx_1^+=Z(0). $$ Let $\lambda$ denote normalized Haar measure on $\mathbb T=\mathbb R/\mathbb Z$. These are the standing carrier hypotheses throughout this section. Mathematical reference: [§20, especially Theorems 20.2 and 20.4](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/3a015d0d429b5ef52dcf7f04f26fa9f2c28678f0/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md). **theorem 36.2 (The invariant Haar lift and its cylinder masses).** There is a unique Borel probability measure $m$ on $K$ such that $H_\#m=\lambda$. It is atomless, regular, and satisfies $T_\#m=m$. Its cylinder masses are $$ m(C_w)=\alpha^L\quad\text{if }w_{L-1}=0, \qquad m(C_w)=\alpha^{L+1}\quad\text{if }w_{L-1}=1. $$ In particular, $$ \min_{w\in\mathcal W_L}m(C_w)=\alpha^{L+1},\qquad \max_{w\in\mathcal W_L}m(C_w)=\alpha^L, $$ $$ 1\le Q_L\alpha^L\le\phi,\qquad \frac{\alpha}{Q_L}\le m(C_w)\le\frac{\phi}{Q_L}. $$ **Proof.** Define a section $\iota:\mathbb T\to K$ by taking the unique lift outside $E$ and setting $\iota(e_r)=x_r^-$. For every positive-depth cylinder, $$ \iota^{-1}(C_w) =(J_w\setminus E)\cup\{e_r:\iota(e_r)\in C_w\}. $$ This is Borel. The cylinders form a countable basis of $K$, so $\iota$ is Borel. Define $m=\iota_\#\lambda$. Since $H\iota$ is the identity, $H_\#m=\lambda$. The inverse image under $\iota$ of any singleton is contained in a singleton of the circle, proving atomlessness. A finite Borel measure on the compact metric space $K$ is regular. If $\eta$ is any probability with $H_\#\eta=\lambda$, the two arc inclusions in Definition 36.1 give $$ \lambda(J_w)\le\eta(C_w)\le\lambda(\overline{J_w}). $$ Both outer quantities equal the arc length. Thus every such lift has the displayed cylinder masses. Cylinders generate the Borel sigma algebra and are closed under intersections, so these masses determine the measure uniquely. Moreover, $$ H_\#(T_\#m)=R_\#\lambda=\lambda, $$ which proves invariance by uniqueness. Admissible words ending in zero and in one both exist at every positive depth, proving the extrema. Summing the mass bounds over the $Q_L$ cylinders gives $$ Q_L\alpha^{L+1}\le1\le Q_L\alpha^L. $$ Since $\alpha^{-1}=\phi$, the remaining inequalities follow. $\square$ **Definition 36.3 (Successor kernel, full variation, and mixing time).** For $0\le p\le1$ and a finite signed Borel measure $\eta$ on $K$, define $$ P_p\eta=(1-p)\eta+pT_\#\eta. $$ Thus the zero step is the identity on the original carrier. Let $\mathcal P(K)$ be the Borel probability measures on $K$. We use full variation: $$ \|\xi\|_{\mathrm{TV}}=|\xi|(K),\qquad \|\mu-\nu\|_{\mathrm{TV}}=2\sup_A|\mu(A)-\nu(A)| $$ for probabilities. On a finite alphabet the norm is the sum of absolute coordinate differences, without a factor of one half. For $n\in\mathbb N_0$, $L\ge1$, and $x\in K$, define $$ D_{L,p}(n,x)=\|q_{L\#}P_p^n\delta_x-q_{L\#}m\|_{\mathrm{TV}}, $$ $$ e_{L,p}(n)=\sup_{\eta\in\mathcal P(K)} \|q_{L\#}P_p^n\eta-q_{L\#}m\|_{\mathrm{TV}}. $$ Both quantities lie in $[0,2]$. Put $$ v_p=p(1-p),\qquad V=np(1-p),\qquad s=\sqrt V. $$ For $0<\varepsilon<1$, define $$ \tau_{L,p}(\varepsilon)=\min\{n\in\mathbb N_0:e_{L,p}(n)\le\varepsilon\}, $$ with value $+\infty$ if the set is empty. **theorem 36.4 (Exact binomial law on the original successor).** For $0\frac1{4k}, $$ where $\|t\|$ denotes distance to the nearest integer. For $s\ge1$, let $M=2^J$ be the largest power of two not exceeding $s$. Then $$ \sum_{k=1}^M\frac{e^{-8s^2\|k\phi\|^2}}{k}\le\frac{16}{s}. $$ **Proof.** The established rational estimate says that for a rational $q$ with reduced positive denominator $d$, $$ \left|\phi-q\right|>\frac1{\sqrt5\,d^2+d}. $$ Choose an integer $a$ nearest to $k\phi$ and apply this to $a/k$, whose reduced denominator is at most $k$. Then $$ \|k\phi\| >\frac1{\sqrt5\,k+1} \ge\frac1{(\sqrt5+1)k} >\frac1{4k}. $$ This uses the exact rational-denominator statement of [GoldenHurwitzBound](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/7a2f78d2072b99bfa7b599db4ee342716fcd18dc/D5/S1/Depth/GoldenHurwitzBound.lean). Partition $1,\ldots,M$ into bands $$ B_i=\{k\in\mathbb N:2^{i-1}0$, $$ D_{L,p}(n,x) \ge2\left[1-t^{-2}-(2ts+1)\alpha^L\right]_+. $$ There are also the bounds $$ D_{L,p}(n,x)\ge2[1-2V-\alpha^L]_+, $$ $$ e_{L,p}(n)\ge2[1-2V-\alpha^{L+1}]_+. $$ The first two inequalities hold in particular for the fixed initial state $Z(0)$. An explicit original-carrier initial state witnesses the last inequality. **Proof.** Let $J$ have the binomial distribution with parameters $n,p$. When $s>0$, Chebyshev's inequality gives $$ \Pr(|J-np|\le ts)\ge1-t^{-2}. $$ The interval $[np-ts,np+ts]$ contains at most $2ts+1$ integers. Define the set of readout classes $$ A=\{q_L(T^j x):0\le j\le n,\ |j-np|\le ts\}. $$ The actual binomial successor law assigns $A$ probability at least $1-t^{-2}$, whereas $$ q_{L\#}m(A)\le(2ts+1)\alpha^L. $$ Testing full variation on $A$ proves the first inequality. If $s=0$, the binomial variable is constant, the corresponding index set is a singleton, and the same lower bound follows directly. For the small-variance estimates, set $h=\min\{p,1-p\}$ and choose $j_*=0$ if $p\le1/2$, and $j_*=n$ if $p>1/2$. Then $$ \Pr(J=j_*)=(1-h)^n\ge1-nh\ge1-2V, $$ since $V=nh(1-h)$ and $1-h\ge1/2$. The readout class $q_L(T^{j_*}x)$ has Haar mass at most $\alpha^L$. Testing on that class proves the second inequality. To obtain the minimum-mass class explicitly, put $N_L=G_{L-1}$. Its natural expansion $Z(N_L)$ has prefix $0^{L-1}1$, whose cylinder mass is $\alpha^{L+1}$. For every $j\ge0$, define $$ z_{L,j}=Z(N_L-j)\quad\text{when }j\le N_L, $$ $$ z_{L,j}=x_{j-N_L}^-\quad\text{when }j>N_L. $$ The original successor identities give $T^jz_{L,j}=Z(N_L)$ in both cases. In the second case this follows by coalescing at time $j-N_L$ and then taking $N_L$ natural successor steps. Starting at $z_{L,j_*}$ therefore places probability at least $1-2V$ in a class of mass exactly $\alpha^{L+1}$. This proves the last bound with an actual specified witness. $\square$ **theorem 36.12 (Quadratic mixing time at every fixed accuracy).** For every $L\ge1$, $01$ and $D_{L,p}(n,Z(0))>1/4$. **Proof.** Write $Q=G_L$. First suppose $Q\ge16$ and $V\le Q^2/16384$, so $s\le Q/128$. Theorem 36.2 gives $\alpha^L\le\phi/Q$, and therefore $$ (4s+1)\alpha^L \le\phi\left(\frac1{32}+\frac1Q\right) \le\frac{3\phi}{32}<\frac3{16}. $$ Taking $t=2$ in Theorem 36.11 yields, for every initial point $x$, $$ D_{L,p}(n,x)>2\left(\frac34-\frac3{16}\right)=\frac98. $$ If $Q<16$, then $V<1/64$. The small-variance worst-start witness gives $$ e_{L,p}(n)>2\alpha-\frac1{16}>1, $$ because $\alpha^{L+1}\le\alpha^2=1-\alpha$. For the particular initial state $Z(0)$, the other small-variance bound gives $$ D_{L,p}(n,Z(0))>2(1-\alpha)-\frac1{16} =2\beta-\frac1{16}>\frac14. $$ All numerical comparisons follow from $\alpha=(\sqrt5-1)/2$. This covers every depth, including the smallest ones, and every variance satisfying the stated condition. Thus no integer $n\le G_L^2/(16384p(1-p))$ can meet any accuracy below one. This proves the strict lower bound for the first-passage time; no additive correction is needed. For the upper bound, take $$ n=\left\lceil\frac{4096G_L^2}{\varepsilon^2p(1-p)}\right\rceil. $$ Then $\sqrt{np(1-p)}\ge64G_L/\varepsilon$, so Theorem 36.10 gives $e_{L,p}(n)\le\varepsilon$. This also proves finiteness of the mixing time. Finally, $G_L\ge2$ and $p(1-p)\le1/4$, so $G_L^2/(p(1-p))\ge16>1$. The ceiling is consequently bounded by the last expression in the theorem. Substitution of $\varepsilon=1/4$ gives $4096\varepsilon^{-2}+1=65537$. $\square$ **theorem 36.13 (Iteration exponent and the observation-depth budget).** For fixed $0<\varepsilon<1$, $$ \log\tau_{L,p}(\varepsilon) =2\log G_L-\log(p(1-p))+O_\varepsilon(1), $$ where the bounded term is uniform over $L\ge1$ and $00. $$ Moreover, $$ \sup_{00$, the uniform estimate is $$ e_{L,p}(n)\le\min\left\{2,\frac{64G_L}{\sqrt{nv_0}}\right\}\qquad(n\ge1). $$ **Proof.** At $p=0$ the law from a Dirac is unchanged. At $p=1$ it is $\delta_{T^nx}$. Its readout distance is therefore $2(1-m(C_{q_L(T^nx)}))$, which is at least $2(1-\alpha^L)$. Surjectivity of $T^n$ makes every readout class attainable, so maximization gives the minimum-mass formula. The identity case is the same calculation. For an interior parameter, Theorem 36.5 gives $e_{L,p}(n)\le e_{L,p}(0)=2(1-\alpha^{L+1})$. Choose $x=Z(G_{L-1})$, in a minimum-mass cylinder. The no-successor term has weight $(1-p)^n$, so $$ \|P_p^n\delta_x-\delta_x\|_{\mathrm{TV}} \le2(1-(1-p)^n). $$ After readout and the reverse triangle inequality, $$ e_{L,p}(n)\ge2(1-\alpha^{L+1})-2(1-(1-p)^n). $$ Letting $p\downarrow0$ proves the supremum identity. The other endpoint has the same limiting error: use $x=z_{L,n}$ from Theorem 36.11, so that $T^nx$ belongs to the minimum-mass cylinder, and bound the contribution of all terms except $j=n$ by $2(1-p^n)$. The final estimate follows directly from Theorem 36.10. $\square$ **theorem 36.16 (No autonomous readout kernel and no full-space spectral gap).** For every $L\ge1$ and $0n$. Every phase outside $E$ remains outside $E$ under nonnegative rotation by $\delta$. **Proof.** Fix a positional depth $L$. The phase boundaries of its cylinders form the finite set $$ B_L^{\mathrm{pos}}=\{E_1,\ldots,E_{G_L}\} $$ when $L\ge1$. If $\gamma\notin E$, it is not in this finite set. A sufficiently small phase neighborhood of $\gamma$ lies inside the phase interior of the cylinder containing $k_\gamma$, and every lift of every phase in that neighborhood belongs to this cylinder. Thus the $L$-digit prefixes of $y_i$ eventually equal that of $k_\gamma$. This holds at every depth and proves convergence. Now let $\gamma=E_m$. At a depth which separates $x_m^-$ and $x_m^+$, the two neighboring phase arcs belong to their respective cylinders, with precisely the orientations established in Theorem 20.2. Consequently convergence to $x_m^s$, together with eventual avoidance of phase $E_m$, forces eventual approach from side $s$. Conversely, suppose the phases approach from side $s$. At every depth separating the pair, the same adjacent-cylinder description forces the prefix of $x_m^s$. At a depth which does not separate the pair, $E_m$ is not a boundary of that depth, and a two-sided phase neighborhood has all its lifts in their common cylinder. Thus every prefix eventually equals that of $x_m^s$. This proves sufficiency. The proof uses eventual membership in finitely many cylinder conditions and therefore applies to nets, not just sequences. The displayed formula for $T^n x_m^s$ follows by iterating the oriented successor identities in Definition 37.0, reaching $0_K$ exactly at time $m$, and then using $T^j0_K=Z(j)$. It includes $n=0$ and the coalescence time $n=m$. Finally, if $\gamma+n\delta=E_m$, then $$ \gamma=E_{m+n}\in E. $$ Its contrapositive proves forward invariance of the nonsplit phases. $\square$ **Definition 37.3 (The phase-selecting operators).** For every $\theta\in\mathbb T$ and $s\in\Sigma$, define the actual function $P_\theta^s:K\to K$ by $$ P_\theta^s(x)= \begin{cases} k_{H(x)+\theta},&H(x)+\theta\notin E,\\ x_m^s,&H(x)+\theta=E_m. \end{cases} $$ The index $m$ in the second case is unique by irrationality. Put $$ \mathscr D=\{P_\theta^s:\theta\in\mathbb T,\ s\in\Sigma\}. $$ Each $P_\theta^s$ is constant on every $H$-fibre. Membership in $\mathscr E$ is not part of this definition. **theorem 37.4 (Exact operator classification and the complete net dichotomy).** One has the disjoint union of actual functions $$ \mathscr E=\mathcal I\ \dot\cup\ \mathscr D. $$ All the parameters displayed in $\mathscr D$ give distinct functions. Every $T^n$ is isolated in $\mathscr E$. For any net of nonnegative integers $(n_i)$, $$ T^{n_i}\longrightarrow T^n \quad\Longleftrightarrow\quad n_i=n\text{ eventually}, $$ and $$ T^{n_i}\longrightarrow P_\theta^s \quad\Longleftrightarrow\quad n_i\longrightarrow\infty\text{ and }n_i\delta\longrightarrow_s\theta. $$ Here $n_i\to\infty$ means that for every $N$, eventually $n_i>N$. For every $\theta,s$ there is a strictly increasing ordinary sequence $(n_j)$ satisfying these conditions. The remainder is closed, and $$ \mathscr D=\bigcap_{N\ge0}\overline{\{T^n:n\ge N\}}^{\,\mathscr E}. $$ The double-circle classification for invertible split-rotation cascades is a classical analogue; the positive-time classification asserted here includes the noninvertible branch history of Theorem 37.2.[^rro37_double] **Proof.** First isolate a fixed $T^n$ without assuming the proposed classification. Choose disjoint clopen neighborhoods $U^+$ and $U^-$ of $x_1^+$ and $x_1^-$. By Theorem 37.2, $$ T^n x_{n+1}^+=x_1^+,\qquad T^n x_{n+1}^-=x_1^-. $$ For every $j>n$, the two values $T^j x_{n+1}^+$ and $T^j x_{n+1}^-$ are equal. Such an iterate cannot satisfy both evaluation conditions $$ p(x_{n+1}^+)\in U^+,\qquad p(x_{n+1}^-)\in U^-. $$ The phases $j\delta$, $0\le j\le n$, are distinct. Choose a circle neighborhood $J$ of $n\delta$ excluding $j\delta$ for $jn_j,\qquad n_j\delta\in I_s(\theta,\varepsilon_j),\qquad \varepsilon_j\downarrow0. $$ For every $x\in K$, the phase of $T^{n_j}x$ tends to $H(x)+\theta$. If that phase is nonsplit, Theorem 37.2 gives the unique lift. If it is $E_m$, its phase approaches $E_m$ from side $s$, and the same lemma gives $x_m^s$. Thus $$ T^{n_j}x\longrightarrow P_\theta^s(x) $$ for every $x$. Consequently every $P_\theta^s$ belongs to $\mathscr E$. This construction works at zero, at every natural phase $n\delta$, and at every exceptional phase $E_m$; the approximating phases are chosen strictly to one side and never equal the target. We next prove that there are no other functions. Let $p\in\mathscr E\setminus\mathcal I$, and take a net $T^{n_i}\to p$. Every finite set $\{T^0,\ldots,T^N\}$ is closed and excludes $p$, so $n_i\to\infty$. Theorem 37.1 gives $$ n_i\delta\longrightarrow\theta:=\vartheta(p). $$ A phase $\theta$ can equal $n\delta$ for at most one nonnegative integer $n$. Escape from finite sets therefore ensures $n_i\delta\ne\theta$ eventually. Choose an actual point $b\in K$ with $$ H(b)=E_1-\theta. $$ The phase formula gives $H(p(b))=E_1$, so $p(b)=x_1^s$ for exactly one $s\in\Sigma$. Since $T^{n_i}b\to p(b)$ and its phase eventually differs from $E_1$, the necessity part of Theorem 37.2 forces $$ n_i\delta\longrightarrow_s\theta. $$ This is an eventual assertion for the whole net, not merely a choice of a one-sided subnet. Applying the lemma at every other evaluation point now gives $p=P_\theta^s$. The same argument proves necessity in the stated convergence criterion. Sufficiency follows directly from Theorem 37.2 at every coordinate. Hence a net which repeatedly returns cofinally to a bounded set of indices while also escaping cannot create an additional limit: convergence requires either eventual equality to one finite iterate or eventual escape from every finite set with one fixed approach side. For distinctness, different phases are distinguished by the phase of evaluation at zero. At the same phase $\theta$, any actual $b$ with $H(b)=E_1-\theta$ satisfies $$ P_\theta^+(b)=x_1^+,\qquad P_\theta^-(b)=x_1^-. $$ Thus the two signs differ at every phase, including nonsplit and zero phases where evaluation at zero alone would not distinguish them. An iterate $T^n$ and $P_\theta^s$ have different evaluation phases if $\theta\ne n\delta$. If $\theta=n\delta$, the actual split input $x_{n+1}^{-s}$ distinguishes them: $$ T^n x_{n+1}^{-s}=x_1^{-s},\qquad P_{n\delta}^s(x_{n+1}^{-s})=x_1^s. $$ This proves the disjointness, including $T^0$. The union of the isolated finite iterates is open, so $\mathscr D$ is closed. Every point of $\mathscr D$ is a limit of an increasing sequence of iterates and therefore lies in every tail closure. Conversely, $T^n$ is excluded from the closure of the tail beginning at $n+1$ because it is isolated. This proves the final formula. $\square$ **theorem 37.5 (Exact multiplication and the closed ideal).** For $n,m\ge0$, $\theta,\eta\in\mathbb T$, and $s,t\in\Sigma$, $$ T^nT^m=T^{n+m}, $$ $$ T^nP_\theta^s=P_{\theta+n\delta}^s=P_\theta^sT^n, $$ $$ P_\theta^sP_\eta^t=P_{\theta+\eta}^s. $$ Thus the left factor supplies the sign in a product of two remainder operators. The set $\mathscr D$ is a closed two-sided ideal. The unit of $\mathscr E$ is the actual identity, not either zero-phase selector.[^rro37_functions] **Proof.** The first equality is the usual iterate identity. For the second, fix $x$ and put $a=H(x)$. The phase of $T^nP_\theta^s(x)$ is $a+\theta+n\delta$. If this phase is nonsplit, there is only one possible value. If it equals $E_m$, then the intermediate phase is $$ a+\theta=E_m-n\delta=E_{m+n}. $$ Consequently $$ T^nP_\theta^s(x)=T^nx_{m+n}^s=x_m^s. $$ The inequality $n0$ smaller than $1/4$ such that the phase arc of radius $\varepsilon_*$ around $E_1$ contains no other depth-one cut. For $0<\varepsilon<\varepsilon_*$, define subsets of the actual operator space by $$ V_s(\theta,\varepsilon) =\{P_\theta^s\} \cup\{P_\eta^t:\eta\in I_s(\theta,\varepsilon),\ t\in\Sigma\} \cup\{T^n:n\delta\in I_s(\theta,\varepsilon)\}. $$ These sets form a neighborhood base at $P_\theta^s$. The singletons $\{T^n\}$ form neighborhood bases at the finite iterates. In particular, the intrinsic neighborhood base on $\mathscr D$ is $$ U_s(\theta,\varepsilon) =\{P_\theta^s\} \cup\{P_\eta^t:\eta\in I_s(\theta,\varepsilon),\ t\in\Sigma\}. $$ Thus $\mathscr D$ is homeomorphic to the circle split at every phase, with the circular lexicographic order in which $\theta^-$ immediately precedes $\theta^+$. This is not the product topology on $\mathbb T\times\Sigma$. The full operator topology is obtained by inserting the isolated point $T^n$ between $P_{n\delta}^-$ and $P_{n\delta}^+$ at every natural phase. Both $\mathscr E$ and $\mathscr D$ have cardinality $2^{\aleph_0}$. The space $\mathscr E$ is first countable and has the countable dense set $\mathcal I$, but it is not metrizable. Each fixed-sign subset of $\mathscr D$ is dense in $\mathscr D$.[^rro37_double][^rro37_functions] **Proof.** Let $C^s$ be the depth-one cylinder containing $x_1^s$. For phases sufficiently close to $E_1$ but unequal to it, every lift belongs to $C^s$ exactly when its phase lies on side $s$ of $E_1$. Fix $\theta,s$, and choose $b\in H^{-1}(\{E_1-\theta\})$. The conditions $$ \vartheta(p)\in\theta+(-\varepsilon,\varepsilon),\qquad p(b)\in C^s $$ define an open subset of $\mathscr E$. For $\vartheta(p)\ne\theta$, the phase identity in Theorem 37.1 shows that these conditions hold exactly for phases in $I_s(\theta,\varepsilon)$. At phase $\theta$, the classification leaves $P_\theta^+$, $P_\theta^-$, and possibly the single iterate $T^n$ with $n\delta=\theta$. The evaluation condition selects $P_\theta^s$ from the first two. Removing that possible finite iterate, a closed singleton, produces exactly $V_s(\theta,\varepsilon)$. Hence these sets are open. To prove the base assertion, consider an arbitrary basic product neighborhood of $P_\theta^s$. It prescribes neighborhoods of $P_\theta^s(b_1),\ldots,P_\theta^s(b_r)$ at finitely many actual inputs. For each input whose target phase is nonsplit, all lifts of sufficiently nearby phases lie in its prescribed neighborhood. For each input whose target phase is split, all lifts of sufficiently nearby phases on side $s$ lie in the prescribed neighborhood of the selected branch. These are the finite-depth consequences proved in Theorem 37.2. Choosing one sufficiently small $\varepsilon$ for all the inputs shows that the entire set $V_s(\theta,\varepsilon)$ lies in the given product neighborhood. This argument applies equally to the finite iterates and selector operators occurring at the nearby phases; it does not assume their continuity as functions of the input. Intersecting with $\mathscr D$ proves the stated base there. These are precisely the circular order neighborhoods which start immediately after $\theta^-$ at $\theta^+$, or end immediately before $\theta^+$ at $\theta^-$. Equivalently, cut the doubled circle between $0^-$ and $0^+$: the resulting linear order has least point $0^+$, greatest point $0^-$, and, for $00\text{ 最终成立}. $$ 实相位纤维、端点及方向的前置分类见[固定相位文本的定理371.2、372.2—372.4](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/c4ef9baf3444a8e1992f6859eecc64e5faa6e0cb/docs/develop/theory/CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_ZECKENDORF.md)。 另沿用 $$ \Gamma=\overline{\{(Z(a),Z(b),Z(a+b)):a,b\in\mathbb N_0\}}. $$ 记分裂点的符号为 $s(z_\beta^\pm)=\pm1$，并置 $$ \mathcal S(w)= \begin{cases} \{s(w)\},&H(w)\in E,\\ \{-1,+1\},&H(w)\notin E. \end{cases} $$ 采用定理16.4的分类：输出相位不在 $E$ 时 $\Gamma(w,w')$ 是该相位的唯一纤维点；输出相位 $\theta=H(w)+H(w')$ 在 $E$ 时， $$ \Gamma(w,w')=\{z_\theta^s:s\in\mathcal S(w)\cup\mathcal S(w')\}. $$ **定义 38.1（有限联合闭图与带位置标记的符号矩阵）。** 令 $d,r\in\mathbb N_0$，$A\in\mathbb N_0^{r\times d}$，其第 $j$ 行记为 $a_j$。定义 $$ \mathcal G_A= \overline{\left\{ \bigl((Z(n_i))_{i=1}^d,(Z(a_j\cdot n))_{j=1}^r\bigr): n\in\mathbb N_0^d \right\}}^{K^d\times K^r}. $$ 所有输出均使用同一个自然数向量 $n$。约定零维直积为单点，空和为零。 给定 $(x,y)\in K^d\times K^r$，置 $$ I_x=\{i:H(x_i)\in E\},\qquad J_y=\{j:H(y_j)\in E\}. $$ 符号矩阵 $B=B(A;x,y)$ 的行由带位置标记的不交并 $$ (\{\mathrm{in}\}\times I_x)\sqcup(\{\mathrm{out}\}\times J_y) $$ 索引，并定义为 $$ B_{\mathrm{in},i}=s(x_i)e_i^{\mathsf T},\qquad B_{\mathrm{out},j}=s(y_j)a_j. $$ 这里 $e_i$ 是第 $i$ 个标准基向量。不同位置的行不因系数相同而被识别。记行数为 $m$。符号 $B\xi>0$ 始终表示每一行的值都严格为正，而不是向量偏序中的非零非负条件；当 $m=0$ 时它为空的合取。非分裂坐标不增加符号约束，方向 $\xi\in\mathbb R^d$ 不受非负性限制。 **定理 38.2（有限联合闭图的准确相位—严格锥判据）。** 在假设38.0下，对定义38.1中的全部 $d,r,A,x,y$， $$ (x,y)\in\mathcal G_A \quad\Longleftrightarrow\quad \left[ H(y_j)=\sum_{i=1}^d A_{ji}H(x_i)\quad(1\le j\le r) \right] \quad\land\quad \left[\exists\xi\in\mathbb R^d,\ B(A;x,y)\xi>0\right]. $$ 右侧成立时，可以用一列实际自然数向量同时逼近全部输入和全部输出；当 $d>0$ 时，还可要求其第 $k$ 项的每个输入整数都不小于 $k$。所用单侧收敛前提是[定理16.4证明中的定向逼近等价](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/48b8fc89309eb665163095a8a9602798f11179b4/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)。 **证明。** 先记录两个轨道事实。若 $\gamma(n)=E_h$，其中 $n\ge0,h\ge1$，则 $(n+h)\phi$ 为整数，与 $\phi$ 无理矛盾。因此 $$ \gamma[\mathbb N_0]\cap E=\varnothing. $$ 又因 $H$ 连续满射且 $Z[\mathbb N_0]$ 稠密，每个非空圆周开集的非空开原像都遇到 $Z[\mathbb N_0]$，故自然相位轨道稠密。对任意 $M\in\mathbb N_0$， $$ \{\gamma(n):n\ge M\}=\gamma(M)+\gamma[\mathbb N_0] $$ 也稠密。于是有限多个输入可以分别从任意给定的非空开弧中选取自然相位，且同时满足任意预定的自然数下界；这里各输入的轨道指标彼此独立。 若 $d=0$，实际向量只有空向量，每个输出恒为 $Z(0)=0_K$。右侧相位恒等式同样迫使所有输出等于 $0_K$，因而没有分裂行，零维方向满足空约束。这证明该情形，包括 $r=0$。以下设 $d>0$。 先证必要性。有限乘积 $K^{d+r}$ 可度量，因此闭包中的点有同一列实际见证 $n^{(k)}\in\mathbb N_0^d$，满足 $$ Z(n_i^{(k)})\longrightarrow x_i,\qquad Z(a_j\cdot n^{(k)})\longrightarrow y_j. $$ 连续性与自然数上的相位加法给出所有相位恒等式。记 $\beta_i=H(x_i)$。对充分大的 $k$，取趋于零的唯一局部实偏移 $$ \gamma(n_i^{(k)})=\beta_i+[\varepsilon_i^{(k)}], \qquad |\varepsilon_i^{(k)}|<\tfrac12. $$ 对每个输出，由相位恒等式， $$ \gamma(a_j\cdot n^{(k)}) =H(y_j)+[a_j\cdot\varepsilon^{(k)}]. $$ 因为行数有限且各行系数固定，可把 $k$ 同时取得足够大，使 $$ |a_j\cdot\varepsilon^{(k)}|<\tfrac12 \quad\text{对所有 }j. $$ 此时输出的局部实偏移准确等于 $a_j\cdot\varepsilon^{(k)}$，不是另行选择的偏移，也不附加任意整数。这里先在圆周上使用恒等式，再将趋零的偏移和放进同一个局部区间，已经处理了模一代表跨越接缝的情形。 每个分裂输入的单侧收敛规则给 $$ s(x_i)\varepsilon_i^{(k)}>0 $$ 最终成立。每个分裂输出的同一规则给 $$ s(y_j)a_j\cdot\varepsilon^{(k)}>0 $$ 最终成立。实际输出是非负整数的规范字，故其相位不在 $E$；因此分裂输出的这些局部偏移不能等于零。只有有限多个约束，遂有一个共同的充分大指标 $k$，使 $$ B\varepsilon^{(k)}>0. $$ 取 $\xi=\varepsilon^{(k)}$ 即得所需方向。此处选取的是同一个实际见证的误差向量，而不是各门分别选取误差，更不是假设归一化误差存在极限。若没有约束，则直接取零方向。 再证充分性。设所有相位恒等式成立，并取 $B\xi>0$。当 $m>0$ 时，置 $$ \mu=\min_{\ell=1,\ldots,m}(B\xi)_\ell>0,\qquad C=\max\left(\{1\}\cup\left\{\sum_{i=1}^d|B_{\ell i}|:\ell=1,\ldots,m\right\}\right), $$ $$ \eta=\min\{1,\mu/(2C)\}>0. $$ 若 $\|w-\xi\|_\infty<\eta$，则逐行有 $$ (Bw)_\ell \ge (B\xi)_\ell-\sum_i|B_{\ell i}|\,\|w-\xi\|_\infty >\mu/2. $$ 当 $m=0$ 时，改取 $\xi=0,\eta=1$；以下不再需要 $\mu$，所有符号断言均为空条件。 置 $$ L=\max\left(\{1\}\cup\left\{\sum_iA_{ji}:1\le j\le r\right\}\right),\qquad M=\max\{1,\|\xi\|_\infty+\eta\}, $$ $$ t_k=\frac1{8(k+1)LM}\qquad(k\ge1). $$ 对每个 $i$ 使用非空开区间 $$ I_{i,k}=\bigl(t_k(\xi_i-\eta),\,t_k(\xi_i+\eta)\bigr). $$ 轨道尾部稠密，故可以分别选择 $n_i^{(k)}\ge k$，使 $$ \gamma(n_i^{(k)})\in\beta_i+[I_{i,k}]. $$ 取对应的 $\varepsilon_i^{(k)}\in I_{i,k}$。这些区间位于 $(-1/2,1/2)$ 内，因而这些偏移就是唯一的局部偏移。令 $w^{(k)}=\varepsilon^{(k)}/t_k$，则 $$ \|w^{(k)}-\xi\|_\infty<\eta,\qquad |\varepsilon_i^{(k)}|0$，还逐行有共同的严格余量 $$ (B\varepsilon^{(k)})_\ell>t_k\mu/2>0. $$ 因此分裂输入和输出全具有所要求的方向；非分裂坐标则只需其相位收敛。 最后，对这一组实际输入，全部实际输出同时满足 $$ \gamma(a_j\cdot n^{(k)}) =\sum_iA_{ji}\bigl(\beta_i+[\varepsilon_i^{(k)}]\bigr) =H(y_j)+[a_j\cdot\varepsilon^{(k)}]. $$ 非负整数系数保证 $a_j\cdot n^{(k)}\in\mathbb N_0$。分别应用假设38.0的单点纤维规则和单侧规则，得到 $$ Z(n_i^{(k)})\longrightarrow x_i,\qquad Z(a_j\cdot n^{(k)})\longrightarrow y_j $$ 对所有输入与输出同时成立。没有为输出另行选择轨道指标。这证明充分性及所声明的自然数下界。证毕。 **定理 38.3（空约束、零行、重复行、核心与同一输入复用）。** 定理38.2具有以下全部边界结论。没有分裂约束时，相位恒等式本身就是充分必要条件。若 $r=0$，则 $\mathcal G_A=K^d$；若 $d=0$，则全部输出必须为 $0_K$；若 $d=r=0$，闭图是唯一的空元组。零行对应的输出必须为 $0_K$。相同的两行对应的输出必须相等。恒等行 $a_j=e_i^{\mathsf T}$ 对应的输出必须等于输入 $x_i$。 对单个倍乘行 $a_j=q e_i^{\mathsf T}$，其中 $q\ge1$，若 $x_i=z_{E_h}^s$，则其输出只能为 $z_{E_{qh}}^s$。若输入相位不分裂而倍乘后的相位分裂，则在只请求这个倍乘输出时，两种输出方向都可实现。若所有输入均为有限核心点，则 $$ \{y:(Z(n_1),\ldots,Z(n_d),y)\in\mathcal G_A\} =\left\{\bigl(Z((An)_j)\bigr)_{j=1}^r\right\}. $$ **证明。** 空约束按定义由任意方向满足，直接应用定理38.2。若 $r=0$，相位条件为空，对每个分裂输入取 $\xi_i=s(x_i)$，对其余输入取 $\xi_i=0$，即满足所有输入约束，所以得到整个 $K^d$。零维输入及双零维情形已在定理38.2证明中直接处理。 零行的相位等式为 $H(y_j)=0$，由零相位单点纤维知 $y_j=0_K$；实际输出也恒为这个点。若两行相同，则输出相位相同。非分裂相位的输出自动相等；分裂相位若选不同点，其两个符号行恰为 $a_j$ 与 $-a_j$，不可能同时严格为正。因此输出也必须相等。这与实际图上的两个输出始终相等一致；重复记录相同的目标点只重复同一个约束，不增加限制。 恒等行与对应输入相位相同。在分裂情形，若输入与输出方向不同，符号约束包含某行及其相反行；若相位不分裂，单点纤维已经迫使相等。因此该输出只能是 $x_i$。这也说明输入坐标和输出坐标之间的重复不能被当作互相独立的近似。 对倍乘行，$qE_h=E_{qh}$，输入要求 $s\xi_i>0$。输出若取符号 $t$，则要求 $tq\xi_i>0$，与前式相容当且仅当 $t=s$。若输入相位不分裂且输出相位分裂，则没有输入符号约束；指定输出符号 $t$ 后取 $\xi_i=t$，其他输入坐标按各自分裂符号取值，就实现这一个输出。因此同一变量出现 $q$ 次时，所使用的是同一个误差的 $q$ 倍，而非 $q$ 个自由误差。不同自由输入即使具有相同的极限点，也仍对应不同的矩阵列，不由极限点相等额外产生误差相等条件。 最后，若 $x_i=Z(n_i)$，相位恒等式给 $$ H(y_j)=\gamma\left(\sum_iA_{ji}n_i\right)\notin E. $$ 这个相位的唯一纤维点是 $Z((An)_j)$，故输出被唯一确定；常值输入序列已经实现它。部分输入位于有限核心时则仅按非分裂坐标处理，并不强迫逼近它的自然数序列最终恒定，也不强迫其局部偏移为零。以上论证还覆盖 $n_i=0$、零行与空输出的交叉情形。证毕。 **定理 38.4（严格择一、整系数证书及支撑界）。** 设 $B\in\mathbb R^{m\times d}$，两个维数均允许为零。以下两者恰有一个成立： $$ \exists\xi\in\mathbb R^d,\quad B\xi>0; $$ $$ \exists\lambda\in\mathbb R^m,\quad \lambda\ge0,\quad \sum_{\ell=1}^m\lambda_\ell=1,\quad B^{\mathsf T}\lambda=0. $$ 第二式等价于存在 $\lambda\ge0,\lambda\ne0$ 且 $B^{\mathsf T}\lambda=0$。第一式等价于存在不受符号限制的 $\xi$ 满足 $B\xi\ge\mathbf1$。 若 $B$ 为有理矩阵，第二种情形总有有理证书。每个包含极小的非零非负证书支撑 $S$ 都满足 $$ |S|\le\operatorname{rank}_{\mathbb R}(B)+1\le d+1; $$ 在该支撑上归一化到系数和为一后，证书唯一且为有理向量。清除分母得到同支撑的非零非负整数证书。当 $B$ 为整数矩阵时，第一种情形又等价于 $$ \exists z\in\mathbb Z^d,\qquad Bz\ge\mathbf1. $$ 因此，在相位恒等式成立的前提下， $$ (x,y)\notin\mathcal G_A \quad\Longleftrightarrow\quad \exists c\in\mathbb N_0^m\setminus\{0\},\qquad B(A;x,y)^{\mathsf T}c=0. $$ 右侧可要求支撑大小至多为 $\operatorname{rank}_{\mathbb R}(B)+1$。这里不对证书系数大小作额外断言。 所用成熟择一形式为 Dvorak–Kolmogorov，[《Duality theory in linear optimization and its extensions: formally verified》，第1节定理1.1、1.2](https://arxiv.org/html/2409.08119v3#S1)，对应固定声明 [equality_farkas、inequality_farkas](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/48b8fc89309eb665163095a8a9602798f11179b4/D5/S3/Analytic/Convexity/FarkasAlternative.lean#L700-L783)。有理权重的反证条件与 [RationalFarkas 的 Certificate 及 infeasible_of_certificate](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/48b8fc89309eb665163095a8a9602798f11179b4/D5/S0/Certificates/RationalFarkas.lean#L22-L114)相同；证书存在性另由以下论证给出。 **证明。** 当 $m>0$ 且 $B\xi>0$，有限最小值 $$ \mu=\min_\ell(B\xi)_\ell $$ 严格为正，故 $B(\xi/\mu)\ge\mathbf1$。反向显然。当 $m=0$，这两种可行性均为空约束，而系数和为一的空向量不存在。因此该边界完全符合断言。 为在 $m>0$ 时应用非负变量版本的 Farkas 择一定理，必须先处理原变量不受符号限制这一点。写 $$ \xi=p-q,\qquad p,q\ge0. $$ 每个实向量都有这种分解，例如逐坐标取正负部分。于是 $$ \exists\xi\in\mathbb R^d,\quad B\xi\ge\mathbf1 \quad\Longleftrightarrow\quad \exists p,q\in\mathbb R^d,\quad p,q\ge0,\quad \begin{pmatrix}-B&B\end{pmatrix} \binom pq\le-\mathbf1. $$ 对 $$ C=\begin{pmatrix}-B&B\end{pmatrix},\qquad b=-\mathbf1 $$ 应用所引不等式 Farkas 定理。它的另一个且互斥的分支是 $$ \lambda\ge0,\qquad C^{\mathsf T}\lambda\ge0,\qquad b\cdot\lambda<0. $$ 两个列块分别要求 $-B^{\mathsf T}\lambda\ge0$ 与 $B^{\mathsf T}\lambda\ge0$，合起来恰为 $B^{\mathsf T}\lambda=0$；最后一个条件恰为 $\sum_\ell\lambda_\ell>0$。除以这个正和，便得到归一化证书。这一应用也允许 $d=0$，因为其非负原变量集合可以为空。 两分支不能同时成立还可直接核对：若 $B\xi>0$ 且 $\lambda\ge0,\lambda\ne0$，则 $$ 0=(B^{\mathsf T}\lambda)\cdot\xi =\sum_\ell\lambda_\ell(B\xi)_\ell>0, $$ 矛盾。最后一步使用至少一个权重严格为正。正和归一化及反向去掉归一化，证明两种证书表述等价。 以下证明有理性与支撑界，不从证书健全性推出存在性。设 $B$ 的各行为 $b_\ell\in\mathbb Q^d$，并且实归一化证书存在。有限的行集合保证所有证书支撑中存在包含极小者。任取这样的支撑 $S$，并取其归一化系数 $\lambda_\ell>0$，$\ell\in S$。考虑有理增广列 $$ \widetilde b_\ell=\binom{b_\ell^{\mathsf T}}1\in\mathbb Q^{d+1}. $$ 这些列在实数域上线性无关。否则，存在不全为零的实数 $h_\ell$，满足 $$ \sum_{\ell\in S}h_\ell b_\ell=0,\qquad \sum_{\ell\in S}h_\ell=0. $$ 因此 $h$ 同时具有正分量与负分量。置 $$ t=\min_{h_\ell>0}\frac{\lambda_\ell}{h_\ell}>0,\qquad \lambda'_\ell=\lambda_\ell-th_\ell\quad(\ell\in S), $$ 并在 $S$ 外补零。对于正的 $h_\ell$，这些新系数非负且至少一个为零；对于非正的 $h_\ell$，新系数仍为正。两条等式保证系数和仍为一且仍有 $$ \sum_\ell\lambda'_\ell b_\ell=0. $$ 这给出支撑严格包含于 $S$ 的证书，矛盾。 故增广列满列秩。它们位于 $$ \operatorname{span}_{\mathbb R}\{b_1,\ldots,b_m\}\times\mathbb R $$ 中，所以 $|S|\le\operatorname{rank}_{\mathbb R}(B)+1$。这已经证明所需界。 令 $s=|S|$。从这些线性无关的增广列中选出一个非零的 $s$ 阶子式，即选取 $s$ 个坐标行得到可逆的有理方阵 $M$。归一化证书的等式为 $$ \sum_{\ell\in S}\lambda_\ell\widetilde b_\ell =\binom{0_d}1. $$ 限制到所选坐标行，得到 $M\lambda_S=q$，其中 $q$ 为有理向量。于是 $$ \lambda_S=M^{-1}q =\frac{\operatorname{adj}(M)q}{\det M}\in\mathbb Q^s. $$ 这是原实证书的同一个向量，不是可能破坏严格正性的近似。增广列线性无关也保证归一化解唯一。取所有分母的一个正公倍数即可得到非负整数证书，且不改变其支撑。 再设整数矩阵 $B$ 的严格系统在实数上可行。若 $m=0$，取 $z=0$。若 $m>0$，在一个实可行点附近，有限多个严格线性不等式共同保留正余量；具体可用定理38.2中的行范数估计得到一个仍全可行的开盒。逐坐标有理数稠密，故盒内有 $q\in\mathbb Q^d$，满足 $Bq>0$。清除 $q$ 的分母，得到 $z\in\mathbb Z^d$ 且 $Bz>0$。由于 $Bz$ 的每个分量都是整数，它们均不小于一。反向由 $\mathbb Z^d\subseteq\mathbb R^d$ 立即成立。 最后，对整数证书 $c$，将有理不等式系统写为 $(-B)\xi\le-\mathbf1$，则 $$ c_\ell\ge0,\qquad \sum_\ell c_\ell(-B_{\ell i})=0,\qquad \sum_\ell c_\ell(-1)=-\sum_\ell c_\ell<0. $$ 这正是所引有理反证条件；同一个加权求和论证也排除实数解。结合定理38.2即得联合闭图的证书判据。若相位恒等式不成立，不归属已经由相位排除，不要求另有符号证书。证毕。 **定义 38.5（二元加法图的实际联合关系与逐门关系）。** 一个有限无常量二元加法图具有 $d$ 个独立自然输入，后继门按一个有限次序排列；每个门取两个较早的输入或门输出之和。允许一个父结点占据两个端口，也允许不同的门计算相同的线性形式。所有输入及所有门输出均被记录。 令输入结点的系数向量为 $e_i$，每个后继结点的系数向量为两个父结点系数向量之和。将全部门输出的系数向量列为 $A$ 的各行，得到一个非负整数矩阵。该图的实际联合闭关系记为 $\mathcal J=\mathcal G_A$。逐门关系 $\mathcal L$ 则由所有满足 $$ (w_p,w_q,w_t)\in\Gamma $$ 的结点赋值组成，其中 $p,q$ 是门 $t$ 的两个父结点。这里同一个结点在所有出现位置都只有一个 $K$ 值；但逐门属于闭图的自然数逼近见证没有被预先要求相同。 **定理 38.6（逐门合法不蕴含共同可逼近）。** 对定义38.5中的每个图，$\mathcal J\subseteq\mathcal L$，且这个包含可以严格。以下两个无常量有向无环图均给出严格包含。 第一例有四个独立输入，其极限为 $(u,u,v,v)$，依次请求四个输出形式 $$ a+c,\qquad a+d,\qquad b+c,\qquad b+d $$ 及其极限 $$ (0v,\,10v,\,10v,\,0v). $$ 每个门都属于 $\Gamma$，但整个元组不属于实际联合闭图。 第二例有两个独立输入，极限为 $(u,v)$，三个门为 $$ p=x+y,\qquad q=x+x,\qquad r=q+y, $$ 并请求 $$ p\longrightarrow0v,\qquad q\longrightarrow0v,\qquad r\longrightarrow00v. $$ 这里 $$ z_{E_3}^+=010v,\qquad z_{E_3}^-=00v. $$ 三个门仍分别合法，但整个元组不属于实际联合闭图。此例的三个输出形式彼此不同。即使只记录 $x+y$ 的正分支和 $2x+y$ 的负分支，这两个不同输出就已构成一个包含极小的不相容输出族，输入极限仍固定为 $(u,v)$。 这些严格包含不否定[第18节命题18.2的集合值结合律](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/48b8fc89309eb665163095a8a9602798f11179b4/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)。 **证明。** 每个门的三坐标投影连续，而 $\Gamma$ 闭，故 $\mathcal L$ 是有限多个闭集的交。实际自然数图上的每个门都执行真实加法，所以实际联合像包含于 $\mathcal L$；取闭包得到 $\mathcal J\subseteq\mathcal L$。 第一例的矩阵为 $$ A_\square= \begin{pmatrix} 1&0&1&0\\ 1&0&0&1\\ 0&1&1&0\\ 0&1&0&1 \end{pmatrix}. $$ 四个输出相位都为 $E_2$。由 $\Gamma(u,v)=\{0v,10v\}$，所指定的每一个门均合法。若存在共同实际逼近，定理38.2必要性给出同一个误差向量 $(\varepsilon_a,\varepsilon_b,\varepsilon_c,\varepsilon_d)$，使 $$ \varepsilon_a+\varepsilon_c>0,\qquad \varepsilon_a+\varepsilon_d<0,\qquad \varepsilon_b+\varepsilon_c<0,\qquad \varepsilon_b+\varepsilon_d>0. $$ 第一式与第四式相加，和严格为正；第二式与第三式相加，和严格为负；两边却都是 $$ \varepsilon_a+\varepsilon_b+\varepsilon_c+\varepsilon_d. $$ 矛盾。等价的整数证书是：给四个带符号的输出行各权重一，给所有输入行权重零，因为 $$ (1,0,1,0)-(1,0,0,1)-(0,1,1,0)+(0,1,0,1)=0. $$ 为准确确定第二例的字，使用定义16.3中的 $c_*=-\alpha^3$ 与 $f_0(t)=-\alpha t$。由 $\alpha^2+\alpha=1$， $$ f_0(c_*)=\alpha^4=5-3\phi,\qquad [f_0(c_*)]=E_3. $$ 前缀 $w=0$ 的长度为奇数，故该定义的定向规则给 $$ z_{E_3}^+=w10v=010v,\qquad z_{E_3}^-=w0v=00v. $$ 于是第二例的三个局部门分别满足 $$ 0v\in\Gamma(u,v),\qquad 0v\in\Gamma(u,u),\qquad 00v\in\Gamma(0v,v). $$ 最后一个门的两个输入符号分别为正与负，输出相位为 $E_3$，所以负分支确实被允许。 但其矩阵为 $$ A_\triangle= \begin{pmatrix} 1&1\\ 2&0\\ 2&1 \end{pmatrix}, $$ 按两个输入、再按三个输出的顺序，其符号矩阵为 $$ B_\triangle= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1\\ 1&1\\ 2&0\\ -2&-1 \end{pmatrix}. $$ 非负整数权重 $$ c=(1,0,1,0,1)^{\mathsf T} $$ 满足 $B_\triangle^{\mathsf T}c=0$。直接说，就是 $$ \varepsilon_x>0,\qquad \varepsilon_x+\varepsilon_y>0 \quad\Longrightarrow\quad 2\varepsilon_x+\varepsilon_y>0, $$ 与最后一个输出要求的负偏移矛盾。中间输出 $2x$ 的符号约束在此已经由输入 $x$ 的正号蕴含。 只保留两个输出 $x+y$ 与 $2x+y$ 时，上述矛盾仍成立。分别只要求其中一个输出，则方向 $(2,-1)$ 实现前者的正分支，方向 $(1,-3)$ 实现后者的负分支；两者都符合固定输入的正、负符号。各自的相位恒等式均成立，故定理38.2将这两个方向分别提升为真实自然数逼近。删去任一输出后的剩余族因而可行，证明所说的包含极小性，而非宣称三门在所有互异输出形式的图中具有最少门数。 最后，用同一批显式字可直接看到结合律没有受到反驳： $$ \Gamma(\Gamma(u,u),v) =\Gamma(u,\Gamma(u,v)) =\{010v,00v\}. $$ 左式中 $\Gamma(u,u)=\{0v\}$，再与负号输入 $v$ 运算得到两个分支。右式中 $\Gamma(u,v)=\{0v,10v\}$；与正号输入 $u$ 运算后也得到相同的两个分支。若在右括号方式中取得最终负分支，中间值可以取 $10v$，但不能被额外固定为 $0v$。实际方向 $(1,-3)$ 同样实现最终的 $2x+y$ 负分支，却使 $x+y$ 取负分支。集合值复合只要求存在适当的中间值；第二例还要求另一个复用输入的输出同时取指定值。两种量词条件不同，前者的结合律不推出后者的共同逼近。证毕。 **定理 38.7（允许重复形式时的准确最少门数）。** 在定义38.5的无常量图类中，零门或一门总有 $\mathcal J=\mathcal L$，而两个门已经可以有严格包含。因此，在允许不同门重复计算同一形式的这个图类中，反例的最少门数恰为二。一个输入、两个重复倍乘门即足够。这个最少门数结论不包含要求全部输出形式互异的附加条件。 **证明。** 零门时两关系都是整个输入空间。只有一个门且两个父输入位置不同时，属于 $\Gamma$ 的定义提供该输入对及其实际和的一列共同自然数见证；其余输入独立选取趋向各自目标的自然数序列，与这列见证合并即得到整个图的实际逼近。 若唯一的门重复使用同一个输入 $x_i$，则输出形式为 $2n_i$。设 $\beta=H(x_i)$。当 $\beta\in E$ 时，$2\beta\in E$，而 $\Gamma(x_i,x_i)$ 只允许与输入相同的方向；取这个方向的实误差即满足定理38.2。若 $\beta\notin E$ 而 $2\beta\in E$，$\Gamma(x_i,x_i)$ 允许两个方向，对任一指定输出方向 $s$ 取 $\xi_i=s$ 即可。若 $2\beta\notin E$，输出相位的纤维为单点；此时 $\beta$ 也不在 $E$，可取 $\xi_i=0$。其余输入方向按自己的分裂符号独立选择。定理38.2遂在所有情形给出共同逼近，证明一门时相等。 为构造两门反例，置 $$ \beta=[-\phi/2]. $$ 若 $\beta=E_h$，则 $(2h-1)\phi$ 为偶整数，与 $\phi$ 无理矛盾，故 $\beta\notin E$。令 $w$ 为 $H^{-1}(\{\beta\})$ 的唯一点。由于 $2\beta=E_1$， $$ \Gamma(w,w)=\{u,v\}. $$ 取一个独立输入趋向 $w$，两个门都计算该输入与自身之和，却分别请求输出趋向 $u$ 与 $v$。两门各自合法；实际两个输出对每个自然输入都完全相等，故不可能分别收敛到不同的 $u,v$。其矩阵两行都是 $(2)$，符号行则是 $(2)$ 与 $(-2)$，权重 $(1,1)$ 也是直接证书。既已排除零门和一门，最少门数恰为二。该证明没有把允许重行的极小值移用于互异输出形式的子类。证毕。 **定义 38.8（可数输出的联合闭图）。** 固定有限 $d\in\mathbb N_0$，令 $J$ 为至多可数集合，并给定每个 $j\in J$ 的非负整数行向量 $a_j\in\mathbb N_0^d$。允许这些行的系数无统一上界。定义 $$ \mathcal G_J= \overline{\left\{ \bigl((Z(n_i))_{i=1}^d,(Z(a_j\cdot n))_{j\in J}\bigr): n\in\mathbb N_0^d \right\}}^{K^d\times K^J}. $$ 闭包取乘积拓扑。对有限 $F\subseteq J$，令 $A_F$ 为这些行组成的有限矩阵，$p_F$ 为保留所有输入和 $F$ 中输出的投影；$B_F=B(A_F;x,y_F)$ 始终包含全部分裂输入约束。 **定理 38.9（可数联合闭图的有限子系统判据与共同对角序列）。** 对定义38.8的全部数据， $$ \mathcal G_J =\bigcap_{\substack{F\subseteq J\\F\text{ 有限}}} p_F^{-1}(\mathcal G_{A_F}). $$ 因此 $(x,y)\in\mathcal G_J$ 当且仅当所有输出的相位恒等式成立，并且 $$ \forall F\subseteq J\text{ 有限}\quad \exists\xi_F\in\mathbb R^d,\qquad B_F\xi_F>0. $$ 成立时有一列共同的实际自然数输入向量，使所有固定输入坐标和所有固定输出坐标收敛到指定值。 若相位恒等式全部成立，但该元组不在 $\mathcal G_J$，则已有一个有限子系统拥有非零非负整数证书，且证书支撑至多涉及 $d+1$ 个带位置标记的输入或输出符号行。一个严格实方向同时满足全部无限约束是充分条件，但一般不是必要条件。 **证明。** 若一个元组属于 $\mathcal G_J$，任意有限投影的每个邻域，其原像都是原元组的邻域；该原像遇到实际联合像，因此投影元组属于对应有限联合闭图。这证明一个包含方向。 反之，设全部有限投影均属于相应闭图。取该元组的任意基本乘积邻域。它只限制有限多个输出坐标，并限制输入空间中的一个开邻域；将涉及的输出指标并成有限集 $F$，不受限制的输入坐标赋以整个 $K$，即可把该邻域写成某个有限乘积邻域的逆像。有限闭图归属保证这个有限邻域遇到某一个实际输入向量及其全部 $F$ 输出。用同一输入向量计算所有剩余输出，便得到原邻域中的实际联合像点。因此原元组属于闭包。 对每个有限 $F$ 应用定理38.2，就得到相位与有限严格可行性的等价。每个单独输出也包含在某个有限 $F$ 中，所以这些有限相位条件准确合成为全部相位条件。 为给出一列共同见证，取有限集递增列 $F_k$，其并为 $J$；有限或空的 $J$ 允许 $F_k$ 最终恒定。由 $p_{F_k}(x,y)\in\mathcal G_{A_{F_k}}$，可以选择一个 $n^{(k)}\in\mathbb N_0^d$，使所有输入和 $F_k$ 中所有输出的前 $k$ 位分别与目标相同。这里所指定的是一个非空的开闭柱邻域，故闭包归属确实提供同一个实际见证。于是每个输入的任意固定前缀最终正确；对每个固定输出 $j$，一旦 $j\in F_k$，其任意固定前缀也最终正确。因此全部固定坐标同时按乘积拓扑收敛。零维输入时所有见证都是同一个空向量，论证不变。 若相位条件全成立而不归属，刚证明的交式给出一个不归属的有限投影。定理38.4为其符号系统给出支撑至多为 $$ \operatorname{rank}_{\mathbb R}(B_F)+1\le d+1 $$ 的整数证书。反向，任一这样的有限证书排除该有限投影，也排除整体归属。 最后，一个实方向满足全部约束时，它当然满足每个有限子系统，所以充分。以下定理38.10给出不必要性的实际自然数反例，而不交换 $$ \forall F\ \exists\xi_F \quad\text{与}\quad \exists\xi\ \forall F $$ 这两个量词。证毕。 **定理 38.10（没有统一严格方向的共同自然数逼近及必需的相对尺度分离）。** 取两个输入极限 $(u,v)$，并对每个 $n\ge1$ 请求输出形式 $$ a_n=(n,1) $$ 的极限 $$ y_n=z_{E_{n+1}}^-. $$ 该整个可数元组属于 $\mathcal G_{\mathbb N_{\ge1}}$。每个有限符号子系统可行，却不存在一个实方向同时严格满足全部输入和输出符号约束。 更准确地，存在共同实际自然数序列 $P_k,Q_k\ge k$，其局部相位偏移满足 $$ \gamma(P_k)=E_1+[\varepsilon_k],\qquad \gamma(Q_k)=E_1+[\delta_k], $$ $$ t_k=\frac1{8(k+1)},\qquad |\varepsilon_k-t_k^2|0,\qquad\delta_k<0 \quad\text{最终成立},\qquad \frac{\varepsilon_k}{-\delta_k}\longrightarrow0. $$ 因此本例中相对尺度分离不仅是一种构造选择，也是所有共同逼近必须满足的条件；并不要求偏移恰为二次与一次幂。 **证明。** 全部相位恒等式成立，因为 $$ nH(u)+H(v)=(n+1)E_1=E_{n+1}. $$ 输入符号要求方向的第一分量为正、第二分量为负。若有限输出集非空，令其最大指标为 $N$；取 $$ \xi_N=(1,-N-1). $$ 则对所有被请求的 $n\le N$， $$ n(\xi_N)_1+(\xi_N)_2=n-N-1\le-1<0, $$ 所以这个有限系统严格可行。空输出集取 $(1,-1)$ 即可。 若存在统一实方向 $(a,b)$，则 $a>0$ 且 $na+b<0$ 对每个正整数 $n$ 成立。由实数的阿基米德性质，选择整数 $n>-b/a$，便有 $na+b>0$，矛盾。这里缺少的正是统一严格方向，而不是有限子系统的相容性。 下面直接构造实际共同序列。对 $k\ge1$，置 $$ I_k=(t_k^2-t_k^3,\ t_k^2+t_k^3),\qquad J_k=(-t_k-t_k^2,\ -t_k+t_k^2). $$ 两区间非空，分别严格位于正半轴与负半轴，并且都包含于 $(-1/2,1/2)$。由定理38.2证明中已经给出的轨道尾部稠密性，集合 $$ \{h\in\mathbb N_0:h\ge k,\ \gamma(h)\in E_1+[I_k]\}, $$ $$ \{h\in\mathbb N_0:h\ge k,\ \gamma(h)\in E_1+[J_k]\} $$ 均非空。分别取它们的最小元为 $P_k,Q_k$，并取唯一局部偏移 $$ \varepsilon_k\in I_k,\qquad\delta_k\in J_k. $$ 这给出显示的两条误差估计，尤其 $$ \varepsilon_k>0,\qquad\delta_k<0,\qquad \frac{\varepsilon_k}{t_k^2}\longrightarrow1,\qquad \frac{\delta_k}{-t_k}\longrightarrow1. $$ 单侧规则立即给出两个输入的目标极限。 对 $1\le n\le k$，因 $\varepsilon_k>0$， $$ n\varepsilon_k+\delta_k>-t_k-t_k^2. $$ 另一方面，$t_k<1$ 给 $\varepsilon_k<2t_k^2$，所以 $$ n\varepsilon_k+\delta_k <2nt_k^2-t_k+t_k^2 \le2(k+1)t_k^2-t_k =-\frac34t_k<0. $$ 故前 $k$ 个输出的全部局部偏移同时位于 $$ (-t_k-t_k^2,\,-3t_k/4)\subset(-1/2,0). $$ 由于使用的是同一对实际自然数， $$ \gamma(nP_k+Q_k) =E_{n+1}+[n\varepsilon_k+\delta_k]. $$ 对每个固定 $n$，当 $k\ge n$ 时，该和已是输出的准确局部实偏移，始终为负并趋于零。因此假设38.0给 $$ Z(nP_k+Q_k)\longrightarrow z_{E_{n+1}}^-. $$ 每个 $nP_k+Q_k$ 都是非负整数。这不是对各输出分别选自然数，而是同一对 $P_k,Q_k$ 的全部实际线性输出。乘积收敛只要求每个固定坐标最终满足所需条件；这里在第 $k$ 步同时控制了前 $k$ 个输出。 最后，设任意共同实际序列实现同一个元组。输入的单侧收敛迫使 $\varepsilon_k>0,\delta_k<0$ 最终成立。对每个固定正整数 $n$，输出相位的准确局部偏移最终等于 $n\varepsilon_k+\delta_k$，而指定输出的负方向迫使 $$ n\varepsilon_k+\delta_k<0 $$ 最终成立。因此对每个固定 $n$，最终有 $$ 0<\frac{\varepsilon_k}{-\delta_k}<\frac1n. $$ 给定任意实数 $\eta>0$，先取 $n$ 使 $1/n<\eta$，再取满足这一个固定输出条件的充分大指标，即得该比值最终小于 $\eta$。故比值趋于零，证明必需的相对尺度分离。所有构造及量词均在通常实数与自然数序列内完成。证毕。 ## 追加锚（本行以下为增补区） ## 39. Separating completed successors: evaluations, continuous readouts, and finite observation completion **Assumption 39.0 (The adopted carrier and actual operator completion).** Work in ZFC and put $\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$, $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$, $\phi=(1+\sqrt5)/2$, $\delta=[\phi]\in\mathbb T=\mathbb R/\mathbb Z$, and $\Sigma=\{-,+\}$. Retain the carrier, phase map, natural points, and actual successor from Definition 20.1: $$ K=\{x\in\{0,1\}^{\mathbb N}:x_jx_{j+1}=0\text{ for all }j\},\qquad 0_K=Z(0). $$ The space $K$ is compact metrizable, $H:K\to\mathbb T$ is a continuous surjection, $Z(\mathbb N)$ is dense, and $T$ is continuous with $TZ(n)=Z(n+1)$. Write $$ E_m=-m\delta\quad(m\ge1),\qquad E=\{E_m:m\ge1\}. $$ For $\gamma\notin E$, the unique lift of $\gamma$ is $k_\gamma$; above $E_m$ the two oriented lifts are $x_m^-,x_m^+$. The phase $n\delta$ is nonsplit and has lift $Z(n)$ for every $n\ge0$. Adopt the actual-function classification and product topology of Theorems 37.1–37.4: $$ \mathscr E=\overline{\{T^n:n\ge0\}}^{\,K^K} =\{T^n:n\ge0\}\ \dot\cup\ \{P_\theta^s:\theta\in\mathbb T,\ s\in\Sigma\}. $$ All displayed operators are distinct. The space $\mathscr E$ is compact Hausdorff, its iterates are dense and isolated, and $$ e(p)=p(0_K),\qquad \theta(p)=H(e(p)),\qquad H(p(b))=H(b)+\theta(p). $$ The selector and finite-branch formulas are $$ P_\theta^s(b)= \begin{cases} k_{H(b)+\theta},&H(b)+\theta\notin E,\\ x_m^s,&H(b)+\theta=E_m, \end{cases} $$ $$ T^n x_m^s= \begin{cases} x_{m-n}^s,&nn: \quad x_m^s\in D. \tag{39.2} $$ Equivalently, each of $N_+(D)$ and $N_-(D)$ is unbounded. More precisely, $$ P_\theta^+(b)\ne P_\theta^-(b) \quad\Longleftrightarrow\quad \theta\in E-H(b), \tag{39.3} $$ and $$ \{b\in K:T^n(b)\ne P_{n\delta}^s(b)\} =\{x_m^{-s}:m>n\}. \tag{39.4} $$ Here $-s$ denotes the opposite sign. Operators of different phases are distinguished by every single evaluation coordinate. With $e$ supplied, the exact criterion is instead $$ E\cup U(D)=\mathbb T \quad\text{and}\quad N_+(D),N_-(D)\text{ are unbounded}. \tag{39.5} $$ **Proof.** The selector definition gives (39.3): at a nonsplit output phase there is one possible value, whereas at a split output phase the two selected lifts are distinct. If $H(b)\notin E$, then $H(b)+n\delta\notin E$. Indeed, equality to $E_m$ would give $H(b)=E_{m+n}$. Consequently $T^n(b)$ and $P_{n\delta}^s(b)$ are the same unique lift. If $b=x_m^t$ and $m\le n$, both operators give $Z(n-m)$. If $m>n$, their respective values are $x_{m-n}^t$ and $x_{m-n}^s$, which differ exactly when $t=-s$. This proves (39.4), including $n=0$ and the coalescence case $m=n$. For any fixed $b$, the identity $$ H(p(b))-H(b)=\theta(p) $$ shows that equal evaluations imply equal phases. Thus different phases require no additional sign analysis. If (39.1) fails at $\theta$, (39.3) gives two distinct selectors agreeing on all of $D$. If (39.2) fails for a sign $t$ and an index $n$, (39.4) shows that $T^n$ and $P_{n\delta}^{-t}$ agree on all of $D$. Both conditions are therefore necessary. Conversely, (39.1) implies $D\ne\varnothing$. Choose one input in $D$ to distinguish different phases. At any common phase, two distinct selectors are distinguished by (39.1) and (39.3). The only remaining possible pair is $T^n$ and $P_{n\delta}^s$; an input $x_m^{-s}\in D$ with $m>n$ distinguishes them by (39.4). Distinct finite iterates cannot have the same phase, by irrationality of $\delta$. The adopted classification exhausts all pairs, proving sufficiency. Finally, supplying $e$ is exactly adjoining $0_K$ to $D$. Since $H(0_K)=0$ and $0_K$ is not an exceptional lift, $$ U(D\cup\{0_K\})=U(D)\cup E,\qquad N_s(D\cup\{0_K\})=N_s(D). $$ Applying the criterion proves (39.5). $\square$ **theorem 39.3 (Empty, finite, natural, split, and phase-section cases).** The empty family and every finite or countable evaluation family fail to separate $\mathscr E$. The two conditions in Theorem 39.2 are independent in the following explicit senses. Write $$ \mathcal N=Z(\mathbb N),\qquad S_s=\{x_m^s:m\ge1\},\qquad S=S_-\cup S_+, $$ $$ A=\{n\delta:n\ge0\},\qquad G=\{k\delta:k\in\mathbb Z\},\qquad R=K\setminus S. $$ For a nonempty $D\subseteq\mathcal N$, let $k_0$ be the least integer with $Z(k_0)\in D$. Then $$ U(D)=\{E_m:m>k_0\},\qquad N_+(D)=N_-(D)=\varnothing. \tag{39.6} $$ In particular, $U(\mathcal N)=E$, and equality on the entire natural core is equivalent to equality of $e$. For the exceptional inputs, $$ U(S)=U(S_+)=U(S_-)=G. \tag{39.7} $$ The family $S$ satisfies (39.2) but not (39.1). Each $S_s$ lacks the opposite signed indices. No subset of $S$ satisfies (39.1). The family of all nonsplit inputs satisfies $$ U(R)=\mathbb T\setminus A, \tag{39.8} $$ and contains no exceptional input. More generally, for any signs $(\sigma_m)_{m\ge1}$ define the set-theoretic full phase section $$ D_\sigma=\{k_\gamma:\gamma\notin E\} \cup\{x_m^{\sigma_m}:m\ge1\}. \tag{39.9} $$ Then $H[D_\sigma]=\mathbb T$, so (39.1) always holds, and $\operatorname{Eval}_{D_\sigma}$ is injective exactly when each sign occurs infinitely often in $(\sigma_m)$. In particular, the all-plus section $D_+$ has cardinality $\mathfrak c$ and satisfies $$ \operatorname{Eval}_{D_+}(T^n) =\operatorname{Eval}_{D_+}(P_{n\delta}^+) \qquad(n\ge0). \tag{39.10} $$ The all-minus section has the analogous minus collision. Alternating the chosen signs gives an injectively separating full phase section. **Proof.** Empty evaluation is constant, while $\mathscr E$ contains distinct operators. Every translate $E-H(b)$ is countable. A countable union of such sets is countable in ZFC and cannot cover $\mathbb T$. Thus no countable $D$ satisfies (39.1). For finite $D$, both signed index sets are also finite, so (39.2) fails as well. At $Z(k)$ one has $$ E-H(Z(k))=\{-(m+k)\delta:m\ge1\}. $$ These sets decrease as $k$ increases; their union over the specified indices is the set for $k_0$. Natural points are nonsplit, proving (39.6). The identity $p(Z(k))=T^k(e(p))$ from Theorem 37.9 proves that equal $e$ gives agreement on $\mathcal N$; the converse uses $Z(0)\in\mathcal N$. At $x_l^s$, the sign does not change the phase, and $$ E-H(x_l^s)=\{(l-m)\delta:m\ge1\}. $$ Allowing $l,m\ge1$ gives all integer multiples of $\delta$, proving (39.7). This is a countable proper subset of the circle. Both signed index sets for $S$ equal the positive integers, whereas a fixed-sign family contains none of the opposite sign. Subsets of $S$ have their translated exceptional phases contained in $G$. For $\theta=n\delta\in A$, every phase $E_m-\theta=E_{m+n}$ is exceptional. Hence no nonsplit input can distinguish the selector signs at $\theta$. Conversely, if $\theta\notin A$, then $E_1-\theta\notin E$: otherwise $E_1-\theta=E_l$ would imply $\theta=(l-1)\delta\in A$. The nonsplit point $k_{E_1-\theta}$ therefore witnesses $\theta\in U(R)$. This proves (39.8). A full phase section contains an input at $E_1-\theta$ for every $\theta$, proving (39.1) for (39.9). Its signed exceptional index sets are exactly $\{m:\sigma_m=s\}$. A subset of the positive integers is unbounded exactly when it is infinite, so Theorem 39.2 gives the stated criterion. The all-plus section contains no negative exceptional input, making (39.10) an immediate instance of (39.4); the minus case is identical with signs reversed. Choosing alternating signs makes both index sets unbounded. Finally, $H$ restricts to a bijection from any full phase section onto the circle, so its cardinality is $\mathfrak c$. $\square$ **theorem 39.4 (The exact evaluation cardinal in ZFC).** One has $$ \min\{|D|:D\subseteq K,\ \operatorname{Eval}_D\text{ is injective}\} =\mathfrak c, \tag{39.11} $$ and $$ \min\{|D|:D\subseteq K,\ (e,\operatorname{Eval}_D)\text{ is injective}\} =\mathfrak c. \tag{39.12} $$ These equalities require neither the continuum hypothesis nor regularity of $\mathfrak c$. **Proof.** The inclusion $K\subseteq\{0,1\}^{\mathbb N}$ gives $|K|\le\mathfrak c$. Conversely, sending a binary sequence $a$ to the point with digits $x_{2j}=a_j$ and $x_{2j+1}=0$ injects $\{0,1\}^{\mathbb N}$ into $K$. Thus $|K|=\mathfrak c$. For $|D|<\mathfrak c$, $$ |E\cup U(D)|\le\max(\aleph_0,|D|)<\mathfrak c. \tag{39.13} $$ For finite or countable $D$ this is the countable-union bound. For any infinite cardinal $\kappa=|D|$, it uses the ZFC identity $\kappa\cdot\aleph_0=\kappa$. This is a uniform bound on countable sets indexed by a fixed cardinal, not an assertion that arbitrary unions of fewer than $\mathfrak c$ smaller cardinals remain smaller than $\mathfrak c$. Hence it does not assume continuum regularity. The necessary conditions in Theorem 39.2 now exclude every such $D$, with or without $e$. For the upper bound, evaluations at all inputs $D=K$ distinguish distinct actual functions. This family has cardinality $\mathfrak c$ and also suffices when $e$ is supplied. $\square$ **theorem 39.5 (Compact-subspace coordinate dependence and continuous factorization).** Let $C$ be a nonempty compact subspace of a product $\prod_{i\in I}X_i$ of Hausdorff spaces. Let $f:C\to M$ be continuous, where $d$ is a metric inducing the topology of $M$. For every $\varepsilon>0$ there is a finite $I_\varepsilon\subseteq I$ such that $$ \forall u,v\in C:\quad u|_{I_\varepsilon}=v|_{I_\varepsilon} \ \Longrightarrow\ d(f(u),f(v))<\varepsilon. \tag{39.14} $$ There is therefore an at most countable $I_f\subseteq I$ and a unique continuous map $$ \bar f:\pi_{I_f}(C)\longrightarrow M $$ such that $$ f=\bar f\circ(\pi_{I_f}|_C). \tag{39.15} $$ The factor is asserted on the actual projected image, not on the whole product $\prod_{i\in I_f}X_i$. Coordinate dependence has the meaning of Karlova–Mykhaylyuk, *On $\alpha$-embedded subsets of products*, arXiv:1411.3173v1, Definition 3.1; the compact-subspace assertion here has the following direct proof. **Proof.** For each $z\in C$, continuity gives a basic ambient product cylinder $W_z$ containing $z$ such that $$ f(C\cap W_z)\subseteq B_d(f(z),\varepsilon/2). $$ The cylinder $W_z$ depends on finitely many coordinates, say $I_z$. Compactness of $C$ supplies $z_1,\ldots,z_r$ with $$ C\subseteq W_{z_1}\cup\cdots\cup W_{z_r}. $$ Put $I_\varepsilon=\bigcup_{a=1}^r I_{z_a}$. If $u,v\in C$ agree there, choose $a$ with $u\in W_{z_a}$. Membership in that cylinder depends only on $I_{z_a}$, so $v\in W_{z_a}$ as well. The triangle inequality gives $$ d(f(u),f(v)) \le d(f(u),f(z_a))+d(f(z_a),f(v))<\varepsilon. $$ This proves (39.14) with one finite set working for every pair in $C$. It does not use or define $f$ outside $C$. Take $I_f=\bigcup_{r\ge1}I_{2^{-r}}$. Equality on $I_f$ makes the output distance smaller than $2^{-r}$ for every $r$, hence zero. Thus $\bar f(\pi_{I_f}(u))=f(u)$ is well defined and unique. The projection $\pi_{I_f}|_C$ is a continuous surjection onto its image. Every closed subset of $C$ is compact, and its image is compact and therefore closed in the Hausdorff space $\pi_{I_f}(C)$. The projection is consequently a closed quotient map. Since its composite with $\bar f$ is the continuous map $f$, the quotient property proves continuity of $\bar f$. Empty $I_f$, which can occur for a constant map, gives the same argument with a one-point image. $\square$ **theorem 39.6 (Readouts on the actual operator space and finite digit factorization).** For every metrizable space $M$ and continuous $f:\mathscr E\to M$, there is an at most countable $D_f\subseteq K$ such that $$ \operatorname{Eval}_{D_f}(p)=\operatorname{Eval}_{D_f}(q) \ \Longrightarrow\ f(p)=f(q) \qquad(p,q\in\mathscr E). \tag{39.16} $$ Moreover, $$ f=\bar f\circ\operatorname{Eval}_{D_f},\qquad \bar f:\operatorname{Eval}_{D_f}(\mathscr E)\to M $$ with $\bar f$ continuous. The countable binary coordinate set $D_f\times\mathbb N$ also determines $f$. If the target is discrete, its attained image is finite, and finite $D_f$ suffices. More strongly, there are a finite $F\subseteq K\times\mathbb N$ and a continuous map $$ h_F:Q_F(\mathscr E)\to M $$ with $$ f=h_F\circ Q_F. \tag{39.17} $$ Equivalently, some finite $D\subseteq K$ and some $L\ge0$ give a factorization through $$ p\longmapsto(q_L(p(b)))_{b\in D},\qquad q_L(x)=(x_0,\ldots,x_{L-1}), \tag{39.18} $$ on its actual finite image. **Proof.** Apply Theorem 39.5 to the compact subspace $\mathscr E\subseteq K^K$, with the input points $b\in K$ as product-coordinate indices. Equality of all digits at a given $b$ is equality of the value $p(b)\in K$, proving the assertion about $D_f\times\mathbb N$. The continuity of the factor follows on exactly the actual image specified in Theorem 39.5. A compact subset of a discrete space is finite, since its cover by singletons has a finite subcover. For a discrete-valued continuous $f$, every $p\in\mathscr E$ has a neighborhood on which $f$ is constant. The product topology on $K^K$, followed by the binary-cylinder basis of each $K$ coordinate, gives a neighborhood $W_p$ of $p$ in $\mathscr E$ specified by finitely many digit equalities and contained in that constant fibre. Cover $\mathscr E$ by finitely many such $W_{p_1},\ldots,W_{p_r}$, and let $F$ be the union of their finite digit supports. If $Q_F(p)=Q_F(q)$, choose $a$ with $p\in W_{p_a}$. The same digit equalities place $q$ in $W_{p_a}$, and hence $f(p)=f(q)$. This defines $h_F$ on $Q_F(\mathscr E)$. That image is a finite discrete space, so $h_F$ is continuous. Taking the finite projection of $F$ onto $K$ gives finite $D_f$, and its factor is continuous by the compact-Hausdorff quotient argument. For $F\ne\varnothing$, take $D$ to be that projection and $L=1+\max\{j:(b,j)\in F\}$. The prefixes in (39.18) determine every coordinate in $F$, so they determine $f$ and give a continuous factor on their finite image. For $F=\varnothing$, the map is constant and $D=\varnothing$, $L=0$ suffice. The finite input set in this argument consists of $K$-valued evaluations; finite-valued observations arise only after the stated digit truncation. $\square$ **theorem 39.7 (How many selector pairs one continuous readout can distinguish).** For a readout $f$, put $$ S(f)=\{\theta\in\mathbb T:f(P_\theta^+)\ne f(P_\theta^-)\}. $$ If $f$ is continuous and metrizable-valued, then $$ S(f)\subseteq U(D_f),\qquad |S(f)|\le\aleph_0. \tag{39.19} $$ For a discrete-valued continuous readout, $S(f)$ is finite. Specifically, define $$ \Delta_j=\{E_m:(x_m^+)_j\ne(x_m^-)_j\}. $$ Then $$ \Delta_j\subseteq\{E_1,\ldots,E_{G_{j+1}}\}, \tag{39.20} $$ and a factorization (39.17) gives $$ S(f)\subseteq\bigcup_{(b,j)\in F}(\Delta_j-H(b)). \tag{39.21} $$ The countable bound for general metrizable readouts cannot be replaced by a finite bound: $S(e)=E$. There is also a continuous readout into $\{0,1\}^{\mathbb N}$ which is not determined by any finite set of full evaluation coordinates. **Proof.** If $\theta\notin U(D_f)$, (39.3) says that $P_\theta^+$ and $P_\theta^-$ agree at every input of $D_f$. Equation (39.16) makes their $f$-values equal. This proves (39.19), since $D_f$ is countable and each translated exceptional set is countable. If digit $j$ differs between $x_m^+$ and $x_m^-$, their prefixes of length $j+1$ differ. The exact prefix criterion in Theorem 20.2 gives $m\le G_{j+1}$, proving (39.20). The selector definition now gives the exact equality $$ S(\chi_{b,j})=\Delta_j-H(b). $$ If the values of $f=h_F\circ Q_F$ differ on a selector pair, at least one digit in $F$ must differ, proving (39.21). Its right-hand side is a finite union of finite sets. Finally, evaluation at zero gives different selector values exactly when the phase belongs to $E$, by Theorem 37.9. Irrationality makes the elements of $E$ distinct, so this is a countably infinite set. For the stronger support assertion, let $G=\{k\delta:k\in\mathbb Z\}$ and choose phases $\theta_0,\theta_1,\ldots$ in pairwise different cosets of $G$. Such a sequence exists recursively because each finite union of these countable cosets is a proper subset of the circle. Choose $b_r\in K$ with $H(b_r)=E_1-\theta_r$ and define $$ g(p)=(\chi_{b_r,0}(p))_{r\ge0}\in\{0,1\}^{\mathbb N}. $$ This map is continuous by coordinatewise continuity. Its $r$-th coordinate distinguishes $P_{\theta_r}^+$ and $P_{\theta_r}^-$, because the two lifts above $E_1$ have different lowest digits. Thus $\theta_r\in S(g)$ for every $r$. If a finite evaluation set $D$ determined $g$, the proof of (39.19) would give $S(g)\subseteq U(D)$. But each $E-H(b)$ lies in the single coset $G-H(b)$, so $U(D)$ lies in finitely many cosets and cannot contain all the $\theta_r$. This contradiction proves that finite evaluation support does not suffice in general. $\square$ **theorem 39.8 (The exact number of continuous metrizable observations).** Let $J$ be an index set, let each $M_a$ be metrizable, and let every $f_a:\mathscr E\to M_a$ be continuous. If $|J|<\mathfrak c$, then $$ p\longmapsto\bigl(e(p),(f_a(p))_{a\in J}\bigr) \tag{39.22} $$ is not injective. In fact, there are $\mathfrak c$ phases $\theta$ at which the two distinct selectors have equal values under all these observations, including $e$. The minimum cardinality of a separating family of continuous metrizable-valued observations is exactly $\mathfrak c$, both without and with $e$ supplied. The same minimum holds when every auxiliary observation is required to be binary-valued. An upper family is $$ \{\chi_{b,j}:(b,j)\in K\times\mathbb N\}. \tag{39.23} $$ In particular, no single continuous metrizable label, and no countable family of continuous real-valued or discrete-valued labels, makes the joint map with $e$ injective. **Proof.** By Theorem 39.7 the set of phases detected by at least one observation in (39.22) is contained in $$ B=E\cup\bigcup_{a\in J}S(f_a),\qquad |B|\le\max(\aleph_0,|J|)<\mathfrak c. $$ This uses the same ZFC cardinal multiplication as Theorem 39.4 and no regularity assumption. For every $\theta\notin B$, all displayed values agree on $P_\theta^+$ and $P_\theta^-$. These are distinct actual operators. Moreover, $|\mathbb T\setminus B|=\mathfrak c$. Otherwise the union of $B$ and its complement would have cardinality less than $\mathfrak c$, since a finite sum of two infinite cardinals is their maximum, contradicting $|\mathbb T|=\mathfrak c$. This proves the stronger failure assertion. Omitting $e$ cannot restore injectivity. Each $\chi_{b,j}$ is continuous: evaluation is a product projection and a digit is continuous on $K$. Distinct functions $p,q$ differ at some actual input $b$, and the two distinct binary sequences $p(b),q(b)$ differ at some $j$. Thus (39.23) separates. Its indexing set has cardinality $|K|\cdot\aleph_0=\mathfrak c$, giving both upper bounds. Removing duplicate coordinate functions, if any, does not affect separation; the lower bound forces the remaining family still to have cardinality $\mathfrak c$. The joint binary map is a continuous injection from compact $\mathscr E$ into a Hausdorff product, hence a homeomorphism onto its image. The assertions concerning one or countably many labels are special cases of the lower bound. Discrete target spaces of arbitrary cardinality cause no exception, since they are metrizable and their compact attained images are finite. $\square$ **theorem 39.9 (Exact topological weight).** If $w(X)$ denotes the least cardinality of a topological base, then $$ w(\mathscr E)=w(\mathscr D)=\mathfrak c, \qquad \mathscr D=\{P_\theta^s:\theta\in\mathbb T,\ s\in\Sigma\}. \tag{39.24} $$ The calculation uses the explicit bases of Theorem 37.6, not merely failure of metrizability. The classical split-rotation comparison is Megrelishvili, *Orderable groups and semigroup compactifications*, arXiv:2112.14615v4, Example 6.8; the bases used here are those of the adopted nonnegative-time operator space. **Proof.** In the notation of Theorem 37.6, choose a decreasing sequence $\varepsilon_r\downarrow0$ with $0<\varepsilon_r<\varepsilon_*$. The sets $$ V_s(\theta,\varepsilon_r) \quad(\theta\in\mathbb T,\ s\in\Sigma,\ r\ge1), $$ together with the countably many singletons $\{T^n\}$, form a base of $\mathscr E$. There are at most $\mathfrak c$ such sets. Their intersections with $\mathscr D$ give the same upper bound for $w(\mathscr D)$. For the lower bound let $\mathcal B$ be any base of $\mathscr D$. Fix $0<\varepsilon<\min(\varepsilon_*,1/4)$ and represent phases in $[0,1)$. For every $\theta\in(0,1/2)$ choose $$ P_\theta^+\in B_\theta\subseteq U_+(\theta,\varepsilon), \qquad B_\theta\in\mathcal B. $$ Here the adopted base is explicitly $$ U_+(\eta,\varepsilon) =\{P_\eta^+\}\cup \{P_\xi^t:\xi\in\eta+(0,\varepsilon),\ t\in\Sigma\}. $$ For $0<\theta<\eta<1/2$ there is no wrap around the circle in the last interval, and $P_\theta^+\notin U_+(\eta,\varepsilon)$. Hence $B_\theta=B_\eta$ is impossible. The family $(B_\theta)_{0<\theta<1/2}$ consists of $\mathfrak c$ distinct base elements. Thus $w(\mathscr D)\ge\mathfrak c$. Restricting any base of $\mathscr E$ to its subspace $\mathscr D$ gives $w(\mathscr E)\ge w(\mathscr D)$, proving (39.24). A compact metric space has a countable base: finite $1/r$-nets for all positive integers $r$ give a countable dense set, and rational-radius balls about its points form a base. Consequently neither space in (39.24) is metrizable. Their countable local bases and the countable dense iterate set from Theorem 37.6 do not imply a countable global base. $\square$ **theorem 39.10 (Three set-theoretic symbols, two auxiliary bits, and no continuous replacement).** Allow labels with no continuity requirement. Then $$ \min\{|A|:\exists\ell:\mathscr E\to A\text{ with }(e,\ell)\text{ injective}\}=3. \tag{39.25} $$ One optimal label is $$ \ell_0(T^n)=\mathrm{iterate},\qquad \ell_0(P_\theta^+)=+,\qquad \ell_0(P_\theta^-)=-. \tag{39.26} $$ A fixed-width binary auxiliary label requires exactly two bits. Together with all digits of $e$, these two possibly discontinuous bits give an injective countable binary record of the operator. Nevertheless, no continuous metrizable auxiliary label and no countable family of continuous metrizable auxiliary labels suffices. Evaluation $e$ is a finite-to-one quotient map but is not a covering map. **Proof.** The exact fibres from Theorem 37.9 are $$ e^{-1}(\{Z(n)\})=\{T^n,P_{n\delta}^+,P_{n\delta}^-\} \quad(n\ge0), \tag{39.27} $$ $$ e^{-1}(\{x_m^s\})=\{P_{E_m}^s\} \quad(m\ge1), \tag{39.28} $$ and $$ e^{-1}(\{k_\gamma\})=\{P_\gamma^+,P_\gamma^-\} \quad\bigl(\gamma\notin E\cup\{n\delta:n\ge0\}\bigr). \tag{39.29} $$ Every state belongs to exactly one of these cases. On a three-element fibre, (39.26) gives three different labels; on a two-element fibre it gives the two signs; on a singleton fibre no separation is needed. Thus $(e,\ell_0)$ is injective. At zero, specifically, $$ e^{-1}(\{0_K\})=\{\operatorname{id}_K,P_0^+,P_0^-\}. $$ Any auxiliary label making $(e,\ell)$ injective must take three distinct values on this fibre. This proves the lower bound in (39.25), including impossibility of a binary label. A fixed record of $r$ binary digits offers $2^r$ labels, so $r\ge2$ is necessary, and the codes $00$, $01$, $10$ assigned to the three symbols suffice. Let $c_0,c_1$ be those two code digits. The map $$ C(p)=\bigl(c_0(\ell_0(p)),c_1(\ell_0(p)), (e(p))_0,(e(p))_1,\ldots\bigr) \in\{0,1\}^{\mathbb N} \tag{39.30} $$ is injective, because its tail reconstructs $e(p)$ and its first two digits reconstruct $\ell_0(p)$. This is a countably infinite record, not a two-bit encoding of the whole operator: the two-bit assertion is relative to the already supplied complete state $e(p)$. Theorem 39.8 excludes every continuous metrizable auxiliary label and every countable continuous family, irrespective of their target cardinalities. It also implies that the injective map $C$ in (39.30) cannot be continuous into the binary sequence space. The particular discrete label $\ell_0$ is discontinuous as well: the preimage of the closed singleton $\{\mathrm{iterate}\}$ is the dense proper subset $\{T^n:n\ge0\}$, which is not closed in $\mathscr E$. Finally, suppose $e$ were a covering map. By (39.28), a point $x_1^+$ has a singleton fibre. An evenly covered open neighborhood $W$ of $x_1^+$ would therefore have exactly one sheet, and every point of $W$ would have a singleton fibre. Density of $Z(\mathbb N)$ in $K$ supplies $Z(n)\in W$, contradicting the three-element fibre in (39.27). Thus $e$ is not a covering. Its continuity, surjectivity, and quotient property are those of Theorem 37.9; finite fibres do not provide the additional covering structure. $\square$ **Definition 39.11 (Finite observations of actual iterates).** Put $\mathcal A=K\times\mathbb N$ and let $\operatorname{Fin}(\mathcal A)$ be its finite subsets, ordered by inclusion. For $F\in\operatorname{Fin}(\mathcal A)$ define $$ q_F:\mathbb N\to\{0,1\}^F,\qquad q_F(n)=\bigl((T^n b)_j\bigr)_{(b,j)\in F}, $$ $$ A_F=q_F(\mathbb N). \tag{39.31} $$ The single integer $n$ is common to every coordinate of this record. Each $A_F$ is its actual nonempty finite image, with the discrete topology; $A_\varnothing$ is a singleton. For $F\subseteq G$, the bonding map is restriction, $$ r_{GF}:A_G\to A_F,\qquad r_{GF}(a)=a|_F. $$ Define the inverse limit $$ L=\left\{(a_F)_F\in\prod_{F\in\operatorname{Fin}(\mathcal A)}A_F: r_{GF}(a_G)=a_F\text{ whenever }F\subseteq G\right\}. \tag{39.32} $$ These are finite observation sets. No multiplication or congruence property is stipulated for them. **theorem 39.12 (Exact finite-observation completion with common witnesses).** The maps $r_{GF}$ form a surjective inverse system, and $$ A_F=Q_F(\mathscr E) \qquad(F\in\operatorname{Fin}(\mathcal A)). \tag{39.33} $$ There is a canonical homeomorphism $$ \Psi:\mathscr E\longrightarrow L, \qquad \Psi(p)=(Q_F(p))_F. \tag{39.34} $$ The map $n\mapsto(q_F(n))_F$ embeds the discrete set $\mathbb N$ as a dense subset of $L$. More explicitly, put $$ \iota(p)=\bigl((p(b))_j\bigr)_{(b,j)\in\mathcal A}. $$ Then $$ \iota(\mathscr E)= \overline{\{\iota(T^n):n\ge0\}}^{\,\{0,1\}^{\mathcal A}}, \tag{39.35} $$ and, for $z\in\{0,1\}^{\mathcal A}$, $$ z\in\iota(\mathscr E) \quad\Longleftrightarrow\quad \forall F\in\operatorname{Fin}(\mathcal A)\ \exists n\ge0\quad \forall(b,j)\in F:\ z_{b,j}=(T^n b)_j. \tag{39.36} $$ The integer may depend on $F$, but within each $F$ it must be the same integer for every input and digit. **Proof.** Restriction of $q_G(n)$ is $q_F(n)$, proving that each bonding map is well defined. It is surjective because an actual record $q_F(n)$ extends to $q_G(n)$ using that same $n$. Restriction also gives the identity and composition laws for the inverse system. The map $Q_F$ is continuous and finite-valued. Every nonempty fibre of $Q_F$ on $\mathscr E$ is open and therefore meets the dense set of iterates. Hence every attained value is $q_F(n)$ for some $n$, proving (39.33), including the empty coordinate set. Flattening the output digits gives a continuous injection $$ \iota:K^K\longrightarrow\{0,1\}^{\mathcal A}. $$ Its image is exactly the closed set $$ B=\{z:z_{b,j}z_{b,j+1}=0\text{ for every }b\in K,\ j\ge0\}. $$ Indeed, each row $z_{b,\cdot}$ of a member of $B$ is an element of $K$ and therefore defines the value of an actual function at $b$. Conversely every function in $K^K$ has such rows. Continuity is coordinatewise, and compactness of $K^K$ together with the Hausdorff target makes $\iota$ a homeomorphism onto $B$. Its restriction makes $\iota(\mathscr E)$ closed. Density of the iterates then proves (39.35). A basic neighborhood in the binary product prescribes the values at one finite set $F$. It meets $\{\iota(T^n):n\ge0\}$ exactly when one integer $n$ realizes all those prescribed coordinates. This proves (39.36). If $(a_F)_F\in L$, define $z_{b,j}$ to be the coordinate of $a_{\{(b,j)\}}$. Compatibility with singleton restrictions implies $$ z|_F=a_F\in A_F \qquad\text{for every finite }F. $$ Thus each finite pattern is realized by one $q_F(n)$, and (39.36) gives a unique $p\in\mathscr E$ with $\iota(p)=z$. It satisfies $Q_F(p)=a_F$ for every $F$. This proves surjectivity of $\Psi$; injectivity follows because all singleton digit tests together distinguish actual functions. The map is continuous, and $L$ is Hausdorff as a subspace of a product of finite Hausdorff spaces. A continuous bijection from compact $\mathscr E$ onto $L$ is a homeomorphism, proving (39.34). The iterate image in $L$ is dense by (39.34) and density in $\mathscr E$. It is injective because the operators $T^n$ have distinct phases; it has the discrete subspace topology because every $T^n$ is isolated by Theorem 37.4. The common-witness requirement is already substantive for two inputs. Take $$ F=\{(0_K,0),(Z(1),0)\}. $$ Each coordinate individually attains the value $1$ on some iterate. But the joint value $(1,1)$ is unattainable: the two values are consecutive lowest-digit successor observations, and their length-two words are exactly $01$, $00$, and $10$, by Theorem 20.6. Independent witnesses for the two singleton observations would incorrectly admit $(1,1)$. Finally, for any net $(p_\lambda)$ in $\mathscr E$, the topology just identified gives $$ p_\lambda\to p \quad\Longleftrightarrow\quad \forall(b,j)\in\mathcal A:\quad (p_\lambda(b))_j=(p(b))_j\text{ eventually}. $$ Equivalently, each fixed finite record $Q_F(p_\lambda)$ eventually equals $Q_F(p)$. The equivalence follows from the finite-cylinder basis and the discrete digit topology. There is no assertion of one eventual index working simultaneously for all $F$. This is precisely the original pointwise evaluation topology. $\square$ **theorem 39.13 (Countable finite-observation towers cannot recover the completion).** Every inverse limit over a countable index set of finite discrete spaces is compact metrizable. Consequently no such inverse limit is homeomorphic to $\mathscr E$. For a countable collection of actual finite tests $F_0,F_1,\ldots$, put $$ G_r=\bigcup_{i\le r}F_i,\qquad S=\bigcup_{r\ge0}G_r. $$ The canonical map $$ \mathscr E\longrightarrow\varprojlim_r A_{G_r} \tag{39.37} $$ is a continuous surjection but is not injective, even if $e$ is appended to its record. Its quotient can equivalently be represented as the compact image $\pi_S(\iota(\mathscr E))\subseteq\{0,1\}^S$. **Proof.** Enumerate the factors of a countable product as $B_0,B_1,\ldots$, padding a finite list with singleton factors when necessary. Its product topology is induced by $$ d(a,b)=\sum_{r\ge0}2^{-(r+1)}\mathbf 1_{a_r\ne b_r}. $$ The product is compact because the factors are compact. Every bonding compatibility condition is closed, since the factors are Hausdorff and the maps between finite discrete spaces are continuous. The inverse limit is therefore a closed compact metrizable subspace of this product. The empty inverse limit, when it occurs, is also compact metrizable. Equation (39.24) excludes a homeomorphism with $\mathscr E$. For the specified tower, take a compatible point $(a_r)_r$ and define $$ C_r=\{p\in\mathscr E:Q_{G_r}(p)=a_r\}. $$ By (39.33), each $C_r$ is nonempty; it is closed by continuity. Compatibility makes the sets decreasing. Compactness gives a point in their intersection, proving surjectivity of (39.37). The coordinate maps give its continuity. A compatible tower record determines a binary assignment on $S$, and equality on $S$ determines all tower records. The preceding compactness argument shows that every such compatible assignment is attained by some $p\in\mathscr E$. Restriction therefore identifies the tower limit with the stated projected compact image; the identification is a homeomorphism by the compact-Hausdorff argument. The set $$ D_S=\{b\in K:\exists j\ (b,j)\in S\} $$ is countable. Choose $$ \theta\notin E\cup U(D_S), $$ which is possible by (39.13). The two distinct selectors at this phase have equal $e$ and agree at every input in $D_S$, hence on every digit of $S$ and every record of the tower. Thus (39.37) remains noninjective after adjoining $e$. The same obstruction applies to a countable tower of arbitrary continuous finite-valued readouts: Theorem 39.6 replaces each readout by finitely many digit tests, and their total union is countable. Countable density of the iterates, or sequential approximation of each operator as in Theorem 37.4, is not a countable separating family of continuous finite observations and does not contradict the result. $\square$ **theorem 39.14 (No countable cofinal family, even under semantic refinement).** For finite $F,G\subseteq\mathcal A$, write $F\preceq G$ when there is a map $h:A_G\to A_F$ satisfying $$ q_F=h\circ q_G\quad\text{on }\mathbb N. \tag{39.38} $$ This condition is equivalent to $Q_F=h\circ Q_G$ on $\mathscr E$. It is a refinement preorder, and inclusion $F\subseteq G$ implies $F\preceq G$. If $\mathcal C\subseteq\operatorname{Fin}(\mathcal A)$ is cofinal for this preorder, meaning $$ \forall F\in\operatorname{Fin}(\mathcal A)\ \exists G\in\mathcal C: \quad F\preceq G, $$ then $|\mathcal C|\ge\mathfrak c$. The least cofinal cardinality is exactly $\mathfrak c$, for either this preorder or ordinary inclusion. In particular, no countable family becomes cofinal merely by allowing finite combinations of its tests. **Proof.** Every map between the finite discrete images is continuous. Thus (39.38) implies equality of the two continuous maps $Q_F$ and $h\circ Q_G$ on the dense set of iterates. Their target is Hausdorff, so their equalizer is closed and contains all of $\mathscr E$. This proves the claimed equivalence; the converse is restriction to iterates. Identity and composition of the factor maps prove reflexivity and transitivity. For inclusion, use the restriction bonding map. Suppose $p,q$ have equal $Q_G$ values for every $G\in\mathcal C$. Given any finite $F$, cofinality supplies such a $G$ and a factor $h$, so $Q_F(p)=Q_F(q)$. Taking singleton digit sets proves $p=q$. Hence $(Q_G)_{G\in\mathcal C}$ is a separating family of continuous finite-valued observations. Theorem 39.8 forces $|\mathcal C|\ge\mathfrak c$. Since $|\mathcal A|=\mathfrak c$, its set of finite subsets also has cardinality $\mathfrak c$: singleton subsets give the lower bound, and finite tuples, followed by a countable union over their lengths, give the upper bound in ZFC. The full family is cofinal for both orders. An inclusion-cofinal family is also cofinal for $\preceq$, so the same lower bound applies to it. Finally, a countable family has only countably many finite subfamilies, hence only countably many finite unions of digit supports. Such bundling cannot yield a cofinal family of cardinality $\mathfrak c$. $\square$ **theorem 39.15 (Fixed finite syntax, arbitrary parameters, and the size of a record).** Let $\Lambda$ be an at most countable alphabet, let $\mathcal L\subseteq\Lambda^{<\omega}$ be a set of finite closed descriptions, and fix an interpretation assigning to each $d\in\mathcal L$ one continuous finite-valued observation $f_d$ on $\mathscr E$. Then $(e,(f_d)_{d\in\mathcal L})$ is not injective. The statement remains true after taking every finite record formed from these observations. A countable stock of fixed parameters can be included in $\Lambda$. In contrast, allowing every actual parameter $b\in K$ in the digit schema $\chi_{b,j}$ supplies a separating family of cardinality $\mathfrak c$. These observations have the following distinct cardinal properties: $$ |\mathscr E|=|\iota(\mathscr E)|=\mathfrak c, \qquad |\{0,1\}^{K\times\mathbb N}|=2^{\mathfrak c}, \tag{39.39} $$ $$ 1\le |A_F|\le2^{|F|}\quad(F\text{ finite}), \qquad w(\mathscr E)=\mathfrak c. \tag{39.40} $$ Thus the number of observation maps, the number of binary positions in a record, the number of attained records, and topological weight are different quantities. The countable binary injection (39.30) remains available when continuity is dropped. **Proof.** Each finite power of an at most countable alphabet is at most countable, and a countable union over the finite lengths is at most countable. Therefore $\mathcal L$ is countable. Finite lists of its elements also form a countable set, and each corresponding record is still a continuous finite-valued observation. Theorem 39.8 excludes separation, including after adjoining $e$. The hypothesis assigns one fixed observation to each closed description. A schema containing a parameter that may take every value in $K$ is not a countable list of those fixed interpretations: its fully instantiated parameters range over a set of size $\mathfrak c$. The digit family is separating by Theorem 39.8, and that theorem also proves that its collection of distinct observation maps has cardinality exactly $\mathfrak c$. The adopted operator classification gives $|\mathscr E|=\mathfrak c$, and injectivity of $\iota$ preserves this cardinality. The full binary product has cardinality $2^{|K\times\mathbb N|}=2^{\mathfrak c}$, whereas only the correlated subset $\iota(\mathscr E)$ is attained. Each $A_F$ is a nonempty subset of $\{0,1\}^F$, proving the finite-image bounds, with equality $|A_\varnothing|=1$ at the empty record. The weight equality is Theorem 39.9. One $K$-valued evaluation contains all countably many digits of one output state, while a test $\chi_{b,j}$ contains only one digit. Equation (39.30) proves that object cardinality alone permits a countable binary encoding. The failure of countably many continuous observations is therefore the continuity and parameter-family obstruction proved above, not a failure of such set-theoretic encodings. $\square$ ## 追加锚（本行以下为增补区） ## 40. Uniform quadratic mixing for endogenous orbit partitions **Definition 40.1 (Actual circular order, observation, and error).** Let $\theta\in(0,1)\setminus\mathbb Q$, let $\mathbb T=\mathbb R/\mathbb Z$, and let $R_\theta x=x+\theta$. Haar probability is denoted by $\lambda$, and $\{u\}=u-\lfloor u\rfloor$ denotes fractional part. For $N\ge2$, put $$ t_k=\{k\theta\},\qquad 0\le k1$, every starting phase, and every $n\ge0$, $p\in[0,1]$, $$ D_{N,\theta,p}(n,x) \ge2\left[1-t^{-2}-(2ts+1)\mu_{\max}\right]_+. $$ For a given $K\ge1$, the count-to-mass bound $$ \sum_{i\in A}\mu_i\le\frac{K|A|}{N} \quad\text{for every set of labels }A $$ holds if and only if $\mu_{\max}\le K/N$. Under this hypothesis, if $$ N\ge16K,\qquad V\le\frac{N^2}{1024K^2}, $$ then every initial phase satisfies $D_{N,\theta,p}(n,x)\ge9/8$. There are also the small-variance bounds $$ D_{N,\theta,p}(n,x)\ge2[1-2V-\mu_{\max}]_+, $$ $$ e_{N,\theta,p}(n)\ge2[1-2V-\mu_{\min}]_+ \ge[1-4V]_+. $$ **Proof.** Let $$ B_t=\{j\in\{0,\ldots,n\}:|j-np|\le ts\}. $$ For $s>0$, Chebyshev's inequality gives $\Pr(J\in B_t)\ge1-t^{-2}$. For $s=0$, $J$ is constant, so the same inequality holds directly. In either case, $B_t$ contains at most $2ts+1$ integers. Put $$ A_x=\{\pi_{N,\theta}(x+j\theta):j\in B_t\}. $$ The observation law assigns this set probability at least $1-t^{-2}$, and its stationary mass is at most $(2ts+1)\mu_{\max}$. For probability vectors $u,w$, $$ \|u-w\|_1=2\max_A(u(A)-w(A)). $$ Indeed, the sum of positive coordinates of $u-w$ equals the sum of the absolute values of its negative coordinates, and choosing the positive coordinates maximizes the set sum. Testing on $A_x$ proves the first lower bound. The count-to-mass equivalence follows by testing singletons in one direction and summing the singleton bounds in the other. Under the stated numerical hypotheses, $s\le N/(32K)$, so $$ (4s+1)\mu_{\max} \le\frac18+\frac K N\le\frac3{16}. $$ The first inequality with $t=2$ gives $D\ge2(3/4-3/16)=9/8$. For the small-variance assertion, put $h=\min(p,1-p)$ and choose $j_*=0$ for $p\le1/2$, and $j_*=n$ otherwise. Bernoulli's inequality gives $$ \Pr(J=j_*)=(1-h)^n\ge1-nh\ge1-2V, $$ because $V=nh(1-h)$ and $1-h\ge1/2$. Testing on the cell containing $x+j_*\theta$ proves the bound involving $\mu_{\max}$. To obtain $\mu_{\min}$, choose a point $z$ in a minimum-mass cell and start at $x=z-j_*\theta$. Finally, $\mu_{\min}\le1/N\le1/2$ yields the last inequality. The point $z$ may be chosen outside $\mathcal G_\theta$, since its cell has positive length. $\square$ **theorem 40.9 (A worst-start witness without a mesh assumption).** For $1\le h\le N$, define the actual consecutive-index mass $$ \beta_h =\min_{0\le a\le N-h} \sum_{k=a}^{a+h-1}\mu_{\sigma^{-1}(k)}. $$ Then $$ \beta_h\le\frac1{\lfloor N/h\rfloor} \le\frac{h}{N-h+1}. $$ For any consecutive integer block $B=\{r,\ldots,r+h-1\}\subseteq\{0,\ldots,n\}$, $$ e_{N,\theta,p}(n) \ge2[\Pr(J\in B)-\beta_h]_+. $$ In particular, if $h=|B_t|\le N$, where $B_t$ is the nonempty central block of Theorem 40.8, then $$ e_{N,\theta,p}(n) \ge2[1-t^{-2}-\beta_h]_+ \ge2\left[1-t^{-2}-\frac{h}{N-h+1}\right]_+. $$ A single choice $$ \delta\in(0,\mu_{\min})\setminus\mathcal G_\theta $$ works as a reference phase for all these witnesses for the fixed pair $(N,\theta)$: if $a$ attains $\beta_h$, the starting point $$ x=\delta+(a-r)\theta $$ is a witness. Every such witness lies outside $\mathcal G_\theta$. The starting point itself is allowed to depend on the block and hence on $n,p$. **Proof.** The sequence $(\mu_{\sigma^{-1}(k)})_{0\le k1$, Chebyshev's lower bound is positive when $s>0$, so $B_t$ is nonempty; when $s=0$, it contains the deterministic value of $J$. Thus no empty central-block case has been suppressed. $\square$ **theorem 40.10 (Unequal masses and a large-partial-quotient separation).** Suppose $(N-1)\theta<1$. Then the cells are $$ I_i=[i\theta,(i+1)\theta)\quad(0\le i\varepsilon. $$ Thus the specified worst-start mixing time is comparable to $N^2/[p(1-p)]$ at each fixed accuracy, uniformly over all irrational angles, without a mesh hypothesis. Equivalently, $$ \log\tau_{N,\theta,p}(\varepsilon) =2\log N-\log(p(1-p))+O_\varepsilon(1), $$ where the bounded term is uniform in $\theta,N,p$. These conclusions also hold when the fixed irrational angle satisfies the hypothesis of [Theorem 36.9](#36-quadratic-observation-size-mixing-for-the-bernoulli-successor), for which the global interval discrepancy at $p=1/2$ is not $O(n^{-1/2})$. In that case, every fixed endogenous finite partition still has an $O_N(n^{-1/2})$ error bound. The iteration exponent here belongs to the specified observation budget; it does not identify iterations with physical time or the exponent with a spatial dimension. **Proof.** Suppose first that $N\ge16$ and $$ V\le\frac{(1-\varepsilon)N^2}{1024}. $$ Then $s\le N/32$. Take $t=2$ in Theorem 40.9. Its central block has a positive integer length $h$ satisfying $$ h\le4s+1\le\frac N8+\frac N{16}=\frac{3N}{16}1>\varepsilon. $$ This does not require the individual cell masses to be small. For $2\le N<16$, Theorem 40.8 gives $$ e_{N,\theta,p}(n)\ge[1-4V]_+. $$ Under the same variance hypothesis, $$ 4V\le\frac{225}{256}(1-\varepsilon)<1-\varepsilon. $$ Hence $1-4V>\varepsilon$, proving the required strict inequality also in this range. The minimum-mass-cell construction in Theorem 40.8 supplies an actual starting point. These arguments include $n=0$. Thus every integer $n$ not exceeding the claimed real lower threshold fails the requested accuracy, and the strict lower bound on $\tau$ follows. For the upper bound, choose $$ n=\left\lceil \frac{\pi(N-1)^2}{2\varepsilon^2p(1-p)} \right\rceil. $$ Theorem 40.7 gives $e_{N,\theta,p}(n)\le\varepsilon$, establishing both finiteness and the stated upper bound. Since $(N-1)^2\le N^2$ and $N^2/[p(1-p)]\ge16$, the ceiling is bounded by the final displayed expression. Taking logarithms of the two positive bounds proves the uniform logarithmic formula. Allowing the additional arc endpoint conventions of §36 does not change the global discrepancy supremum: open and closed arcs are monotone limits of half-open arcs with converging lengths, and the remaining endpoint conventions are sandwiched between them. Singleton tests follow by shrinking arcs; empty and full-circle tests have zero error. Thus Theorem 36.9 applies to the same global discrepancy and the same binomial rotation law whenever its stated approximation hypothesis holds. It rules out the global square-root discrepancy estimate, whereas Theorem 40.7 proves the square-root estimate for every one of the fixed endogenous partitions. These statements concern different collections of tests. The finite-partition proof controls a vector transfer through its consecutive orbit endpoints, and its lower bound chooses a light consecutive-index block; neither argument changes the circle, the rotation, or its arithmetic approximation properties. The resulting distinction is exactly between global interval discrepancy and the finite observation mixing budget. $\square$ ## 追加锚（本行以下为增补区） ## 41. Finite input rank and bounded lexicographic scales **Definition 41.1 (Finite feasibility, input rank, and witnesses).** Let $V$ be a real inner-product space of dimension $d<\infty$, let $I$ be a set, and let $\ell_i\in V^*$ for $i\in I$. Write $$ \ell_i(v)=\langle a_i,v\rangle,\qquad W=\operatorname{span}_{\mathbb R}\{a_i:i\in I\},\qquad \mathcal N=\bigcap_{i\in I}\ker\ell_i. $$ The effective input rank is $$ m=\dim W=\dim\operatorname{span}_{\mathbb R}\{\ell_i:i\in I\} =d-\dim\mathcal N\le d. $$ Indeed, the Riesz correspondence identifies the two spans, and $\mathcal N=W^\perp$. For finite $F\subseteq I$, put $$ C_F=\{v\in V:\ell_i(v)>0\text{ for every }i\in F\}. $$ Finite feasibility means $C_F\ne\varnothing$ for every finite $F\subseteq I$, including $C_\varnothing=V$. A lexicographic witness of length $r\ge0$ is a list $v_1,\ldots,v_r$ such that, for every $i\in I$, there is a $k_i\in\{1,\ldots,r\}$ with $$ \ell_i(v_j)=0\quad(j0. $$ Thus an all-zero evaluation list is not strictly positive. The empty list witnesses precisely the empty family. A polynomial curve tending to zero is an element of $tV[t]$, written $$ \gamma(t)=\sum_{j=1}^{q}t^jv_j. $$ It is eventually feasible when $$ \forall i\in I\ \exists\varepsilon_i>0\quad \forall t\in(0,\varepsilon_i),\qquad \ell_i(\gamma(t))>0. $$ The zero polynomial is admitted in every degree-at-most bound and is represented by the empty sum when $q=0$. Neither a common $\varepsilon$ nor a positive margin uniform in $i$ is part of this definition. **theorem 41.2 (Bounded orthonormal lexicographic realization).** A family of strict linear observations may be feasible on every finite subfamily without admitting one real direction satisfying all observations. In finite dimension, the exact replacement is a finite list of directions, ordered by decreasing asymptotic importance. The relevant bound is the rank of the forms on their common input space, not the cardinality of the family. All eventual assertions below are constraintwise. Finite feasibility, existence of a finite lexicographic witness, and existence of an eventually feasible polynomial curve in $tV[t]$ are equivalent. Whenever these conditions hold, there is an orthonormal lexicographic witness $v_1,\ldots,v_r$ contained in $W$, with $$ 0\le r\le m\le d. $$ Consequently, $$ \gamma(t)=tv_1+t^2v_2+\cdots+t^rv_r $$ is eventually feasible and tends to zero. For a nonempty feasible family, $r\ge1$; the minimum possible witness length equals the minimum possible degree of a polynomial curve tending to zero and eventually feasible. These assertions hold for arbitrary set-indexed families. **Proof.** If $I=\varnothing$, then $m=0$, finite feasibility is automatic, and the empty list and zero curve suffice. If some $\ell_i$ is zero, the singleton subsystem indexed by $i$ is impossible; that row also excludes every lexicographic or eventual polynomial witness. In particular, when $V=\{0\}$, the assertions hold exactly when $I=\varnothing$. These observations settle the zero-rank case. Assume finite feasibility and $m\ge1$. We construct the orthonormal witness by induction on $m$. Projection onto $W$ preserves every evaluation: $$ \ell_i(P_Wv)=\langle a_i,P_Wv\rangle=\langle a_i,v\rangle. $$ On the compact, nonempty unit sphere $S(W)$, define the closed sets $$ H_i=\{u\in S(W):\ell_i(u)\ge0\}. $$ For every nonempty finite $F\subseteq I$, choose $v$ with $\ell_i(v)>0$ for all $i\in F$. Then $P_Wv\ne0$, and its normalization belongs to $\bigcap_{i\in F}H_i$. The empty intersection is $S(W)$ itself. The finite-intersection property therefore gives $$ u\in\bigcap_{i\in I}H_i. $$ This is the compactness of an ordinary finite-dimensional sphere; no enumeration of $I$ has been used. Thus $\|u\|=1$ and $\ell_i(u)\ge0$ for every $i$. At least one evaluation is strictly positive: otherwise $u$ would belong to both $W$ and $W^\perp$, contradicting its norm. Retain only the zero rows: $$ J=\{i\in I:\ell_i(u)=0\},\qquad W'=\operatorname{span}_{\mathbb R}\{a_i:i\in J\}. $$ For $i\in J$, the vector $a_i$ is orthogonal to $u$. Hence $$ W'\subseteq W\cap u^\perp,\qquad \dim W'\le m-1. $$ Finite feasibility survives this restriction and projection. Indeed, for finite $G\subseteq J$, choose an original feasible vector $v_G\in V$. Since $a_i\in W'$ for $i\in G$, $$ \ell_i(P_{W'}v_G)=\ell_i(v_G)>0\qquad(i\in G). $$ The Riesz representatives of the restricted forms on $W'$ are exactly the vectors $a_i$, so their rank is $\dim W'$. The induction hypothesis provides an orthonormal witness $w_1,\ldots,w_s$ in $W'$ for the residual family, with $s\le\dim W'$. If $J=\varnothing$, use $s=0$. The concatenated list $$ u,w_1,\ldots,w_s $$ is orthonormal and has length at most $m$. A row positive on $u$ is already settled at its first entry. A row zero on $u$ belongs to $J$ and has a positive first nonzero entry in the residual list. This proves the assertion for every row. Equivalently, every unresolved row is carried into a strictly lower-rank residual problem; at rank zero an unresolved nonzero row is impossible. For any finite lexicographic witness, form its polynomial curve. For fixed $i$, its first nonzero coefficient occurs at $k_i$, and $$ t^{-k_i}\ell_i(\gamma(t)) =\ell_i(v_{k_i})+\sum_{j>k_i}t^{j-k_i}\ell_i(v_j) \longrightarrow \ell_i(v_{k_i})>0. $$ This proves eventual feasibility. For finite nonempty $F$, take a positive $t$ smaller than the minimum of the finitely many resulting $\varepsilon_i$, $i\in F$. The single vector $\gamma(t)$ belongs to $C_F$. Conversely, for an eventually feasible polynomial $\gamma(t)=\sum_{j=1}^qt^jv_j$, each scalar polynomial $\ell_i(\gamma(t))$ is nonzero and its coefficient of smallest nonzero degree is positive. Otherwise it would be zero or negative for all sufficiently small positive $t$. Thus its coefficient list is a lexicographic witness. Finally, a witness of length $r$ produces a polynomial of degree at most $r$, and a nonzero polynomial of degree $q$ produces a witness of length $q$. Taking the two minima proves their equality for nonempty feasible families. For a nonempty family, depth one is therefore equivalent to the existence of a simultaneous strict real solution. The higher-depth conclusion is genuinely different from such a solution. $\square$ **theorem 41.3 (Convex-hull characterization and classical separation).** With $A=\{a_i:i\in I\}$ and $\operatorname{conv}\varnothing=\varnothing$, finite feasibility is equivalent to $$ 0\notin\operatorname{conv}A. $$ Equivalently, there is no finitely supported family of real coefficients $\lambda_i\ge0$, not all zero, satisfying $$ \sum_i\lambda_i a_i=0. $$ **Proof.** If such a nonzero combination existed, a strict solution for its finite support would give $$ 0=\left\langle\sum_i\lambda_i a_i,v\right\rangle =\sum_i\lambda_i\ell_i(v)>0, $$ a contradiction. Normalization by $\sum_i\lambda_i$ identifies these forbidden combinations with membership of zero in the convex hull. Conversely, suppose $0\notin\operatorname{conv}A$, and let $F$ be nonempty and finite. The compact convex set $$ K_F=\operatorname{conv}\{a_i:i\in F\} $$ has a point $b$ of minimum norm, with $\|b\|>0$. For $a\in K_F$ and $0\le s\le1$, minimality gives $$ 0\le\|b+s(a-b)\|^2-\|b\|^2 =2s\langle b,a-b\rangle+s^2\|a-b\|^2. $$ Divide by $s>0$ and let $s\downarrow0$. Then $$ \langle b,a\rangle\ge\|b\|^2>0. $$ In particular, $\ell_i(b)>0$ for all $i\in F$. The empty subsystem needs no argument. The core existence theorem is already contained in classical lexicographic separation. Martínez-Legaz's 1983 separation theorem, reproduced in [MLVP12, Theorem 2.7, p. 488], separates a convex set $C\subseteq\mathbb R^m$ from an exterior point $b$ by an orthogonal matrix $Q$ satisfying $Qx<_{\mathrm{lex}}Qb$ for every $x\in C$. For $m>0$, apply it under an orthonormal identification $W\cong\mathbb R^m$ to $C=\operatorname{conv}A$ and $b=0$. The negatives of the rows of $Q$ give an orthonormal witness of length $m$. Thus both the finite rank bound and orthonormality are consequences of that published theorem; Theorem 41.2 supplies a direct specialized proof. The semispace formulation is older: Moore [M73, Theorems 2.1 and 2.3, pp. 660–661; §3, p. 663] records Klee's structural results and finite-dimensional lexicographic separation of disjoint convex sets. A directly related matrix-consistency formulation appears in Vicente-Pérez and Rodríguez [VR26, §4.1, equation (5)]: at lexicographic length equal to the ambient dimension, their convex-hull criterion reduces to exclusion of zero from the ordinary convex hull, using the hull identity in their §3.1. Mathematical citations for the separation statements in this proof: ([M73](https://msp.org/pjm/1973/44-2/pjm-v44-n2-p24-s.pdf) C. Edward Moore, “Concrete semispaces and lexicographic separation of convex sets,” *Pacific Journal of Mathematics* 44(2) (1973), 659–670.) ([MLVP12](https://journalofconvexanalysis.com/articles/jca19026/jca19026.pdf) Juan Enrique Martínez-Legaz and José Vicente-Pérez, “Lexicographical Representation of Convex Sets,” *Journal of Convex Analysis* 19(2) (2012), 485–496. Theorem 2.7 reproduces the separation theorem from Martínez-Legaz, “Exact quasiconvex conjugation,” *Z. Oper. Res., Ser. A* 27 (1983), 257–266.) ([VR26](https://link.springer.com/article/10.1007/s11750-026-00719-4) José Vicente-Pérez and Margarita M. L. Rodríguez, “Analyzing lexicographical linear inequality systems via convex hulls,” *TOP* (2026), DOI: 10.1007/s11750-026-00719-4.) The convex hull here consists of finite combinations. Replacing it by its closure would impose a stronger condition, not an equivalent formulation. $\square$ **Definition 41.4 (The ordered field at $t=0^+$).** For nonzero $f\in\mathbb R(t)$, write $$ f(t)=t^\nu\frac{a(t)}{b(t)},\qquad \nu\in\mathbb Z,\qquad a(0)b(0)\ne0. $$ Define $$ \operatorname{lc}_0(f)=\frac{a(0)}{b(0)},\qquad f>0\ \Longleftrightarrow\ \operatorname{lc}_0(f)>0. $$ Comparison is defined by $f>g$ exactly when $f-g>0$. Here “leading” refers to the smallest exponent in the expansion at zero, not the highest polynomial degree. Extend each form to the scalar extension $$ V_{\mathbb R(t)}=V\otimes_{\mathbb R}\mathbb R(t), \qquad \ell_i^{\mathbb R(t)}:V_{\mathbb R(t)}\longrightarrow\mathbb R(t). $$ **theorem 41.5 (Rational-function realization with real coefficients).** Definition 41.4 makes $\mathbb R(t)$ an ordered field extending the usual order of $\mathbb R$, with $$ 00. $$ For the family of Definition 41.1, $$ \text{finite feasibility} \quad\Longleftrightarrow\quad \exists z\in V_{\mathbb R(t)}\quad \forall i\in I,\ \ell_i^{\mathbb R(t)}(z)>0. $$ Whenever such a $z$ exists, some witness can be chosen to be the polynomial curve of Theorem 41.2, of degree at most $m$ with orthonormal nonzero coefficient vectors. **Proof.** The exponent $\nu$ and the nonzero leading coefficient are intrinsic to a rational function. Factoring the numerator and denominator at zero shows that, on a sufficiently small positive interval, the rational function is defined and has the sign of $\operatorname{lc}_0(f)$. In particular, every nonzero rational function is either eventually positive or eventually negative. Sums and products of eventually positive rational functions remain eventually positive on the intersection of their intervals. This proves the positive-cone axioms and trichotomy, and hence the ordered-field assertion. Constants retain their signs, while $t$ and $c-t$ are positive. A polynomial supplied by Theorem 41.2 has a positive first nonzero coefficient after evaluation by every $\ell_i$, so it is a simultaneous solution over this ordered field. Conversely, choose a real basis of $V$ and express $z$ in its finitely many rational-function coordinates. There is a positive interval on which all coordinate denominators are nonzero. For a finite $F\subseteq I$, intersect this interval with the finitely many intervals witnessing positivity of $\ell_i^{\mathbb R(t)}(z)$, $i\in F$. Evaluation at any positive $t$ in that intersection produces one real vector satisfying every row in $F$. Thus finite feasibility holds, and Theorem 41.2 supplies the degree bound. There is also an elementary denominator-clearing observation. Write $z=P/q$ with $P\in V[t]$ and $0\ne q\in\mathbb R[t]$. Then $$ \beta(t)=tq(t)^2z(t)=tq(t)P(t) $$ is a polynomial tending to zero. The multiplier $tq^2$ is positive in the ordered field, so $\beta$ preserves every strict sign. This observation alone does not bound its degree by $m$; that bound comes from the finite-dimensional rank descent. The simultaneous field inequalities do not provide a common real interval of positivity for all rows. $\square$ **theorem 41.6 (Sharp depth and sharp polynomial degree).** In $\mathbb R^d$, $d\ge2$, consider $$ x_1>0,\qquad x_{j+1}-nx_j>0 \quad(1\le j0}). $$ Every finite subsystem has an integer solution, but the complete strict real system has no solution. Its effective input rank is $d$. The curve $$ \gamma_j(t)=t^{d-j+1}\qquad(1\le j\le d) $$ is eventually feasible. Every polynomial curve tending to zero and eventually feasible has degree at least $d$, and every lexicographic witness has at least $d$ levels. Both lower bounds are attained. **Proof.** For a finite subsystem, choose an integer $N\ge1$ at least as large as every index $n$ occurring in it, and set $$ x_j=(N+1)^{j-1}. $$ Then $x_1=1$ and $$ x_{j+1}-nx_j=(N+1-n)x_j>0 $$ for every selected row. A solution of the complete real system would satisfy $x_1>0$ and $x_2/x_1>n$ for every positive integer $n$, contradicting the Archimedean property of $\mathbb R$. For the displayed curve, $$ \gamma_{j+1}(t)-n\gamma_j(t) =t^{d-j}(1-nt)>0\qquad(00$. Its coefficient list is $$ e_d,e_{d-1},\ldots,e_1, $$ which is orthonormal. The forms $x_1$ and $x_{j+1}-x_j$, $1\le j0$ and the finitely many rows with $n=1$ imply that every $\beta_j$ is eventually positive. Each is therefore nonzero, and $$ \beta_j(t)=a_jt^{k_j}+O(t^{k_j+1}), \qquad a_j>0,\quad k_j\in\mathbb N_{>0}. $$ For every fixed positive integer $n$, $$ \frac{\beta_{j+1}(t)}{\beta_j(t)}>n $$ eventually. Consequently this ratio tends to $+\infty$. But $$ \frac{\beta_{j+1}(t)}{\beta_j(t)} =\frac{a_{j+1}}{a_j}t^{k_{j+1}-k_j}(1+o(1)), $$ so necessarily $k_{j+1}k_2>\cdots>k_d\ge1,\qquad k_1\ge d. $$ The degree of $\beta$ is at least the degree of $\beta_1$, which is at least $k_1$, proving the polynomial lower bound. A lexicographic witness of length $r$ would produce an eventually feasible polynomial of degree at most $r$, so $r\ge d$ as well. The displayed curve attains both bounds. For $d=1$, the stated family reduces to $x_1>0$. It has a strict real solution, and its minimum depth and polynomial degree are both one, attained by $\gamma(t)=t$. More generally, every nonempty finitely feasible family of rank one has a strict real solution by Theorem 41.2. For $d\ge2$, no common positivity interval exists in the example: at every fixed $t>0$, some integer $n\ge1/t$ makes $1-nt\le0$. Its dual convex hull also illustrates the closure distinction: $$ \frac{n}{n+1}e_1+\frac1{n+1}(e_2-ne_1) =\frac{e_2}{n+1}\longrightarrow0, $$ although zero is not in the convex hull itself. Even depth one does not imply a uniform positive margin: the forms $\ell_n(x)=x/n$ are all positive at $x>0$, but $\inf_n\ell_n(x)=0$. $\square$ **theorem 41.7 (Rational rows need not admit rational lexicographic coefficients).** Let $\alpha=\sqrt2$ and consider the rational-coefficient family $$ x_1>0,\qquad x_2-px_1>0\quad(p\in\mathbb Q,\ p<\alpha),\qquad qx_1-x_2>0\quad(q\in\mathbb Q,\ q>\alpha). $$ Every finite subsystem has a rational solution. Its simultaneous strict real solution set is exactly $$ \{(a,\alpha a):a>0\}. $$ It has a real depth-one witness, but no finite lexicographic witness all of whose vectors belong to $\mathbb Q^2$. Equivalently, no polynomial curve with rational coefficient vectors, of any finite degree and tending to zero, is eventually feasible. There is also no solution over $\mathbb Q(t)$ with the induced order at zero. **Proof.** For a finite subsystem, choose a rational $s$ larger than all selected lower bounds $p$ and smaller than all selected upper bounds $q$. Such an $s$ exists because every selected lower bound is below $\alpha$ and every selected upper bound is above it. Missing lower or upper bounds can be supplemented by $1$ or $2$, respectively. Then $(1,s)$ is a rational solution. In a simultaneous real solution, $a=x_1>0$. Dividing the remaining inequalities by $a$ forces $$ p0$ satisfies all the strict inequalities. In particular, $(1,\alpha)$ is a real witness; its normalization is an orthonormal one-vector witness. The corresponding simultaneous weak inequalities have solution set $$ K=\{(a,b):a\ge0,\ b-pa\ge0,\ qa-b\ge0 \text{ for all indicated }p,q\} =\{(a,\alpha a):a\ge0\}. $$ Indeed, if $a=0$, the lower and upper inequalities force $b=0$. If $a>0$, the same rational-cut argument forces $b/a=\alpha$. Suppose a finite rational lexicographic witness exists, and let $v_k$ be its first nonzero vector. Such a vector must exist because of the row $x_1>0$. Every row must evaluate nonnegatively on $v_k$: a negative evaluation would already be its first nonzero entry. Hence $$ v_k\in K\cap\mathbb Q^2=\{0\}, $$ contradicting the choice of $v_k$, since $\sqrt2$ is irrational. The coefficient list of any eventually feasible rational polynomial would be such a witness, proving the polynomial assertion. Finally, a solution in $\mathbb Q(t)^2$ could be multiplied by $tq^2$, with a common rational-polynomial denominator $q$, to produce an eventually feasible rational polynomial tending to zero, exactly as in Theorem 41.5. This is impossible. In fact, the argument shows that the first nonzero vector of any real lexicographic witness for this family already lies on the displayed positive ray and satisfies every row strictly. The obstruction concerns the coefficient field, not the need for additional real scales. $\square$ **theorem 41.8 (Stability under higher-order errors).** Let $r\ge1$, let $\gamma\in tV[t]$ have degree at most $r$, and suppose it is eventually feasible. If $$ \eta(t)=\gamma(t)+e(t),\qquad \|e(t)\|=o(t^r) \quad(t\downarrow0), $$ then $\eta$ is eventually feasible for every fixed row. No continuity of $e$ is required. **Proof.** Fix $i$. There are $1\le k_i\le r$ and $c_i>0$ such that $$ \ell_i(\gamma(t))=c_it^{k_i}+O(t^{k_i+1}). $$ Let $\|\ell_i\|_*$ denote its operator norm. Then $$ \frac{|\ell_i(e(t))|}{t^{k_i}} \le \|\ell_i\|_*\frac{\|e(t)\|}{t^r}t^{r-k_i} \longrightarrow0. $$ Therefore $$ \frac{\ell_i(\eta(t))}{t^{k_i}}\longrightarrow c_i>0. $$ This proves eventual positivity for that row. It uses only the norm of the fixed form, not a uniform bound over $I$. For the empty family, the same conclusion is vacuous with $r=0$, $\gamma=0$, and $e=o(1)$. The little-oh hypothesis cannot universally be replaced by big-oh: in $\mathbb R$, the constraint $x>0$, curve $\gamma(t)=t$, and perturbation $\eta(t)=-t$ give an error $-2t=O(t)$ but violate positivity. $\square$ **Assumption 41.9 (Local density of actual inputs).** An actual set $D\subseteq V$ is locally dense around zero when there is a $\rho>0$ such that $$ B_V(0,\rho)\subseteq\overline D^{\,V}. $$ Closures and balls are taken in the topology of the specified input space $V$. This assumption holds when $D$ is dense in $V$. It is stronger than $0\in\overline D^{\,V}$ and does not require that $D$ itself contain a neighborhood. **theorem 41.10 (Actual simultaneous points near the polynomial curve).** Suppose Assumption 41.9 holds and $\gamma(t)=\sum_{j=1}^rt^jv_j$ is an eventually feasible curve, allowing $r=0$ for the empty family. For arbitrary $I$, there are $t_n\downarrow0$ and $d_n\in D$ with $$ d_n\longrightarrow0,\qquad \|d_n-\gamma(t_n)\|<\frac{t_n^r}{n}, $$ such that every fixed inequality holds for all sufficiently large $n$. If $I$ is countable and $F_1\subseteq F_2\subseteq\cdots$ is any increasing finite exhaustion of $I$, the choices can additionally satisfy $$ d_n\in C_{F_n}\qquad\text{for every }n. $$ For an enumeration, this gives one actual point satisfying the first $n$ constraints simultaneously. **Proof.** For arbitrary $I$, first choose $t_n\downarrow0$ so that $\|\gamma(t_n)\|<\rho/2$. Local density permits a point $d_n\in D$ at distance less than $$ \min\{\rho/2,t_n^r/n\} $$ from $\gamma(t_n)$. The error divided by $t_n^r$ tends to zero, so the fixed-row calculation in Theorem 41.8 applies along this sequence and gives eventual positivity. For $r=0$, there are no rows to check. The error tends to zero and $\gamma(t_n)\to0$, proving $d_n\to0$. For the additional countable conclusion, choose the parameters recursively, with $t_0=1$, so that $$ 00. $$ All these forms are nonzero. If $F_n=\varnothing$, set $\mu_n=1$. Put $$ \delta_n=\min\{\rho/2,t_n^r/n,\mu_n\}>0. $$ Because $\gamma(t_n)\in\overline D^{\,V}$, choose one point $$ d_n\in D\cap B_V(\gamma(t_n),\delta_n). $$ For every $i\in F_n$, $$ \ell_i(d_n) > \ell_i(\gamma(t_n))-\|\ell_i\|_*\delta_n \ge \tfrac12\ell_i(\gamma(t_n))>0. $$ The approximation bound and convergence follow as before. The selected $d_n$ are actual inputs; neither the coefficient vectors nor the entire polynomial curve are asserted to belong to $D$. In particular, with $D=\mathbb Q^2$, Theorem 41.10 gives rational finite-prefix witnesses for the family of Theorem 41.7, approximating $t(1,\sqrt2)$ with error $o(t)$ along the selected parameters. This does not turn that curve into a rational-coefficient polynomial. $\square$ **theorem 41.11 (Exact criterion for a restricted actual set).** Let $I$ be countable, let $(F_n)$ be an increasing finite exhaustion, and let $D\subseteq V$ be arbitrary. There exist $$ d_n\in D\cap C_{F_n},\qquad d_n\longrightarrow0, $$ if and only if $$ 0\in\overline{D\cap C_F}^{\,V} \qquad\text{for every finite }F\subseteq I. $$ Thus mere accumulation of $D$ at zero is not a substitute for either local density or this simultaneous finite-system condition. **Proof.** Given such a sequence and finite $F$, there is an $N$ with $F\subseteq F_N$. The tail $d_n$, $n\ge N$, belongs to $D\cap C_F$ and converges to zero, proving the closure condition. Conversely, apply the closure condition to $F_n$ and choose $$ d_n\in D\cap C_{F_n}\cap B_V(0,1/n). $$ These choices have all the required properties. For the failure of mere accumulation, take $V=\mathbb R$, the single constraint $x>0$, and $$ D=\{-1/n:n\in\mathbb N_{>0}\}. $$ Then $0\in\overline D$, but $D\cap C_{\{1\}}=\varnothing$, so no actual strict witness exists. The criterion in Theorem 41.11 concerns diagonal feasibility; by itself it does not assert approximation to a specified polynomial curve. $\square$ **theorem 41.12 (The common-input-variable bound).** Let $U\subseteq\mathbb R^N$ be a linear input space of dimension $d$, let $I$ be any set, and let $b_i:U\to\mathbb R$ be linear observations with prescribed signs $\sigma_i\in\{-1,1\}$. Define the common observation map $$ B:U\longrightarrow\mathbb R^I,\qquad B(u)=(b_i(u))_{i\in I}. $$ Assume simultaneous finite feasibility on this same input space: $$ \forall F\subseteq I\text{ finite}\ \exists u_F\in U\quad \forall i\in F,\qquad \sigma_i b_i(u_F)>0. $$ Then there is an orthonormal list $u_1,\ldots,u_r$ in $U$ such that $$ r\le \dim\operatorname{span}_{\mathbb R}\{b_i:i\in I\} =\operatorname{rank}B =d-\dim\ker B \le d\le N, $$ and the single common-input curve $$ \Gamma(t)=\sum_{j=1}^rt^ju_j\in U $$ eventually has every prescribed output sign. If $D\subseteq U$ is locally dense around zero in the relative topology of $U$, Theorem 41.10 supplies actual points of $D$ with these eventual signs and, for countable $I$, with the specified finite-prefix simultaneous signs. **Proof.** Multiplication by $\sigma_i$ does not change the span of the forms. Moreover, $$ \ker B=\bigcap_{i\in I}\ker b_i. $$ The Riesz representatives of the forms span the orthogonal complement of this kernel within $U$, while rank-nullity for the linear map $B$ gives $$ \operatorname{rank}B=\dim U-\dim\ker B. $$ Apply Theorem 41.2 in $V=U$ to the forms $\sigma_i b_i$. Every coefficient and hence every value of $\Gamma$ remains in the common input space. The actual-point assertion is Theorem 41.10 applied in that same relative space. If finite feasibility survives the addition of any number of constraints on a fixed $d$-dimensional input space, the required depth never exceeds $d$. Separate witnesses for separate outputs do not suffice for the hypothesis: on $U=\mathbb R$, the observations $u$ and $-u$ can each be positive at some input, but cannot both be positive at one input. $\square$ ## 追加锚（本行以下为增补区） ## 42. Joint directional witnesses, oriented flags, and finite-scale depth **Definition 42.1 (Sign observation and its actual finite images).** All vector spaces in this section are finite-dimensional over $\mathbb R$, and all indexing collections are sets. We work in ordinary set theory with choice. Put $D=\{-1,0,1\}$ with the discrete topology. For a vector space $V$, write $d=\dim V$ and define $$ \sigma_V(v)(\ell)=\operatorname{sgn}(\ell(v)), \qquad S(V)=\overline{\sigma_V[V]}\subseteq D^{V^*}. $$ The closure uses the product topology. The zero signature is denoted by $\mathbf 0$. For a finite subset $F\subseteq V^*$, put $$ q_F(v)=\sigma_V(v)|_F,\qquad Q_F=q_F[V]\subseteq D^F. $$ For $p\in S(V)$, its basic sign cylinder at $F$ is $$ N(p;F)=\{q\in S(V):q|_F=p|_F\}. $$ These observations are discrete sign tests, not continuous real-valued evaluations. No assertion that $\sigma_V$ is continuous for the usual Euclidean topology is included in the definition. **theorem 42.2 (Compact actual-image inverse limit).** The space $S(V)$ is compact, Hausdorff, and zero-dimensional, with the cylinders $N(p;F)$ as a clopen base. Moreover, $$ p\in S(V) \quad\Longleftrightarrow\quad \forall F\subseteq V^*\text{ finite}\ \exists v\in V\quad \forall\ell\in F,\quad \operatorname{sgn}(\ell(v))=p(\ell). \tag{42.1} $$ Restriction gives a canonical homeomorphism $$ S(V)\cong\varprojlim_{F\subseteq V^*,\ F\ {\rm finite}}Q_F, \tag{42.2} $$ where the order is inclusion and every bonding map is surjective. The image $\sigma_V[V]$ is dense. Its distinct nonzero points correspond exactly to oriented rays: $$ \sigma_V(v)=\sigma_V(w),\quad v\ne0 \quad\Longleftrightarrow\quad w=cv\text{ for some }c>0. \tag{42.3} $$ **Proof.** A product of finite discrete spaces is compact. Explicitly, extend any family of closed subsets with the finite intersection property to an ultrafilter. In each finite coordinate partition exactly one cell belongs to the ultrafilter. The selected coordinate values define a point. Every finite cylinder about that point belongs to the ultrafilter and therefore meets every closed set in the original family; the point belongs to all those closed sets. This proves compactness by the closed-set formulation. Distinct points are separated by a coordinate, and finite cylinders are clopen. The closed subspace $S(V)$ inherits these properties. A point belongs to the closure of $\sigma_V[V]$ precisely when every finite cylinder about it meets that image. This is (42.1). If $F\subseteq G$, restriction maps $Q_G$ onto $Q_F$: a vector realizing a member of $Q_F$ also supplies an extension in $Q_G$. Every $p\in S(V)$ supplies a compatible thread. Conversely, a compatible thread determines $p(\ell)$ from the singleton coordinate $\{\ell\}$; compatibility implies that its $F$-coordinate is $p|_F$. Thus (42.1) places $p$ in $S(V)$. The correspondence and its inverse are continuous because all their finite coordinates are restrictions. Density is the defining closure statement. For (42.3), equality of signatures gives equality of the annihilators of $v$ and $w$. It also rules out $w=0$. Hence $\mathbb Rv=\mathbb Rw$: otherwise a linear functional vanishing on one vector and not the other would contradict the equality. Write $w=cv$ with $c\ne0$ and choose $\ell(v)=1$. Equality at $\ell$ gives $c>0$. Positive scalar multiplication plainly preserves every sign. The inverse limit in (42.2) uses all finite subsets, not an assumed countable tower. The countable-tower hypotheses in [RRO, Theorems 3.4 and 4.2] therefore cannot supply countability here. [RRO](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/c57bf72f087dae3bb5f5cc886c850649d7cb5593/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md) *递归关系的观察商、严格拼接与相容完备化*, public manuscript at revision c57bf72f087dae3bb5f5cc886c850649d7cb5593, Sections 1–4. $\square$ **theorem 42.3 (Sign calculus and exact zero equations).** For $p\in S(V)$, define $$ Z_p=\{\ell\in V^*:p(\ell)=0\}, \qquad U_p=Z_p^\circ=\{v\in V:\ell(v)=0\text{ for every }\ell\in Z_p\}. $$ We call $U_p$ the support of $p$. Then $Z_p$ is a linear subspace, $$ p(0)=0,\qquad p(-\ell)=-p(\ell),\qquad p(a\ell)=p(\ell)\quad(a>0), \tag{42.4} $$ and $$ p(\ell+z)=p(\ell)\qquad(z\in Z_p). \tag{42.5} $$ If $p(\alpha),p(\beta)$ are not opposite nonzero signs, then $p(\alpha+\beta)$ is their common nonzero sign, their unique nonzero sign, or zero when both vanish. Finally, the set-indexed family $$ \mathcal A_p=\{\,p(\ell)\ell|_{U_p}:\ell\in V^*\setminus Z_p\,\} \tag{42.6} $$ is finitely strictly feasible on $U_p$: every finite subfamily is simultaneously positive at some vector of $U_p$. **Proof.** Each identity or sign implication involves only finitely many covectors. Apply (42.1) to those covectors and their indicated linear combinations; the corresponding identity or implication holds for their evaluations at the resulting vector. In particular, if $z,z'\in Z_p$ and $a,b\in\mathbb R$, a vector realizing the signs of $z,z',az+bz'$ forces $p(az+bz')=0$. This proves that $Z_p$ is a subspace, and the same finite realization proves (42.4), (42.5), and the addition rule. Choose a basis $z_1,\ldots,z_m$ of $Z_p$. For any finitely many nonzero-sign covectors $\ell_1,\ldots,\ell_k$, apply (42.1) to these covectors together with all the $z_a$. The resulting vector annihilates the whole of $Z_p$, hence belongs to $U_p$, and satisfies $$ p(\ell_i)\ell_i(v)>0\qquad(1\le i\le k). $$ This proves the last assertion, including its exact zero constraints. $\square$ **theorem 42.4 (Real finite-rank lexicographic feasibility).** Let $H$ be a finite-dimensional real inner-product space and $(\alpha_i)_{i\in I}$ a set-indexed family in $H^*$. Suppose every finite subfamily is simultaneously strictly positive at some vector of $H$. Then there is an orthonormal list $u_1,\ldots,u_k$, with $0\le k\le\dim H$, such that, for every $i$, the tuple $$ (\alpha_i(u_1),\ldots,\alpha_i(u_k)) $$ has a first nonzero entry and that entry is positive. The empty list is used when $I$ is empty. **Proof.** We induct on $\dim H$. If $I$ is empty, the empty list works in every dimension. If $\dim H=0$, any nonempty family would contain a form whose inequality is impossible, so this case has already been handled. Assume $I\ne\varnothing$ and $\dim H>0$. On the compact unit sphere consider the closed sets $$ C_i=\{u:\|u\|=1,\ \alpha_i(u)\ge0\}. $$ They have the finite intersection property. Indeed, a vector satisfying a nonempty finite subsystem is nonzero and can be normalized; the empty subsystem only requires that the sphere be nonempty. Choose $u_1\in\bigcap_iC_i$. Let $I_0=\{i:\alpha_i(u_1)=0\}$ and $H_1=u_1^\perp$. The restrictions $(\alpha_i|_{H_1})_{i\in I_0}$ remain finitely strictly feasible. To see this, take a witness $x\in H$ for a finite subset of $I_0$ and replace it by $$ x-\langle x,u_1\rangle u_1. $$ This lies in $H_1$ and preserves all those evaluations. The induction hypothesis supplies an orthonormal list in $H_1$ of length at most $\dim H-1$. Prepend $u_1$. For $i\notin I_0$, the first evaluation is positive. For $i\in I_0$, the induction hypothesis gives the required first positive entry later in the list. Orthogonality and the dimension bound follow from the construction. $\square$ **theorem 42.5 (All points are finite lexicographic signatures).** Every $p\in S(V)$ has a representation by an independent list $v_1,\ldots,v_r$: $$ p(\ell)= \begin{cases} \operatorname{sgn}(\ell(v_j)),& j=\min\{i:\ell(v_i)\ne0\},\\ 0,&\ell(v_i)=0\text{ for all }i. \end{cases} \tag{42.7} $$ The empty list represents exactly $\mathbf0$. After choosing an inner product the list can be orthonormal. Its length is intrinsic: $$ r=\dim U_p=\dim V-\dim Z_p,\qquad U_p=\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_r). \tag{42.8} $$ We call this integer the rank of $p$. Conversely, every finite independent list, including the empty list, defines a member of $S(V)$ by (42.7). **Proof.** Apply Theorem 42.4 to (42.6) in $U_p$. Every resulting vector lies in $U_p$, so every member of $Z_p$ annihilates the entire list. For a covector outside $Z_p$, the first nonzero signed evaluation is positive, which is exactly (42.7). This gives an orthonormal, hence independent, list. Its annihilator equals $Z_p$: one inclusion follows from membership in $U_p$, and the other follows because every covector outside $Z_p$ has a nonzero evaluation somewhere in the list. Finite-dimensional annihilator duality now gives (42.8). In particular, the list is empty exactly when $Z_p=V^*$, equivalently when $p=\mathbf0$. Conversely, start with an independent list and a finite set $F$ of covectors. For $t>0$ put $$ \gamma(t)=\sum_{j=1}^r t^jv_j. $$ If the first nonzero evaluation of $\ell$ occurs at $k$, then $$ \ell(\gamma(t)) =t^k\left(\ell(v_k)+\sum_{j>k}t^{j-k}\ell(v_j)\right). $$ The expression in parentheses has the sign of $\ell(v_k)$ for all sufficiently small positive $t$. If all evaluations vanish, the polynomial is identically zero. Since $F$ is finite, one positive $t$ realizes all its prescribed signs. Equation (42.1) proves membership in $S(V)$. The empty list gives the zero vector throughout. $\square$ **theorem 42.6 (Exact oriented-flag classification).** An oriented flag of length $r$ in $V$ means $$ 0=L_00. $$ For a fixed inner product every oriented flag has exactly one compatible orthonormal list. **Proof.** If (42.9) holds and $k$ is the first nonzero evaluation index for $v$, then every $\ell(w_j)$ with $j0$. Restrict the signatures to covectors annihilating $L_1=\mathbb Rv_1$. These are the dual covectors of $V/L_1$, and the restricted signatures are represented by the independent projected lists beginning with $v_2$ and $w_2$. Induction on the common rank identifies their oriented flags. Pulling back gives equality of every $L_j$ and agreement of the orientation of every quotient $L_j/L_{j-1}$. It follows that $w_j$ is a linear combination of $v_1,\ldots,v_j$ with positive coefficient at $v_j$, which is precisely (42.9). Given any oriented flag, choose $v_j\in L_j$ with positive nonzero quotient class. These vectors are independent, so Theorem 42.5 supplies a signature. The result does not depend on the choices by (42.9), and the preceding argument proves injectivity. Finally, Gram-Schmidt subtracts combinations of earlier vectors and divides by a positive norm, so it preserves the oriented flag and signature. At stage $j$, the line $L_j\cap L_{j-1}^\perp$ has exactly one unit vector with the required quotient orientation. This proves uniqueness of the orthonormal list. $\square$ **theorem 42.7 (Polynomial realization, sharp depth, and nonuniformity).** For a rank-$r$ point represented by $v_1,\ldots,v_r$, $$ \gamma(t)=tv_1+\cdots+t^rv_r,\qquad t>0, \tag{42.10} $$ satisfies $\sigma_V(\gamma(t))\to p$ as $t\downarrow0$. Every individual covector has its prescribed sign eventually, and every zero coordinate is exactly zero for all $t$. In particular, for any fixed positive sequence $t_n\to0$, the sequence $\sigma_V(\gamma(t_n))$ converges to $p$. Thus the ordinary image is sequentially dense, even with all covectors as observations. For $p\ne\mathbf0$, its rank is the smallest possible degree of a polynomial curve $h$ with $h(0)=0$ and $\sigma_V(h(t))\to p$ as $t\downarrow0$. A single sufficiently small interval on which all covectors simultaneously have their limiting signs exists for (42.10) if and only if $r\le1$. **Proof.** The polynomial calculation in Theorem 42.5 proves the eventual sign separately for each covector. Finitely many such eventual statements hold simultaneously after taking the minimum of their positive thresholds. This is precisely convergence in the product topology and proves the assertion for every $t_n\to0$. Suppose $$ h(t)=\sum_{j=1}^m t^ja_j,\qquad h(0)=0, $$ and its signature converges to $p$. A covector belongs to $Z_p$ if and only if $\ell(h(t))$ is zero for all sufficiently small positive $t$, because zero is isolated in $D$. A real polynomial vanishing on an interval is identically zero. Conversely, a nonzero real polynomial has the eventual nonzero sign of its first nonzero coefficient. Therefore $$ Z_p=\operatorname{span}(a_1,\ldots,a_m)^\circ. $$ Equation (42.8) gives $$ r=\dim\operatorname{span}(a_1,\ldots,a_m)\le m. $$ Curve (42.10) has degree exactly $r$ when $r>0$, proving sharpness. The zero signature is realized by the identically zero curve. For $r=0$ or $r=1$, all signs in (42.10) agree with $p$ for every $t>0$. If $r\ge2$, fix any $t>0$ and choose a covector with $$ \ell(v_1)=1,\qquad \ell(v_2)=-2/t,\qquad \ell(v_j)=0\quad(j>2). $$ Independence permits these prescriptions. Then $p(\ell)=1$ but $\ell(\gamma(t))=-t<0$. Since this works at every positive $t$, there is no common positive threshold for all covectors. The covector used here depends on $t$; this does not contradict coordinatewise eventual agreement. The finite scale bound concerns the number of independent input directions. $\square$ **theorem 42.8 (The precise classical order and oriented-matroid connections).** For $p\in S(V)$, the quotient $E=V^*/Z_p$ carries an algebraic real-linear total order whose strictly positive elements are $$ P_p=\{[\ell]\in E:p(\ell)=1\}. $$ The set $P_p$ is a semispace at zero: a maximal convex subset of $E\setminus\{0\}$. Under a representing flag, the map $$ E\longrightarrow\mathbb R^r,\qquad [\ell]\longmapsto(\ell(v_1),\ldots,\ell(v_r)) \tag{42.11} $$ is a linear order isomorphism to the first-nonzero-positive lexicographic order. No closed-positive-cone assumption is being imposed. For each finite $F$, the actual image $Q_F$ is exactly the covector set of the realizable oriented matroid of the finite configuration $F\subseteq V^*$. This statement concerns finite ground sets only. **Proof.** Equation (42.5) makes the definition of $P_p$ independent of representatives. The sign calculus shows that it is closed under addition and positive scalar multiplication, contains no zero, and that exactly one of $x,-x$ belongs to it for every nonzero $x\in E$. Defining $x0$, the other conditions are exactly $$ x_j>0,\qquad 0k}|a_j|n^{-(j-k)}<|a_k|. $$ For every $x$ satisfying (42.13), $$ \left|\sum_{j>k}a_jx_j\right| \le x_k\sum_{j>k}|a_j|n^{-(j-k)} <|a_k|x_k. $$ Hence $\operatorname{sgn}(\ell(x))=\operatorname{sgn}(a_k)=p(\ell)$. Again density inside the clopen set and closedness of the desired sign cylinder give this equality for every $q\in B_n(p)$. For finitely many tests, take a sufficiently large $n$ for all of them. Then $B_n(p)\subseteq N(p;F)$, proving the local-base assertion. When $r=0$, the equations impose all basis covectors to be zero and hence force the zero signature. When $r=1$, they restrict support to the single oriented line and impose its positive orientation, hence force $p$. The proof works for every choice of the inner product and annihilator basis; each resulting family is cofinal in the same cylinder neighborhood filter. Thus the local topology is intrinsic to the signature, not to those choices. $\square$ **theorem 42.10 (Exact size and topology).** If $d=\dim V=0$, then $S(V)$ is a singleton. If $d=1$, it is a discrete three-point space. If $d\ge2$ and $\mathfrak c=|\mathbb R|$, then $$ |S(V)|=\operatorname{dens}S(V)=w(S(V))=\mathfrak c. \tag{42.14} $$ In every dimension the isolated points are exactly $\sigma_V[V]$, namely the zero point and the rank-one flags. Every point is first countable; every point of rank at least two has character exactly $\aleph_0$. For $d\ge2$, the space is nonseparable and nonmetrizable. **Proof.** The rank bound gives the assertions for dimensions zero and one. Zero is isolated by imposing zero on a basis of $V^*$. A nonzero ray is isolated by imposing zero on a basis of its annihilator, consisting of $d-1$ tests, and then one positive orientation test. The annihilator and sign calculus force every signature in that cylinder to be the specified ray. Conversely, a rank-at-least-two point is not in the ordinary image by (42.8). Since that image is dense, such a point cannot be isolated. For $d\ge2$, the oriented rays have cardinal $\mathfrak c$: a fixed two-dimensional subspace already supplies the distinct rays through $a+tb$ for $t\in\mathbb R$, while $|V|=\mathfrak c$ gives the upper bound. Every dense subset must contain every isolated point, so density is at least $\mathfrak c$; the ordinary image is dense and has that cardinality. The number of finite coordinate cylinders is at most $\mathfrak c$, since $|V^*|=\mathfrak c$. This gives $w(S(V))\le\mathfrak c$. Any base must contain the singleton of every isolated point, so the reverse inequality holds. There are at most $\mathfrak c$ finite lists of length at most $d$ in $V$, and every signature has such a list. Thus $|S(V)|\le\mathfrak c$, with equality supplied by the rays. First countability follows from Theorem 42.9. In a Hausdorff space a finite local base at a point would, by intersecting its members, give the singleton as an open set: every other point can be excluded by a neighborhood and hence by one base member. Consequently the nonisolated points have no finite local base, so their character is exactly $\aleph_0$. Nonseparability follows from (42.14). A compact metric space is separable: choose a finite $1/n$-net for each positive integer $n$ and take their countable union. Therefore $S(V)$ is not metrizable when $d\ge2$. No assumption about the continuum hypothesis or the cofinality of $\mathfrak c$ was used. In particular, the rank-one stratum has a discrete topology here, unlike the usual topology on oriented projective space when $d\ge2$. Its singleton preimages under $\sigma_V$ are positive rays, which are not Euclidean open. At zero, the singleton preimage is $\{0\}$, also not open when $d>0$. Thus this construction is an observation completion, not a topological compactification of Euclidean $V$ via a continuous $\sigma_V$. $\square$ **theorem 42.11 (Finite continuous observers versus a countable global tower).** Every continuous map $f:S(V)\to E$ to a finite discrete set factors through a single finite actual image: $$ f=\bar f\circ\pi_F,\qquad \pi_F:S(V)\twoheadrightarrow Q_F \tag{42.15} $$ for some finite $F\subseteq V^*$. Conversely, every such factorization is continuous. If $d\ge2$, no countable family of linear sign tests separates all points of $S(V)$, and no inverse limit of a countable tower of finite discrete spaces is homeomorphic to $S(V)$. **Proof.** For each point choose a finite cylinder on which $f$ is constant. Compactness gives finitely many such cylinders covering $S(V)$. Let $F$ be the union of their finite test sets. Two points agreeing on $F$ belong together to any one of these cylinders that contains the first point, so they have the same $f$-value. This defines $\bar f$ on the actual image $Q_F$. The projection is surjective because every member of $Q_F$ is realized by an ordinary vector. The converse follows because $\pi_F$ is continuous and $Q_F$ is finite discrete. Now let $C\subseteq V^*$ be countable and choose independent $a,b\in V$. For every $\ell\in C$ whose restriction to $\operatorname{span}(a,b)$ is nonzero, the expression $\ell(a)+t\ell(b)$ has at most one zero, or no zero. Choose $t$ outside the resulting countable set of forbidden real numbers. Put $v=a+tb$. The rank-one flag $(v)$ and the rank-two flag $(v,b)$ agree on every $\ell\in C$: either $\ell(v)\ne0$ decides both signs, or $\ell$ annihilates the entire two-plane and gives zero to both. Their ranks differ, so they are distinct. Combining this with (42.15), no countable family of finite-valued continuous observers separates all points either: the union of their finite test sets is countable. The test family in a countable local base can depend on the point. Finally, a countable product of finite discrete spaces has a countable cylinder base; every subspace has a countable base as well. A countable finite inverse limit therefore cannot have weight $\mathfrak c$ as in (42.14). This also shows why the separate sequential approximations in Theorem 42.7 do not provide a countable global observation tower. The topology nevertheless requires uncountably many sign tests globally. $\square$ **theorem 42.12 (Exact linear functoriality and image).** A linear map $A:V\to W$ induces $$ S(A):S(V)\to S(W),\qquad S(A)(p)(\lambda)=p(\lambda\circ A). \tag{42.16} $$ This map is continuous, satisfies $$ S(A)\sigma_V=\sigma_WA,\qquad S(BA)=S(B)S(A),\qquad S(\operatorname{id}_V)=\operatorname{id}_{S(V)}, \tag{42.17} $$ and has $$ U_{S(A)(p)}=A(U_p),\qquad \operatorname{rank}S(A)(p)=\dim A(U_p). \tag{42.18} $$ For a representing list, scan $Av_1,\ldots,Av_r$ in order and retain an entry exactly when it lies outside the span of previously retained entries. The resulting independent list represents $S(A)(p)$. For an inclusion $i:U\hookrightarrow W$, the map $S(i)$ is a homeomorphism onto the clopen subspace $$ \{q\in S(W):q(z)=0\text{ for every }z\in U^\circ\}. \tag{42.19} $$ Consequently $$ S(A)[S(V)]=S(i)[S(\operatorname{im}A)] \tag{42.20} $$ for the natural inclusion $i:\operatorname{im}A\hookrightarrow W$. In particular, surjective linear maps induce surjective maps of signature spaces. **Proof.** Given finitely many $\lambda\in W^*$, apply (42.1) to their pullbacks along $A$. If $v$ realizes those signs for $p$, then $Av$ realizes the prescribed output signs. Thus (42.16) belongs to $S(W)$. Each output coordinate is an input coordinate, so the map is continuous. The identities in (42.17) follow by evaluating at every covector. The output sign is the first nonzero entry of $(\lambda(Av_j))_j$. A deleted vector is a linear combination of previously retained vectors. If those earlier evaluations all vanish, its evaluation also vanishes; if some earlier evaluation does not vanish, the deleted entry cannot change the first nonzero sign. Deletion therefore preserves the signature. The retained list spans $A(U_p)$, proving (42.18), including the case in which every image vanishes. Every functional on $U$ extends to $W$, so $S(i)$ is injective. Its image consists precisely of signatures whose flags are supported in $U$, by Theorem 42.5; these are exactly (42.19). Zero on a basis of $U^\circ$ is enough, by Theorem 42.3, so the subspace is clopen. A continuous injection from a compact space into a Hausdorff space is a homeomorphism onto its image: it sends closed sets to compact, hence closed, subsets. If $A$ is surjective, the compact image of $S(A)$ is closed and contains every ordinary signature in $S(W)$ by (42.17). Density makes that image all of $S(W)$. Apply this to $V\twoheadrightarrow\operatorname{im}A$ and then compose with the inclusion to obtain (42.20). $\square$ **theorem 42.13 (Joint surjectivity and exact rank range).** For the direct sum define $$ J=(S(\operatorname{pr}_V),S(\operatorname{pr}_W)): S(V\oplus W)\longrightarrow S(V)\times S(W). \tag{42.21} $$ It is a continuous surjection. It is injective if and only if $V=0$ or $W=0$. If $p,q$ have ranks $r,s$, then every joint witness $h\in J^{-1}(p,q)$ has rank $m$ satisfying $$ \max(r,s)\le m\le r+s, \tag{42.22} $$ and every integer in this interval occurs. A fiber with a zero marginal is a singleton. Every fiber with both marginals nonzero has cardinality $\mathfrak c$. **Proof.** Let $(v_1,\ldots,v_r)$ and $(w_1,\ldots,w_s)$ represent $p,q$. The independent joint list $$ (v_1,0),\ldots,(v_r,0),(0,w_1),\ldots,(0,w_s) \tag{42.23} $$ has those two marginals by the deletion rule, proving surjectivity. Continuity follows from Theorem 42.12. For any joint support $L=U_h$, its projections are $U_p,U_q$. Hence $L\subseteq U_p\oplus U_q$, while the projection dimensions give $\dim L\ge r,s$. This proves (42.22). To attain $m=r+s-k$, where $0\le k\le\min(r,s)$, use the list $$ (v_1,w_1),\ldots,(v_k,w_k), (v_{k+1},0),\ldots,(v_r,0), (0,w_{k+1}),\ldots,(0,w_s). \tag{42.24} $$ Its independence follows first by projecting a linear relation to $V$, which kills all coefficients involving a $v_i$, and then to $W$, which kills the remaining coefficients. Its marginals are the required lists. If $q=\mathbf0$, then $L\subseteq V\oplus0$, and the inclusion theorem gives exactly one joint witness with first marginal $p$. The other zero case is the same argument with the factors exchanged. Thus if one vector space is zero, $J$ is injective. If $r,s>0$, the lists $$ (v_1,cw_1),(v_2,0),\ldots,(v_r,0), (0,w_2),\ldots,(0,w_s),\qquad c>0, \tag{42.25} $$ are independent and lie in the specified fiber. Their first oriented rays differ for distinct $c$, so Theorem 42.6 makes their signatures distinct. There are $\mathfrak c$ of them, and Theorem 42.10 bounds the entire joint space by $\mathfrak c$. This proves the fiber cardinality. When both vector spaces are nonzero, choose nonzero rank-one marginals; their fiber is not a singleton, proving the remaining noninjectivity assertion. $\square$ **theorem 42.14 (A full matrix formula for every joint fiber).** Fix representing bases $v_1,\ldots,v_r$ of $U_p$ and $w_1,\ldots,w_s$ of $U_q$. For an integer $m$ in (42.22), let $\mathcal M_m(r,s)$ be the set of block matrices $$ M=\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}, \qquad X\in\mathbb R^{r\times m},\quad Y\in\mathbb R^{s\times m}, \tag{42.26} $$ with the following conditions. The stacked matrix has column rank $m$. Every row of $X$ must be nonzero; let $\tau_i$ be its first nonzero column. Require $$ \tau_1<\cdots<\tau_r,\qquad X_{i,\tau_i}>0. \tag{42.27} $$ Similarly, the rows of $Y$ have first nonzero columns $$ \upsilon_1<\cdots<\upsilon_s,\qquad Y_{k,\upsilon_k}>0. \tag{42.28} $$ Entries after a row's first nonzero entry are arbitrary real numbers, subject to the stacked rank condition. Conditions for a block with zero rows are vacuous. Then there is an exact set-theoretic bijection $$ J^{-1}(p,q) \cong \bigsqcup_{m=\max(r,s)}^{r+s}\mathcal M_m(r,s)/B_m^+, \tag{42.29} $$ where $B_m^+$ acts by right multiplication. When $r=s=0$, the empty matrix and the trivial group give the single zero witness. The class of $M$ represents the independent joint list $$ z_j=\left(\sum_{i=1}^rX_{ij}v_i,\quad \sum_{k=1}^sY_{kj}w_k\right), \qquad 1\le j\le m. \tag{42.30} $$ For a mixed test $(\alpha,\beta)\in V^*\oplus W^*$, its signature is the sign of the first nonzero entry of $$ a^\mathsf TX+b^\mathsf TY,\qquad a_i=\alpha(v_i),\quad b_k=\beta(w_k), \tag{42.31} $$ or zero when this row is zero. Finite prescribed signs in (42.31) describe exactly the inherited fiber topology. Formula (42.29) does not assert a quotient of the usual Euclidean matrix topology. **Proof.** Conditions (42.27) have a direct column interpretation. Before column $\tau_1$, every column of $X$ is zero. At column $\tau_i$, rows larger than $i$ vanish and the coefficient of the $i$-th standard vector is positive. Between $\tau_i$ and $\tau_{i+1}$, columns lie in the span of the first $i$ standard vectors. Inductively, the greedy independent columns of $X$ therefore have the oriented flag $$ \mathbb Re_1<\operatorname{span}(e_1,e_2)<\cdots<\mathbb R^r. $$ Conversely, if the greedy columns have this flag, let $\tau_i$ be the column where the projected span first reaches dimension $i$. Earlier columns have zero $i$-th coordinate, that column has positive $i$-th coordinate, and higher rows vanish there. These are exactly (42.27). The same reasoning proves the equivalence for $Y$. The rank condition makes (42.30) independent. The preceding characterization and Theorem 42.12 give marginals $p,q$, so every permitted matrix defines a witness in the fiber. Conversely, any witness in the fiber has support in $U_p\oplus U_q$ by Theorem 42.13. Express any independent representing list in the fixed bases. Its coefficient matrix has full column rank, and the required projected flags force (42.27) and (42.28). Thus every witness occurs. Right multiplication by an upper triangular matrix with positive diagonal preserves each row's first nonzero column and multiplies its first entry by a positive number. It also preserves full column rank. By Theorem 42.6, two independent joint lists represent the same signature precisely when they have the same length and differ by this right action. This proves both injectivity on the indicated orbit sets and the disjointness across lengths. Finally, evaluation of (42.30) is exactly the row (42.31). Every joint linear test has this form, and sign cylinders define the topology. This proves the topological assertion without substituting the Euclidean topology on the parameters. This formula retains more than an interleaving of two finite lists. The two blocks may have a first nonzero entry at the same column, with a variable positive relative coefficient. Furthermore, a later joint column may be independent even when neither marginal span increases. Both effects occur in the following complete two-dimensional example. Joint witnesses retain relative coefficients and relative vanishing orders; a marginal product retains neither in general. $\square$ **theorem 42.15 (The full positive-positive fiber for two real lines).** Identify $S(\mathbb R)$ with $\{-1,0,1\}$ by evaluation at the identity functional. The fiber $J^{-1}(1,1)\subseteq S(\mathbb R^2)$ consists exactly of $$ E_0=[(1,0),(0,1)],\qquad E_\infty=[(0,1),(1,0)], \tag{42.32} $$ and, for every $\rho>0$, the three points $$ H_\rho^0=[(1,\rho)],\qquad H_\rho^\eta=[(1,\rho),(0,\eta)] \quad(\eta\in\{-1,1\}). \tag{42.33} $$ Brackets denote lexicographic signatures, not ordinary vector tuples. All listed points are distinct. For $\ell_{a,b}(x,y)=ax+by$, $$ H_\rho^\eta(\ell_{a,b})= \begin{cases} \operatorname{sgn}(a+b\rho),&a+b\rho\ne0,\\ \operatorname{sgn}(\eta b),&a+b\rho=0, \end{cases} \qquad \eta\in\{-1,0,1\}. \tag{42.34} $$ The values at $E_0,E_\infty$ are respectively the first-nonzero signs of $(a,b)$ and $(b,a)$. The fibers with two other nonzero marginal signs are obtained by the corresponding coordinate reflections; every fiber with a zero marginal is the singleton described in Theorem 42.13. **Proof.** A joint witness in this fiber has rank one or two. Its first vector $(a,b)$ has $a,b\ge0$, since a negative first coordinate would already make the corresponding marginal negative. The first vector is nonzero. If $a,b>0$, normalize it to $(1,\rho)$ with $\rho>0$. A rank-one witness is $H_\rho^0$. For rank two, subtract an appropriate multiple of the first vector from the second to make its first coordinate zero. Independence makes its remaining coordinate nonzero. Positive rescaling then gives $(0,1)$ or $(0,-1)$, exactly the two quotient orientations in (42.33). If $a>0,b=0$, rank one cannot give positive second marginal. Rank two requires the second vector's second coordinate to be positive; the permitted triangular changes give exactly $E_0$. If $a=0,b>0$, the symmetric argument gives $E_\infty$. These exhaust all possibilities. Different first rays, different ranks, and the two distinct quotient orientations establish distinctness by Theorem 42.6. Evaluation gives (42.34) and the endpoint formulas. Coordinate reflections are invertible linear maps, so their induced homeomorphisms give the stated other fibers. Already the three ordinary vectors $$ (1,2),\qquad(1,1),\qquad(2,1) \tag{42.35} $$ have identical positive marginal signatures, while $x-y$ has signs $-1,0,1$. Thus marginal ambiguity is present before completion, because positive magnitude has been forgotten. There is also genuinely relative scale information inside the same leading ray. The points $H_1^1,H_1^0,H_1^{-1}$ have $x-y$ signs $-1,0,1$ and are realized by $$ (t,t+t^2),\qquad(t,t),\qquad(t,t-t^2), \quad t\downarrow0. \tag{42.36} $$ In the rank-two cases both marginal flags are already decided at the first column; the second column records a joint distinction that neither marginal retains. Equations (42.35) and (42.36) are finite-dimensional sign calculations, not an assertion about any infinite-expansion addition law. $\square$ **theorem 42.16 (Actual joint images and the exact descent criterion).** Let $\Omega\subseteq V\oplus W$ and put $$ C_\Omega=\overline{\sigma_{V\oplus W}[\Omega]}. $$ For every finite $F\subseteq(V\oplus W)^*$, use the actual image $q_F[\Omega]$. Then $$ C_\Omega =\{h\in S(V\oplus W):h|_F\in q_F[\Omega] \text{ for every finite }F\}, \tag{42.37} $$ and $$ J(C_\Omega) = \overline{\{(\sigma_V(v),\sigma_W(w)):(v,w)\in\Omega\}}. \tag{42.38} $$ These formulas assert closure, not the existence of an original representative for every completed point. More generally, let $C\subseteq S(V\oplus W)$ be compact, let $Y$ be Hausdorff, and let $T:C\to Y$ be continuous. There exists a unique continuous map $$ \bar T:J(C)\to Y,\qquad T=\bar T\circ(J|_C), \tag{42.39} $$ if and only if $$ h,h'\in C,\quad J(h)=J(h')\quad\Longrightarrow\quad T(h)=T(h'). \tag{42.40} $$ Equivalently, the actual joint image $$ \mathcal G_{C,T}=\{(J(h),T(h)):h\in C\} \tag{42.41} $$ has exactly one output over every point of $J(C)$. **Proof.** A finite cylinder containing a point of $C_\Omega$ must meet $\sigma[\Omega]$, which proves one inclusion in (42.37). Conversely, a point satisfying its right-hand side has an actual $\Omega$-representative in every finite cylinder, and therefore belongs to the closure. The compact image $J(C_\Omega)$ is closed and contains the set whose closure appears in (42.38). For the reverse inclusion, continuity implies that the image of any point in the closure of $\sigma[\Omega]$ lies in the closure of $J(\sigma[\Omega])$: the preimage of a neighborhood of its image is a neighborhood meeting $\sigma[\Omega]$. This proves (42.38). A factorization implies (42.40). Conversely, under (42.40), assign to each $b\in J(C)$ the common value of $T$ on its nonempty fiber. This is well-defined and unique. To prove continuity, for a closed set $K\subseteq Y$ observe that $$ \bar T^{-1}(K)=J(T^{-1}(K)). $$ The set $T^{-1}(K)$ is closed in compact $C$, so its image is compact and hence closed in the Hausdorff space $J(C)$. Thus $\bar T$ is continuous. The graph formulation states the same fiber condition. The underlying set-theoretic factorization is the actual-image principle of [RRO, Theorem 2.2]; compactness supplies continuity here. Reachability alone is different: for $\Omega=\{(x,x):x\in\mathbb R\}$ the actual marginal pairs are only $(-1,-1),(0,0),(1,1)$, although the product of the two marginal images has nine points. For the unrestricted direct sum, $J$ is surjective, so there is no missing-pair obstruction, but Theorem 42.15 still exhibits multiple outputs over one marginal pair. $\square$ **theorem 42.17 (Addition: global failure and its exact legitimate domain).** Let $$ a:V\oplus V\to V,\qquad a(x,y)=x+y. $$ Then $S(a)$ is continuous. It descends through $$ J:S(V\oplus V)\to S(V)\times S(V) $$ on the whole product if and only if $V=0$. There is an exact fiberwise criterion. For $p,q\in S(V)$, the following are equivalent: (a) $S(a)$ is constant on $J^{-1}(p,q)$. (b) There is no $\ell\in V^*$ with $p(\ell)=-q(\ell)\ne0$. (c) One oriented flag is an initial segment of the other, including all orientations on the shared quotients. When these conditions hold, the output is the longer flag. In particular the output is $p$ when $p=q$, and is the nonzero marginal when the other marginal is zero. The domain $$ \mathcal C= \{(p,q):\text{there is no }\ell\text{ with }p(\ell)=-q(\ell)\ne0\} \tag{42.42} $$ is closed in $S(V)^2$, and the longer-flag rule is a continuous map $\mathcal C\to S(V)$. **Proof.** Continuity of $S(a)$ is Theorem 42.12. For a fixed output covector $\ell$, let $$ \alpha(x,y)=\ell(x),\qquad \beta(x,y)=\ell(y). $$ A joint witness with marginals $p,q$ satisfies $h(\alpha)=p(\ell)$ and $h(\beta)=q(\ell)$, while $$ S(a)(h)(\ell)=h(\alpha+\beta). $$ Under (b), the sign addition rule in Theorem 42.3 determines this value uniquely at every $\ell$. Hence (b) implies (a). If (b) fails, take representing lists for $p$ and $q$. The concatenated joint list with every first-factor vector preceding every second-factor vector, as in (42.23), makes the output sign at the conflicting $\ell$ equal to $p(\ell)$. Reversing the two blocks makes it equal to $q(\ell)$. Both lists are independent joint witnesses with the same marginals, and the two output signs differ. Thus (a) implies (b). To prove (b) implies (c), use induction on the shorter flag length. If one flag is empty, the assertion holds. Otherwise let $v_1,w_1$ be their first vectors. Unless they are positive multiples, a functional can give them opposite nonzero signs, either by prescribing $1,-1$ when they are independent or by evaluating negatively proportional vectors. Condition (b) excludes both cases, so the first oriented lines agree. Restrict to covectors annihilating that line and pass to the quotient by it. The two projected lists are independent, condition (b) persists, and their lengths decrease by one. Induction gives agreement of every shared subspace and quotient orientation, which is (c). Conversely, if the flag of $p$ is an initial segment of that of $q$, then every nonzero sign of $p$ is the same nonzero sign of $q$. All remaining signs of $p$ are zero. Hence (b) holds, and the sign addition rule gives precisely $q$ as the output. This also covers equal flags and zero flags. Each forbidden pair of coordinate signs defines a clopen subset of $S(V)^2$. Therefore (42.42), the intersection of their closed complements, is closed. Its inverse image under $J$ is compact. Apply Theorem 42.16 to this compact subspace and $S(a)$; fiber constancy has just been proved, so the longer-flag rule is continuous on $\mathcal C$. If $V\ne0$, choose $v\ne0$. The three ordinary joint vectors $$ (2v,-v),\qquad(v,-v),\qquad(v,-2v) $$ have the same two marginal signatures but have output signatures $\sigma_V(v),\mathbf0,\sigma_V(-v)$, which are distinct. Thus global descent fails even as a set map. If $V=0$, every space involved is a singleton and descent holds. For $V=\mathbb R$, equal nonzero marginal signs and pairs with a zero marginal are exactly the legitimate pairs; opposite nonzero signs permit all three output signs. In particular, the positive-positive difference example in Theorem 42.15 is not a counterexample to addition on that particular fiber: its sums are all positive. The obstruction is quotient well-definedness already for finite real vectors, while joint addition remains continuous. No Zeckendorf infinite-addition result is used. The continuous linear map on the joint witness space descends exactly on the actual fibers where that lost information does not affect the required output. $\square$ ## 追加锚（本行以下为增补区） ## 43. 增补·乘法满闭图与有限多项式联合闭图的定向判据 **定义 43.0（数字空间、柱集与算术闭图）。** 置 $\mathbb N_0=\{0,1,2,\ldots\}$，$G_0=1$，$G_1=2$，$G_{j+2}=G_{j+1}+G_j$，并令 $Z(n)$ 为 $n$ 的 Zeckendorf 规范字按低位到高位排列后补零所得的无限字。置 $$ \phi=\frac{1+\sqrt5}{2},\qquad \alpha=\phi^{-1},\qquad K=\{x\in\{0,1\}^{\mathbb N_0}:x_jx_{j+1}=0\text{ 对所有 }j\}, $$ $$ d_K(x,y)=\sum_{j\ge0}2^{-j-1}|x_j-y_j|,\qquad F(x)=\sum_{j\ge0}(-1)^{j+1}\alpha^{j+2}x_j, $$ $$ \mathbb T=\mathbb R/\mathbb Z,\qquad H(x)=[F(x)],\qquad \gamma(n)=[n\phi],\qquad E_m=[-m\phi],\qquad E=\{E_m:m\ge1\}. $$ 记 $D_L$ 为长度 $L$ 的合法数字字，$\pi_L:K\to D_L$ 为前 $L$ 位投影，$q_L=\pi_L\circ Z$。对 $w\in D_L$，柱集记为 $[w]_K=\pi_L^{-1}(\{w\})$；$D_0$ 只含空字。定义 $$ \Gamma_{\mathrm{mul}}= \overline{\{(Z(a),Z(b),Z(ab)):a,b\in\mathbb N_0\}}\subseteq K^3. $$ 所有闭包均取相应有限乘积的乘积拓扑。[^rro43-phase] **假设 43.1（明确采用的相位与定向背景）。** 采用如下相位结论：$K$ 紧致可度量，$Z[\mathbb N_0]$ 稠密；$H$ 连续满射且 $H(Z(n))=\gamma(n)$；$\beta\notin E$ 时 $H^{-1}(\{\beta\})$ 为单点，$\beta\in E$ 时该纤维恰为两个不同的定向点 $z_\beta^{+1},z_\beta^{-1}$。此外， $$ H^{-1}(\{0\})=\{0_K\},\qquad U:=z_{E_1}^{+1}=(10)^\omega,\qquad V:=z_{E_1}^{-1}=(01)^\omega, $$ $$ z_{E_2}^{+1}=0V,\qquad z_{E_2}^{-1}=10V. $$ 若 $\beta\in E$、$s\in\{-1,+1\}$，且自然数列满足 $$ \gamma(n_k)=\beta+[\varepsilon_k],\qquad 0<|\varepsilon_k|<\tfrac12,\qquad \varepsilon_k\longrightarrow0, $$ 则 $$ Z(n_k)\longrightarrow z_\beta^s \quad\Longleftrightarrow\quad s\varepsilon_k>0\text{ 最终成立}. $$ 这里的标签与单侧等价严格采用定义16.3及定理16.4证明中的约定。[^rro43-phase] **定理 43.2（相位小邻域到实际数字柱集的提升）。** 设 $x\in K$，$O\subseteq K$ 为含 $x$ 的开集，$\beta=H(x)$。存在 $0<\eta<1/2$，使下列断言对所有 $n\in\mathbb N_0$ 成立。若 $\beta\notin E$，则 $$ \gamma(n)=\beta+[\varepsilon],\quad |\varepsilon|<\eta \quad\Longrightarrow\quad Z(n)\in O. $$ 若 $x=z_\beta^s$、$\beta\in E$，则 $$ \gamma(n)=\beta+[\varepsilon],\quad 00$ 最终成立。输出的局部相位误差为 $\lambda\varepsilon_k$，对充分大的 $k$ 其绝对值小于 $1/2$，且由于 $\lambda>0$ 与输入误差同号。所以输出相位分裂时只能取得相同定向。输入相位不分裂时，必要性只给出输出属于所述二点纤维。 证明每个允许的输出均可实现。若输入相位分裂，规定输入误差取其定向；若输出相位分裂而输入相位不分裂，规定输入误差取目标输出的定向；若两者均不分裂，任选一个方向。两者都分裂时，分类恰要求这两个规定一致。利用定理43.3在幂次 $1$ 的尾部稠密性，可选择 $n_k\ge k$，使输入误差具有该方向且趋于零。定理43.2及假设43.1分别保证输入、输出趋于指定目标；输出误差始终等于 $\lambda$ 倍的输入误差。这也证明删除任意有限初段后闭包不变。 $\lambda=0$ 的常数延拓连续。若 $\lambda=1$，输出相位为 $E_m$ 时输入相位必为 $E_{m+\mu}\in E$，故上述分类在每个输入上都只有一个输出。该单值图紧致。对于任意闭集 $C\subseteq K$，其逆像是该图与 $K\times C$ 的交在第一坐标上的投影，因而紧致且闭，所以相应函数连续。 若 $\lambda\ge2$，选 $m\ge1$ 使 $\lambda$ 不整除 $\mu+m$，并置 $$ \beta=\left[-\frac{\mu+m}{\lambda}\phi\right]. $$ 若 $\beta=E_\ell$，则 $(\lambda\ell-\mu-m)\phi/\lambda\in\mathbb Z$；括号中的整数非零，矛盾。因此 $\beta\notin E$，但 $\lambda\beta+[\mu\phi]=E_m$。其唯一输入点有两个不同的闭图输出。任何连续延拓的闭图都必须包含实际图的闭包，不可能在该输入处同时包含两个输出，故不存在连续延拓。 最后，精确固定 $c$ 后的实际图正是上述仿射图嵌入第一坐标为 $Z(c)$ 的闭切片；该嵌入与取闭包相容。极限切片的另一等式则直接来自定理43.4。证毕。 **定理 43.7（任意有限乘法前缀与连续输出的不确定性）。** 对任意 $L_1,L_2,L_3,T\in\mathbb N_0$，有 $$ \{(q_{L_1}(a),q_{L_2}(b),q_{L_3}(ab)):a,b\ge T\} =D_{L_1}\times D_{L_2}\times D_{L_3}. $$ 因此，每个固定的合法输入前缀对均能与每个合法输出前缀由实际整数同时实现。 设 $D$ 为有限离散空间，$\psi:K\to D$ 连续且非恒定。则无论取多大的有限 $L_1,L_2$，都不存在函数 $B:D_{L_1}\times D_{L_2}\to D$ 使 $$ B(q_{L_1}(a),q_{L_2}(b))=\psi(Z(ab)) \qquad\text{对所有 }a,b\ge T. $$ 任意有限组输入塔层也不能做到这一点，因为有限组前缀均被各输入的最大深度前缀决定。 更一般地，若 $Y$ 为 Hausdorff 空间，$\psi:K\to Y$ 连续，则存在连续 $B:K^2\to Y$ 满足 $$ B(Z(a),Z(b))=\psi(Z(ab))\qquad(a,b\in\mathbb N_0) $$ 当且仅当 $\psi$ 恒定。另一方面，$\Gamma_{\mathrm{mul}}$ 存在连续单值选择；这种选择不必延拓给定乘法，也没有任何连续选择能够延拓给定乘法。 **证明。** 每个合法有限字补零仍合法，所以三个指定柱集均非空。它们的乘积是 $K^3$ 的非空开集。定理43.4的尾部稠密性给出其中的实际乘法三元组，证明第一式，包括长度为零的情形。 每个连续有限值观察 $\psi$ 都通过某个有限前缀因子化。事实上，对每个 $x\in K$，可取含 $x$ 且包含于 $\psi^{-1}(\{\psi(x)\})$ 的柱集。紧致性给出有限子覆盖，令 $L$ 为其中柱集长度的最大值。若两个点有相同的前 $L$ 位，选一个包含第一个点的覆盖柱集，第二个点也属于它，故两点的 $\psi$ 值相等。因此 $\psi=\chi\circ\pi_L$，其中 $\chi:D_L\to D$。由于 $\psi$ 非恒定，存在 $w,w'\in D_L$ 使 $\chi(w)\ne\chi(w')$。对同一个任意指定的输入前缀对，第一式分别实现输出前缀 $w,w'$，所得两个实际输入对会迫使 $B$ 在同一参数上取不同值，矛盾。 对于 Hausdorff 值域，固定任意 $x,y,z\in K$，取定理43.4给出的共同乘法逼近列。若连续 $B$ 存在，则 $$ B(x,y)=\lim_k B(Z(a_k),Z(b_k)) =\lim_k\psi(Z(a_kb_k))=\psi(z). $$ 极限的唯一性使用了 $Y$ 的 Hausdorff 性。固定 $x,y$ 而任取 $z$，便知 $\psi$ 恒定；反向取常数 $B$ 即可。 由于 $\Gamma_{\mathrm{mul}}=K^3$，任意函数 $S:K^2\to K$ 都是该关系的单值选择，特别常数函数是连续选择。但是取 $\psi=\operatorname{id}_K$，上一结论排除了延拓给定乘法的连续选择。集合意义的延拓选择则可以定义为：当 $x=Z(a),y=Z(b)$ 时令 $S(x,y)=Z(ab)$，其余输入令 $S(x,y)=0_K$。$Z$ 的单射性使该定义无歧义；它是选择，却不是连续延拓。证毕。 **定义 43.8（有限多项式族的单项式坐标与定向锥）。** 取 $d,r\in\mathbb N_0$，以及非负整数系数多项式 $$ P_1,\ldots,P_r\in\mathbb N_0[X_1,\ldots,X_d]. $$ 令 $q=d+r$，并依次记 $$ R_i=X_i\quad(1\le i\le d),\qquad R_{d+j}=P_j\quad(1\le j\le r). $$ 设 $M\subseteq\mathbb N_0^d\setminus\{0\}$ 为这些多项式中出现的全部不同非恒定单项式的指数集，$m=|M|$。于是 $$ R_j(\mathbf X)=c_j+\sum_{\nu\in M}A_{j\nu}\mathbf X^\nu, \qquad c_j,A_{j\nu}\in\mathbb N_0. $$ 输入单项式 $X_i$ 包含在 $M$ 中。常数单项式不属于 $M$，其相位不作为自由坐标。置 $$ \mathbf b=([\phi c_j])_{j=1}^q\in\mathbb T^q,\qquad V_M(\mathbf n)=([\phi\mathbf n^\nu])_{\nu\in M}\in\mathbb T^m, $$ $$ \Gamma_T(P)=\overline{\{(Z(R_j(\mathbf n)))_{j=1}^q: \mathbf n\in\mathbb N_0^d,\ n_i\ge T\text{ 对所有 }i\}}, \qquad \Gamma(P)=\Gamma_0(P). $$ 对目标 $\boldsymbol\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_q)\in K^q$，记 $$ \boldsymbol\theta=(H(\xi_j))_{j=1}^q,\qquad I(\boldsymbol\xi)=\{j:\theta_j\in E\}. $$ 对 $j\in I(\boldsymbol\xi)$，以 $s_j\in\{-1,+1\}$ 表示 $\xi_j=z_{\theta_j}^{s_j}$，并定义同一个实误差空间中的严格锥 $$ \mathcal C(\boldsymbol\xi)= \{u\in\mathbb R^m:s_j(Au)_j>0\text{ 对所有 }j\in I(\boldsymbol\xi)\}. $$ 当 $I(\boldsymbol\xi)$ 为空时，此锥为整个 $\mathbb R^m$。零维空间 $\mathbb T^0,\mathbb R^0,K^0,\mathbb N_0^0$ 均取为单点；零变量多项式均为常数。 **定理 43.9（单项式相位的矩形等分布与单变量实现）。** 在定义43.8的记号下，若 $d\ge1$，则 $V_M(\mathbf n)$ 在矩形盒 $$ B_{\mathbf N}=\prod_{i=1}^d\{0,\ldots,N_i-1\} $$ 上相对于 $\mathbb T^m$ 的归一化 Haar 测度等分布，极限取 $\min_iN_i\to\infty$。同一结论适用于任意固定的非负整数平移 $\mathbf a+B_{\mathbf N}$。 此外，取整数 $$ B>\max\{\nu_i:\nu\in M,\ 1\le i\le d\},\qquad w_i=B^{i-1},\qquad \mathbf n(t)=(t^{w_1},\ldots,t^{w_d}). $$ 则 $V_M(\mathbf n(t))$ 随 $t=1,2,\ldots$ 在 $\mathbb T^m$ 上等分布。因此每个非空开集都含有某个 $V_M(\mathbf n)$，其中全部 $n_i\ge T$；而且可以要求 $\mathbf n=\mathbf n(t)$ 及 $t\ge\max\{T,1\}$。[^rro43-multi] **证明。** 先证明矩形盒结论所需的标量事实：对每个非恒定整数系数多项式 $Q$，有 $$ \lim_{\min_iN_i\to\infty} \frac1{|B_{\mathbf N}|}\sum_{\mathbf n\in B_{\mathbf N}} \exp(2\pi i\phi Q(\mathbf n))=0. $$ 对 $D=\deg Q$ 归纳。若 $D=1$，写 $Q(\mathbf n)=c+\sum_i a_in_i$，其中某个 $a_i\ne0$。平均分解为各坐标的几何级数平均之积，其中该坐标的模不超过 $$ \frac{2}{N_i|1-\exp(2\pi i\phi a_i)|}\longrightarrow0, $$ 其余因子的模均不超过一。 设 $D\ge2$ 且低次数情形已经成立。选取坐标 $i$，使 $Q$ 的最高次齐次部分 $Q_D$ 满足 $\partial_iQ_D\ne0$。记 $$ a(\mathbf n)=\exp(2\pi i\phi Q(\mathbf n)),\qquad A_{\mathbf N}=\frac1{|B_{\mathbf N}|}\sum_{\mathbf n\in B_{\mathbf N}}a(\mathbf n). $$ 固定正整数 $H$，并以 $\mathbb E_{\mathbf n\in B_{\mathbf N}}$ 表示该盒上的算术平均。平移盒的两个边界条带给出 $$ \left|A_{\mathbf N}- \mathbb E_{\mathbf n\in B_{\mathbf N}} \frac1H\sum_{h=0}^{H-1}a(\mathbf n+h\mathbf e_i)\right| \le\frac{H-1}{N_i}. $$ 由 Cauchy–Schwarz 不等式，平滑后平均的模平方不超过 $$ \frac1H+ \frac{2}{H^2}\sum_{0\le h\rho$，取 $\ell=U^{\mathsf T}\mathbf e_j$。由 $UAV=D$ 得 $A^{\mathsf T}\ell=0$，故 $(Uw)_j=0$。于是 $Uw$ 属于 $D$ 的像，因而 $w$ 属于 $A$ 的像。这证明等价性。零行数或零列数时，同一结论按空矩阵约定成立。所列非单射例子由第二坐标的二倍映射直接算出。证毕。 **定理 43.11（有限多项式完整联合闭图的严格锥判据）。** 采用定义43.8。对任意 $\boldsymbol\xi\in K^q$，以下三项等价：$\boldsymbol\xi\in\Gamma(P)$；$\boldsymbol\xi\in\Gamma_T(P)$ 对所有 $T\in\mathbb N_0$ 成立；同时满足 $$ A_{j\nu}=0\text{ 对所有 }\nu\in M \quad\Longrightarrow\quad \xi_j=Z(c_j), $$ $$ \exists p\in\mathbb T^m,\qquad \boldsymbol\theta=\mathbf b+Ap, $$ $$ \mathcal C(\boldsymbol\xi)\ne\varnothing. $$ 相位条件可以等价地换成定理43.10的全部整数线性关系，但不能删除严格锥条件。 更准确地，只要这些条件成立，对任意含 $\xi_j$ 的开集 $O_j\subseteq K$ 及任意 $T$，就存在一个实际元组 $\mathbf n\in\mathbb N_0^d$，使全部 $n_i\ge T$ 且 $$ Z(R_j(\mathbf n))\in O_j\qquad(1\le j\le q). $$ $d\ge1$ 时还可以把该元组限制为定理43.9的同一条固定曲线 $\mathbf n(t)$。相位共同原像可以不唯一；严格锥始终在同一个单项式误差向量上施加全部条件。 **证明。** 先证必要性。由 $K^q$ 可度量，若 $\boldsymbol\xi\in\Gamma(P)$，则存在实际元组列 $\mathbf n^{(k)}$，使 $$ (Z(R_j(\mathbf n^{(k)})))_{j=1}^q\longrightarrow\boldsymbol\xi. $$ 常数行的数字字在整列上恒为 $Z(c_j)$，所以其极限必须等于该点。又有实际相位恒等式 $$ (H(Z(R_j(\mathbf n))))_{j=1}^q=\mathbf b+A V_M(\mathbf n). $$ 环面 $\mathbb T^m$ 紧致，故在原序列的一个子列上可以令 $V_M(\mathbf n^{(k)})\to p$。由连续性得到 $\boldsymbol\theta=\mathbf b+Ap$。这一步不要求共同原像唯一。 在 $p$ 附近使用环面的局部实坐标。丢弃有限初段后，可写 $$ V_M(\mathbf n^{(k)})=p+[u_k],\qquad u_k\in\mathbb R^m,\qquad u_k\longrightarrow0. $$ 每个输出或输入坐标的相位遂为 $$ H(Z(R_j(\mathbf n^{(k)})))=\theta_j+[(Au_k)_j]. $$ 对充分大的 $k$，全部 $(Au_k)_j$ 的绝对值小于 $1/2$。当 $j\in I(\boldsymbol\xi)$ 时，该误差不可能为零，因为 $R_j(\mathbf n^{(k)})\in\mathbb N_0$，其自然相位不属于 $E$。由假设43.1及该数字坐标的收敛， $$ s_j(Au_k)_j>0 $$ 最终成立。只有有限多个分裂坐标，所以存在一个共同的充分大指标，使全部严格不等式同时成立。该 $u_k$ 就是 $\mathcal C(\boldsymbol\xi)$ 中的一个向量。这里没有把严格不等式传到可能退化的归一化极限上。 再证充分性及实际元组断言。$d=0$ 时所有行均为常数，目标被常数行条件唯一确定，唯一的空输入元组已经实现它。以下设 $d\ge1$，于是 $m\ge1$。固定一个共同原像 $p$，并取 $v\in\mathcal C(\boldsymbol\xi)$。对各个非恒定行，应用定理43.2于 $\xi_j\in O_j$，取得相应的 $\eta_j>0$。常数行已精确等于目标，无需逼近。 因为严格不等式只有有限个，可先把 $v$ 乘以足够小的正数 $\tau$，再选取以 $\tau v$ 为中心的一个非空实开球 $W\subseteq\mathbb R^m$，使对所有 $u\in W$ 均有 $$ \|u\|_\infty<\tfrac14,\qquad |(Au)_j|<\eta_j\text{ 对每个非恒定行 }j, $$ $$ s_j(Au)_j>0\text{ 对所有 }j\in I(\boldsymbol\xi). $$ 若没有分裂坐标，可直接使用零向量附近足够小的开球。如此选球的理由是：有限个严格线性不等式在 $\tau v$ 处仍严格成立，而所有线性误差随 $\tau\to0$ 趋于零。 $p+[W]$ 是 $\mathbb T^m$ 的非空开集。由定理43.9，可以在同一曲线上选择一个 $t\ge\max\{T,1\}$，使 $$ V_M(\mathbf n(t))\in p+[W]. $$ 故对某个 $u\in W$，有 $V_M(\mathbf n(t))=p+[u]$。实际相位恒等式给出 $$ H(Z(R_j(\mathbf n(t))))=\theta_j+[(Au)_j]. $$ 非分裂目标使用小误差条件，分裂目标同时使用小误差及指定严格符号条件，由定理43.2均得到 $Z(R_j(\mathbf n(t)))\in O_j$。常数行则精确等于 $Z(c_j)=\xi_j$。因此同一个实际自然元组实现了全部邻域要求。 取 $O_j=[\pi_k(\xi_j)]_K$ 并取 $T=k$，便得到全部输入同时趋于无穷的共同逼近列。这证明条件推出每个 $\Gamma_T(P)$ 的归属；后者当然推出 $\Gamma(P)$ 的归属，三项因而等价。定理43.10给出相位条件的整数关系表述。 边界情形也由此完全确定。若 $r=0$，仅有输入行，$A$ 为单位矩阵，故 $\Gamma_T(P)=K^d$。若 $d=0$，图为固定常数输出元组的单点；$d=r=0$ 时就是 $K^0$。若两个多项式行相同，则常数及系数行均相同，目标相位也相同；该相位非分裂时目标字由单点纤维相等，分裂时相反标签将同时要求同一个实数严格为正和严格为负，故仍必须为同一数字点。因此重复多项式要求完整数字相等，而不只是相位相等。证毕。 **定理 43.12（满联合闭图的秩判据与单个非线性输出）。** 对定义43.8中的完整输入输出族， $$ \Gamma(P)=K^q \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{rank}_{\mathbb R}A=q. $$ 等价地，$R_1-c_1,\ldots,R_q-c_q$ 在有理数域上线性无关。此处只要求模去常数后的线性无关，不要求这些多项式代数无关。 特别，若 $d\ge1$ 且单个 $P\in\mathbb N_0[X_1,\ldots,X_d]$ 含有总次数至少为二的项，则 $$ \overline{\{(Z(n_1),\ldots,Z(n_d),Z(P(\mathbf n))):\mathbf n\in\mathbb N_0^d\}} =K^{d+1}, $$ 并且同一结论对全部同时输入尾部成立。若该单个输出是仿射多项式，则其完整图不是 $K^{d+1}$。 **证明。** 若 $A$ 满行秩，定理43.10说明其环面像是整个 $\mathbb T^q$，所以任意目标均有共同相位原像。对给定目标，取 $w\in\mathbb R^q$，在分裂坐标令 $w_j=s_j$，其余坐标令 $w_j=0$。实线性映射 $A:\mathbb R^m\to\mathbb R^q$ 满射，故存在 $u$ 使 $Au=w$，于是 $u\in\mathcal C(\boldsymbol\xi)$。满行秩时不存在零行；零行数情形按空约定处理。定理43.11遂给出所有目标以及全部尾部的满性。 反之，若 $\Gamma(P)=K^q$，由 $H$ 满射及定理43.11的必要相位条件，$\mathbf b+A(\mathbb T^m)$ 必为整个 $\mathbb T^q$。定理43.10给出的维数于是为 $q$，故 $A$ 满行秩。整数矩阵在 $\mathbb Q$ 与 $\mathbb R$ 上的秩相同，而行向量恰为 $R_j-c_j$ 的单项式系数，得到线性无关的等价表述。 对单个含非线性项的 $P$，输入行是 $d$ 个不同一次单项式的单位行。任何带非零 $P$ 系数的行关系都在某个次数至少为二的列上非零，不能被输入行抵消。因此全部 $d+1$ 行线性无关。反之，仿射输出的非恒定部分属于输入行的张成空间，秩至多为 $d$。应用已证等价性即得结论。证毕。 **定理 43.13（共同算术电路中的相位约束与定向约束）。** 考虑同一实际自然数对 $a,b$ 产生的电路 $$ t=b+1,\qquad r=ab,\qquad s=at=a(b+1). $$ 分别只保留 $(Z(a),Z(b),Z(r))$ 或 $(Z(a),Z(b),Z(s))$ 时，两个闭图均为 $K^3$。但是完整五坐标闭图中始终满足 $$ H(Z(s))=H(Z(r))+H(Z(a)) $$ 的极限形式，所以 $$ (0_K,0_K,Z(1),0_K,Z(1)) $$ 不是完整电路的极限元组。 更强地，所有整数线性相位关系均成立的元组 $$ (U,0_K,Z(1),U,10V) $$ 仍不是完整电路的极限元组；把末坐标换成 $0V$ 后则可以由全部 $a_k,b_k\ge k$ 的共同实际元组逼近。 此外，将同一多项式重复输出，或者分别以 $ab$ 与 $ba$ 输出，所得两个数字坐标必须完全相等。因此不能以两个满乘法边缘闭图为依据，为这两个位置分别选择 $U$ 与 $V$，即使 $H(U)=H(V)$。 **证明。** $ab$ 与 $a(b+1)$ 都是二变量非线性非负系数多项式，故定理43.12给出两个边缘闭图的满性。实际电路具有恒等式 $$ s=r+a, $$ 从而在每个实际元组上有 $H(Z(s))=H(Z(r))+H(Z(a))$，取共同极限后仍成立。第一个所列元组的右侧为零，左侧为 $[\phi]\ne0$，故不可能。同时，$t=b+1$ 在输入极限 $0_K$ 处的精确仿射闭图输出为 $Z(1)$，所以这不是因忽略加一门而产生的矛盾。 对于第二个元组，按单项式 $a,b,ab$ 排列相位坐标。相位向量 $$ p=(E_1,0,E_1)\in\mathbb T^3 $$ 是该目标的一个共同原像：前三个相关相位分别给出输入 $E_1,0$、中间量 $[\phi]$，而 $r$ 的相位为 $E_1$，$s$ 的相位为 $2E_1=E_2$。故全部整数线性相位关系确实成立。 然而，若存在逼近该目标的实际元组列，把 $a_k$ 与 $a_kb_k$ 相对于 $E_1$ 的小实相位误差分别记为 $\varepsilon_k,\delta_k$。两个数字目标均为 $U=z_{E_1}^{+1}$，所以假设43.1给出 $$ \varepsilon_k>0,\qquad\delta_k>0 $$ 最终成立。由同一个整数恒等式 $a_k(b_k+1)=a_kb_k+a_k$，末坐标相对于 $E_2$ 的小相位误差为 $\varepsilon_k+\delta_k>0$。它只能趋于 $z_{E_2}^{+1}=0V$，不能趋于 $z_{E_2}^{-1}=10V$。两种数字字的最低位分别为零和一，所以该阻碍不仅是标签区别，也是实际低位区别。 等价地，若以 $u_a,u_b,u_{ab}$ 表示共同单项式误差，错误目标要求 $$ u_a>0,\qquad u_{ab}>0,\qquad u_a+u_{ab}<0, $$ 严格锥为空。改取末目标 $0V$ 后，最后一个要求变为 $u_a+u_{ab}>0$，向量 $(1,0,1)$ 即满足全部分裂条件。相位共同原像仍是上述 $p$，故定理43.11给出全部实际输入同时趋于无穷的共同逼近。 最后，重复多项式及 $ab=ba$ 在每个实际元组上都给出完全相同的数字字，闭对角线使该相等关系传到极限。$U\ne V$，故不能分别选为两个重复输出。上述全部恒等式对每个实际自然元组保持成立；满边缘闭图仅说明指定低位极限不能确定单个非线性输出，并不允许同一元组的不同出现位置使用互不相容的逼近列。证毕。 [^rro43-phase]: RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md，固定版本 492640d0651a5fca476f4b168c97a1d05f65ff8d，定义16.0、定义16.3、定理16.4证明中的单侧等价，以及假设18.1。[固定文本](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/492640d0651a5fca476f4b168c97a1d05f65ff8d/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)。本节采用的单侧等价位于该固定文本定理16.4证明开头；不需要其他新增节的结论。 [^rro43-weyl]: H. Weyl，Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins，Mathematische Annalen 77(3)，1916，313–352，DOI 10.1007/BF01475864。所用精确表述见 T. Tao，254B, Notes 1: Equidistribution of polynomial sequences in tori，2010年3月28日网络版，第1节，Proposition 1 与 Corollary 6；该网络版无印刷页码。[正文及证明](https://terrytao.wordpress.com/2010/03/28/254b-notes-1-equidistribution-of-polynomial-sequences-in-torii/)。Proposition 1 的假设为环面值序列全部非零整数字符的平均趋于零；本节对 Corollary 6 只使用标量情形，假设为正次数实一元多项式的首项系数无理。该文对整数索引等分布的定义要求正、负两个半序列分别等分布，故包含这里所用的正整数结论。 [^rro43-multi]: Y. Yifrach，A note on Weyl’s equidistribution theorem，Monatshefte für Mathematik 206(3)，2025年正式发表版，771–780，Theorem 1.2 在第772页，DOI 10.1007/s00605-025-02057-2。[正式文本](https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s00605-025-02057-2.pdf)。其假设为实多变量多项式至少一个非恒定单项式系数无理；Definition 1.1 在第771–772页规定欧氏球内格点计数。定理43.9所需的非负矩形盒与固定平移版本已由正文针对共同系数 $\phi$ 的整数多项式给出完整差分证明，不把不同截断约定直接等同。环面字符方法及差分方法另见前一引文的 Proposition 1、Corollary 5。 ## 追加锚（本行以下为增补区） ## 44. Arithmetic admission, order and Euclidean division in Zeckendorf observation **Definition 44.0 (Digits, phases and finite observations).** Put $\mathbb N_0=\{0,1,\ldots\}$, $G_0=1$, $G_1=2$, $G_{j+2}=G_{j+1}+G_j$, $\phi=(1+\sqrt5)/2$ and $\alpha=\phi^{-1}$. Let $Z(n)$ be the low-to-high Zeckendorf digits of $n$, padded by zeros, and put $$ K=\{x\in\{0,1\}^{\mathbb N_0}:x_jx_{j+1}=0\text{ for every }j\},\qquad 0_K=Z(0). $$ Give $K$ its product topology, metrized by $d_K(x,y)=\sum_{j\ge0}2^{-j-1}|x_j-y_j|$. Let $D_L$ be the legal words of length $L$, $\pi_L:K\to D_L$ the prefix map, and $Z^{\times d}$ the coordinatewise encoding. Write $$ \mathbb T=\mathbb R/\mathbb Z,\qquad H(x)=\left[\sum_{j\ge0}(-1)^{j+1}\alpha^{j+2}x_j\right],\qquad \gamma(n)=[n\phi],\qquad E_m=[-m\phi],\qquad E=\{E_m:m\ge1\}. $$ For $A\subseteq\mathbb R$, write $[A]=\{[t]:t\in A\}$. A point is called split when its phase belongs to $E$, and ordinary otherwise. All closures below use products of $K$ and the explicitly specified discrete spaces; they are not closures for convergence of numerical values in $\mathbb R$. **Assumption 44.1 (The phase background).** The map $H$ is continuous and onto, and $H(Z(n))=\gamma(n)$. An ordinary phase has one inverse image; a phase $\beta\in E$ has two distinct inverse images $z_\beta^{+1},z_\beta^{-1}$. The labels satisfy the following property for every $\beta\in E$ and every sequence of natural numbers: $$ \gamma(n_j)=\beta+[\varepsilon_j],\quad 0<|\varepsilon_j|<\tfrac12,\quad \varepsilon_j\longrightarrow0 \quad\Longrightarrow\quad \left( Z(n_j)\longrightarrow z_\beta^s \ \Longleftrightarrow\ s\varepsilon_j>0\text{ eventually} \right). $$ Here $s\in\{-1,+1\}$. Define $$ \mathcal S(x)= \begin{cases} \{s\},&x=z_{H(x)}^s,\ H(x)\in E,\\ \{-1,+1\},&H(x)\notin E. \end{cases} $$ These are precisely the phase and oriented-approach statements in [Definition 16.3, the proof of Theorem 16.4, and Assumption 18.1 of the fixed source](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/492640d0651a5fca476f4b168c97a1d05f65ff8d/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md). **theorem 44.2 (Cofinal cylinders and phase neighborhoods).** The space $K$ is compact metrizable, and every nonempty digit cylinder contains $Z(n)$ for arbitrarily large $n$. Every tail $\{\gamma(n):n\ge B\}$ is dense in $\mathbb T$. Natural phases avoid $E$, and $H^{-1}(\{0\})=\{0_K\}$. For every $x\in K$ and neighborhood $U$ of $x$, there is $\delta\in(0,1/2)$ such that $$ \gamma(n)\in J(x,\delta)\quad\Longrightarrow\quad Z(n)\in U, $$ where $$ J(x,\delta)= \begin{cases} H(x)+[(-\delta,\delta)],&H(x)\notin E,\\ H(x)+[\{\varepsilon:0}=\overline{R_\le}=\overline{R_\ge}=K^2, \qquad \overline{R_=}=\Delta_K. $$ Each strict inequality can realize any two prescribed legal prefixes with both integers above any prescribed threshold. Nevertheless, $$ \overline{R_<\cap R_>}=\varnothing \quad\text{but}\quad \overline{R_<}\cap\overline{R_>}=K^2. $$ The latter intersection is not an equality assertion. More precisely, the joint comparison graph has closure $$ \overline{\{(Z(a),Z(b),\sigma(a,b),\sigma(b,a)):a,b\in\mathbb N_0\}} = K^2\times\{(-,+),(+,-)\} \ \cup\ \{(x,x,0,0):x\in K\}. $$ For Boolean comparisons, the graph closures of both $\mathbf1_{ab$, first choose $b\ge B$ in $V$, then $a\ge\max(B,b+1)$ in $U$. Applying these choices to shrinking cylinders proves density of both strict-order strata in $K^2$. The zero stratum is the numerical diagonal; its closure is $\Delta_K$, by density of $Z[\mathbb N_0]$ and closedness of the diagonal in a Hausdorff space. Since the three tags are clopen, their closures combine exactly as displayed. The admitted-relation and Boolean formulas follow by grouping the appropriate strata. The actual strict relations have empty intersection. Their closed intersection contains, for example, $(0_K,Z(1))$, which does not belong to $\Delta_K$. Thus removing the order obstruction does not identify the inputs. The joint-tag formula follows from $\sigma(b,a)=-\sigma(a,b)$ and the same three stratum closures. For literal $c$, the negative and zero strata are finite and hence closed. The positive stratum is dense because every cylinder contains an integer greater than $c$. These facts prove all fixed-bound formulas. By contrast, merely requiring $Z(b_j)\to Z(c)$ does not hold $b_j$ equal to $c$: the cofinal constructions remain available in every neighborhood of $Z(c)$. $\square$ **theorem 44.4 (The required arithmetic curve is equidistributed).** For $t=1,2,\ldots$, define $$ \Xi(t)= \bigl([(t^4+t^2)\phi],[t^3\phi],[t\phi],[t^2\phi]\bigr)\in\mathbb T^4. $$ For every continuous $f:\mathbb T^4\to\mathbb C$, $$ \frac1N\sum_{t=1}^N f(\Xi(t)) \longrightarrow \int_{\mathbb T^4}f\,d\lambda_4, $$ where $\lambda_4$ is Haar probability measure. Consequently every nonempty open box is visited for arbitrarily large positive $t$. The classical ingredients are Weyl's polynomial equidistribution theorem, originating in H. Weyl, *Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins*, Mathematische Annalen 77 (1916), 313–352, and the torus character criterion; accessible statements and proofs are [T. Tao, *254B, Notes 1: Equidistribution of polynomial sequences in tori*, Proposition 1, Lemma 4 and Corollary 6](https://terrytao.wordpress.com/2010/03/28/254b-notes-1-equidistribution-of-polynomial-sequences-in-torii/). **Proof.** Write $e(u)=\exp(2\pi i u)$. We first give the positive-integer exponential-sum argument needed here. If a real polynomial $p$ has degree one and irrational leading coefficient $\lambda$, the geometric-series formula gives $$ \left|\sum_{t=1}^N e(p(t))\right|\le\frac{2}{|1-e(\lambda)|}. $$ Suppose the normalized sums vanish for every polynomial of degree less than $d$ with irrational leading coefficient. For a degree-$d$ polynomial with leading coefficient $\lambda$, and every fixed integer $h\ge1$, the polynomial $p(t+h)-p(t)$ has degree $d-1$ and irrational leading coefficient $dh\lambda$. Hence $$ \frac1N\sum_{t=1}^{N-h}e(p(t+h)-p(t))\longrightarrow0. $$ For completeness, if $|z_t|\le1$, extend $z_t$ by zero outside $1\le t\le N$. The identity $$ M\sum_{t=1}^N z_t = \sum_{u=1}^{N+M-1}\sum_{j=0}^{M-1}z_{u-j} $$ and Cauchy–Schwarz, followed by expansion of the square, give, for $1\le M\le N$, $$ \left|\frac1N\sum_{t=1}^N z_t\right|^2 \le \frac{N+M-1}{M^2N^2} \left( MN+ 2\sum_{h=1}^{M-1}(M-h) \left|\sum_{t=1}^{N-h}z_{t+h}\overline{z_t}\right| \right). $$ Indeed, the diagonal terms contribute at most $MN$, and each displacement $h$ occurs $M-h$ times in each conjugate off-diagonal part. Apply this inequality to $z_t=e(p(t))$. For fixed $M$, the induction hypothesis makes all normalized off-diagonal terms vanish, leaving a limiting upper bound $1/M$. Letting $M\to\infty$ proves vanishing of the normalized exponential sum in degree $d$. For an arbitrary nonzero character vector $h=(h_a,h_b,h_q,h_r)\in\mathbb Z^4$, its value on $\Xi(t)$ is the exponential of the real polynomial $$ p_h(t)= \phi\bigl(h_at^4+h_bt^3+(h_a+h_r)t^2+h_qt\bigr). $$ Its polynomial in parentheses cannot vanish identically: successive comparison of the coefficients of $t^4,t^3,t,t^2$ would force all four entries of $h$ to vanish. Its highest nonzero coefficient is therefore a nonzero integer times $\phi$, and is irrational. The preceding argument proves vanishing of every nontrivial character average. In particular, no nonzero integer character obstructs density. The constant character has empirical average and Haar integral one. A nontrivial character has Haar integral zero: translating by a point on which that character differs from one multiplies its integral by that value, while Haar invariance leaves the integral unchanged. The characters span a self-conjugate unital algebra separating points of $\mathbb T^4$, so their finite linear combinations are uniformly dense in the continuous functions by Stone–Weierstrass. Character convergence therefore extends to every continuous $f$: approximation within $\varepsilon$ changes each empirical average and the Haar integral by at most $\varepsilon$. This proves the stated character criterion in the present case. A nonempty open box supports a nonnegative continuous function with positive Haar integral. If the box were visited only finitely often, its empirical averages would tend to zero, contradicting that positive integral. This establishes arbitrarily late visits using only the one-variable positive-integer sequence. $\square$ **theorem 44.5 (Full Euclidean-success closure with cofinal witnesses).** Let $$ \mathscr D= \{(Z(a),Z(b),Z(q),Z(r)): a,b,q,r\in\mathbb N_0,\ b\ge1,\ a=bq+r,\ 0\le r0\}}\right| =\frac12. $$ **Proof.** The success and failure components of $\mathcal O$ are clopen. The success graph has closure the entire success component by Theorem 44.5. The actual failure graph is $$ \{(Z(a),0_K,\bot):a\in\mathbb N_0\}, $$ whose closure is exactly $K\times\{0_K\}\times\{\bot\}$. Closedness of $\{0_K\}$ excludes any other failure support. Combining the component closures proves the formula. Every successful approximation in Theorem 44.5 has a positive divisor, even when its divisor encoding tends to $0_K$. Holding the numerical divisor literally equal to zero instead gives only the failure stratum. Thus the simultaneous limit values do not assert a successful witness with divisor zero. For each $x$, actual failure inputs approach $(x,0_K)$, while actual success inputs approach it with any prescribed successful output. A continuous extension into the Hausdorff space $\mathcal O$ would have a closed, single-valued graph containing all these limits, which is impossible. For the quantitative assertion, let the displayed supremum for $f$ be $\varepsilon$. Density of the successful inputs and continuity give $f\ge1-\varepsilon$ on all of $K^2$. At every actual failure input, $f\le\varepsilon$. Consequently $1-\varepsilon\le\varepsilon$. The constant function $1/2$ attains this bound. $\square$ **theorem 44.8 (Complete graph criterion for a literally fixed divisor).** Fix an integer $c\ge1$, write $R_c=\{0,\ldots,c-1\}$, and let $$ \mathcal F_c= \overline{\{(Z(cn+r),Z(n),Z(r)):n\in\mathbb N_0,\ r\in R_c\}} \subseteq K^3. $$ This is the fixed-divisor graph in dividend, quotient, remainder coordinates. Its exact criterion is $$ (x,y,z)\in\mathcal F_c \quad\Longleftrightarrow\quad \exists r\in R_c: \quad z=Z(r),\quad H(x)=cH(y)+[r\phi],\quad \mathcal S(x)\cap\mathcal S(y)\ne\varnothing. $$ In particular, when both dividend and quotient are split, their labels must agree. Every permitted triple is approached with that remainder held exactly fixed and with both quotient and dividend tending to infinity numerically. **Proof.** A convergent sequence of actual remainder encodings in the finite set $Z[R_c]$ is eventually constant, say $Z(r)$. Continuity of $H$ then gives the displayed phase relation. If both $x$ and $y$ are split, write the small nonzero local quotient phase errors as $$ \gamma(n_j)=H(y)+[\varepsilon_j],\qquad \varepsilon_j\to0. $$ For sufficiently large $j$, $|c\varepsilon_j|<1/2$, and the dividend phase is exactly $$ \gamma(cn_j+r)=H(x)+[c\varepsilon_j]. $$ Since $c>0$, these two local errors have the same sign. Assumption 44.1 forces the two split labels to agree. If either point is ordinary, the sign-intersection condition imposes no further restriction. This proves necessity. Conversely, suppose the criterion holds and choose $s\in\mathcal S(x)\cap\mathcal S(y)$. Set $\tau_k=1/(10c(k+1))$. By tail density, choose $n_k\ge k$ such that $$ \gamma(n_k)\in H(y)+[\{su:\tau_k0$，则 $j(0)=j(n)$，定理 45.4 的重复下标论证会给出 $0\in H$，矛盾。因此正自然数像在 $S\setminus\{0\}$ 中稠密。对于 $n\ge1$，有 $$ e\,j(n)=\underbrace{e+\cdots+e}_{n\text{ 项}}=e. $$ 连续性于是给出：$e0=0$，而 $ex=e$ 对所有 $x\ne0$ 成立。特别地，对每个 $x\in H$ 都有 $ex=e$。在 $e=0$ 的情形，这最后一个等式同样成立。 对 $x,y\in H$， $$ xy+e=xy+ey=(x+e)y=xy. $$ 由于 $xy+e\in H$，这证明 $xy\in H$。元素 $e$ 为该乘法的吸收元，且 $$ (1+e)x=x+ex=x+e=x. $$ 故 $g$ 为内部乘法幺元。加法逆元与其连续性已经由定理 45.4 建立；其余环恒等式继承自 $S$。 收缩 $r$ 已保持加法，并满足 $r(0)=e$、$r(1)=g$。对任意 $x,y\in S$，$xe,ey$ 均属于 $\{0,e\}$，且 $e^2=e$，因而 $$ (x+e)(y+e)=xy+xe+ey+e^2=xy+e=r(xy). $$ 所以 $r$ 也是乘法同态。其满射性以及 $ng=r(j(n))$ 的稠密性由定理 45.4 得到。证毕。 **theorem 45.6（紧致 Hausdorff 幺环的有限商定理）。** 设 $R$ 为紧致 Hausdorff 拓扑幺环，乘法不必交换。则每个连续加法特征 $R_+\to\mathbb T$ 都有有限像，其中 $\mathbb T=\mathbb R/\mathbb Z$。开双边理想构成零点邻域基，有限连续环商分离点，且 $R$ 是这些有限离散环商的逆极限。此结论不要求 Noetherian 或 Artinian 条件。 经典来源为 Anzai，*On Compact Topological Rings*，Theorems 2–3，pp. 614–615；幺元排除了该文所排除的非零左或右全零因子。另见 Numakura，*Theory of compact rings*，§2，Lemma 5，p. 82。下证使用紧交换群的特征分离定理，其精确出处可取 Dikranjan，*Introduction to Topological Groups*，Theorem 9.3.2 后的交换情形，printed p. 63。[Anzai, Theorems 2–3, pp. 614–615](https://www.jstage.jst.go.jp/article/pjab1912/19/10/19_10_613/_pdf#page=2)；[Numakura, §2, Lemma 5, p. 82](https://www.math.okayama-u.ac.jp/mjou/mjou1-46/mjou_pdf/mjou_05/mjou_05_079.pdf#page=4)；[Dikranjan, Theorem 9.3.2 and abelian case, p. 63](https://users.dimi.uniud.it/~dikran.dikranjan/ITG.pdf#page=68) **证明。** 令 $$ \widehat{R_+}=\operatorname{Hom}_{\mathrm{cts}}(R_+,\mathbb T) $$ 取一致收敛拓扑。圆群没有包含于开弧 $(-1/4,1/4)$ 的非零子群：任一非零角的整数倍中总有一个离零至少 $1/4$。因此一致距离小于 $1/4$ 的两个特征必相同，故此特征空间离散。紧交换群的特征分离定理保证这些连续特征分离 $R_+$ 的点。 固定特征 $\chi$，定义 $$ \psi_{a,b}(x)=\chi(axb),\qquad \mathcal O_\chi=\{\psi_{a,b}:a,b\in R\}. $$ 联合乘法连续性使 $(a,b)\mapsto\psi_{a,b}$ 对一致收敛拓扑连续。具体地，在固定 $(a_0,b_0)$ 处，对每个 $x$ 用连续性控制 $\chi(axb)-\chi(a_0xb_0)$，再用 $x$ 所在紧空间的有限覆盖，得到对所有 $x$ 同时有效的参数邻域。故 $\mathcal O_\chi$ 是离散空间中的紧集，因而有限。 每个轨道特征自身也有有限像，因为 $$ \psi_{a,b}(x)=\psi_{ax,b}(1), $$ 右侧属于有限集合 $\{\psi(1):\psi\in\mathcal O_\chi\}$。特别地，$\chi=\psi_{1,1}$ 有有限像。于是 $$ I_\chi=\bigcap_{\psi\in\mathcal O_\chi}\ker\psi =\{x:\chi(axb)=0\text{ 对所有 }a,b\in R\} $$ 是开加法子群。若 $x\in I_\chi$、$c\in R$，则 $$ \chi(a(cx)b)=\chi((ac)xb)=0,\qquad \chi(a(xc)b)=\chi(ax(cb))=0, $$ 故 $I_\chi$ 是双边理想。并且 $I_\chi\subseteq\ker\chi$。 特征分离性说明这些理想的交为零。若 $U$ 为零点开邻域，对每个 $z\notin U$ 选 $\chi_z$ 使 $z\notin I_{\chi_z}$。开集 $R\setminus I_{\chi_z}$ 覆盖紧集 $R\setminus U$，取有限子覆盖，其对应理想之交即为包含于 $U$ 的开双边理想。开子群的陪集构成开覆盖，紧致性使其指数有限，所以这些环商有限离散。 最后，规范映射到所有开双边理想商的逆极限是连续单射。给定相容商点，其有限多个陪集条件可在对应理想的交所给出的更细商中同时满足。闭陪集族具有有限交性质，紧致性给出共同代表，故规范映射满射。紧致到 Hausdorff 的连续双射为同胚，且运算逐坐标相容。证毕。 **定义 45.7（超自然周期及对应逆极限）。** 超自然数为形式乘积 $$ D=\prod_{p\text{ 素}}p^{e_p},\qquad e_p\in\mathbb N_0\cup\{\infty\}. $$ 对有限正整数 $m$，$m\mid D$ 表示 $v_p(m)\le e_p$ 对每个素数成立；超自然数之间的整除也逐素数定义。若 $D$ 等于某个有限正整数的素因子分解，则称其为有限周期，否则称其为无限周期。定义 $$ R_D=\varprojlim_{m\mid D}\mathbb Z/m\mathbb Z, \qquad \widehat{\mathbb Z}=\varprojlim_{m\ge1}\mathbb Z/m\mathbb Z. $$ 各过渡映射为剩余类约化，记自然整数在 $R_D$ 中的像为 $\bar n$。另定义闭理想 $$ J_D=\bigcap_{m\mid D}\ker\bigl(\widehat{\mathbb Z}\to\mathbb Z/m\mathbb Z\bigr). $$ 这里的 $D$ 在无限周期情形不是一个可作整数乘法的数。 对 $t\in\mathbb N_0\cup\{\infty\}$，令 $$ I_{t,D}=\{(u,m):u\in\mathbb N_0,\ u\le t,\ m\mid D\}, \qquad K_{t,D}=\varprojlim_{(u,m)\in I_{t,D}}Q_{u,m}. $$ 逆极限均取有限离散因子的积拓扑与逐坐标运算。记全部素数指数均为 $\infty$ 的超自然数为 $D_*$. 全部有限自然商的逆极限因而为 $K_I=K_{\infty,D_*}$。 **theorem 45.8（稠密幺元紧环的周期分类）。** 设 $R$ 为紧致 Hausdorff 拓扑幺环，且其幺元的非负整数倍稠密。则存在唯一超自然数 $D$，使 $R$ 与 $R_D$ 存在保持自然核心的拓扑幺环同构。其有限连续满环商恰为 $\mathbb Z/m\mathbb Z$，其中 $m\mid D$。此外，存在唯一连续满幺环同态 $$ \widehat{\mathbb Z}\longrightarrow R_D, \qquad R_D\cong\widehat{\mathbb Z}/J_D. $$ 若 $\mathbb Z_p=\varprojlim_k\mathbb Z/p^k\mathbb Z$，则中国剩余同构给出 $$ \widehat{\mathbb Z}\cong\prod_p\mathbb Z_p, \qquad J_D\cong\prod_p p^{e_p}\mathbb Z_p, $$ 其中 $p^0\mathbb Z_p=\mathbb Z_p$，$p^\infty\mathbb Z_p=\{0\}$。特别地，有限 $D=d$ 时 $J_D=d\widehat{\mathbb Z}$ 且 $R_D\cong\mathbb Z/d\mathbb Z$。 **证明。** 任一有限连续满环商，其所有元素都是幺元的自然数倍，因为稠密像在有限离散像中必为全体。因此该商是唯一某个 $\mathbb Z/m\mathbb Z$，其中 $m$ 为幺元的加法阶。到这个标定商的连续同态由自然核心唯一决定。 令 $\mathcal M$ 为出现的全部模数。定理 45.6 保证这些商分离点。集合 $\mathcal M$ 含 $1$，对正因子封闭，并对最小公倍数封闭：两个商的联合映射之像是有限乘积中由 $(1,1)$ 生成的循环环，其幺元加法阶为两个模数的最小公倍数。令 $$ e_p=\sup_{m\in\mathcal M}v_p(m). $$ 显然 $m\in\mathcal M$ 推出 $m\mid D$。反过来，若有限 $m\mid D$，对其有限多个素数幂因子分别选取满足所需估值的模数，再取这些模数的最小公倍数并取因子，得到 $m\in\mathcal M$。 于是所有有限商给出连续单射 $R\to R_D$。在 $R_D$ 的任意非空有限坐标柱集中，取所涉及模数的最小公倍数，再选该坐标的自然数代表，即可找到自然核心中的点。因此自然核心在 $R_D$ 中稠密。上述映射的像紧而闭，又包含此稠密核心，故满射并为拓扑环同构。 反过来，对 $R_D$ 的任一有限连续环商，其核为零点开邻域，故包含某个有限坐标柱集的零纤维。把这些坐标合并为某个 $m\mid D$，可得该核包含模 $m$ 投影的核。因此商中幺元的阶整除 $m$。这证明 $R_D$ 没有额外的有限周期，并同时证明 $D$ 的唯一性。 从 $\widehat{\mathbb Z}$ 限制坐标得到到 $R_D$ 的连续同态；它的紧像包含稠密自然核心，故满射，核恰为 $J_D$。唯一性来自整数核心稠密。拓扑第一同构结论随之成立。 最后，对每个有限模数应用中国剩余同构。这些同构与约化映射相容，因此在所有素幂坐标上取逆极限即得 $\widehat{\mathbb Z}\cong\prod_p\mathbb Z_p$。模 $p^k$ 投影的核为 $p^k\mathbb Z_p$；在固定素数处对 $k\le e_p$ 取交，有限指数时得 $p^{e_p}\mathbb Z_p$，无限指数时得零。由此得到所述 $J_D$ 公式及有限周期特例。证毕。 **theorem 45.9（紧稠密自然半环必为有限商逆极限）。** 在假设 45.1 下，令 $H,e,t$ 为定理 45.4 的尾群、群零元及阈值，并令 $D$ 为定理 45.5 的内部幺环 $H$ 在定理 45.8 中的超自然周期。则有限连续半环商分离 $S$ 的点，且存在唯一保持自然核心的拓扑幺半环同构 $$ S\cong K_{t,D}. $$ 特别地，每个这样的 $S$ 都是 profinite 半环，其底空间具有开闭集基。 **证明。** 用定理 45.8 的同构标定 $H=R_D$，记其剩余类投影为 $\rho_m$。对每个 $u\le t$ 与 $m\mid D$ 定义 $$ f_{u,m}:S\longrightarrow Q_{u,m}. $$ 当 $x=j(n)$ 且 $n0$ 时定义 $az=za=\bar a z\in R_D$；当前段点 $a=0$ 存在时，定义 $0z=z0$ 为前段零点，而不是边界零点。两个边界点的加法与乘法均取 $R_D$ 中的环运算。全局零元为 $\eta(0)$，全局幺元为 $\eta(1)$；边界内部零元恒为 $0_{R_D}$。 **theorem 45.13（显式实现的正确性与全部边界情形）。** 定义 45.12 给出满足假设 45.1 的紧致 Hausdorff 幺半环，并与 $K_{t,D}$ 规范同构。其尾群恰为 $R_D$，其阈值恰为 $t$。此外：$X_{t,D}$ 有限当且仅当 $t$ 有限且 $D=d$ 为有限正整数，此时大小为 $t+d$；自然核心单射当且仅当 $t=\infty$ 或 $D$ 为无限周期；加法为群当且仅当 $t=0$，这又等价于加法可消去；平凡半环恰对应 $(t,D)=(0,1)$。若底空间连通，则只能是这个平凡情形。 **证明。** 有限 $t$ 的空间显然紧致 Hausdorff。无限 $t$ 的空间是所示紧 Hausdorff 乘积的闭子集：缺失的点均为 $(n,z)$ 且 $z\ne\bar n$，这些点组成开集。因此该空间同样紧致 Hausdorff。 映射 $r_X:X_{t,D}\to R_D$，在前段上取 $a\mapsto\bar a$、在边界上取恒等，连续；无限阈值时它就是第二坐标投影。对每个 $(u,m)\in I_{t,D}$，按定理 45.9 的前段与循环规则定义 $F_{u,m}$。前 $u$ 个单点开闭，故各 $F_{u,m}$ 连续。它们相容，并且分离点：前段点由足够大的有限阈值分离，边界点由剩余类坐标分离。于是得到到 $K_{t,D}$ 的连续单射。 自然核心在 $X_{t,D}$ 中稠密。边界的任一非空开集含有某个有限剩余类柱集，而每个剩余类都有任意大的自然数代表。因此每个所述边界邻域都含自然核心点。映射到 $K_{t,D}$ 的紧像又包含其稠密自然线程，故该映射为同胚。 逐坐标检验定义 45.12 的运算。两个前段输入的公式就是自然数运算后取商。一个正前段输入与循环输入相乘时，选取充分大的自然数代表后，乘积仍位于循环部分，剩余类为相应乘积；前段零输入则由零吸收律给出整个商的零元。混合加法和两个边界输入的运算同样就是剩余类运算。这涵盖全部输入类型，证明所给公式与逆极限的逐坐标运算一致。因此它们良定义、联合连续，并满足全部半环恒等式，而不只是给出一个底集双射。 有限阈值时，越过前段后的任意自然尾部均在 $R_D$ 中稠密；无限阈值时，第 $N$ 个自然尾部的闭包恰为 $\{n\ge N\}\sqcup R_D$。所以尾群和阈值确如所述。由定理 45.8，$R_D$ 的有限周期恰为 $D$ 的有限因子，故也没有额外的周期参数。 若 $D=d$ 有限，则 $R_D=\mathbb Z/d\mathbb Z$；配上有限前段即得大小 $t+d$。反之，有限的 $R_D$ 本身是有限循环环，其全部有限周期由一个整数控制，故 $D$ 必有限；无限前段显然使整个空间无限。 无限阈值时，所有自然点是不同的前段点。有限阈值时，只有边界中的自然点可能相等，而 $$ \bar a=\bar b\iff m\mid(a-b)\text{ 对所有有限 }m\mid D. $$ 若 $D$ 无限，没有非零整数能被这些模数全部整除；若 $D=d$ 有限，则尾部相差 $d$ 的自然点相等。得到单射性判据。 由定理 45.4，加法为群恰当 $0\in H$，也就是 $t=0$。若加法可消去，则 $e+e=e+0$ 强制 $e=0$，从而也是 $t=0$；反向由群消去律得到。大小与幺元条件表明平凡情形唯一为 $(0,1)$。最后，非平凡空间中的两个点可被某个有限连续商分离，产生非平凡开闭分割，所以它不连通。 特别地，$D=1$ 时边界是单点；有限 $t$ 给出大小 $t+1$ 的截断自然半环，无限 $t$ 给出 $\mathbb N_0$ 的一点紧化算术，其中仍有 $0\cdot\infty=0$。当 $t>0$ 时，全局零点与边界内部零点不同；当 $t=0$ 时两者相同。证毕。 **theorem 45.14（若干假设不能直接删除）。** 紧致性、Hausdorff 性以及幺元自然倍数的稠密性不能分别从定理 45.9 中直接删除；加法逆元则不必假设。若删除乘法幺元条件，仅保留一个指定的稠密加法生成元，也不再有同样结论。 **证明。** 离散自然半环 $\mathbb N_0$ 满足其余条件，但不紧致，故不是有限离散空间的逆极限。它仍可被有限剩余类商分离；这说明去掉紧致性后，有限商分离与 profinite 拓扑实现也不再等价。 给二元 Boolean 半环 $\{0,1\}$ 配置不可分拓扑，即只有空集与全体开。它紧致，两种运算联合连续，自然像满射，但不是 Hausdorff；到有限离散空间的连续映射均为常值，不能分离两点。 通常拓扑下的 $[0,1]$，取加法为最大值、乘法为最小值，以 $0,1$ 为相应常数，满足幺半环恒等式，运算联合连续，且空间紧致、Hausdorff、连通。但自然像仅为 $\{0,1\}$，不稠密。连通性使其所有有限离散连续像为单点。 定理 45.13 的 $X_{\infty,1}$ 满足全部假设而加法不是群，故无需假设加法逆元。 最后，在圆群 $\mathbb T$ 上保留通常加法，并令所有乘积为零。该非幺环紧致、Hausdorff、连通，运算联合连续；任意无理角的自然倍数稠密，但该指定元不是乘法幺元。为说明所用稠密性，非负倍数的闭包是圆群中的紧消去幺半群；由定理 45.4，其尾群单位元只能是圆群的零元，故该闭包是群。无限闭圆群子群含任意小的非零角，取其整数倍可逼近每个角，因而等于全圆群。无理角生成的子群无限，稠密性遂成立。这个非幺例子不构成对假设 45.1 的反例。证毕。 **theorem 45.15（删除乘法连续性的连通反例）。** 在 ZFC 中存在非平凡、连通、紧致 Hausdorff 的交换幺环，其加法联合连续，幺元的自然倍数稠密，但乘法不联合连续，且有限连续半环商不能分离点。 **证明。** 令 $$ G=\operatorname{Hom}(\mathbb Q,\mathbb T)\subseteq\mathbb T^{\mathbb Q} $$ 取逐点拓扑，其中 $\mathbb Q$ 在此仅作为离散加法群。加法同态条件给出闭方程，故 $G$ 是紧致 Hausdorff 拓扑交换群。映射 $$ \chi\longmapsto\bigl(\chi(1/n!)\bigr)_{n\ge1} $$ 把它同胚到满足 $z_n=(n+1)z_{n+1}$ 的圆群逆极限：给定相容列，令 $\chi(a/n!)=a z_n$，由相容性可知此定义与表示无关。这个逆极限连通。事实上，在圆群的可数乘积中，只施加前 $N$ 个相容方程所得闭集同胚于一个圆群与其余自由圆群的乘积，故紧且连通；这些闭集逐次嵌套，其交仍连通。 对每个正整数 $k$，映射 $\chi\mapsto k\chi$ 的逆映射为 $\chi\mapsto(q\mapsto\chi(q/k))$。因此 $G$ 作为抽象加法群是唯一可除的，即为 $\mathbb Q$ 向量空间。 固定无理数 $\alpha$，令 $g(q)=[\alpha q]$。其自然倍数在 $G$ 中稠密：有限多个有理坐标可统一写成 $a_i/n!$，相应邻域条件由单个圆群坐标 $\chi(1/n!)$ 控制，而 $[k\alpha/n!]$ 的自然轨道稠密。这个圆群稠密性已在定理 45.14 中证明。 用向量空间基的延拓选取 $\mathbb Q$ 线性泛函 $\ell:G\to\mathbb Q$，满足 $\ell(g)=1$，并令 $W=\ker\ell$。于是 $G=\mathbb Qg\oplus W$。定义 $$ x*y=\ell(x)y+\ell(y)x-\ell(x)\ell(y)g. $$ 在分解坐标 $(a,v)\leftrightarrow ag+v$ 中，这就是 $$ (a,v)(b,w)=(ab,aw+bv). $$ 它交换且分配于加法；三个因子的两种结合方式均为 $$ (abc,ab\,u+ac\,w+bc\,v), $$ 所以结合律成立。元素 $(1,0)=g$ 为幺元，$(0,0)$ 为吸收零元。因此这是一个明确指定了基选择的交换幺环结构，并且 $j(n)=ng$ 稠密。 若此乘法联合连续，定理 45.6 将使这个非平凡连通紧环具有分离点的有限连续商，矛盾。因此乘法不联合连续。连通性又直接使每个有限离散连续像为单点。这里没有断言该乘法分别连续。证毕。 **theorem 45.16（圆群与加法 Bohr 紧化的乘法障碍）。** 对无理数 $\alpha$，不存在连续映射 $F:\mathbb T^2\to\mathbb T$ 满足 $$ F([n\alpha],[m\alpha])=[nm\alpha]\qquad(n,m\in\mathbb N_0). $$ 整数加法群的 Bohr 紧化 $b\mathbb Z$ 也不能在保留原加法及自然核心、以自然生成元为乘法幺元的条件下配备联合连续半环乘法。Bohr 紧化的所用普遍性质见 Dikranjan，Theorem 9.2.11，printed pp. 60–61。[Dikranjan, Theorem 9.2.11, pp. 60–61](https://users.dimi.uniud.it/~dikran.dikranjan/ITG.pdf#page=65) **证明。** 若 $F$ 存在，固定 $n$ 并利用第二槽连续性与无理旋转稠密性，得到 $$ F([n\alpha],y)=ny\quad(y\in\mathbb T),\qquad F(0,y)=0. $$ 取 $y=[\alpha/2]$。由无理旋转稠密性可选自然数列 $n_k$，使 $[n_k\alpha/2]\to[1/2]$。于是 $[n_k\alpha]\to0$，但 $$ F([n_k\alpha],y)=[n_k\alpha/2]\longrightarrow[1/2], $$ 与连续性要求的极限 $F(0,y)=0$ 矛盾。 令 $b:\mathbb Z\to b\mathbb Z$ 为 Bohr 紧化的稠密同态。其像交换，故闭包也是交换群。非负整数倍的闭包是紧消去幺半群，由定理 45.4 的同一论证可知它是群，因而包含全部整数倍并等于 $b\mathbb Z$。Bohr 普遍性质将同态 $n\mapsto[n\alpha]$ 延拓为连续加法特征 $\chi:b\mathbb Z\to\mathbb T$，且 $\chi(b(1))=[\alpha]$，所以该特征像无限。若存在所述联合连续幺半环乘法，加法已是群，便得到紧致拓扑幺环；这违反定理 45.6 的每个连续加法特征均有有限像的结论。故加法 Bohr 紧化不能与本节的 profinite 算术紧化混同。证毕。 **theorem 45.17（可数开放同余何时给出可度量性）。** 设 $X$ 为紧致 Hausdorff 空间，$i:\mathbb N_0\to X$ 有稠密像，并存在连续后继 $s:X\to X$ 满足 $s(i(n))=i(n+1)$。则 $X$ 上的开放后继同余至多可数。只有再证明这些同余分离点，才能由它们推出 $X$ 可度量。特别地，$\beta\mathbb N_0$ 的连续后继结构给出一个稠密可数核心但不具有这种分离性的例子。此处对应 Schneider–Zumbrägel，Example 6.1；自然同余的正确分支是对角关系或阈值—周期关系。[Schneider–Zumbrägel, Example 6.1](https://arxiv.org/html/1506.00212v4) **证明。** 开等价关系的各类均开；其补关系是不同等价类的开矩形之并，所以该关系也闭。紧致性使这些互不相交的开类只有有限多个。若两个开放同余不同，其对称差是 $X^2$ 中非空开集，与稠密集 $i(\mathbb N_0)^2$ 相交。因此沿 $i$ 的拉回在开放同余族上是单射。每个拉回是有限指数后继同余，由定理 45.3 必为某个 $R_{u,m}$，故只有可数种。对一般自然后继同余，首先必须保留对角关系这一分支；全关系只是 $R_{0,1}$，不能代替对角分支。 若这些同余分离点，则所有有限商的联合映射是到可数个有限离散空间乘积的连续单射，紧致性使其成为拓扑嵌入，因而 $X$ 可度量。没有分离性时，此推论并不成立。 在 $\beta\mathbb N_0$ 中，每个自然数子集的二值特征函数都连续延拓，给出不同的开闭集，所以有不可数多个开闭集。紧致可度量空间有可数基，而每个开闭集紧，可由有限多个基元素覆盖，故只有可数多个开闭集。因此 $\beta\mathbb N_0$ 不可度量。后继的连续延拓存在，但上述可数开放同余不可能分离点。这个例子只具有所述后继结构，并不是满足假设 45.1 的半环。证毕。 **theorem 45.18（有限观察结论的精确边界）。** 假设 45.1 强制存在分离点的有限连续半环同余观察，但不强制每个有限连续观察都是半环同余观察，也不强制双槽自然数幂在每个所得商或每个 $S$ 上下降。 **证明。** 分离同余观察的存在性就是定理 45.9。为否定更强的观察断言，取离散半环 $S=\mathbb Z/4\mathbb Z$，令一个二值观察把 $\{0,1\}$ 合为一类，把 $\{2,3\}$ 合为另一类。该观察连续且有限，但 $0,1$ 不可区分，而加上 $1$ 后的 $1,2$ 可区分，所以它不是加法同余观察。 再取 $S=Q_{0,2}=\mathbb Z/2\mathbb Z$。若存在二元运算与所有自然数幂相容，并采用 $0^0=1$，则自然输入对 $(0,0)$ 与 $(0,2)$ 在 $S^2$ 中相同，输出却必须分别为 $1$ 与 $0$，矛盾。因此甚至不考虑连续性，也不存在这种下降后的二元幂运算。这与第 14.1 条对指定 $K_I$ 使用更细输入精度延拓幂的结论并不冲突。[第 14.1 条](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/492640d0651a5fca476f4b168c97a1d05f65ff8d/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md#L2806) 故本节的适用前提始终是给定空间上真实存在的幺半环结构、联合算术连续性及稠密自然核心；仅有一个有限观察塔，或者仅有某种数字观察规则，本身并不能替代这些前提。证毕。 ## 追加锚（本行以下为增补区） ## 46. 增补·有限算术解、共同自然见证与有效性边界 **定义 46.0（全阈值—周期完成）。** 记 $\mathbb N_0=\{0,1,2,\ldots\}$，并约定 $a^0=1$，包括 $0^0=1$。取全部指标 $$ I=\mathbb N_0\times\mathbb N_{>0},\qquad (t,p)\preceq(u,v)\iff t\le u\ \land\ p\mid v, $$ 以及 $$ nR_{t,p}m\iff n=m\ \lor\bigl(n,m\ge t\ \land\ n\equiv m\pmod p\bigr). $$ 记 $q_\alpha:\mathbb N_0\to Q_\alpha=\mathbb N_0/R_\alpha$，$b_{\beta\alpha}q_\beta=q_\alpha$，$K=\varprojlim_{\alpha\in I}Q_\alpha$，$\iota(n)=(q_\alpha(n))_\alpha$。各有限商取离散拓扑，$K$ 取逆极限拓扑。采用此指定完成上的逐坐标加法与乘法；$\pi_\alpha$ 表示坐标投影，$\iota^d,q_\alpha^d,\pi_\alpha^d$ 均表示逐分量映射。取 $c_0=(0,1)$，并对 $k\ge1$ 取 $c_k=(k,\operatorname{lcm}(1,\ldots,k))$。此处只采用[定义 14.0 与定理 14.1 的全指标完成及加乘延拓](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/492640d0651a5fca476f4b168c97a1d05f65ff8d/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)，不讨论其他紧致半环的分类。 **定理 46.1（有限算术、自然锚与有限同态）。** 商 $Q_{t,p}$ 可有效表示为 $\{0,\ldots,t+p-1\}$，其标准代表函数为 $$ \rho_{t,p}(n)=\begin{cases}n,&nx$，所以其自然解集为空。然而在 $Q_{1,1}$ 中正数类满足该方程，故 $C_\alpha=\varnothing\subsetneq B_\alpha$。这些方程已经按定义 46.2 正负分拆，没有使用有限半环中的消去律。 保留共同元组的输出分量给出所述两个包含。为证明互不包含，取自由输出 $y$ 和隐藏变量 $z$。系统 $z=0,z=1$ 在 $Q_{2,1}$ 中没有共同解，但两个关系各自的实际输出像都是整个 $Q_{2,1}$，故 $C_\alpha^{\rm out}\nsubseteq B_\alpha^{\rm out}$。反向取 $z^2+1=z$ 与 $\alpha=(1,1)$：隐藏变量可取正数商类，故 $B_\alpha^{\rm out}=Q_{1,1}$，而不存在任何实际自然见证，故 $C_\alpha^{\rm out}=\varnothing$。证毕。 **定理 46.4（商方程的紧致拼接与可延伸读数）。** 有 $$ E_\Sigma=\bigcap_{\alpha\in I}(\pi_\alpha^d)^{-1}(B_\alpha)\cong\varprojlim_{\alpha\in I}B_\alpha, $$ 且下列条件等价：$E_\Sigma\ne\varnothing$；每个 $B_\alpha$ 非空；对每个有限 $F\subseteq I$，存在一个自然元组 $\mathbf n$，使所有 $j$ 和所有 $\alpha\in F$ 同时满足 $P_j^+(\mathbf n)R_\alpha P_j^-(\mathbf n)$。此外 $$ \pi_\alpha^d(E_\Sigma)=\bigcap_{\beta\succeq\alpha}b_{\beta\alpha}^d[B_\beta]. $$ 同一紧致拼接结论适用于任意非空有向指标集上的有限交换半环逆系统及有限组相容系数的多项式等式。只要求解集间的遗忘映射是处处定义且相容的映射，不要求它们满射。 **证明。** 多项式计算与各坐标投影交换，故极限方程等价于每个坐标方程，得到第一个等式和逆极限识别。各方程是连续函数的等值条件，因而 $E_\Sigma$ 闭。半环同态保持等式，所以 $b_{\beta\alpha}^d$ 将 $B_\beta$ 映入 $B_\alpha$。 设各 $B_\alpha$ 非空。在紧致乘积 $\prod_\alpha B_\alpha$ 中，把每个相容要求 $b_{\beta\alpha}^d(x_\beta)=x_\alpha$ 看作闭条件。给定有限组此类条件，取涉及全部指标的共同上界 $\gamma$，选取 $s\in B_\gamma$，在涉及的坐标上赋值 $b_{\gamma\alpha}^d(s)$，其余坐标任选各自集合中的元素。所有已指定的相容等式同时成立。闭条件族具有有限交性质，故有共同点。整个论证没有提升任意预先指定的较低层解。逆向由极限点的坐标立即得到。该证明仅使用有限性、非空性、有向性与映射相容性，故也证明一般形式。 对于有限 $F$，从共同上界 $\gamma$ 的一个商解中，给每个分量选取自然代表，得到一个同时实现全部所需商等式的元组。反向令 $F=\{\alpha\}$ 即可。最后，极限点的 $\alpha$ 坐标显然属于所写交集。若 $a$ 属于该交集，则在有向子集 $\{\beta:\beta\succeq\alpha\}$ 上，各有限纤维 $$ \{s\in B_\beta:b_{\beta\alpha}^d(s)=a\} $$ 非空，并仍具有处处定义的相容遗忘映射。刚才的紧致论证给出其线程。此子集共尾：任意其他指标都与 $\alpha$ 有共同上界。因此沿共同上界下投影便得到全指标线程，且其 $\alpha$ 坐标为 $a$。 确实不能断言解遗忘映射满射。例如 $x^2=1$ 在 $Q_{0,8}$ 中有解 $3$；任何在模 $8$ 下等于 $3$ 的整数可写成 $3+8h$，其平方模 $16$ 等于 $9$，故该读数不能提升为 $Q_{0,16}$ 中的解，尽管两个层都有解 $1$。证毕。 **定理 46.5（所有有限算术观察都可满足的无自然解系统）。** 对系统 $$ \Sigma_*:\qquad x^2=x,\qquad x=z+2 $$ 有 $S_*=\varnothing$，但 $E_{\Sigma_*}\ne\varnothing$。具体地，对整数 $r$ 定义尾类 $$ \tau_\alpha(r)=q_\alpha(n)\quad(n\ge t,\ n\equiv r\pmod p),\qquad\alpha=(t,p), $$ 并令 $\xi_\alpha=\tau_\alpha(1)$、$\zeta_\alpha=\tau_\alpha(-1)$。这些坐标定义 $\xi,\zeta\in K$，且 $$ \xi^2=\xi,\qquad\xi=\zeta+\iota(2),\qquad \xi,\zeta\notin\iota[\mathbb N_0]. $$ 自然元组 $$ x_k=1+k!,\qquad z_k=k!-1\qquad(k\ge2) $$ 在 $K^2$ 中收敛到 $(\xi,\zeta)$。对任意有限观察集，有一个充分大的 $k$ 同时满足其全部商方程。原样选取的 $q_{c_k}^2(x_k,z_k)$ 从 $k=2$ 起并不构成相容线程；从 $k\ge3$ 的共尾子塔起则相容，低层必须由该子塔下投影补齐。所有 $A_\alpha$ 均为空，且 $C_{(2,1)}=\varnothing$，不能把这些商方程解称为实际共同像。阶乘稳定的经典半群背景见 [Kyriakoglou–Perrin，Profinite semigroups，5.5 节](https://arxiv.org/html/1703.10088v1)；下面给出此系统的直接坐标证明。 **证明。** 自然数满足 $x^2=x$ 时，$x=0$ 或 $x=1$：若 $x\ge2$，则 $x^2\ge2x>x$。而 $x=z+2$ 强制 $x\ge2$，故无共同自然解；特别地，$x=0,1$ 均不能被第二式补成非负整数见证。 尾类存在，因为可取 $n=t+((r-t)\bmod p)$，这里余数取 $\{0,\ldots,p-1\}$ 中的整数。定义不依赖代表。若 $(t,p)\preceq(u,v)$，则不低于 $u$ 且模 $v$ 等于 $r$ 的代表，不低于 $t$ 且模 $p$ 等于 $r$，故这些尾类相容。 给定有限 $F\subseteq I$，令 $$ N=\max\bigl(\{3\}\cup\{t+1,p:(t,p)\in F\}\bigr). $$ 对每个 $k\ge N$ 及 $(t,p)\in F$，有 $p\mid k!$、$z_k=k!-1\ge t$、$x_k\ge t$，并且 $$ x_k=z_k+2,\qquad x_k^2-x_k=k!(1+k!)\equiv0\pmod p. $$ 这里的差仅用于整数整除计算；商方程仍是 $q_\alpha(x_k^2)=q_\alpha(x_k)$。两者不低于阈值，故此等式成立。同时 $$ q_\alpha(x_k)=\tau_\alpha(1),\qquad q_\alpha(z_k)=\tau_\alpha(-1). $$ 因此每个有限坐标集合上的读数最终同时稳定，证明整列收敛。对每个固定坐标，极限读数满足两条商方程；定理 46.4 给出两条精确的 $K$ 中等式。$t=0$ 没有低段，$p=1$ 的整除条件自动成立，尤其 $(0,1)$ 为单点观察；上述证明全部包含这些情况。 对任意 $n\in\mathbb N_0$，在 $(n+1,1)$ 层，$\xi$ 与 $\zeta$ 都取尾类，而 $q_{(n+1,1)}(n)$ 是低段单点。因此两者都不等于 $\iota(n)$。更具体地，任何代表其 $(t,1)$ 坐标的自然数都至少为 $t$，不可能有统一的有限数值上界。 还需区分收敛与逐层相容。$k=2$ 时 $z_2=1$，在 $c_2=(2,2)$ 层属于低段单点；$k=3$ 时 $z_3=5$，下投影到该层属于奇数尾类，二者不同。故从 $2$ 起的原样选点不相容。若 $j\ge i\ge3$，则 $i!-1\ge i$，且 $\operatorname{lcm}(1,\ldots,i)$ 同时整除 $i!$ 与 $j!$，所以两个分量在 $c_i$ 层分别处于同一尾类，证明共尾子塔相容。 原系统没有自然解，故全部实际共同像为空。在 $(2,1)$ 层，第一关系的实际像只能让 $x$ 落在 $0$ 或 $1$ 的单点类，第二关系的实际像只能让 $x$ 落在尾类，因而分别实际像的交也为空。最后，任意有限半环上的自然常量同态由定理 46.1 经某个 $Q_{t,p}$ 因子化，该层的解映入此有限半环仍是解。因此反例覆盖全部有限自然算术同态，而不只是纯模数观察。证毕。 **定理 46.6（实际关系闭包、存在投影与自然参数）。** 对任意 $R\subseteq\mathbb N_0^d$，有 $$ \overline{\iota^d[R]}=\bigcap_{\alpha\in I}(\pi_\alpha^d)^{-1}(q_\alpha^d[R]),\qquad \overline{\iota^d[R]}\cap\iota^d[\mathbb N_0^d]=\iota^d[R]. $$ 若 $R\subseteq\mathbb N_0^a\times\mathbb N_0^b$，$p$ 表示输出投影，则 $$ p\bigl(\overline{\iota^{a+b}[R]}\bigr)=\overline{\iota^a[p(R)]}. $$ 特别地，固定 $\mathbf u\in\mathbb N_0^a$ 后，闭包中存在输出恰为 $\iota^a(\mathbf u)$ 的点，当且仅当存在自然见证 $\mathbf v$ 使 $(\mathbf u,\mathbf v)\in R$。对于多项式系统，只能无条件断言 $$ \overline{\iota^d[S]}\subseteq E_\Sigma,\qquad E_\Sigma\cap\iota^d[\mathbb N_0^d]=\iota^d[S]. $$ 把实际关系闭包换成 $E_\Sigma$ 后，即使固定输出为自然锚，前述存在性等价也可能失败。 **证明。** 每个有限实际像的柱集都是闭集并包含 $\iota^d[R]$，故包含其闭包。反向地，右侧一点的任意基本邻域只指定有限坐标。取共同上界，该点在此层的读数属于实际像，故有一个 $R$ 中元组匹配此层以及全部较低的所需坐标。于是任意邻域均与 $\iota^d[R]$ 相交，得到闭包公式。每个自然元组是开单点，故不属于 $R$ 的自然元组不可能属于其像的闭包，证明第二式。 令 $D=\overline{\iota^{a+b}[R]}$。它紧致，故 $p(D)$ 在 Hausdorff 空间 $K^a$ 中闭，并包含 $\iota^a[p(R)]$，从而包含其闭包。另一方面，若 $x\in D$，则 $p(x)$ 的每个开邻域的逆像都是 $x$ 的开邻域，必与 $\iota^{a+b}[R]$ 相交，因此 $p(x)$ 属于输出实际像的闭包。投影等式成立，再使用自然元组的开单点性得到固定自然输出的等价。 多项式延拓连续且保持自然值，故 $E_\Sigma$ 闭并包含实际解的像；在全部坐标均为自然锚时，$\iota$ 的单射性将 $K$ 中等式反推为自然数等式。严格反例是在 $\Sigma_*$ 上附加输出变量 $y$ 及方程 $y=0$：自然解仍为空，但 $(\iota(0),\xi,\zeta)$ 是完成中的解。所有系数原本就是自然常量，并未发生常量漂移。限制某些变量等于固定自然锚是闭条件；限制剩余变量属于所有自然锚组成的非闭集合，则不再保留紧致性。证毕。 **定理 46.7（实际锚的统一数值界判据）。** 设 $R\subseteq\mathbb N_0^d$，$x\in\overline{\iota^d[R]}$，并置 $\|\mathbf n\|_\infty=\max(\{0\}\cup\{n_i:1\le i\le d\})$。令 $$ W_k(x)=\{\mathbf n\in R:q_{c_k}^d(\mathbf n)=\pi_{c_k}^d(x)\},\qquad h_x(k)=\min_{\mathbf n\in W_k(x)}\|\mathbf n\|_\infty. $$ 则 $W_k(x)$ 非空，$h_x(k)$ 单调不减，且以下三者等价：$x\in\iota^d[R]$；存在 $M\in\mathbb N_0$ 使对每个 $k$ 都有 $W_k(x)\cap[0,M]^d\ne\varnothing$；存在 $\mathbf n_k\in W_k(x)$，使所有 $\mathbf n_k$ 属于离散空间 $\mathbb N_0^d$ 的某个紧致子集。等价地，$x$ 是实际锚当且仅当 $\sup_k h_x(k)<\infty$。若不是实际锚，则 $h_x(k)\to\infty$。 **证明。** 非空性来自定理 46.6，且 $W_{k+1}(x)\subseteq W_k(x)$，所以最小高度存在并单调不减。若 $x=\iota^d(\mathbf n)$ 且 $\mathbf n\in R$，取常值见证即给出统一界。反向设存在 $M$。有限集合 $W_k(x)\cap[0,M]^d$ 非空且递减，故其交非空：若交空，则有限盒中的每个元素都在某一层被排除，取这些有限层的最大值便与该层非空矛盾。取交中 $\mathbf n$，它在全部共尾层匹配 $x$，因而在全部指标上匹配，故 $x=\iota^d(\mathbf n)$。 离散空间的紧致子集必有限，否则其单点开覆盖没有有限子覆盖；反之有限集紧致。自然元组的有限集等价于被某个有限盒包含，故第三条件与第二条件等价。单调不减的自然数列若无统一上界便趋于无穷，证明最后断言。实际上，若目标是 $\iota^d(\mathbf n)$，则当 $k>\|\mathbf n\|_\infty$ 时，阈值坐标已强制 $W_k(x)=\{\mathbf n\}$。 这里数值界约束的是见证本身，而不是商集合的基数或观察层数。比如固定 $(t,1)$ 后，$t,t+1,t+2,\ldots$ 有相同读数却无数值上界。完成空间的紧致性并不使离散见证集紧致。定理 46.5 的理想解不属于空实际解集的闭包，因而不能被当作本条对实际解集的逼近目标。证毕。 **定理 46.8（有界商见证恢复真实方程）。** 对固定系统 $\Sigma$ 及 $M\in\mathbb N_0$，以下等价：存在 $\mathbf n\in S$ 且 $\|\mathbf n\|_\infty\le M$；对每个 $\alpha\in I$，存在 $\mathbf n_\alpha\in[0,M]^d$，使所有 $j$ 同时满足 $$ q_\alpha(P_j^+(\mathbf n_\alpha))=q_\alpha(P_j^-(\mathbf n_\alpha)). $$ 第二条件中的元组可随层变化，但数值界必须统一。 **证明。** 正向用同一个实际解。反向在共尾塔上取有限盒内满足该层全部等式的元组集合。这些集合非空且递减，故如定理 46.7 的有限交论证，其交中有元组 $\mathbf n$。对每个 $j$，两个自然数 $P_j^+(\mathbf n)$ 与 $P_j^-(\mathbf n)$ 在全部共尾层具有相同读数，因而其 $\iota$ 像相等。由单射性它们相等，所以 $\mathbf n\in S$。此处使用的是实际整数输出的分离性，未在商半环中使用消去。证毕。 **定义 46.9（有效输入与半判定）。** 一个系统输入是有限二进制串，编码变量数 $d$、方程数 $r$，以及每个多项式的有限单项式表。整数系数 $c$ 先编码为 $2c$（$c\ge0$）或 $-2c-1$（$c<0$）；指数向量属于 $\mathbb N_0^d$。非负整数 $n$ 的编码可取 $1^\ell0\operatorname{bin}(n)$，其中 $\ell$ 是通常二进制表示的长度，$\operatorname{bin}(0)=0$；有限表先写长度，再逐项写编码。合并同类项、移除零系数及语法合法性均可判定。记合法系统编码为 $\sigma$，长度为 $|\sigma|$，对应解集为 $S_\sigma$。有限观察输入为 $(t,p)$ 及标准代表元组，且必须有 $p\ge1$。算法指图灵算法；半判定一个集合指恰在其成员输入上停机接受；递归可枚举指存在这样的半判定。以下全部不可计算性断言都指对编码输入的统一断言。 **假设 46.10（明确采用的经典 DPRM 定理）。** 对每个有限 $a$ 及递归可枚举集合 $H\subseteq\mathbb N_0^a$，存在有限 $m$ 及整数系数多项式 $D$，使 $$ \forall\mathbf u\in\mathbb N_0^a,\qquad \mathbf u\in H\iff\exists\mathbf v\in\mathbb N_0^m\ D(\mathbf u,\mathbf v)=0. $$ 这是 Davis–Putnam–Robinson–Matiyasevich 定理；采用的非负整数版本及全部量词见 [Jones–Matijasevič，Proof of Recursive Unsolvability of Hilbert's Tenth Problem，American Mathematical Monthly 98 (1991), 689–709，定理 1，第 690 页](https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/akherim/hilbert10Old.pdf#page=3)。参数与见证都在 $\mathbb N_0$ 中，不以有理数版本或有限解数版本替代。 **定理 46.11（经典 H10 后果及其精确统一性）。** 合法系统中有自然解的编码集合递归可枚举，但不可判定；无自然解的编码集合不是递归可枚举的。并且存在一个固定整数系数多项式 $D(U,\mathbf V)$，使只变化自然参数 $u$ 的可解性问题已经不可判定。这里是经典 H10 不可判定性的具体化；参见假设 46.10，以及 [Davis，Hilbert's Tenth Problem is Unsolvable，American Mathematical Monthly 80 (1973), 233–269，定理 7.4，第 262 页](https://www.math.umd.edu/~laskow/Pubs/713/Diophantine.pdf#page=31)。 **证明。** 依次枚举有限盒 $[0,M]^d$，对其中每个元组精确计算全部整数多项式。一旦出现共同零点就接受。每次盒内工作有限，任何实际解最终被枚举到，故可解性递归可枚举。 固定有效枚举的图灵机 $M_e$，令 $H=\{e:M_e(e)\text{ 停机}\}$。逐步模拟给出其半判定。若 $H$ 有全停机判定器，则可构造机器 $T$：输入 $n$ 时，当判定器回答 $n\in H$ 就永不停机，否则停机。令 $e_T$ 是该机器的编码；在输入 $e_T$ 上，两种回答都与机器实际停机行为矛盾。因此 $H$ 不可判定。 由假设 46.10，固定一个 $D(U,\mathbf V)$ 表示此 $H$。给定 $e$，将 $U=e$ 代入固定单项式表，通过整数运算生成 $D(e,\mathbf V)$ 的合法编码；这是总可计算变换，且 $$ e\in H\iff S_{D(e,\mathbf V)=0}\ne\varnothing. $$ 故任意可解性判定器都会判定 $H$。该归约不需要把任意递归可枚举集合的定义作为额外输入；所用 $D$ 是一次固定的有限多项式。 若不可解编码也有半判定器，则对一个合法系统交替模拟可解与不可解两个半判定器，每轮各推进一步。系统恰属于一方，因此恰有一方最终接受，从而得到全停机判定器，矛盾。零变量、空系统等个别可判定子类不影响此统一否定结论。证毕。 **定理 46.12（精确有限共同像不可统一计算）。** 不存在总算法，对任意 $\sigma,\alpha$ 返回精确的有限集合 $A_\alpha(\sigma)$。即使固定 $\alpha=(0,1)$，只要求返回一个额外输出变量的实际观察像，结论仍成立。相应的实际像成员关系可半判定，但不能统一判定；在该单点输出特例中，它与可解性相互可计算归约。 **证明。** 完整元组在 $Q_{0,1}^d$ 中只有一个可能读数，故其实际像为空当且仅当系统无解。计算精确集合并检测是否为空便会判定定理 46.11 的问题。 为使输出类型及输出维数也固定，给 $\sigma$ 添加变量 $y$ 与方程 $y=0$，只观察 $y$。对任意预先固定的 $\alpha$，所得实际输出像恰为 $$ \begin{cases}\varnothing,&S_\sigma=\varnothing,\\ \{q_\alpha(0)\},&S_\sigma\ne\varnothing.\end{cases} $$ 该变换只追加一个变量和一个显式方程，完全可计算。检测已知读数 $q_\alpha(0)$ 是否属于返回集合便判定原系统；在 $\alpha=(0,1)$ 时输出域为固定单点。反向，输出像成员性本身是存在一个原系统共同见证的条件；在此特例中即为原系统可解性。 一般地，要半判定给定读数是否属于实际像，枚举自然元组，检查全部原方程与给定观察条件即可。这样能枚举精确实际像中的所有元素，但没有统一有效的终止信号证明已经枚举完毕。每个固定实际像当然是有限集合，且作为固定集合可由某张有限表决定；不存在的是从系统编码统一产生正确完整表的算法。这里只是经典不可判定性的单点像归约，不是新的全局不可判定性来源。证毕。 **定理 46.13（最小见证的有效界恰需额外判定能力）。** 不存在总可计算函数 $g(\sigma)$，使每个可解系统都有满足 $\|\mathbf n\|_\infty\le g(\sigma)$ 的自然解；因此也不存在只依赖编码长度的总可计算界。更一般地，在任意语法可判定的系统类上，存在这种总可计算见证上界，当且仅当该类上的可解性可判定。对全部系统定义 $$ H(N)=\max\Bigl(\{0\}\cup\bigl\{\min_{\mathbf n\in S_\sigma}\|\mathbf n\|_\infty:|\sigma|\le N,\ S_\sigma\ne\varnothing\bigr\}\Bigr). $$ 每个 $H(N)$ 都是有限自然数，但此函数没有总可计算的逐点上界。 **证明。** 若 $g$ 存在，先计算 $g(\sigma)$，再穷尽有限盒 $[0,g(\sigma)]^d$。发现解就回答可解；搜索结束仍没有解便回答不可解，因为任何可解系统按假设必在此盒内有解。由定理 46.11 得矛盾。编码长度界会通过 $\sigma\mapsto|\sigma|$ 给出这种 $g$，同样不可能。 对指定语法可判定的类，同一论证证明上界推出判定器。反过来，先使用可解性判定器；不可解时返回 $0$，可解时按递增盒搜索，首次出现解的盒半径就是最小高度。由已知可解性，该搜索必停，故得到总可计算上界。没有可解性判定器时，这个最小高度搜索仍是合法的部分可计算函数，但在无解输入上不返回数值，不能冒充所否定的总函数。 长度不超过 $N$ 的二进制串只有有限多个，每个非空自然解集的高度集合都有最小值，所以 $H(N)$ 有限。若有总可计算 $h(N)\ge H(N)$，则 $g(\sigma)=h(|\sigma|)$ 便是已经排除的见证界。该结论涉及所有可解系统的最小见证，不要求解的总数有限，也没有证明有限解数承诺下的对应断言。证毕。 **定理 46.14（即使给出可计算理想解，共同自然实现仍不可判定）。** 从任意系统 $\Sigma$ 可有效构造系统 $G(\Sigma)$，使 $$ S_{G(\Sigma)}\ne\varnothing\iff S_\Sigma\ne\varnothing, $$ 而每个 $G(\Sigma)$ 都有一个可逐坐标计算的 $K$ 中解。因此，即使承诺全部有限商方程同时可满足，并额外给出相容理想解的坐标计算法，仍不存在对共同自然实现性的统一判定器。 **证明。** 保留原变量 $\mathbf w$，添加互异新变量 $b,c,x,z$，取 $$ b+c=1, $$ $$ bP_j^+(\mathbf w)=bP_j^-(\mathbf w)\quad(1\le j\le r), $$ $$ cx^2=cx,\qquad cx=c(z+2). $$ 这些都是有效给出的整数系数多项式等式，所写两侧已经具有相应的非负系数解释。 在自然数中，$b+c=1$ 只允许 $(b,c)=(1,0)$ 或 $(0,1)$。前者强制且仅强制原系统的全部等式；后者强制 $\Sigma_*$，由定理 46.5 不可能。原系统的任意自然解配上 $(b,c,x,z)=(1,0,0,0)$ 是扩展系统的解，故所述可解性等价成立。 另一方面，在 $K$ 中总可取 $$ \mathbf w=\iota^d(\mathbf0),\quad b=\iota(0),\quad c=\iota(1),\quad x=\xi,\quad z=\zeta. $$ 原系统各式被零乘子消去，其余式由定理 46.5 满足。这一点的任意坐标由 $q_\alpha(0),q_\alpha(1),\tau_\alpha(1),\tau_\alpha(-1)$ 的显式公式计算，故相容理想解并非只由非构造性存在给出。若在这一承诺类上有判定器，先执行所写变换并提供这些坐标公式，就会判定原系统，违反定理 46.11。这是由经典 H10 与显式反例组合得到的归约。证毕。 **定义 46.15（有限算术约束电路）。** 原始关系取 $$ \operatorname{Add}(u,v,w)\iff u+v=w,\qquad \operatorname{Mul}(u,v,w)\iff uv=w, $$ 以及相等关系和常量 $0,1$ 的固定关系。一个有限算术约束电路由有限个输入变量、按拓扑顺序新建的加乘输出变量，以及有限个末端相等要求组成；所有变量取 $\mathbb N_0$。允许将指定输入固定为给定自然参数。自然常量可由 $0,1$ 通过有限加法构造；因此变化的常量无需增加原始关系种类。电路的自然实现要求全部门和末端要求由同一个自然赋值满足。 **定理 46.16（可判定原始门及精确门像不能决定共同实现）。** 每个原始门的自然成员关系可判定，其全部有限阈值—周期实际像也可统一计算。然而有限算术约束电路的共同自然实现性不可判定。甚至存在一个固定电路形状，只有一个被固定为自然数的输入参数发生变化，其共同实现性已不可判定；还可使每个参数值都有可计算的相容理想实现。相反，给定有限变量域的有限约束问题可由穷举判定。引入中间变量将一般多项式分解为低次算术约束的经典背景见 [Davis，定理 7.5，第 262–263 页](https://www.math.umd.edu/~laskow/Pubs/713/Diophantine.pdf#page=31)。 **证明。** 原始门的自然成员性由整数加乘与比较直接判断。对于加法门，有精确等式 $$ q_\alpha^3[\operatorname{Add}]=\{(a,b,a+_\alpha b):a,b\in Q_\alpha\}. $$ 一侧由同态性成立；反向对任意 $a,b$ 选择自然代表 $u,v$，令 $w=u+v$，就得到具有所需全部读数的实际门见证。乘法完全相同。相等关系的实际像是对角线，常量关系的实际像是对应单点。因此每个原始门的实际像都是可计算的有限表，而不只是商方程解的近似。 给定 $\Sigma$，将每个 $P_j^+$ 与 $P_j^-$ 写成由变量、$0,1$、加法和乘法组成的有限表达式：系数可用有限次加法构造，单项式指数可用有限次乘法构造，零多项式用 $0$。每个内部子表达式新建一个输出变量，并按子表达式先于父表达式的顺序添加相应门，最后要求两侧输出相等。给定原输入元组，按顺序计算得到唯一内部赋值；反向任何满足全部门的赋值，按同一顺序归纳，每个内部变量必等于对应子表达式的值。因此末端要求成立当且仅当原系统全部等式成立。这给出完整的有效归约；同一归纳在每个商半环及 $K$ 中也成立。 将固定多项式 $D(U,\mathbf V)$ 一次展开，保留 $U$ 为输入参数，固定 $U=e$ 后，电路有自然实现当且仅当 $e\in H$。电路形状、原始门种类及其余变量数均不随 $e$ 改变。若先对带参数的系统使用定理 46.14，再一次展开，则每个 $e$ 都有相容理想输入 $U=\iota(e)$、$\mathbf V=\mathbf0$ 及所给 $b,c,x,z$。按拓扑顺序计算内部变量便得到理想实现；其有限坐标同样可计算，而自然实现性仍等价于 $e\in H$。 这里末端相等要求不可删除：只有总函数门而没有末端要求的无环电路，对每组自然输入总有唯一内部实现，不能据此宣称不可判定。若全部变量被限制在给定有限域 $F$，则有限电路只有 $|F|^N$ 个赋值，逐一检查即可；阈值—周期观察有限并不等于原自然变量域有限。证毕。 **定理 46.17（有限商障碍恰半判定理想不可解性）。** 对可计算编码的系统，性质 $$ \exists\alpha\in I,\quad B_\alpha=\varnothing $$ 可半判定，等价于 $E_\Sigma=\varnothing$，并且蕴含 $S_\Sigma=\varnothing$。它不能半判定全部自然不可解系统；即使使用全部有限自然算术同态，仍不完备。 **证明。** 枚举共尾塔 $c_0,c_1,\ldots$。每层的商、运算表、常量与多项式计算均有效，故可穷举全部有限元组并决定该层 $B_{c_k}$ 是否为空。一旦为空就接受。若某个 $B_\alpha$ 为空，其任意更细层也为空，因而某个共尾层会被检出；反向接受本身即提供一个所需有限层。与 $E_\Sigma=\varnothing$ 的等价是定理 46.4 的逆否命题。若有自然解，其像属于每个 $B_\alpha$，故有限空解集是健全的不可解证书。 定理 46.5 的 $\Sigma_*$ 无自然解，但每个 $B_\alpha$ 非空；由定理 46.1 的因子化，在任意有限自然算术同态下也有解，所以这种半判定必遗漏它。定理 46.14 进一步说明，未出现任何有限障碍的承诺类中仍存在统一不可判定的自然实现问题。此处否定的不是算术连续性；加法与乘法在整个论证中始终联合连续。证毕。 **定理 46.18（不存在有效、健全且完备的有限不可解证书族）。** 不存在二元关系 $V(\sigma,c)$，其中 $c$ 为有限二进制串，$V$ 递归可枚举，并同时满足 $$ V(\sigma,c)\Longrightarrow S_\sigma=\varnothing, $$ $$ S_\sigma=\varnothing\Longrightarrow\exists c\ V(\sigma,c). $$ 因此使用任何可判定检查器的有限证书方案也不能对所有自然不可解系统既健全又完备。这是经典正反半判定并行论证的后果；相关原始论证见 [Davis，第 263–264 页、定理 7.7 后的双枚举论证](https://www.math.umd.edu/~laskow/Pubs/713/Diophantine.pdf#page=32)。 **证明。** 假设存在这样的 $V$。对固定合法 $\sigma$，枚举全部候选证书，并交错执行它们的 $V$ 半判定：第 $s$ 轮将前 $s$ 个候选各自的模拟至少推进到第 $s$ 步。某个 $V(\sigma,c)$ 成立时，其模拟最终接受。与此并行运行定理 46.11 的自然共同见证搜索。若系统可解，自然搜索最终接受，而健全性保证没有证书误接受；若系统不可解，完备性保证有一个证书最终接受，自然搜索则不会误接受。故两路中必有一路在有限时间给出正确答案，得到禁止存在的判定器，矛盾。 该结论不排除特定系统的有限不可解证明，不排除对真子类有效且完备的障碍，也不涉及不可有效枚举的证书全集。它只排除对全部编码系统统一有效、健全且完备的方案。证毕。 **定理 46.19（有效数字观察不消除存在量词）。** 设 $h_n:\mathbb N_0\to F_n$ 是任意统一可计算的有限值观察族，其中有限目标有有效编码。即使全部观察联合分离自然数，任意多项式系统的精确实际输出像也不能统一计算；只考察固定层 $n=0$ 已足够。此断言只要求 $h_0(0)$ 是可计算读数，不要求观察为半环同态，不需要数字拓扑或任何乘法图闭包结论。 **证明。** 给任意系统追加变量 $y$ 与方程 $y=0$。在固定层 $0$ 上，其精确实际输出像为 $\varnothing$ 或 $\{h_0(0)\}$，分别对应原系统无解或有解。若能统一计算该像，检测已知读数 $h_0(0)$ 的成员性就会判定定理 46.11 的问题。观察族是否联合单射不改变这一归约；有限数字可计算性与原始算术共同见证的存在性是不同条件。因此，将这种观察用于数字表示时，所得不可计算性也不应与数字截断未必保持加乘的另一个问题混同。证毕。 ## 追加锚（本行以下为增补区） ## 47. 全阈值—周期完成中的自然锚、边界环与判定边界 **定义 47.0（全阈值—周期完成与尾线程）。** 令 $\mathbb N_0=\{0,1,2,\ldots\}$，取指标集及其次序 $$ I=\mathbb N_0\times\mathbb N_{>0},\qquad (t,p)\preceq(u,q)\Longleftrightarrow t\le u\land p\mid q. $$ 对 $\alpha=(t,p)$，令 $$ nR_{t,p}m\Longleftrightarrow n=m\ \lor\ (n,m\ge t\land n\equiv m\pmod p), \qquad Q_{t,p}=\mathbb N_0/R_{t,p}, $$ 商映射记为 $q_{t,p}$，每个商取有限离散拓扑。若 $\alpha\preceq\beta$，过渡映射及商运算按下列代表元公式给出： $$ b_{\beta\alpha}(q_\beta(n))=q_\alpha(n),\qquad q_\alpha(n)+q_\alpha(m)=q_\alpha(n+m),\qquad q_\alpha(n)q_\alpha(m)=q_\alpha(nm). $$ 定义 $$ K=\left\{(x_\alpha)_{\alpha\in I}\in\prod_{\alpha\in I}Q_\alpha: \forall\alpha\preceq\beta,\ b_{\beta\alpha}(x_\beta)=x_\alpha\right\}, \qquad \iota(n)=(q_\alpha(n))_{\alpha\in I}. $$ 在 $K$ 上取乘积拓扑的子空间拓扑及逐坐标加乘，坐标投影记为 $\pi_\alpha$。环境常量记为 $$ 0_K=\iota(0),\qquad 1_K=\iota(1). $$ 将正整数指标集按整除排序；对于 $p\mid q$，令 $\rho_{q,p}:\mathbb Z/q\mathbb Z\to\mathbb Z/p\mathbb Z$ 为剩余类约化。定义 $$ \widehat{\mathbb Z} :=\varprojlim_{(\mathbb N_{>0},\,\mid)}(\mathbb Z/p\mathbb Z,\rho_{q,p}) =\left\{(r_p)_{p>0}\in\prod_{p>0}\mathbb Z/p\mathbb Z: \forall p\mid q,\ \rho_{q,p}(r_q)=r_p\right\}, $$ 赋予逐坐标环运算及乘积子空间拓扑。整数在这个环中的对角像仍用该整数表示。对 $a\in\mathbb Z/p\mathbb Z$，以 $\theta_{t,p}(a)$ 表示任取 $n\ge t$ 且 $n\bmod p=a$ 所给出的类 $q_{t,p}(n)$，称为剩余类 $a$ 的尾类。对 $r=(r_p)_p$，按坐标公式定义 $$ \tau(r)=(\theta_{t,p}(r_p))_{(t,p)\in I}. $$ 记 $A:=\iota[\mathbb N_0]$、$B:=\tau[\widehat{\mathbb Z}]$。 **定理 47.0.1（坐标构造与尾线程的良定义性）。** 定义 47.0 中的过渡映射、商运算、逐坐标运算及尾线程公式均良定义。空间 $K$ 是非空紧致 Hausdorff 交换幺半环，其加乘联合连续，$\iota$ 保持加乘及环境常量。空间 $\widehat{\mathbb Z}$ 是紧致 Hausdorff 拓扑环，$\tau$ 是取值于 $K$ 的映射，并且 $$ \tau(0_{\widehat{\mathbb Z}})\ne0_K,\qquad \tau(1_{\widehat{\mathbb Z}})\ne1_K. $$ 有限商与完成的基础构造参见[《递归关系观察》第 14.0—14.1 条，固定版本 54e52af3e2ce49e65cbf066649cee410fafc2dff](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/54e52af3e2ce49e65cbf066649cee410fafc2dff/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)。 **证明。** 关系 $R_{t,p}$ 的等价类是低于阈值的单点类与阈值以上的模 $p$ 尾类，因此确为等价关系。若 $nR_{t,p}m$，则对每个 $c\in\mathbb N_0$ 都有 $n+c\mathrel{R_{t,p}}m+c$。对于倍乘，$c=0$ 时两个结果都是零；$c>0$ 时，非平凡相关的一对满足 $cn,cm\ge t$ 且模 $p$ 同余。因此固定自然数的加法与乘法都保持该关系。依次改变两个输入，得到加乘的双槽相容性，故商运算良定义，且商继承交换幺半环恒等式。 若 $(t,p)\preceq(u,q)$，则 $R_{u,q}\subseteq R_{t,p}$，所以过渡映射良定义。其复合律及保持加乘的性质都可在自然数代表元上验证。因而逐坐标加乘保持线程相容性，环境常量也是相容线程，幺半环恒等式逐坐标成立。每个输出坐标仅依赖两个有限输入坐标，所以加乘联合连续；代表元公式同时说明 $\iota$ 保持加乘与常量。 有限离散空间的乘积紧致 Hausdorff，而每个线程相容方程定义闭集，因此 $K$ 紧致 Hausdorff；线程 $\iota(0)$ 说明它非空。同样的闭子集论证适用于 $\widehat{\mathbb Z}$，其环运算及加法逆元运算均逐坐标连续。 对于尾类，指定剩余类中存在任意大的自然数，所以代表元可取。任意两个满足条件的代表元都不小于 $t$ 且模 $p$ 同余，故给出同一商类。若 $(t,p)\preceq(u,q)$，取 $n\ge u$ 且 $n\bmod q=r_q$，则 $n\ge t$ 且 $n\bmod p=r_p$，因而 $$ b_{(u,q),(t,p)}(\theta_{u,q}(r_q))=\theta_{t,p}(r_p). $$ 故 $\tau(r)$ 满足全部相容方程，确实属于 $K$。最后，在坐标 $(1,1)$，$\tau(0_{\widehat{\mathbb Z}})$ 是尾类，而 $0_K$ 是零的单点类；在坐标 $(2,1)$，$\tau(1_{\widehat{\mathbb Z}})$ 是尾类，而 $1_K$ 是一的单点类。两组不等式成立。证毕。 **定理 47.1（载体的穷尽分解与实际逆极限拓扑）。** 映射 $$ \mathbb N_0\sqcup\widehat{\mathbb Z}\longrightarrow K, \qquad n\longmapsto\iota(n),\quad r\longmapsto\tau(r) $$ 是双射。对每个 $n\in\mathbb N_0$，$\{\iota(n)\}$ 是开闭集。对每个 $r\in\widehat{\mathbb Z}$，边界点 $\tau(r)$ 的一组开闭邻域基为 $$ U(t,p;r)= \{\iota(n):n\ge t,\ n\bmod p=r_p\} \cup \{\tau(s):s_p=r_p\}. $$ 因此 $A$ 是开稠密离散子空间，$B$ 是非空、闭且无内点的紧致子空间，$\tau$ 是 $\widehat{\mathbb Z}$ 到 $B$ 的同胚。这里的集合不交分解不是拓扑不交并。定义 47.0 的加乘也是自然数加乘的唯一联合连续延拓。 **证明。** 取 $x\in K$。若某个 $\pi_{t,1}(x)$ 是单点类 $n0\Longrightarrow\iota(n)\tau(r)=\tau(nr). $$ 因此 $B$ 在继承的两个二元运算下是一个交换环，内部零元为 $e$、内部一元为 $u$，且 $\tau:\widehat{\mathbb Z}\to B$ 是环同构。特别地， $$ e\ne0_K,\qquad u\ne1_K. $$ 边界环不是含环境常量的环境幺半环子结构，也不是 $K$ 的理想。 **证明。** 固定输出坐标 $(t,p)$。两个尾类的代表元都可以取得任意大；其和仍越过阈值，剩余为 $r_p+s_p$，其积也可以保证越过阈值，剩余为 $r_ps_p$。自然锚 $\iota(n)$ 与一个足够大的尾代表元相加，结果仍在尾部，剩余为 $n+r_p$。若自然因子为零，所有代表元乘积都为零，所以得到环境点 $\iota(0)$；若 $n>0$，尾代表元取得足够大后，其 $n$ 倍越过阈值，剩余为 $nr_p$。这些坐标恒等式对全部指标成立，故得到所列公式。 由定理 47.1，$\tau$ 对 $B$ 双射；上述加乘公式把 $\widehat{\mathbb Z}$ 的环结构运输到 $B$。其中加法逆元为 $\tau(r)$ 对应的 $\tau(-r)$，内部零与一分别为 $e,u$。它们与环境常量的区别已由定理 47.0.1 证明。由于 $0_K\notin B$，边界不含环境幺半环语言的全部常量；又 $0_Ke=0_K\notin B$，所以边界也不满足理想的吸收条件。证毕。 **定理 47.3（唯一非零加法幂等元与自然锚的无参数定义）。** 在纯幺半环语言 $$ L_{\mathrm{sr}}=\{0,1,+,\cdot\} $$ 中，常量在 $K$ 内解释为 $0_K,1_K$。令 $$ E(z)\Longleftrightarrow z+z=z\land z\ne0. $$ 则 $K\models E(z)$ 恰有一个解，即 $e$。此外， $$ B=\{x\in K:e+x=x\},\qquad A=\{x\in K:e+x\ne x\}. $$ 这两个集合均无参数一阶可定义；具体公式为 $$ B(x)\Longleftrightarrow\exists z\,(E(z)\land z+x=x), $$ $$ N(x)\Longleftrightarrow\exists z\,(E(z)\land z+x\ne x). $$ **证明。** 若 $x=\iota(n)$ 且 $x+x=x$，则 $\iota(2n)=\iota(n)$。由单射性得 $2n=n$，所以 $n=0$。若 $x=\tau(r)$ 且 $x+x=x$，则 $\tau(2r)=\tau(r)$，故 $2r=r$；在环 $\widehat{\mathbb Z}$ 中相减得 $r=0$。因此加法幂等元恰为 $0_K,e$，而 $e$ 是唯一不等于环境零的加法幂等元。 由定理 47.2，$e+\tau(r)=\tau(r)$，而 $e+\iota(n)=\tau(n)$。定理 47.1 的不交分解保证 $\tau(n)\ne\iota(n)$，包括 $n=0$ 的情形。因此等式 $e+x=x$ 精确选出 $B$，不等式精确选出 $A$。公式 $E$ 的唯一解性质使所列存在量词公式无需参数。证毕。 **定理 47.4（Borel 等级与不存在连续二值锚判定）。** 在 $K$ 的逆极限拓扑中， $$ B\in\Pi^0_1\setminus\Sigma^0_1,\qquad A\in\Sigma^0_1\setminus\Pi^0_1. $$ 不存在连续映射 $\chi:K\to\{0,1\}_{\mathrm{disc}}$ 以 $A$ 为其一纤维，也不存在这样的连续映射以 $B$ 为其一纤维。因而不存在一个连续有限离散观察及其二值后处理，能够判定自然锚成员关系。 **证明。** 定理 47.1 说明 $B$ 闭、非空且无内点，所以它不是开集；$A$ 开稠密而不是整个 $K$，所以它不是闭集。这给出所列第一层 Borel 分类。连续映射到离散二点空间的每个纤维都开闭，与上述性质矛盾。若先连续映到某个有限离散空间，再作任意二值后处理，则后处理自动连续，复合仍是这样的连续二值映射，也不可能存在。证毕。 **定义 47.5（自然锚相对化翻译）。** 对任意 $L_{\mathrm{sr}}$ 公式 $\varphi$，先按需要有效改名束缚变量以避免变量捕获，再定义 $\varphi^N$：等式原子不变，布尔联结词逐项翻译，量词替换为 $$ (\exists x\,\psi)^N:=\exists x\,(N(x)\land\psi^N), $$ $$ (\forall x\,\psi)^N:=\forall x\,(N(x)\rightarrow\psi^N), $$ 其中 $N(x)$ 是定理 47.3 给出的无参数公式。 **定理 47.6（在完成内无参数解释标准自然数）。** 对每个 $L_{\mathrm{sr}}$ 公式 $\varphi(\bar x)$ 与每个 $\bar n\in\mathbb N_0^k$，有 $$ (\mathbb N_0,0,1,+,\cdot)\models\varphi(\bar n) \Longleftrightarrow K\models\varphi^N(\iota(\bar n)). $$ 因此 $K$ 的纯幺半环结构无参数解释标准自然数幺半环。 **证明。** 定理 47.3 说明解释域恰为 $A$。定理 47.0.1 说明 $\iota$ 保持常量与运算，所以对项作结构归纳，任意项在自然数元组上的值经 $\iota$ 映入，等于该项在对应自然锚元组上的值。结合定理 47.1 的单射性，等式原子双向保持。布尔联结词保持真值等价；存在量词的守卫把见证精确限制在 $A$，而每个 $A$ 中的元素有唯一自然数原像；全称量词的守卫则精确要求全部这些自然数原像满足归纳假设。对公式结构归纳即得结论。证毕。 **定理 47.7（一个边界零见证给出的 H10 有效归约）。** 存在从有限编码的整数系数多项式 $$ P\in\mathbb Z[X_1,\ldots,X_k],\qquad k\in\mathbb N_0, $$ 到 $L_{\mathrm{sr}}$ 存在句的可计算映射，使输出句在 $K$ 中成立，当且仅当 $P$ 在 $\mathbb N_0^k$ 有零点。输出句的量词自由部分只使用多项式等式、不等式与合取。因此不存在在所有此类句子上停机并正确判定真值的图灵机，$K$ 的完整一阶理论也不可判定。 **证明。** 将输入表示为有限个有符号整数系数及指数元组，并有效分拆为 $$ P=P^+-P^-,\qquad P^+,P^-\in\mathbb N_0[X_1,\ldots,X_k]. $$ 自然系数可有效展开为由 $0,1,+,\cdot$ 构成的有限项。输出 $$ \exists z\,\exists x_1\cdots\exists x_k\, \left( z+z=z\land z\ne0 \land\bigwedge_{i=1}^k(z+x_i\ne x_i) \land P^+(\bar x)=P^-(\bar x) \right). $$ 定理 47.3 迫使唯一的额外见证 $z$ 等于 $e$，并使每个 $x_i$ 都是自然锚。最后的等式由定理 47.6 精确对应于原自然数多项式方程。反过来，任何自然数解与见证 $z=e$ 都满足输出句。因此两个可解性条件双向等价，且整个变换由有限语法有效计算。 当 $k=0$ 时，省去变量量词及空守卫合取，保留边界零见证与常数等式，仍给出正确真值。零多项式产生恒真等式；自然数元组空间总非空，包括零维时的空元组。非零常数多项式产生两个不同自然数常量之间的等式，由 $\iota$ 单射而为假。这些退化输入也全部正确处理。 所用不可判定性输入是 Jones–Matijasevic，*Proof of Recursive Unsolvability of Hilbert's Tenth Problem*，American Mathematical Monthly 98(8) (1991)，689–709，[Theorem 1，第 690 页](https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/akherim/hilbert10Old.pdf#page=3)。该定理的量词范围是：对每个递归可枚举关系 $R\subseteq\mathbb N_0^m$，存在有限个未知数与一个整数系数多项式 $F$，使 $$ \forall\bar a\in\mathbb N_0^m,\qquad \bar a\in R\Longleftrightarrow \exists\bar y\in\mathbb N_0^\ell\ F(\bar a,\bar y)=0. $$ 多项式取决于关系，而不是参数取值；全部参数和未知数均在非负整数中量化。 为明确这个输入如何推出所需不可判定性，固定图灵机的有效编号 $\mathsf M_a$，令 $$ \mathcal H=\{a\in\mathbb N_0:\mathsf M_a(a)\text{ 停机}\}. $$ 并行模拟枚举出 $\mathcal H$。若其特征函数可计算，构造程序在输入 $a$ 被判为属于 $\mathcal H$ 时无限循环，否则停机；把该程序自己的编号作为输入，就与判定结果矛盾。因此 $\mathcal H$ 不可判定。对该固定关系应用上述已发表定理，得到一个固定多项式 $F(T,\bar Y)$。代入整数 $a$ 得到 $F(a,\bar Y)$ 是有效操作；若非负整数多项式可解性有总判定程序，就能判定 $\mathcal H$，矛盾。这里固定一个表示 $\mathcal H$ 的多项式即可，不需要从任意关系描述统一合成表示多项式。 另一直接来源是 Martin Davis，*Hilbert's Tenth Problem is Unsolvable*，American Mathematical Monthly 80(3) (1973)，233–269，[Theorem 7.4，第 262 页](https://www.math.umd.edu/~laskow/Pubs/713/Diophantine.pdf#page=31)。该文在[第 234 页](https://www.math.umd.edu/~laskow/Pubs/713/Diophantine.pdf#page=3)明确约定正文中的变量取正整数，不能把这一约定写成非负整数。两种可解性输入通过有效代换转换： $$ \exists\bar y\in\mathbb N_{>0}^k\ Q(\bar y)=0 \Longleftrightarrow \exists\bar n\in\mathbb N_0^k\ Q(\bar n+\mathbf 1)=0. $$ 反向转换对非负整数方程使用 $P(\bar Y-\mathbf 1)$，展开后仍为整数系数多项式。每个代换都来自两个变量域之间的逐坐标双射，所以量词范围精确对应。 最后，把已经证明的非负整数不可判定性与本条的有效归约复合，即排除所述存在句片段的总判定程序；完整一阶理论的判定程序若存在，也会判定这一片段，故同样不存在。证毕。 **定理 47.8（正存在等式定义集的闭性）。** 设 $C$ 是任意紧致 Hausdorff 拓扑幺半环，基本运算连续，允许有限个固定参数。只由项等式经有限合取、有限析取与存在量词构成的公式，在每个有限幂 $C^n$ 中定义闭集。特别地，即使允许有限个任意固定参数，这一片段也不能在 $K$ 中定义 $A$。 **证明。** 含固定参数的项函数由连续运算复合而成，所以连续。原子等式 $s(\bar x)=t(\bar x)$ 定义的集合，是连续映射 $(s,t):C^n\to C^2$ 对 Hausdorff 对角线的逆像，因而闭。有限合取与有限析取分别对应有限交与有限并，均保持闭性；空合取与空析取分别给出全空间与空集，也闭。 若 $F\subseteq C^{n+m}$ 闭，则它是紧致集。其坐标投影到 $C^n$ 的像紧致，而 $C^n$ Hausdorff，因此该像闭。这正是存在量词所需的闭性保持。对公式构造归纳即得结论，包括零个自由变量的情形。定理 47.1 说明 $A$ 稠密而不是整个 $K$，故它不闭，不能由该片段定义。上述论证没有为含不等式的任意公式提供闭性保证。证毕。 **定理 47.9（边界环上整数系数方程的局部—整体等价）。** 对任意 $d,s\in\mathbb N_0$ 及有限多个整数系数多项式 $$ P_1,\ldots,P_s\in\mathbb Z[X_1,\ldots,X_d], $$ 以下两个条件等价： $$ \exists\bar r\in\widehat{\mathbb Z}^{\,d}\quad \bigwedge_{j=1}^s P_j(\bar r)=0, $$ $$ \forall m>1\ \exists\bar a_m\in(\mathbb Z/m\mathbb Z)^d\quad \bigwedge_{j=1}^s P_j(\bar a_m)=0. $$ 空方程组按真命题解释，零维元组空间按含空元组的单点空间解释。 **证明。** 全局解投影到任意有限剩余环即给出必要性。反过来，假设每个模数都有解，并令 $$ C_m=\left\{\bar r\in\widehat{\mathbb Z}^{\,d}: \forall j\in\{1,\ldots,s\},\ P_j(\bar r)\bmod m=0\right\}. $$ 剩余投影 $\widehat{\mathbb Z}\to\mathbb Z/m\mathbb Z$ 满射：给定一个剩余类，取整数代表元，其对角线程便是提升。逐坐标提升模 $m$ 的解，说明 $C_m$ 非空。这个集合是有限离散商中一个集合的逆像，故开闭，特别地闭。 对于任意非空有限组模数 $m_1,\ldots,m_h$，取 $M=\operatorname{lcm}(m_1,\ldots,m_h)$，则 $$ C_M\subseteq\bigcap_{i=1}^h C_{m_i}. $$ 由于 $M>1$，假设保证 $C_M$ 非空。空有限交是非空空间 $\widehat{\mathbb Z}^{\,d}$ 本身，因此整个闭集族具有有限交性质。紧致性给出 $$ \bigcap_{m>1}C_m\ne\varnothing. $$ 取交中的 $\bar r$。每个 $P_j(\bar r)$ 在全部模 $m>1$ 的坐标中都为零，在模一坐标中也自动为零。逆极限元素由全部坐标唯一确定，所以 $P_j(\bar r)=0$。证明没有预先选取一族相容的模解；这种相容性由紧致性产生。证毕。 **定理 47.10（边界环正方程可判定的精确有效范围）。** 将 $B$ 视为内部环 $$ (B,e,u,+,\cdot,-), $$ 其中 $-\tau(r)=\tau(-r)$，整数常量通过这个内部环的一元 $u$ 解释，特别地 $0_B=e$、$1_B=u$。存在一个算法，输入有限编码的 $d,s\in\mathbb N_0$ 及 $$ P_1,\ldots,P_s\in\mathbb Z[X_1,\ldots,X_d], $$ 在所有这类输入上停机，并正确判定它们是否在 $B^d$ 有共同零点。输入参数仅为通常有效编码的整数系数，不包括任意指定的边界元素。 **证明。** 环同构 $\tau:\widehat{\mathbb Z}\to B$ 将问题化为定理 47.9 的左侧。有效构造环语言句 $$ \phi_P:=\exists X_1\cdots\exists X_d\, \bigwedge_{j=1}^s P_j(\bar X)=0. $$ 整数系数用有限环项表示；$s=0$ 时以 $0=0$ 表示空合取，$d=0$ 时省去变量量词。由定理 47.9， $$ (B,e,u,+,\cdot,-)\models\phi_P \Longleftrightarrow \forall m>1,\quad\mathbb Z/m\mathbb Z\models\phi_P. $$ 右侧是对全部模数的共同真值问题，不是给定单个模数后的有限搜索问题。 Derakhshan–Macintyre，*Decidability of the class of all the rings $\mathbb Z/m\mathbb Z$: A problem of Ax*，Forum of Mathematics, Sigma 11 (2023)，e64，DOI 10.1017/fms.2023.62，[Theorem 3.1，第 4—5 页；Corollary 3.1，第 5 页](https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/S2050509423000622#page=4)，给出所需的已发表判定定理：有限剩余环类在有理数的 adele 环 $\mathbb A_{\mathbb Q}$ 中一致可解释，并且存在一个算法，输入任意环语言句 $\psi$，判定 $$ \forall m>1,\quad\mathbb Z/m\mathbb Z\models\psi. $$ 将有效构造的 $\phi_P$ 交给该共同理论判定程序，便判定原方程组在内部环 $B$ 上的可解性。整个过程中，环语言的零与一始终解释为 $e,u$，没有替换成环境常量 $0_K,1_K$。证毕。 **定义 47.10.1（有效坐标名字与三种输入契约）。** 为 $Q_{t,p}$ 使用有限代码集 $$ C_{t,p}=\{2n:0\le n0}\}, $$ 这样的统一总判定器也不存在。此结论是在全部产生的名字均已保证总性与相容性的承诺域上成立的。 **证明。** 沿用定理 47.7 中的对角停机集合 $\mathcal H$。将模拟中的停机检查阶段从正整数开始编号。对程序编号 $a$，构造如下坐标名字计算程序。输入 $(t,p)$ 后，令 $$ b(t,p)=\max\{1,t,p\}. $$ 模拟 $\mathsf M_a(a)$ 的前 $b(t,p)$ 个阶段。若在其中首次发现停机，记该阶段为 $h$，输出 $\eta_{t,p}(h!)$；若尚未发现停机，输出一。每次只执行有限阶段模拟与有限整数运算，所以这给出关于 $a,t,p$ 一致可计算的总函数 $f_a(t,p)$。把 $a$ 写入这个固定程序模板，可有效得到其程序索引 $j(a)$。 若 $a\notin\mathcal H$，所有坐标都输出一，故 $f_a=f_e$。若 $a\in\mathcal H$ 且首次停机阶段为 $h$，则当 $b(t,p)\ge h$ 时，程序按定义输出 $\eta_{t,p}(h!)$。当 $b(t,p)b(t,p)\ge t,\qquad p\le b(t,p)0),\qquad \tau(z)\tau(w)=\tau(zw). $$ Consequently $B$, with its inherited operations, is a ring with zero $e=\tau(0)$ and unit $\tau(1)$. Neither is the corresponding ambient natural point. The map $$ \rho:K\longrightarrow\widehat{\mathbb Z},\qquad \rho(n)=n,\quad \rho(\tau(z))=z, $$ is a unital semiring homomorphism and is injective on $B$. The ambient nonzero elements are closed under addition and multiplication. The only additive idempotents of $K$ are $0$ and $e$. The threshold-period construction agrees with [the fixed source, Definition 14.0 and Theorem 14.1](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/54e52af3e2ce49e65cbf066649cee410fafc2dff/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md). The profinite-natural-number and boundary-ring identifications also occur in [Almeida–Klíma, section 2, page 3](https://arxiv.org/pdf/1606.04059v1#page=3) and [Almeida–Kufleitner–Wächter, Proposition 4.1, page 34](https://arxiv.org/pdf/2411.08523v1#page=34). **证明。** Each relation $\sim_{t,p}$ is preserved by translation by a natural number. It is also preserved by multiplication by a fixed natural number: multiplier zero gives two zeros, while a positive multiplier preserves both the threshold condition and congruence modulo $p$. Thus it is a semiring congruence. The inverse-limit compatibility conditions are closed conditions in a product of finite discrete spaces, so $K$ is compact Hausdorff. Coordinatewise operations are continuous and satisfy the semiring identities. Two distinct natural numbers are distinguished by a quotient whose threshold exceeds both. To prove density, consider a nonempty basic cylinder specified at finitely many indices and choose a point of that cylinder. Take a common refinement of the indices and a natural representative of the point's coordinate there. Its natural-number thread lies in the cylinder. Suppose a thread has a coordinate equal to a head class $n1,\ \mathbb Z/m\mathbb Z\models\Psi. $$ The parameter-free first-order theory of the internal ring $B$, with its own zero $e$ and unit $\tau(1)$, is also decidable. This includes internally interpreted inequations, but does not add arbitrary named profinite parameters. **证明。** The published [Derakhshan–Macintyre, Corollary 3.1, page 5](https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/S2050509423000622#page=5) provides an algorithm deciding, from a ring sentence $\Phi$, whether it is true in every $\mathbb Z/m\mathbb Z$ with $m>1$. Their [Theorem 3.1, pages 4–5](https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/S2050509423000622#page=4) states uniform interpretability of that finite-ring class in the rational adele ring. It is not itself a theorem identifying $K$ with a ring. Write $\Psi=\exists\mathbf z\,\bigwedge_j A_j(\mathbf z)=D_j(\mathbf z)$. A solution in $R$ projects to a solution modulo every $m$. Conversely, suppose every modulus has a solution. Inside the compact space $R^n$, let $E_m$ be the closed set where all equations hold modulo $m$. It is nonempty because a solution tuple modulo $m$ lifts coordinatewise to $R$, for example through integer representatives. Given finitely many moduli, take their least common multiple $M$. A solution modulo $M$ lifts to a point in all the corresponding $E_m$. Thus these closed sets have the finite-intersection property. Their intersection contains a tuple whose polynomial equalities hold modulo every modulus, hence hold in $R$. This proves the equivalence, and Corollary 3.1 decides its right-hand side in one uniform procedure. No compatibility or surjectivity of maps between solution sets was assumed. For the stronger first-order statement, here is an explicit interpretation of $R$ which also distinguishes integral finite adeles from arbitrary finite adeles. Let $A=\mathbb A_{\mathbb Q}$. Use a fixed parameter-free ring formula $\theta$ defining $\mathbb Z_\ell$ in every $\mathbb Q_\ell$, supplied by [Cluckers–Derakhshan–Leenknegt–Macintyre, Theorem 2, page 2](https://arxiv.org/pdf/1306.1802v1#page=2) and recalled as Theorem 2.1 on page 2 of the 2023 paper. A nonzero minimal idempotent $f$ of $A$ selects one factor field $fA$. Its domain is defined by $fy=y$, its zero is ambient zero, and its unit is $f$. Every ring formula about this field is effectively translated by restricting quantifiers to that domain and replacing its unit by $f$. There is a unique minimal idempotent $f_\infty$ whose field satisfies $$ \forall x\,\exists y\,(x=y^2\ \lor\ -x=y^2). $$ The real field satisfies this sentence; no $\mathbb Q_\ell$ does, because taking $x=\ell$ makes both candidate squares have odd valuation. Thus $f_\infty$ is parameter-free definable. Put $f_{\rm fin}=1-f_\infty$ and define $$ D_{\rm fin}=\{a\in A:f_{\rm fin}a=a\ \text{and, for every minimal }f\ne f_\infty,\ fA\models\theta(fa)\}. $$ The preceding relativization makes this a fixed first-order definition. Its elements are exactly the adeles with real coordinate zero and every finite coordinate integral. Every tuple of integral finite coordinates is an adele, so projection onto those coordinates is a ring isomorphism $$ (D_{\rm fin},0,f_{\rm fin},+,-,\cdot)\cong\prod_\ell\mathbb Z_\ell=R. $$ In contrast, $f_{\rm fin}A$ without the integrality condition is strictly larger than $D_{\rm fin}$. For example, let $a\in\mathbb A_{\mathbb Q}$ have coordinates $$ a(\infty)=0,\qquad a(2)=\frac12,\qquad a(p)=0\quad\text{for every prime }p\ne2. $$ Then $a(p)\in\mathbb Z_p$ for every prime $p\ne2$, so $a$ satisfies the restricted-product condition defining a rational adele: its finite coordinate is nonintegral at only the single prime $2$. Since its real coordinate is zero, $f_{\rm fin}a=a$, hence $a\in f_{\rm fin}A$. But $a(2)=1/2\notin\mathbb Z_2$, so $a\notin D_{\rm fin}$. Thus $f_{\rm fin}A$ is not the integral product $\prod_p\mathbb Z_p$. Translate a sentence of $R$ by restricting all quantifiers to $D_{\rm fin}$ and replacing its unit by the uniquely definable $f_{\rm fin}$. Induction on terms and formulas proves preservation of truth. The construction is effective. Decidability of $A$, invoked in the published Corollary 3.1 proof on page 5, therefore decides the translated sentence. Finally, $\tau$ identifies $R$ with the internal ring $B$. Ring subtraction in this interpretation is internal ring subtraction; none is asserted for ambient $K$. 证毕。 **theorem 48.7 (Uniform decidability over the full compact semiring).** There is an algorithm deciding $K\models\exists\mathbf x\,\Sigma(\mathbf x)$ for every input of Definition 48.0. The same holds for finite existential disjunctions of such conjunctions. **证明。** Compute the separate positive polynomial expansions, $C,d,M_\Sigma$. Enumerate the finitely many subsets $Z\subseteq V$. For each, compute the fixed anchoring set $F$ and its complement $U$ from Definition 48.4. Enumerate all maps $$ \mathbf n:F\longrightarrow\{1,\ldots,M_\Sigma\}. $$ If $F$ is empty there is exactly one such map. Substitute ambient zero on $Z$ and the specified natural values on $F$. For an equation whose active support on one side is contained in $F$, fixed-point closure puts the other side's support in $F$ as well. Evaluate both sides as natural numbers and reject this branch unless they agree exactly. Every remaining equation has an active variable in $U$ on each side. For these equations form a ring system in variables $(z_i)_{i\in U}$ by substituting ring zero on $Z$, the same integer numerals on $F$, and $z_i$ on $U$. Keep each equation as an equality between its two separately substituted polynomials. Decide existential satisfiability of this finite ring system in $R$ by Theorem 48.6. Accept precisely when at least one branch passes both tests. Suppose a branch is accepted, with a ring witness $\mathbf z$. Set $a_i=0$ on $Z$, $a_i=n_i$ on $F$, and $a_i=\tau(z_i)$ on $U$. Its exact ambient-zero set is $Z$, including when some $z_i$ is ring zero. Equations with supports contained in $F$ hold by the natural tests. Both sides of every other equation are boundary by Theorem 48.3, and their equal ring values are their $\rho$-images. Injectivity on $B$ proves the literal $K$-equations. Thus acceptance is sound. Conversely, any $K$-solution has an ambient-zero set $Z$. Theorem 48.5 replaces it by a solution retaining positive natural values at most $M_\Sigma$ on the corresponding $F$ and having boundary values on $U$. The retained values occur among the enumerated maps $\mathbf n$. Its boundary residues satisfy the ring branch, and its other equations pass the ordinary natural tests. Thus the algorithm accepts every satisfiable input. All enumerations are finite, their bounds are computable, and every boundary decision terminates. This proves uniform decidability. Zero patterns and boundary replacements are external finite case analysis, not additional predicates in the input language. A finite existential disjunction is satisfiable exactly when one of its finitely many conjunctions is satisfiable; alternatively, any positive existential formula can be effectively distributed into that form after renaming bound variables. 证毕。 **theorem 48.8 (Positive quotient fibers and actual finite joint images).** Every fiber of $\pi_{t,p}$ has an effectively obtainable positive existential definition using only ambient natural numerals. A head fiber with $a0$, boundary witnesses give $$ a+p\tau(w)=\tau(a+pw). $$ It remains to prove that $z\equiv a\pmod p$ is sufficient for $z-a=pw$ in $R$, without any assumption about coherent choices of divisibility witnesses. For each $m\geq1$, choose an integer representative $v$ of $z-a$ modulo $pm$. Compatibility with reduction modulo $p$ implies $p\mid v$. Define $w_m$ to be the class of $v/p$ modulo $m$. A different representative differs by a multiple of $pm$, so gives the same $w_m$. If $m\mid n$, representatives modulo $pm$ and $pn$ differ by a multiple of $pm$ after reduction, and dividing that integer congruence by $p$ gives $w_n\equiv w_m\pmod m$. Thus $(w_m)_m$ defines $w\in R$. Its coordinates satisfy $pw=z-a$. Necessity follows immediately by reduction modulo $p$. This proves the fiber formula, including $p=1$, $t=0$, $a=0$, and the ambient-zero witness case. Now enumerate each candidate tuple $\mathbf q$ of finite outputs. Append to $\Sigma$ the corresponding fiber formula for each $T_i(\mathbf x)$, using a distinct fresh witness variable for each tail formula. This is another finite positive equality system, so Theorem 48.7 decides its satisfiability. Include $\mathbf q$ exactly when that test succeeds. All constraints share the same original tuple $\mathbf x$; the auxiliary divisibility witnesses are not identified with one another. Therefore the resulting finite set is precisely the displayed actual common-witness image, rather than an intersection of images obtained from unrelated witnesses. 证毕。 **theorem 48.9 (Compact witnesses, effective stabilization, and computable compatible choice).** Let $$ S=\{\mathbf x\in K^r:\Sigma(\mathbf x)\},\qquad S_\alpha=\{\mathbf q\in Q_\alpha^r:Q_\alpha\models\Sigma(\mathbf q)\}. $$ Then $S$ is nonempty if and only if every $S_\alpha$ is nonempty. For each fixed $\alpha$, its actual coordinate image satisfies $$ I_\alpha=\pi_\alpha^r[S]=\bigcap_{\beta\succeq\alpha}b_{\beta\alpha}^r[S_\beta]. $$ One can effectively find $\beta_*\succeq\alpha$ such that $$ b_{\gamma\alpha}^r[S_\gamma]=I_\alpha\qquad\text{for every }\gamma\succeq\beta_*. $$ When $S$ is nonempty, one can uniformly construct a solution given by a total algorithm returning its coordinate at every threshold-period quotient. **证明。** Projection of a $K$-solution supplies every finite-quotient solution. Conversely, inside compact $K^r$ let $E_\alpha$ be the set where the equations hold after projection to $Q_\alpha$. It is closed. If every $S_\alpha$ is nonempty, any finite collection of these conditions is satisfied by lifting a solution at one common refinement: every tuple of quotient classes has a lift to $K^r$ through natural representatives. The finite-intersection property gives a point of every $E_\alpha$. Equality at all coordinates is equality in $K$, so this point belongs to $S$. The inclusion of $I_\alpha$ in every projected $S_\beta$ is immediate. Conversely, fix $\mathbf q$ in their intersection. Impose the additional closed cylinder condition $\pi_\alpha^r(\mathbf x)=\mathbf q$. Any finite collection of quotient equation conditions, together with this cylinder, has a witness by taking a common refinement $\beta\succeq\alpha$ and using membership of $\mathbf q$ in $b_{\beta\alpha}^r[S_\beta]$. Compactness again gives an actual solution with coordinate $\mathbf q$. This proves the intersection identity. The projected sets decrease under refinement. For each of the finitely many tuples outside $I_\alpha$, the intersection identity supplies an index excluding it. A common refinement of these indices and $\alpha$ therefore has projected solution image exactly $I_\alpha$, and every further refinement has the same image. This stabilization index is effectively obtainable. Compute $I_\alpha$ by Theorem 48.8, taking the coordinate variables as output terms. If $\alpha=(t,p)$, enumerate the cofinal chain $$ \beta_k=\bigl(\max(t,k),\operatorname{lcm}(p,1,2,\ldots,k)\bigr),\qquad k\geq1. $$ At each step, compute $S_{\beta_k}$ by finite enumeration and its image in $Q_\alpha^r$. Stop when that image equals the already computed $I_\alpha$. The preceding stabilization argument proves termination and the asserted property for every further refinement. No transition map between the sets $S_\beta$ was required to be onto. For the final assertion, use the cofinal chain $\alpha_k=(k,\operatorname{lcm}(1,\ldots,k))$, $k\geq1$. Compute its actual images $I_{\alpha_k}$. Choose any tuple in the first image. Having chosen $\mathbf q_k\in I_{\alpha_k}$, choose the first tuple in $I_{\alpha_{k+1}}$ projecting to it. Such a tuple exists: an actual $K$-solution witnessing $\mathbf q_k$ also has a coordinate at $\alpha_{k+1}$. This proves surjectivity for these actual images, not for the raw quotient solution sets. Finite enumeration makes each choice effective. The compatible sequence defines a point of $K^r$, and its coordinates solve every quotient system, so it lies in $S$. To return its coordinate at an arbitrary index, choose a sufficiently high member of the cofinal chain and project. Compatibility makes the answer independent of that choice. 证毕。 **theorem 48.10 (Separation from the natural core and from inequations).** The equality-only natural-core problem is undecidable, and exact finite images of actual natural solution relations are not uniformly computable, even for a one-point output. In contrast, the equality-only full-$K$ problem and its actual finite joint images are decidable as above. Positive existential equality formulas define closed subsets of finite powers of $K$, even with finitely many fixed parameters, and cannot define $\mathbb N_0$ as a unary subset. Allowing inequations makes existential satisfiability over the full $K$ undecidable. **证明。** The [DPRM representability theorem, Jones–Matijasevic (1991), Theorem 1, page 690](https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/akherim/hilbert10Old.pdf#page=3) represents computably enumerable sets by existential Diophantine equations. It implies undecidability of existential polynomial equations over $\mathbb N_0$; a positive-integer formulation is converted by replacing each positive variable by a nonnegative variable plus one. For an integer-coefficient polynomial, separate its positive and negative coefficient parts to obtain an equation $P^+=P^-$ with natural coefficients. This conversion concerns ordinary integer or natural arithmetic and does not assert cancellation in $K$. If one could compute the image of every actual natural solution relation under the map to a singleton, emptiness of that image would decide this undecidable problem. The difference between the two solution domains is already witnessed by $$ x^2=x,\qquad x=z+2. $$ In $K$, take $x=\tau(1)$ and $z=\tau(-1)$. Both equations hold by Theorem 48.1. Over $\mathbb N_0$, the first equation forces $x=0$ or $x=1$, while the second forces $x\geq2$, a contradiction. Thus the $K$-solution set need not equal the closure of the actual natural solution set: in this example the latter set is empty. The bound in Theorem 48.5 allows boundary replacement and makes no assertion that a bounded natural solution exists. Moreover, $x+x=x$ has the boundary solution $x=e\ne0$, so replacing that literal equality by $x=0$ would be an invalid semiring cancellation. Every term map is continuous. An equality therefore defines a closed set, since the diagonal of the Hausdorff space $K$ is closed. Finite intersections and finite unions preserve closedness. Existential quantification is projection of a closed subset of a compact finite power of $K$; the image is compact and hence closed in the Hausdorff target. Induction proves the assertion for positive existential formulas. Fixed parameters do not affect continuity. The natural core is dense and proper by Theorem 48.1, so is not closed and cannot have such a definition. If inequations are admitted, however, define $$ \operatorname{Nat}(x)\quad\Longleftrightarrow\quad\exists u\,\bigl(u+u=u\ \land\ u\ne0\ \land\ u+x\ne x\bigr). $$ The first two conditions force $u=e$. For every natural $n$, $e+n=\tau(n)\ne n$; for every boundary $\tau(z)$, $e+\tau(z)=\tau(z)$. Thus this formula defines exactly $\mathbb N_0$. Given a natural Diophantine system, adjoin a single variable $u$, the conditions $u+u=u$ and $u\ne0$, and the condition $u+x_i\ne x_i$ for every original variable. These force precisely natural witnesses, and every natural witness extends by $u=e$. The resulting finite conjunction of equations and inequations has a $K$-solution exactly when the original natural system has a solution. DPRM therefore proves undecidability of this enlarged full-$K$ problem. It does not contradict Theorem 48.6, whose inequations are evaluated entirely inside the internal boundary ring. 证毕。 **theorem 48.11 (Why arbitrary parameter names are a different problem).** Consider an extension in which an input may contain a boundary parameter $c=\tau(z)$ named by a program returning the residue of $z$ modulo every positive integer. Even under the promise that the program is total and its residues are coherent, no uniform algorithm decides all positive polynomial equality sentences with such input parameters. The obstruction already occurs for the ground equation $c+c=c$. **证明。** Given a program $E$ with no input, count computation steps starting at one. Define an element $z_E\in\widehat{\mathbb Z}$ by taking $z_E=0$ if $E$ never halts, and $z_E=h!$ if its first halting step is $h\geq1$. There is a uniformly obtainable total residue program for $z_E$ which does not decide whether $E$ halts. On input $m\geq1$, simulate $E$ for $m$ steps. If it halts at a step $h\leq m$, return $h!$ modulo $m$; otherwise return zero modulo $m$. If $E$ later halts at $h>m$, then $m\mid h!$, so the earlier zero answer was correct. Hence the returned residues are exactly those of $z_E$ and are coherent. They also give a full threshold-period name for $c_E=\tau(z_E)$ by always returning the tail class with the prescribed residue. By the boundary operation law and injectivity of $\tau$, $$ c_E+c_E=c_E\quad\Longleftrightarrow\quad z_E+z_E=z_E\quad\Longleftrightarrow\quad z_E=0. $$ If $E$ halts, its value $h!$ is nonzero in $\widehat{\mathbb Z}$: reduction modulo $h!+1$ distinguishes it from zero. Thus the displayed ground equation is true exactly when $E$ does not halt. A uniform decision algorithm on the promised parameter codes would decide halting by complementing its answer. Halting is undecidable: a proposed decider for a program on a supplied input would yield a program which, on input $n$, halts exactly when that decider predicts that program $n$ on input $n$ does not halt; applying it to its own index contradicts either prediction. Hard-coding an input reduces that problem to the no-input version used here. The reduction uses only a positive equality; a dummy existential variable with the equation $x=x$ may be added without changing truth. Every parameter in this construction is individually a computable boundary point, but its value is not supplied as an explicit integer numeral. This dependence on the naming representation distinguishes the extension from Definition 48.0 and a fortiori excludes any unsupported transfer to arbitrarily specified noncomputable parameters. 证毕。 ## 48.99 追加锚 ## 49. 阈值—supernatural 完备化上的联合连续幂 **定义 49.1（supernatural 周期与 Carmichael 闭包条件）。** 令 $$ D=\prod_p p^{e_p},\qquad e_p\in\mathbb N_0\cup\{\infty\}. $$ 对正整数 $m$，写 $m\mid D$ 表示对每个素数 $p$ 都有 $v_p(m)\le e_p$。令 $$ H(D)=\sup_p e_p\in\mathbb N_0\cup\{\infty\}. $$ 称 $D$ 为 Carmichael 闭合的，若 $$ \forall m\in\mathbb N_{>0},\qquad m\mid D\Longrightarrow \lambda(m)\mid D, $$ 其中约定 $\lambda(1)=1$，而对 $m>1$，$\lambda(m)$ 是 $(\mathbb Z/m\mathbb Z)^\times$ 的指数。Ford、Luca、Pomerance，*The image of Carmichael's $\lambda$-function*，第 1 节明确把 $\lambda(n)$ 定义为单位群的指数，并给出 $$ \lambda(n)=\operatorname{lcm}_{p^a\parallel n}\lambda(p^a) $$ 及素数幂公式；见 [arXiv:1408.6506v2，PDF 第 1—2 页](https://arxiv.org/pdf/1408.6506v2)。这里 $\lambda(1)=1$ 只是平凡群指数的本节约定。 对 $t\in\mathbb N_0\cup\{\infty\}$，令 $$ I_{t,D}=\{(u,m):u\in\mathbb N_0,\ u\le t,\ m\mid D\}, $$ 其中 $u\le\infty$ 恒成立。令 $$ a\mathrel{R_{u,m}}b \quad\Longleftrightarrow\quad a=b\ \lor\ \bigl(a,b\ge u\land a\equiv b\pmod m\bigr), $$ 并令 $Q_{u,m}=\mathbb N_0/R_{u,m}$，赋予有限离散拓扑。按 $$ (u,m)\preceq(v,n) \quad\Longleftrightarrow\quad u\le v\ \land\ m\mid n $$ 取规范商映射组成逆系统，并定义 $$ K_{t,D}=\varprojlim_{(u,m)\in I_{t,D}}Q_{u,m}. $$ 自然映射记为 $$ j:\mathbb N_0\longrightarrow K_{t,D}. $$ 对任意 $t\in\mathbb N_0\cup\{\infty\}$，记 $$ R_D=\varprojlim_{m\mid D}\mathbb Z/m\mathbb Z. $$ 若 $t<\infty$，把候选载体写成 $$ \{0,1,\ldots,t-1\}\sqcup R_D. $$ 若 $t=\infty$，把候选载体写成 $$ \mathbb N_0\sqcup R_D. $$ **theorem 49.1.1（逆极限载体、拓扑与自然像稠密性）。** 上述 $K_{t,D}$ 是紧致 Hausdorff 空间，且 $j(\mathbb N_0)$ 稠密。若 $t<\infty$，存在保持自然映射的规范同胚 $$ K_{t,D}\cong \{0,1,\ldots,t-1\}_{\mathrm{disc}}\sqcup R_D, $$ 其中右侧取有限离散前缀与 profinite 空间 $R_D$ 的拓扑不交并；特别地两个分量均开闭。若 $t=\infty$，存在保持自然映射的规范同胚 $$ K_{\infty,D}\cong\mathbb N_0\sqcup R_D, $$ 其中每个自然数点孤立，而对任意边界点 $z\in R_D$，其邻域基由 $$ U\cup\{n\in\mathbb N_0:n\ge N,\ \bar n\in U\} $$ 组成；这里 $N\in\mathbb N_0$，而 $U$ 是 $R_D$ 中包含 $z$ 的开闭柱集。换言之，$U$ 必须是 $z$ 的一个 profinite 柱邻域，而不是任意与 $z$ 无关的集合。 **证明。** 每个 $Q_{u,m}$ 有限离散，所以其乘积紧致 Hausdorff；逆极限由相容等式切出闭子空间，故 $K_{t,D}$ 紧致 Hausdorff。有限坐标柱集构成其开闭基。 先设 $t<\infty$。对任意 $rt$，任选足够大的 $a\ge t$ 满足 $v_p(a)=1$，并取 $$ b=t,\qquad b'=t+n. $$ 指数二者属于同一 $R_{t,n}$ 类，而 $$ v_p(a^t)=t,\qquad v_p(a^{t+n})=t+n. $$ 于是 $$ v_p\bigl(a^{t+n}-a^t\bigr) =v_p\bigl(a^t(a^n-1)\bigr)=t1$，取素数 $p\mid D$。考虑输出坐标 $(0,p)$。由 theorem 49.3，若连续延拓存在，则存在某个输入模数 $n\mid D$，使该输出只依赖模 $n$ 输入。指数 $0$ 与任意正倍数 $kn$ 在 $R_{0,n}$ 中相同。取底数 $a=p$，则 $$ a^0=1, $$ 而 $$ a^{kn}\equiv0\pmod p. $$ 两输出在 $Q_{0,p}=\mathbb Z/p\mathbb Z$ 中不同，矛盾。因此 $D=1$。反之 $K_{0,1}$ 是单点，延拓唯一存在。 以下设 $1\le t<\infty$。固定任意有限 $m\mid D$，考察输出坐标 $(t,m)$。theorem 49.3 给出某个 $(v,n)\in I_{t,D}$ 决定该输出。把 $v$ 增大到 $t$，并把 $n$ 替换为 $\operatorname{lcm}(n,m)$；后二者仍满足 $n\mid D$，而输入观察只变细。因此可假设输入为 $(t,n)$ 且 $m\mid n$。theorem 49.4 的必要性给出 $$ h(m)\le t,\qquad\lambda(m)\mid n\mid D. $$ 由于这对所有有限 $m\mid D$ 成立，第一式等价于每个 $e_p\le t$，即 $H(D)\le t$；第二式正是 Carmichael 闭合。 若 $t=\infty$，固定 $m\mid D$ 并取任意有限输出阈值，例如 $(1,m)$。theorem 49.3 给出某个输入 $(v,n)$。再把 $n$ 替换成 $\operatorname{lcm}(n,m)$。对任意模 $m$ 单位 $a$，取足够大的同余代表，并比较尾指数 $b$ 与 $b+n$，与 theorem 49.4 必要性部分相同，得到 $$ \lambda(m)\mid n\mid D. $$ 所以 $D$ Carmichael 闭合。 再证充分性。设 $1\le t<\infty$ 且两条件成立。固定任意输出 $(u,m)\in I_{t,D}$。由 Carmichael 闭合，有限整数 $$ n=\operatorname{lcm}(m,\lambda(m)) $$ 满足 $n\mid D$。又由 $H(D)\le t$ 得 $h(m)\le t$。theorem 49.4 因此说明输出 $(u,m)$ 只依赖输入坐标 $(t,n)$。于是对每个有限输出坐标，都有一个有限输入坐标决定自然幂的输出。 这些有限坐标函数彼此相容，因为它们在自然数输入上都等于同一个自然幂函数的相应投影，而每个有限输入商均由自然数商映射满射。故可逐坐标定义 $$ \operatorname{Pow}_{t,D}:K_{t,D}^2\to K_{t,D}. $$ 每个输出坐标只依赖一个有限离散输入坐标，所以该映射连续，并在稠密自然数像上延拓普通幂。 若 $t=\infty$ 且 $D$ Carmichael 闭合，固定输出 $(u,m)$，仍取 $$ n=\operatorname{lcm}(m,\lambda(m))\mid D $$ 以及 $$ v\ge\max\{u,1,h(m)\}. $$ theorem 49.4 给出所需有限输入依赖，逐坐标同样构造连续延拓。 最后，若有两个连续延拓，它们在稠密集 $j(\mathbb N_0)^2$ 上相等；目标 $K_{t,D}$ 为 Hausdorff 空间，所以两者处处相等。证毕。 **定义 49.6（边界单位幂字符）。** 以下假设 theorem 49.5 的相应存在条件成立。设 $p^e\mid D$，$e\ge1$。由于 $\lambda(p^e)\mid D$，任意 $z\in R_D$ 有确定的坐标 $$ z_{\lambda(p^e)}\in\mathbb Z/\lambda(p^e)\mathbb Z. $$ 对 $x\in R_D$ 与非负整数代表 $r$ 定义候选值 $$ \mathcal E_{p^e}(x,z;r)= \begin{cases} 0,&x\equiv0\pmod p,\\ x_e^r\pmod{p^e},&x\not\equiv0\pmod p, \end{cases} $$ 其中 $x_e$ 是 $x$ 的模 $p^e$ 坐标，且要求 $$ r\equiv z_{\lambda(p^e)}\pmod{\lambda(p^e)}. $$ 对自然数 $a$ 同样定义 $$ \mathcal E_{p^e}(a,z;r)= \begin{cases} 0,&p\mid a,\\ a^r\pmod{p^e},&p\nmid a. \end{cases} $$ **theorem 49.6.1（边界单位幂字符的代表元无关性）。** 在定义 49.6 的条件下，$\mathcal E_{p^e}(x,z;r)$ 与 $\mathcal E_{p^e}(a,z;r)$ 都只依赖 $z_{\lambda(p^e)}$，与所选非负整数代表 $r$ 无关。因此可无歧义地记为 $$ \mathcal E_{p^e}(x,z) \qquad\text{和}\qquad \mathcal E_{p^e}(a,z). $$ **证明。** 若 $x$ 在模 $p^e$ 下不是单位，定义值恒为 $0$，与 $r$ 无关。若 $x$ 是单位，则其在有限群 $(\mathbb Z/p^e\mathbb Z)^\times$ 中的乘法阶整除该群指数 $\lambda(p^e)$。若 $r\equiv r'\pmod{\lambda(p^e)}$，则该阶也整除 $r-r'$，所以 $$ x_e^r=x_e^{r'}\pmod{p^e}. $$ 自然数 $a$ 的单位情形完全相同；非单位情形同样恒定义为 $0$。故两个候选值都与非负代表无关。这里没有把 $z$ 当成一个未经限定的 $p$-进指数；所使用的只是指数在具体有限单位群指数 $\lambda(p^e)$ 上的坐标。证毕。 **theorem 49.7（有限阈值时的全部边界公式）。** 设 $1\le t<\infty$ 且 $K_{t,D}$ 满足 theorem 49.5。对 $x,z\in R_D$，存在唯一边界元素 $$ E(x,z)\in R_D $$ 使对每个 $p^e\mid D$ 都有 $$ E(x,z)\bmod p^e=\mathcal E_{p^e}(x,z). $$ 对 $a\in\{0,\ldots,t-1\}$，同样记 $E(a,z)$ 为由 $\mathcal E_{p^e}(a,z)$ 给出的边界元素。连续幂延拓完全由下列公式决定： $$ \operatorname{Pow}_{t,D}(a,b)=j(a^b), \qquad a,b1$ 时，$j(0),j(1)$ 是环境空间中的孤立自然数点，必须与边界环中的 $0,1\in R_D$ 区分。 **证明。** 先说明 $E(x,z)$ 的各素数幂坐标相容。固定素数 $p$。若 $x$ 模 $p$ 非单位，则该素数的全部坐标均为零。若为单位，则对 $e'\le e$，模 $p^e$ 的单位幂向模 $p^{e'}$ 投影就是同一指数的单位幂；theorem 49.6.1 保证指数可用 $z$ 在相应 Carmichael 周期上的任一代表计算，因而较高坐标的投影正是较低坐标。不同素数的有限素数幂坐标由中国剩余定理唯一拼接，所以得到 $R_D$ 中唯一元素。$E(a,z)$ 同理。 取自然指数网 $b_i\ge t$ 收敛到边界 $z$。若某个模 $p^e$ 坐标上的底数为非单位，由 $$ e\le H(D)\le t\le b_i $$ 可知其 $b_i$ 次幂模 $p^e$ 恒为零。若底数为单位，则幂值只依赖 $b_i$ 模 $\lambda(p^e)$，并收敛到定义 49.6 与 theorem 49.6.1 的值。这证明边界指数公式。 若底数是边界 $x$，取自然数网 $a_i\ge t$ 收敛到 $x$。固定正自然指数 $b1$ 时与之不同的边界环常数。这解释了必须单独保留零指数例外。 若孤立底数为 $0$ 且指数趋于边界，则所有代表指数最终至少为 $t\ge1$，所以 $0^{b_i}=0$，极限为环境自然点 $j(0)$。底数为 $1$ 时恒有 $1^{b_i}=1$，得到环境自然点 $j(1)$。这两点在 $t>1$ 时不能用边界环常数替代。 其余孤立底数 $a\ge2$ 与边界指数的幂值最终至少为 $t$，故极限属于边界，并由前述逐 $p^e$ 计算给出 $E(a,z)$。边界—边界情形同时应用相同有限坐标计算。所有公式在稠密自然数核上与普通幂一致；由 theorem 49.5 的唯一性，它们就是连续延拓。证毕。 **theorem 49.8（无限阈值时的全部边界公式与非单位消失）。** 设 $t=\infty$ 且 $D$ Carmichael 闭合。仍以定义 49.6 与 theorem 49.6.1 定义 $E(x,z)$ 与 $E(a,z)$。则 $$ \operatorname{Pow}_{\infty,D}(a,b)=j(a^b), \qquad a,b\in\mathbb N_0; $$ $$ \operatorname{Pow}_{\infty,D}(x,0)=j(1), \qquad x\in R_D; $$ $$ \operatorname{Pow}_{\infty,D}(x,b)=x^b\in R_D, \qquad x\in R_D,\quad b\ge1; $$ $$ \operatorname{Pow}_{\infty,D}(0,z)=j(0), \qquad z\in R_D; $$ $$ \operatorname{Pow}_{\infty,D}(1,z)=j(1), \qquad z\in R_D; $$ $$ \operatorname{Pow}_{\infty,D}(a,z)=E(a,z), \qquad a\ge2,\quad z\in R_D; $$ 以及 $$ \operatorname{Pow}_{\infty,D}(x,z)=E(x,z), \qquad x,z\in R_D. $$ 若 $x$ 的模 $p$ 坐标为零，则最后一式的全部模 $p^e$ 坐标均为零，即 $$ E(x,z)\equiv0\pmod{p^e} $$ 对每个有限 $p^e\mid D$ 成立。这里 $j(0),j(1)$ 始终是环境中的孤立自然数点，而 $E(x,z)$ 属于边界环 $R_D$。 **证明。** 先证明任意收敛到边界的自然数网都最终逃出每个有限集合。设网 $j(b_i)$ 收敛到 $z\in R_D$，固定 $B\in\mathbb N_0$。由 theorem 49.1.1，每个自然数点 $j(k)$ 都孤立；又因 $K_{\infty,D}$ Hausdorff，每个单点闭。因此 $$ F_B=\{j(0),j(1),\ldots,j(B)\} $$ 是有限闭集。边界点 $z$ 不属于 $F_B$，故其补集 $K_{\infty,D}\setminus F_B$ 是包含 $z$ 的开邻域。按网收敛的定义，最终有 $$ j(b_i)\in K_{\infty,D}\setminus F_B, $$ 也就是最终 $b_i>B$。这对每个 $B$ 成立。完全相同的论证适用于任何收敛到边界 $x$ 的自然底数网。此处没有使用序列或子序列论证。 因此若底数在某个 $p$-坐标上为非单位，则对固定 $e$，逼近底数的自然数网最终被 $p$ 整除，而逼近指数网最终大于 $e$，所以相应幂模 $p^e$ 最终为零。这给出非单位消失。 若底数为 $p$-单位，则幂值模 $p^e$ 只依赖指数模该单位的阶，该阶整除 $\lambda(p^e)$；Carmichael 闭合保证 $\lambda(p^e)\mid D$，所以这个有限周期正是指数边界实际记录的坐标。由 theorem 49.6.1，极限正是 $\mathcal E_{p^e}$。 固定正自然指数 $b$ 时，逼近边界底数的自然数网最终逃出每个有限集合，所以其 $b$ 次幂也最终逃出每个有限集合，且模每个 $m\mid D$ 收敛到 $x^b$，故极限属于边界并等于边界环幂 $x^b$。固定指数 $0$ 时输出始终为孤立自然点 $1$，故必须得到 $j(1)$。孤立底数 $0,1$ 与边界指数分别恒给出 $j(0),j(1)$；孤立底数 $a\ge2$ 的幂随指数网逃向无穷并进入边界。最后由逐有限坐标计算和 theorem 49.5 的唯一性得到全部公式。证毕。 **theorem 49.9（$t=1$ 的穷尽分类）。** 当 $t=1$ 时，连续幂延拓存在当且仅当 $$ D\in\{1,2,6,42,1806\}. $$ 其中最大者为 $$ 1806=2\cdot3\cdot7\cdot43. $$ **证明。** 由 theorem 49.5，$H(D)\le1$，故 $D$ 平方自由。又对每个素数 $p\mid D$，取 $m=p$，Carmichael 闭合给出 $$ p-1=\lambda(p)\mid D. $$ 因此 $p-1$ 必为平方自由数，其每个素因子都再次属于 $D$。 证明所有可能素因子都属于 $$ S=\{2,3,7,43\}. $$ 若否，取最小的 $p\mid D$ 且 $p\notin S$。$p-1$ 的每个素因子 $q$ 都小于 $p$，又因 $q\mid D$，由 $p$ 的最小性有 $q\in S$。由于 $p-1$ 平方自由，遂有 $$ p-1\mid2\cdot3\cdot7\cdot43=1806. $$ $1806$ 的正因子为 $$ 1,2,3,6,7,14,21,42,43,86,129,258,301,602,903,1806. $$ 分别加一得到 $$ 2,3,4,7,8,15,22,43,44,87,130,259,302,603,904,1807. $$ 其中素数只有 $$ 2,3,7,43. $$ 确实，$259=7\cdot37$，$302=2\cdot151$，$603=3\cdot201$，$904=8\cdot113$，$1807=13\cdot139$。这与 $p\notin S$ 矛盾。 再由 $$ 43-1=42,\qquad7-1=6,\qquad3-1=2 $$ 可知若 $43\mid D$ 则 $2,3,7\mid D$；若 $7\mid D$ 则 $2,3\mid D$；若 $3\mid D$ 则 $2\mid D$。所以素因子集合只能依次为 $$ \varnothing,\quad\{2\},\quad\{2,3\},\quad\{2,3,7\},\quad\{2,3,7,43\}, $$ 正好给出 $$ 1,2,6,42,1806. $$ 每一个都直接满足 $p-1\mid D$ 对所有 $p\mid D$，因而满足 Carmichael 闭合，并由 theorem 49.5 得到连续幂。 这一有限算术结论也与 Halbeisen–Hungerbühler 的广义 Carmichael 分类一致。其定义的 $C_k$ 要求 $n>\max\{1,1-k\}$ 且对所有自然数 $a$ 有 $a^{n+k}\equiv a\pmod n$；其 theorem 2.1 给出平方自由与 $p-1\mid n+k-1$ 的广义 Korselt 判据，而第 3.2 节 theorem 3.1 明确证明 $$ C_1=\{2,6,42,1806\}. $$ 见 [Halbeisen–Hungerbühler, *On generalised Carmichael numbers*, Hardy–Ramanujan Journal 22 (1999), printed pp. 10, 12–13，DOI 10.46298/hrj.1999.138](https://hrj.episciences.org/138/pdf)。这里额外的 $D=1$ 是空素因子 supernatural，不属于该文 $C_1$ 的正整数范围。证毕。 **定义 49.10（Carmichael supernatural 闭包）。** 对任意 supernatural $E$ 定义 $$ \Phi(E)=\operatorname{lcm}\Bigl(E,\{\lambda(m):m\in\mathbb N_{>0},\ m\mid E\}\Bigr). $$ 从 $$ D_0=D,\qquad D_{r+1}=\Phi(D_r) $$ 递归，并令 $$ D^{\mathrm{pow}}=\operatorname{lcm}_{r\ge0}D_r. $$ 再定义 $$ T^{\mathrm{pow}}= \begin{cases} 0,&t=0\text{ 且 }D=1,\\ \max\{t,1,H(D^{\mathrm{pow}})\},&\text{其余情形}, \end{cases} $$ 其中若最大值中出现 $\infty$，则结果为 $\infty$。 **theorem 49.11（最小兼容细化、正确映射方向与自然映射保持型唯一性）。** $D^{\mathrm{pow}}$ 是包含 $D$ 的最小 Carmichael 闭合 supernatural。$K_{T^{\mathrm{pow}},D^{\mathrm{pow}}}$ 支持连续自然幂，并有规范连续满射 $$ \rho:K_{T^{\mathrm{pow}},D^{\mathrm{pow}}}\twoheadrightarrow K_{t,D} $$ 满足 $$ \rho\circ j=j. $$ 更精确地，若 $K_{s,E}$ 支持连续自然幂并且 $$ s\ge t,\qquad D\mid E, $$ 则必有 $$ T^{\mathrm{pow}}\le s,\qquad D^{\mathrm{pow}}\mid E. $$ 记坐标限制给出的规范映射为 $$ \rho_{s,E}^{t,D}:K_{s,E}\to K_{t,D}. $$ 则存在规范连续满射 $$ \sigma:K_{s,E}\twoheadrightarrow K_{T^{\mathrm{pow}},D^{\mathrm{pow}}} $$ 满足 $$ \sigma\circ j=j,\qquad \rho\circ\sigma=\rho_{s,E}^{t,D}. $$ 而且 $\sigma$ 在自然映射保持的连续因子映射类别中唯一：若连续 $$ f:K_{s,E}\to K_{T^{\mathrm{pow}},D^{\mathrm{pow}}} $$ 同时满足 $$ f\circ j=j,\qquad \rho\circ f=\rho_{s,E}^{t,D}, $$ 则 $$ f=\sigma. $$ 不要求 $f\circ j=j$ 时不主张唯一性。因此这是保持原有观察区别的最粗幂兼容细化；方向是从更细完备化连续满射到原完备化，而不是把原空间误称为向更细空间的商。 **证明。** 序列 $D_r$ 单调增加。若有限 $m\mid D^{\mathrm{pow}}$，$m$ 只涉及有限多个素数及有限指数；对其中每个素数指数，因其出现在逐点上确界 $D^{\mathrm{pow}}$ 中，存在有限阶段达到该指数。取这些阶段最大值，得到某个 $r$ 满足 $$ m\mid D_r. $$ 于是 $$ \lambda(m)\mid D_{r+1}\mid D^{\mathrm{pow}}. $$ 故 $D^{\mathrm{pow}}$ Carmichael 闭合。 若 $E$ Carmichael 闭合且 $D\mid E$，归纳有 $D_r\mid E$：起点显然；若 $D_r\mid E$，则每个 $m\mid D_r$ 也整除 $E$，故 $\lambda(m)\mid E$，于是 $D_{r+1}\mid E$。取 supernatural 最小公倍数得到 $$ D^{\mathrm{pow}}\mid E. $$ 故其最小性成立。 由 $T^{\mathrm{pow}}$ 的定义，除平凡 $(0,1)$ 情形外有 $$ T^{\mathrm{pow}}\ge1,\qquad H(D^{\mathrm{pow}})\le T^{\mathrm{pow}}, $$ 而 $D^{\mathrm{pow}}$ Carmichael 闭合，所以 theorem 49.5 给出连续幂。平凡 $(0,1)$ 情形由 theorem 49.5 直接成立。 参数不等式 $$ T^{\mathrm{pow}}\ge t,\qquad D\mid D^{\mathrm{pow}} $$ 使原指标集 $I_{t,D}$ 成为较细指标集 $I_{T^{\mathrm{pow}},D^{\mathrm{pow}}}$ 的子集；限制逆极限坐标得到规范连续映射 $\rho$，并显然满足 $\rho\circ j=j$。其像是紧集，故在 Hausdorff 目标中闭；又包含稠密自然数像，所以像等于整个 $K_{t,D}$，即 $\rho$ 满射。 现设 $K_{s,E}$ 是任意幂兼容细化。若 $(t,D)=(0,1)$，则 $T^{\mathrm{pow}}=0$、$D^{\mathrm{pow}}=1$，所需参数不等式立即成立。否则 theorem 49.5 给出 $s\ge1$；当 $s<\infty$ 时还给出 $H(E)\le s$，并且无论 $s$ 有限还是无限都给出 $E$ Carmichael 闭合。刚证的最小性给出 $$ D^{\mathrm{pow}}\mid E. $$ 于是有限 $s$ 时 $$ H(D^{\mathrm{pow}})\le H(E)\le s, $$ 而 $s=\infty$ 时 $T^{\mathrm{pow}}\le s$ 自动成立。结合 $s\ge t$，得到 $$ T^{\mathrm{pow}}\le s. $$ 因此指标包含给出坐标限制的规范连续映射 $$ \sigma:K_{s,E}\to K_{T^{\mathrm{pow}},D^{\mathrm{pow}}}, $$ 并满足 $\sigma\circ j=j$ 及 $$ \rho\circ\sigma=\rho_{s,E}^{t,D}. $$ 与 $\rho$ 的满射证明相同，$\sigma$ 的像紧且闭，又含有中间空间的稠密自然数像，所以 $\sigma$ 也是满射。 最后证明所声明的精确唯一性。设 $f$ 是另一连续映射并满足 $f\circ j=j$。则对每个自然数 $n$， $$ f(j(n))=j(n)=\sigma(j(n)). $$ theorem 49.1.1 给出 $j(\mathbb N_0)$ 在 $K_{s,E}$ 中稠密，而中间目标 $K_{T^{\mathrm{pow}},D^{\mathrm{pow}}}$ Hausdorff，所以两个连续映射 $f,\sigma$ 在稠密集上相等即处处相等。因而 $f=\sigma$；交换条件 $\rho\circ f=\rho_{s,E}^{t,D}$ 与因子化语义相容，但唯一性的关键附加范围正是 $f\circ j=j$。若删除自然映射保持条件，本文不声称因子映射唯一。证毕。 **定义 49.12（固定有限阈值的最大允许 supernatural）。** 对 $1\le t<\infty$，令 $$ \mathcal D_t=\{D:H(D)\le t\text{ 且 }D\text{ Carmichael 闭合}\}, $$ 并定义 $$ D_t^{\max}=\operatorname{lcm}_{D\in\mathcal D_t}D. $$ **theorem 49.13（最大同阈值周期存在；$t=1$ 显式，$t\ge2$ 不作枚举断言）。** 对每个有限 $t\ge1$，$D_t^{\max}$ 本身属于 $\mathcal D_t$，故它是同一阈值 $t$ 下允许的最大 supernatural。特别地 $$ D_1^{\max}=1806. $$ 本结论不需要、也不推出对 $t\ge2$ 的素因子集合有有限显式枚举。 **证明。** 显然 $$ H(D_t^{\max})\le t. $$ 取任意有限 $m\mid D_t^{\max}$。对每个 $p^e\parallel m$，因为 $e\le e_p(D_t^{\max})$ 且右侧是集合 $\{0,1,\ldots,t\}$ 中某些整数的上确界，所以存在某个 $D_p\in\mathcal D_t$ 满足 $p^e\mid D_p$。由 $D_p$ Carmichael 闭合， $$ \lambda(p^e)\mid D_p\mid D_t^{\max}. $$ 又由 Carmichael 函数的素数幂最小公倍数公式， $$ \lambda(m)=\operatorname{lcm}_{p^e\parallel m}\lambda(p^e), $$ 所以 $$ \lambda(m)\mid D_t^{\max}. $$ 因此 $D_t^{\max}$ Carmichael 闭合，属于 $\mathcal D_t$。它按定义包含所有 $\mathcal D_t$ 的成员，故为最大元。 $t=1$ 时由 theorem 49.9，所有允许 $D$ 都整除 $1806$，而 $1806$ 自身允许，所以最大元正是 $1806$。证毕。 ## 49.99 追加锚 ## 50. 阈值—超自然算术完成上的最大公因数与最小公倍数 **定义 50.0（阈值—超自然逆极限及两种算术运算）。** 取 $$ \mathbb N_0=\{0,1,2,\ldots\},\qquad t\in\mathbb N_0\cup\{\infty\}, $$ 并取超自然数 $$ D=\prod_p p^{e_p},\qquad e_p\in\mathbb N_0\cup\{\infty\}. $$ 有限正整数 $m$ 的记号 $m\mid D$ 表示对每个素数 $p$ 都有 $v_p(m)\le e_p$。定义 $$ I_{t,D}=\{(u,m):u\in\mathbb N_0,\ u\le t,\ m\ge1,\ m\mid D\}, $$ 其中 $$ (u,m)\preceq(v,n)\iff u\le v\ \land\ m\mid n. $$ 在 $\mathbb N_0$ 上定义 $$ a\mathrel{R_{u,m}}b \iff a=b\ \lor\ \bigl(a,b\ge u\ \land\ a\equiv b\pmod m\bigr), $$ 令 $$ Q_{u,m}=\mathbb N_0/R_{u,m}, \qquad q_{u,m}:\mathbb N_0\to Q_{u,m}. $$ 若 $(u,m)\preceq(v,n)$，则 $R_{v,n}\subseteq R_{u,m}$，故有规范遗忘映射 $$ b_{(v,n),(u,m)}:Q_{v,n}\to Q_{u,m}. $$ 定义 $$ K_{t,D}=\varprojlim_{(u,m)\in I_{t,D}}Q_{u,m}, \qquad j(a)=\bigl(q_{u,m}(a)\bigr)_{(u,m)\in I_{t,D}}. $$ 每个 $Q_{u,m}$ 取离散拓扑，$K_{t,D}$ 取逆极限拓扑。采用 $$ \gcd(0,0)=0,\qquad \gcd(0,n)=n, $$ 以及 $$ \operatorname{lcm}(0,n)=0. $$ 记 $$ g(a,b)=\gcd(a,b),\qquad \ell(a,b)=\operatorname{lcm}(a,b). $$ 记 $D\mid2$ 表示 $e_p=0$ 对所有 $p\ne2$ 且 $e_2\le1$；等价地，$D=1$ 或 $D=2$。本节只讨论从整个 $K_{t,D}^2$ 到同一个 $K_{t,D}$ 的联合连续延拓。 关于阈值—周期同余的公开基线是固定提交 [RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md, §11 与 §14](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/54e52af3e2ce49e65cbf066649cee410fafc2dff/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)；其中 §11.2 使用同一类阈值—周期同余，§14.1 构造有限离散逆极限并区分“输出层”与“更细输入层”，§14.2 的证明明确给出连续有限输出必须由某个统一有限输入精度决定的判据。加法幺半群 $\mathbb N_0$ 的非平凡同余具有唯一阈值—周期形，见 East–Ruškuc, *Classification of congruences of twisted partition monoids*, arXiv:2010.04392v3, §2.1，特别是其公式 $\theta=(m,m+d)^\sharp$： [公开文本](https://arxiv.org/html/2010.04392v3#S2.SS1)。有限离散逆极限与开闭有限细化所需的拓扑事实见 Stacks Project, Tag 08ZW, Definition 5.22.1 与 Lemmas 5.22.2, 5.22.4： [公开文本](https://stacks.math.columbia.edu/tag/08ZW)。这些引用只提供既有拓扑与同余框架；以下 gcd/lcm 分类由本节直接证明。 **theorem 50.1（稠密自然核心与统一有限输入因子化）。** $I_{t,D}$ 是有向集，每个 $Q_{u,m}$ 有限，$K_{t,D}$ 是紧致 Hausdorff 的零维空间，且 $j(\mathbb N_0)$ 在 $K_{t,D}$ 中稠密。更精确地，若 $B$ 是有限离散空间且 $$ F:K_{t,D}^2\to B $$ 连续，则存在一个共同输入坐标 $\beta=(v,M)\in I_{t,D}$ 及映射 $$ \bar F:Q_\beta^2\to B $$ 使 $$ F=\bar F\circ(\pi_\beta\times\pi_\beta). $$ 若预先指定任意 $\alpha\in I_{t,D}$，还可要求 $\alpha\preceq\beta$。 **证明。** 对任意 $(u,m),(v,n)\in I_{t,D}$， $$ \bigl(\max\{u,v\},\operatorname{lcm}(m,n)\bigr)\in I_{t,D} $$ 且同时细化二者，因为有限整数 $m,n$ 都整除 $D$ 时其最小公倍数仍整除 $D$。故指标集有向。$Q_{u,m}$ 至多包含 $u$ 个孤立初始类及 $m$ 个尾部剩余类，因此有限。有限离散空间的乘积紧致 Hausdorff，逆极限由相容方程切出闭子空间，故 $K_{t,D}$ 紧致 Hausdorff 且零维。 证明稠密性。任取非空基本柱邻域，只涉及有限多个坐标。取这些坐标的共同细化 $\beta$。邻域中某点的 $\beta$ 坐标属于 $Q_\beta$，故等于 $q_\beta(n)$ 对某个 $n\in\mathbb N_0$。相容性保证 $j(n)$ 在所有原先指定坐标上与该点相同，所以 $j(n)$ 落入该邻域。故 $j(\mathbb N_0)$ 稠密，进而 $j(\mathbb N_0)^2$ 在 $K_{t,D}^2$ 中稠密。 现令 $F:K_{t,D}^2\to B$ 连续。每个纤维 $F^{-1}(\{b\})$ 都开闭。由有限个纤维组成的开覆盖及逆极限的柱集基，对每一点可取一个包含于其纤维的有限坐标柱；紧致性给出有限子覆盖。把这些有限柱所涉及的全部坐标在两个输入槽中共同细化到单一 $\beta$。于是两个点若具有相同的 $\beta$ 坐标对，就落在完全相同的这些柱原子中，从而具有相同的 $F$ 值。因此 $F$ 经 $Q_\beta^2$ 因子化。若还指定 $\alpha$，再把 $\beta$ 替换为 $\alpha\vee\beta$ 即可。这里正使用了 Stacks Project Tag 08ZW, Lemma 5.22.4 所表达的有限开闭细化事实。证毕。 **theorem 50.2（连续二元算术延拓的精确有限逃逸判据）。** 设 $$ h:\mathbb N_0^2\to\mathbb N_0. $$ 存在联合连续 $$ H:K_{t,D}^2\to K_{t,D} $$ 满足 $$ H(j(a),j(b))=j(h(a,b)) $$ 对所有 $a,b\in\mathbb N_0$ 成立，当且仅当 $$ \forall\alpha\in I_{t,D}\ \exists\beta\in I_{t,D},\quad \alpha\preceq\beta $$ 且 $$ \forall a,a',b,b'\in\mathbb N_0,\quad a\mathrel{R_\beta}a'\ \land\ b\mathrel{R_\beta}b' \Longrightarrow h(a,b)\mathrel{R_\alpha}h(a',b'). \tag{50.1} $$ 若延拓存在则唯一。因此，要否定延拓，必须为某个输出层 $\alpha$ 证明：对每一个允许的更细输入层 $\beta\succeq\alpha$ 都存在逃逸，而只展示某一个有限商上的同层失败并不足够。 **证明。** 必要性：若 $H$ 存在，固定输出坐标 $\alpha$。有限离散值映射 $$ \pi_\alpha\circ H:K_{t,D}^2\to Q_\alpha $$ 由定理 50.1 经某个共同坐标 $\beta$ 因子化；再共同细化可令 $\beta\succeq\alpha$。在稠密自然核心上代入 $j(a),j(b)$，得到 (50.1)。 充分性：对每个 $\alpha$ 选取满足 (50.1) 的 $\beta(\alpha)$。于是 $$ f_\alpha\bigl(q_{\beta(\alpha)}(a),q_{\beta(\alpha)}(b)\bigr) = q_\alpha(h(a,b)) $$ 良定义，并给出连续有限值映射 $$ H_\alpha=f_\alpha\circ (\pi_{\beta(\alpha)}\times\pi_{\beta(\alpha)}). $$ 若 $\alpha\preceq\alpha'$，则 $$ b_{\alpha',\alpha}\circ H_{\alpha'} $$ 与 $H_\alpha$ 在稠密集 $j(\mathbb N_0)^2$ 上都等于 $q_\alpha\circ h$，而目标 $Q_\alpha$ Hausdorff，故二者处处相等。因此 $(H_\alpha)_\alpha$ 是相容线程，定义唯一映射 $$ H:K_{t,D}^2\to K_{t,D}. $$ 每个坐标 $H_\alpha$ 连续，所以 $H$ 连续。它在自然核心上等于 $j\circ h$。若 $H,H'$ 都是连续延拓，它们在稠密的 $j(\mathbb N_0)^2$ 上相等，目标 Hausdorff，故 $H=H'$。证毕。 **theorem 50.3（gcd 的完全分类）。** 存在联合连续映射 $$ G:K_{t,D}^2\to K_{t,D}, \qquad G(j(a),j(b))=j(\gcd(a,b)) $$ 对所有 $a,b\in\mathbb N_0$ 成立，当且仅当 $$ t\le1 \qquad\text{且}\qquad D\mid2. \tag{50.2} $$ 因此 gcd 只出现在下列四个有限模型中： $$ (t,D)\in\{(0,1),(0,2),(1,1),(1,2)\}, $$ 其基数分别为 $1,2,2,3$。在这四种情形中，每一个允许的有限输出层本身已经足够作为输入层；无需更细输入坐标。 **证明。** 先证明阈值必要性。设 $t\ge2$，取输出层 $$ \alpha=(2,1). $$ 任取允许的更细输入层 $$ \beta=(v,M)\succeq(2,1). $$ 选择充分大的整数 $k$，令 $$ A=kM+1>v,\qquad B=A+M. $$ 则 $A,B\ge v$ 且 $A\equiv B\pmod M$，故 $$ A\mathrel{R_\beta}B. $$ 比较两对输入 $$ (A,A),\qquad(A,B). $$ 第一槽完全相同，第二槽在 $R_\beta$ 下相同；然而 $$ \gcd(A,A)=A\ge2, $$ 而 $$ \gcd(A,B)=\gcd(A,M)=1, $$ 因为 $A\equiv1\pmod M$。在 $Q_{2,1}$ 中，$1$ 是孤立初始类，而所有不小于 $2$ 的整数属于尾类，因此两个输出不同。这个逃逸对每一个 $\beta\succeq\alpha$ 都成立，定理 50.2 排除连续延拓。故必须 $t\le1$。 再证明模数必要性。若 $D\nmid2$，则存在有限除数 $m\mid D$ 满足 $m>2$。取输出层 $$ \alpha=(0,m). $$ 任取 $$ \beta=(v,M)\succeq(0,m), $$ 于是 $m\mid M$。选择充分大的 $k$ 并令 $$ a=d=kM-1>v,\qquad b=a+M. $$ 则 $$ a\equiv b\equiv d\equiv-1\pmod M, \qquad \gcd(a,b)=\gcd(a,M)=1. $$ 令 $$ x=da,\qquad y=db. $$ 有 $x,y\ge v$ 且 $$ x\equiv y\equiv1\pmod M, $$ 所以 $x\mathrel{R_\beta}y$。比较 $$ (x,x),\qquad(x,y). $$ 输入在两个槽中具有相同的 $\beta$ 读数，而 $$ \gcd(x,x)=da\equiv1\pmod m, $$ 以及 $$ \gcd(x,y)=d\gcd(a,b)=d\equiv-1\pmod m. $$ 因为 $m>2$， $$ 1\not\equiv-1\pmod m. $$ 故输出在 $Q_{0,m}$ 中不同。再次，这是对每个允许的更细 $\beta$ 的逃逸，故定理 50.2 给出不连续。这里构造失败的唯一模数例外正是 $m\mid2$：模 $1$ 或模 $2$ 时 $1\equiv-1$，所以该证据不能分离；这不是证明缺口，而恰好对应下面的两个可行模数。 现证明充分性。因 $t\le1$ 且 $D=1$ 或 $2$，$I_{t,D}$ 有最大元 $(t,D)$，所以 $K_{t,D}\cong Q_{t,D}$ 是有限离散空间。更强地，gcd 在每个允许层同层下降。四个最大层的表如下。 当 $(t,D)=(0,1)$ 时只有一个类 $*$： $$ G(*,*)=*. $$ 当 $(t,D)=(0,2)$ 时记 $E$ 为偶数类、$O$ 为奇数类。因为 $$ \gcd(a,b)\ \text{为偶数} \iff a,b\ \text{都为偶数}, $$ 其中约定 $\gcd(0,0)=0$ 亦满足此式，所以 $$ \begin{array}{c|cc} G&E&O\\ \hline E&E&O\\ O&O&O \end{array}. $$ 当 $(t,D)=(1,1)$ 时记 $0$ 为孤立零类、$P$ 为正整数尾类。由 $\gcd(0,n)=n$ 且两个正整数的 gcd 仍为正数， $$ \begin{array}{c|cc} G&0&P\\ \hline 0&0&P\\ P&P&P \end{array}. $$ 当 $(t,D)=(1,2)$ 时记 $0$ 为孤立零类，$E$ 为正偶数尾类，$O$ 为奇数尾类。由零约定及奇偶判据， $$ \begin{array}{c|ccc} G&0&E&O\\ \hline 0&0&E&O\\ E&E&E&O\\ O&O&O&O \end{array}. $$ 这些表分别由自然数 gcd 诱导，因此与所有遗忘映射相容，并给出所需连续延拓。证毕。 **theorem 50.4（lcm 的完全分类与同层稳定性）。** 存在联合连续映射 $$ L:K_{t,D}^2\to K_{t,D}, \qquad L(j(a),j(b))=j(\operatorname{lcm}(a,b)) $$ 对所有 $a,b\in\mathbb N_0$ 成立，当且仅当 $$ D\mid2. \tag{50.3} $$ 这里 $t$ 可以是任意有限自然数，也可以是 $\infty$。当 $D\mid2$ 时，对每个输出层 $\alpha=(u,m)$，可取完全相同的输入层 $\beta=\alpha$；即 lcm 在每个有限层已经同层良定义。 **证明。** 模数必要性使用与 gcd 相同的任意细化构造。若 $D\nmid2$，取 $m\mid D$、$m>2$，输出层 $\alpha=(0,m)$，并任取 $\beta=(v,M)\succeq\alpha$。仍取 $$ a=d=kM-1>v,\qquad b=a+M,\qquad x=da,\qquad y=db. $$ 则 $x\mathrel{R_\beta}y$ 且 $\gcd(a,b)=1$。第一对输入 $(x,x)$ 的 lcm 为 $$ \operatorname{lcm}(x,x)=da\equiv1\pmod m. $$ 第二对输入 $(x,y)$ 满足 $$ \operatorname{lcm}(x,y) = d\,\operatorname{lcm}(a,b) = dab \equiv(-1)^3 \equiv-1\pmod m. $$ 因为 $m>2$，两个输出在 $Q_{0,m}$ 不同。该逃逸对每个允许的 $\beta$ 成立，故不能连续延拓。模 $1,2$ 时恰有 $1\equiv-1$，所以此障碍消失。 现设 $D\mid2$。于是任意允许模数 $m$ 只能是 $1$ 或 $2$。固定 $\alpha=(u,m)$，设 $$ a\mathrel{R_\alpha}a', \qquad b\mathrel{R_\alpha}b'. $$ 证明 $$ \operatorname{lcm}(a,b) \mathrel{R_\alpha} \operatorname{lcm}(a',b'). \tag{50.4} $$ 先设 $u=0$。若 $m=1$，$Q_{0,1}$ 为单点，结论平凡。若 $m=2$，对包括零在内的所有自然数都有 $$ \operatorname{lcm}(r,s)\ \text{为奇数} \iff r,s\ \text{都为奇数}; $$ 若任一输入为零，左侧为零而为偶数，仍与右侧一致。因此 lcm 的输出奇偶性只由两个输入奇偶性决定，(50.4) 成立。 再设 $u\ge1$。此时 $02$ 的模数逃逸。证毕。 **theorem 50.6（环境零、内部环零与 $t=\infty$ 边界公式）。** 当 $D=1$ 或 $2$ 时，有限 $t$ 的系统有最大层 $(t,D)$，故 $$ K_{t,D}\cong Q_{t,D}. $$ 当 $t=0$ 时，环境自然数零 $j(0)$ 已与相同模 $D$ 的正尾元素合并；当 $t\ge1$ 时，$j(0)$ 是孤立点，与尾部剩余类 $0\bmod D$ 不同。 当 $t=\infty,D=1$ 时，$K_{\infty,1}$ 可写为 $$ \mathbb N_0\sqcup\{\omega\}, $$ 其中每个自然数点孤立，$\omega$ 是阈值趋于无穷的唯一边界点。lcm 延拓满足 $$ L(0,x)=0, $$ $$ L(n,\omega)=L(\omega,n)=\omega\quad(n\ge1), $$ 以及 $$ L(\omega,\omega)=\omega. $$ 这里将该唯一边界点的“内部环”记号局部绑定为 $$ R_1:=\mathbb Z/1\mathbb Z=\{\bar 0\}. $$ 通过唯一双射 $\bar 0\mapsto\omega$，把边界单点集 $\{\omega\}$ 与 $R_1$ 识别；因此 $\omega$ 是这个单元素环的唯一元素，在该内部环中同时有 $$ 0_{R_1}=1_{R_1}=\omega. $$ 这个内部环的零元兼单位元只是边界剩余对象，不是环境自然数零；事实上 $\omega\ne j(0)$，后者在 $t=\infty$ 时是孤立点。 当 $t=\infty,D=2$ 时，记边界点 $$ \omega_r=\lim_{k\to\infty}j(2k+r), \qquad r\in\{0,1\}, $$ 其中极限可等价理解为：所有有限阈值之后固定剩余 $r\bmod2$ 的相容线程。则 $$ K_{\infty,2} = j(\mathbb N_0)\sqcup\{\omega_0,\omega_1\} $$ 作为集合，且 $j(\mathbb N_0)$ 中每点孤立。lcm 延拓满足 $$ L(0,x)=0 $$ 对所有 $x$ 成立；对 $n\ge1$， $$ L(j(n),\omega_r) = L(\omega_r,j(n)) = \omega_{\epsilon(n)r}, $$ 其中 $\epsilon(n)=1$ 当且仅当 $n$ 为奇数；并且 $$ L(\omega_r,\omega_s)=\omega_{rs}. $$ 特别地，$\omega_0$ 是边界中的模 $2$ 环零，而 $j(0)$ 是孤立环境零；二者不同，并满足 $$ L(j(0),\omega_1)=j(0), \qquad L(\omega_0,\omega_1)=\omega_0. $$ 所以“内部环零”与“环境零”不可混同。 **证明。** 有限 $t$ 且 $D=1$ 或 $2$ 时，$(t,D)$ 是指标最大元，逆极限等于该终端有限商。$t=0$ 时 $R_{0,D}$ 只记录模 $D$ 剩余，所以 $0$ 与正的 $D$ 倍数同类；$t\ge1$ 时 $02$，两种 $K_{0,D}$ 值提升都不存在；而 supernatural 商上的 $\min/\max$ 仍然有定义。 因此本节所得“加法、乘法连续并不足以保证 gcd/lcm 连续”以及 gcd/lcm 的不对称性，只针对定义 50.0 的显式阈值—超自然算术完成族。这里不声称已经分类所有可能的算术紧化。 **证明。** supernatural gcd/lcm 的赋值公式是其标准定义；所引文献给出 supernatural numbers 与 profinite 整数商结构的公开背景。本节定理 50.3 与 50.4 已独立证明在 $K_{t,D}$ 中的精确存在条件，因此当 $D$ 有 $m>2$ 时，supernatural 商上的格运算不能被误当作这里要求的 $K_{t,D}$ 值连续提升。其余限制陈述只是明确本节定理的量词范围。证毕。 ## 50.99 追加锚 ## 51. 全阈值—周期完成中的最大公因数与最小公倍数联合图闭包 **definition 51.0 (全算术完成、联合自然图与边界记号).** 令 $\mathbb N_0=\{0,1,2,\ldots\}$，令 $\mathcal P$ 为素数集合。对 $t\in\mathbb N_0$、$m\in\mathbb N_{>0}$，定义 $$ a\sim_{t,m}b\quad\Longleftrightarrow\quad a=b\ \lor\ \bigl(a,b\ge t\ \land\ a\equiv b\pmod m\bigr), \qquad Q_{t,m}=\mathbb N_0/\!\sim_{t,m}. $$ 各商取离散拓扑，指标次序为 $$ (t,m)\preceq(T,M)\quad\Longleftrightarrow\quad t\le T\ \land\ m\mid M. $$ 当 $(t,m)\preceq(T,M)$ 时，以自然代表元诱导的映射为过渡映射。定义 $$ K=\varprojlim_{(t,m)}Q_{t,m},\qquad j(n)=([n]_{t,m})_{(t,m)}. $$ 记 $\pi_{t,m}$ 为坐标投影，并记 $$ R=\widehat{\mathbb Z}=\varprojlim_{m\ge1}\mathbb Z/m\mathbb Z\cong\prod_{p\in\mathcal P}\mathbb Z_p. $$ $R$ 取此逆极限拓扑，亦即右侧的乘积拓扑；整数在 $R$ 中均指其对角像。对 $x\in R$，以 $\tau(x)$ 表示在每个 $Q_{t,m}$ 上取尾部剩余类 $x\bmod m$ 的线程，即其该坐标由集合 $\{n\ge t:n\equiv x\pmod m\}$ 表示。 采用 $$ \gcd(0,0)=0,\qquad \gcd(0,n)=n,\qquad \operatorname{lcm}(0,n)=0. $$ 定义 $$ \Gamma=\left\{\bigl(j(a),j(b),j(\gcd(a,b)),j(\operatorname{lcm}(a,b))\bigr):a,b\in\mathbb N_0\right\}, \qquad C=\overline\Gamma\subseteq K^4. $$ 这里两个输出始终来自同一对自然输入。上述观察系统是固定基线定义 14.0 的全阈值—周期系统；关系的有限观察闭包与有限观察完成的框架分别见该基线定理 3.4、4.2（[固定基线：定义 14.0、定理 3.4 与 4.2](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/54e52af3e2ce49e65cbf066649cee410fafc2dff/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)）。 **theorem 51.0.1 (紧致可度量性、边界分解与共同序列判据).** 空间 $K$ 紧致、Hausdorff 且可度量。映射 $j$ 单射，其像稠密，每个 $j(n)$ 是孤立点。映射 $\tau$ 是从 $R$ 到 $K$ 的闭嵌入，并有集合的不交分解 $$ K=j(\mathbb N_0)\sqcup\tau(R). $$ 这不是两个开子空间的拓扑不交并。对 $T\ge0$、$m\ge1$，边界点 $\tau(x)$ 有基本邻域 $$ \mathcal U_{T,m}(x)=\{j(n):n\ge T,\ n\equiv x\pmod m\}\ \cup\ \{\tau(y):y\equiv x\pmod m\}. $$ 特别地，$j(0)\ne\tau(0)$。对任意 $P\in K^4$，$P\in C$ 当且仅当存在同一对自然数序列 $(a_N,b_N)$，使 $$ \bigl(j(a_N),j(b_N),j(\gcd(a_N,b_N)),j(\operatorname{lcm}(a_N,b_N))\bigr)\longrightarrow P. $$ **证明。** $Q_{t,m}$ 由 $t$ 个小自然数单点类与 $m$ 个尾部剩余类组成，故有限。指标集可数，且任意有限组指标有共同上界：取阈值的最大值及周期的最小公倍数。列举所有指标为 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots$ 后，乘积上的度量 $$ D(u,v)=\sum_{r\ge1}2^{-r}\mathbf 1_{\{u_{\alpha_r}\ne v_{\alpha_r}\}} $$ 诱导乘积拓扑：前 $r$ 个坐标相同使距离至多为 $2^{-r}$，而距离小于任一指定坐标的权重就强迫该坐标相同。有限离散空间的乘积紧致且 Hausdorff；每条相容方程规定闭集，所以 $K$ 是该乘积的闭子空间，继承紧致性、Hausdorff 性与可度量性。 若 $n\ne n'$，取 $t>\max\{n,n'\}$，则它们在 $Q_{t,1}$ 上不同，故 $j$ 单射。更一般地，若线程 $X$ 的某个 $Q_{t,m}$ 坐标为小单点类 $nN$。每个固定 $m$ 在 $N\ge m$ 时整除 $M_N$，所以该序列满足上述两个条件。证毕。 **definition 51.2 (影子、赋值与主理想参数).** 定义影子映射 $\sigma:K\to R$，使 $\sigma(X)\bmod m$ 为 $X$ 的 $Q_{0,m}$ 坐标。令 $$ E=\widetilde{\mathbb N}_0=\mathbb N_0\cup\{\infty\},\qquad \mathcal I=\prod_{p\in\mathcal P}E. $$ $E$ 取离散 $\mathbb N_0$ 的一点紧化拓扑；各有限点孤立，而 $$ T_r=\{r,r+1,r+2,\ldots\}\cup\{\infty\}\qquad(r\in\mathbb N_0) $$ 构成 $\infty$ 的邻域基。$\mathcal I$ 取乘积拓扑。对每个 $p$，使用 $\mathbb Z_p$ 上的赋值 $v_p$，约定 $v_p(0)=\infty$。在 $E$ 中使用扩展次序、$\min$ 与 $\max$，以及 $e+\infty=\infty+e=\infty$；不定义 $\infty-\infty$。 记 $$ \rho:R\to\mathcal I,\qquad \rho(x)=(v_p(x_p))_p, \qquad \operatorname{Prin}(R)=\{xR:x\in R\}. $$ 对 $e=(e_p)_p\in\mathcal I$，另记 $$ J(e)=\prod_p p^{e_p}\mathbb Z_p\subseteq R, \qquad p^\infty\mathbb Z_p=\{0\}. $$ 在 $\operatorname{Prin}(R)$ 上，以 $x\mapsto xR$ 指定商拓扑。这里的指数参数采用 Longhi–Mu–Saettone，*Coset topologies on $\mathbb Z$ and arithmetic applications*，arXiv:2202.13478v3，§4.1、Definition 4.1（印页 26）的超自然数约定；该文发表于 *Expositiones Mathematicae* 41(1) (2023), 71–114，DOI 10.1016/j.exmath.2022.10.001（[v3 原文，第 26 页](https://arxiv.org/pdf/2202.13478v3#page=26)；[arXiv 记录](https://arxiv.org/abs/2202.13478v3)；[作者出版目录](https://www.fmsaettone.com/)）。 **theorem 51.2.1 (影子连续性、单位商拓扑与主理想格运算).** 映射 $\sigma$ 连续，且 $$ \sigma(j(n))=n,\qquad \sigma(\tau(x))=x. $$ 映射 $\rho$ 是连续满射及商映射，并诱导同胚 $$ R/R^\times\cong\mathcal I\cong\operatorname{Prin}(R). $$ 第一个商是单位乘法作用的轨道空间，不是环理想商。第二个识别由 $e\mapsto J(e)$ 给出。对所有 $x,y\in R$，有 $$ xR=\prod_p x_p\mathbb Z_p=J(\rho(x)), $$ $$ xR+yR=J\bigl((\min\{v_p(x_p),v_p(y_p)\})_p\bigr), $$ $$ xR\cap yR=J\bigl((\max\{v_p(x_p),v_p(y_p)\})_p\bigr). $$ 特别地，和与交仍为主理想，包含任意零分量。映射 $\min,\max:E^2\to E$ 连续。以后可通过上述同胚把一个主理想与其赋值向量视为同一参数。 单位轨道双射的既有结果是 Longhi–Mu–Saettone Proposition 4.3；主理想识别见紧随其后的 Remark 4.4，均在印页 26（[Longhi–Mu–Saettone，v3，第 26 页](https://arxiv.org/pdf/2202.13478v3#page=26)）。商拓扑与一点紧化赋值乘积拓扑的一致性是该文 Lemma 4.5，印页 27（[Longhi–Mu–Saettone，v3，第 27 页](https://arxiv.org/pdf/2202.13478v3#page=27)）。这些结果的对象是整个 $R$，并未排除零坐标；它们本身不是关于 $C$ 的共同自然见证定理。 **证明。** $\sigma$ 的每个模 $m$ 坐标都是连续投影 $\pi_{0,m}$；逆极限拓扑遂给出 $\sigma$ 连续。两项取值公式逐坐标成立。 一个 $R$ 中的元素可逆，当且仅当其每个 $p$ 分量都在 $\mathbb Z_p$ 中可逆：逆元在必要时投影得到，在充分时由各分量逆元组成。因此 $$ R^\times=\prod_p\mathbb Z_p^\times. $$ $R$ 并非域：令 $\varepsilon_2=1$、$\varepsilon_p=0$ 对 $p\ne2$，则 $\varepsilon$ 与 $1-\varepsilon$ 均非零，却有 $\varepsilon(1-\varepsilon)=0$。 若 $c=xr$，逐坐标有 $c_p\in x_p\mathbb Z_p$。反之，若每个 $c_p\in x_p\mathbb Z_p$，在 $x_p\ne0$ 时取 $r_p=c_p/x_p\in\mathbb Z_p$，在 $x_p=0$ 时必有 $c_p=0$，取 $r_p=0$；于是 $(r_p)_p\in R$ 且 $c=xr$。这证明 $xR=\prod_p x_p\mathbb Z_p$。每个非零 $x_p$ 可写成 $p^{v_p(x_p)}u_p$，其中 $u_p$ 为单位；零分量生成零理想。因此该乘积等于 $J(\rho(x))$。 对任意 $e\in\mathcal I$，取元素 $c(e)$，其 $p$ 分量在 $e_p<\infty$ 时为 $p^{e_p}$，在 $e_p=\infty$ 时为 $0$。则 $\rho(c(e))=e$ 且 $J(e)=c(e)R$，证明满射以及所有 $J(e)$ 都为主理想。不同指数在对应 $\mathbb Z_p$ 中给出不同理想，故 $e\mapsto J(e)$ 单射。 若 $\rho(x)=\rho(y)$，在 $y_p\ne0$ 的分量有 $x_p/y_p\in\mathbb Z_p^\times$；在 $y_p=0$ 的分量，同一赋值强迫 $x_p=0$，可任取单位，例如 $1$。这些单位组成 $u\in R^\times$，且 $x=uy$。反向地，单位乘法不改变任何赋值。故 $\rho$ 的纤维恰为单位轨道，也恰为 $x\mapsto xR$ 的纤维。 对有限 $r$，有 $$ v_p^{-1}(\{r\})=p^r\mathbb Z_p\setminus p^{r+1}\mathbb Z_p, \qquad v_p^{-1}(T_r)=p^r\mathbb Z_p. $$ 这些集合开闭，故 $v_p:\mathbb Z_p\to E$ 连续，包括在 $0$ 处。乘积拓扑给出 $\rho$ 连续。$R$ 紧致而 $\mathcal I$ Hausdorff，故连续满射 $\rho$ 为闭映射，从而为商映射。结合已证纤维刻画，得到两个指定商空间与 $\mathcal I$ 的同胚。 逐坐标的交显然满足 $$ \left(\prod_p x_p\mathbb Z_p\right)\cap\left(\prod_p y_p\mathbb Z_p\right)=\prod_p(x_p\mathbb Z_p\cap y_p\mathbb Z_p). $$ 和的对应公式也成立：对右侧一个元素，在每个分量中，把它写成 $x_pr_p+y_ps_p$，再将 $(r_p)_p,(s_p)_p$ 拼成 $R$ 中元素，即得全局表示。局部理想 $p^a\mathbb Z_p$ 与 $p^b\mathbb Z_p$ 线性嵌套，其和取较小指数，其交取较大指数；该论证包含 $a=\infty$ 或 $b=\infty$。由 $J$ 的主理想表示，得到所述和与交公式。 最后，$T_r$ 在 $E$ 中开闭，并且 $$ \min^{-1}(T_r)=T_r\times T_r, \qquad \max^{-1}(T_r)=(T_r\times E)\cup(E\times T_r). $$ 两者均开闭。有限单点 $\{r\}$ 等于 $T_r\setminus T_{r+1}$，故其逆像也开闭。有限单点与各 $T_r$ 构成拓扑基，证明 $\min$、$\max$ 连续。证毕。 **theorem 51.3 (同余类中的任意大互素提升).** 设 $M\ge1$，给定 $U_0,V_0\in\mathbb Z/M\mathbb Z$，并假设对每个 $p\mid M$，它们在 $\mathbb Z/p\mathbb Z$ 中不同时为零。则对任意整数 $B\ge1$，存在正整数 $U,V>B$ 满足 $$ U\equiv U_0\pmod M,\qquad V\equiv V_0\pmod M,\qquad \gcd(U,V)=1. $$ **证明。** 先在 $U_0\bmod M$ 的等差数列中选取 $U>B$。令 $$ S=\{q\in\mathcal P:q\mid U,\ q\nmid M\}. $$ 这是有限集。对 $V$ 同时规定 $$ V\equiv V_0\pmod M,\qquad V\equiv1\pmod q\quad(q\in S). $$ 这些模数两两互素，所以中国剩余定理给出一个模 $M\prod_{q\in S}q$ 的剩余类；在其中取 $V>B$。若素数 $q\mid U$ 且 $q\nmid M$，则 $q\in S$，故 $q\nmid V$。若 $q\mid U$ 且 $q\mid M$，假设与 $U\equiv U_0\pmod M$ 给出 $V_0\not\equiv0\pmod q$，从而仍有 $q\nmid V$。因此没有共同素因子，$\gcd(U,V)=1$。当 $M=1$ 时原假设为空，以上构造与证明同样适用。证毕。 **theorem 51.4 (生成元、零分量与带稳定子的反对角单位轨道).** 设 $x,y\in R$，令 $$ G=xR+yR,\qquad L=xR\cap yR. $$ 对 $G$ 的每个生成元 $z$，存在唯一 $w\in R$ 同时满足 $$ wR=L,\qquad zw=xy. $$ 其分量为 $$ w_p=\begin{cases}x_py_p/z_p,&z_p\ne0,\\0,&z_p=0.\end{cases} $$ 若 $(z_0,w_0)$ 是一组满足 $z_0R=G$、$w_0R=L$、$z_0w_0=xy$ 的解，则全部解恰为 $$ (z,w)=(uz_0,u^{-1}w_0),\qquad u\in R^\times. $$ 记 $$ S_{00}(x,y)=\{p:x_p=y_p=0\}, \qquad H_{x,y}=\{u\in R^\times:u_p=1\text{ 对所有 }p\notin S_{00}(x,y)\}. $$ 该轨道的稳定子恰为 $H_{x,y}$，故不同解由陪集 $R^\times/H_{x,y}$ 精确参数化；采用子空间拓扑时，该参数化还是同胚。此作用自由当且仅当 $S_{00}(x,y)=\varnothing$。 更明确地，若分别写两个生成元为 $z=uz_0$、$w=vw_0$，其中 $u,v\in R^\times$，则乘积方程等价于 $$ u_pv_p=1\quad\text{对每个满足 }x_py_p\ne0\text{ 的素数 }p. $$ 在零乘积分量上可能存在不受此式限制的单位参数，但它们的不可见部分不增加上述实际解轨道。 **证明。** 固定 $p$。若 $x_p,y_p$ 均非零，令 $\alpha=v_p(x_p)$、$\beta=v_p(y_p)$。这两个数及 $v_p(z_p)=\min\{\alpha,\beta\}$ 都有限。故 $z_p$ 整除 $x_py_p$，且 $$ v_p(x_py_p/z_p)=\alpha+\beta-\min\{\alpha,\beta\}=\max\{\alpha,\beta\}. $$ 因此该商在 $\mathbb Z_p$ 中，并生成局部交理想。 若恰有一个输入分量为零，则 $v_p(z_p)$ 是另一个输入的有限赋值，故 $z_p\ne0$。乘积 $x_py_p=0$，在整环 $\mathbb Z_p$ 中方程 $z_pw_p=0$ 唯一强迫 $w_p=0$；这恰好生成零交理想，其赋值是 $\infty$。这一分支不使用任何无穷量减法。 若 $z_p=0$，最小赋值公式强迫 $x_p=y_p=0$。交理想的该分量也是零理想，故生成元条件强迫 $w_p=0$。在此分量，乘积方程本身不足以限制 $w_p$，必须保留交理想条件。三种情形穷尽全部可能，逐坐标拼合得到 $w\in R$，证明其存在性、两个等式与唯一性。 现在设 $(z,w)$ 为任一解。相同主理想给出 $z=uz_0$，其中 $u\in R^\times$，见 theorem 51.2.1 的逐坐标轨道证明。在 $(z_0)_p\ne0$ 的分量，由 $$ u_p(z_0)_pw_p=(z_0)_p(w_0)_p $$ 在 $\mathbb Z_p$ 中消去非零 $(z_0)_p$，得到 $w_p=u_p^{-1}(w_0)_p$。在 $(z_0)_p=0$ 的分量，上文已经证明 $w_p=(w_0)_p=0$，故同一等式仍成立。于是 $w=u^{-1}w_0$。反向代入则保持两个主理想和乘积，证明轨道刻画。 一个单位 $u$ 固定 $(z_0,w_0)$，在 $(z_0)_p\ne0$ 时必有 $u_p=1$；在 $(z_0)_p=0$ 时两个输出分量均为零，不限制 $u_p$。而 $(z_0)_p=0$ 当且仅当 $p\in S_{00}(x,y)$，故稳定子正是 $H_{x,y}$。若该集合非空，在其中一个素数分量取 $-1$、其他分量取 $1$，得到非平凡稳定子；各 $\mathbb Z_p$ 中 $-1\ne1$。这证明自由性的充要条件。单位群是各紧致群 $\mathbb Z_p^\times$ 的乘积，轨道映射连续，且恰在同一 $H_{x,y}$ 陪集上取同值。故它从紧致商空间到 $R^2$ 中该轨道诱导连续双射；目标 Hausdorff，因此为同胚。 最后，分别扭曲两个生成元后的乘积等于 $uvxy$。在每个整环 $\mathbb Z_p$ 中，$(u_pv_p-1)x_py_p=0$ 当且仅当 $x_py_p=0$ 或 $u_pv_p=1$。当恰有一个输入分量为零时，$(z_0)_p\ne0$ 而 $(w_0)_p=0$：$u_p$ 仍可改变第一个输出，额外的 $v_p$ 却只乘在零上。当两个输入分量都为零时，$(z_0)_p=(w_0)_p=0$，两个单位参数在该分量上都不可见。结合非零乘积分量上的 $v_p=u_p^{-1}$，在所有分量上都有 $v_p(w_0)_p=u_p^{-1}(w_0)_p$。所以全部实际输出仍可且仅可写成已经证明的反对角轨道。证毕。 **theorem 51.5 (两个边界输入的联合闭包精确分类).** 固定 $x,y\in R$ 与 $G_*,L_*\in K$。四元组 $$ \bigl(\tau(x),\tau(y),G_*,L_*\bigr) $$ 属于 $C$ 当且仅当存在 $z,w\in R$ 满足全部三个方程 $$ xR+yR=zR,\qquad xR\cap yR=wR,\qquad zw=xy, $$ 并且输出具有下列两种形态之一： $$ (G_*,L_*)=(\tau(z),\tau(w)), $$ 或对某个正整数 $d\ge1$， $$ z=d,\qquad (G_*,L_*)=(j(d),\tau(w)). $$ 特别地，两个边界输入时，最小公倍数输出必在边界，最大公因数输出不可能为 $j(0)$。每一项允许的联合输出都由一条共同自然输入序列实现。 **证明。** 先证必要性。由 theorem 51.0.1 的紧致可度量性与闭包序列判据，取一条 $\Gamma$ 中的序列趋于所给四元组。记其共同输入为 $a_N,b_N$，其输出为 $$ g_N=\gcd(a_N,b_N),\qquad \ell_N=\operatorname{lcm}(a_N,b_N). $$ 由 theorem 51.1，$a_N,b_N\to+\infty$，故最终均为正。定义 $$ z=\sigma(G_*),\qquad w=\sigma(L_*). $$ 影子的连续性给出 $a_N\to x$、$b_N\to y$、$g_N\to z$、$\ell_N\to w$ 于 $R$。自然数上的恒等式给出 $$ g_N\ell_N=a_Nb_N, $$ $$ a_NR+b_NR=g_NR,\qquad a_NR\cap b_NR=\ell_NR. $$ 在最后两个等式中，逐素数使用赋值的最小值和最大值公式，再用 theorem 51.2.1 中 $\rho$、$\min$、$\max$ 的连续性取极限，得到 $$ xR+yR=zR,\qquad xR\cap yR=wR. $$ 在拓扑环 $R$ 中对乘积恒等式取极限，得到 $zw=xy$。 若 $L_*=j(L)$，孤立性强迫 $\ell_N=L$ 最终成立。但最终输入为正，故 $a_N,b_N\le\ell_N$，与二者趋于无穷矛盾。因此 $L_*=\tau(w)$。若 $G_*=j(0)$，孤立性强迫 $g_N=0$ 最终成立，而自然数最大公因数为零当且仅当两个输入同时为零，仍然矛盾。若 $G_*=j(d)$ 且 $d>0$，则 $g_N=d$ 最终成立，其影子必为 $z=d$。其余可能性恰为 $G_*=\tau(z)$。必要性得证。 为证明充分性，先证明一个有限精度的同步提升断言。假设三个方程已经成立。任给 $M\ge1$、正整数 $g\equiv z\pmod M$ 与整数 $B\ge1$，存在正整数 $U,V>B$，使 $$ \gcd(U,V)=1 $$ 且同时满足 $$ gU\equiv x,\qquad gV\equiv y,\qquad g\equiv z,\qquad gUV\equiv w\pmod M. $$ 为此，对每个 $p^e\parallel M$，令 $$ k=\min\{v_p(z_p),e\}. $$ 若 $kB$，与这些类同余且互素。检查所有同余条件：在 $kN$。把有限同步提升断言用于 $M=M_N$、$g=g_N$、$B=N$，得到互素的 $U_N,V_N>N$。置 $$ a_N=g_NU_N,\qquad b_N=g_NV_N. $$ 每个阶段精确满足 $$ \gcd(a_N,b_N)=g_N,\qquad \operatorname{lcm}(a_N,b_N)=g_NU_NV_N, $$ 且同时有 $$ (a_N,b_N,g_N,g_NU_NV_N)\equiv(x,y,z,w)\pmod{M_N}. $$ 四个自然序列都趋于无穷：$g_N>N$，$a_N,b_N>N^2$，并且 $g_NU_NV_N>N^3$。每个固定模数最终整除 $M_N$，所以 theorem 51.1 同时适用于四坐标，给出 $$ \bigl(j(a_N),j(b_N),j(g_N),j(g_NU_NV_N)\bigr)\longrightarrow\bigl(\tau(x),\tau(y),\tau(z),\tau(w)\bigr). $$ 这是同一对输入逐阶段产生两个指定输出的序列。 最后考虑自然最大公因数输出。此时 $z=d\ge1$。固定 $g_N=d$，再次把已证有限同步提升断言用于 $M=M_N$、$g=d$、$B=N$。得到互素的 $U_N,V_N>N$，并令 $$ a_N=dU_N,\qquad b_N=dV_N. $$ 每个阶段有 $$ \gcd(a_N,b_N)=d,\qquad \operatorname{lcm}(a_N,b_N)=dU_NV_N, $$ $$ (a_N,b_N,d,dU_NV_N)\equiv(x,y,d,w)\pmod{M_N}. $$ 其中 $a_N,b_N\to+\infty$，$dU_NV_N\to+\infty$，而最大公因数始终精确等于 $d$，不仅是与 $d$ 同余。因此 $$ \bigl(j(a_N),j(b_N),j(d),j(dU_NV_N)\bigr)\longrightarrow\bigl(\tau(x),\tau(y),j(d),\tau(w)\bigr). $$ 这一构造同样同时控制全部四个坐标，完成充分性。证毕。 **theorem 51.6 (正自然输入与边界输入的精确分类).** 固定 $a\in\mathbb N_{>0}$ 与 $y\in R$。定义 $$ d(a,y)=\prod_{p\mid a}p^{\min\{v_p(a),v_p(y_p)\}}. $$ 则 $d(a,y)$ 是 $a$ 的正因子，且前两个坐标为 $j(a),\tau(y)$ 时，$C$ 中唯一的联合输出是 $$ \bigl(j(d(a,y)),\tau((a/d(a,y))y)\bigr). $$ 该结论包括 $a=1$，此时输出为 $j(1),\tau(y)$；也包括 $y=0\in R$，此时 $d(a,0)=a$，输出为 $j(a),\tau(0)$，而非 $j(a),j(0)$。 **证明。** 指数均介于 $0$ 与 $v_p(a)$ 之间，故该有限乘积为 $a$ 的正因子。由 theorem 51.1，取 $j(n_N)\to\tau(y)$ 的正自然数序列。模 $a$ 的同余最终固定；等价地，对每个 $p\mid a$，$n_N\bmod p^{v_p(a)}$ 最终等于 $y_p$ 的对应剩余类。因此 $$ \min\{v_p(a),v_p(n_N)\}=\min\{v_p(a),v_p(y_p)\} $$ 最终成立。对 $p\nmid a$，最大公因数的赋值为零，故 $\gcd(a,n_N)$ 最终精确等于 $d=d(a,y)$。于是最终有 $$ \operatorname{lcm}(a,n_N)=\frac ad\,n_N. $$ 正整数 $a/d\ge1$，故该序列趋于无穷；对每个模数 $m$，最终的 $n_N\equiv y\pmod m$ 给出 $(a/d)n_N\equiv(a/d)y\pmod m$。theorem 51.1 于是给出 $$ j\bigl((a/d)n_N\bigr)\longrightarrow\tau\bigl((a/d)y\bigr). $$ 固定第一输入为 $a$，即证明存在性。 反过来，任何 $C$ 中具有指定输入的点都由 theorem 51.0.1 给出的共同序列逼近；第一输入收敛到孤立点 $j(a)$，故最终精确为 $a$。刚才的最终同余与最大公因数计算因而对每条这样的序列成立，两个输出的极限只能是所列值。这证明唯一性。$a=1$ 时空乘积为 $1$；$y=0$ 时所有相关赋值为 $\infty$，故 $d=a$。此时最小公倍数序列仍趋于无穷，极限是边界 $\tau(0)$。证毕。 **theorem 51.7 (环境零与边界输入).** 对每个 $y\in R$，前两个坐标为 $j(0),\tau(y)$ 时，$C$ 中唯一的联合输出是 $$ (\tau(y),j(0)). $$ 特别地， $$ \bigl(j(0),\tau(0),\tau(0),j(0)\bigr)\in C. $$ **证明。** 取 theorem 51.1 提供的 $j(n_N)\to\tau(y)$。对每个阶段， $$ \gcd(0,n_N)=n_N,\qquad \operatorname{lcm}(0,n_N)=0. $$ 所以固定第一输入为零即可证明存在性。对于任一具有指定输入的闭包点，theorem 51.0.1 给出共同逼近序列；其第一输入因 $j(0)$ 孤立而最终恒为零，故两个输出最终正具有上述形式。取极限证明唯一性。$y=0$ 的特例保留了 $\tau(0)\ne j(0)$ 的区别。证毕。 **theorem 51.8 (两个自然输入).** 对所有 $a,b\in\mathbb N_0$，前两个坐标为 $j(a),j(b)$ 时，$C$ 中唯一的点是 $$ \bigl(j(a),j(b),j(\gcd(a,b)),j(\operatorname{lcm}(a,b))\bigr). $$ **证明。** 该点本身就在 $\Gamma$ 中。任一具有相同前两个坐标的闭包点，可由 theorem 51.0.1 用共同自然输入序列逼近。由于 $j(a),j(b)$ 孤立，输入对最终恒为 $(a,b)$，输出遂最终恒为所列两个自然点。此论证包括 $a=b=0$，以及恰有一个自然输入为零的情形。证毕。 **theorem 51.9 (乘积等式是共同见证约束而非冗余条件).** 仅有两个理想方程 $$ xR+yR=zR,\qquad xR\cap yR=wR $$ 不足以刻画两个输出的联合闭包，即使两个输出分别属于固定输入下各自自然图的投影闭包。 具体取 $R$ 中的元素 $$ x=y=1,\qquad z=-1,\qquad w=1. $$ 则两个理想方程成立，但 $$ \bigl(\tau(1),\tau(1),\tau(-1),\tau(1)\bigr)\notin C. $$ 另一方面，存在共同输入趋于 $\tau(1),\tau(1)$ 的自然序列，其最大公因数趋于 $\tau(-1)$；也存在共同输入趋于相同两点的另一自然序列，其最小公倍数趋于 $\tau(1)$。 **证明。** $1,-1$ 都是单位，因此 $$ 1R+1R=R=(-1)R,\qquad 1R\cap1R=R=1R. $$ 然而 $zw=-1\ne1=xy$；不等式已可由模 $3$ 的剩余类区分。theorem 51.5 的必要性因此排除所列四元组。 为验证分别可达，先在 theorem 51.5 中取 $x=y=1$、$z=w=-1$。此时两个理想方程成立，且 $zw=1=xy$，所以其充分性构造给出同一对输入趋于 $\tau(1),\tau(1)$，而最大公因数趋于 $\tau(-1)$，事实上最小公倍数也趋于 $\tau(-1)$。再令 $$ h_N=1+NM_N,\qquad M_N=\operatorname{lcm}(1,\ldots,N), $$ 并把另一序列的两个输入都取为 $h_N$。则 $h_N\to+\infty$，且对每个固定模数最终同余于 $1$；其最大公因数和最小公倍数均等于 $h_N$，故两输入及最小公倍数都趋于 $\tau(1)$。两项投影闭包事实均由实际自然序列证明，却不能拼成被排除的共同四元组。证毕。 **theorem 51.10 (理想值最大公因数与最小公倍数的联合连续延拓).** 通过 theorem 51.2.1 的主理想参数识别，定义 $$ \mathfrak G:K^2\to\mathcal I,\qquad \mathfrak G(X,Y)=\sigma(X)R+\sigma(Y)R, $$ $$ \mathfrak L:K^2\to\mathcal I,\qquad \mathfrak L(X,Y)=\sigma(X)R\cap\sigma(Y)R. $$ 这两个映射联合连续，并且分别是自然理想值映射的唯一连续延拓： $$ \mathfrak G(j(a),j(b))=\gcd(a,b)R,\qquad \mathfrak L(j(a),j(b))=\operatorname{lcm}(a,b)R. $$ 对任意 $(X,Y,G_*,L_*)\in C$，都有 $$ \rho(\sigma(G_*))=\mathfrak G(X,Y),\qquad \rho(\sigma(L_*))=\mathfrak L(X,Y), $$ 以及 $$ \sigma(G_*)\sigma(L_*)=\sigma(X)\sigma(Y). $$ **证明。** 第 $p$ 个赋值坐标分别为 $$ \mathfrak G_p(X,Y)=\min\{v_p(\sigma(X)_p),v_p(\sigma(Y)_p)\}, $$ $$ \mathfrak L_p(X,Y)=\max\{v_p(\sigma(X)_p),v_p(\sigma(Y)_p)\}. $$ theorem 51.2.1 已证明所有组成映射连续，包括零分量处的赋值连续性以及 $\min,\max$ 在无穷点处的连续性。乘积拓扑因此给出两个映射的联合连续性。 对两个正自然输入，上述坐标公式是普通最大公因数与最小公倍数的赋值公式。若恰有一个输入为零，最小赋值为另一个输入的赋值，最大赋值为 $\infty$；若两个输入均为零，两者均为 $\infty$。这正与规定的零输入约定一致，证明全部自然输入上的等式。由 theorem 51.0.1，$j(\mathbb N_0)^2$ 稠密于 $K^2$；$\mathcal I$ Hausdorff，所以两个连续映射若在该稠密集上相等，便处处相等。这证明延拓的唯一性。 关于 $C$ 的前两个等式，在 $\Gamma$ 上已经由自然输入公式成立。它们各自两边都是 $K^4$ 到 Hausdorff 空间 $\mathcal I$ 的连续映射，故相等点集闭，包含 $\overline\Gamma=C$。最后的乘积等式同理：$\sigma$ 与 $R$ 的乘法连续，自然图上有 $\gcd(a,b)\operatorname{lcm}(a,b)=ab$，故该等式的闭相等点集也包含 $C$。证毕。 **theorem 51.11 (单位轨道纤维与连续规范化 profinite 截面).** 映射 $\rho:R\to\mathcal I$ 的每个纤维是一个 $R^\times$ 轨道。对于代表元 $r\in R$，其稳定子为 $$ H_r=\{u\in R^\times:u_p=1\text{ 对所有满足 }r_p\ne0\text{ 的 }p\}. $$ 因此该纤维由 $R^\times/H_r$ 参数化；含零分量时不应把原单位群作用称为自由作用。 固定各 $\mathbb Z_p$ 中的标准元素 $p$，定义 $$ s:\mathcal I\to R,\qquad s(e)_p=\begin{cases}p^{e_p},&e_p<\infty,\\0,&e_p=\infty.\end{cases} $$ 则 $s$ 连续，且 $$ \rho\circ s=\operatorname{id}_{\mathcal I}. $$ 故可以连续选取主理想的规范化 profinite 生成元。此选择不要求其值是某个正整数的对角像，也不保证把两个理想分别规范化后满足联合乘积方程。 **证明。** 纤维为单位轨道已经在 theorem 51.2.1 中逐坐标证明，与 Longhi–Mu–Saettone Proposition 4.3 的轨道识别一致（[Longhi–Mu–Saettone，v3，第 26 页](https://arxiv.org/pdf/2202.13478v3#page=26)）。若 $ur=r$，在 $r_p\ne0$ 的分量可在整环 $\mathbb Z_p$ 中消去 $r_p$，得到 $u_p=1$；在 $r_p=0$ 的分量则不限制单位。这给出稳定子与陪集参数化。若存在零分量，在该分量取 $-1$ 即得到非平凡稳定子。 对于截面，固定 $p$。坐标映射 $e_p\mapsto p^{e_p}$ 在有限 $e_p$ 处连续，因为该点孤立。在 $e_p=\infty$ 处，对任意 $p^r\mathbb Z_p$ 这一零点邻域，当 $e_p\in T_r$ 时，映射值属于 $p^r\mathbb Z_p$，包括 $e_p=\infty$ 时的值 $0$。所以该坐标映射处处连续。所有坐标连续，给出 $s$ 在乘积拓扑中连续，而 $v_p(s(e)_p)=e_p$ 逐坐标成立，故 $\rho s=\operatorname{id}$。 这是 $R$ 值的生成元截面，不是取值于孤立自然层 $j(\mathbb N_{>0})$ 的截面。为验证最后的乘积限制，取 $x=1$、$y=-1$。这时 $G=L=R$，分别规范化给出 $s(G)=s(L)=1$，其乘积为 $1$，却有 $xy=-1$。因此连续规范化的存在不能替代 theorem 51.5 的共同乘积约束。证毕。 **theorem 51.12 (正整数生成元的自然点提升处处不连续).** 令 $$ \mathcal I_{\mathrm{fin}}=\{dR:d\in\mathbb N_{>0}\}\subseteq\mathcal I $$ 取子空间拓扑。每个 $I\in\mathcal I_{\mathrm{fin}}$ 有唯一的正整数生成元 $d$。定义 $$ \lambda:\mathcal I_{\mathrm{fin}}\to K,\qquad \lambda(dR)=j(d). $$ 则 $\lambda$ 在每一点都不连续。 **证明。** 若 $dR=eR$ 且 $d,e$ 都是正整数，则 theorem 51.2.1 给出每个素数上的赋值相同。由算术基本定理，$d=e$，证明生成元唯一。 固定 $d$，选择两两不同且均不整除 $d$ 的素数 $q_N$。这样的序列存在，因为素数无限，而 $d$ 只有有限个素因子。对于每个固定素数 $p$，充分大时 $q_N\ne p$，从而 $$ v_p(dq_N)=v_p(d) $$ 最终成立。因此在 $\mathcal I$ 的乘积拓扑、也在 $\mathcal I_{\mathrm{fin}}$ 的子空间拓扑中， $$ dq_NR\longrightarrow dR. $$ 当 $d=1$ 时的这种素数序列收敛，亦见 Longhi–Mu–Saettone Lemma 4.5 后的说明（印页 27）；这里直接给出了任意 $d$ 的逐坐标证明（[Longhi–Mu–Saettone，v3，第 27 页](https://arxiv.org/pdf/2202.13478v3#page=27)）。 若 $\lambda$ 在 $dR$ 连续，则 $j(dq_N)\to j(d)$。但是 $\{j(d)\}$ 是开集，而 $dq_N\ne d$ 对每个 $N$ 成立，所以该收敛不可能。故 $\lambda$ 在任意指定的 $dR$ 处均不连续。证毕。 **theorem 51.13 (两个边界输入的全部联合歧义与双重提升).** 固定 $x,y\in R$，令 $G=xR+yR$、$L=xR\cap yR$。选择 $G$ 的任一生成元 $z_0$，并定义 $$ (w_0)_p=\begin{cases}x_py_p/(z_0)_p,&(z_0)_p\ne0,\\0,&(z_0)_p=0.\end{cases} $$ 则 $w_0R=L$、$z_0w_0=xy$。在输入为 $\tau(x),\tau(y)$ 且两个输出均在边界时，全部联合输出恰为 $$ \bigl(\tau(uz_0),\tau(u^{-1}w_0)\bigr),\qquad u\in R^\times. $$ 实际不同的输出由 theorem 51.4 的商 $R^\times/H_{x,y}$ 精确参数化。 若存在正整数 $d$ 使 $G=dR$，则该 $d$ 唯一。令 $w_d$ 为 theorem 51.4 对生成元 $z=d$ 给出的唯一元素。全部联合输出此时可精确写为 $$ \left\{\bigl(\tau(ud),\tau(u^{-1}w_d)\bigr):u\in R^\times\right\}\ \cup\ \left\{\bigl(j(d),\tau(w_d)\bigr)\right\}. $$ 特别地，同一个最大公因数影子 $d$ 有两个不同的 $K$ 型输出 $j(d)$ 与 $\tau(d)$，它们都与同一个最小公倍数输出 $\tau(w_d)$ 耦合；其余单位扭曲必须按所列反对角方式配对。若不存在这样的正整数 $d$，则没有自然最大公因数输出。 若 $G=0R$，则 $x=y=0$，唯一联合输出为 $$ (\tau(0),\tau(0)), $$ 而不是任何含自然最大公因数 $j(0)$ 的输出。 **证明。** $G$ 为主理想及其生成元的存在性来自 theorem 51.2.1。theorem 51.4 证明了所列 $w_0$ 的存在性、两个方程以及所有影子解的反对角单位轨道与稳定子。theorem 51.5 的充分性则逐个把这些影子解实现为同一对自然输入的边界联合输出；其必要性排除所有不在该轨道中的边界输出。因此第一个分类既没有遗漏，也没有多计稳定子造成的同值参数。 若 $G=dR$ 有正整数生成元，唯一性由 theorem 51.12 中的赋值论证给出。把 $z_0$ 取为 $d$，所有边界联合输出便是所列单位轨道。theorem 51.5 的自然分支又给出 $(j(d),\tau(w_d))$，并且任何自然最大公因数输出必须有同一影子 $d$，其另一个输出由 theorem 51.4 唯一确定。取 $u=1$ 时，边界轨道中同时有 $(\tau(d),\tau(w_d))$。theorem 51.0.1 保证 $j(d)\ne\tau(d)$，故确有双重提升，而不存在第二个正整数生成元。若没有这样的 $d$，theorem 51.5 的自然分支便为空。 最后，$xR+yR=0R$ 强迫 $x=y=0$。零理想只有生成元零，交理想也为零，所以 $z=w=0$。theorem 51.5 给出边界对 $(\tau(0),\tau(0))$ 并排除 $j(0)$。此时 $H_{x,y}=R^\times$，轨道确实退化为一点。证毕。 **theorem 51.14 (完整联合闭包的分情总表).** 集合 $C$ 恰由下表及其最后一行明确引用的分类组成，其中 $a,b\in\mathbb N_0$，$x,y\in R$： $$ \begin{array}{c|c|c} \text{输入一}&\text{输入二}&(\gcd\text{ 输出},\operatorname{lcm}\text{ 输出})\\ \hline j(a)&j(b)&\bigl(j(\gcd(a,b)),j(\operatorname{lcm}(a,b))\bigr)\\ j(a),\ a>0&\tau(y)&\bigl(j(d(a,y)),\tau((a/d(a,y))y)\bigr)\\ \tau(x)&j(b),\ b>0&\bigl(j(d(b,x)),\tau((b/d(b,x))x)\bigr)\\ j(0)&\tau(y)&\bigl(\tau(y),j(0)\bigr)\\ \tau(x)&j(0)&\bigl(\tau(x),j(0)\bigr)\\ \tau(x)&\tau(y)&\text{theorem 51.5 的三方程与两种输出形态} \end{array} $$ 最后一行的全部元素还具有 theorem 51.13 的带稳定子单位轨道参数化。交换两个输入不改变相应联合输出。 对于两个边界输入，$xR+yR$ 与 $xR\cap yR$ 是由输入唯一决定且联合连续的理想值数据；实际生成元的联合歧义是反对角单位轨道，而不是两个可任意独立组合的实际生成元轨道。该作用是否自由由共同零分量决定。主理想有连续的规范化 $R$ 值生成元截面，但其正整数生成元的孤立自然点提升处处不连续。环境零 $j(0)$ 与边界零 $\tau(0)$ 在所有情形中保持不同。 **证明。** 两自然输入由 theorem 51.8 分类；正自然输入与边界输入由 theorem 51.6 分类；环境零与边界输入由 theorem 51.7 分类；两边界输入由 theorem 51.5 分类。自然数最大公因数与最小公倍数关于输入对称，所以交换前两个坐标保持 $\Gamma$，也保持其闭包 $C$，给出表中两个反向混合行。 由 theorem 51.0.1，每个输入恰属于自然层或边界层；自然层再唯一分成零与正数，因此这些输入类型互不混淆并覆盖 $K^2$。各引用定理都同时证明了必要性和共同自然序列的充分性，故表中既无遗漏，也没有把两个独立投影见证误当作联合见证。理想值的唯一性和连续性由 theorem 51.10 给出；反对角轨道及稳定子由 theorems 51.4、51.13 给出；连续规范化截面由 theorem 51.11 给出；自然点提升的不连续性由 theorem 51.12 给出。两个零型点的区别由 theorem 51.0.1 保证，并在 theorems 51.5–51.8 的各输入类型中分别保持。证毕。 ## 51.99 追加锚 ## 52. 单位商上的算术超加法与三对和的共同见证 **定义 52.1（基本载体与单位观察）。** 记素数集合为 $\mathcal P$，并令 $$ R=\prod_{p\in\mathcal P}\mathbb Z_p,\qquad U=R^\times,\qquad E=\mathbb N_0\cup\{\infty\}. $$ 各 $\mathbb Z_p$ 取通常的 $p$ 进拓扑，$R$ 取乘积拓扑；$E$ 中有限点孤立，$\infty$ 的邻域包含某个尾集 $\{n\in\mathbb N_0:n\ge N\}\cup\{\infty\}$。约定 $\infty+n=n+\infty=\infty$，包括 $n=\infty$，并把 $\infty$ 置于所有有限整数之上。赋值归一化为 $v_p(p)=1$、$v_p(0)=\infty$。定义 $$ x\sim y\quad\Longleftrightarrow\quad \exists u\in U,\ x=uy, \qquad I=R/U, \qquad \rho:R\longrightarrow I. $$ $I$ 取商拓扑。另定义局部代表 $$ d_p(e)=\begin{cases}p^e,&e\in\mathbb N_0,\\0,&e=\infty.\end{cases} $$ 本节见证的载体是 $R$ 或指定的 $\mathbb Z_p$，不要求见证来自对角嵌入的普通整数。带见证关系与其存在量化支撑的区分采用[固定背景的定义1.2](https://raw.githubusercontent.com/the-omega-institute/trureturing/54e52af3e2ce49e65cbf066649cee410fafc2dff/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)。 **theorem 52.2 (单位商、主理想与紧拓扑的同一化).** 有自然同胚 $$ I\longrightarrow E^{\mathcal P},\qquad \rho(x)\longmapsto\bigl(v_p(x_p)\bigr)_{p\in\mathcal P}. $$ 而且 $\rho(x)=\rho(y)$ 当且仅当 $xR=yR$。因此 $I$ 同时识别为 $R$ 的主理想空间与扩展赋值空间；每个主理想都是闭集。$I$ 是紧 Hausdorff 空间，$\rho$ 是连续、满射、开映射，且 $U=\prod_p\mathbb Z_p^\times$ 是紧空间。以下把 $A\in I$ 写作 $A=(a_p)_p$，并记 $$ 0_I=\rho(0)=(\infty)_p,\qquad 1_I=\rho(1)=(0)_p. $$ 上述商与拓扑识别对应 [Longhi–Mu–Saettone，§4.1，定义4.1、命题4.3、注4.4、引理4.5](https://arxiv.org/pdf/2202.13478v3)。 **证明。** 元素 $x=(x_p)_p$ 在 $R$ 中可逆，当且仅当每个 $x_p$ 在 $\mathbb Z_p$ 中可逆：必要性由逐坐标投影得到，充分性由 $(x_p^{-1})_p$ 给出。因此 $U=\prod_p\mathbb Z_p^\times$。每个局部单位群是 $\mathbb Z_p$ 的闭子集，故紧；于是 $U$ 紧。 在 $\mathbb Z_p$ 中，两个非零元素赋值相同，当且仅当它们相差一个单位因子。两个元素赋值都为 $\infty$ 时，它们都为零，此时单位因子可取 $1$。因此全部坐标赋值相同，当且仅当存在 $u=(u_p)_p\in U$ 使 $x=uy$。任给 $(a_p)_p\in E^{\mathcal P}$，取 $x_p=d_p(a_p)$，便得到具有该赋值向量的 $x\in R$，故所列映射是双射。 逐坐标相乘给出 $$ xR=\prod_p x_p\mathbb Z_p. $$ 这里反向包含也成立：若 $z_p\in x_p\mathbb Z_p$，当 $x_p\ne0$ 时取 $r_p=z_p/x_p$，当 $x_p=0$ 时取 $r_p=0$，便有 $z=xr$。局部主理想相等当且仅当其生成元赋值相同，故 $xR=yR$ 与 $\rho(x)=\rho(y)$ 等价。乘法映射 $r\mapsto xr$ 连续，因而 $xR$ 是紧空间 $R$ 在 Hausdorff 空间 $R$ 中的紧像，故闭。 $E$ 是紧 Hausdorff 空间：含 $\infty$ 的一个开覆盖成员覆盖一个尾集，剩余只有有限个点；不同点则可由有限点单集及其补集分离。对于有限 $n$， $$ v_p^{-1}(\{n\})=p^n\mathbb Z_p^\times $$ 是开闭集，而尾集的原像是 $p^N\mathbb Z_p$。故各赋值映射连续，从而 $R\to E^{\mathcal P}$ 连续。它由紧空间满射到 Hausdorff 空间，因而是商映射；其纤维恰为 $U$ 轨道，所以诱导的双射 $I\to E^{\mathcal P}$ 是同胚。 最后，若 $O\subseteq R$ 开，则 $$ \rho^{-1}(\rho(O))=\bigcup_{u\in U}uO $$ 开。由商拓扑定义，$\rho(O)$ 开，故 $\rho$ 是开映射。证毕。 **定义 52.3（实际生成元和、乘法及集合支撑）。** 对 $A,B\in I$ 定义 $$ A\boxplus B=\{\rho(x+y):x,y\in R,\ \rho(x)=A,\ \rho(y)=B\}. $$ 其带见证载体为 $R^2$，输入映射为 $(x,y)\mapsto(\rho(x),\rho(y))$，输出映射为 $(x,y)\mapsto\rho(x+y)$。定义赋值乘法 $$ A\cdot B=(a_p+b_p)_p. $$ 对集合 $S,T\subseteq I$，约定 $$ S\boxplus T=\bigcup_{A\in S,\,B\in T}(A\boxplus B),\qquad A\cdot S=\{A\cdot B:B\in S\}, $$ 并把单个元素与其单集在这些表达式中识别。空超和定义为 $\{0_I\}$。局部实际支撑记为 $$ a\boxplus_p b=\{v_p(r+s):r,s\in\mathbb Z_p,\ v_p(r)=a,\ v_p(s)=b\}. $$ 记 $$ \Gamma_+=\{(A,B,C)\in I^3:C\in A\boxplus B\}. $$ $I$ 的非空紧子集集合记为 $\mathcal K(I)$；其 Vietoris 拓扑由开集 $O\subseteq I$ 所给的两类集合 $$ \{K\in\mathcal K(I):K\subseteq O\},\qquad \{K\in\mathcal K(I):K\cap O\ne\varnothing\} $$ 作为子基。 **theorem 52.4 (全部二元加法规则与逐素数共同实现).** 对任意 $a,b\in E$，有精确公式 $$ a\boxplus_p b= \begin{cases} \{\min(a,b)\},&a\ne b,\\ \{\infty\},&a=b=\infty,\\ \{c\in E:c\ge a\},&a=b<\infty,\ p\ne2,\\ \{c\in E:c\ge a+1\},&a=b<\infty,\ p=2. \end{cases} $$ 对任意 $A=(a_p)_p,B=(b_p)_p\in I$，有 $$ A\boxplus B=\prod_{p\in\mathcal P}(a_p\boxplus_p b_p). $$ 等式右侧每个完整赋值向量都由同一对 $x,y\in R$ 实现。此外 $$ \rho(xy)=\rho(x)\cdot\rho(y),\qquad (xR)(yR)=xyR. $$ 普通理想和 $xR+yR$ 的赋值向量是 $(\min(a_p,b_p))_p$；它不同于这里的生成元和支撑 $A\boxplus B$。 **证明。** 先设 $am$，取 $$ r=p^m,\qquad s=-p^m+p^c=p^m(-1+p^{c-m}). $$ 第二项括号为单位，故两项赋值均为 $m$，而和恰为 $p^c$。若 $p\ne2$ 且要求 $c=m$，取 $r=s=p^m$，则和为 $2p^m$，赋值恰为 $m$。这同时证明 $p=2$ 的排除是必要的，而其他素数没有额外二元例外。 全局等式的正向包含由投影到每个素数得到。反向，给定右侧的一个向量 $C=(c_p)_p$，对每个 $p$ 按刚才的显式分类选取 $x_p,y_p$。令 $$ x=(x_p)_p,\qquad y=(y_p)_p. $$ 则 $\rho(x)=A,\rho(y)=B$，并且 $\rho(x+y)=C$。这些是同一对全局元素，不是仅仅逐坐标陈述存在而不作组装。 局部乘积的赋值为赋值之和；只要一项为零，两边都按约定取 $\infty$。因此 $\rho(xy)=\rho(x)\cdot\rho(y)$，也证明乘法与单位代表的选择无关。有限个生成元乘积的和都在 $xyR$ 中，而 $xy$ 自身属于 $(xR)(yR)$，故 $(xR)(yR)=xyR$。 最后，局部理想和由赋值较小的生成元生成。任给各坐标属于局部理想和的元素，可在该坐标使用赋值较小的生成元，并把另一系数取零；这些系数组装成 $R$ 中的两个元素，证明全局普通理想和的赋值为逐坐标最小值。特别地，普通理想和 $R+R=R$，但 $1_I\notin1_I\boxplus1_I$，因为后者的 $2$ 进坐标必至少为 $1$。所以两种加法不能混同。证毕。 **定义 52.5（采用的 Krasner 超环公理）。** 本节采用 [Connes–Consani，§2 的典范超群公理及定义2.1](https://arxiv.org/html/1001.4260v2) 的含幺、零与一不同的版本，并要求乘法交换。具体而言，交换含幺 Krasner 超环是带非空值超加法的集合 $H$，满足 $$ \begin{gathered} a\boxplus b=b\boxplus a,\qquad (a\boxplus b)\boxplus c=a\boxplus(b\boxplus c),\\ 0\boxplus a=a\boxplus0=\{a\},\\ \forall a\ \exists!(-a),\quad 0\in a\boxplus(-a),\\ c\in a\boxplus b\ \Longrightarrow\ b\in c\boxplus(-a). \end{gathered} $$ 此外，$(H,\cdot,1)$ 是交换幺半群，$0\ne1$，并满足原定义中的双侧分配等式及零吸收律： $$ \begin{gathered} a\cdot(b\boxplus c)=(a\cdot b)\boxplus(a\cdot c),\\ (b\boxplus c)\cdot a=(b\cdot a)\boxplus(c\cdot a),\\ a\cdot0=0\cdot a=0. \end{gathered} $$ 分配律要求集合相等，而非仅有包含。若 $H\setminus\{0\}$ 在乘法下为群，则称为超域。非零元素 $a$ 称为零因子，当且仅当存在非零 $b$ 使 $ab=0$。 **theorem 52.6 (支撑结合律与一个总和的实际见证).** 对任意有限列 $A_1,\ldots,A_n\in I$，任意括号化的超和都等于 $$ \left\{\rho\left(\sum_{i=1}^n x_i\right):x_i\in R,\ \rho(x_i)=A_i\text{ 对所有 }i\right\}. $$ $n=0$ 时两边均为 $\{0_I\}$。特别地，$\boxplus$ 满足支撑结合律。这个等式的输出只指定总和的观察值，并不同时指定若干相交子和的观察值。商超环中的有限和机制亦见 [Connes–Consani，命题2.5，式(10)](https://arxiv.org/html/1001.4260v2)。 **证明。** 对括号树作归纳。空列及单叶情形直接成立。考虑根节点把叶集分成两个互不相交的子树。由归纳假设，左子树某输出可写为 $\rho(s)$，其中 $s$ 是其叶代表之和；右子树某输出可写为 $\rho(t)$，其中 $t$ 是其叶代表之和。 根节点的任意输出由代表 $s',t'$ 实现，其中 $\rho(s')=\rho(s)$、$\rho(t')=\rho(t)$。定理52.2给出 $u,v\in U$ 使 $$ s'=us,\qquad t'=vt. $$ 把左子树的每个叶代表都乘以 $u$，把右子树的每个叶代表都乘以 $v$。叶代表的观察值不变，而根节点输出成为全部这些叶代表之和的观察值。这证明任意括号化支撑包含于所列实际像。若某子树的和为零，取其单位因子为 $1$ 即可，因此论证也覆盖零和。 反向，从任意一组叶代表出发，在每个内部节点取其全部后代叶代表的实际和。每个节点都满足定义52.3的二元关系，故总和观察值属于该括号化支撑。两向包含对任意括号树都成立，因而所有括号化相等。所证式子没有给相交子和指定独立目标，故其量词不包含这种额外要求。证毕。 **theorem 52.7 (真正的 Krasner 超环及其单位、零因子).** $(I,\boxplus,\cdot,0_I,1_I)$ 满足定义52.5的全部公理，且 $$ -A=A\qquad(A\in I). $$ 它的乘法单位群仅为 $\{1_I\}$。对 $A=(a_p)_p,B=(b_p)_p$，有 $$ A\cdot B=0_I \quad\Longleftrightarrow\quad \forall p,\ a_p=\infty\text{ 或 }b_p=\infty. $$ 非零 $A$ 是零因子，当且仅当至少一个 $a_p=\infty$。因此 $I$ 是具有零因子的交换含幺 Krasner 超环，不是超域，也不是普通环；其二元素子集 $\{0_I,1_I\}$ 并不构成二元素 Krasner 超域的子超域。这里采用的是商超环机制 [Connes–Consani，命题2.5](https://arxiv.org/html/1001.4260v2)，而不是把“超环”仅用作多值运算的名称。 **证明。** 任意 $A,B$ 都有代表，故 $A\boxplus B$ 非空。交换性来自 $R$ 的加法交换性，结合性由定理52.6得到。因为 $\rho^{-1}(0_I)=\{0\}$，有 $A\boxplus0_I=\{A\}$。 由于 $-1\in U$，有 $\rho(-x)=\rho(x)$。于是 $x+(-x)=0$ 证明 $0_I\in A\boxplus A$。反之，若 $0_I\in A\boxplus B$，则存在 $x,y$ 满足相应输入观察以及 $x+y=0$，故 $B=\rho(-x)=A$。这证明加法逆元存在且唯一，并且 $-A=A$。 若 $C\in A\boxplus B$，取见证 $x,y$，并置 $z=x+y$。则 $y=z+(-x)$，所以 $B\in C\boxplus(-A)$。交换 $x,y$ 也给出另一侧可逆性。若采用典范超群的再生性质表述，任给 $A,C$，取代表 $x,z$，并令 $B=\rho(z-x)$，便有 $C\in A\boxplus B$，因此 $A\boxplus I=I$。 乘法的交换、结合、单位元及零吸收律均由 $E$ 中扩展加法的相应等式逐坐标得到。显然 $0_I\ne1_I$。为核对分配等式，固定 $a,b,c\in R$，分别代表 $A,B,C$。按轨道定义， $$ B\boxplus C=\{\rho(bu+cv):u,v\in U\}. $$ 因此 $$ \begin{aligned} A\cdot(B\boxplus C) &=\{\rho(a(bu+cv)):u,v\in U\}\\ &=\{\rho(abu+acv):u,v\in U\}\\ &=(A\cdot B)\boxplus(A\cdot C). \end{aligned} $$ 这里没有约去 $a$，故当 $a$ 为零或零因子时仍成立。乘法交换性给出另一侧分配等式。全部公理得到验证。 若 $A\cdot B=1_I$，则每个坐标满足 $a_p+b_p=0$。非负性迫使 $a_p=b_p=0$，所以 $A=B=1_I$。零乘积的判据直接来自：两个有限非负整数之和不可能为 $\infty$。设 $A\ne0_I$ 且某个 $a_p=\infty$，定义 $$ b_p=\begin{cases}\infty,&a_p<\infty,\\0,&a_p=\infty.\end{cases} $$ 则 $B\ne0_I$，且 $AB=0_I$。反之，若所有 $a_p$ 都有限，$AB=0_I$ 强迫所有 $b_p=\infty$，即 $B=0_I$。例如，分别由只在素数 $2$ 坐标取 $1$、以及只在其余坐标取 $1$ 的两个非零幂等元所生成的主理想，是一对非零零因子。 定理52.4还给出 $0_I,\rho(2)\in1_I\boxplus1_I$，且两者不同，所以加法不是单值。另一方面 $1_I\notin1_I\boxplus1_I$，而二元素 Krasner 超域要求 $1\boxplus1=\{0,1\}$。这证明最后的全部区别。证毕。 **theorem 52.8 (闭关系、紧输出与集合值连续性).** $\Gamma_+$ 是 $I^3$ 的紧闭子集，每个 $A\boxplus B$ 是非空紧集。乘法 $I^2\to I$ 连续，超加法作为映射 $$ I^2\longrightarrow\mathcal K(I),\qquad (A,B)\longmapsto A\boxplus B $$ 对 Vietoris 拓扑连续。 **证明。** 映射 $$ R^2\longrightarrow I^3,\qquad (x,y)\longmapsto(\rho(x),\rho(y),\rho(x+y)) $$ 连续，其像恰为 $\Gamma_+$。$R^2$ 紧且 $I^3$ Hausdorff，所以该像紧且闭。固定前两个坐标所得截面闭于紧空间 $I$，因而紧；非空性已证明。 扩展加法 $E^2\to E$ 连续：在有限输入对处，两坐标可固定为孤立点；若至少一坐标为 $\infty$，为使和进入任意指定尾集，只须使该坐标进入同一尾集。逐坐标应用即得 $I$ 上乘法连续。 设 $O\subseteq I$ 开。所有满足 $(A\boxplus B)\cap O\ne\varnothing$ 的输入对，恰为开集 $$ \{(x,y)\in R^2:\rho(x+y)\in O\} $$ 在 $\rho\times\rho$ 下的像。定理52.2说明 $\rho$ 开；由开矩形构成乘积拓扑的基，$\rho\times\rho$ 也开，故该输入集开。 所有不满足 $A\boxplus B\subseteq O$ 的输入对，恰为 $$ \Gamma_+\cap\bigl(I^2\times(I\setminus O)\bigr) $$ 投影到 $I^2$ 的像。被投影集合紧，投影像在 Hausdorff 空间 $I^2$ 中闭。因此满足 $A\boxplus B\subseteq O$ 的输入集开。两类 Vietoris 子基的原像都开，证明连续性。证毕。 **定义 52.9（单位三角形的实际联合像）。** 定义 $$ \Phi:U^3\longrightarrow I^3,\qquad \Phi(x,y,z)=\bigl(\rho(x+y),\rho(y+z),\rho(z+x)\bigr), \qquad \mathcal J=\Phi[U^3]. $$ 局部实际像为 $$ J_p=\{(v_p(x+y),v_p(y+z),v_p(z+x)):x,y,z\in\mathbb Z_p^\times\}\subseteq E^3. $$ 对 $(a,b,c)\in E^3$，记 $n_j(a,b,c)$ 为三个位置中等于有限整数 $j$ 的位置数；重复值按位置计数。另记 $$ D=\rho(2),\qquad \delta_p=v_p(2)=\begin{cases}1,&p=2,\\0,&p\ne2.\end{cases} $$ 符号 $E_{\ge m}$ 表示 $\{e\in E:e\ge m\}$，因而包含 $\infty$。 **theorem 52.10 (三个实际和的共同逆像判据).** 给定 $s,t,u\in\mathbb Z_p$。若它们分别等于 $x+y,y+z,z+x$，则在 $\mathbb Q_p$ 中唯一可能的共同输入是 $$ x=\frac{s+u-t}{2},\qquad y=\frac{s+t-u}{2},\qquad z=\frac{t+u-s}{2}. $$ 当 $p\ne2$ 时，存在单位共同输入，当且仅当 $$ \overline{s}+\overline{u}-\overline{t}\ne0,\qquad \overline{s}+\overline{t}-\overline{u}\ne0,\qquad \overline{t}+\overline{u}-\overline{s}\ne0 $$ 在 $\mathbb F_p$ 中同时成立。当 $p=2$ 时，存在单位共同输入，当且仅当 $s,t,u\in2\mathbb Z_2$ 且 $$ \frac{s+t+u}{2}\in\mathbb Z_2^\times. $$ **证明。** 三个线性方程分别相加、相减，得到 $$ s+u-t=2x,\qquad s+t-u=2y,\qquad t+u-s=2z. $$ $2$ 在 $\mathbb Q_p$ 中非零，因此共同逆像若存在，必为所列三项；将这三项相加检查，确有 $x+y=s,y+z=t,z+x=u$，故逆像唯一。 若 $p\ne2$，除以 $2$ 保持 $\mathbb Z_p$，且保持单位性。所列三个分子均为单位，等价于其模 $p$ 的三个剩余同时非零，证明奇素数判据。 若 $p=2$，三个单位的两两和都为偶数。写 $s=2S,t=2T,u=2V$，则共同逆像为 $$ x=S+V-T,\qquad y=S+T-V,\qquad z=T+V-S. $$ 这三项模 $2$ 都等于 $S+T+V$。故它们同时为单位，当且仅当 $S+T+V$ 为奇数，即所列条件。反向条件还确保三项都在 $\mathbb Z_2$，所以充分性也成立。证毕。 **theorem 52.11 (奇素数处的完整单位联合像).** 当 $p\ge5$ 时， $$ J_p=\{(a,b,c)\in E^3:\min(a,b,c)=0\}. $$ 当 $p=3$ 时， $$ J_3=\{(a,b,c)\in E^3:n_0(a,b,c)\in\{1,3\}\}. $$ 这里未取值为零的坐标可为任意正整数或 $\infty$；尤其没有未列出的高阶赋值限制。 **证明。** 设 $s=x+y,t=y+z,u=z+x$ 来自三个单位。三个输出赋值都大于零时，$\overline{s}=\overline{t}=\overline{u}=0$，定理52.10的三个逆像分子都模 $p$ 为零，与单位性矛盾。因此至少一个输出赋值为零。 还需分析恰有两个赋值为零的情形。由于条件对 $s,t,u$ 对称，可以置 $\overline{s}=\alpha\ne0,\overline{t}=\beta\ne0,\overline{u}=0$。定理52.10要求 $$ \alpha-\beta\ne0,\qquad \alpha+\beta\ne0, $$ 也就是 $$ \beta/\alpha\notin\{1,-1\}. $$ 在 $\mathbb F_3^\times=\{1,-1\}$ 中这不可能；当 $p\ge5$ 时，这一必要条件则有解。由此得到全部必要条件。 下面对每一种允许模式直接构造实际的三个和，再由同一个逆公式得到单位共同输入。 当 $a=b=c=0$ 时，取 $s=t=u=2$，共同输入为 $x=y=z=1$。 当恰有一个坐标为零时，重新排列三个和使 $a=0,b,c>0$，并取 $$ s=1,\qquad t=d_p(b),\qquad u=d_p(c). $$ 三个逆像分子模 $p$ 分别为 $1,1,-1$，全部非零。因此逆公式给出三个单位，其三个和恰为所指定的 $s,t,u$，赋值恰为 $a,b,c$。 当恰有两个坐标为零时，允许条件给出 $p\ge5$。重新排列使 $a=b=0,c>0$，取 $$ s=1,\qquad t=2,\qquad u=d_p(c). $$ 三个逆像分子模 $p$ 分别为 $-1,3,1$，对 $p\ge5$ 都非零，故仍得到同一个单位三元组。任意和坐标排列都可在构造后还原；也可直接把还原后的 $s,t,u$ 代入对称的三个非零条件。 这些构造在指数为 $\infty$ 时使用 $d_p(\infty)=0$，所以实现的是精确零和，而非有限赋值趋于无穷的极限。三个允许模式穷尽所列集合，充分性得证。证毕。 **theorem 52.12 (二进处的完整单位联合像).** 有 $$ J_2=\{(a,b,c)\in E_{\ge1}^3:n_1(a,b,c)\in\{1,3\}\}. $$ 换言之，三个输出都必须至少为 $1$，且恰有一个或三个输出等于 $1$；其余输出可以独立指定为任意大于 $1$ 的整数或 $\infty$。 **证明。** 三个输入单位都是奇数，故三个两两和都是偶数，必要地 $a,b,c\ge1$。写 $$ s=x+y=2S,\qquad t=y+z=2T,\qquad u=z+x=2V. $$ 由定理52.10，$S+T+V$ 必为奇数。$S$ 为奇数当且仅当 $a=1$；若 $a>1$ 或 $a=\infty$，$S$ 为偶数。同理适用于另外两项。因此 $S+T+V$ 为奇数，当且仅当三个位置中取值 $1$ 的个数为奇数，即为 $1$ 或 $3$。 反向，给定满足所列条件的 $(a,b,c)$，定义 $$ S=\begin{cases}2^{a-1},&a<\infty,\\0,&a=\infty,\end{cases}\quad T=\begin{cases}2^{b-1},&b<\infty,\\0,&b=\infty,\end{cases}\quad V=\begin{cases}2^{c-1},&c<\infty,\\0,&c=\infty.\end{cases} $$ 这些式子只在有限且至少为 $1$ 的指数上使用减一。置 $$ x=S+V-T,\qquad y=S+T-V,\qquad z=T+V-S. $$ 所假设的奇数计数使三项都为奇数，因而都是 $\mathbb Z_2$ 的单位。直接相加得到 $$ x+y=2S,\qquad y+z=2T,\qquad z+x=2V. $$ 这些和的赋值分别恰为 $a,b,c$，包括零项对应的 $\infty$。同一个显式三元组实现了全部目标。证毕。 **theorem 52.13 (完整全局联合像与一个全局单位三元组).** 对 $A=(a_p)_p,B=(b_p)_p,C=(c_p)_p\in I$，以下条件等价：存在同一个 $(x,y,z)\in U^3$ 满足 $$ \rho(x+y)=A,\qquad\rho(y+z)=B,\qquad\rho(z+x)=C; $$ 以及全部下列逐素数条件同时成立： $$ \begin{cases} a_2,b_2,c_2\ge1,\quad n_1(a_2,b_2,c_2)\in\{1,3\},&p=2,\\ n_0(a_3,b_3,c_3)\in\{1,3\},&p=3,\\ \min(a_p,b_p,c_p)=0,&p\ge5. \end{cases} $$ 在自然的坐标重排 $I^3\cong\prod_p E^3$ 下， $$ \mathcal J=\prod_{p\in\mathcal P}J_p. $$ 这个集合是 $I^3$ 的紧闭子集。 **证明。** 若已有全局单位三元组，逐坐标投影得到每个 $p$ 处的单位三元组，定理52.11与52.12给出全部必要条件。 反向，假设全部条件成立。在 $p=2$ 处使用定理52.12的显式构造；在每个奇素数处，按零赋值位置的个数使用定理52.11的相应构造。由此对每个素数得到一组三个局部单位 $$ (x_p,y_p,z_p)\in(\mathbb Z_p^\times)^3, $$ 且这同一组三个局部单位同时给出三个指定赋值。定义 $$ x=(x_p)_p,\qquad y=(y_p)_p,\qquad z=(z_p)_p. $$ 由于 $U=\prod_p\mathbb Z_p^\times$，这些是三个全局单位。$R$ 的加法逐坐标进行，故它们同时满足三个所要求的全局观察等式。素数之间不另有兼容方程，因为这里的载体就是完整乘积 $R$；重叠输入的兼容性已经在每个局部三元组的构造中满足。由此得到实际像的乘积等式，而不是三个二元边缘像的乘积等式。 最后，$U^3$ 紧，$\Phi$ 连续，且 $I^3$ Hausdorff，故其实际像 $\mathcal J$ 紧且闭。证毕。 **theorem 52.14 (无限赋值与精确零和的边界).** 对每个素数 $p$，$(\infty,\infty,\infty)\notin J_p$。恰有两个无限坐标时，可实现的三元组恰为 $(\delta_p,\infty,\infty)$ 的各个排列。恰有一个无限坐标时，其余两个有限坐标的无序模式恰为 $$ \begin{cases} \{1,k\},\quad k\ge2,&p=2,\\ \{0,k\},\quad k\ge1,&p=3,\\ \{0,k\},\quad k\ge0,&p\ge5. \end{cases} $$ 全局特别有 $$ (A,0_I,0_I)\in\mathcal J\quad\Longleftrightarrow\quad A=D, \qquad (0_I,0_I,0_I)\notin\mathcal J. $$ **证明。** 若三个实际和都为零，则 $x=-y$、$z=-y=x$，第三个和给出 $2x=0$。$\mathbb Z_p$ 是特征零整环，所以 $x=0$，不能是单位。 若后两个实际和为零，则 $y=-z=x$，第一个和为 $2x$，其赋值恰为 $\delta_p$。反向，取 $x=y=1,z=-1$，三个和为 $2,0,0$，实现该模式。变量排列实现所有排列。 若恰有一个无限坐标，定理52.12要求其余两项中恰有一个等于 $1$，给出二进模式；定理52.11在 $p=3$ 处要求其余两项中恰有一个为零，在 $p\ge5$ 处要求至少一个为零，分别给出所列另外两种模式。每种模式的充分性由这两个定理中已经给出的实际构造得到，其中无限坐标被直接置为零。 对全局的两个零输出，局部必要条件迫使每个 $a_p=\delta_p$，即 $A=D$；同一个全局三元组 $(1,1,-1)$ 给出充分性。全局三个零输出在任意素数处都与第一段矛盾。证毕。 **定义 52.15（边缘乘积与分别逆算的支撑条件）。** 记 $$ \mathcal M=(1_I\boxplus1_I)\times(1_I\boxplus1_I)\times(1_I\boxplus1_I), $$ 以及 $$ \mathcal S=\{(A,B,C)\in\mathcal M:D\in A\boxplus B\boxplus C\}. $$ 这里 $\times$ 是集合的笛卡尔乘积，不是主理想乘法。$\mathcal M$ 中三个坐标的二元见证允许互不相关；$\mathcal S$ 另加入一个总和支撑条件，但其定义仍未要求三对和共享一个输入三元组。 **theorem 52.16 (二元支撑之后恰剩一个三元剩余域障碍).** $\mathcal M$ 的精确条件只有 $$ a_2,b_2,c_2\ge1, $$ 奇素数处没有边缘限制。$\mathcal S$ 的精确条件为 $$ \begin{cases} a_2,b_2,c_2\ge1,\quad n_1(a_2,b_2,c_2)\in\{1,3\},\\ \min(a_p,b_p,c_p)=0\quad\text{对每个奇素数 }p. \end{cases} $$ 实际联合像满足更精确的等式 $$ \mathcal J =\{(A,B,C)\in\mathcal S:n_0(a_3,b_3,c_3)\ne2\}. $$ 因而，在边缘条件与 $D\in A\boxplus B\boxplus C$ 之外，唯一剩余的局部障碍是：模 $3$ 不能恰有两个单位输出和、另一个非单位输出和。三个分别逆算的支撑条件不足以排除此障碍。 **证明。** 定理52.4在单位输入 $a=b=0$ 时给出 $$ 0\boxplus_2 0=E_{\ge1},\qquad 0\boxplus_p0=E\quad(p\ne2), $$ 因此得到 $\mathcal M$ 的描述。 对固定奇素数，考察三个赋值为 $a,b,c$ 的实际元素之和能否为单位。如果三者赋值都正或无限，三项都被 $p$ 整除，和不能为单位。如果恰有一个赋值为零，把该项取为 $1$，其余项取各自的 $d_p$ 代表；如果恰有两个赋值为零，把这两项都取为 $1$；两种情形的总和模 $p$ 分别为 $1$、$2$，都非零。如果三个赋值都为零，则取三项为 $1,1,-1$，总和为 $1$。所以 $$ 0\in a\boxplus_p b\boxplus_p c \quad\Longleftrightarrow\quad \min(a,b,c)=0 \qquad(p\ne2). $$ 这里左边的 $0$ 是赋值零，而不是局部加法零元 $\infty$。 在 $p=2$ 处，$\mathcal M$ 已要求三项均为偶数或零。三项之和的赋值为 $1$，当且仅当除以 $2$ 后的总和为奇数。这等价于三项赋值中等于 $1$ 的位置数为奇数。因此 $$ 1\in a\boxplus_2 b\boxplus_2 c \quad\Longleftrightarrow\quad n_1(a,b,c)\in\{1,3\} \qquad(a,b,c\ge1). $$ 定理52.6把这些三项支撑解释为实际三项总和；按素数组装各项代表，便得到全局 $D\in A\boxplus B\boxplus C$ 的充要条件。这证明 $\mathcal S$ 的描述。 若 $(A,B,C)\in\mathcal J$，由实际共同和 $s=x+y,t=y+z,u=z+x$ 得到 $$ s+u-t=2x,\qquad s+t-u=2y,\qquad t+u-s=2z. $$ 三个输入是单位，所以三式右端的观察值都为 $D$。由于每个观察类的加法逆元就是自身，三个分别写出的超加法条件全部成为同一个条件 $D\in A\boxplus B\boxplus C$；这里各式的负号已被单位商忘去。 最后，把 $\mathcal S$ 的逐素数条件与定理52.13比较。在 $p=2$ 及所有 $p\ge5$ 处条件完全相同；在 $p=3$ 处，$\mathcal S$ 允许至少一个零赋值，而 $\mathcal J$ 恰好排除其中零赋值位置数为二的情形。定理52.11的证明说明该排除恰为 $$ \mathbb F_3^\times\setminus\{1,-1\}=\varnothing $$ 所造成的共同剩余选择障碍。这证明精确等式及唯一剩余障碍的断言。证毕。 **theorem 52.17 (独立可达而联合不可能，以及二元数据的不足).** 有严格包含 $$ \mathcal J\subsetneq\mathcal S\subsetneq\mathcal M. $$ 具体地， $$ (D,D,\rho(6))\in\mathcal S\setminus\mathcal J, \qquad (D,D,\rho(4))\in\mathcal M\setminus\mathcal S. $$ 此外，若只保留局部载体 $E$、其拓扑、二元超加法与乘法，不另保留素数标签或剩余域，那么这些数据不能唯一决定局部实际联合像 $J_p$。 **证明。** 首先 $D=\rho(1+1)$。定义全局单位 $h$ 为 $$ h_2=5,\qquad h_3=2,\qquad h_p=1\quad(p\ge5). $$ 则 $1+h$ 在 $p=2$ 处的赋值为 $1$，在 $p=3$ 处为 $1$，在其余素数处为零。因此 $\rho(1+h)=\rho(6)$，证明 $(D,D,\rho(6))\in\mathcal M$。 还可直接展示额外总和支撑的见证。令 $r\in R$ 的坐标为 $$ r_2=6,\qquad r_3=3,\qquad r_p=2\quad(p\ge5). $$ 则 $\rho(r)=\rho(6)$，而 $2+2+r$ 在上述三类素数处分别等于 $10,7,6$，赋值向量恰为 $D$。故 $$ D\in D\boxplus D\boxplus\rho(6), $$ 证明该三元组属于 $\mathcal S$。 若它来自共同单位输入，则模 $3$ 有 $z=-x$，同时 $x+y$ 与 $y+z=y-x$ 都非零。可是 $\mathbb F_3^\times$ 只有 $x$ 与 $-x$ 两种相对于 $x$ 的单位选择：若 $y=x$，则 $y-x=0$；若 $y=-x$，则 $x+y=0$。两种都矛盾，因此它不在 $\mathcal J$。 再定义全局单位 $k$，令 $k_2=3$，所有奇素数坐标为 $1$。则 $\rho(1+k)=\rho(4)$，故 $(D,D,\rho(4))\in\mathcal M$。其 $2$ 进输出向量为 $(1,1,2)$，恰有两个位置等于 $1$，违反定理52.16的条件，所以不属于 $\mathcal S$。这证明两次严格包含。 最后，定理52.4表明所有奇素数处的二元表完全相同，乘法都是扩展整数加法，拓扑也都是定义52.1中的拓扑。因此恒等映射 $E\to E$ 同时保持这些局部数据。然而 $(0,0,1)\notin J_3$，而在 $\mathbb Z_5$ 中，同一组三个单位 $$ (x,y,z)=(2,-1,3) $$ 给出三个和 $1,2,5$，故 $(0,0,1)\in J_5$。同一套未附加剩余域信息的二元数据对应不同的联合像，证明最后的不可恢复断言。证毕。 **theorem 52.18 (与热带线性最小值条件的精确比较边界).** 奇素数处的局部二元规则等于 min-热带超加法在 $E$ 上的限制；$p=2$ 处同一有限赋值相加时必须删除最低值本身。这里 min-热带规则指 $$ a\boxplus_{\mathrm{trop}}b= \begin{cases} \{\min(a,b)\},&a\ne b,\\ \{c\in E:c\ge a\},&a=b. \end{cases} $$ 该规则的标准超域表述见 [Maxwell–Smith，例2.2](https://arxiv.org/html/2309.17302v2)；线性回路的最小值重复出现条件见 [Rincón，§1](https://arxiv.org/html/1109.4130v2)。 在单位三对和问题中，只对原来的三个和等式及定理52.10的三个逆算等式施加“最低项赋值至少出现两次”的条件，并不能刻画实际联合像。具体而言，在二元边缘条件之下，三个逆算等式的这一最低赋值条件等价于 $$ \min(a,b,c)=\delta_p. $$ 它在 $p=2$ 处还遗漏 $n_1$ 必为奇数的要求；在 $p=3$ 处还遗漏恰有两个零赋值位置的禁止模式。本断言仅比较上述指定线性关系，不把它们宣称为任意线性关系系统的热带基。 **证明。** 二元规则的比较由定理52.4逐项得到，包括两输入均为 $\infty$ 的情形。 先证明所用的最低项必要条件。设有限个 $q_i\in\mathbb Q_p$ 满足 $\sum_iq_i=0$，且至少一项非零。若最低赋值 $m$ 只在一项达到，将等式除以 $p^m$ 后，唯一最低项为单位，其余项都在 $p\mathbb Z_p$ 中；约化模 $p$ 得到一个非零元素等于零，矛盾。因此最低赋值至少出现两次。零项具有赋值 $\infty$，不会改变这个论证。 对 $s-x-y=0$ 等三个原始等式，两项输入单位的赋值已经同为零，故最低赋值条件对任何非负输出赋值自动成立。对 $s+u-t-2x=0$ 等三个逆算等式，四个项的赋值均为同一组 $$ (a,b,c,\delta_p). $$ 当 $p$ 为奇素数时，$\delta_p=0$ 且 $a,b,c\ge0$，最低值至少出现两次当且仅当至少一个输出赋值为零。当 $p=2$ 时，边缘条件给出 $a,b,c\ge1$，而 $\delta_2=1$，所以最低值至少出现两次当且仅当至少一个输出赋值为 $1$。这证明所列等价式。 但是 $(1,1,2)$ 在 $p=2$ 处通过该条件，而定理52.12排除它；$(0,0,1)$ 在 $p=3$ 处也通过该条件，而定理52.11排除它。定理52.16进一步说明：使用真实二元超加法而不只是热带最低项条件后，二进遗漏被补上，但模 $3$ 的共同剩余选择障碍仍然存在。因此分别满足支撑方程与拥有共同实际见证是不同的数学条件。证毕。 ## 52.99 追加锚 ## 53. 单位和的非单位图像、有限残数容量与共同见证元数 **定义 53.1（单位和非单位图与本节接口）。** 固定素数 $p$ 与有限标号集 $V=[n]$，允许 $n=0$，并约定 $[0]=\varnothing$。对单位组 $$ (x_i)_{i\in V}\in(\mathbb Z_p^\times)^V $$ 定义简单图 $\Gamma_p(x)$，其顶点集为 $V$，且对不同顶点 $i,j$ 定义 $$ ij\in E(\Gamma_p(x)) \iff x_i+x_j\in p\mathbb Z_p. $$ 称有限标号图 $G$ 在 $p$ 处可实现，若存在同一个单位组 $x$ 使 $G=\Gamma_p(x)$。因此边与非边必须由同一组标号单位同时实现，而不是逐边另选见证。记 $K_n$ 为 $n$ 点完全图，$E_n$ 为 $n$ 点无边图，$rK_2$ 为 $r$ 条互不相交边的并，$P_4$ 为四点诱导路。 本节的命名接口只有上述二值关系：它只记录 $x_i+x_j$ 是否属于 $p\mathbb Z_p$。本节不区分 $v_p(x_i+x_j)=1,2,\ldots,\infty$，不允许非单位输入，也不加入三元或更高元加法关系、标号算术常量或完整剩余域结构。作为商结构的背景，Connes–Consani 的 [*The hyperring of adèle classes*](https://alainconnes.org/wp-content/uploads/The-hyperring-of-adeles-classes-2011.pdf)，Proposition 2.6，期刊页 165，证明了：若 $A$ 为交换环且 $H\le A^\times$，则轨道集 $A/H$ 由轨道和与轨道积得到超环结构。该背景事实并不提供这里要求的“同一有限标号单位组同时决定全部边与非边”的图分类，以下分类直接证明。 **theorem 53.2（精确残数下降）。** 设 $\bar x_i$ 为 $x_i$ 在 $\mathbb F_p$ 中的剩余类。则 $$ x_i+x_j\in p\mathbb Z_p \iff \bar x_i+\bar x_j=0. $$ 而且 $$ x_i\in\mathbb Z_p^\times \iff \bar x_i\in\mathbb F_p^\times. $$ 反之，每个 $a\in\mathbb F_p^\times$ 都有 $\mathbb Z_p^\times$ 中的提升。因此有限标号图 $G$ 在 $p$ 处可实现，当且仅当存在一个共同映射 $$ r:V\to\mathbb F_p^\times $$ 使得对所有不同 $i,j$ 同时有 $$ ij\in E(G) \iff r(j)=-r(i). $$ **证明。** 约化映射 $\mathbb Z_p\to\mathbb F_p$ 的核正是 $p\mathbb Z_p$，故第一式成立。$\mathbb Z_p$ 的单位恰是不属于其极大理想 $p\mathbb Z_p$ 的元素，故第二式成立。对任意非零剩余类，取 $1,\ldots,p-1$ 中的整数代表，即得到一个 $\mathbb Z_p$ 单位提升。于是对每一对不同顶点，边条件等价于 $r(i)+r(j)=0$，非边条件等价于该等式不成立；所有这些条件由同一个映射 $r$ 同时满足。$V=\varnothing$ 时映射与单位组均为空，上述等价同样成立。证毕。 **theorem 53.3（$p=2$ 的完整分类与最小禁诱导图）。** 当 $p=2$ 时，有限标号图 $G$ 可实现当且仅当 $G=K_n$。等价地，可实现类恰为不含诱导 $2K_1$ 的有限简单图。特别地，$K_0$ 与 $K_1$ 均可实现。 **证明。** $\mathbb F_2^\times=\{1\}$ 且 $-1=1$。因此任意两个不同顶点的剩余类都为 $1$，其和为 $0$，所以每一对不同顶点都必须成边；反之给所有顶点残数 $1$ 即实现 $K_n$，而 $n=0$ 时取空组。有限简单图完全，当且仅当不存在两个互不相邻顶点，也就是当且仅当不含诱导 $2K_1$。证毕。 **定义 53.4（奇素数容量权）。** 以下在涉及本定义时令 $p$ 为奇素数，并置 $$ m=\frac{p-1}{2}. $$ 对有限图 $G$，令 $c_+(G)$ 为含至少一条边的连通分支数；令 $\iota(G)=1$ 当且仅当 $G$ 至少有一个孤立点，否则令 $\iota(G)=0$。定义 $$ w(G)=c_+(G)+\iota(G). $$ 因而 $w(K_0)=0$，而单点图满足 $w(K_1)=1$。 **theorem 53.5（奇素数的完整共同见证分类）。** 设 $p$ 为奇素数，$m=(p-1)/2$。有限标号图 $G$ 在 $p$ 处可实现，当且仅当同时满足： 1. 每个含边连通分支都是完全二部图； 2. $w(G)\le m$。 更具体地，在任何实现中，每个含边连通分支使用某一个负残数对 $$ \{a,-a\}\subset\mathbb F_p^\times, $$ 不同含边分支必须使用不同的负残数对；若存在孤立点，则每个孤立点所用的负残数对都不能被含边分支使用。反过来，为了实现任意满足上述两条的图，全部孤立点只需共同占用一个尚未被含边分支使用的负残数对的一侧。因此不存在额外的跨分支兼容条件。此陈述包括 $n=0$ 与 $n=1$。 **证明。** 先证必要性。由 theorem 53.2 取共同残数标号 $$ r:V\to\mathbb F_p^\times. $$ 若 $uv$ 是边，则 $r(v)=-r(u)$。沿一个含边连通分支中的任意路径递推，残数只能在某个二元集合 $\{a,-a\}$ 中交替出现。由于 $p$ 为奇数且 $a\ne0$，有 $a\ne-a$。把该分支中残数为 $a$ 与残数为 $-a$ 的顶点分成两侧。同侧两点的残数和分别为 $2a$ 或 $-2a$，均非零；异侧两点的残数和为零。由 theorem 53.2，该分支恰为这两侧之间的完全二部图。 若两个不同含边分支使用同一个负残数对 $\{a,-a\}$，则每个含边分支都同时出现 $a$ 与 $-a$。从第一个分支取残数为 $a$ 的顶点，从第二个分支取残数为 $-a$ 的顶点，二者便应相邻，与它们属于不同连通分支矛盾。因此不同含边分支使用不同负残数对。 再设 $z$ 是孤立点。若 $r(z)$ 所属的负残数对已经被某个含边分支使用，则该分支同时含有残数 $r(z)$ 与 $-r(z)$ 的顶点，特别是含有一个残数为 $-r(z)$ 的顶点；它与 $z$ 的残数和为零，于是应与 $z$ 相邻，矛盾。若两个孤立点恰使用同一个负残数对，它们还必须位于同一侧，否则二者互为负残数并会相邻；不同孤立点也可以使用多个未占用的负残数对。无论如何，只要存在孤立点，就至少需要一个未被含边分支使用的负残数对。因为 $$ \mathbb F_p^\times = \bigsqcup_{a\sim -a}\{a,-a\} $$ 恰分成 $m$ 个负残数对，所以 $w(G)\le m$。 再证充分性。若 $V=\varnothing$，空单位组已经给出实现。以下设 $V\ne\varnothing$。把含边分支按最小顶点标号排序为 $$ C_1,\ldots,C_c, \qquad c=c_+(G). $$ 每个 $C_j$ 是含边的连通完全二部图，所以其二部划分在交换两侧之外唯一；规定包含 $C_j$ 最小标号顶点的一侧为正侧。由于 $c\le m$，在 $\mathbb F_p^\times$ 中负残数对 $$ \{\pm1\},\ldots,\{\pm c\} $$ 彼此不同：若 $1\le jm$，分两种互斥情形。若 $c_+(G)\ge m+1$，从其中 $m$ 个含边分支各取一条边，再从另一个含边分支取一个顶点；不同分支之间没有边，于是所得诱导子图正是 $F_m$。若 $c_+(G)\le m$，则 $$ c_+(G)+\iota(G)>m $$ 迫使 $c_+(G)=m$ 且 $\iota(G)=1$；从这 $m$ 个含边分支各取一条边，再取一个真正孤立点，同样得到诱导 $F_m$。 反过来，设 $G$ 含有一个诱导 $F_m$。其中选出的 $m$ 条互不相交边不可能有两条来自同一个环境完全二部分支：若两条边在同一个完全二部分支中，它们的四个端点之间还会出现相应的额外跨侧边，所得四点诱导子图不会是 $2K_2$。故这 $m$ 条边来自 $m$ 个不同的含边分支。$F_m$ 中剩余的那个诱导孤立顶点也不可能位于这 $m$ 个分支之一，因为在一个含有已选边的完全二部分支中，任意第三个顶点必与该已选边的某一个端点相邻。因此这个额外顶点要么是 $G$ 的真正孤立点，要么属于另一个含边分支。两种情形都给出 $$ w(G)\ge m+1. $$ 结合 theorem 53.5，得到所述禁诱导刻画。 现在证明极小性。首先 $$ w(F_m)=m+1, $$ 所以 $F_m$ 不可实现。删除 $F_m$ 的那个孤立点，得到 $mK_2$，其权为 $m$；删除任意一条边的一个端点，得到 $$ (m-1)K_2\sqcup2K_1, $$ 其权为 $$ (m-1)+1=m. $$ 这些图的含边分支都是完全二部图，所以由 theorem 53.5 可实现。这一计算对每个 $m\ge1$ 都成立；特别在 $m=1$ 时后一图就是 $2K_1$，仍有权 $1$。可实现性对诱导子图是遗传的，因为只需限制一个已有的共同残数见证。因此 $F_m$ 的每个真诱导子图都可实现，$F_m$ 对所有 $m\ge1$ 都是顶点极小障碍。 $K_3$ 删除任一顶点得到 $K_2$，其权为 $1\le m$，故 $K_3$ 对所有奇素数都是顶点极小障碍。若 $p\ge5$，则 $m\ge2$。对 $P_4$，删除一个端点得到 $P_3=K_{1,2}$；删除一个内部顶点得到 $K_2\sqcup K_1$。这就是全部一顶点删除情形，没有 $3K_1$ 情形。前者权为 $1$，后者权为 $2$，均不超过 $m$，且它们的含边分支均为完全二部图，所以都可实现；遗传性于是说明 $P_4$ 的每个真诱导子图都可实现。故当 $p\ge5$ 时三个列出的障碍都顶点极小。 最后当 $p=3$ 时 $m=1$。若把 $P_4$ 的顶点依路径次序记为 $1,2,3,4$，则 $\{1,2,4\}$ 诱导 $$ K_2\sqcup K_1=F_1. $$ 所以禁止 $F_1$ 已自动禁止 $P_4$。上面又已证明 $F_1$ 与 $K_3$ 各自顶点极小，因此最小禁诱导族可取 $\{K_3,F_1\}$。证毕。 **定义 53.7（有限诱导检验元数）。** 固定素数 $p$。对 $k\in\mathbb N_0$，令 $\mathcal P_p(k)$ 表示下述性质： 对每个有限简单标号图 $G$，若对所有满足 $|S|\le k$ 的顶点子集 $S\subseteq V(G)$，诱导图 $G[S]$ 都在 $p$ 处可实现，则 $G$ 本身在 $p$ 处可实现。 令 $$ A_p=\{k\in\mathbb N_0:\mathcal P_p(k)\}. $$ 若 $A_p\ne\varnothing$，定义 $$ k(p)=\min A_p; $$ 若 $A_p=\varnothing$，则定义 $$ k(p)=\infty. $$ 所以此处“最小 $k$”先是一个允许取 $\infty$ 的候选定义；theorem 53.8 将证明对每个素数它实际有限。 这里的 $k(p)$ 只度量定义 53.1 中那个已命名的二元接口及其诱导顶点限制。它不声称给出任意有限公理化的最小元数，也不声称在加入标号算术常量、完整剩余域数据、更高元关系或其他富化观测后仍有相同结论。 **theorem 53.8（精确元数）。** 对所有素数， $$ k(2)=2, \qquad k(p)=p\quad\text{当 $p$ 为奇素数}. $$ 特别地，定义 53.7 中的 $A_p$ 对每个素数都非空。 **证明。** 先设 $p=2$。由 theorem 53.3，唯一的顶点极小禁诱导图是 $2K_1$，其顶点数为 $2$。因此若每个至多两点的诱导子图都可实现，则 $G$ 不含 $2K_1$，从而可实现，所以 $2\in A_2$。另一方面，$2K_1$ 的每个至多一个顶点的诱导子图都是 $K_0$ 或 $K_1$，均可实现，但 $2K_1$ 本身不可实现，故 $0,1\notin A_2$。所以 $k(2)=2$。 再设 $p$ 为奇素数，$m=(p-1)/2$。若 $p=3$，theorem 53.6 给出的最小禁诱导族可取 $$ \{K_3,F_1\}, $$ 两者都有 $3=p$ 个顶点。因此若所有至多 $p$ 点诱导子图可实现，$G$ 不可能含有这两个障碍，从而 $G$ 可实现。 若 $p\ge5$，theorem 53.6 的三个禁诱导图的顶点数分别为 $$ 3,\qquad4,\qquad |V(F_m)|=2m+1=p. $$ 因此同样地，检查所有至多 $p$ 点的诱导子图足以排除全部障碍，故 $p\in A_p$。这证明了所有奇素数都有 $k(p)\le p$，也同时给出了定义 53.7 所需的存在性。 反向，对任意奇素数都有 $m\ge1$。图 $$ F_m=mK_2\sqcup K_1 $$ 恰有 $$ 2m+1=p $$ 个顶点且不可实现；theorem 53.6 已对每个 $m\ge1$ 明确证明它的每个真诱导子图都可实现，包括 $m=1$ 即 $p=3$ 的删除情形。因此对每个 $k\le p-1$，$F_m$ 的每个至多 $k$ 点诱导子图都是可实现的真诱导子图，而 $F_m$ 整体不可实现。故没有 $kk$。令 $m=(p-1)/2$，在 $V=[p]$ 上定义 $$ G_p=F_m=mK_2\sqcup K_1, \qquad G_2=K_p, $$ 并对每个奇素数 $q\ne p$ 定义 $$ G_q=E_p. $$ 则每个大小至多 $k$ 的诱导子族都有实际的全局单位见证，而整个族没有全局单位见证。 **证明。** 先说明所需奇素数可以完全初等地取得。令 $$ t=\max\{k,1\}+1\ge2 $$ 并取 $t!+1$ 的任一素因子 $p$。若 $p\le t$，则 $p$ 同时整除 $t!$ 与 $t!+1$，矛盾，所以 $p>t>k$；又因为 $t!+1$ 为奇数，$p$ 是奇素数。 固定这样的 $p$ 并按陈述定义图族。若 $S\subseteq V$ 且 $|S|\le k$，则 $$ |S|0$ 且 $d_j\mid d_{j+1}$。这里 $\operatorname{diag}$ 表示相应的 $r\times m$ 矩形对角阵。若 $s=0$，则 $M=0$，非零不变量列表为空；可取 $U=I_r,V=I_m$。若 $r=0$ 或 $m=0$，同样按唯一空矩阵、秩零与相应空恒等矩阵解释，空乘积约定为 $1$。对非零矩阵，Smith 对角形中非零对角元的个数等于 $s$，因为左右乘可逆矩阵保持在 $\mathbb Q$ 上的秩；在 $\mathbb Z$ 中再以单位 $-1$ 调整符号即可令各 $d_j>0$。 Richard Elman, *Lectures on Abstract Algebra*, Appendix D, Theorem D.2 对任意欧几里得环上的矩形矩阵给出左右可逆矩阵把它化为 Smith 标准形；其证明明确从零矩阵情形开始，并以欧几里得函数的严格下降和维数归纳给出终止过程。（[Theorem D.2，印刷页 854／PDF 页 862](https://www.math.ucla.edu/~rse/algebra_book.pdf#page=862)；[证明续，印刷页 855／PDF 页 863](https://www.math.ucla.edu/~rse/algebra_book.pdf#page=863)） 整数矩阵 Smith 标准形的显式终止计算另可由 Arne Storjohann, *Near Optimal Algorithms for Computing Smith Normal Forms of Integer Matrices*, University of Waterloo Technical Report CS-96-03, Theorem 14 得到；该定理在 PDF 第 8 页给出输入任意 $n\times m$ 整数矩阵并输出其 Smith 标准形的确定性算法。（[Theorem 14，PDF 页 8](https://cs.uwaterloo.ca/research/tr/1996/03/CS-96-03.pdf#page=8)） 空维数情形在本文中按上一段的平凡约定直接处理。 关于有限整数的逐素数分解，Longhi–Mu–Saettone, *Coset Topologies on $\mathbb Z$ and Arithmetic Applications*, arXiv:2202.13478v3, §3.1.2 在 Theorem 3.6 前给出 $$ v_p(x)=0\Longleftrightarrow x\in\mathbb Z_p^\times, $$ Theorem 3.6 及其证明给出 $$ \widehat{\mathbb Z}\cong\prod_p\mathbb Z_p, $$ 而 §3.3.1 的式 (36) 给出 $$ \widehat{\mathbb Z}^{\times}=\prod_p\mathbb Z_p^\times. $$ （[单位判据与 Theorem 3.6，PDF 页 19](https://arxiv.org/pdf/2202.13478v3#page=19)；[式 (36)，PDF 页 24](https://arxiv.org/pdf/2202.13478v3#page=24)） 若把本节与轨道商超加法背景比较，Connes–Consani, *The Hyperring of Adèle Classes*, arXiv:1001.4260v2, Proposition 2.5 的式 (6) 是 $$ x+y=(xG+yG)/G. $$ （[Proposition 2.5，式 (6)，PDF 页 7](https://arxiv.org/pdf/1001.4260v2#page=7)） 该公式描述轨道商上的超加法；它本身不提供本节所要求的“一组共同代表同时实现全部边”的结论，因此下文始终直接处理共同元组。 **theorem 54.2（无穷标号子系统的精确分类与规范参数化）.** 令 $G_\infty$ 是顶点集 $V$ 上以 $$ E_\infty=\{\{i,j\}:a_{ij}=\infty\} $$ 为边集的图。存在单位向量满足全部无穷边方程 $x_i+x_j=0$，当且仅当 $G_\infty$ 是二分图，等价地每个连通分量都没有奇圈。若此条件成立，则在每个连通分量 $C$ 中取最小顶点 $r_C$ 为根，并定义 $$ \varepsilon_i=(-1)^{d_C(r_C,i)}\in\{\pm1\}. $$ 该符号与路径选择无关，而且全部无穷方程的解恰好唯一写成 $$ x_i=\varepsilon_i y_C\qquad(i\in C), $$ 其中每个 $y_C\in\mathbb Z_p^\times$ 独立。此结论对 $p=2$ 仍成立；奇圈不会因为剩余特征为 $2$ 而变得可行。当 $n=0$ 时，$G_\infty$ 是空图、连通分量族为空，参数向量为空，上述参数化给出唯一空解。 **证明。** 当 $n=0$ 时所有断言均为真空断言，且唯一空向量给出所述解。以下设有顶点。若 $x_i+x_j=0$，则沿每条无穷边有 $x_j=-x_i$。沿一条长度为 $\ell$ 的路径迭代得到终点值为 $(-1)^\ell$ 乘起点值。若存在奇圈，从圈上一点 $i$ 出发一周得到 $x_i=-x_i$，故 $2x_i=0$。环 $\mathbb Z_p$ 具有特征 $0$ 且是整环，所以 $2\ne0$ 且不是零因子，于是 $x_i=0$，与 $x_i$ 为单位矛盾；这也覆盖 $p=2$。 反之若图二分，则同一根到同一顶点的任意两条路径长度同奇偶，否则两条路径合成奇闭路；故 $\varepsilon_i$ 定义良好，相邻顶点符号相反。任取每个分量的单位 $y_C$，令 $x_i=\varepsilon_i y_C$，所有无穷边立即满足。最后，任一满足无穷方程的解沿根到 $i$ 的路径必有 $x_i=\varepsilon_i x_{r_C}$，故取 $y_C=x_{r_C}$ 给出唯一参数化。证毕。 **definition 54.3（压缩后的有限线性形式与停止指数）.** 假设 $G_\infty$ 二分，令其连通分量按根的大小排序为 $$ \mathcal C=\{C_1,\ldots,C_m\}, $$ 其中允许 $m=0$，并采用 theorem 54.2 的规范符号。对每条有限边 $e=\{i,j\}$，记 $c(i),c(j)\in\{1,\ldots,m\}$ 为所属分量，定义整数行向量 $b_e\in\mathbb Z^m$ 为 $$ b_e=\varepsilon_i e_{c(i)}+\varepsilon_j e_{c(j)}, $$ 其中 $e_c$ 是第 $c$ 个标准基向量。若 $c(i)=c(j)$，两个系数必须在同一坐标中相加，因此该坐标真实地是 $0$ 或 $\pm2$，绝不把重复变量误记成两个独立变量。记有限边集为 $E_f$。若 $E_f\ne\varnothing$，置 $$ A=\max_{e\in E_f}a_e,\qquad N=A+1; $$ 若 $E_f=\varnothing$，直接置 $$ N=1. $$ 特别地，$n=0$ 时 $m=0$、$E_f=\varnothing$ 且 $N=1$。 **theorem 54.4（有限停止界、模 $p^N$ 精确判据与实际提升）.** 在 theorem 54.2 的二分条件下，令 $N$ 按 definition 54.3 的分支定义，即 $$ N= \begin{cases} 1,&E_f=\varnothing,\\ 1+\max_{e\in E_f}a_e,&E_f\ne\varnothing. \end{cases} $$ 原始 $p$-进实现存在，当且仅当存在 $$ \bar y=(\bar y_1,\ldots,\bar y_m)\in(\mathbb Z/p^N\mathbb Z)^m $$ 满足 $$ \bar y_c\not\equiv0\pmod p\qquad(1\le c\le m), $$ 以及对每条 $e\in E_f$， $$ b_e\bar y\equiv0\pmod{p^{a_e}}, \qquad b_e\bar y\not\equiv0\pmod{p^{a_e+1}}. $$ 因此当 $E_f\ne\varnothing$ 时，$N=1+\max a_e$ 是由输入显式给出的充分停止指数；当 $E_f=\varnothing$ 时固定取 $N=1$，不存在未定义的最大值。每个这样的 $\bar y$ 都提升为实际的 $p$-进共同单位解，并且所有无穷标号在提升后仍是精确零和。若 $m=0$，模参数空间是只含空向量的单点集。 **证明。** 先设有 $p$-进实现。由 theorem 54.2 可唯一写成 $$ x_i=\varepsilon_i y_{c(i)}, $$ 其中各 $y_c$ 是单位。模 $p^N$ 约化得到 $\bar y_c\not\equiv0\pmod p$。对有限边 $e=\{i,j\}$， $$ x_i+x_j=b_ey. $$ 此时必有 $E_f\ne\varnothing$，且 $a_e+1\le N$。所以 $v_p(b_ey)=a_e$ 恰等价于模 $p^{a_e}$ 为零而模 $p^{a_e+1}$ 非零，约化后得到所列条件。 反之，设给定这样的 $\bar y$。对每个 $c$ 取任意提升 $y_c\in\mathbb Z_p$；由于 $\bar y_c$ 模 $p$ 非零，提升仍是单位。定义 $$ x_i=\varepsilon_i y_{c(i)}. $$ 每条无穷边的两个符号相反且使用完全相同的自由参数，所以 $x_i+x_j=0$ 在 $\mathbb Z_p$ 中严格成立，而非仅在某个有限商中成立。对有限边，因为 $a_e+1\le N$，两个量模 $p^N$ 相同必然模 $p^{a_e+1}$ 相同；等价地， $$ p^N\mathbb Z_p\subseteq p^{a_e+1}\mathbb Z_p. $$ 故所给“整除 $p^{a_e}$ 但不整除 $p^{a_e+1}$”条件在任意提升下保持，从而 $v_p(x_i+x_j)=a_e$。 若 $E_f=\varnothing$，没有有限边精度需要检测，$N=1$ 只记录每个自由参数为单位；若进一步 $m=0$，唯一空模向量提升为唯一空 $p$-进向量。故所有情形均已覆盖。证毕。 **theorem 54.5（同分量有限边的 $0,\pm2$ 系数约束）.** 在 theorem 54.2 的二分条件下，若有限边 $e=\{i,j\}$ 的两端属于同一无穷分量，则： 1. 若 $\varepsilon_i=-\varepsilon_j$，任何有限 $a_e$ 都不可能，因为 $x_i+x_j=0$； 2. 若 $\varepsilon_i=\varepsilon_j$，则必且只可能有 $$ a_e=v_p(2)= \begin{cases} 1,&p=2,\\ 0,&p\ne2. \end{cases} $$ 当该值被指定时，此边对自由单位参数不再增加限制。 **证明。** 同分量时 $$ x_i+x_j=(\varepsilon_i+\varepsilon_j)y_C. $$ 符号相反时系数为 $0$，估值为 $\infty$。符号相同时系数为 $\pm2$，而 $y_C$ 是单位，故估值恰为 $v_p(2)$。反向充分性由同一计算立即得到。证毕。 **theorem 54.6（Smith 标准形的模 $p^N$ 核计数，包括秩零与空矩阵）.** 设 $M\in M_{r\times m}(\mathbb Z)$，其中 $r,m\in\mathbb N_0$，整数秩为 $s$，Smith 非零不变量为 $d_1,\ldots,d_s$。对 $N\ge1$，令 $$ K_N(M):=\#\{\bar y\in(\mathbb Z/p^N\mathbb Z)^m:M\bar y\equiv0\pmod{p^N}\}. $$ 则 $$ K_N(M)=p^{N(m-s)}\prod_{j=1}^s\gcd(d_j,p^N) =p^{N(m-s)+\sum_{j=1}^s\min(v_p(d_j),N)}. $$ 当 $s=0$ 时两个求和与乘积均为空，故 $$ K_N(M)=p^{Nm}. $$ 特别地，若 $m=0$，则 $K_N(M)=1$。 **证明。** 若 $s=0$，则 $M=0$，所有 $m$ 个坐标任意，直接得到 $p^{Nm}$；当 $m=0$ 时只有空向量，计数为 $1$。以下设 $s>0$。由 axiom 54.1 取整数幺模矩阵 $U,V$ 使 $UMV=D$ 为 Smith 对角形。因为 $\det U,\det V=\pm1$，它们模 $p^N$ 后仍可逆，所以左乘 $U$ 不改变齐次方程解集，变量替换 $\bar y=V\bar z$ 是 $(\mathbb Z/p^N\mathbb Z)^m$ 的双射。因此只需计数 $$ d_j\bar z_j\equiv0\pmod{p^N}\qquad(1\le j\le s), $$ 其余 $m-s$ 个坐标任意。 对单个非零整数 $d$，令 $g=\gcd(d,p^N)$，写 $d=gd'$、$p^N=gq$ 且 $\gcd(d',q)=1$。条件 $p^N\mid dz$ 等价于 $q\mid z$，故模 $p^N$ 恰有 $g$ 个解。于是前 $s$ 个坐标贡献 $\prod_j\gcd(d_j,p^N)$，其余坐标贡献 $p^{N(m-s)}$。又 $$ \gcd(d_j,p^N)=p^{\min(v_p(d_j),N)}, $$ 得到第二式。证毕。 **definition 54.7（统一模数矩阵）.** 假设 $G_\infty$ 二分。对 $T\subseteq E_f$ 与 $U\subseteq\{1,\ldots,m\}$，令 $$ k_e(T)=a_e+\mathbf1_{e\in T}. $$ 若 $E_f\ne\varnothing$，由 definition 54.3 有 $0\le k_e(T)\le N$；若 $E_f=\varnothing$，此条件真空且 $N=1$。定义整数矩阵 $M_{T,U}$，其行包括 $$ p^{N-k_e(T)}b_e\qquad(e\in E_f), $$ 以及 $$ p^{N-1}e_c\qquad(c\in U). $$ 当 $k_e(T)=0$ 时，对应行为 $p^Nb_e$，模 $p^N$ 恒为零，正好表达“模 $p^0$ 无约束”。若同一自由变量在一条边中重复出现，系数仍按 definition 54.3 真实相加为 $0$ 或 $\pm2$。当 $m=0$、$E_f=\varnothing$ 时，唯一的 $M_{\varnothing,\varnothing}$ 是 $0\times0$ 空矩阵，秩为 $0$。 **theorem 54.8（精确整数计数公式、实际解约化类的双射与完全有限判定）.** 若 $G_\infty$ 不是二分图，置 $$ C_p(a)=0. $$ 若其二分，令 $N,m,E_f,M_{T,U}$ 如上，并令每个 $M_{T,U}$ 的整数 Smith 非零不变量为 $$ d_1(T,U),\ldots,d_{s(T,U)}(T,U). $$ 定义 $$ C_p(a)= \sum_{T\subseteq E_f}\ \sum_{U\subseteq\{1,\ldots,m\}} (-1)^{|T|+|U|} p^{N(m-s(T,U))} \prod_{j=1}^{s(T,U)}\gcd(d_j(T,U),p^N). $$ 令 $\mathcal Y_N(a)$ 为 theorem 54.4 中满足全部单位条件与全部有限边精确条件的模 $p^N$ 参数类集合；令 $$ \mathcal R_N(a)= \left\{ (x_i\bmod p^N)_{i\in V}: (x_i)_{i\in V}\in(\mathbb Z_p^\times)^V \text{ 是原阵列的实际精确共同解} \right\}. $$ 则 $$ C_p(a)=|\mathcal Y_N(a)|=|\mathcal R_N(a)|. $$ 换言之，这里计数的是实际精确 $p$-进共同解的不同模 $p^N$ 约化类，等价地计数 theorem 54.2 的规范有符号参数经 theorem 54.4 实际提升后得到的约化类；它不是把“仅在模 $p^N$ 意义满足无穷边方程”的任意顶点元组都计入。因此 $$ \text{存在实际 }(x_i)\in(\mathbb Z_p^\times)^V \quad\Longleftrightarrow\quad C_p(a)>0. $$ 这给出对任意有限输入的终止算法：先判定 $G_\infty$ 是否二分；若是，构造有限多个整数矩阵 $M_{T,U}$，计算其整数 Smith 标准形并代入上式。整数 Smith 形存在确定性终止算法的来源见 axiom 54.1 中 Storjohann, Theorem 14；零矩阵与空维数在本文中先直接返回。 **证明。** 设 $G_\infty$ 二分；非二分情形由 theorem 54.2 已知没有实际解，而定义给出 $C_p(a)=0$。在所有满足基础整除条件 $$ p^{a_e}\mid b_e\bar y\qquad(e\in E_f) $$ 的模 $p^N$ 向量中，定义坏事件 $$ B_e=\{\bar y:p^{a_e+1}\mid b_e\bar y\}, \qquad D_c=\{\bar y:p\mid\bar y_c\}. $$ 所需参数集合 $\mathcal Y_N(a)$ 正是基础解集中避开全部 $B_e$ 与全部 $D_c$ 的元素。 对固定 $T,U$，同时强制 $B_e$ 对 $e\in T$ 成立、强制 $D_c$ 对 $c\in U$ 成立，并保留每条边的基础整除条件，等价于 $$ b_e\bar y\equiv0\pmod{p^{k_e(T)}}\qquad(e\in E_f), $$ 以及 $$ \bar y_c\equiv0\pmod p\qquad(c\in U). $$ 第一类同余乘以 $p^{N-k_e(T)}$，第二类乘以 $p^{N-1}$，恰变成统一模数系统 $$ M_{T,U}\bar y\equiv0\pmod{p^N}. $$ 故其解数由 theorem 54.6 精确给出。对这组有限坏事件应用容斥原理，得到 $$ |\mathcal Y_N(a)|= \sum_{T\subseteq E_f}\ \sum_{U\subseteq\{1,\ldots,m\}} (-1)^{|T|+|U|} p^{N(m-s(T,U))} \prod_{j=1}^{s(T,U)}\gcd(d_j(T,U),p^N) =C_p(a). $$ 现证明这确实等于实际解的约化类数。定义 $$ \Phi:\mathcal Y_N(a)\longrightarrow\mathcal R_N(a) $$ 如下：给定 $\bar y$，先按 theorem 54.4 任取实际提升 $y\in(\mathbb Z_p^\times)^m$，再以 $$ x_i=\varepsilon_i y_{c(i)} $$ 重建顶点元组，并取模 $p^N$。因为重建后的模类直接是 $$ \bar x_i=\varepsilon_i\bar y_{c(i)}, $$ 所以 $\Phi$ 与提升选择无关。theorem 54.4 保证该重建是实际精确解，故 $\Phi$ 确实落在 $\mathcal R_N(a)$。 反过来，给定 $\mathcal R_N(a)$ 中一类，按定义它来自某个实际精确解 $x$。theorem 54.2 给出唯一的实际参数 $y_C=x_{r_C}$；约化后得到 $\bar y\in\mathcal Y_N(a)$，且重建正回到给定顶点约化类，所以 $\Phi$ 满射。又每个分量根满足 $\varepsilon_{r_C}=1$，因此从任意顶点约化类可直接读回 $$ \bar y_C=\bar x_{r_C}. $$ 故 $\Phi$ 单射。若 $m=0$，两边都是只含空类的单点集，同一论证真空成立。于是 $\Phi$ 是双射，得到 $$ C_p(a)=|\mathcal Y_N(a)|=|\mathcal R_N(a)|. $$ 特别地，$C_p(a)>0$ 当且仅当实际精确共同解存在。全部求和集合有限，且每个所需 Smith 形可由终止的整数算法求得，所以整个判定过程终止。证毕。 **theorem 54.9（空阵列、全无穷与小顶点边界）.** 有以下边界结论。 1. 若 $n=0$，则 $G_\infty$ 是空图，有 $m=0$ 个连通分量，$E_f=\varnothing$，$N=1$，唯一空元组是实际解，并且 $$ C_p(\varnothing)=1. $$ 2. 若 $n=1$，则没有边，$G_\infty$ 有一个孤立分量，$N=1$，并且 $$ C_p(a)=p-1>0. $$ 3. 更一般地，若 $E_f=\varnothing$，则 $$ C_p(a)= \begin{cases} (p-1)^m,&G_\infty\text{ 二分且有 }m\text{ 个连通分量},\\ 0,&G_\infty\text{ 非二分}. \end{cases} $$ 因此原问题可行当且仅当 $G_\infty$ 二分；只有在二分情形才有 $(p-1)^m$ 的计数，且 $m=0$ 时按空乘积约定该值为 $1$。 4. 特别地，全无穷阵列的无穷图是 $K_n$，故 $$ C_p(a)= \begin{cases} 1,&n=0,\\ p-1,&n=1,\\ p-1,&n=2,\\ 0,&n\ge3. \end{cases} $$ 等价地，全无穷阵列可行当且仅当 $n\le2$。特别是 $p=2,n=3$ 的全无穷三角形满足 $C_2(a)=0$。 **证明。** 若 $n=0$，只有空图与空参数。theorem 54.8 的双重求和中只有 $$ T=U=\varnothing, $$ 且 $M_{\varnothing,\varnothing}$ 为 $0\times0$ 矩阵，$s=0$。因此唯一项是 $$ p^{1(0-0)}\prod_{\varnothing}1=1, $$ 故 $C_p(\varnothing)=1$，并与唯一空实际解一致。 现设 $E_f=\varnothing$。若 $G_\infty$ 非二分，则 theorem 54.2 说明不存在实际共同单位解，而 theorem 54.8 的定义直接给出 $$ C_p(a)=0. $$ 若 $G_\infty$ 二分且有 $m$ 个连通分量，则 theorem 54.2 给出全部实际解：每个分量独立选择一个单位参数。此时 $N=1$，模 $p$ 每个参数恰有 $p-1$ 个非零类，所以 theorem 54.8 所计的实际解约化类共有 $$ (p-1)^m. $$ 当 $m=0$ 时这就是空乘积 $1$。$n=1$ 时 $m=1$，得到 $p-1$。 若阵列全无穷，则 $G_\infty=K_n$。完全图 $K_n$ 二分当且仅当 $n\le2$。其中 $K_0$ 有零个分量，$K_1$ 有一个分量，$K_2$ 也有一个连通分量，故分别得到 $1,p-1,p-1$；当 $n\ge3$ 时 $K_n$ 含三角形，从而非二分，故计数为 $0$。特别地，对 $p=2$ 的全无穷 $K_3$，三条方程给出 $x_1=-x_0$、$x_2=x_0$ 与 $x_2=-x_0$，从而 $2x_0=0$，不可能由单位满足，与 $C_2(a)=0$ 一致。证毕。 **theorem 54.10（精确无穷路径上的 $p=2/p=3$ 系数例外）.** 取三个顶点 $0,1,2$，规定 $$ a_{01}=a_{12}=\infty,\qquad a_{02}=h<\infty. $$ 则存在共同单位见证当且仅当 $$ h=v_p(2). $$ 因此 $p=2$ 时唯一可能的有限值是 $h=1$，而 $p=3$ 时唯一可能的有限值是 $h=0$。 **证明。** 两条无穷边给出 $$ x_1=-x_0,\qquad x_2=-x_1=x_0, $$ 故 $$ x_0+x_2=2x_0. $$ 因为 $x_0$ 是单位，其估值是 $v_p(2)$。反之取任意单位 $u$ 并令 $$ (x_0,x_1,x_2)=(u,-u,u), $$ 便同时实现两条精确零和边与 $a_{02}=v_p(2)$。证毕。 **theorem 54.11（$p=2$：通过二值可行性但高精度失败的三角形）.** 对 $p=2$ 与三个顶点，有限阵列 $$ a_{01}=1,\qquad a_{12}=1,\qquad a_{02}=2 $$ 没有共同单位见证。可是若只保留“估值是否为正”这一二值信息，则三条边全为正是可行的；并且数值 $1$ 与 $2$ 各自都能由某一对 $2$-进单位实现。 **证明。** 若 $u,v$ 是奇数且 $v_2(u+v)=1$，则 $$ u+v\equiv2\pmod4, $$ 这对奇数等价于 $u\equiv v\pmod4$。假设共同见证存在。由前两条边得到 $$ x_0\equiv x_1\equiv x_2\pmod4. $$ 于是 $$ x_0+x_2\equiv2x_0\equiv2\pmod4, $$ 故 $v_2(x_0+x_2)=1$，与规定值 $2$ 矛盾。 二值层面可直接取 $$ x_0=x_1=x_2=1, $$ 三条和都等于 $2$，故三条边的估值都为正。单对精确值方面，$(1,1)$ 给出估值 $1$，$(1,3)$ 给出估值 $2$。证毕。 **theorem 54.12（$p=3$：通过二值可行性但第二位数字要求四种颜色）.** 对 $p=3$，取八个顶点 $$ A_1,\ldots,A_4,B_1,\ldots,B_4. $$ 规定同侧边 $$ a_{A_iA_j}=a_{B_iB_j}=0\qquad(i\ne j), $$ 对角跨侧边 $$ a_{A_iB_i}=2, $$ 非对角跨侧边 $$ a_{A_iB_j}=1\qquad(i\ne j). $$ 则该完整阵列没有共同 $3$-进单位见证；但仅保留“正估值/零估值”后，正边恰为 $K_{4,4}$ 的跨侧边，二值阵列可行。并且 $0,1,2$ 三种单边精确值分别都能由某对 $3$-进单位实现。 **证明。** 二值可行性有显式见证：取所有 $$ x_{A_i}=1,\qquad x_{B_j}=2. $$ 则跨侧和等于 $3$，估值为 $1>0$；同侧和分别为 $2$ 或 $4$，估值为 $0$。 现假设完整精确阵列有见证。所有跨侧边估值至少为 $1$，故对任意 $i,j$ 有 $$ x_{A_i}\equiv-x_{B_j}\pmod3. $$ 于是所有 $A_i$ 在 $\mathbb F_3^\times$ 中有同一个剩余类 $r$，所有 $B_j$ 有剩余类 $-r$。固定一次 $r$ 的标准整数代表 $$ \widetilde r\in\{1,2\}\subset\mathbb Z. $$ 于是存在唯一的 $\alpha_i,\beta_j\in\mathbb F_3$。再取它们的标准整数代表 $$ \widetilde\alpha_i,\widetilde\beta_j\in\{0,1,2\}, $$ 则模 $9$ 有 $$ x_{A_i}\equiv\widetilde r+3\widetilde\alpha_i,\qquad x_{B_j}\equiv-\widetilde r+3\widetilde\beta_j. $$ 因此 $$ x_{A_i}+x_{B_j}\equiv3(\widetilde\alpha_i+\widetilde\beta_j)\pmod9, $$ 而是否被 $9$ 整除恰由 $\alpha_i+\beta_j\in\mathbb F_3$ 是否为零决定。对角边估值 $2$ 特别蕴含其和被 $9$ 整除，因此 $$ \alpha_i+\beta_i=0 $$ 于 $\mathbb F_3$，即 $\beta_i=-\alpha_i$。非对角边估值恰为 $1$ 蕴含其和不被 $9$ 整除，因此 $$ \alpha_i+\beta_j\ne0\qquad(i\ne j). $$ 代入 $\beta_j=-\alpha_j$ 得 $$ \alpha_i\ne\alpha_j\qquad(i\ne j). $$ 这要求 $\mathbb F_3$ 中存在四个两两不同元素，矛盾。因此无共同见证。 最后，单边值 $0$ 可由 $(1,1)$ 实现；对 $a=1,2$，取 $$ (1,-1+3^a), $$ 两者均为 $3$-进单位且和恰为 $3^a$。证毕。 **theorem 54.13（精确无穷奇圈：每条边单独可行而共同不可行）.** 对任意素数 $p$，三个顶点上的阵列 $$ a_{01}=a_{12}=a_{20}=\infty $$ 没有共同单位见证，虽然每一条单独的无穷边都可由一对单位实现。 **证明。** 三条方程依次给出 $$ x_1=-x_0,\qquad x_2=-x_1=x_0,\qquad x_0=-x_2=-x_0, $$ 故 $2x_0=0$。在特征 $0$ 的整环 $\mathbb Z_p$ 中这推出 $x_0=0$，与单位性矛盾。任一单独无穷边则可取 $(u,-u)$，其中 $u$ 为任意单位。证毕。 **definition 54.14（全素数乘积输入与有限支撑呈现）.** 令 $$ R=\prod_p\mathbb Z_p,\qquad R^\times=\prod_p\mathbb Z_p^\times. $$ 对同一有限顶点集 $V=[n]$，其中 $n\ge0$，全局输入是在每个素数 $p$ 给出完整阵列 $$ a^{(p)}_{ij}\in\mathbb N_0\cup\{\infty\}. $$ 全局实现是 $$ X_i=(x_{i,p})_p\in R^\times $$ 满足对所有 $p$ 与 $i0. $$ 这里每个 $C_p$ 都由 theorem 54.8 的有限整数公式计算。若输入具有规范有限支撑呈现，则全局判定化为对有限集合 $S$ 中各素数运行局部算法。 再固定如下黑箱模型：一次查询选择一个素数 $p$，黑箱返回该 $p$ 处的完整阵列 $a^{(p)}$。当 $n\ge3$ 时，不存在一个对所有这种任意无限黑箱输入都正确、且总在查询有限多个素数后停止的全局二值判定算法。 **证明。** 若有全局实现，则取其第 $p$ 坐标便得到同一顶点组在 $\mathbb Z_p$ 中的局部共同见证，所以 theorem 54.8 给出 $$ C_p(a^{(p)})>0 $$ 对每个 $p$ 成立。 反之，假设每个 $p$ 都有 $C_p(a^{(p)})>0$。对每个素数，theorem 54.8 给出非空的有限模参数见证集 $\mathcal Y_{N_p}(a^{(p)})$。按 theorem 54.2 的根排序固定分量顺序，并把每个剩余类写成 $0,\ldots,p^{N_p}-1$ 中的标准整数代表；在这个有限集合中取字典序最小参数见证 $\bar y^{(p)}$。再把其每个坐标的标准整数代表嵌入 $\mathbb Z_p$，作为一个确定的提升 $y^{(p)}$。theorem 54.4 保证任意这样的提升都保持全部有限边的精确估值，并由规范符号重建一个完整局部实际解 $$ x_{i,p}=\varepsilon_i^{(p)}y_{c_p(i)}^{(p)}. $$ 这为每个素数确定一整个一致的局部顶点元组，而不是为每条边分别选代表。令 $$ X_i=(x_{i,p})_p. $$ 每个坐标都是 $\mathbb Z_p^\times$ 的单位，故 $X_i\in R^\times$；逐坐标即实现全部规定阵列。若 $n=0$，以上选择全部为空，唯一全局空元组即为实现。 若有规范有限支撑呈现，$p\notin S$ 时全部取 $x_{i,p}=1$ 即为显式见证，因此只需有限检查 $S$。 最后证明黑箱有效性边界。设 $n\ge3$，假定存在一个总在有限次素数查询后停止且对任意无限输入都正确的判定器。让它运行在处处采用规范默认阵列的全可行输入上；由于该输入确实由所有坐标取 $1$ 实现，正确判定器最终回答“可行”，并且只查询有限素数集 $Q$。取未查询素数 $$ q\notin Q. $$ 只在 $q$ 处把顶点 $0,1,2$ 之间的三条边改成 theorem 54.13 的全无穷三角形，其余边以及其余素数全部保持默认。新旧输入在判定器实际查询的每个素数上完全相同，因此其整个查询转录与输出相同，仍回答“可行”。但修改后的输入在 $q$ 处包含一个局部不可行的精确无穷奇圈，故不可能有全局实现，矛盾。因此在这个黑箱模型中、对 $n\ge3$ 的任意无限输入，不存在总用有限素数查询完成的正确全局二值判定器。证毕。 **theorem 54.16（完整局部程序的等价形式）.** 对任意固定素数 $p$、任意 $n\ge0$ 与任意有限完整阵列 $a$，以下条件等价： 1. 存在同一个 $$ x\in(\mathbb Z_p^\times)^V $$ 实现全部精确有限估值与全部精确零和； 2. $G_\infty$ 二分且 theorem 54.4 的模 $p^N$ 条件有解，其中 $$ N= \begin{cases} 1,&E_f=\varnothing,\\ 1+\max_{e\in E_f}a_e,&E_f\ne\varnothing; \end{cases} $$ 3. theorem 54.8 的显式整数 $C_p(a)$ 为正。 此外，在这些条件成立时，全部无穷约束由 theorem 54.2 的自由单位参数严格维持；若 $E_f\ne\varnothing$，全部有限约束只需要指数 $$ N=1+\max_{e\in E_f}a_e, $$ 而若 $E_f=\varnothing$ 则固定 $N=1$。不存在额外的无限提升相容条件。 **证明。** $(1)\Longleftrightarrow(2)$ 是 theorem 54.2 与 theorem 54.4。$(2)\Longleftrightarrow(3)$ 是 theorem 54.8 的精确计数与实际解约化类双射。 最后说明停止精度的方向。若 $E_f=\varnothing$，没有有限边且 $N=1$，无需谈任何最大值或更高精度。若 $E_f\ne\varnothing$，则对每条有限边 $e$ 都有 $$ a_e+1\le N. $$ 因此模 $p^N$ 的约化确定模 $p^{a_e+1}$ 的约化：若两个 $p$-进量模 $p^N$ 相同，则其差属于 $$ p^N\mathbb Z_p\subseteq p^{a_e+1}\mathbb Z_p, $$ 所以它们也模 $p^{a_e+1}$ 相同。于是“被 $p^{a_e}$ 整除但不被 $p^{a_e+1}$ 整除”已经完全由模 $p^N$ 信息决定。无穷边则在 theorem 54.2 的参数化中是严格恒等式 $x_i=-x_j$，并非有限精度近似。故没有任何更高阶提升条件。证毕。 ## 54.99 追加锚 ## 55. 完整单位和估值数组的固定素数诱导元数 **定义 55.1 完整单位和数组与诱导元数。** 固定素数 $p$，令 $\overline{\mathbb N}_0=\mathbb N_0\cup\{\infty\}$，约定 $v_p(0)=\infty$、$\infty-n=\infty$。有限标号集 $V$ 上的完整数组是函数 $a:\binom V2\to\overline{\mathbb N}_0$。称其可实现，是指存在同一个元组 $(x_i)_{i\in V}\in(\mathbb Z_p^\times)^V$，使所有不同顶点满足 $v_p(x_i+x_j)=a_{ij}$；不同标号不要求取不同数值。记 $a|_W$ 为 $W\subseteq V$ 上的完整诱导限制。定义 $k_{\mathrm{full}}(p)$ 为使下式对所有有限 $V,a$ 成立的最小非负整数 $k$，不存在时记为 $\infty$： $$ \left(\forall W\subseteq V,\ |W|\le k\Longrightarrow a|_W\text{ 可实现}\right) \Longrightarrow a\text{ 可实现}. $$ 另记 $$ \delta_p=v_p(2),\qquad s_p=\delta_p+1,\qquad q_p= \begin{cases} (p-1)/2,&p\ne2,\\ 1,&p=2. \end{cases} $$ **定义 55.2 二色交叉数组、阈值与分支需求。** 设 $A,B$ 是不交的有限集。交叉数组 $b:A\times B\to\overline{\mathbb N}_0$ 可实现，是指存在同一个 $(z_w)_{w\in A\sqcup B}\in\mathbb Z_p^{A\sqcup B}$，满足 $$ b_{uv}=v_p(z_u-z_v)\qquad(u\in A,\ v\in B). $$ 同色差值不指定。对 $t\in\mathbb N_0$，令 $G_t(b)$ 为顶点集 $A\sqcup B$ 上以 $b_{uv}\ge t$ 为边的二部图。称包含边的连通分量为混合分量。对 $G_t(b)$ 的混合分量 $H$，在诱导图 $G_{t+1}(b)[V(H)]$ 中记混合分量数为 $c_t(H)$，并以 $\epsilon_A(H,t)$、$\epsilon_B(H,t)$ 分别表示是否存在相应颜色的孤立点，存在时取 $1$，否则取 $0$。定义 $$ D_t(H)=c_t(H)+\epsilon_A(H,t)+\epsilon_B(H,t). $$ 矩形条件 $\mathrm R$ 指每个二行二列子阵的四个标签中，最小值至少出现两次。对 $t\in\mathbb N_0$，模式 $\mathrm F_{p,t}$ 指存在两色各 $p$ 个不同顶点 $u_1,\ldots,u_p$ 和 $v_1,\ldots,v_p$，使 $$ b_{u_i v_i}>t\quad(1\le it$ 包括 $\infty$，而第二式包括 $b_{u_pv_p}=t$。 **theorem 55.3 矩形条件恰好控制阈值分量。** 交叉数组满足 $\mathrm R$，当且仅当每个 $G_t(b)$ 的混合分量都是完全二部图。可实现的交叉数组必满足 $\mathrm R$。所用循环极值机制可参见 [Dovgoshey–Petrov，Lemma 2.1、Theorem 3.3](https://arxiv.org/html/1110.6802v1)：以 $w=p^{-b}$、$p^{-\infty}=0$ 换元，循环上的最大距离重复对应最小估值重复；此处的阈值论证如下。 **证明。** 若有共同见证，则任取两色各两个顶点，有 $$ (z_u-z_v)-(z_{u'}-z_v)+(z_{u'}-z_{v'})-(z_u-z_{v'})=0. $$ 若四项估值有唯一最小值 $m$，则 $m$ 有限。除以 $p^m$ 后模 $p$ 化简，恰有一项非零，不可能和为零。因此 $\mathrm R$ 必要。 若一个矩形有唯一最小值 $m$，则在 $G_{m+1}(b)$ 中，该矩形恰有三条边。这四个顶点处于同一混合分量，但缺少一条跨色边，故该分量不是完全二部图。 反之，假设 $\mathrm R$ 成立，而 $G_t(b)$ 的某个混合分量不是完全二部图。取该分量中不相邻的异色顶点及连接它们的最短路径。路径长度为至少三的奇数；其前四个顶点诱导一条三边路径，否则可缩短原路径。这四点对应一个矩形，三条边的标签至少为 $t$，缺边的标签小于 $t$，于是产生唯一最小值，矛盾。证毕。 **theorem 55.4 交叉数组的精确分支判据与共同整数见证。** 交叉数组 $b$ 可实现，当且仅当它满足 $\mathrm R$，且对每个 $t\in\mathbb N_0$ 和每个 $G_t(b)$ 的混合分量 $H$ 都有 $$ D_t(H)\le p. $$ 条件成立时，可以选取全部 $z_w\in\mathbb Z$。这里每个同余球恰有 $p$ 个下一层同余子球，使用的是 $\mathbb F_p$ 的基数；这一数字分支机制见 [Bradley，§2，所链接版本第4–5页](https://www2.ipf.kit.edu/Personen/bradley/CV/hier2vis.pdf)。 **证明。** 先设有见证。矩形条件由 theorem 55.3 得到。沿 $H$ 的边传递同余，所有 $z_w$ 都落在同一个模 $p^t$ 同余类中，该类内只有 $p$ 个模 $p^{t+1}$ 同余类。 每个下一层混合分量必须占据其中一个类。不同混合分量不能共用类：从两个分量各取一个异色顶点，它们之间没有下一层边，故其差不能被 $p^{t+1}$ 整除。孤立的 $A$ 色点不能使用任何混合分量的类，因为该分量含有 $B$ 色点；$B$ 色孤立点亦然。若两色孤立点都存在，它们又不能彼此共用类。因此至少需要 $c_t(H)+\epsilon_A(H,t)+\epsilon_B(H,t)$ 个类，得到必要的不等式。 现设所列条件成立。若某一颜色为空，取全部 $z_w=0$ 即可。若所有交叉标签都是 $\infty$，同样取全部为零。其余情形令 $M$ 为有限交叉标签的最大值。下面同时为全部顶点构造第 $0,\ldots,M$ 位数字，而不拼接预先给定的局部见证。 起始时 $G_0(b)$ 是完全二部图，全部顶点具有共同的模 $1$ 前缀。在第 $t$ 步，考虑已经具有共同模 $p^t$ 前缀的混合分量 $H$。把 $V(H)$ 分为下一层的各混合分量、全体 $A$ 色孤立点组成的一个组，以及全体 $B$ 色孤立点组成的一个组；空组省略。这些组的数目为 $D_t(H)\le p$。给不同组分配不同的数字 $0,\ldots,p-1$，把相应数字作为该组所有顶点的第 $t$ 位。下一步仅在混合组内部继续。 纯色孤立组可以把其余数字全部置零。事实上，$G_{t+1}(b)\subseteq G_t(b)$，所以这些点在整个 $G_{t+1}(b)$ 中也没有边，更没有任何更深的交叉同余要求。同色点可以共同取值，因而合并同色孤立点不丢失任何已指定约束。 若 $b_{uv}=t<\infty$，则 $u,v$ 在此前各位始终位于同一混合组。第 $t$ 步中，它们不可能落入同一个下一层混合分量，否则 theorem 55.3 给出的完全二部性会强迫 $b_{uv}\ge t+1$；它们也不可能落入同一个纯色组。因此它们在第 $t$ 位首次不同，恰有 $v_p(z_u-z_v)=t$。 完成第 $M$ 位后，把所有尚未指定的数字置零。标签为 $\infty$ 的一对顶点从未分开，故得到完全相同的整数，而不是仅仅模某个幂相同。有限标签已经由其首次不同的数字决定，不受后续零位影响。所得 $0\le z_wp$。写 $c=c_t(H)$、$e=\epsilon_A(H,t)+\epsilon_B(H,t)$。若 $e=2$，则 $c\ge p-1$；从 $p-1$ 个不同混合分量各取一条边，再取两色各一个孤立点。若 $e=1$，则 $c\ge p$；从 $p-1$ 个混合分量各取一条边，取一个已有孤立点，再从另一个混合分量取一个与该孤立点异色的顶点。若 $e=0$，则 $c\ge p+1$；从 $p-1$ 个混合分量各取一条边，再从两个不同的其余混合分量分别取一个 $A$ 色顶点和一个 $B$ 色顶点。 三种情形都选出两色各 $p$ 个顶点。所取的 $p-1$ 条边标签大于 $t$。其余跨色对处于不同的下一层分量，标签小于 $t+1$；但它们都在 $H$ 中，由 theorem 55.3 的完全二部性，标签至少为 $t$，所以恰等于 $t$。故选出的完整交叉限制正是 $\mathrm F_{p,t}$。 因此，不含这些模式就保证所有分支需求不超过 $p$，由 theorem 55.4 得到共同见证。两种障碍分别使用 $4$ 和 $2p$ 个顶点，而 $p\ge2$，所以统一界是 $2p$。证毕。 **theorem 55.6 单位和的精确初层分解。** 对完整数组 $a$，令 $G(a)$ 的边为 $a_{ij}\ge s_p$。数组可实现，当且仅当下述条件同时成立：所有 $a_{ij}\ge\delta_p$；$G(a)$ 是完全二部混合分量与孤立点的不交并；若混合分量数为 $m$、存在孤立点的指示数为 $\epsilon$，则 $m+\epsilon\le q_p$；对每个混合分量及其二部分拆 $H=A_H\sqcup B_H$，交叉数组 $$ b^H_{uv}=a_{uv}-s_p\qquad(u\in A_H,\ v\in B_H) $$ 可实现。满足这些条件时，全部单位见证都可以取为普通整数。 **证明。** 当 $p$ 为奇数时，模 $p^{s_p}=p$ 的非零类分成 $q_p=(p-1)/2$ 个相反类对。当 $p=2$ 时，$s_p=2$，模 $4$ 的单位类只有相反的一对 $1,-1$。两种情形中，单位满足 $$ v_p(x+y)\ge s_p \Longleftrightarrow x\equiv-y\pmod{p^{s_p}}, $$ 并且若左侧不成立，则 $v_p(x+y)=\delta_p$。 在一个相反类对中，两类都有人时恰产生一个完全二部混合分量；只有一类有人时，这些顶点均为孤立点。不同混合分量使用不同的相反类对，而孤立点不能使用已被混合分量占据的类对。这证明图形条件与 $m+\epsilon\le q_p$ 的必要性。 在一个混合分量中，把 $A_H$ 上的数保持原号，把 $B_H$ 上的数取负。这些数沿跨色边模 $p^{s_p}$ 同余，所以具有共同的单位剩余类代表 $r_H$。分别写成 $$ x_u=r_H+p^{s_p}z_u,\qquad x_v=-r_H-p^{s_p}z_v. $$ 于是 $$ v_p(x_u+x_v)=s_p+v_p(z_u-z_v), $$ 证明交叉数组条件必要，包括两边同时为 $\infty$ 的情形。 反之，为 $m$ 个混合分量选择不同的相反单位类对及代表 $r_H$；若存在孤立点，再留一个未使用的类对，把所有孤立点置于其中同一类，并共同取该类的一个整数代表。由 theorem 55.4，为各交叉数组选择共同整数见证，再用上述公式定义各 $x_i$。跨色对得到指定估值；同色对的和是 $\pm2r_H$ 加上 $p^{s_p}$ 的倍数，所以估值恰为 $\delta_p$。不同分量之间以及涉及孤立点的其余对，不处于相反剩余类，估值也恰为 $\delta_p$，正好是数组中所有非边的标签。 特别地，$p=2$ 的混合分量可用 $$ x_u=1+4z_u,\qquad x_v=-1-4z_v. $$ 跨色和的估值为 $2+v_2(z_u-z_v)$，同色和的估值恒为 $1$。因此这里没有把奇单位的和直接当作通常的差值超度量。空顶点集用空元组；只有孤立点时用上述同一单位即可。证毕。 **theorem 55.7 完整单位和数组的统一诱导上界。** 每个不可实现的完整数组都有一个至多 $2p$ 个顶点的不可实现诱导限制，界与有限估值标签的大小无关。 **证明。** 若某个标签小于 $\delta_p$，其两个端点已给出障碍。以下设所有标签至少为 $\delta_p$。 先说明：一个有限图若不含诱导三角形和诱导四顶点路径，则其每个含边分量都是完全二部图。事实上，不含四顶点诱导路径使每个连通分量的直径至多为二。在一个含边分量内固定顶点 $v$，令 $B=N(v)$、$A=V(H)\setminus B$。无三角形保证 $B$ 独立。每个 $u\in A\setminus\{v\}$ 有某个邻点 $b\in B$；若它漏掉另一个 $b'\in B$，则 $u,b,v,b'$ 诱导四顶点路径。因此每个 $u\in A$ 与整个 $B$ 相邻。$A$ 中任何一条边又会与 $B$ 中的点构成三角形，故 $A$ 也独立。 所以，若 $G(a)$ 不是 theorem 55.6 要求的图形，它含一个三角形或四顶点诱导路径。相应完整子数组不可能有单位见证，因为单位见证的阈值图及其诱导子图均具有该定理要求的图形。这给出至多四个顶点的障碍。 再设图形正确，但 $m+\epsilon>q_p$。若有孤立点，从 $q_p$ 个不同混合分量各取一条边，再取一个孤立点。若无孤立点，则 $m\ge q_p+1$，从 $q_p$ 个不同混合分量各取一条边，再从另一个混合分量只取一个顶点。两种情形所得诱导阈值图都是 $q_p$ 条独立边加一个孤立点，仍违反类对容量，使用 $2q_p+1$ 个顶点。这个数在奇素数情形等于 $p$，在 $p=2$ 时等于 $3$。 最后，若初层条件全部成立，由 theorem 55.6，失败必来自某个混合分量的交叉数组 $b^H$。由 theorem 55.5，在该分量内可选至多 $2p$ 个顶点，使交叉限制仍不可实现。该限制的两色均非空。假如这些顶点上的完整和数组有单位见证，则把一色取负后，所有点由完整跨色边连接，并模 $p^{s_p}$ 具有共同剩余类；减去共同代表再除以 $p^{s_p}$，就得到该交叉限制的见证，矛盾。 所有情形的顶点数都不超过 $2p$，且任何深度 $t$ 的分支失败都已经在 theorem 55.5 中压缩到这个数目。证毕。 **theorem 55.8 每个固定素数的 $2p$ 顶点极小障碍。** 固定整数 $d\ge s_p$，任选 $$ h_1,\ldots,h_{p-1}\in\{d+1,d+2,\ldots\}\cup\{\infty\}. $$ 取 $V=\{u_1,\ldots,u_p,v_1,\ldots,v_p\}$，同色不同顶点间的标签均为 $\delta_p$，跨色标签规定为 $$ a_{u_i v_j}= \begin{cases} h_i,&i=j\delta_p$ 得到估值 $\delta_p$。因此每个单点删除都有完整共同见证。任一真子集都包含在某个单点删除中，限制该元组即得它的共同见证。证毕。 **theorem 55.9 固定素数问题的锐值。** 对每个素数 $p$， $$ k_{\mathrm{full}}(p)=2p. $$ 特别地，$k_{\mathrm{full}}(2)=4$。该等式对任意有限顶点集、任意大有限估值及全部允许的 $\infty$ 标签同时成立。 **证明。** theorem 55.7 表明，若所有至多 $2p$ 个顶点的诱导限制可实现，则不存在不可实现的整体数组，故 $k_{\mathrm{full}}(p)\le2p$。theorem 55.8 给出 $2p$ 个顶点的不可实现数组，其全部真诱导限制实际可实现，故任何 $k\le2p-1$ 都不够。两界相等。 空集由空元组实现，单点集取 $x=1$。上界论证没有要求不同小子集的见证相容；它通过有限禁形排除和共同数字构造重新产生一个元组。theorem 55.4 的终止构造使所有 $\infty$ 标签成为严格相等，theorem 55.6 再把它们转成严格零和。因此无须对估值精度设置统一上限。证毕。 **theorem 55.10 完整数组中无穷标签奇圈的短障碍。** 若完整数组的 $\infty$ 标签边构成的图含有奇圈，则该数组已有至多四个顶点的不可实现诱导限制。 **证明。** 沿奇圈的零和等式依次取负，回到起点得到 $x=-x$，即 $2x=0$。在特征零的 $\mathbb Q_p$ 中这强迫 $x=0$，与单位条件冲突，$p=2$ 也不例外。 进一步，所有 $\infty$ 边都属于 $G(a)$，所以 $G(a)$ 含奇圈，不可能是完全二部混合分量与孤立点的不交并。由 theorem 55.7 证明中的图论结论，它含诱导三角形或诱导四顶点路径，相应完整子数组即不可实现。因此，保留一个无穷标签奇圈并填入全部其余标签，不能产生超过四个顶点的诱导极小障碍。证毕。 ## 55.99 追加锚 ## 56. Haar 轨道概率卷积、共同见证与普通整数边界 **假设 56.1（载体、拓扑、作用与概率约定）。** 令素数集为 $\mathbb P$，令 $$ R=\prod_{p\in\mathbb P}\mathbb Z_p,\qquad U=R^\times=\prod_{p\in\mathbb P}\mathbb Z_p^\times, $$ 其中 $R$ 取乘积拓扑并按坐标相加，$U$ 取乘积拓扑并以逐坐标乘法作用于 $R$；记 $m_U$ 为 $U$ 的归一化 Haar 概率。令 $E=\mathbb N_0\cup\{\infty\}$，有限点孤立，而 $\infty$ 的邻域基为 $\{\infty\}\cup\{n\ge N\}$；令 $I=\prod_pE$。定义 $$ \rho(x)=(v_p(x_p))_p,\qquad v_p(0)=\infty, $$ 以及规范截面 $$ s(A)_p=\begin{cases}p^{A_p},&A_p<\infty,\\0,&A_p=\infty.\end{cases} $$ 本文中的概率均为非负 Borel 概率，不引入带符号概率权。Longhi–Mu–Saettone, *Coset topologies on Z and arithmetic applications*, arXiv:2202.13478v3, Proposition 4.3，印刷页 p.26，给出 $\widehat{\mathbb Z}/\widehat{\mathbb Z}^{\times}$ 的逐素数赋值轨道分类；Lemma 4.5，印刷页 p.27，证明相应商拓扑与 $\prod_p(\mathbb N_0\cup\{\infty\})$ 的乘积拓扑一致。来源：https://arxiv.org/pdf/2202.13478v3 。这里对当前 $R=\prod_p\mathbb Z_p$ 重新证明本节所需部分。 **theorem 56.2（$\rho$ 的纤维恰为 $U$-轨道，含零坐标；规范轨道概率与稳定子）。** 对任意 $x,y\in R$， $$ \rho(x)=\rho(y)\quad\Longleftrightarrow\quad \exists u\in U,\ y=ux. $$ 若 $A\in I$，则 $s(A)$ 的稳定子为 $$ H_A=\prod_pH_{A,p},\qquad H_{A,p}=\begin{cases}\{1\},&A_p<\infty,\\ \mathbb Z_p^\times,&A_p=\infty.\end{cases} $$ 而 $$ m_A:=(u\mapsto us(A))_*m_U $$ 是该轨道上唯一的 $U$-不变 Borel 概率；若以轨道内任意其他代表 $t=ws(A)$ 定义同一推前，则仍得到 $m_A$。因此即使 $H_A$ 非平凡、作用不自由，轨道概率仍规范且与代表元选择无关。 **证明。** 固定 $p$。若 $v_p(x_p)=v_p(y_p)=n<\infty$，则可唯一写成 $x_p=p^na_p$、$y_p=p^nb_p$，其中 $a_p,b_p\in\mathbb Z_p^\times$；取 $u_p=b_pa_p^{-1}$ 即有 $y_p=u_px_p$。若公共赋值为 $\infty$，则 $x_p=y_p=0$，任意 $u_p\in\mathbb Z_p^\times$ 均满足 $y_p=u_px_p$。逐坐标组装 $u=(u_p)_p\in U$ 得正向蕴含；反向由单位不改变赋值立即成立。 对稳定子，若 $A_p<\infty$ 且 $u_pp^{A_p}=p^{A_p}$，因 $\mathbb Z_p$ 为整环，得 $u_p=1$；若 $A_p=\infty$，该坐标为 $0$，全部单位都稳定它，故得到所列乘积稳定子。特别地，含零坐标时作用一般不自由。 若 $t=ws(A)$，则 $$ (u\mapsto ut)_*m_U=(u\mapsto uws(A))_*m_U=m_A, $$ 因为右乘固定 $w$ 保持归一化 Haar 概率。为证唯一性，令 $\nu$ 是轨道 $U\cdot s(A)$ 上任意 $U$-不变概率，且 $f$ 为该轨道上的连续函数。Fubini 与不变性给出 $$ \int f(x)\,d\nu(x)=\int\!\!\int_U f(ux)\,dm_U(u)\,d\nu(x). $$ 若 $x=ws(A)$，内层积分经变量 $u\mapsto uw$ 后等于 $\int_Uf(us(A))\,dm_U(u)$，与 $x$ 无关。因此 $\nu(f)=m_A(f)$；连续函数分离紧 Hausdorff 空间上的概率，故 $\nu=m_A$。证毕。 **theorem 56.3（规范概率核、Feller 弱连续性与精确实际支撑）。** 定义 $$ K(A,B)=\operatorname{Law}\bigl(\rho(us(A)+vs(B))\bigr), $$ 其中 $u,v$ 独立且各服从 $m_U$。则 $K:I\times I\to\mathcal P(I)$ 与代表元选择无关，是弱拓扑连续的 Borel 概率核；等价地，对每个 $f\in C(I)$， $$ (A,B)\longmapsto\int_I f(C)\,K(A,B)(dC) $$ 连续。若 $$ F(A,B,u,v)=\rho(us(A)+vs(B)), $$ 则对每个 $A,B$， $$ \operatorname{supp}K(A,B)=F(\{A\}\times\{B\}\times U^2) =\{\rho(x+y):\rho(x)=A,\ \rho(y)=B\}. $$ 因此支撑恰是“一对实际代表元”的二元实际支撑，包括概率质量为 $0$ 的支撑点。并且 $(A,B)\mapsto\operatorname{supp}K(A,B)$ 在非空紧子集的 Vietoris–Michael 拓扑中连续。这里弱连续性的极限次序是：先令参数 $(A_j,B_j)\to(A,B)$，利用紧集 $U^2$ 上的一致连续性取得对全部 $(u,v)$ 的一致收敛，再对固定 Haar 概率积分；证明不以“先截断素数、再令素数界趋于无穷”为定义步骤。 **证明。** 对每个固定 $p$，映射 $E\to\mathbb Z_p$，$n\mapsto p^n$、$\infty\mapsto0$ 连续，因为 $p^n\to0$；故 $s:I\to R$ 连续。赋值映射 $v_p:\mathbb Z_p\to E$ 连续：有限纤维 $v_p^{-1}(\{n\})=p^n\mathbb Z_p^\times$ 开闭，而 $\infty$ 的尾邻域原像为 $p^N\mathbb Z_p$。由乘积的泛性质，$\rho:R\to I$ 连续。这也直接适配 Longhi–Mu–Saettone Lemma 4.5 的拓扑识别，印刷页 p.27，来源：https://arxiv.org/pdf/2202.13478v3 。因此 $F$ 是紧空间 $I^2\times U^2$ 上的连续映射。 若分别把 $s(A),s(B)$ 换成 $w_As(A),w_Bs(B)$，则 $(u,v)\mapsto(uw_A,vw_B)$ 保持 $m_U^{\otimes2}$，故 $K$ 不变。再令 $f\in C(I)$。函数 $$ (A,B)\longmapsto\int_{U^2}f(F(A,B,u,v))\,dm_U(u)\,dm_U(v) $$ 连续：若 $(A_j,B_j)\to(A,B)$，则紧性给出 $f\circ F(A_j,B_j,\cdot,\cdot)\to f\circ F(A,B,\cdot,\cdot)$ 在 $U^2$ 上一致收敛，于是可直接积分。故 $K$ 对弱拓扑连续。 为说明它确为 Borel 核，记 $\mathcal D$ 为所有满足 $\mu\mapsto\mu(D)$ 在 $\mathcal P(I)$ 上 Borel 的 Borel 集 $D$。若 $C\subset I$ 闭，取相容度量 $d$ 并令 $\phi_n(x)=\max\{0,1-nd(x,C)\}$；则 $\phi_n\in C(I)$ 且 $\phi_n\downarrow1_C$，所以 $$ \mu(C)=\inf_n\int_I\phi_n\,d\mu. $$ 右侧是连续函数的可数下确界，故为上半连续，特别为 Borel；于是闭集属于 $\mathcal D$。此外 $\mathcal D$ 对补集封闭，因为 $\mu(D^c)=1-\mu(D)$；若 $D_n$ 两两不交且都在 $\mathcal D$，则 $\mu(\bigcup_nD_n)=\sum_n\mu(D_n)$ 是 Borel 函数的单调极限。因此 $\mathcal D$ 是包含全部闭集的 Dynkin 系，而闭集构成生成 Borel $\sigma$-代数的 $\pi$-系；由 $\pi$-$\lambda$ 定理，$\mathcal D$ 包含全部 Borel 集。复合连续映射 $(A,B)\mapsto K(A,B)$ 即得 $(A,B)\mapsto K(A,B)(D)$ Borel。 紧群 Haar 概率具有满支撑：若非空开集 $O\subset U$ 的质量为 $0$，其左平移仍全为零；由紧性，有限多个平移覆盖 $U$，将推出 $m_U(U)=0$，矛盾。因此 $m_U^{\otimes2}$ 在 $U^2$ 上满支撑。下面所用的一般支撑像引理带有 Hausdorff 目标假设：若 $X$ 紧，$\mu$ 是 $X$ 上满支撑概率，$Y$ 是 Hausdorff 空间，且 $g:X\to Y$ 连续，则 $$ \operatorname{supp}(g_*\mu)=g(X). $$ 事实上，$g(X)$ 紧，因 $Y$ Hausdorff 而闭，所以 $g(X)$ 外每一点都有零推前质量的开邻域；若 $y=g(x)$ 且 $O\ni y$ 开，则 $g^{-1}(O)$ 是含 $x$ 的非空开集，故 $(g_*\mu)(O)>0$。当前目标 $I$ 是紧 Hausdorff 空间，故把该引理应用于 $g=F(A,B,\cdot,\cdot)$ 得第一项支撑公式。由 theorem 56.2，每个 $\rho$-纤维恰为相应轨道，故第二项等号成立。 最后取 $I$ 的任一相容紧度量 $d$。$F$ 在紧域上一致连续，所以当 $(A_j,B_j)\to(A,B)$ 时， $$ \sup_{u,v\in U}d\bigl(F(A_j,B_j,u,v),F(A,B,u,v)\bigr)\longrightarrow0. $$ 于是对应像集的 Hausdorff 距离至多为上述上确界并趋于 $0$。紧度量空间的非空紧子集上，Hausdorff 度量拓扑就是 Vietoris–Michael 拓扑，故支撑映射连续。证毕。 **theorem 56.4（完整局部分布、全局实际 Haar 乘积分解与零原子支撑点）。** 记 $U_p=\mathbb Z_p^\times$，令 $K_p(a,b)$ 为 $K(A,B)$ 的第 $p$ 坐标边缘，其中 $a=A_p,b=B_p$。则： 若 $a,b<\infty$ 且 $a0$，取这样的 $Q$ 使 $$ \|T_f-Q\|_\infty<\varepsilon. $$ 对 $Q$ 有 $$ \int\!\!\int Q\,d\mu_\alpha\,d\nu_\alpha =\sum_{j=1}^r \left(\int\phi_j\,d\mu_\alpha\right) \left(\int\psi_j\,d\nu_\alpha\right) \longrightarrow \int\!\!\int Q\,d\mu\,d\nu. $$ 同时 $$ \left|\int\!\!\int(T_f-Q)\,d\mu_\alpha\,d\nu_\alpha\right| \le MN\varepsilon $$ 以及 $$ \left|\int\!\!\int(T_f-Q)\,d\mu\,d\nu\right| \le MN\varepsilon. $$ 令 $\varepsilon\downarrow0$ 即得 $$ \mu_\alpha\star_b\nu_\alpha\longrightarrow\mu\star_b\nu $$ 于 $\sigma(M_b(I),C(I))$。故在每个 $B_M\times B_N$ 上联合弱星连续。概率全在 $B_1$ 中，因此概率卷积联合弱连续。若 $\mu_\alpha,\mu$ 都为正测度且 $\mu_\alpha\to\mu$ 弱星，则 $$ \|\mu_\alpha\|=\mu_\alpha(I)\longrightarrow\mu(I)=\|\mu\|, $$ 所以任一收敛网最终落在某个固定全变差球内；对另一正测度网同理。由网刻画连续性，$\star_b$ 在 $M_b^+(I)\times M_b^+(I)$ 上也联合弱星连续。 再证明全空间联合弱星连续性确实失败。对 $n\ge0$，令 $$ H_n=\{x\in R:x_2\in2^n\mathbb Z_2,\ x_p=0\ \text{对所有 }p\ne2\}, $$ 令 $\eta_n$ 为紧加法群 $H_n$ 的归一化 Haar 概率，并令 $$ h_n=\rho_*\eta_n\in\mathcal P(I). $$ 每个 $\eta_n$ 都是 $U$-不变的，所以 $\Lambda_bh_n=\eta_n$。若 $n\ge m$，则 $H_n\subset H_m$，而 $\eta_m$ 对 $H_n$ 的平移不变，故 $$ \eta_n*_R\eta_m=\eta_m. $$ 于是对所有 $m,n\ge0$， $$ h_n\star_bh_m=h_{\min(n,m)}. $$ 令 $$ d_n=h_n-h_{n-1}\qquad(n\ge1). $$ 直接展开即得 $$ d_n\star_bd_m=0\quad(n\ne m),\qquad d_n\star_bd_n=d_n. $$ 定义 $$ f(A)= \begin{cases} 2^{-A_2},&A_2<\infty,\\ 0,&A_2=\infty. \end{cases} $$ 因为 $2^{-k}\to0$，故 $f\in C(I)$。在 $\eta_n$ 下， $$ \Pr(v_2(x)=n+j)=2^{-j-1}\qquad(j\ge0), $$ 所以 $$ h_n(f) =\sum_{j\ge0}2^{-(n+j)}2^{-j-1} =\frac23\,2^{-n}, $$ 从而 $$ d_n(f)=-\frac23\,2^{-n}<0. $$ 取 $(0,0)$ 的任意两个弱星邻域。缩小后，它们分别由有限多个 $C(I)$ 测试函数控制；把两组测试函数合并为 $g_1,\ldots,g_r$。取整数 $N>2r$。实线性方程组 $$ \sum_{n=1}^N a_n\operatorname{Re}d_n(g_j)=0,\qquad \sum_{n=1}^N a_n\operatorname{Im}d_n(g_j)=0 \qquad(1\le j\le r) $$ 只有至多 $2r$ 个方程，因此存在非零实向量 $(a_1,\ldots,a_N)$。令 $$ \mu=\sum_{n=1}^Na_nd_n. $$ 则 $\mu(g_j)=0$ 对所有 $j$ 成立，所以对每个实数 $t$，$t\mu$ 同时属于上述两个缩小后的零邻域。另一方面，正交幂等关系给出 $$ (\mu\star_b\mu)(f) =\sum_{n=1}^Na_n^2d_n(f) =-\frac23\sum_{n=1}^Na_n^22^{-n}<0. $$ 因此 $$ ((t\mu)\star_b(t\mu))(f) =t^2(\mu\star_b\mu)(f) $$ 的绝对值随 $|t|\to\infty$ 无界。输出弱星零邻域 $$ \{\lambda\in M_b(I):|\lambda(f)|<1\} $$ 因而不可能包含所有这类乘积。这证明 $\star_b$ 在 $(0,0)$ 不联合弱星连续，也证明第 3 项的有界全变差限制是实质性的。 加法群复测度代数的对合为 $$ \lambda^\dagger(D)=\overline{\lambda(-D)}. $$ 它保持 $M_b^U(R)$。在轨道商上，$-x=(-1)x$ 且 $-1\in U$，所以轨道对合为恒等映射 $A^\ast=A$，而搬运后的复测度对合正是 $$ \mu^{-}(D)=\overline{\mu(D^\ast)}. $$ 因此 $(M_b(I),\star_b,{}^{-})$ 是交换 Banach-$\ast$-代数。若 $$ e\in\operatorname{supp}(\delta_A\star_b\delta_B), $$ 则 theorem 56.3 给出实际 $x,y\in R$，满足 $\rho(x)=A,\rho(y)=B$ 且 $x+y=0$；于是 $y=-x$ 与 $x$ 同一 $U$-轨道，所以 $A=B=A^\ast$。反之若 $A=B$，任取 $\rho(x)=A$ 并令 $y=-x$，即有 $\rho(y)=B$ 且 $x+y=0$，故 theorem 56.3 给出 $e$ 属于该支撑。第 5 项得证。 对概率测度，$\Lambda=\Lambda_b|_{\mathcal P(I)}$，所以定义中的 $\star$ 显然就是 $\star_b$ 的概率限制。结合律、交换律从 $\star_b$ 继承，仿射性来自双线性，联合弱连续性由 $\mathcal P(I)\subset B_1$ 与第 3 项得到。这也重新给出 $$ \delta_A\star\delta_B=K(A,B). $$ 最后证明点核唯一性。令 $$ \mathcal A=\operatorname{span}\{\delta_A:A\in I\}. $$ 若 $f\in C(I)$ 被 $\mathcal A$ 中每个测度湮灭，则特别有 $\delta_A(f)=f(A)=0$ 对所有 $A\in I$，故 $f=0$。因此由弱拓扑的双极刻画，$\mathcal A$ 在 $\sigma(M_b(I),C(I))$ 中稠密。若 $\diamond$ 满足定理末尾的条件，则双线性先给出 $\diamond$ 与 $\star_b$ 在 $\mathcal A\times\mathcal A$ 上相同。固定 $\nu\in\mathcal A$，利用第一变量的分别弱星连续性和 $\mathcal A$ 的稠密性，把相等性延拓到所有 $\mu\in M_b(I)$；再固定任意这样的 $\mu$，利用第二变量的分别弱星连续性和同一稠密性，把相等性延拓到所有 $\nu\in M_b(I)$。故 $\diamond=\star_b$。这里不需要、也没有使用全空间联合弱星连续性。证毕。 **theorem 56.6（中间轨道重新随机化保持独立树的根分布，但不一般保证公共见证联合律）。** 设 $X,Y,Z$ 独立，且分别服从某三个规范轨道概率 $m_A,m_B,m_C$。令 $S=X+Y$。则 $S$ 的律是 $U$-不变的，并且 $$ \operatorname{Law}(S)=\Lambda\operatorname{Law}(\rho(S)). $$ 因此若第三输入 $Z$ 与整个子树 $(X,Y)$ 独立，则先只保留 $\rho(S)$、再按其规范轨道概率重新抽取代表、再与 $Z$ 相加，所得最终轨道律与直接计算 $\rho(X+Y+Z)$ 相同；不同括号方式给出 theorem 56.5 的结合律。若另一个观察量再次使用 $X$ 或 $Y$，则仅由 $\operatorname{Law}(\rho(S))$ 重新抽取中间代表并不一般保证保存该观察量与中间代表之间的原联合律；某些特殊联合律可以恰好保持。theorem 56.7 给出一个严格失败的具体事件。 **证明。** theorem 56.5 的概率限制证明已经表明 $m_A*_Rm_B$ 是 $U$-不变概率，而它正是 $S$ 的律。对任意 $U$-不变概率 $\lambda$，同一定理证明了 $\Lambda(\rho_*\lambda)=\lambda$，故得到所列恒等式。若 $Z$ 与 $(X,Y)$ 独立，则把 $S$ 的律换成完全相同的 $\Lambda\operatorname{Law}(\rho(S))$ 不会改变 $(S,Z)$ 的乘积律，因此也不改变 $\rho(S+Z)$ 的律。 若某个量再次使用 $X$ 或 $Y$，则所需对象是含公共变量的联合律，而上面的边缘恒等式只确定 $S$ 的边缘律；从一个边缘律不能推出所有这类联合律在重新抽取后保持不变。因此本定理只给出“不一般保证”的结论，而不作普遍失败断言。theorem 56.7 的同一输入复用构造给出一个联合律确实改变的实例。证毕。 **theorem 56.7（复用输入三元联合律的精确支撑、两两独立而非联合独立，以及 $1/8$ 对 $0$ 的反例）。** 令 $x,y,z$ 为 $U$ 上相互独立的 Haar 单位，并令 $$ J(x,y,z)=\bigl(\rho(x+y),\rho(y+z),\rho(z+x)\bigr),\qquad L=J_*m_U^{\otimes3}. $$ 则 $$ \operatorname{supp}L=J(U^3), $$ 即恰为真实连续像；逐素数还有 $$ J(U^3)=\prod_pJ_p(U_p^3), $$ 其中 $$ J_p(r,s,t)=\bigl(v_p(r+s),v_p(s+t),v_p(t+r)\bigr). $$ 三个边缘都等于 $K(\mathbf0,\mathbf0)$，其中 $\mathbf0=(0)_p$；任意两个边缘事实上独立，但三个边缘不联合独立。具体地，令 $H$ 为只约束 $p=2$ 坐标的柱事件 $$ H=\{(C_{12},C_{23},C_{31}):C_{12,2}\ge2,\ C_{23,2}\ge2,\ C_{31,2}\ge2\}. $$ 若取三个二元边缘的独立乘积，则 $$ \bigl(K(\mathbf0,\mathbf0)^{\otimes3}\bigr)(H)=\left(\frac12\right)^3=\frac18, $$ 而真实复用输入联合律满足 $$ L(H)=0. $$ 故真实联合支撑严格小于三个边缘支撑的笛卡尔乘积。 **证明。** $J$ 连续，而 $m_U^{\otimes3}$ 在紧空间 $U^3$ 上满支撑；目标 $I^3$ 是 Hausdorff 空间，故 theorem 56.3 中带 Hausdorff 目标假设的连续像支撑引理适用，得到 $\operatorname{supp}L=J(U^3)$。因为 $U^3=\prod_pU_p^3$ 且 $J$ 完全逐坐标计算，任意一族局部见证可逐素数组装，故像集恰为 $\prod_pJ_p(U_p^3)$。 每个单边缘都由两个独立 Haar 单位之和得到，故是 $K(\mathbf0,\mathbf0)$。再看例如前两个边缘。条件于 $y$ 后，$y^{-1}x$ 与 $y^{-1}z$ 仍是相互独立的 Haar 单位，并且 $$ \rho(x+y)=\rho(y^{-1}x+1),\qquad \rho(y+z)=\rho(1+y^{-1}z). $$ 其条件联合律不依赖 $y$ 且等于两个 $K(\mathbf0,\mathbf0)$ 边缘的乘积，所以这两个边缘独立；其他两对同理。 但在 $p=2$，theorem 56.4 给出对两独立单位 $r,s$， $$ \Pr(v_2(r+s)\ge2)=\frac12. $$ 因此三个独立边缘给 $H$ 的概率为 $1/8$。对真实三元组，$x_2,y_2,z_2$ 模 $4$ 均只能为 $1$ 或 $3$。两个奇单位之和可被 $4$ 整除，当且仅当二者模 $4$ 属于相反的两个类。若 $H$ 发生，则三对 $(x_2,y_2)$、$(y_2,z_2)$、$(z_2,x_2)$ 都必须异色；但三个位点用两个颜色不可能使三条边都异色。故 $H$ 不可能发生，$L(H)=0$。由于 $H$ 是非空开闭柱集且独立边缘乘积给它正概率，这还直接证明真实支撑严格较小。证毕。 **theorem 56.8（正普通整数输入几乎必然逃离普通整数生成理想；零输入例外）。** 令 $a,b\in\mathbb N_{>0}$ 以对角方式嵌入 $R$，令 $A=\rho(a),B=\rho(b)$，并令 $C$ 服从 $K(A,B)$。则 $$ \Pr\bigl(\exists n\in\mathbb N_{>0},\ C=\rho(n)\bigr)=0. $$ 更精确地，几乎处处所有 $C_p$ 都有限，但集合 $\{p:C_p>0\}$ 是无限集。因此随机输出总对应某个 $R$ 中的主闭理想 $s(C)R$，却几乎必然不是任何正普通整数 $n$ 的理想 $nR$。若一个输入为 $0$、另一个为正整数 $b$，则 $K(\rho(0),\rho(b))=\delta_{\rho(b)}$；若两输入均为 $0$，则输出恒为 $\rho(0)$，即零理想而非正整数生成理想。 **证明。** 先设 $a,b>0$。令 $S$ 为整除 $ab$ 的有限素数集。对任意奇素数 $p\notin S$，有 $A_p=B_p=0$。定义 $$ E_p=\{C_p>0\}. $$ theorem 56.4 给出 $$ \Pr(E_p)=\Pr(v_p(1+w_p)\ge1)=\frac1{p-1}. $$ 并且这些 $E_p$ 对不同 $p$ 独立，因为 theorem 56.4 已从实际全局 Haar 概率证明了坐标独立。 下面自足证明所需发散。首先 $$ \sum_{p\ \mathrm{prime}}\frac1p=\infty. $$ 否则对充分大的有限素数界 $N$，由 $-\log(1-t)\le2t$ 对 $00$。 另一方面，每个固定 $p$ 在有限相等输入情形下取 $\infty$ 的概率为 $0$，不等输入情形更不可能取 $\infty$；素数集可数，所以 $$ \Pr(\exists p,\ C_p=\infty)=0. $$ 因而几乎处处全部坐标有限且正支撑无限。一个向量 $D\in I$ 等于某个正整数的赋值向量 $\rho(n)$，当且仅当全部 $D_p<\infty$ 且 $\{p:D_p>0\}$ 有限；反向由有限乘积 $n=\prod_pp^{D_p}$ 得到。因此所求普通整数事件概率为 $0$。这里的零概率结论来自实际坐标独立性和发散和，而非“普通整数只有可数多个”的基数论推断。 若 $a=0$，则 $s(\rho(0))=0$，所以对任意 $B$， $$ K(\rho(0),B)=\operatorname{Law}(\rho(vs(B)))=\delta_B. $$ 另一个输入为零时同理；两者皆零时恒得 $\rho(0)$。证毕。 **约定 56.9（Haar 轨道概率卷积与集合值商超加法的记号）。** 本节称 theorem 56.3 与 theorem 56.5 所定义的 $K$ 与 $\star$ 为相对于 $(R,U,\rho,m_U)$ 的规范 Haar 轨道概率核与规范 Haar 轨道概率卷积；“规范”仅表示这些对象由所给轨道商、截面无关的 Haar 轨道概率以及上述公式唯一确定。对 $A,B\in I$，另记集合值运算 $$ A\boxplus B:=\{\rho(x+y):\rho(x)=A,\ \rho(y)=B\}. $$ 由 theorem 56.3， $$ A\boxplus B=\operatorname{supp}K(A,B) =\operatorname{supp}(\delta_A\star\delta_B). $$ Connes–Consani, *The hyperring of adèle classes*, arXiv:1001.4260v2, Proposition 2.5，印刷页 p.7，对交换环 $R$ 与单位群子群 $G\subset R^\times$ 定义的集合值商超加法正是 $$ (xG+yG)/G. $$ 取当前 $G=U$ 并用 theorem 56.2 的轨道识别，即得到上述 $\boxplus$。来源：https://arxiv.org/pdf/1001.4260v2 。与此不同，测度卷积 $\star_b$ 的完整有界复测度代数结构及其精确拓扑合同由 theorem 56.5 给出；概率卷积 $\star$ 是其在凸集 $\mathcal P(I)$ 上的限制。本节的符号约定不另行在 $\mathcal P(I)$ 上引入乘法运算。 ## 56.99 追加锚 ## 57. 树递归的可合成边界、复制障碍、平移完备观察与共同见证语义 **定义 57.1（轨道空间、截断观察、轨道律与粗加法核）。** 记素数集合为 $\mathcal P$，并令 $$ E=\mathbb N_0\cup\{\infty\}. $$ 给 $E$ 赋如下紧拓扑：每个有限点 $n$ 是孤立点，而 $\infty$ 的一组邻域为 $$ E_{\ge L}=\{L,L+1,\ldots\}\cup\{\infty\}\qquad(L\ge0). $$ 等价地，对 $L\ge0$ 定义有限截断 $$ \tau_L:E\to\{0,1,\ldots,L\},\qquad \tau_L(n)=\min(n,L),\quad \tau_L(\infty)=L, $$ 其中值 $L$ 表示“$\ge L$”；上述拓扑正是这些截断共同诱导的逆极限拓扑。置 $$ R=\prod_{p\in\mathcal P}\mathbb Z_p,\qquad U=R^\times=\prod_{p\in\mathcal P}\mathbb Z_p^\times,\qquad I=E^{\mathcal P}. $$ 对 $x=(x_p)_p\in R$ 定义 $$ \rho(x)_p=v_p(x_p),\qquad v_p(0)=\infty. $$ 对 $a\in I$ 定义标准代表 $s(a)\in R$： $$ s(a)_p= \begin{cases} p^{a_p},&a_p<\infty,\\ 0,&a_p=\infty. \end{cases} $$ 令 $\lambda_U$ 为 $U$ 的归一化 Haar 概率。定义 $$ m_a=(u\mapsto u\,s(a))_*\lambda_U. $$ 在 $I$ 上定义坐标加法 $\oplus$，约定 $\infty+n=n+\infty=\infty$： $$ (a\oplus b)_p=a_p+b_p. $$ 最后定义二元 Markov 核 $$ k(a,b)= \rho_*\bigl((x,y)\mapsto x+y\bigr)_*(m_a\otimes m_b). $$ 本定义只给出对象；$m_a$、$k$ 的 Borel/Feller 性、轨道唯一性以及零坐标稳定子的处理在 theorem 57.3 中证明。 **假设 57.2（概率与常量契约）。** 全文只使用标准 Borel 空间上的 Borel 概率；出现拓扑连续性时，相关空间均取本节指定的紧可度量拓扑。$\lambda_U$ 指紧群 $U$ 的归一化 Haar 概率。普通整数 $n$ 始终按对角嵌入视为 $R$ 中的固定元素；字面常量 $0,1,n$ 从不被替换为轨道上的随机代表。Haar 测度的存在唯一性、紧群 Haar 测度的有限性与双侧不变性，以及闭子群商 $G/H$ 上的不变测度公式采用 Tornier 的 Theorem 2.2、Proposition 2.9、Proposition 3.6、Theorem 4.2 和 Remark 4.4；在紧群情形可归一化为概率：https://arxiv.org/pdf/2006.10956 。正规条件概率的存在与几乎处处唯一性采用 Simmons Definition 1.1 与 Theorem 2.1 的标准 Borel 特例：https://www.aimsciences.org/data/article/export-pdf?id=ca5f6a73-6f1a-47f6-adaf-a175eeded371 。Markov 核的复合、乘积核与确定 copy 的概率语义采用 Fritz Definition 2.1、Example 2.5、Notation 2.8 及 §4：https://arxiv.org/pdf/1908.07021 。 **theorem 57.3（轨道分类、零稳定子与 Feller 核）。** $R,U,I$ 都是紧可度量空间，$\rho:R\to I$ 与 $s:I\to R$ 连续，$\oplus:I^2\to I$ 连续。对每个 $a\in I$， $$ \rho^{-1}(a)=U\,s(a). $$ 其稳定子恰为闭子群 $$ H_a=\{u\in U:u_p=1\ \text{对每个 }a_p<\infty\}, $$ 而在 $a_p=\infty$ 的坐标上 $u_p$ 任意。轨道 $U\,s(a)$ 与 $U/H_a$ 同胚，$m_a$ 是该轨道上唯一的 $U$-不变概率。并且 $a\mapsto m_a$ 是 Feller Markov 核，$k:I^2\leadsto I$ 也是 Feller Markov 核。 **证明。** $\mathbb Z_p$ 与 $\mathbb Z_p^\times$ 都是紧可度量空间；可数积仍紧可度量。$E$ 是离散可数空间 $\mathbb N_0$ 的一点紧化，故紧可度量，因而 $I=E^{\mathcal P}$ 亦然。对固定 $p$， $$ v_p^{-1}(\{n\})=p^n\mathbb Z_p^\times $$ 是开闭集，而 $$ v_p^{-1}(E_{\ge L})=p^L\mathbb Z_p $$ 也是开闭集，因此 $v_p:\mathbb Z_p\to E$ 连续；乘积映射 $\rho$ 连续。另一方面，$p^n\to0$ 于 $\mathbb Z_p$，故 $n\mapsto p^n$ 连同 $\infty\mapsto0$ 连续，从而 $s$ 连续。$E$ 上带吸收元 $\infty$ 的加法连续：有限点处因其孤立而显然；若一分量趋向 $\infty$，则对任意 $L$，该分量最终至少为 $L$，从而其和也落入 $E_{\ge L}$。故乘积加法 $\oplus$ 连续。 若 $\rho(x)=a$，则在 $a_p<\infty$ 时唯一写成 $x_p=p^{a_p}u_p$，其中 $u_p\in\mathbb Z_p^\times$；在 $a_p=\infty$ 时 $x_p=0$，任取 $u_p$。所以 $x=u\,s(a)$。反向包含显然，故纤维就是轨道。等式 $u\,s(a)=s(a)$ 在有限坐标上因 $\mathbb Z_p$ 为整环而强迫 $u_p=1$，在零坐标上没有约束，遂得 $H_a$。它是闭子群。标准轨道映射 $$ U/H_a\longrightarrow U\,s(a),\qquad uH_a\longmapsto u\,s(a) $$ 是紧空间到 Hausdorff 空间的连续双射，故为同胚。$U$ 与 $H_a$ 都是紧群，因此 modular function 恒为 $1$；Tornier Theorem 4.2 的商测度条件满足，归一化后得到 $U/H_a$ 上唯一的 $U$-不变概率。它在轨道同胚下正是 $\lambda_U$ 的推前，即 $m_a$。这同时处理了所有零坐标的非平凡稳定子而不要求作用自由。所用 Haar 与商测度结果见 https://arxiv.org/pdf/2006.10956 。 为证 Feller 性，取 $f\in C(R)$。映射 $$ (a,u)\longmapsto f(u\,s(a)) $$ 在紧空间 $I\times U$ 上连续，故一致连续。于是 $$ M_f(a)=\int_U f(u\,s(a))\,d\lambda_U(u) $$ 随 $a$ 连续；这正是 $a\mapsto m_a$ 的 Feller 性。特别地，对每个 Borel 集 $B\subseteq R$，$a\mapsto m_a(B)$ 可测：先对连续函数成立，再由函数单调类定理扩张到所有有界 Borel 函数。类似地，对 $g\in C(I)$， $$ (a,b)\longmapsto \int_{U^2}g\!\left(\rho(u\,s(a)+v\,s(b))\right) \,d\lambda_U(u)\,d\lambda_U(v) $$ 连续，因为被积函数在紧空间 $I^2\times U^2$ 上连续。因此 $k$ 是 Feller Markov 核。证毕。 **theorem 57.4（不变律的唯一轨道提升与显式析取）。** 对任意 $\nu\in\operatorname{Prob}(I)$ 定义 $$ \mathcal L\nu=\int_I m_a\,\nu(da). $$ 等价地令 $$ T:I\times U\to R,\qquad T(a,u)=u\,s(a), $$ 则 $$ \mathcal L\nu=T_*(\nu\otimes\lambda_U). $$ 于是 $\mathcal L\nu$ 是 $U$-不变概率且 $$ \rho_*(\mathcal L\nu)=\nu. $$ 反之，若 $\mu\in\operatorname{Prob}(R)$ 是 $U$-不变的，则 $$ \boxed{\mu=\mathcal L(\rho_*\mu)}. $$ 故一个 $U$-不变随机元素的完整分布由其 $\rho$-分布唯一确定。进一步，令 $\nu=\rho_*\mu$，则 $a\mapsto m_a$ 是 $\mu$ 关于 $\rho$ 的一个正规条件分布：对任意 Borel $B\subseteq R$、$C\subseteq I$， $$ \mu\bigl(B\cap\rho^{-1}(C)\bigr)=\int_C m_a(B)\,\nu(da). $$ 在 $\nu$-几乎处处意义下它唯一。此结论不要求轨道作用自由。 **证明。** theorem 57.3 已给出 $T$ 的连续性和 $a\mapsto m_a$ 的 Borel 性，故 $\mathcal L\nu$ 定义良好。每个 $m_a$ 支持于 $\rho^{-1}(a)$，因此对 Borel $C\subseteq I$， $$ \rho_*(\mathcal L\nu)(C) =\int_I m_a(\rho^{-1}(C))\,\nu(da) =\int_I\mathbf1_C(a)\,\nu(da) =\nu(C). $$ 又因 Haar 左平移不变，每个 $m_a$ 对 $U$-作用不变，混合后 $\mathcal L\nu$ 仍不变。 现设 $\mu$ 不变。对 $f\in C(R)$ 定义轨道平均 $$ Af(x)=\int_U f(ux)\,d\lambda_U(u). $$ 若 $a=\rho(x)$，取 $w\in U$ 使 $x=w\,s(a)$。紧群 $U$ 的归一化 Haar 概率双侧不变，故 $$ Af(x)=\int_U f(uw\,s(a))\,d\lambda_U(u) =\int_U f(u\,s(a))\,d\lambda_U(u) =M_f(a). $$ 写 $\nu=\rho_*\mu$，由 Fubini 与 $\mu$ 的不变性， $$ \begin{aligned} \int_R f\,d\mathcal L\nu &=\int_I M_f(a)\,\nu(da)\\ &=\int_R Af(x)\,\mu(dx)\\ &=\int_U\int_R f(ux)\,\mu(dx)\,d\lambda_U(u)\\ &=\int_R f(x)\,\mu(dx). \end{aligned} $$ 紧可度量空间上的 Borel 概率由连续函数积分唯一决定，故 $\mu=\mathcal L\nu$。 由于 $m_a(\rho^{-1}(a))=1$，对 $B,C$ 有 $$ m_a\bigl(B\cap\rho^{-1}(C)\bigr)=\mathbf1_C(a)m_a(B). $$ 将混合恒等式应用于 $B\cap\rho^{-1}(C)$ 即得条件分布公式。若另一 Borel 核 $q_a$ 也满足同一公式，则取 $R$ 的一个可数生成代数 $\mathcal A$。对固定 $B\in\mathcal A$， $$ \int_C q_a(B)\,\nu(da)=\int_Cm_a(B)\,\nu(da) $$ 对所有 Borel $C\subseteq I$ 成立，故 $q_a(B)=m_a(B)$ 对 $\nu$-几乎处处成立。对可数个 $B\in\mathcal A$ 取共同满测集，再用单调类定理扩张到全部 Borel $B$，得到一个共同的 $\nu$-满测集，在其上两个条件概率测度完全相同。这与 Simmons Definition 1.1、Theorem 2.1 的存在与共同零集唯一性一致；此处所需条件核本身已经由轨道平均显式给出。来源：https://www.aimsciences.org/data/article/export-pdf?id=ca5f6a73-6f1a-47f6-adaf-a175eeded371 。证毕。 **定义 57.5（一次叶使用的表达式树语义）。** 一个有限二叉表达式树的每个叶 $\ell$ 带标签 $a_\ell\in I$，并采样一次 $$ X_\ell\sim m_{a_\ell}. $$ 全体叶样本相互独立，每个叶在树中只出现一次。内部节点标记为 $+$ 或 $\cdot$，其代表值 $Y_v\in R$ 由通常环运算递归求值。定义标签概率 $\nu_v\in\operatorname{Prob}(I)$： $$ \nu_\ell=\delta_{a_\ell}. $$ 若 $v$ 是加法节点、两个子节点为 $r,s$，则 $$ \nu_v(C)=\int_{I^2}k(a,b)(C)\,\nu_r(da)\nu_s(db). $$ 若 $v$ 是乘法节点，则 $$ \nu_v=\oplus_*(\nu_r\otimes\nu_s). $$ 这里“两个子树独立”来自叶集合不交且原始叶独立，而不是由两个边缘标签分布自动推出。 **theorem 57.6（树上的精确递归与条件单位方向）。** 对定义 57.5 的每个节点 $v$， $$ \operatorname{Law}(\rho(Y_v))=\nu_v \qquad\text{且}\qquad \operatorname{Law}(Y_v)=\mathcal L\nu_v. $$ 尤其所有节点代表值的边缘律均为 $U$-不变。若 $v$ 的两个子节点为 $r,s$，则存在一个处处定义的 Borel 条件核 $$ (a,b)\longmapsto m_a\otimes m_b $$ 给出 $(Y_r,Y_s)$ 关于 $(\rho(Y_r),\rho(Y_s))$ 的正规条件分布版本；它在 $(\nu_r\otimes\nu_s)$-几乎处处意义下唯一。乘法在标签上是 $\oplus$，且在固定输入标签 $(a,b)$ 下代表乘积具有轨道律 $m_{a\oplus b}$。 **证明。** 对树作结构归纳。叶节点由定义即 $$ \operatorname{Law}(Y_\ell)=m_{a_\ell}=\mathcal L\delta_{a_\ell}, $$ 且 $\rho(Y_\ell)=a_\ell$ 几乎处处。 设结论对两个子节点 $r,s$ 成立。因两子树依赖于互不相交的叶集合，而所有叶独立，$Y_r,Y_s$ 独立。因此 $$ \operatorname{Law}(Y_r,Y_s) =(\mathcal L\nu_r)\otimes(\mathcal L\nu_s) =\int_{I^2}(m_a\otimes m_b)\,\nu_r(da)\nu_s(db). $$ 核 $(a,b)\mapsto m_a\otimes m_b$ 的 Borel 性可先在矩形集 $B_1\times B_2$ 上由 $$ (m_a\otimes m_b)(B_1\times B_2)=m_a(B_1)m_b(B_2) $$ 得到，再由 $\pi$-$\lambda$ 定理扩张到乘积 Borel $\sigma$-代数。它支持于 $$ \rho^{-1}(a)\times\rho^{-1}(b), $$ 故给出所述条件版本；几乎处处唯一性由 theorem 57.4 的同一可数生成代数论证或 Simmons Theorem 2.1 得到。 若 $v$ 为加法节点，则由 $k$ 的定义和 Fubini， $$ \operatorname{Law}(\rho(Y_r+Y_s)) =\int_{I^2}k(a,b)\,\nu_r(da)\nu_s(db) =\nu_v. $$ 又对任意 $u\in U$， $$ u(Y_r+Y_s)=uY_r+uY_s, $$ 而独立性与两边缘律的 $U$-不变性给出 $$ (uY_r,uY_s)\stackrel d=(Y_r,Y_s). $$ 故 $Y_r+Y_s$ 的律 $U$-不变；theorem 57.4 随即给出 $$ \operatorname{Law}(Y_v)=\mathcal L\nu_v. $$ 若 $v$ 为乘法节点，则逐坐标 $$ v_p((Y_r)_p(Y_s)_p)=v_p((Y_r)_p)+v_p((Y_s)_p), $$ 其中含零时按 $\infty$ 吸收解释。因此 $$ \rho(Y_rY_s)=\rho(Y_r)\oplus\rho(Y_s). $$ 两标签独立，遂得 $$ \operatorname{Law}(\rho(Y_v)) =\oplus_*(\nu_r\otimes\nu_s)=\nu_v. $$ 输出律亦不变，因为 $$ u(Y_rY_s)=(uY_r)Y_s $$ 且 $(uY_r,Y_s)\stackrel d=(Y_r,Y_s)$。再用 theorem 57.4 得代表律 $\mathcal L\nu_v$。若输入标签固定，写 $$ Y_r=u_1s(a),\qquad Y_s=u_2s(b), $$ 其中 $u_1,u_2$ 独立 Haar；于是 $$ Y_rY_s=(u_1u_2)s(a\oplus b). $$ $u_1u_2$ 仍为 Haar，故条件代表律为 $m_{a\oplus b}$。Fritz §4 中 Markov 核的复合与乘积测度公式以及 Definition 2.1 中的 copy 区分了独立张量与同一输入的复制：https://arxiv.org/pdf/1908.07021 。证毕。 **theorem 57.7（固定常量、确定系数、重复变量与共同参数的精确边界）。** 以下各项成立。 甲，字面 $0$ 是例外地兼容轨道语义的固定常量： $$ \delta_0=m_{\boldsymbol\infty}, \qquad \boldsymbol\infty=(\infty)_p. $$ 字面 $1$ 满足 $\rho(1)=\boldsymbol0=(0)_p$，但 $$ \delta_1\ne m_{\boldsymbol0}. $$ 把固定 $1$ 换成 $m_{\boldsymbol0}$ 是改变实验，而不是同一实验的粗化。 乙，若 $c\in R$ 固定且 $X$ 有 $U$-不变律，则 $cX$ 仍有 $U$-不变律，并且 $$ \rho(cX)=\rho(c)\oplus\rho(X). $$ 特别地，对 $X\sim m_a$， $$ cX\sim m_{\rho(c)\oplus a}. $$ 因此确定乘法系数可作为一元标签平移使用，而无需随机化 $c$。 丙，对固定 $c\in R$，可定义确定平移的标签核 $$ t_c(a)=\rho_*(x\mapsto x+c)_*m_a. $$ 该核是 Feller；若 $X\sim\mathcal L\nu$，则 $$ \operatorname{Law}(\rho(X+c)) =\int_I t_c(a)\,\nu(da). $$ 但 $X+c$ 一般不再 $U$-不变，所以仅知道这一新标签边缘律通常不足以把它继续送入 $k$。 丁，设 $S$ 是标准 Borel 参数空间，$\beta\in\operatorname{Prob}(S)$，$T$ 是一个固定有限二叉 $+$、$\cdot$ 表达式树，叶集合为有限集 $L$。对每个 $\ell\in L$，给定 Borel Markov 核 $$ \nu_\ell:S\leadsto I. $$ 对 $\theta\in S$ 写 $\nu_{\ell,\theta}=\nu_\ell(\theta,\cdot)$。设随机参数 $\Theta$ 的律为 $\beta$，叶向量 $X_L=(X_\ell)_{\ell\in L}$ 有一个选定的、处处定义的 Borel 正规条件核 $$ Q:S\leadsto R^L, $$ 并存在一个 Borel 集 $S_0\subseteq S$，满足 $\beta(S_0)=1$，使对每个同一个 $\theta\in S_0$ 都有 $$ Q_\theta=\bigotimes_{\ell\in L}\mathcal L\nu_{\ell,\theta}. $$ 则可在所有 $\theta\in S$ 上递归定义 Borel 标签核 $\nu_v:S\leadsto I$：叶上取给定 $\nu_\ell$；若 $v=r+s$，则 $$ \nu_v(\theta,C)= \int_{I^2}k(a,b)(C)\,\nu_r(\theta,da)\nu_s(\theta,db); $$ 若 $v=r\cdot s$，则 $$ \nu_v(\theta,C)= \int_{I^2}\mathbf1_C(a\oplus b)\,\nu_r(\theta,da)\nu_s(\theta,db). $$ 对每个节点 $v$，令 $Y_v$ 是从叶代表按树求值得到的普通算术值，则存在由 $Q_\theta$ 推前得到的 Borel 条件核，使对每个 $\theta\in S_0$ 同时成立 $$ \operatorname{Law}(\rho(Y_v)\mid\Theta=\theta)=\nu_{v,\theta}, $$ $$ \operatorname{Law}(Y_v\mid\Theta=\theta)=\mathcal L\nu_{v,\theta}. $$ 因此无条件律为 $$ \operatorname{Law}(\rho(Y_v)) =\int_S\nu_{v,\theta}\,\beta(d\theta), $$ $$ \operatorname{Law}(Y_v) =\int_S\mathcal L\nu_{v,\theta}\,\beta(d\theta). $$ $S\setminus S_0$ 上条件版本可以任意修改而不影响这些等式；不能把“几乎处处条件独立”改写成对每个参数值成立。 戊，先遗忘共同参数再把无条件边缘独立相乘一般给出错误的算术输出。具体地，令 $$ S=\{0,1\},\qquad \beta(0)=\beta(1)=\frac12, $$ 取两个叶 $X,Y$，并规定 $$ Q_0=\delta_{(0,0)}, \qquad Q_1=m_{\boldsymbol0}\otimes m_{\boldsymbol0}. $$ 于是给定 $\Theta$ 后两叶独立，且它们分别处于零轨道或单位轨道。对乘法输出 $Z=XY$，实际共同参数实验满足 $$ \Pr\bigl(\rho(Z)=\boldsymbol0\bigr)=\frac12. $$ 然而每个无条件边缘均为 $$ \mu=\frac12\delta_0+\frac12m_{\boldsymbol0}. $$ 若丢掉 $\Theta$ 后另取独立 $X',Y'\sim\mu$，则 $$ \Pr\bigl(\rho(X'Y')=\boldsymbol0\bigr)=\frac14. $$ 故共同参数产生的联合信息能够改变一个具体普通乘法门的输出分布。 己，同名变量若每次出现均重新独立采样，则只是多个不同叶；若同名表示同一个已采样代表被多处复用，则是复制，不能用独立叶替代。 **证明。** 甲中 $m_{\boldsymbol\infty}$ 的标准代表为全零元，任意 $u$ 作用后仍是零，故为 $\delta_0$。而 $m_{\boldsymbol0}$ 是 $U$ 自身的 Haar 律并非点质量，故 $\delta_1\ne m_{\boldsymbol0}$。 乙中对任意 $u\in U$， $$ u(cX)=c(uX). $$ 所以 $X\stackrel d=uX$ 推出 $cX\stackrel d=u(cX)$。估值乘法公式给出标签等式。若 $X\sim m_a$，输出既不变又具有确定标签 $\rho(c)\oplus a$，故 theorem 57.4 的唯一性给出 $cX\sim m_{\rho(c)\oplus a}$。 丙的 Feller 性与 theorem 57.3 相同：对 $g\in C(I)$， $$ a\mapsto\int_U g\!\left(\rho(u\,s(a)+c)\right)\,d\lambda_U(u) $$ 连续。混合公式由 Fubini 得到。为见不变性一般丢失，取 $c\ne0$，选 $p$ 使 $d=v_p(c_p)<\infty$。若 $p$ 为奇数，取 $a_p=d+1$，则 $$ X_p+c_p=p^d(c'_p+pU_p), $$ 其中 $c'_p$ 为固定单位，括号中的单位恒与 $c'_p$ 模 $p$ 同余；乘以一个模 $p$ 不等于 $1$ 的单位会把该支撑剩余类移走，所以输出不对全部 $\mathbb Z_p^\times$ 不变。若 $p=2$，取 $a_2=d+2$，括号中的单位固定在 $c'_2\bmod4$，乘以 $3$ 后落到不同奇剩余类。故非零加法常量不能普遍保持继续使用 $k$ 所需的不变性。 证明丁。由 theorem 57.3，$a\mapsto m_a$ 是 Borel 核，所以 $$ \theta\longmapsto \mathcal L\nu_{\ell,\theta} $$ 也是 Borel 概率核：对 Borel $B\subseteq R$，其取值为 $$ \int_I m_a(B)\,\nu_\ell(\theta,da), $$ 这是 Borel 函数。有限乘积 $$ \theta\longmapsto\bigotimes_{\ell\in L}\mathcal L\nu_{\ell,\theta} $$ 也是 Borel 核；在生成矩形上其概率是有限个 Borel 函数的乘积，再用 $\pi$-$\lambda$ 定理扩张。Fritz §4 的公式 $(\mu,\nu)\mapsto\mu\otimes\nu$ 给出同一可测性事实：https://arxiv.org/pdf/1908.07021 。 接着对节点作归纳证明 $\nu_v$ 为 Borel 核。叶节点由假设成立。若 $v=r+s$，则对固定 Borel $C$，函数 $$ (a,b)\longmapsto k(a,b)(C) $$ Borel，而 $(\theta,da,db)$ 的乘积核 Borel；核积分的可测性可先对指标函数矩形验证，再用有界函数单调类定理扩张，因此 $\theta\mapsto\nu_v(\theta,C)$ Borel。乘法节点因 $\oplus$ 连续，同理可得。于是递归中每个 $\nu_v$ 都是处处定义的 Borel Markov 核。 对每个节点 $v$，从 $R^L$ 到 $R$ 的子树求值映射 $F_v$ 是连续的，故 $$ Q^v_\theta=(F_v)_*Q_\theta $$ 是 Borel 核；其标签推前 $\rho_*Q^v_\theta$ 也为 Borel 核。固定任意 $\theta\in S_0$。由 $$ Q_\theta=\bigotimes_{\ell\in L}\mathcal L\nu_{\ell,\theta}, $$ 不同叶条件独立且各叶律 $U$-不变。完全重复 theorem 57.6 的结构归纳，但把叶上的点质量标签 $\delta_{a_\ell}$ 换成 $\nu_{\ell,\theta}$，可得对该同一个 $\theta$、所有有限多个节点同时有 $$ \rho_*Q^v_\theta=\nu_{v,\theta}, \qquad Q^v_\theta=\mathcal L\nu_{v,\theta}. $$ 由于 $S_0$ 在归纳开始前已经固定，这里没有为不同节点分别丢弃不同的参数零集。最后用条件概率的全概率公式积分 $\beta$ 即得无条件两式。标准 Borel 空间上正规条件核版本的存在以及不同版本只在参数零集上可能不同，见 Simmons Definition 1.1 与 Theorem 2.1：https://www.aimsciences.org/data/article/export-pdf?id=ca5f6a73-6f1a-47f6-adaf-a175eeded371 。 证明戊。若 $\Theta=0$，则 $XY=0$，故标签为 $\boldsymbol\infty$；若 $\Theta=1$，两输入都是单位，故其乘积也是单位，标签为 $\boldsymbol0$。两种参数各概率 $1/2$，所以实际输出成为单位的概率为 $1/2$。丢弃参数后，每个输入独立地以概率 $1/2$ 为单位、以概率 $1/2$ 为零；乘积为单位当且仅当两者均为单位，故概率为 $1/4$。这给出一个具体算术输出的差异，而不只是假定“联合律可能不同”。 己只是两个概率实验的区分：fresh occurrence 使用乘积耦合；copy occurrence 使用对角耦合。Fritz Definition 2.1 对 copy 的解释正是复制同一输入而不增加随机性：https://arxiv.org/pdf/1908.07021 。证毕。 **theorem 57.8（复制与独立采样的精确局部估值分布）。** 令 $\boldsymbol0=(0)_p\in I$。取 $X,Y$ 为独立的 $m_{\boldsymbol0}$ 样本，即独立 Haar 单位。固定素数 $p$。 若 $p$ 为奇数，则 $$ \Pr\!\left(v_p(X_p+Y_p)=0\right)=\frac{p-2}{p-1}, $$ 并且对每个 $n\ge1$， $$ \Pr\!\left(v_p(X_p+Y_p)\ge n\right) =\frac{1}{p^{n-1}(p-1)}, $$ $$ \Pr\!\left(v_p(X_p+Y_p)=n\right)=p^{-n}, \qquad \Pr\!\left(v_p(X_p+Y_p)=\infty\right)=0. $$ 而复制同一个输入时 $$ v_p(X_p+X_p)=v_p(2X_p)=0 \quad\text{几乎必然}. $$ 所以事件 $v_p(\,\cdot\,)\ge1$ 的概率分别为 $1/(p-1)$ 与 $0$。 若 $p=2$，则 $$ \Pr\!\left(v_2(X_2+Y_2)\ge n\right)=2^{1-n} \qquad(n\ge1), $$ $$ \Pr\!\left(v_2(X_2+Y_2)=n\right)=2^{-n} \qquad(n\ge1), $$ 且无穷估值概率为 $0$。复制时却有 $$ v_2(X_2+X_2)=1 \quad\text{几乎必然}. $$ 所以事件 $v_2(\,\cdot\,)\ge2$ 的概率分别为 $1/2$ 与 $0$，而事件 $v_2(\,\cdot\,)=1$ 的概率分别为 $1/2$ 与 $1$。 **证明。** 在独立情形令 $$ Z_p=Y_pX_p^{-1}. $$ 因 Haar 概率在乘法平移下不变，$Z_p$ 是 $\mathbb Z_p^\times$ 上的 Haar 单位，并且 $$ v_p(X_p+Y_p)=v_p(1+Z_p). $$ Haar 概率推前到有限商 $(\mathbb Z/p^n\mathbb Z)^\times$ 后仍是平移不变概率，故是该有限群上的均匀概率。因此 $$ \Pr(v_p(1+Z_p)\ge n) =\Pr(Z_p\equiv-1\pmod{p^n}) =\frac1{\varphi(p^n)} =\frac1{p^{n-1}(p-1)}. $$ 奇 $p$ 时，$n=1$ 的补事件给出 $$ \Pr(v_p=0)=1-\frac1{p-1}=\frac{p-2}{p-1}, $$ 而相邻尾概率之差为 $$ \frac1{p^{n-1}(p-1)}-\frac1{p^n(p-1)}=p^{-n}. $$ 尾概率趋于零，故无穷估值概率为零。复制时 $p\nmid2$ 且 $X_p$ 为单位，故估值恒为零。 对 $p=2$，同一尾概率公式化为 $2^{1-n}$；所有奇单位都满足 $Z_2\equiv-1\pmod2$，所以估值至少为 $1$。相邻尾概率之差为 $2^{-n}$。复制时 $2X_2$ 恰有估值 $1$。所用 Haar 平移不变性与有限归一化见 Tornier Theorem 2.2 与 compact-group discussion：https://arxiv.org/pdf/2006.10956 。证毕。 **theorem 57.9（边缘标签二元接口不可能同时实现独立与复制）。** 不存在一个 Markov 核 $$ K:I\times I\leadsto I $$ 同时满足以下两个全称要求： 一，对所有 $a,b\in I$，若 $X\sim m_a$、$Y\sim m_b$ 独立，则 $$ \operatorname{Law}(\rho(X+Y))=K(a,b). $$ 二，对所有 $a\in I$，若 $X\sim m_a$ 且同一 $X$ 被复制到两个输入端，则 $$ \operatorname{Law}(\rho(X+X))=K(a,a). $$ 因此，一个只看两个输入边缘标签并在 $(a,a)$ 处调用同一个二元核的 Markov 接口，不可能既解释独立重新采样又解释复制。每次出现都重新抽取独立轨道代表是另一个实验。 **证明。** 取 $a=\boldsymbol0$。若 $p$ 为任一奇素数，要求一和 theorem 57.8 强迫 $$ K(\boldsymbol0,\boldsymbol0) \bigl(\{c:c_p\ge1\}\bigr)=\frac1{p-1}, $$ 其中 $\infty$ 也计入“$\ge1$”。要求二却因 $v_p(2X_p)=0$ 强迫同一概率等于 $0$，矛盾。若只观察 $p=2$，则要求一强迫 $$ K(\boldsymbol0,\boldsymbol0) \bigl(\{c:c_2\ge2\}\bigr)=\frac12, $$ 要求二强迫其为 $0$，同样矛盾。Fritz Definition 2.1 和 §4 将确定 copy 与独立乘积核严格区分：https://arxiv.org/pdf/1908.07021 。证毕。 **定义 57.10（平移闭观察与有限精度查询）。** 把每个 $n\in\mathbb N_0$ 对角嵌入 $R$，定义 $$ \Psi:R\to I^{\mathbb N_0}, \qquad \Psi(x)=\bigl(\rho(x+n)\bigr)_{n\in\mathbb N_0}. $$ 若 $$ M=\prod_{p\mid M}p^{e_p}>1, $$ 定义有限剩余投影 $$ \pi_M:R\to\mathbb Z/M\mathbb Z $$ 为各 $x_p\bmod p^{e_p}$ 经中国剩余定理合成的类。一次针对 $M$ 的截断平移查询取某个 $n\in\mathbb N_0$，返回有限向量 $$ Q_{M,n}(x)= \bigl(\min(v_p(x_p+n),e_p)\bigr)_{p\mid M}. $$ 这里只要求恢复 $\pi_M(x)$；不把有限截断误称为判定两个任意 $p$-进整数是否相等。 **theorem 57.11（非负平移已分离全部点；有限模数可由有限截断查询恢复）。** 映射 $\Psi$ 连续且单射。因此仅用 $n\in\mathbb N_0$ 的平移估值族就分离 $R$ 中任意两点；不需要负平移。由于 $R$ 紧而 $I^{\mathbb N_0}$ Hausdorff，$\Psi$ 还是到其像的拓扑嵌入。 对有限模数 $M>1$，令 $$ N_M=\max_{p^{e_p}\parallel M}(p^{e_p}-1). $$ 非自适应地查询 $$ n=0,1,\ldots,N_M-1 $$ 的 $Q_{M,n}$ 足以恢复 $\pi_M(x)$。另有一个显式自适应算法，用至多 $$ \sum_{p^{e_p}\parallel M}e_p(p-1) $$ 次查询恢复 $\pi_M(x)$。两者均只是已证明的充分界，不主张最优。$M=1$ 时无需查询。 **证明。** 连续性来自每个坐标 $x\mapsto\rho(x+n)$ 的连续性。为证单射，设 $x\ne y$。选素数 $p$ 使 $x_p\ne y_p$，并令 $$ k=v_p(x_p-y_p)<\infty. $$ 取唯一代表 $$ n\in\{0,1,\ldots,p^{k+1}-1\} $$ 满足 $$ n\equiv-x_p\pmod{p^{k+1}}. $$ 于是 $$ v_p(x_p+n)\ge k+1. $$ 另一方面 $$ y_p+n=(y_p-x_p)+(x_p+n), $$ 右边两项估值分别为 $k$ 与至少 $k+1$；非阿基米德估值在两项估值不等时取较小者，所以 $$ v_p(y_p+n)=k. $$ 故 $\rho(x+n)\ne\rho(y+n)$，$\Psi$ 单射。紧空间到 Hausdorff 空间的连续单射是到像的同胚，遂得拓扑嵌入。 现固定 $p^{e_p}\parallel M$。对任何 $n$， $$ \min(v_p(x_p+n),e_p)=e_p \iff x_p+n\equiv0\pmod{p^{e_p}}. $$ 在完整剩余系 $n=0,\ldots,p^{e_p}-1$ 中恰有一个 $n$ 命中。统一查询区间 $0,\ldots,N_M-1$ 包含 $$ 0,\ldots,p^{e_p}-2. $$ 若其中某个 $n$ 的 $p$ 坐标返回 $e_p$，便得到 $$ -x_p\equiv n\pmod{p^{e_p}}. $$ 若都不命中，则唯一未查询的类 $p^{e_p}-1$ 必命中。故可恢复每个 $x_p\bmod p^{e_p}$，再由中国剩余定理恢复 $\pi_M(x)$。 对自适应算法，逐个素数处理。设在第 $k$ 步已知 $$ r_k\equiv-x_p\pmod{p^k}, \qquad0\le r_kt(U)$ 的二部图。子组是该图的各混合分量、所有 $A_U$ 色孤立点组成的一个组，以及所有 $B_U$ 色孤立点组成的一个组，空组省略。子组按最小原顶点编号递增排列。记组数为 $$ D(U)=c(U)+\epsilon_A(U)+\epsilon_B(U). $$ 混合子组的入口深度是 $t(U)+1$，纯色子组直接终止。无穷终端不产生一个所谓的“$\infty+1$ 层”。森林也可以在首次发现 $D(U)>p$ 时截断。 **theorem 58.4 跳跃覆盖所有必要阈值，且分裂事件少于顶点数。** definition 58.3 中，每个有限分裂结点至少有两个非空子组，沿递归路径的有限深度严格递增。全部有限分裂事件至多 $\max(n-1,0)$ 个，全部结点至多 $2n$ 个。未显式访问的深度不是未经检验的容量条件：在每一段被跳过的混合分量中，其分支需求恒为 $1$。 **证明。** 根在 $G_0(b)$ 中完全混合。归纳地，入口为 $h$ 的混合结点 $U$ 是 $G_h(b)$ 的混合分量。theorem 55.3 保证其完全二部性，所以所有内部交叉标签至少为 $h$。通向 $U$ 外部的边在这个阈值已消失，随阈值增大不会重新出现。 若有限最小值为 $t$，则对每个整数 $h\le k0$、内部结点数为 $J$、叶数为 $F$，则树边计数给出 $$ 2J\le J+F-r,\qquad J\le F-r\le n-1. $$ 结点数 $J+F\le2n$。无根时 $J=0$。在失败处截断时，把未展开组视为叶，完全相同的计数仍成立。每个实际深度都是某个输入交叉标签的有限值；没有从 $0$ 逐层递增到 $M$ 的过程。证毕。 **definition 58.5 受限的带符号稀疏整数语言。** 一个成功证书包含 $p,n$，以及按原顶点次序排列的 $$ \left(\sigma_i,r_i,k_i;(e_{i1},d_{i1}),\ldots,(e_{ik_i},d_{ik_i})\right), $$ 其中 $\sigma_i\in\{+1,-1\}$，并满足 $$ 0\le k_i\le n-1,\qquad s\le e_{i1}<\cdotsd\quad(1\le iq$，有孤立点时从前 $q$ 个混合分量各取一条边，再取最小孤立点；无孤立点时取前 $q$ 个分量的边，再取下一分量的一个顶点，返回类型 $\mathrm C$。 对每个混合分量构成 $b=a-s$，枚举其全部二行二列矩形。若 $\mathrm R$ 失败，返回类型 $\mathrm R$。否则建立 definition 58.3 的森林。遇到 $D(U)>p$ 时，按 theorem 58.10 的三个确定性抽取情形返回类型 $\mathrm F$。 若 $D(U)\le p$，只给实际存在的第 $j$ 个子组分配数字 $j-1$，其中 $1\le j\le D(U)$。对该子组每个顶点，将非零数字记在其辅助整数 $z_i$ 的指数 $t(U)$ 处；零数字不记录。每个辅助尾表初始为空，终端不再增加项。 奇素数时，第 $j$ 个初层混合分量取 $r_H=j$；存在孤立点时，它们共取 $r_0=m+1$。$p=2$ 时，所有实际使用的代表均取 $1$。在混合分量中置 $$ x_u=r_H+p^s z_u\quad(u\in A_H),\qquad x_v=-(r_H+p^s z_v)\quad(v\in B_H); $$ 孤立点共同取正的 $r_0$。输出时只把辅助指数 $t$ 改记为 $s+t$，得到 definition 58.5 的记录，不计算这些幂的展开值。所有选择中的并列情形均取原编号字典序最小者。 **theorem 58.8 成功分支产生一个共同的、有限表示的整数元组。** definition 58.7 若未返回失败证书，则其输出属于 definition 58.5 的语言，且同时实现完整输入。对全部坐标都有 $$ 0<|x_i|0$ 且 $p\nmid Y_i$。全部指数至多为 $M$，标准有限数字估计给出 $Y_ip$ 给出 $c\ge p-1$：从前 $p-1$ 个混合子分量各取一条跨色边，再取两色各一个孤立点，作为 $u_p,v_p$。当 $e=1$ 时，$c\ge p$：取前 $p-1$ 个混合子分量的边，取已有颜色的一个孤立点，再从第 $p$ 个混合子分量取一个异色点，作为最后的一对。当 $e=0$ 时，$c\ge p+1$：取前 $p-1$ 个混合子分量的边，再分别从第 $p$ 个分量取一个 $A$ 点、从第 $p+1$ 个分量取一个 $B$ 点。 这些顶点两两不同。所取配对边的标签大于 $t$。其余跨色对均来自不同子分量或孤立组，故标签不大于 $t$；又因全部位于 $U$，标签至少为 $t$，所以恰等于 $t$。原初层分量内部的同色标签均等于 $\delta$。因此抽取后读取并复制全部诱导标签，逐项得到类型 $\mathrm F$，不需要相信父分量的文字描述。 类对超额时，definition 58.7 的抽取同样只使用已有分量。存在孤立点时有 $m\ge q$；不存在时有 $m\ge q+1$。所取配对之外的所有标签均为 $\delta$，故输出确是诱导匹配加孤立点。特别是只有在这些不等式已成立时才遍历所需分量；不会枚举全部剩余类。 各类型的顶点数分别为 $2,3,4,2q+1,4,2p$。奇素数时 $2q+1=p$，$p=2$ 时 $2q+1=3$；其余四顶点界也满足 $4\le2p$。抽取只用实际互异顶点，故同时不超过 $n$。深层失败的上述三种抽取还直接证明了此时当前分量中确实有至少 $2p$ 个可用顶点，而非从形式上的数字 $p$ 虚构顶点。 全部必要非边及标签均已包含在完整副本中，并由校验器重新向原输入核对。一个局部不可实现的诱导限制不能是共同见证的限制，故否证校验是可靠的。 若一个输入未在初层或矩形检查中失败，则 theorem 58.4 证明未访问层的需求均为 $1$。若所有访问层也通过，theorem 58.8 已构造整个输入的整数见证。因此不可实现输入必在某处失败。可实现输入不能触发任何可靠否证，且递归有限，故一定成功。 空集、单点不会失败。只有孤立点时全部标签为 $\delta$，可共同取 $1$；纯色终端没有跨色义务；全为 $\infty$ 的混合终端保留从祖先分裂继承的全部共同辅助数字，仅将尚未赋值的续位取为 $0$，故终端内各顶点的完整辅助整数严格相等，但其共同值不必为 $0$。特别地，$p=2$ 的小标签失败只可能是标签 $0$，容量障碍使用三个顶点，深层障碍使用四个顶点。整个数组全为 $\infty$ 时，$n=2$ 返回 $(1,-1)$，$n\ge3$ 返回三角形，$n\le1$ 使用空集或单点规则。这些情形均满足同一契约。证毕。 **theorem 58.11 描述长度界与数值大小分离。** 算法的成功证书总数字数至多 $n^2$，其位长 $C_+$ 满足 $$ C_+\le3+L+n+2Ln^2\le8\Lambda^3. $$ 失败证书若使用 $k$ 个顶点，其位长 $C_-$ 满足 $$ C_-\le3+4L+k\ell(n)\le3+(k+4)L\le8\Lambda^2. $$ 这些是有限描述的界，不是所表示整数的二进制展开长度界。 **证明。** 每个坐标有一个常数数字及至多 $n-1$ 个尾项，所以总数字数至多 $n^2$。所有尾指数不超过 $M$，所有数字及代表小于 $p$，所有尾项计数不超过 $n$。因此每个这样的整数的 $\operatorname{enc}$ 长度均至多 $L$。成功头部至多使用 $3+L$ 位，符号总共 $n$ 位，代表和计数至多 $2Ln$ 位，尾项至多 $2Ln(n-1)$ 位，给出第一式。 失败头部的 $p,n$ 编码合计至多 $L$ 位，$k$ 的编码至多 $L$ 位，顶点表至多 $k\ell(n)$ 位。若有深度字段，由 $s+t=d$ 是一个实际有限输入标签可知 $t\le M$，故其编码至多 $L$ 位。全部诱导标签都是完整原数组中互不重复的项，其编码长度之和至多 $L$，而不是重复计算 $k^2$ 份最大标签长度。加上三比特类型即得第二式。 definition 58.1 的完整输入编码保证 $n\le L+1$；$n=0,1,2$ 可直接检验，$n\ge3$ 时仅标签个数就至少为 $n$。代入即得所列统一多项式界。 固定 $p$ 的 $2p$ 顶点结论不限制这些顶点携带的数值字段长度。特别是本否证语言明示并复制实际标签，故随深度增长仍须支付其二进制长度；不能把顶点个数界解释为一个只依赖 $p$ 的总证书位数界。证毕。 **theorem 58.12 统一确定性位复杂度契约。** 在 definition 58.1 的承诺输入上，存在同一确定性算法，以 $$ T_{\mathrm{construct}}(L)=O(\Lambda^8),\qquad S_{\mathrm{construct}}(L)=O(\Lambda^3) $$ 返回一个成功稀疏整数证书或一个诱导否证证书。两种证书均可在 $$ T_{\mathrm{check}}(L)=O(\Lambda^8),\qquad S_{\mathrm{check}}(L)=O(\Lambda^3) $$ 内校验。校验器对成功证书设置 $8\Lambda^3$ 位上限，对失败证书设置 $8\Lambda^2$ 位上限，超限或不合语法即拒绝。所有可实现输入都有通过校验的成功证书，所有不可实现输入都有通过校验的失败证书。主构造及校验均不展开 $p^M$，不扫描 $M$ 个零，也不枚举 $p$ 个剩余类。 **证明。** 给出保守的顺序存储计数，避免把大整数或随机寻址当作单位成本。初层标签检查使用 $O(n^2)$ 次记录访问；三角形和有序四顶点路径枚举使用 $O((n+1)^4)$ 次记录操作；全部交叉矩形枚举也不超过这个阶。连通性可用三重顶点循环的布尔传递闭包求出，不需要任何更快的图算法。 森林至多有 $2n$ 个结点。在每个结点，最小标签扫描和阈值图构造使用 $O(n^2)$ 次记录操作，连通性及分组使用 $O((n+1)^3)$ 次，子组排序和赋数字也被此界覆盖。故全部森林工作为 $O((n+1)^4)$ 次记录操作。抽取否证不枚举顶点子集；它只从已有组中取代表并读取至多 $n^2$ 个诱导标签。赋值只使用 $0,\ldots,D(U)-1$；$D(U)\le |U|\le n$。当需要抽取 $p$ 或 $q$ 个组时，失败不等式已保证这些组实际存在，数量被 $n$ 限制。 标签、深度、数字、计数以及地址均可存为 $O(L+1)$ 位字段。保留一份标签表，各结点只存原顶点索引而不复制整张标签表；再保留分组资料及至多 $n^2$ 个输出数字记录，工作存储为 $O(\Lambda^3)$ 位。比较、加减和移位可直接逐比特完成。甚至允许每次记录访问都顺序扫描整个工作存储，并额外支付 $O(\Lambda)$ 的寻址和字段处理因子，每次抽象记录操作仍只需 $O(\Lambda^4)$ 位时间。抽象操作总数为 $O((n+1)^4+L)=O(\Lambda^4)$，乘积给出 $O(\Lambda^8)$。 成功校验器先检查证书语法、指数上界及计数，再用 theorem 58.9 的支持表合并检查所有对。失败校验器检查编号互异性、全部标签绑定以及类型的全部条件。它们分别只需 $O((n+1)^3+L)$ 与 $O((n+1)^2+L)$ 次有界字段操作，均被上述更宽的 $O(\Lambda^8)$ 时间和 $O(\Lambda^3)$ 空间覆盖。 读取证书时至多读取规定上限加一位，超限立即拒绝；这段逐比特读取及语法扫描另需 $O(\Lambda^3)$ 时间，仍在上述总界内。对于数值字段，先核对其编码长度与允许上界，再进行数值操作；不会把恶意超长数字当作单位成本。theorem 58.11 保证上述限制不排除任何算法产出的证书。正确性及两侧完备性分别由 theorem 58.8–58.10 给出。深度只参与最小值选择、二进制比较及加减；$M$ 只是一个二进制上界字段，绝不是循环次数。证毕。 **theorem 58.13 巨大标签与严格无穷条件共存的短成功证书。** 对任意素数 $p$ 和整数 $D\ge s_p$，取四个顶点 $u_0,u_1,v_0,v_1$，指定 $$ a_{u_0u_1}=a_{v_0v_1}=\delta_p,\qquad a_{u_0v_0}=a_{u_1v_1}=\infty,\qquad a_{u_0v_1}=a_{u_1v_0}=D. $$ 它有总共六个非零数字的成功证书，完整输入和该证书的长度均为 $O(\log(p+1)+\log(D+2))$。交叉森林只有一个有限分裂事件。 **证明。** 取 $$ x_{u_0}=1,\quad x_{u_1}=1+p^D,\quad x_{v_0}=-1,\quad x_{v_1}=-(1+p^D). $$ 四个常数数字加上两个指数为 $D$、系数为 $1$ 的数字，共六个数字，且全部满足 definition 58.5。两个指定对角跨色和严格为零，另外两个跨色和分别为 $-p^D$ 与 $p^D$。两个同色和分别为 $2+p^D$ 与 $-(2+p^D)$；因 $D\ge s_p>\delta_p$，其估值恰为 $\delta_p$。这核对了全部六对。 辅助交叉数组的有限最小值为 $D-s_p$。超过这个阈值后只剩两个无穷配对混合分量，故 $D(U)=2\le p$；两个子分量均立即成为无穷终端。所有中间精度被一次跳过。输入中只有常数个标签，证书只有常数个数字及二进制指数，得到所述长度界。特别是固定 $p$、令 $D=2^h\ge s_p$ 时，描述长度为 $O(h)$，而非 $O(2^h)$。证毕。 **theorem 58.14 巨大深度的四顶点否证编码。** 固定 $p=2$，令 $h\ge1$、$d=2+2^h$，并取 $H\in\{d+1,\infty\}$。四个实际顶点 $u_1,u_2,v_1,v_2$ 的完整标签为 $$ a_{u_1u_2}=a_{v_1v_2}=1,\qquad a_{u_1v_1}=H,\qquad a_{u_1v_2}=a_{u_2v_1}=a_{u_2v_2}=d. $$ 算法在一个有限分裂事件后返回深度 $t=2^h$ 的四顶点类型 $\mathrm F$ 证书。输入长度及本否证语言中的证书长度均为 $\Theta(h+1)$。 **证明。** 此数组是 theorem 55.8 在 $p=2$、所列 $d,H$ 下的实例；其不可实现性及每个真诱导限制的整数可实现性直接由该定理给出，不作为本节另一个分类结果重证。 其初层阈值图恰为 $K_{2,2}$，唯一混合分量满足类对容量 $1$。交叉矩形的最小标签 $d$ 出现三次，所以矩形检查通过。辅助标签的有限最小值为 $d-2=2^h$。在更高阈值图中只有边 $u_1v_1$，另有 $u_2$ 和 $v_2$ 两个异色孤立点。因此 $$ D(U)=1+1+1=3>2. $$ 抽取使用的正是全部四个原顶点。证书核对两条同色标签 $1$、一条大于 $2+t$ 的配对标签，以及其余三条恰为 $2+t$ 的跨色标签，全部六个副本均向输入核对，故没有遗漏非边或标签条件。 $t,d,d+1$ 的二进制长度均为 $h+O(1)$；$H=\infty$ 时该项只用一个标签比特。其余字段数量恒定，故输入与证书均为 $\Theta(h+1)$。该例同时显示固定四个顶点并不使数值证书长度成为常数，而算法也没有访问 $2^h$ 个精度层。证毕。 **theorem 58.15 完全展开二进制输出的无条件长度障碍。** 即使固定 $p=2,n=2$，也不存在对所有可实现输入都在原始位长 $L$ 的多项式时间内输出完全展开二进制整数元组的算法。这个结论是输出长度障碍，不是可实现性判定的计算困难。 **证明。** 令唯一标签为有限的 $M=2^h$，其中 $h\ge1$。输入长度为 $\Theta(h+1)$，definition 58.5 中的两坐标证书 $$ x_1=1,\qquad x_2=-(1+2^M) $$ 只有一个高位数字，并给出 $x_1+x_2=-2^M$，所以输入确实可实现。 任取一个普通整数实现，不论坐标符号如何，由有限估值条件有 $x_1+x_2\ne0$ 且 $2^M\mid x_1+x_2$。因此 $$ |x_1+x_2|\ge2^M,\qquad \max(|x_1|,|x_2|)\ge2^{M-1}. $$ 至少一个坐标的二进制幅值必须有至少 $M=2^h$ 位。逐比特输出这些位已经需要至少这么多时间，故不可能对原始 $\Theta(h+1)$ 位输入具有统一多项式输出时间。 这一下界允许任意符号、任意选择的实现以及重复坐标，因而不是某个构造选择不佳造成的。另一方面，theorem 58.12 已给出所有承诺输入的多项式判定与稀疏构造；本例的可实现性甚至由上面的显式二坐标证书直接确定。故没有从巨大展开输出推导任何判定困难性。证毕。 **theorem 58.16 展开模式的正确替代契约。** 令 $$ K=2+(M+1)\lceil\log_2(p+1)\rceil. $$ 主算法生成的稀疏元组可以另行转换为完全展开的二进制整数，以 $$ T_{\mathrm{expanded}} =O\bigl(\Lambda^8+n^2\Lambda K^2\bigr) $$ 位时间完成；工作空间为 $O(\Lambda^3+K)$。展开格式可取每个坐标一比特符号及固定 $K$ 位幅值，$K$ 由输入确定，因此只写的展开输出长度为 $n(K+1)$ 位。若要求同时保留全部展开输出，则空间界改为 $O(\Lambda^3+nK+K)$。这不是关于原始 $L$ 的多项式界，但也是关于 $L$ 与实际展开输出长度之和的多项式界。 **证明。** theorem 58.8 给出每个幅值小于 $p^{M+1}$，故 $K$ 是充足的二进制位数上界；其中 $\lceil\log_2(p+1)\rceil$ 就是 $p$ 的二进制位数，可直接从编码取得。对每个稀疏项，用指数的二进制表示进行反复平方，至多进行 $O(\Lambda)$ 次乘法；不做无用的最后一次平方，所需中间幂及累积乘积均可限制在 $O(K)$ 位。通常的逐位乘法在 $O(K^2)$ 位时间及 $O(K)$ 工作空间内完成。乘以数字并加到当前坐标也在此界内。 尾项总数至多 $n(n-1)$。逐坐标计算、写出并释放展开幅值，连同主算法及记录读取开销，即得所列时间与空间界。这个转换仍按二进制指数取幂，不需要在稀疏证书校验中引入任何展开操作。 最后记实际展开输出长度为 $B_{\mathrm{out}}$。若 $M=0$，则 $K=O(L)$。若 $M\ge1$，它必由某个实际有限输入标签达到；对该对顶点，任意实现满足 $$ \max(|x_i|,|x_j|)\ge p^M/2, $$ 故 $B_{\mathrm{out}}\ge M\log_2p-O(1)$。由 $p\ge2$ 可得 $K=O(L+B_{\mathrm{out}})$。再用 $n\le L+1$，展开时间便是 $L+B_{\mathrm{out}}$ 的多项式。theorem 58.15 说明不能把这里的 $B_{\mathrm{out}}$ 从统一界中删去。证毕。 ## 58.99 追加锚 ## 59. 稀疏单位和估值接口：投影、诱导元数与固定深度复杂性 **定义 59.1 稀疏精确估值实例、诱导限制与局部元数。** 固定素数 $p$，令 $\overline{\mathbb N}_0=\mathbb N_0\cup\{\infty\}$，约定 $v_p(0)=\infty$。一个稀疏单位和估值实例是三元组 $$ I=(V,E,a), $$ 其中 $V$ 为有限集，$E\subseteq\binom V2$ 为有限简单图的边集，$a:E\to\overline{\mathbb N}_0$。称 $I$ 可实现，是指存在同一个共同元组 $$ x=(x_i)_{i\in V}\in(\mathbb Z_p^\times)^V $$ 使每条且仅需每条已指定边 $\{i,j\}\in E$ 满足 $$ v_p(x_i+x_j)=a_{ij}. $$ 不在 $E$ 中的点对不施加任何条件。全部共同见证的集合记为 $\operatorname{Wit}_p(I)$。对 $W\subseteq V$，诱导限制定义为 $$ I|_W=\left(W,E\cap\binom W2,a|_{E\cap\binom W2}\right). $$ 特别地，空集由空元组实现，单点集可取 $x=1$。 若 $E=\binom V2$，称为完整实例。若 $\mathcal C$ 是一个对诱导限制封闭的实例类，定义其固定素数诱导局部元数 $\kappa_p(\mathcal C)$ 为满足 $$ \left(\forall W\subseteq V,\ |W|\le k\Longrightarrow I|_W\text{ 可实现}\right) \Longrightarrow I\text{ 可实现} $$ 对所有 $I\in\mathcal C$ 成立的最小非负整数 $k$；不存在则记为 $\infty$。记完整实例类为 $\mathcal C_{\mathrm{full}}(p)$。对 $d\in\overline{\mathbb N}_0$，记 $\mathcal C_d(p)$ 为所有每条已指定边都具有同一标签 $d$ 的稀疏实例。 若 $I=(V,E,a)$，称完整数组 $$ A:\binom V2\to\overline{\mathbb N}_0 $$ 是 $I$ 的完整延拓，如果 $A_{ij}=a_{ij}$ 对全部 $\{i,j\}\in E$ 成立。把完整数组限制到 $E$ 的映射记为 $\pi_E$。 **theorem 59.2 投影、擦除与约束单调性。** 对任意固定素数 $p$ 和任意稀疏实例 $I=(V,E,a)$，下列两件事等价：$I$ 可实现；存在某个可实现的完整延拓 $A$。等价地，若 $\mathcal R_p(V)$ 表示 $V$ 上全部可实现完整数组，则 $$ I\text{ 可实现}\Longleftrightarrow a\in\pi_E(\mathcal R_p(V)). $$ 此外，若 $I'=(V,E',a')$ 满足 $E\subseteq E'$ 且 $a'|_E=a$，则 $$ \operatorname{Wit}_p(I')\subseteq\operatorname{Wit}_p(I). $$ 因此擦除约束保持已有可实现性，而添加约束不能把一个不可实现实例变成可实现实例。这里的完整延拓只是存在量词；该等价本身既不给出寻找延拓的高效算法，也不推出任何不可计算性结论，更不声称增加观测一定减少实际运行时间。 **证明。** 若 $x=(x_i)_{i\in V}$ 是 $I$ 的共同见证，对每个未指定点对也定义 $$ A_{ij}=v_p(x_i+x_j). $$ 则 $A$ 是完整延拓，并由同一个 $x$ 实现。反之，任何可实现完整延拓的共同见证在擦除未指定点对后仍实现 $I$，故得到第一组等价。 若 $I'$ 比 $I$ 多指定若干边，任何满足 $I'$ 全部等式的元组当然满足 $I$ 的全部等式，所以见证集合包含关系成立。关于算法与可计算性的最后一句只是说明该逻辑投影的量词性质，不再加入额外数学断言。证毕。 **theorem 59.3 单一标签的精确分类、无界极小障碍与完整化后的短矛盾。** 令 $$ \delta_p=v_p(2),\qquad s_p=\delta_p+1. $$ 设 $G=(V,E)$ 为有限简单图，$I_{G,d}\in\mathcal C_d(p)$。若 $E=\varnothing$，则 $I_{G,d}$ 对每个 $d\in\overline{\mathbb N}_0$ 都可实现。若 $E\ne\varnothing$ 且 $d<\infty$，则 $$ I_{G,d}\text{ 可实现} \Longleftrightarrow \begin{cases} \text{否},&d<\delta_p,\\ \text{是},&d=\delta_p,\\ G\text{ 为二部图},&d>\delta_p. \end{cases} $$ 若 $d=\infty$ 且 $E\ne\varnothing$，则同样有 $$ I_{G,\infty}\text{ 可实现}\Longleftrightarrow G\text{ 为二部图}. $$ 在 $d=\delta_p$ 的可行情形可取所有 $x_i=1$；在有限 $d>\delta_p$ 的二部情形，每个含边连通分量的二分 $A\sqcup B$ 上可取 $$ x_i=1\quad(i\in A),\qquad x_j=p^d-1\quad(j\in B), $$ 孤立点取 $1$；在 $d=\infty$ 时把第二个值换成 $-1$。因此这些见证全是普通整数单位。 特别地，对每个素数 $p$， $$ \kappa_p(\mathcal C_{s_p}(p))=\infty. $$ 更精确地，每个无弦奇圈 $C_{2m+1}$ 的全部边标记为 $s_p$ 后都是诱导极小不可实现实例：整体不可实现，而每个真顶点诱导限制都有只使用整数 $1$ 与 $p^{s_p}-1$ 的共同见证。尽管如此，这个单一标签类的可实现性判定恰好是二部性判定，可在邻接表模型中用 $O(|V|+|E|)$ 时间完成。 再取 $2m+1>2p$。对上述奇圈稀疏实例的任意完整延拓 $A$，$A$ 都不可实现；而由 section 55 完整数组结论，每个这样的 $A$ 都已有某个 $|W|\le2p$ 的不可实现完整诱导限制 $A|_W$。因为 $W$ 是该长奇圈的真顶点子集而原稀疏限制 $I|_W$ 可实现，所以这个短完整矛盾不可能只由原来已指定的奇圈边支撑；它必然使用完整化时加入的至少一个缺失点对约束。故任意补齐缺失标签都会破坏这个长障碍作为完整接口中诱导极小障碍的性质。 **证明。** 先设 $E=\varnothing$。没有等式需要满足，取所有 $x_i=1$ 即可，包括空图与单点图。 现设 $E\ne\varnothing$。任取单位 $x,y\in\mathbb Z_p^\times$。当 $p$ 为奇数时 $\delta_p=0$，于是 $v_p(x+y)\ge0=\delta_p$；当 $p=2$ 时 $x,y$ 都为奇单位，所以 $x+y$ 为偶数，仍有 $v_2(x+y)\ge1=\delta_2$。因此若有限标签 $d<\delta_p$，只要有一条边就不可能实现。 若 $d=\delta_p$，把所有顶点都取为 $1$，每条边都有 $$ v_p(1+1)=v_p(2)=\delta_p, $$ 所以任意图都可实现。 设有限 $d>\delta_p$ 且存在共同见证。每条边 $\{u,v\}$ 都满足 $$ x_u\equiv -x_v\pmod{p^d}. $$ 若 $G$ 含奇圈 $v_0v_1\cdots v_{2r}v_0$，沿圈逐边代入得到 $$ x_{v_0}\equiv -x_{v_0}\pmod{p^d}, $$ 即 $p^d\mid 2x_{v_0}$。但 $x_{v_0}$ 是单位，所以 $$ v_p(2x_{v_0})=\delta_p\delta_p$ 与无弦奇圈。整体由刚证分类不可实现。删除至少一个顶点后，诱导子图最大度数不超过二且不再含原来的整圈；由于原图无弦，不可能新生任何圈，因此它是若干路径与孤立点的不交并，故二部。上面的显式构造给出只取 $1$ 与 $p^{s_p}-1$ 的整数见证。给定任意有限 $k$，选择 $2m+1>k$，便得到一个所有至多 $k$ 顶点诱导限制均可实现而整体不可实现的实例，所以 $\kappa_p(\mathcal C_{s_p}(p))=\infty$。二部性可由逐分量的奇偶层搜索在线性时间判定，因此无界极小障碍大小本身不蕴含计算困难。 最后令圈长还满足 $2m+1>2p$。任何完整延拓若可实现，其见证经 theorem 59.2 擦除后会实现原稀疏奇圈，矛盾，所以所有完整延拓都不可实现。theorem 55.7 对每个不可实现完整数组给出至多 $2p$ 个顶点的不可实现完整诱导限制。这里 $|W|\le2p<2m+1$，故 $W$ 为真子集，而刚才已证明原稀疏 $I|_W$ 可实现。于是 $A|_W$ 的不可实现性不能由 $I|_W$ 的原边约束单独造成；完整化加入的点对约束中至少有一个参与该短矛盾。证毕。 **定义 59.4 固定素数的零一标签判定问题。** 对固定素数 $p$，记 $\mathrm{SPVAL}^{01}_p$ 为下述判定问题：输入是有限简单图 $H=(W,F)$ 及标签 $$ a:F\to\{0,1\}, $$ 问题是是否存在同一个 $$ (z_w)_{w\in W}\in(\mathbb Z_p^\times)^W $$ 使每条已指定边都满足 $v_p(z_u+z_v)=a_{uv}$。因为 $p$ 固定、每条边标签只占常数位，固定素数版本的输入规模按通常图编码计为 $O(|W|+|F|)$。另记 $\mathrm{SPVAL}^{01}_{\mathrm{var}}$ 为素数 $p$ 以二进制作为输入一部分且承诺该整数为素数的版本。 **theorem 59.5 零一标签的完整复杂性分界与小整数证书。** 对每个素数 $p$，任一可实现的 $\mathrm{SPVAL}^{01}_p$ 实例都有普通整数共同见证满足 $$ 1\le z_w)（Theoretical Computer Science 1 (1976), 237--267）在 Theorem 2.1、期刊页 248--249（PDF 第 7/16 扫描页） 给出从 $\mathrm{SAT3}$ 到 GRAPH 3-COLORABILITY 的多项式归约及构造；Karp 的 1972 [原始论文《Reducibility Among Combinatorial Problems》]()把至多三个文字的可满足性列为完整问题并给出从一般可满足性的归约。 下面从该三着色事实到本问题的其余归约全部直接证明，不调用额外的 $p$ 进数 CSP 定理。 **证明。** 先证明有限证书。标签只可能为 $0$ 或 $1$，所以对单位 $z_u,z_v$， $$ v_p(z_u+z_v)=0 \Longleftrightarrow z_u+z_v\not\equiv0\pmod p, $$ 而 $$ v_p(z_u+z_v)=1 \Longleftrightarrow z_u+z_v\equiv0\pmod p \ \text{且}\ z_u+z_v\not\equiv0\pmod{p^2}. $$ 单位条件本身等价于 $z_w\not\equiv0\pmod p$。因此任何 $p$ 进共同见证缩减模 $p^2$ 后，给出每个顶点一个非零模 $p$ 的剩余类，并保留所有零一标签条件。反过来，若为每个顶点给出一个模 $p^2$ 的剩余类满足这些同余与非同余条件，取其标准整数代表 $r_w\in\{1,\ldots,p^2-1\}$，就得到普通整数单位；上述条件立即保证每条边的整数和估值恰为 $0$ 或 $1$。故小整数见证与 NP 成员性成立。固定 $p$ 时每个代表只需常数位；可变 $p$ 时每个代表需 $O(\log p)$ 位，模 $p$ 与模 $p^2$ 运算均为输入位长的多项式时间。 当 $p=2$ 时，任意两个单位之和都是偶数，所以只要存在标签 $0$ 的边就不可实现。若没有标签 $0$ 的边，取所有 $z_w=1$，则每条已指定边之和为 $2$，估值恰为 $1$。因此扫描一次边集即可判定，空图与单点图也由同一构造覆盖。 当 $p=3$ 时，每个单位模 $3$ 的剩余类只有 $1$ 与 $-1$。写 $$ z_w\equiv(-1)^{b_w}\pmod3,\qquad b_w\in\{0,1\}. $$ 标签 $0$ 恰要求两个剩余类相同，标签 $1$ 恰要求两个剩余类相反，所以全部模 $3$ 条件正好是 $$ b_u\oplus b_v=a_{uv}\qquad(\{u,v\}\in F). $$ 这些二元奇偶方程可逐连通分量从任一根赋值并沿边传播；遇到已赋值顶点时检查一致性即可，时间为 $O(|W|+|F|)$。若一致，令 $b_w=0$ 时取整数 $z_w=1$，令 $b_w=1$ 时取 $z_w=2$。标签 $0$ 的边两端同号，其和为 $2$ 或 $4$，估值为 $0$；标签 $1$ 的边两端异号，其和恰为 $3$，估值为 $1$。所以 $p=3$ 的模 $3$ 一致性条件已经同时给出精确整数见证，不存在额外的模 $9$ 障碍。 现设固定 $p\ge5$，令 $$ k=p-1\ge4. $$ 先从 GRAPH 3-COLORABILITY 得到固定 $k$-COLORABILITY 的 NP 完全性。给定图 $G$，加入一个含 $k-3$ 个新顶点的完全图 $K_{k-3}$，并把每个新顶点与 $G$ 的每个原顶点相连，所得图记为 $G^{(k)}$。若 $G$ 可三着色，用三个颜色给原图着色，再给新完全图的 $k-3$ 个顶点各一个全新颜色，就得到 $k$ 着色。反之，任一 $G^{(k)}$ 的 $k$ 着色在新完全图上必须使用 $k-3$ 个互异颜色，而每个原顶点与这些新顶点全部相邻，所以原顶点只能使用剩余至多三个颜色；故 $G$ 三可着色。因为 $k$ 是固定常数，这一变换为多项式时间。于是固定 $k=p-1$ 的图着色为 NP-complete。 下面把任意 $k$-COLORABILITY 实例 $G=(V,E_G)$ 化为零一估值实例。为每个 $v\in V$ 建立两个顶点 $X_v,Y_v$。加入伴随边 $$ \{X_v,Y_v\} $$ 并标记为 $1$。再固定 $V$ 的任意全序；对每条原边 $\{u,v\}\in E_G$，若 $u “因为 $p$ 固定、每条边标签只占常数位，固定素数版本的输入规模按通常图编码计为 $O(|W|+|F|)$。” 不应解释为“整个实例只占 $O(|W|+|F|)$ 个二进制位”。在本节中，该句由下面的精确读取取代： $$ \boxed{\text{固定 }p\text{ 时，}O(|W|+|F|)\text{ 只计邻接表/边表的记录数或图 word 数；}} $$ 在 definition 59.7 的显式二进制编码下，除唯一的空图常数长度情形外，固定 $p$ 的实际输入位长满足 $$ L_p = O\!\left((|W|+|F|)\log(|W|+2)\right), $$ 更统一地可写为 $$ L_p = O\!\left((|W|+|F|+1)\log(|W|+2)\right). $$ 可变素数只额外增加一次 $p$ 的编码，因此 $$ L_{\mathrm{var}} = O\!\left((|W|+|F|+1)\log(|W|+2)+\log(p+1)\right). $$ 同时显式顶点、边记录给出 $$ |W|+|F|=O(L_p), $$ 而在可变素数版本中还有 $$ \log(p+1)=O(L_{\mathrm{var}}). $$ 在此位模型下，theorem 59.5 的全部复杂性结论保持不变：固定 $p$ 时，每个可实现实例仍有总证书位长 $$ O(|W|), $$ 可变素数承诺版本仍有总证书位长 $$ O(|W|\log(p+1)), $$ 且验证时间关于实际输入位长与证书位长为多项式；固定 $p=2,3$ 的问题仍属于 $\mathrm P$，对每个固定素数 $p\ge5$ 仍为 NP-complete，即使约束图限制为二部图；$\mathrm{SPVAL}^{01}_{\mathrm{var}}$ 在 definition 59.7 的承诺约定下仍为 NP-complete。theorem 59.3 与 theorem 59.5 中出现的 $O(|W|+|F|)$ 图遍历时间均解释为图 word/记录模型的线性时间；这里只推出相应算法在上述二进制位模型中为多项式时间，并不把该 word 模型结论改述成线性位复杂度。theorem 59.6 的三重分离结论亦不受这一输入规模修正影响。 **证明。** 先计算显式编码的长度。由 definition 59.7 中固定的编码公式，对每个 $t\ge0$， $$ |\operatorname{code}(t)| = 2\left\lfloor\log_2(t+1)\right\rfloor+3. $$ 由于 $$ \log_2(t+1) \le \log_2(t+2) $$ 且 $t\ge0$ 时 $\log_2(t+2)\ge1$，存在绝对常数 $C>0$ 使 $$ |\operatorname{code}(t)| \le C\log_2(t+2). $$ 反过来， $$ |\operatorname{code}(t)| \ge 2\log_2(t+1)+1 $$ 不必对所有 $t$ 由取整式按此字面形式使用；直接由 $$ r(t)=\left\lfloor\log_2(t+1)\right\rfloor+1 $$ 和 $$ r(t)>\log_2(t+1) $$ 得到 $$ |\operatorname{code}(t)| = 2r(t)+1 > 2\log_2(t+1)+1. $$ 所以特别对 $p\ge2$， $$ |\operatorname{code}(p)|=\Omega(\log(p+1)). $$ 当 $t=0$ 时， $$ r(0)=1,\qquad \operatorname{code}(0)=101,\qquad |\operatorname{code}(0)|=3, $$ 故边界情形也包含在固定定义内。 固定 $p$，头部长度因而为 $$ O(\log(n+2)+\log(m+2)). $$ 顶点表精确含有 $n$ 条、每条 $\ell_n$ 位，因此占 $$ n\ell_n $$ 位；边表精确占 $$ m(2\ell_n+1) $$ 位。有限简单图满足 $$ m\le\binom n2. $$ 当 $n\ge2$ 时， $$ \log(m+2)=O(\log(n+2)), $$ 所以 $$ L_p = O\!\left((n+m)\log(n+2)\right). $$ 当 $n=1$ 时 $m=0$，唯一顶点仍显式出现，编码为常数长度，亦满足该式。当 $n=0$ 时 $m=0$，只有常数长度头部；这就是定理中单独指出的唯一空图情形，统一加入 $+1$ 后得到 $$ L_p = O\!\left((n+m+1)\log(n+2)\right). $$ 反向地，每个顶点都有一条实际记录，每条边也有一条实际记录，且 $\ell_n\ge1$，故存在与实例无关的常数 $c>0$ 使 $$ L_p\ge c(n+m). $$ 特别地，不能从一个仅以二进制写出的整数 $n$ 推断输入已具有容纳 $n$ 个顶点状态的线性空间；这里需要的 $$ n=O(L_p) $$ 正是由显式顶点表得到。可变素数版本只在头部增加一次 $\operatorname{code}(p)$。由固定编码的精确长度公式， $$ |\operatorname{code}(p)| = 2\left\lfloor\log_2(p+1)\right\rfloor+3 = \Theta(\log(p+1)). $$ 于是得到所述 $$ L_{\mathrm{var}} = O\!\left((n+m+1)\log(n+2)+\log(p+1)\right) $$ 以及 $$ n+m=O(L_{\mathrm{var}}),\qquad \log(p+1)=O(L_{\mathrm{var}}). $$ 再看 theorem 59.5 的 NP 证书。该定理已经证明，每个可实现实例可取普通整数共同见证 $$ 1\le z_w1$，写 $$ M=\prod_{p\mid M}p^{e_p},\qquad e_p\ge1, $$ 并由中国剩余定理定义有限任务映射 $$ \rho_M:R\longrightarrow\mathbb Z/M\mathbb Z $$ 为唯一满足 $$ \rho_M(x)\equiv x_p\pmod{p^{e_p}}\qquad(p\mid M) $$ 的剩余类。若 $M=1$，约定素因子索引集为空，分解 $$ 1=\prod_{p\mid1}p^{e_p} $$ 是空乘积，目标集 $$ \mathbb Z/\mathbb Z $$ 是单点集，并定义 $$ \rho_1:R\longrightarrow\mathbb Z/\mathbb Z $$ 为唯一的常值映射。 当 $M>1$ 时，一次允许查询选取 $n\in\mathbb Z_{\ge0}$，并一次性返回整个向量 $$ Q_{M,n}(x)=\bigl(q_{p,n}(x)\bigr)_{p\mid M}, \qquad q_{p,n}(x)=\min\bigl(v_p(x_p+n),e_p\bigr) \in\{0,1,\ldots,e_p\}. $$ 当 $M=1$ 时，定义每个查询函数为唯一的空向量值函数 $$ Q_{1,n}(x)=(). $$ 因此 $M=1$ 的答复向量是空素数向量，其值域是单点集。 一个非自适应方案预先固定全部 $n_1,\ldots,n_k$，再由全部完整向量答复确定 $\rho_M(x)$。一个自适应方案在每一步可由此前全部完整向量答复确定下一个 $n$，并在有限步后输出 $\rho_M(x)$。分别记对所有 $x\in R$ 都精确正确的确定性方案之最小最坏情形查询数为 $C_{\rm na}(M)$ 与 $C_{\rm ad}(M)$。一次实际调用的费用恒为 $1$，无论 $M$ 有多少个素因子；局部中心的选择、CRT 合成与其他有限计算不计入查询数。 为区分查询函数与其诱导的观察等价关系，定义 $$ \operatorname{Ker}_{\rm obs}(Q_{M,n}) = \{(x,y)\in R^2:Q_{M,n}(x)=Q_{M,n}(y)\}. $$ 这称为查询 $Q_{M,n}$ 的观察核。查询函数相等必然给出观察核相等，但反向一般不成立。 **theorem 60.2（查询函数的精确模 $M$ 分类与周期；与观察核区分）。** 对任意 $M>1$ 与 $n,m\ge0$， $$ Q_{M,n}=Q_{M,m}\quad\hbox{作为 }R\hbox{ 上的函数} $$ 当且仅当 $$ n\equiv m\pmod M. $$ 特别地， $$ Q_{M,n+M}(x)=Q_{M,n}(x) $$ 对所有 $x\in R$ 成立，而且函数值族 $$ n\longmapsto Q_{M,n} $$ 关于平移变量的最小正周期恰为 $M$。因此每次查询都可取唯一代表元 $0\le n1$。则 $$ C_{\rm na}(M)= \max_{p\mid M}(p-1)p^{e_p-1}. $$ 更精确地，一个固定全局查询列表 $n_1,\ldots,n_k$ 能确定 $\rho_M(x)$，当且仅当对每个 $p\mid M$，投影中心列表 $$ n_1\bmod p^{e_p},\ldots,n_k\bmod p^{e_p} $$ 在 $X_{p,e_p}$ 上能确定局部目标 $a_p\equiv-x_p\pmod{p^{e_p}}$。 **证明。** 先证列表判据。若每个素数坐标的投影列表都 resolving，则从全局第 $t$ 次答复的 $p$ 坐标得到相应局部答复，故可分别恢复全部 $a_p$，从而恢复全部 $x_p\bmod p^{e_p}$，最后由 CRT 唯一恢复 $\rho_M(x)$。 反之，若某个 $p$ 的投影列表不能 resolving，取两个不同局部目标 $a_p,b_p\in X_{p,e_p}$，使它们对全部投影中心给出相同局部答复。构造 $x,y\in R$，使 $$ -x_p\equiv a_p,\qquad -y_p\equiv b_p\pmod{p^{e_p}}, $$ 而对每个 $q\mid M$、$q\ne p$ 令 $x_q=y_q$。未出现在 $M$ 中的坐标也令二者相同。于是每次查询的整个向量在 $x,y$ 上完全相同，但 $\rho_M(x)\ne\rho_M(y)$，矛盾。故局部 resolving 对每个 $p$ 都是必要的。 令 $$ k_p=(p-1)p^{e_p-1},\qquad K=\max_{p\mid M}k_p. $$ 由 theorem 60.5，任何全局列表至少在每个 $p$ 坐标上含有足以 resolving 的中心，因此 $k\ge k_p$ 对所有 $p$ 成立，得到 $k\ge K$。 为达到 $K$，对每个 $p$ 选取 theorem 60.5 的一个大小为 $k_p$ 的最优局部中心集，并把它按任意顺序列出；当 $k_p1$。则 $$ C_{\rm ad}(M)= \max_{p\mid M}e_p(p-1). $$ 所以在本模型中，不同素数的局部自适应搜索可以用同一个整数平移逐轮完全并行，而不是把局部费用相加。 **证明。** 对每个 $p\mid M$ 独立运行 theorem 60.6 的局部确定性策略。一个全局轮次开始时，每个尚未完成的局部策略根据它自己的既有局部答复历史给出下一中心 $$ c_p\in\mathbb Z/p^{e_p}\mathbb Z. $$ 已经完成的坐标任取一个填充中心。CRT 给出单个 $$ n\in\{0,\ldots,M-1\},\qquad n\equiv c_p\pmod{p^{e_p}}\quad(p\mid M). $$ 查询一次 $Q_{M,n}$ 后，把返回整向量的第 $p$ 坐标送回第 $p$ 个局部策略。于是每个全局轮次都同时推进所有尚未完成的局部策略一步。第 $p$ 个策略最迟在 $e_p(p-1)$ 轮完成，所以全部坐标最迟在 $$ K=\max_{p\mid M}e_p(p-1) $$ 轮完成。由 CRT 随即得到 $\rho_M(x)$，故 $C_{\rm ad}(M)\le K$。 下界固定任意 $p\mid M$。假设存在最坏只用 $k$ 次查询的全局确定性策略。把所有 $q\mid M,\ q\ne p$ 的未知坐标固定为 $x_q=0$，只让 $p$ 坐标的目标 $a_p$ 变化。现在模拟该全局策略：它每次根据既有全局答复选出 $n$；对固定的 $q\ne p$，答复 $$ \min(v_q(n),e_q) $$ 由 $n$ 可直接确定，而 $p$ 坐标的答复则向局部 oracle 询问中心 $n\bmod p^{e_p}$ 的 $h$ 值。这样得到一个只使用同样 $k$ 次局部查询的确定性策略。全局策略终止时必须正确给出 $\rho_M(x)$，故尤其正确给出 $x_p\bmod p^{e_p}$，也就确定 $a_p$。theorem 60.6 因而给出 $$ k\ge e_p(p-1). $$ 这对每个 $p\mid M$ 都成立，所以 $k\ge K$。与并行上界合并即得等式。这个限制论证允许其他素数的完整答复存在；它们在固定这些坐标后只是由已选查询确定的量，不能为未知的 $p$ 坐标提供额外信息。 **theorem 60.9（$M=1$ 的零查询边界）。** 在 definition 60.1 的 $M=1$ 扩展下， $$ C_{\rm na}(1)=C_{\rm ad}(1)=0. $$ **证明。** 模 $1$ 的目标集合 $\mathbb Z/\mathbb Z$ 只有一个元素，$\rho_1$ 是唯一常值目标映射，故无需观察即可唯一输出 $\rho_1(x)$。查询数非负，所以 $0$ 同时是上下界。此时答复向量的素数索引集为空，且每个 $Q_{1,n}$ 都返回唯一空向量；最优方案不调用任何查询。 **theorem 60.10（$e=1$ 与平方自由边界）。** 对任意素数 $p$， $$ C_{\rm na}(p)=C_{\rm ad}(p)=p-1. $$ 更一般地，若 $M>1$ 平方自由，则 $$ C_{\rm na}(M)=C_{\rm ad}(M)=\max_{p\mid M}(p-1). $$ **证明。** 当 $e=1$ 时，局部答复只有 $$ h_c(a)= \begin{cases} 1,&a=c,\\ 0,&a\ne c. \end{cases} $$ 故每次查询是对一个具体剩余类的精确相等测试。查询任意 $p-1$ 个剩余类即可由命中或唯一未命中的剩余类确定目标；若只查询至多 $p-2$ 个中心，则至少有两个未查询剩余类对全部答复都为 $0$，不能区分。因此两种费用都是 $p-1$。平方自由时所有 $e_p=1$，把 theorem 60.7 与 theorem 60.8 的公式代入即得同一个最大值；其上界仍由一轮一轮的 CRT 并行而非逐素数相加实现。 **theorem 60.11（$p=2$ 的前两层精确边界）。** 有 $$ C_{\rm na}(2)=C_{\rm ad}(2)=1, \qquad C_{\rm na}(4)=C_{\rm ad}(4)=2. $$ 在 $X_{2,2}=\mathbb Z/4\mathbb Z$ 上，非自适应中心 $0,1$ 已经最优，其四个目标叶的答复码依次为 $$ a=0:(2,0),\quad a=1:(0,2),\quad a=2:(1,0),\quad a=3:(0,1). $$ **证明。** 第一式是 theorem 60.10 的 $p=2$ 情形。对 $e=2$，theorem 60.5 给出 $$ (2-1)2^{2-1}=2, $$ 而 theorem 60.6 给出 $$ 2(2-1)=2. $$ 所列两个中心分别在两个深度 $1$ 球中各查询一个叶，故也直接满足 theorem 60.5 的 resolving 条件；四个完整多值答复码如式所示，互不相同。这同时说明该结论没有把答复降成二值。 **theorem 60.12（不等素数指数不会产生串行和式）。** 若 $$ M=p^e q^f,\qquad p\ne q,\qquad e,f\ge1, $$ 特别允许 $e\ne f$，则 $$ C_{\rm na}(M)= \max\bigl((p-1)p^{e-1},(q-1)q^{f-1}\bigr), $$ 且 $$ C_{\rm ad}(M)= \max\bigl(e(p-1),f(q-1)\bigr). $$ 例如对 $M=2^3 3^2$， $$ C_{\rm na}(M)=6,\qquad C_{\rm ad}(M)=4. $$ **证明。** 上界同时为两个素数坐标选局部中心，并用 CRT 把每一对中心合成为一个整数平移；这分别是 theorem 60.7 与 theorem 60.8 的两坐标构造。下界固定其中一个坐标并把另一个坐标固定常值，分别退化为 theorem 60.5 或 theorem 60.6 的单坐标任务，因此全局费用不小于两个局部费用中的任一个。取最大值便同时得到上下界。例中 $$ (2-1)2^2=4,\qquad (3-1)3=6, $$ 以及 $$ 3(2-1)=3,\qquad 2(3-1)=4, $$ 故数值如述。指数不相等本身不会破坏并行，因为 $2^3$ 与 $3^2$ 仍互素。 **theorem 60.13（两个朴素充分上界的精确修正）。** 对单个 $p^e$，逐个查询除一个剩余类外的全部 $p^e-1$ 个中心虽为充分方案，但其精确最小值是 $$ (p-1)p^{e-1}, $$ 且二者之差为 $$ p^e-1-(p-1)p^{e-1}=p^{e-1}-1. $$ 因此该朴素非自适应数只在 $e=1$ 时已经最优。另一方面，设 $M>1$。逐素数串行运行局部自适应方案给出 $$ \sum_{p\mid M}e_p(p-1) $$ 次的充分上界，而精确全局值是 $$ \max_{p\mid M}e_p(p-1). $$ 若 $M$ 至少有两个不同素因子，则该串行和严格大于精确值。 **证明。** 非自适应等式由 theorem 60.5 给出，差值直接化简；当 $e\ge2$ 时 $p^{e-1}-1>0$。对 $M>1$，自适应等式由 theorem 60.8 给出。每个 $e_p(p-1)$ 都是正整数，所以当至少有两个素数项时，它们的和严格大于最大单项。CRT 并行构造证明最大值确实可达，而不是仅由数值比较得到的下界。 **theorem 60.14（有限任务恰在成功时给出有限商上的注入编码）。** 固定 $M>1$。任意有限个允许查询以及任意确定性自适应选择规则，其全部交互只依赖于 $\rho_M(x)$。特别地，对固定非自适应列表 $n_1,\ldots,n_k$，允许 $k=0$，存在唯一映射 $$ \overline F:\mathbb Z/M\mathbb Z \longrightarrow \prod_{t=1}^k\prod_{p\mid M}\{0,\ldots,e_p\} $$ 使答复编码 $$ F(x)=\bigl(Q_{M,n_t}(x)\bigr)_{t=1}^k $$ 满足 $$ F=\overline F\circ\rho_M. $$ 当 $k=0$ 时，右端乘积是空乘积单点集。该列表精确完成有限任务，当且仅当 $\overline F$ 为单射。因此，只有对成功查询列表，$\overline F$ 才是 $\mathbb Z/M\mathbb Z$ 的有限注入编码；成功列表无论是否最优都具有这一性质，而任意列表都仅保证上述因子化，不保证注入。特别地，因为 $M>1$，零查询列表的 $\overline F$ 映入单点集而不可能单射，所以零查询列表不成功。即使列表成功，其编码也不是 $R$ 上的注入。 **证明。** theorem 60.2 的阈值等价式表明，第 $p$ 坐标的任一答复只依赖于 $x_p\bmod p^{e_p}$，所以固定查询的整个向量只依赖于 $\rho_M(x)$。非自适应的因子化随即成立；又因为 $\rho_M$ 为满射，该因子映射 $\overline F$ 唯一。若 $\overline F$ 单射，则答复码唯一决定 $\rho_M(x)$；若不单射，则两个不同 CRT 类给出同码，任务不可能精确完成。对 $k=0$，答复码空间只有一个元素，而 $\mathbb Z/M\mathbb Z$ 至少有两个元素，所以 $\overline F$ 不单射。 对自适应规则作查询轮数归纳。第一查询由规则本身固定，其答复只依赖于 $\rho_M(x)$；若前 $t$ 轮的完整历史只依赖于 $\rho_M(x)$，则第 $t+1$ 个查询也只依赖于该历史，从而只依赖于 $\rho_M(x)$，其新答复仍如此。因此整个有限决策树因子化经过同一有限商。 最后，$\rho_M$ 不是 $R$ 上的单射。例如任取 $p\mid M$，只把 $x_p$ 改为 $x_p+p^{e_p}$，其模 $p^{e_p}$ 类不变，其他坐标也可保持不变，却得到 $R$ 中不同点。因此任何固定 $M$ 的成功有限任务编码都不能等同于完整 $p$ 进点身份。 **theorem 60.15（查询数与位运算费用分离）。** 设 $M>1$，并且 $M$ 的素数幂分解已给定。theorem 60.7 与 theorem 60.8 中每一轮所需的单个 CRT 平移都能由关于 $\log M$ 位长的有限整数运算有效求出；标准扩展 Euclid 与整数算术给出每轮关于 $\log M$ 的多项式位运算上界。这个计算费用不改变上述查询数公式，本文不主张其位运算复杂度最优。 **证明。** 写 $m_p=p^{e_p}$ 与 $M_p=M/m_p$。因 $$ \gcd(M_p,m_p)=1, $$ 扩展 Euclid 可求 $u_p$ 使 $$ M_pu_p\equiv1\pmod{m_p}. $$ 给定一轮全部局部中心 $c_p$，取 $$ n\equiv\sum_{p\mid M}c_pM_pu_p\pmod M $$ 并选 $0\le n1, \end{cases} $$ 以及 $$ C_{\rm ad}(M)= \begin{cases} 0,&M=1,\\ \max_{p\mid M}e_p(p-1),&M>1. \end{cases} $$ 它们量化的是固定但未知的 $x$、确定性、零错误、对所有 $x$ 取最坏情形的有限商身份任务。它们不等同于给定概率分布后的平均查询数，不等同于允许随机误差后的复杂度，也不声称由一个固定有限 $M$ 恢复 $x\in R$ 的完整无限身份。不同 $M$ 上分别选到的最优探针集也不自动构成关于整除映射的相容观察族。 **证明。** 两个分段公式分别汇总 theorem 60.9、theorem 60.7 与 theorem 60.8。平均情形与随机误差在 definition 60.1 的量词中没有出现，因此这些数值不对那两个不同的优化问题作断言。完整身份的区分由 theorem 60.14 的非单射因子化排除。至于不同 $M$ 的相容性，theorem 60.7 与 theorem 60.8 只逐个固定 $M$ 构造最优中心；最优查询数这一基数陈述本身没有给出 $M\mid N$ 时探针选择之间的交换条件，所以任何这样的相容族都属于额外结构，而不是上述最小值公式的推论。 ## 60.99 追加锚 ## 61. 增长精度下的二进制全局提升与三进制第二位分岔 **定义 61.1（全深度稀疏估值问题、输入位模型与三种深度编码）。** 沿用定义 59.1 的稀疏单位和估值实例 $$ I=(V,E,a),\qquad a:E\to\overline{\mathbb N}_0, $$ 及其同一个共同见证 $$ x=(x_v)_{v\in V}\in(\mathbb Z_p^\times)^V,\qquad v_p(x_u+x_v)=a_{uv}\quad(\{u,v\}\in E). $$ 固定素数 $p$ 后，记 $\mathrm{SPVAL}_p^\ast$ 为允许任意有限标签与 $\infty$ 的判定问题；每个有限标签按二进制输入，$\infty$ 为一个独立符号。若实例含有限标签，记 $$ D(I)=\max\{a_e:a_e<\infty\}; $$ 若没有有限标签，置 $D(I)=0$。 本节所有 $\mathrm P$、$\mathrm{NP}$ 与位复杂度陈述统一采用显式、自定界的图输入。输入首先逐一列出全部顶点槽位，并按出现顺序编号为 $$ 1,\ldots,n; $$ 不存在由一个二进制整数 $n$ 隐式代表而未逐一出现的孤立点。随后逐条列出边；每条边记录两个二进制端点编号 $1\le ur}$ 为顶点集 $V$ 上的图，其边恰为满足 $$ \rho_e=\infty \quad\text{或}\quad \rho_e>r $$ 的边；记其连通分量集合为 $\Pi_r$。定义层商多重图 $Q_r(J)$：顶点集为 $\Pi_r$，而每条满足 $\rho_e=r$ 的原边 $e=\{u,v\}$ 在 $[u]_r,[v]_r$ 之间产生一条边。允许平行边；若 $[u]_r=[v]_r$，则产生自环。称 $Q_r(J)$ 可 $p$-着色，是指存在 $$ c_r:\Pi_r\to\mathbb F_p $$ 使每条层商边的两个端点颜色不同；因此含自环的层商图不可 $p$-着色。 **定理 61.4（差估值的逐位着色定理与一个全局整数提升）。** 对任意素数 $p$ 与任意有限差估值实例 $J$， $$ J\text{ 可实现} \Longleftrightarrow \forall r\in R(J),\ Q_r(J)\text{ 可 }p\text{-着色}. $$ 若右侧成立，对每个 $r\in R(J)$ 固定一个适当着色 $c_r$，把颜色取标准代表 $$ \widetilde c_r:\Pi_r\to\{0,1,\ldots,p-1\}, $$ 并定义 $$ z_v=\sum_{r\in R(J)}\widetilde c_r([v]_r)p^r. $$ 则这个同一个普通整数元组 $z$ 已经实现全部有限边与全部 $\infty$ 边。 **证明。** 先证必要性。设 $z\in\mathbb Z_p^V$ 是共同见证，并固定 $r\in R(J)$。对每个顶点，取 $z_v$ 的第 $r$ 个 $p$ 进数字，即唯一的 $d_{v,r}\in\mathbb F_p$，使得模 $p^{r+1}$ 的剩余类可写成某个模 $p^r$ 剩余类加上 $d_{v,r}p^r$。 若边 $e=\{u,v\}$ 满足 $\rho_e>r$ 或 $\rho_e=\infty$，则 $$ z_u-z_v\equiv0\pmod{p^{r+1}}, $$ 所以 $d_{u,r}=d_{v,r}$。因此第 $r$ 个数字在 $H_{>r}$ 的每个连通分量上为常值，遂给出 $\Pi_r$ 上的颜色。若 $\rho_e=r$，则 $$ z_u-z_v\equiv0\pmod{p^r}, \qquad z_u-z_v\not\equiv0\pmod{p^{r+1}}, $$ 故两端第 $r$ 个数字不同。于是所得颜色是 $Q_r(J)$ 的适当 $p$-着色。 再证充分性。按定理陈述定义普通整数 $z_v$。设 $\rho_e=s<\infty$。对每个实际出现的层 $rr}$，所以 $$ [u]_r=[v]_r $$ 并且 $z_u,z_v$ 的第 $r$ 个所选数字相同；对没有出现在 $R(J)$ 中的 $rr}$，从而 $[u]_r=[v]_r$；构造中的每个非零候选数字都相同，其余数字均为零，所以整数上严格有 $$ z_u=z_v. $$ 故同一个整数元组实现全部边。证毕。 **定理 61.5（$p=2$ 的任意有限或无限标签完整分类与全局提升）。** 设 $$ I=(V,E,a) $$ 为任意有限稀疏 $2$ 进单位和估值实例，允许任意有限标签和 $\infty$。则 $I$ 可实现，当且仅当以下三条同时成立。 第一，不存在标签 $0$ 的边。 第二，对每条边定义 $$ q_e= \begin{cases} 0,&a_e=1,\\ 1,&a_e\in\{2,3,\ldots\}\cup\{\infty\}. \end{cases} $$ 存在 $$ s:V\to\mathbb F_2 $$ 使 $$ s_u+s_v=q_{\{u,v\}} $$ 对全部边成立。等价地，每个图论圈上 $q_e$ 的和在 $\mathbb F_2$ 中为零。 第三，在边集 $$ E^+=\{e:a_e\in\{2,3,\ldots\}\cup\{\infty\}\} $$ 上定义差估值标签 $$ \rho_e= \begin{cases} a_e-2,&2\le a_e<\infty,\\ \infty,&a_e=\infty. \end{cases} $$ 所得差估值实例 $J_2=(V,E^+,\rho)$ 满足定理 61.4 的条件；等价地，对每个实际出现的有限层 $r$，层商图 $Q_r(J_2)$ 可 $2$-着色，也即没有自环且为二部图。 若这些条件成立，取第二条的一个 $s$，并按定理 61.4 取 $J_2$ 的同一个整数见证 $$ z_v=\sum_{r\in R(J_2)}b_{v,r}2^r,\qquad b_{v,r}\in\{0,1\}. $$ 则 $$ x_v=(-1)^{s_v}(1+4z_v) $$ 是 $I$ 的同一个普通整数单位见证。特别地，$\infty$ 边在这个构造中满足严格等式 $x_u=-x_v$，不是任意大有限精度的替代条件。空图、孤立点以及纯 $\infty$ 分量都包含在此分类中；纯 $\infty$ 连通分量可实现当且仅当它是二部图。 **证明。** 任意两个 $2$ 进单位都是奇数，所以其和总被 $2$ 整除；故有标签 $0$ 的边立即不可实现。 设先有共同见证 $x$。每个奇单位模 $4$ 恰为 $1$ 或 $-1$。定义 $s_v\in\mathbb F_2$ 使 $$ (-1)^{s_v}x_v\equiv1\pmod4. $$ 若 $a_{\{u,v\}}=1$，则 $x_u+x_v$ 被 $2$ 整除但不被 $4$ 整除，所以 $x_u,x_v$ 模 $4$ 相同，因而 $s_u=s_v$。若 $a_{\{u,v\}}\ge2$ 或为 $\infty$，则 $x_u+x_v\equiv0\pmod4$，所以两端模 $4$ 相反，因而 $$ s_u+s_v=1. $$ 这证明第二条必要。 令 $$ y_v=(-1)^{s_v}x_v. $$ 则 $y_v\equiv1\pmod4$，故存在唯一 $z_v\in\mathbb Z_2$ 使 $$ y_v=1+4z_v. $$ 对标签 $a_e=1$ 的边，两端 $s$ 相同，因此 $$ x_u+x_v=\pm(y_u+y_v) =\pm2\bigl(1+2z_u+2z_v\bigr), $$ 括号内为奇单位，所以估值自动且恰为 $1$，不再施加更高位条件。对有限标签 $a_e=d\ge2$ 的边，两端 $s$ 相反，因此 $$ x_u+x_v=\pm(y_u-y_v)=\pm4(z_u-z_v), $$ 从而 $$ v_2(z_u-z_v)=d-2. $$ 对 $\infty$ 边，同一等式给出 $$ x_u+x_v=0 \Longleftrightarrow z_u=z_v. $$ 故 $z$ 正是 $J_2$ 的共同见证，第三条由定理 61.4 必要。 反过来，假设三条成立。取第二条的 $s$ 与第三条由定理 61.4 产生的同一个整数元组 $z$，并定义 $$ x_v=(-1)^{s_v}(1+4z_v). $$ 每个 $x_v$ 都是奇整数。若 $a_e=1$，第二条给出两端 $s$ 相同，上述和式再次表明估值恰为 $1$。若 $a_e=d\ge2$，两端 $s$ 相反且第三条给出 $v_2(z_u-z_v)=d-2$，所以 $$ v_2(x_u+x_v)=2+(d-2)=d. $$ 若 $a_e=\infty$，两端 $s$ 相反且 $z_u=z_v$，于是严格有 $x_u=-x_v$。所以全部指定边由同一个整数元组同时实现。 最后说明第二条的圈条件等价性。对任意有限图上的边位 $q_e\in\mathbb F_2$，若存在顶点位 $s$ 满足 $s_u+s_v=q_e$，沿任一圈相加时每个顶点出现两次，故圈上边位之和为零。反之，在每个连通分量选根并令根值为零；沿任意根到顶点的路径把边位相加定义 $s_v$。若两条路径给出不同值，把它们合并得到的闭游走含有一个边位和非零的圈，与假设矛盾，因此定义良好并满足全部边方程。纯 $\infty$ 圈的每条边都有 $q_e=1$，故奇圈恰好违反此条件，而偶圈可以交替取符号。证毕。 **定理 61.6（$p=2$ 的二进制深度压缩判定、见证大小与展开下界）。** 固定 $p=2$，并采用定义 61.1 的显式位输入模型。问题 $\mathrm{SPVAL}_2^\ast$ 在有限标签按二进制输入、$\infty$ 作为独立符号时属于 $\mathrm P$。更具体地，若总输入位长为 $N$，则存在不枚举 $0,1,\ldots,D(I)$ 的确定性算法，其位操作数可保守界为 $$ O(N^6). $$ 因此同一个判定结论当然也适用于固定有界深度和一元深度。 若一个可实现实例的最大有限标签为 $D\ge2$，定理 61.5 的整数见证可选成 $$ |x_v|<2^{D+1} $$ 对所有顶点成立；若不存在有限标签 $\ge2$，可取 $|x_v|=1$。另一方面，只要某条有限边的标签为 $D\ge1$，任何普通整数共同见证都满足该边至少一个端点 $$ |x_v|\ge2^{D-1}. $$ 所以二进制编码的巨大 $D$ 并不妨碍压缩判定，但一般不可能要求把普通整数见证完整展开为仅多项式于 $\log D$ 位的二进制数字串。 **证明。** 首先按定义 61.1 解析并检查显式输入。若 $m=0$，没有任何约束，立即接受并取所有 $x_v=1$；解析本身只需输入位长的多项式时间。以下设 $m>0$。由于每个顶点都有显式记录、每条边都有显式记录，存在固定编码常数使 $$ n=O(N),\qquad m=O(N). $$ 端点编号至多为 $n$，其二进制长度为 $O(\log N)$；任一有限标签的全部二进制位已经计入 $N$，所以两个标签的朴素逐位比较至多使用 $O(N)$ 个位操作。 先扫描是否存在标签 $0$；若存在则由定理 61.5 立即拒绝。若不存在，定理 61.5 的第二条只是有限图上的 $\mathbb F_2$ 边差方程。可以不用任何字长随机访问假设来判定它：按顶点输入顺序依次选择尚未赋值的根，给根值 $0$，然后反复从头扫描全部边；每当一条边恰有一个端点已赋值时，就由 $$ s_u+s_v=q_e $$ 给另一个端点赋值；若两端均已赋值则检查方程。每次完整边扫描若产生新值，已赋值顶点数至少增加一，因此每个连通分量至多进行 $n$ 次有效扫描；按至多 $n$ 个根的最保守计数，边记录访问次数至多为 $O(n^2m)=O(N^3)$。 为明确计入位成本，把每个顶点当前的赋值、分量编号或颜色按顶点输入顺序存入一张顺序工作表。该表至多有 $n=O(N)$ 个条目，每个编号与状态使用 $O(\log N)$ 位，所以整张表长度为 $O(N\log N)\subseteq O(N^2)$。在最保守的单带顺序访问实现中，一次边记录访问连同寻找两个端点的工作表条目、读取或改写其状态以及比较一个长度至多 $N$ 的标签，都可用 $O(N^2)$ 个位操作完成。因此上一段的传播已经具有显式的多项式位成本，而没有使用常数时间随机访问或固定机器字假设。 第三条只需检查实际出现的有限层 $$ R(J_2)=\{a_e-2:2\le a_e<\infty\}, $$ 其不同值至多有 $m$ 个。可以用朴素两两标签比较收集这些层；至多 $O(m^2)$ 次比较，每次至多 $O(N)$ 位操作。对每个这样的 $r$，从头扫描边表，用二进制比较判断哪些边满足 $\rho_e>r$ 或 $\rho_e=\infty$。随后用与上一段相同的反复全表扫描法，把 $H_{>r}$ 的连通分量编号传播到所有显式顶点；信息沿一条长度至多 $n-1$ 的路径至多需要 $n-1$ 次全扫描传播。再扫描所有满足 $\rho_e=r$ 的边，把其两个端点替换为已经得到的分量编号；若两端编号相同则出现自环并拒绝，否则对这些商边再次用逐根、反复全表扫描的二元着色传播检查二部性。即使不复用中间数据，每一层的分量传播与二着色各自都可按至多 $O(n^2m)=O(N^3)$ 次边记录访问计数；至多有 $m=O(N)$ 个实际层，所以总边记录访问次数为 $O(N^4)$。按上一段每次访问至多 $O(N^2)$ 位操作计费，再加入 $O(N^3)$ 位以内的朴素层去重与语法处理，得到 $$ O(N^6) $$ 的确定性位操作上界。算法只遍历实际出现的至多 $m=O(N)$ 个层，不遍历从零到最大指数的全部整数，因此该界对二进制 $D$ 是真正的输入位长多项式，而不是关于展开精度 $D$ 的伪多项式界。 对见证大小，令 $D\ge2$。定理 61.5 中只可能出现 $0\le r\le D-2$，故 $$ 0\le z_v\le\sum_{r=0}^{D-2}2^r=2^{D-1}-1. $$ 于是 $$ |x_v|=1+4z_v<2^{D+1}. $$ 若没有标签 $\ge2$，取所有差变量 $z_v=0$ 即得 $|x_v|=1$。这些见证还可先以稀疏幂和 $$ (-1)^{s_v}\left(1+4\sum_{r\in R(J_2)}b_{v,r}2^r\right) $$ 保存；真正展开为普通二进制整数时需要 $O(D)$ 位，而判定本身不需要这一步。 最后，若某条边 $\{u,v\}$ 的有限标签为 $D$，则整数 $$ x_u+x_v $$ 非零、被 $2^D$ 整除且不被 $2^{D+1}$ 整除，所以 $$ |x_u+x_v|\ge2^D. $$ 由三角不等式， $$ |x_u|+|x_v|\ge2^D, $$ 故至少一个端点满足 $|x|\ge2^{D-1}$。因此普通整数输出在最坏情形本来就需要 $\Omega(D)$ 位；这与上述压缩判定并不矛盾。证毕。 **定理 61.7（$p=3$ 的全深度归一化：第一位是二元符号，随后各层是三着色）。** 设 $$ I=(V,E,a) $$ 为任意有限稀疏 $3$ 进单位和估值实例，允许任意有限标签和 $\infty$。对每条边定义 $$ q_e= \begin{cases} 0,&a_e=0,\\ 1,&a_e\in\{1,2,3,\ldots\}\cup\{\infty\}. \end{cases} $$ 并在 $$ E^+=\{e:a_e\in\{1,2,3,\ldots\}\cup\{\infty\}\} $$ 上定义差估值实例 $J_3=(V,E^+,\rho)$， $$ \rho_e= \begin{cases} a_e-1,&1\le a_e<\infty,\\ \infty,&a_e=\infty. \end{cases} $$ 则 $$ I\text{ 可实现} $$ 当且仅当同时满足： 1. 存在 $s:V\to\mathbb F_2$ 使 $s_u+s_v=q_e$ 对每条边成立； 2. 对每个 $r\in R(J_3)$，层商图 $Q_r(J_3)$ 可 $3$-着色。 若条件成立，取第一条的 $s$，并从定理 61.4 取 $$ z_v=\sum_{r\in R(J_3)}c_{v,r}3^r,\qquad c_{v,r}\in\{0,1,2\}, $$ 则 $$ x_v=(-1)^{s_v}(1+3z_v) $$ 是一个普通整数共同见证。若最大有限正标签为 $D\ge1$，还可取 $$ 0\le z_v<3^D, \qquad |x_v|<3^{D+1}; $$ 若没有有限正标签，则可取 $z_v=0$。特别地，若所有已指定边标签都在 $\{1,2,\ldots,\infty\}$ 中，则任何可实现约束图都必须二部；但在更高数字层收缩以后出现的 $Q_r(J_3)$ 可以是一般的三着色实例。 **证明。** 先设 $x$ 为共同见证。每个 $3$ 进单位模 $3$ 恰为 $1$ 或 $-1$。定义 $s_v\in\mathbb F_2$ 使 $$ (-1)^{s_v}x_v\equiv1\pmod3. $$ 若 $a_e=0$，则 $x_u+x_v$ 不被 $3$ 整除；对两个非零模 $3$ 剩余类而言，这恰好意味着两端剩余类相同，所以 $s_u=s_v$。若 $a_e\ge1$ 或 $a_e=\infty$，则 $$ x_u+x_v\equiv0\pmod3, $$ 所以两端剩余类相反，故 $s_u+s_v=1$。第一条必要。 令 $$ y_v=(-1)^{s_v}x_v. $$ 则 $y_v\equiv1\pmod3$，故唯一写成 $$ y_v=1+3z_v,\qquad z_v\in\mathbb Z_3. $$ 对标签 $0$ 的边，两端 $s$ 相同，于是 $$ x_u+x_v=\pm(y_u+y_v)\equiv\pm2\pmod3, $$ 估值自动恰为 $0$。对有限标签 $a_e=d\ge1$ 的边，两端 $s$ 相反，于是 $$ x_u+x_v=\pm(y_u-y_v)=\pm3(z_u-z_v), $$ 所以 $$ v_3(z_u-z_v)=d-1. $$ 对 $\infty$ 边，同式给出严格等价 $$ x_u+x_v=0 \Longleftrightarrow z_u=z_v. $$ 因此 $z$ 实现 $J_3$，第二条由定理 61.4 必要。 反过来，设两条条件成立。定理 61.4 给出一个同一个普通整数差见证 $z$。定义 $$ x_v=(-1)^{s_v}(1+3z_v). $$ 每个 $x_v$ 都是 $3$ 进单位。标签 $0$ 的边两端符号相同，其和模 $3$ 为 $\pm2$，所以估值为 $0$。有限标签 $d\ge1$ 的边两端符号相反，故 $$ v_3(x_u+x_v)=1+v_3(z_u-z_v)=d. $$ $\infty$ 边两端符号相反且 $z_u=z_v$，故严格有 $x_u=-x_v$。所以 $x$ 同时实现全部指定边。 若最大有限正标签为 $D\ge1$，则差标签的最大有限层至多为 $D-1$，所以定理 61.4 的标准数字构造满足 $$ 0\le z_v\le2\sum_{r=0}^{D-1}3^r=3^D-1, $$ 从而 $$ |x_v|=1+3z_v<3^{D+1}. $$ 若没有有限正标签，差实例没有有限层，取 $z_v=0$ 即可。 若所有边标签均为正有限值或 $\infty$，则每条边都有 $q_e=1$。第一条的存在性意味着沿每条边翻转一个二元符号，故约束图二部；奇圈会使根点符号翻转一周后与自身矛盾。最后，层商图来自收缩更深的等数字关系，收缩可以把原二部图的两侧顶点识别进不同商类，并不保证商图继续二部；定理只要求它可三着色。证毕。 **定理 61.8（$p=3$ 在有限第二层即 NP 完全，并给出二进制全深度分类）。** 采用定义 61.1 的显式位输入模型。下列结论成立。 1. $\mathrm{SPVAL}_3^{12}$ 是 NP-complete；NP-hardness 即使限制约束图本身为二部图仍成立。 2. 允许任意有限二进制标签与 $\infty$ 的 $\mathrm{SPVAL}_3^\ast$ 仍是 NP-complete。其 NP 证书不需要展开到 $D(I)$ 位：只需给出定理 61.7 的顶点符号 $s_v$，并对每个实际出现的有限正深度层给出一个三值数字着色；若总输入位长为 $N$，这种证书可取 $O(N^2)$ 位。 3. 对固定有限深度且不允许 $\infty$ 的问题， $$ \mathrm{SPVAL}_3^{\le D}\in\mathrm P\quad(D=0,1), $$ 而对每个固定 $D\ge2$， $$ \mathrm{SPVAL}_3^{\le D}\text{ 是 NP-complete}, $$ 并且后一 NP-hardness 已经发生在只用标签 $\{1,2\}$、约束图二部的子类中。 这里唯一复用的外部图论复杂性输入是 section 59 已采用的一般有限简单图 GRAPH 3-COLORABILITY 的 NP-completeness。其原始来源为 M. R. Garey, D. S. Johnson, L. Stockmeyer, *Some simplified NP-complete graph problems*, Theoretical Computer Science 1 (1976), 237--267, Theorem 2.1, pp. 248--249；可访问全文为 https://www.math.ucdavis.edu/~deloera/MISC/LA-BIBLIO/trunk/JohnsonDavid2.pdf 。在定义 61.1 的显式图编码下，通常显式图实例只需按输入顺序重新编号顶点；以下从三着色到本估值问题的归约全部直接证明。 **证明。** 先证 $\mathrm{SPVAL}_3^{12}$ 属于 NP。若 $m=0$，实例立即可实现，无需非空证书。若 $m>0$，定理 61.2 在 $D=2$ 时给出模 $27$ 的有限证书；每个显式顶点只需一个常数位长的单位剩余类，即可验证每条边是被 $3$ 整除但不被 $9$ 整除，或被 $9$ 整除但不被 $27$ 整除。由定义 61.1 有 $n=O(N)$，所以证书总长为 $O(N)$ 位；逐边读取两个常数大小剩余类并检查对应同余只需输入位长的多项式位操作。 现从 GRAPH 3-COLORABILITY 作归约。给定显式编码的有限简单图 $$ G=(V,E_G), $$ 以顶点在输入中的顺序为全序。为每个 $v\in V$ 建立两个新顶点 $X_v,Y_v$。加入伴随边 $$ \{X_v,Y_v\} $$ 并标记为 $2$。对每条原边 $\{u,v\}\in E_G$，若 $u0$。定理 61.7 的第一层符号证书只需每个显式顶点一位。设实际出现的有限正标签集合为 $$ A^+=\{a_e:1\le a_e<\infty\}; $$ 不同值至多有 $m$ 个。对每个 $d\in A^+$，等价地对层 $r=d-1$，证书给每个显式顶点一个颜色 $$ c_{v,r}\in\{0,1,2\}. $$ 不需要把层号重新写入证书：验证器可按输入中实际标签的规范排序确定这些至多 $m$ 个层的顺序。由定义 61.1， $$ n=O(N),\qquad m=O(N), $$ 所以符号部分使用 $O(N)$ 位，颜色部分至多含 $nm=O(N^2)$ 个三值符号，每个用常数位编码，整个证书长度为 $O(N^2)$ 位。 验证时，先逐边检查 $$ s_u+s_v=q_e $$ 是否成立。随后对每个实际层 $r$ 与每条正有限或 $\infty$ 边检查：若该边的差标签 $\rho_e$ 大于 $r$ 或为 $\infty$，则要求 $$ c_{u,r}=c_{v,r}; $$ 若 $\rho_e=r$，则要求 $$ c_{u,r}\ne c_{v,r}. $$ 若 $\rho_er}$ 的每个连通分量上为常值；第二类检查恰保证每条层商边两端颜色不同。于是这些逐边检查等价于为每个 $Q_r(J_3)$ 给出一个适当三着色。实际层至多 $m=O(N)$ 个，边至多 $m=O(N)$ 条；每次二进制标签比较处理的位数不超过输入中已经计入的 $N$，而读取证书中的一个颜色或符号只处理常数位再加至多 $O(\log N)$ 位的显式索引。即使用顺序表定位证书条目并把每次定位保守计为 $O(N^2)$ 位操作，全部至多 $O(m^2)$ 个层边检查仍是 $N$ 的固定次数多项式。因此验证器在实际输入位长与证书位长的多项式位时间内完成验证。 由定理 61.4 的构造，这些有限层颜色确实提升成一个共同 $3$ 进、甚至普通整数见证；$\infty$ 边因在所有实际层颜色相同而得到严格相等的差变量。故 $\mathrm{SPVAL}_3^\ast\in\mathrm{NP}$。第 1 条的固定有限标签子类已经 NP-hard，所以第 2 条成立。相同论证也表明，即使去掉 $\infty$ 而允许任意二进制有限深度，问题仍为 NP-complete。 最后固定有限 $D$ 且不允许 $\infty$。若 $m=0$，立即接受。若 $D=0$，所有边标签都是 $0$，取所有 $x_v=1$，因为 $$ v_3(1+1)=v_3(2)=0, $$ 所以每个实例都可实现。若 $D=1$，定理 61.7 的第一条正是边方程 $$ s_u+s_v=a_{uv}\pmod2. $$ 它可用定理 61.6 证明中同样的逐根、反复显式边表扫描在输入位长的多项式位时间内判定。若该方程可解，则仅由标签 $1$ 的边组成的任意圈长度必为偶数，因为圈上每条边都贡献 $1$ 而总和必须为零；故标签 $1$ 子图二部，从而可三着色。此时 $J_3$ 只有第零层，定理 61.7 的第二条自动满足，所以 $D=1$ 属于 $\mathrm P$；这也直接恢复 theorem 59.5 的 $p=3$ 零一标签结论。若 $D\ge2$，NP 成员性来自第 2 条，NP-hardness 来自第 1 条的 $\{1,2\}$ 子类；该子类的约束图已经二部。故第 3 条成立。证毕。 ## 61.99 追加锚 ## 62. 均匀有限残基目标的精确平均查询成本 **definition 62.1（均匀先验、零错误树与平均费用）。** 固定素数 $p$ 与整数 $e\ge0$，写 $$ X_{p,e}=\mathbb Z/p^e\mathbb Z. $$ 当 $e=0$ 时，$X_{p,0}$ 是单点集。对 $e\ge1$、$a,c\in X_{p,e}$ 定义完整多值答复 $$ h_c(a)=\max\{d\in\{0,\ldots,e\}:a\equiv c\pmod{p^d}\}. $$ 模 $p^0$ 的条件恒真，所以 $h_c(a)$ 总有定义；且 $$ h_c(a)=e\Longleftrightarrow a=c. $$ 一个确定性自适应零错误决策树在每一步依据此前全部答复选择中心 $c$；给定一条答复历史，其候选集是所有与该历史相容的 $a\in X_{p,e}$。树只在候选集成为单点时停止，并输出该唯一目标。令 $\tau_D(a)$ 为树 $D$ 在目标 $a$ 上的查询数。目标 $A$ 服从 $X_{p,e}$ 上的均匀分布，定义 $$ E(p,e)=\min_D\frac1{p^e}\sum_{a\in X_{p,e}}\tau_D(a). $$ 当 $e=0$ 时约定 $$ E(p,0)=0. $$ 这里的优化量词是“先固定一棵对所有目标零错误的树，再对均匀目标取平均”；它不同于 $$ \min_D\max_a\tau_D(a) $$ 的确定性最坏情形费用。 **definition 62.2（标准后验状态）。** 固定 $e\ge1$。对 $0\le d1$ 时存在。 若 $r\ge1$，则完整答复的全部后验恰为 $$ S_{k-1,r}, \qquad S_{p-1,s}\quad(0\le s\le r-1), \qquad \{c\}, $$ 其中第一项只在 $k>1$ 时出现。相应概率分别为 $$ \frac{k-1}{k}, \qquad \frac{(p-1)p^s}{kp^r}\quad(0\le s\le r-1), \qquad \frac1{kp^r}. $$ 更精确地，第一项对应答复 $d$；型别 $(p-1,s)$ 对应答复 $$ e-s-1; $$ 单点对应答复 $e$。因此从初始完整空间出发，无论采用何种确定性自适应中心选择，所有非空后验都保持在上述标准状态族中，或者已经是单点。 **证明。** 先设 $c\notin S_{k,r}$。若 $c$ 位于同一父球内但落在未激活的子球中，则每个活跃叶都在深度 $d$ 与 $c$ 共享前缀，并在下一位与 $c$ 分叉，所以 $$ h_c(a)=d $$ 对所有候选 $a$ 相同。若 $c$ 位于父球之外，则 $c$ 与父球中的所有叶在某个不超过 $d-1$ 的固定深度首次分叉；因为所有候选叶都共享父球的深度 $d$ 前缀，该首次分叉深度仍与具体 $a$ 无关。故候选集外的查询必为常值查询。 再设 $c\in S_{k,r}$。若目标 $a$ 位于另一个活跃子球，则 $a$ 与 $c$ 恰在父球后的第一位分叉，所以 $$ h_c(a)=d. $$ 这类叶共有 $$ (k-1)p^r $$ 个，并且它们仍恰组成其余 $k-1$ 个完整兄弟子球，因此条件后验是型别 $(k-1,r)$。 现在令目标位于 $C$ 中。若 $a=c$，则答复为 $e$，后验是单点。若 $a\ne c$，令 $$ t=h_c(a). $$ 因为二者都在 $C$ 中，有 $$ d+1\le t\le e-1. $$ 固定这样的 $t$，目标必须与 $c$ 在深度 $t$ 前缀相同，并在下一位取 $c$ 所取数字之外的其余 $p-1$ 个数字之一；之后的更低位任意。因此答复 $t$ 的纤维是 $p-1$ 个深度 $t+1$ 的完整兄弟子球之并，每个子球含 $$ p^{e-t-1} $$ 个叶。置 $$ s=e-t-1, $$ 便得到型别 $(p-1,s)$，其中 $0\le s\le r-1$，其叶数为 $$ (p-1)p^s. $$ 把这些叶数除以总候选数 $kp^r$ 得到声明中的概率。命中分支含一个叶，概率为 $1/(kp^r)$；外部活跃兄弟分支概率为 $(k-1)/k$。所有这些纤维互不相交，且其叶数总和为 $$ (k-1)p^r+\sum_{s=0}^{r-1}(p-1)p^s+1 = (k-1)p^r+(p^r-1)+1 = kp^r. $$ 故已经穷尽全部答复。条件于任一纤维后，原均匀分布仍在该纤维上均匀，所以标准状态族在后验更新下闭合。证毕。 **theorem 62.4（精确 Bellman 递推、唯一可解性与状态值）。** 对 $1\le k\le p$， $$ V_{k,0}=\frac{(k-1)(k+2)}{2k}. $$ 对每个 $r\ge1$ 与 $1\le k\le p$，有精确递推 $$ V_{k,r} = 1+\frac{k-1}{k}V_{k-1,r} +\frac1{kp^r} \sum_{s=0}^{r-1}(p-1)p^sV_{p-1,s}, $$ 其中当 $k=1$ 时省略含 $V_{0,r}$ 的项。这个递推按候选集大小严格下降，因而唯一决定全部有限状态值。进一步，对 $r\ge1$， $$ V_{k,r}=V_{1,r}+\frac{k-1}{2}, $$ 并且 $$ V_{1,r}=V_{p,r-1}. $$ 因此 $$ V_{p,r}=V_{p,r-1}+\frac{p-1}{2}\qquad(r\ge1). $$ **证明。** 先处理 $r=0$。型别 $(1,0)$ 已是单点，所以 $$ V_{1,0}=0. $$ 若 $k\ge2$，theorem 62.3 表明候选集外的查询恒定，可从任何决策树中删去而不损失信息；候选集内的任一查询都以概率 $1/k$ 直接命中，并以概率 $(k-1)/k$ 留下型别 $(k-1,0)$。故 $$ V_{k,0}=1+\frac{k-1}{k}V_{k-1,0}. $$ 乘以 $k$ 得 $$ kV_{k,0}=k+(k-1)V_{k-1,0}. $$ 从 $V_{1,0}=0$ 递推， $$ kV_{k,0} = \sum_{j=2}^k j = \frac{k(k+1)}2-1 = \frac{(k-1)(k+2)}2, $$ 于是 $$ V_{k,0}=\frac{(k-1)(k+2)}{2k}. $$ 再设 $r\ge1$。候选集外的中心只产生常值答复，所以在最优树中可删去。对任一候选中心，theorem 62.3 已给出所有答复分支及其精确概率。命中分支无需继续查询，其余分支的最优剩余费用分别为 $V_{k-1,r}$ 与 $V_{p-1,s}$。因此一次查询的条件期望恰为 $$ 1+\frac{k-1}{k}V_{k-1,r} +\frac1{kp^r} \sum_{s=0}^{r-1}(p-1)p^sV_{p-1,s}. $$ 任意候选中心在树自同构下具有相同分支大小与型别，所以没有另一个候选中心能给出不同的 Bellman 值。这证明递推既是上界也是下界。 递推右侧每个非终止状态都比 $kp^r$ 更小：若 $k>1$， $$ (k-1)p^r1. $$ 令各局部目标 $$ A_p\in X_{p,e_p} $$ 相互独立且均匀；等价地，CRT 合成的全局剩余类在 $\mathbb Z/M\mathbb Z$ 上均匀。一次全局查询同时选择每个坐标的中心 $$ c_p\in X_{p,e_p}, $$ 并返回完整向量 $$ \bigl(h_{c_p}(A_p)\bigr)_{p\mid M}. $$ 由于 CRT，任意这样的中心向量都可由一个模 $M$ 的整数中心同时实现。记这种全局模型中确定性自适应零错误策略的最小期望轮数为 $$ E_{\rm CRT}(M). $$ 对每个局部坐标，令 $$ F_{p,e}(t)=\Pr(T_{p,e}\le t), $$ 其中 $T_{p,e}$ 具有 theorem 62.8 的最优分布，并置 $$ K=\max_{p\mid M}e_p(p-1). $$ 则对每个整数 $t\ge0$，任意全局确定性自适应零错误策略在 $t$ 轮内完成全部坐标的概率至多为 $$ \prod_{p\mid M}F_{p,e_p}(t), $$ 而把各局部最优候选叶策略逐轮并行并用 CRT 合成中心时恰好达到该值。因此跨素数坐标的自适应耦合不能改进任何有限时域成功概率，特别不能改进期望停止时间。精确地， $$ E_{\rm CRT}(M) = \sum_{t=0}^{K-1} \left( 1-\prod_{p\mid M}F_{p,e_p}(t) \right). $$ 若 $M=1$，则定义 $$ E_{\rm CRT}(1)=0. $$ 例如 $$ M=12=2^2\cdot3 $$ 时， $$ F_{2,2}(1)=\frac12, \qquad F_{3,1}(1)=\frac13, \qquad K=2, $$ 所以 $$ E_{\rm CRT}(12) = 1+\left(1-\frac16\right) = \frac{11}{6}. $$ 这里 $$ \max\bigl(E(2,2),E(3,1)\bigr) = \frac53 < \frac{11}{6}, $$ 说明全局平均值是停止时间最大值的期望，而不能仅由局部平均值取最大得到。 **证明。** 先证明任意历史后的后验仍为局部后验的直积。初始分布按假设是 $$ \prod_{p\mid M}{\rm Unif}(X_{p,e_p}). $$ 假设某一历史后，条件分布已经是 $$ \prod_{p\mid M}{\rm Unif}(S_p), $$ 其中每个 $S_p$ 是局部标准状态或单点。给定该历史后，下一中心向量 $(c_p)_p$ 已经确定。观察到答复向量 $(y_p)_p$ 后，条件候选集恰为 $$ \prod_{p\mid M} \{a_p\in S_p:h_{c_p}(a_p)=y_p\}. $$ 原条件密度在直积上为常数，而答复约束逐坐标分解，所以新的条件分布仍是这些局部纤维上的均匀分布之直积。theorem 62.3 又保证每个非空局部纤维仍是标准状态或单点。由归纳，所有历史都保持这一乘积结构。特别地，全局候选集成为单点当且仅当每个局部候选集都成为单点。 现在固定一个局部标准状态 $s$，把 theorem 62.7 的有限时域最优值写成 $$ H_p(s,t). $$ 对一个全局状态向量 $$ \mathbf s=(s_p)_{p\mid M}, $$ 令 $$ J(\mathbf s,t) $$ 为从该乘积均匀后验出发在至多 $t$ 个全局轮次内全部定位成功的最大概率。因为 CRT 允许每一轮任意独立指定全部局部中心，全局动作集合正是局部动作集合的笛卡尔积。又因为给定当前乘积后验与中心向量后，各坐标答复条件独立，下一状态转移核也是局部转移核的乘积。 对 $t=0$，全局成功指标就是各局部成功指标的乘积，所以 $$ J(\mathbf s,0) = \prod_{p\mid M}H_p(s_p,0). $$ 假设对 $t-1$ 已有 $$ J(\mathbf s',t-1) = \prod_{p\mid M}H_p(s_p',t-1) $$ 对全部后继状态成立。对当前一轮的中心向量 $(c_p)_p$，按全部答复向量求和，并使用转移概率与归纳式的乘积结构，得到 $$ \sum_{\mathbf y} \prod_{p\mid M} P_p(y_p\mid s_p,c_p) \prod_{p\mid M} H_p(s_p'(y_p),t-1) $$ 等于 $$ \prod_{p\mid M} \left( \sum_{y_p} P_p(y_p\mid s_p,c_p) H_p(s_p'(y_p),t-1) \right). $$ 再对中心向量取最大值。由于动作集合是完整直积，且每个因子非负， $$ \max_{(c_p)_p} \prod_{p\mid M}G_p(c_p) = \prod_{p\mid M}\max_{c_p}G_p(c_p). $$ 因此 $$ J(\mathbf s,t) = \prod_{p\mid M}H_p(s_p,t). $$ 这完成对 $t$ 的归纳。该 Bellman 分解已经允许每个 $c_p$ 依赖整个既有全局历史，所以它同时排除了跨坐标自适应耦合的潜在改进。 从初始完整状态出发，theorem 62.7 与 theorem 62.8 给出 $$ H_p(X_{p,e_p},t)=F_{p,e_p}(t), $$ 故最大 $t$ 轮成功概率就是 $$ \prod_{p\mid M}F_{p,e_p}(t). $$ 逐坐标运行固定的局部最优策略时，每个局部停止时间只依赖自己的独立目标坐标，因此这些停止时间相互独立；全局停止时间就是它们的最大值，故该并行策略确实达到上述乘积概率。由于同一个策略对每个 $t$ 同时达到最大完成概率，它在一阶随机意义下优于任意其他全局策略。 最优局部停止时间满足 $$ T_{p,e_p}\le e_p(p-1), $$ 所以并行全局停止时间至多为 $K$。对取值于非负整数的停止时间，尾和恒等式给出 $$ \mathbb E[T] = \sum_{t\ge0}\Pr(T>t). $$ 代入最优全局分布，并注意 $t\ge K$ 后全部 $F_{p,e_p}(t)=1$，得到 $$ E_{\rm CRT}(M) = \sum_{t=0}^{K-1} \left( 1-\prod_{p\mid M}F_{p,e_p}(t) \right). $$ 随机化全局策略也不能改进：在每个 Bellman 状态随机选择中心只会形成各确定性动作值的凸组合，不会超过其最大值；等价地，也可逐随机种子应用 theorem 62.7 的有限目标混合论证。 最后对 $M=12$，theorem 62.8 给出 $$ \mathbb E[z^{T_{2,2}}] = z\frac{1+z}{2}, \qquad \mathbb E[z^{T_{3,1}}] = \frac{z+2z^2}{3}. $$ 因此两个局部过程都最迟在两轮结束，且一轮内同时结束的概率为 $$ \frac12\cdot\frac13=\frac16. $$ 所以全局期望为 $$ 1+\frac56=\frac{11}{6}. $$ 局部均值由 theorem 62.5 分别为 $3/2$ 与 $5/3$，从而得到声明中的严格不等式。证毕。 ## 62.99 追加锚 ## 63. 严格正加权先验下的有限残基查询、子树调度与有限时域分离 **definition 63.1（加权有限残基模型与 $p$ 叉剩余类树）。** 固定素数 $p$ 与整数 $e\ge 0$，写 $$ X_{p,e}=\mathbb Z/p^e\mathbb Z. $$ 给定严格正有理先验 $$ \mu:X_{p,e}\longrightarrow\mathbb Q_{>0}, \qquad \sum_{a\in X_{p,e}}\mu(a)=1. $$ 当 $e\ge1$ 时，一次中心查询 $c\in X_{p,e}$ 返回 $$ h_c(a)=\max\{d\in\{0,\ldots,e\}:a\equiv c\pmod{p^d}\}. $$ 策略必须对每个叶 $a\in X_{p,e}$ 零错误终止。若其停止查询数为 $\tau_D(a)$，定义 $$ E_\mu(p,e)=\min_D\sum_{a\in X_{p,e}}\mu(a)\tau_D(a), $$ 并约定 $$ E_\mu(p,0)=0. $$ 对 $0\le d\le e$ 及模 $p^d$ 的剩余类 $b$，令 $$ B(b,d)=\{a\in X_{p,e}:a\equiv b\pmod{p^d}\}. $$ 称其为深度 $d$ 的节点；深度 $d1$ 个叶，所以全是非叶。证毕。 **definition 63.4（未归一化最优费用）。** 对任意可达非空状态 $S$，定义 $$ K(S)=\min_D\sum_{a\in S}\mu(a)\tau_D(a), $$ 其中查询数从当前状态重新计数，策略必须对 $S$ 中每个叶零错误。对空集约定 $$ K(\varnothing)=0. $$ 若 $S=S(B,I)$，也写 $$ K(B,I)=K(S(B,I)). $$ 若 $C$ 是一个完整节点，则写 $$ K(C)=K(C\text{ 的全部叶}). $$ 单点叶 $L$ 满足 $$ K(L)=0. $$ 因为根质量为 $1$， $$ E_\mu(p,e)=K(X_{p,e}). $$ 而对任意非空状态 $S$，其最小条件期望剩余费用为 $$ \frac{K(S)}{m(S)}. $$ **theorem 63.5（首步精确递推与进入查询只计一次）。** 设当前兄弟状态为 $$ S(B,I),\qquad M=m(S(B,I)). $$ 若 $I$ 中孩子全为非叶，则 $$ K(B,I) = \min_{C\in I} \left( K(C)+K(B,I\setminus\{C\})+M-m(C) \right). $$ 特别地，当 $I=\{C\}$ 时， $$ K(B,\{C\})=K(C). $$ 已经知道目标位于唯一剩余孩子时，不需要额外支付一次“进入该孩子”的查询。 若 $I$ 中孩子全为叶，则 $$ K(B,I)=0 $$ 当 $|I|=1$，而当 $|I|\ge2$ 时， $$ K(B,I) = \min_{C\in I} \left( M+K(B,I\setminus\{C\}) \right). $$ **证明。** theorem 63.3 表明候选集外查询为常值。删除这种查询不会改变后续任何可用信息，却严格减少所有候选目标的查询数，所以最优树的首个查询中心必在当前状态中。 先设活跃孩子全为非叶。任取首中心 $c\in C\in I$。若真实目标不在 $C$，首答复必为父深度，整块 $C$ 被排除；这部分质量 $$ M-m(C) $$ 中的每个目标已经支付一次查询，随后至少还需最优费用 $$ K(B,I\setminus\{C\}). $$ 若真实目标在 $C$，则从首问 $c$ 开始并继续原策略，正构成一棵对完整子树 $C$ 零错误的策略。它在 $C$ 上的未归一化费用已经包含这同一次首查询，因此至少为 $$ K(C), $$ 而不是 $$ m(C)+K(C). $$ 故任何以 $C$ 为首个被检查孩子的策略费用至少为 $$ K(C)+K(B,I\setminus\{C\})+M-m(C). $$ 反之，固定 $C$，取一棵达到 $K(C)$ 的内部最优树，并把它的第一中心作为全局首中心。若答复为父深度，则转入达到 $$ K(B,I\setminus\{C\}) $$ 的树；若答复更深，则该答复本身就是内部最优树的第一答复，直接接上相应内部分支，不重复查询第一中心。于是恰达到上式。对 $C$ 取最小即得第一递推。 若活跃孩子全为叶，首中心 $c$ 自身就是一个叶。无论目标是否等于它，全部质量 $M$ 都支付这一次查询；命中时终止，未命中时剩余状态为 $I\setminus\{c\}$。因此首步费用恰为 $$ M+K(B,I\setminus\{c\}), $$ 对首叶取最小即得第二递推。只剩一个叶时已经由排除法确定目标，无需查询。证毕。 **theorem 63.6（均值最优的加权兄弟调度规则）。** 设 $$ I=\{C_1,\ldots,C_k\}, \qquad m_j=m(C_j). $$ 若这些孩子全为非叶，把它们按 $$ m_1\ge m_2\ge\cdots\ge m_k $$ 重新编号，则 $$ K(B,I) = \sum_{j=1}^k K(C_j) + \sum_{j=1}^k (j-1)m_j. $$ 因此存在均值最优策略按孩子总质量非增顺序检查它们；任意相邻严格逆序 $$ m_iy$ 时严格更优。连续消除逆序便得到非增质量顺序及第一公式。 叶情形中，若按某个顺序查询前 $k-1$ 个叶，则第 $j$ 个被查询叶在其为目标时支付 $j$ 次查询，而唯一未查询叶在前 $k-1$ 次全部失败后由排除法确定，也支付 $k-1$ 次。因此位置费用系数恰为 $$ 1,2,\ldots,k-2,k-1,k-1. $$ 把较大质量配给较小系数的交换论证与上面相同；最后两个系数相等，所以二者可任意交换。这给出第二公式。theorem 63.3 已经排除了同一兄弟状态中叶孩子与非叶孩子混合的第三种情况。证毕。 **theorem 63.7（自底向上的精确均值算法、首中心刻画与显式输入复杂度）。** 对任意节点 $B$，令 $$ \operatorname{ht}(B)=e-\operatorname{depth}(B). $$ 若 $\operatorname{ht}(B)=0$，则 $$ K(B)=0. $$ 若 $\operatorname{ht}(B)=1$，把其 $p$ 个叶孩子质量按 $$ m_1\ge\cdots\ge m_p $$ 排序，则 $$ K(B) = \sum_{j=1}^{p-2}j\,m_j + (p-1)(m_{p-1}+m_p). $$ 若 $\operatorname{ht}(B)\ge2$，把其 $p$ 个孩子按总质量 $$ m(C_1)\ge\cdots\ge m(C_p) $$ 排序，则 $$ K(B) = \sum_{j=1}^pK(C_j) + \sum_{j=1}^p(j-1)m(C_j). $$ 从叶向根计算这些量即得到 $$ E_\mu(p,e)=K(X_{p,e}). $$ 等价地，令每个内部节点的局部调度贡献为 $$ L(B)= \begin{cases} \displaystyle \sum_{j=1}^{p-2}j\,m_j+(p-1)(m_{p-1}+m_p), &\operatorname{ht}(B)=1,\\ \displaystyle \sum_{j=1}^p(j-1)m(C_j), &\operatorname{ht}(B)\ge2, \end{cases} $$ 其中每一行都按上面的非增质量顺序编号。则 $$ E_\mu(p,e)=\sum_{B\text{ 为内部节点}}L(B). $$ 第一中心也可完全刻画。若 $e=1$ 且 $p\ge3$，可取一个最大质量叶；若 $e=1$ 且 $p=2$，两个叶任取其一。若 $e\ge2$，从根开始，每逢剩余高度至少为 $2$，下降到总质量最大的孩子；到达剩余高度 $1$ 的父节点后，若 $p\ge3$，选其最大质量叶作为中心，若 $p=2$，两个叶任取其一。质量并列时任取一个最大者。收到答复后，对 theorem 63.3 给出的新兄弟状态重复 theorem 63.6 的规则，得到一棵对每个叶零错误的均值最优树。 对显式叶表 $N=p^e$ 而言，全部节点质量可用 $O(N)$ 次有理加法自底向上求得；每个内部节点只需排序至多 $p$ 个孩子，故有理比较次数为 $$ O(N\log p). $$ 这是关于显式叶数 $N$ 的界。它不把 $N=p^e$ 隐去，因此不是关于 $e$ 或 $\log p$ 的多项式输入结论；精确位复杂度还必须计入给定有理数的编码长度。 当所有叶均匀，即 $$ \mu(a)=p^{-e}, $$ 时本定理独立给出 $$ E_\mu(p,e) = \frac{(p-1)(pe+2)}{2p} \qquad(e\ge1). $$ **证明。** 前三条自底向上公式分别是单点边界和 theorem 63.6 对完整 $p$ 个孩子的直接应用。对高度至少 $2$ 的节点，递推中的 $\sum_jK(C_j)$ 继续展开；每个非根内部节点的 $K$ 恰在其父节点中出现一次，因此最终每个内部节点只留下自己的局部调度贡献 $L(B)$，得到总和式。 首中心的刻画也由 theorem 63.6 递归得到。高度至少 $2$ 时，首个被检查孩子可取为最大总质量孩子；全局第一查询必须同时是该孩子内部最优树的第一查询，所以继续下降。到高度 $1$ 时，叶调度系数为 $$ 1,2,\ldots,p-2,p-1,p-1. $$ 若 $p\ge3$，最小系数 $1$ 应配给最大叶质量；若 $p=2$，两个系数都为 $1$。每个失败答复只删除一个完整兄弟孩子，每个成功进入答复同时成为内部树的第一答复，所以拼接后的树逐状态达到 theorem 63.5 的等号并零错误终止。 完整 $p$ 叉树有 $$ \frac{N-1}{p-1} $$ 个内部节点。每个内部节点合并 $p$ 个孩子质量，总加法数为线性级；对每个内部节点排序 $p$ 个数需 $O(p\log p)$ 次比较，而 $$ \frac{N-1}{p-1}\,p\log p=O(N\log p). $$ 所有运算都在输入有理数的精确和与比较上进行。这里显式保留 $N$，所以没有把指数大小的叶表误写成关于深度的多项式算法。 最后设先验均匀。高度 $1$ 的每个节点含 $p$ 个质量均为 $1/N$ 的叶，其局部贡献为 $$ \frac1N \left( \sum_{j=1}^{p-2}j+2(p-1) \right) = \frac{(p-1)(p+2)}{2N}. $$ 这种节点有 $N/p$ 个，所以最底内部层总贡献为 $$ \frac{(p-1)(p+2)}{2p}. $$ 高度 $h\ge2$ 的任一节点，其每个孩子质量为 $p^{h-1}/N$，故局部贡献为 $$ \frac{p^{h-1}}N\sum_{j=1}^p(j-1) = \frac{p^h(p-1)}{2N}. $$ 高度 $h$ 的节点有 $N/p^h$ 个，因此每个高度层 $h=2,\ldots,e$ 总贡献都是 $$ \frac{p-1}{2}. $$ 相加得到 $$ \frac{(p-1)(p+2)}{2p} + (e-1)\frac{p-1}{2} = \frac{(p-1)(pe+2)}{2p}. $$ 证毕。 **theorem 63.8（最高单叶概率可以是严格失优的第一中心）。** 取 $$ p=2,\qquad e=2, $$ 并按剩余类 $0,1,2,3$ 给出先验 $$ \mu(0)=\frac{13}{50}, \qquad \mu(1)=\frac{12}{25}, \qquad \mu(2)=\frac14, \qquad \mu(3)=\frac1{100}. $$ 则 $\mu(1)=12/25$ 是唯一最大的单叶质量，但任何以 $1$ 为第一中心的策略都严格劣于以 $0$ 或 $2$ 为第一中心的最优延拓。 更精确地，根的两个孩子为 $$ E=\{0,2\}, \qquad O=\{1,3\}, $$ 且 $$ m(E)=\frac{51}{100}, \qquad m(O)=\frac{49}{100}. $$ 固定第一中心后的最优期望值恰为 $$ A(c)= \begin{cases} \displaystyle\frac{149}{100},&c\in E,\\ \displaystyle\frac{151}{100},&c\in O. \end{cases} $$ **证明。** 每个根孩子都含两个叶。对一个二叶状态，一次查询任一叶即可区分两叶，所以 $$ K(E)=m(E)=\frac{51}{100}, \qquad K(O)=m(O)=\frac{49}{100}. $$ 若第一中心在 $E$，由 theorem 63.5， $$ A(c) = K(E)+K(O)+m(O) = \frac{51+49+49}{100} = \frac{149}{100}. $$ 若第一中心在 $O$，同理 $$ A(c) = K(O)+K(E)+m(E) = \frac{49+51+51}{100} = \frac{151}{100}. $$ 唯一最大单叶 $1$ 位于总质量较轻的 $O$ 中，因此它严格失优，差值为 $$ \frac1{50}. $$ 证毕。 **definition 63.9（未归一化有限时域成功质量）。** 对任意可达状态 $S$ 与整数 $t\ge0$，定义 $$ Q(S,t) = \max_D \sum_{a\in S} \mu(a)\mathbf 1_{\{\tau_D(a)\le t\}}, $$ 其中最大值取遍最终对 $S$ 中每个叶零错误终止的确定性策略。对 $t<0$ 约定 $$ Q(S,t)=0. $$ 若 $S$ 是单点叶 $L$，则对所有 $t\ge0$， $$ Q(L,t)=m(L). $$ 若 $S$ 非单点，则 $$ Q(S,0)=0. $$ 对兄弟状态写 $Q(B,I;t)=Q(S(B,I),t)$，对完整节点 $C$ 写 $Q(C,t)$。因为动作集与状态集有限，以上最大值均达到，并且所有 $Q$ 值仍为有理数。 **theorem 63.10（有限时域的精确指派递推与多项式状态压缩）。** 设 $$ S(B,I),\qquad I=\{C_1,\ldots,C_k\}. $$ 若这些孩子全为叶，并按 $$ m(C_1)\ge\cdots\ge m(C_k) $$ 编号，则 $k=1$ 时 $$ Q(B,I;t)=m(C_1) $$ 对所有 $t\ge0$；而 $k\ge2$ 时 $$ Q(B,I;t)= \begin{cases} \displaystyle\sum_{j=1}^{t}m(C_j),&0\le tt). $$ 而每个 $t$ 都有 $$ \Pr(T>t) \ge 1-J(t). $$ 截取到 $K_0-1$ 得到声明中的下界。若某一策略在下界上取等，则所有这些非负逐项差以及 $K_0$ 以后的尾概率都必须为零；反之，若这些等号同时成立且 $K_0$ 后无尾，则尾和恰等于该下界。这证明取等刻画。theorem 63.11 的单坐标实例说明点态固定时域最大值不能总由同一策略实现，因此乘积公式本身不能推出加权均值公式；上述同时时域取等条件只是一项足以使该尾和下界取等的附加条件，而不是任意全局均值最优性证明的必要条件。证毕。 ## 63.99 追加锚 ## 63.100--63.104 随机种子、完整公共历史与 CRT 闭包附录 **definition 63.100（附引模型校正：EDGE、NODE 与本节查询模型的严格区分）。** 为消除相关文献之间对“节点查询”一词的不同用法，本附录固定如下大写术语。 设 $T=(V,E)$ 是有限树，隐藏目标为 $x\in V$。 1. **EDGE 模型**：查询一条边 $e\in E$，答复指出 $x$ 位于 $T\setminus e$ 的哪一个连通分支。若 $T$ 已根化，$e=(\operatorname{par}(u),u)$，则这个二值查询等价于询问 $$ x\in T_u\ ? $$ 其中 $T_u$ 是以 $u$ 为根的后代子树。因此把边 $e=(\operatorname{par}(u),u)$ 仅用其下端点 $u$ 编号，并把查询写成“目标是否在 $u$ 的子树中”，仍然是 EDGE 查询，而不是下面的 NODE 查询。 2. **NODE 模型**：查询一个顶点 $u\in V$；若 $x=u$，答复直接命中，否则答复指出 $x$ 位于森林 $$ T\setminus\{u\} $$ 的哪一个连通分支。此查询一般有 $\deg(u)+1$ 种可能答复，与上面的二值 EDGE 查询不同。 Onak 与 Parys 在 *Generalization of Binary Search: Searching in Trees and Forest-Like Partial Orders* 中明确同时区分 edge-query 与 vertex-query 两个模型，主文献为 [FOCS 2006, DOI 10.1109/FOCS.2006.32](https://doi.org/10.1109/FOCS.2006.32)。 Cicalese、Jacobs、Laber、Molinaro 的平均费用树搜索工作的会议版 *On the Complexity of Searching in Trees: Average-case Minimization* 以 EDGE 查询为主模型，主文献为 [ICALP 2010, DOI 10.1007/978-3-642-14165-2_45](https://doi.org/10.1007/978-3-642-14165-2_45)。其扩展期刊版 *On the complexity of searching in trees and partially ordered structures* 把根化后的边查询用下端点 $u$ 编号，并写成“目标是否位于以 $u$ 为根的子树中”；在本附录固定的大写术语下，这仍是 EDGE 模型的根化表示，而不是删除 $u$ 后返回连通分支的 NODE 模型。期刊主文献为 [Theoretical Computer Science 412 (2011), DOI 10.1016/j.tcs.2011.08.042](https://doi.org/10.1016/j.tcs.2011.08.042)。 其余附引的模型范围固定如下。 Dagan、Filmus、Gabizon、Moran 的 *Twenty (Simple) Questions* 研究已知加权先验下的二值二十问及受限问题族；其无约束平均费用基准由 Huffman 编码给出。主文献为 [STOC 2017, DOI 10.1145/3055399.3055422](https://doi.org/10.1145/3055399.3055422)。 Hu 与 Tucker 的 *Optimal Computer Search Trees and Variable-Length Alphabetical Codes* 研究固定叶顺序下的最小加权路径长字母序二叉树。主文献为 [SIAM Journal on Applied Mathematics 21 (1971), DOI 10.1137/0121057](https://doi.org/10.1137/0121057)。 Afshani、Agrawal、Benjamin Doerr、Carola Doerr、Larsen、Mehlhorn 的 *The Query Complexity of a Permutation-Based Variant of Mastermind* 的隐藏对象为二进制串与隐藏坐标置换之对 $(z,\pi)$，查询返回相对于该隐藏置换的最长公共前缀长度；这与本节固定已知 $p$ 叉层级上的单一隐藏剩余类不同。主文献为 [Discrete Applied Mathematics 260 (2019), DOI 10.1016/j.dam.2019.01.007](https://doi.org/10.1016/j.dam.2019.01.007)。 theorem 63.10 使用的有限最大权一一指派问题，是 Kuhn 与 Munkres 的标准 assignment problem：Kuhn, *The Hungarian Method for the Assignment Problem*, [Naval Research Logistics Quarterly 2 (1955), DOI 10.1002/nav.3800020109](https://doi.org/10.1002/nav.3800020109)；Munkres, *Algorithms for the Assignment and Transportation Problems*, [Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics 5 (1957), DOI 10.1137/0105003](https://doi.org/10.1137/0105003)。 上述文献只界定邻近模型及标准指派子问题；theorem 63.3--63.12 的完整前缀深度纤维、兄弟状态递推、加权调度及 CRT 固定时域公式均按本节所给模型和证明解释。 **证明。** 唯一需要核对的模型等价是根化 EDGE 表示。设 $$ e=(\operatorname{par}(u),u). $$ 删除 $e$ 后恰得到两个连通分支，其中一个正是 $T_u$，另一个是 $$ V\setminus T_u. $$ 故询问删除 $e$ 后目标在哪一侧，与二值询问 $$ x\in T_u\ ? $$ 完全等价。 另一方面，删除顶点 $u$ 后，若 $$ N(u)=\{v_1,\ldots,v_{\deg(u)}\}, $$ 则 $T\setminus\{u\}$ 一般有 $\deg(u)$ 个连通分支，再加上答复 $x=u$，NODE 查询一般具有 $\deg(u)+1$ 个结果。因此它不能与上述二值 EDGE 查询混同。证毕。 **definition 63.101（独立随机种子、冻结策略与完整公共历史）。** 保持 definition 63.1 与 assumption 63.2 的严格正有限模型，写 $$ X=X_{p,e}, \qquad A\sim\mu. $$ 取任意概率空间 $$ (\Omega,\mathcal F,\nu), $$ 令随机种子 $$ R\sim\nu $$ 与隐藏目标 $A$ 独立。 一个随机自适应策略 $\Pi$ 的全部随机性均由 $R$ 给出。对每个种子 $\omega\in\Omega$ 和每个已经观察到的完整公共历史，下一动作由 $\Pi$ 确定，动作只能是 $$ \operatorname{query}(c), \qquad c\in X, $$ 或 $$ \operatorname{stop}(\widehat a), \qquad \widehat a\in X. $$ 所有有限值动作映射均假定可测。冻结种子 $\omega$ 后得到一个确定性策略，记为 $$ D_\omega. $$ 若第 $j$ 次查询中心为 $C_j$，则答复为 $$ Y_j=h_{C_j}(A). $$ 停止前实际执行的查询数记为 $$ \tau=\tau_\Pi(A,R)\in\mathbb N\cup\{\infty\}. $$ 称 $\Pi$ 为随机零错误终止策略，如果 $$ \Pr\bigl(\tau<\infty \ \text{且最终输出等于 }A\bigr)=1. $$ 对整数 $n\ge0$，一个长度为 $n$ 的完整已答查询迹写成 $$ h=(c_1,y_1;\ldots;c_n,y_n). $$ “完整”在这里特别意味着每个已经选择的查询中心 $c_j$ 与其答复 $y_j$ 都被记录，而不只记录答复。定义其目标纤维 $$ S(h) = \bigcap_{j=1}^n \{a\in X:h_{c_j}(a)=y_j\}, $$ 并约定 $$ S(\varnothing)=X. $$ 定义种子重放集 $W(h)\subseteq\Omega$ 如下：$\omega\in W(h)$ 当且仅当冻结策略 $D_\omega$ 从空历史选择 $c_1$，并且对每个 $$ 1\le j0, $$ 则擦除随机种子以后，目标的条件后验仍恰为原先验在 $S(h)$ 上的限制： $$ \Pr(A=a\mid H_n=h) = \frac{\mu(a)\mathbf 1_{\{a\in S(h)\}}}{\mu(S(h))}. $$ 而且对任意可测 $$ B\in\mathcal F $$ 都有 $$ \Pr(A=a,\ R\in B\mid H_n=h) = \frac{\mu(a)\mathbf 1_{\{a\in S(h)\}}}{\mu(S(h))} \, \frac{\nu(B\cap W(h))}{\nu(W(h))}. $$ 所以给定完整历史后，隐藏目标与随机种子再次条件独立，其两边分别是 $$ \mu(\,\cdot\mid S(h)) $$ 与 $$ \nu(\,\cdot\mid W(h)). $$ 同样的结论对显式停止历史成立： $$ \Pr\bigl(H_n=h,\operatorname{stop}(\widehat a)\mid A=a\bigr) = \mathbf 1_{\{a\in S(h)\}} \nu(W_\downarrow(h,\widehat a)), $$ 以及对显式继续到下一中心 $c$ 成立： $$ \Pr\bigl(H_n=h,\operatorname{query}(c)\mid A=a\bigr) = \mathbf 1_{\{a\in S(h)\}} \nu(W_\rightarrow(h,c)). $$ 只要相应事件具有正概率，其种子擦除后验仍是 $$ \mu(\,\cdot\mid S(h)). $$ 特别地，若一个停止历史 $$ (h,\operatorname{stop}(\widehat a)) $$ 具有正概率，则必有 $$ S(h)=\{\widehat a\}. $$ 最后，对每个非空完整历史纤维 $S(h)$，theorem 63.3 仍适用： $$ S(h) $$ 要么是单点，要么是某个兄弟状态 $$ S(B,I). $$ 故 theorem 63.3 的后验闭包不仅对每个冻结种子成立；在这里完整记录查询中心与答复以后，擦除随机种子仍保持同一个兄弟状态闭包。不存在由种子擦除本身造成的不同兄弟支撑混合。 **证明。** 对每个目标 $a\in X$，定义坏种子集合 $$ N_a = \{\omega: D_\omega\text{ 在目标 }a\text{ 下不有限零错误终止}\}. $$ 随机零错误终止给出 $$ 0 = \Pr\bigl(\tau=\infty \text{ 或最终输出}\ne A\bigr) = \sum_{a\in X}\mu(a)\nu(N_a). $$ 由于 $$ \mu(a)>0 $$ 对每个 $a\in X$ 都成立，且各项均非负，必有 $$ \nu(N_a)=0 \qquad \text{对所有 }a\in X. $$ 集合 $X$ 有限，因此 $$ \Omega_\star = \bigcap_{a\in X}N_a^c $$ 满足 $$ \nu(\Omega_\star)=1. $$ 对每个 $\omega\in\Omega_\star$，冻结策略 $D_\omega$ 同时对全部 $a\in X$ 有限零错误终止。这证明第一部分。 现固定 $$ h=(c_1,y_1;\ldots;c_n,y_n) $$ 与目标 $a$。若 $$ a\notin S(h), $$ 则存在某个 $j$ 使 $$ h_{c_j}(a)\ne y_j. $$ 由于答复是隐藏目标与已选中心的确定函数，事件 $H_n=h$ 不可能发生，故 $$ \Pr(H_n=h\mid A=a)=0. $$ 以下设 $$ a\in S(h). $$ 于是只要策略依次选择记录中的中心 $$ c_1,\ldots,c_n, $$ 它看到的答复就必然依次为 $$ y_1,\ldots,y_n. $$ 在第一个查询以前，策略选择什么中心只依赖种子。看到第一个记录答复以后，第二中心只依赖同一个种子与记录历史 $$ (c_1,y_1). $$ 继续归纳，第 $j+1$ 个中心只依赖同一个种子与已经固定的公共历史 $$ (c_1,y_1;\ldots;c_j,y_j). $$ 这些记录对于每一个 $$ a\in S(h) $$ 完全相同。因此使策略依次选择 $$ c_1,\ldots,c_n $$ 的种子集合恰为 definition 63.101 中的 $W(h)$，且它与具体选择哪一个 $$ a\in S(h) $$ 无关。 所以逐点有事件恒等式 $$ \{\omega:H_n=h\text{ 在目标 }a\text{ 下发生}\} = \begin{cases} W(h),&a\in S(h),\\ \varnothing,&a\notin S(h). \end{cases} $$ 取 $\nu$ 测度即得 $$ \Pr(H_n=h\mid A=a) = \mathbf 1_{\{a\in S(h)\}}\nu(W(h)). $$ 再乘以独立目标先验 $\mu(a)$ 得 $$ \Pr(A=a,H_n=h) = \mu(a)\mathbf 1_{\{a\in S(h)\}}\nu(W(h)). $$ 对 $a$ 求和， $$ \Pr(H_n=h) = \mu(S(h))\nu(W(h)). $$ 若此量为正，则 $$ \mu(S(h))>0, \qquad \nu(W(h))>0. $$ Bayes 公式于是给出 $$ \Pr(A=a\mid H_n=h) = \frac{ \mu(a)\mathbf 1_{\{a\in S(h)\}}\nu(W(h)) }{ \mu(S(h))\nu(W(h)) } = \frac{\mu(a)\mathbf 1_{\{a\in S(h)\}}}{\mu(S(h))}. $$ 这里最关键的是：乘子 $$ \nu(W(h)) $$ 在全部 $a\in S(h)$ 上完全相同，因而不能仅从一个形式上的一般 Bayes 公式推断该乘子会随目标变化。 更一般地，对任意 $B\in\mathcal F$， $$ \Pr(A=a,R\in B,H_n=h) = \mu(a)\mathbf 1_{\{a\in S(h)\}} \nu(B\cap W(h)). $$ 除以 $$ \mu(S(h))\nu(W(h)) $$ 即得到 $$ \Pr(A=a,R\in B\mid H_n=h) = \frac{\mu(a)\mathbf 1_{\{a\in S(h)\}}}{\mu(S(h))} \frac{\nu(B\cap W(h))}{\nu(W(h))}. $$ 这正是给定完整历史后的条件乘积分解。 若在 $h$ 后还记录 $$ \operatorname{stop}(\widehat a), $$ 则在已经证明的种子集合 $W(h)$ 内再与事件 $$ D_\omega(h)=\operatorname{stop}(\widehat a) $$ 相交即可。该额外条件仍只依赖种子和共同记录历史，不依赖哪一个 $$ a\in S(h) $$ 是真实目标。因此 $$ \Pr\bigl(H_n=h,\operatorname{stop}(\widehat a)\mid A=a\bigr) = \mathbf 1_{\{a\in S(h)\}} \nu(W_\downarrow(h,\widehat a)). $$ 继续查询中心 $c$ 的情形完全相同，得到 $$ \Pr\bigl(H_n=h,\operatorname{query}(c)\mid A=a\bigr) = \mathbf 1_{\{a\in S(h)\}} \nu(W_\rightarrow(h,c)). $$ 所以固定长度迹事件与可选停止历史都具有同一个目标纤维乘种子重放集的因子分解。 若停止事件 $$ E= \{H_n=h,\operatorname{stop}(\widehat a)\} $$ 有正概率，而存在 $$ b\in S(h),\qquad b\ne\widehat a, $$ 则严格正先验给出 $$ \mu(b)>0, $$ 而正事件概率迫使 $$ \nu(W_\downarrow(h,\widehat a))>0. $$ 于是 $$ \Pr(A=b,E) = \mu(b)\nu(W_\downarrow(h,\widehat a)) >0. $$ 在此事件上策略却输出 $\widehat a\ne b$，与随机零错误性矛盾。因此 $$ S(h)=\{\widehat a\}. $$ 最后，给定任何具体的中心与答复序列 $$ (c_1,y_1;\ldots;c_n,y_n), $$ 从根候选集开始逐次取答复纤维，正是 theorem 63.3 的确定性纤维更新过程；该论证只使用记录的中心和答复，不使用中心是如何随机选择出来的。因此每个非空 $S(h)$ 仍为单点或兄弟状态，条件后验是 $\mu$ 在该集合上的限制归一化。由于擦除种子后的后验支撑仍恰为同一个 $S(h)$，闭包同时对冻结种子和种子擦除历史成立。证毕。 **theorem 63.103（随机化不改善均值或固定时域极值；等号强迫几乎处处确定性极值与 63.11 分离）。** 在 definition 63.101 的模型下，对一个随机零错误终止策略 $\Pi$，令 $$ \tau_\omega(a) $$ 为冻结种子 $\omega$ 后在目标 $a$ 上的查询数，并定义 $$ M(\omega) = \sum_{a\in X}\mu(a)\tau_\omega(a), $$ 以及对每个整数 $t\ge0$， $$ R_t(\omega) = \sum_{a\in X} \mu(a)\mathbf 1_{\{\tau_\omega(a)\le t\}}. $$ 则 $$ \mathbb E[\tau] = \int_\Omega M(\omega)\,d\nu(\omega), $$ 且 $$ \Pr(\tau\le t) = \int_\Omega R_t(\omega)\,d\nu(\omega). $$ 记 $$ H_t=Q(X_{p,e},t). $$ 则对每个随机零错误终止策略都有 $$ \mathbb E[\tau]\ge E_\mu(p,e) $$ 以及 $$ \Pr(\tau\le t)\le H_t. $$ 两个界都可以由退化随机种子，也就是某一确定性最优策略，达到。因此 $$ \min_{\Pi\ {\rm randomized}} \mathbb E[\tau] = E_\mu(p,e), $$ 并且对每个 $t\ge0$， $$ \max_{\Pi\ {\rm randomized}} \Pr(\tau\le t) = H_t. $$ 随机化既不能改善线性的加权平均查询数，也不能改善任一固定时域的最大成功概率。 等号还具有强迫性。 若 $$ \mathbb E[\tau]=E_\mu(p,e), $$ 则 $$ M(\omega)=E_\mu(p,e) $$ 对 $\nu$-几乎处处的 $\omega$ 成立；也就是说，几乎每一个冻结策略本身都是确定性均值最优策略。 若对某个固定 $t$ 有 $$ \Pr(\tau\le t)=H_t, $$ 则 $$ R_t(\omega)=H_t $$ 对 $\nu$-几乎处处的 $\omega$ 成立；也就是说，几乎每一个冻结策略本身都是该固定时域的确定性最优策略。 更一般地，若一个随机策略同时达到有限多个固定时域 $$ t_1,\ldots,t_m $$ 的极值，并且可选地同时达到均值极值，则存在一个共同的满测种子集合，使该集合中的每一个冻结策略同时达到所有这些相应的确定性极值。 应用到 theorem 63.11 的精确先验， $$ p=2,\qquad e=3, $$ 有 $$ E_\mu(2,3)=\frac{38}{25}, \qquad H_1=\frac35, \qquad H_2=\frac{23}{25}. $$ theorem 63.11 还给出以下互斥首动作集合： $$ \mathcal C_{\rm mean} = \{3,7\}, $$ $$ \mathcal C_1 = \{3,7\}, $$ 而 $$ \mathcal C_2 \subseteq E = \{0,2,4,6\}, $$ 事实上任何两步最优策略的第一中心必须位于 $E$。 因此不存在随机零错误策略同时满足 $$ \mathbb E[\tau]=\frac{38}{25} $$ 和 $$ \Pr(\tau\le2)=\frac{23}{25}, $$ 也不存在随机零错误策略同时满足 $$ \Pr(\tau\le1)=\frac35 $$ 和 $$ \Pr(\tau\le2)=\frac{23}{25}. $$ 随机混合不能消除 theorem 63.11 的首动作冲突。 **证明。** 由 theorem 63.102，存在 $$ \Omega_\star\subseteq\Omega, \qquad \nu(\Omega_\star)=1, $$ 使每个 $$ \omega\in\Omega_\star $$ 都冻结为一个对全部目标有限零错误的确定性策略 $D_\omega$。 由于所有项非负，Tonelli 定理给出 $$ \begin{aligned} \mathbb E[\tau] &= \sum_{a\in X} \mu(a) \int_\Omega \tau_\omega(a)\,d\nu(\omega)\\ &= \int_\Omega \left( \sum_{a\in X}\mu(a)\tau_\omega(a) \right) d\nu(\omega)\\ &= \int_\Omega M(\omega)\,d\nu(\omega). \end{aligned} $$ 同样， $$ \begin{aligned} \Pr(\tau\le t) &= \sum_{a\in X}\mu(a) \int_\Omega \mathbf 1_{\{\tau_\omega(a)\le t\}} \,d\nu(\omega)\\ &= \int_\Omega R_t(\omega)\,d\nu(\omega). \end{aligned} $$ 对每个 $$ \omega\in\Omega_\star, $$ $D_\omega$ 是 definition 63.4 所允许的确定性零错误策略，所以 $$ M(\omega)\ge E_\mu(p,e). $$ 积分得到 $$ \mathbb E[\tau]\ge E_\mu(p,e). $$ 反之，取一棵达到 theorem 63.7 最小值的确定性策略，并令随机种子恒定，就达到 $$ E_\mu(p,e). $$ 同理，对每个 $$ \omega\in\Omega_\star, $$ $D_\omega$ 是 definition 63.9 中允许的最终零错误确定性策略，因此 $$ R_t(\omega) \le Q(X_{p,e},t) = H_t. $$ 积分给出 $$ \Pr(\tau\le t)\le H_t. $$ 取达到 $Q(X,t)$ 的确定性策略并使用退化种子，又达到等号。 若随机均值达到最小值，则在 $\Omega_\star$ 上非负函数 $$ M(\omega)-E_\mu(p,e) $$ 的积分为零： $$ \int_{\Omega_\star} \bigl(M(\omega)-E_\mu(p,e)\bigr) \,d\nu(\omega) = 0. $$ 因此 $$ M(\omega)=E_\mu(p,e) $$ 几乎处处。 若固定时域达到最大值，则非负函数 $$ H_t-R_t(\omega) $$ 积分为零，故 $$ R_t(\omega)=H_t $$ 几乎处处。 对于有限多个时域，每一个等号分别给出一个满测种子集合；与 $\Omega_\star$ 以及可选的均值等号集合取有限交，仍是满测集合。于是几乎每一个冻结策略同时达到所要求的全部确定性极值。 现取 theorem 63.11 的实例。若某随机策略均值最优，则几乎每个冻结策略都是确定性均值最优策略；theorem 63.11 强迫其第一中心属于 $$ \{3,7\}. $$ 若同一随机策略又两步最优，则几乎每个冻结策略又必须是确定性两步最优策略，其第一中心必须属于 $$ E=\{0,2,4,6\}. $$ 两个集合不交。两个相应满测种子集合的交仍为满测，因而不可能同时满足这两个互斥要求。这证明均值与两步极值不能同时达到。 一步与两步的论证相同：一步等号几乎处处强迫第一中心位于 $$ \{3,7\}, $$ 两步等号几乎处处强迫第一中心位于 $E$，故不存在同时达到两者的随机策略。证毕。 **theorem 63.104（随机 CRT 的完整历史矩形闭包、固定时域乘积极值与尾和下界）。** 保持 theorem 63.12 的有限 CRT 数据。即 $I$ 为非空有限集；对每个 $q\in I$， $$ X_q = \mathbb Z/p_q^{e_q}\mathbb Z, \qquad e_q\ge1, $$ 各 $p_q$ 两两不同，并带严格正先验 $$ \mu_q. $$ 全局隐藏目标 $$ A=(A_q)_{q\in I} $$ 服从独立直积先验 $$ \mu = \bigotimes_{q\in I}\mu_q. $$ 随机种子 $$ R\sim\nu $$ 与整个 $A$ 独立。 每轮全局查询中心由 CRT 等价地写成局部中心向量 $$ \mathbf c_j=(c_{j,q})_{q\in I}, $$ 答复向量为 $$ \mathbf y_j = \bigl(h_{c_{j,q}}(A_q)\bigr)_{q\in I}. $$ 对一个完整全局历史 $$ h= (\mathbf c_1,\mathbf y_1; \ldots; \mathbf c_n,\mathbf y_n), $$ 定义每个坐标的局部历史纤维 $$ S_q(h) = \bigcap_{j=1}^n \left\{ a_q\in X_q: h_{c_{j,q}}(a_q)=y_{j,q} \right\}. $$ 则全局目标纤维严格分解为矩形 $$ S(h) = \prod_{q\in I}S_q(h). $$ 设 $W(h)$ 为与 theorem 63.102 相同的完整历史种子重放集。则对任意 $$ \mathbf a=(a_q)_{q\in I} $$ 有 $$ \Pr(H_n=h\mid A=\mathbf a) = \mathbf 1_{\{\mathbf a\in S(h)\}} \nu(W(h)), $$ 以及 $$ \Pr(A=\mathbf a,H_n=h) = \left( \prod_{q\in I}\mu_q(a_q) \right) \mathbf 1_{\{\mathbf a\in S(h)\}} \nu(W(h)). $$ 因此只要 $$ \Pr(H_n=h)>0, $$ 擦除随机种子后的全局后验仍严格为直积： $$ \Pr(A=\mathbf a\mid H_n=h) = \prod_{q\in I} \frac{ \mu_q(a_q)\mathbf 1_{\{a_q\in S_q(h)\}} }{ \mu_q(S_q(h)) }. $$ 特别地，每个 $S_q(h)$ 由 theorem 63.3 是单点或局部兄弟状态；完整历史下随机种子的擦除不会产生坐标依赖。 对每个坐标定义 $$ F_q(t) = Q_q(X_q,t), $$ 并令 $$ J(t) = \prod_{q\in I}F_q(t). $$ 则即使允许任意共享随机种子和全局自适应随机策略，对每个固定整数 $t\ge0$，在 $t$ 轮内完成全部坐标的最大概率仍恰为 $$ J(t). $$ 也就是说， $$ \max_{\Pi\ {\rm randomized}} \Pr_\Pi(T\le t) = \prod_{q\in I}F_q(t). $$ 达到这个固定时域乘积不需要随机化：逐坐标取各自的 $t$ 时域确定性最优策略并行运行即可。 若某随机全局策略在固定 $t$ 达到 $$ \Pr(T\le t)=J(t), $$ 则对 $\nu$-几乎处处的种子，冻结后的确定性全局策略本身也在时域 $t$ 达到 $J(t)$。 随机化同样不能改善全局平均查询轮数。若 $$ E_{\rm CRT}^{\rm det} = \min_D\mathbb E[T_D] $$ 是所有确定性全局零错误策略的最小平均轮数，而 $$ E_{\rm CRT}^{\rm rand} = \min_\Pi\mathbb E[T_\Pi] $$ 是随机策略的最小平均轮数，则 $$ E_{\rm CRT}^{\rm rand} = E_{\rm CRT}^{\rm det}. $$ 这里并未把二者进一步等同于下面的固定时域尾和表达式。 令 $$ K_0 = \max_{q\in I}e_q(p_q-1). $$ 对任意随机全局零错误终止策略的整数停止时间 $T$， $$ \Pr(T\le t)\le J(t) $$ 对每个 $t\ge0$ 成立，因而 $$ \mathbb E[T] \ge \sum_{t=0}^{K_0-1} \left( 1- \prod_{q\in I}F_q(t) \right). $$ 这是随机策略同样必须满足的尾和**下界**。 更精确地，记 $$ L = \sum_{t=0}^{K_0-1}(1-J(t)). $$ 某个随机策略满足 $$ \mathbb E[T]=L $$ 当且仅当同时满足 $$ \Pr(T\le t)=J(t) \qquad (0\le tt). $$ 而固定时域界给出 $$ \Pr(T>t) = 1-\Pr(T\le t) \ge 1-J(t). $$ 因此截取前 $K_0$ 项， $$ \mathbb E[T] \ge \sum_{t=0}^{K_0-1}(1-J(t)) = L. $$ 为了刻画等号，直接写成非负项之和： $$ \begin{aligned} \mathbb E[T]-L &= \sum_{t=0}^{K_0-1} \left( \Pr(T>t)-(1-J(t)) \right) + \sum_{t=K_0}^{\infty}\Pr(T>t)\\ &= \sum_{t=0}^{K_0-1} \left( J(t)-\Pr(T\le t) \right) + \sum_{t=K_0}^{\infty}\Pr(T>t). \end{aligned} $$ 每一项都非负。因此 $$ \mathbb E[T]=L $$ 当且仅当 $$ \Pr(T\le t)=J(t) \qquad (0\le tt)=0 \qquad (t\ge K_0). $$ 后一组条件等价于 $$ \Pr(T\le K_0)=1. $$ 如果随机策略达到 $L$，则对每个有限的 $$ t=0,\ldots,K_0-1 $$ 都达到固定时域极值 $J(t)$。由已经证明的等号强迫性，每个 $t$ 对应一个满测种子集合，在其中冻结策略达到 $J(t)$。这些集合只有有限多个，与共同零错误满测集合取交以后仍为满测。因此几乎每一个该交集中的冻结确定性策略同时达到全部 $$ J(0),\ldots,J(K_0-1). $$ 这证明随机种子不能把互不兼容的时域极值分别分配给不同正测种子后再通过平均得到全部等号。 最后，把 theorem 63.11 的单坐标数据代入。此时 $$ K_0=e(p-1)=3, $$ 且 $$ J(0)=H_0=0, $$ $$ J(1)=H_1=\frac35, $$ $$ J(2)=H_2=\frac{23}{25}. $$ 故尾和下界为 $$ L = (1-0) + \left(1-\frac35\right) + \left(1-\frac{23}{25}\right) = 1+\frac25+\frac2{25} = \frac{37}{25}. $$ 另一方面 theorem 63.103 已证明随机化不改善该实例的均值最优值，所以 $$ \min_\Pi\mathbb E[T] = E_\mu(2,3) = \frac{38}{25}. $$ 于是 $$ L = \frac{37}{25} < \frac{38}{25}. $$ 这同时证明固定时域乘积闭包、完整历史后验乘积闭包与尾和下界均可成立，而点态时域极值仍不能被错误拼接成随机均值最优公式。证毕。 ## 63.199 追加锚 ## 64. CRT 并行下的局部均值最优失效、加权尾差与有限乘积 Bellman 精确反例 **definition 64.1（互素素数幂坐标的整向量单位费用查询）。** 固定整数 $r\ge2$。对每个 $$ i\in I=\{1,\ldots,r\}, $$ 取两两不同的素数 $p_i$ 与整数 $e_i\ge1$，并写 $$ m_i=p_i^{e_i}, \qquad X_i=\mathbb Z/m_i\mathbb Z. $$ 第 $i$ 个坐标带有严格正有理先验 $$ \mu_i:X_i\longrightarrow\mathbb Q_{>0}, \qquad \sum_{a\in X_i}\mu_i(a)=1, $$ 全部隐藏坐标按乘积先验独立抽取。对局部中心 $c_i\in X_i$，完整多值答复为 $$ h_{i,c_i}(a) = \max\{d\in\{0,\ldots,e_i\}:a\equiv c_i\pmod{p_i^d}\}. $$ 一次全局查询选择整个中心向量 $$ \mathbf c=(c_i)_{i\in I}\in\prod_{i\in I}X_i. $$ 因为各 $m_i$ 两两互素，中国剩余定理给出唯一的 $$ c\in\mathbb Z/M\mathbb Z, \qquad M=\prod_{i\in I}m_i, $$ 实现全部局部中心坐标；该轮返回整个答复向量 $$ \mathbf h_{\mathbf c}(\mathbf a) = \bigl(h_{i,c_i}(a_i)\bigr)_{i\in I}. $$ 每个整向量查询的费用恒为 $1$。确定性策略的下一中心向量可以依赖此前全部答复历史；策略必须对每个 $$ \mathbf a\in\prod_iX_i $$ 零错误终止。其全局停止轮数记为 $T$，从完整乘积先验开始的全局最优均值记为 $$ \mathcal E_{\mathrm{glob}} = \min_D\mathbb E[T]. $$ 单坐标独立运行的策略停止时间记为 $\tau_i$。本节只讨论上述无噪声、零错误、整向量单位费用模型。 **definition 64.2（实际可达矩形、辅助矩形初始任务、答复纤维与下降势）。** 对任一坐标 $i$ 的非空候选集 $S_i\subseteq X_i$，记 $$ m_i(S_i)=\sum_{a\in S_i}\mu_i(a). $$ 对中心 $c_i$ 与答复值 $d$，定义答复纤维 $$ S_i[c_i,d] = \{a\in S_i:h_{i,c_i}(a)=d\}. $$ 若非空纤维族 $$ \{S_i[c_i,d]:S_i[c_i,d]\ne\varnothing\} $$ 至少含两个集合，则称 $c_i$ 在 $S_i$ 上有信息。全局候选矩形写为 $$ \mathbf S=(S_i)_{i\in I}, \qquad \prod_iS_i\ne\varnothing. $$ 若每个 $S_i$ 都是单点，则称 $\mathbf S$ 终止。定义下降势 $$ \Phi(\mathbf S) = \sum_{i\in I}(|S_i|-1). $$ 从 definition 64.1 的完整根 $$ \mathbf X=(X_i)_{i\in I} $$ 开始，若某个正概率联合答复历史的逐坐标候选集恰为 $\mathbf S$，则称 $\mathbf S$ 为原任务的实际可达矩形。实际可达性只描述从该固定完整根出发的历史。 另外，对任意外部指定的非空矩形 $\mathbf S$，定义辅助矩形初始信息任务 $$ \mathsf P^\square(\mathbf S) $$ 如下：隐藏向量从 $\prod_iS_i$ 中抽取，其初始分布为各原先验在 $S_i$ 上限制并归一化后的乘积 $$ \nu_{\mathbf S}(\mathbf a) = \prod_{i\in I}\frac{\mu_i(a_i)}{m_i(S_i)}; $$ 此后允许的整向量查询、每轮费用、完整多值答复、自适应规则与零错误终止要求全部与 definition 64.1 相同，只要求在该初始矩形内辨认隐藏向量。记其最优期望剩余轮数为 $$ V^\square(\mathbf S) = \min_D\mathbb E_{\nu_{\mathbf S}}[T_D]. $$ 辅助矩形无需由完整根的任何历史到达；它只是同一查询模型上外部给定初始信息的有限任务。对非终止 $\mathbf S$，记 $$ \mathcal A(\mathbf S) $$ 为所有中心向量 $\mathbf c$，使每个满足 $|S_i|>1$ 的坐标都在 $S_i$ 上采用有信息中心；单点坐标的中心任意。 **theorem 64.3（实际历史的乘积后验与辅助矩形族上的完整有限 Bellman 递推）。** 从完整根 $\mathbf X$ 出发的每个正概率历史后，条件后验都是各坐标原先验在当前候选集上的限制再归一化之乘积。 更一般地，对 definition 64.2 的每个辅助矩形初始任务 $\mathsf P^\square(\mathbf S)$，若 $\Phi(\mathbf S)=0$，则 $$ V^\square(\mathbf S)=0. $$ 若 $\Phi(\mathbf S)>0$，则 $$ V^\square(\mathbf S) = 1+ \min_{\mathbf c\in\mathcal A(\mathbf S)} \sum_{\mathbf d} \left( \prod_{i\in I} \frac{m_i(S_i[c_i,d_i])}{m_i(S_i)} \right) V^\square\bigl((S_i[c_i,d_i])_{i\in I}\bigr), $$ 其中求和只遍历全部坐标纤维均非空的答复向量 $\mathbf d$。对 $\mathcal A(\mathbf S)$ 中任一动作及任一非空答复分支，都有 $$ \Phi\bigl((S_i[c_i,d_i])_i\bigr)<\Phi(\mathbf S). $$ 所有最小值都达到。该递推既适用于原任务实际可达矩形，也适用于未必实际可达的辅助矩形；在实际可达矩形上，它精确给出允许依赖全部跨坐标历史的任意确定性全局策略的条件最优剩余期望。 **证明。** 先证明实际历史的后验结论。完整根先验是乘积。假设某一正概率历史后的后验已经是 $$ \prod_i\frac{\mu_i|_{S_i}}{m_i(S_i)}. $$ 给定该历史以后，确定性策略的下一中心向量已经确定。答复向量 $\mathbf d$ 的事件恰是矩形 $$ \prod_iS_i[c_i,d_i]. $$ 在乘积概率上对正概率矩形条件化，仍得到各边缘限制并归一化后的乘积。因此对历史长度归纳，声明成立。 同一论证从任意外部给定的 $\nu_{\mathbf S}$ 开始也成立，所以辅助矩形任务的每个后继分支仍属于同一辅助矩形族，且分支概率为 $$ \prod_i\frac{m_i(S_i[c_i,d_i])}{m_i(S_i)}. $$ 若 $S_i$ 非单点，任取 $c_i\in S_i$。目标等于 $c_i$ 时答复为 $e_i$，而任一另一个候选 $a\ne c_i$ 的答复严格小于 $e_i$，所以至少有两个非空答复纤维；因此每个未解坐标都有有信息中心。 现固定任意确定性零错误策略 $D$，只考察它在某个非终止辅助矩形 $\mathbf S$ 的第一动作。若该动作在某个未解坐标 $i$ 上的答复在 $S_i$ 中为常值，则把该坐标中心替换成任一有信息中心。原中心的答复常值已由 $\mathbf S$ 和原中心确定，故新策略在第一轮后可以忽略替换坐标所得的额外细分，把原来的常值答复与未替换坐标的真实答复送入 $D$ 的后继决策，并从此逐轮模拟 $D$。互素模的中国剩余定理保证每个修改后的中心向量仍由一个模 $M$ 的全局中心实现。这样得到的策略与 $D$ 对每个隐藏向量具有相同的停止轮数和最终输出。逐一替换全部未解但无信息的坐标后，得到第一动作属于 $\mathcal A(\mathbf S)$ 的策略 $D'$，且 $$ \mathbb E[T_{D'}]=\mathbb E[T_D]. $$ 因此对任意策略做 Bellman 下界时，可以先作此第一动作正规化；这里尚未预设最优动作存在。 若 $\mathbf c\in\mathcal A(\mathbf S)$，每个未解坐标的有信息划分至少有两个非空纤维，所以该坐标的每个非空纤维都是真子集；单点坐标保持单点。因此每个非空答复分支的 $\Phi$ 都严格下降。 现在对 $\Phi$ 归纳。终止状态费用为零。假设所有更小势的辅助矩形已经证明递推且其最小值达到。取当前状态的任意策略 $D$，先按上一段把第一动作正规化为某个 $\mathbf c\in\mathcal A(\mathbf S)$ 而不改变费用。对每个正概率答复分支，归纳假设给出该分支的后继期望至少为相应的 $V^\square$。故 $$ \mathbb E[T_D] \ge 1+ \sum_{\mathbf d} \left( \prod_i\frac{m_i(S_i[c_i,d_i])}{m_i(S_i)} \right) V^\square\bigl((S_i[c_i,d_i])_i\bigr), $$ 从而任意 $D$ 都不低于声明右侧的最小值。 反过来，$\mathcal A(\mathbf S)$ 是有限非空集合，所以其右侧有限个数中存在最小者。取一个达到该最小值的中心向量，并在每个更小势的分支采用归纳假设中达到 $V^\square$ 的策略，便构成达到右侧的零错误策略。于是等式成立且当前最小值达到。归纳完成。 在原任务的实际可达矩形上，第一段已经证明当前条件分布正是 $\nu_{\mathbf S}$；任意更长历史只是在同一候选矩形之外携带已经被条件化掉的信息，而未来答复律和任务要求均由当前矩形及该乘积分布确定。因此上述 $V^\square$ 正是该实际历史的条件最优剩余期望。辅助矩形则只使用同一有限递推，不宣称存在对应的原始历史。证毕。 **theorem 64.4（固定独立并行策略的加权 CDF 比较与严格反转条件）。** 在同一个有限单坐标任务上取两个确定性零错误策略 $\pi,\rho$，停止时间分别为 $X_\pi,X_\rho$。另取一个与该隐藏坐标独立的伴随任务及固定确定性策略，停止时间为 $Y$。把两边策略彼此独立运行，并以两者都完成时作为全局完成时刻。取共同整数上界 $H$，使三个停止时间都不超过 $H$，并写 $$ F_\pi(t)=\Pr(X_\pi\le t), \qquad F_\rho(t)=\Pr(X_\rho\le t), \qquad G(t)=\Pr(Y\le t), $$ 以及 $$ D(t)=F_\pi(t)-F_\rho(t). $$ 则 $$ \mathbb E[X_\rho]-\mathbb E[X_\pi] = \sum_{t=0}^{H-1}D(t), $$ 而 $$ \mathbb E[\max(X_\pi,Y)] - \mathbb E[\max(X_\rho,Y)] = -\sum_{t=0}^{H-1}G(t)D(t). $$ 因此若 $$ \sum_{t=0}^{H-1}D(t)>0 $$ 但 $$ \sum_{t=0}^{H-1}G(t)D(t)<0, $$ 则 $\pi$ 的单坐标均值严格优于 $\rho$，而与该伴随策略并行后，$\rho$ 的全局完成均值严格优于 $\pi$。反之，若 $$ D(t)\ge0 $$ 对全部 $t$ 成立，则任何独立伴随停止时间都不能使 $\rho$ 在期望最大值上反超 $\pi$。特别地，若 $\pi$ 在单坐标均值上严格优于 $\rho$ 而并行后发生严格反转，则必有某些时域 $t,u$ 使 $$ D(t)>0, \qquad D(u)<0. $$ 所以 CDF 的交叉是这种固定策略反转的必要条件，但交叉本身不是充分条件；精确符号由伴随 CDF 的权重 $G(t)$ 决定。 本定理只比较两组固定的独立并行策略，不把这个比较提升为任意跨坐标自适应策略的全局最优性结论；后者由 theorem 64.3 的乘积 Bellman 递推决定。 **证明。** 对任一取非负整数值且不超过 $H$ 的停止时间 $Z$， $$ \mathbb E[Z] = \sum_{t=0}^{H-1}\Pr(Z>t). $$ 故 $$ \mathbb E[X_\rho]-\mathbb E[X_\pi] = \sum_{t=0}^{H-1} \bigl(F_\pi(t)-F_\rho(t)\bigr) = \sum_{t=0}^{H-1}D(t). $$ 独立运行给出 $$ \Pr(\max(X_\pi,Y)\le t) = F_\pi(t)G(t), $$ 以及对 $\rho$ 的同式。因此再次用尾和公式， $$ \mathbb E[\max(X_\pi,Y)] - \mathbb E[\max(X_\rho,Y)] = \sum_{t=0}^{H-1} G(t)\bigl(F_\rho(t)-F_\pi(t)\bigr), $$ 即声明中的加权等式。两个严格符号条件直接给出反转。若所有 $D(t)\ge0$，则因所有 $G(t)\ge0$， $$ -\sum_tG(t)D(t)\le0, $$ 故 $\pi$ 的并行期望最大值不大于 $\rho$。若两个局部停止时间都至少为 $1$，取一个恒有 $Y=1$ 的独立伴随停止时间，则 $D(0)=0$ 且对所有 $t\ge1$ 都有 $G(t)=1$，所以加权和与未加权和同号；这给出发生 CDF 交叉但并不由交叉本身强制产生反转的情形。证毕。 **definition 64.5（$8\times3$ 的严格正有理反例）。** 取两个非平凡互素素数幂坐标 $$ X_A=\mathbb Z/8\mathbb Z, \qquad X_B=\mathbb Z/3\mathbb Z. $$ 在 $X_A$ 上按剩余类 $0,\ldots,7$ 给定 $$ \bigl(\mu_A(0),\ldots,\mu_A(7)\bigr) = \frac1{200}(25,10,23,42,25,10,23,42), $$ 在 $X_B$ 上取均匀先验 $$ \mu_B(0)=\mu_B(1)=\mu_B(2)=\frac13. $$ 两坐标独立，所以联合空间由 CRT 识别为 $$ \mathbb Z/24\mathbb Z \cong \mathbb Z/8\mathbb Z\times\mathbb Z/3\mathbb Z. $$ 在 $X_A$ 中记四个模 $4$ 的底层二叶块为 $$ P_0=\{0,4\}, \qquad P_1=\{2,6\}, \qquad P_2=\{1,5\}, \qquad P_3=\{3,7\}. $$ 它们的质量分别为 $$ m(P_0)=\frac14, \qquad m(P_1)=\frac{23}{100}, \qquad m(P_2)=\frac1{10}, \qquad m(P_3)=\frac{21}{50}. $$ 两个奇偶子树为 $$ E=P_0\cup P_1, \qquad O=P_2\cup P_3, $$ 且 $$ m(E)=\frac{12}{25}, \qquad m(O)=\frac{13}{25}. $$ 全部二十四个联合叶的先验都严格为正有理数。 **theorem 64.6（两个局部任务的全部均值最优分布与一个严格次优替代策略）。** 对 definition 64.5 的 $A$ 坐标，单独运行时的最小期望查询数为 $$ E_A^{\min}=\frac{181}{100}. $$ 任一局部均值最优策略的第一中心都必须属于 $P_3=\{3,7\}$；所有局部均值最优策略具有同一停止时间 CDF $$ F_{\mathrm{mean}}(0)=0, \qquad F_{\mathrm{mean}}(1)=\frac{21}{50}, \qquad F_{\mathrm{mean}}(2)=\frac{77}{100}, \qquad F_{\mathrm{mean}}(t)=1\quad(t\ge3). $$ 另有一个固定局部策略 $\rho$：第一中心取 $0\in P_0$；若第一答复为 $0$，说明目标在 $O$，第二中心取 $3\in P_3$；若第一答复为 $1$，说明目标在 $P_1$，第二中心取 $2$；若第二步在 $O$ 中排除 $P_3$，第三中心取 $1\in P_2$。其停止时间 CDF 为 $$ F_\rho(0)=0, \qquad F_\rho(1)=\frac14, \qquad F_\rho(2)=\frac9{10}, \qquad F_\rho(t)=1\quad(t\ge3), $$ 且 $$ \mathbb E[\tau_\rho]=\frac{37}{20}>\frac{181}{100}. $$ 对 $B$ 坐标，任一局部均值最优策略都有 $$ E_B^{\min}=\frac53, $$ 并且其 CDF 为 $$ G(0)=0, \qquad G(1)=\frac13, \qquad G(t)=1\quad(t\ge2). $$ **证明。** 在 $A$ 坐标中，同一个 $P_j$ 的两个叶相差 $4$。若当前已知目标位于该二叶块，选择块中任一叶作为中心就是有信息查询：两个可能目标分别返回深度 $3$ 与深度 $2$，所以一轮把该二叶块完全辨认。任何常值中心当然不能比这一轮下界更优。 若已经知道目标位于一个由两个底层块 $P,Q$ 组成的奇偶子树，且两块绝对质量分别为 $x,y$，先查询 $P$ 中的中心，则目标落在 $P$ 时本轮即完成，落在 $Q$ 时本轮只把 $Q$ 确定为剩余二叶块，还需一轮。因此条件期望为 $$ 1+\frac{y}{x+y}. $$ 故在 $E$ 中应先查较重的 $P_0$，在 $O$ 中应先查较重的 $P_3$，并得到 $$ V_A(E) = 1+\frac{23/100}{12/25} = \frac{71}{48}, $$ $$ V_A(O) = 1+\frac{1/10}{13/25} = \frac{31}{26}. $$ 现在固定根的第一中心所属底层块。若第一中心在某个块 $P$，令 $Q$ 为同奇偶子树中的另一底层块，令 $D$ 为另一奇偶子树。第一轮以后，目标在 $P$ 时已经完全确定；目标在 $Q$ 时还需恰一轮；目标在 $D$ 时还需最优条件期望 $V_A(D)$。所以固定四类第一块后的最小总期望分别为 $$ C(P_0) = 1+\frac{23}{100} +\frac{13}{25}\frac{31}{26} = \frac{37}{20}, $$ $$ C(P_1) = 1+\frac14 +\frac{13}{25}\frac{31}{26} = \frac{187}{100}, $$ $$ C(P_2) = 1+\frac{21}{50} +\frac{12}{25}\frac{71}{48} = \frac{213}{100}, $$ $$ C(P_3) = 1+\frac1{10} +\frac{12}{25}\frac{71}{48} = \frac{181}{100}. $$ 四个数严格比较给出 $$ C(P_3)0, $$ 这正对应 $$ \mathbb E[\tau_\rho]-\mathbb E[\tau_\pi] = \frac1{25}. $$ 伴随 $B$ 坐标的 CDF 权重为 $$ G(1)=\frac13, \qquad G(2)=1. $$ 因此 $$ G(1)D(1)+G(2)D(2) = \frac{17}{300}-\frac{13}{100} = -\frac{11}{150}<0. $$ theorem 64.4 于是给出严格并行反转。直接写出尾和也得到 $$ \mathbb E[T_{\mathrm{loc}}] = 1+ \left( 1-\frac{21}{50}\frac13 \right) + \left( 1-\frac{77}{100} \right) = \frac{209}{100}, $$ 而 $$ \mathbb E[T_\rho] = 1+ \left( 1-\frac14\frac13 \right) + \left( 1-\frac9{10} \right) = \frac{121}{60}. $$ theorem 64.6 已证明所有 $A$ 局部均值最优策略共享同一 CDF，所有 $B$ 局部均值最优策略也共享同一 CDF，所以这里排除的是全部局部均值最优并行组合，而不是某一个任意代表。证毕。 **theorem 64.8（该 $8\times3$ 反例的相关辅助矩形表与实际根的完整全局 Bellman 最优值）。** 对 definition 64.5 的联合任务，即使允许每一轮的两个局部中心都依赖此前全部联合答复历史，从完整根开始的实际全局最优期望仍精确为 $$ \mathcal E_{\mathrm{glob}} = \frac{121}{60}. $$ 因此 theorem 64.7 的固定独立并行策略 $\rho$ 与任一 $B$ 局部均值最优策略已经达到完整跨坐标自适应问题的全局最优值；本例不存在由跨坐标耦合相对于所有独立策略所产生的严格改进。 为计算并同时区分实际历史与辅助初始信息，令 $$ R=X_A, $$ 并置 $$ \mathscr S_A = \{R,E,O,P_0,P_1,P_2,P_3,\{0\},\ldots,\{7\}\}, $$ $$ \mathscr S_B = \{K:\varnothing\ne K\subseteq X_B\}. $$ 故 $$ |\mathscr S_A|=15, \qquad |\mathscr S_B|=7. $$ 从完整根 $(R,X_B)$ 出发的实际可达矩形恰为 $$ \mathscr R_{\mathrm{hist}} = \{(R,X_B)\} \cup \bigl((\mathscr S_A\setminus\{R\}) \times (\mathscr S_B\setminus\{X_B\})\bigr), $$ 所以共有 $$ 1+14\cdot6=85 $$ 个。definition 64.2 的辅助矩形族包含这里的整个有限闭合子族 $$ 15\cdot7=105 $$ 个矩形；在这 $105$ 个矩形中有 $20$ 个并非原任务历史后验。 由于 $B$ 的原先验均匀，且模 $3$ 的查询在平移下对称，对任意 $S\in\mathscr S_A$ 与任意 $K\in\mathscr S_B$，辅助值 $$ V^\square(S,K) $$ 只依赖 $K$ 的大小。令 $$ W(S,k)=V^\square(S,K) \qquad \text{当 }|K|=k,\quad k\in\{1,2,3\}. $$ 这个记号定义在辅助矩形初始任务上，不以原任务可达性为前提。 对任一 $A$ 单点 $\ast$， $$ W(\ast,1)=0, \qquad W(\ast,2)=1, \qquad W(\ast,3)=\frac53. $$ 对任一底层二叶块 $P_j$， $$ W(P_j,1)=W(P_j,2)=1, \qquad W(P_j,3)=\frac53. $$ 两个奇偶子树满足 $$ W(E,1)=W(E,2)=\frac{71}{48}, \qquad W(E,3)=\frac{263}{144}, $$ $$ W(O,1)=W(O,2)=\frac{31}{26}, \qquad W(O,3)=\frac{45}{26}. $$ 在 $A$ 根状态 $R$ 上， $$ W(R,1)=W(R,2)=\frac{181}{100}, $$ 而 $$ W(R,3)=\frac{121}{60}. $$ 其中 $W(R,3)$ 是原任务实际根值；$W(R,1)$、$W(R,2)$ 以及所有 $S\ne R$ 时的 $W(S,3)$ 都是辅助初始矩形值，不是从原完整根到达的历史后验。其余上表中 $S\ne R$ 且 $k\in\{1,2\}$ 的状态均有实际可达代表。 当 $k=3$ 时，按第一轮 $A$ 中心所属底层块 $P_j$ 分类，实际根的四类 Bellman 首步值恰为 $$ B_3(P_0)=\frac{121}{60}, \qquad B_3(P_1)=\frac{607}{300}, $$ $$ B_3(P_2)=\frac{659}{300}, \qquad B_3(P_3)=\frac{209}{100}. $$ 所以完整根的全局最优第一轮必须在 $A$ 坐标选择 $P_0=\{0,4\}$ 中的中心；$B$ 坐标第一中心因均匀性可任取。 **证明。** 先确定原任务的实际可达集。对任一 $A$ 根中心 $c_A$，四种可能答复分别给出：答复 $0$ 是与 $c_A$ 奇偶性相反的四叶奇偶子树；答复 $1$ 是与 $c_A$ 同奇偶但不同模 $4$ 类的二叶块；答复 $2$ 是单点 $c_A+4$；答复 $3$ 是单点 $c_A$。因此根的每个第一答复纤维都是真子集，并且恰落在 $$ \mathscr S_A\setminus\{R\}. $$ 这些状态在继续与任意答复纤维相交后仍留在 $\mathscr S_A$。反过来，$E,O$、四个 $P_j$ 和八个单点都可作为某个根中心的正概率第一答复纤维。 对 $B$ 根的任一中心 $c_B$，答复 $1$ 给单点 $\{c_B\}$，答复 $0$ 给其余两个点组成的二候选集；所以每个正长度历史都有 $B$ 的真子集，而六个非空真子集都可在第一轮到达。由于所有联合叶先验严格为正，而且 CRT 允许任意局部中心对同时实现，任意 $$ S_A\in\mathscr S_A\setminus\{R\}, \qquad S_B\in\mathscr S_B\setminus\{X_B\} $$ 都可作为同一个正概率第一轮联合答复矩形。集合随后只会缩小。故实际可达集恰是声明的 $\mathscr R_{\mathrm{hist}}$，计数为 $85$；上述 $105$ 个辅助矩形闭合子族中剩余的 $20$ 个正是 $$ (R,K),\quad K\ne X_B, $$ 以及 $$ (S,X_B),\quad S\ne R. $$ theorem 64.3 的 Bellman 证明并不要求辅助矩形实际可达，所以现在可以合法计算全部 $W(S,k)$。同时，$B$ 上任意两个同样大小的非空候选集由模 $3$ 平移互相映射，均匀限制先验和答复规则在此平移下保持，因此 $V^\square(S,K)$ 只依赖 $|K|$。 若 $A$ 已经是单点，$B$ 候选数为 $1,2,3$ 时的最优值依次为 $$ 0,\quad1,\quad1+\frac23=\frac53. $$ 若 $A$ 是任一底层二叶块，下述“一轮解决”均指选择该块内部的有信息中心；块外某些中心可能在该二叶块上给常值答复，但 theorem 64.3 的第一动作正规化表明它们无须进入最小化。一轮有信息 $A$ 查询必然把该二叶块完全解决。与 $k=2$ 的有信息 $B$ 查询同轮进行时，两个坐标都在该轮解决，所以值为 $1$；与 $k=3$ 的 $B$ 同轮查询时，概率 $1/3$ 同时完成，概率 $2/3$ 只剩一个二候选 $B$ 状态，故值为 $$ 1+\frac23=\frac53. $$ 这证明前两组边界值，包括其中只属于辅助族的 $k=3$ 项。 现设 $A$ 状态是两个底层块之并，质量分别为 $x$ 与 $y$，总质量为 $s=x+y$。若先查询质量为 $x$ 的块中的有信息中心，则目标在该块时第一轮已经把 $A$ 解决；目标在另一块时第一轮后只剩一个二叶块。若 $k=1$，首步后继期望为 $$ 1+\frac{y}{s}. $$ 若 $k=2$，选择当前二候选 $B$ 中的有信息中心会在同一第一轮把 $B$ 完全解决，因此仍为 $$ 1+\frac{y}{s}. $$ 若 $k=3$，第一轮的 $B$ 查询以概率 $1/3$ 命中、以概率 $2/3$ 留下二候选。目标在被先查的 $A$ 块时，第一轮后 $A$ 已解，故后继 $B$ 期望为 $2/3$；目标在另一 $A$ 块时，无论 $B$ 已解还是剩二候选，下一轮都可同时解决该二叶 $A$ 块与尚未解决的 $B$。因此首步值为 $$ 1+\frac{2x/3+y}{x+y}. $$ 若改为先查质量为 $y$ 的块，则两值之差为 $$ \left(1+\frac{2x/3+y}{x+y}\right) - \left(1+\frac{2y/3+x}{x+y}\right) = \frac{y-x}{3(x+y)}. $$ 所以当 $x>y$ 时仍应先查较重块。对 $$ E=P_0\cup P_1 $$ 代入 $$ x=\frac14, \qquad y=\frac{23}{100} $$ 得到 $$ W(E,1)=W(E,2) = 1+\frac{23/100}{12/25} = \frac{71}{48}, $$ $$ W(E,3) = 1+ \frac{2(1/4)/3+23/100}{12/25} = \frac{263}{144}. $$ 对 $$ O=P_3\cup P_2 $$ 代入 $$ x=\frac{21}{50}, \qquad y=\frac1{10} $$ 得到 $$ W(O,1)=W(O,2) = 1+\frac{1/10}{13/25} = \frac{31}{26}, $$ $$ W(O,3) = 1+ \frac{2(21/50)/3+1/10}{13/25} = \frac{45}{26}. $$ 最后处理 $A$ 根 $R$ 的三个辅助 $B$ 大小。固定第一轮 $A$ 中心位于某个底层块 $P$。令其质量为 $p$，同奇偶子树中的另一底层块质量为 $q$，另一整个奇偶子树记为 $D$，质量为 $d$。若 $k=1$，目标在 $P$ 时首轮即解决；目标在同侧的 $Q$ 时后继只需一轮；目标在 $D$ 时后继最优值为 $W(D,1)$。所以 $$ B_1(P)=1+q+dW(D,1). $$ 若 $k=2$，第一轮在 $B$ 的二候选集中使用有信息中心会同时把 $B$ 完全解决，故 $$ B_2(P)=1+q+dW(D,1)=B_1(P). $$ 代入四个块得到 $$ B_1(P_0)=B_2(P_0)=\frac{37}{20}, $$ $$ B_1(P_1)=B_2(P_1)=\frac{187}{100}, $$ $$ B_1(P_2)=B_2(P_2)=\frac{213}{100}, $$ $$ B_1(P_3)=B_2(P_3)=\frac{181}{100}. $$ 因此辅助值为 $$ W(R,1)=W(R,2)=\frac{181}{100}. $$ 这些并不是原完整根的历史后验值。 若 $k=3$，这一次 $(R,X_B)$ 正是原任务实际根。第一轮的 $B$ 查询命中概率为 $1/3$。目标在首查块 $P$ 时，$A$ 已解，后继值平均为 $$ \frac13\cdot0+\frac23\cdot1=\frac23. $$ 目标在同侧另一底层块 $Q$ 时，后继无论 $B$ 是单点还是二候选都等于 $1$。目标在另一奇偶子树 $D$ 时，由已经证明的 $$ W(D,1)=W(D,2), $$ 后继值与 $B$ 第一轮是否命中无关。因此 $$ B_3(P) = 1+\frac23p+q+dW(D,1). $$ 对四个 $P_j$ 分别代入： $$ B_3(P_0) = 1+\frac23\frac14+\frac{23}{100} +\frac{13}{25}\frac{31}{26} = \frac{121}{60}, $$ $$ B_3(P_1) = 1+\frac23\frac{23}{100}+\frac14 +\frac{13}{25}\frac{31}{26} = \frac{607}{300}, $$ $$ B_3(P_2) = 1+\frac23\frac1{10}+\frac{21}{50} +\frac{12}{25}\frac{71}{48} = \frac{659}{300}, $$ $$ B_3(P_3) = 1+\frac23\frac{21}{50}+\frac1{10} +\frac{12}{25}\frac{71}{48} = \frac{209}{100}. $$ 其中 $$ \frac{121}{60} < \frac{607}{300} < \frac{209}{100} < \frac{659}{300}. $$ 根的每个 $A$ 中心恰属于四个底层块之一；同一块中的两个中心具有相同分支质量与状态转移。$B$ 根先验均匀，所以三个第一中心也完全对称。四类已经穷尽 theorem 64.3 对实际根正规化后的所有 Bellman 首步动作，故 $$ W(R,3) = V^\square(R,X_B) = \mathcal E_{\mathrm{glob}} = \frac{121}{60}. $$ 取 $A$ 的固定策略 $\rho$，并在 $B$ 上按任意顺序逐叶查询。第一轮使用 $P_0$。若 $A$ 第一答复落入 $O$，则 $B$ 此时已经是单点或二候选，而下一轮在 $A$ 中查询 $P_3$ 正是上面 $W(O,1)=W(O,2)$ 的最优动作；若落入 $P_1$，下一轮查询该二叶块中的有信息中心并同时完成尚未完成的 $B$；若落入 $P_0$，只需继续完成 $B$。因此这一固定独立并行策略逐分支达到上述实际根 Bellman 值 $121/60$。结合 theorem 64.3 的全策略下界，任何依赖完整联合历史的耦合策略都不能更低。证毕。 **theorem 64.9（辅助矩形族上的乘积初始信息不使均值 Bellman 按坐标分解）。** 在 definition 64.5 的同一反例中，考虑 definition 64.2 外部指定的辅助矩形初始任务 $$ (R,K), \qquad \varnothing\ne K\subseteq X_B. $$ 这些任务的初始分布均为相应归一化限制的乘积。若 $$ |K|\in\{1,2\}, $$ 则 $A$ 根状态的唯一最优底层块类型是 $$ P_3, $$ 而若 $$ |K|=3, $$ 则唯一最优底层块类型是 $$ P_0. $$ 因此，在整个辅助矩形 Bellman 家族上，$A$ 坐标的最优首动作不能只由 $A$ 的当前边缘状态 $R$ 决定；伴随 $B$ 的未完成状态会改变期望最大停止时间的最优块类型。特别地，在实际根 $(R,X_B)$ 上，全局首步类型 $P_0$ 与 $A$ 单坐标局部均值最优类型 $P_3$ 不同，所以乘积结构本身并不推出“全局期望完成时间的 Bellman 最小化等于逐坐标分别做局部均值最小化”。 这里的 $|K|=1,2$ 根矩形是辅助初始任务，而不是从原完整根到达的历史后验。因此本定理不声称原任务沿某条实际历史出现从 $P_0$ 到 $P_3$ 的自适应切换，也不声称跨坐标耦合相对于所有独立策略具有严格收益；theorem 64.8 已证明一个固定独立并行策略达到完整全局最优值 $121/60$。 **证明。** theorem 64.3 的辅助矩形 Bellman 递推适用于每个外部指定的 $(R,K)$，无需这些矩形从原完整根可达。theorem 64.8 已算出当 $|K|=1$ 或 $2$ 时四类根首步值依次为 $$ \frac{37}{20}, \quad \frac{187}{100}, \quad \frac{213}{100}, \quad \frac{181}{100}, $$ 对应 $P_0,P_1,P_2,P_3$，其中唯一最小类型是 $P_3$。同一定理给出 $|K|=3$ 时四类值 $$ \frac{121}{60}, \quad \frac{607}{300}, \quad \frac{659}{300}, \quad \frac{209}{100}, $$ 其中唯一最小类型是 $P_0$。所以若在整个辅助矩形族上把 $A$ 的 Bellman 首动作要求为仅依赖其自身边缘状态 $R$ 的规则，就会同时要求同一状态选择两个不同的唯一最优块类型，矛盾。 另一方面，theorem 64.8 已精确区分实际可达矩形与辅助矩形：$(R,X_B)$ 是唯一含 $A$ 根的实际可达矩形，而 $(R,K)$ 的 $|K|=1,2$ 情形仅是外部初始化。故上述比较是辅助状态族上的状态依赖证明，不是原任务实际历史中的适应性收益证明。实际根上的局部均值失效由 $P_0$ 与 $P_3$ 的差异直接给出，而完整全局最优又由固定独立策略达到。证毕。 ## 64.99 追加锚 ## 65. 独立局部前缀树的精确下界与可达联合自适应严格改进 **premise 65.0（假设：有限前缀查询模型、独立正有理先验与向量费用）。** 令 $$ A=\mathbb Z/8\mathbb Z,\qquad B=\mathbb Z/9\mathbb Z. $$ 在 $A$ 上取先验 $$ \mu=\frac1{208}(4,12,34,32,32,45,28,21), $$ 在 $B$ 上取先验 $$ \nu=\frac1{223}(9,12,13,23,38,50,45,22,11), $$ 坐标次序均为自然剩余类次序。令 $X\sim\mu$、$Y\sim\nu$ 且 $X,Y$ 独立。所有原子质量均为严格正有理数。 对素数 $p$、正整数 $e$、中心 $c\in\mathbb Z/p^e\mathbb Z$，定义完整前缀深度回答 $$ D_{p,e,c}(z)=\max\{k\in\{0,1,\ldots,e\}:z\equiv c\pmod{p^k}\}. $$ 一次联合查询选择整个中心向量 $(a,b)\in A\times B$，返回 $$ \bigl(D_{2,3,a}(X),D_{3,2,b}(Y)\bigr), $$ 且整次向量查询费用为一。确定性零错误策略只允许依据已经观察到的回答选择下一中心，并在候选集合成为单点时识别隐藏状态。称一对策略为独立局部策略，若左中心只依赖左回答历史，右中心只依赖右回答历史；某坐标已经识别后，该坐标的后续中心可以任意指定而不改变其识别时刻。若两个局部识别时刻分别为 $T_A,T_B$，则联合停止费用为 $$ C=\max(T_A,T_B). $$ 因为 $\gcd(8,9)=1$，中国剩余定理给出双射 $$ \mathbb Z/72\mathbb Z\cong A\times B. $$ 所以该模型也可视为七十二个隐藏剩余类上的严格正有理先验；这里仍保留乘积坐标，以便区分局部与联合策略。 **theorem 65.1（引理：两个局部查询的精确纤维）。** 对任意 $c\in A$，模 $8$ 计算有 $$ \begin{aligned} D_{2,3,c}^{-1}(3)&=\{c\},\\ D_{2,3,c}^{-1}(2)&=\{c+4\},\\ D_{2,3,c}^{-1}(1)&=\{c+2,c+6\},\\ D_{2,3,c}^{-1}(0)&=\{c+1,c+3,c+5,c+7\}. \end{aligned} $$ 对任意 $d\in B$，模 $9$ 计算有 $$ \begin{aligned} D_{3,2,d}^{-1}(2)&=\{d\},\\ D_{3,2,d}^{-1}(1)&=\{d+3,d+6\},\\ D_{3,2,d}^{-1}(0)&=\{d+1,d+2,d+4,d+5,d+7,d+8\}. \end{aligned} $$ **证明。** 第一组中，$z-c$ 被 $8$ 整除当且仅当 $z=c$；被 $4$ 但不被 $8$ 整除的唯一剩余类是 $c+4$；被 $2$ 但不被 $4$ 整除的剩余类是 $c+2,c+6$；其余四类与 $c$ 奇偶性相反。第二组同理：深度二只在 $z=d$ 发生；深度一恰为与 $d$ 同余模 $3$ 但不同余模 $9$ 的 $d+3,d+6$；其余六类深度为零。证毕。 **theorem 65.2（引理：任意零错误局部树的支配归约）。** 对整数值停止时刻定义 $$ S\preceq_{\mathrm{st}}T \quad\Longleftrightarrow\quad \Pr(S>t)\le \Pr(T>t)\quad\text{对所有整数 }t\ge0. $$ 任意确定性零错误左局部策略都存在一个不劣于它的规范左策略，其停止时刻在上述意义下支配原策略，并且规范停止分布只能是 $$ L_0=\frac1{208}(57,115,36) $$ 或 $$ L_1=\frac1{208}(62,93,53), $$ 其中三个分量分别是查询数 $1,2,3$ 的概率。 任意确定性零错误右局部策略也都存在一个不劣于它的规范右策略；规范策略只需考虑三个模 $3$ 类的六种次序，其停止分布只能是 $$ \begin{aligned} R_0&=\frac1{223}(38,84,69,32),& R_1&=\frac1{223}(38,79,82,24),\\ R_2&=\frac1{223}(50,62,79,32),& R_3&=\frac1{223}(50,69,70,34),\\ R_4&=\frac1{223}(45,70,84,24),& R_5&=\frac1{223}(45,82,62,34), \end{aligned} $$ 其中四个分量分别是查询数 $1,2,3,4$ 的概率。该归约允许原策略含有局部常值查询、任意有限延迟以及不影响完成深度的并列选择。 **证明。** 先处理所有局部常值查询。若在某非单点候选集 $S$ 上当前中心的回答恒定，则这一查询没有改变 $S$。由于策略确定，观察到这个唯一可能回答以后所选的下一中心可以直接提前到当前轮；删去该常值节点把它的每个后代叶深同时减一而不改变任何候选分裂。有限地重复这一删节点操作，可消除识别前的全部常值延迟。候选集已为单点以后继续等待也只能增加声明停止时刻，故可同样删去。因而只需研究每个当前候选集上的非常值中心。 左侧把四个模 $4$ 对记为 $$ P_0=\{0,4\},\quad P_1=\{1,5\},\quad P_2=\{2,6\},\quad P_3=\{3,7\}. $$ 它们的未归一化质量分别为 $$ w(P_0)=36,\qquad w(P_1)=57,\qquad w(P_2)=62,\qquad w(P_3)=53. $$ 由引理 65.1，根中心属于某个奇偶类并且立即以互异回答识别其所在的整个模 $4$ 对；同一奇偶类的另一个模 $4$ 对在下一次非常值查询中被识别。根回答为零时，候选集恰为另一奇偶类的四个元素；在这个四元集合中，任何非常值中心都立即识别它所在的一个模 $4$ 对，而另一个模 $4$ 对恰好多等一轮。 因此，在固定奇偶类内部，若先处理质量为 $u$ 的模 $4$ 对、后处理质量为 $v$ 的模 $4$ 对，则这两个对的附加完成深度分别为 $1,2$；交换次序后，唯一可能变化的分布函数是在第一层，其质量由 $u$ 变为 $v$。所以把较重的对放在前面使停止时刻一阶随机不增；若相等则两种次序完全同分布。偶类中应先取 $P_2$ 而后取 $P_0$，奇类中应先取 $P_1$ 而后取 $P_3$。只剩“奇类先”与“偶类先”两种根次序。奇类先时，深度一质量为 $57$，深度二质量为 $53+62=115$，深度三质量为 $36$，得到 $L_0$；偶类先时，三层质量为 $62,36+57,53$，得到 $L_1$。一个模 $4$ 对内部的两个点在同一次查询中得到不同回答，故中心取该对中的哪一个都不改变完成深度，这覆盖相应并列。 右侧把三个模 $3$ 类记为 $$ C_0=\{0,3,6\},\qquad C_1=\{1,4,7\},\qquad C_2=\{2,5,8\}. $$ 它们的总质量、类内最重单点质量和其余两点总质量分别为 $$ \begin{aligned} (W_0,h_0,\ell_0)&=(77,45,32),\\ (W_1,h_1,\ell_1)&=(72,38,34),\\ (W_2,h_2,\ell_2)&=(74,50,24). \end{aligned} $$ 由引理 65.1，在一个三元模 $3$ 类中，选择中心后该中心立即识别，其余两点共享深度一回答并在下一次非常值查询中同时被区分。因此固定进入该类的轮次后，若第一中心质量为 $h$，该类只有质量 $h$ 在当前轮完成，其余质量在下一轮完成；选择类内最重单点使分布函数在当前轮最大，之后相同，所以一阶随机支配任意其他类内首选。 在六元候选集 $C_i\cup C_j$ 中，任何非常值中心必属于其中一个类；查询后该类被处理，而回答零恰好留下另一个完整三元类。因此经过类内“最重单点优先”的交换后，一个右局部树完全由三个类被检查的次序 $(i,j,k)$ 决定。其四层未归一化质量为 $$ (h_i,\ \ell_i+h_j,\ \ell_j+h_k,\ \ell_k). $$ 六个排列依次给出 $$ \begin{aligned} (1,2,0)&\mapsto(38,84,69,32),& (1,0,2)&\mapsto(38,79,82,24),\\ (2,1,0)&\mapsto(50,62,79,32),& (2,0,1)&\mapsto(50,69,70,34),\\ (0,1,2)&\mapsto(45,70,84,24),& (0,2,1)&\mapsto(45,82,62,34). \end{aligned} $$ 这正是 $R_0,\ldots,R_5$。最后的二元候选集在一次非常值查询中两点都被不同回答区分，所以其中的中心选择同样只产生并列而不改变停止分布。所有局部常值节点、延迟节点、类内次序和并列选择至此均已覆盖。证毕。 **theorem 65.3（引理：独立停止时刻的最大值尾和）。** 若 $S,T$ 是相互独立、取正整数值且有界的停止时刻，记 $$ F_S(t)=\Pr(S\le t),\qquad F_T(t)=\Pr(T\le t). $$ 则 $$ \mathbb E\max(S,T) =\sum_{t\ge0}\bigl(1-F_S(t)F_T(t)\bigr). $$ 若 $S'\preceq_{\mathrm{st}}S$ 且 $T'\preceq_{\mathrm{st}}T$，并且两对变量分别独立，则 $$ \mathbb E\max(S',T')\le \mathbb E\max(S,T). $$ **证明。** 对任意非负整数值有界变量 $Z$，尾和恒等式给出 $$ \mathbb EZ=\sum_{t\ge0}\Pr(Z>t). $$ 独立性给出 $$ \Pr(\max(S,T)\le t)=F_S(t)F_T(t), $$ 代入即得第一式。随机支配 $S'\preceq_{\mathrm{st}}S$ 等价于 $F_{S'}(t)\ge F_S(t)$，对 $T$ 同理；逐项比较尾和即得第二式。证毕。 **theorem 65.4（定理：全部独立局部策略对的精确最小费用）。** 在假设 65.0 的模型中，任意一对确定性零错误独立局部策略都满足 $$ \mathbb EC\ge \frac{121799}{46384}. $$ 而且等号可达到；因此全部独立局部策略对的精确最小期望向量查询费用为 $$ C_{\mathrm{ind}}^*=\frac{121799}{46384}. $$ **证明。** 引理 65.2 把任意左策略以一阶随机不增的方式归约到 $L_0,L_1$ 之一，把任意右策略归约到 $R_0,\ldots,R_5$ 之一。由于 $X,Y$ 独立，两个局部停止时刻独立；引理 65.3 因而表明原策略对的费用不小于对应规范策略对。故只需计算十二个值。 若 $L_i,R_j$ 的分布函数分别为 $F_i,G_j$，左停止时刻至多三轮、右停止时刻至多四轮，所以 $$ C_{ij}=4-F_i(1)G_j(1)-F_i(2)G_j(2)-G_j(3). $$ 逐项代入引理 65.2 的整数质量得到 $$ (C_{ij})= \begin{pmatrix} \frac{61329}{23192}&\frac{60927}{23192}&\frac{61847}{23192}&\frac{61453}{23192}&\frac{121799}{46384}&\frac{121815}{46384}\\ \frac{62271}{23192}&\frac{123653}{46384}&\frac{31337}{11596}&\frac{124679}{46384}&\frac{123529}{46384}&\frac{123749}{46384} \end{pmatrix}. $$ 等价地，统一乘以 $46384$ 后， $$ (46384\,C_{ij})= \begin{pmatrix} 122658&121854&123694&122906&121799&121815\\ 124542&123653&125348&124679&123529&123749 \end{pmatrix}. $$ 因此十二项的唯一最小值是 $(i,j)=(0,4)$ 的 $121799/46384$。 为核对这一项，$L_0$ 满足 $$ F_0(1)=\frac{57}{208},\qquad F_0(2)=\frac{172}{208}, $$ 而 $R_4$ 满足 $$ G_4(1)=\frac{45}{223},\qquad G_4(2)=\frac{115}{223},\qquad G_4(3)=\frac{199}{223}. $$ 故 $$ 4-\frac{57\cdot45}{208\cdot223} -\frac{172\cdot115}{208\cdot223} -\frac{199}{223} =\frac{121799}{46384}. $$ 规范策略本身是合法确定性零错误树，所以此下界可达。证毕。 **theorem 65.5（引理：有限上下文中的条件最小与共同极小动作判据）。** 设有限上下文集合 $S$ 上有严格正概率 $p_s$，有限非空动作集为 $\mathcal A$，损失为 $\ell(s,a)\in\mathbb R$。则 $$ \sum_{s\in S}p_s\min_{a\in\mathcal A}\ell(s,a) \le \min_{a\in\mathcal A}\sum_{s\in S}p_s\ell(s,a). $$ 且等号成立当且仅当存在一个动作 $a_*$，使它对每个 $p_s>0$ 的上下文同时最优，即 $$ a_*\in\bigcap_{s:p_s>0}\operatorname*{argmin}_{a\in\mathcal A}\ell(s,a). $$ **证明。** 记 $m(s)=\min_a\ell(s,a)$。对每个固定动作 $a$， $$ \sum_s p_s\ell(s,a)-\sum_s p_sm(s) =\sum_s p_s\bigl(\ell(s,a)-m(s)\bigr)\ge0. $$ 对 $a$ 取最小值得到不等式。由于每个 $p_s$ 严格为正，固定 $a$ 使上式等号成立，当且仅当每一项 $\ell(s,a)-m(s)$ 都为零，即 $a$ 同时属于所有正概率上下文的极小动作集合。再对有限动作集取最小即得等号判据。证毕。 **definition 65.6（定义：可达联合自适应策略 $\Pi$）。** 第一轮固定查询中心向量 $$ (1,6). $$ 左坐标以后始终采用以下继续规则：第一回答为 $0$ 时，候选集为 $\{0,2,4,6\}$，下一左中心取 $2$；若随后的左回答为 $1$，候选集为 $\{0,4\}$，再取中心 $0$。第一回答为 $1$ 时，候选集为 $\{3,7\}$，下一左中心取 $3$。第一回答为 $2$ 或 $3$ 时左坐标已经识别。左坐标识别后，后续左中心固定取 $0$。 右坐标第一中心为 $6$。若第一右回答为 $2$，则 $Y=6$ 已识别；若第一右回答为 $1$，候选集为 $\{0,3\}$，下一右中心取 $3$，一次即识别。若第一右回答为 $0$，候选集为 $$ C_1\cup C_2=\{1,2,4,5,7,8\}. $$ 此时读取第一左回答 $r_A$。若 $r_A=0$，按类次序 $C_1,C_2$ 继续：先取右中心 $4$；回答 $1$ 时在 $\{1,7\}$ 中再取中心 $1$，回答 $0$ 时转入 $C_2$ 并取中心 $5$，若随后回答 $1$ 则在 $\{2,8\}$ 中取中心 $2$。若 $r_A\ne0$，按类次序 $C_2,C_1$ 继续：先取右中心 $5$；回答 $1$ 时在 $\{2,8\}$ 中再取中心 $2$，回答 $0$ 时转入 $C_1$ 并取中心 $4$，若随后回答 $1$ 则在 $\{1,7\}$ 中取中心 $1$。右坐标识别后，后续右中心固定取 $0$。 每一轮实际提交的中心向量，由尚未识别坐标的上述下一中心组成；已经识别的坐标使用约定中心 $0$。特别地，在第一右回答为 $0$ 的三种第一左情形中，第二轮中心向量分别为 $$ r_A=0:\ (2,4),\qquad r_A=1:\ (3,5),\qquad r_A\in\{2,3\}:\ (0,5). $$ **theorem 65.7（定理：策略 $\Pi$ 的全状态零错误性、真实可达性与条件费用）。** 策略 $\Pi$ 对全部 $72$ 个隐藏对都确定性零错误，并在至多四轮后停止。它用于改变右类次序的状态全部是第一轮联合查询 $(1,6)$ 的实际回答状态；不使用“某一坐标仍在未查询根而另一坐标已经缩减”的反事实状态。 在第一轮右回答为 $0$ 且第一轮左回答为 $0$ 的实际状态中，采用第二右中心 $4$ 时，从第一轮之后开始计的剩余联合期望费用为 $$ \frac{7153}{3577}, $$ 而把第二右中心改为 $5$ 并交换 $C_1,C_2$ 次序时，该条件费用为 $$ \frac{7212}{3577}. $$ 相反，在第一轮右回答为 $0$ 且第一轮左回答非零的实际状态中，右中心 $4$ 与右中心 $5$ 所对应的剩余联合期望费用分别为 $$ \frac{139}{73},\qquad \frac{138}{73}. $$ **证明。** 左侧由引理 65.1 直接逐支检查。第一中心 $1$ 的回答 $3,2,1,0$ 分别给出 $$ \{1\},\quad\{5\},\quad\{3,7\},\quad\{0,2,4,6\}. $$ 集合 $\{3,7\}$ 用中心 $3$ 一次区分；集合 $\{0,2,4,6\}$ 用中心 $2$ 时，$\{2\}$、$\{6\}$ 由深度 $3,2$ 分别识别，而回答 $1$ 恰留下 $\{0,4\}$，再用中心 $0$ 一次区分。因此左侧至多三轮且零错误。 右侧第一中心 $6$ 的回答 $2,1,0$ 分别给出 $$ \{6\},\quad\{0,3\},\quad C_1\cup C_2. $$ 二元集合 $\{0,3\}$ 用中心 $3$ 一次区分。在 $C_1\cup C_2$ 中，中心 $4$ 把 $4$、$\{1,7\}$、$C_2$ 分成深度 $2,1,0$ 三支；中心 $5$ 对称地把 $5$、$\{2,8\}$、$C_1$ 分成三支。任何三元类的最重中心查询后，剩余二元支再用所列中心一次区分。因此右侧至多四轮且零错误。所有这些候选集都由第一轮已经同时查询两个根以后得到，所以改变类次序只发生在真实联合历史上。由于每个先验原子严格为正，所列非空分支也确有正概率隐藏状态实现。 现在固定第一左回答 $0$ 与第一右回答 $0$。左条件候选质量为 $98$，第二左中心 $2$ 后，质量 $62$ 的 $\{2,6\}$ 在一轮后识别，质量 $36$ 的 $\{0,4\}$ 需两轮。因此从第一轮之后计， $$ \Pr(R_A=1)=\frac{62}{98}=\frac{31}{49},\qquad \Pr(R_A=2)=\frac{36}{98}=\frac{18}{49}. $$ 若右侧先查 $C_1$，则在六元条件集合的总质量 $146$ 中，附加一、二、三轮完成的质量分别为 $$ 38,\qquad 34+50=84,\qquad24, $$ 故 $$ \Pr(R_B=1,2,3)=\frac1{73}(19,42,12). $$ 独立条件下 $R_A,R_B$ 仍独立，于是尾和给出 $$ \begin{aligned} \mathbb E\max(R_A,R_B) &=1+\Pr(\max(R_A,R_B)>1)+\Pr(\max(R_A,R_B)>2)\\ &=1+\left(1-\frac{31}{49}\frac{19}{73}\right)+\frac{12}{73}\\ &=\frac{7153}{3577}. \end{aligned} $$ 若右侧先查 $C_2$，其附加一、二、三轮质量为 $50,62,34$，即概率 $$ \frac1{73}(25,31,17). $$ 同理 $$ 1+\left(1-\frac{31}{49}\frac{25}{73}\right)+\frac{17}{73} =\frac{7212}{3577}. $$ 所以在左第一回答为零的真实上下文中，所定义策略取中心 $4$。 若第一左回答非零，则左侧已经识别或至多还需一轮；而在第一右回答为零以后，右侧至少还需一轮。因此剩余联合费用恰等于剩余右费用。先查 $C_1$ 时， $$ \mathbb ER_B =\frac{38+2\cdot84+3\cdot24}{146} =\frac{139}{73}, $$ 先查 $C_2$ 时， $$ \mathbb ER_B =\frac{50+2\cdot62+3\cdot34}{146} =\frac{138}{73}. $$ 故在每个第一左回答非零的真实上下文中，策略取中心 $5$ 严格少 $1/73$。在只比较“先查 $C_1$”与“先查 $C_2$”这两个实际可用类序动作时，左回答为零的上下文严格偏好前者，左回答非零的上下文严格偏好后者，因此不存在跨这些正概率上下文的共同极小动作；这正是引理 65.5 的严格情形。证毕。 **theorem 65.8（命题：切换状态中的后验仍为乘积）。** 对第一轮任意可实现回答对 $(r_A,r_B)$，条件后验仍分解为左、右条件后验的乘积。特别地，在事件 $$ E=\{\text{第一左回答非零}\}\cap\{\text{第一右回答为 }0\} $$ 上，$X$ 与 $Y$ 条件独立，且右条件分布只由第一右回答为零决定。因而定理 65.7 的严格改进不依赖隐藏坐标产生统计相关性。 **证明。** 第一轮中心固定为 $(1,6)$，故事件 $\{\text{左回答}=r_A\}$ 只依赖 $X$，事件 $\{\text{右回答}=r_B\}$ 只依赖 $Y$。对任意子集 $U\subseteq A,V\subseteq B$，独立性给出 $$ \Pr(X\in U,Y\in V,r_A,r_B) = \Pr(X\in U,r_A)\Pr(Y\in V,r_B). $$ 除以严格正的 $\Pr(r_A)\Pr(r_B)$ 即得条件乘积分解。事件 $E$ 同样是一个左事件与一个右事件的交，故相同计算适用。证毕。 **theorem 65.9（定理：可达联合自适应策略严格优于每一对独立局部策略）。** 策略 $\Pi$ 的期望向量查询费用为 $$ \mathbb E C_\Pi=\frac{121579}{46384}. $$ 并且对每一对确定性零错误独立局部策略 $(\sigma_A,\sigma_B)$， $$ \mathbb E C_\Pi = \frac{121579}{46384} < \frac{121799}{46384} \le \mathbb E C_{\sigma_A,\sigma_B}. $$ 严格间隙恰为 $$ \frac{55}{11596}. $$ **证明。** 先取定理 65.4 中达到独立最小值的规范策略对：左用 $L_0$，其第一中心可取 $1$；右用 $R_4$，即模 $3$ 类次序 $$ C_0,C_1,C_2 $$ 并在三类中分别先取最重中心 $6,4,5$。该独立策略对的期望费用为 $121799/46384$。 策略 $\Pi$ 与这个独立最优策略对完全相同，唯一改变发生在事件 $$ E=\{\text{第一左回答非零}\}\cap\{\text{第一右回答为 }0\}, $$ 此时把右侧剩余类次序从 $C_1,C_2$ 改为 $C_2,C_1$。第一左中心 $1$ 的零回答候选是偶数四类，其总质量为 $$ 4+34+32+28=98, $$ 故第一左回答非零的概率为 $$ 1-\frac{98}{208}=\frac{110}{208}=\frac{55}{104}. $$ 第一右中心 $6$ 的零回答候选为 $C_1\cup C_2$，总质量为 $$ 72+74=146, $$ 故其概率为 $146/223$。由独立性， $$ \Pr(E)=\frac{55}{104}\frac{146}{223}. $$ 定理 65.7 已证明在 $E$ 上交换右类次序把第一轮以后的条件期望费用从 $139/73$ 降为 $138/73$，节省恰为 $1/73$；在 $E$ 外策略没有改变。因此总节省为 $$ \frac{55}{104}\frac{146}{223}\frac1{73} = \frac{55}{11596}. $$ 于是 $$ \mathbb E C_\Pi = \frac{121799}{46384}-\frac{55}{11596} = \frac{121799-220}{46384} = \frac{121579}{46384}. $$ 定理 65.4 对任意独立局部策略对给出下界 $121799/46384$，故上述严格不等式对每一对这样的策略成立。证毕。 ## 65.99 追加锚 ## 66. 相邻相等关系商、锚定余循环与公平提升 **定义 66.0（禁游程空间、关系空间、补变换与关系编码）。** 固定整数 $k\ge 2$。令 $$ K_{k,k}:=\left\{x\in\{0,1\}^{\mathbb N}:\text{不存在 }j\ge0\text{ 使 }x_j=x_{j+1}=\cdots=x_{j+k-1}\right\}, $$ 即同时禁止 $0^k$ 与 $1^k$。令 $$ Y_k:=\left\{c\in\{0,1\}^{\mathbb N}:\text{不存在 }j\ge0\text{ 使 }c_j=c_{j+1}=\cdots=c_{j+k-2}=1\right\}, $$ 即禁止 $1^{k-1}$。定义逐位补变换 $$ (Cx)_j:=1-x_j $$ 以及相邻相等关系编码 $$ R(x)_j:=\mathbf 1_{\{x_j=x_{j+1}\}}. $$ 两边都取乘积拓扑；$\sigma$ 表示左移位；$\oplus$ 表示 $\mathbb Z/2\mathbb Z$ 中的加法。 **定理 66.1（精确像、两点互补纤维、锚定重构与拓扑商）。** 对每个 $k\ge2$，映射 $$ R:K_{k,k}\longrightarrow Y_k $$ 连续且满射，并且对每个 $c\in Y_k$，其纤维恰有两个点；若其中一个是 $x$，另一个就是 $Cx$。更精确地，对任意 $b\in\{0,1\}$ 与 $c\in Y_k$，递推 $$ x^{b,c}_0=b,\qquad x^{b,c}_{j+1}=x^{b,c}_j\oplus(1-c_j)\qquad(j\ge0) $$ 给出 $K_{k,k}$ 中唯一满足 $x_0=b$ 且 $R(x)=c$ 的点；两个锚 $b=0,1$ 所得序列互为逐位补。于是 $$ \Theta:K_{k,k}\longrightarrow\{0,1\}\times Y_k,\qquad \Theta(x)=(x_0,R(x)) $$ 是同胚，并且 $$ \Theta(Cx)=(1-x_0,R(x)). $$ 因此 $R$ 在补变换轨道商上诱导同胚 $$ \overline R:K_{k,k}/\langle C\rangle\longrightarrow Y_k,\qquad \overline R([x])=R(x). $$ 当 $k=2$ 时， $$ Y_2=\{0^\infty\},\qquad K_{2,2}=\{0101\ldots,1010\ldots\}, $$ 故上述像、纤维、锚定重构和商结论仍成立。 **证明。** 若 $x\in K_{k,k}$ 而 $$ R(x)_j=R(x)_{j+1}=\cdots=R(x)_{j+k-2}=1, $$ 则 $$ x_j=x_{j+1}=\cdots=x_{j+k-1}, $$ 与 $x\in K_{k,k}$ 矛盾。因此 $R(K_{k,k})\subseteq Y_k$。 反之，给定 $b\in\{0,1\}$ 与 $c\in Y_k$，上述递推唯一确定 $x^{b,c}$。递推式直接给出 $$ c_j=1\Longleftrightarrow x^{b,c}_{j+1}=x^{b,c}_j, $$ 故 $R(x^{b,c})=c$。若 $x^{b,c}$ 含有长度 $k$ 的常值块，则对应的 $k-1$ 个关系位全为 $1$，与 $c\in Y_k$ 矛盾。因此 $x^{b,c}\in K_{k,k}$，从而 $R$ 满射，并且锚 $b$ 与关系记录 $c$ 唯一确定原序列。 若 $R(x)=R(y)$，令 $$ \delta_j:=x_j\oplus y_j. $$ 由于两序列在每一步同为“保持”或同为“翻转”，有 $$ \delta_{j+1}=\delta_j\qquad(j\ge0). $$ 故 $\delta_j$ 恒等于 $\delta_0$。若 $\delta_0=0$，则 $x=y$；若 $\delta_0=1$，则 $y=Cx$。反过来 $R(Cx)=R(x)$，且 $(Cx)_0=1-x_0\ne x_0$，所以 $Cx\ne x$。因此每个纤维恰为两个互补点。 $R$ 的第 $j$ 个坐标只依赖 $x_j,x_{j+1}$，故 $R$ 连续。对每个 $n\ge0$，$(\Theta^{-1}(b,c))_n$ 只依赖 $b,c_0,\ldots,c_{n-1}$，故 $\Theta^{-1}$ 连续；因此 $\Theta$ 是同胚。补变换在锚定坐标中恰为 $$ (b,c)\longmapsto(1-b,c). $$ 所以 $R$ 在轨道商上给出连续双射 $\overline R$。空间 $K_{k,k}$ 是紧空间，有限群的连续像 $K_{k,k}/\langle C\rangle$ 仍紧，而 $Y_k$ 是 Hausdorff 空间，故 $\overline R$ 为同胚。 当 $k=2$ 时，$Y_2$ 禁止单个 $1$，所以只有 $0^\infty$；重构递推在每一步都翻转，恰给出两个交替序列。证毕。 **定义 66.2（首差度量与补轨道距离）。** 在 $\{0,1\}^{\mathbb N}$ 上定义 $$ d(x,y)= \begin{cases} 0,&x=y,\\ 2^{-m(x,y)},&x\ne y, \end{cases} \qquad m(x,y):=\min\{j\ge0:x_j\ne y_j\}. $$ 在 $Y_k$ 上记同型首差度量为 $$ \rho(c,c')= \begin{cases} 0,&c=c',\\ 2^{-m(c,c')},&c\ne c'. \end{cases} $$ 由于 $C$ 是 $d$-等距变换，定义 $$ \overline d([x],[y]):=\min\{d(x,y),d(x,Cy)\}. $$ **定理 66.3（精确商度量与固定锚相似性）。** $\overline d$ 在 $K_{k,k}/\langle C\rangle$ 上良定义并且是度量。在商同胚 $\overline R$ 下有精确恒等式 $$ \boxed{\ \overline d([x],[y])=\frac12\,\rho(Rx,Ry)\ }. $$ 因此 $$ \rho(\overline R([x]),\overline R([y]))=2\overline d([x],[y]). $$ 此外，对每个固定锚 $b\in\{0,1\}$，令 $$ T_b:Y_k\longrightarrow K_{k,k},\qquad T_b(c):=x^{b,c}. $$ 则当 $c\ne c'$ 时， $$ d(T_b(c),T_b(c'))=\frac12\,\rho(c,c'). $$ 所以 $T_b$ 是从 $Y_k$ 到闭开集 $$ K_{k,k}^{(b)}:=\{x\in K_{k,k}:x_0=b\} $$ 的比例 $1/2$ 相似双射。 **证明。** 先证良定义。若把 $x$ 换为 $Cx$，则由于 $C$ 是等距且 $C^2=\mathrm{id}$，集合 $$ \{d(Cx,y),d(Cx,Cy)\} $$ 正是 $$ \{d(x,Cy),d(x,y)\}. $$ 把 $y$ 换为 $Cy$ 也只交换同一对数，所以最小值只依赖两个轨道。 非负性和对称性显然。若 $\overline d([x],[y])=0$，则 $x=y$ 或 $x=Cy$，故 $[x]=[y]$。对三角不等式，取 $g,h\in\{\mathrm{id},C\}$ 使 $$ d(x,gy)=\overline d([x],[y]),\qquad d(y,hz)=\overline d([y],[z]). $$ 因 $g$ 是等距且群为交换的二阶群， $$ d(x,ghz)\le d(x,gy)+d(gy,ghz) =d(x,gy)+d(y,hz). $$ 左侧不小于 $\overline d([x],[z])$，故得到三角不等式。 若 $Rx=Ry$，前一定理给出 $[x]=[y]$，公式两边都为零。现设 $Rx\ne Ry$，令 $$ m:=\min\{j\ge0:R(x)_j\ne R(y)_j\}. $$ 在 $y,Cy$ 中恰有一个与 $x$ 具有相同第零位，记为 $y'$。对 $0\le j0$ 使 $$ A_1\phi^n\le F_{n+2}\le A_2\phi^n $$ 对所有 $n\ge0$ 成立。 先证上界。长度 $n$ 的允许关系柱覆盖 $Y_3$，每个柱的 $\rho$-直径至多 $2^{-n}$，柱数为 $F_{n+2}$。若 $q>s$，则 $$ \mathcal H^q_{\rho,2^{-n}}(Y_3) \le A_2\phi^n2^{-qn} =A_2\,2^{(s-q)n}\longrightarrow0. $$ 所以 $$ \dim_{\mathrm H}(Y_3,\rho)\le s. $$ 再证下界。置 $$ \alpha:=\phi^{-1}, \qquad P=\begin{pmatrix}\alpha&\alpha^2\\1&0\end{pmatrix}, \qquad \pi=\left(\frac1{1+\alpha^2},\frac{\alpha^2}{1+\alpha^2}\right), $$ 矩阵 $P$ 的各行和为 $1$，直接计算有 $\pi P=\pi$，且 $P_{11}=0$。因此相应柱公式定义一个支撑在 $Y_3$ 上的平稳 Markov 概率 $\mu_{\mathrm{st}}$。对任意长度 $n\ge1$ 的允许词 $u$，令 $N_{ab}(u)$ 为相邻转移 $a\to b$ 的次数。因为 $N_{11}(u)=0$， $$ \mu_{\mathrm{st}}([u]) =\pi_{u_0}\alpha^{N_{00}(u)+2N_{01}(u)}. $$ 又有 $$ N_{01}(u)-N_{10}(u)=u_{n-1}-u_0 $$ 以及 $$ N_{00}(u)+N_{01}(u)+N_{10}(u)=n-1, $$ 故 $$ N_{00}(u)+2N_{01}(u) =n-1+u_{n-1}-u_0. $$ 上式指数至少为 $n-2$，故例如取 $$ B:=\max\{\pi_0,\pi_1\}\alpha^{-2} $$ 即可得到对所有允许的 $u$ 与 $n\ge1$， $$ \mu_{\mathrm{st}}([u])\le B\alpha^n =B\,2^{-sn}. $$ 对每个 $n\ge1$，闭球 $$ \overline B_\rho(c,2^{-n}) $$ 正是由 $c_0,\ldots,c_{n-1}$ 决定的长度 $n$ 柱。于是增大常数后，存在 $B'>0$ 使对所有 $c\in Y_3$ 与 $00, $$ 取 $c\in U$，则 $$ U\subseteq\overline B_\rho(c,\delta), $$ 从而 $$ \mu_{\mathrm{st}}^*(U)\le B'\delta^s. $$ 若 $\delta=0$，则 $U$ 是单点集。该单点是其一列嵌套长度 $n$ 柱的交，而这些柱的质量至多为 $B2^{-sn}\to0$。由概率测度对递减可测集列的从上连续性，该单点质量为零，于是同一不等式在 $\delta=0$ 时也成立。 现在令 $\{U_i\}_{i\ge1}$ 是 $Y_3$ 的任意可数覆盖；这些集合不要求可测。由外测度的单调性和可数次次可加性， $$ 1=\mu_{\mathrm{st}}^*(Y_3) \le\sum_i\mu_{\mathrm{st}}^*(U_i) \le B'\sum_i(\operatorname{diam}_\rho U_i)^s. $$ 因此每个允许直径阈值下的 $s$-维 Hausdorff 覆盖代价都至少为 $1/B'$，所以 $$ \mathcal H^s_\rho(Y_3)\ge\frac1{B'}>0. $$ 于是 $$ \dim_{\mathrm H}(Y_3,\rho)\ge s. $$ 结合上界得到等号。 上一条定理给出 $$ \rho=2\overline d $$ 在商空间对应下成立。把度量乘一个正常数不改变 Hausdorff 维数，因此 $$ \dim_{\mathrm H}(K_{3,3}/\langle C\rangle,\overline d)=s. $$ 同一条定理还给出两个固定锚相似副本 $$ K_{3,3}=K_{3,3}^{(0)}\cup K_{3,3}^{(1)}, \qquad K_{3,3}^{(b)}=T_b(Y_3), $$ 且每个 $T_b$ 的相似比例为 $1/2$，所以每个 $K_{3,3}^{(b)}$ 的 Hausdorff 维数都是 $s$。对任意 $q>s$，两个部分的 $q$-维 Hausdorff 测度都为零，所以其有限并的 $q$-维测度也为零；另一方面并集包含任一维数为 $s$ 的部分。因此 $$ \dim_{\mathrm H}(K_{3,3},d)=s. $$ 证毕。 **定义 66.6（锚定移位与翻转余循环）。** 在锚定坐标 $\{0,1\}\times Y_k$ 上定义 $$ a(c):=1-c_0\in\{0,1\}, \qquad F(b,c):=(b\oplus a(c),\sigma c). $$ 定义平凡直积移位 $$ G(b,c):=(b,\sigma c). $$ **定理 66.7（锚定动力学的 skew-product 公式、周期 lift 奇偶律与非平凡性）。** 锚定同胚满足 $$ \Theta\circ\sigma\circ\Theta^{-1}=F. $$ 对每个整数 $n\ge1$， $$ F^n(b,c) = \left( b\oplus\bigoplus_{j=0}^{n-1}(1-c_j), \ \sigma^n c \right). $$ 若 $n\ge1$ 且 $\sigma^n c=c$，令 $$ z_n(c):=\#\{0\le j。该文给出 signed-graph balance 的经典表述；这里所需的 $\mathbb F_2$ 结论已在上文直接证明，不依赖外部定理编号。证毕。 **定义 67.2（开矩形网格）。** 取整数 $M,N\geq1$。顶点为 $$ V_{M,N}=\{0,\ldots,M-1\}\times\{0,\ldots,N-1\}. $$ 水平边记 $$ s_{i,j}\quad(0\leq i0$ 时， $$ \begin{aligned} x_{i,j}+x_{i+1,j} &=u_{i,0} +\sum_{\ell=0}^{j-1}(s_{i,\ell}+s_{i+1,\ell})\\ &=u_{i,0} +\sum_{\ell=0}^{j-1}(u_{i,\ell}+u_{i,\ell+1})\\ &=u_{i,j}, \end{aligned} $$ 中间项在 $\mathbb F_2$ 中两两消去。故构造确为共同见证。网格在 $M,N\geq1$ 时连通，所以前一定理给出每个可实现标签两个互补提升以及 $2^{MN-1}$ 个可实现标签。总标签数为 $2^{2MN-M-N}$，故可实现比例 $$ 2^{MN-1-(2MN-M-N)} =2^{-(M-1)(N-1)}. $$ 另一方面，全部方格方程的公共核正是可实现标签空间，维数为 $MN-1$，故方程组的秩为 $$ (2MN-M-N)-(MN-1) =(M-1)(N-1) =Q. $$ 共有恰 $Q$ 个方程且秩为 $Q$，所以它们独立。若 $M=1$ 或 $N=1$，方格集合为空且网格是一棵路径；若 $M=N=1$，边集也为空，所有公式仍给出比例 $1$。证毕。 **定义 67.4（周期矩形网格、plaquette 和与全局 holonomy）。** 取 $M,N\geq3$，顶点为 $$ V=\mathbb Z/M\mathbb Z\times\mathbb Z/N\mathbb Z. $$ 水平边 $s_{i,j}$ 连接 $(i,j)$ 与 $(i,j+1)$，竖直边 $u_{i,j}$ 连接 $(i,j)$ 与 $(i+1,j)$，指标分别模 $M,N$。由于 $M,N\geq3$，这些是无自环、无平行边的简单图边。定义 plaquette 和 $$ p_{i,j}=s_{i,j}+u_{i,j+1}+s_{i+1,j}+u_{i,j}. $$ 称边标签 flat，当且仅当全部 $p_{i,j}=0$。定义第 $i$ 行和第 $j$ 列的 holonomy $$ H_i=\sum_{j\in\mathbb Z/N\mathbb Z}s_{i,j},\qquad U_j=\sum_{i\in\mathbb Z/M\mathbb Z}u_{i,j}. $$ **定理 67.5（周期网格：局部方格约束只差两个全局循环比特）。** 在上述周期网格中： 1. $MN$ 个 plaquette 方程只有一个线性关系，即 $$ \sum_{i,j}p_{i,j}=0, $$ 所以其秩为 $MN-1$。 2. 若标签 flat，则 $H_i$ 与 $i$ 无关、$U_j$ 与 $j$ 无关；记公共值为 $H,U\in\mathbb F_2$。 3. 一个 flat 标签来自单值周期顶点配置 $x$ 的边差分，当且仅当 $$ H=U=0. $$ 4. flat 边标签空间维数为 $MN+1$。holonomy 映射 $$ \operatorname{Hol}:\{y:p(y)=0\}\longrightarrow\mathbb F_2^2,\qquad y\longmapsto(H,U) $$ 满射；四个 holonomy 扇区各含 $2^{MN-1}$ 个标签。因而在 flat 标签的均匀分布下，具有单值周期顶点提升的比例恰为 $1/4$。 5. 在全部 $2^{2MN}$ 个边标签中，flat 比例为 $2^{-(MN-1)}$，真正可由周期顶点提升者比例为 $2^{-(MN+1)}$。 **证明。** 每条水平边 $s_{i,j}$ 恰出现在 $p_{i,j}$ 与 $p_{i-1,j}$ 中，每条竖直边 $u_{i,j}$ 恰出现在 $p_{i,j}$ 与 $p_{i,j-1}$ 中，所以所有 plaquette 求和为零。反过来，若系数 $\lambda_{i,j}\in\mathbb F_2$ 满足 $$ \sum_{i,j}\lambda_{i,j}p_{i,j}\equiv0 $$ 作为边变量的恒等式，则比较 $s_{i,j}$ 的系数得到 $$ \lambda_{i,j}+\lambda_{i-1,j}=0, $$ 比较 $u_{i,j}$ 的系数得到 $$ \lambda_{i,j}+\lambda_{i,j-1}=0. $$ 沿两个周期方向传播可知所有 $\lambda_{i,j}$ 相同，故关系空间恰为由全 $1$ 系数生成的一维空间，plaquette 秩为 $MN-1$。 若 $p=0$，对固定 $i$ 求和全部 $j$，竖直边各出现两次并消去，得到 $$ H_i+H_{i+1}=0. $$ 故所有 $H_i$ 相同。同理对固定 $j$ 求和全部 $i$，得 $$ U_j+U_{j+1}=0, $$ 所以所有 $U_j$ 相同。 若边标签为 $\delta x$，每个 plaquette 和为零，且任一闭合水平或竖直周期上的顶点值望远镜消去，所以 $H=U=0$。反之，设 $p=0$ 且 $H=U=0$。取代表 $0\leq i0,\\ 0,&i=0,\\ \sum_{k=i}^{-1}\widetilde u_{k,0},&i<0, \end{cases} $$ 以及对每个固定 $i$， $$ S_i(j)= \begin{cases} \sum_{\ell=0}^{j-1}\widetilde s_{i,\ell},&j>0,\\ 0,&j=0,\\ \sum_{\ell=j}^{-1}\widetilde s_{i,\ell},&j<0. \end{cases} $$ 令 $$ \widetilde x_{i,j}=a+U(i)+S_i(j). $$ 则水平差分由定义直接满足 $$ \widetilde x_{i,j}+\widetilde x_{i,j+1}=\widetilde s_{i,j} $$ 对所有整数 $i,j$ 成立。对于竖直相邻点，当 $j>0$ 时，把 $0\leq \ell0\}. $$ **定理 67.8（所有概率提升恰由正质量纤维上的条件锚点分布分类）。** 映射 $\Phi$ 是双射。固定任意概率测度 $\nu$ 于 $R(G)$ 后，满足 $$ \delta_*\mu=\nu $$ 的顶点概率测度 $\mu$ 与族 $$ (q_y)_{y\in S_\nu},\qquad q_y\in\operatorname{Prob}(\mathbb F_2^{c(G)}), $$ 一一对应。对应公式为：对 $y\in S_\nu$ 与 $a\in\mathbb F_2^{c(G)}$， $$ \mu\{x:\delta x=y,\ (x_{o_K})_K=a\}=\nu(y)q_y(a), $$ 而对 $y\notin S_\nu$，上述每个点质量都等于 $0$。因此零质量纤维上不引入任何额外核坐标，所述对应是真正的一一对应。 在给定 $\nu$ 的所有提升中，存在唯一一个对全部分量翻转 $g\in\mathcal H$ 不变的提升；它满足 $$ q_y(a)=2^{-c(G)} $$ 对每个 $y\in S_\nu$ 与每个 $a\in\mathbb F_2^{c(G)}$。因此在该不变提升下，条件于任一正质量边标签 $y$ 后，各分量锚点是相互独立的公平比特。 **证明。** 前面的锚定重建定理说明：给定可实现边标签 $y$ 和每分量一个锚点 $a$，存在唯一顶点配置 $x$。所以 $\Phi$ 双射。有限集合上的测度可逐点写出。若 $\delta_*\mu=\nu$，则对每个 $y\in S_\nu$ 定义 $$ q_y(a)=\frac{\mu(\Phi^{-1}(y,a))}{\nu(y)}. $$ 对固定 $y$ 求和 $a$ 得 $1$，所以 $q_y$ 是概率分布。若 $y\notin S_\nu$，则 $$ 0=\nu(y)=\sum_a\mu(\Phi^{-1}(y,a)), $$ 各项非负，故每一项都为 $0$；此处不存在需要选择的 $q_y$。反之，给定仅在 $S_\nu$ 上的族 $(q_y)$，按 $$ \mu(\Phi^{-1}(y,a))= \begin{cases} \nu(y)q_y(a),&y\in S_\nu,\\ 0,&y\notin S_\nu \end{cases} $$ 定义点质量，总质量为 $1$ 且边缘为 $\nu$。两个不同的核族在某个 $y\in S_\nu$ 上不同，就给出不同的点质量，故对应既满又单。 分量翻转不改变任何边差分，并且在固定 $y$ 的纤维上把锚点 $a$ 变为 $a+g$。加法群 $\mathbb F_2^{c(G)}$ 在自身上自由传递，所以一个条件分布对全部平移不变当且仅当它在全部 $2^{c(G)}$ 个锚点上等质量。因此每个 $y\in S_\nu$ 上的条件分布被唯一强制为均匀分布，反之均匀分布显然不变。均匀分布在 $\mathbb F_2^{c(G)}$ 上就是各坐标独立公平；当 $c(G)=0$ 时这是单点空间上的唯一分布。证毕。 **定理 67.9（iid 公平顶点先验的边结构）。** 若顶点比特 $(x_v)_{v\in V}$ 独立且各为公平 Bernoulli，则： 1. $\delta x$ 在 $R(G)$ 上均匀，且与所选分量锚点向量独立；锚点向量均匀于 $\mathbb F_2^{c(G)}$。 2. 对任一生成森林 $T$，森林边差分 $(\delta x)_e$，$e\in T$，相互独立且公平。 3. 每条简单非自环边的单边差分都公平。 4. 非森林边由基本循环奇偶唯一强制。全部边差分相互独立当且仅当 $G$ 是森林。 **证明。** iid 公平顶点律就是 $C^0(G)$ 上的均匀分布，而 $\Phi$ 是从 $C^0(G)$ 到 $$ R(G)\times\mathbb F_2^{c(G)} $$ 的双射，故像是乘积集合上的均匀分布，得到第一项。对生成森林，映射 $$ x\longmapsto\bigl((x_{o_K})_K,((\delta x)_e)_{e\in T}\bigr) $$ 同样由树上递推重建而为双射，故这些坐标在均匀顶点律下相互独立公平，得到第二项。第三项也可直接由一条边两端的两个独立公平比特异或为公平比特得到。对每条非树边，基本循环的零奇偶给出其值等于该循环其余树边标签之和，所以被强制。若 $G$ 是森林，全部边都属于某生成森林，故独立；若 $G$ 含循环，则该循环上的边标签满足一个非平凡确定奇偶关系，而每条边本身又公平。若这些边全体相互独立，它们在该循环上的联合分布应均匀支撑全部 $\mathbb F_2^{|C|}$，与确定奇偶关系矛盾。故全体边差分相互独立当且仅当 $G$ 是森林。证毕。 **定义 67.10（部分边观察）。** 对 $F\subseteq E$，令 $$ G_F=(V,F), $$ 并把孤立顶点计入其连通分量；记 $$ c_F=c(G_F). $$ 给定观察值 $z\in\mathbb F_2^F$，称其兼容，当且仅当存在 $x\in\mathbb F_2^V$ 使 $$ x_u+x_v=z_{\{u,v\}}\qquad(\{u,v\}\in F). $$ **定理 67.11（精确部分观察、条件锚点与可判定的顶点对关系）。** 部分观察 $z$ 兼容，当且仅当 $G_F$ 中每个简单循环的 $z$-奇偶为零。若兼容，则恰有 $$ 2^{c_F} $$ 个顶点配置实现它。若先验是 iid 公平顶点律，则条件于该兼容观察后： 1. 每个 $G_F$ 连通分量选一个根，其根比特相互独立且公平； 2. 每个分量内其余顶点由根比特与所观测路径和唯一确定； 3. 对任意顶点 $p,q$，$x_p+x_q$ 在条件分布下为确定值，当且仅当 $p,q$ 位于 $G_F$ 的同一连通分量；若二者位于不同分量，则 $x_p+x_q$ 是公平比特。 **证明。** 把循环零奇偶定理应用于子图 $G_F$ 即得兼容判据和 $2^{c_F}$ 个提升。iid 公平先验给每个顶点配置相同质量 $2^{-|V|}$，所以条件在一个非空兼容纤维上后，就是该 $2^{c_F}$ 元纤维上的均匀分布。锚定重建把该纤维双射到 $\mathbb F_2^{c_F}$，故各分量根比特独立公平，其余顶点是相应根与固定路径和之和。 若 $p,q$ 同分量，取任一 $F$-路径 $P$ 从 $p$ 到 $q$，则 $$ x_p+x_q=\sum_{e\in P}z_e, $$ 右边由观察完全确定且因循环兼容而与路径无关。若 $p,q$ 属于不同分量，则 $$ x_p=\alpha_p+A,\qquad x_q=\alpha_q+B, $$ 其中 $\alpha_p,\alpha_q$ 由观察固定，而 $A,B$ 是两个不同分量的独立公平锚点；故 $A+B$，从而 $x_p+x_q$，公平。证毕。 **定理 67.12（时间边与空间边的共同见证判据）。** 设 $F_t,F_s\subseteq E$ 分别是两类已观察边，给定标签 $$ z_t\in\mathbb F_2^{F_t},\qquad z_s\in\mathbb F_2^{F_s}. $$ 存在同一个顶点配置 $x\in\mathbb F_2^V$ 同时满足 $$ \delta x|_{F_t}=z_t,\qquad \delta x|_{F_s}=z_s $$ 当且仅当： $$ z_t|_{F_t\cap F_s}=z_s|_{F_t\cap F_s}, $$ 并且把二者合并为 $z\in\mathbb F_2^{F_t\cup F_s}$ 后，子图 $(V,F_t\cup F_s)$ 的每个简单循环都有 $$ \sum_{e\in C}z_e=0. $$ 条件成立时，共同见证恰有 $$ 2^{c(V,F_t\cup F_s)} $$ 个。 对于完整开矩形，将水平边与竖直边分别看作两类观察时，全部基本方格方程已经等价于这个全局循环条件；对于周期矩形，全部 plaquette 方程只保证 flat，仍必须额外要求两个 holonomy $$ H=U=0 $$ 才有共同单值周期见证。 **证明。** 若共同见证存在，重叠边上的两种指定值都等于同一个 $\delta x$，故必须相等；合并标签也必在每个循环上零奇偶。反之，重叠一致使合并标签良定义，循环零奇偶定理应用于子图 $(V,F_t\cup F_s)$ 即产生共同顶点见证，并给出精确纤维大小。开矩形的进一步结论由其方格充分性定理；周期矩形的进一步结论由 holonomy 定理。证毕。 **定义 67.13（路径上的差分标签、相等标签与全局补比特）。** 对有限路径顶点 $$ x_0,x_1,\ldots,x_L\in\mathbb F_2 $$ 定义相邻差分与相等标签 $$ r_j=x_j+x_{j+1},\qquad c_j=1-r_j=1+r_j \quad(0\leq j0$，则 $$ N=\bigcap_{j=0}^{d-1}\ker(BD^j), \qquad R=\operatorname{span}\{D^jCv:0\le j0$： $$ R_i:V\to Y_i, \qquad w_i>0. $$ 定义加权 Gram 算子 $$ G=\sum_iw_iR_i^*R_i. $$ 则 $$ \boxed{ \langle v,Gv\rangle =\sum_iw_i\|R_iv\|^2, \qquad \ker G=\bigcap_i\ker R_i. } $$ 第一式把每个读数的能量按指定权重相加；严格正权保证第二式中没有某个读数被零权隐藏。于是 $G$ 的零空间正是所有这些观察共同看不见的方向。 **注记 69.5（线性盲核与分区秩）。** 这两个结论对应 D5/S3/Observer/PositiveWeightedReadoutGramKernel.lean 的 positive_weighted_readout_gram。它把“正核”与项目的共同纤维直接接起来：条件期望残差描述某一目标在当前概念下的不可预测部分，而 $\ker G$ 描述一族线性读数对所有目标共同留下的盲核。 若在有限层 $L$ 保留有限可测分区 $\mathcal P_L=\{C_i\}$，每格满足 $\mu(C_i)>0$，定义 $$ \mathcal H_L=\operatorname{span}\{\mathbf1_{C_i}:C_i\in\mathcal P_L\}\subseteq L^2(X,\mu;\mathbb R), $$ 并令 $$ e_i=\frac{\mathbf 1_{C_i}}{\sqrt{\mu(C_i)}}, $$ 则正质量保证这些 $e_i$ 构成正交归一基，故 $$ \boxed{ \dim\mathcal H_L=|\mathcal P_L|. } $$ 这是该层的可见线性秩；其定义不同于完整 $L^2$ 空间的维数及几何 Hausdorff 维数，特例中的数值可以相同。上述正交基与维数等式由分区互斥和正质量直接计算，不是所引 Gram 声明的结论。 ### 69.6 两种残差必须分账 在同一观察塔中，可以同时出现两种严格不同的“剩余”： $$ \boxed{ \begin{aligned} \text{Shannon 残差}&:\quad H(\text{未来}\mid\text{当前名字});\\ \text{Hilbert 残差}&:\quad \|f-\mathbb E[f\mid q]\|_2^2. \end{aligned} } $$ 第一种对整个条件分布的尾部敏感，第二种只对所选目标 $f$ 的均方误差敏感。条件熵为零会推出离散下一读数在满支持模型中已由名字决定；一个特定 $f$ 的 Hilbert 残差为零，则只说明这个 $f$ 在几乎处处意义下已可由名字恢复。不能从后者推出所有未来读数都已闭合。 同理，$|\mathcal P_L|$ 的增长率、$H(W_L)$ 的增长率和 $\dim\mathcal H_L$ 的增长率，在有限分区模型中有明确对应，但它们仍分别回答“有多少类”“质量怎样分布”和“有多少线性读数方向”。把它们统称为一个“维数”会丢掉权重和目标依赖。 ### 69.7 对谱读出的边界：读完全部迹仍可能看不见内部关系 若同一域上的两个 $d$ 维有限线性演化具有相同特征多项式，Cayley--Hamilton 给出相同的 $d$ 阶幂迹递推：$n=0,\ldots,d-1$ 的迹相同，就能推出所有后续幂迹相同。这类有限饱和可与第 68 节的有限反馈尾并列使用。 **命题 69.7（幂迹不能决定相似类）。** 在任意域 $K$ 上，取 $A=0\in M_2(K)$ 与 $B=\left(\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}\right)$。它们的全部正幂迹和特征多项式相同，却秩不同且不共轭。因此 $$ \boxed{ \text{全部正幂迹及特征多项式相同}\not\Rightarrow\text{线性演化相似}. } $$ **注记 69.7（谱不变量与线性读数的类型）。** 上述反例对应 D5/S0/Observation/PowerTraceSimilarityCountermodel.lean 中的 power_traces_do_not_determine_similarity。在线性读数族的适用范围内，共同核为零等价于读数能够分离向量，正加权 Gram 核给出了该条件的表示。但矩阵的幂迹是非线性函数，不能把这里的反例直接纳入线性 Gram 核公式；它单独证明这组谱不变量不足以恢复相似类。有限余数窗口、单条轨道或局部边缘概率的分离能力也须各自验证。 ### 69.8 统一链及其适用条件 在有限、可测、权重明确的观察塔中，当前结果可以压缩为： $$ \boxed{ \begin{aligned} \text{观察纤维 }q_L &\longrightarrow \text{条件期望正交投影};\\ \text{下一读数的条件律} &\longrightarrow \text{条件熵残差};\\ \text{稳定历史商} &\longrightarrow \text{最小预测记忆};\\ \text{正权读数族} &\longrightarrow \text{Gram 正核与共同盲核};\\ \text{有限分区} &\longrightarrow \text{可见 Hilbert 秩与熵增量}. \end{aligned} } $$ 这条链需要逐项保留前提：条件熵判据需要有限全支持模型；正核结论需要严格正权和内积空间；完成商需要更新和读出的因子化；从有限秩增长谈几何维数还需要指定尺度和相应的覆盖条件。 因此，本节的统一不是 $$ \text{熵}=\text{维数}=\text{Hilbert 维数}=\text{谱读数}, $$ 而是：同一组带共同见证的观察关系，在给定测度、内积、尺度和更新规则后，能够分别产生这些读数，并且每一步的遗忘都能写成一个明确的核、熵或正交残差。第 68 节判定隐藏反馈核及初始强制项是否具有有限尾，并计算最小截止；本节则刻画观察遗留的信息和保留全部未来读数的最小记忆商。反馈核终止与观察商稳定是两项分别检验的性质。 ### 69.9 来源与适用边界 本节是既有项目声明与标准条件期望、Shannon 链式法则、有限维线性代数的桥接整理。各处引用只承担已列出的精确命题；事件方差、分区基数及满射推论另给推导。这里没有新增 Lean 声明，也没有把整节散文或用户提出的分层半群、热迹与 Gibbs 构造宣告为已形式化。本节不改变第 33、66、68 节的结论。 ## 69.99 追加锚 ## 70. 有限观察塔的层速率、热迹与 Gibbs 熵 本节在第 69 节的观察子空间上指定时间尺度。有限观察给出可见子空间及其正交细节层；各层的衰减速率是另加的数据。下面依次构造其生成元、条件平均半群及 Gibbs 态，并由累计可见秩推导热迹与熵的共同指数。全部对数未标底时均为自然对数，熵的单位为 nat；本节的 $\beta>0$ 专指逆温度。 ### 70.1 有限分区与可见 Hilbert 空间 **定义 70.1（观察塔及其细节层）。** 设 $(X,\mathcal F,\mu)$ 为概率空间，$(\mathcal P_L)_{L\ge0}$ 为逐层加细的有限可测分区，$\mathcal P_0=\{X\}$。分区与加细均按零测集等价理解；每层删去零质量胞腔，记剩下的胞腔数为 $N_L$，故 $N_0=1$。记 $\mathcal N_\mu=\{B\in\mathcal F:\mu(B)=0\}$，令 $\mathcal F_L=\sigma(\mathcal P_L\cup\mathcal N_\mu)$；加入环境内的可测零集后，有真正的包含 $\mathcal F_L\subseteq\mathcal F_{L+1}\subseteq\mathcal F$。在复 Hilbert 空间 $L^2(X,\mu;\mathbb C)$ 中置 $$ H_L=\operatorname{span}_{\mathbb C}\{\mathbf1_C:C\in\mathcal P_L,\ \mu(C)>0\}, \qquad H_{\mathrm{obs}}=\overline{\bigcup_{L\ge0}H_L}. $$ 内积取 $\langle f,g\rangle=\int_X\overline f g\,d\mu$。条件平均在零测集外写为 $$ \Pi_L f=\sum_{C\in\mathcal P_L,\ \mu(C)>0} \left(\frac1{\mu(C)}\int_C f\,d\mu\right)\mathbf1_C. $$ 以下算子均限制在 $H_{\mathrm{obs}}$ 上。定义 $$ \Delta_0=\Pi_0,\qquad \Delta_L=\Pi_L-\Pi_{L-1}\quad(L\ge1),\qquad V_L=\operatorname{ran}\Delta_L, $$ 并记 $m_0=1$、$m_L=N_L-N_{L-1}$（$L\ge1$）。允许 $m_L=0$，即该步没有新增正质量可见方向。 ### 70.2 指定层速率的最大自伴生成元 **定理 70.2（层对角算子的自伴实现）。** 在定义 70.1 下，给定实数列 $$ 0=a_0n}a_L^2\|\Delta_Lf\|_2^2\longrightarrow0, $$ 所以有限层向量构成图范数核心。证毕。 可见空间的范围亦可在此明确。令 $\mathcal F_\infty=\sigma(\bigcup_L\mathcal F_L)$。有限层可测简单函数的闭包为 $L^2(X,\mathcal F_\infty,\mu;\mathbb C)$：指标函数的逼近先对代数 $\bigcup_L\mathcal F_L$ 成立，再以单调类和 $L^2$ 极限扩到其生成的 $\sigma$-代数，最后逼近一般 $L^2$ 函数。因此 $H_{\mathrm{obs}}$ 等于此子空间。它等于环境 $L^2(X,\mathcal F,\mu;\mathbb C)$ 的充要条件是：每个 $B\in\mathcal F$ 都与某个 $B_\infty\in\mathcal F_\infty$ 只差零测集。必要性可将 $\mathbf1_B$ 的 $\mathcal F_\infty$-可测代表元以实部大于 $1/2$ 取水平集得到。以下强连续性首先属于 $H_{\mathrm{obs}}$；向整个环境空间作同一断言时需要这一生成条件。 ### 70.3 从对角衰减到条件平均 Markov 半群 **定理 70.3（强连续半群及其生成元）。** 对 $t>0$ 定义 $$ T_tf=\sum_{L\ge0}e^{-ta_L}\Delta_Lf, $$ 并单独定义 $T_0=I$。则 $(T_t)_{t\ge0}$ 是 $H_{\mathrm{obs}}$ 上的强连续自伴压缩半群，其生成元的定义域恰为 $\mathcal D(A)$，生成元为 $-A$；因此 $T_t=e^{-tA}$。 证明。正交展开使级数对每个向量收敛，且 $\|T_tf\|_2\le\|f\|_2$。各层乘数相乘即给出 $T_tT_s=T_{t+s}$，实乘数给出自伴性。由 $$ \|T_tf-f\|_2^2 =\sum_{L\ge0}|e^{-ta_L}-1|^2\|\Delta_Lf\|_2^2 $$ 和可和控制项 $\|\Delta_Lf\|_2^2$，可知 $t\downarrow0$ 时右边趋零；半群律与压缩性再给出全部 $t\ge0$ 处的强连续性。 若 $f\in\mathcal D(A)$，则对 $t>0$ 有 $0\le(1-e^{-ta_L})/t\le a_L$。逐层差商趋于 $-a_L\Delta_Lf$，差商与该极限之差的范数平方被 $a_L^2\|\Delta_Lf\|_2^2$ 控制，所以 $$ \lim_{t\downarrow0}\frac{T_tf-f}{t}=-Af. $$ 反之，若该强极限为 $g$，逐层应用有界投影 $\Delta_L$ 得 $\Delta_Lg=-a_L\Delta_Lf$。于是 $\sum_La_L^2\|\Delta_Lf\|_2^2=\|g\|_2^2<\infty$，证明生成元定义域没有遗漏。证毕。 **定理 70.4（条件平均混合式及其尾界）。** 对每个 $t>0$，有算子范数收敛的表示 $$ T_t=\sum_{L\ge0}w_L(t)\Pi_L, \qquad w_L(t)=e^{-ta_L}-e^{-ta_{L+1}}>0, \qquad \sum_{L\ge0}w_L(t)=1. $$ 若 $B_{t,n}=\sum_{L=0}^n w_L(t)\Pi_L$，则 $$ \|T_t-B_{t,n}\|_{H_{\mathrm{obs}}\to H_{\mathrm{obs}}} =e^{-ta_{n+1}}. $$ 每个 $T_t$ 保持常数与非负实函数，保持 $\mu$ 积分，并将 $0\le f\le1$ 的可见函数仍映入同一区间。因此它是关于 $\mu$ 对称且保守的 Markov 半群。 证明。各权重为正且望远镜求和为一；$\|\Pi_L\|=1$，故混合级数在算子范数中绝对收敛。有限次换序给出 $$ B_{t,n}=\sum_{k=0}^n \bigl(e^{-ta_k}-e^{-ta_{n+1}}\bigr)\Delta_k, $$ 从而 $$ T_t-B_{t,n} =e^{-ta_{n+1}}\Pi_n+\sum_{k>n}e^{-ta_k}\Delta_k. $$ 正交展开给出范数至多为 $e^{-ta_{n+1}}$；将此差算子作用于范数为一的常数函数 $1$，达到同一下界。令 $n\to\infty$ 即得到表示与尾界。 条件平均的胞腔公式保证 $\Pi_Lf\ge0$ 对非负实函数成立，且 $\Pi_L1=1$。混合的有限部分保持非负性，$L^2$ 中非负实函数锥闭，故极限亦保持非负性；权重总和为一使 $T_t1=1$。对 $0\le f\le1$ 同时作用于 $f$ 和 $1-f$ 即得 Markov 区间性质。最后，自伴性与 $T_t1=1$ 给出 $\int_XT_tf\,d\mu=\langle1,T_tf\rangle=\langle1,f\rangle$。 这里函数的保正性来自条件平均公式；一般正交投影的算子非负性不能替代此条件。在 $t=0$ 时所有差权重均为零，故混合公式限于 $t>0$，而 $T_0$ 按定理 70.3 另行定义。证毕。 附引：Alexander Bendikov、Alexander Grigor’yan、Christophe Pittet、Wolfgang Woess，[*Isotropic Markov semigroups on ultra-metric spaces*](https://arxiv.org/abs/1304.6271)，[第 2.1、2.2 节](https://arxiv.org/html/1304.6271v3#S2)。该文用嵌套的球平均正交投影建立谱分解与对称 Markov 半群。上述条件平均构造采用这一已有机制的可数有限分区形式；本节的层索引、速率与累计秩估计由所列假设及证明确定，不以此引文作穷尽的文献断言。 ### 70.4 累计可见秩控制热迹 **定理 70.5（累计计数的热迹指数）。** 再设存在常数 $c_-,c_+>0$、$\lambda>1$、$b>1$、$z>0$，使 $$ c_-\lambda^L\le N_L\le c_+\lambda^L\quad(L\ge0), \qquad a_0=0,\qquad a_L=b^{zL}\quad(L\ge1). $$ 记 $$ q=b^z>1,\qquad \gamma=\frac{\ln\lambda}{\ln q}=\frac{\log_b\lambda}{z}>0. $$ 则每个 $t>0$ 的 $T_t$ 为迹类算子，且 $$ Z(t):=\operatorname{Tr}_{H_{\mathrm{obs}}}(T_t) =\sum_{L\ge0}m_Le^{-ta_L}. $$ 存在只依赖上述常数的 $C_-,C_+>0$，使 $$ C_-t^{-\gamma}\le Z(t)\le C_+t^{-\gamma} \quad(0q^{j-1}$ 和 $m_L\le N_L\le c_+\lambda^{n+j}$。因而 $$ \sum_{L\ge0}m_Le^{-ta_L} \le c_+\lambda^n \left(1+\sum_{j\ge1}\lambda^j e^{-q^{j-1}}\right) \le C_+t^{-\gamma}, $$ 其中可取 $$ C_- =\frac{c_-}{e\lambda},\qquad C_+=c_+\left(1+\sum_{j\ge1}\lambda^j e^{-q^{j-1}}\right)<\infty. $$ 最后的正项级数相邻项比为 $\lambda\exp(-(q-1)q^{j-1})\to0$。若 $t>1$，则逐项比较给出 $Z(t)\le Z(1)<\infty$。这证明所有正时间的迹类性及界。整个下界只使用累计秩 $N_n$，没有推断单独增量 $m_L$ 与 $\lambda^L$ 可比。证毕。 若采用热迹对数约定 $$ d_{\mathrm{sp}}:=2\lim_{t\downarrow0} \frac{\ln Z(t)}{\ln(1/t)}, $$ 定理 70.5 的两侧界给出 $\ln Z(t)=\gamma\ln(1/t)+O(1)$，故此约定下 $d_{\mathrm{sp}}=2\gamma$。这一结论没有给出 $t^\gamma Z(t)$ 的极限或精确渐近系数，也未将上式替换成对数导数的极限。 ### 70.5 可数谱上的 Gibbs 态与有限能量 **定义 70.6（Gibbs 态及扩展能量）。** 对定理 70.2 的一般速率，若 $\beta>0$ 且 $Z(\beta)<\infty$，定义 $$ \rho_\beta=Z(\beta)^{-1}e^{-\beta A},\qquad p_L(\beta)=\frac{e^{-\beta a_L}}{Z(\beta)}. $$ 这是正迹类、迹为一的算子，特征值 $p_L(\beta)$ 的重数为 $m_L$。由于常数层贡献一，$Z(\beta)\ge1$，每个出现的特征值均在 $(0,1]$ 中。先将能量定义为扩展非负和 $$ E_\beta=\sum_{L\ge0}m_La_Le^{-\beta a_L}\in[0,\infty], \qquad U_\beta=E_\beta/Z(\beta), $$ 并定义扩展 von Neumann 熵 $$ S(\rho_\beta)=\sum_{L\ge0}m_L\bigl(-p_L(\beta)\ln p_L(\beta)\bigr)\in[0,\infty]. $$ 尚未证明 $E_\beta$ 有限时，不将 $U_\beta$ 当作有限的实数期望。 **命题 70.7（无需微分的能量控制）。** 若 $Z(\beta/2)<\infty$，则 $E_\beta<\infty$，并有 $$ 0\le\beta U_\beta \le\frac2e\frac{Z(\beta/2)}{Z(\beta)}. $$ 特别地，在定理 70.5 的假设下，所有 $\beta>0$ 均有有限配分函数与有限能量，且 $\beta\downarrow0$ 时 $\beta U_\beta=O(1)$。 证明。逐项比较先给出 $Z(\beta)\le Z(\beta/2)<\infty$，故 $\rho_\beta$ 有定义。对 $x\ge0$，由 $e^{y-1}\ge1+(y-1)=y$ 并取 $y=x/2$ 得 $$ xe^{-x}\le\frac2e e^{-x/2}. $$ 取 $x=\beta a_L$，乘以重数后求非负和，得到 $\beta E_\beta\le(2/e)Z(\beta/2)$。除以正数 $Z(\beta)$ 即为所求。定理 70.5 使右边对全部正 $\beta$ 有限；在 $0<\beta\le1$ 时又有 $$ \frac{Z(\beta/2)}{Z(\beta)} \le\frac{C_+}{C_-}2^\gamma, $$ 给出与 $\beta$ 无关的界。由于 $a_Le^{-\beta a_L}\le1/(e\beta)$，$\rho_\beta$ 将整个 $H_{\mathrm{obs}}$ 映入 $\mathcal D(A)$。能量有限后，$A\rho_\beta$ 的对角特征值 $a_Lp_L(\beta)$ 非负且可和，所以也可写 $U_\beta=\operatorname{Tr}(A\rho_\beta)$。证毕。 **定理 70.8（Gibbs 熵恒等式与热迹指数）。** 若 $Z(\beta)<\infty$ 且 $E_\beta<\infty$，则 $$ S(\rho_\beta)=\beta U_\beta+\ln Z(\beta)<\infty. $$ 在定理 70.5 的规模与计数假设下，进一步有 $$ S(\rho_\beta)=\gamma\ln(1/\beta)+O(1) \qquad(\beta\downarrow0). $$ 证明。每个出现的特征值满足 $$ -\ln p_L(\beta)=\beta a_L+\ln Z(\beta). $$ 两项均非负，故可按重数求和而不作条件收敛换序。用 $\sum_Lm_Lp_L(\beta)=1$ 及能量有限，立即得到恒等式及有限熵。在规模与计数假设下，定理 70.5 给出 $\ln Z(\beta)=\gamma\ln(1/\beta)+O(1)$，命题 70.7 给出 $0\le\beta U_\beta=O(1)$，两式相加即得熵渐近。此推导不对热迹估计求导，也不需要 $U_\beta\sim\gamma/\beta$。证毕。 ### 70.6 有限矩阵恒等式与可数极限的接合 **命题 70.9（Gibbs 截断的迹范数及熵收敛）。** 固定满足 $Z(\beta),E_\beta<\infty$ 的 $\beta>0$，令 $A_n=A|_{H_n}$，并置 $$ Z_n=\sum_{L=0}^nm_Le^{-\beta a_L},\qquad E_n=\sum_{L=0}^nm_La_Le^{-\beta a_L},\qquad \rho_{\beta,n}=Z_n^{-1}e^{-\beta A_n}. $$ 把 $\rho_{\beta,n}$ 在 $H_n^\perp$ 上延拓为零，则 $$ \|\rho_{\beta,n}-\rho_\beta\|_1 =2\left(1-\frac{Z_n}{Z(\beta)}\right)\longrightarrow0, \qquad \frac{E_n}{Z_n}\longrightarrow U_\beta, \qquad S(\rho_{\beta,n})\longrightarrow S(\rho_\beta). $$ 证明。$Z_n\uparrow Z(\beta)$、$E_n\uparrow E_\beta$，且 $Z_n\ge1$，所以能量比收敛。两态在同一层基中对角化；$L\le n$ 上的差特征值为 $e^{-\beta a_L}(Z_n^{-1}-Z(\beta)^{-1})\ge0$，该部分绝对值总和为 $1-Z_n/Z(\beta)$。$L>n$ 上只余 $\rho_\beta$，其迹也为 $1-Z_n/Z(\beta)$，故有精确迹范数式。 有限截断的熵公式直接使用 [D5/S3/Quantum/Divergence/GibbsVariationalIdentity.gibbs_variational_identity](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/17b6aa6066f5a638c78662d911e469496ebde67e/D5/S3/Quantum/Divergence/GibbsVariationalIdentity.lean)。在 $H_n$ 的正交基下取有限非空指标集 $\{1,\ldots,N_n\}$、复自伴矩阵 $H=-\beta A_n$，并取 $\rho=\operatorname{gibbsState}(H)=\rho_{\beta,n}$。其配分函数为 $Z_n$，实迹项为 $-\beta E_n/Z_n$；相同态间的相对熵由定义中的 $\log\rho-\log\rho=0$ 消去。该恒等式于是给出 $$ S(\rho_{\beta,n})=\beta E_n/Z_n+\ln Z_n. $$ 利用前述两个非负级数的收敛，再用定理 70.8 识别极限，便得到熵收敛。这里用能量和的控制完成了可数极限步骤，未从一般的迹范数收敛直接推出无限维熵连续性。证毕。 ### 70.7 位置 Zeckendorf 柱的特化 **命题 70.10（柱计数、Hilbert 维数与热指数）。** 取第 33.0 节的位置数字空间 $$ K=\{x\in\{0,1\}^{\mathbb N}:x_jx_{j+1}=0\}, \qquad d(x,y)=2^{-\min\{j:x_j\ne y_j\}} \quad(x\ne y), $$ 相等点距离为零；取第 33.1 节的满支撑 Borel 概率 $\nu$。写 $\phi=(1+\sqrt5)/2$、$\alpha=\phi^{-1}$，则非空长度 $L\ge1$ 柱的质量为 $$ \nu(C_p)= \begin{cases} \alpha^L,&p_{L-1}=0,\\ \alpha^{L+1},&p_{L-1}=1. \end{cases} $$ 令 $\mathcal P_L$ 为位置前 $L$ 位的柱分区，$\mathcal P_0=\{K\}$。则其累计可见秩是 $$ N_L=G_L,\qquad G_0=1,\quad G_1=2,\quad G_{L+2}=G_{L+1}+G_L, \qquad \phi^L\le G_L\le2\phi^L. $$ 此塔生成全部 $L^2(K,\nu;\mathbb C)$；该空间可分且无限维，其完备正交基的基数为 $\aleph_0$。对任意 $z>0$ 选择 $a_0=0$、$a_L=2^{zL}$（$L\ge1$），上述 Markov 半群满足 $$ Z_z(t)\asymp t^{-s/z},\qquad S(\rho_{\beta,z})=\frac{s}{z}\ln(1/\beta)+O(1), \qquad d_{\mathrm{sp}}(z)=\frac{2s}{z}, \qquad s=\log_2\phi. $$ 热迹比较在 $t\downarrow0$，熵比较在 $\beta\downarrow0$；谱维数采用第 70.4 节的热迹对数约定。 证明。长度 $L+2$ 的合法字按末位拆分：末位为零时任意长度 $L+1$ 合法字可延伸；末位为一时末两位只能为 $01$，其前部是任意长度 $L$ 合法字。这给出计数递推及初值。每个合法字均能补零延伸，且上列质量严格正，故没有柱因零测而被删去，$N_L=G_L$。由初值与 $\phi^{L+2}=\phi^{L+1}+\phi^L$ 归纳，得到所列两侧界。 位置柱构成 $K$ 的可数拓扑基，并生成 Borel $\sigma$-代数。因此第 70.2 节的生成条件成立，$H_{\mathrm{obs}}=L^2(K,\nu;\mathbb C)$；对测度完备化亦不变。各有限层中以有理实部、虚部为系数的线性组合的并，是一个可数稠密集，故该空间可分；而 $N_L\to\infty$ 排除有限维。等价地，每个 $V_L$ 取有限正交基，其并是可数无限的完备正交基。这里 Hilbert 维数指正交基的基数；第 33.2 节的 $s=\dim_{\mathrm H}(K,d)$ 是度量空间的 Hausdorff 维数，两种维数的定义对象不同。 在定理 70.5 中取 $\lambda=\phi$、$c_-=1$、$c_+=2$、$b=2$，便有 $\gamma=s/z$，其热迹结论及定理 70.8 的熵结论分别给出所列公式。此处使用的是第 33.1 节的几何柱测度 $\nu$；第 33.9、33.10 节的位置平稳最大熵测度是另一个测度，不参与本次替换。证毕。 ### 70.8 固定几何不固定层动力，胞腔态不等于热态 **命题 70.11（同一观察几何的不同热指数）。** 在命题 70.10 的同一 $(K,d,\nu)$、同一位置柱塔和同一条件平均算子族上，分别选择 $$ a_L^{(1)}=2^L,\qquad a_L^{(2)}=2^{2L}\quad(L\ge1), \qquad a_0^{(1)}=a_0^{(2)}=0. $$ 两者都是关于 $\nu$ 对称且保守的强连续 Markov 半群，但有 $$ Z_1(t)\asymp t^{-s},\qquad Z_2(t)\asymp t^{-s/2}, \qquad d_{\mathrm{sp}}^{(1)}=2s,\quad d_{\mathrm{sp}}^{(2)}=s. $$ 因此这一观察几何与测度不唯一决定热迹指数，也不唯一决定 Gibbs 熵的对数系数。 证明。两速率列均满足定理 70.2 的严格递增与发散条件，故定理 70.3、70.4 分别适用。命题 70.10 分别取 $z=1,2$ 给出各热迹指数与谱维数；定理 70.8 给出的熵对数系数分别为 $s$ 与 $s/2$。由于 $s>0$，指数不同，而空间、测度与各层投影全都相同。证毕。 上述 $T_t$ 按位置观察的整层 $V_L$ 指定标量衰减。第 40 节的算子 $(1-p)I+p(R_\theta)_\#$ 则按圆周旋转的随机迭代产生二项时间混合；它的定义中没有本节的层速率列。故本节的时间尺度来自对 $a_L$ 的额外选择，未由第 40 节的算术时间更新确定。 **命题 70.12（胞腔概率态与 Gibbs 态的区别）。** 对命题 70.10 的有限柱分区，在胞腔基 $e_C=\nu(C)^{-1/2}\mathbf1_C$ 上定义 $$ \rho_L^{\mathrm{cell}} =\sum_{C\in\mathcal P_L}\nu(C)\,|e_C\rangle\langle e_C|. $$ 其熵是胞腔质量的 Shannon 熵 $$ S(\rho_L^{\mathrm{cell}})=-\sum_{C\in\mathcal P_L}\nu(C)\ln\nu(C). $$ 对于任意 $z>0$、$\beta>0$，第一层的这个态与命题 70.9 的 Gibbs 截断 $\rho_{\beta,1}$ 不相等；将任一有限 $\rho_L^{\mathrm{cell}}$ 延拓到整个观察空间后，它也不等于 $\rho_\beta$。 证明。胞腔基正交，故 $\rho_L^{\mathrm{cell}}$ 的特征值正是 $\nu(C)$，直接按特征值计算熵即得首式。第一层两胞腔的质量为 $\alpha,\alpha^2$，且 $\alpha+\alpha^2=1$。在该胞腔基中，常数单位向量的坐标为 $$ u=(\sqrt\alpha,\alpha)^{\mathsf T},\qquad \Pi_0=uu^*. $$ 设 $r=e^{-\beta a_1}\in(0,1)$。由于第一层有一个常数方向与一个细节方向， $$ \rho_{\beta,1}=\frac{rI+(1-r)uu^*}{1+r}, \qquad \rho_1^{\mathrm{cell}}=\operatorname{diag}(\alpha,\alpha^2). $$ 前一矩阵的非对角元为 $(1-r)\alpha^{3/2}/(1+r)>0$，后一矩阵的非对角元为零，故二者不相等。最后，$\rho_L^{\mathrm{cell}}$ 的秩为有限的 $G_L$，而 $\rho_\beta$ 在可数无限层基的每个向量上都有严格正特征值，因而秩无限，也不可能相等。胞腔态编码各观察类的概率，Gibbs 态编码指定生成元的能级权重；它们不是一个态经坐标变换后的两种记法。证毕。 ## 70.99 追加锚 ## 71. Gibbs 位置边缘、参考权重与冷热极限 ### 71.1 完整位置空间与等格条件测度 **定义与假设 71.0（位置乘法表示与分层热态）。** 设 $X$ 为非空紧可度量空间，$\mathcal P_n$ 是由非空开闭集组成的有限分区，满足 $$ \mathcal P_0=\{X\},\qquad \mathcal P_{n+1}\text{ 加细 }\mathcal P_n, \qquad \bigcup_{n\ge0}\mathcal P_n\text{ 分离点}. $$ 令 $\mu$ 为 $X$ 上满支撑的 Borel 概率，故每格 $C$ 均有 $\mu(C)>0$。记 $$ H=L^2(X,\mu;\mathbb C),\qquad H_n=\operatorname{span}\{\mathbf1_C:C\in\mathcal P_n\},\qquad N_n=|\mathcal P_n|. $$ 有限层柱函数的并是含常数、对共轭封闭且分离点的连续函数代数；Stone–Weierstrass 定理给出其在 $C(X)$ 中一致稠密。紧可度量空间上的有限 Borel 测度为正则测度，$C(X)$ 在 $H$ 中稠密，因而第 70 节的 $H_{\mathrm{obs}}$ 在此恰为完整的 $H$。特别地，每个有界 Borel 函数 $f$ 的乘法算子 $M_f:g\mapsto fg$ 都作用于此空间，且 $\|M_f\|\le\|f\|_\infty$。 沿用第 70 节的条件平均投影 $\Pi_n$、层投影 $\Delta_0=\Pi_0$、$\Delta_n=\Pi_n-\Pi_{n-1}$（$n\ge1$）及分层自伴算子 $A$，写 $$ m_0=1,\qquad m_n=N_n-N_{n-1}\ (n\ge1),\qquad 0=a_00$ 表示逆温度，并始终假定 $$ Z_\beta:=\operatorname{Tr}(e^{-\beta A}) =\sum_{n\ge0}m_ne^{-\beta a_n}<\infty \quad\text{对每个 }\beta>0. $$ 于是 $T_\beta=e^{-\beta A}$ 与 $\rho_\beta=T_\beta/Z_\beta$ 分别为热算子与 Gibbs 态。各层有限秩和 $a_n\to\infty$ 本身不代替上述迹类假设；允许某些 $m_n=0$。 **定义 71.1（位置读出及等格混合）。** 对 Borel 集 $E\subseteq X$，记 $M_E=M_{\mathbf1_E}$，定义 $$ \nu_\beta(E)=\operatorname{Tr}(\rho_\beta M_E). $$ 若 $C_n(x)$ 是包含 $x$ 的唯一第 $n$ 层格，置 $$ d_n(\beta)=e^{-\beta a_n}-e^{-\beta a_{n+1}}>0, \qquad \eta_n=\frac1{N_n}\sum_{C\in\mathcal P_n}\mu(\,\cdot\mid C), \qquad \mu(E\mid C)=\frac{\mu(E\cap C)}{\mu(C)}, $$ $$ w_n(\beta)=\frac{d_n(\beta)N_n}{Z_\beta}. $$ $\eta_n$ 是在各格之间等权、在每格内部保留参考条件概率的 Borel 概率；特别地 $\eta_0=\mu$。以下证明 $\nu_\beta$ 也是概率，并采用 $$ d_{\mathrm{TV}}(\nu,\eta) =\sup_{E\text{ Borel}}|\nu(E)-\eta(E)| =\frac12\|\nu-\eta\|_{\mathrm{var}}. $$ 符号 $\Rightarrow$ 表示对全部连续函数积分的弱收敛。 ### 71.2 归一化热对角的尺度混合 **定理 71.2（位置密度与等格条件混合）。** 在定义与假设 71.0 下，对每个 $\beta>0$ 有 $$ Z_\beta=\sum_{n\ge0}d_n(\beta)N_n, \qquad \sum_{n\ge0}w_n(\beta)=1, \qquad \nu_\beta=\sum_{n\ge0}w_n(\beta)\eta_n. $$ 其相对于 $\mu$ 的密度为 $$ \frac{d\nu_\beta}{d\mu}(x) =\frac1{Z_\beta}\sum_{n\ge0}\frac{d_n(\beta)}{\mu(C_n(x))} \quad\text{对 }\mu\text{-几乎所有 }x, $$ 右侧几乎处处有限。对每个有界 Borel 函数 $f$，有 $$ \operatorname{Tr}(\rho_\beta M_f)=\int_X f\,d\nu_\beta. $$ 证明。固定 $\beta$，暂略去 $d_n$ 的参数。由于 $N_n=\sum_{k=0}^n m_k$，非负双重级数可按 Tonelli 换序，得到 $$ \sum_{n\ge0}d_nN_n =\sum_{k\ge0}m_k\sum_{n\ge k}d_n =\sum_{k\ge0}m_ke^{-\beta a_k} =Z_\beta. $$ 这里尾和的望远镜恒等式使用 $a_n\to\infty$。令 $$ S_M=\sum_{n=0}^M d_n\Pi_n. $$ 这些有限秩正算子递增。第 70.4 条的层展开给出 $$ T_\beta-S_M =e^{-\beta a_{M+1}}\Pi_M +\sum_{k>M}e^{-\beta a_k}\Delta_k\ge0. $$ 因此差算子为正迹类，且 $$ \|T_\beta-S_M\|_1 =\operatorname{Tr}(T_\beta-S_M) =Z_\beta-\sum_{n=0}^M d_nN_n \longrightarrow0. $$ 这提供了逐项取迹所需的迹范数收敛。 在 $H_n$ 中使用正交归一基 $e_C=\mu(C)^{-1/2}\mathbf1_C$，有限秩迹与循环性给出 $$ \operatorname{Tr}(\Pi_nM_E) =\operatorname{Tr}(\Pi_nM_E\Pi_n) =\sum_{C\in\mathcal P_n}\langle e_C,M_Ee_C\rangle =\sum_{C\in\mathcal P_n}\frac{\mu(E\cap C)}{\mu(C)}. $$ 正性属于夹心算子 $\Pi_nM_E\Pi_n$；乘积 $\Pi_nM_E$ 一般不自伴，不能将它本身当作正算子。利用 $$ \bigl|\operatorname{Tr}((T_\beta-S_M)M_E)\bigr| \le\|T_\beta-S_M\|_1\|M_E\|\longrightarrow0, $$ 可将有限秩公式求和取极限，得到 $$ \nu_\beta(E) =\frac1{Z_\beta}\sum_{n\ge0}d_n \sum_{C\in\mathcal P_n}\frac{\mu(E\cap C)}{\mu(C)} =\sum_{n\ge0}w_n(\beta)\eta_n(E). $$ 非负函数 $$ h_\beta(x)=\frac1{Z_\beta}\sum_{n\ge0}\frac{d_n}{\mu(C_n(x))} $$ 可测；再次使用 Tonelli，得到 $\nu_\beta(E)=\int_Eh_\beta\,d\mu$ 以及 $$ \int_X h_\beta\,d\mu =\frac1{Z_\beta}\sum_{n\ge0}d_nN_n=1. $$ 故原迹读出具有可数可加性、总质量一，且 $h_\beta$ 几乎处处有限。最后，有界 Borel 函数可由简单函数一致逼近；积分连续性以及迹类算子对有界乘法算子的迹估计，将事件公式延伸到所述 $f$。证毕。 ### 71.3 有限温度的参考权重与低温极限 **命题 71.3（测度等价与常数基态的冷极限）。** 对每个有限 $\beta>0$，有测度不等式及等价关系 $$ \nu_\beta\ge\frac1{Z_\beta}\mu, \qquad \nu_\beta\sim\mu. $$ 当 $\beta\to\infty$ 时， $$ d_{\mathrm{TV}}(\nu_\beta,\mu) \le1-\frac1{Z_\beta}\longrightarrow0. $$ 证明。因 $\mu(X)=1$，常数函数 $1$ 是单位向量，$\Pi_0=|1\rangle\langle1|$ 的位置读出为 $\mu$。层速率在 $n\ge1$ 时严格为正，故 $$ R_\beta:=T_\beta-\Pi_0 =\sum_{n\ge1}e^{-\beta a_n}\Delta_n\ge0, \qquad \operatorname{Tr}(R_\beta)=Z_\beta-1. $$ 对 Borel 集 $E$，正夹心迹满足 $$ Z_\beta\nu_\beta(E)-\mu(E) =\operatorname{Tr}(R_\beta M_E) =\operatorname{Tr}(R_\beta^{1/2}M_ER_\beta^{1/2})\ge0. $$ 定理 71.2 已给出 $\nu_\beta\ll\mu$，上述下界给出反向绝对连续性，也给出 $d\nu_\beta/d\mu\ge Z_\beta^{-1}$ 几乎处处。 固定一个 $\beta_0>0$。对 $\beta\ge\beta_0$，正项级数 $$ Z_\beta=1+\sum_{n\ge1}m_ne^{-\beta a_n} $$ 由可和序列 $m_ne^{-\beta_0a_n}$ 支配，而每个尾层项趋零，故 $Z_\beta\to1$。若 $Z_\beta>1$，测度下界使 $$ \xi_\beta=\frac{Z_\beta\nu_\beta-\mu}{Z_\beta-1} $$ 成为概率，并有 $$ \nu_\beta=\frac1{Z_\beta}\mu +\left(1-\frac1{Z_\beta}\right)\xi_\beta. $$ 任意两个概率的 $d_{\mathrm{TV}}$ 至多为一，遂得所列估计。若 $Z_\beta=1$，则 $R_\beta=0$，直接有 $\nu_\beta=\mu$。证毕。 此冷极限使用了零能空间恰为一维常数空间。若另有零能模态，受控迹极限选择的是整个零能投影的归一化位置读出；它不能仅凭保守性识别为 $\mu$。 ### 71.4 不要求增长率的高温极限 **定理 71.4（等格条件测度的弱极限传递）。** 在定义与假设 71.0 下，再设 $$ N_n\longrightarrow\infty, \qquad \eta_n\Rightarrow\eta $$ 其中 $\eta$ 为 $X$ 上的 Borel 概率。则 $$ \nu_\beta\Rightarrow\eta\qquad(\beta\downarrow0). $$ 除所有正逆温度的迹类条件外，本结论不要求 $N_n$ 或 $a_n$ 的指定增长率。 证明。对任意固定 $M$，前 $M$ 层的全部模态给出 $$ Z_\beta \ge\sum_{k=0}^M m_ke^{-\beta a_k} \ge e^{-\beta a_M}N_M. $$ 先固定 $M$ 令 $\beta\downarrow0$，再令 $M\to\infty$，得 $Z_\beta\to\infty$。具体地，对任意 $R>0$ 可先选 $M$ 使 $N_M>2R$，再取足够小的 $\beta$ 使 $e^{-\beta a_M}>1/2$。另一方面，$N_n$ 单调且 $\sum_nd_n(\beta)=1$，故每个有限层集合的混合权重满足 $$ \sum_{n=0}^M w_n(\beta) \le\frac{N_M}{Z_\beta}\sum_{n=0}^M d_n(\beta) \le\frac{N_M}{Z_\beta}\longrightarrow0. $$ 由定理 71.2，对每个 $f\in C(X)$ 有显式估计 $$ \left|\int f\,d\nu_\beta-\int f\,d\eta\right| \le\frac{2\|f\|_\infty N_M}{Z_\beta} +\sup_{n>M}\left|\int f\,d\eta_n-\int f\,d\eta\right|. $$ 固定 $M$ 时第一项随 $\beta\downarrow0$ 消失；第二项随 $M\to\infty$ 消失。这证明所需弱收敛。证毕。 ### 71.5 Bernoulli 柱的公平极限与同谱位置分离 **命题 71.5（Bernoulli 高温极限与首位读出）。** 取 $X=\{0,1\}^{\mathbb N}$，$\mathcal P_n$ 为长度 $n$ 的柱分区，$\mu_p$ 为各位独立且 $\Pr(x_j=1)=p$ 的 Bernoulli 概率，$00$，对全部 $p$ 使用共同速率 $$ a_0=0,\qquad a_n=2^{zn}\quad(n\ge1). $$ 以 $\nu_{\beta,p}$、$\eta_{n,p}$ 标明参考概率。则全部 $\beta>0$ 的热算子迹类；对任意长度 $m$ 的字 $u$， $$ \eta_{n,p}([u])=2^{-m}\quad(n\ge m), \qquad \nu_{\beta,p}\Rightarrow\mu_{1/2}\quad(\beta\downarrow0). $$ 首位事件 $[1]=\{x:x_0=1\}$ 满足 $$ \nu_{\beta,p}([1]) =\frac12+\left(p-\frac12\right) \frac{1-e^{-\beta a_1}}{Z_\beta}. $$ 低温有 $d_{\mathrm{TV}}(\nu_{\beta,p},\mu_p)\to0$。若 $p=1/2$，则全部 $\beta>0$ 已有 $\nu_{\beta,1/2}=\mu_{1/2}$。 证明。全部柱质量为正，故 $\mu_p$ 满支撑，且 $$ N_n=2^n,\qquad m_0=1,\qquad m_n=2^{n-1}\ (n\ge1), \qquad Z_\beta=1+\sum_{n\ge1}2^{n-1}e^{-\beta2^{zn}}. $$ 对任意固定 $\beta>0$，最后级数相邻项之比为 $$ 2\exp\bigl(-\beta(2^z-1)2^{zn}\bigr)\longrightarrow0, $$ 所以迹有限。$Z_\beta$ 与 $p$ 无关。 当 $n\ge m$ 时，$[u]$ 恰为 $2^{n-m}$ 个第 $n$ 层格之并，每格的条件测度在此事件上取零或一，故其 $\eta_{n,p}$ 质量为 $2^{n-m}/2^n=2^{-m}$。空字的柱是 $X$，同式给出质量一。柱函数在 $C(X)$ 中一致稠密，所有固定柱的上述等式遂给出 $\eta_{n,p}\Rightarrow\mu_{1/2}$；结合 $N_n\to\infty$ 与定理 71.4 得高温结论。 对首位柱，$\eta_{0,p}([1])=p$，而 $\eta_{n,p}([1])=1/2$ 对全部 $n\ge1$ 成立。因此定理 71.2 的混合式给出 $$ \nu_{\beta,p}([1]) =w_0(\beta)p+(1-w_0(\beta))/2, \qquad w_0(\beta)=\frac{1-e^{-\beta a_1}}{Z_\beta}, $$ 即所列精确式。低温结论由命题 71.3 得到。若 $p=1/2$，每个第 $n$ 层格的参考质量均为 $2^{-n}$，从 $\eta_{n,p}$ 的定义直接得到 $\eta_{n,1/2}=\mu_{1/2}$，再由混合式得到全部温度的等式。证毕。 **命题 71.6（同谱热态不指定位置边缘）。** 对命题 71.5 的任意 $p,q\in(0,1)$，记相应算子为 $A_p,A_q$。它们在各自 $L^2(X,\mu_p;\mathbb C)$、$L^2(X,\mu_q;\mathbb C)$ 上酉等价，具有相同的层谱重数、配分函数和有限 Gibbs 谱熵。但若 $p\ne q$，则对每个有限 $\beta>0$， $$ \nu_{\beta,p}([1])-\nu_{\beta,q}([1]) =(p-q)\frac{1-e^{-\beta a_1}}{Z_\beta}\ne0, $$ 且低温极限分别为 $\mu_p$ 与 $\mu_q$。 证明。各模型的第 $n$ 层维数同为 $m_n$。逐层选择正交归一基，将一组基映到另一组基，得到整个 Hilbert 空间之间的酉算子 $U$。共同速率使定义域条件 $\sum_na_n^2\|\Delta_nf\|_2^2<\infty$ 被 $U$ 保持，且 $UA_pU^*=A_q$，因此相应热态也由 $U$ 共轭。共同的 $Z_{\beta/2}<\infty$ 经命题 70.7 与定理 70.8 保证有限能量和有限 Gibbs 熵；这些量均由同一组特征值及重数确定。位置边缘的差与冷极限则由命题 71.5、71.3 给出。这里的酉等价是不同 $L^2$ 表示之间的谱等价；没有将两算子视为固定位置表示中的同一个算子，也没有要求 $U$ 交织全部 $M_f$。事实上，若还交织首位乘法观察，就会由迹不变性得到相同首位读出，与上式矛盾。证毕。 ### 71.6 高温弱收敛的全变差边界 **命题 71.7（有限温度对公平律的全变差分离）。** 在命题 71.5 的模型中，若 $p\ne1/2$，则 $$ d_{\mathrm{TV}}(\nu_{\beta,p},\mu_{1/2})=1 \quad\text{对每个有限 }\beta>0, $$ 尽管 $\nu_{\beta,p}\Rightarrow\mu_{1/2}$ 当 $\beta\downarrow0$。 证明。对 $n\ge1$ 定义经验均值 $b_n(x)=n^{-1}\sum_{jm$，下一位强制为零，再任取长度 $n-m-1$ 的合法字，共有 $G_{n-m-1}$ 个补全；若 $n=m$，唯一空补全由约定 $G_{-1}=1$ 表示。每个第 $n$ 层格对 $[u]$ 的条件质量为零或一，故除以总格数 $G_n$ 就得到所列 $\eta_n$ 公式，完全不依赖格内的参考条件概率。 由相同递推与初值核定的 Binet 式为 $$ G_n=\frac{\phi^{n+2}-(-\alpha)^{n+2}}{\sqrt5} \qquad(n\ge-1). $$ 因 $|{-\alpha}|<1<\phi$，对每个固定非负整数 $r$ 有 $G_{n-r}/G_n\to\alpha^r$。分别取 $r=m,m+1$ 得柱质量极限，它们正是第 33.1 节的 $\nu_{\mathrm{nat}}$。对连续函数先以一个有限层柱函数一致逼近，再对该层有限个柱使用质量收敛，得到 $\eta_n\Rightarrow\nu_{\mathrm{nat}}$。又 $G_n\to\infty$，定理 71.4 遂给出所需 Gibbs 高温极限。 迹类条件可由共同选择 $a_0=0$、$a_n=2^{zn}$（$n\ge1,z>0$）满足：$m_n\le G_n\le2^n$，故热迹尾和被命题 71.5 中同类的收敛级数控制。此验证对含原子的满支撑 $\mu$ 同样成立。有限温度仍有 $\nu_\beta\sim\mu$，低温仍由命题 71.3 以全变差趋于所选 $\mu$；高温所确定的是固定左边界的前缀弱极限。最后，对 $u=1$ 有极限质量 $\alpha^2$，而第 33.9 节的平稳初始律给出 $\alpha^2/(1+\alpha^2)$；二者严格不同。证毕。 ### 71.8 Gibbs 温度与 Markov 时间 **命题 71.9（从参考概率出发的时间演化不产生 Gibbs 位置族）。** 在命题 71.5 的 Bernoulli 模型中，若 $p\ne1/2$，则对每个 $\beta>0$ 与每个 $t\ge0$， $$ \nu_{\beta,p}\ne\mu_pT_t^{(p)}, \qquad T_t^{(p)}=e^{-tA_p}, $$ 其中 $(\mu_pT_t^{(p)})(E)=\int T_t^{(p)}\mathbf1_E\,d\mu_p$。 证明。先在定义与假设 71.0 的一般模型中应用第 70.3–70.4 条：$T_t$ 自伴且 $T_t1=1$。因 $\mu$ 是概率，有界 Borel 函数 $f$ 属于 $L^2(\mu)$，故 $$ \int T_tf\,d\mu =\langle1,T_tf\rangle =\langle T_t1,f\rangle =\int f\,d\mu. $$ 因此 $\mu T_t=\mu$ 对每个时间成立。另一方面，命题 71.5 中 $$ 00,\qquad \sum_{j\in J}q_j=1,\qquad p_i=\sum_{r(j)=i}q_j>0. $$ 于是 $r$ 满射。置 $t_{j\mid i}=q_j/p_i$（$r(j)=i$），并在标准复 Hilbert 空间 $$ \mathcal H_c=\mathbb C^I,\qquad \mathcal H_f=\mathbb C^J $$ 分别使用正交归一基 $(e_i)$、$(f_j)$。若粗细分区满足 $D_i=\bigsqcup_{r(j)=i}C_j$，且同一概率 $\mu$ 给出 $p_i=\mu(D_i)$、$q_j=\mu(C_j)$，这些坐标基对应 $$ e_i=\frac{\mathbf1_{D_i}}{\sqrt{p_i}},\qquad f_j=\frac{\mathbf1_{C_j}}{\sqrt{q_j}} $$ 所表示的 $L^2(\mu;\mathbb C)$ 向量。定义粗观察子空间到细观察子空间的坐标映射 $$ U_r e_i=\sum_{r(j)=i}\sqrt{\frac{q_j}{p_i}}\,f_j, \qquad \rho_p=\operatorname{diag}(p),\qquad \rho_q=\operatorname{diag}(q). $$ 向量、乘法观察量与密度矩阵分别属于 $\mathcal H$、$\mathcal B(\mathcal H)$ 与其中正且迹一的部分；同一张概率表在这些位置的作用须分别说明。第 70.12 条的胞腔概率态就是这里的对角态。也可在第 71 节固定一个 $\beta>0$，以 $q_j=\nu_\beta(C_j)$ 代入；此时归一化指示基属于 $L^2(\nu_\beta)$。若沿用原 $L^2(\mu)$ 的指示基，则其权重仍须取 $\mu(C_j)$，不能只替换概率而保留旧坐标公式。胞腔对角态不因此被识别为第 70–71 节的 Gibbs 算子态。 以下一律用自然对数，$0\ln0=0$。对有限概率 $a$ 与密度矩阵 $\rho$，记 $$ H(a)=-\sum_xa_x\ln a_x,\qquad S(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\log\rho). $$ 矩阵的支撑为其像空间；对同一空间上的两密度矩阵采用带支撑条件的相对熵 $$ D(\rho\Vert\eta)= \begin{cases} \operatorname{Tr}(\rho\log\rho)-\operatorname{Tr}(\rho\log\eta), &\operatorname{supp}\rho\subseteq\operatorname{supp}\eta,\\ +\infty,&\text{否则}. \end{cases} $$ 有限分支中的对数在各自正支撑上取通常值，在核上延零；只有满足所列支撑条件时才使用这个有限表达式。令 $F_j=|f_j\rangle\langle f_j|$，细基去相干为 $$ \Delta_f(Y)=\sum_{j\in J}F_jYF_j =\operatorname{diag}_j(Y_{jj}). $$ 若随机标签 $\mathsf J$ 的律为 $q$，父标签为 $r(\mathsf J)$，则 $$ H(\mathsf J\mid r(\mathsf J)) =\sum_i p_i H(t_{\cdot\mid i}). $$ **定理 72.2（加权等距包含、条件平均与复合消去）。** 在定义与假设 72.1 下，$U_r^*U_r=I_{\mathcal H_c}$。对任意 $g:J\to\mathbb C$，有 $$ U_r^*\operatorname{diag}(g)U_r =\operatorname{diag}_i\left(\sum_{r(j)=i}\frac{q_j}{p_i}g_j\right). $$ 特别地，$g=h\circ r$ 时右侧为 $\operatorname{diag}(h)$。再设 $K$ 为有限非空集合，$s:K\to J$，$u_k>0$，且 $q_j=\sum_{s(k)=j}u_k$。按相同定义构造 $U_s:\mathbb C^J\to\mathbb C^K$ 及 $U_{r\circ s}:\mathbb C^I\to\mathbb C^K$，则 $$ U_sU_r=U_{r\circ s},\qquad U_{\mathrm{id}}=I. $$ 证明。不同父纤维不交，而每列的平方范数为 $\sum_{r(j)=i}q_j/p_i=1$，故列向量正交归一。分区表示中，$\mathbf1_{D_i}=\sum_{r(j)=i}\mathbf1_{C_j}$ 恰给出所列系数，所以 $U_r$ 表示实际的子空间包含。压缩对角算子的 $(i,i')$ 元在 $i\ne i'$ 时为零，在 $i=i'$ 时为所列条件平均；代入 $g_j=h_i$ 即恢复粗观察量。复合的第 $(k,i)$ 元只有中间标签 $j=s(k)$ 能贡献，在 $r(s(k))=i$ 时其值为 $$ \sqrt{\frac{u_k}{q_{s(k)}}}\sqrt{\frac{q_{s(k)}}{p_i}} =\sqrt{\frac{u_k}{p_i}}, $$ 否则为零。正权重保证约去的分母非零。恒等细化的每条纤维只有自身一个标签，系数为一。证毕。 **命题 72.3（态提升与 Heisenberg 压缩的不同归一化）。** 在定义与假设 72.1 下，定义 $$ \mathcal E_r:\mathcal B(\mathcal H_c)\to\mathcal B(\mathcal H_f), \quad \mathcal E_r(X)=U_rXU_r^*, $$ $$ \Gamma_r:\mathcal B(\mathcal H_f)\to\mathcal B(\mathcal H_c), \quad \Gamma_r(Y)=U_r^*YU_r. $$ $\mathcal E_r$ 完全正且保迹，即 CPTP；其迹配对伴随 $\Gamma_r$ 完全正且保单位元： $$ \operatorname{Tr}_{\mathcal H_f}(\mathcal E_r(X)Y) =\operatorname{Tr}_{\mathcal H_c}(X\Gamma_r(Y)), \qquad \Gamma_r(I_{\mathcal H_f})=I_{\mathcal H_c}. $$ 对 $Y\ge0$，$0\le\operatorname{Tr}\Gamma_r(Y)\le\operatorname{Tr}Y$。特别地 $$ \Gamma_r(\rho_q) =\operatorname{diag}_i\frac{\sum_{r(j)=i}q_j^2}{p_i}, \qquad \operatorname{Tr}\Gamma_r(\rho_q) =\sum_i p_i\sum_{r(j)=i}t_{j\mid i}^{\,2}\le1. $$ 等号成立当且仅当每个正质量父纤维没有两个正质量孩子；在本条严格正设置下等价于 $r$ 为双射。其迹缺口为 $$ 1-\operatorname{Tr}\Gamma_r(\rho_q) =\sum_i p_i\left(1-\sum_{r(j)=i}t_{j\mid i}^{\,2}\right) =\sum_i\frac{\sum_{\substack{r(j)=r(k)=i\\j\ne k}}q_jq_k}{p_i}. $$ 证明。$\mathcal E_r$ 的单个 Kraus 算子为 $U_r$，定理 72.2 给出完整性 $U_r^*U_r=I$，故有限 Kraus 通道定理适用。$\Gamma_r$ 在每个有限放大上都是由 $I\otimes U_r$ 夹乘的压缩，因而完全正；保单位元与迹伴随关系分别由等距性和矩形乘积的迹循环性得到。置 $P_r=U_rU_r^*$，则 $P_r$ 是正交投影。对 $Y\ge0$， $$ \operatorname{Tr}Y-\operatorname{Tr}\Gamma_r(Y) =\operatorname{Tr}\bigl(Y^{1/2}(I-P_r)Y^{1/2}\bigr)\ge0. $$ 将定理 72.2 中的 $g$ 取为 $q$ 即得对角公式。每条纤维有 $\sum_jt_{j\mid i}=1$，所以 $$ 1-\sum_jt_{j\mid i}^{\,2}=\sum_{j\ne k}t_{j\mid i}t_{k\mid i}\ge0. $$ 该和为零恰好在条件律为点质量时发生；所有 $p_i>0$，故加权和为零恰好在每条纤维如此。证毕。 这里 $\Gamma_r(\rho_q)$ 是次归一化正矩阵，不能把它无条件当作粗密度态 $\rho_p$。迹缺口是加权条件碰撞缺量，使用平方和；它与使用对数的条件熵并非同一个数。将它解释为某个失败概率还须另行指定相应的测量模型，本条没有这样的物理假设。 **定理 72.4（经典标签通道的精确矩阵作用）。** 对定义与假设 72.1 的 $r$，令 $$ K_j=|e_{r(j)}\rangle\langle f_j|:\mathcal H_f\to\mathcal H_c, \qquad \mathcal C_r(Y)=\sum_{j\in J}K_jYK_j^*. $$ 则 $\sum_jK_j^*K_j=I_{\mathcal H_f}$，且 $\mathcal C_r:\mathcal B(\mathcal H_f)\to\mathcal B(\mathcal H_c)$ 是 CPTP 映射，满足 $$ \mathcal C_r(Y)_{ii'} =\mathbf1_{i=i'}\sum_{r(j)=i}Y_{jj}, \qquad \mathcal C_r(\rho_q)=\rho_p. $$ 对任意有限非空 $K$ 和映射 $s:K\to J$，按同一 Kraus 公式定义 $\mathcal C_s$，则在全部复矩阵上 $$ \mathcal C_r\circ\mathcal C_s=\mathcal C_{r\circ s}. $$ 此构造与这些结论不依赖概率权重，也不要求标签映射满射。 证明。逐项有 $K_j^*K_j=F_j$，而 $\sum_jF_j=I_{\mathcal H_f}$。有限 Kraus 通道定理于是给出完全正性、保迹性及其实际 Kraus 和作用。又 $$ K_jYK_j^*=Y_{jj}|e_{r(j)}\rangle\langle e_{r(j)}|, $$ 求和得矩阵条目公式，代入 $Y=\rho_q$ 得 $\rho_p$。对任意 $Z\in\mathcal B(\mathbb C^K)$，两次通道后第 $i$ 个对角元为 $$ \sum_{r(j)=i}\sum_{s(k)=j}Z_{kk} =\sum_{r(s(k))=i}Z_{kk}, $$ 非对角元全为零。这是有限纤维求和复合式，所求和的质量取复数 $Z_{kk}$，故同时证明全部复矩阵上的复合律。以上计算没有使用权重或满射假设。证毕。 **命题 72.5（恒等标签的去相干与量子扩张边界）。** 对有限非空标签集 $J$，有 $$ \mathcal C_{\mathrm{id}_J}=\Delta_f. $$ 它在整个矩阵代数上等于恒等映射，当且仅当 $|J|=1$。限制到各标签空间的对角矩阵代数后，$\mathcal C_r$ 就是经典质量推前，并同时保持复合与恒等映射。二标签恒等映射已有两个不同的 CPTP 扩张，即完整恒等通道与 $\Delta_f$；因此经典标签推前本身不能唯一指定一般的量子扩张。这个非唯一性断言不适用于每个标签映射：一维输出的保迹线性映射必为迹映射。 证明。定理 72.4 的条目公式取 $r=\mathrm{id}_J$ 就是 $\Delta_f(Y)=\operatorname{diag}(Y_{jj})$。一维时每个矩阵都对角。若 $j\ne k$，令 $v=(f_j+f_k)/\sqrt2$，则 $$ |v\rangle\langle v|\ne \Delta_f(|v\rangle\langle v|)=\tfrac12(F_j+F_k), $$ 因为左边的 $(j,k)$ 元为 $1/2$，右边为零。对角代数上的条目公式恰为推前，恒等细化固定全部对角矩阵。取 $J$ 恰有两点，恒等通道与 $\Delta_f$ 均 CPTP，在全部对角态上一致，以上纯态区分二者。若输出空间一维，输出矩阵只有一个标量；保迹性强制该标量等于输入矩阵的迹，故映射唯一。证毕。 **定理 72.6（指定提升的条件熵与细基相干）。** 在定义与假设 72.1 下，令 $$ v_i=U_re_i,\qquad R_i=|v_i\rangle\langle v_i|, \qquad \sigma_r=\mathcal E_r(\rho_p)=\sum_i p_iR_i. $$ $\sigma_r$ 是密度矩阵；各父纤维的块为秩一块 $p_iR_i$，其非零特征值按重数恰为 $(p_i)_{i\in I}$。并且 $$ (\sigma_r)_{jk}=\mathbf1_{r(j)=r(k)}\sqrt{q_jq_k}, \qquad \Delta_f(\sigma_r)=\rho_q, $$ $$ \boxed{ D(\sigma_r\Vert\rho_q) =S(\rho_q)-S(\sigma_r) =H(q)-H(p) =H(\mathsf J\mid r(\mathsf J)).} $$ 共同值有限且非负。若只按父纤维投影，写 $Q_i=\sum_{r(j)=i}F_j$，则 $$ \sum_iQ_i\sigma_rQ_i=\sigma_r. $$ 故所列熵增使用的是细基的一维去相干。两态在细基测量下的分布都为 $q$，因而它们的该测量分布之间的经典 KL 散度为 $\sum_jq_j\ln(q_j/q_j)=0$。 证明。由定理 72.2，$v_i$ 正交归一。因此 $R_i\ge0$、$\operatorname{Tr}R_i=1$、$R_i^2=R_i$，且 $R_iR_{i'}=0$ 对 $i\ne i'$ 成立。每个 $R_i$ 在 $\mathbb Cv_i$ 上为一、在其正交补上为零，故其谱为一个一和其余零，$S(R_i)=0$。这也可由自伴幂等元的谱包含于 $\{0,1\}$，对谱函数 $-x\ln x$ 作连续函数演算得到。正交支持混合熵公式于是给出完整的分量结算 $$ S(\sigma_r)=H(p)+\sum_i p_iS(R_i)=H(p). $$ 对细基投影 $(F_j)$ 用同一公式，每个分量仍为秩一且熵为零，得 $S(\rho_q)=H(q)$。同时 $\sigma_rv_i=p_iv_i$，在所有 $v_i$ 的共同正交补上为零，给出所列非零谱。展开 $p_iv_iv_i^*$ 得条目公式，故 $\Delta_f\sigma_r=\rho_q$；不同父纤维间本无矩阵元，故父块投影固定 $\sigma_r$。 在第 72.90 节所列相干删除恒等式中，取幺正矩阵 $I_{\mathcal H_f}$、状态序列 $\tau_k=\Delta_f^{\,k}(\sigma_r)$，并取步数 $k=0$。迭代定义保证每一步都是恒等共轭后的细基去相干，所以该定理的全部步进假设成立；其单步结论为 $$ D_{\mathrm{legacy}}(\sigma_r\Vert\Delta_f\sigma_r) =S(\Delta_f\sigma_r)-S(\sigma_r)\ge0. $$ 这里旧密度载体与当前矩阵表示之间的转换不改变矩阵。$q_j>0$ 保证 $\ker\rho_q=\{0\}\subseteq\ker\sigma_r$，即正向支撑包含；无需假设 $\sigma_r$ 可逆。旧相对熵到有限迹对数分支的等式，再与带支撑相对熵的有限分支等式连接，才得到所声明的 $D(\sigma_r\Vert\rho_q)$。也可直接核对其中两项： $$ \operatorname{Tr}(\sigma_r\log\sigma_r)=\sum_i p_i\ln p_i, \qquad \operatorname{Tr}(\sigma_r\log\rho_q)=\sum_j q_j\ln q_j. $$ 最后，对非负归一化质量 $q$ 与观察 $r$ 应用商纤维熵分解，其图律为 $\Pr(r(\mathsf J)=i,\mathsf J=j)=\mathbf1_{r(j)=i}q_j$，父边缘为 $p$，纤维条件律为 $t_{\cdot\mid i}$，从而 $$ H(q)=H(p)+\sum_i p_iH(t_{\cdot\mid i}). $$ 这些代入分别履行量子支撑条件与经典归一化条件。细基测量分布相同则由两态的对角元相同直接得到。证毕。 **推论 72.7（有限细化塔的标量望远镜）。** 设 $N\ge1$，$I_0,\ldots,I_N$ 为有限非空标签集，各层有严格正概率 $p^{(\ell)}$，并有 $r_\ell:I_\ell\to I_{\ell-1}$ 满足 $p^{(\ell-1)}=(r_\ell)_*p^{(\ell)}$。令 $$ R=r_1\circ\cdots\circ r_N,\qquad \rho_\ell=\operatorname{diag}(p^{(\ell)}), \qquad \sigma_\ell=U_{r_\ell}\rho_{\ell-1}U_{r_\ell}^*. $$ 用端点权重构造 $U_R$，则 $$ U_R=U_{r_N}\cdots U_{r_1}, \qquad D(U_R\rho_0U_R^*\Vert\rho_N) =H(p^{(N)})-H(p^{(0)}) =\sum_{\ell=1}^N D(\sigma_\ell\Vert\rho_\ell). $$ 证明。有限推前复合使端点权重相容，定理 72.2 逐次消去中间权重即得 $U_R$。定理 72.6 对每条边给出 $D(\sigma_\ell\Vert\rho_\ell)=H(p^{(\ell)})-H(p^{(\ell-1)})$，对端点细化给出左端相对熵。有限求和中间熵逐项抵消。各相对熵使用各边指定的提升态与该层对角态；等式来自这些标量熵差，不是一条适用于任意三个量子态的相对熵链式法则。证毕。 **命题 72.8（零质量标签的支撑约化与部分等距）。** 将定义与假设 72.1 的权重条件放宽为 $q_j\ge0$、$\sum_jq_j=1$，仍令 $p_i=\sum_{r(j)=i}q_j$，但不要求所有 $p_i>0$。置 $$ J_+=\{j:q_j>0\},\qquad I_+=\{i:p_i>0\}. $$ 限制 $r_+:J_+\to I_+$ 是满射；在这两个正支撑空间上，前述加权等距、压缩及熵恒等式适用。在全部原标签上定义延零矩阵 $$ (U_0)_{ji}= \begin{cases} \sqrt{q_j/p_i},&r(j)=i,\ p_i>0,\\ 0,&\text{否则}. \end{cases} $$ 则 $$ U_0^*U_0=\Pi_{I_+}, \qquad \Pi_{I_+}=\sum_{i\in I_+}|e_i\rangle\langle e_i|. $$ 因此 $U_0$ 是部分等距；若存在零质量父标签，它不在整个 $\mathbb C^I$ 上等距，且 $X\mapsto U_0XU_0^*$ 不在整个矩阵代数上保迹。不过 $$ \sigma_0=U_0\rho_pU_0^*,\qquad \operatorname{Tr}\sigma_0=1,\qquad \Delta_f\sigma_0=\rho_q,\qquad \operatorname{supp}\sigma_0\subseteq\operatorname{supp}\rho_q, $$ $$ D(\sigma_0\Vert\rho_q) =S(\rho_q)-S(\sigma_0) =H(q)-H(p) =\sum_{i\in I_+}p_iH(t_{\cdot\mid i}). $$ 令 $\Gamma_0(Y)=U_0^*YU_0$，则 $$ \operatorname{Tr}\Gamma_0(\rho_q) =\sum_{i\in I_+}p_i\sum_{r(j)=i}t_{j\mid i}^{\,2}; $$ $\Gamma_0(\rho_q)$ 的零质量父标签对角元为零。$\mathcal C_r$ 仍按原标签定义并保持 CPTP 与经典推前性质。 证明。若 $q_j>0$，则 $p_{r(j)}\ge q_j>0$；若 $p_i>0$，有限非负和中至少一项为正。因此限制映射确为满射且权重归一化。$U_0$ 在正支撑坐标上就是定理 72.2 的等距，在其余粗坐标上为零；列内积遂给出 $\Pi_{I_+}$。若 $p_i=0$，迹一矩阵 $|e_i\rangle\langle e_i|$ 被送到零，直接反驳全空间保迹。一般正矩阵的输出仍为正，其迹为 $\operatorname{Tr}(X\Pi_{I_+})$。 由于 $\rho_p$ 支撑在 $I_+$，$\operatorname{Tr}\sigma_0=\operatorname{Tr}(\rho_p\Pi_{I_+})=1$。对 $i\in I_+$ 展开正支撑块，仍有 $(\sigma_0)_{jk}=\mathbf1_{r(j)=r(k)}\sqrt{q_jq_k}$；零质量行列全为零。因此去相干给出 $\rho_q$，且 $\sigma_0$ 的像包含在 $\operatorname{span}\{f_j:j\in J_+\}=\operatorname{supp}\rho_q$ 中，等价地 $\ker\rho_q\subseteq\ker\sigma_0$。在正支撑上应用定理 72.6，再添回零特征值，熵与有限迹对数项均不变；所证支撑条件保证这仍是扩展相对熵的有限分支。正质量父纤维内的零质量孩子贡献零；零父纤维的条件律没有被指定，只在加权熵中贡献零。压缩迹公式在正支撑上由命题 72.3 给出，延零后不增添项；Kraus 标签通道的完整性完全不涉及权重。证毕。 **命题 72.9（反向相对熵与正质量分裂）。** 在命题 72.8 的非负权重设置下，若存在 $j\ne k$ 满足 $r(j)=r(k)$ 且 $q_j,q_k>0$，则 $$ D(\rho_q\Vert\sigma_0)=+\infty. $$ 若不存在这样的正质量分裂，则 $\sigma_0=\rho_q$，两向相对熵均为零，且 $\operatorname{Tr}\Gamma_0(\rho_q)=1$。反之，任一正质量分裂都使正向相对熵严格为正且该压缩迹严格小于一。 证明。对所列两个孩子取非零向量 $$ w=\sqrt{q_k}f_j-\sqrt{q_j}f_k. $$ 它与所在父纤维的平方根权重向量正交，与其他父纤维也正交，所以 $\sigma_0w=0$。但 $\rho_qw$ 的第 $j$ 个坐标为 $q_j\sqrt{q_k}>0$，故 $\rho_qw\ne0$。于是 $\ker\sigma_0\not\subseteq\ker\rho_q$，反向支撑条件失败，带支撑相对熵的无穷分支给出结论。 若无正质量分裂，每个正父块恰有一个正孩子，条目公式中的非对角项全部为零，故 $\sigma_0=\rho_q$；两向相对熵均为零，每条有效条件律的平方和为一。若有分裂，所在纤维至少两个条件概率在 $(0,1)$ 内，故其 $-t\ln t$ 和严格为正；其权重 $p_i>0$，命题 72.8 给出正向严格正性。同一纤维的碰撞缺量中含正项，命题 72.3 的正支撑公式给出压缩迹严格小于一。证毕。 **命题 72.10（一个等权二分的四个读数）。** 取 $I$ 为单点，$J=\{0,1\}$，$r$ 为常值映射，$q_0=q_1=1/2$、$p=1$。则 $$ U_r=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\qquad \sigma_r=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix},\qquad \rho_q=\frac12I_2, $$ $$ \operatorname{Tr}\Gamma_r(\rho_q)=\tfrac12,\qquad \mathcal C_r(\rho_q)=[1],\qquad D(\sigma_r\Vert\rho_q)=\ln2,\qquad D(\rho_q\Vert\sigma_r)=+\infty. $$ 证明。代入 $U_r$ 与两态的条目公式即得矩阵。压缩给出一维矩阵 $[1/2]$，经典标签通道则将两个对角质量相加为一。$S(\sigma_r)=0$、$S(\rho_q)=\ln2$，由定理 72.6 得正向值；命题 72.9 的核向量可取 $f_0-f_1$，给出反向无穷值。两态的细基测量分布同为 $(1/2,1/2)$，其经典 KL 值仍为零。故压缩迹缺口 $1/2$、经典总质量一、正向相干相对熵 $\ln2$ 与反向无穷值是不同读数。证毕。 ### 72.90 数学来源与形式化边界 有限 Kraus 判据与等距熵不变性属于成熟结果（`literature-attested`）：Watrous，*The Theory of Quantum Information*，[作者原件](https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/TQI/TQI.pdf)，Corollary 2.27，印刷第 89 页／PDF 第 97 页式 (2.129)，给出矩形 Kraus 族的完整性与通道作用；Proposition 5.19，印刷第 268 页／PDF 第 276 页式 (5.93)，给出有限维等距映射下的熵不变，包括奇异正算子。Baumgratz–Cramer–Plenio，*Quantifying Coherence*，[arXiv:1311.0275v3](https://arxiv.org/pdf/1311.0275v3)，第 3 页式 (8) 及其前一显示式，给出相对于固定基的 $D(\rho\Vert\Delta\rho)=S(\Delta\rho)-S(\rho)$。换用自然对数时，两侧统一换算。本节在同一有限细化上识别这些现成结果的参数、支撑及运输方向；不作新颖性或穷尽文献的主张。 以下源码引用固定于提交 `6dcc8b24cb208a3a0e06a657b3bf8111e5f70801`，只承担各行所列数学输入。 | 第 72 节的现成输入 | 精确声明与代入范围 | | --- | --- | | 72·有限通道 | [D5/S3/Quantum/Foundation/FiniteKrausChannel.finite_kraus_quantum_channel](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/6dcc8b24cb208a3a0e06a657b3bf8111e5f70801/D5/S3/Quantum/Foundation/FiniteKrausChannel.lean) 对 $\mathcal E_r$ 取唯一 Kraus 算子 $U_r$，对 $\mathcal C_r$ 取 $K_j=|e_{r(j)}\rangle\langle f_j|$；两次完整性分别在定理 72.2、72.4 中履行。此声明不把 $\Gamma_r$ 升为保迹态通道。 | | 72·标签复合 | [D5/S3/Entropy/Forgetting/PushforwardComposition.sum_indicator_comp](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/6dcc8b24cb208a3a0e06a657b3bf8111e5f70801/D5/S3/Entropy/Forgetting/PushforwardComposition.lean) 在定理 72.4 中取加法交换幺半群 $\mathbb C$、质量 $k\mapsto Z_{kk}$、两映射 $s,r$；同模块 `pushforward_comp` 是实质量版本，可用于推论 72.7 的权重相容性。 | | 72·正交混合熵 | [D5/S3/Quantum/Information/OrthogonalRecordEntropy.orthogonal_mixture_entropy](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/6dcc8b24cb208a3a0e06a657b3bf8111e5f70801/D5/S3/Quantum/Information/OrthogonalRecordEntropy.lean) 依次取 $(p_i,R_i)$、$(q_j,F_j)$；定理 72.6 已给分量正性、迹一、异分量乘积零及秩一分量熵为零，不省略其平均分量熵项。谱归约的现成输入为钉版 Mathlib 的 [isIdempotentElem_iff_spectrum_subset](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Analysis/CStarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Projection.lean#L29)，其谓词取自伴性。 | | 72·相干删除 | [D5/S3/Quantum/Dynamics/EntropyProductionCoherenceDeletionIdentity.entropy_production_coherence_deletion_identity](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/6dcc8b24cb208a3a0e06a657b3bf8111e5f70801/D5/S3/Quantum/Dynamics/EntropyProductionCoherenceDeletionIdentity.lean) 取 $U=I$、$\tau_k=\Delta_f^{\,k}(\sigma_r)$、$k=0$，使用单步等式与非负性；这里的相对熵仍是旧实值迹对数表达式。 | | 72·有限分支桥 | [D5/S3/Quantum/Divergence/LegacyRelativeEntropyBoundary.legacy_quantumRelativeEntropy_eq_finite_branch](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/6dcc8b24cb208a3a0e06a657b3bf8111e5f70801/D5/S3/Quantum/Divergence/LegacyRelativeEntropyBoundary.lean) 通过不改变矩阵的 `toLegacyDensityState` 连接旧表达式与有限迹对数分支；还须结合下一行的实际支撑条件，不能单独获得 Umegaki 的无穷分支。 | | 72·支撑与方向 | [D5/S3/Quantum/Divergence/SupportAwareRelativeEntropy.extendedQuantumRelativeEntropy_eq_coe_of_support](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/6dcc8b24cb208a3a0e06a657b3bf8111e5f70801/D5/S3/Quantum/Divergence/SupportAwareRelativeEntropy.lean) 的条件为第二态的核包含于第一态的核；定理 72.6 与命题 72.8 给出正向包含。同模块 `extendedQuantumRelativeEntropy_eq_top_of_not_support` 在命题 72.9 的显式核向量证出反向不包含后适用。 | | 72·经典条件熵 | [D5/S3/Entropy/Fusion/QuotientFiberDecomposition.quotient_fiber_entropy_decomposition](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/6dcc8b24cb208a3a0e06a657b3bf8111e5f70801/D5/S3/Entropy/Fusion/QuotientFiberDecomposition.lean) 取源 $J$、父标签 $I$、质量 $q$、观察 $r$；只需非负归一化，不需全标签严格正。它给出经典熵差与纤维条件熵，不给出矩形算子构造。 | 本节仍未形式化的是这份有限细化数据到上述接口的完整类型适配及组合证明，包括加权矩形包含与消去、观察量压缩和碰撞迹、标签通道的具体条目与恒等边界、指定秩一提升的熵和支撑接合、有限塔的端点适配，以及零质量延零和反向核向量。源码中通用声明的适用范围不等于这些完整命题已获编译核验；各处给出的纸面证明不替代该项形式化。 所有等式的概率律均为输入，$\sigma_r$ 是归一化指示基指定的提升。经典质量和 Hilbert 坐标没有附带物理制备、测量公理或能量交换假设，故这里没有 Born 规则、物理实现或热耗散的推导。有限塔恒等式也没有断言无限塔的迹一极限、迹范数收敛或无限熵差；这些问题仍须各自的相容性、正规性与可积性假设。 ## 72.99 追加锚 ## 73. 参考条件重采样与精确恢复边界 **定义 73.1（指定参考的反向映射）。** 沿用定义与假设 72.1 的有限非空标签集 $J,I$、满射 $r:J\to I$、严格正概率 $q$ 及 $p=r_*q$，以及所选基 $(f_j)$、$(e_i)$。将细基去相干 $\Delta_f$ 也记作 $\Delta_J$，定义 $$ B_{r,q}:=\Delta_J\circ\mathcal E_r: \mathcal B(\mathcal H_c)\longrightarrow\mathcal B(\mathcal H_f). $$ 这里的参考条件律由 $q$ 指定；以下所有对数均为自然对数。 **命题 73.2（参考校准与对角态上的右逆）。** 对任意粗矩阵 $Y$，有 $$ B_{r,q}(Y) =\operatorname{diag}_{j\in J} \left(\frac{q_j}{p_{r(j)}}Y_{r(j),r(j)}\right). $$ 此映射为 CPTP，且 $$ B_{r,q}(\operatorname{diag}p)=\operatorname{diag}q, \qquad \mathcal C_r B_{r,q}(Y)=\operatorname{diag}_{i\in I}(Y_{ii}). $$ 因此 $B_{r,q}$ 在粗对角态上是 $\mathcal C_r$ 的右逆；在全部粗矩阵上，复合是粗基去相干。 证明。满射保证每条纤维含某个 $j$，故 $p_i\ge q_j>0$。命题 72.3 给出 $\mathcal E_r$ 为 CPTP，命题 72.5 与定理 72.4 给出 $\Delta_J=\mathcal C_{\mathrm{id}_J}$ 为 CPTP；复合仍为 CPTP。这里有限 Kraus 判据使用 [finite_kraus_quantum_channel](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/def6f2d9cb42c1dc0fc8607db1b4950ef068013f/D5/S3/Quantum/Foundation/FiniteKrausChannel.lean)，复合使用 [QuantumChannel.comp](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/def6f2d9cb42c1dc0fc8607db1b4950ef068013f/D5/S3/Quantum/Foundation/FiniteStateChannel.lean)。$U_r$ 的第 $j$ 行只有第 $r(j)$ 列非零，所以 $U_rYU_r^*$ 的第 $j$ 个对角元恰为所列值，去相干给出第一式。取 $Y=\operatorname{diag}p$ 得参考校准；再由定理 72.4，复合的第 $i$ 个对角元为 $$ \sum_{r(j)=i}\frac{q_j}{p_i}Y_{ii}=Y_{ii}, $$ 而非对角元为零。证毕。 **定理 73.3（一般输入支撑上的 KL 缺陷与精确恢复）。** 保持定义 73.1，令 $d_j\ge0$、$\sum_jd_j=1$，并置 $$ a_i=\sum_{r(j)=i}d_j, \qquad t_j=\frac{q_j}{p_{r(j)}}a_{r(j)}. $$ 对 $i\in I$，在整个 $J$ 上写参考后验与输入后验 $$ q^{(i)}_j=\mathbf1_{r(j)=i}\frac{q_j}{p_i}, \qquad d^{(i)}_j= \begin{cases} \mathbf1_{r(j)=i}d_j/a_i,&a_i>0,\\ 0,&a_i=0. \end{cases} $$ 对有限非负质量 $u\ll v$，使用 $$ D_{\mathrm{KL}}(u\Vert v) =\sum_{x:u_x>0}u_x\ln\frac{u_x}{v_x}, \qquad u\ll v\ \Longleftrightarrow\ (v_x=0\Rightarrow u_x=0)\text{ 对所有 }x. $$ 于是 $$ \boxed{ D_{\mathrm{KL}}(d\Vert q)-D_{\mathrm{KL}}(a\Vert p) =\sum_{i\in I}a_iD_{\mathrm{KL}}(d^{(i)}\Vert q^{(i)})\ge0. } $$ 并且以下条件等价： $$ \begin{aligned} D_{\mathrm{KL}}(d\Vert q)=D_{\mathrm{KL}}(a\Vert p) &\ \Longleftrightarrow\ \forall i\ (a_i>0\Rightarrow d^{(i)}=q^{(i)})\\ &\ \Longleftrightarrow\ d=t\\ &\ \Longleftrightarrow\ B_{r,q}\mathcal C_r(\operatorname{diag}d)=\operatorname{diag}d\\ &\ \Longleftrightarrow\ \forall j,k\ (r(j)=r(k)\Rightarrow d_j/q_j=d_k/q_k). \end{aligned} $$ 若 $a_i=0$，则该纤维上所有 $d_j$ 均为零。此时 $d^{(i)}$ 只是零权项的零向量约定，该项贡献零，不要求它等于概率向量 $q^{(i)}$。 证明。取确定信道 $$ W(j,i)=\mathbf1_{r(j)=i}. $$ 它非负，且对每个 $j$，唯一非零项位于 $i=r(j)$，所以 $\sum_iW(j,i)=1$。两输入的输出恰为 $a,p$，均非负且总和为一；$q_j>0$ 给出 $d\ll q$，满射与正 $q$ 给出所有 $p_i>0$。若 $a_i=0$，由有限非负和为零，每个 $r(j)=i$ 的 $d_j=0$。若 $a_i>0$，$d^{(i)}$ 与 $q^{(i)}$ 均归一化，且 $d^{(i)}\ll q^{(i)}$：纤维外两者均为零，纤维内参考后验严格为正。因此出现正分子的位置都有正分母，所列 KL 值有限。 这里复用 theorem 63.3 的“限制先验再归一化”公式，以及 definition 63.101 下 theorem 63.102 证明中的 Bayes 计算：本例联合质量分别为 $d_j\mathbf1_{r(j)=i}$、$q_j\mathbf1_{r(j)=i}$，其输出质量为 $a_i,p_i$，除以正输出质量就得到上述后验。这里只用该有限条件概率计算，树形候选集与随机策略闭包不作为本定理的前提。在零输出处，通用后验的零分母约定给出零向量，和本条约定相同。 对 [ZeroSupportDPI.classical_dpi_identity_zero_support](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/def6f2d9cb42c1dc0fc8607db1b4950ef068013f/D5/S3/DivergenceSupport/ZeroSupportDPI.lean) 取 $X=J$、$Y=I$、第一输入 $d$、第二输入 $q$ 及上述 $W$。前段已逐项履行非负归一化、绝对连续性和行随机性，故其后验分解给出框中恒等式；相同代入的 [ZeroSupportDefect.dpi_defect_nonneg_zero_support](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/def6f2d9cb42c1dc0fc8607db1b4950ef068013f/D5/S3/DivergenceSupport/ZeroSupportDefect.lean) 给出非负性。[ZeroSupportDefectEquality.dpi_defect_eq_zero_iff_zero_output_or_posteriors_eq](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/def6f2d9cb42c1dc0fc8607db1b4950ef068013f/D5/S3/DivergenceSupport/ZeroSupportDefectEquality.lean) 在同一代入下给出第一条等价，包括零 $a_i$ 的分支。这些一般支撑命题允许确定信道的零条目。 在 $a_i>0$ 的纤维上，后验相等恰好是 $d_j=q_j a_i/p_i$；在 $a_i=0$ 的纤维上两边都为零，因此该条件恰为 $d=t$。也可直接在 [Equality/PetzRecovery.dpi_defect_eq_zero_iff_exists_bayes_recovery](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/def6f2d9cb42c1dc0fc8607db1b4950ef068013f/D5/S3/DivergenceSupport/Equality/PetzRecovery.lean) 中作同一代入：该存在量词附有反向核的逐点指定式；因 $p_i>0$，每个见证必满足 $R(i,j)=q^{(i)}_j$。于是 $$ \sum_i p_iR(i,j)=q_j, \qquad \sum_i a_iR(i,j)=t_j, $$ 其同时恢复两输入的结论正好是 $d=t$。参考条件核的归一化也由 $\sum_jq^{(i)}_j=1$ 给出。 定理 72.4 与命题 73.2 给出 $$ B_{r,q}\mathcal C_r(\operatorname{diag}d)=\operatorname{diag}t, $$ 而对角嵌入为单射，故得到矩阵等价。若 $d=t$，每条纤维上的似然比均为 $a_i/p_i$；反之，若该比在纤维上常值 $c_i$，则求和得 $a_i=c_ip_i$，从而 $c_i=a_i/p_i$ 并得到 $d=t$。所有纤维非空且 $q_j,p_i>0$，所以此步也包括 $c_i=0$ 的边界。证毕。 **命题 73.4（精确不动态与经典零缺陷的相位边界）。** 对任意细密度矩阵 $\rho$，取其对角概率 $d_j=\langle f_j,\rho f_j\rangle$，并按定理 73.3 定义 $a,t$，则 $$ B_{r,q}\mathcal C_r(\rho)=\operatorname{diag}t. $$ 因此该复合的全部密度不动态恰为 $$ \left\{ \operatorname{diag}_{j\in J}\left(\frac{q_j a_{r(j)}}{p_{r(j)}}\right): a_i\ge0,\ \sum_i a_i=1 \right\}. $$ 经典 KL 缺陷为零只判定对角分布满足定理 73.3 的条件，不能推出任意 $\rho$ 被恢复。 具体地，在命题 72.10 的等权二分 $I=\{*\}$、$J=\{0,1\}$、$q=(1/2,1/2)$ 中，所有密度矩阵的标签输出均为 $[1]$，且 $B_{r,q}([1])=I_2/2$。基态 $|f_0\rangle\langle f_0|$、$|f_1\rangle\langle f_1|$ 的经典缺陷均为 $\ln2$；相位态 $$ |+\rangle=\frac{f_0+f_1}{\sqrt2},\qquad |-\rangle=\frac{f_0-f_1}{\sqrt2} $$ 的对角分布均为 $q$，经典缺陷均为零，但两者都不被 $B_{r,q}\mathcal C_r$ 恢复。任何单个仅依赖标签输出的映射，都不能同时恢复这两个不同相位态。 证明。正性与迹一保证 $d_j\ge0$、$\sum_jd_j=1$。定理 72.4 只读取这些对角元，再由命题 73.2 得到 $\operatorname{diag}t$，所以每个不动态必为所列形状。反之，对任意非负归一化 $a$，所列 $t$ 非负，且 $$ \sum_{r(j)=i}t_j=a_i\sum_{r(j)=i}\frac{q_j}{p_i}=a_i. $$ 因此 $\sum_jt_j=1$，其标签输出为 $\operatorname{diag}a$，再应用 $B_{r,q}$ 就返回 $\operatorname{diag}t$，证明全部不动态的刻画。若 $r$ 双射，此族包含所有对角态；全矩阵上的去相干边界沿用命题 72.5。 在等权二分中，基态的细分布为点质量，故 $D_{\mathrm{KL}}(d\Vert q)=\ln2$；粗分布均为 $p=(1)$，粗 KL 为零。两个相位态的矩阵分别为 $$ |\pm\rangle\langle\pm| =\frac12\begin{pmatrix}1&\pm1\\\pm1&1\end{pmatrix}, $$ 其对角分布为 $q$，故细、粗经典 KL 都为零；非零的非对角元使它们均不同于 $I_2/2$。按定理 2.2 的同纤维因子化判据，两个不同输入共享输出 $[1]$，任何一个输出函数在该处只有一个值，因而不能同时返回二者。这个断言允许用先验指定一个已知态并以常值制备映射返回它；它排除的是同一输出映射对两态同时精确恢复。证毕。 **命题 73.5（粗参考质量不能选择纤维内分配）。** $B_{r,q}$ 由所指定的参考条件律及基确定。若 $r$ 有一条至少含两个标签的纤维，则存在不同的严格正概率 $q,q'$，满足 $r_*q=r_*q'=p$，而其参考条件核及 $B_{r,q},B_{r,q'}$ 不同。因此仅有观测到的 $p$ 不能确定这个反向映射。 证明。给定严格正 $q$，取 $j\ne k$ 且 $r(j)=r(k)=i$，再取 $0<\varepsilon0$ 给出每个 $p_i>0$。$C$ 每列恰有一个 $1$，$B$ 的第 $i$ 列之和为 $\sum_{r(j)=i}q_j/p_i=1$；故二者均非负列随机。非负矩阵乘积仍非负，且若两矩阵的列和均为一，则有限换序给出其乘积的列和为一。因此 $E,S$ 也列随机，所有相应概率输出仍归一化。对 $CB$，不同纤维的交项为零，同一纤维之和为一，故 $$ CB=I_I,\qquad E^2=E,\qquad EB=B,\qquad CE=C,\qquad Bp=q. $$ 由 $E=BC$ 与 $EB=B$，还得到 $\operatorname{Im}E=\operatorname{Im}B$。 先在证明内处理支撑。任取 $u\in\Delta(J)$，令 $c=Cu$。若 $u_j>0$，则 $c_{r(j)}>0$，从而 $$ (Eu)_j=\frac{q_j}{p_{r(j)}}c_{r(j)}>0. $$ 所以 $u\ll Eu$，其 KL 是有限实数。若 $c_i=0$，有限非负和为零使该纤维的全部 $u_j=0$。对概率对 $(u,Eu)$ 应用 [GrandmotherTheorem.kl_divergence_nonneg](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/f74be7da075c8989749602eea64f47f3852d7a21/D5/S3/Divergence/GrandmotherTheorem.lean) 与 [GibbsEquality.kl_divergence_eq_zero_iff](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/f74be7da075c8989749602eea64f47f3852d7a21/D5/S3/Divergence/GibbsEquality.lean)，其非负、归一化及绝对连续性前提均已满足，得到 $$ \delta(u)\ge0,\qquad \delta(u)=0\ \Longleftrightarrow\ u=Eu. $$ 给定 $a\in\Delta(I)$ 并假设 $u\ll Ba$。若 $a_i=0$，则 $(Ba)_j=0$ 对整条纤维成立，绝对连续性迫使该纤维的 $u_j$ 全为零。因此 $c\ll a$。若 $c_i>0$，纤维内有某个 $u_j>0$，所以 $a_i>0$；此时 $Ba$ 与 $Eu$ 在该纤维上的参考后验都等于 $$ \mathbf1_{r(j)=i}\frac{q_j}{p_i}. $$ 在 [ZeroSupportDPI.classical_dpi_identity_zero_support](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/f74be7da075c8989749602eea64f47f3852d7a21/D5/S3/DivergenceSupport/ZeroSupportDPI.lean) 中取确定性行信道 $W(j,i)=C_{ij}$，分别取输入对 $(u,Ba)$ 与 $(u,Eu)$。它们的参考粗输出分别为 $a,c$；前段保证两对输入非负归一化且满足支撑包含。正 $c_i$ 处的后验 KL 项相同，零 $c_i$ 处的加权项均为零，且第二次应用的粗项是 $D_{\mathrm{KL}}(c\Vert c)=0$，故两次链式恒等式给出 $$ D_{\mathrm{KL}}(u\Vert Ba) =D_{\mathrm{KL}}(u\Vert Eu)+D_{\mathrm{KL}}(Cu\Vert a). \tag{74.1} $$ 这里的对数拆分只在 $u_j>0$ 的坐标进行：写 $i=r(j)$，此时 $c_i,a_i,q_j,p_i$ 都严格为正，且 $$ \ln\frac{u_j}{(Ba)_j} =\ln\frac{u_j}{(Eu)_j}+\ln\frac{c_i}{a_i}. $$ 按纤维求和时第二项的系数为 $c_i$；零 $c_i$ 的纤维没有正 $u_j$，贡献为零，不作零分母约分。$u\ll Ba$、$u\ll Eu$、$c\ll a$ 保证式 (74.1) 的三项全有限。取 $a=p$，由 $Bp=q$ 得所述缺陷差式；严格正的 $q,p$ 也直接保证该差式没有无穷项。 先比较四个线性条件。由 $EB=B$，将 $TE=ETE$ 右乘 $B$ 得 $TB=ETB=BCTB=BS$；反之，$TB=BS$ 右乘 $C$ 给出 $TE=BSC=ETE$。若 $TB=BS$，则 $TBa=BSa$，而 $Sa\in\Delta(I)$，所以概率族被保持。若概率族被保持，对每个粗标准基向量 $e_i\in\Delta(I)$，$TBe_i$ 属于该族，因而被 $E$ 固定。逐列比较得 $TB=ETB$，右乘 $C$ 即得 $TE=ETE$。最后，$E$ 是像为 $\operatorname{Im}B$ 的幂等算子，故 $TE=ETE$ 恰说 $T$ 把它的像映入自身：若该式成立，则 $x=Ex$ 蕴含 $Tx=ETx$；反之，对任意实向量 $x$，$Ex$ 在该像中，像保持给出 $TEx=ETEx$。这一步作用于整个实空间，并未把像空间中的向量都当成概率。 设 $TE=ETE$，任取概率 $d$，置 $u=Td$、$v=TEd$。已有 $d\ll Ed$，非负信道保持这个支撑包含，给出 $u\ll v$。具体地，若 $v_k=\sum_jT_{kj}(Ed)_j=0$，则每个非负乘积为零；当 $(Ed)_j>0$ 时 $T_{kj}=0$，当 $(Ed)_j=0$ 时 $d_j=0$，故每个 $T_{kj}d_j=0$，即 $u_k=0$。这正是 [ZeroSupportDPI.channel_output_absolute_continuity](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/f74be7da075c8989749602eea64f47f3852d7a21/D5/S3/DivergenceSupport/ZeroSupportDPI.lean) 在 $W(j,k)=T_{kj}=P_{jk}$ 的代入。若 $(Cv)_i=0$，则纤维上的全部 $v_k=0$，继而全部 $u_k=0$，所以 $Cu\ll Cv$。 族保持给出 $v=Ev=B(Cv)$。在式 (74.1) 中取 $a=Cv$，再对概率对 $(d,Ed)$ 及行信道 $W(j,k)=T_{kj}$ 应用 [ZeroSupportDefect.dpi_defect_nonneg_zero_support](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/f74be7da075c8989749602eea64f47f3852d7a21/D5/S3/DivergenceSupport/ZeroSupportDefect.lean)，便得到 $$ \delta(Td)+D_{\mathrm{KL}}(CTd\Vert CTEd) =D_{\mathrm{KL}}(Td\Vert TEd) \le D_{\mathrm{KL}}(d\Vert Ed)=\delta(d). $$ 上述支撑包含保证每个 KL 值有限，允许 $v$ 及 $Cv$ 有零坐标。对 $(Cu,Cv)$ 用同一 Gibbs 非负性定理消去非负粗项，即得 $\delta(Td)\le\delta(d)$。 反之，若缺陷对所有概率初态不增，逐个取 $d=Be_i$。它是合法的概率向量，且 $Ed=d$，所以 $$ 0\le\delta(TBe_i)\le\delta(Be_i)=0. $$ 把前述 Gibbs 等号条件用于 $(TBe_i,ETBe_i)$，得到 $TBe_i=ETBe_i$。两者归一化，支撑前提由任意概率 $u\ll Eu$ 在 $u=TBe_i$ 处给出。逐列比较再右乘 $C$，得到 $TE=ETE$。粗标准基可以具有零坐标；整个论证没有删去这些边界初态。证毕。 **命题 74.3（粗自治与族保持是两个方向）。** 在定义与假设 74.1 下， $$ CT=SC\ \Longleftrightarrow\ ET=ETE, \qquad ET=TE\ \Longleftrightarrow\bigl(CT=SC\ \text{且}\ TB=BS\bigr). $$ 粗自治 $CT=SC$ 等价于行核 $P$ 对分区 $r$ 强可并，即 $$ r(j)=r(j')\ \Longrightarrow\ \sum_{r(k)=i}P_{jk}=\sum_{r(k)=i}P_{j'k} \quad\text{对所有 }i. $$ 成立时，唯一的粗列质量动力学为 $S$，对应粗行核为 $K=S^{\mathsf T}$，且 $\sum_{r(k)=i}P_{jk}=K_{r(j),i}$。 证明。若 $CT=SC$，左乘 $B$ 得 $ET=BSC=ETE$。若 $ET=ETE$，左乘 $C$ 并用 $CE=C$ 得 $CT=CTE=CTBC=SC$。结合定理 74.2 的 $TB=BS\Longleftrightarrow TE=ETE$，这两个方向分别是 $$ ET(I_J-E)=0,\qquad (I_J-E)TE=0. $$ 为应用投影交叉块判据，把实矩阵逐元视为复矩阵，取 $V=\operatorname{Im}E$、$R=\ker E$。对每个 $x$，分解 $x=Ex+(x-Ex)$ 的两项分别属于 $V,R$；若 $y\in V\cap R$，则 $Ey=y$ 且 $Ey=0$，故 $y=0$。因此 $V,R$ 互补，$E$ 在 $V$ 上为恒等、在 $R$ 上为零，正是沿 $R$ 到 $V$ 的投影，其补投影为 $I_J-E$。在标准基下，[ProjectionCommutatorIdentity.visible_projection_commutes_iff_cross_blocks_eq_zero](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/f74be7da075c8989749602eea64f47f3852d7a21/D5/S3/Observer/HiddenFlow/ProjectionCommutatorIdentity.lean) 的两个线性映射交叉块因而恰为上式两矩阵。该判据给出二者同时为零当且仅当 $ET=TE$；实矩阵的逐元嵌入是单射，故也得到原实空间的等价。 令实际观察行 $F(j,i)=\sum_{r(k)=i}P_{jk}=(CT)_{ij}$。在 [StochasticDescentLumpability.strongly_lumpable_iff_exact_quotient_kernel](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/f74be7da075c8989749602eea64f47f3852d7a21/D5/S3/Estimation/DecisionRisk/StochasticDescentLumpability.lean) 中取标签映射 $r$、实值行函数 $F$。它给出上述同纤维行相等条件恰好等价于存在 $\overline K$，使 $F(j,\cdot)=\overline K(r(j),\cdot)$。$F$ 非负，且每行之和为 $\sum_kP_{jk}=1$；$r$ 满射使 $\overline K$ 的每行都等于某个实际 $F$ 行，所以 $\overline K$ 是行核。因子化写成矩阵便是 $CT=\overline K^{\mathsf T}C$，右乘 $B$ 得 $S=\overline K^{\mathsf T}$，于是 $CT=SC$。反之，$CT=SC$ 逐元即为 $F(j,i)=K_{r(j),i}$，给出强可并性。任何满足 $CT=\widetilde S C$ 的粗矩阵都由右乘 $B$ 被迫等于 $CTB=S$，故唯一。证毕。 附引：强可并的逐块行和判据见 Wolfer–Watanabe，*Geometric Aspects of Data-Processing of Markov Chains*，[arXiv:2203.04575v3，Theorem 3.1](https://arxiv.org/html/2203.04575v3#S3.Thmtheorem1)，该处引 Kemeny–Snell 的 Theorem 6.3.2。该文的转移矩阵空间采用固定强连通支撑上的不可约链；本命题的实值行因子化证明适用于这里的任意有限行核。 **命题 74.4（平稳参考下的正反强可并性）。** 在定义与假设 74.1 上另加 $Tq=q$。定义相对于同一参考的反向行核 $$ P^{\leftarrow}_{jk}=\frac{q_kP_{kj}}{q_j},\qquad K^{\leftarrow}_{hi}=\frac{p_iK_{ih}}{p_h}. $$ 则 $P^{\leftarrow},K^{\leftarrow}$ 均为行随机核，$Sp=p$，并且 $$ ET=TE \ \Longleftrightarrow\ P\ \text{与}\ P^{\leftarrow}\ \text{都对}\ r\ \text{强可并}. $$ 等价条件成立时，反向细核的粗行核恰为 $K^{\leftarrow}$。 证明。由 $Bp=q$ 得 $Sp=CTBp=CTq=p$。反向细核非负，且其第 $j$ 行之和为 $(Tq)_j/q_j=1$；同理反向粗核第 $h$ 行之和为 $(Sp)_h/p_h=1$。分母 $q_j,p_h$ 均严格为正。对 $h=r(j)$，直接展开有 $$ (TB)_{ji}=\frac{q_j}{p_i}\sum_{r(k)=i}P^{\leftarrow}_{jk}, \qquad (BS)_{ji}=\frac{q_j}{p_h}K_{ih}. $$ 故 $TB=BS$ 当且仅当 $\sum_{r(k)=i}P^{\leftarrow}_{jk}=K^{\leftarrow}_{r(j),i}$。若 $ET=TE$，命题 74.3 给出正向强可并性以及 $TB=BS$，上式便给出反向强可并性及其指定粗核。 反之，设两个细核都强可并。命题 74.3 给出正向粗核 $K$；设反向粗核为 $L$。对任意两个粗标签 $h,i$，有限块流量求和给出 $$ \begin{aligned} p_hL_{hi} &=\sum_{r(j)=h}\sum_{r(k)=i}q_jP^{\leftarrow}_{jk}\\ &=\sum_{r(k)=i}q_k\sum_{r(j)=h}P_{kj} =p_iK_{ih}. \end{aligned} $$ 因此 $L=K^{\leftarrow}$，再由逐元公式得 $TB=BS$。结合正向 $CT=SC$ 与命题 74.3，得到 $ET=TE$。证毕。 **命题 74.5（同一参考下的详细平衡与加权投影）。** 在定义与假设 74.1 下，若 $$ q_jP_{jk}=q_kP_{kj}\quad(j,k\in J) $$ 且 $P$ 对 $r$ 强可并，则 $ET=TE$，并且粗核满足 $p_iK_{ih}=p_hK_{hi}$。 证明。对详细平衡求和，利用 $P$ 的行和为一，得到 $(Tq)_j=\sum_kq_kP_{kj}=q_j$。因此这是命题 74.4 中的同一平稳参考，并有 $P^{\leftarrow}=P$。下面在质量空间的加权坐标中直接应用自伴投影下降判据。 令 $$ D=\operatorname{diag}_{j\in J}(q_j^{-1/2}),\qquad D^{-1}=\operatorname{diag}_{j\in J}(\sqrt{q_j}),\qquad \widehat E=DED^{-1},\qquad\widehat T=DTD^{-1}. $$ 正 $q_j$ 保证两对角矩阵互逆。逐元计算给出 $$ \widehat E_{jk} =\mathbf1_{r(j)=r(k)}\frac{\sqrt{q_j}\sqrt{q_k}}{p_{r(j)}}, \qquad \widehat T_{jk}=P_{kj}\frac{\sqrt{q_k}}{\sqrt{q_j}}. $$ 按定义 72.1，$\widehat E=U_rU_r^*$，而定理 72.2 给出 $U_r^*U_r=I_I$，故 $\widehat E$ 幂等且 Hermitian。这也说明原质量算子 $E$ 在内积 $\langle x,y\rangle_{q^{-1}}=\sum_j\overline{x_j}y_j/q_j$ 下为正交投影。详细平衡使 $$ P_{kj}\frac{\sqrt{q_k}}{\sqrt{q_j}} =P_{jk}\frac{\sqrt{q_j}}{\sqrt{q_k}}, $$ 故实矩阵 $\widehat T$ 对称，视为复矩阵时也是 Hermitian。 强可并性由命题 74.3 给出 $ET(I_J-E)=0$，共轭后为 $\widehat E\widehat T(I_J-\widehat E)=0$。在 [LinearProjectionDescentCriterion.linear_projection_descent_criterion](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/f74be7da075c8989749602eea64f47f3852d7a21/D5/S3/Observer/Dynamics/LinearProjectionDescentCriterion.lean) 中取有限指标集 $J$、投影矩阵 $\widehat E$、动力学矩阵 $\widehat T$。已证的幂等性及两个 Hermitian 条件履行其前提，定理第二个合取给出 $\widehat E\widehat T-\widehat T\widehat E=0$。用 $D^{-1},D$ 共轭回来即得 $ET=TE$。这个坐标变换使用质量内积中的 $q^{-1}$ 权重；没有将未变换的 $E$ 当成普通 Euclidean 正交投影。 最后，由强可并性及详细平衡， $$ p_iK_{ih} =\sum_{r(j)=i}\sum_{r(k)=h}q_jP_{jk} =\sum_{r(k)=h}\sum_{r(j)=i}q_kP_{kj} =p_hK_{hi}. $$ 证毕。 附引：可逆链的强可并粗链仍可逆，见 Wolfer–Watanabe 同文 [Proposition 4.2](https://arxiv.org/html/2203.04575v3#S4.Thmproposition2)，该处引 Kemeny–Snell 的 Theorem 6.4.7；其块平稳流量公式见 [Corollary 3.1](https://arxiv.org/html/2203.04575v3#S3.Thmcorollary1)。这些引文提供强可并性与可逆性构件；本节对指定 $q$ 的状态重采样 $B$、两个方向及 KL 缺陷的连接由上面的有限证明给出。该文以转移矩阵为输入的 Markov embedding 与这里以粗概率为输入的 $B$ 是不同映射。 **命题 74.6（三状态矩阵及其转置分离两个方向）。** 取 $J=\{1,2,3\}$，分区为 $\{1,2\}\mid\{3\}$，参考与矩阵为 $$ q=\begin{pmatrix}1/3\\1/3\\1/3\end{pmatrix},\qquad p=\begin{pmatrix}2/3\\1/3\end{pmatrix},\qquad P_0=\begin{pmatrix}1/2&0&1/2\\1/2&0&1/2\\0&1&0\end{pmatrix}, \qquad T_0=P_0^{\mathsf T},\qquad T_+=P_0. $$ 两列质量动力学均固定 $q$。$T_0$ 粗自治且其粗行核对 $p$ 可逆，但不保持参考族；对 $d=(1/2,1/2,0)^{\mathsf T}$，有 $\delta(d)=0$、$\delta(T_0d)=(\ln2)/2>0$。相反，$T_+$ 的每个概率输出都具有零缺陷，却不粗自治，也不与 $E$ 交换。在满支撑平稳参考、满射确定性分区的范围内，三个细状态是这类方向分离的最小状态数。 证明。本分区给出 $$ C=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1/2&0\\1/2&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad E=\begin{pmatrix}1/2&1/2&0\\1/2&1/2&0\\0&0&1\end{pmatrix}. $$ $P_0$ 的行和、列和都为一，且各项非负，故 $T_0,T_+$ 都列随机并固定均匀参考 $q$。直接相乘得到 $$ CT_0=\begin{pmatrix}1/2&1/2&1\\1/2&1/2&0\end{pmatrix} =S_0C,\qquad S_0=CT_0B=\begin{pmatrix}1/2&1\\1/2&0\end{pmatrix}, \qquad K_0=S_0^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}1/2&1/2\\1&0\end{pmatrix}. $$ 粗链两向的非对角平稳流量均为 $1/3$，所以 $K_0$ 对 $p$ 可逆。细链却有 $q_1(P_0)_{13}=1/6$、$q_3(P_0)_{31}=0$，不满足该详细平衡。 令 $e_1$ 为第一个粗标准基，$d=Be_1$。则 $Ed=d$，而 $$ T_0d=\begin{pmatrix}1/2\\0\\1/2\end{pmatrix},\qquad ET_0d=BS_0e_1=\begin{pmatrix}1/4\\1/4\\1/2\end{pmatrix}. $$ 输出不被 $E$ 固定，因此参考族未被保持，且 $ET_0d\ne T_0Ed$。正输出坐标只有第 $1,3$ 项，参考在两处均正，故 $$ \delta(T_0d)=\frac12\ln\frac{1/2}{1/4} +\frac12\ln\frac{1/2}{1/2}=\frac{\ln2}{2}>0, \qquad\delta(d)=0. $$ 初态的第三坐标及第二个粗质量为零，正是定理 74.2 所允许的边界初态。 对转置列作用 $T_+=P_0$，前两行相等使 $ET_+=T_+$，故任意概率 $d$ 都满足 $ET_+d=T_+d$，从而 $\delta(T_+d)=0$，也有 $TE=ETE$ 在 $T=T_+$ 时成立。但 $$ CT_+=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix} $$ 的前两列分别为 $(1,0)^{\mathsf T}$ 与 $(0,1)^{\mathsf T}$。任何矩阵 $\widetilde S C$ 的前两列都相同，故不存在粗自治矩阵；命题 74.3 遂排除交换。 最后，若 $1\le |J|\le2$，满射给出 $1\le |I|\le |J|\le2$。当 $|I|=1$ 时，$E=q\mathbf1^{\mathsf T}$，平稳性与列质量守恒分别给出 $$ TE=(Tq)\mathbf1^{\mathsf T}=E,\qquad ET=q(\mathbf1^{\mathsf T}T)=E. $$ 当 $|I|=2$ 时，必有 $|J|=2$；这两个有限等势集合间的满射是双射，每条纤维只有一点，故 $E=I_J$，仍与 $T$ 交换。两个方向由命题 74.3 同时成立，因此至多两个细状态不能实现所述分离，而上述三状态例已经实现。证毕。 ## 74.99 追加锚 ## 75. 量子相干、参考纤维缺陷与族保持 **定义与假设 75.1（经典质量与矩阵制备的类型）。** 沿用第 73–74 节的有限非空集合 $J,I$、满射 $r:J\to I$、固定正交归一基及严格正概率 $q$，令 $p_i=\sum_{r(j)=i}q_j>0$、$Q=\operatorname{diag}q$。$\Delta(I)$ 仍指包括边界的粗概率单纯形；细基去相干简记为 $\Delta$。对细 Hermitian 矩阵 $X$ 和实粗向量 $a$，置 $$ c(X)_i=\sum_{r(j)=i}X_{jj},\qquad b_{\mathrm{vec}}(a)_j=\frac{q_j a_{r(j)}}{p_{r(j)}}, \qquad b(a)=\operatorname{diag}b_{\mathrm{vec}}(a),\qquad E=bc. $$ 对密度矩阵 $\rho$，记 $d_j=\rho_{jj}$，故 $\Delta\rho=\operatorname{diag}d$。这里 $c:\operatorname{Herm}(\mathbb C^J)\to\mathbb R^I$、$b:\mathbb R^I\to\operatorname{Herm}(\mathbb C^J)$；命题 73.2、73.4 的制备族与右逆关系在这些载体上写作 $$ \mathcal F=b(\Delta(I)),\qquad cb=I_{\mathbb R^I},\qquad E^2=E. $$ $\operatorname{Im}b$ 指实线性像，全部矩阵恒等式则使用 $c,b$ 的复线性延拓。在完整粗矩阵代数上，继承的公式仍是 $\mathcal C_r B_{r,q}=\Delta_I$，而非完整恒等映射；$E=B_{r,q}\mathcal C_r$ 总输出对角态，$Y\mapsto U_rYU_r^*$ 则是第 72.3 条的相干提升，不能混用。 $D$ 使用定义 72.1 的带支撑 Umegaki 相对熵，$H,S$ 均用自然对数及 $0\ln0=0$。支撑约定见 Watrous，*The Theory of Quantum Information*，[Definition 5.18](https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/TQI/TQI.pdf)，印刷第 266 页／PDF 第 274 页式 (5.85)：对正半定算子对，支撑包含时取支撑上的迹对数式，否则取 $+\infty$；书中以二为底的值乘 $\ln2$ 换算为这里的 nats。经典 $D_{\mathrm{KL}}(u\Vert v)$ 在 $u\ll v$ 时按定理 73.3 对正输入坐标求和，否则取 $+\infty$。定义 $$ \delta_Q(\rho)=D(\rho\Vert E\rho). $$ **定理 75.2（相干与校准纤维缺陷的有限分解）。** 在定义与假设 75.1 下，对每个密度矩阵 $\rho$，包括奇异态及有零粗质量的态，有 $$ \begin{aligned} \delta_Q(\rho) &=D(\rho\Vert\Delta\rho)+D_{\mathrm{KL}}(d\Vert b_{\mathrm{vec}}(c\rho))\\ &=H(d)-S(\rho)+D_{\mathrm{KL}}(d\Vert q)-D_{\mathrm{KL}}(c\rho\Vert p)\\ &=D(\rho\Vert Q)-D_{\mathrm{KL}}(c\rho\Vert p). \end{aligned} $$ 所列各相对熵均有限，第一行的两项均非负，并且 $$ \delta_Q(\rho)\ge0,\qquad \delta_Q(\rho)=0\ \Longleftrightarrow\ \rho=E\rho \ \Longleftrightarrow\ \rho\in\mathcal F. $$ 证明。置 $\alpha=c\rho$、$t=b_{\mathrm{vec}}(\alpha)$。正性与迹一使 $d,\alpha,t$ 都是概率向量；$t$ 的归一化沿用命题 73.2 的纤维求和。PSD 的二阶主子式给出 $|\rho_{jk}|^2\le d_jd_k$，所以 $d_j=0$ 时整行、整列均为零。又 $t_j=0$ 当且仅当 $\alpha_{r(j)}=0$，此时同纤维全部 $d_k=0$。因此 $$ \operatorname{supp}\rho\subseteq\operatorname{supp}\Delta\rho \subseteq\operatorname{supp}E\rho. $$ 这也可在证明内定量化。令 $n=|J|$、$M=\max_j p_{r(j)}/q_j<\infty$。对任意 $v\in\mathbb C^J$， $$ v^*\rho v\le \left(\sum_j\sqrt{d_j}|v_j|\right)^2 \le n\sum_jd_j|v_j|^2, \qquad d_j\le\alpha_{r(j)}\le M t_j, $$ 故 $0\le\rho\le n\Delta\rho\le nM E\rho$。任意正线性映射 $T$ 保持该支配；若 $T(E\rho)v=0$，则 $0\le v^*T(\rho)v\le0$，PSD 的零二次型判据给出 $T(\rho)v=0$，从而 $\operatorname{supp}T(\rho)\subseteq\operatorname{supp}T(E\rho)$。这里没有假设任何输入或输出可逆。 对概率向量 $s$，若 $\operatorname{supp}\rho\subseteq\operatorname{supp}\operatorname{diag}s$，谱对数在参考的正支撑上对角，因而 $$ D(\rho\Vert\operatorname{diag}s) =-S(\rho)-\sum_{j:d_j>0}d_j\ln s_j =H(d)-S(\rho)+D_{\mathrm{KL}}(d\Vert s). $$ 零参考坐标处的输入行列已经为零，不能将这个有限表达式用于不满足支撑条件的态对。此对角参考分解及 $s=d$ 时的相干恒等式见 Baumgratz–Cramer–Plenio，*Quantifying Coherence*，[arXiv:1311.0275v3](https://arxiv.org/pdf/1311.0275v3)，第 3 页式 (8) 及其前一显示式；换成自然对数时各项统一换算。先取 $s=d$、再取 $s=t$，得到第一行。对 $(d,t)$，定理 74.2 的经典缺陷恒等式给出 $D_{\mathrm{KL}}(d\Vert t)=D_{\mathrm{KL}}(d\Vert q)-D_{\mathrm{KL}}(\alpha\Vert p)$；它的确定信道代入及零纤维处理仍是式 (74.1) 的证明。最后取 $s=q$ 得末行。$q,p$ 严格正，$d\ll t$ 已证，故没有无穷相减。 相干项的非负性与等号条件可由谱分解直接得到。取实际谱分解 $\rho=V\operatorname{diag}(\lambda)V^*$，其中 $V$ 幺正、$\lambda_k\ge0$、$\sum_k\lambda_k=1$。谱熵公式给出 $S(\rho)=H(\lambda)$；谱值按重数计入求和，任何有限重排均不改变该熵。令 $w_{jk}=|V_{jk}|^2$，则 $w$ 双随机且 $d_j=\sum_k w_{jk}\lambda_k$。函数 $h(x)=-x\ln x$ 在 $[0,1]$ 上严格凹，并以 $h(0)=0$ 连续延拓，故逐行应用凹性后求和得到 $$ H(d)=\sum_j h\!\left(\sum_k w_{jk}\lambda_k\right) \ge\sum_{j,k}w_{jk}h(\lambda_k) =H(\lambda)=S(\rho). $$ 等号成立当且仅当每一行的正权重所对应的 $\lambda_k$ 全部相等，也即 $V_{jk}\ne0$ 时 $\lambda_k=d_j$。此时逐元有 $(\rho V)_{jk}=V_{jk}\lambda_k=d_jV_{jk}$，从而 $\rho V=\operatorname{diag}(d)V$，右乘 $V^*$ 得 $\rho=\Delta\rho$；反向由对角态的谱熵公式即得。因此 $H(d)-S(\rho)=0$ 当且仅当 $\rho=\Delta\rho$，零特征值及重复特征值均无须排除。前述支撑包含使这里的熵差恰为有限的 $D(\rho\Vert\Delta\rho)$。这一零相干条件见 Baumgratz–Cramer–Plenio 同文，第 2 页 (C1') 及第 3 页式 (8) 所在段落对相对熵相干量的说明。 经典项则对非负归一化且 $d\ll t$ 的 $(d,t)$，使用定理 74.2 所引的 Gibbs 非负性及 Gibbs 等号条件，得到其为零当且仅当 $d=t$。两非负项同时为零恰好是 $\rho=E\rho$；命题 73.4 识别其为 $\mathcal F$。这个等号判据由上述谱凹性与经典 Gibbs 等号条件得到，不需要另用一般量子 Klein 等号定理。 同一计算还给出后续所需的恒等式。对任意 $a\in\Delta(I)$，$\operatorname{supp}\rho\subseteq\operatorname{supp}b(a)$ 当且仅当 $\alpha\ll a$：若 $a_i=0$，该纤维的参考对角元全零，支撑包含迫使其中全部 $d_j=0$；反向由上述零行列结论得到。在有限分支上只对 $d_j>0$ 拆对数， $$ \ln t_j-\ln b_{\mathrm{vec}}(a)_j =\ln\frac{\alpha_{r(j)}}{a_{r(j)}}, $$ 按纤维求和即得 $$ D(\rho\Vert b(a))=\delta_Q(\rho)+D_{\mathrm{KL}}(c\rho\Vert a). \tag{75.1} $$ 若 $\alpha\not\ll a$，左端与右端最后一项均为 $+\infty$，而 $\delta_Q(\rho)$ 仍有限，所以式 (75.1) 是扩展值加法恒等式，不作无穷相减。Gibbs 等号条件也说明 $b(c\rho)$ 是 $\mathcal F$ 中唯一使该相对熵最小的态。 这里的熵增项是 $H(d)-S(\rho)$。直接比较两个迹对数式还可见 $$ \delta_Q(\rho)-\bigl(S(E\rho)-S(\rho)\bigr) =\sum_j(t_j-d_j)\ln q_j, $$ 因为 $\sum_{r(j)=i}(t_j-d_j)=0$ 消去了正粗纤维上的 $\ln\alpha_i-\ln p_i$，零粗纤维两质量均为零。二者相等恰在这个剩余项为零时成立，不能把一般加权制备的缺陷直接替换为单独的 $S(E\rho)-S(\rho)$。证毕。 **定理 75.3（任意有限 CPTP 演化的精确族保持判据）。** 在定义与假设 75.1 下，令 $T:\mathcal B(\mathbb C^J)\to\mathcal B(\mathbb C^J)$ 为任意 CPTP 映射，并令 $S_T=cTb$。则 $S_T$ 是经典列随机矩阵，且 $$ \begin{aligned} T(\mathcal F)\subseteq\mathcal F &\ \Longleftrightarrow\ Tb=bS_T\\ &\ \Longleftrightarrow\ TE=ETE\\ &\ \Longleftrightarrow\ T(\operatorname{Im}b)\subseteq\operatorname{Im}b\\ &\ \Longleftrightarrow\ \forall\rho\text{ 为密度矩阵},\quad \delta_Q(T\rho)\le\delta_Q(\rho). \end{aligned} $$ 这些条件成立时，对每个密度矩阵还有全部项有限的剩余不等式 $$ \delta_Q(T\rho)+D_{\mathrm{KL}}(cT\rho\Vert cTE\rho) =D(T\rho\Vert TE\rho)\le\delta_Q(\rho). \tag{75.2} $$ 这里不附加 $T(Q)=Q$、保单位元或初态内点条件；要求保持的只是指定族 $\mathcal F$。 证明。每个粗标准基向量 $e_i$ 都是允许有零坐标的概率，$b(e_i)$ 是密度态；$T$ 与 $c$ 依次把它送到密度态和概率向量。它们就是 $S_T$ 的各列，故该矩阵非负且列和为一。 前四个条件使用定理 74.2 的 $cb=I$ 代数，载体换成定义 75.1 所列空间。具体地，族保持给出 $Tb(e_i)=ETb(e_i)=bS_T(e_i)$；这些 $e_i$ 张成粗实空间，复线性延拓后亦张成粗复空间，故 $Tb=bS_T$。反向由 $S_T\Delta(I)\subseteq\Delta(I)$ 得到族保持。$Tb=bS_T$ 右复合 $c$ 给出 $TE=ETE$；该式右复合 $b$，由 $Eb=b$ 得到 $Tb=ETb=bS_T$。最后，$E$ 的实像为 $\operatorname{Im}b$ 且在其上为恒等，故 $TE=ETE$ 恰为此像不变；Hermitian 空间上的恒等式再按复线性延拓到全部矩阵。 设族保持，置 $\sigma=E\rho$。定理 75.2 证明中的支配经正映射 $T$ 给出 $\operatorname{supp}T\rho\subseteq\operatorname{supp}T\sigma$；族保持又给出 $T\sigma=b(cT\sigma)$。将式 (75.1) 用于 $T\rho$ 和 $a=cT\sigma$，并应用量子数据处理不等式，得到 $$ \delta_Q(T\rho)+D_{\mathrm{KL}}(cT\rho\Vert cT\sigma) =D(T\rho\Vert T\sigma) \le D(\rho\Vert\sigma)=\delta_Q(\rho). $$ 这里使用外部数学定理 Watrous，*The Theory of Quantum Information*，[Theorem 5.35](https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/TQI/TQI.pdf)，印刷第 280–281 页／PDF 第 288–289 页式 (5.174)，对 PSD 对 $(\rho,E\rho)$ 与通道 $T$ 应用量子数据处理不等式。其相对熵按 Definition 5.18 的支撑约定解释；以二为底的不等式两侧同乘 $\ln2>0$ 即为这里的自然对数形式。前述支撑包含和式 (75.1) 同时保证量子项及粗 KL 项有限，即使 $T\sigma$ 奇异也成立。以经典 Gibbs 非负性去掉粗项即得普遍不增；经典信道 DPI 本身不能承担这一量子步骤。 反之，普遍不增作用于每个 $b(e_i)$，由定理 75.2 得 $$ 0\le\delta_Q(Tb(e_i))\le\delta_Q(b(e_i))=0. $$ 同一定理的零集判据给出 $Tb(e_i)=ETb(e_i)$，再线性延拓得 $Tb=bS_T$。此方向不需要量子 DPI，也没有删去边界制备。 另一个方向仍是命题 74.3 的粗自治代数，在此载体上原样给出 $$ cT=S_Tc\ \Longleftrightarrow\ ET=ETE,\qquad ET=TE\ \Longleftrightarrow\ \bigl(cT=S_Tc\ \text{且}\ Tb=bS_T\bigr). $$ 第一式分别左复合 $b$、$c$ 并用 $cb=I$、$cE=c$ 即得；第二式是 $ET=ETE$ 与 $TE=ETE$ 的合取。这与所证族保持是两个条件，不引入第 74.4–74.5 节额外的平稳性或详细平衡假设。证毕。 **命题 75.4（同一 qubit 对分离粗自治与缺陷不增）。** 取 $J=I=\{0,1\}$、$r=\operatorname{id}$、$q=(1/2,1/2)$，故 $E=\Delta$。令归一化 Hadamard 矩阵及两态为 $$ \mathsf H=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}, \qquad |\pm\rangle=\frac{|0\rangle\pm|1\rangle}{\sqrt2}, \qquad T_{\mathrm{gen}}=\operatorname{Ad}_{\mathsf H}\circ\Delta,\quad T_{\mathrm{read}}=\Delta\circ\operatorname{Ad}_{\mathsf H}, $$ 其中 $\operatorname{Ad}_{\mathsf H}(X)=\mathsf H X\mathsf H^*$，$H(d)$ 仍表示 Shannon 熵。两映射均 CPTP、保单位元且固定 $Q=I_2/2$。$T_{\mathrm{gen}}$ 粗自治，但不保持 $\mathcal F$，并将某个零缺陷输入的缺陷增至 $\ln2$；$T_{\mathrm{read}}$ 的所有密度输出缺陷均为零，但不粗自治。两者均不与 $E$ 交换；在允许相干态的这个有限量子范围内，二维是分离这两个条件的最小维数。 证明。两映射的 Kraus 族依次为 $$ \{|+\rangle\langle0|,\ |-\rangle\langle1|\}, \qquad \{|0\rangle\langle+|,\ |1\rangle\langle-|\}. $$ 各族均满足 $\sum K^*K=I_2$，故相应的有限 Kraus 和完全正且保迹；也均有 $\sum KK^*=I_2$，故保单位元并固定 $I_2/2$。对任意 Hermitian 矩阵 $X=\begin{pmatrix}x&z\\\bar z&y\end{pmatrix}$，直接乘法给出 $$ T_{\mathrm{gen}}(X)=\frac12 \begin{pmatrix}x+y&x-y\\x-y&x+y\end{pmatrix}, \qquad T_{\mathrm{read}}(X)=\frac12\operatorname{diag} (x+y+z+\bar z,\ x+y-z-\bar z). $$ 由 $r=\operatorname{id}$，$b_{\mathrm{vec}}(c\rho)=d$，经典纤维缺陷恒为零，定理 75.2 给出 $\delta_Q(\rho)=H(d)-S(\rho)$。第一式说明 $$ cT_{\mathrm{gen}}=S_{\mathrm{gen}}c,\qquad S_{\mathrm{gen}}=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}; $$ 对密度态 $x+y=1$，粗输出恒为 $(1/2,1/2)$。但 $T_{\mathrm{gen}}(|0\rangle\langle0|)=|+\rangle\langle+|$。输入对角且为纯态，缺陷为零；输出的谱为 $(1,0)$、对角为 $(1/2,1/2)$，所以其缺陷为 $\ln2$，且不属于对角族 $\mathcal F$。 第二式给出 $ET_{\mathrm{read}}=T_{\mathrm{read}}$，故每个输出的缺陷为零，特别地保持 $\mathcal F$。然而 $|+\rangle\langle+|$ 与 $|-\rangle\langle-|$ 的粗输入同为 $(1/2,1/2)$，输出却分别为 $|0\rangle\langle0|$ 与 $|1\rangle\langle1|$，粗输出不同；因此不存在仅依赖粗输入的演化。由定理 75.3 证明末尾的两方向恒等式，两通道均不交换。若细维数为一，非空满射迫使粗维数也为一，唯一密度态及保迹线性映射使两个条件都成立。二维的上述两见证遂证明最小性；它与命题 74.6 只在经典质量动力学内的三状态最小性适用域不同。证毕。 ## 75.99 追加锚 ## 76. 有限交替校准重采样、共同商与半步损失 **定理 76.1（共同正参考下的交替极限与精确 KL 收支）。** 设 $J$ 为有限非空集合，$r_a:J\to I_a$ 为满射，$a=1,2$，不要求两观察嵌套。固定同一个严格正概率 $q$，即 $q_j>0$、$\sum_jq_j=1$。概率均为列向量，对数均为自然对数。按第 73–74 节的参考条件律定义 $$ p_i^{(a)}=\sum_{r_a(j)=i}q_j>0,\qquad (E_ax)_j=\frac{q_j}{p_{r_a(j)}^{(a)}} \sum_{r_a(h)=r_a(j)}x_h \quad(x\in\mathbb R^J). $$ 令 $$ R=\operatorname{EqvGen}(\ker r_1\cup\ker r_2), \qquad \mathscr C=J/R. $$ 这里 $\operatorname{EqvGen}$ 是包含所给关系的最小等价关系：两点等价恰在它们可由有限路径连接、每条边属于某个 $r_1$ 纤维或某个 $r_2$ 纤维时成立。记 $C(j)$ 为 $j$ 所在分量，并置 $$ Q_C=\sum_{j\in C}q_j,\qquad m_C(x)=\sum_{j\in C}x_j, \qquad (\mathcal Jx)_j=q_j\frac{m_{C(j)}(x)}{Q_{C(j)}}. $$ 商映射 $j\mapsto C(j)$ 是两观察的最细共同粗化；联合观察 $(r_1,r_2)$ 的核则为 $\ker r_1\cap\ker r_2$。 在有符号质量空间上取内积及其诱导的向量、算子范数 $$ \langle x,y\rangle_{q^{-1}}=\sum_j\frac{x_jy_j}{q_j}. $$ 则 $E_1,E_2,\mathcal J$ 都是正交投影，且 $$ M:=\operatorname{ran}E_1\cap\operatorname{ran}E_2 =\operatorname{ran}\mathcal J,\qquad E_a\mathcal J=\mathcal JE_a=\mathcal J. $$ 令 $F_a=E_a-\mathcal J$、$c=\|F_2F_1\|_{q^{-1}}$。有 $0\le c<1$，并且 $$ \bigl\|(E_2E_1)^n-\mathcal J\bigr\|_{q^{-1}} \le c^{2n-1}\qquad(n\ge1). \tag{76.1} $$ 对任意非负归一化初态 $d$，包括有零坐标的初态，定义 $$ d_{2n}=(E_2E_1)^nd,\qquad d_{2n+1}=E_1d_{2n}\quad(n\ge0), \qquad s=\mathcal Jd. $$ 全部半步 $d_N$ 都收敛到 $s$，且 $$ \|d_{2n}-s\|_{q^{-1}} \le c^{2n-1}\|d-s\|_{q^{-1}}\qquad(n\ge1). $$ $c=0$ 时一次完整周期即有 $E_2E_1=\mathcal J$。 对有限概率 $x,v$，记 $x\ll v$ 为 $v_j=0\Rightarrow x_j=0$ 对所有 $j$ 成立；在此条件下置 $D(x\Vert v)=\sum_{j:x_j>0}x_j\ln(x_j/v_j)$，否则置 $D(x\Vert v)=+\infty$，零质量项取零。每个 $N\ge0$ 都有全部项有限的恒等式 $$ D(d\Vert s)=\sum_{k=0}^{N-1}D(d_k\Vert d_{k+1})+D(d_N\Vert s), \tag{76.2} $$ 并且 $$ \sum_{k\ge0}D(d_k\Vert d_{k+1}) =D(d\Vert s)=D(d\Vert q)-D(s\Vert q). \tag{76.3} $$ 每个半步损失非负，恰在该次重采样固定其输入时为零。 证明。每条纤维非空，故 $p_i^{(a)}>0$。第 74.1–74.2 条的 $E=BC$ 计算逐个用于 $r_a$，给出 $E_a$ 非负列随机、$E_a^2=E_a$、$E_aq=q$，以及 $\operatorname{ran}E_a=\{x:x_j/q_j\text{ 在每条 }r_a\text{ 纤维上恒定}\}$。同样结论用于共同分量观察，给出 $\mathcal J$ 的幂等性、保概率性与分量常值的像。 联合核的交与共同粗化核的并生成关系，是[核序对偶定理](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/cfe91e371e87c4b9053ceb76af22c0888b687a3a/D5/S3/ConceptDynamics/Refinement/ConceptKernelOrderDuality.lean)在 $X=J$、两观察为 $r_1,r_2$ 时的两个核公式。具体地，每个 $r_a$ 纤维都包含于一个 $C$，故 $C(\cdot)$ 同时经两观察因子化；任何同时经两观察因子化的映射都沿上述路径恒定，遂经 $C(\cdot)$ 因子化。这证明最细共同粗化的性质。一个实函数同时在两种纤维上恒定，当且仅当在每个 $C$ 上恒定；这是[有限分区观察代数的反序关系](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/cfe91e371e87c4b9053ceb76af22c0888b687a3a/D5/S3/Observer/WindowAlgebra/FinitePartitionAlgebraOrderReversal.lean)在两核及其等价闭包上的具体路径刻画。应用于密度 $x/q$ 即得所述共同像 $M$。 矩阵元满足 $$ \frac{(E_a)_{jh}}{q_j} =\frac{\mathbf1_{\{r_a(j)=r_a(h)\}}}{p_{r_a(j)}^{(a)}}, $$ 右侧关于 $j,h$ 对称，故 $E_a$ 在指定内积下自伴；幂等性使其为正交投影。共同分量的同一计算也适用于 $\mathcal J$。在密度坐标 $f_j=x_j/q_j$ 中，$(E_ax)_j/q_j$ 是 $q$ 在该纤维上的条件平均；这把命题 69.1 的[条件期望正交残差](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/cfe91e371e87c4b9053ceb76af22c0888b687a3a/D5/S3/ConceptDynamics/Prediction/ConditionalExpectationResidualDecomposition.lean)取有限离散测度 $\mu(\{j\})=q_j$、观察 $r_a$、目标 $f$ 时的投影具体写出。由 $M\subseteq\operatorname{ran}E_a$，有 $E_a\mathcal J=\mathcal J$，取伴随得到 $\mathcal JE_a=\mathcal J$。每次重采样也保留每个 $m_C$，因为它只在包含于 $C$ 的纤维内重新分配质量。 因此 $F_a$ 是到 $\operatorname{ran}E_a\cap M^\perp$ 的正交投影，两个约化像的交集只有零。投影的压缩性给出 $c\le1$。若 $c=1$，有限维单位球面的紧致性使范数在某个单位向量 $z$ 处取到，于是 $$ 1=\|F_2F_1z\|\le\|F_1z\|\le\|z\|=1. $$ 正交投影勾股分解的等号条件给出 $z=F_1z=F_2F_1z$，使非零 $z$ 落在两个约化像中，矛盾。故 $c<1$。 置 $A=F_2F_1=E_2E_1-\mathcal J$，伴随相对于 $q^{-1}$ 内积。由投影幂等性及有限维算子范数的伴随恒等式， $$ A^*=F_1F_2,\qquad AA^*=F_2F_1F_2,\qquad A^n=(AA^*)^{n-1}A\quad(n\ge1),\qquad \|AA^*\|=\|A\|^2=c^2. $$ 幂次式在 $n=1$ 时成立；由 $(AA^*)A=A^2$ 归纳得到其余情形。又 $A\mathcal J=\mathcal JA=0$，故 $(E_2E_1)^n-\mathcal J=A^n$。对乘积取范数即得式 (76.1)；当 $c=0$ 时直接由 $A=0$ 得到一次周期的结论。差算子消去 $s\in M$，所以向量界可取 $\|d-s\|$。偶数半步遂收敛到 $s$，而 $E_1s=s$ 及 $E_1$ 的压缩性给出奇数半步的同一极限。 这是标准的两子空间交替正交投影估计。von Neumann 的收敛、Aronszajn 的上界及 Kayalar–Weinert 的更强精确范数公式，见 H. H. Bauschke、F. Deutsch、H. Hundal，*Characterizing Arbitrarily Slow Convergence in the Method of Alternating Projections*，[arXiv:0710.2387v1](https://arxiv.org/pdf/0710.2387v1)，印刷第 1–2 页，Theorems 1.1–1.2、式 (1.3) 与 Lemma 1.3；亦见 C. Badea、S. Grivaux、V. Müller，*The Rate of Convergence in the Method of Alternating Projections*，[arXiv:1006.2047v1](https://arxiv.org/pdf/1006.2047v1)，第 2 页 Definition 1.1 及其后的精确范数公式。 再处理 KL。固定 $a$，令 $x,v$ 都是概率，明确假设 $E_av=v$ 且 $x\ll v$，并置 $y=E_ax$。在纤维 $i$ 上记 $$ b_i=\sum_{r_a(j)=i}x_j,\qquad t_i=\sum_{r_a(j)=i}v_j, \qquad y_j=\frac{q_jb_i}{p_i^{(a)}},\qquad v_j=\frac{q_jt_i}{p_i^{(a)}}\quad(r_a(j)=i). $$ $t_i=0$ 时支撑条件迫使 $b_i=0$；$b_i>0$ 时 $t_i>0$。因此 $x\ll y\ll v$，且在 $x_j>0$ 的坐标上 $$ \ln\frac{x_j}{v_j}=\ln\frac{x_j}{y_j}+\ln\frac{b_i}{t_i}. $$ 按纤维求和，最后一项为 $b_i\ln(b_i/t_i)$，也正是该纤维对 $D(y\Vert v)$ 的贡献。$b_i=0$ 的纤维中 $x,y$ 全为零，无论 $t_i$ 是否为零都贡献零。于是 $$ D(x\Vert v)=D(x\Vert E_ax)+D(E_ax\Vert v). \tag{76.4} $$ 这是式 (74.1) 的同一条件分解，也是在[支撑相容的 KL 链式恒等式](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/cfe91e371e87c4b9053ceb76af22c0888b687a3a/D5/S3/DivergenceSupport/ZeroSupportDPI.lean)中取输入 $(x,v)$、确定信道 $W(j,i)=\mathbf1_{\{r_a(j)=i\}}$ 的代入；上述支撑与纤维计算分别识别其条件项和粗项。 每个 $d_N$ 都有原来的分量质量 $m_C(d)$。若此质量为零，非负性使整个分量上的 $d_N$ 始终为零；若它为正，则 $s_j=q_jm_C(d)/Q_C>0$ 在该分量处处成立。故 $d_N\ll s$，且两投影都固定概率 $s$。式 (76.4) 取 $x=d_k,v=s$，对前 $N$ 个半步求和即得式 (76.2)。已占据的分量之并是固定有限支撑，在其上 $t\mapsto t\ln(t/s_j)$ 于零点连续延拓为零；由 $d_N\to s$ 得 $D(d_N\Vert s)\to0$。最后，对共同分量观察、输入 $d$ 和正参考 $q$ 用同一分解，得到 $$ D(d\Vert q)=D(d\Vert\mathcal Jd)+D(\mathcal Jd\Vert q). $$ 所以式 (76.3) 成立，不涉及无穷相减。每个半步的两律均非负归一化且满足前述支撑包含，[Gibbs 非负性](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/cfe91e371e87c4b9053ceb76af22c0888b687a3a/D5/S3/Divergence/GrandmotherTheorem.lean)和[Gibbs 等号条件](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/cfe91e371e87c4b9053ceb76af22c0888b687a3a/D5/S3/Divergence/GibbsEquality.lean)给出所述非负与零损失判据。这里记的是校准重采样的损失；联合观察对应另一个核，这些 KL 项也不能一般地替换为 Shannon 熵增。 最后给出同一常数 $c$ 的有限矩阵读数。取定义 72.1 的归一化纤维列，限制为实坐标，置 $$ (U_a)_{ji}=\mathbf1_{\{r_a(j)=i\}}\sqrt{q_j/p_i^{(a)}},\qquad G=U_2^*U_1,\qquad G_{hi}=\frac{\sum_{r_2(j)=h,\ r_1(j)=i}q_j} {\sqrt{p_h^{(2)}p_i^{(1)}}}. $$ 令 $k=|\mathscr C|$，$\kappa_a(i)$ 为纤维 $i$ 所在分量。共同分量的归一化列及其纤维系数为 $$ (U_0)_{jC}=\mathbf1_{\{j\in C\}}\sqrt{q_j/Q_C},\qquad (V_a)_{iC}=\mathbf1_{\{\kappa_a(i)=C\}}\sqrt{p_i^{(a)}/Q_C}. $$ 由定理 72.2 的列正交归一计算，$U_a,U_0,V_a$ 均为等距嵌入，且 $U_aV_a=U_0$，故 $GV_1=V_2$、$G^*V_2=V_1$。于是 $$ G_\perp=(I-V_2V_2^*)G(I-V_1V_1^*)=G-V_2V_1^*,\qquad c=\|G_\perp\|_2. $$ 范数等式来自 $R_q=\operatorname{diag}(q_j^{-1/2})$ 的等距共轭： $R_q(E_2E_1-\mathcal J)R_q^{-1}=U_2G_\perp U_1^*$。次乘性给出一个方向的界，反向以 $U_1z$ 为输入并用 $U_2$ 的等距性。又对任意 $z\in\mathbb R^{I_1}$，$\|Gz\|_2=\|z\|_2$ 当且仅当 $U_1z\in\operatorname{ran}U_2$，即 $z\in\operatorname{ran}V_1$。故 $G$ 恰有 $k$ 个单位奇异方向；把奇异值降序排列并计重数，去掉全部这 $k$ 个方向后，最大的剩余奇异值就是 $c$。具体为 $c=\sigma_{k+1}(G)$ 当 $k<\min(|I_1|,|I_2|)$，无剩余方向时 $c=0$。仅当 $k=1$ 且存在剩余奇异值时，这才是第二奇异值。证毕。 **命题 76.2（固定有限分区的参考律可使速率趋于一）。** 取 $J=\{1,2,3\}$，两观察分区分别为 $12\mid3$ 与 $1\mid23$，并取 $$ q=(a,\varepsilon,a),\qquad a=\frac{1-\varepsilon}{2},\qquad0<\varepsilon<1. $$ 定理 76.1 的共同商只有一个分量，且 $$ c=\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon},\qquad \lambda_{\mathrm{cycle}}=c^2\longrightarrow1 \quad(\varepsilon\downarrow0). $$ 其中 $\lambda_{\mathrm{cycle}}$ 是约化周期算子的非零特征值。因此，即使状态集和两分区固定、并允许前因子依赖参考律和初态，也没有对全部正参考律统一的严格小于一的逐周期渐近几何因子。 证明。两种纤维的并连接三个状态，故 $\mathcal Jd=q$ 对所有概率 $d$ 成立。在 $L^2(q)$ 中去掉常数后，两观察像分别由 $\mathbf1_{\{3\}}-a$ 与 $\mathbf1_{\{1\}}-a$ 张成。它们的方差均为 $a(1-a)$，协方差为 $-a^2$，所以归一化向量 $f_1,f_2$ 满足 $$ \gamma:=\langle f_1,f_2\rangle_{L^2(q)}=-\frac{a}{1-a}. $$ 两个秩一投影的乘积将 $f_2$ 送到 $\gamma^2f_2$，范数为 $|\gamma|$，故由定理 76.1 的约化夹角读数得到上述 $c$ 与 $c^2$。令 $h_j=q_jf_2(j)$，则 $\sum_jh_j=0$、$\|h\|_{q^{-1}}=1$。因 $q>0$，充分小的非零 $t$ 使 $d=q+th$ 仍为概率，并且 $$ \|(E_2E_1)^nd-q\|_{q^{-1}}=|t|c^{2n}. $$ 任给 $0<\rho<1$，选 $\varepsilon$ 使 $c^2>\rho$，则 $|t|(c^2/\rho)^n\to\infty$，排除任何有限前因子对 $\rho^n$ 的控制。这是固定参考下的标准投影角速率在该三状态族中的边界，不否定每个固定 $\varepsilon>0$ 时的严格收敛。证毕。 **命题 76.3（参考不相容时完整周期收敛而半步过程不收敛）。** 按 $00,01,10,11$ 排列四个状态，令 $r_1$ 读取第一位、$r_2$ 读取第二位；分别以 $$ q^{(1)}=(1,1,1,1)/4,\qquad q^{(2)}=(1,2,3,4)/10 $$ 代入定理 76.1 的纤维公式定义 $E_1,E_2$。则对每个概率 $x$， $$ E_2E_1x=v=(1/8,1/6,3/8,1/3),\qquad E_1v=u=(7/48,7/48,17/48,17/48)\ne v,\qquad E_2u=v. $$ 因此按相同次序交替时，$d_{2n}=v$、$d_{2n+1}=u$ 对所有 $n\ge1$ 成立。完整周期的子序列立即稳定，全部半步的序列不收敛；两重采样没有共同的归一化固定律。 证明。第一种参考使 $E_1$ 在每一行内均分该行质量；任意概率 $x$ 经此作用后，两列质量都为 $1/2$。第二种参考在第一列按 $1:3$、第二列按 $1:2$ 分配，遂得到与 $x$ 无关的 $v$。再对 $v$ 逐行均分即得 $u$；其两列质量仍为 $1/2$，故 $E_2u=v$。这证明两子序列的取值及不同极限。 若概率 $w$ 同时被二者固定，第一种校准要求 $w_{00}=w_{01}=\alpha$、$w_{10}=w_{11}=\beta$；第二种校准要求 $\beta=3\alpha$ 且 $\beta=2\alpha$。所以 $\alpha=\beta=0$，与归一化矛盾。这里共同核商仍是一点，联合观察仍区分四个状态，缺少的是相容的共同固定律。同一个正参考 $q$ 是定理 76.1 的充分条件；不同参考律仍可在各自纤维上具有某个共同正律的条件比例，并由命题 73.4 的固定点判据共享该律，所以参考律相等不是必要条件。证毕。 ## 76.99 追加锚 ## 77. 正参考条件律的闭路相容性与交替两相极限 **定理 77.1（多重图闭路、共同边缘势与全部共同律）。** 设 $J$ 有限非空，$r_1:J\twoheadrightarrow I$、$r_2:J\twoheadrightarrow K$ 为满射，两份参考概率 $q^{(1)},q^{(2)}$ 均逐坐标严格正。概率采用列向量，对数采用自然对数。对 $x\in\mathbb R^J$ 定义 $$ (C_1x)_i=\sum_{r_1(j)=i}x_j,\qquad (C_2x)_k=\sum_{r_2(j)=k}x_j, $$ $$ p_i=(C_1q^{(1)})_i,\qquad t_k=(C_2q^{(2)})_k,\qquad \alpha_j=\frac{q_j^{(1)}}{p_{r_1(j)}},\qquad \beta_j=\frac{q_j^{(2)}}{t_{r_2(j)}}, $$ $$ (E_1x)_j=\alpha_j(C_1x)_{r_1(j)},\qquad (E_2x)_j=\beta_j(C_2x)_{r_2(j)}. $$ 以 $I\sqcup K$ 为顶点集作二分多重图，每个状态 $j$ 各自是一条从 $r_1(j)$ 到 $r_2(j)$ 的边；同端点的不同状态保留为不同的平行边。正向边的增益为 $$ R_j=\alpha_j/\beta_j>0, $$ 反向遍历该边时取 $R_j^{-1}$，游走的增益为各次有向遍历增益之积。记 $$ \sim\;=\operatorname{EqvGen}(\ker r_1\cup\ker r_2),\qquad \mathscr C=J/{\sim},\qquad m_C(x)=\sum_{j\in C}x_j. $$ 这里的状态分量 $C$ 恰为多重图连通分量中的边集；它给出定理 76.1 的共同商。对每个 $C$，置 $I_C=r_1(C)$、$K_C=r_2(C)$。下列三项等价： 1. 存在支撑恰为 $C$ 的概率 $s^C$，满足 $E_1s^C=E_2s^C=s^C$，且 $s_j^C>0$ 对每个 $j\in C$ 成立。 2. 存在正顶点势 $a_i$（$i\in I_C$）、$b_k$（$k\in K_C$），使每条 $j\in C$ 满足 $$ \alpha_ja_{r_1(j)}=\beta_jb_{r_2(j)}, \qquad\text{等价地}\qquad R_j=\frac{b_{r_2(j)}}{a_{r_1(j)}}. $$ 3. 该分量内每条带方向的闭合游走，其增益都为 $1$。 满足这些条件的分量称为相容分量。第三项等价于：选定多重图的一个生成森林后，对该分量的每一条非树边，检查由该边及树中返回路径组成的基本闭路增益为 $1$。这里量化所有非树边，包括平行边形成的二边闭路，不限于四边闭路。 每个相容分量的归一化共同律 $s^C$ 唯一。将其在分量外延拓为零，全部非负共同固定向量恰为 $$ x=\sum_{C\text{ 相容}}m_Cs^C,\qquad m_C\ge0; $$ 其中全部共同概率恰由额外条件 $\sum_Cm_C=1$ 给出。因此，存在某个共同概率当且仅当至少一个分量相容；存在全状态严格正的共同概率当且仅当所有分量相容。后一情形下，任取正混合 $s=\sum_C\lambda_Cs^C$，$\lambda_C>0$、$\sum_C\lambda_C=1$，它作为共同参考恰给出原来的 $E_1,E_2$，故定理 76.1 适用，其极限投影为 $$ (\mathcal J_s d)_j=m_C(d)s_j^C\qquad(j\in C), $$ 与正混合权重 $\lambda_C$ 无关。 证明。满射与正参考使所有分母正，且每条第一类纤维的 $\alpha$ 之和、每条第二类纤维的 $\beta$ 之和均为 $1$。定义与假设 74.1 及定理 74.2 证明中的 $E=BC$ 计算分别用于两份参考，给出 $$ E_a\ge0,\qquad \sum_y(E_a)_{yx}=1,\qquad E_a^2=E_a,\qquad C_aE_a=C_a\quad(a=1,2). $$ 两个状态对应的边共享左端点或右端点，恰在它们属于同一类观察纤维时成立；有限边邻接路径遂给出上述并生成等价关系。每条纤维完整包含于一个 $C$，所以两算子均不跨分量，且保留每个 $m_C$。这也直接识别了定理 76.1 所用的核并共同粗化，而非联合观察的核交。 若第一项成立，取实际边缘 $a=C_1s^C$、$b=C_2s^C$，在 $I_C,K_C$ 上均为正；共同固定方程就是第二项。反过来，给定第二项的正势，置 $$ \widetilde s_j=\alpha_ja_{r_1(j)}=\beta_jb_{r_2(j)}\quad(j\in C), \qquad \widetilde s_j=0\quad(j\notin C). $$ 对 $i\in I_C$、$k\in K_C$，纤维的完整性与条件归一化给出 $$ (C_1\widetilde s)_i=a_i\sum_{r_1(j)=i}\alpha_j=a_i, \qquad (C_2\widetilde s)_k=b_k\sum_{r_2(j)=k}\beta_j=b_k. $$ 所以正势本身就是实际边缘，不另需边缘相容假设。总质量 $$ Z_C=\sum_{j\in C}\widetilde s_j =\sum_{i\in I_C}a_i=\sum_{k\in K_C}b_k>0 $$ 有限，除以 $Z_C$ 得到第一项。 第二项使每条有向边的增益等于终点势除以起点势，故沿闭路相消，得到第三项。若第三项成立，在分量中选一根及正根势，沿根到顶点的任意路径乘增益定义其势；两条路径接成一条闭合游走，增益为 $1$，故定义与路径无关，并满足每条边的端点比。具体的有限判据可只沿生成树定义势：树边自动满足端点比，而每条非树边的基本闭路条件恰保证该边也满足同一比值。于是所有边都满足第二项，继而所有闭路增益均为 $1$；必要性由第三项直接得到。这一论证保留了平行边各自的权重。 闭路—势等价亦是[连通路径群胚的零闭路—势定理](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/47e0b7639ec6716af221e57ef0fb8624917c7e74/D5/S3/Observer/AgencyHolonomy/ZeroLoopPotentialEquivalence.lean)的乘法表述：每次正向遍历赋成本 $\ln R_j$，反向赋 $-\ln R_j$，路径成本求和；删除相邻逆边不改变成本，故在保留实际边的路径群胚上，复合可加、取逆变号。逐分量取该定理的实值势并指数化，得到这里的正顶点势。 若同一分量有两组正势 $(a,b)$、$(a',b')$，每条边都给出 $$ \frac{a'_i}{a_i}=\frac{b'_k}{b_k}. $$ 这些比值沿连通分量恒定，故对应状态质量也只差一个正标量，归一化后唯一。再令 $x\ge0$ 为任意共同固定向量。若 $x_j>0$，其两类纤维质量均正，共同固定方程及 $\alpha,\beta>0$ 使这些纤维的所有坐标都正；沿路径传播，整个 $C(j)$ 都正。因此一个分量上的限制或者全零，或者归一化后为该分量的共同正律。反之，相容分量共同律的任意非负线性组合都被两算子固定。这证明全部共同向量与概率的分类，以及两种存在性断言。 最后，若 $s>0$ 为全局共同概率，固定方程逐坐标给出 $$ \alpha_j=\frac{s_j}{(C_1s)_{r_1(j)}},\qquad \beta_j=\frac{s_j}{(C_2s)_{r_2(j)}}. $$ 所以使用同一参考 $s$ 后，两原算子的每个矩阵元都保持不变。此时才应用定理 76.1 的共同参考结论，包括其式 (76.1)–(76.3)，并由 $$ (\mathcal J_s d)_j =s_j\frac{m_C(d)}{\sum_{h\in C}s_h} =\lambda_Cs_j^C\frac{m_C(d)}{\lambda_C} =m_C(d)s_j^C $$ 得到混合权重无关性。若初态只占据部分相容分量，则在这些分量之并上限制两观察、将两参考各自限制并归一化；每条保留纤维完整，故原条件权重不变。在此有限支撑上选正共同律即可应用同一定理，再在其余分量延拓为零。证毕。 **定理 77.2（完整周期与半步的两相极限及零边缘 KL 配对）。** 沿用定理 77.1 的严格正参考假设，不假定分量相容。令 $$ P=E_2E_1,\qquad d_{2n}=P^nd,\qquad d_{2n+1}=E_1P^nd\quad(n\ge0), $$ 其中 $d$ 为任意非负归一化初态。对每个 $C\in\mathscr C$，限制矩阵 $P_C$ 在概率单纯形 $$ \Delta(C)=\{x\in\mathbb R^C:x_j\ge0,\ \sum_{j\in C}x_j=1\} $$ 上有唯一固定点 $v^C$，它逐坐标严格正。将 $v^C$ 在 $C$ 外延拓为零，并令 $u^C=E_1v^C$，则 $u^C$ 也在 $C$ 上严格正，且 $$ E_1u^C=u^C,\qquad E_2v^C=v^C,\qquad E_1v^C=u^C,\qquad E_2u^C=v^C. $$ 在 $\ell^1$ 中有 $$ d_{2n}\longrightarrow v=\sum_Cm_C(d)v^C,\qquad d_{2n+1}\longrightarrow u=\sum_Cm_C(d)u^C. $$ 对每个分量，$u^C=v^C$ 当且仅当 $C$ 相容。因而全部半步序列 $(d_N)_{N\ge0}$ 收敛，当且仅当每个满足 $m_C(d)>0$ 的分量都相容。 所选的这对极限还满足 $$ C_1(u-v)=C_2(u-v)=0. $$ 置 $S=\bigcup_{m_C(d)>0}C$。两相在同一支撑 $S$ 上均严格正，按定理 76.1 的 KL 约定有有限值恒等式 $$ \boxed{ D(u\Vert v)+D(v\Vert u) =\sum_{j\in S}(u_j-v_j)\ln R_j =\sum_{j\in S}(u_j-v_j)\ln\frac{q_j^{(1)}}{q_j^{(2)}}. } $$ 该值非负，恰在 $u=v$ 时为零。这里的配对断言针对由 $P$ 选出的极限对 $(u,v)$。 证明。矩阵元为 $$ (E_1)_{yx}=\alpha_y\mathbf1_{\{r_1(y)=r_1(x)\}},\qquad (E_2)_{yx}=\beta_y\mathbf1_{\{r_2(y)=r_2(x)\}}. $$ 所有对角元均正。由非负矩阵乘法，对任意状态 $x,y$ 有 $$ P_{yx}\ge(E_2)_{yy}(E_1)_{yx},\qquad P_{yx}\ge(E_2)_{yx}(E_1)_{xx}. $$ 第一式在同一 $r_1$ 纤维上严格正，第二式在同一 $r_2$ 纤维上严格正；交换 $x,y$ 后仍成立。因此，按列作用把 $P_{yx}>0$ 读作从 $x$ 到 $y$ 的有向边，其支撑包含每种纤维邻接的两个方向及所有自环，且不跨出 $C$。在 $N_C=|C|$ 个状态构成的分量内，任意两点有长度至多 $N_C-1$ 的简单邻接路径；用正自环补齐至 $$ M_C=\max(1,N_C-1). $$ 该路径对应于矩阵幂展开中的一个正乘积，其余项非负，所以 $$ A_C=P_C^{M_C}>0 $$ 逐项成立，包括单点分量。 令 $\varepsilon_C=\min_{x,y\in C}(A_C)_{yx}>0$。列随机性给出 $N_C\varepsilon_C\le1$，故 $$ \eta_C=N_C\varepsilon_C/2\in(0,1/2]. $$ 设 $U_C$ 的每一列都为 $C$ 上的均匀概率，置 $$ H_C=\frac{A_C-\eta_CU_C}{1-\eta_C},\qquad A_C=\eta_CU_C+(1-\eta_C)H_C. $$ 分子的每项至少为 $\varepsilon_C/2$，每列之和为 $1-\eta_C$，所以 $H_C$ 非负列随机。任意非负列随机矩阵 $T$ 与实向量 $z$ 满足 $$ \|Tz\|_1 \le\sum_{y,x}T_{yx}|z_x| =\sum_x|z_x|=\|z\|_1. $$ 对 $x,y\in\Delta(C)$，总质量相等使 $U_C(x-y)=0$，因而 $$ \|A_Cx-A_Cy\|_1\le(1-\eta_C)\|x-y\|_1. $$ $\Delta(C)$ 是有限维完备 $\ell^1$ 空间的非空闭子集；$A_C$ 将其映入自身，且上式常数严格小于 $1$。由 Banach 压缩不动点定理（见其[完备度量空间表述](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean)），存在唯一 $A_C$ 固定概率 $v^C$。由于 $P_C$ 与自身幂交换，$P_Cv^C$ 也是 $A_C$ 固定概率，故 $P_Cv^C=v^C$；任何 $P_C$ 固定概率必被 $A_C$ 固定，故它也唯一。又 $$ v_y^C=(A_Cv^C)_y\ge\varepsilon_C\sum_xv_x^C=\varepsilon_C>0. $$ 写 $n=kM_C+r$，$0\le r0$。$E_1$ 的幂等性给出 $E_1u^C=u^C$，而 $v^C=E_2u^C$ 及 $E_2$ 的幂等性给出 $E_2v^C=v^C$，其余相位方程来自定义。 若 $m_C(d)>0$，将初态在 $C$ 上的限制除以 $m_C(d)$ 后应用上述收敛；若该质量为零，则非负性和分量保持性使该分量在每一步都为零。有限求和得到所述两相极限及其共同支撑 $S$。相容分量的共同律是 $P_C$ 固定概率，由唯一性必等于 $v^C$，且被 $E_1$ 固定，所以 $u^C=v^C$；反之，两相相等给出支撑恰为 $C$ 的共同正律。不同分量的支撑互斥，故 $u=v$ 当且仅当所有被占据分量的两相分别相等。偶数与奇数子序列都有极限，整个半步序列收敛恰在这两个极限相等时成立。 由相位关系与 $C_aE_a=C_a$，有 $$ C_1u=C_1E_1v=C_1v,\qquad C_2v=C_2E_2u=C_2u. $$ 因此 $w=u-v$ 在每个左、右顶点处的边质量和都为零；按统一的 $I\to K$ 方向，其带符号关联作用为 $(-C_1w,C_2w)=0$，即一个有符号循环流。 先在一个归一化分量上计算，简记 $u^C,v^C$ 为 $u_0,v_0$，令 $$ a=C_1u_0=C_1v_0,\qquad b=C_2u_0=C_2v_0. $$ 这些边缘在 $I_C,K_C$ 上正。相位方程给出 $u_{0j}=\alpha_ja_{r_1(j)}$、$v_{0j}=\beta_jb_{r_2(j)}$，所以 $$ \ln\frac{u_{0j}}{v_{0j}} =\ln R_j+\ln a_{r_1(j)}-\ln b_{r_2(j)}. $$ 乘以 $w_{0j}=u_{0j}-v_{0j}$ 并求和。两个顶点势项分别为 $\sum_{i\in I_C}(C_1w_0)_i\ln a_i$ 和 $\sum_{k\in K_C}(C_2w_0)_k\ln b_k$，均为零。于是 $$ D(u_0\Vert v_0)+D(v_0\Vert u_0) =\sum_{j\in C}w_{0j}\ln\frac{u_{0j}}{v_{0j}} =\sum_{j\in C}w_{0j}\ln R_j. $$ 再用 $$ \ln R_j=\ln\frac{q_j^{(1)}}{q_j^{(2)}} +\ln t_{r_2(j)}-\ln p_{r_1(j)}, $$ 额外的两项也因零边缘而消失，得到第二个配对等式。 对于一般初态，在每个被占据分量上，$u_j=m_C(d)u_j^C$、$v_j=m_C(d)v_j^C$，共同正系数在对数比中约去。因此 $$ D(u\Vert v)+D(v\Vert u) =\sum_{C:m_C(d)>0}m_C(d) \bigl[D(u^C\Vert v^C)+D(v^C\Vert u^C)\bigr], $$ 两个线性配对也按相同权重分解。所有对数比只在两相均正的 $S$ 上取值；其余分量贡献零。[Gibbs 非负性](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/47e0b7639ec6716af221e57ef0fb8624917c7e74/D5/S3/Divergence/GrandmotherTheorem.lean)及其[等号条件](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/47e0b7639ec6716af221e57ef0fb8624917c7e74/D5/S3/Divergence/GibbsEquality.lean)适用于这些非负归一化且相互绝对连续的概率，给出每个分量项非负，恰在两相相等时为零。正权重与互斥支撑排除了不同分量之间隐藏不相容性的抵消，完成所有断言。 正幂论证使用了每个状态上的 $\alpha_j,\beta_j>0$；仅有纤维分母正不能保证上述邻接下界严格正。允许零参考坐标时，需先有有效条件律，并另行分析实际有向正支撑及其闭类，原纤维并图不能代替这一分析。关于不相容条件分布与固定扫描 Gibbs 分布的背景，见 Shyh-Huei Chen、Edward H. Ip、Yuchung J. Wang，*Gibbs Ensembles for Nearly Compatible and Incompatible Conditional Models*，*Computational Statistics & Data Analysis* 55(4) (2011), 1760–1769，[DOI: 10.1016/j.csda.2010.11.006](https://doi.org/10.1016/j.csda.2010.11.006)，[第 2、5 节](https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC3030131/)。该背景涉及条件模型的扫描分布；这里任意有限分区的极限与配对由上述支撑、压缩和消项证明给出。证毕。 **命题 77.3（平行边、占据支撑及既有方形例的闭路读数）。** 在两状态 $J=\{1,2\}$ 上令两观察都只有一个标签，取 $$ q^{(1)}=(1/3,2/3),\qquad q^{(2)}=(2/3,1/3). $$ 这两个重置算子的重叠图有两条平行边，正向增益分别为 $1/2,2$，相应二边闭路增益为 $1/4\ne1$；两算子没有共同概率，完整周期与奇数半步的极限分别为 $q^{(2)},q^{(1)}$。若加一新状态 $*$，两观察均把它分为独立标签，并以 $$ q'^{(a)}=(tq^{(a)},1-t),\qquad00\}, $$ $$ H_{\mathrm{obs}}=L^2(X,\mathcal F_\infty,\mu;\mathbb C) =\overline{\bigcup_{L\ge0}H_L}. $$ 形成 $L^2$ 时可对 $\mathcal F_\infty$ 作 $\mu$-零集完备化；内积仍为 $\langle f,g\rangle=\int\overline f g\,d\mu$。所有算子作用于这个可分的共同空间。将它等同于整个环境 $L^2(X,\mathcal F,\mu;\mathbb C)$ 的条件是：每个 $\mathcal F$ 可测集合都与某个 $\mathcal F_\infty$ 可测集合只差 $\mu$-零集。 对 $y\in Y$ 定义 $$ C_L(y)=q_L^{-1}\{y_L\},\qquad E_y=q_\infty^{-1}\{y\}=\bigcap_{L\ge0}C_L(y),\qquad A=\{y\in Y:\mu(E_y)>0\}, $$ $$ a_y=\mu(E_y)=\nu(\{y\})\quad(y\in A),\qquad a=\sum_{y\in A}a_y\in[0,1]. $$ $A$ 至多可数；$a=1$ 称为完整观察律 $\nu$ 纯原子。这里的正原子在 $X$ 上是完整观察纤维 $E_y$，不预设它们是环境单点。对正质量胞腔和纤维分别写 $$ e_C=\frac{\mathbf1_C}{\sqrt{\mu(C)}},\qquad e_y=\frac{\mathbf1_{E_y}}{\sqrt{a_y}},\qquad (|u\rangle\langle v|)h=u\langle v,h\rangle. $$ 定义 $$ R_L=\sum_{\substack{C\in\mathcal P_L\\\mu(C)>0}} \mu(C)|e_C\rangle\langle e_C| =\sum_{C\in\mathcal P_L}|\mathbf1_C\rangle\langle\mathbf1_C|, \qquad R_{\mathrm{at}}=\sum_{y\in A}a_y|e_y\rangle\langle e_y|. $$ $R_L$ 在 $H_L^\perp$ 上延零；$R_{\mathrm{at}}$ 的级数按 Schatten 迹范数求和。相邻 $H_L$ 使用定理 72.2 的实际 $L^2$ 包含，$R_L$ 是各层胞腔对角态在共同空间中的实现，不以经典标签推前或 Heisenberg 压缩替代这个包含。记 $\Pi_L$ 为到 $H_L$ 的正交投影；$R_L$ 的胞腔权重为 $\mu(C)$，$\Pi_L$ 的对应权重为一。下文 $\|T\|_1=\operatorname{Tr}|T|$ 是未除以二的 Schatten 迹范数，$\|T\|_{\mathrm{HS}}^2=\operatorname{Tr}(T^*T)$ 是 Hilbert–Schmidt 范数平方，$\|T\|_{\mathrm{op}}$ 是算子范数；$\|\cdot\|_1$ 不表示概率全变差。 **定理 78.2（碰撞恒等式、精确迹缺口与两类读出）。** 在定义与假设 78.1 下，$R_L$ 是正的有限秩迹一算子，$R_{\mathrm{at}}$ 是正迹类算子，且 $$ \operatorname{Tr}R_L=1,\qquad \operatorname{Tr}R_{\mathrm{at}}=a, $$ $$ \boxed{\begin{aligned} \|R_L-R_{\mathrm{at}}\|_{\mathrm{HS}}^2 &=\sum_{C\in\mathcal P_L}\mu(C)^2-\sum_{y\in A}a_y^2 \longrightarrow0,\\ \|R_L-R_{\mathrm{at}}\|_{\mathrm{op}}&\longrightarrow0,\\ \|R_L-R_{\mathrm{at}}\|_1&\longrightarrow1-a. \end{aligned}} $$ 因此指定序列 $(R_L)$ 存在迹范数极限，当且仅当 $a=1$，其极限必为 $R_{\mathrm{at}}$。$a<1$ 时的算子范数极限是迹为 $a$ 的次归一化正算子，不是归一化密度态；特别地，$a=0$ 时算子范数极限为零，而 $\|R_L\|_1=1$。纯原子支撑可以可数无限，无须原子熵有限。 对任意有界的 $\mathcal F_\infty$ 可测复函数 $f$，令 $M_fh=fh$；对任意紧算子 $K$，有 $$ \operatorname{Tr}(R_LM_f)=\int_X f\,d\mu, \qquad \operatorname{Tr}(R_LK)\longrightarrow \operatorname{Tr}(R_{\mathrm{at}}K). $$ 常数单位向量还给出迹一秩一算子 $J=|\mathbf1\rangle\langle\mathbf1|$，满足 $$ \operatorname{Tr}(JM_f)=\int_X f\,d\mu. $$ 乘法算子与紧算子不是互斥类别。$I=M_{\mathbf1}$，且无限维时 $I$ 不紧；$a<1$ 时，该极限若推广到全部有界算子，在 $K=I$ 上便失败。故该序列的迹范数极限失败不否定 $\mu$ 的正常态表示，也不从经典乘法读数取得唯一的非交换扩张。 若另有 $X$ 紧可度量且零维、$\mathcal F=\mathcal B(X)$，并且这些有限分区由闭开集组成且分离点，则 $\mathcal F_\infty=\mathcal B(X)$，每个非空 $E_y$ 都是单点；此时 $a$ 可用环境点原子的总质量计算。一般的模零生成条件用于识别两个 $L^2$ 空间，以单点替代纤维仍须逐点分离的假设。 证明。同层胞腔向量正交归一，故 $R_L$ 的非零特征值就是各正胞腔质量，迹为一。不同正质量纤维互不相交，对每个 $n\ge1$，集合 $\{y\in A:a_y\ge1/n\}$ 至多含 $n$ 点，因而 $A$ 至多可数且质量和不超过一。纤维向量 $(e_y)_{y\in A}$ 正交归一，所以其正秩一级数在迹范数下收敛，$\|R_{\mathrm{at}}\|_1=\operatorname{Tr}R_{\mathrm{at}}=a$。这里所用的 Schatten 范数及迹类性质见 Gerald Teschl，*Mathematical Methods in Quantum Mechanics: With Applications to Schrödinger Operators*，[作者 2009 版本](https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/schroe.pdf)（Version: February 12, 2009），Lemmas 6.12–6.16，印刷第 141–144 页。有限分区的递增代数生成 $\mathcal F_\infty$，可测简单函数逼近给出所写的稠密并；可数个有限维空间的稠密并同时给出可分性。环境 $L^2$ 的识别条件则由各可测集合的指示函数在模零意义下是否属于此闭包得到。 在 $(X,\mathcal F_\infty,\mu)$ 上，$R_L$ 的一个积分核为 $$ K_L(x,x')=\mathbf1_{\{q_L(x)=q_L(x')\}}, \qquad (R_Lh)(x)=\int_{C_L(q_\infty(x))}h(x')\,d\mu(x'). $$ 零质量胞腔对积分算子没有贡献。实际分区的细化及标签相容性给出逐点单调极限 $$ K_L(x,x')\downarrow K_\infty(x,x')=\mathbf1_{\{q_\infty(x)=q_\infty(x')\}}. $$ $Y$ 的可测对角允许在完整标签律上应用 Tonelli，得到 $$ \iint K_\infty\,d\mu\,d\mu =(\nu\otimes\nu)(\{(y,y):y\in Y\}) =\int_Y\nu(\{y\})\,d\nu(y) =\sum_{y\in A}a_y^2. $$ 集合 $\bigsqcup_{y\in A}(E_y\times E_y)$ 包含于标签相等事件，且乘积测度也是这个和，故 $$ K_\infty(x,x')= \sum_{y\in A}\mathbf1_{E_y}(x)\mathbf1_{E_y}(x') \quad\text{在 }\mu\otimes\mu\text{ 几乎处处成立}. $$ 右侧核级数的平方范数尾和为 $\sum a_y^2$ 的尾和，因而在 $L^2(\mu\otimes\mu)$ 中收敛。其有限部分对应 $R_{\mathrm{at}}$ 的有限部分；核的 $L^2$/Hilbert–Schmidt 等距及已得的迹范数收敛识别出其算子正是 $R_{\mathrm{at}}$。此处仅使用 Teschl §6.3、Lemma 6.9 及式 (6.13)，印刷第 139–140 页的显式平方可积核等距。 由于 $K_\infty\le K_L$ 且二者都是二值核， $$ |K_L-K_\infty|^2=K_L-K_\infty, \qquad \iint K_L\,d\mu\,d\mu=\sum_{C\in\mathcal P_L}\mu(C)^2. $$ 再用核等距即得精确的 Hilbert–Schmidt 平方差；支配收敛使它趋零，$\|T\|_{\mathrm{op}}\le\|T\|_{\mathrm{HS}}$ 给出算子范数极限。 记 $S_L=R_L-R_{\mathrm{at}}$。迹配对界首先给出 $$ \|S_L\|_1\ge|\operatorname{Tr}S_L|=1-a. $$ 所用界 $|\operatorname{Tr}(TB)|\le\|T\|_{\mathrm{op}}\|B\|_1$（$T$ 有界，$B$ 迹类）及配对的循环性见 Jordan Bell，*Trace class operators and Hilbert-Schmidt operators*，[2016-04-18 讲义](https://jordanbell.info/LaTeX/mathematics/traceclass/traceclass.pdf)，Theorem 23，第 21–22 页。 上界须保留交叉块。取有限 $F\subseteq A$，令 $a_F=\sum_{y\in F}a_y$，$P_F$ 为这些 $e_y$ 张成空间的正交投影，$Q_F=I-P_F$。不同完整标签总在某个有限坐标分开；由 $F$ 有限及细化性，充分大的每个 $L$ 都把 $F$ 中各标签分入不同胞腔。这时 $$ P_FR_LP_F=P_FR_{\mathrm{at}}P_F =\sum_{y\in F}a_y|e_y\rangle\langle e_y|, \qquad P_FR_{\mathrm{at}}Q_F=Q_FR_{\mathrm{at}}P_F=0. $$ 令 $u_y=\mathbf1_{E_y}$、$v_{L,y}=\mathbf1_{C_L(y)\setminus E_y}$，则两个实际交叉块为 $$ P_FR_LQ_F=\sum_{y\in F}|u_y\rangle\langle v_{L,y}|, \qquad Q_FR_LP_F=\sum_{y\in F}|v_{L,y}\rangle\langle u_y|. $$ 秩一算子的迹范数为两向量范数之积，故 $$ \|P_FR_LQ_F+Q_FR_LP_F\|_1 \le2\sum_{y\in F}\sqrt{a_y\bigl(\mu(C_L(y))-a_y\bigr)} \longrightarrow0. $$ 这里 $C_L(y)\downarrow E_y$，有限测度的上连续性给出 $\mu(C_L(y))\downarrow a_y$。另外，$Q_FR_LQ_F$ 与 $Q_FR_{\mathrm{at}}Q_F$ 都是正算子，分别有迹 $1-a_F$ 与 $a-a_F$。分块并使用三角不等式，得到 $$ \|S_L\|_1 \le2\sum_{y\in F}\sqrt{a_y\bigl(\mu(C_L(y))-a_y\bigr)} +1+a-2a_F. $$ 因此 $\limsup_L\|S_L\|_1\le1+a-2a_F$。使有限 $F$ 的质量 $a_F$ 增至 $a$，上界变为 $1-a$，与下界合并即得所述极限；$A=\varnothing$ 时直接取 $F=\varnothing$。这没有把差算子 $S_L$ 当作正算子。任何迹范数极限也必为算子范数极限，因而只能是 $R_{\mathrm{at}}$；结合精确缺口便得迹范数收敛的充要条件。证明只使用可数原子质量的可和性，没有熵条件。 有限秩迹计算给出 $$ \operatorname{Tr}(R_LM_f) =\sum_{\substack{C\in\mathcal P_L\\\mu(C)>0}} \mu(C)\langle e_C,M_fe_C\rangle =\sum_C\int_C f\,d\mu =\int_Xf\,d\mu. $$ 对紧算子 $K$，由 Teschl §6.2、Lemma 6.8（印刷第 136–138 页），可取有限秩 $B$ 在算子范数下任意逼近 $K$。因 $\|S_L\|_1\le1+a$，Hilbert–Schmidt 的 Cauchy–Schwarz 不等式和上述迹配对界给出 $$ |\operatorname{Tr}(S_LK)| \le\|S_L\|_{\mathrm{HS}}\|B\|_{\mathrm{HS}} +(1+a)\|K-B\|_{\mathrm{op}}. $$ 先令 $L\to\infty$，再令逼近误差趋零，即得紧测试极限。另一方面，$\|\mathbf1\|_2=1$，故 $J$ 是正迹一的秩一算子，并有 $\operatorname{Tr}(JM_f)=\langle\mathbf1,M_f\mathbf1\rangle=\int f\,d\mu$。它在 $\mathcal B(H_{\mathrm{obs}})$ 上定义正常向量态；$\operatorname{Tr}(S_LI)=1-a$ 则说明 $a<1$ 时紧测试结论不能扩到全部有界算子。 最后，在所列紧可度量闭开分区专门化中，$q_\infty$ 连续，分离点使它单射。紧空间到 Hausdorff 空间的连续单射是到其像的同胚；有限坐标柱生成 $Y$ 的 Borel $\sigma$ 代数，因此其逆像生成 $\mathcal B(X)$，且非空完整纤维恰为单点。这证明了该专门化及相应原子解释。证毕。 **命题 78.3（混合前缀与常值观察的两种边界）。** 在 $X=\{0,1\}^{\mathbb N}$ 的 Borel 空间上用长度 $L$ 的前缀分区，令 $\nu_p$ 是各坐标独立且取一概率为 $p$ 的 Bernoulli 乘积律，并取 $$ \mu=a\delta_{0^\infty}+(1-a)\nu_p, \qquad 0\le a<1,\qquad00$。在正交单位向量 $$ e_{0^\infty}=a^{-1/2}\mathbf1_{\{0^\infty\}}, \qquad b_L^{-1/2}\mathbf1_{C_L^0\setminus\{0^\infty\}} $$ 张成的二维空间上，$R_L-R_{\mathrm{at}}$ 的压缩矩阵为 $$ \begin{pmatrix} 0&\sqrt{ab_L}\\ \sqrt{ab_L}&b_L \end{pmatrix}. $$ 其行列式为 $-ab_L<0$，故它有负特征值，差算子不正。 当 $a=0$ 时，含 $k$ 个一的长度 $L$ 胞腔质量为 $p^k(1-p)^{L-k}$。正交胞腔谱的最大值给出算子范数，平方和按二项式定理给出所列纯度。公平情形每个权重为 $2^{-L}$，故 $R_L=2^{-L}\Pi_L$。由于 $\mathbf1\in H_L$，$\operatorname{Tr}(R_LJ)=\langle\mathbf1,R_L\mathbf1\rangle=2^{-L}$；$J^2=J$ 给出另一读数。全部乘法读数的一致性由定理 78.2 的两个精确等式给出。 常值观察时，每层实际分区只有胞腔 $X$，完整标签也只有一个取值，其纤维为整个 $[0,1]$，质量为一。指示函数构造因此给出 $H_{\mathrm{obs}}=\mathbb C\mathbf1$ 及固定算子 $R_L=J$；Lebesgue 测度的每个环境单点质量仍为零。证毕。 ## 78.99 追加锚 ## 79. 完整观察熵的扩展值极限 **定义 79.1（有限观察熵与完整标签熵）。** 沿用定义与假设 78.1 的概率空间、实际有限分区 $\mathcal P_L$、相容标签逆极限 $Y$、可测映射 $q_\infty$ 及推前律 $\nu$；$A,a_y,a$ 仍表示完整观察律的正原子集、原子质量及其总和。算子 $R_L,R_{\mathrm{at}}$ 始终作用于同一个 $H_{\mathrm{obs}}$。使用自然对数，置 $$ \iota(t)= \begin{cases} -\ln t,&00}} \mu(C)\ln\mu(C), $$ $$ \mathsf H(\nu)=\int_Y\iota\bigl(\nu(\{y\})\bigr)\,d\nu(y) \in[0,+\infty]. $$ 被积函数的可测性由定理 79.2 给出。积分为非负扩展积分；非负无穷和均取有限部分和的上确界，允许值为 $+\infty$。有限熵和中的零质量胞腔贡献按 $0\ln0=0$ 处理，但信息函数在零质量处的值是 $+\infty$。这是完整标签的总观察熵，不是微分熵，也未除以层数成为熵率。对正迹类且迹一的算子 $T$，以其正特征值 $\lambda_i(T)$（按重数计）定义扩展谱熵 $$ S(T)=\sum_i-\lambda_i(T)\ln\lambda_i(T)\in[0,+\infty]; $$ 零特征值贡献零。 **定理 79.2（有限观察熵的单调极限及原子谱）。** 在定义 79.1 下，$y\mapsto\nu(\{y\})$ 是 Borel 可测函数，$A$ 是至多可数的 Borel 集，且 $\nu(A)=a$。有 $$ \boxed{ h_L\uparrow\mathsf H(\nu)= \begin{cases} \displaystyle\sum_{y\in A}-a_y\ln a_y,&a=1,\\[1mm] +\infty,&a<1. \end{cases}} $$ 纯原子分支的级数也允许发散到 $+\infty$。各有限层满足 $S(R_L)=h_L<\infty$；当 $a=1$ 时，同时有 $$ \|R_L-R_{\mathrm{at}}\|_1\longrightarrow0, \qquad S(R_L)\uparrow S(R_{\mathrm{at}})=\mathsf H(\nu) \quad\text{于 }[0,+\infty]. $$ 当 $a<1$ 时，定理 78.2 的 $R_{\mathrm{at}}$ 仍是迹为 $a$ 的次归一化正算子，且 $\|R_L-R_{\mathrm{at}}\|_1\to1-a$；它不是这列密度态的迹范数极限。 证明。对 $y\in Y$ 定义有限前缀柱集及其质量 $$ K_L(y)=\{z\in Y:z_\ell=y_\ell\text{ 对所有 }0\le\ell\le L\}, \qquad g_L(y)=\nu(K_L(y)). $$ 每层只有有限个 Borel 前缀柱集，$g_L$ 在各柱集上为常数，故为 $[0,1]$ 值 Borel 可测函数。相容父映射 $r_\ell$ 保证，在此 $Y$ 上 $$ K_L(y)=\{z\in Y:z_L=y_L\}, \qquad K_{L+1}(y)\subseteq K_L(y), \qquad \bigcap_{L\ge0}K_L(y)=\{y\}. $$ 由于 $\nu(K_0(y))\le1$，测度从上连续性给出 $$ g_L(y)\downarrow g(y):=\nu(\{y\}). $$ 因此 $g$ 可测。扩展函数 $\iota:[0,1]\to[0,+\infty]$ 可测，且在 $t\downarrow0$ 时 $\iota(t)\uparrow+\infty$，所以 $\iota\circ g$ 可测。这里的从上连续性可对照钉版 Mathlib 的 [MeasureTheory.tendsto_measure_iInter_atTop](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean#L672)：指标为 $\mathbb N$，柱集可测、递减，且初项测度有限。 相容性还给出 $$ q_\infty^{-1}K_L(q_\infty(x)) =q_L^{-1}\{q_L(x)\}=C_L(q_\infty(x)). $$ 故 $m_L(x):=\mu(C_L(q_\infty(x)))=g_L(q_\infty(x))$ 递减到 $\nu(\{q_\infty(x)\})$。令 $I_L=\iota\circ m_L$，则各 $I_L$ 非负扩展可测，并且逐点有 $$ I_L(x)\uparrow\iota\bigl(\nu(\{q_\infty(x)\})\bigr). $$ 有限层的零质量胞腔之并是零测集，$I_L$ 在其上取 $+\infty$ 对非负积分仍贡献零。对其余胞腔逐项积分，得 $$ \int_X I_L\,d\mu =\sum_{\substack{C\in\mathcal P_L\\\mu(C)>0}} \mu(C)(-\ln\mu(C))=h_L<\infty. $$ 非负单调收敛及推前测度的非负积分换元于是给出 $$ h_L\uparrow \int_X\iota\bigl(\nu(\{q_\infty(x)\})\bigr)\,d\mu(x) =\int_Y\iota\bigl(\nu(\{y\})\bigr)\,d\nu(y) =\mathsf H(\nu). $$ 所用单调收敛可对照同一钉版的 [MeasureTheory.lintegral_tendsto_of_tendsto_of_monotone](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue/Add.lean#L113)：上面已经给出各函数的可测性、逐点单调性及扩展值极限，因而满足其几乎处处版本的前提；无需假定极限可积。 对每个 $n\ge1$，集合 $A_n=\{y:g(y)\ge1/n\}$ 至多有 $n$ 个点，否则这些单点的有限可加性将给出总质量大于一。每个正质量点属于某个 $A_n$，故 $A=\bigcup_{n\ge1}A_n$ 至多可数。单点 Borel 可测，因此 $A$ 是 Borel 集，且可数可加性给出 $\nu(A)=\sum_{y\in A}a_y=a$。在 $Y\setminus A$ 上，$\iota(g(y))=+\infty$。若 $a<1$，对每个实数 $M>0$ 都有 $$ \mathsf H(\nu)\ge M\nu(Y\setminus A)=M(1-a), $$ 令 $M\to\infty$ 即得无穷分支。若 $a=1$，补集为零测集，按可数原子积分得 $$ \mathsf H(\nu)=\sum_{y\in A}a_y(-\ln a_y), $$ 仍按非负扩展和理解。 最后，定义与假设 78.1 的各 $e_C$ 正交归一，$R_Le_C=\mu(C)e_C$，且 $R_L$ 在 $H_L^\perp$ 上为零。因此其非零特征值按重数恰为各正胞腔质量，直接得到 $S(R_L)=h_L$；这正是定义与假设 72.1 的一般有限对角坐标在共同空间中的实现。$a=1$ 时，定理 78.2 给出迹范数收敛，$R_{\mathrm{at}}$ 的正交原子级数则给出非零特征值 $(a_y)_{y\in A}$，故其扩展谱熵等于上述级数。熵的单调收敛来自所指定观察塔中的信息函数单调收敛，不能将这一步换成一般的迹范数熵连续性。这里的原子始终属于完整观察律；只有另加逐点分离条件，才能把非空观察纤维识别为环境单点。证毕。 **命题 79.3（迹范数收敛而原子熵无穷的观察塔）。** 取带全部子集 $\sigma$ 代数的可数空间 $$ X=\{(k,j):k\ge1,\ 1\le j\le2^k\}, \qquad w_{k,j}:=\mu(\{(k,j)\})=\frac1{k(k+1)2^k}. $$ 令 $\mathcal P_L$ 由 $k\le L$ 的各单点及尾胞腔 $T_L=\{(k,j):k>L\}$ 组成，$\mathcal P_0=\{X\}$。这些分区构成分离点的实际有限观察塔，其完整观察律满足 $a=1$，且 $$ \tau_L:=\mu(T_L)=\frac1{L+1}, \qquad \|R_L-R_{\mathrm{at}}\|_1\le\frac2{L+1}\longrightarrow0. $$ 其有限观察熵为 $$ h_L= \sum_{k=1}^{L}\frac{\ln(k(k+1))+k\ln2}{k(k+1)} +\frac{\ln(L+1)}{L+1} \ge\ln2\sum_{k=1}^{L}\frac1{k+1}\longrightarrow+\infty. $$ 因此各 $S(R_L)$ 有限而 $S(R_{\mathrm{at}})=+\infty$；迹范数收敛无须原子熵有限，也不保证有限层熵一致有界。此例仍有 $S(R_L)\uparrow S(R_{\mathrm{at}})$ 的扩展值收敛。 证明。第 $k$ 块的质量为 $1/[k(k+1)]=1/k-1/(k+1)$，故总质量由望远镜和得一，尾质量为 $1/(L+1)$。各 $\mathcal P_L$ 有限且可测，从第 $L$ 层到第 $L+1$ 层只将尾胞腔中的第 $L+1$ 块逐点分开；以胞腔为标签、包含关系为父映射便满足 78.1 的逐点相容性。任意两个不同点在足够深的有限层被分开，且每个单点都出现在某个有限分区中，故这些分区生成全部子集 $\sigma$ 代数。非空完整观察纤维恰为单点，$\nu$ 集中于可数集合 $q_\infty(X)$，从而 $a=1$，$H_{\mathrm{obs}}=L^2(X,\mu;\mathbb C)$。 记原子正交基 $e_{k,j}=w_{k,j}^{-1/2}\mathbf1_{\{(k,j)\}}$。两态在已分开的原子上完全一致，与尾块之间均无交叉项，因此 $$ R_L-R_{\mathrm{at}}=A_L-B_L, \qquad A_L=|\mathbf1_{T_L}\rangle\langle\mathbf1_{T_L}|, \qquad B_L=\sum_{k>L}\sum_{j=1}^{2^k}w_{k,j}|e_{k,j}\rangle\langle e_{k,j}|. $$ 这里 $B_L$ 的级数按迹范数收敛，两个尾算子都正且迹类，并有 $$ \operatorname{Tr}A_L=\|\mathbf1_{T_L}\|_2^2=\tau_L, \qquad \operatorname{Tr}B_L=\tau_L. $$ $A_L$ 保留尾胞腔内部的相干项，$B_L$ 则是原子基上的对角尾算子。以下估计不假定有符号差 $A_L-B_L$ 为正；使用迹类三角不等式及两个正算子的迹范数等于迹，得到 $$ \|R_L-R_{\mathrm{at}}\|_1 \le\|A_L\|_1+\|B_L\|_1 =2\tau_L=\frac2{L+1}. $$ 这些 Schatten 范数事实沿用定理 78.2 所引 Gerald Teschl，*Mathematical Methods in Quantum Mechanics: With Applications to Schrödinger Operators*，[2009-02-12 版本](https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/schroe.pdf)，§6.3，results 6.12–6.16，印刷第 141–144 页。 第 $k\le L$ 块的 $2^k$ 个等质量单点对熵的总贡献是 $$ 2^k w_{k,j}(-\ln w_{k,j}) =\frac{\ln(k(k+1))+k\ln2}{k(k+1)}, $$ 尾胞腔贡献为 $-\tau_L\ln\tau_L=\ln(L+1)/(L+1)$，故得到所列精确有限公式，包括 $L=0$ 时空和为零的情形。丢去非负的 $\ln(k(k+1))$ 项及尾项，得调和下界。由于 $\ln2>0$ 且 $\sum_{k=1}^L1/(k+1)\to+\infty$，有限熵趋于无穷；定理 79.2 将其识别为 $S(R_{\mathrm{at}})=\mathsf H(\nu)=+\infty$。证毕。 ## 79.99 追加锚 ## 80. 参考条件重采样的联合恢复缺陷与原见证命中 **定义与假设 80.1（完整实现、保留记录与指定耦合）。** 设 $E,W$ 为有限非空集合，$X,Y,Z$ 为集合，给定 $$ X\xleftarrow{s}E\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{o}Z. $$ $X$ 表示输入，$E$ 表示完整实现，$Y$ 表示完整输出，$Z$ 表示读出；同一输入下不同的实现由 $E$ 的不同元素区分。不要求完整输出映射 $f$ 单射。令 $$ r(e)=(s(e),o(f(e))),\qquad B=r[E], $$ 并将 $r$ 的陪域限制为实际像 $B$，故 $r:E\to B$ 满射，$B$ 也有限非空。给定严格正参考概率 $$ q_e>0,\qquad \sum_e q_e=1,\qquad p_b=\sum_{r(e)=b}q_e,\qquad R_b(e)=\mathbf1_{r(e)=b}\frac{q_e}{p_b}. $$ 在概率质量坐标上定义粗化及参考反向映射 $$ (C_r u)_b=\sum_{r(e)=b}u_e,\qquad (B_{r,q}v)_e=\frac{q_e}{p_{r(e)}}v_{r(e)}. $$ 这沿用 73.2–73.4 的概率坐标公式；参考 $q$ 按 73.5 作为指定数据给定。 令 $J:E\times W\to[0,\infty)$ 是任意归一化联合律，即 $\sum_{e,w}J(e,w)=1$，并置 $$ d_e=\sum_wJ(e,w),\qquad a(b,w)=\sum_{r(e)=b}J(e,w),\qquad c_b=\sum_w a(b,w)=\sum_{r(e)=b}d_e, $$ $$ d^{\mathrm{rec}}_e=\frac{q_ec_{r(e)}}{p_{r(e)}} =(B_{r,q}C_r d)_e,\qquad J^{\mathrm{rec}}(e,w)=\frac{q_ea(r(e),w)}{p_{r(e)}}. $$ $d$ 是实际实现边缘，$c$ 是实际粗边缘，$a$ 是实际保留记录 $(B,W)$ 的联合律；$d$ 与 $J$ 可有零质量。 固定旧、新两份实现载体 $E_0,E_1$ 与 $E$ 的标识，在 $E_0\times E_1\times W$ 上定义 $$ \Omega(e_0,e_1,w) =J(e_0,w)\mathbf1_{r(e_1)=r(e_0)}\frac{q_{e_1}}{p_{r(e_0)}} =J(e_0,w)R_{r(e_0)}(e_1). $$ 这里 $W$ 是旧记录，抽样器只按保留的 $B=r(E_0)$ 与参考 $q$ 抽取 $E_1$；保留 $W$ 不把 $W$ 增添为抽样器的输入。比较 $J$ 与 $J^{\mathrm{rec}}$ 时始终使用上述固定标识。若保留多个记录，则以它们的实际联合元组为 $W$，并使用该元组与 $E$ 的实际联合律；各记录的单独边缘不指定元组联合律。共同见证及其纤维内耦合的含义沿用 56.6、57.13–57.15。 以下用自然对数。对有限非负质量 $u$，置 $H(u)=-\sum_{x:u_x>0}u_x\ln u_x$；对 $u\ll v$，即 $v_x=0\Rightarrow u_x=0$，置 $$ D(u\Vert v)=\sum_{x:u_x>0}u_x\ln\frac{u_x}{v_x}. $$ 对有限联合律 $F$，记第一边缘为 $F_U(u)=\sum_vF(u,v)$，采用条件熵 $$ H_F(V\mid U)=\sum_{u:F_U(u)>0}F_U(u) H\!\left(\frac{F(u,\cdot)}{F_U(u)}\right). $$ 零质量切片贡献零，不在该处指定归一化条件律。令 $$ P(b,(e,w))=\mathbf1_{b=r(e)}J(e,w) \quad\text{于 }B\times(E\times W), $$ $$ I_J(E;W\mid B)=H_P(E\mid B)+H_P(W\mid B)-H_P(E,W\mid B), $$ 其中前两项分别使用 $P$ 的 $(B,E)$、$(B,W)$ 投影。此为[有限条件熵](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/b59e6c7d9eb887ffc2b72aaf7a57fc0f444a83ef/D5/S3/Entropy/ConditionalEntropy.lean)及[条件互信息的条件熵缺陷定义](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/b59e6c7d9eb887ffc2b72aaf7a57fc0f444a83ef/D5/S3/Entropy/Submodularity/ConditionalMutualInformation.lean)的首坐标条件约定；此处条件坐标是 $B$。 **定理 80.2（联合恢复的两项缺陷与同时为零判据）。** 在定义与假设 80.1 下，$\Omega$ 是概率律，$(E_0,W)$ 与 $(E_1,W)$ 的律分别为 $J,J^{\mathrm{rec}}$，$E_0,E_1$ 的边缘分别为 $d,d^{\mathrm{rec}}$。两者的 $(B,W)$ 联合边缘均为 $a$，且 $r(E_1)=r(E_0)$ 几乎处处；在 $\Omega$ 下有 $E_1\perp(E_0,W)\mid B$。所有下列散度均有限，并有 $$ \boxed{ D(J\Vert J^{\mathrm{rec}}) =I_J(E;W\mid B)+D(d\Vert d^{\mathrm{rec}}). } \tag{80.1} $$ 右侧两项均非负，且 $$ \begin{aligned} D(J\Vert J^{\mathrm{rec}})=0 &\ \Longleftrightarrow\ J=J^{\mathrm{rec}}\\ &\ \Longleftrightarrow\ d=d^{\mathrm{rec}} \ \text{且在实际律 }J\text{ 下 }E\perp W\mid B. \end{aligned} \tag{80.2} $$ 这里的条件独立性恰为以下不含条件概率除法的条件： $$ J(e,w)c_b=d_ea(b,w) \quad\text{对所有 }b,e,w\text{ 满足 }r(e)=b,\ c_b>0. \tag{80.3} $$ 若 $d=q$，则 $c=p$、$d^{\mathrm{rec}}=q$，因而 $$ D(J\Vert J^{\mathrm{rec}})=I_J(E;W\mid B),\qquad J=J^{\mathrm{rec}}\ \Longleftrightarrow\ E\perp W\mid B. $$ 证明。满射及 $q_e>0$ 给出 $p_b>0$，且 $\sum_eR_b(e)=1$。所有定义的质量均非负。先求旧、新联合边缘及两实现的联合边缘： $$ \sum_{e_1}\Omega(e_0,e_1,w)=J(e_0,w),\qquad \sum_{e_0}\Omega(e_0,e_1,w) =\frac{q_{e_1}}{p_{r(e_1)}}a(r(e_1),w) =J^{\mathrm{rec}}(e_1,w), $$ $$ \sum_w\Omega(e_0,e_1,w)=d_{e_0}R_{r(e_0)}(e_1). $$ 于是 $\sum\Omega=\sum J=1$。进一步有 $$ \sum_{r(e)=b}J^{\mathrm{rec}}(e,w) =\frac{a(b,w)}{p_b}\sum_{r(e)=b}q_e=a(b,w), $$ $$ \sum_wJ^{\mathrm{rec}}(e,w)=d^{\mathrm{rec}}_e,\qquad \sum_eJ^{\mathrm{rec}}(e,w)=\sum_ba(b,w)=\sum_eJ(e,w), $$ $$ \sum_{r(e)=b}d^{\mathrm{rec}}_e=c_b,\qquad \sum_e d^{\mathrm{rec}}_e=\sum_b c_b =\sum_{b,w}a(b,w)=\sum_e d_e=1. $$ 这些等式同时证明 $J^{\mathrm{rec}}$ 归一化，并给出保留记录 $W$、粗坐标 $B$ 及所列全部边缘。$\Omega$ 的支撑满足 $r(e_1)=r(e_0)$；在任意 $c_b>0$ 的切片上， $$ \Pr_\Omega(E_0=e_0,E_1=e_1,W=w\mid B=b) =\frac{\mathbf1_{r(e_0)=b}J(e_0,w)}{c_b}R_b(e_1). $$ 右侧为归一化的 $(E_0,W)$ 条件律与 $R_b$ 的乘积，故得到所述条件独立性。零 $c_b$ 不要求条件律。 若 $J(e,w)>0$，则 $$ d_e>0,\quad a(r(e),w)>0,\quad c_{r(e)}>0,\quad J^{\mathrm{rec}}(e,w)>0,\quad d^{\mathrm{rec}}_e>0. $$ 若仅已知 $d_e>0$，仍有 $c_{r(e)}>0$ 及 $d^{\mathrm{rec}}_e>0$。故 $J\ll J^{\mathrm{rec}}$ 且 $d\ll d^{\mathrm{rec}}$。若 $c_b=0$，非负和为零强制该纤维上全部 $a(b,w),d_e,J(e,w)$ 为零，$d^{\mathrm{rec}},J^{\mathrm{rec}}$ 在该纤维也为零。若 $d_e=0$，则该实际行 $J(e,\cdot)$ 为零；同纤维其他行可有正质量，此时 $d^{\mathrm{rec}}_e>0$。因此零实际行只消去该行的第一质量加权项，不强制重建行也为零。有限载体及上述绝对连续性保证所用 KL 值有限。 现在将条件熵定义展开为正支撑对数和。对每个 $(e,w)$ 恰有一个 $b=r(e)$，所以 $P\ge0$ 且 $\sum_{b,e,w}P(b,(e,w))=1$。其三个实际投影为 $$ A(b,e):=\sum_wP(b,(e,w))=\mathbf1_{b=r(e)}d_e,\qquad \sum_eP(b,(e,w))=a(b,w),\qquad \sum_{e,w}P(b,(e,w))=c_b. $$ $A$ 与 $a$ 的第一边缘均为 $c$。在 $c_b>0$ 时置 $$ K_b(e,w)=\frac{\mathbf1_{b=r(e)}J(e,w)}{c_b},\qquad U_b(e)=\frac{\mathbf1_{b=r(e)}d_e}{c_b},\qquad V_b(w)=\frac{a(b,w)}{c_b}. $$ 三者均非负归一化，且 $\sum_wK_b(e,w)=U_b(e)$、$\sum_eK_b(e,w)=V_b(w)$。在 $c_b=0$ 时，$P,A,a$ 的该切片全零，对三个条件熵的贡献均为零。因此定义恰给出 $$ I_J(E;W\mid B) =\sum_{b:c_b>0}c_b\bigl(H(U_b)+H(V_b)-H(K_b)\bigr). $$ $K_b(e,w)>0$ 蕴含 $U_b(e),V_b(w)>0$。由实际边缘求和， $$ \sum_{K_b(e,w)>0}K_b(e,w)\ln U_b(e) =\sum_{U_b(e)>0}U_b(e)\ln U_b(e), $$ 并有对应的 $V_b$ 等式：零 $U_b$ 行或零 $V_b$ 列的 $K_b$ 全零；在正行或正列内加入零 $K_b$ 项不改变总和。故仅在正支撑使用对数运算，得到 $$ H(U_b)+H(V_b)-H(K_b) =\sum_{K_b(e,w)>0}K_b(e,w) \ln\frac{K_b(e,w)}{U_b(e)V_b(w)} =D(K_b\Vert U_b\otimes V_b), $$ 其中 $(U_b\otimes V_b)(e,w)=U_b(e)V_b(w)$ 是归一化概率，且 $K_b\ll U_b\otimes V_b$。代入具体的三个切片、乘以 $c_b$ 并按唯一的 $b=r(e)$ 求和，便得 $$ I_J(E;W\mid B) =\sum_{J(e,w)>0}J(e,w) \ln\frac{J(e,w)c_{r(e)}}{d_ea(r(e),w)}. \tag{80.4} $$ 这一步从条件熵展开得到该对数和；每个实际使用的分子、分母均严格正。 对输入载体 $E\times W$、输出载体 $E$ 取确定信道 $$ T((u,w),e)=\mathbf1_{u=e}. $$ 它非负且每行和为一，输入 $J,J^{\mathrm{rec}}$ 的输出分别为 $d,d^{\mathrm{rec}}$。已证的归一化及绝对连续性满足[带零支撑的 KL 链恒等式](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/b59e6c7d9eb887ffc2b72aaf7a57fc0f444a83ef/D5/S3/DivergenceSupport/ZeroSupportDPI.lean)的全部条件。在 $d_e>0$、$b=r(e)$ 时，两后验均支撑于 $\{e\}\times W$，具体为 $$ \Pi_e(u,w)=\mathbf1_{u=e}\frac{J(e,w)}{d_e},\qquad \widetilde\Pi_e(u,w)=\mathbf1_{u=e} \frac{q_ea(b,w)/p_b}{q_ec_b/p_b} =\mathbf1_{u=e}\frac{a(b,w)}{c_b}. $$ 其非负归一化及 $\Pi_e\ll\widetilde\Pi_e$ 由前述求和与支撑关系给出。去掉固定坐标的零项后， $$ d_eD(\Pi_e\Vert\widetilde\Pi_e) =\sum_{w:J(e,w)>0}J(e,w) \ln\frac{J(e,w)c_b}{d_ea(b,w)}. $$ 在 $d_e=0$ 时，链恒等式的零输出加权项为零，不论 $d^{\mathrm{rec}}_e$ 是否为零；该行右侧也是空和。于是该链恒等式成为 $$ D(J\Vert J^{\mathrm{rec}}) =D(d\Vert d^{\mathrm{rec}}) +\sum_{e:d_e>0}d_eD(\Pi_e\Vert\widetilde\Pi_e), $$ 再用式 (80.4) 即得式 (80.1)。全程没有在零切片取 $\ln(0/0)$。 [Gibbs 非负性](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/b59e6c7d9eb887ffc2b72aaf7a57fc0f444a83ef/D5/S3/Divergence/GrandmotherTheorem.lean)应用于 $(d,d^{\mathrm{rec}})$ 及每个 $(K_b,U_b\otimes V_b)$，证明两项非负。[Gibbs 等号判据](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/b59e6c7d9eb887ffc2b72aaf7a57fc0f444a83ef/D5/S3/Divergence/GibbsEquality.lean)应用于已经归一化并满足绝对连续性的 $(J,J^{\mathrm{rec}})$、$(d,d^{\mathrm{rec}})$，分别给出零 KL 当且仅当两律相同。 对上面的实际三变量律 $P$ 使用[条件互信息为零当且仅当条件切片为乘积](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/b59e6c7d9eb887ffc2b72aaf7a57fc0f444a83ef/D5/S3/Entropy/Submodularity/MarkovDataProcessing.lean#L133)，其首坐标是 $B$，第一边缘是 $c$，故结论恰为每个 $c_b>0$ 上 $K_b=U_b\otimes V_b$。在 $r(e)\ne b$ 时两侧均为零；在 $r(e)=b$ 时，乘以正数 $c_b^2$ 就是式 (80.3)，反之除以它即得乘积分解。零切片不增添条件。两个非负缺陷同时为零的条件遂为式 (80.2)。若 $d=q$，直接求和得 $c=p$ 及 $d^{\mathrm{rec}}=q$，其边缘 KL 为零，得到校准专门化。 上述联合律等式比较的是固定标识下的两个概率函数；原实现是否被抽中则指 $\Omega$ 中坐标事件 $\{E_1=E_0\}$。即使 $J=J^{\mathrm{rec}}$，若某个 $c_b>0$ 的纤维含至少两个实现，仍可取 $J(e_0,w)>0$ 及同纤维的 $e_1\ne e_0$，从而 $\Omega(e_0,e_1,w)>0$，命中概率小于一。因此联合律相等不蕴含本耦合中两实现相等。证毕。 **命题 80.3（保留原见证副本时的条件熵与精确全变差）。** 在定义与假设 80.1 中，令 $W$ 为 $E$ 的一份固定副本，并取 $$ J(e,w)=q_e\mathbf1_{e=w}. $$ 仍使用同一个仅依赖 $B,q$ 的抽样器。此时在 $\Omega$ 中 $W=E_0$ 几乎处处，且 $$ d=d^{\mathrm{rec}}=q,\qquad c=p,\qquad J^{\mathrm{rec}}(e,w)=\mathbf1_{r(e)=r(w)}\frac{q_eq_w}{p_{r(e)}}. $$ 置 $H_q(E\mid B)=\sum_b p_bH(R_b)$，以及命题 72.3 中的条件碰撞标量 $$ C_q=\sum_e\frac{q_e^2}{p_{r(e)}} =\sum_b p_b\sum_{r(e)=b}\left(\frac{q_e}{p_b}\right)^2. $$ 则 $$ \boxed{ D(J\Vert J^{\mathrm{rec}})=H_q(E\mid B),\qquad \Pr_\Omega(E_1=E_0)=C_q,\qquad d_{\mathrm{TV}}(J,J^{\mathrm{rec}})=1-C_q, } \tag{80.5} $$ 其中采用概率全变差的归一化 $$ d_{\mathrm{TV}}(J,J^{\mathrm{rec}}) =\frac12\sum_{e,w}|J(e,w)-J^{\mathrm{rec}}(e,w)|. $$ 对这一抽样器，$\Pr_\Omega(E_1=E_0)=1$ 当且仅当每条 $r$ 纤维为单点，等价于 $r$ 单射。 证明。复制联合律给出 $d=q$、$a(b,w)=\mathbf1_{r(w)=b}q_w$，因此 $c=p$，代入定义即得 $J^{\mathrm{rec}}$。定理 80.2 给出新实现边缘仍为 $q$；而 $\Omega$ 的全部质量都满足 $w=e_0$，所以记录确为未改变的原见证。$J$ 的正质量全在对角线上，且 $$ 00}p_Z(z)\, \mathsf H\!\left(\frac{p_{X,Z}(\,\cdot\,,z)}{p_Z(z)}\right), $$ $$ I(X;Y)=\mathsf H(X)+\mathsf H(Y)-\mathsf H(X,Y),\qquad I(X;Y\mid Z)= \mathsf H(X\mid Z)+\mathsf H(Y\mid Z)-\mathsf H((X,Y)\mid Z). $$ 零质量条件切片对条件熵和条件互信息贡献零，不在其上指定归一化后验。这与定义与假设 80.1 的支撑约定一致。若以 bit 为单位，则定义 $\mathsf H_2=\mathsf H/\ln2$、$I_2=I/\ln2$，整条熵或信息等式、不等式统一除以 $\ln2$；概率不作此换算。下述数据只指定一次更新或固定长度实验，不指定正反路径概率律，也不作物理时间箭头断言。 **定理 81.2（固定目标的确定记忆更新收支）。** 设目标 $H$、旧记忆 $M$、新观察 $O$ 具有定义与假设 81.1 的共同联合律。给定全定义的确定映射 $$ F:\mathcal M\times\mathcal O\longrightarrow\mathcal M', \qquad U=(M,O),\qquad M'=F(M,O), $$ 其中 $\mathcal M'$ 也有限非空，且更新前后比较的是同一个目标随机变量 $H$。则 $$ \boxed{ I(H;M')-I(H;M) =I(H;O\mid M)-I(H;U\mid M'). } \tag{81.1} $$ 右侧两项分别非负，但左侧可正也可负。第一项是观察在旧记忆之外增加的目标信息；第二项是整个输入对 $U$ 中未由新记忆保留的目标信息，能够包含刚取得的观察信息，不能仅称为旧记忆的损失。本定理不要求均匀性、平稳性、独立性或记忆容量上界。 证明。记 $p(h,u)=\Pr(H=h,U=u)$，将 $F(m,o)$ 简写为 $F(u)$。实际更新的三元联合律为 $$ P(h,u,m')=p(h,u)\mathbf1_{\{m'=F(u)\}}. $$ 对每个 $u$ 恰有一个 $F(u)\in\mathcal M'$，故 $$ \sum_{m'}\mathbf1_{\{m'=F(u)\}}=1,\qquad \sum_{m'}P(h,u,m')=p(h,u),\qquad \sum_{h,u,m'}P(h,u,m')=\sum_{h,u}p(h,u)=1. $$ 所以 $P$ 非负归一化，其 $(H,U)$ 边缘确为原律。令 $p_U(u)=\sum_h p(h,u)$。若 $p_U(u)>0$，则 $$ \Pr(H=h,M'=m'\mid U=u) =\frac{p(h,u)}{p_U(u)}\mathbf1_{\{m'=F(u)\}}. $$ 右侧两个因子分别是归一化的 $H\mid U=u$ 条件律和集中于 $F(u)$ 的 $M'\mid U=u$ 条件律，因而该切片是其两边缘的乘积。若 $p_U(u)=0$，非负和为零迫使每个 $p(h,u)=0$，于是对应的 $P$ 切片全零，条件量贡献零。对以 $U$ 为条件坐标的联合律，直接应用有限条件乘积判据 [conditional_mutual_information_eq_zero_iff_conditional_product](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/f95a140dc698a9872b63591647c6da70795e75f4/D5/S3/Entropy/Submodularity/MarkovDataProcessing.lean)，得到 $$ I(H;M'\mid U)=0. $$ 此图律也是归一化通道 $W(u,m')=\mathbf1_{\{m'=F(u)\}}$ 生成的律；上面的行和与边缘等式正好满足同一出处中 markov_of_channel 的假设。 现在对这个共同联合律按两个顺序使用 [mutual_information_chain_rule](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/f95a140dc698a9872b63591647c6da70795e75f4/D5/S3/Entropy/Submodularity/MutualInformationChainRule.lean)。交换成对坐标只重排有限熵和，故 $$ \begin{aligned} I(H;(U,M')) &=I(H;U)+I(H;M'\mid U)=I(H;U),\\ I(H;(U,M')) &=I(H;M')+I(H;U\mid M'). \end{aligned} $$ 再在原来的 $(H,M,O)$ 律上用同一链式法则， $$ I(H;U)=I(H;M)+I(H;O\mid M). $$ 合并移项即为式 (81.1)。两个条件互信息来自非负归一化联合律及其坐标重排，满足 [conditional_mutual_information_nonneg](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/f95a140dc698a9872b63591647c6da70795e75f4/D5/S3/Entropy/Submodularity/ConditionalMutualInformation.lean) 的假设，故分别非负。 为证明差值确可取两种符号，令 $H$ 在 $\{0,1\}$ 上均匀。若 $M$ 恒定、$O=H$、$F(m,o)=o$，则 $I(H;M)=0$、$I(H;M')=\mathsf H(H)=\ln2$，差为 $\ln2$。若 $M=H$、$O$ 恒定、$F$ 恒定，则两信息依次为 $\ln2,0$，差为 $-\ln2$。这些值直接由点质量熵为零及均匀二点熵为 $\ln2$ 得到。最后，仍取 $M$ 恒定、$O=H$，却使 $F$ 恒定；这时 $$ I(H;M)=I(H;M')=0,\qquad I(H;O\mid M)=I(H;U\mid M')=\ln2. $$ 旧记忆没有目标信息而被丢弃项严格为正，证明它不能只计旧记忆损失。证毕。 **定理 81.3（均匀合法历史通过有限记忆的恢复与条件熵界）。** 固定 $n\in\mathbb N=\{0,1,\ldots\}$，令 $$ \mathcal W_n=\{w\in\{0,1\}^n:w\text{ 不含相邻的 }11\}, \qquad N=|\mathcal W_n|=G_n\ge1, $$ 其中直接沿用命题 70.10 的计数 $G_n$；$\mathcal W_0$ 仅含空字，$G_0=1$。在本次固定 $n$ 的实验中，$H$ 均匀分布于 $\mathcal W_n$。记忆载体 $\mathcal M$ 有 $K\ge1$ 个状态，位预算为 $B\in\mathbb N$，且 $K\le2^B$。设非负编码核、解码核 $$ e:\mathcal W_n\times\mathcal M\to[0,\infty),\qquad d:\mathcal M\times\mathcal W_n\to[0,\infty) $$ 逐行满足 $$ \sum_m e(h,m)=1\quad(\forall h),\qquad \sum_{\widehat h}d(m,\widehat h)=1\quad(\forall m). $$ 要求实际三元联合律完整地分解为 $$ \boxed{ \Pr(H=h,M=m,\widehat H=\widehat h) =\frac1N e(h,m)d(m,\widehat h). } \tag{81.2} $$ 这是本定理的无旁路条件：给定记忆后，解码使用同一行 $d(m,\cdot)$。它允许随机编码与随机解码，但不能仅由“所用随机种子与 $H$ 独立”代替。则恢复原历史的成功概率满足 $$ \boxed{ \Pr(\widehat H=H) \le\min\!\left(1,\frac K{G_n}\right) \le\min\!\left(1,\frac{2^B}{G_n}\right). } \tag{81.3} $$ 同时有 $$ \boxed{ \mathsf H(H\mid M) \ge\max(0,\ln G_n-\ln K) \ge\max(0,\ln G_n-B\ln2). } \tag{81.4} $$ 式 (81.4) 对任意均匀源 $H$ 与至多 $K$ 态记忆 $M$ 的联合律均成立，不需要解码器或式 (81.2)。式 (81.3) 的成功事件要求重建所抽取的整个原历史；命题 69.4 则只要求保留指定更新与读出的预测完成商。即使两个历史在该预测任务中等价，这里的恢复事件仍要求区分它们。若把本定理用于定理 81.2 的更新后记忆，须将 $M$、载体、$K$ 及编码核一致替换为 $M'$ 的对应数据。 证明。$N\ge1$ 也可由全零字（$n=0$ 时为空字）直接见证。两核非负且行和为一，故式 (81.2) 的右侧确为概率律： $$ \frac1N\sum_h\sum_m e(h,m)\sum_{\widehat h}d(m,\widehat h) =\frac1N\sum_h1=1. $$ 其 $H$ 边缘为 $1/N$，$(H,M)$ 边缘为 $e(h,m)/N$。编码行的非负性还给出 $$ 0\le e(h,m)\le\sum_{m'}e(h,m')=1. $$ 于是仅以有限求和便得 $$ \begin{aligned} \Pr(\widehat H=H) &=\frac1N\sum_m\sum_h e(h,m)d(m,h)\\ &\le\frac1N\sum_m\sum_h d(m,h) =\frac KN. \end{aligned} $$ 结合概率至多为一、$N=G_n>0$ 及 $K\le2^B$，得到式 (81.3)。此证明没有除以 $\Pr(M=m)$。未使用的记忆状态满足 $\sum_h e(h,m)=0$，故其编码列全零；无论该状态的解码行选哪一个归一化概率，都不影响成功率。$n=0$ 时解码只能返回空字，成功率为一，与上界相符。 条件熵部分只使用 $(H,M)$ 联合律。对它及交换坐标后的律应用 [entropy_chain_rule](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/f95a140dc698a9872b63591647c6da70795e75f4/D5/S3/Entropy/ConditionalEntropy.lean)，得到 $$ \mathsf H(H)+\mathsf H(M\mid H) =\mathsf H(H,M) =\mathsf H(M)+\mathsf H(H\mid M). $$ 所有涉及的边缘非负归一化，源载体与记忆载体均非空。因此 [entropy_eq_log_card_iff_uniform](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/f95a140dc698a9872b63591647c6da70795e75f4/D5/S3/Entropy/EntropyEquality.lean) 给出 $\mathsf H(H)=\ln N$； [entropy_le_log_card](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/f95a140dc698a9872b63591647c6da70795e75f4/D5/S3/Entropy/MaxEntropy.lean) 给出 $\mathsf H(M)\le\ln K$；若实际载体少于 $K$ 个状态，再用对数单调性即可。同一非负联合律上的 [conditional_entropy_nonneg](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/f95a140dc698a9872b63591647c6da70795e75f4/D5/S3/Entropy/EntropyNonneg.lean) 给出两个条件熵非负。故 $$ \mathsf H(H\mid M) =\ln N+\mathsf H(M\mid H)-\mathsf H(M) \ge\ln N-\ln K. $$ 与 $\mathsf H(H\mid M)\ge0$ 合并，得到第一个最大值界；$1\le K\le2^B$ 蕴含 $\ln K\le B\ln2$，再得第二个。$n=0$ 时源熵和条件熵都为零，右侧两个最大值也为零。依定义与假设 81.1 换成 bit 后，最后一界就是 $\mathsf H_2(H\mid M)\ge\max(0,\log_2G_n-B)$。 为核实无旁路条件中随机性的边界，取 $n=1$，令 $H,S$ 为相互独立的均匀二点变量，置 $M=H\mathbin{\oplus}S$，其中 $\oplus$ 为模二加法。若解码器还可读取共享种子 $S$，则令 $\widehat H=M\mathbin{\oplus}S=H$。此时 $e(h,m)=1/2$，而 $$ \Pr(H=h,M=m,\widehat H=\widehat h) =\tfrac14\mathbf1_{\{\widehat h=h\}}. $$ 若式 (81.2) 成立，则对任意固定 $m$，取 $h=0$ 会迫使 $d(m,0)=1$，取 $h=1$ 又迫使 $d(m,1)=1$，违反解码行归一化。故种子独立本身不足以保证该式。使用额外可读记录时，须把它纳入实际记忆状态及容量条件，或另行指定扩展模型的联合律。式 (81.4) 的推导完全没有使用 $d$ 或 $\widehat H$，因而其适用范围不受这个解码边界影响。证毕。 **命题 81.4（各长度均匀合法历史律不具投影相容性）。** 令 $u_n$ 为定理 81.3 中 $\mathcal W_n$ 上的均匀律，$t:\mathcal W_2\to\mathcal W_1$ 为保留首位的截断映射。按 $\mathcal W_1=(0,1)$ 排列，有 $$ t_*u_2=(2/3,1/3)\ne(1/2,1/2)=u_1. $$ 因此不存在一个取值于无限无相邻 $11$ 序列空间的概率过程，使全部长度 $n$ 的前缀律同时等于 $u_n$。 证明。$\mathcal W_2=\{00,01,10\}$，每个字在 $u_2$ 下的质量为 $1/3$；首位为零的有两个，为一的有一个，故得到所列截断律。$\mathcal W_1=\{0,1\}$，其均匀律两点质量各为 $1/2$。若存在所述过程，记其律为 $\lambda$、长度一及长度二的前缀映射为 $\pi_1,\pi_2$，则逐点有 $\pi_1=t\circ\pi_2$。推前概率的复合性将强制 $$ u_1=(\pi_1)_*\lambda =t_*\bigl((\pi_2)_*\lambda\bigr)=t_*u_2, $$ 与上式矛盾。命题 71.8 给出的则是总长度趋于无穷时、固定短前缀的分布极限；它没有要求这些有限总长度的均匀律逐层相容，也不将定理 81.3 的均匀源替换为平稳 Parry 律。证毕。 ## 81.99 追加锚 ## 82. 参考纤维上的凸缺陷与共同恢复零集 **定义与假设 82.1（质量坐标、似然比坐标与凸缺陷）。** 沿用定义与假设 74.1 的有限非空集合 $J,I$、满射 $r:J\to I$、严格正参考概率 $q$，以及质量算子 $C,B,E=BC$；其粗参考为 $$ p_i=(Cq)_i=\sum_{r(j)=i}q_j>0. $$ 对任意非负归一化质量列向量 $d\in\Delta(J)$，记 $$ a=Cd,\qquad u_j=\frac{d_j}{q_j},\qquad m_i=\frac{a_i}{p_i}. $$ 在任意实函数 $v:J\to\mathbb R$ 上定义 $$ (\Pi v)_j=\frac1{p_{r(j)}} \sum_{r(k)=r(j)}q_kv_k, \qquad D_q=\operatorname{diag}(q). $$ 于是 $$ \Pi u=m\circ r,\qquad Ed=D_q\Pi u,\qquad E=D_q\Pi D_q^{-1}. $$ 这里 $\Pi$ 作用于似然比或实读数，$E$ 作用于质量；二者的自然内积分别是 $$ \langle v,w\rangle_q=\sum_jq_jv_jw_j, \qquad \langle x,y\rangle_{q^{-1}}=\sum_j\frac{x_jy_j}{q_j}. $$ 具体地，在有限概率空间 $(J,2^J,\mu_q)$ 上取 $$ \mu_q(A)=\sum_{j\in A}q_j, \qquad \mathcal F_r=\{r^{-1}(S):S\subseteq I\}. $$ $\Pi$ 是命题 69.1、定理 76.1 的有限正加权条件投影。质量空间中的正交性使用命题 74.5 的证明及定理 76.1 中的 $q^{-1}$ 内积；$D_q$ 给出这两个带权空间之间的等距同构。 令 $K\subseteq\mathbb R$ 为包含所有 $u_j$ 的凸区间，$\Phi:\mathbb R\to\mathbb R$ 在 $K$ 上凸。定义有限实数 $$ \mathcal J_\Phi(d;q,r) =\sum_jq_j\Phi(u_j)-\sum_i p_i\Phi(m_i). $$ 此处用 $\mathcal J_\Phi$ 表示凸缺陷，不与定义 72.1 的细基去相干 $\Delta_f$ 混用。以下 KL 与熵均采用自然对数，零质量项按正支撑求和约定处理。 **命题 82.2（纤维 Jensen 缺陷、严格零集与两种特例）。** 在定义与假设 82.1 下，各 $m_i\in K$，且 $$ \boxed{ \mathcal J_\Phi(d;q,r) =\sum_i p_i\left[ \sum_{r(j)=i}\frac{q_j}{p_i}\Phi(u_j)-\Phi(m_i) \right]\ge0. } $$ 若 $\Phi$ 在 $K$ 上严格凸，则 $$ \begin{aligned} \mathcal J_\Phi(d;q,r)=0 &\ \Longleftrightarrow\ \forall j,k\ \bigl(r(j)=r(k)\Rightarrow u_j=u_k\bigr)\\ &\ \Longleftrightarrow\ u=\Pi u \ \Longleftrightarrow\ d=Ed. \end{aligned} $$ 对任意 $\alpha,\beta\in\mathbb R$，有 $$ \mathcal J_{\Phi+\alpha\,\mathrm{id}+\beta}(d;q,r) =\mathcal J_\Phi(d;q,r). $$ 因此不要求 $\Phi(1)=0$。若只有凸性而没有严格凸性，上述零集刻画不由该假设保证；仿射生成函数的缺陷对每个 $d$ 都为零。各严格凸生成函数共享这里的恢复零集，但本命题不规定它们的共同数值尺度，也不要求不同生成函数在每个输入上给出不同数值。 **二次特例。** 取 $\Phi(t)=t^2$，等价地取 $\Phi(t)=(t-1)^2$，则 $$ \boxed{ \begin{aligned} \mathcal J_{t^2}(d;q,r) &=\sum_j q_j\bigl(u_j-(\Pi u)_j\bigr)^2\\ &=\sum_j\frac{\bigl(d_j-(Ed)_j\bigr)^2}{q_j}\\ &=\chi^2(d\Vert q)-\chi^2(Cd\Vert p), \end{aligned} } $$ 其中对严格正参考质量 $w$， $$ \chi^2(v\Vert w)=\sum_x\frac{(v_x-w_x)^2}{w_x}. $$ 这里的残差分母是 $q_j$；即使 $Ed$ 逐坐标正，它一般也不等于以 $(Ed)_j$ 为分母的 $\chi^2(d\Vert Ed)$。该残差是 $L^2(\mu_q)$ 中 $u$ 的条件投影残差平方，也是在质量空间 $\langle\cdot,\cdot\rangle_{q^{-1}}$ 中 $d-Ed$ 的范数平方。 **KL 特例。** 取 $\Phi(t)=t\ln t$（$t>0$）及 $\Phi(0)=0$，在 $K=[0,\infty)$ 上使用其严格凸性，则 $$ \boxed{ \mathcal J_\Phi(d;q,r) =D_{\mathrm{KL}}(d\Vert q)-D_{\mathrm{KL}}(Cd\Vert p) =D_{\mathrm{KL}}(d\Vert Ed). } $$ 三个 KL 值均有限，包括 $d$ 或 $Cd$ 有零坐标的情形。这是定理 73.3、74.2 的支撑型 KL 缺陷在同一凸缺陷记号下的特化。 **证明。** 对每个 $i$，满射保证纤维 $J_i=r^{-1}(i)$ 非空，参考正性给出 $p_i>0$。置 $$ \lambda_{j\mid i}=\frac{q_j}{p_i}\quad(j\in J_i). $$ 这些权重严格为正、总和为一，且 $$ \sum_{j\in J_i}\lambda_{j\mid i}u_j =\frac1{p_i}\sum_{r(j)=i}d_j =m_i. $$ 因此 $m_i$ 是 $K$ 中有限个点的凸组合，属于 $K$。按纤维拆分第一项，便得到框中的缺陷分解。有限 Jensen 不等式逐纤维给出 $$ \Phi(m_i)\le\sum_{j\in J_i}\lambda_{j\mid i}\Phi(u_j). $$ 这正是 [ConvexOn.map_sum_le](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Analysis/Convex/Jensen.lean) 在指标集 $J_i$、权重 $\lambda_{j\mid i}$ 和点 $u_j$ 上的应用；权重非负归一化及所有点的域内条件已逐项满足。再乘 $p_i>0$ 并求和，得到非负性。 若 $\Phi$ 严格凸，所有方括号均非负且所有外权 $p_i$ 均为正，所以总和为零当且仅当每个纤维的 Jensen 等号成立。[StrictConvexOn.map_sum_eq_iff_of_pos](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Analysis/Convex/Jensen.lean) 在同一代入下适用，其严格正权重条件也已满足。它给出等号当且仅当该纤维的所有 $u_j$ 相等。若共同值为 $h_i$，上面的加权平均等式使 $h_i=m_i$，故恰为 $u=\Pi u$。反过来，$\Pi u$ 在每条纤维上为常值，故 $u=\Pi u$ 蕴含纤维常值。由 $d=D_qu$、$Ed=D_q\Pi u$ 及 $q_j>0$，这又等价于 $d=Ed$。 若 $a_i=0$，则 $a_i$ 是该纤维所有非负 $d_j$ 的和，故整条纤维的 $d_j=0$，继而所有 $u_j=0$、$m_i=0$。它已满足纤维常值条件，不能因实际粗质量为零而另加一个未定义的后验条件。这里的平均权重是始终正的参考 $q_j/p_i$。 对任意仿射函数 $\ell(t)=\alpha t+\beta$，每条纤维上都有 $$ \sum_{j\in J_i}\lambda_{j\mid i}\ell(u_j) =\alpha m_i+\beta=\ell(m_i). $$ 因而加上仿射函数不改变任何方括号，证明仿射不变性，也给出仿射生成函数的恒零结论。 为明确二次特例的 Hilbert 载体，任取实函数 $v$，$\Pi v$ 在各纤维上常值且 $$ \sum_{r(j)=i}q_j(\Pi v)_j =\sum_{r(j)=i}q_jv_j. $$ 每个 $\mathcal F_r$ 事件是若干纤维的不交并，故同一积分等式在这些事件上成立；$\Pi v$ 又是 $\mathcal F_r$-可测的。有限载体使 $v\in L^2(\mu_q)$，所以这正是命题 69.1、定理 76.1 中的条件正交投影。严格正的每个 $q_j$ 使几乎处处相等在此等价于逐点相等。 坐标适配直接给出，对任意实质量向量 $x$， $$ (D_q\Pi D_q^{-1}x)_j =\frac{q_j}{p_{r(j)}}\sum_{r(k)=r(j)}x_k =(Ex)_j, $$ 且 $$ \langle D_qv,D_qw\rangle_{q^{-1}} =\sum_jq_jv_jw_j=\langle v,w\rangle_q. $$ 所以这一变换是两个带权空间之间的等距同构，说明两个残差平方的精确对应；它不是相同 Euclidean 内积下的算子识别。 下面直接计算全部二次公式。每条纤维的中心化和为零： $$ \sum_{r(j)=i}q_j(u_j-m_i) =a_i-p_im_i=0. $$ 展开 $u_j=(u_j-m_i)+m_i$，得到 $$ \begin{aligned} \sum_{r(j)=i}q_ju_j^2 &=\sum_{r(j)=i}q_j(u_j-m_i)^2 +2m_i\sum_{r(j)=i}q_j(u_j-m_i)+p_im_i^2\\ &=\sum_{r(j)=i}q_j(u_j-m_i)^2+p_im_i^2. \end{aligned} $$ 按纤维求和并减去 $\sum_i p_im_i^2$，即得第一个二次等式。再用 $$ d_j-(Ed)_j=q_j\bigl(u_j-m_{r(j)}\bigr) $$ 得到第二个。由于 $$ \sum_jq_j=\sum_i p_i=1, \qquad \sum_jq_ju_j=\sum_i p_im_i=1, $$ 有 $$ \chi^2(d\Vert q)=\sum_jq_ju_j^2-1, \qquad \chi^2(Cd\Vert p)=\sum_i p_im_i^2-1. $$ 相减得到第三个等式。全部分母来自严格正参考，因此不要求 $d_j>0$。所用的条件投影勾股关系是命题 69.1 的范数恒等式，这里的坐标计算将其识别为所列 $\chi^2$ 差。 最后取 $\Phi(t)=t\ln t$、$\Phi(0)=0$。[Real.strictConvexOn_mul_log](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean) 给出它在 $[0,\infty)$ 上的严格凸性，包含零点的连续值；所有 $u_j,m_i\ge0$，故适用。在 $d_j>0$ 时， $$ q_j\Phi(u_j)=d_j\ln(d_j/q_j), $$ 而 $d_j=0$ 时该项为零；粗坐标同理。因此 $\mathcal J_\Phi$ 恰为两个参考 KL 之差。若 $d_j>0$，则 $a_{r(j)}>0$，从而 $(Ed)_j=q_ja_{r(j)}/p_{r(j)}>0$；若 $a_i=0$，该纤维上 $d$ 与 $Ed$ 全为零。$q,p$ 严格正，$d\ll Ed$，而 $Ed$ 是定理 74.2 中已归一化的概率，故三个 KL 都有限。对同一个 $C,B,E,q,p,d$ 直接应用定理 74.2 的缺陷差式，得到最后一个等号；其支撑与恢复条件正是定理 73.3 的条件。对数项始终只在正实际支撑上计算，零粗质量不需要归一化实际后验。若改用 bit，则将这一特例中的全部 KL 项一致除以 $\ln2$。证毕。 **命题 82.3（族保持不推出所有凸缺陷的动力学单调性）。** 取四状态集 $J=\{1,2,3,4\}$，分区 $\{1,2\}\mid\{3,4\}$，并令 $$ q=\frac14\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}, \qquad d=\begin{pmatrix}2/5\\1/10\\2/5\\1/10\end{pmatrix}, \qquad T=\frac1{40} \begin{pmatrix} 37&1&37&1\\ 1&37&1&37\\ 1&1&1&1\\ 1&1&1&1 \end{pmatrix}. $$ 则 $T$ 严格正且列随机，满足 $TE=ET=ETE$；但二次凸缺陷严格增加： $$ \mathcal J_{t^2}(d;q,r)=\frac9{25}, \qquad \mathcal J_{t^2}(Td;q,r)=\frac{729}{1250}>\frac9{25}. $$ 这里 $$ Tq=\begin{pmatrix}19/40\\19/40\\1/40\\1/40\end{pmatrix}\ne q, $$ 故本命题不涉及另加平稳参考条件 $Tq=q$ 的结论。 **证明。** 每个矩阵元至少为 $1/40>0$，每列的整数分子之和为 $40$。本分区的重采样矩阵为 $$ E=\frac12 \begin{pmatrix} 1&1&0&0\\ 1&1&0&0\\ 0&0&1&1\\ 0&0&1&1 \end{pmatrix}. $$ 直接相乘得到 $$ TE=ET= \begin{pmatrix} 19/40&19/40&19/40&19/40\\ 19/40&19/40&19/40&19/40\\ 1/40&1/40&1/40&1/40\\ 1/40&1/40&1/40&1/40 \end{pmatrix}. $$ 右侧每列在各对内相等，故左乘 $E$ 不变，证明 $TE=ETE$。同一乘法给出上述 $Tq$ 以及 $$ Td=\begin{pmatrix}149/200\\41/200\\1/40\\1/40\end{pmatrix}, \qquad Ed=q, \qquad ETd=Tq. $$ 因此 $$ d-Ed=\begin{pmatrix}3/20\\-3/20\\3/20\\-3/20\end{pmatrix}, \qquad Td-ETd=\begin{pmatrix}27/100\\-27/100\\0\\0\end{pmatrix}. $$ 应用命题 82.2 的二次残差公式，参考分母均为 $1/4$，于是 $$ \mathcal J_{t^2}(d;q,r) =4\cdot4\left(\frac3{20}\right)^2=\frac9{25}, $$ $$ \mathcal J_{t^2}(Td;q,r) =4\cdot2\left(\frac{27}{100}\right)^2=\frac{729}{1250}. $$ 两值之差为 $279/1250>0$。定理 74.2 在 $TE=ETE$ 下保证的是 KL 特例的缺陷不增；以上同一参考、同一分区的精确计算表明，该动力学结论不能直接换成任意凸生成函数。证毕。 ## 82.99 追加锚 ## 83. 平稳参考下的 Bregman 纤维缺陷与粗预测差异 **定义与假设 83.1（平稳似然比动力学与联合凸核）。** 沿用定义与假设 74.1、82.1 的有限非空集合 $J,I$、满射 $r:J\to I$、严格正参考概率 $q$、粗参考 $p=Cq$，以及质量算子 $C,B,E=BC$、对角矩阵 $D_q$ 和条件投影 $\Pi=D_q^{-1}ED_q$。取非负列随机矩阵 $T$，要求同一参考平稳及参考恢复族保持： $$ \sum_jT_{jk}=1\quad(k\in J),\qquad Tq=q,\qquad TE=ETE. $$ 按定义 74.1 置 $S=CTB$，并在似然比坐标中置 $$ L=D_q^{-1}TD_q,\qquad L_{jk}=\frac{T_{jk}q_k}{q_j}. $$ 取任意 $d\in\Delta(J)$，允许零坐标，记 $u=D_q^{-1}d$。令 $\mathcal K\subseteq\mathbb R$ 为包含全部 $u_j$ 的凸区间，$\Phi$ 在包含 $\mathcal K$ 的开区间上为实值凸 $C^1$ 函数。定义 Bregman 核 $$ B_\Phi(s,t)=\Phi(s)-\Phi(t)-\Phi'(t)(s-t), \qquad (s,t)\in\mathcal K\times\mathcal K, $$ 并要求 $B_\Phi$ 在 $\mathcal K\times\mathcal K$ 上联合凸。纤维缺陷 $\mathcal J_\Phi(d;q,r)$ 使用定义 82.1 的有限和；其生成函数只在这些似然比及纤维均值上取值。 附引：Chafaï，*Entropies, convexity, and functional inequalities: On $\Phi$-entropies and $\Phi$-Sobolev inequalities*，J. Math. Kyoto Univ. 44(2) (2004), 325–363，[DOI:10.1215/kjm/1250283556](https://doi.org/10.1215/kjm/1250283556)，[arXiv:math/0211103v2，(H2)、式 (19)](https://arxiv.org/abs/math/0211103v2)，将二变量条件写为 $$ \Psi(t,h)=\Phi(t+h)-\Phi(t)-\Phi'(t)h. $$ 线性变换 $(s,t)\mapsto(t,s-t)$ 给出 $B_\Phi(s,t)=\Psi(t,s-t)$。这里的联合凸性是附加假设；单变量 $\Phi$ 的凸性或其透视函数的凸性均不替代这一假设。 **定理 83.2（族保持下的纤维缺陷与粗预测差异不等式）。** 在定义与假设 83.1 下，全部下列项都是有限实数，且 $$ \boxed{ \mathcal J_\Phi(Td;q,r) +\sum_i p_i B_\Phi\!\left( \frac{(CTd)_i}{p_i},\frac{(SCd)_i}{p_i}\right) \le\mathcal J_\Phi(d;q,r). } $$ 粗预测项非负，因此 $\mathcal J_\Phi(Td;q,r)\le\mathcal J_\Phi(d;q,r)$。若固定 $q$ 并在 $$ \mathcal K=[0,1/\min_jq_j] $$ 上满足上述函数假设，则该结论同时适用于所有 $d\in\Delta(J)$。 **证明。** 先落实似然比坐标中的权重。由 $Tq=q$ 得 $$ \sum_k L_{jk}=\frac{(Tq)_j}{q_j}=1, $$ 而由 $T$ 的列随机性得 $$ \sum_jq_jL_{jk} =q_k\sum_jT_{jk}=q_k. $$ 所有 $L_{jk}\ge0$。这是命题 74.4 的同参考反向行核；质量更新与似然比更新满足 $D_qLu=Td$。再用 $E=D_q\Pi D_q^{-1}$ 共轭族保持等式，得到 $$ L\Pi=\Pi L\Pi. $$ 置 $v=Lu$、$z=L\Pi u$，于是 $\Pi z=z$，即 $z$ 在每条纤维上为常值。$\Pi$ 的纤维权重为 $q_k/p_i$，非负且和为一；$L$ 的各行也非负归一化。因此 $u,\Pi u,v,z,\Pi v$ 的全部坐标均为 $\mathcal K$ 中各点的凸组合，仍在 $\mathcal K$ 中。 在输入端，记 $m_i=(Cd)_i/p_i$，则 $(\Pi u)_j=m_{r(j)}$，且 $$ \sum_{r(j)=i}q_j(u_j-m_i)=0. $$ 由于 $\Phi'(m_i)$ 在纤维内为同一有限实数，Bregman 展开的线性项逐纤维相消： $$ \begin{aligned} \sum_jq_jB_\Phi(u_j,(\Pi u)_j) &=\sum_jq_j\Phi(u_j)-\sum_i p_i\Phi(m_i) -\sum_i\Phi'(m_i)\sum_{r(j)=i}q_j(u_j-m_i)\\ &=\mathcal J_\Phi(d;q,r). \end{aligned} $$ 对 $L$ 的第 $j$ 行，以权重 $L_{jk}$ 对点对 $(u_k,(\Pi u)_k)\in\mathcal K\times\mathcal K$ 应用有限 Jensen。其权重非负、和为一，乘积域凸，核在该域联合凸，所以 $$ B_\Phi(v_j,z_j) \le\sum_k L_{jk}B_\Phi(u_k,(\Pi u)_k). $$ 这正是 [ConvexOn.map_sum_le](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Analysis/Convex/Jensen.lean) 在实二维点对上的有限凸组合不等式。乘 $q_j$，有限换序，并用上面的加权不变性，得 $$ \begin{aligned} \sum_jq_jB_\Phi(v_j,z_j) &\le\sum_k\left(\sum_jq_jL_{jk}\right) B_\Phi(u_k,(\Pi u)_k)\\ &=\sum_kq_kB_\Phi(u_k,(\Pi u)_k) =\mathcal J_\Phi(d;q,r). \end{aligned} $$ 最后在输出端分离纤维缺陷与粗预测差异。对 $r(j)=i$，写 $$ \bar v_i=(\Pi v)_j=\frac{(CTd)_i}{p_i},\qquad \bar z_i=z_j. $$ 因 $z$ 纤维常值且 $D_qz=TEd$，有 $$ p_i\bar z_i =\sum_{r(j)=i}q_jz_j =(CTEd)_i=(SCd)_i. $$ 这里 $SCd=CTBCd=CTEd$ 仅由定义给出；把 $z_j$ 识别为每条纤维上的常数 $\bar z_i$ 才使用了族保持。对每个 $i$ 直接展开，并用 $\sum_{r(j)=i}q_jv_j=p_i\bar v_i$，得到 $$ \begin{aligned} \sum_{r(j)=i}q_jB_\Phi(v_j,\bar z_i) &=\sum_{r(j)=i}q_j\Phi(v_j)-p_i\Phi(\bar z_i) -p_i\Phi'(\bar z_i)(\bar v_i-\bar z_i)\\ &=\left[\sum_{r(j)=i}q_j\Phi(v_j)-p_i\Phi(\bar v_i)\right] +p_iB_\Phi(\bar v_i,\bar z_i). \end{aligned} $$ 按纤维求和即得精确恒等式 $$ \sum_jq_jB_\Phi(v_j,z_j) =\mathcal J_\Phi(Td;q,r) +\sum_i p_iB_\Phi\!\left( \frac{(CTd)_i}{p_i},\frac{(SCd)_i}{p_i}\right). $$ 结合前面的 Jensen 界得到所述加强不等式。凸可微函数的切线支撑不等式给出 $B_\Phi(s,t)\ge0$，所以粗预测项非负。 若统一取所列 $\mathcal K$，每个概率 $d$ 都满足 $$ 0\le u_j=\frac{d_j}{q_j}\le\frac1{q_j}\le\frac1{\min_kq_k}. $$ 所有后续坐标仍由已证的凸组合性质留在这个区间。分母始终为正参考 $q_j,p_i$；$C^1$ 假设保证各处导数有限，包括区间包含零点时的 $\Phi'(0)$。所以 $d$、$CTd$ 或 $SCd$ 的零坐标不产生未定义项，全部有限和均有意义。证毕。 附引：反向核与输出似然比的关系见 Raginsky，*Strong Data Processing Inequalities and $\Phi$-Sobolev Inequalities for Discrete Channels*，[arXiv:1411.3575v4，§1.1 式 (1.2)、Lemma A.1](https://arxiv.org/abs/1411.3575v4)。输入端的纤维相消对应其 §2.1 式 (2.4)–(2.5)、Lemma A.4 的条件 $\Phi$ 熵及 Bregman 表达，也对应 Chafaï 同文式 (58) 的条件熵分解。这里的 $C^1$ 正则性由上述有限和证明承担。$\Phi(t)=t\ln t$ 在零点不满足本定理的有限导数假设；含零质量的 KL 缺陷不等式由定理 74.2 的支撑型结论给出。 **推论 83.3（二次残差同时控制下一步缺陷与粗预测误差）。** 在定义与假设 83.1 的线性条件下，记 $$ \mathcal J_2(d;q,r):=\mathcal J_{t^2}(d;q,r) =\sum_j\frac{\bigl(d_j-(Ed)_j\bigr)^2}{q_j}. $$ 则对每个 $d\in\Delta(J)$， $$ \boxed{ \mathcal J_2(Td;q,r) +\sum_i\frac{\bigl((CTd)_i-(SCd)_i\bigr)^2}{p_i} \le\mathcal J_2(d;q,r). } $$ **证明。** $B_{t^2}(s,t)=(s-t)^2$ 在 $\mathbb R^2$ 上联合凸。取 $\mathcal K=\mathbb R$，在定理 83.2 中代入这一核，再用命题 82.2 的二次残差恒等式，即得结论。 在命题 69.1、82.2 的带权正交残差几何中，$z=L\Pi u$ 属于 $\operatorname{Im}\Pi$，故输出端的精确分解就是 $$ \|Lu-z\|_q^2 =\|(\mathrm{Id}-\Pi)Lu\|_q^2+\|\Pi Lu-z\|_q^2. $$ 右侧两项依次是下一步二次纤维缺陷和所列粗预测误差；它们共同受初始残差平方控制。证毕。 **推论 83.4（完整交换使粗预测项消失）。** 在定义与假设 83.1 下，若再有 $TE=ET$，则对每个满足其函数定义域条件的 $d$， $$ CTd=SCd, \qquad \mathcal J_\Phi(Td;q,r)\le\mathcal J_\Phi(d;q,r), $$ 且定理 83.2 的粗预测项逐项为零。 **证明。** 共轭交换等式给出 $L\Pi=\Pi L$，因而定理 83.2 证明中的 $z=L\Pi u=\Pi Lu$。该证明已将这两个纤维常值向量分别识别为 $(SCd)_i/p_i$ 与 $(CTd)_i/p_i$，故粗质量相等，每项均为 $p_iB_\Phi(t,t)=0$。代入定理 83.2 即得。完整交换蕴含族保持，因为 $E^2=E$ 给出 $ETE=TE$；主定理只使用后一个条件。证毕。 **命题 83.5（平稳且交换的四状态动力学仍可增大四次缺陷）。** 取 $J=\{1,2,3,4\}$、$I=\{1,2\}$，令 $r(1)=r(2)=1$、$r(3)=r(4)=2$，并置 $$ q=\frac14\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix},\qquad d=\begin{pmatrix}3/8\\3/8\\3/16\\1/16\end{pmatrix}, $$ $$ E=\frac12\begin{pmatrix} 1&1&0&0\\ 1&1&0&0\\ 0&0&1&1\\ 0&0&1&1 \end{pmatrix},\qquad T=\frac12\begin{pmatrix} 1&0&1&0\\ 0&1&0&1\\ 1&0&1&0\\ 0&1&0&1 \end{pmatrix}. $$ 则 $q,d$ 都是严格正概率，$E$ 是指定参考的纤维重采样，$T$ 非负列随机、对称且幂等，满足 $$ Tq=q,\qquad TE=ET=ETE, $$ 但对凸生成函数 $\Phi(t)=t^4$， $$ \boxed{ \mathcal J_{t^4}(d;q,r)=\frac{25}{512},\qquad \mathcal J_{t^4}(Td;q,r)=\frac{385}{4096},\qquad \mathcal J_{t^4}(Td;q,r)-\mathcal J_{t^4}(d;q,r) =\frac{185}{4096}>0. } $$ 同一输入与同一动力学的二次缺陷则满足 $$ \mathcal J_2(d;q,r)=\frac1{32},\qquad \mathcal J_2(Td;q,r)=\frac1{64}. $$ 因此，平稳参考与完整交换不能使每个单变量凸生成函数的纤维缺陷都不增。 **证明。** $q,d$ 的坐标均正，总和均为一。$p=(1/2,1/2)^{\mathsf T}$，故由定义 74.1 的 $E=BC$ 得到所列 $E$。$T$ 的每行、每列各有两个 $1/2$，其余为零；所以非负列随机并固定均匀参考 $q$，但 $T_{12}=0$。直接相乘有 $$ T^{\mathsf T}=T,\qquad T^2=T,\qquad TE=ET=\frac14\mathbf1\mathbf1^{\mathsf T}, \qquad \mathbf1=(1,1,1,1)^{\mathsf T}. $$ 右侧每列被 $E$ 固定，所以还等于 $ETE$。均匀参考下 $D_q=\frac14\mathrm{Id}$，因而 $\Pi=E$、$L=T$。输入似然比及纤维均值为 $$ u=\begin{pmatrix}3/2\\3/2\\3/4\\1/4\end{pmatrix},\qquad \Pi u=\begin{pmatrix}3/2\\3/2\\1/2\\1/2\end{pmatrix}. $$ 输出为 $$ Td=\begin{pmatrix}9/32\\7/32\\9/32\\7/32\end{pmatrix},\qquad Lu=\begin{pmatrix}9/8\\7/8\\9/8\\7/8\end{pmatrix},\qquad \Pi Lu=\mathbf1. $$ $\Phi''(t)=12t^2\ge0$ 保证 $t^4$ 在实线上凸。由定义 82.1，粗项也可写为 $\sum_jq_j\Phi((\Pi u)_j)$。逐项算得 $$ \begin{aligned} \sum_jq_ju_j^4 &=\frac14\left[2\left(\frac32\right)^4 +\left(\frac34\right)^4 +\left(\frac14\right)^4\right] =\frac{1337}{512},\\ \sum_jq_j(\Pi u)_j^4 &=\frac14\left[2\left(\frac32\right)^4 +2\left(\frac12\right)^4\right] =\frac{41}{16},\\ \sum_jq_j(Lu)_j^4 &=\frac12\left[\left(\frac98\right)^4 +\left(\frac78\right)^4\right] =\frac{4481}{4096},\\ \sum_jq_j(\Pi Lu)_j^4&=1. \end{aligned} $$ 因此输入缺陷为 $(1337-1312)/512=25/512$，输出缺陷为 $(4481-4096)/4096=385/4096$，两者之差为 $(385-200)/4096=185/4096$。 二次残差分别是 $$ u-\Pi u=\begin{pmatrix}0\\0\\1/4\\-1/4\end{pmatrix},\qquad Lu-\Pi Lu=\begin{pmatrix}1/8\\-1/8\\1/8\\-1/8\end{pmatrix}. $$ 命题 82.2 给出 $$ \mathcal J_2(d;q,r) =\frac14\cdot2\left(\frac14\right)^2=\frac1{32},\qquad \mathcal J_2(Td;q,r) =\frac14\cdot4\left(\frac18\right)^2=\frac1{64}. $$ 在四次量中，细量下降 $6215/4096$，粗量下降 $6400/4096$；粗量下降更多，其差便增加 $185/4096$。两个凸量各自下降不蕴含它们之差下降，所列平稳交换矩阵与精确分数实现了这一障碍。证毕。 ## 83.99 追加锚 ## 84. 证据更新的固定参考交换与原标签运输 **定义与假设 84.1（非负似然与正证据更新）。** 沿用定义与假设 74.1 的有限非空集合 $J,I$、满射 $r:J\to I$、严格正参考概率 $q$、粗参考 $p=Cq$ 及质量算子 $$ C_{ij}=\mathbf1_{r(j)=i},\qquad B_{ji}=\mathbf1_{r(j)=i}\frac{q_j}{p_i},\qquad E=BC. $$ 概率均为列向量，$\Delta(J),\Delta(I)$ 包括有零坐标的概率。定理 74.2 给出 $C,B,E$ 非负列随机，且 $$ CB=\mathrm{Id}_I,\qquad E^2=E,\qquad EB=B,\qquad CE=C,\qquad Bp=q. $$ 称 $B\Delta(I)$ 中的先验为参考校准先验；记第 $i$ 个粗标准基为 $e_i$，相应参考条件概率为 $b_i=Be_i$，细点 $j$ 上的点质量记为 $\delta_j$。 取有限实值非负似然 $\ell:J\to[0,\infty)$，定义 $$ D_\ell=\operatorname{diag}_{j\in J}(\ell_j),\qquad Z_\ell(d)=\sum_j\ell_jd_j,\qquad \bar\ell_i=\sum_{r(j)=i}\frac{q_j}{p_i}\ell_j, \qquad D_{\bar\ell}=\operatorname{diag}_{i\in I}(\bar\ell_i). $$ 似然可以大于 $1$；$D_\ell d$ 的总质量为 $Z_\ell(d)$。只在正证据定义域 $$ \mathcal D_\ell=\{d\in\Delta(J):Z_\ell(d)>0\} $$ 上定义概率更新 $$ U_\ell:\mathcal D_\ell\longrightarrow\Delta(J),\qquad U_\ell(d)=\frac{D_\ell d}{Z_\ell(d)}. $$ 在 $Z_\ell(d)=0$ 时不定义概率后验。由于 $E$ 在整个 $\Delta(J)$ 上有定义，两个复合的完整定义域分别为 $$ \operatorname{Dom}(E\circ U_\ell)=\mathcal D_\ell, \qquad \operatorname{Dom}(U_\ell\circ E) =\{d\in\Delta(J):Z_\ell(Ed)>0\}. $$ 在定义 82.1 的条件投影记号中，$(\Pi\ell)_j=\bar\ell_{r(j)}$。 **定理 84.2（固定参考的证据交换充要条件）。** 在定义与假设 84.1 下，对每个 $d\in\Delta(J)$，有 $$ Z_\ell(Ed)=\sum_i(Cd)_i\bar\ell_i, \qquad Z_\ell(d)>0\ \Longrightarrow\ Z_\ell(Ed)>0. $$ 因此 $$ \operatorname{Dom}(E\circ U_\ell) \subseteq\operatorname{Dom}(U_\ell\circ E), $$ 且此包含可以严格。以下三个条件等价： $$ \boxed{ \begin{aligned} ED_\ell=D_\ell E &\ \Longleftrightarrow\ \forall j,k\in J,\quad r(j)=r(k)\Rightarrow\ell_j=\ell_k\\ &\ \Longleftrightarrow\ \forall d\in\mathcal D_\ell,\quad E U_\ell(d)=U_\ell(Ed). \end{aligned} } $$ 等价条件成立时，对所有 $d\in\Delta(J)$ 都有 $Z_\ell(d)=Z_\ell(Ed)$，两个复合的完整定义域相同。定义域相同本身不蕴含交换，命题 84.4 给出两域均为整个单纯形的反例。对于事件似然 $\ell=\mathbf1_A$，上述等价条件成立当且仅当 $A\subseteq J$ 为完整 $r$-纤维的并。 **证明。** 先按纤维求和，得到 $$ Z_\ell(Ed) =\sum_j\ell_j\frac{q_j}{p_{r(j)}}(Cd)_{r(j)} =\sum_i(Cd)_i\bar\ell_i. $$ 若 $Z_\ell(d)>0$，有限非负和中必有一项 $d_j\ell_j>0$。于是 $(Cd)_{r(j)}\ge d_j>0$，而严格正参考保证 $$ \bar\ell_{r(j)}\ge\frac{q_j}{p_{r(j)}}\ell_j>0. $$ 所以 $Z_\ell(Ed)>0$，证明定义域包含。若同一纤维中有 $j,k$ 满足 $\ell_j=0<\ell_k$，则 $Z_\ell(\delta_j)=0$，但 $$ Z_\ell(E\delta_j)=\bar\ell_{r(j)}>0, $$ 从而该包含严格。这种似然在任一至少含两点的纤维上均可取到。 由 $E=BC$，其矩阵元为 $$ E_{jk}=\mathbf1_{r(j)=r(k)}\frac{q_j}{p_{r(j)}}, \qquad (ED_\ell)_{jk}=E_{jk}\ell_k,\qquad (D_\ell E)_{jk}=\ell_jE_{jk}. $$ 异纤维的条目均为零，同纤维的 $E_{jk}$ 严格为正。因此两矩阵相等恰好要求同纤维的 $\ell_j,\ell_k$ 相等，证明前两个条件等价。 若 $\ell$ 纤维常值，则该纤维上的常值恰为 $\bar\ell_i$。对所有概率 $d$， $$ Z_\ell(d)=\sum_i\bar\ell_i\sum_{r(j)=i}d_j =\sum_i\bar\ell_i(Cd)_i=Z_\ell(Ed). $$ 所以完整定义域相同；在共同的正证据域上， $$ E U_\ell(d) =\frac{ED_\ell d}{Z_\ell(d)} =\frac{D_\ell Ed}{Z_\ell(Ed)} =U_\ell(Ed). $$ 反过来，假设归一化交换对每个 $d\in\mathcal D_\ell$ 成立。逐个固定粗标签 $i$。若 $\bar\ell_i=0$，则严格正权重下的非负平均为零，故这条纤维上的每个 $\ell_j=0$。若 $\bar\ell_i>0$，取 $d=b_i$，则 $$ Eb_i=b_i,\qquad Z_\ell(b_i)=\bar\ell_i>0. $$ 概率 $U_\ell(b_i)$ 的支撑包含于 $r^{-1}(i)$，所以 $CU_\ell(b_i)=e_i$，继而 $EU_\ell(b_i)=b_i$。假设给出 $$ U_\ell(b_i)=U_\ell(Eb_i)=E U_\ell(b_i)=b_i. $$ 在该纤维的每个坐标，$(b_i)_j=q_j/p_i>0$，于是 $$ \frac{\ell_j(b_i)_j}{\bar\ell_i}=(b_i)_j \quad\Longrightarrow\quad \ell_j=\bar\ell_i. $$ 这同时处理活纤维与零似然纤维，证明必要性。特别地，若 $\ell\equiv0$，两个定义域均为空，归一化交换是空域上的全称命题；线性交换成立，但没有概率后验被构造。 最后，$\mathbf1_A$ 纤维常值恰好表示每条纤维或者完全包含于 $A$，或者与 $A$ 不交，即 $A$ 是完整纤维的并。证毕。 附引：纤维参考平均的条件期望公式见 Steven P. Lalley，[*Conditional Expectation*，第 1 页 Exercise 2](https://www.stat.uchicago.edu/~lalley/Courses/385/ConditionalExpectation.pdf#page=1)。纤维常值因子对应分区可测函数，其提出性质见同文[第 4 页 §2.1 property (4)](https://www.stat.uchicago.edu/~lalley/Courses/385/ConditionalExpectation.pdf#page=4)。这里有限实值函数自动可积，严格正参考使几乎处处等式等价于逐点等式；质量算子与条件投影的转换为定义 82.1 的 $E=D_q\Pi D_q^{-1}$。 **定理 84.3（更新参考条件律的原标签 Bayes 运输）。** 在定义与假设 84.1 下，令 $$ I_+=\{i\in I:\bar\ell_i>0\},\qquad J_+=\{j\in J:\ell_j>0\}. $$ 对每个 $i\notin I_+$，选定概率 $v^{(i)}\in\Delta(J)$，使其支撑包含于 $r^{-1}(i)$，例如取 $v^{(i)}=b_i$。定义整个原标签集 $I$ 上的重建矩阵 $$ B^\ell_{ji}= \begin{cases} \displaystyle\mathbf1_{r(j)=i}\frac{q_j\ell_j}{p_i\bar\ell_i},&i\in I_+,\\ v^{(i)}_j,&i\notin I_+. \end{cases} $$ 则 $B^\ell$ 非负列随机，每列的支撑包含于其指定纤维，且 $$ \boxed{ CB^\ell=\mathrm{Id}_I,\qquad D_\ell B=B^\ell D_{\bar\ell}. } $$ 对每个 $a\in\Delta(I)$，令 $$ z(a)=\sum_i a_i\bar\ell_i. $$ 有 $Z_\ell(Ba)=z(a)$；只在 $z(a)>0$ 时定义 $$ U_{\bar\ell}(a)=\frac{D_{\bar\ell}a}{z(a)}, $$ 并有 $$ \boxed{ U_\ell(Ba)=B^\ell U_{\bar\ell}(a),\qquad C U_\ell(Ba)=U_{\bar\ell}(a). } $$ 所有非活标签的更新粗质量均为零，因此上述后验与非活列 $v^{(i)}$ 的选择无关。这些列是零质量条件律的版本选择，不是零分母归一化所得的后验。 若 $Z_q:=Z_\ell(q)>0$，则更新参考及其粗质量为 $$ q^\ell_j=\frac{q_j\ell_j}{Z_q},\qquad p^\ell_i=(Cq^\ell)_i=\frac{p_i\bar\ell_i}{Z_q}. $$ 此时 $I_+=r(J_+)$，$q^\ell$ 的正支撑为 $J_+$，$p^\ell$ 的正支撑为 $I_+$，且对 $i\in I_+$， $$ B^\ell_{ji}=\mathbf1_{r(j)=i}\frac{q^\ell_j}{p^\ell_i}. $$ 因此，先限制到满射 $r_+:J_+\to I_+$ 及其严格正概率 $q^\ell|_{J_+},p^\ell|_{I_+}$，才得到严格正参考接口中的反向条件核。整个 $J$ 上的 $q^\ell$ 可以有零坐标。 即使 $Z_q>0$，也不保证每个粗先验都有 $z(a)>0$：若存在非活标签 $i$，取 $a=e_i$ 就有 $z(a)=0$。凡 $z(a)=0$，都有 $D_\ell Ba=0$、$D_{\bar\ell}a=0$，两个归一化更新均无定义。若 $Z_q=0$，则 $\ell\equiv0$，更新参考也无定义，而所列未归一化矩阵恒等式仍成立。 **证明。** 若 $i\in I_+$，相应列非负，支撑包含于 $r^{-1}(i)$，且 $$ \sum_jB^\ell_{ji} =\frac{\sum_{r(j)=i}q_j\ell_j}{p_i\bar\ell_i}=1. $$ 若 $i\notin I_+$，$v^{(i)}$ 已是指定纤维上的概率。因此各列均非负归一化；对任意 $h,i\in I$， $$ (CB^\ell)_{hi} =\sum_{r(j)=h}B^\ell_{ji}=\mathbf1_{h=i}, $$ 给出 $CB^\ell=\mathrm{Id}_I$。 在活列上， $$ (B^\ell D_{\bar\ell})_{ji} =B^\ell_{ji}\bar\ell_i =\mathbf1_{r(j)=i}\frac{q_j\ell_j}{p_i} =(D_\ell B)_{ji}. $$ 在非活列上，$\bar\ell_i=0$；由于 $q_j/p_i>0$ 且 $\ell_j\ge0$，该纤维上的所有 $\ell_j$ 也为零。因此等式两边的整列都为零，没有使用零分母除法。这证明未归一化运输式。 将它作用于 $a$ 并求总质量，利用 $B^\ell$ 的列和为一，得到 $$ Z_\ell(Ba) =\sum_j(B^\ell D_{\bar\ell}a)_j =\sum_i\bar\ell_i a_i=z(a). $$ 当 $z(a)>0$ 时除以这一共同标量，即得 $U_\ell(Ba)=B^\ell U_{\bar\ell}(a)$；再左乘 $C$ 得粗更新恒等式。对于 $i\notin I_+$，更新粗坐标为 $a_i\bar\ell_i/z(a)=0$，故这些列无论选择何种允许的版本，所得后验均相同。 由 $Bp=q$ 及共同证据式， $$ Z_q=\sum_i p_i\bar\ell_i=\sum_jq_j\ell_j. $$ 若它为正，逐纤维求和得到上述 $p^\ell$，并在活纤维上约去正数 $Z_q$，得到 $q^\ell_j/p^\ell_i=q_j\ell_j/(p_i\bar\ell_i)$。严格正的 $q_j$ 使 $q^\ell_j>0$ 等价于 $\ell_j>0$；同理，$p^\ell_i>0$ 等价于 $\bar\ell_i>0$。非负加权和为正恰好表示纤维中至少有一个正似然点，所以 $I_+=r(J_+)$。限制后的参考概率总和仍为一，粗化仍满射，且两端参考严格为正。 若 $z(a)=0$，非负向量 $D_{\bar\ell}a$ 的总和为零，故该向量为零；运输式再给出 $D_\ell Ba=0$。若 $Z_q=0$，严格正 $q$ 下的非负和为零迫使每个 $\ell_j=0$，从而两对角矩阵均为零。此时仍有 $CB^\ell=\mathrm{Id}_I$，但没有正证据可供归一化。 最后，对一般细先验 $d$ 代入 $a=Cd$，在 $Z_\ell(Ed)>0$ 时所得恒等式是 $$ B^\ell U_{\bar\ell}(Cd)=U_\ell(B(Cd))=U_\ell(Ed). $$ 当 $d$ 属于参考校准族时，$Ed=d$，于是恢复其证据后验。命题 84.4 排除同一粗质量输入对全部正证据细先验的统一恢复保证。证毕。 附引：Maxim Raginsky，*Strong Data Processing Inequalities and $\Phi$-Sobolev Inequalities for Discrete Channels*，[arXiv:1411.3575v4，§1.1 式 (1.2)](https://arxiv.org/abs/1411.3575v4)，对严格正 admissible pair 给出反向核 $K^*(x\mid y)=K(y\mid x)\mu(x)/(\mu K)(y)$。在上述支撑限制后，取 $K(i\mid j)=\mathbf1_{r_+(j)=i}$、$\mu=q^\ell|_{J_+}$，其反向核正是 $B^\ell$ 的活列在 $J_+$ 上的限制。该严格正公式不指定原标签集中的非活列；零概率事件上的版本自由亦见 Lalley 同文[第 2 页 Definition 2 及其唯一性说明](https://www.stat.uchicago.edu/~lalley/Courses/385/ConditionalExpectation.pdf#page=2)。 **命题 84.4（两状态上的交换失败、校准运输与任意先验恢复障碍）。** 在命题 73.4 的等权二分设置中，取 $$ J=\{0,1\},\qquad I=\{*\},\qquad r(0)=r(1)=*, \qquad q=\begin{pmatrix}1/2\\1/2\end{pmatrix}, \qquad \ell=\begin{pmatrix}1\\1/2\end{pmatrix}. $$ 则 $$ C=\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix},\qquad B=q,\qquad E=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix},\qquad \bar\ell_*=\frac34,\qquad B^\ell=\begin{pmatrix}2/3\\1/3\end{pmatrix}. $$ 两个复合的完整定义域均为 $\Delta(J)$，但 $$ E U_\ell(q)=q\ne U_\ell(Eq) =\begin{pmatrix}2/3\\1/3\end{pmatrix}. $$ 另一方面，在原来的单个粗标签上，校准先验 $q=B[1]$ 满足 $$ U_{\bar\ell}([1])=[1],\qquad B^\ell U_{\bar\ell}([1])=U_\ell(q). $$ 对于已经固定的 $r,q,\ell$，却不存在任何函数 $F:\Delta(I)\to\Delta(J)$，使 $$ \forall d\in\Delta(J),\qquad Z_\ell(d)>0\ \Longrightarrow\ F(Cd)=U_\ell(d). $$ 该不存在结论允许 $F$ 依赖固定的 $r,q,\ell$，且不对 $F$ 作线性假设。 **证明。** 两个似然值都严格为正，故每个概率 $d$ 都有 $Z_\ell(d)>0$；$Ed=q$ 同样具有正证据。因此两个完整定义域都是 $\Delta(J)$。直接计算 $$ D_\ell q=\begin{pmatrix}1/2\\1/4\end{pmatrix},\qquad Z_\ell(q)=\bar\ell_*=\frac34,\qquad U_\ell(q)=\begin{pmatrix}2/3\\1/3\end{pmatrix}=B^\ell. $$ $E$ 将每个概率映到 $q$，所以所列归一化交换失败；定理 84.2 同时给出 $ED_\ell\ne D_\ell E$。唯一的粗概率为 $[1]$，以正数 $3/4$ 加权再归一化仍为 $[1]$，且 $$ D_\ell B=\begin{pmatrix}1/2\\1/4\end{pmatrix} =B^\ell D_{\bar\ell}, $$ 从而更新参考条件律在同一标签上精确表示校准先验的后验。 再取两个细点质量 $$ d^{(0)}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\qquad d^{(1)}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}. $$ 它们满足 $$ Cd^{(0)}=Cd^{(1)}=[1],\qquad Z_\ell(d^{(0)})=1,\qquad Z_\ell(d^{(1)})=\frac12, $$ 而正证据更新分别为 $$ U_\ell(d^{(0)})=d^{(0)},\qquad U_\ell(d^{(1)})=d^{(1)}. $$ 若存在所述 $F$，同一个 $F([1])$ 就必须同时等于这两个不同的概率，矛盾。这是定理 2.2 的同纤维因子化障碍在证据后验上的应用，排除了线性与非线性的统一恢复；其量词是同一函数对全部正证据先验成立，不是断言每个非校准先验分别都无法恢复。证毕。 ## 84.99 追加锚 ## 85. 观察信道下的参考纤维 KL 缺陷收支 **定义与假设 85.1（共同观察信道与正支撑后验）。** 设 $J,I,Z$ 为有限非空集合，$r:J\to I$ 满射，$q\in\Delta(J)$ 严格正，$d\in\Delta(J)$ 任意，允许 $d$ 有零坐标。沿用定义与假设 74.1 的粗化 $C$、参考重建 $B$ 及 $E=BC$，记 $$ p=Cq,\qquad a=Cd,\qquad p_i=\sum_{r(j)=i}q_j>0,\qquad a_i=\sum_{r(j)=i}d_j. $$ 对非负质量 $u\ll v$，使用定理 73.3 的自然对数与正支撑约定 $$ D(u\Vert v)=\sum_{x:u_x>0}u_x\ln\frac{u_x}{v_x},\qquad u\ll v\ \Longleftrightarrow\ \forall x\ (v_x=0\Rightarrow u_x=0), $$ 并将指定参考与分区的缺陷写为 $$ \delta_{q,r}(d)=D(d\Vert Ed). $$ 给定在两份先验下共同使用的非负行随机观察信道 $$ K(z\mid j)\ge0,\qquad \sum_{z\in Z}K(z\mid j)=1\quad(j\in J). $$ 定义粗标签与观察结果的联合质量及结果边缘 $$ m_{iz}=\sum_{r(j)=i}d_jK(z\mid j),\qquad n_{iz}=\sum_{r(j)=i}q_jK(z\mid j),\qquad b_z=\sum_i m_{iz},\qquad c_z=\sum_i n_{iz}. $$ 参考纤维中的结果条件律对每个 $i\in I$ 定义为 $$ \kappa_i^q(z)=\frac{n_{iz}}{p_i}; $$ 实际条件律只在 $a_i>0$ 时定义为 $$ \kappa_i^d(z)=\frac{m_{iz}}{a_i}. $$ 对每个 $c_z>0$，定义活载体、限制后的满射及参考后验 $$ J_z=\{j\in J:K(z\mid j)>0\},\qquad I_z=r(J_z)=\{i\in I:n_{iz}>0\},\qquad r_z=r|_{J_z}:J_z\to I_z, $$ $$ (q_z)_j=\frac{q_jK(z\mid j)}{c_z}\quad(j\in J_z). $$ 在这些载体上置 $$ (C_z)_{ij}=\mathbf1_{r(j)=i},\qquad (B_z)_{ji}=\mathbf1_{r(j)=i}\frac{q_jK(z\mid j)}{n_{iz}},\qquad E_z=B_zC_z. \tag{85.1} $$ 因为 $(C_zq_z)_i=n_{iz}/c_z$，$B_z$ 正是 $q_z$ 的纤维条件核；这也与定理 84.3 取似然 $\ell_j=K(z\mid j)$ 后在 $J_z,I_z$ 上的限制相同。只有在 $b_z>0$ 时才定义实际后验及其缺陷 $$ (d_z)_j=\frac{d_jK(z\mid j)}{b_z}\quad(j\in J_z),\qquad \delta_{q_z,r_z}(d_z)=D(d_z\Vert E_zd_z). $$ 下证给出 $b_z>0\Rightarrow c_z>0$ 及各归一化条件。$q_z$ 的严格正性只指载体 $J_z$；在整个 $J$ 上作零延拓后不要求严格正。若 $b_z=00}a_iD(\kappa_i^d\Vert\kappa_i^q). $$ 则 $$ \boxed{ \delta_{q,r}(d) =\mathcal G+\sum_{z:b_z>0}b_z\delta_{q_z,r_z}(d_z). } \tag{85.2} $$ 特别地，按实际结果律 $b$ 加权的后验缺陷满足 $$ \boxed{ \sum_{z:b_z>0}b_z\delta_{q_z,r_z}(d_z) \le\delta_{q,r}(d). } \tag{85.3} $$ $\mathcal G$ 保留粗标签，比较输入 $d$ 与参考重建输入 $Ed$ 经共同 $(I,Z)$ 信道所得的联合律；它一般不能换成只比较结果边缘的 $D(b\Vert c)$。后验缺陷的参考由同一 $K$ 更新为 $q_z$。本结论不要求观察保持旧参考族或与旧 $E$ 交换；定理 74.2 在这里提供静态缺陷公式，不使用其固定参考动力学不等式。 **证明。** 满射及 $q_j>0$ 保证 $p_i>0$；$p,a$ 均非负归一化。由行随机性与有限换序， $$ \sum_zm_{iz}=a_i,\qquad \sum_zn_{iz}=p_i,\qquad \sum_zb_z=\sum_zc_z=1. $$ 因此 $m,n$ 是 $I\times Z$ 上的概率，$b,c$ 是 $Z$ 上的概率，所有 $\kappa_i^q$ 及正 $a_i$ 上的 $\kappa_i^d$ 也归一化。若 $a_i=0$，该纤维全部 $d_j=0$，故所有 $m_{iz}=0$。若 $n_{iz}=0$，非负和的各项 $q_jK(z\mid j)$ 在该纤维全为零；由 $q_j>0$ 得该纤维全部 $K(z\mid j)=0$，于是 $m_{iz}=0$。这证明 $$ a_i>0\ \Longrightarrow\ \kappa_i^d\ll\kappa_i^q. $$ 同理，$c_z=\sum_jq_jK(z\mid j)=0$ 迫使所有 $K(z\mid j)=0$，所以 $J_z=\varnothing$、$b_z=0$，并得到 $b_z>0\Rightarrow c_z>0$。 令 $t=Ed$。由参考重建公式， $$ t_j=\frac{q_j a_{r(j)}}{p_{r(j)}}\ge0,\qquad \sum_jt_j =\sum_i\frac{a_i}{p_i}\sum_{r(j)=i}q_j =\sum_i a_i=1. $$ 若 $d_j>0$，则 $a_{r(j)}\ge d_j>0$，所以 $t_j>0$，即 $d\ll t$，初始缺陷有限。 对于 $c_z>0$，$J_z$ 非空；$n_{iz}>0$ 恰好表示纤维 $r^{-1}(i)$ 中有一个点属于 $J_z$，故 $I_z=r(J_z)$，$r_z$ 满射。$q_z$ 在 $J_z$ 上严格正，且 $$ \sum_{j\in J_z}(q_z)_j=\frac{c_z}{c_z}=1,\qquad (C_zq_z)_i=\frac{n_{iz}}{c_z}>0\quad(i\in I_z). $$ $C_z$ 的每列恰有一个 $1$，$B_z$ 的第 $i$ 列之和为 $n_{iz}/n_{iz}=1$，所以二者及 $E_z$ 均非负列随机。若再有 $b_z>0$，则 $d_z\ge0$、$\sum_{j\in J_z}(d_z)_j=b_z/b_z=1$，且 $$ (C_zd_z)_i=\frac{m_{iz}}{b_z},\qquad (E_zd_z)_j =\frac{q_jK(z\mid j)}{n_{r(j),z}}\frac{m_{r(j),z}}{b_z}. $$ 当 $(d_z)_j>0$ 时，$m_{r(j),z}>0$，右侧严格为正。因此 $d_z\ll E_zd_z$，其缺陷有限。正 $b_z$ 仍允许 $m_{iz}=00$，则 $a_i,n_{iz}>0$，所以 $h_{iz}>0$，即 $m\ll h$。在这些正实际输出上，两份条件概率为 $$ (\rho_{iz})_j=\mathbf1_{r(j)=i}\frac{d_jK(z\mid j)}{m_{iz}},\qquad (\sigma_{iz})_j=\mathbf1_{r(j)=i}\frac{t_jK(z\mid j)}{h_{iz}} =\mathbf1_{r(j)=i}\frac{q_jK(z\mid j)}{n_{iz}}. $$ 最后一次约分使用 $a_i/p_i>0$ 与 $n_{iz}>0$。两向量非负，总和分别为 $m_{iz}/m_{iz}=1$、$n_{iz}/n_{iz}=1$；$\rho_{iz}$ 的正质量位置必有 $q_jK(z\mid j)>0$，所以 $\rho_{iz}\ll\sigma_{iz}$。此处识别的是给定同一对 $(i,z)$ 的参考条件律。 对已经归一化且满足 $d\ll t$ 的输入对 $(d,t)$ 及共同信道 $W$，应用 [ZeroSupportDPI.classical_dpi_identity_zero_support](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/544abb3d37a644649198d83bd00267cd6fcf7dfd/D5/S3/DivergenceSupport/ZeroSupportDPI.lean)，得到 $$ D(d\Vert t) =D(m\Vert h) +\sum_{(i,z):m_{iz}>0}m_{iz}D(\rho_{iz}\Vert\sigma_{iz}). \tag{85.5} $$ 这里所引实值公式的全载体和采用零分母除法及 $\log0$ 的总值化约定。对本证明中每一对非负质量 $u\ll v$，正 $u_x$ 必对应正 $v_x$，而零 $u_x$ 的乘积项为零，所以全载体和恰等于本节的正支撑和。链式公式中 $m_{iz}=0$ 的加权项为零，正是同一出处的 zero_output_weighted_posterior_kl；省略这些项不把总值化的零事件函数当作概率。已经证明的各支撑包含及有限载体保证这里没有无穷 KL 项。 在 $m_{iz}>0$ 处，由式 (85.4)， $$ \frac{m_{iz}}{h_{iz}} =\frac{m_{iz}/a_i}{n_{iz}/p_i} =\frac{\kappa_i^d(z)}{\kappa_i^q(z)}. $$ 按纤维求和得 $$ D(m\Vert h) =\sum_{i:a_i>0}a_i \sum_{z:m_{iz}>0}\kappa_i^d(z) \ln\frac{\kappa_i^d(z)}{\kappa_i^q(z)} =\mathcal G. \tag{85.6} $$ 实际与重建输入的粗边缘都为 $a$，故这是按 $a$ 加权的条件证据差异。即使只取 $h$ 的结果边缘，所得也是 $$ \widetilde c_z=\sum_i a_i\kappa_i^q(z), \qquad\text{而}\qquad c_z=\sum_i p_i\kappa_i^q(z). $$ 因此 $D(m\Vert h)$ 所保留的粗标签与所用参考输入均不能从 $D(b\Vert c)$ 的记号中省去。 固定 $b_z>0$。在已证严格正参考的有限满射接口 $(J_z,I_z,q_z,r_z)$ 上，定理 74.2 的静态缺陷公式与定理 73.3 的纤维分解给出 $$ \begin{aligned} \delta_{q_z,r_z}(d_z) &=D(d_z\Vert q_z)-D(C_zd_z\Vert C_zq_z)\\ &=\sum_{i:m_{iz}>0}\frac{m_{iz}}{b_z} D(\rho_{iz}\Vert\sigma_{iz}). \end{aligned} \tag{85.7} $$ 确实，在这些纤维上，实际条件律的比率为 $(d_jK(z\mid j)/b_z)/(m_{iz}/b_z)=d_jK(z\mid j)/m_{iz}$，参考条件律的比率为 $(q_jK(z\mid j)/c_z)/(n_{iz}/c_z)=q_jK(z\mid j)/n_{iz}$。两者限制到 $J_z$ 后就是上述 $\rho_{iz},\sigma_{iz}$；在纤维外及 $J\setminus J_z$ 上作共同零延拓不改变正支撑 KL。若 $m_{iz}=0$，相应实际粗后验权重为零，第 73.3 条的该项贡献零。 由 $m_{iz}\ge0$ 及 $b_z=\sum_i m_{iz}$，$b_z=0$ 时所有 $m_{iz}=0$；因此有限换序与式 (85.7) 给出 $$ \sum_{(i,z):m_{iz}>0}m_{iz}D(\rho_{iz}\Vert\sigma_{iz}) =\sum_{z:b_z>0}b_z\delta_{q_z,r_z}(d_z). $$ 把此式及式 (85.6) 代入式 (85.5)，即得式 (85.2)。所有用于 KL 的概率对都已证明非负归一化及绝对连续性，故 [GrandmotherTheorem.kl_divergence_nonneg](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/544abb3d37a644649198d83bd00267cd6fcf7dfd/D5/S3/Divergence/GrandmotherTheorem.lean) 逐项给出非负性，消去 $\mathcal G\ge0$ 得式 (85.3)。证毕。 附引：Yury Polyanskiy–Yihong Wu，*6.441 Information Theory*，MIT OpenCourseWare，Spring 2016，Chapter 2 “Information measures: mutual information”，[§2.2，Definition 2.2 及 Theorem 2.2(2)，印刷第 21 页；有限字母证明见第 22 页](https://ocw.mit.edu/courses/6-441-information-theory-spring-2016/184197ca5d5418da2415d37e929860b9_MIT6_441S16_chapter_2.pdf#page=2)。条件散度按第一份边缘律加权；该处提供通用 KL 链式法则，上述纤维缺陷公式由其共同信道后验分解与定理 73.3、74.2 的静态接口识别得到。 **命题 85.3（严格正先验下单次结果可使缺陷加倍）。** 取 $$ J=\{1,2,3\},\qquad I=\{*\},\qquad r(j)=*,\qquad Z=\{A,B\}, $$ $$ q=\left(\frac14,\frac14,\frac12\right)^{\mathsf T},\qquad d=\left(\frac9{20},\frac1{20},\frac12\right)^{\mathsf T}, $$ 并令确定观察满足 $$ K(A\mid1)=K(A\mid2)=K(B\mid3)=1, $$ 其余条目为零。两先验均严格正，真实与参考结果律都为 $(1/2,1/2)$，条件证据差异 $\mathcal G=0$。置 $$ A_\star =D\!\left((9/10,1/10)\Vert(1/2,1/2)\right) =\frac9{10}\ln\frac95+\frac1{10}\ln\frac15>0. $$ 则 $$ \boxed{ \delta_{q,r}(d)=\frac12A_\star,\qquad \delta_{q_A,r_A}(d_A)=A_\star,\qquad \delta_{q_B,r_B}(d_B)=0, } \tag{85.8} $$ 且 $$ \sum_{z\in\{A,B\}}b_z\delta_{q_z,r_z}(d_z) =\frac12A_\star=\delta_{q,r}(d). $$ 因此式 (85.3) 不能加强成每个正概率结果上的无权不增。它仍由式 (85.2) 保证逐结果的加权界 $b_z\delta_{q_z,r_z}(d_z)\le\delta_{q,r}(d)$；本例的结果 $A$ 达到该界。 **证明。** 所列 $q,d$ 的坐标均正且总和为一，观察核非负且每行和为一。唯一粗标签的质量满足 $a_*=p_*=1$，参考重建因而将每个概率映到 $q$，特别地 $Ed=q$。两先验在 $\{1,2\}$ 上的总质量均为 $1/2$，在 $\{3\}$ 上也均为 $1/2$，所以 $$ b_A=c_A=b_B=c_B=\frac12,\qquad \kappa_*^d=\kappa_*^q=(1/2,1/2),\qquad\mathcal G=0. $$ $A_\star$ 中的两个二点概率非负归一化，参考严格正，且 $9/10\ne1/2$，故它们不同。由 Gibbs 非负性及 [GibbsEquality.kl_divergence_eq_zero_iff](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/544abb3d37a644649198d83bd00267cd6fcf7dfd/D5/S3/Divergence/GibbsEquality.lean)，该散度严格大于零。 在初始载体上直接计算，第三坐标的质量比为一，故 $$ \begin{aligned} \delta_{q,r}(d)=D(d\Vert q) &=\frac9{20}\ln\frac{9/20}{1/4} +\frac1{20}\ln\frac{1/20}{1/4} +\frac12\ln1\\ &=\frac9{20}\ln\frac95+\frac1{20}\ln\frac15 =\frac12A_\star. \end{aligned} $$ 结果 $A$ 的活载体为 $J_A=\{1,2\}$，归一化后 $$ d_A=(9/10,1/10)^{\mathsf T},\qquad q_A=(1/2,1/2)^{\mathsf T}. $$ 该载体仍只有一个粗标签，所以 $E_Ad_A=q_A$，后验缺陷为 $A_\star$。结果 $B$ 的活载体为 $J_B=\{3\}$，两后验均为唯一概率 $(1)$，故其缺陷为零。按实际结果概率加权得到 $A_\star/2$，而 $A_\star>A_\star/2$ 证明逐结果无权不增失败。最后，式 (85.2) 中其余项全部非负，保留任意一个后验加权项便得所述加权界；本例在结果 $A$ 上有 $b_AA_\star=A_\star/2$，等号成立。证毕。 ## 85.99 追加锚 ## 86. 自适应观察下的后验缺陷预算与有限越界界 **定义与假设 86.1（有限历史树、共同信道与活动支撑）。** 固定有限非空集合 $J,I$、满射 $r:J\to I$、实际先验 $d_0\in\Delta(J)$ 及严格正参考先验 $q_0\in\Delta(J)$。潜状态 $j$ 在全部观察期间保持不变，粗标签始终为同一个 $r(j)$；$d_0$ 允许零坐标。取确定的有限时域 $N\in\mathbb N=\{0,1,\ldots\}$，每步观察字母集 $Z_1,\ldots,Z_N$ 有限非空，置 $$ \mathscr H_t=\prod_{s=1}^t Z_s\quad(0\le t\le N),\qquad \mathscr H_0=\{\varnothing\}. $$ 对每个 $t0$ 的历史定义 $$ J_h=\{j\in J:L_h(j)>0\},\qquad I_h=r(J_h),\qquad r_h=r|_{J_h}:J_h\to I_h, $$ $$ q_j^h=\frac{q_{0j}L_h(j)}{P_q(h)}\quad(j\in J_h),\qquad p_i^h=\sum_{\substack{j\in J_h\\r(j)=i}}q_j^h\quad(i\in I_h). $$ $J_h,I_h$ 非空，$r_h$ 满射，$q^h$ 是 $J_h$ 上严格正的概率，全部 $p_i^h>0$。在每个这样的参考历史上，沿用定义 74.1 的质量算子 $$ (C_hu)_i=\sum_{\substack{j\in J_h\\r(j)=i}}u_j,\qquad (B_hv)_j=\frac{q_j^h}{p_{r(j)}^h}v_{r(j)},\qquad E_h=B_hC_h. $$ 实际律满足 $\mathbb P_d\ll\mathbb P_q$，特别地 $P_d(h)>0\Rightarrow P_q(h)>0$。只在 $P_d(h)>0$ 时定义实际后验及其粗质量 $$ d_j^h=\frac{d_{0j}L_h(j)}{P_d(h)}\quad(j\in J_h),\qquad a_i^h=(C_hd^h)_i. $$ $q^h,d^h$ 分别是两模型给定 $H_t=h$ 后在 $J_h$ 上的隐藏状态条件律，各自在其正概率定义域上使用；仅有 $P_q(h)>0$ 时不定义 $d^h$。 对 $t0$，参考纤维的下一结果条件律对每个 $i\in I_h$ 定义为 $$ \kappa_{t,i}^{q,h}(z) =\frac{\sum_{j\in J_h:r(j)=i}q_j^hK_t(z\mid j,h)}{p_i^h}, $$ 实际条件律只在 $a_i^h>0$ 时定义为 $$ \kappa_{t,i}^{d,h}(z) =\frac{\sum_{j\in J_h:r(j)=i}d_j^hK_t(z\mid j,h)}{a_i^h}. $$ 沿用定理 73.3 的自然对数及正实际支撑求和约定 $D(u\Vert v)=\sum_{x:u_x>0}u_x\ln(u_x/v_x)$，置 $$ \delta_t(h)=D(d^h\Vert E_hd^h),\qquad G_t(h)=\sum_{i:a_i^h>0}a_i^h D(\kappa_{t,i}^{d,h}\Vert\kappa_{t,i}^{q,h}). \tag{86.2} $$ 其中 $\delta_t$ 定义到 $t=N$，$G_t$ 只定义于 $t0$ 恰好表示 $J_h$ 非空；参考后验在此载体严格正且总和为一，$r_h$ 满射给出各 $p_i^h>0$。在 $P_d(h)>0$ 时，$d^h\ge0$ 且总和也为一。 在 $(J_h,I_h,r_h,q^h)$ 上，$C_h,B_h,E_h$ 正是定理 74.2 的静态参考重建算子，非负列随机，故 $E_hd^h$ 是概率。若 $d_j^h>0$，则 $a_{r(j)}^h\ge d_j^h>0$，所以 $$ (E_hd^h)_j=\frac{q_j^h a_{r(j)}^h}{p_{r(j)}^h}>0. $$ 这给出 $d^h\ll E_hd^h$，也有 $d^h\ll q^h$。行随机性使各已定义的 $\kappa$ 非负归一化。若 $\kappa_{t,i}^{q,h}(z)=0$，其分子的每个非负项为零；由 $q_j^h>0$ 得该纤维上每个 $K_t(z\mid j,h)=0$。因此在 $a_i^h>0$ 时，$\kappa_{t,i}^{d,h}(z)=0$，即 $\kappa_{t,i}^{d,h}\ll\kappa_{t,i}^{q,h}$。全部 KL 的正分子都有正分母，有限载体保证其值有限；对这些归一化且绝对连续的概率对使用 [Gibbs 非负性](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/0ab255d9f64bf6735d5da1930b2565e3944c635d/D5/S3/Divergence/GrandmotherTheorem.lean)，得到 $\delta_t,G_t\ge0$。这是定理 73.3、74.2 的支撑约定在每个活动载体上的使用。证毕。 **定理 86.2（历史上的缺陷平衡、补偿鞅与有限期望预算）。** 在定义与假设 86.1 下，对每个 $t0$，有 $$ \boxed{ \delta_t(h)=G_t(h)+ \sum_{z:P_d(hz)>0}\frac{P_d(hz)}{P_d(h)}\delta_{t+1}(hz), \qquad \mathbb E_d[\delta_{t+1}\mid\mathcal F_t]=\delta_t-G_t. } \tag{86.3} $$ 定义 $$ A_t=\sum_{s=0}^{t-1}G_s,\qquad M_t=\delta_t+A_t\quad(0\le t\le N). \tag{86.4} $$ 则 $\delta$ 是非负超鞅，$M$ 是非负鞅，均相对于 $(\mathcal F_t)$ 及实际律 $\mathbb P_d$。$A_0=0$，$A$ 非负非减，$A_{t+1}-A_t=G_t$ 为 $\mathcal F_t$-可测；对 $t\ge1$，$A_t$ 为 $\mathcal F_{t-1}$-可测，故 $A$ 可预测。对每个 $0\le n\le N$，有 $$ \boxed{ \mathbb E_d\delta_n+\sum_{s=0}^{n-1}\mathbb E_dG_s=\delta_0, \qquad \delta_0=D(d_0\Vert E_{\varnothing}d_0). } \tag{86.5} $$ 这是期望预算；它不主张逐路径的 $\delta_t+A_t=\delta_0$，也不主张 $\delta_t$ 逐路径非增。Doob 分解写成 $\delta=M-A$，其可预测部分是 $-A$。 **证明。** 固定 $t0$，定义 85.1 的活动载体及满射是 $$ (J_h)_z=\{j\in J_h:K_t(z\mid j,h)>0\}=J_{hz},\qquad (I_h)_z=I_{hz},\qquad (r_h)_z=r_{hz}. $$ 其参考后验满足 $$ (q_z^h)_j=\frac{q_j^hK_t(z\mid j,h)}{c_z} =\frac{q_{0j}L_{hz}(j)}{P_q(hz)}=q_j^{hz}\quad(j\in J_{hz}). \tag{86.7} $$ 这个识别对 $b_z=00\}$，且 $p_i^{hz}=n_{iz}^h/c_z$。所以定义 85.1 的更新重建核在 $J_{hz}\times I_{hz}$ 上恰为 $$ (B_z^h)_{ji} =\mathbf1_{r(j)=i}\frac{q_j^hK_t(z\mid j,h)}{n_{iz}^h} =\mathbf1_{r(j)=i}\frac{q_j^{hz}}{p_i^{hz}} =(B_{hz})_{ji}. $$ 粗化同为 $C_{hz}$，故更新投影是 $E_{hz}$。若 $b_z>0$，由实际绝对连续性得 $c_z>0$，并且 $$ (d_z^h)_j=\frac{d_j^hK_t(z\mid j,h)}{b_z} =\frac{d_{0j}L_{hz}(j)}{P_d(hz)}=d_j^{hz}. $$ 因此定理 85.2 中的后验缺陷正是 $\delta_{t+1}(hz)$，其条件证据项正是式 (86.2) 的 $G_t(h)$。直接应用式 (85.2)，即得式 (86.3) 的第一式；实际零结果不进入后验和。式 (86.1)、(86.6) 给出正历史原子上的实际下一结果条件概率 $b_z$，故第二式正是第一式的条件期望写法。 所有标量过程由当前历史决定，因而适应。历史树有限，各节点的实数值有限，包括规定为零的实际零历史，所以各时间的 $\delta_t,G_t,A_t,M_t$ 均可积。由式 (86.3) 及 $G_t\ge0$，$\delta$ 满足单步超鞅不等式。有限次塔式条件化给出全部 $s\le t\le N$ 的超鞅关系。 $A_{t+1}=A_t+G_t$ 给出非减性及增量可测性；$A_t$ 的每个加项在 $t\ge1$ 时均为 $\mathcal F_{t-1}$-可测，故得到可预测性。再由式 (86.3)， $$ \mathbb E_d[M_{t+1}\mid\mathcal F_t] =\delta_t-G_t+A_t+G_t=M_t. $$ 非负性来自 $\delta_t,A_t\ge0$，有限次条件化给出鞅关系。空历史使 $\delta_0$ 确定，$M_0=\delta_0$；取期望并展开 $A_n$ 即得式 (86.5)。同时 $$ \sum_{s=0}^{t-1}\mathbb E_d[\delta_{s+1}-\delta_s\mid\mathcal F_s] =-\sum_{s=0}^{t-1}G_s=-A_t, \tag{86.8} $$ 所以 Doob 可预测部分的符号是负号。证毕。 附引：Steven P. Lalley，*Conditional Expectation and Martingales*，[§1.1 的鞅与超鞅定义、§1.2 Corollary 1 的期望恒等式](https://www.stat.uchicago.edu/~lalley/Courses/385/Martingales.pdf#page=1)。式 (86.8) 使用离散 Doob 分解的通常约定：可预测部分为条件增量之和，鞅部分为原过程减去该和，见 Mathlib 的 [predictablePart、martingalePart 及 martingale_martingalePart](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Probability/Martingale/Centering.lean)。 **定理 86.3（有界停止预算与有限时域最大界）。** 在定义与假设 86.1 下，对每个取值于 $\{0,\ldots,N\}$ 的 $(\mathcal F_t)$-停止时刻 $\tau$，有 $$ \boxed{ \mathbb E_d\delta_\tau+ \sum_{s=0}^{N-1}\mathbb E_d[\mathbf1_{\{\tau>s\}}G_s] =\mathbb E_d[\delta_\tau+A_\tau]=\delta_0. } \tag{86.9} $$ 费用只计 $s<\tau$，不包含 $G_\tau$。特别地，$\mathbb E_d\delta_\tau\le\delta_0$。对每个实数 $\lambda>0$，有 $$ \boxed{ \mathbb P_d\!\left(\max_{0\le t\le N}\delta_t\ge\lambda\right) \le\min\!\left(1,\frac{\delta_0}{\lambda}\right). } \tag{86.10} $$ **证明。** 有界停止值和全部有限和均可积。逐路径的有限望远镜恒等式为 $$ \delta_\tau=\delta_0+ \sum_{s=0}^{N-1}\mathbf1_{\{\tau>s\}}(\delta_{s+1}-\delta_s), \qquad A_\tau=\sum_{s=0}^{N-1}\mathbf1_{\{\tau>s\}}G_s. $$ 停止时刻条件给出 $\{\tau>s\}\in\mathcal F_s$。对第一式取期望，利用这个指示函数的可测性及式 (86.3)，得到 $$ \begin{aligned} \mathbb E_d\delta_\tau &=\delta_0+\sum_{s=0}^{N-1} \mathbb E_d\!\left[\mathbf1_{\{\tau>s\}} \mathbb E_d[\delta_{s+1}-\delta_s\mid\mathcal F_s]\right]\\ &=\delta_0-\sum_{s=0}^{N-1} \mathbb E_d[\mathbf1_{\{\tau>s\}}G_s]. \end{aligned} $$ 这与 $A_\tau$ 的表达式给出式 (86.9)，再由非负费用得停止期望上界。 令 $$ B_\lambda=\left\{\max_{0\le t\le N}\delta_t\ge\lambda\right\}, \qquad \sigma(\omega)= \begin{cases} \min\{t\in\{0,\ldots,N\}:\delta_t(\omega)\ge\lambda\}, &\omega\in B_\lambda,\\ N,&\omega\notin B_\lambda. \end{cases} $$ 对每个 $ss\}=\bigcap_{t=0}^{s}\{\delta_t<\lambda\}\in\mathcal F_s, $$ 而 $\{\sigma\le N\}=\Omega$，故 $\sigma$ 是有界停止时刻。在 $B_\lambda$ 上，包括首次在 $N$ 命中的路径，$\delta_\sigma\ge\lambda$；在补集上 $\sigma=N$ 且 $\delta_\sigma\ge0$。因此不把事件 $B_\lambda$ 等同于 $\{\sigma\le N\}$，而是使用 $$ \lambda\mathbf1_{B_\lambda}\le\delta_\sigma. $$ 由式 (86.9) 得 $$ \lambda\mathbb P_d(B_\lambda)\le\mathbb E_d\delta_\sigma\le\delta_0. $$ 除以 $\lambda>0$，再结合概率至多为一，即得式 (86.10)。初始即命中时 $\sigma=0$；$N=0$ 时全部费用和为空、$\sigma=0$，上述两种事件分支和不等式仍成立。证明仅使用确定有限时域内的求和。证毕。 附引：Lalley 同文，[§3.1 Theorem 1，PDF 第 7–8 页](https://www.stat.uchicago.edu/~lalley/Courses/385/Martingales.pdf#page=7)给出有界停止期望，[§4 Proposition 7 证明中的有限 $n$ 最大界，PDF 第 12 页](https://www.stat.uchicago.edu/~lalley/Courses/385/Martingales.pdf#page=12)给出式 (86.10) 的非负超鞅形式。Steven R. Howard、Aaditya Ramdas、Jon McAuliffe、Jasjeet Sekhon，*Time-uniform Chernoff bounds via nonnegative supermartingales*，[arXiv:1808.03204v8，Lemma 1、式 (2.11)，PDF 第 15 页](https://arxiv.org/pdf/1808.03204v8#page=15)，其[§6.1 式 (6.1)，PDF 第 45 页](https://arxiv.org/pdf/1808.03204v8#page=45)给出固定有限时域的首次越界停止论证；这里仅使用这一有限步骤。 **推论 86.4（三状态边界的尖锐性与逐路径增加）。** 在命题 85.3 的同一三状态实验中，取 $N=1$，唯一粗标签下的先验为 $$ q_0=(1/4,1/4,1/2)^{\mathsf T},\qquad d_0=(9/20,1/20,1/2)^{\mathsf T}, $$ 确定性观察 $A=\{1,2\}$ 或 $B=\{3\}$。记该命题的正二点 KL 标量为 $a_*:=A_\star>0$，则 $$ \delta_0=\frac{a_*}{2},\qquad G_0=0,\qquad A_0=A_1=0, \qquad \delta_1= \begin{cases} a_*,&H_1=A,\\ 0,&H_1=B, \end{cases} $$ 两种结果的实际概率各为 $1/2$。于是 $M_1=\delta_1$ 非常值，并且 $$ \boxed{ \mathbb P_d\!\left(\max_{0\le t\le1}\delta_t\ge a_*\right) =\frac12=\frac{\delta_0}{a_*}. } \tag{86.11} $$ 故式 (86.10) 在阈值 $\lambda=a_*$ 取等；同一个实验也排除逐路径缺陷非增及逐路径恒定预算。 **证明。** 命题 85.3 的式 (85.8) 及 $\mathcal G=0$，经定理 86.2 的后验与费用识别，直接给出所列 $\delta_0,G_0,\delta_1$；由定义得 $A_0=A_1=0$。因为 $0<\delta_0=a_*/2M_0$，而结果 $B$ 上 $M_1=0$；所以保持期望的鞅并非逐路径常量。这里只断言所示阈值取等。证毕。 ## 86.99 追加锚 ## 87. 重复观察后的可识别类与残余纤维缺陷 **定义与假设 87.1（有限共同 iid 信道与后验的定义域）。** 设 $J,I,Z$ 为有限非空集合，$r:J\to I$ 为固定满射。设实际先验 $d_0\in\Delta(J)$ 允许零坐标，参考先验 $q_0\in\Delta(J)$ 满足 $q_{0j}>0$ 对每个 $j\in J$。给定同一个行随机信道 $$ K(z\mid j)\ge0,\qquad \sum_{z\in Z}K(z\mid j)=1. $$ 在共同可测空间 $\Omega=J\times Z^{\mathbb N_{>0}}$ 上，取有限离散空间的乘积 $\sigma$-代数，定义两种概率律 $$ \mathbb P_a(\{j\}\times A)=a_jK_j^{\mathbb N_{>0}}(A), \qquad a\in\{d_0,q_0\}, $$ 其中 $K_j=K(\cdot\mid j)$，$K_j^{\mathbb N_{>0}}$ 是该行的可数乘积概率；记 $\mathbb P_d=\mathbb P_{d_0}$、$\mathbb P_q=\mathbb P_{q_0}$。潜状态 $X$ 抽取一次后固定，观察坐标记为 $Z_1,Z_2,\ldots$。两律均由同一个条件 iid 核 $K_j^{\mathbb N_{>0}}$ 混合而成；在 $a_j>0$ 时，给定 $X=j$ 的条件律就是该乘积律。混合掉 $X$ 后不主张观察无条件独立。对每个有限时域，这也是定义 86.1 中取 $K_t(z\mid j,h)=K(z\mid j)$ 的历史模型。 令 $s:J\twoheadrightarrow\mathcal S$ 为观察行等价类映射： $$ s(j)=s(k)\quad\Longleftrightarrow\quad K_j=K_k. $$ 写 $$ J_c=s^{-1}(c),\qquad d_c=\sum_{j\in J_c}d_{0j},\qquad q_c=\sum_{j\in J_c}q_{0j}>0, $$ 并以 $K_c$ 表示该类的公共信道行。每个类都定义严格正的参考条件律 $$ q^c_j=q_{0j}/q_c\quad(j\in J_c). $$ 仅当 $d_c>0$ 时定义实际条件律 $$ d^c_j=d_{0j}/d_c\quad(j\in J_c). $$ 取 $r_c=r|_{J_c}:J_c\twoheadrightarrow r(J_c)$。这些条件向量在比较整个 $J$ 上的坐标时，只在类外作零延拓；$d_c=0$ 的类不定义实际条件概率。 对有限概率向量 $a\ll p$，采用自然对数及正支撑求和 $$ D(a\Vert p)=\sum_{j:a_j>0}a_j\ln\frac{a_j}{p_j}, \qquad a\ll p\ \Longleftrightarrow\ \forall j\ (p_j=0\Rightarrow a_j=0). $$ 若 $p$ 在当前载体上严格正，$v$ 是到其像的粗标签映射，则参考纤维恢复为 $$ (E_{p,v}a)_j=p_j \frac{\sum_{v(k)=v(j)}a_k}{\sum_{v(k)=v(j)}p_k}. $$ 该向量非负且按纤维求和得总质量一；每个正 $a_j$ 对应正恢复质量，所以 $a\ll E_{p,v}a$。定理 73.3 与定理 74.2 的静态恢复恒等式给出 $$ \delta_{p,v}(a):=D(a\Vert E_{p,v}a) =D(a\Vert p)-D(v_*a\Vert v_*p)\ge0. \tag{87.1} $$ 全部散度有限。这里仅用静态恒等式，不要求定理 74.2 中的动力学族保持条件。[^rro87-static] 对历史 $h_n=(z_1,\ldots,z_n)$，定义 $$ L_n(j)=\prod_{t=1}^nK(z_t\mid j),\qquad D_n=\sum_jd_{0j}L_n(j),\qquad Q_n=\sum_jq_{0j}L_n(j), $$ 并令 $L_0(j)=1$、$D_0=Q_0=1$。由共同乘积核，有限联合质量为 $a_jL_n(j)$；对 $j$ 求和，以及按各观察坐标使用行随机性，得到 $$ \mathbb P_d(H_n=h_n)=D_n(h_n),\qquad \mathbb P_q(H_n=h_n)=Q_n(h_n), \qquad H_n=(Z_1,\ldots,Z_n), $$ $$ \sum_{h_n\in Z^n}D_n(h_n)=\sum_{h_n\in Z^n}Q_n(h_n)=1. \tag{87.2} $$ 因为 $q_0$ 严格正，$D_n>0\Rightarrow Q_n>0$：正的非负有限和 $D_n$ 中有正项，故该位置的 $L_n(j)>0$，进而在 $Q_n$ 中也有正项。 参考后验在每个 $Q_n>0$ 的历史上定义，实际后验仅在 $D_n>0$ 的历史上定义： $$ q_{n,j}=\frac{q_{0j}L_n(j)}{Q_n}\quad(Q_n>0),\qquad d_{n,j}=\frac{d_{0j}L_n(j)}{D_n}\quad(D_n>0). \tag{87.3} $$ 这些公式由有限联合质量除以相应正历史质量得到。参考活动载体及限制后的满射为 $$ J_n=\{j:L_n(j)>0\},\qquad r_n=r|_{J_n}:J_n\twoheadrightarrow r(J_n). $$ 在参考正历史上，$J_n$ 非空且 $q_n$ 在其上严格正；在实际正历史上，$d_n$ 是 $J_n$ 上的概率向量且 $d_n\ll q_n$。写整个 $J$ 上的向量时，仅把活动载体外的坐标置零，不要求 $q_n$ 在整个 $J$ 上严格正。粗化向量在 $I\setminus r(J_n)$ 上也作零延拓。 定义实际正历史上的标量 $$ \delta_n=\delta_{q_n,r_n}(d_n). \tag{87.4} $$ 在实际零质量历史上仅将标量 $\delta_n$ 置零，不定义实际后验。每个有限 $n$ 的这类历史总质量为零，可数次取交后，以 $\mathbb P_d$-概率一，全部有限时刻同时满足 $D_n>0$。对每个 $d_c>0$，定义 $$ \delta_c=\delta_{q^c,r_c}(d^c). $$ 在 $d_c=0$ 的类上约定标量 $\delta_c=0$；这不定义实际条件概率。 最后，令联合标签 $u=(r,s)$ 的陪域为像 $u(J)$。置 $$ J_{i,c}=\{j:r(j)=i,\ s(j)=c\},\qquad d_{i,c}=\sum_{j\in J_{i,c}}d_{0j},\qquad q_{i,c}=\sum_{j\in J_{i,c}}q_{0j}. $$ 每个非空胞腔都有 $q_{i,c}>0$，故 $$ (E_{q_0,u}d_0)_j=q_{0j}\frac{d_{r(j),s(j)}}{q_{r(j),s(j)}} \tag{87.5} $$ 良定义。 **定理 87.2（共同有限 iid 观察下的双先验后验与纤维缺陷极限）。** 在定义与假设 87.1 下，存在关于无限记录可测的解码器 $$ \widehat s:Z^{\mathbb N_{>0}}\to\mathcal S $$ 使得 $\widehat s((Z_t)_{t\ge1})=s(X)$ 在 $\mathbb P_d$ 与 $\mathbb P_q$ 下均几乎处处成立。写 $S=s(X)$。在实际律 $\mathbb P_d$ 下，$d_S>0$ 几乎处处，且同步使用同一记录的后验在类外零延拓后满足 $$ d_{n,j}\longrightarrow d^S_j,\qquad q_{n,j}\longrightarrow q^S_j \quad\text{对所有 }j\in J\text{ 同时几乎处处成立}. \tag{87.6} $$ 进一步， $$ \boxed{\delta_n\longrightarrow\delta_S \quad\text{几乎处处且在 }L^1(\mathbb P_d)\text{ 中}.} \tag{87.7} $$ 因此 $$ \boxed{ \lim_{n\to\infty}\mathbb E_d\delta_n =\sum_{c:d_c>0}d_c\delta_c =D(d_0\Vert E_{q_0,(r,s)}d_0). } \tag{87.8} $$ 逐路径极限是依赖真实类的随机变量 $\delta_S$；式 (87.8) 是其确定的平均值。该定理识别的是观察行类，不是类内的个别状态。对 $d_c>0$ 的类，非单点类也不必留下正缺陷：若两条件先验相同，则该类缺陷为零；更一般地，定理 73.3 的纤维恢复等号条件给出 $\delta_c=0$ 当且仅当 $d^c=E_{q^c,r_c}d^c$。 **证明。** 先识别观察行并确定后验极限。固定任意类 $c$，将公共似然记作 $L_n(c)=\prod_{t=1}^nK_c(z_t)$。在记录概率 $K_c^{\mathbb N_{>0}}$ 下，概率一地所有观察都落在 $\operatorname{supp}K_c$，所以 $L_n(c)>0$ 对全部有限 $n$ 同时成立。对不同类 $b\ne c$，分两种情形。 若有符号 $z$ 满足 $K_c(z)>0=K_b(z)$，则前 $n$ 次都未出现该符号的概率为 $(1-K_c(z))^n\to0$。因此概率一地在某个有限时间出现该符号；从那时起 $L_n(b)=0$，故 $$ L_n(b)/L_n(c)\longrightarrow0. $$ 否则 $K_b$ 在 $\operatorname{supp}K_c$ 上处处为正。定义有限实函数 $$ g_{b,c}(z)= \begin{cases} \ln\bigl(K_b(z)/K_c(z)\bigr),&K_c(z)>0,\\ 0,&K_c(z)=0. \end{cases} $$ 它在有限字母表上有界，因而 $g_{b,c}(Z_t)$ 可积；在 $K_c^{\mathbb N_{>0}}$ 下，这些随机变量独立同分布。实值强大数律给出 $$ \frac1n\ln\frac{L_n(b)}{L_n(c)} =\frac1n\sum_{t=1}^ng_{b,c}(Z_t) \longrightarrow-D(K_c\Vert K_b)<0 \quad\text{几乎处处}. \tag{87.9} $$ 严格不等式使用有限 Gibbs 非负性及等号条件：两行均非负归一化，当前分支给出 $K_c\ll K_b$，而不同类意味着 $K_c\ne K_b$。所以似然比仍趋于零。此论证允许不同观察行具有不同支撑；含零似然的分支已单独处理。强律的乘积律分离用法也见第 71.6 小节内的命题 71.7；这里的有界函数 $g_{b,c}$ 履行同一实值强律的前提。[^rro87-slln][^rro87-gibbs] 类数有限，故对固定 $c$ 可以同时取全部竞争类的概率一事件。同类各状态的似然完全相同，因此 $$ \frac{Q_n}{L_n(c)}=\sum_bq_b\frac{L_n(b)}{L_n(c)}\longrightarrow q_c>0. $$ 于是参考后验在任意真类的记录律下满足 $$ q_n(J_c)\longrightarrow1,\qquad q_{n,j}\longrightarrow\mathbf1_{\{j\in J_c\}}q_{0j}/q_c. \tag{87.10} $$ 这一步对全部类成立，因为全部 $q_c>0$；不要求该类有实际先验质量。 为明确构造可测解码器，对每个 $c$ 令 $A_c$ 为满足以下条件的无限记录集合：全部有限历史都有 $Q_n>0$，且 $q_n(J_c)\to1$。每个有限后验坐标在其正分母定义域上依赖有限前缀，故可测；极限条件可写成可数交并，所以 $A_c$ 可测。不同 $A_c$ 不交，因为有限后验的类质量之和为一，不可能同时有两个不同类质量趋于一。由式 (87.10)，$K_c^{\mathbb N_{>0}}(A_c)=1$。在 $A_c$ 上令 $\widehat s=c$，在 $\bigcup_cA_c$ 的补集上取任意固定类。该解码器可测，并在每个类记录律下识别该类，因而在两种先验混合律下都满足定理所述结论。这没有给零分母记录指定参考后验。 现固定 $d_c>0$。同一似然比论证还给出 $$ D_n/L_n(c)\longrightarrow d_c>0,\qquad T_n:=D_n/Q_n\longrightarrow d_c/q_c>0, $$ 以及 $$ d_{n,j}\longrightarrow\mathbf1_{\{j\in J_c\}}d_{0j}/d_c. \tag{87.11} $$ 实际零先验的坐标始终为零。对有限个实际正类混合，即得式 (87.6)。同一行内的非零后验比例始终等于初始先验比例；这些观察不会进一步区分同一行内的不同状态。 接着处理 KL 的支撑边界。置 $$ w_j=d_{0j}/q_{0j},\qquad M=\max_jw_j. $$ 因为 $\sum_jq_{0j}w_j=1$，有 $1\le M<\infty$。在每个实际正历史上，整个 $J$ 上的零延拓向量满足 $$ d_{n,j}=q_{n,j}w_j/T_n,\qquad T_n=\sum_jq_{n,j}w_j\in(0,M]. \tag{87.12} $$ 定义 $\phi(0)=0$、$\phi(x)=x\ln x$ 对 $x>0$。此函数在 $[0,M]$ 上连续且有界。[^rro87-mullog] 对 $i\in I$，写 $$ p_{n,i}=\sum_{r(j)=i}q_{n,j},\qquad b_{n,i}=\sum_{r(j)=i}q_{n,j}w_j,\qquad \bar w_{n,i}=b_{n,i}/p_{n,i}\quad(p_{n,i}>0). $$ 有 $0\le\bar w_{n,i}\le M$。若 $p_{n,i}=0$，下面的对应加权项取零，不定义其比值。式 (87.1) 与正支撑上的对数展开给出 $$ D(d_n\Vert q_n)=\frac{\sum_jq_{n,j}\phi(w_j)}{T_n}-\ln T_n, $$ $$ D(r_*d_n\Vert r_*q_n) =\frac{\sum_{i:p_{n,i}>0}p_{n,i}\phi(\bar w_{n,i})}{T_n}-\ln T_n. $$ 所以 $$ \boxed{ \delta_n= \frac{\sum_jq_{n,j}\phi(w_j) -\sum_{i:p_{n,i}>0}p_{n,i}\phi(\bar w_{n,i})}{T_n}. } \tag{87.13} $$ $w_j=0$ 的项仅使用 $\phi(0)=0$，不计算 $\ln0$。 在真类 $c$ 且 $d_c>0$ 的概率一事件上，第一有限和由式 (87.10) 收敛。第二有限和中，若 $p_{n,i}\to p_{\infty,i}>0$，则 $b_{n,i}$ 与 $p_{n,i}$ 的收敛和 $\phi$ 的连续性给出该项的极限。若 $p_{\infty,i}=0$，则 $$ |p_{n,i}\phi(\bar w_{n,i})| \le p_{n,i}\sup_{0\le x\le M}|\phi(x)|\longrightarrow0, $$ 其中 $p_{n,i}=0$ 时该加权项仍取零。最后由 $T_n\to d_c/q_c>0$，式 (87.13) 可以取极限。类内有 $d^c_j=q^c_jw_j/(d_c/q_c)$，故此极限正是以 $q^c,d^c,r_c$ 代入同一公式得到的 $\delta_c$。这证明 $\delta_n\to\delta_S$ 几乎处处。这里使用共同似然产生的固定比值结构，没有对边界参考分布使用无条件的 KL 连续性。 为证明 $L^1$ 收敛，式 (87.1)、粗化后概率对的 Gibbs 非负性及式 (87.12) 给出 $$ 0\le\delta_n\le D(d_n\Vert q_n) =\sum_{j:d_{n,j}>0}d_{n,j}\ln w_j-\ln T_n \le\ln\frac M{T_n}=:U_n. \tag{87.14} $$ 在实际正历史上 $U_n$ 有限非负；在实际零质量历史上仅将标量 $U_n$ 置零。对 $v\ge0$，用式 (87.2) 的有限历史质量求和，得到 $$ \begin{aligned} \mathbb P_d(U_n>v) &=\sum_{\substack{h\in Z^n:D_n(h)>0\\D_n(h)/Q_n(h)0\\D_n(h)/Q_n(h)R\}}] &\le\mathbb E_d[U_n\mathbf1_{\{U_n>R\}}]\\ &=R\mathbb P_d(U_n>R)+\int_R^\infty\mathbb P_d(U_n>v)\,dv\\ &\le M(R+1)e^{-R}. \end{aligned} \tag{87.16} $$ 这是一致于 $n$ 的尾界，故 $(\delta_n)$ 一致可积。后验密度比的上界是 $M/T_n$，不是 $M$；这里没有断言所有时刻和记录的 KL 有统一确定上界。 随机极限 $\delta_S$ 只取有限个有限值。取 $$ R\ge\max_{c:d_c>0}\delta_c. $$ 由几乎处处收敛，$\min(\delta_n,R)\to\delta_S$ 几乎处处；差的绝对值不超过常数 $R$。有限前缀标量可测，$S$ 取有限值，且概率空间上的常数 $R$ 可积，所以支配收敛给出 $$ \mathbb E_d|\min(\delta_n,R)-\delta_S|\longrightarrow0. $$ [^rro87-dct] 结合式 (87.16) 及 $0\le\delta_n-\min(\delta_n,R)\le\delta_n\mathbf1_{\{\delta_n>R\}}$， $$ \limsup_{n\to\infty}\mathbb E_d|\delta_n-\delta_S| \le M(R+1)e^{-R}. $$ 令 $R\to\infty$，即得 $L^1$ 收敛，并得到期望收敛。 最后计算该期望。对 $d_c>0$，在 $j\in J_c$ 且 $d_{0j}>0$ 的坐标上，类内恢复的比值为 $$ \frac{d^c_j}{(E_{q^c,r_c}d^c)_j} =\frac{d_{0j}q_{r(j),c}}{q_{0j}d_{r(j),c}}. $$ 这里 $d_{0j}>0$ 强制 $d_{r(j),c}>0$，严格正参考先验也保证相应 $q_{r(j),c}>0$。因此 $$ \begin{aligned} \sum_{c:d_c>0}d_c\delta_c &=\sum_{c:d_c>0}\sum_{\substack{j\in J_c\\d_{0j}>0}} d_{0j}\ln\frac{d_{0j}q_{r(j),c}}{q_{0j}d_{r(j),c}}\\ &=\sum_{j:d_{0j}>0}d_{0j} \ln\frac{d_{0j}}{q_{0j}d_{r(j),s(j)}/q_{r(j),s(j)}}\\ &=D(d_0\Vert E_{q_0,(r,s)}d_0). \end{aligned} $$ 与已证的期望收敛合并，得到式 (87.8)。证毕。 [^rro87-static]: [定理 73.3 与定理 74.2](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/4bead9b7eb68b655d89f284d49b9512291debf33/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md) 的正支撑 KL 分解与静态恢复恒等式。用于每个后验时，载体为 $J_n$，粗映射陪域为 $r(J_n)$，满足参考严格正及满射条件；类内则取 $J_c,r(J_c),q^c$。这里只使用定义 74.1 的静态质量算子，若连同其动力学参数代入，可取恒等矩阵。 [^rro87-slln]: [Mathlib/Probability/StrongLaw.lean](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Probability/StrongLaw.lean)，`ProbabilityTheory.strong_law_ae_real`：可积实随机变量、两两独立及同分布推出样本均值几乎处处收敛到积分。式 (87.9) 的 $g_{b,c}$ 在有限集合上有界，零真概率符号已赋有限值，故可积；条件 iid 乘积律履行独立及同分布前提，以 $X_i=g_{b,c}(Z_{i+1})$ 对应从零起始的序列。卷内的乘积律分离应用见第 71.6 小节的命题 71.7。 [^rro87-gibbs]: [GrandmotherTheorem.kl_divergence_nonneg](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/4bead9b7eb68b655d89f284d49b9512291debf33/D5/S3/Divergence/GrandmotherTheorem.lean) 与 [GibbsEquality.kl_divergence_eq_zero_iff](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/4bead9b7eb68b655d89f284d49b9512291debf33/D5/S3/Divergence/GibbsEquality.lean)：在有限载体、两输入非负归一化及第一输入绝对连续于第二输入的条件下，KL 非负，且为零当且仅当两向量相等。其全载体实值和与本文正支撑和一致：零第一质量项为零，正第一质量处第二质量严格正。 [^rro87-mullog]: [Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean)，`Real.continuous_mul_log` 给出 $x\ln x$ 在零点取零后的连续性；这里只用其在非负紧区间 $[0,M]$ 上的连续性和有界性。 [^rro87-dct]: [Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean)，`MeasureTheory.tendsto_integral_of_dominated_convergence` 要求被积函数几乎处处强可测、共同可积控制和几乎处处收敛。这里用于有界截断的差 $|\min(\delta_n,R)-\delta_S|$，控制为常数 $R$，极限函数为零。 **命题 87.3（相同单时边缘不能替代条件独立）。** 取两个潜状态 $J=\{1,2\}$、常值粗映射 $r$，并令 $$ q_0=(1/2,1/2),\qquad d_0=(2/3,1/3), $$ $$ K(1\mid1)=1/3,\qquad K(1\mid2)=2/3, \qquad K(2\mid j)=1-K(1\mid j). $$ 两行不同，故行类均为单点。给定真实状态 $X$ 后，只抽取一次 $Y\sim K(\cdot\mid X)$，再令 $Z_t=Y$ 对所有 $t\ge1$。两先验使用同一个这样的条件记录律。每个单时条件边缘仍为 $K(\cdot\mid X)$，但正确后验纤维缺陷在第一次观察后保持严格正值。因此定理 87.2 的条件 iid 假设不能替换为相同单时条件边缘。 **证明。** 对任意 $n\ge1$，只有两个常值历史 $(1,\ldots,1)$、$(2,\ldots,2)$ 有正概率；给定 $X=j$，观察到常值 $y$ 历史的概率为 $K(y\mid j)$，而不是 $K(y\mid j)^n$。因此全部后续重复都不再更新第一次观察后的后验。 当 $Y=1$ 时，实际概率与两后验为 $$ \mathbb P_d(Y=1)=\frac23\frac13+\frac13\frac23=\frac49, $$ $$ d_n=(1/2,1/2),\qquad q_n=(1/3,2/3)\quad(n\ge1). $$ 当 $Y=2$ 时， $$ \mathbb P_d(Y=2)=\frac59,\qquad d_n=(4/5,1/5),\qquad q_n=(2/3,1/3)\quad(n\ge1). $$ 由于 $r$ 常值，$E_{q_n,r}d_n=q_n$，所以 $\delta_n=D(d_n\Vert q_n)$。两种结果下的后验向量均严格正且不同，有限 Gibbs 非负性及等号条件给出各自 KL 严格为正，并且此值对全部 $n\ge1$ 不变。[^rro87-gibbs] 另一方面，单点行类上的两条件先验都是该点的单位质量，故 iid 结论中的 $\delta_c$ 均为零。正概率事件上的上述恒正极限反驳了删除条件独立性后的结论。证毕。 ## 87.99 追加锚 ## 88. 公式运输、闭理论伴随与反例提升 **定义与假设 88.1（固定公式集上的后承运输）。** 设 $F_A,F_B$ 为任意集合，$\tau:F_A\to F_B$ 为任意映射，$C_A,C_B$ 分别为 $\mathcal P(F_A),\mathcal P(F_B)$ 上的扩张、单调、幂等闭包算子。令 $$ \operatorname{Th}(C_X)=\{T\subseteq F_X:C_X(T)=T\} \qquad(X=A,B), $$ 并按集合包含排序。定义 $$ K_\tau(\Gamma)=\tau^{-1}[C_B(\tau[\Gamma])] \qquad(\Gamma\subseteq F_A). $$ 算子间的不等式一律为逐点集合包含。称 $\tau$ 保持后承、反射后承或保守，分别指 $$ C_A\le K_\tau,\qquad K_\tau\le C_A,\qquad C_A=K_\tau. $$ 所有前提集都允许为空或无限；不要求公式集有限、$\tau$ 单射或满射，也不预设联结词、可计算性或紧致性。闭理论载体与最小闭扩张采用 `TheoryIsConsequenceFixedPoint` 的 `ConsequenceOperator`、`Theory` 和 `consequenceClosure_isLeast_fixedPoint_above` 接口。[^rro88-consequence] [^rro88-consequence]: [`TheoryIsConsequenceFixedPoint`](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/4bead9b7eb68b655d89f284d49b9512291debf33/D5/S0/Diagonal/Lawvere/TheoryIsConsequenceFixedPoint.lean)：`ConsequenceOperator Formula` 为 `ClosureOperator (Set Formula)`，`Theory Cn` 为 `Cn.Closeds`；`consequenceClosure_isLeast_fixedPoint_above Cn S` 断言 `Cn S` 是满足 $S\subseteq T$ 且 $Cn(T)=T$ 的最小集合。分别取 $Cn=C_A,C_B$，给出本节使用的最小闭理论性质。 **定理 88.2（诱导闭包与有类型的闭理论伴随）。** $K_\tau$ 总是 $F_A$ 上的闭包算子。以下两项等价： $$ C_A\le K_\tau; \qquad \forall U\in\operatorname{Th}(C_B),\quad \tau^{-1}[U]\in\operatorname{Th}(C_A). \tag{88.2a} $$ 在这些等价条件下， $$ L:\operatorname{Th}(C_A)\to\operatorname{Th}(C_B), \quad L(T)=C_B(\tau[T]), $$ $$ R:\operatorname{Th}(C_B)\to\operatorname{Th}(C_A), \quad R(U)=\tau^{-1}[U] $$ 良定义，并满足 $$ L(T)\subseteq U \quad\Longleftrightarrow\quad T\subseteq R(U). \tag{88.2b} $$ **证明。** 先不使用 $C_A$。在全体源前提集与目标闭理论之间定义 $$ L_0:\mathcal P(F_A)\to\operatorname{Th}(C_B), \quad L_0(\Gamma)=C_B(\tau[\Gamma]), $$ $$ R_0:\operatorname{Th}(C_B)\to\mathcal P(F_A), \quad R_0(U)=\tau^{-1}[U]. $$ 它们单调；$L_0$ 的值由幂等性目标闭。对目标闭 $U$，闭包最小性与直接像／逆像的伴随给出 $$ \begin{aligned} L_0(\Gamma)\subseteq U &\Longleftrightarrow \tau[\Gamma]\subseteq U\\ &\Longleftrightarrow \Gamma\subseteq R_0(U). \end{aligned} $$ 故 $L_0\dashv R_0$。由伴随复合的闭包构造，$R_0L_0$ 是闭包算子；它逐点正是 $K_\tau$。中间偏序在这里是目标闭理论。[^rro88-adjunction] 若只复合裸直接像与裸逆像，得到的是饱和化 $\tau^{-1}[\tau[\Gamma]]$，没有包含目标推理 $C_B$。 若 $C_A\le K_\tau$ 且 $C_B(U)=U$，则 $$ \begin{aligned} C_A(\tau^{-1}[U]) &\subseteq K_\tau(\tau^{-1}[U])\\ &=\tau^{-1}[C_B(\tau[\tau^{-1}[U]])]\\ &\subseteq\tau^{-1}[C_B(U)] =\tau^{-1}[U]. \end{aligned} $$ 第三步使用 $\tau[\tau^{-1}[U]]\subseteq U$ 及 $C_B$、逆像的单调性。扩张性给出反向包含，所以 $\tau^{-1}[U]$ 源闭。 反之，假设每个目标闭理论的逆像都源闭。对任意 $\Gamma$，$C_B(\tau[\Gamma])$ 目标闭，故其逆像 $K_\tau(\Gamma)$ 源闭。又因 $K_\tau$ 扩张，有 $\Gamma\subseteq K_\tau(\Gamma)$。应用最小源闭扩张性质，得 $$ C_A(\Gamma)\subseteq K_\tau(\Gamma), $$ 证明式 (88.2a)。在这些条件下，$R$ 确实落入源闭理论；$L$ 的值仍由幂等性目标闭。将 $L_0\dashv R_0$ 的包含等价限制到源闭 $T$ 即得式 (88.2b)。证毕。 [^rro88-adjunction]: 钉版 Mathlib 的 [`Set.image_preimage`](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Data/Set/Lattice/Image.lean) 给出 `GaloisConnection (Set.image τ) (Set.preimage τ)`；[`ClosureOperator.gi`](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Order/Closure.lean) 的下伴随为 `C_B.toCloseds`，上伴随为闭集子类型的包含映射。按 [`GaloisConnection.compose`](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Order/GaloisConnection/Defs.lean) 的顺序复合这两个伴随，得到下伴随 $C_B.\mathrm{toCloseds}\circ\tau[-]$ 与上伴随 $\tau^{-1}[-]$ 复合闭集包含映射。再用 [`GaloisConnection.closureOperator`](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Order/Closure.lean)，其底层复合就是 $R_0L_0=K_\tau$；所需源偏序为 $\mathcal P(F_A)$，中间偏序为 $C_B.\mathrm{Closeds}$。 **定理 88.3（源闭理论往返只检查反射）。** 不预设后承保持时，已经有 $$ K_\tau\le C_A \quad\Longleftrightarrow\quad \forall T\subseteq F_A,\quad [C_A(T)=T\Rightarrow K_\tau(T)=T]. \tag{88.3a} $$ 若再满足 $C_A\le K_\tau$，则定理 88.2 的闭理论伴随良定义，而且 $$ C_A=K_\tau \quad\Longleftrightarrow\quad RL=\mathrm{id}_{\operatorname{Th}(C_A)}. \tag{88.3b} $$ 在同一保持条件下，对任意目标闭理论 $U$，目标侧往返为 $$ LR(U)=C_B(U\cap\tau[F_A])\subseteq U. \tag{88.3c} $$ 因此 $LR=\mathrm{id}_{\operatorname{Th}(C_B)}$ 恰须另有 $$ \forall U\in\operatorname{Th}(C_B),\quad C_B(U\cap\tau[F_A])=U. \tag{88.3d} $$ 源侧恒等式 (88.3b) 不自动给出这个目标侧条件。 **证明。** 若 $K_\tau\le C_A$，对源闭 $T$ 有 $$ T\subseteq K_\tau(T)\subseteq C_A(T)=T, $$ 故原始往返恒等。反之，对任意 $\Gamma$，$C_A(\Gamma)$ 是源闭理论。由 $K_\tau$ 单调与原始往返假设， $$ K_\tau(\Gamma) \subseteq K_\tau(C_A(\Gamma)) =C_A(\Gamma). $$ 这证明式 (88.3a)，没有使用保持条件。加入 $C_A\le K_\tau$ 后，反射恰等价于两算子相等；且 $RL(T)=K_\tau(T)$，得到式 (88.3b)。 最后，对目标闭 $U$，任意映射都满足 $\tau[\tau^{-1}[U]]=U\cap\tau[F_A]$，所以 $$ LR(U)=C_B(\tau[\tau^{-1}[U]]) =C_B(U\cap\tau[F_A]) \subseteq C_B(U)=U. $$ 这给出式 (88.3c)，逐点相等恰为式 (88.3d)。命题 88.7 给出源侧恒等而目标侧严格包含的模型见证。证毕。 **命题 88.4（同一单公式闭包对分离保持与反射）。** 取 $F_A=F_B=\{p\}$、$\tau=\mathrm{id}$，并定义 $$ C_0(\Gamma)=\Gamma,\qquad C_+(\Gamma)=\Gamma\cup\{p\}. $$ 二者均扩张、单调、幂等。取 $C_A=C_0,C_B=C_+$ 时，$K_\tau=C_+$，所以保持成立，但 $$ p\in K_\tau(\varnothing)\setminus C_A(\varnothing), $$ 反射失败。反向取 $C_A=C_+,C_B=C_0$ 时，$K_\tau=C_0\le C_A$；唯一源闭理论为 $\{p\}$，并有 $K_\tau(\{p\})=\{p\}$，但 $$ C_A(\varnothing)=\{p\}\not\subseteq K_\tau(\varnothing)=\varnothing. $$ 所以全部源闭理论的原始往返测试通过，保持与保守性仍失败。 **证明。** 闭包三律由并集的单调性与 $\{p\}\cup\{p\}=\{p\}$ 直接得到；$\tau=\mathrm{id}$ 使 $K_\tau=C_B$，上述包含及失败均由两算子在空集上的值给出。在第二个方向，目标空理论是 $C_0$-闭的，而 $$ R_0(\varnothing)=\varnothing \notin\operatorname{Th}(C_+). $$ 因此这里仅有式 (88.3a) 的原始集合测试，不能把 $R_0$ 称为两个闭理论偏序之间已经良定义的右伴随。证毕。 **定义与假设 88.5（固定满足关系及其语义闭包）。** 另给模型集 $\mathcal M_A,\mathcal M_B$ 及满足关系 $$ \models_X\ \subseteq\mathcal M_X\times F_X \qquad(X=A,B). $$ 定义 $$ \operatorname{Mod}_X(\Gamma) =\{M\in\mathcal M_X:\forall\gamma\in\Gamma,\ M\models_X\gamma\}, $$ $$ S_X(\Gamma) =\{\varphi\in F_X: \forall M\in\operatorname{Mod}_X(\Gamma),\ M\models_X\varphi\} \qquad(X=A,B). $$ 简记 $M\models_X\Gamma$ 表示 $M$ 满足 $\Gamma$ 的全部成员。这些语义算子与前述任意闭包 $C_A,C_B$ 分开保留。给定 $\beta:\mathcal M_B\to\mathcal M_A$，要求满足条件 $$ N\models_B\tau(\varphi) \quad\Longleftrightarrow\quad \beta(N)\models_A\varphi \qquad(N\in\mathcal M_B,\ \varphi\in F_A). \tag{SC} $$ 置 $$ K_\tau^{\rm sem}(\Gamma) =\tau^{-1}[S_B(\tau[\Gamma])]. $$ 以下反模型的 $M\not\models_X\varphi$ 是经典元理论中的满足关系否定，不要求公式语言含有否定联结词。这里仅采用固定公式集与模型集上的满足接口。[^rro88-satisfaction] [^rro88-satisfaction]: Mossakowski、Goguen、Diaconescu、Tarlecki，[*What is a Logic?*，作者稿](https://cseweb.ucsd.edu/~goguen/pps/nel05.pdf)，Definitions 2.1、2.6、3.2：分别给出 institution 的满足条件、任意句子集上的语义后承及 comorphism 的句子向前／模型向后满足条件。式 (SC) 只取其固定签名上的映射方向与满足等价；完整 institution 或 comorphism 还需签名范畴、函子及自然性资料。 **定理 88.6（语义反射恰为反模型存在性提升）。** $S_A,S_B$ 是语义后承闭包。在 (SC) 下， $$ K_\tau^{\rm sem}(\Gamma) =\{\varphi\in F_A:\quad \forall M\in\beta[\mathcal M_B],\quad [M\models_A\Gamma\Rightarrow M\models_A\varphi]\}, \tag{88.6a} $$ 从而 $S_A\le K_\tau^{\rm sem}$。以下反模型存在性提升条件 $$ \begin{aligned} \forall\Gamma\subseteq F_A,\ \forall\varphi\in F_A,\quad &[\exists M\in\mathcal M_A,\quad M\models_A\Gamma\land M\not\models_A\varphi]\\ &\Longrightarrow [\exists N\in\mathcal M_B,\quad N\models_B\tau[\Gamma]\land N\not\models_B\tau(\varphi)] \end{aligned} \tag{CE} $$ 满足精确等价 $$ \mathrm{CE} \quad\Longleftrightarrow\quad K_\tau^{\rm sem}\le S_A \quad\Longleftrightarrow\quad K_\tau^{\rm sem}=S_A. \tag{88.6b} $$ $\beta$ 对模型身份满射足以推出 CE，但 CE 不要求对每个指定源模型作同身份提升。 **证明。** 对任意一侧 $X$，每个满足 $\Gamma$ 的模型满足 $\Gamma$ 的每个成员，故 $\Gamma\subseteq S_X(\Gamma)$。若 $\Gamma\subseteq\Delta$，则 $\operatorname{Mod}_X(\Delta)\subseteq\operatorname{Mod}_X(\Gamma)$，从而 $S_X(\Gamma)\subseteq S_X(\Delta)$，给出单调性。扩张性给出 $\operatorname{Mod}_X(S_X(\Gamma))\subseteq\operatorname{Mod}_X(\Gamma)$；反向包含由 $S_X(\Gamma)$ 的定义成立。所以 $$ \operatorname{Mod}_X(\Gamma)=\operatorname{Mod}_X(S_X(\Gamma)), $$ 两边对全部模型的共同真公式相同，即 $S_X(S_X(\Gamma))=S_X(\Gamma)$。这验证语义闭包三律。 将 (SC) 对 $\Gamma$ 的每个成员使用，有 $$ N\models_B\tau[\Gamma] \quad\Longleftrightarrow\quad \beta(N)\models_A\Gamma. $$ 与结论公式的 (SC) 合用，得到 $$ \begin{aligned} \varphi\in K_\tau^{\rm sem}(\Gamma) &\Longleftrightarrow \forall N\in\mathcal M_B,\quad [N\models_B\tau[\Gamma]\Rightarrow N\models_B\tau(\varphi)]\\ &\Longleftrightarrow \forall N\in\mathcal M_B,\quad [\beta(N)\models_A\Gamma\Rightarrow\beta(N)\models_A\varphi], \end{aligned} $$ 即式 (88.6a)。在全部源模型上成立的后承也在子族 $\beta[\mathcal M_B]$ 上成立，所以 $S_A\le K_\tau^{\rm sem}$。 设 CE 成立，且 $\varphi\in K_\tau^{\rm sem}(\Gamma)$。若 $\varphi\notin S_A(\Gamma)$，经典地否定定义中的全称命题，得到一个源反模型。CE 给出目标反模型，与 $\tau(\varphi)\in S_B(\tau[\Gamma])$ 矛盾。因此 $\varphi\in S_A(\Gamma)$，证明反射。 反向设 $K_\tau^{\rm sem}\le S_A$，并给定 CE 前件中的源反模型。它保证 $\varphi\notin S_A(\Gamma)$，因而 $\varphi\notin K_\tau^{\rm sem}(\Gamma)$。经典地否定目标语义后承的全称定义，得到 $$ \exists N\in\mathcal M_B,\quad N\models_B\tau[\Gamma]\land N\not\models_B\tau(\varphi), $$ 正是 CE。反射再与已证保持相合，得到式 (88.6b) 的等式。 最后，若 $\beta$ 满射，给定源反模型 $M$，取 $\beta(N)=M$，再用 (SC) 即得目标反模型。这个充分条件比 CE 的“存在某个反模型”更强；命题 88.7 给出其非必要性。整个证明不要求公式集或模型集非空、紧致或前提集有限，也不产生有效选择反模型的算法。证毕。 **命题 88.7（同一语义数据分离模型身份、源保守与目标往返）。** 取 $$ F_A=\{p_A\},\qquad F_B=\{p_B,q_B\},\qquad p_B\ne q_B,\qquad\tau(p_A)=p_B. $$ 源模型为三个不同对象 $m_T,m_F,m_F'$，$p_A$ 仅在 $m_T$ 为真。目标模型为两个不同对象 $n_T,n_F$，满足关系与模型映射为 $$ \begin{array}{c|cc|c} N & N\models_B p_B & N\models_B q_B & \beta(N)\\ \hline n_T & \mathrm{true} & \mathrm{false} & m_T\\ n_F & \mathrm{false} & \mathrm{true} & m_F \end{array} $$ 则 (SC) 与 CE 成立，$S_A,S_B$ 都是恒等闭包，且 $K_\tau^{\rm sem}=S_A$；但 $\beta$ 不满射。将定理 88.2 中的闭包取为 $C_A=S_A,C_B=S_B$，有 $$ RL=\mathrm{id}_{\operatorname{Th}(S_A)}, \qquad LR(\{q_B\})=\varnothing\subsetneq\{q_B\}. \tag{88.7} $$ 若把允许的目标模型缩为 $\{n_T\}$，(SC) 仍成立，CE 与语义反射则失败。 **证明。** $p_A$ 与 $p_B$ 在每对 $N,\beta(N)$ 上真值相同，故 (SC) 成立。源前提集只有 $\varnothing,\{p_A\}$ 两种。空前提下 $p_A$ 的反模型 $m_F,m_F'$ 均可由目标反模型 $n_F$ 见证相同失败；前提为 $\{p_A\}$ 时没有使结论 $p_A$ 为假的源模型。所以 CE 成立。不同对象 $m_F'$ 不在 $\beta$ 像中，故模型身份满射失败。 源侧 $S_A(\varnothing)=\varnothing$、$S_A(\{p_A\})=\{p_A\}$。目标侧，两个模型的共同真公式为空；只满足 $p_B$ 的模型 $n_T$ 的真公式集为 $\{p_B\}$，只满足 $q_B$ 的模型 $n_F$ 的真公式集为 $\{q_B\}$；没有模型同时满足 $p_B,q_B$，其全部后果为 $F_B=\{p_B,q_B\}$。所以 $S_B$ 也在全部四个前提集上等于恒等闭包。又因 $\tau$ 将唯一源公式映到 $p_B$，$\tau^{-1}[\tau[\Gamma]]=\Gamma$，故 $K_\tau^{\rm sem}=S_A$。由定义 $RL(T)=K_\tau^{\rm sem}(T)=T$，给出源侧往返恒等；而 $\{q_B\}$ 是目标闭理论，并有 $$ R(\{q_B\})=\varnothing,\qquad L(R(\{q_B\}))=S_B(\varnothing)=\varnothing, $$ 证明严格包含。 将目标族限制为 $\{n_T\}$ 后，原满足条件仍逐模型成立。令 $\widetilde S_B$ 为限制后的目标语义闭包，$\widetilde K_\tau^{\rm sem}(\Gamma)=\tau^{-1}[\widetilde S_B(\tau[\Gamma])]$。空前提的翻译结论 $p_B$ 在全部剩余目标模型上为真，源侧的 $p_A$ 仍被 $m_F$ 反驳。所以 $$ p_A\in\widetilde K_\tau^{\rm sem}(\varnothing),\qquad p_A\notin S_A(\varnothing); $$ 目标侧已经没有提升这一失败的反模型。$q_B$ 在此只是第二个公式，不预设一个将它与 $p_B$ 联系起来的否定联结词。源保守所覆盖的是源语言后承，不能据此识别全部目标闭理论。证毕。 **推论 88.8（语义运输到证明后承的充分桥接条件）。** 在定义与假设 88.5 的数据与 (SC) 下，将 $C_A,C_B$ 解释为另外指定的证明后承闭包，仍与 $S_A,S_B$ 分开。下列两组条件分别充分： 1. 若源系统可靠，即 $C_A\le S_A$，且目标系统对翻译前提与翻译结论完备，即 $$ \forall\Gamma\subseteq F_A,\ \forall\varphi\in F_A,\quad \tau(\varphi)\in S_B(\tau[\Gamma]) \Rightarrow\tau(\varphi)\in C_B(\tau[\Gamma]), $$ 则 $C_A\le K_\tau$。 2. 若 CE 成立，源系统完备，即 $S_A\le C_A$，且目标系统对翻译推理可靠，即 $$ \forall\Gamma\subseteq F_A,\ \forall\varphi\in F_A,\quad \tau(\varphi)\in C_B(\tau[\Gamma]) \Rightarrow\tau(\varphi)\in S_B(\tau[\Gamma]), $$ 则 $K_\tau\le C_A$。 两组条件同时成立时，证明后承运输保守。 **证明。** 对任意前提集 $\Gamma$ 和结论 $\varphi$，第一组条件依次给出 $$ \begin{aligned} \varphi\in C_A(\Gamma) &\Longrightarrow\varphi\in S_A(\Gamma)\\ &\Longrightarrow\tau(\varphi)\in S_B(\tau[\Gamma])\\ &\Longrightarrow\tau(\varphi)\in C_B(\tau[\Gamma]), \end{aligned} $$ 中间一步为定理 88.6 的语义保持。第二组条件依次给出 $$ \begin{aligned} \tau(\varphi)\in C_B(\tau[\Gamma]) &\Longrightarrow\tau(\varphi)\in S_B(\tau[\Gamma])\\ &\Longrightarrow\varphi\in S_A(\Gamma)\\ &\Longrightarrow\varphi\in C_A(\Gamma), \end{aligned} $$ 中间一步为 CE 所等价的语义反射。两条链分别证明保持与反射，其合取给出等式。 这些条件是充分条件包，不主张各项必要。链中的完备性与可靠性均按所写的全部前提集量化，包括无限前提集；不能只检验有限前提后便无条件取得这里的结论。后承等式没有提供证明对象的可计算转换，也没有提供搜索时间、证书长度或转换成本界。证毕。 ## 88.99 追加锚 ## 89. 后承运输的复合、源可见增量与闭理论覆盖 **定义与假设 89.1（两步运输及额外后果）。** 沿用[定义与假设 88.1](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/eb77ed8fcffbf0cacb6494eea514913cc19aede0/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md) 的任意公式集、后承闭包及保持、反射、保守的定义，给定 $$ F_A\xrightarrow{\tau}F_B\xrightarrow{\sigma}F_C $$ 与各自的闭包 $C_A,C_B,C_C$。对从 $F_X$ 到 $F_Y$ 的映射 $f$，仍记 $$ K_f(\Gamma)=f^{-1}[C_Y(f[\Gamma])], \qquad E_f(\Gamma)=K_f(\Gamma)\setminus C_X(\Gamma). $$ $K_f$ 的闭包性直接采用定理 88.2。$E_f$ 只记录源语言中的额外后果；对全部 $\Gamma$ 有 $E_f(\Gamma)=\varnothing$ 恰好表示反射 $K_f\le C_X$，加入保持 $C_X\le K_f$ 后才等价于保守。 以下前提集均可为空或无限，不要求 $\tau,\sigma$ 单射，也不预设联结词、有限后承性或有效呈示。任意前提的后承保持与保守翻译用语可参见 Jeřábek，*The ubiquity of conservative translations*，[arXiv:1108.6263v2，Definitions 2.1–2.2](https://arxiv.org/pdf/1108.6263v2)；其中有限后承性是另列的条件。 **定理 89.2（复合增量的不交分解与源片段判据）。** 不加保持假设时，对任意 $\Gamma\subseteq F_A$ 已有 $$ K_{\sigma\circ\tau}(\Gamma) =\tau^{-1}[K_\sigma(\tau[\Gamma])]. \tag{89.2a} $$ 若两步都保持后承，即 $$ \mathrm P_\tau:\ C_A\le K_\tau, \qquad \mathrm P_\sigma:\ C_B\le K_\sigma, $$ 则 $$ C_A(\Gamma)\subseteq K_\tau(\Gamma) \subseteq K_{\sigma\circ\tau}(\Gamma), \tag{89.2b} $$ 且有不交并 $$ E_{\sigma\circ\tau}(\Gamma) =E_\tau(\Gamma)\ \sqcup\ \tau^{-1}[E_\sigma(\tau[\Gamma])]. \tag{89.2c} $$ 令 $S=\tau[F_A]$。在同一组保持假设下，复合保守 $K_{\sigma\circ\tau}=C_A$ 当且仅当 $K_\tau=C_A$，并且 $$ \begin{aligned} \forall\Delta\subseteq S,\ \forall\psi\in S,\qquad \sigma(\psi)\in C_C(\sigma[\Delta]) \ \Longrightarrow\ \psi\in C_B(\Delta). \end{aligned} \tag{89.2d} $$ $\mathrm P_\sigma$ 已给出 (89.2d) 的反向，因此该条件检查的是前提与结论都在 $S$ 中的后承双向保持。 **证明。** 直接像与逆像的复合恒等式给出 $$ \begin{aligned} K_{\sigma\circ\tau}(\Gamma) &=(\sigma\circ\tau)^{-1} [C_C(\sigma[\tau[\Gamma]])]\\ &=\tau^{-1} [\sigma^{-1}[C_C(\sigma[\tau[\Gamma]])]]\\ &=\tau^{-1}[K_\sigma(\tau[\Gamma])]. \end{aligned} $$ 此处 $K_\sigma$ 的输入是 $F_B$ 的子集 $\tau[\Gamma]$；两个诱导闭包作用于不同的幂集，不能将本式写成 $K_\sigma\circ K_\tau$。上述两步直接采用钉版 Mathlib 的 [Set.image_comp 与 Set.preimage_comp](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Data/Set/Image.lean)。 (89.2b) 的第一包含是 $\mathrm P_\tau$。将 $\mathrm P_\sigma$ 用于 $\tau[\Gamma]$，再取 $\tau$-逆像，结合 (89.2a) 得到第二包含。对这三个嵌套集合，差集分解为 $$ \begin{aligned} K_{\sigma\circ\tau}(\Gamma)\setminus C_A(\Gamma) ={}&\bigl(K_\tau(\Gamma)\setminus C_A(\Gamma)\bigr)\\ &\sqcup \bigl(K_{\sigma\circ\tau}(\Gamma)\setminus K_\tau(\Gamma)\bigr). \end{aligned} $$ 第一项包含在 $K_\tau(\Gamma)$ 中，第二项与它不交。逆像保持差集，故 $$ \begin{aligned} K_{\sigma\circ\tau}(\Gamma)\setminus K_\tau(\Gamma) &=\tau^{-1} [K_\sigma(\tau[\Gamma])\setminus C_B(\tau[\Gamma])]\\ &=\tau^{-1}[E_\sigma(\tau[\Gamma])], \end{aligned} $$ 即 (89.2c)。这里的嵌套差集等式是 [Set.sdiff_union_sdiff_cancel](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Order/BooleanAlgebra/Set.lean) 在 $s=K_{\sigma\circ\tau}(\Gamma)$、$t=K_\tau(\Gamma)$、$u=C_A(\Gamma)$ 下的应用，再交换两并项；逆像等式使用 [Set.preimage_sdiff](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Data/Set/Image.lean)。 若复合保守，(89.2b) 夹出 $K_\tau=C_A$，而 (89.2c) 的第二项对全部 $\Gamma$ 为空。反之，第一步保守且这些第二项全部为空，由 (89.2b)–(89.2c) 得到复合保守。因此只须说明第二项处处为空等价于 (89.2d)。 第二项处处为空等价于 $$ \forall\Gamma\subseteq F_A,\ \forall\varphi\in F_A,\qquad \tau(\varphi)\in K_\sigma(\tau[\Gamma]) \ \Longrightarrow\ \tau(\varphi)\in C_B(\tau[\Gamma]). \tag{89.2e} $$ 任意 $\Delta\subseteq S$ 都满足 $$ \tau[\tau^{-1}[\Delta]]=\Delta. $$ 这是 [Set.image_preimage_eq_of_subset](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Data/Set/Image.lean) 在 $\Delta\subseteq\operatorname{range}\tau$ 下的直接应用。在 (89.2e) 中取 $\Gamma=\tau^{-1}[\Delta]$，并对给定 $\psi\in S$ 取一个满足 $\tau(\varphi)=\psi$ 的见证，便得到 (89.2d)。反向取 $\Delta=\tau[\Gamma]$、$\psi=\tau(\varphi)$ 即可。这里不要求单射，也不需要同时选择一族代表。最后，$\mathrm P_\sigma$ 给出 $\psi\in C_B(\Delta)\Rightarrow\sigma(\psi)\in C_C(\sigma[\Delta])$，证明所述反向。证毕。 **推论 89.3（有限保持链的源可见增量）。** 给定 $n\ge0$ 和有限链 $$ F_0\xrightarrow{\tau_1}F_1 \xrightarrow{\tau_2}\cdots \xrightarrow{\tau_n}F_n, $$ 其中每个 $F_k$ 带闭包 $C_k$，且每一步满足 $$ C_{k-1}\le K_{\tau_k}\qquad(1\le k\le n). $$ 令 $f_0=\operatorname{id}_{F_0}$、$f_k=\tau_k\circ f_{k-1}$，并对任意 $\Gamma\subseteq F_0$ 定义 $$ H_k(\Gamma)=f_k^{-1}[C_k(f_k[\Gamma])], \qquad H_0(\Gamma)=C_0(\Gamma). $$ 则 $$ H_0(\Gamma)\subseteq H_1(\Gamma)\subseteq\cdots\subseteq H_n(\Gamma). $$ 令 $$ \begin{aligned} D_k(\Gamma) &=H_k(\Gamma)\setminus H_{k-1}(\Gamma)\\ &=f_{k-1}^{-1} \left[ K_{\tau_k}(f_{k-1}[\Gamma]) \setminus C_{k-1}(f_{k-1}[\Gamma]) \right]. \end{aligned} $$ 那么 $$ H_n(\Gamma)\setminus C_0(\Gamma) =\bigsqcup_{k=1}^{n}D_k(\Gamma). \tag{89.3} $$ 最终复合 $f_n$ 对全部源前提保守，当且仅当对每个 $\Gamma\subseteq F_0$ 与 $1\le k\le n$ 均有 $D_k(\Gamma)=\varnothing$；此时每个前缀 $f_k$ 都相对于初始语言 $F_0$ 保守。 **证明。** 对第 $k$ 步应用保持条件并取 $f_{k-1}$-逆像，得到 $$ \begin{aligned} H_{k-1}(\Gamma) &\subseteq f_{k-1}^{-1}[K_{\tau_k}(f_{k-1}[\Gamma])]\\ &=H_k(\Gamma), \end{aligned} $$ 末个等式是 (89.2a) 的复合公式。再用逆像保持差集得到 $D_k$ 的第二种表达。若 $k<\ell$，则 $$ D_k(\Gamma)\subseteq H_k(\Gamma)\subseteq H_{\ell-1}(\Gamma), \qquad D_\ell(\Gamma)\cap H_{\ell-1}(\Gamma)=\varnothing, $$ 所以各 $D_k$ 两两不交。任意属于 $H_n(\Gamma)\setminus H_0(\Gamma)$ 的公式，在有限嵌套链中有唯一首次进入的指标 $k$，恰属于 $D_k(\Gamma)$；反向每个 $D_k(\Gamma)$ 都属于该末端差集，证明 (89.3)。$n=0$ 时两边均为空，包含空并情形。 由于 $H_0(\Gamma)\subseteq H_n(\Gamma)$，末端相等当且仅当差集为空，也就当且仅当每个 $D_k(\Gamma)$ 为空。对全部 $\Gamma$ 使用该结论，再由嵌套关系夹出 $H_k(\Gamma)=C_0(\Gamma)$，得到每个前缀保守。第 $k$ 步由此受到的反射限制只覆盖 $f_{k-1}[F_0]$ 内的前提与结论；没有覆盖条件时，不能升级为该箭头在整个 $F_{k-1}$ 上保守。证毕。 **推论 89.4（闭理论覆盖下的逐步保守判据）。** 保留 $\mathrm P_\tau,\mathrm P_\sigma$，并假设每个中间闭理论都由某个源闭理论前推得到： $$ \forall U\in\operatorname{Th}(C_B),\ \exists T\in\operatorname{Th}(C_A),\qquad C_B(\tau[T])=U. \tag{89.4a} $$ 则 $$ K_{\sigma\circ\tau}=C_A \quad\Longleftrightarrow\quad K_\tau=C_A\ \text{且}\ K_\sigma=C_B. \tag{89.4b} $$ $\tau$ 对公式满射足以保证 (89.4a)；这里不主张该覆盖条件是 (89.4b) 成立的必要条件。 **证明。** 使用定理 88.2 的有类型伴随 $$ L_\tau\dashv R_\tau,\qquad L_\sigma\dashv R_\sigma, $$ 其中 $$ \begin{aligned} L_\tau(T)&=C_B(\tau[T]),& R_\tau(U)&=\tau^{-1}[U],\\ L_\sigma(U)&=C_C(\sigma[U]),& R_\sigma(V)&=\sigma^{-1}[V]. \end{aligned} $$ 保持条件保证各右伴随的值确实落在相应闭理论中。对任意 $\Delta\subseteq F_B$，扩张性给出 $$ C_C(\sigma[\Delta]) \subseteq C_C(\sigma[C_B(\Delta)]). $$ 另一方面，$\mathrm P_\sigma$ 给出 $\sigma[C_B(\Delta)]\subseteq C_C(\sigma[\Delta])$；再用单调性与幂等性，得到反向包含。因此 $$ C_C(\sigma[C_B(\Delta)])=C_C(\sigma[\Delta]). \tag{89.4c} $$ 将其用于 $\Delta=\tau[T]$，并用逆像复合，得到 $$ L_{\sigma\circ\tau}=L_\sigma\circ L_\tau, \qquad R_{\sigma\circ\tau}=R_\tau\circ R_\sigma. \tag{89.4d} $$ 复合保持已由 (89.2b) 给出，所以这些映射均有指定的闭理论载体。其伴随方向也正是钉版 Mathlib 的 [GaloisConnection.compose](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Order/GaloisConnection/Defs.lean)。 先由覆盖证明 $$ L_\tau R_\tau=\operatorname{id}_{\operatorname{Th}(C_B)}. \tag{89.4e} $$ 给定 $U=L_\tau(T)$，伴随的单位 $T\subseteq R_\tau L_\tau(T)$ 及 $L_\tau$ 单调给出 $U\subseteq L_\tau R_\tau(U)$；余单位给出反向包含 $L_\tau R_\tau(U)\subseteq U$。覆盖保证全部 $U$ 均可这样表示，故 (89.4e) 成立。这里单位与余单位分别直接采用 [GaloisConnection.le_u_l 与 GaloisConnection.l_u_le](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Order/GaloisConnection/Defs.lean) 的序不等式。 现在假设复合保守。由定理 88.3 的源闭理论往返判据和 (89.4d)， $$ R_\tau R_\sigma L_\sigma L_\tau(T)=T \qquad(T\in\operatorname{Th}(C_A)). \tag{89.4f} $$ 任取 $U\in\operatorname{Th}(C_B)$，由覆盖写成 $U=L_\tau(T)$。$R_\sigma L_\sigma(U)$ 是中间闭理论，故可对它使用 (89.4e)，得到 $$ \begin{aligned} R_\sigma L_\sigma(U) &=L_\tau R_\tau R_\sigma L_\sigma(U)\\ &=L_\tau R_\tau R_\sigma L_\sigma L_\tau(T)\\ &=L_\tau(T)=U. \end{aligned} $$ 其中第三步使用 (89.4f)。于是 $R_\sigma L_\sigma$ 在全部中间闭理论上为恒等。由 $\mathrm P_\sigma$ 及定理 88.3，得到 $K_\sigma=C_B$，这里结论覆盖全部中间前提集。第一步保守 $K_\tau=C_A$ 则直接由 (89.2b) 和复合保守夹出。 反向，若两步均保守，(89.2a) 给出 $$ K_{\sigma\circ\tau}(\Gamma) =\tau^{-1}[C_B(\tau[\Gamma])] =K_\tau(\Gamma)=C_A(\Gamma). $$ 最后，若 $\tau$ 对公式满射，对任意中间闭理论 $U$ 取 $T=R_\tau(U)=\tau^{-1}[U]$。由 $\mathrm P_\tau$ 与定理 88.2，$T$ 源闭；由满射有 $\tau[T]=U$，故 $L_\tau(T)=C_B(U)=U$，验证 (89.4a)。证毕。 **命题 89.5（源片段覆盖与逐步保持的两个边界）。** **(a) 生成全部中间公式不保证闭理论覆盖。** 取不同公式 $a\ne b$，令 $$ F_A=\{a\},\qquad F_B=F_C=\{a,b\}, $$ $\tau$ 为包含映射，$\sigma=\operatorname{id}$，并定义 $$ C_A(\Gamma)=\Gamma,\qquad C_C(\Delta)=\Delta\cup\{b\}, $$ $$ C_B(\Delta)= \begin{cases} \Delta\cup\{b\},&a\in\Delta,\\ \Delta,&a\notin\Delta. \end{cases} $$ 则三者均为闭包，两步都保持，且 $$ K_\tau=K_{\sigma\circ\tau}=C_A, \qquad b\in K_\sigma(\varnothing)\setminus C_B(\varnothing). \tag{89.5a} $$ 同时， $$ C_B(\tau[F_A])=F_B, $$ 但闭理论覆盖 (89.4a) 失败。 **证明。** $C_A,C_C$ 的闭包三律由恒等和固定集合并直接成立。$C_B$ 扩张；若 $\Delta\subseteq\Delta'$ 且 $a\in\Delta$，则 $a\in\Delta'$，两边都增添 $b$；若 $a\notin\Delta$，则 $C_B(\Delta)=\Delta\subseteq\Delta'\subseteq C_B(\Delta')$。这证明单调性。$C_B$ 从不增添 $a$，所以第一次作用前后触发条件不变，而重复增添 $b$ 不改变集合，故幂等。 对任意 $\Gamma\subseteq\{a\}$，两个目标闭包都不增添 $a$，从而 $$ \tau^{-1}[C_B(\tau[\Gamma])] =\Gamma =\tau^{-1}[C_C(\tau[\Gamma])]. $$ 这给出第一步和复合保守，也给出第一步保持。对每个中间前提 $\Delta$， $$ C_B(\Delta)\subseteq\Delta\cup\{b\}=K_\sigma(\Delta), $$ 故第二步保持；但空前提上 $C_B(\varnothing)=\varnothing$，$K_\sigma(\varnothing)=\{b\}$，所以第二步不反射。新增公式 $b$ 不在源像 $S=\{a\}$ 中，因而不造成源可见增量。 中间闭理论恰为 $$ \operatorname{Th}(C_B)=\{\varnothing,\{b\},\{a,b\}\}. $$ 源闭理论只有 $\varnothing,\{a\}$，且 $$ L_\tau(\varnothing)=\varnothing,\qquad L_\tau(\{a\})=\{a,b\}. $$ 因此 $C_B(\tau[F_A])=F_B$ 确实成立，却没有源闭理论前推为 $\{b\}$。这证明闭理论覆盖失败，并说明最终保守在此不能推出第二步全域保守。证毕。 **(b) 缺少后续保持时，端点保守可以掩盖中间强化。** 使用命题 88.4 的单公式闭包 $C_0(\Gamma)=\Gamma$、$C_+(\Gamma)=\Gamma\cup\{p\}$，取 $$ F_A=F_B=F_C=\{p\},\qquad \tau=\sigma=\operatorname{id}, \qquad C_A=C_0,\ C_B=C_+,\ C_C=C_0. $$ 则第一步保持但不保守，第二步不保持，复合却保守。 **证明。** 恒等映射使 $$ K_\tau=C_+,\qquad K_\sigma=C_0,\qquad K_{\sigma\circ\tau}=C_0=C_A. $$ 第一步由 $C_0\le C_+$ 保持，而空前提新增 $p$，所以不反射。第二步在空前提处要求的包含是 $\{p\}\subseteq\varnothing$，故保持失败。复合等式已给出端点保守。 这里直接复合翻译只将 $\sigma[\tau[\Gamma]]$ 交给最终闭包。若把中间全部后果也交给下一步，则在空前提上实际得到 $$ C_C(\sigma[C_B(\varnothing)])=\{p\}, \qquad C_C(\sigma[\varnothing])=\varnothing. \tag{89.5b} $$ 两种前提集合不同；第一式仍保留已交付的 $p$，没有删除输入前提。失效的是 (89.4c) 所需的后续保持，因此不能沿用 (89.2b) 的嵌套关系或用端点保守代替逐步保持。证毕。 ## 89.99 追加锚 ## 90. 有限反模型测试、实际像紧致性与真值剖面覆盖 **定义与假设 90.1（有限测试及其实际真值像）。** 沿用定义 88.5 的公式集、模型集、满足关系、映射 $\tau:F_A\to F_B$、$\beta:\mathcal M_B\to\mathcal M_A$，以及满足条件 (SC)。 保留其语义闭包 $S_A,S_B$ 和 $$ K_\tau^{\mathrm{sem}}(\Gamma) =\tau^{-1}[S_B(\tau[\Gamma])]. $$ 这些算子不与另外指定的证明后承闭包 $C_A,C_B$ 混同；从语义结论转到证明后承仍使用推论 88.8 的桥接条件。 称有限反模型存在性提升成立，记为 $\mathrm{CE}_{\mathrm{fin}}$，若 $$ \begin{aligned} \forall\Gamma\subseteq F_A\text{ 有限},\quad\forall\varphi\in F_A,\qquad &[\exists M\in\mathcal M_A,\ M\models_A\Gamma\ \land\ M\not\models_A\varphi]\\ &\Longrightarrow [\exists N\in\mathcal M_B,\ N\models_B\tau[\Gamma]\ \land\ N\not\models_B\tau(\varphi)]. \end{aligned} \tag{90.1a} $$ 有限前提包括 $\Gamma=\varnothing$，结论遍历全部 $F_A$。不限制前提集的同一条件仍记为 $\mathrm{CE}$。 将定理 88.6 的逐前提反模型判据限制到有限前提，得到 $$ \mathrm{CE}_{\mathrm{fin}} \quad\Longleftrightarrow\quad \forall\Gamma\subseteq F_A\text{ 有限},\qquad K_\tau^{\mathrm{sem}}(\Gamma)=S_A(\Gamma). \tag{90.1b} $$ 这里的 $M\not\models_A\varphi$ 是经典元理论中的否定，不预设语言有否定联结词。 记 $\mathbf2=\{0,1\}$，定义源模型的真值剖面 $$ e(M)(\varphi)= \begin{cases} 1,&M\models_A\varphi,\\ 0,&M\not\models_A\varphi, \end{cases} \qquad X=e[\mathcal M_A],\qquad Y=(e\circ\beta)[\mathcal M_B]\subseteq X\subseteq\mathbf2^{F_A}. \tag{90.1c} $$ 赋予 $\mathbf2$ 离散拓扑，赋予乘积及 $X,Y$ 相应的积拓扑与子空间拓扑。 模型载体本身不需拓扑；不同模型允许具有相同剖面。$\overline{Y}^{\,X}$ 表示在实际源剖面空间 $X$ 内的相对闭包。 **定理 90.2（实际像上的紧致升级与布尔剖面判据）。** 在定义 90.1 下，有以下两组结论。 （一）若实际目标剖面空间 $Y$ 紧致，则 $$ \mathrm{CE}_{\mathrm{fin}}\quad\Longleftrightarrow\quad\mathrm{CE}. \tag{90.2a} $$ 这部分不要求否定、恒假或合取联结词，不要求公式集可数、$X$ 紧致或 $\beta$ 对模型身份满射。 （二）另设存在 $\nu:F_A\to F_A$ 及 $\bot\in F_A$，使全部 $x\in X$、$\varphi\in F_A$ 满足 $$ x(\nu\varphi)=1-x(\varphi),\qquad x(\bot)=0. \tag{90.2b} $$ 则无需任何紧致性假设，已有 $$ \boxed{ \mathrm{CE}_{\mathrm{fin}}\ \Longleftrightarrow\ \overline{Y}^{\,X}=X, \qquad \mathrm{CE}\ \Longleftrightarrow\ Y=X. } \tag{90.2c} $$ 条件 (90.2b) 是充分的语义表达条件，不主张它最弱或必要；不另要求目标语言中的句法否定律。 $Y=X$ 表示真值剖面覆盖，不表示 $\beta$ 对原模型身份满射。 **证明。** 先证（一）。$\mathrm{CE}$ 限制到有限前提即给出 $\mathrm{CE}_{\mathrm{fin}}$。反向假设有限提升成立，给定任意前提集 $\Gamma$ 及其源反模型 $$ M\models_A\Gamma,\qquad M\not\models_A\varphi. $$ 在实际目标像中取切片 $$ K_\varphi=\{y\in Y:y(\varphi)=0\}. $$ 坐标求值连续且 $\{0\}\subseteq\mathbf2$ 闭，故 $K_\varphi$ 在 $Y$ 中闭；由 $Y$ 紧致，它作为子空间紧致。对每个有限 $\Gamma_0\subseteq\Gamma$，同一个 $M$ 满足 $\Gamma_0$ 并反驳 $\varphi$。有限提升及 (SC) 给出 $$ \exists y\in K_\varphi,\qquad \forall\gamma\in\Gamma_0,\quad y(\gamma)=1. \tag{90.2d} $$ 这也适用于 $\Gamma_0=\varnothing$，因此 $K_\varphi$ 非空。 现在直接应用 [`compact_local_realization`](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/1f6181fb8a59fc048513af617298e1921c231ce1/D5/S3/Observer/Completion/CompactLocalRealization.lean)： 其状态空间取 $K_\varphi$，上下文取 $\Gamma$ 的元素，记录取 $\mathbf2$，读数族取 $(\gamma,y)\mapsto y(\gamma)$，目标记录恒为 $1$。每条目标等值纤维由坐标连续性在 $K_\varphi$ 中闭；每个有限上下文集由 (90.2d) 同时实现，包括空上下文集。因此该定理给出 $$ \exists y\in K_\varphi,\qquad\forall\gamma\in\Gamma,\quad y(\gamma)=1. $$ 因为所得 $y$ 属于实际像 $Y$，存在原来允许的目标模型 $N\in\mathcal M_B$ 使 $y=e(\beta(N))$。再次使用 (SC)，即得 $$ N\models_B\tau[\Gamma],\qquad N\not\models_B\tau(\varphi). $$ 这证明全部前提的反模型提升。所用紧致空间是实际像的闭切片；闭子空间的紧致性与闭集族的有限交性质亦见 [Stacks Project §5.12，Lemmas 5.12.3、5.12.6](https://stacks.math.columbia.edu/tag/0059)。 再证（二）。对有限 $P,Q\subseteq F_A$，记 $$ U(P,Q)=\{x\in X:\ (\forall\gamma\in P,\ x(\gamma)=1) \ \land\ (\forall\psi\in Q,\ x(\psi)=0)\}. $$ 这些有限坐标柱集在 $X$ 中开闭并构成拓扑基，包含 $P=Q=\varnothing$ 的情形。 这是离散因子的有限坐标乘积基及其子空间限制，直接见钉版 Mathlib 的 [`isTopologicalBasis_pi`、`isTopologicalBasis_singletons`、`isTopologicalBasis_subtype`](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Topology/Bases.lean)。 若 $\overline{Y}^{\,X}=X$，且 $M$ 是有限 $\Gamma$ 对结论 $\varphi$ 的源反模型，则 $U(\Gamma,\{\varphi\})$ 是含 $e(M)$ 的非空开集。稠密性使它遇到 $Y$，其成员的目标模型代表由 (SC) 给出所需反模型，证明有限提升。 反之，设有限提升成立，且 $U(P,Q)\ne\varnothing$。取其中一个源剖面 $x=e(M)$，并令 $$ \Gamma_0=P\cup\nu[Q]. $$ 该前提集有限。由 (90.2b)，$M$ 满足 $\Gamma_0$ 且反驳 $\bot$。有限提升及 (SC) 给出 $y\in Y$，使 $y$ 在 $P\cup\nu[Q]$ 上全部为 $1$。对每个 $\psi\in Q$， $$ 1=y(\nu\psi)=1-y(\psi), $$ 故 $y(\psi)=0$，因此 $y\in U(P,Q)\cap Y$。每个非空基本开集都遇到 $Y$，得到 $\overline{Y}^{\,X}=X$。这里使用的稠密判据是 [`dense_iff_inter_open`](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Topology/Closure.lean)。 若 $Y=X$，任意源反模型的剖面已有目标模型代表，故由 (SC) 直接得到 $\mathrm{CE}$。最后假设 $\mathrm{CE}$，任取 $x\in X$，令 $$ \Gamma_x=\{\varphi\in F_A:x(\varphi)=1\}. $$ $x$ 的源模型代表满足 $\Gamma_x$，并反驳 $\bot$。全部前提的提升给出 $y\in Y$，满足 $y(\varphi)=1$ 对全部 $\varphi\in\Gamma_x$ 成立。若 $x(\varphi)=1$，立即有 $y(\varphi)=1$；若 $x(\varphi)=0$，则 $x(\nu\varphi)=1$，所以 $y(\nu\varphi)=1$，再由 (90.2b) 得 $y(\varphi)=0$。因此 $y=x$，证明 $X\subseteq Y$，反向包含本已成立。证毕。 **命题 90.3（有限支撑模型通过全部有限测试，但遗漏无限前提反例）。** 令 $F$ 为由可数原子 $p_n$（$n\in\mathbb N$）、$\bot$、否定及二元合取生成的全部有限公式。取 $$ F_A=F_B=F,\qquad \tau=\mathrm{id},\qquad \mathcal M_A=\mathbf2^{\mathbb N}, $$ $$ \mathcal M_B=\{v\in\mathbf2^{\mathbb N}:\{n:v(n)=1\}\text{ 有限}\}, \qquad\beta:\mathcal M_B\hookrightarrow\mathcal M_A, $$ 满足关系采用通常的布尔求值。则 (SC)、(90.2b) 及 $\mathrm{CE}_{\mathrm{fin}}$ 成立，但 $\mathrm{CE}$ 失败。具体地，对 $$ \Gamma_\infty=\{p_n:n\in\mathbb N\} $$ 有 $$ \bot\in K_\tau^{\mathrm{sem}}(\Gamma_\infty) \setminus S_A(\Gamma_\infty). \tag{90.3a} $$ 其真值剖面空间满足：$X$ 紧致 Hausdorff，$Y$ 稠密但不等于 $X$，从而 $Y$ 不闭且不紧致。 **证明。** 两侧求值相同，$\beta$ 为包含映射，故 (SC) 成立；句法否定与 $\bot$ 满足 (90.2b)。对每个有限公式 $\theta$，递归定义原子支撑 $$ \begin{aligned} \operatorname{supp}(p_n)&=\{n\},& \operatorname{supp}(\bot)&=\varnothing,\\ \operatorname{supp}(\neg\theta)&=\operatorname{supp}(\theta),& \operatorname{supp}(\theta\land\psi)&= \operatorname{supp}(\theta)\cup\operatorname{supp}(\psi). \end{aligned} $$ 支撑总是有限。若两个赋值在 $\operatorname{supp}(\theta)$ 上相同，则它们对 $\theta$ 的真值相同：原子情形由相同坐标给出，$\bot$ 恒假，否定保持真值相等，合取由两个子公式的归纳结论给出。 给定任意有限 $\Gamma$、任意结论 $\varphi$，以及源反模型 $v$，置 $$ D=\operatorname{supp}(\varphi)\cup \bigcup_{\gamma\in\Gamma}\operatorname{supp}(\gamma), \qquad w(n)= \begin{cases} v(n),&n\in D,\\ 0,&n\notin D. \end{cases} $$ $D$ 有限，$w$ 的正支撑包含于 $D$，所以 $w\in\mathcal M_B$。上述归纳结论使 $w$ 保留 $\Gamma$ 中所有公式及结论 $\varphi$ 的真值，故仍是反模型。这覆盖空 $\Gamma$ 及全部结论公式，证明 $\mathrm{CE}_{\mathrm{fin}}$。 全 $1$ 赋值满足 $\Gamma_\infty$ 并反驳 $\bot$，所以 $\bot\notin S_A(\Gamma_\infty)$。没有有限支撑赋值满足全部 $p_n$，因此目标侧在前提 $\Gamma_\infty$ 下无模型，其语义后承包含全部公式，特别包含 $\bot$。由 $\tau=\mathrm{id}$ 得 (90.3a)。 考虑公式求值映射 $e:\mathbf2^{\mathbb N}\to X$。它按定义满射；原子坐标满足 $$ e(v)(p_n)=v(n), $$ 因而它单射，逆映射为 $x\mapsto(n\mapsto x(p_n))$。每个公式坐标的求值仅依赖其有限支撑，在离散布尔乘积上连续，故 $e$ 连续；逆映射的每个坐标也是连续的坐标求值。因此 $e$ 是同胚。$\mathbf2^{\mathbb N}$ 是紧致 Hausdorff 空间，故 $X$ 也是；乘积紧致性可直接采用钉版 Mathlib 的 [`Pi.compactSpace`](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean)。 由有限提升和定理 90.2（二），$Y$ 在 $X$ 中稠密。全 $1$ 赋值的剖面不在 $Y$：若另一个赋值具有相同剖面，全部原子坐标相等会强制它也是全 $1$。所以 $Y\subsetneq X$，且其闭包等于 $X$，从而 $Y$ 不闭。若 $Y$ 紧致，则因 $X$ Hausdorff，$Y$ 必闭，与刚才结论矛盾；这里直接使用 [`IsCompact.isClosed`](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Topology/Separation/Hausdorff.lean)。 在这个例子中，把 $Y$ 换成 $\overline{Y}^{\,X}=X$ 会加入原目标族禁止的剖面，其中包括全 $1$ 赋值。它给扩充后的模型族提供反例，不能据此宣称原目标族已经满足 $\mathrm{CE}$。一般地，$Y$ 与 $\overline{Y}^{\,X}$ 遇到相同的有限开闭柱集：一个柱集若遇到闭包，取交点的该开邻域即会遇到 $Y$；反向由 $Y\subseteq\overline{Y}^{\,X}$ 得到。因此有限柱测试不区分实际像与其闭包。 若实际像本身在 $X$ 中闭，则其闭包点已经属于像，按像集定义已有原目标模型代表，这与第 6.1 节的闭像修正一致。相对闭包 $\overline{Y}^{\,X}$ 在任意 $X$ 中并不自动紧致；本例的紧致性来自已经证明的 $X$ 紧致。证毕。 **命题 90.4（缺少语义补时，全部反例提升不要求剖面稠密）。** 取 $$ F_A=F_B=\{p,q,\bot\},\qquad\tau=\mathrm{id}. $$ 源模型为下表的三个真值剖面，目标模型只取后两个，$\beta$ 为包含映射，满足关系由表中真值定义。 | 源模型 | $p$ | $q$ | $\bot$ | 是否属于目标族 | | --- | --- | --- | --- | --- | | $x_0$ | $0$ | $0$ | $0$ | 否 | | $x_p$ | $1$ | $0$ | $0$ | 是 | | $x_q$ | $0$ | $1$ | $0$ | 是 | 则 (SC) 与 $\mathrm{CE}$ 成立，但 $$ Y=\{x_p,x_q\},\qquad \overline{Y}^{\,X}=Y\ne X=\{x_0,x_p,x_q\}. \tag{90.4} $$ **证明。** 满足关系在包含映射下不变，所以 (SC) 成立。逐前提检验 $\mathrm{CE}$：若 $\Gamma$ 含 $\bot$ 或同时含 $p,q$，则无源模型满足 $\Gamma$，提升条件的前件为假。若 $\Gamma=\varnothing$，结论 $p$ 的反模型可取 $x_q$，结论 $q$ 的反模型可取 $x_p$，结论 $\bot$ 的反模型也可取 $x_p$，全部在目标族中。其余可满足前提只剩 $\{p\}$ 与 $\{q\}$：它们的唯一源模型分别为 $x_p$、$x_q$，本来就在目标族中，所以凡有源反模型就有目标反模型。这覆盖全部前提集和全部结论。 另一方面，柱集 $$ \{x\in X:x(p)=0,\ x(q)=0\}=\{x_0\} $$ 非空且与 $Y$ 不交，故 $Y$ 不稠密。$X$ 是有限离散空间，$Y$ 闭，从而 (90.4) 成立。这里存在恒假公式，但不存在满足 (90.2b) 的语义补映射：$p$ 在三个源模型上的补真值为 $(1,0,1)$，表中没有任何公式列取这一组值。 两个剖面空间均紧致，且有限提升与全部提升在此均成立；所以这个例子只说明不能无条件删除定理 90.2（二）的表达假设，并不反驳（一）的无联结词紧致升级。证毕。 ## 90.99 追加锚 ## 91. 跨尺度相容双射的实际实现与隐藏纤维运输 **定义 91.1（相容读数、实际线程与观察伪距离）。** 在 ZFC 中，取指标 $L\in\mathbb N_0$、有限非空集合 $Q_L$ 和映射 $$ r_L:Q_{L+1}\longrightarrow Q_L. $$ 不要求 $r_L$ 满射。另取集合 $X$，允许 $X=\varnothing$，以及满足 $r_Lq_{L+1}=q_L$ 的读数 $q_L:X\to Q_L$。记 $$ K=\left\{z\in\prod_{L\ge0}Q_L: r_L(z_{L+1})=z_L\text{ 对每个 }L\right\}, \qquad \pi_L(z)=z_L, $$ $$ \iota:X\longrightarrow K,\qquad \iota(x)=(q_L(x))_L,\qquad A=\iota[X],\qquad e:X\twoheadrightarrow A,\quad e(x)=\iota(x). \tag{91.1} $$ 最后一个等号按到实际像的陪域限制理解。对 $a\in A$，定义 $$ X_a=\{x\in X:e(x)=a\},\qquad x\sim x'\ \Longleftrightarrow\ \iota(x)=\iota(x'). $$ 各层取离散结构，在 $K$ 上使用首差距离 $$ d(z,z')= \begin{cases} 0,&z=z',\\ 2^{-\min\{L:z_L\ne z'_L\}},&z\ne z', \end{cases} \qquad d_X(x,x')=d(\iota(x),\iota(x')). \tag{91.2} $$ 这是可数离散乘积的标准超度量及其拉回伪度量；$d_X(x,x')=0$ 当且仅当 $\iota(x)=\iota(x')$，故 $d_X$ 分离原状态当且仅当 $\iota$ 单射。各个相容方程的解集闭，所以 $K$ 在该完备乘积中闭；观察商 $X/{\sim}$ 通过 $[x]\mapsto\iota(x)$ 等距识别为 $A$，故其度量完成可典范识别为 $\overline A^{\,K}$。在此嵌入下，整个 $K$ 是这个完成当且仅当 $A$ 在 $K$ 中稠密；定理 4.2 的非空原状态与满射有限读数条件是已有的充分情形。[^rro91-metric] **定理 91.2（相容层双射、实际像与纤维提升）。** 沿用定义 91.1。给定各层双射 $g_L:Q_L\to Q_L$，满足 $$ r_Lg_{L+1}=g_Lr_L\qquad(L\ge0). \tag{91.3} $$ 则以下结论成立。 （一）存在唯一满足 $\pi_LG=g_L\pi_L$ 的映射 $G:K\to K$。它是双射且 $$ (Gz)_L=g_L(z_L),\qquad d(Gz,Gz')=d(z,z'). \tag{91.4} $$ 反之，若只给出满足这些坐标等式的 $G:K\to K$，则（91.3）必在 $\pi_{L+1}[K]$ 上成立；若每个坐标投影满射，便在整个 $Q_{L+1}$ 上成立。这里投影满射是取得全层逆向结论的充分条件，不声称它对每个特殊观察塔均必要。 （二）对任意 $F:X\to X$，有 $$ \iota F=G\iota \quad\Longleftrightarrow\quad \forall L,\ q_LF=g_Lq_L. \tag{91.5} $$ 满足该式的每个 $F$ 都保持 $d_X$。存在这样的全函数 $F$，当且仅当 $$ G(A)\subseteq A. \tag{91.6} $$ 在给定截面 $s:A\to X$、$es=\operatorname{id}_A$ 的版本中，充分方向的构造不需再次选择；仅从 $e$ 满射取得截面时使用选择公理。 （三）若 $\iota$ 单射，则提升存在时唯一且单射，并且 $$ F\text{ 满射（亦即双射）}\quad\Longleftrightarrow\quad G(A)=A. \tag{91.7} $$ 无须 $\iota$ 单射，$G(A)=A$ 总给出观察商 $X/{\sim}$ 的典范等距自同构。 （四）不要求 $\iota$ 单射时，存在满足（91.5）的原状态双射，当且仅当 $$ G(A)=A \quad\text{且存在一族双射}\quad (h_a:X_a\overset\sim\longrightarrow X_{G_Aa})_{a\in A}, \tag{91.8} $$ 其中 $G_A:A\overset\sim\to A$ 是 $G$ 在实际像上的限制。一族双射作为整体数据给定后，其组装不再使用选择；由逐点等势选择出整族双射时使用选择公理。 特别，若 $A=K$ 且 $\iota$ 单射，则每个这样的 $G$ 都经 $X\simeq K$ 共轭为原状态的等距自同构；对一份指定 $G$，$A=K$ 并非必要，原状态双射提升的条件仍是（91.8）。 **证明。** 对 $i\le j$，把相邻限制复合为 $$ r_{i,i}=\operatorname{id},\qquad r_{i,j+1}=r_{i,j}r_j. $$ 由复合结合律及对 $k-j$ 的归纳，$r_{i,j}r_{j,k}=r_{i,k}$。相邻线程相容反复代入给出所有 $i\le j$ 的 $r_{i,j}(z_j)=z_i$，反向取 $j=i+1$ 即得相邻式。因此这些复合限制与线程分别满足既有逆系统及相容族接口。全指标自然性的归纳从 $r_{i,i}g_i=g_i$ 开始，归纳步为 $$ r_{i,j+1}g_{j+1} =r_{i,j}r_jg_{j+1} =r_{i,j}g_jr_j =g_ir_{i,j}r_j =g_ir_{i,j+1}. $$ 因此可直接应用定理 5.4 的逆极限下降，或既有 `inverse_limit_descent_and_independent_converse` 的正向部分，取得唯一的坐标相容映射 $G$。[^rro91-descent] 将（91.3）左复合 $g_L^{-1}$、右复合 $g_{L+1}^{-1}$，得 $$ r_Lg_{L+1}^{-1}=g_L^{-1}r_L. $$ 逆映射族同样下降，所得映射与 $G$ 的两个复合逐坐标都是恒等，故 $G$ 双射。又因 $$ g_L(z_L)=g_L(z'_L)\quad\Longleftrightarrow\quad z_L=z'_L, $$ 坐标相等模式与首次分歧层均被保持，得到（91.4）。 若已给坐标相容的 $G$，对任意 $z\in K$ 有 $$ r_Lg_{L+1}(z_{L+1}) =r_L(Gz)_{L+1} =(Gz)_L =g_Lr_L(z_{L+1}). $$ 这只检验到了 $\pi_{L+1}[K]$。投影满射时可代表每个 $Q_{L+1}$ 元素，得到全层等式；其条件边界沿用第 6.3 条。 （91.5）是逐坐标相等。对任意提升，代入（91.4）得 $$ d_X(Fx,Fx') =d(G\iota(x),G\iota(x')) =d_X(x,x'). \tag{91.9} $$ 实际像前向不变是既有 `realization_range_invariant` 对 $R=\iota$、$\nu=G$ 的应用：$a=\iota(x)$ 时，$Ga=\iota(Fx)\in A$。[^rro91-lift] 反之，若 $G(A)\subseteq A$，令 $G_A:A\to A$ 为相应限制。满射 $e:X\to A$ 有截面 $s:A\to X$；定义 $$ F=sG_Ae. \tag{91.10} $$ 由 $es=\operatorname{id}_A$ 得 $eF=G_Ae$，即（91.5）。这是已有 `sectionLift_isComplementLift` 的截面提升，其中底映射只需取 $G_A$，不需要对合假设。空集合情形使用空截面与空映射，同样成立。 若 $\iota$ 单射，两份提升满足 $\iota F_1=\iota F_2$，故 $F_1=F_2$。若 $Fx=Fx'$，则 $G\iota(x)=G\iota(x')$，由 $G$ 与 $\iota$ 单射得 $x=x'$。满射 $F$ 给出 $$ G(A)=\iota(F[X])=A. $$ 反之，$G(A)=A$ 时，对任意 $y\in X$ 可取 $x$ 使 $\iota(y)=G\iota(x)=\iota(Fx)$，再由 $\iota$ 单射得 $y=Fx$。这证明（91.7）。在此分离情形，$X\simeq A$ 正是既有 `Equiv.ofInjective` 的实际像等价；一般情形，则通过 `Setoid.quotientKerEquivRange` 将 $G_A$ 共轭到观察商。具体地，$[x]$ 映到非空集合 $\{y\in X:\iota(y)=G\iota(x)\}$ 所确定的唯一观察类；更换 $x$ 的代表不改变这个类。用 $G_A^{-1}$ 同样定义其逆，（91.4）给出等距性。输出是整个等价类，无须选择其成员，故这个商自同构不需选择原状态代表。[^rro91-range] 若双射 $F$ 存在，同一像计算给出 $G(A)=A$。其限制 $F|_{X_a}$ 映入 $X_{G_Aa}$，并且单射。对 $y\in X_{G_Aa}$，由 $F$ 满射取 $x$ 使 $Fx=y$，则 $$ G\iota(x)=\iota(y)=Ga. $$ 由 $G$ 单射得 $e(x)=a$，所以限制也满射。这些限制共同给出（91.8）中的整族 $h_a$。 反之，把 `canonicalDependentFiberEquiv` 应用于 $e$，并用 `Equiv.psigmaEquivSubtype` 将每个 $\operatorname{ConceptFiber}(e,a)$ 的 `PSigma` 依赖对转换成集合纤维 $X_a$，再以 `Equiv.sigmaCongrRight` 组装，得到典范依赖纤维分解 $$ E:X\simeq\sum_{a\in A}X_a,\qquad E(x)=(e(x),x),\qquad E^{-1}(a,x)=x. $$ 在该依赖和上以底空间等价 $G_A$ 和纤维等价 $h_a$ 应用 `Equiv.sigmaCongr`，其显式作用与逆作用为 $$ (a,x)\longmapsto(G_Aa,h_a(x)), \qquad (b,y)\longmapsto \bigl(G_A^{-1}b,h_{G_A^{-1}b}^{-1}(y)\bigr). \tag{91.11} $$ 式中纤维指标沿 $G_AG_A^{-1}b=b$ 作自然识别。两式互逆，输运回 $X$ 给出双射 $F$；其输出所在纤维是 $G_Aa$，故满足（91.5）。截面只选择每个目标纤维中的一个点，不能代替（91.8）所需的整纤维双射。[^rro91-fibers] 最后，把 $(Q_L,q_L,r_L)$ 代入既有 `RefinementSystem`，其 `InverseThread` 按相同坐标及相容式识别为 $K$，`stateThread` 对应 $\iota$。若 $A=K$ 且 $\iota$ 单射，则线程完备及状态分离成立；`stateEquivInverseLimit` 给出 $\Phi:X\simeq K$，共轭 $F=\Phi^{-1}G\Phi$ 为原状态双射，并由（91.9）保持 $d_X$。[^rro91-completion] 全线程可实现并且观察分离，是让所有这种对称均提升为原状态等距自同构的充分条件。对一份指定 $G$，原状态双射提升只要求（91.8）；例如 $G=\operatorname{id}_K$ 保持任何实际像 $A\subsetneq K$，纤维恒等族给出 $F=\operatorname{id}_X$，所以此时不必有 $A=K$。证毕。 **命题 91.3（层相容、实际像与隐藏纤维的三个独立障碍）。** 下列三种情形分别发生。 （一）每层映射都是双射，但逐坐标作用不把线程映成线程。取 $Q_L=\{0,1\}$、$r_L=\operatorname{id}$，令 $g_0=\operatorname{id}$，而 $g_L(b)=1-b$ 对所有 $L\ge1$ 成立。 （二）每层双射相容、每个有限读数满射且全部读数分离原状态，仍可能不存在原状态全函数提升。取命题 7.4 的最终恒零、最终恒一集合 $A_0,A_1\subseteq\{0,1\}^{\mathbb N_0}$，令 $X=A_0$，取全部二进制前缀 $$ Q_L=\{0,1\}^{L+1},\qquad q_L(x)=(x_0,\ldots,x_L), $$ $r_L$ 删去末位，$g_L$ 对每位取补。 （三）即使 $A=K$、$G(A)=A$，原状态全函数提升也可能存在而没有双射提升。取 $X=\{a,b,c\}$、常值二标签塔 $Q_L=\{0,1\}$、$r_L=\operatorname{id}$，令 $$ q_L(a)=0,\qquad q_L(b)=q_L(c)=1, \qquad g_L(t)=1-t. $$ **证明。** （一）第一个相邻方块已有 $r_0g_1=\mathrm{flip}\ne\operatorname{id}=g_0r_0$。常零线程逐坐标变为 $(0,1,1,\ldots)$，后者不属于常值线程空间。 （二）沿用命题 7.4 的有限前缀满射、$A_0,A_1$ 稠密与不交结论，并把该处前缀长度 $n$ 改记为 $L+1$。相容前缀族识别为一条无限二进制序列，所以 $K=\{0,1\}^{\mathbb N_0}$、$A=A_0$；首个不同的比特位置 $k$ 正好是首个不同的层 $L=k$。全部前缀相等迫使每个比特相等，故读数分离原状态。取补与截断交换，故给出 $K$ 的等距自同构；它交换最终恒零与最终恒一条件，因此 $$ G(A_0)=A_1,\qquad A_0\cap A_1=\varnothing. $$ 由（91.6），没有原状态全函数提升。每个有限实际像都是 $Q_L$，故其逐层不变没有补足无限实际像的不变。[^rro91-prefix] （三）$K=A$ 是两条常值线程。任何提升都满足 $F(b)=F(c)=a$，因而不能单射；取 $F(a)=b$ 就得到一份全函数提升。对应纤维分别含一个与两个元素，不能以双射相配。证毕。 [^rro91-metric]: 首差超度量及可数离散乘积完备性采用钉版 Mathlib [`PiNat.dist_eq_of_ne`、`PiNat.dist_triangle_nonarch`、`PiNat.metricSpace`、`PiNat.completeSpace`](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean)，底数为 $1/2$。闭子空间继承完备性，$A$ 在其闭包中稠密；满射读数的充分情形见本卷[定理 4.2](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/70aa89c3db46cdc999b6800bca8d0eb9547f07f4/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)。 [^rro91-descent]: [`IndependentDescentCriterion.inverse_limit_descent_and_independent_converse`](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/3e9e5100eba8a28feb98020c8500dec67213c0c5/D5/S3/ObserverMemory/InverseLimitMorphisms/IndependentDescentCriterion.lean) 分开全指标自然性的正向下降和带坐标投影满射的独立逆向；本节先把相邻限制复合，满足其 `InverseStageSystem` 接口；本卷[第 5.4、6.3 条](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/70aa89c3db46cdc999b6800bca8d0eb9547f07f4/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md) 给出相应下降及反推边界。 [^rro91-lift]: 实际像必要性复用 [`CanonicalMinimalRealization.realization_range_invariant`](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/3e9e5100eba8a28feb98020c8500dec67213c0c5/D5/S3/ObserverMemory/Realization/CanonicalMinimalRealization.lean)。截面构造采用 [`ComplementFiberLift.sectionLift`、`sectionLift_isComplementLift`](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/3e9e5100eba8a28feb98020c8500dec67213c0c5/D5/S3/ConceptDynamics/Negation/ComplementFiberLift.lean)，此提升等式不要求底映射对合。满射取得右逆的选择步骤是钉版 Mathlib [`Function.Surjective.hasRightInverse`](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Logic/Function/Basic.lean)。 [^rro91-range]: 实际像等价采用钉版 Mathlib [`Equiv.ofInjective`](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean)；观察商与实际像的典范对应采用 [`Setoid.quotientKerEquivRange`](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Data/Setoid/Basic.lean)。 [^rro91-fibers]: 依赖纤维分解采用 [`CanonicalDependentFiberEquivalence.canonicalDependentFiberEquiv`](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/3e9e5100eba8a28feb98020c8500dec67213c0c5/D5/S3/ConceptDynamics/Fibers/CanonicalDependentFiberEquivalence.lean)；依赖对到集合纤维的转换及纤维族组装采用钉版 Mathlib [`Equiv.psigmaEquivSubtype`、`Equiv.sigmaCongrRight`、`Equiv.sigmaCongr`](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Logic/Equiv/Defs.lean)。 [^rro91-completion]: [`InverseLimitCompletion.stateThread_injective_iff_separates`、`stateThread_bijective_iff_complete_and_separates`、`stateEquivInverseLimit`](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/3e9e5100eba8a28feb98020c8500dec67213c0c5/D5/S3/ConceptDynamics/RefinementGeometry/InverseLimitCompletion.lean) 提供观察分离、线程完备与原状态等价的既有接口。 [^rro91-prefix]: $A_0,A_1$ 及其满前缀、稠密和不交性质沿用本卷[命题 7.4 的第一组构造](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/70aa89c3db46cdc999b6800bca8d0eb9547f07f4/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)，其前缀长度 $n$ 在此取 $L+1$。 ## 91.99 追加锚 ## 92. 反演相容的观察与指数倾斜的局部几何 **定义与假设 92.1（反演、条件投影与三种 KL 量）。** 设 $\Omega$ 为有限非空集合，$\Theta:\Omega\to\Omega$ 满足 $\Theta^2=\mathrm{id}$，读出 $r:\Omega\to B$ 的陪域取为实际像 $B=r[\Omega]$。固定严格正概率 $\nu$，满足 $$ \nu(\Theta x)=\nu(x)\quad(x\in\Omega). $$ 所有对数均为自然对数。对质量函数 $d$ 和实函数 $g$，分别记 $$ (Cd)(b)=\sum_{r(x)=b}d(x),\qquad p=C\nu>0, \qquad d^R(x)=d(\Theta x),\qquad Rg=g\circ\Theta. $$ 沿用 [定义与假设 82.1](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/d2156bc284087ecd89a109d391b587d58dca1306/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md) 的条件投影与参考恢复算子： $$ (\Pi g)(x)=\frac{1}{p(r(x))} \sum_{r(y)=r(x)}\nu(y)g(y),\qquad (Ed)(x)=\nu(x)\frac{(Cd)(r(x))}{p(r(x))}. $$ 因此 $$ Ed=\nu\,\Pi(d/\nu). $$ $\Pi$ 作用于实函数空间 $$ \mathcal H_\nu=\mathbb R^\Omega,\qquad \langle g,h\rangle_\nu=\sum_x\nu(x)g(x)h(x),\qquad \|g\|_\nu^2=\langle g,g\rangle_\nu, $$ 是到可见子空间 $\mathcal V_r=\{k\circ r:k:B\to\mathbb R\}$ 的正交投影；$E$ 作用于质量。 对满足 $\sum_x\nu(x)f(x)=0$ 的实函数 $f$，定义 $$ Z(t)=\sum_x\nu(x)e^{tf(x)},\qquad u_t(x)=\frac{e^{tf(x)}}{Z(t)},\qquad d_t(x)=\nu(x)u_t(x),\qquad t\in\mathbb R, $$ 另记 $$ f_-:=\frac{f-Rf}{2},\qquad M:=\max_{x\in\Omega}|f(x)|. $$ 对同一有限集合上的严格正概率 $a,b$，令 $$ D(a\Vert b)=\sum_x a(x)\log\frac{a(x)}{b(x)}. $$ 本节研究 $$ \Delta(t)=D(d_t\Vert Ed_t),\qquad A(t)=D(d_t\Vert d_t^R),\qquad A_r(t)=D(Cd_t\Vert Cd_t^R). $$ 它们均为有限统计 KL 量；这里不赋予物理熵产生的含义，也不将其等同于对称化混合的有界熵隙。 **命题 92.2（反演下降与四分区的适用条件）。** 在定义与假设 92.1 下， $$ \bigl(\exists\theta:B\to B,\ r\circ\Theta=\theta\circ r\bigr) \quad\Longleftrightarrow\quad \Pi R=R\Pi. \tag{92.1} $$ 若存在这样的 $\theta$，则它唯一且 $\theta^2=\mathrm{id}$。称式 (92.1) 的等价条件为读出的反演相容性。 置 $P_+=(I+R)/2$、$P_-=(I-R)/2$。在相容条件下， $$ f_{\mathrm{ve}}=\Pi P_+f,\qquad f_{\mathrm{vo}}=\Pi P_-f,\qquad f_{\mathrm{he}}=(I-\Pi)P_+f,\qquad f_{\mathrm{ho}}=(I-\Pi)P_-f $$ 分别为可见偶、可见奇、隐藏偶、隐藏奇分量。它们两两正交，并满足 $$ f=f_{\mathrm{ve}}+f_{\mathrm{vo}}+f_{\mathrm{he}}+f_{\mathrm{ho}},\qquad \|f\|_\nu^2= \|f_{\mathrm{ve}}\|_\nu^2+\|f_{\mathrm{vo}}\|_\nu^2+ \|f_{\mathrm{he}}\|_\nu^2+\|f_{\mathrm{ho}}\|_\nu^2. \tag{92.2} $$ **证明。** 先设 $r\Theta=\theta r$。由 $r$ 满射及 $\Theta^2=\mathrm{id}$，下降映射唯一且为对合，这是 [InvolutionDescent](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/d2156bc284087ecd89a109d391b587d58dca1306/D5/S3/ConceptDynamics/ObservationTopology/InvolutionDescent.lean) 中 `descended_unique`、`involutive_descends` 的直接应用。$\Theta$ 因而给出纤维 $r^{-1}(b)$ 与 $r^{-1}(\theta b)$ 之间的双射；参考律不变性给出 $p(\theta b)=p(b)$。在条件平均中令 $z=\Theta y$，得到 $$ (\Pi Rg)(x) =\frac{1}{p(r(x))}\sum_{r(z)=\theta(r(x))}\nu(z)g(z) =(\Pi g)(\Theta x)=(R\Pi g)(x). $$ 反之，设 $\Pi R=R\Pi$。对每个 $b\in B$，可见指示函数 $v_b=\mathbf1_{\{r=b\}}$ 满足 $\Pi v_b=v_b$，故 $$ \Pi(Rv_b)=R\Pi v_b=Rv_b. $$ 于是 $Rv_b$ 在每条读出纤维上恒定。若 $r(x)=r(y)$，便有 $$ \mathbf1_{\{r(\Theta x)=b\}}=\mathbf1_{\{r(\Theta y)=b\}} \quad\text{对每个 }b\in B, $$ 从而 $r(\Theta x)=r(\Theta y)$。取同一来源的 `kernelStable_iff_exists_descended`，以 $r$ 的满射性和刚得到的纤维稳定性，得所需 $\theta$。 由 $\nu\circ\Theta=\nu$ 换元，有 $$ \langle Rg,h\rangle_\nu=\langle g,Rh\rangle_\nu, \qquad \|Rg\|_\nu=\|g\|_\nu, \qquad R^2=I. $$ 所以 $P_\pm$ 是偶、奇子空间的正交投影。$\mathcal H_\nu$ 为有限维实 Hilbert 空间，故完备，且所有线性算子连续。相容性使 $\Pi$ 与 $P_+$ 交换。将 $P=\Pi$、$Q=P_+$ 代入 [CommutingProjectionFourSector](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/d2156bc284087ecd89a109d391b587d58dca1306/D5/S3/Quantum/Algebra/CommutingProjectionFourSector.lean) 的 `commuting_projection_four_sector_criterion`，得到上述四个乘积为正交投影，其像组成正交内部直和。式 (92.2) 即这一分解作用于 $f$ 后的结论。证毕。 **定理 92.3（指数倾斜的二阶系数、统一余项与精确保留）。** 保持定义与假设 92.1，无须假定反演相容性。对所有 $|t|\le1$， $$ \begin{aligned} \Delta(t)&=\frac{t^2}{2}\|(I-\Pi)f\|_\nu^2+R_\Delta(t),\\ A(t)&=2t^2\|f_-\|_\nu^2+R_A(t),\\ A_r(t)&=2t^2\|\Pi f_-\|_\nu^2+R_r(t), \end{aligned} \tag{92.3} $$ 其中 $$ B_M:=\frac{72M^4+64M^3}{6},\qquad \max\{|R_\Delta(t)|,|R_A(t)|,|R_r(t)|\}\le B_M|t|^3. \tag{92.4} $$ 若 $M=0$，三种 KL 量恒等于零。对每个实数 $t$，精确损失 $A(t)-A_r(t)$ 非负；在 $|t|\le1$ 上， $$ A(t)-A_r(t)=2t^2\|(I-\Pi)f_-\|_\nu^2+R_{\mathrm{loss}}(t), \qquad |R_{\mathrm{loss}}(t)|\le2B_M|t|^3. \tag{92.5} $$ 若再有反演相容性，则式 (92.3)、(92.5) 中的二次项系数分别为 $$ \begin{array}{c|c} \text{量}&t^2\text{ 的系数}\\ \hline \Delta&\tfrac12\bigl(\|f_{\mathrm{he}}\|_\nu^2+\|f_{\mathrm{ho}}\|_\nu^2\bigr)\\ A&2\bigl(\|f_{\mathrm{vo}}\|_\nu^2+\|f_{\mathrm{ho}}\|_\nu^2\bigr)\\ A_r&2\|f_{\mathrm{vo}}\|_\nu^2\\ A-A_r&2\|f_{\mathrm{ho}}\|_\nu^2. \end{array} \tag{92.6} $$ 没有相容性时，式 (92.3)、(92.5) 的投影残差仍成立，但不将这些乘积解释为四个正交奇偶分区。 对所有 $t\in\mathbb R$，还有逐点恒等式 $$ \log\frac{d_t(x)}{d_t^R(x)}=2t f_-(x). \tag{92.7} $$ 因此对任意固定的 $t\ne0$， $$ A(t)=A_r(t) \quad\Longleftrightarrow\quad (I-\Pi)f_-=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \forall s\in\mathbb R,\ A(s)=A_r(s). \tag{92.8} $$ 式 (92.8) 不需要相容性；有相容性时，中间条件等价于 $f_{\mathrm{ho}}=0$。条件 $\Pi f_-=0$ 只消去 $A_r$ 的二次项，不是 $A_r$ 精确为零的判据。 **证明。** 先在本证明内计算归一化密度的 KL 二阶导数。设 $\rho$ 为有限集合上的严格正概率，$v_t,w_t$ 为正的光滑密度族，满足 $$ v_0=w_0=1,\qquad \sum_i\rho_i v_t(i)=\sum_i\rho_i w_t(i)=1, \qquad F(t)=\sum_i\rho_i v_t(i)\log\frac{v_t(i)}{w_t(i)}. $$ 函数 $\varphi(v,w)=v\log(v/w)$ 在 $(1,1)$ 的梯度和 Hessian 分别为 $$ \nabla\varphi(1,1)=(1,-1),\qquad \nabla^2\varphi(1,1)= \begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}. $$ 归一化的一、二阶导数之和均为零，故链式法则中的线性项消去，得到 $$ F(0)=F'(0)=0,\qquad F''(0)=\sum_i\rho_i\bigl(v'_0(i)-w'_0(i)\bigr)^2. \tag{92.9} $$ 由 $f$ 中心化，$Z(0)=1$、$Z'(0)=0$，所以 $u_0=1$、$u'_0=f$。分别取下列三组密度及参考律： $$ \begin{array}{c|c|c|c} F&\rho&v_t&w_t\\ \hline \Delta&\nu&u_t&\Pi u_t\\ A&\nu&u_t&Ru_t\\ A_r&p&Cd_t/p&Cd_t^R/p. \end{array} \tag{92.10} $$ 第一组利用 $Ed_t=\nu\Pi u_t$；第二组利用 $d_t^R=\nu Ru_t$。三组密度都正且归一化，在 $t=0$ 都等于 $1$。第一、二组的导数差分别为 $(I-\Pi)f$ 与 $f-Rf=2f_-$。第三组的导数差在粗坐标 $b$ 上为 $$ \frac{1}{p(b)}\sum_{r(x)=b}\nu(x)\bigl(f(x)-Rf(x)\bigr). $$ 其沿 $r$ 的拉回正是 $2\Pi f_-$，不需要交换 $\Pi$ 与 $R$。对任意 $k:B\to\mathbb R$， $$ \sum_b p(b)k(b)^2=\sum_x\nu(x)k(r(x))^2, $$ 故式 (92.9) 给出式 (92.3) 的三个二次系数。 下面同时估计三组的余项。式 (92.10) 中每个密度坐标均可写成 $N(t)/Z(t)$，其中 $$ N(t)=\sum_j\lambda_j e^{tg_j},\qquad \lambda_j\ge0,\quad \sum_j\lambda_j=1,\quad |g_j|\le M. $$ 单点指数也属于这种形式；条件平均的权重为 $\nu(x)/p(b)$，反演密度的指数值为 $Rf(x)$。$Z$ 本身具有同样形式。以 $\lambda_j e^{tg_j}/N(t)$ 为概率权重，$\log N$ 的前三阶导数分别为 $g$ 的均值、方差与三阶中心矩，因而 $$ | (\log N)' |\le M,\qquad | (\log N)'' |\le M^2,\qquad | (\log N)''' |\le8M^3. \tag{92.11} $$ 其中方差不超过二阶矩 $M^2$，且 $|g-\mathbb E_tg|\le2M$。 对任一密度坐标 $v=N/Z$，令 $\alpha=\log v$。由式 (92.11)， $$ |\alpha'|\le2M,\qquad |\alpha''|\le2M^2,\qquad |\alpha'''|\le16M^3. $$ 于是由 $v'=v\alpha'$、$v''=v((\alpha')^2+\alpha'')$ 及 $v'''=v((\alpha')^3+3\alpha'\alpha''+\alpha''')$，得 $$ |v'|\le2Mv,\qquad |v''|\le6M^2v,\qquad |v'''|\le36M^3v. \tag{92.12} $$ 在每组的同一坐标中，$v,w$ 具有共同分母 $Z$，所以 $h=\log(v/w)$ 是两个对数分子的差。式 (92.11) 给出 $$ |h'|\le2M,\qquad |h''|\le2M^2,\qquad |h'''|\le16M^3. $$ 又因 $h(0)=0$，有 $|h(t)|\le2M|t|$。因此在 $|t|\le1$ 上，逐项求导并用 $\sum_i\rho_i v_t(i)=1$ 得 $$ \begin{aligned} |F'''(t)| &=\left|\sum_i\rho_i \bigl(v'''h+3v''h'+3v'h''+vh'''\bigr)(t,i)\right|\\ &\le\sum_i\rho_i v_t(i) \bigl(72M^4|t|+36M^3+12M^3+16M^3\bigr)\\ &\le72M^4+64M^3. \tag{92.13} \end{aligned} $$ 所有分子、分母均为正的有限指数和，故这些函数在实轴上光滑。对 $t\ne0$，在连接 $0$ 与 $t$ 的无向闭区间上应用 [Taylor 定理 `taylor_mean_remainder_lagrange_iteratedDeriv`](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Analysis/Calculus/Taylor.lean)，取 $n=2$、$x_0=0$、$x=t$，得到位于两端点之间的 $\xi$，使 $$ F(t)=\frac{F''(0)}{2}t^2+\frac{F'''(\xi)}{3!}t^3. $$ 式 (92.13) 即给出式 (92.4)；$t=0$ 直接成立。若 $M=0$，则 $f=0$、$u_t=1$、$d_t=\nu$，三种 KL 量恒为零。 将 [定理 73.3](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/d2156bc284087ecd89a109d391b587d58dca1306/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md) 的确定读出 KL 缺陷公式用于输入 $d=d_t$、严格正参考 $q=d_t^R$，得到 $A(t)-A_r(t)\ge0$。两展开式相减，并用 $\Pi$ 的正交性 $$ \|f_-\|_\nu^2-\|\Pi f_-\|_\nu^2 =\|(I-\Pi)f_-\|_\nu^2, $$ 得式 (92.5)，其中 $R_{\mathrm{loss}}=R_A-R_r$。有相容性时，命题 92.2 给出 $$ (I-\Pi)f=f_{\mathrm{he}}+f_{\mathrm{ho}},\qquad f_-=f_{\mathrm{vo}}+f_{\mathrm{ho}},\qquad \Pi f_-=f_{\mathrm{vo}},\qquad (I-\Pi)f_-=f_{\mathrm{ho}}. $$ 结合正交性，得到式 (92.6)。 最后，$\nu(\Theta x)=\nu(x)$ 使 $$ \frac{d_t(x)}{d_t^R(x)} =\exp\bigl(t(f(x)-Rf(x))\bigr), $$ 即式 (92.7)。这里一般混合方向的反演律为 $\nu e^{tRf}/Z(t)$，不能直接以 $d_{-t}$ 代替。定理 73.3 在参考 $q=d_t^R$ 下的等号条件是 $d_t/d_t^R$ 在每条 $r$ 纤维上恒定；此处的参考恢复随 $t$ 改变，与定义 $\Delta$ 时固定参考 $\nu$ 的 $E$ 不同。对 $t\ne0$，由式 (92.7) 及对数的单射性，等号条件恰为 $f_-$ 在各纤维上恒定，即 $\Pi f_-=f_-$。这一条件又使每个实数 $s$ 的似然比 $e^{2sf_-}$ 在各纤维上恒定，故对所有 $s$ 都有 $A(s)=A_r(s)$，完成式 (92.8) 的证明。证毕。 **命题 92.4（四态分区诊断与高阶可见反演）。** 取 $$ \Omega=\{-1,+1\}^2,\qquad \nu(a,b)=\frac14,\qquad \Theta(a,b)=(-a,b),\qquad r(a,b)=a. $$ 读出相容，下降反演为 $\theta(a)=-a$。置 $$ L(t)=t\tanh t-\log\cosh t,\qquad Q(t)=2t\tanh t. $$ 三条纯分区方向的精确值为 | $f(a,b)$ | 分区 | $\Delta(t)$ | $A(t)$ | $A_r(t)$ | |---|---|---|---|---| | $b$ | 隐藏偶 | $L(t)$ | $0$ | $0$ | | $a$ | 可见奇 | $0$ | $Q(t)$ | $Q(t)$ | | $ab$ | 隐藏奇 | $L(t)$ | $Q(t)$ | $0$ | 对混合方向 $f=b+ab=b(1+a)$，则 $$ f_-=ab,\qquad \Pi f_-=0, $$ 但对所有 $t\ne0$， $$ A_r(t)=\tanh^2(t)\log\cosh(2t)>0,\qquad \lim_{\substack{t\to0\\t\ne0}}\frac{A_r(t)}{t^4}=2. \tag{92.14} $$ 三条纯方向 $b,a,ab$ 构成此模型中心化函数空间的一组基；可见偶分区只有常函数，故不存在第四条非零中心化纯分区方向。 **证明。** 此时 $\Pi$ 对第二坐标作均匀平均，故 $\Pi b=\Pi(ab)=0$、$\Pi a=a$；同时 $Rb=b$、$Ra=-a$、$R(ab)=-ab$。这给出表中的分区。对三条纯方向，$f$ 的值均为等概率的 $-1,+1$，于是共同有 $$ Z(t)=\cosh t,\qquad \sum_{a,b}d_t(a,b)f(a,b)=\tanh t. $$ 当 $f=b$ 或 $f=ab$ 时，$a$ 边缘仍为均匀律，故 $Ed_t=\nu$，且 $$ \Delta(t)=\sum_{a,b}d_t(a,b)\bigl(tf(a,b)-\log\cosh t\bigr)=L(t). $$ 当 $f=a$ 时，$u_t$ 已经可见，故 $Ed_t=d_t$，于是 $\Delta(t)=0$。偶方向 $b$ 给出 $d_t^R=d_t$，所以 $A=A_r=0$；奇方向 $a,ab$ 由式 (92.7) 得 $A=2t\tanh t=Q(t)$。对 $a$，$f_-=a$ 可见，式 (92.8) 给出 $A_r=A$；对 $ab$，粗律与其反演均为均匀律，故 $A_r=0$。 混合方向在均匀律下中心化，且 $$ Rf=b-ab,\qquad f_-=ab,\qquad \Pi f_-=0. $$ 令 $c=\cosh(2t)$，则 $a=+1$ 时的指数为 $2tb$，$a=-1$ 时的指数为零，所以 $$ Z(t)=\frac{c+1}{2},\qquad Cd_t=\left(\frac{c}{c+1},\frac{1}{c+1}\right),\qquad Cd_t^R=\left(\frac{1}{c+1},\frac{c}{c+1}\right), $$ 其中坐标按 $(+1,-1)$ 排列。这两个二点概率的 KL 值由 [FourLocalEvidenceClosedForms](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/d2156bc284087ecd89a109d391b587d58dca1306/D5/S3/TotalVariation/Asymptotics/FourLocalEvidenceClosedForms.lean) 中 `kl_divergence_closed_form` 直接给出：取 $$ \delta=\frac{c-1}{2(c+1)}=\frac{\tanh^2t}{2}, \qquad 0\le\delta<\frac12, $$ 便有 $$ A_r(t)=2\delta\log\frac{1+2\delta}{1-2\delta} =\frac{c-1}{c+1}\log c =\tanh^2t\log\cosh(2t). $$ 有限实数 $t$ 满足 $|\tanh t|<1$，故上述公式的严格正性前提成立。若 $t\ne0$，则 $\tanh^2t>0$ 且 $c>1$，给出式 (92.14) 的严格正性。 由 $\tanh(0)=0$、$\tanh'(0)=1$，有 $\tanh t/t\to1$。令 $g(t)=\log\cosh(2t)$，则 $$ g(0)=g'(0)=0,\qquad g''(t)=\frac{4}{\cosh^2(2t)},\qquad g''(0)=4. $$ 对 $t\ne0$ 作二阶 Taylor 展开，存在介于 $0$ 与 $t$ 之间的 $\eta_t$，使 $g(t)=g''(\eta_t)t^2/2$。$g''$ 的连续性给出 $g(t)/t^2\to2$，因此 $$ \frac{A_r(t)}{t^4} =\left(\frac{\tanh t}{t}\right)^2 \frac{\log\cosh(2t)}{t^2}\longrightarrow2. $$ 最后，$1,a,b,ab$ 在均匀加权内积下为正交归一基，后三者均中心化；只依赖 $a$ 且在 $a\mapsto-a$ 下为偶的函数必为常数。故三条纯方向恰好用尽中心化空间的三个分区方向，而混合方向以式 (92.14) 说明 $\Pi f_-=0$ 不蕴含精确的 $A_r=0$。证毕。 ## 92.99 追加锚 ## 93. 端点势、平稳路径方向性与转移计数的充分读出 **定义与假设 93.1（有限路径和正反实验）。** 设 $S$ 为有限非空集合，固定一个全序，仅用于将无序状态对记为 $i0\}, $$ $$ g(i)=\log a(i)-\log b(i),\qquad \operatorname{osc}(g)=\max_{i\in S}g(i)-\min_{i\in S}g(i). $$ 则 $Z_n>0$，$P_n,P_n^R$ 在 $\Omega_n$ 上有共同正支撑，并且 $$ \sigma_n(w)=g(x_0)-g(x_n) =\sum_{i0$，归一化得到概率。$B_n$ 的反演不变性使 $\Omega_n$ 反演不变，并给出 $$ \frac{P_n(w)}{P_n^R(w)} =\frac{a(x_0)b(x_n)}{a(x_n)b(x_0)}. $$ 取对数即得式 (93.1) 的第一个等式。内部端点抵消，故 $$ g(x_0)-g(x_n)=\sum_{t=0}^{n-1}(g(x_t)-g(x_{t+1})) =\sum_{i,j}N_{ij}(w)(g(i)-g(j)). $$ 对角项为零，将 $i\to j$ 与 $j\to i$ 两项配对，即得式 (93.1) 的第二个等式。$n=0$ 时这些和均为空和，且 $\Theta_0$ 为恒等。 在共同正支撑上应用已有 Gibbs 非负性，得到散度下界；所用有限概率与绝对连续性假设见 [`kl_divergence_nonneg`](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/b662280db14e39b5023864c27c2e6ea733b52c58/D5/S3/Divergence/GrandmotherTheorem.lean)。另一方面，逐路径有 $g(x_0)-g(x_n)\le\operatorname{osc}(g)$，故 $$ D(P_n\Vert P_n^R)=\sum_{w\in\Omega_n}P_n(w)\sigma_n(w) \le\operatorname{osc}(g). $$ 固定有限上界分别除以 $n$、$n+1$，夹逼得到两个极限。 最后，式 (93.1) 表明似然比在每条端点纤维以及每条净计数纤维上恒定。分别应用 [定理 73.3](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/b662280db14e39b5023864c27c2e6ea733b52c58/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)：细载体取 $\Omega_n$，输入取 $d=P_n$，参考取 $q=P_n^R$，粗载体取相应读出的实际像。细载体有限，参考严格正，读出满射，因而粗参考质量也严格正；该定理的等号判据恰由上述似然比满足，给出式 (93.3)。 若另允许端点权重随 $n$ 改变，同一证明只给出 $D(P_n\Vert P_n^R)\le\operatorname{osc}(g_n)$。条件 $\operatorname{osc}(g_n)=o(n)$ 是每次转移的散度趋零的充分条件；缺少该条件时，这个上界本身不能推出该极限。证毕。 **定理 93.3（平稳边流的路径 KL 与读出比较）。** 设 $K=(K_{ij})_{i,j\in S}$ 是非负行随机矩阵，并给定严格正概率 $\pi$，满足 $$ \sum_jK_{ij}=1,\qquad \sum_i\pi_iK_{ij}=\pi_j. $$ 另要求双向支撑 $$ K_{ij}>0\quad\Longleftrightarrow\quad K_{ji}>0. \tag{93.4} $$ 不要求不可约、非周期或正的自环概率。定义 $$ P_n(w)=\pi_{x_0}\prod_{t=0}^{n-1}K_{x_tx_{t+1}},\qquad Q_{ij}=\pi_iK_{ij},\qquad Q^{\mathsf T}_{ij}=Q_{ji},\qquad K^{\leftarrow}_{ij}=\frac{\pi_jK_{ji}}{\pi_i}. $$ $P_n$ 的正支撑为使用正转移边的路径集合，记为 $\Omega_n$；$Q,Q^{\mathsf T}$ 在共同正边集上作为概率比较。置 $$ A_{ij}=\begin{cases}\log(Q_{ij}/Q_{ji}),&Q_{ij}>0,\\0,&Q_{ij}=0,\end{cases} \qquad e=D(Q\Vert Q^{\mathsf T}). $$ 则反向实验是在原坐标顺序上由反向核生成的路径律： $$ P_n^R(w)=\pi_{x_0}\prod_{t=0}^{n-1}K^{\leftarrow}_{x_tx_{t+1}} =\pi_{x_n}\prod_{t=0}^{n-1}K_{x_{t+1}x_t}. \tag{93.5} $$ 在 $\Omega_n$ 上， $$ \begin{aligned} \sigma_n(w) &=\log\frac{\pi_{x_0}}{\pi_{x_n}} +\sum_{t=0}^{n-1}\log\frac{K_{x_tx_{t+1}}}{K_{x_{t+1}x_t}}\\ &=\sum_{t=0}^{n-1}A_{x_tx_{t+1}} =\sum_{i0}} (Q_{ij}-Q_{ji})\log\frac{Q_{ij}}{Q_{ji}}\ge0. \tag{93.7} $$ 并且 $$ e=0\quad\Longleftrightarrow\quad Q=Q^{\mathsf T} \quad\Longleftrightarrow\quad \forall i,j,\ \pi_iK_{ij}=\pi_jK_{ji}. \tag{93.8} $$ 因此当 $n\ge1$ 时，路径方向性为零当且仅当详细平衡成立；$n=0$ 时恒为零。$n\ge1$ 时每次转移的散度为 $e$，按状态词长归一化的散度 $ne/(n+1)$ 趋向 $e$。 净计数精确保留全部方向性，而每个单时刻读出 $r_t(w)=x_t$ 都不显露方向性： $$ D(J_*P_n\Vert J_*P_n^R)=n e,\qquad J(\Theta_nw)=-J(w), \tag{93.9} $$ $$ (r_t)_*P_n=(r_t)_*P_n^R=\pi,\qquad D((r_t)_*P_n\Vert(r_t)_*P_n^R)=0 \quad(0\le t\le n). \tag{93.10} $$ 在每条净计数纤维上，两份条件路径律相同，故同一参考条件恢复核恢复这两个指定分布。标量读出 $w\mapsto\sigma_n(w)$ 的似然比同样在每条纤维上恒定，故由定理 73.3 也保留全部正反 KL。这里的充分性只针对正反二分实验，不表示计数确定原来的完整路径，也不表示它是最小或低成本读出。 此外，对任意 $g:S\to\mathbb R$， $$ \sum_{i,j}Q_{ij}(g(i)-g(j))=0. \tag{93.11} $$ 若 $e>0$，则 $A$ 不可能在所有正边上等于某个端点势差 $g(i)-g(j)$；这些 $P_n$ 也不可能全部具有命题 93.2 那种势振幅一致有界的端点表示。 **证明。** 逐次对末坐标求和并用行归一化，得到每个 $P_n$ 是概率。严格正的 $\pi$ 与式 (93.4) 保证其正支撑非空、反演不变。$Q$ 的两个边缘分别为 $$ \sum_jQ_{ij}=\pi_i,\qquad \sum_iQ_{ij}=\pi_j, $$ 故 $Q,Q^{\mathsf T}$ 均归一化并有相同正支撑。 反向核及其随机性直接采用 [命题 74.4](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/b662280db14e39b5023864c27c2e6ea733b52c58/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md) 的构造：该接口的细、粗集合都取 $S$，读出取恒等，参考取 $\pi$，列质量算子取 $T=K^{\mathsf T}$，所以 $T\pi=\pi$；此时 $C=B=E=I$，原接口的细、粗行核均为 $K$，其反向核正是这里的 $K^{\leftarrow}$。这一用法不附加非平凡粗化或可合并性条件。代入核的公式，有 $$ \pi_{x_0}\prod_{t=0}^{n-1} \frac{\pi_{x_{t+1}}K_{x_{t+1}x_t}}{\pi_{x_t}} =\pi_{x_n}\prod_{t=0}^{n-1}K_{x_{t+1}x_t} =P_n(\Theta_nw), $$ 证明式 (93.5)。这里保持坐标顺序；若同时反转核与路径坐标，会再反转一次，得到原路径律。 取正似然比给出式 (93.6) 的第一行。将每条边的 $\pi$ 比值一起写入，利用 $$ \sum_{t=0}^{n-1}\log\frac{\pi_{x_t}}{\pi_{x_{t+1}}} =\log\frac{\pi_{x_0}}{\pi_{x_n}}, $$ 便得到 $Q/Q^{\mathsf T}$ 的边分解。它包含端点项。$A_{ji}=-A_{ij}$ 且 $A_{ii}=0$，所以按有向转移计数分组、再将两个方向配对，得到净计数表达。这个离散平稳路径似然比及端点项的标准出处为 Lebowitz–Spohn，[*A Gallavotti–Cohen Type Symmetry in the Large Deviation Functional for Stochastic Dynamics*](https://arxiv.org/pdf/cond-mat/9811220v1)，§2.2，式 (2.18)–(2.20)，印刷第 6 页／PDF 第 7 页。 从初始律 $\pi$ 出发，用 $\pi K=\pi$ 归纳得到 $X_t$ 的律恒为 $\pi$，而相邻对满足 $$ \Pr_{P_n}(X_t=i,X_{t+1}=j)=\pi_iK_{ij}=Q_{ij}. $$ 故 $\mathbb E_{P_n}N_{ij}=nQ_{ij}$。对式 (93.6) 求期望，有限和的线性性给出 $$ D(P_n\Vert P_n^R) =n\sum_{i,j:Q_{ij}>0}Q_{ij}\log\frac{Q_{ij}}{Q_{ji}} =nD(Q\Vert Q^{\mathsf T}). $$ 此处只用了相邻对的共同边缘，没有假设连续边独立。将相反方向的两项合并，得到式 (93.7) 的无序对表达，无额外二倍因子。平稳边测度 $Q=\operatorname{diag}(\pi)K$ 与相应散度率的标准接口见 Wolfer–Watanabe，[*Geometric Aspects of Data-Processing of Markov Chains*](https://arxiv.org/pdf/2203.04575v3)，§§3.1–3.2，第 9–10 页、式 (8)。该式取正向核 $K$ 与参考核 $K^{\leftarrow}$ 时，$K_{ij}/K^{\leftarrow}_{ij}=Q_{ij}/Q_{ji}$，其路径词长 $k$ 对应这里的 $n+1$。这里的有限计算仅使用已给定的正平稳律与双向支撑，不从该文的几何背景额外引入不可约性或平稳律唯一性。 对 $Q,Q^{\mathsf T}$ 应用 Gibbs 非负性与 [`kl_divergence_eq_zero_iff`](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/b662280db14e39b5023864c27c2e6ea733b52c58/D5/S3/Divergence/GibbsEquality.lean)。两者为有限归一化非负律，共同支撑给出绝对连续性，故散度为零恰好是两律相同，得到式 (93.8)。正边外两边同时为零，因此该等式覆盖全部状态对。详细平衡沿用命题 74.5 的同一参考约定。$n\ge1$ 的零条件及两种归一化立即由式 (93.7) 得到；$n=0$ 时反演为恒等。 式 (93.6) 使 $P_n/P_n^R$ 在 $J$ 的每条纤维上恒定。再直接应用定理 73.3，载体、输入、参考、实际像的代入与命题 93.2 相同，得到式 (93.9) 的 KL 等式和共同条件恢复。反演使每次 $i\to j$ 成为 $j\to i$，故 $J\Theta_n=-J$，其实际像也在取负下不变。对单时刻读出，有 $r_t\Theta_n=r_{n-t}$，而这两个坐标在 $P_n$ 下的律都为 $\pi$，所以式 (93.10) 成立。联合观察全部坐标则给出路径本身，其散度仍为 $ne$。 最后，$Q$ 的两个边缘相同，故 $$ \sum_{i,j}Q_{ij}(g(i)-g(j)) =\sum_i\pi_i g(i)-\sum_j\pi_j g(j)=0. $$ 若 $A_{ij}=g(i)-g(j)$ 在正边上成立，则 $e=\sum_{i,j}Q_{ij}A_{ij}=0$，与 $e>0$ 矛盾。若全部 $P_n$ 具有反演对称基准与势振幅统一不超过 $C$ 的端点表示，命题 93.2 则给出 $ne\le C$ 对全部 $n$ 成立，同样矛盾。以上结论是指定有限路径正反实验的统计方向性；物理熵产生还需要额外的动力学、热浴及物理反向实验假设。证毕。 **推论 93.4（三状态环的持续方向性）。** 取 $S=\mathbb Z/3\mathbb Z$，令 $$ K(i,i+1)=p,\qquad K(i,i-1)=q,\qquad K(i,i)=1-p-q, \qquad p,q>0,\quad p+q\le1, $$ 初始律为均匀律 $\pi_i=1/3$。以 $i\to i+1$ 为顺时针方向，定义 $$ C_n(w)=\sum_{i\in S}N_{i,i+1}(w)-\sum_{i\in S}N_{i,i-1}(w). $$ 则 $$ \sigma_n(w)=C_n(w)\log\frac pq,\qquad \mathbb E_{P_n}C_n=n(p-q),\qquad D(P_n\Vert P_n^R)=n(p-q)\log\frac pq. \tag{93.12} $$ $C_n$ 保留全部正反 KL，而每个单时刻状态读出在两种实验下均为均匀律，KL 为零。式 (93.12) 中的 KL 严格为正当且仅当 $n>0$ 且 $p\ne q$；$p=q$ 时路径律反演不变，$n=0$ 时散度恒为零。 **证明。** 各列之和与各行之和均为 $p+q+(1-p-q)=1$，故均匀律平稳，正的非自环边双向存在。当 $p+q=1$ 时，将自环从正路径支撑中排除即可，所有计算都无需取 $\log(0/0)$。在正边上，均匀的 $\pi$ 因子抵消，顺时针边的 $A$ 为 $\log(p/q)$，逆时针边为其负，自环若存在则分数为一、对数为零。定理 93.3 的似然比公式给出式 (93.12) 的第一式；每个时刻顺、逆转移的概率分别为 $p,q$，故有限期望相加给出第二式，再对似然比求期望得到第三式。 似然比只依赖 $C_n$，定理 73.3 在其实际像上的等号条件给出计数 KL 保留；单时刻结论由定理 93.3 给出。若 $p\ne q$，$p-q$ 与 $\log(p/q)$ 同号，乘积严格为正；若 $p=q$，则详细平衡成立。$n=0$ 的计数为空和、反演为恒等，完成全部边界情形。证毕。 ## 93.99 追加锚 ## 94. Monna 观察下的补码、半值纤维与等变截面障碍 **定义 94.1（数字空间、双译码与 Monna 观察）。** 设整数 $b\ge2$，取 $$ \Sigma_b=\{0,1,\ldots,b-1\}^{\mathbb N_0}, \qquad (C_ba)_n=b-1-a_n. $$ 赋予 $\Sigma_b$ 离散字母表的乘积拓扑，并用首差距离表示： $$ d_b(a,c)= \begin{cases} 0,&a=c,\\ b^{-k},&k=\min\{n\ge0:a_n\ne c_n\}. \end{cases} $$ 实译码为 $$ D_{\infty,b}(a)=\sum_{n\ge0}a_n b^{-(n+1)}\in[0,1]. $$ 这里的级数按通常实绝对值收敛，端点 $1$ 由全为 $b-1$ 的数字串表示；数字展开的值域、连续性与前缀估计采用通常的位置展开结论。[^rro94-real-digits] 当底数为素数 $p$ 时，在标准归一化 $|p|_p=p^{-1}$ 下，另取通常的 $p$-进数字识别 $$ D_p:\Sigma_p\longrightarrow\mathbb Z_p, \qquad D_p(a)=\sum_{n\ge0}a_np^n. $$ 这一次级数在 $p$-进范数下收敛。$D_p$ 是等距双射；下述证明从有限剩余类回顾所需的识别。[^rro94-padic-digits] 定义 $$ M_p=D_{\infty,p}\circ D_p^{-1}:\mathbb Z_p\longrightarrow[0,1], \qquad J_p(z)=-1-z, \qquad J_\infty(t)=1-t. $$ $M_p$ 是经典 Monna 映射在 $\mathbb Z_p$ 上的限制，其数字公式及连续性估计见 Kozyrev 的式 (12) 与引理 3。[^rro94-monna] 对任意自映射 $F$，以下记 $\operatorname{Fix}(F)=\{x:F(x)=x\}$。 [^rro94-real-digits]: 数字级数的上下界、包含端点的满射性、前缀分解与连续性，可参见 [Mathlib，实数位置展开](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Analysis/Real/OfDigits.lean)。其第 $n$ 位权重正是 $b^{-(n+1)}$；$[0,1)$ 的通常展开与全为 $b-1$ 的展开共同给出 $[0,1]$。 [^rro94-padic-digits]: 所用完备性、素数幂理想与范数的关系见 [Mathlib，$p$-进整数](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean)；相容约化、有限剩余类代表及剩余类分离见 [Mathlib，$p$-进整数的剩余类映射](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean)。这里仅用整数部分和的完备性、有限余数类代表与相容约化说明数字展开，不需把数字空间赋予环同态结构。 [^rro94-monna]: S. V. Kozyrev，[*Wavelet analysis as a p-adic spectral analysis*，arXiv:math-ph/0012019v3](https://arxiv.org/pdf/math-ph/0012019v3)，式 (12) 将 $\sum_{i\ge\gamma}a_ip^i$ 送到 $\sum_{i\ge\gamma}a_ip^{-i-1}$，引理 3 给出实距离不超过原 $p$-进距离的估计。这里仅使用其在 $\mathbb Z_p$ 上的限制及该估计。 **定理 94.2（补码半共轭与完整半值纤维）。** 对定义 94.1 的每个整数底数 $b\ge2$，$D_{\infty,b}$ 是连续满射，且 $$ C_b^2=\mathrm{id}, \qquad D_{\infty,b}\circ C_b=J_\infty\circ D_{\infty,b}, \qquad \operatorname{Fix}(J_\infty)=\{1/2\}. \tag{94.2a} $$ 数字空间中的不动点与实译码的完整半值纤维分别为 $$ \operatorname{Fix}(C_b)= \begin{cases} \varnothing,&b=2m,\\ \{(m,m,m,\ldots)\},&b=2m+1, \end{cases} $$ $$ D_{\infty,b}^{-1}(\{1/2\})= \begin{cases} \{(m,0,0,\ldots),(m-1,b-1,b-1,\ldots)\},&b=2m,\\ \{(m,m,m,\ldots)\},&b=2m+1. \end{cases} \tag{94.2b} $$ 偶底的两个半值码由 $C_b$ 交换；奇底的唯一半值码由 $C_b$ 固定。 对每个素数 $p$，$D_p$ 是从 $(\Sigma_p,d_p)$ 到 $\mathbb Z_p$ 的等距双射，并满足 $$ D_p\circ C_p=J_p\circ D_p, \qquad M_p\circ J_p=J_\infty\circ M_p. \tag{94.2c} $$ $M_p$ 是连续满射，且 $$ |M_p(z)-M_p(w)|\le |z-w|_p \qquad(z,w\in\mathbb Z_p). \tag{94.2d} $$ 在素数底的状态空间中， $$ M_2^{-1}(\{1/2\})=\{1,-2\}, \qquad \operatorname{Fix}(J_2)=\varnothing; $$ $$ M_p^{-1}(\{1/2\})=\{-1/2\} =\operatorname{Fix}(J_p) \qquad(p\text{ 为奇素数}). \tag{94.2e} $$ 因此，二进制情形的固定实读数来自一个被观察合并的二周期；奇素数情形的同一实读数则来自唯一的固定状态。这使用半共轭下固定读数与轨道合并的既有关系。[^rro94-fixed-fiber] **证明。** 逐位计算 $b-1-(b-1-a_n)=a_n$，得 $C_b^2=\mathrm{id}$。若 $C_ba=a$，则每一位满足 $2a_n=b-1$。当 $b$ 偶时无整数解；当 $b=2m+1$ 时唯一解为每一位 $a_n=m$，这也直接满足不动条件。 实译码级数绝对收敛，并且 $$ 0\le D_{\infty,b}(a) \le\sum_{n\ge0}(b-1)b^{-(n+1)}=1. $$ 通常的 $b$ 进位实展开给出 $[0,1)$ 的每个值，全为 $b-1$ 的串再给出端点 $1$，故它满射。若 $a,c$ 前 $N$ 位相同，则 $$ \begin{aligned} |D_{\infty,b}(a)-D_{\infty,b}(c)| &\le\sum_{n\ge N}|a_n-c_n|b^{-(n+1)}\\ &\le\sum_{n\ge N}(b-1)b^{-(n+1)} =b^{-N}. \end{aligned} \tag{94.2f} $$ 这就是所引用的位置展开前缀估计，也给出乘积拓扑下的连续性。几何权重之和为 $1$，所以绝对收敛允许逐项相减： $$ D_{\infty,b}(C_ba) =\sum_{n\ge0}(b-1-a_n)b^{-(n+1)} =1-D_{\infty,b}(a). $$ 而 $1-t=t$ 在 $[0,1]$ 中恰有解 $t=1/2$，证明式 (94.2a)。 为求出全部半值码，记尾移 $(\sigma a)_n=a_{n+1}$。在首位处拆分级数，得到 $$ bD_{\infty,b}(a) =a_0+D_{\infty,b}(\sigma a). \tag{94.2g} $$ 又有 $$ D_{\infty,b}(c)=0 \iff c=(0,0,\ldots), \qquad D_{\infty,b}(c)=1 \iff c=(b-1,b-1,\ldots). \tag{94.2h} $$ 第一式因为级数每一项非负，任何非零数字都会贡献正值；第二式由 $$ 1-D_{\infty,b}(c) =\sum_{n\ge0}(b-1-c_n)b^{-(n+1)} $$ 的非负性同样得到。两式反向分别代入零串与几何级数即可。 设 $b=2m$ 且 $D_{\infty,b}(a)=1/2$。由式 (94.2g)， $$ m=a_0+D_{\infty,b}(\sigma a), \qquad 0\le D_{\infty,b}(\sigma a)\le1. $$ 整数 $a_0$ 因此只能为 $m$ 或 $m-1$。前者迫使尾值为 $0$，后者迫使尾值为 $1$；式 (94.2h) 分别迫使全部尾数字为 $0$ 或 $b-1$。这排除了另外的半值码。反向代入式 (94.2g) 即知所列两码都译为 $1/2$，逐位取补又确实交换它们。 设 $b=2m+1$ 且 $D_{\infty,b}(a)=1/2$，则 $$ m+\frac12=a_0+D_{\infty,b}(\sigma a). $$ 尾值在 $[0,1]$ 中，故整数 $a_0$ 必为 $m$，随后尾值仍为 $1/2$。把同一论证应用于每个尾串，归纳得到 $a_n=m$ 对所有 $n$ 成立。反向有 $$ \sum_{n\ge0}m b^{-(n+1)} =\frac{m}{b-1}=\frac12, $$ 且此串逐位固定。这完成式 (94.2b) 的两个方向。 现固定素数 $p$，置整数部分和 $$ S_N(a)=\sum_{0\le n1. $$ 而 $\mathbb Z_2$ 恰为 $\mathbb Q_2$ 中范数不超过 $1$ 的元素，故该解在 $\mathbb Z_2$ 之外。这里延拓的是仿射变换 $J_2$；原 $M_2$ 的定义域仍为 $\mathbb Z_2$，不因这个求解自动改变，也不据此排除其他另行定义的观察延拓。 $J_2$ 与 $M_2$ 连续，故其 Borel 推前有定义。由 $$ J_2(1)=-2,\qquad J_2(-2)=1, \qquad M_2(1)=M_2(-2)=1/2, $$ 对任意 Borel 集 $A\subseteq\mathbb Z_2$，有 $$ ((J_2)_*\nu)(A) =\frac12\mathbf1_A(-2)+\frac12\mathbf1_A(1) =\nu(A). $$ 对任意 Borel 集 $B\subseteq[0,1]$，有 $$ ((M_2)_*\nu)(B) =\frac12\mathbf1_B(1/2)+\frac12\mathbf1_B(1/2) =\delta_{1/2}(B). $$ 两份实质量之和为 $1$，给出所需概率。其权重 $1/2$ 位于实值概率的数值空间，既不要求状态环 $\mathbb Z_2$ 含有元素 $1/2$，也不产生第三个支撑状态。证毕。 [^rro94-fixed-transport]: 不动点沿半共轭映射到不动点，参见项目 [不动点半共轭桥梁](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/38fe6e8aa82049fd2a568fa0bcd1a1586f1ce61c/D5/S3/Observer/Bridges/FixedPointSemiconjugacy.lean)。此处源变换为 $J_\infty$，目标变换为 $J_2$，假定的桥梁为 $s$；仅由源不动点与目标无不动点就已得到矛盾。 ## 94.99 追加锚 ## 95. 倒置素数与有限剩余类逆极限的比较 **定义 95.1（剩余类塔与单元素局部化）。** 在允许零环的含幺交换环范畴中工作，所有环同态均保持单位；以 $0$ 表示满足 $1=0$ 的零环。固定素数 $p\ge2$。对 $n\ge1$，令 $$ R_n=\mathbb Z/p^n\mathbb Z,\qquad \rho_{n+1,n}:R_{n+1}\longrightarrow R_n,\quad [a]_{p^{n+1}}\longmapsto[a]_{p^n}, $$ 并记 $p_n=[p]_{p^n}$。令 $$ R=\left\{(a_n)_{n\ge1}\in\prod_{n\ge1}R_n: \rho_{n+1,n}(a_{n+1})=a_n\text{ 对所有 }n\ge1\right\}, $$ 取逐坐标环运算，记投影为 $\pi_n:R\to R_n$，并记相容元素 $$ p_R=(p_n)_{n\ge1}. $$ 对任意含幺交换环 $A$，令 $p_A=p\cdot1_A$，并置 $$ L_p(A)=A[1/p]=S_A^{-1}A,\qquad S_A=\{p_A^k:k\ge0\}. $$ 这里允许乘法集 $S_A$ 含有零。$L_p(A)$ 是倒置元素 $p_A$ 的局部化，与取某个素理想的补集作为分母集不同；这里不假定 $(p_A)$ 是 $A$ 的素理想。记其规范态射为 $\lambda_A:A\to L_p(A)$；分数 $a/p_A^k$ 表示 $\lambda_A(a)\lambda_A(p_A)^{-k}$，始终在局部化环中解释。局部化的存在与唯一延拓性质采用 [Stacks Project，Proposition 10.9.3，00CP](https://stacks.math.columbia.edu/tag/00CP)；倒置单元素的约定见 [Example 10.9.8，02C5](https://stacks.math.columbia.edu/tag/02C5)，对应既有 [`IsLocalization.Away`、`IsLocalization.Away.lift`](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/RingTheory/Localization/Away/Basic.lean)。 **定理 95.2（局部化与此剩余类塔的逆极限不交换）。** 定义 95.1 的各 $R_n$ 均有限，各约化态射均满射。存在由投影与局部化诱导的规范含幺环同态 $$ \Theta:L_p(R)\longrightarrow\varprojlim_{n\ge1}L_p(R_n). $$ 在规范环同构 $$ R\cong\mathbb Z_p,\qquad L_p(R)\cong\mathbb Z_p[1/p]\cong\mathbb Q_p, \qquad \varprojlim_{n\ge1}L_p(R_n)\cong0 $$ 下，$\Theta$ 就是唯一的含幺环同态 $\mathbb Q_p\to0$。因此 $\Theta$ 满射，核为整个源环，但不单射，也不是环同构。与此同时， $$ p_n^n=0\quad(n\ge1),\qquad p_R^m\ne0\quad(m\ge0). $$ 也就是说，各有限层中的 $p_n$ 都幂零，而极限中的 $p_R$ 没有任何零幂。 **证明。** 自然约化保持 $0,1$、加法、乘法与负元，所以相容条件在这些逐坐标运算下封闭，$R$ 是乘积环的含幺子环，各 $\pi_n$ 是含幺环同态。$R_n$ 恰有 $p^n$ 个元素；给定 $[a]_{p^n}$，同一整数的类 $[a]_{p^{n+1}}$ 是其原像，故约化满射。相邻约化的复合给出任意 $1\le m\le n$ 的约化 $\rho_{n,m}$，并有 $$ \rho_{n,m}\circ\pi_n=\pi_m, \qquad \rho_{n,m}(p_n)=p_m. $$ 先将 $R$ 识别为通常的 $p$-进整数环。沿用 [定理 45.8](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/d9f4d156fa1046453fdc253cd55c8b4b6a4be012/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md) 的素幂剩余类模型，记标准约化为 $$ r_n:\mathbb Z_p\longrightarrow R_n. $$ 这些约化相容，因而给出含幺环同态 $$ \iota:\mathbb Z_p\longrightarrow R,\qquad \iota(z)=(r_n(z))_{n\ge1}. $$ 现有的环同态提升性质见 [`PadicInt.toZModPow`、`PadicInt.lift`、`PadicInt.lift_spec`、`PadicInt.lift_unique`](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean)。其指标包含 $n=0$；为应用它，补入单元素环 $R_0=\mathbb Z/1\mathbb Z$ 及唯一投影 $\pi_0$。新增坐标唯一，不改变 $R$。相邻相容性已经通过复合给出全部 $m\le n$ 的相容性；涉及 $m=0$ 的等式因目标单元素而成立。因此该提升性质直接给出含幺环同态 $$ \psi:R\longrightarrow\mathbb Z_p, \qquad r_n\circ\psi=\pi_n\quad(n\ge0). $$ 对 $n\ge1$， $$ \pi_n\circ\iota\circ\psi=r_n\circ\psi=\pi_n, $$ 逐坐标相等给出 $\iota\psi=\operatorname{id}_R$。另一方面，$\psi\iota$ 与 $\operatorname{id}_{\mathbb Z_p}$ 经每个 $r_n$ 后都等于 $r_n$；由同一提升的唯一性， $$ \psi\iota=\operatorname{id}_{\mathbb Z_p}. $$ 故 $\iota$ 是环同构，并且 $\iota(p)=p_R$。 每层都有 $p_n^n=[p^n]_{p^n}=0$。然而固定任意 $m\ge0$，在第 $m+1$ 个坐标， $$ \pi_{m+1}(p_R^m)=[p^m]_{p^{m+1}}\ne0, $$ 因为 $0n\Longrightarrow W_{k,n}=\Sigma_n. \tag{96.1} $$ 并集 $U$ 是非空、稠密的真 Borel 子集，满足 $$ \pi_n(U)=\Sigma_n\quad(n\in\mathbb N_0),\qquad U\subsetneq\overline U=\Sigma, \tag{96.2} $$ 以及 $$ \mu(K_k)=0\quad(k\ge2),\qquad \mu(U)=0,\qquad \mu(\overline U)=1. \tag{96.3} $$ 通过相容前缀与无限串的自然识别，规范比较映射 $$ \bigcup_{k\ge2}\varprojlim_{n\ge0}W_{k,n} \longrightarrow \varprojlim_{n\ge0}\left(\bigcup_{k\ge2}W_{k,n}\right) \tag{96.4} $$ 就是 $U\hookrightarrow\Sigma$，因而单射而不满射。其量词形式为 $$ \begin{aligned} U &=\left\{x\in\Sigma: \exists k\ge2,\ \forall n\in\mathbb N_0,\ \pi_n(x)\in W_{k,n}\right\}\\ &\subsetneq \left\{x\in\Sigma: \forall n\in\mathbb N_0,\ \exists k\ge2,\ \pi_n(x)\in W_{k,n}\right\} =\Sigma. \end{aligned} \tag{96.5} $$ **证明。** 固定 $k\ge2$。对每个起点 $j\in\mathbb N_0$，令 $$ C_{j,k}=\{x\in\Sigma:x_{j+i}=1\text{ 对所有 }i\in I_k\}. $$ 这是只限制有限坐标的开闭柱集，且 $$ \Sigma\setminus K_k=\bigcup_{j\in\mathbb N_0}C_{j,k}. $$ 因此 $K_k$ 闭。任何 $1^{k+1}$ 都含有 $1^k$，所以 $K_k\subseteq K_{k+1}$，有限词也满足 $W_{k,n}\subseteq W_{k+1,n}$。截断不会新增禁块，因此 $t_{n,m}(W_{k,n})\subseteq W_{k,m}$；所有这些映射都只是坐标限制，故包含与截断相容。无限串 $$ 1^k0^\infty $$ 属于 $K_{k+1}$ 而不属于 $K_k$，从而无限串空间的包含严格。 若 $x\in K_k$，其每个前缀都不含 $1^k$，故 $\pi_n(K_k)\subseteq W_{k,n}$。反过来，给定 $w\in W_{k,n}$，令 $x=w0^\infty$。完全位于前缀内的长度 $k$ 块不是 $1^k$；任何进入零尾部的长度 $k$ 块都含有零。因此 $x\in K_k$，且 $\pi_n(x)=w$，得到 $$ \pi_n(K_k)=W_{k,n}. $$ 这也覆盖 $n=0$：空词延伸为 $0^\infty\in K_k$。若 $k>n$，没有 $j\in\mathbb N_0$ 满足 $j+k\le n$，所以 $W_{k,n}=\Sigma_n$。对任意固定 $n$，取 $$ k=\max\{2,n+1\} $$ 便得到 $\pi_n(U)=\Sigma_n$，证明式 (96.1) 与式 (96.2) 的有限层结论。全零串属于 $K_2$，故 $U$ 非空。 现说明相容前缀的识别。若 $(w_n)_{n\ge0}$ 满足 $w_n\in\Sigma_n$ 及 $$ t_{n+1,n}(w_{n+1})=w_n\quad(n\ge0), $$ 定义 $$ x_j=(w_{j+1})_j\quad(j\in\mathbb N_0). $$ 反复截断给出 $t_{n,m}(w_n)=w_m$ 对所有 $m\le n$ 成立，所以当 $j1,\qquad K=\mathbb Q(\phi)\subset\mathbb R, $$ 并固定这个正实嵌入。固定 $q\in\mathbb Q$，对整数 $N\ge1$，在 $K$ 中定义 $$ e_N=\frac12\phi^{-3N},\qquad S_N=\sum_{j=0}^{N-1}\phi^{-2-3j},\qquad T_N=q-e_N. \tag{97.1a} $$ 黄金比的根关系与共轭恒等式采用 [golden_ratio_spec](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/5446b911a2f4f072834af6c23681dc31218a07b7/D5/S0/Carrier/GoldenRatio.lean) 及 [Real.goldenRatio_sq、Real.one_lt_goldenRatio、Real.inv_goldenRatio](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/NumberTheory/Real/GoldenRatio.lean)。 对每个素数 $p$，以 $\eta_p:\mathbb Q\hookrightarrow\mathbb Q_p$ 表示标准有理嵌入。讨论局部像时，固定有限扩张 $F/\mathbb Q_p$ 的结构嵌入 $$ \iota_F:\mathbb Q_p\hookrightarrow F, \qquad j_F=\iota_F\circ\eta_p:\mathbb Q\hookrightarrow F, $$ 固定根 $\varphi\in F$ 满足 $\varphi^2-\varphi-1=0$，并固定正定、实值、乘法性的非阿基米德绝对值 $|\cdot|_F$，要求 $$ |\iota_F(x)|_F=|x|_p\quad(x\in\mathbb Q_p), \qquad |\eta_p(p)|_p=p^{-1}. \tag{97.1b} $$ 这里正定指 $|x|_F=0$ 当且仅当 $x=0$；非阿基米德条件为 $|x+y|_F\le\max(|x|_F,|y|_F)$。赋予 $F$ 度量 $$ d_F(x,y)=|x-y|_F. $$ 由根 $\varphi$ 决定的有理域嵌入记为 $$ \kappa_\varphi:K\hookrightarrow F,\qquad \kappa_\varphi(a+b\phi)=j_F(a)+j_F(b)\varphi \quad(a,b\in\mathbb Q); \tag{97.1c} $$ 其存在性、唯一性及单射性在应用 97.2 的证明中说明。记 $$ q_F=j_F(q),\qquad S_N^{F,\varphi}=\kappa_\varphi(S_N),\qquad T_N^{F,\varphi}=\kappa_\varphi(T_N) =q_F-j_F(1/2)\varphi^{-3N}. $$ 所有局部极限都在所写度量 $d_F$ 中讨论；$q,p,F,\iota_F,\varphi,|\cdot|_F$ 及由此确定的嵌入在 $N$ 变化时保持固定。根不要求落在 $\mathbb Q_p$ 本身，也不假设扩张非分歧。这里比较的是 $K$ 中同一元素的不同嵌入，没有定义 $\mathbb R\to F$ 的映射。 另对素数 $p$ 和整数 $n\ge1$ 定义 $$ \epsilon_{p,n}=\frac{p^n}{1+p^{2n}}\in\mathbb Q. \tag{97.1d} $$ 对有理数 $x$，记 $|x|_\infty$ 为其通常实绝对值，$|x|_p=|\eta_p(x)|_p$；后者是有理 $p$-进范数在实数中的值。标准嵌入的范数相容性见 [padicNormE.eq_padic_norm'、Padic.eq_padicNorm、Padic.norm_p、Padic.norm_p_pow](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean)。讨论 $\epsilon_{p,n}$ 的极限时始终固定 $p$。 **应用 97.2（黄金误差的实收敛、局部非柯西性与两个位的同时趋零）。** 在定义与假设 97.1 下，对每个 $N\ge1$， $$ S_N=\frac12(1-\phi^{-3N}),\qquad S_N\notin\mathbb Q,\qquad T_N\notin\mathbb Q. \tag{97.2a} $$ 特别地，$q=1/2$ 时 $S_N=T_N$。在固定的正实嵌入下， $$ S_N\longrightarrow\frac12,\qquad T_N\longrightarrow q,\qquad \left|S_N-\frac12\right|_\infty =|T_N-q|_\infty=e_N=\frac12\phi^{-3N}. \tag{97.2b} $$ 对每个允许的 $p,F,\varphi,|\cdot|_F$， $$ |\varphi|_F=1,\qquad |T_N^{F,\varphi}-q_F|_F =\left|\frac12\right|_p = \begin{cases} 1,&p\ne2,\\ 2,&p=2, \end{cases} \tag{97.2c} $$ 且 $$ |T_{N+1}^{F,\varphi}-T_N^{F,\varphi}|_F=1. \tag{97.2d} $$ 因此 $(T_N^{F,\varphi})$ 不是柯西列，在 $F$ 中没有极限；取 $q=1/2$，$(S_N^{F,\varphi})$ 具有相同结论。对应级数的每项 $\varphi^{-2-3j}$ 的绝对值均为一，因而通项不趋零。 另一方面，对每个固定素数 $p$，当 $n\to\infty$ 时， $$ 0<|\epsilon_{p,n}|_\infty =\frac{p^n}{1+p^{2n}} 1$ 给出 $$ 0<|\phi^{-3N}|_\infty<1,\qquad |\psi^{-3N}|_\infty=\phi^{3N}>1, $$ 矛盾。因此 $\phi^{-3N}$ 无理。$S_N$ 或 $T_N$ 若为有理数，由显示公式都能反解出有理的 $\phi^{-3N}$，再次矛盾，证明 (97.2a)。 又 $0<\phi^{-3}<1$，所以 $$ \phi^{-3N}=(\phi^{-3})^N\longrightarrow0. $$ 代入两条有限公式即得 (97.2b) 和共同误差。这里应用的是 [tendsto_pow_atTop_nhds_zero_of_lt_one](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean) 的实数情形。 固定任意允许的局部数据。根关系给出 $\varphi\ne0$ 以及 $$ \varphi(\varphi-1)=1,\qquad \varphi^{-1}=\varphi-1. $$ 整数载体上同一逆元已有 [phiUnit、phi_isUnit](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/5446b911a2f4f072834af6c23681dc31218a07b7/D5/S0/Carrier/Units.lean)； 这里的局部绝对值结论还须使用所假设的乘法性与 [非阿基米德不等式](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Algebra/Order/Ring/IsNonarchimedean.lean)。 令 $r=|\varphi|_F>0$。若 $r>1$，则 $$ r^2=|\varphi+1|_F\le\max(r,1)=r, $$ 与 $r>1$ 矛盾。故 $r\le1$，并且 $$ |\varphi^{-1}|_F=|\varphi-1|_F \le\max(r,1)\le1. $$ 乘法性使 $r|\varphi^{-1}|_F=1$，所以 $r\ge1$，合得 $r=1$。 由于绝对值在整个基域上满足 (97.1b)， $$ |T_N^{F,\varphi}-q_F|_F =|j_F(1/2)|_F\,|\varphi|_F^{-3N} =\left|\frac12\right|_p. $$ $p\ne2$ 时 $p\nmid2$，故 $|2|_p=1$；$p=2$ 时 $|2|_2=1/2$。除法的范数公式给出 (97.2c)。所用标准值与整除判据为 [padicNorm.padicNorm_p_of_prime、padicNorm.nat_eq_one_iff、padicNorm.mul、padicNorm.div](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean)。 该证明没有要求根在基域内，也没有使用非分歧条件，因而包含 $p=5$。 把有限恒等式 $1-\phi^{-3}=2\phi^{-2}$ 沿 $\kappa_\varphi$ 运输，得到 $$ \begin{aligned} T_{N+1}^{F,\varphi}-T_N^{F,\varphi} &=j_F(1/2)\varphi^{-3N}(1-\varphi^{-3})\\ &=\varphi^{-3N-2}. \end{aligned} $$ 其绝对值为一，证明 (97.2d)，包括 $p=2$。取柯西条件中的半径 $1/2$：对任意下标界，总可取晚于该界的相邻两项，它们的距离为一，故柯西条件失败。度量空间中的收敛序列必为柯西列，因此在 $F$ 中没有极限；此推论无需另用完备性。取 $q=1/2$ 即给出 $S_N^{F,\varphi}$ 的全部对应结论。并且 $$ |\varphi^{-2-3j}|_F=1\qquad(j\ge0), $$ 所以相关无穷级数的通项不趋零。有限求和恒等式没有赋予它在全部位上的收敛性。 最后固定素数 $p$，记 $m_n=1+p^{2n}$。由于 $m_n>p^{2n}>0$， $$ 0<\epsilon_{p,n}=\frac{p^n}{m_n}0$。所有因子均为正，分离其中的 $p$ 因子，得到 $$ \begin{aligned} \prod_{\substack{\ell\ {\rm prime}\\\ell\ne p}} |\epsilon_{p,n}|_\ell &=\bigl(|\epsilon_{p,n}|_\infty |\epsilon_{p,n}|_p\bigr)^{-1}\\ &=\left(\frac{p^n}{m_n}\,p^{-n}\right)^{-1} =m_n=1+p^{2n}. \end{aligned} $$ 若 $\ell\ne p$ 且 $\ell\nmid m_n$，则 $\ell$ 同时不整除分子和分母，其范数因子为一；非一因子只能来自 $m_n$ 的素因子。这个有限集合可随 $n$ 变化，因此所得补偿不推出某个固定其他素位的增长，更不推出任意两个位的反向单调律。这证明 (97.2f)。证毕。 ## 97.99 追加锚 ## 98. 平稳二元观察的短词反序盲区与六环边界 **定义 98.1（平稳二元块概率与反序）。** 令字母表为 $\mathcal A=\{0,1\}$。对 $m=1,2,3,4$，给定有限集合 $\mathcal A^m$ 上的概率律 $L_m$；对词 $w\in\mathcal A^m$，简记 $L_w=L_m(w)$。另记空词为 $\varepsilon$，置 $L_\varepsilon=1$。假设对每个长度 $0\le |w|<4$ 的词都有左右边缘一致性 $$ L_w=\sum_{a\in\mathcal A}L_{aw} =\sum_{a\in\mathcal A}L_{wa}. \tag{98.1} $$ 任意平稳二元过程的连续块概率都满足这些等式；以下只使用这组有限概率及其边缘关系，允许某些词的概率为零，不要求 Markov 性或遍历性。 若 $w=a_1\cdots a_m$，记其反序为 $w^R=a_m\cdots a_1$，并定义 $$ L_m^R(w)=L_m(w^R). $$ 称 $L_m$ 反序对称，是指 $L_m=L_m^R$。这里 $m$ 计输出字母数；当词来自一条状态路径时，相应转移数为 $n=m-1$。式 (98.1) 是概率律的精确等式，不把任意有限样本的经验词频视为自动满足它。 **定理 98.2（三字以内的反序对称与四字判据）。** 在定义 98.1 下， $$ L_m=L_m^R\qquad(m=1,2,3). \tag{98.2a} $$ 这是平稳二元词的短词反序障碍。[^rro98-binary] 对四字词，令 $$ J=L_{0010}-L_{0100}. $$ 则 $$ \begin{aligned} J &=L_{0101}-L_{1010}\\ &=L_{1011}-L_{1101}\\ &=-(L_{0011}-L_{1100}), \end{aligned} \tag{98.2b} $$ 并且 $$ L_{0001}=L_{1000},\qquad L_{0111}=L_{1110}. \tag{98.2c} $$ 因此 $$ L_4=L_4^R\quad\Longleftrightarrow\quad J=0. \tag{98.2d} $$ 这里由一个参数刻画的是反序差向量 $L_4-L_4^R$；整个四字概率律仍含其他数据，结论也没有把其 KL 数值表达成仅依赖 $J$ 的公式。 **证明。** 单字反序等于自身。将式 (98.1) 用于词 $0$，得到 $$ L_{00}+L_{01}=L_0=L_{00}+L_{10}, $$ 故 $L_{01}=L_{10}$。二字中的另外两个词 $00,11$ 自反，所以 $L_2=L_2^R$。 对词 $00$ 和 $11$，左右边缘关系分别给出 $$ L_{000}+L_{001}=L_{00}=L_{000}+L_{100}, $$ $$ L_{011}+L_{111}=L_{11}=L_{110}+L_{111}. $$ 于是 $L_{001}=L_{100}$、$L_{011}=L_{110}$。其余三字词 $000,010,101,111$ 均自反，因而 $L_3=L_3^R$，证明式 (98.2a)。 对四字词，先在三字 $000,111$ 处写出边缘关系： $$ L_{0000}+L_{0001}=L_{000}=L_{0000}+L_{1000}, $$ $$ L_{0111}+L_{1111}=L_{111}=L_{1110}+L_{1111}. $$ 消去共同项即得式 (98.2c)。再对三字 $010,101$ 使用式 (98.1)： $$ L_{0010}+L_{1010}=L_{010}=L_{0100}+L_{0101}, $$ $$ L_{0101}+L_{1101}=L_{101}=L_{1010}+L_{1011}. $$ 移项得到 $$ L_{0010}-L_{0100} =L_{0101}-L_{1010} =L_{1011}-L_{1101}. $$ 最后，已证的 $L_{001}=L_{100}$ 与相应右、左边缘展开给出 $$ L_{0010}+L_{0011} =L_{001} =L_{100} =L_{0100}+L_{1100}. $$ 故 $L_{0010}-L_{0100}=-(L_{0011}-L_{1100})$，完成式 (98.2b)。 四字的六对非自反词为 $$ (0001,1000),\ (0010,0100),\ (0011,1100), (0101,1010),\ (0111,1110),\ (1011,1101). $$ 剩下的四个词为 $0000,0110,1001,1111$，它们都自反。式 (98.2b)–(98.2c) 因此穷尽十六个词的反序差：其中两对差为零，其余四对的差分别为 $J,-J,J,J$。所以 $J=0$ 时所有反序差为零；反之，$L_4=L_4^R$ 立即给出 $J=0$。这也说明差向量落在同一条直线上。整个推导只有有限概率的加减，允许零概率项，证毕。 [^rro98-binary]: L. Arola-Fernández 与 L. Lacasa，[*Irreversibility of symbolic time series: A cautionary tale*](https://doi.org/10.1103/PhysRevE.108.014201)，Physical Review E **108**, 014201 (2023)；[arXiv:2303.11868v1](https://arxiv.org/pdf/2303.11868v1)，§III.A，PDF 第 4 页的未编号定理及第 5 页讨论，给出二元词长度小于 $4$ 时的反序障碍，并已使用短序列 $0010110010$ 说明四字可出现不对称。这里用精确平稳块概率表述该结论；式 (98.2b)–(98.2c) 的全部等式由所列有限边缘计算给出。 **定义 98.3（有噪声六环及其二元观察）。** 取 $S=\mathbb Z/6\mathbb Z$，按 $0,1,\ldots,5$ 标记状态。固定 $$ p,q>0,\qquad p+q=1, $$ 令行核 $K$ 满足 $$ K(i,i+1)=p,\qquad K(i,i-1)=q, $$ 其余项为零，状态下标按模 $6$ 计算。取初始律 $\pi_i=1/6$，并定义确定性标签 $$ \bigl(r(0),r(1),r(2),r(3),r(4),r(5)\bigr)=(0,0,1,0,1,1). $$ 对 $n\ge0$，细路径律为 $$ P_n(x_0,\ldots,x_n) =\frac16\prod_{t=0}^{n-1}K(x_t,x_{t+1}), $$ 其正支撑记为 $\Omega_n$，反序映射为 $$ \Theta_n(x_0,\ldots,x_n)=(x_n,\ldots,x_0). $$ 对 $m=n+1\ge1$，令 $L_m$ 为标签路径 $(r(x_0),\ldots,r(x_n))$ 在 $P_n$ 下的推前律，仍写 $L_w=L_m(w)$、$L_m^R(w)=L_m(w^R)$。记实际正词集 $$ W_m=\{w\in\mathcal A^m:L_w>0\}. $$ 下述证明说明 $W_m$ 在反序下不变，因而正反词律在同一有限集合 $W_m$ 上严格为正。其有限 KL 记为 $$ D_m=D(L_m\Vert L_m^R) =\sum_{w\in W_m}L_w\log\frac{L_w}{L_{w^R}}, \tag{98.3} $$ 其中对数取自然底数，不对正支撑以外的词取对数。 另定义单时刻标签律与单步标签边流 $$ \bar\pi_a=\sum_{r(i)=a}\pi_i,\qquad \bar Q_{ab}=\sum_{\substack{r(i)=a\\r(j)=b}}\pi_iK(i,j), \qquad a,b\in\{0,1\}, $$ 以及由它们确定的行核 $$ \widehat K_{ab}=\frac{\bar Q_{ab}}{\bar\pi_a}. $$ 两个标签纤维均非空，故分母为正。由初态 $\bar\pi$ 和核 $\widehat K$ 定义新的 Markov 词律 $$ \widehat L_m(a_1\cdots a_m) =\bar\pi_{a_1}\prod_{t=1}^{m-1}\widehat K_{a_ta_{t+1}}. $$ 这是由单边流构成的一步 Markov 化；是否等于实际观察词律 $L_m$ 是另一个命题。 **定理 98.4（四字显露的方向性与单边 Markov 化边界）。** 定义 98.3 中的均匀初态平稳，$K$ 对标签分区 $r$ 在全部允许的 $p,q$ 下都不强可并，包括 $p=q$。正反观察词律具有共同正支撑，且 $$ D_m=0\qquad(m=1,2,3), \tag{98.4a} $$ $$ L_{0011}=\frac{q^3}{6},\qquad L_{1100}=\frac{p^3}{6},\qquad J:=L_{0010}-L_{0100}=\frac{p^3-q^3}{6}. \tag{98.4b} $$ 因此 $$ D_4>0\quad\Longleftrightarrow\quad p\ne q. \tag{98.4c} $$ 当 $p=q$ 时，全部有限词律都反序对称： $$ L_m=L_m^R,\qquad D_m=0\qquad(m\ge1). \tag{98.4d} $$ 单边数据及其 Markov 化与参数的取值无关，具体为 $$ \bar\pi=(1/2,1/2),\qquad \bar Q= \begin{pmatrix} 1/6&1/3\\ 1/3&1/6 \end{pmatrix},\qquad \widehat K= \begin{pmatrix} 1/3&2/3\\ 2/3&1/3 \end{pmatrix}. \tag{98.4e} $$ 这个新的平稳 Markov 链的每个有限词律都反序对称，但 $\widehat K$ 不是 $K$ 关于 $r$ 的强可并粗核。特别地，$p\ne q$ 时，在四字、即三次转移处， $$ D(L_4\Vert L_4^R)>0 =3D(\bar Q\Vert\bar Q^{\mathsf T}), \qquad D(\widehat L_4\Vert\widehat L_4^R)=0. \tag{98.4f} $$ 所以平稳观察的单边流对称，不能单独保证整个观察路径的反序对称；把观察词律替换成其一步 Markov 化，会在此处丢失四字方向性。 **证明。** 每行恰有概率 $p,q$，每列也恰有来自两相邻状态的概率 $p,q$，故行和、列和都为一。于是 $K$ 为行随机矩阵，且 $$ (\pi K)_j=\frac16\sum_iK(i,j)=\frac16=\pi_j. $$ 逐次对末坐标求和说明 $P_n$ 为概率。删去末坐标时用行和为一，删去首坐标时用 $\pi K=\pi$，得到平稳路径的左右边缘一致性；经标签推前后，$L_1,\ldots,L_4$ 满足式 (98.1)。 因为 $p,q>0$，每条正转移边的反向边也为正。若 $x\in\Omega_n$，则 $\Theta_nx\in\Omega_n$；反序是对合，故 $\Theta_n[\Omega_n]=\Omega_n$。逐时标签与反序交换： $$ \bigl(r(x_n),\ldots,r(x_0)\bigr) =\bigl(r(x_0),\ldots,r(x_n)\bigr)^R. $$ 有限非负路径概率求和为正，当且仅当至少有一条正概率路径实现该词。因此 $L_w>0$ 蕴含 $L_{w^R}>0$，反向同理，$W_m$ 确为共同正支撑。两份词律限制到 $W_m$ 后仍归一化，故式 (98.3) 是有限实数。这一论证不要求所有二元词都出现。 接着检查强可并性。在标签为 $0$ 的三个状态 $0,1,3$，下一步标签为 $1$ 的概率依次为 $$ \sum_{r(j)=1}K(0,j)=q,\qquad \sum_{r(j)=1}K(1,j)=p,\qquad \sum_{r(j)=1}K(3,j)=p+q=1. $$ 由 $p,q>0$、$p+q=1$，两者 $p,q$ 均严格小于一，所以上述三行不可能相同。按 [命题 74.3](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/d0179e2d71713c0292bee4f0cc1e87640ac68923/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md) 的逐块行和判据，$K$ 不强可并。具体代入其既有因子化判据 [strongly_lumpable_iff_exact_quotient_kernel](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/d0179e2d71713c0292bee4f0cc1e87640ac68923/D5/S3/Estimation/DecisionRisk/StochasticDescentLumpability.lean) 时，标签映射取 $r$，实际观察行取 $$ F(i,b)=\sum_{r(j)=b}K(i,j). $$ 这三行的不一致排除 $F(i,\cdot)$ 经 $r(i)$ 因子化，且在 $p=q$ 时仍然排除它。 由定理 98.2，$L_m=L_m^R$ 对 $m=1,2,3$ 成立，式 (98.3) 中每个比值都为一，故得到式 (98.4a)。 为计算四字 $0011$，先确定其前两个零标签所对应的正转移。标签为零的状态只有 $0,1,3$，其中唯一相邻的一对是 $0,1$，所以起始状态对只能为 $0\to1$ 或 $1\to0$。若从 $0\to1$ 开始，第三个标签为一迫使下一状态为 $2$；但 $2$ 的两个相邻状态 $1,3$ 都标为零，无法得到最后一个一。若从 $1\to0$ 开始，第三个标签为一迫使下一状态为 $5$，最后一个一再迫使下一状态为 $4$。因此唯一实现路径是 $$ 1\longrightarrow0\longrightarrow5\longrightarrow4, $$ 三次转移全为逆向，概率为 $q^3/6$。反序路径给出 $1100$ 的唯一实现 $$ 4\longrightarrow5\longrightarrow0\longrightarrow1, $$ 概率为 $p^3/6$；唯一性也由正路径反序的双射性保证。再用式 (98.2b)，得到 $$ J=-(L_{0011}-L_{1100})=\frac{p^3-q^3}{6}, $$ 证明式 (98.4b)。 由于 $p,q>0$，$p^3=q^3$ 等价于 $p=q$。结合式 (98.2d)，四字律反序对称恰好发生在 $p=q$。在共同有限正支撑 $W_4$ 上，$L_4,L_4^R$ 非负且归一化，绝对连续性由严格正性满足，所以可直接应用已有 Gibbs 非负性与等号判据：[^rro98-gibbs] $$ D_4\ge0,\qquad D_4=0\quad\Longleftrightarrow\quad L_4=L_4^R. $$ 这给出式 (98.4c)。 当 $p=q$ 时，$K(i,j)=K(j,i)$，均匀 $\pi$ 因而满足 $$ \pi_iK(i,j)=\pi_jK(j,i). $$ 按 [定理 93.3](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/d0179e2d71713c0292bee4f0cc1e87640ac68923/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)，详细平衡使每个有限细路径律反序不变；其正平稳初态与双向支撑前提已在上面验证。标签读出与反序交换，所以其推前律也满足 $L_m=L_m^R$ 对全部 $m\ge1$ 成立。再由式 (98.3) 得到式 (98.4d)。这与前面已证的不可强并性同时成立。 最后计算单边流。每个标签纤维有三个状态，故 $\bar\pi=(1/2,1/2)$。零标签内部的正边只有 $0\leftrightarrow1$，一标签内部的正边只有 $4\leftrightarrow5$，所以 $$ \bar Q_{00}=\bar Q_{11}=\frac{p+q}{6}=\frac16. $$ 从零标签到一标签，三个零状态贡献分别为 $q,p,p+q$，故 $$ \bar Q_{01}=\frac{q+p+(p+q)}6=\frac13. $$ 从一标签到零标签，状态 $2,4,5$ 的贡献分别为 $p+q,q,p$，同样得到 $\bar Q_{10}=1/3$。除以 $\bar\pi_a=1/2$，即得式 (98.4e) 中的 $\widehat K$。 $\widehat K$ 的行和为一，$\bar\pi\widehat K=\bar\pi$，所有转移为正，其平稳边流正是对称的 $\bar Q$。对这个新 Markov 链应用同一定理 93.3，得到对每个 $m\ge1$， $$ D(\widehat L_m\Vert\widehat L_m^R) =(m-1)D(\bar Q\Vert\bar Q^{\mathsf T})=0. $$ 由 Gibbs 等号条件，$\widehat L_m=\widehat L_m^R$。另一方面，强可并的逐块行和条件已经失败，所以 $\widehat K$ 不能充当 $K$ 对 $r$ 的强可并粗核。 若 $p\ne q$，式 (98.4c) 给出实际四字散度严格为正，而 $\bar Q=\bar Q^{\mathsf T}$ 及新 Markov 链的公式给出另外两项为零，证明式 (98.4f)。这里先以实际四字概率确认差异，再与新的 Markov 词律比较；没有从不可强并性本身推出给定平稳初态下的观察过程必然非 Markov。故这个例子排除了仅凭任意平稳读出的单边流，就把 Markov 路径散度公式应用到其全部词律的做法。证毕。 [^rro98-gibbs]: 有限概率 KL 的非负性采用 [kl_divergence_nonneg](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/d0179e2d71713c0292bee4f0cc1e87640ac68923/D5/S3/Divergence/GrandmotherTheorem.lean)，等号条件采用 [kl_divergence_eq_zero_iff](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/d0179e2d71713c0292bee4f0cc1e87640ac68923/D5/S3/Divergence/GibbsEquality.lean)。两者要求有限载体、两份非负归一化概率及输入对参考的绝对连续性；本文每次都在已声明的共同正支撑上应用。 ## 98.99 追加锚 ## 99. 有限隐藏维数、词反序截止与任意延迟的输出方向性 **定义 99.1（有限隐藏链的输出词律）。** 设 $S$ 是大小为 $d\ge1$ 的有限隐藏状态集，$K$ 是非负行随机矩阵，$\pi$ 是允许零坐标的平稳概率行向量： $$ K\mathbf1=\mathbf1, \qquad \pi K=\pi, \qquad \pi\mathbf1=1. $$ 给定确定读出 $r:S\to A=r(S)$，令 $(X_t)_{t\ge0}$ 是初始律为 $\pi$、转移核为 $K$ 的链，$Y_t=r(X_t)$。对词 $w=a_0\cdots a_{m-1}\in A^m$，记 $$ p(w)=\Pr(Y_0=a_0,\ldots,Y_{m-1}=a_{m-1}), \qquad w^R=a_{m-1}\cdots a_0. $$ 空词记为 $\varnothing$，规定 $p(\varnothing)=1$。记长度 $m$ 的词律为 $P_m$，反序词律为 $P_m^R(w)=P_m(w^R)$。对每个字母 $a\in A$，置 $$ D_a=\operatorname{diag}_{i\in S}\mathbf1_{\{r(i)=a\}}, \qquad M_a=D_aK, \qquad M_w=M_{a_0}\cdots M_{a_{m-1}}, $$ 其中空积为 $I_d$。 **定理 99.2（固定隐藏维数的精确反序截止）。** 在定义 99.1 下， $$ \left[\forall w\in A^*,\ |w|\le2d-1\Longrightarrow p(w)=p(w^R)\right] \iff \left[\forall w\in A^*,\ p(w)=p(w^R)\right]. \tag{99.2a} $$ 因此，若只知整数上界 $d\le D$，比较所有长度不超过 $2D-1$ 的词仍是充分判据。空词比较自动成立；非空词长 $m=n+1$ 对应 $n$ 次隐藏转移，所以式 (99.2a) 的观察窗截止是 $n\le2d-2$。 这是固定模型下有限多个精确等式的判据；有限样本中的经验词频相等或接近相等，不等于这些模型概率的精确等式。若 $K$ 与 $\pi$ 的坐标都是有理数，枚举这些词并作精确有理矩阵运算给出有效判定；对任意实坐标只断言上述等式判据。此界不附带最优性或表示最小性的结论。 **证明。** 对非空词，直接对隐藏路径求和并使用 $K\mathbf1=\mathbf1$，得到 $$ \begin{aligned} p(w) &=\pi D_{a_0}\left(\prod_{j=1}^{m-1}K D_{a_j}\right)\mathbf1\\ &=\pi M_{a_0}\cdots M_{a_{m-1}}\mathbf1. \end{aligned} $$ 空词也满足该式，因为 $\pi I_d\mathbf1=1$。将反序词的标量概率转置，有 $$ \begin{aligned} p(w^R) &=\pi M_{a_{m-1}}\cdots M_{a_0}\mathbf1\\ &=\mathbf1^{\mathsf T}M_{a_0}^{\mathsf T}\cdots M_{a_{m-1}}^{\mathsf T}\pi^{\mathsf T}. \end{aligned} \tag{99.2b} $$ 这给出同一字母表上两份各 $d$ 维的实线性表示： $$ (\pi,(M_a)_{a\in A},\mathbf1), \qquad (\mathbf1^{\mathsf T},(M_a^{\mathsf T})_{a\in A},\pi^{\mathsf T}). $$ 这里交换了左右端点并转置每个字母矩阵；没有对 $\pi_i$ 作除法。上述表示与转置等式本身不使用平稳性，因而零概率坐标不妨碍它们成立。 直接应用加权自动机的有限等价判据：两份维数为 $d_1,d_2$ 的线性表示若不等价，则存在长度至多 $d_1+d_2-1$ 的区别词。[^rro99-kiefer] 取 $d_1=d_2=d$，若式 (99.2a) 左侧成立，就不存在这种区别词，故两份表示对全部词相等。反向蕴含直接成立。用 $D\ge d$ 扩大检查范围仍包含该充分范围；有理矩阵与有理端点的有限次乘加及等号比较可精确执行，给出所述有理数据判定。证毕。 [^rro99-kiefer]: Stefan Kiefer，[*Notes on Equivalence and Minimization of Weighted Automata*, arXiv:2009.01217v1](https://arxiv.org/pdf/2009.01217v1)，Theorem 2.3，PDF 第 4 页；任意域及有理算法输入的约定见 §1，PDF 第 1 页。该条直接提供两份有限维加权自动机的区别词长度界；式 (99.2b) 是本节将正向输出词律与其反序放入该定理的参数适配。 **定义 99.3（带反序扰动的移位族）。** 取整数 $L\ge3$ 与实数 $0<\epsilon<1$，隐藏状态集为 $$ S_L=\{0,1\}^L, \qquad u=(u_0,\ldots,u_{L-1}). $$ 定义核 $$ K_\epsilon(u,v)= \begin{cases} \displaystyle\frac{1+\epsilon(-1)^{u_0+b}(u_1-u_{L-1})}{2}, &v=(u_1,\ldots,u_{L-1},b),\quad b\in\{0,1\},\\[6pt] 0,&\text{其他情形}, \end{cases} \tag{99.3a} $$ 并置 $\pi(u)=2^{-L}$、$r(u)=u_0$。用二元长词作状态、沿移位续接边转移，是 de Bruijn 过程的标准状态表示；均匀短块与更高阶依赖也有既有构造背景。[^rro99-background] 以下核的平稳性及反序性质由具体计算给出。 [^rro99-background]: 均匀短块与有限阶依赖的背景见 Boris Ryabko，[Two-faced processes and random number generators, arXiv:1512.06961v1](https://arxiv.org/pdf/1512.06961v1)，Theorem 1，PDF 第 6 页；移位字状态与 de Bruijn 过程见 Kimpton–Challenor–Wynn，[Binary De Bruijn Processes, arXiv:2211.16921v2](https://arxiv.org/pdf/2211.16921v2)，§§2–3。这里仅引用这些构造背景；式 (99.3a) 的首次反序差异及其词 KL 由下面的证明承担。 **定理 99.4（均匀短窗与任意延迟的首次反序差异）。** 定义 99.3 的 $K_\epsilon$ 每行、每列之和均为 $1$，$\pi$ 是平稳律，并且 $$ (K_\epsilon^L)(u,v) \ge\left(\frac{1-\epsilon}{2}\right)^L>0 \qquad(u,v\in S_L). \tag{99.4a} $$ 相应链不可约、非周期。其平稳输出在每个起点 $t\ge0$ 及每个 $0\le m\le L$ 满足 $$ \Pr(Y_t\cdots Y_{t+m-1}=w)=2^{-m} \qquad(w\in\{0,1\}^m). \tag{99.4b} $$ 长度 $L+1$ 的全部词概率为 $$ p(a_0\cdots a_L) =2^{-(L+1)} \left[1+\epsilon(-1)^{a_0+a_L}(a_1-a_{L-1})\right]. \tag{99.4c} $$ 特别地， $$ p(01\,0^{L-1})=\frac{1+\epsilon}{2^{L+1}}, \qquad p(0^{L-1}10)=\frac{1-\epsilon}{2^{L+1}}. \tag{99.4d} $$ 所以首次输出词反序不对称恰在长度 $L+1$，对应含 $L$ 次隐藏转移的观察窗。 不存在与隐藏状态数无关的统一词长截止：对每个整数 $B\ge0$，存在平稳、不可约、非周期、具有有理核及有理平稳律的有限隐藏链和二元确定读出，使所有 $|w|\le B$ 的词满足 $p(w)=p(w^R)$，但并非所有有限词都满足该等式。 **证明。** 每条允许的移位边满足 $$ \frac{1-\epsilon}{2} \le K_\epsilon(u,v) \le\frac{1+\epsilon}{2}, $$ 故其概率严格位于 $(0,1)$。固定 $u$ 后，对续接位 $b=0,1$ 求和，式 (99.3a) 的扰动项因 $(-1)^b$ 相消，因此每行和为 $1$。 固定目标 $v=(v_0,\ldots,v_{L-1})$，它只有两个前驱 $$ u^{(c)}=(c,v_0,\ldots,v_{L-2}),\qquad c=0,1. $$ 相应概率为 $$ K_\epsilon(u^{(c)},v) =\frac{1+\epsilon(-1)^{c+v_{L-1}}(v_0-v_{L-2})}{2}. $$ 对 $c$ 求和，扰动项再次相消，所以每列和为 $1$。于是 $$ (\pi K_\epsilon)(v) =2^{-L}\sum_uK_\epsilon(u,v)=2^{-L}=\pi(v). $$ 从任意 $u$ 开始，依次续接目标 $v$ 的 $L$ 个比特，恰在 $L$ 步后到达 $v$。这条路径的每条边概率至少为 $(1-\epsilon)/2$，得到式 (99.4a)，也得到不可约性。全零状态有概率 $1/2$ 的自环，故不可约链非周期。 记隐藏状态为 $U_t$。移位规则使 $$ (Y_t,\ldots,Y_{t+L-1})=U_t $$ 沿每条样本路径成立。平稳律使 $U_t$ 在 $\{0,1\}^L$ 上均匀；取其前 $m$ 个坐标的边缘，就得到式 (99.4b)。该结论针对连续块。 若指定 $(Y_0,\ldots,Y_L)=(a_0,\ldots,a_L)$，前 $L$ 位唯一指定 $$ U_0=(a_0,\ldots,a_{L-1}), $$ 而 $Y_L$ 正是第一次移位转移时续接的比特。因此该事件的概率是初始质量 $2^{-L}$ 乘以这一续接概率；后续转移的可能性求和为 $1$。代入式 (99.3a) 得式 (99.4c)。这一个非平凡续接因子并不改变输出窗本身含有 $L$ 次隐藏转移的计数。 反序保持端点奇偶 $(-1)^{a_0+a_L}$，并把 $a_1-a_{L-1}$ 变为其相反数。对 $w=01\,0^{L-1}$，因 $L\ge3$，第二位与倒数第二位是不同坐标，分别为 $1,0$，端点均为 $0$，从而得到式 (99.4d)。这两个概率不同，而式 (99.4b) 使所有更短词均与反序等概率。 最后，给定 $B$，取 $L\ge\max(B,3)$、$\epsilon=1/2$。核与平稳律均为有理数，式 (99.4b) 认证全部长度不超过 $B$ 的等式，式 (99.4d) 给出一个更长区别词。因此没有统一于所有隐藏维数的截止。这里隐藏状态数 $d=2^L$ 随 $L$ 增长，与定理 99.2 的固定维数充分界相容；此构造没有断言 $2^L$ 是所需的最小隐藏状态数。证毕。 **推论 99.5（移位族的精确输出词 KL）。** 对定义 99.3 的平稳输出及每个整数 $m\ge0$，$P_m$ 与 $P_m^R$ 在全部长度 $m$ 的二元词上均严格为正，并且以自然对数计量时， $$ D_{\mathrm{KL}}(P_m\Vert P_m^R) =(m-L)_+\,c_\epsilon, \qquad c_\epsilon=\frac{\epsilon}{2} \log\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}>0, \tag{99.5a} $$ 其中 $(m-L)_+=\max\{m-L,0\}$。因此，对每个固定 $L\ge3$ 与 $0<\epsilon<1$， $$ \lim_{m\to\infty}\frac1m D_{\mathrm{KL}}(P_m\Vert P_m^R)=c_\epsilon. \tag{99.5b} $$ 固定 $\epsilon$ 时，该正极限不依赖 $L$，而首次非零词散度所在的长度 $L+1$ 可任意增大。 **证明。** 当 $m\le L$ 时，式 (99.4b) 使两份词律均为均匀律，故正支撑与零散度均成立。设 $m\ge L$，对 $w=a_0\cdots a_{m-1}$ 定义 $$ s_t(w)=(-1)^{a_t+a_{t+L}} (a_{t+1}-a_{t+L-1}), \qquad 0\le t0$，但 $v$ 的后 $L-1$ 位不等于 $u$ 的前 $L-1$ 位，所以 $K_\epsilon(v,u)=0$。因此本证明使用的是式 (99.5c) 给出的输出共同正支撑，没有调用第 93.3 条的隐藏路径有限 KL 公式。式 (99.5a) 是该明确例族的有限词公式，不依赖一般隐藏 Markov 相对熵率定理。证毕。 ## 99.99 追加锚 ## 100. 阶乘有理列的逐处收敛与阿代尔边界 **定义 100.1（同一有理列与两种拓扑）。** 对整数 $n\ge2$，置 $$ M_n=n!,\qquad D_n=1+M_n^2, \qquad e_n=\frac{M_n}{D_n}\in\mathbb Q, \qquad B_n=\{\ell\text{ 为素数}:\ell\mid D_n\}. $$ 所有实数与 $p$-进读数均取自规范嵌入 $$ \iota_\infty:\mathbb Q\hookrightarrow\mathbb R, \qquad \iota_p:\mathbb Q\hookrightarrow\mathbb Q_p, $$ 并使用 $v_p(p)=1$、$|p|_p=p^{-1}$ 的归一化。记 $$ T=\mathbb R\times\prod_{p\ {\rm prime}}\mathbb Q_p $$ 带通常乘积拓扑，记标准有理阿代尔环 $$ \mathbb A_{\mathbb Q} =\mathbb R\times\prod_{p\ {\rm prime}}'(\mathbb Q_p,\mathbb Z_p), \qquad \mathbb Z_p=\{x\in\mathbb Q_p:|x|_p\le1\}. $$ 这里受限直积的元素在除有限多个素位以外均属于 $\mathbb Z_p$；其零点邻域基为 $$ U_\infty\times\prod_{p\in S}U_p \times\prod_{p\notin S}\mathbb Z_p, \tag{100.1} $$ 其中 $S$ 是有限素数集，$U_\infty$ 与各 $U_p$ 是相应局部域的开零邻域。另以 $\mathbb A_{\rm prod}$ 表示同一阿代尔底集从 $T$ 取得的子空间拓扑。令 $$ \Delta:\mathbb Q\longrightarrow\mathbb A_{\mathbb Q}, \qquad \Delta(x)=(\iota_\infty(x),(\iota_p(x))_p), $$ 为有理对角映射，令 $j:\mathbb A_{\mathbb Q}\hookrightarrow T$ 为自然包含。每个有理数的分母仅有有限多个素因子，故 $\Delta$ 确实取值于阿代尔底集。上述乘积与受限直积拓扑采用其标准定义。[^rro100-topology] [^rro100-topology]: Andrew V. Sutherland，[MIT 18.785, Fall 2021, Lecture 25: The ring of adeles, strong approximation](https://ocw.mit.edu/courses/18-785-number-theory-i-fall-2021/mit18_785f21_lec25.pdf)，§25.1 与 Definition 25.1，PDF 第 1–2 页，给出乘积及受限直积拓扑、连续坐标投影，并区分受限直积拓扑与诱导子空间拓扑；Definition 25.7 与 Example 25.8，PDF 第 4–5 页，给出这里使用的有理阿代尔表示。 **命题 100.2（逐处趋零而无阿代尔极限）。** 定义 100.1 的同一有理列满足 $$ \iota_\infty(e_n)\longrightarrow0, \qquad \forall p\text{ 为素数},\quad\iota_p(e_n)\longrightarrow0. \tag{100.2a} $$ 因此 $j(\Delta(e_n))\to0$ 于 $T$，且 $\Delta(e_n)\to0$ 于 $\mathbb A_{\rm prod}$。 对每个 $n\ge2$，$B_n$ 是非空有限集合，并且恰为 $\Delta(e_n)$ 的非整有限坐标集，满足 $$ \varnothing\ne B_n\subseteq\{\ell\text{ 为素数}:\ell>n\}. \tag{100.2b} $$ 特别地，对每个有限素数集 $S$， $$ n\ge N_S:=\max(\{2\}\cup S) \quad\Longrightarrow\quad B_n\cap S=\varnothing, \tag{100.2c} $$ 且不存在一个固定有限 $S$ 包含该列某条尾部的全部非整坐标。 序列 $\Delta(e_n)$ 在标准阿代尔拓扑中没有任何极限。自然包含 $j$ 连续且单射，却不是到其像的拓扑嵌入；同一阿代尔底集上的受限直积拓扑严格细于从 $T$ 诱导的拓扑。 **证明。** 先确定每项的非整坐标。因为 $$ \gcd(M_n,D_n)=\gcd(M_n,1+M_n^2)=1, \qquad D_n>1, $$ 所以分母无约消，$B_n$ 有限且非空。若 $\ell\mid D_n$ 且 $\ell\le n$，则 $\ell\mid n!$，从而 $D_n\equiv1\pmod\ell$，矛盾。因此每个 $\ell\in B_n$ 均大于 $n$，且 $$ v_\ell(e_n)=-v_\ell(D_n)<0. $$ 在 $p\notin B_n$ 时，分母赋值为零，分子赋值非负，所以 $\iota_p(e_n)\in\mathbb Z_p$。这证明 $B_n$ 恰为非整坐标集，也再次证明每个 $\Delta(e_n)$ 都是阿代尔。式 (100.2b) 立即给出式 (100.2c)，包括 $S=\varnothing$。若某个有限 $S$ 包含从 $N$ 开始的全部 $B_n$，取 $n\ge\max(N,N_S)$，就会同时有 $B_n\subseteq S$、$B_n\cap S=\varnothing$ 与 $B_n\ne\varnothing$，矛盾。 实位置满足 $$ 0<\iota_\infty(e_n) =\frac{n!}{1+(n!)^2} <\frac1{n!}\le\frac1n\longrightarrow0. $$ 现在固定一个素数 $p$。当 $n\ge p$ 时，$p\mid n!$ 且 $D_n\equiv1\pmod p$，于是 $$ v_p(e_n)=v_p(n!) \ge\left\lfloor\frac np\right\rfloor. $$ 最后的不等式只需数出 $1,\ldots,n$ 中的 $p$ 的倍数；这些因子各贡献至少一次 $p$。所以在这一阈值以后， $$ |\iota_p(e_n)|_p \le p^{-\lfloor n/p\rfloor}\longrightarrow0. $$ 这证明式 (100.2a)，其中收敛阈值依赖所固定的 $p$ 与所要求的精度。 $T$ 的每个零点乘积基本邻域只限制有限多个坐标。对这些坐标分别取式 (100.2a) 给出的阈值，再取有限最大值，所有更晚的项就同时满足该邻域的条件。因此 $j(\Delta(e_n))\to0$ 于 $T$。这些项与零点均属于阿代尔底集；把上述邻域与该底集相交，即得到 $\mathbb A_{\rm prod}$ 中的收敛。 另一方面，式 (100.1) 使 $$ U=(-1,1)\times\prod_{p\ {\rm prime}}\mathbb Z_p $$ 成为标准阿代尔拓扑中的一个固定开零邻域。每个 $B_n$ 都非空，因此每个 $\Delta(e_n)$ 至少有一个坐标不整，故 $$ \Delta(e_n)\notin U\qquad(n\ge2). \tag{100.2d} $$ 这排除了阿代尔零极限。若该列在阿代尔拓扑中趋于某个 $a$，连续坐标投影会使其在每个局部域中趋于 $a$ 的相应坐标。由式 (100.2a) 及这些 Hausdorff 局部域中极限的唯一性，每个坐标都必须为零，即 $a=0$，与式 (100.2d) 矛盾。所以该列没有任何阿代尔极限。 受限直积的各坐标投影连续，因而乘积拓扑的定义使 $j$ 连续；其作为自然包含也为单射。若 $j$ 是拓扑嵌入，则从 $j(\mathbb A_{\mathbb Q})$ 的诱导拓扑到 $\mathbb A_{\mathbb Q}$ 的逆映射连续。它会把已证明的收敛 $j(\Delta(e_n))\to0$ 送成阿代尔收敛 $\Delta(e_n)\to0$，矛盾。因此 $j$ 不是拓扑嵌入。连续性说明受限直积拓扑包含诱导拓扑，非嵌入性说明这两个拓扑不相等，故包含严格。 这里的量词差别可在同一列上直接读出： $$ \forall p\ \exists N_p\ \forall n\ge N_p, \quad \iota_p(e_n)\in\mathbb Z_p, $$ 但 $$ \nexists N\ \forall n\ge N\ \forall p, \quad \iota_p(e_n)\in\mathbb Z_p. $$ 后一种同时整性是进入所选固定邻域 $U$ 的必要条件；它本身不是阿代尔收敛的充分条件。各项分别只有有限多个非整位置，与一条尾部共享一个有限异常位置集合也不同。式 (100.2c) 说明这些位置最终逃出每个固定有限集，并不声称不同 $B_n$ 两两不交。证毕。 ## 100.99 追加锚 ## 101. 稀有循环的方向判别尺度与有限停止认证 **定义与假设 101.1（三状态有理循环与已知方向假说）。** 对整数 $k\ge2$，令 $$ p_k=\frac1k,\qquad q_k=\frac1{k2^k},\qquad r_k=1-p_k-q_k. $$ 状态空间取 $S=\mathbb Z/3\mathbb Z$，定义转移核与初始概率 $$ K_k(i,i+1)=p_k,\qquad K_k(i,i-1)=q_k,\qquad K_k(i,i)=r_k,\qquad \pi(i)=\frac13. \tag{101.1a} $$ 对整数 $n\ge0$，观察完整状态词 $w=(x_0,\ldots,x_n)\in\Omega_n=S^{n+1}$；$n$ 计转移次数，故 $n=0$ 已观察初始状态。置 $$ P_{k,n}(w)=\frac13\prod_{t=0}^{n-1}K_k(x_t,x_{t+1}), \qquad Q_{k,n}(w)=P_{k,n}(w^R), \tag{101.1b} $$ 其中 $w^R=(x_n,\ldots,x_0)$，空积为一。$Q_{k,n}$ 也由均匀初始律与转置核 $K_k^{\mathsf T}$ 按原坐标顺序生成。记路径中的顺时针、逆时针与自环次数为 $N_+,N_-,N_0$，并置 $J_n=N_+-N_-$。另记 $$ A_n=\{(i,\ldots,i):i\in S\},\qquad U_n=\frac13\sum_{i\in S}\delta_{(i,\ldots,i)}. $$ 方向判别的两个假说为 $P_{k,n}$ 与 $Q_{k,n}$，各取先验 $1/2$。测试者可以知道 $k$、核与两份概率，未知的是本次轨迹的方向标签。若 $\delta:\Omega_n\to[0,1]$ 表示报告“反向”的概率，定义最优平均错误率 $$ R_{k,n} =\inf_\delta\frac12\sum_{w\in\Omega_n} \bigl[P_{k,n}(w)\delta(w)+Q_{k,n}(w)(1-\delta(w))\bigr]. \tag{101.1c} $$ 总变差采用 $\operatorname{TV}(P,Q)=\frac12\sum_w|P(w)-Q(w)|$ 的归一化，KL 中的对数取自然底数。 **命题 101.2（正 KL 率、稀有跳转与方向识别的观察尺度）。** 定义 101.1 的核坐标与平稳律均为有理数；每个核严格正、不可约、非周期，并以 $\pi$ 为平稳律。但因 $K_k(i,i-1)=q_k\to0$，有 $\inf_{k\ge2}\min_{i,j\in S}K_k(i,j)=0$；以下结论没有统一正转移下界假设。对所有 $k\ge2$、$n\ge0$， $$ \log\frac{P_{k,n}(w)}{Q_{k,n}(w)}=k(\log2)J_n(w), \qquad D_{\rm KL}(P_{k,n}\Vert Q_{k,n})=nc_k, \tag{101.2a} $$ 其中 $$ c_k=(1-2^{-k})\log2\ge\frac34\log2>0, \qquad c_k\longrightarrow\log2. $$ 同时， $$ \operatorname{TV}(P_{k,n},U_n) =\operatorname{TV}(Q_{k,n},U_n)=1-r_k^n, \tag{101.2b} $$ $$ \max\{0,1-r_k^n-2nq_k\} \le\operatorname{TV}(P_{k,n},Q_{k,n}) \le1-r_k^n \le\frac{n(1+2^{-k})}{k} \le\frac{5n}{4k}, \tag{101.2c} $$ 以及 $$ R_{k,n}=\frac12\bigl(1-\operatorname{TV}(P_{k,n},Q_{k,n})\bigr), \qquad \frac12r_k^n\le R_{k,n} \le\min\left\{\frac12,\frac12r_k^n+nq_k\right\}. \tag{101.2d} $$ 净计数为正时报正向、为负时报反向、为零时公平抛币，达到这个最优错误率。 若整数 $n_k\ge0$ 随 $k\to\infty$ 变化，则有三种尺度： $$ \bigl(\operatorname{TV}(P_{k,n_k},Q_{k,n_k}),R_{k,n_k}\bigr) \longrightarrow \begin{cases} (0,\tfrac12),&n_k/k\longrightarrow0,\\ (1-e^{-\lambda},\tfrac12e^{-\lambda}), &n_k/k\longrightarrow\lambda\in(0,\infty),\\ (1,0),&n_k/k\longrightarrow\infty. \end{cases} \tag{101.2e} $$ 特别地，每个固定有限 $n$ 都满足 $\sup_{k\ge2}R_{k,n}=1/2$，尽管全部模型共有正 KL 率下界 $(3/4)\log2$。因此，仅凭状态数三、这个共同率下界和目标错误率 $\delta<1/2$，不能选择对全族有效的有限观察窗口；这不排除由完整已知核或 $k$ 选取窗口，也不否认本例的精确值 $c_k$ 可以确定 $k$。取 $n_k=\lfloor\sqrt{k}\rfloor$，更有 $$ D_{\rm KL}(P_{k,n_k}\Vert Q_{k,n_k})\longrightarrow\infty, \qquad \operatorname{TV}(P_{k,n_k},Q_{k,n_k})\longrightarrow0, \qquad R_{k,n_k}\longrightarrow\frac12. \tag{101.2f} $$ **证明。** 因为 $k\ge2$， $$ 00$。每行、每列之和均为一，所以均匀律平稳。逐次对路径末坐标求和，核的行和一与 $\sum_i\pi(i)=1$ 给出 $\sum_wP_{k,n}(w)=1$；反序是有限载体 $\Omega_n$ 上的双射，故 $\sum_wQ_{k,n}(w)=1$。两份路径律在 $\Omega_n$ 上处处严格正。任意两状态间转移均严格正，且各状态有自环，遂得不可约性与非周期性；有理性直接由定义得到。 将已有[推论 93.4（三状态环的持续方向性）](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/f35c45414cbccfd54aeb5519c40ba5249c32cade/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md) 中的 $p,q$ 取为 $p_k,q_k$，原式的净计数 $C_n$ 在本节记作 $J_n$。上述严格正性和平稳性满足其全部前提，而 $$ \frac{p_k}{q_k}=2^k,\qquad (p_k-q_k)\log\frac{p_k}{q_k} =(1-2^{-k})\log2. $$ 其路径似然比与 KL 公式立即给出 (101.2a)。$2^{-k}\le1/4$ 且 $2^{-k}\to0$，得到所述率界和极限。$n=0$ 时两份初始律相同，净计数和散度均为零。 在每条常路径上，$P_{k,n}$ 与 $Q_{k,n}$ 的质量都为 $r_k^n/3$，因而 $$ P_{k,n}|_{A_n}=Q_{k,n}|_{A_n}=r_k^nU_n, \qquad P_{k,n}(A_n^c)=Q_{k,n}(A_n^c)=1-r_k^n. \tag{101.2g} $$ 与 $U_n$ 比较时，常路径上的总质量缺口为 $1-r_k^n$，非常路径上的总质量也为 $1-r_k^n$；半个绝对差之和即为 (101.2b)。比较 $P_{k,n}$ 与 $Q_{k,n}$ 时，它们在 $A_n$ 上相等，所以 $$ \begin{aligned} \operatorname{TV}(P_{k,n},Q_{k,n}) &=\frac12\sum_{w\notin A_n}|P_{k,n}(w)-Q_{k,n}(w)|\\ &\le\frac12\bigl[P_{k,n}(A_n^c)+Q_{k,n}(A_n^c)\bigr] =1-r_k^n. \end{aligned} $$ 又 $$ 1-r_k^n=(1-r_k)\sum_{j=0}^{n-1}r_k^j \le n(1-r_k)=\frac{n(1+2^{-k})}{k}\le\frac{5n}{4k}. $$ 空和使这个计算也包含 $n=0$。 对有限载体上的单位质量概率，直接应用已有 [le_cam_two_point_sum](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/f35c45414cbccfd54aeb5519c40ba5249c32cade/D5/S3/Estimation/LeCam.lean) 与 [le_cam_two_point_sum_tight](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/f35c45414cbccfd54aeb5519c40ba5249c32cade/D5/S3/Estimation/LeCamTight.lean)，再除以等先验的因子二，得 $$ R_{k,n}=\frac12\sum_w\min\{P_{k,n}(w),Q_{k,n}(w)\} =\frac12(1-\operatorname{TV}(P_{k,n},Q_{k,n})). $$ 允许随机化不降低该值：每条轨迹的错误质量是 $\delta(w)$ 的仿射函数，其最小值在较小错误的一端达到；两质量相等时任选。报告反向的最优区域为 $P_{k,n}(w)0) \le\frac12r_k^n+nq_k. \end{aligned} $$ 最后一步用并合界，每个时刻逆时针转移的概率为 $q_k$，不需要转移事件独立。始终公平猜测又给 $R_{k,n}\le1/2$，得到 (101.2d)。将其上界代入 $\operatorname{TV}=1-2R_{k,n}$，再与总变差非负性合用，得到 (101.2c) 的下界。 现设 $n_k/k\to\lambda\in[0,\infty)$。令 $a_k=(1+2^{-k})/k$，则 $a_k\to0$、$ka_k\to1$，且由 $\log$ 在一处的导数为一， $$ \frac{\log(1-a_k)}{a_k}\longrightarrow-1, \qquad k\log r_k\longrightarrow-1. $$ 这里的导数接口见 [hasDerivAt_log](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean)。于是 $$ n_k\log r_k=\frac{n_k}{k}\,k\log r_k\longrightarrow-\lambda, \qquad r_k^{n_k}\longrightarrow e^{-\lambda}, \qquad n_kq_k=\frac{n_k}{k}2^{-k}\longrightarrow0. $$ 由 (101.2d) 夹逼，$R_{k,n_k}\to\tfrac12e^{-\lambda}$；再用 $\operatorname{TV}=1-2R$，得到 (101.2e) 的前两种尺度。 若 $n_k/k\to\infty$，固定任意 $M>0$，则最终 $n_k\ge\lfloor Mk\rfloor$。两种方向的较长路径律投影到前缀，分别给出对应的较短路径律；测试可以忽略后缀，所以最优错误率随窗口不增。因此 $$ 0\le\limsup_{k\to\infty}R_{k,n_k} \le\lim_{k\to\infty}R_{k,\lfloor Mk\rfloor} =\frac12e^{-M}. $$ 令 $M\to\infty$，得第三种尺度。这个前缀论证没有要求在任意超线性窗口下仍有 $n_kq_k\to0$。 固定 $n$ 时，$r_k^n\to1$，(101.2d) 给 $R_{k,n}\to1/2$，而各项不超过 $1/2$，故上确界为 $1/2$。最后，$n_k=\lfloor\sqrt{k}\rfloor$ 满足 $n_k\to\infty$、$n_k/k\to0$，所以 (101.2a) 的共同正率下界使总 KL 趋于无穷，(101.2e) 给出其余两个极限，证明 (101.2f)。 这项困难是从随机轨迹识别方向的观察时间：一次转移的精确词概率已经满足 $P_{k,1}(i,i+1)=p_k/3\ne q_k/3=Q_{k,1}(i,i+1)$。总 KL 的大值也不与小总变差矛盾；既有 [Pinsker 不等式](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/f35c45414cbccfd54aeb5519c40ba5249c32cade/D5/S3/TotalVariation/Pinsker.lean) 的方向是 $2\operatorname{TV}^2\le D_{\rm KL}$，不能由 KL 下界反推出总变差下界。证毕。 相关机制的背景见 Feng–Crooks，[Length of Time’s Arrow，Physical Review Letters **101**, 090602 (2008)](https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.101.090602)，第 090602-3–4 页，尤其式 (14)–(16)：该文在物理驱动实验的语境中，以稀有的大耗散分量展示平均耗散与 Jensen–Shannon 方向信息的差别。此处将其作为机制背景引用；本节的有理三状态环、总变差最优风险与观察时间尺度结论由上述证明给出，不归于该文，也不赋予本例的 KL 物理熵意义。 **定义与假设 101.3（同族的可逆零假设与适应性认证）。** 赋予 $S$ 离散 $\sigma$-代数，并在同一路径空间 $\Omega=S^{\mathbb N_0}$ 上取乘积 $\sigma$-代数。记 $P_k$ 为初始律 $\pi$、核 $K_k$ 的无限平稳 Markov 路径律，其 $n$ 次转移前缀律就是 $P_{k,n}$。该律使用既有 Ionescu–Tulcea 构造：每步以已观察前缀的末状态代入 $K_k$，再从 $\pi$ 出发迭代；有限离散域保证步核可测，行和一保证它是概率核。参见 [trajMeasure、traj_map_frestrictLe](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Probability/Kernel/IonescuTulcea/Traj.lean)。定义 $$ Q_0=\frac13\sum_{i\in S}\delta_{(i,i,i,\ldots)}. \tag{101.3a} $$ 这是核 $I$、均匀初始律的可逆、非遍历路径律，前缀律为 $Q_{0,n}=U_n$。 本次零假设为 $\{Q_0\}$，或任意包含 $Q_0$ 的可逆平稳过程类；替代假设包含全部 $\{P_k:k\ge2\}$。这与命题 101.2 的方向标签任务不同：该处的 $P_k$ 及其反向过程都不可逆，而此处判定的是可逆性。$Q_0$ 也不是该处记作 $Q_{k,n}$ 的反向前缀律。若零假设仅允许不可约或遍历链，则 $Q_0$ 不属于它，以下在 $Q_0$ 处的结论不承担该受限问题。 固定一条对全部未知 $k$ 共用的认证规则。取共同的种子概率空间 $(E,\mathcal E,\nu)$；在 $\Omega\times E$ 上令辅助种子 $\xi$ 为第二坐标，在每个模型下均与轨迹独立，记 $$ \bar P_k=P_k\otimes\nu,\qquad \bar Q_0=Q_0\otimes\nu, \qquad \mathcal G_n=\sigma(X_0,\ldots,X_n,\xi). \tag{101.3b} $$ 这里取由所列观测生成的原始 $\sigma$-代数，不加入依赖模型的完备化。规则可知道模型族，但不另获真实 $k$ 或模型标签。一次性给出全部独立随机种子包含逐步随机化。 令 $C_n\in\mathcal G_n$ 表示在时刻 $n$ 或更早已签发“可逆”证书，要求 $C_n\subseteq C_{n+1}$，并置 $$ C=\bigcup_{n\ge0}C_n. \tag{101.3c} $$ 若用停时 $\tau\in\mathbb N_0\cup\{\infty\}$ 和终端决定 $D$ 表述，则 $C_n=\{\tau\le n,D=\text{“可逆”}\}$；不仅 $\tau$ 是停时，决定也必须适应于截至停时的观测，满足上述可测性。停时采用既有 [IsStoppingTime](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean) 的含义。允许规则不终止或终止时弃权。对 $\delta\in[0,1]$，统一错误证书界指 $\bar P_k(C)\le\delta$ 对每个 $k\ge2$ 成立，约束的是曾在有限时刻签发证书的总概率。 **命题 101.4（有限停止不能统一认证可逆零假设）。** 在定义与假设 101.3 下， $$ \bar Q_0(C) \le\liminf_{k\to\infty}\bar P_k(C) \le\sup_{k\ge2}\bar P_k(C). \tag{101.4a} $$ 因此统一错误证书界 $\delta$ 必使 $\bar Q_0(C)\le\delta$。若规则在 $Q_0$ 下以概率一于有限时刻签发证书，则 $\bar P_k(C)\to1$。对零错误，单个固定替代模型已足够： $$ \forall k\ge2,\qquad \bar P_k(C)=0\ \Longrightarrow\ \bar Q_0(C)=0. \tag{101.4b} $$ 这些界均不要求预先假设停时几乎处处有限。 **证明。** $P_k$ 的各前缀概率与定义 101.1 相容，因为对最后一个状态求和使用核的行和一；既有轨迹构造给出这些前缀概率。均匀律平稳使所得过程平稳。$Q_0$ 的每条常轨迹在反序下不变，故 $Q_0$ 可逆；移位不变事件“最终恒为状态 $0$”在 $Q_0$ 下的概率为 $1/3$，所以它非遍历。每个 $P_k$ 则由 $p_k/3\ne q_k/3$ 的一步词概率判为不可逆。 对有限前缀 $w\in S^{n+1}$，令 $a_n(w)\in[0,1]$ 为观察到 $w$ 时使规则在时刻 $n$ 或更早签发证书的种子集合之 $\nu$-概率。$C_n\in\mathcal G_n$ 保证这些种子截面可测，且不依赖未见的轨迹后缀。因此 $$ \bar P_k(C_n)=\sum_wP_{k,n}(w)a_n(w), \qquad \bar Q_0(C_n)=\frac13\sum_{i\in S}a_n(i,\ldots,i). $$ 第一项求和中常路径的部分恰为 $r_k^n\bar Q_0(C_n)$，其余部分非负。由 (101.2g)， $$ \bar P_k(C_n)\ge r_k^n\bar Q_0(C_n). \tag{101.4c} $$ 进而 $$ \bar Q_0(C_n)-\bar P_k(C_n) \le(1-r_k^n)\bar Q_0(C_n)\le1-r_k^n, $$ 所以 $$ \bar Q_0(C_n)\le\bar P_k(C)+1-r_k^n. \tag{101.4d} $$ 这也是 (101.2b) 的有限总变差比较经过随机二元决定后的界；相应既有接口为 [total_variation_channel_le](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/f35c45414cbccfd54aeb5519c40ba5249c32cade/D5/S3/TotalVariation/DataProcessing.lean)。$n=0$ 时 $r_k^0=1$，两份初始律完全相同，以上计算仍成立。 保持 $n$ 固定，令 $k\to\infty$，有 $r_k^n\to1$，故 $$ \bar Q_0(C_n)\le\liminf_{k\to\infty}\bar P_k(C). $$ 再令 $n\to\infty$，用递增事件的测度连续性 [tendsto_measure_iUnion_atTop](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean)，得到 (101.4a)。这里先对每个固定观测时刻取 $k$ 极限，再取事件递增极限，没有交换未经控制的联合极限。统一错误界随即给出 $\bar Q_0(C)\le\delta$；若左端为一，右侧概率序列的下极限至少为一，而各项至多为一，故其极限为一。 最后固定 $k$。若 $\bar P_k(C)=0$，则各 $\bar P_k(C_n)=0$。有限 $n$ 下 $r_k^n>0$，所以 (101.4c) 强迫 $\bar Q_0(C_n)=0$；可数并给出 $\bar Q_0(C)=0$，证明 (101.4b)。这个论证只用有限前缀的单向支配，不要求无限路径律绝对连续。实际上常无限轨迹集合在 $Q_0$ 下概率一，在固定 $P_k$ 下概率 $\lim_n r_k^n=0$，二者在无限轨迹上可完全分离。 规则若总是弃权，可以立即停止而从不签发证书；因此几乎处处有限停止本身不能替代对 $\bar Q_0(C)$ 的要求。反方向也不同：在仅比较 $Q_0$ 与此替代族时，第一次跳转在每个固定 $P_k$ 下几乎处处有限，在 $Q_0$ 下从不发生，故能零错误排除 $Q_0$；但可逆链也可以跳转，这不构成对任意可逆过程的反驳。证毕。 ## 101.99 追加锚 ## 102. 统一正转移下界下的方向检验预算 **定义与假设 102.1（已知平稳模型的完整状态方向检验）。** 设 $S$ 是有限状态集，$d=|S|\ge3$。给定已知行随机矩阵 $K$、已知平稳概率 $\pi$ 及常数 $\eta,c_0>0$，满足 $$ \sum_{j\in S}K_{ij}=1,\qquad K_{ij}\ge\eta\quad(i,j\in S), \qquad \sum_{i\in S}\pi_iK_{ij}=\pi_j. \tag{102.1a} $$ 定义平稳边流、反序边流与边分数 $$ Q_{ij}=\pi_iK_{ij},\qquad Q^{\mathsf T}_{ij}=Q_{ji}, \qquad A(i,j)=\log\frac{Q_{ij}}{Q_{ji}}, \qquad c=D_{\rm KL}(Q\Vert Q^{\mathsf T})\ge c_0>0. \tag{102.1b} $$ 平稳性与正转移下界保证 $\pi_j\ge\eta$，故这些对数均有定义；所有对数取自然底数。 观察完整状态路径 $w=(x_0,\ldots,x_n)\in S^{n+1}$，其中 $n\ge0$ 计转移次数，初始状态服从 $\pi$。两份已知简单假设是 $$ P_n(w)=\pi_{x_0}\prod_{t=0}^{n-1}K_{x_tx_{t+1}}, \qquad P_n^R(w)=P_n(w^R),\qquad w^R=(x_n,\ldots,x_0), \tag{102.1c} $$ 各取先验 $1/2$。未知的是本次轨迹的方向标签。允许随机化；若 $\varphi:S^{n+1}\to[0,1]$ 表示报告反向的概率，则最优平均错误率为 $$ R_n=\inf_\varphi\frac12\sum_{w\in S^{n+1}} \bigl[P_n(w)\varphi(w)+P_n^R(w)(1-\varphi(w))\bigr]. \tag{102.1d} $$ 总变差采用 $\operatorname{TV}(\mu,\nu)=\tfrac12\sum_x|\mu(x)-\nu(x)|=\sup_F|\mu(F)-\nu(F)|$。记 $$ B=2\log(1/\eta),\qquad \alpha=d\eta, \qquad T_\eta=\left\lceil\frac{\log4}{d\eta}\right\rceil. \tag{102.1e} $$ **命题 102.2（统一的指数风险界与转移次数预算）。** 在定义与假设 102.1 下，必有 $00$ 及 $c_0\le B$。对每个整数 $n\ge1$， $$ R_n\le\min\left\{\frac12, \exp\left(-\frac{nc_0^2}{72B^2T_\eta}\right)\right\}. \tag{102.2a} $$ 因此，对任意 $0<\delta<1/2$， $$ n\ge\left\lceil\frac{72B^2T_\eta}{c_0^2} \log\frac1\delta\right\rceil \quad\Longrightarrow\quad R_n\le\delta. \tag{102.2b} $$ 这个预算按 $n$ 次转移、$n+1$ 个完整状态读数计算，在固定 $d,\eta,c_0$ 的模型类上统一；所给常数不主张最优。$n=0$ 时 $R_0=1/2$。 **证明。** 首先，由平稳性及 $\sum_i\pi_i=1$， $$ \pi_j=\sum_i\pi_iK_{ij}\ge\eta. $$ 行归一化给 $d\eta\le1$。若 $d\eta=1$，每行中 $d$ 个不小于 $\eta=1/d$ 的数之和为一，故 $K_{ij}=1/d$；平稳性随即给 $\pi_j=1/d$，于是 $Q=Q^{\mathsf T}$、$c=0$，与 $c\ge c_0>0$ 矛盾。因此 $00$，排除了后续分母退化的情形。 $Q$ 是概率，且对所有 $i,j$ 有 $\eta^2\le Q_{ij}\le1$，所以 $$ |A(i,j)|\le2\log(1/\eta)=B, \qquad c=\sum_{i,j}Q_{ij}A(i,j)\le B. \tag{102.2c} $$ 这也给出 $c_0\le B$。所有状态初始概率和转移概率均严格正，故整个笛卡尔积 $S^{n+1}$ 上的路径概率严格正。 将已有[定理 93.3（平稳边流的路径 KL 与读出比较）](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/bb1d5f0ce8121ba443a49918d825a1473d09f86d/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md) 的核、平稳律及边流取为这里的 $K,\pi,Q$；严格正性满足其双向支撑要求。该定理直接给出 $$ \begin{aligned} \sigma_n(w) &=\log\frac{P_n(w)}{P_n^R(w)} =\sum_{t=0}^{n-1}A(x_t,x_{t+1})\\ &=\log\frac{\pi_{x_0}}{\pi_{x_n}} +\sum_{t=0}^{n-1}\log\frac{K_{x_tx_{t+1}}}{K_{x_{t+1}x_t}}, \qquad \mathbb E_{P_n}\sigma_n=nc. \end{aligned} \tag{102.2d} $$ 因此边分数包含平稳端点项。 在有限载体 $S^{n+1}$ 上，$P_n,P_n^R$ 均为单位质量概率。直接应用已有 [le_cam_two_point_sum](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/bb1d5f0ce8121ba443a49918d825a1473d09f86d/D5/S3/Estimation/LeCam.lean) 与 [le_cam_two_point_sum_tight](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/bb1d5f0ce8121ba443a49918d825a1473d09f86d/D5/S3/Estimation/LeCamTight.lean)，得最优平均风险 $$ R_n=\frac12\bigl(1-\operatorname{TV}(P_n,P_n^R)\bigr). $$ 逐路径的错误质量是 $\varphi(w)$ 的仿射函数，故允许随机化不降低该最小值；在两份路径概率相等时公平抛币也达到它。因此可取 $\sigma_n>0$ 时判正向、$\sigma_n<0$ 时判反向、$\sigma_n=0$ 时公平抛币的规则。反序变换交换两份律，并满足 $\sigma_n(w^R)=-\sigma_n(w)$，所以两种条件错误率相等，得到 $$ R_n=P_n(\sigma_n<0)+\frac12P_n(\sigma_n=0) \le P_n(\sigma_n\le0). \tag{102.2e} $$ 始终公平猜测还给出 $R_n\le1/2$。以下只需控制正向链的一次下尾。 令 $\nu$ 为 $S$ 上均匀概率。对每个 $i\in S$ 和 $F\subseteq S$， $$ K(i,F)=\sum_{j\in F}K_{ij}\ge\eta|F|=\alpha\nu(F). $$ 直接应用 Roberts–Rosenthal，[*General state space Markov chains and MCMC algorithms*](https://arxiv.org/pdf/math/0404033v4)，arXiv:math/0404033v4，Theorem 8（PDF 第 17 页／刊印第 36 页）：全空间 minorization 的参数取 $n_0=1$、$\epsilon=\alpha$，平稳概率取 $\pi$，得到对整数 $t\ge0$， $$ \sup_{x\in S}\operatorname{TV}(K^t(x,\cdot),\pi) \le(1-\alpha)^t\le e^{-\alpha t}. \tag{102.2f} $$ 采用 Paulin 的 $t_{\rm mix}=t_{\rm mix}(1/4)$ 约定，即 $$ t_{\rm mix}=\min\left\{t\in\mathbb N_0: \sup_{x\in S}\operatorname{TV}(K^t(x,\cdot),\pi)\le\frac14\right\}, $$ 便有 $t_{\rm mix}\le T_\eta$。这里的 TV 归一化与两份来源相同。 现在在原状态序列 $X_0,\ldots,X_n$ 上对函数 $f=\sigma_n$ 应用 Paulin 的集中界。仅改变 $x_0$ 或 $x_n$ 时影响一个边分数，变化至多 $2B$；仅改变任一内部坐标 $x_j$、$1\le j\le n-1$ 时影响两个边分数，变化至多 $4B$。逐次替换坐标因而给出全域 $S^{n+1}$ 上的 bounded-difference 条件 $$ |f(x)-f(y)|\le\sum_{j=0}^{n}b_j\mathbf1_{\{x_j\ne y_j\}}, \qquad b_0=b_n=2B,\quad b_j=4B\ (1\le j\le n-1), $$ 并且 $$ \|\mathbf b\|_2^2 =2(2B)^2+(n-1)(4B)^2 =(16n-8)B^2\le16nB^2. \tag{102.2g} $$ $n=1$ 时恰有两个端点而无内部坐标，此式仍成立。 直接使用 Daniel Paulin，[*Concentration inequalities for Markov chains by Marton couplings and spectral methods*](https://arxiv.org/pdf/1212.2015v5)，arXiv:1212.2015v5，Corollary 2.11 及 Remarks 2.10、2.12（PDF 第 9 页，式 (2.7)–(2.9)）。该推论的混合参数 $\tau_{\min}$ 满足 $$ \tau_{\min}\le9t_{\rm mix}\le9T_\eta; $$ 其单侧版本对 $u>0$ 给出 $$ P_n(f-\mathbb E_{P_n}f\le-u) \le\exp\left(-\frac{2u^2}{\|\mathbf b\|_2^2\tau_{\min}}\right). \tag{102.2h} $$ 这里用 Remark 2.10 去掉双侧界前的系数二。取 $u=nc>0$，结合 (102.2d)、(102.2g)，有 $$ \begin{aligned} P_n(\sigma_n\le0) &\le\exp\left(-\frac{2n^2c^2}{\|\mathbf b\|_2^2\tau_{\min}}\right)\\ &\le\exp\left(-\frac{2n^2c^2}{16nB^2\,9T_\eta}\right) \le\exp\left(-\frac{nc_0^2}{72B^2T_\eta}\right). \end{aligned} $$ 与 (102.2e) 及 $R_n\le1/2$ 合并，得到 (102.2a)。这次应用直接作用于 $n+1$ 个状态坐标，不要求相邻边独立，也不要求反向核具有同一个 $\eta$ 下界。 若 $n$ 满足 (102.2b)，则 $$ \frac{nc_0^2}{72B^2T_\eta}\ge\log\frac1\delta, $$ 从而 (102.2a) 的指数项至多为 $\delta$。由于括号内的预算严格正，向上取整后至少为一次转移。各界仅依赖 $d,\eta,c_0$，因此在指定模型类上统一。$n=0$ 时只有初始状态，$P_0=P_0^R=\pi$，故 $R_0=1/2$。证毕。 这里增加的统一正转移下界为命题 101.2 所缺少的统一窗口提供了一组充分条件，不作必要性主张。本应用针对完整状态读出下的两份已知方向模型；它不提供未知核的学习或可逆性认证预算。每个有限窗口仍有 $R_n=\tfrac12\sum_w\min\{P_n(w),P_n^R(w)\}>0$，因为两份路径律均处处为正，因此该预算不提供零错误证书。 任意粗读出也不享有同一保证：将已有[推论 93.4](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/bb1d5f0ce8121ba443a49918d825a1473d09f86d/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md) 的三状态环取 $p=1/2,q=1/4$，则全部转移至少为 $1/4$、$c=\tfrac14\log2>0$；取 $d=3$、$\eta=1/4$、$c_0=c$ 即给出一个满足假设的参数选择，而常量读出使两份可见路径律对每个窗口都相同，最优可见错误率恒为 $1/2$。 ## 102.99 追加锚 ## 103. 有界逐边分数下的非统一方向检验窗口 **定义与假设 103.1（四状态有理族与已知方向模型）。** 固定状态集 $S=\{0,1,2,3\}$，以 $1\to2\to3\to1$ 为顺时针环。对整数 $k\ge2$，置 $\delta_k=1/k$、$a_k=1-1/(3k)$，按状态顺序 $0,1,2,3$ 定义 $$ K_k= \begin{pmatrix} 1-1/k&1/(3k)&1/(3k)&1/(3k)\\ 1/(3k)&a_k/4&a_k/2&a_k/4\\ 1/(3k)&a_k/4&a_k/4&a_k/2\\ 1/(3k)&a_k/2&a_k/4&a_k/4 \end{pmatrix}, \qquad \pi_i=\frac14. \tag{103.1a} $$ 定义边流及其分数 $$ Q_k(i,j)=\pi_iK_k(i,j),\qquad A_k(i,j)=\log\frac{Q_k(i,j)}{Q_k(j,i)},\qquad c_k=D_{\rm KL}(Q_k\Vert Q_k^{\mathsf T}). \tag{103.1b} $$ 所有对数取自然底数。 从初始律 $\pi$ 出发观察完整状态路径 $w=(x_0,\ldots,x_n)\in S^{n+1}$，其中整数 $n\ge0$ 计转移次数。正向与反向路径律分别为 $$ P_{k,n}(w)=\frac14\prod_{t=0}^{n-1}K_k(x_t,x_{t+1}), \qquad P_{k,n}^{R}(w)=P_{k,n}(w^R),\qquad w^R=(x_n,\ldots,x_0). \tag{103.1c} $$ 两份简单模型均已知，先验各为 $1/2$；检验者可以知道 $k$，未知的是本次轨迹的方向标签。允许随机化，最优平均错误率记为 $$ R_{k,n}=\inf_{\varphi:S^{n+1}\to[0,1]} \frac12\sum_{w\in S^{n+1}} \bigl[P_{k,n}(w)\varphi(w)+P_{k,n}^{R}(w)(1-\varphi(w))\bigr], \tag{103.1d} $$ 其中 $\varphi(w)$ 是报告反向的概率。采用总变差归一化 $$ \operatorname{TV}(\mu,\nu)=\frac12\sum_x|\mu(x)-\nu(x)| =\sup_F|\mu(F)-\nu(F)|, $$ 并记 $$ t_{{\rm mix},k}(1/4)=\min\left\{t\in\mathbb N_0: \sup_{x\in S}\operatorname{TV}(K_k^t(x,\cdot),\pi)\le\frac14\right\}. \tag{103.1e} $$ **命题 103.2（有界分数与正 KL 率不保证统一窗口）。** 每个 $K_k$ 都是严格正的有理双随机核，以 $\pi$ 为平稳律，且不可约、非周期。它们满足 $$ \min_{i,j}K_k(i,j)=\frac1{3k},\qquad \max_{i,j}|A_k(i,j)|=\log2, \qquad c_k=\frac{3-1/k}{16}\log2\ge\frac18\log2. \tag{103.2a} $$ 对所有 $k\ge2$、$n\ge0$， $$ R_{k,n}\ge\frac18\left(1-\frac1k\right)^n. \tag{103.2b} $$ 因此在固定 $d=4$、$B=\log2$、$c_0=(\log2)/8$ 下，没有达到任意目标 $0<\varepsilon<1/8$ 的统一有限窗口： $$ \forall\varepsilon\in(0,1/8),\quad \forall n\in\mathbb N_0,\quad \exists k\ge2:\ R_{k,n}>\varepsilon. \tag{103.2c} $$ 对每个给定的 $k$ 和 $0<\varepsilon<1/8$，达到该误差的必要条件为 $$ R_{k,n}\le\varepsilon \quad\Longrightarrow\quad n\ge\left\lceil \frac{\log(1/(8\varepsilon))}{-\log(1-1/k)} \right\rceil. \tag{103.2d} $$ 同时， $$ t_{{\rm mix},k}(1/4)\ge\frac{k}{4}. \tag{103.2e} $$ **证明。** 第零行及第零列之和均为 $1-1/k+3/(3k)=1$；每个环状态的行、列之和均为 $1/(3k)+a_k=1$，所以 $K_k$ 双随机，均匀律平稳。全部矩阵元素和初始概率都是正有理数。又 $$ 1-\frac1k\ge\frac12, \qquad \frac{a_k}{4}\ge\frac5{24}>\frac16\ge\frac1{3k}, $$ 故最小转移概率恰为 $1/(3k)$。严格正性给不可约性，自环严格正给非周期性。 由于 $\pi$ 均匀，边流比等于转移比。自环以及全部 $0\leftrightarrow i$ 边的比值为一；环内顺时针边与反向边的比值为二。因此 $A_k$ 在顺时针边上等于 $\log2$，在逆时针边上等于 $-\log2$，其余边上为零。三个环边对分别贡献 $$ \frac14a_k\left(\frac12-\frac14\right)\log2 =\frac{a_k}{16}\log2, $$ 从而 $$ c_k=\frac{3a_k}{16}\log2 =\frac{3-1/k}{16}\log2\ge\frac18\log2. $$ 这证明 (103.2a)。 对这里的 $K_k,\pi,Q_k$ 直接应用已有[定理 93.3（平稳边流的路径 KL 与读出比较）](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/176cfa93ded45b6e22b8571bd69fdcbf9b4e9aa1/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)。严格正性满足其双向支撑要求，平稳性已证，故 $$ \sigma_{k,n}(w)=\log\frac{P_{k,n}(w)}{P_{k,n}^{R}(w)} =\sum_{t=0}^{n-1}A_k(x_t,x_{t+1}), \qquad D_{\rm KL}(P_{k,n}\Vert P_{k,n}^{R})=nc_k. \tag{103.2f} $$ 平稳端点概率比在这里等于一。于是 (103.2a) 的 $c_k$ 确为每次转移的路径 KL 率。 两份路径律在有限载体 $S^{n+1}$ 上都是单位质量概率。直接应用已有 [le_cam_two_point_sum](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/176cfa93ded45b6e22b8571bd69fdcbf9b4e9aa1/D5/S3/Estimation/LeCam.lean) 与 [le_cam_two_point_sum_tight](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/176cfa93ded45b6e22b8571bd69fdcbf9b4e9aa1/D5/S3/Estimation/LeCamTight.lean)，得到 $$ R_{k,n}=\frac12\bigl(1-\operatorname{TV}(P_{k,n},P_{k,n}^{R})\bigr) =\frac12\sum_w\min\{P_{k,n}(w),P_{k,n}^{R}(w)\}. \tag{103.2g} $$ 每条路径的错误质量是 $\varphi(w)$ 的仿射函数，故随机化不降低这个最小值；似然比相等时公平抛币仍达到它。 全零路径 $z_n=(0,\ldots,0)$ 在反序下不变，并且 $$ P_{k,n}(z_n)=P_{k,n}^{R}(z_n) =\frac14\left(1-\frac1k\right)^n. $$ 在 (103.2g) 的非负求和中只保留该项，即得 (103.2b)。这项共同质量对已知参数的任何随机化检验都贡献相同的等先验错误下界。 给定 $0<\varepsilon<1/8$ 和整数 $n\ge0$，选择整数 $k\ge2$ 满足 $k>n/(1-8\varepsilon)$。Bernoulli 不等式给出 $$ \left(1-\frac1k\right)^n\ge1-\frac nk>8\varepsilon, $$ 所以 (103.2b) 蕴含 $R_{k,n}>\varepsilon$，证明 (103.2c)。$n=0$ 时该论证仍成立；此时两份路径律都是 $\pi$，实际错误率为 $R_{k,0}=1/2$。 若 $R_{k,n}\le\varepsilon<1/8$，则 (103.2b) 给 $(1-1/k)^n\le8\varepsilon$。因为 $0<1-1/k<1$，取对数并除以正数 $-\log(1-1/k)$，得 $$ n\ge\frac{\log(1/(8\varepsilon))}{-\log(1-1/k)}. $$ $n$ 为整数，故可向上取整，得到 (103.2d)。其分子为固定正数、分母随 $k\to\infty$ 趋于零，所以该必要窗口下界发散。 最后，采用 Levin–Peres（Elizabeth L. Wilmer 参与撰写），[*Markov Chains and Mixing Times*, second edition](https://pages.uoregon.edu/dlevin/MARKOV/markovmixing.pdf)，§7.2 的瓶颈比。对非空 $H\subseteq S$，置 $$ \Phi_k(H)=\frac{Q_k(H,H^c)}{\pi(H)}, \qquad \Phi_{*,k}=\min_{0<\pi(H)\le1/2}\Phi_k(H). $$ 取 $H=\{0\}$，则 $\pi(H)=1/4$，且 $$ Q_k(H,H^c)=\frac1{4k},\qquad \Phi_k(H)=\frac1k,\qquad \Phi_{*,k}\le\frac1k. $$ 该书 Theorem 7.4（式 (7.9)，印刷第 90 页／PDF 第 106 页）适用于不可约、非周期链，不要求可逆性；这一边界亦见该章印刷第 99 页 Notes。直接代入，得到 $$ t_{{\rm mix},k}(1/4)\ge\frac1{4\Phi_{*,k}}\ge\frac{k}{4}, $$ 即 (103.2e)。证毕。 本族在平稳初态、完整状态读出和已知两模型下，仍有随参数延长的无方向信息停留。结论 (103.2c) 的目标范围是 $0<\varepsilon<1/8$；逐边分数界、正 KL 率下界与固定状态数不足以单独控制这一区间内的统一预算，而 (103.2e) 明确给出该族缺少统一混合控制。 ## 103.99 追加锚 ## 104. 独立平稳重启下的统一方向检验判据 **定义与假设 104.1（共享方向标签的独立分段实验）。** 沿用[定义 103.1](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/99457e11eef9700db57c7b85bbafcb0c5fad25ce/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md) 的四状态核 $K_k$、均匀平稳律 $\pi$、$k\ge2$ 及完整状态路径律 $P_{k,n},P_{k,n}^{R}$。增加如下实验能力：给定同一个未知方向标签后，每段独立从 $\pi$ 抽取初态，再按该方向的核演化；标签只抽取一次，在全部段之间共享，先验各为 $1/2$。这里反向核为 $K_k^{\mathsf T}$。 一个设计为 $$ \mathcal D=(m;\ell_1,\ldots,\ell_m),\qquad m\ge1,\quad\ell_s\in\mathbb N_{>0},\qquad L=\sum_{s=1}^{m}\ell_s, \tag{104.1a} $$ 其中每个 $\ell_s$ 计转移次数；段数和段长均预先确定，与 $k$ 和观测数据无关。两份完整记录律为 $$ \mathcal P_{k,\mathcal D} =\bigotimes_{s=1}^{m}P_{k,\ell_s}, \qquad \mathcal P_{k,\mathcal D}^{R} =\bigotimes_{s=1}^{m}P_{k,\ell_s}^{R}. \tag{104.1b} $$ 记 $R_{k,\mathcal D}$ 为这两份已知简单模型的最优等先验平均错误率，允许任意随机化检验使用全部分段记录；记 $$ \overline R(\mathcal D)=\sup_{k\ge2}R_{k,\mathcal D}, \qquad \beta=\frac{17+10\sqrt2}{32}. \tag{104.1c} $$ 独立平稳重启是额外的制备能力；将同一相关轨迹切段并不满足 (104.1b)。段内仍允许 Markov 依赖。 **命题 104.2（统一一致性恰由独立段数决定）。** 在定义与假设 104.1 下，$0<\beta<1$，且对每个设计 $\mathcal D$ 和 $k\ge2$， $$ \frac1{2\cdot4^m}\left(1-\frac1k\right)^L \le R_{k,\mathcal D}\le\frac12\beta^m. \tag{104.2a} $$ 因此 $$ \frac1{2\cdot4^m} \le\overline R(\mathcal D)\le\frac12\beta^m. \tag{104.2b} $$ 上界可由只读取各段首边、且不依赖 $k$ 的同一个方向计数规则实现。对任意满足上述条件的确定性设计序列 $\mathcal D_N=(m_N;\ell_{N,1},\ldots,\ell_{N,m_N})$， $$ \overline R(\mathcal D_N)\longrightarrow0 \quad\Longleftrightarrow\quad m_N\longrightarrow\infty. \tag{104.2c} $$ 不要求 $m_N$ 单调；各段长度可任意增长。 **证明。** 给定方向后，各段独立，且每段初态均为 $\pi$，所以每段首边的正、反律分别为 $$ Q_k(i,j)=\frac14K_k(i,j),\qquad Q_k^{R}(i,j)=Q_k(j,i). $$ 它们是同一有限载体 $S\times S$ 上的非负归一化概率。令 $\delta=1/k$、$a=1-\delta/3$。单边 Bhattacharyya 亲和度为 $$ \begin{aligned} b_k &=\sum_{i,j}\sqrt{Q_k(i,j)Q_k^{R}(i,j)}\\ &=\frac{1-\delta}{4}+\frac{\delta}{2} +\frac{3a}{16}+\frac{6a\sqrt2}{16}\\ &=\frac{7+6\sqrt2}{16} +\delta\frac{3-2\sqrt2}{16}. \end{aligned} \tag{104.2d} $$ 第二行的四项依次来自 $0\to0$、六条连接 $0$ 与环的有向边、三个环内自环及六条有向环边。由于 $3-2\sqrt2=(\sqrt2-1)^2>0$，且 $0<\delta\le1/2$， $$ 00$ 时报告正向、$J<0$ 时报告反向、$J=0$ 时公平抛币，即为同时适用于全部 $k$ 的最优首边检验，实现 (104.2e)。这条规则只判断共享方向标签，不识别参数 $k$。 另一方面，在完整记录中考虑每段全部为零的那一个联合结果。沿用命题 103.2 中的单段路径质量，并利用段间条件独立性，该结果在两份律下都具有质量 $$ \prod_{s=1}^{m}\frac14\left(1-\frac1k\right)^{\ell_s} =4^{-m}\left(1-\frac1k\right)^L. $$ 在已有最优重叠质量公式的非负和中只保留该结果，得到 (104.2a) 的下界。它约束使用全部段内数据的任何检验，不仅约束首边规则。 固定一个设计 $\mathcal D$ 后，$m,L$ 是与 $k$ 无关的有限整数。令合法整数 $k\to\infty$，有 $(1-1/k)^L\to1$；故对 $k$ 取上确界后得到 (104.2b) 的下界，上界则已经统一。此处未将 $\delta=0$ 的退化核加入模型族，也不要求某个有限 $k$ 取得上确界。 若 $m_N\to\infty$，由 $0<\beta<1$ 与 (104.2b) 得 $\overline R(\mathcal D_N)\to0$。反之，若 $m_N$ 不趋于无穷，则存在有限整数 $M$ 和无限子序列 $N_j$，使 $m_{N_j}\le M$。于是 $$ \overline R(\mathcal D_{N_j})\ge\frac1{2\cdot4^M}>0, $$ 排除统一一致性，证明 (104.2c)。下界是在每个固定设计内先取 $k$ 的上确界，再考察设计序列的极限。证毕。 本判据把独立平稳段数与段内转移次数分开；独立初态的制备成本未计入转移次数。这里 $m$ 计独立初态制备及正长度段；若只计首次制备后的重置，则为 $m-1$ 次。每段至少一条边以及真正的独立重启均是前提，不能由复制记录、切分同一轨迹或仅知道平稳分布来替代。 ## 104.99 追加锚 ## 105. 确定环初态下的统一方向检验阶界 **定义与假设 105.1（共同准备初态的两核实验）。** 沿用[定义 103.1](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/99457e11eef9700db57c7b85bbafcb0c5fad25ce/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md) 的四状态核 $K_k$，$k\ge2$，记 $\delta=1/k$、$a=1-\delta/3$。现在在两个假设下均将初态确定准备为状态 $1$，随后分别使用 $K_k$ 与 $K_k^{\mathsf T}$。观察 $n\ge0$ 次转移后的完整路径，载体为 $$ \Omega_{1,n}=\{(x_0,\ldots,x_n)\in\{0,1,2,3\}^{n+1}:x_0=1\}. $$ 在此载体上定义两份概率 $$ P^1_{k,n}(x)=\prod_{t=0}^{n-1}K_k(x_t,x_{t+1}), \qquad Q^1_{k,n}(x)=\prod_{t=0}^{n-1}K_k(x_{t+1},x_t). \tag{105.1a} $$ 两核的行和均为 $1$，故它们归一化；全部路径质量严格正。记 $R^1_{k,n}$ 为等先验、允许随机化检验的最优平均错误率，且 $$ \overline R^1_n=\sup_{k\ge2}R^1_{k,n}, \qquad b=\frac{1+2\sqrt2}{4}<1. \tag{105.1b} $$ 该实验比较同一受控起点下的两个转移核。将两律延拓到全部路径载体并在 $x_0\ne1$ 处赋零后，整路径反序 $\Theta_n$ 满足 $$ (\Theta_n)_*P^1_{k,n}(x) =\mathbf1_{\{x_n=1\}}\prod_{t=0}^{n-1}K_k(x_{t+1},x_t). \tag{105.1c} $$ 因此 $n\ge1$ 时它不同于 $Q^1_{k,n}$：例如 $(1,0,\ldots,0)$ 在后者中为正，在前者中为零。这里不采用平稳初态的路径 KL 恒等式。 **命题 105.2（最坏参数风险的 $1/n$ 阶）。** 对每个整数 $n\ge1$， $$ \frac1{24n}\le\overline R^1_n \le\min\left\{\frac12,\frac4{5(1-b)(n+1)}\right\}. \tag{105.2a} $$ 所以 $\overline R^1_n=\Theta(1/n)$，其中常数不声称最优。$n=0$ 时 $R^1_{k,0}=1/2$。对所有 $k$，同一个不依赖 $k$ 的净环方向计数规则达到各自的最优风险。 **证明。** 令 $J_n$ 为路径中 $1\to2,2\to3,3\to1$ 的经过次数减去三条逆向边的经过次数。其余边在两核中相同，故 $$ \frac{P^1_{k,n}(x)}{Q^1_{k,n}(x)}=2^{J_n(x)}. $$ 已有有限两点检验恒等式 [le_cam_two_point_sum](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/99457e11eef9700db57c7b85bbafcb0c5fad25ce/D5/S3/Estimation/LeCam.lean) 及 [le_cam_two_point_sum_tight](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/99457e11eef9700db57c7b85bbafcb0c5fad25ce/D5/S3/Estimation/LeCamTight.lean) 直接给出 $$ R^1_{k,n}=\frac12\sum_{x\in\Omega_{1,n}} \min\{P^1_{k,n}(x),Q^1_{k,n}(x)\}. \tag{105.2b} $$ 逐记录的仿射最小化同样涵盖随机化检验。因此 $J_n>0$ 选 $P^1$，$J_n<0$ 选 $Q^1$，$J_n=0$ 时公平打破平局，即为每个 $k$ 的最优规则；它不需要估计 $k$。 置非负矩阵 $$ M_{ij}=\sqrt{K_k(i,j)K_k(j,i)}. $$ 采用 Kazakos 的 Markov 路径亲和度公式，按 Daskalakis–Dikkala–Gravin，[*Testing Symmetric Markov Chains From a Single Trajectory*](https://proceedings.mlr.press/v75/daskalakis18a/daskalakis18a.pdf)，COLT 2018，§3 Lemma 5、式 (5) 的一般核与任意初始律版本，将两份初始律均取为 $\delta_1$，得到 $$ B_{k,n}:=\sum_{x\in\Omega_{1,n}}\sqrt{P^1_{k,n}(x)Q^1_{k,n}(x)} =e_1^{\mathsf T}M^n\mathbf1_4. \tag{105.2c} $$ 这里直接使用该有限路径恒等式，不使用该文对称核检验算法的额外假设；也不把相邻边视为独立样本。该文将公式归于 Kazakos，*The Bhattacharyya distance and detection between Markov chains*，IEEE Transactions on Information Theory 24(6), 747–754 (1978)，[DOI](https://doi.org/10.1109/TIT.1978.1055967)。 按块 $\{0\}$ 与 $\{1,2,3\}$ 定义 $4\times2$ 矩阵 $L$：第 $0$ 行为 $(1,0)$，三个环状态行均为 $(0,1)$。直接将定义 103.1 的条目代入 $M$，得 $$ ML=LH,\qquad H=\begin{pmatrix}1-\delta&\delta\\ \delta/3&ab\end{pmatrix}, \qquad L\mathbf1_2=\mathbf1_4. \tag{105.2d} $$ 其中环行的环内质量为 $a/4+2a\sqrt2/4=ab$。因而 $$ B_{k,n}=e_{\rm ring}^{\mathsf T}H^n\mathbf1_2, \qquad e_{\rm ring}^{\mathsf T}=(0,1). \tag{105.2e} $$ $H$ 非负且 $H\mathbf1_2\le\mathbf1_2$：首行和为 $1$，次行和为 $\delta/3+ab\le\delta/3+a=1$。故它是次随机矩阵，且 $B_{k,n}$ 随 $n$ 不增。 由 $1<\sqrt2<3/2$ 得 $00. $$ 因此它是 $S^2$ 上的有限不可约链，平稳律为 $\rho_k(x,y)=K_k(x,y)/4$。这一平稳性由 $K_k$ 的列和为 $1$ 直接核对。边链的初始律由准备态 $1$ 和第一步转移给出，不要求它已经平稳。 直接应用 Levin–Peres（Elizabeth L. Wilmer 参与撰写），[*Markov Chains and Mixing Times*, second edition](https://pages.uoregon.edu/dlevin/MARKOV/markovmixing.pdf)，Appendix C，Theorem C.1 的有限不可约链遍历定理：对任意初始分布及实值状态函数，经验均值几乎处处趋于平稳均值。将状态函数取为 $$ f(x,y)=\mathbf1_{\{(x,y)=(i,j)\}}-\mathbf1_{\{(x,y)=(j,i)\}}, $$ 其平稳均值为 $$ \sum_{x,y}\rho_k(x,y)f(x,y) =\frac14\left(\frac{a_k}{2}-\frac{a_k}{4}\right)=\frac{a_k}{16}>0. $$ 在转置核下，同一边链论证给出相反的均值，故 $$ \frac{D_n}{n}\longrightarrow \begin{cases}a_k/16,&K_k\text{ 下},\\-a_k/16,&K_k^{\mathsf T}\text{ 下},\end{cases} \quad\text{几乎处处}. \tag{106.2h} $$ 取 $D_n>0$ 报告 $K_k$，$D_n<0$ 报告 $K_k^{\mathsf T}$，平局公平随机化。两个方向的错误概率由有界收敛趋于零，且规则不依赖 $k$；最优风险不大于此规则的风险，证明充分性。证明用的是实际边链，不假设粗观察为 Markov，也不假设相邻边独立。 环上单射要求至少三个有效符号，而 (106.2c) 确实达到这一数目，故最小值为 $3$。$n=0$ 时两份读数均确定为 $r(1)$，风险为 $1/2$。证毕。 该判据区分“用了几个符号”与“符号分开了哪些状态”：三个有效符号若仍合并两个环状态，也满足永久风险下界。式 (106.2h) 是每个固定参数下的几乎处处极限，不是准备初态下每个有限窗口的期望，也不从其均值的正下界推得统一预算。 ## 106.99 追加锚 ## 107. 可见回返标记下的统一方向风险阶 **定义与假设 107.1（环分离的已知静态读数）。** 沿用第 106 节的两核实验、共同准备态 $1$、已知静态读数 $r$ 及可见最优等先验风险 $R^r_{k,n}$，并假设 $r(1),r(2),r(3)$ 两两不同。检验可使用全部可见前缀，$n$ 仍计转移次数。记 $$ \overline R^r_n=\sup_{k\ge2}R^r_{k,n}. $$ 给定确定性可见检验 $\Gamma:A^{n+1}\to\{0,1\}$，以 $0,1$ 分别报告 $K_k,K_k^{\mathsf T}$，其等先验错误率为 $$ \mathcal E^r_{k,n}(\Gamma) =\frac12\left[P^r_{k,n}(\Gamma=1)+Q^r_{k,n}(\Gamma=0)\right]. $$ 另定义 $$ M^r_n=\inf_{\Gamma:A^{n+1}\to\{0,1\}} \sup_{k\ge2}\mathcal E^r_{k,n}(\Gamma). $$ 这里同一确定性检验用于全部 $k$；选择它时允许使用已知的 $r$ 和记录长度，但不使用未知的 $k$。$\overline R^r_n$ 允许各参数分别选择最优随机化检验，$M^r_n$ 则要求共用一条规则。 **命题 107.2（静态环分离保留统一 $1/n$ 阶）。** 对每个满足定义与假设 107.1 的读数及整数 $n\ge1$， $$ \frac1{24n}\le\overline R^r_n \le M^r_n\le\min\left\{\frac12,\frac{592}{n+1}\right\}. \tag{107.2a} $$ 存在同一套确定性可见规则 $\Gamma_{r,n}$，对所有 $k\ge2$ 都有 $$ \mathcal E^r_{k,n}(\Gamma_{r,n})\le\frac{592}{n+1}. \tag{107.2b} $$ 两个方向下的错误概率各自也满足 (107.2b) 的同一上界。因而逐参数优化后取上确界的风险与不使用 $k$ 的统一规则所能达到的风险，均具有 $1/n$ 阶；数值常数不声称最优。 **证明。** 记 $a=1-1/(3k)$、$\delta=1/k$，以方向 $d=0$ 表示核 $K_k$，方向 $d=1$ 表示 $K_k^{\mathsf T}$。在三个环标签中至多一个等于 $r(0)$，故至少两个环状态具有全状态空间中的单点观察纤维。从固定顺序 $(1,2),(2,3),(3,1)$ 中选择第一条两个端点均有单点纤维的边 $(u,v)$，置 $B=r(u)$、$C=r(v)$。此选择只依赖 $r$，且 $$ K_k(u,v)=a/2,\qquad K_k^{\mathsf T}(u,v)=a/4. \tag{107.2c} $$ 以下时刻均取非负整数。定义可由读数定位的到达时刻和回返时刻 $$ \tau_0=\inf\{t\ge0:Y_t=B\},\qquad \tau_{m+1}=\inf\{t>\tau_m:Y_t=B\},\qquad L_m=\tau_{m+1}-\tau_m. \tag{107.2d} $$ 因为 $r^{-1}(B)=\{u\}$，这些同时是隐藏链到达状态 $u$ 的停时。对每个固定 $k$，将当前方向的转移核记为 $P$。两核所有条目严格正，故 $q=\min_x P(x,u)>0$；由逐步条件概率，连续 $t$ 步未到达的概率至多为 $(1-q)^t$。这个界也适用于任一到达后等待下一次回返的条件尾概率。因此每个 $\tau_m,L_m$ 都几乎必然有限且可积；取可数个满概率事件的交，并由 $\tau_{m+1}\ge\tau_m+1$，得 $\tau_m\to\infty$ 几乎必然。自环也算回返，此时 $L_m=1$。 先核对两项统一时间界： $$ \mathbb E_{d,k}\tau_0\le4, \qquad \mathbb E_{d,k}[L_m\mid\mathcal F_{\tau_m}]=4, \tag{107.2e} $$ 其中 $\mathcal F_t$ 是隐藏链的自然历史。对第一项，循环重标记固定 $0$，保持两核各自形式，可将目标 $u$ 化为 $2$。在正向核下，令 $h_i$ 为从 $i$ 首次到达 $2$ 的平均时间，令 $D=a^2+4a+16$。有限性已证；在 $i\ne2$ 处的首次步方程 $h_i=1+\sum_jK_k(i,j)h_j$ 与 $h_2=0$ 给出 $$ h_1=\frac{64}{D},\qquad h_3=\frac{16(a+4)}{D},\qquad h_0=\frac1\delta+\frac{h_1+h_3}{3},\qquad h_2=0. \tag{107.2f} $$ 消去 $h_0$ 后两式为 $(8+a)h_1-(4-a)h_3=16$ 与 $(8+a)h_3-(4+2a)h_1=16$，代入即成立；该方程的解唯一，因为去掉目标后的转移矩阵各行和至多为 $1-q<1$，两解之差的最大绝对值只能为零。交换状态 $1,3$ 将两核共轭并固定目标 $2$，故反向核仅交换上述 $h_1,h_3$。由于 $$ h_1\le h_3<4,\qquad 4-h_3=\frac{4a^2}{D}>0, $$ 从任意环状态到任意环目标的期望至多为 $4$；若初态已经是目标则为零。 两核均为有限不可约链，平稳律均为 $\pi_i=1/4$。直接应用 Levin–Peres（Elizabeth L. Wilmer 参与撰写），[*Markov Chains and Mixing Times*, second edition](https://pages.uoregon.edu/dlevin/MARKOV/markovmixing.pdf)，Proposition 1.19、式 (1.28) 的平均回返时间公式，得到从 $u$ 出发的首次正回返期望 $1/\pi_u=4$。在 $\tau_m$ 处使用强 Markov 性，便给出 (107.2e) 的条件期望式。这里采用 Richard Weber，[*Markov Chains*](https://www.statslab.cam.ac.uk/~rrw1/markov/M.pdf)，§4.4 Theorem 4.4 的强 Markov 定理；首次步方程见同文 §4.2 Theorem 4.2。所用停时有限、到达状态确定，已在上面履行其前提。 在第 $m$ 个回返周期记录标记 $$ W_m=\mathbf1_{\{Y_{\tau_m+1}=C\}}. $$ 强 Markov 性使各周期从同一状态 $u$ 重新开始，所以对每个固定方向与参数，$(W_m)_{m\ge0}$ 独立同分布。单点纤维与 (107.2c) 给其 Bernoulli 参数 $$ \theta_0=a/2\ge5/12,\qquad \theta_1=a/4\le1/4. \tag{107.2g} $$ 不要求 $W_m$ 与同周期长度 $L_m$ 独立。 令 $g_0=0$；在第 $m\ge1$ 次回返点，仅使用此前已经完成的 $m$ 个周期标记，定义 $$ g_m=\begin{cases} 0,&3\sum_{i=0}^{m-1}W_i\ge m,\\ 1,&3\sum_{i=0}^{m-1}W_i1+1/72$ 得几何和小于 $73$。 现在令 $\Gamma_{r,n}$ 对 $G_0,\ldots,G_n$ 作多数表决，平局选择方向 $0$。全部 $G_t$ 可从现有前缀恢复。若表决错误，则至少 $(n+1)/2$ 个前缀判别错误，包含平局情况。对非负可测的有限错误计数，以正阈值 $(n+1)/2$ 应用 Markov 不等式，采用钉版 Mathlib 的 [MeasureTheory.meas_ge_le_lintegral_div](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue/Markov.lean)，故对每个方向分别有 $$ \Pr_{d,k}(\Gamma_{r,n}\ne d) \le\frac2{n+1}\mathbb E_{d,k}\sum_{t=0}^{n}\mathbf1_{\{G_t\ne d\}} \le\frac{592}{n+1}. \tag{107.2l} $$ 这证明 (107.2b)。规则只用已知 $r$、观测时刻和整数计数，不用 $k$；其平均风险给 $M^r_n$ 同样的上界。恒报一个方向是另一条不使用 $k$ 的确定性检验，给 $M^r_n$ 的 $1/2$ 上界。对任何共同检验逐参数有 $R^r_{k,n}\le\mathcal E^r_{k,n}(\Gamma)$，先取上确界再对共同检验取下确界，得到 $\overline R^r_n\le M^r_n$；没有交换上下确界。 对下界，任何可见检验与逐坐标读出复合，都是同一准备实验上的完整状态检验。因此第 105 节的完整状态最优风险满足 $R^1_{k,n}\le R^r_{k,n}$。对 $k$ 取上确界并直接应用命题 105.2，得到 $\overline R^r_n\ge1/(24n)$，证明 (107.2a)。这同样约束任何不使用 $k$ 的共同检验，完成风险阶的两种量词结论。证毕。 原始多数规则的短窗口平均风险不保证小于 $1/2$；式 (107.2a) 的最小值来自两条可选共同检验给 $M^r_n$ 的界。该构造既不声称原始粗读数是 Markov 链，也不声称所构造规则对给定 $k$ 已是完整可见实验的最优检验。它保留的是统一风险阶，不是完整状态的全部似然信息。 ## 107.99 追加锚 ## 108. 对称标签噪声下的共同块检验与整段净流界 **定义与假设 108.1（共同准备初态的噪声读数实验）。** 沿用[定义 103.1](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/b260e76f3e856ce2fe009292892659a1a8a083f8/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)的四状态核 $K_k$，$k\ge2$，记 $\delta=1/k$、$a=1-\delta/3$。方向 $d=0$ 使用 $\mathsf K_0=K_k$，方向 $d=1$ 使用 $\mathsf K_1=K_k^{\mathsf T}$，两个方向均确定准备于 $X_0=1$，先验各为 $1/2$。静态读数为 $$ r(0)=r(1)=A,\qquad r(2)=B,\qquad r(3)=C. $$ 固定且已知 $0<\varepsilon<2/3$。实际标签 $Z_t$ 由 $r(X_t)$ 经过三元对称通道产生：正确标签概率为 $1-\varepsilon$，另两标签各为 $\varepsilon/2$。噪声独立于方向及隐藏链演化；给定完整隐藏路径后，各时刻发射独立。观察 $n\ge0$ 次转移对应的 $n+1$ 个标签 $(Z_0,\ldots,Z_n)$，记方向律为 $\mathbb P^\varepsilon_{d,k}$。 随机检验 $\phi:\{A,B,C\}^{n+1}\to[0,1]$ 的值表示报告方向 $1$ 的概率，其等先验风险为 $$ R^\varepsilon_{k,n}(\phi) =\frac12\mathbb E^\varepsilon_{0,k}\phi +\frac12\mathbb E^\varepsilon_{1,k}(1-\phi). $$ 逐参数最优风险与共同确定检验的最坏参数风险分别记为 $$ R^{*,\varepsilon}_{k,n}=\inf_{\phi}R^\varepsilon_{k,n}(\phi), \qquad \overline R^{*,\varepsilon}_n=\sup_{k\ge2}R^{*,\varepsilon}_{k,n}, $$ $$ M^\varepsilon_n= \inf_{\substack{\phi:\{A,B,C\}^{n+1}\to\{0,1\}\\ \phi\text{ 可使用 }\varepsilon,n\text{，不使用 }k}} \ \sup_{k\ge2}R^\varepsilon_{k,n}(\phi). \tag{108.1a} $$ 前一个下确界允许检验使用给定的 $k$；后一个下确界要求同一确定检验适用于全部 $k$。 置 $\rho=\varepsilon/2$、$\lambda=1-3\varepsilon/2>0$，定义去噪边分数 $$ f_b(z)=\frac{\mathbf1_{\{z=b\}}-\rho}{\lambda} \quad(b\in\{A,B,C\}),\qquad \widehat g_\varepsilon(z,z') =f_B(z)f_C(z')-f_C(z)f_B(z'), $$ $$ \widehat F_{u,L} =\sum_{t=u}^{u+L-1}\widehat g_\varepsilon(Z_t,Z_{t+1}), \qquad \widehat F_n=\widehat F_{0,n}. \tag{108.1b} $$ $L$ 计块内转移数，故 $\widehat F_{u,L}$ 使用 $L+1$ 个标签。 **命题 108.2（共同块规则的统一上界）。** 置 $$ \beta=\frac5{288},\qquad \kappa_\varepsilon=\frac{\beta^2\lambda^4}{288}>0,\qquad L_0=\max\left\{256,\left\lceil\frac{\log12}{\kappa_\varepsilon}\right\rceil\right\}, $$ $$ L_n=\max\left\{L_0, \left\lceil\frac{3\log(n+1)}{\kappa_\varepsilon}\right\rceil\right\}, \qquad T_n=L_n+1,\qquad J_n=\left\lfloor\frac{n+1}{T_n}\right\rfloor. \tag{108.2a} $$ 共同确定规则 $\Gamma_{\varepsilon,n}$ 依次检查 $j=0,\ldots,J_n-1$ 的块。第 $j$ 块读取 $jT_n,\ldots,jT_n+L_n$：若 $\widehat F_{jT_n,L_n}>\beta L_n$，声明方向 $0$；若 $\widehat F_{jT_n,L_n}<-\beta L_n$，声明方向 $1$；其余情形不声明。首次声明即作为结果；全部完整块均无声明时报告 $0$。相邻块不共享标签，跨块转移不计分，阈值相等时继续检查。 对全部 $k\ge2$、$d\in\{0,1\}$ 及 $n\ge0$，原始块规则满足每方向错误界 $$ \mathbb P^\varepsilon_{d,k}(\Gamma_{\varepsilon,n}\ne d) \le B_{\varepsilon,n} :=\frac{32(L_n+1)}{3(n+1)}+\frac3{(n+1)^2}. \tag{108.2b} $$ 对 $n\ge1$， $$ \frac1{24n}\le\overline R^{*,\varepsilon}_n \le M^\varepsilon_n \le\min\left\{\frac12,B_{\varepsilon,n}\right\} =O_\varepsilon\!\left(\frac{\log(n+1)}{n+1}\right). \tag{108.2c} $$ $n=0$ 时 $\overline R^{*,\varepsilon}_0=M^\varepsilon_0=1/2$。式 (108.2b) 是原始块规则的每方向界；式 (108.2c) 中的 $1/2$ 是共同检验另可选择恒定报告所得的平均风险界。 **证明。** 先传递命题 105.2 的共同路径下界。隐藏路径 $(1,0,\ldots,0)$ 在两方向下均有质量 $$ w_{k,n}=\frac\delta3(1-\delta)^{n-1}. $$ 给定这条路径，两方向产生相同的归一化噪声输出律 $\nu_n$，所以两份可见律均支配 $w_{k,n}\nu_n$。对任意随机检验 $\phi$，将两项错误积分限制到这份共同子测度，得 $$ R^\varepsilon_{k,n}(\phi) \ge\frac{w_{k,n}}2\int[\phi+(1-\phi)]\,d\nu_n =\frac\delta6(1-\delta)^{n-1}. \tag{108.2d} $$ 这也是既有有限两点重叠公式 [le_cam_two_point_sum](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/c04f3432ca0e3639374cdddecc3be083fc5bff37/D5/S3/Estimation/LeCam.lean)、 [le_cam_two_point_sum_tight](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/c04f3432ca0e3639374cdddecc3be083fc5bff37/D5/S3/Estimation/LeCamTight.lean) 对共同噪声分量的应用。取合法整数 $k=2n$，Bernoulli 不等式给 $(1-1/(2n))^{n-1}\ge1/2$，故得到 $1/(24n)$。 下面证明块规则上界。发射矩阵为 $\lambda I+\rho\mathbf1\mathbf1^{\mathsf T}$，从而 $$ \mathbb E[f_b(Z_t)\mid X]=\mathbf1_{\{r(X_t)=b\}}. $$ 定义隐藏边函数 $$ g(i,j)=\mathbf1_{\{i=2,j=3\}}-\mathbf1_{\{i=3,j=2\}}. $$ 由相邻两次发射的条件独立性， $$ \mathbb E[\widehat g_\varepsilon(Z_t,Z_{t+1})\mid X] =g(X_t,X_{t+1}). \tag{108.2e} $$ $\widehat g_\varepsilon$ 的可能值为 $0$、$\pm\rho/\lambda^2$、$\pm(1-\varepsilon)/\lambda^2$，因此 $$ |\widehat g_\varepsilon|\le M:=\lambda^{-2}. $$ 固定 $k,d$，记 $s_0=1,s_1=-1$、$c=a/12\ge c_0:=5/72$。构造有界势 $h_d$ 如下。对环坐标 $(1,2,3)$，令 $$ C_0(x_1,x_2,x_3)=(x_2,x_3,x_1),\qquad C_1(x_1,x_2,x_3)=(x_3,x_1,x_2), $$ $$ v_0=(-1/12,5/12,-1/3),\qquad v_1=(-1/12,-1/3,5/12),\qquad \chi=a/4. $$ 置 $h_d(0)=0$，以及 $$ h_d|_{\{1,2,3\}} =\frac{a}{1-\chi^3} \left(v_d+\chi C_dv_d+\chi^2C_d^2v_d\right). \tag{108.2f} $$ 两个 $v_d$ 的环坐标和均为零，且 $C_d^3=I$。环内归一化转移矩阵为 $(3/4)U+(1/4)C_d$，其中 $U$ 的各行均为均匀分布。故逐坐标计算得到 $$ \sum_{i=1}^3h_d(i)=0,\qquad (I-\mathsf K_d)h_d(i) =\sum_j\mathsf K_d(i,j)s_dg(i,j) -c\mathbf1_{\{i\ne0\}}. \tag{108.2g} $$ 在状态 $0$，两侧均为零；在环状态，等式归结为 $(I-\chi C_d)h_d=av_d$。此外， $$ \|h_d\|_\infty \le\frac{a(5/12)(1+\chi+\chi^2)}{1-\chi^3} =\frac{a(5/12)}{1-a/4}\le\frac59. \tag{108.2h} $$ 对任意隐藏起点，考虑一个 $L$ 条边的块，先将起始时间记为 $0$。置 $$ V_L=\sum_{t=0}^{L-1}\mathbf1_{\{X_t\ne0\}},\qquad \eta_t=s_dg(X_t,X_{t+1})+h_d(X_{t+1})-h_d(X_t) -c\mathbf1_{\{X_t\ne0\}}. $$ 式 (108.2g) 表明 $\eta_t$ 对隐藏链历史条件均值为零；由 (108.2h)， $$ |\eta_t|\le1+10/9+1/12<3. $$ 记 $H_L=\sum_{t\beta L. $$ 故从任意环状态开始，单块正确声明概率至少为 $$ \frac12-3e^{-\kappa_\varepsilon L}\ge\frac14. \tag{108.2m} $$ 为控制等待时间，令 $T=L+1$，在网格时刻 $jT$ 考察隐藏环指示量 $I_j=\mathbf1_{\{X_{jT}\ne0\}}$。其 Markov 转移由刚才的两状态核直接计算：置 $z=(1-4\delta/3)^T$，则 $$ \mathbb P(I_{j+1}=0\mid I_j=1)=\frac{1-z}{4}, \qquad \mathbb P(I_{j+1}=1\mid I_j=0)=\frac{3(1-z)}4. \tag{108.2n} $$ 因为 $\delta>0$，该网格链不可约；从环到下一次网格回环的平均间隔为 $$ 1+\frac{(1-z)/4}{3(1-z)/4}=\frac43. \tag{108.2o} $$ 这里只对隐藏环指示量使用已计算的 Markov 核；噪声标签序列不被假设为 Markov 链。 令 $\sigma_0=0<\sigma_1<\cdots$ 为网格上满足 $I_j=1$ 的时刻，以块编号计数。取块开始前的历史 $$ \mathcal G_j =\sigma(X_0,\ldots,X_{jT};Z_0,\ldots,Z_{jT-1}). $$ 在 $\sigma_m$ 处，当前块的发射尚未读取。先在事件 $\{\sigma_m=j\}$ 上固定截至 $jT$ 的隐藏历史：已经读到的发射只依赖此前隐藏坐标和独立的发射随机性，因而不会改变给定 $X_{jT}$ 后的未来隐藏转移律及尚未读取的发射律。对这些隐藏历史取条件平均，再对 $j$ 求和，便得到相同的停时重启结论。这一步将发射的条件独立性与隐藏链的强 Markov 性结合；后者直接采用 Richard Weber, [Markov Chains](https://www.statslab.cam.ac.uk/~rrw1/markov/M.pdf) （2011 年 10 月）§4.4 Theorem 4.4（印刷页 15 / PDF 页 19），平均命中时间的一阶步方程见同书 Theorem 4.2。 记 $C_m=\sigma_{m+1}-\sigma_m$，由 (108.2o)， $$ \mathbb E[C_m\mid\mathcal G_{\sigma_m}]=4/3. $$ 仅在证明中，把每个 $\sigma_m$ 对应的块作为一次尝试，令 $\nu$ 为首次作出声明的尝试编号，从 $0$ 开始。此前尝试块都在当前块开始前结束，故 $\{\nu\ge m\}$ 可测于 $\mathcal G_{\sigma_m}$。式 (108.2m) 对此条件历史仍给至少 $1/4$ 的声明概率，因此 $$ \mathbb P(\nu\ge m)\le(3/4)^m,\qquad \mathbb E[C_m\mathbf1_{\{\nu\ge m\}}] =\frac43\mathbb P(\nu\ge m). \tag{108.2p} $$ 当前尝试成功与 $C_m$ 可以相关；上式只把已经确定的过去事件移出条件期望。由非负级数的 Tonelli 交换， $$ \mathbb E\sigma_{\nu+1} =\sum_{m\ge0}\mathbb E[C_m\mathbf1_{\{\nu\ge m\}}] \le\frac43\sum_{m\ge0}(3/4)^m=\frac{16}3. \tag{108.2q} $$ 实际规则扫描全部固定块。若 $W$ 是首次声明所需的总块数，成功块也计入，则 $$ W\le\sigma_\nu+1\le\sigma_{\nu+1}, \qquad \mathbb EW\le16/3. \tag{108.2r} $$ 这些隐藏网格时刻仅用于证明；规则不观察或识别它们。 最后取 $L=L_n$。若 $J_n\ge1$，无声明概率至多 $16/(3J_n)$。每个扫描块无论从什么隐藏状态开始，均满足 (108.2l)，所以对任一方向，错误概率不超过无声明概率加上任一块错向声明的概率： $$ \mathbb P^\varepsilon_{d,k}(\Gamma_{\varepsilon,n}\ne d) \le\frac{16}{3J_n}+3J_ne^{-\kappa_\varepsilon L_n}. $$ 由 $J_n\ge(n+1)/(2T_n)$、$J_n\le n+1$ 及 $e^{-\kappa_\varepsilon L_n}\le(n+1)^{-3}$，得到 (108.2b)。若 $J_n=0$，则 $T_n>n+1$，此时 $B_{\varepsilon,n}>1$，同一界仍成立。 逐参数随机检验最优值不超过任一共同确定检验的风险，因此 $\overline R^{*,\varepsilon}_n\le M^\varepsilon_n$。共同规则 $\Gamma_{\varepsilon,n}$ 给 $B_{\varepsilon,n}$ 上界，恒报 $0$ 的共同规则另给等先验风险 $1/2$。对固定 $\varepsilon$，$L_n=O_\varepsilon(\log(n+1))$，这证明 (108.2c)。$n=0$ 时两方向只有同一个初态发射律，故最优风险为 $1/2$。证毕。 **命题 108.3（整段去噪净流符号规则的较慢最坏参数风险）。** 令 $\Psi_{\varepsilon,n}$ 在 $\widehat F_n>0$ 时报告 $0$，在 $\widehat F_n<0$ 时报告 $1$，零分处采用任意固定平局决定。置 $$ v_\varepsilon=2(\varepsilon/2)^2(1-\varepsilon)>0,\qquad N_\varepsilon=\max\left\{2,\left\lceil256/v_\varepsilon\right\rceil\right\}. $$ 对所有整数 $n\ge N_\varepsilon$ 及两个方向，取合法参数 $k=n$，有 $$ \mathbb P^\varepsilon_{d,n}(\Psi_{\varepsilon,n}\ne d) \ge\frac{v_\varepsilon^{5/2}}{13824e\sqrt n}. \tag{108.3a} $$ 特别地， $$ \sup_{k\ge2}R^\varepsilon_{k,n}(\Psi_{\varepsilon,n}) =\Omega_\varepsilon(n^{-1/2}). \tag{108.3b} $$ 该结论只约束 $\Psi_{\varepsilon,n}$，不是 $\overline R^{*,\varepsilon}_n$ 或 $M^\varepsilon_n$ 的相同阶下界。 **证明。** 定义实际标签的原始净流与端点函数 $$ S_n=\sum_{t=0}^{n-1} \left(\mathbf1_{\{Z_t=B,Z_{t+1}=C\}} -\mathbf1_{\{Z_t=C,Z_{t+1}=B\}}\right), \qquad q(z)=\mathbf1_{\{z=B\}}-\mathbf1_{\{z=C\}}. $$ 展开 (108.1b) 并将梯度项求和，得 $$ \lambda^2\widehat F_n =S_n-\rho[q(Z_0)-q(Z_n)], \qquad |\rho[q(Z_0)-q(Z_n)]|\le2\rho=\varepsilon<1. \tag{108.3c} $$ 先计算纯陷阱区间的噪声矩。若 $U_0,\ldots,U_\ell$ 独立，且各自标签概率为 $(1-\varepsilon,\rho,\rho)$，置 $$ \zeta_t=\mathbf1_{\{U_t=B,U_{t+1}=C\}} -\mathbf1_{\{U_t=C,U_{t+1}=B\}},\qquad \widetilde S_\ell=\sum_{t=0}^{\ell-1}\zeta_t. $$ 对调全部 $B,C$ 保持标签律并使分数变号，故 $\widetilde S_\ell$ 的分布对称。直接计算得 $$ \mathbb E\zeta_t=0,\qquad \mathbb E\zeta_t^2=2\rho^2,\qquad \mathbb E(\zeta_t\zeta_{t+1})=-2\rho^3. $$ 不相邻边独立，因此对 $\ell\ge1$， $$ \mathbb E\widetilde S_\ell^2 =2\rho^2\ell-4\rho^3(\ell-1) =v_\varepsilon\ell+4\rho^3 \ge v_\varepsilon\ell. \tag{108.3d} $$ 偶数边组与奇数边组各自由独立、中心化、绝对值至多 $1$ 的变量组成。对任一含 $m$ 项的组，其四阶矩为 $$ \sum_i\mathbb E\zeta_i^4 +6\sum_{i0\}|$。 观察 $n\ge0$ 次转移得到 $n+1$ 个读数 $(Y_0,\ldots,Y_n)$，两份律记为 $P^E_{k,n},Q^E_{k,n}$，相应概率记为 $\mathbb P^E_{d,k}$。检验 $\varphi:\mathcal A^{n+1}\to[0,1]$ 的值表示报告方向 $1$ 的概率，风险为 $$ R^E_{k,n}(\varphi) =\frac12\left( \int\varphi\,dP^E_{k,n} +\int(1-\varphi)\,dQ^E_{k,n}\right). \tag{109.1a} $$ 定义逐参数最优随机风险、其最坏参数值及共同确定检验的最优最坏风险： $$ R^{*,E}_{k,n}=\inf_{\varphi:\mathcal A^{n+1}\to[0,1]} R^E_{k,n}(\varphi),\qquad \overline R^{*,E}_n=\sup_{k\ge2}R^{*,E}_{k,n}, $$ $$ M^E_n= \inf_{\substack{\varphi:\mathcal A^{n+1}\to\{0,1\}\\ \varphi\text{ 可使用 }E,n\text{，不使用 }k}} \ \sup_{k\ge2}R^E_{k,n}(\varphi). \tag{109.1b} $$ 前一个下确界允许使用给定的 $k$，后一个要求同一确定规则适用于全部 $k$。无限记录取 $\mathcal A^{\mathbb N_0}$ 的乘积 $\sigma$-代数，允许所有可测随机化检验，相应风险记为 $R^{*,E}_{k,\infty}$。上横线作用于概率或期望时，专指将隐藏初态改为均匀平稳律 $\pi_i=1/4$。 **命题 109.2（环行分离恰为共同统一一致性的条件）。** 在定义与假设 109.1 下， $$ E_1,E_2,E_3\text{ 两两不同} \quad\Longleftrightarrow\quad M^E_n\longrightarrow0 \quad\Longleftrightarrow\quad \overline R^{*,E}_n\longrightarrow0. \tag{109.2a} $$ 若三条环行两两不同，可固定选择一个仅依赖 $E$ 的函数 $f:\mathcal A\to(0,1)$，使 $$ \theta_i=\sum_{y\in\mathcal A}E_i(y)f(y),\qquad V_f=(\theta_1-\theta_2)(\theta_2-\theta_3)(\theta_3-\theta_1)\ne0. \tag{109.2b} $$ 令 $b_f=\operatorname{sgn}(V_f)$。原始读数上的四窗函数及其平稳均值为 $$ W_f(y_0,y_1,y_2,y_3) =(1-f(y_0))(1-f(y_3))(f(y_2)-f(y_1)),\qquad |W_f|\le1, $$ $$ \overline{\mathbb E}_{d,k}W_f =(-1)^d\frac{a_k^3}{256}V_f. \tag{109.2c} $$ 置 $$ c_*=\frac{(5/6)^3|V_f|}{192},\qquad \beta=\frac{c_*}{4},\qquad H=6,\qquad \kappa=\frac{\beta^2}{128H^2}=\frac{\beta^2}{4608}, $$ $$ L_0=\max\left\{1, \left\lceil\frac{8H}{\beta}\right\rceil, \left\lceil\frac{\log20}{\kappa}\right\rceil\right\}, \tag{109.2d} $$ 其中 $\log$ 为自然对数。对 $n\ge0$ 取 $$ L_n=\max\left\{L_0, \left\lceil\frac{3\log(n+1)}{\kappa}\right\rceil\right\}, \qquad T_n=L_n+3,\qquad J_n=\left\lfloor\frac{n+1}{T_n}\right\rfloor. \tag{109.2e} $$ 定义 $$ F_{u,L} =b_f\sum_{t=u}^{u+L-1} W_f(Y_t,Y_{t+1},Y_{t+2},Y_{t+3}). $$ 这里 $L$ 计四窗数，$F_{u,L}$ 使用 $L+3$ 个标签。共同确定规则 $\Gamma_{E,n}$ 依次检查 $j=0,\ldots,J_n-1$ 的块 $F_{jT_n,L_n}$：大于 $\beta L_n$ 时声明方向 $0$，小于 $-\beta L_n$ 时声明方向 $1$，其余情形不声明。首次声明作为结果；全部完整块均无声明时报告 $0$。第 $j$ 块读取 $jT_n,\ldots,(j+1)T_n-1$，相邻块不共享标签，跨块四窗不计分，阈值相等时继续检查。 该原始块规则对每个方向都有 $$ \mathbb P^E_{d,k}(\Gamma_{E,n}\ne d) \le B_{E,n} := \frac{32(L_n+3)}{3(n+1)} +\frac5{(n+1)^2}, \qquad k\ge2,\ d=0,1,\ n\ge0. \tag{109.2f} $$ 对 $n\ge1$， $$ \frac1{24n} \le\overline R^{*,E}_n \le M^E_n \le\min\left\{\frac12,B_{E,n}\right\} =O_E\!\left(\frac{\log(n+1)}{n+1}\right). \tag{109.2g} $$ 其中 $1/2$ 上界由另一条恒报 $0$ 的共同确定规则取得；原始块规则的每方向保证是 (109.2f)。 若两条环发射行相等，则对全部 $k\ge2,n\ge1$， $$ R^{*,E}_{k,n}\ge\frac{a_k}{8}\ge\frac5{48}, \qquad R^{*,E}_{k,\infty}\ge\frac{a_k}{8}\ge\frac5{48}. \tag{109.2h} $$ 任意通道在 $n=0$ 时都有 $R^{*,E}_{k,0}=\overline R^{*,E}_0=M^E_0=1/2$。 因此，达到共同统一一致性的静态随机传感器最小有效字母数为 $2$；静态确定传感器的最小值仍为 $3$。 **证明。** 任意共同确定检验都属于各个参数下允许的随机检验，故总有 $\overline R^{*,E}_n\le M^E_n$；恒报 $0$ 给出 $M^E_n\le1/2$。对完整隐藏路径施加同一个通道 $E$ 是共同随机后处理：任何可见随机检验都能通过对发射取条件期望变成完整路径上的随机检验，且保持两类错误。因此 $R^{*,E}_{k,n}\ge R^1_{k,n}$，由[命题 105.2](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/b260e76f3e856ce2fe009292892659a1a8a083f8/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md) 的 $1/(24n)$ 下界，得到 (109.2g) 的下界。$n=0$ 时两方向都只发射同一分布 $E_1$，所以最优风险为 $1/2$。 先处理行碰撞。设 $E_u=E_v$，其中 $u,v$ 是不同环状态；令 $s$ 交换它们，固定 $0$ 和第三个环状态 $t$。既有核满足 $$ K_k(si,sj)=K_k(j,i),\qquad E_{si}(y)=E_i(y). $$ 反射隐藏路径保持发射因子，故从 $x$ 出发的正向可见律等于从 $s(x)$ 出发的转置可见律；有限柱集也决定无限可见律。若 $s(1)=1$，全部可见律相同，风险恒为 $1/2$。 若 $s(1)\ne1$，则 $t\ne1$，且 $\{K_k(1,t),K_k(t,1)\}=\{a_k/2,a_k/4\}$。 条件于 $X_1=t$，从时刻 $1$ 开始的两份可见尾律相同；初始读数均服从 $E_1$，独立于该隐藏事件和尾部。令 $\eta$ 为共同初始读数与尾部组成的概率律，则有限 $n\ge1$ 及无限记录均有 $$ P^E\ge\frac{a_k}{4}\eta,\qquad Q^E\ge\frac{a_k}{4}\eta. $$ 对任意可测随机检验，把两项风险积分限制到这个共同子测度，得到至少 $a_k/8$ 的错误率。这是[命题 106.2](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/b260e76f3e856ce2fe009292892659a1a8a083f8/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md) 的公共子测度证明在发射核下的应用：确定初始符号换成共同分布 $E_1$，标签不变换成发射行不变。隐藏事件不必从读数中可见；证明也不除以发射概率。因此零发射项和无限可测检验均包含在内，(109.2h) 成立，并排除 (109.2a) 右侧两个收敛结论。 以下设三条环行两两不同。对每对 $1\le i\beta L. $$ 因此 $$ \mathbb P^{E,i}_{d,k}(\text{单块正确声明}) \ge\frac12-5e^{-\kappa L}\ge\frac14, \qquad i\in\{1,2,3\}. \tag{109.2u} $$ 占用事件与偏差事件无需独立。 应用式 (108.2n)–(108.2r) 的固定块等待论证，此处取 $T=L+3$，并使用块起点历史 $$ \mathcal G_j =\sigma(X_s:0\le s\le jT;\ Y_s:0\le sn+1$，(109.2f) 右侧已大于 $1$，同一界仍成立。于是 (109.2f) 得证。共同块规则给 $M^E_n\le B_{E,n}$，恒定规则另给 $M^E_n\le1/2$；结合前述比较与下界，得到 (109.2g)。固定 $E$ 时 $L_n=O_E(\log(n+1))$，故两个最坏参数风险均趋零，结合碰撞下界证明 (109.2a)。特别地，统一上界也蕴含每个固定 $k$ 的一致性。 一个有效字母使所有发射行相同，不能一致辨别。二元通道取 $$ E_i(1)=p_i,\qquad (p_0,p_1,p_2,p_3)=(0,0,1/2,1) $$ 已有三条不同环行，故随机最小有效字母数为 $2$；例如可固定 $f(0)=1/4,f(1)=3/4$ 来执行上述规则。确定发射的各行是点质量，三条环行不同恰要求三个不同环标签，因而至少需要三个有效字母；命题 106.2 给出的三字母读数满足本节行分离条件，由已证统一上界实现一致性，故确定最小值为 $3$。证毕。 平稳公式 (109.2l) 不等于准备态下每个有限窗口的概率公式，行碰撞也不必使全部准备态有限律相同。函数 $f$ 的选择是固定通道下的存在性结论；这里没有给出任意实数通道输入的有效选择算法或计算成本界。全部统一常数允许依赖固定 $E$，没有给出统一 $O_E(1/n)$ 上界，也没有判定对数因子必要。结论针对已知、逐时独立刷新的固定通道和共同环准备态，不包含未知校准、时变或带记忆发射。HMM 的 Vandermonde 通量与发射行分离机制已有成熟三隐藏态结果；二元随机发射保留不可逆性也已有连续时间模型的例子。[^rro109-chen] 此处不对这些机制作新颖性主张。 [^rro109-azuma]: 有界鞅差的 Azuma–Hoeffding 界：若每项绝对值至多 $B$，则 $L$ 项和的下尾至多为 $\exp[-z^2/(2LB^2)]$。钉版 Mathlib 的 [measure_sum_ge_le_of_hasCondSubgaussianMGF](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Probability/Moments/SubGaussian.lean#L932) 给出一般条件 sub-Gaussian 求和接口；有界中心化条件分布由 Hoeffding 引理给出所用矩母函数界。 [^rro109-weber]: Richard Weber, [Markov Chains](https://www.statslab.cam.ac.uk/~rrw1/markov/M.pdf) (2011), §4.4 Theorem 4.4，印刷页 15（PDF 第 19 页），给出停时后的强 Markov 重启；本处过去读数由独立发射扩充，给定当前隐藏状态后不改变未来隐藏转移与尚未读取的发射。平均命中时间的一阶步方程见同书 Theorem 4.2。 [^rro109-chen]: Yong Chen, *On the reversibility of the observed process of three-state hidden Markov model*, [arXiv:1101.5482v1](https://arxiv.org/pdf/1101.5482v1) (2011), Theorems 4.3–4.4，PDF 第 9 页；连续时间二元随机发射例子见 §3.1 Example 2，PDF 第 6 页。Theorem 4.3 已给不等间隔三点通量的 Vandermonde 因子；Theorem 4.4 的离散三隐藏态判据要求隐藏链不可逆、发射行两两不同，并另有发射秩为 $3$，或秩为 $2$ 且转移矩阵没有零特征值的条件。该三态平稳结论不直接覆盖本节四态共同准备实验。 ## 109.99 追加锚 ## 110. 递增尺度的最后声明与最坏参数的 $1/n$ 阶 **定义与假设 110.1（递增尺度的最后声明规则）。** 沿用定义 109.1 的有限通道共同准备实验，假设三个环发射行 $E_1,E_2,E_3$ 两两不同。固定命题 109.2 中的 $f,W_f,b_f,\beta,\kappa,L_0$，特别有 $$ \beta>0,\qquad \kappa=\beta^2/4608,\qquad L_0\ge1,\quad \beta L_0\ge48,\quad 5e^{-\kappa L_0}\le1/4. $$ 以 $\mathbb P^{E,x}_{d,k}$、$\mathbb E^{E,x}_{d,k}$ 表示将相同核 $\mathsf K_d$ 及发射机制从确定隐藏起点 $X_0=x$ 重新启动的概率律及期望；原共同准备律是 $x=1$ 的情形。以下局部起点是重启律的参数。 取 $B=64$，定义阶段尺度及开始位置 $$ L_j=2^jL_0,\qquad T_j=L_j+3,\qquad S_j=B\sum_{r=0}^{j-1}T_r =B[L_0(2^j-1)+3j],\qquad j\ge0. \tag{110.1a} $$ 第 $j$ 阶段连续使用 $B$ 个块，第 $b=0,\ldots,B-1$ 块从 $S_j+bT_j$ 开始。每块计算既有分数 $$ F_{u,L}=b_f\sum_{t=u}^{u+L-1} W_f(Y_t,Y_{t+1},Y_{t+2},Y_{t+3}). $$ 分数大于 $\beta L$ 时声明方向 $0$，小于 $-\beta L$ 时声明方向 $1$，其余情况不声明。 对 $n\ge0$ 次转移所得的 $N=n+1$ 个读数，仅处理其中完整的块，保存**最后一次声明**；没有任何声明则报告 $0$。无声明和阈值相等均保留此前结果，不完整块忽略。所得共同确定规则记为 $\Lambda_{E,n}$。不同块不共享读数，规则可使用固定通道及 $n$，不使用 $k$。 **命题 110.2（共同确定风险的 $1/n$ 阶）。** 在定义与假设 110.1 下，可取有限常数 $C_E$，使 $$ \mathbb P^{E,1}_{d,k}(\Lambda_{E,n}\ne d) \le\frac{C_E}{n+1}, \qquad k\ge2,\quad d=0,1,\quad n\ge0. \tag{110.2a} $$ 具体地，令 $$ \lambda=\kappa/4,\qquad \eta=\lambda/(10B),\qquad C_0=5+\frac{10B}{1-e^{-\lambda L_0}},\qquad A=\max\{C_0,e^{\eta T_0},1\}, $$ $$ C_{\rm trap}=\frac{A}{3(e^\eta-1)},\qquad C_{\rm inj}=\frac{5B}{e\kappa},\qquad C_{\rm exp}=\frac{2A}{e\eta B}, $$ $$ D=\max\{L_0,C_{\rm exp}+2C_{\rm trap},4C_{\rm inj}\}, \qquad C_E=5B(D+C_{\rm inj}), \tag{110.2b} $$ 其中 $e$ 为自然对数的底。于是对 $n\ge1$， $$ \frac1{24n} \le\overline R^{*,E}_n \le M^E_n \le\min\left\{\frac12,\frac{C_E}{n+1}\right\}. \tag{110.2c} $$ 因此 $\overline R^{*,E}_n=\Theta_E(1/n)$ 且 $M^E_n=\Theta_E(1/n)$。常数允许依赖固定通道及所选 $f$，不主张常数最优；$1/2$ 截断仍由另一条恒报 $0$ 的规则取得，不是每类错误的截断。 **证明。** 固定 $k,d$，简写 $\delta=1/k$、$a=1-\delta/3$。 以下漂移、残差及单侧分数估计均针对有向分数 $(-1)^dF_{u,L}$；实际规则不读取 $d$。式 (109.2t) 给出任意重启起点下的局部界： $$ \mathbb P^{E,x}_{d,k} (\text{长度 }L\ge L_0\text{ 的块错向声明}) \le5e^{-\kappa L}. \tag{110.2d} $$ 式 (109.2u) 则给出环重启起点下至少 $1/4$ 的正确声明概率。这两项也适用于块首发射尚未读取时的条件历史。 先补出纯环块及首次入陷阱时的条件界。令 $$ R_d=(3/4)U+(1/4)C_d $$ 为三态归一化环核，其中 $U$ 为三点均匀核，$C_0(v_1,v_2,v_3)=(v_2,v_3,v_1)$，$C_1=C_0^{-1}$。对每个环状态 $x$，以 $\mathbb P^{E,x}_{d,R}$、$\mathbb E^{E,x}_{d,R}$ 表示纯环核 $R_d$ 配上同一发射通道、从确定 $x$ 重启的律及期望。定义 $$ q^R_d(i)=\mathbb E^{E,i}_{d,R} [(-1)^db_fW_f(Y_0,Y_1,Y_2,Y_3)]. $$ 其环平均为 $c_\infty=|V_f|/192\ge4\beta$：在 (109.2n) 的有限窗口多项式中取 $\delta\downarrow0$，环均值趋于纯环均值，陷阱均值趋于零，即得此式。于是 $$ h^R_d=(I-C_d/4)^{-1}(q^R_d-c_\infty\mathbf1), \quad \|h^R_d\|_\infty\le8/3, \quad (I-R_d)h^R_d=q^R_d-c_\infty\mathbf1. \tag{110.2e} $$ 与 (109.2q)–(109.2s) 相同的势分解及模 $4$ 鞅差分组，使用 Azuma–Hoeffding 界，[^rro110-azuma] 给任意非空段长 $\ell$ 的两个随机残差 $$ \Pr(H\le-z)\le e^{-z^2/(288\ell)},\qquad \Pr(N\le-z)\le4e^{-z^2/(128\ell)}. \tag{110.2f} $$ 纯环漂移为 $c_\infty L$，势差绝对值小于 $12$。将两个残差各界于 $-\beta L/4$ 以上，得到超过 $\beta L$ 的正确分数；故 $$ \mathbb P^{E,x}_{d,R} (\text{长度 }L\ge L_0\text{ 的块没有正确声明}) \le5e^{-\kappa L}. \tag{110.2g} $$ 这里包含无声明和错向声明。 在准备律 $\mathbb P^{E,1}_{d,k}$ 下，令 $$ \tau=\inf\{t\ge1:X_t=0\}. $$ 因为各环状态每步进入 $0$ 的概率均为 $\delta/3$， $$ \Pr(\tau=m)=a^{m-1}\delta/3. \tag{110.2h} $$ 条件于 $\tau=m$，时刻 $0,\ldots,m-1$ 的隐藏路径正是从 $1$ 开始的纯环 $R_d$ 路径，时刻 $m$ 为 $0$，此后从 $0$ 按 $\mathsf K_d$ 重启。此前环环转移贡献 $aR_d$，末次进入 $0$ 的因子 $\delta/3$ 与离开的环状态无关，因此该条件没有额外偏置纯环终点；发射仍逐时条件独立。 至多一个完整读数块跨越 $m$。对这个块，窗口分成全部时刻小于 $m$ 的纯环段、起点至少为 $m$ 的原核段，以及起点为 $m-3,m-2,m-1$ 的至多三个跨越窗口。前两段分别使用 (110.2e) 与 (109.2p) 的势函数，其漂移均非负。两份势差及三个未分解窗口的总损失至多 $$ 2(8/3)+2(17/3)+3=59/3<20. $$ 前后两段各有一个隐藏鞅残差和一个模 $4$ 窗口残差。对每个非空段，用 (110.2f) 的阈值 $z=\beta L/8$，其中段长 $\ell\le L$；空段残差为零。若四个残差均不低于 $-\beta L/8$，整块分数至少为 $-20-\beta L/2>-\beta L$，因为 $\beta L\ge48$。所以 $$ \Pr(\text{跨越块错向}\mid\tau=m) \le2e^{-\beta^2L/18432}+8e^{-\beta^2L/8192} \le10e^{-\lambda L}. \tag{110.2i} $$ 纯环段的有限边缘可按纯环链延拓后应用上述鞅界；原核段从 $0$ 重启。没有把混合块误当作同一个齐次核，也不要求两个段独立。 阶段调度满足 $$ S_{j+1} =B[(2^{j+1}-1)L_0+3(j+1)] \le5BL_j, \tag{110.2j} $$ 因为 $j+1\le2^j$、$L_0\ge1$。当 $T_0\le m\le n$ 时，取首次入陷阱前最后一个完整块，设其尺度为 $r$。时刻 $m$ 位于紧随其后的块内或块首，后一块的尺度只能为 $r$ 或 $r+1$，因此 $$ L_r\ge m/(10B). $$ 如果该最后纯环块正确声明，而所有随后完整块都不作错向声明，最后保存的方向必正确。对前者用 (110.2g)，后者用 (110.2d) 及至多一次的 (110.2i)。每尺度至多有 $B$ 个块，故 $$ \begin{aligned} \Pr(\Lambda_{E,n}\ne d\mid\tau=m) &\le5e^{-\lambda L_r} +10B\sum_{\ell\ge0}e^{-\lambda2^\ell L_r}\\ &\le C_0e^{-\lambda L_r} \le C_0e^{-\eta m}. \end{aligned} \tag{110.2k} $$ 用到 $2^\ell\ge1+\ell$；把未来尚未读取的块也纳入并集只会扩大坏事件。 若 $\tau>N-1$，已读前缀为纯环路径，最后完整块的尺度同样满足 $L_r\ge N/(10B)$，由 (110.2g) 得到指数界。没有完整块或 $mN-1)\le Ae^{-\eta N}. $$ 由 (110.2h) 条件求和， $$ \varepsilon_d(N,\delta) :=\Pr(\Lambda_{E,N-1}\ne d) \le Ae^{-\eta N} +\frac{A\delta}{3}\sum_{m\ge1}e^{-\eta m} =Ae^{-\eta N}+C_{\rm trap}\delta. \tag{110.2l} $$ 此处没有将错误与首次入陷阱事件独立化。 再处理 $\delta T_j\ge1$ 的尺度。令一对相邻块开始于 $u$，第二块开始于 $v=u+T_j$。给定发射前联合历史 $\mathcal G_u=\sigma(X_s:s\le u;Y_s:s\frac12. $$ 这是从陷阱重启时的值；从环重启时的值更大。给定第二块起点的发射前历史 $\mathcal G_v$，若隐藏状态在环上，由 (109.2u)，第二块正确声明的概率至少为 $1/4$。Markov 重启和独立发射保证当前未读发射仍使用原条件律。[^rro110-markov] 因此每对块在其开始前历史下，至少有 $1/8$ 的概率作出声明；第一块的声明只会增加这一概率。以前各对均无声明的事件在下一对开始前可测，逐次条件化得 $$ \Pr(\text{本阶段完全无声明}\mid\text{阶段前历史}) \le(7/8)^{32}<1/4. \tag{110.2m} $$ 没有假设块对之间独立。 令 $e_j$ 为读取完前 $j$ 个完整阶段、即 $S_j$ 个读数时，保存方向错误的概率，$e_0\le1$。一个阶段出现任何错向声明的概率，由 (110.2d) 至多为 $$ p_j=5B e^{-\kappa L_j}\le C_{\rm inj}/L_j, \tag{110.2n} $$ 这里使用 $xe^{-\kappa x}\le1/(e\kappa)$。若旧方向正确，只有新的错向声明能造成错误；若旧方向错误，而阶段没有错向声明，则仅在完全无声明时仍可能错误。由 (110.2m)，当 $\delta T_j\ge1$ 时， $$ e_{j+1}\le e_j/4+p_j. \tag{110.2o} $$ 为拼接两种估计，设 $$ j_*=\min\{j\ge0:\delta T_j\ge1\}. $$ 它只用于证明，规则不使用这个参数相关索引。对 $j\ge1$，有 $S_j\ge BL_j/2$，从而 $$ Ae^{-\eta S_j}\le C_{\rm exp}/L_j. $$ 若 $1\le j0\}. $$ 实际通道是该类中某个固定的 $E$，允许零发射概率。原有窗口恒等式和势估计只用 $0\le f\le1$，所以包含端点。一般已知有界实值读数也可作正向仿射归一化到此区间；该归一化不需要 $E$，并保持 $V_f$ 的符号。 固定 $$ B=64,\quad L_j=2^j,\quad T_j=L_j+3,\quad S_j=B(2^j-1+3j),\qquad j\ge0, $$ $$ t(L)=192\sqrt{L\log(eL)},\qquad L\ge1, \tag{111.1a} $$ 其中 $\log$ 为自然对数。第 $j$ 阶段使用 $B$ 个连续块，块首为 $S_j+aT_j$，$a=0,\ldots,B-1$。块首 $u$ 的分数为 $$ F_{u,L} =b\sum_{t=u}^{u+L-1} (1-f(Y_t))(1-f(Y_{t+3}))(f(Y_{t+2})-f(Y_{t+1})). $$ 分数大于 $t(L)$ 时声明方向 $0$，小于 $-t(L)$ 时声明方向 $1$，否则不声明。对 $N=n+1$ 个读数，只处理完整块，保存最后一次声明；没有声明则报告 $0$。阈值相等和不完整块均保留此前结果。记所得确定规则为 $\Psi^{f,b}_n:\mathcal A^{n+1}\to\{0,1\}$。 每块使用 $L+3$ 个标签，不同块不共享标签；规则从 $L=1$ 开始，不使用 $E$、任何均值间隔或 $k$。 **命题 111.2（无需通道数值的共同最坏参数阶）。** 定义 111.1 的同一规则族满足 $$ \exists(\Psi^{f,b}_n)_{n\ge0}\quad \forall E\in\mathcal C_{f,b}\quad \exists C_{E,f}<\infty\quad \forall k\ge2,\ d\in\{0,1\},\ n\ge0: \quad \Pr^{E,1}_{d,k}(\Psi^{f,b}_n\ne d) \le\frac{C_{E,f}}{n+1}. \tag{111.2a} $$ 这里先固定共同规则，再固定通道；不对通道取上确界。 具体地，对给定 $E\in\mathcal C_{f,b}$，仅在常数及证明中定义 $$ c_*=\frac{(5/6)^3|V_f(E)|}{192},\qquad j_0=\min\{j\ge0:c_*L_j\ge4t(L_j)\},\qquad \overline L=2^{j_0}, $$ $$ Q=5+\frac{40B}{3},\qquad A=(10B)^2\max\{Q,\overline L^2\},\qquad C_{\rm trap}=\frac{2A}{3},\qquad U=\frac{4A}{B^2}, $$ $$ P=5B,\qquad D=\max\{\overline L,U+2C_{\rm trap},4P\},\qquad C_{E,f}=5B(D+P). \tag{111.2b} $$ 所有这些常数有限。规则不计算 $c_*,j_0$ 或 $\overline L$。对每个固定相容通道，其最坏参数平均风险满足 $$ \frac1{24n} \le\sup_{k\ge2}R^E_{k,n}(\Psi^{f,b}_n) \le\frac{C_{E,f}}{n+1},\qquad n\ge1, \tag{111.2c} $$ 因而为 $\Theta_{E,f}(1/n)$。 **证明。** 固定 $E,k,d$，记 $\delta=1/k$、$a=1-\delta/3$。因为 $bV_f(E)>0$，式 (109.2p)–(109.2s) 的有向势分解仍给 $$ (-1)^dF_{u,L} =cA_L+M_L+\Delta h+N_L,\qquad c=\frac{a^3|V_f|}{192}\ge c_*, $$ $$ A_L\ge0,\quad |\Delta h|<12,\qquad \Pr(M_L\le-z)\le e^{-z^2/(288L)},\quad \Pr(N_L\le-z)\le4e^{-z^2/(128L)}. \tag{111.2d} $$ 这些 Azuma–Hoeffding 尾界[^rro111-azuma] 对每个 $L\ge1$ 成立，也成立于任意重启隐藏起点和块首当前发射尚未读取的条件历史；不需要 $L$ 达到原通道相关的 $L_0$。势函数本身虽依赖 $E$，其范数统一小于 $6$，规则无需计算它。 由于 $t(L)\ge192$，两个残差都不低于 $-t(L)/4$ 时，有向分数大于 $-12-t(L)/2>-t(L)$。代入 (111.2d)，得到全部尺度上的统一错向尾 $$ \begin{aligned} \Pr(\text{单块错向声明}) &\le e^{-t(L)^2/(4608L)} +4e^{-t(L)^2/(2048L)}\\ &\le5(eL)^{-8}. \end{aligned} \tag{111.2e} $$ 这里 $192^2/4608=8$。 函数 $L/\log(eL)$ 在 $L\ge1$ 上不减且趋于无穷，而 $$ c_*L\ge4t(L) \quad\Longleftrightarrow\quad L/\log(eL)\ge(768/c_*)^2. $$ 故 $j_0$ 有限，且该不等式对所有 $L\ge\overline L$ 成立。从任意环状态重启，由 §109 的占用估计， $\Pr(A_L\ge L/2)\ge1/2$。在此事件及两个残差均不低于 $-t(L)/4$ 的事件上， $$ (-1)^dF_{u,L} >c_*L/2-12-t(L)/2 \ge3t(L)/2-12>t(L). $$ 因此，无须事件独立，对 $L\ge\overline L$ 有 $$ \Pr(\text{环起点单块正确声明}) \ge\frac12-5(eL)^{-8}\ge\frac14. \tag{111.2f} $$ 最后一步使用 $e^8>20$。 纯环核 $R_d$ 的窗口均值为 $c_\infty=|V_f|/192\ge c_*$，势范数至多 $8/3$，见 (110.2e)。[^rro111-block] 其漂移为 $c_\infty L$，不损失占用比例。相同残差界于是给 $$ \Pr(\text{纯环块没有正确声明}) \le5(eL)^{-8},\qquad L\ge\overline L. \tag{111.2g} $$ 这里包括无声明和错向声明。 令 $\tau=\inf\{t\ge1:X_t=0\}$。复用 (110.2h) 的条件分解： $$ \Pr(\tau=m)=a^{m-1}\delta/3; $$ 给定 $\tau=m$，此前是从 $1$ 出发的纯环路径，此后从 $0$ 按原核重启。离环概率与离开的环状态无关，发射仍逐时条件独立。 至多一个完整标签块跨越 $m$。按 §110 的分段方法，两段势差及至多三个跨越窗口造成的总确定损失小于 $20$；纯环段和原核段漂移均非负。对两段的四个残差分别用阈值 $z=t(L)/8$，段长 $\ell\le L$，空段残差为零。四个残差均不低于 $-t(L)/8$ 时，整块有向分数大于 $-20-t(L)/2>-t(L)$。因此 $$ \begin{aligned} \Pr(\text{跨越块错向}\mid\tau=m) &\le2e^{-t(L)^2/(18432L)} +8e^{-t(L)^2/(8192L)}\\ &\le10(eL)^{-2},\qquad L\ge1. \end{aligned} \tag{111.2h} $$ 这里 $192^2/18432=2$。纯环段可由纯环延拓计算其有限边缘，未把 $X_m=0$ 当成纯环状态；两段无需独立。 调度仍满足 $S_{j+1}\le5BL_j$。若 $4=T_0\le m\le N-1$，首次入陷阱前的最后完整块存在，设尺度为 $r$，则 $m<10BL_r$。若 $r\ge j_0$，该块正确声明且此后没有错向声明，最终保存值便正确。每个后续尺度至多 $B$ 个块，故由 (111.2e)、(111.2g)、(111.2h)， $$ \begin{aligned} \Pr(\Psi^{f,b}_{N-1}\ne d\mid\tau=m) &\le5L_r^{-2} +10B\sum_{\ell\ge0}(2^\ell L_r)^{-2}\\ &=QL_r^{-2}. \end{aligned} \tag{111.2i} $$ 加入未来未读块的并集只会放宽当前错误事件。若 $rN-1$ 上，已读的 $N$ 个标签是纯环前缀。若有完整块，最后完整块的尺度满足 $N<10BL_r$；达到 $j_0$ 时使用 (111.2g)，否则 $N<10B\overline L$。没有完整块时同样使用概率不超过一。由 $A$ 的定义，全部情形统一为 $$ \Pr(\Psi^{f,b}_{N-1}\ne d\mid\tau=m)\le A/m^2 \quad(1\le m\le N-1), $$ $$ \Pr(\Psi^{f,b}_{N-1}\ne d\mid\tau>N-1)\le A/N^2. \tag{111.2j} $$ 第二个事件包含 $\tau=N$，此时整个已读前缀仍在环上。对 $N<4$，$A/N^2\ge1$ 也覆盖缺块情形。 按首次入陷阱时刻条件求和，使用 $\sum_{m\ge1}m^{-2}\le2$，得到 $$ \varepsilon_d(N,\delta) :=\Pr(\Psi^{f,b}_{N-1}\ne d) \le\frac{A}{N^2}+\frac{A\delta}{3}\sum_{m\ge1}m^{-2} \le\frac{A}{N^2}+C_{\rm trap}\delta. \tag{111.2k} $$ 未把错误与入陷阱事件独立化；可求和的二次尾已足够。 当 $j\ge j_0$ 且 $\delta T_j\ge1$ 时，可将 (111.2f) 代入 (110.2m) 的两块条件法：给定块对开始前历史，第二块首在环的概率大于 $1/2$；再条件于该块首历史，正确声明概率至少 $1/4$。所以每对至少有 $1/8$ 的声明概率。此前各对均无声明的事件在下一对开始前可测，逐次条件化给 $$ \Pr(\text{阶段完全无声明}\mid\text{阶段前历史}) \le(7/8)^{32}<1/4. \tag{111.2l} $$ 此处不先条件于第一块无声明来估计第二块的环概率，也不要求块对独立。 令 $e_j$ 为读取完前 $j$ 个完整阶段、共用 $S_j$ 个标签后保存值错误的概率；$e_0\le1$。全部尺度都由 (111.2e) 给 $$ p_j:=5B(eL_j)^{-8}\le P/L_j \tag{111.2m} $$ 作为本阶段出现任意错向声明的上界。在 (111.2l) 可用的尺度，旧错误在阶段前历史中可测，故 $$ e_{j+1}\le e_j/4+p_j. \tag{111.2n} $$ 仅在证明中设 $$ j_\delta=\min\{j\ge0:\delta T_j\ge1\},\qquad J=\max\{j_0,j_\delta\}. $$ 对 $j\ge1$，$S_j\ge BL_j/2$，所以 $$ A/S_j^2\le4A/(B^2L_j^2)\le U/L_j. $$ 对所有 $0\le j\le j_0$，直接有 $e_j\le1\le\overline L/L_j\le D/L_j$，包括 $j=0$，不需要把 (111.2k) 用于 $N=0$。 若 $j_\delta>j_0$，则对 $j_00. \tag{112.1a} $$ 这里比较的是两个隐藏方向；不以传感器自身的时间不可逆性代替 (112.1a)。$q,c$ 都是 $\delta$ 的次数至多 $r$ 的多项式，因此给定模型后的签名条件是有限窗口均值与区间正性条件。 规则只取得 $W,r,b$，不取得 $M,T,E,\eta,\gamma$、混合速度或势函数界。取 $$ B=64,\quad L_j=2^j,\quad T_j=L_j+r,\quad S_j=B(2^j-1+rj),\qquad t(L)=192\sqrt L\log(eL). \tag{112.1b} $$ 第 $j$ 阶段有 $B$ 个连续块，块首为 $S_j+aT_j$，$a=0,\ldots,B-1$。块首 $u$ 的分数为 $$ F_{u,L}=b\sum_{t=u}^{u+L-1}W(Y_t,\ldots,Y_{t+r}). $$ 分数大于 $t(L)$ 时声明 $0$，小于 $-t(L)$ 时声明 $1$，否则不声明。对 $N=n+1$ 个读数，只处理完整块，保存最后一次声明；没有声明则报告 $0$。阈值相等和不完整块均保留此前结果。所得规则记为 $\Psi^{W,r,b}_n$，相邻块不共享读数。 **命题 112.2（无需传感器参数的共同最坏参数阶）。** 定义 112.1 的同一规则满足 $$ \forall(T,E)\text{ 满足定义 112.1}\quad \exists C_{T,E,W,r,b}<\infty\quad \forall k\ge2,d\in\{0,1\},n\ge0: \quad \Pr_{d,k}(\Psi^{W,r,b}_n\ne d) \le\frac{C_{T,E,W,r,b}}{n+1}. \tag{112.2a} $$ 常数允许依赖固定模型，规则不使用这些依赖量。记公平方向平均风险为 $R^{T,E}_{k,n}$，则对 $n\ge1$， $$ \frac1{24n} \le\sup_{k\ge2}R^{T,E}_{k,n}(\Psi^{W,r,b}_n) \le\frac{C_{T,E,W,r,b}}{n+1}. \tag{112.2b} $$ 该模型类包含传感器确实造成读数时间相关的子族，其中有周期传感器，且非周期部分的混合可以任意慢：可取二元读数、$r=3$、$b=1$、$W(y_0,y_1,y_2,y_3)=(1-y_0)(1-y_3)(y_2-y_1)$，并取 $$ \kappa_0=125/1327104,\quad \alpha=\kappa_0/64,\quad (p_0,p_1,p_2,p_3)=(1/2,1/4,1/2,3/4), $$ $$ M=\{-1,1\},\quad T_\varepsilon(z,z')=(1-\varepsilon)/2+ \varepsilon\mathbf1_{\{z=z'\}},\quad E_{x,z}(1)=p_x+\alpha z, \qquad -1\le\varepsilon<1,\qquad\varepsilon\ne0. \tag{112.2c} $$ 纯陷阱下该子族有 $\operatorname{Cov}(Y_0,Y_1)=\alpha^2\varepsilon\ne0$，并满足 $\gamma\ge5\kappa_0/6$。 **证明。** 首先建立统一于 $\delta$ 的产品链势。令 $\Pi=\mathbf1\eta$、$P=I_4\otimes\Pi$，则 $P$ 与 $Q_{\delta,d}$ 交换。置 $$ A_{\delta,d}=I-Q_{\delta,d}+P. $$ 对全部 $0\le\delta\le1/2$，此矩阵均可逆。事实上，若 $A_{\delta,d}h=0$，施加 $P$ 得 $(2I-K_{\delta,d})Ph=0$；由行随机矩阵的无穷范数至多为 $1$，必有 $Ph=0$，进而 $Q_{\delta,d}h=h$。当 $\delta>0$ 时，$K_{\delta,d}$ 全正且 $T$ 不可约，产品链不可约，有限不可约链的调和函数为常数。当 $\delta=0$ 时，产品链有陷阱 $\times M$ 和环 $\times M$ 两个不可约闭类，因为纯环核 $R_d$ 全正；调和函数在每类上为常数。两种情形都由 $Ph=0$ 迫使 $h=0$。这些事实不要求 $T$ 非周期。 有限维矩阵逆连续，参数区间紧，故 $$ C_\perp:=\max_{\substack{0\le\delta\le1/2\\d=0,1}} \|A_{\delta,d}^{-1}(I-P)\|_\infty<\infty. $$ 下列构造将有限 Markov Poisson 方程的传感器中心化、环内零和与陷阱慢模分别解出。[^rro112-poisson] 固定 $\delta>0,d$，置 $\widehat q=(-1)^dbq_{\delta,d}$、$c=c_{\delta,d}$、$g=\widehat q-c\mathbf1_{\rm ring}$。因为 $\mu(\mathrm{ring})=3/4$，有 $\mu g=0$。令 $\bar g(x)=\sum_z\eta_zg(x,z)$。传感器中心化部分由 $$ h^\perp=A_{\delta,d}^{-1}(I-P)\widehat q $$ 解出，满足 $Ph^\perp=0$、$(I-Q)h^\perp=g-\bar g\otimes\mathbf1$ 及 $\|h^\perp\|_\infty\le C_\perp$。 写 $u_0=\bar g(0)$、$u_R=\tfrac13\sum_{i=1}^3\bar g(i)$，则 $u_0+3u_R=0$。令 $w_i=\bar g(i)-u_R$，故 $\sum_iw_i=0$、$\|w\|_\infty\le2$。若 $C_d$ 表示三环正/反循环矩阵，$\chi=a/4\le1/4$，环内零和势为 $$ h^{\rm ring}(0)=0,\qquad h^{\rm ring}|_{\rm ring} =\frac{w+\chi C_dw+\chi^2C_d^2w}{1-\chi^3}, \qquad \|h^{\rm ring}\|_\infty\le8/3. $$ 唯一慢模为 $\zeta=(-3,1,1,1)$，满足 $K_{\delta,d}\zeta=(1-4\delta/3)\zeta$，所以类常数部分的势为 $$ h^{\rm slow}=-\frac{u_0}{4\delta}\zeta. $$ 从陷阱、传感器平稳律开始，前 $r$ 步均不离开陷阱的事件独立于传感器路径，条件窗口正是零均值的纯陷阱实验。因此 $$ |u_0|\le1-(1-\delta)^r\le r\delta. $$ 合并三部分得到 $$ (I-Q_{\delta,d})H_{\delta,d} =\widehat q-c_{\delta,d}\mathbf1_{\rm ring},\qquad \|H_{\delta,d}\|_\infty\le H:=C_\perp+8/3+3r/4. \tag{112.2d} $$ 此处只要求陷阱均值在 $\eta$ 下为零，不要求每个传感器起点的陷阱均值都为零。纯环核 $R_d\otimes T$ 的均值为 $c_{0,d}$：在 $\delta=0$ 时，$\mu$ 的陷阱质量为 $1/4$、环质量为 $3/4$，而陷阱平均为零。在 $\delta=0$ 的产品核中限制到环闭类，去掉类常数后，同一传感器逆与环内逆给 $$ (I-R_d\otimes T)H^R_d=\widehat q^R_d-c_{0,d}, \qquad \|H^R_d\|_\infty\le H_R:=C_\perp+8/3. $$ 令 $\overline H=\max\{1,H,H_R\}$、$m=r+1$。采用产品链的发射前滤过，窗口残差 $D_t=(-1)^dbW_t-\widehat q(X_t,Z_t)$ 的绝对值至多 $2$，在给定窗口起点历史后的条件均值为零，并在 $m$ 步后可测。按 $t\bmod m$ 分组，加上 (112.2d) 的望远镜求和，得到 $$ (-1)^dF_{u,L} =c_{\delta,d}A_L+M_L+\Delta H+N_L, \quad A_L=\sum_{t=u}^{u+L-1}\mathbf1_{\{X_t\ne0\}}, $$ $$ |\Delta H|\le2\overline H,\quad \Pr(M_L\le-z)\le e^{-z^2/(8\overline H^2L)},\quad \Pr(N_L\le-z)\le m e^{-z^2/(8m^2L)}. \tag{112.2e} $$ 这些有界鞅差界[^rro112-azuma] 对任意产品起点及块首发射前历史条件化后成立；分组之间无需独立。纯环块同样成立，其漂移改为 $c_{0,d}L$。 再令 $\tau=\inf\{t\ge1:X_t=0\}$。仍有 $\Pr(\tau=h)=a^{h-1}\delta/3$。条件于 $\tau=h$，陷阱前隐藏路径为纯环路径，之后从隐藏状态 $0$ 按原核重启。传感器不在边界重置；由于 $\tau$ 只涉及独立的 $X$，它仍按 $T$ 演化，而上述势与尾界对任意传感器起点统一。 跨越 $h$ 的块分成纯环窗口段、原核窗口段和至多 $r$ 个跨越窗口。有向漂移为 $c_{0,d}\ell_-+c_{\delta,d}A_+\ge0$，两份势差及跨越窗口的确定性损失至多 $$ D_0=2H_R+2H+r. $$ 前后两段各有一个隐藏鞅和一个窗口残差，段长均不超过 $L$；无需两段独立，也不把跨越块当作一个齐次核。 普通块将两个随机残差各界于 $-t(L)/4$，跨越块将四个残差各界于 $-t(L)/8$。由 (112.2e)，相关坏事件概率均至多 $$ \rho(L)=2(1+m)\exp[-a_*\log^2(eL)],\qquad a_*:=\min\{72/\overline H^2,72/m^2\}>0. $$ 由于 $t(L)/L\to0$、$t(L)\to\infty$，且 $\rho(L)=o(L^{-p})$ 对每个固定 $p>0$ 成立，可选有限二进制尺度 $\overline L=2^{j_0}$，使全部 $L\ge\overline L$ 满足 $$ t(L)\ge\max\{8\overline H,4D_0\},\qquad \gamma L\ge4t(L),\qquad \rho(L)\le\min\{1/4,L^{-4}\}. \tag{112.2f} $$ $\overline L,j_0$ 只在证明中使用，规则仍从 $L=1$ 开始。 因漂移非负，任意产品起点的块在残差好事件上不能错向越阈，故错向概率至多 $L^{-4}$；条件跨越块也有同一界。纯环块的漂移至少 $4t(L)$，故不作正确声明的概率至多 $L^{-4}$。从环起点出发，原隐藏环指示链仍给 $\mathbb EA_L\ge3L/4$，于是 $\Pr(A_L\ge L/2)\ge1/2$。该事件上漂移至少 $2t(L)$，扣除好事件损失仍超过正确阈值；再扣至多 $1/4$ 的坏事件，正确声明概率至少 $1/4$。 以下用这些产品链局部界完成最后声明的结算；阶段几何与第 110、111 节相同。[^rro112-last] 置 $G=B(r+2)$，则 $$ S_{j+1}\le GL_j,\qquad S_j\ge(B/2)L_j\quad(j\ge1). \tag{112.2g} $$ 若前缀含完整块，最后完整块的尺度 $L$ 满足其前缀长度小于 $2GL$：该块结束时刻不超过所在阶段末 $GL$，下一块尺度至多 $2L$、跨度至多 $(r+2)L\le GL$。 条件于 $\tau=h\le N-1$，当 $h\ge2G\overline L$ 时，陷阱前最后完整纯环块的尺度 $L$ 至少为 $\overline L$，且 $h<2GL$。若它正确声明而后续完整块均不作错向声明，最终方向必正确。每尺度至多 $B$ 块，至多一块跨越陷阱时刻；故条件错误率至多 $$ \frac1{L^4}+B\sum_{j\ge0}\frac1{(2^jL)^4} \le\frac{(1+16B/15)(2G)^4}{h^4}. $$ 较小 $h$ 用概率不超过 $1$。若 $\tau>N-1$，前缀条件律是纯环产品过程，对最后完整块同理。因此，取 $$ A=\max\{1,(2G\overline L)^4,(1+16B/15)(2G)^4\}, \quad C_{\rm trap}=2A/3, $$ 并用 $\sum_{h\ge1}h^{-4}<2$，对首次入陷阱时刻条件求和，得到 $$ \varepsilon_d(N,\delta) \le A/N^4+C_{\rm trap}\delta. \tag{112.2h} $$ 该式覆盖没有完整块的情形，不假设错误事件与陷阱时刻独立。 当 $j\ge j_0$ 且 $\delta T_j\ge1$ 时，一对相邻块中第二块的隐藏起点在环上的条件概率大于 $1/2$；给定该起点及全部传感器历史，其正确声明概率至少 $1/4$。逐对条件化，整阶段完全无声明的概率至多 $(7/8)^{32}<1/4$。令 $e_j$ 为读完 $S_j$ 个读数后的错误率，则 $$ e_{j+1}\le e_j/4+B/L_j^4. \tag{112.2i} $$ 其中阶段错向事件按 $B$ 个块取并集，没有使用块独立性。 置 $$ U=16A/B^4+2C_{\rm trap},\qquad D=\max\{\overline L,U,4B\}. $$ 对 $j0. \tag{113.1b} $$ 这里 $c_{\delta,d}$ 是未除以二的校准签名；真中心分数 $(W-\tau)/2$ 的对应签名为 $c_{\delta,d}/2$。 参考流 $V_0,V_1,\ldots$ 来自同一传感器的一个独立平稳副本，隐藏状态始终固定在陷阱，发射仍为 $E_{0,z}$。参考流的全部随机量与主实验独立。主记录有 $n+1$ 个标签；预先指定的、与模型无关的整数预算 $m_n\ge0$ 允许规则使用至多前 $m_n$ 个参考标签。不同最终长度的规则可以依据新基线估计重算旧块声明，不要求旧声明不可撤回。若 $m_n$ 非递减，这同时给出累计参考采样计划；不要求单调时，预算按每个有限前缀决策实际使用的信息分别计量。 **命题 113.2（确定共同预算的充要条件）。** 对任一上述确定预算序列 $(m_n)$，下列两项等价： (a) $$ \frac{m_n}{\log(n+1)}\longrightarrow+\infty \qquad(n\longrightarrow\infty). \tag{113.2a} $$ (b) 对每个已知有限字母表 $\mathcal A$、$W,r,b$，存在一族共同规则 $\Phi_n$，只使用这些已知输入、预算和两份可见记录，使 $$ \forall(T,E)\text{ 满足定义 113.1}\quad \exists C_{T,E,W,r,b,(m_n)}<\infty\quad \forall n\ge0,k\ge2,d\in\{0,1\}: \quad \Pr_{d,k}(\Phi_n\ne d)\le\frac{C_{T,E,W,r,b,(m_n)}}{n+1}. \tag{113.2b} $$ 规则不使用 $\tau,T,E,\eta,\gamma$ 或传感器规模界。必要性已经在一个固定三元评分接口 $r=1,b=-1$ 及六状态传感器子类上成立；即使另向规则提供共同已知下界 $\gamma\ge1/256$ 和传感器状态数，仍成立。这里的等价对整个声明的模型类成立，不声称任意单独固定的评分子类都需要该预算。 **证明。** 先证明充分性。写 $N=n+1$、$u_N=\log(eN)$，取 $$ K_n=\min\{(m_n-r)_+,N\}. $$ 若 $K_n=0$，直接报告 $0$，不读取参考。否则定义 $$ \widehat\tau_n=\frac1{K_n}\sum_{s=0}^{K_n-1}W(V_s,\ldots,V_{s+r}), \qquad a_n=(u_N/K_n)^{1/4}. \tag{113.2c} $$ 只需 $K_n+r\le m_n$ 个参考标签。由 (113.2a)，有 $$ \frac{K_n}{u_N}\to\infty,\qquad a_n\to0,\qquad K_na_n^2=\sqrt{K_nu_N},\qquad K_na_n=K_n^{3/4}u_N^{1/4}\to\infty. \tag{113.2d} $$ 保留第 112 节的主块日程： $$ B=64,\qquad L_j=2^j,\qquad T_j=L_j+r,\qquad S_j=B(2^j-1+rj),\qquad t(L)=192\sqrt L\log(eL). $$ 第 $j$ 阶段含 $B$ 个连续的 $T_j$ 标签块。对最终长度 $n$，块首 $v$ 的分数和阈值改为 $$ \widehat F^{(n)}_{v,L} =\frac b2\sum_{s=v}^{v+L-1} [W(Y_s,\ldots,Y_{s+r})-\widehat\tau_n], \qquad h_n(L)=t(L)+La_n. \tag{113.2e} $$ 只处理 $N$ 个主标签中的完整块。分数严格大于 $h_n(L)$ 声明 $0$，严格小于 $-h_n(L)$ 声明 $1$，否则保留旧答案；初始答案为 $0$，最终保存最后一次声明。阈值相等和不完整块均不更新。同一最终长度的所有块使用同一估计 $\widehat\tau_n$；下一最终长度可以重算这些声明。 以下先证明一个对确定偏移统一的主过程估计，再条件化参考记录。固定 $$ |\widehat\tau-\tau|\le a,\qquad 0\le a\le\gamma/16. \tag{113.2f} $$ 用这同一对 $(\widehat\tau,a)$ 定义所有阶段及所有辅助长度上的块规则。辅助过程中间长度的答案只用于证明，不声称等于实际较早最终长度输出的答案。 真中心窗口 $$ \widetilde W=(W-\tau)/2 $$ 取值仍在 $[-1,1]$，纯陷阱均值为零，签名下界为 $\gamma/2$。因此它满足第 112 节的数学假设，可以直接复用 (112.2d)–(112.2e) 的产品链势、窗口鞅界以及纯环和首次入陷阱跨越块估计。$\widetilde W$ 在此只用于分析，不作为已知输入交给规则。[^rro113-main] 具体地，令 $\sigma=(-1)^d$。存在有限 $H_X\ge1$，统一控制全部 $0<\delta\le1/2$、两个方向的主过程及纯环势，使普通块具有分解 $$ F^0_{v,L}:=\frac{\sigma b}{2}\sum_{s=v}^{v+L-1} [W(Y_s,\ldots,Y_{s+r})-\tau] =\frac{c_{\delta,d}}2 A_L+R_L, \qquad A_L=\sum_{s=v}^{v+L-1}\mathbf1_{\{X_s\ne0\}}. \tag{113.2g} $$ 残差含至多 $2H_X$ 的势差和 (112.2e) 的两个随机项；该式对正负尾均可应用。纯环漂移为 $c_{0,d}L/2$。条件于首次入陷阱时刻 $\tau_X=m$，跨越块按第 112 节分为纯环段、入陷阱后原核段及至多 $r$ 个跨越窗口。两段漂移均非负，两份势差和跨越窗口的确定性损失至多 $4H_X+r$；传感器保留跨越时的状态，不作重置。 置 $$ V_X=\max\{H_X,r+1\},\qquad \psi_X(L)=4(r+2)\exp[-18\log^2(eL)/V_X^2]. $$ 当 $t(L)\ge4(4H_X+r)$，在 (112.2e) 中对普通块的两个随机项各取绝对值阈值 $t/8$，对跨越块的四个随机项各取 $t/16$，便得：绝对残差小于 $t/2$，除去概率至多 $\psi_X(L)$ 的事件。跨越情形是在给定 $\tau_X=m$ 后成立；纯环和普通块同样满足此较松包络。指数常数来自 $192^2/2048=18$。这些界对块首全部潜状态和发射前历史统一，无需块或跨越两段独立。 参考流需估计未中心化窗口的均值。由有限不可约链的 Poisson 方程，存在 $$ (I-T)h^V=q_{\rm tr}-\tau,\qquad \|h^V\|_\infty\le H_V<\infty. $$ 这里使用 $I-T+\mathbf1\eta$ 的可逆性，允许周期，不要求 $T^n$ 收敛。[^rro113-poisson] 将 $K$ 个参考窗口的中心和分为势差、传感器鞅及窗口残差，势差至多 $2H_V$；窗口残差按起点模 $r+1$ 分组。两类鞅差分别以 $2H_V$ 和 $2$ 为界。取 $H_V\ge1$、$V_V=\max\{H_V,r+1\}$，当 $Ka\ge4H_V$ 时，对两个随机项各取阈值 $Ka/4$，Azuma 界和并集界给 $$ \Pr\left( \left|\frac1K\sum_{sa \right) \le2(r+2)\exp\left[-\frac{Ka^2}{128V_V^2}\right]. \tag{113.2h} $$ 这是每个参考前缀的边缘尾界，不假设不同前缀估计相互独立。由 (113.2d)，该指数除以 $\log(eN)$ 趋于无穷。因此对全部充分大的 $N=n+1$， $$ a_n\le\gamma/16,\qquad \Pr(G_n^c)\le N^{-4}, \qquad G_n=\{|\widehat\tau_n-\tau|\le a_n\}. \tag{113.2i} $$ 回到固定的确定对 (113.2f)。每个块有 $$ \sigma\widehat F_{v,L} =F^0_{v,L}+\frac{\sigma bL}{2}(\tau-\widehat\tau), \qquad \left|\frac{\sigma bL}{2}(\tau-\widehat\tau)\right|\le La/2. \tag{113.2j} $$ 错向越过阈值 $t(L)+La$ 必迫使 $F^0_{v,L}<-t(L)$；非负漂移和绝对残差小于 $t(L)/2$ 排除这种事件。 只在证明中选 $j_0\ge2$，使对全部 $j\ge j_0$， $$ t(L_j)\ge4(4H_X+r),\qquad \psi_X(L_j)\le L_j^{-4},\qquad t(L_j)/L_j\le\gamma/16. $$ 记 $\bar L=2^{j_0}$。该尺度对全部 (113.2f) 的确定对统一，并有 $$ \gamma L_j/2\ge4[t(L_j)+L_ja]. \tag{113.2k} $$ 从环起点出发，既有隐藏占用估计 $\mathbb E A_L\ge3L/4$ 给 $\Pr(A_L\ge L/2)\ge1/2$。在该事件上，真中心漂移至少 $\gamma L/4\ge2[t(L)+La]$。扣除小于 $t(L)/2$ 的残差和至多 $La/2$ 的估计偏移，仍严格超过正确阈值。因此晚阶段有 $$ \begin{array}{ll} \Pr(\text{普通块错向}\mid\mathcal F_v)\le L_j^{-4}, &\text{任意潜状态起点};\\ \Pr(\text{普通块正确声明}\mid\mathcal F_v)\ge1/4, &\text{环起点};\\ \Pr(\text{纯环块不作正确声明})\le L_j^{-4};\\ \Pr(\text{跨越块错向}\mid\tau_X=m)\le L_j^{-4}. \end{array} \tag{113.2l} $$ 早阶段只用概率不超过一，不使用这些晚阶段尾界。 下面完整结算所有主长度。置 $G=B(r+2)$、$F=2G$，日程满足 $$ S_{j+1}\le GL_j,\qquad S_j\ge BL_j/2\quad(j\ge1). $$ 若一个 $m$ 标签前缀中最后完整块的尺度为 $L_\ell$，则 $mN-1$ 时，最后完整块是纯环块，晚尺度失败率至多 $L_\ell^{-4}$；早尺度或无完整块仍用概率一。 所以取 $$ A=F^2\max\{Q,\bar L^2\},\qquad C_{\rm trap}=2A/3, $$ 有条件界 $A/m^2$ 和 $A/N^2$。再用 $\Pr(\tau_X=m)=(1-\delta/3)^{m-1}\delta/3$ 及 $\sum_{m\ge1}m^{-2}\le2$，得全部 $N\ge1$ 的 $$ \varepsilon_d(N,\delta)\le A/N^2+C_{\rm trap}\delta. \tag{113.2m} $$ 令 $e_j$ 为该固定对所定义的辅助规则读完 $S_j$ 个主标签后的错误率。若 $j\ge j_0$ 且 $\delta T_j\ge1$，任意起点在一对相邻块的第二块开始时位于环上的条件概率至少 $$ \frac34[1-(1-4\delta/3)^{T_j}] \ge\frac34(1-e^{-4/3})>1/2. $$ 由 (113.2l)，第二块正确声明的条件概率至少 $1/8$。逐对条件化，32 对中全无声明的概率至多 $(7/8)^{32}<1/4$，不要求块对独立。若没有错向声明，最终错误必来自旧答案错误且全阶段无声明；故 $$ e_{j+1}\le e_j/4+B L_j^{-4}. \tag{113.2n} $$ 部分晚阶段把正确旧答案改错的附加概率也至多 $B L_j^{-4}$。 为覆盖全部起用顺序，定义 $$ j_\delta=\min\{j:\delta(L_j+r)\ge1\},\qquad U=4A/B^2,\qquad D=\max\{\bar L,U+2C_{\rm trap},4B\}. $$ 对 $j\le j_0$，用 $e_j\le1\le\bar L/L_j$。对 $j_0j_0$，前一阶段给 $\delta<2/L_{j_\delta}$，于是该阶段起用界为 $(U+2C_{\rm trap})/L_{j_\delta}$。从 $\max(j_0,j_\delta)$ 起，(113.2n) 和 $D\ge4B$ 归纳给全部阶段 $e_j\le D/L_j$。 最后取 $S_j\le N0$，使用两模型的有限常数并令 $k\to\infty$，从 (113.2v) 得 $$ \frac{C_{A,s}+C_{B,s}}{n+1} \ge\frac14(1-s)^{(m_n-1)_+}. $$ 常数和不可能为零；于是 $$ (m_n-1)_+ \ge\frac{\log(n+1)-\log[4(C_{A,s}+C_{B,s})]} {-\log(1-s)}. \tag{113.2w} $$ 对每个固定 $s>0$，都有 $$ \liminf_{n\to\infty}\frac{m_n}{\log(n+1)} \ge\frac1{-\log(1-s)}. $$ 右侧在 $s\downarrow0$ 时无界，故 (113.2a) 必须成立。这里没有让传感器随最终长度变化：若预算比有有界子序列，先据其有限界选一个固定的小 $s$，再沿该子序列增长长度，就与 (113.2w) 矛盾。证毕。 该必要性子类的漂移裕量有共同正下界，慢坐标的特征值 $1-2s$ 却可趋于一；障碍是长中性参考段上两模型的完整词律相同。主无陷阱记录同时在相反方向下同律，所以最坏 $k$ 不能补回缺失的校准区分。若额外限制 $s\ge s_0>0$，本下界只迫使固定常数倍的对数预算，不由此推出该受限类的充分性。结论不涉及自适应停止的期望参考预算、参考与主实验耦合、校准机制不匹配或传感器随 $k$ 改变。$m_n=0$ 已包含在同一界内，不需另设无校准命题。 [^rro113-main]: [已发布 RRO 第 112 节](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/4894d2e99f93ea0fbad7938c39c9b0e804c7bf76/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)，(112.2d)–(112.2i) 给有限记忆下的统一势、窗口与跨越块界、首次入陷阱结算和块对收缩。本节将真中心窗口 $(W-\tau)/2$ 代入这些既有局部估计，再证明估计偏移与扩大阈值的相容性；不另证产品链 Poisson 分解。 [^rro113-poisson]: Jeffrey J. Hunter, [*Generalized inverses of Markovian kernels in terms of properties of the Markov chain*](https://arxiv.org/abs/1209.3533)，§2，给有限不可约链基本矩阵 $(I-T+\mathbf1\eta)^{-1}$。参考窗口的集中界使用 Kazuoki Azuma, [*Weighted sums of certain dependent random variables*](https://doi.org/10.2748/tmj/1178243286), Tohoku Mathematical Journal **19**(3), 1967；按模 $r+1$ 分组的有界鞅差方法同第 112 节。 [^rro113-testing]: 共同子测度的二点检验法同第 105、112 节：两实验正确标签相反时，任意随机规则的两项错误和至少为一份共同子测度的总质量。(113.2v) 中的一个 $1/2$ 来自参考中性初态，另一个来自公平方向风险；只配对一组交叉方向，不能省略后者。 ## 113.99 追加锚 ## 114. 参考停止可用信息的期望预算分离 **定义与假设 114.1（同一六态子类的两种停止接口）。** 沿用定义 113.1 的四态隐藏核、共同准备 $X_0=1$、独立平稳纯陷阱参考流，以及 (113.2q)–(113.2s) 的六态模型 $A_s,B_s$，其中 $00$，预算比的下极限至少为 $1/[-\log(1-s)]$。令这些固定模型的参数 $s\downarrow0$，右侧无界，得到 (114.2b)。这利用的是风险统一于全部 $k$；没有断言任意一个固定 $k$ 自己就迫使该超对数预算，也没有令传感器随 $n$ 改变。 以下构造 (b)。保留第 112 节的完整块日程，并给出两种主记录函数和一个参考符号检验。对 $r=1$，日程为 $$ B=64,\qquad L_j=2^j\ (j\ge0),\qquad \Delta_j=L_j+1,\qquad S_j=64(2^j-1+j). \tag{114.2h} $$ 第 $j$ 阶段含 $B$ 个连续 $\Delta_j$ 标签块，块首为 $S_j+a\Delta_j$，$0\le a3L/32 \tag{114.2j} $$ 的块即触发筛选；负分数报告方向 $0$，正分数报告方向 $1$。若没有这样的块，记为主筛漏。 若主筛漏，再读参考。写 $$ S_t^V=\sum_{i=0}^{t-1}W(V_i,V_{i+1}),\qquad h_N(t)=\sqrt{32t\log(8N^2(t+1)^2)},\qquad t\ge1. \tag{114.2k} $$ 第一个严格满足 $|S_t^V|>h_N(t)$ 的时刻给出符号：正号选择 $A$，负号选择 $B$。$t$ 个窗口必须读取 $t+1$ 个标签；整个检验最多读取 $N$ 个标签，所以只检验 $1\le t\le N-1$。$N=1$ 时没有可检验窗口。 若参考判出 $A/B$，令 $\epsilon=+1/-1$，使用第二个主记录函数：从尺度 $1$ 开始重读同一块日程，令 $$ \ell=3/1024,\qquad u=1/32. \tag{114.2l} $$ 在一个 $L$ 窗口块中，若 $\epsilon\sum W<\ell L$ 则声明 low；若 $\epsilon\sum W>uL$ 则声明 high；否则不声明，保留最后一次声明，初值固定为 low。$A$ 的 low/high 分别报告 $0/1$；$B$ 的 low/high 分别报告 $1/0$。严格阈值及未完成块都按上述规则处理，不输入 $s$ 或基线估计。若参考读满 $N$ 个标签仍未越界，改用第 112 节原函数 $\Psi_n^{W,1,-1}$ 报告方向。 组合规则因此是：主筛选触发则立即报告并取 $T_n=0$；主筛漏则运行有上限的参考检验，取得符号时使用相应双阈值主函数，未取得时使用原函数 $\Psi_n^{W,1,-1}$。停止必然有限。下面分别核对符号安全性、两个主函数的风险和主筛漏的成本。 参考符号安全性来自明确的潜状态条件漂移。令 $\mathcal F_t^-$ 包含隐藏和传感器路径到 $t$，以及严格早于 $t$ 的发射，不包含当前发射。对参考过程保留对应传感器部分。写 $W_t=W(Y_t,Y_{t+1})$，参考时改用 $V$；设 $q_t=\mathbb E[W_t\mid\mathcal F_t^-]$、$D_t=W_t-q_t$，则 $|D_t|\le2$、$\mathbb E[D_t\mid\mathcal F_t^-]=0$，且 $D_t$ 在 $\mathcal F_{t+2}^-$ 可测。按窗口起点奇偶分组，应用第 112 节使用的 Azuma 界，得任意 $L$ 窗口的一侧及双侧估计 $$ \Pr\!\left(\sum D_t\le-z\right)\le2e^{-z^2/(32L)}, \qquad \Pr\!\left(\left|\sum D_t\right|\ge z\right)\le4e^{-z^2/(32L)}. \tag{114.2m} $$ 这些较松常数也覆盖奇数 $L$，对任意块首潜状态及发射前历史成立。停止检验本身只看可见标签；这里没有将可见分数和直接称为子鞅。[^rro114-concentration] 写 $\epsilon_A=1,\epsilon_B=-1$ 和 $t_s=(1-s)/128$。在 $A_s,B_s$ 的纯陷阱参考中，逐传感器状态有 $$ q_{\rm ref}(z,h) =\epsilon_M\frac{1-s}{64}\mathbf1_{\{h=1\}}, \qquad \tau_M=\epsilon_Mt_s,\qquad 1/256\le t_s<1/128. \tag{114.2n} $$ 事实上，$h=0$ 时当前均匀发射给均值零；$h=1$ 时，只有下一慢状态仍为 $1$ 且两次都选择确定发射 $-Z$ 才贡献，其系数为 $(1-s)/16$，快增量取反后的 $J$ 均值为 $\epsilon_M/4$。所以每个潜状态的正确符号条件均值非负。由 (114.2m)，固定 $t$ 的错符号越界概率至多 $1/[4N^2(t+1)^2]$；对全部 $t\ge1$ 求和小于 $1/(2N^2)$。在 $C$ 的参考下条件均值为零，两侧并集给任意符号越界概率小于 $N^{-2}$。 对固定 $s$，(113.2h) 的参考 Poisson 界直接适用。取其中 $H_V\ge1$、$V_V=\max(H_V,2)$，以容差 $t_s/4$ 代入，得 $$ \Pr\!\left(\left|S_t^V/t-\epsilon_Mt_s\right|>t_s/4\right) \le6\exp[-t t_s^2/(2048V_V^2)] \quad(t\ge16H_V/t_s). \tag{114.2o} $$ 由于 $t_s\ge1/256$，存在绝对 $D$，使 $t\ge D\log(eN)$ 时 $h_N(t)\le t_st/2$；例如 $D=2^{31}$ 足够。在 $t=D\log(eN)$ 处用 $\log\log(eN)\le\log(eN)$ 核对，随后 $\log(8N^2(t+1)^2)/t$ 递减。若到 $t$ 尚未越界，则 $\epsilon_MS_t^V\le h_N(t)\le t_st/2$，其与均值的偏差严格大于 $t_s/4$。将有限 Poisson 起用长度合并到 $D_s\log(eN)$，记未截断越界窗口数为 $\tau_N^V$、$c_s=t_s^2/(2048V_V^2)>0$，遂有 $$ \Pr(\tau_N^V>t)\le6e^{-c_st} \quad(t\ge D_s\log(eN)),\qquad \mathbb E(\tau_N^V+1) \le2+D_s\log(eN)+\frac6{1-e^{-c_s}}. \tag{114.2p} $$ 因此参考检验的期望标签数为 $O_s(\log(eN))$。当 $N-1\ge D_s\log(eN)$ 时，截断未判出的概率指数小；剩余有限多个 $N$ 用概率一吸收，便得所有 $N$ 的截断未判出概率不超过 $C_s/N$。符号安全界统一于 $s$，期望和漏检常数则允许依赖固定 $s$。 现在核对双阈值主函数。在真模型的 $\epsilon_M\sum W$ 中，纯环均值 $\rho$ 为 low 的 $0$ 或 high 的 $1/16$。将 (113.2g) 乘回二并加回基线，普通块精确变成 $$ \epsilon_M\sum_{t=v}^{v+L-1}W(Y_t,Y_{t+1}) =v_{\delta,s,\rho}A_L+t_s(L-A_L)+R_L, \qquad v_{\delta,s,\rho}=\alpha_\delta\rho-\delta t_s/3, \tag{114.2q} $$ 其中 $A_L$ 是隐藏环占用窗口数。既有势范数仍对全部 $0<\delta\le1/2$ 一致有限，可依赖固定 $s$；$R_L$ 只有相应固定倍数变化。特别地， $$ v_{\rm low}\le0, \qquad v_{\rm high}\ge5/96-1/768=13/256. $$ 设 (114.2q) 中无残差的漂移为 $D_L$。四个所需间隔是 $$ \begin{array}{lll} \text{low，任意占用:}&D_L\le L/128,&uL-D_L\ge3L/128;\\ \text{high，任意占用:}&D_L\ge L/256,&D_L-\ell L\ge L/1024;\\ \text{low，}A_L\ge2L/3:&D_L\le L/384,&\ell L-D_L\ge L/3072;\\ \text{high，}A_L\ge2L/3:&D_L\ge13L/384,&D_L-uL\ge L/384. \end{array} \tag{114.2r} $$ 环起点的既有占用估计 $\mathbb EA_L\ge3L/4$ 给 $\Pr(A_L\ge2L/3)\ge1/4$。由产品 Poisson 和窗口尾界，固定 $s$ 后在充分大尺度上，可令相对于上述全部线性间隔的坏残差概率至多 $L^{-4}\le1/8$。于是普通块错宣概率至多 $L^{-4}$，环起点正确声明概率至少 $1/8$。纯环块的漂移为 $\rho L$，故不作正确声明的概率也至多 $L^{-4}$。 条件于首次入陷阱时刻，跨越块仍按第 112、113 节分为纯环前段、原核后段和至多一个跨越窗口，传感器不重置。前段漂移为 $0$ 或 $L_-/16$，后段用 (114.2q)。low 的总漂移不超过 $t_sL+O_s(1)$，high 不小于 $t_sL-O_s(1)$；固定的势端点和跨越损失由 (114.2r) 的线性间隔在充分大尺度吸收。由两段的既有尾界，条件跨越块错宣概率同样至多 $L^{-4}$，没有把跨越块当作齐次核。 为明确完整长度的结算，取上述全部局部界成立的二进制起用尺度 $\bar L=2^{j_*}$。日程给 $G=192,F=384$，且 $$ S_{j+1}\le GL_j,\qquad S_j\ge BL_j/2\ (j\ge1); \quad\text{最后完整块尺度 }L\text{ 满足其前缀长度 }M). $$ 辅助主长度 $M$ 变化时不重选截止 $L$。在条件纯环路径上，$C$ 的正确有向均值为 $1/4$，所以尺度为 $\lambda$ 的完整测试块未筛出的概率至多 $4e^{-c\lambda}$，可取 $c=1/32768$。若首次入陷阱时刻 $m\ge FL$，其前最后完整块的尺度大于 $m/F\ge L$，故条件筛漏概率至多 $4e^{-cm/F}$；较早的 $m$ 用概率一。若到长度 $M\ge FL$ 仍未入陷阱，最后完整块同理。用首次入陷阱分布求和并丢掉其 $\alpha_\delta$ 因子，得 $$ z(M,\delta;L) \le4e^{-cM/F}+C_1\delta L\quad(M\ge FL), \qquad C_1=\frac F3+\frac4{3(1-e^{-c/F})}. \tag{114.2y} $$ 前 $FL$ 个可能入陷阱时刻贡献至多 $F\delta L/3$，其后的指数尾和贡献常数乘 $\delta$，因 $L\ge1$ 并入所写项。此处没有 $\delta L^2$ 损失，也没有假设入陷阱时刻与筛漏独立。 令 $L_{j_L}=L$、$z_j=z(S_j,\delta;L)$。若 $j\ge j_L$ 且 $\delta(L_j+1)\ge1$，每对块第二块正确筛选的条件概率至少 $1/8$；逐对条件化，得 $$ z_{j+1}\le qz_j,\qquad q=(7/8)^{32}<1/4. \tag{114.2z} $$ 这里“尚未筛出”单调，所以没有最后声明算法的附加错宣项。要估计首次筛选的期望，保留 (114.2y) 的指数项和 $\delta L$ 项，直接求尾和。置 $$ j_\delta=\min\{j\ge0:\delta(L_j+1)\ge1\},\qquad J=\max(j_L,j_\delta),\qquad a_*=c/F,\quad b_*=cB/(2F). \tag{114.2ad} $$ 因为 $\delta>0$，$j_\delta$ 有限。若 $J=j_L$，收缩前尾和至多 $S_J\le GL$，且 $L_Jz_J\le L$。若 $J>j_L$，则前一阶段不满足收缩条件，故 $\delta L_J<2$。当 $S_Jm\}} \min\{m,\tau_m^V+1\}. \tag{114.2ag} $$ $L_\circ(m)$ 随 $m$ 非递减，而主筛选阈值只依赖块尺度，故 $m\le N$ 时 $H_{L_\circ(m)}\le H_{L_\circ(N)}$。若 $T_{m-1}>0$，必有 $m0$。所以风险至多 $2N^{-2}+C_C/N$。主筛漏本身不是方向错误，只决定当前是否使用参考；由 (114.2af) 和 (114.2ah)， $$ \mathbb E^C_{d,k}\mathcal T_n \le\mathbb E^C_{d,k}H_{L_\circ(N)} \le C_4L_\circ(N)=O(\log(eN)), \tag{114.2ab} $$ 统一于 $k,d$。 在 $A_s,B_s$ 下，最终错误包含于“误筛 $C$”“参考错符号”“参考截断仍未判出”“使用真实 $\epsilon_M$ 的双阈值主函数错误”的并集；四项分别由 (114.2w)、符号安全界、(114.2p) 的截断尾及 (114.2t)–(114.2u) 的结算控制，故总风险为 $O_s(1/N)$。最后一项是完整主记录上的确定函数错误，不需要声称它在筛漏或参考宣对条件下仍有同样的条件风险。累计取得量由 (114.2ah) 逐路径控制，故由 (114.2p)， $$ \mathbb E^{A_s/B_s}_{d,k}\mathcal T_n \le\mathbb E_{A_s/B_s}\min\{\tau_N^V+1,N\} =O_s(\log(eN)). \tag{114.2ac} $$ 这些错误事件不要求相互独立。有限早期长度用概率一和 $\mathcal T_n\le N$ 吸收到固定模型常数中，证明 (114.2c)。证毕。 分离发生在停止可读取的信息上：参考专用规则的共同停止测度由固定 iid 参考模型 $C$ 的期望控制；主记录参与规则先用完整主记录决定是否跳过参考。交叉方向的共同主律 $L_n$ 与实际 $C$ 的主律不同，不能把两者下的停止期望等同。构造只用了这份六态子类的逐潜状态符号、共同 $1/16$ 漂移界、基线区间及 $C$ 的更强环信号，不推广为全部未知有限 HMM 的自适应校准定理。累计界只计保存复用同一参考前缀时取得的标签，不计主标签、计算、存储或物理等待时间，也不提供较小的实用常数；每时点的边缘风险界不推出全时同时正确或仅有有限次错误。 [^rro114-owner]: [已发布 RRO 第 113 节](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/d61414584006c6e504bbc8d31ca261f6a4f70196/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)，(113.2q)–(113.2s) 定义慢门六态子类并核对共同原始裕量，(113.2t)–(113.2u) 给两份完整前缀子测度，(113.2g)–(113.2h) 给主过程和参考的 Poisson—窗口分解。[已发布 RRO 第 112 节](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/4894d2e99f93ea0fbad7938c39c9b0e804c7bf76/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md) 给原主函数、统一势、跨越块、首次入陷阱结算和块对收缩。本节保留这些结果的归属，另核对停止信息、双阈值和固定筛选尺度所需的条件；累计成本使用非负整值变量的标准尾和公式及逐路径比较，不另引新的概率原理。 [^rro114-stopping]: 按停止事件分割有限记录，再应用凸性，是标准停止实验论证。参见 Emilie Kaufmann、Olivier Cappé、Aurélien Garivier, [*On the Complexity of Best-Arm Identification in Multi-Armed Bandit Models*](https://www.jmlr.org/papers/volume17/kaufman16a/kaufman16a.pdf), JMLR **17** (2016)，Lemma 18、Appendix A.3 的停止似然分割及 Lemma 19 的 Jensen 步骤；本文只使用已明确写出的前缀子测度分割，不将独立抽臂的期望次数散度恒等式移用于有记忆参考流。 [^rro114-concentration]: Kazuoki Azuma, [*Weighted sums of certain dependent random variables*](https://doi.org/10.2748/tmj/1178243286), Tohoku Mathematical Journal **19**(3), 1967。这里按奇偶窗口分组，是 (112.2e) 的同一方法。固定模型的参考均值集中直接引用 (113.2h)；一般隐 Markov 集中的混合依赖另见 Daniel Paulin, [*Concentration inequalities for Markov chains by Marton couplings and spectral methods*](https://arxiv.org/abs/1212.2015v5), Corollary 2.17。后者不向未知模型规则免费提供混合证书；本节的任意时符号安全性来自 (114.2n) 的显式条件漂移。 ## 114.99 追加锚 ## 115. 主记录参与校准停止时的固定模型超对数障碍 **定义与假设 115.1（18 态相容子类与全部参考计费）。** 沿用已发布第 113 节的四态隐藏核 \(K_{\delta,d}\)、共同准备 \(X_0=1\) 和独立平稳纯陷阱参考接口，写 \[ \delta=1/k,\qquad k\ge2,\qquad \alpha_\delta=1-\delta/3,\qquad \xi(1)=0,\ \xi(2)=1,\ \xi(3)=2. \tag{115.1a} \] 环坐标与读数均在 \(\mathbb Z/3\mathbb Z\) 中运算。按增量次序 \(0,+1,-1\)，令 \[ R_-=(1/4,1/4,1/2),\qquad R_+=(1/4,1/2,1/4). \tag{115.1b} \] 传感器有两个独立快坐标 \(Z_-,Z_+\)，分别按增量律 \(R_-,R_+\) 作随机游走，再加一个独立坐标 \(H\in\{0,1\}\)，共 \(18\) 个状态。三坐标初态独立均匀；整个传感器过程独立于隐藏过程。 固定模型 \(C^\star\) 的 \(H\) 每步独立均匀刷新；模型 \(B_s^\star\) 的 \(H\) 使用 \[ P_s=\begin{pmatrix}1-s&s\\s&1-s\end{pmatrix}, \qquad 00\)。后续下界不使用逐状态漂移符号。 两个方向的隐藏纯环增量为 \(R_+,R_-\)。与各自环发射的快增量卷积，得到 \[ \begin{array}{c|cc} \rho_{M,d}&d=0&d=1\\ \hline C^\star&0&1/16\\ B_s^\star&-1/16&0. \end{array} \tag{115.2f} \] 例如 \(R_\pm=(3/4)\operatorname{unif}_3+(1/4)\delta_{\pm1}\)，异号卷积的评分为零，同号卷积的确定分支权重为 \(1/16\)，给出表中另外两项。 在四态均匀律与传感器均匀律的乘积 \(\mu\) 下，环到陷阱的分项对当前均匀环坐标求平均后为零；陷阱到环则由目标环坐标均匀而为零。该平均保留传感器两时刻的相关性。故 \[ \mu q_{M,\delta,d} =\frac34\alpha_\delta\rho_{M,d} +\frac14(1-\delta)\tau_M, \qquad c_{M,\delta,d} =(-1)^{d+1} \left[\alpha_\delta\rho_{M,d}-(1+\delta/3)\tau_M\right], \tag{115.2g} \] 其中第二式是第 113 节原始校准签名在 \(b=-1\) 下的表达。令 \(\theta_s=3(1-s)/128\in[3/256,3/128)\)，四分支为 \[ \begin{array}{c|c|c} (M,d)&c_{M,\delta,d}& \text{全部 }0\le\delta\le1/2,\ 019/768\\ (B_s^\star,1)&(1+\delta/3)\theta_s&\ge3/256. \end{array} \tag{115.2h} \] 前两项由关于 \(\delta\) 的线性式直接取得；第三项关于 \(\delta\) 递减、关于 \(s\) 递增，下确界为 \[ \frac5{96}-\frac76\frac3{128}=\frac{19}{768}, \] 仅在 \(s\downarrow0,\delta=1/2\) 时逼近。最后一项在延拓签名域的 \(s=1/2,\delta=0\) 处等于 \(3/256\)。所以原始签名的共同下界为 \(3/256>1/256\)；真中心分数 \((W-\tau_M)/2\) 的下界相应为 \(3/512\)，不与原始签名混同。 接着保留完整词律。令 \(G_{k,n}\) 为主隐藏链前 \(n\) 次转移均未入陷阱的事件。在交叉方向 \((C^\star,0)\)、\((B_s^\star,1)\) 下， \[ \Pr(G_{k,n})=w_{k,n}=\alpha_\delta^n. \] 条件于该事件，环发射均忽略 \(H\)，初始读数均匀，后续独立增量分别服从 \(R_+*R_-\) 和 \(R_-*R_+\)。两卷积相同，因此完整主词律均为 \[ L_n(y_0,\ldots,y_n) =\frac13\prod_{i=1}^n \left( \frac38\mathbf1_{\{y_i=y_{i-1}\}} +\frac5{16}\mathbf1_{\{y_i\ne y_{i-1}\}} \right), \tag{115.2i} \] 即已发布第 113 节的无陷阱词律。它不依赖 \(k,s\)。条件化只涉及主隐藏路径，独立参考和种子仍与该主词独立。[^rro115-main] 记 \(Q_{C^\star,t}\)、\(Q_{B_s^\star,t}\) 为 \(t\) 个参考标签的完整词律。对 \(t\ge1\)，\(B_s^\star\) 参考中的事件 \[ H_0=\cdots=H_{t-1}=0 \] 有概率 \(\frac12(1-s)^{t-1}\)，且与两个完整快路径和发射随机化独立。条件于它，每时刻使用的发射行均等于 \(C^\star\) 的陷阱发射，所用 \(Z_-\) 的完整平稳路径律也相同。因此对每个完整词 \(v\)， \[ \Pr_{B_s^\star}(H_0=\cdots=H_{t-1}=0,\ V_{0\)，故条件实验也几乎必然终止。其错率和 \(C^\star\) 的条件参考成本满足 \[ \widetilde e_C\le\frac{C_{C^\star}}{Nw},\qquad \widetilde e_B\le\frac{C_{B_s^\star}}{Nw},\qquad m_{n,k}:=\widetilde{\mathbb E}_C T,\qquad \mathbb E^{C^\star}_{0,k}T\ge w\,m_{n,k}. \tag{115.2k} \] 前两项是条件风险除以事件质量，最后一项是非负实际成本乘回该质量。\(m_{n,k}\) 可以依赖 \(n,k\)，但因 \(C^\star,L_n\) 和共同规则均固定而不依赖 \(s\)。 停止时刻的可测性给出共同的停止叶函数 \(\chi_{n,k,t}(y,u,v)\in\{0,1\}\)，表示看到主词 \(y\)、种子 \(u\) 和参考词 \(v\in\{0,1,2\}^t\) 后恰在 \(t\) 停止，已包含此前未停的条件。在互不相交的有限停止层上定义 \[ \nu_{s,n,k}(dy,du,t,v) =w\,a_t\,\chi_{n,k,t}(y,u,v) L_n(dy)\lambda(du)Q_{C^\star,t}(v). \tag{115.2l} \] 实际 \(C^\star,0\) 律先支配 \(w\widetilde P_C^{\rm stop}\)，再由 \(a_t\le1\) 支配 \(\nu\)；实际 \(B_s^\star,1\) 律由相同条件化及 (115.2j) 也支配 \(\nu\)。停止对主词和 \(k\) 的依赖始终保留在同一个 \(\chi\) 内，没有把停止后的两份记录重新当作独立。 由于 \(\widetilde P_C\) 几乎必然有限停止，共同子测度的总质量为 \[ \|\nu_{s,n,k}\| =\frac w2\,\widetilde{\mathbb E}_C(1-s)^{(T-1)_+}. \tag{115.2m} \] 在同一个停止记录上，两项交叉错误的指示量之和为一。限制到 \(\nu\) 后积分，得到 \[ e^{C^\star}_{0,k,n}+e^{B_s^\star}_{1,k,n} \ge \frac w2\,\widetilde{\mathbb E}_C(1-s)^{(T-1)_+}. \tag{115.2n} \] 这里比较的是逐方向错率之和，系数为 \(1/2\)；没有另取公平方向风险。 若 \(m_{n,k}=+\infty\)，由 (115.2k) 实际期望也为无穷，(115.2c) 自动成立。若 \(m_{n,k}<\infty\)，由 \((T-1)_+\le T\)、\(\beta_s=-\log(1-s)>0\) 和指数函数的 Jensen 不等式， \[ \widetilde{\mathbb E}_C(1-s)^{(T-1)_+} \ge\widetilde{\mathbb E}_C e^{-\beta_sT} \ge e^{-\beta_s m_{n,k}}. \] 结合 (115.2a)、(115.2n)，得 \[ \frac{D_s}{N}\ge\frac w2 e^{-\beta_s m_{n,k}}, \qquad m_{n,k}\ge\frac1{\beta_s}\log\frac{Nw}{2D_s}. \tag{115.2o} \] 再用 (115.2k) 乘回 \(w\)，即为 (115.2c)。右端为负时该界仍有效。以上仅使用共同停止叶上的测度比较与 Jensen，不使用参考 iid、逐状态负漂移或独立臂采样次数的 Wald 公式。[^rro115-stopping] 最后取同一个明确对角 \(k=2n\)、\(n\ge1\)。Bernoulli 不等式给 \[ w_{2n,n}=\left(1-\frac1{6n}\right)^n\ge\frac56=:w_0. \tag{115.2p} \] 固定 \(s\)。在 \(Nw_0\ge2D_s\) 后，(115.2c) 右端的对数非负，因而 \[ \mathbb E^{C^\star}_{0,2n}T_{n,2n} \ge\frac{w_0}{\beta_s} \left[\log N-\log(2D_s/w_0)\right]. \tag{115.2q} \] 于是对每个固定 \(s>0\)，该成本比的下极限至少为 \(w_0/\beta_s\)。左端始终属于同一个固定 \(C^\star\) 和同一规则族，而 \(\beta_s\downarrow0\)。任给 \(R>0\)，先选一个固定 \(s\) 使 \(w_0/\beta_s>2R\)，再取充分大 \(N\) 使 \(\log N\ge2\log(2D_s/w_0)\)，则此后全部成本比均大于 \(R\)。这证明第一条极限；第二条由 \(\sup_k\) 至少为该对角值得到。 这一顺序允许 \(C_{B_s^\star}\) 随固定 \(s\) 任意增长，只改变起用长度；没有让传感器随 \(n\) 变化，也没有把同一个固定 \(k\) 的结论与对角结论混用。若全相容类存在所述每模型对数期望规则，将其限制到 \(\mathcal M^\star\)，便与固定 \(C^\star\) 的 (115.2b) 矛盾。证毕。 该反例约束的是全未知传感器类的共同保证；某个受限子类上的主信息校准规则成功，并不推出它可覆盖全部相容模型。这里不声称每个固定 \(k\) 或每个方向都有超对数成本，也不声称 \(18\) 态最小或下界常数最优。 [^rro115-interface]: [已发布 RRO 第 113 节](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/d61414584006c6e504bbc8d31ca261f6a4f70196/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)，定义 113.1 给出未知陷阱基线、原始校准签名和独立平稳纯陷阱参考。其命题 113.2 讨论确定共同参考预算；本节明确采用可读取主前缀和 \(k\) 的停止接口，并按全部实际取得的参考标签计费。 [^rro115-main]: 同一已发布第 113 节的 (113.2t) 给出 \(R_+*R_-=R_-*R_+\) 所产生的完整无陷阱主词律，(113.2v) 使用共同子测度的交叉错误和界。本节的两个独立快坐标与不同陷阱发射另行实现了同一个固定 \(C^\star\) 的主词、参考词匹配；只比较评分均值不足以得到这些完整词等式。 [^rro115-stopping]: 共同子测度检验、停止记录比较与 Jensen 均为成熟概率工具。一般非独立序贯检验的渐近下界见 Georgios Fellouris、Alexander G. Tartakovsky，[*Multichannel Sequential Detection—Part I: Non-i.i.d. Data*](https://arxiv.org/abs/1601.03379v1)，§III Theorem 3.1 与 Remark 3.1。这里直接对有限停止叶使用 (115.2j) 的完整前缀支配，再运输条件风险与实际成本，不把通用序贯下界作为新的概率方法。 ## 115.99 追加锚 ## 116. 有限参数干预的纯陷阱均值重建 **定义与假设 116.1（同一传感器的有限参数准备实验）。** 沿用第 103、113 节的四态隐藏核、独立平稳传感器及纯陷阱基线。[^rro116-model] 状态集为 $S=\{0,1,2,3\}$，按此顺序写 $$ K_{\delta,0}= \begin{pmatrix} 1-\delta&\delta/3&\delta/3&\delta/3\\ \delta/3&\alpha/4&\alpha/2&\alpha/4\\ \delta/3&\alpha/4&\alpha/4&\alpha/2\\ \delta/3&\alpha/2&\alpha/4&\alpha/4 \end{pmatrix},\qquad K_{\delta,1}=K_{\delta,0}^{\mathsf T},\qquad \alpha=1-\delta/3. \tag{116.1a} $$ 实际参数为 $\delta=1/k$，整数 $k\ge2$；分析用核公式仍延拓到 $0\le\delta\le1/2$。方向 $d\in\{0,1\}$ 未知，但在以下全部实验中固定。 固定非空有限传感器状态集 $M$、不可约 Markov 核 $T$ 及其平稳律 $\eta$，允许周期。传感器过程独立于隐藏过程。给定两条完整路径，有限字母表 $\mathcal A$ 上的读数逐时条件独立，概率发射行为 $E_{x,z}$。传感器核、平稳律和发射行在全部参数设置中相同，均不要求已知。固定已知整数 $r\ge1$ 和窗口函数 $W:\mathcal A^{r+1}\to[-1,1]$。纯陷阱参考使用同一传感器的平稳副本、隐藏状态恒为 $0$、发射仍为 $E_{0,z}$，记其窗口均值为 $$ \tau=\mathbb E^{\rm tr}W(V_0,\ldots,V_r). \tag{116.1b} $$ 本节不要求第 113 节的正校准签名条件。 实验接口另允许预先选择互异整数 $k_0,\ldots,k_r\ge2$，置 $\delta_j=1/k_j$。在每个设置 $j$ 取得一个实际主实验：隐藏链按 $K_{\delta_j,d}$ 从 $X^{(j)}_0=1$ 出发，传感器取同一固定模型的平稳副本 $Z^{(j)}_0\sim\eta$，并取得前缀 $$ Y^{(j)}_0,\ldots,Y^{(j)}_{r+3}. \tag{116.1c} $$ 这些设置可由相互独立的平稳副本实现；以下仅要求各设置具有上述边缘实验律，设置之间的耦合不影响所述期望恒等式。每个设置内部仍允许传感器记忆及重叠窗口。重复这一批实验时保持相同的准备条件。选择参数和重复平稳准备是本节声明的额外实验能力，不由一条给定 $k$ 的主记录提供，也不为其准备赋予零成本。没有取得纯陷阱参考记录的要求。定义四个实际主窗口均值 $$ m_{j,t}=\mathbb E^{1,\eta}_{\delta_j,d} W(Y_t,\ldots,Y_{t+r}),\qquad 0\le j\le r,\quad 0\le t\le3. \tag{116.1d} $$ 这些均值是模型的期望量，有限前缀直接给出的只是相应窗口分数。 **命题 116.2（共同三次运输与有限外推）。** 在定义 116.1 下，对 $0<\delta\le1/2$，置 $$ c_\delta=\frac{1-\delta/3}{4},\qquad \lambda_\delta=1-4\delta/3,\qquad H_\delta(z)=z^2+c_\delta z+c_\delta^2, $$ $$ A_\delta= \frac{H_\delta(1)^{-1}+3H_\delta(\lambda_\delta)^{-1}} {1-\lambda_\delta},\qquad B_\delta=H_\delta(1)^{-1}-A_\delta, $$ $$ p_\delta(z)=H_\delta(z)(A_\delta z+B_\delta) =\sum_{t=0}^3a_t(\delta)z^t. \tag{116.2a} $$ 这些系数均有限、不依赖传感器或方向，且两个方向同时满足 $$ \boxed{e_1p_\delta(K_{\delta,d})=e_0,\qquad d=0,1,} \qquad \sum_{t=0}^3a_t(\delta)=1, \tag{116.2b} $$ 其中 $e_i$ 是集中于状态 $i$ 的行概率向量。 令 $Q_d(\delta)$ 为隐藏链按实际 $K_{\delta,d}$ 从状态 $0$ 出发、传感器从 $\eta$ 出发时的 $W$ 窗口均值。它是 $\delta$ 的次数至多 $r$ 的多项式，且 $Q_d(0)=\tau$。定义 $$ \ell_j= \prod_{\substack{0\le i\le r\\i\ne j}} \frac{-\delta_i}{\delta_j-\delta_i} =\frac{k_j^r}{\displaystyle\prod_{i\ne j}(k_j-k_i)}. \tag{116.2c} $$ 则实际准备实验的期望满足 $$ Q_d(\delta_j)=\sum_{t=0}^3a_t(\delta_j)m_{j,t},\qquad \boxed{\tau=\sum_{j=0}^r\sum_{t=0}^3 \ell_j a_t(\delta_j)m_{j,t}.} \tag{116.2d} $$ 特别地，对定义 116.1 的一批实际前缀，确定的有符号统计量 $$ \widehat\tau_{\rm batch} =\sum_{j=0}^r\sum_{t=0}^3 \ell_j a_t(\delta_j) W(Y^{(j)}_t,\ldots,Y^{(j)}_{t+r}) \tag{116.2e} $$ 满足 $\mathbb E\widehat\tau_{\rm batch}=\tau$。其系数只使用 $r$ 和预选的 $k_0,\ldots,k_r$。 **证明。** 首先复用第 112 节对实际隐藏核的环零和作用与唯一慢模的分解，并以行向量写出所需运输。置 $$ \rho=(0,1/3,1/3,1/3),\qquad \pi=(1/4,1/4,1/4,1/4),\qquad w=e_0-\rho,\qquad h=e_1-\rho. $$ 则 $$ e_1=\pi-\frac14w+h,\qquad e_0=\pi+\frac34w. \tag{116.2f} $$ 在本段中简写 $K=K_{\delta,d}$、$c=c_\delta$、$\lambda=\lambda_\delta$。双随机性给 $\pi K=\pi$；陷阱行及三条环行的平均给 $$ e_0K=(1-\delta)e_0+\delta\rho,\qquad \rho K=(\delta/3)e_0+\alpha\rho,\qquad wK=\lambda w. \tag{116.2g} $$ 令 $C_d$ 为对应方向的三环置换矩阵。核的环块为 $c(\mathbf1\mathbf1^{\mathsf T}+C_d)$。陷阱坐标为零、环坐标和为零的行向量 $v=(0,v_R)$ 经 $K$ 作用后仍在该子空间，环坐标变为 $cv_RC_d$。因为 $$ I_3+C_d+C_d^2=\mathbf1\mathbf1^{\mathsf T}, $$ 在这个子空间上有 $$ vH_\delta(K)=0. \tag{116.2h} $$ 特别地，$hH_\delta(K)=0$。 由 $c>0$、$1-\lambda=4\delta/3>0$ 及 $$ H_\delta(x)=(x+c/2)^2+3c^2/4>0 \qquad(x\in\mathbb R), $$ 式 (116.2a) 的全部分母均非零。定义给出 $$ p_\delta(1)=1,\qquad p_\delta(\lambda) =H_\delta(\lambda) \left[H_\delta(1)^{-1}-A_\delta(1-\lambda)\right] =-3. \tag{116.2i} $$ 故 (116.2f)–(116.2h) 蕴含 $$ e_1p_\delta(K) =\pi p_\delta(1)-\frac14w p_\delta(\lambda)+hp_\delta(K) =\pi+\frac34w=e_0. $$ 系数和等于 $p_\delta(1)=1$。环方向只改变 $C_d$ 为其逆，而二者满足同一二次消去式，证明 (116.2b)。若需直接计算系数，展开得到 $$ (a_0,a_1,a_2,a_3) =(B_\delta c_\delta^2, A_\delta c_\delta^2+B_\delta c_\delta, A_\delta c_\delta+B_\delta, A_\delta). \tag{116.2j} $$ 现在固定同一个 $T,E,\eta,W,d$。沿用第 113 节的窗口条件均值，写 $$ q_{\delta,d}(x,z) =\mathbb E^{x,z}_{\delta,d}W(Y_0,\ldots,Y_r),\qquad g_{\delta,d}(x)=\sum_z\eta_zq_{\delta,d}(x,z). \tag{116.2k} $$ 在实际准备于状态 $1$ 的实验中，独立性及 $\eta T^t=\eta$ 给出 $(X_t,Z_t)$ 的联合律为 $(e_1K_{\delta,d}^t)\otimes\eta$。给定这一产品状态，未来窗口的条件均值为 $q_{\delta,d}$。因此 $$ \mathbb E^{1,\eta}_{\delta,d}W(Y_t,\ldots,Y_{t+r}) =e_1K_{\delta,d}^t g_{\delta,d}. \tag{116.2l} $$ 这是无条件期望等式；没有把已观察历史下传感器的条件分布替换为 $\eta$。将 (116.2b) 作用于同一列向量 $g_{\delta,d}$，即得 $$ g_{\delta,d}(0) =\sum_{t=0}^3a_t(\delta) \mathbb E^{1,\eta}_{\delta,d}W(Y_t,\ldots,Y_{t+r}). \tag{116.2m} $$ 左边正是 $Q_d(\delta)$，证明 (116.2d) 的第一式。此时隐藏链可在窗口内离开陷阱，尚未将 $Q_d(\delta)$ 等同于 $\tau$。 为验证有限外推的条件，对隐藏词 $x=(x_0,\ldots,x_r)$ 定义 $$ F(x)= \sum_{z_0,\ldots,z_r}\eta_{z_0} \prod_{i=0}^{r-1}T(z_i,z_{i+1}) \sum_{y_0,\ldots,y_r} W(y_0,\ldots,y_r) \prod_{i=0}^r E_{x_i,z_i}(y_i). \tag{116.2n} $$ 该有限和仅由固定的传感器、发射和窗口决定，与 $\delta,d$ 无关。按隐藏词分解期望，得 $$ Q_d(\delta)= \sum_{x_1,\ldots,x_r\in S} F(0,x_1,\ldots,x_r) \prod_{i=0}^{r-1}K_{\delta,d}(x_i,x_{i+1}), \qquad x_0=0. \tag{116.2o} $$ 每个隐藏转移因子都是 $\delta$ 的仿射函数，每项恰有 $r$ 个因子，故 $Q_d$ 是次数至多 $r$ 的多项式。传感器的全部转移位于不随 $\delta$ 改变的 $F$ 内，不增加这一次数。在 $\delta=0$ 时，状态 $0$ 吸收，式 (116.2o) 仅余全零隐藏词，因而 $$ Q_d(0)=F(0,\ldots,0)=\tau. \tag{116.2p} $$ 这一步只在分析中求多项式的常数项，不要求取得 $k=\infty$ 的实验。 节点 $\delta_0,\ldots,\delta_r$ 互异且全部合法。直接应用有限次数多项式的 Lagrange 插值公式，在零点求值得[^rro116-extrapolation] $$ Q_d(0)=\sum_{j=0}^r\ell_jQ_d(\delta_j). $$ 对每项代入 (116.2m)，得到 (116.2d) 的第二式。式 (116.2e) 的求和有限、窗口有界、系数有限，故统计量可积；逐项取期望即得 $\mathbb E\widehat\tau_{\rm batch}=\tau$。同一个设置内的四个窗口可以重叠，此处未使用窗口独立性。证毕。 本结果保留跨设置的同一模型与同一方向。三次运输系数不需要知道 $d$，不表示插值节点可以使用不同方向：插值针对的是同一个多项式 $Q_d$。同理，更换传感器、发射或窗口会改变式 (116.2n)，不能继续将不同实验当作同一多项式的取值；依据过去读数选择重启或窗口时，也须重新核对式 (116.2l) 的平稳产品起点条件。 这里恢复的是目标期望，不把有符号系数解释为概率权重。事实上，$t\ge1$ 时 $e_1K_{\delta,d}^t$ 在全部环状态上严格为正，而 $t=0$ 时在状态 $1$ 上有质量一；其任何非负单位质量组合都不能等于 $e_0$。式 (116.2e) 的一次观测值不必等于 $\tau$，也不构造独立纯陷阱参考记录。结论不赋予有限抽样误差为零或新的风险、成本保证；第 115 节针对单条给定参数主记录和计费参考接口的下界不因此改变。 [^rro116-model]: [已发布 RRO](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/7b1757adc586d41116a109e022c087ae881a696a/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)，(103.1a) 给出实际隐藏核；第 112 节证明给出环零和作用及慢模 $1-4\delta/3$；(113.1a) 给出同一平稳传感器的纯陷阱基线。本节复用这些结构，另行说明有限参数选择与实际准备期望之间的运输。 [^rro116-extrapolation]: 有限次数插值直接见钉版 Mathlib [Lagrange.eq_interpolate](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean)。不同可实施参数处的期望作有符号消阶，是已有的 Richardson 外推机制；例如 Kristan Temme、Sergey Bravyi、Jay M. Gambetta，[*Error mitigation for short-depth quantum circuits*](https://arxiv.org/abs/1612.02058v2)，PDF 第 2 页式 (2)–(6)。该文的物理缩放假设不替代本节的共同传感器及准备条件；这里由 (116.2o) 验证严格有限次数，因此代数截断余项为零，而有限观测的抽样误差仍须另行处理。 ## 116.99 追加锚 ## 117. 有符号时间准备的滞后与系数总量 **定义与假设 117.1（实际时间行分布与系数总量）。** 沿用式 (116.1a) 的四态行核 $K_{\delta,d}$，状态集为 $S=\{0,1,2,3\}$，方向 $d\in\{0,1\}$，实际共同准备于状态 $1$。[^rro117-model] 核公式取 $0<\delta\le1/2$；实际离散参数仍为 $\delta=1/k$、整数 $k\ge2$。置 $$ \lambda_\delta=1-4\delta/3,\qquad c_\delta=(1-\delta/3)/4,\qquad H_\delta(z)=z^2+c_\delta z+c_\delta^2, \qquad \mu_{t,d}=e_1K_{\delta,d}^t, \tag{117.1a} $$ 其中 $e_i$ 是集中于状态 $i$ 的行概率向量。给定整数 $L\ge0$ 和实系数 $a=(a_0,\ldots,a_L)$，若 $$ \sum_{t=0}^L a_t\mu_{t,d}=e_0, \tag{117.1b} $$ 则称其在方向 $d$ 下给出最大滞后不超过 $L$ 的精确有符号时间准备；若同一组系数对两个方向均成立，则称为共同准备。定义系数总量 $$ \Gamma(a)=\sum_{t=0}^L|a_t|. \tag{117.1c} $$ 这是一份线性表示的系数总变差，不将负系数解释成实际准备概率，也不以 $\Gamma$ 定义样本成本。 **命题 117.2（有限滞后下界与统一有界的延迟构造）。** 对每个 $0<\delta\le1/2$，$L=0$ 时不存在式 (117.1b) 的表示。对任意 $L\ge1$，只要该式对至少一个方向成立，就有 $$ \sum_{t=0}^L a_t=1,\qquad \boxed{\Gamma(a)\ge\frac{8}{1-\lambda_\delta^L}-1.} \tag{117.2a} $$ 特别地，在 $\delta=1/k$ 下，右侧至少为 $6k/L-1$；固定最大滞后无法对全部 $k$ 同时保持精确准备和统一有界的系数总量。 另一方面，对每个实际整数 $k\ge2$，以下系数只依赖 $k$，可在两个方向共同实现精确准备。简写 $\lambda=\lambda_{1/k}$、$c=c_{1/k}$、$H=H_{1/k}$，定义 $$ A_k=\frac{H(1)^{-1}+3H(\lambda)^{-1}}{1-\lambda^k}, \qquad B_k=H(1)^{-1}-A_k, $$ $$ p_k(z)=H(z)(A_kz^k+B_k) =\sum_{t=0}^{k+2}a_t^{(k)}z^t. \tag{117.2b} $$ 则 $A_k>0$，多项式次数恰为 $k+2$，并且 $$ \boxed{e_1p_k(K_{1/k,d})=e_0\quad(d=0,1), \qquad \Gamma(a^{(k)})\le\frac{5507}{86}<65.} \tag{117.2c} $$ 上界只声称这一具体构造统一有效，不声称常数最优或刻画所有滞后下的最小系数总量。 **证明。** 先从实际核计算时间行分布的陷阱坐标，令 $b_t=\mu_{t,d}(0)$。两个方向均有陷阱入口概率 $\delta/3$ 和陷阱自环概率 $1-\delta$，故 $$ b_0=0,\qquad b_{t+1}=(1-\delta)b_t+(\delta/3)(1-b_t) =\delta/3+\lambda_\delta b_t. $$ 归纳得到 $$ b_t=\frac{1-\lambda_\delta^t}{4}. \tag{117.2d} $$ 这使用状态 $1$ 的实际准备，没有将其替换为隐藏链的平稳初态。 核保持总质量，所以对式 (117.1b) 右乘全一列向量即得 $\sum_ta_t=1$。当 $L=0$ 时，左边仅为 $a_0e_1$，不可能等于 $e_0$。以下设 $L\ge1$；此时 $0<\lambda_\delta<1$，因而 $0\le b_t\le b_L$ 且 $b_L>0$。定义状态函数 $$ f_L(x)=\frac{2\mathbf1_{\{x=0\}}}{b_L}-1. $$ 对全部 $0\le t\le L$，有 $$ \mu_{t,d}f_L=2b_t/b_L-1\in[-1,1], \qquad e_0f_L=2/b_L-1. $$ 将此线性泛函作用于式 (117.1b)，直接使用有限和三角不等式，得到[^rro117-dual] $$ \frac{2}{b_L}-1 =\sum_{t=0}^L a_t\mu_{t,d}f_L \le\sum_{t=0}^L|a_t| =\Gamma(a). \tag{117.2e} $$ 代入 (117.2d) 即为 (117.2a)。对 $\delta=1/k$，Bernoulli 不等式给 $$ 1-\lambda_{1/k}^L =1-\left(1-\frac4{3k}\right)^L \le\frac{4L}{3k}, $$ 故 (117.2a) 的右侧至少为 $6k/L-1$。这只给出必要条件，没有断言任意给定 $L$ 都存在精确表示。 下面证明所列延迟构造。固定 $k\ge2$，继续简写 $K=K_{1/k,d}$、$\lambda,c,H$。由于 $c>0$、$0<\lambda<1$，且 $$ H(x)=(x+c/2)^2+3c^2/4>0 \qquad(x\in\mathbb R), $$ 式 (117.2b) 的分母均非零，$A_k>0$，并且 $$ B_k=-\frac{\lambda^kH(1)^{-1}+3H(\lambda)^{-1}}{1-\lambda^k}<0. $$ 系数是在变量 $u=z^k$ 的两个节点 $1,\lambda^k$ 上作一次插值得到的；[^rro117-interpolation] 由定义直接核对 $$ p_k(1)=1,\qquad p_k(\lambda) =H(\lambda)\left[H(1)^{-1}-A_k(1-\lambda^k)\right] =-3. \tag{117.2f} $$ 复用第 112 节的模式分解及式 (116.2f)–(116.2h) 的行向量关系。具体地，令 $$ \rho=(0,1/3,1/3,1/3),\quad \pi=(1/4,1/4,1/4,1/4),\quad w=e_0-\rho,\quad h=e_1-\rho. $$ 已有关系在两个方向均为 $$ e_1=\pi-\tfrac14w+h,\qquad e_0=\pi+\tfrac34w, \qquad \pi K=\pi,\quad wK=\lambda w,\quad hH(K)=0. \tag{117.2g} $$ 同一个 $H$ 消去两个方向的环零和作用。因此 $$ e_1p_k(K) =\pi p_k(1)-\tfrac14w p_k(\lambda)+hp_k(K) =\pi+\tfrac34w=e_0. $$ 多项式最高次项为 $A_kz^{k+2}$，所以最大非零滞后恰为 $k+2$，也由 $p_k(1)=1$ 得系数和为一。 为控制系数总量，注意 $H$ 的三个系数均为正，系数和为 $H(1)$；乘以 $z^k$ 只移动它们的位置。逐个系数使用三角不等式，得到 $$ \begin{aligned} \Gamma(a^{(k)}) &\le (A_k+|B_k|)H(1)\\ &=(2A_k-H(1)^{-1})H(1)\\ &=\frac{2(1+3H(1)/H(\lambda))}{1-\lambda^k}-1. \end{aligned} \tag{117.2h} $$ 这是系数绝对和的标准范数估计。[^rro117-interpolation] 当 $k=2$ 时，$H(z)$ 与 $z^kH(z)$ 的支撑在二次项处重叠，上式仍然成立；证明没有把不相交时的系数范数等号用于该边界。 全部合法 $k$ 均满足 $$ \frac5{24}\le c\le\frac14,\qquad \lambda\ge\frac13, $$ 所以 $$ H(1)\le\frac{21}{16},\qquad H(\lambda)\ge\frac19+\frac5{72}+\frac{25}{576} =\frac{43}{192},\qquad \frac{H(1)}{H(\lambda)}\le\frac{252}{43}. \tag{117.2i} $$ 再由 Bernoulli 不等式， $$ \lambda^{-k} =\left(1+\frac4{3k-4}\right)^k \ge1+\frac{4k}{3k-4}\ge\frac73, \qquad 1-\lambda^k\ge\frac47. \tag{117.2j} $$ 对 (117.2h) 代入 (117.2i)–(117.2j)，便得 $$ \Gamma(a^{(k)}) \le\frac72\left(1+\frac{756}{43}\right)-1 =\frac{5507}{86}<65, $$ 证明 (117.2c)。证毕。 这份取舍涉及同一个实际核的可访问时间跨度和线性表示的系数总量。若沿用第 116 节同一个固定平稳独立传感器及跨度为 $r$ 的窗口，并额外取得同一模型在实际准备态 $1$ 下的前缀 $Y_0,\ldots,Y_{L+r}$，记 $0\le t\le L$ 时的窗口均值为 $m_t$，则式 (116.2l) 对上述系数给 $$ \sum_{t=0}^L a_tm_t=Q_d(\delta). $$ 这里 $Q_d(\delta)$ 是从陷阱状态 $0$ 出发后继续按 $K_{\delta,d}$ 演化的窗口均值；纯陷阱基线 $\tau$ 则在整个窗口中将隐藏状态保持为 $0$。时间准备恒等式本身没有将二者等同。第 116 节取得 $\tau$ 还使用了不同合法参数之间的共同模型及多项式外推，不能将其省略为某个固定 $k$ 下的纯陷阱校准。 对于均值扰动 $\Delta_t$，有限和三角不等式给 $$ \left|\sum_{t=0}^L a_t\Delta_t\right| \le\Gamma(a)\max_{0\le t\le L}|\Delta_t|. $$ 实际窗口的方差还取决于全部协方差，重叠窗口和传感器记忆不能被当成独立样本。[^rro117-statistics] 按完整前缀读取标签时，滞后 $L$ 的最晚窗口需要读到时间 $L+r$，共 $L+r+1$ 个标签；少量非零系数不使中间等待和标签取得免费。以上结果没有给出独立样本数、总实验成本或任意统计算法的风险下界，也没有生成非负准备通道或独立纯陷阱参考流。 [^rro117-model]: [RRO 公开版本](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/6db30c04f155a331e167a74558ccd5a0e6e085cd/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)，(103.1a)、第 112 节证明及 (116.1a) 给出同一四态核；(116.2f)–(116.2h) 明确给出共同模式分解，(116.2l) 给出平稳独立传感器下的期望运输。这里复用这些结构，研究给定时间字典的系数总量。 [^rro117-dual]: 有限和不等式可直接使用钉版 Mathlib [Finset.abs_sum_le_sum_abs](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean)。以线性泛函约束字典原子、下界化系数绝对和，是成熟弱对偶；一般原子规范的框架见 Venkat Chandrasekaran、Benjamin Recht、Pablo A. Parrilo、Alan S. Willsky，[*The Convex Geometry of Linear Inverse Problems*](https://arxiv.org/abs/1012.0621v3)，§2.1，式 (2)、(3)、(5)、(6)。本节只使用显式函数 $f_L$ 的有限字典证书，不使用该文的随机测量恢复保证或强对偶结论。 [^rro117-interpolation]: 两节点插值直接属于钉版 Mathlib [Lagrange.eval_interpolate_at_node](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean)。系数绝对和是第 31.6 条已使用的解析 Wiener 代数范数；式 (117.2h) 仅使用其有限多项式三角不等式及次数平移。这里不把插值或范数估计另作通用新定理。 [^rro117-statistics]: Hakop Pashayan、Joel J. Wallman、Stephen D. Bartlett，[*Estimating outcome probabilities of quantum circuits using quasiprobabilities*](https://arxiv.org/abs/1503.07525v2)，PDF 第 2–3 页，式 (4)、(8)–(12)，使用系数 $1$-范数、绝对权重归一化采样及指定的独立重复。其采样保证依赖这些实际实验条件，不由本节的系数范数单独推出。 ## 117.99 追加锚 ## 118. 固定参数下有限时间准备的下确界与非达性 **定义与假设 118.1（固定核的有限时间字典）。** 固定 $0<\delta\le1/2$，沿用式 (116.1a) 的实际四态行核 $K_{\delta,d}$、方向 $d\in\{0,1\}$ 和准备态 $e_1$；实际离散参数 $\delta=1/k$、整数 $k\ge2$ 是其中的特例。[^rro118-model] 以下保持同一个 $\delta$，简写 $$ \lambda=1-4\delta/3,\qquad c=(1-\delta/3)/4,\qquad H(z)=z^2+cz+c^2,\qquad R=\frac{H(1)}{H(\lambda)}, \qquad \pi=(1/4,1/4,1/4,1/4). \tag{118.1a} $$ 对每个方向，令 $\mathcal G_d$ 为全部有限精确表示的系数总量集合： $$ \mathcal G_d= \left\{\sum_{t=0}^{L}|a_t|: L\in\mathbb Z_{\ge0},\ a\in\mathbb R^{L+1},\quad \sum_{t=0}^{L}a_te_1K_{\delta,d}^t=e_0\right\}. \tag{118.1b} $$ $\mathcal G_{\rm com}$ 采用同一定义，但要求同一个 $L,a$ 同时满足两个方向的等式。另定义 $\mathcal G_d^\pi$：允许额外使用行分布 $\pi$，表示与计费分别为 $$ \beta\pi+\sum_{t=0}^{L}a_te_1K_{\delta,d}^t=e_0, \qquad |\beta|+\sum_{t=0}^{L}|a_t|, \qquad \beta\in\mathbb R. \tag{118.1c} $$ $\mathcal G_{\rm com}^\pi$ 要求同一组 $L,\beta,a$ 适用于两个方向。式 (118.1c) 将 $\pi$ 作为新增的单位成本字典原子；这里只定义这份有符号表示代价，不预设可用有限等待取得这样的实际准备，也不将系数总量定义为样本成本。 **命题 118.2（共同下确界、有限非达与平稳原子达界）。** 在定义 118.1 下，$\mathcal G_0,\mathcal G_1,\mathcal G_{\rm com}$ 均非空，并且 $$ \boxed{\inf\mathcal G_0=\inf\mathcal G_1=\inf\mathcal G_{\rm com} =G_\delta:=1+6R.} \tag{118.2a} $$ 这三个集合的每个元素都严格大于 $G_\delta$，所以任意有限最大滞后的精确表示均不能取得下确界。 具体地，对任意整数 $m\ge3$，置 $$ A_m=\frac{H(1)^{-1}+3H(\lambda)^{-1}}{1-\lambda^m},\qquad B_m=H(1)^{-1}-A_m,\qquad p_m(z)=H(z)(A_mz^m+B_m)=\sum_{t=0}^{m+2}a_t^{(m)}z^t. \tag{118.2b} $$ 同一组系数在两个方向满足 $e_1p_m(K_{\delta,d})=e_0$，其总量精确为 $$ \Gamma_m=\sum_{t=0}^{m+2}|a_t^{(m)}| =G_\delta+\frac{2(1+3R)\lambda^m}{1-\lambda^m} \longrightarrow G_\delta. \tag{118.2c} $$ 两个方向的实际时间行都满足 $$ \mu_{t,d}:=e_1K_{\delta,d}^t\longrightarrow\pi, \qquad \mu_{t,d}\ne\pi\quad\text{对每个有限 }t\ge0. $$ 因此 $\pi$ 是原实际时间字典遗漏的极限原子。 若按式 (118.1c) 将 $\pi$ 加为单位成本原子，则相同下界在两个单方向及共同表示中均可达到： $$ \boxed{\min\mathcal G_0^\pi=\min\mathcal G_1^\pi =\min\mathcal G_{\rm com}^\pi=G_\delta.} \tag{118.2d} $$ 其中一份共同达界表示是 $$ e_0=(1+3R)\pi-\frac3{H(\lambda)}e_1H(K_{\delta,d}), \qquad d=0,1. \tag{118.2e} $$ $\pi$ 本来已经属于原有限时间字典的有符号线性张成；式 (118.2d) 改变的是允许单独计费的原子，而非线性张成。 **证明。** 首先构造作用于实际状态行的全时间对偶列。参数范围给 $$ 1/3\le\lambda<1,\qquad 5/24\le c<1/4,\qquad b:=\lambda-c=(3-5\delta)/4>0. \tag{118.2f} $$ 因而 $H(\lambda)>0$。令 $$ u_1=1-R,\qquad u_2=\frac{1-R\lambda}{c},\qquad u_3=\frac{1-R\lambda^2}{c^2}. $$ 由 $RH(\lambda)=H(1)$， $$ c^2(u_1+u_2+u_3)=H(1)-RH(\lambda)=0. $$ 取列向量 $$ s=(-3,1,1,1)^{\mathsf T},\qquad v_0=(0,u_1,u_2,u_3)^{\mathsf T},\qquad v_1=(0,u_1,u_3,u_2)^{\mathsf T},\qquad g_d=Rs+v_d. \tag{118.2g} $$ 特别地，按状态 $0,1,2,3$ 的顺序， $$ g_0=\left(-3R,\ 1,\ R+\frac{1-R\lambda}{c}, R+\frac{1-R\lambda^2}{c^2}\right)^{\mathsf T}, $$ 而 $g_1$ 交换 $g_0$ 的最后两个坐标。两列均满足 $\pi g_d=0$ 和 $e_0g_d=-3R$。 直接作用实际核可得 $K_{\delta,d}s=\lambda s$。对于陷阱坐标为零、环坐标和为零的列，正方向的作用为 $$ K_{\delta,0}(0,x_1,x_2,x_3)^{\mathsf T} =c(0,x_2,x_3,x_1)^{\mathsf T}; $$ 反方向则使用相反的循环。于是两个方向的实际评估 $$ r_{t,d}:=e_1K_{\delta,d}^tg_d =R\lambda^t+c^tu_{1+(t\bmod3)} \tag{118.2h} $$ 相同，以下记为 $r_t$。构造给出 $r_0=r_1=r_2=1$；没有以任意递推初值替代实际状态列的存在性。 在环零和列上，三个循环作用之和为零，所以 $H(K_{\delta,d})v_d=0$。结合 $K_{\delta,d}s=\lambda s$，得到 $$ (K_{\delta,d}-\lambda I)H(K_{\delta,d})g_d=0. $$ 展开多项式并左乘 $e_1K_{\delta,d}^t$，得 $$ r_{t+3}=b\,r_{t+2}+cb\,r_{t+1}+\lambda c^2r_t. \tag{118.2i} $$ 三个递推系数均严格正，其和为 $$ \sigma=b+cb+\lambda c^2=1-(1-\lambda)H(1),\qquad 0<\sigma<1. $$ 由三个初值为一归纳：若前三项都在 $(0,1]$ 内，后一项严格为正且至多为 $\sigma<1$。因此 $$ 00$，则由 $y_t<1$ 有 $a_ty_t<|a_t|$；若 $a_t<0$，则由 $y_t\ge-1$ 有 $a_ty_t\le|a_t|$；零系数项相等。有限求和中至少有一个严格项，因而 $$ G_\delta<\sum_{t=0}^{L}|a_t|. \tag{118.2l} $$ 这直接使用有限和弱对偶，并以正系数项的严格余量排除有限达界。[^rro118-dual] 共同表示也是任一方向的表示，故同一严格下界适用于 $\mathcal G_{\rm com}$。 为证明下界可由共同有限表示逼近，固定同一个 $\delta$，令独立的滞后参数 $m\ge3$ 变化。式 (118.2b) 复用第 117 节的延迟多项式形状；这里不将 $m$ 与实际参数分母 $k$ 绑定。直接计算给出 $$ A_m>0,\qquad B_m=-\frac{\lambda^mH(1)^{-1}+3H(\lambda)^{-1}}{1-\lambda^m}<0, \qquad p_m(1)=1,\quad p_m(\lambda)=-3. \tag{118.2m} $$ 沿用式 (117.2g) 的共同模式关系，置 $$ \rho=(0,1/3,1/3,1/3),\qquad w=e_0-\rho,\qquad h=e_1-\rho. $$ 两个方向都满足 $$ e_1=\pi-\tfrac14w+h,\qquad e_0=\pi+\tfrac34w, \qquad \pi K_{\delta,d}=\pi,\qquad wK_{\delta,d}=\lambda w,\qquad hH(K_{\delta,d})=0. $$ 因此 $$ e_1p_m(K_{\delta,d}) =\pi p_m(1)-\tfrac14wp_m(\lambda)+hp_m(K_{\delta,d}) =e_0. \tag{118.2n} $$ 这也证明三个原字典总量集合非空。由于 $m\ge3$，$H(z)$ 与 $z^mH(z)$ 的系数支撑 $\{0,1,2\}$、$\{m,m+1,m+2\}$ 不交。$H$ 的系数全正，所以系数绝对和恰为 $$ \begin{aligned} \Gamma_m &=(A_m-B_m)H(1)\\ &=\frac{2(1+3R)}{1-\lambda^m}-1\\ &=G_\delta+\frac{2(1+3R)\lambda^m}{1-\lambda^m}. \end{aligned} $$ 固定 $\delta$ 时 $\lambda^m\to0$，故式 (118.2c) 成立。对任意 $\varepsilon>0$，同一共同表示族都有某个有限 $m$ 使 $G_\delta<\Gamma_m0$。因此没有有限时间行等于 $\pi$；这个极限原子确实不在原实际时间字典中。 最后考虑加入单位成本平稳原子的字典。由 $\pi f_d=1$，每份式 (118.1c) 的表示都满足 $$ G_\delta=\beta+\sum_ta_ty_t\le|\beta|+\sum_t|a_t|. \tag{118.2o} $$ 而共同模式关系给 $$ e_1H(K_{\delta,d})=H(1)\pi-\tfrac14H(\lambda)w. $$ 这立即产生式 (118.2e)。该表示的平稳原子系数为 $1+3R>0$，时间 $0,1,2$ 的系数依次为 $$ -\frac{3c^2}{H(\lambda)},\qquad -\frac{3c}{H(\lambda)},\qquad -\frac3{H(\lambda)}. $$ 它们在两个方向相同，计费恰为 $(1+3R)+3H(1)/H(\lambda)=G_\delta$，结合式 (118.2o) 得式 (118.2d)。 为精确说明字典变化，定义三次多项式 $$ s_\delta(z)=\frac{(z-\lambda)H(z)}{(1-\lambda)H(1)}. $$ 它满足 $s_\delta(1)=1$、$s_\delta(\lambda)=0$，且含因子 $H$。同一模式关系给 $$ \boxed{e_1s_\delta(K_{\delta,d})=\pi\qquad(d=0,1).} \tag{118.2p} $$ 故 $\pi$ 已有两个方向共同的有限有符号表示。把这份表示代回式 (118.2e) 仍是原字典的有限表示，须按展开后的时间系数总量计费，并由式 (118.2l) 严格大于 $G_\delta$。式 (118.2d) 之所以达界，是新字典将 $\pi$ 本身作为一个单位成本原子，而不是为它在旧字典中的展开免费计账。证毕。 本命题的下确界允许最大滞后在不同候选之间任意增大，但每份原字典表示仍只有有限支撑；它不求解某个指定有限 $L$ 的最优值。$\delta=0$ 不在范围内，此时原时间行没有陷阱质量，不能表示 $e_0$。结论度量的是有符号线性准备的系数总量，不给出实际方差、独立采样数或实验成本下界；新增单位成本 $\pi$ 的代数接口也不由无限等待极限自动取得。 [^rro118-model]: [已发布 RRO §116–117](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/d1b69770e9a08e87b8c2e44c9ad169294c7506a7/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)，式 (116.1a) 给实际四态核，式 (117.2g) 给两个方向的共同模式关系；式 (117.2b)、(117.2f)–(117.2h) 给所复用的延迟多项式、节点值及系数范数估计。本节在固定参数后独立增加滞后，并以实际状态列核对全时间严格下界。 [^rro118-dual]: 有限和弱对偶沿用 §117 的来源：钉版 Mathlib [Finset.abs_sum_le_sum_abs](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean)；Chandrasekaran、Recht、Parrilo、Willsky，[*The Convex Geometry of Linear Inverse Problems*](https://arxiv.org/abs/1012.0621v3)，§2.1，式 (2)、(3)、(5)、(6)。这里逐份使用有限和证书，不引用紧原子集的极小值必达结论，也不使用强对偶推断未包含平稳原子的时间字典已经闭合。 [^rro118-limit]: 几何幂极限直接见钉版 Mathlib [tendsto_pow_atTop_nhds_zero_of_lt_one](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean)。本节的正系数递推只用归纳比较；显式列及其实际核作用承担递推与状态空间之间的对应。 ## 118.99 追加锚 ## 119. 有限最大滞后下的唯一最优时间准备 **定义与假设 119.1（固定有限滞后的实际时间字典）。** 固定 $0<\delta\le1/2$，沿用式 (116.1a) 的实际四态核 $K_{\delta,d}$、准备行 $e_1$、目标行 $e_0$，以及式 (118.1a)、(118.2a) 中的 $\lambda,c,H,R,\pi,G_\delta$；简写 $K_d=K_{\delta,d}$，方向为 $d\in\{0,1\}$。取式 (118.2g) 的实际列 $g_d$ 和式 (118.2h) 的共同轨道 $r_t=e_1K_d^tg_d$。[^rro119-model] 对固定整数 $L\ge0$，令 $$ \mu_{t,d}=e_1K_d^t,\qquad \mathcal A_{d,L}=\left\{a\in\mathbb R^{L+1}:\sum_{t=0}^La_t\mu_{t,d}=e_0\right\}, \qquad \mathcal A_{{\rm com},L}=\mathcal A_{0,L}\cap\mathcal A_{1,L}, \tag{119.1a} $$ 并按 $\Gamma(a)=\sum_{t=0}^L|a_t|$ 计费。共同可行集要求同一个系数向量同时满足两个方向的等式；字典仅含时刻 $0,\ldots,L$ 的实际时间行。 **命题 119.2（可行阈值、唯一四点最优解与严格滞后前沿）。** 在定义 119.1 下，$\mathcal A_{0,L},\mathcal A_{1,L},\mathcal A_{{\rm com},L}$ 各自非空当且仅当 $L\ge3$。实际共同轨道满足 $$ r_0=r_1=r_2=1>r_3>r_4>\cdots>0. \tag{119.2a} $$ 当 $L\ge3$ 时，置 $$ j=L\bmod3,\qquad \ell=L-j,\qquad A_L=\frac{1+3R}{1-r_L},\qquad B_L=\frac{-3-A_L(\lambda^L-c^\ell\lambda^j)}{H(\lambda)}, \tag{119.2b} $$ $$ p_L(z)=A_Lz^L-A_Lc^\ell z^j+B_LH(z) =\sum_{t=0}^La_t^*z^t. \tag{119.2c} $$ 则同一个 $a^*$ 是两个单方向问题及共同问题各自唯一的优化器。其支撑恰为 $\{0,1,2,L\}$，前三个系数严格负，第 $L$ 个系数严格正，并且 $$ \boxed{ \min_{a\in\mathcal A_{0,L}}\Gamma(a) =\min_{a\in\mathcal A_{1,L}}\Gamma(a) =\min_{a\in\mathcal A_{{\rm com},L}}\Gamma(a) =\Gamma^*_{\delta,L}:=\frac{G_\delta+r_L}{1-r_L}.} \tag{119.2d} $$ 对固定 $\delta$，这条前沿随整数 $L\ge3$ 严格下降，并满足 $$ \Gamma^*_{\delta,L}-G_\delta =\frac{(G_\delta+1)r_L}{1-r_L}>0, \qquad \Gamma^*_{\delta,L}\longrightarrow G_\delta. \tag{119.2e} $$ **证明。** 复用式 (118.2f)–(118.2j) 的实际轨道关系。整个参数区间内，$c,\lambda>0$，且 $$ b:=\lambda-c=(3-5\delta)/4\ge1/8>0. $$ 令 $$ \sigma=b+cb+\lambda c^2=1-(1-\lambda)H(1)\in(0,1), \qquad D_t=r_t-r_{t+1}. $$ 将式 (118.2i) 在相邻时刻相减，得到 $$ D_{t+3}=bD_{t+2}+cbD_{t+1}+\lambda c^2D_t, \qquad D_0=D_1=0,\quad D_2=1-\sigma>0. \tag{119.2f} $$ 正系数递推先给出全部 $D_t\ge0$；从 $D_2>0$ 出发，项 $bD_{t+2}$ 又使 $D_{t+3}>0$ 逐步成立。因此 $D_t>0$ 对每个 $t\ge2$ 成立。结合式 (118.2j) 的正性，得到式 (119.2a)。 若 $L\le2$ 且某个方向有可行向量，右乘全一列 $\mathbf1$ 得 $\sum_ta_t=1$；再右乘实际列 $g_d$，利用 $e_0g_d=-3R$ 和 $r_0=r_1=r_2=1$ 得 $$ -3R=\sum_{t=0}^La_tr_t=\sum_{t=0}^La_t=1, $$ 与 $R>0$ 矛盾。这同时排除两个单方向及共同可行集。 以下固定 $L\ge3$。对每个方向构造实际列 $$ g_{d,L}=\frac{g_d-r_L\mathbf1}{1-r_L},\qquad f_{d,L}=\mathbf1-2g_{d,L}. \tag{119.2g} $$ 实际时间行质量为一，故 $$ y_{t,L}:=\mu_{t,d}f_{d,L} =\frac{1+r_L-2r_t}{1-r_L}. $$ 由式 (119.2a)，在 $0\le t\le L$ 内， $$ y_{t,L}=-1\ \Longleftrightarrow\ t\in\{0,1,2\}, \qquad y_{t,L}=1\ \Longleftrightarrow\ t=L, \qquad -1c>0$， $$ \lambda^L-c^\ell\lambda^j =\lambda^j(\lambda^\ell-c^\ell)>0. $$ 所以 $A_L>0$、$B_L<0$。多项式 $H$ 的系数为 $c^2,c,1$，全为正；项 $-A_Lc^\ell z^j$ 只进一步减小其中一个低次系数，而 $L\ge3$。具体地，令 $(\eta_0,\eta_1,\eta_2)=(c^2,c,1)$，则 $$ a_t^*=B_L\eta_t-A_Lc^\ell\mathbf1_{\{t=j\}}<0\quad(0\le t\le2), \qquad a_L^*=A_L>0, \qquad a_t^*=0\quad(3\le t0. $$ 方向一使用反向循环，三个实际行的环子矩阵是式 (119.2m) 交换最后两列，行列式为 $-c(\delta^2/9+7c^2)\ne0$。所以两个方向的前三个实际行均线性独立。 若四个实际行在某个方向满足 $$ b_0\mu_{0,d}+b_1\mu_{1,d}+b_2\mu_{2,d}+b_L\mu_{L,d}=0, $$ 分别右乘 $\mathbf1$ 与原列 $g_d$，得到 $$ b_0+b_1+b_2+b_L=0,\qquad b_0+b_1+b_2+r_Lb_L=0. $$ 因为 $r_L<1$，相减得 $b_L=0$；前三行独立再给 $b_0=b_1=b_2=0$。因此 $\mu_{0,d},\mu_{1,d},\mu_{2,d},\mu_{L,d}$ 在两个方向都线性独立。任何单方向最优向量由式 (119.2j) 只支撑在这四点，与 $a^*$ 作差即得四行零组合，所以必等于 $a^*$。共同最优向量也是任意单方向的最优向量，因而同样唯一。 最后，式 (119.2d) 直接给出式 (119.2e) 的差值。若 $L'>L\ge3$，式 (119.2a) 给 $r_L>r_{L'}$，于是 $$ \Gamma^*_{\delta,L}-\Gamma^*_{\delta,L'} =\frac{(G_\delta+1)(r_L-r_{L'})}{(1-r_L)(1-r_{L'})}>0. $$ 式 (118.2h) 已给固定 $\delta$ 下 $r_L\to0$，代入即得极限 $G_\delta$。证毕。 [^rro119-model]: [已合并 RRO §116–118](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/1b46e9aa0cc3dfa4a6979682be1167c5cf85ece9/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)，式 (116.1a) 给实际四态核，式 (117.2g) 给共同模式；式 (118.2g)–(118.2j) 给实际对偶列、方向共同轨道、正系数递推与正性，式 (118.2a) 给允许有限最大滞后任意增大时的下确界。本节固定 $L$ 后求解同一时间字典中的系数总量最小化。 [^rro119-dual]: 有限和弱对偶沿用第 118 节的来源：钉版 Mathlib [Finset.abs_sum_le_sum_abs](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean)；Chandrasekaran、Recht、Parrilo、Willsky，[*The Convex Geometry of Linear Inverse Problems*](https://arxiv.org/abs/1012.0621v3)，§2.1。这里直接逐项验证对偶不等式及其取等条件，再用实际行的独立性证明唯一性。 ## 119.99 追加锚 ## 120. 可组合关系的最小行为表示与保真辅助构造 把空间拼接、时间接续、边界读取和记忆更新放在同一套有类型的关系中，统一的承重点是：同一表示是否保留全部指定实验，并允许这些实验继续组合。本节先给共同骨架；后续以观察投影、线性实现和带权关系计算其可恢复范围。 ### 120.1 关系结构与允许实验 固定一个多类型签名。每个类型 $s$ 有合法实现集合 $X_s$；每个允许组合 $g$ 有指定输入类型与输出类型；每个基础读数 $f$ 有指定值域。组合包括连接两个组件、执行一步更新、附加一个记录等；它们是否满足结合律、交换律、因果条件或其他等式，均作为模型关系声明。没有被声明的等式不由“组合”这个名称取得。 对部分组合，每个类型先使用带标签的总化载体 $\widehat X_s=X_s\sqcup F_s$，其中 $F_s$ 是声明的失败结果集合。每个有限元组合在全部相应总化输入上给出指定总扩展 $\widehat g$；它在原合法定义域上与原组合一致，在其他输入上按声明的失败或恢复规则返回结果。成功、失败及所需原因纳入基础读数。以下重新以 $X_s,g$ 记这些已指定的总化载体和组合。它们的结合律等式仍须按实际规则检验。空间块的拼接与时间步的接续均可作为这套签名中的组合；它们不必是同一个运算，也不预设两者任意交换。 在这些载体上，签名还可包含指定的谓词 $P\subseteq X_{s_1}\times\cdots\times X_{s_n}$；常量视为零元运算。对函数 $$ g:X_{s_1}\times\cdots\times X_{s_n}\to X_t, $$ 用图关系 $$ G_g(\boldsymbol x,y)\iff y=g(\boldsymbol x) $$ 替换它，并保留全定义、单值条件 $$ \forall\boldsymbol x,\quad \exists!y\in X_t,\ G_g(\boldsymbol x,y). $$ 反之，满足此条件的关系唯一确定原类型的函数；常量的图关系恰有一个元素。因此，函数与谓词可以置于同一份有类型的关系结构中，而不丢失已声明的运算信息。签名列出的是本模型的承重结构，不声称已经列出任意物理系统的全部结构。 **结构保真判据。** 给两份同签名结构，并对每个类型给双射 $h_s:X_s\to X'_s$。这些双射双向保持全部图关系和谓词，当且仅当每个运算满足 $$ h_t(g(x_1,\ldots,x_n)) =g'(h_{s_1}x_1,\ldots,h_{s_n}x_n), $$ 并且每个谓词满足 $$ P(x_1,\ldots,x_n) \iff P'(h_{s_1}x_1,\ldots,h_{s_n}x_n). $$ **证明。** 将 $y=g(\boldsymbol x)$ 代入图关系保持式，目标图的单值性给出运算交织式。反之，交织式立即给图关系的向前保持；若像点属于目标图，则 $h_t(y)=g'(h\boldsymbol x)=h_t(g(\boldsymbol x))$，由 $h_t$ 单射得 $y=g(\boldsymbol x)$，故也向后保持。谓词部分正是所列双向条件；零元运算的同一论证给常量保持。$\square$ 例如权重 $w:X\times X\to\mathbb R$、度量 $d:X\times X\to\mathbb R$，以及概率核的数值分量，都可按各自定义域写成图关系。若实数类型和数值含义固定，取 $h_{\mathbb R}=\mathrm{id}$，图关系保持恰好要求数值保持；若允许运输数值类型，则必须连同其中使用的加法、乘法、顺序及命名常数一起运输，不能仅重标数值而保留原来的数值结论不变。 时间也有自己的类型与结构。给时间幺半群 $(T,\cdot,e_T)$ 及作用 $\alpha:T\times X\to X$，把时间乘法、单位和作用都写成图关系。上述判据要求 $h_T$ 是幺半群同构，并满足 $$ h_X(\alpha(t,x))=\alpha'(h_T(t),h_X(x)). $$ 当时间参数原样固定时，取 $h_T=\mathrm{id}$。若时间还带顺序、方向或命名的计量单位，这些也须作为所要求保持的关系列入。作用律确实随之运输：将 $\alpha(ts,x)=\alpha(t,\alpha(s,x))$ 两边作用 $h_X$，再使用乘法与作用的交织式，便得目标作用的乘法律；将 $\alpha(e_T,x)=x$ 同样运输，得到单位律。$h_T,h_X$ 的满射性使这些等式覆盖全部目标时间和状态。这没有从任意底层关系唯一选出某个距离、时间作用或物理定律。 对类型 $s$，一个闭实验由一个含该类型单孔的允许上下文 $C[-]$，接上一个基础读数 $f$ 构成。上下文由允许组合、声明可用的固定参数和单孔逐层形成，包含恒等上下文，并对合法嵌套闭合。写实验族为 $\mathcal E_s$，结果函数为 $e:X_s\to Y_e$。共享来源、合法性、概率、当前输出与成本若属于任务，就必须是上下文的输入或实验结果分量。 ### 120.2 最小可组合边界 **定义 120.1（完整实验行为）。** 定义 $$ \beta_s:X_s\longrightarrow\prod_{e\in\mathcal E_s}Y_e,\qquad \beta_s(x)=(e(x))_{e\in\mathcal E_s},\qquad Q_s=\beta_s[X_s]. $$ 只把实际可实现行为组成 $Q_s$。令 $x\simeq_s y$ 表示全部允许实验结果相等，即 $\ker\beta_s$。 **定理 120.2（最小任务表示与组合闭合）。** 假设上下文包含允许组合每个孔位的代入，并可固定该组合其余孔位在所讨论总化代数中的全部相应参数。则： 1. $\simeq$ 保持全部基础读数，并且是允许组合的同余关系；相同实验行为的组件可以逐孔替换。 2. $Q_s$ 上有唯一诱导组合，使 $\beta$ 与全部组合交换，且基础读数也唯一下降。 3. 若另一实际像表示 $q_s:X_s\twoheadrightarrow B_s$ 保持基础读数且允许全部组合下降，则有唯一满射 $r_s:B_s\to Q_s$ 同时保持这些组合与读数，满足 $r_sq_s=\beta_s$。 4. 若 $q_s$ 恰好合并全部且仅合并实验等价实现，则 $r_s$ 是双射；两个满足此条件的表示规范同构。 **证明。** 恒等上下文保证等价实现有相同基础读数。设 $g$ 有 $n$ 个输入，且 $x_i\simeq y_i$。固定输出端任意实验 $e$，依次将 $g(x_1,\ldots,x_n)$ 的第 $i$ 个参数换为 $y_i$。每一步把其他参数固定，所得 $e(g(\ldots,[-],\ldots))$ 是允许实验；实验等价保证其结果不变。有限次替换后所有输出实验仍相同，故组合结果等价。这证明同余性。 定义 $\bar g(\beta x_1,\ldots,\beta x_n)=\beta(g(x_1,\ldots,x_n))$，同余性给代表无关；实际像使其取值合法且唯一。基础读数用恒等上下文下降。 对另一表示，组合下降与基础读数下降经上下文归纳，保证每个实验 $e$ 都通过 $q_s$ 因子化。因此 $q_s(x)=q_s(y)$ 蕴含 $\beta_s(x)=\beta_s(y)$，可定义 $r_s(q_s(x))=\beta_s(x)$。它良定义、满射，在实际像上唯一；代入代表即可验证读数及组合交换。它为单射当且仅当反向核包含也成立，即 $\ker q_s=\ker\beta_s$。两个精确表示之间的规范双射由各自到 $Q_s$ 的双射复合给出。$\square$ 这里“最小”按保留区别的偏序定义：任何充分且可组合的表示都能唯一映到 $Q$。若载体有限，它也给最少状态数；若没有长度编码、访问协议与计算模型，它不额外断言描述最短或恢复最快。可用上下文受限时，最小性也仅相对于该语言成立。 **命题 120.3（改变任务或操作会改变最小体）。** 若 $\mathcal E_s\subseteq\mathcal E'_s$，则 $\ker\beta'_s\subseteq\ker\beta_s$，并有唯一满射 $Q'_s\to Q_s$ 保留旧实验。该映射不一般可逆。 **证明。** 新实验相等必在旧实验中相等，故按实际像定义映射即可。取两个状态，旧实验均为常值，新实验为状态本身，则新表示有两点、旧表示只有一点，不可逆。$\square$ 因此体和边界的等价相对于任务与交互语言。扩大允许干预可以显露旧盲区；这同时改变了实验条件，不能只改名字就获得这种能力。 指定任务的因子化、观察自主更新的核稳定性判据，以及指定期望、完整外部行为与微观状态的严格恢复层级，见第122.1.2节。当前任务充分不保证动态充分；第120.6节还给出核在交换更新下不稳定的线性反例。集合意义上的恢复不自动提供高效算法、稳定估计或低成本实验。 ### 120.3 当前状态与完整时间响应 对确定性状态空间 $X$，设允许操作为 $T_a:X\to X$，$a\in A$，当前读数 $o:X\to Y$。将多读数并为一个带类型的乘积读数。对词 $w=a_1\cdots a_n$，令 $T_w=T_{a_n}\cdots T_{a_1}$。完整响应为 $$ \Phi(x)(w)=o(T_wx),\qquad w\in A^*. $$ **定理 120.4（状态与响应的交织表示）。** $\ker\Phi$ 是 $\ker o$ 内最大的操作稳定等价关系。在实际响应空间 $Q=\Phi[X]$ 上定义 $$ (\mathsf S_a b)(w)=b(aw),\qquad \bar o(b)=b(\varepsilon). $$ 则 $\Phi T_a=\mathsf S_a\Phi$，$o=\bar o\Phi$，且 $X/\ker\Phi\cong Q$。这给出有效状态与全部允许未来响应之间的可逆表示。 **证明。** 空词给当前读数相等。若 $\Phi(x)=\Phi(y)$，对所有 $w$ 有 $o(T_wT_ax)=o(T_wT_ay)$，故操作后仍等价；并且 $\mathsf S_a\Phi(x)=\Phi(T_ax)$，所以移位保持实际像。若 $E\subseteq\ker o$ 是操作稳定关系，词长归纳得 $xEy\Rightarrow T_wxET_wy$，因此全部响应相等，$E\subseteq\ker\Phi$。最后实际像与核商的双射由 $[x]\mapsto\Phi(x)$ 给出，逆由其等价类给出。$\square$ 操作不受控且只有一个时间步 $F$ 时，$\Phi$ 是普通未来序列，$\mathsf S$ 是左移。多种可控操作下，$\Phi$ 包含所有允许分支的响应；一条实际执行的历史不自动提供这整棵响应树。 例如 $X=\{0,1\}^2$，读第一位。允许操作 $a$ 恒等，$b$ 交换两位。不断执行 $a$ 的记录无法分开 $(0,0),(0,1)$，但操作 $b$ 后的读数可以。完整受控行为区分两者，一条特定实验轨迹则没有取得所需信息。 ### 120.4 历史如何成为现在可用的记忆 固定响应函数 $s:A^*\to Y$。它可来自某个初态 $x_*$ 的确定系统，$s(w)=o(T_wx_*)$。对已经执行的历史 $h$，定义剩余响应 $$ r_h(v)=s(hv),\qquad v\in A^*. $$ 令 $M=\{r_h:h\in A^*\}$。 **定理 120.5（历史的最小预测记忆）。** 更新与输出 $$ \delta_a(r_h)=r_{ha},\qquad \widehat o(r_h)=r_h(\varepsilon) $$ 定义良好，并以初态 $r_\varepsilon$ 实现全部响应 $s$。任何实现相同 $s$ 的可达确定系统，都有唯一保初态、读数和更新的满射到 $M$。两个可达且全部未来读数分离状态的实现，通过唯一这样的双射等价。 **证明。** 若 $r_h=r_k$，则对每个 $v$，$r_{ha}(v)=s(hav)=r_h(av)=r_k(av)=r_{ka}(v)$，所以更新良定义。沿词归纳，从 $r_\varepsilon$ 执行 $h$ 到达 $r_h$，当前输出为 $s(h)$。 设另一系统的可达状态为 $T_hx_*$。若 $T_hx_*=T_kx_*$，则任意继续词 $v$ 的输出相等，故 $r_h=r_k$；于是 $T_hx_*\mapsto r_h$ 良定义且满射，读数与更新保持由定义验证。任何保初态、更新的映射在可达生成元上都被迫取此值，所以唯一。若未来读数分离状态，则 $r_h=r_k$ 还迫使 $T_hx_*=T_kx_*$，故映射双射。$\square$ 它把“过去是什么”与“过去对未来还有什么作用”分开。两段不同历史可以具有相同剩余响应，因此记忆状态不必恢复完整档案。完整档案则仍可以保留：从历史到 $M$ 的压缩是另一个操作，是否执行它应单独声明。 对未知初态的实际记录，令 $R_n(x)$ 为已采集的历史，$S_n(x)$ 为当时的目标有效状态。在实际像上存在恢复映射 $d_n:R_n[X]\to S_n[X]$ 使 $S_n=d_nR_n$，当且仅当 $$ \ker R_n\subseteq\ker S_n. $$ 证明为按记录代表定义 $d_n(R_n(x))=S_n(x)$。该条件明确区分“未来响应在数学上决定状态”和“现在采集的记录已经决定状态”。在线性系统中，它化为可观测矩阵的核包含；在随机系统中，则须对预测律及联合来源给出对应条件。 ### 120.5 辅助结构何时是一条保真的辅助线 **定理 120.6（可消去辅助实现的行为等价）。** 设扩展系统 $\widetilde X$ 到原系统 $X$ 有满射 $r$，对相同操作语言满足 $$ r\widetilde T_a=T_ar,\qquad \widetilde o=or. $$ 扩展系统仅使用这些运输后的任务与操作。则 $$ \widetilde\Phi=\Phi r,\qquad \ker\widetilde\Phi=(r\times r)^{-1}[\ker\Phi],\qquad \widetilde\Phi[\widetilde X]=\Phi[X]. $$ 所以二者相对于这份一元操作词语言具有相同最小行为表示；辅助坐标可以被消去而不改变声明的行为。 **证明。** 对操作词归纳得到 $r\widetilde T_w=T_wr$，继而 $\widetilde o\widetilde T_w=oT_wr$，即第一式。取共同核得到第二式；$r$ 满射得到像相等。$\square$ 若还允许多元拼接，则对每个类型给满射 $r_s$，并要求每个组合满足 $$ r_t\widetilde g(\widetilde x_1,\ldots,\widetilde x_n) =g(r_{s_1}\widetilde x_1,\ldots,r_{s_n}\widetilde x_n), $$ 全部基础读数、固定参数和失败标签也相应运输。对上下文结构归纳，得到同样的完整行为因子化与最小表示等价。一元方块本身不够：同一两点集合上的恒等映射保持恒等更新和当前读数，但不会把二元 AND 运算运输成 OR 运算。 若扩展带概率，还须使推前联合律等于原联合律；若要求成本保真，还须使对应执行的成本一致。增加一个可独立读取辅助变量的实验，会扩展语言，前述行为等价不再由这三个式子保证。逐行归一化的辅助概率核提供一种保留旧联合律的具体构造；仅作全局归一化则可能按见证重数改变原分布。 反向构造的目标是：找到更易推理的实现 $\widetilde X$ 和上述运输，使原先难算的关系成为可分解、线性或正交的关系，再将结论送回原任务。新空间的维数、度量或概率若是辅助选择，就不把它们直接当作原对象未声明的物理性质。 ### 120.6 同一边界配对的三种读取 前面的商由实验相等定义。在线性实现中，同一机制具有可计算版本。过去输入的有限线性组合组成向量空间 $P$，未来输出检验组成向量空间 $F$，边界响应给双线性配对 $H:F\times P\to\mathbb R$。等价过去之差是 $$ N_P=\{p:H(f,p)=0\text{ 对所有 }f\in F\}, $$ 配对给线性读出 $H^\#:P\to F^*$，$H^\#(p)(f)=H(f,p)$，其核是 $N_P$。因此 $P/N_P$ 先是这组检验分离的任务商，同构于 $\operatorname{im}H^\#$。若完整配对有限维，其矩阵秩就是商维数；任何经状态空间 $Z$ 的因子化 $H^\#=BA$ 都有 $\operatorname{rank}H^\#\le\dim Z$，取该商达到下界。 动态状态还要求移位良定义。例如给定 $S_P,S_F$ 且 $H(f,S_Pp)=H(S_Ff,p)$，则 $p\in N_P$ 推出 $S_Pp\in N_P$，移位因而下降。完整 Hankel 响应满足这样的过去—未来接续关系，后文再证明可达、可观测最小实现。任意有限截断在没有视界条件时仅给维数下界。反例是 $P=\mathbb R^2,F=\mathbb R,H(f,p)=fp_1$：核为 $\mathbb Re_2$，若更新交换两坐标，则核不稳定，任务商不能自主更新。 若进一步有同一个系数空间上的对称半正定配对 $\gamma$，则其零向量空间 $N=\{v:\gamma(v,v)=0\}$ 是全部配对的根空间，商上可定义真实内积。 **命题 120.7（半正定配对的商几何）。** 对称双线性 $\gamma\ge0$ 满足 $$ |\gamma(v,w)|^2\le\gamma(v,v)\gamma(w,w). $$ 因此 $N=\{v:\gamma(v,w)=0\text{ 对所有 }w\}$，且 $\langle[v],[w]\rangle=\gamma(v,w)$ 是 $P/N$ 上良定义的正定内积。 **证明。** $\gamma(v+tw,v+tw)\ge0$ 对所有实数 $t$ 成立。若 $\gamma(w,w)>0$，在该二次式最小点 $t=-\gamma(v,w)/\gamma(w,w)$ 处取值得所需不等式；若 $\gamma(w,w)=0$，非零线性项会使某方向的 $t$ 取值为负，故 $\gamma(v,w)=0$。由不等式得零向量对所有向量正交，反向取 $w=v$。根空间为线性子空间，配对不受代表改变，商上零范数仅含零类。$\square$ 因此任务商、Hankel 状态商与正定内积商共享“按全部允许配对消去不可区分方向”的机制。但正性、自伴性与输入输出伴随关系是额外数学结构；对可达、可观测的线性动态实现，完整响应确定相似类；要进一步恢复指定内积，还须相应的正性、自伴及伴随耦合条件。 这一共同骨架给后续各章一个具体检验：哪些关系被读数分离，哪些变换保留组合，哪些辅助方向可以消去，以及加入权重、定向或演化后需要哪些额外条件。它不预设所有量都是同一个残差，也不由形式相似直接识别物理时空度量。 数学背景为上下文等价、代数同余、Myhill–Nerode 剩余行为与线性配对商。仓内 `ControlledBehaviorUniversality`、`StrictOneHoleContexts`、`DynamicClosureMinimality` 与 `TargetRecoveryCriterion` 提供对应的任务与组合接口。 ## 120.99 追加锚 ## 121. 保留式观察的正交增量与记录时间 第120节的完整行为是数学上的实验集合。本节另问有限观察者实际取得哪些记录：档案保留使可见子空间递增，新取得的区别成为互相正交的增量。 ### 121.1 固定联合实现及真实档案 先取有限非空样本空间 $\Omega$ 和严格正概率 $\nu$。它描述固定有限协议视界 $0,\ldots,N$ 的全部共同实现，包括所需初态、环境变量、传感器结果、实际执行状态，以及协议使用的随机种子。这里“把种子放进模型”不表示观察者在时刻零已经读到了全部种子；可见性仍由档案映射指定。 令实际累计档案为 $$ q_n:\Omega\longrightarrow B_n=q_n[\Omega],\qquad 0\le n\le N. \tag{121.1} $$ 只增档案的数学合同是：存在固定前缀映射 $\pi_n:B_{n+1}\to B_n$，使 $$ \boxed{q_n=\pi_nq_{n+1}}. \tag{121.2} $$ 等价地，在按追加条目表示档案时，可以写 $$ q_{n+1}=(q_n,W_{n+1}), \tag{121.3} $$ 其中 $W_{n+1}$ 包括该步**实际纳入档案**的全部新字段；不同长度和不同字段类型可用带标签的记录类型表示。式（121.2）足以完成下面关于观察塔的证明，并不要求每一步真的产生新区分。 记录一条解释及后来记录它的修正，可以保持式（121.2）：档案保留“曾在某时给出这份解释”及后续修正事件，当前采用的解释 $I_n=F_n(q_n)$ 可以变化。$I_n$ 自身无需具有前缀关系，因而不能用当前解释或压缩摘要替代本节的完整档案。 记录事实与记录内容的真实性也不同。档案包含某句话，只保证“记录了这句话”；要由此推出某次动作已实际完成、传感器读数准确或某证书有效，必须有相应记录协议或验证谓词的正确性条件。只增合同不会自动证明这些条件。若执行可能失败，应将请求动作、实际执行结果及失败标签按声明范围区分。 ### 121.2 纤维与关系核反向缩小 定义观察等价关系 $$ K_n=\{(\omega,\omega'):q_n(\omega)=q_n(\omega')\}. \tag{121.4} $$ 由式（121.2），若 $q_{n+1}(\omega)=q_{n+1}(\omega')$，取前缀即得 $q_n(\omega)=q_n(\omega')$。因此 $$ \boxed{K_{n+1}\subseteq K_n}, \qquad \boxed{q_{n+1}^{-1}(q_{n+1}(\omega)) \subseteq q_n^{-1}(q_n(\omega))}. \tag{121.5} $$ 这表示新增记录只会切细原候选纤维。它不是说某个完整世界被删掉或改变了，而是某条实际记录所兼容的共同实现集合缩小。 前缀映射在实际像上满射：每个 $b=q_n(\omega)$ 都是 $q_{n+1}(\omega)$ 的前缀。故 $B_{n+1}\twoheadrightarrow B_n$。若 $K_{n+1}=K_n$，则该前缀映射还是单射，因为两个后档案具有相同前缀时，可选各自代表，再用核相等得到后档案相等。此时两步实际像之间只是相容换名，没有增加可区分性。 这些是确定观察关系，不依赖概率大小；严格正 $\nu$ 使下一层 Hilbert 表示恰好保留全部这些纤维。 若还要区分实际发生的事件次数，可显式使用带时点的档案 $\widehat q_n=(n,q_n)$。其事件索引由 $n$ 增至 $n+1$；固定阶段的常数标签 $n$ 不改变 $K_n$ 或 $H(q_n)$。因此事件时间可以严格前进，而信息时间停在同一分区。即使每次都追加同一读数或确定的执行标记，这个区别仍成立。 ### 121.3 同一 Hilbert 空间中的嵌套观察子空间 令 $$ \mathcal H=L^2(\Omega,\nu)=\mathbb R^\Omega, \qquad\langle f,g\rangle_\nu=\sum_\omega\nu(\omega)f(\omega)g(\omega). \tag{121.6} $$ 定义当前可观察函数空间 $$ V_n=\{f:\exists a:B_n\to\mathbb R,\ f=a\circ q_n\}. \tag{121.7} $$ 它是纤维常值函数的线性子空间，包含常量。由前缀关系，$a\circ q_n=(a\circ\pi_n)\circ q_{n+1}$，所以 $$ \boxed{V_n\subseteq V_{n+1}}. \tag{121.8} $$ 对纤维 $F_{n,b}=q_n^{-1}(b)$，定义 $$ (\Pi_nf)(\omega) =\frac{\sum_{\eta\in F_{n,q_n(\omega)}}\nu(\eta)f(\eta)} {\nu(F_{n,q_n(\omega)})}. \tag{121.9} $$ 分母严格正。该函数属于 $V_n$，对 $V_n$ 内函数不变。对任意 $g\in V_n$，将求和按纤维分组，得到 $$ \langle f-\Pi_nf,g\rangle_\nu =\sum_b g|_{F_{n,b}} \left(\sum_{\omega\in F_{n,b}}\nu(\omega)f(\omega) -\nu(F_{n,b})(\Pi_nf)|_{F_{n,b}}\right)=0. \tag{121.10} $$ 故 $\Pi_n$ 正是到 $V_n$ 的正交投影，也就是该共同概率模型中的条件期望。它保持常量、正性和期望。 下文始终在这个固定 $L^2(\nu)$ 中比较算子。不能每获得一条实际记录就任意换成另一个内积空间，再不经嵌入直接相减两份投影。条件后验已经由式（121.9）编码为同一空间中的算子；改变模型或参考律则需要另给相容运输。 记线性隐藏核 $N_n=\ker\Pi_n=V_n^\perp$，则 $$ \boxed{N_{n+1}\subseteq N_n}. \tag{121.11} $$ 这里 $N_n$ 是函数方向的线性核，式（121.4）的 $K_n$ 是完整实现之间的等价关系核；二者相关，但类型不同。 ### 121.4 累计投影两两交换，增量仍可严格非零 若 $m\le n$，$V_m\subseteq V_n$，所以 $\Pi_n\Pi_m=\Pi_m$。取伴随得到 $\Pi_m\Pi_n=\Pi_m$。因此 $$ \boxed{\Pi_m\Pi_n=\Pi_n\Pi_m=\Pi_{\min(m,n)}}. \tag{121.12} $$ 这也给条件期望的塔式关系。档案持续增长，并不要求累计条件投影不交换。 例如两点等权空间上，$q_0$ 为常值、$q_1$ 为恒等读数。$\Pi_0$ 为平均投影、$\Pi_1=I$，二者交换，但新档案已经区分两点，记录熵从零增至 $\log2$。 因此记录的方向可以由前缀包含关系和协议顺序承担；不能把非交换性设为它的必要条件。这一结论只涉及档案增长，不自行证明热力学不可逆，也不要求实际演化算子或不同干预互相交换。 ### 121.5 新增部分是正交投影，且各步增量互相正交 定义 $$ \Delta_n=\Pi_{n+1}-\Pi_n,\qquad 0\le n21/25$。该分支概率为 $1/5$；另一分支后验方差为零。因此平均后验方差为 $1/5<21/25$，下降量为 $16/25$，恰为条件均值从旧平均增加出的方差。这个例子同时说明“观察者档案增加”与“每次更新都让个案显得更确定”是不同陈述。 ### 121.9 档案熵与目标信息的共同联合律收支 以 $C_n=q_n(\omega)$ 记随机档案，式（121.3）给 $C_{n+1}=(C_n,W_{n+1})$。有限熵链式公式由联合质量分解为边缘乘条件质量直接得到，故 $$ \boxed{H(C_{n+1})-H(C_n)=H(W_{n+1}\mid C_n)\ge0}. \tag{121.26} $$ 对同一个固定目标 $\Xi$，互信息链式法则给 $$ \boxed{I(\Xi;C_{n+1})-I(\Xi;C_n) =I(\Xi;W_{n+1}\mid C_n)\ge0}. \tag{121.27} $$ 条件互信息是按旧档案条件化后，目标与新条目的联合律相对边缘乘积的 KL 平均，所以非负。目标信息增量和记录熵增量的差是 $$ \boxed{H(W_{n+1}\mid C_n) =I(\Xi;W_{n+1}\mid C_n) +H(W_{n+1}\mid\Xi,C_n)}. \tag{121.28} $$ 因此新记录中可以包含相对于该目标仍未解释的随机性。它不自动是一份独立噪声；公式没有假定独立性。 以上比较要求目标和联合模型固定。若每一步把目标改成新的物理状态，或者改用互不相容的模型概率，式（121.27）没有提供跨这些变化的单调性。 ### 121.10 自适应动作与随机元数据必须按完整记录计账 若下一步请求动作由旧档案决定， $$ A_n=a_n(C_n), \tag{121.29} $$ 则 $H(A_n\mid C_n)=0$。只在档案上追加这份已确定的动作描述，不切开旧纤维：$\ker(C_n,A_n)=\ker C_n$，所以对应的 $\Delta_n$ 为零。 这不表示执行动作不能取得新证据。动作可以改变实际实验条件，再产生新结果 $Y_{n+1}$；例如旧档案未知一个等权比特，请求动作固定为“测量该比特”，请求本身没有新增信息，测得结果却可以增加 $\log2$ 的档案熵。计划、实际执行结果和测量记录应按协议分别声明。 若实际新增条目为 $$ W_{n+1}=(A_n,Y_{n+1},Z_{n+1}), $$ 其中 $Z_{n+1}$ 是来源与版本、随机标签、执行状态或其他实际记录字段，则一般有 $$ \boxed{ H(W_{n+1}\mid C_n) =H(A_n\mid C_n)+H(Y_{n+1}\mid C_n,A_n) +H(Z_{n+1}\mid C_n,A_n,Y_{n+1}). } \tag{121.30} $$ 在式（121.29）的确定策略下简化为 $$ \boxed{H(W_{n+1}\mid C_n) =H(Y_{n+1}\mid C_n)+H(Z_{n+1}\mid C_n,Y_{n+1})}. \tag{121.31} $$ 只有额外元数据已经由旧档案与新结果确定时，最后一项才为零。不能因为把 $Y$ 称为“新观察”，就漏掉其他新增随机记录。 最小例子：旧档案和传感器结果 $Y$ 都恒定，但额外记入一个独立公平随机标签 $Z$。实际档案熵增为 $\log2$，而 $H(Y\mid C)=0$。若该标签还与固定目标 $\Xi$ 独立，则它对目标的互信息增量为零。档案确实新增了一个可区分方向，却未必增加当前目标的知识。 随机策略也需类型明确。若动作由旧档案和新种子 $R$ 决定，即 $A=a(C,R)$，而 $R$ 尚未纳入档案，便不能使用式（121.29）的 $H(A\mid C)=0$。可以把种子先作为一个实际追加记录，使动作对扩充档案成为确定函数；也可以不记录种子，但在完整联合模型内保留它，并直接用式（121.30）计算实际记录的动作、结果和元数据。没有记录的种子不应被自动计入档案熵。 把完整协议及全部种子放进 $\Omega$ 只为保证这些变量来自一份共同实现。若条件化到完整 $\omega$，一切记录当然都确定；这不等于观察者已经知道该 $\omega$，也不使式（121.28）相对于部分目标的创新项消失。 ### 121.11 与共同关系骨架的接合及范围 档案塔给一组可取得实验之间的前缀方块，因而提供命题120.3所述“增加实验使等价核缩小”的具体实例。它还给统一的线性表示：$V_n$ 是当前可用的全部实值纤维函数，$\Pi_n$ 为对应观察，$\Delta_n$ 为新获得的正交方向。 这不意味着一条实际执行的协议已经提供定理120.4中所有可控分支的完整响应。也不能把一个有限时点的核自动当作对全部后续操作稳定的同余关系；动态闭合仍须按共同骨架单独检查。当前档案与全部未来行为是不同接口。 关于证书，本节只提供条件句：若一个检查器已经证明正确，且档案记录了它在明确输入上的成功结果，便可以按该检查器的正确性结论使用证书。追加日志本身不产生正确性证明；错误解释的更正也不改写此前“曾作此解释”这一记录事件。语义闭包、已认证结论与有限预算内实际可调用的知识，由第136节分别描述，这里不把它们混作一个熵量。 本节复用的成熟数学是有限条件期望的正交投影、嵌套投影与 Hilbert 正交和、条件全方差及 Shannon／互信息链式法则。相关接口包括 Mathlib `MeasureTheory.condExpL2`、投影正交接口，以及 D5 的确定读出熵分解、`FutureWordInformationChain`、`MutualInformationChainRule` 和 RRO §81 的记忆信息收支。 若参考有零值，先限制到共同正支持；不为零概率纤维任意指定后验。无穷 Hilbert 部分只证明其自身的范数收敛，有限熵部分始终在固定有限协议模型中使用。随机独立性只在明确的示例或协议假设处出现，不能从正交增量或单调档案自动推出。 这条证明线给“只增观察者”一个精简而具体的含义：保留旧记录，使可取得区别单调细化；在同一个参考空间里，把每一步新增区别分解成正交方向，同时保留尚未区分的余项。它允许解释修正、个案后验不确定性上升以及无关元数据增加，不需要非交换投影，也不借此宣布已经消除了全部隐藏关系。 ## 121.99 追加锚 ## 122. 相容实现的观察边界、投影缺陷与细化 在同一实现空间上，集合观察保留存在关系，条件平均保留概率读数。两者的补集和乘法行为各有明确条件；下面把这些条件接到任务因子化与正交几何。 ### 122.1 关系怎样取得一个共同实现 #### 122.1.1 共同见证与局部相容 **定义 122.1。** 给定可能实现的集合 $X$，将每条约束表示为子集 $A_i\subseteq X$。一份共同实现是一个同时属于全部 $A_i$ 的 $x\in X$；可实现性就是 $$ \bigcap_{i\in I}A_i\ne\varnothing. $$ 这里各约束必须作用于同一对象。若它们最初写在不同局部载体 $X_i$ 上，先给出共同载体 $X$ 和限制映射 $r_i:X\to X_i$，再把局部条件 $L_i$ 拉回为 $A_i=r_i^{-1}(L_i)$。没有这些映射，“分别满足”并未形成同一个待判命题。 **命题 122.2。** 两两相容不推出共同相容。取 $X=\{0,1\}^3$，写状态为 $(x,y,z)$，令 $$ A=\{x=y\},\qquad B=\{y=z\},\qquad C=\{x\ne z\}. $$ 则三对交集均非空，三重交集为空。 **证明。** $(0,0,0)\in A\cap B$、$(0,0,1)\in A\cap C$、$(0,1,1)\in B\cap C$。若同时属于三者，前两条给 $x=z$，与第三条矛盾。三个局部交集使用了三份不同见证，不能把它们当作一份全局见证。证毕。 相同的逻辑适用于数据拼接：各个边缘表、各份最优值或各段合法行为分别存在，还没有证明它们来自一份共同的概率律、状态或历史。关系的组合要传递实际中间见证，不能只拼接彼此独立的存在断言。 #### 122.1.2 观察是否保留了指定任务 **定义 122.3。** 给定观察 $q:X\to B$，将 $B$ 取为实际像 $q[X]$，故 $q$ 满射。任务族为 $f_\alpha:X\to Y_\alpha$，$\alpha\in J$。定义 $$ x\sim_qx'\iff q(x)=q(x'),\qquad x\sim_{\mathcal F}x'\iff\forall\alpha,\ f_\alpha(x)=f_\alpha(x'). $$ 空任务族给出全体状态等价。集合 $X$ 为空时，实际像也为空，以下实际像上的唯一因子与双射仍成立。 **定理 122.4（任务充分性与精确任务商）。** 下列两条件等价： $$ \sim_q\ \subseteq\ \sim_{\mathcal F}, \qquad \forall\alpha\ \exists!\bar f_\alpha:B\to Y_\alpha, \quad f_\alpha=\bar f_\alpha q. $$ 若进一步 $\sim_q=\sim_{\mathcal F}$，则存在唯一双射 $$ \Phi:B\longrightarrow X/{\sim_{\mathcal F}},\qquad \Phi(q(x))=[x]. $$ **证明。** 若观察核包含关系成立，则同一 $b$ 的任何两个实现有相同 $f_\alpha$ 值。令 $\bar f_\alpha(b)$ 为这个唯一值即可；满射性保证存在该值，也保证因子唯一。反向从 $q(x)=q(x')$ 代入每个因子式得到任务相等。核相等时，$\Phi$ 因 $\sim_q\subseteq\sim_{\mathcal F}$ 良定义，因反向包含而单射，并由任意类 $[x]$ 的代表得到满射；规定了每个实际 $b=q(x)$ 的像后也唯一。证毕。 若只知任务充分性，$q$ 可以保留任务之外的区别，不能反向声称其实际像就是最小任务商。若另外要在观察层执行更新 $T:X\to X$，必须再检查 $$ q(x)=q(x')\Longrightarrow q(Tx)=q(Tx'). $$ 同一因子论证给出：此条件当且仅当存在唯一 $\bar T:B\to B$ 满足 $qT=\bar Tq$。保留一组静态读数不自动保留操作的合法性；动力运输是额外的关系条件。 **三个恢复义务。** 一份指定期望、全部指定外部行为与完整微观状态应分别列量词。期望是对概率律的标量任务；行为是对状态或过程的整族读数；微观恢复要求观察核为对角线。一般不存在把前一义务直接换成后一义务的规则。 例如令 $X=\{0,1\}^3$，$T(a,b,c)=(b,a,c)$，传感器 $r(a,b,c)=a$。完整确定行为为交替词 $(a,b,a,b,\ldots)$，恰识别 $(a,b)$，完全看不见 $c$；因此外部行为相同仍不推出微观状态相同。对概率律再取 $$ \rho=\tfrac12(\delta_{000}+\delta_{110}),\qquad \eta=\tfrac12(\delta_{010}+\delta_{100}). $$ 两者的每一个单时刻传感器期望都为 $1/2$，但前者使前两读数相等的概率为一，后者为零，故完整外部行为律不同。这给出严格分离的实际模型；某些特殊模型中较弱任务也能决定全部状态，是否如此仍由其观察核检查。 #### 122.1.3 软约束与低温极限的含义 **定理 122.5。** 设 $X$ 有限非空，约束指标集有限，每个 $v_i:X\to[0,\infty)$ 满足 $v_i(x)=0\iff x\in A_i$，权重 $\lambda_i>0$。定义 $$ E(x)=\sum_i\lambda_i v_i(x),\qquad E_*:=\min_xE(x), \qquad M=\{x:E(x)=E_*\}. $$ 则 $E_*=0$ 当且仅当存在共同实现。取严格正先验 $\mu_x$、$\sum_x\mu_x=1$，并令 $$ \rho_\beta(x)=\frac{\mu_x e^{-\beta E(x)}}{Z_\beta}, \qquad Z_\beta=\sum_x\mu_xe^{-\beta E(x)},\qquad\beta\ge0. $$ 有逐点极限 $$ \rho_\beta(x)\longrightarrow\frac{\mu_x1_M(x)}{\mu(M)} \quad(\beta\to\infty). $$ 若 $M\ne X$，令 $\Delta=\min_{x\notin M}(E(x)-E_*)>0$，则 $$ \rho_\beta(X\setminus M) \le\frac{1-\mu(M)}{\mu(M)}e^{-\beta\Delta}. $$ **证明。** 有限和中的项非负且权重严格正，故 $E(x)=0$ 当且仅当全部 $v_i(x)=0$。最小值可达，得到第一结论。把 Gibbs 式分子分母同时乘以 $e^{\beta E_*}$，最小点的指数因子恒为一，其余严格趋零，给出极限。分母至少为 $\mu(M)$，非最小点的分子和至多为 $(1-\mu(M))e^{-\beta\Delta}$，即得尾界。若 $M=X$，所有 Gibbs 律已经等于 $\mu$，不需要定义空集上的最小间隙。证毕。 对任意概率 $\nu$，还有精确的自由能恒等式 $$ \beta\mathbb E_\nu E+D(\nu\Vert\mu) =D(\nu\Vert\rho_\beta)-\log Z_\beta. $$ **证明。** 代入 $\log\rho_\beta=\log\mu-\beta E-\log Z_\beta$ 并求和即可；严格正先验确保所有分母正。KL 非负及其等号条件表明左侧由 $\rho_\beta$ 唯一最小化。另由有限求和微分得 $$ \frac{d}{d\beta}\mathbb E_{\rho_\beta}E =-\operatorname{Var}_{\rho_\beta}(E)\le0. $$ 这些公式没有把不相容变成相容。$E_*>0$ 时，低温选择最小违约的折中实现；它仍违反至少一条原约束。$E_*=0$ 时才集中到真实共同解。非均匀先验下，不将此能量下降另称为 Shannon 熵的普遍单调性。 #### 122.1.4 不同类型的“反”及有限词例子 集合补 $A\mapsto X\setminus A$ 作用在幂集；比特翻转或时间反演 $\Theta:X\to X$ 作用在状态或历史；向量取负 $v\mapsto-v$ 作用在线性空间；取向反转作用于已经规定取向的几何对象。它们的定义域、组合律与被保持的结构不同。某一具体实现能把两种操作交织起来时，须给出那条交换关系，不能仅用共同名称识别它们。 取长度 $n\ge0$ 的二进词 $W_n=\{0,1\}^{\{0,\ldots,n-1\}}$，给定 $k\ge1$。令 $L_{n,k}$ 为不含连续 $k$ 个一的词：即不存在整数 $j\ge0$ 满足 $j+k\le n$ 且 $w_j=\cdots=w_{j+k-1}=1$。当 $n0$、$\sum_x\mu_x=1$，且 $q:X\twoheadrightarrow B$。令 $$ p_b=\sum_{x\in X_b}\mu_x>0,\qquad H=L^2(X,\mu;\mathbb R),\qquad \langle f,g\rangle_\mu=\sum_x\mu_x f_xg_x, $$ $$ (Pf)_x=\bar f_{q(x)},\qquad \bar f_b=\frac1{p_b}\sum_{x\in X_b}\mu_xf_x. $$ 复值算子部分可以使用同一公式及 $\langle f,g\rangle=\sum\mu_x\overline f_xg_x$；以下方差、事件和熵取实值。 **命题 122.9。** $P$ 是到纤维常值子空间 $U$ 的正交投影，$P1=1$，保持平均、非负性和区间 $[0,1]$。对 $u\in U$，有 $P(uf)=uPf$；因此 $$ P(1-f)=1-Pf, $$ $$ P(fg)-(Pf)(Pg)=P\bigl((f-Pf)(g-Pg)\bigr). $$ **证明。** 对每条纤维取加权平均后已得到纤维常数，故 $P^2=P$、像为 $U$；逐纤维求和给 $$ \langle Pf,g\rangle_\mu =\sum_bp_b\bar f_b\bar g_b=\langle f,Pg\rangle_\mu, $$ 故自伴幂等，即正交投影。其余保持性质来自权重 $\mu_x/p_b$ 非负且和为一；纤维常数 $u$ 可提出平均，给模块公式。最后将右侧乘积展开并用模块公式、$P^2=P$，得所列协方差恒等式。证毕。 取 $f=1_A$，记 $a_b=\bar f_b=\mu(A\cap X_b)/p_b$。于是 $$ P(f^2)-(Pf)^2=(Pf)(1-Pf),\qquad \|(I-P)f\|_\mu^2=\sum_bp_ba_b(1-a_b)=:\mathcal B_q(A). $$ 满支撑使 $0t\}$，则 $$ f_x=\int_0^1 1_{A_t}(x)\,dt, $$ $$ |f_x-f_y|=\int_0^1|1_{A_t}(x)-1_{A_t}(y)|\,dt, $$ $$ \operatorname{TV}_q(f)=\int_0^1\operatorname{Cut}_q(A_t)\,dt. $$ 任意有限实值 $f$ 可把后两式的积分改为全实轴；第一式则可写成 $f_x=m+\int_m^M1_{\{f_x>t\}}dt$，其中 $m=\min f$、$M=\max f$。 **证明。** 对固定 $x$，指标为一的阈值区间长度是 $f_x$。对两点，两个阈值指标不同的区间位于两个函数值之间，长度为绝对差；阈值端点对积分无影响。将第二式乘以 $w_{xy}/2$，对有限点对求和并交换求和与积分，指标的 TV 恰等于 cut，得到第三式。常函数时区间长度为零，同样成立。证毕。 参数 $t$ 是阈值，不是时间。一般平方差能量并不等于这个无权 cut 积分。例如同一纤维含两个等质量点，$f=(0,1/2)$ 时，$w_{12}=1/4$，有 $$ \mathcal D_q(f)=1/16,\qquad\operatorname{TV}_q(f)=1/8. $$ 在 $[0,1]$ 上只能直接得到 $\mathcal D_q(f)\le\operatorname{TV}_q(f)$，因为每条边的差 $d\in[0,1]$ 满足 $d^2\le d$。对指标函数二者相同；对非指标函数须保留区别。 另一个必要区别是：$Pf$ 已在每条纤维上常值，所以 $\mathcal D_q(Pf)=\operatorname{TV}_q(Pf)=0$，每个阈值集也饱和。但对原事件 $f=1_A$， $$ \mathbb E_\mu[(Pf)(1-Pf)]=\mathcal B_q(A) $$ 仍可严格正。前者检查粗化函数在纤维内是否变化，后者记录粗化后的事件概率仍有多少不确定度。 ### 122.6 固定观察的平均化与增加观察的精化 #### 122.6.1 固定纤维下的平均化半群 令 $L=I-P$，$s\ge0$。由于 $P$ 是投影，定义或指数级数直接给出 $$ S_s=e^{-sL}=P+e^{-s}(I-P) =e^{-s}I+(1-e^{-s})P. $$ $S_{s+t}=S_sS_t$、$S_0=I$，且 $S_s$ 是保持常数、非负性、$\mu$ 平均的 Markov 算子。其核为 $$ S_s(x,y)=e^{-s}1_{x=y}+(1-e^{-s})1_{q(x)=q(y)}\mu_y/p_{q(x)}. $$ 这给出一份实际的条件重采样实现；$\mu_xS_s(x,y)=\mu_yS_s(y,x)$。同一观察几何也允许 $e^{-\gamma s(I-P)}$ 等其他速率，故观察核没有唯一指定时间标度。 **定理 122.15。** 对 $f:X\to[0,1]$，记 $a=Pf$、$u_s=S_sf$。则 $$ u_s=a+e^{-s}(f-a),\qquad Pu_s=a, \qquad\dot u_s=-(I-P)u_s, $$ $$ \mathcal D_q(u_s)=e^{-2s}\mathcal D_q(f),\qquad \operatorname{TV}_q(u_s)=e^{-s}\operatorname{TV}_q(f). $$ 设 $J(u)=\mathbb E_\mu[u(1-u)]$，则有精确恒等式 $$ J(u_s)=J(f)+(1-e^{-2s})\mathcal D_q(f), \qquad\frac d{ds}J(u_s)=2\mathcal D_q(u_s). $$ **证明。** 前三式来自 $P^2=P$ 与标量指数导数；$u_s$ 是 $f$ 和 $Pf$ 的凸组合，因此仍在 $[0,1]$。$(I-P)u_s=e^{-s}(I-P)f$ 给二次能量式；非零边连接同一纤维，两端 $a$ 相同，故逐边差乘以 $e^{-s}$，给 TV 式。平均保持，且 $a\perp f-a$，所以 $$ \|u_s\|_\mu^2=\|a\|_\mu^2+e^{-2s}\|f-a\|_\mu^2. $$ 由 $J(u)=\mathbb E u-\|u\|^2$ 相减即得最后两式。证毕。 特别地，指标初值 $f=1_A$ 满足 $J(f)=0$，故 $J(u_s)=(1-e^{-2s})\mathcal B_q(A)$。这描述平均化把一个尖锐事件函数变成混合概率读数的过程：纤维内函数差异下降，点上的二值混合度上升，二者有精确收支。 #### 122.6.2 同一平均化的熵恒等式 令二元熵 $h(a)=-a\log a-(1-a)\log(1-a)$，含端点连续延拓。定义 $\mathcal S(s)=\sum_x\mu_xh(u_s(x))$。 **定理 122.16。** $\mathcal S$ 非减，且 $$ \mathcal S(s)\longrightarrow\sum_bp_bh(a_b). $$ 对所有 $s\ge0$，有精确 Jensen 缺陷式 $$ \sum_bp_bh(a_b)-\mathcal S(s) =\sum_x\mu_x d_{\mathrm{Ber}}(u_s(x)\Vert a_{q(x)}), $$ 其中 $d_{\mathrm{Ber}}(r\Vert a)=r\log(r/a)+(1-r)\log((1-r)/(1-a))$；当 $a=0$ 或 $1$ 时，该纤维的 $u_s$ 同为该端点，整条纤维贡献约定为零。 **证明。** $h$ 在 $[0,1]$ 凹，故对每个状态的转移概率使用有限 Jensen， $$ h(S_tu_s)\ge S_t h(u_s). $$ 乘以 $\mu$ 求和并用平稳性，得 $\mathcal S(s+t)\ge\mathcal S(s)$。有限点逐点 $u_s\to a$，由连续性得极限。若 $a_b\in(0,1)$，在该纤维展开 Bernoulli KL，利用 $\sum_{x\in X_b}\mu_xu_s(x)=p_ba_b$，其和恰为 $p_bh(a_b)-\sum_{x\in X_b}\mu_xh(u_s(x))$。端点均值在满支撑且 $0\le f\le1$ 下迫使原函数整条纤维恒为该端点，故约定与实际零项一致。证毕。 对 $s>0$，在所有 $00}p_{b_1} D\bigl(\mathcal L(Y\mid Q_1=b_1) \Vert\mathcal L(Y\mid Q_0=\beta b_1)\bigr). $$ **证明。** 对每个粗值，粗条件律是其细条件律按 $p_{b_1}/p_{b_0}$ 的混合。展开右边 KL 并按 $b_0=\beta b_1$ 分组，负的第一项给 $-H(Y\mid Q_1)$，交叉项给 $H(Y\mid Q_0)$。若细条件概率为正，对应粗条件概率也正，故没有非法除零；零质量细值不参与。KL 非负给出方向。这也是条件互信息的熵链公式，因为给定 $Q_1$ 已经决定 $Q_0$。证毕。 记录本身的增加还有 $$ H(Q_1)-H(Q_0)=H(Q_1\mid Q_0), $$ $$ H(Q_1\mid Q_0)=I(Y;Q_1\mid Q_0)+H(Q_1\mid Y,Q_0). $$ 因此新增记录熵不必全是关于目标的有效信息。平方残差下降与条件互信息都是同一细化下的合法收支，但它们没有一般的数值相等关系。 两种操作的方向应保持清楚：固定 $P$ 的 $S_s$ 改变被平均的函数，$J(S_sf)$ 增长；增加观察把 $P_0$ 换成 $P_1$，对固定目标有 $J(P_1f)\le J(P_0f)$。它们作用的对象不同，不能把其中一种的单调性当作另一种的时间箭头。 #### 122.6.4 无限增加观察仍可能留下盲核 设 $q_n$ 是同一有限 $X$ 上逐步细化的观察，定义总观察等价关系 $$ x\sim_\infty y\iff\forall n,\ q_n(x)=q_n(y), $$ 以 $q_\infty:X\to X/{\sim_\infty}$ 表示实际总接口，对应投影 $P_\infty$。 **定理 122.18。** 存在某个有限 $N$，使全部 $n\ge N$ 的观察核已等于 $\sim_\infty$，因而 $P_n=P_\infty$。对任意目标 $f$， $$ \lim_n\|f-P_nf\|_\mu^2=\|f-P_\infty f\|_\mu^2, $$ 右侧为零当且仅当总观察决定 $f$。对有限值确定目标 $Y=Y(X)$， $$ \lim_nH(Y\mid q_n)=H(Y\mid q_\infty), $$ 且满支撑下极限为零当且仅当总观察决定 $Y$。 **证明。** 对每个不满足 $x\sim_\infty y$ 的点对，选一个首次或任意分离层；这样的点对有限，取这些层的最大值 $N$，无此点对时取 $N=0$。细化保证此后它们永不重新合并，所以第 $N$ 层已实现总核。条件投影只由纤维及参考律决定，故稳定。平方残差为零恰为 $f$ 纤维常值；有限条件熵为零恰为每个正质量纤维上的目标条件律为点质量，满支撑将其提升为整条实际纤维常值。证毕。 不能仅由 $|X|$ 给出最后分离层的时间索引上界：允许长时间重复同一观察后才增加信息。严格细化的次数有有限上界，发生这些变化的时刻仍须由实际观察程序给定。 更一般的 Hilbert 版本也不需要零残差承诺。对同一 Hilbert 空间的递增闭子空间 $U_n$，设 $U_\infty=\overline{\bigcup_nU_n}$，相应正交投影为 $P_n,P_\infty$，则 $P_nf\to P_\infty f$。**证明。** 令 $h=P_\infty f$，有 $P_nf=P_nh$。给定 $\varepsilon>0$，选某个 $v\in U_N$ 使 $\|h-v\|<\varepsilon$；$n\ge N$ 时投影的最佳逼近性质给 $\|h-P_nh\|\le\|h-v\|<\varepsilon$。故结论成立，而极限残差恰为到 $U_\infty$ 的距离。证毕。将这些子空间解释为条件观察空间时，还须按所选概率模型识别其闭并所对应的总可测信息。 这个识别在一般概率空间上也可以明确完成。设 $(X,\mathcal F,\mu)$ 为概率空间，$\mathcal F_n$ 递增，$\mathcal F_\infty=\sigma(\bigcup_n\mathcal F_n)$，令 $U_n=L^2(\mathcal F_n)$，均按几乎处处等价理解。则 $$ \overline{\bigcup_nL^2(\mathcal F_n)}=L^2(\mathcal F_\infty). $$ **证明。** 左侧 $V$ 包含常函数并包含每个 $\mathcal F_n$ 事件的指标。令 $\mathscr D$ 为指标属于 $V$ 的 $\mathcal F_\infty$ 事件族。它含全空间，对补封闭；若 $A_j$ 两两不交，有限和 $\sum_{j\le m}1_{A_j}$ 属于 $V$，并以 $L^2$ 范数收敛到 $1_{\bigcup_jA_j}$，因为尾部集合的概率趋零。因此 $\mathscr D$ 是 Dynkin 系统。递增并 $\bigcup_n\mathcal F_n$ 是一个代数，尤其对有限交封闭，且包含于 $\mathscr D$。由 $\pi$–$\lambda$ 定理，$\mathscr D$ 包含整个 $\mathcal F_\infty$。简单函数的 $L^2$ 稠密性给 $L^2(\mathcal F_\infty)\subseteq V$；反向来自每个 $U_n$ 包含于闭子空间 $L^2(\mathcal F_\infty)$。证毕。 故对一般 $f\in L^2(\mu)$，上述 Hilbert 结论就是 $$ \mathbb E[f\mid\mathcal F_n]\longrightarrow \mathbb E[f\mid\mathcal F_\infty]\quad\text{于 }L^2, $$ 残差消失当且仅当 $f$ 有 $\mathcal F_\infty$ 可测代表元。有限值目标 $Y$ 的各条件概率是指标的条件期望，因此同时在 $L^2$ 收敛到总信息的条件概率。概率单纯形上的熵连续且有界，故这些概率向量的依概率收敛给出熵期望收敛：具体地，用熵的一致连续性控制向量距离不超过 $\delta$ 的部分，以其有限上界控制其余部分，再用 $L^2$ 收敛使后者概率趋零。因此 $$ H(Y\mid\mathcal F_n)\longrightarrow H(Y\mid\mathcal F_\infty). $$ 极限为零恰在总条件律几乎处处为点质量，此时每个目标指标的条件方差为零，故指标等于其总条件期望，等价于总信息决定 $Y$（几乎处处）。这个一般版本的零点不能提升为所有零质量状态上的逐点决定。 各层收支可以逐项相加，得到 $$ \|f-P_0f\|^2 =\|f-P_nf\|^2+\sum_{j0$。令 $M=\operatorname{diag}(\mu_x)$、$W=\operatorname{diag}(w_e)$，并定义 $$ L_\mu=M^{-1}D^{\mathsf T}WD. $$ 对任意实函数 $f,g$，有 $$ \langle f,L_\mu g\rangle_\mu =\sum_e w_e(Df)(e)(Dg)(e). $$ 所以 $L_\mu$ 在 $L^2(\mu)$ 中自伴、半正定、消去常数；其核是在每个连通分量上常值的函数。对事件指标， $$ \langle\mathbf1_A,L_\mu\mathbf1_A\rangle_\mu =\sum_{e\text{ crosses }A,A^c}w_e. $$ 取补集不改变该能量，因为有向差分整体变号后平方保持。 给观察 $q$，将同一纤维内的不同顶点全部连接，并置 $$ w_{xy}=\frac{\mu_x\mu_y}{p_{q(x)}},\qquad p_b=\sum_{q(z)=b}\mu_z. $$ 则 $$ (L_\mu f)(x) =\frac1{\mu_x}\sum_{y:q(y)=q(x)}w_{xy}(f(x)-f(y)) =f(x)-(Pf)(x). $$ 因此 $L_\mu=I-P$，前述有向割能量就是条件残差平方。严格正权保证：标签 $b$ 属于观察边界 $\partial_qA$，当且仅当该纤维里存在一条 $D\mathbf1_A\ne0$ 的边。于是观察边界的集合判据、有向割的支撑和带权方差经这张具体纤维图相连。 最后，令概率质量 $p_x=\mu_x\rho_x$，并选择动力学 $\dot\rho=-L_\mu\rho$。定义按参考方向的概率流 $$ J=-WD\rho. $$ 则 $\dot p=D^{\mathsf T}J$。对任意事件 $A$，离散 Stokes 给精确收支 $$ \boxed{\frac d{dt}\sum_{x\in A}p_x =\langle\mathbf1_A,D^{\mathsf T}J\rangle =\langle D\mathbf1_A,J\rangle.} $$ 事件内部的总质量变化等于跨割净流入；共同内部边不贡献于总收支。这是“内部体量—边界流—过程变化”的有限关系模型。 在 $\rho_x>0$ 时，相对参考的 KL 满足 $$ \begin{aligned} \frac d{dt}D(p\Vert\mu) &=\sum_x\dot p_x\log\rho_x =\langle D\log\rho,J\rangle\\ &=-\sum_e w_e(D\rho)(e)(D\log\rho)(e)\le0. \end{aligned} $$ 最后的不等式由对数严格递增逐边得到。对称导纳给出的转移率为 $w_{xy}/\mu_x$，满足关于 $\mu$ 的详细平衡；非负性与质量保持由有限 Markov 生成元性质成立。该动力学是明确添加的关系规则，而非由链边界消去律唯一决定。 ### 123.5 一个内部线性读数何时只由边界决定 给线性边界映射 $D:C\to B$ 及内部读数 $V:C\to\mathbb R$。存在唯一 $\lambda:\operatorname{im}D\to\mathbb R$ 满足 $V=\lambda D$，当且仅当 $\ker D\subseteq\ker V$；这也等价于同边界的任意两份内部链具有相同 $V$ 值。必要性由 $Dc=0$ 时 $V(c)=\lambda(0)=0$ 得到。充分性时定义 $\lambda(Dc)=V(c)$；两个代表之差属于 $\ker D$，故值相同，线性与唯一性随之成立。若另外延拓到整个 $B$，在 $\operatorname{im}D$ 以外的取值不由该恢复任务决定。 应用于链复形的 $D=\partial_k$ 时，必须消去全部闭链 $\ker\partial_k$，不能只消去 $\operatorname{im}\partial_{k+1}$ 中的边界链。后者包含于前者，但可能是真子空间。例如只取三角形的三条边而不填入二维面，闭环 $c=e_{12}+e_{23}+e_{31}$ 有 $\partial_1c=0$；$C_2=0$，所以所有二维边界为零。令 $V$ 为这三条循环定向边的系数之和，则 $V(c)=3$。它消去所有二维边界，却不能从端点边界恢复，因为 $c$ 和零链同边界而读数不同。 因此一个有符号体积或内部积分若被建模为线性读数，边界充分性恰是其消去全部边界不可见方向。通常的无符号体量若不是线性函数，只能使用“在同边界纤维上恒定”的一般因子化判据，不能未经线性假设套用核包含式。 所用归属为标准单纯链复形的定向边界、离散 Stokes、图关联矩阵与 Dirichlet 形式。上述有限证明连接这些结构；并不把一般边界算子、逻辑否定、物理反演或观察投影宣称为同一个运算。 ## 123.99 追加锚 ## 124. 共同来源的拼接、补全与归一化 最小行为表示能否用于实际组件替换，取决于共同见证、分支、权重和来源是否仍被保留。以下分别处理集合、线性约束和概率关系；各自的存在量词与归一化不能交换使用。 ### 124.1 纤维积、匹配族与局部延拓 **定义 124.1（相容对）。** 对集合映射 $r_A:A\to B$ 与 $r_C:C\to B$，定义 $$ A\times_B C=\{(a,c)\in A\times C:r_A(a)=r_C(c)\}. $$ 这里保留两份实现及其相等的边界值。若真实全局实现为 $\Gamma$，并给限制 $\rho_A,\rho_C$，还须检验 $(\rho_A,\rho_C):\Gamma\to A\times_B C$ 的像；任意候选相容对不自动属于该像。 **命题 124.2（共同来源的唯一因子与存在边界）。** 若 $f:W\to A$、$g:W\to C$ 满足 $r_Af=r_Cg$，则存在唯一 $h:W\to A\times_B C$，其两投影分别为 $f,g$。该结论不保证每个 $a\in A$ 有可拼接对象，也不保证对象唯一。 **证明。** 定义 $h(w)=(f(w),g(w))$，给定等式保证其属于纤维积。任何具有这两个投影的映射逐点等于此有序对，故唯一。对于后两点，取 $B=\{0,1\}$，$A$ 的一个元素边界为 $0$，$C$ 的所有元素边界为 $1$，该元素无伙伴；取 $B$ 为单点且 $C$ 有两个元素，则每个 $a$ 有两个伙伴。泛性质与伙伴存在、伙伴唯一是不同量词。$\square$ **定义 124.3（覆盖上的匹配族）。** 设 $F$ 是拓扑空间上的集合值预层，$U=\bigcup_i U_i$。一族 $s_i\in F(U_i)$ 称为匹配族，若在每个 $U_i\cap U_j$ 上两份限制相等。层条件要求每个完整匹配族有唯一 $s\in F(U)$，满足 $s|_{U_i}=s_i$。 **命题 124.4（唯一胶合不蕴含单个局部截面的延拓）。** 层条件等价于限制映射 $$ F(U)\longrightarrow\left\{(s_i)_i:\ s_i|_{U_i\cap U_j}=s_j|_{U_i\cap U_j}\right\} $$ 是双射。它不保证每个 $s_i$ 都能补成右侧的一份完整匹配族。 **证明。** 满射分别给匹配族的存在式胶合，单射给唯一性，故为定义的展开。取连续实函数层、$U=(-1,1)$，局部开集 $U_1=(0,1)$ 上的 $s_1(x)=1/x$ 不能延拓成 $U$ 上的连续函数：若延拓存在，连续性会使其在 $0$ 的某邻域有界，与 $1/x$ 沿正方向趋于无穷矛盾。即使把 $U_1$ 放进开覆盖，也不能为任意给定 $s_1$ 找到其余匹配截面。另一方面，在两点离散空间上指定一点的函数值，另一点仍可任意，故延拓也不一般唯一。$\square$ ### 124.2 完整分隔集与有限树上的共同世界 设 $T$ 是有限非空树，节点 $v$ 的变量集合为 $S_v$，各变量 $x$ 的值域为 $X_x$。局部合法关系为 $$ R_v\subseteq\prod_{x\in S_v}X_x. $$ 约定只给实际使用变量 $S=\bigcup_vS_v$ 赋值。对每条边 $uv$，完整分隔集为 $S_u\cap S_v$。运行交集条件是：对每个变量 $x$，含有 $x$ 的节点构成连通子树，或为空。 **定理 124.5（指定局部实现的延拓）。** 假设各 $R_v$ 非空、运行交集成立，且每条边满足完整投影像相等： $$ \{a|_{S_u\cap S_v}:a\in R_u\} = \{c|_{S_u\cap S_v}:c\in R_v\}. $$ 则对任意指定节点 $v_0$ 与 $a_0\in R_{v_0}$，存在 $x\in\prod_{s\in S}X_s$，满足 $x|_{S_v}\in R_v$ 对所有 $v$ 成立，且 $x|_{S_{v_0}}=a_0$。 **证明。** 以 $v_0$ 为根，把节点按父节点先于子节点的次序排列。从 $a_0$ 开始，在已经处理的连通根子树上保持一份共同赋值。设新节点 $v$ 的父节点为 $u$。已有 $u$ 上的合法行，其在 $S_u\cap S_v$ 上的限制属于 $R_v$ 的投影像，因此可选择 $a_v\in R_v$ 与之相等。 若变量 $s\in S_v$ 已在某个旧节点 $w$ 出现，则树上 $v$ 到 $w$ 的唯一路径经过 $u$。运行交集迫使路径的全部节点，特别是 $u$，都含 $s$。故 $$ S_v\cap\bigcup_{w\text{ 已处理}}S_w=S_v\cap S_u. $$ 新行与全部旧赋值的共同坐标已经在完整分隔集上匹配，可以并成新赋值。有限归纳得到全部节点的共同实现，且根行始终未变。$\square$ **命题 124.6（两项必要的范围限制）。** 上述延拓一般不唯一；逐坐标投影一致不能代替完整分隔集投影一致；去掉运行交集也不能保留普遍延拓保证。 **证明。** 对不唯一性，取两节点，根 scope 为 $\{x\}$，邻点 scope 为 $\{x,y\}$，根固定 $x=0$，邻点允许 $(0,0),(0,1)$。指定根行有两个整体延拓。 对完整分隔集，令两个节点的 scope 都为 $\{x,y\}$，一边要求 $x=y$，另一边要求 $x\ne y$，值域为 Bool。每个单坐标投影都是 Bool，但整份二坐标关系不交，故无共同实现。 对运行交集，取三节点路径，scope 依次为 $\{x\},\{y\},\{x\}$，左右两端分别固定 $x=0,1$。每条边的分隔集为空，投影像相等；但两端的同一个变量不能同时取不同值。失败来自共同来源被切断。$\square$ 相反，若两侧的完整赋值已经给出并在完整交集上相同，则它们在变量并集上的胶合唯一。这种唯一性不决定尚未给出的另一侧，也不提供搜索成本界。 ### 124.3 补全关系、当前输出与无限线程 令 $A,C$ 为两侧局部记录空间，$K\subseteq A\times C$ 为真实允许的共同关系，其中已经包含边界相等及整体准入要求。定义 $$ D(a)=\{c:(a,c)\in K\}. $$ **命题 124.7（完整补全的因子化）。** 对摘要 $\beta:A\to B$，存在唯一 $\bar D:\beta[A]\to\mathcal P(C)$ 满足 $D=\bar D\beta$，当且仅当 $$ \beta(a)=\beta(a')\Longrightarrow D(a)=D(a'). $$ **证明。** 若因子存在，同摘要必有同值。反之对实际像中的 $b=\beta(a)$ 定义 $\bar D(b)=D(a)$，假设保证代表无关；任何因子在实际像的每点都被迫等于该值，故唯一。$\square$ **命题 124.8（无补全状态的盲区）。** 只保持 $D$ 不能自动保持当前输出、失败原因、合法动作、概率或成本。 **证明。** 取两个局部状态 $a_0,a_1$，均无合法补全，故 $D(a_0)=D(a_1)=\varnothing$；但令当前输出分别为 $0,1$，合并它们立即损失当前任务。把输出换成不同失败标签或不同允许动作，可得到同样反例。即使可行补全支撑相同，也可给两个结果不同概率，或者给同一动作不同成本，支撑集合仍相同。$\square$ 因此，对要求同时保持这些量的实验语言，应取完整签名 $$ \Sigma(a)=\bigl(o(a),\ \mathrm{Leg}(a),\ \mathrm{Fail}(a),\ D(a),\ (\kappa_e(a),c_e(a))_{e\in\mathcal E}\bigr), $$ 其中每个概率核、条件来源及成本函数都在声明的合法域上定义。摘要保真是 $\Sigma$ 的所有分量通过摘要因子化。更新还能下降，则再要求同摘要状态在同合法动作下更新为同摘要状态。它们共同给与任务和动作相容的状态表示；不能由仅仅相同的完成支撑替代。 **定理 124.9（有限层逆系统的非空线程）。** 设 $X_n$ 为非空有限集合，$r_n:X_{n+1}\to X_n$ 为全定义映射。则存在 $(x_n)_{n\ge0}$ 满足 $r_n(x_{n+1})=x_n$ 对所有 $n$ 成立。映射不必满射。 **证明。** 构造根树：深度 $n+1$ 的节点为满足前 $n$ 个相容等式的元组 $(x_0,\ldots,x_n)$，父节点删除末项。每个深度非空，因为任选 $x_n\in X_n$ 后可依次向下投影。每层有限，故每个节点仅有限分支。虚根有任意深后代；若一个这样的节点所有子节点均只有有界深度的后代，有限个界的最大值也会界定该节点的后代深度，矛盾。因此可递归选择具有任意深后代的子节点，得到无穷相容路径。$\square$ **命题 124.10（逐层非空、完整线程与实际像的区别）。** 去掉有限性时，逐层非空不保证线程非空；存在完整线程也不保证来自指定原实现。 **证明。** 第一例取 $X_n=\{m\in\mathbb N:m\ge n\}$，$r_n$ 为包含。线程必须是一个对所有 $n$ 都不小于 $n$ 的固定自然数，不存在。 第二例取原实现 $\Gamma=\mathbb N$，观察 $q_n(m)=m\bmod 2^n$，层间为模约化。线程 $x_n=2^n-1$ 相容。若它来自某个 $m\in\mathbb N$，取 $2^n>m+1$，则 $q_n(m)=m\ne2^n-1$，矛盾。该线程是 $2$-进完成中的 $-1$，但不属于原自然数的实际像。$\square$ 有限树延拓、无限线程存在、实际像提升和有限预算取得因此是四个不同的关系条件。 ### 124.4 最小残差、不动点与仿射运输 固定有限维实内积空间 $V,W$、线性映射 $D:V\to W$ 与 $b\in W$。记 $D^\dagger$ 为 Moore–Penrose 逆，$D^*$ 为伴随，$P=DD^\dagger$ 为到 $\operatorname{im}D$ 的正交投影。 **定理 124.11（不相容分量与全部最小点）。** 对 $E(x)=\frac12\|Dx-b\|^2$，有 $$ E(x)=\frac12\|Dx-Pb\|^2+\frac12\|(I-P)b\|^2, $$ $$ \min_xE(x)=\frac12\|(I-DD^\dagger)b\|^2,\qquad \operatorname{argmin}E=D^\dagger b+\ker D. $$ 其中 $D^\dagger b$ 是唯一最小范数极小点。原方程可解当且仅当最小残差为零。 **证明。** $Dx-Pb$ 属于 $\operatorname{im}D$，$(I-P)b$ 属于其正交补，勾股等式给第一式。取 $x=D^\dagger b$ 使第一项为零；任意极小点也必须满足 $Dx=Pb$，故与 $D^\dagger b$ 相差核向量。由伪逆性质 $D^\dagger b\perp\ker D$，其余极小点的范数平方是 $\|D^\dagger b\|^2$ 加核向量范数平方，得到唯一最小范数性。最后 $(I-P)b=0$ 等价于 $b\in\operatorname{im}D$。$\square$ 这里的极小值在整个 $V$ 上取得。如果另有非负、整数或离散约束，仍须处理受限可行域；该公式只是其下界。 **定理 124.12（梯度更新的固定点与收敛）。** 令 $$ U_\eta(x)=x-\eta D^*(Dx-b). $$ 当 $\eta\ne0$ 时，固定点恰为 $E$ 的全部极小点。当 $D\ne0$ 且 $0<\eta<2/\|D\|_{\mathrm{op}}^2$ 时，从任意 $x_0$ 出发迭代收敛于 $$ D^\dagger b+\Pi_{\ker D}x_0. $$ 若 $\eta=0$，所有点都不动；若 $D=0$，所有点原本都是极小点。 **证明。** $\eta\ne0$ 时，固定点等价于正规方程 $D^*(Dx-b)=0$，即残差与 $\operatorname{im}D$ 正交，也即 $Dx=Pb$。设 $x_*=D^\dagger b$，因为 $D^*(Dx_*-b)=0$，误差满足 $$ x_{t+1}-x_*=(I-\eta D^*D)(x_t-x_*). $$ 把 $V$ 按自伴非负算子 $D^*D$ 的正交特征基分解。正特征值 $\lambda\le\|D\|_{\mathrm{op}}^2$ 对应因子 $1-\eta\lambda\in(-1,1)$，故该分量趋于零；零特征空间为 $\ker D$，因子为 $1$，核分量保持。其余边界分支直接代入定义。$\square$ 例如 $D=0,b\ne0$ 时，每点固定而残差恒为正；因此动态稳定性不能代替精确相容性。非零 $D$ 的边界步长 $\eta=2/\|D\|_{\mathrm{op}}^2$ 在最大特征方向产生因子 $-1$，也说明固定点存在不等于任意初态收敛。 **命题 124.13（共同边界与仿射纤维的运输）。** 若局部更新满足 $r_AU_A=Vr_A$、$r_CU_C=Vr_C$，则它们保持边界相等。对线性 $D,D',A,V$ 与仿射更新 $U(x)=Ax+c$，条件 $$ D'A=VD,\qquad D'c=b'-Vb $$ 保证 $Dx=b\Rightarrow D'U(x)=b'$。 **证明。** 第一结论由两侧更新后的边界均为原共同值的 $V$ 像得到。第二结论由 $$ D'U(x)=VDx+D'c=Vb+b'-Vb=b' $$ 得到。特别地，若 $D'=D,c=0,b'=b$，在原仿射纤维非空时，仅有 $DU=VD$ 还须 $Vb=b$；空纤维的保持则为空真。取实直线、$D=I,U=V=2I,b=1$，交换关系成立，但点 $1$ 被送至 $2$，原仿射约束没有保持。$\square$ ### 124.5 概率拼接与条件独立的选择成本 取有限集合 $A,B,C$ 上两份概率 $p_{AB},p_{BC}$，假设它们具有相同 $B$ 边缘 $p_B$。定义 $$ p^*(a,b,c)=\begin{cases} p_{AB}(a,b)p_{BC}(b,c)/p_B(b),&p_B(b)>0,\\ 0,&p_B(b)=0. \end{cases} $$ **定理 124.14（最大熵拼接及其精确缺陷）。** $p^*$ 是具有指定两份边缘的联合概率；给定 $B$ 后，$A,C$ 条件独立。对具有同样两份边缘的任意联合律 $p$，按 $0\log0=0$ 约定，有 $$ D(p\Vert p^*)=I_p(A;C\mid B)=H(p^*)-H(p)\ge0. $$ 所以 $p^*$ 是这些边缘下唯一的最大熵联合律，且 $p=p^*$ 当且仅当 $p$ 已经条件独立。 **证明。** $p_B(b)=0$ 时两个边缘在该切片全部为零。正切片上求和得到 $$ \sum_c p^*(a,b,c)=p_{AB}(a,b),\qquad \sum_a p^*(a,b,c)=p_{BC}(b,c), $$ 故总质量为一。除以 $p_B(b)$ 后，条件联合律为 $p(a\mid b)p(c\mid b)$。 若 $p(a,b,c)>0$，对应三份边缘均正，所以 $p^*(a,b,c)>0$。在这份支撑上展开， $$ \begin{aligned} D(p\Vert p^*) &=\sum_{a,b,c:p>0}p(a,b,c) \log\frac{p(a,b,c)p_B(b)}{p_{AB}(a,b)p_{BC}(b,c)}\\ &=H(AB)+H(BC)-H(B)-H(ABC). \end{aligned} $$ 同一展开也等于 $\sum_{b:p_B(b)>0} p_B(b)D(p_{AC|b}\Vert p_{A|b}p_{C|b})$，即条件互信息。对 $p^*$，条件独立给 $$ H(p^*)=H(B)+H(A\mid B)+H(C\mid B) =H(AB)+H(BC)-H(B). $$ KL 非负及其等号条件给全部结论。有限支撑使这些熵和差值均为有限实数，没有无穷减无穷。$\square$ **命题 124.15（保留边缘不保证恢复原来源）。** 上述拼接不一般恢复真实共同律，也不自动保持原来的跨 $AC$ 约束。 **证明。** 取 $B$ 为单点，真实 $A=C$ 为公平比特。两个局部边缘均为公平比特；最大熵拼接使 $A,C$ 独立。原律满足 $\Pr(A=C)=1$，拼接律给 $1/2$，且熵从 $\log2$ 增为 $2\log2$。熵差 $\log2$ 来自重新选择耦合；这里没有指定任何物理耗散过程。$\square$ ### 124.6 辅助见证的权重与归一化 设 $X$ 为有限非空集合，$A_x$ 为有限辅助集合，$w(x,a)\ge0$，并令 $Z(x)=\sum_{a\in A_x}w(x,a)>0$。给 $X$ 上概率 $\mu$，置 $\bar Z_\mu=\sum_x\mu(x)Z(x)$。 **定理 124.16（全局归一化改变原边缘的精确条件）。** 全局辅助联合律 $$ P_\mu(x,a)=\frac{\mu(x)w(x,a)}{\bar Z_\mu} $$ 的原状态边缘为 $\mu(x)Z(x)/\bar Z_\mu$。对固定 $\mu$，边缘保持当且仅当 $Z$ 在其正支撑上等于同一正常数；对所有 $\mu$ 保持当且仅当 $Z$ 全局为正常数。 **证明。** 对 $a$ 求和得边缘公式。正支撑上可约去 $\mu(x)$，保持条件恰为 $Z(x)=\bar Z_\mu$；零质量点无约束。如果全部概率均保持，取任意两点上的等权概率，得到 $Z(x)=Z(y)$。反向若 $Z$ 常值，分子分母约去该值即得原律。$\square$ 每个 Dirac 概率无论 $Z$ 是否常值都会保持，因此只检验 Dirac 不足以验证“全部先验保持”。例如 $\mu=(1/2,1/2)$，两纤维分别有一个和两个等权见证，所得边缘为 $(1/3,2/3)$。 **定理 124.17（逐行归一化保留整份旧联合律）。** 令 $\kappa(a\mid x)=w(x,a)/Z(x)$。对原状态与共享来源的任意联合律 $J(x,h)$，定义 $$ \widetilde J(x,h,a)=J(x,h)\kappa(a\mid x). $$ 则 $\sum_a\widetilde J(x,h,a)=J(x,h)$；所以全部旧函数、旧联合事件和旧相关性都保持。这里另有 $A\perp H\mid X$；若核依赖 $h$，逐行归一化仍保持 $J$，但不再断言这份条件独立。 **证明。** 固定 $(x,h)$ 后求和，概率核的行和为一，即得等式；再对任意旧事件求和便得全部旧联合律保持。正质量条件行下 $\widetilde J(a,h\mid x)=J(h\mid x)\kappa(a\mid x)$，给条件独立。$\square$ 逐参数边缘保持还不足以声明统计实验等价。例如原 $X$ 恒为一个点，与未知 $\theta\in\{0,1\}$ 无关；新核选择 $A=\theta$。每个参数下原边缘都保持，而新增记录完全识别参数。若核不依赖未知参数，则扩展是原实验的已知随机后处理，投影又恢复原实验；此时两实验可以相互模拟。这是随机核意义的实验等价，不断言逐点的确定行为商等价。能否执行这种后处理及其取得成本仍须由允许操作指定。 ### 124.7 边界细化的 Hilbert 等距与缺失的辅助方向 在上一节 $P(x,a)=\mu(x)\kappa(a\mid x)$ 下，按零质量等价类定义实或复 $L^2$，并定义 $(Uf)(x,a)=f(x)$。 **定理 124.18（拉回、伴随和条件投影）。** $U:L^2(\mu)\to L^2(P)$ 是线性等距嵌入，其伴随满足 $$ (U^*g)(x)=\sum_a\kappa(a\mid x)g(x,a) $$ 于 $\mu$ 几乎处处，且 $U^*U=I$；$UU^*$ 是到仅依赖 $x$ 的子空间上的正交投影。 **证明。** 逐行求和给 $$ \|Uf\|_P^2=\sum_x\mu(x)|f(x)|^2\sum_a\kappa(a\mid x)=\|f\|_\mu^2. $$ 同样展开内积给 $\langle Uf,g\rangle_P=\langle f,U^*g\rangle_\mu$，证明伴随公式。代入 $Uf$ 得 $U^*U=I$，故 $UU^*$ 自伴幂等；其像恰为 $\operatorname{im}U$，于是是相应正交投影。$\square$ 若 $X$ 单点、辅助公平比特，而 $g$ 在两个辅助值上取 $1,-1$，则 $U^*g=0$，$UU^*g\ne g$。等距包含保留旧关系，不恢复任意新增辅助方向。 相反，定理124.16 的全局归一化给 $$ \|Uf\|_{P_\mu}^2=\sum_x\frac{\mu(x)Z(x)}{\bar Z_\mu}|f(x)|^2. $$ 它一般是重加权边缘的范数，不是旧 $L^2(\mu)$ 范数；必须一起运输参考概率，才能比较几何。 ### 124.8 Gibbs 配分函数、重数与边界替换 取有限非空集合 $X$、实能量 $E(x)$、基础权 $w(x)\ge0$，$M=\sum_xw(x)>0$，以及温度 $\tau>0$。令 $$ Z_w=\sum_x w(x)e^{-E(x)/\tau},\qquad \pi_w(x)=\frac{w(x)e^{-E(x)/\tau}}{Z_w}. $$ 对概率 $q\ll w$，定义 $F_w(q)=\mathbb E_qE+\tau\sum_{x:q(x)>0}q(x)\log(q(x)/w(x))$。 **定理 124.19（自由能和基础权重数）。** 有 $$ F_w(q)=-\tau\log Z_w+\tau D(q\Vert\pi_w). $$ 因此 $\pi_w$ 是唯一极小点。若 $\rho=w/M$，则 $\pi_\rho=\pi_w$，但 $$ Z_w=MZ_\rho,\qquad F_w(q)=F_\rho(q)-\tau\log M. $$ **证明。** 在 $q$ 正支撑上，$\log\pi_w=\log w-E/\tau-\log Z_w$。乘以 $q$ 求和并重排给第一式，KL 非负与等号条件给唯一极小点。把 $w=M\rho$ 代入配分函数和对数项，得到余下两式。$\square$ 按同一正整数重数复制全部微观表示，在遗忘复制标签后保持原状态的归一化 Gibbs 边缘，却改变绝对配分函数与自由能；不同 $x$ 下复制不同重数，则还会按 定理124.16 改变边缘。在辅助能量 $E(x,a)$ 下，$F_{\mathrm{eff}}(x)=-\tau\log\sum_a e^{-E(x,a)/\tau}$ 恰为全局辅助求和产生的有效能量；逐行归一化则除掉这一因子。两种实验定义的区别由同一配分函数给出。 **命题 124.20（完整边界求值的上下文替换）。** 设边界集合有限，或以下全部求和具有有限支撑。半环 $S$ 上两个组件具有相同边界求值 $V_1(b)=V_2(b)$。若上下文通过该完整边界接入，实际整体求值为 $$ W_i(z)=\sum_bV_i(b)C(b,z), $$ 则 $W_1=W_2$。非交换半环中乘法顺序必须保持；把该代数式认作真实实现求和，还须有保持权重和重数的实现分解。 **证明。** 逐项代入 $V_1(b)=V_2(b)$ 即得等式。真实实现与相容局部对的保持权重双射允许按边界重索引，并将私有变量求和分离，导出给定公式。若分解重复计数、漏掉共享变量或重复乘入同一因子，就未满足这份分解前提。矩阵复合的结合律仅使用加法交换、乘法结合及分配律，不允许交换权重乘法次序。$\square$ **命题 124.21（零值和边缘相等的两类盲区）。** 边界求和值为零不一般意味着无合法见证；归一化边缘相等不一般允许在访问共享来源的上下文中替换。 **证明。** 一个合法见证可以有零权；在带负数或复数的权中，两个非零权见证还可相消。只有非负且每个合法见证严格正等条件，才让正求和值等价于存在见证。 对替换反例，令共享来源 $H$ 为公平比特。组件一输出 $B=H$，组件二输出独立公平比特。两者 $B$ 边缘相同，但可访问 $H$ 的上下文检验 $B=H$，成功概率分别为 $1,1/2$。实际完整边界含有共享 $H$，不能只匹配 $B$ 的平均边缘。$\square$ 若两个未归一化边界求值只相差正常数，固定正归一化上下文中的输出分布可相同，但总质量、证据值和绝对自由能仍不同。若比例依赖未纳入边界的参数或来源，还须运输这份依赖，不能把它约成一个全局常数。 ### 124.9 非确定性关系需要保留共同分支 #### 124.9.1 关系下降有两个不同强度 设演化为关系 $R_u\subseteq X\times X$，记 $R_u(x)=\{x':xR_ux'\}$。希望标签上的关系 $\bar R_u$ 满足精确后继等式 $$ \bar R_u(q(x))=q[R_u(x)]. \tag{124.1} $$ **命题 124.22（关系的精确后继商）。** 这样的 $\bar R_u$ 存在且唯一，当且仅当 $$ q(x)=q(y)\quad\Longrightarrow\quad q[R_u(x)]=q[R_u(y)]. \tag{124.2} $$ **证明。** (124.1) 立即推出 (124.2)；反之，定义 $\bar R_u(b)=q[R_u(x)]$，其中 $q(x)=b$，(124.2) 保证定义不依赖代表元。实际像给出唯一性。证毕。 条件 (124.2) 是等价关系形式的双模拟稳定性：同类状态的每个后继，都能由另一个状态的同类后继匹配，反之亦然。它比“在商上画出某条边”强，也比要求原关系完全是商关系的拉回弱。后者要求 $$ xR_ux'\quad\Longleftrightarrow\quad q(x)\bar R_uq(x'), $$ 即关系对两个端点分别饱和。以两个状态、恒同关系、单标签观察为例，(124.2) 成立；商关系的拉回却包含所有四个有序对，因此原关系不等于拉回。正文不应混用这两种商。 #### 124.9.2 存在性商边可以拼出不存在的路径 对任何观察都能定义存在性商边 $$ b\widehat R c \quad\Longleftrightarrow\quad \exists x,x',\ q(x)=b,\ q(x')=c,\ xRx'. $$ 但它可能丢失中间见证必须相同的条件。取 $$ X=\{s,a,b,t\},\qquad R=\{(s,a),(b,t)\}, $$ 并把 $\{s\}$、$\{a,b\}$、$\{t\}$ 分别命名为 $S,M,T$。商上存在 $S\widehat R M\widehat R T$。原空间却没有长度二的 $s$ 到 $t$ 路径：第一步只能到 $a$，而 $a$ 没有后继。两条商边分别使用 $a$ 和 $b$，并没有共同的中间状态。 若 (124.2) 成立，则任意有限商路径都可从指定的起始代表元提升。证明是逐步归纳：给定已提升的 $x_i$，商边 $q(x_i)\bar R q(x_{i+1})$ 与 (124.1) 保证存在具有所需下一标签的真实后继。有限长度归纳即可完成提升。该结论不能倒用于不满足 (124.2) 的存在性商。 #### 124.9.3 相同轨迹集合仍可能丢失分支相容性 取标签动作 $a,b,c$，所有状态的当前任务值相同。关系仅含 $$ x\xrightarrow a p,\quad x\xrightarrow a q,\quad y\xrightarrow a r,\quad p\xrightarrow b t,\quad q\xrightarrow c t,\quad r\xrightarrow b t,\quad r\xrightarrow c t. $$ $x$、$y$ 可执行的有限动作词都恰为 $\{\varepsilon,a,ab,ac\}$，但它们不能属于同一个分支稳定等价类。若 $xEy$，则 $y$ 的后继 $r$ 必须与 $x$ 的某个后继 $p$ 或 $q$ 等价；$p$ 缺少 $c$ 后继，$q$ 缺少 $b$ 后继，均与稳定性矛盾。 区别由一个分支上下文直接检出： $$ \langle a\rangle\bigl(\langle b\rangle\top\ \land\ \langle c\rangle\top\bigr). $$ 它要求同一个 $a$ 后继同时允许 $b$ 与 $c$，在 $y$ 为真、在 $x$ 为假。把两个分别可达的后续实验当作可在同一中间状态上联合实现，会恰好漏掉这个区别。 #### 124.9.4 有限分支下的充分上下文语言 假设每个 $R_u(x)$ 有限。令测试语言包含 $\top$、全部任务值原子 $[f_j=y]$、否定、有限合取，以及模态测试 $\langle u\rangle\varphi$；后者在 $x$ 为真，当且仅当某个 $u$ 后继满足 $\varphi$。令 $E_{\rm mod}$ 表示所有这类测试真值相同。 **命题 124.23（有限分支的最大稳定任务合同）。** $E_{\rm mod}$ 满足第124节的精确后继商判据的后继稳定条件、保持全部当前任务，并包含任意具有这两性质的等价关系。 **证明。** 任务值原子保证当前任务相同。设 $xE_{\rm mod}y$ 且 $xR_ux'$。若没有与 $x'$ 模态等价的 $y$ 后继，把有限后继集写为 $\{y_1,\ldots,y_n\}$。对每个 $i$，选一个在 $x'$ 与 $y_i$ 上真值不同的测试；必要时取否定，得到 $\varphi_i$ 在 $x'$ 真、在 $y_i$ 假。于是 $\varphi=\bigwedge_i\varphi_i$ 在 $x'$ 真，在所有 $y$ 后继假。若后继集为空，取空合取 $\top$。因此 $\langle u\rangle\varphi$ 区分 $x,y$，矛盾。交换 $x,y$ 同理，得到双向后继类匹配。 最后，若 $E$ 已保持任务并满足后继匹配，则对测试的结构归纳证明所有 $E$ 等价状态具有相同真值。布尔步骤直接成立；模态步骤利用对应的等价后继并应用归纳假设。故 $E\subseteq E_{\rm mod}$。证毕。 有限分支用于把全部潜在匹配失败收集为有限合取。本命题没有声称对任意无限分支系统，有限模态测试仍然足够；那需要另加饱和性、紧致性或允许更强测试语言。确定性情形则已由全部操作词的证明解决，不需要这个有限分支区分论证。 ### 124.10 加权接口的拼接是对同一个联合实现求和 #### 124.10.1 私有变量分开、共享变量保留的精确公式 令 $X,U,Y,V,Z$ 为有限集合，权重取值于交换半环 $\mathbb S$。例如非负实数用于加权计数，布尔半环用于存在性约束。给定 $$ w_1:X\times U\times Y\to\mathbb S, \qquad w_2:Y\times V\times Z\to\mathbb S. $$ $u,v$ 是不同私有变量；$y$ 是同一个共享变量。把完整联合权重明确规定为 $$ w(x,u,y,v,z)=w_1(x,u,y)w_2(y,v,z). $$ 定义局部边界响应 $$ Z_1(x,y)=\sum_u w_1(x,u,y),\qquad Z_2(y,z)=\sum_v w_2(y,v,z). $$ **命题 124.24（共享接口的求和—乘积拼接）。** 外部边界响应为 $$ Z(x,z)=\sum_{y,u,v}w(x,u,y,v,z) =\sum_y Z_1(x,y)Z_2(y,z). $$ **证明。** 固定 $x,y,z$，有限分配律给出 $$ \left(\sum_u w_1(x,u,y)\right) \left(\sum_v w_2(y,v,z)\right) =\sum_u\sum_v w_1(x,u,y)w_2(y,v,z). $$ 对 $y$ 求和并交换有限和的次序即得结论。证毕。 这里的私有变量独立，首先是变量范围没有偷偷重叠、联合因子已按所写形式定义的结构条件；它不是从两个边缘分布自动推出的概率独立性定理。 #### 124.10.2 结合律与边界身份的变化 对有限接口矩阵定义 $$ (K_1\star K_2)(x,z)=\sum_yK_1(x,y)K_2(y,z). $$ 三个接口满足 $$ ((K_1\star K_2)\star K_3)(x,t) =\sum_{y,z}K_1(x,y)K_2(y,z)K_3(z,t) =(K_1\star(K_2\star K_3))(x,t). $$ 证明只用有限求和的重排与乘法结合律。多个局部因子亦可在所有共同变量上先写同一个完整乘积，再任意调整合法的有限消元顺序。合法的含义是，某变量只有在所有依赖它的因子都已参加该步时，才可被求和消去。 在局部块中，$y$ 是外露边界；拼接后它可以成为整体的内部变量。这是同一变量相对于不同分块的角色变化，并不是链复形中带符号边界算子满足 $\partial^2=0$。当前构造没有定义链群、方向符号或链边界，因此不能从矩阵拼接推出该式。 #### 124.10.3 共享来源不能被复制或提前遗忘 若两块还共享 $s$，正确响应在保留共同来源后具有形状 $$ Z(x,z)=\sum_{s,y}\mu(s) \left(\sum_u w_1(x,u,s,y)\right) \left(\sum_v w_2(s,y,v,z)\right). $$ 共享先验 $\mu(s)$ 计一次。分别先对 $s$ 求和，再相乘，会把同一个来源替换成两个可独立选择的来源。 例如公平比特 $S$ 同时产生 $X=S$ 与 $Z=S$。各局部输出都均匀，真实联合却是 $P(X=Z)=1$。把两个局部均匀边缘相乘会得到 $P(X=Z)=1/2$，改变了模型。差别来自共享关系被删除，而非求和恒等式失效。 若输入是相容的两个概率边缘 $p_{XY},p_{YZ}$，共同边缘为 $p_Y$，在 $p_Y(y)>0$ 时定义 $$ p(x,y,z)=\frac{p_{XY}(x,y)p_{YZ}(y,z)}{p_Y(y)}; $$ 在 $p_Y(y)=0$ 的纤维令其为零。非负性成立；对 $z$ 求和给 $p_{XY}$，对 $x$ 求和给 $p_{YZ}$，再求总和为一。这证明两个相容边缘存在一个条件独立的共同扩张。若原始系统已有真实联合分布，只有在其满足 $X\perp Z\mid Y$ 时，才由该公式重现该真实联合。相容边缘本身并不唯一指定联合。 三块以上的循环相容性还可能不存在任何共同扩张。取三个二值变量：$p_{XY}$ 在 $00,11$ 各给 $1/2$；$p_{YZ}$ 同样；$p_{XZ}$ 在 $01,10$ 各给 $1/2$。所有重叠的单变量边缘都均匀，但前两项要求 $X=Y=Z$ 几乎处处，第三项要求 $X\ne Z$ 几乎处处，矛盾。集合约束 $x=y$、$y=z$、$x\ne z$ 也给出同一共同见证障碍：任意两项可以实现，三项的交为空。 对应数学接口包括纤维积、层的匹配族、连接树、Moore–Penrose 逆、条件互信息与 Markov 核。仓内 `SheafPairwiseEqualizer`、`RunningIntersectionRecords`、`HistoryPayloadFactorization`、`LocalLawGluingObstruction`、`FiniteMoorePenroseInverse`、`FiniteSynthesisGramDistance` 及 `GibbsVariationalIdentity` 给出已有组件。 ## 124.99 追加锚 ## 125. 边界时间记录的可观测性与最小线性实现 第120节按实验行为取商的原则，在线性系统中成为核、秩和矩阵因子化。这里分别证明已知系统的状态恢复、未知有限阶系统的行为重建，以及噪声下恢复的稳定性。 ### 125.1 已知图上的合法内部与边界关系 设有限无向图的非负对称边权为 $w_{ij}$，正权边决定连通性，图 Laplace 矩阵为 $L$。顶点分为边界 $B$ 与内部 $I$，并假设每个连通分量都与 $B$ 相交。约定空内部空间允许，空矩阵的逆按零维唯一自同构理解。对内部向量 $v$，将其在边界补零为 $\widetilde v$，有 $$ v^{\mathsf T}L_{II}v =\widetilde v^{\mathsf T}L\widetilde v =\frac12\sum_{i,j}w_{ij}(\widetilde v_i-\widetilde v_j)^2. $$ 若该量为零，$\widetilde v$ 在每条正权边两端相等，故在每个连通分量上常值；每个分量含边界零点，故 $v=0$。于是 $L_{II}$ 正定。反过来，若某个分量完全位于内部，其指标向量属于 $\ker L_{II}$，故此边界接触条件也必要。 给定边界值 $a$，内部合法性要求调和关系 $$ L_{IB}a+L_{II}h=0. $$ 它的唯一解及边界流为 $$ h=-L_{II}^{-1}L_{IB}a, \qquad j=(L_{BB}-L_{BI}L_{II}^{-1}L_{IB})a. $$ 这同时给出两种任务的因子化：在固定图和固定权重的合法解空间内，边界值决定全部内部解；作为外部输入输出关系，网络被表示为 $a\mapsto j$。不同图共享同一个输入输出映射不违反前一种唯一性，因为其合法解空间与内部方程已经不同。 例如，在同一对边界点之间，一条电导为 $1$ 的边与两条电导各为 $2$ 的串联边具有相同响应。后一网络的内部值为 $(a+b)/2$，边界流为 $2(a-(a+b)/2)=a-b$，与前者相同；但两者内部顶点数不同。 对有 $N$ 条单位边的路径，调和条件使差分 $x_{i+1}-x_i$ 恒定；由 $x_0=a,x_N=b$ 得 $$ x_i=a+\frac{i}{N}(b-a),\qquad N\ge1. $$ 两端点足以恢复内部，是合法解空间受局部关系约束后的结论。 ### 125.2 时间记录与目标线性关系的充分性 设有限维实状态空间 $X$、输出空间 $U$，已知线性演化 $A:X\to X$ 与读出 $O:X\to U$。无外部输入时 $z_t=A^tz_0$，$y_t=Oz_t$。长度 $T\ge0$ 的记录映射为 $$ \mathcal O_T:X\to U^T, \qquad\mathcal O_Tz=(Oz,OAz,\ldots,OA^{T-1}z). $$ 对任务线性映射 $F:X\to Y$，存在定义在实际像上的线性恢复映射 $D:\operatorname{ran}\mathcal O_T\to Y$ 满足 $F=D\mathcal O_T$，当且仅当 $$ \ker\mathcal O_T\subseteq\ker F. $$ 必要性由复合直接得到。充分性时规定 $D(\mathcal O_Tz)=Fz$；同一记录的两个代表之差在 $\ker\mathcal O_T$，故该定义良好，线性且在实际像上唯一。这是目标因子化在边界历史关系中的具体实例。 取 $F=I_X$，得完整状态可恢复当且仅当 $\ker\mathcal O_T=0$，即 $\operatorname{rank}\mathcal O_T=\dim X$。令 $$ \mathcal N=\bigcap_{t\ge0}\ker(OA^t). $$ 它是 $A$ 不变子空间：$v\in\mathcal N$ 时 $OA^tAv=OA^{t+1}v=0$。因此 $A$ 和 $O$ 下降到商 $X/\mathcal N$；全部未来记录恰区分这个商。若 $n=\dim X$，Cayley–Hamilton 将每个 $A^t$（$t\ge n$）表示为 $I,A,\ldots,A^{n-1}$ 的线性组合，故 $\ker\mathcal O_n=\mathcal N$；零维时两者均为零。 有已知输入 $u_t$ 时，先从读数中减去已知受迫项 $\sum_{j=0}^{t-1}OA^{t-1-j}Ju_j$，剩余为 $OA^tz_0$，再用同一恢复判据。若输入或耦合未知，不能使用这份已知项消去。 这也给出演化相容性：记录恢复的不只是任意标签，而是允许在完整未来商上继续更新的状态关系。对 $T0$。若 $\sqrt\beta\|A\|<1$，则 $$ G_\beta=\sum_{t=0}^{\infty}\beta^t(A^t)^*O^*OA^t $$ 在算子范数下绝对收敛，因为第 $t$ 项范数不超过 $\|O\|^2(\beta\|A\|^2)^t$。其二次型恰为全部折扣未来输出能量，非负项级数为零当且仅当每项为零，故 $\ker G_\beta=\mathcal N$。这里的范数不等式只是可求和性的充分条件；例如 $A^2=0$ 时级数只有前两项，即使 $\sqrt\beta\|A\|\ge1$ 也收敛。也可以用其他已证可求和条件定义有限的无限时间距离，不能将这个充分估计误报为必要条件。 ### 125.7 有逆与稳定逆的分别 设 $\dim X>0$、$\mathcal O_T$ 单射，观测含加性误差 $Y=\mathcal O_Tz+\eta$。令最小二乘恢复 $$ \widehat z=(\mathcal O_T^*\mathcal O_T)^{-1}\mathcal O_T^*Y. $$ 奇异值分解给恢复算子范数 $1/\sigma_{\min}(\mathcal O_T)$，所以 $$ \|\widehat z-z\|\le\frac{\|\eta\|}{\sigma_{\min}(\mathcal O_T)}. $$ 具体地，若 $\mathcal O_T=U\Sigma V^*$ 是薄奇异值分解，则恢复算子为 $V\Sigma^{-1}U^*$，其范数等于最大倒数奇异值。单射只给 $\sigma_{\min}>0$，不提供跨模型的统一正下界。若 $X=\{0\}$，唯一状态及其最小二乘恢复都为零，误差恒为零，无须定义空奇异值表的最小值。 同样，对期望重建 $\tau=\sum_i a_i m_i$，若各均值误差为 $\Delta_i$，三角不等式给 $$ \left|\sum_i a_i\Delta_i\right|\le\|a\|_1\|\Delta\|_\infty. $$ 对有限二阶矩的实际随机读数向量 $W$，中心化展开给 $$ \operatorname{Var}(a^{\mathsf T}W)=a^{\mathsf T}\Sigma a, \qquad \Sigma_{ij}=\operatorname{Cov}(W_i,W_j). $$ 若每项 $|W_i|\le1$，则 $|a^{\mathsf T}W|\le\|a\|_1$，故方差至多 $\|a\|_1^2$；只有另给相互独立且同准备的批次，批均值方差才在该上界中除以批数。重叠窗口和记忆过程的非对角协方差不能删除。 ### 125.8 有限数据何时重建整个响应，何时不能 先给出未知阶数下的明确障碍。任取整数 $m\ge0$，取 $m+1$ 维状态基 $e_0,\ldots,e_m$，规定 $$ Ae_i=e_{i+1}\ (i0$。选择 $H$ 的 $d$ 个标量行索引 $I$ 和 $d$ 个标量列索引 $J_0$，使子块 $N=H[I,J_0]$ 可逆。令 $G=H^+[I,J_0]$，$H[I,0]$ 表示这些行与第零输入块的交块，$H[0,J_0]$ 表示第零输出块与这些列的交块。定义 $$ \widehat A=GN^{-1},\qquad \widehat J=H[I,0],\qquad \widehat O=H[0,J_0]N^{-1}. $$ 则此 $d$ 维系统满足 $\widehat O\widehat A^k\widehat J=M_k$ 对全部 $k\ge0$ 成立。 证明如下。先把任一真实实现限制到可达可观测商，前述定理已保证其维数为 $d$，且保留全部响应。对这个商写 $H=\mathcal O_r\mathcal C_s$、$H^+=\mathcal O_rA\mathcal C_s$。设 $O_I$ 为 $\mathcal O_r$ 的指定行，$R_J$ 为 $\mathcal C_s$ 的指定列，则 $$ N=O_IR_J,\qquad G=O_IAR_J. $$ 两个因子都是 $d\times d$，$N$ 可逆使它们各自可逆。因此 $$ \widehat A=O_IAO_I^{-1},\qquad \widehat J=O_IJ,\qquad \widehat O=OO_I^{-1}. $$ 这正是保持边界的相似运输，代入任意幂得全部响应相等。所用输入和输出第零块存在，因为 $r,s\ge n\ge1$。子块的选择改变坐标，不改变完整响应或最小内部维数。证明同时说明模型阶数上界和子块可逆性各自承担哪一步：前者使有限 Hankel 秩等于有效维数，后者给该维数上的坐标逆；不能只保留后者就忽略未知更高阶尾部。 以上是精确响应值上的代数重建。噪声会改变秩判定和所选子块的逆，稳定性需要另外控制奇异值与实验误差，并不由此有限公式免费提供。 实现论参考：R. E. Kalman (1963), DOI 10.1137/0301010；B. L. Ho 与 R. E. Kalman (1966), DOI 10.1524/auto.1966.14.112.545。仓内 `HankelRankMinimality`、`SequenceHankelRealization`、`FiniteHoKalmanBlocks`、`GramianBehaviorQuotientMetric` 提供相应接口。 ## 125.99 追加锚 ## 126. 由完整边界响应恢复有效内积几何 一般线性响应只确定最小实现的相似类。增加自伴演化与伴随耦合后，响应本身成为隐藏向量的 Gram 配对，因而能够恢复有效内部的实际内积；这是全息式几何重建的一份具体充分条件。 ### 126.1 同一内部关系与它允许的边界读法 固定有限维实内积空间 $U,H$，其中 $U$ 是已指定内积的边界空间。取 $$ B:H\to U,\qquad C:H\to H,\qquad C=C^*>0. $$ 正定的含义是 $\langle h,Ch\rangle_H>0$ 对每个非零 $h$ 成立。零维空间也允许。所有伴随均相对于这里已指定的内积；输入耦合是 $B^*$、输出耦合是 $B$，这是本结果的实质假设。 定义完整边界响应和响应矩 $$ K(t)=Be^{-tC}B^*\quad(t\ge0),\qquad M_j=BC^jB^*\quad(j\ge0). $$ 有限维矩阵指数的幂级数给出 $$ (-1)^jK^{(j)}(0)=M_j,\qquad K(t)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(-t)^j}{j!}M_j, $$ 级数对每个有限时间区间在算子范数下绝对一致收敛。在 $t=0$ 可用右导数读出这些矩；矩阵指数本身提供整条实轴上的解析延拓。因此，相同完整 $K(t)$ 给出相同全部 $M_j$，反之亦然。 令 $$ \mathcal R=\operatorname{span}\{C^jB^*u:j\ge0,\ u\in U\},\qquad \mathcal N=\bigcap_{j\ge0}\ker(BC^j). $$ 前者是边界能够激发的隐藏方向，后者是所有后续边界读数共同看不见的方向。对任意 $h\in H$， $$ h\in\mathcal R^\perp \ \Longleftrightarrow\ \langle h,C^jB^*u\rangle_H=0\quad(\forall j,u) \ \Longleftrightarrow\ BC^jh=0\quad(\forall j), $$ 故 $$ \boxed{\mathcal N=\mathcal R^\perp,\qquad H=\mathcal R\oplus\mathcal N.} $$ $C\mathcal R\subseteq\mathcal R$ 由生成元定义成立；自伴性使 $\mathcal N$ 也不变。$B\mathcal N=0$，$B^*U\subseteq\mathcal R$。因此这两个子空间约化 $C$，且 $$ K(t)=B_{\mathcal R}e^{-tC_{\mathcal R}}B_{\mathcal R}^*, \qquad C_{\mathcal R}=C|_{\mathcal R},\quad B_{\mathcal R}=B|_{\mathcal R}. $$ 这里 $B_{\mathcal R}^*u=B^*u$，陪域限制在 $\mathcal R$。任意正自伴的额外不可见块都不改变 $K$；完整 $H$ 不能在没有最小性时被边界响应识别。 ### 126.2 响应矩定义边界词的内积关系 令 $\mathcal W=\bigoplus_{j\ge0}U$ 为有限支撑的边界系数串空间。元素写成 $v=(v_0,v_1,\ldots)$，只有有限项非零；也可视为系数在 $U$ 中的多项式。这里的“词”标记各阶响应方向，并不把单个矩等同于某次有限采样结果。 只用边界响应矩定义双线性配对 $$ \gamma_K(v,w)=\sum_{i,j\ge0}\langle v_i,M_{i+j}w_j\rangle_U. $$ 两边都是有限和。对实际隐藏关系，定义 $$ T:\mathcal W\to H,\qquad Tv=\sum_{i\ge0}C^iB^*v_i. $$ 利用 $C=C^*$，逐项计算： $$ \begin{aligned} \gamma_K(v,w) &=\sum_{i,j}\langle v_i,BC^{i+j}B^*w_j\rangle_U\\ &=\sum_{i,j}\langle C^iB^*v_i,C^jB^*w_j\rangle_H\\ &=\boxed{\langle Tv,Tw\rangle_H.} \end{aligned} $$ 因此 $\gamma_K$ 对称、半正定，且它的零范数集合恰为线性子空间 $$ \mathcal Z_K=\{v:\gamma_K(v,v)=0\}=\ker T. $$ 若 $v\in\mathcal Z_K$，则对所有 $w$ 有 $\gamma_K(v,w)=0$，所以配对下降到商空间 $$ \mathcal H_K=\mathcal W/\mathcal Z_K,\qquad \langle[v],[w]\rangle_K=\gamma_K(v,w). $$ 该商内积正定。映射 $$ \Phi_K:\mathcal H_K\to\mathcal R,\qquad \Phi_K[v]=Tv $$ 良定义、单射、保内积；由 $\mathcal R$ 的生成定义又满射。因此 $$ \boxed{\Phi_K:\mathcal H_K\simeq_{\rm orth}\mathcal R.} $$ 这恢复的是实际隐藏方向的全部两两内积，而不只是维数。特别地，$\mathcal H_K$ 自动有限维且完备；其距离为 $\|[v]-[w]\|_K=\|T(v-w)\|_H$。在 $H/\mathcal N$ 上取标准商内积，即用唯一的 $\mathcal R$ 正交代表计算内积，则也有规范等距对应 $\mathcal H_K\cong H/\mathcal N$。 这一步是标准 Gram 商构造：先在边界描述上记录配对，再商掉所有零配对方向。实际实现证明了该配对的正性与有限秩，不是在任意给定的矩序列上额外假定矩问题已有解。 ### 126.3 同一配对同时恢复隐藏演化和边界耦合 在边界词上定义右移 $$ (\sigma v)_0=0,\qquad (\sigma v)_{j+1}=v_j. $$ 实际映射满足 $T\sigma=CT$。因此 $v\in\mathcal Z_K$ 蕴含 $\sigma v\in\mathcal Z_K$，右移下降成良定义的算子 $$ \mathcal C_K[v]=[\sigma v],\qquad \Phi_K\mathcal C_K=C_{\mathcal R}\Phi_K. $$ 由等距性与 $C_{\mathcal R}>0$，$\mathcal C_K$ 是正自伴算子。在边界配对层也能直接看出自伴性： $$ \gamma_K(\sigma v,w) =\sum_{i,j}\langle v_i,M_{i+j+1}w_j\rangle_U =\gamma_K(v,\sigma w). $$ 定义零次插入 $J_K:U\to\mathcal H_K$，$J_Ku=[(u,0,0,\ldots)]$，再令 $\mathcal B_K=J_K^*$。则 $$ \Phi_KJ_K=B^*,\qquad \mathcal B_K[v]=\sum_{j\ge0}M_jv_j=B\Phi_K[v]. $$ 第二式由对每个 $u\in U$ 与 $J_Ku$ 配对得到，因此也直接证明它不依赖代表元。于是 $$ \boxed{K(t)=\mathcal B_Ke^{-t\mathcal C_K}\mathcal B_K^*.} $$ 且 $\operatorname{span}\{\mathcal C_K^j\mathcal B_K^*u\}=\mathcal H_K$，因为所有边界词都是有限次插入及右移之和。这个规范实现已经最小。 因此由响应恢复的对象是三元关系 $$ (\mathcal H_K,\mathcal C_K,\mathcal B_K), $$ 连同边界 $U$ 的固定内积与接口；只说“恢复了一个同维 Euclidean 空间”会丢失该构造保留的耦合和演化信息。 ### 126.4 有限 Hankel 块的准确秩与视界 对整数 $m\ge0$，令 $U^m$ 是 $m$ 个 $U$ 的正交直和，$U^0=\{0\}$，并定义 $$ T_m:U^m\to H,\qquad T_m(v_0,\ldots,v_{m-1}) =\sum_{j=0}^{m-1}C^jB^*v_j, \qquad \mathcal R_m=\operatorname{ran}T_m. $$ 对 $r,s\ge0$，边界矩块 $$ \mathsf H_{r,s}:U^s\to U^r,\qquad (\mathsf H_{r,s}v)_i=\sum_{j=0}^{s-1}M_{i+j}v_j $$ 满足精确因子化 $$ \boxed{\mathsf H_{r,s}=T_r^*T_s,\qquad \mathsf H_{m,m}=T_m^*T_m,\qquad \operatorname{rank}\mathsf H_{m,m}=\dim\mathcal R_m.} $$ 最后的等式来自 $\ker(T_m^*T_m)=\ker T_m$，因为 $\langle v,T_m^*T_mv\rangle=\|T_mv\|^2$，再用有限维秩—零度公式。它对 $m=0$ 也成立，两边均为零。 令 $d=\dim\mathcal R$。有 $$ \boxed{\mathcal R_m=\mathcal R\quad\text{对所有 }m\ge d.} $$ 证明如下。链 $0=\mathcal R_0\subseteq\mathcal R_1\subseteq\cdots$ 若在 $k$ 处停止增长，即 $\mathcal R_k=\mathcal R_{k+1}$，则 $C\mathcal R_k\subseteq\mathcal R_{k+1}=\mathcal R_k$。当 $k\ge1$ 时它还包含 $B^*U$，因此包含全部生成元，等于 $\mathcal R$；当 $k=0$ 时停止增长意味着 $B^*=0$，同样 $\mathcal R=0$。所以到达 $\mathcal R$ 前每一步至少增加一维，至多 $d$ 步必到达。 若 $r,s\ge d$，$T_s$ 满射到 $\mathcal R$，而 $T_r^*$ 限制在 $\mathcal R$ 上单射：其核在 $\mathcal R$ 中等于 $\mathcal R\cap\mathcal R_r^\perp=0$。因而 $$ \boxed{\operatorname{rank}\mathsf H_{r,s}=d\quad(r,s\ge d).} $$ 特别地，已知 $n=\dim H$ 时，$r,s\ge n$ 是明确的充分视界；对一个声明了有效阶数上界 $n\ge d$ 的类，也有同样保证。这与 Cayley–Hamilton 给出的有限截断视界相容，以上增长链证明直接处理 $d=0$。 没有这样的视界前提时，任意有限块只具有由因子化得到的界 $\operatorname{rank}\mathsf H_{r,s}\le d$。不能将一个有限块的秩未经进一步条件就认作未知系统的有效阶数上界；本结论也没有把有限带噪记录转成精确全部矩。这里的视界计数指矩的阶数：$\mathsf H_{r,s}$ 最多用到 $M_{r+s-2}$（当 $r,s>0$）。 ### 126.5 相同全部边界响应的正交唯一性 设第二个实现 $(H',C',B')$ 满足相同假设，使用相同边界内积空间 $U$。记其有效空间为 $\mathcal R'$。若 $$ Be^{-tC}B^*=B'e^{-tC'}B'^*\qquad(t\ge0), $$ 则全部矩相同。对有效隐藏生成元规定 $$ S\left(\sum_jC^jB^*u_j\right) =\sum_jC'^jB'^*u_j. $$ 这一定义不是凭选取表示成立的：若左边括号中的和为零，该词的 $\gamma_K(v,v)$ 为零；相同矩使右边的和具有同一个零平方范数，因此也为零。于是 $S$ 良定义且线性。相同配对进一步给 $$ \langle Sx,Sy\rangle_{H'}=\langle x,y\rangle_H\qquad(x,y\in\mathcal R). $$ 生成定义使 $S$ 满射到 $\mathcal R'$，所以它是正交同构。对生成词右移及零次插入，得到 $$ \boxed{SC_{\mathcal R}=C'_{\mathcal R'}S,\qquad SB^*=B'^*,\qquad B' S=B|_{\mathcal R}.} $$ 最后一个等式也可由内积直接验证： $$ \langle u,B'Sx\rangle_U =\langle B'^*u,Sx\rangle_{H'} =\langle SB^*u,Sx\rangle_{H'} =\langle u,Bx\rangle_U. $$ 任何同时交织 $C$ 且保持 $B^*$ 的线性映射，在每个 $C^jB^*u$ 上都被强制为 $C'^jB'^*u$，因此在生成空间上唯一。 若两个实现都最小，即 $\mathcal R=H$、$\mathcal R'=H'$，就得到唯一的全空间正交同构 $S:H\to H'$。反过来，若存在这样的正交同构且满足 $SC=C'S$、$SB^*=B'^*$，则由指数幂级数 $$ Se^{-tC}=e^{-tC'}S,\qquad B'S=B, $$ 从而 $B'e^{-tC'}B'^*=Be^{-tC}B^*$。这证明双向等价。 这里正交性来自响应矩本身就是隐藏生成向量的 Gram 配对：自伴 $C$ 与伴随输入输出耦合共同承担这一点。对于任意独立的输入矩阵和输出矩阵，通常的最小实现唯一性只给相似变换，不能将本证明的正交结论无条件移植过去。 由有限维谱定理，还可将所确定的内容写成 $$ C=\sum_{\lambda>0}\lambda P_\lambda,\qquad K(t)=\sum_{\lambda>0}e^{-\lambda t}W_\lambda, \qquad W_\lambda=BP_\lambda B^*\ge0. $$ 有效空间分解为 $\mathcal R=\bigoplus_\lambda\operatorname{ran}(P_\lambda B^*)$：谱投影是 $C$ 的多项式，故这些分量属于 $\mathcal R$；反向由各个 $C^jB^*u$ 的谱展开成立。在 $\lambda$ 分量上的有效重数为 $$ \dim\operatorname{ran}(P_\lambda B^*)=\operatorname{rank}W_\lambda. $$ 所以完整响应确定的是可见谱及其边界权重；$W_\lambda=0$ 的纯不可见谱不能恢复。上述正交唯一性已经保证这一谱描述不依赖最小实现的选择。 ### 126.6 同一内部关系的精确记忆消元 现在额外取 $A=A^*:U\to U$，并可要求能量块 $$ \mathsf L=\begin{pmatrix}A&B\\B^*&C\end{pmatrix}\ge0. $$ 考虑同一内部关系的线性演化 $$ \dot x(t)=-Ax(t)-Bh(t),\qquad \dot h(t)=-B^*x(t)-Ch(t), \qquad x(0)=x_0,\ h(0)=h_0. $$ 有限维线性常微分方程有唯一全局解。变常数公式给出精确恒等式 $$ h(t)=e^{-tC}h_0-\int_0^t e^{-(t-s)C}B^*x(s)\,ds. $$ 可直接微分右边核验初值和隐藏方程。代回边界方程得到 $$ \boxed{\dot x(t)=-Ax(t)-Be^{-tC}h_0 +\int_0^t K(t-s)x(s)\,ds.} $$ 记忆项前的正号来自两次负耦合；隐藏初态强迫项 $-Be^{-tC}h_0$ 保留在式中。$h_0$ 的 $\mathcal N$ 分量对该项没有贡献，但其 $\mathcal R$ 分量一般有贡献。完整 $K$ 确定模型的有效几何，不自行给出某次实验选取的 $h_0$。 对两个等响应最小实现，若采用相同 $A,x_0$ 并运输隐藏初态 $h_0'=Sh_0$，则初态强迫项也相同，边界演化关系完全一致。对非最小实现只需运输有效初态分量，不可见分量任意。这把上面的正交运输落实到同一实际历史关系，而不只是裸算子等式。 ### 126.7 静态边界消元恰取记忆核的积分 对固定边界值 $x$，二次能量为 $$ E(x,h)=\frac12\langle x,Ax\rangle_U+\langle x,Bh\rangle_U +\frac12\langle h,Ch\rangle_H. $$ 因 $C>0$，配方给 $$ \begin{aligned} E(x,h) ={}&\frac12\langle x,(A-BC^{-1}B^*)x\rangle_U\\ &+\frac12\langle h+C^{-1}B^*x, C(h+C^{-1}B^*x)\rangle_H. \end{aligned} $$ 所以唯一静态内部解是 $h_*(x)=-C^{-1}B^*x$，有效边界能量及响应算子由 $$ \boxed{S_{\mathrm{stat}}=A-BC^{-1}B^*} $$ 给出；若 $\mathsf L\ge0$，则 $S_{\mathrm{stat}}\ge0$。 有限维正定性提供某个 $c_0>0$，使 $C\ge c_0I$。因此 $\|e^{-tC}\|\le e^{-c_0t}$，下列积分在算子范数下收敛。由谱定理逐个正特征值积分，或积分 $\frac{d}{dt}e^{-tC}=-Ce^{-tC}$，有 $$ \int_0^\infty e^{-tC}\,dt=C^{-1},\qquad \boxed{\int_0^\infty K(t)\,dt=BC^{-1}B^*,\qquad S_{\mathrm{stat}}=A-\int_0^\infty K(t)\,dt.} $$ 故静态消元与记忆消元确实来自同一内部关系，但读取的是不同边界信息：静态只保留时间核的总积分，动态关系保留其时间形状和初态强迫。将历史积分直接替换成静态算子作用于当前 $x(t)$，不是上述精确消元恒等式。 ### 126.8 同一静态响应、不同动态关系的解析族 固定有限维 $U,H$、非零线性映射 $D:H\to U$，以及满足 $A=A^*$、$A-DD^*\ge0$ 的同一个 $A$。对任意参数 $c>0$，令 $$ C_c=cI_H,\qquad B_c=\sqrt c\,D. $$ 全部内部块都满足前述正定假设，且 $$ \begin{aligned} 2E_c(x,h) &=\langle x,(A-DD^*)x\rangle_U +\|\sqrt c\,h+D^*x\|_H^2\ge0. \end{aligned} $$ 静态有效响应对所有 $c$ 完全相同： $$ A-B_cC_c^{-1}B_c^*=A-DD^*. $$ 而完整动态响应为 $$ \boxed{K_c(t)=c e^{-ct}DD^*,\qquad \int_0^\infty K_c(t)\,dt=DD^*.} $$ 若 $c\ne c'$，则 $K_c(0)-K_{c'}(0)=(c-c')DD^*\ne0$，因为 $D\ne0$ 蕴含 $DD^*\ne0$。因此同一静态 Schur 响应不能确定完整记忆核。 该族的有效空间恰为 $\mathcal R_D=\operatorname{ran}D^*$，不可见空间为 $\ker D$。限制到 $\mathcal R_D$ 就得到最小实现；也可一开始选择单射 $D$。有效算子为 $cI_{\mathcal R_D}$，且 $\mathcal R_D\ne0$。不同 $c$ 的有效实现之间不可能存在保演化的正交同构，因为 $ScI=c'IS$ 将迫使 $(c-c')S=0$。 这里可以使用同一维数、同一个抽象内积空间；不同的是其演化及边界耦合关系。因此反例针对的是带接口与时间结构的有效几何，而非宣称同维实 Hilbert 空间作为裸空间不等距。它是对全部 $c>0$ 和上述一般 $D,A$ 的解析非识别族，不靠有界枚举或数值实验。 ### 126.9 退化情形、已有结构与结论边界 若 $B=0$，则 $K=M_j=0$，$\mathcal R=0$、$\mathcal N=H$；全部边界词都在零空间中，规范空间 $\mathcal H_K=0$。最小实现于是只能是零隐藏空间，且其正交同构唯一。若 $H=0$，同样各式成立；零空间上的唯一算子同时是零算子和恒等算子，逆算子与积分等式均按该唯一映射理解。证明中的统一正下界可任取 $c_0>0$，因为只有零向量。$U=0$ 也自动归入 $B=0$ 情形。 结论始终相对于固定边界内积、完整精确响应及上述有限正自伴模型；恢复的是有效内部关系到正交同构为止。它没有恢复不可见内部块，也没有提供有限带噪实验的统计或数值稳定性保证，更没有从这个模型推导物理面积律。 证明使用谱定理、Gram 商、变常数公式与 Schur 补。仓内 `MinimalSymmetricRealizationUniqueness` 的公开结论给正交交织映射的存在；本文唯一性由生成元张成给出。`InfiniteObservabilityOrthogonalDuality` 与 `SchurMinimum` 分别提供可达—不可观测对偶及静态最小化接口。 ## 126.99 追加锚 ## 127. 同一图关系的记忆核、熵收支与路径方向 把第126节的响应结构放入一份明确的对称 Markov 模型，可同时计算隐藏反馈和概率收支。观察切法、完整动力学与反向准备共同决定下述结论。 ### 127.1 共同模型：关系、权重、概率与观察必须一起声明 令 $V$ 为有限非空集合，$N=|V|$。给定 $w_{ij}=w_{ji}\ge0$、$w_{ii}=0$，并假设正权边组成的无向图连通。定义作用于列向量的加权 Laplace 算子 $$ (Lx)_i=\sum_jw_{ij}(x_i-x_j),\qquad T_t=e^{-tL},\qquad p_t=T_tp_0, \qquad p_{0,i}>0,\quad\sum_i p_{0,i}=1. \tag{127.1} $$ 这不是仅从连接图自动决定的概率过程：边权、生成元符号和演化规则已经作为模型输入。内积取未除以 $N$ 的 Euclidean 内积；所有对数为自然对数，熵单位为 nat。 对任意 $x,y$，交换 $i,j$ 后取平均得 $$ \langle x,Ly\rangle =\frac12\sum_{i,j}w_{ij}(x_i-x_j)(y_i-y_j). \tag{127.2} $$ 因此 $L=L^*\ge0$、$L\mathbf1=0$。式（127.2）的平方和在 $x=y$ 时为零，当且仅当 $x$ 在每条正权边上相等；连通性使 $$ \ker L=\mathbb R\mathbf1, \qquad \pi=\frac1N\mathbf1 \tag{127.3} $$ 成为唯一平稳概率。 概率性可以直接核验。选 $\alpha>\max_i\sum_jw_{ij}$，令 $R=I-L/\alpha$。它非负、对称、行列和均为一，且 $$ T_t=e^{-\alpha t}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha t)^k}{k!}R^k. \tag{127.4} $$ 各项非负，Poisson 系数之和为一，所以 $T_t$ 非负、双随机、对称，满足 $T_{t+s}=T_tT_s$ 和 $T_t\pi=\pi$。当 $t>0$ 时，每两个顶点之间的一条正权路径提供某个正的 $(R^k)_{ij}$，所以 $(T_t)_{ij}>0$；$N=1$ 时结论直接成立。即使只用级数的 $k=0$ 项，也已有 $p_{t,i}\ge e^{-\alpha t}p_{0,i}>0$。以下所有有限时间的对数和导数均合法。 固定满射观察 $q:V\to Y$，记 $F_a=q^{-1}(a)$、$n_a=|F_a|>0$。定义纤维求和与均匀提升 $$ (\mathsf Cx)_a=\sum_{i\in F_a}x_i, \qquad (\mathsf Ub)_i=\frac{b_{q(i)}}{n_{q(i)}}. \tag{127.5} $$ 于是 $$ \mathsf C\mathsf U=I_Y, \qquad P=\mathsf U\mathsf C=P^*=P^2, \qquad Q=I-P, \qquad P\mathbf1=\mathbf1. \tag{127.6} $$ $P$ 把一条纤维内的数值替换为其算术平均，$Q$ 保留其零和偏差。观察概率及其参考为 $$ b=\mathsf Cp, \qquad \bar\pi=\mathsf C\pi, \qquad \boxed{\bar\pi_a=\frac{n_a}{N}}. \tag{127.7} $$ 标签的平稳质量一般不均匀。若改用标签均匀律，就改变了后续 KL 结论中的参考。 还要分清概率和正交坐标。$\operatorname{im}P$ 的一组正交归一基是 $e_a=\mathbf1_{F_a}/\sqrt{n_a}$，故 $Pp$ 的系数为 $$ v_a=\langle e_a,p\rangle=\frac{b_a}{\sqrt{n_a}}. \tag{127.8} $$ $v_a$ 不以和为一归一化；一般的隐藏坐标还有正负值。不能把正交分块中的每个坐标或算子直接当作概率或 Markov 核。 ### 127.2 完整熵产生：一份共同概率律上的精确收支 对严格正概率 $p$，令 $$ H(p)=-\sum_i p_i\log p_i, \qquad D(p\|\pi)=\sum_i p_i\log\frac{p_i}{\pi_i}=\log N-H(p). \tag{127.9} $$ 由质量守恒 $\sum_i\dot p_i=0$、$\dot p=-Lp$ 和式（127.2），有 $$ \begin{aligned} \frac d{dt}H(p_t) &=-\sum_i\dot p_{t,i}\log p_{t,i}\\ &=\langle Lp_t,\log p_t\rangle\\ &=\frac12\sum_{i,j}w_{ij}(p_{t,i}-p_{t,j}) \log\frac{p_{t,i}}{p_{t,j}} =: \sigma(p_t)\ge0. \end{aligned} \tag{127.10} $$ 非负性逐项来自 $\log$ 严格递增。等号迫使所有正权边的两端概率相等，故在连通图上恰有 $p_t=\pi$。因此 $$ \boxed{\frac d{dt}D(p_t\|\pi)=-\sigma(p_t)}, \qquad D(p_0\|\pi)-D(p_T\|\pi) =H(p_T)-H(p_0)=\int_0^T\sigma(p_t)\,dt. \tag{127.11} $$ 这是指定图热流的数学熵收支。这里没有热浴、温度、功或局部详细平衡的物理解释，故不据此把任意 Shannon 熵变化直接命名为热力学熵产生。 ### 127.3 当前边界如何分配完整 KL：可见项与纤维项 令 $p(i\mid a)=p_i/b_a$，$u_{F_a}(i)=1/n_a$。对 $i\in F_a$ 分解似然比： $$ \frac{p_i}{1/N} =\frac{b_a}{n_a/N}\, \frac{p_i/b_a}{1/n_a}. \tag{127.12} $$ 对数后按 $p_i$ 求和，得到精确纤维链式等式 $$ \boxed{ D(p\|\pi) =D(b\|\bar\pi) +\sum_a b_aD\bigl(p(\cdot\mid a)\|u_{F_a}\bigr) =D(Pp\|\pi)+D(p\|Pp). } \tag{127.13} $$ 第二个等号也可直接从 $(Pp)_i=b_a/n_a$ 逐纤维求和得到。定义 $$ D_c(p)=D(b\|\bar\pi)=D(Pp\|\pi), \qquad D_h(p)=D(p\|Pp). \tag{127.14} $$ $D_h$ 是同一份分布相对于当前纤维均匀重建的 KL 缺陷。它和条件 Shannon 熵的关系是 $$ D_c(p)=\log N-H(b)-\sum_a b_a\log n_a, \qquad D_h(p)=\sum_a b_a\log n_a-H(X\mid qX). \tag{127.15} $$ 纤维不等大时，$\sum_ab_a\log n_a$ 也会随动力学改变，不能省略。特别地，$D_h$ 不是未经修正的“隐藏 Shannon 熵”。 沿同一轨道微分式（127.13），得到 $$ \boxed{\frac d{dt}D_c(p_t)+\frac d{dt}D_h(p_t)=-\sigma(p_t)}. \tag{127.16} $$ 这个式子只规定总和。两项各自不增，需要额外结构。 还可以直接看出粗项为何没有固定符号。令 $x=Pp$。由于 $\log(x/\pi)$ 在每条纤维上常数，$P$ 对它不变；又因质量导数为零， $$ \begin{aligned} \frac d{dt}D_c(p_t) &=\langle P\dot p_t,\log(Pp_t/\pi)\rangle\\ &=-\frac12\sum_{i,j}w_{ij}(p_{t,i}-p_{t,j}) \log\frac{(Pp_t)_i}{(Pp_t)_j}. \end{aligned} \tag{127.17} $$ 这里同一边上的微观差 $p_i-p_j$ 与纤维平均差 $(Pp)_i-(Pp)_j$ 可以异号，故不能照搬式（127.10）的逐项非负性。 ### 127.4 被隐藏的关系如何回到未来：精确记忆与初态强迫 在 $U=\operatorname{im}P$、$\mathcal H=\ker P$ 的正交直和中，记 $$ L=\begin{pmatrix}A&B\\B^*&C\end{pmatrix}, \qquad p_t=v_t+h_t, \qquad v_t=Pp_t\in U,\quad h_t=Qp_t\in\mathcal H. \tag{127.18} $$ 这里 $C$ 是隐藏算子，与纤维求和 $\mathsf C$ 不同。两个分块方程为 $$ \dot v=-Av-Bh, \qquad\dot h=-B^*v-Ch. \tag{127.19} $$ 若 $h\in\mathcal H$，则 $h\perp\mathbf1$，且 $$ \langle h,Ch\rangle=\langle h,Lh\rangle =\frac12\sum_{i,j}w_{ij}(h_i-h_j)^2. \tag{127.20} $$ 连通性和正交性共同使该量在 $h\ne0$ 时严格为正。因此非零隐藏空间上的 $C$ 正定；零维隐藏空间按唯一零维算子解释。 对式（127.19）的隐藏方程乘以 $e^{tC}$ 并积分，得 $$ h_t=e^{-tC}h_0-\int_0^t e^{-(t-s)C}B^*v_s\,ds. \tag{127.21} $$ 代回可见方程便得到 $$ \boxed{ \dot v_t=-Av_t-Be^{-tC}h_0 +\int_0^t K(t-s)v_s\,ds, \qquad K(t)=Be^{-tC}B^*. } \tag{127.22} $$ 微分右边并检查 $t=0$ 也可直接验证式（127.21）。记忆项正号来自两次负耦合。初始隐藏状态产生 $-Be^{-tC}h_0$，它一般不能由 $v_0$ 或裸核 $K$ 决定，因而不能删掉。即使初态来自随机实验，$v_0,h_0$ 的联合来源仍须保留；单独指定两个边缘不能确定其联合律。 正交分块同时给出 $$ [P,L]=\begin{pmatrix}0&B\\-B^*&0\end{pmatrix}, \qquad K(0)=BB^*, \qquad \boxed{\|[P,L]\|_{\mathrm{HS}}^2=2\operatorname{Tr}K(0)}. \tag{127.23} $$ 因为 $\langle u,BB^*u\rangle=\|B^*u\|^2$， $$ [P,L]=0\iff B=0\iff K(t)=0\quad\hbox{对所有 }t\ge0. \tag{127.24} $$ 这些是整个允许初态类上的闭合性质；$B\ne0$ 不要求每条特殊轨道都显示记忆，平稳轨道就是一个例外。 正定性还给出收敛积分 $$ \int_0^\infty K(t)\,dt=BC^{-1}B^*. \tag{127.25} $$ 证明是将 $C$ 对角化，逐个正特征值积分 $e^{-\lambda t}$。相应静态二次型经配方成为 $$ \begin{aligned} \frac12\left\langle\binom vh,L\binom vh\right\rangle ={}&\frac12\langle v,(A-BC^{-1}B^*)v\rangle\\ &+\frac12\langle h+C^{-1}B^*v, C(h+C^{-1}B^*v)\rangle. \end{aligned} \tag{127.26} $$ 故静态边界算子为 $A-\int_0^\infty K(t)\,dt$。静态消元只留下核的积分，精确动态消元还需要时间形状与初态强迫。常数向量属于 $U$ 且被 $A$、$B^*$ 消去，所以静态算子保留守恒零模态；不得在整个 $U$ 上宣称它可逆。 这与第126节的有效实现桥梁相接：在正自伴、伴随耦合模型中，全部响应矩 $BC^jB^*$ 给出边界词的 Gram 配对，恢复有效隐藏空间及其 $C,B$ 到保边界正交同构；它既不恢复完全不可见块，也不自行指定本次实验的隐藏初态。完整响应、概率熵和统计取得成本是不同层次的资料。 ### 127.5 全部严格正初态的粗 KL 单调性，恰是这个模型中的闭合 下列等价是强可并、正交下降、KL 数据处理和零点不变性方法的成熟结果综合。它的用途在于把结构闭合与可检验的熵行为放在同一模型中； **定理 127.1。** 对式（127.1）—（127.7）的固定 $L,q,P,\pi$，下列条件等价： 1. 对每个严格正微观初态 $p_0$，$t\mapsto D_c(T_tp_0)$ 在 $[0,\infty)$ 上不增。 2. $PLQ=0$。 3. $[P,L]=0$。 4. 存在标签上的随机半群 $S_t$，使 $\mathsf CT_t=S_t\mathsf C$ 对所有 $t\ge0$ 成立。 5. 式（127.22）的 $K(t)$ 对所有 $t\ge0$ 为零。 **结构部分。** 因 $P,L$ 自伴，$(PLQ)^*=QLP$。若 $PLQ=0$，两个交叉块均零，故交换；反向立即成立。与条件 5 的等价已由式（127.24）证明。 若交换，定义 $$ S_t=\mathsf CT_t\mathsf U. \tag{127.27} $$ $\mathsf C,\mathsf U,T_t$ 都将概率送到概率，所以 $S_t$ 非负且列和为一。由 $P\mathsf U=\mathsf U$ 以及交换性， $$ \begin{aligned} S_tS_s &=\mathsf CT_tPT_s\mathsf U =\mathsf CT_{t+s}\mathsf U=S_{t+s},\\ \mathsf CT_t &=\mathsf CT_tP=S_t\mathsf C, \qquad S_t\bar\pi=\bar\pi. \end{aligned} \tag{127.28} $$ 这里 $\mathsf CT_tQ=0$ 使用了交换性；没有它，压缩得到的每个 $\mathsf CT_t\mathsf U$ 虽是随机矩阵，未必组成半群。反之，条件 4 使 $\mathsf CT_th=S_t\mathsf Ch=0$ 对每个 $h\in\ker P$ 成立；在 $t=0$ 求导并乘 $\mathsf U$ 得 $PLh=0$，故条件 2 成立。 **闭合推出熵单调。** 有限 KL 的数据处理给 $$ D(S_s b_t\|S_s\bar\pi)\le D(b_t\|\bar\pi). \tag{127.29} $$ 为完整说明其依据，对任何共同随机核 $S$，在输入输出对上取联合律 $\mu_iS_{ai}$、$\nu_iS_{ai}$。完整联合 KL 逐项约去 $S_{ai}$，等于 $D(\mu\|\nu)$；按输出纤维使用式（127.13）的同类似然比分解，则等于输出 KL 加非负的后验 KL 平均。后验 KL 的非负性来自 $\log u\le u-1$，其等号条件为两份概率相同。零核项不参与求和。因 $b_{t+s}=S_sb_t$、$S_s\bar\pi=\bar\pi$，式（127.29）即条件 1。 **熵单调推出闭合。** 若隐藏空间非零，任取单位 $h\in\ker P$。由 $h\perp\mathbf1$、$|h_i|\le1$，每个 $0<\varepsilon<1/N$ 都给严格正归一化初态 $$ p_0=\pi+\varepsilon h, \qquad Pp_0=\pi. \tag{127.30} $$ 初始粗 KL 为零。若条件 1 成立，KL 非负性迫使 $D(PT_tp_0\|\pi)=0$ 对所有 $t\ge0$ 成立。KL 的等号条件使 $PT_tp_0=\pi$，再由 $T_t\pi=\pi$ 得 $PT_th=0$。在 $t=0$ 求导，得到 $PLh=0$。这对每个隐藏单位向量成立，线性性遂给 $PLQ=0$。隐藏空间为零时该结论直接成立，证明完毕。 严格保留“每个严格正微观初态”这一量词是必要的。某一个初态，甚至某个受限初态族上的单调，不能代替上面对全部隐藏方向的测试。该等价的证明本身可放宽图连通性；本节保留连通性用于唯一平衡与严格耗散等其他结论。 闭合时，标签生成元为 $\bar L=\mathsf CL\mathsf U$，对 $a\ne b$， $$ \bar L_{ab}=-\frac1{n_b}\sum_{i\in F_a,j\in F_b}w_{ij}, \qquad \bar L_{ab}\bar\pi_b=\bar L_{ba}\bar\pi_a. \tag{127.31} $$ 负号对应 $\dot b=-\bar Lb$；该粗链在 $\bar\pi$ 下可逆，一般不在标签均匀律下对称。若 $D_n=\operatorname{diag}(n_a)$，式（127.8）给正交坐标算子和概率生成元的关系 $A=D_n^{-1/2}\bar L D_n^{1/2}$，这里 $A$ 用纤维归一基表示。 **非闭合的局部见证。** 仍取式（127.30），令 $x(t)=PT_t(\pi+\varepsilon h)$。则 $x(0)=\pi$、$x'(0)=-\varepsilon PLh$，且对 $D(x(t)\|\pi)$， $$ D'(t)=\sum_i x'_i(t)\log(Nx_i(t)), $$ $$ D''(t)=\sum_i\frac{x'_i(t)^2}{x_i(t)} +\sum_i x''_i(t)\log(Nx_i(t)). \tag{127.32} $$ 在 $t=0$ 第二项为零，故精确地 $$ \boxed{D_c''(0;\pi+\varepsilon h)=N\varepsilon^2\|PLh\|_2^2}. \tag{127.33} $$ 若 $[P,L]\ne0$，自伴交叉块判据保证存在此类 $h$ 使 $PLh\ne0$。于是 $$ D_c(t;\pi+\varepsilon h) =\frac{N\varepsilon^2}{2}\|PLh\|_2^2t^2+O(t^3)>0 \tag{127.34} $$ 对充分小的 $t>0$ 成立，而完整 KL 仍下降。这里 $\varepsilon$ 已固定在合法正区间，二阶系数不是仅在 $\varepsilon\to0$ 极限下成立。 对隐藏空间的一组正交归一基 $h_j$，分别准备不同初态 $\pi+\varepsilon h_j$，有 $$ \boxed{ \sum_jD_c''(0;\pi+\varepsilon h_j) =N\varepsilon^2\|B\|_{\mathrm{HS}}^2 =\frac{N\varepsilon^2}{2}\|[P,L]\|_{\mathrm{HS}}^2 =N\varepsilon^2\operatorname{Tr}K(0). } \tag{127.35} $$ 这是不同准备实验的曲率之和，不是一个初态的曲率，不是信息容量，也不是除以隐藏维数后的平均。它把同一个交叉块的三种读法对齐：未来显露的隐藏方向、记忆核初值，以及从粗平衡出发的熵曲率。 ### 127.6 四点路径：完整熵上升，当前粗熵却下降 取单位边权路径 $1-2-3-4$， $$ L=\begin{pmatrix} 1&-1&0&0\\ -1&2&-1&0\\ 0&-1&2&-1\\ 0&0&-1&1 \end{pmatrix}, \qquad q=12\mid34, \qquad p_0=\left(\frac25,\frac1{10},\frac15,\frac3{10}\right). \tag{127.36} $$ 直接相乘得 $$ Lp_0=\left(\frac3{10},-\frac25,0,\frac1{10}\right), \qquad b_0=\left(\frac12,\frac12\right), \qquad \dot b_{0,\mathrm{left}}=\frac1{10}. \tag{127.37} $$ 这里纤维等大，所以 $\bar\pi=(1/2,1/2)$。二元熵在 $1/2$ 处的一阶导数为零、二阶导数为 $-4$，故 $$ H(b_t)=\log2-\frac1{50}t^2+O(t^3), \qquad D_c(p_t)=\frac1{50}t^2+O(t^3). \tag{127.38} $$ 与此同时，三条边在式（127.10）的贡献为 $$ \boxed{\sigma(p_0)=\frac3{10}\log4+\frac1{10}\log2 +\frac1{10}\log\frac32>0}. \tag{127.39} $$ 所以完整状态 Shannon 熵初始增加，而当前标签 Shannon 熵初始下降；它们的差别由式（127.16）准确记账。 这不是只有一项 Taylor 数值的例子。定义有符号坐标 $$ z=p_1+p_2-p_3-p_4, \qquad m=p_1-p_2+p_3-p_4, \qquad r=p_1-p_2-p_3+p_4. \tag{127.40} $$ 用 $\dot p=-Lp$ 逐项相减，得到完整的非守恒坐标方程 $$ \boxed{\dot z=-z+m,\qquad\dot m=z-3m,\qquad\dot r=-2r}, \qquad z_0=0,\quad m_0=\frac15,\quad r_0=\frac25. \tag{127.41} $$ 加上总质量一，可以反解 $$ p=\frac14(1+z+m+r,\ 1+z-m-r,\ 1-z+m-r,\ 1-z-m+r). \tag{127.42} $$ 因此没有把额外隐藏方向从完整模型中漏掉；$z,m$ 只是决定这个边界响应所需的耦合子系统。 消去 $m$ 给出精确历史关系 $$ m(t)=e^{-3t}m_0+\int_0^t e^{-3(t-s)}z(s)\,ds, $$ $$ \boxed{\dot z(t)=-z(t)+e^{-3t}m_0+ \int_0^t e^{-3(t-s)}z(s)\,ds}. \tag{127.43} $$ 初始隐藏偏差 $m_0$ 正是粗分布从均匀位置离开的原因。对 $z,m$ 的 $2\times2$ 矩阵对角化，或代回式（127.41）核验，得到 $$ z(t)=\frac1{5\sqrt2}e^{-2t}\sinh(\sqrt2t), $$ $$ m(t)=\frac15e^{-2t} \left(\cosh(\sqrt2t)-\frac1{\sqrt2}\sinh(\sqrt2t)\right), \qquad r(t)=\frac25e^{-2t}. \tag{127.44} $$ 故 $z(t)>0$ 对每个有限 $t>0$ 成立，而 $z(t)\to0$。粗质量 $b_t=((1+z(t))/2,(1-z(t))/2)$ 从平衡离开，最终又返回平衡。 若取正交归一向量 $$ e_0=(1,1,1,1)/2, \quad e_z=(1,1,-1,-1)/2, \quad e_m=(1,-1,1,-1)/2, \quad e_r=(1,-1,-1,1)/2, \tag{127.45} $$ 则 $U=\operatorname{span}(e_0,e_z)$、$\mathcal H=\operatorname{span}(e_m,e_r)$， $$ Le_z=e_z-e_m, \qquad Le_m=-e_z+3e_m, \qquad Le_r=2e_r. \tag{127.46} $$ 所以隐藏块的速率为 $3,2$，但 $e_r$ 不耦合到边界。可见核在 $e_z$ 方向为 $e^{-3t}$，在守恒方向为零。式（127.40）的 $z,m,r$ 是正交坐标的两倍，均不是单独的概率；$e_r$ 的速率也不能误作可见记忆核必须包含的速率。 ### 127.7 累计历史的熵与知识增长：确定信息、随机创新、丢弃损失 以下全部变量处于同一份有限联合概率律中，不预设独立性或 Markov 性。 先考虑有限确定系统 $Z_k=f^k(Z_0)$ 和读数 $O_k=q(Z_k)$，令累计记录 $$ M_n=(O_0,\ldots,O_n). \tag{127.47} $$ $M_n$ 是 $Z_0$ 的确定函数，故 $H(M_n\mid Z_0)=0$。有限联合熵链式等式 $H(A,B)=H(A)+H(B\mid A)$ 来自将联合质量写成边缘乘条件质量；用它两次即得 $$ \boxed{H(Z_0)=H(M_n)+H(Z_0\mid M_n)}. \tag{127.48} $$ 又因 $M_{n+1}=(M_n,O_{n+1})$， $$ \begin{aligned} H(M_{n+1})-H(M_n) &=H(O_{n+1}\mid M_n)\\ &=I(Z_0;O_{n+1}\mid M_n), \end{aligned} \tag{127.49} $$ 最后一步使用 $H(O_{n+1}\mid Z_0,M_n)=0$。因此累计读数的增长在此确定模型中恰为对初态的新增信息，总量不超过 $H(Z_0)$。观察一个不可逆确定系统也不会凭空增加其初始随机性。 若演化或测量含随机性，仍有精确等式 $$ \boxed{H(M_n)=I(Z_0;M_n)+H(M_n\mid Z_0)}, \tag{127.50} $$ $$ \boxed{ H(O_{n+1}\mid M_n) =I(Z_0;O_{n+1}\mid M_n) +H(O_{n+1}\mid Z_0,M_n). } \tag{127.51} $$ 最后一项是给定初态和已有记录后仍未预测出的读数随机性，不自动是一份与历史独立的新噪声。相关环境、潜变量或测量误差都可以进入它。把全部新增记录熵称作“对初态的知识”，会漏掉这项。 对任何固定目标 $\Xi$，互信息链式法则给 $$ \boxed{I(\Xi;M_{n+1})-I(\Xi;M_n) =I(\Xi;O_{n+1}\mid M_n)\ge0}. \tag{127.52} $$ 条件互信息是按 $M_n$ 条件化的联合分布与边缘乘积之间 KL 的平均，故非负。目标必须固定，联合律也必须相同；更换目标或将不同实验的边缘混接，不能据此比较。 若实际存储采用确定压缩更新 $M'=G(M,O)$，就不再具有完整前缀包含关系。对联合变量 $(M,O)$ 先按 $M$、再按其确定函数 $M'$ 展开互信息，有 $$ I(\Xi;M,O) =I(\Xi;M)+I(\Xi;O\mid M) =I(\Xi;M')+I(\Xi;(M,O)\mid M'). $$ 故 $$ \boxed{ I(\Xi;M')-I(\Xi;M) =I(\Xi;O\mid M)-I(\Xi;(M,O)\mid M'). } \tag{127.53} $$ 丢弃项包括未保留的新读数信息，不能仅称为旧记忆损失。若记忆字母表有 $K$ 个值，则 $I(\Xi;M')\le H(M')\le\log K$；这才是有限记录容量界，与式（127.35）的记忆核幅度不是同一量。 “状态熵”“全部记录熵”“关于目标的互信息”因此承担不同问题。它们共享联合概率与条件分解接口，但不能互相代名。 ### 127.8 有限路径 KL：完整方向性与观察后方向性的准确关系 令 $\Omega$ 为有限非空合法路径载体，$\mathbb P,\mathbb R$ 为其上的概率，假设 $\mathbb P\ll\mathbb R$，即 $\mathbb P(\omega)>0$ 蕴含 $\mathbb R(\omega)>0$。固定同一个路径观察 $r:\Omega\to\mathcal Y$。写 $\mathbb P_Y=r_*\mathbb P$、$\mathbb R_Y=r_*\mathbb R$。 对 $\mathbb P_Y(y)>0$，绝对连续性保证 $\mathbb R_Y(y)>0$，两个条件律均可定义；对 $\mathbb P(\omega)>0$ 且 $r(\omega)=y$， $$ \frac{\mathbb P(\omega)}{\mathbb R(\omega)} =\frac{\mathbb P_Y(y)}{\mathbb R_Y(y)} \frac{\mathbb P(\omega\mid y)}{\mathbb R(\omega\mid y)}. \tag{127.54} $$ 对数后按 $\mathbb P$ 求和，就得到 $$ \boxed{ D(\mathbb P\|\mathbb R) =D(\mathbb P_Y\|\mathbb R_Y) +\sum_{y:\mathbb P_Y(y)>0}\mathbb P_Y(y) D\bigl(\mathbb P(\cdot\mid y)\|\mathbb R(\cdot\mid y)\bigr). } \tag{127.55} $$ $\mathbb P_Y(y)=0$ 的纤维贡献定义为零，无需在那里选取条件律。有限载体和支撑包含保证所有所写 KL 有限。由条件 KL 非负性，观察不会增加这对实验的可区分性；等号恰在每个正 $\mathbb P_Y$ 纤维上的两份条件律相同。这比仅说“观察压缩信息”多给出了具体隐藏项。 若要把 $\mathbb R$ 称作反向实验，必须先声明其来源。例如可以给路径反演 $\Theta^2=I$ 后取 $\mathbb R=\Theta_*\mathbb P$，也可以另给一份反向准备实验 $\widetilde{\mathbb P}$ 再取 $\mathbb R=\Theta_*\widetilde{\mathbb P}$。两者一般不同。 要进一步把观察后的参考写成粗路径的反演，还需给 $\bar\Theta$ 并证明 $$ r\Theta=\bar\Theta r. \tag{127.56} $$ 此时 $r_*\Theta_*\widetilde{\mathbb P}=\bar\Theta_*r_*\widetilde{\mathbb P}$。式（127.55）本身不要求粗过程 Markov；完整路径的条件依赖已经保存在 $\mathbb P_Y$ 中。 ### 127.9 一个明确的反向准备，把完整熵增连接到路径 KL 回到图热流。固定有限时间网格 $$ 0=t_00, \qquad K_k=T_{\Delta_k}. \tag{127.57} $$ 这里 $K_k$ 是采样转移核，与连续记忆核 $K(t)$ 的含义不同；以下用下标区分。路径载体为 $V^{n+1}$。定义正向实验 $$ \mathbb P(x_0,\ldots,x_n) =p_0(x_0)\prod_{k=1}^n(K_k)_{x_kx_{k-1}}. \tag{127.58} $$ 其末态边缘是 $p_T$。另行声明反向准备实验：从 $p_T$ 出发，以逆序的间隔运行同一图热核， $$ \widetilde{\mathbb P}(y_0,\ldots,y_n) =p_T(y_0)\prod_{k=1}^n(K_{n+1-k})_{y_ky_{k-1}}. \tag{127.59} $$ 令 $\Theta(y_0,\ldots,y_n)=(y_n,\ldots,y_0)$，并把 $\mathbb R=\Theta_*\widetilde{\mathbb P}$ 写到正向路径坐标上，得到 $$ \mathbb R(x_0,\ldots,x_n) =p_T(x_n)\prod_{k=1}^n(K_k)_{x_{k-1}x_k}. \tag{127.60} $$ 式（127.4）保证每个 $K_k$ 对称且严格正，$p_0,p_T$ 也严格正，所以两份路径律互相绝对连续。逐因子利用对称性， $$ \boxed{\log\frac{\mathbb P(\omega)}{\mathbb R(\omega)} =\log p_0(x_0)-\log p_T(x_n)}. \tag{127.61} $$ 取正向期望，用首末边缘求和，即得 $$ \boxed{ D(\mathbb P\|\mathbb R) =H(p_T)-H(p_0) =D(p_0\|\pi)-D(p_T\|\pi) =\int_0^T\sigma(p_t)\,dt. } \tag{127.62} $$ 每个有限采样网格都满足这条等式；固定终点 $T$ 后，改变或细化网格不改变它的值，因为每个对称转移因子已经逐项相消。这是普通有限采样路径上的等式，不是对连续时间完整路径测度的已证声明。网格间隔反序是实验定义的一部分；不是只将同一初始准备的记录倒放。 现在取完整粗历史 $$ r(x_0,\ldots,x_n)=(q(x_0),\ldots,q(x_n)). \tag{127.63} $$ 它与坐标顺序反演相容。用式（127.55）分解式（127.62），得到 $$ \boxed{ \int_0^T\sigma(p_t)\,dt =D(r_*\mathbb P\|r_*\mathbb R) +\mathbb E_{y\sim r_*\mathbb P} D\bigl(\mathbb P(\cdot\mid y)\|\mathbb R(\cdot\mid y)\bigr). } \tag{127.64} $$ 右边分别是这对已声明实验在完整粗历史上的方向可区分性，以及相同粗历史之内仍被隐藏的路径区别。它们不等于单个时刻的 $D_c(p_t),D_h(p_t)$；它们比较的是两份路径实验。 **闭合时还能精确落回端点收支。** 假设 $[P,L]=0$。粗过程对全部微观初态具有半群 $S_t$。这不仅是单时刻边缘公式：给定任意过去粗历史，当前微观条件律支撑在当前纤维；$\mathsf CT_t=S_t\mathsf C$ 使下一标签分布只依赖该纤维标签。因此粗路径正向律可按 $S_{\Delta_k}$ 因子化，反向粗实验也可以。 由式（127.27）与 $T_t$ 的对称性， $$ (S_t)_{ab}\bar\pi_b =\frac1N\sum_{i\in F_a,j\in F_b}(T_t)_{ij} =(S_t)_{ba}\bar\pi_a. \tag{127.65} $$ 所以粗核一般非对称，却满足其正确参考下的详细平衡。对一条粗路径 $y=(y_0,\ldots,y_n)$，两份粗路径似然比为 $$ \begin{aligned} \log\frac{(r_*\mathbb P)(y)}{(r_*\mathbb R)(y)} &=\log\frac{b_0(y_0)}{b_T(y_n)} +\sum_{k=1}^n\log\frac{(S_{\Delta_k})_{y_ky_{k-1}}} {(S_{\Delta_k})_{y_{k-1}y_k}}\\ &=\log\frac{b_0(y_0)}{\bar\pi_{y_0}} -\log\frac{b_T(y_n)}{\bar\pi_{y_n}}, \end{aligned} \tag{127.66} $$ 最后一步将详细平衡的参考比逐步相消。取正向期望，得到 $$ \boxed{D(r_*\mathbb P\|r_*\mathbb R)=D_c(p_0)-D_c(p_T)}. \tag{127.67} $$ 再用式（127.13）、（127.62）、（127.64），得到 $$ \boxed{ \mathbb E_{y\sim r_*\mathbb P} D\bigl(\mathbb P(\cdot\mid y)\|\mathbb R(\cdot\mid y)\bigr) =D_h(p_0)-D_h(p_T)\ge0. } \tag{127.68} $$ 因此闭合时，端点的可见／隐藏 KL 下降量分别就是该反向准备下的可见／隐藏路径 KL。也可由交换性和数据处理直接验证隐藏项不增： $$ D(T_tp\|PT_tp)=D(T_tp\|T_tPp)\le D(p\|Pp). \tag{127.69} $$ 非闭合时保留式（127.64），不能保留未经证明的式（127.67）。四点路径例子中 $D_c(p_0)=0$ 而 $D_c(p_T)>0$ 对任意有限 $T>0$ 成立，故端点粗差为负，不可能等于非负的粗路径 KL。这清楚地区分了“当前边界离参考更远”与“完整粗历史的方向可区分性”。 若从 $\pi$ 启动，正向实验与上述反向准备一致，详细平衡使 $\mathbb P=\mathbb R$，各路径 KL 及式（127.10）的耗散都为零。若改取 $\mathbb R=\Theta_*\mathbb P$ 而仍使用非平衡初态，式（127.61）通常不成立，不能把式（127.62）的熵增身份沿用过去。整个连接依赖已声明准备，并没有从几何或路径倒放本身推导物理时间箭头。 ### 127.10 不可逆系统的忠实换表示，必须保留足够的历史载体 设有限确定演化为 $f:X\to X$，合法长度 $n$ 历史组成 $$ \Omega_n=\{(x_0,\ldots,x_n):x_{k+1}=f(x_k)\}. \tag{127.70} $$ 即使 $f$ 不单射，$x_0\mapsto(x_0,f(x_0),\ldots,f^n(x_0))$ 仍是从 $X$ 到 $\Omega_n$ 的双射；它保留了原始来源。相反，末态映射 $e_n:\Omega_n\to X$ 一般不可逆。 能否从末态恢复读数历史 $r_n(\omega)=(q(x_0),\ldots,q(x_n))$，有精确判据：存在 $g:e_n(\Omega_n)\to r_n(\Omega_n)$ 使 $r_n=g e_n$，当且仅当 $r_n$ 在每个 $e_n$ 纤维上恒定。必要性来自函数复合；充分性则令 $g(x)$ 为任一末态为 $x$ 的合法历史之读数，纤维恒定性使选择无关。 取 $X=\{0,1\}$、$f(0)=f(1)=0$、$q=\mathrm{id}$。两条一步合法历史 $(0,0),(1,0)$ 的末态相同，读数历史不同，所以恢复函数不存在。若两种初态等权，$H(Z_1)=0$ 而 $H(M_1)=\log2$。只把当前状态加上“记忆”这个名字，不会生成丢失的比特；可以使用原合法历史，或使用已证明包含足够来源信息的扩展状态。 一个可核验的完整运输接口如下。对每个所需有限长度 $n$，给合法历史双射 $$ \Phi_n:\Omega_n\to\Omega'_n, \qquad\Psi_n:\mathcal Y_n\to\mathcal Y'_n, \qquad r'_n\Phi_n=\Psi_n r_n. \tag{127.71} $$ 读数空间可取各自的实际像。若讨论跨时刻相容性，还要求截短映射 $\rho_n:\Omega_{n+1}\to\Omega_n$ 满足 $$ \rho'_n\Phi_{n+1}=\Phi_n\rho_n. \tag{127.72} $$ 若有允许操作 $a$ 的历史扩展 $E_{a,n}:\Omega_n\to\Omega_{n+1}$，则在对应合法定义域上要求 $$ E'_{a,n}\Phi_n=\Phi_{n+1}E_{a,n}. \tag{127.73} $$ 操作有失败或停止时，其定义域和标签也须运输；不把部分扩展未经说明改成处处可用操作。 同时运输两份实验律： $$ \mathbb P'_n=(\Phi_n)_*\mathbb P_n, \qquad\mathbb R'_n=(\Phi_n)_*\mathbb R_n. \tag{127.74} $$ 双射使对应点的概率值相同，所以直接重排有限求和给 $$ D(\mathbb P'_n\|\mathbb R'_n)=D(\mathbb P_n\|\mathbb R_n), \qquad H(\mathbb P'_n)=H(\mathbb P_n). \tag{127.75} $$ 交换方块又给 $r'_{n*}\mathbb P'_n=\Psi_{n*}r_{n*}\mathbb P_n$，参考律同理；因此粗路径 KL 也保持。$\Phi_n$ 逐纤维双射，条件概率逐点相同，故式（127.55）的隐藏条件项一并保持。绝对连续性也在双射下保持。 若要运输关于目标的知识，须把同一份联合律 $(\Xi,\omega)$ 一起运输，例如定义 $\Xi'(\Phi_n\omega)=\Xi(\omega)$。于是联合、条件熵和互信息都由有限重排保持。分别匹配目标和记录的边缘分布不足以保证互信息相同；相关性是运输对象的一部分。 若宣称反向实验语义也相同，还要运输反演：$\Theta'_n\Phi_n=\Phi_n\Theta_n$，这里两端按对应的正反历史载体理解。仅保留当前观察的交换方块，并不能替代上述演化、历史、两份权重及目标的条件。 成本没有从这些语义方块自动得到。若给每条历史的费用向量 $c_n$ 和 $c'_n$，并证明 $c'_n\Phi_n=c_n$，则联合费用分布及期望保持；若逐坐标证明 $c'_n\Phi_n\le c_n$，则运输后的期望逐坐标不增。新的编码或算法可以有不同实现成本，但这种改进须另给费用定义和比较证书，不能仅凭语义等价推出。 ### 127.11 离散二坐标关系的记忆消元与合法历史 固定实参数 $a,b,c,d$，完整状态为 $z_t=(x_t,h_t)^{\mathsf T}$，时间 $t\in\mathbb N$。规定同一份离散演化关系 $$ x_{t+1}=ax_t+bh_t,\qquad h_{t+1}=cx_t+dh_t, \qquad (x_0,h_0)\in\mathbb R^2. $$ 只观察 $x_t$。给定初态后，两条更新式唯一确定全部状态。以下各公式使用同一初态和同一历史；不要求 $b,d$ 非零，也不要求完整更新矩阵可逆。空和为零，零次幂按 $d^0=1$ 解释，包括 $d=0$。 #### 127.11.1 有限历史与初态强迫的精确公式 对每个 $t\ge0$，有 $$ \boxed{ h_t=d^th_0+c\sum_{j=0}^{t-1}d^{t-1-j}x_j, } $$ 因此 $$ \boxed{ x_{t+1} =ax_t+bd^th_0+bc\sum_{j=0}^{t-1}d^{t-1-j}x_j. } $$ **证明。** $t=0$ 时第一式为 $h_0=h_0$，求和为空。若第一式在 $t$ 成立，则 $$ \begin{aligned} h_{t+1} &=cx_t+dh_t\\ &=d^{t+1}h_0 +c\sum_{j=0}^{t-1}d^{t-j}x_j+cx_t\\ &=d^{t+1}h_0 +c\sum_{j=0}^{t}d^{t-j}x_j. \end{aligned} $$ 最后一项的系数为 $d^0=1$，所以归纳也包括 $d=0$。将第一式代入 $x$ 更新式即得第二式。$\square$ 在 $t=0$，第二式恰为 $$ x_1=ax_0+bh_0. $$ 过去读数的有限和与初态强迫 $bd^th_0$ 是不同项；不能只保留卷积系数 $bc\,d^{t-1-j}$ 而删去后者。对一份任意给定的序列 $(x_t)$，若它在指定 $h_0$ 下满足第二式，再用第一式定义 $h_t$，上述归纳计算验证隐藏更新，而第二式验证可见更新。因此这份带初态强迫的有限记忆关系与完整系统双向等价。 #### 127.11.2 二阶边界递推 令 $$ A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}. $$ 直接乘法给出二维 Cayley–Hamilton 恒等式 $$ A^2-(a+d)A+(ad-bc)I=0. $$ 例如左上元为 $a^2+bc-(a+d)a+ad-bc=0$，右下元同理；两个非对角元分别为 $ab+bd-(a+d)b=0$ 和 $ca+dc-(a+d)c=0$。对 $z_t$ 作用并取第一坐标，得到 $$ \boxed{ x_{t+2}=(a+d)x_{t+1}+(bc-ad)x_t \qquad(t\ge0). } $$ 也可直接消去同一份 $h_t$： $$ \begin{aligned} x_{t+2} &=ax_{t+1}+b(cx_t+dh_t)\\ &=ax_{t+1}+bcx_t+d(x_{t+1}-ax_t). \end{aligned} $$ 这个推导没有除以 $b$，故二阶关系对 $b=0$ 仍是必要条件。但必要性不意味着任意二阶初值都来自原系统。 #### 127.11.3 反向实现恰由首步相容性决定 给定任意实序列 $(x_t)_{t\ge0}$ 和指定实数 $h_0$，存在隐藏序列以该 $h_0$ 为初值并满足完整两坐标系统，当且仅当以下条件同时成立： $$ \boxed{ \begin{aligned} x_{t+2}&=(a+d)x_{t+1}+(bc-ad)x_t&&\text{对全部 }t\ge0,\\ x_1&=ax_0+bh_0.& \end{aligned} } $$ 存在时，隐藏序列唯一，正是前述有限和公式。 **证明。** 必要性由完整更新和二阶消元得到。反之，从指定 $h_0$ 出发，按 $h_{t+1}=cx_t+dh_t$ 唯一构造隐藏序列。定义可见更新的误差 $$ e_t=x_{t+1}-ax_t-bh_t. $$ 使用二阶递推与隐藏更新，逐项得到 $$ \begin{aligned} e_{t+1} &=x_{t+2}-ax_{t+1}-b(cx_t+dh_t)\\ &=dx_{t+1}-ad x_t-bd h_t =d e_t. \end{aligned} $$ 首步相容性给 $e_0=0$，归纳得全部 $e_t=0$，于是可见更新也成立。隐藏更新的递归唯一性和前述有限和证明给出最后一句。$\square$ 因此，对只指定 $(x_0,x_1)$ 的二阶递推，原系统的可实现初态条件是 $$ x_1-ax_0\in b\mathbb R. $$ 当 $b\ne0$ 时该条件对任意一对实数成立，并且只允许一个 $h_0$；当 $b=0$ 时，它要求 $x_1=ax_0$，而对 $h_0$ 没有约束。这里的存在和唯一性都相对于已经固定的参数与指定读数历史。 #### 127.11.4 可见耦合非零时，两次连续读数恢复隐藏状态 设 $b\ne0$。对任意满足二阶递推的序列，定义 $$ \boxed{ h_t=\frac{x_{t+1}-ax_t}{b} \qquad(t\ge0). } $$ 则 $h_0=(x_1-ax_0)/b$，可见更新按定义成立，而 $$ \begin{aligned} h_{t+1} &=\frac{x_{t+2}-ax_{t+1}}b\\ &=\frac{dx_{t+1}+(bc-ad)x_t}b =cx_t+dh_t. \end{aligned} $$ 因此每一份二阶历史都唯一提升为完整系统历史；全部 $h_t$ 同时由相邻读数恢复。对指定初态的恢复仍须满足上一节的首步相容性。 将状态与连续读数之间的映射写成 $$ T\begin{pmatrix}x\\h\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x\\ax+bh\end{pmatrix}, \qquad T=\begin{pmatrix}1&0\\a&b\end{pmatrix}, \qquad N=\begin{pmatrix}0&1\\bc-ad&a+d\end{pmatrix}. $$ 矩阵恒等式 $$ TA=NT $$ 表达完整状态更新与二阶历史更新的相容性：两边第二行均为 $(a^2+bc,ab+bd)$，第一行均为 $(a,b)$。因 $\det T=b\ne0$，这是两份状态表示的真正线性同构，并有 $N=TAT^{-1}$。 这只要求读出耦合 $b\ne0$，不要求 $\det A\ne0$。它证明两次读数能恢复相应状态，没有把原演化变成可逆动力学。实际在时刻 $t+1$ 才取得第二条记录时，公式恢复的是时刻 $t$ 的完整状态；再应用已知 $A$ 可计算时刻 $t+1$ 的状态。数学上的连续读数坐标并不提前提供尚未采集的记录。 #### 127.11.5 可见耦合为零时，二阶方程会保留多余历史 设 $b=0$。原系统直接要求 $$ \boxed{x_{t+1}=ax_t,\qquad x_t=a^tx_0.} $$ 任意 $h_0\in\mathbb R$ 都能通过隐藏更新提升这条相同的 $x$ 历史，因此全部可见历史也不能区分这些初始隐藏值。 二阶方程此时为 $$ x_{t+2}=(a+d)x_{t+1}-ad x_t. $$ 对它的任意解，令 $r_t=x_{t+1}-ax_t$。相减得到 $$ r_{t+1}=d r_t,\qquad r_t=d^t(x_1-ax_0). $$ 所以二阶解符合原系统，当且仅当首步 $x_1=ax_0$；一旦这项条件成立，全部 $r_t$ 为零，恰回到一阶历史。这个等价不需要 $a,d$ 不同或非零。 **多余解的明确例子。** 取 $$ a=1,\qquad b=0,\qquad c=0,\qquad d=2. $$ 二阶式为 $x_{t+2}=3x_{t+1}-2x_t$，而 $x_t=2^t$ 满足它，因为 $2^{t+2}=3\cdot2^{t+1}-2\cdot2^t$。但 $x_0=1,x_1=2$ 不满足原系统要求的 $x_1=x_0$，因此不存在任何 $h_0$ 能实现这条可见历史。原系统从 $x_0=1$ 出发只允许恒定历史 $x_t=1$。 此时 $T$ 不可逆，其实际像只有 $$ \operatorname{im}T=\{(u,au):u\in\mathbb R\}. $$ 该直线在 $N$ 下不变，因为 $N(u,au)=(au,a^2u)$。若把整个 $\mathbb R^2$ 上的二阶方程都当作原系统的合法历史，就擅自加入了这个实际像以外的初值；上面的 $2^t$ 正是这种额外历史。 当 $b=0$ 而 $d=0$ 时，后续隐藏量 $h_{t+1}=cx_t$ 可以由已取得的 $x_t$ 决定；这仍不恢复此前任意的 $h_0$。一般地，同一 $x$ 历史下两个隐藏初态造成的差为 $d^t(h_0-\widetilde h_0)$。不能把“原隐藏初态不可见”加强成每个未来隐藏坐标都必然持续未知。 #### 127.11.6 与当前状态及历史商的回接 对固定参数和读出，完整未来映射为 $$ \Phi(x_0,h_0)=(x_0,x_1,x_2,\ldots). $$ 若 $b\ne0$，前两项已经恢复 $(x_0,h_0)$，所以 $\ker\Phi$ 是对角关系。若 $b=0$，则 $$ \Phi(x_0,h_0)=\Phi(\widetilde x_0,\widetilde h_0) \quad\Longleftrightarrow\quad x_0=\widetilde x_0, $$ 因为第零项给出必要性，而 $x_t=a^tx_0$ 给出充分性。于是最小未来行为状态只需 $x_0$，整条隐藏初态纤维被合并。 这给当前状态、有限历史和完整行为商一个直接的对接：同一关系可写成两坐标一阶系统、带初态强迫的有限历史和，或带首步相容条件的二阶递推；每次转换都保留实际初态与共同实现。消去隐藏坐标不等于取得它的数值，也不等于物理擦除或热力学熵产生。上述结论来自有限递归、二维 Cayley–Hamilton 恒等式与观察核因子化；没有额外假定概率律、记录独立性或获取成本。 ### 127.12 动态 Schur 补与零频极限的准确对象 取有限维实内积空间的正交分解 $U\oplus H$，设 $$ L=\begin{pmatrix}A&B\\B^*&C\end{pmatrix}\succeq0,\qquad C\succ0. $$ 令 $p(t)=(x(t),h(t))=e^{-tL}(x_0,h_0)$。因 $L$ 自伴半正定，谱分解给 $\|e^{-tL}\|\le1$，所以对每个实数 $s>0$，状态的 Laplace 变换 $$ X(s)=\int_0^\infty e^{-st}x(t)\,dt,\qquad H(s)=\int_0^\infty e^{-st}h(t)\,dt $$ 均绝对收敛。此处 $H(s)$ 是变换后的向量，与隐藏空间 $H$ 由参数和类型区分。 **命题 127.2（动态边界消元）。** 这些变换满足 $$ \left[sI_U+A-B(sI_H+C)^{-1}B^*\right]X(s) =x_0-B(sI_H+C)^{-1}h_0. $$ 方括号算子对 $s>0$ 正定，故该式唯一决定 $X(s)$。记忆核 $\mathcal K(t)=Be^{-tC}B^*$ 的变换为 $$ \widehat{\mathcal K}(s)=B(sI_H+C)^{-1}B^*, $$ 并在 $s=0$ 有 $$ \int_0^\infty\mathcal K(t)\,dt=BC^{-1}B^*,\qquad \lim_{s\downarrow0}\left[sI_U+A-\widehat{\mathcal K}(s)\right] =A-BC^{-1}B^*. $$ **证明。** 分块微分方程为 $$ \dot x=-Ax-Bh,\qquad \dot h=-B^*x-Ch. $$ 由于 $p,\dot p$ 有界，分部积分的无穷端项 $e^{-st}p(t)$ 为零，得到 $$ (sI_U+A)X+BH=x_0,\qquad B^*X+(sI_H+C)H=h_0. $$ 第二式可逆消去 $H$，即得边界公式，隐藏初态项的符号也由此固定。对任意 $u\ne0$，取 $v=-(sI_H+C)^{-1}B^*u$，则 $$ \left\langle u,\left[sI_U+A-B(sI_H+C)^{-1}B^*\right]u\right\rangle =\langle(u,v),(sI+L)(u,v)\rangle \ge s\|u\|^2>0. $$ 所以边界算子正定。对 $C$ 作正交谱分解，每个特征值 $\kappa$ 严格正，逐项积分 $\int_0^\infty e^{-(s+\kappa)t}\,dt=(s+\kappa)^{-1}$； 有限求和与固定 $B,B^*$ 可移出积分。取 $s=0$ 和连续极限即得剩余结论。$\square$ 因此“静态是零频”首先指**有效算子与记忆核的零频极限**。它不自动断言状态积分 $X(0)=\int_0^\infty x(t)\,dt$ 收敛。一般地，对半正定 $L$，设 $P_0$ 为 $\ker L$ 的正交投影，谱分解给 $$ p(t)=P_0p_0+\sum_{\lambda>0}e^{-\lambda t}P_\lambda p_0. $$ 所以完整状态的无权时间积分收敛当且仅当 $P_0p_0=0$；只看可见部分时，则当且仅当 $\operatorname{pr}_U P_0p_0=0$。必要性来自不衰减的常向量，充分性来自有限个正指数衰减项。 在本章连通图概率热流中，常向量属于可见空间，且概率初态的平稳分量为 $\pi\ne0$。于是 $x(t)\to\pi$，无权积分发散，即使 $C\succ0$、$\int\mathcal K$ 完全有限。可以积分已减去平稳分量的轨迹，或保留 $s>0$ 的折扣；这两种对象都应与原始状态积分区分。零频 Schur 算子也可具有守恒核，因此不能在没有可逆性条件时再把它求逆。 ### 127.13 同一图关系不唯一决定热流或波动 固定同一个有限加权图的自伴半正定 Laplace 算子 $L$。下面两种方程都使用这份空间连接，但选择了不同的演化关系： $$ \dot u=-Lu,\qquad \ddot z=-Lz. $$ 第一种由 $u(0)$ 决定；第二种的一阶状态是 $(z,\dot z)$，须给定位置 $z(0)$ 和速度 $\dot z(0)$。 **命题 127.3（相同算子的两种时间展开）。** 若 $Lv=\lambda v$、$\lambda>0$、$v\ne0$，则热流初态 $u(0)=v$ 给 $$ u(t)=e^{-\lambda t}v, $$ 而波动初态 $z(0)=v,\dot z(0)=0$ 给 $$ z(t)=\cos(\sqrt\lambda\,t)v. $$ 热流的平方范数满足 $$ \frac d{dt}\frac12\|u(t)\|^2=-\langle u(t),Lu(t)\rangle\le0, $$ 波动的相空间能量则满足 $$ \frac d{dt}\left(\frac12\|\dot z(t)\|^2+ \frac12\langle z(t),Lz(t)\rangle\right)=0. $$ **证明。** 两个显式式子直接满足各自方程与初值，有限维线性初值问题的唯一性给出所述解。对范数和能量求导，分别代入 $\dot u=-Lu$ 和 $\ddot z=-Lz$；后者的两项为 $-\langle\dot z,Lz\rangle$ 与 $\langle\dot z,Lz\rangle$，由 $L$ 自伴相消。$\square$ 在零特征方向，热流保持常值，波动则为 $z_0+t v_0$，再次显示速度是额外状态。若 $z(t)$ 解波动方程，则 $z(-t)$ 仍解同一方程，其速度为 $-\dot z(-t)$；因此相空间流可通过 $(z,\dot z)\mapsto(z,-\dot z)$ 作时间反演。它一般不保持位置坐标的逐点非负性，因此没有在这里成为与热流相同的概率 Markov 模型。上述波动能量与概率 Shannon 熵也不是同一个量。相同空间关系允许不同时间展开，具体选择由演化阶数、状态类型、初值和物理协议共同承担。 ### 127.14 可逆交换可以增加记录信息 取两比特状态空间 $X=\{0,1\}^2$，定义确定演化与读数 $$ F(a,b)=(b,a),\qquad o(a,b)=a. $$ 设初态 $X_0=(A,B)$ 具有任意联合概率律，令 $X_1=F(X_0)$。保留式档案为 $$ M_0=o(X_0)=A,\qquad M_1=(o(X_0),o(X_1))=(A,B). $$ **命题 127.4（可逆演化与严格增加的档案）。** $F^2=I$，所以演化可逆，且任意初态律都满足 $$ H(X_1)=H(X_0),\qquad H(M_1)-H(M_0)=H(B\mid A)\ge0. $$ 完整两次档案 $M_1$ 精确恢复初态。档案熵增为零，当且仅当 $B$ 在每个正概率的 $A$ 条件纤维上确定；否则严格为正。 **证明。** 直接计算 $F(F(a,b))=(a,b)$。若初态概率为 $p(a,b)$，则末态在 $(b,a)$ 的概率仍为 $p(a,b)$；熵和中的项仅被置换，因此 $H(X_1)=H(X_0)$。第一次读到 $A$，第二次读到 $B$，故档案等于原有序对，恒等解码恢复初态。有限联合熵链式公式给 $$ H(M_1)=H(A,B)=H(A)+H(B\mid A). $$ 条件熵是正概率 $A$ 纤维上各个二值条件熵的加权和；每项非负，且为零当且仅当该条件律为单点律。因此得到所列不等式及等号条件。证毕。 若初态在四个状态上均匀，以 bit 为单位，$H(M_0)=1$、$H(M_1)=2$；两比特状态的熵在两时刻均为 $2$。增长的是记录已取得的区别。若把档案也纳入联合随机状态，$M_0$ 是 $X_0$ 的确定函数，而 $M_1$ 也是 $X_1$ 的确定函数，因为 $F$ 可逆，所以 $$ H(X_0,M_0)=H(X_0)=H(X_1,M_1). $$ 这些是指定有限模型中的概率等式。实际记录装置的准备、维持和擦除尚未在模型中定义，不能从档案熵增加推出物理耗散，也不能从状态交换可逆推出实际记录装置没有费用。 ### 127.15 细化记录增加可见的路径方向性 固定有限非空路径载体 $\Omega$，以及在同一载体上已经声明的正向律 $P$ 和反向比较律 $R$，假设 $P\ll R$。反向比较律如何由反向准备与路径反演产生，是实验合同的一部分。以下始终对这同一对概率应用同一份记录映射。 令 $q:\Omega\to Y$ 为细记录，$r:\Omega\to Z$ 为粗记录，且存在 $f:Y\to Z$ 满足 $r=f\circ q$。可以将记录空间限制为实际像。记 $$ P_Y=q_*P,\quad R_Y=q_*R,\qquad P_Z=r_*P=f_*P_Y,\quad R_Z=r_*R=f_*R_Y. $$ 采用 $0\log0=0$ 的有限 KL 约定。推前保持绝对连续性，所以 $P_Y\ll R_Y$、$P_Z\ll R_Z$；所有以下 KL 都有限。 **命题 127.5（记录细化的路径 KL 收支）。** 有 $$ \boxed{D(P_Z\Vert R_Z)\le D(P_Y\Vert R_Y)\le D(P\Vert R)}. $$ 两份差值精确为 $$ \boxed{ D(P\Vert R)-D(P_Y\Vert R_Y) =\sum_{y:P_Y(y)>0}P_Y(y) D\bigl(P(\cdot\mid q=y)\Vert R(\cdot\mid q=y)\bigr), } $$ $$ \boxed{ D(P_Y\Vert R_Y)-D(P_Z\Vert R_Z) =\sum_{z:P_Z(z)>0}P_Z(z) D\bigl(P_Y(\cdot\mid f=z)\Vert R_Y(\cdot\mid f=z)\bigr). } $$ 第二个不等号取等，当且仅当每个正 $P_Y$ 纤维上的两份路径条件律相同；第一个不等号取等，当且仅当每个正 $P_Z$ 纤维上的两份细记录条件律相同。相应条件在至少一个正权纤维上失败时，对应不等号严格。 **证明。** 先验证通用有限分解。对有限集上的概率 $\alpha\ll\beta$ 和映射 $u$，记 $\alpha_U=u_*\alpha$、$\beta_U=u_*\beta$。若 $\alpha(x)>0$ 且 $u(x)=a$，则 $\beta(x),\alpha_U(a),\beta_U(a)$ 均正，并有 $$ \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} =\frac{\alpha_U(a)}{\beta_U(a)} \frac{\alpha(x\mid a)}{\beta(x\mid a)}. $$ 取对数、乘以 $\alpha(x)$，再按纤维求有限和，得到 $$ D(\alpha\Vert\beta) =D(\alpha_U\Vert\beta_U) +\sum_{a:\alpha_U(a)>0}\alpha_U(a) D\bigl(\alpha(\cdot\mid a)\Vert\beta(\cdot\mid a)\bigr). $$ 这就是式（127.55）的条件 KL 分解。零 $\alpha_U$ 纤维无需选取条件律，其项为零。先代入 $(\alpha,\beta,u)=(P,R,q)$，得到第一份差值；再代入 $(P_Y,R_Y,f)$，得到第二份差值。 有限 KL 非负，且在两概率相同时且仅在此时为零。可由 $-\log t\ge1-t$ 逐项推出：对 $\alpha\ll\beta$， $$ D(\alpha\Vert\beta) \ge\sum_{x:\alpha(x)>0}(\alpha(x)-\beta(x)) =1-\beta(\operatorname{supp}\alpha)\ge0. $$ 等号要求正 $\alpha$ 支撑上 $\beta(x)/\alpha(x)=1$，且支撑外无 $\beta$ 质量，恰为 $\alpha=\beta$。因此两份差值是非负条件 KL 的正权和；它们为零当且仅当各正权条件项都为零，给出全部等号与严格性条件。证毕。 若同一对路径律上的记录塔满足 $q_n=\pi_nq_{n+1}$，代入 $q=q_{n+1}$、$r=q_n$ 得 $$ D(q_{n*}P\Vert q_{n*}R) \le D(q_{n+1*}P\Vert q_{n+1*}R) \le D(P\Vert R). $$ 所以新增保留记录可以揭示原本藏在粗纤维内的正反差异。这里完整实验的 $P,R$ 没有改变，记录扩充并未创造新的路径不对称；特别地，若 $P=R$，所有层的记录 KL 都为零。若同时改变路径视界、正向准备或反向实验，则须另给它们的相容关系，不能直接沿用这一固定概率对的单调性，也不能仅凭统计可区分性把 KL 认作某个未声明装置的物理熵产生。 背景包括 Mori–Zwanzig 消元、有限 Markov 熵耗散及路径相对熵。强可并性参考 Wolfer–Watanabe, arXiv:2203.04575；粗熵与非 Markov 性参考 Strasberg–Esposito, arXiv:1806.09101。仓内 `ZeroMemoryCriterion`、`StochasticDescentLumpability`、`ZeroSupportDPI` 与 `FutureWordInformationChain` 提供相应结构；本节的连续时间、严格正概率及反向准备条件已明列。 ## 127.99 追加锚 ## 128. 时间读取的 Gaussian 精度几何与充分记忆 在固定线性 Gaussian 实验中，实际取得的独立读取可累计为有限的精度与均值参数。这样得到的当前记忆既可继续更新，也精确表示关于指定初态的后验。 ### 128.1 同一潜在状态与完整联合模型 令 $Z\in\mathbb R^d$，$d\ge1$，先验为 $$ Z\sim N(m_0,\Sigma_0),\qquad \Sigma_0\succ0. $$ 给定已知矩阵 $A$ 与确定性读取矩阵 $C_t$，定义 $$ H_t=C_tA^t,\qquad Y_t=H_tZ+\epsilon_t,\qquad \epsilon_t\sim N(0,R_t),\quad R_t\succ0. $$ 所有噪声相互独立并与 $Z$ 独立；$A,C_t,R_t$ 和读取安排预先固定且已知。各次输出维数可以不同。$A^tZ$ 来自同一初态；本节没有额外过程噪声。 用 $n$ 表示已读取 $t=0,\ldots,n-1$ 共 $n$ 次，历史为 $\mathcal Y_n=(Y_0,\ldots,Y_{n-1})$。令 $$ J_0=\Sigma_0^{-1},\qquad J_n=J_0+\sum_{t0$。实 Clifford 代数非平凡，标量嵌入单射；也可由式（129.4）将其标量单位送到外代数的非零标量单位核验。因此右边非零，矛盾。证明完毕。 这个命题排除的是**延拓指定向量投影**的代数同态，不能扩大成“两份 Clifford 代数之间不存在任何其他同态”。$P=I$ 时恒等映射就是所需同态。$V=0$ 时只有恒等投影，也不构成真投影反例；$V\ne0$ 而 $P=0$ 时上述阻碍仍成立。 这也证明式（129.9）在 $P\ne I$ 时确实不保持乘法；它是一个有明确缺陷的线性读出。 ### 129.5 改变源二次型可以合法取商，但那是另一份关系 保持同一个线性投影 $p:V\to U$，改为源二次型 $$ Q_P(v)=\|Pv\|^2, \qquad g_P(v,w)=\langle Pv,Pw\rangle. \tag{129.18} $$ 此时 $Q|_U(pv)=Q_P(v)$，所以 $p$ 是这两个二次空间之间的保二次型映射。Clifford 通用性质直接给唯一的保持单位代数同态 $$ \boxed{\widehat p:\operatorname{Cl}(V,Q_P)\to\operatorname{Cl}(U,Q|_U), \qquad\widehat p(\iota_{Q_P}(v))=\iota_{Q|_U}(Pv)}. \tag{129.19} $$ 它满射，因为目标由 $U$ 中的向量生成，而 $p$ 满射。这没有反驳式（129.17）：源代数已经改变，隐藏方向的平方现在被规定为零。 具体地， $$ \operatorname{rad}(g_P) =\{v:g_P(v,w)=0\text{ 对所有 }w\} =\ker P. \tag{129.20} $$ 若 $Pv=0$，左侧条件直接成立；若左侧条件成立，取 $w=v$ 得 $\|Pv\|^2=0$，所以 $Pv=0$。这证明了双向等价。 二次型退化不意味着隐藏生成元在源代数中已经等于零。若 $0\ne h\in\ker P$，由对任意实二次型都适用的式（129.4），$\iota_{Q_P}(h)$ 的符号为非零外代数一阶向量 $h$；因此它本身非零，只是平方为零。式（129.19）再将这些方向杀掉。 若令 $J$ 为 $\operatorname{Cl}(V,Q_P)$ 中由 $\iota_{Q_P}(\ker P)$ 生成的双边理想，则实际上 $$ \operatorname{Cl}(V,Q_P)/J\cong\operatorname{Cl}(U,Q|_U). \tag{129.21} $$ 证明只用通用性质：式（129.19）杀掉 $J$，因而经商因子化。反向由包含 $U\hookrightarrow V$ 的保二次型映射后接商映射给出。目标向量 $u$ 被两次映射送回自身；源商中的向量 $v$ 与 $Pv$ 相等，因为 $v-Pv\in\ker P$。双方代数均由这些向量和标量生成，所以两个复合均为恒等。 更一般地，对实二次空间之间的线性映射 $T$，若 $Q_W(Tv)=Q_V(v)$ 对所有 $v$ 成立，极化给 $$ g_W(Tv,Tw)=g_V(v,w). $$ 因此 $$ \boxed{\ker T\subseteq\operatorname{rad}(g_V)}. \tag{129.22} $$ 所以不定但非退化的源二次型也不允许非单射保型映射。仅有 $Q(v)=0$ 的非零零模长向量（isotropic）并不足够：在 $g((t,x),(s,y))=ts-xy$ 中，$v=(1,1)$ 虽有 $Q(v)=0$，但 $g(v,(1,0))=1$，故不在根基中，不能被保全部配对的映射直接杀掉。 原来的正定几何、改型后的退化几何，以及随后取掉根基方向的商，是三份明确不同的结构。不能只改变源关系后仍宣称保存了原 Euclidean 几何积。 ### 129.6 任意多向量的缺陷不能仍写成一个标量内积 在二维正 Euclidean 空间中取正交归一基 $e_1,e_2$，投影保留 $e_1$、丢弃 $e_2$。省略生成映射记号，令 $$ A=e_1e_2=j_Q(e_1\wedge e_2),\qquad B=e_2. $$ 由式（129.9），$\mathcal E_P(A)=\mathcal E_P(B)=0$。但 $$ AB=e_1e_2^2=e_1, \qquad \boxed{\mathcal E_P(AB)-\mathcal E_P(A)\mathcal E_P(B)=e_1}. \tag{129.23} $$ 其缺陷为一阶向量，不是标量。又由反交换关系， $$ A^2=e_1e_2e_1e_2=-1, \qquad\mathcal E_P(A^2)-\mathcal E_P(A)^2=-1. \tag{129.24} $$ 因此式（129.16）的“平方缺陷是非负标量残差范数”也不能把向量输入任意改成多向量输入。这里没有将 $A^2$ 解释成某个带星结构下的正元素；式（129.24）仅说明原向量公式没有这样的无条件延伸。 ### 129.7 条件观察使隐藏内积成为平均条件协方差 固定有限非空 $\Omega$、严格正概率 $\nu$，以及满射读出 $r:\Omega\to B$。令 $$ V=\mathbb R^\Omega, \qquad\langle f,g\rangle_\nu=\sum_x\nu(x)f(x)g(x), \qquad\nu_b=\sum_{r(x)=b}\nu(x)>0. \tag{129.25} $$ 定义条件投影 $$ (Pf)(x)=\frac1{\nu_{r(x)}}\sum_{r(y)=r(x)}\nu(y)f(y). \tag{129.26} $$ 它线性，输出在每个纤维上常值，且对这种常值函数保持不变，所以 $P^2=P$。按纤维求和还给 $$ \langle Pf,g\rangle_\nu =\sum_b\frac{\bigl(\sum_{r(x)=b}\nu(x)f(x)\bigr) \bigl(\sum_{r(y)=b}\nu(y)g(y)\bigr)}{\nu_b} =\langle f,Pg\rangle_\nu. \tag{129.27} $$ 因此它是正交投影。此外，$P1_\Omega=1_\Omega$、$f\ge0\Rightarrow Pf\ge0$，且 $\mathbb E_\nu Pf=\mathbb E_\nu f$。这些概率性质是条件期望结构提供的，任意正交投影并不具备。 下文在此 $V$ 上构造式（129.1）的正 Clifford 代数。函数内的乘法明确记为逐点乘法；例如 $fg$ 表示 $x\mapsto f(x)g(x)$，而 Clifford 积始终写 $\iota_Q(f)\iota_Q(g)$。 因 $Pf,Pg$ 在纤维上常值， $$ \mathbb E_\nu[f(Pg)]=\mathbb E_\nu[(Pf)(Pg)] =\mathbb E_\nu[(Pf)g]. $$ 展开残差积并约去交叉项得 $$ \begin{aligned} \langle f-Pf,g-Pg\rangle_\nu &=\mathbb E_\nu[fg]-\mathbb E_\nu[(Pf)(Pg)]\\ &=\mathbb E_\nu\bigl[P(fg)-(Pf)(Pg)\bigr]. \end{aligned} \tag{129.28} $$ 方括号内是条件协方差函数 $\operatorname{Cov}_\nu(f,g\mid r)$。因此式（129.15）在此模型中成为 $$ \boxed{ \mathcal E_P(\iota_Q(f)\iota_Q(g)) -\mathcal E_P(\iota_Q(f))\mathcal E_P(\iota_Q(g)) =\mathbb E_\nu[\operatorname{Cov}_\nu(f,g\mid r)]\,1_{\rm Cl}. } \tag{129.29} $$ 条件协方差通常随读数而变；它的**期望**才是 Clifford 向量缺陷中的标量。 例如四个等权状态分成 $\{1,2\}$、$\{3,4\}$ 两条纤维，取 $$ f=g=(-1,1,-2,2). $$ 有 $Pf=0$，但 $$ \operatorname{Cov}_\nu(f,f\mid r)=(1,1,4,4), \qquad\mathbb E_\nu[\operatorname{Cov}_\nu(f,f\mid r)]=\frac52. \tag{129.30} $$ 不能把可见函数 $(1,1,4,4)$、它作为 Clifford 一阶向量的嵌入，以及标量 $(5/2)1_{\rm Cl}$ 写成同一个对象。 尤其 $1_\Omega\in V$ 是一个常量函数，但 $\iota_Q(1_\Omega)$ 仍是 Clifford 一阶向量；$1_{\rm Cl}$ 是零阶单位。式（129.4）分别把它们送到 $\Lambda^1V$ 中的 $1_\Omega$ 和 $\Lambda^0V$ 中的标量 $1$，所以二者不同。虽然 $$ \iota_Q(1_\Omega)^2=\|1_\Omega\|_\nu^2 1_{\rm Cl}=1_{\rm Cl}, $$ 平方相等并不使一阶常量函数变成代数单位。 ### 129.8 概率重建是另一张映射，不是 Clifford 读出的别名 对任意概率质量 $d$，定义参考密度 $\rho=d/\nu$ 和质量重建 $$ \boxed{\mathscr E_\nu d=\nu\,P(d/\nu)}. \tag{129.31} $$ 这里右边的乘法逐点进行。若 $d_b=\sum_{r(x)=b}d(x)$，则 $$ (\mathscr E_\nu d)(x)=\nu(x)\frac{d_{r(x)}}{\nu_{r(x)}}. \tag{129.32} $$ 所以重建非负、总质量一、保留每个读数纤维的质量，并且 $\mathscr E_\nu^2=\mathscr E_\nu$。当 $d(x)>0$ 时，其纤维质量 $d_{r(x)}>0$，故 $(\mathscr E_\nu d)(x)>0$；因此始终有 $d\ll\mathscr E_\nu d$，即使 $d$ 有零项也不需要在无质量纤维上任意选取后验。 按正质量纤维分解似然比，得到有限参考链式等式 $$ D(d\|\nu)=D(r_*d\|r_*\nu)+D(d\|\mathscr E_\nu d). \tag{129.33} $$ 例如对 $r(x)=b$ 且 $d(x)>0$， $$ \frac{d(x)}{\nu(x)} =\frac{d_b}{\nu_b}\frac{d(x)}{(\mathscr E_\nu d)(x)}, $$ 对数求和即得式（129.33）；$d_b=0$ 的纤维在 $d$ 下不作贡献。 这张质量映射依赖 $P$ 的正性和保常数性质。一般正交投影不能代替它。甚至保常数的正交投影也未必保正：在三点均匀参考上，令 $$ u=(1,1,-2)/\sqrt6,\qquad P=I-uu^{\mathsf T}. $$ 因 $u\perp(1,1,1)$，$P$ 保持常量；但 $Pe_2=(-1/6,5/6,1/3)$ 含负分量。以一般 $P$ 定义式（129.31）就不能保证得到概率。 式（129.9）的 $\mathcal E_P$ 是 Clifford 空间上的线性读出；式（129.31）的 $\mathscr E_\nu$ 是概率质量上的参考重建。二者共享条件投影 $P$，并不因此具有相同定义域、乘法或概率解释。 ### 129.9 精确线性密度族的局部 KL 公式及显式余项 取 $f\in\mathbb R^\Omega$，要求 $$ \mathbb E_\nu f=0, \qquad M=\max_x|f(x)|. \tag{129.34} $$ 定义**线性**概率路径 $$ d_\varepsilon(x)=\nu(x)(1+\varepsilon f(x)), \qquad \mathscr E_\nu d_\varepsilon(x)=\nu(x)(1+\varepsilon Pf(x)). \tag{129.35} $$ 它没有指数族的归一化常数。中心化使两式总质量均为一；条件平均使 $|Pf|\le M$，故 $|\varepsilon|M<1$ 保证两份质量都严格正。若 $M=0$，则 $f=0$，两式对全部实 $\varepsilon$ 均等于 $\nu$，KL 恒零。 设 $M>0$，固定 $0<\theta<1$，将参数限制为 $|\varepsilon|M\le\theta$。令 $$ h(s)=(1+s)\log(1+s),\qquad -10$ 是逐点 $C^3$ 的密度路径，满足 $$ \mathbb E_\nu v_\varepsilon=\mathbb E_\nu w_\varepsilon=1, \qquad v_0=w_0=1. $$ 记 $$ F(\varepsilon)=\mathbb E_\nu\left[v_\varepsilon \log\frac{v_\varepsilon}{w_\varepsilon}\right]. \tag{129.45} $$ 函数 $\varphi(v,w)=v\log(v/w)$ 在 $(1,1)$ 的梯度及 Hessian 为 $$ \nabla\varphi(1,1)=(1,-1), \qquad \nabla^2\varphi(1,1)=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}. \tag{129.46} $$ 有限求和可逐项微分；正规化又给 $\mathbb E_\nu v'_0=\mathbb E_\nu w'_0=0$ 以及二阶导数的同类等式。因此链式法则得到 $$ F(0)=F'(0)=0, $$ $$ \boxed{F''(0) =\mathbb E_\nu[(v'_0-w'_0)^2] +\mathbb E_\nu[v''_0-w''_0] =\|v'_0-w'_0\|_\nu^2}. \tag{129.47} $$ 这是 RRO 已有正规化密度 Hessian 计算的直接应用形式。对任何小的闭参数区间，正密度和 $C^3$ 性使 $F'''$ 连续有界；Taylor 定理再给 $$ \left|F(\varepsilon)-\frac{\varepsilon^2}{2}F''(0)\right| \le\frac{|\varepsilon|^3}{6}\max_{|s|\le\delta}|F'''(s)| \quad(|\varepsilon|\le\delta). \tag{129.48} $$ 现在定义有限指数族 $$ Z_\varepsilon=\mathbb E_\nu e^{\varepsilon f}, \qquad\widehat d_\varepsilon(x) =\nu(x)\frac{e^{\varepsilon f(x)}}{Z_\varepsilon}. \tag{129.49} $$ 在有限 $\Omega$ 上，$Z_\varepsilon$ 对每个实参数都有限且严格正。若 $f$ 已中心化，则 $Z_0=1,Z'_0=0$，所以密度 $\widehat v_\varepsilon=e^{\varepsilon f}/Z_\varepsilon$ 满足 $\widehat v'_0=f$；其参考重建密度 $$ \widehat w_\varepsilon=P\widehat v_\varepsilon =\frac{P(e^{\varepsilon f})}{Z_\varepsilon} \tag{129.50} $$ 满足 $\widehat w'_0=Pf$。两者都是正且正规化的光滑路径，故式（129.47）—（129.48）给 $$ D(\widehat d_\varepsilon\|\mathscr E_\nu\widehat d_\varepsilon) =\frac{\varepsilon^2}{2}\|f-Pf\|_\nu^2+O(|\varepsilon|^3). \tag{129.51} $$ 这证明共同二阶系数，不把线性族和指数族识别成同一份概率。式（129.43）的常数由线性密度专门推导，不能无证明移作式（129.51）的常数；式（129.48）已经提供指数族的独立余项依据。 指数族的重建还不能把式（129.50）擅改成 $e^{\varepsilon Pf}/\mathbb E_\nu e^{\varepsilon Pf}$。在式（129.30）的四点例中，$Pf=0$，后者恒为一；前者在两条纤维上的值分别为 $$ \frac{\cosh\varepsilon}{Z_\varepsilon}, \qquad\frac{\cosh(2\varepsilon)}{Z_\varepsilon}, \qquad Z_\varepsilon=\frac{\cosh\varepsilon+\cosh(2\varepsilon)}2. \tag{129.52} $$ 当 $\varepsilon\ne0$ 时这两个值不同。因此条件平均与指数化不能自动交换。上述局部投影结果均不要求额外的时间反演假设。 ### 129.11 无限 $L^2$ 不能保证线性正性或指数正规化 有限模型提供了有界 $M$、固定正支持和有限求和。只有 $f\in L^2(\nu)$ 时，这些条件并不自动成立。 令状态为正整数，取 $$ \nu(n)=\frac{c}{n^4},\qquad c=\left(\sum_{n=1}^{\infty}n^{-4}\right)^{-1}, \qquad m=\mathbb E_\nu n, \qquad f(n)=n-m. \tag{129.53} $$ $\sum n^{-3}$、$\sum n^{-2}$ 都收敛，所以 $m<\infty$、$\mathbb E_\nu f=0$ 且 $f\in L^2(\nu)$。 对任何 $\varepsilon<0$，选 $n>m+1/|\varepsilon|$，就有 $$ 1+\varepsilon f(n)<0. \tag{129.54} $$ 因此线性路径不存在以零为中心的双侧正密度邻域。其形式积分仍为一，失败的是逐点正性，不是缺少指数归一化常数。因为 $f$ 有有限下界，它可以在足够小的正参数方向保持正性；本例没有声称所有非零线性参数都失败。 另一方面，对任何 $\varepsilon>0$，指数正规化常数为 $$ Z_\varepsilon =ce^{-\varepsilon m}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{\varepsilon n}}{n^4}=+\infty. \tag{129.55} $$ 证明例如看相邻项之比趋向 $e^\varepsilon>1$，故求和项甚至不趋于零。指数密度因而无法正规化；其逐点值始终正，这与式（129.54）的失败是不同机制。 该例的 $\mathbb E_\nu|f|^3$ 也发散：当 $n>2m$ 时，$|n-m|^3\ge n^3/8$，对应求和项至少为 $c/(8n)$。故有限线性族的三阶余项估计不能直接移植。无限版本需要分别承担正性区间、正规化、矩条件及微分／积分交换的支配条件，不能仅用 $L^2$ 身份包办。 ### 129.12 支持、来源归属与本桥梁的范围 若有限参考 $\nu$ 允许零值，可先限制到 $S=\{x:\nu(x)>0\}$，并将读数空间限制为 $r(S)$。在该支持上所有参考纤维质量严格正，$V=\mathbb R^S$ 的内积非退化；所有函数只按该支持上的值解释，密度和重建均在此定义。若候选概率允许向 $S$ 外移动质量，就不属于本节的固定参考密度路径，不能随意为 $d/\nu$ 填值。这里没有零概率纤维上的任意后验选择。 Clifford—外代数线性识别采用 Mathlib `CliffordAlgebra.equivExterior` 的 Chevalley 构造；参考 Bourbaki, Algèbre, Chapitre IX §9，以及 D. Grinberg, “The Clifford algebra and the Chevalley map — a computational approach” (2016)。概率重建沿用本卷 §82.1，正规化密度的局部 Hessian 接口见 §92.3；显式线性路径余项由本节直接计算。 ## 129.99 追加锚 ## 130. Fisher 干扰几何与 Schur 消元的共同投影 同一观测会同时改变目标与干扰方向。将两者提升到共同带权空间，可以分解全部有效信息损失；Schur 补给对应二次最小化，而 Gaussian 积分还保留体积因子。 ### 130.1 有限概率的质量切向量与得分坐标 取有限非空集合 $\mathcal X$，严格正概率 $p=(p_i)_{i\in\mathcal X}$，以及固定确定性观察 $r:\mathcal X\to\mathcal B$。$\mathcal B$ 只取实际像，因此 $$ q_b=\sum_{r(i)=b}p_i>0. $$ 质量切空间、聚合映射和 Fisher 内积分别是 $$ T_p=\{v:\sum_i v_i=0\},\qquad (C_rv)_b=\sum_{r(i)=b}v_i,\qquad \langle u,v\rangle_p^{\mathrm{mass}}=\sum_i\frac{u_iv_i}{p_i}. $$ 粗质量切空间 $T_q$ 有同样的定义。令 $$ (R_pw)_i=p_i\frac{w_{r(i)}}{q_{r(i)}},\qquad E_p=R_pC_r. $$ $R_p$ 是按**同一基准 $p$** 的条件律重建粗质量；它不是随意选取的右逆。 **命题 130.1。** $C_rR_p=I$，$E_p$ 是 $T_p$ 上关于 Fisher 内积的正交投影，且 $$ \|E_pv\|_{p,\mathrm{mass}}^2=\|C_rv\|_{q,\mathrm{mass}}^2, \qquad \|v\|_{p,\mathrm{mass}}^2 =\|C_rv\|_{q,\mathrm{mass}}^2+\|(I-E_p)v\|_{p,\mathrm{mass}}^2. $$ **证明。** 每个纤维求和给 $\sum_{r(i)=b}p_iw_b/q_b=w_b$，所以 $C_rR_p=I$。并且对 $v\in T_p,w\in T_q$， $$ \langle C_rv,w\rangle_q^{\mathrm{mass}} =\sum_b\frac{w_b}{q_b}\sum_{r(i)=b}v_i =\langle v,R_pw\rangle_p^{\mathrm{mass}}. $$ 因此 $R_p=C_r^*$，$E_p$ 自伴且由 $C_rR_p=I$ 得幂等。又 $$ \|R_pw\|_{p,\mathrm{mass}}^2 =\sum_b\frac{w_b^2}{q_b^2}\sum_{r(i)=b}p_i =\sum_b\frac{w_b^2}{q_b}. $$ 把 $w=C_rv$ 代入，再用正交投影的 Pythagoras 分解即可。证毕。 得分空间为 $$ \mathcal H=L^2_0(p) =\{f:\sum_i p_if_i=0\},\qquad \langle f,g\rangle_p=\sum_i p_if_ig_i. $$ 映射 $D_p:\mathcal H\to T_p$，$D_pf=(p_if_i)_i$，是等距同构。质量投影在该坐标下成为 $$ \Pi=D_p^{-1}E_pD_p,\qquad (\Pi f)_i=\frac{\sum_{r(j)=r(i)}p_jf_j}{q_{r(i)}}. $$ 它是到可见空间 $\mathcal V=\{f\in\mathcal H:f_i\text{ 只依赖 }r(i)\}$ 的正交投影，即条件期望。$E_p$ 作用于质量切向量，$\Pi$ 作用于得分或函数；它们由 $D_p$ 共轭，不能省略坐标而使用同一个数组。可见得分在 $\mathcal X$ 上的 $L^2(p)$ 范数等于其在 $\mathcal B$ 上的 $L^2(q)$ 范数。 Fisher 度量确实是局部概率差异的二阶项。例如固定 $v\in T_p$，取足够小的实数 $t$ 使 $p+tv>0$。写 $f_i=v_i/p_i$，逐项 Taylor 展开 $(1+tf_i)\log(1+tf_i)$，有限求和且 $\sum_i p_if_i=0$ 给出 $$ D(p+tv\Vert p)=\frac{t^2}{2}\sum_i\frac{v_i^2}{p_i}+O(|t|^3). $$ 同样对粗概率 $q+tC_rv$ 展开，二阶系数差恰为 $\frac12\|(I-E_p)v\|_{p,\mathrm{mass}}^2$。这里只陈述固定有限正参考附近的局部展开；零质量边界、移动支撑和无限维余项需要额外条件。 ### 130.2 观察模型的得分与可见干扰 设 $p_i(\theta,\eta)$ 是一个有限正概率模型，在基准参数 $(\theta_0,\eta_0)$ 可微，$\theta$ 为一维目标，$\eta$ 为干扰参数。在该点定义目标得分 $$ s_i=\partial_\theta\log p_i,\qquad n_{a,i}=\partial_{\eta_a}\log p_i. $$ 概率归一化的导数给出这些向量都属于 $\mathcal H$。令 $N$ 为全部允许干扰切方向所张成的子空间；有限维下它闭合。一般允许路径的定义也必须把所有合法干扰方向纳入 $N$。 **命题 130.2。** 对上述固定观察 $r$，观察模型的目标得分是 $\Pi s$，干扰空间是 $M=\Pi N$。 **证明。** 对 $q_b(\theta,\eta)=\sum_{r(i)=b}p_i(\theta,\eta)$ 求导： $$ \partial_\theta\log q_b =\frac{\sum_{r(i)=b}\partial_\theta p_i}{q_b} =\frac{\sum_{r(i)=b}p_is_i}{q_b}. $$ 这正是 $\Pi s$ 的标签值。对每个干扰路径同样计算，再取线性张成，得到 $M=\Pi N$。证毕。 若改用随机但参数无关的观察核，类似得分恒等式是在所声明的联合实验中对观测作条件期望；本文这些 $\mathcal H$ 内部的投影公式固定使用确定性 $r$。参数依赖的观察机制还会产生自身得分，不能未经推导套用本命题。 令 $P_N$、$P_M$ 为相应正交投影。完整实验和观察实验的有效得分及信息定义为 $$ f=(I-P_N)s,\qquad I_{\mathrm{full}}=\|f\|_p^2, $$ $$ g=(I-P_M)\Pi s,\qquad I_{\mathrm{obs}}=\|g\|_p^2. $$ 等价地，$I_{\mathrm{full}}=\min_{n\in N}\|s-n\|^2$，观察信息是在 $\Pi s$ 中消去所有可见干扰 $M$ 后的平方长度。这里的 $M$ 是 $N$ 的全部像；它一般不同于 $N\cap\mathcal V$。 **命题 130.3（两项损失）。** $$ g=(I-P_M)\Pi f,\qquad I_{\mathrm{full}}-I_{\mathrm{obs}} =\|(I-\Pi)f\|_p^2+\|P_M\Pi f\|_p^2. $$ 因此 $I_{\mathrm{obs}}\le I_{\mathrm{full}}$，等号成立当且仅当 $\Pi f=f$。 **证明。** $s=f+P_Ns$，而 $\Pi P_Ns\in M$，所以消去 $M$ 后这项为零，得到 $g=(I-P_M)\Pi f$。依次作两次正交分解： $$ \|f\|^2=\|(I-\Pi)f\|^2+\|\Pi f\|^2,\qquad \|\Pi f\|^2=\|P_M\Pi f\|^2+\|(I-P_M)\Pi f\|^2. $$ 相加并移项即得。若信息相等，右侧非负项之和为零，第一项迫使 $\Pi f=f$。反之若 $\Pi f=f$，对任意 $n\in N$， $$ \langle f,\Pi n\rangle =\langle\Pi f,n\rangle =\langle f,n\rangle=0, $$ 所以 $f\perp M$，第二项也为零。证毕。 第一项是完整有效得分中直接不可见的分量，第二项是投影后与可见干扰混合的分量。$f\perp N$ 不保证 $\Pi f\perp\Pi N$，所以“先消干扰，再测一次投影损失”通常不等于观察实验的有效信息。等号判据是给定参数点、给定目标方向的局部结论，不等价于整族概率的全局充分性。 在一般 Hilbert 空间中，若 $N$ 闭合，需令 $M=\overline{\Pi N}$；闭子空间的有界线性像不一定闭。上述证明仍成立，最后从对 $\Pi N$ 的正交性延拓到其闭包。要将这一 Hilbert 结论解释为无限维统计有效信息，仍须有可微实验、平方可积得分和合法干扰路径。多个目标方向可逐方向应用并组合成半正定矩阵关系，不能以一个标量代替整张信息矩阵。 ### 130.3 三状态反例与最优可见对比 取 $\mathcal X=\{1,2,3\}$、$p_i=1/3$，观察只区分 $\{1,2\}$ 与 $\{3\}$，并令 $$ s=(1,-2,1),\qquad n=(1,0,-1),\qquad N=\operatorname{span}\{n\}. $$ 两得分均中心化，且 $\langle s,n\rangle_p=(1-1)/3=0$，所以 $f=s$。条件均值为 $$ \Pi s=(-1/2,-1/2,1),\qquad \Pi n=(1/2,1/2,-1). $$ 因此 $\Pi s=-\Pi n\in M$，$g=0$，而 $$ \|s\|_p^2=2,\qquad \|s-\Pi s\|_p^2 =\frac{(3/2)^2+(-3/2)^2}{3}=\frac32,\qquad \|\Pi s\|_p^2=\frac{1/4+1/4+1}{3}=\frac12. $$ 两项损失之和恰为 $2$。这不是任意不合法切向量的例子：正模型 $$ p_i(\theta,\eta)=\frac{\exp(\theta s_i+\eta n_i)} {\sum_j\exp(\theta s_j+\eta n_j)} $$ 在 $(0,0)$ 的得分正是 $s,n$，因为二者在均匀基准下均值为零。反例说明观察可以把原本正交的目标与干扰完全合并。 令 $\mathcal W=\mathcal V\cap M^\perp$ 为可见且不受局部干扰的对比空间。 **命题 130.4（闭单位球最优式）。** $$ I_{\mathrm{obs}} =\max_{\substack{h\in\mathcal W\\\|h\|_p\le1}} |\langle h,\Pi s\rangle_p|^2. $$ 若 $g\ne0$，$h=g/\|g\|$ 达到最大值；若 $g=0$，闭球上每个 $h$ 的配对均为零。 **证明。** 由于 $M\subseteq\mathcal V$，$g=(I-P_M)\Pi s\in\mathcal W$，且 $\Pi s-g=P_M\Pi s\in M$。故对 $h\in\mathcal W$，$\langle h,\Pi s\rangle=\langle h,g\rangle$。Cauchy–Schwarz 给其平方不超过 $\|h\|^2\|g\|^2\le\|g\|^2$；$g\ne0$ 时所示单位向量取等，$g=0$ 时零向量亦在闭球内并取等。证毕。 可见性 $h\in\mathcal V$ 是承重条件，只写 $h\perp M$ 会允许使用未观察到的函数。闭单位球包含零，所以 $\mathcal W=\{0\}$ 时公式仍有意义；单位球面在此情形为空，不能无条件代替闭球。三状态例中可见中心化空间是一维，$M$ 已占满它，故 $\mathcal W=\{0\}$。 ### 130.4 概率关系与有效几何的运输 设 $\sigma:\mathcal X\to\mathcal X'$、$\tau:\mathcal B\to\mathcal B'$ 为双射，$r'\sigma=\tau r$，$p'_{\sigma(i)}=p_i$。定义 $$ (Uf)(\sigma(i))=f(i). $$ **命题 130.5。** $U:L^2_0(p)\to L^2_0(p')$ 是等距同构，且 $\Pi'U=U\Pi$。若目标和干扰也按同一实验运输，$s'=Us,N'=UN$，则 $f'=Uf,g'=Ug$，两项损失和有效信息分别保持。 **证明。** 变更求和指标给 $\sum p'(Uf)(Ug)=\sum pfg$，同样保持均值。$\sigma$ 把每个 $r$ 纤维送到相应 $r'$ 纤维并保持其质量，代入条件均值公式即得 $\Pi'U=U\Pi$。等距同构将子空间正交分解运输为其像的正交分解，所以 $P_{UN}U=UP_N$。又 $M'=\Pi'N'=UM$，同理 $P_{M'}U=UP_M$。逐项代入定义即得结论。证毕。 参数坐标变化也必须运输度量：若参数 $\xi=\xi(\zeta)$ 在所考察点有导数矩阵 $T$，得分列按链式法则变为 $T^Ts_\xi$，信息矩阵变为 $I_\zeta=T^TI_\xi T$。若改变了“目标”和“干扰”的划分，便改变了待保持的商关系；不能只凭同一总信息矩阵的坐标变换宣称某个旧目标的有效信息保持。 第131节外幂的 $G'=R^TGR$ 与这里 Fisher 的合同变换形式相同，原因是都在运输双线性配对。它们的载体、产生方式和目标仍需由 $\Psi$、$D_p$ 或 $U$ 这样的实际映射联系，不能仅凭相同公式说它们是同一个物理模型。 ### 130.5 Gaussian 共享未知基线 固定非负整数 $n,m$，给定独立样本 $$ X_i\sim N(\theta+b,1)\ (1\le i\le n),\qquad V_j\sim N(b,1)\ (1\le j\le m). $$ $\theta$ 是目标，$b$ 是未知共享基线。空和按零处理。设 $$ S_X=\sum_{i=1}^n(X_i-\theta-b),\qquad S_V=\sum_{j=1}^m(V_j-b). $$ **命题 130.6。** 当 $n+m>0$ 时，目标与基线得分、信息矩阵和有效得分为 $$ s_\theta=S_X,\qquad s_b=S_X+S_V,\qquad I=\begin{pmatrix}n&n\\n&n+m\end{pmatrix}, $$ $$ f=s_\theta-\frac{n}{n+m}s_b =\frac{m}{n+m}S_X-\frac{n}{n+m}S_V, \qquad I_{\mathrm{eff}}=\frac{nm}{n+m}. $$ **证明。** 联合对数密度中依赖参数的部分为 $-\frac12\sum_i(X_i-\theta-b)^2-\frac12\sum_j(V_j-b)^2$，求导给所示得分。独立中心化误差使 $\operatorname{Var}S_X=n$、$\operatorname{Var}S_V=m$、$\operatorname{Cov}(S_X,S_V)=0$，故信息矩阵如上。将 $s_\theta$ 投影到 $\operatorname{span}(s_b)$ 的系数为 $\langle s_\theta,s_b\rangle/\|s_b\|^2=n/(n+m)$。残差方差为 $$ \frac{m^2n+n^2m}{(n+m)^2}=\frac{nm}{n+m}. $$ 证毕。 所有退化分支都有独立含义： - 若 $n>0,m=0$，$s_\theta=s_b$，有效得分为零；数据只依赖 $\theta+b$，$(\theta,b)$ 与 $(\theta+c,b-c)$ 完全同分布。 - 若 $n=0,m>0$，数据不依赖目标 $\theta$，目标得分和有效信息均为零。 - 若 $n=m=0$，实验只有一个空记录，两得分都是零，有效信息定义为零；不把它代入 $0/0$。 - 若 $b$ 已知，干扰空间被移除，目标信息为 $n$。 当 $n,m>0$，$T=\overline X-\overline V$ 满足 $$ \mathbb E T=\theta,\qquad \operatorname{Var}T=\frac1n+\frac1m=I_{\mathrm{eff}}^{-1}, \qquad T-\theta=I_{\mathrm{eff}}^{-1}f. $$ 这些是指定 Gaussian 模型中的有限样本恒等式。若某个正则无偏估计量满足合法的积分求导，其与 $s_\theta$ 的协方差为一，与 $s_b$ 的协方差为零，因而与 $f$ 的协方差为一；Cauchy–Schwarz 随即给方差至少 $I_{\mathrm{eff}}^{-1}$，上述 $T$ 取等。这里没有借渐近论证替代精确分布。 若两组独立误差的已知方差分别是 $\sigma_X^2,\sigma_V^2>0$，令 $a=n/\sigma_X^2,c=m/\sigma_V^2$，同一得分协方差计算给 $I_{\mathrm{eff}}=ac/(a+c)$（$a+c>0$）。$n\to\infty$、$m$ 固定且方差为一时，信息趋于 $m$；这是本模型的基线校准瓶颈。相关误差、不同偏置、未知方差、参数依赖观察、适应性停止或另一模型类都需重新写实验，不能原样沿用样本数公式。 ### 130.6 局部信息严格正仍可全局不可识别 令参数 $\theta\in\mathbb R$，观察 $$ Z\sim N(\mu(\theta),I_2),\qquad \mu(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta). $$ **命题 130.7。** 单次观察的 Fisher 信息恒为一，但任何记录数都不能区分 $\theta$ 与 $\theta+2\pi$。 **证明。** 对数密度求导给 $$ s_\theta(Z)=\mu'(\theta)^T(Z-\mu(\theta)),\qquad \mu'(\theta)=(-\sin\theta,\cos\theta). $$ $Z-\mu(\theta)$ 的协方差为 $I_2$，所以 $\mathbb E s_\theta^2=\|\mu'(\theta)\|^2=1$。但 $\mu(\theta+2\pi)=\mu(\theta)$，两个参数点的整份单次概率律相同，任意独立重复的乘积律亦相同。因此任何基于这些记录的检验在两参数点具有相同输出分布，不能辨识其差别。证毕。 若目标参数改为圆周上的等价类 $\mathbb R/(2\pi\mathbb Z)$，这个全局别名被目标商吸收；这是修改恢复任务，不能当作原实参数已被恢复。局部 Fisher 描述参数点附近的切向分离，有限预算还需模型类、全局分离、访问规则、误差目标和成本单位。任何正局部曲率都不自动提供这些条件。 ### 130.7 二次约束的 Schur 最小化 令 $x\in\mathbb R^a$ 为保留变量，$y\in\mathbb R^d$ 为消去变量，并取实对称矩阵 $$ H=\begin{pmatrix}A&B_0\\B_0^T&D\end{pmatrix},\qquad D\succ0,\qquad S=A-B_0D^{-1}B_0^T. $$ 这里 $B_0$ 是耦合矩阵，与外幂的楔配对矩阵 $B$ 不同。定义 $Q(x,y)=\frac12(x,y)^TH(x,y)$。 **命题 130.8。** $$ Q(x,y)=\frac12x^TSx+ \frac12(y+D^{-1}B_0^Tx)^TD(y+D^{-1}B_0^Tx), $$ 所以对每个固定 $x$， $$ \min_yQ(x,y)=\frac12x^TSx,\qquad \operatorname{argmin}_yQ(x,y)=\{-D^{-1}B_0^Tx\}. $$ 此外 $H\succ0$ 当且仅当 $S\succ0$；$\det H=\det D\,\det S$。 **证明。** 展开右侧第二项为 $\frac12y^TDy+x^TB_0y+\frac12x^TB_0D^{-1}B_0^Tx$，与第一项相加即还原 $Q$。由于 $D$ 正定，第二项非负且只在所示 $y$ 处为零。线性双射 $$ (x,y)\longmapsto (x,z),\qquad z=y+D^{-1}B_0^Tx $$ 将二次型合同化为 $\operatorname{diag}(S,D)$；该变换的矩阵为块三角且行列式为一。因此正定性等价于 $S,D$ 都正定，行列式也满足所示乘积式。证毕。 仅求每个纤维的最小值时不要求 $S\succ0$；若 $S$ 不定，纤维最小值仍存在，但随后在全部 $x$ 上再极小化可能无下界。这区分了“隐藏变量有唯一最佳响应”和“整个联合系统有有限最小能量”。 ### 130.8 Gaussian 积分保留的行列式因子 **命题 130.9。** 在命题 130.8 的条件下，每个固定 $x$ 都有 $$ \int_{\mathbb R^d}e^{-Q(x,y)}\,dy =(2\pi)^{d/2}(\det D)^{-1/2} \exp\left(-\frac12x^TSx\right). $$ 当 $H\succ0$ 时，整个联合积分为 $$ \int_{\mathbb R^{a+d}}e^{-Q(x,y)}\,dx\,dy =(2\pi)^{(a+d)/2}(\det H)^{-1/2}. $$ **证明。** 先用平移 $z=y+D^{-1}B_0^Tx$，其 Jacobian 为一，提取不依赖 $y$ 的有效指数项。由实对称谱定理存在正交 $O$ 使 $D=O\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_d)O^T$，$\lambda_j>0$。变量代换 $z=Ou$ 的 Jacobian 绝对值为一，非负函数的乘积积分给 $$ \int e^{-z^TDz/2}\,dz =\prod_{j=1}^d\int_{\mathbb R}e^{-\lambda_ju_j^2/2}\,du_j =\prod_{j=1}^d\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda_j}}. $$ 一维常数可由 $I=\int_{\mathbb R}e^{-t^2/2}dt$ 的平方计算得到：平面极坐标积分给 $I^2=2\pi$，且 $I>0$；再以 $\sqrt{\lambda_j}u_j$ 代换。乘积即 $(2\pi)^{d/2}(\det D)^{-1/2}$。若 $H\succ0$，则 $S\succ0$，对 $x$ 再应用同一公式，并用 $\det H=\det D\det S$ 即得第二式。证毕。 温度参数 $\tau>0$ 下， $$ \int e^{-Q(x,y)/\tau}\,dy =(2\pi\tau)^{d/2}(\det D)^{-1/2}e^{-x^TSx/(2\tau)}. $$ 因此相对于所选 Lebesgue 参考测度，负 $\tau$ 倍对数所得有效自由能是 $$ F_{\mathrm{eff}}(x) =\frac12x^TSx+\frac{\tau}{2}\log\det D -\frac{\tau d}{2}\log(2\pi\tau). $$ 极小化和积分共享 $S$，但保留不同结果。例如取单个可见、隐藏坐标以及 $Q_1(x,y)=sx^2/2+y^2/2$、 $Q_2(x,y)=sx^2/2+4y^2/2$。二者对 $y$ 的最小值相同，但第二个边界积分恰为第一个的一半。若 $s>0$，进一步归一化后的 $x$ 概率可以相同；未归一化权重和联合配分函数仍不同。 当 $D$ 随待比较的模型参数变化，行列式因子不能从似然或配分比较中删去。若 $D=D(x)$ 随可见变量改变，已超出固定矩阵二次模型；即使逐纤维完成平方有效，行列式项也会改变 $x$ 的相对权重。只知道最小化结论，不能据此宣称完整 Gaussian 边界权重已相同。 #### 130.8.1 退化或不定的隐藏块 设 $D\succeq0$ 但奇异，固定 $x$ 并记 $b=B_0^Tx$。谱分解给 $\mathbb R^d=\operatorname{im}D\oplus\ker D$。 - 若 $b\notin\operatorname{im}D$，存在 $z\in\ker D$ 使 $b^Tz\ne0$。沿 $y=tz$，能量含线性项 $t\,b^Tz$ 而没有二次项，故下确界为 $-\infty$。 - 若 $b\in\operatorname{im}D$，令 $D^\dagger$ 为在 $\operatorname{im}D$ 上取逆、在 $\ker D$ 上为零的对称伪逆。完成平方给 $$ \min_yQ(x,y) =\frac12x^T(A-B_0D^\dagger B_0^T)x,\qquad \operatorname{argmin}_yQ(x,y)=-D^\dagger b+\ker D. $$ 这是因为 $DD^\dagger b=b$，而移心后的二次项在且仅在 $\ker D$ 上为零。隐藏块奇异时，即便最小值有限，完整 $\mathbb R^d$ 上的 Gaussian 积分仍沿非零平坦方向发散；不相容的线性方向也使积分在一侧发散。若 $D$ 有负特征值，沿相应方向能量趋于 $-\infty$，积分同样发散。改在某个子空间上积分或加入约束、参考概率，需要明确改变积分载体及测度，不能只把 $D^{-1}$ 改成 $D^\dagger$ 后继承正定公式。 若没有隐藏坐标，即 $d=0$，约定空行列式为一、空维积分为被积函数本身，最小化与积分公式都退化为原可见二次型。 ### 130.9 保留观察纤维的坐标变换 设 $T\in GL_a(\mathbb R)$、$R\in GL_d(\mathbb R)$，$L_0:\mathbb R^a\to\mathbb R^d$ 任意，取 $$ x=Tu,\qquad y=L_0u+Rv. $$ 这个变换保留可见接口：给定 $u$，旧可见量 $x=Tu$ 已定，而 $v\mapsto y$ 在同一旧纤维中为双射。新二次型为 $Q'(u,v)=Q(Tu,L_0u+Rv)$，隐藏块和耦合块为 $$ D'=R^TDR,\qquad B_0'=T^TB_0R+L_0^TDR. $$ **命题 130.10。** 新 Schur 矩阵满足 $S'=T^TST$，而积分满足 $$ \int e^{-Q'(u,v)}\,dv =\frac1{|\det R|}\int e^{-Q(Tu,y)}\,dy. $$ 若把旧参考测度也运输为 $dy=|\det R|\,dv$，则有效边界权重恰按 $x=Tu$ 运输。 **证明。** 对固定 $u$，$v\mapsto L_0u+Rv$ 是双射，所以 $\min_vQ'(u,v)=\min_yQ(Tu,y)=u^TT^TSTu/2$。$D'\succ0$，可对 $Q'$ 应用命题 130.8，比较对所有 $u$ 相等的对称二次型得到 $S'=T^TST$。积分由仿射变量代换的 Jacobian 直接得到；同时 $\det D'=(\det R)^2\det D$，故命题 130.9 的 Gaussian 因子也精确给出 $|\det R|^{-1}$。证毕。 当 $L_0=0$，这是保留分块的合同变换；$L_0\ne0$ 允许在每个隐藏纤维内选择不同原点。若再对可见变量积分，还须计入 $dx=|\det T|du$。正交 $T,R$ 的绝对 Jacobian 为一，但一般可逆换基不具有这一性质。 任意把旧隐藏变量混入新可见变量、却继续使用原观察投影，会改变被消去的纤维。此时可以定义另一个有意义的实验，但不再是上述同一接口的运输。关系的实际纤维、能量和参考测度都属于需要一起运输的数据。 ### 130.10 Schur、干扰消除与投影的共同结构 设某个有限维 Hilbert 空间中的线性映射为 $F:\mathbb R^a\to\mathcal K$、$K:\mathbb R^d\to\mathcal K$，并假定 $K$ 单射。考虑 $$ Q(x,y)=\frac12\|Fx+Ky\|^2. $$ 其块矩阵为 $$ A=F^*F,\qquad B_0=F^*K,\qquad D=K^*K\succ0. $$ **命题 130.11。** 若 $P_K=K(K^*K)^{-1}K^*$，则 $P_K$ 是到 $\operatorname{im}K$ 的正交投影，且 $$ S=F^*(I-P_K)F,\qquad \min_yQ(x,y)=\frac12\|(I-P_K)Fx\|^2. $$ **证明。** $P_K$ 自伴，且 $P_K^2=K(K^*K)^{-1}(K^*K)(K^*K)^{-1}K^*=P_K$；它在 $\operatorname{im}K$ 上为恒等，像也包含于该空间，因此是所述正交投影。代入 Schur 定义直接得 $S=F^*F-F^*K(K^*K)^{-1}K^*F$。投影残差平方给出第二式。证毕。 有限得分族的 Fisher 矩阵正是 Gram 矩阵。因此当干扰得分 $n_1,\ldots,n_d$ 线性独立时，取 $Kc=\sum_jc_jn_j$，$F$ 为目标得分映射，便得到熟悉的有效信息 Schur 式 $$ I_{\mathrm{eff}} =I_{\theta\theta} -I_{\theta\eta}I_{\eta\eta}^{-1}I_{\eta\theta}. $$ 若干扰得分相关，干扰 Gram 块奇异，正交投影到其张成空间的定义仍有效；不能写不存在的普通逆。可以先选该空间的一组基，或使用与值域相容的伪逆。 这解释了 Fisher 干扰消除与二次能量最小化为何共享投影／Schur 结构。但是 Gaussian 隐藏积分还保留行列式因子，Fisher 局部有效信息则是得分商上的度量；它们的矩阵来自不同载体。命题 130.3 中还要先对得分施加观察 $\Pi$，此操作可能使目标与干扰重新混合，所以不能把一次 Schur 消元当作任意观察之后的完整答案。 ## 130.99 追加锚 ## 131. 外幂格、Hodge 定向与黄金递推的几何运输 关系表示若还要求保留整格、内积和定向，就须给出它们的共同运输。以下在自然外幂格中完整建立这条识别，再比较黄金算子和二维递推各自保持的配对。 ### 131.1 自然整格与外幂坐标 在标准欧氏空间 $\mathbb R^5$ 中取 $$ V=\{x:\textstyle\sum_{i=1}^5x_i=0\},\qquad A_4=V\cap\mathbb Z^5,\qquad b_i=e_i-e_5\quad(1\le i\le4). $$ **命题 131.1。** $b_1,\ldots,b_4$ 是 $V$ 的实基，也是 $A_4$ 的整基；其 Gram 矩阵为 $$ C=I_4+\mathbf1\mathbf1^T,\qquad \det C=5. $$ **证明。** 对 $x\in V$，有 $x=\sum_{i=1}^4x_i(e_i-e_5)$，表示唯一；若 $x\in A_4$，系数全为整数。反之整系数组合属于 $A_4$。内积 $\langle b_i,b_j\rangle=\delta_{ij}+1$ 给出 $C$。在 $\mathbf1^\perp\subset\mathbb R^4$ 上 $C$ 为恒等算子，在 $\mathbb R\mathbf1$ 上为乘以 $5$，故正定且行列式为 $5$。证毕。 令 $W=\Lambda^2V$，依次取基 $$ (w_1,\ldots,w_6) =(b_1\wedge b_2,b_1\wedge b_3,b_1\wedge b_4, b_2\wedge b_3,b_2\wedge b_4,b_3\wedge b_4). $$ 自然外幂内积由 $$ \langle u_1\wedge u_2,v_1\wedge v_2\rangle =\det\begin{pmatrix} \langle u_1,v_1\rangle&\langle u_1,v_2\rangle\\ \langle u_2,v_1\rangle&\langle u_2,v_2\rangle \end{pmatrix} $$ 及双线性延拓定义。取正交规范基可见其正定。定义自然整外幂格 $$ \Lambda^2_{\mathbb Z}A_4 =\operatorname{span}_{\mathbb Z}\{u\wedge v:u,v\in A_4\} \subset W. $$ **命题 131.2。** 坐标映射 $$ \Psi:W\longrightarrow\mathbb R^6,\qquad \Psi\left(\sum_i x_iw_i\right)=(x_1,\ldots,x_6) $$ 把 $\Lambda^2_{\mathbb Z}A_4$ 双射到 $L=\mathbb Z^6$，并把自然外幂内积运输为 $\langle x,y\rangle_G=x^TGy$，其中 $$ G_{ij,kl}=C_{ik}C_{jl}-C_{il}C_{jk},\qquad G=\begin{pmatrix} 3&1&1&-1&-1&0\\ 1&3&1&1&0&-1\\ 1&1&3&0&1&1\\ -1&1&0&3&1&-1\\ -1&0&1&1&3&1\\ 0&-1&1&-1&1&3 \end{pmatrix},\qquad \det G=125. $$ **证明。** 将 $u,v\in A_4$ 展成 $b_i$ 的整系数组合，其楔积是 $w_i$ 的整系数组合；每个 $w_i$ 本身又是这种楔积。因此自然格恰为 $\sum_i\mathbb Zw_i$，坐标像为 $\mathbb Z^6$。内积定义逐项给出所示二阶子式，故对任意 $x,y$ 有 $\langle\Psi^{-1}x,\Psi^{-1}y\rangle=x^TGy$。为算行列式，正交对角化 $C$ 后，其二阶复合矩阵的特征值是 $C$ 的各对特征值乘积，即 $5,5,5,1,1,1$；故行列式为 $5^3$。证毕。 这给出真实的格与度量识别。只有写出 $\Psi$、$G$ 和自然外幂内积，才能把六个坐标解释为 $\Lambda^2A_4$；$\mathbb R^6$ 的标准点积不在此识别中自动出现。 ### 131.2 楔配对、定向与二重向量 Hodge 星 令 $\Omega=b_1\wedge b_2\wedge b_3\wedge b_4$。其自然长度为 $$ \|\Omega\|=\sqrt{\det C}=\sqrt5. $$ 先选 $+\Omega$ 的定向，单位顶次向量为 $\omega=\Omega/\sqrt5$。定义楔配对矩阵 $B$，使 $$ \alpha\wedge\beta=(\Psi\alpha)^TB(\Psi\beta)\,\Omega. $$ 唯一非零条目为 $B_{16}=B_{61}=1$、$B_{25}=B_{52}=-1$、$B_{34}=B_{43}=1$；故 $B^T=B$、$B^2=I$。楔配对对二重向量是对称的，因为交换两个二重向量的符号为 $(-1)^{2\cdot2}=1$。 Hodge 星 $*_+:W\to W$ 按以下关系定义： $$ \alpha\wedge *_+\beta=\langle\alpha,\beta\rangle\,\omega \qquad(\alpha,\beta\in W). $$ **命题 131.3。** 在上述坐标下， $$ S:=\Psi *_+\Psi^{-1}=\frac{BG}{\sqrt5}. $$ 它满足 $S^2=I$、$S^TGS=G$、$S^TG=GS$；其 $+1,-1$ 特征空间各为三维。 **证明。** 设星的矩阵为 $S$。定义式对所有坐标列 $x,y$ 给出 $x^TBSy=x^TGy/\sqrt5$，所以 $BS=G/\sqrt5$。由于 $B^{-1}=B$，$S=BG/\sqrt5$ 存在且唯一。选一个与 $+\Omega$ 同向的正交规范基 $a_1,\ldots,a_4$，相应六个二重向量构成正交规范基。星将 $a_1\wedge a_2$ 与 $a_3\wedge a_4$ 互换，将 $a_1\wedge a_3$ 与 $-a_2\wedge a_4$ 互换，将 $a_1\wedge a_4$ 与 $a_2\wedge a_3$ 互换。因此它是等距自伴对合，每一对贡献一个正、一个负特征向量。运输回 $w_i$ 坐标得到所述恒等式与维数。证毕。 现在定义既有整数矩阵 $$ J=-BG= \begin{pmatrix} 0&1&-1&1&-1&-3\\ -1&0&1&1&3&1\\ 1&-1&0&-3&-1&1\\ -1&-1&-3&0&-1&-1\\ 1&3&1&1&0&-1\\ -3&-1&-1&1&1&0 \end{pmatrix}. $$ **推论 131.4。** 在 $+\Omega$ 定向下 $J=-\sqrt5\,S$；在 $-\Omega$ 定向下，令 $*_-=-*_+$，则 $$ \Psi *_-\Psi^{-1}=J/\sqrt5. $$ 此外 $$ J^2=5I,\qquad GJ=-5B,\qquad J^TG=GJ,\qquad J^TGJ=5G. $$ **证明。** 改变单位顶次向量的符号，由定义和楔配对的非退化性，星也改变符号。命题 131.3 给出 $BGBG=5I$，从而 $GBG=5B$，于是 $GJ=-GBG=-5B$。其余等式由 $J=-\sqrt5S$、$S$ 自伴等距或直接转置即得。证毕。 这个识别包括格、内积与定向三个环节：$\Psi$ 已证明是自然格的坐标同构和实等距映射，并在选定 $-\Omega$ 定向后交织几何 Hodge 星与 $J/\sqrt5$。普通数学的解释链在此完整成立。仅有 $J^2=5I$ 不足以完成这条链：例如 $\sqrt5I$ 也满足平方恒等式，但不交换给定的互补二重向量。 $J/\sqrt5$ 是 $G$-正交算子；它不是标准六维点积的正交矩阵。其第一列的标准平方长度为 $13/5$。不运输度量而只保留相同坐标名字，会改变等距关系的含义。 ### 131.3 二重向量与二形式的 Hodge 矩阵 令 $\theta^1,\ldots,\theta^4$ 是 $b_i$ 的代数对偶基。二形式按同一对指标顺序取基 $\theta^i\wedge\theta^j$。它们的自然 Gram 矩阵为 $G^{-1}$，而与 $+\Omega$ 对应的单位体积形式为 $$ \operatorname{vol}_+=\sqrt5\,\theta^1\wedge\theta^2\wedge\theta^3\wedge\theta^4. $$ 这是因为顶次对偶基的平方范数为 $(\det C)^{-1}=1/5$，且该形式在单位顶次向量 $\Omega/\sqrt5$ 上取值一。 **命题 131.5。** 二形式 Hodge 星满足 $$ S_{\mathrm{cov}} =\sqrt5\,BG^{-1} =\frac{GB}{\sqrt5} =S^T, $$ 而度量降指标映射 $\flat_2:\Lambda^2V\to\Lambda^2V^*$ 在这些坐标中的矩阵是 $G$，并有 $$ S_{\mathrm{cov}}G=GS. $$ **证明。** 对形式坐标列 $x,y$，星的定义给出 $x^TBS_{\mathrm{cov}}y=\sqrt5\,x^TG^{-1}y$，故第一式成立。由 $GBG=5B$ 推出 $BG^{-1}=GB/5$，得到第二式与转置式。$\flat_2\alpha$ 在 $\beta$ 上的作用为 $\langle\alpha,\beta\rangle$，故其坐标为 $Gx$。最后两边均等于 $\sqrt5B$。证毕。 因此自然降指标确实交织两种星，但它们在对偶的非正交基中不是同一个数组。改用 $-\Omega$ 时两种星同时变号，交织式仍成立。这里的区别来自载体和坐标，不是两个互相矛盾的 Hodge 定义。 ### 131.4 双格、五模相似与体积 定义 $G$-对偶格 $$ L^\#=\{x\in\mathbb R^6:x^TGz\in\mathbb Z\ \text{对所有 }z\in L\}. $$ **命题 131.6。** $$ L^\#=G^{-1}L=(J/5)L,\qquad \langle Jx/5,Jy/5\rangle_G=\frac15\langle x,y\rangle_G. $$ **证明。** 与所有标准整基向量配对为整数等价于 $Gx\in\mathbb Z^6$，故 $L^\#=G^{-1}L$。由 $GJ=-5B$ 得 $J/5=-G^{-1}B$；$B$ 是带符号的整排列矩阵，所以 $BL=L$，得到格等式。配对式由 $J^TGJ=5G$ 除以 $25$ 得到。证毕。 $J/5:L\to L^\#$ 是长度缩放 $1/\sqrt5$ 的双射。其逆在 $L^\#$ 上是 $J$，因为 $J(J/5)=I$。$L$ 在自然度量下的协体积为 $\sqrt{\det G}=\sqrt{125}$，$L^\#$ 的协体积为其倒数；$L\subset L^\#$ 的指数为 $125$。例如后者可由 $G^{-1}L/L\cong L/GL$ 和 $|\det G|=125$ 得到。标准坐标 Lebesgue 测度下 $\mathbb Z^6$ 的协体积为一，是另一种测量，不能与自然外幂度量的协体积混用。 ### 131.5 黄金算子与最小整格饱和 置 $$ \phi=\frac{1+\sqrt5}{2},\qquad \Phi=\frac{I+J}{2},\qquad h=(1/2,\ldots,1/2)^T. $$ **命题 131.7。** $\Phi^2=\Phi+I$，且 $$ L_{\max}:=L+\Phi L=L+\mathbb Zh,\qquad [L_{\max}:L]=2. $$ $L_{\max}$ 是包含 $L$ 并对 $\Phi$ 稳定的最小加法 $\mathbb Z$-子模，因此也对每个 $a+b\Phi$（$a,b\in\mathbb Z$）稳定。 **证明。** $J^2=5I$ 给出 $\Phi^2=(I+2J+5I)/4=(3I+J)/2=\Phi+I$。 上面明确矩阵 $I+J$ 的每个条目均为奇数，所以每列 $\Phi e_j$ 与 $h$ 相差一个整向量。这给 $\Phi L\subset L+\mathbb Zh$；反过来任取一列有 $h\in L+\Phi L$，故两格相等。$h\notin L$ 而 $2h\in L$，指数恰为二。对 $u,v\in L$， $$ \Phi(u+\Phi v)=v+\Phi(u+v)\in L+\Phi L, $$ 所以稳定。任何包含 $L$ 且对 $\Phi$ 稳定的加法子模都包含 $\Phi L$，因而包含 $L_{\max}$。最后整数线性组合的稳定性直接成立。证毕。 为说明这里的“黄金整数阶”，取 $K=\mathbb Q(\sqrt5)$。其代数整数环是 $\mathbb Z[\phi]$：若 $\alpha=a+b\sqrt5$ 为代数整数，它与共轭的和、积都是有理代数整数，因而是整数；于是 $m=2a$ 是整数，且 $(m^2-5(2b)^2)/4$ 是整数。令 $2b=u/v$ 为最简有理数，则 $5u^2/v^2$ 为整数，故 $v^2\mid5$，迫使 $v=1$。于是 $k=2b\in\mathbb Z$；模四关系 $m^2-5k^2\equiv0$ 说明 $m,k$ 同奇偶，从而 $\alpha=(m-k)/2+k\phi$。反向包含由 $\phi^2-\phi-1=0$ 及代数整数对加乘封闭得到。$\mathbb Z[\sqrt5]\subset\mathbb Z[\phi]$ 的系数映射为 $$ a+b\sqrt5=(a-b)+2b\phi, $$ 故其加法指数为二。 在 $J$ 的 $\pm\sqrt5$ 两个三维特征空间上，$\Phi$ 的特征值分别是 $\phi$ 和 $1-\phi=-1/\phi$。因此 $a+b\phi\mapsto aI+b\Phi$ 是忠实的 $\mathbb Z[\phi]$ 作用，$L_{\max}$ 对这一作用稳定。“最小饱和”指包含原整格的代数稳定扩张，不是度量完备化；这个具体指数二结论也不声称任意二次整数阶表示都具有同样的指数。 $\Phi$ 对 $G$ 自伴，但不是等距算子；在其两个特征空间上平方长度分别乘以 $\phi^2$ 和 $\phi^{-2}$。真正的 $G$-正交对合是 $J/\sqrt5$。同一个黄金多项式可以出现在不同维数和不同度量的表示中，不自动给这些表示之间的几何等同。 ### 131.6 几何关系的运输 **命题 131.8。** 若 $T:V\to V'$ 为四维欧氏空间之间的等距同构，$\Lambda^2T$ 保持自然外幂内积。若它在定向上同向，则 $$ *_{{V'}}\,\Lambda^2T=\Lambda^2T\,*_V; $$ 若反向，则右侧多一个负号。 **证明。** 简单二重向量的内积由二阶 Gram 行列式给出，等距性保持每个条目，故保持整个外幂内积。同向时 $\Lambda^4T$ 把单位顶次向量 $\omega$ 送至 $\omega'$，于是 $$ (\Lambda^2T\alpha)\wedge(\Lambda^2T*_V\beta) =\Lambda^4T(\alpha\wedge *_V\beta) =\langle\alpha,\beta\rangle\omega'. $$ 由 Hodge 定义的唯一性得交织式。反向时顶次向量多一个负号，结论随之变号。证毕。 例如 $\mathbb R^5$ 的坐标置换保存 $V,A_4$ 和欧氏内积，因其在常向量线上为恒等，在 $V$ 上的行列式等于该置换的符号。偶置换在 $\Lambda^2V$ 上与 Hodge 星、$J$ 和 $\Phi$ 交换；奇置换与 $J$ 反交换，将 $\Phi$ 共轭成 $I-\Phi$。两者都保持 $L_{\max}$：前者保持 $L+\Phi L$，后者把它送至 $L+(I-\Phi)L=L+\Phi L$。 纯坐标变化同样必须运输内积。若旧二重向量坐标 $x=Ru$，则新内积矩阵为 $G'=R^TGR$，算子矩阵为 $J'=R^{-1}JR$。在未运输 $G$ 的情况下，以标准坐标范数测试 $J'$，回答的是另一个问题。第130节的 Fisher 质量／得分坐标和 Schur 消元服从相同的关系保真原则。 ### 131.7 Fibonacci：坐标旋转、增长与不定反等距 令 $$ A_F=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad \phi=\frac{1+\sqrt5}{2},\qquad P=\frac1{\sqrt{\phi^2+1}} \begin{pmatrix}\phi&-1\\1&\phi\end{pmatrix}. $$ **命题 131.9。** $P\in SO(2)$，且 $$ P^TA_FP=\begin{pmatrix}\phi&0\\0&-1/\phi\end{pmatrix}. $$ **证明。** 两列 $(\phi,1)^T,(-1,\phi)^T$ 互相正交，平方长度均为 $\phi^2+1$；归一化后 $P^TP=I$，其行列式为一。$\phi^2=\phi+1$ 和 $\phi-1=1/\phi$ 给 $$ A_F(\phi,1)^T=\phi(\phi,1)^T,\qquad A_F(-1,\phi)^T=-\phi^{-1}(-1,\phi)^T. $$ 故在这组正交规范基中恰得到所示对角矩阵。证毕。 $P$ 是欧氏坐标旋转，$A_F$ 本身不是：$A_F^TA_F=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\ne I$。一个特征方向被放大 $\phi$ 倍，另一个反号并缩小 $1/\phi$ 倍。不能把“能用旋转换到特征坐标”说成“原动力学是旋转”。 定义另一个二次型 $$ Q_F(x,y)=x^2-xy-y^2 =\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix} K_F\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix},\qquad K_F=\begin{pmatrix}1&-1/2\\-1/2&-1\end{pmatrix}. $$ **命题 131.10。** $$ Q_F(A_Fz)=-Q_F(z),\qquad Q_F(A_F^2z)=Q_F(z). $$ $Q_F$ 是非退化不定型，不是正定平方范数。 **证明。** $A_F(x,y)=(x+y,x)$，所以 $$ Q_F(x+y,x) =(x+y)^2-(x+y)x-x^2 =-x^2+xy+y^2=-Q_F(x,y). $$ 再应用一次得到第二式。$\det K_F=-5/4<0$，其两个特征值符号相反，故非退化而不定。证毕。 在上述欧氏特征坐标 $z=P(u,v)$ 中，直接配对得到 $$ P^TK_FP= \begin{pmatrix}0&-\sqrt5/2\\-\sqrt5/2&0\end{pmatrix}, \qquad Q_F(P(u,v))=-\sqrt5\,uv. $$ 具体地，两个 $A_F$ 特征向量都是 $Q_F$ 的零向量；交叉配对为 $-5\phi/[2(\phi^2+1)]=-\sqrt5/2$，因为 $\phi^2+1=\sqrt5\phi$。而 $A_F$ 将 $(u,v)$ 送到 $(\phi u,-v/\phi)$，恰使 $uv$ 变号。这把反等距和增长／收缩放在同一个明确坐标图中解释。 $\Phi$ 与 $A_F$ 都满足 $T^2=T+I$，但前者作用于六维外幂格，后者作用于二维状态空间；特征空间维数和所讨论的度量不同。相同多项式给共同的代数关系，不自行提供两者的等距同构。$Q_F$ 的反等距也不定义 Fisher 信息、通常距离保持或物理耗散率。 若把 $z_{t+1}=A_Fz_t$ 的第一个坐标记为 $x_t$，第二个记为 $h_t$，则 $x_{t+1}=x_t+h_t,h_{t+1}=x_t$，从而 $x_{t+2}=x_{t+1}+x_t$，且 $(x_t,x_{t+1})$ 恢复 $h_t=x_{t+1}-x_t$。这是已知线性规律下状态与相邻读数之间的坐标关系，与上述不定型守恒有兼容解释，但并不靠单个瞬时标量恢复任意二维状态。 ### 131.8 共同载体中的等距提升 上述几何可由一项保真辅助构造联系：**把压缩或消去一侧的量，按已经声明的内积等距提升回同一个实现空间，再在那里比较目标、隐藏分量和干扰。** 具体说，取实有限维内积空间 $\mathcal K,\mathcal H$；若 $U:\mathcal K\to\mathcal H$ 是等距线性嵌入，则 $$ U^*U=I,\qquad P=UU^*,\qquad \mathcal H=\operatorname{im}U\oplus(\operatorname{im}U)^\perp. $$ $P$ 自伴且 $P^2=U(U^*U)U^*=P$，所以这是实际的正交投影图。它把边界坐标、原实现以及残差放在共同内积中；所比较的向量来自同一对象，不是分别取得的最优值。 - 对有限正概率 $\nu$ 上的实际像观察 $q:X\to B=q[X]$，令 $U:L^2(B,q_*\nu)\to L^2(X,\nu)$ 为 $Uu=u\circ q$，则按纤维求和给 $\|Uu\|_\nu^2=\|u\|_{q_*\nu}^2$。$U^*$ 是标签上的条件均值，$UU^*=\Pi$；限制到零均值子空间仍成立。第130节 Fisher 两项损失将同一完整有效得分 $f=(I-P_N)s$ 先按 $\operatorname{im}U$、再按可见干扰空间分解。 - 在第130.10节的单射 $K$ 条件下，对 Schur 消元，$U=K(K^*K)^{-1/2}$ 是隐藏方向的等距参数化，$UU^*=P_K$，所以 $S=F^*(I-UU^*)F$。Gaussian 积分另保留未被投影商记录的体积因子。 - 对外幂格，$\Psi$ 是将自然格与六维坐标保持在同一度量中的等距识别。Hodge 的来源还包括楔配对与定向：在本节的四维定向空间及其中次外幂上，令 $\mathcal R_g(\beta)(\alpha)=\langle\alpha,\beta\rangle$，令 $\mathcal W_\omega(\beta)(\alpha)$ 是 $\alpha\wedge\beta$ 相对于单位顶次向量 $\omega$ 的系数，则 $*=\mathcal W_\omega^{-1}\mathcal R_g$。这精确说明单有观察关系或内积还不够。星确定后，其 $\pm1$ 特征空间给正交投影 $(I\pm*)/2$；黄金算子只是这两空间上的指定标量作用。 这里统一的是“共同实现、配对、子空间及其运输”的结构，而不是把所有例子强行叫成同一个投影。格需整数子模，Fisher 需概率权重和合法得分，Hodge 需外幂与定向，Gaussian 积分需参考测度；这些额外数据不能由一个无权集合关系凭空恢复。动力学和记忆还需指定演化算子与初值；静态配对及投影不单独决定时间演化或时间箭头。 外幂内积采用 Gram 行列式，Hodge 星依赖指定内积与定向。仓内 `ExteriorSquareCoordinates`、`ExteriorSquareRepresentations`、`ExactDualLatticeFormula`、`FiveModularLatticeSimilarity`、`GoldenMaximalOrderCompletion`、`FibonacciEigen` 与 `GoldenAntiIsometry` 分别提供相应代数接口。 ## 131.99 追加锚 ## 132. 边界容量、递归历史与相容完成 令任务商 $Q_{\mathcal F}=X/\ker\mathcal F$，观察 $q$ 对任务充分。本节计算这种表示所需的通道容量，并比较有限状态接续与相容精度塔；小规则、完整历史和可调用极限各有不同要求。 ### 132.1 容量上界与实际解码是不同保证 #### 132.1.1 有限任务类别需要足够多的实际读数 设任务商 $Q_{\mathcal F}$ 恰有 $N\ge1$ 个类别。如果观察 $q$ 任务充分，第122节的任务因子化判据给出实际读数到任务类别的满射，故 $$ N\le |q[X]|. $$ 若一次固定长度记录只有 $b$ 个比特，则 $|q[X]|\le2^b$，因此 $$ b\ge\lceil\log_2N\rceil. $$ 若连续 $T$ 次各返回至多 $m$ 个比特，则完整固定长度记录最多 $2^{mT}$ 种，故 $mT\ge\log_2N$。更一般地，若第 $t$ 次使用字母表 $A_t$，则 $$ N\le|\operatorname{im}(q_1,\ldots,q_T)| \le\prod_{t=1}^T|A_t|. $$ 第一项使用联合实际像；右端只是其上界，不断言任意局部标签都能共同出现。对确定性的自适应协议，每层分支数受同样字母表限制时，决策树叶数仍由该乘积界控制；实验选择须由既有记录与固定协议决定，不能另外携带未计费的目标信息。 容量足够不是某个实际观察充分的证明。即便形式标签集合含 $N$ 个元素，一个恒定观察仍只有一个实际标签。即便实际标签数达到 $N$，也可以分开同一任务类中的多个状态，却仍混淆另外两个任务类。具体地取四个状态、任务类 $\{1,2\}$ 与 $\{3,4\}$，观察类为 $\{1\}$ 与 $\{2,3,4\}$；两者都恰有两类，但观察不能决定任务。 $m$ 个精确实线性坐标在 $T$ 次观测中的秩界是另一个命题：线性记录空间维数至多 $mT$，因此线性单射恢复 $n$ 维实状态要求 $n\le mT$。一个精确实数不是一个比特；若每个实标量被量化为 $b$ 位，才有离散标签数上界 $2^{bmT}$。有限比特不能精确区分无限连续状态集。噪声下的稳定解码还需独立的条件数或最小奇异值控制。 #### 132.1.2 张量切口给出秩界与熵界 取有限张量网络，所有张量空间为有限维复内积空间，其外部物理指标分为 $A,B$ 两侧。选定一个确实把两侧分开的切边集，每条切边的指标维数为正整数 $\chi_e$。把每侧内部张量全部收缩，得到 $$ |\psi\rangle= \sum_{\alpha\in\prod_e\{1,\ldots,\chi_e\}} |L_\alpha\rangle_A\otimes|R_\alpha\rangle_B. $$ 令 $D=\prod_e\chi_e$。在任意正交基中，系数矩阵 $M$ 有分解 $M=LR$，其中中间指标维数为 $D$；等价地，所有列都属于至多 $D$ 个向量 $L_\alpha$ 的张成。因此 $$ \operatorname{rank}M\le D. $$ 若 $|\psi\rangle\ne0$，归一化后对 $M$ 作奇异值分解，得到 Schmidt 分解 $$ |\psi\rangle=\sum_{i=1}^r\sqrt{p_i}|a_i\rangle|b_i\rangle, \qquad p_i>0,\quad\sum_ip_i=1,\quad r=\operatorname{rank}M. $$ 对一侧取偏迹得到本征值为 $p_i$ 的约化密度矩阵，所以纠缠熵为 $S=-\sum_ip_i\log p_i$。对凹函数 $\log$ 应用 Jensen 不等式， $$ S=\sum_ip_i\log(1/p_i) \le\log\left(\sum_ip_i/p_i\right)=\log r. $$ 于是 $$ S\le\log r\le\sum_e\log\chi_e. $$ 这给出指定网络、切口、纯态和二分割下的必要上界。零张量没有可归一化纯态；混态的一侧熵一般不能直接称为这一二分割的纯态纠缠熵。切边维数也没有在此被识别为物理面积。 #### 132.1.3 解码还需要可逆编码及所需访问权限 在有限维复内积空间中，若给定线性编码 $V:\mathcal H_{\rm log}\to\mathcal H_{\rm phys}$，且 $V^*V=I$，则 $V$ 是等距嵌入，并有 $V^*V\xi=\xi$。这才提供全物理输出上的精确逻辑解码。对非零逻辑空间，固定一个逻辑密度矩阵 $\rho_0$，可把码空间上的逆延拓为通道 $$ \mathcal D(\rho)=V^*\rho V+ \operatorname{Tr}((I-VV^*)\rho)\rho_0. $$ 第一项完全正。把 $\rho_0=\sum_jr_j|e_j\rangle\langle e_j|$ 对角化，并为 $(\operatorname{im}V)^\perp$ 选正交基 $g_k$，第二项的 Kraus 算子可取 $\sqrt{r_j}|e_j\rangle\langle g_k|$，故也完全正。总迹等于 $\operatorname{Tr}(VV^*\rho)+\operatorname{Tr}((I-VV^*)\rho)=\operatorname{Tr}\rho$。对 $\rho=V\sigma V^*$，补充项为零，第一项为 $\sigma$。这验证了完整通道层面的解码。 如果只允许访问某个子系统，还需额外恢复条件。例如 $$ V|0\rangle=|0\rangle_A|0\rangle_B,\qquad V|1\rangle=|0\rangle_A|1\rangle_B $$ 是等距编码，但 $A$ 的约化态对任意输入都恒为 $|0\rangle\langle0|$，所以只观察 $A$ 不能恢复逻辑比特；$B$ 或全系统的访问能力与之不同。切口秩、熵上界或足够大的边界维数，都不会补回这种被丢弃的区别。 ### 132.2 受限历史：小接口组合长词，但不替代整条历史 #### 132.2.1 禁止连续 $k$ 个 $1$ 的有限接口 固定整数 $k\ge1$。令 $\mathcal W_n^{(k)}$ 为长度 $n$ 的二进制词中不含子词 $1^k$ 的集合，$a_n^{(k)}=|\mathcal W_n^{(k)}|$。一个合法前缀对未来合法性的全部相关信息，是其末尾连续 $1$ 的长度 $$ i\in\{0,\ldots,k-1\}. $$ 读到 $0$ 时更新到 $0$；读到 $1$ 时，若 $i1$、$g_k(2)=1-2^{-k}<1$，故有唯一 $\lambda_k\in(1,2)$ 满足 $$ \sum_{i=1}^k\lambda_k^{-i}=1, \qquad \lambda_k^k=\lambda_k^{k-1}+\cdots+1. $$ 置 $\lambda_1=1$。对 $k\ge2$，$g_{k+1}(\lambda_k)>1$，因此 $\lambda_{k+1}>\lambda_k$；$\lambda_2>\lambda_1$ 也成立。由等比和并使用 $\lambda_k\ne1$， $$ 2-\lambda_k=\lambda_k^{-k}\le\lambda_2^{-k}\longrightarrow0. $$ 所以 $\lambda_k\uparrow2$。 增长率确实是词数的指数率，而不只是递推方程的形式根。取正向量 $$ v=(1,\lambda_k^{-1},\ldots,\lambda_k^{-(k-1)})^{\mathsf T}. $$ 矩阵定义与上述根方程给 $Av=\lambda_kv$。向量 $q=A^{k-1}e_0$ 的每个坐标均严格正，因为每个末态 $j$ 都由长度 $k-1$ 的词 $0^{k-1-j}1^j$ 到达。存在常数 $00$。一个固定大小的自动机加一条短规则，可以枚举或检验所有这些词，却没有指定其中究竟是哪一条。相同末态通常对应许多不同前缀，这正是任务商与历史重建的区别。这里的计数递推也没有声明任何热力学过程。 ### 132.3 兼容剩余类：另一种局部到整体的极限 #### 132.3.1 $p$ 进整数的兼容接口 固定素数 $p$。令 $R_n=\mathbb Z/p^n\mathbb Z$，$n\ge1$，以及自然约化映射 $\rho_n:R_{n+1}\to R_n$。定义 $$ \mathbb Z_p= \left\{(a_n)_{n\ge1}\in\prod_{n\ge1}R_n: \rho_n(a_{n+1})=a_n\text{ 对所有 }n\right\}. $$ 这是一组对同一个待恢复对象的兼容有限读数，不能任意独立选择各层标签。逐坐标加法与乘法保持兼容性，因为各 $\rho_n$ 都是环同态；于是 $\mathbb Z_p$ 成为交换环，各坐标投影都是环同态。 **命题 132.1（兼容剩余类与数字序列）。** 每个 $p$ 进整数唯一对应数字序列 $d_0,d_1,\ldots\in\{0,\ldots,p-1\}$，满足 $$ a_n=\sum_{j=0}^{n-1}d_jp^j\pmod{p^n}. $$ **证明。** 取每个 $a_n$ 的标准代表元 $r_n\in\{0,\ldots,p^n-1\}$。兼容性使 $r_{n+1}-r_n$ 被 $p^n$ 整除，且 $$ r_{n+1}=r_n+d_np^n $$ 对唯一的 $d_n\in\{0,\ldots,p-1\}$ 成立；另取 $d_0=r_1$。归纳得到有限展开，唯一性由各步的唯一商得到。反之，任意这样的数字序列的有限和模 $p^n$ 显然互相兼容。两个构造逐层互逆。证毕。 #### 132.3.2 兼容性产生完整的超度量空间 为统一下标，约定模 $p^0$ 的读数只有一个。对 $x\ne y$ 定义 $v(x,y)$ 为两者仍相同的最大模数层级，即 $$ v(x,y)=\max\{n\ge0:x\bmod p^n=y\bmod p^n\}. $$ 若某层不同，之后更细层也不同，所以这个最大值有限；若全部层相同，则按序列定义 $x=y$。约定 $v(x,x)=+\infty$。定义 $$ d_p(x,y)=p^{-v(x,y)}\quad(x\ne y),\qquad d_p(x,x)=0. $$ 它是超度量。事实上，若 $x,y$ 到第 $n$ 层相同，且 $y,z$ 到第 $n$ 层相同，则 $x,z$ 到第 $n$ 层相同。因此 $$ v(x,z)\ge\min\{v(x,y),v(y,z)\},\qquad d_p(x,z)\le\max\{d_p(x,y),d_p(y,z)\}. $$ 对称性与零距离分离由定义立即成立，超度量不等式还推出通常三角不等式。 **命题 132.2（完备性与整数稠密）。** $(\mathbb Z_p,d_p)$ 完备，普通整数通过全部剩余类组成的序列嵌入其中，且像稠密。 **证明。** 若 $(x^{(m)})$ 为 Cauchy 序列，对每个固定 $n$，充分大的 $m,l$ 满足 $d_p(x^{(m)},x^{(l)})0$，并置 $$ d_Q(b,c)=\left(\sum_jw_jd_j(\bar f_j(b),\bar f_j(c))^2\right)^{1/2}. $$ 这是伪距离：每个坐标的三角不等式与欧氏范数三角不等式给出总三角不等式。它是距离，当且仅当下降后的任务联合分离 $Q$。在等核转换下使用同一任务和权重，各项完全相同，因而得到规范等距。无限任务求和需要另给收敛条件，不在本有限式中免费包含。 #### 133.1.3 固定实验语言下的最小化幂等 采用第120节的完整未来行为定理的固定、继续实验闭合的语言，令 $Q=\beta[X]$，使用已经下降的任务和操作。现在对 $Q$ 再做同一种行为构造，记为 $\beta_Q$。对每个 $x\in X$，每个测试 $(w,j)$，有 $$ \beta_Q(\beta(x))_{w,j} =\bar f_j(\bar T_w\beta(x)) =f_j(T_wx) =\beta(x)_{w,j}. $$ 故在共同的行为数组坐标中，$\beta_Q$ 就是 $Q$ 的恒等嵌入，实际像仍是 $Q$。若第一步使用抽象等价类而非行为数组，第二次最小化与第一次规范同构。对 $Q$ 内不同点，总有原语言中的某个测试区分，因此没有可继续合并的点。 这证明的是相对于同一语言、同一任务和同一允许操作的幂等性。加入新任务、新干预或新组合上下文，可能分开旧商中的点。它也不表示有限过去档案已经等同于全部未来行为：过去记录是否足够，仍由其核是否包含于 $E_\infty$ 判定。 ### 133.2 有限关系模型与换名 设 $\Omega,\Omega'$ 为非空有限集，$\mu,\mu'$ 为严格正概率，$q:\Omega\twoheadrightarrow B$、$q':\Omega'\twoheadrightarrow B'$ 为观察。设双射 $s:\Omega\to\Omega'$、$t:B\to B'$ 满足 $$ \mu'(sx)=\mu(x),\qquad q's=tq. $$ 参考权重及观察关系因而一并运输。定义 $$ U:L^2(\Omega,\mu)\to L^2(\Omega',\mu'), \qquad (Uf)(sx)=f(x). $$ 换指标求和给 $\langle Uf,Ug\rangle_{\mu'}=\langle f,g\rangle_\mu$，所以 $U$ 是保常数的线性等距同构；同时它保持逐点乘积、指标、顺序及任意已定义的逐点标量函数。 设 $P,P'$ 是相应条件期望。对 $b=q(x)$，纤维双射 $q^{-1}(b)\to(q')^{-1}(tb)$ 保持各点质量及纤维总质量。因此 $$ (P'Uf)(sx) =\frac{\sum_{y:q(y)=b}\mu(y)f(y)}{\sum_{y:q(y)=b}\mu(y)} =(UPf)(sx), \qquad P'U=UP. $$ 换名把可见空间 $V=\operatorname{ran}P$ 等距映到 $V'=\operatorname{ran}P'$，隐藏空间 $H=\ker P$ 等距映到 $H'=\ker P'$。记限制同构为 $U_V,U_H$。 ### 133.3 否定、拓扑边界与投影缺陷同步运输 给事件 $E\subseteq\Omega$，取 $E'=sE$。双射满足 $s(E^c)=(sE)^c$。每条纤维同时与 $E,E^c$ 相交，当且仅当其像纤维同时与 $E',(E')^c$ 相交，故 $$ \partial_{q'}E'=t(\partial_qE). $$ 由纤维并组成的观察拓扑也由 $s$ 双向保持，因此内部、闭包与拓扑前沿分别运输；这是本特定拓扑之间的同胚结论。 令 $Q_E$ 为乘以 $\mathbf1_E$ 的投影，则 $Q_{E'}U=UQ_E$。压缩效应及跨可见隐藏耦合满足 $$ \mathsf A=P Q_E|_V,\qquad \mathsf D=(I-P)Q_E|_V, $$ $$ \mathsf A'=U_V\mathsf A U_V^{-1}, \qquad \mathsf D'=U_H\mathsf D U_V^{-1}. $$ 所以 $\mathsf A-\mathsf A^2=\mathsf D^*\mathsf D$ 的两边按同一个等距同构运输；秩、迹、算子范数和 Hilbert–Schmidt 范数均保持。条件残差也满足 $$ \|\mathbf1_{E'}-P'\mathbf1_{E'}\|_{\mu'}^2 =\|\mathbf1_E-P\mathbf1_E\|_\mu^2. $$ 若按各纤维质量定义 $w_{xy}=\mu(x)\mu(y)/\mu(q^{-1}q(x))$（不同纤维为零），则 $w'_{sx,sy}=w_{xy}$，从而割权、Dirichlet 二次型与图总变差的对应数值同样保持。该运输不会把概率加权残差改成未加权矩阵迹；每个量仍保持自己的定义。 ### 133.4 动力学、记忆和静态消元同步运输 另给自伴线性算子 $L$，明确要求新表示使用 $L'=ULU^{-1}$。在 $V\oplus H$ 分解中写 $$ L=\begin{pmatrix}A&B\\B^*&C\end{pmatrix}. $$ 对应块满足 $$ A'=U_VAU_V^{-1},\quad B'=U_VBU_H^{-1},\quad C'=U_HCU_H^{-1}. $$ 此式由 $P'U=UP$ 以及各块的限制定义直接得到。指数幂级数和共轭给 $$ e^{-tL'}U=Ue^{-tL},\qquad K'(t)=B'e^{-tC'}(B')^*=U_VK(t)U_V^{-1}. $$ 若运输初值 $x'_0=U_Vx_0,h'_0=U_Hh_0$，则初态强迫也满足 $$ B'e^{-tC'}h'_0=U_VBe^{-tC}h_0. $$ 因此边界记忆方程、其全部解以及初始条件对应，而不只是两个记忆核同谱。 若 $C>0$，则 $C'>0$ 且 $$ A'-B'(C')^{-1}(B')^* =U_V(A-BC^{-1}B^*)U_V^{-1}. $$ Schur 响应、记忆核积分、响应矩及由矩构造的词内积全部按同一 $U_V$ 运输。词系数 $(v_i)$ 的转换是 $(U_Vv_i)$；将该转换代入矩配对并用等距性，得到配对保持，故还诱导规范有效隐藏商的等距同构。此处 $V$ 是指定的边界内积空间，不能在转换中另换一份无关的参考内积。 ### 133.5 概率和正反实验同步运输 取任意概率 $\nu$ 及 $\nu'=s_*\nu$，允许 $\nu$ 有零质量，以 $0\log0=0$ 约定。相对参考 $\mu$ 的密度 $\rho=\nu/\mu$ 满足 $\rho'=U\rho$，故 $$ D(\nu'\Vert\mu')=\sum_{x'}\mu'(x')\rho'(x')\log\rho'(x') =D(\nu\Vert\mu). $$ 又 $q'_*\nu'=t_*q_*\nu$、$q'_*\mu'=t_*q_*\mu$，所以粗相对熵以及两者差值给出的隐藏条件相对熵分别保持。 在任意固定有限时间网格上，以逐坐标双射 $s^{\times}$ 运输完整正向路径律 $\mathbb P$ 和已声明的反向比较律 $\mathbb P^{\rm R}$，则对正向支持上的每条路径，其概率比及概率权重都保持，从而 $$ D(s^{\times}_*\mathbb P\Vert s^{\times}_*\mathbb P^{\rm R}) =D(\mathbb P\Vert\mathbb P^{\rm R}). $$ 若存在正向有质量而反向零质量的路径，两边同为 $+\infty$；有限性假设不被偷换。若观察的记录规则也经相容双射运输，则观察路径 KL 保持。另假设 $\mathbb P\ll\mathbb P^{\rm R}$ 时，每个正向有质量的观察纤维也具有反向正质量，两份条件路径律因而规范定义；纤维双射保持各条件概率比，故隐藏条件 KL 项也保持。没有此绝对连续条件时，不能在反向零质量的纤维上无条件指定该隐藏项。若只换正向律而未运输反向实验，上述结论不提供不变性保证。 上述结论的共同前提是：实现、观察、权重、演化和需要比较的实验全部沿同一关系变换运输。对于一般多对一粗观察，$U$ 不再可逆，事件未必下降、动力未必闭合、隐藏量一般非零；相应判据与缺陷须使用前述各定理。由一个保真呈示转向另一个呈示，和删除关系细节，是两种不同的数学操作。 ### 133.6 共用分块演算不使不同关系的缺陷相同 取两点均匀概率，$P$ 为常值条件平均，事件为单点，$Q_E=\operatorname{diag}(1,0)$。可见空间一维，压缩效应为 $1/2$，故事件幂等缺陷为 $1/4$。另选演化 $L=I-P$，则 $L$ 与 $P$ 交换，跨可见隐藏的演化块为零，记忆核恒为零。这两项计算同时成立。因此事件乘法的交叉块 $(I-P)Q_EP$ 与动力学的交叉块 $PL(I-P)$ 不能互相代名；前者记录事件的隐藏区别，后者记录演化怎样把隐藏方向送回边界。 同样，顶点 Dirichlet 切分中的坐标保留投影，一般不保持概率总质量；条件纤维投影则保持常数与参考平均。它们都允许分块与 Schur 演算，但概率 KL 链式公式只适用于已声明的概率观察及重建。正交实现同构也不自动保持概率正锥或逐点乘法；上文全部概率不变性使用了来自样本双射的保权映射，而非任意线性等距映射。 ## 133.99 追加锚 ## 134. 关系表示的探针充分性与三种闭合 最小行为商比较同一模型内的实现；进一步比较观察方法和模型本身，需要保留探针及其变换。这里以交换方块、Yoneda 与受限探针说明哪些关系族足以反映对象，以及“关系的关系”如何获得明确类型。 ### 134.1 观察方法之间的比较是一个有类型的交换方块 #### 134.1.1 箭头范畴的定义与复合 固定一个范畴 $\mathcal C$。一个观察方法可表示为箭头 $q:X\to B$；这里 $X$ 是被观察对象，$B$ 是该方法的输出对象。给另一方法 $q':X'\to B'$，一个比较由两条箭头 $$ \alpha:X\to X',\qquad \beta:B\to B' $$ 及交换条件 $$ q'\circ\alpha=\beta\circ q \tag{134.1} $$ 组成。它称为从 $q$ 到 $q'$ 的交换方块，亦即箭头范畴 $\operatorname{Arr}(\mathcal C)$ 的态射。 给依次两个方块 $(\alpha_1,\beta_1):q_0\to q_1$ 与 $(\alpha_2,\beta_2):q_1\to q_2$，定义复合为 $$ (\alpha_2\circ\alpha_1,\ \beta_2\circ\beta_1). $$ 它确实交换，因为 $$ q_2\alpha_2\alpha_1 =\beta_2q_1\alpha_1 =\beta_2\beta_1q_0. $$ 恒等态射为 $(\mathrm{id}_X,\mathrm{id}_B)$。单位律和结合律逐分量由 $\mathcal C$ 的单位律和结合律给出，因此构成一个范畴。这里不要求任何单射、满射或有限性。 **命题 134.1（方块同构）。** 交换方块在 $\operatorname{Arr}(\mathcal C)$ 中可逆，当且仅当其两侧 $\alpha,\beta$ 都在 $\mathcal C$ 中可逆。 **证明。** 若方块有逆，逐分量的复合等于恒等，故两分量各有逆。反之，若两分量可逆，由 (134.1) 左乘 $\beta^{-1}$、右乘 $\alpha^{-1}$ 得 $$ q\alpha^{-1}=\beta^{-1}q'. $$ 所以 $(\alpha^{-1},\beta^{-1})$ 是反向交换方块，且逐分量为逆。证毕。 方块只保证声明的观察相容。可逆方块也没有自动携带度量、概率、允许操作或计算成本；若这些属于目标结构，就要把相应交换或保留条件一并声明。 #### 134.1.2 集合上的实际读数像与方向条件 现在取集合与总函数。把观察限制到实际像 $$ q_0:X\twoheadrightarrow Q=q[X],\qquad q'_0:X'\twoheadrightarrow Q'=q'[X']. $$ 给定 $\alpha:X\to X'$，存在唯一 $\beta_0:Q\to Q'$ 满足 $$ q'_0\alpha=\beta_0q_0 \tag{134.2} $$ 当且仅当 $$ q(x)=q(y)\quad\Longrightarrow\quad q'(\alpha x)=q'(\alpha y). \tag{134.3} $$ 证明是令 $\beta_0(q(x))=q'(\alpha x)$；(134.3) 正好是该定义不依赖代表元的条件，实际像给出存在性和唯一性。反方向由 (134.2) 直接得到。 映射 $\beta_0$ 为单射，当且仅当反向条件也成立： $$ q'(\alpha x)=q'(\alpha y)\quad\Longrightarrow\quad q(x)=q(y). \tag{134.4} $$ 证明分别把 $q(x),q(y)$ 代入单射定义即可。若 $\alpha$ 满射，$\beta_0$ 也满射：任意 $q'(x')$ 可取 $x'=\alpha(x)$。反之，$\beta_0$ 满射不要求 $\alpha$ 命中每个状态，只要求命中每个目标读数纤维。 若原来已经给定整个 $B$ 上的 $\beta$，交换方块保证它将 $q[X]$ 映入 $q'[X']$，因此可限制到 $\beta_0$。但方块不约束 $B\setminus q[X]$ 上的取值。实际像上的唯一分解不能被扩报为整个环境陪域上的唯一映射。 ### 134.2 操作相容把一个方块扩展为全部未来的相容 #### 134.2.1 共同操作语言上的系统比较 固定操作标签集合 $A$。一个系统由集合 $X$、实际读数满射 $q:X\twoheadrightarrow Q$、总操作 $T_a:X\to X$ 组成。另一系统写为 $(X',Q',q',T'_a)$。比较 $(F,H)$ 的类型和合同是 $$ F:X\to X',\qquad H:Q\to Q',\qquad q'F=Hq,\qquad FT_a=T'_aF\quad(a\in A). \tag{134.5} $$ 这样的比较按分量复合。若 $(G,J)$ 是后一比较，则 $$ (GF)T_a=G(T'_aF)=T''_a(GF),\qquad q''GF=Jq'F=JHq; $$ 故它们构成固定操作语言下的系统范畴。 有限词 $w=a_1\cdots a_n$ 按执行顺序表示 $$ T_w=T_{a_n}\cdots T_{a_1},\qquad T_\varepsilon=\mathrm{id}. $$ 特别地，$T_{av}=T_vT_a$，且 $T_{uv}=T_vT_u$。 **命题 134.2（有限词运输）。** 在 (134.5) 下，对每个有限词 $w$， $$ FT_w=T'_wF,\qquad q'T'_wF=HqT_w. \tag{134.6} $$ **证明。** 空词由恒等式成立。若对 $v$ 成立，则 $$ FT_{av}=FT_vT_a=T'_vFT_a=T'_vT'_aF=T'_{av}F. $$ 最后复合 $q'$ 并使用读数方块得到第二式。证毕。 这项正向结论只需要半共轭，不需要 $F,H$ 可逆。 #### 134.2.2 行为关系的保持、反射与商运输 定义完整有限词行为 $$ \Phi(x)(w)=q(T_wx),\qquad \Phi'(x')(w)=q'(T'_wx'). $$ 令 $E_\infty=\ker\Phi$、$E'_\infty=\ker\Phi'$，即两个状态等价当且仅当全部允许有限实验读数都相同。对记录 $b:A^*\to Q$ 定义 $H_*b=H\circ b$。式 (134.6) 等价于 $$ \Phi'F=H_*\Phi. \tag{134.7} $$ 因此总有关系保持 $$ E_\infty\subseteq(F\times F)^{-1}[E'_\infty]. \tag{134.8} $$ 若 $H$ 单射，则逐词从 $H(\Phi(x)(w))=H(\Phi(y)(w))$ 消去 $H$，得到精确反射 $$ E_\infty=(F\times F)^{-1}[E'_\infty]. \tag{134.9} $$ 此处不要求 $F$ 本身单射。若它合并两个状态，(134.9) 说明它们在原来的全部行为任务下已经等价。若再有 $F$ 满射，则 $$ E'_\infty=(F\times F)[E_\infty]. \tag{134.10} $$ 证明是为任意目标状态对取原像，再用 (134.9)。在 $F,H$ 都双射时，这些条件当然全部满足。 由 (134.8) 可定义 $$ \bar F:X/E_\infty\to X'/E'_\infty, \qquad \bar F([x])=[Fx]. $$ 良定义由关系保持给出；$H$ 单射时，(134.9) 给出 $\bar F$ 单射；$F$ 满射时，$\bar F$ 满射。诱导操作满足 $$ \bar F([T_ax])=[FT_ax]=[T'_aFx], $$ 故商上的操作也交换。这个商映射不需要为每个等价类选择代表元算法；它由 $F$ 唯一诱导。依次两个系统比较还满足 $$ \overline{GF}=\bar G\bar F,\qquad \overline{\mathrm{id}}=\mathrm{id}, $$ 因为在每个 $[x]$ 上两边都取 $[GFx]$。这给出系统范畴到行为商系统的函子，而不只是孤立的两个商之间某个未指定的双射。 **反例。** 取 $X=Q=\{0,1\}$、$q=\mathrm{id}$，目标系统只有一个状态和一个标签，所有操作都是恒等，$F,H$ 都是唯一映射。式 (134.5)—(134.8) 成立，但原行为关系是相等关系，两个状态在目标中合并。任意相容方块或半共轭并不自动反映原来的区别。 #### 134.2.3 操作翻译与部分操作的额外义务 若标签通过 $\rho:A\to A'$ 翻译，只知道 $$ FT_a=T'_{\rho(a)}F, $$ 则词归纳只保证源词 $w$ 与目标词 $\rho(w)$ 的比较。不能未经证明把目标关系改成由全部 $A'$ 词定义的关系。 例如取 $X=X'=\{a,b,c\}$，当前读数为 $q(a)=q(b)=0$、$q(c)=1$。源系统只允许恒等操作，目标除恒等外还允许 $S(a)=a$、$S(b)=c$、$S(c)=c$。令 $F,H$ 均为恒等；对共享操作的方块和半共轭全部成立，源状态 $a,b$ 行为等价，但目标操作 $S$ 将它们区分。要比较完整目标行为，必须覆盖额外操作，或证明它们不产生新任务区别。 对部分操作 $T_a:D_a\to X$，还需保持准入域。用新的失败态 $\bot$ 把操作总化：定义 $T_a^\bot$ 在 $D_a$ 上等于 $T_a$，在 $X\setminus D_a$ 和 $\bot$ 上均输出 $\bot$；给观察增加与成功标签不相交的失败标签。令 $F^\bot$ 在原状态上等于 $F$，并送 $\bot$ 到 $\bot$。那么 $$ F^\bot T_a^\bot=(T'_a)^\bot F^\bot $$ 当且仅当 $$ x\in D_a\Longleftrightarrow Fx\in D'_a, \qquad FT_ax=T'_aFx\quad(x\in D_a). $$ 证明分成成功、失败及 $\bot$ 三种输入逐项检查即可；若源失败而目标成功，两边分别属于失败态和原目标状态，必不相等。只在双方成功时比较输出，不能保留操作是否合法。 ### 134.3 完整 Yoneda：对象由全部相容的探针关系确定 #### 134.3.1 宇宙、局部小性和方向 为避免把“所有对象”当成一个未声明的最大集合，固定宇宙 $\mathcal U\in\mathcal V$。假设 $\mathcal C$ 的对象和全部结构数据在 $\mathcal V$ 中可容纳，每个 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$ 是 $\mathcal U$ 中的集合。这样的范畴称为在 $\mathcal U$ 中局部小；对象可以比单个 Hom 集所在的宇宙更大。以下的自然变换集合和函子范畴在足够大的 $\mathcal V$ 中解释。若所用对象类还超出该宇宙，就必须再提升宇宙，不能省略此步骤而把任意大乘积称为小集合。 令 $\mathsf{Set}_{\mathcal U}$ 表示 $\mathcal U$ 中的集合与函数。对每个对象 $X$，定义反变探针轮廓 $$ h_X:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}_{\mathcal U}, \qquad h_X(Z)=\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(Z,X). $$ 探针箭头 $g:W\to Z$ 通过前复合产生 $$ h_X(g):\operatorname{Hom}(Z,X)\to\operatorname{Hom}(W,X), \qquad f\longmapsto f\circ g. $$ 这套轮廓同时包含各探针映射及它们在探针转换下的相容关系。 #### 134.3.2 Yoneda 引理的完整证明 令 $P:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}_{\mathcal U}$ 为任意预层。自然变换 $\eta:h_X\Rightarrow P$ 是一族函数 $\eta_Z:\operatorname{Hom}(Z,X)\to P(Z)$，满足 $$ \eta_W(f\circ g)=P(g)(\eta_Z(f)) \quad(g:W\to Z,\ f:Z\to X). \tag{134.11} $$ **命题 134.3（Yoneda）。** 映射 $$ \eta\longmapsto\eta_X(\mathrm{id}_X) $$ 给出双射 $$ \operatorname{Nat}(h_X,P)\cong P(X). $$ **证明。** 给 $a\in P(X)$，定义 $$ \eta^a_Z(f)=P(f)(a). $$ 因为 $P$ 反变，$P(fg)=P(g)P(f)$，所以 $$ \eta^a_W(fg)=P(g)P(f)(a)=P(g)(\eta^a_Z(f)), $$ 即自然性成立。对恒等箭头求值有 $\eta^a_X(\mathrm{id})=a$。反之，对任意自然变换 $\eta$，在 (134.11) 中取 $Z=X$、$f=\mathrm{id}_X$、$g$ 为任意箭头 $W\to X$，得到 $$ \eta_W(g)=P(g)(\eta_X(\mathrm{id}_X)). $$ 故 $\eta$ 完全由该单个值决定，并等于按上式构造的变换。两构造互逆。证毕。 这个对应也兼容参数转换。若 $u:X'\to X$，则把 $\eta$ 与 $h_u:h_{X'}\to h_X$ 复合后，其恒等求值为 $$ \eta_{X'}(u)=P(u)(\eta_X(\mathrm{id}_X)). $$ 若 $\theta:P\to P'$ 是自然变换，$(\theta\eta)_X(\mathrm{id})=\theta_X(\eta_X(\mathrm{id}))$。这明确给出 Yoneda 对应的两侧自然性。 #### 134.3.3 全忠实与“精确到同构” 取 $P=h_Y$，命题 134.3 成为 $$ \operatorname{Nat}(h_X,h_Y)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y). \tag{134.12} $$ 箭头 $u:X\to Y$ 对应逐探针后复合 $f\mapsto u\circ f$。所以 $X\mapsto h_X$ 是全忠实函子：任意相容轮廓转换来自一个真实箭头，而且该箭头唯一。 若 $\eta:h_X\cong h_Y$ 是自然同构，由 (134.12) 取其与逆变换对应的 $u:X\to Y$、$v:Y\to X$。自然变换复合对应箭头复合，因此 $h_{vu}=\mathrm{id}_{h_X}$、$h_{uv}=\mathrm{id}_{h_Y}$。在 $\mathrm{id}_X$ 和 $\mathrm{id}_Y$ 处求值得 $vu=\mathrm{id}_X$、$uv=\mathrm{id}_Y$。故 $X\cong Y$。 这里“全部相容关系”不只是每个 Hom 集的元素个数，也不是各分量互不相容的双射。例如在集合范畴中取 $X=\{0,1\}$：对除单点探针 $1$ 以外的各 $Z$，令 $\eta_Z$ 为 $\operatorname{Hom}(Z,X)$ 的恒等；在 $Z=1$ 处，令其交换两个点。每个分量都是双射，但这不是自然变换。因为 $\eta_X(\mathrm{id}_X)=\mathrm{id}_X$ 将迫使所有分量由恒等后复合给出，与单点处分量矛盾。真正承重的是自然性。 #### 134.3.4 向外读数使用对偶方向 观察 $q:X\to B$ 是从对象向外的读数，而 $h_X(Z)$ 中的元素是从探针向对象的箭头。这两个方向不能不加说明地合并。 若要使用全部向外读数，定义协变函子 $$ k_X:\mathcal C\to\mathsf{Set}_{\mathcal U},\qquad k_X(Z)=\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Z). $$ 对自然变换 $\theta:k_X\Rightarrow k_Y$，在 $X$ 处求值 $$ u=\theta_X(\mathrm{id}_X):Y\to X. $$ 对任意 $f:X\to Z$，自然性给 $\theta_Z(f)=f\circ u$。反之，任意 $u:Y\to X$ 均按此式产生自然变换。于是 $$ \operatorname{Nat}(k_X,k_Y)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(Y,X). $$ 因此 $X\mapsto k_X$ 是定义在 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ 上的全忠实表示。一个有限选定的读数族 $(q_j:X\to B_j)$ 并不自动等于这个完整函子；它还没有包含所有目标对象、所有向外箭头及其后复合相容性。 ### 134.4 受限探针究竟能确定什么 #### 134.4.1 必须同时给出探针对象与探针转换 令 $\mathcal D$ 为 $\mathcal U$ 小范畴，$i:\mathcal D\to\mathcal C$ 为函子。受限探针轮廓定义为 $$ N_i(X)(d)=\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(i(d),X), \qquad N_i(X)(a)(f)=f\circ i(a) \quad(a:d\to e,\ f:i(e)\to X). $$ 它是 $\mathcal D^{\mathrm{op}}$ 上的预层。对象间箭头 $u:X\to Y$ 给出自然变换 $$ N_i(u)_d(f)=u\circ f. $$ 函子律由复合的单位律和结合律给出，因此 $$ N_i:\mathcal C\to[\mathcal D^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}_{\mathcal U}] $$ 是一个真正的表示函子。 只列一批探针对象，没有唯一指定要检查的自然性。可以取它们的全子范畴、取只含部分转换的子范畴，或取离散范畴；这些选择一般保留不同的结构。 还要区分 $N_i(X)(d)$ 中的全部数学映射与某次实验真正取得的记录。若只保留子集 $A_X(d)\subseteq\operatorname{Hom}(i(d),X)$，至少须对每个探针转换 $a:d\to e$ 满足 $$ f\in A_X(e)\quad\Longrightarrow\quad f\circ i(a)\in A_X(d), $$ 才能形成子预层。若还希望 $X\mapsto A_X$ 成为函子，就须对所允许的对象映射 $u:X\to Y$ 验证 $u\circ f\in A_Y(d)$。即使两种封闭性都成立，也没有自动的全忠实结论；所有 $A_X(d)$ 均为空就是一个完全失去对象信息的例子。 #### 134.4.2 三个不同层级的保证 对任意函子 $N$，下列性质回答不同问题。 - **忠实**：若 $u,v:X\to Y$ 且 $N(u)=N(v)$，则 $u=v$。它检测的是两条已经存在的真实箭头是否相同。 - **反映同构**：若真实箭头 $u$ 的像 $N(u)$ 是同构，则 $u$ 是同构。它仍然以一条真实箭头已经给定为前提。 - **全忠实**：每个 $\operatorname{Hom}(X,Y)\to\operatorname{Hom}(N(X),N(Y))$ 都是双射。它还保证每个相容的轮廓转换都可由真实箭头实现。 全忠实蕴含前两项。反映同构的证明为：若 $N(u)$ 有逆，用 fullness 将其逆提升为 $v$，再由 faithfulness 从 $N(vu)=\mathrm{id}$、$N(uv)=\mathrm{id}$ 得到 $vu=\mathrm{id}$、$uv=\mathrm{id}$。 全忠实还保证任意轮廓自然同构 $N(X)\cong N(Y)$ 都可提升为 $X\cong Y$，因为正反两个轮廓箭头均可提升。只有“反映同构”这一个性质，不能直接处理一条尚未证实来自真实箭头的轮廓同构。 #### 134.4.3 相同的单点探针在不同范畴保留不同结构 在 $\mathsf{Set}_{\mathcal U}$ 中，只取单点集合 $1$ 作为探针，以及其唯一自映射。通过在单点处求值， $$ \operatorname{Hom}(1,X)\cong X. $$ 任意两个这样的轮廓之间的函数恰好是一条集合函数 $X\to Y$；探针范畴没有额外自然性条件。因此这个只有一种探针类型的受限表示全忠实。 在拓扑空间范畴中，仍只取单点空间。每个点都定义一条连续映射 $1\to X$，所以该轮廓仍只看底层点集。它忠实，因为连续映射由逐点值决定；但它不反映同构。取相同二点集合的离散拓扑 $X_d$ 和不可分拓扑 $X_i=\{\varnothing,X\}$，恒等底层映射 $X_d\to X_i$ 连续且双射，反向映射不连续：离散目标的单点开集在 $X_i$ 中不是开集。两者的单点探针轮廓相同，却不是同胚。 这对实例准确定位了盲区：单点映射保留全部点，却没有保留拓扑中哪些点集为开集。不能由“已读到所有点”替代“已保留该范畴的全部结构”。 更极端地，在群范畴只取平凡群 $1$ 时，$\operatorname{Hom}(1,G)$ 对每个群都是单点。不同群都给出相同轮廓，连底层元素的区别也没有保留。 #### 134.4.4 忠实且反映同构仍然不等于全忠实 在群范畴取自由一生成元群 $F_1\cong\mathbb Z$ 所成的全子范畴。其自同态由生成元送到其第 $n$ 次幂给出，$n\in\mathbb Z$。因此 $$ N(G)(F_1)=\operatorname{Hom}(F_1,G)\cong G, $$ 而探针自映射作用是全部幂运算 $g\mapsto g^n$。轮廓间的自然变换对应函数 $u:G\to H$，满足 $$ u(g^n)=u(g)^n\quad\text{对所有 }g,n. $$ 这个函子忠实，因为群同态由各元素上的值确定；它反映同构，因为若某条群同态在轮廓上双射，它就是双射群同态，逆函数由乘法保持式也为群同态。 但它不 full。取加法群 $G=(\mathbb Z/2\mathbb Z)^2$、$H=\mathbb Z/2\mathbb Z$，定义 $$ u(0)=0,\qquad u(g)=1\quad(g\ne0). $$ 对偶数 $n$，$ng=0$ 与 $nu(g)=0$；对奇数 $n$，$ng=g$ 与 $nu(g)=u(g)$。故 $u$ 兼容全部整数倍运算，给出自然变换。若 $a,b$ 是两个不同非零元素，则 $a+b$ 仍非零，因此 $$ u(a+b)=1\ne0=u(a)+u(b). $$ 所以这条相容轮廓转换不是群同态。单个生成元的幂关系没有约束两个独立元素如何相乘。 #### 134.4.5 增加联合探针可以填补具体盲区 在群范畴中取由 $F_1$ 与自由二生成元群 $F_2$ 组成的全子范畴。现在 $$ \operatorname{Hom}(F_1,G)\cong G, \qquad \operatorname{Hom}(F_2,G)\cong G^2. $$ **命题 134.4（两种自由群探针的充分性）。** 这个受限探针函子全忠实。 **证明。** 给自然变换 $\eta:N(G)\to N(H)$，令 $u=\eta_{F_1}:G\to H$。从 $F_1$ 到 $F_2$ 的两条生成元包含映射，在轮廓上分别是 $G^2\to G$ 的两坐标投影。自然性要求 $$ \eta_{F_2}(g,h)=(u(g),u(h)). $$ 再取 $F_1\to F_2$ 中把生成元送到两个生成元乘积的映射；它在轮廓上诱导 $G^2\to G$ 的乘法。因此自然性给 $$ u(gh)=u(g)u(h). $$ $F_1$ 中把生成元送到单位的自同态还给 $u(e)=e$，从而 $u$ 是群同态。它通过后复合产生的自然变换在 $F_1$、$F_2$ 两个分量上都等于原变换，所以每个自然变换都被实现。唯一性由 $F_1$ 分量确定，故全忠实。证毕。 这里虽只有两种探针对象，但保留了到 $G$ 的全部单元素与双元素赋值，以及探针间的全部群同态。探针类型数量有限，不等于所需数据量、映射数量或取得这些关系的实验成本有限。 #### 134.4.6 稠密性是一个精确的充分性条件 下面将 $i:\mathcal D\hookrightarrow\mathcal C$ 限制为小全子范畴的包含。固定 $X$，定义探针在 $X$ 中的实例范畴 $\mathcal E_X$：对象为 $(d,f)$，其中 $f:i(d)\to X$；从 $(d,f)$ 到 $(e,g)$ 的箭头是 $a:d\to e$，满足 $g\circ i(a)=f$。 有典范图 $$ J_X:\mathcal E_X\to\mathcal C,\qquad J_X(d,f)=i(d), $$ 及指向 $X$ 的典范余锥，其分量就是 $f:i(d)\to X$。由于 $\mathcal D$ 小且各 Hom 集小，$\mathcal E_X$ 也是所选宇宙中的小范畴。 称这些探针稠密，是指对每个 $X$，该典范余锥把 $X$ 表示为 $J_X$ 的余极限。这里说的是这一指定图的普遍性质，不预先假定 $\mathcal C$ 中任意余极限都存在。 **命题 134.5（典范余锥与全忠实）。** 在上述假设下，探针稠密当且仅当 $N_i$ 全忠实。 **证明。** 固定 $X,Y$。一个从 $J_X$ 到 $Y$ 的余锥，是为每个 $f:i(d)\to X$ 给出箭头 $c_{d,f}:i(d)\to Y$，并满足 $$ g\,i(a)=f\quad\Longrightarrow\quad c_{d,f}=c_{e,g}\,i(a). \tag{134.13} $$ 令 $\eta_d(f)=c_{d,f}$，则 (134.13) 恰好是自然变换 $N_i(X)\to N_i(Y)$ 的自然性条件。反过来，每个这样的自然变换也按该式给出一个余锥。因此二者有规范双射。 真实箭头 $u:X\to Y$ 沿典范余锥给出的分量是 $u\circ f$，对应的正是 $N_i(u)$。于是典范余锥在顶点 $X$ 具有余极限普遍性质，当且仅当对每个 $Y$，映射 $$ \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y) \longrightarrow\operatorname{Nat}(N_i(X),N_i(Y)) $$ 是双射。对所有 $X$ 同时成立，恰好是 $N_i$ 全忠实。证毕。 这是范畴论的稠密性：对象由探针实例及它们之间的全部相容关系按典范余极限组装。它不是拓扑中某个点集闭包等于全空间的定义。要连接两种稠密性，必须给出具体范畴和对应证明。 ### 134.5 比较的比较需要进一步声明结构 #### 134.5.1 迭代箭头范畴给出交换立体图 $\operatorname{Arr}(\mathcal C)$ 仍是普通一范畴。两条平行方块 $s,t:q\to q'$ 可以相等或不相等，但这个定义没有额外提供一个“从 $s$ 到 $t$ 的变换”类型。 可以再次取 $\operatorname{Arr}(\operatorname{Arr}(\mathcal C))$。具体地，令 $$ s=(\alpha,\beta):q_0\to q_1,\qquad t=(\gamma,\delta):r_0\to r_1. $$ 从 $s$ 到 $t$ 的态射由两个方块 $u:q_0\to r_0$、$v:q_1\to r_1$ 组成，要求 $t\circ u=v\circ s$。若写 $u=(u_X,u_B)$、$v=(v_X,v_B)$，额外交换条件就是 $$ \gamma u_X=v_X\alpha,\qquad \delta u_B=v_B\beta. $$ 连同 $s,t,u,v$ 本身的四个交换条件，得到一个六面都交换的立体图。其复合仍由各分量的复合给出。 这并不自动成为固定边界上两个不同方块之间的非平凡二胞。若 $q_0=r_0$、$q_1=r_1$，并要求比较在两端都是恒等方块，则条件直接成为 $t=s$。要允许非平凡的高层变换，就需另选相应的二胞结构。 #### 134.5.2 自然变换提供一个真正的高层比较模型 以范畴为对象、函子为一胞、自然变换为二胞，是一个具体例子。给同源同目标函子 $F,G:\mathcal A\to\mathcal B$，自然变换 $\eta:F\Rightarrow G$ 的分量是 $$ \eta_x:F(x)\to G(x), $$ 并要求每个 $f:x\to y$ 满足 $G(f)\eta_x=\eta_yF(f)$。这里的分量不是任意标签，而是目标范畴中的真实箭头。 若 $\theta:G\Rightarrow J$，垂直复合定义为 $(\theta\cdot\eta)_x=\theta_x\eta_x$。其自然性由 $$ J(f)\theta_x\eta_x =\theta_yG(f)\eta_x =\theta_y\eta_yF(f) $$ 给出。恒等自然变换逐点取恒等；单位律和结合律逐点继承。 函子还允许两种 whiskering：对 $K:\mathcal B\to\mathcal E$，令 $(K\eta)_x=K(\eta_x)$；对 $H:\mathcal Z\to\mathcal A$，令 $(\eta H)_z=\eta_{H(z)}$。各自的自然性分别来自函子保持复合及原自然性。 给 $\eta:F\Rightarrow G:\mathcal A\to\mathcal B$、$\theta:H\Rightarrow K:\mathcal B\to\mathcal E$，水平复合为 $$ (\theta*\eta)_x =\theta_{Gx}\,H(\eta_x) =K(\eta_x)\,\theta_{Fx}. $$ 两个公式相等，正是 $\theta$ 对箭头 $\eta_x$ 的自然性。对 $f:x\to y$， $$ \begin{aligned} KG(f)\,\theta_{Gx}H(\eta_x) &=\theta_{Gy}HG(f)H(\eta_x)\\ &=\theta_{Gy}H(G(f)\eta_x)\\ &=\theta_{Gy}H(\eta_yF(f)), \end{aligned} $$ 所以它是一条从 $HF$ 到 $KG$ 的自然变换。 垂直与水平复合还满足 interchange。若 $\eta':G\Rightarrow J$、$\theta':K\Rightarrow L$，则逐点有 $$ \begin{aligned} ((\theta'*\eta')\cdot(\theta*\eta))_x &=\theta'_{Jx}K(\eta'_x)\theta_{Gx}H(\eta_x)\\ &=\theta'_{Jx}\theta_{Jx}H(\eta'_x)H(\eta_x)\\ &=((\theta'\cdot\theta)*(\eta'\cdot\eta))_x. \end{aligned} $$ 中间一步又使用 $\theta$ 的自然性。水平结合律也可逐点检查。再给 $\zeta:L\Rightarrow M:\mathcal E\to\mathcal Z$，两种水平组合的分量均为 $$ (\zeta*(\theta*\eta))_x =((\zeta*\theta)*\eta)_x =\zeta_{KGx}\,L(\theta_{Gx})\,LH(\eta_x). $$ 与恒等函子的恒等自然变换作水平复合，分量直接退化为原分量；故水平单位律也严格成立。连同已验证的垂直单位、结合律与 interchange，这给出范畴、函子、自然变换形成的标准二范畴。 若把集合仅视为离散范畴，两个函数所成函子之间有自然变换，当且仅当它们在每个点取相同值，且该变换唯一。因此，非平凡的“函数之间的关系”不能只靠改称自然变换得到；必须为目标提供非离散箭头或另选其他高层结构。 ### 134.6 命名、动态与后承是三个不同的闭合问题 #### 134.6.1 命名闭合：加入已经由现有读数决定的任务 固定来源 $X$ 和一个小的带类型读数宇宙 $\Omega$。每个 $\omega\in\Omega$ 有目标集合 $Y_\omega$ 及函数 $r_\omega:X\to Y_\omega$。使用读数集合 $D\subseteq\Omega$ 时，定义共同核 $$ K_D=\{(x,y):\forall\omega\in D,\ r_\omega(x)=r_\omega(y)\}. $$ 对任意关系 $R\subseteq X^2$，定义 $$ \operatorname{Inv}(R)=\{\omega\in\Omega:R\subseteq\ker r_\omega\}. $$ 二者满足反向 Galois 对应 $$ D\subseteq\operatorname{Inv}(R) \quad\Longleftrightarrow\quad R\subseteq K_D. \tag{134.14} $$ 证明是展开两边，都要求每个 $R$ 相关的状态对在全部 $D$ 读数下相同。 定义命名闭合 $$ \operatorname{Cl}_{\rm name}(D)=\operatorname{Inv}(K_D). $$ **命题 134.6（命名闭合律）。** 此算子广延、单调、幂等，并且 $$ K_{\operatorname{Cl}_{\rm name}(D)}=K_D. \tag{134.15} $$ **证明。** $D\subseteq\operatorname{Inv}(K_D)$ 由共同核定义成立。若 $D\subseteq D'$，则 $K_{D'}\subseteq K_D$，故 $\operatorname{Inv}(K_D)\subseteq\operatorname{Inv}(K_{D'})$，给出单调性。广延性先给 $K_{\operatorname{Cl}_{\rm name}(D)}\subseteq K_D$；另一方面，闭合中新加入的每个读数都在 $K_D$ 上恒定，故 $K_D\subseteq K_{\operatorname{Cl}_{\rm name}(D)}$。这证明 (134.15)，再对其应用 $\operatorname{Inv}$ 得到幂等性。证毕。 把联合观察写为 $q_D(x)=(r_\omega(x))_{\omega\in D}$。一个 $\omega$ 属于命名闭合，当且仅当 $r_\omega$ 唯一地通过 $q_D[X]$ 分解。因此它加入的是已有读数所决定的任务，不增加共同核的区分力。读数宇宙 $\Omega$ 必须固定；改变它会改变哪些任务被称为闭合成员。集合意义上的分解不自动给出计算方法、实验权限或代价。 #### 134.6.2 动态闭合：加入所有允许继续实验 固定同一操作族 $T_a:X\to X$。对等价关系 $E$ 定义 $$ \operatorname{Stab}(E) =\bigcap_{w\in A^*}(T_w\times T_w)^{-1}[E]. \tag{134.16} $$ 它是等价关系，且包含式由空词给出 $\operatorname{Stab}(E)\subseteq E$。若 $x\operatorname{Stab}(E)y$，对任意 $a,w$ 使用词 $aw$，得到 $T_ax\operatorname{Stab}(E)T_ay$，故它操作稳定。若 $R\subseteq E$ 本来是稳定等价关系，沿词归纳得 $T_wx\,R\,T_wy$，因此 $R\subseteq\operatorname{Stab}(E)$。 所以 $\operatorname{Stab}(E)$ 是 $E$ 内最大的稳定等价关系。它对关系包含单调，又满足 $\operatorname{Stab}(\operatorname{Stab}(E))=\operatorname{Stab}(E)$，因为第一次结果已经稳定。这在关系按包含排序时是一个缩小关系的内算子；按观察细化方向说，才是保留原读数的最小稳定细化。 对单个观察 $q$， $$ \operatorname{Dyn}(q)(x)(w)=q(T_wx) $$ 满足 $\ker\operatorname{Dyn}(q)=\operatorname{Stab}(\ker q)$。它可以严格分开原来同名的状态，与命名闭合保持核不变的作用不同。全体有限词通常仍是无限索引集；定义了完整行为函数，不表示算法已经取得所有坐标，也不提供判定两状态等价的有限停止界。 稳定性本身也不保证保留原任务：恒定观察在任何操作下都稳定，动态闭合后仍恒定，却不能决定一个非恒定任务。若有必须保留的任务族，应先将它们纳入读数要求，或明确证明它们通过现有读数分解。 需要区分两种幂等表述。第一次函数的陪域为 $Q^{A^*}$，第二次为 $(Q^{A^*})^{A^*}$，不能在不同类型之间写原函数字面相等。令 $\Phi=\operatorname{Dyn}(q)$、$\Psi=\operatorname{Dyn}(\Phi)$，则 $$ \Psi(x)(v)(w)=q(T_wT_vx)=\Phi(x)(vw). $$ 定义 $J(b)(v)(w)=b(vw)$，以及 $E(c)(w)=c(\varepsilon)(w)$。于是 $\Psi=J\Phi$、$\Phi=E\Psi$；$EJ=\mathrm{id}$ 在全部记录上成立，$JE=\mathrm{id}$ 在 $\Psi[X]$ 上成立。两次闭合具有相同核，并在实际像上规范双射，这才是函数表示层的幂等识别。 若读数宇宙 $\Omega$ 已经对各 $r\mapsto r\circ T_a$ 封闭，则也可在同一个集合格中定义 $$ \operatorname{Cl}_{\rm dyn}(D)=\{r\circ T_w:r\in D,\ w\in A^*\}. $$ 这里把 $\Omega$ 视为有类型函数集合，重复表示按同一函数识别。该算子广延、单调；由于 $T_{uv}=T_vT_u$，再取有限词轨道不会产生轨道外的读数，所以在这个固定宇宙上严格幂等。原始函数的类型变化问题与集合格上的这个幂等式并不冲突。 #### 134.6.3 两种观察闭合如何连接，又为何不可随意交换 在上一节固定且对操作封闭的读数宇宙中， $$ K_{\operatorname{Cl}_{\rm dyn}(D)}=\operatorname{Stab}(K_D). $$ 结合 (134.15)，得到 $$ \operatorname{Cl}_{\rm name}\operatorname{Cl}_{\rm dyn} \operatorname{Cl}_{\rm name}(D) = \operatorname{Cl}_{\rm name}\operatorname{Cl}_{\rm dyn}(D). \tag{134.17} $$ 证明为：命名闭合先不改变 $K_D$，动态闭合的核只由 $K_D$ 通过 (134.16) 决定，最后命名闭合又只依赖所得核。 更具体地，令 $$ \widehat{\operatorname{Cl}}(D) =\operatorname{Cl}_{\rm name}(\operatorname{Cl}_{\rm dyn}(D)). $$ 这是同时命名闭合、动态闭合且包含 $D$ 的最小读数族。首先它已命名闭合；其核 $E=\operatorname{Stab}(K_D)$ 稳定，故任意在 $E$ 上恒定的 $r$，其 $r\circ T_a$ 仍在 $E$ 上恒定，说明它也动态闭合。若 $L$ 同时具有两种闭合性且包含 $D$，则它先包含 $\operatorname{Cl}_{\rm dyn}(D)$，再包含其命名闭合，因此包含 $\widehat{\operatorname{Cl}}(D)$。这也证明共同闭合的幂等性。 这个特定相容结构不能被误写为两个算子总能交换。取 $X=\{0,1\}^2$，操作交换两个坐标，$\Omega$ 为全部二值读数，$D=\{a\}$ 为第一坐标。先命名闭合得到 $\{0,1,a,1-a\}$，再取动态轨道得到 $$ \{0,1,a,1-a,b,1-b\}. $$ 先取动态轨道得到 $\{a,b\}$，其联合观察区分全部四个状态，故再命名闭合得到全部 $16$ 个二值函数。异或 $a\mathbin{\mathrm{xor}}b$ 属于后一集合，不属于前一集合；其在 $00,01,10,11$ 上的值依次为 $0,1,1,0$，不等于前述六个函数中的任何一个。 #### 134.6.4 后承闭合：加入逻辑系统承认的全部后果 另固定句子集合 $\Sigma$ 和算子 $\operatorname{Cn}:\mathcal P(\Sigma)\to\mathcal P(\Sigma)$，满足 Tarski 三公理： $$ \Gamma\subseteq\operatorname{Cn}(\Gamma),\qquad \Gamma\subseteq\Delta\Longrightarrow\operatorname{Cn}(\Gamma)\subseteq\operatorname{Cn}(\Delta), \qquad \operatorname{Cn}(\operatorname{Cn}(\Gamma))=\operatorname{Cn}(\Gamma). $$ 闭理论是满足 $T=\operatorname{Cn}(T)$ 的句子集。 **命题 134.7（最小闭理论）。** $\operatorname{Cn}(\Gamma)$ 是包含 $\Gamma$ 的最小闭理论，且任意闭理论族的交仍是闭理论。 **证明。** 前一结论的包含性来自广延性，闭合性来自幂等性。若 $\Gamma\subseteq T$ 且 $T$ 闭合，单调性给 $\operatorname{Cn}(\Gamma)\subseteq\operatorname{Cn}(T)=T$。对一族闭理论 $(T_i)$，单调性给 $\operatorname{Cn}(\bigcap_iT_i)\subseteq T_i$ 对每个 $i$ 成立，故包含于交；广延性给反向。空交为 $\Sigma$，亦满足闭合。证毕。 语义后承可由另一个反向 Galois 对应构造。固定在所选更大宇宙内的模型集合 $\mathcal M$ 和满足关系，令 $$ \operatorname{Mod}(\Gamma)=\{M\in\mathcal M:\forall\varphi\in\Gamma,\ M\models\varphi\}, $$ $$ \operatorname{Th}(\mathcal A)=\{\varphi\in\Sigma:\forall M\in\mathcal A,\ M\models\varphi\}. $$ 定义 $\operatorname{Cn}_{\rm sem}(\Gamma)=\operatorname{Th}(\operatorname{Mod}(\Gamma))$。有 $\Gamma\subseteq\operatorname{Th}(\mathcal A)$ 当且仅当 $\mathcal A\subseteq\operatorname{Mod}(\Gamma)$。与命题 134.6 的证明相同， $$ \operatorname{Mod}(\operatorname{Cn}_{\rm sem}(\Gamma))=\operatorname{Mod}(\Gamma), $$ 从而给出三条闭合律。若没有模型，则 $\operatorname{Th}(\varnothing)=\Sigma$，依然是合法闭合值；闭合不保证一致性。若另给语法证明系统，要把它的可证后承与这里的语义后承认作同一算子，还需要该系统自己的可靠性与完备性定理。 这些公理也没有给出有限证明搜索的停止界、句子成员关系的判定算法或资源消耗上界。逻辑闭合的定义域是句子族，命名闭合的定义域是读数族，动态闭合还依赖允许操作；三个幂等式不是同一个对象上的同一命题。 #### 134.6.5 闭合怎样随表示运输 一般地，若 $\tau:\Sigma\to\Sigma'$ 为句子的双射，可定义运输后的后承 $$ \operatorname{Cn}'(\Delta) =\tau[\operatorname{Cn}(\tau^{-1}[\Delta])]. $$ 双射的像与原像互逆，因此逐项继承广延、单调和幂等，并有 $\tau[\operatorname{Cn}(\Gamma)]=\operatorname{Cn}'(\tau[\Gamma])$。若目标后承已经独立给定，则这个等式必须另证；只给句子标签双射不能保证证明制度被保持。 命名闭合也需要保持读数核的共同结构。若 $F:X\to X'$ 与 $\tau:\Omega\to\Omega'$ 都双射，且对每个 $r\in\Omega$ 有 $$ (F\times F)[\ker r]=\ker\tau(r), $$ 则取共同核、再取不变量直接得到 $$ (F\times F)[K_D]=K'_{\tau[D]},\qquad \tau[\operatorname{Cl}_{\rm name}(D)] =\operatorname{Cl}'_{\rm name}(\tau[D]). $$ 第一个等式使用 $F$ 双射以运输任意交；第二个等式逐读数使用所列核对应。动态闭合则还需要 $FT_a=T'_aF$，才能通过所有词得到已证明的行为关系保持与反射。 因此三种运输各有合同：命名要求共同核相容，动态要求允许操作相容，后承要求推理制度相容。只有逐项验证，才能把一种表示下的结论交给另一种表示。 #### 134.6.6 后承翻译的保持、反射与闭理论伴随 对一般句子映射 $\tau:\Sigma\to\Sigma'$，后承保持指 $$ \tau[\operatorname{Cn}(\Gamma)] \subseteq\operatorname{Cn}'(\tau[\Gamma]) \quad\text{对每个 }\Gamma\subseteq\Sigma. $$ 它等价于每个目标闭理论的原像仍是源闭理论。证明如下：若保持成立，对闭理论 $T'$ 取 $\Gamma=\tau^{-1}[T']$，得到 $\tau[\operatorname{Cn}(\Gamma)]\subseteq T'$，所以 $\operatorname{Cn}(\Gamma)\subseteq\Gamma$，结合广延性得闭合。反之，给任意 $\Gamma$，取 $T'=\operatorname{Cn}'(\tau[\Gamma])$。原像闭合且包含 $\Gamma$，所以包含 $\operatorname{Cn}(\Gamma)$，这正是保持式。 在保持条件下，闭理论格之间定义 $$ L(T)=\operatorname{Cn}'(\tau[T]),\qquad R(T')=\tau^{-1}[T']. $$ 两者确实取闭理论值，并满足 $$ L(T)\subseteq T' \quad\Longleftrightarrow\quad T\subseteq R(T'). $$ 前一步等价于 $\tau[T]\subseteq T'$，因为 $T'$ 闭合；后一步是像与原像的定义。因此这是一对有明确方向的序伴随。 后承反射是另一项条件： $$ \tau^{-1}[\operatorname{Cn}'(\tau[\Gamma])] \subseteq\operatorname{Cn}(\Gamma). $$ 保持给出相反包含，故同时保持与反射当且仅当这两个集合相等。在这种情形，对每个源闭理论 $T$ 有 $R(L(T))=T$，所以 $L$ 是序嵌入；这仍不保证每个目标闭理论都来自源理论。 若 $\sigma:\Sigma'\to\Sigma''$ 也保持后承，则 $$ \sigma\tau[\operatorname{Cn}(\Gamma)] \subseteq\sigma[\operatorname{Cn}'(\tau[\Gamma])] \subseteq\operatorname{Cn}''(\sigma\tau[\Gamma]), $$ 所以复合保持。若两者也反射，则由 $\sigma\tau(\varphi)\in\operatorname{Cn}''(\sigma\tau[\Gamma])$ 先反射到 $\tau(\varphi)\in\operatorname{Cn}'(\tau[\Gamma])$，再反射到 $\varphi\in\operatorname{Cn}(\Gamma)$，故复合反射。恒等翻译逐式满足两条件。这里每个方向都有自己的证明；一个语法翻译的存在不替代这些合同。 ### 134.7 数学相容还不等于一个可执行、可计费的工具 #### 134.7.1 概率律与联合来源需要独立运输 设观察方块 (134.5) 的集合带有 $\sigma$ 代数，$F,H,q,q'$ 均可测。给原状态律 $\mu$，还须声明目标状态律是 $\mu'=F_*\mu$。此时对任意目标读数事件 $C$， $$ \begin{aligned} (q'_*\mu')(C) &=\mu(F^{-1}(q'^{-1}(C)))\\ &=\mu(q^{-1}(H^{-1}(C)))\\ &=(H_*(q_*\mu))(C). \end{aligned} $$ 故读数律正确运输。若没有 $\mu'=F_*\mu$，即使所有底层映射均为恒等，也可以另选不同概率律，从而得到不同读数统计。因此集合双射不自动是概率保测同构。 若多个端口、历史窗口或随机种子共享来源，需要对整份联合律作同一运输。分别正确的边缘不足以确定相关性，也不足以获得一个对未知参数共同可执行的模拟过程。自适应协议还需保持可读取的历史、过滤族与停止规则；增加访问权限会改变实验问题。 #### 134.7.2 工具串接的实际合同 可以用关系 $R\subseteq X\times Y$ 表示第一工具的允许执行，用 $S\subseteq Y\times Z$ 表示第二工具。给前提集合 $P\subseteq X$、中间保证 $Q\subseteq Y$、最终保证 $W\subseteq Z$，假定 $$ \forall x\in P,\ \exists y,\ xRy; \qquad x\in P,\ xRy\Longrightarrow y\in Q; $$ $$ \forall y\in Q,\ \exists z,\ ySz; \qquad y\in Q,\ ySz\Longrightarrow z\in W. $$ 则复合关系 $S\circ R$ 在 $P$ 上总能执行，且每个实际复合结果属于 $W$。证明为：第一工具给出一个满足 $Q$ 的共同中间值 $y$，再由第二工具取得结果；对任意复合见证 $y$ 逐次应用两份保证即可。不能把第一工具的一个结果与第二工具在另一个不相容输入上的成功拼成同一次执行。 若同一执行的两步成本已定义为 $c_1(x,y)$、$c_2(y,z)$，且总成本按二者之和计费，则统一上界 $c_1\le C_1$、$c_2\le C_2$ 给出 $C_1+C_2$。分别在不同输入或中间见证上取得的最小值，不因此成为同一次复合可达的总成本。编码、译码、准备、验证和调用次数只有被明确纳入成本语义，才参与比较。 这说明箭头、自然变换与闭合提供结构相容的语言；可执行性、共同来源与资源界仍是各自的数学义务。新的探针若恰好切开旧盲区，可能解决新的恢复问题，但必须把取得该探针的能力和代价明列，不能声称原实验接口已因此变强。 范畴论背景为箭头范畴、Yoneda 引理、稠密函子与自然变换；对应 Mathlib `CategoryTheory.Arrow`、`yonedaEquiv`、`Functor.IsDense`。仓内 `EffectiveImageNaturality`、`DefinitionKernelGalois`、`IndexedObservationClosureLaws` 与 `TheoryIsConsequenceFixedPoint` 给出实际像及闭合接口。 ## 134.99 追加锚 ## 135. 生成来源、极限原语与有限预算的区别 关系成立、语义可识别和有限预算取得是不同义务。本节将已有生成机制及校准结果接到统一接口，并保留第118—119节对时间字典与原语费用的精确区分。 ### 135.1 解析生成关系的零／一结论在参数空间判定 设 $\Omega\subseteq\mathbb R^d$ 为非空连接开集，$d\ge1$，潜参数 $U$ 的概率律为 $\nu$，且 $\nu\ll\lambda_d|_\Omega$。给定开集 $Z\subseteq\mathbb R^m$、可测生成器 $G:\Omega\to Z$ 和待验标量关系 $R:Z\to\mathbb R$，要求拉回 $$ h(u)=R(G(u)) $$ 在 $\Omega$ 上实解析，从而所验事件可测；$G$ 与 $R$ 分别解析是保证该条件的一种充分方式。 **命题 135.1（解析拉回的零／一）。** 在这些假设下， $$ \Pr(R(G(U))=0)= \begin{cases} 1,&h\equiv0\text{ 于 }\Omega,\\ 0,&h\not\equiv0\text{ 于 }\Omega. \end{cases} $$ **证明。** 恒零时结论直接成立。非恒零时，实解析函数的零集具有 $d$ 维 Lebesgue 测度零，再由绝对连续性得到 $\nu(h^{-1}(0))=0$。 为明确这个标准零集结论的承重条件，可以用如下短证明。令 $F$ 为 $h$ 的所有阶偏导都为零的点集。偏导连续使 $F$ 相对闭；解析 Taylor 展开使每个 $F$ 中的点都有 $h$ 恒零的邻域，故该邻域内所有偏导也零，$F$ 相对开。连接性与 $h$ 非恒零因此给 $F=\varnothing$。对任一零点 $x$，有最小的非零偏导阶数 $m\ge1$；于是存在多重指标 $\beta$ 及坐标 $i$，使 $$ \partial^\beta h(x)=0,\qquad \partial_i\partial^\beta h(x)\ne0. $$ 所以零集包含在可数个集合 $$ \{x:\partial^\beta h(x)=0,\ \partial_i\partial^\beta h(x)\ne0\} $$ 的并中。每个这样的集合由隐函数定理局部写为一个坐标方向上的 $C^1$ 图；图的每条对应垂直纤维至多一点，Fubini 给出其 Lebesgue 测度零。欧氏开集的第二可数性允许取可数个局部图覆盖，再取可数并，仍为零测集。证毕。 这是成熟解析零集定理的应用，标准出处为 Mityagin，*The Zero Set of a Real Analytic Function*，[Proposition 0](https://arxiv.org/pdf/1512.07276)。它没有宣称绝对连续性在所有具体模型中都是必要条件；真正需要的是采样律不把质量放在相关的非恒零解析零集上。绝对连续性给出一个对该类关系统一适用的充分条件。 判定对象是 $R\circ G$，不是环境关系单独的零集。例如 $G(u)=(u,2u)$、$R(x,y)=y-2x$，则 $R$ 在平面中非恒零，$R\circ G$ 却恒为零。生成输出落在该直线上的概率是一；环境二维 Lebesgue 零测性不能套到这份由一维参数推前的输出律上。 以下反例说明各项范围不能略去。 1. **域不连接。** 取 $\Omega=(-2,-1)\cup(1,2)$，在左分量令 $h=0$，右分量令 $h=1$，并在两分量各放一半均匀概率。$h$ 在该开集上解析，采样律绝对连续，但零事件概率为 $1/2$。 2. **只有光滑性。** 在 $(-1,1)$ 上令 $h(x)=0$ 当 $x\le0$，$h(x)=e^{-1/x^2}$ 当 $x>0$。每阶右导数是 $e^{-1/x^2}$ 乘一个 $1/x$ 的多项式，趋于零，所以 $h$ 为 $C^\infty$；它非恒零，均匀采样的零事件概率仍为 $1/2$。 3. **多变量无原子仍可集中在零集。** 在 $(-1,1)^2$ 上令 $h(x,y)=y$。把概率的一半放在横线 $y=0$ 上的一维均匀律，另一半放在正方形上的二维均匀律。整体无点原子，零事件概率却为 $1/2$。只用横线律时该概率为一，但 $h$ 在二维开域仍非恒零。 4. **不可数关系族。** 对连续均匀参数 $U\in[0,1]$，每个固定 $t$ 的关系 $U=t$ 概率为零，而“存在 $t\in[0,1]$ 使 $U=t$”概率为一。逐个固定关系的零概率不允许取任意不可数并。 精确零事件也不给近似关系的统一速率。取 $U$ 在 $[-1,1]$ 上均匀、$h_a(u)=au$，其中 $a>0$。每个 $h_a$ 都解析且非恒零，但对 $\epsilon\ge0$， $$ \Pr(|h_a(U)|\le\epsilon)=\min\{1,\epsilon/a\}. $$ 当 $a\le\epsilon$ 时，近似关系以概率一成立。故没有控制幅度、导数或次水平集的定量条件时，零集定理本身不提供有限精度判别预算。 ### 135.2 复制混合中的匹配率依赖一份指定联合律 设 $(X,\mathcal F,\mu)$ 为概率空间，$q_L:X\to Q_L$ 为有限可测标签，且有父映射满足 $q_L=r_Lq_{L+1}$。一次成对抽样的机制明确规定为 $$ J_{\eta,\mu} =(1-\eta)\operatorname{diag}_*\mu+\eta\,\mu\otimes\mu, \qquad 0\le\eta\le1. $$ 其中 $1-\eta$ 是复制同一份样本的权重，$\eta$ 是独立重抽的权重。实际观察仅为匹配位 $$ B_L=\mathbf1_{\{q_L(X_1)=q_L(X_2)\}}. $$ 记 $p_{L,w}=\mu(q_L=w)$，并定义独立碰撞概率 $$ C_L=\sum_{w\in Q_L}p_{L,w}^2. $$ **命题 135.2（复制与独立碰撞的分解）。** 有 $$ s_L:=\Pr_{J_{\eta,\mu}}(B_L=1) =1-\eta+\eta C_L. $$ **证明。** 在对角推前项中，两份标签必相等，匹配事件质量为一。在独立项中，事件是互不相交的 $\{q_L=w\}\times\{q_L=w\}$ 的有限并，其质量为 $\sum_wp_{L,w}^2$。对混合律线性求值即得公式。证毕。 因此，在 $\mu$ 已知且某层 $C_L<1$ 时，精确匹配概率决定 $$ \eta=\frac{1-s_L}{1-C_L}. $$ 若 $C_L=1$，该层恒匹配，完全没有这项参数分离能力。即便可识别，这个公式仍是在分布层识别混合权重，不是由一次匹配宣判该次究竟来自复制还是独立重抽。 这里的共同来源是模型中已经声明的生成关系。RRO §56.6 与 §57.13–57.15 已区分“复用同一个输入”与“按同一边缘律重新抽一个输入”：DAG 的重复输入槽读取同一个代表；边缘相同并不保持所有联合关系。本式同样不能从任意联合分布唯一反推一个未声明的历史来源机制。 #### 135.2.1 碰撞极限由完整观察原子决定 令 $q_\infty(x)=(q_L(x))_L$ 取值于有限标签塔的相容逆极限 $Y$，令 $\nu=(q_\infty)_*\mu$。RRO 定义 78.1 保证 $Y$ 是标准 Borel 空间且其对角可测。由于匹配事件随细化递减，有限测度的上连续性给 $$ C_L\downarrow(\nu\otimes\nu)(\{(y,y):y\in Y\}). $$ Tonelli 给出右端为 $\int\nu(\{y\})\,d\nu(y)$。正质量点至多可数：对每个 $n$，质量至少 $1/n$ 的点至多有 $n$ 个；取可数并便包含全部正质量点。因此 $$ C_L\downarrow A_2:=\sum_{y:\nu(\{y\})>0}\nu(\{y\})^2, \qquad s_L\longrightarrow1-\eta+\eta A_2. $$ 这正是 RRO 定理 78.2 已有的碰撞极限；同节胞腔对角算子的有限层纯度满足 $C_L=\operatorname{Tr}(R_L^2)$，但本处不需要重做其 Schatten 范数证明。 若完整观察律 $\nu$ 无原子，则 $\eta=1-\lim_Ls_L$。仅环境 $\mu$ 无点原子不够：在 $[0,1]$ 上使用 Lebesgue 概率，但所有 $q_L$ 恒定，则完整观察律是一个单位原子，$C_L=s_L=1$ 对所有层与所有 $\eta$ 成立。这是 RRO 命题 78.3 的常值观察边界。 ### 135.3 未知原子使两种来源机制具有完全相同的匹配迹 取 $X=\{0,1\}^{\mathbb N}$，$q_L$ 为长度 $L$ 前缀，$q_0$ 为唯一空前缀，$\mu$ 为公平独立二进制律。 - **模型 A：** 边缘为 $\mu$，$\eta_A=3/4$；有 $1/4$ 的实际复制。 - **模型 B：** 边缘为 $\mu'=\tfrac12\delta_{0^\infty}+\tfrac12\mu$，$\eta_B=1$；完全独立重抽。 **命题 135.3（整个无限匹配迹同律）。** 两模型中随机序列 $(B_L)_{L\ge0}$ 的联合律完全相同，但 $\eta_A\ne\eta_B$。 **证明。** 模型 A 的每个前缀质量为 $2^{-L}$，所以 $$ C_L=2^{-L},\qquad s_L^A=\frac14+\frac34\,2^{-L}. $$ 模型 B 的全零前缀质量为 $1/2+2^{-L-1}$，其余 $2^L-1$ 个前缀各有质量 $2^{-L-1}$，故 $$ \begin{aligned} s_L^B=C'_L &=\left(\frac12+2^{-L-1}\right)^2 +(2^L-1)2^{-2L-2}\\ &=\frac14+\frac34\,2^{-L}=s_L^A. \end{aligned} $$ 还须证明这不是只比较了边缘。前缀相容性给 $B_0=1$ 且 $B_{L+1}\le B_L$，所以一份完整匹配迹唯一由首次失配层 $$ \tau=\inf\{L\ge1:B_L=0\}\in\{1,2,\ldots\}\cup\{\infty\} $$ 确定。其分布为 $$ \Pr(\tau=m)=s_{m-1}-s_m,\qquad \Pr(\tau=\infty)=\lim_Ls_L. $$ 两模型的全部 $s_L$ 相同，因此这个可数取值随机变量同律，进而完整匹配迹同律。证毕。 模型 A 的恒匹配质量 $1/4$ 来自真实复制；模型 B 中两个独立样本同时落在质量 $1/2$ 的原子，概率也为 $1/4$。它们在匹配接口上完全混淆。若额外观察边缘标签，就改变了问题：例如第一样本首位为一的概率，在 A 中为 $1/2$，在 B 中为 $1/4$，所以加入这项读数便可在分布层区分二者。 这个构造使用 RRO 命题 78.3 已有的原子—Bernoulli 混合族。它的关系意义是：映射 $$ (\eta,\mu)\longmapsto\operatorname{Law}((B_L)_{L\ge0}) $$ 的一条纤维上，目标 $\eta$ 不恒定。依据任务分解准则，$\eta$ 不能通过该接口恢复；继续处理同一份完整匹配数据，也不能把这两个模型分开。 ### 135.4 非原子契约修复极限识别，却不给统一有限深度 固定任意有限深度 $D\ge0$。令 $\nu_D$ 的前 $D$ 位确定为零，之后的位独立公平，置 $$ \mu_D'=\tfrac12\nu_D+\tfrac12\mu,\qquad \eta_D=1. $$ $\nu_D$ 无原子，因为对任意单点，其长度 $L>D$ 前缀质量至多为 $2^{-(L-D)}$，令 $L\to\infty$ 即得单点质量零；$\mu_D'$ 因而也无原子。对每个 $L\le D$，$\nu_D$ 与 $\delta_{0^\infty}$ 的前缀标签律相同，因此 $\mu_D'$ 与上一节模型 B 的边缘在这些深度完全相同。 于是模型 A 与 $(\eta_D,\mu_D')$ 的整段有限匹配迹 $(B_0,\ldots,B_D)$ 同律。若实验每次独立重做成对抽样，则任意次数的这种有限迹重复也同律，因为各次记录律的乘积相同。读取顺序、随机后处理或只在 $0,\ldots,D$ 中自适应挑层，都不能从同律记录中产生区别。 但两模型的完整观察律均无原子，且 $\eta_A=3/4\ne1=\eta_D$；它们的无限尺度极限分别为 $1/4$ 和 $0$。差别只在允许深度之外才显现。这证明了两个不同量词： $$ \forall\mu\text{（完整观察无原子）},\quad C_L(\mu)\to0, $$ 却没有一个对该整个模型类共同有效的有限深度。事实上，对每个给定 $D$，$\nu_D$ 在该层只有一个前缀标签，因此 $$ \sup_{\mu\text{ 无原子}}C_D(\mu)=1. $$ 若要取得统一精度预算，必须增加一份真正的定量接口，例如已知 $C_L\le\omega(L)\to0$。这时使用精确概率的近似量 $\tilde\eta_L=1-s_L$ 才有 $$ 0\le\eta-\tilde\eta_L=\eta C_L\le\omega(L). $$ 该式只控制有限深度偏差；估计 $s_L$ 所需的样本、独立重置和读数费用仍须分别计入，不能由无原子性或这个代数式自动得到。 ### 135.5 每个传感器都非退化，仍可没有共同有限记录预算 沿用 RRO 定义 109.1 的四态核族、两个方向、共同初态 $X_0=1$ 和逐时条件独立刷新传感器。取二值读数，并设 $$ E_i(1)=p_i,\qquad p_0=p_2=\frac12,\quad p_1=\frac12-\varepsilon,\quad p_3=\frac12+\varepsilon, \qquad0<\varepsilon<\frac12. $$ 每个固定 $\varepsilon>0$ 都有三个环发射行两两不同，所以现有命题 109.2 的一致性结论适用。取同一个读数函数 $f(0)=1/4,f(1)=3/4$，则 $$ \theta_1=\frac12-\frac\varepsilon2,\quad \theta_2=\frac12,\quad \theta_3=\frac12+\frac\varepsilon2, $$ $$ V_f=(\theta_1-\theta_2)(\theta_2-\theta_3)(\theta_3-\theta_1) =\frac{\varepsilon^3}{4}>0. $$ 因此整个 $\varepsilon>0$ 族还满足同一份部分标定 $(f,b=1)$，落在 RRO §111 的固定相容类中。这些严格不等式没有给出共同的正信号下界。 令 $N=n+1$ 为实际读取的标签数，$P^{\varepsilon}_{0,k,N}$、$P^{\varepsilon}_{1,k,N}$ 为两方向读数律。 **命题 135.4（弱传感器的共同子测度下界）。** 对任意随机化检验 $\varphi:\{0,1\}^N\to[0,1]$，其公平先验风险满足 $$ R^\varepsilon_{k,N}(\varphi) \ge\frac12(1-2\varepsilon)^N \ge\frac12-N\varepsilon. $$ **证明。** 令 $U$ 为公平 Bernoulli 律。对每个状态 $i$ 和读数 $y$， $$ E_i(y)\ge\frac12-\varepsilon=(1-2\varepsilon)U(y). $$ 给定任意隐藏路径后，逐时独立性因此给出每个读数词上的概率质量下界 $$ \prod_{t=0}^{N-1}E_{X_t}(y_t) \ge(1-2\varepsilon)^N U^{\otimes N}(y). $$ 对任意方向的隐藏路径律混合，下界仍成立，所以两方向都包含同一个质量为 $(1-2\varepsilon)^N$ 的子测度。将风险的两项积分限制到该子测度，得到 $$ \begin{aligned} R^\varepsilon_{k,N}(\varphi) &=\tfrac12\left(\int\varphi\,dP_0^\varepsilon+ \int(1-\varphi)\,dP_1^\varepsilon\right)\\ &\ge\tfrac12(1-2\varepsilon)^N \int(\varphi+1-\varphi)\,dU^{\otimes N}\\ &=\tfrac12(1-2\varepsilon)^N. \end{aligned} $$ Bernoulli 不等式 $(1-2\varepsilon)^N\ge1-2N\varepsilon$ 给出第二个界。该线性界在右端为负时仅为空泛下界，前一乘幂界对整个所列区间仍有效。证毕。 证明没有使用具体检验，也没有要求检验不知道 $\varepsilon$ 或 $k$。即使允许它知道二者，对每个固定有限 $N$、每个固定 $k\ge2$，仍有 $$ \sup_{0<\varepsilon<1/2}\inf_\varphi R^\varepsilon_{k,N}(\varphi) =\frac12. $$ 下界由 $\varepsilon\downarrow0$ 得到；上界由恒报一个方向的规则给出。任何要求在全部这些非退化传感器上达到风险 $r<1/2$ 的共同有限 $N$ 因而不存在。允许在至多 $N$ 个标签内根据既有记录随机停止，也不能改善这个结论：完整前缀和独立随机种子可以模拟该决策，所以仍属于上述随机化检验类。这里没有增加参数干预、额外标定或其他传感器权限。 这不反驳现有正文：命题 110.2 给固定通道下 $C_E/N$ 的共同最坏参数界；命题 111.2 更给一个不使用通道数值的规则族，但量词明确为 $$ \exists(\Psi_n)\quad\forall E\in\mathcal C_{f,b}\quad \exists C_{E,f}<\infty\quad\forall k,d,n:\quad \Pr^E_{d,k}(\Psi_n\ne d)\le\frac{C_{E,f}}{n+1}. $$ 它先固定共同规则，再对每个固定通道给相应常数，没有对通道类取统一上确界。有限记录下界表明：不能把 $\forall E\,\exists C_{E,f}$ 换成一个对任意弱通道都有效的共同常数或共同有限标签预算。 ### 135.6 有限表达、最优值和原语计价是三件事 沿用 RRO §118–119 的实际四态时间字典。固定 $0<\delta\le1/2$，记 $$ \lambda=1-\frac{4\delta}{3}\in[1/3,1),\qquad c=\frac{1-\delta/3}{4}>0,\qquad H(z)=z^2+cz+c^2, $$ $$ R=\frac{H(1)}{H(\lambda)},\qquad G=1+6R,\qquad \pi=(1/4,1/4,1/4,1/4),\qquad \mu_{t,d}=e_1K_d^t. $$ 连续参数区间 $0<\delta\le1/2$ 是第118—119节的分析范围；原实验的可选参数仍为 $\delta=1/k$、整数 $k\ge2$。下面的代数比较不增加任意实数参数的干预权限。 原字典的一份表示是有限系数向量 $a$，满足 $e_0=\sum_{t=0}^La_t\mu_{t,d}$，并按 $\Gamma(a)=\sum_{t=0}^L|a_t|$ 计费。共同表示要求同一组系数适用于两个方向。本节的代价只是有符号系数总量；没有把负系数组合当作物理随机混合，也没有将它定义为样本数或运行时间。 #### 135.6.1 平稳行已有有限表达，新增单位成本原子仍改变优化问题 式 (118.2p) 已给三次多项式 $$ s_\delta(z)=\frac{(z-\lambda)H(z)}{(1-\lambda)H(1)},\qquad e_1s_\delta(K_d)=\pi\quad(d=0,1). $$ 所以 $\pi$ 已属于时间 $0,1,2,3$ 的共同有符号线性张成。该事实不等于某个有限实际时间行已经等于 $\pi$；§118 同时证明每个有限 $t$ 都有 $\mu_{t,d}\ne\pi$。 这份有限表达的旧字典代价可直接算出。令 $$ b=\lambda-c>0,\qquad \sigma=b+cb+\lambda c^2=1-(1-\lambda)H(1)\in(0,1). $$ 展开分子得到 $$ s_\delta(z)=\frac{z^3-bz^2-cbz-\lambda c^2}{1-\sigma}, \qquad \|\operatorname{coeff}(s_\delta)\|_1 =\frac{1+\sigma}{1-\sigma}>1. $$ 因此有限可表达并没有把这份表达的代价变成一。新增一个按单位成本计费的 $\pi$ 原子后，式 (118.2e) 给 $$ e_0=(1+3R)\pi-\frac3{H(\lambda)}e_1H(K_d), $$ 其新字典代价为 $(1+3R)+3R=G$。§118 的实际对偶列还在新增原子上取值一，因此下界保持，$G$ 是新字典中可达的最小值。 若将 $\pi$ 的三次时间表达代回，上式的高次系数为正，三个低次系数为负；减去 $3H/H(\lambda)$ 只进一步降低低次系数，没有绝对值抵消。因此同一表达按旧时间字典展开后的代价为 $$ (1+3R)\frac{1+\sigma}{1-\sigma}+3R>G. $$ §118 更证明每一份旧字典有限表示的代价都严格大于 $G$。这里改变的是哪些原子可以单独取得和怎样计费；有符号线性张成没有增加。无限等待的数学极限也没有自动提供单位成本的实际准备权限。 #### 135.6.2 §118 特定逼近族的精确整数阈值 式 (118.2b) 的共同表示族以整数 $m\ge3$ 为参数： $$ A_m=\frac{H(1)^{-1}+3H(\lambda)^{-1}}{1-\lambda^m},\qquad B_m=H(1)^{-1}-A_m,\qquad p_m(z)=H(z)(A_mz^m+B_m). $$ 它的最大滞后为 $L=m+2$，三个低次系数严格负，三个高次系数严格正，支撑为 $\{0,1,2,m,m+1,m+2\}$。已有精确差值为 $$ \Gamma_m-G =\frac{2(1+3R)\lambda^m}{1-\lambda^m}. $$ 置 $A=2(1+3R)=G+1$。对任意 $\epsilon>0$，所有分母都为正，故 $$ \begin{aligned} \Gamma_m-G\le\epsilon &\quad\Longleftrightarrow\quad \lambda^m\le\frac{\epsilon}{A+\epsilon}\\ &\quad\Longleftrightarrow\quad m\ge\frac{\log(1+A/\epsilon)}{-\log\lambda}. \end{aligned} $$ 最后一步使用 $\log\lambda<0$，除法时不等号反向。因此这一个族达到非严格误差目标的最小允许整数及最大滞后恰为 $$ m_\epsilon =\max\left\{3,\left\lceil \frac{\log(1+A/\epsilon)}{-\log\lambda} \right\rceil\right\},\qquad L_{\rm family}=m_\epsilon+2. $$ 若要求 $\Gamma_m-G<\epsilon$，整数条件改为 $$ m_{<\epsilon} =\max\left\{3,\left\lfloor \frac{\log(1+A/\epsilon)}{-\log\lambda} \right\rfloor+1\right\}. $$ $\epsilon=0$ 不对应任何有限 $m$。这些都是该特定六点表示族内部的准确阈值；它们并非固定时间窗允许所有表示时的最优阈值。 #### 135.6.3 §119 已给固定时间窗的唯一最优解 对字典时刻 $0,\ldots,L$，命题 119.2 证明两个单方向及共同可行集非空当且仅当 $L\ge3$。若 $j=L\bmod3$、$\ell=L-j$，实际共同轨道为 $$ r_L=R\lambda^L+c^\ell(1-R\lambda^j),\qquad r_0=r_1=r_2=1>r_3>r_4>\cdots>0, \qquad r_L\to0. $$ 每个固定 $L\ge3$ 的三个优化问题具有同一个唯一优化器，其支撑恰为 $\{0,1,2,L\}$，三个低次系数严格负，第 $L$ 个系数严格正。准确最优值为 $$ \Gamma^*_{\delta,L}=\frac{G+r_L}{1-r_L},\qquad \Gamma^*_{\delta,L}-G=\frac{(G+1)r_L}{1-r_L}>0. $$ 因此，对 $\epsilon>0$，固定窗最优值的准确误差条件是 $$ \Gamma^*_{\delta,L}-G\le\epsilon \quad\Longleftrightarrow\quad r_L\le\frac{\epsilon}{G+1+\epsilon}, $$ 最小允许滞后为 $$ L^*_\epsilon =\min\left\{L\in\mathbb Z:\ L\ge3,\quad R\lambda^L+c^{L-(L\bmod3)} \bigl(1-R\lambda^{L\bmod3}\bigr) \le\frac{\epsilon}{G+1+\epsilon}\right\}. $$ 正性、严格单调性和趋零保证这个整数最小值存在。严格误差目标对应同一集合中的严格不等号；没有把涉及 $L\bmod3$ 的准确阈值替换成上一小节的单几何幂公式。 还可以准确比较两者。对任意 $m\ge3$，§118 的 $p_m$ 在时间 $m,m+1$ 都有严格正系数，而固定 $L=m+2$ 的唯一优化器在这些中间时刻系数为零。两向量不同，由唯一性得到 $$ \Gamma^*_{\delta,m+2}<\Gamma_m. $$ 所以 $L^*_\epsilon\le L_{\rm family}$，但不能把后者称为整个时间字典的最小滞后。目标在 $L=3$ 已有有限精确表示；固定每个 $L\ge3$ 的最小值也都可达；允许所有有限 $L$ 后的共同下确界 $G$ 却不由任何有限表示达到。这三句话的量词不同，完全相容。 #### 135.6.4 资源解释还须分清表达、证书与访问 这份例子已经给出三层不同的结果： - **数学表达：** $\pi$ 与 $e_0$ 都在有限时间字典的有符号张成内；等式表达目标不等于以最佳系数代价表达目标。 - **证书与算法：** §118–119 的显式系数和实际对偶列分别承担可行性、下界与最优性的证明。由实数公式转为数值算法时，还须说明参数的有效表示、精度和比较权限；对任意实数输入的存在结论本身不规定可执行预算。 - **访问与计价：** 把 $\pi$ 作为可直接取得的单位成本原子，是额外接口合同。若只能调用旧时间原子，必须计入展开代价；若声称能够实际直接准备 $\pi$，还须给出那项访问机制。 因此，在同一个语义张成中更换工具、已有证书或原语价格可以改变优化与执行预算。哪一项资源改变，须由相应接口声明；不能从表达能力相同推断费用相同，也不能从新字典的单位成本反推旧接口已经能按同价取得该原子。 #### 135.6.5 有限参数插值恢复纯陷阱期望的另一层接口 固定参数的时间准备先恢复从隐藏状态 $0$ 出发、随后仍按 $K_{\delta,d}$ 演化的窗口均值 $Q_d(\delta)$；它本身没有将窗口内的隐藏状态恒定保持为 $0$。要取得纯陷阱均值 $\tau$，还须使用定义 116.1 的有限参数干预接口：固定同一方向 $d$、同一传感器核及其平稳律、同一发射行与窗口 $W:\mathcal A^{r+1}\to[-1,1]$，预选互异整数 $k_0,\ldots,k_r\ge2$，只在合法设置 $\delta_j=1/k_j$ 取得相应的隐藏初态 $1$ 与独立平稳传感器准备。式 (116.2o) 将 $Q_d(\delta)$ 写成恰有 $r$ 个仿射转移因子的有限和，故 $\deg Q_d\le r$；式 (116.2p) 给 $Q_d(0)=\tau$。零点用于代数求值，不要求实际调用 $\delta=0$。 令 $m_{j,t}$ 与 $a_t(\delta_j)$ 为式 (116.1d)、(116.2a) 的实际窗口均值及共同时间运输系数，且 $$ \ell_j=\prod_{i\ne j}\frac{-\delta_i}{\delta_j-\delta_i}. $$ 有限次数 Lagrange 插值和式 (116.2d) 给出 $$ \tau=Q_d(0)=\sum_{j=0}^r\ell_jQ_d(\delta_j) =\sum_{j=0}^r\sum_{t=0}^3\ell_j a_t(\delta_j)m_{j,t}. $$ 以实际窗口分数替代各均值，所得正是式 (116.2e) 的有符号统计量，期望等于 $\tau$。这里插值针对同一个多项式；跨设置改变方向、传感器、发射或窗口，会失去该共同对象。恢复期望不等于制备对应物理状态，也不等于反演一条实际轨迹。一次统计量不必等于其期望，重叠窗口及不同设置的协方差、准备和调用费用、参数访问权限均须按真实联合实验另行计入；系数绝对和本身不替代这些资源义务。它属于第122.1.2节的标量任务恢复，误差与完整协方差的计算适用第125.7节；合法干预和实际调用则仍受本节及第136节的访问与计价条件约束。 ### 135.7 这条桥在关系主线中的作用 以上结论分别落在不同关系层：解析拉回说明某关系由生成模型恒定满足或几乎必然不满足；碰撞反例说明不同生成机制可以处于同一个观察纤维；弱传感器下界说明即使固定模型的极限观察能分离方向，有限预算下的观察律仍可任意接近；时间字典的优化则说明表达能力相同仍可有不同原语费用与达界性质。 因此，增加一条辅助关系需要说明它解决的是哪一个缺口：切开原来合并的机制，保持共同见证，还是给已有分离补一个定量下界。重复旧接口不能修复完全同律；用精确恒零代替近似误差分析，也不能取得有限精度保证。这个区分使生成、观察和资源都能接入同一套任务与接口语言，同时保留各自承重的假设。 ## 135.99 追加锚 ## 136. 认证工具与有限观察者的可调用关系 观察的增长改变已分离的候选，证书和算法的取得改变可调用能力。以下用固定检验关系与带费用操作图说明两种变化如何并存，同时保持语义与共同来源。 ### 136.1 事件档案与认证命题 固定实现空间 $\Omega$ 与一个实验协议。完整实现包括本协议所用的对象、动作结果、传感器随机性和记录来源。读数 $q_n:\Omega\to D_n$ 是第 $n$ 步的实际档案，动作 $a_n=\pi_n(q_n(\omega))$ 只能依赖当前可访问记录。若策略还使用新随机种子，该种子应加入完整协议，动作的可测性则相对于档案及已获种子声明。 事件“设备在此次操作中报告 $y$”由档案直接表达；外界命题 $P$ 是否成立，还取决于协议的测量模型与推理。保留原始事件并修正解释，与把所有旧猜测并为真命题，是不同操作。模型类或参照概率改变时，先前的候选纤维及数值结算属于原模型；新解释应通过明确运输或重建比较。 设语句集合为 $\mathsf{Stmt}$，证书集合为 $\mathsf{Cert}$，固定检验关系 $V\subseteq\mathsf{Stmt}\times\mathsf{Cert}$。对语义合法实现类 $\Gamma$，要求可靠性 $$ V(P,c)\Longrightarrow\forall\omega\in\Gamma,\quad \omega\models P. $$ 有限时刻真正取得的证书库为 $\mathcal C_n\subseteq\mathsf{Cert}$，并要求保留式扩展 $\mathcal C_n\subseteq\mathcal C_{n+1}$。证书必须绑定其语句、前提及所用规则；换版本而未运输这些内容，不是同一检验关系下的已认证结论。 **命题 136.1（已认证能力的单调性）。** 定义 $$ \mathcal T_n=\{P:\exists c\in\mathcal C_n,\ V(P,c)\}. $$ 则 $\mathcal T_n\subseteq\mathcal T_{n+1}$，且每个 $\mathcal T_n$ 中的语句都在 $\Gamma$ 上有效。这不要求语义有效语句集合随 $n$ 增大，也不要求证书库对全部逻辑后果封闭。 **证明。** 前者由同一证书在扩展库中仍存在；后者由 $V$ 的可靠性。有效语句集合由 $\Gamma$ 与满足关系确定，并未在定义中依赖 $n$。若 $\mathcal C_n$ 只含一部分证书，它就只认证相应语句，不能由“是逻辑后果”推断该证书已经取得。$\square$ 因此语义区分能力与认证能力是不同变量。一个固定程序的结果可由输入与规则唯一决定，却尚未被有限观察者计算或核验。这个状态不能仅靠把答案当作额外随机变量并计算 Shannon 熵来完整刻画。 ### 136.2 已证工具的加入与可达关系 取有向图 $G=(V,E)$，顶点是指定问题状态，边是当前允许的一步操作，每条边具有非负费用。有限路径必须首尾匹配，包括费用为零的空路径；费用按边费用相加，记全部这种路径费用的下确界为 $d_G(x,y)\in[0,+\infty]$，无可达路径时取 $+\infty$。 增加一族辅助边 $e:x\to y$。每条辅助边带有原图中从 $x$ 到 $y$ 的一条有限路径 $p_e$，作为其语义正确性的展开证书。辅助边费用也非负，新图记为 $G^+$。 **定理 136.2（宏工具不增加语义可达性，但可改变预算几何）。** $G$ 与 $G^+$ 的可达关系相同。若每条辅助边的费用恰为其展开路径费用，则 $d_{G^+}=d_G$。若允许某些辅助调用费用低于展开费用，则仍有 $d_{G^+}\le d_G$，且不等式可以严格。 **证明。** 原边保留，所以原可达性包含于新可达性。将任意新路径中的辅助边逐一替换为其有限展开，得到原图中的同端点路径，给反向包含。 费用相等时，同一展开还保持总费用，故任意新路径的费用都不低于原路径费用的下确界，$d_G\le d_{G^+}$；原路径也都是新路径，给反向不等式。允许降低辅助费用时，原路径包含性仍给 $d_{G^+}\le d_G$。例如原图只有 $x\to z\to y$ 两条费用一的边，加入经此路径认证但调用费用一的 $x\to y$，则距离由二变为一，而可达关系不变。$\square$ 严格改进的例子把低调用费用作为模型数据，没有证明真实装置可以实现该费用。若每条宏边仍必须现场重放全部旧步骤，且按同一费用计数，就属于等费用展开的情形。将一个有限时间字典的极限元素改成可直接调用原语，也必须同样声明其取得与计费方式。 **命题 136.3（准备与复用费用）。** 若某已认证工具的准备费用为 $p\ge0$，每次调用费用为 $c\ge0$，原方案每次费用为 $C\ge0$，且两方案实现相同任务，则复用非负整数 $m$ 次的费用分别为 $p+mc$ 和 $mC$。新方案不更贵当且仅当 $$ p\le m(C-c). $$ 若 $C>c$，这等价于 $m\ge p/(C-c)$；若 $C=c$，只在 $p=0$ 时不更贵；若 $C0$，新方案不更贵不可能成立。 **证明。** 按声明费用求和，再移项；各退化情形由右端符号直接判断。$\square$ 若费用为非负向量，则逐坐标使用同一不等式；不同资源之间没有预先指定兑换率时，不把时间、存储、样本和验证费用强压成一个标量最优值。 ### 136.3 保真辅助线和证明运输 把证明辅助构造看成已证的派生规则：每次使用都有一份仅用原规则的有限展开。对只含有限次派生规则使用的证明，按推导树从叶至根替换展开，可以得到原系统中的同一结论。因此在这一可展开条件下，加入工具没有增加可证语句集合；它改变的是证明的组织方式、已知证书和实际验证协议。 若使用共享子证明的 DAG，展开成树可能重复同一前置。其节省须按真正的验证器计算：验证器是否检查共享节点一次、是否校验引用身份、是否保留前提闭包，均属于证书合同。仅增加一个未经认证的新公理则没有上述展开依据，是另一种逻辑系统变化。 对于理论翻译 $\tau$，先证明它保持可证后承；若还需要反向恢复结论，再证明反射。即使两方向在语义上成立，证书转换的算法、费用和可取得性也应另给。第134节的后承翻译与闭理论伴随提供语义接口，本节的已取得证书库和费用图给有限观察者的调用接口。 ### 136.4 单调档案不等同于物理熵产生 在两个比特上定义 $F(x,m)=(x,m\mathbin{\oplus}x)$。由于 $F^2=I$，它是双射。对任意联合律 $p$，变换只是重排四个概率，因此 $H(F_*p)=H(p)$。 若 $M$ 初始恒为零，则输出满足 $M'=X$。初始记录熵为零，之后记录熵为 $H(X)$，关于 $X$ 的互信息同样增加到 $H(X)$；完整联合熵始终为 $H(X)$。这证明新增可读相关性可以由可逆变换产生，不能仅从记录变多推出完整 Shannon 熵增。 以上是逻辑与概率模型中的恒等式。实际写入、稳定维持、读取和擦除的物理费用，需要记录装置、准备条件、环境耦合及反向实验；它们没有由一个比特双射自动决定。可逆计算的经典参考为 C. H. Bennett, “Logical Reversibility of Computation”, IBM Journal of Research and Development 17 (1973), 525–532, DOI 10.1147/rd.176.0525。 ## 136.99 追加锚 ## 137. 有限边界矩的正实现与未来唯一性 ### 137.1 有限矩、共同零关系与 Gram 商 **定义 137.1（有限边界矩与正实现）。** 固定有限维实内积空间 $U$、整数 $r\ge0$ 以及自伴算子 $$ M_0,M_1,\ldots,M_{2r+1}:U\to U. $$ 不要求这些算子彼此交换。在正交直和 $P_r=U^{r+1}$ 上定义 $$ H_r=(M_{i+j})_{0\le i,j\le r}, \qquad S_r=(M_{i+j+1})_{0\le i,j\le r}. \tag{137.1} $$ 这一前缀的正实现是有限维实内积空间 $E$、线性输入 $J:U\to E$ 和自伴算子 $C\succeq0$，满足 $$ M_k=J^*C^kJ\qquad(0\le k\le2r+1). \tag{137.2} $$ 全部矩均要求精确相等。第126节的输出耦合 $B$ 对应这里的 $J^*$；该节严格正定的演化是此实现类的子类。零维空间允许作为实现空间。 **定理 137.2（有限奇数阶矩的精确正实现）。** 定义137.1的前缀存在正实现，当且仅当 $$ \boxed{H_r\succeq0,\qquad S_r\succeq0,\qquad \ker H_r\subseteq\ker S_r.} \tag{137.3} $$ 条件成立时，可以取 $$ E=P_r/\ker H_r,\qquad \dim E=\operatorname{rank}H_r, \tag{137.4} $$ 且此维数在全部正实现中最小。 此精确等号问题的矩阵 Stieltjes 判据见 V. Bolotnikov, “Degenerate Stieltjes Moment Problem and Associated J-Inner Polynomials”, *Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen* 14(3) (1995), 441–468，[DOI 10.4171/ZAA/633](https://doi.org/10.4171/ZAA/633)，Definition 2.1及Lemma 2.5，445–448页。其复 Hermitian 矩阵表述限制到实对称数据给上述条件；以下直接构造有限实实现。 **证明。** 若有正实现，定义 $$ T:P_r\to E,\qquad T(v_0,\ldots,v_r)=\sum_{j=0}^rC^jJv_j. $$ 自伴性与矩匹配给 $$ H_r=T^*T,\qquad S_r=T^*CT. $$ 故两个块算子均半正定。又 $\ker(T^*T)=\ker T$，所以 $\ker H_r\subseteq\ker S_r$，并且 $$ \operatorname{rank}H_r=\dim\operatorname{ran}T\le\dim E. \tag{137.5} $$ 反过来，假设式(137.3)。在式(137.4)的商上定义 $$ \langle[v],[w]\rangle_E=\langle v,H_rw\rangle_{P_r}. $$ 半正定算子的零二次型向量恰为其核，因此这是正定内积。核包含及 $S_r$ 的自伴性使 $$ ([v],[w])\longmapsto\langle v,S_rw\rangle_{P_r} $$ 对两个代表元均无关。有限维 Riesz 表示于是唯一给出线性算子 $C:E\to E$，满足 $$ \langle[v],C[w]\rangle_E=\langle v,S_rw\rangle_{P_r}. \tag{137.6} $$ 右端对称且在对角线上非负，所以 $C=C^*\succeq0$。 记 $e_j:U\to E$ 为在第 $j$ 个系数位插入向量后取商的映射，令 $J=e_0$。对 $j0. $$ 对任意 $(x,y)\ne0$， $$ \left\langle(x,y), \begin{pmatrix}C&D^*\\D&A\end{pmatrix}(x,y)\right\rangle =\|C^{1/2}x+C^{-1/2}D^*y\|^2+\eta y^2>0. $$ 该严格正扩张仍由式(137.14)改变下一偶矩。 为证明允许零谱时普通平坦不必要，取 $$ C=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}, \qquad J=\binom10. $$ $C^2=2C$，所以前四矩为 $(1,1,2,4)$。此时 $$ H_1=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix},\qquad S_1=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix},\qquad S_0=(1). $$ $H_1$ 秩二、$H_0$ 秩一；$S_1$ 与 $S_0$ 却同为秩一。定理137.8给所有未来唯一，而式(137.20)不成立。$\square$ ### 137.4 谱上界对未来唯一性的约束 **定理 137.11（共同谱上界内的未来唯一性）。** 设 $\Lambda\ge0$ 且 $$ H_r\succeq0,\qquad 0\preceq S_r\preceq\Lambda H_r. $$ 取定理137.2的规范实现，故 $0\preceq C\preceq\Lambda I$。给定前缀在全部满足 $0\preceq\widetilde C\preceq\Lambda I$ 的有限维实现之间决定全部未来，当且仅当 $$ \boxed{E=L+\ker C+\ker(\Lambda I-C).} \tag{137.21} $$ **证明。** 若 $\Lambda=0$，所有允许演化均为零，全部正阶矩为零；规范 $C=0$ 使式(137.21)也成立。以下设 $\Lambda>0$。对引理137.7的块扩张，正性已给 $D\ker C=0$。另有 $$ \Lambda I-\widetilde C =\begin{pmatrix}\Lambda I-C&-D^*\\-D&\Lambda I-A\end{pmatrix} \succeq0. $$ 将同一零二次型论证用于此算子，得到 $D\ker(\Lambda I-C)=0$。若式(137.21)成立，则 $D=0$，全部未来等于规范未来。 反过来，若式(137.21)失败，取非零 $D_0:E\to\mathbb R$ 消灭其右侧子空间。令 $$ \alpha=D_0C^\dagger D_0^*\ge0,\qquad \beta=D_0(\Lambda I-C)^\dagger D_0^*\ge0, $$ 将一维算子认作实数，并选 $$ \epsilon^2=\frac{\Lambda}{2(1+\alpha+\beta)},\qquad D=\epsilon D_0,\qquad A=\Lambda/2. $$ 于是 $$ DC^\dagger D^*\le\Lambda/2,\qquad D(\Lambda I-C)^\dagger D^*\le\Lambda/2. $$ 对任意 $x\in E,y\in\mathbb R$，利用 $D$ 消灭两个端点核，有 $$ \begin{aligned} \left\langle(x,y), \begin{pmatrix}C&D^*\\D&A\end{pmatrix}(x,y)\right\rangle &=\|C^{1/2}x+C^{\dagger/2}D^*y\|^2 +(A-DC^\dagger D^*)y^2\ge0,\\ \left\langle(x,y), \begin{pmatrix}\Lambda I-C&-D^*\\-D&\Lambda-A\end{pmatrix}(x,y)\right\rangle &=\|(\Lambda I-C)^{1/2}x-(\Lambda I-C)^{\dagger/2}D^*y\|^2\\ &\quad+(\Lambda-A-D(\Lambda I-C)^\dagger D^*)y^2\ge0. \end{aligned} $$ 故 $0\preceq\widetilde C\preceq\Lambda I$。又 $D|_L=0$，该模型保持全部已知矩；由于 $E=L+e_r(U)$ 及 $D\ne0$，仍有 $De_r\ne0$，式(137.14)给不同的下一矩。$\square$ **命题 137.12（最小实现唯一、未来不唯一与谱上界）。** 前缀 $$ (M_0,M_1,M_2,M_3)=(1,2,5,14) $$ 具有唯一到正交同构的二维最小正实现，但在严格正定、谱上界为四的有限实现类中不决定全部未来。在谱上界为三的非负实现类中，它决定全部未来。 **证明。** 取 $$ C=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix},\quad J=\binom10,\qquad C_t=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&t\\0&t&2\end{pmatrix},\quad J_t=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \quad t\in\{0,1\}. $$ $C$ 的谱为 $\{1,3\}$。$C_t$ 的特征多项式为 $$ \det(\lambda I-C_t) =(\lambda-2)\bigl((\lambda-2)^2-(1+t^2)\bigr), $$ 故两份 $C_t$ 都满足 $0\prec C_t\prec4I$。并且 $$ C_tJ_t=(2,1,0)^T,\qquad C_t^2J_t=(5,4,t)^T. $$ 由内积立即得到共同的前四矩与 $$ J_t^*C_t^4J_t=41+t^2. $$ $H_1=\left(\begin{smallmatrix}1&2\\2&5\end{smallmatrix}\right)$ 的行列式为一，最小维数为二；定理137.4给该维数类的唯一性。$t=1$ 的三维实现则给不同的第四阶矩。 在二维规范实现中，$L=\mathbb R(1,0)^T$，而 $$ \ker(3I-C)=\mathbb R(1,1)^T. $$ 二者张成 $E$。定理137.11在 $\Lambda=3$ 时给全部未来唯一。$\square$ ### 137.5 偶数平坦数据的较短接口 **定理 137.13（偶数前缀的正平坦实现）。** 设 $r\ge1$，只给自伴数据 $M_0,\ldots,M_{2r}$。若 $$ H_r\succeq0,\qquad \operatorname{rank}H_r=\operatorname{rank}H_{r-1},\qquad S_{r-1}\succeq0, \tag{137.22} $$ 其中 $S_{r-1}=(M_{i+j+1})_{0\le i,j0,\quad\lambda_\ell\ge0, $$ 记 $m_k(\mu)=\sum_\ell w_\ell\lambda_\ell^k$。它由 $E=\mathbb R^n$、$C=\operatorname{diag}(\lambda_\ell)$、$J1=(\sqrt{w_\ell})_\ell$ 正实现。两份长度 $N+1$ 的标量矩前缀误差记为 $$ d_N(\mu,\nu)=\max_{0\le k\le N}|m_k(\mu)-m_k(\nu)|. $$ **命题 137.15（精确相容与最小维数不是连续阈值）。** 不可正实现的 $0,\ldots,3$ 阶前缀可以任意接近可正实现的同阶前缀，同时保持两个块半正定与普通平坦。即使谱始终在 $[1,2]$ 内，正实现的 $0,\ldots,3$ 阶前缀所允许的最小维数也不由前缀误差连续确定。 **证明。** 对任意 $\epsilon>0$，前缀 $(1,1,1,1+\epsilon)$ 的 $H_1$ 仍为命题137.3的秩一矩阵，而 $$ S_1=\begin{pmatrix}1&1\\1&1+\epsilon\end{pmatrix}\succ0. $$ 其核不相容，所以不可实现；当 $\epsilon\downarrow0$ 时却趋向单点正测度 $\delta_1$ 的前缀。 再令 $$ \mu_\delta=(1-\delta)\delta_1+\delta\delta_2,\qquad 0<\delta<1. $$ 它的矩为 $m_k=1+\delta(2^k-1)$，任意固定长度的前缀都趋向 $\delta_1$ 的前缀。但 $$ \det H_1 =\det\begin{pmatrix}1&1+\delta\\1+\delta&1+3\delta\end{pmatrix} =\delta(1-\delta)>0. $$ 因此 $\mu_\delta$ 的 $0,\ldots,3$ 阶前缀之最小实现维数为二，而极限前缀的最小实现维数为一；所有谱始终包含于 $[1,2]$。$\square$ **命题 137.16（无共同谱上界时下一矩无局部控制）。** 对每个固定 $r\ge0$，存在真实正实现的序列，其 $0,\ldots,2r+1$ 阶矩共同趋向一，而第 $2r+2$ 阶矩趋于无穷。当 $r\ge2$ 时，这些序列中的每个 $H_r$ 还满足普通平坦。 **证明。** 对 $R>1$ 取 $$ w_R=R^{-(2r+3/2)},\qquad \mu_R=(1-w_R)\delta_1+w_R\delta_R. $$ 权重严格正。对 $k\le2r+1$， $$ |m_k(\mu_R)-1|=w_R(R^k-1)\le R^{-1/2}\longrightarrow0. $$ 另一方面， $$ m_{2r+2}(\mu_R)=1-w_R+R^{1/2}\longrightarrow+\infty. $$ 两个不同节点的 Vandermonde 向量线性无关，故当 $r\ge2$ 时 $H_r$ 与 $H_{r-1}$ 的秩都为二。$\square$ **命题 137.17（有界谱与固定秩不足以稳定内部演化）。** 即使限定一维最小正实现且谱在 $[1,2]$ 内，也不存在仅由任意固定长度矩前缀的绝对误差趋零，便迫使两个内部演化算子在正交识别下距离趋零的统一结论。 **证明。** 对 $\delta>0$，两份一维实现取相同输入 $J1=\sqrt\delta$，演化分别为 $C_1=1$、$C_2=2$。两者均最小且满足共同谱界。其矩差为 $$ |M_k^{(2)}-M_k^{(1)}|=\delta(2^k-1). $$ 对每个固定 $N$，该差在 $0\le k\le N$ 上的最大值趋零；但任一一维正交识别只能乘以 $1$ 或 $-1$，两演化在这种识别下的算子范数差恒为一。与此同时，任一固定 $H_r$ 的唯一非零特征值为 $$ \delta\sum_{j=0}^r C_i^{2j}, $$ 随 $\delta\downarrow0$ 趋零。故共同谱界与固定秩没有提供有效 Gram 方向的统一非退化裕量。$\square$ **命题 137.18（逐个正定不提供统一无限时间控制）。** 对每个固定时间窗，严格正的一维响应可以趋近常值响应，而在全部非负时间上的一致误差不趋零。即使比较双方都严格正定，固定窗口内趋近也不推出无限时间一致趋近或积分趋近。 **证明。** 令输入为 $J=1$，演化为 $C_\epsilon=\epsilon>0$。响应 $$ K_\epsilon(t)=e^{-\epsilon t} $$ 对任意固定 $0\le T<\infty$ 满足 $$ \sup_{0\le t\le T}|K_\epsilon(t)-1| \le\epsilon T\longrightarrow0, $$ 但 $$ \sup_{t\ge0}|K_\epsilon(t)-1|=1, \qquad \int_0^\infty K_\epsilon(t)\,dt=\epsilon^{-1}. $$ 若比较两个严格正演化 $\epsilon$ 与 $2\epsilon$，有限窗口内的响应差仍趋零；令 $u=e^{-\epsilon t}$，则 $$ \sup_{t\ge0}|e^{-\epsilon t}-e^{-2\epsilon t}| =\sup_{0R-2)\le e^{-(R-2)/16}. \tag{139.9} $$ **证明。** 包含全部平手的极大值概率恰为 $$ \sum_{z\ge1}qp^{z-1}(1-p^z)^{n-1}. $$ 函数 $g(u)=(1-pu)^{n-1}$ 非增；在区间 $[p^z,p^{z-1}]$ 上，$g(u)\ge g(p^{z-1})$，而区间长度为 $qp^{z-1}$。逐区间积分给 $$ \sum_{z\ge1}qp^{z-1}(1-p^z)^{n-1} \le\int_0^1(1-pu)^{n-1}\,du =\frac{1-q^n}{pn}\le\frac1{pn}. $$ 此式包括 $n=1$ 的空比较条件，没有以连续优先级替代离散平手。 由根方程得 $q^2=p^2(1-p^{k-1})$，所以 $W$ 是参数 $q$、取值从一开始的几何变量条件于不超过 $k-1$ 后的分布。上截断不增加递增函数的期望。因此 $$ \mathbb E x^Z=\frac{qx}{1-px}\le2, \qquad \mathbb E x^W\le\frac{qx}{1-px}\le2, $$ 其中右式随 $p$ 增大，并在 $p=2/3$ 时等于二。独立性给周期的指数矩界。于是 $\mathbb E x^T\le4^n$，指数型 Markov 不等式给 $$ \Pr(T>t)\le4^nx^{-t} \le\exp\left[t\left(\frac{\log4}{16}-\log(6/5)\right)\right] \le e^{-t/16}. $$ 最后一步使用 $\log4\le3/2$、$\log(6/5)\ge1/6$，使括号内至多 $-7/96\le-1/16$。这里先固定周期数，再控制容纳失败；没有在条件于容纳成功以后重新假设独立。证毕。 ### 139.3 一条对全部禁词长度共用的显式规则 **定义 139.3（最长完整零串规则）。** 当前窗口内的完整零串由两个位置 $(a,b)$ 表示，条件为 $$ -R\le a,\qquad a+2\le b\le-1,\qquad r_a=r_b=1,\qquad r_i=0\ (a3/2$、$\log\varphi>1/3$，且 $129<(3/2)^{12}$。所以在 $R=128$ 时， $$ 4\log_\varphi129+1<49<64. $$ 函数 $R/2-1-4\log_\varphi(R+1)$ 在 $R\ge128$ 上的导数大于 $1/2-12/(R+1)>0$。结合向上取整至多增加一，得到 $m_R\le R/2$。于是（139.23）的第一项不超过 $2/R$，第二项不超过 $1/R$，给 $3/R$。最后 $m_R=O(\log R)$，其中常数不依赖 $k$；将（139.23）乘以 $R$ 并取上极限，即得后一断言。证毕。 ### 139.5 所有确定规则的一致下界与未定系数 **定义 139.9（公平绝对提升）。** 在关系路径之外独立取公平位 $A_0$，并沿全部整数顶点规定 $$ A_{t+1}=A_t\oplus c_t. \tag{139.25} $$ 对每个 $t$，条件于完整关系路径后 $A_t$ 仍公平。令 $Z_t=(j_t,A_t)$。其平稳律为 $\widetilde\pi=\pi\otimes\operatorname{Unif}(\mathbb F_2)$。给定当前绝对位与关系过去，更早的绝对位由（139.25）决定；当前绝对位与完整关系路径独立。因此提升过去不添加关系未来信息，$Z_t$ 是按（139.1）、（139.25）转移的平稳 Markov 链。 **引理 139.10（三步共同质量与任意未来块）。** 令 $\nu$ 在 $(0,0),(0,1)$ 上均匀。提升核满足 $$ P^3(z,\cdot)\ge\tfrac14\nu(\cdot), $$ 故对全部整数 $g\ge0$， $$ \sup_z\operatorname{TV}(P^g(z,\cdot),\widetilde\pi) \le q_g:=(3/4)^{\lfloor g/3\rfloor}. \tag{139.26} $$ 同一界适用于从时间 $g$ 开始的任意固定长度完整状态块。 **证明。** 从任何起态，词 $000$ 和 $010$ 都合法、末后缀为零。其路径概率各为 $\lambda^{-3}/h_j\ge1/8$；前者翻转绝对位，后者保持绝对位，所以两个目标绝对位各有至少 $1/8$ 的质量。写 $$ P^3=\tfrac14\nu+\tfrac34Q $$ 后，Markov 核的总变差非扩张性给每三步至多 $3/4$ 的收缩；与平稳律比较，剩余不足三步也不放大距离，得到（139.26）。从块首状态到整个后续块是同一个 Markov 核，再用非扩张性即可。这里总变差为 $\operatorname{TV}(\alpha,\beta)=\sup_E|\alpha(E)-\beta(E)|$。证毕。 **定理 139.11（有限下界与一致渐近系数）。** 对 $R\ge1$、$g\ge1$ 且 $q_g<1/2$， $$ d_k(R)\ge\frac{1/2-q_g}{R+g-1}. \tag{139.27} $$ 特别地，对全部 $k\ge2$、$R\ge1$， $$ d_k(R)\ge\frac1{4(R+14)}, \qquad \liminf_{R\to\infty}\inf_{k\ge2}R\,d_k(R)\ge\frac12. \tag{139.28} $$ 结合推论139.8，统一渐近系数被限制为 $$ \boxed{ \frac12\le\liminf_{R\to\infty}\inf_{k\ge2}R\,d_k(R), \qquad \limsup_{R\to\infty}\sup_{k\ge2}R\,d_k(R)\le1. } \tag{139.29} $$ **证明。** 对任意规则置 $E_t=A_t\oplus f_t$。每个 $E_t$ 在平稳律下公平，且 $$ E_{t+1}\oplus E_t=D_t. $$ 两端误差不同必有中间缺陷，故由平稳性及并集界， $$ \Pr(E_t\ne E_0)\le t\,\delta_k(f)\qquad(t\ge1). \tag{139.30} $$ 令 $\mathcal F_0=\sigma(Z_s:s\le0)$。因为 $$ r_i=\mathbf1_{\{j_{i+1}>0\}}, $$ $E_0$ 关于 $\mathcal F_0$ 可测，而 $E_t$ 由块 $$ (Z_{t-R+1},\ldots,Z_t) $$ 决定。取 $t=R+g-1$，块首恰为 $Z_g$。给定 $\mathcal F_0$，整个未来块的条件律与其平稳块律的总变差至多 $q_g$。在平稳块律下 $E_t$ 公平，条件化后的 $E_0$ 已固定，因此 $$ \Pr(E_t\ne E_0\mid\mathcal F_0)\ge\tfrac12-q_g. $$ 这一步没有条件化于包含未来在内的整条关系路径。取平均，与（139.30）比较，得到每个 $f$ 的（139.27），再取最小值。 当 $g=15$，有 $1/2-(3/4)^5=269/1024>1/4$，即得有限下界。取 $g_R=\lceil\sqrt R\rceil$，有 $g_R\to\infty$、$g_R/R\to0$，统一的（139.27）给下极限至少 $1/2$。上极限由推论139.8给出。证毕。 因而 $d_k(R)=\Theta(R^{-1})$ 对全部 $k\ge2$ 一致成立。给定 $0<\varepsilon\le1$，同一显式规则可用 $R=\lceil512/\varepsilon\rceil$；允许按参数固定表时，可用 $$ R=\max\{128,\lceil3/\varepsilon\rceil\}. $$ 任何达到该缺陷的确定严格过去规则都必须满足 $R\ge1/(4\varepsilon)-14$。这确定了窗口长度关于 $\varepsilon$ 的一致逆一次阶，没有证明任一 $k$ 的 $R\,d_k(R)$ 极限存在，也没有确定最佳首项究竟在 $1/2$ 与 $1$ 之间何处取得。固定标记法的较弱充分上界与这些不同选择规则的更短窗口并不矛盾。 ### 139.6 当前获胜摘要的反例与充分内部记忆 **命题 139.12（当前获胜候选不决定精确后继）。** 即使同时保存当前获胜零串的长度、两个相对端点、方向值、连续一语法状态以及连续零后缀长度，仍不足以在取得同一个合法新位后决定定义139.3的后继方向和锚。 **证明。** 取 $k=2,R=15$，从最旧位至最新位考虑 $$ w_A=1\,00000\,1\,0000\,1\,0\,1\,0, \qquad w_B=1\,00000\,1\,000\,1\,00\,1\,0. \tag{139.31} $$ 两词都不含 $11$，在两侧添零可延伸为合法双向配置。共同前缀位于 $-15,\ldots,-9$；后八位分别为 $$ \begin{array}{c|rrrrrrrr} i&-8&-7&-6&-5&-4&-3&-2&-1\\\hline w_A&0&0&0&0&1&0&1&0\\ w_B&0&0&0&1&0&0&1&0 \end{array} $$ 两者唯一获胜零串都长五，端点 $(-15,-9)$，锚为 $-8$。其后各有六个零，所以当前方向都是零。当前连续一长度都是 $j=0$，连续零后缀也都是 $\ell=1$。所列摘要因而同为 $$ (5,-15,-9,0,0,1). $$ 两边同时取得合法新位 $r_0=0$ 后，旧左端点 $-15$ 移出窗口。旧五个零成为边缘截断串。在 $A$ 中，新获胜串长四，旧坐标端点为 $(-9,-4)$，锚为 $-3$；从该锚到新当前顶点一的零位在 $-3,-1,0$，故方向是一。在 $B$ 中，新获胜串长三，端点为 $(-9,-5)$，锚为 $-4$；相应零位在 $-4,-3,-1,0$，故方向是零。两者新获胜串均唯一。换到新原点，只需把所列端点和锚全部减一，不改变差异。 所以同一个摘要和同一个合法输入必须产生两个不同的正确后继，不存在所要求的确定更新函数。语法状态相同排除了操作合法性的混淆；零后缀也相同，区别来自被丢弃的其他完整候选。证毕。 **定义 139.13（全部完整候选的内部记忆）。** 对当前窗口 $w$，令 $$ C_R(w)=\{(a,b):-R\le a,\ a+2\le b\le-1,\ w_a=w_b=1, \ w_i=0\ (ab_*}}(b-a-1)\right]\pmod2. \tag{139.33} $$ 所选闭合一以后的每个零，唯一地属于一个较后的完整零串，或末端未闭合零后缀；这些集合互不相交并穷尽运输所需的零位。一位的运输量为零，因此（139.33）正是定义139.3的 XOR。$C=\varnothing$ 时取方向零、锚为无候选符号 $\bot$。 新位 $x$ 的合法性为 $$ x=0\quad\text{或}\quad(x=1\text{ 且 }j-R\}\cup N_x(\ell), $$ $$ N_x(\ell)= \begin{cases} \{(-\ell-2,-1)\},&x=1\text{ 且 }1\le\ell\le R-2,\\ \varnothing,&\text{其他情形}. \end{cases} \tag{139.35} $$ 其余更新为 $$ \ell_x'=\begin{cases}\min\{R,\ell+1\},&x=0,\\0,&x=1,\end{cases} \qquad j_x'=\begin{cases}0,&x=0,\\j+1,&x=1.\end{cases} \tag{139.36} $$ 旧候选保留的充要条件是左端点不等于移出的最旧位置，即 $a>-R$；坐标换原点后都减一。任何新候选必须由新一闭合此前非空零后缀。其旧左端点是 $-\ell-1$，新右端点是旧坐标零，故新坐标为 $(-\ell-2,-1)$。该左端点仍在窗口内的条件恰为 $\ell\le R-2$。$\ell=0$ 时无正长度零串，$\ell=R$ 时没有观察到左端点一，$\ell=R-1$ 时左端点会同时移出窗口，都不能新增候选。这证明（139.35），也包括 $R=1,2$ 时新增条件为空的边界。末端零长度和连续一语法状态直接给（139.36）。 若 $h\cdot x$ 表示在实际历史 $h$ 后接入新读数，令 $T_x(C,\ell,j)=(C_x',\ell_x',j_x')$，则上述证明给出 $$ \Sigma(h\cdot x)=T_x(\Sigma(h)). \tag{139.37} $$ 当前响应通过（139.33）恢复，合法性通过（139.34）恢复，后继通过（139.37）恢复。对共同后续位串的长度归纳，就得到全部有限续接响应相同。证毕。 完整窗口连同精确语法状态 $(w,j)$ 也是充分记忆：删除最旧位、接入新位并更新 $j$ 即可重建全部候选。定理139.14给出另一份充分结构，没有证明它是最小结构。命题139.12只否定所列获胜摘要对原选择器的精确更新能力，不推出任何实现都必须保存完整窗口或全部候选，也不给最小状态数、位数或计算时间下界。 当 $Rb,\qquad z(d)\ge z(c). \tag{140.3} $$ 记 $U(C)$ 为 $C$ 中不受支配的候选。将它们按闭合端点由旧到新排列，定义带实际相位的规范队列 $$ \mathcal Q(w)=\bigl[(a_i,b_i,\eta_w(a_i,b_i))\bigr]_{i=1}^{q}, \qquad [(a_i,b_i)]_{i=1}^{q}=U(C(w)). \tag{140.4} $$ 令 $\ell\in\{0,\ldots,R\}$ 是窗口末端连续零的长度，截断在 $R$；令 $j\in\{0,\ldots,k-1\}$ 是完整实际历史的精确连续一长度。两种记忆分别为 $$ \widehat M(h)=(\mathcal Q(w),\ell), \qquad M(h)=(\mathcal Q(w),\ell,j). \tag{140.5} $$ 可行状态只取实际历史的共同像。每个相位位都由已取得的关系位定义，不是未计入记忆的外部参考。 **引理 140.2（端点次序、永久支配与队首恢复）。** 两个不同完整候选若满足 $ba$，得到（140.6）。同一闭合端点的左端点只能是此前最近的一，故不同候选的闭合端点也不同。 完整候选一旦出现，其实际端点和长度就固定。向前滑窗只会因左端点移出而使它过期。由（140.6），只要较旧候选仍完整，已经存在的较晚候选也仍完整。后者若不短于前者，在这段共同存在期间总因更长或同长而较晚获胜。新增候选不能使旧候选战胜这个支配者；支配者又被更晚候选支配时，时间增加与长度不减的传递性保持原删除理由。 若规范队列中先后两个候选的长度不严格下降，后者便支配前者，与定义矛盾。原获胜者自身不受支配；它以前的每个候选都被它支配，所以它位于队首。非空完整候选集中的最新候选必不受支配，得到空集等价。故非空队列可从首项恢复长度、端点、锚 $b_1+1$ 及方向 $\eta_1$，空队列则恢复方向零和锚 $\bot$。证毕。 ### 140.3 状态更新的闭合映射 **定义 140.3（规范状态的一位映射）。** 对新位 $x\in\{0,1\}$，定义幸存记录集合 $$ S_x(\mathcal Q) =\{(a-1,b-1,\eta\oplus(1-x)):(a,b,\eta)\in\mathcal Q, a>-R\}. \tag{140.7} $$ 记 $\operatorname{ord}$ 为按右端点递增排列有限记录集，记录的长度仍为 $z(a,b,\eta)=b-a-1$。定义 $$ \mathcal Q_x'=\begin{cases} \operatorname{ord}\bigl(\{c\in S_x(\mathcal Q):z(c)>\ell\} \cup\{(-\ell-2,-1,0)\}\bigr), &x=1\text{ 且 }1\le\ell\le R-2,\\ \operatorname{ord}(S_x(\mathcal Q)),&\text{其他情形}, \end{cases} \tag{140.8} $$ 以及 $$ \ell_x'=\begin{cases}\min\{R,\ell+1\},&x=0,\\0,&x=1,\end{cases} \qquad j_x'=\begin{cases}0,&x=0,\\j+1,&x=1.\end{cases} \tag{140.9} $$ 完整合同的新位合法条件为 $$ x=0\quad\text{或}\quad(x=1\text{ 且 }j-R\}. $$ 有精确等式 $$ U(E(C))=E(U(C)). \tag{140.12} $$ 未受支配者删去其他候选以后仍未受支配；若幸存的 $c$ 原来受 $d$ 支配，由（140.6）得 $a_d>a_c>-R$，所以 $d$ 同时幸存，$c$ 不会复活。这给两边的相等。 若 $n$ 是比幸存旧候选都晚的新候选，则 $$ U(E(C)\cup\{n\}) =\{c\in U(E(C)):z(c)>z(n)\}\cup\{n\}. \tag{140.13} $$ 原来受支配者仍受支配；原来未受支配者恰在长度不大于新候选时被支配；最新候选自身不受支配。严格递减的旧长度序列使被新候选支配者形成后段，等长旧候选也须删除，才能保持最新端点破同分的规则。共同坐标平移不改变这些关系。 实际完整候选更新中，旧候选幸存恰当且仅当 $a>-R$。新增候选只能由新一闭合旧非空零后缀；其旧左端点为 $-\ell-1$，新坐标端点是 $(-\ell-2,-1)$。这个已读左端点仍在窗口内的条件是 $1\le\ell\le R-2$。由（140.12）、（140.13），（140.8）的端点集合恰为新窗口全部候选的不受支配集合。 幸存旧候选的实际锚不变，新运输路径比旧路径多实际边 $x$，所以相位精确增加 $1-x$，得到（140.7）。新候选的闭合一位于新坐标 $-1$，锚是新当前顶点，运输为空，所以初相位为零。删除其他候选不删除这些记录中已经包含的运输信息。两种后缀则由定义直接得到（140.9），从而证明（140.11）。 当前输出由引理140.2恢复。完整合同的下一位合法性由同一 $j$ 及（140.10）决定，后继由同一 $T_x$ 决定；对续接长度归纳即可。方向合同沿共同合法的位串使用相同的 $\widehat T_x$，同样归纳。证毕。 **命题 140.5（边界与不能省略的相位）。** 公式（140.7）—（140.9）包括空候选、同时过期与新闭合，以及全部短窗口和后缀边界。删减后的候选长度本身一般不能替代各保存记录的相位。 **证明。** 空队列没有真实锚，当前方向依定义为零；（140.7）仅更新真实幸存记录，不把默认输出零当成一个锚而翻转。新零只改变后缀和已有记录的相位；满足闭合条件的新一才带来初相位为零的新锚。 当 $\ell=0$ 时没有正长度零串被闭合；当 $\ell=R$ 时没有已读左端点一；当 $\ell=R-1$ 时该左端点与新一进入同时离窗，均不新增候选。完整正长度零串至少占三位，所以 $R=1,2$ 的队列恒空，闭合条件也为空。 过期与新闭合同时发生时，集合 $S_x$ 已剔除旧过期记录，新候选只与幸存者比较。例如 $R=5$ 的窗口 $10010$ 接一成为 $00101$，旧长度二候选 $(-5,-2)$ 过期，新长度一候选在新坐标为 $(-3,-1)$，相位零；旧较长候选不能阻挡它。 为检验相位不可由删减后长度直接恢复，取 $R=10$ 的合法窗口 $$ w=1\,000\,1\,0\,1\,00\,1. $$ 三个完整候选长度依次为 $3,1,2$，端点为 $(-10,-6),(-6,-4),(-4,-1)$。中间长度一候选受最后长度二者支配。规范记录为 $$ \mathcal Q(w)=[(-10,-6,1),(-4,-1,0)],\qquad \ell=0,\quad j=1. \tag{140.14} $$ 第一锚后实际有三个零，相位一；若只对规范队列中保留的后续零串长度求和，则得到二、相位零。因此第139节全部候选的后续长度求和公式不能原样用于删减队列。（140.7）保存并继续运输了被删零串已经贡献的相位。这个反例不证明逐候选各一位是所有可能编码中的最小代价。证毕。 **同端点成对见证。** 为直接排除仅由删减后候选端点、长度和后缀恢复相位的可能，另取 $R=14$ 的两窗口 $$ w_A=1\,0000\,1\,000\,1\,000\,1,\qquad w_B=1\,0000\,1\,0\,1\,0\,1\,000\,1. $$ 两者均不含 $11$，所以对每个 $k\ge2$ 都合法；它们均有 $\ell=0,j=1$。两窗口的不受支配端点队列同为 $$ [(-14,-9),(-5,-1)], $$ 保留长度同为四、三。事实上，$w_A$ 的完整候选长度依次是四、三、三，中间长度三者被最后同长而较晚者支配；$w_B$ 的完整候选长度依次是四、一、一、三，中间两条长度一者均被最后长度三者支配。 第一锚之后的零数在 $w_A$ 中为 $3+3=6$，在 $w_B$ 中为 $2+3=5$；最后一条候选的运输均为空。因此正确的带相位队列分别是 $$ \mathcal Q(w_A)=[(-14,-9,0),(-5,-1,0)],\qquad \mathcal Q(w_B)=[(-14,-9,1),(-5,-1,0)]. $$ 不带相位的保留端点、长度及两个后缀全部相同，当前方向却分别为零和一，故不存在由该摘要恢复方向的单值函数。这一成对见证不声称各候选相位能够独立变化，也不建立逐候选一位的最小性。 ### 140.4 队列大小、持久状态编码与初始化 **定理 140.6（候选数与精确编码上界）。** 规范队列有 $q$ 个记录时， $$ \frac{q(q+1)}2+q+1\le R,\qquad q\le Q_R:=\left\lfloor\frac{\sqrt{8R+1}-3}{2}\right\rfloor. \tag{140.15} $$ 令 $$ L=\lceil\log_2(R+1)\rceil,\qquad J=\lceil\log_2k\rceil. $$ 存在持久状态编码满足 $$ B_{\rm out}(R,k)\le Q_R(2L+1)+2L, $$ $$ B_{\rm leg}(R,k)\le Q_R(2L+1)+2L+J. \tag{140.16} $$ 特别地，后者为 $O(\sqrt R\log(R+1)+\log k)$，共同常数不依赖 $R,k$。 **证明。** 当 $q\ge1$，端点排列满足 $$ a_1\frac{\sqrt R}{3\sqrt5}, \qquad R<5(q+1)^2\le(q+1)^4. $$ 因此定理140.8给 $$ B_{\rm out}(R,k)\ge \frac1{12\sqrt5}\sqrt R\log_2R. \tag{140.27} $$ 合法性合同同样满足此界。 此外，自判合法性的状态必须区分全部 $j=0,\ldots,k-1$。对 $j_10$，$\mathbb T_L$ 可通过 $$ s_{i+L}=Cs_i\qquad(i\in\mathbb Z) \tag{141.11} $$ 延伸成平移不变的扭转路径律。其诱导关系路径是合法的 $L$ 周期路径，且每周期零位数为奇数。每条正权路径的起态满足 $j_00$，且 $$ \sum_p\left|\frac{W(p)}{Z_L}-W(p)\right|=|1-Z_L|. $$ 三角不等式给 $$ \sum_p\left|\frac{W(p)}{Z_L}-P(p)\right|\le2E_{L,G}. $$ 本节总变差是归一化概率之半 $\ell^1$ 距离，故得到（141.13）。这个归一化论证没有除以最小平稳质量，也无需先证明 $E_{L,G}<1$。 缺陷 $D_R$ 只用关系位 $r_0,\ldots,r_R$，即前 $n=R+1$ 次转移，因而是上述完整前缀路径的事件。实际平稳律下它的概率是 $\delta_k(f)$，扭转律下由旋转不变性为 $\delta_{\mathbb T_L}(f)$。由总变差比较及命题141.7， $$ \delta_k(f)\ge\delta_{\mathbb T_L}(f)-E_{L,G} \ge\frac1L-E_{L,G}. $$ 此界对每个合法确定规则成立，再取最小值得（141.14）。证毕。 ### 141.6 统一首项、对角极限与独立公平来源 **定理 141.9（最优首项一）。** 对全部有限 $k\ge2$，共同常数下有 $$ \boxed{d_k(R)=\frac1R+O\!\left(\frac{\log R}{R^2}\right)\quad(R\to\infty).} \tag{141.17} $$ 特别地， $$ \lim_{R\to\infty}\sup_{k\ge2}|R\,d_k(R)-1|=0. \tag{141.18} $$ 任意随 $R$ 改变的有限整数参数 $k_R\ge2$，包括无界参数序列，均满足 $R\,d_{k_R}(R)\to1$。 **证明。** 取 $$ G_R=3\left\lceil4\log_{4/3}(R+2)\right\rceil, \qquad L_R=R+1+G_R. $$ 于是 $\varepsilon_{G_R}\le(R+2)^{-4}$，定理141.8给 $$ d_k(R)\ge\frac1{L_R} -\frac{2L_R}{(R+2)^4}-\varphi^{2-L_R}. \tag{141.19} $$ $G_R=O(\log R)$，且不依赖 $k$。恒等式 $$ \frac1R-\frac1{L_R}=\frac{1+G_R}{RL_R} $$ 为 $O(\log R/R^2)$；第二项为 $O(R^{-3})$，第三项指数衰减。因此（141.19）是共同常数的 $1/R-O(\log R/R^2)$ 下界。 上界使用同一规则类的推论139.8。令 $$ m_R=\left\lceil4\log_\varphi(R+1)\right\rceil. $$ 对 $R\ge128$，已有 $m_R\le R/2$，且 $$ d_k(R)\le\frac1{R-m_R+2}+\frac1{(R+1)^2}. \tag{141.20} $$ 这里对合法词的函数与总函数模不合法值等价，故最小值没有改变。因 $m_R=O(\log R)$， $$ \frac1{R-m_R+2}-\frac1R =\frac{m_R-2}{R(R-m_R+2)} =O(\log R/R^2) $$ 一致成立。合并得到（141.17），乘以 $R$ 后取上确界即得（141.18）；任意对角序列由同一上确界控制。证毕。 第139.5节末尾关于极限与最佳系数尚未确定的表述，只描述该节较早上下界的证明范围。定理141.9现已对同一个 $d_k(R)$ 证明极限与首项系数一，并且对全部有限 $k\ge2$ 一致；式（139.27）—（139.29）的有限下界及系数 $1/2$ 下界仍然成立。这项加强不把共同规则 $F_R$ 的首项确定为一，也不把第140节针对 $F_R$ 的存储定理扩大为所有选择器的定理。 该定理确定最优首项，不确定有限 $R$ 的精确最小值、最优二阶项或达到最优的具体表。上界仍是逐参数存在固定表，并未构造一族与 $k$ 无关且首项为一的规则；第139节共用最长零串规则的 $512/R$ 及第140节的记忆结论保持各自适用范围。 **定理 141.10（独立公平关系来源）。** 另令全部关系位独立公平，记其最优缺陷为 $d_\infty(R)$。则对每个 $R\ge1$， $$ d_\infty(R)\ge\frac1{R+2}, \tag{141.21} $$ 并且 $$ d_\infty(R)=\frac1R+O\!\left(\frac{\log R}{R^2}\right), \qquad R\,d_\infty(R)\longrightarrow1. \tag{141.22} $$ 这是直接关于独立来源的结论，不通过交换 $k$ 与 $R$ 的极限推出。 **证明。** 取 $L=R+2$，在长度 $L$、零位数为奇数的关系词上取均匀分布，再周期延伸。任何 $L-1$ 个不同位置上的指定二进制值，都由奇偶约束唯一决定剩余一位，因此它们恰为独立公平位；这也适用于跨周期接缝的连续 $L-1$ 位。该词分布对旋转不变。 同一确定规则在周期关系路径上的输出周期为 $L$，一周期运输为一，故逐路径至少一个缺陷。每个缺陷只用 $R+1=L-1$ 个连续关系位，其律正是独立公平律。取期望得到 $L\delta_\infty(f)\ge1$，再取最小值得（141.21）。 上界可直接使用定理139.7的有限表平均证明，但在这个独立来源中替换碰撞估计。两个长度 $m$ 词发生碰撞的概率为 $2^{-m}$，包括重叠：条件于第二个词开始前的全部过去，相等关系先确定它的前一段，再由重叠递推唯一确定剩余位；独立未来的指定 $m$ 位概率恰为 $2^{-m}$。因此，对 $1\le m\le R$、$N=R-m+2$，存在固定表使 $$ d_\infty(R)\le\frac1N+\binom N2\,2^{-m}. \tag{141.23} $$ 有限词序平均在无碰撞语境下给端点改变比例 $2/N$，独立端点位表平均使每次异词改变产生缺陷的比例为 $1/2$；碰撞事件按上式付出。这些都是固定表的有限存在性平均，不是在线抛币。 取 $m=\lceil4\log_2(R+1)\rceil$，对充分大的 $R$ 它小于 $R$；碰撞项不超过 $1/[2(R+1)^2]$，第一项为 $1/R+O(\log R/R^2)$。下界（141.21）等于 $1/R-O(R^{-2})$，合并得（141.22）。 此外，由（141.4），这个来源的绝对位长度 $q+1$ 柱概率为 $2^{-q-1}$，所以公平绝对提升本身也是独立公平位，式（141.5）的每条边权恰为 $2^{-R-2}$。证毕。 将定理141.9与141.10各自的误差常数取较大者，还可对 $k\in\{2,3,\ldots,\infty\}$ 得同一趋零界。因此允许参数序列部分项为独立来源的对角极限也成立；不需要先把有限 $k$ 的固定窗口来源替换成独立来源。 ### 141.7 窗口位置与参考运输 **命题 141.11（连续窗口的精确参考移位）。** 固定整数 $a,b\ge0$、$a+b=R$，并固定同一个确定函数 $F:\mathcal L_{k,R}\to\mathbb F_2$。在每个整数顶点 $t$ 使用 $$ F_t(r)=F(r_{t-a},\ldots,r_{t+b-1}), $$ 即使用这一连续关系窗并在顶点 $t$ 报方向。定义在顶点 $t+b$ 的严格过去规则 $$ \widetilde F_{t+b} =F_t\oplus\bigoplus_{j=t}^{t+b-1}(1-r_j). \tag{141.24} $$ 这是合法窗口规则之间的双射，且逐路径保持运输缺陷： $$ \widetilde F_{t+b+1}\oplus\widetilde F_{t+b}\oplus c_{t+b} =F_{t+1}\oplus F_t\oplus c_t. \tag{141.25} $$ 因此在平稳来源中，这些相同总长度的连续窗口合同具有相同最优缺陷。 **证明。** 原窗口正是新顶点 $s=t+b$ 的严格过去窗 $[s-R,s-1]$。所加运输量只用这个窗口内从 $t$ 到 $t+b$ 的边，故不需要未读位置。给定窗口，再 XOR 同一个运输量即恢复原规则，所以对应可逆；不合法输入值若出现，仍按定义141.0取商。 具体地，对按从旧到新编号的合法词 $w=(w_0,\ldots,w_{R-1})$，变换后的同一个确定函数为 $$ \widetilde F(w)=F(w)\oplus\bigoplus_{j=a}^{R-1}(1-w_j), \qquad F(w)=\widetilde F(w)\oplus\bigoplus_{j=a}^{R-1}(1-w_j). $$ 因此固定 $a,b$ 时，正反变换都不依赖调用时刻。 记 $P_{t,b}=\bigoplus_{j=t}^{t+b-1}c_j$。相邻两个运输和满足 $$ P_{t+1,b}\oplus P_{t,b}=c_t\oplus c_{t+b}, $$ $b=0$ 时两边都为零。把此式代入（141.24）即得（141.25）；平稳性使移位后的缺陷概率相同。证毕。 同一个函数的量词不可省略。若允许随时刻任意改变严格过去函数，在 $R=1$ 时可令时刻零的函数为常值零、时刻一的函数为 $w\mapsto1-w_0$，其余时刻取常值零；于是 $F_0=0$、$F_1=1-r_0$，直接给 $D_0=0$。这不是 $d_k(R)$ 中同一函数反复调用的竞争规则，也不反驳上述固定函数之间的对应。 纯未来窗是 $a=0$，严格过去窗是 $b=0$。这个对应只比较同一连续 $R$ 边窗口及其中参考顶点的运输，不比较不同总长度、非连续读取集合，或与输出顶点隔着未取得关系的窗口。语义上的双射和缺陷等式不免除实际窗口取得、等待时延、校准与费用。 这里 $d_k(R)$ 的下界针对同一个平移协变确定窗口函数：每处都由最近 $R$ 个关系位重新给出方向。若另允许一次初始化后持续保留一位内部参考，令 $$ a_{t+1}=a_t\oplus(1-r_t), $$ 则每次运输缺陷都为零。这个参考包含初始化以来的运输历史，一般不是最近 $R$ 位的函数，因而不在 $d_k(R)$ 的规则类中，与其正下界不矛盾。保留一位的存储量本身不能替代窗口来源合同；该初始位若只是对隐藏公平锚的猜测，其全程正确概率仍为 $1/2$。 公平绝对提升和扭转循环均为证明中的共同概率实现，没有交给内部规则额外参考位、独立优先级或随机种子。规则仍仅依赖实际关系记录，所以第139节命题139.15的真实公平锚恢复率恰为 $1/2$；最优运输首项一没有把这项恢复任务改成可识别任务。 本节来源转移与固定表上界分别由第139节的显式 Parry 结构和有限表平均承担；其中经典来源背景的原始文献见该节 Parry 引文。扭转循环的正性、旋转不变性、支持截断及整个路径的归一化比较均由本节证明，不以独立位置优先级、普通平衡割或其他采样密度结论替代。 ## 141.99 追加锚 ## 142. 初始化参考的一位运输与固定窗口合同的边界 **定义 142.0（窗口输出与初始化运输）。** 沿用第139节的双侧关系空间 $\mathcal Y_k$、平稳 Parry 律 $\mu_k$，其中 $k\ge2$，关系路径禁止 $1^k$。关系位 $r_t$ 连接顶点 $t,t+1$，令 $$ c_t=1-r_t\in\mathbb F_2, \qquad D_t(a,r)=a_{t+1}\oplus a_t\oplus c_t. \tag{142.1} $$ 固定窗口输出指存在同一个确定函数 $f:\mathcal L_{k,R}\to\mathbb F_2$，使 $$ a_t=f(r_{t-R},\ldots,r_{t-1}) \qquad(t\in\mathbb Z). \tag{142.2} $$ 初始化运输则指定实际起点 $t_0\in\mathbb Z$ 和初值 $b\in\mathbb F_2$，此后逐次取得实际关系位并更新持久状态。前者的输出只依赖最近 $R$ 位；实现可以缓存内部状态，但输出仍须等于（142.2）。后者允许当前状态保存从初始化以来取得的信息，不要求它能由最近 $R$ 位重新构造。 **命题 142.1（一位持久状态的逐路径零缺陷）。** 对任意合法关系路径、任意起点 $t_0$ 及初值 $b$，更新 $$ a_{t_0}=b, \qquad a_{t+1}=a_t\oplus c_t\quad(t\ge t_0) \tag{142.3} $$ 只需保存当前一位，且满足 $$ a_t=b\oplus\bigoplus_{i=t_0}^{t-1}c_i, \qquad D_t(a,r)=0\quad(t\ge t_0). \tag{142.4} $$ 这里的一位只计运输状态；下一位的禁词合法性判定、窗口锚位置或其他响应若被要求，属于额外输出合同。 **证明。** 在 $t=t_0$ 时，空 XOR 为零，得到初值。若（142.4）的第一式在 $t$ 成立，将（142.3）代入即得到 $t+1$ 的第一式。归纳证明闭式。再逐项代入（142.1），两个 $a_t$ 和两个 $c_t$ 分别抵消，得到缺陷恒为零。更新只读取当前状态位与新关系位，不需要保存已经读取的关系串。证明不使用概率或遍历假设。证毕。 **命题 142.2（持久参考不能一般地从固定最近窗口恢复）。** 对任意 $R\ge1$、$k\ge2$，命题142.1的同初值状态不能在全部合法历史上由最近 $R$ 位确定。因而其一位零缺陷更新不与定理141.9的 $$ d_k(R)=\frac1R+O\!\left(\frac{\log R}{R^2}\right) \tag{142.5} $$ 矛盾，其中（142.5）的隐常数对全部有限 $k\ge2$ 一致。删除初始位的单独副本而仍保留当前位，不构成运输参考的遗忘；无界的过去跨度不意味着无界的存储位数。 **证明。** 令 $t_0=0$ 并固定同一个初值 $b$。考虑从位置零开始的两个长度 $R+1$ 的关系词 $$ u=0^{R+1},\qquad v=1\,0^R. \tag{142.6} $$ 二者对全部 $k\ge2$ 都合法，在两侧添零后均为双侧合法配置。在同一时刻 $t=R+1$，最近 $R$ 位都是 $0^R$，而两个运输状态分别为 $$ b\oplus((R+1)\bmod2), \qquad b\oplus(R\bmod2), $$ 所以相差一位。同一窗口不能恢复两个不同的状态；这也适用于允许恢复函数依赖该固定时刻的情形。 定理141.9只对（142.2）的输出类取最小值，而（142.3）的输出不属于这一固定窗口类。其固定更新映射 $$ U(a,r)=a\oplus(1-r) $$ 将从 $t_0$ 到当前的全部翻转奇偶压缩在当前位中；历史跨度可以任意增长，状态集仍只有两个元素。因此，初始化后不再保留 $b$ 的单独副本，只要保留 $a_t$，更新合同依然闭合。 若每个时刻都要求由同一个最近 $R$ 位函数重建输出，且输出不依赖其他继承信息，则正好回到（142.2），不论实现是否使用缓存，均受（142.5）约束。若在某时刻 $T>t_0$ 丢失当前状态并重新指定 $b'$，则可从 $T$ 起再次按（142.3）得到零缺陷，但跨重置边界的缺陷为 $$ D_{T-1}=b'\oplus a_{T-1}\oplus c_{T-1}. \tag{142.7} $$ 它为零的充要条件是新种子等于原更新所要求的当前位。重新初始化本身既不保证这一条件，也不恢复旧的真实参考。证毕。 **命题 142.3（校准准确性与未校准公平参考）。** 设实际绝对路径 $X$ 与同一关系路径相容： $$ X_{t+1}=X_t\oplus c_t. $$ 命题142.1的相对误差满足 $$ E_t:=a_t\oplus X_t=b\oplus X_{t_0} \qquad(t\ge t_0). \tag{142.8} $$ 若实际校准使 $b=X_{t_0}$，则全部后续输出准确。 若条件于完整关系路径 $r$，$X_{t_0}$ 是公平位，且 $b$ 由关系数据和给定 $r$ 后与 $X_{t_0}$ 独立的外加随机性决定，则 $$ \Pr(a_t=X_t)=\frac12, \qquad \Pr(a_t=X_t\text{ 对所有 }t\ge t_0)=\frac12. \tag{142.9} $$ 其余一半样本在所有后续时刻均为整体反向，而两种情形的运输缺陷都为零。 两点互补纤维与公平条件锚分别承接定理66.1、66.9，其中第66节参数取 $K=k+1$，绝对禁串为 $0^{k+1},1^{k+1}$。这里将这些关系用于实际起点后的校准与运输，保留隐藏锚是否已被真实读数区分的条件。 **证明。** 两条绝对路径使用相同运输量，故 $$ E_{t+1} =(a_t\oplus c_t)\oplus(X_t\oplus c_t)=E_t. $$ 归纳得到（142.8），以及校准后的准确性。令 $U$ 表示外加随机性。条件于 $(r,U)$，$b$ 已确定，而 $X_{t_0}$ 仍公平，所以 $b\oplus X_{t_0}$ 以相同概率取零、一。由（142.8），单时刻准确、全部后续时刻准确都恰为事件 $E_{t_0}=0$，得到（142.9）；事件 $E_{t_0}=1$ 给全部后续时刻反向。 给定同一个关系路径，其两个绝对提升互补；同一个未校准输出至多与其中一个相同。公平提升对二者赋相同条件概率，而实际校准增加了区分这两个提升的信息。若真参考被预先固定或已加入校准读数，所用的公平条件律不再是相同的前提。证毕。 **命题 142.4（指定原点重构与随机平稳扩展）。** 对每个 $b\in\mathbb F_2$，存在可测重构映射 $\Psi_b$，把完整双侧关系路径送到唯一满足 $$ \Psi_b(r)_0=b, \qquad \Psi_b(r)_{t+1}=\Psi_b(r)_t\oplus c_t \quad(t\in\mathbb Z) $$ 的绝对路径。但 $\Psi_b$ 不在整个 $\mathcal Y_k$ 上与移位交换；在 Parry 律下，它也不几乎处处与移位交换，其输出过程不平稳。 反之，若关系律 $\mu$ 平稳，在完整关系路径之外独立取公平位 $B$ 并令 $a=\Psi_B(r)$，则得到平稳的双侧零缺陷扩展。此随机扩展不是关系路径的确定函数。 锚定重构、锚定移位的 skew-product 公式及公平提升的平稳性分别承接定理66.1、66.7、66.9，均以 $K=k+1$ 对应本节参数。下面保留双侧有限坐标 XOR 与推前计算，说明指定原点、实际初始化与随机扩展的区别；定理142.5及命题142.6另处理公平扩展的遍历前提，命题142.9再比较指定 $F_R$ 的响应合同。 **证明。** 任一坐标 $t$ 距原点有限，从 $b$ 正向或反向 XOR 中间关系位，唯一决定该坐标；每个坐标只依赖有限关系词，所以 $\Psi_b$ 可测。其合法性由连续 $k$ 个关系一恰对应连续 $k+1$ 个相同绝对位给出，亦与定理66.1在参数 $K=k+1$ 下的锚定重构一致。 在原点处， $$ \Psi_b(\sigma r)_0=b, \qquad (\sigma\Psi_b(r))_0=b\oplus(1-r_0). \tag{142.10} $$ 当 $r_0=0$ 时两者不同。该事件在 Parry 律下有正概率，故连几乎处处协变性也不成立。又 $a_0=b$ 恒定，而 $a_1=b\oplus(1-r_0)$ 非退化，因为合法词零、一都有正 Parry 概率。因此输出过程不平稳。 对于公平随机初值，令 $u_2$ 为 $\mathbb F_2$ 上均匀律，在锚定坐标中考虑 $$ T(a,r)=(a\oplus(1-r_0),\sigma r), \qquad \nu=u_2\times\mu. \tag{142.11} $$ 条件于 $r$，更新后的锚仍公平，而 $\sigma_*\mu=\mu$，所以 $T_*\nu=\nu$。双向重构将 $T$ 对应到绝对路径移位，得到平稳性；递推给逐路径零缺陷。条件于完整关系路径，每个 $a_t$ 仍是公平初值加一个确定 XOR，因此其条件分布为 $u_2$。若它是关系路径的确定函数，该条件分布应为一个点质量，矛盾。证毕。 **定理 142.5（遍历公平扩展的可测截面障碍）。** 设 $(Y,\mu,\sigma)$ 为双侧关系空间上的保测可逆系统，并取（142.11）的公平扩展。若整个系统 $(\mathbb F_2\times Y,\nu,T)$ 遍历，则不存在可测函数 $h:Y\to\mathbb F_2$ 满足 $$ h(\sigma r)=h(r)\oplus(1-r_0) \qquad\mu\text{-几乎处处}. \tag{142.12} $$ 因而不存在仅由关系路径确定、平移协变且几乎必然零运输缺陷的双侧输出 $a_t=h(\sigma^t r)$。 **证明。** 若有这样的 $h$，令 $$ A=\{(a,r):a=h(r)\}. $$ 图集可测，而给定 $r$ 后锚在两个元素上均匀，所以 $\nu(A)=1/2$。在（142.12）成立的关系路径上， $$ \begin{aligned} (a,r)\in T^{-1}A &\Longleftrightarrow a\oplus(1-r_0)=h(\sigma r)\\ &\Longleftrightarrow a=h(r)\\ &\Longleftrightarrow(a,r)\in A. \end{aligned} $$ 故 $T^{-1}A=A$ 模零成立。遍历性迫使 $\nu(A)\in\{0,1\}$，与 $\nu(A)=1/2$ 矛盾。 平移协变输出的零缺陷方程恰为（142.12），所以后一断言随之成立。这里使用的是整个公平扩展的遍历性，不是仅用基底遍历；结论也不排除指定原点重构或外加随机参考。这一图集反证只排除每个可测选择的缺陷为零，不单独给出对所有选择一致的正下界；固定窗口的定量界仍由定理141.9承担。证毕。 **命题 142.6（Parry 来源满足扩展遍历前提）。** 对第139节的每个有限 $k\ge2$，公平扩展 $\nu_k=u_2\times\mu_k$ 的移位强混合，因而遍历，适用定理142.5。 **证明。** 取定义141.3的带符号状态链 $s_t=(a_t,j_t)$。由于每 $k$ 个连续关系位中至少有一个零，$j_t$ 由关系路径在 $t$ 以前的实际后缀唯一确定；当前绝对位通过双向有限 XOR 确定其余绝对位。因此状态路径与锚定关系路径 $(a_0,r)$ 对应，且其平稳律正是公平扩展。 引理141.4给 $$ \sup_s\operatorname{TV}(Q^n(s,\cdot),\widehat\pi) \le\varepsilon_n=(3/4)^{\lfloor n/3\rfloor}\longrightarrow0. \tag{142.13} $$ 这个界来自两个合法三步词 $000,010$ 在两种零后缀状态上各提供至少 $1/8$ 的质量，故确实适用于整个带符号链，而不只是关系状态链。 令柱事件 $A$ 依赖不晚于时刻零的有限状态块，$B_n$ 为某个固定柱事件 $B$ 平移到从时刻 $n$ 开始的状态块。给定时刻零以前的状态，Markov 性和（142.13）使从时刻 $n$ 开始的整块条件律与平稳块律的总变差至多 $\varepsilon_n$，因为从块首状态生成其余状态是同一 Markov 核，不增大总变差。因此 $$ \left|\nu_k(A\cap B_n)-\nu_k(A)\nu_k(B)\right| \le\varepsilon_n. \tag{142.14} $$ 任意两个有限柱事件的支持之间，仅需作固定的坐标平移，即归入此情形。任意可测事件可由有限柱代数依测度逼近：若两事件各有误差小于 $\eta$ 的柱代数近似，则交概率及概率乘积合计引入至多 $4\eta$ 的误差。先让间隔趋于无穷，再让 $\eta\downarrow0$，便得到所有可测事件的强混合。 若 $A$ 模零不变，强混合给 $\nu_k(A)=\nu_k(A)^2$，故其质量为零或一。这证明遍历性及定理142.5所需前提。单独的“允许边转移概率为正”不承担这个结论；此处使用了（142.13）的实际收敛。证毕。 **命题 142.7（基底遍历不足以排除选择的合法三周期例）。** 对每个 $k\ge2$，存在 $\mathcal Y_k$ 上遍历的平稳关系律，允许确定的双侧可测零缺陷选择；其公平扩展不遍历。 **证明。** 取 $$ r^{(0)}=(001)^{\mathbb Z},\qquad r^{(1)}=(010)^{\mathbb Z},\qquad r^{(2)}=(100)^{\mathbb Z}, \tag{142.15} $$ 并在这三个点上赋均匀概率。左移依次循环三点，因此该律平稳，且不变子集只能为空集或全部三点，故基底遍历。三个序列均不含 $11$，所以属于每个 $\mathcal Y_k$。 定义 $$ h(r^{(0)})=0,\qquad h(r^{(1)})=1,\qquad h(r^{(2)})=0. \tag{142.16} $$ 三个起态的运输量依次为 $1,1,0$。于是 $$ 1=0\oplus1,\qquad 0=1\oplus1,\qquad 0=0\oplus0, $$ 逐一验证（142.12）。在其余合法路径上将 $h$ 定义为零，便得到全空间上的可测函数；该关系律集中在三个已验证的点上，所以其平移输出几乎必然零缺陷。公平扩展的六个正质量点分成 $a=h(r)$ 与 $a=1\oplus h(r)$ 两个不变三环，各有质量 $1/2$，所以不遍历。这是与命题142.6的 Parry 律不同的合法来源。证毕。 **命题 142.8（处处选择与几乎处处选择的区别）。** 不存在在整个 $\mathcal Y_k$ 上处处满足（142.12）的函数，即使不要求可测。但单个周期点的这个障碍不能代替定理142.5在 Parry 律下的几乎处处障碍。 **证明。** 合法关系路径 $r=0^{\mathbb Z}$ 满足 $\sigma r=r$，而 $1-r_0=1$。在此点，（142.12）要求 $h(r)=h(r)\oplus1$，矛盾。 这正是定理66.7在参数 $K=k+1$ 下的全零周期余循环障碍的双侧版本：基底固定而绝对锚翻转，故处处截面方程不成立。它首先是逐点的障碍，其拓扑后果与测度结论的前提分别保留。 在 Parry 律下该单点质量为零：从任意后缀状态 $j$ 读取 $m$ 个零的条件概率为 $\lambda^{-m}/h_j\le\lambda^{1-m}$，而 $\lambda>1$。令 $m\to\infty$ 即得单点质量为零。因此几乎处处方程可以不在该点成立；排除几乎处处可测选择仍需命题142.6与定理142.5。证毕。 **命题 142.9（指定响应的精确续接下界具有任务依赖性）。** 固定历史上的目标响应 $F$，并设确定性状态表示由 $M:\mathcal H\to\mathcal S$、输出 $o$ 及合法新位的更新 $U_x$ 组成，满足 $$ o(M(h))=F(h),\qquad M(h\cdot x)=U_x(M(h)). \tag{142.17} $$ 若两条历史可由某个共同合法的有限续接串产生不同目标响应，则它们的状态不同。若有 $N$ 条两两如此可区分的历史，则表示至少需要 $N$ 个状态；固定长度二进制编码至少需要 $\lceil\log_2N\rceil$ 位。 这里使用定理120.4—120.5中状态与完整响应、历史与剩余响应的分离原理，并将区分论证限制在两条历史共同合法的有限续接上；所需结论是指定目标的必要状态数下界。 这一界只约束式（142.17）指定的响应。因此，第139节命题139.12的摘要反例及第140节定理140.8、140.9的精确续接存储下界，约束定义139.3的同一个窗口选择器；它们不限制所有初始化持久观察者。 **证明。** 若 $M(h)=M(h')$，给两者输入同一个共同合法新位，则由相同更新映射得到相同后继状态。按续接串长度归纳，两条路径的每个后继状态和输出都相同。这与某个后续目标响应不同相矛盾，证明可区分历史必须分属不同状态。对两两可区分族计数，得到状态数及二进制位数下界。 第140节即使只观察方向输出，也要求每一步与指定窗口函数 $F_R$ 完全一致；它的下界不依赖额外的锚查询。命题142.1则把目标定为延续已经初始化的参考，其状态与输出均为当前一位，更新为 $U_x(a)=a\oplus(1-x)$。它无须复现 $F_R$ 的候选过期、竞争者替换或重新选锚，因此没有义务保留区分这些窗口响应的历史信息。若另要求自判禁词合法性，须再满足对应的语法状态合同；一位运输结论没有承担该附加任务。故指定选择器的精确续接位数、固定窗口长度及任意持续运输的存储位数不是同一个最小化问题。证毕。 **推论 142.10（完整双侧关系的平均缺陷下确界为零而不取到）。** 固定有限整数 $k\ge2$，仍取第139节的平稳 Parry 律 $\mu_k$。对完整双侧关系路径上的任意可测函数 $h:\mathcal Y_k\to\mathbb F_2$，定义同一函数的平移输出 $a_t=h(\sigma^t r)$ 及平均运输缺陷 $$ \Delta_k(h)=\int_{\mathcal Y_k} \mathbf1_{\{h(\sigma r)\oplus h(r)\oplus(1-r_0)=1\}}\,d\mu_k(r). \tag{142.18} $$ 则 $$ \inf_{\substack{h:\mathcal Y_k\to\mathbb F_2\\h\text{ 可测}}}\Delta_k(h)=0, \qquad \Delta_k(h)>0\quad\text{对每个这样的 }h. \tag{142.19} $$ 因而这个下确界不由任何可测关系选择取到。 **证明。** 对每个 $R\ge1$，定义139.0的有限规则类中存在达到 $d_k(R)$ 的确定函数 $f_R$。令 $$ h_R(r)=f_R(r_{-R},\ldots,r_{-1}). $$ 它只依赖有限坐标，因而可测；在移位路径上使用同一个函数，恰给第139节的相邻窗口输出。因此 $$ \Delta_k(h_R)=\delta_k(f_R)=d_k(R). $$ 所有缺陷指标非负，故对每个 $R$ 都有 $$ 0\le\inf_h\Delta_k(h)\le d_k(R) \le\delta_k(F_R)\le\min\{1,512/R\}. $$ 令 $R\to\infty$ 得下确界为零；定理141.9还给同一有限窗口最优值的首项一，但下确界结论只需上述趋零上界。 若某个可测 $h$ 取到下确界，则（142.18）中非负指标的积分为零，所以该指标几乎处处为零。这恰表示 $$ h(\sigma r)=h(r)\oplus(1-r_0) \qquad\mu_k\text{-几乎处处}. $$ 命题142.6已证明此 Parry 来源的整个公平扩展遍历，定理142.5遂排除这样的可测函数，矛盾。因此每个可测选择的平均缺陷都严格为正，同时这些正数没有共同的正下界。 本结论比较同一个可测函数在完整双侧关系路径上的平移调用。它不改变固定窗口最优值、初始化一位运输或未校准公平锚恢复这三个任务的条件；原点依赖的重构与额外公平随机扩展仍分别属于命题142.4的合同。证毕。 ## 142.99 追加锚 ## 143. 禁词编码中的半数、参考熵与精确 Parry 密度 ### 143.1 先区分语言、参考与取样任务 **定义 143.0（语言、关系位与参数）。** 本节采用第139节的参数：$k\ge2$，关系空间 $\mathcal Y_k$ 禁止 $1^k$，绝对空间 $\mathcal X_k$ 同时禁止 $0^{k+1},1^{k+1}$，两者均取双向序列。绝对位与关系位满足 $$ r_i=\mathbf1_{\{x_i=x_{i+1}\}}, \qquad x_{i+1}=x_i\oplus(1-r_i). \tag{143.1} $$ 因此本节的 $k$ 对应第66节的禁游程参数 $k+1$。定理66.1承担连通链上的锚定重构与两点互补纤维；命题142.4承担双向重构；定理66.5承担有限词递推；定理66.9承担公平锚提升。这里不把关系码也称作对整体互补封闭的绝对码。 **定义 143.0a（整数编码与取样来源）。** 采用[算术编码与有效分辨率卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_EFFECTIVE_RESOLUTION.md)§1.2.1–1.2.3的有限整数接口：取 $G_j^{(k)}=2^j$ 对 $0\le j0}. \tag{143.12} $$ 特别地 $0<\rho_k<1/2$，并且 $$ \rho_2=\frac{5-\sqrt5}{10},\qquad \lim_{k\to\infty}\rho_k=\frac12. \tag{143.13} $$ 对公平绝对提升 $\nu_k$（定义139.9、命题142.4），每个固定位置却满足 $\nu_k(x_i=1)=1/2$。 **证明。** 对（143.10）的双重和按 $t=j+a$ 汇总，每个 $1\le t\le k$ 有恰好 $t$ 对指标，故 $$ S=\sum_{t=1}^k t p^t. \tag{143.14} $$ 每次关系零恰好使下一后缀状态为零，而读一不会进入零状态。因此平稳性给 $$ \mu_k(r_0=0)=\pi_0=\frac1S,\qquad \rho_k=1-\frac1S. \tag{143.15} $$ 也可直接将（143.11）的零边权相加，得到 $\sum_j\pi_jP(j,0)=S^{-1}\sum_{j=0}^{k-1}p^{j+1}=S^{-1}$。 有限和相减，利用 $\sum_{t=1}^kp^t=1$，得 $$ (1-p)S =\sum_{t=1}^kp^t-kp^{k+1} =1-kp^{k+1}. $$ 所以 $$ S=\frac{\lambda_k^{k+1}-k} {\lambda_k^{k+1}-\lambda_k^k}, \qquad \lambda_k^{k+1}-k =S\lambda_k^k(\lambda_k-1)>0. \tag{143.16} $$ 将此式代入（143.15）即得密度公式。根方程还给 $$ \lambda_k^{k+1}-2\lambda_k^k+1=0. \tag{143.17} $$ 将两倍密度从一中减去，分子为 $\lambda_k^{k+1}-2\lambda_k^k+k=k-1$，得到严格半差。又（143.14）比 $\sum_{t=1}^kp^t$ 严格大，因为 $k\ge2$ 且高于一次的项有正质量；故 $S>1$，密度严格正。 $k=2$ 时 $\lambda_2=\varphi$，由 $S=p+2p^2=1+p^2$ 得 $$ \rho_2=\frac{p^2}{1+p^2} =\frac{5-\sqrt5}{10}. $$ 这与定理66.11在其黄金均值参数下的关系位均值一致，未改变其概率来源。 根的单调性及 $\lambda_k\uparrow2$ 已由[有效分辨率卷§1.2.13](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_EFFECTIVE_RESOLUTION.md)式（TM.416）给出。为得到此处的密度极限，写成 $$ \frac12-\rho_k =\frac{(k-1)\lambda_k^{-(k+1)}} {2\bigl(1-k\lambda_k^{-(k+1)}\bigr)}. $$ 由于 $\lambda_k\ge\varphi>1$，有 $k\lambda_k^{-(k+1)}\le k\varphi^{-(k+1)}\to0$，故半差趋零。 公平绝对提升的状态质量为 $\widehat\pi(a,j)=\pi_j/2$，对 $j$ 求和即得每个位置的绝对一概率为一半。 上述半差是每个有限 $k$ 的严格差值；只在 $k\to\infty$ 的极限中，关系位密度趋于一半。绝对单点公平与关系位偏向翻转并不冲突。证毕。 **命题 143.4a（仅禁 $1^k$ 的逐路径频率范围）。** 对任意 $r\in\mathcal Y_k$，若关系一频率 $$ f(r)=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=0}^{n-1}r_i $$ 存在，则 $$ 0\le f(r)\le\frac{k-1}{k}. \tag{143.17a} $$ 两个端点分别由 $0^{\mathbb Z}$ 和 $(1^{k-1}0)^{\mathbb Z}$ 实现。特别地，$k=2$ 时合法关系码 $(10)^{\mathbb Z}$ 的一频率为 $1/2$；$k\ge3$ 时上述周期码的一频率为 $(k-1)/k>1/2$。 **证明。** 每个长 $k$ 的关系块至多有 $k-1$ 个一。将 $n=qk+s$，其中 $0\le sN$ 时，全部 $N$ 位关系词合法，且所用位权 $G_j^{(k)}=2^j$ 对 $j