# 递归关系观察：可执行上下文几何

空间拼接、时间接续和记忆更新都可以作为带输入输出的关系操作。要用一份几何比较这些操作，首先必须固定哪些上下文实际允许执行，以及一个上下文怎样接到另一个上下文之后。本卷以有类型的配置、允许箭头和带度量的读数为共同数据，构造保留全部指定行为、满足指定增益的最小扩展伪度量。任意参数的笛卡尔代数是它的一种特化；取得常量、复制资源和拼接共同来源的权限则由实际语言决定。

[RRO主卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md) 第120节给出精确实验行为与最小表示，第121节研究保留式档案、观察核细化与正交信息增量，第122节区分取反的保持、乘法的弱化与投影边界耦合，第124节保留共同来源，第125–128节研究线性响应、记忆和概率，第133–136节研究运输与资源。本卷增加这些接口在有限误差下的组合条件。一个距离由全部允许实验定义，不代表观察者已经执行这些实验；有限预算的可取得部分在第7节另行构造。

## 1. 配置、允许箭头与失败

**定义 1.1（带增益的有类型实验语言）。** 设 $S$ 为类型集合。每个类型 $s$ 有配置集合 $X_s$；配置包括当前任务所需的对象、记录、共享来源与资源状态。每个允许生成箭头 $h:s\to t$ 指定一个总函数
$$
h:X_s\to X_t
$$
和有限正增益 $L_h>0$。每个类型有一族基础读数 $f:X_s\to Y_f$，其中 $Y_f$ 配扩展度量 $\rho_f:Y_f\times Y_f\to[0,\infty]$：对称、满足三角不等式，且 $\rho_f(u,v)=0$ 当且仅当 $u=v$。普通有限值度量是其特例。

一个允许上下文 $C:s\to t$ 是类型匹配的有限箭头路径。空路径是恒等上下文。路径作用取函数复合，增益取乘积：
$$
\ell(\mathrm{id}_s)=1,\qquad
\ell(C\circ h)=\ell(C)L_h.
$$
一个闭实验是上下文 $C:s\to t$ 后接基础读数 $f:X_t\to Y_f$。所有生成箭头与读数构成集合，所以以下测试上确界具有固定索引集合。相同函数的两条执行路径可以具有不同的增益或代价，在这些数据被证明可识别之前不将路径合并。

此处 $L_h$ 是所研究接口指定的增益要求；不预先假定任意给定的有限状态度量都满足它。第2节证明何时存在最小的兼容距离，以及不相容要求怎样导致无穷距离。严格正性用于路径除法；常值操作可以使用任意经过验证的正上界，并不因此失去其实际零变化性质。

**约定 1.2（部分动作的总化）。** 对部分动作 $h:D_h\to X_t$，可以在各类型加入声明的失败结果，将域外输入送往相应失败标签；失败之后的接续按明确的传播或恢复规则定义。成功、失败和任务所需原因进入读数。也可以使用共同定义域作为类型，但接续必须确实保持相应类型。把两个各自合法的输入拼成一个元组，需要另证这个元组合法。

这些总函数描述一次协议怎样作用于任一候选配置，不赋予在未知配置上提前读取隐藏信息的权限。例如自适应策略可以根据已经读到的历史选择下一步；它不能根据未读到的变量选择分支。所需策略状态可纳入配置，已声明的策略作为允许箭头。所有未来允许路径与某一条已经执行的历史是不同的对象。

**命题 1.3（成对删除失败会破坏伪度量）。** 若比较两个配置时只保留对二者都成功的实验，所得成对测试上确界不一定满足三角不等式，也不一定产生传递的零距离关系。

**证明。** 取 $X=\{a,b,c\}$，当前读数恒定，另有部分实验 $e$ 满足 $e(a)=0,e(c)=1$，在 $b$ 处失败。输出用离散距离。只比较双方成功的实验，并把空族上确界取零，得到
$$
d(a,b)=0,\qquad d(b,c)=0,\qquad d(a,c)=1.
$$
所以 $d(a,c)>d(a,b)+d(b,c)$，同时 $a,b$ 与 $b,c$ 零距离而 $a,c$ 非零距离。此处每一对输入使用了不同的测试索引集合。将失败保留为单独结果，才能对同一个测试函数拉回度量。$\square$

**命题 1.4（准入边界不由数值接近自动保持）。** 设实数状态上的动作在 $x\ge0$ 时成功、在 $x<0$ 时失败，成功与失败的输出距离为一。它相对于输入的通常距离不存在全局有限 Lipschitz 常数。

**证明。** 对任意 $\varepsilon>0$，输入 $\varepsilon,-\varepsilon$ 的距离是 $2\varepsilon$，输出距离是一。若有统一有限常数 $L$，则所有 $\varepsilon>0$ 都满足 $1\le2L\varepsilon$，矛盾。$\square$

若任务要求合法性完全保持，可把域保持作为精确关系运输，或给成功与失败之间无穷距离。若选有限处罚，得到的是对应处罚下的近似保证，仍须用实际误差与准入间隔证明某次动作不会跨界。

## 2. 最小上下文距离与递归闭合

**定义 2.1（完整上下文距离）。** 对 $x,y\in X_s$，置
$$
D_s(x,y)=\sup_{\substack{C:s\to t\\f:X_t\to Y_f}}
\frac{\rho_f(f(Cx),f(Cy))}{\ell(C)}.
\tag{2.1}
$$
空测试族的上确界取零。每条有限路径的增益均有限且严格正，因此除法没有零分母；$D_s$ 可以取无穷值。

**定理 2.2（最小增益兼容几何）。** 定义2.1满足：

1. 每个 $D_s$ 是扩展伪度量。
2. $D_s(x,y)=0$ 当且仅当全部允许闭实验在 $x,y$ 上取得相同结果。
3. 每个基础读数满足 $\rho_f(fx,fy)\le D_s(x,y)$，每个允许生成箭头满足
$$
D_t(hx,hy)\le L_hD_s(x,y).
\tag{2.2}
$$
4. 若另一扩展伪度量族 $p_s$ 使全部基础读数为 $1$-Lipschitz，并使每条允许箭头满足相同的 $L_h$ 界，则 $D_s\le p_s$ 逐点成立。

因此 $D$ 自身满足所列要求，并且是满足这些要求的逐点最小者。一份全域有限的合格 $p$ 也给出 $D$ 全域有限的证书。

**证明。** 对固定实验 $(C,f)$，把 $\rho_f$ 沿 $f\circ C$ 拉回，再乘正数 $1/\ell(C)$，得到扩展伪度量。其上确界仍在对角线为零且对称。对任意 $x,y,z$，每一项满足
$$
\frac{\rho_f(fCx,fCz)}{\ell(C)}
\le D_s(x,y)+D_s(y,z),
$$
取上确界得到三角不等式，包括无穷值的情况。全部项非负，且读数度量分离点，所以零上确界等价于每个实验结果相等。恒等上下文给基础读数界。

对箭头 $h:s\to t$ 和输出实验 $(C,f)$，$C\circ h$ 仍是允许上下文，且 $\ell(C\circ h)=\ell(C)L_h$。于是
$$
\frac{\rho_f(fChx,fChy)}{\ell(C)}
\le L_hD_s(x,y).
$$
对输出实验取上确界得到式(2.2)。若 $p$ 满足同样的生成箭头条件，对路径长度归纳得到 $p_t(Cx,Cy)\le\ell(C)p_s(x,y)$。基础读数条件继而给每个实验的归一化差不超过 $p_s(x,y)$，取上确界得 $D_s\le p_s$。$\square$

**命题 2.3（递归闭合与有限深度）。** 令
$$
o_s(x,y)=\sup_{f:X_s\to Y_f}\rho_f(fx,fy),
$$
并在所有类型上的非负扩展值二元函数族 $p$ 上定义
$$
(\mathcal Tp)_s(x,y)=
\max\left\{o_s(x,y),
\sup_{h:s\to t}\frac{p_t(hx,hy)}{L_h}\right\}.
\tag{2.3}
$$
记 $D^{[N]}$ 为式(2.1)中只取长度至多 $N$ 的路径所得距离。则
$$
D^{[0]}=o,\qquad D^{[N+1]}=\mathcal T D^{[N]},
\qquad D=\sup_{N\ge0}D^{[N]},\qquad D=\mathcal TD.
\tag{2.4}
$$
而且 $D$ 是所有满足 $\mathcal Tp\le p$ 的非负扩展值函数族中逐点最小者，故也是 $\mathcal T$ 的最小不动点。

**证明。** 长度至多 $N+1$ 的路径要么为空，要么有首箭头 $h$，其后长度至多 $N$。相应增益分解为 $L_h$ 乘剩余路径增益，故测试上确界恰为式(2.3)。每条允许路径有限，所有路径是各有限深度族之并，因此 $D=\sup_ND^{[N]}$。把完整路径同样按空路径和首箭头分解，得 $D=\mathcal TD$。

若 $\mathcal Tp\le p$，则 $o\le p$ 且每条箭头的拉回满足 $p_t(hx,hy)\le L_hp_s(x,y)$。沿每条有限路径归纳后，用 $o\le p$ 得该路径的实验贡献不超过 $p_s(x,y)$，取上确界得 $D\le p$。此步甚至不需要竞争函数 $p$ 预先满足伪度量律。$\square$

式(2.3)将“当前能区分什么”与“允许操作后还能区分什么”放进同一个闭合规则。它关于这份语言的实验行为，不是物理系统停止变化的不动点。 主卷第121节的累计档案增长描述已取得记录及其可见空间的扩展；本卷路径上确界描述指定语言中全部允许实验的分离能力。允许一种实验、实际取得一次读数、保留这次记录是不同条件。主卷第122节的条件期望保留取反而可能破坏乘法，属于带共同概率律的投影接口；本卷的度量零核本身不替代该乘法缺陷和边界耦合。

**命题 2.4（增益与语言的单调性）。** 在相同实验语言上，若逐生成箭头增加增益 $L_h\le L'_h$，则 $D'\le D$，且两者具有相同零核。在保持旧路径及其增益不变的条件下增加允许箭头或基础读数，则完整距离不减，零核只会缩小。

**证明。** 前一种变化使每条路径分母不减，所以每个实验贡献不增；严格正有限的分母不改变某个贡献是否为零。后一种变化使旧测试族包含于新测试族，其上确界不减，实验相等的条件相应增强。$\square$

**命题 2.5（有限性不能靠指定收缩获得）。** 存在当前可区分的两个点、恒等更新 $h=\mathrm{id}$，使任何指定的 $0<L_h<1$ 都让其完整上下文距离为无穷。

**证明。** 设一个当前读数差为 $c>0$。长度 $n$ 的恒等更新路径具有增益 $L_h^n$，其贡献为 $cL_h^{-n}$。这些值无上界，故 $D(x,y)=\infty$。$\square$

因此较小增益是更强的兼容要求。它可能要求把某些可区分配置置于无穷远，不能免费把一个实际不收缩的过程变成有限距离中的收缩过程。

## 3. 行为商与保真辅助运输

**定义 3.1（实际行为像）。** 对每个类型，令
$$
\beta_s(x)=\bigl(f(Cx)\bigr)_{(C,f)},
\qquad Q_s=\beta_s[X_s].
$$
定义 $x\sim_sy$ 当且仅当 $D_s(x,y)=0$。实际行为像只包含由某个合法配置实现的实验结果族。

**定理 3.2（零核商的规范距离）。** $\sim_s$ 是等价关系，并有自然双射 $X_s/{\sim_s}\cong Q_s$。公式
$$
\overline D_s(\beta_sx,\beta_sy)=D_s(x,y)
\tag{3.1}
$$
在 $Q_s$ 上定义良好的扩展度量。每条允许箭头唯一下降为 $\overline h:Q_s\to Q_t$，满足
$$
\overline h\,\beta_s=\beta_t h,
\qquad
\overline D_t(\overline h b,\overline h b')\le L_h\overline D_s(b,b').
$$

**证明。** 扩展伪度量的零距离由三角不等式成为等价关系；定理2.2将它识别为全部实验读数的共同核，从而得到所述商与实际像双射。若 $D(x,x')=D(y,y')=0$，两次三角不等式给 $D(x,y)\le D(x',y')$ 和反向不等式，故式(3.1)与代表无关。零距离的两个实际行为必相同，所以它是扩展度量。由式(2.2)，零距离输入在 $h$ 后仍零距离，因而按代表定义 $\overline h(\beta_sx)=\beta_t(hx)$ 良好；实际像保证唯一性，增益界直接由式(2.2)得到。$\square$

若另有实际像表示 $q_s:X_s\twoheadrightarrow B_s$，且基础读数和全部允许箭头都通过 $q$ 下降，那么每个路径实验经归纳也通过 $q$ 因子化。因此 $q_s(x)=q_s(y)$ 蕴含 $\beta_s(x)=\beta_s(y)$，并有唯一满射 $B_s\to Q_s$ 与这些读数、操作相容。这是RRO第120节的精确最小表示判据；式(3.1)同时给它由实验增益确定的几何。集合上的因子化本身不提供恢复算法或稳定常数。

**定理 3.3（相同实验语言下的等距运输）。** 给两套定义1.1的实现 $X_s,\widetilde X_s$，使用同一个有类型生成箭头图、同一组基础读数标签、同一读数值域与度量，以及相同的增益。设映射 $r_s:\widetilde X_s\to X_s$ 满足
$$
r_t\widetilde h=h r_s,\qquad \widetilde f=f r_s
\tag{3.2}
$$
对全部生成箭头和基础读数成立，且两套实验都恰由这些生成数据形成。则
$$
\widetilde D_s(\widetilde x,\widetilde y)
=D_s(r_s\widetilde x,r_s\widetilde y).
\tag{3.3}
$$
这不要求 $r_s$ 单射或满射。若各 $r_s$ 满射，则两套实际行为商通过 $\widetilde\beta_s(\widetilde x)\mapsto\beta_s(r_s\widetilde x)$ 等距同构。

**证明。** 对同一个路径词归纳，式(3.2)给 $r_t\widetilde C=C r_s$。因此每个对应实验的结果相同，增益相同，式(2.1)的每项贡献相同；两边按同一实验索引取上确界，得到式(3.3)。满射时基础行为像也全部被覆盖，零核由式(3.3)相应识别，实际行为商上的映射遂为双射且保持距离。$\square$

式(3.2)需要覆盖实际语言。若 $\widetilde X=X\times Z$，$r$ 为第一投影，辅助读数全部取自 $X$，第二坐标可以被消去；一旦允许独立读取 $Z$，就新增了未被运输的实验。取 $X$ 为单点、$Z=\{0,1\}$，原距离为零，新读数的距离为一，式(3.3)不再成立。

**命题 3.4（路径模拟的单向度量控制）。** 设每个源实验 $(C,f)$ 都能由辅助系统中的一个允许实验 $(\widetilde C,\widetilde f)$ 模拟，在比较的全部辅助配置上满足
$$
\widetilde f(\widetilde C\widetilde x)=f(Cr_s\widetilde x),
\qquad
\widetilde\ell(\widetilde C)\le K_s\ell(C),
$$
其中对应读数使用同一个值域和度量，$0<K_s<\infty$ 与具体实验无关。则
$$
D_s(r_s\widetilde x,r_s\widetilde y)
\le K_s\widetilde D_s(\widetilde x,\widetilde y).
\tag{3.4}
$$

**证明。** 对每个源实验，将相同的读数差除以 $\ell(C)$，再乘除 $\widetilde\ell(\widetilde C)$，得到其贡献至多 $K_s\widetilde D_s$。对全部源实验取上确界即可。$\square$

单向模拟不提供反向界，允许辅助系统额外读取的区别也不会由式(3.4)消失。模拟路径的时间与费用同样应按实际执行计算；函数相同而增益不同，或者一次调用被展开为多次实验，都必须携带相应数据运输。

## 4. 多元拼接与合法替换链

**定义 4.1（全参数多元特化）。** 设每个多元组合是总函数
$$
g:X_{s_1}\times\cdots\times X_{s_m}\to X_t,
$$
并为其第 $i$ 孔指定 $L_{g,i}>0$。若对全部相应类型的旁支参数 $a_j$ 都允许箭头
$$
x\longmapsto g(a_1,\ldots,a_{i-1},x,a_{i+1},\ldots,a_m),
$$
且其增益为 $L_{g,i}$，则称实验语言包含该组合的全部参数平移。零元操作给常量，没有输入孔。

**定理 4.2（全参数的多元增益）。** 在定义4.1的条件下，对全部输入元组有
$$
D_t(g(x_1,\ldots,x_m),g(y_1,\ldots,y_m))
\le\sum_{i=1}^mL_{g,i}D_{s_i}(x_i,y_i).
\tag{4.1}
$$
若整个生成箭头族恰由这些参数平移组成，则第2节构造的距离是使基础读数为 $1$-Lipschitz、每个组合孔具有指定增益的逐点最小扩展伪度量族。若还保留其他生成箭头，最小性同时相对于那些箭头的增益要求成立。

**证明。** 从 $g(x_1,\ldots,x_m)$ 开始，依次把第 $i$ 个孔的值换成 $y_i$。其他孔值在每一步都属于允许固定的参数集合，因此定理2.2控制每一步变化，三角不等式给式(4.1)。当 $m=0$ 时两边都是零。指定各孔的增益与指定全部相应平移箭头的增益是同一要求，所以最小性正是定理2.2的第四项。$\square$

这个全参数模型可以比较任意载体元组，却没有自动证明有限观察者已经取得全部旁支参数。参数可以用于语义上的分离证明，而其实际制备、复制与接入仍是另外的关系。

**命题 4.3（受限常量不保证全代数同余）。** 如果上下文旁支只能由一部分可取得常量生成，完整上下文距离不一定满足其余未允许平移的增益界；即使所有指定增益均为一，零核也不一定是全代数的同余。

**证明。** 取 $X=\{0,1,2\}$，唯一可取得常量是 $0$。定义 $g(1,1)=2$，其余二元输入都输出零；读数为 $f(0)=f(1)=0,f(2)=1$，值域使用离散距离。由结构归纳，全部闭项仍等于零，任何非恒等严格单孔上下文因旁支为零而恒为零。因此受限上下文距离是 $D(x,y)=|f(x)-f(y)|$。但
$$
D(0,1)=0,\qquad
D(g(0,1),g(1,1))=D(0,2)=1.
$$
平移 $g(-,1)$ 不在当前语言内，却会把原来零距离的输入分开。$\square$

**命题 4.4（两点的数值边界）。** 单个类型只含两个点时，受限常量也能使某个未允许平移违反指定的严格小于一的增益。

**证明。** 令 $X=\{0,1\}$，唯一常量为零，$g(x,y)=xy$，读数为恒等映射，两孔均指定增益 $1/4$。任意非恒等受限单孔上下文恒为零，故 $D(0,1)=1$。未允许的平移 $g(-,1)$ 为恒等函数，其所需不等式变成 $1\le1/4$，失败。单点载体的全部点对距离为零，不能给这种反例。$\square$

若可取得集合 $K_s$ 对操作封闭，并且所需旁支值能够同时取得、按声明次数使用，则可将定理4.2限制在这些子载体上。仅仅每个值分别可取得，不保证它们能出现在同一份合法联合配置中。

**命题 4.5（合法混合链）。** 对部分组合 $g:R\to X_t$，其中 $R\subseteq\prod_iX_{s_i}$，设两个合法元组由有限链
$$
\boldsymbol z^0=\boldsymbol x,\quad
\boldsymbol z^1,\ldots,\boldsymbol z^k=\boldsymbol y
$$
连接。要求每个 $\boldsymbol z^j\in R$，第 $j$ 步仅改变第 $i_j$ 孔，且该步固定旁支的允许操作已经满足增益 $L_j$。则
$$
D_t(g\boldsymbol x,g\boldsymbol y)
\le\sum_{j=1}^kL_jD_{s_{i_j}}(z^{j-1}_{i_j},z^j_{i_j}).
\tag{4.2}
$$

**证明。** 对链上每个相邻合法元组使用该步的实际增益界，再沿输出链使用三角不等式。$\square$

若每个孔恰好替换一次，就返回式(4.1)的端点加权和；若必须绕行，则应使用实际链的代价。对所有合法链的上界取下确界仍是有效上界，空链族按无穷计，但这不证明链存在或代价有限。

**命题 4.6（合法端点不足以产生混合链）。** 仅要求两个端点合法，且所有两端都合法的逐孔变化满足增益，不能推出式(4.1)。

**证明。** 取 $X=\{0,1\}$、$R=\{(0,0),(1,1)\}$，定义 $g(i,i)=i$，输出使用离散距离。固定一孔后，合法另一孔值至多一个，所以所有合法逐孔比较都是同一点比较。输入零伪度量满足这些逐孔条件，但两个合法元组输出距离为一，端点加权和为零。中间元组 $(0,1),(1,0)$ 都非法。若将失败读数纳入完整总化模型，输入零伪度量便不再满足那份更强的完整实验条件。$\square$

## 5. 复制、共享变量与共同概率来源

**约定 5.1（一个外部接口与内部扇出）。** 允许上下文只有一份外部输入接口，不意味着内部表达式只能使用该输入一次。若协议允许复制，需把复制作为箭头 $\operatorname{copy}:X\to X\times X$，或直接允许带合法扇出布线的单输入上下文图。联合接口及其后续操作必须与这份复制相容。资源规则不允许的复制，不由集合上存在对角函数自动取得。

在命题4.3的三点模型中，若复制合法，则 $x\mapsto g(x,x)$ 是可执行实验，它区分零与一。此时必须扩展测试族，不能继续使用排除了复制的距离宣称已经覆盖所有实际实验。

**命题 5.2（重复变量的增益按路径相加）。** 在定理4.2的全参数条件下，对二元组合及重复输入有
$$
D_t(g(x,x),g(y,y))
\le(L_{g,1}+L_{g,2})D_s(x,y).
\tag{5.1}
$$
对更一般的有限确定性组合图，在每个节点满足所用多元增益界、共享节点的值被保留复用的前提下，展开为树并对每次使用路径累计增益，给出的确定性误差上界仍然有效；同源误差不需要相互独立。

**证明。** 式(5.1)直接使用式(4.1)，或插入中间值 $g(y,x)$ 后两次应用单孔界。一般有限图可按拓扑顺序求值；展开树的每个共享叶仍读取原图同一个值，因此两种表达的输出逐点相同。每次出现该值时使用同一个误差上界，再沿各路径传播，只增加上界的重复项，没有使用误差独立性。$\square$

以通常距离和加减法为例，$x+x$ 的增益为二；$x-x$ 则恒为零。通用逐孔上界给后者至多 $2\varepsilon$，有效但不紧。改进这种上界需要使用真实的相消关系，不能仅因两次出现同一个名称就删去一条路径的误差。

**命题 5.3（相同边缘不保证拼接误差为零）。** 存在两份输入联合律，各对应边缘完全相同，而同一二元读数的输出律距离为一。

**证明。** 令 $U$ 为公平比特，取
$$
P=\operatorname{Law}(U,U),\qquad
Q=\operatorname{Law}(U,1-U).
$$
两个输入坐标的边缘在 $P,Q$ 下均为公平比特。但 XOR 输出分别恒为零和恒为一，其全变差距离为一。因此不能把两份边缘距离零代入联合操作的误差和式，得出输出误差为零。$\square$

若操作的输入是概率律，联合律必须成为实际输入，或通过共同耦合明确给出。两个边缘上分别达到的最优耦合，不必能够同时实现原来两份联合律。

**命题 5.4（共同耦合上的期望与成功概率）。** 设在同一概率空间上有随机元组 $\boldsymbol X,\boldsymbol Y$，所有距离与输出均可测，并且几乎处处满足
$$
D_t(g\boldsymbol X,g\boldsymbol Y)
\le\sum_iL_iD_{s_i}(X_i,Y_i).
$$
则非负扩展期望满足
$$
\mathbb E D_t(g\boldsymbol X,g\boldsymbol Y)
\le\sum_iL_i\mathbb E D_{s_i}(X_i,Y_i).
\tag{5.2}
$$
若有限个局部证书在事件 $E_i$ 上成立，且 $\Pr(E_i^c)\le\alpha_i$，那么全部证书共同成立的概率至少为 $1-\sum_i\alpha_i$。

**证明。** 第一式由期望单调性和有限非负求和的线性性得到，不需要独立性。第二式由 $\Pr(\bigcup_iE_i^c)\le\sum_i\Pr(E_i^c)$ 得到。$\square$

**命题 5.5（重新抽取不保持共享图的语义）。** 将共享随机节点的两次使用改成两次独立调用，可能改变完整输出分布，即使每个节点的边缘分布不变。

**证明。** 抽取一次公平比特 $U$ 并计算 $U\operatorname{XOR}U$，输出恒为零。改成独立抽取公平比特 $U,V$ 后，$U\operatorname{XOR}V$ 为公平比特。两次调用的单独边缘相同，输出律不同。$\square$

保持语义的展开应复用同一个已取得值，或将完整随机源及消费位置纳入状态并证明展开保持该来源。把一个已缓存样本重复读取，并不会产生第二份独立实验信息。RRO第124、135节关于共同来源与复制碰撞的结论在这里成为误差传播的前提。

## 6. 局部缺陷怎样传到整体

**定义 6.1（近似实现的局部缺陷）。** 在定理4.2的全参数模型中，给同签名实现 $\widetilde X_s,\widetilde g$ 及映射 $r_s:\widetilde X_s\to X_s$，不要求满射或单射。对每个组合，指定有限非负数 $\delta_g$，并要求在实际将使用的全部输入上
$$
D_t\bigl(r_t\widetilde g(\widetilde x_1,\ldots,\widetilde x_m),
g(r_{s_1}\widetilde x_1,\ldots,r_{s_m}\widetilde x_m)\bigr)
\le\delta_g.
\tag{6.1}
$$
这些输入可以限制在一个已经证明在执行中封闭的可达域。对部分操作，式(6.1)中插入的中间元组也必须合法，或按已声明失败规则总化。只在两个实际端点各自合法时检验当前读数，不足以提供式(6.1)。

**定理 6.2（有限树的缺陷传播）。** 给同一有限类型正确的组合树 $\mathcal T$，在两套实现中分别求值。每个对应叶满足
$$
D_s(r_s\widetilde x,x)\le\varepsilon_{\rm leaf}<\infty.
$$
定义有限实数预算
$$
E_{\rm leaf}=\varepsilon_{\rm leaf},\qquad
E_{g(\mathcal T_1,\ldots,\mathcal T_m)}
=\delta_g+\sum_{i=1}^mL_{g,i}E_{\mathcal T_i}.
\tag{6.2}
$$
则根的实际距离不超过 $E_{\mathcal T}$。每个叶误差乘其到根路径的增益积，每个节点缺陷乘其严格上方路径的增益积，再全部相加，得到同一个预算。零元组合的预算是其 $\delta_g$。

**证明。** 对有限树归纳。叶处由假设成立。设内部节点的理想子值为 $x_i$、实现子值为 $\widetilde x_i$，插入 $g(r\widetilde x_1,\ldots,r\widetilde x_m)$，依次使用三角不等式、局部缺陷和式(4.1)，得到
$$
\begin{aligned}
&D_t(r\widetilde g(\widetilde{\boldsymbol x}),g(\boldsymbol x))\\
&\le\delta_g+
D_t(g(r\widetilde x_1,\ldots,r\widetilde x_m),g(x_1,\ldots,x_m))\\
&\le\delta_g+\sum_iL_{g,i}D_{s_i}(r\widetilde x_i,x_i)\\
&\le\delta_g+\sum_iL_{g,i}E_{\mathcal T_i}.
\end{aligned}
$$
零元节点直接使用式(6.1)。反复分配式(6.2)得到路径展开。$\square$

若只知道合法混合链，则在每个节点用式(4.2)替代式(4.1)，使用实际链上各步误差；只有链上这些误差由子预算控制时才能继续递推。定理6.2的简洁端点和式不免除这项义务。

**推论 6.3（终端读取误差）。** 假设对应终端读数取值于同一度量空间，且
$$
\rho_f(\widetilde f(\widetilde z),f(r_t\widetilde z))\le\eta_f
$$
在实际终端状态上成立。则整棵树的最终读数误差至多 $\eta_f+E_{\mathcal T}$。

**证明。** 在两个终端读数之间插入 $f(r_t\widetilde z)$。第一段由 $\eta_f$ 控制，第二段由基础读数的 $1$-Lipschitz 性和定理6.2控制。$\square$

当前读数误差不能代替完整距离缺陷。取两比特配置，当前读第一位，后续允许交换两位。状态 $(0,0),(0,1)$ 当前差为零，交换后的读数差为一。因此某局部替换即使当前输出完全正确，也可能把下一步要读取的关系改变；式(6.1)使用的正是后续允许上下文能揭示的缺陷。

**推论 6.4（时间接续的增益乘积）。** 一元动作链每步增益为 $L_k>0$、有限缺陷预算为 $\delta_k\ge0$，初始预算为 $E_0<\infty$。设实际误差由非负实数预算满足 $E_{k+1}\le L_kE_k+\delta_k$。则
$$
E_n\le
\left(\prod_{k=0}^{n-1}L_k\right)E_0+
\sum_{j=0}^{n-1}\left(\prod_{k=j+1}^{n-1}L_k\right)\delta_j.
\tag{6.3}
$$
若 $L_k\le L$、$\delta_k\le\delta$，则
$$
E_n\le
\begin{cases}
L^nE_0+\delta(1-L^n)/(1-L),&0<L<1,\\
E_0+n\delta,&L=1,\\
L^nE_0+\delta(L^n-1)/(L-1),&L>1.
\end{cases}
\tag{6.4}
$$

**证明。** 定理6.2在一元链上提供所需递推预算。对递推逐次代入得到式(6.3)；它也是离散 Gronwall 乘积公式的直接代入。统一上界后计算有限几何和得到式(6.4)，空乘积与空和保证 $n=0$ 时返回初值。$\square$

式(6.3)的算术部分已由钉版 Mathlib 的 discrete_gronwall_prod_general 覆盖；一元近似半共轭、收缩预算和输出轨迹也已有项目结果。这里需要额外证明的是局部证书的实际定义域、所控制的完整上下文距离，以及多元拼接是否具有合法替换链。

**命题 6.5（两次近似辅助运输）。** 设 $X''\xrightarrow{r_2}X'\xrightarrow{r_1}X$，三套系统具有对应一元操作 $h'',h',h$。设 $0\le K,\delta_1,\delta_2<\infty$，$r_1$ 相对于所选距离是 $K$-Lipschitz，且在实际状态上
$$
D(r_1h'x',h r_1x')\le\delta_1,\qquad
D'(r_2h''x'',h'r_2x'')\le\delta_2.
$$
则复合运输的缺陷不超过 $\delta_1+K\delta_2$。

**证明。** 在 $r_1r_2h''x''$ 与 $h r_1r_2x''$ 之间插入 $r_1h'r_2x''$。第一段由 $K\delta_2$ 控制，第二段由 $\delta_1$ 控制，三角不等式给结论。$\square$

**命题 6.6（正容差不是等价关系）。** 对一般度量，关系 $D(x,y)\le\varepsilon$ 在 $\varepsilon>0$ 时不必传递；两次容差替换一般只能给半径相加的保证。

**证明。** 通常实数距离下，$0,\varepsilon,2\varepsilon$ 的相邻距离均为 $\varepsilon$，端点距离为 $2\varepsilon$。一般地，$D(x,y)\le\varepsilon,D(y,z)\le\eta$ 由三角不等式只推出 $D(x,z)\le\varepsilon+\eta$。$\square$

因此零核的精确商不能无条件改成正容差商。近似表示应保留误差大小及其传播关系，而不是把一串各自“足够近”的状态直接认作同一个等价类。

## 7. 有限深度、有限费用与未读取的上下文

**定理 7.1（深度消耗与统一尾界）。** 定义2.3的有限深度距离满足
$$
D_s^{[N]}\uparrow D_s,\qquad
D_t^{[N]}(hx,hy)\le L_hD_s^{[N+1]}(x,y).
\tag{7.1}
$$
在全参数多元模型中，同样有
$$
D_t^{[N]}(g\boldsymbol x,g\boldsymbol y)
\le\sum_iL_{g,i}D_{s_i}^{[N+1]}(x_i,y_i).
\tag{7.2}
$$
若全部读数空间直径统一不超过 $M<\infty$，且所有生成箭头 $L_h\ge\lambda>1$，则
$$
D_s^{[N]}(x,y)\le D_s(x,y)
\le\max\{D_s^{[N]}(x,y),M\lambda^{-(N+1)}\}.
\tag{7.3}
$$

**证明。** 递增极限已由式(2.4)证明。把长度至多 $N$ 的输出路径前接一个箭头，输入路径长度至多 $N+1$，得到式(7.1)；逐孔替换同样给式(7.2)。每条被截去的路径长度至少 $N+1$，增益至少 $\lambda^{N+1}$，读数差至多 $M$。将上确界分成保留与截去两族，得到式(7.3)。$\square$

**命题 7.2（多一层不能无条件省去）。** 存在一步更新，使式(7.1)在 $N=0$ 时把右侧深度也改为零就失败。

**证明。** 取 $X=\{0,1\}^2$、读数 $f(a,b)=a$，更新 $h(a,b)=(b,0)$，增益一。状态 $x=(0,0),y=(0,1)$ 的当前距离为零，但更新后的当前距离为一。$\square$

**命题 7.3（二进制移位的尾界）。** 令 $X=\{0,1\}^{\mathbb N}$，更新 $T$ 为左移，唯一读数为首位，使用离散距离。指定增益 $L\ge1$，则
$$
D_L(x,y)=\sup_{n\ge0}L^{-n}|x_n-y_n|.
$$
若 $x\ne y$ 且首次差异在位置 $m$，则 $D_L(x,y)=L^{-m}$。特别地 $L=1$ 时完整距离是离散距离；$L>1$ 时式(7.3)的尾界可达到。

**证明。** 路径正是 $T^n$。首次差异之前各项为零，首次差异项为 $L^{-m}$，其后各项不超过它。对给定 $N$，取两序列只在位置 $N+1$ 不同，则 $D_L^{[N]}=0$ 而 $D_L=L^{-(N+1)}$。$\square$

不折扣时，任意有限深度的统一误差仍可为一；折扣后远期差异变轻，但更新允许把距离放大 $L$ 倍。这改变了任务对远期差异的计量，未保持同一份不折扣的统一精度要求。该一元公式及首次差异结论已有项目来源，见第8节。

**定义 7.4（包含读取费用的预算距离）。** 给每条生成箭头有限非负费用 $c_h$，路径费用相加，空路径费用为零；给每个基础读数有限非负费用 $c_f$。完整实验费用为
$$
b(C,f)=c(C)+c_f.
$$
在固定共同实验语言中，定义
$$
D_s^{\langle B\rangle}(x,y)=
\sup_{\substack{C:s\to t,\ f\\b(C,f)\le B}}
\frac{\rho_f(fCx,fCy)}{\ell(C)},\qquad B\ge0.
\tag{7.4}
$$
每条路径与读数费用均有限，因此 $D_s=\sup_{B\ge0}D_s^{\langle B\rangle}$。这里使用对该共同配置类型成立的费用合同；状态依赖的准入与资源消费可纳入配置，或使用统一的费用上界，不按每一对状态临时删除测试。

**定理 7.5（接续需要增加输入预算）。** 对费用 $c_h$ 的箭头 $h:s\to t$，有
$$
D_t^{\langle B\rangle}(hx,hy)
\le L_hD_s^{\langle B+c_h\rangle}(x,y).
\tag{7.5}
$$
若 $B\ge c_h$，等价地有 $D_t^{\langle B-c_h\rangle}(hx,hy)\le L_hD_s^{\langle B\rangle}(x,y)$。两边保留相同预算的式子一般不成立。

**证明。** 每个输出实验 $(C,f)$ 的费用至多 $B$；前接 $h$ 后费用为 $c_h+b(C,f)\le B+c_h$，增益乘 $L_h$。因此输入预算族包含全部以 $h$ 开头的拉回实验，取上确界得到式(7.5)。它一般还包含其他实验，故这里只有所述方向的不等式。反例用命题7.2，令更新费用一、读数费用零，预算零即可。$\square$

若实际费用仅有统一上界 $\widehat c_h$，并且相应接续在共同类型上成立，则同一证明给保守预算 $B+\widehat c_h$。单独知道两个端点各自付得起，不足以替代共同可执行语言。

**命题 7.6（按点对删去超预算实验也会破坏三角）。** 对状态依赖费用，若仅比较在两个端点都付得起的实验，则预算距离不一定是伪度量。

**证明。** 取三点 $a,b,c$，当前读数恒定。一个实验在 $a,c$ 处费用一并分别输出零、一，在 $b$ 处费用二。预算为一时，成对删去付不起的实验给 $D(a,b)=D(b,c)=0,D(a,c)=1$，与命题1.3相同。将“超预算”作为读数标签总化，或固定共同资源类型与统一协议族，才恢复固定测试族的前提。$\square$

**定理 7.7（一般预算尾证书）。** 对每个类型定义
$$
\varepsilon_s(B)=
\sup_{\substack{C:s\to t,\ f\\b(C,f)>B}}
\frac{\operatorname{diam}(Y_f)}{\ell(C)},
\tag{7.6}
$$
其中空族取零，直径允许为无穷。则
$$
D_s^{\langle B\rangle}(x,y)\le D_s(x,y)
\le\max\{D_s^{\langle B\rangle}(x,y),\varepsilon_s(B)\}.
\tag{7.7}
$$
若 $\varepsilon_s(B)\to0$ 且 $D_s$ 在所有点对上有限，则预算距离以相应加性尾界一致逼近完整距离。一个可检验的充分条件是：读数直径统一不超过有限数 $M\ge0$、读取费用统一不超过有限数 $c_*\ge0$，并存在 $\alpha>0$ 使每条允许路径满足
$$
\ell(C)\ge e^{\alpha c(C)}.
\tag{7.8}
$$
此时 $B\ge c_*$ 时有
$$
\varepsilon_s(B)\le M e^{-\alpha(B-c_*)}.
\tag{7.9}
$$

**证明。** 把全部实验分成费用不超过 $B$ 与超过 $B$ 两族。前者给式(7.4)，后者的每一项由式(7.6)控制，得到式(7.7)。若距离有限，$\max\{a,e\}\le a+e$ 给加性尾界。对超预算实验，$c(C)>B-c_f\ge B-c_*$；式(7.8)与统一直径界给每项至多 $M e^{-\alpha(B-c_*)}$，再取上确界得式(7.9)。$\square$

逐生成箭头条件 $L_h\ge e^{\alpha c_h}$ 足以推出式(7.8)，因为路径增益相乘而费用相加；它只是充分条件，证明本身只需要预算外归一化读数差具有趋零上界。增益与费用是不同的数据，不因都标在一条箭头上就自动满足指数关系。允许零费用箭头也不破坏定理7.7，但可能使某一预算内仍有无限多个测试。

**命题 7.8（预算内有限枚举的充分条件）。** 固定初始类型。若每个可达类型只有有限条出箭头和有限个基础读数，且全部箭头费用具有统一下界 $c_h\ge c_0>0$，则任意有限预算 $B$ 内的实验族有限。

**证明。** 路径长度至多 $\lfloor B/c_0\rfloor$。有限分叉按深度归纳给有限条该长度范围内的路径；每个终点的基础读数族也有限，所以闭实验族有限。$\square$

**命题 7.9（深度、费用与有限测试是不同条件）。** 有限深度或有限预算不自动给有限测试族；逐箭头严格正费用也不自动给预算内长度上界。

**证明。** 取无限比特序列类型 $X$，比特类型 $Y$。对每个 $n$ 允许一条箭头 $h_n:X\to Y$ 读取第 $n$ 位，每条费用一、增益一，$Y$ 只有恒等读数且读取费用零。预算一、深度一内已经有无限测试。任意有限测试子族只读取有限坐标，在其他位置首次不同的两序列对这些测试相同，而完整预算内距离为一；所以它们不能给误差小于一的统一有限测试替代。

若只有零费用左移与零费用首位读数，预算零内包含全部有限次左移，仍有无限测试。即使每条箭头费用严格正，也可取类型链 $X_0\to X_1\to\cdots$，每个类型均为比特序列，箭头为左移，费用为 $2^{-n-1}$、增益为一；每个类型有零费用首位读数。从 $X_0$ 出发任意长路径总费用小于一，故预算一内长度无界。$\square$

有限枚举也不保证尾误差趋零：命题7.3中给左移单位费用、单位增益，有限预算只检查有限前缀，完整距离却在任意两个不同序列上为一。因此有限枚举的条件与定理7.7的统一尾证书分别承担不同义务。

## 8. 恢复接口与数学来源

第2节的最小距离由一份可执行语言和增益数据共同决定；第3节证明准确运输这份语言时，其行为商几何随之运输。状态坐标、未来响应和当前预测记忆若满足RRO第120节的精确交织条件，并同时保持本卷读数度量及增益，就属于定理3.3的不同表示。额外的欧氏内积、概率律和物理时间尺度仍须各自运输，不能由行为核相同自动取得。

稳定恢复则要求恢复映射相对于指定输入输出距离具有可控制的增益；恢复公式存在本身不提供该常数。把一个恢复模块接到后续操作前，首先证明它的误差在式(6.1)所用几何中有界，再用有限树或路径预算传播。对一族联合任务，误差证书还须属于同一个联合实现，不能把分别可达的最佳误差直接放进一份共同输出。加权线性恢复与原子代价闭包由伴随卷[恢复几何](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_RECOVERY_GEOMETRY.md)进一步研究。

本卷的共同结构是有类型的允许路径、读数和可检验的误差关系。它给出相对于指定任务的最小性与保真条件；不要求所有物理模型具有相同的实验语言，也不由任意边界投影推出引力对偶或面积熵定律。

| 数学来源 | 本卷使用的范围 |
|---|---|
| [StrictOneHoleContexts](../../../D5/S3/ConceptDynamics/Observation/StrictOneHoleContexts.lean)，contextual_equivalence_is_greatest | 严格部分上下文、失败标签、全部旁支参数及精确最大同余；第1、3、4节保留这些条件，并区别实际可取得语言。 |
| [PartialFunctionDomainObservation](../../../D5/S3/ConceptDynamics/Observation/PartialFunctionDomainObservation.lean)，common_success_domain_refutation | 双方成功时读数相同不足以保持动作定义域；命题1.3将成对删测试的失败明确为三角律反例。 |
| [EvaluationSupremumMinimality](../../../D5/S3/Observer/MetricGeometryLaws/EvaluationSupremumMinimality.lean)，evaluation_suprema_are_least_dominating；[DualSupremumPseudometricKernels](../../../D5/S3/Observer/MetricGeometryLaws/DualSupremumPseudometricKernels.lean) | 评价上确界的最小支配及零核组件；任意路径增益与允许箭头的闭合由第2节直接给出。 |
| [CanonicalDiscountedFutureGeometry](../../../D5/S3/Observer/MetricGeometryLaws/CanonicalDiscountedFutureGeometry.lean)，canonical_discounted_future_geometry；[FirstDifferencePowerLaw](../../../D5/S3/Observer/MetricGeometryLaws/FirstDifferencePowerLaw.lean)，first_difference_power_law | 有界读数下一元折扣距离、更新增益与首次差异公式；命题7.3是二进制移位实例。 |
| [FinitePredictionTruncation](../../../D5/S3/Observer/MetricGeometry/FinitePredictionTruncation.lean)，finite_prediction_truncation_formula_and_error | 一元有限预测和几何尾界；第7节另保留路径深度消耗、实际费用与有限枚举的条件。 |
| [IteratedDefectAccumulation](../../../D5/S3/Observer/Naturality/IteratedDefectAccumulation.lean)，iterated_naturality_defect_bound；[ApproximateSemiconjugacyError](../../../D5/S3/Observer/Naturality/ApproximateSemiconjugacyError.lean)，approximate_semiconjugacy_error | 近似交织的一元轨道缺陷与收缩预算；本卷使用同一递推，另证明多元局部证书到树形预算的条件。 |
| [Mathlib DiscreteGronwall](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Analysis/ODE/DiscreteGronwall.lean)，discrete_gronwall_prod_general | 在递推前提成立后，式(6.3)为非负实数增益下的直接参数代入。 |
| [SemiconjugacyComposition](../../../D5/S3/Observer/MetricGeometry/SemiconjugacyComposition.lean)，semiconjugacy_defect_composition；[MetricEntourageComposition](../../../D5/S3/Observer/MetricGeometryLaws/MetricEntourageComposition.lean)，metric_entourage_comp_subset | 两次近似运输的缺陷和式、正容差复合半径相加。 |
| [定量对角化与观察者完成化](QUANTITATIVE_DIAGONALIZATION_OBSERVER_COMPLETION.md) 第24节 | 一元折扣几何、递归表达、截断与近似半共轭的既有正文；本卷不把这些一元结果作为新的缺口。 |
| Matteo Mio、Ralph Sarkis、Valeria Vignudelli，[*Beyond Nonexpansive Operations in Quantitative Algebraic Reasoning*](https://arxiv.org/abs/2201.09087v1)，2022，DOI 10.1145/3531130.3533366 | 为运算指定输入距离提升、再要求非扩张的成熟框架。本卷采用扩展值、异质读数与逐箭头增益；不将论文中有界距离的整个元定理未经对应地直接套用。 |

这些来源分别承担上确界、Lipschitz 组合、精确上下文核与离散误差累积。正文给出的普通数学证明说明它们如何在实际允许语言中接续；数学来源、形式化状态和可执行实验能力是不同的陈述。

## 追加锚（本行以下为增补区）
## 9. 经典概率拼接、记忆增益与可组合恢复

### 9.1 同一联合律、零切片与扩展KL

**定义 9.1（有限实验、扩展KL与条件信息）。** 本节概率恢复部分的随机变量取值于有限非空集合，使用自然对数。对两份概率质量函数$p,q$，定义
$$
D(p\Vert q)=
\begin{cases}
\displaystyle\sum_{x:p(x)>0}p(x)\log\frac{p(x)}{q(x)},
&p(x)>0\Longrightarrow q(x)>0,\\
+\infty,&\text{否则}.
\end{cases}
\tag{9.1}
$$
零质量项按零处理，正质量事件被赋零预测时使用无穷分支。

固定一份$P_{ABC}$。其边缘始终由这份共同律求和得到。仅在$P_B(b)>0$时定义$P_{C|b}(c)=P_{BC}(b,c)/P_B(b)$。如需全定义核，可在零$B$切片任选一行概率；乘回$P_B(b)=0$后所有有关联合律都与选择无关。定义
$$
I_P(A:C\mid B)
=\sum_{b:P_B(b)>0}P_B(b)
D(P_{AC|b}\Vert P_{A|b}P_{C|b}).
\tag{9.2}
$$
在所有条件量中，零概率条件切片均省略。

**引理 9.2（有限支持与非负性）。** 有限载体上，$D(p\Vert q)$有限当且仅当$p$的正支持包含于$q$的正支持；总有$D(p\Vert q)\ge0$，且等号当且仅当$p=q$。式（9.2）总为有限非负数。

**证明。** 支持条件直接来自定义9.1。设该条件成立，以$S=\{x:p(x)>0\}$记正支持。由$-\log u\ge1-u$及其等号条件，
$$
D(p\Vert q)\ge\sum_{x\in S}(p(x)-q(x))=1-q(S)\ge0.
$$
若KL为零，则这两个不等式都取等号，迫使$S$上$q(x)/p(x)=1$，且$q(S)=1$，因此$p=q$；反向立即成立。无穷分支不可能取等号。对式（9.2）的任一正条件行，正联合项的两个边缘均正，故相对乘积边缘的KL有限；有限非负加权和仍有限非负。相应有限条件信息接口为[`ConditionalMutualInformation`](../../../D5/S3/Entropy/Submodularity/ConditionalMutualInformation.lean)中的`conditional_mutual_information_nonneg`与`conditional_mutual_information_eq_entropy_defect`；其首坐标是条件坐标，对本式使用$(B,(A,C))$的次序。证毕。

### 9.2 条件独立拼接及其准确含义

**命题 9.3（共同边缘下的经典拼接）。** 从定义9.1中$P$的两份重叠边缘构造
$$
P^{\mathrm{glue}}(a,b,c)=
\begin{cases}
P_{AB}(a,b)P_{BC}(b,c)/P_B(b),&P_B(b)>0,\\
0,&P_B(b)=0.
\end{cases}
\tag{9.3}
$$
$P^{\mathrm{glue}}$是概率，保留$AB$与$BC$两个边缘，并有
$$
D(P\Vert P^{\mathrm{glue}})
=I_P(A:C\mid B)
=H(P^{\mathrm{glue}})-H(P).
\tag{9.4}
$$
它是在给定两份边缘的相容联合律中唯一的最大熵者；缺陷为零当且仅当$A\perp C\mid B$。

**证明。** 这是主卷定理124.14在同一$P$的边缘上的直接应用。其支持条件是：若$P(a,b,c)>0$，则$P_{AB}(a,b),P_{BC}(b,c),P_B(b)$均正，所以$P^{\mathrm{glue}}(a,b,c)>0$。所有熵与该KL因而有限。CMI零集亦由[`MarkovDataProcessing`](../../../D5/S3/Entropy/Submodularity/MarkovDataProcessing.lean)的`conditional_mutual_information_eq_zero_iff_conditional_product`给出，只约束正质量条件切片。

该结论不声明拼接恢复了原来的共同来源。主卷命题124.15取$B$恒定、$A=C$为公平位，原律给$\Pr(A=C)=1$，拼接律给$1/2$。式（9.4）的熵差只比较同一边缘约束下的两份联合律；其假设没有指定物理耗散过程，故不给产热结论。证毕。

### 9.3 任意恢复核的误差分解

**定义 9.4（只访问边界的经典恢复核）。** 一个候选恢复器是逐行归一化的核$r(c\mid b)\ge0$。它保留已有的$(A,B)$，仅根据$B$生成候选$C$，所得联合律为
$$
Q_r(a,b,c)=P_{AB}(a,b)r(c\mid b).
\tag{9.5}
$$
这是恢复器的无旁路条件：同一个$b$使用同一行$r$，不能暗中访问$a$或未知来源标签。给出一个数学核不等于已取得其参数或已获准物理执行。

**定理 9.5（结构缺陷加恢复核失配）。** 对任意定义9.4的$r$，扩展非负实数中有
$$
\begin{aligned}
D(P_{ABC}\Vert Q_r)
&=I_P(A:C\mid B)
  +D(P_{BC}\Vert P_Br)\\
&=I_P(A:C\mid B)
  +\sum_{b:P_B(b)>0}P_B(b)D(P_{C|b}\Vert r(\cdot\mid b)).
\end{aligned}
\tag{9.6}
$$
这里$(P_Br)(b,c)=P_B(b)r(c\mid b)$。所以
$$
\min_r D(P_{ABC}\Vert P_{AB}r)=I_P(A:C\mid B),
\tag{9.7}
$$
且最小值恰由正$P_B$切片上$r(\cdot\mid b)=P_{C|b}$的核取得；零切片上的行不受约束。

**证明。** 先核对无穷分支。若存在$P_{BC}(b,c)>0$而$r(c\mid b)=0$，则$P_B(b)>0$，并有某个$a$使$P(a,b,c)>0$。该点$Q_r=0$，故式（9.6）左边无穷，右边的第二项及对应条件KL也无穷。第一项有限，因此整条式子是$+\infty=\text{有限数}+(+\infty)$，没有无穷减无穷。

否则$r(c\mid b)>0$在$P_{BC}$的正支持上成立。于是所有需取对数的比值均正。在$P(a,b,c)>0$处有
$$
\frac{P(a,b,c)}{P_{AB}(a,b)r(c\mid b)}
=\frac{P(a,b,c)P_B(b)}{P_{AB}(a,b)P_{BC}(b,c)}
 \frac{P_{BC}(b,c)}{P_B(b)r(c\mid b)}.
$$
取对数、乘$P(a,b,c)$并求有限和。第一项由式（9.4）为$I_P(A:C\mid B)$；第二项先对$a$求和，得到$D(P_{BC}\Vert P_Br)$。再把$P_{BC}=P_BP_{C|b}$代入正$B$切片，约去同一个$P_B$，得到式（9.6）的第二行。$P_B=0$时非负边缘和为零迫使整片$P_{BC}$和$P$均为零，因此不出现任何遗漏项。

所有条件KL非负，选$r=P_{C|B}$并任意补全零行，得到最小值。由于$I_P(A:C\mid B)$有限，等于最小值当且仅当第二项为零；有限和中每个正$P_B$权重的KL均必须为零，即该行$r=P_{C|b}$。

一般组合积的成熟KL链式公式见钉版Mathlib [`KullbackLeibler/ChainRule.lean`](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/InformationTheory/KullbackLeibler/ChainRule.lean)中的`InformationTheory.klDiv_compProd_eq_add`：其前提为有限测度及Markov核，证明包括非绝对连续和不可积导致的无穷分支。项目[`Divergence/ChainRule`](../../../D5/S3/Divergence/ChainRule.lean)的`kl_divergence_chain_rule`则要求有限质量函数处处严格正；上面的支持分类明确处理了超出该严格正接口的情形。证毕。

**推论 9.6（对数评分的两层代价）。** 给定完整$(A,B)$的最佳期望对数损失为$H(C\mid A,B)$；只用$B$并实际选取定义9.4的$r$时，其期望损失为
$$
H(C\mid A,B)+I_P(A:C\mid B)
+\sum_{b:P_B(b)>0}P_B(b)D(P_{C|b}\Vert r(\cdot\mid b)).
\tag{9.8}
$$
**证明。** 在每个正条件行展开$-\log r=-\log P_{C|b}+\log(P_{C|b}/r)$，再用有限条件熵链式法则；零预测的分支两边同为无穷。最优评分结论是[ML伴卷](CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_ML.md)定理18.2的直接应用。式（9.8）的最小值是在指定核集合上取得的数学值，其前提不包含真实条件律的估计或执行成本。证毕。

### 9.4 保留式记忆追加的精确缺陷收支

**定义 9.7（固定未来目标的记忆缺陷）。** 固定同一份联合律$P_{HF}$，其中$H$是完整历史或所声明的完整来源，$F$是同一个未来任务变量。给确定函数
$$
M=m(H),\qquad Z=g(H),\qquad M^+=(M,Z).
$$
它们都取有限值。若用$M$预测$F$，其条件独立模拟律为
$$
Q_M(h,f)=P_H(h)P_{F|M}(f\mid m(h)),
$$
零$M$切片任选补全；以$M^+$代替$M$同样定义$Q_{M^+}$。记
$$
\Delta_M=D(P_{HF}\Vert Q_M)=I_P(H:F\mid M),
\qquad
\Delta_{M^+}=D(P_{HF}\Vert Q_{M^+})=I_P(H:F\mid M,Z).
\tag{9.9}
$$
等式由式（9.4）在$(H,M,F)$及$(H,M^+,F)$图律上的直接应用得到；去掉由$h$决定的记忆坐标只是对非零项重编号。

**定理 9.8（追加记录恰减少其条件目标信息）。** 在定义9.7下，
$$
\Delta_M=\Delta_{M^+}+I_P(Z:F\mid M),
\qquad
\Delta_M-\Delta_{M^+}=I_P(Z:F\mid M)\ge0.
\tag{9.10}
$$
等号$\Delta_M=\Delta_{M^+}$恰在每个正$M$切片上$Z,F$条件独立时成立。因而增加记录数、增加档案熵和减少本目标的预测缺陷是不同的陈述。

**证明。** 由有限条件熵链式法则，
$$
I(H:F\mid M)=H(F\mid M)-H(F\mid H,M).
$$
由于$M=m(H)$，在每个正$H$切片上，加入$M$不会改变$F$的条件律，故$H(F\mid H,M)=H(F\mid H)$。同理，$(M,Z)$由$H$决定，故
$$
\Delta_M=H(F\mid M)-H(F\mid H),\qquad
\Delta_{M^+}=H(F\mid M,Z)-H(F\mid H).
$$
两式相减给$H(F\mid M)-H(F\mid M,Z)=I(Z:F\mid M)$。全部条件熵有限，因此这里的减法合法。式（9.2）给非负性及条件独立的等号判据。

同一计算还给$I(F;H)=I(F;M)+\Delta_M$与$I(F;M^+)-I(F;M)=I(F;Z\mid M)$，即主卷式（121.27）的残差表达。所用链式法则为[`MutualInformationChainRule`](../../../D5/S3/Entropy/Submodularity/MutualInformationChainRule.lean)中的`mutual_information_chain_rule`；主卷§81.2、§121.9及§127.7具有相同的固定目标、共同联合律条件。此证明没有独立噪声假设。证毕。

**命题 9.9（额外记录依赖其他来源时的修正项）。** 对任意共同有限联合律$(H,F,M,Z)$，不假定$Z$由$H$决定时，有
$$
I(H:F\mid M)-I(H:F\mid M,Z)
=I(Z:F\mid M)-I(Z:F\mid H,M).
\tag{9.11}
$$
**证明。** 将$I((H,Z):F\mid M)$分别按$H$先、$Z$先展开，并移项即得。取独立公平位$H,F$、常值$M$以及$Z=H\mathbin{\mathrm{XOR}}F$，则$I(H:F\mid M)=0$，给定$Z$后$H$决定$F$，所以$I(H:F\mid M,Z)=\log2$。此时$I(Z:F\mid M)=0$而$I(Z:F\mid H,M)=\log2$，验证缺陷可以增加。证毕。

### 9.5 固定策略与恢复器的量词

**定义 9.10（固定策略的共同实验合同）。** 对未来任务变量$F$及控制策略$\pi$，指定完整实验律$P^\pi_{HF}$。策略只能根据已取得的历史自适应选动作，所有随机分支、失败标记和共同来源均保留在该实验中。比较两种摘要时固定同一$\pi$、同一个$F$及同一份联合律；“同一策略”指同一个根据可访问记录选择动作的规则，不允许一侧根据另一侧没有的隐藏变量分支。

若协议使用随机种子，依主卷§121.10将种子及实际数据的共同来源纳入完整模型；是否写入可访问档案另行指定。扩展$H$后使用定义9.7时，完整来源及全部条件量按扩展后的同一联合律定义，不混用不同$H$对应的缺陷。

**推论 9.11（逐策略增益与共同策略族的最坏缺陷）。** 在定义9.10中，对每个固定合法策略$\pi$及同一确定摘要$M=m(H),Z=g(H)$，有
$$
\text{对每个固定合法 }\pi,\qquad
\Delta_M^\pi=\Delta_{M^+}^\pi+I_{P^\pi}(Z:F\mid M).
\tag{9.12}
$$
若同一个策略族$\Pi$在两种表示下都合法，而且每个$\pi$的共同实验律已给定，则
$$
\sup_{\pi\in\Pi}\Delta_{M^+}^\pi
\le\sup_{\pi\in\Pi}\Delta_M^\pi.
\tag{9.13}
$$

**证明。** 对每个$P^\pi$直接应用定理9.8，得到式（9.12）。去掉非负增益项并对同一索引族取上确界，得到式（9.13）。该论证不把两个最坏值之差等同于某个未指定策略的条件互信息；策略族随记忆能力变化时，须先满足本命题的共同索引及合法执行条件。证毕。

**命题 9.12（换策略不能套用同律缺陷差）。** 保留旧记录同时换用另一未来策略后，新旧缺陷不必单调。

**证明。** 令$H=(U,V)$，其中$U,V$为独立公平位，$M$恒定，$Z=U$。策略$\pi_0$使未来目标输出$F_0$恒为零，则$\Delta_M^{\pi_0}=0$。策略$\pi_1$使未来输出$F_1=V$，则
$$
\Delta_{M^+}^{\pi_1}=I((U,V):V\mid U)=\log2.
$$
记录已增加，而跨策略缺陷从零变为$\log2$。这不反驳式（9.12）：在固定$\pi_1$下，旧缺陷也是$\log2$，新增$U$带来的条件目标信息为零。证毕。

**命题 9.13（逐实验恢复与一份通用恢复器不同）。** 即使每个实验的CMI均为零，也不保证存在一份不接收实验标签的核$r(F\mid M)$同时恢复全部实验。

更一般地，对一族已指定实验$i$，存在同一个核$r(c\mid b)$达到各自式（9.7）的最小值，当且仅当所有满足$P_B^i(b)>0$的实验在该$b$上的$P^i_{C|b}$相同。若要求各实验误差都为零，还须各自的CMI为零。

**证明。** 对第一项，令$H,M$都为单点。实验$0$令$F=0$，实验$1$令$F=1$。两实验各自CMI均为零，并分别由核$\delta_0$、$\delta_1$准确恢复。若同一$r$同时恢复两者，则它的一行既等于$\delta_0$又等于$\delta_1$，矛盾。若标签$\pi$本来就是恢复器合法可访问的输入，则可以使用$r(F\mid M,\pi)$；这符合扩充输入类型后的合同。

一般判据的必要性由定理9.5的等号条件得到；充分性是在有质量的$b$上取公共行，在所有实验均零质量的$b$上任选概率行。定理9.5还说明，在达到最小值后误差为零恰要求各自CMI为零。证毕。

### 9.6 支持上的充分性、平均界与最坏情形

**命题 9.14（正支持上的预测充分性）。** 将$P_{HF}$写为$\mu(h)K(f\mid h)$，令$M=m(H)$，则
$$
\Delta_M=0
\iff
\forall h,h',\quad
\bigl[\mu(h)>0,\ \mu(h')>0,\ m(h)=m(h')\bigr]
\Longrightarrow K(\cdot\mid h)=K(\cdot\mid h').
\tag{9.14}
$$
若$\mu$在全部候选历史上全支持，该判据给全域纤维充分性；一般先验只约束其正支持。对每个Dirac先验分别有零缺陷，不能替代一份全支持先验。

**证明。** 式（9.14）直接应用[`ConditionalInformationSufficiency`](../../../D5/S3/ConceptDynamics/Completion/ConditionalInformationSufficiency.lean)中的`conditional_information_zero_iff_support_sufficiency`，将该声明的`prior`、`kernel`、`concept`依次取为$\mu,K,m$。全支持时，两个正概率前提对全部$h,h'$成立。反之，Dirac条件下$H$恒定，不论$m$怎样丢信息，其缺陷都为零；例如两个历史对应不同的确定未来，常值$m$在各Dirac先验下缺陷均零，却不满足全域纤维充分性。证毕。

**推论 9.15（平均TV界及最坏纤维的反例）。** 对定理9.5中的任意$r$，定义$\operatorname{TV}(p,q)=\tfrac12\sum_x|p(x)-q(x)|$，则
$$
\operatorname{TV}(P,Q_r)
\le\sqrt{\frac{I_P(A:C\mid B)+D(P_{BC}\Vert P_Br)}{2}}.
\tag{9.15}
$$
取$r=P_{C|B}$并按共同$AB$边缘求和，还得到
$$
\sum_{a,b:P_{AB}(a,b)>0}P_{AB}(a,b)
\operatorname{TV}(P_{C|a,b},P_{C|b})
\le\sqrt{I_P(A:C\mid B)/2}.
\tag{9.16}
$$
小CMI不保证同摘要纤维内各历史的未来条件律一致接近。

**证明。** 将[ML伴卷](CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_ML.md)命题18.3证明中的有限Pinsker不等式$\operatorname{TV}(p,q)\le\sqrt{D(p\Vert q)/2}$应用于$(P,Q_r)$，再代入定理9.5，得到式（9.15）。该Pinsker证明经二元合并与二项KL的二阶导数下界，包含端点和无穷分支；KL无穷时这里只给平凡上界。取$r=P_{C|B}$后，两联合律具有相同$AB$边缘，逐正切片提取权重，得到式（9.16）左侧恰为$\operatorname{TV}(P,P^{\mathrm{glue}})$，故第二式成立。

反例仍取该命题的稀有状态模型：$\Pr(H=1)=\varepsilon\in(0,1)$、$F=H$、$M$恒定时，$\Delta_M=h(\varepsilon)\to0$，而两个历史的真实未来条件律之间TV始终为一。每个先验都有全支持，但正概率下界随$\varepsilon$趋零，故不能推出统一最坏纤维误差。证毕。

### 9.7 进入后续实验所需的共同接口

**命题 9.16（相同随机后处理保存联合误差证书）。** 设两份有限配置律$P,Q$包含后续任务所需的全部共同来源。某一允许后续实验及其读数由同一个逐行归一化核$L(y\mid x)$作用于两份配置。则
$$
\operatorname{TV}(LP,LQ)\le\operatorname{TV}(P,Q).
\tag{9.17}
$$
因此，当本卷定义2.1的所有允许生成箭头均为这样的随机核、读数距离为TV且各增益取一时，由式（9.15）得到完整上下文距离的同一个上界。

**证明。** 逐输出使用三角不等式并交换有限和，
$$
\begin{aligned}
\tfrac12\sum_y\left|\sum_xL(y\mid x)(P(x)-Q(x))\right|
&\le\tfrac12\sum_{y,x}L(y\mid x)|P(x)-Q(x)|\\
&=\tfrac12\sum_x|P(x)-Q(x)|.
\end{aligned}
$$
归一化核的复合仍归一化，所以每个合法有限上下文均满足此界；再对固定实验族取上确界即得结论。

一个有限自适应协议也可写成这种核：给每个可访问历史一行明确的动作随机化和结果转移，沿有限树把联合概率相乘并对内部变量求和，逐层行和为一。必须在两边使用同一协议，并保留成功、失败及协议所需的来源；对成功分支后选择并重新归一化通常不是同一个归一化线性核，不由式（9.17）保证收缩。若人为要求生成箭头具有小于一的增益，也不能由TV收缩直接推出相应归一化完整距离的同一界。

本命题的输入是完整联合律。仅有边缘相同不够，反例由本卷命题5.3给出；只比较一条策略不提供定义2.1完整实验族中的统一条件。若摘要通过ML伴卷定理17.3的联合“输出—后继摘要”核因子化，则可对每个可访问历史归纳，得到同一自适应协议的完整记录律；该卷命题17.7给出分别保留输出和后继摘要边缘仍失败的两步反例。这些条件均保留共同来源，与式（9.17）的完整联合输入要求一致。证毕。

**定义 9.17（关系表示及执行资源合同）。** 一个参与本节恢复比较的关系接口，同时指定配置域、共同来源、允许操作、读数、状态与操作的表示，以及实际调用的非负资源向量。图用于登记合法连接、来源和依赖；矩阵表示已指定的线性映射；张量表示多接口及其已给出的收缩；几何代数使用明确的二次型、分次及乘法；概率核使用非负性和归一化；逻辑接口使用已指定的后承与证书转换。这些表示之间的连接沿用主卷各自的有类型合同：§132.1—132.2的张量割与自动机矩阵，§129的Clifford/外代数及条件协方差投影，§131的外幂/Hodge运输，以及§136.3的保真辅助线和证明运输。

其中主卷§129.7的向量乘法缺陷引用的是平均条件协方差；§129.8将概率质量重建与Clifford线性读出分别定义在概率质量空间和Clifford空间，二者只共享条件投影；§136.3的证明运输使用保持后承、需要时反射后承及证书转换的条件。本合同保留这些原有类型及条件，不把同一矩阵写法视为映射相同或因果次序可交换。

条件律的测量、拟合、存储、核调用、取得额外权重或相干资源，以及实际计时，均作为该合同的额外输入。费用依本卷第7节及恢复几何卷逐资源坐标计账；概率熵、恢复误差和时间费用保留各自单位，定义9.1—9.14不提供这些量之间的兑换率。

### 9.8 递归历史增长在指定距离下的维数

**定理 9.18（禁止长串的首差Hausdorff维数）。** 对整数$k\ge2$，采用主卷§132.2定义的根$\lambda_k$：
$$
\sum_{j=1}^k\lambda_k^{-j}=1,\qquad 1<\lambda_k<2,\qquad\lambda_k\uparrow2
\quad(k\ge2).
\tag{9.18}
$$
令
$$
X_k=\{x\in\{0,1\}^{\mathbb N_0}:x\text{不含连续}k\text{个}1\},
$$
并对$x\ne y$定义
$$
d(x,y)=2^{-\min\{j\ge0:x_j\ne y_j\}},\qquad d(x,x)=0.
$$
则
$$
\dim_{\mathrm H}(X_k,d)=D_k:=\frac{\log\lambda_k}{\log2},
\qquad D_k\uparrow1.
\tag{9.19}
$$
这里Hausdorff测度沿用主卷定义33.0的无额外系数约定，以任意可数覆盖的直径幂和定义；覆盖集不必可测。

**证明。** 主卷§132.2给出合法长度$n$词数$a_n^{(k)}$的$k$阶递推及界$a_n^{(k)}\le C_k\lambda_k^n$，其中$C_k<\infty$；同时给出式（9.18）的根与极限。$k=2$的维数结论亦是主卷定理33.2的精确实例。

共享前缀使$d$满足强三角不等式；它给出二进制乘积拓扑。禁止模式的补集是开柱的并，故$X_k$闭于紧致二进制乘积空间，所以紧致。每个合法有限词后补全零仍合法，故每个合法柱非空。长度$n$柱的直径至多$2^{-n}$，全部$a_n^{(k)}$个柱覆盖$X_k$。因此对任意$s>D_k$，
$$
\mathcal H^s_{d,2^{-n}}(X_k)
\le C_k\lambda_k^n2^{-ns}
=C_k2^{-n(s-D_k)}\longrightarrow0,
$$
给出维数上界。在临界指数$D_k$同样给$\mathcal H^{D_k}_d(X_k)\le C_k$。

下界需要相容概率，不能将每层均匀词分布自动当作同一个无限来源。令状态$i\in\{0,\ldots,k-1\}$记当前末尾连续$1$的数目，初态为$0$。给出正权
$$
r_i=\sum_{j=1}^{k-i}\lambda_k^{-j},\qquad
r_0=1,\quad0<r_i\le1.
$$
当$i<k-1$，有$\lambda_kr_i=r_0+r_{i+1}$；当$i=k-1$，有$\lambda_kr_{k-1}=r_0$。因此以下是逐行归一化的转移：输出$0$并转到$0$的概率为$r_0/(\lambda_kr_i)$；若$i<k-1$，输出$1$并转到$i+1$的概率为$r_{i+1}/(\lambda_kr_i)$。在$i=k-1$时只能输出$0$，其概率为一。其余转移概率为零。

这是对原允许图的Perron正权重加权，即通常的Parry转移构造；此处固定初态$0$，不额外称所构造的词概率平稳。主卷§132.2的计数矩阵按“列输入、行输出”书写，而此处$r$满足其转置的正特征向量方程，故不能误把原右特征向量直接当作这里的行归一化权重。

对合法长度$n$词$w$，其状态路径从$0$唯一确定，末态记$i_n$。沿路径概率相乘，各$r$望远镜相消，得到柱质量
$$
\mu([w])=\frac{r_{i_n}}{\lambda_k^nr_0}
\le\lambda_k^{-n}=2^{-nD_k}.
\tag{9.20}
$$
行和为一使父柱质量恰等于子柱质量之和，空柱质量为一。与主卷定理33.1相同，这在有限柱并的开闭代数上定义相容有限预测度：若不交开闭集之并仍开闭，紧性给有限子覆盖，所以实际只有有限个非空成员，确保该代数上的可数可加性。有限预测度的测度扩张定理因此给$X_k$上的Borel概率$\mu$。由式（9.20），每个点的质量被$2^{-nD_k}\to0$控制，所以$\mu$无原子。

对任意包含至少两点的$U\subseteq X_k$，在其不同点对的首差下标中取最小值$m$。所有点共享前$m$位，且存在两点在第$m$位不同，所以$\operatorname{diam}_dU=2^{-m}$，而$U$包含于一个长度$m$柱。于是外测度满足
$$
\mu^*(U)\le2^{-mD_k}=(\operatorname{diam}_dU)^{D_k}.
$$
空集及单点由无原子性满足同一界。对任意可数覆盖$X_k\subseteq\bigcup_jU_j$，外测度次可加性给
$$
1\le\sum_j\mu^*(U_j)
\le\sum_j(\operatorname{diam}_dU_j)^{D_k}.
$$
故$\mathcal H^{D_k}_d(X_k)\ge1>0$，给出维数下界。与上界合并得到式（9.19）；$D_k\uparrow1$直接由式（9.18）及对数连续严格递增性得到。

下界所用质量分布方法对应钉版Mathlib的[`Measure.le_hausdorffMeasure`](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean)，其条件是集合质量不超过直径幂；[`dimH_of_hausdorffMeasure_ne_zero_ne_top`](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean)给正有限临界测度的维数结论。证毕。

**推论 9.19（距离尺度与词语言的范围）。** 在定理9.18的同一$X_k$上，把距离改成$d_\theta(x,y)=\theta^{\min\{j:x_j\ne y_j\}}$、$0<\theta<1$，并令相等点距离为零，则Hausdorff维数为$\log\lambda_k/(-\log\theta)$。式（9.19）不指定其他物理空间或Hilbert空间的维数，也不适用于任意一条固定合法词的因子语言。

**证明。** 长度$n$柱直径改为至多$\theta^n$，式（9.20）的质量界仍为$\lambda_k^{-n}$。令$s_\theta=\log\lambda_k/(-\log\theta)$，则$\lambda_k^{-n}=(\theta^n)^{s_\theta}$；定理9.18的柱覆盖、任意集合质量界及正有限临界测度证明逐项成立，给出所述维数。它依赖所指定的载体与距离，故不给未指定空间的维数结论。

固定词语言的区别可由[`SubshiftHausdorffDimension`](../../../D5/S1/Words/Complexity/SubshiftHausdorffDimension.lean)中的`dimH_goldenSubshift_eq_zero`见证：该结论研究一条固定黄金词的因子语言，其复杂度线性、Hausdorff维数为零；它的载体不是所有禁止$11$的序列，所以与$D_2>0$的结论适用域不同。证毕。

## 9.99 追加锚

## 10. 量子条件互信息、共用恢复与参考系统

**定义 10.1（有限维量子恢复的对象与距离）。** 以下所有系统均为非零有限维复 Hilbert 空间。记 $\mathcal L(A)$ 为 $A$ 上的线性算子空间，$\mathcal D(A)$ 为密度算子集。量子通道均为完全正且保迹的线性映射，简称 CPTP。对 $\rho_{ABC}\in\mathcal D(A\otimes B\otimes C)$，下标表示相应偏迹边缘，定义
$$
S(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\ln\rho),\qquad
I(A:C\mid B)_\rho
=S(\rho_{AB})+S(\rho_{BC})-S(\rho_B)-S(\rho_{ABC}),
\tag{10.1}
$$
其中 $0\ln0=0$。本节全部熵使用自然对数。对同一系统上的密度算子，定义根保真度与半迹距离
$$
F(\rho,\sigma)=\|\sqrt\rho\sqrt\sigma\|_1,\qquad
d_1(\rho,\sigma)=\frac12\|\rho-\sigma\|_1.
\tag{10.2}
$$
因此 $F$ 不是某些文献采用的平方保真度 $F^2$。恢复映射的类型固定为
$$
\mathcal R:\mathcal L(B)\longrightarrow\mathcal L(B\otimes C),\qquad
\widehat\rho_{ABC}=(\operatorname{id}_A\otimes\mathcal R)(\rho_{AB}).
\tag{10.3}
$$
恢复比较的是整个 $ABC$ 联合态；系统 $A$ 上保持恒等通道。

**定理 10.2（Fawzi–Renner 恢复界）。** 对每个 $\rho_{ABC}$，存在 CPTP 映射 $\mathcal R:B\to BC$，使
$$
F(\rho_{ABC},\widehat\rho_{ABC})
\ge \exp\!\left[-\frac12 I(A:C\mid B)_\rho\right].
\tag{10.4}
$$
同一个恢复映射满足
$$
d_1(\rho_{ABC},\widehat\rho_{ABC})
\le \sqrt{1-\exp[-I(A:C\mid B)_\rho]}
\le \sqrt{I(A:C\mid B)_\rho}.
\tag{10.5}
$$

这里的结论是 $\rho$ 接近某个从其自身 $AB$ 边缘恢复的态 $\widehat\rho$。定理没有断言 $I(A:C\mid B)_{\widehat\rho}=0$，也没有给出到全部精确 Markov 态集合的同一距离界；这一差别见下引 Fawzi–Renner 论文第1节对近似 Markov 性的讨论。

**证明。** 式(10.4)是 Omar Fawzi、Renato Renner，[*Quantum conditional mutual information and approximate Markov chains*](https://arxiv.org/abs/1410.0664v3)，Theorem 5.1，式(102)的有限维版本。原文熵以二为底，因 $I_{\mathrm{nat}}=(\ln2)I_{\mathrm{bits}}$，其 $2^{-I_{\mathrm{bits}}/2}$ 正好成为式(10.4)。式(10.5)由同文 Lemma B.1 在归一化态上的不等式
$$
d_1(\rho,\sigma)^2\le 1-F(\rho,\sigma)^2
$$
以及 $1-e^{-x}\le x$（$x\ge0$）直接得到。非负性 $I(A:C\mid B)_\rho\ge0$ 是强次可加性。$\square$

**推论 10.3（零条件互信息与精确恢复等价）。** 对有限维三方态，
$$
I(A:C\mid B)_\rho=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
\exists\mathcal R:B\to BC\ \mathrm{CPTP},\
(\operatorname{id}_A\otimes\mathcal R)(\rho_{AB})=\rho_{ABC}.
\tag{10.6}
$$

**证明。** 正向由式(10.5)得到半迹距离为零。反向设精确恢复成立。互信息在局部通道下满足数据处理，因此对输入 $\rho_{AB}$ 上的通道 $\mathcal R$ 有
$$
I(A:BC)_\rho\le I(A:B)_\rho.
$$
而熵的链式恒等式给出
$$
I(A:C\mid B)_\rho=I(A:BC)_\rho-I(A:B)_\rho\le0.
$$
结合强次可加性得零。$\square$

**定理 10.4（固定边缘的通用恢复器）。** 固定任意 $\omega_{BC}\in\mathcal D(B\otimes C)$，存在一个 CPTP 映射 $\mathcal R_\omega:B\to BC$，使对每个有限维系统 $A$ 及每个满足 $\rho_{BC}=\omega_{BC}$ 的扩展 $\rho_{ABC}$，都有
$$
F\!\left(\rho_{ABC},
(\operatorname{id}_A\otimes\mathcal R_\omega)(\rho_{AB})\right)
\ge e^{-I(A:C\mid B)_\rho/2}.
\tag{10.7}
$$
其量词顺序为
$$
\forall\omega_{BC}\ \exists\mathcal R_\omega\
\forall A\ \forall\rho_{ABC}\text{ 满足 }\rho_{BC}=\omega_{BC}.
\tag{10.8}
$$
这是 David Sutter、Omar Fawzi、Renato Renner，[*Universal recovery map for approximate Markov chains*](https://arxiv.org/abs/1504.07251v3)，Theorem 2.1 的有限维、自然对数版本。

同一映射还满足
$$
\mathcal R_\omega(\omega_B)=\omega_{BC}.
\tag{10.9}
$$

式(10.9)约束指定输入 $\omega_B$，并不把 $\operatorname{Tr}_C\circ\mathcal R_\omega$ 规定为整个 $\mathcal L(B)$ 上的恒等通道。式(10.8)也没有将恢复器统一到所有彼此不同的 $BC$ 边缘上。上述来源的 Corollary 2.4 对其显式结构给出线性化保真度界；这里引用的是 Theorem 2.1 的存在性与完整指数界。

**证明。** 对式(10.9)，取任意乘积扩展 $\rho_{ABC}=\rho_A\otimes\omega_{BC}$。其条件互信息为零；式(10.7)及式(10.5)中的保真度到迹距离转换给出精确恢复。对 $A$ 取偏迹即得式(10.9)。这也是原文 Remark 2.3。$\square$

**推论 10.5（固定边缘态族的共同误差）。** 设 $\mathcal F$ 是非空的一族有限维三方态，所有成员具有同一个 $BC$ 边缘 $\omega_{BC}$；参考系统 $A$ 的有限维数可以随成员变化。若存在 $\varepsilon\ge0$ 使
$$
I(A:C\mid B)_\rho\le\varepsilon\qquad(\rho\in\mathcal F),
$$
则定理10.4中的同一个 $\mathcal R_\omega$ 满足
$$
\sup_{\rho\in\mathcal F}
d_1\!\left(\rho_{ABC},
(\operatorname{id}_A\otimes\mathcal R_\omega)(\rho_{AB})\right)
\le\sqrt{1-e^{-\varepsilon}}\le\sqrt\varepsilon.
\tag{10.10}
$$

**证明。** 对每个成员用式(10.7)及保真度到迹距离转换；函数 $x\mapsto\sqrt{1-e^{-x}}$ 在非负半轴上递增，所以各项由同一右端控制，取上确界即可。$\square$

**引理 10.6（CPTP 后处理的迹距离收缩）。** 若 $\Lambda:\mathcal L(X)\to\mathcal L(Y)$ 为 CPTP，则对任意 $\rho,\sigma\in\mathcal D(X)$，
$$
d_1(\Lambda(\rho),\Lambda(\sigma))\le d_1(\rho,\sigma).
\tag{10.11}
$$
这对任何有限维参考系统 $E$ 上的 $\Lambda\otimes\operatorname{id}_E$ 同样成立。

**证明。** 写 Hermitian 差的 Jordan 分解 $\rho-\sigma=H_+-H_-$，其中 $H_\pm\ge0$ 且
$$
\|\rho-\sigma\|_1=\operatorname{Tr}H_++\operatorname{Tr}H_-.
$$
由正性、保迹性和三角不等式，
$$
\|\Lambda(\rho-\sigma)\|_1
\le\|\Lambda(H_+)\|_1+\|\Lambda(H_-)\|_1
=\operatorname{Tr}H_++\operatorname{Tr}H_-.
$$
除以二得式(10.11)。完全正性保证 $\Lambda\otimes\operatorname{id}_E$ 为正，且该映射仍保迹，故同证适用。

这一证明使用的正负部分分解与本库 [FiniteTraceDistance](../../../D5/S3/Quantum/Foundation/FiniteTraceDistance.lean) 的 **traceDistance_contract** 相同；后者的通道声明采用相同输入输出载体。本节允许不同有限维输入输出，并显式保留参考。一般迹范数收缩也见 John Watrous，[*The Theory of Quantum Information*](https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/TQI/TQI.pdf)，Corollary 3.40，式(3.241)。 $\square$

**命题 10.7（通道距离的参考量词）。** 对两个同型 CPTP 通道 $\Phi,\Psi:\mathcal L(X)\to\mathcal L(Y)$，定义
$$
d_\diamond(\Phi,\Psi)
=\sup_{\substack{E\text{ 有限维}\\
                  \eta_{XE}\in\mathcal D(X\otimes E)}}
d_1\!\left((\Phi\otimes\operatorname{id}_E)(\eta),
           (\Psi\otimes\operatorname{id}_E)(\eta)\right).
\tag{10.12}
$$
此量等于标准 diamond 范数距离 $\frac12\|\Phi-\Psi\|_\diamond$，且满足 $0\le d_\diamond\le1$。上确界可在 $\dim E=\dim X$ 的纯态输入上取到最大值。

式(10.12)沿用[量子上下文卷](CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_QUANTUM.md)第72、120节的完整通道比较：输入可以与保留参考纠缠，且两个通道接受同一个联合输入。参考不经被比较通道处理；若某个记忆寄存器在槽内参与相互作用，它属于该槽的输入输出对象。

**证明。** 通道差保持 Hermitian 性，因此标准 diamond 范数与式(10.12)的相等性由 Watrous 上引书 Theorem 3.51，式(3.291)给出。参考维数的约化还可直接从式(10.12)看出：对任意混合输入作纯态凸分解，迹范数凸性表明其值不超过分解中各纯态值的最大值；每个纯态在 $X:E$ 切分上的 Schmidt 秩至多为 $\dim X$。将其参考支撑等距嵌入一个 $\dim X$ 维的空间，不改变输出差的非零奇异值。反之该固定参考本就在允许上确界内；纯态集的紧性和迹范数连续性给出最大值。输出均为归一化态，故距离至多一。$\square$

**命题 10.8（共同 CPTP 上下文不放大通道误差）。** 对任意 CPTP 通道 $\Gamma:W\to X$、$\Lambda:Y\to Z$，
$$
d_\diamond(\Lambda\circ\Phi\circ\Gamma,\,
           \Lambda\circ\Psi\circ\Gamma)
\le d_\diamond(\Phi,\Psi).
\tag{10.13}
$$
对任意有限维旁观系统 $M$，
$$
d_\diamond(\Phi\otimes\operatorname{id}_M,\,
           \Psi\otimes\operatorname{id}_M)
=d_\diamond(\Phi,\Psi).
\tag{10.14}
$$
更一般地，若共同接线由 CPTP 映射
$$
\Gamma:W\to X\otimes M,\qquad
\Lambda:Y\otimes M\to Z
$$
给出，则
$$
d_\diamond\!\left(
\Lambda\circ(\Phi\otimes\operatorname{id}_M)\circ\Gamma,\,
\Lambda\circ(\Psi\otimes\operatorname{id}_M)\circ\Gamma
\right)
\le d_\diamond(\Phi,\Psi).
\tag{10.15}
$$

这是 Watrous 上引书 Proposition 3.48 与参考稳定性的应用，也是量子上下文卷第72节历史抬升误差界的单槽条件。前后处理必须在两个被比较对象间共用；若更换控制器或遗漏会参与后续操作的寄存器，就改变了式(10.15)的比较对象。

**证明。** 固定任意参考 $E$ 和联合输入 $\eta_{WE}$。$\Gamma\otimes\operatorname{id}_E$ 的输出仍是合法密度算子，因此中间通道差由式(10.12)控制；再用引理10.6处理 $\Lambda\otimes\operatorname{id}_E$，最后取上确界，得到式(10.13)。在式(10.14)左端，将 $M\otimes E$ 整体视为 $\Phi,\Psi$ 的参考，得“$\le$”；在右端任意测试输入上额外张量一个固定的 $M$ 态，迹范数因 $\|\tau_M\|_1=1$ 而不变，得“$\ge$”。式(10.15)由式(10.13)、(10.14)接续得到。$\square$

**命题 10.9（共用恢复器的两态下界）。** 设 $\mathcal E:X\to Y$ 为保留记录通道，$\mathcal T:X\to Z$ 为目标通道，$\mathcal R:Y\to Z$ 为任意共用 CPTP 恢复器。对任意 $\rho,\sigma\in\mathcal D(X)$，令
$$
e_\rho=d_1(\mathcal T(\rho),\mathcal R\mathcal E(\rho)),
\qquad
e_\sigma=d_1(\mathcal T(\sigma),\mathcal R\mathcal E(\sigma)).
$$
则
$$
\max\{e_\rho,e_\sigma\}
\ge\frac12\left[
d_1(\mathcal T(\rho),\mathcal T(\sigma))
-d_1(\mathcal E(\rho),\mathcal E(\sigma))
\right].
\tag{10.16}
$$

**证明。** 在两个目标态之间插入 $\mathcal R\mathcal E(\rho)$ 和 $\mathcal R\mathcal E(\sigma)$，两次三角不等式及引理10.6给出
$$
d_1(\mathcal T(\rho),\mathcal T(\sigma))
\le e_\rho+
d_1(\mathcal E(\rho),\mathcal E(\sigma))+e_\sigma.
$$
再用 $e_\rho+e_\sigma\le2\max\{e_\rho,e_\sigma\}$。

式(10.16)是量子上下文卷第120.4节相位态反例所用的两态论证；本库 [FiniteRecordRecoveryError](../../../D5/S3/Quantum/Decoherence/FiniteRecordRecoveryError.lean) 的 **finite_record_recovery_error_lower_bound** 将同一论证用于有限移位记录通道，得到 $(1-|\gamma|)/2$ 的恢复误差下界。 $\square$

**命题 10.10（逐态存在不允许交换量词：擦除反例）。** 令 $X=\mathbb C^2$、$Y=\mathbb C$，取擦除通道
$$
\mathcal E(H)=\operatorname{Tr}H,\qquad
\rho_0=|0\rangle\langle0|,\qquad
\rho_1=|1\rangle\langle1|.
$$
分别定义制备通道 $\mathcal R_i(z)=z\rho_i$。则
$$
\forall i\in\{0,1\}\ \exists\mathcal R_i,\quad
\mathcal R_i\mathcal E(\rho_i)=\rho_i,
$$
但任何共用恢复器 $\mathcal R$ 都满足
$$
\max_{i\in\{0,1\}}d_1(\rho_i,\mathcal R\mathcal E(\rho_i))
\ge\frac12.
\tag{10.17}
$$

**证明。** 两个擦除输出相同，而目标态距离为一，代入式(10.16)即可。制备 $\tau=I_X/2$ 时，两项距离均为 $1/2$，所以式(10.17)在这两个测试态组成的态族上最优。若固定 $\mathcal R_0$，则恢复在 $\rho_0$ 上误差为零，在 $\rho_1$ 上误差为一，从而
$$
d_\diamond(\operatorname{id}_X,\mathcal R_0\circ\mathcal E)=1.
\tag{10.18}
$$
下界由输入 $\rho_1$ 给出，上界由命题10.7给出。

把此例中的 $A,B$ 取为一维、$C=X$，每个 $\rho_i$ 的 $I(A:C\mid B)$ 都为零；但两个 $BC$ 边缘不同，所以它不满足定理10.4的共同边缘假设。式(10.18)同时表明，某个输入上的零恢复误差不能推出该恢复通道的 diamond 误差小。 $\square$

**推论 10.11（恢复误差对后续任务的有效范围）。** 在推论10.5的假设下，对每个 $\rho\in\mathcal F$，令 $\widehat\rho=(\operatorname{id}_A\otimes\mathcal R_\omega)(\rho_{AB})$。若 $\Lambda$ 是定义于完整 $ABC$ 输出上的共同 CPTP 后处理，则
$$
d_1(\Lambda(\rho),\Lambda(\widehat\rho))
\le\sqrt{1-e^{-\varepsilon}}.
\tag{10.19}
$$
特别地，对任意有限结果的共同 POVM 读出，其输出概率分布的总变差距离至多为此值；任意取值于 $[0,L]$ 的共同损失函数之期望差，绝对值至多为 $L\sqrt{1-e^{-\varepsilon}}$。

这一任务界控制所声明的固定边缘态族。定理10.4虽然量化所有有限维 $A$，仍要求每个联合输入的 $BC$ 边缘等于 $\omega_{BC}$；diamond 距离则对全部输入态取上确界。要得到
$$
d_\diamond(\operatorname{id}_{BC},
           \mathcal R_\omega\circ\operatorname{Tr}_C)\le\delta,
$$
必须另外证明同一个 $\mathcal R_\omega$ 对式(10.12)中的全部联合输入具有误差界 $\delta$。固定边缘上的估计不包含这个额外量词。相反，一旦 diamond 界成立，命题10.8就使它对所有共同 CPTP 接线成立。这与量子上下文卷第120—122节区分状态族缺陷、完整过程缺陷及共同模拟器的方式一致。

**证明。** 式(10.19)是式(10.10)与引理10.6的组合。POVM 是到经典对角态的 CPTP 通道，而对角态的半迹距离正好是总变差距离。若输出分布为 $p,q$，写 $\Delta=p-q$，则 $\sum\Delta=0$、正部分与负部分的总质量均为 $\operatorname{TV}(p,q)$。因此 $0\le\ell\le L$ 给
$$
\left|\sum_y\ell(y)(p(y)-q(y))\right|
\le L\,\operatorname{TV}(p,q).
$$
$\square$

## 10.99 追加锚

## 11. 带记忆量子过程的表示、历史概率与可访问关系

**定义 11.1（有限维载体与 Choi 约定）。** 全部 Hilbert 空间均为非零有限维复空间，$\mathcal L(A)$ 表示 $A$ 上的全部复线性算子。对每个输入空间 $A$ 固定正交归一基 $\{|i\rangle\}_{i=1}^{d_A}$，把输入参考副本 $A'$ 与 $A$ 按此基识别，并记
$$
E_{ij}=|i\rangle\langle j|,\qquad
|\Omega_A\rangle=\sum_{i=1}^{d_A}|i\rangle_{A'}\otimes|i\rangle_A.
\tag{11.1}
$$
对复线性映射 $\Phi:\mathcal L(A)\to\mathcal L(B)$，取输入参考在前、输出在后的未归一化 Choi 算子
$$
J(\Phi)
=(\operatorname{id}_{A'}\otimes\Phi)(|\Omega_A\rangle\langle\Omega_A|)
=\sum_{i,j}E_{ij}^{A'}\otimes\Phi(E_{ij})
\in\mathcal L(A'\otimes B).
\tag{11.2}
$$
符号 $\mathsf T$ 表示所选基中的普通转置，$\dagger$ 表示共轭转置；基底运输同时运输转置约定。无歧义时将 $A'$ 简写为 $A$。完全正量化所有有限参考 $R$ 上 $\operatorname{id}_R\otimes\Phi$ 的正性；不增迹指对每个 $X\ge0$ 有 $\operatorname{Tr}\Phi(X)\le\operatorname{Tr}X$。

**定理 11.2（Choi 重建与完全正、迹条件）。** 定义11.1给出全部复线性映射与 $\mathcal L(A'\otimes B)$ 之间的线性双射，逆映射为
$$
\Phi(X)=\operatorname{Tr}_{A'}\bigl[(X^{\mathsf T}\otimes I_B)J(\Phi)\bigr].
\tag{11.3}
$$
且
$$
\begin{aligned}
\Phi\text{ 完全正}&\iff J(\Phi)\ge0,\\
\Phi\text{ 保迹}&\iff \operatorname{Tr}_B J(\Phi)=I_{A'},\\
\Phi\text{ 完全正且不增迹}
&\iff J(\Phi)\ge0\ \text{且}\ \operatorname{Tr}_B J(\Phi)\le I_{A'}.
\end{aligned}
\tag{11.4}
$$

**证明。** 因为 $\operatorname{Tr}(X^{\mathsf T}E_{ij})=X_{ij}$，式(11.3)返回 $\sum_{ij}X_{ij}\Phi(E_{ij})$。反过来，任意 $J$ 的 $(i,j)$ 输入块唯一指定 $\Phi(E_{ij})$；矩阵单位是一组复基，因此得到双射。

若 $\Phi$ 完全正，式(11.2)是正算子在正性放大下的像。若 $J(\Phi)\ge0$，取有限谱分解
$$
J(\Phi)=\sum_\alpha|v_\alpha\rangle\langle v_\alpha|,
\qquad v_\alpha=\sum_i|i\rangle\otimes K_\alpha|i\rangle,
\tag{11.5}
$$
其中特征值平方根吸入 $v_\alpha$，$K_\alpha:A\to B$ 由其列确定。逐输入块比较得
$$
\Phi(X)=\sum_\alpha K_\alpha X K_\alpha^\dagger.
\tag{11.6}
$$
任意参考上的放大为 $\sum_\alpha(I_R\otimes K_\alpha)X(I_R\otimes K_\alpha)^\dagger$，故保持正性。零 Choi 算子取空和。

$\operatorname{Tr}_BJ(\Phi)$ 的 $(i,j)$ 元为 $\operatorname{Tr}\Phi(E_{ij})$，所以它等于 $I$ 当且仅当 $\Phi$ 在全部矩阵单位、进而全部复矩阵上保迹。对完全正映射，令 $F=\sum_\alpha K_\alpha^\dagger K_\alpha\ge0$。迹循环给 $\operatorname{Tr}\Phi(X)=\operatorname{Tr}(FX)$，且 $\operatorname{Tr}_BJ(\Phi)=F^{\mathsf T}$。对全部 $X\ge0$ 不增迹等价于 $F\le I$：充分性用正算子的迹配对非负，必要性取 $X=|u\rangle\langle u|$。转置保持正序，得到式(11.4)。

这是 Choi—Kraus 定理的有限维形式，见 Watrous，*The Theory of Quantum Information*，2018，[第2章](https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/TQI/TQI.2.pdf)，式(2.64)—(2.66)、定理2.22与2.26，印刷第78、82—84、87—89页。完整 Kraus 族的通道接口亦见 [FiniteKrausChannel](../../../D5/S3/Quantum/Foundation/FiniteKrausChannel.lean) 的 finite_kraus_quantum_channel。$\square$

**命题 11.3（因子次序与归一化运输）。** Watrous 的输出在前约定 $J_W(\Phi)\in\mathcal L(B\otimes A')$ 与式(11.2)由交换两因子的固定酉映射对应。通道满足 $\operatorname{Tr}J(\Phi)=d_A$。归一化 Bell 输入给出的 $\widehat J=J/d_A$ 满足
$$
\operatorname{Tr}\widehat J=1,\qquad
\operatorname{Tr}_B\widehat J=I_{A'}/d_A,
$$
且以 $\widehat J$ 重建时，式(11.3)右侧须乘 $d_A$。

**证明。** 对式(11.2)逐项交换张量因子即得文献约定。对式(11.4)的偏迹等式取总迹，得 $\operatorname{Tr}J=d_A$；其余由线性缩放得到。$\square$

**命题 11.4（顺序接线的 Choi 收缩）。** 若 $\Phi:\mathcal L(A)\to\mathcal L(B)$、$\Psi:\mathcal L(B)\to\mathcal L(C)$，则在 $A\otimes B\otimes C$ 的次序下
$$
J(\Psi\circ\Phi)
=\operatorname{Tr}_B\!\left[
\bigl(J(\Phi)^{\mathsf T_B}\otimes I_C\bigr)
\bigl(I_A\otimes J(\Psi)\bigr)
\right].
\tag{11.7}
$$
这里 $\mathsf T_B$ 只转置接线空间 $B$；两个乘因子不要求交换。

**证明。** 展开 $J(\Phi)=\sum_{ij}E_{ij}\otimes\Phi(E_{ij})$ 与 $J(\Psi)=\sum_{kl}E_{kl}\otimes\Psi(E_{kl})$，再用
$$
\operatorname{Tr}\bigl(\Phi(E_{ij})^{\mathsf T}E_{kl}\bigr)
=\Phi(E_{ij})_{kl},
$$
所得 $(i,j)$ 块正是 $\Psi(\Phi(E_{ij}))$。这是 Chiribella、D’Ariano、Perinotti，*Theoretical framework for quantum networks*，Physical Review A 80，022339（2009），[arXiv:0904.4483v2](https://arxiv.org/pdf/0904.4483v2)，定理1及式(13)，PDF第3页的 link product 在本节次序下的形式。中间乘积不必 Hermitian；复合完全正时最终 Choi 算子的正性由定理11.2保证。$\square$

**定义 11.5（因果梳与实际记忆接线）。** 固定 $n\ge1$。第 $k$ 轮先接收 $A_k$、再输出 $B_k$，之后才进入第 $k+1$ 轮；实验者可以根据先前输出及其保留记忆制备后续输入。令
$$
\mathcal H_k=A_1'\otimes B_1\otimes\cdots\otimes A_k'\otimes B_k,
\qquad\mathcal H_0=\mathbb C.
\tag{11.8}
$$
确定性因果梳由正算子 $R^{(k)}\in\mathcal L(\mathcal H_k)$ 给出，满足
$$
R^{(0)}=1,\qquad
\operatorname{Tr}_{B_k}R^{(k)}=R^{(k-1)}\otimes I_{A_k'}
\quad(1\le k\le n).
\tag{11.9}
$$
右侧次序为 $\mathcal H_{k-1}\otimes A_k'$。从末时刻向前排列时，同一条件写为 $I_{A_k'}\otimes R^{(k-1)}$，两种写法以固定因子置换对应。

顺序网络的 Choi 算子指：将网络视作从 $\bigotimes_kA_k$ 到 $\bigotimes_kB_k$ 的多部件通道，按式(11.2)取 Choi 算子，再排成式(11.8)。实际环境若跨两步回流，就作为同一个内部记忆接线；用两个约化系统通道替代该接线，须另有约化闭合等式。因果梳的时域 $n$、内部记忆实现和实验者可接入的端口分别作为数据；固定有限时域的记忆实现不附带跨全部时域的统一维数合同。

**定理 11.6（有限时域梳的实现）。** 在定义11.5的有限维、固定时间次序下，正性与式(11.9)等价于存在有限维记忆 $M_k$、$M_0=\mathbb C$ 及等距映射
$$
V_k:M_{k-1}\otimes A_k\longrightarrow B_k\otimes M_k,
\qquad V_k^\dagger V_k=I,
\tag{11.10}
$$
使顺序网络在最后舍弃 $M_n$ 后给出 $R^{(n)}$。允许一般逐轮 CPTP 映射给出同一类梳。其迹满足
$$
\operatorname{Tr}R^{(k)}=\prod_{j=1}^k d_{A_j}.
\tag{11.11}
$$

**证明。** 充分性是 Chiribella、D’Ariano、Perinotti 所引版本定理3与定理5，PDF第7、11页：取文献的 $H_{2k-2}=A_k$、$H_{2k-1}=B_k$，再置换成式(11.8)。一般 CPTP 实现的逐轮 Stinespring 环境可并入后续记忆；混合初始记忆可在第一轮制备并净化。

对必要性，令 $\Gamma_k$ 为前 $k$ 轮后舍弃内部记忆的多部件通道。最后一次操作保迹，故对全部输入算子 $X$ 有
$$
\operatorname{Tr}_{B_k}\Gamma_k(X)
=\Gamma_{k-1}(\operatorname{Tr}_{A_k}X).
\tag{11.12}
$$
此前输出上隐含恒等映射。把 $X$ 展开成输入矩阵单位，$A_k$ 上的迹给 $\delta_{ij}$，正好得到式(11.9)。这也适用于跨时间输入相关的 $X$。反复取迹给式(11.11)。文献第7—8页以各前缀 Choi 秩构造等距实现的记忆维数上界；该上界描述一种实现，不等同于最小物理记忆或最小控制门数。$\square$

**命题 11.7（整体保迹不足以保证时间因果性）。** 存在多部件酉通道不满足定义11.5的指定时间次序。

**证明。** 取两个 qubit 输入，以交换通道把 $A_2$ 送至 $B_1$、$A_1$ 送至 $B_2$。它完全正且保迹。固定 $A_1$，分别输入 $A_2=|0\rangle$ 或 $|1\rangle$，第一轮输出 $B_1$ 随第二轮输入改变，违反式(11.12)，故不满足式(11.9)。$\square$

**定义 11.8（过程张量与梳的端口对应）。** 固定时刻 $0,\ldots,k$、系统端口 $S_j^{\mathrm{in}}$ 和 $S_j^{\mathrm{out}}$。控制分支为完全正不增迹映射 $\mathcal A_j:\mathcal L(S_j^{\mathrm{in}})\to\mathcal L(S_j^{\mathrm{out}})$；确定性控制为 CPTP。给共同初态 $\rho_{S_0E}$，其中 $S_0=S_0^{\mathrm{in}}$，及同型接续的 CPTP 映射 $\mathcal U_{j+1:j}:\mathcal L(S_j^{\mathrm{out}}\otimes E)\to\mathcal L(S_{j+1}^{\mathrm{in}}\otimes E)$，定义
$$
\mathfrak T_{k:0}[\mathcal A_{k-1},\ldots,\mathcal A_0]
=\operatorname{Tr}_E\!\left[
\mathcal U_{k:k-1}(\mathcal A_{k-1}\otimes\operatorname{id}_E)
\cdots\mathcal U_{1:0}(\mathcal A_0\otimes\operatorname{id}_E)
(\rho_{S_0E})\right].
\tag{11.13}
$$
其值为未归一化终态，迹为所选结果序列的概率。独立控制时它对各 $\mathcal A_j$ 分别线性，进而在线性张量积上延伸；反馈或反复接触同一个控制辅助系统时，控制对象取具有对应时间次序的联合控制梳，保持同一辅助实现。

在各系统端口同维且联合演化为酉时，式(11.13)即为 Pollock、Rodríguez-Rosario、Frauenheim、Paternostro、Modi，*Non-Markovian quantum processes: complete framework and efficient characterisation*，[arXiv:1512.00589v3](https://arxiv.org/pdf/1512.00589v3)，定义1、性质P1—P3及定理2，PDF第2—3页的开放量子演化式(2)。其完全正性量化带控制辅助系统的物理输出，containment 按已声明的槽填充操作抽取子区间；在同型槽填入恒等控制与舍弃前段后重置环境是不同操作。该文图4（第5页）将过程及相关控制都表示为量子梳，定理4（第7页）给多时 Choi 表示，第IV.C节（第8页）给因果偏迹及子过程收缩。

本节按定义11.5表示同一端口结构：令 $n=k+1$、$A_1=\mathbb C$、$B_1=S_0^{\mathrm{in}}$，并对 $0\le j<k$ 取
$$
A_{j+2}=S_j^{\mathrm{out}},\qquad B_{j+2}=S_{j+1}^{\mathrm{in}}.
\tag{11.14}
$$
因此过程首先输出初始系统，随后每次接收控制后的系统并给出下一系统；控制 $\mathcal A_j$ 接在 $B_{j+1}$ 与 $A_{j+2}$ 之间。未归一化 Choi 梳具有正性与式(11.9)的因果偏迹条件，$R^{(1)}=\rho_{S_0}$；其实现取定理11.6。若以迹一多时 Choi 密度表示，则除以 $\prod_{j=0}^{k-1}\dim S_j^{\mathrm{out}}$，相应收缩公式同时运输此因子。端口量化、归一化与允许控制族属于同一表示合同。

**定义 11.9（历史索引仪器）。** 使用[量子卷](CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_QUANTUM.md)第72节的完整历史、活动记忆与惰性参考规范。固定时域 $N$、非空有限结果集 $Y_t$ 和每层共同有限维载体 $Q_t$。$Q_t=S_t\otimes M_t$ 包含系统与仍会回流的物理记忆。不同历史的载体通过已声明的共同嵌入识别；动作和仪器的类型在同层一致。

对已取得历史 $h=(y_1,\ldots,y_{t-1})$，控制器选择 $a=\pi_t(h)$，并指定
$$
\Phi^{h,a}_{t,y}:\mathcal L(Q_{t-1})\to\mathcal L(Q_t)
\quad(y\in Y_t),\qquad
\Phi^{h,a}_{t,y}\text{ 完全正},\qquad
\sum_y\Phi^{h,a}_{t,y}\text{ 保迹}.
\tag{11.15}
$$
在所比较输入族的每个可达正概率历史上动作须合法；或以失败结果给出总化仪器。全族都不可达的历史可作同型合法扩展，但扩展对各输入共同固定。随机控制的实际随机变量及复用位置并入历史或载体。

给任意有限惰性参考 $R$ 及共同初态密度 $\rho_{RQ_0}$，定义
$$
\sigma_\varnothing=\rho_{RQ_0},\qquad
\sigma_{hy}=(\operatorname{id}_R\otimes\Phi^{h,\pi_t(h)}_{t,y})(\sigma_h),
\qquad p(h)=\operatorname{Tr}\sigma_h,
\tag{11.16}
$$
并令 $\Phi_h$ 为沿 $h$ 按时间从右向左的分支复合，$\Phi_\varnothing=\operatorname{id}$。全过程使用同一初态及物理记忆，不要求 $R$ 与 $Q_0$ 独立。仪器的完全正分支及经典旗标约定亦见 Watrous 所引第2章第2.3.2节、式(2.255)—(2.262)，印刷第111—113页。

**定理 11.10（历史树归一化与历史 POVM）。** 定义11.9给出非负联合概率，满足
$$
\sum_{y\in Y_t}p(hy)=p(h),\qquad
\sum_{h\in Y_1\times\cdots\times Y_t}p(h)=1.
\tag{11.17}
$$
对任意前缀 $h$，全部有限后续结果求和仍为 $p(h)$。每层的 $\sum_{|h|=t}\Phi_h$ 是 CPTP，并且
$$
\sigma_h=(\operatorname{id}_R\otimes\Phi_h)(\rho_{RQ_0}),\qquad
E_h=\Phi_h^*(I_{Q_t})\ge0,\qquad
\sum_{|h|=t}E_h=I_{Q_0},\qquad
p(h)=\operatorname{Tr}(E_h\rho_{Q_0}),
\tag{11.18}
$$
其中 $\Phi_h^*$ 为 Hilbert–Schmidt 伴随。仅当 $p(h)>0$ 时定义条件态 $\sigma_h/p(h)$ 与下一结果概率 $p(hy)/p(h)$。正概率完整历史满足
$$
p(y_1,\ldots,y_t)=\prod_{j=1}^t p(y_j\mid y_1,\ldots,y_{j-1}).
\tag{11.19}
$$

**证明。** 完全正保证各 $\sigma_h\ge0$。固定父历史后，仪器之和保迹，故
$$
\sum_y\operatorname{Tr}\sigma_{hy}
=\operatorname{Tr}\left[(\operatorname{id}_R\otimes\sum_y\Phi^{h,\pi_t(h)}_{t,y})(\sigma_h)\right]
=\operatorname{Tr}\sigma_h.
$$
从 $p(\varnothing)=1$ 按层归纳得归一化，从末层向前求和得前缀一致性。正算子迹零必为零，故零概率父支的全部后继也为零。

每个 $\Phi_h$ 完全正。同一历史树逐层求和保迹，故其层和是通道；完全正伴随及其保单位性给式(11.18)。最后一个迹恒等式由 Hilbert–Schmidt 伴随的定义及参考系统偏迹直接得到。同一输入输出载体时，亦可应用 [FiniteKrausInstrumentBornMarginal](../../../D5/S3/Quantum/Measurement/FiniteKrausInstrumentBornMarginal.lean) 的 finite_kraus_instrument_born_marginal；本节允许不同 $Q_0,Q_t$ 的情形由上述直接计算承担。式(11.19)由各相邻比值望远镜相乘得到。条件概率依赖同一前缀的条件态与动作，不能由该式换为无条件边缘的乘积。$\square$

**定义 11.11（经典档案、活动记忆与参考）。** 历史档案 $H_t$ 具有正交基 $\{|h\rangle\}_{|h|=t}$，对应联合记录为
$$
\Omega_t=\sum_{|h|=t}|h\rangle\langle h|_{H_t}\otimes\sigma_h
\in\mathcal L(H_t\otimes R\otimes Q_t).
\tag{11.20}
$$
经典性指定 $H_t$ 基中的块对角结构；各 $RQ_t$ 块仍保留其量子关联。活动记忆 $M_t$ 指已声明分解 $Q_t=S_t\otimes M_t$ 中后续可相互作用的因子，其控制权限、重置及回流均属于操作合同。惰性参考 $R$ 指过程中始终不被操作的关联因子；若后来与系统相互作用，该因子转入活动载体或开放端口。档案可读字段及可复制标签、物理记忆可控制操作、参考的可制备与终端可读取范围分别指定。

**命题 11.12（记录归一化、压缩与反馈取值）。** 式(11.20)为密度矩阵；舍弃档案给 $\sum_h\sigma_h$。对经典函数 $q:H_t\to Z$，压缩给
$$
\Omega_t^q=\sum_z|z\rangle\langle z|\otimes\sum_{q(h)=z}\sigma_h.
\tag{11.21}
$$
仅以 $z=q(h)$ 选择与原策略相同的确定性动作，当且仅当 $\pi$ 在 $q$ 的每个相关纤维上常值。

**证明。** 每块正且块迹之和由式(11.17)为一。偏迹与经典推前逐块计算即得两种输出。若 $\pi=\bar\pi\circ q$，同纤维的动作相同；反之，在每个非空相关纤维取该共同动作便定义 $\bar\pi$。这项等价只约束依赖档案的动作函数；若允许从 $Q_t$ 另读信息，须验证该额外读出及其扰动是否实现相同协议。受控充分状态与统一过程模拟的相应条件见量子卷第118.16、120节。$\square$

**命题 11.13（有限载体与条件状态个数）。** 固定时域 $t$ 的档案基大小为 $\prod_{j=1}^t|Y_j|$；固定有限维物理载体的跨时域可达密度集合却可以无限。

**证明。** 前一式为有限笛卡尔积计数。后一式取单结果 qubit 仪器 $\rho\mapsto U\rho U^\dagger$，其中 $U=\operatorname{diag}(1,e^{i\theta})$、$\theta/(2\pi)$ 无理，初态为 $|+\rangle\langle+|$。第 $t$ 步非对角元为 $e^{-it\theta}/2$，不同 $t\ge0$ 给不同密度。于是载体维数二并不给有限个可达条件态。量子卷第151节的有限经典隐状态实现另以保留全部旗标的逐块纠缠破坏为前提，且限定中途干预及端点输出；本例不取消或代替这些条件。$\square$

**命题 11.14（相同局部态与记录访问的区别）。** 取 qubit $S,M$，令
$$
|\pm\rangle=\frac{|0\rangle\pm|1\rangle}{\sqrt2},\qquad
|\Phi_\pm\rangle=\frac{|00\rangle\pm|11\rangle}{\sqrt2}.
\tag{11.22}
$$
两联合纯态正交，双方局部态均为 $I_2/2$。未来若仅操作 $S$ 及独立于 $SM$、且制备不依赖符号的辅助系统，$M$ 始终不回流，则全部这类仪器历史统计相同。若允许控制 $SM$ 上的耦合 $U|i,j\rangle=|i,j\mathbin{\mathrm{XOR}}i\rangle$，则逆耦合后测量 $S$ 的 $X$ 基能完全区分两态。若实际测量 $M$ 的计算基并只保存经典结果及 $S$，两个输出反而相同。

**证明。** 取 $\rho=|+\rangle\langle+|$、$\sigma=|-\rangle\langle-|$，它们对角元相同且非对角元不同。[CanonicalRecordAccessRecovery](../../../D5/S3/Quantum/Decoherence/CanonicalRecordAccessRecovery.lean) 的 reduced_irreversibility_is_canonical_record_access_defect 直接给 copied-address 模型的全局区别、约化同一、无共同约化恢复函数及实际记录的逆耦合恢复。此例中
$$
U(|\pm\rangle_S|0\rangle_M)=|\Phi_\pm\rangle,
\qquad U^\dagger|\Phi_\pm\rangle=|\pm\rangle_S|0\rangle_M.
\tag{11.23}
$$
局部偏迹各为 $I_2/2$，故限定局部协议从同一局部态出发，定理11.10给相同历史权重。允许 $U^\dagger=U$ 时，后续 $\{|+\rangle\langle+|,|-\rangle\langle-|\}$ 测量分别给确定结果。计算基测量 $M$ 后的经典记录与条件 $S$ 态对两个符号均为
$$
\frac12|0\rangle\langle0|_H\otimes|0\rangle\langle0|_S
+\frac12|1\rangle\langle1|_H\otimes|1\rangle\langle1|_S.
\tag{11.24}
$$
该相同输出的任何共同后处理仍相同，故保存标签本身不恢复相位。$\square$

**定理 11.15（精确不可克隆与经典档案的恢复界限）。** 设单位向量 $\psi,\phi\in H$ 满足 $0<|\langle\psi,\phi\rangle|<1$，记 $P_\psi=|\psi\rangle\langle\psi|$。不存在同一个 CPTP 映射 $\mathcal C:\mathcal L(H)\to\mathcal L(H\otimes H)$ 同时满足
$$
\mathcal C(P_\psi)=P_\psi\otimes P_\psi,\qquad
\mathcal C(P_\phi)=P_\phi\otimes P_\phi.
\tag{11.25}
$$
因此，对任何包含这两个态的输入族，不存在取值于有限经典寄存器的 CPTP 编码 $\mathcal E$ 及共同 CPTP 解码 $\mathcal R$，使 $\mathcal R\mathcal E$ 在该族上精确恢复原态。此结论的量词是同一确定性编码、解码对一个未知输入样本的精确全态恢复。

**证明。** 从式(11.6)及 $\sum_\alpha K_\alpha^\dagger K_\alpha=I$ 构造有限 Stinespring 等距映射 $Vx=\sum_\alpha K_\alpha x\otimes|\alpha\rangle_E$。若 $\mathcal C(P_\psi)=P_\psi\otimes P_\psi$，输出的纯性使
$$
V\psi=\psi\otimes\psi\otimes e_\psi
$$
对某个单位环境向量成立：投影至 $\psi\otimes\psi$ 正交补后的范数平方，等于该输出边缘在正交补上的迹，因而为零。同理 $V\phi=\phi\otimes\phi\otimes e_\phi$。等距性给
$$
|\langle\psi,\phi\rangle|
=|\langle\psi,\phi\rangle|^2|\langle e_\psi,e_\phi\rangle|
\le |\langle\psi,\phi\rangle|^2,
$$
与严格介于零和一矛盾。在没有剩余环境、指定共同空白及精确向量等式的等距模型中，这正是 [NoCloningInnerProductCriterion](../../../D5/S3/Quantum/PureState/NoCloningInnerProductCriterion.lean) 的 no_cloning_inner_product_criterion；量子卷第90.2节保留了该模型的假设。

再设经典编码与解码存在。对每个输入纯态，写 $\mathcal E(P_\psi)=\sum_zp_\psi(z)|z\rangle\langle z|$，$\tau_z=\mathcal R(|z\rangle\langle z|)$。若 $\sum_zp_\psi(z)\tau_z=P_\psi$，在 $\psi$ 的正交补上取迹，由每项非负可知所有 $p_\psi(z)>0$ 的 $\tau_z$ 均等于 $P_\psi$。经典复制通道 $\Delta(|z\rangle\langle z|)=|z,z\rangle\langle z,z|$ 因而使
$$
(\mathcal R\otimes\mathcal R)\Delta\mathcal E(P_\psi)
=\sum_zp_\psi(z)\tau_z\otimes\tau_z=P_\psi\otimes P_\psi.
$$
同一通道也复制 $P_\phi$，与前半部矛盾。正交标签的复制不满足 $0<|\langle\psi,\phi\rangle|<1$，故不受该禁制；带误差恢复或仅恢复指定任务也不满足式(11.25)的精确全态假设。$\square$

**定义 11.16（允许 tester 与过程距离）。** 对共同端口的确定性梳，固定一族实际允许的顺序 tester $\mathfrak T$，每个 tester 包含准备、槽间控制、其活动记忆与终端读出，并给有限经典输出分布 $p_T^R$。定义
$$
d_{\mathfrak T}(R,S)=\sup_{T\in\mathfrak T}\operatorname{TV}(p_T^R,p_T^S),
\tag{11.26}
$$
空族取零。tester 的正性、归一化与顺序实现采用 Chiribella等所引版本定义11及定理11，PDF第17页。实际允许族另受本卷共同实验语言、来源与费用合同约束。

**命题 11.17（共同 tester 距离的范围）。** $d_{\mathfrak T}$ 是值域 $[0,1]$ 的伪度量，其零核恰为所有 $T\in\mathfrak T$ 下输出分布相同的关系。固定接线和反馈得到的普通通道可使用第10节的 diamond 接口；若测试族允许槽间变化，则固定接线只贡献式(11.26)上确界中的一个子族。

**证明。** 每个总变差距离非负、对称且不超过一。逐 tester 的三角不等式取上确界仍给三角不等式；上确界为零当且仅当各项为零。固定共同控制并把活动记忆及历史保留在轮次类型中，CPTP 映射的有限复合仍为通道；扩大 tester 族只增大上确界。这是本卷既有固定读数族上确界构造的实例，量子卷第120.3节的固定接线与 comb 区别采用同一量词。$\square$

**定义 11.18（历史误差与资源接口）。** 对定义11.9的两个候选实现，完整轮次比较采用量子卷第72节的历史旗标通道，其输出包含 $H_t,Q_t$，并按第10节保留同一参考；式(11.16)的未归一化分支为其历史块。第12节的误差预算以这些共同类型、共同控制器及实际可达输入为合同。仅比较归一化后态的证书须另带正概率条件及分支权重；仅比较非选择和的证书不充作完整带旗标证书。

过程矩阵的数学给定、由有限实验估计该矩阵、实现其内部记忆及执行所选 tester 分别指定误差和费用。操作费用取本卷第7节的实际允许路径合同；Choi 或梳的存在表示本身不将准备、复制、记忆访问及读取操作加入允许语言。

## 11.99 追加锚

## 12. 可组合恢复、连续缺陷与相对时钟

**定义 12.1（同一任务的通道接口）。** 设 $X,B,A$ 为有限维复 Hilbert 空间，所有通道均完全正且保迹。固定边界编码 $\mathcal E:X\to B$、目标读出 $\mathcal Q:X\to A$、边界解码 $\mathcal S:B\to A$，以及完整操作 $\mathcal T_j:X\to X$ 和边界操作 $\overline{\mathcal T}_j:B\to B$。这里箭头表示相应矩阵代数间的通道。采用第10节包含外部参考的半 diamond 距离，记
$$
\kappa=d_\diamond(\mathcal S\mathcal E,\mathcal Q),\qquad
\varepsilon_j=d_\diamond(\mathcal E\mathcal T_j,
\overline{\mathcal T}_j\mathcal E).
\tag{12.1}
$$
这些是对同一通道族的统一界，不是对每个输入分别选择解码器后取得的最小值。取 $A=X,\mathcal Q=\operatorname{id}_X,\mathcal S=\mathcal R$，得到恢复完整输入的特例；一般 $\mathcal Q$ 则只指定任务需要的输出。空间类型包含会在后续再次操作的记录和物理记忆；始终不被操作的外部系统才作为惰性参考。

本卷第6节已经给出局部缺陷的路径传播，[量子卷](CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_QUANTUM.md) §72给出保留完整历史和活动记忆的通道望远镜界，§52给出无外部参考的末端预测界。以下将统一解码误差接到该既有传播结构，不把一般望远镜法视作新的原理。完全有界迹范数的成熟性质见 Watrous，[*The Theory of Quantum Information*](https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/TQI/TQI.pdf)，§3.3，Proposition 3.48及式（3.306）。

**定理 12.2（恢复误差与关系运输误差的共同预算）。** 在定义12.1下，对每个 $n\ge0$，有
$$
\boxed{
d_\diamond\!\left(
\mathcal S\overline{\mathcal T}_n\cdots
\overline{\mathcal T}_1\mathcal E,
\mathcal Q\mathcal T_n\cdots\mathcal T_1
\right)
\le\min\left\{1,\kappa+\sum_{j=1}^n\varepsilon_j\right\}.}
\tag{12.2}
$$
因而接上同一个任意合法终端测量，全部输出分布的总变差也受此界控制。有限经典随机核采用 $d_{\rm cl}(P,Q)=\max_x\operatorname{TV}(P(\cdot\mid x),Q(\cdot\mid x))$ 时，同一式（12.2）成立。完整恢复特例就是
$$
d_\diamond(\mathcal R\overline{\mathcal T}_n\cdots
\overline{\mathcal T}_1\mathcal E,
\mathcal T_n\cdots\mathcal T_1)
\le\min\{1,\kappa+\textstyle\sum_j\varepsilon_j\}.
\tag{12.3}
$$
同一结论允许轮次类型改变：给 $\mathcal E_j:X_j\to B_j$、$\mathcal T_j:X_{j-1}\to X_j$、$\overline{\mathcal T}_j:B_{j-1}\to B_j$、$\mathcal Q_n:X_n\to A$ 与 $\mathcal S_n:B_n\to A$，取
$$
\kappa_n=d_\diamond(\mathcal S_n\mathcal E_n,\mathcal Q_n),\qquad
\varepsilon_j=d_\diamond(\mathcal E_j\mathcal T_j,
\overline{\mathcal T}_j\mathcal E_{j-1}).
$$
则
$$
d_\diamond(\mathcal S_n\overline{\mathcal T}_n\cdots\overline{\mathcal T}_1\mathcal E_0,
\mathcal Q_n\mathcal T_n\cdots\mathcal T_1)
\le\min\{1,\kappa_n+\textstyle\sum_j\varepsilon_j\}.
\tag{12.3a}
$$

**证明。** 置 $D_j=\mathcal E\mathcal T_j-
\overline{\mathcal T}_j\mathcal E$。直接插入中间项得
$$
\mathcal E\mathcal T_n\cdots\mathcal T_1-
\overline{\mathcal T}_n\cdots\overline{\mathcal T}_1\mathcal E
=\sum_{j=1}^n
\overline{\mathcal T}_n\cdots\overline{\mathcal T}_{j+1}
D_j\mathcal T_{j-1}\cdots\mathcal T_1.
\tag{12.4}
$$
空乘积取恒等通道。每项前后均为通道，其 diamond 范数为一，故半范数至多 $\varepsilon_j$。左接 $\mathcal S$ 不放大差；再插入 $\mathcal S\mathcal E\mathcal T_n\cdots\mathcal T_1$，余项为 $(\mathcal S\mathcal E-\mathcal Q)\mathcal T_n\cdots\mathcal T_1$，半范数至多 $\kappa$。三角不等式和两个通道距离不超过一给式（12.2）。同一测量仍是通道，故输出距离不增，经典对角态的迹距离等于总变差。变类型情形把第 $j$ 项的 $D_j$ 换为 $\mathcal E_j\mathcal T_j-\overline{\mathcal T}_j\mathcal E_{j-1}$，内部编码仍逐项抵消，末端改插入 $\mathcal S_n\mathcal E_n\mathcal T_n\cdots\mathcal T_1$，证明完全同样。经典版本直接用随机核的总变差收缩：对任意共同输入分布，两核输出差的总变差至多各点输入差的最大值；前接随机核为凸组合，后接随机核收缩。对同一望远镜恒等式逐项应用即可。$\square$

**命题 12.3（任务恢复与全部量子状态恢复的维数边界）。** 若定义12.1的完整恢复满足 $\mathcal R\mathcal E=\operatorname{id}_X$，则 $\dim B\ge\dim X$。任务恢复 $\mathcal S\mathcal E=\mathcal Q$ 不具有这一普遍下界。例如 $\mathcal Q$ 是只输出一个固定态的通道时，一维边界已经充分。

**证明。** $\mathcal E$ 具有线性左逆，因此在复向量空间 $\mathcal L(X)$ 上单射。于是 $(\dim X)^2\le(\dim B)^2$。固定态目标经一维迹通道再制备该固定态即得。故要求保留指定任务，与要求可逆编码所有未知量子状态具有不同量词。$\square$

**定义 12.4（受限输入与自适应续接）。** 若只在输入族或码空间上使用恢复保证，指定每个时刻允许的、可带参考的联合态集合 $\mathscr A_j$。要求理想前缀把 $\mathscr A_0$ 送入 $\mathscr A_j$；第 $j$ 步缺陷在 $\mathscr A_{j-1}$ 上统一成立，末端恢复缺陷在 $\mathscr A_n$ 上成立。各误差界必须采用同一解码、同一控制器与同一参考约定。对有限自适应协议，历史、控制器和活动量子记忆纳入各轮次类型；追加历史导致类型改变时，每轮编码及解码须有相应类型，不能把这些轮次写成一个固定空间上的幂。

量子卷§72.1、§72.3的完整轮次模型已经承担自适应误差传播：若控制器相同且每一步先将历史去相干，输入在历史寄存器上为块对角，则统一的逐历史分支界可经块权重求和用于整步。若控制器不同，其差异进入对应轮次缺陷；若历史相干，逐经典分支最大值不是完整通道界。这里的受限族定义不赋予未声明的复制或记录访问权限。

**命题 12.5（受限证书的传播及失效见证）。** 在定义12.4的受限族条件下，若 $\kappa,\varepsilon_j$ 是相应受限态上的统一预算，则对每个允许参考 $R$ 及 $\rho_{XR}\in\mathscr A_0$，
$$
\frac12\left\|\bigl[(\mathcal S\overline{\mathcal T}_n\cdots\overline{\mathcal T}_1\mathcal E-\mathcal Q\mathcal T_n\cdots\mathcal T_1)\otimes\operatorname{id}_R\bigr](\rho_{XR})\right\|_1
\le\min\{1,\kappa+\textstyle\sum_j\varepsilon_j\}.
$$
该式按定义12.1写成固定类型；逐轮采用式（12.3a）的类型和相应受限输入族时，同一证明给变类型版本。这只是受限态保证，不断言全空间 diamond 缺陷同样小。如果缺少沿理想前缀的不变范围，结论不成立。对成功条件化的实验，未经归一化的通道误差也不直接给同值的条件误差。

**证明。** 对给定联合态使用式（12.4）；第 $j$ 项右侧的理想前缀将它送入 $\mathscr A_{j-1}$，故该项可使用受限缺陷。左侧的其余通道仍收缩迹距离；末端恢复项使用 $\mathscr A_n$ 上的界。求和得结论。

为说明范围必要性，取经典两态 $X=\{0,1\}$，边界为单点，$\mathcal E$ 擦除，$\mathcal R$ 总制备零，$\mathcal T$ 交换两态，边界更新恒等。初态族仅为零态；其恢复缺陷为零，编码交织缺陷处处为零。然而一步后理想态为一、恢复态为零，总变差为一。原因是末端已经离开恢复有效域。

条件化方面，设成功子态为 $A,B\succeq0$，$p=\operatorname{Tr}A>0,q=\operatorname{Tr}B>0$，且 $\|A-B\|_1\le e$。由 $|p-q|\le e$，
$$
\left\|\frac A p-\frac B q\right\|_1
\le\frac{\|A-B\|_1}{p}+\frac{|p-q|}{p}
\le\frac{2e}{p}.
\tag{12.5}
$$
故成功概率的共同下界 $p,q\ge s>0$ 给条件态迹距离至多 $\min\{1,e/s\}$。下界不能删除：两个经典联合输出分别以概率 $s$ 成功并输出相反比特，以概率 $1-s$ 给同一失败标签；完整输出总变差为 $s\to0$，成功条件分布的总变差却恒为一。失败旗标保留时仍可使用原通道界。$\square$

**定理 12.6（连续时间的交织缺陷）。** 在有限维空间中，设 $\mathcal T_t=e^{t\mathcal L}$、$\overline{\mathcal T}_t=e^{t\overline{\mathcal L}}$ 对全部 $t\ge0$ 均为通道。定义
$$
\mathcal K=\mathcal E\mathcal L-\overline{\mathcal L}\mathcal E,
\qquad \delta=\tfrac12\|\mathcal K\|_\diamond.
\tag{12.6}
$$
则
$$
\mathcal E\mathcal T_t-\overline{\mathcal T}_t\mathcal E
=\int_0^t\overline{\mathcal T}_{t-s}\mathcal K\mathcal T_s\,ds,
\tag{12.7}
$$
$$
d_\diamond(\mathcal E\mathcal T_t,\overline{\mathcal T}_t\mathcal E)
\le\min\{1,t\delta\},\qquad
d_\diamond(\mathcal S\overline{\mathcal T}_t\mathcal E,
\mathcal Q\mathcal T_t)\le\min\{1,\kappa+t\delta\}.
\tag{12.8}
$$
更一般地，连续时变生成元具有通道传播子 $\mathcal T(t,s)$、$\overline{\mathcal T}(t,s)$，且固定 $\mathcal E$ 满足 $\mathcal K(s)=\mathcal E\mathcal L(s)-\overline{\mathcal L}(s)\mathcal E$，则上述 $t\delta$ 替换为 $\int_{t_0}^{t_1}\tfrac12\|\mathcal K(s)\|_\diamond ds$。

**证明。** 对 $F(s)=e^{(t-s)\overline{\mathcal L}}\mathcal E e^{s\mathcal L}$ 求导，有限维乘积法则给 $F'(s)=\overline{\mathcal T}_{t-s}\mathcal K\mathcal T_s$。积分后两端分别为 $\mathcal E\mathcal T_t$ 与 $\overline{\mathcal T}_t\mathcal E$。范数积分不等式及通道范数一给首个界，插入 $\mathcal S\mathcal E\mathcal T_t$ 给恢复界。

时变情形对 $F(s)=\overline{\mathcal T}(t_1,s)\mathcal E\mathcal T(s,t_0)$ 使用传播子的前向、后向微分方程，得到相同积分恒等式。这里没有把非交换时变生成元的传播子替换成一般错误的 $e^{\int\mathcal L(s)ds}$。这是有限维变常数公式在交织缺陷上的应用；离散对应式已见[形式观察者卷](FORMAL_OBSERVER_COMPLETION_REFLECTION.md)定理17.1。$\square$

**定理 12.7（时间标记与费用测度的一致运输）。** 对定理12.6的时变过程，令 $t=f(\tau)$ 是区间上的 $C^1$ 严格递增换元，$f'(\tau)>0$。运输后的传播子为
$$
\mathcal T^f(\tau_1,\tau_0)
=\mathcal T(f(\tau_1),f(\tau_0)),
$$
边界传播子同理；相应生成元为 $\mathcal L^f(\tau)=f'(\tau)\mathcal L(f(\tau))$ 与 $\overline{\mathcal L}^f(\tau)=f'(\tau)\overline{\mathcal L}(f(\tau))$。于是
$$
\mathcal K^f(\tau)=f'(\tau)\mathcal K(f(\tau)),\qquad
\delta^f(\tau)=f'(\tau)\delta(f(\tau)),
\qquad
\int_{\tau_0}^{\tau_1}\delta^f(\tau)d\tau
=\int_{f(\tau_0)}^{f(\tau_1)}\delta(t)dt.
\tag{12.9}
$$
若某一非负费用坐标的累积量按 $\int c(t)dt+\sum_j b_j$ 定义，连续费率运输为 $c^f(\tau)=f'(\tau)c(f(\tau))$；时刻 $t_j$ 的点操作费用 $b_j$ 移至 $\tau_j=f^{-1}(t_j)$，其数值不变。相同区间的累计费用和累计缺陷均不变。这里每次实际记录的时刻 $t_j$ 仅重新标为 $f^{-1}(t_j)$，读数、条件化和控制协议保持同一物理实现；若改成在新钟上重新等步采样，通常改变了原物理样点，不能直接使用这条重参数化结论。

**证明。** 传播子的链式法则给生成元公式，固定 $\mathcal E$ 后交织缺陷同乘 $f'$。范数正齐次性给 $\delta^f$，积分换元给式（12.9）。连续费用用同一换元；有限点费用只是索引重排，故不乘 $f'$。可数可和的非负点费用也由单调极限得到同样结论。$\square$

**定义 12.8（允许的坐标运输及资源合同）。** 若 $F:X\to X'$、$G:B\to B'$、$H:A\to A'$ 是酉共轭通道，定义
$$
\mathcal E'=G\mathcal E F^{-1},\quad
\mathcal Q'=H\mathcal QF^{-1},\quad
\mathcal S'=H\mathcal SG^{-1},\quad
\mathcal T_j'=F\mathcal T_jF^{-1},\quad
\overline{\mathcal T}_j'=G\overline{\mathcal T}_jG^{-1}.
\tag{12.10}
$$
坐标运输本身不指称执行这些酉操作；若协议实际执行它们，执行费用另计。一个已准许路径的费用合同可以取任意有限维非负向量，逐坐标相加：编码、边界操作、解码分别有界为 $c_E,c_j,c_S$ 时，实现路径的费用不超过 $c_E+\sum_jc_j+c_S$。共同来源、同时取得的旁支、失败和复制许可仍按本卷第1、4、5、7节声明；误差上界不生成这些许可。

**命题 12.9（缺陷的合法运输与多层接口）。** 式（12.10）给
$$
\mathcal E'\mathcal T_j'-\overline{\mathcal T}_j'\mathcal E'
=G(\mathcal E\mathcal T_j-\overline{\mathcal T}_j\mathcal E)F^{-1},
\qquad
\mathcal S'\mathcal E'-\mathcal Q'=H(\mathcal S\mathcal E-\mathcal Q)F^{-1}.
\tag{12.11}
$$
所以 $\kappa,\varepsilon_j$ 保持不变。一般可逆线性变换仅给代数共轭恒等式，不保证通道合法性或范数保持。

若另外有第二层编码 $\mathcal E_2:B\to C$、解码 $\mathcal R_2:C\to B$ 和操作 $\widetilde{\mathcal T}_j$，令
$$
\kappa_2=d_\diamond(\mathcal R_2\mathcal E_2,\operatorname{id}_B),\qquad
\eta_j=d_\diamond(\mathcal E_2\overline{\mathcal T}_j,
\widetilde{\mathcal T}_j\mathcal E_2).
$$
复合编码 $\mathcal E_2\mathcal E$、解码 $\mathcal S\mathcal R_2$ 对同一目标 $\mathcal Q$ 的恢复缺陷至多 $\kappa+\kappa_2$，每步交织缺陷至多 $\varepsilon_j+\eta_j$。因此整段实验误差至多
$$
\min\{1,\kappa+\kappa_2+\textstyle\sum_j(\varepsilon_j+\eta_j)\}.
\tag{12.12}
$$

**证明。** 展开共轭并约去相邻逆映射得式（12.11）。酉通道及其逆均收缩 diamond 范数，两个方向的界给等号。第二层恢复差插入 $\mathcal S\mathcal E$；第二层交织差插入 $\mathcal E_2\overline{\mathcal T}_j\mathcal E$。三角不等式和通道收缩给两项缺陷预算，再应用定理12.2。这是本卷命题6.5在合法量子接口上的同一复合规则。$\square$

**定理 12.10（采样记忆接口接入稳定反馈的充分条件）。** 设 $U$ 为有限维实内积空间，$K,\widehat K:[0,\infty)\to\mathcal L(U)$ 可测且算子范数可积。令
$$
k=\int_0^\infty\|K(t)\|dt,\quad
\widehat k=\int_0^\infty\|\widehat K(t)\|dt,\quad
e_K=\int_0^\infty\|K(t)-\widehat K(t)\|dt.
$$
固定同一线性反馈 $A:U\to U$，$L=\|A\|$，并假设 $Lk<1,L\widehat k<1$。对有界可测 $f,\widehat f,g$，以下因果卷积方程在 $L^\infty([0,\infty);U)$ 中各有唯一解：
$$
x=f+K*(Ax+g),\qquad
\widehat x=\widehat f+\widehat K*(A\widehat x+g).
\tag{12.13}
$$
若 $\|f-\widehat f\|_\infty\le e_f$、$\|g\|_\infty\le G$，则
$$
\|x\|_\infty\le\frac{\|f\|_\infty+kG}{1-Lk},\qquad
\boxed{\|x-\widehat x\|_\infty
\le\frac{e_f+e_K(L\|x\|_\infty+G)}{1-L\widehat k}.}
\tag{12.14}
$$
恢复几何卷第11节的共同正谱隙模型给 $k\le m/a$、$\widehat k\le\widehat m/a$，其命题11.7给 $e_K\le\Phi_a(m+\widehat m,\varepsilon)$；第12节的积分误差比较的是两份前缀的规范模型；用于实际模型时，另须其命题12.6所列的实际—规范同一性或响应误差依据。例如实际—规范核的积分误差已有 $e_{\rm model}$ 上界时，可取 $e_K\le e_{\rm model}+2\sqrt R\,d_J/a+R d_A/a^2$，其中 Frobenius 界同时控制算子范数。满足这里的小增益条件后，这些边界采样证书便控制同一反馈中的完整响应。

**证明。** 令 $V_Kx=K*(Ax)$。积分三角不等式给 $\|V_K\|_{\infty\to\infty}\le kL<1$；因此 $\sum_{n\ge0}V_K^n$ 在算子范数中收敛，且为 $I-V_K$ 的逆。这是 Banach 空间上的 Neumann 级数。应用于 $f+K*g$ 得唯一性及第一个界；第二系统同理。

相减并使用同一个实际反馈 $A$，得
$$
\widehat x-x=(\widehat f-f)
+\widehat K*A(\widehat x-x)
+(\widehat K-K)*(Ax+g).
$$
取 $L^\infty$ 范数，把 $L\widehat k\|\widehat x-x\|_\infty$ 移到左边，得到式（12.14）。每个卷积及其幂均因果，级数极限也保留因果性。初态引起的外源项须归入 $f,\widehat f$ 并实际控制 $e_f$；核误差本身不给该控制。本结论针对式（12.13）及其小增益假设，不把核逼近自动提升为任意微分反馈方程的稳定性。$\square$

## 12.99 追加锚

## 13. 完整已获记录、因果割与边界运输

**定义 13.1（共同实现上的完整已获记录）。** 固定非空有限集合 $\Omega$，以及任意指标集 $A$ 上的一族已取得记录 $R_\alpha:\Omega\to\mathcal R_\alpha$。指标包含来源身份；内在记录、外部档案及已经取得的关系读数，凡在这个协议中表示者均列入此族。定义
$$
\omega\sim_C\omega'
\iff \forall\alpha\in A,\ R_\alpha(\omega)=R_\alpha(\omega'),
\qquad C:\Omega\to\mathcal C:=\Omega/{\sim_C}.
\tag{13.1}
$$
$C$ 称为本协议的完整已获记录接口。有限性来自 $\Omega$，不要求 $A$ 有限，也不把实际观察者等同于有限身体或一份预选短表。这里的商表示记录已经具有的区分；其构造不附带免费取得记录、免费计算商标签或有效解码的假设。

此处的共同实现与完整记录约定接续本卷第9节“经典概率拼接、记忆增益与可组合恢复”的同律条件，第10节“量子条件互信息、共用恢复与参考系统”的共同来源量词，第11节“带记忆量子过程的表示、历史概率与可访问关系”的档案与策略，以及第12节“可组合恢复、连续缺陷与相对时钟”的有类型续接。以下采用有限经典、不扰动的读数协议；不由此给量子仪器的不同控制分支指定未经假设的共同反事实取值。

**命题 13.2（完整记录商的精确性）。** 每个 $R_\alpha$ 唯一因子化为 $h_\alpha C$，且
$$
\sigma(C)=\sigma(R_\alpha:\alpha\in A).
\tag{13.2}
$$
若摘要 $M=m(C)$ 还满足每个 $R_\alpha$ 均通过 $M$ 因子化，则 $C$ 也通过 $M$ 因子化。因此，在没有另证所需充分性的情况下，用更粗的任务摘要替换 $C$ 会改变条件化所保留的信息。

**证明。** $R_\alpha$ 在每个 $C$ 类上常值，故在实际像上定义 $h_\alpha([\omega])=R_\alpha(\omega)$，良定义且唯一。这给 $\sigma(R_\alpha:\alpha\in A)\subseteq\sigma(C)$。固定 $\omega$；对每个不在其类中的 $\omega'$，选择一个区分二者的指标 $\alpha_{\omega'}$。这样的 $\omega'$ 只有有限个，相应等值事件的交恰为 $[\omega]$。无类外点时这个交为 $\Omega$。每个类均属于右侧的 $\sigma$ 代数，故反向包含成立。最后，若 $M(\omega)=M(\omega')$，全部 $R_\alpha$ 相同，所以 $C(\omega)=C(\omega')$；按 $M$ 的非空纤维定义因子即得结论。$\square$

**定义 13.3（固定读数协议的合法割）。** 给有限偏序集 $(E,\le)$；$e\in E$ 是带来源身份的事件，具有读数 $X_e:\Omega\to\mathcal X_e$。同一 $\omega$ 同时规定全部这些读数，允许的取得动作不改变它们。记 $\mathcal J(E)$ 为序理想全体：$I\subseteq E$ 属于 $\mathcal J(E)$，意为 $e\in I,d\le e$ 蕴含 $d\in I$。称其为合法割，并定义
$$
q_I(\omega)=\bigl(C(\omega),(X_e(\omega))_{e\in I}\bigr),
\qquad B_I=q_I[\Omega].
\tag{13.3}
$$
乘积按事件索引，不按书写次序索引。事件 $e$ 在 $I$ 启用，意为 $e\notin I$ 且每个 $d<e$ 已在 $I$；写 $I+e=I\cup\{e\}$。两个不同事件同时启用时必不可比。此偏序只规定动作先后是否合法；它不规定读数的概率独立性。若实际动作会扰动后续读数，须另给包含该动作及实际结果的实现与历史；这里固定读数的假设本身不提供这种模型。把运动作为动作时，同样须指定它改变哪些合法取得映射、实际结果或扰动关系。

**定理 13.4（保留前缀、取得关系与确定性细化障碍）。** 对合法割 $I\subseteq J$，存在唯一满射 $r_{JI}:B_J\to B_I$ 使 $r_{JI}q_J=q_I$。对 $I\subseteq J\subseteq K$，
$$
r_{II}=\operatorname{id}_{B_I},\qquad
r_{KI}=r_{JI}r_{KJ},\qquad
\ker q_J\subseteq\ker q_I.
\tag{13.4}
$$
从旧记录到新记录的实际取得关系为
$$
\mathcal R_{IJ}:=\{(q_I\omega,q_J\omega):\omega\in\Omega\}
=\{(b,d)\in B_I\times B_J:b=r_{JI}(d)\}.
\tag{13.5}
$$
按先 $\mathcal R_{IJ}$ 后 $\mathcal R_{JK}$ 的关系复合约定，有 $\mathcal R_{JK}\circ\mathcal R_{IJ}=\mathcal R_{IK}$。存在全定义确定性映射 $u:B_I\to B_J$ 满足 $q_J=uq_I$，当且仅当 $\ker q_I\subseteq\ker q_J$；在保留式记录下，这恰为两核相等。因而只以旧记录为输入的确定性更新不能严格细化实际信息。

**证明。** $r_{JI}$ 删除不属于 $I$ 的事件坐标，保留 $C$。任取 $b=q_I\omega$，$q_J\omega$ 是其原像，故满射；$q_J$ 满射到实际像又给唯一性。重复删除给复合式；若 $q_J$ 相等，其前缀相等，故核包含成立。

式（13.5）的左侧必满足右侧等式。反之，对 $d\in B_J$ 取 $\omega$ 使 $q_J\omega=d$，则 $q_I\omega=r_{JI}(d)=b$。复合关系中的中间项必为 $r_{KJ}(d)$，所以其存在恰要求 $b=r_{JI}r_{KJ}(d)=r_{KI}(d)$，得精确复合。这里使用了同一份 $\Omega$、实际像和嵌套前缀。

若 $q_J=uq_I$，旧记录相等必给新记录相等。反之，所述核包含使 $u(q_I\omega):=q_J\omega$ 与代表无关；它定义在整个 $B_I$。结合已经证明的反向包含即得等核判据。$\square$

**命题 13.5（策略、实际结果与保留读数）。** 设当前完整历史 $H$ 保留 $C$、已取得的带来源读数及任务所需的动作信息。确定性策略取 $a=\pi(H)$，取得动作产生实际结果 $Y$ 后，保留式更新为
$$
H'=(H,a,Y).
\tag{13.6}
$$
若存在同一旧历史而不同 $Y$ 的两个合法实现，则 $H'$ 不能是仅以 $H$ 为输入的确定性函数。另一方面，对 $I\subseteq J$，每个旧读数 $f=h(q_I)$ 都满足
$$
f=(h\circ r_{JI})(q_J).
\tag{13.7}
$$

**证明。** 相同 $H$ 给相同 $a$，不同 $Y$ 给不同有序三元组，违反函数的单值性。若规定 $Y=g(H,a)$，得到的只是这个规则规定的值；它与实际取得结果相等还须在全部合法实现上验证。若结果随机，须给包含旧记录及来源的联合律；结果核来自该律在正概率历史上的条件分布。随机策略所用的随机记录亦须按其实际可访问性纳入历史。式（13.7）由 $r_{JI}q_J=q_I$ 代入得到；它保持已经取得的函数值，不断言微观状态不变。$\square$

**引理 13.6（合法枚举的相邻交换连通性）。** 对有限偏序集的两个合法割 $I\subseteq J$，从 $I$ 到 $J$ 每次加入一个启用事件的路径，恰对应诱导偏序 $J\setminus I$ 的线性扩张。任意两条这样的路径可由有限次相邻不可比事件交换连接，每次交换仍给合法路径。

**证明。** 路径必须把每个前驱先于其后继加入，故给线性扩张。反之，按线性扩张添加元素时，新元素在 $J$ 内的前驱或已在 $I$，或位于扩张中更早的位置；$J$ 为理想保证它没有位于 $J$ 外的前驱，故每步合法。有限非空偏序必有极小元，否则不断取严格更小元会在有限集内造成严格序循环；逐次取出极小元，便给至少一条线性扩张。

取目标扩张的首项 $a$。在另一扩张中，位于 $a$ 之前而需要被它越过的任何 $b$ 都与 $a$ 不可比：若 $b<a$，目标不能以 $a$ 开头；若 $a<b$，另一扩张不能以 $b$ 先于 $a$。逐次向左交换使 $a$ 到达首位，每次只交换不可比相邻项，仍是线性扩张。固定共同首项，在剩余有限偏序上归纳；空集终止。对于路径的每次局部交换，这两个事件在共同前缀后均已启用，因此交换对应一个合法方块。$\square$

**定义 13.7（一般因果割上的指定边界）。** 在同一有限偏序 $E$ 上，对每个 $I\in\mathcal J(E)$ 给集合 $\mathsf X_I$、$\mathsf B_I$ 及满射 $\beta_I:\mathsf X_I\twoheadrightarrow\mathsf B_I$；对每个在 $I$ 启用的 $e$ 给全定义合法映射
$$
U_{I,e}:\mathsf X_I\to\mathsf X_{I+e}.
\tag{13.8}
$$
这些集合不必是定义13.3的实际读数空间。指定边界任务形如 $h_I\beta_I$；某个后续操作可在边界执行，意为它在对应边界纤维上具有一致结果。这是[主卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)第120节“可组合关系的最小行为表示与保真辅助构造”中任务商的有限割型情形；表示及后续操作的共同运输采用其第133节“共同实现、概率与演化的同步运输”、第134节“关系表示的探针充分性与三种闭合”的类型约定。

**定理 13.8（边下降与可观察方块的充要性）。** 定义13.7的数据具有唯一的边界映射族 $\overline U_{IJ}:\mathsf B_I\to\mathsf B_J$，使每条边下降、每条合法路径的诱导复合只依赖端点，并满足
$$
\overline U_{II}=\operatorname{id}_{\mathsf B_I},\qquad
\overline U_{IK}=\overline U_{JK}\overline U_{IJ}
\quad(I\subseteq J\subseteq K),
\tag{13.9}
$$
当且仅当以下两项成立。第一，每条边保边界纤维：
$$
\beta_I(x)=\beta_I(x')
\Longrightarrow
\beta_{I+e}(U_{I,e}x)=\beta_{I+e}(U_{I,e}x').
\tag{13.10}
$$
第二，每个合法割 $I$ 及每对不同的同时启用事件 $e,f$ 满足可观察方块等式：
$$
\beta_{I+e+f}U_{I+e,f}U_{I,e}
=
\beta_{I+e+f}U_{I+f,e}U_{I,f}
\quad\text{作为 }\mathsf X_I\to\mathsf B_{I+e+f}\text{ 的映射}.
\tag{13.11}
$$
此结论只运输已指定的边界任务及能够通过边界下降的后续操作。

**证明。** 在式（13.10）下定义
$$
\overline U_{I,I+e}(\beta_Ix):=\beta_{I+e}(U_{I,e}x).
$$
纤维一致性给良定义，满射性给全定义及唯一性。将两条边下降式接续，再用式（13.11），得到两条边界方块复合在每个 $\beta_Ix$ 上相同；满射性使两映射在全部 $\mathsf B_I$ 上相同。

任取从 $I$ 到 $J$ 的两路径。引理13.6把它们连接为相邻方块交换。交换前缀不变，方块在边界上的输出相同，交换后的任意共同后缀由边界映射继续作用，输出仍相同。等价地，在完整状态上，方块两条路产生的状态只需具有相同 $\beta$ 值；式（13.10）逐步把这种相等沿后缀传播，不要求完整状态相等。因此全部路径诱导同一 $\overline U_{IJ}$。空路径给恒等；将两段路径连接给式（13.9）。任何满足要求的族在边上已唯一，在路径复合上也唯一。

反之，边界边映射存在立即给式（13.10）。两条合法二步路径具有同端点，路径无关给边界方块相等，再与 $\beta_I$ 复合得式（13.11）。对任务 $h_J\beta_J$，末端取 $h_J$ 即得任务值不变；后续操作只有满足相应下降条件才能沿同一论证接续。一般原状态读数未必因子化，故不在此量词内。特别地，本定理的确定性运输不生成新取得结果；若把边界解释为保留式实际记录，还必须满足定理13.4的等核障碍，或另把实际结果作为输入。$\square$

**命题 13.9（完整更新不交换而指定边界方块交换）。** 取二元反链 $E=\{e,f\}$，对每个割令 $\mathsf X_I=\{0,1\}^2$、$\mathsf B_I=\{0,1\}$，$\beta_I(b,z)=b$。事件 $e$ 的每条边执行 $(b,z)\mapsto(b,1-z)$，事件 $f$ 的每条边执行 $(b,z)\mapsto(b,0)$。全部边下降且可观察方块交换，但完整更新方块不交换。

**证明。** 两类操作都保留第一坐标，所以每条边的边界映射为恒等，式（13.10）及（13.11）成立。先 $e$ 后 $f$ 的第二坐标为 $0$，先 $f$ 后 $e$ 的第二坐标为 $1$，故完整状态不同。$\square$

**命题 13.10（来源索引档案与时间顺序档案）。** 在定义13.3下，同一合法割 $I$ 的任何合法枚举都给相同 $q_I$。若 $I$ 含有两个不可比事件且任务还要求时间顺序档案
$$
A_\ell(\omega)=\bigl(C(\omega),((e_1,X_{e_1}(\omega)),\ldots,(e_m,X_{e_m}(\omega)))\bigr),
\tag{13.12}
$$
其中 $\ell=(e_1,\ldots,e_m)$ 是所用枚举，则存在两个合法枚举，在同一 $\omega$ 上给出相同 $q_I(\omega)$ 而不同的 $A_\ell(\omega)$。

**证明。** $q_I$ 的 $e$ 坐标始终为同一个 $X_e(\omega)$，枚举不改变事件身份或值。在 $I$ 中取不可比的 $e,f$。在 $I$ 的严格偏序中分别加入 $e<f$ 或 $f<e$ 并取传递闭包；若前者产生环，原偏序必已有从 $f$ 到 $e$ 的路径，后者同理，均与不可比性矛盾。因此两者仍为有限偏序，各自逐次选取剩余极小元得到线性扩张，给出 $I$ 的两个合法枚举，分别使 $e$ 先于 $f$ 和 $f$ 先于 $e$。固定同一来源点 $\omega$，二者给出相同的 $q_I(\omega)$，而式（13.12）的事件标签顺序不同，即使读数值相同，序列仍不同。因此来源索引档案满足的交换等式不能自动用于需要时间顺序的任务；保留该任务时，档案须包含枚举。$\square$

**命题 13.11（共同来源的纤维交与成对盲区）。** 对任意有限族合法割 $I_t$ 与候选记录 $b_t\in B_{I_t}$，它们有同一实际实现，当且仅当
$$
\bigcap_t q_{I_t}^{-1}(\{b_t\})\ne\varnothing.
\tag{13.13}
$$
即使各对候选都有共同实现，也不保证式（13.13）。

**证明。** 交集的元素恰为同时产生全部记录的 $\omega$。取 $\Omega=\{0,1\}^2$，$C$ 常值，三个事件为反链，读数为 $a,b,a\mathbin\oplus b$。任意两读数的联合映射都满射到 $\{0,1\}^2$：给 $a$ 与 $a\oplus b$ 可唯一解出 $b$，其余两种情形同理。但候选三元组 $(0,0,1)$ 无实现，因 $0\oplus0=0$。其三个指定单坐标纤维两两相交而共同交为空。这是[主卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)第124节“共同来源的拼接、补全与归一化”中实际像限制的有限例；定理13.4的嵌套复合不授权跨不相关实现拼接。$\square$

**定义 13.12（局部事件费用与端点钟）。** 对每条启用边给 $c(I,e)\in[0,\infty)$。路径费用是其边费用之和。端点钟是函数 $\tau:\mathcal J(E)\to\mathbb R$，满足 $\tau(\varnothing)=0$ 及
$$
\tau(I+e)-\tau(I)=c(I,e).
\tag{13.14}
$$
也允许固定有限维非负向量费用，等式逐坐标解释。这些钟计量指定事件费用；未指定任何衰减、波动或场方程。

**定理 13.13（费用方块与端点势）。** 定义13.12的端点钟存在且唯一，当且仅当每对不同同时启用事件满足
$$
c(I,e)+c(I+e,f)=c(I,f)+c(I+f,e).
\tag{13.15}
$$
此时任意 $I\subseteq J$ 的合法路径费用均为 $\tau(J)-\tau(I)$，且 $\tau$ 随割包含单调。向量费用的结论逐坐标成立。

**证明。** 若端点钟存在，两条二步路径的增量均望远镜求和为 $\tau(I+e+f)-\tau(I)$，故式（13.15）必要。反之，从空割沿任意合法路径到 $I$，以其费用和定义 $\tau(I)$。引理13.6给路径间的相邻交换连通性；每次交换由式（13.15）保持和，故定义无关路径。延长一条路径便得式（13.14）。任意候选钟沿该路径求和得到同一值，所以唯一。任意 $I$ 到 $J$ 的路径上再望远镜求和得端点差；非负费用给单调性。有限向量的每个坐标独立适用同一证明。$\square$

**命题 13.14（共同约束下的多个事件钟与标量次序）。** 对事件子集 $L_1,\ldots,L_m\subseteq E$，令 $\tau_j(I)=|I\cap L_j|$。它们同时满足定理13.13，边增量为 $\mathbf1_{e\in L_j}$，不必彼此相等。有限偏序总有严格保先后次序的标量时间戳；但若有不可比元素，则不存在实值 $t$ 满足
$$
e\le f\iff t(e)\le t(f)\quad\text{对全部 }e,f\in E.
\tag{13.16}
$$
这不排除标量对有限数据的单射编码。

**证明。** 加入 $e$ 时计数增量就是所给指标，交换两次加入的总增量相同。例如二元反链取 $L_1=\{e\},L_2=\{f\}$，四个割的钟向量为 $(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)$，两只钟同属一份割结构。逐次选剩余偏序的极小元得到线性扩张；以位置为时间戳，$e<f$ 蕴含 $t(e)<t(f)$。若 $e,f$ 不可比，实数全序仍使 $t(e)\le t(f)$ 或 $t(f)\le t(e)$，反映次序将错误地强迫一次比较，故式（13.16）不可能。上述四个割也可用 $\mathbf1_{e\in I}+2\mathbf1_{f\in I}$ 编为 $0,1,2,3$ 并唯一解码；这个单射并不反映割包含的偏序。$\square$

**命题 13.15（相同事件计数不保证更新方块）。** 在 $\{0,1\}$ 上令 $A(x)=1-x$、$B(x)=0$，并允许两个事件以任一次序各执行一次。两条路径的事件计数及单位总费用相同，末端读数却不同。

**证明。** $B(A(x))=0$ 而 $A(B(x))=1$。两条路径均各计一次 $A$、一次 $B$，总费用均为 $2$。因此费用方块可以成立而状态或指定输出的方块失败；时钟值不能替代定理13.8的可观察方块条件。$\square$

## 14. 给定完整记录的交互分解与合法显露几何

**定义 14.1（同律条件投影与隐藏余项）。** 在定义13.1、13.3的同一个有限 $\Omega$ 上固定概率律 $\mu$。以下实 Hilbert 空间为 $\mathcal H=L^2(\Omega,\mu;\mathbb R)$，把零概率点上的差别识别；算子恒等及函数恢复均按此约定解释。对任意 Boolean 子集 $S\subseteq E$，定义
$$
\mathcal F_S=\sigma(C,X_e:e\in S),\qquad
P_Sf=\mathbb E_\mu[f\mid\mathcal F_S],\qquad
P_\varnothing=P_C,\qquad Q=\operatorname{Id}_{\mathcal H}-P_E.
\tag{14.1}
$$
这里 $C$ 始终是全部已表示旧记录的商；$P_C$ 不一般是常数投影。$P_S$ 是到 $\mathcal F_S$ 可测函数空间的正交投影。具体地，在正概率记录纤维 $F$ 上，$P_S f$ 等于 $\sum_{\omega\in F}\mu(\omega)f(\omega)/\mu(F)$；逐纤维求和显示 $f-P_Sf$ 与所有纤维常值函数正交，从而给该投影刻画。$S$ 不为理想时，$P_S$ 仅是用于分解的数学辅助算子，不宣告这些事件可单独合法取得。$Q$ 保留全部具名记录仍未观察到的方向。

对 $f\in\mathcal H$，定义积分均方风险
$$
\mathscr R_I(f)=\|f-P_If\|_2^2
=\sum_{\omega\in\Omega}\mu(\omega)|f(\omega)-P_If(\omega)|^2
\quad(I\in\mathcal J(E)).
\tag{14.2}
$$
它对全部实现积分，不是某次实际记录取值上的条件方差。固定这份 $\mu$ 是风险比较的共同前提。

**定理 14.2（任意依赖下的 Boolean 反演）。** 定义自伴算子
$$
D_S=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}P_T,
\qquad D_\varnothing=P_C.
\tag{14.3}
$$
无需任何独立性，就有
$$
P_A=\sum_{S\subseteq A}D_S\quad(A\subseteq E),\qquad
\operatorname{Id}_{\mathcal H}=Q+\sum_{S\subseteq E}D_S.
\tag{14.4}
$$
在任意依赖下，这只是算子加法恒等式，不断言各 $D_S$ 是正交投影。

**证明。** 将式（14.3）代入第一式的右侧，$P_T$ 的系数为
$$
\sum_{T\subseteq S\subseteq A}(-1)^{|S|-|T|}
=(1-1)^{|A\setminus T|},
$$
它在 $T=A$ 时为 $1$，其余为 $0$。再用 $Q=\operatorname{Id}-P_E$ 得第二式。自伴性来自各 $P_T$ 自伴及系数实值。这是 Boolean 格的 Möbius 反演；在乘积测度的函数 ANOVA 中，同一反演见 Art B. Owen，*Monte Carlo theory, methods and examples*，附录 [The ANOVA decomposition of $[0,1]^d$](https://artowen.su.domains/mc/A-anova.pdf)，§A.4，式（A.11）—（A.12）。$\square$

**命题 14.3（合法观察塔的正交增量）。** 对嵌套合法割
$\varnothing=I_0\subseteq I_1\subseteq\cdots\subseteq I_m$，令 $\Delta_k=P_{I_k}-P_{I_{k-1}}$。即使读数相依，各 $\Delta_k$ 仍是两两正交的自伴投影，与 $P_C$ 正交，且
$$
\Delta_k=\sum_{\substack{S\subseteq I_k\\S\nsubseteq I_{k-1}}}D_S,
\qquad
f=P_Cf+\sum_{k=1}^m\Delta_kf+(\operatorname{Id}-P_{I_m})f.
\tag{14.5}
$$
对任意合法割 $I\subseteq J$，
$$
\mathscr R_I(f)-\mathscr R_J(f)=\|(P_J-P_I)f\|_2^2\ge0.
\tag{14.6}
$$

**证明。** $\mathcal F_I\subseteq\mathcal F_J$ 给嵌套可测子空间，故 $P_JP_I=P_I$；取伴随得 $P_IP_J=P_I$。于是 $(P_J-P_I)^2=P_J-P_I$，且它自伴。对 $k<\ell$ 展开 $\Delta_k\Delta_\ell$，四项按较小下标投影分别抵消为零；同样有 $P_C\Delta_k=0$。式（14.5）第一式从式（14.4）相减，第二式望远镜求和。最后
$$
f-P_If=(f-P_Jf)+(P_J-P_I)f
$$
的两项正交，因为第一项正交于全部 $\mathcal F_J$ 可测函数，第二项属于该空间。取范数平方即得式（14.6）。这正是[主卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)第121节“保留式观察的正交增量与记录时间”中§121.4—121.6的观察塔公式，所增加的等式是它与式（14.3）的连接。$\square$

**假设 14.4（相对于完整旧记录的联合条件独立）。** 对每个 $\mu(C=c)>0$ 的类及每个取值元组，要求
$$
\mu(X_E=x_E\mid C=c)
=\prod_{e\in E}p_e(x_e\mid c),\qquad
p_e(x_e\mid c):=\mu(X_e=x_e\mid C=c).
\tag{14.7}
$$
这是全部 $X_e$ 给定 $C$ 后的相互独立，既不以两两独立代替，也不以无条件独立代替。$\Omega$ 可另含未被 $(C,X_E)$ 决定的变量；式（14.7）不假定 $P_E=\operatorname{Id}$。零概率 $C$ 类与乘积权重为零的元组不承担条件等式。

**定理 14.5（逐旧记录纤维的条件 ANOVA）。** 在假设14.4下，对任意 $S,T,A\subseteq E$，
$$
P_SP_T=P_{S\cap T},\qquad
P_AD_S=
\begin{cases}
D_S,&S\subseteq A,\\
0,&S\nsubseteq A.
\end{cases}
\tag{14.8}
$$
全部 $D_S$ 是两两正交的自伴投影，并且 $QD_S=D_SQ=0$。因此
$$
\mathcal H=\operatorname{ran}Q\ \oplus\bigoplus_{S\subseteq E}\operatorname{ran}D_S,
\qquad
\|f\|_2^2=\|Qf\|_2^2+\sum_{S\subseteq E}\|D_Sf\|_2^2.
\tag{14.9}
$$
这是标准 Hoeffding／函数 ANOVA 在固定旧记录纤维上的有限乘积形式。非条件乘积分解及正交性见 Owen 所引附录§A.2—A.3，尤其引理A.3—A.4；[QUANTUM-RH 卷](QUANTUM-RH.md)题为“三十一、把 $5040$ 的 $(4,2,1,1)$ 从‘指数向量’提升为真正的交互几何”的一节也使用其有限寄存器形式。这里保留变化的条件权重、完整 $C$ 与 $Q$。

**证明。** 任取 $f\in\mathcal H$，先令 $g=P_Ef$。由嵌套塔式关系，对所有 $S$ 有 $P_Sf=P_Sg$，所以隐藏变量先通过 $g$ 的全记录条件平均进入计算。固定正概率 $c$，把 $g$ 写成全记录上的函数 $g(c,x_E)$。式（14.7）使正概率记录支撑恰为各正条件边缘支撑的乘积；在该支撑上
$$
(P_Sg)(c,x_S)
=\sum_{z_{E\setminus S}}g(c,x_S,z_{E\setminus S})
\prod_{e\notin S}p_e(z_e\mid c).
\tag{14.10}
$$
分母中固定坐标的正权重约去即得此式；零权重项可以删去。

令 $A_0=S\cap T$、$B_0=S\setminus T$、$D_0=T\setminus S$、$F_0=E\setminus(S\cup T)$。先取 $P_Tg$，式（14.10）对 $B_0,F_0$ 求积权平均，结果只依赖 $A_0,D_0$。再取 $P_S$，对 $D_0$ 求平均，已经不出现的 $F_0$ 的权重和为一，已经在第一步消去的 $B_0$ 不会重新出现。合并有限求和恰对 $B_0,D_0,F_0$ 全部求平均，所得是 $P_{A_0}g$。各正概率 $c$ 都成立，故 $P_SP_Tf=P_{S\cap T}f$ 在 $\mathcal H$ 成立。

将这一等式代入 $P_AD_S$。若 $S\subseteq A$，每个 $T\subseteq S$ 有 $A\cap T=T$，故得 $D_S$。否则选 $e\in S\setminus A$，在式（14.3）中将不含 $e$ 的 $T$ 与 $T\cup\{e\}$ 配对；二者交 $A$ 后相同而符号相反，所以和为零。

为证明投影性，对每个 $S$ 有算子乘积表示
$$
D_S=P_S\prod_{e\in S}\bigl(\operatorname{Id}-P_{E\setminus\{e\}}\bigr).
\tag{14.11}
$$
展开右侧，对选择的 $R\subseteq S$ 使用已经证明的交集乘法律，得到 $(-1)^{|R|}P_{S\setminus R}$，总和即式（14.3）；$S=\varnothing$ 时为空乘积。右侧各因子均为互相交换的自伴投影，所以乘积自伴且平方等于自身。

若 $S\ne T$，交换二者名称后可取 $e\in S\setminus T$。由式（14.8），$P_TD_S=0$，而 $D_T=P_TD_T=D_TP_T$，故 $D_TD_S=0$；取伴随得反向复合也为零。又 $P_ED_S=D_S$，故与 $Q$ 正交。式（14.4）已给这些投影之和为恒等，因而得到直和；分量的存在来自该算子恒等式，唯一性与范数公式来自正交性。$\square$

**定义 14.6（按因果下闭包分组的交互算子）。** 对 $S\subseteq E$ 定义
$$
\downarrow S=\{d\in E:\exists e\in S,\ d\le e\},\qquad
K_J=\sum_{\substack{S\subseteq E\\\downarrow S=J}}D_S
\quad(J\in\mathcal J(E)).
\tag{14.12}
$$
$K_J$ 按包含索引集 $S$ 所需的最小合法割 $J=\downarrow S$ 对 Boolean 交互分组；$K_\varnothing=D_\varnothing=P_C$。记 $\operatorname{Max}(J)$ 为 $J$ 的极大元集合，$\operatorname{Max}(\varnothing)=\varnothing$。

**定理 14.7（合法割上的反演与增量）。** 在任意联合律下，
$$
P_I=\sum_{\substack{J\in\mathcal J(E)\\J\subseteq I}}K_J,
\qquad
K_J=\sum_{R\subseteq\operatorname{Max}(J)}(-1)^{|R|}P_{J\setminus R}.
\tag{14.13}
$$
后式的每个 $J\setminus R$ 都是合法割。对合法 $I\subseteq I'$，
$$
P_{I'}-P_I
=\sum_{\substack{J\in\mathcal J(E)\\J\subseteq I',\ J\nsubseteq I}}K_J.
\tag{14.14}
$$
在假设14.4下，各 $K_J$ 是两两正交的自伴投影，$P_E=\sum_JK_J$；它们与 $Q$ 正交。

**证明。** 因 $I$ 为理想，$S\subseteq I$ 当且仅当 $\downarrow S\subseteq I$。按此下闭包分组式（14.4），得到第一式；相减得到式（14.14）。

从理想中只删除极大元仍为理想：若 $x\in J\setminus R$ 且 $y\le x$，则 $y\in J$；若 $y\in R$，其极大性迫使 $y=x$，与 $x\notin R$ 矛盾。把式（14.4）代入式（14.13）第二式的右侧，某个 $D_S$ 在 $S\subseteq J$ 时的系数为
$$
\sum_{R\subseteq\operatorname{Max}(J)\setminus S}(-1)^{|R|},
$$
否则为零。该和恰在 $\operatorname{Max}(J)\subseteq S\subseteq J$ 时为 $1$。有限理想的每个元素都在某个极大元之下，故这一条件蕴含 $\downarrow S=J$。反之，若 $\downarrow S=J$，任意极大元 $m$ 必满足 $m\le s$ 对某个 $s\in S\subseteq J$ 成立，极大性给 $s=m$，所以全部极大元属于 $S$。系数恰选出定义14.6中的项，证明所需公式。

在条件乘积假设下，定理14.5的正交投影被分成互不相交的有限组；每组之和仍自伴幂等，不同组乘积为零，且每项都与 $Q$ 正交。第二式是这个序理想格的具体反演公式，其符号只沿被删除的极大元子集使用，不能换成对所有子理想一律赋 $(-1)^{|J|-|I|}$。$\square$

**命题 14.8（反链、链与分支割的具体分组）。** 若 $E$ 为反链，则 $K_J=D_J$。若 $E=\{e_1<\cdots<e_n\}$ 为链，令 $I_k=\{e_1,\ldots,e_k\}$，则
$$
K_{I_k}=P_{I_k}-P_{I_{k-1}}\quad(1\le k\le n).
\tag{14.15}
$$
链中的这些 $K$ 在任意依赖下已是正交投影。若 $E=\{a,b,c\}$，仅有 $a<b,a<c$，则非空合法割为 $a,ab,ac,abc$，下标用连写表示子集，有
$$
\begin{aligned}
K_a&=D_a,\qquad K_{ab}=D_b+D_{ab}=P_{ab}-P_a,\\
K_{ac}&=D_c+D_{ac}=P_{ac}-P_a,\\
K_{abc}&=D_{bc}+D_{abc}=P_{abc}-P_{ab}-P_{ac}+P_a.
\end{aligned}
\tag{14.16}
$$

**证明。** 反链的每个子集等于自身的下闭包，故分组不改变单项。链的非空理想只有一个极大元 $e_k$，式（14.13）只有保留和删除它两项，给式（14.15）；命题14.3给正交性而不需要条件独立。分支偏序的下闭包分别把 $\{b\},\{a,b\}$ 并为 $ab$，把 $\{c\},\{a,c\}$ 并为 $ac$，把 $\{b,c\},\{a,b,c\}$ 并为 $abc$，其余项不变。顶割的极大元为 $b,c$，删除它们的四种方式给式（14.16）最后一个等式。对于一般分支偏序，定理14.5的条件独立是使全部这些组正交的一项充分条件；链的结论不要求把这项充分条件当成必要条件。$\square$

**定理 14.9（目标恢复与含隐藏余项的积分风险）。** 在假设14.4下，对任意 $f\in\mathcal H$ 和合法割 $I$，以下三个条件等价：
$$
\begin{aligned}
f=P_If
&\iff \bigl[Qf=0\ \text{且}\ D_Sf=0\text{ 对每个 }S\nsubseteq I\bigr]\\
&\iff \bigl[Qf=0\ \text{且}\ K_Jf=0\text{ 对每个 }J\in\mathcal J(E),\ J\nsubseteq I\bigr].
\end{aligned}
\tag{14.17}
$$
它们也等价于存在 $h:B_I\to\mathbb R$ 使 $f=h(q_I)$ 在 $\mu$ 几乎处处成立。并且
$$
\mathscr R_I(f)
=\|Qf\|_2^2+\sum_{S\nsubseteq I}\|D_Sf\|_2^2
=\|Qf\|_2^2+\sum_{\substack{J\in\mathcal J(E)\\J\nsubseteq I}}\|K_Jf\|_2^2.
\tag{14.18}
$$
对 $I\subseteq I'$ 的风险下降为
$$
\mathscr R_I(f)-\mathscr R_{I'}(f)
=\sum_{\substack{S\subseteq I'\\S\nsubseteq I}}\|D_Sf\|_2^2
=\sum_{\substack{J\subseteq I',\ J\nsubseteq I\\J\in\mathcal J(E)}}\|K_Jf\|_2^2.
\tag{14.19}
$$

**证明。** 式（14.4）给
$$
f-P_If=Qf+\sum_{S\nsubseteq I}D_Sf.
$$
各项由定理14.5互相正交；同样按下闭包分组，定理14.7给 $Qf+\sum_{J\nsubseteq I}K_Jf$。两次取范数平方得到式（14.18），有限个非负平方和为零恰为每一项为零，所以得到式（14.17）。条件期望投影的像是 $\mathcal F_I$ 可测函数类；有限空间中，这等价于在各正概率 $q_I$ 纤维上几乎处处常值。以该值定义 $h$，在零概率纤维上任意扩展，便得因子化；反向由可测性立得。相减式（14.18）给式（14.19）。

若 $\mu$ 对 $\Omega$ 全支撑，几乎处处等式就是逐点等式。否则若要对全部 $\Omega$ 作逐点恢复，仍须另验集合意义上的 $q_I$ 纤维常值性。此处结论针对指定 $f$ 与指定律，不由目标风险给出内部参数稳定重建、任意维度实现的唯一性或物理空间度量。去掉假设14.4后仍保留命题14.3的嵌套风险恒等式，但本证明不再给按 $D_S$ 或一般 $K_J$ 分项的平方和。$\square$

**定理 14.10（合法次序决定显露时刻而不改变最终空间）。** 给 $E$ 的一个合法全枚举 $\ell=(e_1,\ldots,e_n)$，令 $I_k=\{e_1,\ldots,e_k\}$。对非空 $S\subseteq E$ 定义
$$
\rho_\ell(S)=\max\{k:e_k\in S\}.
\tag{14.20}
$$
它既是首次包含 $S$ 的割下标，也是首次包含 $\downarrow S$ 的割下标。任意联合律下有
$$
\Delta_k=P_{I_k}-P_{I_{k-1}}
=\sum_{\rho_\ell(S)=k}D_S
=\sum_{\substack{J\subseteq I_k,\ J\nsubseteq I_{k-1}\\J\in\mathcal J(E)}}K_J.
\tag{14.21}
$$
在假设14.4下，非零 $D_S$ 的空间在 $\rho_\ell(S)$ 之前与当前观察空间正交，在该时刻起被完全包含；且
$$
\sum_{k=1}^n\|\Delta_k f\|_2^2
=\|P_Ef-P_Cf\|_2^2
=\mathscr R_\varnothing(f)-\mathscr R_E(f)
=\sum_{\varnothing\ne S\subseteq E}\|D_Sf\|_2^2.
\tag{14.22}
$$
左边按取得时刻分配的各项可以随合法枚举变化，最终空间 $\operatorname{ran}P_E$ 和总风险下降不变。式（14.22）前三项的相等无需条件独立。

**证明。** $I_k$ 包含 $S$ 恰在其最后一个成员取得后；因 $I_k$ 为理想，包含 $S$ 与包含 $\downarrow S$ 等价。式（14.21）来自命题14.3及定理14.7。在条件乘积情形，式（14.8）给 $P_{I_k}D_S$ 在 $S\nsubseteq I_k$ 时为零，在 $S\subseteq I_k$ 时为 $D_S$，即所述正交及包含。式（14.22）前两个等号由命题14.3的正交增量与式（14.6）望远镜求和得到；最后一个等号由 $P_E-P_C=\sum_{S\ne\varnothing}D_S$ 的正交性得到。端点不依赖枚举，故总量不变。

这里每个枚举事先固定，比较中读数函数与概率律也固定。若下一事件由当前记录自适应选择，实际割及顺序成为随机历史的一部分；本式不提供未经相应历史条件化的自适应 ANOVA 公式。[QUANTUM-RH 卷](QUANTUM-RH.md)题为“三十五、现在把‘空间阶数’与‘离散时间’真正放到一张图里”的一节控制演化算子在交互阶数间的有限传播；其传播步数与这里固定读数的取得次序是不同索引。$\square$

**命题 14.11（相同最终任务的两种显露分配与联合读数）。** 取 $\Omega=\{-1,1\}^2$ 上均匀律，$u,v$ 为独立坐标，$C$ 常值，$E$ 为读 $u,v$ 的二元反链，$f=u+uv$。先读 $u$ 后读 $v$ 的两次增量平方范数为 $(1,1)$；反向为 $(0,2)$。此外，$uv$ 属于联合读数空间，却正交于两个单坐标读数空间之和。

**证明。** 四点上的 $1,u,v,uv$ 构成正交归一基：每个非空坐标乘积的均值为零，其平方为一，不同乘积的内积仍为一个非空乘积的均值。故
$$
P_Cf=0,\qquad P_uf=u,\qquad P_vf=0,\qquad P_{uv}f=f.
$$
前向增量为 $u,uv$，各平方范数为 $1$；反向为 $0,u+uv$，平方范数为 $0,2$。单坐标的全部可测函数分别为 $\operatorname{span}\{1,u\}$ 与 $\operatorname{span}\{1,v\}$，其和不包含非零且与它正交的 $uv$。但 $\sigma(u,v)$ 给全部四点，故 $uv$ 联合可测。因此联合 $\sigma$ 代数的函数空间不同于边缘函数空间的线性和。此 Walsh 区分采用[机器学习卷](CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_ML.md)§28.3“受限线性读出的历史关系容量”、§28.4“可逆重编码保持信息，却改变受限可访问性”的共同函数空间解释。$\square$

**命题 14.12（已获 XOR 记录破坏无条件乘积的交互正性）。** 环境恰取 $\Omega=\{0,1\}^2$，均匀律下 $X,Y$ 为坐标，完整旧记录为 $C=X\mathbin\oplus Y$，之后两个具名读数为 $X,Y$。虽然 $X,Y$ 无条件独立，仍有
$$
P_{\{X\}}=P_{\{Y\}}=P_{\{X,Y\}}=\operatorname{Id}_{\mathcal H},\qquad
D_{\{X,Y\}}=P_C-\operatorname{Id}_{\mathcal H}.
\tag{14.23}
$$
后者在非零的 $\operatorname{ran}(\operatorname{Id}-P_C)$ 上具有严格负二次型，因而不是正交投影。任一嵌套取得顺序的风险改善仍非负。

**证明。** 给定 $(C,X)$ 可由 $Y=C\oplus X$ 恢复整个点；给定 $(C,Y)$ 同理，所以前三个投影均为恒等。代入式（14.3）给 $D_{\{X,Y\}}=\operatorname{Id}-\operatorname{Id}-\operatorname{Id}+P_C$。若 $P_Cg=0$ 且 $g\ne0$，则 $\langle g,D_{\{X,Y\}}g\rangle=-\|g\|_2^2<0$；例如 $g=(-1)^X$，在每个奇偶类上取两种符号且等权，故 $P_Cg=0$、$\|g\|_2^2=1$。给定 $C=0$ 时 $X=Y$，且各自仍为公平位，联合并不等于条件边缘的乘积，明确违反假设14.4。

沿任一种顺序，两个塔增量均依次为 $\operatorname{Id}-P_C$ 与 $0$，所以命题14.3给非负风险下降。若另扩充环境加入未观察变量，前三个投影只能由上述记录确定为 $P_E$，不能自动写成环境上的恒等；这里限定为恰好四点保证了式（14.23）。$\square$

**命题 14.13（记录交互全部为零仍有隐藏目标）。** 取 $\Omega=\{-1,1\}^3$ 上均匀律，坐标 $u,v,z$ 独立，$C$ 常值，事件只记录 $u,v$。对目标 $f=z$，假设14.4成立，但
$$
D_Sf=0\quad(S\subseteq\{u,v\}),\qquad
K_Jf=0\quad(J\in\mathcal J(E)),\qquad
Qf=f,\quad\|Qf\|_2^2=1.
\tag{14.24}
$$

**证明。** 给定 $u,v$ 的任意子集后，$z$ 仍独立且均值为零，故每个 $P_Sf=0$。式（14.3）及（14.12）给全部所列 $D_Sf,K_Jf$ 为零，而 $P_Ef=0$ 给 $Qf=f$；$z^2=1$ 给范数平方为一。因此即使全部已记录交互都没有未显露能量，也不能删除定理14.9中的 $Qf=0$ 条件。$\square$

## 14.99 追加锚

## 15. 有限受控预测接口与实际概率域的几何

**约定 15.1（联合仪器、完整档案与预测任务）。** 以下三节是普通数学推导；所用成熟结果在使用处注明来源，不宣称新增 Lean 核验或世界范围原创。第13—14节的固定、不扰动读数族在此扩展为会改变后继状态的受控实验。取有限非空集合 $X,A,Y$，分别表示隐藏当前状态、动作和输出，令 $n=|X|$。给非负矩阵
$$
K_{a,y}\in\mathbb R^{X\times X},\qquad
\sum_{y\in Y}K_{a,y}\mathbf1=\mathbf1\quad(a\in A).
\tag{15.1}
$$
所有 $a$ 在每个状态均合法；若要表示失败或终止，须把其输出及后继吸收状态纳入这同一个仪器，完整记录保留这些标签。记 $\Delta_X=\{p\in\mathbb R^X:p_x\ge0,\ \sum_xp_x=1\}$；行向量 $p\in\Delta_X$ 表示当前状态律，矩阵作用于列函数。带输出的动作词 $w=(a_1,y_1)\cdots(a_k,y_k)$ 按时间先后定义
$$
K_w=K_{a_1,y_1}\cdots K_{a_k,y_k},\qquad
K_\varnothing=I,\qquad pK_w\mathbf1.
\tag{15.2}
$$
末项是固定执行动作词 $(a_1,\ldots,a_k)$ 时取得整个输出词 $(y_1,\ldots,y_k)$ 的概率，不是只看末端输出的边缘。

记 $C$ 为全部已表示的、带来源的旧档案，$H_t$ 为保留 $C$ 的完整可访问历史。允许策略采用独立于初态和环境噪声的外部随机源，并按下列条件核逐步生成联合律：对每个正概率条件事件，
$$
\Pr(A_t=a,Y_{t+1}=y,X_{t+1}=x'\mid
\Theta=\theta,X_t=x,H_t=h)
=\pi_t(a\mid h)K_{a,y}(x,x').
\tag{15.3}
$$
$\Theta$ 是可选的固定来源标签；没有该标签时删去它。给定更早隐藏状态路径时也使用同一右侧，所以式（15.3）是顺序生成契约，不仅是一个孤立的边缘条件等式。随机源初始独立不能替代此受支撑条件化契约。记录按 $H_{t+1}=(H_t,A_t,Y_{t+1})$ 扩充；若控制器还访问其他随机记录或内部记忆，须将其相应信息包含在所声明的访问历史中。这里采用[机器学习卷](CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_ML.md)定义17.1的联合核语义；其定理17.2—17.3提供完整开环记录与自适应实验的精确接口，命题17.7已经排除了分别拼接输出和后继边缘的替代方案。

正概率分支 $\ell=pK_{a,y}\mathbf1>0$ 的当前状态后验为 $pK_{a,y}/\ell$。这是已声明联合模型中的统计条件化；$K_{a,y}$ 已包含真实状态改变，后验更新不等于免费取得或制备微观状态。$p$ 及下文的 $s$ 只是任务工作接口，完整档案 $C$ 和控制器访问权另行保留。本节的有限预测表示沿用 Michael L. Littman、Richard S. Sutton、Satinder Singh，[*Predictive Representations of State*](https://proceedings.neurips.cc/paper_files/paper/2001/file/1e4d36177d71bbb3558e43af9577d70e-Paper.pdf)，NeurIPS 14（2001），PDF第7页式（3）、定理1及第7—11页的有限 POMDP 构造；该文第11页也明确给出带负投影系数的例子。

**命题 15.2（全部词的有限不变张成）。** 在约定15.1下，置
$$
V=\operatorname{span}\{K_w\mathbf1:w\text{ 为任意有限词}\},\qquad
V_0=\operatorname{span}\{\mathbf1\},\qquad
V_{j+1}=V_j+\sum_{a,y}K_{a,y}V_j.
\tag{15.4}
$$
则 $V_j$ 恰由长度至多 $j$ 的词列张成；若 $V_{j+1}=V_j$，此后全部等于 $V_j=V$。特别地 $V_{n-1}=V$，严格增长至多发生 $n-1$ 次。这是词深度界，不是词个数、采样次数或实验预算界。

**证明。** $j=0$ 对应空词。归纳时，左乘 $K_{a,y}$ 正好在旧词前加一对动作与输出；连同旧词，得到全部长度至多 $j+1$ 的生成元。若相邻空间相等，则每个 $K_{a,y}$ 都保持 $V_j$，由词长归纳全部词列属于它，故稳定并等于 $V$。否则每步维数至少加一；从维数一开始，在 $n$ 维空间中最多严格增长 $n-1$ 次，得指定深度结论。$n=1$ 时 $V_0=\mathbb R^X$，无需增长。枚举至该深度仍可能涉及 $\sum_{j=0}^{n-1}(|A||Y|)^j$ 个词，且精确取得核或预测值的费用未由此消失。

这是上述 PSR 构造使用的不变张成法，与[量子算术卷](CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_QUANTUM.md)§57的未来 effect 空间、§73的有限 Hankel 实现及[5040卷](ZECKENDORF_EULER_5040.md)“最小线性实现的维数恰好等于这个秩”一段中的加权自动机方法相接。这里的生成元换为联合仪器的全部词；[DynamicClosureMinimality](../../../D5/S3/ConceptDynamics/Interventions/DynamicClosureMinimality.lean)的有限干预轨迹最小闭包供应相应的集合结构，但不直接代替概率核证明。不把既有有限维闭包方法另称为新原理。$\square$

**定理 15.3（预测坐标、正锥与支撑内更新）。** 令 $r=\dim V$，选列基矩阵 $B\in\mathbb R^{X\times r}$，第一列为 $\mathbf1$。记 $e_1$ 为 $\mathbb R^r$ 的第一标准列向量。存在唯一矩阵 $M_{a,y}\in\mathbb R^{r\times r}$ 满足
$$
K_{a,y}B=BM_{a,y}.
\tag{15.5}
$$
定义实际归一化预测域及未归一化正锥
$$
\mathcal P=\{pB:p\in\Delta_X\}
=\operatorname{conv}\{B(x,:):x\in X\},\qquad
\mathcal C=\{uB:u\in\mathbb R^X_{\ge0}\}.
\tag{15.6}
$$
对任意 $s\in\mathcal P$，有 $se_1=1$，且
$$
\ell_{a,y}(s)=sM_{a,y}e_1\ge0,\qquad
\sum_y\ell_{a,y}(s)=1.
\tag{15.7}
$$
当 $\ell_{a,y}(s)>0$ 时，
$$
F_{a,y}(s)=\frac{sM_{a,y}}{\ell_{a,y}(s)}\in\mathcal P
\tag{15.8}
$$
与 $s=pB$ 所选的代表 $p$ 无关。若分支质量为零，则 $sM_{a,y}=0$，而该分支没有由条件化确定的后验。每个 $M_{a,y}$ 保持 $\mathcal C$；其矩阵元素无需逐项非负。

**证明。** 命题15.2给 $K_{a,y}V\subseteq V$，所以 $K_{a,y}B$ 的各列在基 $B$ 中有唯一坐标，得到式（15.5）。对任意 $u\ge0$，
$$
(uB)M_{a,y}=(uK_{a,y})B\in\mathcal C.
$$
若 $s=pB$，则 $se_1=p\mathbf1=1$，且 $sM_{a,y}e_1=pK_{a,y}\mathbf1$；非负性与输出质量和由式（15.1）给出。正质量时 $p'=pK_{a,y}/\ell$ 是概率行向量，$p'B$ 就是式（15.8）。其右侧只依赖 $s,a,y$，因此代表无关。质量为零时非负行向量 $pK_{a,y}$ 的坐标和为零，故它全部为零，进而 $sM_{a,y}=0$；不对 $0/0$ 作后验解释。相同论证还表明 $c\in\mathcal C$ 且 $ce_1=0$ 必有 $c=0$。

对词定义 $M_w=M_{a_1,y_1}\cdots M_{a_k,y_k}$、$M_\varnothing=I$。逐次应用式（15.5）得 $K_wB=BM_w$，故所有词概率为 $sM_we_1$。概率正性由实际锥保证，而非由任意坐标矩阵的符号保证。第15.7条将直接展示负元素。上述归一化公式是所引 PSR 文献式（3）在含常数列的基上的写法；其适用范围始终是 $\mathcal P$，没有把整个超平面 $se_1=1$ 宣告为可实现概率态。$\square$

**定理 15.4（实际预测商、线性维数与可恢复目标）。** 在上述同一仪器下，对任意 $p,q\in\Delta_X$，
$$
pB=qB
\iff \forall w, pK_w\mathbf1=qK_w\mathbf1.
\tag{15.9}
$$
在相同固定初始可访问记录、相同控制器状态及式（15.3）的策略契约下，这还等价于全部允许有限自适应实验的完整动作—输出记录律相等。因而 $\mathcal P$ 表示实际实现的预测等价类；任何能决定全部这些词概率的集合统计量 $T$，在其实际像上唯一决定 $s$。

若竞争表示是未归一化输入上的齐次线性映射 $L:\mathbb R^X\to W$，其中 $W$ 有限维，并且相同 $L(u)$ 对全部 $u\ge0$ 决定相同的每个 $uK_w\mathbf1$，则 $\dim\operatorname{ran}L\ge r$；$u\mapsto uB$ 达到 $r$。归一化域 $\mathcal P$ 的仿射维数恰为 $r-1$。

对任意列函数 $h\in\mathbb R^X$，存在解码器 $g:\mathcal P\to\mathbb R$ 使
$$
g(pB)=ph\quad\text{对全部 }p\in\Delta_X
\quad\Longleftrightarrow\quad h\in V.
\tag{15.10}
$$
特别地，从 $s$ 恢复全部初态分布 $p$ 的充要条件为 $V=\mathbb R^X$。这些是全先验结论；某个受限可达先验族可以有额外关系。

**证明。** $pB=qB$ 使 $p-q$ 消去 $V$，故消去每个词列；反向由生成元张成 $V$ 得到。各输出词的概率相等即为固定动作词下的完整输出律相等。直接应用[机器学习卷](CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_ML.md)定理17.2的逐记录策略乘子论证得到自适应等价；初态是混合律时，同一乘子仍与被求和的隐藏状态无关。固定词本身属于策略族，给反向。确定性闭包对应[观察者闭包谱卷](OBSERVER_CLOSURE_SPECTRUM.md)§16；这里不将控制器能读取隐藏状态的策略算入允许族。

若 $T(p)=T(q)$，其预测充分性使式（15.9）右侧成立，故可定义 $\varphi(T(p))=pB$。它良定义且在实际像上唯一，给集合意义的最小性；此为[PredictiveStateUniversalMinimality](../../../D5/S3/ObserverMemory/PredictionFactors/PredictiveStateUniversalMinimality.lean)的实际像唯一因子化结构，不是任意编码长度下界。[CanonicalPredictiveStateSufficiency](../../../D5/S3/ObserverMemory/PredictionFactors/CanonicalPredictiveStateSufficiency.lean)的充分性也针对已指定的未来条件律。

对齐次线性下界，取 $d\in\ker L$，将它分成 $d=d^+-d^-$，其中 $d^\pm\ge0$。线性性给 $L(d^+)=L(d^-)$，假设遂给 $dK_w\mathbf1=0$ 对所有词成立，故 $dB=0$。于是 $u\mapsto uB$ 通过 $\operatorname{ran}L$ 线性因子化，而 $B$ 列满秩使其像维数为 $r$，得到下界。归一化方面，$\mathcal P$ 的全部行顶点候选均在 $se_1=1$ 上。固定一个这样的行 $v_0$，其余行之差都在 $se_1=0$；$v_0$ 与差空间线性独立。全部行的线性张成维数为 $r$，所以差空间维数为 $r-1$，正是仿射维数。$r=1$ 时 $\mathcal P$ 是单点。这与[MinimalPredictiveSummary](../../../D5/S3/Quantum/Fibers/MinimalPredictiveSummary.lean)的线性范围维数界、[AllFutureStatisticsSufficiency](../../../D5/S3/Quantum/Fibers/AllFutureStatisticsSufficiency.lean)的未来张成判据使用同一线性结构，但载体及生成算子按本节重新指定。

若 $h=B\alpha$，取 $g(s)=s\alpha$ 即可恢复。若 $h\notin V$，有限维线性分离给非零行向量 $d$，满足 $dB=0$ 而 $dh\ne0$；因 $\mathbf1\in V$，有 $d\mathbf1=0$。取内点均匀先验 $p_0$，再取 $\varepsilon>0$ 足够小使 $\varepsilon|d_x|<1/n$ 对所有 $x$ 成立。则 $p_\pm=p_0\pm\varepsilon d\in\Delta_X$，两者预测态相同而目标差为 $2\varepsilon dh\ne0$，排除任何解码器。恢复全部 $p$ 等价于恢复每个坐标指标函数；这些函数张成 $\mathbb R^X$，得最后结论。任意非线性集合编码的实坐标数或位数，均未受这里的线性维数论证约束。$\square$

**定理 15.5（概率单纯形上的目标最小最坏误差）。** 对同一 $B,V$ 及任意 $h\in\mathbb R^X$，允许所有集合函数解码器，有
$$
\inf_{g:\mathcal P\to\mathbb R}
\sup_{p\in\Delta_X}|ph-g(pB)|
=\operatorname{dist}_\infty(h,V)
:=\min_{v\in V}\max_{x\in X}|h_x-v_x|.
\tag{15.11}
$$
右侧的最佳逼近存在，且一个线性读出已达到该误差。该式是在有界概率域上的目标恢复结论；[恢复几何卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_RECOVERY_GEOMETRY.md)定理1.4针对无界线性输入得到的无穷风险不能转移到这里。它与该卷§3.1的候选纤维半径公式相容。

**证明。** $V$ 是有限维闭子空间。极小化序列的 $\|h-v\|_\infty$ 有界，故 $\|v\|_\infty$ 有界；取收敛子列，极限仍在 $V$，给最佳 $v_*$。写 $v_*=B\alpha$，则 $g(s)=s\alpha$ 满足
$$
|ph-g(pB)|=|p(h-v_*)|\le\|h-v_*\|_\infty
$$
对每个概率 $p$ 成立，给上界。

令 $d=\operatorname{dist}_\infty(h,V)$。$d=0$ 时上界已给零风险。若 $d>0$，在商空间 $\mathbb R^X/V$ 的 $\ell_\infty$ 商范数下，对非零元 $h+V$ 取范数一的支撑泛函，并延拓到整个商空间。有限维 Hahn–Banach 定理及 $\ell_\infty$ 与 $\ell_1$ 的对偶给行向量 $z$，使
$$
zv=0\ (v\in V),\qquad \|z\|_1=1,\qquad zh=d.
\tag{15.12}
$$
此处使用的是成熟的商范数对偶，见 Walter Rudin，*Functional Analysis*，第二版（1991），第3章的 Hahn–Banach 延拓与分离定理；式（15.12）亦由将上述商泛函拉回原空间直接得到。因为 $z\mathbf1=0$，其正、负部分的质量同为 $1/2$。故 $p=2z^+$、$q=2z^-$ 是概率分布，$pB=qB$，而 $ph-qh=2d$。任意解码器在同一个预测值上只给一个实数 $c$；由 $|ph-qh|\le|ph-c|+|qh-c|$，至少一个误差不小于 $d$。这与上界吻合。零先验坐标不需条件化，因而边界分布同样是合法下界见证。$\square$

**定理 15.6（预测多面体的正实现与全制备域下界）。** 设 $v_1,\ldots,v_k$ 是 $\mathcal P$ 的全部不同顶点。存在一个 $k$ 隐状态、动作集 $A$、输出集 $Y$ 的非负联合仪器，其全概率单纯形的预测像恰为 $\mathcal P$，且对每个 $s\in\mathcal P$ 保留全部受控词概率及允许的自适应记录律。

比较另一 $N$ 隐状态仪器时，要求每个 $\lambda\in\Delta_N$ 都是允许制备，并且在同一词概率识别下，其整个 $\Delta_N$ 的预测像恰好等于 $\mathcal P$。在这些量词下必有 $N\ge k$，所以前述构造最小。该下界不适用于只准许单纯形的一个子集、允许更大预测域或只指定一个初始制备的竞争问题。正实现的隐状态数也不是确定性观察者可取的预测态数：[量子算术卷](CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_QUANTUM.md)§151—155已经分别研究有限隐状态生成、无限精确预测商及有限精度历史记忆。

**证明。** 固定 $i,a,y$。定理15.3使 $v_iM_{a,y}\in\mathcal C$，质量 $\ell_i=v_iM_{a,y}e_1\ge0$。若 $\ell_i>0$，其归一化位于 $\mathcal P$，故可选顶点分解
$$
\frac{v_iM_{a,y}}{\ell_i}=\sum_j\alpha_{i,a,y,j}v_j,\qquad
\alpha_{i,a,y,j}\ge0,\qquad\sum_j\alpha_{i,a,y,j}=1.
$$
置 $\widehat K_{a,y}(i,j)=\ell_i\alpha_{i,a,y,j}$。若 $\ell_i=0$，则未归一化向量为零，将该分支整行置零。于是 $\widehat K$ 非负，且对每个 $i,a$ 有 $\sum_{y,j}\widehat K_{a,y}(i,j)=1$。令 $R$ 的第 $i$ 行为 $v_i$，便有
$$
\widehat K_{a,y}R=RM_{a,y},\qquad Re_1=\mathbf1.
\tag{15.13}
$$
对任意分解 $s=\lambda R$、$\lambda\in\Delta_k$，逐词相乘得
$$
\lambda\widehat K_w\mathbf1=sM_we_1.
$$
因而每个分解都给相同测试律，式（15.9）的自适应等价给完整实验结论。其全制备像为全部顶点的凸包，恰是 $\mathcal P$。

对竞争实现，令 $t_i\in\mathcal P$ 为第 $i$ 个纯态的预测像。测试概率对初始混合是仿射的，而它们识别 $s$，故整个单纯形的像为 $\operatorname{conv}\{t_1,\ldots,t_N\}=\mathcal P$。任一顶点 $v$ 写成这些 $t_i$ 的凸组合时，极端性迫使所有正权重项都等于 $v$；于是每个不同顶点必须由至少一个纯态给出，$N\ge k$。分解系数无须唯一，证明只给存在的正实现，不给免费、唯一的隐态解码器，也不把混合分布当作已取得的隐态样本。

受限制备确实改变结论。取 $\Delta_3$ 中的六边形 $D=\{p:p_i\le2/3\}$；其顶点是 $(2/3,1/3,0)$ 的六个排列：在平面 $\sum_ip_i=1$ 内，顶点至少有两个独立的坐标边界约束；两个零或两个 $2/3$ 都不满足总和条件，故只能一个零、一个 $2/3$、另一个 $1/3$，而这六个点确实各由两个边界唯一确定。三个隐状态、唯一动作读取状态符号 $i\in\{1,2,3\}$ 后重置到均匀律，则初始 $p$ 的未来是首符号服从 $p$、以后独立均匀。只准许 $p\in D$ 时，其预测域有六顶点却只用三个隐状态，且重置均匀律仍属 $D$。同一预测域也可由六态全制备实现：第 $i$ 态按第 $i$ 个顶点的三符号概率输出，再独立重置到六态均匀律。六顶点的平均是三符号均匀律，故全部后续词匹配。三态系统被排除的纯制备恰在 $D$ 外，因此没有违反全单纯形下界。$\square$

**命题 15.7（正方形预测域与不能恢复的交互目标）。** 取 $X=\{00,01,10,11\}$，$A=\{1,2\}$，$Y=\{0,1\}$。动作 $i$ 读出当前第 $i$ 位后重置为 $00$，即
$$
K_{i,y}(x,x')=\mathbf1_{\{x_i=y\}}\mathbf1_{\{x'=00\}}.
\tag{15.14}
$$
则 $V=\operatorname{span}\{\mathbf1,x_1,x_2\}$，齐次线性维数 $r=3$，$\mathcal P=\{(1,u,v):0\le u,v\le1\}$ 有四顶点。在定理15.6的全制备、精确相同预测域量词下，正实现恰需四个隐状态。初始交互目标 $h=x_1x_2$ 不能精确恢复，其最小最坏误差为 $1/4$。

**证明。** 一步词列为 $x_i$ 或 $1-x_i$。读出后已是 $00$，所有后续输出均为零，所以非空词列或为上述一步词列，或为零；连同空词，恰张成所述三维空间。以 $B=(\mathbf1,x_1,x_2)$ 为基，四行就是正方形四顶点，因此两种维数与顶点结论分别来自定理15.4和15.6。相应四个 $M_{i,y}$ 除第一列外全为零，其第一列依次为
$$
M_{1,0}e_1=(1,-1,0)^{\mathsf T},\quad
M_{1,1}e_1=(0,1,0)^{\mathsf T},\quad
M_{2,0}e_1=(1,0,-1)^{\mathsf T},\quad
M_{2,1}e_1=(0,0,1)^{\mathsf T}.
\tag{15.15}
$$
故分支质量为 $1-u,u,1-v,v$，每个正质量分支都更新为 $(1,0,0)$；零质量分支没有后验。这里的负元素已在实际域上给合法概率，无须另换基。

令 $p_{\rm even}$ 在 $00,11$ 上各取 $1/2$，$p_{\rm odd}$ 在 $01,10$ 上各取 $1/2$。它们均给 $s=(1,1/2,1/2)$，但 $p_{\rm even}h=1/2$、$p_{\rm odd}h=0$，故任意解码器的最坏误差至少 $1/4$。列函数
$$
v_*=(x_1+x_2)/2-1/4
$$
在四点上与 $h$ 的差依次为 $1/4,-1/4,-1/4,1/4$，给上界 $1/4$，并具体实现定理15.5。两个同边缘先验的全部允许未来词律已相同；要取得区分它们的新数据，必须扩充原先声明的动作或测试语言，不能仅重新计算 $s$。$\square$

**命题 15.8（当前预测商不恢复来源档案）。** 在命题15.7的同一仪器中，设初始位对为 $(\Theta,0)$，$\Theta$ 公平，$C$ 可包含任何已取得旧记录。先执行动作1并保留输出。两个正概率历史 $H_1=(C,1,0)$、$H_1=(C,1,1)$ 在共同 $C$ 的正概率纤维上均可出现时，它们的当前预测态同为 $(1,0,0)$，全部环境未来输出都为零，但来源后验分别为 $\Theta=0$、$\Theta=1$ 的点质量。

**证明。** 动作1输出初始 $\Theta$，随后两支均重置为 $00$，故当前律与未来预测相同，而保留的输出精确决定来源。条件为两支正概率；若 $C$ 已决定 $\Theta$，就在相应纤维只保留有支撑的一支，不制造另一支条件律。因此 $s$ 不能重建完整 $H_1$ 或来源后验。若控制器以后根据旧输出选择动作，两个历史还可产生不同的动作记录；定理15.4的反馈比较要求相同的初始控制器访问情境，不能用环境预测相同删除这项要求。[机器学习卷](CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_ML.md)§38.1—38.2已区分任务摘要、合法动作与旧档案的在线取得；本例给出其与状态重置的连接。$\square$

## 16. 固定动作词与反馈实验的同核异距

**定义 16.1（共同仪器的有限时域距离）。** 固定约定15.1的同一有限仪器、同一个确定的初始可访问记录 $H_0=c$ 及相同控制器初始状态。两个先验 $p,q\in\Delta_X$ 只改变隐藏初态律，不改变策略、动作访问权或核。对整数 $H\ge1$，定义
$$
\begin{aligned}
d_{{\rm ol},H}(p,q)
&=\max_{\boldsymbol a\in A^H}
\operatorname{TV}(P_p^{\boldsymbol a},P_q^{\boldsymbol a}),\\
d_{{\rm fb},H}(p,q)
&=\sup_{\pi}
\operatorname{TV}(P_p^{\pi,H},P_q^{\pi,H}),\qquad
\operatorname{TV}(P,Q)=\tfrac12\sum_z|P(z)-Q(z)|.
\end{aligned}
\tag{16.1}
$$
前者的随机对象是整个输出词；后者为整个动作—输出记录，$\pi$ 遍历满足式（15.3）的共同历史反馈策略。固定词实验的动作是确定的，将它附在输出词上不改变 TV。外部随机策略种子独立于隐藏初态及环境噪声；所比较的双方使用同一策略机制，条件核契约仍须成立。定义 $d_{{\rm ol},0}=d_{{\rm fb},0}=0$，因为初始可访问记录已固定相同。随机终止若纳入模型，完整记录用共同吸收符号延长到 $H$。

**定理 16.2（有限时域比较界）。** 令 $m=|A|\ge1$。定义16.1的两个量是 $\Delta_X$ 上的伪度量，并满足
$$
d_{{\rm ol},H}\le d_{{\rm fb},H}
\le\min\{1,m^{H-1}d_{{\rm ol},H}\}\qquad(H\ge1).
\tag{16.2}
$$
对单个确定性策略树 $\pi$，可将右侧因子换成 $N_\pi$：它是在 $p$ 或 $q$ 的记录支撑上出现的不同完整动作词数，$1\le N_\pi\le m^{H-1}$。随机策略的统一结论使用 $m^{H-1}$，不把不同确定性树的词数未经控制地合成一个更小因子。$H=1$ 或 $m=1$ 时两个距离相等。

**证明。** 每个固定实验的 TV 满足非负性、对称性、对角为零和三角不等式；在同一个预先固定的实验族上取上确界仍有这些性质。这是[机器学习卷](CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_ML.md)§17.4—17.5的一般行为伪度量方法在有限 $H$ 上的直接应用。固定动作词属于反馈策略族，给左侧界，TV 本身给上界一。

先取确定性策略树。初始记录相同且固定，所以首动作固定。将全部可能记录按其完整动作词 $\boldsymbol a$ 分组；对每组令 $E_{\boldsymbol a}\subseteq Y^H$ 为沿该输出词恰使策略选择 $\boldsymbol a$ 的输出集合。这个相容性集合由同一策略决定，与 $p,q$ 无关。由式（15.3），在相容记录上策略概率因子全为一，因此
$$
\begin{aligned}
\operatorname{TV}(P_p^{\pi,H},P_q^{\pi,H})
&=\frac12\sum_{\boldsymbol a}
\sum_{\boldsymbol y\in E_{\boldsymbol a}}
\left|pK_{a_1,y_1}\cdots K_{a_H,y_H}\mathbf1
-qK_{a_1,y_1}\cdots K_{a_H,y_H}\mathbf1\right|\\
&\le\sum_{\boldsymbol a\ {\rm realized}}
\operatorname{TV}(P_p^{\boldsymbol a},P_q^{\boldsymbol a})
\le N_\pi d_{{\rm ol},H}(p,q).
\end{aligned}
\tag{16.3}
$$
任一方支撑均为空的组贡献零，可以删去；其余组的受限非负绝对值和至多为全输出词之和。首动作固定，剩余 $H-1$ 个动作每步至多 $m$ 种，故 $N_\pi\le m^{H-1}$。

有限时域、有限动作输出下，行为随机策略可在开始前对每个可能历史节点独立抽取其动作，把它写成有限个确定性策略树的混合。混合权重只依赖策略核，与隐藏初态及环境噪声独立，并在两侧相同。一般独立随机种子的策略也可先固定种子而得到确定性树，再按树合并权重。TV 的凸性使每个分量的统一 $m^{H-1}$ 界在混合后仍成立。若独立种子也写入被比较的记录，按该种子分层计算 TV 是分量 TV 的平均，同一界仍有效；没有把种子当成隐藏状态的额外观测。最后取策略上确界得式（16.2）。$H=1$ 或 $m=1$ 时因子为一，与左界夹合；$H=0$ 按定义另行取零，无需解释负指数。

固定 $c$ 是该计数证明的条件。如果未条件化的随机旧档案已经能选择首动作，就不能直接套用“首动作固定”的 $m^{H-1}$ 论证；应在共同正概率档案纤维上比较，或为所使用的初始记录实验族另立界。$\square$

**定理 16.3（随时域变化的锐挑战仪器）。** 对每个 $m\ge2,H\ge2$，存在满足约定15.1的有限、时间齐次仪器及两个具有相同初始可访问记录的初态 $p,q$，使
$$
d_{{\rm ol},H}(p,q)=m^{-(H-1)},\qquad
d_{{\rm fb},H}(p,q)=1.
\tag{16.4}
$$
所有动作均合法，失败完整保留。这给出式（16.2）指数因子的锐例族；它排除跨全部有限模型及全部时域的统一常数，而不声称某一个固定模型在任意大 $H$ 都有该精确比值。

**证明。** 令 $A=\{1,\ldots,m\}$，初态为携带隐藏位 $z\in\{0,1\}$ 的 $S_z$，$p=\delta_{S_0}$、$q=\delta_{S_1}$。输出字母为互不混淆的挑战符号 $c_r$、最终位符号 $b_0,b_1$、失败符号 $\dagger$ 与完成后符号 $*$。从 $S_z$ 执行任意动作，都均匀输出 $c_{r_1}$，并进入状态 $(z,2,r_1)$。一般待执行阶段状态 $(z,t,r)$ 满足 $2\le t\le H$：若动作 $a\ne r$，输出 $\dagger$ 并进入失败吸收态；若 $a=r$ 且 $t<H$，独立均匀生成新挑战 $r'$，输出 $c_{r'}$ 并进入 $(z,t+1,r')$；若 $a=r$ 且 $t=H$，输出 $b_z$ 并进入完成吸收态。失败态永远输出 $\dagger$，完成态永远输出 $*$，两者对所有动作均保持自身。把阶段计数纳入有限状态后，这是一套时间齐次、逐行动总质量为一的非负联合核。

固定动作词 $(a_1,\ldots,a_H)$。到达最终位输出当且仅当每个 $r_{t-1}=a_t$，$2\le t\le H$，其概率为
$$
\alpha=m^{-(H-1)}.
$$
第一次动作不影响挑战律。可以事先生成独立公平挑战序列，在两种 $z$ 下共用它；每个失败记录的概率由挑战和动作决定，与 $z$ 无关。成功记录则在最终位符号上分别为 $b_0,b_1$，两个成功部分支撑不交，各有质量 $\alpha$。故半 $\ell_1$ 差恰为 $\alpha$，对每个固定动作词都相同。

反馈策略任取首动作，以后总选择刚读到的挑战值。每步匹配，因此成功概率为一，最后必读到 $b_z$；两种初态的完整记录支撑不交，TV 为一。保留失败记录是固定词 TV 计算的一部分，没有通过条件成功后丢弃概率质量来放大距离。每个 $H$ 的阶段状态集合不同，正说明此处量词是一个模型族。$\square$

**命题 16.4（同一锐例中的固定来源创新）。** 在定理16.3的仪器中，把隐藏初始位作为固定来源目标 $Z\sim\operatorname{Bernoulli}(1/2)$，初始档案常值。固定动作词的总均方创新及末端 Bayes 风险分别为
$$
I_{\rm ol}=\frac{\alpha}{4},\qquad
R_{\rm ol}=\frac{1-\alpha}{4},\qquad\alpha=m^{-(H-1)}.
\tag{16.5}
$$
匹配挑战的反馈策略对应 $I_{\rm fb}=1/4$、$R_{\rm fb}=0$。这里总创新指
$\mathbb E[(\mathbb E[Z\mid H_H]-1/2)^2]$。

**证明。** 在任一挑战前缀及每个失败记录上，$Z$ 的条件律仍为公平位，因为该记录只由独立挑战与已指定动作生成。固定词成功时才观察 $b_Z$，随后后验为点质量。因此末端条件均值在失败时为 $1/2$，在成功时为 $Z$；均方创新为 $\alpha(1/2)^2$。末端条件方差在失败时为 $1/4$，在成功时为零，积分给风险式。反馈匹配必然成功，所以获得全部初始 $1/4$ 风险预算。第17节的固定目标塔公式将把总创新分成实际各步之和。两种策略分别诱导不同的完整联合律；策略计算只选择了更有效的取得路径，并没有无输入地创造来源信息。$\square$

**推论 16.5（精确商相同不等于统一的稳定性常数）。** 对定义16.1的每个有限 $H$，$d_{{\rm ol},H}$ 与 $d_{{\rm fb},H}$ 有同一零核；在所有有限 $H$ 上同时取零，恰得到定理15.4的预测商。但若只给一个 $H$ 步开环误差预算，转为该时域反馈误差的统一乘法常数不能小于定理16.3例族的 $m^{H-1}$。

**证明。** 有限正因子的双边界（16.2）给同零核，遍历全部 $H$ 即为全部词的相等关系。把定理16.3的两个数代入任何候选乘法界 $d_{{\rm fb},H}\le c\,d_{{\rm ol},H}$，得到 $c\ge m^{H-1}$。因此在同一个语义商上，允许实验族仍决定误差几何。

[机器学习卷](CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_ML.md)定理21.6从全状态、全动作的输出—后继摘要联合核缺陷得到完整记录界 $1-(1-\varepsilon)^H\le H\varepsilon$；它的前提比这里只约束固定词记录的前提不同，本锐例不反驳该逐步联合证书。若比较两套模型，可用带不变模型标签的互不相交状态并集、块对角共同仪器及同一动作输出字母表，将比较写成一套源模型上的两个先验；已有档案、失败语义与策略访问权仍须对齐。该构造直接保留两套联合核，并不允许把独立取得的边缘读数拼成共同实现。$\square$

## 17. 固定来源目标的动作依赖创新与联合记忆

**定义 17.1（完整历史上的来源后验与有效似然）。** 固定有限非空来源标签集 $\Theta$、有限当前状态集 $X$、有限非空动作与输出集、有限的已表示旧档案字母集，以及有限时域 $T\ge0$。$\Theta$ 表示同一个固定来源目标，例如初始状态的标签；隐藏当前状态 $X_t$ 可以被动作和输出共同改变。以 $H_0=C$ 开始，$C$ 包括全部已表示的来源记录、内外档案及控制器初始可访问关系；以后 $H_{t+1}=(H_t,A_t,Y_{t+1})$ 保留旧历史。给定允许策略及受控模型，得到一份完整联合律。对正概率条件事件采用顺序生成契约
$$
\Pr(A_t=a,Y_{t+1}=y,X_{t+1}=x'\mid
\Theta=\theta,X_t=x,H_t=h)
=\pi_t(a\mid h)T_t(x',y\mid\theta,x,h,a),
\tag{17.1}
$$
其中 $T_t$ 是逐输入归一化的非负核；给定更早隐藏路径也使用此核。$\pi_t$ 只能访问实际 $h$ 及允许的独立随机源，不直接访问 $\theta,x$。动作守卫若存在，$\pi_t$ 支撑于已声明的合法动作。这个[机器学习卷](CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_ML.md)定义17.1型条件因子化，比仅说“开始时抽了一枚独立种子”更具体。

在 $\Pr(H_t=h)>0$ 时令 $b_h(\theta)=\Pr(\Theta=\theta\mid h)$，以下把 $b_h$ 写成概率列向量。对 $\pi_t(a\mid h)>0$ 的动作，及 $b_h(\theta)>0$ 的来源类，定义
$$
\begin{aligned}
\mu_h(\theta,x)&=\Pr(\Theta=\theta,X_t=x\mid h),\\
L_{h,a}(y\mid\theta)
&=\sum_x\frac{\mu_h(\theta,x)}{b_h(\theta)}
\sum_{x'}T_t(x',y\mid\theta,x,h,a).
\end{aligned}
\tag{17.2}
$$
它是从完整受控联合律导出的有效似然。$b_h(\theta)=0$ 时可给 $L_{h,a}(\cdot\mid\theta)$ 任意概率行，其后总被零质量乘掉；$h$ 无支撑时不定义其后验。未被该策略选择的合法动作若要参与比较，须有已指定的干预核 $T_t$，再用式（17.2）定义相应实验，不能把零概率条件事件当作实际观测。

仅给 $b_h$ 不保证能得到式（17.2）：同来源条件下的当前状态律、历史依赖核及动作守卫均可能仍缺失。若要闭合递推，须增加任务实际需要的联合状态或历史关系。[AdaptivePosteriorPolicySufficiency](../../../D5/S3/Estimation/DataProcessing/AdaptivePosteriorPolicySufficiency.lean)要求共同来源条件实验核及正确 Bayes 历史扩展；它不把这些前提从来源边缘后验中自动导出。本节讨论概率、投影和固定目标风险，不从“状态”“空间”“时间”或“创新”的名称推出物理波、场或衰变定律。

**命题 17.2（动作选择本身的来源零创新）。** 在定义17.1的正概率历史 $h$ 及被选择概率为正的动作 $a$ 上，
$$
\Pr(\Theta=\theta\mid H_t=h,A_t=a)=b_h(\theta).
\tag{17.3}
$$
确定性动作可测于 $H_t$，不增加其 $\sigma$ 代数；随机动作虽可增加记录的 $\sigma$ 代数，却在式（17.1）下不改变来源后验。该结论不适用于与隐藏来源相关而未满足此条件因子化的随机化。

**证明。** 将式（17.1）对 $x',y$ 求和，并按 $\mu_h(\theta,x)$ 对 $x$ 积分，得到
$$
\Pr(\Theta=\theta,A_t=a\mid h)=b_h(\theta)\pi_t(a\mid h).
$$
除以正数 $\pi_t(a\mid h)$ 给式（17.3），即条件独立。确定性时 $A_t=\pi_t(h)$ 直接为历史函数。若反而让动作取未被历史揭示的来源位 $A_t=\Theta$，公平来源、常值历史下动作就揭示来源，明确违反上述因子化，因而不是本命题的反例。$\square$

**定理 17.3（单步来源创新协方差与剩余预算）。** 固定定义17.1的正概率 $h,a$，记 $b=b_h$、$L=L_{h,a}$，并置
$$
q_y(\theta)=b(\theta)L(y\mid\theta),\qquad
p_y=\sum_\theta q_y(\theta),\qquad
b_y=q_y/p_y\quad(p_y>0).
\tag{17.4}
$$
则 $\sum_yq_y=b$、$\sum_yp_y=1$，正质量时 $b_y$ 是给定新动作与输出后的来源后验。定义
$$
\begin{aligned}
G(h,a)
&=\sum_{y:p_y>0}\frac{q_yq_y^{\mathsf T}}{p_y}-bb^{\mathsf T}\\
&=\sum_{y:p_y>0}p_y(b_y-b)(b_y-b)^{\mathsf T}.
\end{aligned}
\tag{17.5}
$$
有
$$
0\preceq G(h,a)\preceq\operatorname{Diag}(b)-bb^{\mathsf T},\qquad
G(h,a)\mathbf1=0,
\tag{17.6}
$$
以及精确预算恒等式
$$
\operatorname{Diag}(b)-bb^{\mathsf T}
=G(h,a)+\sum_{y:p_y>0}p_y
\bigl[\operatorname{Diag}(b_y)-b_yb_y^{\mathsf T}\bigr].
\tag{17.7}
$$

**证明。** 似然每行和为一，故对 $y$ 求和给 $b$，再对来源求和给一。命题17.2使选择动作前后的 $b$ 相同，随后 Bayes 公式给式（17.4）。$p_y=0$ 时非负向量 $q_y$ 必为零；不定义 $b_y$，该项从全部和中删去。展开式（17.5）第二行，并使用 $\sum_{p_y>0}p_yb_y=b$，得到第一行。

每个外积 $(b_y-b)(b_y-b)^{\mathsf T}$ 半正定，故 $G\succeq0$；且 $(b_y-b)^{\mathsf T}\mathbf1=0$，给 $G\mathbf1=0$。任意概率列 $u$ 满足
$$
v^{\mathsf T}[\operatorname{Diag}(u)-uu^{\mathsf T}]v
=\sum_\theta u_\theta(v_\theta-u^{\mathsf T}v)^2\ge0
$$
对每个实列 $v$ 成立。最后 $\sum_yp_y\operatorname{Diag}(b_y)=\operatorname{Diag}(b)$，而 $\sum_yp_yb_yb_y^{\mathsf T}=G+bb^{\mathsf T}$，相减即式（17.7）；余项半正定给上界。若来源支撑为单点，左侧为零，必有 $G=0$；若某个来源质量为零，其在所有正质量后验中也为零，对应行列均不贡献。

这是来源指标向量 $\mathbf e_\Theta$ 的全协方差公式：总条件协方差等于条件均值的协方差加平均剩余协方差。所用条件期望及塔式恒等式是成熟概率论，见 David Williams，*Probability with Martingales*（1991），第9章；这里已用有限求和完整展开。它是本卷命题14.3的固定律嵌套投影在来源指标函数上的矩阵形式，不要求读数之间独立。$\square$

**定理 17.4（固定目标的风险下降与实际策略总创新）。** 在定义17.1的一份实际联合律下，给定固定函数 $f:\Theta\to\mathbb R$，将其值列记为 $f$。对每个正概率 $h,a$，一次观测的条件 Bayes 均方风险下降等于
$$
\operatorname{Var}(f(\Theta)\mid h)
-\sum_{y:p_y>0}p_y\operatorname{Var}(f(\Theta)\mid h,a,y)
=f^{\mathsf T}G(h,a)f.
\tag{17.8}
$$
令 $m_t=\mathbb E[f(\Theta)\mid H_t]$。则
$$
\begin{aligned}
\sum_{t=0}^{T-1}\mathbb E[f^{\mathsf T}G(H_t,A_t)f]
&=\sum_{t=0}^{T-1}\mathbb E[(m_{t+1}-m_t)^2]\\
&=\mathbb E[(m_T-m_0)^2]\\
&=\mathbb E[\operatorname{Var}(f(\Theta)\mid C)]
-\mathbb E[\operatorname{Var}(f(\Theta)\mid H_T)]\\
&\le\mathbb E[\operatorname{Var}(f(\Theta)\mid C)].
\end{aligned}
\tag{17.9}
$$
各期望只在其实际历史和动作支撑上求和。停止后的吸收延续不增加来源信息时，其创新为零。$T=0$ 时空和及风险差均为零。

**证明。** 用 $f$ 左右乘式（17.7），各协方差二次型正是相应条件方差，得式（17.8）。也可在每个后验下展开平方损失：对任意实数 $d$，
$$
\mathbb E[(f(\Theta)-d)^2\mid h]
=\operatorname{Var}(f(\Theta)\mid h)+(b_h^{\mathsf T}f-d)^2,
$$
故条件均值为 Bayes 解。命题17.2使给定 $H_t,A_t$ 的观测前条件均值仍为 $m_t$，式（17.5）遂给
$\mathbb E[(m_{t+1}-m_t)^2\mid H_t,A_t]=f^{\mathsf T}G(H_t,A_t)f$。

历史保留使各 $\sigma(H_t)$ 嵌套，同一固定目标的 $m_t$ 为鞅。对于 $i<j$，$m_{i+1}-m_i$ 在 $H_j$ 下可测，而 $\mathbb E[m_{j+1}-m_j\mid H_j]=0$，所以两增量的内积期望为零。正交增量求和得式（17.9）的第二行；把单步风险差积分后望远镜求和得第三行，末端风险非负给最后界。本卷命题14.3、[主卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)§121及[ConditionalExpectationRefinementPythagoras](../../../D5/S3/ConceptDynamics/Prediction/ConditionalExpectationRefinementPythagoras.lean)已给嵌套条件期望的同一 Pythagoras 供应结构；本式将其落实到受控历史上的 $G(H_t,A_t)$。

此处非负的是对下一观测平均后的风险下降，不声称每个分支的条件方差都下降。例如 $\Theta\sim\operatorname{Bernoulli}(1/10)$，取二元输出满足 $L(1\mid1)=1$、$L(1\mid0)=1/9$。则 $p_1=1/5$，该支后验公平，方差 $1/4$ 大于先验方差 $9/100$；另一支后验为零态，平均剩余风险为 $1/20$，总下降 $1/25>0$。不同策略产生不同联合律，各自按式（17.9）结算，不把分别可达的逐步最大创新当作同一策略的同时收益。$\square$

**命题 17.5（移动当前目标不满足固定目标望远镜式）。** 即使全部输出无信息，$f(X_t)$ 的当前状态风险也可随状态扰动增加，因此不能将式（17.9）的 $f(\Theta)$ 直接替换为每步变化的 $f(X_t)$。

**证明。** 取 $X=\{0,1\}$、唯一动作、唯一输出 $*$，仪器从任一状态以概率各 $1/2$ 转到 $0,1$ 并输出 $*$。初态确定为 $X_0=0$，档案常值，令 $f(x)=x$。初始目标 $f(X_0)$ 的风险为零；一步后 $X_1$ 为不可见公平位，所以当前目标 $f(X_1)$ 的风险为 $1/4$，历史观测没有增加信息。若对每时刻当前目标错误使用固定目标风险差，就得到 $-1/4$，无法等于非负创新。真正固定的来源 $\Theta=X_0$ 始终确定，其来源创新和风险均为零，完全符合式（17.9）。改变被预测随机变量引入预测漂移；这一差异是目标定义的变化，不是任何物理熵定律的推论。$\square$

**命题 17.6（自适应读取混合既有交互扇区）。** 在均匀四点空间上取独立 $U,V\in\{-1,1\}$，旧档案常值，动作均为不扰动读取。先读 $U$，仅当 $U=1$ 时读 $V$，否则停止，并把停止及已读内容保留为记录 $H$。令 $P_H=\mathbb E[\cdot\mid H]$，$D_V$ 为原固定乘积空间中投影到 $\operatorname{span}\{V\}$ 的 Walsh 扇区投影，则
$$
P_HV=\mathbf1_{\{U=1\}}V=\frac{V+UV}{2},\qquad
D_VP_HV=\frac V2\ne\frac{V+UV}{2}=P_HD_VV.
\tag{17.10}
$$
因此 $P_H$ 不是第14节那些固定 $D_S$ 的某个子族之和；实际嵌套历史仍有正交创新。

**证明。** $U=1$ 时记录包含 $V$，条件均值为 $V$；$U=-1$ 时两种 $V$ 仍等概率，条件均值为零。独立公平位的 $1,U,V,UV$ 是正交归一基，故投影到 $V$ 扇区只保留 $(V+UV)/2$ 的 $V/2$ 部分，得到不交换式。任何固定正交 $D_S$ 的和都与每个 $D_S$ 交换，因而不能等于 $P_H$。具体地，$P_HV$ 的平方范数为 $1/2$，其旧扇区 $V$、$UV$ 分量的平方范数各为 $1/4$。从常值记录到读 $U$ 再到 $H$ 的投影仍嵌套，定理17.4或命题14.3给正交增量；改变的是“某个旧扇区在固定时刻完整显露”的解释条件。此例没有扰动，已经越出定理14.10的事先固定全枚举前提。$\square$

**定理 17.7（保留来源标记的有限预测接口）。** 对约定15.1的共同有限仪器，进一步要求未来核给定当前 $X_t$ 后不直接依赖来源 $\Theta$ 或历史，且来源标签自身不变。令 $B,M_{a,y}$ 如定理15.3。对任意正概率历史 $h$ 的联合后验 $\mu_h(\theta,x)$，定义行按来源排列的矩阵
$$
J_h(\theta,:)=\mu_h(\theta,:)B.
\tag{17.11}
$$
则来源边缘、当前环境预测态及来源标记词概率分别为
$$
b_h=J_he_1,\qquad
s_h=\sum_\theta J_h(\theta,:),\qquad
\Pr(\Theta=\theta,\text{输出词 }\boldsymbol y
\mid h,\text{执行固定动作词 }\boldsymbol a)
=J_h(\theta,:)M_we_1.
\tag{17.12}
$$
这里的“执行固定动作词”表示指定干预实验，并非对一个反馈策略末端动作词的事后条件化。对已选择动作 $a$ 的输出分支，总质量
$$
\ell=\sum_\theta J_h(\theta,:)M_{a,y}e_1
$$
为正时，联合预测接口更新为
$$
J_{hay}=\frac{J_hM_{a,y}}{\ell}.
\tag{17.13}
$$
零质量分支没有条件接口。两个联合后验的 $J$ 相等，当且仅当全部来源标记有限词概率相等，包括空词的来源质量；在相同初始可访问记录和同一策略契约下，还保留全部来源—自适应完整记录联合律。

**证明。** 对 $\mu_h$ 的每个来源行应用 $Be_1=\mathbf1$，得来源边缘；对来源行求和得当前状态边缘的 $B$ 读出。固定来源标签不变、仪器在给定 $X_t$ 后共同，故来源标记词概率为 $\mu_h(\theta,:)K_w\mathbf1$。由 $K_wB=BM_w$ 得式（17.12）。式（15.3）使选择动作的因子与 $\theta,x$ 无关；选择动作后联合后验仍为 $\mu_h$，而观察输出后变为
$$
\mu_{hay}(\theta,:)=\mu_h(\theta,:)K_{a,y}/\ell.
$$
右乘 $B$ 得更新式。质量为零时各来源行对应的非负输出质量都为零，无须也不能除以零。若 $b_h(\theta)=0$，则 $\mu_h(\theta,:)=0$、$J_h(\theta,:)=0$；其全部标记词概率为零。

$J$ 相等显然给所有标记词概率相等。反向，逐来源行的联合后验差消去全部 $K_w\mathbf1$，由它们张成 $V$，该行乘 $B$ 为零；逐行即得 $J$ 相等。对任一来源标记的完整自适应记录，用共同记录策略乘子乘式（17.12），再按[机器学习卷](CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_ML.md)定理17.2的同一逐记录论证，得联合律相等。与[PredictiveStateUnifilarUpdate](../../../D5/S3/ObserverMemory/ContextUpdates/PredictiveStateUnifilarUpdate.lean)相同，条件递推仅在正质量分支上由未来律唯一确定。

给定 $J_h$ 后，单步 $q_y$ 的来源分量就是 $J_h(\theta,:)M_{a,y}e_1$，所以式（17.5）的 $G(h,a)$ 也能计算。该接口保留任务可见的来源—未来关系，而删去逐来源行中消去 $V$ 的隐藏坐标；完整微观联合后验是一种充分表示，不因此成为必要表示。例如定理15.7的同预测先验分别配置在相同来源行上，便可有不同微观后验而同 $J$。这里没有宣称任意编码的实坐标或位数最小性。

若核直接依赖 $\Theta$，应将来源并入被声明的状态或采用相容的来源专属张成及矩阵；若核直接依赖历史，还须加入使核闭合的历史状态，且有限性须另证。未完成这些补充时，不能沿用一个共同 $M$。$J_h$ 也不代替已取得的 $C$ 或控制器需要的旧档案；未来来源标记概率的相等只针对声明的实验语言。$\square$

**命题 17.8（同一模型中相同来源边缘与预测边缘仍有不同创新）。** 存在一个有限、唯一动作的受控模型，两条正概率历史具有相同来源后验、相同当前状态预测态和全部环境未来输出律，却对下一读数给不同的 $G$。因此 $(b_h,s_h)$ 一般不能替代来源标记接口 $J_h$。

**证明。** 令来源 $\Theta$ 公平。隐藏状态有初始态 $S_0,S_1$、就绪态 $R_0,R_1$ 及重置态 $O$，初态为 $S_\Theta$；来源标签固定保留在联合律中。首步输出独立公平模式位 $R$：当 $R=0$ 时转到 $R_\Theta$，当 $R=1$ 时另抽独立公平位 $Z$ 并转到 $R_Z$。明确地，从 $S_\theta$ 到输出模式0、就绪态 $R_\theta$ 的概率为 $1/2$；到输出模式1、任一就绪态 $R_z$ 的概率各为 $1/4$。从 $R_z$ 下一步输出读数位 $z$ 并转到 $O$；$O$ 此后恒输出共同吸收符号。模式输出与读数输出采用不同标签，状态内阶段使这是一套时间齐次仪器。

两个正概率历史 $h_0=(C,R=0)$、$h_1=(C,R=1)$ 的概率各为 $1/2$，$C$ 常值。因为模式独立，两个来源后验均为 $(1/2,1/2)^{\mathsf T}$。在两支下就绪位边缘均公平，所以当前状态律均在 $R_0,R_1$ 上各半，未来都先读一个公平位再吸收，预测态相同。但 $h_0$ 下读数位等于来源，$h_1$ 下读数位独立于来源，因此
$$
G(h_0,a)=\frac14
\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix},\qquad
G(h_1,a)=0.
\tag{17.14}
$$
第一式因两个后验分别为来源点质量而来自式（17.5），第二式因每个后验都仍为公平来源。对 $f(\theta)=\theta$，创新分别为 $1/4$ 与零。来源标记下一读数的联合律分别是对角的两点各半与四点各 $1/4$，所以定理17.7的 $J$ 必然不同。两个档案中的模式记录确实不同并被保留；例子正是说明省略它及其所决定的联合关系会丢失来源创新信息，不把这两个历史冒充相同访问记录。命题15.8另显示重置可使当前预测完全相同，而档案仍保留不同来源事实。$\square$

**定理 17.9（完整来源—记录联合误差控制总创新）。** 在同一有限字母空间上给两个概率律 $P_{\Theta,H},Q_{\Theta,H}$；记录通过同一个映射 $C=c(H)$ 保留旧档案。假设两律的 $(\Theta,C)$ 边缘相同。给固定 $f:\Theta\to[m_f,M_f]$，$D=M_f-m_f\ge0$，记
$$
\delta=\operatorname{TV}(P_{\Theta,H},Q_{\Theta,H}),\qquad
m_C=\mathbb E[f(\Theta)\mid C]
$$
为共同初始条件均值，并定义
$$
I(P)=\mathbb E_P[(\mathbb E_P[f(\Theta)\mid H]-m_C)^2],
\qquad I(Q)\text{ 同理}.
\tag{17.15}
$$
则
$$
|I(P)-I(Q)|\le D^2\delta.
\tag{17.16}
$$
常数一不能统一缩小。这里只需完整联合律的 TV，不需要逐历史的后验误差界。

**证明。** 由 $C$ 被 $H$ 保留，在每份律中对固定目标应用嵌套投影，得
$$
I(P)=R_C-R(P),\qquad
R(P)=\inf_g\mathbb E_P[(f(\Theta)-g(H))^2],
\tag{17.17}
$$
其中 $R_C=\mathbb E[(f(\Theta)-m_C)^2]$ 由共同 $(\Theta,C)$ 边缘决定，$Q$ 亦同。把任何 $g$ 裁剪到 $[m_f,M_f]$ 只会逐点减小平方损失，故两个下确界都可取同一个有界解码器类。零概率历史上任选此区间中的值即可，不影响相应期望；有限支撑使条件均值达到最小值。

对每个这样的 $g$，损失 $\ell_g(\theta,h)=(f(\theta)-g(h))^2$ 属于 $[0,D^2]$。由 TV 的有界损失对偶，
$$
|\mathbb E_P\ell_g-\mathbb E_Q\ell_g|\le D^2\delta.
$$
有限情形直接可证：将带符号质量 $P-Q$ 分成正、负部分，两部分质量都为 $\delta$，把 $0\le\ell_g\le D^2$ 分别用于两部分即可。此成熟 TV 期望界也是[机器学习卷](CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_ML.md)定理21.6的共同记录奖励界所用的不等式。对统一解码器类取下确界，分别得到 $R(P)\le R(Q)+D^2\delta$ 及反向，结合共同 $R_C$ 即式（17.16）。$D=0$ 时所有风险和创新均为零；$\delta=0$ 时两律相同，两种情形无需除法。

为证常数锐性，取常值 $C$、$\Theta\sim\operatorname{Bernoulli}(p)$，$0<p<1$，$f(\theta)=\theta$。令 $P$ 中 $H=\Theta$，$Q$ 中 $H\equiv0$，两者定义在相同 $\{0,1\}^2$ 上且来源边缘相同。两律共有 $(0,0)$ 的质量 $1-p$，其余质量 $p$ 分别在 $(1,1)$ 与 $(1,0)$，故 $\delta=p$。前者完全恢复来源，$I(P)=p(1-p)$；后者没有新信息，$I(Q)=0$。于是创新差与 $D^2\delta$ 之比为 $1-p\to1$，任何小于一的统一常数均被足够小的正 $p$ 排除；$p=0,1$ 的退化来源风险均为零。

若 $H$ 是逐步过程的整个末端档案，可在包含不可变来源标签及旧档案的扩充系统上使用机器学习卷定理21.6：要求双方初始 $(\Theta,C)$ 一致、初始摘要按指定映射耦合，并对每个扩充状态和动作统一控制“输出与后继摘要”的联合 TV 缺陷，且摘要保留来源标签。此时该定理给来源—完整记录的 $\delta\le1-(1-\varepsilon)^T$，再代入式（17.16）。只控制未带来源的输出核或末端状态边缘，不满足这个扩充联合输入契约。支撑内条件更新的精确性也不提供稀有分支的统一稳定性；本卷命题12.5已有条件化的 $e/s$ 放大与稀有成功支反例，本定理只控制积分创新。$\square$

**命题 17.10（记录边缘相同不足以控制来源创新）。** 即使 $P_H=Q_H$ 且两律具有相同 $(\Theta,C)$ 边缘，创新也可相差 $1/4$，所以式（17.16）中的来源—记录联合 TV 不能换成记录边缘 TV。

**证明。** 令 $C$ 常值、来源公平、$f(\theta)=\theta$。在 $P$ 下令 $H=\Theta$，在 $Q$ 下令 $H$ 为与来源独立的公平位。两份记录边缘都是公平位，故其 TV 为零。$P$ 下后验为点质量，创新 $1/4$；$Q$ 下后验始终公平，创新零。联合律的 TV 实为 $1/2$，因此没有违反定理17.9。命题17.8已在同一受控模型的两个合法历史中实现同一种联合区别。由此，环境全部未来预测、来源标记未来预测以及完整已获档案是相互关联但不同的任务；它们能否互相恢复，分别取决于定理15.4的可见张成、定理17.7的共同来源核与保留式历史条件，不能由边缘相同或坐标名称代替。$\square$

## 17.99 追加锚

## 18. 局部容量、共同钟率与边界时间取得

**定义 18.1（固定关系图上的容量与物理端口）。** 取有 $n\ge2$ 个顶点的有限连通无向图，每条边具有固定正权；在固定顶点坐标中记其 Laplacian 为 $L$。取正对角容量矩阵 $M$，定义
$$
S_M(t)=\exp(-tM^{-1}L),\qquad t\ge0.
\tag{18.1}
$$
这里直接采用[主卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)第123.4节的图关系律：若 $D_G$ 是定向差分、$W$ 是边权对角矩阵，则 $L=D_G^*WD_G$；正顶点权作为容量不要求总和为一。尤其 $L\mathbf1=0$、$\ker L=\mathbb R\mathbf1$，且每个 $L_{ii}>0$。本节比较固定图和固定顶点坐标中的不同常值 $M$，不把顶点重标或状态坐标共轭算作同一个矩阵等式。

固定物理输入 $B:\mathbb R^p\to\mathbb R^n$ 和读出 $H:\mathbb R^n\to\mathbb R^q$。对 $u\in L^1_{\rm loc}([0,\infty);\mathbb R^p)$，状态 $x$ 在每个有限区间绝对连续，动力学几乎处处成立，输出为
$$
M\dot x=-Lx+Bu,\qquad o=Hx.
\tag{18.2}
$$
输入、读出单位和端口身份均保持固定。以下脉冲响应使用零初态，或在固定完整历史下已由制备与独立已知项扣除自由响应的条件；未知初态不因指定 $B,H$ 而自动消失。该取得合同沿用本卷定义13.1、命题13.2及定义13.3的完整记录与共同来源，及[恢复几何卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_RECOVERY_GEOMETRY.md)命题16.6的初态边界。

**定理 18.2（完整状态演化的常值容量钟刚性）。** 设 $M,N$ 均为正对角矩阵，$\phi:[0,\infty)\to[0,\infty)$ 是任意函数。则
$$
S_N(t)=S_M(\phi(t))\quad\text{对所有 }t\ge0
\tag{18.3}
$$
当且仅当存在 $c>0$ 使
$$
\boxed{\phi(t)=ct\quad(t\ge0),\qquad N=M/c.}
\tag{18.4}
$$
若另有 $\operatorname{tr}N=\operatorname{tr}M$，则 $c=1,N=M$。式（18.3）是全部初态上的完整状态等式；一个边界端口的相同响应不具有此推论。无需预设 $\phi$ 连续或可微。

**证明。** 矩阵指数的标准恒等式 $\det(e^A)=e^{\operatorname{tr}A}$ 给
$$
e^{-t\operatorname{tr}(N^{-1}L)}
=e^{-\phi(t)\operatorname{tr}(M^{-1}L)}.
$$
两个迹均为严格正数，因为它们分别为 $\sum_iL_{ii}/N_{ii}$ 和 $\sum_iL_{ii}/M_{ii}$。实指数单射，故对每个 $t\ge0$，
$$
\phi(t)=ct,\qquad
c=\frac{\operatorname{tr}(N^{-1}L)}{\operatorname{tr}(M^{-1}L)}>0.
$$
行列式这一步只确定共同时间尺度。将已得的线性时间代回完整矩阵等式，在零处取右导数得到
$$
(N^{-1}-cM^{-1})L=0.
$$
因前一因子为对角矩阵，比较第 $i$ 个对角元并用 $L_{ii}>0$，得 $N_{ii}^{-1}=cM_{ii}^{-1}$，即 $N=M/c$。反向代入指数立即得式（18.3）。容量总和相同使 $\operatorname{tr}M/c=\operatorname{tr}M>0$，故 $c=1$。本证明只使用主卷第123.4节的图核与正对角性质及有限维矩阵指数恒等式，不另加能量或熵演化假设。$\square$

**命题 18.3（物理强迫、端口归一化与换钟密度）。** 在定义18.1的制备条件下，固定物理 $B,H$ 给
$$
o_M(t)=\int_0^t K_M(t-s)u(s)\,ds,\qquad
K_M(t)=H S_M(t)M^{-1}B.
\tag{18.5}
$$
因此对 $N=M/c$，
$$
\boxed{K_N(t)=cK_M(ct).}
\tag{18.6}
$$
当 $H=B^*$ 时，令 $C_M=M^{-1/2}LM^{-1/2}$、$J_M=M^{-1/2}B$，则
$$
K_M(t)=J_M^*e^{-tC_M}J_M,\qquad
\lim_{t\to\infty}K_M(t)
=\frac{B^*\mathbf1\mathbf1^*B}{\mathbf1^*M\mathbf1}.
\tag{18.7}
$$
若 $B^*\mathbf1\ne0$，极限非零，未阻尼的 $\int_0^\infty K_M(t)dt$ 不为有限算子积分。特别地，端点端口 $B=e_i$ 保留零模态，不能直接套用恢复几何卷假设15.1及推论16.5的严格正谱积分公式。

对于同一既有响应的时间重标 $t=c\tau$，输入密度必须按本卷定理12.7、恢复几何卷命题15.9运输：
$$
o_M(c\tau)=\int_0^\tau K_M(c(\tau-\sigma))\,
[c\,u(c\sigma)]\,d\sigma.
\tag{18.8}
$$
等价地，在容量 $N=M/c$、输入 $u_N(\sigma)=u(c\sigma)$ 的物理系统中，$o_N(\tau)=o_M(c\tau)$，Jacobian 因子 $c$ 已由 $K_N$ 承担。一般 $C^1$ 严格递增换钟 $\phi$，$\phi(0)=0,\phi'>0$，给同一强迫接口的两时核
$$
o_M(\phi(t))=\int_0^t
\underbrace{\phi'(s)K_M(\phi(t)-\phi(s))}_{\text{相对于 }ds\text{ 的两时核}}
\,u(\phi(s))\,ds.
\tag{18.9}
$$
一个标量曲线 $a k(\phi(t))$ 本身不自动是此强迫接口的脉冲响应密度。

**证明。** 对式（18.2）应用有限维变常数公式得式（18.5）。定理18.2给 $S_N(t)=S_M(ct)$，又有 $N^{-1}=cM^{-1}$，故式（18.6）成立。相似变换
$$
M^{-1}L=M^{-1/2}C_M M^{1/2}
$$
给式（18.7）的对称坐标表达。主卷第123.4节的连通图核结论给 $\ker C_M=\mathbb R M^{1/2}\mathbf1$；谱定理使 $e^{-tC_M}$ 趋向此直线的正交投影，代入得到极限。若 $B^*\mathbf1\ne0$，可取端口向量使该极限的二次型严格正，其时间积分发散，因而算子积分不收敛。式（18.8）与式（18.9）直接应用既有时间运输的积分换元，分别用 $s=c\sigma$ 和旧时间 $s_{\rm old}=\phi(s)$。相应运输状态满足 $d[x_M(\phi(t))]/dt=\phi'(t)[-M^{-1}Lx_M(\phi(t))+M^{-1}Bu(\phi(t))]$，所以输入与生成元同受时间 Jacobian 作用。$\square$

**命题 18.4（三节点端口的完整可见与不可见参数）。** 取单位边权三节点路径
$$
L=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{pmatrix},\qquad
M_r=\operatorname{diag}(1,r,1),\quad r>0.
\tag{18.10}
$$
固定物理输入、读出为 $B=b,H=b^*$。若 $b=(e_1-e_3)/\sqrt2$，整个响应核为 $e^{-t}$，与 $r$ 无关。若 $b=e_1$，则核为
$$
\boxed{k_r(t)=\frac1{r+2}+\frac12e^{-t}
+\frac{r}{2(r+2)}e^{-(1+2/r)t},}
\tag{18.11}
$$
从而
$$
k_r(0)=1,\qquad k_r'(0)=-1,\qquad
k_r''(0)=1+\frac1r,\qquad k_r(\infty)=\frac1{r+2}.
\tag{18.12}
$$
因此同一图族中，一个固定端口对局部容量完全失明，另一个固定端口的时间关系却含有该容量。可见谱随 $r$ 改变且包含零率，故这个参数族不是恢复几何卷第15节固定严格正谱元组的实例。

**证明。** 广义特征问题 $Lq=\lambda M_rq$ 的三组向量与特征值可取
$$
q_0=(1,1,1)^*,\quad\lambda_0=0;\qquad
q_1=(1,0,-1)^*,\quad\lambda_1=1;\qquad
q_2=(1,-2/r,1)^*,\quad\lambda_2=1+2/r.
$$
它们关于 $\langle v,w\rangle_{M_r}=v^*M_rw$ 两两正交，平方范数依次为 $r+2,2,2(r+2)/r$。命题18.3的对称谱表示等价于
$$
b^*S_{M_r}(t)M_r^{-1}b
=\sum_{j=0}^2e^{-\lambda_jt}
\frac{(b^*q_j)^2}{q_j^*M_rq_j}.
$$
对反对称端口，只有 $j=1$ 的项非零，其权为一；对端点 $e_1$，三个分子均为一，得到式（18.11）。对有限指数和逐项求导给
$$
-k_r'(0)=\frac12+\frac{r}{2(r+2)}\frac{r+2}{r}=1,
\qquad
k_r''(0)=\frac12+\frac{r+2}{2r}=1+\frac1r.
$$
零时值及无穷极限也由式（18.11）直接得到。这里端点的零模态和随 $r$ 改变的正率都是实际物理端口的谱项；比较未知 $r$ 时须使用精确参数纤维，或另证紧凸联合像，或仅使用明确的外界，不能以固定谱的凸合同替换该族。$\square$

**定理 18.5（固定原点的未知增益与常钟率下取得局部容量）。** 在命题18.4的端点制备及物理端口条件下，假设实际取得整条标量响应的零时值、右一阶及右二阶导数。令
$$
F(t)=a k_r(ct),\qquad a,c,r>0,
$$
其中增益 $a$、共同钟率 $c$ 均为未知常数，零标签对应同一经过时间原点。则
$$
\boxed{I=\frac{F(0)F''(0)}{(F'(0))^2}=1+\frac1r>1,\qquad
r=\frac1{I-1}.}
\tag{18.13}
$$
逆映射的局部导数绝对值为 $r^2$。若真实 $I$ 与估计 $\widehat I$ 均不小于 $1+\delta$，$\delta>0$，则
$$
\left|\frac1{\widehat I-1}-\frac1{I-1}\right|
\le\frac{|\widehat I-I|}{\delta^2}.
\tag{18.14}
$$
这是已获得导数关系后的逆误差界，不提供由有限带噪样本估计导数的结论。

**证明。** 式（18.12）及链式法则给 $F(0)=a,F'(0)=-ac,F''(0)=ac^2(1+1/r)$，分母非零，约去 $a^2c^2$ 得式（18.13）。微分 $r(I)=(I-1)^{-1}$ 得 $|r'(I)|=(I-1)^{-2}=r^2$；两个倒数之差的分母为 $(\widehat I-1)(I-1)\ge\delta^2$，给式（18.14）。

这些等式依赖实际零时及导数访问、共同时间原点和固定制备。条件制备、增益恒定及导数误差合同须分别声明；完整曲线的数学存在不赋予这些取得能力。改变 $M_r$ 改变来源动力学，移动读出位置或改变 $B,H$ 改变取得映射。命题18.4的两个固定端口正好区分这两种改变，且不从单端口取得推断一般未知图的识别。$\square$

**命题 18.6（非线性钟的二阶混淆与全曲线极限）。** 保留命题18.4的端点族与未知常增益 $a>0$，设 $\phi:[0,\infty)\to[0,\infty)$ 在零处二次可微，$\phi(0)=0,\phi'(0)>0$。对标量观测 $F(t)=a k_r(\phi(t))$，有
$$
\boxed{\frac{F(0)F''(0)}{(F'(0))^2}
=1+\frac1r-\frac{\phi''(0)}{(\phi'(0))^2}.}
\tag{18.15}
$$
这只给二阶关系中的容量—钟曲率混淆。若另有 $\phi(t)\to\infty$，并具有完整曲线的极限访问，则
$$
\boxed{\frac{F(\infty)}{F(0)}=\frac1{r+2},\qquad
r=\frac{F(0)}{F(\infty)}-2.}
\tag{18.16}
$$
所以式（18.15）不推出任意非线性钟下的全曲线不可识别性。对比值 $J=1/(r+2)$，若 $J,\widehat J\ge\delta>0$，其反演误差同样至多为 $|\widehat J-J|/\delta^2$；该条件不估计无穷极限。

**证明。** 链式法则与式（18.12）给
$$
F'(0)=-a\phi'(0),\qquad
F''(0)=a\left[(1+1/r)(\phi'(0))^2-\phi''(0)\right].
$$
代入并约分得式（18.15）。在只给零处二阶数据时，任取两个正参数 $r,\widetilde r$ 和同一个 $p>0$，把第二条钟的二阶导数改为
$$
\widetilde\phi''(0)=\phi''(0)+p^2(1/\widetilde r-1/r),
\qquad\widetilde\phi'(0)=p=\phi'(0),
$$
即可使两条曲线的零、一、二阶数据相同；这些钟的二阶展开在充分小的右邻域保持正导数。此构造仅匹配二阶数据。若另要求钟趋于无穷，式（18.11）的两个正率项趋零，$F(\infty)=a/(r+2)$，约去 $F(0)=a$ 即得式（18.16）。倒数差给所述误差界。导数访问、极限访问、常增益、制备和误差稳定性是各自独立的假设；式（18.9）还表明该标量重标曲线不应未经输入密度运输就当作非线性换钟的强迫核。$\square$

**命题 18.7（时变容量的两种关系律）。** 取同一固定图 $L$、可微正对角 $M(t)$ 及可微状态 $x(t)$，定义加权总量 $m(t)=\mathbf1^*M(t)x(t)$。若演化律为 $M(t)\dot x(t)=-Lx(t)$，则 $\dot m(t)=\mathbf1^*\dot M(t)x(t)$；若演化律为 $d(M(t)x(t))/dt=-Lx(t)$，则 $\dot m(t)=0$。**证明。** 对第一式使用乘积法则，再用 $\mathbf1^*L=0$；对第二式左乘 $\mathbf1^*$ 即得两项结论。容量为常值时，两种演化律一致；定理18.2比较的是常值容量。$\square$

## 18.99 追加锚

## 19. 共同跳链的路径钟与容量读数距离

**定义 19.1（固定导纳与有限正容量）。** 设 `V` 有限，图连通且至少有两个顶点。令 `w_ij=w_ji≥0`、`w_ii=0`，正权边组成该连通图；记

$$
d_i=\sum_j w_{ij}>0,\qquad
L_{ii}=d_i,\quad L_{ij}=-w_{ij}\quad(i\ne j),
$$
$$
M=\operatorname{diag}(m_i),\qquad
N=\operatorname{diag}(n_i),\qquad m_i,n_i>0.
$$

以行生成元作用于函数的约定，

$$
(Q_Mf)(i)=\frac1{m_i}\sum_jw_{ij}(f(j)-f(i)),
\qquad Q_M=-M^{-1}L.
$$

从 `i` 离开的速率是 `λ_i^M=d_i/m_i`，平均停留时间 `m_i/d_i`；离开后跳到 `j` 的条件概率

$$
P_{ij}=\frac{w_{ij}}{d_i}
\tag{19.101}
$$

与 `M` 无关。

这里 `e^{tQ_M}f(i)=E_i[f(X^M_t)]` 是向后半群，解 `M ḟ=−Lf`。若 `p` 是列概率质量，则它解向前方程

$$
\dot p=Q_M^Tp=-LM^{-1}p,
\qquad \sum_i p_i=1.
$$

不能把质量 `p` 和相对参考密度/状态函数混作同一坐标。

这一生成元沿用[主卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)第123.4节。路径换钟的成熟背景为 Andres–Deuschel–Slowik, *Heat kernel estimates and intrinsic metric for random walks with general speed measure under degenerate conductances*, arXiv:1711.11119v2，式(1.1)及其后关于速度测度的说明；以下只使用有限图。

**定理 19.2（同一跳链、指数等待与路径换钟）。** 定义19.1的两份容量可以耦合在同一随机来源上，使 $X^N(t)=X^M(A^{-1}(t))$，其中 $A(s)=\int_0^s n_{X^M_u}/m_{X^M_u}\,du$。

证明。在同一个概率空间上取：

- 初态 `Z₀` 服从任意指定的共同分布 `ν`；
- 从该初态开始、转移矩阵为式（19.101）的离散 Markov 跳链 `Z₀,Z₁,…`；
- 与整条跳链独立的 iid 随机数 `E₀,E₁,…∼Exp(1)`。

对两份容量使用**同一** `Z_k,E_k`，定义

$$
H_k^M=\frac{m_{Z_k}}{d_{Z_k}}E_k,
\qquad
H_k^N=\frac{n_{Z_k}}{d_{Z_k}}E_k,
$$
$$
T_0^M=T_0^N=0,\qquad
T_k^M=\sum_{j<k}H_j^M,\quad
T_k^N=\sum_{j<k}H_j^N.
$$

在 `[T_k^M,T_(k+1)^M)` 上置 `X^M_s=Z_k`，`N` 链同理。给定当前访问状态 `i`，`H_k^M` 是速率 `d_i/m_i` 的指数等待，与该次下一跳选择独立，故这正是生成元 `Q_M` 的链。`N` 链同理具有生成元 `Q_N`。

有限性和严格正容量给

$$
0<\min_i\frac{m_i}{d_i}\le\max_i\frac{m_i}{d_i}<\infty,
$$

`N` 也一样。iid 正指数变量之和几乎处处发散，所以两组跳跃时刻都趋于无穷；等价地，有限最大退出速率给标准非爆炸保证。每个有限时间窗只有有限次跳跃，右连续路径在所有非负时间上定义。

这项构造是数学耦合，建立在同一完整随机来源上。它不证明两次实际实验天然共享相同随机数；若要将耦合解释为可执行实验转换，还须提供合法制备、干预与数据取得合同。

继续核对时钟的方向。

令 `α_i=n_i/m_i`，有限正容量给常数

$$
0<\alpha_{\min}\le\alpha_i\le\alpha_{\max}<\infty.
$$

于是逐路径

$$
A(s)=\int_0^s\alpha_{X^M_u}\,du
$$

连续、严格递增，满足 `α_min s≤A(s)≤α_max s`，且趋于无穷。因此它有唯一连续严格递增逆函数 `T(t)=A⁻¹(t)`，对所有 `t≥0` 定义。

在第 `k` 段停留区间，`A` 的斜率是 `n_(Z_k)/m_(Z_k)`，所以

$$
A(T_{k+1}^M)-A(T_k^M)
=\frac{n_{Z_k}}{m_{Z_k}}H_k^M
=H_k^N.
$$

从零点累加即得

$$
\boxed{A(T_k^M)=T_k^N,\qquad
X^M(A^{-1}(t))=X^N(t).}
\tag{19.102}
$$

等式包括跳跃时刻，采用上述右连续区间约定。记 $Y_t=X^M(A^{-1}(t))$，由该恒等式，$Y$ 恰有生成元 $Q_N$。形式上逆钟的几乎处处导数为

$$
T'(t)=\frac{m_{Y_t}}{n_{Y_t}},
$$

对应生成元的逐行缩放 `Q_N=diag(m_i/n_i)Q_M`。若容量增加为 `N=αM`，则 `A(s)=αs`、`Y_t=X^M_(t/α)`，与生成元 `Q_N=Q_M/α` 一致。

一般 `A` 依赖实际访问状态，且与轨迹相关。它是适应于该路径的连续加性泛函；逆钟可作原过滤族的停止时刻，时间改变后的过程使用相应改变的过滤族。此处的 Markov 性与生成元已经由共同指数等待构造直接认证，不必假设任意随机换钟都会保持 Markov 性。

逆向重建也使用同一路径：

$$
A^{-1}(t)=\int_0^t\frac{m_{Y_v}}{n_{Y_v}}\,dv.
$$

不能将 `A` 单独抽样后与另一条独立的 `X^M` 组合：那一般不再给式（19.102）的联合律。

有限图的全时间结论不能仅凭“每个顶点容量为正”搬到无限图。无限图还须另证原链非爆炸及 `A(s)→∞`；没有全局正下界的比率可能把无限原时间压缩到有限新时间。本节的有限性已排除这些问题。

**命题 19.3（跳跃顺序、时间占据与初始律）。** 耦合逐路径保留完整的访问状态序列，包括事件顺序、按跳数计的到达位置及不依赖等待时间的首次命中事件。实际第 `k` 次跳跃时刻由 `T_k^M` 变成 `T_k^N`；固定物理时刻前的跳数、定时状态分布、停留时长和时间折扣量一般改变。

证明。对不同顶点 $i,j$，两条链分别满足详细平衡：

$$
\pi_i^M=\frac{m_i}{\sum_jm_j},\qquad
\pi_i^MQ_M(i,j)=\frac{w_{ij}}{\sum_km_k}
=\pi_j^MQ_M(j,i),
$$

`N` 的唯一平稳分布则是 `π_i^N=n_i/Σn`。总概率守恒并未丢失；变化的是同一条访问序列在时间轴上的驻留比例。

跳链自己的不变分布是

$$
\widehat\pi_i=\frac{d_i}{\sum_jd_j},
$$

与容量无关。它描述按访问次数计的平稳权重；不等于连续时间链的时间占据分布。有限图跳链可以有周期，不能因此附带声称其每步边缘律总是收敛。

对角项的平衡等式恒真，连通性使链不可约，有限不可约链的平稳分布唯一。沿各停留段对 $t=A(s)$ 换元，时间占据的转换有精确 Jacobian：对任意状态函数 `g` 和原时间终点 `S`，

$$
\boxed{
\int_0^{A(S)}g(Y_t)\,dt
=\int_0^Sg(X^M_s)\frac{n_{X^M_s}}{m_{X^M_s}}\,ds.
}
\tag{19.103}
$$

结合有限不可约连续时间链的遍历定理（Norris, *Markov Chains*, Cambridge University Press, 1997，第3章），归一化时间占据由 `π^M_i` 乘 `n_i/m_i` 后再归一化，正好得到 `π^N_i`。

初始分布必须另行保留：式（19.102）的耦合有 `Y₀=X₀^M`。若原链从 `π^M` 启动，新链也从 `π^M` 启动，通常**不是**从 `π^N` 启动。不能仅凭路径换钟声称两边从各自稳态启动且仍共享同一初态。要构造新链的平稳版本，须使用正确初始律或相应的时间原点加权；这与现有同初态耦合是不同的准备合同。

**命题 19.4（随机路径钟与完整半群钟的不同量词）。** 确定共同钟要求一个不依赖初态、随机实现或观测端口的函数 `φ`，使

$$
e^{tQ_N}=e^{\phi(t)Q_M}\quad\text{对全部 }t\ge0
$$

作为算子恒等。固定非平凡连通图时，由本卷定理18.2，该条件只容许 `N=M/c`、`φ(t)=ct`。比例情形恰是式（19.102）中状态无关的特例。

非比例时，定理19.2给出的却是

$$
e^{tQ_N}f(i)=E_i^M\big[f(X^M_{A^{-1}(t)})\big],
$$

其中随机时间 `A⁻¹(t)` 与该路径共同生成。一般不能将它改成 `e^{E[A⁻¹(t)]Q_M}`，也不能仅按随机时间的边缘分布对 `e^{sQ_M}` 作独立混合：给定停止时间的事件会同时改变路径的条件律。

因此“状态路径可由依赖路径的钟对应”不推出“平均热场在同一时刻相同”，更不推出固定输入、固定读出、固定采样表的响应核相同。它允许相同跳跃关系与不同相对衰减谱同时存在，也允许先前的三点路径例子中确定性状态场轨迹方向随容量改变。

**命题 19.5（粗读数上的钟可识别条件与反例）。** 若完整记录给出了全部真实跳跃状态、跳跃时刻以及同源已知的 `m,n`，则可以逐段重建 `A`，并给旧事件附上新标签 `A(T_k^M)`。旧时间、原始记录和来源身份必须保留，不能用新标签覆盖掉原来已经取得的实验事实。重标同一事件也不等于在新钟的等距时刻重新采样。

对粗读出 `h:V→O`，一个直接充分条件是比率在每个读出纤维上恒定：

$$
\alpha_i=\bar\alpha(h(i)).
$$

若完整连续读出及其原时间戳可取得，则

$$
A(s)=\int_0^s\bar\alpha(h(X^M_u))\,du
$$

可以从该读出计算。仅有有限离散时刻的读数仍不自动给出所有区间内驻留时间，需另有取得或估计证书。

相反，若存在仍被完整档案允许的 `i,j`，满足 `h(i)=h(j)` 但 `n_i/m_i≠n_j/m_j`，并允许它们作为备选初态，那么在一个固定正时间窗内“不跳跃”的事件在两种初态下分别具有概率 $e^{-d_iS/m_i}>0$、$e^{-d_jS/m_j}>0$，其中 $S>0$ 是窗口长度。两份完整粗读出都是同一个常值时间记录，却有

$$
A_i(s)=(n_i/m_i)s\ne(n_j/m_j)s=A_j(s).
$$

于是该粗读出本身不确定路径钟。这个例子针对所列允许状态与记录纤维；若旧档案已经识别了初态、提供了内部轨迹或排除了其中一份实现，必须把这些信息一起使用，不能删除它们来制造不可识别性。

局部响应核还可能连某些动力学模式都看不见。例如三点路径 `M_r=diag(1,r,1)` 的固定端口 `u=(1,0,−1)/√2` 对所有 `r` 都给核 `e^(−t)`，但这既不提供实现路径钟所需的状态驻留信息，也不使完整状态半群相同。可见平均响应、一次实际路径及其时钟是不同的观测对象，必须保持各自的共同来源关系。

移动观察者、改变端口或主动制备若改变导纳、容量、干预规则或读取权限，已经改变定义19.1的固定模型/取得合同。数学上存在这个换钟，不赋予观察者访问隐藏状态、修改真实等待时间或执行相同随机来源的能力。

**命题 19.6（能量恒等与容量规范）。** 固定有限连通图 `V`，至少两个顶点。边上 `w_xy=w_yx>0`，无边为零，`w_xx=0`；顶点容量 `m_x>0`。记

$$
d_x=\sum_yw_{xy},\quad L=D^{\mathsf T}WD,
\quad (Q_mf)(x)=\frac1{m_x}\sum_yw_{xy}(f(y)-f(x))=(-M^{-1}Lf)(x).
$$

把 $\langle f,g\rangle_m=\sum_xm_xf(x)g(x)$ 固定为参考内积；对称导纳使每条无向边的两项相加为平方差乘积，因此同一能量形式为

$$
\mathcal E_w(f,g)=\sum_{\{x,y\}\in E}w_{xy}(f(y)-f(x))(g(y)-g(x))
=\langle f,-Q_mg\rangle_m.
\tag{19.111}
$$

固定 `w` 时，能量形式的这一表达不随 `m` 改变；改变的是参考内积、生成元和下面读数的局部预算。顶点 `x` 的退出速率是 `d_x/m_x`，平均停留时间是 `m_x/d_x`，跳到 `y` 的条件概率 `w_xy/d_x` 不变。

整体缩放 `n=αm` 给出精确关系

$$
Q_{\alpha m}=Q_m/\alpha,\qquad
e^{tQ_{\alpha m}}=e^{(t/\alpha)Q_m},\qquad
H_k^{\alpha m}=\alpha H_k^m
\tag{19.112}
$$

（最后一式使用同一跳链、同一指数等待随机数）。若一般容量满足

$$
0<a\le n_x/m_x\le b<\infty\quad\text{对所有 }x,
\tag{19.113}
$$

则定理19.2的共同路径换钟

$$
A(s)=\int_0^s\frac{n_{X^m(u)}}{m_{X^m(u)}}\,du
$$

满足 `as≤A(s)≤bs`、`t/b≤A⁻¹(t)≤t/a`，每次共同访问的等待时间也满足 `aH_k^m≤H_k^n≤bH_k^m`。非比例时，这不是一个所有初态和路径通用的确定时钟，不给半群逐项大小排序。

[主卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)第123.4节 使用归一化概率参考 `μ`。本题保留任意正容量的绝对尺度；若令 `μ=m/Σm`，要保留 `Q_m` 就须同时把边导纳改成 `w/Σm`。只归一化容量会改变时钟，不能省略总容量因子。

**定义 19.7（截断逐边长度的路径距离）。**

令

$$
r_m(e)=\frac{\min(m_x,m_y)}{w_{xy}},\qquad
\ell_m(e)=\sqrt{\min\{1,r_m(e)\}}
\quad(e=\{x,y\}),
$$
$$
\boxed{\ d_m^{\rm ADS}(i,j)=\inf_{\gamma:i\leadsto j}\sum_{e\in\gamma}\ell_m(e).\ }
\tag{19.114}
$$

这正是论文取 `θ=m, ω=w` 的式 (1.2)。`1` 与**整个比值**取最小值，不是把容量先与 1 取最小值再除以导纳。有限连通图与正边长使它成为有限距离，且 `d_m^{ADS}≤d_graph`。

**命题 19.8（逐边对偶、缩放与截断）。** Andres–Deuschel–Slowik 的 Proposition 2.3 给精确对偶形式

$$
d_m^{\rm ADS}(i,j)=\sup\left\{f(j)-f(i):
|f(y)-f(x)|\le1,\quad
w_{xy}|f(y)-f(x)|^2\le\min(m_x,m_y)\quad\forall\{x,y\}\in E\right\}.
\tag{19.115}
$$

这是**逐边**约束。论文的 `dΓ^ω(f,f)(e)=w_e(Df(e))²` 是这里的边能量读数；它不是下一节把所有邻边在一个顶点相加的预算。使用论文的 intrinsic 名称时必须保留这份定义。比如三叶单位星、全部容量为 1 时，式（19.114） 是图距离，中心的 `Σ_y w_xy d(x,y)²=3>2m_x`，所以仅引用论文名词也不能推出本题的顶点平方和条件。

证明。整体容量缩放时的准确式子是

$$
\ell_{\alpha m}(e)=\sqrt{\min\{1,\alpha r_m(e)\}}.
\tag{19.116}
$$

因此

$$
\min\{1,\sqrt\alpha\}\,d_m^{\rm ADS}
\le d_{\alpha m}^{\rm ADS}
\le\max\{1,\sqrt\alpha\}\,d_m^{\rm ADS}.
\tag{19.117}
$$

若所有边在缩放前后都未超过截断，即 `max{1,α}r_m(e)≤1`，则所有边长共同乘以 `√α`，这时才有全距离的 `d_{αm}^{ADS}=√α d_m^{ADS}`。这是一个明确充分条件，不是逐点相等的必要条件。反例只需一条权为 1、两端容量为 1 的边：容量乘以 4 后，等待时间乘以 4，但距离仍为 1，不是 2。有限图上，当 `α≥max_e w_e/min(m_x,m_y)` 时，所有边长均为 1，距离恰为图距离，继续增加容量不再改变这份截断距离。

一般比率合同 （19.113） 给

$$
\boxed{\ \min\{1,\sqrt a\}\,d_m^{\rm ADS}
\le d_n^{\rm ADS}
\le\max\{1,\sqrt b\}\,d_m^{\rm ADS}.\ }
\tag{19.118}
$$

依据是逐边 `a r_m(e)≤r_n(e)≤b r_m(e)`，对 `min(1,·)` 保留截断后再对路径求和、取下确界。不能省去式（19.118） 两侧的 `min/max`。

**定义 19.9（同一顶点预算的能量读数距离）。**

现在独立定义

$$
\mathcal F_m=\left\{f:V\to\mathbb R:
\sum_yw_{xy}(f(y)-f(x))^2\le2m_x\quad\forall x\right\},
$$
$$
\boxed{\ D_m(i,j)=\sup_{f\in\mathcal F_m}|f(i)-f(j)|.\ }
\tag{19.119}
$$

**定理 19.10（能量读数距离与容量比较）。** 等价地，`Γ_m(f)(x)=(2m_x)⁻¹Σ_yw_xy(f(y)−f(x))²≤1`；因子 2 在这里固定，不与论文的逐边约定混用。所有点对使用同一个 `𝓕_m`，因此直接承接本卷定理2.2的固定读数族上确界伪度量结构。可行函数在每条边的差不超过 `√[2min(m_x,m_y)/w_xy]`，连通性给有限的路径上界。取 $\delta=\min_x\sqrt{2m_x/d_x}>0$，函数 $\delta\mathbf1_{\{i\}}$ 在每个顶点的平方差和不超过 $\delta^2d_x\le2m_x$，且分离 $i$ 与任意其他顶点。因此在当前有限连通模型上它确为距离。

它没有逐边 `1` 截断，齐次性准确给出

$$
\mathcal F_{\alpha m}=\sqrt\alpha\,\mathcal F_m,
\qquad
\boxed{\ D_{\alpha m}=\sqrt\alpha\,D_m.\ }
\tag{19.120}
$$

对 （19.113），同一个可行集包含关系

$$
\sqrt a\,\mathcal F_m\subseteq\mathcal F_n
\subseteq\sqrt b\,\mathcal F_m
$$

给出

$$
\boxed{\ \sqrt a\,D_m(i,j)\le D_n(i,j)\le\sqrt b\,D_m(i,j).\ }
\tag{19.121}
$$

这些是对同一组 `w`、同一顶点及整体可行读数族的比较；无需把不同点对的最优读数认作同一函数。

**命题 19.11（逐对上确界不保留同一顶点预算）。**

取路径 `0—1—2`，两条导纳和三个容量都为 1。可行性恰要求

$$
(f_0-f_1)^2\le2,\quad
(f_0-f_1)^2+(f_2-f_1)^2\le2,\quad
(f_2-f_1)^2\le2.
$$

| 标识 | 点对 | 精确距离 | 达到上界的读数 `(f₀,f₁,f₂)` | 三个顶点的平方和 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 19.11表1行1 | `(0,1)` | `√2` | `(√2,0,0)` | `(2,2,0)` |
| 19.11表1行2 | `(1,2)` | `√2` | `(0,0,√2)` | `(0,2,2)` |
| 19.11表1行3 | `(0,2)` | `2` | `(1,0,−1)` | `(1,2,1)` |

前两项上界来自单边约束，第三项上界来自 `(f₀−f₂)²≤2[(f₀−f₁)²+(f₂−f₁)²]≤4`，所以表中等式全部是精确结果。中心顶点却有

$$
\boxed{\ \sum_yw_{1y}D_m(1,y)^2=2+2=4>2=2m_1.\ }
\tag{19.122}
$$

甚至距离函数 `g(y)=D_m(1,y)` 本身也不属于 `𝓕_m`。逐对最优函数分别花满中心预算，但不能同时占用这两份预算；将每个坐标的上确界拼成向量正是失效步骤。它不影响三角不等式，因为对每个固定可行函数，三角界由同一函数给出，再对单个左端取上确界即可。

同一三点模型中，论文距离的相邻值均为 1、端点值为 2；能量读数距离的相邻值均为 `√2`、端点值为 2。因此两者甚至不是在这个实例上相差一个共同常数。

**推论 19.12（同一容量尺度的时间与距离平方）。** 在固定导纳下，$m\mapsto\alpha m$ 使定理19.2的每次等待乘 $\alpha$、定理19.10的 $D_m^2$ 乘 $\alpha$；定义19.7的截断距离仅在命题19.8的未截断条件下具有同一齐次关系。证明。分别代入所引三项的缩放公式即得。一般 $am\le n\le bm$ 时，路径钟满足 $as\le A(s)\le bs$，能量距离满足 $\sqrt aD_m\le D_n\le\sqrt bD_m$，截断距离保留命题19.8的最小值、最大值因子。这些是指定生成元与两种指定距离的数学关系，不是命中时间等式或物理速度定律；可行读数的上确界也不表示这些读数已被共同取得。$\square$

## 20. 非线性共同钟的有限纤维与完整历史

**假设 20.1（有限端点记录与自由光滑钟）。** 使用命题18.4的 $k_r$，$r>0$，同源响应为 $F(s)=a k_r(\phi(s))$，$a>0$。真实零点、稳定增益、制备和全部旧档案按[恢复几何卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_RECOVERY_GEOMETRY.md)假设19.1保留。当前有限记录是
$$
0=s_0<s_1<\cdots<s_n<\infty,\qquad
1=z_0>z_1>\cdots>z_n>0,\qquad F(s_i)=az_i.
$$
钟类暂取 $\phi\in C^\infty([0,\infty))$，$\phi(0)=0$，$\phi'>0$，$\phi(s)\to\infty$。$n=0$ 时相邻不等式为空。以下精确纤维针对所列记录；若旧档案另有钟或来源限制，须与其共同相交，不能用本节纤维覆盖旧信息。

**定理 20.2（任意有限前缀的精确参数投影）。** 在假设20.1且无其他限制时，相容参数恰为
$$
\mathcal R_D=\{r>0:p_r<z_n\}
=\bigl(\max\{0,z_n^{-1}-2\},\infty\bigr),\qquad p_r=\frac1{r+2}.
\tag{20.101}
$$
相容性的量词是对每个候选 $r$ 存在一条可依赖 $r$ 的共同钟，拟合该份全部有限记录。

证明。由命题18.4，$k_r(0)=1$，$k_r'(t)=-(e^{-t}+e^{-(1+2/r)t})/2<0$，$k_r(t)\to p_r$，且每个有限 $t$ 有 $k_r(t)>p_r$。因此 $k_r:[0,\infty)\to(p_r,1]$ 连续严格递减双射。有限标签只能给有限内部时间，故 $z_n>p_r$ 必要，等号不能拟合。

反之，设 $n\ge1$ 且 $p_r<z_n$。令 $t_i=k_r^{-1}(z_i)$，则 $0=t_0<t_1<\cdots<t_n<\infty$。写 $\Delta s_i=s_i-s_{i-1}$、$\Delta t_i=t_i-t_{i-1}$，选择
$$
0<\varepsilon<\min_{1\le i\le n}\frac{\Delta t_i}{\Delta s_i}.
$$
在每个开区间 $(s_{i-1},s_i)$ 取非负、积分为一的 $C_c^\infty$ 隆起函数 $b_i$，向区间外延拓为零，置
$$
d(s)=\varepsilon+\sum_{i=1}^n(\Delta t_i-\varepsilon\Delta s_i)b_i(s),
\qquad \phi(s)=\int_0^s d(u)\,du.
\tag{20.102}
$$
每个系数正，故 $d\ge\varepsilon>0$；紧支撑严格位于区间内部，零延拓及其有限和在全部标签和原点光滑。每段积分为 $\varepsilon\Delta s_i+\Delta t_i-\varepsilon\Delta s_i=\Delta t_i$，所以 $\phi(s_i)=t_i$。末点以后 $\phi(s)=t_n+\varepsilon(s-s_n)$，故无界。若 $n=0$，直接取 $\phi(s)=s$，不对空集取最小值。全部正参数均满足 $p_r<z_0=1$。这证明充分性。

若 $z_n<1/2$，记录给严格下界 $r>z_n^{-1}-2$；若 $z_n\ge1/2$，每个正参数都相容。早期数值和时间间隔约束插值钟，但在此钟类中不给额外的 $r$ 限制。这沿用恢复几何卷引理15.8的单调反演机制；该引理严格正生成元的零平台值域在这里换成精确的 $(p_r,1]$，不搬用其原值域。$\square$

**命题 20.3（完整无界历史与有限前缀的量词差）。** 若 $s_j\to\infty$ 且一对 $(r,\phi)$ 同时实现所有记录，则
$$
\ell=\lim_j z_j=p_r,\qquad r=\ell^{-1}-2,\qquad 0<\ell<1/2.
$$
但每个有限前缀分别有一条无界钟，并不保证全部历史有一条共同钟。

证明。共同钟无界且递增，故 $\phi(s_j)\to\infty$，代入 $k_r$ 的平台极限得到首项。若实际参数为 $r_0$，$z_j\downarrow p_{r_0}$，任意固定 $r>r_0$ 都因 $p_r<p_{r_0}<z_j$ 而通过每个有限前缀。然而此候选所需时间满足
$$
k_r^{-1}(z_j)\longrightarrow k_r^{-1}(p_{r_0})<\infty,
$$
所以不存在在全部 $s_j\to\infty$ 取这些值的无界共同钟。即 $\forall n\,\exists\phi_n$ 不推出 $\exists\phi\,\forall j$。只有无穷多个标签而标签有界时，不能使用这里的平台论证；平台极限也不是有限预算自动取得的样本。$\square$

**定义 20.4（已知共同钟率界）。** 给 $0<m\le M<\infty$，用 $\mathcal C_{m,M}$ 表示全部 $\phi(0)=0$ 且满足
$$
m(v-u)\le\phi(v)-\phi(u)\le M(v-u)\qquad(0\le u\le v)
\tag{20.103}
$$
的连续钟。这等价于局部绝对连续且几乎处处 $m\le\phi'\le M$：一个方向积分导数，另一个方向由 Lipschitz 函数的绝对连续性、几乎处处可微性及差商界得到。特别 $\phi(s)\ge ms$，无界性自动成立。定义 $t_i(r)=k_r^{-1}(z_i)$、$t_0=0$、$\Delta_i(r)=t_i(r)-t_{i-1}(r)$ 和 $L_i=s_i-s_{i-1}>0$，逆仅在 $p_r<z_n$ 时使用。

**定理 20.5（绝对连续钟的精确增量判据）。** 若 $n\ge1$，相容参数集恰为
$$
\mathcal R_{\rm AC}={r>0:p_r<z_n,\quad
mL_i\le\Delta_i(r)\le ML_i\ (1\le i\le n)\}.
\tag{20.104}
$$
$n=0$ 时每个正参数相容。$m=M$ 时唯一钟为 $\phi(s)=ms$，条件化为 $t_i(r)=ms_i$。

证明。对相邻标签应用式（20.103）给必要性。反向，在每段线性插值 $\phi(s_i)=t_i(r)$，斜率 $\Delta_i/L_i\in[m,M]$；末点以后以任意固定 $[m,M]$ 内斜率延伸，即得全域绝对连续钟。两端速率等号允许，但有限时间平台等号不允许。$n=0$ 取任一合法线性钟，$m=M$ 则式（20.103）本身强制唯一钟。

只检查从原点累计的 $ms_i\le t_i\le Ms_i$ 不够。例如 $m=1,M=2,s_1=1,s_2=2,t_1=2,t_2=21/10$ 满足累计界，却有 $t_2-t_1=1/10<1$。任取正 $r$ 并令 $z_i=k_r(t_i)$，就在本模型中实现这些读数及该失败。$\square$

**定理 20.6（光滑钟的饱和邻接判据）。** 设 $m<M$。对固定满足式（20.104）的 $r$，令 $c_i=\Delta_i/L_i$，把 $c_i=m$、$c_i=M$ 分别称为下界、上界饱和。存在全域 $C^\infty$ 钟且处处 $m\le\phi'\le M$，当且仅当不存在两个相邻区间分别饱和于相反端点。

证明。若连续导数 $d\in[m,M]$ 在一段均值为 $m$，则非负连续函数 $d-m$ 积分为零，故该闭段处处 $d=m$；均值为 $M$ 同理。相反饱和邻段在共同端点要求两个不同导数，矛盾。

反向，在每个标签选导数值 $q_j\in[m,M]$。饱和邻段规定它等于其端点界，两侧规定相容恰是所述条件；没有规定时可取 $(m+M)/2$。饱和区间上取常导数。在内点斜率区间，把其长度、目标均值及端点导数写为 $L,c,A,B$，其中 $m<c<M$。取端点附近支撑互不相交的光滑截断 $\rho_0,\rho_1\in[0,1]$，各自近相应端点恒为一，远离端点为零，令
$$
\alpha=\int_0^L\rho_0,\quad\beta=\int_0^L\rho_1,\quad
v=\frac{cL-A\alpha-B\beta}{L-\alpha-\beta}.
$$
缩小支撑使 $\alpha+\beta<L$ 且 $v\in(m,M)$，这是因为 $v\to c$。置
$$
d(u)=v+(A-v)\rho_0(u)+(B-v)\rho_1(u).
\tag{20.105}
$$
支撑不相交使每点是 $v$ 与至多一个端点值的凸组合，故 $m\le d\le M$。积分恰为 $cL$，两端邻域为指定常数，因而各段光滑拼接。末点以后取最后端点的常导数，积分即得所需钟。故严格内点斜率充分但非必要；孤立饱和段及同端饱和邻段均可接受。$m=M$ 已由定理20.5处理。$\square$

**命题 20.7（逆时间增量的参数单调性与闭性）。** 对固定有限记录，每个 $\Delta_i(r)$ 在 $D=\{r>0:p_r<z_n\}$ 连续严格递减。因此 $\mathcal R_{\rm AC}$ 是相对于 $(0,\infty)$ 闭的区间，可为空或单点；其与正参数紧集的交为紧集。光滑可行参数集要么为空，要么恰等于 $\mathcal R_{\rm AC}$。

证明。令 $\lambda_r=1+2/r$，使用恢复几何卷定理19.2的参数导数和命题18.4的时间导数，隐函数求导得
$$
\partial_r k_r^{-1}(z)=-H_r(k_r^{-1}(z)),\qquad
H_r(t)=\frac{2[1-(1+\lambda_rt)e^{-\lambda_rt}]}
{(r+2)^2(e^{-t}+e^{-\lambda_rt})}.
\tag{20.106}
$$
$H_r(0)=0$；分子在 $t>0$ 正且严格递增，其导数除正常数外为 $\lambda_r^2te^{-\lambda_rt}$，正分母严格递减，故 $H_r$ 严格递增。于是
$$
\Delta_i'(r)=-H_r(t_i(r))+H_r(t_{i-1}(r))<0.
$$
连续性由时间导数非零的隐函数定理给出。每项上下界的逆像都是区间；上速率界限制参数下端，下速率界限制参数上端，交仍是区间。

闭性还需检查严格平台边界。若可行 $r_j\to r_*>0$，则 $t_n(r_j)\le Ms_n$，所以 $k_{r_j}(Ms_n)\le z_n$。取极限得 $p_{r_*}<k_{r_*}(Ms_n)\le z_n$。逆时间在该点有定义且连续，所有增量不等式传到极限，故相对闭。

若某个 AC 可行 $r_*$ 有定理20.6的相反饱和邻段，则其中一个增量等于下界，另一个等于上界。严格递减性使每个 $r>r_*$ 违反前者下界、每个 $r<r_*$ 且在 $D$ 内者违反后者上界；$D$ 外已不可行。因此整个 AC 集只有 $r_*$，而光滑集为空。若没有这种候选，全部 AC 可行参数均能光滑实现，证明最后结论。它没有省略饱和条件，也没有断言光滑钟族在局部一致拓扑中闭。$\square$

**定理 20.8（紧参数与共同钟的完整记录实现）。** 固定非空紧集 $K\subset(0,\infty)$。若每个有限记录子集在同一 $K\times\mathcal C_{m,M}$ 中有共同实现，则全部记录有一对共同实现 $(r_*,\phi_*)$。附加约束在此联合拓扑下闭时可以一并保留。

证明。钟取紧区间上一致收敛拓扑。每个钟 $M$-Lipschitz，$[0,T]$ 上取值在 $[0,MT]$，原点与式（20.103）在局部一致极限下闭。直接应用紧开形式的 Arzelà–Ascoli 定理，$\mathcal C_{m,M}$ 紧。其使用条件分别是局部等度连续、逐点紧值界和闭性；无需另证一份一般紧性定理。$K\times\mathcal C_{m,M}$ 亦紧，且每条条件 $k_r(\phi(s_i))=z_i$ 由评价与 $(r,t)\mapsto k_r(t)$ 连续而为闭集。紧集的闭集有限交性质给全部条件的共同点。顺序历史亦可用嵌套非空紧集交定理。极限仍有 $\phi_*(s)\ge ms$，所以无界。

这里复用 Mathlib 的 `ArzelaAscoli.compactSpace_of_isClosedEmbedding` 和 `IsCompact.inter_iInter_nonempty` 所表述的一般紧性结论。每次改变 $K$、丢弃旧记录、只检查各条记录单独可行均不满足共同有限交前提。导数读数不自动对局部一致拓扑连续，需另加相应拓扑合同。上界 $M$ 提供局部有界和等度连续；下界 $m>0$ 使无界性保留；只有各钟分别无界不是闭条件。$\square$

**定理 20.9（局部有限的无界标签上的共同光滑钟）。** 设 $s_j\uparrow\infty$，每个有限前缀在同一紧集 $K\subset(0,\infty)$ 中有光滑可行参数，钟率共同在 $[m,M]$。则有单一 $r_*\in K$ 与单一全域光滑钟实现全部历史。

证明。固定候选 $r$ 时，若每个前缀满足式（20.104），在全部相邻区间分段线性插值已得共同 AC 钟，且 $t_j(r)\ge ms_j\to\infty$。对参数变化的光滑情形，由命题20.7，每个非空前缀光滑参数集等于对应 AC 集，与 $K$ 的交紧且嵌套。嵌套紧交定理给 $r_*$，它满足所有有限前缀的增量和饱和邻接条件。在每个相邻区间按定理20.6构造导数，标签导数依两侧饱和段统一选择。$s_j\to\infty$ 使任一有界区间只有有限接点，近接点的常导数片段保证全域光滑。积分后给共同钟。$m=M$ 时直接取线性钟。

此证明使用参数闭性和显式重建，不把光滑钟的局部一致极限宣称为光滑。命题20.3中固定 $r>r_0$ 的反例在这里必失败于某个有限前缀，因为其必需逆时间有界而 $ms_j\to\infty$。对任何实际共同实现，平台仍唯一确定 $r_*$，并不确定孤立标签之间的钟。$\square$

**命题 20.10（没有紧参数控制时的逃逸）。** 取 $m=1,M=2,s_j=j,z_j=e^{-j}$。每个有限前缀有正有限参数的光滑实现，全部历史却没有任何有限正参数实现。

证明。$r\to\infty$ 时 $k_r(t)\to e^{-t}$；对每个固定 $i$，逆 $t_i(r)\to i$，因而 $\Delta_i(r)\to1$。逆收敛可由严格单调性在 $i\pm\eta$ 两侧夹逼得到。若 $g_r(s)=k_r^{-1}(e^{-s})$ 有定义，$s>0$ 时
$$
g_r'(s)=\frac{k_r(g_r(s))}{-k_r'(g_r(s))}>1,
\qquad k_r(t)+k_r'(t)=p_r(1-e^{-(1+2/r)t})>0.
$$
每个固定前缀的大参数因而同时具有 $1<\Delta_i(r)<2$，由定理20.6光滑可行。但完整 $z_j\to0$，与任何正有限 $r$ 的正平台矛盾。共同钟率界不替代参数紧性。$\square$

**命题 20.11（有限聚点使逐前缀光滑性不能拼接）。** 设 $m<M$，固定 $r_0>0$，令
$$
u=\frac{2m+M}{3},\quad v=\frac{m+2M}{3},\quad
s_i=1-2^{-i}\ (i\ge0),\quad c_i=u,v,u,v,\ldots,
$$
$$
t_0=0,\qquad t_i=\sum_{j=1}^i c_j2^{-j},\qquad z_i=k_{r_0}(t_i).
$$
每个有限前缀在同一紧集 $K=\{r_0\}$ 中光滑可行，整份历史有 AC 实现，却没有 $C^1$ 实现。

证明。全部区间斜率严格在 $(m,M)$，故有限光滑可行由定理20.6给出。逐段线性插值，在 $s=1$ 取连续极限，之后以 $[m,M]$ 内常率延伸，给共同 AC 钟。若有 $C^1$ 钟，严格反演强制 $\phi(s_i)=t_i$，均值定理在每段给 $\xi_i\in(s_{i-1},s_i)$，使 $\phi'(\xi_i)=c_i$。$\xi_i\to1$ 与导数连续性强制两种交替且不同的速率趋于同一极限，矛盾。故一般有聚点历史仅由定理20.8保证 AC 实现；光滑实现还须相容的各阶导数或更强光滑拓扑中的紧闭条件。$\square$

## 21. 同源双端口的内部钟与容量反演

**假设 21.1（固定制备、共同时间与认证读出）。** 令

$$
M_r=\operatorname{diag}(1,r,1),\qquad
L=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{pmatrix},
\qquad
S_{M_r}(t)=e^{-tM_r^{-1}L},\qquad r>0.
$$

初态位移为 $e_1$，或经已认证的配对制备与相减取得同一位移响应。两个线性读出作用于同一个状态：

$$
u(t)=(e_1-e_3)^{\mathsf T}S_{M_r}(t)e_1=e^{-t},
$$

$$
v(t)=e_1^{\mathsf T}S_{M_r}(t)e_1=k_r(t)
=\frac1{r+2}+\frac12e^{-t}
+\frac{r}{2(r+2)}e^{-(1+2/r)t}.
\tag{21.101}
$$

第一式也由 $(e_1-e_3)^{\mathsf T}M_r^{-1}L=(e_1-e_3)^{\mathsf T}$ 直接核对；其特征衰减率 $1$ 不依赖 $r$。这里的内部时间单位由单位边权和两个单位端点容量决定。若实际导纳整体为 $\kappa L$，而 $\kappa>0$ 未知，则 $-\log u=\kappa t_{\mathrm{external}}$：取得的是尺度乘外部经过时间，不能分离这两个量，也不能认定外部物理秒已校准。

两个通道可以有不同但各自保持不变的未知正增益：

$$
Y_u(s)=g_u e^{-\phi(s)},\qquad
Y_v(s)=g_v k_r(\phi(s)),\qquad g_u,g_v>0.
\tag{21.102}
$$

共同钟满足 $\phi(0)=0$，严格递增；在同一正标签 $s_*>0$ 读取时，两个通道必须对应同一实际经过时间 $t=\phi(s_*)>0$。不要求钟率已知。单点结论不需要钟函数可微；既有光滑无界钟类当然包含在适用范围内。

真实零时刻给 $Y_u(0)=g_u,\ Y_v(0)=g_v$，从而

$$
u=\frac{Y_u(s_*)}{Y_u(0)},\qquad
v=\frac{Y_v(s_*)}{Y_v(0)}.
\tag{21.103}
$$

因此“一个正时刻读数对”是两个额外标量读出，另需各通道的真实零点校准或已认证同源增益。若两个通道共享同一已认证增益，可以复用相应校准；否则不能用一个通道的零点值替另一个通道校准。

$g_u$ 的标量模型还要求整个线性泛函 $(e_1-e_3)^{\mathsf T}$ 已被认证。若用两个独立传感器相减实现它，必须先校准相对权重；$e_1$ 初态在第三坐标的零点值为零，该次零点读取不能校准第三传感器的增益。未经相对校准的差分不能当作(21.102)中的 $g_u u$。

增益漂移、未知加性基线、未建模的后续强迫、不同初态、不同来源或读出扰动均不在(21.102)内。配对制备必须认证相同生成元、相同实际延迟和同一初始位移；两个独立实验拥有相同显示标签并不自动证明这些关系。若两次读出会改变状态，须另行取得同一状态的合法联合读出，或认证等价的配对协议。

这里消去的是共同自由演化时间参数。若实际制备使用外部脉冲，脉冲幅度、输入测度与钟变换的强迫密度因子仍须满足既有运输合同；两个自由演化读出的关系不自动认证这些输入合同。

**定理 21.2（源参数与内部时间的开楔形坐标）。** 在假设21.1下，一个正时刻的已校准同刻读数对唯一恢复 $r>0$ 与该次内部时间 $t>0$，并给下述开楔形的光滑坐标。证明。应用[恢复几何卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_RECOVERY_GEOMETRY.md)定理19.2、19.3的核单调性与逆稳定结果。

消去 $t=-\log u$，得到

$$
\boxed{
v=G_r(u):=\frac1{r+2}+\frac u2
+\frac{r}{2(r+2)}u^{1+2/r},
\qquad 0<u<1.}
\tag{21.104}
$$

因此同一未知非线性钟的具体形式从这一个同刻关系中消去。直接求 $u$ 导数，以及把既有 $\partial_r k_r(t)$ 公式代入 $t=-\log u$，给

$$
\boxed{\partial_uG_r(u)=\frac{1+u^{2/r}}2\in(1/2,1),}
\tag{21.105}
$$

$$
\boxed{
\partial_rG_r(u)
=-\frac{H((1+2/r)(-\log u))}{(r+2)^2}<0,
\qquad H(w)=1-(1+w)e^{-w}.}
\tag{21.106}
$$

这里 $H$ 就是恢复几何卷第19节中的 $h$，换字母仅为避免混同采样间隔。对 $w>0$，$H(w)>0$，且 $H'(w)=we^{-w}>0$。

恢复几何卷定理19.2的端点极限直接成为

$$
\lim_{r\to\infty}G_r(u)=u,\qquad
\lim_{r\downarrow0}G_r(u)=\frac{1+u}{2}.
\tag{21.107}
$$

连续严格反单调性表明，固定 $u\in(0,1)$ 时，$r\mapsto G_r(u)$ 恰把 $(0,\infty)$ 一一映到 $(u,(1+u)/2)$。所以

$$
\boxed{
(r,t)\in(0,\infty)^2
\longmapsto (e^{-t},k_r(t))
}
$$

恰为

$$
\boxed{\mathcal W=\{(u,v):0<u<1,\ u<v<(1+u)/2\}}
\tag{21.108}
$$

的一一参数化。逆像由 $t=-\log u$ 和唯一方程 $G_r(u)=v$ 确定。前向映射光滑，Jacobian 为

$$
\det\frac{\partial(u,v)}{\partial(r,t)}
=u\,\partial_rG_r(u)<0.
$$

直接应用通常的局部反函数定理，并利用已得的全局单射与满射，逆映射在整个 $\mathcal W$ 上光滑。这里的 $\mathcal W$ 是精确的开区域；边界 $v=u$、$v=(1+u)/2$ 分别对应 $r\to\infty$、$r\downarrow0$，不能解释为有限正质量参数。

$t=0$ 时两值同为 $1$，只承担校准而不识别 $r$。$u=0$ 对应无限经过时间极限，不属于一次有限正时刻的读数合同。

**命题 21.3（单个内时点不恢复钟的间隙）。** 第一通道单独对 $r$ 完全不敏感，却给出 $t=-\log u$。第二通道因而成为已知内部时间的核读数，直接进入原有单调反演。参数盲通道的作用是约束另一个通道中的未知时间；没有声称它单独新增了关于 $r$ 的信息。

一个读数对不确定采样之间的钟函数。例如，固定读出标签 $s_*>0$ 和所得 $t>0$，令 $\alpha=t/s_*$，取非零 $\psi\in C_c^\infty((0,s_*))$。当

$$
|\varepsilon|\,\|\psi'\|_\infty<\alpha
$$

时，

$$
\phi_\varepsilon(s)=\alpha s+\varepsilon\psi(s)
$$

都是严格递增、光滑、无界的钟，满足 $\phi_\varepsilon(0)=0$、$\phi_\varepsilon(s_*)=t$，却在采样之间不同。钟率、钟加速度及完整钟函数没有被该单点结论识别。

**定理 21.4（参数与时间的不同稳定常数）。** 现在把真实参数和该次真实读数限制在已认证范围

$$
0<\ell\le r\le R<\infty,\qquad
0<u_{\min}\le u\le u_{\max}<1.
\tag{21.109}
$$

这些是有效的参数/取得约束，不能仅因把观测值截入区间就宣称真实值满足它们。假设同一误差事件上有

$$
|\widehat u-u|\le\delta_u,\qquad
|\widehat v-v|\le\delta_v.
\tag{21.110}
$$

先取

$$
\widetilde u=\operatorname{proj}_{[u_{\min},u_{\max}]}(\widehat u),
\qquad
J(\widetilde u)=[G_R(\widetilde u),G_\ell(\widetilde u)],
$$

$$
\widetilde v=\operatorname{proj}_{J(\widetilde u)}(\widehat v).
$$

令 $\widehat r\in[\ell,R]$ 满足

$$
G_{\widehat r}(\widetilde u)=\widetilde v,\qquad
\widehat t=-\log\widetilde u.
\tag{21.111}
$$

存在唯一逆像；$\ell=R$ 时参数本来已知，直接取该值即可。

由(21.106)及 $H$ 单调性，整个矩形上的参数灵敏度下界为

$$
\boxed{
m=\frac{H((1+2/R)(-\log u_{\max}))}{(R+2)^2}>0.}
\tag{21.112}
$$

它正是在角点 $(R,u_{\max})$ 取得的最小灵敏度。类似地，(21.105)给

$$
L_u=\frac{1+u_{\max}^{2/R}}2<1,\qquad
|\partial_uG_r(u)|\le L_u.
$$

投影不增加 $\widetilde u$ 到真实 $u$ 的距离，因此 $|\widetilde u-u|\le\delta_u$。关键是用 $G_r(\widetilde u)\in J(\widetilde u)$ 作为第二次投影的比较点：

$$
\begin{aligned}
|\widetilde v-G_r(\widetilde u)|
&\le|\widehat v-G_r(\widetilde u)|\\
&\le\delta_v+|G_r(u)-G_r(\widetilde u)|\\
&\le\delta_v+L_u\delta_u.
\end{aligned}
$$

直接复用恢复几何卷定理19.3的导数下界/差商界，得到

$$
\boxed{
|\widehat r-r|
\le\frac{L_u\delta_u+\delta_v}{m}
\le\frac{\delta_u+\delta_v}{m}.}
\tag{21.113}
$$

参数误差界成立，并可使用这里稍紧的 $L_u<1$。若数值求根仅认证了额外核残差 $\eta$，则(21.113)的分子另加 $\eta$，沿用恢复几何卷定理19.3的误差规则。

时间误差是独立的一项：

$$
\boxed{
|\widehat t-t|
\le\frac{|\widetilde u-u|}{u_{\min}}
\le\frac{\delta_u}{u_{\min}}.}
\tag{21.114}
$$

直接用 $G_r(u)$ 处理参数反演，避免了把时间误差的 $1/u_{\min}$ 因子再无谓地加进(21.113)；但恢复时间本身仍必须承担它。若要报告两项绝对误差之和，可把(21.113)与(21.114)相加。

本结论没有全域统一常数：$u_{\max}\uparrow1$ 时参数灵敏度消失；没有有限 $R$ 时同样失去参数逆稳定。另一方面，(21.112)的 $m$ 和 $L_u$ 都不依赖 $u_{\min}$。保持 $u_{\max}<1$ 与 $[\ell,R]$ 固定而令 $u_{\min}\downarrow0$，不会破坏(21.113)的参数稳定常数；失去统一稳定性的是(21.114)中的内部时间恢复。这两个条件数不能混同。$u=0$ 本身仍是无限经过时间极限，不能称为一次有限时刻可取得的读数。

**命题 21.5（投影估计不保证原始残差）。** 第二次投影依赖已经改动的横坐标 $\widetilde u$。真实 $v=G_r(u)$ 不一定属于 $J(\widetilde u)$，所以不能声称该投影单独不增加到真实 $v$ 的误差。

一个精确例子：真实 $r=2$、$u=1/2$、$v=9/16$，取参数区间 $[1,2]$、读数区间 $[2/5,4/5]$，观测为

$$
\widehat u=3/5,\quad\delta_u=1/10,\qquad
\widehat v=9/16,\quad\delta_v=0.
$$

因为 $G_2(w)=(1+w)^2/4$，投影输出

$$
\widetilde u=3/5,\qquad
\widetilde v=G_2(3/5)=16/25,\qquad
\widehat r=2.
$$

于是

$$
|\widetilde v-\widehat v|=31/400>0=\delta_v.
$$

它仍满足(21.113)–(21.114)，但预测的同刻读数对不满足原来的第二条零误差残差。若交付要求一份与全部已获记录相容的模型，必须另验同一个候选满足原始两条残差及旧档案；不能把这里的投影操作称为该共同可行性的证书。

**命题 21.6（四个原始读数的共同误差）。** 沿用恢复几何卷第19节的比值误差界。设每个通道的真实零点及当前读数分别为 $g_u,g_uu$ 和 $g_v,g_vv$，四条已认证原始误差为 $\epsilon_{u0},\epsilon_{us},\epsilon_{v0},\epsilon_{vs}$。若观测零点满足

$$
\widehat Y_{u0}>\epsilon_{u0},\qquad
\widehat Y_{v0}>\epsilon_{v0},
$$

则归一化观测可取

$$
\widehat u=\widehat Y_{us}/\widehat Y_{u0},\qquad
\widehat v=\widehat Y_{vs}/\widehat Y_{v0},
$$

$$
\delta_u=
\frac{\epsilon_{us}+\epsilon_{u0}}{\widehat Y_{u0}},
\qquad
\delta_v=
\frac{\epsilon_{vs}+\epsilon_{v0}}{\widehat Y_{v0}}.
\tag{21.115}
$$

这里只用 $0<u,v<1$ 和
$(\widehat Y_{us}-u\widehat Y_{u0})/\widehat Y_{u0}$ 的恒等式，另一通道同理。两通道和零点的误差可以相关；预算必须在同一联合事件上成立，不能把共享校准误差另当独立抽样。若读数来自配对差分，相应制备与差分误差先进入这些原始界。没有安全正分母或增益下界时，不存在这种统一绝对噪声保证。

若要求一份原始仪器记录的合法拟合，应保留同一个 $(r,t,g_u,g_v)$ 的四个残差，而不只保留式（21.115）的两个外包半径。例如默认误差盒的精确候选集为
$$
\begin{aligned}
\mathcal F_Y=\{(r,t,g_u,g_v):\;&r,t,g_u,g_v>0,\\
&|g_u-\widehat Y_{u0}|\le\epsilon_{u0},\quad
|g_u e^{-t}-\widehat Y_{us}|\le\epsilon_{us},\\
&|g_v-\widehat Y_{v0}|\le\epsilon_{v0},\quad
|g_vk_r(t)-\widehat Y_{vs}|\le\epsilon_{vs},\\
&\text{同一来源、钟、校准与全部旧档案相容}\}.
\end{aligned}
\tag{21.116}
$$
已知更小的联合误差集时，四个盒条件换成同一个原始残差向量属于该集；两个归一化区间分别非空不证明 $\mathcal F_Y$ 非空。假设21.1的共同时间、实际读出泛函及制备条件也始终保留。

**命题 21.7（增益、读出泛函、同刻与制备的必要性见证）。** **没有增益校准。** 即使两个通道共享一个未知正增益 $g$，单个原始正读数对仍可对 $r$ 完全不识别。给定任意 $0<U<V$，设 $\rho=V/U>1$。对每个 $r>0$，

$$
e^tk_r(t)=\frac{e^t}{r+2}+\frac12
+\frac{r}{2(r+2)}e^{-2t/r}
$$

从 $1$ 严格增至无穷，其导数为

$$
\frac{e^t-e^{-2t/r}}{r+2}>0\quad(t>0).
$$

因此存在 $t_r>0$ 使 $e^{t_r}k_r(t_r)=\rho$，再置 $g_r=Ue^{t_r}$，每个 $r>0$ 都产生同一原始读数对 $(U,V)$。不同未校准增益只会引入更多自由度。

即使两个输出零点都为 $1$，差分端口的相对权重也可能错。真实 $r=2,t=\log2$ 时，两个端点状态值为 $9/16,1/16$。若仪器实际相减的是第一坐标减去两倍第三坐标，会报告 $(u,v)=(7/16,9/16)$，其零点读数仍均为 $1$。该对位于开楔形内，却有 $G_2(7/16)=529/1024\ne9/16$，会把内部时间和参数都识别错。这属于未认证读出泛函，不能由标量零点归一化补救。

**两个通道没有共同经过时间。** 若实际为 $u=e^{-t_u}$、$v=k_r(t_v)$，则第一值只确定 $t_u$。例如固定已归一化对 $(u,v)=(1/2,9/16)$：对每个 $r>0$，因 $p_r<1/2<9/16<1$，均可取 $t_v=k_r^{-1}(9/16)$，同时取 $t_u=\log2$。两个不同的线性钟已足以在同一显示标签产生这些值。真实零点和增益校准都不能替代共同时间关系。

**初态来源不对，即使零点读数都正确也会误判。** 真实参数取 $r=2$，实际初态却为

$$
w=e_1+\frac19e_2.
$$

两通道在真实零点仍均读 $1$。中点初态的端点传递为

$$
e_1^{\mathsf T}S_{M_r}(t)e_2
=\frac{r}{r+2}\bigl(1-e^{-(1+2/r)t}\bigr),
$$

而它对差分端口的贡献为零。因此在 $t=\log2$ 时，

$$
u=1/2,\qquad
v=\frac9{16}+\frac19\frac38
=\frac{29}{48}=G_1(1/2).
$$

同一时刻、正确的两个零点值、位于开楔形内部的读数对，却与“初态 $e_1$、参数 $r=1$”完全相同。单对读数不能认证初态来源。未建模强迫或读出导致的状态扰动同样不能由同刻标签排除。

**显示零点不是真实制备零点。** 真实 $r=2$，显示零点落在真实 $b=\log2$，再过 $t=\log2$ 读取并分别除以显示零点值。差分端口给 $u=e^{-t}=1/2$，但端点通道给

$$
v=\frac{k_2(2\log2)}{k_2(\log2)}
=\frac{25/64}{9/16}
=\frac{25}{36}.
$$

该对仍位于开楔形内部，却不是 $G_2(1/2)=9/16$。强行使用(21.104)会得到另一个参数。差分端口能正确给出这段时间增量，不代表端点通道已取得正确的增益归一化。

这些反例均由所列恒等式成立。它们说明新桥所需的是实际共同关系：固定来源、合法初态、真实零点、稳定增益、已认证读出泛函和同一状态/经过时间。新增读出与旧档案共同约束模型，不替换已经取得的其他记录。

在上述同源制备和校准假设下，定理21.2使用一个正时刻的两个通道，[恢复几何卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_RECOVERY_GEOMETRY.md)定理20.2使用从零开始的五个等步单端口值；前者允许未知共同非线性钟，后者要求未知正线性钟。这是不同取得合同下的两种充分关系，不能由读数个数推出费用优劣。合法通道、准备、校准、等待、存储及算术各有费用，仍须分别计量。

## 22. 推进操作、输入测度与谱记忆的钟运输

**定理 22.1（一维时变系统的任意阶标签 Hankel 秩）。** 下列同一个一维系统经已知非线性钟重标后，普通等步标签读数具有任意大的 Hankel 秩；其正确强迫接口和物理变换仍可运输。证明。

先固定同一个物理系统

$$
\dot x(t)=-x(t)+u(t),\qquad y(t)=x(t).
$$

零输入、已制备初态 x(0)=1 的完整响应为 K(t)=e^{-t}。其物理时间离散序列 e^{-n} 的所有非空 Hankel 块都秩一。

取已知钟 t=φ(τ)=log(1+τ)。它光滑、φ(0)=0、φ′(τ)=1/(1+τ)>0，且趋于无穷。实际重标曲线为

$$
k(\tau)=K(\phi(\tau))=\frac1{1+\tau}
=\int_0^\infty e^{-\lambda}e^{-\lambda\tau}\,d\lambda.
$$

最后等式是直接积分；这是标记曲线的一个连续正谱表示。它不可能写成有限正原子和 Σ_j w_j e^{-λ_j τ}，其中 w_j>0、λ_j≥0：有零率原子就有非零平台；没有零率原子时，有限集合的最小率 λ_min>0 给指数上界 (Σw_j)e^{-λ_min τ}，与 1/(1+τ) 的尾部矛盾。这只排除指定的有限正谱类，不把“连续谱表示”直接认作原系统的物理隐藏状态。

更强且只用实际离散读数的下界为

$$
H_N(i,j)=k(i+j)=\frac1{i+j+1}=\int_0^1 z^{i+j}\,dz,
\qquad 0\le i,j<N.
$$

任意非零 a∈R^N 给非零多项式 P(z)=Σ_i a_i z^i。P 不会在整个 (0,1) 恒为零；连续性给一个区间上 P²>0。因此

$$
a^T H_Na=\int_0^1P(z)^2\,dz>0.
$$

故 rank H_N=N。应用 `HankelRankMinimality.finiteHankel_eq_observability_comp_controllability`，任意 d 维线性时不变实现的 Hankel 块由观测矩阵乘可达矩阵分解，秩≤d；取 N=d+1 即矛盾。所以整个序列 k(n) 没有有限维 LTI 实现。只取得前 2N−1 个精确读数时，能推出的是任何与该前缀匹配的 LTI 实现维数至少 N；有限 N 不证明原物理系统有无限状态。

原系统仍有一个动态状态。 令 X(τ)=x(φ(τ))、v(τ)=u(φ(τ))，合法运输得到

$$
X'(\tau)=\frac{-X(\tau)+v(\tau)}{1+\tau}.
$$

这是一维时变实现。若要求自主形式，可增加已知钟态 r′=1、r(0)=1，写 X′=(-X+v)/r；它是二维自主非线性控制系统，不是有限维 LTI 实现。两种维数陈述的模型类不同。

继续比较同一个强迫协议。 零初态时，保留 力值 输入 v=u∘φ，换元给

$$
X(\tau)=\int_0^\tau
 e^{-(\phi(\tau)-\phi(\sigma))}\phi'(\sigma)v(\sigma)\,d\sigma
=\int_0^\tau\frac{v(\sigma)}{1+\tau}\,d\sigma.
$$

这里是两时接口的核；本例中的 σ 依赖恰好相消。它仍不是 k(τ−σ)。取合法有限矩形输入 v=1_[1,2]，即物理 u=1_[log 2,log 3]。在 τ=2，真实输出为 1/3；误把初态曲线当新卷积核则给

$$
\int_1^2 k(2-\sigma)\,d\sigma=\log 2.
$$

这不是分布脉冲，也没有改变比较中的输入或初态。若改用输入密度 w(σ)=φ′(σ)u(φ(σ))，则积分核相应为 (1+σ)/(1+τ)。两种输入约定各自成立，不可混用。

积分与频域条件同样运输。 原 ∫K(t)dt=1；新 ∫k(τ)dτ 发散；保留物理测度则

$$
\int_0^\infty k(\tau)\phi'(\tau)\,d\tau=1.
$$

因此不能把物理核的 L1 小增益合同直接移给 k(τ−σ)。普通未阻尼 Fourier 变换的绝对可积前提也不能直接移过来；这里不排除个别非零频率的条件收敛。保留正确相位与测度时，物理 Fourier 响应仍为

$$
\int_0^\infty e^{-i\omega\phi(\tau)}k(\tau)\phi'(\tau)d\tau
=\frac1{1+i\omega}.
$$

**命题 22.2（共同有界钟率下的物理谱歧义）。** 定理22.1的 φ′ 没有正的统一下界。下面的同一缺口在共同双边钟率合同内仍出现，首先给出有限秩一与二的区别。

令 U=R。两个物理正实现为

$$
C_A=1,\quad J_A=1,\quad K_A(t)=e^{-t};
\qquad
C_B=\operatorname{diag}(1,2),\quad
J_B=(1/\sqrt2,1/\sqrt2)^T,\quad
K_B(s)=\tfrac12(e^{-s}+e^{-2s}).
$$

均满足 K=J*e^{-tC}J；初态制备 x(0)=J1、输出 J*x 给相应零输入响应。两者初始输出都为 1，谱都在共同区间 [1,2]。

在 A 使用未知钟

$$
\phi(s)=-\log K_B(s)
=s+\log2-\log(1+e^{-s}),
$$

在 B 使用恒等钟。直接求导得

$$
\phi'(s)=\frac{1+2e^{-s}}{1+e^{-s}}\in(1,3/2],\quad
\phi(0)=0,\quad \phi(s)\to\infty.
$$

所以两种钟均满足共同合同 1≤钟率≤3/2，且完整标记响应逐点相等：K_A(φ(s))=K_B(s)。本例连无穷尾部都相同，两者平台都为零，因此不与 本卷命题18.6 的特定非零平台识别矛盾。

取任意 h>0，令 x=e^{-h}、z=e^{-2h}，共同数据 a_n=(x^n+z^n)/2 给

$$
a_0a_2-a_1^2=\tfrac14(x-z)^2>0.
$$

由 Hankel 因子化，B 的物理最小 LTI 维数至少 2，而展示的实现给上界 2；A 的物理最小维数为 1。`FinitePronyHankelReconstruction.prony_hankel_rank` 也直接给共同标记序列的秩 2。

物理时间 Laplace 目标同样不同：对 p>0，

$$
\widehat K_A(p)=\frac1{p+1},\qquad
\widehat K_B(p)=\frac1{2(p+1)}+\frac1{2(p+2)}.
$$

在 p=1 分别为 1/2 与 5/12。因此观察对象只包含完整标记曲线及上述共同谱界/钟率界时，物理最小维数和物理 Laplace 响应都不在观察纤维上恒定。所有后处理，包括精确求标记曲线的 Fourier/Laplace 变换，都不能将这两个世界分开。

这个反例不需要固定正幅度的钟率不确定性。将第二率改成 1+δ，δ>0，并令 φ=-log[(e^{-s}+e^{-(1+δ)s})/2]，则 1<φ′≤1+δ/2；对任意 ε>0，选 δ≤min(1,2ε)，仍有秩 1/2 歧义而钟率落在 [1,1+ε]。这不涵盖 ε=0。

同一构造覆盖任意有限正谱族。给定 F(s)=Σ_j w_j e^{-λ_j s}，w_j>0、Σw_j=1、λ_j>0，取 λ_0>0，令 φ(s)=-log F(s)/λ_0 及倾斜权重 π_j(s)=w_j e^{-λ_j s}/F(s)。则

$$
F=e^{-\lambda_0\phi},\qquad
\phi'=\frac{\sum_j\pi_j\lambda_j}{\lambda_0}
\in[\lambda_{\min}/\lambda_0,\lambda_{\max}/\lambda_0],
\qquad
\phi''=-\frac{\operatorname{Var}_{\pi(s)}(\lambda)}{\lambda_0}\le0.
$$

证明为 F′/F 的直接微分：π_j′=π_j(Σ_kπ_kλ_k−λ_j)，代回即给负方差。正率还给 φ(0)=0 与 φ→∞。故允许这些未知钟时，任意有限谱复杂度都能吸收到单模的钟里。给定先验钟率 [m,M] 时仍须核实本例实际 φ′ 位于该区间；上述端点界是充分条件，不声称任意谱自动适配任意先验。特别，对任意 ε>0 和任意整数 $N\ge2$，可以选 N 个互异 λ_j∈[1,1+min(ε,1)]、λ_0=1 与正归一化权重，得到共同钟率 [1,1+ε]、共同物理谱界 [1,2] 下的维数 1/N 歧义。这是标准 log-sum-exp 导数恒等式与既有 Prony 秩定理的组合，不是新的对数配分函数理论。

限制：比较的是完整零输入初态响应，不是所有驱动实验的等价。若档案已有各物理采样时刻、校准钟、能区分的输入实验或与物理时间绑定的实际费用读数，这些资料必须并入观察 Q；上述两个世界未被证明在扩大的 Q 下仍相同。不能删掉档案来制造碰撞。

**命题 22.3（记录核、推进交织与实际费用）。** 对已知、共同、连续严格递增且满射的 $\phi:[0,\infty)\to[0,\infty)$，定义 R_φf=f∘φ。它在完整函数空间上可逆。任意记录映射 Q 都有

$$
R_\phi Q(x)=R_\phi Q(y)\iff Q(x)=Q(y).
$$

因此仅改记录坐标不改变观察核，也不改变“目标在每条观察纤维上恒定”的准确可恢复性。命题22.2变粗的是**未知钟也属于待识别对象**时的观察映射；不同对象使用不同 φ，不能用一个共同已知的逆变换撤回。

然而物理平移 S_hf(t)=f(t+h) 在重标记录上的运输是

$$
(\widetilde S_hF)(s)
=F\bigl(\phi^{-1}(\phi(s)+h)\bigr),
\qquad
R_\phi S_h=\widetilde S_hR_\phi.
$$

这正是 `BehaviorCompletionTranslation.behavior_completion_translation` 所需的交织条件。对单模的 F=e^{-φ(s)}，有 S̃_hF=e^{-h}F，运输后的闭合仍一维。普通标签平移 F(s+h) 则在定理22.1给无限维平移闭合，在命题22.2给二维。将 S̃_h 换成普通平移，不再是 `DynamicClosureMinimality.dynamic_closure_is_least` 中相同的干预族。

再假设 $\phi$ 为 $C^1$ 且 $\phi'>0$，物理 Laplace 的合法计算为

$$
\widehat K(p)=\int_0^\infty
 e^{-p\phi(s)}K(\phi(s))\phi'(s)\,ds.
$$

普通标签变换 ∫e^{-ps}K(φ(s))ds 是另一个目标。仿射 φ(s)=cs 才有熟悉的 $\mathcal L[K(c\,\cdot)](p)=c^{-1}\widehat K(p/c)$。Fourier 同样必须运输相位及测度；完整数据的单射编码与目标运算闭合是分开的条件，正如[主卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)定理31.15 已证明的代数观察现象。

有限取得时只有原样点会被重标。新钟等步点一般不是已有物理等步点；从有限向量做可逆 DFT 保留该向量的核，但不给未测的点、整个响应、导数或无穷极限。连续 Laplace/Fourier 积分不是这个有限 DFT 所附赠的接口。

[恢复几何卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_RECOVERY_GEOMETRY.md)命题4.7 精确说明有限宏读数如何回到同一原始记录：p=B^Tz，宏系数 u 实际展开为 Bu，盒噪声幅度为 ε||Bu||_{1,σ}。共享原始噪声的变换系数不能被重新宣布独立；已支付的取得费用也不因表达变短而退款。本卷定理12.7 对真实重标保留点操作费用，连续费率乘 φ′；命题22.2若把物理钟费用加入 Q，就必须重新检验同纤维条件。

## 23. 可读模态的相位幅度钟与素数参照

**定义 23.1（闭合模态接口）。** 给集合 X 与作用 T_t:X→X（t≥0），满足 T_0=id、T_{t+s}=T_tT_s。给定 $N\ge1$ 个复值可读函数 χ_j:X→ℂ 和已知复数 s_j，满足

$$
\chi_j(T_t x)=e^{s_jt}\chi_j(x)\qquad(t\ge0,x\in X).
\tag{23.101}
$$

记 Ψ(x)=(χ_j(x))_{j=1}^N，并以 y(x)=Σ_jχ_j(x) 为指定标量读出。可读意味着当前协议允许取得该值，或已给出从现有合法记录恢复它的映射与条件；式(23.101)本身不授予访问权限。一般系统也不自动存在这样一组有限模态。写 s_j=−γ_j+iω_j 只是在此闭合模型内拆分生成元，不是概率或物理假设。

**命题 23.2（当前模态与指定未来响应的闭合）。** 有

$$
\Psi(T_t x)=\operatorname{diag}(e^{s_1t},\ldots,e^{s_Nt})\Psi(x),
\qquad y(T_t x)=\sum_j e^{s_jt}\chi_j(x).
\tag{23.102}
$$

所以 Ψ 相等的两个状态具有相同的全部 y 未来。若存在 h>0 使 m_j=e^{s_jh} 互异，则相同的前 N 个 h 间隔 y 读数也强制 Ψ 相等。因此该有限窗口、Ψ 和全部 y 未来在 X 上具有同一个观察核。

**证明。** 前式逐坐标就是(23.101)，求和给后式。窗口是 VΨ，其中 V_{nj}=m_j^n、0≤n<N。节点互异，直接应用已有 Vandermonde 窗口单射性，即`FiniteCrystalTimeFrequencyBridge.first_crystal_time_window_injective` 的复数实例。全部未来包含该窗口，所以三个核相等。此论证恢复的是指定模态任务商；除非另证 Ψ 对 X 单射，不恢复全部微观状态。□

复数 s_j 互异不保证采样节点 m_j 互异。纯衰减实率互异在任意 h>0 下给互异节点；含相位时还须排除相差 2πik/h 的率。

**定义 23.3（同源非零衰减模态记录）。** 固定 x∈X、一个满足(23.101)的模态 χ，令 s=−γ+iω、γ>0、χ(x)≠0。标签区间 I 含初始点 τ_0，φ:I→[0,∞) 连续严格递增，φ(τ_0)=0；实际记录为

$$
Z(\tau)=g\,\chi(T_{\phi(\tau)}x),\qquad g\in\mathbb C\setminus\{0\}
\tag{23.103}
$$

且 g 在该记录内固定。它可以未知，因为以下比值使用同一个传感器的实际初始记录 Z_0=Z(τ_0)。不允许任意时间变增益、遗漏初始记录或把两来源记录拼作同一模态。

定义 A(τ)=|Z(τ)|、a(τ)=−log[A(τ)/A(τ_0)]。令 θ 是 Z/|Z| 的连续实相位提升，初值 θ(τ_0)已固定。相位提升是完整连续非零轨迹的数学对象；它是否实际可得须另外由连续记录或已认证的绕数信息保证。

**命题 23.4（共同钟消去及尺度边界）。** 对所有 τ∈I，

$$
a(\tau)=\gamma\phi(\tau),\qquad
\theta(\tau)-\theta(\tau_0)=\omega\phi(\tau)
=\frac\omega\gamma a(\tau).
\tag{23.104}
$$

若 φ 可微且 φ′>0，则局部衰减率 a′=γφ′ 与相位率 θ′=ωφ′ 同乘换钟因子；其比为 ω/γ。任何两个幅度相差二倍的已记录点之间，连续累计相位差为 (ω/γ)log2。若 γ已知，则幅度给相对内部时间 φ=a/γ；若 γ未知，(γ,ω,φ)→(cγ,cω,φ/c)、c>0 保持全部 Z，不识别绝对率与绝对时间单位。

**证明。** 由(23.101)，Z/Z_0=e^{(−γ+iω)φ}，取模和实对数得第一式。函数 θ_0+ωφ 是相应单位相位的一份连续提升；任意同初值提升与它的差属于2πℤ且连续，在区间上必恒为零，故得第二式。求导给局部公式；两点 a 差等于log2给半幅公式。最后直接代入尺度变换。□

γ=0 时幅度恒定，不能充当这一内部钟；χ(x)=0 时整个模态不可见；只有 |Z| 时 ω完全不可见。任意混合读出 Σχ_j 的相位与模长也不满足(23.104)，除非另证它自身是一份非零模态。常数增益能由同源比值消去不意味着时变增益也能消去。

若传感器只读强度 |Z|²，对数比为2γφ，应保留因子2；只读实部也不提供复相位。相位方向的坐标约定须固定，未知复共轭会留下ω/γ与−ω/γ的歧义。反过来，观察到(23.104)形式也不单独认证一模来源：任意严格正的实混合衰减都有恒定相位和零斜率，仍须保留已声明模态类及共同来源条件。

“周期”在此只指纯相位因子的一次闭合；γ>0 的完整 Z 轨迹不具有正周期。半幅不是概率半衰或熵变化。[主卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)第127.13节的热流/波动比较已经承担两种演化规则的区别，此处保留该区别。

**推论 23.5（参照模态确定相对谱图）。** 在定义23.1的同一系统、同一 x、同一未知 φ 下，另有一个合法可读参照模态 ζ，满足 ζ(T_t x)=e^{(−γ_*+iω_*)t}ζ(x)、γ_*>0、ζ(x)≠0。令

$$
u(\tau)=\frac{|\zeta(T_{\phi(\tau)}x)|}{|\zeta(x)|}\in(0,1],
\qquad a_*(\tau)=-\log u(\tau).
$$

则每个选定模态满足

$$
\chi_j(T_{\phi(\tau)}x)
=\chi_j(x)\exp\!\left[-\frac{s_j}{\gamma_*}\log u(\tau)\right].
\tag{23.105}
$$

因此消去未知共同标签后，记录落在由初始模态与相对率 s_j/γ_* 确定的一张图上。

**证明。** 命题23.4给 φ=−log u/γ_*，代入(23.101)。u>0，所以这里使用唯一实对数，不涉及复对数选支。□

若连续相位和非零初值的各个模态确已可读，可以由各模态的对数幅度、展开相位相对于 a_* 的斜率恢复相对率；这只是(23.104)逐模态应用。单个标量混合响应没有免费提供这些独立通道。[恢复几何卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_RECOVERY_GEOMETRY.md)引理15.8的单调共享迹是另一种内部钟，不须把正谱混合迹错误拆成已取得的每个模态。

**命题 23.6（校准素数热坐标与未知尺度纤维）。** 使用 `PrimeZeckendorfFrequencyBridge.first_excited_prime_frequency` 的既有 $\lambda_p=\varphi^2\log p$（第一激发层），以及 `PrimeGoldenComplexMode.first_golden_complex_mode_euler` 和模长公式。这里不重证一般素数对数独立性；读数也不恢复该频率所忽略的层坐标。

令 $\varphi=(1+\sqrt5)/2$ 为黄金比，$c=\varphi^2>0$、$\lambda_p=c\log p$，其中p为素数，故λ_p>0。定义
$$
A_p(\sigma)=e^{-\sigma\lambda_p},\qquad
M_p(\sigma,t)=e^{-\sigma\lambda_p}e^{it\lambda_p}.
$$
若σ>0已知，精确合法幅度A=A_p(σ)唯一确定
$$
\boxed{p=\exp\!\left(\frac{-\log A}{c\sigma}\right).}
\tag{23.111}
$$
所以完整复读数也确定p，而无需先解相位绕数。若σ作为未知参数可取任意正数，则对任意两个素数p,q，置
$$
\sigma_q=\sigma_p\frac{\log p}{\log q}>0
$$
就有A_q(σ_q)=A_p(σ_p)。联合观测(p,σ)↦A因此不单射。

**证明。** 取实对数给−log A=cσlog p，除以正cσ并取指数得到(23.111)；这等价于 `PrimeZeckendorfTemporalization.first_excited_heat_multiplier_injective` 的正热坐标单射性。碰撞直接由σ_q log q=σ_p log p得到。对于复读数，进一步取 $t_q=t_p\log p/\log q$ 即保证完整 $M$ 也相同；固定已知t时，不可仅凭幅度碰撞断言复读数相同。□

(23.111)以数据确属所声明素数模态类为前提；任意带噪A代入后得到的正实数不能自动取整为认证素数。精确单射也不提供整个无界素数集合上的统一绝对误差间隔，因为A_p(σ)随p→∞趋零。

**命题 23.7（素数模态的共同钟代入与全记录碰撞）。**

固定a>0、b∈ℝ。设h:I→[0,∞)连续严格递增，h(τ_0)=0，实际零点归一化复记录为
$$
Z_p(\tau)=M_p(a h(\tau),b h(\tau))
=\exp\!\left[(-a+ib)\lambda_p h(\tau)\right].
\tag{23.112}
$$
若θ是初值为零的连续相位提升，令L=−log|Z_p|，则
$$
L(\tau)=a\lambda_p h(\tau),\qquad
\theta(\tau)=b\lambda_p h(\tau),\qquad
\boxed{\theta=(b/a)L.}
\tag{23.113}
$$
因此任一正时间处、在相位提升可取得的条件下，θ/L只给b/a，不给p。对任意素数q，令h_q=(log p/log q)h；则同样a,b下有Z_q[h_q]=Z_p[h]，整条复记录逐点相同。

**证明。** 直接取模、实对数和显式连续相位，得(23.113)。λ_qh_q=λ_ph使(23.112)的完整指数相等。□

碰撞假设候选钟类允许这一正缩放；有额外钟率界、真实时间点或费用读数时，必须检查h_q仍满足全部旧档案。它保留的是同一**标签**记录，不宣称已校准原时间的两系统相同。有限复样本仅给相位模2π，不能免费给(23.113)中的累计θ；仅看幅度或实部更不够。若读数带未知但恒定非零复增益，可用同一传感器的真实零点读数归一化；时变增益不能这样消去。

**命题 23.8（半衰与联合熵、全流反演的两种反例）。** 对任意γ>0，以下两项同时成立。

1. 存在具有固定坐标半衰期log2/γ的二维全流，它可逆、保面积，具有明确的时间反演，并保持任意具有有限微分熵的联合概率密度之微分熵。
2. 存在两态连续时间Markov过程，其存活概率以固定半衰期log2/γ指数衰减，但两态Shannon熵先增后减。

**证明。** 第一项取
$$
\Phi_t(x,p)=(e^{-\gamma t}x,e^{\gamma t}p),\qquad t\in\mathbb R.
$$
它满足Φ_{t+s}=Φ_tΦ_s、Φ_t^{-1}=Φ_{−t}、det DΦ_t=1，且x(t+log2/γ)=x(t)/2。交换R(x,p)=(p,x)满足R²=id及RΦ_tR=Φ_{−t}，给出具体反演。若初始密度ρ≥0、积分为一、ρlogρ可积，推前密度为ρ_t=ρ∘Φ_{−t}；变量替换和Jacobian一给
$$
-\int\rho_t\log\rho_t\,dx\,dp
=-\int\rho\log\rho\,dx\,dp.
$$
这是`DifferentialEntropyChangeOfVariables` 的变量替换公式的常Jacobian特例。一个坐标的收缩由另一个坐标的扩张补偿；这里只声称联合微分熵，不将它改称热力学熵。

第二项取存活态到吸收态的跃迁率γ，后者吸收，从存活态确定初态开始。列概率满足q′=−γq、q(0)=1，所以p(t)=(q,1−q)、q=e^{−γt}。对t>0，两质量严格正，直接微分得到
$$
H'(p(t))=\gamma q(t)\log\frac{q(t)}{1-q(t)}.
$$
因此0<t<log2/γ时导数正，在该时刻为零，此后导数负；H由零升至log2再趋零，而每段长度log2/γ仍使存活概率减半。这是合法吸收Markov模型，却没有[主卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)第127.2节要求的对称双随机生成元；故不与那里已证明的熵增冲突。□

## 24. p 进数字历史、最小闭合与相容完成

**定义 24.1（共同初态、精度与合法加一历史）。** 固定素数 $p\ge2$，以 $\mathbb Z_p$ 为 p 进整数环，$q_m:\mathbb Z_p\to\mathbb Z/p^m\mathbb Z$ 为自然投影，$m\ge0$，$q_0$ 是模一的唯一读数。$[q_m(x)]\in\{0,\ldots,p^m-1\}$ 表示规范整数代表。初始协议仅允许单位动作
$$
T(x)=x+1,\qquad T^n(x)=x+n\quad(n\in\mathbb N).
$$
所有读数不扰动状态，来自同一初态和同一条轨道。动作数、精度、传感器身份及实际结果均保留在档案。已知事件数 $n_i\in\mathbb N$、深度 $m_i$ 的实际记录为
$$
y_i=q_{m_i}(x+n_i).
\tag{24.101}
$$
若有完整旧记录 $C$，所有新增条件均与 $C^{-1}(C_{\rm actual})$ 相交。初态 $x$ 与当前态 $x+n_i$ 是不同目标，由已知事件数运输；未知事件数、起点、增量或传感器标度须列为共同未知量。数学上的所有可能历史不是实际已执行的有限历史，也不提供秒、回溯或复制许可。

使用 $d_p(x,y)=|x-y|_p$、$|p|_p=p^{-1}$，有
$$
q_m(x)=q_m(y)\iff x-y\in p^m\mathbb Z_p
\iff d_p(x,y)\le p^{-m}.
\tag{24.102}
$$
这是 p 进整数投影核与距离的标准关系，参见 Gouvêa, *p-adic Numbers: An Introduction*, 2nd ed., Springer, 1997，及 Mathlib `PadicInt.ker_toZModPow`、`ext_of_toZModPow`。仓内 `PadicBallFiberCorrespondence.modeq_iff_padic_dist_le` 的整数输入结论是它在 $\mathbb Z$ 上的特化；此处完整载体为 $\mathbb Z_p$。

**命题 24.2（有限层周期与完整态非周期）。** 对 $m\ge0$、$x\in\mathbb Z_p$、$n\ge0$，
$$
q_m(T^n x)=q_m(x)\iff p^m\mid n.
$$
每条 $q_m$ 读数序列的最小正事件周期是 $p^m$，$m=0$ 时为一。完整状态无正整数周期，$T$ 是可逆等距映射。

证明。环同态性给 $q_m(x+n)=q_m(x)+q_m(n)$，消去得相等恰当 $p^m\mid n$。完整状态若 $x+n=x$，则整数 $n$ 在 $\mathbb Z_p$ 中为零，整数嵌入单射使 $n=0$。亦可由共同周期被所有 $p^m$ 整除，再取 $p^m>n$ 得到矛盾。逆映射是 $x\mapsto x-1$，距离等式来自 $(x+1)-(y+1)=x-y$。代数可逆性不把逆动作加入定义24.1的合法协议。

所以每个有限精度存在周期，不等于存在一个对全部精度有效的共同正周期。分辨率 $p^{-m}$ 与可见事件周期 $p^m$ 的倒数关系属于此指定动作和距离规范，不是普适物理尺度律；这里没有收缩、半衰或熵产生。$\square$

**命题 24.3（合法正步抽样与代数逆步扩展）。** 若已知每次样本跨过正整数 $a\ge1$ 次加一，实际序列 $q_m(x+aj)$ 的最小正样本周期是
$$
\frac{p^m}{\gcd(p^m,a)}=p^{\max\{m-v_p(a),0\}}.
\tag{24.103}
$$
$a=0$ 单独表示不推进时的重复记录，读数恒定、周期一，不代入 $v_p(0)$。若另外明确允许合法执行 $T^{-1}$，才可把公式扩展到负整数步 $a$，此时代入 $|a|$。

证明。正步可由合法单位动作复合执行；周期 $h\ge1$ 恰满足 $p^m\mid ah$。写 $a=p^v u$ 且 $p\nmid u$，条件等价于 $p^{\max(m-v,0)}\mid h$，得到最小值。零步直接恒定；负步的同余计算相同，但其实际执行要求所述逆动作许可。未知步长可以改变读数周期，例如 $a=p^m$ 使第 $m$ 层记录恒定。换事件标签只有在运输同一实际样点时保留实验，重新等步抽样是另一协议。$\square$

**命题 24.4（固定低模读数已经动态闭合）。** 对 $m,N\ge0$，令
$$
Q_{m,N}(x)=(q_m(x),q_m(Tx),\ldots,q_m(T^Nx)).
$$
则 $\ker Q_{m,N}=\ker q_m$，全部无穷未来历史也有相同核。更一般，任意非空已知时刻集合上的同精度读数具有同一核。

证明。每个读数为 $q_m(x)+q_m(n)$，所以 $q_m$ 相等迫使所有读数相等；反向从任一已知时刻消去 $q_m(n)$。因而等待不提高初态分辨率，虽然动作档案仍增长。例如 $x$ 与 $x+p^m$ 有相同全部 $q_m$ 历史而 $q_{m+1}$ 不同。闭合接口能预测当前模态及全部未来低模值，不恢复更高位。$\square$

**定理 24.5（不同精度的共同纤维）。** 对有限非空记录（24.101），令 $K=\max_i m_i$，$z_i=y_i-q_{m_i}(n_i)$。共同候选非空，当且仅当每对 $z_i,z_j$ 在模 $p^{\min(m_i,m_j)}$ 下相同。相容时，选 $m_j=K$，令 $a=[z_j]$，则全部新记录的纤维恰为
$$
\mathcal F=a+p^K\mathbb Z_p.
\tag{24.104}
$$
完整候选仍为 $\mathcal F\cap C^{-1}(C_{\rm actual})$。

证明。共同 $x$ 的所有投影必相容，得必要性。若相容，最高精度 $z_j$ 的每个相应约化等于 $z_i$，故每个 $x\equiv a\pmod{p^K}$ 都满足记录。反之，第 $j$ 条已强制该同余。精度集非空且有有限上界时，即使记录无限，其最大精度仍在集合中，使用同一论证仍为该球。无界相容深度的情况由命题24.12给出。不同读数分别可能，不足以替代共同相容性。$\square$

**命题 24.6（没有附加先验时的锐恢复半径）。** 对式（24.104）的非空球，若全部球内初态均被允许且输出可取任意 $\mathbb Z_p$ 点，最小最坏 $d_p$ 误差恰为 $p^{-K}$，每个相容中心都达到。

证明。若 $b\in\mathcal F$，全部 $x\in\mathcal F$ 有 $|x-b|_p\le p^{-K}$，而 $x=b+p^K$ 达到等号。若 $b\notin\mathcal F$，则 $|b-a|_p>p^{-K}$，强三角关系使每个 $x\in\mathcal F$ 都满足 $|x-b|_p=|a-b|_p>p^{-K}$。故半径等于球直径，不是实线段的半直径。附加旧档案可缩小纤维，所述无先验下界不直接适用于该交集。[恢复几何卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_RECOVERY_GEOMETRY.md)的纤维恢复原则可以使用，其实凸对偶与中点公式不能无条件搬到此超度量。$\square$

**定义 24.7（单个高位与固定连续协议）。** 对 $k\ge0$，令 $P=p^k$，
$$
d_k(x)=\left\lfloor\frac{[q_{k+1}(x)]}{P}\right\rfloor\in\{0,\ldots,p-1\},
\qquad [q_{k+1}(x)]=bP+r,\quad 0\le b<p,\ 0\le r<P.
$$
该传感器只读第 $k$ 位，不是完整低模 $q_k$。固定协议
$$
W_{k,N}(x)=(d_k(x),d_k(Tx),\ldots,d_k(T^Nx))
$$
使用 $N$ 次演化、$N+1$ 次实际读取，样点恰为 $0,\ldots,N$。

**定理 24.8（携带显露的精确恢复）。** 有 $\ker W_{k,P-1}=\ker q_{k+1}$。首读数给 $b$；若时刻 $1,\ldots,P-1$ 首次在 $\tau$ 观察到不同于 $b$ 的值，则 $r=P-\tau$；若无变化，则 $r=0$。因此 $P=p^k$ 次读数精确恢复 $q_{k+1}(x)$。

证明。在 $0\le n\le P-1$ 内，$0\le r+n\le2P-2$，最多向第 $k$ 位携带一次，且
$$
d_k(x+n)=\left(b+\left\lfloor\frac{r+n}{P}\right\rfloor\right)\bmod p.
\tag{24.105}
$$
$r=0$ 时商始终零；$r>0$ 时首次商一恰在 $\tau=P-r\in\{1,\ldots,P-1\}$。$p\ge2$ 保证 $b$ 与 $(b+1)\bmod p$ 不同，包括 $b=p-1$ 到零的环绕。故变化时刻恢复低位余数。反向，所有加一后的高位都通过 $q_{k+1}$ 因子化，得到核等式。$k=0$ 时 $P=1$、只读一次，变化时刻集为空，$r$ 只能为零，恰为 $d_0=q_1$。$\square$

**定理 24.9（固定连续协议的锐最坏时域）。** 对 $k\ge1$，若 $0\le N<P-1$，则 $W_{k,N}$ 不能在全部初态上恢复 $q_{k+1}$。该协议的必要且充分最大时域为 $P-1$，读数数为 $P$。

证明。取整数初态 $x=0,x'=1$，高位均为零、低位余数分别零和一。$0\le n\le N\le P-2$ 时，$n,n+1\in[0,P-1]$，所以两个高位读数都为零，但 $q_{k+1}(0)\ne q_{k+1}(1)$。在 $n=P-1$ 后一条首次变一，前一条仍零。充分性由定理24.8给出。

该下界仅针对规定的从零开始连续全采样协议，不比较自适应、跳跃采样、二分搜索、变更端口或直接读取 $q_{k+1}$；这些协议另需时刻可达、回溯、复制及费用合同。等待时域和实际读取次数是不同费用坐标。$\square$

**推论 24.10（单高位的最小动态稳定细化）。** 对唯一合法动作 $T$ 和传感器 $d_k$，
$$
\bigl[\forall n\ge0,\ d_k(T^nx)=d_k(T^ny)\bigr]
\iff q_{k+1}(x)=q_{k+1}(y).
$$
最小保留 $d_k$ 且在 $T$ 下闭合的实际行为表示就是 $q_{k+1}$，有 $p^{k+1}$ 个行为类。

证明。定理24.8给从全部历史相等到模态相等，模 $p^{k+1}$ 的加一闭合给反向。若表示 $r_*$ 恢复 $d_k$ 且满足 $r_*T=\overline T r_*$，归纳使相同表示给全部未来高位相同，继而给相同 $q_{k+1}$。后者本身恢复 $d_k$ 且满足 $q_{k+1}(Tx)=q_{k+1}(x)+1$。直接应用本卷第2—3节及 `DynamicClosureMinimality.dynamic_closure_is_least` 的一般最小因子化结论即可。

更长历史不能区分 $x$ 与 $x+p^{k+1}$。当前只有 $p$ 值的高位接口，经最多 $p^k-1$ 步可恢复 $p^{k+1}$ 个行为类；也可由较宽的当前 $q_{k+1}$ 直接承载它们。事件数始终保留，恢复初始模态后可算当前模态。与命题24.4对照，已经闭合的 $q_k$ 等待不增加区别，未闭合的 $d_k$ 则通过携带取得遗漏低位；两者都不能继续取得未耦合到接口的更高位。$\square$

**命题 24.11（有限角色、事件频率与其核）。** 对 $m\ge0$、$j\in\mathbb Z/p^m\mathbb Z$，定义
$$
\chi_{m,j}(x)=\exp\left(\frac{2\pi i j[q_m(x)]}{p^m}\right).
$$
它是连续加法角色，满足
$$
\chi_{m,j}(Tx)=e^{2\pi i j/p^m}\chi_{m,j}(x).
\tag{24.106}
$$
其最小正事件周期为 $p^m/\gcd(j,p^m)$，$j=0$ 时取一。$m\ge1$ 时，与 $p$ 互素的 $j$ 恰具有 $q_m$ 的完整分辨率；$m=0$ 为唯一平凡角色。

证明。更换整数代表只改变指数中 $2\pi i$ 的整数倍，加法公式给同态性。它通过连续有限离散商 $q_m$ 因子化，故连续；代入 $x+1$ 给式（24.106）。正周期 $h$ 恰满足 $p^m\mid jh$，同命题24.3的除法得到最小值。两个初态在全部该角色历史下相同，恰当
$$
j(q_m(x)-q_m(y))=0\pmod {p^m}.
$$
$j$ 与 $p$ 互素时可消去；不互素时有非零模差被其消去。特别 $j=1$ 的 $p^m$ 个相位值互异。此处频率单位是每次加一，角频率按 $2\pi$ 取模；有限精确相位的访问仍须协议许可。标准紧群平移与角色背景参见 Walters, *An Introduction to Ergodic Theory*, Springer, 1982。这里仅定义 p 幂子族，不声称已证明全部 $\mathbb Z_p$ 连续角色的分类，也不把全模 profinite 分类未经映射直接移来。$\square$

**命题 24.12（完整相容读数与有限球）。** 任意相容序列 $a_m\in\mathbb Z/p^m\mathbb Z$，满足 $a_{m+1}\bmod p^m=a_m$，由唯一 $x\in\mathbb Z_p$ 实现。有限前缀 $a_0,\ldots,a_K$ 的实现则恰为 $a+p^K\mathbb Z_p$，其中 $a$ 是 $a_K$ 的整数提升。

证明。取规范整数代表 $r_m=[a_m]$；$m\ge n$ 时 $p^n\mid r_m-r_n$，故 $(r_m)$ 为 p 进 Cauchy 序列。完备性给极限 $x$，各 $q_n$ 连续且纤维闭，尾部 $q_n(r_m)=a_n$，所以 $q_n(x)=a_n$。若 $x,y$ 全部投影相同，$|x-y|_p\le p^{-n}$ 对每个 $n$ 成立，故 $x=y$。有限前缀由最高精度同余给出。无界深度的相容子序列也决定全部层：对每层选任意更细读数约化，相容性使选择无关。

每个有限前缀可有非负整数代表，完整极限未必非负整数，例如 $a_m=p^m-1$ 实现 $x=-1$，其非负代表作为实数发散。甚至完整极限未必属于任何普通整数：令 $a_m$ 是 $1+p$ 在模 $p^m$ 下的乘法逆，唯一性保证这些值相容，其极限为 $(1+p)^{-1}\in\mathbb Z_p$，而没有整数 $z$ 满足 $(1+p)z=1$。完成域的实现不等于原载体的实现；相容完成也不生成下一位或分配概率。$\square$

**命题 24.13（确定轨道的有限访问计数）。** 对固定 $x,m$ 和模 $p^m$ 的目标值，每 $p^m$ 个连续时刻恰访问一次。前 $N\ge1$ 个时刻的访问数为 $\lfloor N/p^m\rfloor$ 或 $\lceil N/p^m\rceil$，频率与 $p^{-m}$ 之差至多 $1/N$。

证明。$q_m(x+n)$ 在每个完整块遍历有限循环一次，除法算法把 $N$ 拆成完整块及一个不完整块，后者对每个值至多增加一次。此比例不需要概率律，也不同于命题24.11的相位频率；若实际停留长度依状态改变，按钟时的比例还需运输相应权重，本命题只计已知等步事件。$\square$

**假设 24.14（额外指定 Haar 初态律）。** 另在紧加法群 $\mathbb Z_p$ 上指定归一化平移不变 Haar 概率 $\mu$，令 $X\sim\mu$。一般紧群 Haar 定理提供该律，亦可用独立均匀 p 进数字构造；完成化与加一动作自身不指定此律。下项仅对有限商和有限记录计算自然对数 Shannon 熵，不给整个无穷精度状态定义有限离散熵。

**命题 24.15（同源历史熵与确定性显露）。** 在假设24.14下，
$$
\mu(a+p^m\mathbb Z_p)=p^{-m},\quad
H(q_m(X))=m\log p,\quad
H(q_{m+1}(X)\mid q_m(X))=\log p.
\tag{24.107}
$$
固定低模的任何包含至少一次已知时刻读数的有限历史熵为 $m\log p$，其后新增同精度读数条件熵为零；而
$$
H(W_{k,p^k-1}(X))=(k+1)\log p,\qquad
H(W_{k,p^k-1}(X)\mid d_k(X))=k\log p.
\tag{24.108}
$$
证明。$p^m$ 个剩余类被平移互换且分割全空间，所以各质量为 $p^{-m}$。等概率有限集合的熵即 $m\log p$；每个旧球的 $p$ 个更细球各占条件质量 $1/p$，给条件熵。命题24.4使低模历史与 $q_m$ 的实际像双射，后续读数由它确定。定理24.8使指定高位历史与 $q_{k+1}$ 的实际像双射，故联合熵为 $(k+1)\log p$；$d_k$ 均匀于 $p$ 个值且是该历史的分量，条件熵为相减所得 $k\log p$。

这些读数高度相关，不能把 $p^k$ 份单次熵直接相加。增长来自同一初态的低位被显露，动作没有增加随机创新；$T$ 保持 $\mu$ 且可逆等距，不由记录熵增长推出热力学熵增或物理反演破缺。若另有旧记录，应在保留的同一联合律下条件化；非 Haar 初态的球概率不同，Dirac 初态更使全部记录熵为零。有限加一与携带恢复的算术对任意整数基 $b\ge2$ 同样成立，故层级周期本身不能识别素数；标准 $\mathbb Z_p$ 赋值和距离才使用素数假设。传感器误码或动作漏记不在定义24.1内，需另立共同误差纤维，不能继续声称这里的锐阈值。$\square$

## 24.99 追加锚

## 25. 非线性双端口、共同钟与档案相容图

**定义 25.1（实际混合响应合同）。** 固定已知 $\nu>0$、紧区间 $I=[b_-,b_+]$（允许单点）和 $T_0>0$，记 $B=\max\{|b_-|,|b_+|\}$。同一来源、模型、校准和内部时间下有实际实值响应 $r(\beta,t),z(\beta,t)$，定义在 $I$ 的开邻域乘 $[0,T_0]$ 上，满足
$$
r(\beta,0)=z(\beta,0)=0,\quad r_t(\beta,0)=\nu,
\quad z_t(\beta,0)=\beta.
\tag{25.101}
$$
假设时间二阶导数及其一次 $\beta$ 导数连续，所需低阶导数亦连续，时间端点取单侧导数；在 $I\times[0,T_0]$ 有非负有限常数
$$
|r_{tt}|\le A_r,\quad |r_{\beta tt}|\le A_1,
\qquad |z_{tt}|\le C_z,\quad |z_{\beta tt}|\le C_1.
\tag{25.102}
$$
这些是实际响应的估计前提，不是参数单射性前提。置
$$
\kappa=C_1/2+A_1(B+C_zT_0)/\nu,
\quad 0<T\le T_0,\quad A_rT\le\nu/2,\quad\kappa T\le1/2,
$$
$$
s_*=\nu T/2,\qquad L_g=2(B+C_zT)/\nu.
\tag{25.103}
$$
零系数不限制 $T$，所以这样的正 $T$ 存在。这里 $A_r$ 是进度响应常数，与准备幅度上界 $A_\alpha$ 无关。

**定理 25.2（阈值图、精确像与共同短时单射）。** 在定义25.1下，每个 $\beta\in I$、$s\in[0,s_*]$ 有唯一 $t_\beta(s)\in[0,T]$ 使 $r(\beta,t_\beta(s))=s$。设 $G_s(\beta)=z(\beta,t_\beta(s))$，则正阈值处
$$
\frac{2s}{3\nu}\le t_\beta(s)\le\frac{2s}\nu,
\qquad \partial_s t_\beta=\frac1{r_t},\quad
\partial_\beta t_\beta=-\frac{r_\beta}{r_t},
\tag{25.104}
$$
$$
\partial_\beta G_s=z_\beta-z_t\frac{r_\beta}{r_t},
\quad \frac{s}{3\nu}\le\partial_\beta G_s\le\frac{3s}{\nu},
\quad
\left|\partial_\beta G_s-\frac{s}{\nu}\right|
\le\frac4{\nu^2}\left(\kappa+\frac{A_r}{2\nu}\right)s^2.
\tag{25.105}
$$
实际映射 $\Psi(\beta,t)=(r(\beta,t),z(\beta,t))$ 在
$$
W=\{(\beta,t):\beta\in I,\ 0<t\le T,\ 0<r(\beta,t)\le s_*\}
\tag{25.106}
$$
上单射，其精确像为
$$
Y=\{(s,w):0<s\le s_*,\quad G_s(b_-)\le w\le G_s(b_+)\}.
\tag{25.107}
$$
域含 $I\times(0,T/3]$。按坐标次序 $(t,\beta)$，Jacobian 行列式满足
$$
\Delta=r_tz_\beta-r_\beta z_t\ge\nu t/4>0.
\tag{25.108}
$$

证明。Taylor 积分式及其参数微分给
$$
\begin{aligned}
|r-\nu t|&\le A_rt^2/2,& |r_t-\nu|&\le A_rt,& |r_\beta|&\le A_1t^2/2,\\
|z-\beta t|&\le C_zt^2/2,& |z_t-\beta|&\le C_zt,& |z_\beta-t|&\le C_1t^2/2.
\end{aligned}
\tag{25.109}
$$
例如 $r-\nu t=\int_0^t(t-v)r_{tt}(\beta,v)dv$；混合导数连续使在此积分下对 $\beta$ 求导合法，其余五式同理。因此 $\nu/2\le r_t\le3\nu/2$，积分得 $(\nu/2)t\le r\le(3\nu/2)t$。更精细地 $r(\beta,T)\ge3\nu T/4>s_*$，故介值性及严格时间单调性给唯一阈值时刻，且正阈值严格在 $T$ 之前。隐函数定理在这些内部时间点适用；参数开邻域保证区间端点的导数也是限制所得。$s=0$ 时 $t_\beta(0)=0$，公式按单侧连续意义延伸。

链式法则必须保留参数依赖的阈值时间，给（25.105）的首式。记 $t=t_\beta(s)$，有
$$
|\partial_\beta G_s-t|
\le\left(C_1/2+A_1(B+C_zT)/\nu\right)t^2
\le\kappa t^2\le t/2.
$$
结合（25.104）的时间界即得两侧导数界；再用 $|t-s/\nu|\le A_rt^2/(2\nu)$ 得二阶渐近界。因此每条正阈值图对参数严格递增。两份相等读数先落在同一正阈值，再由严格递增得同一参数，最后由 $r$ 的时间单调性得同一时间。连续严格单调函数的像是端点间闭区间，给（25.107）；单点参数时该像退化成一条曲线。$t\le T/3$ 保证 $r\le s_*$。最后 $\Delta=r_t\partial_\beta G_s\ge(\nu/2)(t/2)$。此证明没有把 $r$ 假定成与参数无关，也没有将 $t=s/\nu$ 或 $\beta=\nu w/s$ 当作精确反演式。$\square$

**定理 25.3（两份实际读数的参数与时间误差）。** 对 $(s,w)=\Psi(\beta,t)$、$(s',w')=\Psi(\beta',t')\in Y$，置 $m=\min\{s,s'\}>0$。则
$$
|\beta-\beta'|\le\frac{3\nu}{m}\bigl(|w-w'|+L_g|s-s'|\bigr),
\tag{25.110}
$$
$$
|t-t'|\le\frac2\nu|s-s'|+
 \frac{4A_1m^2}{\nu^3}|\beta-\beta'|,
\tag{25.111}
$$
因而
$$
|t-t'|\le\left(\frac2\nu+\frac{12A_1L_gm}{\nu^2}\right)|s-s'|
 +\frac{12A_1m}{\nu^2}|w-w'|.
\tag{25.112}
$$
若同一测得坐标的真实点和拟合点均在 $s\ge s_0>0$ 的图中，且各有坐标残差至多 $\epsilon_r,\epsilon_z$，则参数差至多 $6\nu(\epsilon_z+L_g\epsilon_r)/s_0$。

证明。由（25.104）和（25.109），$|\partial_sG_s|=|z_t/r_t|\le L_g$。不妨 $s=m\le s'$，则在同一阈值 $m$ 比较两个参数，得到
$$
\frac{m}{3\nu}|\beta-\beta'|
\le|G_m(\beta)-G_m(\beta')|
\le |w-w'|+L_g(s'-m).
$$
这给（25.110）。阈值时间的导数满足 $|\partial_st|\le2/\nu$，在 $m$ 处 $|\partial_\beta t_\beta(m)|\le A_1t_\beta(m)^2/\nu\le4A_1m^2/\nu^3$；同样先同阈值比参数再移动阈值给（25.111），代入得（25.112）。噪声结论用两个候选之间的坐标差各至多两倍残差界。测得坐标本身无需在 $Y$ 中。

正阈值下截断图的逆统一 Lipschitz；靠近零时参数界的 $1/m$ 因子不能仅凭时间界删掉。例如合法响应 $r=\nu t,z=\beta t$ 在固定 $t$ 给 $|\delta z|=t|\delta\beta|$，已排除延伸到零的统一参数 Lipschitz 常数。$\square$

**约定 25.4（同轨迹同时取得与未知钟）。** 双端口实际取得须同时、不扰动，或有已认证的等价共同轨迹，使两数确实等于同一 $\Psi(\beta,t)$。仅有“两个仪器同时开机”不足以证明测量干预没有改变方程。固定同一个严格递增连续钟 $t=h(\theta)$、$h(0)=0$。如果实际 $(\beta,h(\theta))\in W$，同时读数经上述逆确定参数和该样点的内部时间，无需钟导数。有限多个样点只确定相应 $h(\theta_i)$，不确定未采样插值。校准、黏性、模型和已知准备幅度必须在所有候选间固定。

阈值 $s$ 是已读第一坐标，不额外算一次导数测量。若实际采用首次阈值触发，则另须有事件检测权限、第一分支保证，以及 $h(\theta_{\rm end})\ge t_\beta(s)$ 的可达性；$h(\theta_{\rm end})\ge2s/\nu$ 或 $\ge T$ 是充分条件。连续性给到达，初始分支严格单调性给唯一首次交叉。仅严格增的钟 $h(\theta)=c(1-e^{-\theta})$ 在 $0<c<t_\beta(s)$ 时永远不到阈值。任意迟时样点的 $r$ 数值小也不证明它在初始分支；预定外部时刻需独立的内部时间上界或分支证书。

**定义 25.5（完整观察者与共同实现交集）。** 完整观察者明确写为
$$
H=(C,\mathcal A,d_{\rm raw}).
\tag{25.113}
$$
$C$ 包含所有已取得的内部／外部旧记录及其关系；$\mathcal A$ 是带来源索引的合法取得历史，保留每次动作、端口、外部标签、校准及共同轨迹证书；$d_{\rm raw}$ 是当前实际原始对，不能由预测值代写。

固定模型和校准后，令 $\Omega$ 为完整实现集合。每个 $\omega\in\Omega$ 同时包含一个来源身份、参数 $\beta(\omega)$、同一准备生成的整条实际轨迹、一个共同钟 $h_\omega$，以及解释全部旧记录所需的辅助变量、误差和关系。每条旧记录 $c_i\in C$ 有其声明的约束 $\mathcal R_i(\omega,c_i)$；关系可包括跨端口、跨时刻和跨来源的已获信息，不能逐条另选实现。令 $\operatorname{Hist}(\omega,\mathcal A)$ 断言该一份实现确实支持所记合法取得及同时无扰动／等价轨迹条件。当前外部时刻 $\theta_*$ 的内部时刻为 $t(\omega)=h_\omega(\theta_*)$。将原始对按固定校准换为 $(r_{\rm obs},z_{\rm obs})$，其共同误差事件记为 $\mathcal E_H$。定义
$$
\begin{aligned}
\mathfrak F_H=\{\omega\in\Omega:\;&\operatorname{Hist}(\omega,\mathcal A),\quad
 \mathcal R_i(\omega,c_i)\ \text{对全部旧记录成立},\\
 & (\beta(\omega),t(\omega))\in W,\quad \omega\in\mathcal E_H,\\
 &|r(\beta(\omega),t(\omega))-r_{\rm obs}|\le\epsilon_r,\\
 &|z(\beta(\omega),t(\omega))-z_{\rm obs}|\le\epsilon_z\},
\end{aligned}
\tag{25.114}
$$
并令 $K_H=\{(\beta(\omega),t(\omega)):\omega\in\mathfrak F_H\}$。如果原始实际误差为 $|x_{\rm obs}-x|\le\epsilon_x$、$|y_{\rm obs}-y|\le\epsilon_y$，且 $r=1-2x/\alpha,z=-4y/\alpha$，则在同一个联合误差事件上使用
$$
\epsilon_r=2\epsilon_x/|\alpha|,\qquad
\epsilon_z=4\epsilon_y/|\alpha|.
\tag{25.115}
$$
此处 $\alpha$ 已知固定，不将含噪幅度代入当作新的联合识别证明。$\mathcal E_H$ 可以施加更强的相关误差约束，无独立噪声前提。

**命题 25.6（外包界可限制，档案见证不可省略）。** 令
$$
K_{\rm pair}=\{(\beta,t)\in W:
 |r(\beta,t)-r_{\rm obs}|\le\epsilon_r,
 |z(\beta,t)-z_{\rm obs}|\le\epsilon_z\}.
\tag{25.116}
$$
则 $K_H\subseteq K_{\rm pair}$。定理25.3对任意两个外包候选的直径上界也对 $K_H$ 成立；第27节的共同剩余时域界亦如此。但是声称拟合点与完整档案相容，必须给 $\widehat\omega\in\mathfrak F_H$，不能只给 $(\widehat\beta,\widehat t)\in K_{\rm pair}$。

证明。集合包含由（25.114）投影直接得到；全称成对不等式可限制到子集。反方向失败：某条旧约束可能要求 $\beta=b_-$，而当前精确对只由另一个参数生成，外包非空而交集空。全部旧记录分别可拟合也不推出一个共同 $\omega$ 存在。若实际来源、档案、第一分支和联合误差假设均成立，真实 $\omega$ 就给非空见证；否则不能以空集上的真空全称断言授权动作。完整 $H$ 的保留还意味着从两数恢复场并不等于从两数重建整份档案。$\square$

## 26. 全 PDE 的参数差商与联合识别实例

**定理 26.1（开邻域上的实际参数导数）。** 固定已知 $\nu>0$、$0<a\le|\alpha|\le A_\alpha$ 及 $B_0\ge0$，使用[恢复几何卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_RECOVERY_GEOMETRY.md)定义25.1的全部空间、归一化、准备和常数 $R,\tau$。令 $X=C([0,\tau];H^2_\sigma)$、$\lambda=1/(4R)$、$\delta_\beta=R/24$。同一实际温和解可定义在参数开区间
$$
J_\beta=(-B_0-\delta_\beta,B_0+\delta_\beta),
\tag{26.101}
$$
且 $\beta\mapsto u_\beta\in X$ 为 $C^1$，满足
$$
\|\partial_\beta u_\beta\|_X\le6.
\tag{26.102}
$$

证明。只使用恢复卷定理25.3的同一双线性算子 $\mathcal B$，不重新构造 PDE。将 $\beta$ 投影到 $[-B_0,B_0]$，初态范数增加至多 $3\delta_\beta=R/8$，故开区间初态范数小于或等于 $5R/8$。同一 $R$ 球上的映射像范数至多 $5R/8+R/4=7R/8$，收缩系数仍为 $1/2$。因此同一时间与同一球适用，且相减仍给 $\|u_\beta-u_\gamma\|_X\le6|\beta-\gamma|$。

定义有界线性算子 $\mathcal A_\beta v=\mathcal B(v,u_\beta)+\mathcal B(u_\beta,v)$，其范数至多 $2\lambda R=1/2$。Neumann 级数给 $(I+\mathcal A_\beta)^{-1}$，范数至多二。令
$$
v_\beta=(I+\mathcal A_\beta)^{-1}E(\cdot)b_0,
\quad
v_\beta=E(\cdot)b_0-\mathcal B(v_\beta,u_\beta)-\mathcal B(u_\beta,v_\beta).
\tag{26.103}
$$
$\|b_0\|_{H^2}=3$ 给 $\|v_\beta\|_X\le6$。对 $h\ne0$ 且 $\beta+h\in J_\beta$，实际差商 $q_h=(u_{\beta+h}-u_\beta)/h$ 满足 $\|q_h\|_X\le6$。将两个二次温和方程精确相减得
$$
(I+\mathcal A_\beta)q_h=E(\cdot)b_0-h\mathcal B(q_h,q_h),
\quad
\|q_h-v_\beta\|_X\le72\lambda|h|.
\tag{26.104}
$$
这证明真实参数导数存在于整个时间 Banach 空间，而不是假定逐点可微。再将（26.103）在两参数处相减，得到
$$
\|v_\beta-v_\gamma\|_X
\le2\|\mathcal A_\beta-\mathcal A_\gamma\|\,\|v_\gamma\|_X
\le24\lambda\|u_\beta-u_\gamma\|_X
\le144\lambda|\beta-\gamma|.
\tag{26.105}
$$
故导数连续；原闭区间端点的导数来自这个真正的开邻域。$\square$

**定理 26.2（$DF$、$DG$ 与连续混合端口界）。** 继续使用恢复卷的 $F:H^2_\sigma\to L^2_\sigma$、$Q_\phi$、$G_\phi$、$M_F,D_F,J,M$。对其任一配对端口 $(\ell,\phi)$，
$$
DF(u)h=\nu\Delta h-\mathbb P((h\cdot\nabla)u+(u\cdot\nabla)h),
$$
$$
DG_\phi(u)h=-\nu\ell(DF(u)h)
 -D^2Q_\phi(h,F(u))-DQ_\phi(u)DF(u)h.
\tag{26.106}
$$
这些是连续 Fréchet 导数；在半径 $R$ 球中
$$
\|DF(u)h\|_2\le D_F\|h\|_{H^2},\qquad
|DG_\phi(u)h|\le J\|h\|_{H^2}.
\tag{26.107}
$$
实际两个端口满足
$$
|x_{tt}|,|y_{tt}|\le M,\qquad
|\partial_\beta x_{tt}|,|\partial_\beta y_{tt}|\le6J,
\tag{26.108}
$$
这些混合导数在参数与时间上连续，包含时间零点的单侧值。

证明。恢复卷的 $\|u\|_\infty\le4\|u\|_{H^2}$ 使对流为连续双线性映射 $H^2\times H^2\to L^2$。二次展开余项至多 $4\|h\|_{H^2}^2$，故 $DF$ 的公式与连续性确实成立，范数界为 $\nu+8R$。恢复卷引理25.5已在完整 $L^2$ 空间证明 $Q_\phi,DQ_\phi,D^2Q_\phi$ 及其界；此处对 $G_\phi=-\nu\ell F-DQ_\phi(\cdot)F$ 用乘积法则，给（26.106）。三项界之和为
$$
\nu D_F+M_F+RD_F=\nu^2+10\nu R+12R^2=J.
$$
$G_\phi$ 是 $H^2$ 上连续线性、双线性、三线性映射之和。将这些映射逐时作用于 $C_tH^2$，仍为连续多线性映射，因而诱导映射 $C_tH^2\to C_t\mathbb R$ 为 $C^1$，导数逐时为 $DG_\phi$。定理26.1于是给
$$
\partial_\beta a_{tt}(\beta,t)=DG_\phi(u_\beta(t))v_\beta(t),
$$
范数至多 $6J$，且联合连续。绝对二阶界是恢复卷定理25.6的 $M$。最后由
$$
a(\beta,t)=a(\beta,0)+t a_t(\beta,0)
 +\int_0^t(t-s)G_\phi(u_\beta(s))\,ds
\tag{26.109}
$$
在连续时间函数空间对参数求导，其结果可再对时间微分两次，正好得到上式。因此没有把未证的混合导数交换作为前提，也没有要求 $u_{tt}\in L^2$ 或 $u_t\in H^2$。$\square$

**推论 26.3（已校准 PDE 的双端口绝对钟图）。** 对恢复卷（25.115）的实际端口置
$$
r=1-2x/\alpha,\qquad z=-4y/\alpha,\qquad
A_r=2M/a,\quad C_z=4M/a,\quad A_1=12J/a,\quad C_1=24J/a.
\tag{26.110}
$$
取 $I=[-B_0,B_0]$、$T_0=\tau$，并取
$$
\kappa=C_1/2+A_1(B_0+C_z\tau)/\nu,
\quad T=\min\{\tau,\nu/(2A_r),1/(2\kappa)\},\quad s_*=\nu T/2.
\tag{26.111}
$$
则定义25.1的全部条件实际成立，定理25.2、25.3的图、精确像、单射性及全部误差界适用于这个全 PDE。这里 $A_r,\kappa$ 严格正，故公式无零分母。

证明。恢复卷的初始系数识别给 $x(0)=\alpha/2$、$y(0)=0$、$y_t(0)=-\alpha\beta/4$。没有两个非零初始频率相加为 $(1,0)$，所以该处非线性导数为零，$x_t(0)=-\nu\alpha/2$。由真实 $u_t=F(u)$ 得 $r_t(0)=\nu,z_t(0)=\beta$，并非有限槽的代数代替了演化。定理26.2乘固定比例并用 $|\alpha|\ge a$ 给（26.110），定理26.1供应开邻域。时间选择满足（25.103），直接使用已证一般图定理即可。

在同轨迹同时读出及第一分支条件下，一对正时原始数据确定 $\beta$ 和该样点内部时间；多个样点仍只给采样处的钟值。带噪应用须用定义25.5的一份实现与联合事件，尤其原始误差转换严格为（25.115）。本结论固定 $\alpha,\nu$、模型及校准；恢复卷的含噪 $\alpha$ 标量估计不将这些固定量变成未知量。

若 $B_0>0$，不同初态在时间零的规范读数全为 $(0,0)$，所以不能将它加入原始图并保留单射性。若 $B_0=0$，初态已知且参数域单点，$r_t\ge\nu/2$ 使加入时间零仍单射；正阈值的参数除法界仍只在其原声明域内使用。$\square$

**命题 26.4（未知黏性的精确钟碰撞与条件性纤维）。** 在 $\beta=0$ 的实际 PDE 中，
$$
u(X,t)=\alpha e^{-\nu t}(0,\cos X_1),\quad p=0,
\quad r=1-e^{-\nu t},\quad z=0.
\tag{26.112}
$$
两种正黏性及满足 $\nu_1h_1=\nu_2h_2$ 的钟给相同的整个双端口历史，故未知黏性下不能在包含此准备的族上由这些历史恢复绝对内部时间。该例不证明隐藏参数不同，因为两例都取 $\beta=0$。

证明。该剪切的对流为零、Laplacian 为负自身，所以方程逐项成立；读出与钟等式直接代入即得。一般混合合同本身也不能识别三个量：精确响应 $r=\nu t,z=\beta t$ 在 $(\nu,\beta,t)\mapsto(c\nu,c\beta,t/c)$ 下不变。后者只是合同反例，不是固定 $\alpha$ 的非线性 PDE 缩放定律。

另有如下严格条件命题：若额外证明实际响应在正黏性开邻域对 $(\nu,\beta,t)$ 为 $C^1$，且在所考察内点有统一渐近
$$
r_\nu=t+O(t^2),\quad z_\nu=O(t^2),\quad
r_t=\nu+O(t),\quad z_t=\beta+O(t),\quad
r_\beta=O(t^2),\quad z_\beta=t+O(t^2),
\tag{26.113}
$$
则固定一对足够短正时读数时，隐函数定理给随 $\nu$ 改变的精确局部纤维 $(\beta(\nu),t(\nu))$，且
$$
\frac{dt}{d\nu}=\frac{r_\beta z_\nu-z_\beta r_\nu}{\Delta}
=-\frac t\nu+O(t^2),\quad
\frac{d\beta}{d\nu}=\frac{z_t r_\nu-r_tz_\nu}{\Delta}
=\frac\beta\nu+O(t).
\tag{26.114}
$$
证明这个条件命题只需定理25.2的非零 Jacobian：对固定读数求导解二乘二线性方程，代入（26.113）及 $\Delta=\nu t+O(t^2)$ 即得。在非零内点 $\beta$ 处，充分小时间使两导数非零。定理26.1仅证明固定黏性下的 $\beta$ 可微性，没有证明（26.113）的黏性前提，所以这里保持条件命题；不将它升级为本节已履行的 PDE 黏性识别或不识别结论。更多端口或整条非退化响应曲线需要另行研究。$\square$

## 27. 比值边界、完整场因子与部分续接

**定理 27.1（隐藏初始方向的正则比值坐标）。** 固定推论26.3的全部准备、黏性、常数和第一分支。置
$$
\vartheta(\beta,t)=\nu z(\beta,t)/r(\beta,t)\quad(t>0),
\qquad \vartheta(\beta,0)=\beta,
$$
$$
Z_*=B_0+C_zT/2,\quad E_\vartheta=C_z+A_rB_0/\nu,
\quad L_\vartheta=C_z+2A_rZ_*/\nu,
\quad D_\vartheta=C_1+A_r/\nu+2A_1Z_*/\nu.
\tag{27.101}
$$
则 $\vartheta$ 是 $[-B_0,B_0]\times[0,T]$ 上的 $C^1$ 函数（时间端点单侧），并有
$$
|\vartheta-\beta|\le E_\vartheta t,\quad
|\vartheta_t|\le L_\vartheta,\quad
|\vartheta_\beta-1|\le D_\vartheta t,
\quad 1/3\le\vartheta_\beta\le3.
\tag{27.102}
$$
初始边界导数为
$$
\vartheta_\beta(\beta,0)=1,\qquad
\vartheta_t(\beta,0)=\tfrac12 z_{tt}(\beta,0)
 -\frac{\beta}{2\nu}r_{tt}(\beta,0).
\tag{27.103}
$$

证明。先分离已知的一阶时间零点，定义
$$
U(\beta,t)=\int_0^1r_t(\beta,qt)\,dq,
\quad V(\beta,t)=\int_0^1z_t(\beta,qt)\,dq.
\tag{27.104}
$$
于是 $r=tU,z=tV$，$U(\beta,0)=\nu,V(\beta,0)=\beta$。第26节的连续混合正则性保证 $U,V$ 均 $C^1$，且由（25.109）积分得到
$$
\begin{gathered}
U\ge\nu/2,\quad |U-\nu|\le A_rt/2,\quad
|V-\beta|\le C_zt/2,\quad |V|\le Z_*,\\
|U_t|\le A_r/2,\quad |V_t|\le C_z/2,\quad
|U_\beta|\le A_1t/2,\quad |V_\beta-1|\le C_1t/2.
\end{gathered}
\tag{27.105}
$$
因此 $\nu V/U$ 就是在零点也有定义的 $C^1$ 延伸。由 $\nu V-\beta U=\nu(V-\beta)+\beta(\nu-U)$ 得第一误差界；对商求时间导数，用（27.105）给 $C_z+2A_rZ_*/\nu$。参数导数减一，分别界定 $\nu(V_\beta-1)/U$、$\nu/U-1$ 及 $\nu VU_\beta/U^2$，得到 $D_\vartheta t$。代入零点的积分导数给（27.103）。

正的参数导数不需再缩短 $T$。对 $t>0$，
$$
\vartheta_\beta=\frac\nu r\left(z_\beta-\frac zr r_\beta\right),\qquad
\left|z_\beta-\frac zr r_\beta-t\right|
\le\left(C_1/2+A_1Z_*/\nu\right)t^2
\le\kappa t^2\le t/2.
$$
再用 $(\nu/2)t\le r\le(3\nu/2)t$ 得 $1/3\le\vartheta_\beta\le3$，零点由（27.103）直接成立。$\square$

**定理 27.2（闭合提升图及两种完成）。** 令
$$
\overline W=\{(\beta,t):|\beta|\le B_0,\ 0\le t\le T,
\ r(\beta,t)\le s_*\},\quad
\widetilde\Psi(\beta,t)=(r(\beta,t),\vartheta(\beta,t)).
\tag{27.106}
$$
该图在闭域上单射，且为双 Lipschitz 坐标。置 $\Theta_s(\beta)=\vartheta(\beta,t_\beta(s))$，包括 $\Theta_0(\beta)=\beta$，$L_s=2L_\vartheta/\nu$。其精确像是闭带
$$
\widetilde Y=\{(s,v):0\le s\le s_*,\quad
\Theta_s(-B_0)\le v\le\Theta_s(B_0)\},
\tag{27.107}
$$
且任意两份提升图读数 $(s,v),(s',v')$、$m=\min\{s,s'\}\ge0$ 满足
$$
|\beta-\beta'|\le3(|v-v'|+L_s|s-s'|),
\qquad
|t-t'|\le\frac2\nu|s-s'|+
 \frac{4A_1m^2}{\nu^3}|\beta-\beta'|.
\tag{27.108}
$$
当 $B_0>0$ 时，原始正时间图 $Y$ 的 Euclidean 完成只在初始边界加一个点 $(0,0)$，提升图正时间部分的 Euclidean 完成却加整段 $\{0\}\times[-B_0,B_0]$。两种误差几何在该边界附近不统一等价。

证明。正 $s$ 处，$\Theta_s=(\nu/s)G_s$，所以（25.105）给 $1/3\le\partial_\beta\Theta_s\le3$；零点的导数为一。$|\partial_s\Theta_s|=|\vartheta_t/r_t|\le L_s$。正时间的单射性复用定理25.2；$s=0$ 强制 $t=0$，第二坐标恰是参数。连续单调阈值图给闭带像。两参数先在较小阈值 $m$ 比较，再沿阈值移动，得（27.108）；$m=0$ 时阈值时间恒为零，所以其参数变化项就是零，毋须除零或极限论证。前向估计为
$$
|s-s'|\le\tfrac12A_1T^2|\beta-\beta'|+\tfrac32\nu|t-t'|,
\quad
|v-v'|\le3|\beta-\beta'|+L_\vartheta|t-t'|.
\tag{27.109}
$$
这是沿环境参数／时间矩形的两段比较，故不要求连接线留在 $\overline W$。逆估计中的 $m\le s_*$ 给统一常数，证明双 Lipschitz 性。

正时 Jacobian 为
$$
r_t\vartheta_\beta-r_\beta\vartheta_t
=\frac\nu r\Delta\ge\nu/6,
\tag{27.110}
$$
零时为 $\nu$。若需普通开集上的局部逆，可以在负时间附近定义 $U=\nu+t r_{tt}(\beta,0)/2$、$V=\beta+t z_{tt}(\beta,0)/2$。第26节混合导数使这些初始系数对参数 $C^1$，两侧的一阶值吻合，给 $C^1$ 延伸及非零 Jacobian。正阈值端点严格小于 $T$，参数端点有开邻域，故局部逆在所有相关边界均以限制意义成立。此代数延伸不声称负时间 PDE 演化存在。

原始图精确分解为
$$
(\beta,t)\longmapsto(s,\vartheta)
\longmapsto(s,s\vartheta/\nu)=(r,z).
\tag{27.111}
$$
闭参数／阈值域紧，两个完整像均为紧集，其正阈值部分稠密，故各自闭像就是各自 Euclidean 完成。第二映射在 $s=0$ 将整段压为一点。选不同的 $\beta,\beta'$，$s_n=s_*/(n+1)\downarrow0$，两原始序列 $(s_n,G_{s_n}(\beta))$、$(s_n,G_{s_n}(\beta'))$ 均趋 $(0,0)$，但提升序列分别趋 $(0,\beta)$、$(0,\beta')$。所以原始到提升的正时间变换不统一连续。普通原始度量的完成不能凭空恢复这些标签。

已有 [GoldenThreadBlowup](../../../D5/S3/CompletionDynamics/GoldenMobius/GoldenThreadBlowup.lean) 的 `golden_thread_completion_value_eq`、`golden_thread_tangent_injective` 与 `golden_geometric_thread_origin_recovery` 分别给相同完成值、可区别的来源切向与有限深度交比重标后的来源恢复。本节使用同样的“端点值与归一化方向不同”区分，其实际 PDE 估计与取得条件由第25—26节供应，不声称除以消失坐标能增加观测信息。该来源中的几何 blowup 是坐标分辨，和恢复卷第26节的流体奇异性不同。$\square$

**命题 27.3（比值噪声与原始读数的必要误差量级）。** 在正时间实际对 $(s,w)=(r,z)$ 上，若 $|\delta s|\le\epsilon_r<s$、$|\delta w|\le\epsilon_z$，计算比值 $\widetilde\vartheta=\nu(w+\delta w)/(s+\delta s)$ 满足
$$
\widetilde\vartheta-\vartheta
=\frac{\nu\delta w-\vartheta\delta s}{s+\delta s},\qquad
|\widetilde\vartheta-\vartheta|
\le\frac{\nu\epsilon_z+|\vartheta|\epsilon_r}{s-\epsilon_r}.
\tag{27.112}
$$
又 $|\vartheta|\le2Z_*$；$\epsilon_r\le s/2$ 时上界至多 $2(\nu\epsilon_z+2Z_*\epsilon_r)/s$。当 $B_0>0$，仅由一对读数、内部时间未知且没有进一步区分这对候选的档案时，即使第一坐标精确已知，任意确定性参数估计器的最坏误差至少为
$$
\min\{B_0,\nu\epsilon_z/(3s)\}.
\tag{27.113}
$$

证明。通分给（27.112），分母和三角界给所列估计，$\vartheta=\nu V/U$ 给 $2Z_*$。取 $d=\min\{B_0,\nu\epsilon_z/(3s)\}$。参数 $d,-d$ 在各自阈值时间的第二读数相差至多 $6sd/\nu\le2\epsilon_z$，由（25.105）的上界积分可得；第一读数均为 $s$。共同中点同时是两种合法含噪输出，参数相距 $2d$，故至少一个估计误差不小于 $d$。$d=0$ 时下界自然为零。

此两点论证针对仅此原始对的外包合同；若加入旧档案 $C$ 或精确时间旁路，须另证明两候选都在同一个 $K_H$ 中，不能自动把下界限制到任意较小交集。$B_0=0$ 时参数已知，不存在该参数歧义。单个初始原始对 $(0,0)$ 不能计算 $\vartheta(\beta,0)=\beta$；该边界标签需独立提供。提升图的统一稳定性针对提升坐标自身的误差，原始测量转换的 $1/s$ 代价仍在。$\square$

**命题 27.4（准备场上的既有精确因子化及其定量界）。** 置
$$
\mathcal S=\{u_\beta(t):(\beta,t)\in W\},\quad
\mathcal I=\Psi^{-1}:Y\to W,\quad
\mathcal D(a)=u_\beta(t)\ \text{其中 }\mathcal I(a)=(\beta,t),
$$
$$
\mathcal O(U)=(1-2\ell_x(U)/\alpha,-4\ell_y(U)/\alpha).
\tag{27.114}
$$
则 $\mathcal O|_{\mathcal S}$ 与 $\mathcal D$ 互逆。因此任意精确任务 $\mathcal T:\mathcal S\to Z_{\mathcal T}$ 都在实际读数像上有唯一因子 $\mathcal T\circ\mathcal D$；这直接使用既有 [InjectiveInterfaceTargetFactorization](../../../D5/S3/ConceptDynamics/RefinementFactorization/InjectiveInterfaceTargetFactorization.lean) 的 `injective_interface_factors_every_target` 及 [RealizedImageKernelFactorization](../../../D5/S3/ConceptDynamics/RefinementFactorization/RealizedImageKernelFactorization.lean) 的 `realized_image_unique_factorization_iff_reverse_kernel`，不是另立一般解码原理。

具体定量内容为
$$
\|u_\beta(t)-u_{\beta'}(t')\|_2
\le6|\beta-\beta'|+M_F|t-t'|.
\tag{27.115}
$$
对两份原始图坐标，令 $m=\min\{r,r'\}>0$、$P_m=6+4M_FA_1m^2/\nu^3$，则
$$
\|\mathcal D(r,z)-\mathcal D(r',z')\|_2
\le\frac{3\nu P_m}{m}(|z-z'|+L_g|r-r'|)
 +\frac{2M_F}{\nu}|r-r'|.
\tag{27.116}
$$
在提升闭图上，边界标签已给时定义 $\widetilde{\mathcal D}(\widetilde\Psi(\beta,t))=u_\beta(t)$；此时允许 $m=0$，且
$$
\|\widetilde{\mathcal D}(r,v)-\widetilde{\mathcal D}(r',v')\|_2
\le3P_m(|v-v'|+L_s|r-r'|)+\frac{2M_F}{\nu}|r-r'|.
\tag{27.117}
$$

证明。直接有 $\mathcal O(\mathcal D(a))=a$。若 $U=u_\beta(t)\in\mathcal S$，则 $\mathcal O(U)=\Psi(\beta,t)$，图单射给 $\mathcal D(\mathcal O(U))=U$。所以观察在此准备场集合上单射，满足所引现成精确因子化前提。恢复卷（25.106）在共同时间比较参数，恢复卷（25.111）的 $L^2$ 速度界在时间段积分，得（27.115）；没有声称 $H^2$ 时间速度有同一界。代入本卷（25.110）—（25.111）得（27.116），代入（27.108）得（27.117）。提升边界的初态由已给 $\beta$ 决定，定义良好。

任意精确任务可因子化，不意味着它定量稳定。若另外证明 $d_{\mathcal T}(\mathcal T(U),\mathcal T(V))\le L_{\mathcal T}\|U-V\|_2$，才可将这些界乘 $L_{\mathcal T}$；更一般须有自己的 $L^2$ 连续模数。点值、梯度或不连续任务不能自动使用此结论。解码对象是准备场及指定任务，不是整个 $C$ 或取得历史。两数充分也没有证明它们在所有可能传感器或费用合同中全局最优。$\square$

**定理 27.5（续接的定义域等式与自主 PDE 交织）。** 写 $t_*(\beta)=t_\beta(s_*)$，则 $W=\{(\beta,t):|\beta|\le B_0,0<t\le t_*(\beta)\}$。对已知非负内部增量 $\sigma$，定义域子类型上的操作为
$$
\operatorname{Dom}_\sigma=\{a\in Y:\mathcal I(a)=(\beta,t),\quad
 0\le\sigma\le t_*(\beta)-t\},\qquad
\mathcal U_\sigma(a)=\Psi(\beta,t+\sigma).
\tag{27.118}
$$
对任意 $\sigma,\eta\ge0$，
$$
\operatorname{Dom}_{\sigma+\eta}
=\{a\in\operatorname{Dom}_\sigma:\mathcal U_\sigma(a)\in\operatorname{Dom}_\eta\},
\qquad \mathcal U_{\sigma+\eta}=\mathcal U_\eta\circ\mathcal U_\sigma,
\quad\mathcal U_0=\operatorname{id}.
\tag{27.119}
$$
若 $S_\sigma$ 是实际自主 PDE 从该准备场重启的、限制在上述允许域内的续接，则
$$
\mathcal D(\mathcal U_\sigma(a))=S_\sigma(\mathcal D(a))=u_\beta(t+\sigma).
\tag{27.120}
$$
同样的定义与等式适用于边界标签已供给的提升图。

证明。$r$ 在初始分支严格递增，给域的精确形式。两次合法条件分别为 $\sigma\le t_*(\beta)-t$ 和 $\eta\le t_*(\beta)-t-\sigma$，非负增量下它们等价于 $\sigma+\eta\le t_*(\beta)-t$，同时中间时刻必在域内。图逆在第一步后给 $(\beta,t+\sigma)$，代入第二步即得值的复合等式。零步不改变参数或时间，且总在图内合法。移位路径 $q\mapsto u_\beta(t+q)$ 从 $u_\beta(t)$ 解同一自主方程；恢复卷的温和解唯一性将它识别为重启解，证明（27.120）。

对两个都允许同一 $\sigma$ 的图点，推进后参数差及时间差不变，仍在共同 PDE 区间内，故（27.115）仍给相同右界；代入原始输入或提升输入的参数／时间界，（27.116）或（27.117）的原右侧也界定其推进后的场差。这里没有声称实际误差在演化中单调下降。

这些部分操作属于本卷约定1.2和命题1.4的域保持语义；[StrictOneHoleContexts](../../../D5/S3/ConceptDynamics/Observation/StrictOneHoleContexts.lean) 的 `PartialSignature`、`sourceOperationEquiv` 及 `contextual_equivalence_is_greatest` 已供应域子类型与严格失败传播的形式接口。可将 $\mathcal U_\sigma$ 总化为成功／失败标签，任何失败后的续接仍传播该失败，不返回一个默认场。域外输入与域内却超越剩余时域的非法增量应分别标记；两类都不同于下面的噪声证书未通过。$\square$

**约定 27.6（实际观察者操作保留档案）。** （27.118）是精确图坐标上的数学更新。对完整观察者 $H=(C,\mathcal A,d_{\rm raw})$ 执行操作时，旧 $C$ 逐条保留，当前原始对连同来源、原标签及误差合同保留为旧记录；实际执行的内部推进及新取得动作追加到 $\mathcal A$。若协议确实在推进后取得新的同轨迹双端口对，才把该原始对放入新的 $d_{\rm raw}$，并将其残差与全部旧约束一起加入同一个延伸实现集合。新的相容集合是旧共同实现先经实际操作运输，再与实际新记录约束取交。

若只计算 $\mathcal U_\sigma(a)$、$\mathcal D(a)$ 或预测的新读数，它们只能作为标明的派生值；没有执行推进就不记已推进，没有重新取得就保留最近原始对的原时间标签，不将预测冒充当前测量。两次推进之间取得一次额外记录，会让完整取得历史不同于直接推进一次；（27.119）保证参数、场及合法域的复合等式，不抹去这项历史区别。历史按实际动作序列串接，结合律保留记录次序；只有声明同一个展开协议时，才可将两种动作写法视为同一历史。

严格失败语义至少区分：输入精确值不在图中；共同实现集 $\mathfrak F_H$ 为空；已有精确图点但 $\sigma$ 超过（27.118）的上界；共同实现非空但噪声裕量证书没有通过。前三者均不能通过默认补一个状态继续；第四者表示尚未认证，不能推断实际增量非法。若采用总化编码，这些标签都在其后的严格接续中原样传播。由于 $\mathfrak F_H=\varnothing$ 没有实际见证，即使零步也不能以它认证一个被假定存在的来源；对任意非空相容图集合，零步始终是合法恒等操作。

**定理 27.7（完整相容集合的剩余时域证书）。** 定义
$$
\ell_{\rm rem}(\beta,t)=t_\beta(s_*)-t,\qquad
K_*=4A_1s_*^2/\nu^3.
\tag{27.121}
$$
取定义25.5的一份实际档案相容拟合见证 $\widehat\omega\in\mathfrak F_H$，其投影为 $(\widehat\beta,\widehat t)$。若
$$
\underline r=r_{\rm obs}-\epsilon_r>0,
\quad B_{\rm err}=\frac{6\nu}{\underline r}(\epsilon_z+L_g\epsilon_r),
\quad T_{\rm err}=\frac{4\epsilon_r}{\nu}+K_*B_{\rm err},
$$
$$
E_{\rm adm}=\frac{4\epsilon_r}{\nu}+2K_*B_{\rm err},\qquad
\widehat\ell=\ell_{\rm rem}(\widehat\beta,\widehat t),
\tag{27.122}
$$
则任意两个 $K_H$ 中的候选参数差、时间差分别至多 $B_{\rm err},T_{\rm err}$，剩余时域差至多 $E_{\rm adm}$。因此每个相容候选都允许同一个已知内部增量
$$
0\le\sigma\le\max\{0,\widehat\ell-E_{\rm adm}\}.
\tag{27.123}
$$
推进后实际相容场与拟合续接场满足
$$
\|u_\beta(t+\sigma)-u_{\widehat\beta}(\widehat t+\sigma)\|_2
\le6B_{\rm err}+M_FT_{\rm err}.
\tag{27.124}
$$
该区间仅为充分证书；不能认证某正增量，不证明该增量非法。

证明。阈值时间导数给 $|\partial_\beta t_\beta(s_*)|\le K_*$，故
$$
|\ell_{\rm rem}(\beta,t)-\ell_{\rm rem}(\beta',t')|
\le K_*|\beta-\beta'|+|t-t'|.
\tag{27.125}
$$
先对较大的 $K_{\rm pair}$ 证明界：任意两个候选坐标差至多 $2\epsilon_r,2\epsilon_z$，其较小真实第一坐标满足 $\underline r\le m\le s_*$。定理25.3依次给 $B_{\rm err}$、$4\epsilon_r/\nu+K_*B_{\rm err}$，代入（27.125）给 $E_{\rm adm}$。这些全称界通过 $K_H\subseteq K_{\rm pair}$ 限制到真正档案交集；拟合点具有交集见证，故任意实际相容剩余时域至少 $\widehat\ell-E_{\rm adm}$。正裕量情形可用（27.118）；若该数为负，只保留零步，零步由图域定义独立合法。因此（27.123）在所有情况成立，且从未对负裕量作不合法的正步授权。（27.124）是（27.115）的直接应用。

若实际来源确在初始图上、旧档案相容、同时取得条件成立且共同误差事件为真，则真实实现在 $\mathfrak F_H$，证书便约束真实动作。若交集空，或拟合只属于 $K_{\rm pair}$ 而无共同档案见证，不能称此证书已对完整观察者实例化。测得原始对不在精确图像中，并不自动使交集空；噪声情形须用残差判断。一个数值实现可以将 $\widehat\ell$ 换成其认证下界，但计算该下界与提供拟合见证仍有独立成本。

每个候选推进后的剩余时域都严格减去同一个 $\sigma$，与拟合的剩余时域差不变。因此对未新增测量的传播候选集，所有累计增量不超过原正裕量的序列继续被同一个 $E_{\rm adm}$ 支持；（27.119）给域与值的复合。实际新增记录只在同一延伸实现上进一步取交，不能重新挑一个不兼容的来源来维持拟合。

$B_0=0$ 时参数已知，可令 $B_{\rm err}=0$、$T_{\rm err}=E_{\rm adm}=4\epsilon_r/\nu$；$r_t\ge\nu/2$ 直接界定任意两候选的时间差，此单点版本可包含已知初始时刻且无需 $\underline r>0$。非空共同见证仍必需。对于非单点参数，正下界失败只表明（27.122）不能使用，不等于实际离开图域或正增量非法。$\square$

**注记 27.8（内部续接、来源标签与关系范围）。** 所有续接都要求已知内部时长 $\sigma$；未知共同钟下等待一个指定外部时长并不提供它，须另有时钟运输或实际取得证书。修改初态、外力、黏性、校准或测量干预是另一种操作，不能沿用当前的闭合域。越过 $t_*(\beta)$ 未获本接口许可，即使 PDE 本身仍可继续也一样。

在这里声明的自主非负推进下，恢复出的来源标签 $\beta$ 不变、内部时间平移；相同 $\beta$ 的两图点依时间顺序由一个允许前进量连接，不同 $\beta$ 则不能由这些操作连接。这是相对于规定操作的轨道标签，完整场仍随时间变化；它不表示所有空间场静止，也不把时间从空间推出。比值边界只是改变表示与误差几何，既不供应初始原始对所缺的标签，也不分配概率。

全场解码及响应逆的存在不使其求值免费：所需实际 PDE 求解、逆响应认证、端口取得、阈值监测、钟可达性和档案共同见证各有原来的资源条件。本文的数学陈述是普通证明，适用范围为固定准备族的共同短时图；有限维、全 PDE、精确识别、稳定性、合法操作和完整已获档案分别由各自明确条件承担。

## 27.99 追加锚

## 28. 有向初始图、三阶识别与黏性纤维

**定义 28.1（校准尺度与参数任务）。** 固定有符号且已校准的 $\alpha\ne0$，采用[恢复几何卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_RECOVERY_GEOMETRY.md)定义27.1的实际无外力 PDE、同源准备和端口。用
$$
p=(m,k)=\left(\frac\beta\nu,\frac{\alpha^2}{\nu^2}\right),\quad k>0,
\qquad \nu(p)=\frac{|\alpha|}{\sqrt k},\quad
\beta(p)=\frac{m|\alpha|}{\sqrt k}
\tag{28.101}
$$
作为参数坐标；它与 $(\beta,\nu)\in\mathbb R\times(0,\infty)$ 光滑互逆。$p$ 不表示流体压力。本节的图关系是同一实际轨迹上 $r_p(t)=1-2x_p(t)/\alpha$、$z_p(t)=-4y_p(t)/\alpha$ 所形成的有向初始关系。所有已获时间戳、钟限制、准备与旧档案关系仍按定义25.5保留；这里消去时间参数只为识别 $(\beta,\nu)$ 及指定准备场任务。

**定理 28.2（参数依赖的初始逆时间）。** 在任意紧参数集 $K$ 的开邻域内，缩短恢复卷的共同 $H^{12}$ 时间后，存在共同 $T_g,r_*>0$，使 $0\le r\le r_*$ 有唯一初始分支时间 $t_p(r)\in[0,T_g]$。函数 $t(p,r)$ 及
$$
g(p,r)=z_p(t_p(r)),\qquad g(p,0)=0
\tag{28.102}
$$
联合 $C^5$ 至 $r=0$，且对 $\xi=m,k$ 有
$$
\partial_rt_p(r)=\frac1{\partial_tr_p(t_p(r))},\qquad
\partial_\xi t_p(r)=-\frac{\partial_\xi r_p(t_p(r))}{\partial_tr_p(t_p(r))}.
\tag{28.103}
$$

证明。恢复卷定理27.3—27.4给联合 $C^5$ 的真实端口及 $r_t(p,0)=\nu(p)>0$。在 $K$ 的稍大紧邻域取 $\nu_{\min}>0$；联合连续性允许同一 $T_g\le T_{12}$ 使 $r_t\ge\nu_{\min}/2$。可取 $r_*\le\nu_{\min}T_g/4$，介值定理和严格单调性给唯一逆，且正端点离 $T_g$ 留有裕量。

为使用普通开域逆函数定理，在负时间把每个端口延成其零点的五次 Taylor 多项式。恢复卷（27.111）说明各初始系数对参数光滑；正时间的全部所需混合导数连续至零，所以正负两侧在总阶至多五的导数上相合，得到联合 $C^5$ 延拓。它只是一种函数延拓，绝非负时间 PDE 解。对 $(p,t)\mapsto(p,r_p(t))$ 使用逆函数定理，$r_t>0$ 给可逆导数；局部逆由单调性一致拼接，限制回非负 $r$ 得所需函数。对 $r_p(t_p(r))=r$ 求导得到（28.103），再复合真实 $z$ 得 $g$。这同时供应连续的 $\partial_m\partial_r^4g,\partial_k\partial_r^4g$：参数微分逆时间可出现第五时间导数，已由恢复卷供应，没有对外部未知钟求导。

普通逆函数步骤的钉版直接供应者是 Mathlib 的 [InverseFunctionTheorem/ContDiff.lean](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ContDiff.lean) 中 `ContDiffAt.toOpenPartialHomeomorph`、`ContDiffAt.localInverse`、`ContDiffAt.to_localInverse`；这些有限维逆接口不承担恢复卷的 PDE 正则性。$\square$

**定理 28.3（精确三阶图像及其逆）。** 令 $g_j=\partial_r^jg(p,0)$。全部实际准备满足
$$
g_1=m,\qquad g_2=F(m):=-\frac{m(m^2+30)}{10},\qquad
g_3=G(m,k):=\frac m{100}(3m^4+95m^2+300-10k).
\tag{28.104}
$$
在 $\beta\ne0,\nu>0$ 上，三阶图射流全局单射到其精确像。给定 $(m,j_2,j_3)$ 属于此非退化像，当且仅当
$$
m\ne0,\qquad j_2=F(m),\qquad
Q=\frac{3m^4+95m^2+300}{10}-\frac{10j_3}{m}>0.
\tag{28.105}
$$
其唯一逆为 $k=Q,\nu=|\alpha|/\sqrt Q,\beta=m|\alpha|/\sqrt Q$；另有参数先验时还须检查逆值落在先验内。前两阶图射流不能在此二维参数族中识别黏性。

证明。在 $z_p(t)=g(p,r_p(t))$ 中求三次实际时间导数，得到
$$
g_1=\frac{z_t(0)}{r_t(0)},\quad
g_2=\frac{z_{tt}(0)-g_1r_{tt}(0)}{r_t(0)^2},\quad
g_3=\frac{z_{ttt}(0)-g_1r_{ttt}(0)-3g_2r_t(0)r_{tt}(0)}{r_t(0)^3}.
\tag{28.106}
$$
代入恢复卷（27.114）给（28.104）；解第三式给 $Q=k$。反之，（28.105）定义正黏性和非零 $\beta$，代回全部三式正好复现供给的射流，证明必要与充分。此为有限射流相容性，不保证任意带有该射流的整条曲线都来自 PDE。$Q\le0$ 不能实现为有限正黏性，不能静默投影至正数；$m=0$ 不在除法公式域内。

固定任何非零 $m$，$(\beta,\nu)=(m\nu,\nu)$ 随正 $\nu$ 改变时 $g_1,g_2$ 相同，$g_3$ 随 $\alpha^2/\nu^2$ 改变。任意含两点的这类局部线段已给前两阶不足；最小阶数的结论只针对准备初点的这些图射流，不比较任意有限传感器协议。逆在 $m\ne0,Q>0$ 上光滑，局部 Lipschitz，离这两条退化边界有正距离的紧射流域上可取统一常数；特别
$$
\frac{\partial Q}{\partial j_3}=-\frac{10}{m},\qquad
\frac{\partial\nu}{\partial j_3}=\frac{5|\alpha|}{mQ^{3/2}}.
\tag{28.107}
$$
故不能跨越 $\beta=0$ 声称统一稳定性。

在固定校准的 Euclidean 端口平面，曲率只是这些导数的另一表达：
$$
\kappa_0=\frac{F(m)}{(1+m^2)^{3/2}},\qquad
\frac{d\kappa}{d\ell}(0)=\frac{G(m,k)}{(1+m^2)^2}
 -\frac{3mF(m)^2}{(1+m^2)^3}.
\tag{28.108}
$$
这里 $\ell$ 是沿增大 $r$ 的弧长；由 $\kappa=g''/(1+g'^2)^{3/2}$ 及 $d/d\ell=(1+g'^2)^{-1/2}d/dr$ 直接求导。初始曲率已由切向 $m$ 决定，曲率变化才携带第三阶信息；这没有增加一个状态或一次测量，也不声称对任意端口重校准不变。$\square$

**引理 28.4（一次统一的混合四阶图余项）。** 在定理28.2的较小紧参数邻域和共同 $[0,r_*]$ 上，定义
$$
R(p,r)=g(p,r)-mr-\tfrac12F(m)r^2-\tfrac16G(m,k)r^3.
\tag{28.109}
$$
对 $a=0,m,k$，记 $D_0$ 为恒等、$D_m=\partial_m,D_k=\partial_k$，并令 $M_a=\sup|D_a\partial_r^4g|<\infty$。则
$$
D_aR(p,r)=\frac16\int_0^r(r-v)^3D_a\partial_r^4g(p,v)\,dv,
\qquad |D_aR(p,r)|\le\frac{M_a}{24}r^4.
\tag{28.110}
$$
因此 $g=mr+F(m)r^2/2+G(p)r^3/6+O_{C^1(p)}(r^4)$，一致地有
$$
\partial_mg(p,r)=r+O(r^2),\qquad
\partial_kg(p,r)=-\frac m{60}r^3+O(r^4).
\tag{28.111}
$$

证明。对 $g$ 使用四阶积分 Taylor 公式，定理28.3给零至三阶系数。定理28.2的联合 $C^5$ 保证对参数在积分下微分合法且混合导数交换，得到同一公式的 $D_m,D_k$ 版本。$\int_0^r(r-v)^3dv=r^4/4$ 给常数 $1/24$；紧性给有限的 $M_a$。最后对系数求导，$G_k=-m/10$，即得（28.111）。后文的有限记录和有限差分共用此余项，不另假定解析性。积分 Taylor 的钉版直接供应者是 Mathlib [Taylor.lean](https://github.com/leanprover-community/mathlib4/blob/db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d/Mathlib/Analysis/Calculus/Taylor.lean) 的 `taylor_integral_remainder`、`taylor_mean_remainder_bound`；这里的 $1/24$ 来自所展示的积分而非额外经验常数。$\square$

**推论 28.5（履行命题26.4的黏性前提）。** 固定 $\alpha\ne0$ 和 $(\beta_0,\nu_0)$ 的正黏性内点邻域。实际 PDE 满足命题26.4（26.113）的全部统一渐近。因而在 $\beta_0\ne0$ 的内点，一份足够短正内部时间的同时端口对，仍有该命题所述随 $\nu$ 变化的精确局部 $(\beta(\nu),t(\nu))$ 纤维，且（26.114）的两导数均非零。

证明。恢复卷定理27.2—27.4给开参数域上的光滑性及初始恒等式。对这些初值作参数微分：$r_\nu(0)=r_\beta(0)=z_\nu(0)=z_\beta(0)=0$，而 $r_{\nu t}(0)=1,r_{\beta t}(0)=z_{\nu t}(0)=0,z_{\beta t}(0)=1$。在紧邻域上二阶时间导数及其参数导数一致有界，Taylor 积分式遂给
$$
r_\nu=t+O(t^2),\quad z_\nu=O(t^2),\quad
r_t=\nu+O(t),\quad z_t=\beta+O(t),\quad
r_\beta=O(t^2),\quad z_\beta=t+O(t^2).
\tag{28.112}
$$
这正是继承的（26.113）；直接应用命题26.4的条件纤维结论，无需第二次一般隐函数证明。固定充分小 $t>0$ 后，$-t/\nu+O(t^2)$ 和 $\beta/\nu+O(t)$ 在非零 $\beta$ 内点均非零。旧命题的原条件文本仍成立，此处履行其当时尚缺的实际黏性正则性前提。

纤维首先属于单份读数的参数／时间任务载体；要把其中两点称为完整观察者不可区分，仍须使同一完整旧档案、所记时间戳和允许钟关系各有对应的完整实现。已知内部时间或其它旧记录可切开此纤维。本推论不把它变成任何传感器数的普遍最优性断言。$\square$

**命题 28.6（剪切边界与幅度、黏性、时间的共同缩放）。** 非退化识别保留如下精确边界。$\beta=0$ 的整个图恒为 $z=0$，不同正黏性的未知钟碰撞由命题26.4（26.112）给出；$\alpha=0$ 的原始双端口历史恒零，由恢复卷命题25.7（25.120）的不可见剪切给出。这两项直接复用既有精确解及证明。$\nu=0$ 时 $r_t(0)=0$，本节的正则图逆前提失效，并无由本证明得到的无黏性结论。

如果准备幅度绝对尺度未知，则对任意 $c>0$，实际 PDE 有缩放
$$
u^c(t,X)=c\,u(ct,X),\quad \Pi^c(t,X)=c^2\Pi(ct,X),\qquad
(\alpha,\beta,\nu)\mapsto(c\alpha,c\beta,c\nu),
$$
$$
r^c(t)=r(ct),\qquad z^c(t)=z(ct).
\tag{28.113}
$$
此外 $X\mapsto X+(\pi,\pi)$ 将 $\alpha$ 变为 $-\alpha$ 而保持 $\beta$；原始双端口都变号，归一化图保持。故仅无参数化归一化图的三阶非退化射流给 $\beta/\nu$ 和 $|\alpha|/\nu$，不提供三者的绝对尺度或 $\alpha$ 的符号。

证明。缩放后的时间导数、对流、黏性项和压力梯度都是原方程对应项的 $c^2$ 倍，初态正好具有所列幅度；归一化抵消外侧 $c$。平移对初始可见余弦给负号、对 $X_2-X_1$ 模态给正号；方程平移不变及唯一性延伸此关系，两读出模态的相位均为 $-1$，所以所列端口关系对整条实际轨迹成立。

若允许未知共同传感器增益 $a_g$，将它改为 $a_g/c$ 并把候选钟改成原钟的 $1/c$，便与（28.113）一同保留全部这些原始测量值；额外档案约束仍须逐项满足。相反，若初始校准原始读数 $x(0)$ 已实际取得，$\alpha=2x(0)$ 供应有符号尺度，无需再次免费给一项测量。此陈述不含新的含噪 $\alpha$ 联合逆定理。独立未知增益、丢失空间相位、异步端口、缺失初始准备点、改变初态族或扰动演化的测量，均不满足本节合同，须各自解决识别与共同轨迹合法性。$\square$

**推论 28.7（图访问、已获样点时间及既有因子化的任务域）。** 设共同外部钟 $\theta$ 连续严格递增、$\theta(0)=0$，同源且同时的端口读数为 $(r_p(\theta(s)),z_p(\theta(s)))$。若实际访问到零点附近任意小正内部时间，观察到的有向图 germ 就是 $g_p$；此结论无需 $\theta$ 可微或有正导数。三阶射流识别之后，对任一已获且有初始分支证书的样点 $(s_i,r_i,z_i)$，唯一内部时间和准备场分别为
$$
\theta(s_i)=t_p(r_i),\qquad u_p(t_p(r_i)).
\tag{28.114}
$$
只有这些实际已获样点的钟值由此确定，不确定未采样钟插值，更不重建或商掉完整档案。

证明。$r_t>0$ 和 $\theta$ 的连续严格单调性保留图与方向，零点相连的小正访问保留 germ。对已识别参数应用定理28.2的单调逆，得到（28.114）。有初始跳跃的钟不必提供 germ；没有到达指定正阈值的钟也不提供该记录。

精确图射流属于理想访问，不是免费有限记录。即便确实取得 $r=0,h,2h,3h$、且 $g(0)=0$ 精确，第三前向差分 $[g(3h)-3g(2h)+3g(h)]/h^3$ 在三个非初始标量各有误差 $\epsilon$ 时仅噪声项已有 $7\epsilon/h^3$ 界；截断偏差还需四阶导数，位置误差另计。第29节另给两份实际记录的局部结论。

对一个选定的参数邻域，以参数 $p$ 为载体，精确射流接口由定理28.3单射；若要解码已获样点的准备场，则载体取带这些实际 $r_i$ 的 $(p,(r_i)_i)$，接口同时保留射流与 $(r_i)_i$，仍单射。直接应用既有 [InjectiveInterfaceTargetFactorization](../../../D5/S3/ConceptDynamics/RefinementFactorization/InjectiveInterfaceTargetFactorization.lean) 的 `injective_interface_factors_every_target`，或 [RealizedImageKernelFactorization](../../../D5/S3/ConceptDynamics/RefinementFactorization/RealizedImageKernelFactorization.lean) 的 `realized_image_unique_factorization_iff_reverse_kernel`，可因子化参数与这些指定准备场任务。此单射前提不施于含任意钟和旧记录的完整实现集合；后者可有多个实现共享同一参数任务。任务的稳定性、求值资源和新操作合法性仍须各自的界。

共同钟消去沿用定理21.2与命题23.4—推论23.5的任务区别，初始方向与端点值的区别沿用第27节及 [GoldenThreadBlowup](../../../D5/S3/CompletionDynamics/GoldenMobius/GoldenThreadBlowup.lean)。成熟的初始输出／Lie 导数方法见 Sontag, *Dynamic compensation, parameter identifiability, and equivariances*, PLOS Computational Biology（2017），[作者原文](https://www.sontaglab.org/FTPDIR/dynamic_compensation_parameter_identifiability_equivariances_sontag_plos2017.pdf)第5—6页；这里仅使用有限阶导数，不假定解析性，也不从所有 Taylor 系数相同反推一般光滑轨迹相同。[FiniteCrystalTimeFrequencyBridge](../../../D5/S3/ObserverMemory/FourierFibers/FiniteCrystalTimeFrequencyBridge.lean) 的 `first_crystal_time_window_injective` 与 [FinitePronyNodeIdentification](../../../D5/S3/Analytic/GoldenTomography/FinitePronyNodeIdentification.lean) 的 `recurrence_window_identifies_node_roots` 要求其有限指数模态模型；这里没有这种不变模态前提。[ProjectiveJetScaleInvariance](../../../D5/S3/Analytic/Toroidal/ProjectiveJetScaleInvariance.lean) 处理常值输出尺度，[PairCalibratedSecondMagnusObservability](../../../D5/S3/Observer/AgencyHolonomy/PairCalibratedSecondMagnusObservability.lean) 允许各对不同时间，均不替代此处的共同阈值与全 PDE 桥梁。$\square$

## 29. 两份有限记录的统一逆、取得资源与受限实验下界

**定义 29.1（一个完整实现集合上的两份记录）。** 继续定义25.5、第27节的完整观察者语义，现在令 $\Omega$ 中的每份实现 $\omega$ 同时包含来源身份、固定已校准 $\alpha$、参数 $p(\omega)=(m,k)$、由同一准备生成的实际轨迹 $u_p$、一个允许的连续严格递增钟 $\theta_\omega$，以及解释全部旧记录、误差和关系的辅助量。完整已获信息写为 $H=(C,\mathcal A,D_1,D_2)$：$C$ 保留全部先前内部／外部记录及关系，$\mathcal A$ 保留合法动作、端口、校准、分支和共同轨迹证书，$D_j=(s_j,\widetilde r_j,\widetilde z_j)$ 是两份有序实际同时记录，$s_1<s_2$ 是保留的外部时间戳。对已声明局部先验 $U$ 和第28节初始图域，令 $t_j(\omega)=\theta_\omega(s_j)$、$r_j(\omega)=r_{p(\omega)}(t_j(\omega))$，定义
$$
\begin{aligned}
\mathfrak F_H=\{\omega\in\Omega:\;&p(\omega)\in U,\quad
\operatorname{Hist}(\omega,\mathcal A),\quad
\mathcal R_i(\omega,c_i)\ \text{对全部 }c_i\in C,\\
&\omega\in\mathcal E_H,\quad
0<t_1(\omega)<t_2(\omega)\le T_g,\quad
0<r_1(\omega)<r_2(\omega)\le r_*,\\
&|r_j(\omega)-\widetilde r_j|\le\epsilon_r,\quad
|g_{p(\omega)}(r_j(\omega))-\widetilde z_j|\le\epsilon_z\quad(j=1,2)\},\\
\mathcal K_H&=\{p(\omega):\omega\in\mathfrak F_H\}.
\end{aligned}
\tag{29.101}
$$
$\mathcal E_H$ 是一份联合误差事件，可施加相关性和其它旧限制，不预设独立噪声。旧钟校准、同源关系或额外传感器均仍在 $\mathcal R_i$ 内；不能为两份记录或各条旧约束另选互不相容的实现。若测量由原始 $x,y$ 换算，则在同一联合事件上严格使用
$$
\epsilon_r=\frac{2\epsilon_x}{|\alpha|},\qquad
\epsilon_z=\frac{4\epsilon_y}{|\alpha|}.
\tag{29.102}
$$
这里 $\alpha$ 固定且已校准。精确事件是误差为零且 $r_j=j\eta$ 的特例；两记录和校准初点均仍附于完整档案。模型预测不替代实际取得，重开缓存第一记录不产生第二记录。

**定理 29.2（两精确阈值的局部识别与三次病态量级）。** 固定 $p_0=(m_0,k_0)$，$m_0\ne0,k_0>0$。对充分小 $\eta>0$，两份已实际取得的初始分支精确阈值响应定义
$$
\mathcal O_\eta(p)=(g_p(\eta),g_p(2\eta)).
\tag{29.103}
$$
它在 $p_0$ 附近有 $C^1$ 局部逆，且
$$
\det D\mathcal O_\eta(p_0)=-\frac{m_0}{10}\eta^4+O(\eta^5),
\qquad \|(D\mathcal O_\eta(p_0))^{-1}\|_2=\Theta(\eta^{-3}).
\tag{29.104}
$$

证明。仅用引理28.4的一致混合余项，$\partial_mg(r)=r+O(r^2)$，$\partial_kg(r)=-mr^3/60+O(r^4)$，故
$$
\det D\mathcal O_\eta
 =(\eta+O(\eta^2))\left(-\frac{8m}{60}\eta^3+O(\eta^4)\right)
 -(2\eta+O(\eta^2))\left(-\frac m{60}\eta^3+O(\eta^4)\right)
 =-\frac m{10}\eta^4+O(\eta^5).
\tag{29.105}
$$
非零 $m_0$ 使充分小正 $\eta$ 时行列式非零，有限维逆函数定理给局部逆。若 $|\det D\mathcal O_\eta+m_0\eta^4/10|\le C_D\eta^5$，$C_D>0$ 时附加 $\eta\le|m_0|/(20C_D)$ 就足以保留非零性；还须满足共同图域限制。第一参数列为 $(\eta,2\eta)+O(\eta^2)$，故大奇异值有上下界常数乘 $\eta$；奇异值乘积为行列式绝对值，给小奇异值为常数乘 $\eta^3$，从而得到逆导数的精确量级。

此为局部两记录逆；定理28.3在其精确三阶射流像上的全局逆并不把这里升级为任意参数盒上的全局两样点逆。精确阈值仍须实际取得，同一完整见证仍须满足定义29.1。把导数识别转成有限样点的 Taylor／Vandermonde、余项与最小奇异值方法，见 Sontag, *A concept of local observability*, Systems & Control Letters 5（1984），41–47，[作者原文](https://www.sontaglab.org/FTPDIR/localobs.pdf)，Lemma 3.4（第44页）及 Section 4 的证明（第45—46页），Lemma 3.5 使用逆函数定理。该文对象是有限维受控系统；这里的全 PDE 参数正则性、阈值图及特定系数分别由恢复卷第27节和本卷第28节承担，不由该有限维结果直接推出。$\square$

**定理 29.3（显式预条件与一个固定凸参数邻域）。** 令 $F,G$ 如（28.104），已知位置比的设计域为
$$
\mathcal D=[3/4,5/4]\times[7/4,9/4],\qquad (\lambda,\mu)\in\mathcal D.
\tag{29.106}
$$
对 $3\eta\le r_*$ 定义
$$
A_{\eta,\lambda}(p)=\frac{g_p(\lambda\eta)}{\lambda\eta},
$$
$$
B_{\eta,\lambda,\mu}(p)=\frac1\eta\left[
 \frac{2\{g_p(\mu\eta)-(\mu/\lambda)g_p(\lambda\eta)\}}
 {\mu(\mu-\lambda)\eta^2}-F(A_{\eta,\lambda}(p))\right],\qquad
\mathcal P_{\eta,\lambda,\mu}=(A_{\eta,\lambda},B_{\eta,\lambda,\mu}).
\tag{29.107}
$$
存在一个固定闭凸球 $U=\overline B(p_0,\rho)$、共同 $\eta_0>0,K<\infty$，使对所有 $p,q\in U,(\lambda,\mu)\in\mathcal D,0<\eta\le\eta_0$，
$$
\|\mathcal P_{\eta,\lambda,\mu}(p)-\mathcal P_{\eta,\lambda,\mu}(q)\|_2
 \ge\frac{\|p-q\|_2}{2K}.
\tag{29.108}
$$
球 $U$ 在参数空间，不是与 $\eta$ 无关的原始输出球。

证明。固定正 $\eta,\lambda,\mu$ 时，（29.107）是两个输出 $z_1,z_2$ 的可逆变换：$z_1=\lambda\eta A$，
$z_2=(\mu/\lambda)z_1+\mu(\mu-\lambda)\eta^2[F(A)+\eta B]/2$。它只重表达两条既有记录，不增加测量。

引理28.4给一致于 $\mathcal D$ 的 $C^1(p)$ 展开
$$
A=m+\frac\lambda2F(m)\eta+O_{C^1}(\eta^2),\qquad
\mathcal P_{\eta,\lambda,\mu}\longrightarrow
\mathcal P_{0,\lambda,\mu}=(m,J_{\lambda,\mu}(m,k)),
$$
$$
J_{\lambda,\mu}=\frac{\lambda+\mu}{3}G(m,k)-\frac\lambda2F'(m)F(m),
\qquad \partial_kJ_{\lambda,\mu}=-\frac{(\lambda+\mu)m}{30}.
\tag{29.109}
$$
收敛的 $C^1$ 误差为 $O(\eta)$。确实，$B$ 方括号中首项展开成
$F(m)+(\lambda+\mu)G\eta/3+O_{C^1}(\eta^2)$，而
$F(A)=F(m)+\lambda F'(m)F(m)\eta/2+O_{C^1}(\eta^2)$；相减除以 $\eta$ 即得。多项式 $F$ 及一致 $C^1$ 余项保证参数导数亦有相同阶数。

令
$$
L_{\lambda,\mu}=D\mathcal P_{0,\lambda,\mu}(p_0),\qquad
K=\max_{(\lambda,\mu)\in\mathcal D}\|L_{\lambda,\mu}^{-1}\|_2.
\tag{29.110}
$$
$L$ 第一行为 $(1,0)$，行列式为 $-(\lambda+\mu)m_0/30\ne0$；连续性和紧性给 $0<K<\infty$。在共同开图参数域内选择
$0<\rho<\min\{|m_0|/2,k_0/2\}$，使闭球 $U$ 连同邻域留在该域，且
$$
K\sup_{p\in U,(\lambda,\mu)\in\mathcal D}
 \|D\mathcal P_{0,\lambda,\mu}(p)-L_{\lambda,\mu}\|_2\le\tfrac14.
\tag{29.111}
$$
这由紧设计域上的一致连续性实现。再用一致 $C^1$ 收敛选择 $0<\eta_0\le\min\{1,r_*/3\}$，使
$$
K\sup_{p\in U,(\lambda,\mu)\in\mathcal D}
 \|D\mathcal P_{\eta,\lambda,\mu}(p)-D\mathcal P_{0,\lambda,\mu}(p)\|_2
 \le\tfrac14\quad(0<\eta\le\eta_0).
\tag{29.112}
$$
若一致 $C^1$ 余项界为 $C_R\eta$，$C_R>0$ 时还可用 $\eta_0\le1/(4KC_R)$。这些给定的是导数界的充分条件和有限常数的存在，不给未经计算的数值 PDE 半径。

两项四分之一界合成 $\sup_U\|L^{-1}D\mathcal P_\eta-I\|_2\le1/2$。对 $p,q\in U$，整条直线段在 $U$ 中，故
$$
L^{-1}(\mathcal P_\eta(p)-\mathcal P_\eta(q))
 =(p-q)+\int_0^1(L^{-1}D\mathcal P_\eta(q+s(p-q))-I)(p-q)\,ds.
\tag{29.113}
$$
右侧范数至少 $\|p-q\|_2/2$，左侧至多 $K\|\mathcal P_\eta(p)-\mathcal P_\eta(q)\|_2$，得（29.108）。这一步把点态导数条件提升为统一非线性比较；固定 $U$ 不随 $\eta$ 缩小，其实际预条件输出像上的逆 Lipschitz 常数至多 $2K$。原始输出的误差仍被（29.107）的 $\eta$ 分母放大。$\square$

**定理 29.4（已获含噪记录的完整可行集直径）。** 使用定理29.3的同一个 $U,\eta_0$，取 $0<\eta\le\eta_0$。实际测得位置满足
$$
\widetilde r_1\in[3\eta/4,5\eta/4],\qquad
\widetilde r_2\in[7\eta/4,9\eta/4],\qquad
0\le\epsilon_r\le\eta/8.
\tag{29.114}
$$
取实际记录的固定设计比 $\lambda=\widetilde r_1/\eta,\mu=\widetilde r_2/\eta$。令
$$
L_g=\sup_{p\in U,0\le r\le r_*}|\partial_rg_p(r)|,\quad
e=\epsilon_z+L_g\epsilon_r,\quad
C_F=\sup_{|v|\le L_g}|F'(v)|=3+\tfrac3{10}L_g^2,
$$
$$
C_T=\sqrt{(4/3)^2+(64/7+4C_F/3)^2}.
\tag{29.115}
$$
对完整可行集 $\mathcal K_H$ 中任意两候选 $p,q$，都有
$$
\|p-q\|_2\le4Ke\left[
\frac1{\lambda^2\eta^2}
 +\left\{\frac{2(1+\mu/\lambda)}{\mu(\mu-\lambda)\eta^3}
             +\frac{C_F}{\lambda\eta^2}\right\}^2\right]^{1/2},
\tag{29.116}
$$
$$
\|p-q\|_2\le\min\left\{2\rho,\frac{4KC_Te}{\eta^3}\right\}.
\tag{29.117}
$$
若一个真实完整实现同时满足全部旧约束、取得历史和两条新原始误差约束，则 $\mathfrak F_H\ne\varnothing$；此时对任意有完整见证的拟合 $q$ 与真实参数 $p_*$，同一界给 $\|q-p_*\|_2$。

证明。任何候选的真实 $r$ 值落在互不相交的正区间 $[5\eta/8,11\eta/8]$ 和 $[13\eta/8,19\eta/8]$，均含于 $[0,r_*]$，因为 $3\eta\le r_*$。窗口本身不证明同源或第一分支，这两项由定义29.1的见证承担。沿图坐标用中值定理，得到
$$
|g_p(\widetilde r_j)-\widetilde z_j|\le e\quad(j=1,2).
\tag{29.118}
$$
故任意两候选在这两个固定测得位置的精确预测值各相差至多 $2e$。$g_p(0)=0$ 还给 $|A_{\eta,\lambda}(p)|\le L_g$。将（29.107）用于两组精确预测，用 $F$ 的中值界得到
$$
|\Delta A|\le\frac{2e}{\lambda\eta},\qquad
|\Delta B|\le2e\left[
\frac{2(1+\mu/\lambda)}{\mu(\mu-\lambda)\eta^3}
 +\frac{C_F}{\lambda\eta^2}\right].
\tag{29.119}
$$
与（29.108）合用即得（29.116）。设计域给 $\lambda\ge3/4,\mu\ge7/4,\mu-\lambda\ge1/2,\mu/\lambda\le3$；再用 $\eta\le1$ 得 $C_T/\eta^3$ 的上界。$p,q\in\overline B(p_0,\rho)$ 给直径上限 $2\rho$。这些是整个完整可行集的成对界，无需噪声记录本身位于精确模型像内。

一个真实完整见证才保证非空；只对新对成立的原始误差假设至多保证对记录外包集合非空，不保证与旧档案交集非空。若 $\mathfrak F_H$ 为空，本定理不产生拟合参数，不能用静默投影替代；空集上的全称界也不授权后续操作。较强旧约束只缩小可行集，仍保留上界。已知的测得位置偏移属于这份设计，只有未确定的真实 $r$ 偏差由 $\epsilon_r$ 计入噪声。

因此请求参数坐标误差 $\delta>0$ 时，一个明确充分精度条件为
$$
\epsilon_z+L_g\epsilon_r\le\frac{\delta\eta^3}{4KC_T},\qquad
\epsilon_r\le\eta/8,
\tag{29.120}
$$
同时保留局部先验、同源第一分支和非空完整见证。为转换物理参数，令 $k_{\min}=\min_Uk>0,M_m=\max_U|m|$，
$$
N=\frac{|\alpha|}{\sqrt{k_{\min}}},\qquad
C_\nu=\frac{|\alpha|}{2k_{\min}^{3/2}}.
$$
$$
|\nu(p)-\nu(q)|\le C_\nu|k_p-k_q|,\qquad
|\beta(p)-\beta(q)|\le N|m_p-m_q|+M_mC_\nu|k_p-k_q|.
\tag{29.121}
$$
第一式由 $k^{-1/2}$ 的中值定理，第二式由 $m_p\nu_p-m_q\nu_q=\nu_p(m_p-m_q)+m_q(\nu_p-\nu_q)$。代入（29.117）给黏性及隐藏幅度的实际误差界。$g_q(\widetilde r_j)$ 是核对候选的预测，不是另一条取得记录；新增记录仍取同一个完整实现集合的交集。

精确两记录在 $U$ 上单射后，对参数载体或带已获 $r_i$ 的准备场载体，直接应用推论28.7所引现成因子化结果。它不声称对整个 $\Omega$ 单射，不消除已保留钟信息，也不赋予含噪档案一个精确一般解码器。$\square$

**定理 29.5（内部阈值成本与条件外部期限）。** 在固定实际校准 $\alpha$ 的局部先验上，选界
$$
0<a\le|\alpha|\le A,\qquad 0<b\le|\beta|\le B,\qquad
0<\nu_{\min}\le\nu\le\nu_{\max}.
\tag{29.122}
$$
取恢复卷第25节的同一 $H^2$ 常数在此参数域上的上包络
$$
R=2\sqrt{2A^2+9B^2},\quad \tau_*=\frac{\nu_{\min}}{16384R^2},\quad
M_*=(\nu_{\max}+R)(\nu_{\max}R+4R^2),\quad D_*=\frac{2M_*}{a},
$$
$$
T_*=\min\left\{\tau_*,\frac{\nu_{\min}}{2D_*}\right\},\qquad
T_c=\min\{T_{12},T_g,T_*\},\qquad
0<\eta\le\min\left\{\eta_0,\frac{\nu_{\min}T_c}{4}\right\}.
\tag{29.123}
$$
其中 $T_{12}$ 来自恢复卷的开参数族，$T_g,r_*$ 来自定理28.2，$\eta_0\le r_*/3$ 来自定理29.3，均在同一稍大参数邻域上选择。则两个精确初始阈值有唯一内部时刻 $0<t_1<t_2\le T_c$，且
$$
\frac{2j\eta}{3\nu}\le t_j\le\frac{2j\eta}{\nu},\qquad
\frac{2j\eta}{3\nu_{\max}}\le t_j\le\frac{2j\eta}{\nu_{\min}}\quad(j=1,2),
$$
$$
\frac{2\eta}{3\nu}\le t_2-t_1\le\frac{2\eta}{\nu},\qquad
 t_2\le\frac{4\eta}{\nu_{\min}}.
\tag{29.124}
$$
若允许钟另满足下增量率 $c>0$，即
$$
\theta(s')-\theta(s)\ge c(s'-s)\quad(0\le s<s'\le S),
\tag{29.125}
$$
且钟和实际同时事件取得接口可用至 $S_*=4\eta/(c\nu_{\min})$，则两个精确阈值事件均在该外部期限内可达；其外部时刻满足
$$
s_j\le\frac{2j\eta}{c\nu}\le\frac{2j\eta}{c\nu_{\min}},\qquad
s_2-s_1\le\frac{2\eta}{c\nu}\le\frac{2\eta}{c\nu_{\min}}.
\tag{29.126}
$$

证明。恢复卷定理25.3、25.6给 $[0,\tau_*]$ 上同一 $H^2$ 解及 $|x_{tt}|\le M_*$；与恢复卷定理27.2的解由唯一性一致。故 $|r_{tt}|\le D_*$，从 $r_t(0)=\nu$ 积分，在 $[0,T_*]$ 得
$$
|r_t(t)-\nu|\le D_*t\le\nu_{\min}/2\le\nu/2,\qquad
\nu/2\le r_t(t)\le3\nu/2,\quad
\nu t/2\le r(t)\le3\nu t/2.
\tag{29.127}
$$
$\beta$ 的正下界只用于非退化识别，此取得计算也适用于 $\beta=0$。$r(T_c)\ge\nu_{\min}T_c/2\ge2\eta$，连续严格单调性给两个唯一内部 hit；将（29.127）分别在零点至 hit 及两 hit 之间积分，得到（29.124）。$T_c$ 与 $\eta_0$ 的交集使 $H^{12}$ 正则、图逆、非线性参数逆和 $H^2$ 取得界在同一实验同时有效。

对任意定义在 $[0,S]$ 的连续严格递增钟，两个事件在 $S$ 前出现当且仅当 $\theta(S)\ge t_2$，出现时 $s_j=\theta^{-1}(t_j)$。一个统一充分端点条件为 $\theta(S)\ge4\eta/\nu_{\min}$。（29.125）给 $\theta(S_*)\ge cS_*$；在相应 hit 时刻使用原点与两点增量不等式，得到（29.126）。绝对连续且几乎处处 $\theta'\ge c$ 是（29.125）的充分条件。仅 $\theta(s)\ge cs$ 已足够给总期限，但不能替代两点增量条件来给事件间隔界；允许任意快钟，所以没有统一正的外部下时间界。取得在第二 hit 停止，不使用超过 $T_c$ 的 PDE 演化。

在 $[0,\infty)$ 上若 $L=\lim_{s\to\infty}\theta(s)<\infty$，严格增加使有限时刻不达 $L$，故有限时刻到达第 $j$ 事件恰需 $t_j<L$；$L=\infty$ 时两个内部 hit 均最终可达。仅连续严格增加不足以保证最终取得：取 $L=\eta/(3\nu_{\max})$、$\theta(s)=L(1-e^{-s})$，则始终 $\theta(s)<L<t_1$。即使只许无界钟仍无统一期限：给任何 $D>0$，$\theta(s)=\eta s/(3\nu_{\max}D)$ 无界严格递增，却有 $\theta(D)=\eta/(3\nu_{\max})<t_1$。这些反例在同一个固定准备轨迹上就成立。

以上期限专属于两个精确阈值事件及真实可用的同时事件接口。任意有限个点查询不自动构成精确连续事件检测；检测器精度、带宽、延迟以及测量无扰动／等价轨迹须有各自假设。数值相同的迟时 $r$ 读数也不证明初始分支。定理29.4允许已经取得的偏离阈值记录，真实第二位置可达 $19\eta/8>2\eta$；本定理不把 $S_*$ 自动赋给这种记录或检测延迟。应用相同期限必须另给它们实际取得的证书，或另证更大目标及延迟的时域界，而不凭空指定取得算法。$\square$

**定理 29.6（相容竖直参数段上的三次有限差分）。** 固定 $m_0\ne0$，取 $d_0>0$ 使
$$
I=\{(m_0,k):k_0-d_0\le k\le k_0+d_0\}\subset U,\qquad k_0-d_0>0.
\tag{29.128}
$$
这里 $\nu(k)=|\alpha|/\sqrt k,\beta(k)=m_0\nu(k)$。令
$$
M_4=\sup_{(m_0,k)\in I,0\le r\le r_*}|\partial_k\partial_r^4g(m_0,k,r)|<\infty.
\tag{29.129}
$$
取 $\eta$ 满足（29.123），且 $2\eta\le r_*$；$M_4>0$ 时再要求 $\eta\le|m_0|/(10M_4)$，$M_4=0$ 时不加此限制。则对任意段内 $k,k'$，
$$
Q_\eta(k)=(g_{m_0,k}(\eta),g_{m_0,k}(2\eta)),\qquad
\frac{|m_0|}{15}\eta^3|k-k'|
 \le\|Q_\eta(k)-Q_\eta(k')\|_\infty
 \le\frac{|m_0|}{5}\eta^3|k-k'|.
\tag{29.130}
$$

证明。使用引理28.4的同一个参数微分积分余项，$F_k=0,G_k=-m_0/10$ 给
$$
\left|\partial_kg(m_0,k,r)+\frac{m_0}{60}r^3\right|
 \le\frac{M_4}{24}r^4.
\tag{29.131}
$$
对 $0<r\le2\eta$，附加小性使误差至多 $|m_0|r^3/120$，所以导数恒具有 $-\operatorname{sign}(m_0)$ 的符号，且
$$
\frac{|m_0|}{120}r^3\le|\partial_kg(m_0,k,r)|\le\frac{|m_0|}{40}r^3.
\tag{29.132}
$$
沿完整 $k$ 线段积分，固定符号排除抵消；第二输出在 $r=2\eta$ 给下界 $8/120=1/15$，两输出的最大上界为 $8/40=1/5$，得到真正有限差分（29.130）。几何包含 $I\subset U$ 本身不证明档案相容；下项对实际完整实现另加明确条件。$\square$

**定理 29.7（保留时间戳及全部已获 $r$ 迹的受限两点下界）。** 使用定理29.6的参数段和阈值。实验允许两个精确 $r$ 阈值 $\eta,2\eta$、它们的同时 $z$ 读数各有绝对误差至多 $\epsilon$，并保留所有校准、初点、准备族、局部先验、开始事件、取得历史和时间戳。可额外把 $m=m_0$ 精确告诉观察者。基础钟类取全部零点为零的连续严格递增钟；任何更强钟限制仍作为旧约束保留，并须通过下述完整端点条件。先声明两个 $z$ 坐标允许完整的 sup 范数误差球 $\{e:\|e\|_\infty\le\epsilon\}$；若实际联合噪声集更小，则以下两条构造误差向量必须分别被该集合允许。给 $\epsilon>0$，令
$$
d=\min\left\{d_0,\frac{5\epsilon}{|m_0|\eta^3}\right\},\qquad
k_-=k_0-d,\quad k_+=k_0+d,\qquad
\widetilde Z=\tfrac12(Q_\eta(k_+)+Q_\eta(k_-)).
\tag{29.133}
$$
对于所考察的固定完整旧档案，假设存在两个完整端点见证：参数为 $k_-,k_+$ 的实际 PDE、下面的各自单一钟、所构造噪声及所有辅助量，分别满足每条旧约束与合法取得关系，并给同一完整观察结果。则该受限实验的每个估计器，在这两份允许实现之一的绝对 $k$ 误差至少为 $d$；同样的界适用于 $(m,k)$ Euclidean 误差。以 $k_{\max}=k_0+d_0$ 计，物理坐标的最坏误差至少分别为
$$
\frac{|\alpha|}{2k_{\max}^{3/2}}d\quad\text{（黏性）},\qquad
\frac{|m_0\alpha|}{2k_{\max}^{3/2}}d\quad\text{（隐藏幅度）}.
\tag{29.134}
$$

证明。（29.130）给 $\|Q_\eta(k_+)-Q_\eta(k_-)\|_\infty\le2\epsilon$，故两个端点的误差向量 $e_\pm=\widetilde Z-Q_\eta(k_\pm)$ 都有 sup 范数至多 $\epsilon$。完整误差球允许这两个向量；若只给相关联合噪声限制，必须检查 $e_\pm$ 连同其它误差的实际联合归属，不能仅从逐坐标界推断允许。每个端点均是一条不同参数的真实光滑 PDE 轨迹，每份实现内部的两记录来自同一轨迹。

为保持外部时间戳，固定任意 $S>0$，对段内各参数取定理28.2的真实逆时间并令
$$
\theta_k(s)=t_k(\eta s/S)\quad(0\le s\le2S),\qquad
r_k(\theta_k(s))=\eta s/S.
\tag{29.135}
$$
这是连续严格递增、零点为零的钟，其内部像留在（29.123）的取得区间内。两次事件在全部候选中都有相同外部时间戳 $S,2S$；若取得时实际保留了整条 $r$ 监测迹，第二式也使这整条迹一致。需要时可在 $2S$ 后连续严格增加地延长钟，但延长部分的 PDE 读出和旧约束仍须有自身合法域。该钟是构造允许世界的见证，不是要求观察者预知隐藏参数的算法；每个世界用一个钟贯穿两事件，两个世界可以有不同允许钟。

基本档案只含上述共同校准、初始端口值、准备族／局部先验、开始事件及这些取得记录，并且准备标签没有泄露 $\beta,\nu$ 时，这两份完整见证确实相容：$x(0)=\alpha/2,y(0)=0$ 相同，阈值、时戳与 $r$ 迹由构造相同，$z$ 读数由中点噪声相同，准备和分支由实际解保证。对更丰富的档案，定理假设要求这些同一完整见证同时满足全部旧关系；旧钟校准、其它传感器、早先 $z$ 记录或准备元数据若排除任一端点，下界就不能用于该档案，不能删除这些信息来保留下界。尤其定理29.5用于充分取得的下增量率／期限限制不自动被（29.135）满足；若实验强制这些额外钟条件，须另外核对这两个钟在该固定合同下的可接受性。

估计器在同一完整观察结果上输出 $a$，三角不等式给
$$
2d=|k_+-k_-|\le|a-k_+|+|a-k_-|.
\tag{29.136}
$$
至少一项不小于 $d$。在以上限定的有界对抗噪声实验中因此有
$$
\text{minimax 绝对 }k\text{ 误差}\ \ge
\min\left\{d_0,\frac{5\epsilon}{|m_0|\eta^3}\right\}.
\tag{29.137}
$$
随机估计器在相同数据上有相同输出律，对三角不等式取期望也给最坏期望绝对误差的相同下界。这里无噪声独立性或随机分布前提。$\epsilon=0$ 时取 $d=0$，下界为零。

沿该段 $|\nu'(k)|=|\alpha|/(2k^{3/2})\ge|\alpha|/(2k_{\max}^{3/2})$ 且符号固定，端点差至少 $|\alpha|d/k_{\max}^{3/2}$。对物理参数的输出再次用两点三角不等式，取端点差的一半，即得（29.134）；$\beta=m_0\nu$ 给幅度常数。因此若所要求的最坏 $k$ 误差 $\delta<d_0$，在上述端点相容的噪声级别必须满足
$$
\epsilon\le\frac{|m_0|\delta}{5}\eta^3.
\tag{29.138}
$$

量词上，对给定 $(\eta,\epsilon)$，只要求（29.133）的两个端点连同钟、误差与旧记录的完整见证成立；要对每个噪声级别统一宣称（29.137），就须对全部相应 $d$ 验证这一条件，例如有一整段同时符合固定旧档案的完整见证族，并对每级中点误差保有联合允许性。仅 $I\subset U$ 或各条记录分别可拟合都不足。已知精确原始 $r$ 是允许的子实验，所以该下界与（29.117）在 $\epsilon_r=0$ 时的 $\eta^{-3}$ 量级相配，均在先验半径处饱和。

两个内部事件的间隔由（29.124）上下夹在常数乘 $\eta$ 之间，而剩余 $k$ 参数的输出分离仅为三次阶。这不是外部等待时间下界，因为（29.135）保留相同外部时刻。此匹配结论只针对声明的局部两端口、初始阈值、允许钟和联合噪声实验，不覆盖其它传感器、额外已获信息、任意后期时间、不同准备或更强先验，也不给普遍最优传感器数。方法是标准误差球重叠的两点估计论证；这里的具体桥梁是实际 PDE 系数给出的有限差分、保留时戳与 $r$ 迹的显式钟，以及完整档案的同时可实现条件。$\square$

## 29.99 追加锚

## 30. 异步双端口的完整实验、相对登记与识别恢复

**定义 30.1（固定的双记录器合同与完整世界）。** 固定定义28.1的已校准有符号 $\alpha\ne0$、实际无外力 PDE、准备族及端口，仍用 $p=(m,k)$、$\nu=|\alpha|/\sqrt k$、$\beta=m\nu$。本节另立异步取得合同，不把定义29.1中的一只共同钟暗换成两只钟。先固定实验 $\mathcal X$：两个本地标签域 $I_r,I_z$、实际允许的取得动作与费用、钟类、先验、旧档案解释规则及一份联合误差模型。完整世界 $\omega\in\Omega_{\mathcal X}$ 含实际来源、参数、由该准备生成的同一轨迹 $u_p$、两只允许钟 $\theta_r:I_r\to[0,T]$、$\theta_z:I_z\to[0,T]$，以及实现记录、误差、延迟和旧关系所需的辅助量。初始窗口取两标签域均含零，钟连续严格递增且 $\theta_r(0)=\theta_z(0)=0$；后文改变窗口时明列端点。钟值本身是潜变量，除非已实际取得。

完整观察者为
$$
H_{\rm async}=(C,\mathcal A,D_r,D_z,J),\qquad
D_r=(s,\widetilde R(s))_{s\in L_r},\quad
D_z=(v,\widetilde Z(v))_{v\in L_z},
\tag{30.101}
$$
其中 $L_i\subseteq I_i$ 是实际保留的有限、稠密或完整标签集，不能随候选改变。$C$ 保留全部先前取得的来源索引、内部／外部记录及关系；$\mathcal A$ 保留动作、端口、标签、费用、初点、校准、分支和无扰动／等价轨迹证书；$J$ 保留每一项实际取得的跨端口关系，包括同时性、顺序、检索、到达和动作记录。$\operatorname{Hist}_{\rm async}(\omega,\mathcal A)$ 断言这一份世界确实实现全部合法动作和记录，不要求不同端口的同名标签表示同一内部事件。两只仪器在同一物理事件无扰动读取同一状态时，它们读的内部时间当然相同；本合同描述分别标时、跨端口登记未必已知的取得。

以 $\mathcal C_{\mathcal X}$ 表示允许钟对、$\mathcal E_H$ 表示包括所有误差相关限制的一份联合事件，$\mathcal R_i,\mathcal J_\ell$ 分别解释旧记录和已获跨端口关系。给定共同初始分支及参数域 $P$，唯一的完整可行集是
$$
\begin{aligned}
\mathfrak F_H^{\rm async}=\{\omega\in\Omega_{\mathcal X}:\;&p(\omega)\in P,\quad
 (\theta_r,\theta_z)\in\mathcal C_{\mathcal X},\quad
 \operatorname{Hist}_{\rm async}(\omega,\mathcal A),\\
&\mathcal R_i(\omega,c_i)\quad(\text{全部 }c_i\in C),\quad
 \mathcal J_\ell(\omega,j_\ell)\quad(\text{全部 }j_\ell\in J),\\
&\omega\in\mathcal E_H,\quad
 \theta_r(L_r),\theta_z(L_z)\ \text{均在所证同源初始分支内},\\
&\widetilde R(s)=r_p(\theta_r(s))+e_r(s)\quad(s\in L_r),\\
&\widetilde Z(v)=z_p(\theta_z(v))+e_z(v)\quad(v\in L_z)\},\qquad
\mathcal K_H^{\rm async}=p(\mathfrak F_H^{\rm async}).
\end{aligned}
\tag{30.102}
$$
误差界是 $\mathcal E_H$ 的条件，不将各坐标盒自动宣布为真实联合模型。先固定 $\mathcal X,C,\mathcal A,J$、标签及误差规则，再选择竞争世界；两条绘图曲线相同不够证明完整观察相同。原始 $x,y$ 的噪声仍按（29.102）使用已知 $\alpha$ 换算，未知增益、相位或有噪校准属于不同合同。

若已认证 $\theta_r=\theta_z$，且选出的两份记录实际同时、同源、合法，满足定义29.1的分支、顺序、先验和联合误差全部前提，则在保留其它记录的条件下返回第29节合同。仅有同一开始事件、同名标签或两条钟各自严格增加不够。若 $C$ 已含定理29.3所需的精确识别对，则相应参数已被切开，下文不同参数碰撞不能满足该 $C$；有一条可用定理并不表示观察者已取得其所需实验。

**引理 30.2（实际共同单调分支与逆域）。** 固定 $m_0\ne0,k_0>0$，取其开邻域内的紧参数邻域 $P$，使 $m$ 的符号恒为 $\sigma=\operatorname{sign}(m_0)$、$|m|$ 有正下界且 $k>0$。可以在同一个实际初始时间段 $[0,T]$ 上，使全部 $p\in P$ 的 $r_p$ 和 $w_p=\sigma z_p$ 从零严格增加，并有共同正逆域 $[0,r_*]$、$[0,w_*]$，其逆像在 $[0,T]$ 内留有端点裕量。图 $g_p=z_p\circ r_p^{-1}$ 在此共同图域上满足
$$
g_p(r)=mr+\frac{F(m)}2r^2+\frac{G(m,k)}6r^3+O_{C^1(p)}(r^4),
\quad F(m)=-\frac{m(m^2+30)}{10},\quad
G(m,k)=\frac{m(3m^4+95m^2+300-10k)}{100}.
\tag{30.103}
$$
余项、参数导数和所有后续常数均在同一稍大紧邻域与共同分支上选取。

证明。[恢复几何卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_RECOVERY_GEOMETRY.md)定理27.2—27.4给实际端口的联合 $C^5$、$r_p(0)=z_p(0)=0$、$r_{p,t}(0)=\nu(p)>0$ 和 $w_{p,t}(0)=|\beta(p)|>0$。紧性给 $\nu_{\min},b_{\min}>0$，联合连续性允许同一个 $T>0$ 使 $r_t\ge\nu_{\min}/2$、$w_t\ge b_{\min}/2$。故可取 $r_*\le\nu_{\min}T/4,w_*\le b_{\min}T/4$，介值性给存在，严格增加给唯一，端点在 $T$ 之前。逆的联合正则性直接沿定理28.2的非零导数逆函数论证，对 $w$ 同样适用；零点处只用其函数延拓，不制造负时间 PDE。式（30.103）及其混合余项正是定理28.3、引理28.4，没有新的 PDE 或形式幂级数假设。$\square$

**定理 30.3（固定初始窗口的完整局部流碰撞）。** 在引理30.2下，固定 $S_r,S_z>0$ 及连续严格递增的满射
$$
R:[0,S_r]\to[0,r_a],\qquad W:[0,S_z]\to[0,w_a],
\quad 0<r_a<r_*,\quad0<w_a<w_*.
\tag{30.104}
$$
对每个 $p\in P$，两只实际逆钟
$$
\theta_{r,p}=r_p^{-1}\circ R,\qquad
\theta_{z,p}=w_p^{-1}\circ W
\tag{30.105}
$$
在整个固定标签域给出相同精确流 $R(s),\sigma W(v)$。存在下面明确的固定双记录器实验，使这些不同参数世界给同一个完整 $H_{\rm async}$；在该实验内，即使全部初始窗口逐点精确保留，也不能局部识别 $\nu$ 或 $\beta$。对更丰富的实际档案，这一结论以同一批完整世界同时满足（30.102）的每一项为条件。

证明。两逆钟连续严格递增、共同零点为零，像在实际初始分支内。直接代入得
$$
r_p(\theta_{r,p}(s))=R(s),\qquad
z_p(\theta_{z,p}(v))=\sigma W(v)
\quad(0\le s\le S_r,\ 0\le v\le S_z).
\tag{30.106}
$$
固定的基本实验如下：同一来源身份在共同准备事件启动两台无扰动记录器，各在预先声明的本地标签区间保留该端口全流；读取不改变 PDE，两个本地钟允许（30.105）这类任意连续严格增钟。准备档案记模型、先验、已校准 $\alpha$ 和初始值 $x(0)=\alpha/2,y(0)=0$，其标签不泄露 $\beta,\nu$。每台在自己的末标签停录。费用按该固定记录合同计，所有候选相同；不把无限精确流说成有限次数、有限存储或有限费用的取得。$J$ 在准备后没有跨端口比较，历史只保留共同开始、各自取得顺序和本地停止。参数、实际轨迹及逆钟按上式取，噪声为零，已有初点和所有本地标签／读值均相同，所以这确实是一个先固定实验中的完整见证族。$P$ 内改变 $k$ 会改变 $\nu$，改变 $m$ 会改变 $\beta$，故两者皆无局部唯一性。

若合同另外包含事后检索或包到达记录，也须保留。例如基本实验可允许未知无上界存储／传送延迟，在所有录制结束后才以同一顺序检索两个缓冲区；在紧族上选晚于全部端点的共同释放时刻即可在每个世界实现相同的这种记录。若精确检索时间、到达时间、已知延迟界、物理费用或动作顺序已实际取得，其对应约束必须由这些同一世界满足，不能删掉再援用例子。未知延迟下的包到达顺序不等于取得顺序；反之，真实取得顺序若已记录，也不能假装它只是包顺序。式（30.105）是不同允许世界的潜在钟，不是一种预先知道隐藏参数才会运行的取得算法。

在定向初始分支，$z$ 的增加／减少方向给 $\beta$ 的符号；$\beta=0$ 的恒零 $z$ 及剪切钟碰撞直接用命题26.4（26.112），非零 $\beta$ 在该分支上不恒零。这里仅断言这两类区别仍可见，不分类全时间的全部不变量。当前结论只涉及共同初始窗口：可在各端标签后以正斜率连续延长钟至无界，但这不等化任何未观测的后续 PDE 读出，也不延长已证 PDE 域。

若另一个合同允许有界钟及全部非负标签，则取 $R(s)=r_a(1-e^{-s}),W(v)=w_a(1-e^{-v})$，并令 $r_a,w_a$ 严格位于共同逆域内部。式（30.105）对所有非负标签成立，内部时间分别趋于有限的逆端点。于是无限标签并不等于无界内部观察时间；正统一下率或无界钟合同排除这个构造。独立无界钟下的全时间历史识别仍是另一个问题。$\square$

**命题 30.4（正宽度双边速率带仍容许碰撞）。** 固定 $0<c_-<c_+$ 和内点 $c\in(c_-,c_+)$。取足够小 $S>0$，固定真实基准 $p_0$ 的流
$$
R(s)=r_{p_0}(cs),\qquad Z(s)=z_{p_0}(cs),\qquad0\le s\le S.
\tag{30.107}
$$
限制到 $p_0$ 的一个较小参数邻域后，实际逆钟 $\theta_{r,p}=r_p^{-1}\circ R$、$\theta_{z,p}=z_p^{-1}\circ Z$ 均满足整个区间上的 $c_-<\theta'_{i,p}<c_+$，并保留相同完整局部流；档案条件仍为定理30.3的完整见证条件。

证明。选 $S$ 使两流的闭值域严格位于引理30.2的共同逆域；$z$ 负向时用 $\sigma z$ 的递增逆定义同一个 $z_p^{-1}\circ Z$，两个减函数的复合仍增加。非零导数和联合逆函数正则性给
$$
\theta'_{r,p}(s)=\frac{c\,r_{p_0,t}(cs)}{r_{p,t}(\theta_{r,p}(s))},\qquad
\theta'_{z,p}(s)=\frac{c\,z_{p_0,t}(cs)}{z_{p,t}(\theta_{z,p}(s))}.
\tag{30.108}
$$
分母在紧域上绝对值有正下界，分子分母同向。联合连续的逆函数在紧 $s$ 区间上一致连续，所以 $\theta_{i,p}\to cs$ 一致；再用上式的联合连续性得导数一致收敛至 $c$。这证明实际逆钟对参数的 $C^1([0,S])$ 连续性，而非仅逐点连续。令 $\gamma=\min\{c-c_-,c_+-c\}>0$，将两导数的统一偏差缩到 $\gamma/2$ 以下即得双边界；流相同由直接代入。若导数各自被钉为同一个精确常数 $c$，再加共同零点，则积分得两钟都等于 $cs$；绝对连续且几乎处处导数恒等于 $c$ 时也一样。这是更强的同步数据。正下增量率可按定理29.5供应阈值到达或期限条件，却不自动供应跨端口配对。$\square$

**命题 30.5（相对登记的定义域、三个射流与已知登记逆）。** 为讨论“同数值标签”画出的关系，先把两记录限制到一个共同标签区间 $I=[0,S]$，要求其全部内部时间和下述复合均在引理30.2的实际分支内。定义
$$
T_r=\theta_r(I),\quad T_z=\theta_z(I),\qquad
\delta=\theta_z\circ\theta_r^{-1}:T_r\to T_z,
\quad h=r_p\circ\delta\circ r_p^{-1}:r_p(T_r)\to r_p(T_z).
\tag{30.109}
$$
这里 $\delta$ 是同标签的内部时间登记，不是从 $r$ 标签到同时 $z$ 标签的匹配。后一映射只在内部像交集上为 $\theta_z^{-1}\circ\theta_r$。无噪同标签图 $f=Z\circ R^{-1}$ 恰为 $g_p\circ h$。若 $h$ 在零点为 $C^3$，$h(0)=0$，记 $a=h'(0)>0,b=h''(0),c_3=h'''(0)$，则
$$
\begin{aligned}
f'(0)&=ma,\\
f''(0)&=F(m)a^2+mb,\\
f'''(0)&=G(m,k)a^3+3F(m)ab+mc_3.
\end{aligned}
\tag{30.110}
$$
若三个登记射流已经独立获知，且 $f$ 的真实初始射流也可访问，则
$$
m=\frac{f'(0)}a,\qquad
G_* =\frac{f'''(0)-3F(m)ab-mc_3}{a^3},\qquad
k=\frac{3m^4+95m^2+300}{10}-\frac{10G_*}{m}.
\tag{30.111}
$$
必须有 $m\ne0,k>0$、逆值在先验内，并核对第二阶式；这些是此射流逆的模型相容条件，不认证任意整曲线为 PDE 曲线。

证明。对 $s\in I$，$h(R(s))=r_p(\theta_z(s))$，故 $g_p(h(R(s)))=z_p(\theta_z(s))=Z(s)$，且所写逆只在其实际值域上使用。三次一元链式法则为
$$
f'=g_p'(h)h',\qquad
f''=g_p''(h)(h')^2+g_p'(h)h'',
$$
$$
f'''=g_p'''(h)(h')^3+3g_p''(h)h'h''+g_p'(h)h'''.
\tag{30.112}
$$
在零点代入定理28.3给（30.110）；先解第一式得 $m$，再解第三式得 $G_*$，最后直接用（28.105）得（30.111）。共同内部时间使 $h$ 为恒等；共同来源、共同零点、各自单调、双边速率及增益校准都不单独给此恒等式。已知登记射流是附加资源，不能由这里的代数逆倒称它们已从两条标量流取得。$\square$

**定理 30.6（二阶登记相同仍有精确全流碰撞）。** 固定 $m\ne0$，取邻近的 $p=(m,k_p),q=(m,k_q)$。缩小共同正图区间至 $[0,r_a]$，使 $g_p([0,r_a])$ 含于 $g_q$ 的初始逆值域，令
$$
h=g_q^{-1}\circ g_p,\qquad g_q\circ h=g_p.
\tag{30.113}
$$
则 $h$ 严格增加且
$$
h(0)=0,\quad h'(0)=1,\quad h''(0)=0,\quad
h'''(0)=\frac{k_q-k_p}{10},\qquad
h(r)=r+\frac{k_q-k_p}{60}r^3+O(r^4).
\tag{30.114}
$$
存在实现这一精确全流等式的实际钟；因此初始一、二阶相对登记正确仍不识别黏性。其内部时间共轭 $\delta=r_q^{-1}\circ h\circ r_q$ 满足
$$
\delta'(0)=1,\quad\delta''(0)=0,\quad
\delta'''(0)=\frac{\nu(q)^2(k_q-k_p)}{10}.
\tag{30.115}
$$

证明。$\sigma g_p,\sigma g_q$ 由引理30.2在共同分支严格增加，其零点导数绝对值有正下界。选 $r_a$ 足够小给所需像包含；逆及 $h$ 为 $C^4$。在 $g_q(h(r))=g_p(r)$ 中依次求一、二、三阶导数，得 $mh'=m$，$F(m)(h')^2+mh''=F(m)$，以及在 $h'=1,h''=0$ 下
$$
G(m,k_q)+mh'''(0)=G(m,k_p).
\tag{30.116}
$$
$G(m,k_p)-G(m,k_q)=m(k_q-k_p)/10$ 给第三导数，Taylor 公式给（30.114）的系数 $1/60$。任取固定连续严格递增满射 $R:[0,S]\to[0,r_a]$，基准世界取两钟均为 $r_p^{-1}\circ R$；$q$ 世界取
$$
\theta_{r,q}(s)=r_q^{-1}(R(s)),\qquad
\theta_{z,q}(s)=r_q^{-1}(h(R(s))).
\tag{30.117}
$$
它们都在实际分支，给同一 $R(s)$ 和同一 $g_p(R(s))$，保留整个标签记录。定理30.3的基本实验容许这些世界；更丰富档案须另核完整相容。取命题30.4的平滑基准 $R$、参数足够邻近时，上述钟也可同时留在正宽度速率带中，因为第二钟亦等于 $z_q^{-1}\circ z_p\circ r_p^{-1}\circ R$，适用同一 $C^1$ 逆连续性。

为核内部时间系数，令 $A=(k_q-k_p)/60$。$r_q(t)=\nu(q)t+O(t^2)$ 给 $h(r_q(t))-r_q(t)=A\nu(q)^3t^3+O(t^4)$。$r_q^{-1}$ 在零点的导数为 $1/\nu(q)$，其导数沿该初始区间为 $1/\nu(q)+O(t)$，故 $\delta(t)=t+A\nu(q)^2t^3+O(t^4)$，得到（30.115）。歧义不来自图坐标选择。

反向地，若登记 $h$ 为 $C^3$ 且 $h(r)=r+o(r^3)$，将 $h$ 的三阶 Taylor 展开与此式比较，先除以 $r$、再 $r^2$、再 $r^3$，依次得 $h'(0)=1,h''(0)=h'''(0)=0$。式（30.110）使真实 $g_p$ 和表观 $f$ 有同一三阶射流，定理28.3遂识别非零 $m$ 的参数。只有 $O(r^3)$ 时，（30.114）就是反例。这里的必要边界专属于已访问真实初始射流的协议，不是任意传感器实验的普遍定理。$\square$

**命题 30.7（一个正同步端点的纤维及端点固定全流见证）。** 固定内点 $p_0=(m_0,k_0)$，$m_0\ne0$，以及充分小的 $\eta>0$。一份正同时对 $r=\eta,z=g_{p_0}(\eta)$ 的已有局部纤维，在 $(m,k)$ 坐标中写成
$$
g_{m(k),k}(\eta)=g_{p_0}(\eta),\qquad
m(k_0)=m_0,\qquad
m'(k)=\frac{m(k)\eta^2}{60}+O(\eta^3).
\tag{30.118}
$$
对其每个邻近点 $q=(m(k),k)$，有 $h_q=g_q^{-1}\circ g_{p_0}$，且 $h_q(0)=0,h_q(\eta)=\eta$。该 $h_q$ 给一个共同初点和一个正同步端点都正确、全部内部本地流仍相同的实际双钟世界族。

证明。存在的精确一对纤维直接复用命题26.4，实际黏性前提已由推论28.5履行；定理28.2消去这一对的时间，坐标（28.101）把它送为上式的图水平集。黏性参数到 $k=\alpha^2/\nu^2$ 的导数非零，所以该曲线可用 $k$ 参数化。引理28.4给 $\partial_mg(\eta)=\eta+O(\eta^2)\ne0$，对已有水平集求导即得
$$
m'(k)=-\frac{\partial_kg_{m(k),k}(\eta)}{\partial_mg_{m(k),k}(\eta)}
=-\frac{-m(k)\eta^3/60+O(\eta^4)}{\eta+O(\eta^2)},
\tag{30.119}
$$
故为（30.118）；紧的固定符号邻域使该导数在足够小 $\eta$ 下非零。没有重证另一条一般隐函数定理。单调性和端点等值保证 $g_{p_0}([0,\eta])$ 正好是 $g_q([0,\eta])$，故 $h_q$ 定义在整个 $[0,\eta]$，且固定两端点。固定 $R:[0,S]\to[0,\eta]$ 严格递增满射，用（30.117）将 $p$ 换成 $p_0$，便得
$$
\theta_{r,q}(0)=\theta_{z,q}(0)=0,\qquad
\theta_{r,q}(S)=\theta_{z,q}(S)=r_q^{-1}(\eta),
\quad (R(s),Z(s))=(R(s),g_{p_0}(R(s))).
\tag{30.120}
$$
所以在基本实验额外保留端点同时证书，也不能分开该族。端点的物理经过时间 $r_q^{-1}(\eta)$ 未知并可随候选变化；把它作为一个已知数保留是另一合同。此处 $m$ 变化，$h_q'(0)=m_0/m(k)$ 一般不为一，故本纤维不同时保留定理30.6的固定 $m$ 初始登记条件。精确初始相对速率加正同步点可以带来额外独立信息，不能把两个不同反例的保留条件无证明地合并。$\square$

**推论 30.8（两实际配对事件与一个混合理想协议）。** 取定理29.3的同一个 $U,\eta_0$，$0<\eta\le\eta_0$。若完整档案实际含两对标签 $(s_j,v_j)$，并认证它们在同一实际初始分支、
$$
\theta_r(s_j)=\theta_z(v_j),\qquad
r_p(\theta_r(s_j))=j\eta\quad(j=1,2),
\tag{30.121}
$$
则两份精确 $z$ 值在 $U$ 内唯一确定 $p$，不需两事件之间钟相等。在没有额外参数信息的这个有限配对协议中，一份正配对不足、两份足够；准备零对恒为 $(0,0)$，不给额外参数约束。

证明。实际同时性将两读出严格投为 $g_p(\eta),g_p(2\eta)$。将定理29.3（29.108）用于 $\lambda=1,\mu=2$，相同两值给相同预条件像，遂得 $p=q$。命题30.7的一维纤维给一份不足，并且保留了所有本地流；结论是该固定基本实验内的局部事件计数，不是费用或所有传感器的最小性。若拟合要称为完整档案相容，仍需（30.102）的世界；这里没有从两数反造旧档案。定理29.5关于真正同时阈值检测的资源前提也没有被省略。

另有不同的混合理想协议：若 $h'(0)=1$ 已认证且真实表观斜率 $f'(0)$ 已经取得，则命题30.5先给 $m=f'(0)\ne0$。对固定 $m$ 的紧 $k$ 区间，引理28.4给 $\partial_kg(\eta)=-m\eta^3/60+O(\eta^4)$；缩小 $\eta$ 使余项绝对值小于 $|m|\eta^3/120$，该导数恒非零且符号固定。沿任意两个 $k$ 之间积分，$g_{m,k}(\eta)$ 严格单调，所以再有一份实际正配对便唯一确定 $k$。这额外用了导数访问，不以有限样点免费替代斜率。精确参数到指定准备场任务的因子化仍直接用推论28.7的既有接口，作用域不是含任意钟和旧记录的整个世界集合。$\square$

**命题 30.9（实际共享单调标记所给的配对）。** 额外假设两端口在每次取得时无扰动记录同一个来源的标记 $M(t)$，它在所用实际时间区间连续严格单调，因而单射。标记值、共同来源和这种单射性均是合同输入。任何两个实际标记读数满足
$$
M(\theta_r(s))=M(\theta_z(v))
\quad\Longleftrightarrow\quad\theta_r(s)=\theta_z(v).
\tag{30.122}
$$
若完整标记流已精确取得，则在两内部像的交集上，其唯一匹配为
$$
(M\circ\theta_z)^{-1}\circ(M\circ\theta_r)
=\theta_z^{-1}\circ\theta_r.
\tag{30.123}
$$
两次实际匹配且满足（30.121）的事件即可使用推论30.8。

证明。正向由明确假设的 $M$ 单射性，反向由同一个函数作用于相同内部时间；严格单调性使每个完整流在其实际值域上可逆，从而给复合式和唯一性。此为成熟的单调逆匹配机制。[恢复几何卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_RECOVERY_GEOMETRY.md)引理15.8（15.17）在 $C=C^*>0,J_S\ne0$、相同耦合、增益及端口内积下，以 $M(t)=\operatorname{tr}(J_S^*e^{-tC}J_S)$ 证明这一机制的专门实例；其正半群迹假设不证明本 PDE 自带任意严格单调标记。因此这里把一般 $M$ 的单射性明列为新增前提，并直接完成所需推导。

标记的存在、实际相等值、覆盖区间、检测器权限与精度、校准、延迟和费用均不由原两标量流推出。有限个不相等标记值及插值不认证精确同时事件；已获共同标记关系不能在构造碰撞时删除。严格单调但未知函数只供应实际值域交集内的配对，不提供绝对时间标尺或全域稳定常数，边界亦见恢复卷命题15.10。$\square$


## 31. 完整异步档案上的定时精度与联合下界

**定理 31.1（两位置比较中的定时误差）。** 使用定义30.1的固定实验、定理29.3的同一个闭凸 $U=\overline B(p_0,\rho)$、$K,\eta_0$ 及共同图域 $[0,r_*]$。设 $0<\eta\le\eta_0\le\min\{1,r_*/3\}$，已测第一端口位置仍满足
$$
\widetilde r_1\in[3\eta/4,5\eta/4],\qquad
\widetilde r_2\in[7\eta/4,9\eta/4],\qquad
0\le\epsilon_r\le\eta/8.
\tag{31.101}
$$
每份完整世界的实际事件时间记为 $t_j^r=\theta_r(s_j)$、$t_j^z=\theta_z(v_j)$；两事件须在同源初始分支，相关图坐标及其间线段均在共同图域。假设同一联合事件 $\mathcal E_H$ 对全部候选同时供应
$$
\begin{aligned}
|r_p(t_j^r)-\widetilde r_j|&\le\epsilon_r,\qquad
|z_p(t_j^z)-\widetilde z_j|\le\epsilon_z,\\
|r_p(t_j^z)-r_p(t_j^r)|&\le\delta_r\quad(j=1,2).
\end{aligned}
\tag{31.102}
$$
这里 $\delta_r\ge0$ 是独立认证的图坐标错位界，勿与（30.109）的登记映射 $\delta$ 混同。用（29.115）的 $L_g,C_F,C_T$，令
$$
e_{\rm async}=\epsilon_z+L_g(\epsilon_r+\delta_r).
\tag{31.103}
$$
则实际完整参数可行集中任意 $p,q$ 满足
$$
\|p-q\|_2\le
\min\left\{2\rho,\frac{4KC_Te_{\rm async}}{\eta^3}\right\}.
\tag{31.104}
$$
若另有独立认证的 $|t_j^z-t_j^r|\le d_t$ 和同一实际候选时域上的统一 $|\partial_tz_p|\le B_z$，则可把（31.103）换成 $\epsilon_z+L_g\epsilon_r+B_zd_t$；两种证书兼有时取两项定时贡献的较小者。

证明。真实 $r_j=r_p(t_j^r)$ 仍落在定理29.4证明所列的$[5\eta/8,11\eta/8]$、$[13\eta/8,19\eta/8]$，均在 $[0,r_*]$。分支条件另保证 $r_p(t_j^z)$ 在图域内，不能只靠窗口推出这一点。对同一实际 $p$，
$$
\begin{aligned}
|z_p(t_j^z)-g_p(r_j)|
&=|g_p(r_p(t_j^z))-g_p(r_j)|\le L_g\delta_r,\\
|g_p(\widetilde r_j)-\widetilde z_j|
&\le L_g\epsilon_r+L_g\delta_r+\epsilon_z=e_{\rm async}.
\end{aligned}
\tag{31.105}
$$
这些只是完整世界的必要投影约束。任意两候选在固定测得位置的预测差至多 $2e_{\rm async}$。取 $\lambda=\widetilde r_1/\eta,\mu=\widetilde r_2/\eta$，它们在（29.106）的设计域；直接使用定理29.3的解析两位置比较，并按定理29.4（29.119）的残差计算得
$$
|\Delta A|\le\frac{2e_{\rm async}}{\lambda\eta},\qquad
|\Delta B|\le2e_{\rm async}\left[
\frac{2(1+\mu/\lambda)}{\mu(\mu-\lambda)\eta^3}
+\frac{C_F}{\lambda\eta^2}\right].
\tag{31.106}
$$
用（29.108）与原来相同的设计常数界就得（31.104）。这是对投影约束的解析比较，没有把双钟世界变成定义29.1的一钟世界。若用内部时间证书，则在两实际时刻之间积分 $z_t$ 得 $|z_p(t_j^z)-z_p(t_j^r)|\le B_zd_t$，其余步骤相同。相同外部标签和各自速率界不使 $d_t$ 为零；把外部标签差换成内部错位必须另有登记或定时证书。

若真实世界实现全部档案及联合事件，它给非空见证，对任意同样有完整见证的拟合，式（31.104）给真实误差界；否则只是条件成对界，不产生参数。只拟合（31.105）不保证旧关系、动作、两钟和误差能共同实现。物理参数上界直接沿用（29.121）；较强旧档案可缩小完整纤维，不能以一个残差拟合替掉完整交集。$\square$

**引理 31.2（先证明逆值域裕量的三次登记界）。** 固定 $m\ne0$，令
$$
I_k=[k_0-d_0,k_0+d_0],\qquad d_0>0,\quad k_0-d_0>0,
\qquad P_I=\{(m,k):k\in I_k\}.
\tag{31.107}
$$
该段须在同一共同分支／先验内；与定理31.1比较时还要求 $P_I\subset U$。缩短共同图域到 $[0,\bar r]$，可以对全部 $k\in I_k$ 保证
$$
|\partial_kg_{m,k}(r)|\le\frac{|m|}{40}r^3,\qquad
|\partial_rg_{m,k}(r)|\ge\frac{|m|}{2},\qquad
\operatorname{sign}(\partial_rg_{m,k})=\sigma=\operatorname{sign}(m).
\tag{31.108}
$$
取 $0<\eta\le\bar r/3$、$d_0\eta^2\le1$。对任意 $k_a,k_b\in I_k$ 且 $|k_a-k_b|\le d_0$，$g_{m,k_b}([0,2\eta])$ 在 $g_{m,k_a}([0,3\eta])$ 的逆值域中；具体地，写 $w_k=\sigma g_{m,k}$，有
$$
w_{k_a}(3\eta)-w_{k_b}(2\eta)\ge\frac{3|m|\eta}{10}>0.
\tag{31.109}
$$
因此实际登记
$$
h_{a,b}=g_{m,k_a}^{-1}\circ g_{m,k_b}:[0,2\eta]\to[0,3\eta]
\tag{31.110}
$$
连续严格增加、$h_{a,b}(0)=0$，并满足
$$
|h_{a,b}(r)-r|\le\frac{|k_a-k_b|}{20}r^3
\quad(0\le r\le2\eta).
\tag{31.111}
$$

证明。引理28.4给 $\partial_kg=-mr^3/60+O(r^4)$；在此固定紧段上取统一余项界 $Cr^4$，$C\bar r\le|m|/120$ 足以给第一界。$g_r(0)=m$ 和联合连续性允许再缩 $\bar r$ 得后两界。这里使用实际混合 Taylor 余项，不由有限数值点猜全域导数界。

先在已知正向域证明逆像存在：$w_k(0)=0$，且 $w_k'\ge|m|/2$，故
$$
\begin{aligned}
w_{k_a}(3\eta)-w_{k_b}(2\eta)
&=[w_{k_a}(3\eta)-w_{k_a}(2\eta)]
  +[w_{k_a}(2\eta)-w_{k_b}(2\eta)]\\
&\ge\frac{|m|\eta}{2}
 -\frac{|m|\,|k_a-k_b|}{40}(2\eta)^3\\
&\ge |m|\eta\left(\frac12-\frac{d_0\eta^2}{5}\right)
 \ge\frac{3|m|\eta}{10}.
\end{aligned}
\tag{31.112}
$$
第二差沿位于 $I_k$ 内的参数线段积分。严格增加及共同零点使每个 $w_{k_b}(r)$ 都落在 $w_{k_a}([0,3\eta])$，因此（31.110）已定义且其值确实在导数估计域内。现在才能在 $r$ 和 $h_{a,b}(r)$ 之间用导数下界：
$$
\frac{|m|}{2}|h_{a,b}(r)-r|
\le |g_{m,k_a}(h_{a,b}(r))-g_{m,k_a}(r)|
=|g_{m,k_b}(r)-g_{m,k_a}(r)|
\le\frac{|m|\,|k_a-k_b|}{40}r^3.
\tag{31.113}
$$
约去正 $|m|/2$ 得（31.111），没有预设逆像仍在域内的循环论证。固定参考 $k_b=k_{\rm ref}$ 时就给 $|h_k(r)-r|\le|k-k_{\rm ref}|r^3/20$。$k_a,k_b$ 各在 $I_k$ 并不足以给距离 $\le d_0$；本引理明确保留这一附加条件，下一定理以同侧参数保证它。$\square$

**定理 31.3（整条流的联合噪声／同步两世界下界）。** 使用引理31.2的固定参数段、$\eta$ 和分支。先固定定义30.1的一次实验及其完整旧档案，令两个本地标签域均为 $[0,2S_0]$，$S_0>0$；该合同允许精确 $r$ 流、整条 $z$ 报告流上的绝对误差至多 $\epsilon\ge0$，以及图坐标登记的统一误差 $\sup_{0\le r\le2\eta}|h(r)-r|\le\tau$，$\tau\ge0$。这些是联合有界对抗误差合同，不声明独立随机样本。可把 $m$ 精确给予观察者。置
$$
E=\frac{5\epsilon}{|m|\eta^3},\qquad
S=\frac{5\tau}{2\eta^3},\qquad
d=\min\{d_0,E+S\},\quad d_n=\min\{d,E\},\quad d_s=d-d_n,
\tag{31.114}
$$
并用 $\varsigma\in\{-1,1\}$ 区别两世界，勿与分支方向 $\sigma$ 混同。真实参数、辅助中间参数及登记分别为
$$
k_{{\rm true},\varsigma}=k_0+\varsigma d,\qquad
k_{{\rm int},\varsigma}=k_0+\varsigma d_n,\qquad
h_\varsigma=g_{m,k_{{\rm true},\varsigma}}^{-1}
                 \circ g_{m,k_{{\rm int},\varsigma}}.
\tag{31.115}
$$
假设下述同一对实际 PDE／钟／误差世界在这个固定实验中分别被允许，且实现全部同一旧记录、动作、费用和已获跨端口关系。则任何估计器的最坏绝对 $k$ 误差至少
$$
d=\min\left\{d_0,
\frac{5\epsilon}{|m|\eta^3}+\frac{5\tau}{2\eta^3}\right\}.
\tag{31.116}
$$
此下界也适用于 $(m,k)$ Euclidean 误差，以及随机估计器的最坏期望绝对损失。以 $k_{\max}=k_0+d_0$ 计，黏性和隐藏幅度的最坏绝对误差下界分别为
$$
\frac{|\alpha|d}{2k_{\max}^{3/2}},\qquad
\frac{|m\alpha|d}{2k_{\max}^{3/2}}.
\tag{31.117}
$$

证明。由定义 $0\le d_n\le E$、$0\le d_s\le S$：若 $d\le E$ 则 $d_s=0$，若 $d>E$ 则 $d_s=d-E\le S$。真实与中间参数都在 $I_k$ 内，且每个同侧距离恰为 $d_s\le d_0$，不是两个真实端点之间的 $2d$。故引理31.2先给每个登记的 $3|m|\eta/10$ 逆域裕量，再给
$$
\sup_{0\le r\le2\eta}|h_\varsigma(r)-r|
\le\frac{d_s(2\eta)^3}{20}
=\frac25d_s\eta^3\le\tau.
\tag{31.118}
$$
这里 $h_\varsigma$ 取值在 $[0,3\eta]$，真实两端口须可取得到所构造的初始内部时刻，不能把所需 $3\eta$ 图域缩成未经证明的 $2\eta$ 域。

取固定的整个报告 $r$ 流 $R(s)=\eta s/S_0$，$0\le s\le2S_0$。以 $r_{\rm true,\varsigma}$ 表示真实参数的实际 PDE 第一端口，给每个世界两只钟
$$
\begin{aligned}
\theta_{r,\varsigma}(s)&=r_{{\rm true},\varsigma}^{-1}(R(s)),\\
\theta_{z,\varsigma}(s)&=r_{{\rm true},\varsigma}^{-1}
                                  (h_\varsigma(R(s))).
\end{aligned}
\tag{31.119}
$$
这些是连续严格递增、共同零点为零的实际钟，其第二钟在图域至多 $3\eta$ 内；两世界的 $r$ 阈值 $\eta,2\eta$ 都保留同一外部时间戳 $S_0,2S_0$。真实 $z$ 流在这些钟下恰为 $g_{m,k_{{\rm int},\varsigma}}(R(s))$。辅助中间参数仅定义这一函数，不是同一世界内另换了一条 PDE 轨迹。定义完整流误差
$$
e_\varsigma(r)=g_{m,k_0}(r)-g_{m,k_{{\rm int},\varsigma}}(r),
\qquad e_{z,\varsigma}(s)=e_\varsigma(R(s)),\quad e_{r,\varsigma}=0.
\tag{31.120}
$$
沿中间参数至 $k_0$ 的线段积分（31.108）给
$$
\sup_{0\le r\le2\eta}|e_\varsigma(r)|
\le\frac{|m|d_n(2\eta)^3}{40}
=\frac{|m|d_n\eta^3}{5}\le\epsilon.
\tag{31.121}
$$
从而两世界的整个已报告流完全相同：
$$
\widetilde R_\varsigma(s)=R(s),\qquad
\widetilde Z_\varsigma(s)
=z_{{\rm true},\varsigma}(\theta_{z,\varsigma}(s))+e_{z,\varsigma}(s)
=g_{m,k_0}(R(s)).
\tag{31.122}
$$
全部本地标签、初点、$r$ 监测迹及两个阈值时间戳均被保留；这两个阈值上的 $z$ 标签并未被说成同时事件，也没有宣称两记录器的物理停止端点相同。定理30.6用于同一固定 $m$ 还给 $h_\varsigma'(0)=1,h_\varsigma''(0)=0$，所以此构造保留这两个额外初始登记条件，内部共轭也保留相应一、二阶条件。

基本档案可取定理30.3的固定双记录器合同，附加实际（31.118）的登记容差，联合误差集容许上述整条有界误差函数。准备初点、来源、分支、记录及校准由实际解和钟见证完成，故两世界确实相容。对于给定的更丰富档案，定理的完整世界条件不可省略：同一误差函数必须与所有其它误差一同属于实际 $\mathcal E_H$，同一两钟必须满足全部旧钟限制和动作历史。已知延迟方向、取得顺序、共同终止规则、更紧速率或额外读数可排除其中一个世界。小参数段或分别满足标量误差盒不证明联合允许性。尤其构造的误差依赖参数且沿整流相关，不能移到独立随机误差模型中冒用。按引理31.2证明所用的余项小性，$\sigma\partial_kg\le-|m|r^3/120<0$（$r>0$）。当 $d_s>0$ 时，沿同侧参数段积分给 $w_{k_{{\rm true},+}}(r)<w_{k_{{\rm int},+}}(r)$、$w_{k_{{\rm true},-}}(r)>w_{k_{{\rm int},-}}(r)$，由各真实 $w$ 严格增加得 $h_+(r)>r$、$h_-(r)<r$；$d_s=0$ 时两登记均为恒等。因此仅容许一种登记方向的先验可以排除一端，不能删掉该先验来保留下界。

一旦完整观察确实相同，定理29.7的标准两点三角论证直接适用。具体地，任意共同输出 $a$ 满足
$$
2d=|k_{{\rm true},+}-k_{{\rm true},-}|
\le |a-k_{{\rm true},+}|+|a-k_{{\rm true},-}|.
\tag{31.123}
$$
故至少一个世界误差不小于 $d$，再对估计器取下确界得（31.116）。随机估计器在同一完整记录上有同一输出律，对该不等式取期望即可；即使期望无穷，下界仍成立。沿真实参数段，$\nu'(k)=-|\alpha|/(2k^{3/2})$ 固定符号且绝对值至少 $|\alpha|/(2k_{\max}^{3/2})$。两真实黏性之差至少 $|\alpha|d/k_{\max}^{3/2}$，对黏性估计再取两点差的一半；$\beta=m\nu$ 给幅度下界。这里与（29.134）是同一物理坐标计算。

$E+S\ge d_0$ 时界在固定先验段半宽 $d_0$ 饱和；$\epsilon=\tau=0$ 时 $d=d_n=d_s=0$，两个世界合一，所得零下界不否定精确配对识别。任何一级 $(\eta,\epsilon,\tau)$ 的下界只在该级这两个完整见证被实际固定合同允许时成立；若要对全部噪声／同步级别统一声称下界，须对每一级验证该允许性。$\square$

**推论 31.4（纯同步及必要三次精度的协议范围）。** 在定理31.3的完整见证条件下，取 $\epsilon=0$ 直接得纯同步下界
$$
\text{最坏绝对 }k\text{ 误差}\ge
\min\left\{d_0,\frac{5\tau}{2\eta^3}\right\}.
\tag{31.124}
$$
若要求最坏绝对 $k$ 误差至多 $\Delta<d_0$，则在该级允许见证的实验中必须有
$$
\frac{5\epsilon}{|m|}+\frac{5\tau}{2}\le\Delta\eta^3;
\qquad \epsilon=0\ \Longrightarrow\ \tau\le\frac25\Delta\eta^3.
\tag{31.125}
$$

证明。$\epsilon=0$ 使 $d_n=0,d_s=d$，是同一构造的特例，无需另一个下界证明。所需损失上限迫使 $d\le\Delta$；因 $\Delta<d_0$，这只能由 $E+S\le\Delta$ 达成，代入即得。若一族缩窗实验每一级都容许这些完整见证，且要求其最坏误差趋零，则必要有 $\epsilon/\eta^3\to0$ 及 $\tau/\eta^3\to0$（此处 $m,d_0$ 固定）。只有 $O(\eta^3)$ 的允许定时误差可以隐藏固定正参数差；定理31.1在相同 $U$、共同域及完整非空条件下给相应三次尺度的充分界，所以量级相配，数值常数不宣称最优。

下界即使给予精确 $m$、完整局部流及一、二阶初始登记仍成立，但不能用于取得了共享标记、精确共同顺序或其它排除见证的协议。任意反馈实验也不自动属于这个固定记录器实验。[SharpChallengeInstrument](../../../D5/S3/Observer/ProbabilisticClosure/TrajectoryLaws/SharpChallengeInstrument.lean) 的 `result` 在其有限概率仪器中区别固定动作词和因果反馈的记录距离；它只强化这里必须声明协议的边界，不供应本 PDE 的定时下界或随机噪声定律。本节的噪声证书、联合允许性和取得资源均不可由该模块替代。$\square$


## 32. 已获联合顺序的精确配对与有限括区间

**定理 32.1（稠密精确顺序切割确定匹配标签）。** 使用定义30.1的同源、合法、实际连续严格增钟，限制第二标签域为闭区间 $[v_-,v_+]$。令 $D\subseteq[v_-,v_+]$ 稠密并包含两端点，所有 $v\in D$ 的精确 $z$ 读值 $Z(v)=z_p(\theta_z(v))$ 已实际保留。对某一已获 $r$ 事件 $s$，假设其实际内部时间落在 $\theta_z([v_-,v_+])$ 中，并且档案 $J$ 含每一项比较
$$
\theta_z(v)\le\theta_r(s)\qquad(v\in D)
\tag{32.101}
$$
的精确真值，包括为假的那些比较。则档案确定的下切口给实际匹配标签
$$
v(s)=\sup\bigl(\{v\in D:\theta_z(v)\le\theta_r(s)\}\cup\{v_-\}\bigr)
=\theta_z^{-1}(\theta_r(s)).
\tag{32.102}
$$
相应同时 $z$ 值由已获值或其唯一连续延拓决定。完整连续记录是 $D=[v_-,v_+]$ 的特例。

证明。连续严格增加及实际时间重叠给唯一 $v_*\in[v_-,v_+]$ 使 $\theta_z(v_*)=\theta_r(s)$。严格增加使比较为真恰当且仅当 $v\le v_*$，所以下集合正好是 $D\cap[v_-,v_*]$，上界为 $v_*$。若 $v_*>v_-$，任意 $a<v_*$ 且 $a\ge v_-$ 时，稠密性在 $(a,v_*)$ 中给一个 $v\in D$，故上确界不小于任意这样的 $a$，必等于 $v_*$。若 $v_*=v_-$，附加的 $v_-$ 保证集合非空且上确界正为左端；若 $v_*=v_+$，右端已被记录且其比较为真，上确界是右端。等号采用“$\le$”真值约定，没有以严格不等式遗漏端点。

若 $v_*\in D$，匹配读数本已实际取得。否则由稠密性选 $v_n\in D$ 趋于 $v_*$，实际 $Z=z_p\circ\theta_z$ 连续，故 $Z(v_n)\to Z(v_*)$。任意两个与全部稠密精确值相合的连续函数在每点用这样的序列取极限都相等，所以该延拓唯一且与序列无关。这是已有无限精确记录的数学解码，不声称新的测量、有限查询算法或有限误差保证。

因此，如果定理30.3的完整初始双流还保留这里的全部真实跨端口顺序，则每个处于实际像交集的 $r$ 事件都取得唯一的同时 $z$ 值。对共同零点附近的正重叠区间，精确全 $r$ 流给真实 $g_p$ 的初始 germ；非零 $m$ 时定理28.3切开不同参数。或者当两处所需 $r$ 阈值都处于重叠域时，用推论30.8的两位置逆。故不能声称完整联合时间顺序下仍有原先只有边缘流的参数碰撞；这些竞争世界必须在某些已获比较上不同或参数已经相同。

顺序切割来自共同实现的实际取得顺序，不由两份无关本地时间戳表推得。未知延迟的包到达顺序也不认证（32.101）。内部像无重叠的部分没有这个逆匹配，不得外推；有限个比较一般只把 $v_*$ 夹在一个区间，不享有稠密极限结论。$\square$

**命题 32.2（实际有限顺序给出的精确输出区间）。** 对 $j=1,2$，完整档案实际保留同源的一个 $r$ 事件、两个 $z$ 事件及同一世界内的顺序证书
$$
t_j^-\le t_j^r\le t_j^+,\qquad
r_j=r_p(t_j^r),\quad z_j^-=z_p(t_j^-),\quad z_j^+=z_p(t_j^+).
\tag{32.103}
$$
全部事件在引理30.2同一方向 $\sigma$ 的初始分支内。则准确的单调区间约束为
$$
\sigma g_p(r_j)\in[\sigma z_j^-,\sigma z_j^+],
\qquad
|g_p(r_j)-c_j|\le w_j,
\quad c_j=\frac{z_j^-+z_j^+}{2},\quad
w_j=\frac{|z_j^+-z_j^-|}{2}.
\tag{32.104}
$$
此区间是顺序与单调性推出的必要区间，不断言其中每个值都有满足整份 PDE 档案的实现。

证明。$\sigma z_p(t)$ 在共同分支严格增加，所以（32.103）给
$\sigma z_j^-\le\sigma z_p(t_j^r)\le\sigma z_j^+$。$z_p(t_j^r)=g_p(r_j)$。区间中心为 $\sigma(z_j^-+z_j^+)/2$、半宽为 $\sigma(z_j^+-z_j^-)/2=|z_j^+-z_j^-|/2$；把中心乘回 $\sigma$ 就得绝对误差式。端点重合给零宽，允许实际同时事件。

$c_j$ 是由原记录计算的任务摘要，不是一次已获同时 $z$ 测量。两个 $r$ 读数、两组所有 $z$ 端点、来源／校准／分支及实际顺序证书都仍保留；若两个组共享同一端点，该记录也不会因重复使用变成独立的新读数。$\square$

**定理 32.3（含噪顺序区间与完整参数纤维）。** 继续命题32.2，实际报告为 $\widetilde r_j,\zeta_j^-,\zeta_j^+$。在同一个联合事件内，对全部完整候选有
$$
|r_j-\widetilde r_j|\le\epsilon_r,\qquad
|z_j^- -\zeta_j^-|\le\epsilon_j^-,\qquad
|z_j^+ -\zeta_j^+|\le\epsilon_j^+,
\tag{32.105}
$$
端点误差界非负。令
$$
A_j=\sigma\zeta_j^- -\epsilon_j^-,\qquad
B_j=\sigma\zeta_j^+ +\epsilon_j^+.
\tag{32.106}
$$
若任一个 $A_j>B_j$，在声明的顺序、分支和误差合同下无完整见证。否则取由记录导出的中心和半径
$$
c_j=\frac{\sigma(A_j+B_j)}2,\qquad
w_j=\frac{B_j-A_j}{2}\ge0,\qquad w=\max\{w_1,w_2\}.
\tag{32.107}
$$
若参数域及测得位置满足定理31.1继承的 $U,\eta_0$、（31.101）和共同图域条件，则每个完整候选满足
$$
|g_p(\widetilde r_j)-c_j|\le w_j+L_g\epsilon_r,\qquad
\operatorname{diam}\mathcal K_H^{\rm async}
\le\min\left\{2\rho,\frac{4KC_T(w+L_g\epsilon_r)}{\eta^3}\right\}.
\tag{32.108}
$$

证明。先按同一实际世界的端点误差和方向取界：
$$
A_j\le\sigma z_j^-\le\sigma g_p(r_j)
\le\sigma z_j^+\le B_j.
\tag{32.109}
$$
若 $A_j>B_j$，该不等式链不可能，故完整可行集为空；不能把倒置区间静默投影为一个非空区间。若顺序正确，（32.109）推出 $|g_p(r_j)-c_j|\le w_j$。由 $|r_j-\widetilde r_j|\le\epsilon_r$ 及共同 $L_g$ 界，三角不等式给（32.108）的残差。两个完整候选在同一测得位置的预测差各至多 $2(w+L_g\epsilon_r)$，直接应用定理29.3的解析比较和定理29.4（29.119）的相同计算即得直径界。

推导只用真实联合事件的必要坐标界，没有假定四个端点误差独立。$A_j\le B_j$ 也不证明完整档案非空：更强联合噪声、其它端点、钟或动作关系仍可排除所有世界。一个数值候选只拟合这两个区间，仍须给原始端点、实际顺序与所有旧关系共同成立的世界，才可称为档案相容。真实世界若满足全部前提，就供给非空见证，任一有完整见证的拟合相对它亦满足所列参数界；物理参数误差继续按（29.121）换算。$\square$

**命题 32.4（实际网格宽度与原始中点的另一误差界）。** 在命题32.2的实际括区间中，设两个 $z$ 标签为 $v_j^-\le v_j^+$，同一 $z$ 钟在相应区间满足上增量率
$$
0\le\theta_z(v')-\theta_z(v)\le\Lambda(v'-v)
\quad(v_j^-\le v\le v'\le v_j^+),\qquad
\Delta v_j=v_j^+-v_j^-.
\tag{32.110}
$$
还要求 $|z_{p,t}|\le B_z$ 在这些实际内部区间成立。则真实半宽满足
$$
\frac{|z_j^+-z_j^-|}{2}
\le\frac{B_z\Lambda\Delta v_j}{2}.
\tag{32.111}
$$
在（32.105）的同一联合误差事件上，原始报告中点 $c_j^{\rm raw}=(\zeta_j^-+\zeta_j^+)/2$ 满足另一条证书
$$
|g_p(r_j)-c_j^{\rm raw}|
\le\frac{B_z\Lambda\Delta v_j}{2}
 +\frac{\epsilon_j^-+\epsilon_j^+}{2}.
\tag{32.112}
$$
若这些上率及速度界对同一参数／钟候选域统一成立，可在测得 $r$ 处另加 $L_g\epsilon_r$，再用定理29.3比较完整参数纤维。

证明。顺序证书先保证 $t_j^r$ 确实在两个端点之间，而两端点来自同一 $z$ 钟，所以 $t_j^+-t_j^-\le\Lambda\Delta v_j$。沿实际时间积分给
$$
|z_j^+-z_j^-|=\left|\int_{t_j^-}^{t_j^+}z_{p,t}(t)\,dt\right|
\le B_z(t_j^+-t_j^-)\le B_z\Lambda\Delta v_j.
\tag{32.113}
$$
真实中点 $c_j^{\rm true}=(z_j^-+z_j^+)/2$ 到 $g_p(r_j)$ 的距离至多真实半宽，且
$|c_j^{\rm raw}-c_j^{\rm true}|\le(\epsilon_j^-+\epsilon_j^+)/2$，相加得（32.112）。噪声可完全相关。此原始中点界与定理32.3的观测区间中心／半径是两个不同的有效摘要；误差不对称时两中心一般不同，不能把一个中心配上另一个未经证明的半径。

只有本地标签与上率界不证明跨端口的 $t_j^-\le t_j^r\le t_j^+$；顺序证书必须已实际取得。此处不给截止期限、自动检测器或查询最优性。若后来实际取得包含该 $r$ 事件且嵌于旧时间括区间的新括区间，精确输出区间按单调性嵌套，因而半宽不增；带噪情形保留并相交全部旧、新有效输出区间，若交集非空其宽度不增，若为空则无共同见证。更细的已获标签括区间在相同上率、速度及不增端点误差预算下也改善（32.112）的网格项。所有旧原始记录始终留在（30.102）中，不能用一次新的中点替换它们。$\square$

**约定 32.5（关系接口的依赖、来源及未解边界）。** 第30—32节在固定校准准备族内连接同源标量流、潜在局部钟、已获联合顺序与参数任务。命题21.7的双钟单对反例在定理30.3中接到实际 PDE 的完整初始流；命题22.2—22.3关于未知钟、记录核、推进操作及实际费用的区别仍保留。这里变动的是允许世界中的潜在登记，不能用一次共同已知坐标变换消除，也不能由被动流碰撞推出受驱动实验的碰撞。实际正黏性解及时间／参数正则性由恢复卷定理27.2—27.4承担；共同图逆、三阶识别、一次混合 Taylor 余项由本卷定理28.2—引理28.4承担；一份正对纤维由命题26.4及推论28.5承担；两位置解析逆和残差比较由定理29.3—29.4承担。$\alpha$ 的符号、绝对尺度和剪切退化仍按命题28.6，准备场任务的因子化仍按推论28.7的既有接口，不在这里另造一般恢复定理。

这些源推导属于仓内综合（repo-derived）。链式法则、非零导数的逆匹配、积分 Taylor、中值估计、两点三角下界及稠密顺序切割均为成熟机制；逆函数与 Taylor 的具体文献／上游入口已在定理28.2、引理28.4列明，输出导数与有限记录的辨识方法沿用推论28.7、定理29.2所列 Sontag 文献。恢复卷引理15.8只供应其专门共享正半群迹的匹配，不承担任意标记的存在。本节增加的是这些机制在实际异步 PDE 取得合同下的适用前提、完整钟／误差见证、共同逆域裕量和误差运输，未提出一般原创性或新的全 PDE 正则性主张。

数学接口与待解条件可写为如下关系图；`derived` 只指本节在明列假设下的普通推导，`open` 指仍未解决的问题，不表示形式化账目状态。

```text
actual prepared source + complete retained archive
  +-- separate local streams ----------> clock-fiber collisions       [derived]
  +-- registration jets ---------------> third-jet inverse            [derived]
  +-- two certified paired events -----> local finite-record inverse  [derived]
  +-- joint noise / timing allowances -> cubic two-world lower bound  [derived]
  +-- exact dense cross-port order ----> pairing on actual overlap    [derived]
  +-- acquired finite order brackets --> interval / diameter bounds   [derived]
  +-- independent unbounded clocks ----> global-history invariants    [open]
  +-- specified stochastic timing law -> law-specific identification [open]
  +-- fixed acquisition cost model ----> optimal protocol / constants [open]
```

仍须分别解决：给定更丰富实际档案是否允许所展示的同一完整竞争世界；独立无界钟的全时间不变量；特定相关定时噪声定律下的精确或稳定识别；固定费用模型下的最优同步协议、常数及资源；不在实际重叠域内的恢复。有限窗上可延长钟并不履行这些问题，这些局部观察结论不扩展其 PDE 适用域。

空间复相位与实际已获初始参考、参考共用误差，以及独立未知增益是另列的接口问题：本节始终固定真实端口方向、相位和有符号 $\alpha$，不以同步数据代替相位校准，不丢弃已获初始参考，也不从本节声称含噪校准逆已解决。整体关系统一的目标还包括空间、边界、记忆及其允许后续实验的保真运输；本节只完成这一固定时钟接口的条件推导，不给物理时空密度、时间涌现、任意流体初态或整个研究目标的结论。

## 32.99 追加锚

## 33. 相干复数世界、实际配对与共用初始参考的误差几何

**定义 33.1（复端口实验与完整共同实现）。** 先固定一次实验 $\mathcal X_{\rm phase}$：独立已知的物理幅度 $a_{\rm cal}>0$；[恢复几何卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_RECOVERY_GEOMETRY.md)定义28.1的 Fourier 标架、分量方向及相干复校准；固定平移的无外力准备族；黏性／径向先验；来源及分支规则；两个本地标签域 $I_A,I_C$；允许动作、钟对、延迟及费用；全部旧记录的解释规则；一份联合原始误差模型。这另立复数平移准备合同，定义29.1的有符号实端口单钟世界不是它的世界集合。

一份完整世界 $w\in\Omega_{\mathcal X_{\rm phase}}$ 含一个被研究的实际来源、$\alpha\in\{a_{\rm cal},-a_{\rm cal}\}$、$\beta\in\mathbb R$、$\nu>0$、固定 $q\in\mathbb T^2$、相应实际平移 PDE 轨迹 $u^q$、允许取得映射，以及解释全部档案所需的辅助量和联合误差。已有其它来源的记录和来源间关系亦由这一份世界的辅助量共同解释。初始标签域含零，$\theta_A:I_A\to[0,T_{12}]$、$\theta_C:I_C\to[0,T_{12}]$ 连续严格递增，$\theta_A(0)=\theta_C(0)=0$；更强已获钟限制仍属于允许钟对集合 $\mathcal C_{\mathcal X}$。钟的实际内部值是潜变量，除非已被取得。此处两钟可各自未知，不声明它们统计独立。

完整已获档案为
$$
H_{\rm phase}=(C,\mathcal A,D_0,D_A,D_C,J),\qquad
D_0=(\text{初始事件证书},A_0^{\rm obs}),
$$
$$
D_A=(s,A^{\rm obs}(s))_{s\in L_A},\qquad
D_C=(v,C^{\rm obs}(v))_{v\in L_C},\qquad L_A\subseteq I_A,\ L_C\subseteq I_C.
\tag{33.101}
$$
$C$ 保留每一项先前内部／外部记录、来源关系和参考；$\mathcal A$ 保留带来源索引的全部实际动作、校准、费用、延迟及取得历史；$J$ 保留全部已获跨端口配对、实际顺序、时间、来源及联合取得关系，包括第32节形式的已获顺序约束。$D_A,D_C$ 保留完整复值及本地标签，$L_A,L_C$ 在选候选世界之前固定。初始参考有误差仍是已获记录，不能被 $|A_0|=a_{\rm cal}/2$ 替换。

明确令 $\operatorname{Hist}_{\rm phase}(w,\mathcal A,D_0)$ 断言：每次所记动作由其声明来源在对应潜在内部时刻合法实施，满足所记费用、延迟和校准；读出的真实量就是该世界同一实际轨迹的指定 Fourier 积分；初始参考事件确为该准备的 $t=0$；取得无扰动，或有已认证的等价共同轨迹；每份分支证书在实际轨迹上成立。该谓词既不以模型预测伪造取得，也不把到达顺序当作未经认证的内部取得顺序。用 $\mathcal R_i,\mathcal J_\ell$ 分别解释所有旧记录与联合关系。对非退化任务置
$$
\mathcal B(w)=\beta(w)\chi_b(q(w)),\quad
p(w)=(m_+(w),k(w))=\left(\frac{|\beta(w)|}{\nu(w)},
 \frac{a_{\rm cal}^2}{\nu(w)^2}\right),\quad
\omega(w)=\frac{\mathcal B(w)}{|\mathcal B(w)|}.
\tag{33.102}
$$
给定实验先验 $P_{\mathcal X}\subset(0,\infty)^2$，完整可行交集为
$$
\begin{aligned}
\mathfrak F_H^{\rm phase}=\{w\in\Omega_{\mathcal X_{\rm phase}}:\;&
 \beta(w)\ne0,\quad p(w)\in P_{\mathcal X},\quad
 (\theta_A,\theta_C)\in\mathcal C_{\mathcal X},\\
&\operatorname{Hist}_{\rm phase}(w,\mathcal A,D_0),\quad
 \mathcal R_i(w,c_i)\ (\text{全部 }c_i\in C),\\
&\mathcal J_\ell(w,j_\ell)\ (\text{全部 }j_\ell\in J),\quad w\in\mathcal E_H,\\
&A_0^{\rm obs}=A_0(w)+\varepsilon_0(w),\\
&A^{\rm obs}(s)=A_w^{q(w)}(\theta_A(s))+\varepsilon_A(w,s)
 \quad(s\in L_A),\\
&C^{\rm obs}(v)=C_w^{q(w)}(\theta_C(v))+\varepsilon_C(w,v)
 \quad(v\in L_C)\},\qquad
\mathcal K_H^{\rm phase}=p(\mathfrak F_H^{\rm phase}).
\end{aligned}
\tag{33.103}
$$
$\mathcal E_H$ 是同一联合事件，含原始误差全部相关限制；其必要坐标界不替代它。任一重复出现的参考或读数指同一个误差变量。各条关系不得另选互不相容的世界。有限恢复另外要求 $J$ 确实含两个已获标签对 $(s_j,v_j)$ 的同源配对证书
$$
t_j(w):=\theta_A(s_j)=\theta_C(v_j),\qquad
0<t_1(w)<t_2(w)\le T_g,\qquad
r_j(w):=R_w(t_j(w))\in(0,r_*]\quad(j=1,2).
\tag{33.104}
$$
这是推论30.8的实际事件条件，不要求两事件之间 $\theta_A=\theta_C$。两个无关联流或同数值标签不提供该证书。理想射流定理则另要求取得零点附近任意小正水平的对齐初始图 germ；两个有限配对不自动提供这种理想数据。

所有归一化、实部和模都是 $H_{\rm phase}$ 的计算摘要，不能删除 $A_0^{\rm obs}$、原复数、虚部、来源、动作或联合时间顺序。沿用定义25.5及定义30.1的共同实现语义，数值摘要拟合不是完整世界见证。非空恢复须有 $w_*\in\mathfrak F_H^{\rm phase}$；空集上的成对不等式不产生参数、场或合法动作。

**定理 33.2（复三阶图射流的精确像及二阶不足）。** 在定义33.1的相干标架、已知 $a_{\rm cal}$、$\beta\ne0$ 下，假设已取得真实对齐初始图 $Z=\mathcal G(R)$ 的三阶射流。记
$$
M=\frac{\mathcal B}{\nu}\ne0,\qquad J_j=\partial_r^j\mathcal G(0).
$$
实际射流满足
$$
\mathcal G(0)=0,\quad J_1=M,\quad
J_2=-\frac{M(|M|^2+30)}{10},\quad
J_3=\frac M{100}(3|M|^4+95|M|^2+300-10k).
\tag{33.105}
$$
对给定 $M\ne0,J_2,J_3\in\mathbb C$ 及 $\mathcal G(0)=0$，其在这个非退化准备族中的有限射流相容性恰需第二阶等式与
$$
Q:=\frac{3|M|^4+95|M|^2+300}{10}-10\frac{J_3}{M}
 \in\mathbb R_{>0}.
\tag{33.106}
$$
逆为
$$
k=Q,\qquad \nu=\frac{a_{\rm cal}}{\sqrt Q},\qquad
\mathcal B=\nu M.
\tag{33.107}
$$
有额外参数先验时还须 $(|M|,Q)\in P_{\mathcal X}$。任一指定 $|A_0|=a_{\rm cal}/2$ 可同时实现。相反，在不另限死黏性的局部径向／黏性族中，前两阶不能识别黏性。

证明。恢复卷定理28.3给 $\mathcal G=\omega g_p$，其中 $m_+=|M|$、$\omega m_+=M$。直接将本卷定理28.3的真实图射流乘常值 $\omega$ 即得（33.105）。这是 $r$ 实变量的右导数，继承实联合 $C^5$，没有把曲线当作全纯函数。解第三式即得 $Q=k>0$，且 $J_3/M$ 必为实数。

反之，令 $\alpha=a_{\rm cal}$、$\nu=a_{\rm cal}/\sqrt Q$、$\beta=\nu|M|>0$。按恢复卷定理28.4的整数字符基，选择固定 $q$ 同时满足
$$
\chi_a(q)=2A_0/a_{\rm cal},\qquad \chi_b(q)=M/|M|.
\tag{33.108}
$$
两右端均为单位复数，故存在且模环面周期唯一；实际解存在且具有（33.105）指定的射流。这里只证明有限射流实现，不证明任意具有该射流的整条曲线来自 PDE，更不反造全部旧档案。若 $M=0$ 或 $Q$ 非正实数，不能使用该非退化逆或静默改正数据。

固定非零复数 $M$ 与已获 $A_0$，沿任意含两个不同正黏性的局部区间，令 $\mathcal B=\nu M$ 并使用（33.108）的同一 $q$，$\beta=\nu|M|$。这些真实准备的 $J_1,J_2$ 不变，而 $\nu$ 与 $k=a_{\rm cal}^2/\nu^2$ 改变，证明二阶不足。该射流任务的碰撞仅在两个完整世界也满足全部旧关系时才是完整档案碰撞；其它已获信息可以区分它们。$\square$

**定理 33.3（两实际复配对的径向参数与单位相位恢复）。** 固定正内点 $p_0=(m_{+,0},k_0)$。使用定理29.3的同一个闭凸参数球 $U=\overline B(p_0,\rho)\subset(0,\infty)^2$、逆常数 $K$，并以 $P_{\mathcal X}=U$ 限制定义33.1的完整候选。令 $m_{\min}=\min_U m_+>0$，按照恢复卷（28.112）缩小共同初始图域，使 $g'_p\ge m_{\min}/2$；再缩小共同 $\eta_0$ 以保留定理29.3及 $\eta_0\le\min\{1,r_*/3\}$。参数球在参数空间固定，不宣称原始输出含一个与 $\eta$ 无关的固定球。

设 $0<\eta\le\eta_0$，已校准初始参考和两份原始配对均精确，且（33.104）确实在 $r_1=\eta,r_2=2\eta$ 取得。记 $A_j=A^q(t_j),C_j=C^q(t_j)$、$Z_j=2iC_j/A_0$。若完整可行集非空，这些有限记录唯一确定其参数任务 $p,\nu,\mathcal B$ 及实际初始准备场，具体为
$$
\omega=\frac{Z_1}{|Z_1|},\qquad
(|Z_1|,|Z_2|)=(g_p(\eta),g_p(2\eta)),\qquad
\nu=\frac{a_{\rm cal}}{\sqrt k},\quad
\mathcal B=\frac{a_{\rm cal}m_+}{\sqrt k}\frac{Z_1}{|Z_1|}.
\tag{33.109}
$$
其两响应的精确任务像为
$$
\mathcal I_{\eta,U}
 =\{(\omega g_p(\eta),\omega g_p(2\eta)):
       p\in U,\ \omega\in\mathbb S^1\}.
\tag{33.110}
$$
一对数属于这个像，当且仅当 $Z_1\ne0$、$Z_2/Z_1\in\mathbb R_{>0}$，且两模属于同一实际标量像
$\{(g_p(\eta),g_p(2\eta)):p\in U\}$。只满足同射线条件不足。这个任务像不是整份档案的实现判据。

证明。两个实际同源配对分别处于同一内部时刻，故恢复卷（28.111）在两事件给 $Z_j=\omega g_p(j\eta)$。共同正下界使 $g_p(j\eta)\ge m_{\min}j\eta/2>0$，所以第一复值的单位方向就是 $\omega$，取模得到两份真实正代表值。将定理29.3（29.108）用于 $(\lambda,\mu)=(1,2)$，相同两标量值给相同预条件像，从而 $p$ 相同；恢复物理量得（33.109）。这是推论30.8的事件配对内容与解析两位置逆的合用，不把复数世界认作定义29.1的单钟世界。$A_0$ 再经恢复卷（28.113）给实际准备场；四重或固定有符号 $\alpha$ 时的两重标签仍依恢复卷定理28.4。

必要的像条件由正射线表示直接给出。反之，若模在实际标量像，取其 $p$，令 $\omega=Z_1/|Z_1|$；正实比保证第二数的方向也等于 $\omega$。再取 $\alpha=a_{\rm cal}$、$\beta=\nu m_+$ 以及同时实现 $\chi_a(q)=2A_0/a_{\rm cal},\chi_b(q)=\omega$ 的平移，得到这两个真正图响应。要使声明的标签、钟类、实际动作及所有旧记录同时实现，仍须（33.103）的完整见证；图像实现不替代它。

若只在精确参考与精确位置下给第一复响应误差 $|W_1-Z_1|\le\epsilon<|Z_1|$，则 $W_1\ne0$，并有
$$
\left|\frac{W_1}{|W_1|}-\frac{Z_1}{|Z_1|}\right|
 \le\frac{2\epsilon}{|Z_1|}
 \le\frac{4\epsilon}{m_{\min}\eta}.
\tag{33.111}
$$
确实，在中间插入 $W_1/|Z_1|$，第一差为
$\bigl||Z_1|-|W_1|\bigr|/|Z_1|$，第二差为 $|W_1-Z_1|/|Z_1|$，反三角界给结论。该单读数界不包办参考、位置和两份记录的联合误差。

单位复相位的识别在整个 $\mathbb S^1$ 有效，无需选连续实相位提升或推断绕行次数。结论只在 $U$ 内识别径向参数，不重建完整档案或未采样钟插值。两内部阈值的存在、时间界及条件外部期限直接使用定理29.5在同一正代表的条件；两个钟需分别实际覆盖所需事件，且配对接口可用。严格增加自身不供应取得期限、精确检测器或延迟保证。$\square$

**定理 33.4（同一参考的原始复误差运输）。** 使用定义33.1、定理33.3的同一正域 $U$ 和共同分支，且保留（33.104）的两个实际配对；现在原始参考及读数可有误差。置 $a_{\rm ref}=a_{\rm cal}/2=|A_0|$。在一份实际联合事件 $\mathcal E_H$ 上，对每份完整候选同时要求
$$
|A_0^{\rm obs}-A_0|\le e_0<a_{\rm ref},\qquad
|A_j^{\rm obs}-A_j|\le e_A,\quad
|C_j^{\rm obs}-C_j|\le e_C\quad(j=1,2),
\qquad e_0,e_A,e_C\ge0.
\tag{33.112}
$$
这里 $A_j,C_j$ 在每个 $j$ 内来自同一真实内部时刻，两个除法共用同一个 $A_0^{\rm obs}$。定义计算摘要
$$
V_j=1-\frac{A_j^{\rm obs}}{A_0^{\rm obs}},\qquad
r_{{\rm obs},j}=\operatorname{Re}V_j,\qquad
W_j=\frac{2iC_j^{\rm obs}}{A_0^{\rm obs}},\qquad
z_{{\rm obs},j}=|W_j|.
\tag{33.113}
$$
令 $L_g=\sup_{p\in U,\,0\le r\le r_*}|g'_p(r)|$，并取
$$
B_A=\max\{1,|1-r_*|\},\quad B_Z=L_gr_*,\qquad
e_r=\frac{e_A+B_Ae_0}{a_{\rm ref}-e_0},\quad
e_Z=\frac{2e_C+B_Ze_0}{a_{\rm ref}-e_0}.
\tag{33.114}
$$
则每份完整候选的真实 $r_j=R(t_j)$、$Z_j=\omega g_p(r_j)$ 满足
$$
|V_j-r_j|\le e_r,\quad
|r_{{\rm obs},j}-r_j|\le e_r,\quad
|\operatorname{Im}V_j|\le e_r,
$$
$$
|W_j-Z_j|\le e_Z,\qquad
\bigl||W_j|-g_p(r_j)\bigr|\le e_Z.
\tag{33.115}
$$
可将（33.114）两分母统一替换为实际非零的 $|A_0^{\rm obs}|$ 得到同样有效且不大的误差界。

证明。任何完整候选都有 $|A_0^{\rm obs}|\ge a_{\rm ref}-e_0>0$，所以计算摘要定义良好。精确除法恒等式为
$$
\frac{A_j^{\rm obs}}{A_0^{\rm obs}}-\frac{A_j}{A_0}
 =\frac{(A_j^{\rm obs}-A_j)
       -(A_j/A_0)(A_0^{\rm obs}-A_0)}{A_0^{\rm obs}}.
\tag{33.116}
$$
共同实际分支给 $A_j/A_0=1-r_j$、$|1-r_j|\le B_A$，故三角不等式得 $|V_j-r_j|\le e_r$。由于真实 $r_j$ 为实数，其实部与虚部界同时跟随，不能只保留实部而抛掉虚部约束。第二端口同样给
$$
W_j-Z_j
 =\frac{2i(C_j^{\rm obs}-C_j)-Z_j(A_0^{\rm obs}-A_0)}{A_0^{\rm obs}}.
\tag{33.117}
$$
由 $g_p(0)=0$、$|g'_p|\le L_g$ 以及 $0\le r_j\le r_*$，得
$|Z_j|=g_p(r_j)\le B_Z$，从而 $|W_j-Z_j|\le e_Z$。复模的反三角不等式及 $g_p(r_j)\ge0$ 得最后一界。保留精确分母即可得到所述改进。所有分支和范数包络须对同一完整候选域成立。

式（33.116）—（33.117）显示同一参考误差同时进入两个位置和两个复响应；投影后的误差一般相关。整个复数摘要 $V_j$（包括 $\operatorname{Im}V_j$）、$W_j$ 及对应原始复读数、参考与来源记录仍由（33.103）保留。仅各边缘误差事件有某概率，不证明这些界在同一联合事件上仍有该概率；若另给真实联合事件的概率保证，本定理只在该事件上作确定性运输，不添加独立性假设。$\square$

**定理 33.5（投影残差上的固定邻域比较）。** 在定理33.4下，进一步要求
$$
r_{{\rm obs},1}\in[3\eta/4,5\eta/4],\qquad
r_{{\rm obs},2}\in[7\eta/4,9\eta/4],\qquad
e_r\le\eta/8,\qquad 0<\eta\le\eta_0\le\min\{1,r_*/3\}.
\tag{33.118}
$$
置
$$
e=e_Z+L_ge_r,\qquad C_F=3+3L_g^2/10,\qquad
C_T=\sqrt{(4/3)^2+(64/7+4C_F/3)^2},
$$
$$
D_p=\min\left\{2\rho,\frac{4KC_T(e_Z+L_ge_r)}{\eta^3}\right\}.
\tag{33.119}
$$
每份完整候选满足 $|g_p(r_{{\rm obs},j})-z_{{\rm obs},j}|\le e$；任意两个完整候选的径向参数 $p,p'$ 满足 $\|p-p'\|_2\le D_p$。

证明。（33.115）与窗口使真实两位置分别落在
$[5\eta/8,11\eta/8]$、$[13\eta/8,19\eta/8]$，均处于共同图域。所需同源第一分支由（33.104）承担，不能由位置窗口替代。在同一个候选世界内沿图积分，
$$
|g_p(r_{{\rm obs},j})-z_{{\rm obs},j}|
 \le L_g|r_{{\rm obs},j}-r_j|+
       |g_p(r_j)-|W_j||\le e.
\tag{33.120}
$$
任意两候选在这两个固定观测位置的真实预测差各至多 $2e$。令
$\lambda=r_{{\rm obs},1}/\eta,\mu=r_{{\rm obs},2}/\eta$，它们属于定理29.3的设计域。将（29.107）的预条件算子作用于两组精确预测，其两坐标差记为 $\Delta A_{\rm pre},\Delta B_{\rm pre}$；这些符号不是原始 Fourier 端口。因 $|g_p(\lambda\eta)/(\lambda\eta)|\le L_g$，$F'(v)=-3-3v^2/10$ 的中值界给
$$
|\Delta A_{\rm pre}|\le\frac{2e}{\lambda\eta},\qquad
|\Delta B_{\rm pre}|\le2e\left[
\frac{2(1+\mu/\lambda)}{\mu(\mu-\lambda)\eta^3}
 +\frac{C_F}{\lambda\eta^2}\right].
\tag{33.121}
$$
这正是定理29.4（29.119）的解析残差计算。$\lambda\ge3/4,\mu\ge7/4,\mu-\lambda\ge1/2,\mu/\lambda\le3$，又 $\eta\le1$，故两坐标差的 Euclidean 范数至多 $2eC_T/\eta^3$。定理29.3（29.108）给参数差至多 $2K$ 倍该范数，球 $U$ 的直径又至多 $2\rho$，得到（33.119）。

此处与定理31.1同样，仅将真正复数世界投到必要标量残差，再使用定理29.3的解析比较；未把它们变成定义29.1的一钟、有符号实端口世界。反向提升不存在于本结论：任意两个模的拟合可以违反相位、$\operatorname{Im}V_j$、参考、旧档案或联合时间条件。只有 $w_*\in\mathfrak F_H^{\rm phase}$ 才给非空与真实参数；任一同样有完整世界见证的拟合相对它才享有所列误差界。$\square$

**定理 33.6（单位相位、物理参数及准备场的可行直径）。** 在定理33.5的全部同一候选域条件下，设共同正导数界为 $g'_p\ge m_{\min}/2$，定义
$$
h=\frac{m_{\min}}2(r_{{\rm obs},1}-e_r)
 \ge\frac{5m_{\min}\eta}{16}>0,\qquad
D_\omega=\min\{2,2e_Z/h\}.
\tag{33.122}
$$
任意两个完整可行世界 $w,w'$ 的单位复相位满足
$|\omega(w)-\omega(w')|\le D_\omega$，即使 $W_1=0$ 也成立。若另有 $e_Z<h$ 且完整可行集非空，则 $W_1\ne0$，点估计 $W_1/|W_1|$ 对每个可行单位相位的误差至多 $2e_Z/h$。

在同一闭凸 $U$ 上置
$$
k_{\min}=\min_Uk>0,\qquad M_m=\max_Um_+,\qquad
N=\frac{a_{\rm cal}}{\sqrt{k_{\min}}},\qquad
C_\nu=\frac{a_{\rm cal}}{2k_{\min}^{3/2}},
$$
$$
B_{\max}=NM_m,\qquad C_B=\sqrt{N^2+(M_mC_\nu)^2},\qquad
D_B=\min\{2B_{\max},C_BD_p+B_{\max}D_\omega\}.
\tag{33.123}
$$
则任意两个完整可行世界满足
$$
|\nu(w)-\nu(w')|\le C_\nu D_p,\qquad
|\mathcal B(w)-\mathcal B(w')|\le D_B,
$$
$$
\|u_{0,w}-u_{0,w'}\|_{L^2}
 \le\sqrt{8e_0^2+D_B^2}.
\tag{33.124}
$$
这些是完整可行集的任务直径，不是尚未证明的后续流误差界。

证明。写两世界的第一真实复响应为 $Z=\varrho\omega$、$Z'=\varrho'\omega'$。由真实位置下界及恢复卷（28.112）的正图估计，$\varrho,\varrho'\ge h$。单位复数的内积展开给精确恒等式
$$
|\varrho\omega-\varrho'\omega'|^2
 =(\varrho-\varrho')^2+\varrho\varrho'|\omega-\omega'|^2.
\tag{33.125}
$$
确实左侧等于 $\varrho^2+(\varrho')^2-2\varrho\varrho'\operatorname{Re}(\omega\overline{\omega'})$，而 $|\omega-\omega'|^2=2-2\operatorname{Re}(\omega\overline{\omega'})$。两个真实响应处于同一以 $W_1$ 为中心的 $e_Z$ 球，故距离至多 $2e_Z$。舍去非负径向平方并用 $\varrho\varrho'\ge h^2$ 得相位差至多 $2e_Z/h$，单位圆直径给上限二；没有除以 $W_1$。若 $e_Z<h$，任一完整候选给 $|W_1|\ge|Z|-e_Z\ge h-e_Z>0$，再用（33.111）的归一化三角证明得点估计误差。

物理黏性和径向幅度函数为 $\nu(p)=a_{\rm cal}k^{-1/2}$、$b(p)=|\mathcal B|=a_{\rm cal}m_+k^{-1/2}$。其梯度是
$$
\nabla\nu=\left(0,-\frac{a_{\rm cal}}{2k^{3/2}}\right),\qquad
\nabla b=\left(\frac{a_{\rm cal}}{\sqrt k},
 -\frac{a_{\rm cal}m_+}{2k^{3/2}}\right),
\tag{33.126}
$$
范数分别至多 $C_\nu,C_B$。在连接 $p,p'$ 的整条 $U$ 内线段上积分，给
$|\nu(p)-\nu(p')|\le C_\nu D_p$、$|b(p)-b(p')|\le C_BD_p$。再由
$$
|b\omega-b'\omega'|
 \le|b-b'|+b'|\omega-\omega'|
 \le C_BD_p+B_{\max}D_\omega,
$$
以及两幅度各至多 $B_{\max}$，得到 $D_B$。参考本身的误差不能省略：两份真实 $A_0$ 均在同一 $A_0^{\rm obs}$ 的 $e_0$ 球内，故 $|A_0(w)-A_0(w')|\le2e_0$。将此界与 $D_B$ 代入恢复卷定理28.5的精确两分量正交恒等式
$$
\|u_{0,w}-u_{0,w'}\|_2^2
 =2|A_0(w)-A_0(w')|^2+|\mathcal B(w)-\mathcal B(w')|^2
$$
即得（33.124）。即使径向参数精确，已获参考的不确定性仍贡献准备场误差。选一个点作为恢复场还须实际完整世界见证；在空可行集上不生成场，也不由单位相位点估计自动构造联合可行参数。$\square$

**命题 33.7（常值增益模型的两种相位碰撞与尺度边界）。** 下述各项是明确改变校准假设的精确模型，不属于定理33.4的已校准加性原始误差合同。每个碰撞均要求声明的完整旧档案及全部动作、来源、参考和联合时间约束容许两份构造世界。

若同一未知常值 $\gamma\in\mathbb C\setminus\{0\}$ 乘于 $A,C$ 及已获初始参考，且物理 $a_{\rm cal}$ 独立已知，则它从 $R,Z$ 抵消；在相应理想图或有限配对条件下，（33.107）或（33.109）仍识别 $\nu,\mathcal B$，但不识别物理 $A_0$ 相位。精确增益模型中只有模恒等式
$$
|\gamma|=\frac{2|A_0^{\rm obs}|}{a_{\rm cal}}.
\tag{33.127}
$$
若相对 $A$ 的 $C$ 校准另有未知单位因子，则 $\mathcal B$ 相位可以不可识别，而已知模的相对相位不影响黏性射流公式。若物理 $a_{\rm cal}$ 也没有独立固定且共用增益未知，则正的幅度／黏性／内部钟缩放歧义恢复。

证明。第一种模型的原始记录为 $\gamma A^q(t),\gamma C^q(t),\gamma A_0$，其共用非零因子从两归一化量直接消去。用恢复卷定理28.4的对角平移，作
$$
q\mapsto q+(s,s),\qquad \gamma\mapsto\gamma e^{-is}.
\tag{33.128}
$$
$A^q,C^q,A_0$ 都乘 $e^{is}$，所以完整的这些原始增益读数（包括初始参考）逐项不变；时钟和取得事件可保持。$s\notin2\pi\mathbb Z$ 时物理非零 $A_0$ 改变，但 $\mathcal B$ 不变。若基础档案只有这些读数和对称允许的准备、钟及动作证书，就给完整原始记录碰撞；其它已获相位校准或准备来源可以排除它。式（33.127）由取模给出，只属于无加性参考误差的精确增益模型。

第二种模型设 $C$ 另乘未知常值 $\zeta\in\mathbb S^1$，其余相对模校准已知。作
$$
q\mapsto q+(0,s),\qquad \zeta\mapsto\zeta e^{-is}.
\tag{33.129}
$$
$a$ 字符不变、$c,b$ 字符乘 $e^{is}$，故所有原始 $A,C$ 报告和已获参考保持，物理 $\mathcal B$ 乘 $e^{is}$。在同样完整见证条件下，$\mathcal B$ 相位未被切开。另一方面，图及其各实导数同乘 $\zeta$，所以观测 $|M|$ 与 $J_3/M$ 不变，黏性公式依然成立；若相对模是另一个已知正数，先除去它再用此论证。没有据此处理一般独立未知复增益。

最后直接复用命题28.6的实际缩放：对 $\lambda>0$，
$$
u^\lambda(t,X)=\lambda u(\lambda t,X),\quad
(\alpha,\beta,\nu)\mapsto(\lambda\alpha,\lambda\beta,\lambda\nu),\quad
\theta_A,\theta_C\mapsto\theta_A/\lambda,\theta_C/\lambda,
\quad \gamma\mapsto\gamma/\lambda.
\tag{33.130}
$$
两端口及其初始参考的物理值均乘 $\lambda$，共用增益抵消，所有所记本地标签和配对顺序可保持。两世界是否仍合法取决于原实验钟类、物理费用和全部旧记录；若它们都允许这次缩放就有绝对尺度碰撞。独立固定的 $a_{\rm cal}$ 只允许 $\lambda=1$，排除这条歧义。$\square$

**约定 33.8（退化域、成熟机制与任务边界）。** 有限记录的正向恢复及误差定理要求 $a_{\rm cal}>0,\beta\ne0,\nu>0$、固定平移、相干完整复校准、真实已获初始参考、同一来源的真实配对、共同初始正图域、指定局部先验及完整非空见证。$\beta=0$ 时 $Z\equiv0$，由命题28.6的剪切解没有可恢复射线，正径向逆不适用；$\alpha=0$ 使 $A_0=0$，除法无定义；$\nu=0$ 使初始 $r_t(0)=0$，正黏性图逆失效。迟时的 $Z=0$ 不提供该时刻的相位射线。未知共轭、改变 Fourier 方向、移动平移 $q(t)$、时变增益、未配对异步流、未获初始参考、不同准备或外力不满足同一个正向合同。

这里的仓内综合使用恢复卷全 PDE 唯一性、字符协变和准备场正交身份，把本卷第28节实际实图及第29节两位置逆接到完整复数世界。字符理论、复除法、单位向量归一化及有限维梯度估计是成熟机制；Fourier 正交来源见恢复卷定理28.2所引 Stein–Shakarchi，输出导数、有限样点及参数辨识的方法背景见本卷推论28.7及定理29.2所引 Sontag（2017、1984）。本节的图导数仅为实变量导数；常值复因子抵消不把实 $C^5$ 提升为全纯性，有限指数模态的谱运输也不供应非线性 PDE 的不变有限模态闭合。

准备场任务商只消除恢复卷定理28.4所证的场标签冗余，完整观察者仍含所有已获参考、来源关系、内部／外部档案和联合时间顺序。本节没有噪声射流预言器、逐样本实相位提升、绕行次数、全时间识别、后续轨迹扰动上界、自动取得器、无条件外部期限或普遍最优协议。一般独立未知增益及其另行的多记录恢复仍是不同问题；既有第32节顺序记录继续约束世界，但本节不另给复相位括区间定理。

## 33.99 追加锚

## 34. 完整档案上的有效未来管与含源多层消元

### 34.1 有效状态附着于全部已获档案

**定义 34.1（完整档案可行世界与共同视界）。** 令 $D$ 表示当前全部已获档案，包含已取得的内部／外部记录、来源身份及来源间关系、实际准备记录、初始参考、校准与误差合同、合法动作、联合时间顺序、时钟关系和费用。以 $\mathcal F(D)$ 表示与这整份档案及已声明先验同时相容的联合世界集合，要求 $\mathcal F(D)\ne\varnothing$，并明确以实际世界属于它为适用前提。未精确获知的量作为同一世界中的未知量受全部记录共同约束；不把“准备确已执行”偷换为“其隐藏坐标已精确测得”。空可行集表示记录或模型合同不相容，不作为零误差预测的证书。

一个世界 $\theta$ 同时指定模型参数、联合初态、观测误差、合法取得历史、共同来源、时间标记与资源合同。其可见量使用同一个有限维 Hilbert 空间 $U$ 和同一范数；若最初采用不同坐标，必须先给合法的有类型运输及其范数增益。隐藏空间可随模型指定，但每个模型都须满足[恢复卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_RECOVERY_GEOMETRY.md)定义29.1的有限维、自伴、常系数自治方程。所有要比较的未来路径在一个共同视界 $I_T$ 上定义，$T\in(0,\infty]$，$T=\infty$ 指全部非负时间。

对每个 $\theta\in\mathcal F(D)$，记实际可见路径与静态路径为
$$
x_\theta(t),\qquad X_\theta(t)=e^{-tS_\theta}x_{0,\theta}.
$$
一个可用的恢复证书是有限非负函数 $E_\theta(t)$，连同其全部适用前提，满足
$$
\forall\theta\in\mathcal F(D)\ \forall t\in I_T,\qquad
\|x_\theta(t)-X_\theta(t)\|\le E_\theta(t).
\tag{34.1}
$$
例如可选择恢复卷定理29.4的速度与初始层界，或定理29.6的能量坐标界；半正定而无正隙时保留其式（29.9）的有限视界范围，图模型仅在命题29.9已证明的中心化域使用正隙。每份 $E_\theta$ 的 $a_0,c_0,b,V,r_0$ 或 $G,w_0,\gamma_0,N_0$ 都属于同一个 $\theta$，视界与实际准备也相同。存在有限数值不等于取得它；用于档案预测还要求有实际可认证的共同上界。

完整观察者仍由 $D$ 表示；有效状态只是附在 $D$ 上供指定任务调用的视图。本卷定义13.1、命题13.2及主卷§120、§138的已有区分继续适用：隐藏于当前投影的坐标可以已被旧参考或旁路记录约束，不能把短摘要中看不到当成完整观察者不知道。也不准将一个来源允许的 $h_0$ 与另一来源允许的 $S$ 自由拼成新世界。若 $\mathcal F(D)$ 来自统计置信域，需要另给覆盖真实世界的共同事件及其概率；本节的确定性条件结论不会生成一个置信水平。

### 34.2 同一世界的整条预测管与模型散布

**命题 34.2（从逐模型静态证书到档案预测）。** 在定义34.1下，每个固定世界的整条实际路径属于
$$
\mathcal T_\theta
=\{y:I_T\to U:\ \forall t\in I_T,
\ \|y(t)-X_\theta(t)\|\le E_\theta(t)\}.
\tag{34.2}
$$
因此实际候选路径族包含于 $\bigcup_{\theta\in\mathcal F(D)}\mathcal T_\theta$。若给定一条仅用合法可访问档案 $D$ 计算的共同预测路径 $p_D:I_T\to U$，则对每个 $t\in I_T$，
$$
\sup_{\theta\in\mathcal F(D)}\|x_\theta(t)-p_D(t)\|
\le\sup_{\theta\in\mathcal F(D)}
 \left[E_\theta(t)+\|X_\theta(t)-p_D(t)\|\right].
\tag{34.3}
$$
整段路径的版本为
$$
\sup_{\theta\in\mathcal F(D)}\|x_\theta-p_D\|_{\infty,I_T}
\le\sup_{\theta\in\mathcal F(D)}\sup_{t\in I_T}
 \left[E_\theta(t)+\|X_\theta(t)-p_D(t)\|\right]
\le E_D^T+M_D^T,
\tag{34.4}
$$
其中
$$
E_D^T=\sup_{\theta\in\mathcal F(D)}\sup_{t\in I_T}E_\theta(t),
\qquad
M_D^T=\sup_{\theta\in\mathcal F(D)}\|X_\theta-p_D\|_{\infty,I_T}.
$$
声称有限半径时须实际认证所用右侧有限；最后一个较松界要求 $E_D^T,M_D^T$ 均有限。若有限精度路径 $\widehat p_D$ 满足已认证的
$\|\widehat p_D-p_D\|_{\infty,I_T}\le\varepsilon_{\rm eval}$，则式（34.4）相应右侧再加 $\varepsilon_{\rm eval}$。

证明。式（34.1）的两个全称量词给每条固定世界路径的管包含。对固定的同一个 $\theta,t$，三角不等式给
$$
\|x_\theta(t)-p_D(t)\|
\le\|x_\theta(t)-X_\theta(t)\|
 +\|X_\theta(t)-p_D(t)\|
\le E_\theta(t)+\|X_\theta(t)-p_D(t)\|.
$$
取同一可行集上的上确界得到式（34.3），再对共同 $I_T$ 取上确界得到式（34.4）的第一步。每个世界的两项分别不超过 $E_D^T,M_D^T$，给最后一步；这一步是上界放宽，不声称两个最坏值能在同一世界同时取到。插入 $p_D$ 再用已认证计算误差得到有限精度项。$\square$

这里 $M_D^T$ 是围绕所选 $p_D$ 的静态模型散布，不能因某一模型的动态近似误差很小而删去。当 $S_\theta,x_{0,\theta}$ 尚随世界变化时，恢复卷最初供应的是一族整条路径管，不是一条已取得的统一预测。即使每时刻允许分别选择一个世界的点值，拼出的曲线也未必属于式（34.2）的任何固定世界管；$\bigcup_\theta\mathcal T_\theta$ 的含义是先选一个世界再约束所有时间，不把世界变成时间函数。交换数值上确界 $\sup_\theta\sup_t=\sup_t\sup_\theta$ 不改变这个实现量词，也不授权这种拼接。

若模型和可见初态已由完整档案确定，可选 $p_D=X$，从而 $M_D^T=0$；仍须计算和认证 $p_D$。一般情况下模型估计与可行集求界是额外任务，式（34.3）没有提供估计器、可行集非空性算法或最优预测中心。尺度族要得到单一路径预测的一致收敛，所选适用证书、模型散布及计算／解码误差的完整预算须在同一可行族上一致趋零。恢复卷推论29.8只供应其中的动态近似项。一份适用且完整趋零的预算已经足够；另一较松预算不趋零不证明实际不收敛。

### 34.3 终端任务、整路径任务与合法域

**推论 34.3（声明任务的误差运输）。** 在定义34.1及命题34.2的共同路径、有限误差预算和数值计算合同下，设共同合法状态域 $\mathcal A\subseteq U$ 包含所考察时刻的全部 $x_\theta(t),X_\theta(t)$，且同一终端读出 $f:\mathcal A\to(Y,d_Y)$ 满足
$$
d_Y(f(u),f(v))\le\ell\|u-v\|\quad(u,v\in\mathcal A),
\qquad 0\le\ell<\infty.
$$
则
$$
d_Y(f(x_\theta(t)),f(X_\theta(t)))\le\ell E_\theta(t).
\tag{34.5}
$$
若还用共同预测 $\widehat p_D(t)\in\mathcal A$，且其任务数值解码 $\widehat f_D(t)$ 满足
$d_Y(\widehat f_D(t),f(\widehat p_D(t)))\le\varepsilon_{\rm dec}(t)$，那么
$$
\sup_{\theta\in\mathcal F(D)}d_Y(f(x_\theta(t)),\widehat f_D(t))
\le\ell\left(
 \sup_{\theta\in\mathcal F(D)}[E_\theta(t)+\|X_\theta(t)-p_D(t)\|]
 +\varepsilon_{\rm eval}\right)+\varepsilon_{\rm dec}(t).
\tag{34.6}
$$
对于共同合法路径域 $\mathcal P\subseteq\{y:I_T\to U\}$，若同一整路径任务 $F:\mathcal P\to(Y,d_Y)$ 对路径上确界距离一致 $\ell$-Lipschitz，且全部待比较路径属于 $\mathcal P$，则式（34.5）–（34.6）分别使用 $\sup_{t\in I_T}E_\theta(t)$、式（34.4）的路径预算及相应整路径计算／解码界。

证明。合法域使每个读出均有定义。把式（34.1）代入 $f$ 的 Lipschitz 条件得到式（34.5）。对 $f(x_\theta(t)),\widehat f_D(t)$ 插入 $f(\widehat p_D(t))$，先用同一 Lipschitz 界，再用命题34.2及解码界，最后对共同世界集取上确界，即得式（34.6）。整路径版本把状态域和范数替换为已声明路径域和路径距离，逐项相同。$\square$

这是本卷第6节误差传播接口在这些指定读出上的应用。若继续接多元拼接或动作链，须使用该节的共同操作、合法混合输入、逐孔增益和实际可达域合同。状态范数小不直接控制任意不连续的自适应动作选择，也不保证换反馈、加干预后仍满足恢复卷的同一自治模型。概率律距离、全部允许实验的行为距离和包含外部量子参考的通道距离，需要各自的合同，不能由这里的实向量范数自动获得。

若把 $X_\theta$ 或 $\widehat p_D$ 宣称为概率状态，正锥和归一化条件须在其实际表示中另外证明。也可提供一个合法修正映射并认证实际修正量 $\varepsilon_{\rm legal}$，把它加入状态预算后再调用上面的读出界；域内性与该修正量都是前提，不能由范数接近自动得到。

### 34.4 精确行为闭合、相对钟与预测的含义

**约定 34.4（既有行为接口的时间重标应用）。** 对一份完整允许实现域 $\mathcal X$ 及半群 $T_t$，取实际像表示 $q:\mathcal X\to Z=q[\mathcal X]$。需要精确未来任务时，先指定常数 $\kappa>0$，并要求
$$
qT_{\kappa t}=\overline T_tq\quad(t\ge0),\qquad f=\overline f q.
\tag{34.7}
$$
这是主卷定理120.2、120.4、§138.1和本卷第2–3节已有行为闭合接口的应用；恢复卷第29节的近似界本身不建立式（34.7）。其存在性按原有核稳定判据检验：$qx=qy$ 必须蕴含 $qT_{\kappa t}x=qT_{\kappa t}y$。在实际像上按代表定义更新，便有唯一 $\overline T_t$；将 $T_{\kappa(t+s)}=T_{\kappa t}T_{\kappa s}$ 代入式（34.7）给继承的半群律。任务等式的应用为
$$
f(T_{\kappa t}x)=\overline f(\overline T_t(qx)).
$$
这里只因子化已声明任务；更大干预或拼接语言须重新查核稳定与合法性。

若第二个精确接口满足 $q_2\overline T_{\lambda t}=\widetilde T_tq_2$、$\lambda>0$，则直接复合得到
$$
(q_2q)T_{\kappa\lambda t}
=q_2\overline T_{\lambda t}q
=\widetilde T_t(q_2q).
\tag{34.8}
$$
所以常数时间因子相乘；原时钟视界 $T$ 对应第一有效钟视界 $T/\kappa$，再接第二层为 $T/(\kappa\lambda)$。参数、实际采样标签、联合先后和费用均须按同一钟关系运输，不能只重标生成元。

对于 $t=\phi(\tau)$ 的一般 $C^1$ 严格递增重参数化，要求 $\phi'>0$。通常应使用
$T^\phi(\tau_1,\tau_0)=T_{\phi(\tau_1)-\phi(\tau_0)}$，或时变生成元；例如恢复卷式（29.1）运输为 $dz/d\tau=-\phi'(\tau)Lz$。除非另有可验证的齐次结构，$T_{\phi(\tau)}$ 不继承以 $\tau$ 为参数的齐次半群律。本卷定理12.7的时钟与费用换元规则要求连续费率乘 $\phi'$、点操作费用只改标签，每次已取得样点运输为 $\phi^{-1}(t_j)$；在新钟上另行等步采样是另一个取得协议。该运输并不把时变方程重新变成恢复卷定理29.6的常系数前提。共同事件时间、各地已认证的相对钟和尺度指标因此分开声明；空间重标中的动态指数也须由具体模型提供。

预测若为随机任务，按本卷第9节使用同一个共同来源与固定合法策略 $\pi$ 的联合律：在其有限变量正支持合同下，预测充分性要求
$$
P^\pi(F\in\cdot\mid\mathcal H)
=P^\pi(F\in\cdot\mid q\mathcal H),
$$
其中 $\mathcal H$ 是该协议的完整已获历史。充分性只保留条件律，不把未实现的未来样本变为已获事实；逐模型、逐策略分别可选的恢复器也不能替代一个合法可调用的共同恢复器。

主卷定义138.6及本卷第13节已经给出确定性后处理边界。对完整档案映射 $\mathsf D$ 计算 $g(\mathsf D)$，有 $\ker(\mathsf D,g\mathsf D)=\ker\mathsf D$；只保留 $g\mathsf D$ 则可以合并更多旧区别。故有效结构能够使已有关系更易计算和认证，或降低声明的计算费用，却不能仅由后处理切开旧档案纤维，也不能取得未来样本。此处始终保留 $D$，不把任务视图当成观察者的全部状态。

### 34.5 同一初始源的多层精确运输

**接口 34.5（消元同时运输算子和右端）。** 固定同一联合线性方程
$$
\begin{pmatrix}\mathsf E&\mathsf F\\\mathsf G&\mathsf H\end{pmatrix}
\binom xy=\binom uv,
$$
其中 $x,u\in V$、$y,v\in K$ 为有限维空间中的向量，各块有相应类型，且 $\mathsf H:K\to K$ 有已给定的双侧逆。精确保留方程是
$$
(\mathsf E-\mathsf F\mathsf H^{-1}\mathsf G)x
=u-\mathsf F\mathsf H^{-1}v,\qquad
 y=\mathsf H^{-1}(v-\mathsf Gx).
\tag{34.9}
$$
其等价性由第二行解出 $y$ 后代入第一行得到；反向将所给 $y$ 代回两行即可。因而输出对象是一对“保留算子、保留源”，以及需要时的隐藏重建关系。源可以含初态、参考和输入，必须与算子来自同一个实际方程。

对恢复卷的 $L\succeq0,C\succ0$ 系统，主卷命题127.2已经供应完整 Laplace 方程。用 $\sigma>0$ 避免与状态或谱隙符号混淆，它为
$$
[\sigma I_U+A-B(\sigma I_H+C)^{-1}B^*]\widehat x(\sigma)
=x_0-B(\sigma I_H+C)^{-1}h_0.
\tag{34.10}
$$
该源保存同一联合初始对，且 $\sigma>0$ 使相关正定块的逆存在。$\sigma=0$ 的有效算子极限不同时提供无权状态积分及其逆；守恒分量仍须按恢复卷命题29.9处理。

多层时，将原空间写成 $V_0\oplus V_1\oplus V_2$，算子块记为 $A_{ij}:V_j\to V_i$，同一右端记为 $(u_0,u_1,u_2)$。若 $A_{22}$ 及
$H_1=A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}$ 均有双侧逆，先消去第2块得到
$$
\widetilde A_{ij}=A_{ij}-A_{i2}A_{22}^{-1}A_{2j},\qquad
\widetilde u_i=u_i-A_{i2}A_{22}^{-1}u_2,\qquad i,j\in\{0,1\}.
$$
再消去第1块，右端必须为
$$
u_0^{\rm seq}
=u_0-A_{02}A_{22}^{-1}u_2
 -(A_{01}-A_{02}A_{22}^{-1}A_{21})H_1^{-1}
   (u_1-A_{12}A_{22}^{-1}u_2).
\tag{34.11}
$$
设共同隐藏块为
$\mathsf H_{12}=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}$。
上述逆条件使它可逆：对任意右端 $(v_1,v_2)$，唯一解是
$$
y_1=H_1^{-1}(v_1-A_{12}A_{22}^{-1}v_2),\qquad
 y_2=A_{22}^{-1}(v_2-A_{21}y_1).
$$
两行代入验证存在性，逐行消去验证唯一性。因此一次消去同一隐藏块的源为
$$
u_0^{\rm joint}
=u_0-(A_{01}\ \ A_{02})\mathsf H_{12}^{-1}\binom{u_1}{u_2}.
\tag{34.12}
$$
把刚给出的 $y_1,y_2$ 用于 $(v_1,v_2)=(u_1,u_2)$，则
$A_{01}y_1+A_{02}y_2=A_{02}A_{22}^{-1}u_2+(A_{01}-A_{02}A_{22}^{-1}A_{21})H_1^{-1}(u_1-A_{12}A_{22}^{-1}u_2)$，从而式（34.11）与（34.12）相等。这个源运输核对不把保留算子的结合律重新宣称为新的一般结果。

保留算子的对应等式复用既有 [`SchurComplementAssociativity`](../../../D5/S3/Weil/ZetaLinear/SchurComplementAssociativity.lean) 的 `schur_complement_associativity`；它在复 Hilbert 有界算子上明确假定末块及约化块的左逆见证、联合隐藏块的右逆见证。它不证明这些逆存在，也没有右端源作为结论。本节有限维双侧逆条件是一份足够合同；在实矩阵情形可复化到该算子恒等式再限制回实空间。更多层对式（34.9）的算子和源同时迭代，每一步都须检查逆及共同初值，不能只运输左端。

[《量子实在》](QUANTUM-REALITY.md)推论14.1在固定频率 $K-z^2M$ 下应用同一精确算子结合律，定理14.2还保留隐藏初始坐标／动量的齐次源与振荡记忆；它的二阶模型并不满足恢复卷第29节的一阶耗散合同。该卷§341的三步回声显示零阶记忆截断会丢失第三步返回，§342.1保留全部记忆系数与同一预解算子的初始源；这要求为选定截断另给视界和误差，不是否定所有有限记忆近似。

### 34.6 共同因子、近似层与独立资源坐标

**约定 34.6（多层近似的进入条件）。** 主卷命题124.24及§124.10.2–124.10.3供应共同变量消元的顺序条件：必须先纳入所有依赖共享接口的因子，再消去该变量；共享先验只计一次。一个局部外露接口可以成为整体内部变量，但它的共同来源不能被分别边缘化后以独立副本替代。对于正定联合 Gaussian 模型，主卷命题130.8（§130.7）、命题130.9（§130.8）及§130.9分别保留 Schur 二次型、Gaussian 行列式因子与坐标 Jacobian。逐层与一次积分比较使用同一个参考测度；行列式乘积的一致性来自同一个块行列式分解，不能只比较指数二次型。退化平坦方向或负方向须按该卷§130.8.1重新查积分存在性，不能沿用正定全空间积分公式。

精确动态消去中间层通常留下记忆与初始源，所以中间对象不自动又是一个符合恢复卷定义29.1的常系数一阶自伴块系统。要在每层调用其静态近似界，必须逐层给出真实模型、实际初始化、适用视界、谱隙／速度或能量证书，并证明层间运输在共同合法域上的增益；另一条允许路线是先对共同隐藏空间精确联合消元，再认证一次近似。已有本卷第6节的组合预算在其合法性与增益条件下使用，每层误差沿后继路径乘增益后相加。精确消元的顺序相容性不证明提前静态化、截断或近似后的顺序相容性，也不授权删除某层的初始源。

一份可执行预测同时保留各自有单位的资源坐标：实际初态准备及重复准备、参数与谱隙认证、记录取得及校准、时钟同步与标签运输、完整档案存储及有效状态工作存储、矩阵指数／卷积等数值计算、证书与解码精度及验证费用。依据本卷第7节和定义12.8，可以在同一已声明执行路径上逐坐标核算累计费用；没有给换算关系时，不将这些坐标压成一个无依据的标量。$h_0=-C^{-1}B^*x_0$ 的制备费用、$V$ 或 $\gamma_0$ 的认证费用、$p_D$ 的取得与有限精度误差均由实际协议承担。记忆状态维数变小不等于可以删除全部已获档案，也不等于已提供外部期限内的算法。

### 34.7 跨尺度未来接口的开放边界

**约定 34.7（本桥梁的适用边界）。** 这里将有限自伴隐藏关系、完整初始准备、静态生成元误差和完整档案上的指定未来任务接在同一来源上；动力学估计归恢复卷第29节，行为闭合、随机预测充分性和一般组合方法仍取各自既有合同。一般合法干预及改反馈后的稳定性、物理重整化中特定重标／截断与动态指数、含记忆中间层的受控多层近似，以及档案一致的不确定模型估计，仍需各自的模型和证明，不属于本节结论。预测律也不推出已取得的未来事实；既有相位／初始参考关系及独立增益恢复问题保持各自范围。

## 34.99 追加锚

## 35. 完整档案上的概率修复、准备域与联合过程合同

### 35.1 一份完整档案与一份共同实现关系

**定义 35.1（概率任务的完整档案可行族）。** 沿用定义13.1、命题13.2、定义13.3、约定15.1和定义34.1的完整已获记录语义，用 $C_{\rm acq}$ 表示整份实际已获档案，以区别于[恢复卷定义30.1](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_RECOVERY_GEOMETRY.md)的隐藏算子 $C$ 与容量矩阵 $D$。$C_{\rm acq}$ 同时保留全部已取得的内部／外部记录、来源身份及共同来源关系、实际准备与初始参考、校准和误差合同、可访问控制、合法动作及失败信息、外部参考关系、各局部钟及联合取得顺序。记录中未知的模型参数或隐藏准备由全体旧约束共同限制，不因当前任务摘要未显示而被删除。

固定完整实现类 $\Omega$ 及档案相容关系 $\mathscr R_{\rm acq}$，定义
$$
\mathcal F(C_{\rm acq})
=\{\theta\in\Omega:(\theta,C_{\rm acq})\in\mathscr R_{\rm acq}\},\qquad
\mathcal F(C_{\rm acq})\ne\varnothing,\qquad
\theta_{\rm act}\in\mathcal F(C_{\rm acq}).
\tag{35.1}
$$
非空性须由一份满足全部关系的实际可行实现见证支持；仅满足若干残差不等式的数值向量不是见证。$\theta_{\rm act}$ 的成员资格是预测用于真实世界的前提，找到另一个相容见证并不自动证明它。若合同来自统计置信域，真实世界成员资格须落实于已声明的共同覆盖事件；以下确定性蕴含不生成一个新的置信水平。

在本节的图分支，每个 $\theta$ 同时给出一个有限连通对称加权图 $L_\theta$、同次初始概率 $p_{0,\theta}$、其合法准备历史、共同来源及误差实现，以及所用未来协议。比较时共同固定 $V,R,D,N_v$ 和时间视界 $I_T$，$T\in(0,\infty]$；若采用不同时间坐标，先按第12节运输同一事件、时钟与误差合同。令
$$
p_\theta(t)=e^{-tL_\theta}p_{0,\theta},\qquad
x_\theta(t)=Pp_\theta(t),\qquad
X_\theta(t)=e^{-tS_\theta}Pp_{0,\theta},
$$
$$
b_\theta(t)=R^{\mathsf T}p_\theta(t)\in\Delta_m,\qquad
\widehat b_\theta(t)=R^{\mathsf T}X_\theta(t),\qquad
\mathbf1^{\mathsf T}\widehat b_\theta(t)=1.
\tag{35.2}
$$
初态若是条件概率，就必须在同一整份档案与同一联合模型下条件化，并仍满足所声明的后续热演化合同。每个 $\theta$ 供应的是由自己的一份联合准备和模型产生的整条路径。路径上的每个时刻不得重新选一个世界，也不能把一个世界的 $S$ 与另一个世界的 $h_0$ 拼成初值问题。

记录的共同来源、概率独立性与动作次序是不同条件。本卷第5节的共享变量、第13节的合法割及第15节的联合仪器分别承担这些关系；两个动作可换序并不推出读数独立。有符号中间预测与修复输出都只是附着于 $C_{\rm acq}$ 的任务视图 $g(C_{\rm acq})$，不替代实际档案。本卷命题15.8已经给出当前预测态相同、已获来源信息却不同的反例。

### 35.2 保留模型散布的同世界概率管

**约定 35.2（已有轨迹证书在质量空间的实例化）。** 对定义35.1的每个固定 $\theta$，使用恢复卷第29节一份满足全部前提的证书
$$
\|x_\theta(t)-X_\theta(t)\|_2\le E^{(2)}_\theta(t)\qquad(t\in I_T).
$$
图的正隙按该卷命题29.9仅用于共同守恒分量之外；准备失配、速度或能量坐标参数均来自同一个 $\theta$。恢复卷命题30.9运输为两种可用质量证书
$$
E^{(D^{-1})}_\theta(t)=E^{(2)}_\theta(t),\qquad
E^{(1)}_\theta(t)=\sqrt{N_v}\,E^{(2)}_\theta(t),\qquad
\|b_\theta(t)-\widehat b_\theta(t)\|_\nu\le E^{(\nu)}_\theta(t),
\tag{35.3}
$$
其中 $\nu=1$ 或 $D^{-1}$。也可使用一份直接取得、更紧而满足相同适用前提的 $\ell_1$ 证书。

固定一条仅由合法可访问 $C_{\rm acq}$ 计算的质量一预测路径 $\widehat b_0:I_T\to\mathbb R^m$。命题34.2在上述质量范数中的实例化首先给修复前的界
$$
\|b_\theta(t)-\widehat b_0(t)\|_\nu
\le E^{(\nu)}_\theta(t)+\|\widehat b_\theta(t)-\widehat b_0(t)\|_\nu.
\tag{35.4}
$$
右侧第二项是围绕所选预测的模型散布，不因第一项小而删除。以同一可行关系和同一视界定义
$$
B_\nu^T
=\sup_{\theta\in\mathcal F(C_{\rm acq})}\sup_{t\in I_T}
\left[E^{(\nu)}_\theta(t)+\|\widehat b_\theta(t)-\widehat b_0(t)\|_\nu\right],
$$
$$
E_\nu^T=\sup_{\theta\in\mathcal F(C_{\rm acq})}\sup_{t\in I_T}E^{(\nu)}_\theta(t),\qquad
M_\nu^T=\sup_{\theta\in\mathcal F(C_{\rm acq})}\|\widehat b_\theta-\widehat b_0\|_{\nu,\infty,I_T},\qquad
B_\nu^T\le E_\nu^T+M_\nu^T.
\tag{35.5}
$$
声称有限半径时，须取得这些表达式中实际使用的有限共同上界。最后一步是上界放宽，不声称误差极值与模型散布极值能在同一个世界同时达到。模型和可见初态由完整档案确定且 $\widehat b_0=\widehat b_\theta$ 时，模型散布为零；仍需履行预测的计算与访问合同。

对 $\mathcal Q\in\{\mathcal R_+,\Pi_D\}$，恢复卷命题30.7–30.8对每个固定真值 $b_\theta(t)\in\Delta_m$ 给
$$
\|b_\theta(t)-\mathcal Q\widehat b_0(t)\|_1
\le\|b_\theta(t)-\widehat b_0(t)\|_1.
$$
因此式（35.4）–（35.5）直接成为整条修复预测的界
$$
\sup_{\theta\in\mathcal F(C_{\rm acq})}\|b_\theta-\mathcal Q\widehat b_0\|_{1,\infty,I_T}
\le B_1^T,\qquad
\sup_{\theta,t}\operatorname{TV}\bigl(b_\theta(t),\mathcal Q\widehat b_0(t)\bigr)
\le\min\{1,B_1^T/2\}.
\tag{35.6}
$$
这里保留原来的 $\ell_1$ 半径，没有 $2B_1^T$ 的修复损失，也没有使用任意两份有符号输入之间的 $\ell_1$ 非扩张。若选 $\Pi_D$，该卷命题30.8–30.9还给
$$
\sup_{\theta\in\mathcal F(C_{\rm acq})}\|b_\theta-\Pi_D\widehat b_0\|_{D^{-1},\infty,I_T}
\le B_{D^{-1}}^T,\qquad
\sup_{\theta,t}\operatorname{TV}(b_\theta(t),\Pi_D\widehat b_0(t))
\le\min\{1,\sqrt{N_v}B_{D^{-1}}^T/2\}.
\tag{35.7}
$$
这要求一份公共 $D$；$\mathcal R_+$ 不继承加权 Hilbert 非扩张。式（35.6）–（35.7）的证明内容分别由既有命题34.2的三角界和恢复卷的修复／度量定理承担，不另作动力学估计。

同世界整路径的逻辑仍是
$$
\{b_\theta:\theta\in\mathcal F(C_{\rm acq})\}
\subseteq\bigcup_{\theta\in\mathcal F(C_{\rm acq})}
\{y:\forall t\in I_T, \|y(t)-\widehat b_\theta(t)\|_\nu\le E^{(\nu)}_\theta(t)\}.
\tag{35.8}
$$
右侧先固定一个世界再控制所有时间；不能将它改成任意逐时选择的候选边缘乘积。对一条已经合法定义的 $\widehat b_0$ 逐时修复可给统一路径误差，即使修复映射不满足半群律；这种函数误差也不等于两个随机过程的联合路径律距离。

**约定 35.3（有限计算、可行性与实际效果）。** 若计算输出 $\widetilde b_0$ 已认证质量一，且
$$
\|\widetilde b_0-\widehat b_0\|_{\nu,\infty,I_T}\le\varepsilon_{{\rm eval},\nu},\qquad
\widetilde z(t)\in\Delta_m,\qquad
\|\widetilde z-\mathcal Q\widetilde b_0\|_{\nu,\infty,I_T}\le\varepsilon_{{\rm rep},\nu},
\tag{35.9}
$$
则在 $\nu=1$、两种修复的情况下，或在 $\nu=D^{-1}$、$\mathcal Q=\Pi_D$ 的情况下，式（35.6）或式（35.7）的范数半径替换为
$$
A_\nu^T=B_\nu^T+\varepsilon_{{\rm eval},\nu}+\varepsilon_{{\rm rep},\nu}.
\tag{35.10}
$$
这是先在式（35.4）插入 $\widetilde b_0$、再应用相对真值的修复界、最后加入实际修复残差的同一三角界。没有要求两份有符号预测的修复结果互相收缩。质量一若因浮点误差尚未认证，须先给恢复质量一的实际操作及其误差，再进入式（35.9）；不能把带质量缺口的向量直接放入仅适用于质量一的阈值和尖锐界。

对实际概率效果 $0\le f_i\le1$，恢复卷式（30.20）给修复概率和真值的效果差至多 $\min\{1,A_1^T/2\}$；使用加权证书时为 $\min\{1,\sqrt{N_v}A_{D^{-1}}^T/2\}$。若最后输出的标量 $\widetilde v(t)$ 还满足
$|\widetilde v(t)-f^{\mathsf T}\widetilde z(t)|\le\varepsilon_{\rm dec}(t)$，则再加这一实际解码误差。投影残差小不自动证明 $\widetilde z\in\Delta_m$，一份可行数值也不自动证明可行族非空或真实世界成员资格。所有这些数值证书须可由声明权限实际取得；存在一个上确界不提供求解算法、准备手段或无条件外部截止。

### 35.3 预测、准备与可复用接口的三种输出

**定义 35.4（概率边界的三种使用合同）。** 对定义35.1的同一档案与共同来源，区分以下三种结论。

1. 概率值预测：输出 $z_C(t)\in\Delta_m$，并有同世界、同视界的概率或效果误差证书。式（35.6）–（35.10）供应这一结论；它不要求把预测向量实际制备出来。
2. 可执行准备：在已声明的准备关系 $\mathscr P_{C_{\rm acq}}$ 中给出合法操作及其实际结果，满足微观概率／态、参考关系、来源及费用条件。要求极小提升时，必须另外有 $J_\theta z_C(t)\ge0$、$R^{\mathsf T}J_\theta z_C(t)=z_C(t)$，并满足同一档案对该准备的全部限制。恢复卷式（30.13）给四点例的精确域，命题30.6给静态生成元合法而极小准备非法的严格正反例。若 $\theta$ 未确定，实际准备必须由一份基于可访问档案的共同协议实现，不能为不可区分世界暗选不同控制。全域正保参考极小提升的强要求按该卷推论30.5等价于 $B=0$；受限族的合法性可以更弱。
3. 可复用动态接口：除合法状态及准备外，还给定全体允许后续实验的同一联合路径律、干预规则、共同来源、参考／控制器关系、每步实际域以及统一缺陷和费用合同。精确替换须在实际像上运输所有相关操作与读出；近似替换须满足本卷第3–6节、第12节的合法混合链或有类型逐步误差条件。若采用 Markov 接口，还须验证其转移核及组合律；若采用有记忆接口，则保留其记忆、完整历史及相应顺序生成合同。

这三项没有从第一项自动到后两项的蕴含。恢复卷命题30.3将能量正性与实际概率正性分开，命题30.6将静态概率生成元与极小准备分开，命题30.10又在同一个 $T,t_*$ 上分别否定 $\mathcal R_+$ 与 $\Pi_D$ 修复的半群律。故修复后的每时刻概率，不能直接充当满足原过程干预规则的随机更新核。该反例没有否定一切有记忆联合过程的存在；任选一个独立乘积耦合也没有证明恢复了任务实际联合历史。

这里的精确像正性仍取定理15.3、命题15.7：若 $q$ 把实际正锥 $\mathcal C$ 送到 $q(\mathcal C)$，且 $qT=\overline Tq$ 真正成立，则每个 $q(c)$ 被送到 $q(Tc)\in q(\mathcal C)$。实际概率质量坐标 $R^{\mathsf T}p$ 的像是整个 $\Delta_m$，因为每个粗概率均有自然提升 $RD^{-1}b$。恢复卷的四点静态预测离开这个实际像，所以它没有满足该精确下降前提，并非定理15.3的反例。对带符号的可逆表示 $E$，状态锥应运输为 $E(\mathcal C)$，效果同时运输为 $f\circ E^{-1}$；只看坐标符号不能改变合法性。

一个紧凑的联合表提醒是
$$
W=\begin{pmatrix}-1/4&3/4\\3/4&-1/4\end{pmatrix}.
$$
四格和一，两种边缘均为 $(1/2,1/2)$，但联合表仍有负格。上述事实只需逐行逐列求和，不提供这个有符号表的实际正联合实现。一般有符号切片甚至可以总质量零而各格非零，例如 $(1,-1)$，不能据此作条件除法。概率值边缘、正联合实现与合法条件化分别需要各自的域条件。

### 35.4 量子逆表示、参考与实际取得

**约定 35.5（有符号逆的任务及记录边界）。** 恢复卷定义30.11、定理30.12固定已知 $0<\lambda\le1$、全部 qubit CPTP 单位价格字典、有限实系数和一份共同线性恢复，得到确切表示成本 $\lambda^{-1}$ 及负系数质量 $(\lambda^{-1}-1)/2$；其显式对偶 $\ell(\Phi)=\operatorname{Tr}[X\Phi(\rho_+)]$ 对整个字典有效。应用时必须保留这些量词。整个实际输出椭球上的同一线性恢复与全 Hermitian 任务等价，已由该定理后的仿射内部论证承担；一份已知准备态或仅对角任务可以成本一。

若允许惰性参考 $R_{\rm ref}$，状态须是声明域中的联合态，效果须是同一合法联合实验的 $0\preceq F\preceq I$；采用 $[-1,1]$ 读数时则指定相应有界可观测量。全线性等式可以张量恒等运输：
$$
(\mathcal D_\lambda^{-1}\otimes\operatorname{id}_{R_{\rm ref}})
(\mathcal D_\lambda\otimes\operatorname{id}_{R_{\rm ref}})(\rho_{SR_{\rm ref}})
=\rho_{SR_{\rm ref}}.
\tag{35.11}
$$
这条代数等式在实际正像上恢复合法联合态，但没有把 $\lambda<1$ 时的逆变成全域 CPTP 操作。实际有符号估计使用恢复卷命题30.13的非负调用概率 $|a_j|/\Gamma$ 与带符号权重，必须能够执行各原子、取得指定输入和效果的真实样本，并保留制备与参考访问条件。其 $\Gamma^2$ 二阶矩上界只属于这一协议，不是普遍样本或方差下界。未知参数、变价格、受限字典及适应性任务不能从这个代价公式跳过校准或新任务论证。

量子分支的 $\theta$ 是由本卷第11–12节的共同联合态、仪器、活动记忆、参考及实际控制历史定义的合法实验实现。它不为互不相容的所有反事实测试同时指定经典取值。已执行实验的旗标与记录仍属于 $C_{\rm acq}$，成功后的条件化只在有正概率及所需共同下界时使用；失败信息不得删去。[量子实在卷定理222.1–222.2](QUANTUM-REALITY.md)已经区分相同约化相位阻尼、不同环境实现和不同可读记录。恢复约化线性映射不确定观察者实际已取得哪些环境知识，也不恢复被摘要丢弃的来源档案；访问这些记录须另给其共同实现与合法操作。

形式逆 $\mathcal D_{-t}$ 与其有符号系数在此只服务于指定恢复或估计任务，不给逆向因果推断。由旧档案计算新的预测视图也不是取得未来样本。本节把有限隐藏关系、实际概率域和可执行／可组合使用条件接回第34节，适用范围不包含由尺度消元推出物理负时间、负能量或所有反事实的共同经典概率空间。

## 35.99 追加锚

## 36. 编码的离散限制、完成接口与完整已获观察者

本节接回[恢复卷§31](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_RECOVERY_GEOMETRY.md)的全 $k$ 共同生成器。定量矩阵、两种精确容量、一步计数收缩、短窗口误差、全加指数和换码障碍均由该节一次证明；这里说明它们在同一实际来源、相容读数和合法获取历史中何时可使用。第35节保留实际正域与可操作性的独立职责。本节继续关系空间、时序、边界和记忆相互恢复的研究，不把一种编码模型当成全计划的终点。

### 36.1 三种限制箭头及其相容数据

**定义 36.1（词、概率与完整量子输出的三层接口）。** 对每个固定有限 $k\ge2$，沿用恢复卷定义31.1、命题31.3和31.11的 $X_k,\mathcal W_n^{(k)},\lambda_k,\mu_k,H_n,\rho_{k,n}$，其中 $X_k$ 为全部不含 $1^k$ 的单侧无限二元串，坐标从零开始。令 $q_n:X_k\to\mathcal W_n^{(k)}$ 取最先 $n$ 位，$q_0$ 为空词。三种限制分别为
$$
\begin{aligned}
b_n &: \mathcal W_{n+1}^{(k)}\to\mathcal W_n^{(k)},&&b_n(wa)=w,\\
\mathsf m_n &: \operatorname{Prob}(\mathcal W_{n+1}^{(k)})\to\operatorname{Prob}(\mathcal W_n^{(k)}),&&
(\mathsf m_n p)(w)=\sum_{a:\,wa\text{ 合法}}p(wa),\\
\mathsf t_n &: \mathcal D(H_{n+1})\to\mathcal D(H_n),&&\mathsf t_n(\rho)=\operatorname{Tr}_{B_{n+1}}\rho.
\end{aligned}
\tag{36.1}
$$
$\mathcal D(H)$ 表示完整 $H$ 上的密度矩阵。量子层保留全部 $2^n$ 个基标签；本族仅在非法词的行列为零。一般密度的计算基对角先落到全部二元词的概率单纯形，只有支撑于合法词时才落到式（36.1）的合法词概率层。记此对角操作为 $\mathsf d_n$，则在相应支撑域上
$$
b_nq_{n+1}=q_n,\qquad
\mathsf m_n\mu_{k,n+1}=\mu_{k,n},\qquad
\mathsf t_n\rho_{k,n+1}=\rho_{k,n},\qquad
\mathsf d_n\mathsf t_n=\mathsf m_n\mathsf d_{n+1},\qquad
\mathsf d_n\rho_{k,n}=\mu_{k,n}.
\tag{36.2}
$$
这里 $\mu_{k,n}(w)=\mu_k[w]$。第一式来自删除前缀末位；概率及量子式的全矩阵证明在恢复卷命题31.3，含非法前缀与 $n=0$。这组方块没有把三种对象认成同一个类型。特别是相容密度族是已发出前缀的约化族，不是把每一步正在演化的活动记忆也当成不变的逆系统坐标。

词空间与这些额外结构的供应关系有确定归属。[主卷§132.3.3](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)已给全 $k$ 合法串的逐位共同实现；[Q123.3、命题124.2和124.13](CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_QUANTUM.md)分别负责有限支持缺失线程、$k=2$ 前缀拓扑／稠密性和实际像加层间相容的区别。Q125.1–125.5拥有 $k=2$ 全输出态与完成代数，Q130.1拥有二维共同记忆及纯顺序最小性。这里使用恢复卷的全阶扩展，不重复这些通用与 $k=2$ 证明。

**应用 36.2（指定前缀距离下的完成识别）。** 令 $X_{k,\rm fs}\subset X_k$ 为最终全零的合法串，$J(x)=(q_nx)_{n\ge0}$。对 $x\ne y$ 置
$$
p(x,y)=2^{-\min\{j\ge0:x_j\ne y_j\}},\qquad p(x,x)=0.
\tag{36.3}
$$
在主卷§132.3.3的既有识别 $X_k\cong\varprojlim\mathcal W_n^{(k)}$ 下，前缀读数联合分离且每个相容线程具有同一个实现：线程的第 $j$ 位取自长度 $j+1$ 的前缀，相容性保证更长层不改它；若所得串含 $1^k$，某个有限前缀就不合法。反过来每个合法串给这一线程。因此可直接使用 [InverseLimitCompletion.stateThread_bijective_iff_complete_and_separates](../../../D5/S3/ConceptDynamics/RefinementGeometry/InverseLimitCompletion.lean)；[LocalGlobalAtlasExactness.local_global_atlas_exactness](../../../D5/S3/ConceptDynamics/RefinementGeometry/LocalGlobalAtlasExactness.lean)把同一条件写成核为对角、线程像为全部。这两条是 Type 层的分离／共同实现判据，本身没有拓扑完成的结论。

拓扑部分需保留距离刻度。[主卷定义91.1、式（91.2）](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)按首个不同的“层”定义线程距离，而 $q_0$ 恒为空，故首个不同位为 $j$ 时首个不同层为 $j+1$。精确地，
$$
d_{91}(Jx,Jy)=\tfrac12p(x,y),\qquad
\widetilde d:=2d_{91}\quad\Longrightarrow\quad
\widetilde d(Jx,Jy)=p(x,y).
\tag{36.4}
$$
相等串两边均零。若未重标号或乘二，只能说同拓扑及比例相似，不能称按式（36.3）等距。主卷定义91.1已经给出观察商的完成为 $\overline{J[X]}$；等于整个逆极限还需要此像稠密。这里每个合法有限词补零仍合法，故所有有限实际像都等于 $\mathcal W_n^{(k)}$。Q124.13的有限实际像稠密判据可直接使用：线程的基本邻域只约束有限多层，选择最大受限层的实际代表便同时满足较小层。于是 $J[X_{k,\rm fs}]$ 稠密，按重标距离 $\widetilde d$ 的完成正好为 $(X_k,p)$。

同一个结论也可用截断 $\tau_Nx$ 验证所需稠密性：保留前 $N$ 位后补零不制造禁词，且 $p(\tau_Nx,x)\le2^{-N}$。全部合法串在二元乘积中闭，因此在此首差距离下紧且完备；这使用 Q124.2的既有前缀构造，把禁词从 $11$ 换成 $1^k$。有限支持域自身缺共同实现：Q123.3的交替串 $1010\ldots$ 对所有 $k\ge2$ 均合法，每个有限前缀可补零实现，却无同一个最终全零的串实现全部层。此例说明“每层有实际代表且相互相容”与“有原类型中的共同代表”仍不同；各层分别有代表而不相容，连线程也不是。

离散前缀和完成对象可据此称为同一关系的有限限制与相容整体，或一个声明清楚的体／边界接口。对有限观察 $q_N$，其纤维通常仍有许多整体，不能从一个有限边界凭空恢复全部层；对全层族，唯一性和存在性刚好是上述两项条件。这一识别不赋予任何概率。根 Perron 柱律是额外的相容权重；恢复卷的 Gram 数据和等距又是相干结构的额外选择。完成字符串本身既不产生 Born 规则，也不选定实际发生的历史。

### 36.2 允许操作的精度运输与实际读数

**接口 36.3（换精度的后续操作合同）。** 若要在上述表示上实现实际操作 $T:X_k\to X_k$，允许声明非负整数函数 $m(n)$ 及有限映射
$$
\overline T_n:\mathcal W_{m(n)}^{(k)}\to\mathcal W_n^{(k)},\qquad
q_nT=\overline T_nq_{m(n)}\quad(n\ge0).
\tag{36.5}
$$
该式要求每个 $q_{m(n)}$ 纤维中的状态在操作后有相同 $n$ 位输出；若成立，$\overline T_n$ 在全部实际像上良定。反之这种纤维不变性给唯一映射。因为合法有限词全可补零，不能以不实际的标签填补矛盾。对同一个 $T$，两层式（36.5）经限制给一致输出；若从候选 $\overline T_n$ 反构 $T$，则须在每个输入上核对该一致性，再用应用36.2的共同实现，不能仅凭各层有函数就拼成动力学。

一个具体例子是位置删除 $\sigma x=(x_{j+1})_j$：$m(n)=n+1$，$\overline\sigma_n$ 删除输入前缀的首位。这不同于式（36.1）删除末位的限制箭头，也不同于 Zeckendorf 算术后继。在 $k=2$ 的 Zeckendorf 载体 $X_2$ 上，主卷定理20.5、20.7、20.9已经证明算术后继的行程复杂度和零熵，以及位置删除的 $\log\phi$ 熵；这里的数值熵比较限定于 $k=2$，编码载体相同不消去操作差别。

对连续 $T$，紧性保证每个有限输出 $q_nT$ 可由某个有限输入深度决定：各点附近有使这个有限值恒定的前缀柱，取有限覆盖并取最大深度即可。这只提供数学上的某个 $m(n)$；没有给其可计算性、最小值或代价。实际接口须写出可使用的 $m(n)$、需要取得哪些来源的读数、阈值计算、动作合法性、费用及顺序。若 $T$ 只定义在有限支持核心，向完成载体延拓还须满足已有 Q124 的连续性条件；恢复卷命题31.14的保 Zeckendorf 数值到 $\mathbb Z_2$ 映射因奇偶障碍就不具备它。即使某种映射连续可表示，恢复卷命题31.11–31.13仍分别约束保律性、总连续公平位采样和实际读位预算。

一组相容值作为数学对象可被指定，不表示观察者已经取得全部值。只有其所需读数已通过真实来源和合法历史供应，它才能作为当前可用的新观察对象。全层规则、实际有限读数、读取一个新层的操作是不同资源。层的起点是分析坐标的声明；本节不从此前缀模型推出物理的首层、自动自相似、所有时间均为幻觉或完成化就是概率。

### 36.3 完整档案、共同参考与一个继续运行的记忆

**定义 36.4（本模型的完整获取合同）。** 沿用定义13.1、命题13.2、定义13.3、约定15.1及定义35.1，$C$ 保留全部已获、带来源身份的内外记录和已取得的关系，$H_t$ 保留 $C$ 及到时刻 $t$ 的完整合法历史。它包括准备、共同来源、相位及其它校准、允许的动作和次序、各局部钟读数及共同约束、误差合同、失败、停止和已有结果。活动记忆 $M$ 是当前任务的一个工作端口；已发出而尚相干的寄存器和可访问量子参考 $R$ 仍作为量子系统保留，不给互不相容测试预填经典取值。非正交标签 $m_i$ 不是一份可随意复制的经典档案，相关限制见定理11.15。

使用按 $c$ 条件化的态公式时，明确假设经典档案有正则条件核，例如 $C$ 取标准 Borel 值，实际模型给可测密度核 $c\mapsto\sigma_{MR\mid c}$；有限维量子端口采用第11节约定。也可直接以已有的实际联合 cq 态和对应仪器陈述，而不对无正则条件的零质量单点任意写态。根准备所需的是对几乎每个允许 $c$，实际满足
$$
\sigma_{MR\mid c}=|m_0\rangle\langle m_0|\otimes\tau_{R\mid c},
\qquad
\text{每个新空白均为与当时全部联合系统独立的 }|0\rangle\langle0|,
\qquad W\text{ 在各轮固定}.
\tag{36.6}
$$
$k$、基、相位和 $W$ 在此比较中固定；若它们随校准档案变化，须先给逐纤维的明确识别再使用相应公式。式（36.6）不要求档案各部分或 $C,R$ 彼此独立；它要求当前根记忆与参考在给定完整档案后确为所写纯积准备。法定动作的先后关系也不蕴含这项概率独立。

若实际准备不满足式（36.6），应以真实 $\sigma_{CRM}$ 开始，在保留 $C,R$ 的联合系统上应用 $I_{CR}\otimes W$ 并继续计算。记忆的边缘、旧来源标签或部分档案相同都不能授权插入一个独立根态。第11节的历史仪器、有限梳和参考规范提供这种共同实现的类型；第13节负责完整已获关系，第15节负责有扰动、反馈时的实际联合核。它们不是由本编码模型替代的新通用过程理论。

**命题 36.5（计算基获取的条件追加律）。** 在定义36.4及式（36.6）的真实准备下，若已按计算基获得合法前缀 $w$ 并保留它，且生成继续使用同一个 $W$，没有其它记忆干预，则对任意有限续词 $v$，
$$
\Pr(v\mid C=c,w)
=\mathbf1_{wv\text{ 合法}}\lambda^{-|v|}\frac{r_{i(wv)}}{r_{i(w)}}.
\tag{36.7}
$$
这是几乎每个 $c$ 上的正概率分支合同。获得 $w$ 后的活动记忆为 $|m_{i(w)}\rangle\langle m_{i(w)}|$，参考条件态仍为 $\tau_{R\mid c}$；档案则扩充为 $(C,w)$，不能用这个记忆态替换它。

证明。恢复卷式（31.9）的 $w$ 分支为 $\sqrt{\mu_k[w]}\,m_{i(w)}$。给定 $c$，参考因实际积准备独立于该生成分支，因此测得 $w$ 后保持 $\tau_{R\mid c}$。合法 $w$ 的根质量正；同一单 Kraus 仪器连续应用到 $v$，各步振幅平方中的 $r$ 因子望远镜相消，得式（36.7），非法分支为零。等价地由同一个根联合律取比 $\mu_k[wv]/\mu_k[w]$；两种计算使用的是同一准备与同一历史，不是分别选出的边缘律。$\square$

例如前缀 $0$ 与 $00$ 都留下 $m_0$，但已获长度、输出记录、发生事件及费用不同。工作记忆只对所声明的未来生成任务充分；即使该任务今后精确闭合，也不恢复被它省略的完整已获观察者。若控制器会依据旧前缀选动作，就必须保留其访问档案，不能以末态相同合并控制器情境。这与命题15.8的来源档案区别及第35节的实际可行族语义一致。

### 36.4 相干端口实验、参考安全与有限窗口使用

**命题 36.6（固定生成下的输出实验及联合误差运输）。** 固定有限时域 $n$，在定义36.4的同一真实联合准备上，后续生成始终只对 $M$ 和新鲜空白使用相同 $W$。允许 tester 对已经发出的端口、它自己的保留系统及允许参考施加仪器，保留全部结果；允许根据先前结果选择后续输出仪器，但这些选择不反馈改变生成器、空白或活动记忆。则这些实验的完整结果律可在先生成全部 $n$ 个输出后的同一联合态上计算。

若两种实现具有共同档案／参考类型、相同控制器和相同允许 tester，且其实际联合输入态（含 $C,R$ 和所有被测试输出）的半迹距离不超过 $\eta$，则所有这种保留完整记录的保迹 tester 的输出距离不超过 $\eta$，最终经典结果的 TV 也不超过 $\eta$。有限经典档案可直接写 cq 矩阵；一般标准 Borel 档案使用同一条件核的可积分块及对应联合范数。仅输出边缘的距离界不具有任意参考安全性。

证明。给定一条未归一化仪器分支，已发出端口上的分支映射与下一步作用于 $M$、新空白的等距通道作用在不交因子，因此作为张量线性映射交换。已有端口与记忆即使纠缠也不影响这个代数等式。把各输出分支逐次移到全部生成之后，保留其未归一化权重，就得到相同联合分支。自适应仪器沿每条已记录历史固定分支，再对所有历史求和；因为未来 $W$ 和空白没有反馈变化，仍可这样移动。归一化条件态只在最后按该支真实概率取得，不能在中途忘掉选择权重。

完整 tester 含全部结果旗标时为 CPTP，直接应用本卷引理10.6及定义11.18的历史接口即可；经典终端测量后迹距离就是 TV。该引理允许不同有限维输入输出并保留参考，已有 [FiniteTraceDistance.traceDistance_contract](../../../D5/S3/Quantum/Foundation/FiniteTraceDistance.lean)是同型载体供应，不将它的原声明范围扩大冒领。可积 cq 条件块的版本逐块应用同一界并积分。相反，令 $C$ 公平，一份二元输出等于 $C$，另一份输出与 $C$ 独立公平，则输出边缘相同，联合 TV 为 $1/2$；所以输出零误差本身不能控制有权读取 $C$ 的 tester。$\square$

后选择还需要成功率。若相同分支的次归一化态为 $X,Y$，概率 $p,q\ge s>0$，则
$$
\left\|X/p-Y/q\right\|_1
\le\frac{\|X-Y\|_1+|p-q|}{p}.
\tag{36.8}
$$
因此联合距离至多 $\eta$ 时，利用同一不增迹分支的 $\|X-Y\|_1\le2\eta$、$|p-q|\le2\eta$，得到保守的条件半迹距离上界 $2\eta/s$。若没有成功概率下界，小的未条件化误差不能保证小的归一化分支误差。失败旗标和其概率属于完整实验，不因选中成功而删除。

在式（36.6）下，同一独立档案／参考准备可接到两种比较输出上：根相干输出为 $\rho_{k,n}$，乘积比较输出为 $p_n$。给定同一个 $c$，二者共同张量 $\tau_{R\mid c}$ 不改迹距离，保留共同 $C$ 后积分也不改。因此恢复卷定理31.8的
$$
D(\rho_{k,n},p_n)\le\sqrt{4n2^{-k}/3}\quad(0\le n<k)
\tag{36.9}
$$
可在这一真实共同独立合同下控制命题36.6的全部输出 tester。若档案或参考与输出具有别的实际相关，须先证明它们的联合界，不能把式（36.9）自动提升。恢复卷命题31.7的均匀长词弃尾误差也只有在同样声明联合准备后才具有这种使用方式。有限窗口 $n$、弃尾长度 $m$ 和阶数 $k$ 分别占不同坐标。

反过来，恢复卷命题31.9和定理31.10已说明：每个固定有限 $k$ 的全部时域上并无趋零的统一乘积近似，完成 UHF 态的半泛函距离为一；指定全加概率和到最大有限距离的缺口按 $\log2-\log\lambda_k$ 衰减。它们比较的是约定输出实验，既不推导近似活动记忆下界，也不声称任意仪器的秩下界。

全加实验需保持相干端口和共同可访问相位参考。依命题36.6，可对每个已发出的 qubit 顺序测量同一加减基，并保留所有结果；全加支概率正是恢复卷式（31.33），不需直接访问活动记忆。若输出已不可逆地变成可区分计算基记录，约化输出已退相干，同一实验概率改为恢复卷式（31.41）的 $2^{-n}$。能否在更大联合系统中恢复相干需另有实际访问和操作证明，不能只因为写过一个相同的经典词律就恢复它。[EnvironmentRecords](../../../D5/S3/Quantum/EnvironmentRecords.lean)的记录重叠公式及[量子实在卷定理222.1–222.2](QUANTUM-REALITY.md)正是此区别的来源；相同约化通道也不能确定观察者已取得哪些环境知识。

记忆干预、结果反馈改变 $W$、相位重置、共享隐藏环境、择时停止生成或未记录后选择不属于命题36.6的上述交换论证。应按定义11.5、11.8–11.11的有限梳、共同初态和历史仪器给实际扩大模型，再评价允许任务。仅知道所有未干预输出族相等，不能由此取得这些能力。

### 36.5 条件档案下的换码与重复试验资源

保律换码在完整观察者中是一个联合任务。对每个档案值 $c$，若实际条件输入正是恢复卷命题31.11的 $\mu_l$，所要求的条件目标正是 $\mu_k$，并且 $F(c,\cdot)$ 总连续确定，则其域包含必要条件适用。若只要求无条件输出律相同、或 $c$ 已携带相关随机选择信息，不能把这个条件结论未经检查施加到每个纤维。恢复卷命题31.12给至多 $M$ 个公平位的第一边缘误差；其“公平独立”必须在给定完整已获 $C$ 后成立。档案中已有的随机性是资源，删除其来源后再称采样器只用 $M$ 位会改变问题。

对实际目标首位零概率 $p_c$，应使用 $\min_j|p_c-j/2^M|$；这类条件界的平均只在保留 $C$ 的共同联合任务中有相应含义，不自动下界无条件 TV，恢复卷已给混合抵消的反例。阈值可测采样几乎处处逐前缀终止，也不承诺统一位数、统一计算时间或输入来源相关性的恢复。加随机核和添加档案读取权限都应连同取得合同计费，而不是从完成对象存在性推出采样器可执行。

**推论 36.7（实际独立完整准备下的重复全加试验）。** 固定 $k\ge2,n\ge1$。在完整档案和实际参考合同下，另有 $N$ 次长度 $n$ 的完整根准备，每次内部使用同一个继续运行的 $M,W$；各次输出的联合态实际为这些声明准备的乘积，或给定完整 $C=c$ 后实际条件独立且每次成功概率均为同一个 $f_{k,n}$。所有试验具有所需共同相位校准与相干输出访问，各次新准备的资源已供应，不把同一未重备记忆上的相邻窗口假装成独立试验。则至少一次全加的概率为
$$
\Pr(\text{至少一次全加})=1-(1-f_{k,n})^N.
\tag{36.10}
$$
给定固定失败容限 $\delta\in(0,1)$，该协议达到成功率至少 $1-\delta$ 的最小整数试验数为
$$
N_{\min}=\left\lceil\frac{\log\delta}{\log(1-f_{k,n})}\right\rceil,
\qquad
N_{\min}\sim\frac{\log(1/\delta)}{C_k}(2/\lambda_k)^n
\quad(n\to\infty,\ k\text{ 固定}).
\tag{36.11}
$$

证明。合同中的实际独立性使全部失败概率为 $(1-f_{k,n})^N$；条件版本在每个合法 $c$ 上给同一数值，积分后不变。恢复卷定理31.10给 $f_{k,n}>0$。$n\ge1$ 时该密度秩至少二，所以在一个秩一投影上的概率严格小于一；故对数有限且负，解失败率不等式得到整数式。固定 $k$ 时 $f_{k,n}\to0$，$-\log(1-f)/f\to1$，再用恢复卷式（31.35），得到渐近式。$\square$

这是这个独立重复协议的成本结论，不是所有区分策略或所有实验的普遍试验数下界。若实际协议在首次成功时停止，可在上述可供应的 $N$ 次独立准备合同内截断，成功概率仍为式（36.10）；须保留此前所有失败、停止时刻、发生的动作及已消耗资源，不能只交成功样本。若根本没有这些独立准备，推论不适用。$n=0$ 的空全加事件恒真，不属于式（36.11）的对数成本情形。

### 36.6 同一关系网络的范围与继续研究接口

现在能够连起的箭头是：合法有限读数经相容和密度条件接到完成载体；根权重接到经典概率；额外 Gram／相位／准备结构接到完整量子输出；同一活动记忆接续所有有限历史；合法 tester 在同一档案和参考合同上读取这些输出。各箭头的可恢复性取决于其纤维、共同实现、访问权限和精度预算。一个层的输出可以在下一个任务中作为内部输入，多个档案可以交叠共享来源；没有哪一个层因为编号较小而自动成为优先本体。

这一结构保留离散与完成的体／边界解释，也保留观察者包含全部已获信息的要求。共同记忆只是其中一条工作接口，不是观察者的替身。局部钟的次序和联合约束依第13节及第30–32节的合同保留；发射编号、精度深度、尺度参数和物理时间并不因此同一。移动或动作若改变可取得的信息，应体现为历史、访问端口或联合仪器改变，不能通过给同一个参数换名字处理。波、频率、粒子式编码、层叠与分形仍要分别给可检验的动力学、谱、共同来源和尺度条件；本节没有从编码名称推出物理波粒二象性。

后续仍需研究的接口包括：具体可用门集下的精确／近似准备及计价；在保留真实档案与量子参考时，允许干预族的误差与最低资源；超出 $k=2,3$ 域次数反例后的保律运输充分条件。它们保持原任务和完成判据，不被本节有限模型的证明替代。本次是既有研究网络的一段源卷进展；全部结论为所写假设下的普通数学推导，不宣称新增形式核验、完整物理统一或持续计划完成。

## 36.99 追加锚

## 37. 有限循环的合法边界、联合来源与世界实现

### 37.1 完整档案上的同一实际律与局部运输

**定义 37.1（有限循环的完整观察合同）。** 沿用定义35.1的完整档案可行族，以 $H$ 固定全部已获的内部／外部记录、来源及其关系、参考、各局部钟与联合顺序、校准及误差证书、准备、允许操作和已经取得的费用信息。声明一个非空的世界—概率律可行关系及其中的实际律 $\rho$；可行关系同时约束记录解释、来源相关、策略和干预。定义36.4中档案、活动记忆和外部参考的区别继续适用：当前循环、成对表或解码律只是该观察者使用的任务视图。本节是经典有限模型，不附加式（36.6）的编码专用纯根准备；量子参考仍需原来的联合态合同，不能替不相容实验填入共同经典值。

给合法世界集 $W_H$ 和标签映射 $\lambda$，实际标签律为 $P=\lambda_*\rho$。仅有 $W_H$ 与 $\lambda$ 不规定允许哪些概率律。也可直接声明一个实际标签律 $P$，把其世界提升留作额外前提；分别供应的边缘表相容不证明已经存在这一个 $P$。以下所有比较均固定同一 $H$ 和一份声明实验。

令 $n\ge3$，各 $B_i$ 有限非空，$h_i:B_i\to B_{i+1}$ 为双射，指标模 $n$。给节点概率 $\mu_i$，要求包括闭合边在内的 $(h_i)_*\mu_i=\mu_{i+1}$，并要求同一实际联合律的 $X_i$ 边缘为 $\mu_i$。定义
$$
U_0=\mathrm{id},\quad U_j=h_{j-1}\cdots h_0,\quad
B=B_0,\quad \mu=\mu_0,\quad g=h_{n-1}\cdots h_0,
\quad Y_j=U_j^{-1}X_j.
\tag{37.1}
$$
于是 $g_*\mu=\mu$，每个 $Y_j$ 的边缘均为 $\mu$。内部理想关系为 $Y_{i+1}=Y_i$，闭合关系为 $Y_0=gY_{n-1}$；闭合成对表始终按 $(Y_{n-1},Y_0)$ 排列。坐标变换是原子的双射重标，保持 TV；坐标含义和来源是接口的一部分。下文仍以 $P$ 表示运输后的同一联合律。

对已声明 $S\subseteq B^n$，置
$$
\mathcal C_S=\{P\in\operatorname{Prob}(B^n):P(S)=1,
\ (Y_j)_*P=\mu\text{ 对每个 }j\},\qquad
\mathcal C_{B^n}\text{ 为无限制支撑类}.
\tag{37.2}
$$
这是仅限制支撑及节点边缘的比较类。更强的概率准入类可以非凸；任何应用都须有实际成员，且须准入所用的具体构造。逐标签有合法元组并不保证某个联合律被准入。

换锚点到节点 $j$ 时，闭路置换变为 $U_jgU_j^{-1}$，节点律变为 $(U_j)_*\mu$，所以轨道质量及移动质量不变；锚只是参考选择。[主卷命题133.1](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)在同一来源、相等观察核及完整实际像上给规范双射和余循环律，那种闭路的 holonomy 为恒等。本节非平凡 $g$ 描述另行提出的局部兼容关系或声明操作，不反驳该供应结果。编码重置矩阵不必可逆，不能充当这里的 $h_i$。本节“割”只表示省去一条循环边，与第13节的因果序理想割不同。

### 37.2 所有相位合法的割与精确预算

**定理 37.2（合法总误差面）。** 使用[恢复卷定理32.3](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_RECOVERY_GEOMETRY.md)的完整分类、固定对角 $D(x)$ 和单割元组 $T^k(x)$。对正质量移动轨道 $O$，令
$$
L_{O,k}=\{x\in O:T^k(x)\in S\},\qquad
K_O=\{k:L_{O,k}=O\},\qquad w_O=\mu(O).
\tag{37.3}
$$
$\mathcal C_S$ 含总误差为 $a=\mu(\{x:gx\ne x\})$ 的律，当且仅当每个正质量固定点的 $D(x)$ 合法，且每个正质量移动轨道满足 $K_O\ne\varnothing$。此时全部这类律组成
$$
\mathcal F_S=\prod_O\Delta(K_O),\qquad
\dim\mathcal F_S=\sum_O(|K_O|-1).
\tag{37.4}
$$
没有移动轨道时乘积是一点；零质量轨道不附加条件。对更强准入类，式（37.4）只是容纳其最优律的支撑面，还须取交集并检查成员资格。

证明。恢复卷定理32.3说明每一正轨道的割列质量在所有相位上相同；若该列正，就在 $O$ 的每个 $x$ 使用 $T^k(x)$，故必须 $k\in K_O$。固定点的质量不能移动到其他标签，故对应对角必须合法。反过来，每轨道任选 $K_O$ 上的概率，配以必需的固定对角质量，即得合法且边缘精确的最优律。移动元组的 $(x,k)$ 唯一，因而这些概率坐标无额外识别；各因子的维数相加。$\square$

**定理 37.3（最优面上的加权 Hall 预算）。** 假设定理37.2的面非空，给有限 $\varepsilon_k\ge0$。在 $\mathcal F_S$ 中存在每边误差不超过 $\varepsilon_k$ 的律，当且仅当对任意正质量移动轨道子集 $A$ 有
$$
w(A):=\sum_{O\in A}w_O\le\sum_{k\in N(A)}\varepsilon_k,
\qquad N(A)=\bigcup_{O\in A}K_O.
\tag{37.5}
$$
等价的分配是 $z_{O,k}\ge0$、$k\notin K_O$ 时为零，且
$$
\sum_kz_{O,k}=w_O,\qquad \sum_Oz_{O,k}\le\varepsilon_k.
\tag{37.6}
$$
若 $a>0$，面内最小最大边误差为
$$
\min_{P\in\mathcal F_S}\max_k\delta_k(P)
=\max_{\varnothing\ne A}\frac{w(A)}{|N(A)|}.
\tag{37.7}
$$
分母均正；$a=0$ 时值为零。

证明。恢复卷的误差投影为 $\delta_k=\sum_Oz_{O,k}$。将 $A$ 的行求和即得必要性。充分性用有限网络：源到 $O$ 的容量 $w_O$，每条允许的 $O\to k$ 容量 $C=a+\sum_k\varepsilon_k+1$，$k$ 到汇的容量 $\varepsilon_k$。实容量可行流集合非空、闭且有界，因此流值取得最大值。若最大值 $v<a$，其残量网络没有正容量的源汇路径，否则沿该有限路径加其最小正残量即提高流值。令 $A,J$ 分别为源可达的轨道和割节点。每条中间弧流量至多 $a<C$，所以 $N(A)\subseteq J$。从可达集到不可达集的弧饱和，反向跨割弧流量为零；对可达节点守恒求和，得到
$$
v=w(\text{全部轨道}\setminus A)+\sum_{k\in J}\varepsilon_k<a.
$$
这给 $w(A)>\sum_{k\in J}\varepsilon_k\ge\sum_{k\in N(A)}\varepsilon_k$，违背（37.5）。故有满值 $a$ 的流，饱和各轨道供给而给出（37.6），再用定理37.2构造律。令所有容量 $\varepsilon_k=t$，Hall 条件恰为 $t\ge w(A)/|N(A)|$，得到（37.7）。$\square$

这是 Ford–Fulkerson 的成熟流机制在本有限分配中的应用[^rroctx37_flow]。证明只用实流的紧性和最大流的残量割，不声称任意无理容量的逐次增广会终止。[RationalSTCutCertificate.lean](../../../D5/S0/Certificates/RationalSTCutCertificate.lean)负责已供应有理流／割证书的会计、弱对偶与可靠检查，不供应此实容量存在性或一个流生成器。

**命题 37.4（超额预算不能只查最优面）。** 若 $\sum_k\varepsilon_k=a$，任一满足预算的 $P\in\mathcal C_S$ 由恢复卷定理32.1被迫属于 $\mathcal F_S$，故 Hall 亦是全类的判据。若预算总和大于 $a$，这个结论不成立。

证明及反例。取 $n=3$、$B=\mathbb Z/3\mathbb Z$、$g(x)=x+1$、均匀 $\mu$，仅允许
$$
T^0(x)=(x,x-1,x-1),\qquad U(x)=(x,x,x+1).
\tag{37.8}
$$
仅割 $0$ 的全部相位合法。两族各自的均匀律都保留所有节点边缘，误差分别为 $(1,0,0)$ 与 $(0,1,1)$；其半混合误差为 $(1/2,1/2,1/2)$。对应预算的面内 Hall 要求 $1\le1/2$，不成立，但这份总误差 $3/2>a=1$ 的实际律满足预算。第一项由 $a\le\sum_k\delta_k\le\sum_k\varepsilon_k=a$ 直接得出。$\square$

### 37.3 更强概率准入的障碍与固定多面体替代

**命题 37.5（凸性、逐点合法与共同割仍不足）。** 恢复卷定理32.7、定义32.10和定理32.14的输出属于 $\mathcal C_S$；它们不因逐元组合法或准入类凸而自动属于更强类。即使全部共同割混合已准入，依轨道修复仍可能不被准入。

证明及反例。二元翻转三角形中让全部元组合法，却只准入独立均匀乘积律构成的凸单点类。它的三边误差都是 $1/2$，所以预算 $(1/3,1/3,1/3)$ 不可行，尽管预算和等于 $a=1$。这里缺失的是割律的准入。

再取 $n=3$、$g=(01)(23)$、均匀 $\mu$，令 $\mathcal F_c=\operatorname{conv}\{P^0,P^1,P^2\}$，$J$ 为独立均匀乘积。令 $Q_*$ 在轨道 $\{0,1\}$ 选割 $0$，在轨道 $\{2,3\}$ 选割 $1$。对共同割混合 $Q_\pi$，重叠质量为 $(\pi_0+\pi_1)/2$，故 $\operatorname{TV}(Q_*,Q_\pi)\ge1/2$。置
$$
\varepsilon=1/100,\quad P_\varepsilon=(1-\varepsilon)Q_*+\varepsilon J,
\qquad \mathcal A_\varepsilon=\operatorname{conv}(\mathcal F_c\cup\{P_\varepsilon\}).
\tag{37.9}
$$
所有成员节点边缘相同。$Q_*$ 的误差是 $(1/2,1/2,0)$，$J$ 的误差是 $(3/4,3/4,3/4)$，所以 $P_\varepsilon$ 的误差及剩余量为
$$
(201/400,201/400,3/400),\qquad R(P_\varepsilon)=1/80.
\tag{37.10}
$$
$R$ 在这同一固定节点类上非负且仿射，故 $\mathcal A_\varepsilon$ 的零面恰为 $\mathcal F_c$。三角不等式与 $\operatorname{TV}(P_\varepsilon,Q_*)\le\varepsilon$ 给
$$
\operatorname{dist}_{\rm TV}(P_\varepsilon,\mathcal F_c)\ge49/100.
\tag{37.11}
$$
无限制支撑时 $M_{\max}=1/2$，恢复卷（32.18）的界为 $2R=1/40$；可见其构造不能直接作为此更强类的成员。$\square$

**命题 37.6（一个固定紧凸类没有线性剩余量界）。** 在命题37.5的四标签模型中，令
$$
B_t=(1-t-t^2)P^0+tQ_*+t^2J\quad(0\le t\le1/2),\qquad
\mathcal A=\operatorname{conv}\bigl(\mathcal F_c\cup\{B_t:0\le t\le1/2\}\bigr).
\tag{37.12}
$$
$\mathcal A$ 是固定紧凸概率类，零剩余面为 $\mathcal F_c$，但不存在有限 $L$ 使所有 $P\in\mathcal A$ 满足 $\operatorname{dist}_{\rm TV}(P,\mathcal F_c)\le LR(P)$。

证明。系数非负且和为一，生成集合紧；有限维空间中紧集的凸包仍紧。具体可由仿射依赖消元把任意凸组合缩到环境维数加一项，从而凸包是紧的“点组乘单纯形”连续像。$R(B_t)=5t^2/4$，非负仿射性及有限凸分解说明零剩余只使用 $\mathcal F_c$ 与 $B_0=P^0$，故零面如述。

定义 $f$ 在第一轨道锚的割 $0$ 元组上为 $+1$，在第二轨道锚的割 $0$ 元组上为 $-1$，其余为零。则 $|f|\le1$，在 $\mathcal F_c$ 与 $J$ 上的期望均为零，在 $Q_*$ 上的期望为 $1/2$。于是 $\mathbb E_{B_t}f=t/2$；对任意 $Q\in\mathcal F_c$，有限和三角不等式给 $|\mathbb E_{B_t}f-\mathbb E_Qf|\le2\operatorname{TV}(B_t,Q)$，从而
$$
\operatorname{dist}_{\rm TV}(B_t,\mathcal F_c)\ge t/4,\qquad
\frac{\operatorname{dist}_{\rm TV}(B_t,\mathcal F_c)}{R(B_t)}\ge\frac1{5t}\quad(t>0).
\tag{37.13}
$$
令 $t\downarrow0$ 即得。$\square$

在一个固定紧类上，若连续非负剩余量有非空零集，则剩余量趋零仍蕴含到零集的距离趋零。否则有距离统一大于某个正数的序列；紧性给收敛子列，连续性使极限落在零集，与距离下界矛盾。这一定性命题与恢复卷命题32.9的变字母集族相容。

**定理 37.7（固定概率多面体的顶点间隙界）。** 令 $\mathcal D$ 是一个固定非空概率多面体，$R$ 为其上非负仿射函数，且 $\mathcal F=\{\rho\in\mathcal D:R(\rho)=0\}\ne\varnothing$。全部来源和记录约束须包含在 $\mathcal D$ 中；应用于循环时也固定节点律以保证剩余量非负。若所有顶点剩余量为零，则 $\mathcal F=\mathcal D$；否则定义最小正顶点剩余量 $\gamma>0$，有
$$
\operatorname{dist}_{\rm TV}(\rho,\mathcal F)\le\min\{1,R(\rho)/\gamma\}.
\tag{37.14}
$$
证明。写 $\rho=\sum_v\alpha_vv$，令 $\eta=\sum_{R(v)>0}\alpha_v$，则 $R(\rho)\ge\gamma\eta$。选任一 $f\in\mathcal F$，令
$$
\rho_* =\sum_{R(v)=0}\alpha_vv+\eta f\in\mathcal F.
$$
有限和的三角不等式给 $\operatorname{TV}(\rho,\rho_*)\le\sum_{R(v)>0}\alpha_v\operatorname{TV}(v,f)\le\eta$，即得。$\square$

这个明确顶点证明处于 Hoffman 型多面体误差界的成熟背景[^rroctx37_hoffman]，只给某个被准入最优律的存在性，不是指定解码输出 $Q$ 的提升。计算 $\gamma$、顶点分解及见证另需资源，换多面体不能保留同一常数。仿射性不可省：在 $\rho_t=(1-t,t)$ 上取非线性剩余量 $t^2$，零集为 $\{\rho_0\}$、正顶点间隙为一，但距离 $t>t^2$（$0<t<1$）。非负性则防止顶点剩余量相互抵消。空零面及额外非线性准入不属该定理。

### 37.4 标签纤维的抵消与指定目标的世界提升

**命题 37.8（同一纤维内不可见的质量抵消）。** 固定有限 $W=W_H,Z$、实际概率 $\rho$、$\lambda:W\to Z$ 及 $P=\lambda_*\rho$。给一个指定目标标签概率 $Q$，对任一满足 $\lambda_*\rho'=Q$ 的候选世界律置
$$
A_z=\sum_{\lambda w=z}(\rho'(w)-\rho(w))_+,\qquad
B_z=\sum_{\lambda w=z}(\rho(w)-\rho'(w))_+.
\tag{37.15}
$$
则
$$
\operatorname{TV}(\rho,\rho')-\operatorname{TV}(P,Q)
=\sum_z\min(A_z,B_z).
\tag{37.16}
$$
等 TV 的条件是亏损纤维只减质量，盈余纤维只加质量，总量不变的纤维逐点不变。

证明。$A_z-B_z=Q(z)-P(z)$，世界及标签 TV 分别为 $\tfrac12\sum_z(A_z+B_z)$、$\tfrac12\sum_z|A_z-B_z|$；用 $a+b-|a-b|=2\min(a,b)$ 得（37.16）。一般的等 TV 无符号混合判据由 [D5/S3/TotalVariation/Equality/DataProcessingEquality.lean](../../../D5/S3/TotalVariation/Equality/DataProcessingEquality.lean) 的 `total_variation_channel_eq_iff_no_sign_mixing` 供应：在这里取确定核 $\mathbf1_{\lambda w=z}$。它要求每个纤维的差只取一种符号；结合纤维总差即得所述三种情况。$\square$

（37.16）计量的是标签遗忘后隐藏的世界改变量，不是物理耗散公式；此处复用一般等号定理，不另立一套通用 TV 等号理论。

**命题 37.9（无额外律限制时的等距离提升）。** 若允许 $W$ 上任意概率律，则 $Q$ 可提升当且仅当每个 $Q(z)>0$ 的纤维 $W_z$ 非空；满足时可选 $\rho'$ 使 $\operatorname{TV}(\rho,\rho')=\operatorname{TV}(P,Q)$。

证明。必要性由推前定义。对 $P(z)>0$，在纤维内设 $\rho'(w)=Q(z)\rho(w)/P(z)$；对 $P(z)=0<Q(z)$，选择 $W_z$ 上任意概率并赋总量 $Q(z)$；对 $P(z)=Q(z)=0$ 直接置零，不选择条件坐标或见证。各纤维改变量同号，命题37.8给等距离。$\square$

正旧质量且正目标质量的纤维保留旧条件分布；这是主卷定义67.7、定理67.8的正质量纤维分解在指定标签任务上的应用。它可能改变外部来源。若 $Q=P$，唯一距离零的提升为 $\rho$ 本身。

### 37.5 保留联合来源的满流判据

**定理 37.10（指定标签的来源保留等距离提升）。** 在命题37.8下另给有限 $U$、$\sigma:W\to U$ 及 $\nu=\sigma_*\rho$，准入全部且仅有满足此来源边缘的 $W$ 上概率律。若多个来源或参考须共同保留，$\sigma$ 编码其联合记录，或施加等价的完整联合约束；分别保留各来源边缘不足以保留其联合律。定义
$$
D=\{z:P(z)>Q(z)\},\quad A=\{z:Q(z)>P(z)\},\quad
\tau=\operatorname{TV}(P,Q),\quad
 d_z^-=P(z)-Q(z)\ (z\in D),\quad d_z^+=Q(z)-P(z)\ (z\in A),
$$
$$
r_{z,u}=\rho(\lambda=z,\sigma=u),\qquad
W_{z,u}=\{w:\lambda w=z,\sigma w=u\}.
\tag{37.17}
$$
用互相区别的节点层构造网络：源 $s$ 到 $z\in D$ 容量 $d_z^-$；$z\in D$ 到 $u$ 容量 $r_{z,u}$；若 $W_{z',u}\ne\varnothing$，则 $u$ 到 $z'\in A$ 容量 $\tau$，否则无弧；$z'\in A$ 到汇容量 $d_{z'}^+$。则存在来源保留且满足
$$
\lambda_*\rho'=Q,\qquad \sigma_*\rho'=\nu,\qquad
\operatorname{TV}(\rho,\rho')=\tau
\tag{37.18}
$$
的律，当且仅当此网络有值为 $\tau$ 的流。$\tau=0$ 使用零流并返回 $\rho$。

证明。必要性使用命题37.8的既有等号判据：仅亏损标签可移除，仅盈余标签可加入，标签总量不变的纤维不能作中转储库。聚合每个亏损单元的移除量为 $f_{z,u}\le r_{z,u}$，每个合法盈余单元的加入量为 $h_{u,z'}$。标签总量给出饱和供需 $d^-,d^+$；来源边缘保留给出 $\sum_zf_{z,u}=\sum_{z'}h_{u,z'}$，即中间层守恒。总流量为 $\tau$，故接收弧容量 $\tau$ 足够，构成满流。

反之，满流的总值等于全部供给及需求之和，故每条源出弧与汇入弧饱和。在 $r_{z,u}>0$ 的移除单元，逐世界移除 $f_{z,u}\rho(w)/r_{z,u}$，容量保证不致负值；$r_{z,u}=0$ 时流量为零，不作除法。每个有正接收流的单元选一个合法世界加入 $h_{u,z'}$，或在该单元内分布它。守恒保留 $\nu$，供需饱和给 $Q$，移除与加入的标签不交，故世界总移除／加入量各为 $\tau$，世界 TV 正好为 $\tau$。$\square$

初始质量零但非空的接收单元可以接收；旧移除质量零的单元容量就是零。$\nu(u)=0$ 的来源没有移除供给，不能得到新质量。任何必需而空的标签纤维同时阻止满流和一切提升。$\tau=0$ 不需新见证。保留 $\sigma$ 的联合律仍不自动保留来源—标签条件机制。若另加概率、策略、机制或资源限制，此流条件对等 TV 仍必要，但充分性还需准入刚才的具体构造。

来源保留且标签为 $Q$ 的目标提升集若非空，是紧多面体；连续 TV 在其上取得最小值。因此满流失败时，要么根本不可提升，要么最小世界 TV 严格大于 $\tau$，不能把两者混同。

**命题 37.11（四世界上的放大与不可行分离）。** 取按所写顺序排列的
$$
W=\{(u_0,A),(u_0,B),(u_1,B),(u_1,C)\},\qquad
\rho=(1/2,0,1/2,0),\qquad \nu=(1/2,1/2).
\tag{37.19}
$$
若 $Q(B)=Q(C)=1/2$，标签 TV 为 $1/2$，等距离网络的最大流为零，却有唯一来源提升 $(0,1/2,0,1/2)$，世界 TV 为 $1$。

证明。唯一亏损标签 $A$ 只能供给 $u_0$，唯一盈余标签 $C$ 只能接收 $u_1$，故没有源汇通路。目标 $A$ 质量为零迫使 $u_0$ 的全部 $1/2$ 转到 $B$，目标 $C$ 质量 $1/2$ 又迫使 $u_1$ 全部转到 $C$，给唯一提升。标签 $B$ 内加减各 $1/2$，所以（37.16）的额外抵消正是 $1/2$。$\square$

同一载体上 $Q=P$ 成本为零；$Q$ 集中在 $B$ 时满流及等 TV 成本均为 $1/2$；$Q$ 集中在 $A$ 则因 $u_1$ 无 $A$ 世界而不可行，其等距离流也为零。相同的失败流值可对应放大或不可行。

若恢复卷给某个指定 $Q$ 的 $\operatorname{TV}(P,Q)\le E_{\rm label}$，命题37.9的无限制纤维提升或定理37.10的来源满流证书，就把同一误差界原值运输到世界 TV。来源网络需要真实 $r_{z,u}$ 及合法接收单元的证书，成对标签表一般不识别它们。此网络是概率重分配证书，不是因果转移图、可执行干预或改写已获历史的许可；有限观察也不自动取得这些容量。

### 37.6 记录选择器、后续实验与固定尺度

**命题 37.12（真实割选择器的档案条件化）。** 真实选择器 $K$ 是已获记录，须保留于 $H'=(H,K)$。在固定 $H$ 下令其核为 $\kappa(k\mid x,H)$，其中固定锚上的取值也必须明确；对
$$
p_k=\sum_x\mu(x)\kappa(k\mid x,H)>0
$$
有
$$
P(X_0=x\mid H,K=k)=\frac{\mu(x)\kappa(k\mid x,H)}{p_k}.
\tag{37.20}
$$
若核在每个移动轨道内恒定，条件相位仍为轨道均匀，但轨道质量变成 $w_O\kappa_{O,k}/p_k$。在每个正概率选择器值下都保留原 $\mu$，当且仅当对所有正 $\mu$ 支撑上的 $x$ 有 $\kappa(k\mid x,H)=p_k$，即给定 $H$ 后 $K$ 与 $X_0$ 独立。

证明。（37.20）是同一联合律的 Bayes 公式。轨道内 $\mu(x)=w_O/\ell_O$，代入常数核并求和得新轨道质量。若条件律等于原律，对正 $\mu(x)$ 消去该因子即得核恒为 $p_k$；反向直接代入。$p_k=0$ 时非负求和迫使正 $\mu$ 支撑上该核为零，不作条件除法。$\square$

固定锚上实际记录的割是额外档案，不是标签面中增加的重数坐标。决策时可否访问锚或轨道信息、是否有随机源、准备和费用，均需合法执行合同；忘掉 $K$ 不能证明完整观察者得到保留。

同一个共同非负行随机核若合法且因子化通过标签接口，既有 `total_variation_channel_le` 将标签误差运输到它的输出；具体供应为 [D5/S3/TotalVariation/DataProcessing.lean](../../../D5/S3/TotalVariation/DataProcessing.lean)。双方使用不同策略，或实验读取未恢复的参考相关时，不能使用该结论。认证世界提升后可对共同合法世界核作相同运输。操作顺序合法与随机独立不同，保留来源的联合边缘也弱于保留全部来源—标签机制。

每个定理固定 $n,\mu,g,S$ 和接口。系数不显含 $n$ 不消去取得 $n$ 张表、累积误差、认证 $K_O$ 全部相位和控制轨道长度的成本。若精确表已按单元索引且合法集已供应，检测提取至多需 $n$ 乘正质量移动标签数次单元查询，归一化处理 $\sum_O|K_O|$ 项；读入稠密表可需 $n|B|^2$ 项。认证全部合法割可需 $n$ 乘移动标签数次关于长度 $n$ 元组的支撑查询。这里计数的是在这些输入访问前提下的操作次数，不是位复杂度、样本界、支撑可判程序或世界准备成本。截在 $1$ 的界可能没有区分力。

不同尺度各有有限最优律不提供相容选择。即使常值塔的限制映射全为恒等，二元翻转循环交替选择 $P^0,P^1$ 也都是总误差最优而不相容。已有第36.1–36.3节区分词限制、概率边缘化和量子偏迹箭头，也区分完成对象与原来源实现；活动记忆随实际历史演化，不是一个静态逆系统坐标。完成应用须额外声明限制映射、相容律、共同来源／记录和拓扑，并逐项满足既有延拓或实现定理的假设。有限字母表上的概率单纯形通常无限，不能直接套有限集合线程存在性。完成标签律可能还需回到原世界的来源提升，也不提供有限时间访问；恢复卷命题32.9限制的是随轨道增大的统一稳定性。

恢复卷定理31.2–31.5已经给全 $k$、全有限历史的共同记忆及两个分别限定模型的精确容量，不把这些已得结果列为未证。任意仪器、近似记忆、反馈、真实参考的更广任务、跨尺度原来源实现和物理识别仍需各自条件。本节的有限循环修复不能替代它们，也不从关系名称推出物理时空、波／频率、半衰期、量子不确定性、局部钟或 PDE 定律。

### 37.7 理想经验模型、供应归属与适用边界

**命题 37.13（理想循环的 contextual fraction 与实际联合律不同）。** 本节规定的理想边经验模型由各 $M_i$ 组成；它的非上下文分数为 $1-a$、上下文分数为 $a$。实际 $P$ 的成对边缘经验模型已有 $P$ 作全局延拓，因此上下文分数为零，即使 $a>0$ 也如此。

证明。采用被每个经验边缘逐点支配的全局子概率定义非上下文质量。理想图外质量为零，故受支配全局子概率只能支撑于全部关系成立的元组，即固定点对角；其每个固定点质量至多 $\mu(x)$，总质量至多 $\mu(\operatorname{Fix}g)=1-a$，固定对角子概率达到此值。实际模型中 $P$ 本身是质量一的全局延拓，故非上下文分数为一。$\square$

上述理想模型身份是 Katende 定理3.3的循环特例[^rroctx37_katende]：该文在有限连通简单图、反向边取逆置换且根律对 holonomy 群 $H_{\rm hol}$ 不变时，给 $\mathrm{NCF}=p(\operatorname{Fix}H_{\rm hol})$。这里该群由 $g$ 生成。contextual fraction 及受支配子概率框架归于 Abramsky、Barbosa、Mansfield[^rroctx37_cf]，不作为新的框架。它不分类修复律、合法性、源提升或解码。两个仅共一个顶点的二元翻转挫折三角形，取共同公平锚，理想模型的 $\mathrm{CF}=1$；然而每份全局赋值在每个三角形至少失败一条边，故总期望失败至少 $2$，各三角形各指定一割并由共同公平锚生成即可达到。由此不能把单循环的修复目标直接等同于一般图的 contextual fraction。

本节和恢复卷第32节连接已有接口，其供应范围如下；各普通有限推导的假设与证明已在对应命题中给出，不把源码引用视为本节新增的 Lean 核验。

| 本节供应定位 | 已有结论及本节使用边界 |
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| 37·主卷纤维与共同律 | [主卷67.7–67.8、77.1](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)分别给正质量纤维条件分解，以及严格正共同固定律／闭路势的另一模型；这里的固定节点轨道割面有自己的分类，不能把全部闭路共同律联系宣称为新内容。 |
| 37·主卷拼接与规范运输 | 主卷124.5、124.14–124.17给运行交集、条件乘积与逐行拼接；最大熵拼接不必恢复原来源。主卷133.1的单源等核规范运输具有恒等闭路，本节非平凡局部关系不反驳它。 |
| 37·档案与误差使用 | 本卷5.3–5.5、13.1–13.13、34.1–34.3、定义35.1及36.4保留边缘／联合来源、完整记录、顺序、共同可行纤维及合法误差运输的区别；第36.1–36.3节负责限制箭头与原实现边界。 |
| 37·TV 既有基础 | [Metric.lean](../../../D5/S3/TotalVariation/Metric.lean)、[Convexity.lean](../../../D5/S3/TotalVariation/Convexity.lean)、[DataProcessing.lean](../../../D5/S3/TotalVariation/DataProcessing.lean)分别供应度量／事件、联合凸性和共同随机核收缩；[Equality/DataProcessingEquality.lean](../../../D5/S3/TotalVariation/Equality/DataProcessingEquality.lean)拥有命题37.8调用的一般无符号混合等号判据。 |
| 37·局部关系与树拼接 | [D5/S3/ConceptDynamics/Gluing/LocalLawGluingObstruction.lean](../../../D5/S3/ConceptDynamics/Gluing/LocalLawGluingObstruction.lean)给局部集合关系兼容而无整体状态的障碍；[RunningIntersectionRecords.lean](../../../D5/S3/ConceptDynamics/Gluing/RunningIntersectionRecords.lean)给完整分隔一致的树延拓。两者不替代循环概率准入和 TV 修复。 |
| 37·有限因果耦合 | [FiniteCouplingPushforwardLift.lean](../../../D5/S3/ConceptDynamics/CausalMoments/FiniteCouplingPushforwardLift.lean)给有理指定粗耦合的双载体边缘保留提升；[BooleanOutcomeMarginalTransport.lean](../../../D5/S3/ConceptDynamics/CausalMoments/BooleanOutcomeMarginalTransport.lean)给在耦合中保留旧分布的有理 Boolean 边缘修正；[CompleteMediatorCutSharpBounds.lean](../../../D5/S3/ConceptDynamics/CausalMoments/CompleteMediatorCutSharpBounds.lean)给指定共同中介下的 Boolean MaxCut／三角形尖锐界。它们各有指定对象，不是任意联合来源提升或合法循环支撑定理。 |
| 37·证书与其他恢复 | [RationalSTCutCertificate.lean](../../../D5/S0/Certificates/RationalSTCutCertificate.lean)检查所给有理流割证书；恢复卷10.2–10.4是正时间／矩与加权 Hilbert 投影；[量子时空卷§100](CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_QUANTUM.md)是指定三 qutrit 编码。均不提供这里的一般成对标签解码。 |
| 37·已有完成接口 | [InverseLimitCompletion.lean](../../../D5/S3/ConceptDynamics/RefinementGeometry/InverseLimitCompletion.lean)、[StableObservationInverseLimit.lean](../../../D5/S3/ConceptDynamics/RefinementGeometry/StableObservationInverseLimit.lean)负责已声明相容限制、分离／完备及稳定观察线程；[CompactLocalRealization.lean](../../../D5/S3/Observer/Completion/CompactLocalRealization.lean)需紧性与闭纤维；[FiniteCofilteredLimit.lean](../../../D5/S3/ObserverMemory/InverseLimits/FiniteCofilteredLimit.lean)需有限对象，不能以有限字母代替有限概率律空间。这里只引用适用边界，不证明新完成结论。 |

有限观察、柱延拓、相容完成和原来源实现的既有区别还见主卷3.4–3.6、4.2、5.2、5.4、33.1、39.12–39.13、78.1、124.9–124.10，以及本卷9.8、24.12–24.15；它们各按原假设使用。这里的有限综合不据此取得原创性结论，也不提供新的跨尺度来源完成定理。它所连接的是提出的局部运输、同一联合标签律、合法修复、可取得边界与有来源约束的世界实现。

[^rroctx37_katende]: Ronald Katende, *Contextual Fraction on Permutation Gain Graphs: Exact Algorithms, Query Lower Bounds, and Dynamic Maintenance*, arXiv:2607.16037v1, [Theorem 3.3](https://arxiv.org/html/2607.16037v1#S3.Thmtheorem3)。引用限于所写置换增益图、holonomy 不变根律的理想经验模型。

[^rroctx37_cf]: Samson Abramsky, Rui Soares Barbosa, Shane Mansfield, *The contextual fraction as a measure of contextuality*, [arXiv:1705.07918](https://arxiv.org/abs/1705.07918)。成熟的上下文分数与受支配非上下文子概率框架。

[^rroctx37_flow]: L. R. Ford, Jr. and D. R. Fulkerson, *Maximal Flow Through a Network*, Canadian Journal of Mathematics **8** (1956), 399–404, [doi:10.4153/CJM-1956-045-5](https://doi.org/10.4153/CJM-1956-045-5)。无理容量增广的终止边界见 Spencer Backman and Tony Huynh, *Transfinite Ford-Fulkerson on a Finite Network*, [arXiv:1504.04363](https://arxiv.org/abs/1504.04363)；定理37.3只用紧最大值及残量割。

[^rroctx37_hoffman]: Alan J. Hoffman, *On approximate solutions of systems of linear inequalities*, Journal of Research of the National Bureau of Standards **49** (1952), 263–265, [doi:10.6028/jres.049.027](https://doi.org/10.6028/jres.049.027)；Javier Peña, Juan C. Vera, Luis F. Zuluaga, *New characterizations of Hoffman constants for systems of linear constraints*, [arXiv:1905.02894](https://arxiv.org/abs/1905.02894)。仅作多面体误差界背景；（37.14）的有限顶点证明在本节完整给出，不归托未指明的论文定理。

## 37.99 追加锚

## 38. 完成循环边界、完整观察者与自然解码的界限

### 38.1 整份已获档案与三个概率对象

**定义 38.1（来源、完成标签及合法取得的联合合同）。** 保留第13节及定义37.1中的完整已获档案 $C$：内在与外部记录、来源身份与版本、已经取得的关系、可访问记忆、参考、动作及合法时间顺序，以及适用的相对钟约束，均以来源索引保留。第13节的记录商定理原本固定有限共同世界；若使用无限完成空间，另行指定一个共同可测空间、这些记录的可测映射及其实际联合律，不把有限世界定理无条件外推。

取[恢复卷定义33.1](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_RECOVERY_GEOMETRY.md)的固定 $n\ge3$ 循环塔，其 $X_\infty=B_\infty^n$ 是这个完整观察者的一个任务读数。分清以下三种数据：$X_\infty$ 上的 Borel 标签律；在某个指定原来源或指定完成来源上表示的律；在固定准备、读出、全部已获档案和合法实验历史下实际取得的联合律。它们的关系须由明确映射给出。

具体地，给定可测来源 $(\Omega,\Sigma_\Omega,\rho)$ 和可测读出 $h:\Omega\to X_\infty$，实际标签律为 $h_*\rho$。若 $h,\rho$ 都固定，声称目标 $Q$ 是实际标签律的充要条件就是
$$
Q=h_*\rho.
\tag{38.1}
$$
逐点可达、有限边缘可达或 Borel 延拓存在均不替代此等式。若需要保留来源档案联合，则必须比较 $(C,h)_*\rho$，并在 $C$ 中保留上述所有已获成分，而非仅比较 $h_*\rho$。若所需记录尚未纳入共同可测模型，标签定理没有对这些未列出的联合关系作出保证。更换准备或读出属于另一个操作，须给其合法性和资源条件。

恢复卷 $F_l$ 只约束支撑、精确节点边缘和零剩余量。附加来源条件想使用其紧选择，须另证非空、紧性、投影保持及正确的完成联合语义；恢复卷命题33.16说明仅有限可满足及映入还不够。这里不引入新的来源保留完成最优化定理。

### 38.2 稠密原来源、固定准备与档案关联的三个障碍

**命题 38.2（每个有限词可达而公平完成律不可在原来源上实现）。** 取 $B_l=\{0,1\}^l$（$B_0$ 为单点）、前缀限制、$g_l=\mathrm{id}$、均匀 $\mu_l$、$n=3$ 和全支撑。每个 $F_l$ 是均匀对角律的单点，完成零面为公平无限位律的对角推前。令原来源 $\Omega$ 仅由最终恒零的二元序列组成，读出为对角嵌入，事件域取 $\Omega$ 的幂集。则来源在无限位空间中可数且稠密，每个有限目标词都可达，却没有任何来源概率能够实现全部均匀前缀律。

证明。恒等闭合置换的零剩余量要求零失败，故全对角；指定均匀节点边缘唯一确定各层律。恢复卷定理33.4及33.6给公平乘积律的对角延拓。任意有限词后接全零都在 $\Omega$ 中，故逐层的对角有限目标均可达，且对角像 $\Delta(\Omega)$ 在 $\Delta(B_\infty)$ 中稠密。若一个来源概率有全部均匀前缀，对每个 $x\in\Omega$、每个 $l$，单点包含于其长 $l$ 前缀柱，故 $\rho(\{x\})\le2^{-l}$，从而每个单点质量零。可数可加性便给 $\rho(\Omega)=0$，与概率总质量一矛盾。$\square$

这与主卷定理46.5的完成解不在原自然来源、以及定义91.1的实际像／闭包之别相接。全部有限标签可由不同来源点实现，不保证一个来源分布同时实现全部联合柱律。此例没有把来源完成后可承载的概率倒算为原来源已经具有的概率。

**命题 38.3（标签全部可达仍不保固定准备）。** 取二元翻转三循环的均匀割律 $D_0,D_2$，其不交支撑的并作为来源，读出为到标签元组的恒等映射。规定
$$
\rho=\tfrac34D_0+\tfrac14D_2,\qquad
Q=\tfrac12D_0+\tfrac12D_2.
\tag{38.2}
$$
目标只用可达元组，所有节点边缘仍均匀，且仍为最优律，但不等于固定准备的实际输出律。

证明。割律及混合的最优性来自恢复卷定理32.2–32.3。割 $0$ 扇区在实际律下质量 $3/4$，在 $Q$ 下质量 $1/2$，所以两律不同，TV 为 $1/4$。读出固定为恒等时（38.1）失败。$\square$

更换混合权重需要一个额外允许的准备操作；完成、可达支撑或相同边缘均不授权它。第37.4–37.5节的有限世界纤维抵消及来源满流判据仍按其有限合同使用，不能仅因标签完成而略去其中的来源条件。

**命题 38.4（相同标签律与相同档案边缘可有最大联合差）。** 令 $C$ 为已获公平位，$n=3$，比较联合律
$$
Y_0=Y_1=Y_2=C
\qquad\text{与}\qquad
Y_0=Y_1=Y_2=1-C.
\tag{38.3}
$$
两者的 $Y$ 律相同，$C$ 边缘相同，但 $(C,Y)$ 联合律的 TV 为一。

证明。两种 $Y$ 律均在 $000,111$ 上各放 $1/2$，档案均公平。第一律支撑于 $C=Y_0$，第二律支撑于 $C\ne Y_0$，支撑不交。$\square$

所以零任务标签误差不能认证完整观察者与既有记录的关联。逐坐标逆极限也不会自动补回未列入的来源—参考联合关系。此例还区分概率律与单次记录身份：即使两个输出具有完全相同的分布，它们在同一个已获 $C$ 下仍可逐次相反。重采一个同分布记录不等于保留原记录或原历史。

### 38.3 单层、全塔、来源与完成的体边对应

**命题 38.5（全尺度表示等价的范围）。** 在恢复卷定义33.1的载体、拓扑及事件合同下，一个相容的全部有限标签族确定一个完成线程，一个相容的全部有限联合概率族确定一个 Borel 律。一个有限读数一般只确定完成对象的一条纤维。对于额外指定原来源 $\Omega$ 及相容读数 $h_l$，令
$$
\iota:\Omega\to X_\infty,\qquad \iota(\omega)=(h_l(\omega))_l.
\tag{38.4}
$$
原来源集合与完整线程空间通过此映射等价，当且仅当读数分离原状态且每个线程由原状态实现；观察商的完成则识别为 $\overline{\iota[\Omega]}$，只有实际像稠密时才为全部 $X_\infty$。

证明。线程的各个坐标就是其定义数据，故全坐标唯一确定它；概率结论是恢复卷定理33.4。指定一层的实现集为 $(\pi_l^n)^{-1}\{z_l\}$，一般含多个线程。原来源映射的单射恰为分离性，满射恰为全部线程实际可实现，二者合取等价于双射。最后在可数有限坐标上取首差超度量，并拉回来源伪度量；零距离商等距于实际像，其完成为紧完备环境中的像闭包。这是[主卷定义91.1及定理91.2](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)的既有观察商与实际像构造。$\square$

这里“离散的全部相容边界”与“完成对象”可以是同一关系结构的两种表示；一个尺度、全塔、原来源与来源完成并非可任意替换的四个名字。[InverseLimitCompletion.lean](../../../D5/S3/ConceptDynamics/RefinementGeometry/InverseLimitCompletion.lean) 的 `stateThread_bijective_iff_complete_and_separates` 对应显式完备性及分离性这一类型层陈述；概率延拓由恢复卷的测度证明另负其责。

拓扑规定哪些读数相容、怎样逼近，不选取概率赋值。命题38.2中，原来源对角像的闭包是对角相容子空间 $\Delta(B_\infty)$，它通过对角嵌入与 $B_\infty$ 典范同胚；即使完成空间取这整个子空间，原来源仍不能承载其上的公平对角概率。正文24.12–24.15已经区分有限球、完整 p 进状态、额外 Haar 概率及实际取得；本节没有用分布存在替代取得无限档案或未来样本。完整观察者还包括其实际来源、参考和历史关系，只有将这些联合量明确纳入并证明对应，才能声称恢复了整个来源而非一个任务视图。

### 38.4 同一合法延续核如何消费联合误差

**命题 38.6（共同读出与共同随机核的 TV 运输）。** 给同一可测空间上的概率 $P,Q$，共同可测读出 $f$，或到同一输出可测空间的共同 Markov 核 $K$，则
$$
\operatorname{TV}(f_*P,f_*Q)\le\operatorname{TV}(P,Q),\qquad
\operatorname{TV}(PK,QK)\le\operatorname{TV}(P,Q).
\tag{38.5}
$$
此处的输入若用于保留完整观察者，必须是包含全部所需档案、来源关联与历史的联合律。

证明。确定读出的每个输出事件拉回为输入事件，给第一式。对核及输出事件 $A$，令 $u(x)=K(x,A)\in[0,1]$。层蛋糕积分给
$$
\int u\,dP-\int u\,dQ
 =\int_0^1\bigl(P\{u>t\}-Q\{u>t\}\bigr)\,dt,
\tag{38.6}
$$
故绝对值不超过 $\operatorname{TV}(P,Q)$。对 $A$ 取上确界得第二式。$\square$

有限非负行随机核的收缩已由 [DataProcessing.lean](../../../D5/S3/TotalVariation/DataProcessing.lean) 的 `total_variation_channel_le` 供应；上面的积分证明说明此处一般可测核的精确使用条件。恢复卷定理33.11选出的同一个完成见证，对每个符合本命题的共同核都保持同一全局误差界，不需要为每个输出任务重新选择另一最优律。它没有赋予该见证源世界实现，也没有保证一个有限算法能取得它。

自适应实验只有在其对完整档案的依赖、允许随机源及全部输入都已表示为双方相同的合法联合核时，才属于（38.5）。若核只读取标签，标签界可直接使用；若核读取 $C$ 或参考，必须先有对应联合界。两方使用不同机制，或遗忘实验实际读取的输入，均不满足此前提。合法操作次序与概率独立是不同条件；若声称新随机源独立，应针对完整 $C$ 条件化后检验，而非仅检验无条件边缘。

全局联合 TV 界不是每个档案事件上的统一条件界；条件使用还需该事件的正概率及相应分母控制，零概率事件不能直接条件化。含噪有限估计首先要针对同一个实际相容模型。如果需要同时使用所有层的概率证书，须在一个共同成功事件上结算；例如逐层失败概率 $\alpha_l$ 满足 $\sum_l\alpha_l\le\alpha$，可数并界给总失败概率至多 $\alpha$，不需独立性。它并不使无限多次测量免费或已经完成。

### 38.5 指定成对解码器的自然性方块

**定义 38.7（解码与尺度限制的交换要求）。** 令 $\mathcal D_l$ 为恢复卷定义32.10、式（32.25）–（32.28）的轨道平均成对解码器，各层使用已声明的合法割集合、节点边缘及默认。若欲让这些具体输出组成一个完成候选，须在一个共同声明的合法输入域上另证
$$
(q_l^n)_*\mathcal D_{l+1}(P)
 =\mathcal D_l((q_l^n)_*P).
\tag{38.7}
$$
输入与其投影须分别在两解码器的定义域，两个输出还须满足各自支撑及节点边缘合同。正归一化总量只保证除法有定义，不保证这个方块交换。恢复卷的共同半径选择是另一个存在性结论，不是这个解码器或它的实现算法。

**命题 38.8（模四到模二的正总量解码不自然）。** 取 $n=3$、$B_1=\mathbb Z/4\mathbb Z$、$B_0=\mathbb Z/2\mathbb Z$、$q(x)=x\bmod2$、两层 $g(x)=x+1$，全支撑、均匀节点边缘，三个割全部合法。每层只有一个非固定传递轨道且轨道质量一，所以恢复卷定义32.10的聚合计数正好是
$$
c_k(P)=P(Y_{k+1}=g^{-1}Y_k)\quad(k=0,1),\qquad
c_2(P)=P(Y_2=Y_0).
\tag{38.8}
$$
当 $s=\sum_kc_k>0$ 时，该解码器以 $c_k/s$ 作为均匀割律的权重。令模四元组律为
$$
U=\operatorname{Unif}\{(x,x+1,x+2):x\in B_1\},\qquad
D_2=\operatorname{Unif}\{(x,x,x):x\in B_1\},
$$
$$
P_1=(1-\epsilon)U+\epsilon D_2,\qquad
P_0=q_*^3P_1,\qquad0<\epsilon<1.
\tag{38.9}
$$
则细层解码为纯割 $2$，粗层解码权重为
$$
\frac{(1-\epsilon,1-\epsilon,1)}{3-2\epsilon}.
\tag{38.10}
$$
在 $\epsilon=1/2$ 时，两层总量分别为 $1/2,2$，且
$$
\operatorname{TV}\bigl(q_*^3\mathcal D_1(P_1),\mathcal D_0(P_0)\bigr)=\tfrac12,
\qquad R_1(P_1)=R_0(P_0)=1.
\tag{38.11}
$$

证明。各列都是均匀 $x$ 的置换，两层输入边缘精确；半共轭及全支撑保证输入投影合法，全部割输出也合法。恢复卷式（32.25）按 $x$ 求和就是（38.8），式（32.28）的 $w_O=1$，故得到所写权重，没有替换归一化单位。

模四下 $x+1\ne x-1$，$x+2\ne(x+1)-1=x$，且 $x+2\ne x$，故 $c(U)=(0,0,0)$；对角律只击中闭合对角检测，故 $c(D_2)=(0,0,1)$。因此 $c(P_1)=(0,0,\epsilon)$，细层解码为 $D_2$。

$U$ 的粗投影为 $(y,1-y,y)$，模二下 $g^{-1}=g$，它满足全部三个检测事件。粗对角律只满足第三个，故 $c(P_0)=(1-\epsilon,1-\epsilon,1)$，总量 $3-2\epsilon$，得到（38.10）。在 $\epsilon=1/2$，粗权重为 $(1/4,1/4,1/2)$。纯细割 $2$ 投影为纯粗割 $2$；粗层三个非固定割扇区两两不交，故输出 TV 等于权重向量的半 $\ell^1$ 距离，即 $1/2$。

两层 $U$ 均有三条失败边，移动锚指标一；$D_2$ 仅闭合边失败，剩余量零。剩余量对同一律的混合线性，所以两层均为 $2(1-\epsilon)$，得到（38.11）。细层以上保持全部模型数据并用恒等限制，便得到一个完整相容塔。$\square$

粗投影可创造新的检测命中，所以即使双方归一化始终合法，归一化权重也不必相容。在这个单传递非固定轨道模型中，均匀细割恰投为对应均匀粗割，且粗割扇区不交；因此（38.7）等价于两个归一化计数向量相等，也等价于两个正总量计数向量正比例。若投影合并轨道，或把若干割压成固定对角，须先聚合实际推前测度再比较，不能沿用逐分量比例判据。

恢复卷命题33.8还说明：任何试图在所有合法输入上逐层选取最近点的规则，都不能仅靠改变并列最优时的选取方式取得普遍自然性。该例两层最近点都唯一而不相容。共同半径内存在一个相容最优完成见证与这些障碍并不冲突。

### 38.6 延迟细化与有限停止的不可判别前缀

**命题 38.9（没有统一有限深度的完成误差停止证书）。** 对任意预先指定的有限检查深度 $M$，存在两座满足恢复卷定义33.1的塔及各自的实际相容律，在所有 $l\le M$ 的载体、边缘、置换、支撑及联合律，以及 $0\le l<M$ 的内部限制映射上相同，且这些有限最近距离全为零；但两者完成最近距离分别为零和一。

证明。前 $M+1$ 层都取二元翻转三循环、全支撑、均匀节点边缘、恒等限制，并取均匀割 $0$ 为实际律。一座塔永久保持这些数据，实际完成律就在零面，完成距离零。

另一座塔在层 $M+1$ 放入恢复卷命题33.8的模四模型：置换加一、均匀边缘、支撑为该处（33.17），实际律均匀于 $(x,x-1,x+1)$，$q_M(x)=x\bmod2$。此律下投影恰为前面已固定的粗割 $0$，故整族相容。更高层复制此细模型并用恒等限制。由该命题，层 $M+1$ 及以上最近距离一，完成最近距离一。两座塔的已检查前缀完全相同。$\square$

因此仅凭任何有限前缀都不能普遍认证完成距离小于一；若一个仅观察前缀的确定停止程序在永久粗塔上于有限层认证小误差，同一前缀后的延迟细化塔就推翻其认证。额外尾部信息可改变这个问题，定理本身没有提供这种信息、统一收敛模、有限取得成本、运行时或样本界。这里的不可判别性来自两个具体塔，不是从尚未找到停止算法推断不存在算法。

### 38.7 共同来源的组合条件与尺度的语义

主卷第124.9节的共同分支条件、第124.10节的共同联合权重求和仍是组合的前提：两份边界可以分别有完成律，而未必来自同一实际来源、同一分支或同一份档案。保留整个相容联合塔才支持恢复卷的柱 TV 等式；单独坐标上的延拓不能清除未列入的联合义务。恢复卷第3.2–3.4节的联合合法状态区别及第9.3节的值／实现收敛区别，在这里分别表现为来源提升、档案关联与指定解码器相容性的独立条件。

共同来源上的等核规范运输还满足主卷命题133.1的 cocycle 恒等式：若 $h_{ij}(q_i\omega)=q_j\omega$ 且这些读数核相同，则 $h_{jk}h_{ij}=h_{ik}$，绕坐标循环的复合为恒等。本节循环约束中的非平凡闭合置换 $g$ 是另行规定的关系数据，并非这种规范等核运输的反例。

层指标 $l$ 表示分辨率，不是物理钟或执行次数。恢复卷的定理固定同一个有限 $n$；跨尺度相容不等于所有时间长度上的联合相容。只有经典标签 Borel 律及 TV 的结论，也不提供量子外部参考安全、动态共轭、物理波方程、熵产生、时间涌现或稳定内部参数识别。第36节的共同量子记忆与参考合同、第37节的实际档案／合法准备和其他相对钟、动力学接口，各自继续要求其原有的联合实现、允许操作、误差及资源条件。

这一体边对应具体连接的是有限联合关系、全尺度相容边界、完成概率及一个共同半径中的恢复见证。比较对象若是整个来源与完整观察者，就必须把全部已获记录、来源关系和历史同时保留在相应联合模型中；用任务摘要替换它们会改变问题。命题38.2–38.4给出的来源承载、固定准备及记录身份障碍，均不因拓扑完成而消失。

## 38.99 追加锚

## 39. 保留共同来源的完成化、最优世界总变差与抵消缺口

### 39.1 同一世界、标签与联合来源的可数塔

**定义 39.1（声明来源的完成化合同）。** 对每个 $l\in\mathbb N_0$，给有限非空离散空间 $W_l,Z_l,U_l$，以及处处定义的连接映射
$$
\alpha_l:W_{l+1}\to W_l,\qquad
\beta_l:Z_{l+1}\to Z_l,\qquad
\gamma_l:U_{l+1}\to U_l.
$$
不要求任何连接映射满射。标签读出 $\lambda_l:W_l\to Z_l$、来源读出 $\sigma_l:W_l\to U_l$ 满足
$$
\lambda_l\alpha_l=\beta_l\lambda_{l+1},\qquad
\sigma_l\alpha_l=\gamma_l\sigma_{l+1}.
\tag{39.1}
$$
写 $W_\infty=\varprojlim(W_l,\alpha_l)$，并同样定义 $Z_\infty,U_\infty$；均取紧可度量逆极限拓扑及其 Borel $\sigma$ 代数。坐标记为 $\pi_l^W,\pi_l^Z,\pi_l^U$。交换式逐坐标诱导连续读出 $\lambda_\infty:W_\infty\to Z_\infty$、$\sigma_\infty:W_\infty\to U_\infty$。

固定一个实际 Borel 概率 $\rho_\infty$，只用它的投影 $\rho_l=(\pi_l^W)_*\rho_\infty$，并定义
$$
P_l=(\lambda_l)_*\rho_l,\quad \nu_l=(\sigma_l)_*\rho_l,\qquad
P_\infty=(\lambda_\infty)_*\rho_\infty,\quad
\nu_\infty=(\sigma_\infty)_*\rho_\infty.
\tag{39.2}
$$
$U_l$ 是该层所声明全部来源条目的联合取值空间，$\nu_l$ 是它们的联合律；分别列出来源边缘会定义一个较弱的问题。各层实际律来自这同一个实际对象，不能独立拟合后只保留若干相同边缘。

给定相容目标概率 $(\beta_l)_*Q_{l+1}=Q_l$；其唯一完成 Borel 律 $Q_\infty$ 由定理39.3构造。给合法世界集合 $A_l\subseteq W_l$，满足
$$
\alpha_l(A_{l+1})\subseteq A_l,\qquad
A_\infty=\bigcap_{l\ge0}(\pi_l^W)^{-1}(A_l).
\tag{39.3}
$$
有限及完成准入类规定为全部且仅有
$$
\begin{aligned}
\mathcal L_l=\{\theta_l\in\operatorname{Prob}(W_l):\;&
(\lambda_l)_*\theta_l=Q_l,\quad
(\sigma_l)_*\theta_l=\nu_l,\quad\theta_l(A_l)=1\},\\
\mathcal L_\infty=\{\theta\in\operatorname{Prob}_{\rm Borel}(W_\infty):\;&
(\lambda_\infty)_*\theta=Q_\infty,\quad
(\sigma_\infty)_*\theta=\nu_\infty,\quad\theta(A_\infty)=1\}.
\end{aligned}
\tag{39.4}
$$
假设对每个 $l$ 都有 $\mathcal L_l\ne\varnothing$。这是来源、目标和支撑的同时可行性，不由各边缘分别可行推出。概率允许任意实数质量及零质量；例子的严格正性不是一般前提。若改为要求所有候选逐点严格正，闭性和最小值达到性可能丢失。

实际合法性 $\rho_\infty(A_\infty)=1$ 不属于下述距离定理的必要假设。将实际律作为可行候选或合法供给律时，须另加相应合法性及目标条件。额外的档案、参考、准备、机制或原来源限制，须以自己的非空紧有限类、投影保持及准确完成语义接入；称 $U$ 为联合来源不证明全部已获关系已被纳入。任意 $W_l$ 不是字面上的循环元组字母表 $B_l^n$；本节不假设循环置换、割支撑或循环剩余量。

**命题 39.2（已获标签的来源因子化障碍）。** 若某层 $\lambda_l=f_l\sigma_l$，则有限可行性强制 $Q_l=P_l$。若另有 $\rho_l(A_l)=1$，实际律即为可行候选，最小世界距离为零。在完成层，若有可测 $f_\infty:U_\infty\to Z_\infty$ 使 $\lambda_\infty=f_\infty\sigma_\infty$，同样强制 $Q_\infty=P_\infty$；再加实际合法性才得到零最小距离。

证明。对任一有限可行 $\theta_l$，
$$
Q_l=(\lambda_l)_*\theta_l=(f_l)_*(\sigma_l)_*\theta_l
=(f_l)_*\nu_l=(\lambda_l)_*\rho_l=P_l.
\tag{39.5}
$$
加上实际合法性后，$\rho_l$ 满足（39.4）的全部条件，且到自身距离为零。完成情形使用同一推前等式及可行类非空性，证明相同。$\square$

因此已经由保留档案确定的标签不能在声称保留该档案时改成不同目标。非平凡修复只能针对尚未固定的任务变量、完整记录合同中仍有的不确定性，或另有等价及取得条件的新表示。实际合法性本身不使任意目标的费用为零；也不授权改写已经取得的事件及其来源。

### 39.2 非满射延拓与同一半径中的最优世界律

**定理 39.3（声明来源下的达到最小值与有限上确界）。** 在定义39.1下，每个有限最小值及完成最小值都存在且达到。采用有限概率的 $\operatorname{TV}(p,q)=\frac12\sum_w|p(w)-q(w)|$、Borel 概率的 $\operatorname{TV}(p,q)=\sup_E|p(E)-q(E)|$，记
$$
d_l=\min_{\theta_l\in\mathcal L_l}\operatorname{TV}(\rho_l,\theta_l),\qquad
d_\infty=\min_{\theta\in\mathcal L_\infty}\operatorname{TV}(\rho_\infty,\theta).
\tag{39.6}
$$
则
$$
\boxed{\mathcal L_\infty\ne\varnothing,\qquad
 d_l\uparrow d_\infty=\sup_{l\ge0}d_l.}
\tag{39.7}
$$
对任意固定 $c\ge0$，所有有限层各有距离不超过 $c$ 的可行律，当且仅当有一个完成可行律的距离不超过 $c$。

证明分为以下四个应用检查。紧选择、弱拓扑识别、柱事件逼近及共同半径方法分别使用[恢复卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_RECOVERY_GEOMETRY.md)引理33.3、定理33.6、33.9、33.11及推论33.12的相应证明步骤；世界、来源及非满射载体条件在这里逐项履行。

#### 39.2.1 有限类的紧性与投影保持

$\mathcal L_l$ 是有限概率单纯形与标签、来源仿射等式及 $A_l$ 外坐标为零条件的交，故为紧凸多面体，且由假设非空。对任一 $\theta_{l+1}\in\mathcal L_{l+1}$，
$$
\begin{aligned}
(\lambda_l)_*(\alpha_l)_*\theta_{l+1}
 &=(\beta_l)_*(\lambda_{l+1})_*\theta_{l+1}
   =(\beta_l)_*Q_{l+1}=Q_l,\\
(\sigma_l)_*(\alpha_l)_*\theta_{l+1}
 &=(\gamma_l)_*(\sigma_{l+1})_*\theta_{l+1}
   =(\gamma_l)_*\nu_{l+1}=\nu_l.
\end{aligned}
\tag{39.8}
$$
最后一个来源等式使用实际律的相容性。由（39.3），该推前在 $A_l$ 上质量为一，所以
$$
(\alpha_l)_*\mathcal L_{l+1}\subseteq\mathcal L_l.
\tag{39.9}
$$
这些限制映射连续仿射，不必满射。恢复卷引理33.3适用于这组非空紧 Hausdorff 空间，给一个相容候选族；它是 Stacks 0A2R 的可数链情形。[^rroctx39_stacks] 此结论不保证任意预定有限候选可延伸。概率多面体通常有无限多个点，不能以“字母表有限”为由把要求对象载体有限的线程定理直接用于它们。

#### 39.2.2 Fremlin 418Q 的非满射概率延拓检查

对选出的相容族 $\theta_l$，每个 $(W_l,\mathcal P(W_l),\theta_l)$ 配有限离散拓扑，是完全、局部确定、Hausdorff、局部有限且对紧集内正则的 Radon 概率空间。$\alpha_l$ 连续，故 almost continuous；并且对任意 $E\subseteq W_l$，
$$
\theta_{l+1}(\alpha_l^{-1}E)=\theta_l(E).
\tag{39.10}
$$
这是 inverse-measure-preserving 条件。Fremlin 418Q 对这样的序列给实际线程空间上的唯一相容 Radon 概率。[^rroctx39_fremlin] 按其411H的完全 Radon 约定，取所得概率的 Borel 限制作为本节的 $\theta$；有限坐标开闭柱生成 $W_\infty$ 的 Borel $\sigma$ 代数，故指定柱概率唯一确定这个 Borel 限制。对 $(Z_l,Q_l,\beta_l)$ 逐项作同一检查，构造 $Q_\infty$。来源完成律已由实际推前 $\nu_\infty$ 给定。

这里没有满射假设，也没有把恢复卷定理33.4依赖投影满射的柱预测度证明删去前提后套用。使用的是418Q，不是不加限定的418O；结论也不扩张至任意额外指定的可测事件域。

零质量点解释了非满射时的空柱。令 $\alpha_{l:m}=\alpha_l\cdots\alpha_{m-1}$，$\alpha_{l:l}=\mathrm{id}$。对固定 $l$，每个相容概率族在 $\alpha_{l:m}(W_m)$ 上质量为一。这些有限集合随 $m\ge l$ 递减，其交恰为可延伸的 $l$ 层坐标：一方向由线程投影成立；另一方向，对交中一点，任意有限组线程方程及指定坐标可用足够高层的一个提升满足，恢复卷引理33.3所用的紧乘积有限交论证遂给完整线程。因此不能延伸的点必有零相容质量，空柱不造成概率冲突，不必删掉零质量载体点。

#### 39.2.3 完成可行类的精确识别

上述延拓的标签推前满足
$$
(\pi_l^Z)_*(\lambda_\infty)_*\theta
=(\lambda_l)_*(\pi_l^W)_*\theta=Q_l.
\tag{39.11}
$$
柱唯一性给 $(\lambda_\infty)_*\theta=Q_\infty$。来源推前同理等于 $\nu_\infty$；每个合法柱质量一，可数交仍质量一，故 $\theta(A_\infty)=1$。这证明延拓在 $\mathcal L_\infty$ 中。

反向，任意 $\theta\in\mathcal L_\infty$ 的坐标投影保持两个读出等式，且 $A_\infty\subseteq(\pi_l^W)^{-1}A_l$，故属于每个 $\mathcal L_l$。于是得到精确仿射双射
$$
\mathcal L_\infty\cong
\varprojlim\bigl(\mathcal L_l,(\alpha_l)_*\bigr).
\tag{39.12}
$$
它在概率弱拓扑下为同胚：坐标开闭柱的指示函数连续，给正向连续；恢复卷定理33.6以共同有限柱分割一致逼近连续函数的论证给逆向连续。该论证只在非空柱分块选函数值，不要求坐标满射。右侧是紧乘积的闭子集，因此 $\mathcal L_\infty$ 弱紧。也可直接看出 $A_\infty$ 闭、固定连续推前条件弱闭。完整相容族确定唯一概率，不等于最优族唯一、原世界唯一或 TV 弱连续。

#### 39.2.4 柱 TV、单调距离与共同半径

实际逆极限上的开闭柱仍构成生成 Borel 事件的代数，有限组柱总能在同一较高层表达。对有限测度 $\rho_\infty+\theta$，恢复卷定理33.9的生成代数事件逼近论证因此适用，给
$$
\operatorname{TV}(\rho_\infty,\theta)
=\sup_l\operatorname{TV}\bigl(\rho_l,(\pi_l^W)_*\theta\bigr).
\tag{39.13}
$$
原先满射条件用于柱内容赋值，不用于此 Borel 逼近步骤。式（39.13）亦适用于共同的 $(\rho_\infty+\theta)$-完成事件域；任意未声明的更大事件域不在内。右侧是弱连续有限目标的上确界，故完成 TV 弱下半连续，一般不弱连续。

有限 TV 连续，有限最小值达到。对任意细层可行律，用（39.9）、实际相容性及有限确定通道收缩，得
$$
d_l\le\operatorname{TV}(\rho_l,(\alpha_l)_*\theta_{l+1})
\le\operatorname{TV}(\rho_{l+1},\theta_{l+1}).
\tag{39.14}
$$
所以 $d_l\le d_{l+1}$。所用有限收缩由 `total_variation_channel_le` 供应，确定核为 $\mathbf1_{\alpha_l(w)=v}$，非负且每行和一。置 $c=\sup_l d_l\in[0,1]$，定义共同半径集
$$
\mathcal G_l(c)=\{\theta_l\in\mathcal L_l:
          \operatorname{TV}(\rho_l,\theta_l)\le c\}.
\tag{39.15}
$$
各集非空紧，且由（39.14）映入前层。再次应用紧选择及39.2.2的延拓检查，得到同一个 $\theta^*\in\mathcal L_\infty$。式（39.13）给其距离不超过 $c$。任意完成可行律投影于每个有限类，距离又至少每个 $d_l$，故至少 $c$。这证明（39.7）和达到性。

对任意共同半径 $c\ge0$，若每个 $\mathcal G_l(c)$ 非空，同一论证给半径内的完成律；反向由投影收缩。这并不声称按各自最小半径独立选出的有限 argmin 相容，也不是不附条件地交换 $\sup$ 与 $\min$。$\square$

**命题 39.4（非满射与零质量载体的边界）。** 取所有 $W_l=\{0,1\}$、$\alpha_l\equiv0$，标签及来源均为单点，$A_l=W_l$，实际律为唯一线程 $(0,0,\ldots)$ 的点质量。则各有限可行类为整个二点概率单纯形，而其连接映射恒为 $\delta_0$，不满射；完成可行类仅有上述实际点律，所有最近距离为零。

证明。每个线程的每个坐标都被下一坐标映到零，故线程空间仅有全零点。有限目标和来源条件只要求总质量一，所以有限类确为整个单纯形。相容族必须在每层等于 $\delta_0$；载体点 $1$ 的柱为空且相容质量零。实际律在所有层可行，到自身距离零。全部非空、紧性、读出交换和支撑保持条件均满足。$\square$

### 39.3 标签距离、额外费用及全尺度量词

**命题 39.5（两个单调极限的差）。** 在定义39.1下，置
$$
\tau_l=\operatorname{TV}(P_l,Q_l),\qquad
\tau_\infty=\operatorname{TV}(P_\infty,Q_\infty),\qquad
g_l=d_l-\tau_l,\quad g_\infty=d_\infty-\tau_\infty.
\tag{39.16}
$$
则 $\tau_l\uparrow\tau_\infty$，且
$$
0\le\tau_l\le d_l\le1,\qquad
0\le\tau_\infty\le d_\infty\le1,\qquad
\boxed{g_\infty=\lim_l g_l=\sup_l d_l-\sup_l\tau_l.}
\tag{39.17}
$$
差 $g_l$ 一般既不递增也不递减，不能以 $\sup_l g_l$ 代替其极限。若 $\tau_\infty>0$，则 $\tau_l$ 最终正且 $d_l/\tau_l\to d_\infty/\tau_\infty$，但没有一般的比值上确界公式。

证明。在标签逆极限上应用39.2.4的柱 TV 检查及投影收缩，得 $\tau_l$ 的单调收敛。对每个可行律经 $\lambda_l$ 或 $\lambda_\infty$ 推前，TV 收缩给标签下界；概率 TV 至多一。定理39.3使两个单调数列都收敛，相减即得（39.17），正分母的比值结论由商的极限法则得到。命题39.9–39.11给出差的两个变化方向及比值上确界失败的具体实现。$\square$

若 $\tau_\infty=0$，各层标签距离也为零，比值没有定义，加法费用仍有意义。此时 $Q_\infty=P_\infty$；只有另加实际合法性，$\rho_\infty$ 才属于 $\mathcal L_\infty$ 并给 $d_\infty=0$，所得 $0/0$ 仍未定义。合法性不能遗漏：取恒等世界塔 $W_l=\{0,1\}$，单点标签、单点来源，实际律 $\delta_0$，合法集 $A_l=\{1\}$，目标为唯一标签律。每层及完成层唯一合法候选为 $\delta_1$，所以 $\tau_l=\tau_\infty=0$，$d_l=d_\infty=1$。这直接由不交点质量的 TV 为一证明；定理39.3容许该比较律，要求实际合法供给的流解释则不容许。

**命题 39.6（完成等距离的共同半径判据）。** 下列条件等价：
$$
\begin{aligned}
d_\infty=\tau_\infty
&\iff \exists\theta\in\mathcal L_\infty:
     \operatorname{TV}(\rho_\infty,\theta)=\tau_\infty\\
&\iff \forall l,\ d_l\le\tau_\infty\\
&\iff \forall l,\ \mathcal G_l(\tau_\infty)\ne\varnothing\\
&\iff \lim_l g_l=0.
\end{aligned}
\tag{39.18}
$$
此外，对每个 $\epsilon\ge0$，
$$
\begin{aligned}
g_\infty\le\epsilon
&\iff \forall l,\ d_l\le\tau_\infty+\epsilon\\
&\iff \forall\eta>0\ \exists N\ \forall l\ge N,\
               d_l\le\tau_l+\epsilon+\eta.
\end{aligned}
\tag{39.19}
$$

证明。（39.18）的第一步使用最小值达到及标签收缩下界；第二步使用 $d_\infty=\sup_l d_l$；第三步使用有限最小值达到；最后一步使用（39.17）。式（39.19）的第一步仍由上确界公式。若 $g_\infty\le\epsilon$，收敛保证对任意 $\eta>0$ 最终有 $g_l\le\epsilon+\eta$；反向，把每个这样的最终不等式取极限，再令 $\eta\downarrow0$，得 $g_\infty\le\epsilon$。$\square$

式（39.18）在每一层使用同一个半径 $\tau_\infty$，不是各自的 $\tau_l$。若所有层，或只在一个无界共尾层集上，有 $d_l=\tau_l$，则收敛的 $g_l$ 有零子序列，完成等距离成立；命题39.9证明全层有限等距离并非必要。有限等距离候选集合也未必被投影保持。这些是全尺度断言，不能当作有限停止程序。

若某一层 $\tau_l=\tau_\infty$，且完成等距离成立，则
$$
\tau_l\le d_l\le d_\infty=\tau_\infty=\tau_l,
\tag{39.20}
$$
该层必等距离。特别地，若所有标签限制对这一个实际／目标概率对都保 TV，则 $\tau_l$ 全相等，逐层等距离与完成等距离等价；这是额外的无抵消条件，不是定义39.1的默认性质。

### 39.4 有限符号约束与合法来源流的准确适用域

**命题 39.7（有限等距离的线性可行条件）。** 固定一层，令未知有符号质量 $h:W_l\to\mathbb R$，并置 $e(z)=Q_l(z)-P_l(z)$。则 $d_l=\tau_l$ 当且仅当以下条件同时可满足：
$$
\begin{cases}
h(w)\ge0,&e(\lambda_l(w))>0,\\
h(w)\le0,&e(\lambda_l(w))<0,\\
h(w)=0,&e(\lambda_l(w))=0,
\end{cases}
\tag{39.21}
$$
$$
\sum_{\lambda_l(w)=z}h(w)=e(z),\qquad
\sum_{\sigma_l(w)=u}h(w)=0,\qquad
\rho_l(w)+h(w)\ge0,
\tag{39.22}
$$
$$
\rho_l(w)+h(w)=0\quad(w\notin A_l).
\tag{39.23}
$$
这些条件保留零质量世界及中性标签纤维，且不要求实际律合法。

证明。若 $d_l=\tau_l$，取达到者 $\theta_l$，设 $h=\theta_l-\rho_l$。用既有 `total_variation_channel_eq_iff_no_sign_mixing`，取有限确定核 $K(w,z)=\mathbf1_{\lambda_l(w)=z}$，其每项非负、每行和一。定理说明 TV 等号恰要求每个标签纤维不混合正负差。结合纤维总差为 $e(z)$，正总差只能逐点非负，负总差只能逐点非正，零总差则逐点零，正是（39.21）；（39.22）–（39.23）由准入条件得到。这也正是命题37.8及（37.15）–（37.16）的确定读出情形，不另证明一般等号机制。

反向，设这些式子成立，定义 $\theta_l=\rho_l+h$。它非负、合法，标签平衡给 $Q_l$，对全部标签求和给总质量一；来源平衡给 $\nu_l$。于是它可行，（39.21）经同一个既有等号定理给世界 TV 为 $\tau_l$。结合标签下界，便有 $d_l=\tau_l$。$\square$

在实际合法的情形 $\rho_l(A_l)=1$，精确匹配定理37.10的方法是把它的世界载体取为 $W'=A_l$，实际律取 $\rho_l|_{A_l}$，标签、来源映射均限制到 $A_l$；候选在 $W_l\setminus A_l$ 置零。这不改变任何实际或候选距离、标签边缘或来源边缘，并使该定理“载体上全部且仅有指定来源边缘的概率律”前提成立。

具体地，亏损标签集为 $D=\{z:e(z)<0\}$，盈余标签集为 $R=\{z:e(z)>0\}$。在亏损世界置 $r_w=-h(w)$，在盈余世界置 $t_v=h(v)$。则 $0\le r_w\le\rho_l(w)$、$t_v\ge0$，只允许合法世界接收；合法零实际质量世界也可接收。标签移除和加入总量分别为 $-e(z)$、$e(z)$，中性标签逐点不变。每个联合来源值 $u$ 内的总移除与总加入相等。

定理37.10的（37.17）在这里取
$$
r_{z,u}=\sum_{\substack{w\in A_l\\\lambda_l(w)=z,\ \sigma_l(w)=u}}\rho_l(w),\qquad
W'_{z,u}=A_l\cap\lambda_l^{-1}\{z\}\cap\sigma_l^{-1}\{u\}.
\tag{39.24}
$$
其网络容量依次为源到亏损标签的 $-e(z)$、亏损标签到来源的 $r_{z,u}$、来源到盈余标签的 $\tau_l$（仅当 $W'_{z,u}\ne\varnothing$ 有此弧）、盈余标签到汇的 $e(z)$。达到值 $\tau_l$ 的满流与（39.21）–（39.23）等价。其证明中的来源内分配可在本符号下写为：对共同来源的亏损世界 $w$ 和合法盈余世界 $v$，若该来源总移除为 $M_u>0$，取 $F_{wv}=r_wt_v/M_u$；若 $M_u=0$，全取零。来源平衡给行和 $r_w$、列和 $t_v$。反向由这类流的行列和恢复 $h$。零来源供给没有除法；初始零质量的非空合法接收格仍可接收。一般有限耦合提升不替代这些支撑、容量及来源条件。

这个流判据判断的是 $d_l=\tau_l$，不是较弱的全局条件 $d_l\le\tau_\infty$。细标签能够分开粗标签内互相抵消的变化，所以细层等距离候选投到粗层后可有严格世界／标签缺口。

若实际律不合法，须保留命题39.7的有符号形式，不能原样套用上述载体限制。式（39.23）强制非法世界 $h(w)=-\rho_l(w)$。若此处实际质量正，等距离就要求它属于亏损标签并移除全部质量，即 $r_w=\rho_l(w)$；非法中性或盈余世界有正实际质量时，等距离不可能。非法零质量世界仍为零、不能接收。这些结论直接由（39.21）和（39.23）得出；它们不把非法实际律当成合法供给律。

### 39.5 同一四世界实现中的两种相反细化

**定义 39.8（四世界共同数据）。** 世界按 $(w_{a0},w_{a1},w_{b1},w_{b2})$ 排列；实际律 $\rho$ 及指定候选 $\bar\theta$、共同来源、两种标签读出规定如下。表39.1的所有世界均合法；世界集合仅有这四个来源／标签关联，不是整个 $U\times Z$。

| 表39.1世界 | 联合来源 | 粗标签 | 分裂标签 | 实际 $\rho$ | 候选 $\bar\theta$ |
|---|---|---|---|---:|---:|
| 39.1a $w_{a0}$ | $a$ | $0$ | $0$ | $3/8$ | $1/4$ |
| 39.1b $w_{a1}$ | $a$ | $1$ | $1_a$ | $1/8$ | $1/4$ |
| 39.1c $w_{b1}$ | $b$ | $1$ | $1_b$ | $3/8$ | $1/4$ |
| 39.1d $w_{b2}$ | $b$ | $2$ | $2$ | $1/8$ | $1/4$ |

目标标签律在各层均取 $\bar\theta$ 的读出推前，实际标签及来源律均取同一 $\rho$ 的推前。世界连接映射在以下各塔中恒为恒等，所以 $W_\infty$ 典范识别为这同一个四世界集合；上述两律同时给出一个实际完成律和一个相容可行完成律。所有显示的质量严格正。

**命题 39.9（分裂标签使有限正缺口消失）。** 第0层取粗标签 $\{0,1,2\}$，第1层起取分裂标签 $\{0,1_a,1_b,2\}$；$\beta_0$ 合并 $1_a,1_b$ 为 $1$，其余标签不变，以后恒等。所有层的来源均为 $\{a,b\}$，来源连接恒等。则
$$
\begin{aligned}
P_0&=(3/8,1/2,1/8),&Q_0&=(1/4,1/2,1/4),\\
d_0&=1/4,&\tau_0&=1/8,&g_0&=1/8,\\
d_l&=1/4,&\tau_l&=1/4,&g_l&=0\quad(l\ge1),\\
d_\infty&=\tau_\infty=1/4,&g_\infty&=0.
\end{aligned}
\tag{39.25}
$$

证明。两层读出交换逐世界成立，来源实际及候选质量都是 $(1/2,1/2)$。粗层端点标签 $0,2$ 各只有一个世界，所以可行候选必须在 $w_{a0},w_{b2}$ 各放 $1/4$。来源质量各为 $1/2$ 又迫使另外两个世界各为 $1/4$；故 $\mathcal L_0=\{\bar\theta\}$。四个差依次为
$$
\bar\theta-\rho=(-1/8,+1/8,-1/8,+1/8),\qquad
Q_0-P_0=(-1/8,0,+1/8).
\tag{39.26}
$$
世界 TV 为 $1/4$，粗标签 TV 为 $1/8$。粗标签1内的两项差 $+1/8,-1/8$ 抵消，总差零却没有逐点不变，违反（39.21）的中性条件，故不存在粗层等 TV 流。

细层标签读出单射，目标强制候选仍为 $\bar\theta$，此时标签没有抵消，TV 与世界 TV 均为 $1/4$。其后恒等，定理39.3和命题39.5给完成数值。$\square$

可行类连接是两个单点间的双射，现象不来自可行映射不满射。这里 $g_\infty=0<\sup_l g_l=1/8$；粗层比值为2、完成比值为1，故比值的上确界也不是完成比值。它同时证明完成等距离不要求所有有限层等距离，细层等距离候选的粗投影可不等距离。

**命题 39.10（细化来源使零缺口变正）。** 保持定义39.8的世界、实际律、粗标签及目标 $(1/4,1/2,1/4)$。第0层来源为单点，第1层起来源读出为 $a/b$，$\gamma_0$ 把两者送到单点，其余连接恒等。则
$$
(d_0,\tau_0,g_0)=(1/8,1/8,0),\qquad
(d_l,\tau_l,g_l)=(1/4,1/8,1/8)\quad(l\ge1),
\tag{39.27}
$$
完成值为 $(d_\infty,\tau_\infty,g_\infty)=(1/4,1/8,1/8)$。

证明。所有读出交换仍成立。粗层的整个可行类可写成
$$
\theta(x)=(1/4,x,1/2-x,1/4),\qquad 0\le x\le1/2.
\tag{39.28}
$$
它与实际律的四项差为 $(-1/8,x-1/8,1/8-x,+1/8)$，故
$$
\operatorname{TV}(\rho,\theta(x))=1/8+|x-1/8|.
\tag{39.29}
$$
因此唯一粗层最优候选
$$
\theta^{(0)}=(1/4,1/8,3/8,1/4)
\tag{39.30}
$$
达到标签下界 $1/8$；中间两个世界不变，符合中性纤维条件。它的细来源质量却为 $(3/8,5/8)$，不等于实际 $(1/2,1/2)$。第1层来源保留强制 $x=1/4$，即唯一候选 $\bar\theta$，由（39.29）得距离 $1/4$。标签一直粗，距离一直 $1/8$；恒等续接给完成值。$\square$

**命题 39.11（共同三层塔的缺口先升后降）。** 在同一四世界上，先细化来源、再分裂标签，形成表39.2的塔；世界律始终为定义39.8的同一 $\rho$，目标始终为同一 $\bar\theta$ 的标签推前。

| 表39.2层 | 来源视图 | 标签视图 | $d_l$ | $\tau_l$ | $g_l$ |
|---|---|---|---:|---:|---:|
| 39.2a 第0层 | 单点 | 粗标签 | $1/8$ | $1/8$ | $0$ |
| 39.2b 第1层 | $a/b$ | 粗标签 | $1/4$ | $1/8$ | $1/8$ |
| 39.2c 第2层及以后 | $a/b$ | 分裂标签 | $1/4$ | $1/4$ | $0$ |

这是一座满足定义39.1全部条件的塔，而 $g_l$ 为 $0,1/8,0,0,\ldots$，故没有任一方向的一般单调性。

证明。世界连接恒等；$\gamma_0$ 合并来源、以后恒等；$\beta_0$ 恒等、$\beta_1$ 合并分裂标签、以后恒等。逐世界读出平方交换，全支撑向下保持。第0层可行类是（39.28），第1层及以后为 $\{\bar\theta\}$，故非空紧并被投影保持；其中 $\bar\theta$ 是一份共同可行线程。两种距离分别由命题39.10的前两层、命题39.9的细层给出。完成来源与标签都是最终视图，实际及候选均没有换律。$\square$

这些层是同一个完成来源合同的不同有限表示。若 $a/b$ 记录已经取得，单点来源问题只是一种数学松弛，其较便宜的 $\theta^{(0)}$ 不是完整观察者的合法修复。细化不能授权删除已获记录；第0层的数值下界与第1层的实际约束属于不同的有限可行问题。

**命题 39.12（延迟细化的共同有限前缀）。** 对任意 $N\ge0$，可以有两座塔在全部 $l\le N$ 的载体、读出、实际律、目标、来源律、合法支撑及前缀内部连接完全相同，完成额外费用却分别为 $1/8$ 和零。也可以令共同前缀的所有费用缺口为零，而两种完成费用分别为零和 $1/8$。

证明。第一对塔把命题39.9的粗层重复至 $N$。一座永远保持粗标签，完成类为 $\{\bar\theta\}$，距离为 $d_\infty=1/4,\tau_\infty=1/8$；另一座在 $N+1$ 才分裂标签，随后恒等，完成距离都为 $1/4$，故缺口零。第二对塔把命题39.10的单点来源阶段重复至 $N$。一座永远保持单点来源，完成最优候选为 $\theta^{(0)}$、缺口零；另一座在 $N+1$ 才显露 $a/b$，随后恒等，完成候选被迫为 $\bar\theta$、缺口 $1/8$。四座塔均使用同一四世界实际律、全合法支撑，目标为 $\bar\theta$ 的相应标签推前；没有在层间替换分布。

更一般，把命题39.11的来源显露延迟到任意 $M>N$、标签分裂延迟到任意 $L>M$，中间都以恒等映射填充，便得同一共同塔上任意延迟的 $0\to1/8\to0$。交换、相容及可行保持由未填充的三个阶段逐段继承。$\square$

因此单凭任意已检查的有限前缀，没有对所有这些续接都正确的完成等号判断：正缺口平台和零缺口平台都能接到另一种完成答案。这是有限前缀的不可区分性结论，不是计算理论的不可判定定理；它不排除带额外尾部证书的程序。

### 39.6 两种真实尾界与严格有限证书

**命题 39.13（标签尾、世界尾及有向区间）。** 假设某应用另外供应对这一实际塔成立的已认证非负界
$$
0\le\tau_\infty-\tau_l\le a_l,\qquad
0\le d_\infty-d_l\le b_l.
\tag{39.31}
$$
则
$$
\boxed{\max\{0,g_l-a_l\}\le g_\infty\le g_l+b_l.}
\tag{39.32}
$$
若还给有限值的严格包围 $d_l\in[d_l^-,d_l^+]$、$\tau_l\in[\tau_l^-,\tau_l^+]$，则
$$
\boxed{\max\{0,d_l^- -\tau_l^+ -a_l\}\le g_\infty
       \le d_l^+ -\tau_l^- +b_l.}
\tag{39.33}
$$

证明。恒等式
$$
g_\infty=g_l+(d_\infty-d_l)-(\tau_\infty-\tau_l)
\tag{39.34}
$$
中，世界尾增加差、标签尾减少差。分别使用（39.31）两端并结合 $g_\infty\ge0$，得（39.32）。把 $g_l=d_l-\tau_l$ 的下界取为 $d_l^- -\tau_l^+$，上界取为 $d_l^+ -\tau_l^-$，得到（39.33）。因此 $g_l>a_l$ 认证严格正完成费用，$g_l+b_l\le\epsilon$ 认证费用至多 $\epsilon$；严格包围的正下端或不超过 $\epsilon$ 的上端给对应结论。$\square$

命题39.9在第0层有 $(g_0,a_0,b_0)=(1/8,1/8,0)$，实际 $g_\infty=0$ 达到下端；命题39.10有 $(g_0,a_0,b_0)=(0,0,1/8)$，实际 $g_\infty=1/8$ 达到上端。两个尾方向都不能省略。命题39.11中，第0层的真实两尾均为 $1/8$，第1层标签尾为 $1/8$、世界尾为零，第2层起均零；这些数值由已知完整恒等续接证明，不能从暂时观察到的平台推得。

式（39.31）要求实际极限的独立证书，不是给未知余项取名。定理39.3的抽象收敛、一个有限最优律或已经经过的计算时间均不供应这些界，本节没有新估计来建立它们。若另外有未来逐步增量的可求和上界 $A_j,B_j$，满足 $\tau_{j+1}-\tau_j\le A_j$、$d_{j+1}-d_j\le B_j$，则对 $j\ge l$ 望远镜求和并取极限可取 $a_l=\sum_{j\ge l}A_j$、$b_l=\sum_{j\ge l}B_j$；这仍以这些上界已证为前提。若已证明整座塔从某层起结构恒等，两尾从该层起为零；有限次观察到恒等不证明全尾恒等。

有理且可取得的有限数据允许用精确可行候选和匹配的优化下界证书认证 $d_l$，用精确算术认证 $\tau_l$。四世界例中的（39.29）及唯一性约束就是这样的解析证书；仅印出数值优化器的小数不是严格包围。任意实数输入不自动提供可计算的数据或判定程序。

若额外尾界可有效趋零，且有限包围宽度也可有效趋零，则（39.33）的两端趋于 $g_\infty$：例如 $0\le d_l-d_l^-\le d_l^+-d_l^-\to0$，标签同理，连同（39.17）即可。于是严格正的 $g_\infty$ 最终给正下端；当 $g_\infty<\epsilon$ 有严格裕量时，最终给上端小于 $\epsilon$。这不保证 $g_\infty=0$ 或恰达阈值时有限终止。要保证这些边界情况的精确停止，还需零上界证书或合适的附加承诺；两极限误差会计本身不产生停止算法。

### 39.7 完整观察者与一个见证的共同合法延续

**定义 39.14（完整已获档案与声明来源的区别）。** 继续采用定义13.1、命题13.2、定义13.3、定理13.4、约定15.1及第35.1–35.3节的档案语义：保留全部已获内部及外部记录、来源身份与版本、相关性和已经取得的来源—标签关系、参考、准备与校准、控制器、可访问记忆、动作及其守卫、失败、时钟和合法联合取得顺序。有限任务标签只是这个观察者的一个视图。原先第13节的记录商以有限共同世界为域；这里另外给出定义39.1的共同可测实现，不从该有限定理无条件推出任意观察者都有可数有限塔表示。

式（39.4）精确保留 $\sigma_\infty$ 中已声明条目的联合律 $\nu_\infty$ 和所写支撑约束。这强于分别保留来源边缘，却不自动保留未列入的来源—标签、参考—世界及历史耦合。命题5.3和命题38.4已经分别给出相同边缘而共同输出不同、相同标签与档案边缘而联合差为一的反例。已获且相关的关系必须放进联合合同或额外准入条件，再验证39.2的非空、紧性、投影保持及精确完成语义；不能用来源边缘替代整个观察者。

同分布也不等于实际记录样本逐项同一。若在 $C=c$ 下分析，实际／候选共同模型须使用同一整份证据、来源和相应准入条件；适用的条件概率版本及支持条件仍需给定。合法操作顺序不等于概率独立；任何独立性主张都须相对于完整 $C$ 验证。命题39.2的因子化障碍仍约束被保留档案已经固定的标签。

**命题 39.15（先选一个最优律，再比较全部共同核）。** 固定定义39.1的一份合同。从定理39.3选择一个最优 $\theta^*\in\mathcal L_\infty$。对声明实验族中的每个 $E$，另外给到完整实验记录空间 $\mathcal T_E$ 的可测归一概率核
$$
K_E:W_\infty\rightsquigarrow\mathcal T_E.
\tag{39.35}
$$
双方输入均须处于此核的共同合法定义域，双方使用完全相同的 $K_E$。过程语义须保留相关来源、参考、控制、记忆和档案依赖，动作守卫、失败、允许随机化、可访问历史及取得次序，并明确实际输出律为 $\rho_\infty K_E$、候选输出律为 $\theta^*K_E$。则量词为
$$
\exists\theta^*\in\mathcal L_\infty:\quad
\operatorname{TV}(\rho_\infty,\theta^*)=d_\infty,\qquad
\forall E,\quad
\operatorname{TV}(\rho_\infty K_E,\theta^*K_E)\le d_\infty.
\tag{39.36}
$$
若完成等距离成立，右端为 $\tau_\infty$。若联合输出同时保留世界与该次记录，其 TV 恰为输入 TV。

证明。有限情况使用命题9.16及既有 `total_variation_channel_le`；一般可测核使用命题38.6的（38.5）–（38.6）。具体地，对任一记录事件 $H$，$f(w)=K_E(w,H)$ 可测且在 $[0,1]$ 中，层蛋糕公式给
$$
\left|\int f\,d(\rho_\infty-\theta^*)\right|
=\left|\int_0^1\bigl(\rho_\infty\{f>t\}-\theta^*\{f>t\}\bigr)\,dt\right|
\le\operatorname{TV}(\rho_\infty,\theta^*).
\tag{39.37}
$$
对 $H$ 取上确界得结论，证明没有改变已选的 $\theta^*$，因而对每个给定共同合法核都成立。保留世界的联合核为 $w\mapsto\delta_w\otimes K_E(w,\cdot)$；共同核收缩给一个方向，投影回世界给反方向，遂为等号。$\square$

式（39.36）不允许每次实验或每个时刻重新选最优世界律，也不从一族分别的输出不等式推出各个不同实验的任意联合耦合。它未提供随输入／目标合同变化的可测最优选择规则，或对所有合同共用的准备算法。静态重加权不供应这里作为前提的过程合同。

自适应实验必须由同一合法历史依赖策略生成，并确实表示为此共同核；若从有限核构造过程，还需它们的投影相容性及准确合法路径律语义。[机器学习卷](CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_ML.md)定理17.3的联合输出—后继核因子化与命题17.7的分开边缘反例承担相关过程边界。只知道 $\lambda_\infty$ 不使所有后续实验都可从标签执行；标签接口复用须另给核的合法因子化或运输、或已证充分接口。命题39.7针对一个概率对的 TV 等号并不是这个操作充分性定理。

共同核前提不能撤掉：单点输入上的两律相同、TV 为零，恒输出0的核和另一个恒输出1的核却给 TV 为一。这是直接的不交点律计算，不能用（39.36）比较已替换的机制。稀有事件后选择及两方分别重新归一化也不是一个共同归一核；统一条件结论仍需完整联合档案和明确的支撑事件概率下界。

**命题 39.16（原来源实现所需的附加等式）。** 另给可测原域 $(X,\Sigma_X)$ 和可测读出 $j:X\to W_\infty$。最优律的原来源实现要求有概率 $m$ 满足
$$
j_*m=\theta^*,
\tag{39.38}
$$
并满足独立规定的原来源、档案及机制限制。若 $m_0,j$ 都已固定，式（39.38）成为必须另证的 $j_*m_0=\theta^*$；完成律存在本身不改变这个固定推前。若允许选择原概率，且有 Borel 集 $B\subseteq j(X)$、$\theta^*(B)=1$ 及可测截面 $s:B\to X$、$js=\mathrm{id}_B$，则 $m=s_*(\theta^*|_B)$ 供应概率提升；额外限制仍须逐项满足。

证明。固定准备与读出时推前由定义唯一确定。对给定截面，$\theta^*|_B$ 总质量一，且 $j_*s_*(\theta^*|_B)$ 对每个 Borel 事件 $H$ 的值为 $\theta^*(B\cap H)=\theta^*(H)$，所以满足（39.38）。构造只证明推前关系，未证明它等于另一个独立固定准备。$\square$

[主卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)定理46.4–46.5、定义91.1及定理91.2区分紧拼接、指定有限延伸、完成空间与实际像；本卷命题38.2–38.3分别保留可数稠密来源无法承载完成律、目标可达仍不保固定准备的障碍。逐点可达、稠密性或集合论截面不是可测概率提升；其他提升路线需要自己的随机化、析取、合法性与取得前提。命题39.16没有自动保留独立指定的样本身份。

完成最优律是一份静态准入重加权，不供应合法准备协议、已经取得的未来样本、高效解码器、唯一原世界或存储／运行时间界。分辨率层号不充当物理时钟；经典 Borel 律及共同核 TV 也不供应量子外部参考保证。这些解释各需额外操作、因果、可测或物理假设。

### 39.8 数学供应与应用范围

**约定 39.17（本节的证明归属）。** 本节把既有紧选择、概率延拓和有限通道结果应用于声明联合来源的完成问题，四世界计算及双尾会计为 `repo-derived` 普通数学推导。Stacks 与 Fremlin 所用结论为 `literature-attested`；不主张一般逆极限或数据处理理论的新颖性，不把这些普通应用声明为新增形式化结果。表39.3列明供应对象及不能替代的前提。

| 表39.3项 | 供应对象 | 在本节的精确用途与边界 |
|---|---|---|
| 39.3a 紧选择 | 恢复卷引理33.3，主卷定理46.4；Stacks 0A2R | 非空紧空间及连续连接给相容选择，不需满射；不是任意指定有限候选的延伸算法。 |
| 39.3b 完成概率 | 恢复卷定理33.4；Fremlin 418Q、411H | 本节以39.2.2逐项核对非满射有限 Radon 序列，取 Borel 限制；不直接套用前者的满射柱内容证明。 |
| 39.3c 完成几何 | 恢复卷定理33.6、33.9、33.11及推论33.12，式（33.15）、（33.19）–（33.20）、（33.23）–（33.26） | 复用有限柱连续函数逼近、Borel 事件逼近和共同半径证明；来源、目标、支撑的相容保持由（39.8）–（39.12）承担。 |
| 39.3d 有限收缩 | [DataProcessing.lean](../../../D5/S3/TotalVariation/DataProcessing.lean)，`total_variation_channel_le` | 有限实函数与非负行随机通道；供应确定投影及有限共同后处理收缩，不建立来源可行性或概率完成。 |
| 39.3e 有限等号 | [DataProcessingEquality.lean](../../../D5/S3/TotalVariation/Equality/DataProcessingEquality.lean)，`total_variation_channel_eq_iff_no_sign_mixing`；命题37.8 | 在确定核上的符号同向条件给（39.21）；没有新的通用等号机制。 |
| 39.3f 来源流 | 定理37.10及（37.17）–（37.18） | 实际合法时以 $A_l$ 为世界载体，逐项匹配亏损容量、合法接收关联及共同来源平衡；非法实际支撑使用（39.21）–（39.23），不原样引用合法供给构造。 |
| 39.3g 有限耦合 | [FiniteCouplingPushforwardLift.lean](../../../D5/S3/ConceptDynamics/CausalMoments/FiniteCouplingPushforwardLift.lean)，`liftCoarseCoupling_marginals`、`liftCoarseCoupling_expectation` | 有理有限析取保持两个原边缘及配对读数，处理零纤维；不自动保留任意合法支撑、档案耦合或固定机制。 |
| 39.3h 状态线程 | [InverseLimitCompletion.lean](../../../D5/S3/ConceptDynamics/RefinementGeometry/InverseLimitCompletion.lean)，`stateThread_bijective_iff_complete_and_separates`；主卷定义91.1、定理91.2 | 类型层完备性与分离性、实际像与纤维提升；不提供独立指定原域上的概率提升。 |
| 39.3i 档案与延续 | 命题5.3、9.16、定义13.1–定理13.4、约定15.1、第35.1–35.3节、命题38.4及38.6 | 共同来源、完整已获记录、合法联合仪器及同核延续；固定来源边缘不能替代已获关联，预测、准备与过程接口分别有条件。 |
| 39.3j 联合过程 | 机器学习卷定理17.3、命题17.7 | 联合输出—后继核合同及后续记录反例，不是概率完成定理。 |
| 39.3k 有限载体边界 | [FiniteCofilteredLimit.lean](../../../D5/S3/ObserverMemory/InverseLimits/FiniteCofilteredLimit.lean)，`finite_cofiltered_limit_nonempty` | 明确要求对象载体有限，不能直接用于无限点的实概率多面体。 |
| 39.3l 有限事件边界 | [Metric.lean](../../../D5/S3/TotalVariation/Metric.lean)，`total_variation_eq_sup_event_gap` | 等质量有限函数的事件差公式，不是无限 Borel 柱 TV。 |
| 39.3m 特定层级边界 | [ProjectivePrimalConvergence.lean](../../../D5/S3/Weil/Budget/ProjectivePrimalConvergence.lean)，`projective_primal_convergence` | 特定圆周矩／预算层级且假设全可行类非空，不能替代本节的应用检查。 |
| 39.3n 已假设收敛边界 | [ProjectiveStrongDuality.lean](../../../D5/S3/Observer/Budget/ProjectiveStrongDuality.lean)，`projective_strong_duality` | 明确以 `projectiveConverges` 为前提，不能用来消除尚未证明的原始收敛义务。 |

本节的完成距离、有限抵消及后续共同核结论均附着于同一个实际律和声明的联合来源合同。双尾界、原来源提升及合法准备分别仍是额外假设；受限供应关系不构成文献优先权证明。

[^rroctx39_stacks]: The Stacks Project, [Lemma 5.14.6, tag 0A2R](https://stacks.math.columbia.edu/tag/0A2R)：余滤图中每个空间非空、拟紧、Hausdorff，映射连续，则逆极限非空；无满射条件。本节用于紧概率多面体及共同半径子集，不提供可测最优选择算法。

[^rroctx39_fremlin]: D. H. Fremlin, *Measure Theory*, [418Q，Chapter 41，PDF 第116页](https://www1.essex.ac.uk/maths/people/fremlin/chap41.pdf#page=116)：Radon 概率空间序列及 inverse-measure-preserving、almost continuous 连接函数，在实际线程空间上给唯一相容 Radon 概率。该书[411H，PDF 第5页](https://www1.essex.ac.uk/maths/people/fremlin/chap41.pdf#page=5)的 Radon 空间要求完全、局部确定、Hausdorff、局部有限及紧集内正则。有限离散幂集概率满足全部条件，包括零质量及非满射连接；本节只使用所得概率的 Borel 限制及柱生成的 Borel 唯一性。

## 39.99 追加锚

## 40. 实际延迟历史的饱和证书与未知基准上的相对间隔

本节把有限历史的 Gram 几何接到实际经过时间的恢复：瞬时端口可以不单射，足够的同源延迟关系可给单射的有效接口；其饱和须由真实嵌套历史认证。[主卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md)第126节、第137节与[恢复几何卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_RECOVERY_GEOMETRY.md)第10、12、13、15、21节供应有效空间、平坦性、正对数、残差与误差机制。以下是这些结果在有限历史相对钟任务中的 `repo-derived` 普通数学应用，不主张新的通用实现理论或物理时间定律。本节不以先前有限循环及完成化结论为前提。

### 40.1 完整观察者与实际延迟响应

**定义 40.1（保留全部档案的正伴随来源合同）。** 以 $C_{\rm acq}$ 表示完整已获档案，保留全部内部／外部记录和已取得的关系；以 $\mathcal F(C_{\rm acq})$ 表示满足整份档案、声明先验和合法取得历史的共同世界族。要求它非空并含实际世界。每个世界必须同时解释所有已获矩阵、实际准备、来源及参考身份、版本与关联、输入／输出内积与单位、增益、局部标签、可访问记忆、控制与动作、守卫及失败、联合顺序、误差和允许的联合误差事件。未测量的参数在同一个世界里受这些关系共同约束。使用本节的矩阵统计量只是从该观察者取一个任务视图，不删除其他已获信息；空可行族也不是恢复证书。合法操作顺序不等于概率独立；若另外主张独立，须相对于完整 $C_{\rm acq}$ 验证。本合同复用本卷第30—36节的完整世界、保留参考、联合误差、顺序与合法取得语义，不搬用那些节的 PDE、量子或编码前提。

对族中所比较的每个世界，固定有限维实内积空间 $H,U$、边界内积与
$$
B:H\longrightarrow U,\qquad C=C^*>0,\qquad
K(t)=Be^{-tC}B^*\quad(t\ge0).
\tag{40.1}
$$
输入为实际伴随 $B^*$，输出为 $B$；所有伴随使用指定内积。主卷第126.1节给
$$
\mathcal R=\operatorname{span}\{C^jB^*u:j\ge0,\ u\in U\},\qquad
 d=\dim\mathcal R,\qquad C_{\mathcal R}=C|_{\mathcal R}.
\tag{40.2}
$$
$\mathcal R$ 与 $\mathcal R^\perp$ 约化 $C$，$B\mathcal R^\perp=0$，且 $K$ 仅依赖 $C_{\mathcal R}$ 和 $B|_{\mathcal R}$。允许隐藏空间另有完全不可见的块；这些块不参加以下迹与维数。

取一个实际共同加性延迟 $h>0$，令 $T=e^{-hC}$。对整数 $r\ge0$，在系数空间 $U^{r+1}$ 使用正交直和内积，定义
$$
\begin{aligned}
V_r&=\operatorname{span}\{T^jB^*u:0\le j\le r,\ u\in U\},\\
B_r:H&\longrightarrow U^{r+1},\qquad
B_rx=(BT^ix)_{i=0}^r,\\
\mathsf H_r(s)&=\bigl(K(s+(i+j)h)\bigr)_{0\le i,j\le r}\quad(s\ge0).
\end{aligned}
\tag{40.3}
$$
所谓未知基准 $a\ge0$ 是未知响应年龄，不是给传感器增加一个未解释的加性偏置。实际来源、共同延迟及所有条目的准备与校准由此合同承担；仅有数值相等或一份可行拟合不能建立这些事实。

**引理 40.2（实际 Gram 因子化、共同支撑与采样可达空间）。** 在定义40.1下，对每个有限 $s\ge0$，
$$
\boxed{\mathsf H_r(s)=B_r e^{-sC}B_r^*.}
\tag{40.4}
$$
因此
$$
\begin{aligned}
\ker\mathsf H_r(s)&=\ker B_r^*,\\
\operatorname{ran}\mathsf H_r(s)&=\operatorname{ran}B_r=:E_r,\\
\operatorname{rank}\mathsf H_r(s)&=\operatorname{rank}B_r=\dim V_r.
\end{aligned}
\tag{40.5}
$$
同时有
$$
\operatorname{span}_{j\ge0}T^jB^*U
=\operatorname{span}_{j\ge0}C^jB^*U=\mathcal R.
\tag{40.6}
$$

证明。$B_r^*(u_0,\ldots,u_r)=\sum_{j=0}^rT^jB^*u_j$，故（40.4）的 $(i,j)$ 块为 $BT^ie^{-sC}T^jB^*=K(s+(i+j)h)$；这里使用自伴性及同一 $C$ 的函数相互交换。对任意系数向量 $v$，其二次型为 $\|e^{-sC/2}B_r^*v\|^2$。有限 $s$ 时指数可逆，因而核正是 $\ker B_r^*$；自伴算子的像等于核的正交补，得共同支撑与秩，且 $\operatorname{ran}B_r^*=V_r$。

在 $C$ 的有限实谱上，$c\mapsto e^{-hc}$ 单射。有限谱插值给多项式 $p,q$，使 $T=p(C)$、$C=q(T)$。两方向逐次代入生成跨度，得到（40.6）。这也是恢复卷第10.1—10.2节采样正算子的使用域；谱插值只识别数学子空间，不授权免费实施任意多项式实验动作。$\square$

共同支撑在未饱和时也自动成立；它本身不使压缩与指数或对数交换。

### 40.2 真正饱和后的相对间隔

**定理 40.3（实际相邻秩平台同时认证两个阶数）。** 固定任意实际年龄 $a\ge0$，其数值不必已知。若 $\operatorname{rank}\mathsf H_r(a)=d$，则 $V_r=\mathcal R$，等价于 $B_r|_{\mathcal R}$ 单射。对 $r\ge1$，
$$
\operatorname{rank}\mathsf H_r(a)=\operatorname{rank}\mathsf H_{r-1}(a)
\quad\Longrightarrow\quad V_{r-1}=V_r=\mathcal R.
\tag{40.7}
$$
特别地，对所选任意 $r\ge0$，
$$
\boxed{V_r=\mathcal R\ \Longleftrightarrow\
\operatorname{rank}\mathsf H_{r+1}(a)=\operatorname{rank}\mathsf H_r(a).}
\tag{40.8}
$$
当 $d\ge1$ 时，$r\ge d-1$ 是充分视界；若可见互异谱率数为 $q\ge1$，$r\ge q-1$ 也是充分视界。这些上界是数学条件，不自动是实验者已知的维数或率数。

证明。由（40.5），秩为 $d$ 恰使 $V_r\subseteq\mathcal R$ 具有全维数；又 $\ker(B_r|_{\mathcal R})=\mathcal R\cap V_r^\perp$。相邻秩相等使嵌套子空间 $V_{r-1}\subseteq V_r$ 相等，而 $TV_{r-1}\subseteq V_r$。这个 $T$-不变空间包含 $B^*U$，所以由（40.6）等于 $\mathcal R$。反向，饱和后再加一个延迟不扩张空间，给（40.8）。这是主卷第126.4节及命题137.10、定理137.13的真实 Krylov 平坦机制在 $T$ 上的应用。第126.4节以 $m$ 个向量层计数，这里为 $m=r+1$；未饱和的链每次至少增长一维，给 $r\ge d-1$。对 $q$ 个可见谱值，谱投影在 $T|_{\mathcal R}$ 上均可用次数至多 $q-1$ 的插值多项式表示，因此这 $q$ 层已经生成 $\mathcal R$，给第二视界。$\square$

不同偏移但同一阶数的 $\mathsf H_r(s),\mathsf H_r(t)$ 秩总相等，不能替代相邻嵌套阶数的平台。这里每个块的实际实现由（40.4）供应。对抽象数组，主卷定理137.2—137.5的移位零关系以及定理137.13的偶数正平坦条件仍须核验；命题137.3的前缀 $(1,1,1,2)$ 已有两个正块和普通秩平台，却违反移位核包含，没有自伴实现。不能从它的秩反推一个实际来源。

**定理 40.4（未知基准白化的实际间隔定理）。** 假设 $V_r=\mathcal R$、$d>0$。固定任意实际基准 $a\ge0$，定义以下均使用支撑上的映射：
$$
\begin{aligned}
D&=B_r|_{\mathcal R}:\mathcal R\longrightarrow E_r,&
D_a&=De^{-aC_{\mathcal R}/2},\\
A_a&=\mathsf H_r(a)|_{E_r}=D_aD_a^*,&
F_a&=A_a^{-1/2}D_a:\mathcal R\longrightarrow E_r.
\end{aligned}
\tag{40.9}
$$
则 $F_a$ 为正交同构。对实际经过间隔 $s\ge0$，定义
$$
\begin{aligned}
W_{r,a}(s)&=A_a^{-1/2}
 \bigl(\mathsf H_r(a+s)|_{E_r}\bigr)A_a^{-1/2},\\
G_{r,a}&=F_aC_{\mathcal R}F_a^*>0,\qquad
L_{r,a}(s)=-\log W_{r,a}(s).
\end{aligned}
\tag{40.10}
$$
有
$$
\boxed{W_{r,a}(s)=F_ae^{-sC_{\mathcal R}}F_a^*
=e^{-sG_{r,a}},\qquad L_{r,a}(s)=sG_{r,a}.}
\tag{40.11}
$$
从而对 $s\ge0,t>0$，
$$
\boxed{
\frac{\operatorname{tr}L_{r,a}(s)}{\operatorname{tr}L_{r,a}(t)}=\frac{s}{t},\qquad
\frac{\operatorname{tr}L_{r,a}(s)}{\operatorname{tr}L_{r,a}(h)}=\frac{s}{h}.}
\tag{40.12}
$$

证明。$D$ 在 $\mathcal R$ 上单射且像为 $E_r$，故为同维双射；$e^{-aC_{\mathcal R}/2}$ 可逆，$D_a$ 亦双射。于是 $A_a\succ0$ 且 $F_aF_a^*=I_{E_r}$。两空间维数均为 $d$，余等距升级为正交同构，给 $F_a^*F_a=I_{\mathcal R}$。由（40.4）及指数相乘，$\mathsf H_r(a+s)|_{E_r}=D_ae^{-sC_{\mathcal R}}D_a^*$。代入白化并用正交函数演算得到（40.11），其中正定实对数的唯一性由恢复卷命题10.6承担。迹满足 $\operatorname{tr}G_{r,a}=\operatorname{tr}C_{\mathcal R}>0$，所以（40.12）的分母非零，约去共同斜率即得结论。$\square$

$F_a$ 不必已知，它只承担证明；共同支撑和白化矩阵来自声明的精确数据。若 $h$ 有数值校准，$G_{r,a}=-h^{-1}\log W_{r,a}(h)$ 给数据正交坐标中的生成元；若仅给可重复延迟单位，仍得到 $hG_{r,a}=-\log W_{r,a}(h)$。坐标标架可随 $a$ 改变，但迹斜率不变。若在整个 $U^{r+1}$ 上表达白化，可用 $\mathsf H_r(a)^{\dagger/2}$，随后必须限制到 $E_r$；环境空间的零块没有对数。这里不要求原始 $B$ 单射，单射性由实际延迟接口供应。

若 $B=0$，则 $d=0$、全部响应为零；零有效空间虽已饱和，迹比仍为 $0/0$，不提供钟。完全不可见的附加隐藏块不会进入 $G_{r,a}$ 或其迹。

**推论 40.5（固定支撑行列式与有符号间隔）。** 在定理40.4下，$\det_{E_r}\mathsf H_r(t)$ 指限制到同一个 $E_r$ 后的行列式，也就是环境半正定矩阵非零特征值的乘积 $\operatorname{pdet}\mathsf H_r(t)$。令 $\kappa=\operatorname{tr}C_{\mathcal R}>0$。则
$$
\det_{E_r}\mathsf H_r(t)
=\det_{E_r}\mathsf H_r(0)e^{-t\kappa}\quad(t\ge0),
\tag{40.13}
$$
以及对任意实际年龄 $a,b\ge0$，
$$
\log\operatorname{pdet}\mathsf H_r(a)
-\log\operatorname{pdet}\mathsf H_r(b)=(b-a)\kappa.
\tag{40.14}
$$
实际取得 $\mathsf H_r(a),\mathsf H_r(a+h),\mathsf H_r(b)$ 时，
$$
\boxed{
\frac{\log\operatorname{pdet}\mathsf H_r(a)-\log\operatorname{pdet}\mathsf H_r(b)}
{\log\operatorname{pdet}\mathsf H_r(a)-\log\operatorname{pdet}\mathsf H_r(a+h)}
=\frac{b-a}{h}.}
\tag{40.15}
$$
分母也可换成任何另外实际取得的同源、同接口 $c,c+h$ 对的对数行列式差，其中 $c\ge0$ 不必已知。所有行列式必须使用同一历史阶数、支撑和边界内积。

证明。在（40.11）中以零年龄作为数学基准取行列式，得 $\det W_{r,0}(t)=e^{-t\kappa}$，而白化两侧的行列式为 $\det_{E_r}\mathsf H_r(t)/\det_{E_r}\mathsf H_r(0)$，证明（40.13）。在任意两个非负年龄相减得（40.14）；任意 $c,c+h$ 对的差恒为 $h\kappa>0$，得（40.15）。零年龄在这里仅用于证明恒等式，操作公式没有要求已经观察它，也不要求逐个重建谱率或原始 $B$。$\square$

$b<a$ 时右端为负，仍是两个非负实际年龄之间的有符号差，未使用负年龄实验。定理40.4的未知基准白化给相同的正向间隔结果；任意基准不是准备原点。要恢复距实际准备的年龄仍须对应原点参考；要恢复绝对物理单位仍须校准。对任意 $c_0>0$，$C\mapsto c_0C$、所有年龄和延迟 $t\mapsto t/c_0$ 保持响应样本，且保持间隔比。这是恢复卷命题15.9—15.10已有的尺度规范自由。

### 40.3 倍时与迹对数诊断的既有供应应用

**命题 40.6（基准移位投影与一个正间隔的饱和判据）。** 仍在定义40.1的实际模型中，取任意 $r\ge0$、$E_r\ne0$ 和实际 $a\ge0$，暂不假设饱和。按（40.9）定义 $D,D_a,A_a,F_a$，按（40.10）定义 $W_{r,a}$。此时 $F_a$ 一般只是余等距，且
$$
F_aF_a^*=I_{E_r},\qquad
P_a:=F_a^*F_a=P_{V_r^{(a)}},\qquad
V_r^{(a)}:=e^{-aC_{\mathcal R}/2}V_r.
\tag{40.16}
$$
对任意一个实际正间隔 $s>0$，置 $S=e^{-sC_{\mathcal R}}$，有
$$
\boxed{\Delta_{a,s}:=W_{r,a}(2s)-W_{r,a}(s)^2
=F_aS(I-P_a)SF_a^*\succeq0,}
\tag{40.17}
$$
并且
$$
\boxed{
\Delta_{a,s}=0\ \Longleftrightarrow\ V_r=\mathcal R
\ \Longleftrightarrow\
\operatorname{rank}\mathsf H_{r+1}(a)=\operatorname{rank}\mathsf H_r(a).}
\tag{40.18}
$$

证明。$D_a$ 满射到 $E_r$，故 $A_a$ 正定并有 $F_aF_a^*=I$。$F_a^*F_a$ 自伴且幂等，像为 $\operatorname{ran}D_a^*=e^{-aC_{\mathcal R}/2}V_r$，证明（40.16）。尤其投影通常不是到未经移位的 $V_r$。白化因子化仍给 $W_{r,a}(s)=F_aSF_a^*$、$W_{r,a}(2s)=F_aS^2F_a^*$。

式（40.17）直接取自恢复卷定理13.4的式（13.10）及其残差平方证明。精确代入为：该供应的历史阶数取零，与此处 $r$ 无关；隐藏空间取 $\mathcal R$、边界取 $E_r$，$J=V=F_a^*$，Gram 矩阵 $H=J^*J=I_{E_r}$。其 $K'(s)=W_{r,a}(s)$、$B_s=W_{r,a}(s)$、$Q_s=\Delta_{a,s}$，残差平方正是 $F_aS(I-P_a)SF_a^*$。仅使用这条代数恒等式和正性，不移入该供应的初态 minimax 结论或授权新的准备。

为判定等号，将主卷定理137.13的阶数取一，取真实 $S$、输入 $F_a^*$ 的三个矩
$$
M_0=I_{E_r},\quad M_1=W_{r,a}(s),\quad M_2=W_{r,a}(2s),\qquad
\widehat H_1=\begin{pmatrix}I&W_{r,a}(s)\\W_{r,a}(s)&W_{r,a}(2s)\end{pmatrix},
\quad\widehat H_0=I.
\tag{40.19}
$$
$M_1$ 正定，因为 $S>0$ 且 $F_a^*$ 单射，故该供应的移位块正性成立。以 $W=W_{r,a}(s)$ 作供应证明中的 Schur 合同变换，有
$$
\begin{pmatrix}I&0\\-W&I\end{pmatrix}
\widehat H_1
\begin{pmatrix}I&-W\\0&I\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}I&0\\0&\Delta_{a,s}\end{pmatrix}.
\tag{40.20}
$$
因此 $\Delta_{a,s}=0$ 等价于 $\operatorname{rank}\widehat H_1=\operatorname{rank}\widehat H_0$。主卷定理137.13针对任一实际实现的证明于是给 $S$-不变性：$\operatorname{ran}F_a^*=V_r^{(a)}$ 在 $S$ 下不变。自伴性使它约化 $S$；恢复卷命题10.6的唯一正对数 $C_{\mathcal R}=-s^{-1}\log S$ 及有限谱函数演算又使它在 $C_{\mathcal R}$ 下不变。它包含 $e^{-aC_{\mathcal R}/2}B^*U$，而这批移位输入的全部 $C_{\mathcal R}$-生成空间为
$$
\operatorname{span}_{j\ge0} C_{\mathcal R}^j e^{-aC_{\mathcal R}/2}B^*U
=e^{-aC_{\mathcal R}/2}\mathcal R=\mathcal R.
\tag{40.21}
$$
最后一步使用指数在有限有效空间上可逆。故 $V_r^{(a)}=\mathcal R$，也就 $V_r=\mathcal R$。反向饱和给 $P_a=I_{\mathcal R}$，使残差为零；最后一个等价由定理40.3承担。$\square$

**推论 40.7（迹对数的严格倍时诊断）。** 在命题40.6的实际模型下，不预设 $L_{r,a}(s)=-\log W_{r,a}(s)$ 线性。对每个 $s>0$，
$$
\boxed{\operatorname{tr}L_{r,a}(2s)\le2\operatorname{tr}L_{r,a}(s),
\quad\text{等号当且仅当 }V_r=\mathcal R.}
\tag{40.22}
$$
故未饱和时，对每个实际基准 $a\ge0$ 和每个 $s>0$ 都严格不等。

证明。$W=W_{r,a}(s)>0$、$W_{r,a}(2s)>0$，且 $W_{r,a}(2s)=W^2+\Delta_{a,s}$。由于 $W$ 是 $W^2$ 的正平方根，
$$
\frac{\det W_{r,a}(2s)}{\det(W^2)}
=\det\bigl(I+W^{-1}\Delta_{a,s}W^{-1}\bigr)\ge1.
\tag{40.23}
$$
右端增量是半正定合同。这里应用主卷定理128.5在第128.4节的证明所用的谱行列式机制：$X\succeq0$ 时 $\det(I+X)=\prod_i(1+\lambda_i)\ge1$，等号恰为 $X=0$。不使用其 Gaussian 假设或互信息解释；第128.5节的 Fibonacci 例也不是此证明地址。再用正定矩阵的 $\operatorname{tr}(-\log X)=-\log\det X$，得到（40.22）；等号由（40.18）判定。$\square$

$s=0$ 时白化为 $I$、恒有等号，不能作为证书；零响应同样不给钟。可选 $s=h$，但 $\mathsf H_r(a),\mathsf H_r(a+h),\mathsf H_r(a+2h)$ 与下一 Gram 块都需截至 $a+(2r+2)h$ 的实际前缀，没有取得优势，也没有产生抗噪秩估计。$s,2s$ 必须是实际半群间隔；若实际时间为 $t=f(\tau)$，标签等差不保证
$$
f(\tau+2\eta)-f(\tau)
=2\bigl(f(\tau+\eta)-f(\tau)\bigr).
\tag{40.24}
$$
选择 $s=h$ 仍须履行同一个实际延迟合同。

### 40.4 实际共同支撑上的定量稳定性

**定理 40.8（继承白化与对数界的正间隔统计量）。** 固定历史阶数 $r$ 和共同系数内积。比较两组三元矩阵 $(A,H_e,H_*)$、$(A',H'_e,H'_*)$，其所有矩阵在环境系数空间中都有完全相同的非零支撑 $E$，$m=\dim E>0$；以下矩阵运算均限制在 $E$。实际响应情形写作 $A=\mathsf H_r(a)$、$H_j=\mathsf H_r(a+s_j)$，$j=e,*$ 分别为事件和锚，第二个模型用加撇记号；本定理先只要求矩阵数据条件
$$
\begin{gathered}
\operatorname{spec}(A),\operatorname{spec}(A')\subseteq[\gamma,R_0],\qquad 0<\gamma\le R_0,\\
uA\preceq H_j\preceq vA,\qquad
uA'\preceq H'_j\preceq vA',\qquad 0<u\le v<1\quad(j=e,*).
\end{gathered}
\tag{40.25}
$$
定义同一几何中的 Frobenius 数据差和白化对数
$$
\begin{gathered}
\delta_0=\|A-A'\|_F,\qquad \delta_j=\|H_j-H'_j\|_F,\\
W_j=A^{-1/2}H_jA^{-1/2},\qquad L_j=-\log W_j,\\
W'_j=A'^{-1/2}H'_jA'^{-1/2},\qquad L'_j=-\log W'_j,\\
d_j=\frac{\delta_j}{\gamma}
 +\frac{2v\sqrt{R_0}}{\gamma^{3/2}}\delta_0,\qquad
D_j=\frac{d_j}{u},\qquad
\alpha=-\log v>0,\quad\beta=-\log u.
\end{gathered}
\tag{40.26}
$$
则 $\|W_j-W'_j\|_F\le d_j$、$\|L_j-L'_j\|_F\le D_j$，且
$$
\boxed{
\left|\frac{\operatorname{tr}L_e}{\operatorname{tr}L_*}
-\frac{\operatorname{tr}L'_e}{\operatorname{tr}L'_*}\right|
\le\frac{D_e}{\sqrt m\,\alpha}
 +\frac{\beta D_*}{\sqrt m\,\alpha^2}.}
\tag{40.27}
$$

证明。应用恢复卷定理12.2的代数白化估计，不应用其中另外的矩实现断言。为明确常数，置 $Z=A^{-1/2}$、$Z'=A'^{-1/2}$。该证明的双特征基差商界给
$$
\|Z-Z'\|_F\le\frac{\delta_0}{\gamma^{3/2}},\qquad
\|Z\|_{\rm op},\|Z'\|_{\rm op}\le\gamma^{-1/2},\qquad
\|H_jZ\|_{\rm op},\|Z'H'_j\|_{\rm op}\le v\sqrt{R_0}.
\tag{40.28}
$$
最后一界使用 $H_j=A^{1/2}W_jA^{1/2}$、$\|W_j\|_{\rm op}\le v$，加撇同理。把差写成
$$
W_j-W'_j=(Z-Z')H_jZ+Z'(H_j-H'_j)Z+Z'H'_j(Z-Z'),
\tag{40.29}
$$
逐项应用 $\|XYZ\|_F\le\|X\|_{\rm op}\|Y\|_F\|Z\|_{\rm op}$，得到 $d_j$。

两个白化算子的谱都在 $[u,v]$。恢复卷式（12.7）的双特征基矩阵函数界与定理12.3证明中尚未放宽的对数步骤给
$$
\|L_j-L'_j\|_F
\le\frac{1}{u}\|W_j-W'_j\|_F\le D_j,
\tag{40.30}
$$
因为 $\log$ 在 $[u,v]$ 上的差商至多 $1/u$。这里比较无量纲对数，未除以延迟，因此没有 $h^{-1}$。在环境空间写供应证明时，两个实际支撑投影 $P,P'$ 相同，实际 $\|P-P'\|_F=0$；但供应定义的上界 $d_P=\delta_0/\gamma$ 仍可严格为正，不能把这个有名字的常数改写为零。直接在共同支撑上用（40.30），正是保留实际零投影差的未放宽步骤。此处引用的是恢复卷方程（12.7），不是关于未知初态的命题12.7。

谱映射给 $\alpha I\preceq L_j,L'_j\preceq\beta I$。记 $N=\operatorname{tr}L_e$、$Q=\operatorname{tr}L_*$，加撇同理，则
$$
Q,Q'\ge m\alpha,\qquad 0<N,N'\le m\beta,\qquad
|\operatorname{tr}(L_j-L'_j)|\le\sqrt m\,D_j.
\tag{40.31}
$$
最后一式是 $\langle I,L_j-L'_j\rangle_F$ 的 Cauchy–Schwarz 界，$\|I\|_F=\sqrt m$。故
$$
\left|\frac NQ-\frac{N'}{Q'}\right|
\le\frac{|N-N'|}{Q}+\frac{N'|Q-Q'|}{QQ'}
\le\frac{D_e}{\sqrt m\,\alpha}
+\frac{\beta D_*}{\sqrt m\,\alpha^2},
\tag{40.32}
$$
证明所述常数。$\square$

式（40.27）首先保证矩阵统计量。只有比较的两个完整世界都另行满足实际共同响应、饱和与合法时间顺序合同，才能由定理40.4分别把它解释为 $s_e/s_*$ 与 $s'_e/s'_*$ 的差；一份拟合的存在不认证实际来源。这里 $v<1$、$u>0$ 及正锚保证的是正事件／锚间隔的稳定界，推论40.5的精确有符号恒等式不自动给负间隔的带噪推广。两个统计量内事件与锚共享基准误差 $\delta_0$；所有重复条目使用同一个联合误差事件，未要求误差独立。逐模型严格正定也不供应统一的 $\gamma,u,\alpha$，弱模态、迟时或弱锚均可使这些裕量退化。

### 40.5 八个必要实例与失效边界

**命题 40.9（共同支撑不足，增加历史后恢复精确间隔）。** 取 $h=1$、$H=\mathbb R^2$、$U=\mathbb R$，
$$
T=\operatorname{diag}(1/2,1/4),\qquad
C=\operatorname{diag}(\log2,\log4),\qquad
B=2^{-1/2}(1,1).
\tag{40.33}
$$
有效维数为二。基准 $a=0$、$r=0$ 时，$\mathsf H_0(0)=1$，记 $W_0=W_{0,0}$，则
$$
W_0(s)=K(s)=\tfrac12(2^{-s}+4^{-s}),\qquad
K(2s)-K(s)^2=\tfrac14(2^{-s}-4^{-s})^2>0\quad(s>0).
\tag{40.34}
$$
特别地，
$$
\frac{-\log K(2)}{-\log K(1)}
=\frac{\log(32/5)}{\log(8/3)}\approx1.8925801659\ne2.
\tag{40.35}
$$
而 $r=1$ 时
$$
\mathsf H_1(0)=\begin{pmatrix}1&3/8\\3/8&5/32\end{pmatrix},\qquad
\det\mathsf H_1(0)=1/64,\qquad
\det\mathsf H_1(k)=\frac{8^{-k}}{64}\quad(k=0,1,2,\ldots).
\tag{40.36}
$$

证明。$B^*$ 与 $TB^*$ 线性无关，故有效维数二。把两个标量指数相加后展开平方得到（40.34），再取对数给严格次倍增及（40.35）。一般地，二原子权重 $w_1,w_2$、节点 $x,y$ 的阶一块在年龄 $t$ 的行列式为 $w_1w_2(xy)^t(x-y)^2$；这由 $(w_1x^t+w_2y^t)(w_1x^{t+2}+w_2y^{t+2})-(w_1x^{t+1}+w_2y^{t+1})^2$ 直接展开得到。代入 $w_1=w_2=1/2,x=1/2,y=1/4$ 得（40.36）。因此 $r=0,1,2$ 的嵌套真实秩依次为 $1,2,2$；最后的相邻平台正确认证包括较小 $r=1$ 在内的饱和。所有标量响应支撑始终相同且正定，未饱和时失去的正是对数线性。$\square$

**命题 40.10（非零基准必须移位投影）。** 同一来源取 $a=2,r=0$。则
$$
V_0^{(2)}=\operatorname{span}(2,1),\qquad
F_2=\frac1{\sqrt5}(2,1),\qquad
P_2=\begin{pmatrix}4/5&2/5\\2/5&1/5\end{pmatrix},
\tag{40.37}
$$
以及
$$
W_{0,2}(1)=9/20,\qquad W_{0,2}(2)=17/80,\qquad
\Delta_{2,1}=1/100.
\tag{40.38}
$$

证明。$e^{-aC/2}=T$，所以 $D_2=BT=(1/2,1/4)/\sqrt2$，$A_2=K(2)=5/32$，归一化给（40.37）。又 $K(3)=9/128$、$K(4)=17/512$，分别除以 $K(2)$ 得（40.38）的两个白化值，其差为 $17/80-(9/20)^2=1/100$。用（40.37）的 $P_2$ 代入（40.17）给同一值；若误用未移位的 $P_{V_0}=\tfrac12\left(\begin{smallmatrix}1&1\\1&1\end{smallmatrix}\right)$，则 $F_2T(I-P_{V_0})TF_2^*=9/160\ne1/100$，明确检测出错误投影。阶一饱和时（40.36）给从年龄2到5的比为3，从年龄5到2的比为 $-3$；二者端点年龄均非负、基准均非零，也都无需已获零年龄样本。$\square$

**命题 40.11（任意有限阶的一步移位仍可藏更大实际空间）。** 对长度为 $m\ge1$、顶点 $0,\ldots,m-1$ 的路径，令 $A_m$ 为邻接矩阵，取
$$
T_m=\tfrac12I+\tfrac18A_m,\qquad
B_m=e_0^*,\qquad C_m=-h^{-1}\log T_m.
\tag{40.39}
$$
其采样谱位于 $[1/4,3/4]$，$C_m>0$，有效维数为 $m$。对任意 $r\ge0$，模型 $m=r+1$ 和 $m=r+2$ 满足
$$
\begin{aligned}
e_0^*T_{r+1}^ke_0&=e_0^*T_{r+2}^ke_0 &&(0\le k\le2r+1),\\
e_0^*T_{r+2}^{2r+2}e_0-e_0^*T_{r+1}^{2r+2}e_0&=8^{-2r-2}>0.
\end{aligned}
\tag{40.40}
$$
故两实际模型的 $\mathsf H_r(0),\mathsf H_r(h)$ 完全相同，秩均为 $r+1$，却只有小模型在阶 $r$ 饱和。

证明。恢复卷命题13.8的路径二次型界 $|\langle x,A_mx\rangle|\le2\|x\|^2$ 给所述谱区间；正对数因而合法且生成元严格正。$T_m^je_0$ 在 $e_j$ 上的首达系数为 $(1/8)^j$，在更远坐标为零，$0\le j<m$ 的这些向量呈非零对角的三角形，线性无关并张成全空间。

矩 $e_0^*T_m^ke_0$ 是带等待权 $1/2$ 和边权 $1/8$ 的长度 $k$ 闭路权重之和。大模型相较小模型新增最远顶点 $r+1$；从0访问它并返回至少需 $2r+2$ 条边。因此到 $2r+1$ 为止闭路完全相同。恰在 $2r+2$ 步，新增闭路只有一直向外再一直返回的一条，不能夹等待，权重为 $8^{-2r-2}$。这也覆盖 $r=0$。两块所需最高阶分别为 $2r$ 和 $2r+1$，故数据相等；前 $r+1$ 个 Krylov 向量独立给块秩，证明结论。$\square$

这里把恢复卷命题13.8的路径／Krylov机制用于两个响应来源，而非变化未知初态；它是主卷第137.7—137.12条与恢复卷命题12.6竞争扩张障碍的实例，不是另立一般障碍定理。对每个固定 $r$，共同有限块本身有正 Gram 下界，仍不能从该块与一次移位得知实际未来已闭合；统一于所有 $r$ 的条件数界并未主张。

**命题 40.12（小谱权不供应精确平台）。** 固定 $0<x<y<1$、$0<\epsilon<1$，令
$$
M_j=(1-\epsilon)x^j+\epsilon y^j.
\tag{40.41}
$$
它有实际二维正生成元实现 $T=\operatorname{diag}(x,y)$、$B=(\sqrt{1-\epsilon},\sqrt\epsilon)$、$C=-h^{-1}\log T$，并且
$$
\det\mathsf H_1(0)=\epsilon(1-\epsilon)(x-y)^2>0.
\tag{40.42}
$$
当 $\epsilon\downarrow0$ 时，每个固定有限前缀趋于秩一来源 $x^j$，真实秩却始终为 $\operatorname{rank}\mathsf H_0=1$、$\operatorname{rank}\mathsf H_1=2$。

证明。两个节点不同且两权重为正，给二维可达性；命题40.9证明中的二原子展开给行列式。每个固定 $j$ 的误差为 $\epsilon(y^j-x^j)$，有限多个同时趋零。$\square$

主卷命题137.15与恢复卷命题12.6已经拥有这种弱方向秩不连续边界。固定的正数阈值可把真实弱特征值删去，报告两个块都秩一；秩一拟合即使精确平坦，也不认证附近真实来源平坦。式（40.17）的残差小或式（40.22）接近等号同样不证明精确饱和；定量近饱和需要另给下界和估计。

**命题 40.13（小残差的钟偏差与真实秩二的数据不稳定）。** 对 $0<\epsilon<1/2$ 取 $h=1$，
$$
C_\epsilon=\operatorname{diag}(\epsilon^2,1),\qquad
B_\epsilon=(\sqrt{1-\epsilon},\sqrt\epsilon),\qquad
K_\epsilon(t)=(1-\epsilon)e^{-\epsilon^2t}+\epsilon e^{-t}.
\tag{40.43}
$$
同一实际来源有效维数为二，标量一步 Schur 残差为
$$
K_\epsilon(2)-K_\epsilon(1)^2
=\epsilon(1-\epsilon)(e^{-\epsilon^2}-e^{-1})^2>0,
\tag{40.44}
$$
且趋于零。但错误地把阶零压缩当作饱和钟时，
$$
-\log K_\epsilon(t)=\epsilon(1-e^{-t})+O_t(\epsilon^2)\quad(t>0\text{ 固定}),\qquad
\lim_{\epsilon\downarrow0}
\frac{-\log K_\epsilon(2)}{-\log K_\epsilon(1)}
=1+e^{-1}\ne2.
\tag{40.45}
$$
即使保留真实秩二，使用同一来源、同一 $\mathsf H_1(0),\mathsf H_1(1)$，两个事件块 $\mathsf H_1(2)$ 和 $\mathsf H_1(3)$ 的 Frobenius 差仍为 $O(\epsilon)$，而精确归一年龄分别为2与3。

证明。两个率不同且两权正，给维数二与（40.44）的二原子展开。对固定 $t$，$e^{-\epsilon^2t}=1-\epsilon^2t+O_t(\epsilon^4)$，故
$$
K_\epsilon(t)=1-\epsilon(1-e^{-t})-\epsilon^2t+O_t(\epsilon^3).
\tag{40.46}
$$
再用 $-\log(1-z)=z+O(z^2)$ 得（40.45）的展开。由于 $1-e^{-1}>0$，两个展开之比趋于 $(1-e^{-2})/(1-e^{-1})=1+e^{-1}$。因此把趋零残差当作精确闭合可保留阶一量级的钟偏差。

对每个 $t\ge0$，
$$
0<K_\epsilon(t)-K_\epsilon(t+1)
\le(1-\epsilon)(1-e^{-\epsilon^2})+\epsilon(1-e^{-1})
\le\epsilon^2+\epsilon(1-e^{-1}).
\tag{40.47}
$$
两个阶一事件块的四个条目分别使用 $t=2,3,3,4$，故
$$
\|\mathsf H_1(2)-\mathsf H_1(3)\|_F
\le2\bigl(\epsilon^2+\epsilon(1-e^{-1})\bigr)=O(\epsilon).
\tag{40.48}
$$
阶一接口确已饱和；更直接地，二原子行列式给
$$
\det\mathsf H_1(t)
=\epsilon(1-\epsilon)(e^{-\epsilon^2}-e^{-1})^2
 e^{-(\epsilon^2+1)t}.
\tag{40.49}
$$
所以（40.15）的锚对固定为0与1时，目标2与3的比恰为2与3。基准块行列式趋零而迹趋2，最小 Gram 特征值趋零，故没有共同正的 Gram 下界。$\square$

这说明在未限制来源族上不能断言响应数据统计量的统一连续模；它并非两个完整已获档案相同的例子。若旧档案含能区分这两个事件的外部时间戳，必须保留。要提升成完整观察者的 minimax 碰撞，还须构造同时解释同一整份实际记录、合法历史和联合误差的两个允许世界；本例未提出这种额外结论。

**命题 40.14（独立的弱锚障碍）。** 一维来源 $B=1,C=\epsilon>0,h=1$ 精确饱和，$A=K(0)=1$ 有固定 Gram 下界，但
$$
K(2)-K(3)=e^{-2\epsilon}(1-e^{-\epsilon})=O(\epsilon),\qquad
\frac{-\log K(2)}{-\log K(1)}=2,\quad
\frac{-\log K(3)}{-\log K(1)}=3.
\tag{40.50}
$$

证明。$K(t)=e^{-\epsilon t}$，所以每个非空历史块秩一，相邻阶数精确平坦。$1-e^{-\epsilon}\le\epsilon$ 给数据差界，取对数给两比值；锚分母为 $\epsilon\to0$。$\square$

此例将锚条件与秩／支撑退化分开：即使真实支撑不变、基准 Gram 间隔不退化，没有锚对数下界仍无该来源族上的统一比值稳定性。在定理40.8中，对这个类不能保持统一 $v<1$ 或 $\alpha>0$。

**命题 40.15（数值不能认证来源、校准或响应类型）。** 以下是恢复卷引理15.8、命题15.9—15.10、命题12.7与本卷命题22.2所保留的不同障碍。

取两个不同来源 $C_A=1,C_B=2,B_A=B_B=1$，两只本地钟都等于同一个真实时间。两读数为 $e^{-\tau}$、$e^{-2\sigma}$，沿 $\sigma=\tau/2$ 数值完全匹配，真实钟却同速。未知增益又满足
$$
k e^{-t}=e^{-(t-\log k)}\qquad(k>0),
\tag{40.51}
$$
所以未校准或改变增益可与年龄混淆；矩阵条目间来源、增益与内积一致是实质条件。

任意给定的自由轨迹 $Be^{-tC}x_0$ 并不自动供应完整核 $Be^{-tC}B^*$。例如一维 $B=C=1$ 时 $x_0=1$ 与 $x_0=-1$ 具有相同核，输出分别为 $e^{-t}$ 与 $-e^{-t}$；把这些轨迹堆成 Hankel 阵并不消去初态。实际核取得须有合法的基准／脉冲或其他已校准协议，完整矩阵还须覆盖声明的输入方向。证明分别是指数代入与线性系统解式
$$
y(t)=Be^{-tC}x_0+\int_0^tBe^{-(t-v)C}B^*f(v)\,dv,
\tag{40.52}
$$
其中核仅确定积分项；这正是恢复卷命题12.7的分离。

未参考的准备原点仍不能从任意未知基准恢复，绝对单位受推论40.5的尺度变换约束；不同来源或准备不能逐条拼接。非线性标签的相同初始速率也不足以支持等距延迟：例如 $f(\tau)=\tau+\tau^2$ 在零点导数为1，但 $f(2\eta)-f(0)=2\eta+4\eta^2\ne2\eta+2\eta^2=2(f(\eta)-f(0))$。恢复卷命题15.10还证明这种重标一般不保持固定生成元。本卷命题22.2给更强的完整标记曲线歧义：$e^{-\phi(s)}=\tfrac12(e^{-s}+e^{-2s})$，其中 $\phi(s)=-\log[\tfrac12(e^{-s}+e^{-2s})]$、$1<\phi'(s)\le3/2$；实际一率与二率来源在共同有界钟率合同内仍可有相同完整标记流。这不满足此处已认证的同一个加性半群延迟合同，不能拿曲线数值补足该合同。$\square$

**命题 40.16（抽象对数射线可行性不认证实际延迟块）。** 对一个非零有限内积空间 $E$，给 $A>0$ 及含指定锚 $*$ 的非空正定事件矩阵族 $(H_e)$，要求 $L_e=-\log(A^{-1/2}H_eA^{-1/2})>0$。在这个抽象矩阵数据类内，全部 $L_e$ 是一条正射线上的正倍数，当且仅当它们可写成同一个正生成元的单射响应 $A=DD^*$、$H_e=De^{-s_eG}D^*$，其中 $D:E\to E$ 可逆、$G>0$、$s_e>0$。由单射实现推出射线条件，使用定理40.4的正交白化论证；由射线条件构造实现，选锚 $L_*$、写 $L_e=c_eL_*$，取 $G=L_*$、$D=A^{1/2}$、$s_e=c_e$（锚为1），直接代入即可。这只证明该抽象类有实现，不认证实际来源、年龄或延迟重叠。对于阶 $r$ 的块数据，记 $W(s)=A^{-1/2}H(s)A^{-1/2}$（限制到 $E$），在环境 $U^{r+1}$ 中将 $A^{1/2}$ 延拓为支撑外零，令 $E_i:U\to U^{r+1}$ 插入第 $i$ 个系数块、$F_i=A^{1/2}E_i:U\to E$、$T_E=W(h)$；要把这份规范单射响应解释成真实延迟结构，必须另外满足
$$
F_i=T_E^iF_0\quad(0\le i\le r),\qquad
W(s_e)=T_E^{s_e/h},\qquad
H(s_e)[i,j]=F_0^*T_E^{i+j+s_e/h}F_0,
\tag{40.53}
$$
以及共同来源与重叠合同；最后一式由前两式及 $H(s_e)[i,j]=F_i^*W(s_e)F_j$ 推出。反例取 $U=\mathbb R,r=1,A=I_2,H(h)=\eta I_2$、$0<\eta<1$：$L(h)=(-\log\eta)I_2>0$ 完全满足抽象射线条件，却把同一个声称的 $K(h)$ 赋值为 $A[0,1]=0$ 和 $H(h)[0,0]=\eta$，矛盾；亦有 $F_1=e_1\ne\eta e_0=T_EF_0$。这条重叠反证足以阻止把数据可行性提升为实际历史，不另建实现理论；本卷命题22.2的完整曲线歧义仍是更强的既有边界。定理40.4的 $D_a$ 也只是证明因子，不是已获授权的新实际准备。$\square$

### 40.6 实际取得、联合误差与适用边界

**命题 40.17（响应矩阵计数及较小接口）。** 固定定义40.1的来源与延迟合同。一个阶 $r$ 块 $\mathsf H_r(b)$ 由 $K(b),K(b+h),\ldots,K(b+2rh)$ 共 $2r+1$ 个不同时间的响应矩阵构成；其 $(r+1)^2$ 个块条目包含重复。表40.1给足够的响应矩阵数，不是最少标量读取或准备次数。

| 表40.1项 | 共同基准所需时间范围 | 不同响应矩阵数及作用 |
|---|---|---|
| 40.1a 一个阶 $r$ 块 | $b,b+h,\ldots,b+2rh$ | $2r+1$；目标块若未取得，需实际获取这段响应。 |
| 40.1b 基准及一步锚 | $a,a+h,\ldots,a+(2r+1)h$ | $2r+2$；构成 $\mathsf H_r(a),\mathsf H_r(a+h)$。 |
| 40.1c 下一 Gram 或 $s=h$ 倍时 | $a,a+h,\ldots,a+(2r+2)h$ | $2r+3$；分别构成 $\mathsf H_{r+1}(a)$ 或三块 $\mathsf H_r(a),\mathsf H_r(a+h),\mathsf H_r(a+2h)$，两诊断无取得差别。 |
| 40.1d 已见相邻平台，$r\ge1$ | $a,a+h,\ldots,a+2rh$ | $2r+1$；$\mathsf H_r(a),\mathsf H_{r-1}(a)$ 秩相等时认证较小阶 $r-1$，其一步锚已在此范围。 |
| 40.1e 平台后较小目标 | $b,b+h,\ldots,b+(2r-2)h$ | $2r-1$，除非这些同源实际读数已经取得；之后所有行列式均用同一个较小阶 $r-1$。 |

证明。块指标和 $i+j$ 逐个覆盖整数 $0,\ldots,2r$，一次和两次移位分别多一个、两个末端时间，给前三行。较小阶的一步锚最多用到 $a+(2r-1)h$，包含在认证较大阶平台所需的范围内；其新目标块有 $2(r-1)+1=2r-1$ 个时间。平台确认证较小接口由定理40.3承担。$\square$

**假设 40.18（矩阵取得与同一个联合误差事件）。** 这些响应矩阵必须来自实际输入 $B^*u$ 及校准输出 $B$，并具有共同年龄、来源、耦合、内积、单位和增益。完整矩阵列要求声明的输入方向与输出读数。可以通过重复准备取得，前提是已认证共同来源、起点、耦合、增益、可重复性和定时等价；发生测量扰动时，还需等价响应实验的理由。未知当前年龄不妨碍从当前事件开始使用已知后续延迟，却既不供应这些延迟，也不认证原始读数是核实验。异步数字时间戳本身不足以断言真实时间为 $a+(i+j)h$。恢复卷引理15.8、命题15.9—15.10、定理21.2、命题21.3及21.6处理共同源钟与有限谱接入；其中21.7明确是假设合同，不是自动证书。

设在一个允许的联合事件上，每个实际响应矩阵及其比较值满足 $\|K(t)-\widetilde K(t)\|_F\le\epsilon$，取值覆盖全部用到的实际时间。重复出现的原始读数仍是同一个随机量，不另造独立误差。恢复卷推论12.5于是直接给
$$
\|\mathsf H_r(b)-\widetilde{\mathsf H}_r(b)\|_F^2
=\sum_{i,j=0}^r\|K(b+(i+j)h)-\widetilde K(b+(i+j)h)\|_F^2
\le(r+1)^2\epsilon^2.
\tag{40.54}
$$
因此块误差至多 $(r+1)\epsilon$，同一基准的共享误差继续进入定理40.8的两个 $d_j$。若真实块与一份已选合法拟合各自对同一原始块有误差界，则按恢复卷推论12.5先作三角相加；拟合一侧的谱间隔不能替代真实一侧的谱间隔。式（40.54）只在指定联合事件上作确定性会计，不供应该事件概率，也不要求噪声独立。

取得费用分别计输入方向、矩阵与标量读数、重复准备、等待、来源／校准认证、存储、数值精度和计算；表40.1不把任何项设为零。精确期望、精确秩和真实谱间隔是这里的数学输入，经验有限样本要认证它们仍需实验专属证明。

**约定 40.19（供应归属与尚未涵盖的任务）。** 本节的主链依次使用主卷第126.1—126.5节的有效／不可见分解、Gram 配对、Krylov增长与正交识别；第137.2—137.5、137.7—137.13条的实际／抽象实现条件、竞争扩张和精确平坦；主卷定理128.5在第128.4节证明中的半正定行列式等号机制。恢复卷第10.1—10.2节与命题10.6供应采样正性和唯一自伴对数；定理12.2、方程（12.7）、定理12.3未放宽的对数步骤供应矩阵误差，推论12.5供应共享块会计，命题12.6—12.7分别保留真实维数与未知初始化边界；定理13.4的方程（13.10）及其证明只供应残差平方，命题13.8供应路径可见性机制。主卷第137.15—137.18条已有的弱方向及统一性限制继续有效。这里的延迟消费者和具体解析例是普通数学应用，既有证明与文献归属保持原处，不把它们宣称为新的通用定理、新 Lean 结果或已做完的外部新颖性审查。

恢复卷第15.8—15.10、21.2—21.3、21.6条与假设21.7只在各自共同来源、原点、增益、尺度和实际谱取得前提下接入；本卷命题22.2以及第30—36节的完整档案、保留参考、联合误差、顺序和合法取得纪律继续限制解释。有限任务恢复不替代整个观察者，也不把单一任务的数学闭合提升为任意后续实验的接口等价。

本节没有建立带噪支撑／饱和认证、定量近饱和估计、变化支撑上的间隔稳定性、有符号间隔的噪声推广、置信界或最优取得复杂度。它也不识别任意未知钟函数、未观测事件、无参考来源纪元、绝对物理单位或不可见方向，不保证扩大干预语言后的恢复。迟时的 Gram 与对数下界、锚分母下界和实际数据误差仍需另证。空间、时间、边界与记忆之间可恢复的关系在这里限于同一有限正伴随来源和已声明合法历史；这些结论不构成整个持续关系统一问题的完成。

## 40.99 追加锚

## 41. 固定发射档案的共同终端恢复与合法来源距离

### 41.1 固定装置、完整参考与终端任务

**定义 41.1（同一次准备的相干发射接口）。** 本节记 [量子上下文卷](CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_QUANTUM.md) 为 Q，[恢复几何卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_RECOVERY_GEOMETRY.md) 为恢复卷。固定 Q 命题130.1、131.1 的基、相位和装置：
$$
\begin{gathered}
\alpha=(\sqrt5-1)/2,\qquad \alpha+\alpha^2=1,\qquad M=B=\mathbb C^2,\\
m_0=\sqrt\alpha\,|0\rangle+\alpha|1\rangle,\qquad m_1=|0\rangle,
\qquad P_j=|m_j\rangle\langle m_j|,\\
T|j\rangle=|j\rangle\otimes m_j,\qquad
H_n=B^{\otimes n},\quad H_0=\mathbb C,\\
T_0=I_M,\qquad T_{n+1}=(I_{H_n}\otimes T)T_n,\qquad
\Gamma_n(X)=\operatorname{Tr}_M(T_nXT_n^*),\\
E(X)=\operatorname{Tr}_B(TXT^*)=X_{00}P_0+X_{11}P_1.
\end{gathered}
\tag{41.1}
$$
输出在前、活动记忆在后；$E$ 是记忆通道，不是环境寄存器。$T$ 是发射等距，下文 $R_n$ 是交叉算子，均不与 Q 定理13.3 所用的交叉算子符号 $T$ 混同。Q 命题130.1 的整个四维酉为
$$
R_{\rm rot}=\begin{pmatrix}\sqrt\alpha&-\alpha\\\alpha&\sqrt\alpha\end{pmatrix},\qquad
W=\bigl(|0\rangle\langle0|\otimes R_{\rm rot}
       +|1\rangle\langle1|\otimes I_M\bigr)\operatorname{SWAP},\qquad
W(|0\rangle\otimes\psi)=T\psi.
\tag{41.2}
$$
每步空白是与此前全部系统独立的实际纯态 $|0\rangle$；整个运行只使用同一个 $W$。不允许生成期间的反馈改变 $W$、空白准备或活动 $M$。

固定有限维 $J$，一次运行的初态是同一个 $\theta\in\mathcal D(J\otimes M)$；各时域是这次准备的不同前缀，不逐时域另选初态。$J$ 保留模型中声明的有限经典档案、有限量子参考及其联合关系，不要求 $J$ 与 $M$ 独立。这正接续本卷定义36.4允许的真实非根联合准备以及命题36.6的固定生成器终端访问。完整已获观察者仍按第13、35、36节保留内外记录、来源和装置身份、相位与其它校准、时间戳和钟的共同约束、动作守卫及顺序、误差、失败、停止和既有结果；新增已获约束限制合法来源类，不能通过删档案制造自由准备。若真实档案大于这里的 $J$，必须另给它的表示；有限 $J$ 不自动穷尽真实观察者。

对每个固定整数 $n\ge1$，任务是找一个
$$
\mathcal D_n:\mathcal L(H_n)\longrightarrow\mathcal L(M)
\tag{41.3}
$$
的共同 CPTP 终端解码器，恢复未知初始 qubit 及其与任意有限保留参考的关系。它只访问全部已发出的相干寄存器，不访问 $J$ 或最终活动 $M$；竞争解码器也必须具有完全相同的输入输出类型和访问范围。$H_n$ 随 $n$ 改变，所以 $(\mathcal D_n)_{n\ge1}$ 是通道族，不是一个与时域无关的通道。允许操作须包含下文的受控极分解酉及丢弃；抽象 CPTP 优化不证明受限门集具有同样的实现费用或精确综合能力。相干输出可被终端解码消耗；若已不可逆地按计算基测量，则此项访问已失去，控制更大环境能否恢复它须另证。本任务不含在线记忆干预、无损复制、复位或未知装置校准。

先固定全部范数约定：
$$
\begin{gathered}
F(\rho,\sigma)=\|\sqrt\rho\sqrt\sigma\|_1
\quad\text{（根保真度）},\qquad
D(\rho,\sigma)=\tfrac12\|\rho-\sigma\|_1,\\
\epsilon_n=\|\mathcal D_n\Gamma_n-\operatorname{id}_M\|_\diamond
\quad\text{（完整 diamond 范数）},\qquad
\kappa_n=\epsilon_n/2
=d_\diamond(\mathcal D_n\Gamma_n,\operatorname{id}_M).
\end{gathered}
\tag{41.4}
$$
$D$ 即本卷第10节的 $d_1$；$d_\diamond$ 采用命题10.7、式（10.12）的半范数约定，包含所有有限参考。Uhlmann 的 transition probability 是这里根保真度的平方，不是 $F$ 本身。以下保真度、解码器及最优性均从 $n\ge1$ 开始；$n=0$ 仅用于局部代数与档案记账。

### 41.2 条件记忆、共同解码器与精确有限误差

**定理 41.2（固定装置的最优档案恢复及显式尾界）。** 在定义41.1的访问合同下，置
$$
\lambda=-\alpha^2,\qquad
\pi_0=\frac1{1+\alpha^2},\qquad
\pi_1=\frac{\alpha^2}{1+\alpha^2},\qquad
\tau(u)=(1-u)P_0+uP_1.
\tag{41.5}
$$
对每个 $n\ge1$，条件终端记忆与其根保真度为
$$
\begin{gathered}
E^n(|0\rangle\langle0|)=\tau(a_n),\qquad
E^n(|1\rangle\langle1|)=\tau(b_n),\\
a_n=\pi_1(1-\lambda^{n-1}),\qquad
b_n=\pi_1+\pi_0\lambda^{n-1},\qquad a_n-b_n=-\lambda^{n-1},\\
c_n=F(\tau(a_n),\tau(b_n)),\qquad
c_n^2=1-\alpha^2
 \left[\sqrt{a_n(1-b_n)}-\sqrt{b_n(1-a_n)}\right]^2.
\end{gathered}
\tag{41.6}
$$
有 $c_1=\sqrt\alpha$、$\alpha\le c_n^2<1$，且 $c_n\to1$。存在只由装置与 $n$ 决定的单个 $\mathcal D_n$，在所有 $X\in\mathcal L(M)$ 上满足
$$
\mathcal D_n\Gamma_n(X)
=\begin{pmatrix}X_{00}&c_nX_{01}\\c_nX_{10}&X_{11}\end{pmatrix}
=\frac{1+c_n}{2}X+\frac{1-c_n}{2}ZXZ,
\qquad Z=|0\rangle\langle0|-|1\rangle\langle1|.
\tag{41.7}
$$
其完整 diamond 误差恰为
$$
\boxed{\epsilon_n=1-c_n
=\min_{\substack{\mathcal D:\mathcal L(H_n)\to\mathcal L(M)\\
                         \mathcal D\ {\rm CPTP}}}
\|\mathcal D\Gamma_n-\operatorname{id}_M\|_\diamond>0.}
\tag{41.8}
$$
若实际允许通道类包含所构造的 $\mathcal D_n$，同一最优值也在该类达到；未证明受限操作能执行它时，只保留全 CPTP 类的数学最优值和对受限类的下界。对 $n\ge3$，另有
$$
0<\epsilon_n\le\frac{\alpha^{4n-6}}4,\qquad
\epsilon_n\sim\frac{(1+\alpha^2)^2}{8}\alpha^{4n-4}.
\tag{41.9}
$$
因此给定完整误差容限 $\eta>0$，一个充分的发射数为
$$
n\ge\max\left\{3,
\left\lceil\frac32+
\frac{\log(1/(4\eta))}{4\log(1/\alpha)}\right\rceil\right\}.
\tag{41.10}
$$

证明。先直接应用 Q 命题131.1的记忆通道。第一步的两个条件态分别是 $P_0,P_1$，对应权重 $a_1=0,b_1=1$；由
$$
\tau(u)_{11}=\alpha^2(1-u),\qquad
E(\tau(u))=\tau\bigl(\alpha^2(1-u)\bigr)
\tag{41.11}
$$
知以后每步都把 $u$ 送到 $\alpha^2(1-u)$。该仿射映射的不动点为 $\pi_1$，偏差每步乘 $\lambda$；以两个初值求解即得（41.6）的 $a_n,b_n$。特别地二者始终在 $[0,1]$，差的绝对值为 $\alpha^{2n-2}>0$。

在固定基中，
$$
\tau(u)=\begin{pmatrix}
\alpha(1-u)+u&\alpha\sqrt\alpha(1-u)\\
\alpha\sqrt\alpha(1-u)&\alpha^2(1-u)
\end{pmatrix},\qquad
\det\tau(u)=\alpha^2u(1-u).
\tag{41.12}
$$
若 $s_1,s_2$ 是 $\sqrt\rho\sqrt\sigma$ 的两个奇异值，则
$$
F(\rho,\sigma)^2=(s_1+s_2)^2
=\operatorname{Tr}(\rho\sigma)+2\sqrt{\det\rho\det\sigma}.
\tag{41.13}
$$
这是因为 $s_1^2+s_2^2=\operatorname{Tr}(\rho\sigma)$，$s_1s_2=|\det(\sqrt\rho\sqrt\sigma)|$；零奇异值时同样成立，无需求逆。由 $\operatorname{Tr}(P_0P_1)=\alpha$ 及 $1-\alpha=\alpha^2$，
$$
\operatorname{Tr}(\tau(a)\tau(b))=1-\alpha^2(a+b-2ab).
\tag{41.14}
$$
代入（41.12）并展开（41.13），即得（41.6）的平方根差公式。取 $a=0,b=1$ 得 $c_1^2=\alpha$。括号内两个非负数都至多一，差的平方至多一，故 $c_n^2\ge1-\alpha^2=\alpha>0$；差等于零当且仅当 $a_n(1-b_n)=b_n(1-a_n)$，也就是 $a_n=b_n$，已被排除，所以 $c_n<1$。两权重趋于 $\pi_1$，同一公式给 $c_n\to1$。

现在保留实际纯化而构造同一个解码器。令
$$
K_n=B^{\otimes(n-1)},\qquad
\psi_{j,n}=T_{n-1}m_j\in K_n\otimes M,\qquad
T_n|j\rangle=|j\rangle\otimes\psi_{j,n},\qquad
R_n=\operatorname{Tr}_M|\psi_{0,n}\rangle\langle\psi_{1,n}|.
\tag{41.15}
$$
递推给上述分解；两 $\psi_{j,n}$ 均为单位向量，对 $K_n$ 取偏迹正是（41.6）的条件记忆，因而
$$
\|R_n\|_1=c_n.
\tag{41.16}
$$
这里使用有限纯化的交叉偏迹恒等式：将 $M$ 放到左因子后，Watrous 的 Theorem 3.22、Corollary 3.23 给出记忆边缘的根保真度等于另一因子上的交叉偏迹范数；互换两向量只把交叉算子变为伴随，不改变迹范数。实际纯化已经供应所需维数，包括 $K_1=\mathbb C$ 时两个记忆态均为纯态的端点。文献中的一般恒等式保持其归属；此处只计算这两个实际条件态。[^rroctx41_fidelity]

取 $R_n=V_n|R_n|$ 的极分解。有限方阵的初、终支撑同维，补空间也同维，故将部分等距延拓为 $K_n$ 上的酉，仍记 $V_n$。在 $H_n=\mathbb C^2\otimes K_n$ 上置
$$
U_{{\rm dec},n}=|0\rangle\langle0|\otimes I_{K_n}
                 +|1\rangle\langle1|\otimes V_n,\qquad
\mathcal D_n(Y)=\operatorname{Tr}_{K_n}
                  (U_{{\rm dec},n}YU_{{\rm dec},n}^*).
\tag{41.17}
$$
酉共轭后偏迹为 CPTP。在（41.15）的首位分块中，$\Gamma_n(X)$ 的 $ij$ 块为 $X_{ij}\operatorname{Tr}_M|\psi_{i,n}\rangle\langle\psi_{j,n}|$。两个对角块的迹均为一，上非对角块经过控制酉后其迹为
$$
\operatorname{Tr}(R_nV_n^*)
=\operatorname{Tr}(V_n|R_n|V_n^*)
=\operatorname{Tr}|R_n|=c_n;
\tag{41.18}
$$
下非对角系数为其共轭，亦为 $c_n$。这证明了所有矩阵单位上的（41.7），再由线性性得到全算子恒等式。因此张量任意有限参考恒等通道时仍成立，不是为每个输入重新选择一次极分解。此操作是 Q 第13.2—13.3节受控极分解恢复的同一机制：其中 $S$ 对应首个输出 qubit，$F$ 对应 $K_n$，不可访问的 $B$ 对应最终活动 $M$。本节取单结果 POVM $M_{\rm POVM}=I_{K_n}$，只留常值经典输出；它不承担 Q 定理13.3要求的额外非平凡同时经典预测。

两个酉通道之差的 diamond 范数至多二，而 $|+\rangle$ 在 $\operatorname{Ad}_Z$ 与恒等通道下分别成为正交的 $|-\rangle$、$|+\rangle$，故 $\|\operatorname{Ad}_Z-\operatorname{id}\|_\diamond=2$。由（41.7），完整误差为 $((1-c_n)/2)\cdot2=1-c_n$。另一方面，对任意所述类型的 CPTP 竞争者 $\mathcal D$，写 $\delta=\|\mathcal D\Gamma_n-\operatorname{id}\|_\diamond$。两个输入 $\rho_\pm=|\pm\rangle\langle\pm|$ 的距离为一，档案差为
$$
\Gamma_n(\rho_+)-\Gamma_n(\rho_-)
=\begin{pmatrix}0&R_n\\R_n^*&0\end{pmatrix},\qquad
D(\Gamma_n(\rho_+),\Gamma_n(\rho_-))=\|R_n\|_1=c_n.
\tag{41.19}
$$
块矩阵的平方为 $\operatorname{diag}(R_nR_n^*,R_n^*R_n)$，所以其迹范数为 $2\|R_n\|_1$。本卷引理10.6的收缩和命题10.9的两态比较现在给
$$
1\le D(\rho_+,\mathcal D\Gamma_n(\rho_+))
 +D(\mathcal D\Gamma_n(\rho_+),\mathcal D\Gamma_n(\rho_-))
 +D(\mathcal D\Gamma_n(\rho_-),\rho_-)
\le\delta/2+c_n+\delta/2.
\tag{41.20}
$$
故 $\delta\ge1-c_n$，所构造的共同解码器达到它，证明（41.8）。该最优性针对完整未知输入类；受限合法来源类仍继承上界，却可能有更小最优误差。每个有限 $n$ 的正误差与极限趋零同时成立。

最后证明尾界。权重前两次更新给 $a_3=\alpha^3,b_3=\alpha^2$。映射 $f(u)=\alpha^2(1-u)$ 递减，且
$$
f(\alpha^2)=\alpha^3,\qquad
\alpha^3\le f(\alpha^3)\le\alpha^2,
\tag{41.21}
$$
后一式使用 $\alpha^3\le\alpha^2$ 和 $0\le\alpha^3$。故区间 $[\alpha^3,\alpha^2]$ 不变，对所有 $n\ge3$ 两权重均在此区间。有理化平方根差及 $1-c_n$ 得
$$
\epsilon_n=
\frac{\alpha^2(a_n-b_n)^2}
 {\left[\sqrt{a_n(1-b_n)}+\sqrt{b_n(1-a_n)}\right]^2(1+c_n)}.
\tag{41.22}
$$
这时 $u\ge\alpha^3$、$1-u\ge1-\alpha^2=\alpha$，所以分母方括号的每个平方根至少为 $\alpha^2$。用 $1+c_n\ge1$ 和 $(a_n-b_n)^2=\alpha^{4n-4}$ 得（41.9）的上界。又两权重趋于 $\pi_1$、$c_n\to1$，（41.22）的分母趋于 $8\pi_0\pi_1$；而 $\pi_0\pi_1=\alpha^2/(1+\alpha^2)^2$，给所述渐近等价。对 $\alpha^{4n-6}/4\le\eta$ 取对数便得（41.10）。$\square$

式（41.10）是充分发射数，不是最优整数时域或门、测量、样本及计算复杂度；相干档案存储和实际取得仍是资源。发射指标不等于物理时长、半衰期或熵产生率。

### 41.3 活动记忆的运输与整个像空间的终端重建

**命题 41.3（同一完整观察者的两种嵌入及保迹左逆）。** 定义41.1下，完整有限观察者为
$$
G_n=J\otimes H_n\otimes M,\qquad
\Omega_n^\theta=(I_J\otimes T_n)\theta(I_J\otimes T_n^*).
\tag{41.23}
$$
令 $\Sigma_{M,B}:M\otimes B_{\rm blank}\to B_{\rm blank}\otimes M$ 为末两因子交换，按 Q 的 $W$ 输入次序定义
$$
U_n=(I_{J\otimes H_n}\otimes W)
    (I_{J\otimes H_n}\otimes\Sigma_{M,B})
   :G_n\otimes B_{\rm blank}\longrightarrow G_{n+1}.
\tag{41.24}
$$
则
$$
\begin{gathered}
\Omega_{n+1}^\theta=U_n(\Omega_n^\theta\otimes|0\rangle\langle0|)U_n^*,\\
j_n(A)=U_n(A\otimes I_B)U_n^*,\qquad
\operatorname{Tr}(\Omega_{n+1}^\theta j_n(A))
=\operatorname{Tr}(\Omega_n^\theta A).
\end{gathered}
\tag{41.25}
$$
$j_n:\mathcal L(G_n)\to\mathcal L(G_{n+1})$ 为单射幺星同态。对被动档案代数 $\mathcal L(J\otimes H_n)$，取
$$
i_n(A_{\rm out})=A_{\rm out}\otimes I_M,\qquad
p_n(A_{\rm out})=A_{\rm out}\otimes I_B,
\qquad j_n\circ i_n=i_{n+1}\circ p_n.
\tag{41.26}
$$
方块的定义域只是被动代数；含活动 $M$ 的可观测量由 $j_n$ 运输。直接对新输出取偏迹则给另一操作
$$
\operatorname{Tr}_{B_{\rm new}}\Omega_{n+1}^\theta
=(\operatorname{id}_{JH_n}\otimes E)(\Omega_n^\theta),
\tag{41.27}
$$
不必等于 $\Omega_n^\theta$。

此外，在整个 $H_n\otimes M$ 上取 $Q_n=I-T_nT_n^*$，固定任意 $\tau_0\in\mathcal D(M)$，则
$$
\mathcal L_n(Y)=T_n^*YT_n+\operatorname{Tr}(Q_nY)\tau_0
\tag{41.28}
$$
是 CPTP，并在全 $\mathcal L(M)$ 上满足 $\mathcal L_n\operatorname{Ad}_{T_n}=\operatorname{id}_M$。对每个 $n\ge1$，从被动档案恢复完整等距像的最优终端误差亦为
$$
\min_{\substack{\mathcal R:\mathcal L(H_n)\to\mathcal L(H_n\otimes M)\\
                         \mathcal R\ {\rm CPTP}}}
\|\mathcal R\Gamma_n-\operatorname{Ad}_{T_n}\|_\diamond=\epsilon_n.
\tag{41.29}
$$

证明。（41.2）在全记忆输入上为线性恒等式，张量旧档案及参考恒等后仍成立；在右端插入独立纯空白并按（41.24）交换到 $W$ 的输入次序，便给（41.25）的态运输。$U_n$ 是两个酉的乘积，故共轭保持单位、乘法与伴随；$A\mapsto A\otimes I_B$ 单射，$j_n$ 也单射。循环移迹并用 $\operatorname{Tr}|0\rangle\langle0|=1$ 得期望恒等式。

对（41.26），$i_n(A_{\rm out})\otimes I_B$ 经末两因子置换后为 $A_{\rm out}\otimes I_B\otimes I_M$；$W$ 只作用于这两个恒等因子，故共轭不改变它。这证明被动方块。相反，对（41.23）的 $M$ 矩阵块分别应用 $\operatorname{Tr}_B(TXT^*)=E(X)$ 得（41.27）；块中可以含全部旧档案关联，不使用乘积假设。已经在 $n=0$、$J$ 平凡、$\theta=|0\rangle\langle0|$ 时，右端为 $P_0\ne|0\rangle\langle0|$，故直接丢弃新输出不是旧活动记忆的恒等运输。

等距性使 $Q_n$ 为正交投影。压缩 $Y\mapsto T_n^*YT_n$ 是 CP。选 $\operatorname{ran}Q_n$ 的正交标准基 $(e_a)_a$，并将 $\tau_0=\sum_b p_b|u_b\rangle\langle u_b|$ 谱分解。附加 Kraus 算子
$$
K_{ba}=\sqrt{p_b}|u_b\rangle\langle e_a|
\quad\text{满足}\quad
\sum_{a,b}K_{ba}YK_{ba}^*
=\operatorname{Tr}(Q_nY)\tau_0,\qquad
\sum_{a,b}K_{ba}^*K_{ba}=Q_n.
\tag{41.30}
$$
加上 Kraus 算子 $T_n^*$，伴随平方之和为 $T_nT_n^*+Q_n=I$，故（41.28）在整个输入空间上保迹且完全正，不只在等距像上成立。由 $Q_nT_n=0$、$T_n^*T_n=I$，直接代入任意 $X$ 得左逆。单独压缩在像外没有保迹性，不能替代（41.28）。张量 $\operatorname{id}_J$ 给联合左逆，并不取迹或替换 $J$。

取 $\mathcal R=\operatorname{Ad}_{T_n}\mathcal D_n$，通道后处理收缩给（41.29）的上界。任取竞争 $\mathcal R$，$\mathcal L_n\mathcal R$ 是（41.8）允许的档案到初始记忆通道，所以
$$
\epsilon_n\le
\|\mathcal L_n\mathcal R\Gamma_n-\operatorname{id}_M\|_\diamond
\le\|\mathcal R\Gamma_n-\operatorname{Ad}_{T_n}\|_\diamond.
\tag{41.31}
$$
下界与上界相合。$\square$

完整等距态保留初态和全部参考关联；被动档案只是它的任务边界。（41.29）构造一个新的终端重建输出，不同时保留一份未知输入的额外副本，也不撤销已取得的不可逆测量。

### 41.4 保留同一有限参考的完成距离与紧来源极小值

**定理 41.4（统一恢复尾控制同一来源类的完成距离）。** 固定定义41.1的有限 $J$，取两个联合来源 $\theta_0,\theta\in\mathcal D(J\otimes M)$。定义
$$
q_n(\theta)=(\operatorname{id}_J\otimes\Gamma_n)(\theta)\quad(n\ge1),
\qquad q_0(\theta)=\operatorname{Tr}_M\theta,\qquad
d_n(\theta)=D(q_n(\theta_0),q_n(\theta)).
\tag{41.32}
$$
则 $d_n(\theta)$ 随 $n\ge0$ 单调不减，且对 $n\ge1$ 有
$$
0\le D(\theta_0,\theta)-d_n(\theta)\le\epsilon_n,
\qquad \sup_{n\ge0}d_n(\theta)=D(\theta_0,\theta).
\tag{41.33}
$$
在有限参考局部代数塔
$$
\mathcal A_n^J=\mathcal L(J)\otimes\mathcal L(H_n),\quad n\ge0,
\qquad A\longmapsto A\otimes I_B,
\qquad \mathcal A^J=\overline{\bigcup_{n\ge0}\mathcal A_n^J}^{\|\cdot\|}
\tag{41.34}
$$
上，存在唯一态 $\omega_\theta$ 满足 $\omega_\theta(A)=\operatorname{Tr}(q_n(\theta)A)$，$A\in\mathcal A_n^J$，并且
$$
\boxed{\tfrac12\|\omega_{\theta_0}-\omega_\theta\|_{(\mathcal A^J)^*}
=\sup_{n\ge0}d_n(\theta)=D(\theta_0,\theta).}
\tag{41.35}
$$
这里 $\mathcal A^J$ 为固定有限矩阵因子 $\mathcal L(J)$ 与单侧 qubit UHF 代数的空间张量积。

若 $\Theta\subseteq\mathcal D(J\otimes M)$ 是固定非空紧的合法来源类，$\theta_0$ 可在其外，令
$$
E_* =\min_{\theta\in\Theta}D(\theta_0,\theta),\qquad
e_n =\min_{\theta\in\Theta}d_n(\theta).
\tag{41.36}
$$
则两极小值均达到，$e_n\le e_{n+1}$，并且
$$
e_n\le E_*\le e_n+\epsilon_n\quad(n\ge1),\qquad
E_*=\sup_{n\ge0}e_n.
\tag{41.37}
$$
一个实际取得的 $\theta_n\in\Theta$ 若满足 $d_n(\theta_n)\le e_n+\eta$、$\eta\ge0$，则同一来源的完成距离满足
$$
\tfrac12\|\omega_{\theta_0}-\omega_{\theta_n}\|
=D(\theta_0,\theta_n)\le e_n+\eta+\epsilon_n.
\tag{41.38}
$$

证明。$q_n$ 是保留 $J$ 的通道输出，故引理10.6给 $d_n(\theta)\le D(\theta_0,\theta)$。将同一个 $\operatorname{id}_J\otimes\mathcal D_n$ 用于两个来源，写恢复态为 $\widehat\theta_0,\widehat\theta$。（41.4）、（41.8）及命题10.7保证 $D(\theta_0,\widehat\theta_0),D(\theta,\widehat\theta)\le\kappa_n$，所以
$$
D(\theta_0,\theta)
\le\kappa_n+D(\widehat\theta_0,\widehat\theta)+\kappa_n
\le d_n(\theta)+2\kappa_n
=d_n(\theta)+\epsilon_n.
\tag{41.39}
$$
两个单态误差相加产生这里的 $\epsilon_n$，不是 $\kappa_n$。

从实际递推 $T_{n+1}=(I_{H_n}\otimes T)T_n$ 和 $T^*T=I$，对每个 $A\in\mathcal A_n^J$ 有
$$
\operatorname{Tr}\bigl(q_{n+1}(\theta)(A\otimes I_B)\bigr)
=\operatorname{Tr}(q_n(\theta)A).
\tag{41.40}
$$
故对最新发射端口取偏迹给 $q_n(\theta)$，包括 $n=0$ 时保留的 $J$ 边缘。这里已经忽略最终活动记忆，不与（41.27）对完整观察者取偏迹混淆。偏迹收缩给 $d_n\le d_{n+1}$，再用 $\epsilon_n\to0$ 证明（41.33）。

完成态沿用 Q 命题125.2的构造，但将固定的左参考因子显式保留。（41.34）的每个嵌入都等距、幺且保持乘法和伴随，因此按这些嵌入识别后的代数并具有一致算子范数。（41.40）使局部定义 $\omega_\theta(A)=\operatorname{Tr}(q_n(\theta)A)$ 良定。局部正元的期望非负，$\omega_\theta(I)=1$，而密度的迹范数为一，给 $|\omega_\theta(A)|\le\|A\|$；故唯一连续延拓到 $\mathcal A^J$。为验证延拓正性，取任意 $C\in\mathcal A^J$ 及局部 $C_k\to C$，则 $C_k^*C_k\to C^*C$，从而 $\omega_\theta(C^*C)=\lim_k\omega_\theta(C_k^*C_k)\ge0$。每个正元是其正平方根的平方，单位值仍为一，因此延拓为态，范数亦为一。这不是把具有不同类型的固定左因子偷偷代入齐次张量定理。[^rroctx41_extension]

令 $\delta=\omega_{\theta_0}-\omega_\theta$。在第 $n$ 层，有限矩阵的迹范数／算子范数对偶给
$$
\|\delta|_{\mathcal A_n^J}\|
=\|q_n(\theta_0)-q_n(\theta)\|_1=2d_n(\theta).
\tag{41.41}
$$
具体地，迹不等式给上界；对自伴差取其谱符号算子，范数至多一且期望为差的迹范数，达到上界。由于局部单位球包含在完成单位球中，$\|\delta\|\ge\sup_n2d_n(\theta)$。反向取 $\|A\|\le1$，选局部 $B_k\to A$，再置
$$
C_k=\frac{B_k}{\max\{1,\|B_k\|\}}.
\tag{41.42}
$$
每个 $C_k$ 是某一有限层的单位球元素；且
$\|C_k-B_k\|=\max\{0,\|B_k\|-1\}\le\|B_k-A\|$，故 $C_k\to A$。连续性和（41.41）给 $|\delta(A)|\le\sup_n2d_n(\theta)$，再取单位球上确界证明反向。结合（41.33）得（41.35）。这是恢复卷命题31.9、式（31.31）—（31.32）的局部范数与范数稠密方法在固定 $J$ 上的应用；因子 $1/2$ 来自（41.41），不能只用一个投影的读数代替整个泛函范数。

最后，来源空间有限维，$D(\theta_0,\theta)$ 及 $d_n(\theta)$ 都是有限线性映射后的连续迹范数。非空紧性使（41.36）达到。逐点 $d_n\le d_{n+1}$ 给 $e_n\le e_{n+1}$。在 $E_*$ 的一个极小点 $\theta_*$ 上评价 $d_n\le D$，得 $e_n\le d_n(\theta_*)\le E_*$；在 $e_n$ 的一个极小点 $\theta^{(n)}$ 上评价（41.33），得
$$
E_*\le D(\theta_0,\theta^{(n)})
\le d_n(\theta^{(n)})+\epsilon_n=e_n+\epsilon_n.
\tag{41.43}
$$
令 $n\to\infty$，得到（41.37）。对实际近极小点直接用（41.33）、（41.35）即得（41.38）。此证明在同一个 $\Theta$ 内利用统一尾界，没有交换任意的 $\inf$ 与 $\sup$，也没有把彼此不相容的有限极小点拼成一个来源。$\square$

（41.35）是完成代数上的态泛函范数等式；它不供应事先指定无限表示中的 normal 密度，不断言实际来源映满全部相容目标，也不构造可执行的无限终端解码器。Q 命题125.4的表示边界继续有效。这里的量子迹距离不是第38—39节有限经典世界／标签上的 TV 尾；没有一个已证明的映射将那些 $d_\ell,\tau_\ell$ 与 $\epsilon_n$ 等同，不能直接替换它们的预算。

**假设 41.5（紧合法准备类与较大经典档案的表示条件）。** 定理41.4的 $\Theta$ 必须是实际允许的同一联合来源类。固定来源／参考边缘、闭支撑、对称性与交叉读数的闭约束，可以在有限密度空间内形成紧类，但只固定分开边缘不保留已知联合关系。非空性需实际见证或明列为假设。一个来源忠实的充分模型是：真实供给与准备合同固定，允许参数集 $K$ 非空紧，实际联合准备映射 $s:K\to\mathcal D(J\otimes M)$ 连续，且 $\Theta=s(K)$；连续像因而非空紧。这不要求凸性，也不因数学可行就授权某种准备。精确秩条件、严格不等式或成功概率趋零的后选择可能不闭，不能不加论证地套用紧性。紧性和极小值存在亦不供应可计算的优化器。

若另有实际保留的较大经典档案 $C$，一个可用的扩展合同是：$C$ 为标准 Borel 空间，档案律 $\mu$ 与实际正则条件密度核 $c\mapsto\theta_c\in\mathcal D(J\otimes M)$ 一并给定且可测，每个条件纤维使用相同已知装置、相位、独立空白及终端访问，档案本身原样保留。该 cq 态在 $L^1(\mu;\mathcal L(J\otimes M))$ 的迹范数表示中为 $c\mapsto\theta_c$；解码后的核为 $c\mapsto(\operatorname{id}_J\otimes\mathcal D_n\Gamma_n)(\theta_c)$。统一有限参考界逐纤维积分给
$$
\frac12\int_C
\|\theta_c-(\operatorname{id}_J\otimes\mathcal D_n\Gamma_n)(\theta_c)\|_1\,\mu(dc)
\le\int_C\kappa_n\,\mu(dc)=\kappa_n.
\tag{41.44}
$$
若比较两份条件来源核，也必须保留它们声明的同一个实际档案律；可对各纤维的（41.33）积分。条件密度核及共同 $\mu$ 是实际表示假设，不由“有档案”三个字自动推出。装置随 $c$ 变化时还需另外声明逐纤维识别和可实施性，本节不借此省去固定装置前提。（41.44）不建立任意无限量子参考上的定理，也不建立无限档案准备类的紧性。

### 41.5 实际像、根准备与保留联合关系的精确实例

**命题 41.6（共同恢复预算的可达见证与来源边界）。** 在定义41.1的固定装置中，下述实例各按其实际准备合同成立。

第一，$n=1$ 的输出通道为
$$
\Gamma_1(X)=\begin{pmatrix}X_{00}&\sqrt\alpha X_{01}\\
                         \sqrt\alpha X_{10}&X_{11}\end{pmatrix},
\qquad \epsilon_1=1-\sqrt\alpha>0.
\tag{41.45}
$$
不存在输入密度使 $\Gamma_1(X)=|+\rangle\langle+|$。因而任意相容目标族不一定属于同一实际来源像；例如各层全加乘积纯态构成相容族，却已在第一层被排除。证明是（41.1）的直接偏迹：内积 $\langle m_1,m_0\rangle=\sqrt\alpha$ 给非对角乘子。目标强迫 $X_{00}=X_{11}=1/2$、$X_{01}=1/(2\sqrt\alpha)>1/2$，从而 $\det X=1/4-1/(4\alpha)<0$，违反正性。另一方面，（41.11）给 $a_2=\alpha^2,b_2=0$ 以及 $a_3=\alpha^3,b_3=\alpha^2$，同时展示奇异端点和尾界的起点；这些公式不定义零时域保真度或解码器。

第二，若准备合同固定已知纯源 $P_0=|m_0\rangle\langle m_0|$，则它的任意联合扩展都分解为 $\theta_J\otimes P_0$，故档案到 $M$ 的替换通道 $Y\mapsto\operatorname{Tr}(Y)P_0$ 给零来源恢复误差。为证明分解，置 $P=I_J\otimes P_0$。$\operatorname{Tr}((I-P)\theta)=0$ 和 $\theta\ge0$ 给 $(I-P)\theta^{1/2}=0$，因而 $\theta=P\theta P$；$P_0$ 的像一维，所以 $\theta=\theta_J\otimes P_0$。$q_n(\theta)$ 的 $J$ 边缘仍为 $\theta_J$，张量恒等参考后的替换确实恢复它。这里 $P_0$ 不是计算基态 $|0\rangle\langle0|$；这个结论也不推广到任意已知纠缠联合单例。即使联合目标事先已知，只在 $M$ 端替换也只产生与不可访问 $J$ 的乘积态，不能重建该纠缠目标。因此（41.8）的未知全输入最优值不能冒充 Q130 固定纯根任务的最优值。

第三，假定允许实际准备具有共同相位校准的 $|+\rangle,|-\rangle$。以 $\theta_0=\rho_+$、$\Theta=\{\rho_-\}$，或二者共同张量同一独立 $J$ 态，则
$$
E_*=1,\qquad e_n=c_n,\qquad E_*-e_n=\epsilon_n\quad(n\ge1).
\tag{41.46}
$$
证明由正交输入及（41.19）给出；共同张量一个密度不改变迹范数，因为该因子的迹范数为一。这证明（41.33）的统一来源距离亏损不能普遍缩小；准备许可是该尖锐性实例的前提。

第四，令 $J=\mathbb C^2$，取真实 Bell 准备
$$
|\Phi_\pm\rangle=(|00\rangle\pm|11\rangle)/\sqrt2,\qquad
\theta_\pm=|\Phi_\pm\rangle\langle\Phi_\pm|,
\qquad X_{\rm P}=|0\rangle\langle1|+|1\rangle\langle0|.
\tag{41.47}
$$
两态分开的 $J,M$ 边缘均为 $I/2$，但 $X_{\rm P}\otimes X_{\rm P}$ 的确定性奇偶分别为 $+1,-1$。由（41.7），
$$
(\operatorname{id}_J\otimes\mathcal D_n\Gamma_n)(\theta_\pm)
=(1-\kappa_n)\theta_\pm+\kappa_n\theta_\mp.
\tag{41.48}
$$
证明只需 $I_J\otimes Z$ 将 $\Phi_+$ 与 $\Phi_-$ 互换。因此解码后终端联合奇偶测试的错误概率精确为 $\kappa_n$。这个 tester 读取允许的联合参考；解码器本身仍不访问 $J$，也未另外产生非平凡的同时经典预测输出。仅比较分开边缘会漏掉此处全部奇偶关系。

第五，若实际准备合同允许未额外记录混合标签的家庭
$$
\theta_p=(1-p)\theta_++p\theta_-,\qquad 1/2\le p\le1,
\qquad \theta_0=\theta_+,\qquad
\Theta=\{\theta_p:1/2\le p\le1\},
\tag{41.49}
$$
则这是一个非单例紧合法类，同一 $p$ 供应整个发射历史，并有
$$
D(\theta_+,\theta_p)=p,\qquad
d_n(\theta_p)=pc_n,\qquad
E_*=1/2,\quad e_n=c_n/2,\quad E_*-e_n=\epsilon_n/2.
\tag{41.50}
$$
证明。Bell 两态正交，故第一距离为 $p$。将参考和首位输出联合分块，$q_n(\theta_+)-q_n(\theta_-)$ 只在
$(|0\rangle_J|0\rangle_{B_1})\otimes K_n$ 与
$(|1\rangle_J|1\rangle_{B_1})\otimes K_n$ 的直和上非零，在这个支撑上恰为（41.19）的交叉块矩阵，故其半迹范数为 $c_n$。来源与输出差均随 $p$ 线性缩放，给第二距离；在 $[1/2,1]$ 上取最小值即得其余等式。参数映射连续，紧性与非空性亦直接成立。各态的分开边缘相同，变化的是联合关系。Bell 准备和随机化仍是资源假设；若 $p$ 或随机分支标签已被实际记录，必须把它们留在完整来源／观察者中重新评价距离，不能删去标签来制造（41.49）的约化家庭。$\square$

### 41.6 共同终端实验与可组合接口的接入

**命题 41.7（Context12的参考安全终端预算）。** 在每个固定 $n\ge1$，对定义41.1的任意实际联合输入 $\theta$，以及两种表示后使用的同一个合法终端 CPTP 通道
$\Lambda:\mathcal L(J\otimes M)\to\mathcal L(Y)$，有
$$
D\!\left(\Lambda(\theta),
\Lambda\bigl[(\operatorname{id}_J\otimes\mathcal D_n\Gamma_n)(\theta)\bigr]\right)
\le\kappa_n=\frac{1-c_n}{2},\qquad
\kappa_n\le\frac{\alpha^{4n-6}}8\quad(n\ge3).
\tag{41.51}
$$
对一个实际合法终端测量，完整结果律的经典 TV 因而至多 $\kappa_n$；对损失 $0\le\ell\le L$，期望差至多 $L\kappa_n$。本卷定义12.1、定理12.2的接入为
$$
\mathcal E=\Gamma_n,\qquad \mathcal Q=\operatorname{id}_M,
\qquad \mathcal S=\mathcal D_n,
\qquad \kappa=\kappa_n.
\tag{41.52}
$$
若另有同型合法完整操作 $\mathcal T_r:M\to M$ 与边界操作 $\overline{\mathcal T}_r:H_n\to H_n$，并另证其半 diamond 交织缺陷
$$
\delta_r=d_\diamond(\Gamma_n\mathcal T_r,
                         \overline{\mathcal T}_r\Gamma_n),
\tag{41.53}
$$
则直接应用定理12.2，$m$ 次操作的任务误差至多
$\min\{1,\kappa_n+\sum_{r=1}^m\delta_r\}$。会参与中间操作的旧记录和参考须按定义12.1计入活动类型；不能仍将其视为惰性 $J$，也不能由（41.51）自动获得新的交织缺陷界。

证明。（41.7）是全算子恒等式，（41.8）是含参考的完整 diamond 范数，故对同一 $\theta$ 恢复前后的半迹距离至多 $\kappa_n$。左接共同 $\Lambda$ 后用引理10.6收缩即得（41.51）；尾界来自（41.9）。测量通道的输出为经典对角态，其半迹距离等于 TV。两结果律差的正、负部分质量均为 TV，故 $\ell\in[0,L]$ 的积分差绝对值至多 $L\operatorname{TV}$，给损失界；这也适用于声明了可测结果空间的终端测量。将（41.52）逐项代入定义12.1后，$\kappa$ 恰为（41.4）的 $\kappa_n$；在另行满足（41.53）的同一合法接线中，由定理12.2的通道望远镜界即得后续预算。$\square$

终端相干访问是本命题的前提。命题36.6允许的输出实验若已消耗相干资源，并不因此允许再实施（41.17）；完整历史、失败及可访问装置仍须留在实际模型中。$n$ 是取得档案的发射数，$m$ 是另行声明的后续操作数，二者均不自动等于物理时间。固定任务可用一个共同解码器恢复到可控误差，不意味着整个观察者对任何扩大后的操作语言都具有同一接口。

**约定 41.8（既有供应与此消费者的量词边界）。** Q 命题130.1、131.1拥有固定发射装置与输出／记忆通道；Q 定理13.3拥有受控极分解方法；Q 命题125.2、125.4拥有局部态完成与表示限制。恢复卷命题31.9拥有局部范数与完成范数比较的方法，本节只显式保留有限左参考并计算同一装置的尾。本卷引理10.6、命题10.7—10.9、定义12.1与定理12.2供应不同有限维输入输出收缩、外部参考和共同恢复预算；第13、35节及定义36.4、命题36.6供应完整档案和合法联合准备／访问的类型。这些供应结论均保留原条件。

有限读出纤维的非空紧性可由 [PhysicalFiber 的 finite_dimensional_physical_fiber](../../../D5/S3/Quantum/Fibers/PhysicalFiber.lean) 在正性、归一化及固定线性读出的前提下供应；[CompactLocalRealization 的 compact_local_realization](../../../D5/S3/Observer/Completion/CompactLocalRealization.lean)处理紧空间中的闭局部记录相容。本节（41.37）使用同一个合法来源类上的统一定量尾，不重建一般紧性或逆极限定理。已有 [FiniteTraceDistance.traceDistance_contract](../../../D5/S3/Quantum/Foundation/FiniteTraceDistance.lean) 的类型为相同指标载体上的 `QuantumChannel i i`，不将其称为任意维数或 diamond 恢复的形式供应；此处所需的不同有限输入输出收缩由本卷引理10.6的证明承担。

Q 第145—149节仍是固定纯根来源下未知左滤波、条件报告及有限历史复现的任务；Q 第146节的 $(1-\sqrt\alpha)/2$ 是其 CP 噪声阈值，不因数字相同就成为本节未知源恢复的证明。本节为这些既有模型和成熟方法的普通数学应用；（41.6）—（41.10）的精确常数由所列条件态计算、实际解码器及两态下界共同承担，不从一般信息—扰动估计套出。[^rroctx41_background] 这里不作外部文献优先性断言，也不把源卷证明等同于新增形式核验。

[^rroctx41_fidelity]: John Watrous，*The Theory of Quantum Information*，Cambridge University Press，2018，[作者全文](https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/TQI/TQI.pdf)，Theorem 3.22及Corollary 3.23，式（3.145）—（3.149）：有限维纯化和交叉偏迹的根保真度恒等式。A. Uhlmann，*The “transition probability” in the state space of a \*-algebra*，Reports on Mathematical Physics **9**（1976），273–279，[doi:10.1016/0034-4877(76)90060-4](https://doi.org/10.1016/0034-4877(76)90060-4)，其式（1）采用根保真度的平方。本节未将平方约定混入（41.4）。

[^rroctx41_extension]: Sam Staton、Ned Summers，*Quantum de Finetti Theorems as Categorical Limits, and Limits of State Spaces of C\*-algebras*，[arXiv:2207.05832v2](https://arxiv.org/abs/2207.05832v2)，Theorems 2.24及4.1的塔为同一个 $C^*$ 代数的齐次张量幂。这里含固定左因子 $\mathcal L(J)$ 的具体延拓由（41.34）—（41.42）及 Q125.2的方法直接完成，不扩大这些外部定理的字面类型。

[^rroctx41_background]: Dennis Kretschmann、Dirk Schlingemann、Reinhard F. Werner，*The Information-Disturbance Tradeoff and the Continuity of Stinespring's Representation*，[arXiv:quant-ph/0605009](https://arxiv.org/abs/quant-ph/0605009)，Theorem 3为一般信息—扰动背景，采用 Heisenberg 通道及完全有界范数的约定；本节的精确最优值不依赖该定理的估计常数。

## 41.99 追加锚

## 42. 被动相干接收、完整联合来源与已获词记录的熵

本节把同一关系的两种保存任务接起来：相干发射档案可由固定四维接收器逐步保存其全部来源关联；一旦计算基词已被实际取得，精确保留那一次记录则有随词长增长的零误差容量。两者使用同一个装置，却有不同的访问、准备和输出资源合同。[量子上下文卷](CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_QUANTUM.md)以下记为 Q，[恢复几何卷](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_RECOVERY_GEOMETRY.md)以下记为恢复卷。Q130—131和恢复卷31供应共同生成器，Q125供应固定根相干态与柱律，本卷第41节供应固定档案的来源恢复。本节是这些供应及成熟相干接收、容量和熵机制的普通数学应用，不重建一般顺序压缩定理，不主张文献新颖性或新增 Lean 认证。

### 42.1 同一装置上的联合任务与纯根任务

**定义 42.1（被动接收的准备与访问合同）。** 固定
$$
\begin{gathered}
\alpha=(\sqrt5-1)/2,\qquad \phi=\alpha^{-1},\qquad
0<\alpha<1,\qquad \alpha+\alpha^2=1,\qquad B=M=\mathbb C^2,\\
m_0=\sqrt\alpha\,|0\rangle+\alpha|1\rangle,\qquad m_1=|0\rangle,
\qquad P_j^{\rm mem}=|m_j\rangle\langle m_j|\in\mathcal L(M),\\
T:M\to B\otimes M,\qquad T|j\rangle=|j\rangle\otimes m_j,\\
H_n=B^{\otimes n},\quad H_0=\mathbb C,\quad T_0=I_M,\quad
T_{n+1}=(I_{H_n}\otimes T)T_n,\\
E(X)=\operatorname{Tr}_B(TXT^*)=X_{00}P_0^{\rm mem}+X_{11}P_1^{\rm mem},\qquad
\Gamma_n(X)=\operatorname{Tr}_M(T_nXT_n^*).
\end{gathered}
\tag{42.1}
$$
输出在前、活动记忆在后。上标 $\mathrm{mem}$ 明确区分记忆准备投影与后文 $H_n$ 上的支撑投影 $P_n$；它们不能互换。Q命题130.1和本卷（41.2）给固定空白酉
$$
R_{\rm rot}=\begin{pmatrix}\sqrt\alpha&-\alpha\\\alpha&\sqrt\alpha\end{pmatrix},\qquad
W=(|0\rangle\langle0|\otimes R_{\rm rot}+|1\rangle\langle1|\otimes I_M)
\operatorname{SWAP},\qquad W(|0\rangle\otimes\psi)=T\psi.
\tag{42.2}
$$
每个新空白均是与当时整个联合系统独立的纯态 $|0\rangle$。整个运行使用同一个 $W$，保留同一个活动 $M$，不插入重选来源、复位或生成器反馈。

联合任务以任意固定有限维参考 $J$ 及一次合法准备 $\theta\in\mathcal D(J\otimes M)$ 开始，保存
$$
\Omega_n(\theta)=(I_J\otimes T_n)\theta(I_J\otimes T_n^*)
\in\mathcal D(J\otimes H_n\otimes M).
\tag{42.3}
$$
这里声明的全输入类包含所有这样的密度，并允许实际准备一个 $JM$ Bell 对。接收器只访问已发出系统和它自己的、起初独立的寄存器 $K$，不访问 $J$ 或活动 $M$。若改用受限物理来源类，存在性可限制到该类；四维必要性则须先核对该类是否实际允许下文的 Bell 见证，不能从抽象全输入类移入一项非法准备。

接收酉序列只依赖已知装置、基、相位及发射计数 $n$，不依赖未知输入或接收测量结果。同一序列适用于每个事先指定的有限终端时域。由旧档案外生选定有限时域时，保留选择标签，逐实际条件来源核对相同的空白独立性和生成合同；无界经典标签另需正则条件 cq 表示。接收测量决定的任意在线停止、向 $M$ 反馈以及无限终端解码不在此合同内。

熵应用另固定初态为 $P_0^{\rm mem}$，不是 $|0\rangle\langle0|$，也不是平稳混合态。若有限联合态的 $M$ 边缘纯且等于 $P_0^{\rm mem}$，则它必为 $\theta_J\otimes P_0^{\rm mem}$：令 $P=I_J\otimes P_0^{\rm mem}$，由正性和 $\operatorname{Tr}((I-P)\theta)=0$ 得 $(I-P)\theta^{1/2}=0$，故 $\theta=P\theta P$；记忆支撑一维给出分解。这是第41.5节的同一准备事实。保留更大的旧经典档案时使用定义36.4的实际条件纯根准备，而非只凭边缘相同替换来源。全文使用自然对数；$n$ 只计发射，不是物理持续时间。

### 42.2 实际联合支撑与四列 Gram 的精确秩

**命题 42.2（所有来源块的共同档案支撑）。** 令
$$
T_n|i\rangle=\sum_{a=0}^1v^n_{i,a}\otimes|a\rangle,
\qquad v^n_{i,a}=(I_{H_n}\otimes\langle a|)T_n|i\rangle,
\qquad S_n=\operatorname{span}\{v^n_{i,a}:i,a\in\{0,1\}\}.
\tag{42.4}
$$
$\Omega_n(\theta)$ 支撑在 $J\otimes S_n\otimes M$。内积第一变量共轭线性时，以 $(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$ 排序的 Gram 矩阵满足
$$
G_n[(i,a),(j,b)]=\langle v^n_{i,a},v^n_{j,b}\rangle
=[E^n(|j\rangle\langle i|)]_{b,a},
\qquad \operatorname{rank}G_n=\dim S_n.
\tag{42.5}
$$
特别地，
$$
\dim S_n=1,2,3,4,4,\ldots\quad(n=0,1,2,3,4,\ldots),
\qquad S_2=\operatorname{span}\{|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle\}.
\tag{42.6}
$$
这些是已知来源族在 $H_n$ 中的支撑，不是整个 $H_n$ 的维数。

证明。写 $\theta=\sum_{i,j}\theta^J_{ij}\otimes|i\rangle\langle j|$，直接展开
$$
\Omega_n(\theta)=\sum_{i,j,a,b}\theta^J_{ij}\otimes
|v^n_{i,a}\rangle\langle v^n_{j,b}|\otimes|a\rangle\langle b|.
\tag{42.7}
$$
每一个参考／来源非对角块也在声明支撑内。对 $T_n|j\rangle\langle i|T_n^*$ 取档案偏迹，得到
$$
E^n(|j\rangle\langle i|)
=\sum_{b,a}\langle v^n_{i,a},v^n_{j,b}\rangle|b\rangle\langle a|,
\tag{42.8}
$$
即（42.5）。若 $V_n$ 为这四列组成的映射，则 $G_n=V_n^*V_n$，两者核相同，给秩等式。这里复用 Q定理3.1的 Gram 因子化论证，保留各列的实际范数；列可能为零或非单位向量，不能原样套用其单位对角陈述。

$n=0$ 时 $v^0_{i,a}=\delta_{ai}\in\mathbb C$，因此
$$
G_0=uu^*,\qquad u=(1,0,0,1)^{\mathsf T},\qquad \operatorname{rank}G_0=1.
\tag{42.9}
$$
从 $n\ge1$ 才有 $E^n(|0\rangle\langle1|)=E^n(|1\rangle\langle0|)=0$。沿用定理41.2的条件记忆权重，置
$$
\begin{gathered}
\tau(u)=(1-u)P_0^{\rm mem}+uP_1^{\rm mem},\qquad
\lambda=-\alpha^2,\quad \pi_1=\frac{\alpha^2}{1+\alpha^2},\quad
\pi_0=\frac1{1+\alpha^2},\\
a_n=\pi_1(1-\lambda^{n-1}),\qquad b_n=\pi_1+\pi_0\lambda^{n-1},\\
G_n=\tau(a_n)^{\mathsf T}\oplus\tau(b_n)^{\mathsf T}\quad(n\ge1).
\end{gathered}
\tag{42.10}
$$
转置来自（42.5）的 $b,a$ 次序，即使本装置的所选基中矩阵为实，也不得省去这一类型关系。该分块式不用于 $G_0$。

第一步权重是 $(a_1,b_1)=(0,1)$。由 $\tau(u)_{11}=\alpha^2(1-u)$ 得
$$
E(\tau(u))=\tau(\alpha^2(1-u)),\qquad
\operatorname{Tr}\tau(u)=1,\qquad \det\tau(u)=\alpha^2u(1-u).
\tag{42.11}
$$
仿射递推的不动点为 $\pi_1$，偏差每步乘 $\lambda$，解出（42.10）。实际前三组权重为 $(0,1)$、$(\alpha^2,0)$、$(\alpha^3,\alpha^2)$。端点 $0,1$ 给秩一，内部权重给正行列式与秩二，而 $0<u<1$ 蕴含 $0<\alpha^2(1-u)<1$。于是两块的秩依次为 $(1,1),(2,1),(2,2)$，以后均为 $(2,2)$，加上（42.9）即得全 $n$ 秩序列。

也可直接看第二步的四列：
$$
\begin{aligned}
v^2_{0,0}&=\alpha|00\rangle+\alpha|01\rangle,&
v^2_{0,1}&=\alpha\sqrt\alpha|00\rangle,\\
v^2_{1,0}&=\sqrt\alpha|10\rangle,&
v^2_{1,1}&=\alpha|10\rangle.
\end{aligned}
\tag{42.12}
$$
它们张成所列 $S_2$；前三列在行 $00,01,10$ 的子式为 $-\alpha^3\ne0$，所以不是仅凭数值阈值判断秩。最后，源非对角单位在记忆通道中消失不表示其从联合态或档案消失：
$$
\Gamma_1(|0\rangle\langle1|)=\langle m_1,m_0\rangle|0\rangle\langle1|
=\sqrt\alpha\,|0\rangle\langle1|.
\tag{42.13}
$$
$\square$

### 42.3 一个对所有有限终端适用的被动接收器

**命题 42.3（四维持续接收与八维门构造）。** 取 $K=\mathbb C^4$。存在已知装置决定的线性映射 $F_n:H_n\to K$，在 $S_n$ 上等距、在 $S_n^\perp$ 上为零，以及 $K\otimes B$ 上的酉 $U_n$，满足
$$
U_n[(F_n\otimes I_B)s]=F_{n+1}s\otimes|0\rangle
\qquad(s\in S_{n+1}\subseteq S_n\otimes B).
\tag{42.14}
$$
初始接收态为 $F_0(1)$。在定义42.1的实际无干预来源族上，依次接收每个发出 qubit 后，完整联合态为
$$
\widehat\Omega_n=(I_J\otimes F_n\otimes I_M)\Omega_n
                         (I_J\otimes F_n^*\otimes I_M).
\tag{42.15}
$$
每次消耗的 $B$ 在丢弃前已是与整个其余系统乘积的纯空白，包含与 $J$ 和活动 $M$ 的关系；不留下输入相关信息。

证明。对（42.4）的活动记忆施加同一个 $T$，逐坐标有
$$
v^{n+1}_{i,a}=\sum_{b=0}^1(m_b)_a\,v^n_{i,b}\otimes|b\rangle.
\tag{42.16}
$$
所以 $S_{n+1}\subseteq S_n\otimes B$，且两侧指定映射在该子空间上都等距，有限等距延拓可给（42.14）。为明确给出不需构造 $2^n$ 阶矩阵的门，令
$$
w^n_{i,a}=\sqrt{G_n}\,e_{i,a}\in\mathbb C^4,\qquad
F_nv^n_{i,a}=w^n_{i,a}.
\tag{42.17}
$$
对任意四列系数 $z$，原像与目标的范数平方同为 $z^*G_nz$，故两列映射有相同核，指定映射良定并保持所有内积，包括相关列和零列。再在正交补上置零，即得所需 $F_n$。

构造 $K\otimes B$ 中四个输入、输出列：
$$
x_{i,a}=\sum_b(m_b)_a\,w^n_{i,b}\otimes|b\rangle,
\qquad y_{i,a}=w^{n+1}_{i,a}\otimes|0\rangle.
\tag{42.18}
$$
它们都是 $8\times4$ 矩阵的列。正交输出基使
$$
\begin{aligned}
\langle x_{i,a},x_{j,c}\rangle
&=\sum_b\overline{(m_b)_a}(m_b)_c\,
      G_n[(i,b),(j,b)]\\
&=\sum_b\overline{(m_b)_a}(m_b)_c
      [E^n(|j\rangle\langle i|)]_{b,b}\\
&=[E^{n+1}(|j\rangle\langle i|)]_{c,a}
 =G_{n+1}[(i,a),(j,c)]
 =\langle y_{i,a},y_{j,c}\rangle.
\end{aligned}
\tag{42.19}
$$
记列矩阵为 $X_n,Y_n$，则 $X_n^*X_n=Y_n^*Y_n$。直接使用既有 [GramUnitaryExtension.exists_unitary_mul_eq_of_conjTranspose_mul_eq](../../../D5/S3/Quantum/Algebra/GramUnitaryExtension.lean)，以其 $B=Y_n,A=X_n$，得到 $Y_n=U_nX_n$。该声明允许任意有限矩形复矩阵，无满秩假设；因此初期秩亏也被覆盖。[SequentialRegisterCircuit.exists_unitary_agree](../../../D5/S3/Quantum/Entanglement/SequentialRegisterCircuit.lean)及同文件的 `rectangular_unitary` 是相应等距／填充寄存器供应，不另立通用包装。实际门规格只需（42.10）的 $4\times4$ 正平方根和八维正交补完成；$n=0$ 使用（42.9）。

酉共轭后偏迹
$$
\mathcal A_n:\mathcal L(K\otimes B)\to\mathcal L(K),\qquad
\mathcal A_n(Y)=\operatorname{Tr}_B(U_nYU_n^*)
\tag{42.20}
$$
在整个输入空间上 CPTP。在 $J\otimes K\otimes B\otimes M$ 的因子次序中，（42.14）逐列作用于实际来源展开，给出的向量恰为（42.15）下一步的 $J,K,M$ 向量插入空白 $|0\rangle_B$；在密度层面就是张量积 $\widehat\Omega_{n+1}\otimes|0\rangle\langle0|_B$，按上述固定次序置换因子。混态及所有参考块由线性性给出。因此先保留再丢弃这个 $B$ 不损失任何联合关系。由 $F_0(1)$ 起归纳即得（42.15）。生成器作用于活动 $M$ 与新空白，接收器作用于 $K$ 与已经发出的 $B$；不交因子的张量线性作用可交换，即使态纠缠也成立。这是操作交换，不是概率独立。

这一归纳的域是实际像族 $\operatorname{Ad}_{T_n}(\theta)$。不能把仅有支撑 $J\otimes S_n\otimes M$ 当成任意下一步的来源闭合。例如 $|1\rangle_{B_1}\otimes|1\rangle_M\in S_1\otimes M$，但
$$
(I_B\otimes T)(|1\rangle\otimes|1\rangle)
=|11\rangle\otimes|0\rangle\notin S_2\otimes M.
\tag{42.21}
$$
静态支持态可逆性仍可成立，因果接续却需要实际联合像。

同一门序列不依赖未来终端 $N$：对 $n\le N$，后续 $T_{N-n}$ 是每个前缀切口另一侧的等距，保持前缀约化态与支撑；（42.16）和 $G_n$ 本身也未使用 $N$。这正是 Blume-Kohout、Croke、Zwolak 的相干逐步收卷机制在来源子空间 $T_N(\mathbb C^2)$ 上的应用，把 $J$ 和终端活动 $M$ 放在未处理／参考一侧。[^rroctx42_bcz] 所需的是每个前缀秩受控与相干访问，不是仅有最终小维数；该文的高纠缠前缀例子排除了后一推断。$\square$

**命题 42.4（真实可达的干预失效）。** 同一装置从合法纯源 $|0\rangle$ 开始，第一步为 $|0\rangle\otimes m_0$。翻转已发出位后继续原生成器，实际得到
$$
(I_B\otimes T)(X\otimes I_M)T|0\rangle
=\sqrt\alpha\,|10\rangle\otimes m_0
 +\alpha|11\rangle\otimes m_1,
\qquad X=|0\rangle\langle1|+|1\rangle\langle0|.
\tag{42.22}
$$
非法前缀 $11$ 的概率为 $\alpha^2$。因为 $S_1=H_1$，这个逻辑翻转可在编码像 $F_1S_1$ 上实施并延拓为 $K$ 上的酉，但其继续历史已不属于命题42.3的被动来源族。或者，对第一位作 $X$ 基测量并在概率 $1/2$ 的加分支条件化，此时第一位为 $|+\rangle$、记忆仍为 $m_0$，下一步 $11$ 的条件概率为 $\alpha^2/2$；不条件化的该分支质量为 $\alpha^2/4$。这些数值直接由 $Tm_0$ 的两个正交输出分支计算。

另在 $n=2$，对第一旧位翻转会把 $|01\rangle\in S_2$ 送到非法 $|11\rangle$。即使某个中间测量保持当时支撑，它也会改变原联合源态。命题36.6可把无反馈输出实验的完整分支移到一个固定终端计算，却不证明干预后的历史仍在此被动 $S_n$ 链内，也不供给真实早期访问期限或任意接收结果驱动停止。$\square$

### 42.4 全域通道延拓与原权限内的终端运输

**命题 42.5（支撑逆与完整终端接口）。** 保持 $F_n:H_n\to K$ 在补空间为零，定义
$$
P_n=F_n^*F_n\in\mathcal L(H_n),\qquad Q_n=F_nF_n^*\in\mathcal L(K).
\tag{42.23}
$$
它们分别投影到 $S_n$ 与 $F_nS_n$。任取密度 $\omega_n\in\mathcal D(K)$ 及支撑在 $S_n$ 的密度 $\xi_n$，令
$$
\begin{aligned}
\mathcal C_n(X)&=F_nXF_n^*+\operatorname{Tr}((I_{H_n}-P_n)X)\omega_n,
&&X\in\mathcal L(H_n),\\
\mathcal B_n(Y)&=F_n^*YF_n+\operatorname{Tr}((I_K-Q_n)Y)\xi_n,
&&Y\in\mathcal L(K).
\end{aligned}
\tag{42.24}
$$
两者在整个声明载体上 CPTP，且
$$
\mathcal B_n\mathcal C_n(X)=X\qquad(X=P_nXP_n).
\tag{42.25}
$$
这是全支撑算子恒等式，不限于密度或来源边缘；与任意有限参考恒等张量后仍成立，特别可保留 $J$ 和实际活动 $M$。

证明。对任一补投影 $R$，取其像的正交基 $(e_l)$，并把所准备密度写成 $\sum_jt_j|u_j\rangle\langle u_j|$。映射 $X\mapsto\operatorname{Tr}(RX)\sum_jt_j|u_j\rangle\langle u_j|$ 的 Kraus 算子为
$$
K_{jl}=\sqrt{t_j}|u_j\rangle\langle e_l|,\qquad
\sum_{j,l}K_{jl}^*K_{jl}=R.
\tag{42.26}
$$
对 $\mathcal C_n$ 加入主 Kraus $F_n$，平方和为 $P_n+(I-P_n)=I_{H_n}$；对 $\mathcal B_n$ 加入 $F_n^*$，平方和为 $Q_n+(I-Q_n)=I_K$。这同时证明全域 CP 与 TP，包括补支撑分支。若 $X=P_nXP_n$，第一补项为零，$F_nXF_n^*$ 支撑在 $Q_n$，第二补项也为零，复合恰为 $P_nXP_n=X$。参考版本按其矩阵单位展开即可，不增加独立性前提。命题42.3的顺序接收在实际来源族上与 $\mathcal C_n$ 一致；它在任意不受此合同约束的 $H_n$ 输入上的行为不必等于这个方便的静态补空间延拓。$\square$

**推论 42.6（合法解码类、仪器和 POVM 的运输）。** 任何原来合法的完整终端通道或仪器 $\Lambda$，可在 $\operatorname{id}_J\otimes\mathcal B_n\otimes\operatorname{id}_M$ 后使用同一个 $\Lambda$。在（42.3）的实际族上，每个仪器分支的次归一化联合态、概率、失败和保留记录完全相同。若 $\Lambda$ 原本只访问档案，就仍只访问档案；若原本可读 $J$ 或活动 $M$，也只保留原有权限。接收器本身未得到这些权限。

具体地，任意原档案解码器 $\mathcal D:\mathcal L(H_n)\to\mathcal L(O)$ 对应 $\widehat{\mathcal D}=\mathcal D\mathcal B_n$；反向，任意接收解码器 $\widehat{\mathcal D}:\mathcal L(K)\to\mathcal L(O)$ 对应 $\widehat{\mathcal D}\mathcal C_n$。由于
$$
\mathcal B_n\mathcal C_n\Gamma_n=\Gamma_n
\quad\hbox{在全部源算子上成立},
\tag{42.27}
$$
两个无限制 CPTP 解码类可实现的来源到 $O$ 通道集合相同。故对这些通道的任意相同范数目标，最优值相等。对 $n\ge1$、$O=M$，精确接入定理41.2：
$$
\begin{gathered}
c_n=\|\sqrt{\tau(a_n)}\sqrt{\tau(b_n)}\|_1,\qquad
c_n^2=1-\alpha^2
 [\sqrt{a_n(1-b_n)}-\sqrt{b_n(1-a_n)}]^2,\\
\inf_{\widehat{\mathcal D}\ {\rm CPTP}}
 \|\widehat{\mathcal D}\mathcal C_n\Gamma_n-\operatorname{id}_M\|_\diamond
=\inf_{\mathcal D\ {\rm CPTP}}
 \|\mathcal D\Gamma_n-\operatorname{id}_M\|_\diamond
=1-c_n.
\end{gathered}
\tag{42.28}
$$
这里是根保真度和完整 diamond 范数；半 diamond 最优误差仍是 $(1-c_n)/2$。达到值的通道为已有 $\mathcal D_n\mathcal B_n$，其中 $\mathcal D_n$ 正是（41.17）的受控极分解解码器，本节不重证其最优恢复定理。受限硬件类仅在实际允许这两方向的所需复合时继承集合等价；抽象 CPTP 存在性不保证硬件封闭性。

对原档案 POVM $(E_y)$，伴随运输为
$$
\widehat E_y=\mathcal B_n^*(E_y)
=F_nE_yF_n^*+\operatorname{Tr}(\xi_nE_y)(I_K-Q_n),
\qquad \sum_y\widehat E_y=I_K.
\tag{42.29}
$$
证明。联合逆（42.25）之后接同一仪器的每个 CP 分支，便得完整分支恒等；两方向复合给（42.27）及可实现集合等价。最后对（42.24）逐项作迹配对得到（42.29），正性逐项成立，归一化用 $\sum_yE_y=I_{H_n}$、$\operatorname{Tr}\xi_n=1$。仅用 $F_nE_yF_n^*$ 则总和为 $Q_n$，初期 $\dim S_n<4$ 时并非环境空间上的 POVM。必须运输完整仪器或整个联合 POVM，不能由此声称独立端口代数均被保留。$\square$

**命题 42.7（合法词空间不是源支撑）。** 在三位合法词空间中
$$
\psi=(|000\rangle-|010\rangle)/\sqrt2
\tag{42.30}
$$
与 $S_3$ 正交。因而任何由（42.24）的 $\mathcal B_3$ 输出的密度 $\zeta$ 都满足
$D(|\psi\rangle\langle\psi|,\zeta)=1$，特别包括 $\zeta=\mathcal B_3\mathcal C_3(|\psi\rangle\langle\psi|)$；这里 $D=\tfrac12\|\cdot\|_1$。

证明。$W_3=\{000,001,010,100,101\}$ 张成的合法词空间维数为五，而命题42.2给 $\dim S_3=4$。更具体地，
$$
\begin{aligned}
T_3|0\rangle
 &=\alpha|000\rangle m_0+\alpha\sqrt\alpha|001\rangle m_1
      +\alpha|010\rangle m_0,\\
T_3|1\rangle
 &=\sqrt\alpha|100\rangle m_0+\alpha|101\rangle m_1.
\end{aligned}
\tag{42.31}
$$
前一行的 $000,010$ 记忆列完全相同，后一行二者均为零，故 $\psi$ 正交于四列。$\mathcal B_3$ 的两项都支撑在 $S_3$，所以与 $|\psi\rangle$ 支撑正交；两密度之差在不交支撑上正负分块，迹范数为二。这里排除的是把任意合法编码态当作可接收的实际相干来源态。$\square$

### 42.5 Bell 联合见证的尖锐容量与端口代数

**命题 42.8（普遍联合任务的最小接收维数）。** 在定义42.1确实允许 Bell 准备的来源类中，经档案一侧 CPTP 编码与恢复而精确保留原来的 $J,H_n,M$ 联合态，所需有效寄存器维数至少是
$$
d_n=\dim S_n=1,2,3,4,4,\ldots.
\tag{42.32}
$$
在各固定时域取 $S_n$ 的等距编码可达到这个维数；命题42.3以单一 $K=\mathbb C^4$ 的序列实现所有时域，从 $n\ge3$ 起四维尖锐。

证明。实际准备 $|\Phi\rangle_{JM}=(|00\rangle+|11\rangle)/\sqrt2$，使用相同独立空白和同一 $T$。仅为写 Schmidt 分解，把档案放到左侧，演化纯向量为
$$
|\Psi_n\rangle=\frac1{\sqrt2}\sum_{i,a}v^n_{i,a}\otimes|i\rangle_J\otimes|a\rangle_M,
\qquad \operatorname{Tr}_{JM}|\Psi_n\rangle\langle\Psi_n|
=\Gamma_n(I_M/2)=\frac12\sum_{i,a}|v^n_{i,a}\rangle\langle v^n_{i,a}|.
\tag{42.33}
$$
正项之和的核是四列共同正交补，故其支撑恰为 $S_n$。因此 Schmidt 分解为
$|\Psi_n\rangle=\sum_{r=1}^{d_n}\sqrt{s_r}|e_r\rangle|f_r\rangle$，所有 $s_r>0$，$e_r$ 张成 $S_n$，$f_r$ 位于实际 $JM$。

设编码 $\mathcal C$ 与恢复 $\mathcal B$ 经过 $k$ 维寄存器，且
$(\mathcal L\otimes\operatorname{id}_{JM})(|\Psi_n\rangle\langle\Psi_n|)=|\Psi_n\rangle\langle\Psi_n|$，$\mathcal L=\mathcal B\mathcal C$。用 $\langle f_r|$、$|f_s\rangle$ 夹取参考／记忆块得
$$
\sqrt{s_rs_s}\,\mathcal L(|e_r\rangle\langle e_s|)
=\sqrt{s_rs_s}\,|e_r\rangle\langle e_s|.
\tag{42.34}
$$
非零系数强迫 $\mathcal L$ 固定每个支撑矩阵单位，不仅是一个对角混合态。于是 $r\ne s$ 时，迹距离收缩给
$$
1=D(|e_r\rangle\langle e_r|,|e_s\rangle\langle e_s|)
\le D(\mathcal C(|e_r\rangle\langle e_r|),
       \mathcal C(|e_s\rangle\langle e_s|))\le1.
\tag{42.35}
$$
距离一的密度具有正交支撑：达到距离的二元 Helstrom 效应对一态概率一、对另一态概率零，正性使其分别位于该效应的本征值一、零子空间。故编码密度的 $d_n$ 个非零支撑两两正交，$k\ge d_n$。等价地可用 Q定理7.5的零错误容量结论。这些基态测试是单个合法 Bell 联合约束的代数后果，不需要另假设每个 $e_r$ 都是可单独准备的源态。任何额外携带输入相关信息的接收系统，也须计入编码资源，不能藏在 $K$ 之外。$\square$

这个下界只属于所声明的普遍联合任务。仅恢复来源 qubit、固定已知纯根、复现输出边缘或准备一个已知混态，都不是它的替代假设。Q125.1及恢复卷31.3已给固定 $P_0^{\rm mem}$ 根的档案在 $n\ge1$ 恰为秩二，下文也由记忆行列式核对；它不能见证此处普遍任务的四维必要性。

**命题 42.9（压缩不保留两个独立尖锐端口）。** 在 $n=2$ 写
$$
P=P_2=|00\rangle\langle00|+|01\rangle\langle01|+|10\rangle\langle10|,
\qquad A=P(X\otimes I)P,\qquad B'=P(I\otimes X)P.
\tag{42.36}
$$
虽然未压缩的两个 Pauli 算子对易，但
$$
[A,B']|01\rangle=|10\rangle.
\tag{42.37}
$$
证明。$B'|01\rangle=|00\rangle$，$A|00\rangle=|10\rangle$，而 $A|01\rangle=0$，所以按 $[A,B']=AB'-B'A$ 得所列等式。$F_2$ 在 $S_2$ 等距，故 $F_2AF_2^*$、$F_2B'F_2^*$ 的交换子在 $F_2|01\rangle$ 上仍非零。这是压缩不保持乘法的具体实例，接续 Q125.2的压缩反例和 Q定理7.5的独立片段访问边界。

仍可把原来两个 Pauli 的整个联合 POVM
$$
E_{st}=\tfrac14(I+sX)\otimes(I+tX),\qquad s,t\in\{-1,1\},
\tag{42.38}
$$
按（42.29）运输成 $K$ 上正且总和为 $I_K$ 的联合 POVM。其边缘一般为非尖锐效应，在 $Q_2$ 子空间上的一阶矩就是上面的非对易压缩算子。非对易的非尖锐边缘不意味着不联合可测；这里已有明确联合 POVM。若需恢复原来的有限张量端口，可实施 $\mathcal B_2$，但输出空间、空白、路由和门须另计。这不提供同时独立端口或无损连续解码副本。$\square$

### 42.6 实际纯根的词律与两个有限熵

**命题 42.10（同一个固定根的完整词熵）。** 现在只用定义42.1的纯根合同。记 $\Xi_n=T_nm_0$、$\rho_n=\Gamma_n(P_0^{\rm mem})$，$W_n$ 为无相邻 $11$ 的长度 $n$ 二元词，$\ell(w)$ 为非空词末位。则对 $n\ge1$，
$$
\Xi_n=\sum_{w\in W_n}\alpha^{(n+\ell(w))/2}|w\rangle\otimes m_{\ell(w)},
\qquad p_n(w)=\Pr(Y_1\cdots Y_n=w)
=\begin{cases}\alpha^{n+\ell(w)},&w\in W_n,\\0,&w\notin W_n.\end{cases}
\tag{42.39}
$$
$Y$ 是整份实际计算基记录。以 $q_0=0$ 作为初始根权重、$q_n=\Pr(Y_n=1)$（$n\ge1$），有
$$
q_{n+1}=\alpha^2(1-q_n),\qquad q_n=\pi_1(1-\lambda^n),\qquad
H(Y_1,\ldots,Y_n)=(n+q_n)\log\phi.
\tag{42.40}
$$
$n=0$ 只有一个空词，熵为零；不为空词另造一个末位随机变量。

证明。Q130.1的两个源恒等式为
$Tm_0=\sqrt\alpha|0\rangle m_0+\alpha|1\rangle m_1$、$Tm_1=|0\rangle m_0$。第一步给系数 $\sqrt\alpha,\alpha$。若末位为零，原系数 $\alpha^{n/2}$ 分别乘 $\sqrt\alpha,\alpha$，恰为下一步末位零、一所需的 $\alpha^{(n+1)/2},\alpha^{(n+2)/2}$；若末位为一，原系数 $\alpha^{(n+1)/2}$ 只延长零，仍是所需系数。每个合法延长出现一次，附一到一之后的振幅为零。归纳给（42.39），记忆向量单位范数给实际 Born 概率。这保留 Q125.3和Q130.1对固定左根律的所有权。

因此转移矩阵为
$$
P_{\rm word}=\begin{pmatrix}\alpha&\alpha^2\\1&0\end{pmatrix},
\qquad \Pr(Y_1=0,1)=(\alpha,\alpha^2).
\tag{42.41}
$$
它是虚拟左邻位固定为零后的根律，不是初始分布 $(\pi_0,\pi_1)$ 的平稳 Parry 律。由第二列读出 $q_{n+1}=\alpha^2(1-q_n)$，解出（42.40）；例如 $q_1=\alpha^2$、$q_2=\alpha^3\ne q_1$。对每个合法词，$-\log p_n(w)=(n+\ell(w))\log\phi$，取期望就得词熵。无反馈的旧输出计算基获取可依命题36.6移到终端计算，保留相同完整记录律与分支权重；这不删除真实已获记录，也不让早期可用结果凭空出现。$\square$

**命题 42.11（相干档案与活动记忆的共同谱）。** 同一纯 $\Xi_n$ 的记忆边缘为
$$
\sigma_n=E^n(P_0^{\rm mem})=\tau(q_n),\qquad
\nu_\pm(u)=\frac{1\pm\sqrt{1-4\alpha^2u(1-u)}}2,
\tag{42.42}
$$
且
$$
S(\rho_n)=S(\sigma_n)=h_2(\nu_-(q_n))\le\log2,
\qquad h_2(t)=-t\log t-(1-t)\log(1-t).
\tag{42.43}
$$
端点采用 $0\log0=0$。$n\ge1$ 时 $\rho_n$ 恰为秩二，$n=0$ 时 $\rho_0=(1)$、$\sigma_0=P_0^{\rm mem}$ 均纯。

证明。根权重从零开始，与（42.11）同一递推给记忆公式；迹一和行列式 $\alpha^2u(1-u)$ 给二次特征根（42.42）。有限纯二分态的互补边缘共享全部非零谱，故用既有 [InputInformationBalance.pure_complementary_entropy](../../../D5/S3/Quantum/Information/InputInformationBalance.lean) 的机制得到熵等式，二元谱熵至多 $\log2$。对 $n\ge1$，$q_n\in(0,1)$，行列式正，两个特征值都正，因而两边非零谱恰有两项。这里评价的是 Q125.1的实际根密度，而非把它换成 $\Gamma_n(|0\rangle\langle0|)$ 或 $\Gamma_n(\tau(\pi_1))$。$\square$

### 42.7 相干差、保留活动记忆的条件熵与显式余项

**命题 42.12（实际 cq 记录的条件熵）。** 在每个固定 $H_n$ 上令 $\Delta_n$ 为计算基完全去相位，定义与通道 $\mathcal C_n$ 不同的标量
$$
\chi_n=D_{\rm rel}(\rho_n\|\Delta_n\rho_n)
=H(Y)-S(\tau(q_n))\ge0.
\tag{42.44}
$$
$D_{\rm rel}$ 是量子相对熵，不是半迹距离。实际测量后保留活动记忆的状态为
$$
\xi_{YM}=\sum_{w\in W_n}p_n(w)|w\rangle\langle w|\otimes P_{\ell(w)}^{\rm mem},
\qquad \xi_M=\tau(q_n),
\tag{42.45}
$$
其中 $n=0$ 单独取空记录与 $P_0^{\rm mem}$。于是
$$
S(\xi_{YM})=H(Y),\qquad H(Y\mid M)_\xi=\chi_n,\qquad
I(Y:M)_\xi=S(\tau(q_n))\le\log2.
\tag{42.46}
$$

证明。$\Delta_n\rho_n=\sum_wp_n(w)|w\rangle\langle w|$，且每个合法词的 $p_n(w)>0$。$\rho_n$ 支撑在合法词张成空间，后者恰是 $\Delta_n\rho_n$ 的支撑，所以相对熵的支撑包含条件成立。在该支撑上对角对数给
$$
\operatorname{Tr}(\rho_n\log(\Delta_n\rho_n))
=\sum_wp_n(w)\log p_n(w).
\tag{42.47}
$$
代入相对熵定义和（42.43）即得（42.44）；非负性是有限维相对熵非负性／pinching 恒等式的既有结论。对应 Q89.1—89.4及 [EntropyProductionCoherenceDeletionIdentity.entropy_production_coherence_deletion_identity](../../../D5/S3/Quantum/Dynamics/EntropyProductionCoherenceDeletionIdentity.lean) 时，固定一个 $H_n$，在该载体取酉 $I$、从 $\rho_n$ 到 $\Delta_n\rho_n$ 的一步，随后保持去相位态即可；不把不同 $n$ 的增长载体当成其一个固定载体上的时间迭代。相对熵相干量的标准表达也见 Baumgratz–Cramer–Plenio 的式（8）。[^rroctx42_coherence]

对（42.39）作实际计算基测量，词 $w$ 的条件记忆正是纯态 $P_{\ell(w)}^{\rm mem}$，故得（42.45）。不同词的经典块彼此正交，各块只有一个非零本征值 $p_n(w)$，所以联合熵为 $H(Y)$；偏迹后的记忆为 $(1-q_n)P_0^{\rm mem}+q_nP_1^{\rm mem}$。按条件熵及互信息定义相减即得（42.46）。这里真正保留了活动 $M$，没有替换它；$\langle m_0,m_1\rangle=\sqrt\alpha>0$，两个记忆标签不能作为完美可读的末位旗标。$\square$

**命题 42.13（熵率与全 $n$ 有限量的定量尾）。** 有
$$
n\log\phi-\log2\le\chi_n\le(n+1)\log\phi,
\qquad
\lim_{n\to\infty}\frac{H(Y_1,\ldots,Y_n)}n
=\lim_{n\to\infty}\frac{H(Y_1,\ldots,Y_n\mid M)}n=\log\phi.
\tag{42.48}
$$
更精确地，置 $s(u)=h_2(\nu_-(u))$、$s_*=s(\pi_1)$ 和
$$
I_\alpha=[\alpha^3,\alpha^2]\subset(0,1),\qquad
L=\max_{u\in I_\alpha}|s'(u)|<\infty.
\tag{42.49}
$$
对每个 $n\ge1$，
$$
\left|\chi_n-[n\log\phi+\pi_1\log\phi-s_*]\right|
\le\pi_1(\log\phi+L)\alpha^{2n}.
\tag{42.50}
$$
所以余项为 $O(\alpha^{2n})$，但这里只对有限时域的数列作渐近陈述，不给一个假定无限密度矩阵赋熵。

证明。用 $0\le q_n\le1$、$0\le s(q_n)\le\log2$ 与（42.40）、（42.44）立即得界和速率。$q_1=\alpha^2$、$q_2=\alpha^3$；递推把区间 $I_\alpha$ 映到自身，因为下端像为 $\alpha^2(1-\alpha^3)\le\alpha^2$，上端像为 $\alpha^2(1-\alpha^2)=\alpha^3$。$\pi_1$ 也在此区间：$\pi_1<\alpha^2$，而 $\pi_1>\alpha^3$ 等价于 $\alpha+\alpha^3<1$，由 $\alpha^3<\alpha^2$ 得到。于是所有 $n\ge1$ 都可使用同一个紧内部区间。

在此区间 $\alpha^2u(1-u)>0$，且 $1-4\alpha^2u(1-u)\ge1-\alpha^2=\alpha>0$，故 $\nu_-(u)\in(0,1/2)$，$s$ 为 $C^1$，其导数最大值有限。由
$$
q_n-\pi_1=-\pi_1\lambda^n,\qquad
\chi_n-[n\log\phi+\pi_1\log\phi-s_*]
=(q_n-\pi_1)\log\phi-[s(q_n)-s(\pi_1)]
\tag{42.51}
$$
和中值定理得（42.50）。若需不用极值符号的保守常数，写
$r(u)=\sqrt{1-4\alpha^2u(1-u)}$，则
$\nu_-'(u)=\alpha^2(1-2u)/r(u)$；在 $I_\alpha$ 上有
$|\nu_-'|\le\alpha^{3/2}$、$\nu_-\ge\alpha^2u(1-u)\ge\alpha^6$，所以
$|s'|=|\nu_-'\log((1-\nu_-)/\nu_-)|\le6\alpha^{3/2}\log\phi$。
$n=0$ 时 $\chi_0=0$，不把它强塞入（42.49）的区间。$\square$

在同一纯根准备下，旧有限 $J$ 与新生成 $YM$ 因初始分解和局部作用而保持乘积，故 $H(Y\mid JM)=H(Y\mid M)=\chi_n$。较大旧经典档案须具有定义36.4所述标准 Borel 值空间、实际可测正则条件密度核及逐纤维相同准备；相同公式才可在该核上逐纤维使用。这不是关于任意无限量子参考的紧性结论。更不能把（42.48）称为相对于整个最终观察者的正条件熵：那个观察者一旦已含实际取得的 $Y$，就有 $H(Y\mid Y,\text{其它记录})=0$。旧精确副本 $Y$ 作为解码侧信息，也会把合同改成 $H(Y\mid M,Y)=0$。

### 42.8 测量扩张、原样本身份与已获记录容量

**命题 42.14（相干复制不产生全局熵）。** 在固定时域把空白记录 $A$ 相干写入为
$|w\rangle_H|0\rangle_A\mapsto|w\rangle_H|w\rangle_A$。纯根的完整态变成
$$
|\Upsilon_n\rangle_{HAM}
=\sum_{w\in W_n}\sqrt{p_n(w)}\,|w\rangle_H|w\rangle_A m_{\ell(w)},
\qquad S(HAM)=0.
\tag{42.52}
$$
$n=0$ 使用空词和 $m_0$。对 $H$ 偏迹得到（42.45）的 $AM$ 版本，故 $S(A)=H(Y)$。若在复制之前已对 $M$ 偏迹，则复制后的 $HA$ 联合态熵为 $S(\rho_n)$，并非必为零。

证明。不同 $w$ 的复制基像正交，故复制是等距并保持纯向量范数；可用有限空白酉延拓实现。偏迹 $H$ 消去不同词交叉项，留下所写纯条件记忆的 cq 块。若输入为混合 $\rho_n$，等距保持其非零谱，故联合熵为 $S(\rho_n)$。这是 Q89及 [CoherentCopyCorrelationTax.vonNeumannEntropy_coherentCopyState](../../../D5/S3/Quantum/Information/CoherentCopyCorrelationTax.lean) 的直接应用；同文件 `coherent_copy_correlation_tax` 还把复制系统的互信息分解为记录熵加相干差，未将它认作热力学成本。这里 $\chi_n$ 量化约化访问所失去的相干，不是总熵的产生。$\square$

**命题 42.15（保留同一次已获词的零错误容量）。** 若 $Y$ 已实际取得，要求没有可访问解码侧信息的存储器日后精确读出同一个来源索引词，则其量子存储维数至少为
$$
N_n=|W_n|=F_{n+2},\qquad F_0=0,\quad F_1=1;
\tag{42.53}
$$
固定长度经典存储至少为 $\lceil\log_2F_{n+2}\rceil$ 位。

证明。每个合法词在（42.39）下都有正概率。若编码词 $w$ 为密度 $\zeta_w$，精确读出的 POVM $(M_w)$ 必须对每个词有 $\operatorname{Tr}(M_w\zeta_w)=1$ 且对其它标签概率零；即使只先要求实际平均零错误，所有正权重也强迫逐标签零错误。正性使不同标签密度落在读出效应的正交确定性子空间中，所以这些密度有互相正交的非零支撑；Q定理7.5的 $\beta=0$ 容量也直接给维数至少 $N_n$。计数的初值是 $N_0=1,N_1=2$；$n\ge2$ 时，以零结尾的词有 $N_{n-1}$ 个，以一结尾的词前一位须为零，有 $N_{n-2}$ 个，故 $N_n=N_{n-1}+N_{n-2}=F_{n+2}$。经典 $b$ 位至多有 $2^b$ 个状态，给上取整位数下界。该结论是零错误支撑／基数结论，不等于 Shannon 熵，不覆盖侧信息辅助或可变长编码。$\square$

实际不可逆计算基测量后的档案为 $\Delta_n\rho_n$，对所有 $W_n$ 具有正对角支撑。其支撑是整个合法词空间：$n\ge3$ 时已超过四维，尤其 $n=3$ 的维数是五，而不是 $S_3$。若把原结果保留为不可访问参考，要求档案一侧恢复与它的对角复制关联，夹取每个正概率参考标签就强迫逐词恢复；四维相干接收定理不涵盖此已测档案任务。

相干资源失去也有一位例子。令 $|\pm\rangle=(|0\rangle\pm|1\rangle)/\sqrt2$，则
$$
\Gamma_1(|\pm\rangle\langle\pm|)
=\tfrac12\begin{pmatrix}1&\pm\sqrt\alpha\\\pm\sqrt\alpha&1\end{pmatrix}.
\tag{42.54}
$$
两态计算对角完全相同，相干相位不同；只拿到不可逆去相位后的档案不能同时恢复它们。取得测量环境的相干访问会改变操作合同，不能从原来的经典记录推断。

四维 $K$ 允许具有多于四个结果的 POVM；执行它新产生的实际结果寄存器是额外资源，不能据此断言这些标签此前已作为可区分态储存在 $K$。另抽一份同边缘的独立 $Y'$ 也不保存原样本。令保留参考中的原词为 $R$，正确复制的联合律为 $p_n(w)\mathbf1_{v=w}$，独立重抽则为 $p_n(w)p_n(v)$，直接分开对角与非对角项得
$$
\operatorname{TV}(\text{原词的对角复制},\text{独立乘积})
=\tfrac12\left[\sum_wp_n(w)(1-p_n(w))+
                 \sum_{w\ne v}p_n(w)p_n(v)\right]
=1-\sum_wp_n(w)^2>0\quad(n\ge1).
\tag{42.55}
$$
严格性因至少两个合法词具有正概率。由此必须保留实际样本身份及其原关系；仅同边缘律不够。这里没有单次擦除成本、热、功或物理熵产生等式，这些量需要额外能量、温度、环境与允许操作合同。

### 42.9 共同关系接口的资源、供应与边界

**约定 42.16（分开计量的实现资源）。** 四维只计两次发射之间的持续接收 $K$；每步交互为八维 $K\otimes B$。活动生成记忆 $M$、外部参考 $J$、既有经典档案、控制器／计数器、时序安排、校准的 $n$ 依赖门描述、门综合与精度、路由、终端结果寄存器及重新展开的输出端口／空白分别计量。通常计数到 $n$ 的经典计数器需要增长的存储；外部预排时序也有实际描述和时钟成本。本证明给每一步理想有限矩阵，未给有界总经典控制内存、常数总观察者容量或常数运行时间。

终端 $\mathcal B_n$ 可以需要 $n$ 个输出空白、$O(n)$ 个输出端口以及实际展开门。只有在相应硬件允许时，可直接实现运输后的 POVM 来避免显式物化所有端口；许多可能结果仍需要实际保留结果的空间。源 qubit 的生成容量二、普遍接收容量四以及已获词容量 $F_{n+2}$ 是三个不同资源任务，不相互抵消。

完整观察者始终按定义36.4保留一切已获设备／来源／版本身份、内外记录及关系、相位与校准约定、局部钟读数和已知钟关系、时间顺序、动作守卫、结果与失败。本节只换相干发射子系统的表示，未删除这些背景和联合约束。第39节所要求的共同实际来源在（42.3）中表现为同一个 $\theta$ 产生全部前缀；第40节的相对钟必须由实际历史和其饱和合同取得，本节的发射数不能替代它。离散前缀、完成态和体／边表示的联系仍受第36、39节及 Q125的分离、共同实现、拓扑与获取条件约束；逐个有限终端能恢复不等于已经取得一个无限终端解码器。

对任意有限量子 $J$，支撑逆恒等式统一成立。若旧经典档案 $C$ 无界，一个明确扩展是：$C$ 取标准 Borel 值，保留其实际概率 $\mu$ 和可测正则条件密度核 $c\mapsto\theta_{JM\mid c}$，每个纤维采用相同装置，或有明确可测的校准坐标识别；独立空白和生成合同逐纤维成立。于是（42.25）在实际 cq 核上逐纤维成立，保留 $C$ 再积分即可。外生有限时域标签也须如此保留，不能在后选择后丢失选择律。这里不声称任意无限量子参考、某个固定表示中的无限密度矩阵、normal 性或共同无限解码器。

精确代数构造不是任意有限门字母表的精确综合、实验室可行性、泄漏／门噪声鲁棒性或真实早期截止的证明。在线干预、接收结果反馈和改变停止规则要重新证明可达来源族；静态逆不能替代该义务。空间、边界、记忆和发射顺序在这里通过同一有限关系接口连接，不由名称推出物理波、时空密度、全波本体或普遍时空定律。

**约定 42.17（供应的准确归属）。** Q定理3.1提供保留范数的 Gram 因子化方法，本节不用其单位对角条件冒充任意列；`GramUnitaryExtension` 的矩形等 Gram 声明直接供应（42.19）的八维酉，`SequentialRegisterCircuit` 供应有限等距延拓与空白寄存器实现。Q定理7.5供应完美区分容量及独立片段访问警示；Q定理13.3供应受控极分解和联合预测约束，本卷定理41.2已专门构造固定档案解码器，本节仅复合（42.24）。Q89及上述互补熵、相干复制、pinching 的 Lean 声明分别供应熵机制，它们的有限载体和纯度条件保持原样，本节普通计算不等于编译了这些特殊化。

Q命题125.1—125.4拥有固定根相干密度、秩二、相容局部态、固定左根非平稳词律和指定无限表示限制；Q130.1、131.1拥有确切的 $T$、独立空白酉、纯联合展开、持续记忆关联和 $E$ 的根混合递推。恢复卷定义31.1、定理31.2、命题31.3拥有全 $k$ 的对应结构；在 $k=2$，其（31.8）仅交换记忆基，输出次序不交换。该卷第31.2节的最小生成容量与本节接收容量不同。Context定义36.4、命题36.5—36.6拥有完整档案、真实条件准备、追加记录和固定生成的参考安全终端推迟；推迟不授予提前行动能力。Q98、Q104及 [CoherentHistorySchmidt](../../../D5/S3/Quantum/Entanglement/CoherentHistorySchmidt.lean) 的占据多重集切口秩结论保留其占据扇区假设，不能直接代替本装置的四列 Gram 或 Bell 联合容量论证。

外部相干收卷方法归 Blume-Kohout–Croke–Zwolak，尤其其保留参考关联和将消耗位清空的 Section II。Schön等人的有限开边界 MPS／顺序等距方法提供相邻背景；其纯发射态刻画要求最终辅助系统解耦，本节档案通常混合且活动 $M$ 仍相关，不能由生成 bond 维数二推出接收维数二。[^rroctx42_schon] Koashi–Imoto 的固定态族分解区分经典、量子与冗余部分；保留族边缘而丢弃冗余混合因子不自动保留真实纯化，其 VIII.E 的 iid 渐近压缩也不是这里相关顺序来源的精确容量依据。[^rroctx42_ki]

[^rroctx42_bcz]: Robin Blume-Kohout, Sarah Croke and Michael Zwolak, *Ideal state discrimination with an O(1)-qubit quantum computer*, [arXiv:1201.6625v1](https://arxiv.org/pdf/1201.6625v1), Section II：以参考纯化已知矩阵乘积子空间，把每个前缀 Schmidt 支撑相干转移到接收器并留下空白位；前缀纠缠和相干访问条件不能只以最终子空间小来替代。

[^rroctx42_schon]: C. Schön, E. Solano, F. Verstraete, J. I. Cirac and M. M. Wolf, *Sequential generation of entangled multi-qubit states*, [arXiv:quant-ph/0501096v1](https://arxiv.org/pdf/quant-ph/0501096v1), *Physical Review Letters* **95**, 110503 (2005)：有限顺序等距与 MPS、受控辅助维数；纯输出态刻画的最终辅助解耦条件须单独保留。

[^rroctx42_ki]: Masato Koashi and Nobuyuki Imoto, *What is Possible Without Disturbing Partially Known Quantum States?*, [arXiv:quant-ph/0101144v2](https://arxiv.org/pdf/quant-ph/0101144v2)：固定态族的不扰动结构及经典／量子／冗余区分；VIII.E 讨论渐近忠实独立来源压缩，不供应本节的精确实际纯化保持任务。

[^rroctx42_coherence]: T. Baumgratz, M. Cramer and M. B. Plenio, *Quantifying Coherence*, [arXiv:1311.0275](https://arxiv.org/abs/1311.0275), equation (8)：相对熵相干量为 $S(\Delta\rho)-S(\rho)$。本节同时沿用 Q89的访问边界，不将该差值解释为未经建模的热或功。

## 42.99 追加锚

## 43. 递归有理数组的体、边界与形式完成：有限任务及来源起点的相容恢复

本节把离散层与完成对象的体／边关系落实在一个明确的递归族上：边界为一列有理数，体为满足后继关系的三角数组，完成表示为常数项一的形式幂级数。三者的恢复须同时保留限制映射、首差尺度和已经取得的全部观察者记录。顶行全一的自然数组另有既有形式结果；这里的变动有理族不预设顶行、正性、概率或物理时间。

### 43.1 既有自然源的归属与本节的有理域

本节的形式供应固定在 `1fae30cf331dd943f49e44f88c9ee0feb3829770`。[AntidiagonalArraySourceSeries 的 `result`](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/1fae30cf331dd943f49e44f88c9ee0feb3829770/D5/S1/Recurrence/Algebraic/AntidiagonalArraySourceSeries.lean#L78) 给出自然数组的存在唯一性、归一化有理源级数的存在唯一性、其自然系数序列的存在唯一性，以及包括 $n=0$ 在内的首列恒等式 $T(n,0)=[X^{n+1}]F$。其 `IsArray` 除后继关系外还要求整条第零行等于一；`IsSource` 要求 $F(0)=1$ 及 $F(X/F(X))=(1-X)^{-1}$。`sourceCoeff` 先从源方程独立构造系数，再由证明接上数组；不能把任意有理边界都称为该唯一源。

该证明中的局部 `hrow`（第117行）建立行级数关系，`hrowrec`、`htel`、`hbridge`（第222、228、241行）给出从第零行展开及逐系数余项消失的机制；这些是证明内部事实，不是可另行调用的公开定理名。第275—293行用源方程与唯一性识别 $1+X$ 乘首列级数。另一个供应 [QuotientThetaCompositionModFour 的 `quotient_triangular`](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/1fae30cf331dd943f49e44f88c9ee0feb3829770/D5/S1/Recurrence/Residue/QuotientThetaCompositionModFour.lean#L72) 要求两级数常数项均为一、在次数 $d$ 以下相同，并断言在次数不超过 $d$ 时，商代入后的系数差等于原系数差；它直接用于上述源构造与唯一性，但自身不识别这个数组。

自然对象及方程的来源分别归 Mikhail Kurkov 的 A392095 与 Paul D. Hanna 的 A088713。[^rroctx43_oeis] 本节的任意有理边界、有限多项式逆、离散前缀完成及具体任务应用属于仓内推导（`repo-derived`）；固定核的 Riordan 系数方法属于成熟方法（`literature-attested`），归属见第43.8节。这里不作原创优先权或新的形式化声明。

### 43.2 有限约束体与无除法的边界恢复

**定义 43.1（有限有理体与首列边界）。** 对整数 $M\ge0$ 令 $\Delta_M=\{(n,k)\in\mathbb N^2:n+k\le M\}$。令 $\mathcal A_M$ 为所有 $T:\Delta_M\to\mathbb Q$ 中恰满足以下后继关系的数组：
$$
T(n+1,k)=T(n,k+1)+\sum_{j=0}^{k}T(n,j)T(k-j,0)
\qquad(n+k<M).
\tag{43.1}
$$
这里不加第零行条件，也不加正性条件。$M=0$ 没有方程；严格不等式使每个出现的坐标均在 $\Delta_M$，不使用负上界或自然数截断减法来描述方程域。定义
$$
\beta_M:\mathcal A_M\longrightarrow\mathbb Q^{M+1},\qquad
\beta_M(T)=(T(0,0),T(1,0),\ldots,T(M,0)).
\tag{43.2}
$$

**定理 43.2（有限多项式互逆）。** 每个 $a=(a_0,\ldots,a_M)\in\mathbb Q^{M+1}$ 恰有一个扩张 $\mathcal E_M(a)\in\mathcal A_M$，且 $\mathcal E_M$ 的每个坐标都是 $a$ 的整系数多项式。边界提取与扩张是互逆的有理多项式映射，无任何边界非零假设。

证明。先放置第零列 $T(n,0)=a_n$。已构造第零至第 $k$ 列时，对 $n+k+1\le M$ 置
$$
\boxed{T(n,k+1)=T(n+1,k)-\sum_{j=0}^{k}T(n,j)a_{k-j}.}
\tag{43.3}
$$
右侧全部坐标都在此前已构造的列中，包括 $T(n+1,k)$；所用边界下标也未越界。故这是有限的加、减、乘构造，没有除法。重新移项即得（43.1），首列按定义等于 $a$。反过来，任何具有该首列且满足（43.1）的数组都必须服从（43.3）；列归纳遂给逐坐标唯一性。同一列归纳表明每个输出坐标都是整系数多项式。$\beta_M$ 为坐标投影，因此两映射均为多项式，且
$$
\beta_M\mathcal E_M=\mathrm{id}_{\mathbb Q^{M+1}},\qquad
\mathcal E_M\beta_M=\mathrm{id}_{\mathcal A_M}.
\tag{43.4}
$$
第一式由指定首列得，第二式由唯一性得。$\square$

$\Delta_M$ 虽显示 $(M+1)(M+2)/2$ 个坐标，却恰有 $M+1$ 个自由有理参数。后继方程共 $M(M+1)/2$ 条，在列次序中每条解出一个非边界坐标；自由度结论来自已构造的多项式逆，不能仅凭方程数相减。一个有理参数的精度可以任意大，故该计数不是位数或 Shannon 信息量。

### 43.3 一个形式级数对任意行的精确恢复

**定义 43.3（归一化形式表示）。** 给任意 $a=(a_i)_{i\ge0}\in\mathbb Q^{\mathbb N}$，在 $\mathbb Q[[X]]$ 中令
$$
F(X)=1+X\sum_{i\ge0}a_iX^i,\qquad
Y=XF^{-1},\qquad C_n(X)=\sum_{j\ge0}a_{n+j}X^j.
\tag{43.5}
$$
条件 $F(0)=1$ 指常数系数，使 $F$ 为形式乘法单位；$Y(0)=0$ 保证无限外级数的形式代入逐系数良定。记 $\mathcal A_\infty$ 为所有在 $\mathbb N^2$ 上、对每个 $n,k\ge0$ 满足（43.1）所示后继等式的有理数组，不加顶行条件。

**定理 43.4（任意起始行的有限展开与系数公式）。** 对每个上述 $a$，其唯一无限扩张 $T\in\mathcal A_\infty$ 的行级数 $R_n(X)=\sum_{k\ge0}T(n,k)X^k$ 为
$$
\boxed{R_n(X)=F(X)^{-1}C_n\!\left(X/F(X)\right).}
\tag{43.6}
$$
等价地，每个 $n,k\ge0$ 有有限和
$$
\boxed{T(n,k)=\sum_{j=0}^{k}a_{n+j}[X^{k-j}]F(X)^{-(j+1)}.}
\tag{43.7}
$$
任意给定的递归数组也满足同一公式，其推导不需要解析极限。

证明。先用（43.6）定义行。由 $C_n(Y)=a_n+YC_{n+1}(Y)$ 及 $Y=XF^{-1}$ 得
$$
FR_n=a_n+XR_{n+1},\qquad R_n(0)=a_n.
\tag{43.8}
$$
用（43.5）展开左侧并取 $X^{k+1}$ 系数，得到 $T(n,k+1)+\sum_{j=0}^kT(n,j)a_{k-j}=T(n+1,k)$，正是（43.1）。每个有限三角上的定理43.2给全数组唯一性。再把（43.6）写成 $\sum_{j\ge0}a_{n+j}X^jF^{-(j+1)}$；$j>k$ 时第 $k$ 次系数为零，得到（43.7）。

也可从任意已给递归数组出发。其每一行的乘法系数正好给（43.8），故 $R_n=F^{-1}a_n+YR_{n+1}$。对任意 $N\ge0$，有限迭代给
$$
R_n=F^{-1}\sum_{j=0}^{N-1}a_{n+j}Y^j+Y^NR_{n+N}.
\tag{43.9}
$$
$N=0$ 的和为空，等式是 $R_n=R_n$。若等式对 $N$ 成立，在其末行代入一步关系，添上 $F^{-1}a_{n+N}Y^N$，余项成为 $Y^{N+1}R_{n+N+1}$，即得下一步。因此（43.9）对所有 $n,N$ 成立。余项为 $X^NF^{-N}R_{n+N}$，明确被 $X^N$ 整除；固定系数次数 $k$ 后取 $N=k+1$，余项该系数严格等于零，再次得到（43.7）及（43.6）。这是任意起始行的有限系数证明；第43.1节形式供应在第零行使用了这一机制。没有把 $X$ 赋实数或复数值。$\square$

**引理 43.5（有限依赖与反对角首项）。** $T(n,k)$ 仅依赖 $a_0,\ldots,a_{n+k}$，且有整系数多项式 $P_{n,k}$ 使
$$
T(n,k)=a_{n+k}+P_{n,k}(a_0,\ldots,a_{n+k-1}),\qquad
P_{n,0}=0,
\tag{43.10}
$$
其中 $P_{0,0}=0$ 是无变量零多项式。因而 $F\bmod X^{M+2}$ 足以恢复整个 $\Delta_M$。

证明。写 $F=\sum_{i\ge0}f_iX^i$、$F^{-1}=\sum_{d\ge0}b_dX^d$，则
$$
f_0=b_0=1,\qquad b_d=-\sum_{i=1}^{d}f_i b_{d-i}\quad(d\ge1).
\tag{43.11}
$$
故 $b_d$ 是 $f_1,\ldots,f_d$ 的整系数多项式；负整数幂 $F^{-p}$ 的第 $d$ 次系数由这些 $b_i$ 的有限卷积给出，也只依赖 $F$ 至第 $d$ 次。在（43.7）的第 $j$ 项中，逆幂系数最多用到 $a_0,\ldots,a_{k-j-1}$，外面的乘子为 $a_{n+j}$；当 $k-j=0$ 时前一变量表为空。因此全部下标不超过 $n+k$。$j=k$ 的项恰为 $a_{n+k}$，其余项的所有下标严格较小，得到（43.10）。

给有限边界时，可直接在（43.7）中使用多项式 $F_M=1+X\sum_{i=0}^M a_iX^i$ 及其形式逆。对 $n+k\le M$，任何无限延伸给的相关系数相同；所得三角独立于延伸选择，并由定理43.2等于 $\mathcal E_M(a)$。$\square$

### 43.4 限制方块、共同实现与首差几何

**命题 43.6（限制及每层唯一的新参数）。** 对 $M\ge1$，令 $\pi_M:\mathbb Q^{M+1}\to\mathbb Q^M$ 删除最后边界坐标，$\rho_M:\mathcal A_M\to\mathcal A_{M-1}$ 限制到较小三角。则
$$
\rho_M\mathcal E_M=\mathcal E_{M-1}\pi_M,\qquad
\beta_{M-1}\rho_M=\pi_M\beta_M.
\tag{43.12}
$$
两种限制均为满射；固定较小三角后，扩张恰由一个新有理参数 $a_M$ 决定。

证明。限制后的每条关系仍是原三角的关系，且首列为缩短后的边界。定理43.2的唯一性给第一式，坐标提取给第二式。任意较短边界均可添任意有理末项，扩张其边界即给一个原三角，所以满射不是方程计数的推断。反过来，任何扩张的旧边界已固定，故只剩末项可选。（43.10）将新反对角线 $n+k=M$ 上的每个坐标都写成 $a_M$ 加旧边界多项式；显示的 $M+1$ 个新坐标并非 $M+1$ 个独立选择。$\square$

**定理 43.7（全有理来源的相容族共同实现与分离）。** 每个相容有限边界族都有唯一完整有理序列实现；每个相容三角族都有唯一 $\mathcal A_\infty$ 中的数组实现。有限逆映射在全层诱导互逆的 $\beta_\infty(T)=(T(n,0))_{n\ge0}$ 与 $\mathcal E_\infty:\mathbb Q^{\mathbb N}\to\mathcal A_\infty$，后者由（43.6）或（43.7）给出。

证明。若 $u^{(M)}\in\mathbb Q^{M+1}$ 且 $\pi_Mu^{(M)}=u^{(M-1)}$，定义
$$
a_i=u^{(i)}_i.
\tag{43.13}
$$
反复应用相容性得 $u^{(M)}_i=a_i$（$i\le M$），所以这是共同实现。任何共同实现的第 $i$ 项必须如此，故唯一。

若 $U_M\in\mathcal A_M$ 且 $\rho_MU_M=U_{M-1}$，定义
$$
T(n,k)=U_{n+k}(n,k).
\tag{43.14}
$$
反复限制表明对每个 $L\ge n+k$，该值亦等于 $U_L(n,k)$。检验位置 $(n,k)$ 的后继关系时，取同一个有限阶段 $L=n+k+1$。其中包含 $T(n+1,k)$、$T(n,k+1)$，也包含每个 $T(n,j)$ 和 $T(k-j,0)$；这些坐标全与 $U_L$ 一致，而 $U_L$ 满足该关系，故 $T$ 满足无限关系。每个坐标都在某个有限三角中，因而共同实现唯一。其边界为 $a_i=U_i(i,0)$；定理43.2识别 $U_M=\mathcal E_M(a_0,\ldots,a_M)$。

反过来，每个序列及每个无限数组显然产生相容限制族，（43.12）使两个有限逆在限制下交换。因此全层逆确实保留全部同源坐标，且分离完整序列与数组。这里明确构造了源状态，没有从有限满射直接跳到共同实现，也没有调用有限字母表紧性。一个有限边界仍只决定有限三角，后来边界项在全有理来源中可以自由选取。$\square$

**命题 43.8（首个反对角层及级数的一位尺度偏移）。** 对不等序列 $a,b$ 及其数组 $T=\mathcal E_\infty(a),S=\mathcal E_\infty(b)$，置
$$
m=\min\{i:a_i\ne b_i\},\quad d_\partial(a,b)=2^{-m},\qquad
m_\Delta=\min\{n+k:T(n,k)\ne S(n,k)\},\quad
 d_\Delta(T,S)=2^{-m_\Delta};
\tag{43.15}
$$
相等对象的距离为零。这两个函数是超度量，且
$$
m_\Delta=m,\qquad
T(n,k)-S(n,k)=a_m-b_m\quad(n+k=m),\qquad
\boxed{d_\Delta(T,S)=d_\partial(a,b).}
\tag{43.16}
$$
若 $F,G$ 为相应归一化级数，令相等时 $d_X=0$，否则 $d_X(F,G)=2^{-\operatorname{ord}_X(F-G)}$，则
$$
\operatorname{ord}_X(F-G)=m+1,\qquad
\boxed{d_X(F,G)=\tfrac12d_\partial(a,b)=\tfrac12d_\Delta(T,S).}
\tag{43.17}
$$

证明。任意不等序列有最小差异下标；任意不等数组的不同坐标总次数集合也有最小值。非负性、对称性及零距离分离随定义成立。如果两个相邻对象对各自在某个前缀或三角内相等，则首尾两对象也在那里相等；取两次首差次数的较小者，得首尾距离不超过另外两个距离的最大值，即超度量不等式。相同论证适用于级数次数。

在次数 $m$ 以前，引理43.5使两个数组完全相同；坐标 $(m,0)$ 已经不同，故 $m_\Delta=m$。对该反对角线的任意 $(n,k)$，式（43.10）的较早多项式两边相同，相减即得同一增量 $a_m-b_m$。最后，$F,G$ 的常数系数均固定为一，$a_m-b_m$ 出现在 $X^{m+1}$，给（43.17）。$\square$

这仅是已指定过滤超度量的等距性，不是系数值的欧氏几何。级数度量须乘二，或删去固定常数项后重新编号，才与边界等距；不能省略该偏移。若再选定唯一的自然源，则所得域为单点，不含上述变动族的非平凡成对几何。

### 43.5 离散有理系数的实际完成及非紧性

本节给每个系数的 $\mathbb Q$ 配置**离散的精确相等拓扑**。前缀超度量产生相应乘积拓扑：固定有限初始前缀即为基本柱邻域，任意有限坐标约束可由足够长的初始前缀细化。这里不使用有理数通常绝对值的完备性；事实上该通常度量的有理数域并不完备。无限字母表 $\mathbb Q$ 也不满足先前有限字母表模型的紧性前提。

**定理 43.9（坐标稳定所给的度量完备性）。** $(\mathbb Q^{\mathbb N},d_\partial)$、$(\mathcal A_\infty,d_\Delta)$ 以及常数项一的形式级数空间配以 $d_X$ 都完备。

证明。设 $(a^{(r)})_{r\ge0}$ 是边界的 Cauchy 序列。对每个整数 $L\ge0$ 可选 $N_L$，使
$$
r,s\ge N_L\quad\Longrightarrow\quad
 d_\partial(a^{(r)},a^{(s)})<2^{-L}.
\tag{43.18}
$$
若首次差异下标不超过 $L$，距离便至少为 $2^{-L}$。因此上述严格不等式意味着第零至第 $L$ 项在这之后逐项精确相同。把第 $i$ 项最终稳定的有理数定义为 $a_i$；不同有限窗口的重叠处给同一最终值，故定义相容。对每个 $r\ge N_L$，$a^{(r)}$ 与 $a$ 的前 $L+1$ 项相同，因此
$$
d_\partial(a^{(r)},a)\le 2^{-(L+1)}.
\tag{43.19}
$$
随 $L$ 任意增大即得收敛。若还有另一极限且在第 $i$ 项与 $a$ 不同，对两种收敛都取距离小于 $2^{-i}$ 的足够后项，会强迫该项同时等于两个不同值，矛盾。于是极限唯一。定理43.7给全部数组与全部常数项一级数的对应；（43.16）的等距及（43.17）的常数比例分别运输 Cauchy 性、极限与唯一性，得到其余两个完备性结论。$\square$

**命题 43.10（稠密有限表示与坐标逆极限）。** 有限支持有理边界在全边界空间稠密，其度量完成为 $\mathbb Q^{\mathbb N}$。常数项一的多项式相应完成为常数项一的形式级数；由有限支持边界重建的数组在 $\mathcal A_\infty$ 稠密，但这些数组本身未必有限支持。各表示与系数逆极限的坐标实现相容。

证明。把 $a_0,\ldots,a_M$ 保留，后来系数设为零，得到 $a^{[M]}$。则
$$
d_\partial(a^{[M]},a)\le2^{-(M+1)},\qquad
F_{a^{[M]}}=1+\sum_{i=0}^Ma_iX^{i+1}.
\tag{43.20}
$$
这给稠密性；定理43.9及固定的包含映射给其度量完成。（43.17）给多项式的对应完成及一位次数偏移，（43.16）给数组的稠密性。截断的是边界，不能把重建后的整个数组也当成有限支持。例如边界 $(1,0,0,\ldots)$ 有 $F=1+X$、$C_0=1$，故 $R_0=(1+X)^{-1}=\sum_{k\ge0}(-1)^kX^k$，第零行已无限非零。

另给纯坐标实现：对相容的剩余类族 $v_N\in\mathbb Q[X]/(X^N)$，用任意 $N>i$ 的唯一次数小于 $N$ 的代表多项式读取第 $i$ 项。两个这样的阶段可提升到较大阶段比较，相容性使读数相同。全部读数定义唯一形式级数，其模 $X^N$ 的剩余类就是 $v_N$。反过来，任何形式级数给出相容剩余类，故
$$
\mathbb Q[[X]]\cong\varprojlim_N\mathbb Q[X]/(X^N).
\tag{43.21}
$$
$N=0$ 是平凡剩余类；常数项一的子空间在 $N=1$ 固定该常数。$N=M+2$ 恰保留固定常数及 $a_0,\ldots,a_M$。截断系数即限制剩余类，因而该构造与（43.13）的边界线程和（43.14）的三角线程保持同一限制关系。$\square$

**命题 43.11（非紧性与原来源遗漏的完成点）。** 全有理边界空间完备但不紧。若原来源只取有限支持边界，则每个有限前缀都能由原来源实现，却有完整相容线程没有原来源代表。

证明。对各 $q\in\mathbb Q$ 置
$$
a^{(q)}=(q,0,0,\ldots),\qquad
 d_\partial(a^{(q)},a^{(q')})=1\quad(q\ne q').
\tag{43.22}
$$
由超度量不等式，半径严格小于一的球至多包含其中一点。因有无限多个有理数，有限多个这种球不能覆盖该集合，所以空间不全有界。若空间紧，所有半径 $1/2$ 开球构成的开覆盖应有有限子覆盖，与前句矛盾，因此不紧。

有限支持来源通过补零实现每个有限前缀，但全一边界 $(1,1,1,\ldots)$ 不最终为零，因而没有该来源代表。其所有前缀相容，定理43.7给它在完整来源 $\mathbb Q^{\mathbb N}$ 中的唯一实现及递归数组，命题43.10又把它作为完成点。可实现的有限层、一个相容全线程、原来源实现和来源完成点是四个不同断言；本节对完整来源证明的共同实现不能自动转授给任意真子集。$\square$

### 43.6 一个保留全部档案的有限任务消费者及来源重编号

**定义 43.12（同源的两种有限读出）。** 对 $a\in\mathbb Q^{\mathbb N}$ 令
$$
p_M(a)=(a_0,\ldots,a_M),\qquad
q_M(a)=\mathcal E_M(p_M(a)),\qquad
\ker p_M=\ker q_M.
\tag{43.23}
$$
核相等由（43.4）得。全有理来源上的两个实际像分别为 $\mathbb Q^{M+1}$ 和 $\mathcal A_M$，因为每个有限边界能补零。这正核对[主卷命题133.1](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/1fae30cf331dd943f49e44f88c9ee0feb3829770/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION.md#L50708)同来源、等核、实际像上的规范运输前提。

令 $\mathcal C$ 为完整已获档案的集合，包含已获内外记录、来源及版本身份、已获关系、参考、校准、失败、停止信息、合法历史、局部钟读数及其已知共同约束。数学工作边界只替换任务端口的表示，$c\in\mathcal C$ 始终逐字保留。

**定理 43.13（双向任务、精确深度与有界自适应记录）。** 任给集合 $Z$ 和确定性任务 $h:\mathcal C\times\mathcal A_M\to Z$，同一个映射 $\mathrm{id}_{\mathcal C}\times\mathcal E_M$ 运输该域上的所有任务。反方向使用 $\mathrm{id}_{\mathcal C}\times\beta_M$。单个坐标 $(n,k)$ 的一致初始前缀最大下标 $n+k$ 充分且尖锐；整个 $\Delta_M$ 的一致初始前缀最大下标 $M$ 充分且尖锐。在共同深度界 $M$ 下，使用同一初始档案及确定性控制器的有界自适应查询，包括根据已得答案决定停止的规则，产生相同记录。

证明。定义 $h_\partial(c,v)=h(c,\mathcal E_M(v))$，则对每个有效 $T$ 有
$$
h_\partial(c,\beta_M(T))=h(c,\mathcal E_M\beta_M(T))=h(c,T).
\tag{43.24}
$$
反之，任意 $g:\mathcal C\times\mathbb Q^{M+1}\to Z$ 可定义 $g_B(c,T)=g(c,\beta_M(T))$，再由 $\beta_M\mathcal E_M=\mathrm{id}$ 得 $g_B(c,\mathcal E_M(v))=g(c,v)$。这里不是对未知输入逐次另选解码器，而是两条固定互逆映射。

引理43.5给坐标任务的深度。若保持全部更早边界不变，只改变 $a_{n+k}$，式（43.10）使该坐标改变同样数值，所以不能在全有理族上一致使用更短的初始前缀。$n+k=0$ 时此断言指空前缀不能确定 $a_0$。该尖锐性不意味着每个坐标都需要所有更早的单项。三角上所有查询都由 $p_M$ 支持，而边界查询 $T(M,0)=a_M$ 已排除更小的统一深度。

明确的细胞读数为
$$
T(1,1)=a_2-a_0a_1,\qquad
T(0,2)=a_2-3a_0a_1+a_0^3.
\tag{43.25}
$$
第一式由（43.3）得。第二式在（43.7）中使用 $[X^2]F^{-1}=a_0^2-a_1$、$[X]F^{-2}=-2a_0$ 及 $[X^0]F^{-3}=1$，相加即得。特别地，$(a_0,a_1,a_2)=(1/2,-1/3,2/5)$ 给 $T(0,2)=2/5+1/2+1/8=41/40$。

对自适应查询作实际答案归纳：首步两边的初始档案和控制器相同；若此前查询、答案及停止信息相同，确定性控制器就选择同一下一任务或同一停止决定。下一任务在边界侧取上述运输，式（43.24）给相同答案，添入的记录也相同。对每个至多预定步数的阶段归纳，得到完整 transcript 与停止决定相同；若允许无预定步数的运行，该归纳也只断言每个实际有限前缀相同，并不证明运行终止。本定理的有界结论不含随机独立性或任意干预。$\square$

若指定实际来源 $\Omega$，以 $c:\Omega\to\mathcal C$ 记录完整已获观察者，以 $a:\Omega\to\mathbb Q^{\mathbb N}$ 给数学读出，只比较同一 $\omega$ 的
$$
\omega\longmapsto(c(\omega),p_M(a(\omega))),\qquad
\omega\longmapsto(c(\omega),q_M(a(\omega))).
\tag{43.26}
$$
（43.4）使上述固定运输在这两个**对应实际像**上仍为双射，逆也保持 $c$。即使 $c$ 与 $a$ 有约束或共同来源关系，也没有独立性前提；更不能由 $a$ 一项便声称分离 $\Omega$。已知递推、有效域、编号、已供应的精确有理数及控制器是数学输入，不证明这些值已被合法测量、准备、取得或以可负担精度提供。

**命题 43.14（重建式来源移位及其有类型深度复合）。** 对 $r\ge0$ 定义来源重编号及全数组上的相应操作
$$
(\sigma^ra)_i=a_{i+r},\qquad
U_r=\mathcal E_\infty\circ\sigma^r\circ\beta_\infty.
\tag{43.27}
$$
有限实现为
$$
S_{M,r}:\mathcal A_{M+r}\longrightarrow\mathcal A_M,\qquad
S_{M,r}(T)=\mathcal E_M(T(r,0),\ldots,T(M+r,0)).
\tag{43.28}
$$
它满足有类型输入／输出方块及尖锐初始前缀深度
$$
q_M\circ\sigma^r=S_{M,r}\circ q_{M+r},\qquad
m_r(M)=M+r.
\tag{43.29}
$$
对 $M\ge1$，限制方块为
$$
\rho_M\circ S_{M,r}=S_{M-1,r}\circ\rho_{M+r}
:\mathcal A_{M+r}\longrightarrow\mathcal A_{M-1}.
\tag{43.30}
$$
对 $M,r,s\ge0$，正确的复合类型为
$$
\boxed{S_{M,r}\circ S_{M+r,s}=S_{M,r+s}
:\mathcal A_{M+r+s}\longrightarrow\mathcal A_M,}\qquad
m_s(m_r(M))=M+r+s.
\tag{43.31}
$$
全层有 $U_rU_s=U_{r+s}$；$r=0$ 时各相应映射为恒等。

证明。$q_{M+r}(a)$ 的首列正是 $a_0,\ldots,a_{M+r}$，提取从 $r$ 到 $M+r$ 的子块并重建，得到 $q_M(\sigma^ra)$，所以（43.29）两路径相同。实际用到的是子块 $a_r,\ldots,a_{M+r}$，初始前缀约定下的最大下标却是 $M+r$。输出边界坐标 $(M,0)$ 为 $a_{M+r}$，只改这一项的两个输入在任何更短初始前缀上相同，输出不同，证明尖锐性；若 $M+r=0$，更短输入为空。由（43.12），（43.30）两路径都提取 $a_r,\ldots,a_{M+r-1}$ 并施以 $\mathcal E_{M-1}$。

为验（43.31），任取输入三角，其边界记为 $a_0,\ldots,a_{M+r+s}$。第一步 $S_{M+r,s}$ 重建的边界为 $a_s,\ldots,a_{M+r+s}$；再提取这个新边界的第 $r$ 至第 $M+r$ 项，得到 $a_{r+s},\ldots,a_{M+r+s}$。施以 $\mathcal E_M$ 即右侧，所以同时给深度复合。全层以 $\beta_\infty\mathcal E_\infty=\mathrm{id}$ 消去中间逆对，再用 $\sigma^r\sigma^s=\sigma^{r+s}$ 得半群律。$S_{M,0}=\mathcal E_M\beta_M=\mathrm{id}_{\mathcal A_M}$，全层同理。$\square$

这正实现[接口36.3](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/1fae30cf331dd943f49e44f88c9ee0feb3829770/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md#L6185)的输入深度／输出深度合同；这里给出了显式深度，未借连续性推断统一深度。工作操作是 $(c,T)\mapsto(c,S_{M,r}T)$，其输入深度须已供应。已记录在 $c$ 中的较早系数、关系及来源身份保持不变；更多系数须经明确获取合同才进入实际观察者。代数重编号不取得未来值，也不宣称物理演化。

重建一般不同于原数组的行平移。若边界始于 $(1,2,3)$，正确移位的新边界始于 $(2,3)$，所以
$$
U_1(T)(0,1)=3-2^2=-1,\qquad T(1,1)=3-1\cdot2=1.
\tag{43.32}
$$
证明是（43.3）的直接计算：移位后卷积由新边界驱动，故必须重建；只改行号一般不满足运输后的递归关系。此反例同时区分本节的来源起点变化与删去最后一层的限制映射。

**命题 43.15（连续任务没有普遍的统一有限深度）。** 定义
$$
\ell(q)=\begin{cases}q,&q\in\mathbb Z_{\ge0},\\0,&\text{其它},\end{cases}
\qquad H(a)=a_{\ell(a_0)}.
\tag{43.33}
$$
第一种情形的 $q$ 作为自然数下标使用。$H:\mathbb Q^{\mathbb N}\to\mathbb Q$ 在离散系数前缀拓扑中局部常值，但不存在对全部输入有效的有限初始前缀深度。

证明。固定 $a$，令 $L=\ell(a_0)$；在固定前缀至 $L$ 的邻域内，第零项不变，所选下标不变，该下标的值也不变，所以 $H$ 局部常值，因而连续到离散 $\mathbb Q$。反之，对任意 $M\ge0$，取两序列的第零项均为 $M+1$，在下标至 $M$ 的整个前缀相同，而第 $M+1$ 项一个为零、一个为一。它们的 $H$ 值不同，故 $H$ 不能通过 $p_M$ 因子化。$\square$

有限字母表紧空间中可从局部常值柱覆盖取有限子覆盖，再取最大深度；命题43.11已排除本有理空间的紧性，不能移用那一步。命题43.15限制的是一般连续任务的推断，不否定（43.29）—（43.31）已明确证明的 $S_{M,r}$ 深度与复合。

### 43.7 顶行约束选回既有自然对象

**命题 43.16（顶行与源方程的等价及有限逐项选择）。** 在定义43.3的完整有理族中，顶行全一恰等价于既有归一化源方程；在 $\Delta_M$ 中，仅要求 $T(0,k)=1$（$0\le k\le M$）就逐项唯一选定边界和三角。

证明。由（43.5）、（43.6）直接得到
$$
F(Y)=1+YC_0(Y)=1+XR_0(X).
\tag{43.34}
$$
$\mathbb Q[[X]]$ 中乘 $X$ 是单射，而 $1+X(1-X)^{-1}=(1-X)^{-1}$，故
$$
\boxed{T(0,k)=1\ (\forall k)\quad\Longleftrightarrow\quad
R_0=(1-X)^{-1}\quad\Longleftrightarrow\quad
F(X/F(X))=(1-X)^{-1}.}
\tag{43.35}
$$
反向可从（43.34）两侧减一，得到 $XR_0=X(1-X)^{-1}$，再消去 $X$；未除以非单位 $Y$。

有限情况下，（43.10）在 $n=0$ 给第 $k$ 条方程 $a_k+P_{0,k}(a_0,\ldots,a_{k-1})=1$。从 $k=0$ 开始，每一步恰选一个有理数；定理43.2再给其唯一三角。既有 `AntidiagonalArraySourceSeries.result` 的自然数组限制到 $\Delta_M$ 满足这些条件，因此就是该选择，所有选中体坐标和边界项均为自然数。$\square$

无限处的存在、唯一性、自然系数及首列识别由第43.1节的现有形式供应承担，不重立一个一般形式化结果。前面的（43.6）—（43.7）联系的是任意有理边界与**满足指定后继关系**的数组，既不是任意数组与任意级数的等价，也不是单凭 $F(0)=1$ 就得顶行全一。该附加源方程把变动有理族选成一个对象，没有概率或物理定律含义。

### 43.8 固定重建核的 Riordan 方法归属

**命题 43.17（固定 $F$ 的下三角系数作用）。** 固定边界 $a$ 因而固定 $F$，定义
$$
D_{k,j}=[X^k]\bigl(F^{-1}(XF^{-1})^j\bigr)
=\begin{cases}[X^{k-j}]F^{-(j+1)},&j\le k,\\0,&j>k.\end{cases}
\qquad D_{k,k}=1.
\tag{43.36}
$$
这是形式对 $(g,h)=(F^{-1},XF^{-1})$ 的 proper Riordan 系数矩阵，属于 Bell 形式 $(g,Xg)$。其对任意形式级数的作用在每个坐标都是有限和；取输入 $C_n$ 即（43.7）。

证明。更一般地，对 $g,h,H\in\mathbb Q[[X]]$，若 $h(0)=0$（零级数也允许），则每个 $h^j$ 被 $X^j$ 整除，因此
$$
[X^k]\bigl(g(X)H(h(X))\bigr)
=\sum_{j=0}^{k}[X^k]\bigl(g(X)h(X)^j\bigr)[Z^j]H(Z).
\tag{43.37}
$$
高于 $k$ 的项贡献为零，所以这是有限系数恒等式。在本节中 $g(0)=1$，$h=XF^{-1}$ 的一次系数为一、阶恰为一，满足 proper 核的非退化条件。分离 $X^j$ 得（43.36）；对角元为 $F^{-(k+1)}$ 的常数项一。令 $H=C_n$，其第 $j$ 项为 $a_{n+j}$，便得所需重建公式。证明只用有理系数逆和有限卷积。$\square$

Tian-Xiao He 与 Yuanziyi Zhang 的 *Centralizers of the Riordan Group*，arXiv:2105.07262v1（2021年5月15日），引言给出 $D_{k,j}=[X^k]g(X)h(X)^j$、作用 $(g,h)H=gH(h)$ 及 Bell 子群的这些定义。[^rroctx43_riordan] 其表述采用实或复系数；（43.37）直接给出本应用所需的有理有限系数证明。成熟方法归属限于这项系数机制，不是对当前递归或 OEIS 识别结论的外部定理引用。

只有固定 $F$ 的重建核 $D$ 是上述下三角矩阵。递归数组 $T$ 一般不是下三角 Riordan 矩阵：例如 $T(0,1)=a_1-a_0^2$ 可以非零。（43.7）的输入还是依赖 $n$ 的尾序列 $a_{n+j}$；让 $a$ 变化时 $F$ 和 $D$ 也随之变化。因此整个边界到体的映射是多项式且一般非线性的，不能把它说成一个固定线性 Riordan 变换。此处不引入其它 Riordan 恒等式或未经给出条件的成熟结论。

### 43.9 正性、形式语义及操作资源的边界

**命题 43.18（自由有理对应不能自动加强的结论）。** 以下反例分别界定正性、有限信息、归一化及数值稳定性的范围。

证明。先取 $M=1$ 和自然边界 $(a_0,a_1)=(1,0)$。由（43.3）得
$$
T(0,1)=a_1-a_0^2=-1.
\tag{43.38}
$$
所以自然边界也未必给非负体；既有形式供应的正性来自特选顶行数组，不能仅从单位常数或形式可逆推出。

其次，对任何 $M\ge0$，零边界与唯一非零项为 $a_{M+1}=1$ 的边界在 $\Delta_M$ 上重建相同，到下一反对角层便不同，见引理43.5和命题43.8。这说明一个有限前缀没有确定自由完成对象。

零边界还给 $F=1$，所以 $F(X/F)=1\ne(1-X)^{-1}$；归一化自身不提供源方程。若放弃可逆的常数项，形式逆可能不存在，例如 $F=X$，其任何倍数常数项都为零，不可能等于一。若把非零常数的级数代入任意无限外级数，也未必逐系数有定义，例如 $H(Z)=\sum_{j\ge0}Z^j$ 代入 $Z=1$ 令常数系数成为无限多个一的和，而有理形式系数环没有这项操作。本节的 $F(0)=1$ 和 $Y(0)=0$ 明确避开这些障碍。

最后，把 $a_0=0$ 换成任意非零有理数，无论普通绝对值多小，前缀距离都是一；它没有测量系数大小。即使 $M=1$，固定 $a_1$ 而把 $a_0$ 从 $u$ 改为 $u+\delta$，也有
$$
T_{u+\delta}(0,1)-T_u(0,1)=-2u\delta-\delta^2.
\tag{43.39}
$$
取 $\delta=1$ 并让有理 $u$ 无界，输出差与输入欧氏距离之比无界。因此精确前缀等距不给全域欧氏 Lipschitz 常数；数值稳定性需要另选度量及幅度域界。$\square$

（43.9）的余项在任一固定次数经过有限步后为零，（43.21）的完成则存储全部相容系数。这些是形式语义，不断言实／复解析收敛或非零收敛半径，不给概率归一化、TV 尾界、噪声估计、量子实现或物理钟。完成是所声明的拓扑和包含映射的结果，不是自动赋予一项概率律。

第零列边界与三角体只是组合坐标；其等价没有把 $n$ 指定为物理时间，也没有把数组体指定为空间区域。操作上取得精确有理值仍需来源及合法历史合同。算法虽只做有理加减乘，固定 $M$ 时分子、分母及中间数的位长仍可无界；$M+1$ 个自由参数不给位复杂度、样本复杂度、最优运行时间或抗噪性。确定性任务运输没有隐含概率独立；合法操作次序与概率独立也不同。若另引随机来源，独立性须针对保留的完整档案条件化后验证，不能由本节代数恢复替代。

完整有理域与顶行全一的自然域不能混用：后者由既有定理选成单点，前者才承载首差几何、非紧性和任意边界任务。第40—42节各自的相对钟、量子档案及接收资源条件没有因本节的形式完成而被免除。

### 43.10 离散全层与完成体／边实际等价的内容

**推论 43.19（同一递归关系的相容表示链）。** 对声明的完整有理来源，有以下每箭头都带逆或坐标共同实现的表示链：
$$
\boxed{
\text{有理边界序列}
\ \longleftrightarrow\ \text{无限约束数组}
\ \longleftrightarrow\ \text{相容的全部有限三角}
\ \longleftrightarrow\ \text{常数项一的形式级数}.}
\tag{43.40}
$$
相容的全部有限边界通过 $\beta_M,\mathcal E_M$ 给同一个全层对象。有限深度上的恢复是多项式互逆；全部深度上的边界和体首差等距，级数带（43.17）的一位归一化偏移。有限支持表示稠密，完成增添相容无限选择。该链的有限任务与来源重编号保持第43.6节规定的完整档案和获取义务。

证明。定理43.2给有限逆；定理43.4给级数到行及边界到无限数组的公式；从归一化级数读取 $[X^{i+1}]F$ 给回边界，反向由（43.5）重建同一级数。定理43.7及命题43.10的坐标构造给全相容族与形式剩余类的共同实现。（43.12）使限制交换，命题43.8给尺度，定理43.9和命题43.10给实际完成，定理43.13及命题43.14给档案任务和操作的对应。$\square$

这是一项带明确递归、来源、分离和拓扑条件的体／边应用。保留全部相容有限层可以保存整个对象，一条轨道的最终标量极限却不保证如此：例如序列 $x_n=0$ 与 $y_n=1/(n+1)$ 的通常实数极限同为零，而完整记录不同。命题43.11也表明，原来源可以遗漏完成点。因此离散步骤和完成对象在本模型中具有精确的共同关系表示，不意味着任意有限数据、任意标量极限与任意原来源可以互相恢复。坐标起点并不给出物理底层，重编号也不丢弃已获过去或取得未知未来。

### 43.11 供应接口的精确适配与文献边界

**约定 43.20（既有供应的作用域）。** 本节的特选自然数组和源恒等式保留第43.1节 `AntidiagonalArraySourceSeries.result` 的归属，以及同快照的 [Problems 卷宗](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/1fae30cf331dd943f49e44f88c9ee0feb3829770/Problems/oeis-a392095-antidiagonal-source-series.md)、Library 引文与对应 Blueprint。引用锚是确切公开定理和不可变源码，不声称重新生成了声明的 statement hash；证明内部的局部名字仍只用来说明证明机制。

[InverseLimitCompletion 的 `stateThread_bijective_iff_complete_and_separates`](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/1fae30cf331dd943f49e44f88c9ee0feb3829770/D5/S3/ConceptDynamics/RefinementGeometry/InverseLimitCompletion.lean) 给 Type 层的通用判据。对本节取状态 $\mathbb Q^{\mathbb N}$、第 $M$ 层坐标 $\mathcal A_M$、读出 $q_M$，该模块从 level $M+1$ 到 level $M$ 的 `restrict M` 对应这里 $\rho_{M+1}$。命题43.6给相容性；若全部 $q_M(a)=q_M(b)$，提取第 $i$ 层的 $(i,0)$ 即得 $a_i=b_i$，这是分离性；定理43.7给每个线程的实际共同序列。模块的 `ThreadComplete` 是 `stateThread` 的满射性，不是度量完备性；后者由定理43.9另行证明，未从 Type 判据导入拓扑、紧性、概率或取得能力。

[LocalGlobalAtlasExactness 的 `local_global_atlas_exactness`](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/1fae30cf331dd943f49e44f88c9ee0feb3829770/D5/S3/ConceptDynamics/RefinementGeometry/LocalGlobalAtlasExactness.lean) 是分离及像条件的另一既有表述，不是这里待重证的新一般定理。[CompletionIsomorphismCriterion](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/1fae30cf331dd943f49e44f88c9ee0feb3829770/D5/S3/ObserverMemory/InverseLimits/CompletionIsomorphismCriterion.lean) 与 [StableObservationInverseLimit](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/1fae30cf331dd943f49e44f88c9ee0feb3829770/D5/S3/ConceptDynamics/RefinementGeometry/StableObservationInverseLimit.lean) 保留各自域及前提，不能仅因都使用完成一词便移入本族。

主卷命题133.1拥有等核实际像的规范运输；（43.23）和（43.26）核对前提，（43.24）提供其保留档案的具体消费者，没有另建一个等核通用框架。[Context 接口36.3](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/1fae30cf331dd943f49e44f88c9ee0feb3829770/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md#L6185)拥有换精度合同，（43.29）—（43.31）为本消费者证明输入深度、输出深度及复合。其紧有限字母表上的连续性结论不能覆盖离散有理字母表，命题43.15给明确边界。

[Context 命题38.5](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/1fae30cf331dd943f49e44f88c9ee0feb3829770/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md#L6610)区分有限读数、全相容族、原来源实现与完成。它的有限坐标及概率前提不转移到有理族；本节直接以稳定坐标、共同实现和非紧性证明所需有理结论。第36.4、38.4节的完整记录区别落实为 $\mathrm{id}_{\mathcal C}\times\mathcal E_M$ 及保留 $c$ 的移位操作，未将工作边界等同于全部观察者。

邻近的 `PerrierPeriodicGeneratingFunctions` 属于另一有限维线性递推，不直接实例化到这里随边界变化的非线性族；不同具名三角、一般 Gram 结构或概率完成也不是（43.3）、（43.7）的精确所有者。本节的扩大有理应用及其普通证明不构成新增 Lean 声明、kernel 检验或定理准入结论。

[^rroctx43_oeis]: Mikhail Kurkov，OEIS A392095，数组后继关系与首列 A088713 偏移识别；Paul D. Hanna，OEIS A088713，源方程 $F(X/F(X))=(1-X)^{-1}$。固定 OEIS 导出为 `892a05dd4941ae76caee5906ea33ceedf3389b1d`：[A392095](https://github.com/oeis/oeisdata/blob/892a05dd4941ae76caee5906ea33ceedf3389b1d/seq/A392/A392095.seq)、[A088713](https://github.com/oeis/oeisdata/blob/892a05dd4941ae76caee5906ea33ceedf3389b1d/seq/A088/A088713.seq)。相应仓内引文为 [kurkov2025a392095](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/1fae30cf331dd943f49e44f88c9ee0feb3829770/Library/Recurrence/kurkov2025a392095.md) 及 [hanna2003a088713](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/1fae30cf331dd943f49e44f88c9ee0feb3829770/Library/Recurrence/hanna2003a088713.md)，保留其 OEIS Foundation [CC-BY-SA 4.0](https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/) 归属。上述固定源不代表实时条目新鲜性或全球优先权。

[^rroctx43_riordan]: Tian-Xiao He and Yuanziyi Zhang, *Centralizers of the Riordan Group*, [arXiv:2105.07262v1](https://arxiv.org/abs/2105.07262v1), 15 May 2021，Introduction，第1—2页的系数定义、基本作用及 Bell 子群。经典历史文献为 L. W. Shapiro, S. Getu, W.-J. Woan and L. C. Woodson, *The Riordan group*, *Discrete Applied Mathematics* **34** (1991), 229–239, DOI [10.1016/0166-218X(91)90088-E](https://doi.org/10.1016/0166-218X(91)90088-E)。本节依据上述版本化引言及（43.37）的有理有限系数证明，不把经典全文或其余 Riordan 定理当作已核对的应用前提。

## 43.99 追加锚

## 44. 实际历史压缩的二阶响应与校准短区间时钟

本节把同一个正伴随来源的内部演化、延迟历史、边界压缩和相对时钟连成一个有限维接口。先在有限实或复 Hilbert 空间证明压缩响应的二阶缺陷界，再把它精确代入本卷第40节的实际有限实历史。误差控制依赖共同实现、实际支撑、谱裕量、校准和已获关系，不能由表示名称推得物理定律。结论属于既有数学机制在该接口上的普通综合，这里的结论只在所列数学假设下成立，不判断形式系统或文献新颖性。

### 44.1 同一实际来源、移位历史与解析模型

**定义 44.1（解析模型与实际消费者的类型）。** 下列未加下标的范数均为相应有限维 Hilbert 空间间的算子范数；Frobenius 范数明确记为 $\|\cdot\|_F$。解析模型允许实或复数，$*$ 始终使用给定内积的伴随，复数时含共轭。

设 $h>0$，$C=C^*>0$ 作用于有限维空间 $R$，$F:R\to E$ 是余等距映射，即 $FF^*=I_E$。置
$$
P=F^*F,\qquad S=e^{-hC},\qquad aI_R\le S\le bI_R,
\qquad 0<a\le b<1,
$$
$$
A=FSF^*,\qquad
\Delta=FS^2F^*-A^2=FS(I-P)SF^*.
$$
令
$$
Q=I-P,\quad \delta=\|\Delta\|,\quad
\ell=\|QSF^*\|=\sqrt\delta.
$$
**引理 44.2（残差平方和交换子）。** 由 $S=S^*$，
$$
\|[P,S]\|=\|QSP\|=\ell,\qquad
 aI_E\le A\le bI_E.
$$
证明。$FF^*=I_E$ 使 $P=P^*=P^2$，$F^*$ 等距到 $\operatorname{ran}P$；插入 $P+Q=I_R$ 给残差恒等式。这里 $\Delta=(QSF^*)^*(QSF^*)$；交换子的范数等式由相对于 $P\oplus Q$ 的自伴分块形式得到。
进一步，令 $T=QSP:\operatorname{ran}P\to\operatorname{ran}Q$，交换子分块为 $\begin{pmatrix}0&T^*\\-T&0\end{pmatrix}$，其伴随乘自身为 $\operatorname{diag}(T^*T,TT^*)$，故范数为 $\|T\|$。$F^*$ 对 $\operatorname{ran}P$ 的满等距性给 $\|T\|=\|QSF^*\|$，残差平方再给 $\ell^2=\delta$。证毕。

把 $R$ 具体取为以下 $\mathcal R$。要将解析模型解释为本卷第40节的实际历史，须完整保留其定义40.1的合同：$C_{\rm archive}$ 包含全部已获内部／外部记录、来源与参考身份、版本与关联、实际准备、输入／输出内积与单位、增益、设备身份、相位与校准、局部时钟及已知关系、局部标签、可访问记忆、动作、守卫及失败、联合顺序和允许的联合误差事件；与档案及先验相容的共同世界族非空并含实际世界。以下每个候选世界都须同时解释整份档案，矩阵统计量仅是任务视图。

在每个这样的世界中，源核为
$$
K(t)=Be^{-tC}B^*,\qquad C=C^*>0,
$$
且输入是指定内积下的实际伴随 $B^*$。有效循环空间为
$$
\mathcal R=\operatorname{span}\{C^jB^*u:j\ge0,\ u\in U\},
\qquad C_{\mathcal R}=C|_{\mathcal R}.
$$
共同加性延迟 $h$ 必须实际成立。令
$$
V_k=\operatorname{span}\{e^{-jhC}B^*u:0\le j\le k\},\qquad
B_kx=(Be^{-ihC}x)_{i=0}^k,
$$
$$
\mathsf H_k(s)=\bigl(K(s+(i+j)h)\bigr)_{0\le i,j\le k},
\qquad E_k=\operatorname{ran}B_k.
$$
Context40 引理40.2供应
$$
\mathsf H_k(s)=B_ke^{-sC}B_k^*,\qquad
\operatorname{ran}\mathsf H_k(s)=E_k\quad(s\ge0).
$$
要求 $E_k\ne0$，并且全部白化、对数、迹与行列式只在这个实际共同支撑上计算。记
$$
D=B_k|_{\mathcal R}:\mathcal R\longrightarrow E_k,\qquad
D_{(t_0)}=De^{-t_0C_{\mathcal R}/2},
$$
$$
M_{(t_0)}=\mathsf H_k(t_0)|_{E_k}=D_{(t_0)}D_{(t_0)}^*,
\qquad
F_{(t_0)}=M_{(t_0)}^{-1/2}D_{(t_0)}.
$$
实际基准 $t_0$ 可未知，但必须有限且非负。$M_{(t_0)}$ 是白化基准矩阵；本节的 $A$ 是白化后的一步响应，二者不是同一个矩阵。本卷第40节的基准符号 $a$ 在此替换为 $t_0$，其 $A_a$ 替换为 $M_{(t_0)}$，其 $F_a$ 替换为 $F_{(t_0)}$；第40节历史阶数 $r$ 替换为 $k$。

$D_{(t_0)}$ 满射到 $E_k$，故 $M_{(t_0)}>0$ 且 $F_{(t_0)}F_{(t_0)}^*=I$。对任意满射 $J$，$J^*(JJ^*)^{-1}J$ 自伴幂等，像为 $\operatorname{ran}J^*$；这里 $\operatorname{ran}D^*=V_k$，所以投影的像恰为 $e^{-t_0C_{\mathcal R}/2}V_k$。指数的相乘及与 $C_{\mathcal R}$ 交换给
$$\mathsf H_k(t_0+t)|_{E_k}=D_{(t_0)}e^{-tC_{\mathcal R}}D_{(t_0)}^*.$$
固定这份实际基准及历史接口，定义
$$
W(t)=M_{(t_0)}^{-1/2}
\bigl(\mathsf H_k(t_0+t)|_{E_k}\bigr)M_{(t_0)}^{-1/2}
=F_{(t_0)}e^{-tC_{\mathcal R}}F_{(t_0)}^*.
$$
Context40 命题40.6供应
$$
F_{(t_0)}F_{(t_0)}^*=I_{E_k},\qquad
P_{(t_0)}=F_{(t_0)}^*F_{(t_0)}
=P_{e^{-t_0C_{\mathcal R}/2}V_k}.
$$
投影一般不是未经基准移位的 $P_{V_k}$。于是一般模型的精确代入为
$$
F=F_{(t_0)},\qquad S=e^{-hC_{\mathcal R}},\qquad
A=W(h),\qquad\Delta=W(2h)-W(h)^2.
$$
这里另行要求用于定量估计的实际有效谱界 $aI\preceq S\preceq bI$；正定性逐模型成立，不自动供应模型族共用的裕量。仅凭压缩矩阵 $A$ 的谱下界，不能将其冒充整个有效 $S$ 的谱下界。

以下设 $m=\dim E_k>0$（一般模型为 $m=\dim E>0$），定义
$$
\mathcal T=\operatorname{tr}(-\log A),\qquad
\tau=\mathcal T/m,\qquad\beta=-\log b>0,
$$
$$
R(r)=\frac{\operatorname{tr}(-\log W(rh))}{\mathcal T}.
$$
由 $aI\preceq A\preceq bI<I$，有 $\mathcal T\ge m\beta>0$、$\tau\ge\beta$。$\tau$ 是同一实际基准上的平均对数衰减量；未饱和时，它可以依赖 $t_0$，不能借用饱和情形的基准不变性。零维支撑给 $0/0$，不属于本比值定理。

这里明确取有限维实内积空间 $H,U$，输入是实际准备的伴随 $B^*$；解析引理允许复数不改变此实际来源合同。合法操作顺序与概率独立是不同条件，任何独立性主张须条件于完整 $C_{\rm archive}$ 检验。历史阶数为 $k$，经过时间指数为 $r=t/h$；它们均不同于源核 $K$、基准年龄 $t_0$、谱下界 $a$ 和后文的误差系数 $K_{\rm err}$。

### 44.2 离散两次跨越与固定阶数尖锐性

**定理 44.3（离散压缩响应）。** 交换子展开给
$$
[P,S^k]=\sum_{j=0}^{k-1}S^j[P,S]S^{k-1-j},
\qquad
\|QS^kF^*\|\le k b^{k-1}\ell\quad(k\ge1).
$$
交换子求和由 $[P,XY]=[P,X]Y+X[P,Y]$ 归纳成立；又 $Q[P,S^k]F^*=-QS^kF^*$，从而每项范数至多 $b^{k-1}\ell$。置 $E_n=FS^nF^*-A^n$。由 $FF^*=I_E$ 及 $A=FSF^*$，端点 $E_0=E_1=0$。对 $n\ge2$ 插入 $P+Q$，得到
$$
E_n=AE_{n-1}+FSQ\,S^{n-1}F^*,\qquad E_1=0.
$$
因此
$$
\|E_n\|\le b\|E_{n-1}\|+(n-1)b^{n-2}\delta,
$$
归纳中 $E_1=0$，而 $b\binom{n-1}{2}b^{n-3}\delta+(n-1)b^{n-2}\delta=\binom n2 b^{n-2}\delta$，故得到
$$
\boxed{\|FS^nF^*-A^n\|
\le {n\choose2}b^{n-2}\delta,\qquad n\ge2.}
$$
两次跨越观察子空间产生 $\ell^2=\delta$；普通单侧交织界只有 $O(\sqrt\delta)$。

该系数对每个固定整数 $n\ge2$，在 $\varepsilon\downarrow0$ 时渐近锐；不声称对随 $\varepsilon$ 增长的 $n$ 有一致相对锐性。固定 $0<a<b<1$，取
$$
S_\varepsilon=
\begin{pmatrix}b-\varepsilon&\varepsilon\\
\varepsilon&b-\varepsilon\end{pmatrix},
\quad F=(1,0),\quad
0<2\varepsilon<b-a.
$$
其谱为 $b,b-2\varepsilon$，且 $A=b-\varepsilon,\ \delta=\varepsilon^2$。于是
$$
FS_\varepsilon^nF^*-A^n
=\frac{b^n+(b-2\varepsilon)^n}{2}-(b-\varepsilon)^n
={n\choose2}b^{n-2}\varepsilon^2+O(\varepsilon^3).
$$
$n=2$ 为精确等号；$C_\varepsilon=-h^{-1}\log S_\varepsilon>0$ 满足原模型。

### 44.3 一个正 resolvent 引擎与三种对数缺陷

**定理 44.4（正二阶余项）。**

令
$$
S_0=PSP+QSQ,\quad V=S-S_0,\quad
R_u=(S+uI_R)^{-1},\quad R_u^0=(S_0+uI_R)^{-1}
\quad(u\ge0).
$$
两条逆差恒等式 $R_u-R_u^0=-R_u^0VR_u=-R_uVR_u^0$ 相互代入，得到二阶 resolvent 恒等式
$$
R_u-R_u^0
=-R_u^0VR_u^0+R_u^0VR_uVR_u^0.
$$
定义 $D(u)=FR_uF^*-(A+uI_E)^{-1}$。
压缩到 $P$ 后首项消失；余项半正定，而且
$$
0\le FR_uF^*-(A+uI_E)^{-1},\qquad
\|FR_uF^*-(A+uI_E)^{-1}\|
\le\frac{\delta}{(a+u)^3}.
$$
更具体地，余项为
$$
(A+uI_E)^{-1}FSQ\,R_u\,QSF^*(A+uI_E)^{-1},
$$
其半正定性及范数界直接来自 $R_u\succeq0$、$\|R_u\|\le(a+u)^{-1}$ 和 $\|FSQ\|=\sqrt\delta$。
$FSQ:R\to E$ 与 $QSF^*:E\to R$ 互为伴随；两边的 $(A+uI_E)^{-1}$ 自伴。故该式为 $X^*R_uX$，其中 $X=QSF^*(A+uI_E)^{-1}$，正性不要求这些因子交换。$S_0\succeq aI$ 是两个角各自的下界，因此所有逆存在，三个逆因子共同给 $(a+u)^{-3}$。这一个 $D(u)$ 将同时供应对数及两段分数幂。

**推论 44.5（生成元、非对角块和矩形交织）。** 定义
$$G=-h^{-1}\log A,\qquad C_c=FCF^*,\qquad c_0=-\log b/h>0.$$
有限谱演算给 $C,C_c,G\succeq c_0I$。对任意正定 $X$，
$$\log X=\int_0^\infty\left((1+u)^{-1}I-(X+uI)^{-1}\right)du.$$
该积分在零端有界，远端为 $O(u^{-2})$；它来自每个正标量的初等积分并在有限谱上逐项相加。于是同一截断积分中常数项消去，给
$$C_c-G=h^{-1}\int_0^\infty D(u)\,du\succeq0,$$
$$\boxed{\|C_c-G\|\le\frac{\delta}{2ha^2},\qquad0\preceq C_c-G.}$$
这里使用 $\int_0^\infty(a+u)^{-3}du=1/(2a^2)$。又 $[P,R_u]=-R_u[P,S]R_u$，故
$$[P,\log S]=\int_0^\infty R_u[P,S]R_u\,du.$$
由自伴分块 $\|[P,C]\|=\|QCP\|$ 及 $\int_0^\infty(a+u)^{-2}du=1/a$，得到
$$\boxed{\|QCP\|\le\frac{\sqrt\delta}{ha}.}$$
这些是算子积分估计，单独引用标量对数 Lipschitz 性不构成该证明。

单侧对数交织另有安全备选界。精确矩形 resolvent 恒等式为
$$
\boxed{
F(S+uI_R)^{-1}-(A+uI_E)^{-1}F
=-(A+uI_E)^{-1}FSQ(S+uI_R)^{-1}.
}
$$
这是因为 $FS-AF=FSQ$。对数积分表示给
$$
F\log S-(\log A)F
=\int_0^\infty
(A+uI_E)^{-1}FSQ(S+uI_R)^{-1}\,du.
$$
由 $\int_0^\infty(a+u)^{-2}du=a^{-1}$ 得
$$
\|FC-GF\|\le\frac{\sqrt\delta}{ha}.
$$
对 $e^{-(t-s)G}Fe^{-sC}$ 求导，导数为 $e^{-(t-s)G}(GF-FC)e^{-sC}$。积分后右接 $F^*$；两个半群分别以 $c_0$ 衰减，所以得到
$$
\|Fe^{-tC}F^*-e^{-tG}\|
\le \frac{t}{ha}b^{t/h}\sqrt\delta.
$$

### 44.4 连续响应的两次 Duhamel 与全时间控制

**定理 44.6（全时间响应）。** 令 $L=\|QCP\|$。有限维乘积法则给
$$[P,e^{-sC}]=-\int_0^s e^{-(s-v)C}[P,C]e^{-vC}\,dv.$$
左右接 $Q,F^*$，用 $Q[P,e^{-sC}]F^*=-Qe^{-sC}F^*$，得到
$$
\|Qe^{-sC}F^*\|\le s e^{-c_0s}L.
$$
对 $e^{-(t-s)C_c}Fe^{-sC}F^*$ 求导，使用 $C_cF=FCP$，导数恰为 $-e^{-(t-s)C_c}FCQe^{-sC}F^*$。积分得
$$
Fe^{-tC}F^*-e^{-tC_c}
=-\int_0^t e^{-(t-s)C_c}FCQe^{-sC}F^*\,ds,
$$
故
$$
\|Fe^{-tC}F^*-e^{-tC_c}\|
\le \tfrac12t^2e^{-c_0t}L^2.
$$
同时，对 $e^{-(t-s)C_c}e^{-sG}$ 求导，导数为 $e^{-(t-s)C_c}(C_c-G)e^{-sG}$，积分和两边的 $c_0$ 衰减给
$$
\|e^{-tC_c}-e^{-tG}\|
\le te^{-c_0t}\|C_c-G\|.
$$
合并得到
$$
\boxed{
\|Fe^{-tC}F^*-e^{-tG}\|
\le
\frac{\delta\,b^{t/h}}{2a^2}
\left(\frac{t^2}{h^2}+\frac th\right),\qquad t\ge0.
}
$$
这是连续时间可用界，不宣称其常数最优；整数时刻应使用上面的更锐离散界。特别地，$t=0$ 时两响应均为 $I_E$，而 $t=h$ 时
$$
Fe^{-hC}F^*=A=e^{-hG},
$$
故误差精确为零。上面的三角估计没有保留 $t=h$ 处的抵消。另一方面，
$$
\left.\frac{d}{dt}\left(Fe^{-tC}F^*-e^{-tG}\right)\right|_{t=0}
=G-C_c
$$
一般非零，所以不能把该连续响应误差普遍替换成固定模型下的 $O(t^2\delta)$ 小时间界。

若模型族共用 $a>0$ 和 $b<1$，置 $\beta=-\log b>0$，则还有统一全时间界
$$
\boxed{
\sup_{t\ge0}\|Fe^{-tC}F^*-e^{-tG}\|
\le\frac{\delta}{2a^2}
\left(\frac{4}{e^2\beta^2}+\frac{1}{e\beta}\right).
}
$$
证明。令 $x=t/h\ge0$，则 $b^{t/h}=e^{-\beta x}$。分别使用
$$
\sup_{x\ge0}x^2e^{-\beta x}=\frac4{e^2\beta^2},
\qquad
\sup_{x\ge0}xe^{-\beta x}=\frac1{e\beta},
$$
再以上确界的次可加性应用于前式即可。这个常数不宣称最优；共同谱界固定时，它给出随 $\delta\to0$ 的全时间一致压缩响应收敛，不提供隐藏态或物理时钟恢复。
例如 $F=(1,0)$、$S=\begin{pmatrix}s&\varepsilon\\\varepsilon&s\end{pmatrix}$，$0<\varepsilon<\min(s,1-s)$，有
$$C_c-G=-\frac1{2h}\log(1-\varepsilon^2/s^2)>0.$$
因此固定此模型、$t\downarrow0$ 时误差含非零线性项，明确排除 $O(t^2\delta)$。对每个整数时刻，定理44.3的界仍可更精细。


### 44.5 两段谱分数幂、显式 Beta 常数与端点

**定理 44.7（分数幂正差及其范数）。** 本节首先只要求有限维实或复 Hilbert 空间、$FF^*=I_E$、$S=S^*\succeq aI_R$，其中共同谱下界 $a>0$。仍令
$$
A=FSF^*,\qquad \Delta=FS^2F^*-A^2\succeq0,
\qquad \delta=\|\Delta\|.
$$
不需要 $b<1$、预先给定 $h$ 或 $S=e^{-hC}$，也不要求 $S$ 与 $P=F^*F$ 交换。共同正谱下界用于控制负指数因子 $a^{r-2}$；有限维保证谱有界。

对 $0<r<1$，有
$$
\boxed{
0\preceq A^r-FS^rF^*,\qquad
\|A^r-FS^rF^*\|
\le \frac{r(1-r)}2a^{r-2}\delta.
}
$$
对 $1<r<2$，有
$$
\boxed{
0\preceq FS^rF^*-A^r,\qquad
\|FS^rF^*-A^r\|
\le \frac{r(r-1)}2a^{r-2}\delta.
}
$$
这里分别给出半正定方向及算子范数控制，不将范数估计改写成缺陷矩阵受同一常数乘以 $\Delta$ 控制的 Loewner 序断言。

证明。先给两段标量表示及共同截断。

沿用定理44.4的精确二阶 resolvent 恒等式，令
$$
D(u)=F(S+uI_R)^{-1}F^*-(A+uI_E)^{-1},\qquad u\ge0.
$$
则
$$
D(u)\succeq0,\qquad
\|D(u)\|\le\frac{\delta}{(a+u)^3}.
$$
对 $0<r<1$，标量公式及有限维谱演算给出
$$
x^r=\frac{\sin(\pi r)}\pi
\int_0^\infty u^{r-1}\frac{x}{x+u}\,du.
$$
标量式由 $u=xv$ 给 $x^r\int_0^\infty v^{r-1}/(1+v)dv$，后者为 $B(r,1-r)=\pi/\sin\pi r$；端点收敛由 $0<r<1$ 保证。使用 $x/(x+u)=1-u/(x+u)$ 及 $FF^*=I_E$，在相同截断积分中相减，再取极限，得到
$$
A^r-FS^rF^*
=\frac{\sin(\pi r)}\pi
\int_0^\infty u^rD(u)\,du\succeq0.
$$
不能将这一步写成分别计算发散的常数项积分。

对 $1<r<2$，使用另一段标量表示
$$
x^r=\frac{\sin(\pi(r-1))}\pi
\int_0^\infty u^{r-2}\frac{x^2}{x+u}\,du.
$$
此式用 $u=xv$ 化为 $x^r B(r-1,2-r)$，正弦归一化来自同一反射公式。由 $x^2/(x+u)=x-u+u^2/(x+u)$，压缩前后的仿射项在相同截断处精确抵消，因此
$$
FS^rF^*-A^r
=\frac{\sin(\pi(r-1))}\pi
\int_0^\infty u^rD(u)\,du\succeq0.
$$
两段积分的系数均为正，故正性来自同一份 $D(u)$。

归一化、收敛与端点如下。

令 $u=av$，再令 $z=v/(1+v)$，则
$$\int_0^\infty\frac{u^r}{(a+u)^3}du
=a^{r-2}\int_0^1 z^r(1-z)^{1-r}dz.$$
共同的范数积分为
$$
\begin{aligned}
\int_0^\infty\frac{u^r}{(a+u)^3}\,du
&=a^{r-2}B(r+1,2-r)\\
&=\frac{a^{r-2}}2\Gamma(r+1)\Gamma(2-r).
\end{aligned}
$$
其零点附近为 $O(u^r)$，无穷远为 $O(u^{r-3})$，故上述两段均可积。在 $0<r<1$，$\Gamma(r+1)\Gamma(2-r)=r(1-r)\pi/\sin(\pi r)$；在 $1<r<2$，写 $p=r-1$，该乘积为 $r(r-1)\pi/\sin(\pi(r-1))$。这里逐次使用 $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$ 与 $\Gamma(p)\Gamma(1-p)=\pi/\sin\pi p$。乘以各自正弦系数并除以二，恰好得到
$$
\frac{r|r-1|}{2}a^{r-2}.
$$
端点单独计算，不将 $r=2$ 代入已发散的积分：
$$
FS^0F^*-A^0=0,\qquad
FSF^*-A=0,\qquad
FS^2F^*-A^2=\Delta.
$$
所以统一范数界为
$$
\boxed{
\|FS^rF^*-A^r\|
\le\frac{r|r-1|}{2}a^{r-2}\delta,
\qquad 0\le r\le2.
}
$$
此处不将分数幂序方向或此系数外推到 $r>2$；定理44.3的整数范数界仍独立成立。

**命题 44.8（下谱端点的固定指数尖锐性）。**

固定 $a<b$，取靠近下谱端点的二维模型
$$
S_\varepsilon=
\begin{pmatrix}
a+\varepsilon&\varepsilon\\
\varepsilon&a+\varepsilon
\end{pmatrix},\qquad
F=(1,0),\qquad 0<2\varepsilon<b-a.
$$
其谱为 $a,a+2\varepsilon$，并且
$$
A=a+\varepsilon,\qquad \delta=\varepsilon^2.
$$
对每个固定 $r\in(0,1)\cup(1,2)$，Taylor 展开给出
$$
\begin{aligned}
FS_\varepsilon^rF^*-A^r
&=\frac{a^r+(a+2\varepsilon)^r}{2}-(a+\varepsilon)^r\\
&=\frac{r(r-1)}2a^{r-2}\varepsilon^2+O(\varepsilon^3).
\end{aligned}
$$
因此绝对缺陷与所给上界之比趋于 $1$，任何严格较小的统一系数都不能覆盖该固定 $r$ 下的全部模型。$r=2$ 为精确等号，$r=0,1$ 两边均为零；不声称 $r$ 同时趋于端点时的一致相对尖锐性。若另有 $S\preceq bI_R$ 且 $a=b$，则 $S=aI_R$、$\delta=0$，没有非平凡尖锐性问题。

若还要求原模型中的 $b<1$，同一例子的
$$
C_\varepsilon=-h^{-1}\log S_\varepsilon>0
$$
满足原契约。定理44.3整数界的尖锐性使用上谱端点 $b$，本节因 $r<2$ 而使用下谱端点 $a$，二者不混用。

**推论 44.9（保留单步抵消的短时间响应）。**

回到 $S=e^{-hC}$、$G=-h^{-1}\log A$，令 $r=t/h$。谱演算给出
$$
FS^rF^*=Fe^{-tC}F^*,\qquad A^r=e^{-tG}.
$$
从而
$$
\boxed{
\|Fe^{-tC}F^*-e^{-tG}\|
\le\frac{\delta}{2}\frac th
\left|\frac th-1\right|a^{t/h-2},
\qquad 0\le t\le2h.
}
$$
并且具有随区间切换的 Loewner 序：
$$
Fe^{-tC}F^*\preceq e^{-tG}\quad(0\le t\le h),
$$
$$
e^{-tG}\preceq Fe^{-tC}F^*\quad(h\le t\le2h).
$$
在 $t=0,h$ 两响应相等；在 $t=2h$，响应差等于 $\Delta$，范数恰为 $\delta$。这保留定理44.6的全时间三角估计未体现的 $t=h$ 精确抵消，仍只是一条 $[0,2h]$ 上的加强界，不替代定理44.6的全时间结论。对每个固定 $t/h\in(0,1)\cup(1,2)$，命题44.8给出对应的渐近尖锐性。

还可核对小时间衔接：将本节估计除以 $t=rh$ 后令 $r\downarrow0$，利用
$$
\left.\frac{d}{dt}\bigl(Fe^{-tC}F^*-e^{-tG}\bigr)\right|_{t=0}
=G-C_c,
$$
恢复 $\|C_c-G\|\le\delta/(2ha^2)$。线性小时间项与单步时刻的精确抵消可以同时成立。

这里的连续参数由严格正算子的谱函数 $S^{t/h}$ 产生，并以正谱下界和积分估计控制误差；它不是形式幂级数按系数或理想过滤得到的完成化。两者的对象、收敛条件、拓扑和可操作含义不同，不凭共有的“幂”字样建立互换关系。

### 44.6 有限矩形 Jensen 的归属与算子序反例

分数幂的序方向属于成熟算子 Jensen 机制。对 $P=F^*F$ 令 $U_0=2P-I_R$，则 $U_0$ 自伴酉，$S_0=(S+U_0SU_0)/2$。Hansen–Pedersen，[*Jensen's Operator Inequality*](https://arxiv.org/abs/math/0204049v1)，Theorem 2.1(ii)，在正谱区间上以 $I_R/\sqrt2,U_0/\sqrt2$ 作 unital operator combination，给算子凸 $f$ 的
$$f(S_0)\preceq(f(S)+U_0f(S)U_0)/2.$$
$S_0$ 分块对角，函数演算的 $P$ 角是 $f(S_0|_{\operatorname{ran}P})$。$F$ 在该角上为等距同构、$FS_0F^*=A$，所以取角得到 $f(A)\preceq Ff(S)F^*$；凹函数方向反转。这里不向区间外补零，故不用 $f(0)$。该文 Corollary 2.3 的 contractive 版本另有零点属于区间及 $f(0)\le0$ 的假设；无限空间等距表述不能未经桥接便当作有限矩形 $F$ 的直接特例。上节的积分已经独立证明两段幂序及其定量常数。

Balakrishnan，[*Fractional powers of closed operators and the semigroups generated by them*](https://msp.org/pjm/1960/10-2/pjm-v10-n2-p03-s.pdf)，*Pacific J. Math.* 10(2) (1960), 419–437，[DOI 10.2140/pjm.1960.10.419](https://doi.org/10.2140/pjm.1960.10.419)，印刷页420式(2.1)、(2.3)给成熟 resolvent-power 构造。将其生成元变量取为 $-S$，则 $\|\lambda(\lambda I+S)^{-1}\|\le1$，有限维定义域为全空间。式(2.1)成为 $0<r<1$ 的表示，递推并乘以 $S$ 给 $1<r<2$；不移入该文更一般 Banach 生成元结论。显式常数所用 Euler Beta 积分、Gamma 递推与反射分别见 NIST DLMF [5.12.1](https://dlmf.nist.gov/5.12.E1)、[5.5.1](https://dlmf.nist.gov/5.5.E1)、[5.5.3](https://dlmf.nist.gov/5.5.E3)。

**命题 44.10（同一个三维来源中的两种算子序障碍）。** 取 $F=(I_2\ 0)$，
$$S=\begin{pmatrix}1/2&1/10&1/10\\1/10&1/2&0\\1/10&0&1/2\end{pmatrix},\qquad
A=\begin{pmatrix}1/2&1/10\\1/10&1/2\end{pmatrix},\qquad
v=\binom{1/10}{0},\quad d=1/2.$$
$S$ 的特征多项式为 $(\lambda-1/2)((\lambda-1/2)^2-1/50)$，谱是 $1/2,1/2\pm\sqrt2/10$，故为严格正收缩。分块乘法给 $\Delta=vv^*=\operatorname{diag}(1/100,0)$。对 $e_2\in\ker\Delta$ 和每个 $u\ge0$，
$$((A+uI)^{-1}e_2)_1=-\frac{1/10}{(u+1/2)^2-1/100}\ne0.$$
因此定理44.4的因子分解给
$$\langle e_2,D(u)e_2\rangle
=\langle e_3,(S+uI)^{-1}e_3\rangle
 |v^*(A+uI)^{-1}e_2|^2>0.$$
两段幂积分权重分别严格为正且可积，故每个固定 $r\in(0,1)\cup(1,2)$ 的正差在 $e_2$ 上严格正。$e_2^*\Delta e_2=0$，所以不存在有限标量 $c$ 使该差在 Loewner 序中不超过 $c\Delta$；标量范数界不受影响。

同一矩阵的三次幂角直接计算为
$$FS^3F^*-A^3=A\Delta+\Delta A+d\Delta
=\begin{pmatrix}3/200&1/1000\\1/1000&0\end{pmatrix},$$
其行列式为 $-1/1000000<0$。实对称二阶矩阵的特征值乘积负，故此差不定，证明 $r=3$ 已不保留上述正序；定理44.3的整数范数估计仍成立。证毕。

### 44.7 固定实际基准上的迹时钟与倍时诊断

**定理 44.11（维数消去的短区间比值界）。**

对 $0\le r\le2$，
$$
\boxed{
|R(r)-r|
\le\frac{r|r-1|}{2a^2\tau}\delta
\le\frac{r|r-1|}{2a^2(-\log b)}\delta.
}
$$
第一个界保留实际已校准的 $\tau$，比只使用 $-\log b$ 更精细。

证明。先对任意正定 $X,Y\succeq uI$、$u>0$，使用对数的 resolvent 积分及逆矩阵差恒等式：
$$
\begin{aligned}
\|\log X-\log Y\|
&\le\int_0^\infty
\|(Y+vI)^{-1}-(X+vI)^{-1}\|\,dv\\
&\le\|X-Y\|\int_0^\infty(u+v)^{-2}\,dv
=\frac{\|X-Y\|}{u}.
\end{aligned}
$$
这是算子范数估计，不只引用标量对数的 Lipschitz 常数。对每个 $r\ge0$，谱演算及余等距性给
$$
W(rh)=FS^rF^*\succeq a^rI,\qquad A^r\succeq a^rI.
$$
由于 $\log(A^r)=r\log A$，
$$
\begin{aligned}
|R(r)-r|
&=\frac{|\operatorname{tr}(\log W(rh)-\log A^r)|}{\mathcal T}\\
&\le\frac{m}{\mathcal T a^r}\|FS^rF^*-A^r\|\\
&\le\frac{r|r-1|}{2a^2\tau}\delta.
\end{aligned}
$$
最后一步使用第44.5节分数幂界，$a^r$ 与其 $a^{r-2}$ 相消；再以 $\tau\ge-\log b$ 得第二个界。维数通过 $\mathcal T=m\tau$ 精确消去。端点 $r=0,1,2$ 使用第44.5节的直接端点结论，不从发散积分取值。

符号由同一分数幂序及对数算子单调性给出：
$$
\boxed{
R(r)\ge r\quad(0<r<1),\qquad
R(r)\le r\quad(1<r\le2),
\qquad R(0)=0,\ R(1)=1.
}
$$
具体地，$FS^rF^*\preceq A^r$ 时 $-\log(FS^rF^*)\succeq-r\log A$；另一段反向。所有比较都固定同一个 $F_{(t_0)}$，不将不同基准或不同历史阶数的响应混入一次估计。

**推论 44.12（整数时间比值）。**

对每个整数 $n\ge2$，定理44.3的离散界给
$$
\boxed{
|R(n)-n|
\le\binom n2\frac{b^{n-2}}{a^n\tau}\delta
\le\binom n2\frac{b^{n-2}}{a^n(-\log b)}\delta.
}
$$
证明。$W(nh)$ 与 $A^n$ 都不小于 $a^nI$，故按第44.7节先取对数差、再取迹并除以 $\mathcal T$：
$$
|R(n)-n|
\le\frac{\|FS^nF^*-A^n\|}{a^n\tau}
\le\binom n2\frac{b^{n-2}}{a^n\tau}\delta.
$$
$n=0,1$ 精确成立。此处只延伸整数范数估计，不将第44.5节的 $r\le2$ 算子序声明外推到 $n>2$；也不把可能随 $n$ 增大的右端当作无时间范围的精确相对钟恢复。

**命题 44.13（精确倍时差及其饱和前提）。**

令 $W(2h)=A^2+\Delta$。有精确恒等式
$$
\boxed{
2-R(2)
=\frac{\log\det(I+A^{-1}\Delta A^{-1})}{\mathcal T}.
}
$$
证明。因
$$
A^2+\Delta=A(I+A^{-1}\Delta A^{-1})A,
$$
取行列式并用正定矩阵的 $\operatorname{tr}\log X=\log\det X$ 即得。合同增量 $A^{-1}\Delta A^{-1}$ 半正定，因此
$$
2-R(2)\ge0,\qquad R(2)=2\Longleftrightarrow\Delta=0.
$$
这就是 Context40 推论40.7的谱行列式机制在归一读数上的表达，不另宣称发现了该等号判据。

还有严格范围
$$
\boxed{0\le2-R(2)<1.}
$$
因为 $0<S<I$ 给 $S-S^2\succ0$；$F^*$ 单射，故 $A-W(2h)=F(S-S^2)F^*\succ0$。正定行列式严格单调于是给 $\operatorname{tr}(-\log W(2h))>\operatorname{tr}(-\log A)$，即 $R(2)>1$。结合 $R(2)\le2$ 得结论。

**一般余等距模型。** $\Delta=( (I-P)SF^*)^*((I-P)SF^*)$，所以 $\Delta=0$ 等价于 $\operatorname{Im}F^*$ 在自伴 $S$ 下约化。此时 $W(t)=A^{t/h}$，对全部 $t\ge0$ 有精确 $R(t/h)=t/h$。但一般模型允许未耦合隐藏直和，所以这不推出任意给定隐藏空间已被全部观察。

**Context40 的实际生成历史。** 此处不能停留在上一段较弱结论，更不能用它否定已发表的实际饱和定理。在定义40.1、引理40.2与命题40.6的完整前提下，工作空间已经取有效循环 $\mathcal R$，且
$$
\operatorname{Im}F_{(t_0)}^*=e^{-t_0C_{\mathcal R}/2}V_k
\supseteq e^{-t_0C_{\mathcal R}/2}B^*U.
$$
若 $\Delta=0$，约化性和唯一正对数使它在 $C_{\mathcal R}$ 下不变；这批移位输入的全部循环跨度为
$$
\operatorname{span}_{j\ge0}
C_{\mathcal R}^{j}e^{-t_0C_{\mathcal R}/2}B^*U
=e^{-t_0C_{\mathcal R}/2}\mathcal R=\mathcal R.
$$
最后使用有限基准指数的可逆性。故命题40.6已经供应
$$
\boxed{
\Delta=0\Longleftrightarrow V_k=\mathcal R
\Longleftrightarrow
\operatorname{rank}\mathsf H_{k+1}(t_0)
=\operatorname{rank}\mathsf H_k(t_0).
}
$$
结合前式，实际模型中 $R(2)=2$ 当且仅当该历史真正饱和；未饱和时 $R(2)<2$，与推论40.7完全一致。有效空间以外原本不可见的直和仍不参加这条饱和断言。把精确零改为很小的正数，只能得到本节有裕量条件的数值误差界，不保留精确秩或饱和结论。

**命题 44.14（二维时钟和通用系数尖锐性）。**

固定 $s\in(0,1)$，取
$$
S_\varepsilon=
\begin{pmatrix}s&\varepsilon\\\varepsilon&s\end{pmatrix},
\qquad F=(1,0),\qquad
0<\varepsilon<\min(s,1-s).
$$
则
$$
A=s,\qquad\delta=\varepsilon^2,\qquad
W(rh)=\frac{(s-\varepsilon)^r+(s+\varepsilon)^r}{2},
\qquad\tau=-\log s.
$$
对于每个固定 $r\in(0,1)\cup(1,2]$，对称 Taylor 展开给
$$
W(rh)=s^r+\frac{r(r-1)}2s^{r-2}\varepsilon^2+O(\varepsilon^4),
$$
从而
$$
\boxed{
R(r)-r
=-\frac{r(r-1)}{2s^2(-\log s)}\varepsilon^2
+O(\varepsilon^4).
}
$$
选取该模型的紧谱界 $a_\varepsilon=s-\varepsilon$、$b_\varepsilon=s+\varepsilon$，实际绝对误差与第44.7节两个上界之比均趋于 $1$。因此在允许任意合法谱界的通用公式中，前系数不能统一缩小。这里谱区间随 $\varepsilon$ 收紧；不宣称对每一组预先固定且分离的 $a<b$，粗常数 $1/(a^2(-\log b))$ 都最优，也不声称随 $r$ 变化的一致相对尖锐性。$r=0,1$ 两边恒为零。

取 $s=1/2,\varepsilon=1/20$，谱为 $9/20,11/20$，有
$$
\delta=\frac1{400},\qquad
2-R(2)=\frac{\log(101/100)}{\log2}\approx0.0143553.
$$
由共同谱界得到的上界为
$$
\frac{1/400}{(9/20)^2(-\log(11/20))}\approx0.0206506.
$$
这些是精确模型的代数读数及其数值显示，不是实际实验精度声明。

这组模型也满足实际历史合同的数学来源部分：取 $H=\mathbb R^2$、$U=\mathbb R$、$B=(1,0)$、$C=-h^{-1}\log S_\varepsilon>0$、$t_0=0$、$k=0$，则 $M_{(0)}=BB^*=1$、$F_{(0)}=B$。因 $\varepsilon\ne0$，$B^*$ 与 $S_\varepsilon B^*$ 线性无关，有效循环空间为二维，而阶零历史为一维，确实未饱和。合法实际取得仍需第44.11节的实验条件；给出数学来源不等于已取得该档案。

### 44.8 每一项独立裕量与耦合边界

**命题 44.15（弱耦合不提供秩阈值）。** 上述锐性模型中，每个 $\varepsilon>0$ 的 $F^*$-循环空间均为二维，极限为一维，而 $\delta\to0$。证明。在定理44.3的族中，$e_1,S_\varepsilon e_1$ 的行列式为 $\varepsilon\ne0$；当 $\varepsilon=0$ 则跨度为一。精确 $\delta=0$ 等价于 $P$ 约化 $S$；只有另有循环最小性时，才能推出观察空间等于整个相关内部空间。没有该条件，还能添加任意不耦合的隐藏直和。

**命题 44.16（缩放源的归一化与生成元缺口）。** 缺少共同正谱下界 $a>0$，绝对缺陷不能控制以下两项。 固定 $h>0$，取
$$
S_\varepsilon=\varepsilon\operatorname{diag}(1,2),
\quad F=2^{-1/2}(1,1),\quad0<\varepsilon<1/2.
$$
则
$$
A=3\varepsilon/2,\quad \delta=\varepsilon^2/4\to0,
\quad \frac{\Delta}{A^2}=\frac19,
\quad C_c-G=\frac{\log(9/8)}{2h}>0.
$$
每个实例仍有严格正谱下界，但随 $\varepsilon\downarrow0$ 不存在适用于整个模型族的共同 $a>0$。这是对上述两个具体目标的反例，不泛称排除了所有“归一化时钟”定义。

**命题 44.17（全时间一致性需要共同衰减）。** 缺少共同严格衰减界 $b<1$，不能由绝对缺陷趋零推出全时间一致收敛。 固定 $h>0$，取
$S_\varepsilon=\operatorname{diag}(e^{-\varepsilon},e^{-2\varepsilon})$，同一 $F$。虽然 $\delta\to0$，在 $t/h=1/\varepsilon$ 时，
$$
Fe^{-tC}F^*\to\tfrac12(e^{-1}+e^{-2}),
\qquad e^{-tG}\to e^{-3/2},
$$
二者差不趋零。每个实例都有 $b_\varepsilon=e^{-\varepsilon}<1$，但模型族没有共同 $b<1$，等价地没有共同的正生成元下界 $-h^{-1}\log b$。
在命题44.16中，$FS^2F^*=5\varepsilon^2/2$，减去 $A^2=9\varepsilon^2/4$ 得残差；$C_c=-h^{-1}(\log\varepsilon+\tfrac12\log2)$，$G=-h^{-1}\log(3\varepsilon/2)$，相减即得显示的常数。命题44.17中 $\delta=(e^{-\varepsilon}-e^{-2\varepsilon})^2/4\to0$，而 $\log((e^{-\varepsilon}+e^{-2\varepsilon})/2)=-3\varepsilon/2+O(\varepsilon^2)$，所以 $A^{1/\varepsilon}\to e^{-3/2}$。严格凸的标量指数使 $\tfrac12(e^{-1}+e^{-2})>e^{-3/2}$；这证明非零极限误差。

以下命题44.18和44.19的两个反例都取固定 $F=(1,0)$、$0<\varepsilon<1/4$，且 $\delta=\varepsilon/4\to0$。

**命题 44.18（源谱下界与大分母不能互换）。** 取
$$
S_\varepsilon=
\begin{pmatrix}
\varepsilon&\sqrt\varepsilon/2\\
\sqrt\varepsilon/2&1/2
\end{pmatrix}.
$$
矩阵对角元正、行列式为 $\varepsilon/4>0$，故 $S_\varepsilon>0$。而 $\frac34I-S_\varepsilon$ 的对角元正、行列式为 $3/16-\varepsilon/2>0$，故有共同上谱界 $S_\varepsilon<\frac34I$。另一方面 $\lambda_{\min}(S_\varepsilon)\le\langle e_0,S_\varepsilon e_0\rangle=\varepsilon$，不存在共同正的下谱界。

直接计算
$$
A=\varepsilon,\qquad W(2h)=\varepsilon^2+\varepsilon/4,
\qquad\mathcal T=\log(1/\varepsilon),
$$
$$
R(2)
=1+\frac{\log(1/(\varepsilon+1/4))}{\log(1/\varepsilon)}
\longrightarrow1.
$$
所以即使共同 $b<1$ 保留、校准分母还趋于无穷，$\delta\to0$ 也不保证钟偏差消失；倍时短缺趋于其可能范围的上端 $1$。

**命题 44.19（固定源谱下界不控制归一分母）。** 取
$$
S_\varepsilon=
\begin{pmatrix}
1-\varepsilon&\sqrt\varepsilon/2\\
\sqrt\varepsilon/2&1/2
\end{pmatrix}.
$$
$S_\varepsilon-\frac14I$ 的对角元正、行列式为 $3/16-\varepsilon/2>0$；$I-S_\varepsilon$ 的对角元正、行列式为 $\varepsilon/4>0$。所以
$$
\frac14I<S_\varepsilon<I.
$$
共同正谱下界保留，但由 $\lambda_{\max}(S_\varepsilon)\ge1-\varepsilon$，不存在共同 $b<1$。此时
$$
A=1-\varepsilon,\quad
W(2h)=(1-\varepsilon)^2+\varepsilon/4
=1-\tfrac74\varepsilon+\varepsilon^2,
$$
$$
\mathcal T=\tau=-\log(1-\varepsilon)\longrightarrow0,
\qquad
R(2)\longrightarrow\frac74.
$$
这里 $-\log W(2h)=\tfrac74\varepsilon+O(\varepsilon^2)$、$\mathcal T=\varepsilon+O(\varepsilon^2)$，故极限明确。小残差仍留下 $1/4$ 的归一倍时偏差。

这两个模型都可按第44.7节的二维模型取 $B=F,t_0=0,k=0,C=-h^{-1}\log S_\varepsilon$，得到非零耦合、二维有效循环空间中的实际未饱和来源。因此反例不依赖附加不可见直和，也不与 Context40 的精确饱和判据冲突。

准确边界是：共同 $b<1$ 可以由实际 $\tau$ 的共同正下界替代，但在不另加任何分母控制时没有该统一稳定保证；正谱下界也不能仅由小 $\delta$ 推出。这是允许来源族中的统一估计反例，不是已经构造了两个完整档案相同的世界。若 $C_{\rm archive}$ 中还有区分这些来源的外部记录或时间戳，必须保留；完整观察者的 minimax 不可识别结论需要另证共同档案与联合误差相容性。

**命题 44.20（固定压缩地板仍不认证真实源地板）。** 对 $F=(1,0)$ 和 $0<\varepsilon<1/4$，取
$$S_\varepsilon=\begin{pmatrix}1/2&\varepsilon\\\varepsilon&3\varepsilon^2\end{pmatrix}.$$
对角元正且 $\det S_\varepsilon=\varepsilon^2/2>0$；$3I/4-S_\varepsilon$ 的对角元正、行列式为 $3/16-7\varepsilon^2/4>0$。二阶 Sylvester 判据给 $0<S_\varepsilon<3I/4$。但 $A=1/2$ 固定、$\delta=\varepsilon^2$，且 Rayleigh 商给 $\lambda_{\min}(S_\varepsilon)\le3\varepsilon^2\to0$。$e_1,S_\varepsilon e_1$ 的行列式为 $\varepsilon$，非零耦合产生二维循环空间。以 $B=F,t_0=0,k=0,C=-h^{-1}\log S_\varepsilon$ 实现它，不需附加不可见块。故测得 $A$ 的固定正地板和小残差不能替代独立的有效 $S$ 下界。证毕。

### 44.9 同支撑、同联合事件上的测量证书

**命题 44.21（真实残差及正锚分母的确定性包络）。** 在已知实际非零支撑 $E$、$m=\dim E$ 上，令 $A=W(h)$、$W_2=W(2h)$。假设同支撑 Hermitian 估计在一个声明的联合误差事件上同时满足
$$\|\widetilde A-A\|\le e_1,\qquad\|\widetilde W_2-W_2\|\le e_2.$$
置
$$\widetilde\Delta=\widetilde W_2-\widetilde A^2,\quad
\widetilde\delta=\|\widetilde\Delta\|,\quad
q_\Delta=e_2+(2b+e_1)e_1.$$
则
$$\boxed{\max\{0,\widetilde\delta-q_\Delta\}\le\delta
\le\overline\delta:=\widetilde\delta+q_\Delta.}$$
证明。无交换性假设也有
$$A^2-\widetilde A^2=A(A-\widetilde A)+(A-\widetilde A)\widetilde A.$$
$\|A\|\le b$、$\|\widetilde A\|\le b+e_1$，故平方差范数至多 $(2b+e_1)e_1$。加 $W_2$ 的误差给 $\|\Delta-\widetilde\Delta\|\le q_\Delta$，再用范数反三角不等式及 $\delta\ge0$。不要求 $\widetilde\Delta$ 半正定。任何独立认证的 $\|A\|$ 上界可替换 $b$；实际正收缩允许安全值 $1$。它是依赖矩阵误差证书的真实残差上下界，不认证支撑或带噪饱和。

若 $\widetilde A>0$ 且有实际 Frobenius 对数误差
$$\|\log A-\log\widetilde A\|_F\le D_1,\qquad
\widetilde\tau=\operatorname{tr}(-\log\widetilde A)/m,$$
则 $|\operatorname{tr}X|=|\langle I,X\rangle_F|\le\sqrt m\|X\|_F$ 给
$$|\tau-\widetilde\tau|\le D_1/\sqrt m.$$
要求一个真实正下界 $\underline\tau>0$，例如正数 $\widetilde\tau-D_1/\sqrt m$；若独立认证共同 $b<1$，也可取
$$\underline\tau=\max\{-\log b,\widetilde\tau-D_1/\sqrt m\}>0.$$
计算测量比值还须另有 $\widetilde\tau>0$。配合独立实际有效源证书 $S\succeq\underline aI>0$，定义
$$\boxed{K_{\rm err}=\frac{\overline\delta}{2\underline a^2\underline\tau}.}$$
它控制定理44.11的真实系数 $\delta/(2\underline a^2\tau)$。$K_{\rm err}$ 不是源核 $K$ 或历史阶数 $k$。若无法取得这些正裕量，结论仍是未履行前提的条件结论，数值阈值不能补上证书。所有复用的基准误差属于同一联合事件，未假设独立。证毕。

**定理 44.22（允许零事件与高于单位估计的直接比值界）。** 独立声明真实 $r=t/h\in[0,2]$，令 $W=W(t)$、$\widetilde W$ 为同一实际支撑上的正估计。给实际误差
$$\|\log W-\log\widetilde W\|_F\le D_e,\qquad
\|\log A-\log\widetilde A\|_F\le D_1,$$
且 $\widetilde\tau>0$、$\tau\ge\underline\tau>0$。定义
$$N=\operatorname{tr}(-\log W),\quad
\widetilde N=\operatorname{tr}(-\log\widetilde W),\quad
q=\widetilde N/(m\widetilde\tau).$$
则
$$\boxed{|R(r)-q|\le\eta:=\frac{D_e+|q|D_1}{\sqrt m\,\underline\tau}.}$$
证明。直接相减而不预设事件的上谱界，
$$R(r)-q=\frac{N-\widetilde N}{m\tau}
 +\frac{\widetilde N(\widetilde\tau-\tau)}{m\tau\widetilde\tau}.$$
分别用 $|N-\widetilde N|\le\sqrt m D_e$ 和命题44.21的锚迹误差即得。若正的 $\widetilde W$ 有谱值大于一，$q$ 可以为负，故保留 $|q|$，证明仍成立。

实际正下界可以提供对数误差的一个有效选择。若 $W,\widetilde W\succeq u_eI>0$，逆差恒等式给
$$(\widetilde W+vI)^{-1}-(W+vI)^{-1}
=(\widetilde W+vI)^{-1}(W-\widetilde W)(W+vI)^{-1}.$$
用 $\|XYZ\|_F\le\|X\|\|Y\|_F\|Z\|$ 和对数积分，得到
$$\|\log W-\log\widetilde W\|_F
\le\|W-\widetilde W\|_F\int_0^\infty(u_e+v)^{-2}dv
=\|W-\widetilde W\|_F/u_e.$$
因此可选 $D_e=\|W-\widetilde W\|_F/u_e$；并非要求任一预先给定的误差上界 $D_e$ 反而小于这个值。锚矩阵有自己的正下界时同理供应 $D_1$。

$r=0$ 时 $W=I$，故上述证明覆盖零事件。若零事件块恰复用同一个实测基准及相同白化，则数学上 $\widetilde W=\widetilde M^{-1/2}\widetilde M\widetilde M^{-1/2}=I$、$q=0$；独立重复测量不继承该等式，数值计算的舍入若存在也须纳入误差。证毕。

本卷定理40.8仍是正事件统计量的一条供应途径，其实际假设包括同一非零支撑、基准 Gram 裕量和事件／锚共同的严格上界 $v<1$。零事件 $W=I$ 不满足后者，$r\downarrow0$ 时也没有共同严格事件上界。该供应的命名常数 $d_P=\delta_0/\gamma$ 不因实际支撑投影差为零而被改写为零。本节从已经合法给定的白化矩阵误差或对数误差出发；若改用原始白化误差，须履行定理40.8相应步骤的实际假设。不据此宣布新的原始数据、支撑、置信概率或样本保证。

### 44.10 严格单调、分支保持与有限事件区间

**定理 44.23（带测量误差的事件集合）。** 在同一实际 $F,S$ 下，对 $0\le r<s$，每个源特征值 $\lambda\in(0,1)$ 满足 $\lambda^r-\lambda^s>0$。故 $S^r-S^s\succ0$；$F^*$ 单射使 $W(rh)-W(sh)\succ0$。若 $X\succ Y\succ0$，$Y^{-1/2}XY^{-1/2}\succ I$ 的特征值全大于一，因而 $\det X>\det Y$。应用于这两个响应得到 $R(r)<R(s)$。所以 $R(0)=0,R(1)=1$ 和 $1<R(2)\le2$ 区分锚点两侧；单独的分数幂符号不足以得此严格分支信息。

使用命题44.21的 $K_{\rm err}$ 和定理44.22的 $q,\eta$，令
$$L=\max(0,q-\eta),\qquad U=\min(2,q+\eta).$$
若 $L>U$，测量与证书不能同时满足所声明合同。否则真实 $r$ 属于 $I_-\cup I_0\cup I_+$，其中空区间删除，且
$$I_-=
\begin{cases}
[\max(0,L-K_{\rm err}/4),\min(1,U)]\cap[0,1),&L<1,\\
\varnothing,&L\ge1,
\end{cases}$$
$$I_0=\begin{cases}\{1\},&L\le1\le U,\\\varnothing,&\text{否则},\end{cases}$$
$$I_+=
\begin{cases}
[\max(1,L),\min(2,U+2K_{\rm err})]\cap(1,2],&U>1,\\
\varnothing,&U\le1.
\end{cases}$$
证明。真实 $R(r)\in[0,2]\cap[q-\eta,q+\eta]=[L,U]$。在 $0\le r<1$，定理44.11给 $0\le R-r\le K_{\rm err}r(1-r)\le K_{\rm err}/4$，所以 $R-K_{\rm err}/4\le r\le R$；并且严格单调迫使 $R<1$，故必须 $L<1$。在 $1<r\le2$，$0\le r-R\le K_{\rm err}r(r-1)\le2K_{\rm err}$，于是 $R\le r\le R+2K_{\rm err}$，且 $R>1$ 迫使 $U>1$。与真实区间和对应严格分支相交恰给上述两项，$r=1$ 时 $R=1$ 给中项。

因此 $q+\eta<1$ 排除 $r\ge1$，$q-\eta>1$ 排除 $r\le1$。等号只给对应非严格侧，跨越一时保留并集。未反演可能非单调的二次包络，公式对每个 $K_{\rm err}\ge0$ 都有效。把集合乘以实际已校准的 $h$ 即包围 $t$；三角不等式及 $\max_{[0,2]}r|r-1|=2$ 还给
$$\boxed{|hq-t|\le h\eta+2hK_{\rm err}.}$$
源谱下界、固定真实支撑、$h$ 的校准和事件范围仍是独立前提，比值不能认证自己的范围或产生未观测事件。证毕。

### 44.11 实际取得、时间校准和完整观察者

**推论 44.24（同一接口的取得与时间误差）。** 若 $h$ 已有数值校准，并且事件的实际经过间隔已知属于 $0\le t\le2h$，定义
$$
\widehat t
=h\,\frac{\operatorname{tr}(-\log W(t))}{\operatorname{tr}(-\log W(h))}.
$$
则
$$
\boxed{
|\widehat t-t|
\le\frac{h\delta}{2a^2\tau}
\frac th\left|\frac th-1\right|
\le\frac{h\delta}{a^2\tau}.
}
$$
最后一步用 $\max_{0\le r\le2}r|r-1|=2$。若只有可重复的延迟单位而没有绝对校准，得到的是 $t/h$ 的误差界，不自动得到绝对物理单位。若已有共同有效谱下界证书 $a\ge\underline a>0$、真实校准量下界 $\tau\ge\underline\tau>0$ 与真实缺陷上界 $\delta\le\overline\delta$，可把统一界写成 $h\overline\delta/(\underline a^2\underline\tau)$；这些证书的实际取得仍是独立义务。

$W(t)$ 在此是实际事件块的白化响应；定义式中的未知 $t$ 描述该事件的真实间隔，并不要求先知道 $t$ 才能从已取得矩阵计算比值。然而，$[0,2h]$ 的范围条件和 $h$ 的实际加性校准不能由这个比值反向无条件认证。超过此区间、未知尾部、任意未知非线性钟函数或任意准备原点，不由本估计自动恢复。

Context40 命题40.17的矩阵取得计数保持不变。对阶 $k$，基准、一步和倍时三块
$$
\mathsf H_k(t_0),\quad\mathsf H_k(t_0+h),\quad\mathsf H_k(t_0+2h)
$$
需要实际前缀 $K(t_0+jh)$、$0\le j\le2k+2$，即 $2k+3$ 个不同时间的响应矩阵；它与下一 Gram 块的诊断没有取得优势。一般事件块 $\mathsf H_k(t_0+t)$ 还要求从该实际事件起至 $t_0+t+2kh$ 的 $2k+1$ 个响应矩阵，除非它们已经合法取得。分数幂公式不能将没有取得的非整数时刻响应直接当作已知数据。

取得的必须是同一实际核 $Be^{-tC}B^*$：指定输入方向、伴随准备、输出内积、来源与参考、共同年龄、增益和延迟一致。未知自由轨迹 $Be^{-tC}x_0$ 不自动供应这个完整核；重复准备、测量扰动及定时等价按 Context40 假设40.18另证。相同局部数字标签不保证真实加性延迟，$F_{(t_0)}$ 这个证明因子也不授权新的实际准备。

本节的误差是同一实际模型中压缩响应相对于幂半群的偏差，不是测量误差。$\delta$ 使用真实 $W(2h)-W(h)^2$ 或其已认证上界；真实 $\tau$ 可由精确基准及锚数据计算，而经验估计仍需真实正下界。不得把带噪矩阵的近零残差、拟合的一致性或阈值秩当成精确饱和。需要叠加数据误差时，Context40 定理40.8只在其同一实际支撑、Gram、对数及锚裕量条件下供应统计量稳定性；第40.6节要求所有重复条目保留同一个联合误差事件，不擅自宣布独立。支撑变化、置信概率和样本预算不由本节供应。

完整档案 $C_{\rm archive}$ 始终保留。固定 $t_0,k$ 的矩阵比值只是一个任务读数，不是整个观察者的新定义；档案扩展导致接口或历史阶数改变时，要另证跨接口运输。存储、输入方向、矩阵与标量读取、重复准备、等待、来源和校准认证、数值精度及计算成本仍分别计账。

### 44.12 固定供应者与推导的归属边界

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| 44.12供应 | 实际使用和不迁移的结论 |
|---|---|
| 44.12a `D5/S3/Observer/Approximation/IntertwiningDefectPropagation.lean`，`intertwining_defect_telescope`、`uniform_norm_intertwining_defect_le` | 一般交织展开及 $nb^{n-1}\sqrt\delta$ 单侧算子范数界；没有直接供应本节两次跨越的二次泄漏。 |
| 44.12b 本卷定义40.1、引理40.2，7183、7211；定理40.3、40.4，7240、7258 | 完整已获档案、实际有限实正伴随来源、Gram 因子化、共同支撑、有效循环空间和真实饱和后精确相对间隔；不以拟合存在认证来源。 |
| 44.12c 本卷命题40.6、推论40.7，7326、7375 | 移位投影、倍时残差平方、实际生成历史的零缺陷当且仅当饱和、严格迹对数诊断。一般余等距与实际循环模型的等号前提不同。 |
| 44.12d 恢复卷定理13.4，2340，式(13.10)及2370起证明 | 残差平方的精确代入：该供应历史阶数零，隐藏空间 $\mathcal R$，边界 $E_k$，$J=V=F_{(t_0)}^*$，Gram 为 $I$；不移入初态 minimax 或新准备许可。 |
| 44.12e 主卷定理137.13，52697、尤其52732任一实际实现证明 | 在阶数一、三个实际矩 $I,A,W(2h)$ 上，Schur 合同与真实平坦给不变性；抽象可行数组不是实际延迟历史。 |
| 44.12f 恢复卷命题10.6，1545 | 正自伴采样算子的唯一实自伴对数，及有限压缩前缀不等于整个算子的边界；用有效循环跨度接回饱和。 |
| 44.12g 主卷定理128.5在第128.4节的证明，48674、48691 | 半正定增量行列式为 $\prod_i(1+\lambda_i)$、等于一恰当增量零；不移入 Gaussian、熵或互信息解释。 |
| 44.12h 恢复卷11.1—11.4，1590起 | 既有 Krylov／多项式响应逼近及共同谱下的全时间保证；本节是指定压缩 $A=FSF^*$ 的残差消费者。 |
| 44.12i 恢复卷式(12.7)、定理12.3，1965起、2003及2048起对数步骤 | 双特征基函数差、生成元、Duhamel 与长期扰动；原界为 Frobenius 范数。本节算子范数对数界由 resolvent 另证。 |
| 44.12j 恢复卷定理12.4，2074 | 额外真实 Gram／投影裕量下的秩与正交对齐，不能由 $\delta$ 小替代。 |
| 44.12k 主卷命题137.15、137.17、137.18，52765、52802、52814 | 精确秩不连续、弱输入不足和无共同衰减的全时间障碍；本节反例各针对所显示的目标。 |
| 44.12l 本卷定理12.6，1441 | 连续交织 Duhamel 方法的量子通道／diamond 范数版本，不是本节算子范数结论。 |
| 44.12m 本卷定理40.8，7401；命题40.17、假设40.18、约定40.19，7653起 | 共同支撑及指定 Gram、对数和锚裕量下的正事件统计、实际矩阵计数、来源校准、共享联合误差与费用。本节直接比值证明另覆盖零事件。 |
| 44.12n 恢复卷第29节，5564起 | 给定初始化和速度条件下的静态 Schur 补轨迹比较；其生成元不是 $G=-h^{-1}\log(FSF^*)$。 |
| 44.12o [PROOF_TOPOLOGY_DIAGONAL_ESCAPE_THEORY.md](PROOF_TOPOLOGY_DIAGONAL_ESCAPE_THEORY.md)，PM6、PM7，2999、3030 | 形式级数响应／记忆反演和有限前缀运输；对象、拓扑及收敛条件不同，不供应谱分数幂。 |

`D5/S3/Observer/BlockStructure/UniformResolventRemainder.lean` 的 `inverse_control_of_lower_bound` 对有限指标实对称 $M\succeq cI,c>0$ 给可逆及真实 Euclidean 算子范数 $\|M^{-1}\|\le c^{-1}$；它不直接覆盖复压缩。`perturbed_lower_bound`、`inverse_bounds` 要求 $M\succeq2I$、实对称 $E$、$\|E\|\le1$，给 $M+E\succeq I$ 和两逆范数界。`remainder_bound` 在这些条件下给
$$\|M^{-1}EM^{-1}E(M+E)^{-1}\|\le\|E\|^2/4.$$
该五因子估计不包含余等距压缩、首阶消去、压缩余项正性或 Beta 常数。

Mathlib 使用 `lake-manifest.json` 钉定的 `db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d`。路径 `Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ContinuousFunctionalCalculus/Rpow/IntegralRepresentation.lean` 的 `CFC.exists_measure_nnrpow_eq_integral_cfcₙ_rpowIntegrand₀₁`（481）与 `CFC.exists_measure_nnrpow_eq_integral_cfcₙ_rpowIntegrand₁₂`（525），分别在 $0<p<1$ 和 $1<p<2$ 的相应完备有序实非幺连续函数演算接口中，存在量化一个测度并给表示及可积性。公开陈述不直接给本节的正弦归一化，其内部由正标量积分的倒数构造常数。`Order.lean` 的 `CFC.concaveOn_rpow`（150）对 $p\in[0,1]$ 给有序 star-ordered C* 代数上凸组合的算子凹性，仍需有限矩形压缩桥和函数演算运输；该版本未提供 $(1,2)$ 段算子凸性声明，积分表示不冒充该声明。实 CFC 标量域也不自动解决具体实／复矩阵接口的全部实例条件。

本节把上述既有来源的适用关系与完整积分推导连接起来，供应者与例子的作用范围仅限所列数学条件；它们不扩大本节结论。其未解决范围包括实际源谱地板、真实共同支撑和精度的实验认证，变化接口的运输，带噪精确饱和、隐藏态恢复、完整档案上的 minimax 不可识别、置信概率和样本预算；这些都未由所列条件定理消除。未知非线性钟、无参考准备原点、未取得事件、无限时间精确时钟或物理时空身份也不由本节推出。

## 44.99 追加锚

## 45. 固定量子装置的来源判据、完成距离与有符号档案恢复

同一固定装置的完整第一层联合读数可以强制唯一线性来源候选，但它是否为正的归一密度、是否属于合法来源类，以及是否生成指定全部后续层，是必须履行的不同条件。本节把这些判据、任意目标的完成距离和同一相干档案的有符号恢复代价接在同一个观察者与实验合同上，分别处理精确见证、闭包逼近、达到的最小距离和实际估计。

### 45.1 固定装置、完整观察者与相容完成

令 $M=B=\mathbb C^2$，固定各自计算基、相位及装置
$$
\alpha=\frac{\sqrt5-1}{2},\qquad \alpha+\alpha^2=1,
$$
$$
m_0=\sqrt\alpha\,|0\rangle+\alpha|1\rangle,
\qquad m_1=|0\rangle,
\qquad T|j\rangle=|j\rangle\otimes m_j.
$$
这里 Q 指[量子上下文卷](CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_QUANTUM.md)，恢复卷指[边界恢复与原子代价几何](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_RECOVERY_GEOMETRY.md)。装置及全输入等距由 Q130.1、Q131.1和本卷定义41.1供应：两基像的范数为一，输出基标签使它们正交，所以 $T^*T=I_M$。记
$$
H_n=B^{\otimes n},\quad H_0=\mathbb C,\quad
T_0=I_M,\quad T_{n+1}=(I_{H_n}\otimes T)T_n,
$$
$$
\Gamma_n(X)=\operatorname{Tr}_M(T_nXT_n^*),
\qquad\Gamma_0(X)=\operatorname{Tr}X.
$$
输出寄存器依次编号 $1,2,\ldots$，这是对 Q130 零下标词的索引平移。所有张量积依次排列为外部参考、已发出输出、活动记忆。

固定参考空间 $J$，$1\le\dim J<\infty$，并固定来源类
$$
\Theta\subseteq\mathcal D(J\otimes M),
$$
它在精确来源问题中可以为空、非闭、非紧或非凸；距离下确界、极小值与一致收敛分别在对应小节明列所需条件。合法准备、已取得的联合记录、参考关系及其他约束共同决定这一个 $\Theta$；不能在不同深度换来源类。一个 $\theta\in\Theta$ 承担整条输出历史。先在整个输入算子空间定义线性通道
$$
q_n(X)=(\operatorname{id}_J\otimes\Gamma_n)(X)
\quad\bigl(X\in\mathcal L(J\otimes M)\bigr),
\qquad q_0(X)=\operatorname{Tr}_M X,
$$
再将它限制到来源密度 $\theta\in\Theta$。
任意初态在 $J,M$ 之间可以纠缠，不预设独立根态。每一步必须使用与当时全部系统独立的纯空白 $|0\rangle\langle0|$ 及同一个 Q130 幺正装置，已发出端口不再参与生成；生成中不以反馈、重置或其它介入改变装置、空白准备或活动记忆。Q130 的基像恒等式在整个输入空间上成立，因而可张量上 $I_J$。有限维等距及偏迹给每个 $q_n$ 连续、CPTP，并且
$$
\operatorname{Tr}_{B_{n+1}}q_{n+1}(\theta)=q_n(\theta).
$$

一个待检目标是固定的相容密度族
$$
\xi_n\in\mathcal D(J\otimes H_n),\qquad
\operatorname{Tr}_{B_{n+1}}\xi_{n+1}=\xi_n\quad(n\ge0).
$$
它可以在装置的来源像以外。相容只保证这些有限密度属于同一个输出态，不保证该固定装置能产生它。所有层必须来自这一个目标；不能每次优化后换成不同的目标延拓。半迹距离统一记为
$$
D(\rho,\sigma)=\frac12\|\rho-\sigma\|_1.
$$

用 $C_{\rm archive}$ 表示完整已获观察者档案。$J$ 只承载本有限量子模型明确表示的已保留参考与记录，不自动穷尽整个 $C_{\rm archive}$。来源类须保留实际准备、来源身份、装置和校准、旧内外记录、已知联合关系、时间戳、各局部钟读数及其共同约束、合法动作及顺序、失败、停止和误差合同。这些合同沿用本卷定义36.4、定义41.1与假设41.5；动作的合法先后不推出统计独立。当某项结论另外要求来源类非空且紧时，这两项是实质前提：例如一个非空紧允许参数集经过连续的实际联合准备映射，才由连续像保证这两点；严格不等式、精确秩条件或成功概率趋零的后选择未必给闭类。一个纯数学来源见证不自动授权实际准备；紧性也不供应操作成本。更大经典档案若需逐纤维讨论，必须另有同一实际联合 cq 模型、保留的共同档案律及可测正则条件核；本节不由有限 $J$ 推出任意无限量子参考结论。

**相容完成与紧来源像。**

置
$$
\mathcal A_n^J=\mathcal L(J\otimes H_n),\qquad
\iota_n(A)=A\otimes I_B,
\qquad
\mathcal A^J=\overline{\bigcup_n\mathcal A_n^J}^{\|\cdot\|}.
$$
有限左因子 $J$ 始终保留。每个嵌入为等距幺星同态，$\mathcal A^J$ 是 $\mathcal L(J)$ 与单侧 qubit UHF 代数的空间张量积。本卷定理41.4的式（41.34）、（41.40）—（41.42）已经在这座固定左因子塔上给出态延拓和局部／完成范数的证明，沿用 Q125.2与恢复卷命题31.9的方法。以下只核对该证明用于任意相容目标所需的前提；延拓与范数比较本身不使用目标具有实际来源见证，也不使用恢复尾界。

在局部代数上定义
$$
\xi(A)=\operatorname{Tr}(\xi_n A),\qquad
\omega_\theta(A)=\operatorname{Tr}(q_n(\theta)A)
\quad(A\in\mathcal A_n^J).
$$
偏迹相容使定义与所选层无关。局部正元取值非负，单位取值为一，且绝对值不超过 $\|A\|$。因此两者唯一连续延拓到 $\mathcal A^J$。若 $B_k$ 为局部元素且 $B_k\to B$，则 $B_k^*B_k\to B^*B$，在这些平方上取极限给延拓的正性；每个正元是其正平方根的平方。故延拓确实为态。以后同一个符号 $\xi$ 也表示这个完成态。

对完成态定义
$$
\mathsf d_\infty(\xi,\zeta)
=\frac12\|\xi-\zeta\|_{(\mathcal A^J)^*}.
$$
这是泛函范数的一半所定义的度量，不是在另行选择的无限 Hilbert 表示中断言存在全局迹类密度。Q125.4 的表示边界仍保留。

对任意两个相容态族，有限维迹／算子范数对偶及局部稠密性给
$$
\boxed{
\mathsf d_\infty(\xi,\zeta)
=\sup_{n\ge0}D(\xi_n,\zeta_n).
}
\tag{45.1}
$$
为核对从实际来源对到任意相容态对的适用条件，记 $\ell=\xi-\zeta$。在有限层，密度差是自伴矩阵 $X_n=\xi_n-\zeta_n$；由迹范数对偶，
$$
\|\ell|_{\mathcal A_n^J}\|=\|X_n\|_1=2D(\xi_n,\zeta_n).
$$
上界是 $|\operatorname{Tr}(X_nA)|\le\|X_n\|_1\|A\|$，等号可由 $X_n$ 的谱符号算子取得，零特征空间任取范数不超过一的值。所以整个泛函范数不小于这些限制范数的上确界。

反向，取完成代数中 $\|A\|\le1$，用局部 $B_k\to A$ 逼近，并置
$$
C_k=\frac{B_k}{\max(1,\|B_k\|)}.
$$
每个 $C_k$ 为局部单位球元素；由 $\|B_k\|\to\|A\|\le1$ 得 $C_k\to A$。因而
$$
|\ell(A)|=\lim_k|\ell(C_k)|
\le\sup_n\|\ell|_{\mathcal A_n^J}\|.
$$
对完成单位球取上确界得到另一方向，证明（45.1）。这里直接使用本卷定理41.4已有的局部单位球证明及恢复卷31.9的方法，保留因子二；上述检查说明证明所需的是相容密度和局部稠密性，不能只将其原陈述的实际来源量词改名。

有限维通道收缩还给
$$
D(q_n(\theta),q_n(\theta'))\le D(\theta,\theta').
$$
因此由（45.1），
$$
\boxed{
\mathsf d_\infty(\omega_\theta,\omega_{\theta'})
\le D(\theta,\theta').
}
\tag{45.2}
$$
上面的收缩推导不要求单射，也不使用恢复尾界。在本装置的实际来源对上，本卷式（41.35）还直接给出更精确的既有结论
$$
\boxed{\mathsf d_\infty(\omega_\theta,\omega_\vartheta)
=D(\theta,\vartheta)
\quad\bigl(\theta,\vartheta\in\mathcal D(J\otimes M)\bigr).}
\tag{45.3}
$$
这是实际来源像上的等距性，不把任意相容目标断言为来源输出。来源像记为
$$
\mathcal S_\Theta=\{\omega_\theta:\theta\in\Theta\}
$$
若 $\Theta$ 非空紧，则 $\mathcal S_\Theta$ 在完成距离中非空紧，特别地闭。这里由连续像即可得到紧性，式（45.3）还给精确等距识别；输出字母表有限本身不供应来源类的非空性或紧性。

全篇使用 $D=\|\rho-\sigma\|_1/2$、根保真度 $F(\rho,\sigma)=\|\sqrt\rho\sqrt\sigma\|_1$，以及完整 diamond 范数；半 diamond 距离另写为完整范数的一半。完整联合密度是数学输入律，或须另有误差合同的层析数据，不是一份单次测量结果。参数逆的矩阵读数、合法来源身份、可执行状态恢复及重复实验中的估计是不同任务。

档案恢复原子的类型固定为 $\mathcal L(H_n)\to\mathcal L(M)$，只作用于已发出且仍相干的档案，不读取惰性 $J$ 或最终活动记忆。若终端目标涉及 $J$，还须实际允许同一个联合测试；这不扩大解码器的访问类型。生成期反馈、独立空白、相干档案与额外记录均按上述完整合同判定，不能删除已记录的混合标签来改变来源问题。

### 45.2 一步线性逆与完整联合正像

本卷式（41.45）及 Q131.1供应一步全算子通道；恢复卷定义30.11、定理30.12供应一般相位阻尼逆。下面核对这个既有逆用于本装置、完整复算子和有限参考的条件。

首先以一般已知参数 $0<c\le1$ 写

$$
\mathcal D_c(X)=
\begin{pmatrix}X_{00}&cX_{01}\\cX_{10}&X_{11}\end{pmatrix}.
$$

本装置有 $\Gamma_1=\mathcal D_c$，其中 $c=\sqrt\alpha$。令

$$
Z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\qquad
a=\frac{1+c}{2c},\qquad b=\frac{1-c}{2c},
$$
$$
L_c=a\,\operatorname{id}-b\,\operatorname{Ad}_Z,
\qquad\operatorname{Ad}_Z(X)=ZXZ.
$$

因为 $a-b=1$、$a+b=c^{-1}$，$L_c$ 保持对角元并将非对角元除以 $c$。逐矩阵单位比较给

$$
L_c\mathcal D_c=\mathcal D_c L_c=\operatorname{id}_{\mathcal L(\mathbb C^2)}.
\tag{45.4}
$$

这是全部复算子上的等式，因而也可张量任意有限参考恒等映射。不仅是对角概率或某一个来源上的等式。

对全部 $Y\in\mathcal L(J\otimes\mathbb C^2)$，恒等与酉共轭保持迹范数，三角不等式给

$$
\|(\operatorname{id}_J\otimes L_c)(Y)\|_1
\le(a+b)\|Y\|_1=c^{-1}\|Y\|_1.
\tag{45.5}
$$

记 $\rho_\pm=|\pm\rangle\langle\pm|$。$L_c(\rho_+)$ 的矩阵为

$$
\frac12\begin{pmatrix}1&c^{-1}\\c^{-1}&1\end{pmatrix},
$$

特征值为 $(1\pm c^{-1})/2$，迹范数恰为 $c^{-1}$。它是计算线性算子范数的合法测试，不是声称 $\rho_+$ 已属于阻尼后的实际像。结合所有有限参考上的上界，得到完整范数

$$
\boxed{\|L_c\|_\diamond=c^{-1}.}
\tag{45.6}
$$

即使只比较真实像中的态对，该放大常数也不能改小：

$$
D(\mathcal D_c\rho_+,\mathcal D_c\rho_-)=c,
\qquad D(\rho_+,\rho_-)=1.
\tag{45.7}
$$

共同张量任意独立密度 $\tau_J$ 不改变这些迹范数。因此在任意固定有限参考类型中都可实现相同尖锐比值；若要实际开展这一尖锐性实验，仍需允许对应的共同相位准备。

这些公式直接应用恢复卷定义30.11、定理30.12 的逆表示。$c=1$ 为恒等；$c=0$ 丢失非对角方向而没有线性逆，不在结论范围内。

**含奇异块的联合像。** 以下对固定装置取 $c=\sqrt\alpha$，以 $L_c$ 作用于第一层。

给定 $\xi_1\in\mathcal D(J\otimes B)$，按 qubit 基将 $J\otimes B$ 识别为 $J\oplus J$。本小节的 $B_{01}$ 表示交叉块，与输出空间 $B$ 区分：

$$
\xi_1=
\begin{pmatrix}A&B_{01}\\B_{01}^*&D\end{pmatrix},
\qquad
\theta_{\rm cand}=(\operatorname{id}_J\otimes L_c)(\xi_1)
=\begin{pmatrix}A&B_{01}/c\\B_{01}^*/c&D\end{pmatrix}.
\tag{45.8}
$$

由 $\xi_1$ 为密度，$A,D\succeq0$、$\operatorname{Tr}(A+D)=1$。候选自动自伴、迹一，且其 $J$ 边缘仍为 $A+D$。由（45.4）与唯一性，

$$
\boxed{
\xi_1\in q_1[\mathcal D(J\otimes M)]
\iff\theta_{\rm cand}\succeq0.
}
\tag{45.9}
$$

令 $A^\dagger$ 为有限维 Moore–Penrose 逆：若 $A=\sum_{a>0}aP_a$ 是正特征值的谱分解，则 $A^\dagger=\sum_{a>0}a^{-1}P_a$，在 $\ker A$ 上为零；$AA^\dagger=\sum_{a>0}P_a$ 是 $\operatorname{ran}A$ 的正交投影，$A^{\dagger/2}=(A^\dagger)^{1/2}$。无需假设 $A$ 可逆，（45.9）的正性等价于

$$
\boxed{
(I-AA^\dagger)B_{01}=0,
\qquad D-c^{-2}B_{01}^*A^\dagger B_{01}\succeq0.
}
\tag{45.10}
$$

所用方法已有明确归属：恢复卷定理13.2、式（13.5）使用实空间中标量下块的奇异 Schur 补；定理15.4、式（15.10）—（15.11）处理有限实矩形块及奇异余量的收缩因子化；Q13.3的证明使用复矩阵中两对角块相同的情形，Q 第13.8节注明其一般方法来源。这里需要的是任意有限参考下、两个正对角块可不同且可奇异的复矩阵判据，不能将上述受限陈述只改名后直接使用。该一般因子化见 Watrous 的 Lemma 3.18，以及其完全有界范数论文 §2.1、Lemma 2；Moslehian、Kian、Xu 的 Theorem 5.11也给正算子块的收缩表述。[^rro_signedsource_blocks] 以下保留本像检验的范围条件、合同变换及正性证明，不另建一般块矩阵理论。

若候选正，对 $u\in\ker A$ 及任意 $v$，在向量 $(u,tv)$ 上的二次型是一个常数项为零的二次多项式。对任意小的正负实 $t$，并在需要时将 $u$ 乘相位，都要求非负，迫使 $u^*B_{01}v=0$。所以 $\operatorname{ran}B_{01}\subseteq\operatorname{ran}A$，即第一个条件。在此条件下有

$$
\theta_{\rm cand}=
\begin{pmatrix}I&0\\B_{01}^*A^\dagger/c&I\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}A&0\\0&D-c^{-2}B_{01}^*A^\dagger B_{01}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}I&A^\dagger B_{01}/c\\0&I\end{pmatrix}.
\tag{45.11}
$$

两侧三角矩阵可逆且互为伴随，故候选正性等价于中间矩阵正性。这同时证明必要性与充分性，包括 $A=0$ 时必须 $B_{01}=0$ 的端点。

另一等价表达为

$$
B_{01}=cA^{1/2}KD^{1/2}
\quad\text{存在算子 }K\text{ 满足 }\|K\|\le1.
\tag{45.12}
$$

为从（45.10）得到它，置 $F=B_{01}/c$、$U=A^{\dagger/2}F$。有 $U^*U\preceq D$，从而 $U$ 消去 $\ker D$。取 $K=UD^{\dagger/2}$，则 $K^*K\preceq\operatorname{supp}D\preceq I$，且 $A^{1/2}KD^{1/2}=F$。反向若（45.12）成立，则

$$
\theta_{\rm cand}=
\begin{pmatrix}A^{1/2}&0\\0&D^{1/2}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}I&K\\K^*&I\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}A^{1/2}&0\\0&D^{1/2}\end{pmatrix}\succeq0;
$$

中间矩阵正性由 $I-K^*K\succeq0$ 的普通 Schur 分解得到。

当 $J=\mathbb C$ 时，（45.10）等价于 $|B_{01}|^2\le c^2AD$；用 Bloch 向量就是恢复卷式（30.35）的实际椭球

$$
\frac{r_x^2+r_y^2}{c^2}+r_z^2\le1.
$$

具体地，标量情形 $A=(1+r_z)/2$、$D=(1-r_z)/2$、$B_{01}=(r_x-\mathrm i r_y)/2$，故 $|B_{01}|^2\le c^2AD$ 恰为所写椭球条件；逆候选的特征值是 $\bigl(1\pm\sqrt{(r_x^2+r_y^2)/c^2+r_z^2}\bigr)/2$。边界等号时候选秩一；$A=0$ 时条件迫使 $B_{01}=0,D=1$，所以极点也包含在内。

这些是完整联合态的条件。参考边缘和输出边缘各自合法，不足以推出联合候选正。例如 $J=\mathbb C^2$ 时取第一层目标
$$
\xi_1=|\Phi_+\rangle\langle\Phi_+|,
\qquad |\Phi_+\rangle=(|00\rangle+|11\rangle)/\sqrt2.
$$
它的两边缘均为 $I/2$。逆候选只在 $\operatorname{span}\{|00\rangle,|11\rangle\}$ 上非零，该块为 $\frac12\left(\begin{smallmatrix}1&c^{-1}\\c^{-1}&1\end{smallmatrix}\right)$，故当 $c<1$ 时有负特征值 $(1-c^{-1})/2$。这直接排除以分开边缘代替联合正性。正性只给数学状态成员资格，额外的已获档案、控制、实际准备、来源与费用限制仍须逐项检验。

### 45.3 精确共同来源、零下确界与闭包边界

固定任意子集 $\Theta\subseteq\mathcal D(J\otimes M)$，可非闭、非紧、非凸。它必须是同一实验合同下的合法来源联合态类。给定相容密度族

$$
\xi_n\in\mathcal D(J\otimes H_n),\qquad
\operatorname{Tr}_{B_{n+1}}\xi_{n+1}=\xi_n,
\quad n\ge0.
\tag{45.13}
$$

实际通道也满足同一前缀关系；本卷式（41.40）由固定等距直接证明这一点。第一层强制唯一候选 $\theta_{\rm cand}=(\operatorname{id}_J\otimes L_c)(\xi_1)$，即（45.8）；这里 $c=\sqrt\alpha$。于是

$$
\boxed{
\exists\theta\in\Theta\ \forall n\ge0,\ q_n(\theta)=\xi_n
\iff
\theta_{\rm cand}\in\Theta\ \land\ \forall n\ge1,\ q_n(\theta_{\rm cand})=\xi_n.
}
\tag{45.14}
$$

证明：左侧的第一层等式经一步逆给 $\theta=\theta_{\rm cand}$。右侧直接给共同见证；第零层由第一层取偏迹和目标相容性得到。

进一步，

$$
\boxed{
\bigl[\forall n\ge1\ \exists\theta_n\in\Theta:
q_n(\theta_n)=\xi_n\bigr]
\iff
\bigl[\exists\theta\in\Theta\ \forall n\ge0:
q_n(\theta)=\xi_n\bigr].
}
\tag{45.15}
$$

证明：将每份第 $n$ 层等式偏迹到第一层，得到 $q_1(\theta_n)=\xi_1$。$q_1$ 在全部算子上单射，所以每份见证都是 $\theta_{\rm cand}$。第一层的一份见证已经保证 $\theta_{\rm cand}\in\Theta$；任意一层的见证保证该层由它实现。这里不取子列、不用闭集交性质，也不需要紧性。反向使用同一个来源即可。若 $\Theta=\varnothing$，第 $1$ 层没有见证，（45.14）的两侧都为假；（45.15）的逐层条件及共同来源条件也都为假。因此这些精确存在等价式明确覆盖空来源类，不对空类宣称最小值。

在此装置中，精确逐层见证由第一层单射性强制成为共同见证，证明不需要紧性。第45.4节对任意目标的距离优化另以非空紧来源类作为充分条件；这既不把它添加到（45.15），也不声称每个特殊模型的达到性或共同半径结论都以紧性为逻辑必要条件。

唯一线性候选首先是一个自伴、迹一算子；只有确有合法来源时，它才是固定模型中唯一的来源密度。这不意味着微观世界或准备程序也唯一。不同合法程序可能产生同一联合密度；被模型之外的来源记录区分的程序不得因此合并。第一层也不供应对任意相容目标的有限深度完备证书：后续层仍可能偏离 $q_n(\theta_{\rm cand})$，必须有逐层验证或另一个覆盖全部层的实际结构证明。

**零下确界与闭包候选。**

现在令 $\Theta\ne\varnothing$，仍不假设闭或紧；以下下确界均在这个非空类上取值。以同一相容目标定义

$$
e_n=\inf_{\theta\in\Theta}D(q_n(\theta),\xi_n),\qquad n\ge1,
$$

闭包取有限维来源空间的迹范数拓扑。则

$$
\boxed{
\forall n\ge1,\ e_n=0
\iff
\theta_{\rm cand}\in\overline\Theta
\ \land\ \forall n\ge1,\ q_n(\theta_{\rm cand})=\xi_n.
}
\tag{45.16}
$$

证明：固定 $n$，取 $\theta_k\in\Theta$ 使该层距离趋零。逆在第一层上的等式、（45.5）及对自伴差的偏迹收缩给

$$
\frac12\|\theta_k-\theta_{\rm cand}\|_1
\le c^{-1}D(q_1(\theta_k),\xi_1)
\le c^{-1}D(q_n(\theta_k),\xi_n)\longrightarrow0.
\tag{45.17}
$$

即使尚未知道候选正，左侧的自伴差迹范数仍良定；取 $n=1$ 的逼近序列就证明候选是密度极限并属于 $\overline\Theta$。对任意固定 $n$，相同估计与通道连续性给 $q_n(\theta_{\rm cand})=\xi_n$。反向用 $\Theta$ 中趋于候选的序列及通道收缩，即得每层下确界为零。这个证明直接利用有界线性逆，不使用来源类的紧性。

明确反例取 $J=\mathbb C$，声明允许的来源类为

$$
\Theta=\{\theta\in\mathcal D_2:
\langle0|\theta|0\rangle>0\},
\qquad \theta_{\rm cand}=|1\rangle\langle1|,
\qquad \xi_n=\Gamma_n(\theta_{\rm cand}).
\tag{45.18}
$$

这是密度空间中的相对开、非闭类，候选不在其中。对 $0<\varepsilon<1$，

$$
\theta_\varepsilon
=\varepsilon|0\rangle\langle0|
 +(1-\varepsilon)|1\rangle\langle1|\in\Theta,
\qquad D(\theta_\varepsilon,\theta_{\rm cand})=\varepsilon.
$$

每层通道收缩给 $D(q_n(\theta_\varepsilon),\xi_n)\le\varepsilon$，故所有 $e_n=0$。若任何 $n\ge1$ 层有精确合法见证，偏迹到第一层和单射性便迫使该见证等于 $\theta_{\rm cand}$，矛盾。所以没有精确第一层见证，也没有共同合法来源。

本卷式（41.35）还给这两份实际来源的完成态距离等于来源距离，即

$$
\tfrac12\|\omega_{\theta_\varepsilon}-\omega_{\theta_{\rm cand}}\|
=\varepsilon.
$$

因此完成距离的下确界也为零而不达到。该用法只应用已有的实际来源对完成范数等式；没有断言任意相容目标自动属于实际来源像。可以共同张量固定参考态得到带参考的同类反例，但一般任务中的已知联合参考关系仍须保留。

空来源类的精确判据已由（45.14）—（45.15）处理；这里不为它定义实数值的 $e_n$ 或声称极小值。若另采用扩展实数距离约定，应取 $\inf\varnothing=+\infty$，不能把它当作零下确界情形。

### 45.4 紧来源类上的任意目标距离与共同半径

**非空紧来源类下的任意目标优化。** 本小节额外假设 $\Theta\ne\varnothing$ 且在来源迹范数中紧；不要求凸。此前精确见证与闭包结论不依赖这一新增假设。

本卷定理39.3的共同半径方法在此需要的是同一个紧量子来源类及其闭约束纤维。以下逐项核对这些条件，直接使用既有紧局部实现声明。

固定任意相容目标 $\xi$，它可以完全没有正的来源候选。记号 $\theta_{\rm cand}$ 始终只指第一层逆强制的算子；下文 $\theta_{\rm opt}$ 指优化所得的允许来源，两者不作等同。例如相容的全加乘积目标第一层为 $\rho_+$，其 $\theta_{\rm cand}$ 有负特征值 $(1-\alpha^{-1/2})/2$，已由本卷式（41.45）排除；对任何非空紧 $\Theta$，下述最近来源仍然存在。令
$$
f_n(\theta)=D(\xi_n,q_n(\theta)),\qquad
f(\theta)=\mathsf d_\infty(\xi,\omega_\theta)=\sup_n f_n(\theta).
$$
每个 $f_n$ 连续，且由于目标和来源的偏迹相容性，
$$
0\le f_n(\theta)\le f_{n+1}(\theta)\le1.
$$
紧性使有限最小值
$$
e_n(\xi)=\min_{\theta\in\Theta}f_n(\theta)
$$
存在并达到；这里的下确界已经达到，因而与第45.3节 $n\ge1$ 的 $e_n$ 记号一致；现在也包括 $n=0$。同一 $\Theta$ 上逐点单调性给 $e_n\le e_{n+1}$。

完成距离也达到，而且
$$
\boxed{
E(\xi):=\min_{\theta\in\Theta}f(\theta)
=\sup_{n\ge0}e_n(\xi),\qquad e_n(\xi)\uparrow E(\xi).
}
\tag{45.19}
$$
不能仅凭形式上的单调性交换 $\min$ 与 $\sup$；所需共同来源由以下紧子水平集证明供应。

置 $r=\sup_ne_n\in[0,1]$，在同一个来源空间中定义
$$
K_n(r)=\{\theta\in\Theta:f_n(\theta)\le r\}.
$$
各 $K_n(r)$ 是闭紧集；有限最小值达到且 $e_n\le r$，所以非空。$f_n\le f_{n+1}$ 给
$$
K_{n+1}(r)\subseteq K_n(r).
$$
任意非空有限组集合的交等于其中最高层的集合，故非空；空组的交为非空来源类 $\Theta$。紧性于是给同一个 $\theta_{\rm opt}\in\bigcap_nK_n(r)$。由（45.1），
$$
f(\theta_{\rm opt})\le r.
$$
反向，对任意 $\theta\in\Theta$ 和任意 $n$，
$$
f(\theta)\ge f_n(\theta)\ge e_n,
$$
从而 $f(\theta)\ge r$。因此 $f(\theta_{\rm opt})=r$，同时证明（45.19）和完成最小值的达到性。各层独立选择的最优输入不必相同；证明没有把它们当成同一历史。

上述紧步骤直接由 [CompactLocalRealization](../../../D5/S3/Observer/Completion/CompactLocalRealization.lean) 的 `D5.S3.Observer.Completion.CompactLocalRealization.compact_local_realization` 实例化，准确代入为
$$
X=\Theta,\quad\mathrm{Context}=\mathbb N,\quad\mathrm{Record}=\mathbb R,
$$
$$
\mathrm{beta}(n,\theta)=\max\{f_n(\theta)-r,0\},
\qquad\mathrm{target}(n)=0.
$$
在 $\Theta$ 的子空间拓扑上有紧空间结构；$\mathrm{beta}(n,\cdot)$ 连续，其目标纤维恰为 $K_n(r)$，因而闭。有限上下文集合非空时取最大层，在该层取满足 $f_n\le r$ 的来源，即同时满足全部有限约束；上下文为空时使用 $\Theta\ne\varnothing$。定理输出恰是 $\theta_{\rm opt}$。该既有声明不要求记录类型 `Record` 带拓扑；这里的实数拓扑只用于核对所写纤维闭性。使用共同实数记录，也避免把不同层矩阵塞入一个未声明的固定矩阵类型。

同一证明对任何固定 $r\ge0$ 给
$$
\boxed{
E(\xi)\le r
\Longleftrightarrow\forall n,\ e_n(\xi)\le r
\Longleftrightarrow\exists\theta\in\Theta\ \forall n,\ f_n(\theta)\le r.
}
\tag{45.20}
$$
正向可投影完成最小值的见证；反向按同一共同半径构造。$r>1$ 时也成立，但此时条件自动满足。

**严格阈值与精确成员身份。**

由（45.19）或（45.20），对任何固定 $r\ge0$，
$$
\boxed{E(\xi)>r\Longleftrightarrow\exists n,\ e_n(\xi)>r.}
\tag{45.21}
$$
若 $E>r$ 而所有 $e_n\le r$，则（45.20）矛盾；反向由 $e_n\le E$。所以完成距离严格越过阈值，必在某个有限窗口已严格越过同一阈值。

完成最小值达到还给
$$
\boxed{
\xi\in\mathcal S_\Theta
\Longleftrightarrow E(\xi)=0
\Longleftrightarrow\forall n,\ e_n(\xi)=0.
}
\tag{45.22}
$$
若 $E=0$，达到它的 $\theta_{\rm opt}$ 满足两个完成态范数差为零，故 $\xi=\omega_{\theta_{\rm opt}}$。因此非来源目标不仅在某层不能精确实现，而且有某层严格正的有限距离间隙：
$$
\boxed{\xi\notin\mathcal S_\Theta\Longleftrightarrow\exists n,\ e_n(\xi)>0.}
\tag{45.23}
$$
这是一条有限分离存在性结论。要把 $e_n>r$ 变成实际证书，必须能取得该层目标与装置读数、控制其误差，并认证整个来源类上的优化下界；数值优化器的一次输出或一份可行拟合不是这个下界。一般实数数据和抽象紧集不自动供应算法或可计算期限。

另一方面，单层 $e_n\le r$ 只给有限层候选，不能认证 $E\le r$；有限层 $e_n=0$ 也不能认证目标属于来源像。存在一份已证明精确产生全部目标的合法来源，当然给成员证书，但那是全目标关系及合法准备的额外证据。没有这种关系或尾证书时，成员身份和恰达阈值情形不由有限前缀自动终止。

**非凸来源类与共同观测量。** 上述“有限分离”指目标到整个来源像的严格正距离。$\Theta$ 不要求凸，所以这个结论不自动供应一个仿射观测量，在同一方向上将目标与所有来源严格分开。具体地，取平凡 $J$、$\rho_\pm=|\pm\rangle\langle\pm|$、$\Theta=\{\rho_+,\rho_-\}$，目标为 $\xi=\omega_{I_M/2}$。本卷式（41.45）给
$$
q_1(\rho_\pm)=\frac12
\begin{pmatrix}1&\pm\sqrt\alpha\\\pm\sqrt\alpha&1\end{pmatrix},
\qquad \xi_1=I_B/2,
\qquad e_1(\xi)=\frac{\sqrt\alpha}{2}>0.
$$
但线性性使 $\xi=(\omega_{\rho_+}+\omega_{\rho_-})/2$；任意自伴观测量的目标期望都是两个来源期望的平均，不能同时严格大于二者或同时严格小于二者。这个例子的来源类须由允许准备合同供应。第45.6节将另外构造一个确实对全部来源有效的共同投影；其存在由该例的支撑关系证明。

以上将非空紧性用作任意目标达到性及共同半径论证的充分条件。精确来源见证另有（45.14）—（45.15）的较强适用范围；非闭类的零下确界则只能按（45.16）判断闭包。不能由某个特殊类恰好达到最小值，反推该类必须紧，也不能以第一层线性候选取代最近来源优化。

### 45.5 固定目标与范数紧目标族的一致收敛

继续采用第45.4节的非空紧来源类 $\Theta$，并保留同一个目标及同一个来源合同。

对任意 $\theta,\theta'\in\Theta$，三角不等式和通道收缩给
$$
|f_n(\theta)-f_n(\theta')|
\le D(q_n(\theta),q_n(\theta'))
\le D(\theta,\theta').
$$
取上确界后仍有
$$
|f(\theta)-f(\theta')|\le D(\theta,\theta').
$$
故所有 $f_n$ 与 $f$ 都在来源距离上 $1$-Lipschitz；特别地，$f$ 连续。对于每个固定目标 $\xi$，
$$
\boxed{
\forall\varepsilon>0\ \exists N_{\xi,\varepsilon}\;
\forall n\ge N_{\xi,\varepsilon}\ \forall\theta\in\Theta,
\quad0\le f(\theta)-f_n(\theta)<\varepsilon.
}
\tag{45.24}
$$
有限网证明不需要另设一般极限定理。取 $\Theta$ 的有限 $\varepsilon/4$-网 $\theta_1,\ldots,\theta_s$。每个网点上 $f_n(\theta_i)\uparrow f(\theta_i)$，所以存在共同 $N$ 使全部网点缺口小于 $\varepsilon/2$。任意 $\theta$ 选择距离小于 $\varepsilon/4$ 的网点，由两次 Lipschitz 估计，
$$
f(\theta)-f_n(\theta)
\le2D(\theta,\theta_i)+f(\theta_i)-f_n(\theta_i)
<\varepsilon.
$$
单调性保证所有 $n\ge N$ 同时成立，证明（45.24）。也可将其识别为紧空间上连续单调收敛的 Dini 机制，但这里已完整给出所需有限网证明。

由此得到具体的候选输入保证。若 $n\ge N_{\xi,\varepsilon}$，且某个实际允许候选满足
$$
f_n(\widehat\theta_n)\le e_n(\xi)+\eta,\qquad\eta\ge0,
$$
则
$$
\boxed{
f(\widehat\theta_n)<e_n(\xi)+\eta+\varepsilon
\le E(\xi)+\eta+\varepsilon.
}
\tag{45.25}
$$
这是同一个候选初态 $\widehat\theta_n$ 产生整条历史后的保证，不是逐层选择多个来源再拼接。

（45.24）的 $N_{\xi,\varepsilon}$ 依赖固定目标及来源类。有限网中各点的收敛深度没有显式求出，不能将这个存在量冒称可取得速率或停止条件。仅从当前有限数据看见小缺口或平台，仍不能知道已超过该深度。

**非空完成范数紧目标族。**

固定同一个 $\Theta$。对任意相容目标 $\xi,\zeta$，有限层三角不等式给
$$
|e_n(\xi)-e_n(\zeta)|
\le D(\xi_n,\zeta_n)
\le\mathsf d_\infty(\xi,\zeta).
$$
例如，对所有 $\theta$ 有 $D(\xi_n,q_n\theta)\le D(\xi_n,\zeta_n)+D(\zeta_n,q_n\theta)$；取下确界，再交换 $\xi,\zeta$ 即得。完成距离到固定集合 $\mathcal S_\Theta$ 同样满足
$$
|E(\xi)-E(\zeta)|\le\mathsf d_\infty(\xi,\zeta).
$$
因此 $e_n$ 与 $E$ 都对目标完成距离 $1$-Lipschitz。

若目标族 $\Xi\ne\varnothing$ 在 $\mathsf d_\infty$ 下紧，则
$$
\boxed{
\sup_{\xi\in\Xi}\bigl(E(\xi)-e_n(\xi)\bigr)\longrightarrow0.
}
\tag{45.26}
$$
证明。取 $\Xi$ 的有限 $\varepsilon/4$-网 $\xi_1,\ldots,\xi_s$。由（45.19），各网点缺口趋零，选共同 $N$ 使网点缺口都小于 $\varepsilon/2$。任意目标与近网点之间，两次 Lipschitz 估计给
$$
E(\xi)-e_n(\xi)
\le2\mathsf d_\infty(\xi,\xi_i)+E(\xi_i)-e_n(\xi_i)
<\varepsilon\qquad(n\ge N).
$$
这证明额外目标紧性下的一致收敛，但未提供有效有限网或网点收敛期限，故仍不是自动可计算的尾速率。

这里要求的是完成泛函范数所给的紧性。即使来源类固定且紧，所有相容目标的集合也不因而完成范数紧。第45.6节给一个已经弱星紧、但仍完全没有一致尾收敛的明确目标族。

范数紧性是此处一致收敛的充分条件，不声称每一个一致收敛的目标族都必须范数紧。这两项有限网论证是既有紧性／Dini机制在所声明来源检验中的应用。

### 45.6 延迟相邻 11 与有限前缀的检测边界

沿用第45.4节的非空紧来源类；下面的算子支撑证明本身对全部输入算子成立。

Q130的全输入基像与 Q131的算子通道供应下面的支撑计算；Q126.2与恢复卷31.9供应支撑事件的距离方法。本卷命题39.12已有延迟前缀障碍的经典图景，这里核对固定量子装置及任意联合来源上的精确距离一反例。

**支撑约束覆盖全部未知联合初态。**

定义输出分支算子
$$
K_j=(\langle j|\otimes I_M)T=|m_j\rangle\langle j|.
$$
Q130 的基像给
$$
K_1=|0\rangle\langle1|,\qquad K_1^2=0.
$$
对词 $w=(w_1,\ldots,w_n)$，空词的算子乘积约定为 $I_M$，等距的顺序递推给
$$
(\langle w|\otimes I_M)T_n=K_{w_n}\cdots K_{w_1}.
$$
若 $w$ 包含相邻 $11$，右端包含相邻因子 $K_1K_1=0$，所以整个分支算子为零。令 $P_n^{\rm legal}$ 投影到不含相邻 $11$ 的词张成空间，$P_0^{\rm legal}=I_{H_0}$，则
$$
((I_{H_n}-P_n^{\rm legal})\otimes I_M)T_n=0.
$$
张量上 $I_J$ 后仍成立。令 $V_n=I_J\otimes T_n$、$Q_n=I_J\otimes P_n^{\rm legal}$，则 $(Q_n\otimes I_M)V_n=V_n$，取伴随也得对应右乘恒等式。因此对**每一个输入算子** $X\in\mathcal L(J\otimes M)$，无须正性或自伴性，都有
$$
V_nXV_n^*=(Q_n\otimes I_M)V_nXV_n^*(Q_n\otimes I_M).
$$
取活动记忆的偏迹并将 $Q_n$ 提出，得到
$$
\boxed{
q_n(X)=(I_J\otimes P_n^{\rm legal})q_n(X)(I_J\otimes P_n^{\rm legal})
\quad\forall X\in\mathcal L(J\otimes M).
}
$$
将上式限制到密度，便覆盖任意混合、相干、纠缠初态及任意有限 $J$，不局限于 Q130 的指定根态 $P_0$。它依赖同一固定等距及无改变生成规则的介入；允许重置或反馈后，不能继续无条件使用。

**固定一个目标，同时定义全部深度。**

固定 $\theta_0\in\Theta$。对每个预先固定的 $N\ge0$，一次定义完整目标族
$$
\xi_n^{(N)}=
\begin{cases}
q_n(\theta_0),&0\le n\le N,\\
q_N(\theta_0)\otimes|1\rangle\langle1|,&n=N+1,\\
q_N(\theta_0)\otimes|11\rangle\langle11|
\otimes|0^{n-N-2}\rangle\langle0^{n-N-2}|,&n\ge N+2.
\end{cases}
$$
$N=0$ 时前因子为 $q_0(\theta_0)=\operatorname{Tr}_M\theta_0$。所有因子正且归一；从深度 $N+1$ 到 $N$、从 $N+2$ 到 $N+1$，迹掉最后一个纯位分别返回前一层；从 $N+3$ 开始，迹掉最后一个纯零位也返回前一层。较早层用 $q_n$ 的相容性。因此这是一份同一目标的相容密度族，由第45.1节给完成态 $\xi^{(N)}$。

目标保留完整的 $J,H_N$ 联合前缀，并在其后接两个确定 $1$，再接零尾。对固定 $N$ 没有在检查不同深度时更换目标。它是完整输出代数上的合法态，但不是这个固定生成器的合法输出。

在第 $N+2$ 层取局部投影
$$
\Pi_N=I_{J\otimes H_N}\otimes|11\rangle\langle11|.
$$
有
$$
\operatorname{Tr}(\Pi_N\xi_{N+2}^{(N)})=1,
\qquad
\operatorname{Tr}(\Pi_Nq_{N+2}(\theta))=0
\quad\forall\theta\in\Theta.
$$
有限维效应变分界 $|\operatorname{Tr}(P(\rho-\sigma))|\le D(\rho,\sigma)$ 给距离至少一；态的迹距离至多一，故恰为一。更深层沿用同一局部投影并张量恒等，得到
$$
\boxed{
D(\xi_n^{(N)},q_n(\theta))=1
\quad(n\ge N+2,\ \theta\in\Theta).
}
\tag{45.27}
$$
完成层也可不借交换极限而直接认证：$2\Pi_N-I$ 为范数一的局部自伴算子，在两态上的期望相差二；两态泛函范数都为一，故差的范数恰为二。于是
$$
\boxed{
\mathsf d_\infty(\xi^{(N)},\omega_\theta)=1
\quad\forall\theta\in\Theta.
}
\tag{45.28}
$$
另一方面，在 $n\le N$ 时来源 $\theta_0$ 精确实现目标。因此
$$
\boxed{
e_n(\xi^{(N)})=0\ (n\le N),\qquad
e_n(\xi^{(N)})=1\ (n\ge N+2),\qquad
E(\xi^{(N)})=1.
}
\tag{45.29}
$$
不需要断言第 $N+1$ 层的最优距离是多少；可能更早发现额外约束，所证明的是任意给定前缀长度 $N$ 仍能完全匹配，而第 $N+2$ 层一定严格分离。

**没有全部相容目标共用的检测期限或消失尾界。**

固定有限 $n$，取任意 $N\ge n$，则（45.29）给 $E-e_n=1$。由于所有这些距离都在 $[0,1]$，
$$
\boxed{
\sup_{\xi\text{ 相容目标}}\bigl(E(\xi)-e_n(\xi)\bigr)=1
\quad\text{对每个有限 }n.
}
\tag{45.30}
$$
即使固定 $\Theta=\{\theta_0\}$ 这个紧单点来源类，反例仍成立。只读取统一有限前缀的规则，不能同时正确判定实际目标 $\omega_{\theta_0}$ 和具有相同此前缀的 $\xi^{(N)}$ 是否属于来源像。这里排除的是无额外承诺的统一有限前缀期限，不是计算理论不可判定命题；已给目标整体生成公式或另有尾部证书，属于不同访问条件。

这不与第45.4节冲突：每个固定的 $\xi^{(N)}$ 都在有限 $N+2$ 层被排除，不能对全部 $N$ 共用一个期限。

**弱星紧目标族仍失败，完成范数紧性才是第45.5节的前提。**

令
$$
\Xi_{\rm w}=\{\omega_{\theta_0}\}\cup\{\xi^{(N)}:N\ge0\}.
$$
对任意固定局部 $A\in\mathcal A_m^J$，只要 $N\ge m$，就有 $\xi^{(N)}(A)=\omega_{\theta_0}(A)$。对一般 $A\in\mathcal A^J$，取局部 $A'$ 满足 $\|A-A'\|<\varepsilon$，两态范数均为一，故足够大 $N$ 时
$$
|\xi^{(N)}(A)-\omega_{\theta_0}(A)|\le2\varepsilon.
$$
于是 $\xi^{(N)}\to\omega_{\theta_0}$ 弱星。“一个收敛序列及其极限”的集合紧：任意开覆盖中覆盖极限的开集覆盖所有充分晚的项，其余有限项各取一个覆盖集即可。因此 $\Xi_{\rm w}$ 弱星紧。

然而（45.29）给
$$
\sup_{\xi\in\Xi_{\rm w}}(E(\xi)-e_n(\xi))=1
\quad\text{对每个有限 }n.
$$
它并非完成距离紧。取偶数下标子序列；若 $M>N$ 且二者为偶数，则 $M\ge N+2$，较晚目标 $\xi^{(M)}$ 的前 $N+2$ 位仍等于实际 $q_{N+2}(\theta_0)$，而 $\xi^{(N)}$ 的同一窗口在 $\Pi_N$ 上概率为一。故
$$
\mathsf d_\infty(\xi^{(N)},\xi^{(M)})=1.
$$
无限个两两距离一的点不可能有有限小半径网，所以不全有界，更不紧。弱星紧性没有供应第45.5节需要的完成范数有限网。

### 45.7 实际来源定量尾与全档案有符号恢复成本

**实际来源承诺下的定量尾。** 本卷定理41.2、41.4已经针对同一装置及同一个有限参考证明：对任意 $\theta_0,\theta\in\mathcal D(J\otimes M)$，
$$
0\le D(\theta_0,\theta)-D(q_n(\theta_0),q_n(\theta))
\le\epsilon_n\qquad(n\ge1),
\qquad
\mathsf d_\infty(\omega_{\theta_0},\omega_\theta)=D(\theta_0,\theta).
\tag{45.31}
$$
其中 $\epsilon_n=1-c_n$ 是式（41.8）的完整 diamond 恢复误差，$c_n$ 是式（41.6）的条件记忆根保真度；两份来源分别恢复的半迹误差为 $\kappa_n=\epsilon_n/2$，二者相加才给（45.31）的 $\epsilon_n$。这些常数及共同解码器归定理41.2，式（41.33）、（41.35）供应这里的距离结论，不在此重新构造。其显式速率
$$
0<\epsilon_n\le\frac{\alpha^{4n-6}}4
\qquad(n\ge3)
$$
仍保留原起点。$n=0$ 只进入前缀相容、$q_0$ 与完成上确界，不为它定义恢复误差。

以下距离极小化应用仍假设 $\Theta$ 非空且紧。若整份目标已被认证为 $\xi=\omega_{\theta_0}$，即使 $\theta_0\notin\Theta$，式（41.35）、（41.37）直接给
$$
\boxed{
E(\xi)=\min_{\theta\in\Theta}D(\theta_0,\theta),
\qquad 0\le E(\xi)-e_n(\xi)\le\epsilon_n\quad(n\ge1).
}
\tag{45.32}
$$
具体的代入检查是：在同一个 $\Theta$ 上逐点应用（45.31），对 $e_n$ 的一个极小点 $\theta_{{\rm opt},n}$ 有
$$
E(\xi)\le D(\theta_0,\theta_{{\rm opt},n})
\le e_n(\xi)+\epsilon_n,
$$
而逐点收缩给 $e_n\le E$。对 $n\ge1$、$\eta\ge0$，一个实际取得且满足 $f_n(\widehat\theta_n)\le e_n+\eta$ 的允许来源，同样由式（41.38）得 $f(\widehat\theta_n)\le e_n+\eta+\epsilon_n$。这是既有实际来源定理的直接应用。

任意相容目标不自动具有供共同解码器回接的初态见证。第45.6节的 $\xi^{(N)}$ 不属于固定装置的来源像，不能代入（45.31）。第45.4节仍给 $e_n\uparrow E$，第45.5节给固定目标的来源一致近似，以及额外非空范数紧目标族上的一致收敛；这些结论都不继承一个对所有相容目标通用的 $\epsilon_n$。式（45.30）直接排除这种转移。任意目标的共同半径、有限网及延迟反例证明使用相容性、距离和明列的紧性条件；它们不从实际来源承诺继承一个任意目标尾界。

**全发射长度的有符号左逆及单位原子成本。** 以下是全来源算子空间上的共同恢复任务，与上段受限来源类 $\Theta$ 的距离极小化相互独立；不以该类的非空或紧性作为左逆前提。

本卷定理41.2、式（41.7）与（41.17）对每个整数 $n\ge1$ 供应一份仅依赖装置与 $n$、且对所有输入共同使用的解码器

$$
\mathcal D_n:\mathcal L(H_n)\longrightarrow\mathcal L(M)
\quad\text{为 CPTP},
$$
$$
\mathcal D_n\Gamma_n=\mathcal D_{c_n}
\quad\text{在全部来源算子上成立},
\qquad 0<c_n<1,
\qquad c_1=\sqrt\alpha,
\qquad c_n\longrightarrow1.
\tag{45.33}
$$

其构造仅在相干档案上作受控极分解酉再丢弃，不读取 $J$ 或最终活动 $M$。本卷式（41.17）拥有这个具体通道，不在这里重造。

为固定可计算参数，直接沿用本卷式（41.5）—（41.6）的条件记忆公式：
$$
\lambda=-\alpha^2,\quad
\pi_0=(1+\alpha^2)^{-1},\quad
\pi_1=\alpha^2(1+\alpha^2)^{-1},
$$
$$
a_n=\pi_1(1-\lambda^{n-1}),\qquad
b_n=\pi_1+\pi_0\lambda^{n-1},
$$
$$
c_n^2=1-\alpha^2
\left[\sqrt{a_n(1-b_n)}-\sqrt{b_n(1-a_n)}\right]^2
\qquad(n\ge1).
$$
这些条件态及 $c_n$ 的证明归本卷定理41.2；这里不另建恢复器或根保真度计算。该节同时证明

$$
D(\Gamma_n\rho_+,\Gamma_n\rho_-)=c_n,
\qquad
\epsilon_n=1-c_n
=\min_{\mathcal E\ {\rm CPTP}}
\|\mathcal E\Gamma_n-\operatorname{id}_M\|_\diamond.
\tag{45.34}
$$

竞争通道类型均为 $\mathcal L(H_n)\to\mathcal L(M)$。定义同一类型、全 CPTP 单位价格字典的有限实系数代价

$$
\gamma_n=
\inf\left\{
\sum_{i=1}^m|a_i|:\quad
\begin{array}{l}
m\in\mathbb N,\ a_i\in\mathbb R,\\
\mathcal E_i:\mathcal L(H_n)\to\mathcal L(M)\ {\rm CPTP},\\
\displaystyle\sum_{i=1}^m a_i\mathcal E_i\Gamma_n
=\operatorname{id}_M
\end{array}
\right\}.
\tag{45.35}
$$

等式要求全部来源算子；等价地可先在 Hermitian 实空间说明，再由复线性延拓。它自动保留任意有限惰性参考。原子是档案到来源类型的通道，不能误写成仅作用在来源 qubit 上的同型通道字典。

直接把恢复卷定理30.12的逆取 $\lambda=c_n$，与既有 $\mathcal D_n$ 复合，即 $\mathcal S_n=L_{c_n}\circ\mathcal D_n$，得到

$$
\mathcal S_n=
a_{+,n}\mathcal D_n+
a_{-,n}\operatorname{Ad}_Z\circ\mathcal D_n,
\qquad
a_{\pm,n}=\frac{1\pm c_n^{-1}}2.
\tag{45.36}
$$

这两个原子都为所需类型的 CPTP。由（45.33）与恢复卷的逆恒等式，$\mathcal S_n\Gamma_n=\operatorname{id}_M$，系数绝对值和为 $c_n^{-1}$。

恢复卷定理30.12的原字典是 qubit 到 qubit；这里的原子输入为整个 $H_n$，一般竞争者未必经 $\mathcal D_n$ 分解，故其成本下界仍须按此输入类型履行。为证明整个档案字典不能更便宜，对任意（45.35）的表示取 $\Delta=\rho_+-\rho_-$。同一档案差由（45.34）满足 $\|\Gamma_n(\Delta)\|_1=2c_n$。每个竞争通道对自伴差的迹范数收缩，所以

$$
2=\|\Delta\|_1
\le\sum_i|a_i|\,
\|\mathcal E_i\Gamma_n(\Delta)\|_1
\le2c_n\sum_i|a_i|.
\tag{45.37}
$$

因此极小值达到且

$$
\boxed{
\gamma_n=\frac1{c_n}=\frac1{1-\epsilon_n}.
}
\tag{45.38}
$$

对任意迹一来源输入取（45.35）的迹，得到 $\sum_i a_i=1$。若正、负系数质量为 $P_a,N_a$，则 $P_a-N_a=1$；在最优表示中 $P_a+N_a=\gamma_n$。所以每份最优表示均有

$$
\boxed{N_a=\frac{\gamma_n-1}{2}.}
\tag{45.39}
$$

不要求或宣称分解唯一。若受限可执行类包含（45.36）的两个通道，也达到这个值；否则全 CPTP 下界仍成立，但受限字典的可行性、代价和实现成本须重新检验。

作为同一计算的稳定性表达，

$$
\|\mathcal S_n\|_\diamond=c_n^{-1}.
\tag{45.40}
$$

上界来自两 CPTP 通道的完整 diamond 范数均为一；下界用迹范数归一化档案差 $\Gamma_n(\Delta)/(2c_n)$，其经 $\mathcal S_n$ 的像迹范数为 $1/c_n$。同一个归一化档案差也给任意线性精确左逆的 diamond 范数下界 $1/c_n$。因此真实来源对在任意有限参考下满足

$$
D(\theta,\vartheta)
\le c_n^{-1}D(q_n(\theta),q_n(\vartheta)),
\tag{45.41}
$$

且共同独立参考下的 $\pm$ 对达到等号。$n>1$ 时 $\mathcal S_n$ 是来源像上的左逆，不是整个高维档案算子空间上的双侧逆；任意档案目标经它所得候选正，也不能省去真实像一致性的检查。

由实际档案的前缀关系，对同一 $\rho_\pm$ 态对取偏迹并用收缩，式（45.34）给 $c_n\le c_{n+1}$，所以 $\gamma_n$ 不增。活动记忆的谱率 $-\alpha^2$ 可交替，不能据此推断档案代价交替。设 $\phi=(1+\sqrt5)/2=\alpha^{-1}$，则

$$
\gamma_1=\sqrt\phi,
\qquad\gamma_n>1\text{ 对每个有限 }n,
\qquad\gamma_n\longrightarrow1,
\qquad
\gamma_n-1=\frac{\epsilon_n}{1-\epsilon_n}.
\tag{45.42}
$$

本卷式（41.9）对 $n\ge3$ 的 $\epsilon_n\le\alpha^{4n-6}/4$ 可直接运输为

$$
0<\gamma_n-1
\le\frac{\alpha^{4n-6}}{4-\alpha^{4n-6}}.
\tag{45.43}
$$

这一步只是同一正分母上的单调代换，不是新的一般尾定理。单位原子价格不计算发射长度、档案相干存储、受控酉综合、校准或终端测量的真实成本。

所有有限 $n\ge1$ 的 $q_n$ 已因可偏迹到单射 $q_1$ 而单射。因此增长档案在这里改善的是逆的条件数、所需正负权重和最优物理恢复误差；不能写成“一步没有来源识别性，长记录才有”。这里的识别性以完整联合密度读数为对象，不以单个物理样本提供完整矩阵为前提。

这份单位价格逆成本属于已有有符号通道实现理论的具体装置应用。Jiang、Wang、Wang 的相位阻尼参数 $p$ 对应 $c=1-2p$，其 $2^{\nu}=1/c$ 是系数绝对值总量，$\nu$ 为它的二进制对数；在本装置取 $p=(1-c_n)/2=\kappa_n=\epsilon_n/2$，不能将文献的 $p$ 误作完整 diamond 误差。[^rro_signedsource_cost] 该文献的 qubit 逆成本与恢复卷30.12供应上式的两原子构造；（45.37）另外承担所有 $H_n\to M$ 竞争通道的下界。

### 45.8 正概率调用、独立试验与实际取得边界

恢复卷命题30.13供应一般抽样协议，本卷约定35.5供应带参考的实际输入、效果和访问条件。这里将（45.36）的两个实际可调用原子代入。

假设实验能按声明合同取得相同来源 $\theta$ 的新准备及其第 $n$ 层相干档案，能执行这两个原子，并能读取所需自伴终端可观测量 $O=O^*$，$\|O\|_\infty\le1$。若目标是联合关系，$O$ 必须是允许的同一联合参考测试；解码操作本身仍仅作用于档案。

用非负概率

$$
p_{+,n}=\frac{|a_{+,n}|}{\gamma_n}
=\frac{1+c_n}{2},\qquad
p_{-,n}=\frac{|a_{-,n}|}{\gamma_n}
=\frac{1-c_n}{2}
\tag{45.44}
$$

分别调用 $\mathcal D_n$ 与 $\operatorname{Ad}_Z\circ\mathcal D_n$。它们之和为一。分支抽样须独立于该次已准备的联合输入，或由实际条件合同保证各分支具有所声明的同一输入律。设实际测量结果 $Y\in[-1,1]$，条件期望等于指定同一输入和效果的原子预测。记录

$$
Z_{\rm est}=\begin{cases}
\gamma_nY,&+\text{ 分支},\\
-\gamma_nY,&-\text{ 分支}.
\end{cases}
\tag{45.45}
$$

全期望和（45.36）给

$$
\mathbb E Z_{\rm est}
=\operatorname{Tr}\!\left[
O(\operatorname{id}_J\otimes\mathcal S_n)q_n(\theta)
\right]
=\operatorname{Tr}(O\theta),
\qquad
\mathbb E Z_{\rm est}^2\le\gamma_n^2.
\tag{45.46}
$$

这里输出端 qubit 与来源 $M$ 按固定基识别。若另有 $N$ 次完整试验的独立重复合同，包含新的相同联合准备、相干档案生成、分支随机化及终端测量，并保持同一目标与完整已获档案条件，则

$$
\operatorname{Var}(\overline Z_N)\le\frac{\gamma_n^2}{N}.
\tag{45.47}
$$

这是因为每次的方差 $\operatorname{Var}(Z_{{\rm est},j})=\mathbb E Z_{{\rm est},j}^2-(\mathbb E Z_{{\rm est},j})^2\le\gamma_n^2$，独立性使不同试验的协方差为零，对均值求方差即得（45.47）。

完整独立性若只在某份保留档案条件下成立，上式先是相应的条件方差界；要无条件使用，还须核对共同准备、条件均值及额外随机性。一般地，
$$
\operatorname{Var}(\overline Z_N)
=\frac1{N^2}\left(
\sum_{j=1}^N\operatorname{Var}(Z_{{\rm est},j})
+2\sum_{i<j}\operatorname{Cov}(Z_{{\rm est},i},Z_{{\rm est},j})
\right).
$$
共同漂移、相关校准误差、复用同一量子系统或其它跨次关联不能被单次二阶矩界删除。该上界属于指定协议，不是任何估计器的最优方差或普遍样本下界，也不把旧样本重新读取当成新实验。

有符号估计没有制备负概率状态。一步逆在实际正像上得到合法来源密度，但 $c<1$ 时 $L_c(\rho_+)$ 有负特征值，所以 $L_c$ 不是全域正映射，更不是 CPTP。即使只要求某个 CPTP 映射在整个实际像上恢复，它也会将距离 $c$ 的输出态对变成距离一，违反收缩。对任意有限 $n$，同样由（45.34）的 $c_n<1$ 排除完整未知来源类的精确 CPTP 恢复。

必须保留下列任务区别：

* **已知完整矩阵律的反演**：由读数矩阵计算唯一候选、检查 PSD 与来源约束，再检验全部输出关系。
* **重复实验中的目标估计**：用实际允许的原子与终端测试，有符号后处理恢复期望；须计准备、样本、相关性及误差。
* **一个未知物理样本的状态恢复**：要求实际 CPTP 操作，受上述收缩和本卷定理41.2 的最优正误差限制。

同样，已知且与不可访问参考无额外纠缠要求的单例来源，可由允许的常值准备通道以成本一处理，对角子任务也可成本一；它们的量词不同于（45.35）的全来源共同算子恒等式。若单例为与不可访问参考纠缠的联合态，局部常值准备不能自动恢复该联合态，本卷命题41.6 已明确这一限制。对独立可准备的已知单例 $\tau_M$，上述档案原子具体为 $Y\mapsto\operatorname{Tr}(Y)\tau_M$；对计算基对角来源及其经典量子联合扩展 $\sum_j A_j\otimes|j\rangle\langle j|$，原子取先迹掉第 $2,\ldots,n$ 个输出、再对首输出作计算基去相干（$n=1$ 时无额外输出可迹掉）。第一层保持这两个对角块，故该 CPTP 原子精确恢复所述子任务。两类均有系数一的表示；任一可行表示在一个迹一输入上取迹又给 $\sum_i a_i=1$，从而质量至少一，证明其单位价格最优值确为一。

未知 $c$、改变原子价格、改变可调用字典、生成期间反馈、已经破坏相干的档案，均须重新指定任务。

上述正概率调用、带符号输出和 $\gamma_n^2$ 二阶矩机制也见 Temme、Bravyi、Gambetta 的概率误差抵消构造。[^rro_signedsource_sampling] 它给这里指定协议的可执行估计方式，不替代实际输入与参考合同，也不把（45.38）的最小表示成本提升成任意估计器的最优样本复杂度。

**实际来源检验的取得条件。** 这些结果用于同一固定装置、同一完整档案约束的来源类：有限目标矩阵给完成来源距离的单调下界，一个经过认证的严格有限下界能排除指定误差半径内的全部合法来源。对于非空紧来源类，数学最优来源存在，且每个固定非来源目标在某有限窗口严格分离；它不保证从当前数据有效计算该窗口。本卷命题39.13的证书边界在这里继续保留：可行拟合给 $e_n$ 的上界，排除整个来源类需要 $e_n$ 的已认证下界；数值优化器的一个输出不自动具有后者。存在一份已经证明精确产生全部目标的合法来源，可提供成员证书，但有限前缀精确匹配本身不提供它。恰达阈值也不自动有限停止。

相容目标可以是设计要求或待核验的候选输出规律。第45.6节接出的非法尾是完整输出代数中的比较态，不是已经由固定装置取得的事件，更不能通过改写旧档案伪造合法生成史。若整份已获档案规定了未来机制关系，违反它们恰是要检测的来源失败；不能删除这些关系，只留匹配的矩阵边缘来宣称世界相容。本卷命题41.6已经给出第一层可排除的非来源目标；这里增加的是任意相容目标的紧来源距离，以及保留任意长完整联合前缀后才显露的最大距离障碍，不把来源非满射本身重列为新结论。

所有来源候选共同解释第45.1节的 $C_{\rm archive}$，以及已保留的参考联合关系。固定分开边缘不自动保留联合态。数学态的可表达性不等于合法准备的可取得性；非空紧类与极小值存在不给优化算法、受限控制门集、读数精度、样本数、等待时间或存储预算。一般非凸类的正距离和共同观测量之间的区别按第45.4节保留；第45.6节的 $\Pi_N$ 才是经直接证明的共同支撑见证。

完成范数允许全部局部有界可观测量作为数学比较，实际可访问的测试族可以更小。$\Pi_N$ 仅需要两个指定输出端口的联合计算基事件，但读取它们仍须合法，并保留失败、来源身份、误差与顺序。若输出已经被不可逆测量，完整相干态检验及此前的相干恢复任务会改变；不能继续把原相干资源当作仍可访问。若允许生成中反馈、重置、复用已发出端口、改变装置或空白准备，来源像会改变，须按新合同重建约束，不能继续无条件沿用 $K_1^2=0$ 的旧生成器结论。

深度 $n$ 计数已发出的寄存器及所比较的前缀，不自动等于物理经过时间、半衰期或熵产生率。较大经典档案与无限量子参考的差别、纯数学见证与实际取得的差别，均按第45.1节及假设41.5保留。本文所用完成化、紧性、迹范数对偶和有限网机制保持既有归属；这里只给固定装置的目标来源检验、完成距离、有符号档案恢复及其估计协议的具体应用与反例。

[^rro_signedsource_blocks]: John Watrous，*The Theory of Quantum Information*，2018，[作者全文](https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/TQI/TQI.pdf)，Lemma 3.18，印刷页144—145：正半定复矩阵对角块允许奇异，正块矩阵等价于收缩因子化。另见 Watrous，[*Simpler semidefinite programs for completely bounded norms*](https://arxiv.org/html/1207.5726v2)，§2.1，Lemma 2；M. S. Moslehian、M. Kian、Q. Xu，[*Positivity of 2×2 block matrices of operators*](https://arxiv.org/html/1904.08680v1)，Theorem 5.11。这里的伪逆范围条件、合同变换与收缩因子化已逐项给出；正定内部块的 Schur 最小化声明不能替代奇异情形。

[^rro_signedsource_cost]: Jiaqing Jiang、Kun Wang、Xin Wang，[*Physical Implementability of Linear Maps and Its Application in Error Mitigation*](https://arxiv.org/html/2012.10959v2)，Theorem 3、Lemma 15及§4.1；*Quantum* **5**, 600（2021），[doi:10.22331/q-2021-12-07-600](https://doi.org/10.22331/q-2021-12-07-600)。其相位阻尼 $F_p=(1-p)\operatorname{id}+p\operatorname{Ad}_Z$、$0\le p<1/2$ 的逆满足 $2^{\nu(F_p^{-1})}=1/(1-2p)$；原子类型和任务仍须按第45.7节核对。

[^rro_signedsource_sampling]: Kristan Temme、Sergey Bravyi、Jay M. Gambetta，[*Error mitigation for short-depth quantum circuits*](https://arxiv.org/html/1612.02058v3)，式（9）—（10）的有符号重采样；*Physical Review Letters* **119**, 180509（2017），[doi:10.1103/PhysRevLett.119.180509](https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.119.180509)。其特定电路与噪声条件不自动成为本装置的准备、参考访问或全竞争字典下界。

## 45.99 追加锚

## 46. 递归数组的幅度、数值恢复模量与统一量程条件数

本节接续第43节的同一递归体／边关系，在固定有限深度和通常数值范数下证明幅度极值、精确内外误差模量及恢复条件数。第43.2—43.5节供应多项式恢复、有限依赖和离散前缀几何；下文的数值完成使用另一种明确指定的拓扑。全部表示仍保留同源的完整已获档案，数值误差合同不增加合法获取能力。

### 46.1 同一个递归体／边映射，改用幅度度量

固定整数 $M\ge0$，记
$$
\Delta_M=\{(n,k)\in\mathbb N^2:n+k\le M\}.
$$
Context 定理43.2已经给出有理边界 $a=(a_0,\ldots,a_M)$ 的唯一递归三角 $\mathcal E_M(a)$，由整系数多项式构造，并与首列提取 $\beta_M$ 互逆。本节研究这些**同一坐标多项式**在通常数值扰动下的大小与敏感性；不重复取得已有自然数组的存在唯一性。

为避免覆盖 Context 式（43.10）中表示低阶余项的 $P_{n,k}$，用直立符号
$$
\mathsf P_{n,k}(a)=\mathcal E_M(a)(n,k)
\qquad(n+k\le M)
$$
表示整个坐标多项式。旧式（43.10）对应 $\mathsf P_{n,k}=a_{n+k}+P_{n,k}$，两者不是同一个多项式。有限依赖说明 $\mathsf P_{n,k}$ 只用 $a_0,\ldots,a_{n+k}$，与所选更大 $M$ 无关。其列递推为
$$
\mathsf P_{n,0}=a_n,\qquad
\mathsf P_{n,k+1}
=\mathsf P_{n+1,k}-\sum_{j=0}^{k}\mathsf P_{n,j}a_{k-j}.
\tag{46.1}
$$
所有等式都是有限多项式恒等式，故同样定义实边界上的 $\mathcal E_M$。在实数上继续用（46.1）列归纳，或者直接评价同一整系数恒等式，得到相同的递归约束及两逆恒等式。这里的实数评价不赋予形式变量任何解析值。

对 $A\ge0$，令
$$
K_M(A)=[-A,A]^{M+1},\qquad
I_M(A)=\mathcal E_M(K_M(A)).
\tag{46.2}
$$
边界和三角都采用通常坐标上确界范数：
$$
\|a-b\|_\infty=\max_{0\le i\le M}|a_i-b_i|,
\qquad
\|T-S\|_\infty=\max_{n+k\le M}|T(n,k)-S(n,k)|.
$$
这是固定有限维空间的数值距离，不是 Context43 的“首个不相等下标”超度量。来源可为有理点，也可为同一多项式的实扩张；对应范围将在每个达到性结论中说明。不加顶行全一、正性、概率或独立性假设。

### 46.2 非负系数列递推与一个共同的最坏边界

在同一组变量 $x_i$ 上定义
$$
Q_{n,k}(x)=-\mathsf P_{n,k}(-x).
$$
将（46.1）中的每个边界变量替换为 $-x_i$，逐项计算符号，得
$$
\boxed{
Q_{n,0}=x_n,\qquad
Q_{n,k+1}=Q_{n+1,k}+\sum_{j=0}^{k}Q_{n,j}x_{k-j}.
}
\tag{46.3}
$$
因此列归纳证明：每个 $Q_{n,k}$ 都是系数非负的整系数多项式，没有常数项，次数至多 $k+1$。归纳允许 $n=0$ 以及不同因子指向同一个变量的情形；相同单项式合并只会增加非负系数，不产生符号抵消。反过来，$\mathsf P_{n,k}$ 的每个非零、总次数为 $d$ 的系数具有符号 $(-1)^{d-1}$。

这个符号结论也与 Context 式（43.7）的有限系数公式一致。这里对边界取任意无限延伸，并令 $F(z)=1+z\sum_{i\ge0}a_i z^i$；每个待用系数只依赖所需有限前缀。形式展开
$$
F^{-(j+1)}
=\sum_{\ell\ge0}(-1)^\ell\binom{j+\ell}{\ell}(F-1)^\ell
$$
中，$F-1$ 的每项对边界变量为一次；再乘外侧 $a_{n+j}$ 后总次数为 $\ell+1$，符号正好为 $(-1)^\ell$。对一个固定形式次数只有有限项贡献。合并重复变量不会改变总次数，因此没有不同符号混入同一单项式。主证明仍是无需形式展开的正列递推（46.3）。

将全部相关变量同时取 $A\ge0$。由（46.3）归纳，$Q_{n,k}(A,\ldots,A)$ 与 $n$ 无关，记为 $u_k(A)$；它满足
$$
\boxed{
u_0(A)=A,\qquad
u_{k+1}(A)=u_k(A)+A\sum_{j=0}^{k}u_j(A).
}
\tag{46.4}
$$
这同时证明每个 $u_k$ 的系数非负，且 $u_{k+1}-u_k$ 系数非负。对 $A>0$，所有 $u_k(A)>0$，并且它们随 $k$ 严格增加。

对任意 $a\in K_M(A)$，非负系数给
$$
|\mathsf P_{n,k}(a)|
\le Q_{n,k}(|a_0|,\ldots,|a_{n+k}|)
\le Q_{n,k}(A,\ldots,A)=u_k(A).
\tag{46.5}
$$
而**同一个**边界 $a^-=-A\mathbf1$ 对全部坐标同时给出
$$
\boxed{
\mathsf P_{n,k}(a^-)=-u_k(A),\qquad
\max_{a\in K_M(A)}|\mathsf P_{n,k}(a)|=u_k(A),\qquad
\max_{a\in K_M(A)}\|\mathcal E_M(a)\|_\infty=u_M(A).
}
\tag{46.6}
$$
最后一个等号由 $k\le M$ 及坐标 $(0,M)$ 取得。这里没有把分别达到的最优值拼成一个不存在的共同实现：所有等号都来自这一个实际边界及其唯一递归三角。若实际来源类另有约束排除了这个边界，式（46.5）仍是上界，式（46.6）的达到性不能自动转移。

### 46.3 幅度多项式的公式与成熟归属

令形式级数 $U_A(z)=\sum_{k\ge0}u_k(A)z^k$。在（46.4）上乘 $z^{k+1}$ 求和；每个系数只含有限项，得到
$$
U_A-A=zU_A+\frac{Az}{1-z}U_A.
$$
因此
$$
\boxed{
U_A(z)=\frac{A(1-z)}{1-(A+2)z+z^2}
=\frac{A}{1-z}\sum_{\ell\ge0}
\left(\frac{Az}{(1-z)^2}\right)^\ell.
}
\tag{46.7}
$$
后一几何级数的公比有零常数项，故形式恒等式良定。取 $z^k$ 系数：第 $\ell$ 项为 $A^{\ell+1}z^\ell(1-z)^{-(2\ell+1)}$，只需 $0\le\ell\le k$，从而
$$
\boxed{
u_k(A)=\sum_{\ell=0}^{k}\binom{k+\ell}{2\ell}A^{\ell+1}.
}
\tag{46.8}
$$
特别地，各次数 $1,\ldots,k+1$ 的系数均严格正。$Q_{n,k}$ 的总次数为 $d$ 的系数总量，等于（46.8）中 $A^d$ 的系数 $\binom{k+d-1}{2d-2}$，与 $n$ 无关。

将（46.7）乘分母后逐系数比较，给
$$
\boxed{
u_0=A,\qquad u_1=A(A+1),\qquad
u_{k+2}=(A+2)u_{k+1}-u_k.
}
\tag{46.9}
$$
该二阶递推的减号不与（46.4）的非负系数构造矛盾；（46.4）负责系数正性，（46.9）是同一族的简短标量递推。

**Morgan–Voyce 与当前 Chebyshev 约定。** Swamy 原文第73页式（7）的小写 $b_n$ 族满足 $b_0(x)=1$、$b_1(x)=x+1$、$b_n(x)=(x+2)b_{n-1}(x)-b_{n-2}(x)$。[^rroctx46_arrayamp_swamy] 初值与（46.9）完全一致，因此多项式恒等式为
$$
\boxed{u_k(A)=A b_k(A).}
\tag{46.10}
$$
Swamy 印刷第79页式（40）还给出这一族的系数公式，其中
$$
\binom{n+j}{n-j}=\binom{n+j}{2j},
\qquad
b_n(x)=\sum_{j=0}^{n}\binom{n+j}{n-j}x^j
=\sum_{j=0}^{n}\binom{n+j}{2j}x^j.
$$
这与（46.8）在 $u_k(A)=A b_k(A)$ 下逐项对应；前面的形式生成函数取系数证明完整保留。Swamy 印刷第80页式（42b）给出的是较早的缩放 Chebyshev 表示，其归一化与下文 DLMF 当前约定须分别核对，不能直接将旧符号视为当前 $V/W$ 记号。

这个标量多项式族已有成熟归属；它自身不提供当前非线性边界恢复映射的最优幅度、Lipschitz 或有限噪声结论，那些结论由本节的共同非负系数结构证明。

按 DLMF 当前第三类 Chebyshev 记号，$V_0(x)=1$、$V_1(x)=2x-1$；这一点必须明确，因为 DLMF 在版本1.0.28（2020年9月15日）更正时交换了旧版的 $V,W$ 约定。[^rroctx46_arrayamp_dlmf] 令 $U_{-1}=0$，以相同的二阶递推及初值核对，得
$$
\boxed{
u_k(A)=A V_k(1+A/2)
=A\bigl(U_k(1+A/2)-U_{k-1}(1+A/2)\bigr).
}
\tag{46.11}
$$
DLMF18.12.10 给的是 $U_k$ 的生成式，不是直接给 $V_k$ 的生成式：在其形式恒等式上乘 $1-z$，才得到 $U_k-U_{k-1}$ 的生成式及（46.7）。同样，Context 第43.8节已归属的固定重建核 Riordan 系数法保持原作用域；随边界变化的整份恢复映射不能被当成固定线性核来求敏感性。本节不引入额外未核对的 Riordan 或条件数文献作为证明前提。

**闭式。** 对 $A>0$，置
$$
s(A)=\sqrt{A^2+4A},\qquad
\lambda(A)=\frac{A+2+s(A)}2>1.
$$
有 $\lambda+\lambda^{-1}=A+2$、$\lambda-\lambda^{-1}=s$。二阶递推（46.9）的两个根为 $\lambda,\lambda^{-1}$。直接代入两个初值并应用递推唯一性，得到
$$
\boxed{
u_k(A)=A\,\frac{\lambda^{k+1}+\lambda^{-k}}{\lambda+1}.
}
\tag{46.12}
$$
例如 $k=0$ 时为 $A$；$k=1$ 时 $(\lambda^2+\lambda^{-1})/(\lambda+1)=\lambda+\lambda^{-1}-1=A+1$。DLMF18.5.3的当前 $V_k$ 表达也给同一闭式，但本式已经由初值和递推验证。

（46.7）首先是形式系数恒等式，无解析收敛要求。若对固定 $A>0$ 将 $z$ 赋复数值，分母为 $(1-\lambda z)(1-\lambda^{-1}z)$，最近的极点为 $\lambda^{-1}$，而分子在该点不为零。因此该展开的解析收敛圆为 $|z|<\lambda^{-1}$；不能从正交区间 $[-1,1]$ 的默认条件直接移用其它半径。这里的 Chebyshev 参数为 $1+A/2>1$。$A=0$ 时 $u_k(0)=0$，整份 $U_0$ 为零，另按零多项式处理。

在 $A=1$ 时，令 $\phi=(1+\sqrt5)/2$，则 $\lambda=\phi^2$，且（46.9）的初值为 $1,2$、递推系数为 $3$，故 $u_k(1)=F_{2k+1}$，其中 $F_0=0,F_1=1$：Fibonacci 后继关系直接给 $F_{m+4}=3F_{m+2}-F_m$，所以奇数子列与（46.9）具有相同初值和递推。这只识别一个已有标量递推；达到幅度界的全负边界不是 Context43 中由顶行全一选出的自然源。

### 46.4 精确的立方体全局 Lipschitz 常数及逆向常数

先固定 $A>0$。记
$$
\boxed{
L_k(A)=u'_k(A)
=\sum_{\ell=0}^{k}(\ell+1)\binom{k+\ell}{2\ell}A^\ell.
}
\tag{46.13}
$$

**导数序列的形式生成函数。** 在评价实参数之前，将 $A$ 视为不定元，在 $\mathbb R[A][[z]]$ 中逐系数定义 $\partial_A$。（46.8）保证每个系数 $u_k(A)$ 都是多项式；每个 $z$ 系数的乘积只包含有限次卷积，故逐系数求导满足乘积法则。令
$$
D=1-(A+2)z+z^2.
$$
它的常数系数为一，因此存在唯一形式逆 $D^{-1}$，且该逆的每个系数仍属于 $\mathbb R[A]$。对 $DD^{-1}=1$ 使用乘积法则，结合 $\partial_A D=-z$，得到
$$
-zD^{-1}+D\,\partial_A(D^{-1})=0,
\qquad
\partial_A(D^{-1})=zD^{-2}.
$$
于是由（46.7）逐系数计算
$$
\partial_A U_A
=(1-z)D^{-1}+A(1-z)zD^{-2}
=\frac{(1-z)(D+Az)}{D^2},
\qquad
D+Az=1-2z+z^2=(1-z)^2.
$$
因此
$$
\boxed{
\sum_{k\ge0}u'_k(A)z^k
=\frac{(1-z)^3}{[1-(A+2)z+z^2]^2}.
}
\tag{46.13a}
$$
这是多项式系数环中的形式恒等式，对每个实 $A$ 的逐系数评价仍成立；证明不交换解析极限、无穷和或积分，也不需要解析收敛假设。$A=0$ 时导数序列各项为一，与下文单点域最小 Lipschitz 常数为零的区别仍保留。

在 $[-A,A]^{n+k+1}$ 内，由 $\mathsf P(a)=-Q(-a)$ 及 $Q$ 系数非负，对每个变量有
$$
|\partial_i\mathsf P_{n,k}(a)|
\le\partial_i Q_{n,k}(|a|)
\le\partial_i Q_{n,k}(A,\ldots,A).
$$
沿全对角方向求导，得
$$
\sum_{i=0}^{n+k}|\partial_i\mathsf P_{n,k}(a)|
\le\sum_i\partial_i Q_{n,k}(A,\ldots,A)
=u'_k(A)=L_k(A).
\tag{46.14}
$$
重复变量已经包含在偏导数的重数中。该行导数的 $\ell^\infty$ 输入到标量输出范数正是偏导绝对值之和。

对立方体内任意 $a,b$，线段 $a+t(b-a)$ 留在同一凸立方体内。沿线段积分梯度并用（46.14），给
$$
|\mathsf P_{n,k}(a)-\mathsf P_{n,k}(b)|
\le L_k(A)\|a-b\|_\infty.
\tag{46.15}
$$
这一步在实立方体证明，再限制到有理点；不需要声称有理点本身对实参数线段闭合。

证明常数不能缩小，使用同一对共同边界
$$
a=-A\mathbf1,\qquad b=-(A-h)\mathbf1,
\qquad 0<h\le A.
$$
由（46.6），其输入距离为 $h$，输出坐标差为 $u_k(A)-u_k(A-h)$。所以
$$
\frac{|\mathsf P_{n,k}(a)-\mathsf P_{n,k}(b)|}{\|a-b\|_\infty}
=\frac{u_k(A)-u_k(A-h)}h
\longrightarrow u'_k(A)
\quad(h\downarrow0).
\tag{46.16}
$$
结合上下界，$L_k(A)$ 恰为该坐标映射在完整立方体上的最小非负 Lipschitz 常数。

从（46.4）求导可见
$$
L_{k+1}-L_k=\sum_{j=0}^{k}u_j+A\sum_{j=0}^{k}L_j
$$
系数非负；因此 $k\le M$ 时 $L_k(A)\le L_M(A)$。对全三角取坐标最大值，再用（46.16）的 $(0,M)$ 坐标给最优下界，得到
$$
\boxed{
\|a-b\|_\infty
\le\|\mathcal E_M(a)-\mathcal E_M(b)\|_\infty
\le L_M(A)\|a-b\|_\infty,
\qquad a,b\in K_M(A).
}
\tag{46.17}
$$
右边的最小常数为 $L_M(A)$。左边因为边界坐标就是三角坐标的一部分，故首列提取在像 $I_M(A)$ 上为 $1$-Lipschitz。

其逆向常数 $1$ 同样最优。比较零边界与 $t e_M$，其中 $0<|t|\le A$。Context 式（43.10）的反对角首项或（46.1）表明：前 $M$ 个反对角层均为零，最后一层 $n+k=M$ 全为 $t$。所以两边界距离和两三角距离都等于 $|t|$。此例对 $M=0$ 仍成立。

**端点与达到方式。** 对 $A>0$，$k=0$ 的坐标是 $a_n$，故最优常数为 $1$，有不同输入对达到；$M=0$ 的全三角就是恒等映射，正逆最优常数均为 $1$。对 $A=0$，边界域和三角像各为零单点，最小非负正逆 Lipschitz 常数均为 $0$。多项式导数 $u'_k(0)=1$ 不是该单点域的最优常数，它描述放开域后在原点附近的变化。

对 $A>0$、$k\ge1$，$L_k(A)$ 是割线比值的上确界，没有不同输入对达到它；全三角在 $M\ge1$ 时同样如此。这个严格性将在下一节用精确有限误差模量证明，不能只从一族角点割线不取等号便推出所有输入对不取等号。

### 46.5 两个输入都留在幅度立方体时的精确模量

本小节假设 $A>0$，且 $0\le h\le A$。两份输入都必须留在同一个 $K_M(A)$。先给控制每个单项式所需的完整乘积引理。

**乘积引理。** 对任意 $d\ge1$，若 $r_i,s_i\in[-A,A]$ 且 $|r_i-s_i|\le h$，则
$$
\boxed{
\left|\prod_{i=1}^{d}r_i-\prod_{i=1}^{d}s_i\right|
\le A^d-(A-h)^d.
}
\tag{46.18}
$$
证明。$h=0$ 时两列逐项相同。一般地先考虑两个非零乘积异号。至少有一对因子 $r_j,s_j$ 异号，因此 $|r_j|+|s_j|=|r_j-s_j|\le h$。余下因子绝对值至多 $A$，故
$$
\left|\prod r_i-\prod s_i\right|
=\left|\prod r_i\right|+\left|\prod s_i\right|
\le hA^{d-1}
\le A^d-(A-h)^d.
$$
最后一步由
$$
A^d-(A-h)^d
=h\sum_{j=0}^{d-1}A^{d-1-j}(A-h)^j
\ge hA^{d-1}
$$
得到，且 $d=1$ 时成立。

其余情况两个乘积同号或至少一个为零。置 $p_i=|r_i|,q_i=|s_i|$，交换两列后可令 $\prod p_i\ge\prod q_i$。绝对值的反三角不等式给 $|p_i-q_i|\le h$，所以 $q_i\ge(p_i-h)_+$。于是
$$
\left|\prod r_i-\prod s_i\right|
=\prod p_i-\prod q_i
\le\prod p_i-\prod(p_i-h)_+.
$$
右侧在 $[0,A]^d$ 上逐坐标不减。为完整核对，固定其余坐标，置
$$
P=\prod_{i\ne j}p_i,\qquad Q=\prod_{i\ne j}(p_i-h)_+,
\qquad 0\le Q\le P.
$$
该坐标为 $t$ 时的函数是 $tP-(t-h)_+Q$；在 $t\le h$ 时斜率为 $P$，在 $t\ge h$ 时斜率为 $P-Q$，两段均非负且在接点连续。因此最大值在全部 $p_i=A$ 时取得，等于 $A^d-(A-h)^d$。两种情形穷尽，证明引理。空的其余乘积取一，故 $d=1$ 的证明亦完整。$\square$

定义单坐标和全三角的同立方体模量
$$
\omega_{n,k,A}(h)
=\sup_{\substack{a,b\in[-A,A]^{n+k+1}\\\|a-b\|_\infty\le h}}
|\mathsf P_{n,k}(a)-\mathsf P_{n,k}(b)|,
$$
$$
\omega_{M,A}(h)
=\sup_{\substack{a,b\in K_M(A)\\\|a-b\|_\infty\le h}}
\|\mathcal E_M(a)-\mathcal E_M(b)\|_\infty.
$$
则有精确公式
$$
\boxed{
\omega_{n,k,A}(h)=u_k(A)-u_k(A-h),\qquad
\omega_{M,A}(h)=u_M(A)-u_M(A-h),
\quad 0\le h\le A.
}
\tag{46.19}
$$
证明。对 $\mathsf P_{n,k}$ 的每个次数 $d$ 单项式应用（46.18）。同一变量可以在乘积中重复出现：引理对每个出现的因子成立，没有要求这些因子是独立变量，更没有概率独立性。总次数为 $d$ 的系数绝对值之和正是 $u_k$ 的 $A^d$ 系数。逐单项式三角不等式于是给上界 $u_k(A)-u_k(A-h)$。

在同一共同角点对 $a=-A\mathbf1,b=-(A-h)\mathbf1$ 上，每个坐标的两个值分别是 $-u_k(A),-u_k(A-h)$，故上界达到。由于 $u_M-u_k$ 系数非负，且 $A\ge A-h\ge0$，有
$$
u_k(A)-u_k(A-h)\le u_M(A)-u_M(A-h)
\qquad(k\le M).
$$
取坐标 $(0,M)$ 即得全三角公式；同一输入对使各坐标各自的界同时达到。$h=0$ 时模量为零。$h=A$ 的角点内侧为零边界，公式仍精确。本结果未给出 $A<h\le2A$ 的全部模量，不能无条件把（46.19）外推到那里。

**最优 Lipschitz 常数没有非平凡有限割线达到。** 对 $k\ge1$，由（46.8）的 $A^2$ 项严格正，$u''_k(t)>0$ 对所有 $t\ge0$ 成立。因此对每个 $0<h\le A$，
$$
u_k(A)-u_k(A-h)=\int_{A-h}^A u'_k(t)\,dt<h u'_k(A).
\tag{46.20}
$$
任取立方体内不同的 $a,b$，其距离 $d=\|a-b\|_\infty$ 满足 $0<d\le2A$。以中点把线段分为两半，每半的距离 $d/2\le A$。对两半应用（46.19）和（46.20），再用三角不等式，得到
$$
|\mathsf P_{n,k}(a)-\mathsf P_{n,k}(b)|
<dL_k(A).
$$
对全三角直接用 $u_M$ 的模量重复该证明，得 $M\ge1$ 时任意不同输入对均严格小于 $dL_M(A)$。因此（46.16）给的是逼近最优值的割线序列，而非一份非零距离最优对。线性端点 $k=0$、$M=0$ 不受这个严格凸性结论约束。

### 46.6 真值在立方体内、近似值允许越界时的精确噪声包络

本节的域不同于上一节。固定 $A\ge0$、$\eta\ge0$；只要求真实边界 $a\in K_M(A)$，近似输入为 $a+e$，其中 $\|e\|_\infty\le\eta$。近似点不必仍在 $K_M(A)$，但多项式 $\mathcal E_M$ 在全部实边界上仍然有定义。

对一个次数 $d\ge1$ 的单项式，将重复变量也当作其 $d$ 个出现位置，记该位置的输入因子与误差为 $a_{i_j},e_{i_j}$。有限乘积展开给
$$
\prod_{j=1}^d(a_{i_j}+e_{i_j})-\prod_{j=1}^d a_{i_j}
=\sum_{\varnothing\ne S\subseteq\{1,\ldots,d\}}
\left(\prod_{j\in S}e_{i_j}\right)
\left(\prod_{j\notin S}a_{i_j}\right).
\tag{46.21}
$$
这里只删掉无扰动的空集项。即使不同出现位置是同一个变量，展开仍是逐因子分配律；它不使用不同误差之间的独立性。取绝对值并逐项用幅度界，有
$$
\left|\prod_{j=1}^d(a_{i_j}+e_{i_j})-\prod_{j=1}^d a_{i_j}\right|
\le\sum_{s=1}^d\binom ds\eta^sA^{d-s}
=(A+\eta)^d-A^d.
$$
对 $A=0$，指数零的空乘积按一解释，也直接由有限乘积恒等式成立。

再按多项式次数的绝对系数总量求和，得到
$$
\boxed{
\sup_{\substack{\|a\|_\infty\le A\\\|e\|_\infty\le\eta}}
|\mathsf P_{n,k}(a+e)-\mathsf P_{n,k}(a)|
=u_k(A+\eta)-u_k(A),
}
\tag{46.22}
$$
以及全三角的精确公式
$$
\boxed{
\sup_{\substack{a\in K_M(A)\\\|e\|_\infty\le\eta}}
\|\mathcal E_M(a+e)-\mathcal E_M(a)\|_\infty
=u_M(A+\eta)-u_M(A).
}
\tag{46.23}
$$
上下界匹配的证明仍使用同一对共同输入：真实边界 $a=-A\mathbf1$，误差 $e=-\eta\mathbf1$，故近似边界为 $-(A+\eta)\mathbf1$。这使每个坐标的差等于对应的负幅度之差；系数非负及 $k\le M$ 使全三角最大值出现在 $(0,M)$。没有将不同坐标的扰动分别优化后拼接。

当 $\eta=0$ 时两个端点相同，（46.22）—（46.23）均为零。

在 $A>0$ 的固定小误差极限中，内侧模量与外侧包络除以误差后都趋于 $L_k(A)$ 或 $L_M(A)$，但它们在有限误差下不同。对 $k\ge1$，严格凸性还给 $u_k(A+\eta)-u_k(A)>L_k(A)\eta$（$\eta>0$）；因此用原立方体的线性常数控制可能越界的近似点，会漏掉高阶项。可用的简单线性上界是 $L_k(A+\eta)\eta$，它由对 $[A,A+\eta]$ 积分得到，但精确式（46.22）更细。

$A=0$ 时，同立方体任务的两端都是零，模量为零；本节却允许近似点离开零单点，故其噪声包络为 $u_k(\eta)$ 或 $u_M(\eta)$。这两个结论对应不同的输入域，没有矛盾。

### 46.7 有理端点、上确界与固定维数的实完成

记 $K_M^{\mathbb Q}(A)=K_M(A)\cap\mathbb Q^{M+1}$，$A$ 可以是实数。实域证明限制到这些点，给全部已述上界。

有理有限误差任务要求**比较的两个端点都为有理边界**。同立方体任务的允许对精确为
$$
a,b\in K_M^{\mathbb Q}(A),
\qquad \|a-b\|_\infty\le h,
\qquad 0\le h\le A.
$$
越界任务的允许对精确为
$$
a,\widehat a\in\mathbb Q^{M+1},
\qquad a\in K_M^{\mathbb Q}(A),
\qquad \|\widehat a-a\|_\infty\le\eta,
\qquad A,\eta\ge0.
$$
这里 $\widehat a$ 允许在原立方体之外；等价地，可写 $\widehat a=a+e$，并同时要求 $a,e\in\mathbb Q^{M+1}$。不能只要求真实端点有理而把近似端点留在未声明的实域。对于单坐标 $\mathsf P_{n,k}$，以上所有端点的维数改为 $n+k+1$，幅度域相应使用 $K_{n+k}^{\mathbb Q}(A)$。参数 $A,h,\eta$ 均允许为实数；下文的内向有理逼近证明这些明确有理端点域具有与实端点域相同的上确界。

若 $A>0$ 为有理数，全负角点属于有理域，故（46.6）的幅度最大值及全三角最大值仍达到；在（46.16）中取有理 $h\downarrow0$，得到同样的最小 Lipschitz 常数。逆常数 $1$ 的见证可取任意合法非零有理 $t$。若 $A>0$ 为无理数，则取有理半径 $r\uparrow A$：角点 $-r\mathbf1$ 给幅度趋向 $u_k(A)$；再在每个半径 $r$ 内取有理内向小扰动，割线比趋近 $u'_k(r)$，最后使 $r\uparrow A$。因此有理域的幅度上确界和最小 Lipschitz 常数仍分别为 $u_k(A)$、$L_k(A)$，全三角同理。对任意实半径 $A>0$ 均可选有理 $0<|t|\le A$，故逆向常数仍由 $t e_M$ 见证为一。

但对无理 $A$，任何一份有理边界均有 $r=\max_i|a_i|<A$。由 $u_k$ 严格递增，$|\mathsf P_{n,k}(a)|\le u_k(r)<u_k(A)$。所以幅度上确界不达到。不能把不存在的无理角点当成实际有理来源。线性端点的 Lipschitz 常数仍可由普通有理输入对达到；非线性坐标／全三角仍按第46.5节仅有割线上确界。

两种有限误差公式在有理点上也保留相同**上确界**。内侧可取有理 $r_j\uparrow A$ 和有理 $0\le h_j\le\min(h,r_j)$、$h_j\to h$，使用共同角点 $-r_j\mathbf1,-(r_j-h_j)\mathbf1$；$h=0$ 单独取零差。外侧取有理 $r_j\uparrow A$、有理 $\eta_j\uparrow\eta$，使用 $-r_j\mathbf1,-(r_j+\eta_j)\mathbf1$；$A=0$ 时直接用真实零输入。多项式连续性给精确实值上确界。若相应 $A,h$ 或 $A,\eta$ 都是有理数，所写极值对属于有理域，故达到；其它参数情形只使用已证上确界，不无条件宣称同一极值对可取得。

在**固定 $M$、通常数值范数**下，有
$$
\boxed{
\overline{K_M^{\mathbb Q}(A)}^{\|\cdot\|_\infty}=K_M(A),\qquad
\overline{\mathcal E_M(K_M^{\mathbb Q}(A))}^{\|\cdot\|_\infty}=I_M(A).
}
\tag{46.24}
$$
证明。有限维有理点在实立方体中稠密，包括用内向有理逼近端点；实立方体闭且完备。（46.17）的上界保证 $\mathcal E_M$ 一致连续，其实多项式评价给唯一连续延拓。每个实点用有理点逼近，像也逼近；反向，$I_M(A)$ 是紧实立方体的连续像，因而闭。首列提取的 $1$-Lipschitz 性保留逆向延拓。这给两个有理度量空间的实际完成；$A=0$ 为单点完成。

这种完成允许一份有限坐标中的有理数沿通常绝对值逼近实数。Context43 的离散前缀完成则要求每个固定坐标最终**严格相同**，其完整系数仍是有理数。两者使用不同拓扑、不同 Cauchy 条件和不同补入对象。一个新增数值误差界没有推翻旧前缀等距，也没有把它改解释为数值等距。

### 46.8 固定幅度下的深度增长及其非一致边界

以下固定 $A>0$，让整数 $M\to\infty$。令
$$
C_+(A)=\frac{A\lambda}{\lambda+1},\qquad
C_-(A)=\frac{A}{\lambda+1}.
$$
由（46.12），$u_M=C_+\lambda^M+C_-\lambda^{-M}$。从 $\lambda+\lambda^{-1}=A+2$ 求导，得到
$$
\frac{d\log\lambda}{dA}=\frac1{s(A)}.
$$
因此精确导数为
$$
\boxed{
L_M(A)
=\left(C'_++\frac{MC_+}{s}\right)\lambda^M
+\left(C'_- -\frac{MC_-}{s}\right)\lambda^{-M}.
}
\tag{46.25}
$$
固定 $A>0$ 时，$s,\lambda,C_\pm,C'_\pm$ 均为有限常数，$s>0,\lambda>1,C_+>0$。将（46.25）除以 $(MC_+/s)\lambda^M$，第一括号给 $1+O_A(1/M)$，另一项为指数衰减乘有界的 $M$ 比值，故
$$
\boxed{
u_M(A)\sim\frac{A\lambda}{\lambda+1}\lambda^M,\qquad
L_M(A)\sim
\frac{A\lambda}{(\lambda+1)\sqrt{A^2+4A}}\,M\lambda^M.
}
\tag{46.26}
$$
上述导数主项的相对误差为 $O_A(M^{-1})$；对足够大的 $M$，它的绝对值小于 $1/2$。由 $\log_2(1+t)=O(t)$，对正值取二进制对数，得
$$
\boxed{
\log_2 L_M(A)
=M\log_2\lambda+\log_2 M
+\log_2\!\frac{A\lambda}{(\lambda+1)\sqrt{A^2+4A}}
+O_A(M^{-1}).
}
\tag{46.27}
$$
这里的常数与误差记号依赖固定的 $A$；不是 $A\downarrow0$ 时的一致渐近。明确地，对每个固定 $M\ge1$，多项式（46.13）给 $L_M(A)\to1$；而（46.26）的主项因 $s\sim2\sqrt A$、$\lambda\to1$，在 $A\downarrow0$ 时趋于零。故不能让这个大 $M$ 比值近似对所有任意小的正 $A$ 同时有效。$A=0$ 的单点域常数为零，又与多项式导数极限是不同问题。

对每个固定 $A>0$，$L_M(A)$ 随深度无界增长。更直接地，完整负边界 $a_i=-A$ 是一个有界输入序列，但其体坐标绝对值为 $u_k(A)$，随 $k$ 指数增长。因而不能把同一全层重建直接声称为“有界序列到有界无限数组”的 $\ell^\infty$ 映射，也没有与 $M$ 无关的这个通常上确界范数 Lipschitz 常数。全层逐坐标代数恢复仍然成立；两项结论谈的是不同的函数空间要求。

### 46.9 统一量程归一后的条件数

对 $A>0$ 定义
$$
\boxed{\kappa_M(A)=\frac{A u'_M(A)}{u_M(A)}.}
\tag{46.28}
$$
它是将输入按统一量程 $A$ 归一、输出按整个三角的统一幅度上界 $u_M(A)$ 归一后所得映射的最小全局 Lipschitz 常数。具体映射为 $x\mapsto\mathcal E_M(Ax)/u_M(A)$，定义域是 $[-1,1]^{M+1}$；变量与输出的两次线性缩放把（46.17）的最优常数恰变为（46.28）。

将（46.8）按次数写成 $u_M(A)=\sum_{d=1}^{M+1}c_{M,d}A^d$，其中
$$
c_{M,d}=\binom{M+d-1}{2d-2}>0,
\qquad
w_d(A)=\frac{c_{M,d}A^d}{u_M(A)}.
$$
这些是正权重且 $\sum_d w_d=1$，所以
$$
\boxed{
\kappa_M(A)=\sum_{d=1}^{M+1}d w_d(A),
\qquad1\le\kappa_M(A)\le M+1.
}
\tag{46.29}
$$
$M=0$ 时恰为一；$M\ge1$、有限 $A>0$ 时各次数权重都正，故严格位于 $1$ 与 $M+1$ 之间。固定 $M$ 时，$A\downarrow0$ 由一次项主导，$\kappa_M\to1$；$A\to\infty$ 由最高次项主导，$\kappa_M\to M+1$。

固定 $A>0$、$M\to\infty$ 时，将（46.26）的两个等价式相除，得
$$
\boxed{
\kappa_M(A)\sim\frac{A}{\sqrt{A^2+4A}} M.
}
\tag{46.30}
$$
也可以直接对闭式（46.12）求对数导数得到以下精确式，无需增加一个独立问题：
$$
\boxed{
\kappa_M(A)
=1+\frac{A}{s}\left(
M+\frac1{\lambda+1}
-\frac{2M+1}{\lambda^{2M+1}+1}
\right).
}
\tag{46.31}
$$
证明。对分子 $\lambda^{M+1}+\lambda^{-M}$ 求对数导数，得到
$$
\frac1s\,
\frac{(M+1)\lambda^{M+1}-M\lambda^{-M}}
{\lambda^{M+1}+\lambda^{-M}}
=\frac1s\left(M+1-\frac{2M+1}{\lambda^{2M+1}+1}\right).
$$
对分母 $\lambda+1$ 的对数导数为 $\lambda/[s(\lambda+1)]$；加上外因子 $A$ 的对数导数并乘 $A$，便得（46.31）。$M=0$ 时括号为零，仍与恒等映射一致。

这里的归一化是**固定域的统一输入／输出量程**。它不是用某个实际输入的 $\|a\|$ 与实际输出的 $\|\mathcal E_M(a)\|$ 定义的点态相对条件数，也不消除输出可能为零、相消或特别小的问题。不能把（46.29）的线性深度界当成每一个实际输出都有同样相对精度保证。

### 46.10 有限误差预算与“额外位数”的准确含义

若真实边界和近似边界均在 $K_M(A)$、$A>0$，输入误差至多 $\delta$，且多项式输出按精确实数／有理数算术评价，则（46.17）给输出误差至多 $L_M(A)\delta$。因此对输入绝对误差 $2^{-q}$ 和目标输出误差 $2^{-p}$，以下整数预算充分：
$$
\boxed{q\ge p+\lceil\log_2 L_M(A)\rceil.}
\tag{46.32}
$$
这是统一的**线性充分预算**。它的线性放大因子在小误差极限中尖锐，但不能称为每个固定非零容差下必要且充分的额外位数。

当 $0\le\delta\le A$ 时，允许输入对明确为 $a,b\in K_M(A)$ 且 $\|a-b\|_\infty\le\delta$。这个完整同立方体任务的准确必要充分条件是
$$
\boxed{
\text{对全部允许输入对保证输出误差}\le\varepsilon
\quad\Longleftrightarrow\quad
u_M(A)-u_M(A-\delta)\le\varepsilon.
}
\tag{46.33}
$$
这是（46.19）的上确界定义；有理点即使没有极值对，具有相同上确界，故同样得到统一误差条件。越界任务则由（46.23）给对应的条件 $u_M(A+\delta)-u_M(A)\le\varepsilon$，不能混用内侧模量。

明确反例取 $A=1,M=1$。坐标 $\mathsf P_{0,1}=a_1-a_0^2$，$u_1(A)=A+A^2$、$L_1(1)=3$，而
$$
\omega_{1,1}(\delta)=u_1(1)-u_1(1-\delta)
=3\delta-\delta^2\qquad(0\le\delta\le1).
$$
在 $\delta=1/2$ 时，最坏全三角误差是 $5/4$，由 $(-1,-1)$ 与 $(-1/2,-1/2)$ 达到。因此输入误差 $1/2$ 已经统一保证容差 $5/4$，尽管 $\delta\le\varepsilon/L_1$ 会要求 $\delta\le5/12$。这反驳线性预算对任意有限容差的必要性，不反驳最优 Lipschitz 常数。

结合（46.27），固定 $A>0$ 时线性充分预算中的额外位数按 $M\log_2\lambda+\log_2 M+O_A(1)$ 增长。这不等于算法总位复杂度、最优读取或采样次数，也不保证某一浮点多项式评价程序达到该误差；舍入、溢出、中间量、截断与运算成本都需要独立的算法合同。这里没有新增相应算法结论。

上述结论控制数值重建误差。若下游任务再取阈值、符号或分类等不连续决定，小数值误差本身不保证决定不变；还须由该任务自己的裕度或连续性条件，将数值误差界传递到所需输出。本节在此仅限定适用范围，不新增下游决策定理。

### 46.11 保留整个观察者及实际来源的适用范围

令 $\Omega$ 为实际共同来源域，$c:\Omega\to\mathcal C$ 保留全部已获内部／外部信息与记录、来源／参考／版本身份、已获联合关系与相关性、准备和校准、相关相位／单位／增益数据、可访问记忆、局部钟及其已知关系、允许动作及其顺序、结果／失败／停止信息，以及共同误差与资源合同。给辅助坐标命名不授予未获信息的访问权。令 $a:\Omega\to K_M(A)$ 为该来源的边界读数。比较的始终是
$$
\omega\longmapsto(c(\omega),a(\omega)),\qquad
\omega\longmapsto(c(\omega),\mathcal E_M(a(\omega))).
\tag{46.34}
$$
在对应实际像上，$\mathrm{id}_{\mathcal C}\times\mathcal E_M$ 与 $\mathrm{id}_{\mathcal C}\times\beta_M$ 互逆，字面保留同一 $c$。不假设 $c$ 和 $a$ 独立，不把其像扩成未经证明的笛卡儿积，也不把边界本身等同于完整观察者。 具体地，在边界像上的复合把 $(c(\omega),a(\omega))$ 送回自身，因为 $\beta_M\mathcal E_M a(\omega)=a(\omega)$；在体像上的反向复合也由 $\mathcal E_M\beta_M\mathcal E_M a(\omega)=\mathcal E_M a(\omega)$ 送回自身。因此每一步都落在对应实际像中。

若 $\mathcal C$ 另有指定度量并给乘积用最大度量，则对 $A>0$，提升后的正向映射有上界 $\max(1,L_M)=L_M$，逆向有上界 $1$。这是分别对记录差和工作数据差取最大值得到的：若 $d_c=d_{\mathcal C}(c,c')$、$d_a=\|a-a'\|_\infty$、$d_T=\|\mathcal E_M(a)-\mathcal E_M(a')\|_\infty$，则 $\max(d_c,d_a)\le\max(d_c,d_T)\le L_M(A)\max(d_c,d_a)$，其中 $L_M(A)\ge1$。完整乘积且记录域非空时，可固定同一个 $c$ 使用角点割线或逆向见证，故标量最优常数保留；但受限实际像可能排除这些共同来源对，不能自动报告同样的最优下界。

例如固定 $M\ge1$、$A>0$ 和一个记录 $c_0$，实际边界只取 $a=t e_M$（$|t|\le A$）。由末反对角见证的同一递推，前 $M$ 层全零、最后一层全为 $t$；任意两个参数的边界差和体差均为 $|t-s|$。所以这个受限实际像上的正逆最优常数均为一，小于完整立方体的正向常数 $L_M(A)>1$。这给出了排除共同角点后最优下界不能移植的具体来源。

$A=0$ 时，单独的边界与三角都是单点，正逆最优常数为零。若完整记录 $c$ 仍可在两个正距离值之间变化，提升映射保留这些记录，便可具有最优常数一；若实际像也只剩一个零距离类，则最优常数为零。记录的恒等传递与数值工作空间的退化须分别计量。

若主张观察不可分辨，每个候选都必须解释同一份完整已获档案，且共同候选族须包含实际实现。数值距离也可以比较已经声明的实际点及其不同记录 $c,c'$，但其记录差必须计入最大乘积度量；不得删去该差来制造不可分辨性。

确定性噪声界可以比较同一真实边界与其误差记录，也可以比较两份已声明共同约束下的允许来源。它们不要求误差坐标独立；共享噪声、共同校准或重复因子不会破坏逐项确定性不等式。但数学上的角点来源和最坏扰动不证明实验能够制备、测量或合法取得它们。若要作概率或 minimax 结论，仍须对同一完整档案及联合误差事件另给实际模型。

逆映射只在递归像上恢复体。以 $M=1$ 为例，任意给出的三角数据
$$
T(0,0)=0,\qquad T(1,0)=0,\qquad T(0,1)=1
$$
违反后继关系。提取其边界得到零，重建后整个三角为零，并不返回原数据。因此不能把像上 $1$-Lipschitz 的首列提取说成任意带噪体数据的双侧逆。近似边界的多项式评价虽仍给一个递归三角，也不使它自动属于原始合法来源类。

本节建立的是既有递归体／边关系在**幅度受限、固定有限深度、通常数值范数**下的最优放大及误差模量。它与精确前缀几何并存，不能据此前向推广为全部无限有界数组映射、任意原来源的达到性、无限深度统一精度、物理时空／频率定律、算法舍入稳定性、原创优先权或新增 Lean 形式认证。

[^rroctx46_arrayamp_swamy]: M. N. S. Swamy, “Properties of the Polynomials Defined by Morgan-Voyce,” *The Fibonacci Quarterly* 4(1) (1966), pp.73–81，[原始扫描](https://www.fq.math.ca/Scanned/4-1/swamy.pdf)。本文使用的印刷页码与公式锚为：第73页式（7）的 $b_0=1,b_1=x+1$ 与二阶递推；第79页式（40）的系数公式，其中 $\binom{n+k}{n-k}=\binom{n+k}{2k}$；第80页式（42b）的较早缩放 Chebyshev 表示。后者的旧归一化不替代 DLMF 当前 $V/W$ 约定。归属只承担这个成熟多项式族，不承担本文特定非线性重建的最优噪声结论。

[^rroctx46_arrayamp_dlmf]: NIST DLMF [18.5.3](https://dlmf.nist.gov/18.5#E3) 的当前第三类 $V_n$ 约定；该处注明版本1.0.28（2020年9月15日）的 $V/W$ 对调更正。[18.12.10](https://dlmf.nist.gov/18.12#E10) 为第二类 $U_n$ 的生成式，乘 $1-z$ 才得到这里的 $V_n=U_n-U_{n-1}$。本文先按多项式／形式系数恒等式迁移；当 $A>0$ 时的解析半径另由（46.7）的极点明确给出。

## 46.99 追加锚

## 47. 同一递归关系的加权完成、解析半径与标签几何

本节接续第43节的递归体／边关系和第46节的有限幅度结果。同一递归系数决定指定加权拓扑下的恢复稳定性、完成与解析球；另行选择标签及正权以后，同一生成函数给出归一化、矩与信息几何。全部结论保留共同来源、完整已获记录、范数及有限取得条件。

离散片段与完整数组是相容关系的不同呈现；完成化仍须声明哪一种误差趋于零。不同一致结构的完成、正项求和和真实观察概率各有独立条件。本节给出普通数学证明，不据此推出物理定律或新的 Lean 认证。

### 47.1 定义、实际递归像与有限供应

固定实数 $A>0$、$0<\rho<1$，令
$$
K_A=[-A,A]^{\mathbb N}.
$$
每个 $a\in K_A$ 的数组 $\mathcal E(a)$ 由同一列递推定义：
$$
T(n,0)=a_n,\qquad
T(n,k+1)=T(n+1,k)-\sum_{j=0}^{k}T(n,j)a_{k-j}.
\tag{47.1}
$$
对 $k$ 归纳，右端只使用已经构造的列。每个坐标是 $a_0,\ldots,a_{n+k}$ 的整系数多项式，且没有常数项。因此每份实边界唯一给出一个满足 (47.1) 的实际全层数组，所有有限三角彼此相容。反向由第一列
$$
\beta(T)_n=T(n,0)
$$
提取边界。只有在对应递归像上，$\beta$ 与 $\mathcal E$ 互逆。

使用第46.2—46.5节中已经建立的以下结果：共同负角点及幅度为（46.6），系数与根为（46.8）、（46.11）—（46.12），坐标 Lipschitz 性为（46.14）—（46.17），同立方体模量为（46.19）。对每个 $n,k\ge0$，
$$
|\mathcal E(a)(n,k)|\le u_k(A),\qquad
\mathcal E(-A\mathbf1)(n,k)=-u_k(A),
\tag{47.2}
$$
其中
$$
u_k(A)=\sum_{d=1}^{k+1}\binom{k+d-1}{2d-2}A^d
=\frac{A}{\lambda+1}\bigl(\lambda^{k+1}+\lambda^{-k}\bigr),
$$
$$
s=\sqrt{A^2+4A},\qquad \lambda=\lambda(A)=\frac{A+2+s}2>1,\qquad
L_k(A)=u'_k(A).
\tag{47.3}
$$
由 \(\lambda\) 的定义，它与 \(\lambda^{-1}\) 是
\(x^2-(A+2)x+1=0\) 的两个正根，故
\(\lambda+\lambda^{-1}=A+2\)、\(\lambda-\lambda^{-1}=s\)。

同一有限依赖坐标的最优 Lipschitz 常数为 $L_k(A)$。对 $0\le h\le A$，
$$
|\mathcal E(a)(n,k)-\mathcal E(b)(n,k)|
\le u_k(A)-u_k(A-h)
\quad\text{若 }\|a-b\|_\infty\le h.
\tag{47.4}
$$
共同角点对 $a=-A\mathbf1,\ b=-(A-h)\mathbf1$ 同时使所有坐标达到 (47.4)。这些是同一组无限序列的有限限制，不是分别为不同坐标选择不相容的见证。$h=A$ 时约定 $u_k(0)=0$，与多项式公式一致。

定义加权数组空间及其范数：
$$
\mathcal B_\rho=
\left\{T:\mathbb N^2\to\mathbb R:
\|T\|_\rho:=\sup_{n,k\ge0}\rho^{n+k}|T(n,k)|<\infty\right\}.
\tag{47.5}
$$
逐坐标乘以 $\rho^{n+k}$ 将它线性等距映到通常的 $\ell^\infty(\mathbb N^2)$，因此 $\mathcal B_\rho$ 是 Banach 空间。以下“映射有界”指整个 $K_A$ 的像在这个范数下统一有界，不把非线性 $\mathcal E$ 称为线性算子。

记
$$
q=\rho\lambda(A).
$$
当 $\mathcal E(K_A)\subseteq\mathcal B_\rho$ 时，记实际像为
$$
\mathcal I_{A,\rho}=\mathcal E(K_A).
$$
不把 $\mathcal I_{A,\rho}$ 与任意加权有界数组空间混同。

### 47.2 有界映射的精确阈值

**命题 47.1（精确有界阈值）。** 全层映射 $\mathcal E:K_A\to\mathcal B_\rho$ 取值良定且统一有界，当且仅当 $q\le1$。在这一范围内，
$$
\max_{a\in K_A}\|\mathcal E(a)\|_\rho=A.
\tag{47.6}
$$

证明。由 (47.2) 及 $\rho^n\le1$，
$$
\sup_{a\in K_A}\|\mathcal E(a)\|_\rho
=\sup_{k\ge0}\rho^k u_k(A),
$$
等号由同一个全负边界在 $n=0$ 的全部坐标给出。由 (47.3)，
$$
\rho^ku_k(A)
=\frac{A}{\lambda+1}
\left[\lambda q^k+\left(\frac{\rho}{\lambda}\right)^k\right].
\tag{47.7}
$$
若 $q\le1$，两个幂都至多一，故右端至多 $A$；$k=0$ 时恰为 $A$。若 $q>1$，第一项随 $k$ 无界增长，全负边界的数组不属于 $\mathcal B_\rho$。证毕。

同一幅度恒等式也说明：若只把输出读法改为列权重
\(\sup_{n,k}\rho^k|T(n,k)|\)，完整自由边界族的幅度阈值仍是 \(q\le1\)，且最优幅度仍为 \(A\)。这只是另一指定范数下的幅度结论；其对行指标的尾部、紧性或完成条件不从下文的反对角权重结果自动继承。以下全部数组拓扑继续使用 (47.5)。

### 47.3 次临界的最优 Lipschitz 常数与统一尾界

**命题 47.2（最优全层 Lipschitz 常数）。** 当 $q<1$ 时，$\mathcal E$ 从输入通常上确界距离到输出加权范数的最优全局 Lipschitz 常数为
$$
C_\rho(A)=\sup_{k\ge0}\rho^kL_k(A)<\infty.
\tag{47.8}
$$
这个上确界在某个有限 $k$ 处取得，并且 $C_\rho(A)\ge1$。

证明。由 $u_k$ 的正系数及次数至多 $k+1$，
$$
L_k(A)\le\frac{k+1}{A}u_k(A)\le(k+1)\lambda^k.
$$
最后一步来自 (47.3)：
$$
u_k(A)
=A\lambda^k\,\frac{\lambda+\lambda^{-2k}}{\lambda+1}
\le A\lambda^k.
\tag{47.9}
$$
所以 $0\le\rho^kL_k(A)\le(k+1)q^k\to0$。$L_0(A)=1$，故此正序列的上确界有限，且可在一个有限初始段内取到最大值。

逐坐标使用有限 Lipschitz 界，再取所有 $n,k$ 的上确界，得到
$$
\|\mathcal E(a)-\mathcal E(b)\|_\rho
\le C_\rho(A)\|a-b\|_\infty.
\tag{47.10}
$$
为证最优性，固定任意 $k$，比较共同角点 $-A\mathbf1$ 与 $-(A-h)\mathbf1$，其中 $0<h\le A$。其输入距离是 $h$，第 $(0,k)$ 个坐标的加权割线比为
$$
\rho^k\frac{u_k(A)-u_k(A-h)}h
\longrightarrow\rho^kL_k(A)\quad(h\downarrow0).
$$
任何全局 Lipschitz 常数均须大于等于每个这样的极限，因此不能小于 (47.8)。有限索引取得 $C_\rho(A)$ 不等于有不同输入对取得最优割线比。证毕。

**精确统一尾界。** 更一般地，只要 $q\le1$，对每个整数 $N\ge0$，
$$
\sup_{a\in K_A}\sup_{n+k\ge N}\rho^{n+k}|\mathcal E(a)(n,k)|
=\rho^Nu_N(A)\le A q^N.
\tag{47.11}
$$
证明。$u_k(A)$ 关于 $k$ 增加，这可由 (47.3) 的正系数逐项比较得到。因此在反对角层 $n+k=m$ 上，
$$
\rho^{n+k}|\mathcal E(a)(n,k)|\le\rho^m u_k(A)\le\rho^m u_m(A).
$$
共同全负边界在 $(n,k)=(0,m)$ 取得这个层上界。又由 (47.7)，$\rho^m u_m(A)$ 是两个非负几何项之和，其底数分别为 $q\le1$ 和 $\rho/\lambda<1$，所以关于 $m$ 不增。所有 $m\ge N$ 的最大值就在 $m=N$，并由同一个全负边界的 $(0,N)$ 坐标取得。最后由 (47.9) 得 $\rho^Nu_N(A)\le Aq^N$。证毕。

因此 (47.11) 的右侧也是每份输入的统一尾界。次临界时它趋于零；临界时它趋于第47.5节的正常数 $c_A$，不能把临界尾部当成统一消失的尾部。

### 47.4 全层精确有限误差模与共同见证

在 $q\le1$ 时定义
$$
\omega_{\rho,A}(h)=
\sup_{\substack{a,b\in K_A\\\|a-b\|_\infty\le h}}
\|\mathcal E(a)-\mathcal E(b)\|_\rho,
\qquad 0\le h\le A.
$$

**命题 47.3（精确全层有限误差模）。**
$$
\boxed{
\omega_{\rho,A}(h)=
\sup_{k\ge0}\rho^k\bigl(u_k(A)-u_k(A-h)\bigr).
}
\tag{47.12}
$$
同一个角点对 $-A\mathbf1,\ -(A-h)\mathbf1$ 取得这一范数模量。

证明。对每对允许输入逐坐标应用 (47.4)，并用 $\rho^n\le1$，得到右侧上界。该共同角点对在每个坐标上给出 $u_k(A)-u_k(A-h)$ 的绝对差，所以其实际范数距离恰好是右侧。这一证明不需要为各坐标分别拼接见证，也不需要交换极限和上确界。即使索引上确界不在有限 $k$ 取得，固定输入对仍取得作为上确界定义的范数距离。

$h=0$ 时两边为零；$h=A$ 时第二个角点是零边界，右侧由 (47.6) 等于 $A$。证毕。

在次临界情形，(47.10) 给 $\omega_{\rho,A}(h)\le C_\rho(A)h$。固定 $k$ 再令 $h\downarrow0$，并取 $k$ 的上确界，可得
$$
\lim_{h\downarrow0}\frac{\omega_{\rho,A}(h)}h=C_\rho(A).
$$
这里没有把同立方体模量改成允许近似点越界的外向噪声包络。

### 47.5 临界点：有界但在全负边界不连续

令 $q=1$，即 $\rho=1/\lambda(A)$，并记
$$
c_A=\frac{A\lambda(A)}{\lambda(A)+1}>0,\qquad
b_A=\frac{A}{\lambda(A)+1}.
$$
由 (47.7)，
$$
\rho^ku_k(A)=c_A+b_A\lambda^{-2k}.
\tag{47.13}
$$

因此，对全负边界的实际数组作有限反对角坐标截断时，尾部范数由 (47.11) 精确给出，并趋于 \(c_A\)，不会趋零。这说明环境数组中的有限坐标截断在临界范数下不能逼近该对象；它不等同于“有限支撑边界生成的实际无限数组”。第47.9节将证明：在完整自由来源类中，后者的闭包恰为具有消失加权尾的实际像，任意实际数组到该闭包的距离等于其剩余尾幅度；这个全负数组的距离特别为 \(c_A\)。
对每个固定 $0<h<A$，$\lambda(A-h)<\lambda(A)$，所以
$$
\rho^ku_k(A-h)\longrightarrow0.
$$
当 $h=A$ 时此项恒为零，结论仍成立。故
$$
\lim_{k\to\infty}
\rho^k\bigl(u_k(A)-u_k(A-h)\bigr)=c_A
\qquad(0<h\le A).
\tag{47.14}
$$
共同角点对因此满足
$$
\|(-A\mathbf1)-(-(A-h)\mathbf1)\|_\infty=h,\qquad
\|\mathcal E(-A\mathbf1)-\mathcal E(-(A-h)\mathbf1)\|_\rho
=\omega_{\rho,A}(h)\ge c_A.
\tag{47.15}
$$
令 $h\downarrow0$，得到 $\mathcal E$ 在全负边界处不连续。因此临界情形没有全局 Lipschitz 常数。

事实上，整个允许区间上的临界模量都有闭式：
$$
\omega_{\rho,A}(0)=0,\qquad
\omega_{\rho,A}(h)=\max\{h,c_A\}\quad(0<h\le A),
\qquad
\lim_{h\downarrow0}\omega_{\rho,A}(h)=c_A.
\tag{47.16}
$$
证明。令 $B=A-h\in[0,A)$。$u_k$ 的一次项为 $B$，其余系数非负，故 $u_k(B)\ge B$，包括 $B=0$。由于 $0<\rho<1$，
$$
\rho^k u_k(B)\ge B\rho^k\ge B\rho^{2k}.
$$
结合 (47.13)、$\rho=\lambda^{-1}$ 及 $b_A-B=h-c_A$，
$$
\rho^k\bigl(u_k(A)-u_k(B)\bigr)
\le c_A+(h-c_A)\rho^{2k}
\le\max\{h,c_A\}.
$$
深度零的差值恰为 $h$；(47.14) 的深度极限给下界 $c_A$。取上确界即证精确式，并得到零处的跳跃。$0<h<c_A$ 时，共同角点对取得范数距离 $c_A$，但其任何有限深度坐标都没有取得该距离（其他行还多一个不超过一的因子 $\rho^n$）；$h\ge c_A$ 时，深度零已经取得模量。证毕。

结合第47.2、47.3节，整个 $K_A$ 到 $\mathcal B_\rho$ 的全局 Lipschitz 映射存在，当且仅当 $q<1$。临界结论只证明特定全负边界的不连续性，不声称每个输入处都不连续。

**临界实际像闭、有界、完备，但不紧。** 闭性实际上对所有 $q\le1$ 都成立。设 $T_r=\mathcal E(a^{(r)})$ 在 $\mathcal B_\rho$ 范数中收敛到 $T$。每个坐标的评价都是连续泛函，第一列极限 $a_n=T(n,0)$ 仍在闭区间 $[-A,A]$ 内。每个递归坐标只使用有限前缀的多项式，故
$$
T(n,k)=\lim_r\mathcal E(a^{(r)})(n,k)
=\mathcal E(a)(n,k).
$$
因此 $T\in\mathcal I_{A,\rho}$，实际像闭；(47.6) 给有界性，$\mathcal B_\rho$ 的完备性给实际像完备。

现在取临界情形及 $h_m=A/(m+2)$，令 $T_m=\mathcal E(-(A-h_m)\mathbf1)$。每个固定坐标都趋于 $\mathcal E(-A\mathbf1)$ 的相应坐标，但 (47.15) 保证两者范数距离至少为 $c_A$。若 $T_m$ 有范数收敛子列，其极限的全部坐标必须等于 $\mathcal E(-A\mathbf1)$，与这个距离下界矛盾。故该有界序列没有收敛子列，临界实际像不紧。以上结论仍然只针对完整 $K_A$ 的实际像。

### 47.6 乘积拓扑、加权范数拓扑及逆映射

每个输入实坐标均使用通常绝对值拓扑。因为每个输出坐标只依赖有限输入坐标且是多项式，$\mathcal E$ 在输入乘积拓扑到输出乘积拓扑之间连续。第一列提取是坐标投影，故两者在实际递归像上互为乘积拓扑同胚。这一结论不依赖全层加权有界性。

在 $q<1$ 时，输入乘积收敛进一步推出输出加权范数收敛。事实上，若 $a^{(r)}\to a$ 逐坐标，则对给定 $\varepsilon>0$，先由 (47.11) 选 $N$ 使 $2Aq^N<\varepsilon/2$。有限头部 $n+k<N$ 的多项式读数最终全部相差小于对应的 $\varepsilon/2$ 加权阈值；剩余尾部的差由 $2Aq^N$ 控制。于是
$$
\|\mathcal E(a^{(r)})-\mathcal E(a)\|_\rho\longrightarrow0.
\tag{47.17}
$$
具体地，固定 $a$ 和输出误差 $\varepsilon$，先如上选择 $N$。对每个 $n+k<N$，坐标多项式的连续性给一个含 $a$ 的输入乘积开邻域，使加权坐标差小于 $\varepsilon/2$；有限多个这样的邻域之交仍是乘积开邻域。在该邻域内有限头部差小于 $\varepsilon/2$，共同尾部差小于 $\varepsilon/2$，故输出范数差小于 $\varepsilon$。这证明乘积到范数的连续性，而不只给序列陈述。

反方向，在所有 $q\le1$ 的情形，只要两个数组属于 $\mathcal I_{A,\rho}$，其第一列满足
$$
\sup_{n\ge0}\rho^n|a_n-b_n|
\le\|\mathcal E(a)-\mathcal E(b)\|_\rho.
\tag{47.18}
$$
因而逆映射到加权输入范数
$$
\|a\|_{\partial,\rho}:=\sup_n\rho^n|a_n|
$$
是 $1$-Lipschitz，并且逆映射到输入乘积拓扑连续：固定 $n$ 时，坐标差至多为 $\rho^{-n}$ 倍输出范数差。

常数一最优。取 $0<\alpha\le A$ 且 $\rho\alpha<1$，比较 $\alpha e_0$ 与零。由 (47.1)，所有 $n>0$ 的行全零，而
$$
\mathcal E(\alpha e_0)(0,k)=\alpha(-\alpha)^k.
$$
因此加权输出范数和加权输入范数均为 $\alpha$，取得等号。

但逆映射到通常输入上确界范数，在次临界和临界情形都不连续。统一取 $\alpha=A/2$，令
$$
a^{(N)}=\alpha e_N,\qquad q_\alpha=\rho\lambda(\alpha)<1.
$$
严格不等式由 $\lambda(\alpha)<\lambda(A)$ 及 $q\le1$ 给出。若 $n+k<N$，有限依赖和零常数项使 $\mathcal E(a^{(N)})(n,k)=0$。对其余坐标使用半径 $\alpha$ 的 (47.11)，得到
$$
\|\mathcal E(a^{(N)})\|_\rho\le\alpha q_\alpha^N\longrightarrow0,
\qquad
\|a^{(N)}\|_\infty=\alpha.
\tag{47.19}
$$
所以普通上确界逆连续性在零数组处失败。此见证不与临界全负边界的正向不连续性混同。

### 47.7 次临界的紧像与完整数值完成

本节全部假设 $q<1$。定义拉回输出距离
$$
d_\rho(a,b)=\|\mathcal E(a)-\mathcal E(b)\|_\rho.
\tag{47.20}
$$
它是有限值的真正度量：范数给三角不等式；若距离为零，第一列相同，故 $a=b$。由第47.6节，它在 $K_A$ 上诱导通常实坐标的乘积拓扑。

**紧性与完备性。** 每个区间 $[-A,A]$ 紧。给定 $K_A$ 中任意序列，对第零坐标取收敛子列，再依次对每个坐标取子列；对角子列在每个固定坐标收敛于某个仍在 $[-A,A]$ 中的值。全部极限给 $a\in K_A$，由 (47.17)，相应数组在加权范数中收敛到 $\mathcal E(a)$。因此 $\mathcal I_{A,\rho}$ 是度量空间中的序列紧集，从而紧且完备。

也可直接验证拉回度量的完备性。若 $a^{(r)}$ 是 $d_\rho$-Cauchy，则 (47.18) 使每个固定实坐标成为 Cauchy 序列，其极限 $a_n$ 仍在闭区间 $[-A,A]$。由 (47.17)，整个数组收敛于 $\mathcal E(a)$。所以 $(K_A,d_\rho)$ 完备，$\mathcal E$ 是它到 $\mathcal I_{A,\rho}$ 的等距双射。特别地，紧像是 $\mathcal B_\rho$ 中的闭子集。

令有限支撑边界类为
$$
\mathcal F_A^{\mathbb R}
=\{a\in K_A:\exists N,\ \forall i\ge N,\ a_i=0\},
$$
$$
\mathcal F_A^{\mathbb Q}
=\{a\in\mathcal F_A^{\mathbb R}:\forall i,\ a_i\in\mathbb Q\}.
\tag{47.21}
$$
它们的实际数组像分别记为
$$
\mathcal J_{A,\rho}^{\mathbb R}=\mathcal E(\mathcal F_A^{\mathbb R}),
\qquad
\mathcal J_{A,\rho}^{\mathbb Q}=\mathcal E(\mathcal F_A^{\mathbb Q}).
$$
这里是“有限支撑边界所生成的实际无限数组”，不是把有限三角的外部数组坐标补零。后者一般不满足 (47.1)。例如 $\alpha e_0$ 的第零行在所有 $k$ 上均非零。

**实有限支撑稠密性。** 给定 $a\in K_A$，令 $a^{<N}$ 保留下标 $i<N$ 的坐标，之后全部设零。它逐坐标趋于 $a$，所以在乘积拓扑中稠密。更直接地，有限依赖使两数组在 $n+k<N$ 时完全相同，由 (47.11) 得
$$
d_\rho(a^{<N},a)\le2Aq^N\longrightarrow0.
\tag{47.22}
$$
因此实有限支撑边界在 $d_\rho$ 中稠密，其实际数组在 $\mathcal I_{A,\rho}$ 中稠密。

**有理有限支撑稠密性，包括无理幅度端点。** 对每个 $N\ge1$ 和每个 $i<N$，选
$$
r_i^{(N)}\in\mathbb Q\cap[-A,A],
\qquad |r_i^{(N)}-a_i|<1/N,
$$
并令 $r_i^{(N)}=0$ 对 $i\ge N$。这样的选择始终存在：对任何 $a_i\in[-A,A]$，其半径 $1/N$ 的邻域与 $(-A,A)$ 的交集包含非空开区间，因此含有有理数。这个论证不要求 $A$ 有理，且在端点 $\pm A$ 处使用内向逼近。

由构造 $r^{(N)}\in\mathcal F_A^{\mathbb Q}$，它逐坐标趋于 $a$。此外，$r^{(N)}$ 与 $a^{<N}$ 都在原立方体内、尾部同为零，所以
$$
\|r^{(N)}-a^{<N}\|_\infty<1/N.
$$
由 (47.10)、(47.22) 及三角不等式，
$$
d_\rho(r^{(N)},a)
\le \frac{C_\rho(A)}N+2Aq^N\longrightarrow0.
\tag{47.23}
$$
这同时证明有理有限支撑边界的乘积稠密性和拉回输出度量稠密性；其数组坐标也均为有理数，因为每个坐标是整系数多项式。

**完成的识别。** 由已证稠密性、实际包含映射及完备性，规范度量完成满足
$$
\boxed{
\widehat{(\mathcal F_A^{\mathbb R},d_\rho)}
\cong (K_A,d_\rho)
\cong
\widehat{(\mathcal F_A^{\mathbb Q},d_\rho)}.
}
\tag{47.24}
$$
在数组侧，
$$
\boxed{
\widehat{(\mathcal J_{A,\rho}^{\mathbb R},\|\cdot-\cdot\|_\rho)}
\cong\mathcal I_{A,\rho}
\cong
\widehat{(\mathcal J_{A,\rho}^{\mathbb Q},\|\cdot-\cdot\|_\rho)}.
}
\tag{47.25}
$$
这些是等距同构，分别延续已有的包含映射和 $\mathcal E$。为了明确不存在额外完成点：任意源侧 Cauchy 序列由上面的坐标论证给唯一 $a\in K_A$；任意数组侧 Cauchy 序列在完备的闭像中给唯一 $\mathcal E(a)$。反过来，每个这样的点都由 (47.22) 或 (47.23) 的允许有限支撑来源逼近。因此既无遗漏，也没有把不满足递归关系的任意加权数组补入。

此处的源侧完成使用的是 $d_\rho$，不是通常输入上确界距离。第47.6节已经给出两者不能以连续逆混用的具体序列。本节不将次临界的有限支撑稠密及紧像结论直接推广到临界点。

### 47.8 与 Context43 精确前缀完成的区别

Context43 给每个有理坐标使用离散的精确相等拓扑，其前缀超度量为
$$
d_{\mathrm{pref}}(a,b)=2^{-\min\{i:a_i\ne b_i\}}
$$
（相同时为零）。成为 Cauchy 序列，要求每个固定有限前缀最终逐项精确相同。因此最终稳定的每个坐标仍是有理数；有限支撑有理边界完成为全部有理序列，而不会仅因数值逼近引入无理系数。

若也把来源限制在当前幅度区间内，同一论证将有限支撑有理边界在这个离散前缀度量下完成为
$$
(\mathbb Q\cap[-A,A])^{\mathbb N},
$$
因为每个稳定坐标仍属于该集合，且有理序列的有限截断给稠密性。

本节 (47.24) 则使用通常数值误差构造的 $d_\rho$，允许固定坐标中的有理值收敛到实数。例如选择无理数 $\xi\in(-A,A)$ 及互异有理数 $r_m\in\mathbb Q\cap[-A,A]$、$r_m\to\xi$，令 $a^{(m)}=r_me_0$。由 (47.10)，该序列在 $d_\rho$ 下是 Cauchy，极限为 $\xi e_0$；但任意两项在第零坐标不同，故前缀距离恒为一，在 $d_{\mathrm{pref}}$ 下不是 Cauchy。

因此，同一类有限有理表示可以在不同度量下有不同完成。新结论没有修改原来的前缀等距、形式级数语义或有理共同来源结论，也没有把形式变量自动赋予解析数值。

还可精确识别第三种完成。对同一 $\mathcal F_A^{\mathbb Q}$ 改用通常输入上确界距离，则
$$
\widehat{(\mathcal F_A^{\mathbb Q},\|\cdot-\cdot\|_\infty)}
\cong c_0(\mathbb R)\cap K_A,
$$
其中 $c_0(\mathbb R)$ 是趋于零的实序列空间，右侧使用通常上确界距离。

证明一方向。若有限支撑边界 $a^{(r)}$ 在上确界范数中收敛到 $a$，则每个 $|a_n|\le A$。给定 $\varepsilon>0$，先取某个 $r$ 使 $\|a-a^{(r)}\|_\infty<\varepsilon$，再取该有限支撑的末端 $N$；对所有 $n\ge N$，有 $|a_n|<\varepsilon$，所以 $a_n\to0$。为同时证明完备性，设一般的 $a^{(r)}\in c_0(\mathbb R)\cap K_A$ 在 $\ell^\infty$ 中收敛到 $a$：先取 $\|a-a^{(r)}\|_\infty<\varepsilon/2$，再取该 $a^{(r)}$ 的尾部小于 $\varepsilon/2$，便得 $a$ 的尾部小于 $\varepsilon$；坐标极限仍在 $[-A,A]$。因此 $c_0(\mathbb R)\cap K_A$ 是 $\ell^\infty(\mathbb R)$ 中的闭集，因而完备。

反方向，给定 $a\in c_0(\mathbb R)\cap K_A$ 和 $\varepsilon>0$，选 $N$ 使 $n\ge N$ 时 $|a_n|<\varepsilon/2$。对前 $N$ 个实坐标分别用 $\mathbb Q\cap[-A,A]$ 中的数逼近到误差小于 $\varepsilon/2$，之后补零。所得允许有理有限支撑边界与 $a$ 的上确界距离小于 $\varepsilon$。端点逼近仍用第47.7节的内向有理选择，故不要求 $A$ 有理。稠密性与完备性给该完成。实有限支撑边界在同一范数下也有相同完成。

三种结论作用于同一个允许有理有限支撑集合，区别在所声明的距离：

| 来源距离 | 完成对象 | 固定坐标的极限规则 |
| --- | --- | --- |
| 离散精确前缀 $d_{\mathrm{pref}}$ | $(\mathbb Q\cap[-A,A])^{\mathbb N}$ | 最终精确相同，保留有理坐标 |
| 次临界拉回输出距离 $d_\rho$ | $K_A$，等距对应完整紧数组像 | 允许实数极限及非零无限尾部 |
| 通常上确界距离 | $c_0(\mathbb R)\cap K_A$ | 允许实数极限，但尾部须统一趋零 |

### 47.9 临界有限来源的消失尾、正距离与完成

本节固定 \(A>0\) 和临界 \(\rho=1/\lambda(A)\)，沿用第47.7节的有限支撑边界
\(\mathcal F_A^{\mathbb R},\mathcal F_A^{\mathbb Q}\) 及其实际数组像
\(\mathcal J_{A,\rho}^{\mathbb R},\mathcal J_{A,\rho}^{\mathbb Q}\)，以及完整像
\(\mathcal I_{A,\rho}\)。有限支撑修饰边界，数组仍满足全部递归关系，不能替换为补零的有限三角。

记同一个全负来源及其数组为
\[
a^\star=-A\mathbf1,\qquad T^\star=\mathcal E(a^\star).
\]
(47.2)、(47.13) 给
\(T^\star(n,k)=-u_k(A)\)、
\(\rho^ku_k(A)=c_A+b_A\rho^{2k}\)，其中
\(c_A=A\lambda/(\lambda+1)>0\)、\(b_A=A/(\lambda+1)\)。
(47.11) 的完整自由来源统一尾界不趋零；下面先证明每个固定有限支撑类具有另外的消失尾界。

#### 47.9.1 固定有限支撑的消失尾

定义
$$
\mathcal B_{\rho,0}
=\left\{T\in\mathcal B_\rho:
\lim_{L\to\infty}
\sup_{n+k\ge L}\rho^{n+k}|T(n,k)|=0\right\}.
\tag{47.26}
$$
这是加权坐标下的 $c_0(\mathbb N^2)$；有限三角穷尽全部有限坐标集。

**命题 47.4（固定有限支撑的统一消失尾）。** $\mathcal E(\mathcal F_A^{\mathbb R})\subseteq\mathcal B_{\rho,0}$。对固定支撑上界 $M$，尾收敛对所有满足 $b_i=0\ (i\ge M)$ 的 $b\in K_A$ 一致。

证明。取 $M\ge1$ 使上述支撑条件成立；零边界也允许这样选。第43.3节定理43.4及式（43.6）—（43.9）的有限系数证明只用单位常数项、加减乘及有限卷积，所以在实系数与复系数上仍成立。置
$$
F_b(z)=1+z\sum_{i=0}^{M-1}b_i z^i,\qquad
C_{n,b}(w)=\sum_{j=0}^{M-1-n}b_{n+j}w^j\quad(n<M).
$$
实际第 $n$ 行的形式级数是以下有理函数在零点的 Taylor 级数：
$$
R_{n,b}(z)
=\frac1{F_b(z)}C_{n,b}\!\left(\frac z{F_b(z)}\right)
=\sum_{j=0}^{M-1-n}\frac{b_{n+j}z^j}{F_b(z)^{j+1}}
\quad(n<M),
\qquad
R_{n,b}=0\quad(n\ge M).
\tag{47.27}
$$
后一结论亦可由 (47.1) 对列归纳验证。$C_{n,b}$ 为多项式，没有额外的无限复合级数收敛要求。

由 $A>0$ 得
$$
\lambda-(1+A)=\frac{\sqrt{A^2+4A}-A}{2}>0,
\qquad \rho<\frac1{1+A}<1.
$$
固定
$$
\rho<r<\frac1{1+A},\qquad
\delta_r=1-\frac{Ar}{1-r}>0.
\tag{47.28}
$$
对 $|z|\le r$，
$$
|F_b(z)-1|
\le A\sum_{i=0}^{M-1}|z|^{i+1}
\le\frac{Ar}{1-r}=1-\delta_r.
$$
故 $|F_b(z)|\ge\delta_r$；特别地，$F_b$ 在
$|z|<1/(1+A)$ 无零点，(47.27) 在包含闭圆盘 $|z|\le r$ 的开集上解析。

在 $|z|=r$ 上，非零行具有共同上界
$$
|R_{n,b}(z)|
\le K_{M,r}:=\frac A{\delta_r}
\sum_{j=0}^{M-1}\left(\frac r{\delta_r}\right)^j.
$$
常数可依赖 $M,A,r$，不依赖 $b,n,k$。Cauchy 系数估计给
$|\mathcal E(b)(n,k)|\le K_{M,r}r^{-k}$ 对 $n<M$ 成立。
当 $L\ge M-1$、$n+k\ge L$ 且 $n<M$ 时，
$k\ge L-M+1$，所以
$$
\sup_{\substack{b\in K_A\\b_i=0\ (i\ge M)}}
\sup_{n+k\ge L}\rho^{n+k}|\mathcal E(b)(n,k)|
\le K_{M,r}\left(\frac\rho r\right)^{L-M+1}
\longrightarrow0.
\tag{47.29}
$$
这是对固定 $M$ 的一致尾界，不对全部有限支撑长度一致。$\square$

$\mathcal B_{\rho,0}$ 是闭的：若 $T_j\to T$ 为范数收敛，先使
$\|T_j-T\|_\rho<\varepsilon/2$，再使该 $T_j$ 的尾小于
$\varepsilon/2$，就使 $T$ 的尾小于 $\varepsilon$。因此
$$
\overline{\mathcal J_{A,\rho}^{\mathbb R}}^{\,\|\cdot\|_\rho}
\subseteq\mathcal B_{\rho,0}.
\tag{47.30}
$$

#### 47.9.2 到有限来源像及其闭包的精确距离

**命题 47.5（全负角点到有限来源像的距离）。**
$$
\operatorname{dist}_\rho(T^\star,\mathcal J_{A,\rho}^{\mathbb R})
=\operatorname{dist}_\rho
\left(T^\star,\overline{\mathcal J_{A,\rho}^{\mathbb R}}^{\,\|\cdot\|_\rho}\right)
=c_A.
\tag{47.31}
$$

证明下界。任取 $S\in\mathcal B_{\rho,0}$，沿第零行有
$\rho^kS(0,k)\to0$，因而 (47.2)–(47.13) 给
$$
\rho^k\bigl(T^\star(0,k)-S(0,k)\bigr)\longrightarrow-c_A.
$$
故 $\|T^\star-S\|_\rho\ge c_A$；命题47.4和 (47.30) 同时给两个下界。

证明上界。对 $N\ge0$ 定义同一个全负边界的实际前缀截断
$$
a^{\star,<N}_i=
\begin{cases}-A,&i<N,\\0,&i\ge N,\end{cases}
\qquad T_N=\mathcal E(a^{\star,<N}).
\tag{47.32}
$$
有限依赖给 $T_N(n,k)=T^\star(n,k)$ 对 $n+k<N$ 成立。
第46.2节式（46.3）的 $Q_{n,k}(x)=-\mathcal E(-x)(n,k)$ 具有非负系数，且
$0\le-a^{\star,<N}_i\le A$，因此
$$
0\le Q_{n,k}(-a^{\star,<N})\le Q_{n,k}(A\mathbf1)=u_k(A).
$$
两数组的差满足单份幅度界，而不是一般三角不等式的两倍界：
$$
|T^\star(n,k)-T_N(n,k)|
=u_k(A)-Q_{n,k}(-a^{\star,<N})\le u_k(A).
$$
头部差为零，尾部使用 (47.11)，得到
$$
c_A\le\|T^\star-T_N\|_\rho
\le\rho^Nu_N(A)=c_A+b_A\rho^{2N}.
\tag{47.33}
$$
令 $N\to\infty$ 即得 (47.31)。$\square$

这些截断逐坐标收敛到 $T^\star$，范数距离却趋于 $c_A>0$。
它们不是范数 Cauchy 序列：否则 Banach 完备性给范数极限，坐标连续性迫使其等于 $T^\star$，与 (47.33) 矛盾。

**闭包中的角点最近距离取得且不唯一。** 任取 \(0<h\le c_A\)，令
\(B=A-h\)。因为 \(c_A<A\)，有 \(B\ge A-c_A=b_A>0\)，且 \(B<A\)，所以
\(q_B=\rho\lambda(B)<1\)。常值边界 \(-B\mathbf1\) 的有限前缀属于
\(\mathcal F_A^{\mathbb R}\)，由 (47.22) 在半径 \(B\) 的版本，其数组以误差
\(2Bq_B^M\to0\) 逼近 \(\mathcal E(-B\mathbf1)\)。
故这个实际数组属于 \(\overline{\mathcal J_{A,\rho}^{\mathbb R}}\)。
同一角点对的精确临界模量 (47.16) 又给
\[
\|T^\star-\mathcal E(-B\mathbf1)\|_\rho
=\max\{h,c_A\}=c_A.
\]
不同的 \(h\) 给不同首列，因而给无穷多个闭包中的最近点。
这些常值边界都具有无限支撑；有限支撑来源的距离达到性与任意实际数组的一般最近闭包点存在性，均不在本单元中断言或证明。显式前缀序列的 (47.33) 仍只给距离逼近率。

#### 47.9.3 分次缩放与精确剩余尾距离

对任意环境数组 \(T\in\mathcal B_\rho\)，记
\[
\tau_N(T)=\sup_{n+k\ge N}\rho^{n+k}|T(n,k)|,
\qquad
L_\rho(T)=\lim_{N\to\infty}\tau_N(T).
\tag{47.34}
\]
\(\tau_N(T)\) 非负、不增且有界，故此极限存在且有限；
\(L_\rho(T)=0\) 当且仅当 \(T\in\mathcal B_{\rho,0}\)。
这里是尾幅度，不是概率或热力学熵。

对数学缩放参数 \(\tau\ge0\)，定义
\[
(\mathsf D_\tau a)_i=e^{-(i+1)\tau}a_i,\qquad
(\mathsf U_\tau T)(n,k)=e^{-(n+k+1)\tau}T(n,k).
\tag{47.35}
\]
**分次相容恒等式。**
\[
\boxed{\mathcal E(\mathsf D_\tau a)=\mathsf U_\tau\mathcal E(a).}
\tag{47.36}
\]
证明按列归纳。首列由定义成立。若此前各列成立，(47.1) 中移位项
\(T(n+1,k)\) 的缩放因子是 \(e^{-(n+k+2)\tau}\)；每个乘积项的指数之和为
\[
(n+j+1)+(k-j+1)=n+k+2.
\]
所以所有项有同一因子，下一列也成立。每个递推和有限，证明不交换无穷运算。该恒等式在每个有限窗口与完整实际数组上同时成立。

当 \(\tau>0\) 时，
\(\mathsf D_\tau a\in K_{A_\tau}\)，其中
\(A_\tau=e^{-\tau}A<A\)，而在本节固定的临界 \(\rho\) 下
\[
q_\tau=\rho\lambda(A_\tau)<\rho\lambda(A)=1.
\]
对固定 \(\tau>0\)，取有限前缀
\(b^{\tau,M}=(\mathsf D_\tau a)^{<M}\in\mathcal F_A^{\mathbb R}\)。
已证次临界截断界 (47.22) 应用于半径 \(A_\tau\)，给
\[
\|\mathsf U_\tau T-\mathcal E(b^{\tau,M})\|_\rho
\le2A_\tau q_\tau^M\longrightarrow0
\quad(M\to\infty),\qquad T=\mathcal E(a).
\tag{47.37}
\]
因此对每个实际 \(T\in\mathcal I_{A,\rho}\) 及每个 \(\tau>0\)，
\(\mathsf U_\tau T\in\overline{\mathcal J_{A,\rho}^{\mathbb R}}\)。
这一步的有限来源确实来自同一缩放后的边界，不是任意环境坐标截断。

现在在全部环境空间中证明精确尾距离极限。对任意
\(S\in\mathcal B_{\rho,0}\)，三角不等式给
\[
\tau_N(T)\le\|T-S\|_\rho+\tau_N(S).
\]
令 \(N\to\infty\)，得 \(L_\rho(T)\le\|T-S\|_\rho\)。
另一方面，对任意 \(\tau>0\)，
\[
\tau_N(\mathsf U_\tau T)
\le e^{-(N+1)\tau}\|T\|_\rho\longrightarrow0,
\]
故 \(\mathsf U_\tau T\in\mathcal B_{\rho,0}\)，已有下界适用。
固定 \(N\ge1\)，按 \(n+k<N\) 与 \(n+k\ge N\) 分开，得到
\[
L_\rho(T)\le\|T-\mathsf U_\tau T\|_\rho
\le
\max\{(1-e^{-N\tau})\|T\|_\rho,\ \tau_N(T)\}.
\tag{47.38}
\]
头部用 \(n+k+1\le N\)，尾部用 \(0\le1-e^{-(n+k+1)\tau}\le1\)。
先令 \(\tau\downarrow0\)，再令 \(N\to\infty\)，上下界相合，故
\[
\boxed{
\lim_{\tau\downarrow0}\|T-\mathsf U_\tau T\|_\rho=L_\rho(T)
\quad(T\in\mathcal B_\rho).
}
\tag{47.39}
\]

对实际 \(T\in\mathcal I_{A,\rho}\)，(47.30) 的有限来源闭包包含于
\(\mathcal B_{\rho,0}\)，所以到它的距离至少为 \(L_\rho(T)\)。
(47.37) 则把每个 \(\mathsf U_\tau T\) 放入该闭包；(47.39) 给反向距离上界。
一个集合与其闭包到固定点的距离相等，因为范数连续且闭包点可用原集合逼近。
由此
\[
\boxed{
\operatorname{dist}_\rho(T,\mathcal J_{A,\rho}^{\mathbb R})
=
\operatorname{dist}_\rho
(T,\overline{\mathcal J_{A,\rho}^{\mathbb R}})
=L_\rho(T)
\quad(T\in\mathcal I_{A,\rho}).
}
\tag{47.40}
\]
例如可取 \(\tau_m=1/m\)，再对每个 \(m\) 选有限 \(M_m\) 使 (47.37) 右侧小于 \(1/m\)；
所得实际有限来源数组到 \(T\) 的误差趋于 \(L_\rho(T)\)。
这给任意实际数组的距离下确界逼近构造，一般最近点存在性不在本单元中断言或证明；前文全负角点的闭包达到性由其特定常值边界见证单独证明。

这些缩放满足
\(\mathsf U_0=I\)、\(\mathsf U_{\tau+\sigma}=\mathsf U_\tau\mathsf U_\sigma\)；
从坐标因子直接得其环境算子范数为 \(e^{-\tau}\)，由仅在 \((0,0)\) 非零的数组取得。
(47.39) 说明零点强连续的向量恰好是 \(\mathcal B_{\rho,0}\)；
在这个不变闭子空间上，它们构成强连续半群。
确切地，对其中的固定 \(T\) 及 \(\tau\ge\sigma\)，
\[
\|\mathsf U_\tau T-\mathsf U_\sigma T\|_\rho
\le e^{-\sigma}\|\mathsf U_{\tau-\sigma}T-T\|_\rho,
\]
所以零点的连续性给所有参数处的连续性。
在整个 \(\mathcal B_\rho\) 上不声称逐向量强连续，例如
\(L_\rho(T^\star)=c_A>0\)。
这里的参数只记分次缩放，不作物理时间、动力学生成元或相位解释。

(47.40) 的上界与等式属于完整自由来源类。若改用受限实际联合来源 \((c,a)\)，
须另证缩放及所用有限逼近仍在允许的共同记录纤维中；
保留同一个档案符号不能替代这项可行性。
对任意目标子类若其数组确实属于 \(\mathcal B_{\rho,0}\)，距离下界
\(L_\rho(T)\le\|T-S\|_\rho\) 仍可逐对象使用，但不自动取得该子类上的等号。

**同档案受限来源的反例。** 固定同一个常值档案 $c_0$，令实际边界来源仅为
\[
\Gamma=\{0,-B\mathbf1\},\qquad 0<B<A,\qquad \rho=1/\lambda(A),
\]
其中 $a$ 为包含映射。这个来源中唯一有限支撑边界是零。对 $T=\mathcal E(-B\mathbf1)$，严格不等式 $\rho\lambda(B)<1$ 及（47.11）给 $L_\rho(T)=0$，而（47.6）在半径 $B$ 的版本给
\[
\operatorname{dist}_\rho(T,\mathcal E(\Gamma\cap\mathcal F_A^{\mathbb R}))
=\|T-0\|_\rho=B>0.
\]
受限有限来源像 $\{0\}$ 本身闭，故到其闭包距离亦为 $B$。分次缩放的非零边界及其非空有限前缀不属于这个同档案纤维，正是（47.37）的可行性在此失败。环境尾下界仍成立，完整自由来源的等号却不能转授。这里直接应用已证结果，没有增加一般受限来源闭包定理。

#### 47.9.4 临界有限来源的完成及有理闭包

沿用 (47.20) 的拉回公式，在临界 \(\mathcal F_A^{\mathbb R}\) 上定义 \(d_\rho\)。临界有界性保证距离有限，首列恢复保证距离为零当且仅当边界相同；因此它仍是真距离，\(\mathcal E\) 是到
\(\mathcal J_{A,\rho}^{\mathbb R}\) 的等距双射。Banach 空间中该像的闭包完备，而像按闭包定义在其中稠密，所以
$$
\widehat{(\mathcal F_A^{\mathbb R},d_\rho)}
\cong\overline{\mathcal J_{A,\rho}^{\mathbb R}}^{\,\|\cdot\|_\rho}.
\tag{47.41}
$$
第47.5节已经以首列极限与有限坐标多项式连续性完整证明
\(\mathcal I_{A,\rho}\) 是闭的。有限来源像的闭包因此留在实际像中；
(47.40) 又说明实际数组到这个闭包距离为零，当且仅当它的尾幅度为零。
因为闭包是闭集，这给出完整自由来源类的精确刻画：
$$
\overline{\mathcal J_{A,\rho}^{\mathbb R}}^{\,\|\cdot\|_\rho}
=\mathcal I_{A,\rho}\cap\mathcal B_{\rho,0}
\subsetneq\mathcal I_{A,\rho},
\qquad T^\star\notin\overline{\mathcal J_{A,\rho}^{\mathbb R}}^{\,\|\cdot\|_\rho}.
\tag{47.42}
$$
严格性由 (47.13)、(47.31) 给出。因此，对实际数组还有等价判据
\[
T\in\overline{\mathcal J_{A,\rho}^{\mathbb R}}
\quad\Longleftrightarrow\quad L_\rho(T)=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
\|\mathsf U_\tau T-T\|_\rho\longrightarrow0
\quad(\tau\downarrow0).
\]
这刻画的是完整 \(K_A\) 下的临界有限来源闭包，不推广为任意受限来源的闭包结论。

这不与 Context43 的精确前缀完成冲突。若给实系数采用逐字相等的前缀距离，同一组截断是 Cauchy，而 (47.33) 证明它们在临界数值距离中不是 Cauchy；当 \(A\) 有理时，这组截断也就在 Context43 的有理来源类内。当 \(A\) 无理时，不把含 \(-A\) 的截断称为有理来源。合法无限来源不必属于每一种有限来源完成。

**有理有限来源的补充。** 对第47.7节已定义的有理有限来源类
\(\mathcal F_A^{\mathbb Q}\)，
固定 $M$ 时，$\mathcal E:[-A,A]^M\to\mathcal B_\rho$ 连续：由 (47.29) 先同时控制任意两份输入的远尾，再对有限头部使用坐标多项式连续性。每个有限实边界可在同一个支撑范围内逐坐标作内向有理逼近，包括 $A$ 无理时的端点，故
$$
\overline{\mathcal E(\mathcal F_A^{\mathbb Q})}^{\,\|\cdot\|_\rho}
=\overline{\mathcal J_{A,\rho}^{\mathbb R}}^{\,\|\cdot\|_\rho}.
\tag{47.43}
$$
有理有限来源的拉回度量完成也等于 (47.41) 的右侧。由相同闭包，
(47.40) 对有理有限来源的距离同样等于 \(L_\rho(T)\)，特别地到 \(T^\star\) 的距离为 \(c_A\)。这是数值闭包结论；不声称当 $A$ 无理时，有限有理来源能逐字复制含精确读数 $-A$ 的访问记录。

### 47.10 保留整个观察者与实际来源

令 $\Gamma$ 为实际共同来源集合，
$$
c:\Gamma\to\mathcal C,\qquad a:\Gamma\to K_A.
$$
$c$ 保留全部已取得内部／外部信息与记录、来源／参考／版本身份、联合关系与相关性、准备与校准、已获相位／单位／增益数据、可访问记忆、局部钟及已知关系、合法动作及顺序、结果／失败／停止信息，以及共同误差与资源合同。给辅助坐标命名不授予尚未取得的信息。比较的完整读数始终是
$$
Q_\partial(\omega)=(c(\omega),a(\omega)),\qquad
Q_{\mathrm{body}}(\omega)=(c(\omega),\mathcal E(a(\omega))).
\tag{47.44}
$$
在这两个读数的对应实际像上，
$$
(c,a)\longmapsto(c,\mathcal E(a)),\qquad
(c,T)\longmapsto(c,\beta(T))
$$
互为双侧逆，并字面保留同一个 $c$。证明只需第一列互逆；没有把 $c$ 与 $a$ 当作独立变量，也没有把实际像扩成未经证明的 $\mathcal C\times K_A$。

若 $\mathcal C$ 另有指定度量、两边使用最大乘积距离，那么次临界正向映射从通常输入上确界版本到数组加权版本有常数上界 $\max(1,C_\rho(A))=C_\rho(A)$；逆向到加权输入版本有常数上界一。记录的恒等传递没有改变这些上界。最优下界只有在相应共同记录纤维中仍有本文所用见证对时才能保留。

本文尖锐幅度、最优放大、模量取得和临界不连续性是在完整自由实边界类 $K_A$ 上证明的。实际来源若另受顶行条件、正性、参数耦合、动作可达性或其他限制，可能排除全负角点、内向角点族或移动单点族；此时统一上界仍可限制使用，最优性和不连续性须重新检查实际见证。数学上存在的角点不证明设备能够准备或读出它。

数值完成也不能自动扩充实际来源。更精确地，在次临界条件下，对任意边界子集 $S\subseteq K_A$，从第47.6、47.7节的同胚可得
$$
\overline{\mathcal E(S)}^{\,\|\cdot-\cdot\|_\rho}
=\mathcal E\!\left(\overline S^{\,\mathrm{product}}\right).
\tag{47.45}
$$
左侧闭包没有离开闭像 $\mathcal I_{A,\rho}$。右侧是实际数学闭包，不断言新增边界由某个原有 $\omega\in\Gamma$ 实现。对完整 $(c,a)$ 读数，还须保留 $c$ 与 $a$ 的联合可行关系；没有给 $\mathcal C$ 另设拓扑时，本节也不主张整个观察者的紧性或完成化。

即使给记录配置了度量并把 $c$ 固定为一个常值，受限实际来源也不自动闭、完备或紧。例如令 $\Gamma=\mathcal F_A^{\mathbb R}$，$a$ 为包含映射。每个允许的有限实前缀都能通过补零在该来源中实现，但常值边界 $(A/2)\mathbf1$ 不属于来源。它的有限截断是实际来源中的 $d_\rho$-Cauchy 序列，由 (47.22) 收敛到被遗漏的常值边界及其数组。因此，对应实际联合像不是闭集，也不完备或紧；携带同一个 $c$ 没有补入这个来源所没有的极限。第47.7节的紧性和完成识别属于完整 $K_A$ 及其完整像，不能自动转授给这种受限实际来源。

逆映射仅在递归像上是双侧逆。对任意带噪、可能违反 (47.1) 的数组提取第一列，再重建，不保证回到原数组；本节不把这一操作当成未经证明的投影或最优去噪器。

### 47.11 有限记录的临界下界与次临界取得合同

本节把已经保留的完整观察者条件落实到明确的取得接口。第一部分固定临界
\(\rho=1/\lambda(A)\)，使用第47.9节的 \(a^\star,T^\star,a^{\star,<N},T_N\)；
第二部分才重新声明次临界权重。两部分使用同一递归关系，访问假设及误差结论分别列明。

#### 47.11.1 临界：相同完整有限记录的二来源下界

允许来源为全部 $K_A$；证明只需
$S_\star=\{a^\star\}\cup\{a^{\star,<N}:N\ge0\}$。
这是实际实边界及其由 (47.1) 生成的共同数组。若应用的合法来源排除这些见证，下界不自动转移。

协议为确定性自适应协议，接口如下：

1. 固定 $A,\rho$、算法及初始完整档案 $c$。所比较来源共享同一个 $c$，其中没有预先区分这些来源的支撑标签、代码身份或证书。
2. 查询仅为边界系数 $a_i$ 或实际数组坐标 $\mathcal E(a)(n,k)$，返回精确实值。下标可由此前完整记录自适应选择，没有预定共同查询深度要求。
3. 查询选择、计算、保存、停止及可见动作/费用/版本/来源元数据由共享初始档案及此前记录决定；坐标查询在所有来源上均有定义。原始读数与动作记录全部保留。
4. 不另供全局尾范数、有限/无限支撑判定、来源程序身份、来源相关时钟或其它全局 oracle；没有随机种子或随机观测。若“输出后”继续访问来源，这些访问仍须计入协议，不能藏进一个已经完成的估计。

精确实值查询是明确的理想接口，不宣称现实设备能以有限成本取得任意实数。下界在这个强接口下成立；这里不另推随机或物理成本结论。

**命题 47.6（完整有限记录的二来源下界）。** 若协议在 $a^\star$ 上经有限次查询终止，输出
$\widehat T\in\mathcal B_\rho$，则存在有限前缀来源
$a^{\star,<N}$，使协议具有完全相同的整份有限记录、动作顺序、停止与输出，并且
$$
\max\left\{
\|\widehat T-T^\star\|_\rho,\qquad
\|\widehat T-T_N\|_\rho
\right\}\ge c_A/2.
\tag{47.46}
$$

证明。取在 $a^\star$ 上已结束的有限执行路径。边界查询 $a_i$ 的依赖下标至多 $i$；数组查询 $(n,k)$ 的依赖下标至多 $n+k$。取 $N$ 严格大于这条路径中全部查询的这些有限上界；若无查询，可取 $N=0$。

在 $a^{\star,<N}$ 上重放：初始记录相同；若此前记录相同，确定性使下一动作相同；若查询，依赖前缀相同使返回值相同，声明的元数据也相同；若停止，则同一步停止且输出相同。对路径长度归纳，得到整份记录相等，不只是摘要相等。无需假设初始记录与边界随机独立；只使用两个合法来源共享该完整记录的明确条件。

三角不等式与 (47.33) 给
$$
c_A\le\|T^\star-T_N\|_\rho
\le\|T^\star-\widehat T\|_\rho+\|\widehat T-T_N\|_\rho,
$$
即得 (47.46)。$\square$

因此任何在 $a^\star$ 上有限停止的这类协议，都不能对全部 $S_\star$ 保证统一误差严格小于 $c_A/2$。这允许任意有限查询深度、完整追加记忆和确定性后处理；额外计算不能分开相同记录。

这是二实现最坏误差下界，不是 $a^\star$ 的点态误差下界：恒输出 $T^\star$ 的协议在该点误差为零，但在有限前缀来源上至少误差 $c_A$。若另要求输出落在 $\overline{\mathcal J_{A,\rho}^{\mathbb R}}$，(47.31) 才给在 $a^\star$ 上误差至少 $c_A$；它依赖额外输出限制。

不声称 $c_A/2$ 的最优性或存在达到它的统一算法。引入非局部读取或来源相关合法性的一般干预不属于此接口，须另核共同记录见证。若来源只允许有理有限边界而 $A$ 无理，精确读数 $-A$ 无法由这些有限来源复制，不能直接使用本文的精确记录对；(47.43) 的范数稠密不替代记录相等。

#### 47.11.2 次临界：实际有限读取的充分合同

本部分重新取 $0<\rho<1/\lambda(A)$，沿用
$$
q=\rho\lambda(A)<1,\qquad
C_\rho(A)=\sup_{k\ge0}\rho^ku_k'(A)<\infty.
$$
由于 $u_0'(A)=1$，有 $C_\rho(A)\ge1$。来源仍为完整 $K_A$。这是（47.8）已证的稳定范围，区别于本节前一部分的临界权重。

选择整数 $N\ge0$ 和误差容限 $\eta\ge0$。接口实际返回前 $N$ 个系数读数
$y_0,\ldots,y_{N-1}$，并在同一份实际误差合同或同一个联合事件下满足
$$
|y_i-a_i|\le\eta\qquad(0\le i<N).
\tag{47.47}
$$
不要求读数或误差独立，不把分别的概率承诺当作未经证明的同时事件。令工作副本与分析中的真实前缀分别为
$$
\widetilde a_i=
\begin{cases}\operatorname{clip}_{[-A,A]}(y_i),&i<N,\\0,&i\ge N,\end{cases}
\qquad
z_i=\begin{cases}a_i,&i<N,\\0,&i\ge N.\end{cases}
$$
原始读数、来源、动作、精度及执行记录保留在档案中；裁剪只改变工作副本。$z$ 用于分析，算法无需取得这个未知精确前缀。

由于 $a_i\in[-A,A]$，裁剪不增加相对它的误差，故
$\|z-\widetilde a\|_\infty\le\eta$。既有前缀尾界与同立方体 Lipschitz 界给
$$
\begin{aligned}
\|\mathcal E(a)-\mathcal E(\widetilde a)\|_\rho
&\le\|\mathcal E(a)-\mathcal E(z)\|_\rho
 +\|\mathcal E(z)-\mathcal E(\widetilde a)\|_\rho\\
&\le2Aq^N+C_\rho(A)\eta.
\end{aligned}
\tag{47.48}
$$
重建的是有限支撑边界的实际完整递归像，不是把输出数组的未读三角补零。

给定 $\varepsilon>0$，选择
$$
N\in\mathbb N,\quad2Aq^N\le\varepsilon/2,\qquad
0\le\eta\le\frac{\varepsilon}{2C_\rho(A)}.
\tag{47.49}
$$
$0<q<1$ 保证有限 $N$ 存在。若条件在 $N=0$ 已成立，允许空读取，此时 $\widetilde a=z=0$、读数误差项实际为零。在 (47.47) 的同一条件下，重建误差至多 $\varepsilon$。

这是充分误差合同，不保证设备能取得所需 $\eta$，不提供采样数、置信度、位复杂度或运行成本。无限目标可由有限数据与递归/有理行公式描述并按坐标求值；这不表示已逐项输出无限多个数。该方法不称最优，亦未与临界下界组成已经闭合的最优算法理论。

这里的次临界上界是 (47.8)、(47.22) 的直接应用，不另计为新数学定理。它与临界二来源下界一起说明指定接口的稳定性变化，但没有给出全局最优查询算法，也没有把有限数学描述等同于有限成本取得全部实值。

### 47.12 阈值的读法与资源范围

写 $\rho=2^{-\sigma}$，其中 $\sigma>0$，则
$$
\sigma_c(A)=\log_2\lambda(A),\qquad
\begin{cases}
\sigma\ge \sigma_c(A) & \text{统一有界},\\
\sigma>\sigma_c(A) & \text{全局 Lipschitz、紧像及本文的数值完成结论},\\
\sigma=\sigma_c(A) & \text{全负边界处出现 (47.16) 的正模量跳跃}.
\end{cases}
\tag{47.50}
$$
在 $A=1$ 时，既有第46节已经识别 $\lambda(1)=\phi^2$，所以
$$
\sigma_c(1)=2\log_2\phi.
$$
这称为指定增长与指定折扣范数之间的正则性阈值，不称作 Hausdorff 维数、物理时间或物理空间的定律。

全层数组在数学上由全部边界坐标共同定义，每个固定坐标仍只有有限依赖。次临界尾界能支持有限窗口的误差控制，但不使观察者免费获得未知的全部边界，不提供对任意非可计算实数的有限数字访问，也不免除读数精度、算术舍入、执行时间与校准成本。上述几何结论尚未指定概率模型；下文另行声明标签赋权。该赋权不自动给出实际采样下界、量子实现或物理信息容量结论。

### 47.13 同一齐次展开的解析球与紧尺度嵌入

本节固定 $0<\rho<1$。只在本节把输入和输出标量扩为复数，令 $X=\ell^\infty(\mathbb N;\mathbb C)$，令 $Y_\rho=\mathcal B_\rho(\mathbb C)$ 使用 (47.5) 的绝对值范数。列递推 (47.1) 的整系数多项式在复数上同样逐坐标有意义。实数立方体上的前述结论及来源限制不变。

**连续齐次多项式与收敛球。** 写
$$
\mathcal E(a)(n,k)=\sum_{d=1}^{k+1}H_d(a)(n,k),
$$
其中 $H_d(a)(n,k)$ 是该坐标多项式的总次数 $d$ 部分，$d>k+1$ 时定义为零。第46.2—46.3节式（46.3）、（46.8）的非负 $Q_{n,k}(x)=-\mathcal E(-x)(n,k)$ 分解说明：这个次数的系数绝对值总和正是
$$
c_{k,d}=\binom{k+d-1}{2d-2}\quad(k\ge d-1).
$$
故
$$
\begin{aligned}
\|H_d(a)\|_\rho
&\le \|a\|_\infty^d\sup_{k\ge d-1}\rho^kc_{k,d}\\
&\le \|a\|_\infty^d\sum_{k\ge d-1}\rho^k
             \binom{k+d-1}{2d-2}\\
&=\|a\|_\infty^d\,
  \frac{\rho^{d-1}}{(1-\rho)^{2d-1}}.
\end{aligned}
\tag{47.51}
$$
最后一步令 \(k=d-1+j\)。把 \(2d-1\) 份几何级数相乘，指数和为 \(j\) 的非负整数元组数为
\(\binom{j+2d-2}{2d-2}\)，从而
\[
\sum_{j\ge0}\binom{j+2d-2}{2d-2}\rho^j=(1-\rho)^{-(2d-1)}.
\]
每份几何级数在 \(0<\rho<1\) 收敛，非负项的有限乘积展开和重排合法。这完整证明 (47.51) 最后一项的系数求和恒等式；后面的概率归一化将直接复用它。

还须说明这确实是 Banach 空间值的连续齐次多项式，而不只是逐坐标的形式表达。对每个坐标的每个次数 $d$ 单项式，把重复出现的输入下标排成一个长度 $d$ 的列表。将第 $r$ 个因子放入第 $r$ 个独立输入，有限求和得到坐标上的 $d$-线性形式。对全部坐标同时使用这个规则，(47.51) 的同一系数界给出
$$
\|\widetilde B_d(a^{(1)},\ldots,a^{(d)})\|_\rho
\le m_d\prod_{r=1}^d\|a^{(r)}\|_\infty,\qquad
m_d=\frac{\rho^{d-1}}{(1-\rho)^{2d-1}}.
$$
因此这些坐标确实定义一个取值于 $Y_\rho$ 的连续 $d$-线性映射。对输入置换取平均得到对称映射 $B_d$，上界不变，且其对角值为 $H_d(a)=B_d(a,\ldots,a)$。

定义
$$
A_{\mathrm{crit}}=\frac{(1-\rho)^2}{\rho}.
$$
对每个 $0<r<A_{\mathrm{crit}}$，
$$
\sum_{d\ge1}m_dr^d
=\frac{r}{1-\rho}\,
  \frac1{1-r/A_{\mathrm{crit}}}<\infty.
\tag{47.52}
$$
于是 $\sum_{d\ge1}H_d$ 在每个闭子球 $\|a\|_\infty\le r$ 上一致范数收敛。连续对称多线性表达还给
$$
\|DH_d(a)\|\le d\,m_dr^{d-1}
 \quad(\|a\|_\infty\le r).
$$
右侧对 $d$ 的级数也收敛。更明确地，连续对称多线性表达给
\[
DH_d(a)h=dB_d(h,a,\ldots,a),\qquad
\|D^2H_d(a)\|\le d(d-1)m_d R^{d-2}\quad(d\ge2,\ \|a\|_\infty\le R).
\]
$H_1$ 的二阶导数为零。对 $\|a\|_\infty+\|h\|_\infty\le R<A_{\mathrm{crit}}$，线段 $a+th$（$0\le t\le1$）留在这个子球。每项沿线段的二阶积分余项及范数三角不等式给
\[
\left\|\mathcal E(a+h)-\mathcal E(a)-\sum_{d\ge1}DH_d(a)h\right\|_\rho
\le\frac{\|h\|_\infty^2}{2}
\sum_{d\ge2}d(d-1)m_dR^{d-2}.
\]
右边的级数是（47.52）的二阶导数，等于
\[
\frac{2}{(1-\rho)A_{\mathrm{crit}}}
(1-R/A_{\mathrm{crit}})^{-3}<\infty.
\]
逐项二阶余项先对有限和成立，再用局部一致收敛及可求和的上界取极限。因此该误差为 $O(\|h\|_\infty^2)$，且
$D\mathcal E(a)=\sum_{d\ge1}DH_d(a)$ 为连续复线性映射。导数级数在每个闭子球一致收敛，故导数连续。这直接给出复 Fréchet 全纯性及显式余项
\[
\boxed{
\|\mathcal E(a+h)-\mathcal E(a)-D\mathcal E(a)h\|_\rho
\le\frac{\|h\|_\infty^2}{2}
\sum_{d\ge2}d(d-1)m_dR^{d-2}.}
\]

每个固定坐标仅有 $d\le k+1$ 的有限项，所以该 Banach 值和逐坐标恰等于原递归映射。由此
$$
\mathcal E:\{a\in X:\|a\|_\infty<A_{\mathrm{crit}}\}
\longrightarrow Y_\rho
$$
是全纯映射。

$\lambda+\lambda^{-1}=A+2$，所以 $\rho\lambda(A)=1$ 等价于 $A=A_{\mathrm{crit}}$。这个原点球不能扩大：若 $R>A_{\mathrm{crit}}$，选 $A_{\mathrm{crit}}<r<R$，则 $a=-r\mathbf1$ 属于半径 $R$ 的开球，但第47.2节已经证明其递归数组不属于 $Y_\rho$。这排除了同一递归映射在更大整个原点球上取 $Y_\rho$ 值；不声称排除所有其他形状的解析延拓域，也不声称临界球面上的一致解析延拓。

**临界齐次截断不在该范数下收敛。** 取 \(A=A_{\mathrm{crit}}\)、
\(a=-A\mathbf1\)，并记
\[
S_D(a)=\sum_{d=1}^{D}H_d(a),\qquad D\ge1.
\]
每个有限和都是已构造的 \(Y_\rho\) 元素。因为总次数 \(d\) 的系数具有同一符号，而输入全部为 \(-A\)，对第零行有
\[
H_d(a)(0,k)=-c_{k,d}A^d\quad(k\ge d-1),
\]
较小 \(k\) 时该次数项为零。对每个固定 \(d\)，
\(c_{k,d}=\binom{k+d-1}{2d-2}\) 关于 \(k\) 至多按 \(2d-2\) 次多项式增长，而 \(0<\rho<1\)。所以
\(\rho^k H_d(a)(0,k)\to0\)，进而
\(\rho^k S_D(a)(0,k)\to0\)。
另一方面，由 (47.13)，
\(\rho^k\mathcal E(a)(0,k)\to-c_A\)。因此对每个固定有限 \(D\)，
\[
\boxed{\|\mathcal E(a)-S_D(a)\|_\rho\ge c_A>0.}
\tag{47.53}
\]
这里用的是同一个临界实际数组，没有把不同次数的见证拼在一起。它说明逐坐标有限多项式等式仍然成立、完整数组仍然有界，却不足以保证齐次级数在该 Banach 范数中收敛。这与 (47.16) 的径向不连续性相容；并未排除其他形状的解析域，也没有把齐次截断当作合法制备动作。

**紧尺度嵌入。** 若 $0<\rho<\eta<1$，则自然包含 $J:Y_\eta\to Y_\rho$ 的范数为一。令 $P_NT$ 保留 $n+k<N$ 的有限个数组坐标，其余置零。它在环境数组空间中是有限秩算子，并且
$$
\|(J-P_N)T\|_\rho
\le\left(\frac{\rho}{\eta}\right)^N\|T\|_\eta.
\tag{47.54}
$$
这个算子范数界可由只在 $(0,N)$ 非零的环境数组取得。右侧随 $N$ 趋零，故 $J$ 是有限秩算子的算子范数极限，从而为紧算子。这里的数组截断用于环境空间证明，不声称它保留递归关系或是实际合法操作。

此嵌入也解释次临界紧性：当 $\rho\lambda(A)<1$，可选 $\rho<\eta<1/\lambda(A)<1$。完整递归像在 $Y_\eta$ 中由 $A$ 统一控制，经紧嵌入在 $Y_\rho$ 中相对紧；第47.5节的闭性使它紧。这与第47.7节的直接证明一致。

**不使用卷积代数假设。** 加权上确界序列空间本身不对同权重卷积封闭。取
$$
x_k=y_k=\rho^{-k}.
$$
两序列的加权范数均为一，但
$$
(x*y)_k=\sum_{j=0}^kx_jy_{k-j}=(k+1)\rho^{-k},
$$
其加权范数无穷。把序列嵌入数组的第零行即可看到相同障碍。因此上述全纯构造依靠明确的连续多线性系数界，不把 $Y_\rho$ 当成未经证明的卷积 Banach 代数。所有解析结论都是成熟幂级数与 Banach 空间方法在本递归上的应用，不赋予物理或原创性含义。

### 47.14 正标签总和与精确归一化区域

概率部分仍取正实 \(A>0\)、\(0<\rho<1\)，使用前文同一
\(u_k,c_{k,d},\lambda,s,A_{\mathrm{crit}}\)。为避免与随机次数混淆，将分母记为
\[
\Delta=1-(A+2)\rho+\rho^2
=(1-\lambda\rho)(1-\rho/\lambda).
\tag{47.55}
\]
下面显式选择一份标签赋权；只有正项总权有限时才定义概率。它不预设实际观察者、世界或传感器遵循这份分布。

定义可数标签集
\[
\mathcal L=
\{(k,d,j):k\ge0,\ 1\le d\le k+1,\ 1\le j\le c_{k,d}\}.
\]
标签权重为
\[
w_{A,\rho}(k,d,j)=\rho^k A^d.
\tag{47.56}
\]
记 \(Z(A,\rho)=\sum_{(k,d,j)\in\mathcal L}w_{A,\rho}(k,d,j)
=\sum_{k\ge0}\rho^ku_k(A)\)，此时允许其值为 \(+\infty\)。
\(j\) 是明确选择的系数重数标签；不声称它天然对应外界样本、不同世界或某一传感器结果。

解析节已经在 (47.51) 中完整证明
\[
m_d=\sum_{k=d-1}^{\infty}\rho^kc_{k,d}
=\frac{\rho^{d-1}}{(1-\rho)^{2d-1}}.
\]
此处直接使用同一系数和，不另设一份生成结构。

引入无量纲权重比
\[
t=\frac{A}{A_{\mathrm{crit}}}=\frac{A\rho}{(1-\rho)^2}>0.
\tag{47.57}
\]
这里的 \(t\) 是参数比，不是时间变量。所有权重非负，故 Tonelli 求和在允许 \(+\infty\) 的意义下成立。由（47.51），
\[
\begin{aligned}
Z
&=\sum_{(k,d,j)\in\mathcal L}\rho^k A^d
=\sum_{d\ge1}A^d\sum_{k\ge d-1}c_{k,d}\rho^k\\
&=\sum_{d\ge1}m_dA^d
=\frac{A}{1-\rho}\sum_{d\ge1}t^{d-1}.
\end{aligned}
\tag{47.58}
\]

这给出准确连接
\(\sum_d m_dA^d=Z(A,\rho)\)：解析节的齐次项范数求和上界，恰好是这份正标签计数的总权。\(m_d\) 是系数求和的精确值，并被用于上界 \(\|H_d\|\)；此处不声称它总等于齐次多项式的最小范数常数。
因此 \(Z\) 有限当且仅当 \(t<1\)。由于
\(\Delta=(1-\rho)^2-A\rho\) 且 \(1-\rho/\lambda>0\)，这等价于 \(\rho\lambda<1\)。在且仅在此严格内部，
\[
\boxed{
Z(A,\rho)=\frac{A}{(1-\rho)(1-t)}
=\frac{A(1-\rho)}{\Delta},
\qquad
p_{A,\rho}(k,d,j)=\frac{\rho^k A^d}{Z}.
}
\tag{47.59}
\]
\(Z>0\)，全部 \(p\) 非负且总和一，从而确实定义概率律。这个 \(Z\) 正是原幅度生成函数在 \(z=\rho\) 的收敛评价，无需引入另一生成对象。

临界点 \(\rho\lambda=1\) 时 \(t=1\)，（47.58）和（47.13）都证明 \(Z=+\infty\)。因此临界有界幅度不能用于归一化此正标签律。超临界 \(1/\lambda<\rho<1\) 时正项总和仍发散；此时有理函数 \(A(1-\rho)/\Delta\) 为负，其代数延拓绝不是正项级数之和，更不是概率归一化常数。

### 47.15 条件次数、深度边缘与同一函数的第二种分解

设随机变量 \(K,\mathsf D,J\) 为标签的三个坐标。直接在固定 \(k\) 的有限标签集求和，得到
\[
\boxed{
\Pr(K=k)=\frac{\rho^k u_k(A)}{Z},
\qquad
\Pr(\mathsf D=d,J=j\mid K=k)=\frac{A^d}{u_k(A)}.
}
\tag{47.60}
\]
条件律与 \(\rho\) 无关，恰好是有限幅度多项式显式归一化的次数—重数族。若只保留次数，
\[
\Pr(\mathsf D=d\mid K=k)=\frac{c_{k,d}A^d}{u_k(A)}.
\]
因此
\[
\mathbb E[\mathsf D\mid K=k]
=\frac{A u'_k(A)}{u_k(A)}=\kappa_k(A).
\tag{47.61}
\]
这是已有有限深度统一量程条件数在这个特定统计族中的均值解释，不把任意条件数认作概率。\(k=0\) 时唯一标签为 \((0,1,1)\)，条件次数为一。

反过来按固定次数求和，（47.51）—（47.59）给出
\[
\boxed{\Pr(\mathsf D=d)=(1-t)t^{d-1},\qquad d\ge1.}
\tag{47.62}
\]
即 \(\mathsf D-1\) 是参数比为 \(t\) 的几何分布。给定 \(\mathsf D=d\)，令 \(M_d=K-d+1\ge0\)。代入归一化因子后
\[
\boxed{
\Pr(M_d=m\mid\mathsf D=d)
=\binom{m+2d-2}{2d-2}(1-\rho)^{2d-1}\rho^m.
}
\tag{47.63}
\]
这是明确形状参数 \(2d-1\) 的负二项分布；（47.51）已经直接验证其总和一，无需先假定原数组具有任何随机独立性。

其概率生成函数为
\[
\mathbb E[z^{M_d}\mid\mathsf D=d]
=\left(\frac{1-\rho}{1-\rho z}\right)^{2d-1}.
\]
写 $r_d=2d-1$、$G_d(z)=((1-\rho)/(1-\rho z))^{r_d}$。该级数在 $|z|<1/\rho$ 收敛，故包含 $z=1$ 的邻域，并可逐项微分。
$G'_d(1)=r_d\rho/(1-\rho)$、$G''_d(1)=r_d(r_d+1)\rho^2/(1-\rho)^2$；
由 $\mathbb E[M_d^2]=G''_d(1)+G'_d(1)$ 减去 $(G'_d(1))^2$，得到
\[
\mathbb E[M_d\mid\mathsf D=d]
=\frac{(2d-1)\rho}{1-\rho},
\qquad
\operatorname{Var}(M_d\mid\mathsf D=d)
=\frac{(2d-1)\rho}{(1-\rho)^2}.
\tag{47.64}
\]
所以
\[
\boxed{
\mathbb E[K\mid\mathsf D]
=\frac{1+\rho}{1-\rho}\mathsf D-\frac1{1-\rho}.
}
\tag{47.65}
\]
这两个相反方向的条件化来自同一个 \(Z\)：固定深度得到有限次数族，固定次数得到明确的深度分布。

### 47.16 无穷微分的严格内部依据

令自然参数
\[
\theta=\log A,\qquad \eta=\log\rho,
\qquad
\psi(\theta,\eta)=\log Z(e^\theta,e^\eta).
\]
这里 $\eta$ 是对数参数，与第47.13节紧嵌入中的权重记号不同。其定义域是开集
\[
\mathcal O=
\{(\theta,\eta):\eta<0,\ e^\eta\lambda(e^\theta)<1\}.
\tag{47.66}
\]
不能把以下光滑结论直接延伸到临界曲线。

固定任一内部参数。由连续性可选择一个闭参数小邻域，使其中
\[
0<A_-\le A\le A_+,\qquad
0<\rho_-\le\rho\le\rho_+<1,\qquad
q_+=\rho_+\lambda(A_+)<1.
\]
\(\lambda(A)\) 随 \(A>0\) 增加；也可直接从其明确公式选择上述上端点。由（47.3），
\[
u_k(A_+)\le A_+\lambda(A_+)^k.
\]
对任意固定非负整数 \(r,\ell\)，逐标签权重的自然参数导数是
\(d^r k^\ell e^{d\theta+k\eta}\)。使用 \(d\le k+1\)，按同一 \(k\) 汇总得到统一控制
\[
\begin{aligned}
\sum_{d=1}^{k+1}\sum_{j=1}^{c_{k,d}}
d^r k^\ell A^d\rho^k
&\le(k+1)^{r+\ell}\rho_+^k u_k(A_+)\\
&\le A_+(k+1)^{r+\ell}q_+^k.
\end{aligned}
\tag{47.67}
\]
右端关于 \(k\) 可求和，且不依赖小邻域内参数。这给所有固定阶偏导级数的局部一致绝对收敛，因而可逐项微分。\(Z\ge A_->0\)，对数与商的微分也合法。特别地，全部次数／深度的有限阶矩均有限。

这一估计同时承担交换无穷求和、参数求导和期望的义务。无需从一个形式级数恒等式未经说明地直接推出解析微分；临界处也没有共同的 \(q_+<1\)。

### 47.17 均值、协方差与二参数信息矩阵

由（47.67）许可的逐项微分，
\[
\nabla\psi=(\mathbb E[\mathsf D],\mathbb E[K]).
\]
直接对（47.59）求导得
\[
\boxed{
\mathbb E[\mathsf D]
=1+\frac{A\rho}{\Delta}
=\frac{(1-\rho)^2}{\Delta}
=\frac1{1-t}.
}
\tag{47.68}
\]
固定 \(A\) 对 \(\rho\) 求导，并用（47.55）分解分母，得
\[
\boxed{
\mathbb E[K]
=-\frac{\rho}{1-\rho}
+\frac{\lambda\rho}{1-\lambda\rho}
+\frac{\rho/\lambda}{1-\rho/\lambda}.
}
\tag{47.69}
\]
（47.62）的几何级数求导独立给出
\[
\operatorname{Var}(\mathsf D)=\frac{t}{(1-t)^2}.
\]
再对（47.65）取期望，得到等价且全正的均值表示
\[
\boxed{
\mathbb E[K]
=\frac{\rho+t}{(1-\rho)(1-t)},
\qquad
\frac{\mathbb E[\mathsf D]}{\mathbb E[K]}
=\frac{1-\rho}{\rho+t}.
}
\tag{47.70}
\]
严格内部 \(A,\rho>0\) 时 \(\mathbb E[K]>0\)，比值合法。

为证明 Hessian 恒等式，不只引用抽象模型名称。逐标签有
\[
\partial_\theta p=(d-\mathbb E[\mathsf D])p,
\qquad
\partial_\eta p=(k-\mathbb E[K])p.
\]
（47.67）保证相应一阶／二阶矩可逐项求导，于是
\[
\boxed{
\nabla^2\psi=
\begin{pmatrix}
\operatorname{Var}(\mathsf D)&\operatorname{Cov}(\mathsf D,K)\\
\operatorname{Cov}(\mathsf D,K)&\operatorname{Var}(K)
\end{pmatrix}.
}
\tag{47.71}
\]
同时，对数概率的两分量导数为
\((d-\mathbb E[\mathsf D],\,k-\mathbb E[K])\)，其二阶期望正好为（47.71）。因此这确实是**此选定二参数标签族、自然参数坐标下**的 Fisher 信息矩阵；更换参数需按 Jacobian 运输，不能把矩阵条目当作不依赖坐标的数值。

明确微分给
\[
\boxed{
\operatorname{Var}(\mathsf D)
=\frac{A\rho(1-\rho)^2}{\Delta^2},
\qquad
\operatorname{Cov}(\mathsf D,K)
=\frac{A\rho(1-\rho^2)}{\Delta^2},
}
\tag{47.72}
\]
\[
\boxed{
\operatorname{Var}(K)
=-\frac{\rho}{(1-\rho)^2}
+\frac{\lambda\rho}{(1-\lambda\rho)^2}
+\frac{\rho/\lambda}{(1-\rho/\lambda)^2}.
}
\tag{47.73}
\]
条件分解给独立检查：
\[
\boxed{
\operatorname{Cov}(\mathsf D,K)
=\frac{1+\rho}{1-\rho}\operatorname{Var}(\mathsf D),
}
\tag{47.74}
\]
因为对 \(K\) 的条件残差与 \(\mathsf D\) 正交；具体地
\(\mathbb E[\mathsf D K]
=\mathbb E[\mathsf D\,\mathbb E(K\mid\mathsf D)]\)，再用（47.65）并减去均值乘积即可。全方差恒等式同样给
\[
\operatorname{Var}(K)
=\frac{\rho(2\mathbb E[\mathsf D]-1)}{(1-\rho)^2}
+\left(\frac{1+\rho}{1-\rho}\right)^2
\operatorname{Var}(\mathsf D),
\]
与（47.73）一致；所有项由二阶矩有限性合法。

Fisher 矩阵在严格内部正定。若某实线性组合
\(a\mathsf D+bK\) 的方差为零，它在所有正概率标签上必须相同。三点
\((K,\mathsf D)=(0,1),(1,1),(1,2)\)
均具有正概率；比较前两点给 \(b=0\)，再比较后两点给 \(a=0\)。故非零参数方向的方差严格正。这个论证只支持本二参数族内部的可区分性，不推出外部观察者的统计可识别性。

### 47.18 临界平均斜率回接有限深度条件数

固定 \(A>0\)，让 \(\rho\uparrow1/\lambda\)，则 \(t\uparrow1\)。由（47.70）直接得到
\[
\boxed{
\lim_{\rho\uparrow1/\lambda}
\frac{\mathbb E[\mathsf D]}{\mathbb E[K]}
=\frac{1-1/\lambda}{1+1/\lambda}
=\frac{\lambda-1}{\lambda+1}
=\frac{A}{\sqrt{A^2+4A}}.
}
\tag{47.75}
\]
最后一步用
\(A=(\lambda-1)^2/\lambda\) 与
\(s=(\lambda^2-1)/\lambda\)。

此极限不是临界点的概率期望：临界点没有这份归一化律。它只比较严格内部的一族有限期望。等价地，令 \(\delta_{\mathrm c}=1-\lambda\rho\downarrow0\)，从（47.68）—（47.69）得
\[
\mathbb E[K]=\delta_{\mathrm c}^{-1}+O_A(1),
\qquad
\mathbb E[\mathsf D]=\frac{A}{s}\delta_{\mathrm c}^{-1}+O_A(1).
\]
两者分别发散，但其比值有上述极限。

第46.9节式（46.28）—（46.31）给
\[
\frac{\kappa_k(A)}{k}\longrightarrow\frac{A}{s}
\quad(k\to\infty,\ A>0\text{固定}).
\]
结合（47.61），同一系数族因此具有两种相容而不同的读法：固定大深度时，条件次数均值的每层增长率趋于 \(A/s\)；将全部深度按 \(\rho\) 混合、并从严格内部接近可归一化边界时，总次数均值与总深度均值之比趋于同一值。这里证明的是“均值之比”，不是未经说明的 \(\mathbb E[\mathsf D/K]\)；后者还有 \(K=0\) 的定义问题。

### 47.19 同一临界尺度：最坏放大与平均深度

本节固定 \(A>0\)，从次临界侧令
\(\rho\uparrow1/\lambda(A)\)。所有幅度导数都是对 \(A\) 求导；所有渐近中的 \(A\) 保持固定。使用前面已经证明的最优常数
\[
C_\rho(A)=\sup_{k\ge0}\rho^ku'_k(A),
\qquad
q=\rho\lambda,\qquad
\epsilon=-\log q>0.
\]
则有
\[
\boxed{
\lim_{\rho\uparrow1/\lambda}\epsilon C_\rho(A)
=\frac{c_A}{e s},
\qquad
\lim_{\rho\uparrow1/\lambda}
\frac{C_\rho(A)}{\mathbb E_{A,\rho}[K]}
=\frac{c_A}{e s},
\quad
c_A=\frac{A\lambda}{\lambda+1},\quad s=\sqrt{A^2+4A}.
}
\tag{47.76}
\]
第二个极限的期望只属于前面显式归一化的标签律，临界点自身没有该概率律。

**一致有界余项。** 由 (47.3)、(47.13) 中同一闭式，
\[
u_k(A)=c_A\lambda^k+b_A\lambda^{-k},
\qquad b_A=\frac{A}{\lambda+1}.
\]
对 \(\lambda+\lambda^{-1}=A+2\) 求导，得
\(\lambda'/\lambda=1/(\lambda-\lambda^{-1})=1/s\)。因此
\[
\boxed{
\rho^ku'_k(A)
=q^k\left(c'_A+\frac{c_A}{s}k\right)
+\left(\frac{\rho}{\lambda}\right)^k
\left(b'_A-\frac{b_A}{s}k\right).
}
\tag{47.77}
\]
这里
\[
c'_A=\frac{\lambda}{\lambda+1}
+\frac{A\lambda}{s(\lambda+1)^2},
\qquad
b'_A=\frac1{\lambda+1}
-\frac{A\lambda}{s(\lambda+1)^2},
\]
均是固定 \(A>0\) 的有限常数。令 \(\beta=\lambda^{-2}<1\)。因
\(\rho/\lambda=q\beta\le\beta\)，从 (47.77) 抽出主项
\((c_A/s)kq^k\) 后，余项 \(R_k(\rho)\) 满足
\[
\begin{aligned}
|R_k(\rho)|
&\le |c'_A|+|b'_A|+\frac{b_A}{s}k\beta^k\\
&\le M_A:=
|c'_A|+|b'_A|
+\frac{b_A}{s}\frac{\beta}{(1-\beta)^2}<\infty.
\end{aligned}
\tag{47.78}
\]
最后使用非负几何导数级数
\(\sum_{k\ge0}k\beta^k=\beta/(1-\beta)^2\)。
这个上界同时对所有 \(k\ge0\) 和所有 \(0<\rho<1/\lambda\) 成立；没有把仅逐 \(k\) 有效的余项误用于上确界。

记
\[
S(\epsilon)=\sup_{k\in\mathbb N} k e^{-\epsilon k}.
\]
(47.78) 对每个 \(k\) 的上下两侧估计给
\[
\boxed{
\left|C_\rho(A)-\frac{c_A}{s}S(\epsilon)\right|
\le M_A.
}
\tag{47.79}
\]
这是同一索引集合上的一致有界扰动下的上确界估计，不需要假定两个上确界由相同整数 \(k\) 取得。

**整数极大值的极限。** 连续函数 \(x e^{-\epsilon x}\) 在 \(x\ge0\) 上的最大值由求导得到，为 \(1/(e\epsilon)\)。所以
\(\epsilon S(\epsilon)\le1/e\)。
对 \(0<\epsilon<1\)，取
\(k_\epsilon=\lfloor1/\epsilon\rfloor\)，则
\(\epsilon k_\epsilon\to1\)，从而
\[
\epsilon S(\epsilon)
\ge \epsilon k_\epsilon e^{-\epsilon k_\epsilon}
\longrightarrow e^{-1}.
\]
合并上下界，
\[
\boxed{\epsilon S(\epsilon)\longrightarrow 1/e.}
\tag{47.80}
\]
将 (47.79) 乘以 \(\epsilon\)，有
\(\epsilon M_A\to0\)，即得 (47.76) 的第一个极限。

**与平均深度的同尺度比较。** 从 (47.69) 写成
\[
\mathbb E[K]
=\frac{q}{1-q}
-\frac{\rho}{1-\rho}
+\frac{\rho/\lambda}{1-\rho/\lambda}.
\]
固定 \(A\) 时，后两项在 \(\rho\uparrow1/\lambda\) 的邻域有界，因为
\(1/\lambda<1\) 且 \(1/\lambda^2<1\)。又 \(q=e^{-\epsilon}\)，所以
\[
\epsilon\frac{q}{1-q}
=\frac{\epsilon}{e^\epsilon-1}\longrightarrow1.
\]
最后一个极限也可由
\(e^\epsilon-1=\int_0^\epsilon e^x\,dx\)
直接夹逼：
\(e^{-\epsilon}\le\epsilon/(e^\epsilon-1)\le1\)。
因此
\[
\boxed{\epsilon\,\mathbb E_{A,\rho}[K]\longrightarrow1.}
\tag{47.81}
\]
均值在严格内部为正；(47.76) 的第二个极限于是由
\[
\frac{C_\rho(A)}{\mathbb E[K]}
=\frac{\epsilon C_\rho(A)}{\epsilon\mathbb E[K]}
\]
直接得到。至此全部极限由一致估计和整数极值证明，不依赖数值拟合。

这个等式比较确定性最坏放大常数与指定标签律的平均深度；它不把最坏放大改解释为实际平均噪声，也不把所选标签律认作观察者的真实来源概率或物理时间。常数与余项依赖固定 \(A>0\)，没有宣称 \(A\downarrow0\) 时的一致结论。

### 47.20 标签 Shannon 熵及粗分组的区别

在严格内部，所有标签概率严格正，且
\[
-\log p(K,\mathsf D,J)
=\log Z-\mathsf D\log A-K\log\rho.
\]
右侧绝对值至多
\[
|\log Z|+|\log A|\mathsf D+|\log\rho|K,
\]
其期望由前面的矩界有限。因此熵级数收敛，可以逐项求和，得到以自然对数计量的
\[
\boxed{
H(K,\mathsf D,J)
=\log Z-\log A\,\mathbb E[\mathsf D]
-\log\rho\,\mathbb E[K]<\infty.
}
\tag{47.82}
\]
该式的非负性也来自其原定义 \(\sum p(-\log p)\)，不能把某个负的代数延拓解释为熵。

若把重数标签 \(j\) 丢掉，概率变为
\[
\Pr(K=k,\mathsf D=d)=\frac{c_{k,d}\rho^kA^d}{Z}.
\]
给定 \(k,d\)，\(J\) 在 \(c_{k,d}\) 个标签上均匀，故
\[
H(K,\mathsf D,J)
=H(K,\mathsf D)+\mathbb E[\log c_{K,\mathsf D}].
\tag{47.83}
\]
该修正项有限：\(c_{k,d}\le2^{k+d-1}\le 2^{2k}\)，从而
\(\mathbb E[\log c_{K,\mathsf D}]\le2\log2\,\mathbb E[K]\)。
所以细标签与按次数合并的对象有不同熵；不能在合并以后沿用细标签公式而忽略重数。这也说明所选计数与赋权属于概率定义的一部分。

（47.82）是组合标签法则的 Shannon 熵，不是世界的不确定性、传感器读数熵、热力学熵或物理时间箭头。若要把它运输到实际观测，必须额外提供共同来源、实际抽样／加权规则、标签与事件的映射，以及该映射保留的关系。现有数组恢复或一个可归一化公式没有自行提供这些条件。

### 47.21 端点与退化不能省略

**\(\rho=0,\ A>0\)。** 把它作为非负权重的独立端点，取 \(\rho^0=1\)，则只有 \(k=0,d=1,j=1\) 有权重，\(Z=A\)。分布退化为单点，\(\mathbb E[K]=0,\mathbb E[\mathsf D]=1,H=0\)。自然参数 \(\eta=\log\rho\) 不再是有限值，严格内部正定 Fisher 结论不在此端点直接适用；均值比也因分母零而未定义。

**\(A=0,\ 0<\rho<1\)。** 所有原标签权重为零，\(Z=0\)，不能归一化为本节原定义的概率律。可是 \(A\downarrow0\) 的概率族有不同意义的极限：
\[
\Pr(K=k,\mathsf D=1,J=1)\longrightarrow(1-\rho)\rho^k,
\]
其它固定标签的概率趋零。证明：\(u_k(A)/A\to1\)，且
\(Z/A=(1-\rho)/[(1-\rho)^2-A\rho]\to1/(1-\rho)\)。
极限点概率总和一。为证明总变差收敛，给定 $\varepsilon>0$，选有限标签集 $F$ 使极限律 $p_0(F^c)<\varepsilon$。有限集上的逐点收敛使充分小的 $A>0$ 满足 $\sum_{\ell\in F}|p_A(\ell)-p_0(\ell)|<\varepsilon$，因此 $p_A(F^c)<2\varepsilon$。从而整个标签集的绝对差之和小于 $\varepsilon+2\varepsilon+\varepsilon=4\varepsilon$，按总变差为该和的一半的约定即得收敛。极限是次数固定为一、深度几何分布，均值分别为
\(1,\rho/(1-\rho)\)。这是重标后的极限律，不是把零总权强行相除所得的 \(A=0\) 原律。

**临界与超临界。** \(\rho=1/\lambda\) 只有有界幅度，没有有限 \(Z\)；\(\rho>1/\lambda\) 两者均失去相应有限性。\(\rho=1\) 在 \(A>0\) 下同样不可能归一化。所有无限微分、有限矩和熵结论都只在严格内部；不能从固定 \(A\) 的边界极限推出任意 \(A\downarrow0,\rho\uparrow1\) 联合极限的一致结论。

**有限条件族。** 每个固定 \(k\) 的次数—重数条件族仅需 \(A>0\)，自身没有全深度归一化阈值。全深度混合额外引入 \(\rho\) 和正项可求和条件；不能把全深度失败误报为某个有限深度条件概率不存在。

### 47.22 可核对的同模型临界反例与有限证据

取 \(A=1/2\)，则 \(\lambda=2\)。临界 \(\rho=1/2\) 下
\[
\rho^k u_k(A)=\frac13+\frac16\,4^{-k}\le\frac12,
\]
但
\[
\sum_{k=0}^N\rho^k u_k(A)
=\frac{N+1}{3}+\frac29(1-4^{-(N+1)})
\longrightarrow+\infty.
\tag{47.84}
\]
这给同一个明确对象上的反例：加权上确界有界不推出这份正标签总权可归一化。

在内部 \(A=1/2,\rho=1/4\)，各式给精确值
\[
Z=\frac67,\quad
\mathbb E[\mathsf D]=\frac97,\quad
\mathbb E[K]=\frac{17}{21},
\]
\[
\operatorname{Var}(\mathsf D)=\frac{18}{49},\quad
\operatorname{Cov}(\mathsf D,K)=\frac{30}{49},\quad
\operatorname{Var}(K)=\frac{758}{441}.
\tag{47.85}
\]
这个有理点的 Fisher 行列式为
\[
\frac{18}{49}\frac{758}{441}-\left(\frac{30}{49}\right)^2
=\frac{88}{343}>0.
\]
按重数 $c_{k,d}$ 汇总 $k=0,\ldots,40$ 的精确有理权重，对
$1,\mathsf D,K,\mathsf D^2,\mathsf DK,K^2$ 得到六个未归一化截断和。
它们均不超过相应全和，误差均小于 $10^{-8}$。一个共同的非负剩余项上界是
\[
Aq^m\left[
\frac{(m+1)^2}{1-q}
+\frac{2(m+1)q}{(1-q)^2}
+\frac{q(1+q)}{(1-q)^3}
\right],\qquad m=41,
\]
本例恰为 $1851/2199023255552$。理由是 $\mathsf D\le k+1$、$K=k\le k+1$，且（47.9）给 $\rho^ku_k(A)\le Aq^k$；每种剩余和至多为
$A\sum_{k\ge m}(k+1)^2q^k$。令 $k=m+j$ 并展开平方，利用几何级数的零、一、二次矩
$1/(1-q)$、$q/(1-q)^2$、$q(1+q)/(1-q)^3$，即得上述界。
矩归一化使用完整 $Z=6/7$，不使用截断总权。若相应归一化原始矩的区间为 $[\ell_f,u_f]$，则方差区间为
$[\ell_{X^2}-u_X^2,u_{X^2}-\ell_X^2]$，协方差区间为
$[\ell_{XY}-u_Xu_Y,u_{XY}-\ell_X\ell_Y]$；这里各原始矩非负。
这保留相减和乘积的误差，不能把截断方差直接当作单向界。
临界例的 $k=0,\ldots,8$ 加权幅度与（47.84）相符，其 $N=0,1,4,8$ 部分和分别为
$1/2,7/8,967/512,422343/131072$。这些有限精确值只佐证公式与下标；无穷归一化、交换次序、所有阶矩、正定性和临界结论由前文普通证明承担。

最坏放大与平均深度的有限数值例取
\(A\in\{1/2,1,4\}\)、\(\epsilon\in\{10^{-1},10^{-2},10^{-3}\}\)，
令 \(q=e^{-\epsilon},\rho=q/\lambda\)，用 (47.77) 在
\(0\le k<N\)、\(N=40/\epsilon\) 的整数范围评价。所有遗漏整数 \(k\ge N\) 的值由
\[
\rho^ku'_k(A)\le(k+1)e^{-\epsilon k}
\le(N+1)e^{-40}<1
\]
控制：函数在这个范围递减；这三档下 \(N\le40000\)，且
\(e^{40}>2^{40}>40001\)。而 \(k=0\) 的值恰为一，所以真正最大值位于这个有限范围。该尾界是解析的；以下数值采用60位和100位十进制精度的公式评价，二者差小于 $10^{-48}$，显示值取九位小数；有限高精度值不作为区间认证。最接近临界的一档给：

| \(A\) | \(\epsilon\) | \(\epsilon C_\rho\)（近似） | \(C_\rho/\mathbb E[K]\)（近似） | \(c_A/(es)\)（近似） |
| ---: | ---: | ---: | ---: | ---: |
| \(1/2\) | \(10^{-3}\) | 0.082023940 | 0.082119612 | 0.081750987 |
| \(1\) | \(10^{-3}\) | 0.119347754 | 0.119460803 | 0.119048288 |
| \(4\) | \(10^{-3}\) | 0.222381654 | 0.222532192 | 0.222034884 |

这九个有限案例仅佐证公式、方向与数量级，所有渐近仍由 (47.78)–(47.81) 的普通证明承担。

### 47.23 同一关系的不同完成、放大与赋权

这一连接只使用一份生成函数：
\[
\boxed{
\sum_k u_k(A)z^k
=\frac{A(1-z)}{1-(A+2)z+z^2}.
}
\]
它的系数来自递归体／边幅度；增长根 \(\lambda\) 给加权幅度的有界阈值；把 \(z=\rho\) 并显式赋予计数标签正权后，同一函数成为归一化常数；它的对数导数给次数、深度、协方差与这个特定统计族的 Fisher 几何。临界斜率与有限深度 \(\kappa_k/k\) 通过已证明的相等极限回接。

统一成立于这些具体关系和转换。有限上确界、绝对可求和、某个完备空间的成员身份、概率归一化和实际可观测性是不同条件；临界反例把它们的边界保留下来。


在次临界范围，离散有限来源与完整数组可通过包含、取极限和体／边互逆相容地连接，但三种来源距离的完成对象仍不同：精确前缀保留有理坐标，通常上确界只补成趋零实序列，拉回输出度量补成整个有界实立方体。它们共同保留有限递归关系，未因此变成相同的一致结构。

本节进一步给出一个具体的共同临界尺度：齐次展开的正求和上界就是 \(Z\)，其次数权重是几何的；确定性最坏放大 \(C_\rho\) 与所选法则的平均深度以同一 \(1/\epsilon\) 级别发散。临界的有界数组、消失尾失败、解析截断失败和归一化失败在同一模型里相互对应，但每项仍有自己的定义和证明。完成中的一个合法极限也不自动成为原实际来源可以有限取得的对象；完整记录与共同实现条件继续按第47.10节保留。


Morgan–Voyce／Chebyshev 生成函数的成熟归属继承自第46.3节；几何／负二项分布、对数配分函数的协方差恒等式和 Shannon 链式分解属于标准方法。这里的内容是对同一已定系数族的普通综合推导，不宣称新的普遍统计框架、文献原创优先权、Lean 核验或实际传感器模型。全部结论限于所声明的递归族、参数域、度量、标签律和合法来源。

### 47.24 精确来源、归属与本单元边界

本节的有限输入归第46节：式（46.1）的递推及有限多项式依赖、式（46.3）的非负系数分解、式（46.6）的共同全负角点、式（46.8）、（46.11）—（46.12）的系数与两根闭式、式（46.14）—（46.17）的坐标 Lipschitz 性、式（46.19）的同立方体精确模量、式（46.28）—（46.31）的统一量程条件数，以及式（46.34）的完整观察者实际像运输。它们共同保留有限深度、同一输入域及共同见证条件。[第46节的不可变正文](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/bb03a0b32070a52ae10b180158ad1e4092698f99/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md#L10922)提供这些普通证明；本节据此推导全层结论。

[Context43 的不可变正文](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/419ffbbb196cb45f824532f8f2c16c12e3268286/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md#L8704)中，第43.2—43.4节拥有有限多项式、限制相容与第一列互逆；定理43.4的式（43.6）—（43.9）拥有实际行有限系数公式，引理43.5拥有有限依赖；第43.5节拥有离散有理坐标的精确前缀完成；第43.6及43.11节区分全部已获档案、实际来源和完成对象。第47.9节只将同一有限代数证明运输到实／复系数，再在明确的有限支撑、无零点圆盘与 Cauchy 系数估计条件下给解析尾界，未把形式级数自动当成无条件解析函数。

标量族的成熟归属与记号如下：

- M. N. S. Swamy, “Properties of the Polynomials Defined by Morgan-Voyce,” *The Fibonacci Quarterly* 4(1) (1966), pp.73–81，[原文](https://www.fq.math.ca/Scanned/4-1/swamy.pdf)。印刷第73页式（7）的小写 $b_k$ 满足 $b_0=1,b_1=x+1$ 及 $b_{k+2}=(x+2)b_{k+1}-b_k$，本节 $u_k(A)=A b_k(A)$；印刷第79页式（40）给相同二项式系数。第80页式（42b）为旧缩放 Chebyshev 表示，不能替代当前 $V/W$ 约定。
- NIST DLMF [18.5.3](https://dlmf.nist.gov/18.5#E3) 的当前第三类记号为 $V_0=1,V_1=2x-1$；该处注明版本1.0.28（2020年9月15日）交换旧 $V/W$ 标签的更正。取 $U_{-1}=0$，有 $u_k(A)=A V_k(1+A/2)=A[U_k(1+A/2)-U_{k-1}(1+A/2)]$。
- DLMF [18.12.10](https://dlmf.nist.gov/18.12#E10) 给第二类 $U_k$ 的生成式；乘 $(1-z)$ 才得到 $U_k-U_{k-1}$。本模型的解析半径由实际极点证明，不从默认正交区间移植。

Cauchy 系数估计、Banach 齐次幂级数与紧嵌入、几何／负二项分布、对数配分函数的协方差 Hessian 及 Shannon 链式法则均为标准方法。成熟标量族的归属不代替本递归映射的最优性、临界来源闭包或取得条件证明；本节的综合推导不主张文献原创优先权或穷尽文献搜索。

邻近形式结果 [CanonicalDiscountedFutureGeometry](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/a492391be5b09240e6be894c3e742a75a945feb1/D5/S3/Observer/MetricGeometryLaws/CanonicalDiscountedFutureGeometry.lean) 的公开定理 `canonical_discounted_future_geometry` 处理全读出距离有界时的折扣预测伪度量与更新 Lipschitz 性；[DiscountedPrimeTimeUltrametric](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/a492391be5b09240e6be894c3e742a75a945feb1/D5/S3/Observer/PrimeTimeGeometry/DiscountedPrimeTimeUltrametric.lean) 的 `discounted_prime_time_distance_strong_triangle` 处理有限坐标族上的加权离散相等差异及强三角律。两者不供应本节依赖幅度增长根 $\lambda(A)$ 的数值阈值，其假设不能替代本节证明。第43.1节拥有的 `AntidiagonalArraySourceSeries` 特选自然数组，也不能替代任意实边界族上的全层论证。本节没有新的 Lean 形式认证。

临界有限来源的精确闭包、剩余尾距离、实／有理来源的同一闭包及分次缩放强连续向量刻画见第47.9节；声明查询接口的完整记录下界及次临界充分取得合同见第47.11节。距离等式针对完整自由来源类，任意受限联合来源的完成须另保留同档案纤维可行性，不能由环境尾幅度独自决定。全负角点在闭包中的最近点已由常值边界见证取得且不唯一；有限支撑距离达到性、任意实际数组的一般最近点存在性、随机查询下界与达到下界的最优算法，均不在本单元中断言或证明。无理幅度的有理范数逼近不提供逐字相同的精确读数，数学来源存在性也不认定设备已能制备、读取或认证该来源。

解析球、指定标签归一化与信息矩阵保留各自参数及概率范围；标签统计不是实际来源律，也不导出物理时间、动力学生成元、热力学熵增或普遍信息本体。离散层、数值完成及观察表示的关系在这些已证接口下相容，原有完整研究问题仍超出本单元的结论。

## 47.99 追加锚

## 48. 全幅度最近有限前缀、有理达到性与同一系数的统计几何

对每个 \(A>0\)，临界全负数组都有达到距离 \(c_A\) 的有限前缀来源；其最小允许前缀截止长度是 \(\lceil\log(1-\rho)/\log\rho\rceil\)，其中 \(\rho=\lambda(A)^{-1}\)。固定截止内的有理来源另有精确达到判据：阈值严格超出一，或阈值等于一且 \(A\) 有理。下文先证明这两项近似结论，再把单点来源的 \(A\ge1/2\) 现象作为特例，连接同一递归系数的标签统计、Fisher 几何、临界极限及精确齐次范数。

全部概率属于显式选择的组合标签族 \(\mathbb P_{\mathrm{lab},A,\rho}\)；没有给实际来源、完整档案或物理过程添加概率律。参数比 \(t\) 不是时间。前缀截止、有限支持大小、有限符号描述与实际取得条件分别保留。

### 48.1 共同系数、两种聚合与适用范围

固定 \(A>0\)、\(0<\rho<1\)，定义
\[
s=\sqrt{A^2+4A},\qquad
\lambda=\frac{A+2+s}{2}>1,\qquad
c_A=\frac{A\lambda}{\lambda+1},\qquad
b_A=\frac{A}{\lambda+1}.
\]
由第46.2—46.3节式（46.3）、（46.6）、（46.8）、（46.12）给出的同一递归系数族是
\[
c_{k,d}=\binom{k+d-1}{2d-2},\qquad
u_k(A)=\sum_{d=1}^{k+1}c_{k,d}A^d
=c_A\lambda^k+b_A\lambda^{-k}.
\tag{48.1}
\]
其中 \(k\ge0\)、\(1\le d\le k+1\)。三个基本关系为
\[
\lambda+\lambda^{-1}=A+2,\qquad
\lambda-\lambda^{-1}=s,\qquad
\frac{d\log\lambda}{dA}=\frac1s.
\]

对固定 \(\rho\)，记
\[
A_{\mathrm c}=\frac{(1-\rho)^2}{\rho},\qquad
t=\frac{A\rho}{(1-\rho)^2},\qquad
m_d=\sum_{k\ge d-1}\rho^kc_{k,d}
=\frac{\rho^{d-1}}{(1-\rho)^{2d-1}}.
\tag{48.2}
\]
正标签总权为
\[
Z=\sum_{k\ge0}\rho^ku_k(A)
=\sum_{d\ge1}A^dm_d.
\]
它有限当且仅当 \(t<1\)，等价于 \(\rho\lambda<1\)，并且在此严格内部
\[
Z=\frac{A}{(1-\rho)(1-t)}.
\tag{48.3}
\]
所有概率论断均限于这个严格内部，除非明确讨论从内部趋近边界的极限。临界 \(t=1\) 时正项总权无穷，不存在这份归一化标签律。

Banach 空间部分固定 \(0<\rho<1\)，输入为
\(X=\ell^\infty(\mathbb N;\mathbb C)\)，输出为
\[
Y_\rho=\left\{T:\|T\|_\rho
=\sup_{n,k\ge0}\rho^{n+k}|T(n,k)|<\infty\right\}.
\]
递归映射 \(\mathcal E\) 取（47.1）的逐列定义，\(H_d(a)(n,k)\) 是该坐标实际多项式的总次数 \(d\) 部分，\(d>k+1\) 时为零。第47.13节式（47.51）—（47.52）通过连续对称多线性映射的对角值构造这些连续齐次多项式，并给出 Banach 值解析和；系数绝对值和与共同全负输入的符号饱和分别由（46.3）、（46.6）、（46.8）供应。这些是本节解析结论的供应前提；仅有一个抽象标签计数，并不能推出递归多项式具有这些性质。

### 48.2 全部幅度的最近有限前缀与精确截止长度

固定 \(A>0\)、\(\rho=\lambda(A)^{-1}\)，仍记
\(T^\star=\mathcal E(-A\mathbf1)\)。对整数 \(N\ge1\)，定义
\[
\mathcal F_{A,N}
=\{b\in[-A,A]^{\mathbb N}:b_i=0\text{ 对所有 }i\ge N\},
\qquad
\mathcal J_{A,N}=\mathcal E(\mathcal F_{A,N}),
\]
并取同一负前缀
\[
b^{A,N}_i=
\begin{cases}-A,&i<N,\\0,&i\ge N,\end{cases}
\qquad T_{A,N}=\mathcal E(b^{A,N}).
\]
这里 \(N\) 是允许非零坐标的**前缀截止长度**，不是任意散布坐标的非零个数。本节不把这两个资源量混同。

**有限来源的生成函数与消失尾。** 对任意 \(b\in\mathcal F_{A,N}\)，令
\[
F_b(z)=1+\sum_{i=0}^{N-1}b_i z^{i+1},\qquad
R_{n,b}(z)=\sum_{k\ge0}\mathcal E(b)(n,k)z^k.
\]
递推先在形式幂级数意义下给
\[
F_b(z)R_{n,b}(z)=b_n+zR_{n+1,b}(z).
\]
因为 \(F_b(0)=1\)，它具有形式逆；又因为所有 \(n\ge N\) 行均由递推归纳为零，逐行迭代得到
\[
R_{n,b}(z)
=\sum_{j=0}^{N-n-1}
\frac{b_{n+j}z^j}{F_b(z)^{j+1}}\quad(n<N),
\qquad R_{n,b}=0\quad(n\ge N).
\tag{48.4}
\]
此等式首先是形式恒等式，下面再给解析范围。

临界关系给 \(\lambda-(A+1)=(s-A)/2>0\)，所以
\(\rho<(1+A)^{-1}\)。选
\(\rho<R<(1+A)^{-1}\)。在 \(|z|\le R\) 上，
\[
|F_b(z)-1|
\le A\sum_{i=1}^{N}R^i
\le\frac{AR}{1-R}<1.
\]
因此（48.4）在包含这个闭圆盘的邻域解析。对各有限非零行应用 Cauchy 系数界，有常数 \(C_{b,n,R}\) 使
\[
|\mathcal E(b)(n,k)|\le C_{b,n,R}R^{-k}.
\]
故 \(\rho^k|\mathcal E(b)(n,k)|\to0\)。只有 \(n<N\) 的有限多行，所以该数组具有消失加权尾。特别地，首行目标差满足
\[
\rho^k|T^\star(0,k)-\mathcal E(b)(0,k)|
\longrightarrow c_A,
\quad\text{从而}\quad
\|T^\star-\mathcal E(b)\|_\rho\ge c_A.
\tag{48.5}
\]
这里不需要把一般环境数组截断当作实际递归来源。

**同一个负前缀同时最小化每个坐标的误差。** 令
\(Q_{n,k}(x)=-\mathcal E(-x)(n,k)\)。（46.3）的系数性质说明 \(Q_{n,k}\) 是非负系数多项式。因 \(|b_i|\le A\mathbf1_{i<N}\)，逐坐标有
\[
|\mathcal E(b)(n,k)|
\le Q_{n,k}(|b|)
\le Q_{n,k}(A\mathbf1_{i<N})
=-T_{A,N}(n,k)
\le u_k(A).
\]
三角不等式的反向估计于是给
\[
\begin{aligned}
|T^\star(n,k)-\mathcal E(b)(n,k)|
&\ge u_k(A)-|\mathcal E(b)(n,k)|\\
&\ge u_k(A)+T_{A,N}(n,k)\\
&=|T^\star(n,k)-T_{A,N}(n,k)|.
\end{aligned}
\tag{48.6}
\]
最后一步使用 \(T_{A,N}\le0\) 和上述绝对值上界。故同一个实际前缀取得所有坐标共同的最小误差，特别地
\[
\operatorname{dist}_\rho(T^\star,\mathcal J_{A,N})
=\|T^\star-T_{A,N}\|_\rho.
\]
这不是把分别可达的坐标最优值拼成一个未必存在的来源。

定义
\[
W_N(A)=A\sum_{i=1}^{N}\rho^{-i}.
\]
临界恒等式 \(A=(1-\rho)^2/\rho\) 给
\[
W_N(A)=\frac{1-\rho}{\rho}(\rho^{-N}-1),
\qquad
W_N(A)\ge1\quad\Longleftrightarrow\quad
\rho^N\le1-\rho.
\tag{48.7}
\]

**充分性。** 假设 \(W_N(A)\ge1\)。记
\(p_{n,k}=-T_{A,N}(n,k)\ge0\)、\(p_k=p_{0,k}\)。有限依赖给
\(p_k=u_k(A)\) 对 \(k<N\) 成立；因此这些初始项满足
\(p_k\ge A\rho^k\)。首行递推可改写为
\[
p_k=p_{1,k-1}
+A\sum_{i=1}^{\min(k,N)}p_{k-i}\quad(k\ge1).
\]
对 \(k\ge N\)，若此前各项满足所需界，则
\[
p_k\ge A\sum_{i=1}^{N}p_{k-i}
\ge A^2\rho^k\sum_{i=1}^{N}\rho^{-i}
=A\rho^kW_N(A)
\ge A\rho^k.
\]
故由归纳，\(p_k\ge A\rho^k\) 对所有 \(k\ge0\) 成立。首行的加权误差因此满足
\[
\begin{aligned}
0\le\rho^k[u_k(A)-p_k]
&\le c_A+b_A\rho^{2k}-A\rho^{2k}\\
&=c_A+(b_A-A)\rho^{2k}<c_A.
\end{aligned}
\tag{48.8}
\]
严格性来自 \(b_A<A\)，包括每个有限 \(k\)。当 \(N=1\) 时，基步为 \(p_0=A\)，归纳从 \(k=1\) 开始，仍覆盖全部首行。

现在取 \(n\ge1\)，写 \(m=n+k\)。若 \(m<N\)，有限依赖说明当前前缀与全负边界完全给出同一坐标，误差为零。若 \(m\ge N\)，由 \(0\le p_{n,k}\le u_k(A)\) 得
\[
\begin{aligned}
\rho^{n+k}[u_k(A)-p_{n,k}]
&\le\rho^m u_k(A)\\
&\le\rho^m u_{m-1}(A)\\
&=c_A(\rho+\rho^{2m})\\
&\le c_A\bigl[\rho+(1-\rho)^2\bigr]
<c_A.
\end{aligned}
\tag{48.9}
\]
第二步用 \(k\le m-1\) 以及 \(u_j(A)\) 随非负整数 \(j\) 增加：这也可由其非负系数公式逐项比较得到。等式使用
\(b_A=c_A\rho\)；倒数第二步使用（48.7）。最后
\(\rho+(1-\rho)^2=1-\rho+\rho^2<1\)。结合（48.5），得到范数恰为 \(c_A\)。每个有限坐标的加权误差都严格小于 \(c_A\)，而整个上确界仍等于 \(c_A\)。

**必要性。** 假设 \(W_N(A)<1\)。对负前缀写
\[
F_N(z)=1-A\sum_{i=1}^{N}z^i,\qquad
P_N(z)=\sum_{k\ge0}p_kz^k
=\sum_{j=0}^{N-1}\frac{Az^j}{F_N(z)^{j+1}},
\tag{48.10}
\]
后一个式子是（48.4）的首行符号变换。在 \(|z|\le\rho^{-1}\) 上，
\(A\sum_i|z|^i\le W_N(A)<1\)。因为和式有限且严格小于一，可以再选
\(R>\rho^{-1}\)，使 \(A\sum_iR^i<1\)。于是 \(F_N\) 在整个 \(|z|\le R\) 上无零点，（48.10）解析，Cauchy 系数界给
\[
0\le p_k\le C_RR^{-k}=o(\rho^k).
\]
所以首行误差为
\[
\rho^k[u_k(A)-p_k]
=c_A+\rho^{2k}\left(b_A-\frac{p_k}{\rho^k}\right)
>c_A
\]
对充分大的有限 \(k\) 成立。由（48.6），所有允许的同截止来源都有至少这么大的该坐标误差。因此距离严格大于 \(c_A\)。

充分和必要两部分合并为
\[
\boxed{
\operatorname{dist}_\rho(T^\star,\mathcal J_{A,N})=c_A
\quad\Longleftrightarrow\quad
W_N(A)\ge1
\quad\Longleftrightarrow\quad
\rho^N\le1-\rho.
}
\tag{48.11}
\]
以下严格有限坐标估计只针对所构造的全负前缀，不声称每个任意最近点都具有这个性质。精确最小允许截止长度因而为
\[
\boxed{
N_{\min}(A)
=\left\lceil\frac{\log(1-\rho)}{\log\rho}\right\rceil,
\qquad\rho=\lambda(A)^{-1}.
}
\tag{48.12}
\]
两个对数均为负，商严格为正，故该整数至少为一。特别地，对每个 \(A>0\)，某个有限负前缀已经取得角点到全部有限来源像的距离 \(c_A\)。零截止只有零来源，其误差为 \(A>c_A\)。\(N=1\) 时（48.11）退化为 \(\rho\le1/2\)，也就是第48.4节单点特例的 \(A\ge1/2\)。

例如 \(A=1/6\) 时 \(\rho=2/3\)、\(c_A=1/10\)，最小截止为三。截止二的共同最优负前缀已经在 \((n,k)=(0,11)\) 给出精确超额
\[
\rho^{11}|T^\star(0,11)-T_{A,2}(0,11)|-c_A
=\frac{30677}{104603532030}>0.
\]
该值可直接由首行递推以有理数计算；它是上面一般必要条件的一个有限见证。\(A=1/20\)、\(\rho=4/5\) 时最小截止为八；必要证明只保证不足截止的超额最终出现，不承诺在任意预先选定的小深度内出现。

### 48.3 有理前缀的精确达到条件与未达下确界

仍固定同一个 \(A>0\)、临界 \(\rho\) 和截止 \(N\ge1\)，令
\[
\mathcal F^{\mathbb Q}_{A,N}
=\mathcal F_{A,N}\cap\mathbb Q^{\mathbb N},
\qquad
\mathcal J^{\mathbb Q}_{A,N}
=\mathcal E(\mathcal F^{\mathbb Q}_{A,N}),
\qquad S_N=\sum_{i=1}^{N}\rho^{-i}.
\]
这里实际幅度上限 \(A\) 可以无理，来源坐标要求有理。

先证明一个可用于有理近似的实幅度构造。若
\[
b_A<B\le A,\qquad BS_N\ge1,
\tag{48.13}
\]
取长度 \(N\) 的全负 \(B\) 前缀 \(b^{B,N}\)，则
\[
\|T^\star-\mathcal E(b^{B,N})\|_\rho=c_A,
\]
并且每个有限坐标的加权误差严格小于 \(c_A\)。证明需处理同一来源的全部行。

首行 \(p_k=-\mathcal E(b^{B,N})(0,k)\) 在 \(k<N\) 时为 \(u_k(B)\ge B\rho^k\)。递推归纳与前节相同，只将其系数 \(A\) 换成 \(B\)，由 \(BS_N\ge1\) 得
\(p_k\ge B\rho^k\)。目标仍为幅度 \(A\) 的同一个角点，所以
\[
0\le\rho^k[u_k(A)-p_k]
\le c_A+(b_A-B)\rho^{2k}<c_A.
\]
若 \(n\ge1\)、\(m=n+k<N\)，有限依赖给近似坐标为 \(-u_k(B)\)。因 \(u_k(B)\ge B\)，
\[
\begin{aligned}
\rho^{n+k}[u_k(A)-u_k(B)]
&\le\rho^n[c_A+b_A\rho^{2k}-B\rho^k]\\
&\le\rho^n[c_A+(b_A-B)\rho^{2k}]
<c_A.
\end{aligned}
\]
这也与已证临界模量 \(\max\{A-B,c_A\}=c_A\) 一致，但这里已逐式给出所需估计。若 \(n\ge1\)、\(m\ge N\)，则 \(BS_N\ge1\)、\(B\le A\) 蕴含 \(AS_N\ge1\)，故（48.9）的目标粗界仍适用；近似数组非正且绝对值不超过目标，不需要再给不同来源拼接界。最后用（48.5）的首行极限取得范数下界 \(c_A\)。

**严格超出阈值。** 若 \(W_N(A)=AS_N>1\)，则
\[
\max\{b_A,S_N^{-1}\}<A.
\]
取有理数 \(B\) 严格介于两端即可满足（48.13）。因此在当前固定截止内已有有理来源达到 \(c_A\)，每个有限坐标的误差又都严格小于该范数。

**阈值等号且幅度有理。** 若 \(W_N(A)=1\) 且 \(A\in\mathbb Q\)，直接使用有理负前缀 \(b^{A,N}\)。前节证明已给达到性及每个有限坐标的严格不等式。

**阈值等号且幅度无理。** 若 \(W_N(A)=1\) 且 \(A\notin\mathbb Q\)，对任意 \(b\in\mathcal F^{\mathbb Q}_{A,N}\)，每个 \(|b_i|\) 都严格小于 \(A\)。故
\[
V_b:=\sum_{i=0}^{N-1}|b_i|\rho^{-(i+1)}<AS_N=1.
\]
在 \(|z|\le\rho^{-1}\) 上，\(|F_b(z)-1|\le V_b<1\)。严格性和有限和的连续性再次允许选 \(R>\rho^{-1}\)，使
\(\sum_i|b_i|R^{i+1}<1\)。由（48.4）及 Cauchy 估计，
\[
|\mathcal E(b)(0,k)|=O(R^{-k})=o(\rho^k).
\]
这个论证允许任意符号的有理来源。使用反向三角不等式，其首行误差满足
\[
\begin{aligned}
\rho^k|T^\star(0,k)-\mathcal E(b)(0,k)|
&\ge c_A+\rho^{2k}
\left(b_A-\frac{|\mathcal E(b)(0,k)|}{\rho^k}\right)\\
&>c_A
\end{aligned}
\]
对充分大的有限 \(k\) 成立。因此没有有理来源在这个固定截止内达到距离 \(c_A\)。

若 \(W_N(A)<1\)，前节已经排除所有实来源，当然也排除有理来源。综上，得到完整达到性判据
\[
\boxed{
\exists b\in\mathcal F^{\mathbb Q}_{A,N},\qquad
\|T^\star-\mathcal E(b)\|_\rho=c_A
\quad\Longleftrightarrow\quad
\bigl[W_N(A)>1\bigr]
\quad\text{或}\quad
\bigl[W_N(A)=1\text{ 且 }A\in\mathbb Q\bigr].
}
\tag{48.14}
\]

等号无理情形中的不达到不意味着下确界变大。固定截止 \(N\) 时，来源到数组的映射在通常有限维坐标与 \(\|\cdot\|_\rho\) 之间连续：选择
\(\rho<R<(1+A)^{-1}\)，上述统一估计使所有 \(F_b\) 在 \(|z|=R\) 上远离零；（48.4）的有限个有理函数因而随系数一致连续。若 \(b^{(j)}\to b\) 逐坐标，则各非零行生成函数在该圆周上一致收敛。Cauchy 估计给
\[
\rho^{n+k}|\mathcal E(b^{(j)})(n,k)-\mathcal E(b)(n,k)|
\le\rho^n(\rho/R)^k\varepsilon_j,
\qquad\varepsilon_j\to0,
\]
其中对 \(n<N\) 的有限多行取共同 \(\varepsilon_j\)，其余行恒零。取全部坐标的上确界即得范数收敛。即使 \(A\) 无理，也可在每个坐标的区间内部选有理数逼近端点，保持 \(|b_i|\le A\)。故有理来源在 \(\mathcal F_{A,N}\) 中内向稠密，从而在每个固定截止内
\[
\boxed{
\operatorname{dist}_\rho(T^\star,\mathcal J^{\mathbb Q}_{A,N})
=\operatorname{dist}_\rho(T^\star,\mathcal J_{A,N}).
}
\tag{48.15}
\]
因此，当 \(W_N(A)=1\)、\(A\notin\mathbb Q\) 时，下确界为 \(c_A\)，但任意具体有理来源的误差都严格大于它。可具体选有理幅度 \(B_j\uparrow A\)，其负前缀数组在此固定截止中范数收敛到实负前缀。

对任意 \(A>0\)，可以先选有理数 \(B\in(b_A,A)\)，再选足够大的 \(N\) 使 \(BS_N\ge1\)。因为 \(S_N\to\infty\)，这总能完成。因此所有幅度下都有某个有理有限前缀达到 \(c_A\)。若还要指定最小有理截止，它等于（48.12）的 \(N_{\min}\)，仅当该截止恰满足阈值等号且 \(A\) 无理时才增加一；下一截止的 \(W_N\) 严格更大。不需要另行判断哪些阈值幅度是有理数，条件式判据已经完整。

这些结论属于声明的自由数学来源类。若来源必须与某份完整档案、动作合法性或共同外部约束相容，还须验证所构造前缀确属同一记录纤维；上述存在证明本身不赋予制备、读出或替换权限。


**例 48.3a（实／有理截止不同的无理阈值）。** 取
\[
\rho=\frac{\sqrt5-1}{2},\qquad A=\sqrt5-2=2\rho-1.
\]
有 \(\rho^2=1-\rho\)、\(A=(1-\rho)^2/\rho\)。因为 \(\rho>1/2\)，截止一未达阈值，而 \(\rho^2=1-\rho\) 使 \(W_2=1\)；又 \(A\) 无理，故最小实截止为二，最小有理截止为三。截止三可取 \(B=1/5\)：\(3/5<\rho<2/3\) 给 \(B<A\)，且 \(b_A=A\rho/(1+\rho)=5\rho-3<1/5\)，后一个不等式由 \(\rho<16/25\) 得到；这些有理界可直接代入严格递增的 \(x^2+x-1\) 核对。同时
\[
S_3=\rho^{-1}+\rho^{-2}+\rho^{-3}=4\rho+6>5,
\]
故 \(BS_3>1\)。这是（48.13）—（48.14）的精确应用，不由浮点等号判定。

### 48.4 单坐标来源的完整特例与二分之一阈值

本节固定 \(A>0\)、\(\rho=\lambda(A)^{-1}\)，令
\(T^\star=\mathcal E(-A\mathbf1)\)。对 \(0<B\le A\) 取单点支持边界
\[
b^{(B)}=(-B,0,0,\ldots),\qquad T_B=\mathcal E(b^{(B)}).
\]
直接在递推中对列归纳，得到
\[
T_B(0,k)=-B^{k+1},\qquad T_B(n,k)=0\quad(n\ge1).
\tag{48.16}
\]
首行误差非负，因为 \(u_k(A)\) 包含最高次项 \(A^{k+1}\)，且 \(B\le A\)。因此其加权值恰为
\[
d_k=\rho^k\bigl[u_k(A)-B^{k+1}\bigr]
=c_A+b_A\lambda^{-2k}-B(B/\lambda)^k.
\tag{48.17}
\]
由于 \(B/\lambda\le A/\lambda=(1-\lambda^{-1})^2<1\)，
\(d_k\to c_A\)。其他行误差的上确界恰为
\[
\sup_{n\ge1,k\ge0}\rho^{n+k}u_k(A)=\rho A,
\]
因为 \(\rho^ku_k(A)=c_A+b_A\rho^{2k}\le A\)，且 \((n,k)=(1,0)\) 取到 \(\rho A\)。

从（48.17）可见
\[
d_k\le c_A\ \text{对所有 }k
\quad\Longleftrightarrow\quad
B\ge b_A\ \text{且}\ B\lambda\ge1.
\tag{48.18}
\]
充分性由 \(B(B\lambda)^k\ge b_A\) 直接得到；必要性分别用 \(k=0\)，以及若 \(B\lambda<1\) 则左侧乘积随 \(k\) 趋零。这里始终 \(b_A>0\)。

若 \(A\ge1/2\)，则 \(\lambda\ge2\)，所以
\(\rho A\le c_A\)。选 \(B=A\) 时还满足
\(A>b_A\) 和
\[
A\lambda=(\lambda-1)^2\ge1.
\]
结合首行极限即得
\[
\boxed{
A\ge\tfrac12\quad\Longrightarrow\quad
\|T^\star-T_A\|_\rho=c_A.
}
\tag{48.19}
\]
第47.9节式（47.31）已经证明角点到有限支持来源像的距离为 \(c_A\)，故这个单点支持来源确实是有限来源中的一个最近点。距离的上确界可沿无限深度逼近；这并不妨碍产生近似数组的边界只具有一个非零坐标。

若 \(0<A<1/2\)，则 \(A\lambda<1\)，而任意 \(0<B\le A\) 都满足 \(B\lambda<1\)。由（48.18），这个单点支持族中的每个数组都有某个首行误差严格超过 \(c_A\)。这只排除该特定来源族；第48.2节已经证明，增加前缀截止长度后，所有 \(A>0\) 都有有限来源最近点。

有理来源也可保持这一达到性。\(A=1/2\) 时取有理数 \(B=A\)。\(A>1/2\) 时
\[
\max\{b_A,\lambda^{-1}\}<A,
\]
故可选有理数 \(B\) 严格介于两端。它满足（48.18），仍给
\(\|T^\star-T_B\|_\rho=c_A\)，并且 \(b^{(B)}\) 是幅度不超过 \(A\) 的有理有限来源。此构造不要求在有理来源中精确写下无理数 \(-A\)。这些都是数学来源类中的存在结论；额外的实际来源—档案约束仍需另行验证该有限来源是否合法。

### 48.5 弱组合标签与两阶段几何分布

将原重数标签 \(1\le j\le c_{k,d}\) 参数无关地重新编号为弱组合
\[
g=(g_1,\ldots,g_{2d-1})\in\mathbb N_0^{2d-1},
\qquad \sum_i g_i=k-d+1.
\]
因为非负整数 \(m\) 的长度 \(r\) 弱组合数为
\(\binom{m+r-1}{r-1}\)，此处恰有
\(\binom{k+d-1}{2d-2}\) 个标签。明确取 \(g\) 为这些元组中字典序第 \(j\) 项；其逆为 \(j=1+\#\{h:\sum h_i=k-d+1,\ h<_{\rm lex}g\}\)。这是有限集上的双射；不依赖 \(A,\rho\) 的重新编号保留全部概率和参数统计信息。

令标签空间为所有有限记录 \((d,g)\)，其中 \(d\ge1\)、\(g\) 长度为 \(2d-1\)，并令
\[
D=d,\qquad K=d-1+\sum_i g_i.
\]
原来每个标签的权重是 \(A^d\rho^K\)。使用（48.2）—（48.3），直接计算
\[
\begin{aligned}
\Pr(D=d,G=g)
&=\frac{A^d\rho^{d-1+\sum_i g_i}}{Z}\\
&=(1-t)t^{d-1}
\prod_{i=1}^{2d-1}\bigl[(1-\rho)\rho^{g_i}\bigr].
\end{aligned}
\tag{48.20}
\]
对 \(g\) 求和，每个几何级数均为一，所以
\[
\Pr(D=d)=(1-t)t^{d-1}.
\]
再对 \(d\ge1\) 求和，\(\sum_d(1-t)t^{d-1}=1\)，故联合律归一化。给定 \(D=d\)，坐标 \(G_i\) 相互独立，并各自具有
\(\Pr(G_i=j)=(1-\rho)\rho^j\)。于是
\[
M:=K-D+1\mid D=d
\sim\operatorname{NB}(2d-1,\rho),
\]
这里负二项参数化明确为
\[
\Pr(M=m\mid D=d)
=\binom{m+2d-2}{2d-2}(1-\rho)^{2d-1}\rho^m.
\tag{48.21}
\]
独立性是这份标签律的分解结论，既不预设原递归数组随机，也不声称实际来源系数或测量噪声独立。

几何级数微分给
\(\mathbb E G_i=\rho/(1-\rho)\)、
\(\operatorname{Var}(G_i)=\rho/(1-\rho)^2\)。定义
\[
r=\frac{1+\rho}{1-\rho},\qquad
b=\frac1{1-\rho}.
\]
条件均值与条件方差因此为
\[
\mathbb E[K\mid D]=rD-b,\qquad
\operatorname{Var}(K\mid D)
=\frac{(2D-1)\rho}{(1-\rho)^2}.
\tag{48.22}
\]
全部有限阶矩及固定阶参数微分由第47.16节式（47.67）的局部控制供应：在任一内部点的小邻域选 \(A\le A_+\)、\(\rho\le\rho_+\)，使 \(q_+=\rho_+\lambda(A_+)<1\)，且 \(Z\) 有统一正下界。由 \(d\le k+1\)，每个固定非负整数 \(r,\ell\) 满足
\[
\sum_{d,j}d^r k^\ell A^d\rho^k
\le A_+(k+1)^{r+\ell}q_+^k.
\]
右侧对 \(k\) 可求和，给局部一致绝对收敛、逐项微分和有限矩。光滑坐标变换到 \((\alpha,\eta)\) 后，其任意固定阶导数在缩小的邻域有界，同一控制仍许可下面的 score 计算。

### 48.6 整个内部的正交 Fisher 坐标

参数变换
\[
(A,\rho)\longleftrightarrow(t,\rho),\qquad
A=\frac{t(1-\rho)^2}{\rho}
\]
将严格次临界域双射到 \((0,1)^2\)。取
\[
\alpha=\log t,\qquad\eta=\log\rho,
\]
则参数域是矩形 \(( -\infty,0)^2\)。这是全局坐标声明，不把临界边界纳入参数族。

由（48.20），单个标签的对数概率为
\[
\ell=\log(1-t)+(D-1)\alpha
+(2D-1)\log(1-\rho)+(K-D+1)\eta.
\]
在偏导 \(\partial_\eta\) 中保持 \(\alpha\) 不变，得到两个 score：
\[
S_\alpha=D-\frac1{1-t}=D-\mathbb ED,
\]
\[
S_\eta=K-D+1-\frac{(2D-1)\rho}{1-\rho}
=K-rD+b.
\tag{48.23}
\]
（48.22）给 \(\mathbb E[S_\eta\mid D]=0\)，故
\(\mathbb E[S_\alpha S_\eta]=0\)。此外
\[
\mathbb E[S_\alpha^2]=\frac{t}{(1-t)^2}=:v,
\]
\[
\begin{aligned}
\mathbb E[S_\eta^2]
&=\mathbb E[\operatorname{Var}(K\mid D)]\\
&=\frac{\rho}{(1-\rho)^2}
\left(\frac2{1-t}-1\right)
=\frac{\rho(1+t)}{(1-\rho)^2(1-t)}=:R.
\end{aligned}
\]
因此 Fisher 信息矩阵与相应二次型恰为
\[
I_{(\alpha,\eta)}=
\begin{pmatrix}v&0\\0&R\end{pmatrix},
\qquad ds^2=v\,d\alpha^2+R\,d\eta^2.
\tag{48.24}
\]
两个对角量在内部均严格为正。这个对角化来自总次数 score 与条件深度 score 的正交分解。\((\alpha,\eta)\) 并非原来的自然参数，因此不能不加变换就把新坐标中某个对数归一化函数的 Hessian 当作 Fisher 矩阵；（48.23）直接排除了这种混淆。

### 48.7 自然坐标的协方差分解

回到自然参数 \((\theta,\eta)=(\log A,\log\rho)\)。有
\[
\alpha=\theta+\eta-2\log(1-e^\eta),
\qquad d\alpha=d\theta+r\,d\eta.
\]
Fisher 二次型按 Jacobian 运输，故
\[
I_{(\theta,\eta)}
=v\begin{pmatrix}1&r\\r&r^2\end{pmatrix}
+R\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix},
\qquad \det I=vR>0.
\tag{48.25}
\]
也可直接由（48.22）及全方差公式验证：
\[
\operatorname{Var}(D)=v,\quad
\operatorname{Cov}(D,K)=rv,\quad
\operatorname{Var}(K)=r^2v+R.
\]
在所指定的自然对数坐标中，\(\nabla\log t=(1,r)\) 是等值曲线的法向；第一项只在这个方向有秩一贡献。沿 \(d\alpha=0\) 的切向，第一项消失，剩余信息由 \(R\,d\eta^2\) 给出。这是明确坐标与度量中的方向陈述，不把 Euclidean 法向或矩阵特征值冒充任意重参数化下不变的数值。

### 48.8 固定幅度下的临界双尺度

本节及随后临界概率极限均固定 \(A>0\)。令
\[
\rho_0=\lambda^{-1},\qquad
\rho=\rho_0e^{-\varepsilon},\qquad
\varepsilon\downarrow0,
\qquad \beta=\frac As.
\]
在边界
\[
r_0=\frac{1+\rho_0}{1-\rho_0}=\frac sA=\beta^{-1},
\qquad \frac{\rho_0}{(1-\rho_0)^2}=\frac1A.
\tag{48.26}
\]
函数 \(t(\varepsilon)\) 在零附近光滑，且
\[
t(0)=1,\qquad
\frac{d\log t}{d\varepsilon}=-r(\rho),
\]
故
\[
1-t=r_0\varepsilon+O_A(\varepsilon^2),\qquad
r=r_0+O_A(\varepsilon).
\tag{48.27}
\]
代入 \(v,R\)，得到
\[
v\sim\frac{A^2}{s^2}\varepsilon^{-2},\qquad
R\sim\frac2s\varepsilon^{-1}.
\tag{48.28}
\]
因此
\[
\varepsilon^2 I_{(\theta,\eta)}
\longrightarrow
\begin{pmatrix}\beta^2&\beta\\\beta&1\end{pmatrix},
\qquad
\det I\sim\frac{2A^2}{s^3}\varepsilon^{-3}.
\tag{48.29}
\]
极限矩阵非零且秩为一；其非零特征值为 \(1+\beta^2\)。记原矩阵两特征值为 \(\Lambda_+\ge\Lambda_->0\)。二维对称矩阵特征值连续性先给
\[
\Lambda_+\sim\left(1+\frac{A^2}{s^2}\right)\varepsilon^{-2}.
\]
再由 \(\Lambda_-\Lambda_+=\det I\)，得到
\[
\boxed{
\Lambda_-\sim
\frac{2A^2}{s(s^2+A^2)}\varepsilon^{-1}.
}
\tag{48.30}
\]
所以两方向都发散，但阶数不同；经 \(\varepsilon^2\) 缩放后只保留较强的一层。这些特征值结论固定使用 \((\log A,\log\rho)\) 坐标。常数依赖 \(A\)，没有宣称在 \(A\downarrow0\) 的联合极限中一致。

### 48.9 深度的精确双几何混合

令
\[
q=\rho\lambda,\qquad p=\rho/\lambda,
\]
严格内部有 \(0<p<q<1\)。由（48.1）
\[
\rho^ku_k(A)=c_Aq^k+b_Ap^k,
\qquad Z=\frac{c_A}{1-q}+\frac{b_A}{1-p}.
\]
定义
\[
w=\frac{c_A/(1-q)}{Z},\qquad
1-w=\frac{b_A/(1-p)}{Z}.
\]
于是深度的完整概率质量为
\[
\boxed{
\Pr(K=k)=w(1-q)q^k+(1-w)(1-p)p^k.
}
\tag{48.31}
\]
因此 \(K\) 恰是两个非负整数几何分布的混合。这里的混合标签是一种概率表示，可通过扩充概率空间实现；不将它解释为实际来源中已经测得的隐藏分支。

### 48.10 临界指数律、矩与联合尺度

继续固定 \(A>0\)，取 \(q=e^{-\varepsilon}\)、
\(p=e^{-\varepsilon}/\lambda^2\)。此时 \(p\) 与一保持统一正距离，故
\[
\varepsilon Z\longrightarrow c_A,\qquad
w\longrightarrow1,\qquad 1-w=O_A(\varepsilon).
\tag{48.32}
\]
若 \(G_q\) 的质量为 \((1-q)q^k\)，则对每个 \(x\ge0\)
\[
\Pr(\varepsilon G_q>x)
=q^{\lfloor x/\varepsilon\rfloor+1}
\longrightarrow e^{-x}.
\]
另一混合分支的总概率趋零，故由（48.31）
\[
\varepsilon K\Rightarrow E,
\qquad E\sim\operatorname{Exp}(1).
\tag{48.33}
\]
分布收敛本身不保证矩收敛；这里直接计算矩。几何级数给
\[
\mathbb EG_q=\frac q{1-q},\qquad
\mathbb EG_q^2=\frac{q(1+q)}{(1-q)^2}.
\]
利用混合公式，\(p\) 分支的前两阶矩有界，得到
\[
\varepsilon\mathbb EK\longrightarrow1,\qquad
\varepsilon^2\mathbb EK^2\longrightarrow2,\qquad
\varepsilon^2\operatorname{Var}(K)\longrightarrow1.
\tag{48.34}
\]

下面证明同一标签中 \(D,K\) 的联合结论，而非拼接两个边缘极限。记
\[
W=K-\mathbb E[K\mid D]=K-rD+b.
\]
则 \(\mathbb E[W\mid D]=0\)、\(\mathbb EW^2=R\)，从而
\[
K-r_0D=W+(r-r_0)D-b.
\]
交叉项因条件均值为零而消失，因此
\[
\mathbb E[(K-r_0D)^2]
=R+\mathbb E[((r-r_0)D-b)^2].
\tag{48.35}
\]
几何次数律给
\[
\mathbb ED=\frac1{1-t},\qquad
\mathbb ED^2=\frac{1+t}{(1-t)^2}.
\]
由（48.27），\(r-r_0=O_A(\varepsilon)\)、
\(\mathbb ED^2=O_A(\varepsilon^{-2})\)，而 \(b\) 有界。
故（48.35）第二项为 \(O_A(1)\)，第一项为 \(O_A(\varepsilon^{-1})\)。结论是
\[
\boxed{\varepsilon^2\mathbb E_\varepsilon[(K-r_0D)^2]\longrightarrow0.}
\tag{48.36}
\]
这里的 \(L^2\) 陈述就是上述逐律二阶矩趋零。每个期望均在对应 \(\varepsilon\) 的标签律下计算；这一表述不要求事先把整族随机变量放在同一概率空间。

由 Markov 不等式，上述残差在当前概率律下依概率趋零。将向量写为 \((\beta\varepsilon K,\varepsilon K)+(-\beta\varepsilon(K-r_0D),0)\)，结合（48.33）、（48.36）及 \(r_0=\beta^{-1}\)，得到联合弱收敛
\[
\boxed{(\varepsilon D,\varepsilon K)\Rightarrow(\beta E,E).}
\tag{48.37}
\]
由于 \(E>0\) 几乎处处，连续映射定理还给
\[
\frac{D}{K}\longrightarrow\beta\quad\text{依概率，在 }K>0\text{ 上}.
\tag{48.38}
\]
精确地，可先在 \(K=0\) 时将比值任意定义为零；因为
\(\Pr(K=0)=A/Z\to0\)，这个定义不影响极限，条件于 \(K>0\) 的版本也成立。比值结论来自同一联合律及分母极限严格正，不能只用两个期望的比值来替代证明。

这些是从严格内部得到的尺度极限，并未构造 \(t=1\) 的临界标签概率。指数极限也说明深度并不集中在均值附近：其变异系数趋于一。

### 48.11 固定深度的次数高斯涨落

固定 \(A>0\)，对每个整数 \(k\) 使用条件律
\[
\Pr(D=d\mid K=k)=\frac{c_{k,d}A^d}{u_k(A)}.
\]
这一条件律与 \(\rho\) 无关。它的矩母函数在所有有限复数 \(z\) 处都是有限和：
\[
M_k(z)=\mathbb E[e^{zD}\mid K=k]
=\frac{u_k(Ae^z)}{u_k(A)}.
\tag{48.39}
\]
为了从闭式推导统一局部展开，选取 \(A\) 的小复邻域，避开
\(w^2+4w=0\) 的两个零点。选择在 \(w=A\) 取正值的解析平方根
\(s(w)\)，并令
\[
\lambda(w)=\frac{w+2+s(w)}2,\quad
c(w)=\frac{w\lambda(w)}{\lambda(w)+1},\quad
b(w)=\frac w{\lambda(w)+1}.
\]
缩小 \(z=0\) 的固定圆盘，使 \(w=Ae^z\) 留在上述邻域，
\(|\lambda(w)|\ge L>1\)，且 \(c(w)\ne0\)。这些要求由连续性和
\(A>0\)、\(\lambda(A)>1\)、\(c(A)>0\) 同时保证。

有限递推解的代数恒等式在此邻域仍给
\[
u_k(Ae^z)
=c(Ae^z)\lambda(Ae^z)^k
\left[1+\frac{b(Ae^z)}{c(Ae^z)}\lambda(Ae^z)^{-2k}\right].
\]
方括号内的误差在圆盘上一致为 \(O_A(L^{-2k})\)。对足够大 \(k\)，它的模小于 \(1/2\)，可以取以零为基点的解析对数。明确写 \(e_k(z)=[b(Ae^z)/c(Ae^z)]\lambda(Ae^z)^{-2k}\)，并取
\[
E_k(z)=\log(1+e_k(z))-\log(1+e_k(0)).
\]
其解析对数由 \(|e_k|<1/2\) 的幂级数选定。再对 \(c,\lambda\) 选局部解析对数，得到在固定小圆盘内
\[
\log M_k(z)=k\ell(z)+a(z)+E_k(z),
\tag{48.40}
\]
其中
\[
\ell(z)=\log\lambda(Ae^z)-\log\lambda(A),\qquad
a(z)=\log c(Ae^z)-\log c(A),
\]
且 \(\ell(0)=a(0)=E_k(0)=0\)，
\(\sup|E_k|\le C_A\gamma^k\)、\(0<\gamma<1\)。在更小圆盘上使用 Cauchy 导数估计，\(E_k\) 的任意固定阶导数也有这样的指数上界。这一步明确保证了根分离和导数余项控制。

由 \(d\log\lambda/dA=1/s\)，计算
\[
\ell'(0)=\frac As=:\beta,
\]
\[
\ell''(0)=A\frac d{dA}\left(\frac As\right)
=\frac As-\frac{A^2(A+2)}{s^3}
=\frac{2A^2}{s^3}=: \sigma_A^2>0.
\tag{48.41}
\]
对（48.40）在零点求导，得到
\[
\mathbb E[D\mid K=k]=\beta k+a'(0)+O_A(\gamma^k),
\]
\[
\operatorname{Var}(D\mid K=k)
=\sigma_A^2k+a''(0)+O_A(\gamma^k).
\tag{48.42}
\]
若需一个显式均值常数，
\(a'(0)=1+A/[s(\lambda+1)]\)。二阶常数不影响随后极限。

对任意固定实数 \(u\)，代入
\(z=iu/\sqrt{\sigma_A^2k}\)。局部 Taylor 展开给
\[
k\bigl(\ell(z)-\beta z\bigr)
=-\frac{u^2}{2}+O_{A,u}(k^{-1/2}),
\qquad a(z)=O_{A,u}(k^{-1/2}).
\]
因此标准化变量的特征函数趋于 \(e^{-u^2/2}\)，由特征函数连续性定理
\[
\boxed{
\frac{D-\beta k}{\sqrt{\sigma_A^2k}}
\Bigm|\;K=k
\Rightarrow N(0,1).
}
\tag{48.43}
\]
也可用精确条件均值居中，因两种中心相差 \(O_A(1)\)。这完整证明固定深度的高斯结论，无需把尚未核对的文献条件当作前提。

（48.43）与（48.37）研究不同抽样协议。固定深度时，次数在 \(\beta k\) 周围只有 \(\sqrt{k}\) 量级涨落；对全部深度作临界混合时，深度本身在 \(\varepsilon^{-1}\) 尺度上仍有非退化指数涨落。两种结论相容，不能将其中一个替换成另一个。复邻域和误差常数均依赖固定的 \(A>0\)，不声称在 \(A\downarrow0\) 时一致。

### 48.12 齐次多项式的精确范数与整数移动峰

本节再次固定 \(0<\rho<1\)，令
\[
h_d=\sup_{k\ge d-1}\rho^kc_{k,d}.
\]
定义连续齐次多项式的范数为
\(\|H_d\|=\sup_{\|a\|_\infty\le1}\|H_d(a)\|_\rho\)。
系数绝对值和给
\[
\rho^{n+k}|H_d(a)(n,k)|
\le\rho^n\rho^kc_{k,d}\|a\|_\infty^d,
\]
故 \(\|H_d\|\le h_d\)。取同一个单位输入
\(a=-\mathbf1\)，（46.3）、（46.6）、（46.8）的共同符号性质给
\(H_d(-\mathbf1)(0,k)=-c_{k,d}\)。因此
\[
\boxed{\|H_d\|=h_d.}
\tag{48.44}
\]
这是多项式范数；不额外声称任意极化后的多线性算子范数都相同。

令 \(r_d=2d-1\)、\(m=k-d+1\)。由（48.2）逐项相除，得到
\[
\frac{\rho^kc_{k,d}}{m_d}
=\binom{m+r_d-1}{r_d-1}(1-\rho)^{r_d}\rho^m.
\]
所以
\[
\boxed{\frac{h_d}{m_d}
=\max_{m\ge0}\Pr\{\operatorname{NB}(r_d,\rho)=m\}.}
\tag{48.45}
\]
最大值存在，因为多项式乘几何衰减趋零。

为精确定位众数，记右边质量为 \(p_m\)。比值为
\[
\frac{p_{m+1}}{p_m}
=\rho\frac{m+r_d}{m+1}.
\]
令
\[
x_d=\frac{(r_d-1)\rho}{1-\rho}
=\frac{(2d-2)\rho}{1-\rho}.
\]
上述比值大于、等于或小于一，分别等价于
\(m+1<x_d\)、\(m+1=x_d\)、\(m+1>x_d\)。因此：

- \(d=1\) 时 \(x_d=0\)，唯一众数是 \(m=0\)，且 \(h_1=1\)。
- \(d\ge2\) 且 \(x_d\notin\mathbb Z\) 时，唯一众数为 \(\lfloor x_d\rfloor\)。
- \(x_d\) 为正整数时，恰有两个众数 \(x_d-1,x_d\)。

故任一最大深度满足
\[
k_d=d-1+m_d^{\mathrm{mode}}
=\frac{1+\rho}{1-\rho}(d-1)+O(1),
\tag{48.46}
\]
这里 \(m_d^{\mathrm{mode}}\) 表示一个众数，与系数总和 \(m_d\) 不是同一个符号对象。峰值深度随次数线性逃向无穷；这是对深度索引的极大化，不是物理运动轨迹。

### 48.13 Stirling 常数、精确半径与临界截断误差

给出（48.45）的精确渐近证明。令 \(a=2d-2\to\infty\)，选择任意众数
\[
m=\frac{a\rho}{1-\rho}+O(1),\qquad n=a+m.
\]
该点质量可写为
\[
p_m=(1-\rho)\binom{n}{a}(1-\rho)^a\rho^m.
\]
Stirling 公式对 \(a,m,n\) 同时使用，因三个量均线性增长，给
\[
p_m=(1-\rho)
\sqrt{\frac{n}{2\pi am}}\,
\exp\{F_a(m)\}\bigl(1+O_\rho(a^{-1})\bigr),
\]
其中
\[
F_a(m)=(a+m)\log(a+m)-a\log a-m\log m
+a\log(1-\rho)+m\log\rho.
\]
把 \(m\) 暂作实变量，在
\(m_0=a\rho/(1-\rho)\) 处直接代入得
\[
F_a(m_0)=F_a'(m_0)=0,\qquad
F_a''(m)=-\frac{a}{m(a+m)}.
\]
因为 \(m-m_0=O(1)\)，该区间内二阶导数为 \(O_\rho(a^{-1})\)，Taylor 定理给
\(F_a(m)=O_\rho(a^{-1})\)。同时
\[
\frac{n}{am}\sim\frac1{a\rho}.
\]
因此两个可能众数均满足
\[
\frac{h_d}{m_d}
\sim\frac{1-\rho}{\sqrt{2\pi\rho(2d-2)}}
\sim\frac{1-\rho}{\sqrt{4\pi\rho d}}.
\tag{48.47}
\]
这证明了常数，不只给出中心极限定理的量级。

由（48.2）
\[
A_{\mathrm c}^{\,d}m_d=\frac{1-\rho}{\rho}.
\]
结合（48.47）得到
\[
\boxed{
A_{\mathrm c}^{\,d}h_d
\sim\frac{A_{\mathrm c}}{\sqrt{4\pi\rho d}},
\qquad
\lim_{d\to\infty}h_d^{1/d}
=\frac{\rho}{(1-\rho)^2}
=A_{\mathrm c}^{-1}.
}
\tag{48.48}
\]
所以以原点为中心的 Banach 值齐次级数
\(\sum_{d\ge1}H_d(a)\) 具有精确半径 \(A_{\mathrm c}\)：

- 若 \(r<A_{\mathrm c}\)，由（48.48）及根值判别，
  \(\sum_d h_dr^d<\infty\)，故在 \(\|a\|_\infty\le r\) 上一致绝对范数收敛。
- 若 \(r>A_{\mathrm c}\)，同一个输入 \(a=-r\mathbf1\) 对所有次数同时饱和，
  \(\|H_d(a)\|_\rho=r^dh_d\not\to0\)，故级数在该输入处不收敛。

这一证明给精确原点球半径，不排除特定其他输入或非球形区域上的延拓。

在临界输入 \(a=-A_{\mathrm c}\mathbf1\)，每项范数依（48.48）确实趋零，但不能据此推断级数收敛。事实上可以加强式（47.53）的下界：对每个有限 \(D\ge1\)，
\[
\boxed{
\left\|\mathcal E(a)-\sum_{d=1}^{D}H_d(a)\right\|_\rho
=c_{A_{\mathrm c}}.
}
\tag{48.49}
\]
这里 \(\mathcal E(a)-\sum_{d=1}^D H_d(a)\) 按每个坐标的有限次数多项式定义；没有预设临界 Banach 级数收敛。证明如下。常边界使递归数组及每个齐次部分在 \(n\) 上常值，故范数的最大行权为 \(n=0\)。对固定 \(k\)，余项绝对值是正系数尾和
\[
\rho^k\sum_{d>D}c_{k,d}A_{\mathrm c}^{\,d},
\]
其中 \(d>k+1\) 的项为零。由于 \(D\ge1\)，这个量介于零和仅删除次数一项的余量之间。记此处 \(A=A_{\mathrm c}\)、\(\lambda=\rho^{-1}\)，使用 \(c_{k,1}=1\) 与（48.1）得
\[
\begin{aligned}
\rho^k[u_k(A)-A]
&=c_A+b_A\rho^{2k}-A\rho^k\\
&\le c_A,
\end{aligned}
\]
因为 \(b_A\rho^k\le b_A<A\)。于是范数至多 \(c_A\)。另一方面，每个固定次数 \(d\) 的
\(\rho^kc_{k,d}A^d\to0\)，而
\(\rho^ku_k(A)\to c_A\)。对固定有限 \(D\)，余量沿 \(k\to\infty\) 趋于 \(c_A\)，故上确界至少为 \(c_A\)，证明等号。

逐坐标上，当 \(D\ge k+1\) 时已经完全相等；范数中却永远留下（48.49）的正误差。区别由不同聚合与移动深度给出，而不是由不同的递归关系造成。

### 48.14 同一系数的关系、完整观察者及有限记录最近点

#### 48.14.1 聚合方式与数学归属

同一 \(c_{k,d}\) 同时承担标签重数、正总权中的次数质量、齐次多项式的系数界及精确范数：对 \(k\) 求和得到 \(m_d\)，对深度取最大得到 \(h_d\)，再以 \(A^d\) 求正和得到 \(Z\)；选定标签律的 score 给 Fisher 几何。非负递归多项式的共同负输入还给有限前缀的逐坐标共同最优者。这些关系连接了同一个递归体／边对象的不同表达，但上确界、求和、度量完成、概率归一化及实际取得仍是不同操作。

第47.13节式（47.51）—（47.53）已有连续齐次多项式、原点解析球与临界残差下界；第48.12—48.13节给精确多项式范数、Stirling 常数及残差等号。第47.9节式（47.26）—（47.43）已有自由来源的有限尾、闭包与剩余尾距离；第48.2—48.3节进一步证明全负角点的有限来源达到性及最小实／有理截止。\(m_d\) 始终是系数总和，\(h_d\) 才是多项式范数；临界逐坐标相等与范数收敛仍分开。

统计结论限于明确选择的标签族。正交 score 的偏导固定正确的新坐标；数值特征值在 \((\log A,\log\rho)\) 中给出；临界渐近固定 \(A>0\)，联合指数极限来自同一内部律，固定深度高斯极限使用另一个条件抽样协议。\(d=1\) 的唯一众数和正整数双众数各有自己的端点结论。

#### 48.14.2 完整档案上的对应实际像

**命题 48.14a（保留全部档案的体／边互逆）。** 取实际共同实现集合 \(\Omega\)，整个已获档案 \(c:\Omega\to\mathcal C\)，以及合法边界 \(a:\Omega\to K_A\)，其中 \(K_A=[-A,A]^{\mathbb N}\)。\(c\) 包含已获内部与外部记录、来源和版本及关系约束、参考和校准、局部钟及其已知共同关系、合法动作及顺序、失败、停止事件、误差与费用合同。只比较下列对应实际像：
\[
\omega\longmapsto(c(\omega),a(\omega)),\qquad
\omega\longmapsto(c(\omega),\mathcal E(a(\omega))).
\]
在这两个像上，
\[
(c,a)\longmapsto(c,\mathcal E(a)),\qquad
(c,T)\longmapsto(c,(T(n,0))_{n\ge0})
\]
互为逆且字面保留同一个 \(c\)。

证明。第43.2—43.4节的有限多项式互逆与相容性，以及（47.1）的实数逐列评价，给 \(\beta\mathcal E(a)=a\)。对实际体像中的 \(T=\mathcal E(a(\omega))\)，有 \(\mathcal E\beta T=T\)。故两个复合都返回原来的同源读数，且每一步仍在对应实际像内。这是（46.34）、（47.44）的完整档案接口应用，不要求独立性，也不把实际像扩成笛卡儿积。任意带噪数组未必满足递归约束，因而不由本命题变成有效来源。证毕。

另行选择的 \(\mathbb P_{\mathrm{lab},A,\rho}\) 不会自行成为 \(\Omega\) 上的律；若需实际概率解释，必须指定可测标签—事件映射以及合法抽样／赋权规则。坐标或范数近似不删除已经取得的原始记录。

#### 48.14.3 同档案有限记录的最近前缀推论

**推论 48.14b（完整有限记录相等且达到临界最近距离）。** 固定 \(A>0\)、\(\rho=1/\lambda(A)\)，目标为 \(a^\star=-A\mathbf1\)、\(T^\star=\mathcal E(a^\star)\)。使用第47.11.1节命题47.6的确定性精确查询协议：从共同完整初始档案 \(c\) 开始，可查询一个边界系数 \(a_i\) 或一个递归坐标 \(\mathcal E(a)(n,k)\)；动作、可见元数据、顺序、费用、记录追加及停止／输出完全由 \(c\) 和此前可访问的完整记录决定。比较的合法实现必须服从相同观察／准备规则。不另供独立区分来源的身份、全局支撑证书、非局部尾 oracle、来源相关时钟、随机性或未计入的输出后查询。

假设协议在 \(a^\star\) 上经过有限次查询停止。沿这条已终止路径令
\[
M=\max\left(\{i:a_i\text{ 被查询}\}
\cup\{n+k:(n,k)\text{ 被查询}\}\right),
\]
空集时规定 \(M=-1\)。对每个满足
\[
N\ge\max\{1,M+1,N_{\min}(A)\}
\]
且其全负前缀 \(b^{A,N}\) 是**同一初始档案纤维内、具有相同协议合同的合法实现**的整数 \(N\)，整份有限执行有完全相同的 transcript、先后次序、保留元数据、停止决定及输出，而
\[
\|\mathcal E(a^\star)-\mathcal E(b^{A,N})\|_\rho=c_A.
\]
这对数组的每个有限加权坐标误差都严格小于 \(c_A\)。若所有充分长的这些前缀在同一纤维中合法，则有无穷多个不同的有限来源最近点产生相同的已终止完整记录。最小的存在结论只要求至少一个越过上述阈值的合法 \(N\)；自由立方体成员身份不保证这种合法性。

证明。在固定的已终止目标执行中，每个系数查询只依赖自身下标，每个递归坐标查询仅依赖下标至 \(n+k\) 的边界，这是引理43.5及（47.1）的有限多项式依赖。所有这些下标均小于 \(N\)，而全负前缀与 \(a^\star\) 在该范围完全相同。

对整份执行归纳，而非只对数值答案归纳：共同初始完整记录相同；若此前记录相同，协议合同给同一下一动作和可见元数据；若为查询，有限依赖给相同答案，规则遂追加相同事件、费用／钟读数及其它保留记录；若为停止，则在同一步停止并给相同输出。因此归纳达到同一个终止档案。空查询时 \(M=-1\)，只剩共同初始档案上的相同停止／输出规则；所取 \(N\ge\max\{1,N_{\min}\}\) 仍满足结论。

由第48.2节的截止定理，\(N\ge N_{\min}\) 给恰好 \(c_A\) 的范数距离。首行估计（48.8）及高行两个反对角区域的估计（48.9）给每个有限坐标的严格界。更长的合法 \(N\) 保留有限依赖及阈值不等式；两个不同截止的前缀在较小截止的首列坐标上已不同，故对应数组不同。这证明所述无穷族。证毕。

对任意共同输出 \(\widehat T\in Y_\rho\)，三角不等式立即给
\[
\max\{\|\widehat T-\mathcal E(a^\star)\|_\rho,
\|\widehat T-\mathcal E(b^{A,N})\|_\rho\}\ge c_A/2.
\]
这是（47.46）的二来源误差障碍，使用达到最近距离的更精确见证；它不是 \(a^\star\) 上的点态下界，不证明 minimax 最优性或达到下界的算法。构造在有限终止路径已知后选择 \(N\)，不预设对所有来源有效的统一停止步数。

若 \(A\) 有理，精确匹配的负前缀本身有理，在相同合法性假设下仍适用。若 \(A\) 无理，第48.3节的有理达到定理不给一般的精确记录重放：查询 \(a_0\) 的协议记录无理值 \(-A\)，任何有理来源均不能复制。某个具体协议可以要求更少信息，但没有普遍有理重放结论。这两个有限记录实现也不对所有后续实验等价：若随后查询 \(a_N\) 合法，目标回答 \(-A\)，有限前缀回答零。

#### 48.14.4 任务误差及未涵盖的范围

**推论 48.14c（同域 Lipschitz 任务的直接误差传递）。** 设任务 \(f\) 的声明域同时含 \(T^\star,T_{A,N}\)，目标度量为 \(d_Z\)，且该同一任务在该域满足统一界 \(d_Z(f(T),f(S))\le L\|T-S\|_\rho\)。对上述最近前缀，有
\[
d_Z(f(T^\star),f(T_{A,N}))\le Lc_A.
\]
证明。将已证范数等号代入该任务的 Lipschitz 假设即可；标量任务的 \(d_Z\) 可取绝对值。证毕。

任意阈值、新操作、变化的来源纤维和未来自适应策略仍须各自的裕度、连续性、定义域、交换与取得条件。精确表示运输来自命题48.14a的实际像互逆，不由正的近似误差推出。常值无限来源 \(-A\mathbf1\) 可有很短的符号描述，却不属于任何有限支持类；最近点定理计量的是初始前缀截止。

任意目标的最近点存在性／唯一性、任意散布稀疏支撑的最优值、有理位成本、随机协议、最优 minimax 方法、实际制备，以及 \(A\downarrow0\) 的统一临界极限，均不在本单元中断言或证明。这里没有给这些问题作全项目或全球未解判定。上述关系是同一模型下的普通数学综合，不从统计标签、递归深度或完成化名称推出物理时空、波动规律或普遍信息本体。

#### 48.14.5 供应接口及成熟方法

[Context43 的完整正文](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/419ffbbb196cb45f824532f8f2c16c12e3268286/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md#L8704)中，定理43.2、43.4、引理43.5及第43.6节分别拥有自由递推、多项式逆、形式行恒等式、有限依赖与完整档案接口；这些有限整系数恒等式的实／复评价见第46.1、47.1、47.9节。

[Context46 的完整正文](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/bb03a0b32070a52ae10b180158ad1e4092698f99/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md#L10922)的（46.3）、（46.6）、（46.8）、（46.12）分别承担非负变换、共同负角点、次数系数质量与两根闭式；（46.34）承担有限对应实际像的完整记录合同。

[Context47 的完整正文](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/5b98d110202357e03dbb0861fa2a393f0dc348c9/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md#L11516)的（47.26）—（47.43）拥有有限来源尾部、自由来源闭包与距离；（47.44）拥有整个观察者；命题47.6及（47.46）拥有确定性有限记录协议；（47.51）—（47.52）拥有实际连续齐次多项式及 Banach 值解析构造；（47.55）—（47.74）拥有选定内部标签律、归一化、局部微分与协方差恒等式。各前提都保持其原来的域与共同实现条件。

标量 Morgan–Voyce 族的成熟归属为 M. N. S. Swamy, “Properties of the Polynomials Defined by Morgan-Voyce,” *The Fibonacci Quarterly* 4(1) (1966), pp.73–81，[原始扫描](https://www.fq.math.ca/Scanned/4-1/swamy.pdf)。印刷第73页式（7）给小写 \(b_k\) 的初值与递推，第79页式（40）给二项式系数，本节 \(u_k(A)=A b_k(A)\)。第80页式（42b）的旧缩放 Chebyshev 表示不同于 NIST DLMF [18.5.3](https://dlmf.nist.gov/18.5#E3) 的当前第三类 \(V_k\) 约定；后者在版本1.0.28更正中交换了旧 \(V/W\) 标签。按当前约定 \(V_0=1,V_1=2x-1\)，有 \(u_k(A)=A V_k(1+A/2)\)。DLMF [18.12.10](https://dlmf.nist.gov/18.12#E10) 是 \(U_k\) 的生成式，乘 \(1-z\) 后才给 \(V_k=U_k-U_{k-1}\)，其中 \(U_{-1}=0\)。这些归属只承担成熟标量族。

Cauchy 系数／导数估计、Stirling 公式、特征函数连续性定理及连续映射定理是标准工具；本节分别给出所需无零点圆盘、固定复邻域和归一化余项、线性增长的阶乘参数，以及同律联合收敛和正分母条件。Stirling 公式亦见 [DLMF 5.11.3](https://dlmf.nist.gov/5.11#E3)。本节组织属于仓内普通综合推导（`repo-derived`），所述成熟方法保留其归属（`literature-attested`），没有穷尽文献搜索或原创优先权声明。

既有 [AntidiagonalArraySourceSeries 的 `result`](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/5b98d110202357e03dbb0861fa2a393f0dc348c9/D5/S1/Recurrence/Algebraic/AntidiagonalArraySourceSeries.lean#L78) 只认证其归一化自然数组／源方程假设下的结论，不认证任意有界实／复边界、这里的 Fisher 公式、CLT、Banach 范数或有限前缀达到定理。本节全部新结论由所写普通证明承担，不主张新增 Lean 认证。

## 48.99 追加锚

## 49. 临界递归体边几何：相位刚性、有限证书与实际完成

同一递归关系在有限层级上能够逐坐标恢复边界，但全层数值几何还取决于折扣权重。本节固定临界权重，分类哪些实际来源保留非零尾，证明其余来源何时由有限前缀认证，并识别边界乘积拓扑与数组范数拓扑恰在哪里相容。

有限幅度结果提供共同非负系数包络；加权完成结果提供实际数组、消失尾空间与有限来源距离的框架；全幅度有限截止结果提供实负角点的最小最近前缀。本节消费这些结果，证明复来源上的相位分类、有限证书、复数优化运输和临界拓扑。所有比较均使用一个实际来源生成的完整递归数组。相位表示整数分次上的代数作用；本节没有另设物理时间、量子态或来源概率律。


**供应接口。** 以下都指本卷已经给出陈述与证明的同一递归来源，各自保留原有假设与证明归属。

- 定理43.2及式（43.3）—（43.4）供应整系数坐标多项式与有限首列互逆；定理43.4及式（43.6）—（43.9）供应形式行恒等式；引理43.5供应下标至 $n+k$ 的有限依赖；定理43.7供应全相容族的共同实现。定理43.13、命题43.14与推论43.19保留任务、操作和完整档案运输；这里在同一多项式的实／复评价上工作，解析延拓另由下文证明。
- 第46.2—46.3节的式（46.3）、（46.4）、（46.6）供应非负列递推、正标量递推与共同全负极端；式（46.8）、（46.9）、（46.12）分别供应系数公式、两个初值与二阶递推、两根闭式。Morgan–Voyce 标量归属保持在该供应接口内。
- 第47.1—47.2节供应加权有界空间及临界阈值；第47.5节式（47.16）拥有实径向精确模量；第47.9节式（47.26）—（47.43）拥有实有限来源的消失尾、闭包与距离。第47.10节式（47.44）及第47.11.1节命题47.6供应完整联合档案与同记录确定性有限查询合同。
- 第48.2节式（48.6）—（48.12）拥有实负前缀的共同优化、全幅度截止阈值、严格有限坐标界及最小截止；第48.3节式（48.13）—（48.15）拥有实有理来源的达到条件与相同下确界。命题48.14a、推论48.14b—48.14c保留实际像、有限记录及同域任务运输条件。

下文的新证明承担复相位刚性、有限精确与稳健证书、两种共同无零点圆盘、所有行的统一尾界、同前缀逼近、复数支配与相位运输，以及实际来源的达到分类和临界拓扑；实闭包、实截止与实径向估计沿用上述所有者。

### 49.1 同一实际递归像与临界幅度合同

固定实数 $A>0$，令
$$
\lambda=\frac{A+2+\sqrt{A^2+4A}}2,
\qquad \rho=\lambda^{-1}\in(0,1),
\qquad A=\frac{(1-\rho)^2}{\rho}.
$$
分别考虑
$K_A^{\mathbb R}=[-A,A]^{\mathbb N}$ 与
$K_A^{\mathbb C}=\{a\in\mathbb C^{\mathbb N}:|a_i|\le A\}$。
每个来源 $a$ 生成唯一数组
$$
T_a(n,0)=a_n,\qquad
T_a(n,k+1)=T_a(n+1,k)-\sum_{j=0}^{k}T_a(n,j)a_{k-j}.
\tag{49.1}
$$
记 $\mathcal E(a)=T_a$。对列归纳，所有坐标均为输入有限前缀的整系数多项式，且 $T_a(n,k)$ 只依赖下标至 $n+k$ 的边界。因此这是实际递归数组，不是任意环境数组。第一列提取 $\beta(T)_i=T(i,0)$ 与 $\mathcal E$ 只在对应实际像上互逆。

对 $\mathbb F=\mathbb R$ 或 $\mathbb C$，先在环境加权有界数组空间
$$
B_\rho^{\mathbb F}=\left\{T:\mathbb N^2\to\mathbb F:
\sup_{n,k\ge0}\rho^{n+k}|T(n,k)|<\infty\right\}
$$
上定义
$$
\|T\|_\rho=\sup_{n,k\ge0}\rho^{n+k}|T(n,k)|,
\quad
\tau_N(T)=\sup_{n+k\ge N}\rho^{n+k}|T(n,k)|,
\quad
L_\rho(T)=\lim_{N\to\infty}\tau_N(T).
\tag{49.2}
$$
尾量随 $N$ 递减，故该非负极限存在且有限。令
$B_{\rho,0}=\{T\in B_\rho^{\mathbb F}:\tau_N(T)\to0\}$，令 $I_A^{\mathbb F}=\mathcal E(K_A^{\mathbb F})$，
$J_A^{\mathbb F}$ 为其中由有限支持边界生成的实际数组，$\mathbb F=\mathbb R$ 或 $\mathbb C$。有限支持修饰边界，生成的数组可以有无限多非零坐标。

沿用供应接口的正标量包络
$$
u_0=A,\qquad u_{k+1}=u_k+A\sum_{j=0}^{k}u_j.
$$
三角不等式与列归纳直接给 $|T_a(n,k)|\le u_k$，包括复数来源。全负来源 $a_i=-A$ 在所有坐标达到 $T_a(n,k)=-u_k$。包络的两个初值为 $u_0=A$、$u_1=A+A^2$，并满足
$u_{k+2}=(A+2)u_{k+1}-u_k$；供应接口的两根闭式改写为
$$
u_k=c_A\lambda^k+b_A\lambda^{-k},
\qquad
c_A=\frac{A}{1+\rho},\qquad
b_A=\frac{A\rho}{1+\rho}=c_A\rho.
\tag{49.3}
$$
因此
$\rho^ku_k=c_A+b_A\rho^{2k}\le A$，全部实际数组都属于加权 Banach 空间，且范数不超过 $A$。另外 $u_k$ 随 $k$ 严格增加。

这里的坐标多项式及首列互逆沿用开头的供应接口。标量包络 $u_k(A)$ 是 $A$ 乘以 Morgan–Voyce 多项式；其成熟归属沿用有限幅度节对 Swamy 初值、递推与系数公式的核对。[^criticalphase_swamy] 本节没有把该标量族重新计作新的数学对象。

### 49.2 实际各行的共同解析生成式

对任意复来源 $a\in K_A^{\mathbb C}$，在单位圆盘内定义
$$
C_{n,a}(w)=\sum_{j\ge0}a_{n+j}w^j,
\qquad
F_a(z)=1+zC_{0,a}(z)
=1+\sum_{i\ge0}a_i z^{i+1}.
$$
系数统一有界，故这些级数在单位圆盘解析，且
$|C_{n,a}(w)|\le A/(1-|w|)$，常数不依赖 $n$。
在零点附近 $F_a\ne0$、$|z/F_a(z)|<1$，所以
$$
R_{n,a}(z)=\frac1{F_a(z)}
C_{n,a}\!\left(\frac z{F_a(z)}\right)
\tag{49.4}
$$
在那里解析。利用 $C_{n,a}(w)=a_n+wC_{n+1,a}(w)$，得到
$$
F_a(z)R_{n,a}(z)=a_n+zR_{n+1,a}(z).
$$
比较常数项及 $z^{k+1}$ 系数，恰得（49.1），故
$[z^k]R_{n,a}=T_a(n,k)$。这同时证明所用解析对象确实生成同一个实际数组。

只要某个闭圆盘上 $F_a\ne0$ 且 $|z/F_a|<1$，（49.4）就在该圆盘邻域给实际行生成函数的解析延拓。此处没有从形式可逆性直接假定任意解析收敛；所需不等式在第49.5节证明。

### 49.3 分次相位等变与实数的两种极端

对 $|\zeta|=1$，定义边界与数组上的作用
$$
(D_\zeta a)_i=\zeta^{i+1}a_i,
\qquad
(U_\zeta T)(n,k)=\zeta^{n+k+1}T(n,k).
$$
它们都可逆，逆分别取 $\bar\zeta$，并保持幅度域、有限支持和加权范数。列归纳证明
$$
\boxed{\mathcal E(D_\zeta a)=U_\zeta\mathcal E(a).}
\tag{49.5}
$$
确实，初始列的次数为 $n+1$；后继项 $T(n+1,k)$ 的次数为 $n+k+2$，而卷积每项的两个次数相加为
$(n+j+1)+(k-j+1)=n+k+2$，所以同一个相位因子可从完整递推提出。

记
$$
a_i^\zeta=-A\zeta^{i+1},\qquad
T^\zeta=\mathcal E(a^\zeta).
$$
于是
$$
T^\zeta(n,k)=-\zeta^{n+k+1}u_k.
\tag{49.6}
$$
实来源中只有 $\zeta=1,-1$ 允许所有坐标为实数，分别为
$a_i=-A$ 与 $a_i=A(-1)^i$。因为 $a_0^\zeta=-A\zeta$，不同相位给不同边界和不同实际数组。

### 49.4 整圆等号刚性与有限前缀相位排除

在临界圆周 $z=\rho e^{i\theta}$ 上，有
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Re}F_a(\rho e^{i\theta})-\rho
&=\sum_{i\ge0}\rho^{i+1}
\left[A+\operatorname{Re}\bigl(a_i e^{i(i+1)\theta}\bigr)\right].
\end{aligned}
\tag{49.7}
$$
恒等式使用 $1-A\rho/(1-\rho)=\rho$。右边每项非负，并一致绝对收敛。

该和为零，当且仅当每项为零。由于 $|a_i|\le A$，
$\operatorname{Re}(a_i e^{i(i+1)\theta})=-A$ 等价于
$a_i e^{i(i+1)\theta}=-A$。因此圆周等号恰强制
$$
a_i=-A\zeta^{i+1}\quad\text{对所有 }i,
\qquad\zeta=e^{-i\theta}.
$$
反过来，这样的相位来源在对应圆周点确实取等号。

还可以将严格性定位在一个有限前缀。对 $J\ge0$，令
$$
g_J(\theta)=\sum_{i=0}^{J}\rho^{i+1}
\left[A+\operatorname{Re}\bigl(a_i e^{i(i+1)\theta}\bigr)\right],
\qquad\gamma_J=\min_{\theta\in[0,2\pi]}g_J(\theta).
$$
若 $a$ 不是相位来源，则存在有限 $J$ 使 $\gamma_J>0$：

- 若 $|a_0|<A$，直接有 $\gamma_0=\rho(A-|a_0|)>0$。
- 若 $|a_0|=A$，令 $\zeta=-a_0/A$。既然整条边界不是 $a^\zeta$，存在 $j\ge1$ 使 $a_j\ne-A\zeta^{j+1}$。若 $g_j(\theta)=0$，首项先强制 $e^{i\theta}=\zeta^{-1}$，第 $j$ 项随后强制刚被排除的等式，矛盾。连续非负函数在紧圆周上无零点，因此 $\gamma_j>0$。

此外，任意单个幅度缺口 $|a_j|\le A-\delta$、$\delta>0$，都直接给
$g_J(\theta)\ge\delta\rho^{j+1}$ 对所有 $J\ge j$ 成立。这给“首个幅度缺口”的明确量化；全幅度但符号不相容时则由上面的有限相位条件给间隔。

固定这样的前缀和 $\gamma=\gamma_J>0$。对任意另一个来源 $b\in K_A^{\mathbb C}$，只要 $b_i=a_i$ 对 $i\le J$，其余尾部仍可完全任意。由于（49.7）的尾项非负，同一个界给
$$
\operatorname{Re}F_b(\rho e^{i\theta})\ge\rho+\gamma
\quad\text{对所有 }\theta.
$$
因此间隔属于有限前缀及幅度合同，不需要猜测或预知后面的来源信息。

**精确前缀的模长证书。** 若给定 $a_0,\ldots,a_J$，另置
$$
P_J(z)=1+\sum_{i=0}^{J}a_i z^{i+1},\qquad
B_J=\frac{A\rho^{J+2}}{1-\rho},\qquad
G_J=\min_{|z|=\rho}|P_J(z)|-\rho-B_J.
\tag{49.8}
$$
这里 $G_J$ 与前面的实部裕度 $\gamma_J=\min g_J$ 是两份不同证书，不能仅因记号相近而视为同一个数。三角不等式给
$|P_J(z)|\ge1-A\sum_{i=0}^{J}\rho^{i+1}=\rho+B_J>0$，所以 $G_J\ge0$。而且在复来源域有
$$
\boxed{G_J>0\quad\Longleftrightarrow\quad
(a_0,\ldots,a_J)\ne(-A\zeta,-A\zeta^2,\ldots,-A\zeta^{J+1})
\text{ 对每个 }|\zeta|=1.}
\tag{49.9}
$$
证明。固定 $|z|=\rho$，令 $s_i=a_i z^{i+1}$，把模长下界完整写为
$$
|P_J(z)|\ge\operatorname{Re}P_J(z)
=1+\sum_{i=0}^{J}\operatorname{Re}s_i
\ge1-\sum_{i=0}^{J}|s_i|
\ge1-A\sum_{i=0}^{J}\rho^{i+1}
=\rho+B_J>0.
$$
若首尾取等号，则每一步都取等号。因此
$$
\sum_{i=0}^{J}(|s_i|+\operatorname{Re}s_i)=0,
\qquad
\sum_{i=0}^{J}(A-|a_i|)\rho^{i+1}=0.
$$
两和均由非负项组成，必须逐项为零；后一式给每个 $|a_i|=A$，前一式给 $s_i=-|s_i|=-A\rho^{i+1}$。于是
$a_i=-A e^{-\mathrm i(i+1)\theta}$，其中 $z=\rho e^{\mathrm i\theta}$，恰为某个相位前缀。反向代入同一角度即可取等号。若不存在这样的前缀，连续函数在紧圆周上处处严格，故其最小差严格为正。实前缀的首项 $a_0=-A\zeta$ 已使允许相位只能为 $\pm1$，所以等价于同时排除全负与指定交替两个前缀。即使 $J=0$ 也如此：这时两前缀分别为 $(-A)$、$(A)$，严格正证书恰为 $|a_0|<A$。$\square$

同一前缀的任何幅度合法延伸 $b$ 都满足
$$
|F_b(z)|\ge|P_J(z)|-B_J\ge\rho+G_J\qquad(|z|=\rho).
\tag{49.10}
$$
故有限模长证书对全部这些延伸有效。实部证书和模长证书均恰在前缀排除所有相位时严格为正，但数值可不同。它们不要求来源的剩余后缀已被读出。

上述无限圆周刚性也可直接写成
$$
\boxed{|F_a(\rho e^{\mathrm i\theta})|=\rho
\quad\Longleftrightarrow\quad
 a_i=-A e^{-\mathrm i(i+1)\theta}\text{ 对所有 }i.}
\tag{49.11}
$$
确实，$|F|\ge\operatorname{Re}F\ge\rho$，所以模长等号使（49.7）的非负无穷和为零。每一项都不超过该和，故每项都为零；$|a_i|\le A$ 再使 $a_i e^{\mathrm i(i+1)\theta}=-A$ 对每个 $i$ 成立。反向将这一来源代入一致绝对收敛的临界几何级数，得到 $F_a(\rho e^{\mathrm i\theta})=\rho$。这直接处理无限项的共同对齐。

对非相位来源，还可明确定义整圆模长裕度
$$
\gamma_a=\min_{|z|=\rho}\bigl(|F_a(z)|-\rho\bigr)>0.
$$
严格性由（49.11）、紧圆周与连续性得到；任一有限实部正证书还给 $\gamma_a\ge\gamma_J>0$。这是来源相关的裕度，不假定已从有限测量中精确取得它。

### 49.5 共同解析圆盘与所有行的指数尾界

**共同解析估计。** 设一族合法来源在 $|z|\le R<1$ 上均有 $F_b\ne0$，并在其边界满足
$\min_{|z|=R}|F_b(z)|\ge R+\gamma/2$，其中 $R>\rho$、$\gamma>0$ 对全族相同。最大模原理应用于 $z/F_b(z)$，给
$$
\max_{|z|\le R}|z/F_b(z)|\le R/(R+\gamma/2)<1.
$$
严格不等式保证实际行公式（49.4）在包含该闭圆盘的开邻域解析。对圆周上的所有行，
$$
|R_{n,b}(z)|\le\frac1{|F_b(z)|}\frac A{1-|z/F_b(z)|}
=\frac A{|F_b(z)|-R}\le\frac{2A}{\gamma}=:M.
\tag{49.12}
$$
Cauchy 系数估计给
$$
\boxed{|T_b(n,k)|\le M R^{-k}\quad(n,k\ge0).}
\tag{49.13}
$$
令 $q=\rho/R<1$。由于 $R<1$，有 $\rho\le q$，所以
$$
\rho^{n+k}|T_b(n,k)|\le M\rho^nq^k\le Mq^{n+k},\qquad
\boxed{\tau_N(T_b)\le Mq^N.}
\tag{49.14}
$$
这些常数同时控制所有行、所有列和每个合法后缀；逐行消失本身不能替代这份全层估计。

**由有限实部裕度取得圆盘。** 若第49.4节给整圆共同实部下界
$\operatorname{Re}F_b(\rho e^{\mathrm i\theta})\ge\rho+\gamma$，取
$$
r_1=\frac{1+\rho}{2},\qquad D=\frac A{(1-r_1)^2},\qquad
h=\min\left\{\frac{1-\rho}{4},\frac{\gamma}{2(D+1)}\right\},
\qquad R=\rho+h.
\tag{49.15}
$$
统一幅度界给 $|F_b'(z)|\le D$ 于 $|z|\le r_1$。沿固定角度的径向线段积分，得到
$\operatorname{Re}F_b(Re^{\mathrm i\theta})\ge\rho+\gamma-Dh\ge R+\gamma/2$。调和最小值原理把同一实部下界延拓至整个闭圆盘，因此无零点。于是共同解析估计适用。

**由模长裕度显式构造圆盘。** 若只知
$|F_b(\rho e^{\mathrm i\theta})|\ge\rho+\gamma$，使用另一组常数
$$
r_0=\frac12\left(\rho+\frac1{1+A}\right),\qquad
M_A=1+\frac A{(1-r_0)^2},\qquad
r=\rho+\min\left\{r_0-\rho,\frac\gamma{2M_A}\right\}.
\tag{49.16}
$$
临界关系给 $\lambda>1+A$，故
$\rho<r\le r_0<1/(1+A)<1$。对整个闭圆盘，
$|F_b(z)-1|\le Ar/(1-r)<1$，直接保证无零点；这一步没有把“边界无零点”错误地等同于“内部无零点”。统一导数界为
$|F'_b|\le A/(1-r_0)^2=M_A-1$。径向积分再减去半径变化，得到
$$
|F_b(re^{\mathrm i\theta})|-r
\ge|F_b(\rho e^{\mathrm i\theta})|-\rho-M_A(r-\rho)
\ge\gamma/2.
\tag{49.17}
$$
因此同一个共同解析估计以 $R=r$ 给出
$$
\boxed{\tau_N(\mathcal E(b))\le\frac{2A}{\gamma}(\rho/r)^N.}
\tag{49.18}
$$
（49.16）是一份显式构造：若 $A,\rho$ 与已认证的正下界 $\gamma$ 都是给定有理数，全部常数可由有理算术计算。任意实参数或仅仅存在的精确最小值不自动提供可计算或已合法取得的数据。若采用有效实数版本，须供应 $A,\rho,\gamma$ 的有效表示（例如可按要求给出认证有理包围区间），并供应 $\gamma>0$ 及 $r_0-\rho>0$ 的认证正下界；也可从这些区间内选择足够小的正有理增量。精炼与评价能力仍服从第49.7节的取得合同。

两组圆盘构造各自是充分条件，不主张哪一组总是给最优半径。实部下界蕴含同样的模长下界，所以也可统一采用后一组常数，尤其在有理证书中。

若某个有限下标 $j$ 的严格幅度缺口为 $\delta=A-|a_j|>0$，则
$|F_b(z)|\ge\rho+\delta\rho^{j+1}$ 对所有保留该缺口的合法来源成立。故可取
$$
\gamma=\delta\rho^{j+1},\qquad
\tau_N(\mathcal E(b))\le\frac{2A}{\delta\rho^{j+1}}(\rho/r)^N,
\tag{49.19}
$$
其中 $r$ 使用（49.16）。其余坐标完全不受额外限制。

### 49.6 实复来源的完整正尾分类

由（49.14），每个非相位来源都满足 $L_\rho(T_a)=0$。相位来源的幅度等于共同角点包络。固定总次数 $m=n+k$，由于 $u_k$ 递增，最大加权幅度在 $(n,k)=(0,m)$ 取得。取全部 $m\ge N$ 的上确界时，$\rho^m u_m=c_A+b_A\rho^{2m}$ 随 $m$ 递减，所以整个尾部的上确界就是第 $N$ 层的值。因此
$$
\tau_N(T^\zeta)=c_A+b_A\rho^{2N},
\qquad L_\rho(T^\zeta)=c_A.
\tag{49.20}
$$
于是复数情形有精确二分
$$
\boxed{
L_\rho(\mathcal E(a))=
\begin{cases}
c_A,&a_i=-A\zeta^{i+1}\ \forall i\text{，某个 }|\zeta|=1,\\
0,&\text{否则}.
\end{cases}}
\tag{49.21}
$$
实情形特别化为
$$
\boxed{
L_\rho(\mathcal E(a))>0
\Longleftrightarrow
\bigl[a_i=-A\ \forall i\bigr]
\quad\text{或}\quad
\bigl[a_i=A(-1)^i\ \forall i\bigr].
}
\tag{49.22}
$$
在本节固定临界权重与完整幅度立方体中，不存在别的正尾值或别的正尾实际来源。最终全负但前面有幅度或符号缺口的来源属于零尾；周期来源只有恰好符合上述相位规则时才有正尾。

这个分类依赖当前递推、统一幅度 $A$ 及其临界权重 $\rho$。它不声称任意递推或任意加权空间都具有相同刚性。

由分类还得到三个具体边界。第一，任意一个严格幅度缺口都消去临界正尾。第二，对实数的任一极端作任何非平凡且合法的有限坐标改动，都得到零尾来源；两极端相互在无限多个坐标不同。第三，幅度处处饱和仍不充分：$a_j=-A(-1)^j$ 是零尾来源。

因此较强断言“存在 $a_j>-A$ 就必为零尾”是假的：指定交替来源 $a_j=A(-1)^j$ 有 $a_0=A$，其尾仍为 $c_A$。绝对幅度缺口与改变相对全负来源的符号，是不同条件。

### 49.7 同时误差、有限角网格与证书的条件完备性

仍固定同一实际来源 $a\in K_A^{\mathbb F}$ 及其完整取得记录。假设一次合法读取给出有限前缀读数 $\widetilde a_0,\ldots,\widetilde a_J$ 和**同时**成立的误差界
$$
|a_i-\widetilde a_i|\le\eta_i\quad(0\le i\le J).
$$
全部未读系数的幅度界 $|a_i|\le A$ 仍是同一来源合同的一部分。不能用彼此不相容的单项误差事件拼成这个合同。读数与真实来源均可在复数域；实数情形是其限制。

定义有限三角多项式及两个显式常数
$$
H(\theta)=\sum_{i=0}^{J}\rho^{i+1}
 \left[A+\operatorname{Re}\bigl(\widetilde a_i e^{\mathrm i(i+1)\theta}\bigr)\right],
\quad E_J=\sum_{i=0}^{J}\rho^{i+1}\eta_i,
\quad \Lambda_J=\sum_{i=0}^{J}(i+1)\rho^{i+1}|\widetilde a_i|.
\tag{49.23}
$$
取圆周上的有限角网格 $\theta_1,\ldots,\theta_m$，其圆周覆盖半径至多 $\Delta$：每个角度到某个网格点的最短圆周距离不超过 $\Delta$。每个网格值均有经认证的下界 $\ell_l\le H(\theta_l)$。可使用经认证的上界 $\Lambda^\sharp\ge\Lambda_J$ 与 $E^\sharp\ge E_J$。若
$$
\boxed{\Gamma:=\min_l\ell_l-\Lambda^\sharp\Delta-E^\sharp>0,}
\tag{49.24}
$$
则这个有限证书保证所有与同一读数和幅度合同相容的完整来源均有
$$
\operatorname{Re}F_a(\rho e^{\mathrm i\theta})\ge\rho+\Gamma
\quad\text{对全部 }\theta.
\tag{49.25}
$$

证明。对真实前缀令
$$
g_J(\theta)=\sum_{i=0}^{J}\rho^{i+1}
 \left[A+\operatorname{Re}\bigl(a_i e^{\mathrm i(i+1)\theta}\bigr)\right].
$$
同时误差界给 $|g_J-H|\le E_J$，逐项求导给 $|H'|\le\Lambda_J$。对任意 $\theta$，取覆盖它的网格点，沿最短圆弧积分，得
$H(\theta)\ge H(\theta_l)-\Lambda_J\Delta\ge\ell_l-\Lambda^\sharp\Delta$。因此 $g_J(\theta)\ge\Gamma$。另一方面，由临界恒等式
$$
\operatorname{Re}F_a(\rho e^{\mathrm i\theta})-\rho
=\sum_{i\ge0}\rho^{i+1}
 \left[A+\operatorname{Re}\bigl(a_i e^{\mathrm i(i+1)\theta}\bigr)\right],
$$
其后缀项逐项非负，保留前缀即得 (49.25)。这是同一个来源的整圆下界，没有将不同角度的不同来源最优值合并。$\square$

现在可在 (49.16) 中取 $\gamma=\Gamma$，得到同一个 $r>\rho$ 及全部相容来源共同的
$$
\tau_N(\mathcal E(a))\le\frac{2A}{\Gamma}(\rho/r)^N.
\tag{49.26}
$$
若数学比较允许将真实前缀保留至 $N>J$ 后置零，所得有限来源与原来源在 $n+k<N$ 的数组坐标完全相同；两者都满足 (49.26)，故其全层范数差至多
$4A\Gamma^{-1}(\rho/r)^N$。这是一份关于真实前缀的数学比较，不代表带误差读数已经取得了真实系数，或该有限来源在当前记录纤维中已可制备。若实际使用 $\widetilde a_i$，还须支付有限头部系数误差并保证替代来源合法。

**条件完备性。** 假定读取协议能够最终访问任意给定有限前缀，并能将该前缀的同时误差界任意精炼；角网格覆盖半径可趋零，网格值下界可以一致趋近真实 $H(\theta_l)$，且使用的 $\Lambda^\sharp$ 保持有界、$E^\sharp\to0$。那么每个非相位来源最终都能得到正证书。

证明。对一个非相位来源，第49.4节给有限 $J$ 排除所有相位前缀；非负函数 $g_J$ 在整圆没有零点，故 $\gamma_J=\min g_J>0$。若网格下界误差至多 $\varepsilon_{\rm eval}$，则
$$
\Gamma\ge\gamma_J-2E^\sharp-\varepsilon_{\rm eval}
-\Lambda^\sharp\Delta.
$$
访问到这一前缀后，将后三项精炼至总和小于 $\gamma_J$，即得正证书。协议须有到达所需见证前缀及精炼同时误差、网格与数值下界的能力；见证前缀取得后不必继续增长下标，只需将该前缀的误差及评价精度精炼到上述严格界内。只重复读取一个仍与相位相容的短前缀并不充分。对相位来源，每个 $g_J$ 都在其相位角取零，故任何有效同时误差合同都不可能给出正证书。$\square$

这些条件不承诺统一停止深度或统一精度预算：非相位缺口可以任意小、任意晚。若误差合同只在一个概率至少为 $1-\delta$ 的共同事件上成立，以上证书在该事件上可靠，因此“输出了错误正证书”的无条件概率至多 $\delta$；不能由此声称条件于输出证书后的错误概率也至多 $\delta$。多次自适应尝试须使用同时覆盖整段尝试的误差合同或另作错误预算。

### 49.8 三个全有理的实际尾证书

固定 $A=1/2,\rho=1/2$，则 (49.16) 的
$$
r_0=7/12,\qquad M_A=97/25.
$$

若任意来源具有 $a_j=0$，可取
$\gamma=2^{-(j+2)}$，故
$$
\boxed{
\tau_N(\mathcal E(a))
\le 2^{j+2}
\left(\frac{388\,2^j}{388\,2^j+25}\right)^N.
}
\tag{49.27}
$$
例如 $j=0$ 时为 $4(388/413)^N$；$j=6$ 时为
$256(24832/24857)^N$。这些界对其余任意系数统一，未要求最终常量。

再看没有任何严格幅度缺口的有限前缀
$a_0=-1/2,a_1=1/2$。在 $z=e^{\mathrm i\theta}/2$、$x=\cos\theta$ 下，
$$
\left|1-\frac14e^{\mathrm i\theta}
+\frac18e^{2\mathrm i\theta}\right|^2
=\frac12(x-9/16)^2+\frac{343}{512}
>\left(\frac{13}{16}\right)^2.
$$
其未指定后缀在临界圆上的绝对和至多 $B_1=1/8$，因此
$G_1>13/16-1/2-1/8=3/16$。保守取 $\gamma=3/16$，得到
$$
\boxed{
\tau_N(\mathcal E(a))\le\frac{16}{3}
\left(\frac{1552}{1627}\right)^N
}
\tag{49.28}
$$
对该前缀的全部允许后缀成立。它给一个完全由有限饱和系数的符号不相容造成的统一消失尾证书。

**有理稳健实例。** 取 $A=\rho=1/2$、$J=1$、$(\widetilde a_0,\widetilde a_1)=(-1/2,1/2)$，以及同时误差 $\eta_0=\eta_1=1/100$。写 $x=\cos\theta$，则
$$
H(\theta)=\frac14-\frac14x+\frac14x^2
=\frac14(x-1/2)^2+\frac3{16},
\qquad E_J=\frac3{400}.
$$
直接使用整圆平方证书即可取
$\Gamma=3/16-3/400=9/50>0$，不需要数值优化角网格。按 (49.16)，$r=1/2+9/388=203/388$，所以同一读数合同的全部合法延伸同时满足
$$
\boxed{\tau_N(\mathcal E(a))\le\frac{50}{9}
\left(\frac{194}{203}\right)^N.}
\tag{49.29}
$$
证明使用的恒等式与常数均为有理数等式；有限近似的三角函数读数本身不构成认证。

### 49.9 有限来源闭包与同前缀的实际逼近

实来源的闭包与距离框架沿用开头的第47.9节供应；下面给复数扩张及同一前缀控制下的定量逼近。每个有限支持边界都不是相位来源，故其数组属于 $B_{\rho,0}$。此外，实际像 $I_A^{\mathbb F}$ 在加权范数下闭：若 $\mathcal E(a^{(j)})\to T$，则第一列逐项收敛到 $a_n=T(n,0)$，其幅度仍不超过 $A$；每个数组坐标是有限输入多项式，故逐坐标极限必为 $\mathcal E(a)$。

加权消失尾空间也是闭的。若 $T_j\to T$ 且各 $L_\rho(T_j)=0$，则
$\tau_N(T)\le\|T-T_j\|_\rho+\tau_N(T_j)$；先固定大 $j$，再令 $N\to\infty$，即得 $L_\rho(T)=0$。所以
$\overline{J_A^{\mathbb F}}\subseteq I_A^{\mathbb F}\cap B_{\rho,0}$。

反向有明确的实际来源逼近。对非相位 $a$，取第49.4节的有限前缀及统一常数 $M,q$。对 $N>J$，令 $a^{[N]}$ 保留下标 $i<N$ 的原值，其余置零。它与 $a$ 共享所需前缀，两者均满足（49.14）。当 $n+k<N$ 时有限依赖给数组坐标精确相同；其余坐标差至多为两份尾界之和。因此
$$
\boxed{
\|\mathcal E(a)-\mathcal E(a^{[N]})\|_\rho\le2Mq^N
\qquad(N>J).
}
\tag{49.30}
$$
这证明
$$
\boxed{
\overline{J_A^{\mathbb C}}
=I_A^{\mathbb C}\cap B_{\rho,0}
=I_A^{\mathbb C}\setminus\{T^\zeta:|\zeta|=1\}.
}
\tag{49.31}
$$
实版本删除的只是两条相位数组。此处实际截断的是边界，重建数组通常仍有无限多非零坐标。

### 49.10 从实数最小截止到复数相位的最近有限来源

记 $\mathcal F_{A,N}^{\mathbb F}=\{b\in K_A^{\mathbb F}:b_i=0\ (i\ge N)\}$，其中 $N\ge1$ 是前缀截止长度；它不是任意散布非零项的支持基数。取实负前缀 $b^{A,N}_i=-A\mathbf1_{i<N}$，并令
$p_{n,k}=-\mathcal E(b^{A,N})(n,k)\ge0$。

**已有实数优化的精确供应。** 开头所列第48.2节全幅度有限截止定理已证明这个同一负前缀逐坐标同时最优，并给
$$
W_N=A\sum_{i=1}^{N}\rho^{-i}
=\frac{1-\rho}{\rho}(\rho^{-N}-1),\qquad
\|T^1-\mathcal E(b^{A,N})\|_\rho=c_A
\quad\Longleftrightarrow\quad W_N\ge1
\quad\Longleftrightarrow\quad\rho^N\le1-\rho.
\tag{49.32}
$$
其达到情形中，每个有限坐标的加权误差都严格小于 $c_A$，首行误差则趋于 $c_A$。这份实数阈值、充分性归纳及必要性的有理行解析证明，均以先前的全幅度截止定理为唯一证明归属；下面只证明复候选不改善它，以及整条相位族怎样运输这个优化问题。

**复数候选的共同支配。** 对 $b\in\mathcal F_{A,N}^{\mathbb C}$，列递推和三角不等式给
$$
|\mathcal E(b)(n,k)|\le p_{n,k}\le u_k.
\tag{49.33}
$$
初始列由 $|b_n|\le A\mathbf1_{n<N}=p_{n,0}$ 成立。若此前各列成立，则下一列至多为
$p_{n+1,k}+A\sum_{j=0}^{k}p_{n,j}\mathbf1_{k-j<N}=p_{n,k+1}$。后一等式是同一负前缀的正递推；由同样归纳与全负包络比较得 $p\le u$。于是对每个坐标，
$$
|T^1(n,k)-\mathcal E(b)(n,k)|
\ge u_k-p_{n,k}
=|T^1(n,k)-\mathcal E(b^{A,N})(n,k)|.
\tag{49.34}
$$
负前缀本身也属于复数候选类，所以它在复数类中仍同时最小化所有坐标误差，且两类最优范数相同。因此复数截止优化的阈值也恰为（49.32），没有分别优化坐标后再假定存在共同实现。

**全相位运输。** 对任意 $|\zeta|=1$，令
$$
b_i^{\zeta,N}=\begin{cases}-A\zeta^{i+1},&i<N,\\0,&i\ge N.\end{cases}
$$
$D_\zeta$ 双射地运输整个自由复数截止类，$U_\zeta$ 保持每个加权绝对差。由（49.5），上面的逐坐标最优性与阈值同时运输至目标 $T^\zeta$。故
$$
\boxed{N_{\min}(A)=\left\lceil\frac{\log(1-\rho)}{\log\rho}\right\rceil,}
\tag{49.35}
$$
$$
\boxed{\|T^\zeta-\mathcal E(b^{\zeta,N})\|_\rho=c_A
\quad\Longleftrightarrow\quad N\ge N_{\min}(A).}
\tag{49.36}
$$
因为 $\log\rho<0$，条件 $\rho^N\le1-\rho$ 在取对数并除以 $\log\rho$ 后成为 $N\ge\log(1-\rho)/\log\rho$，向上取整也包含阈值恰为整数的情形。当达到时仍是每个有限坐标误差严格小于 $c_A$，全层上确界为 $c_A$。当截止更短时，复数共同支配把实数必要性见证运输过来，故所有同截止复来源的误差严格大于 $c_A$。对于实数两相位只需 $\zeta=\pm1$，其变换保留实数来源类。零截止只有零来源，误差 $A>c_A$。

**全部实际来源的距离与达到性。** 实数距离等式保留供应接口中式（47.40）的归属；这里的证明同时给复数扩张，并用相位分类与有限截止识别全部达到情形。加权消失尾空间到目标的距离下界由
$\tau_N(T)\le\|T-S\|_\rho+\tau_N(S)$ 得到：若 $L_\rho(S)=0$，则
$L_\rho(T)\le\|T-S\|_\rho$。第49.9节的截断给所有零尾实际目标距离零；上面的相位前缀给所有正尾目标距离 $c_A$ 并达到。于是实、复两域均有
$$
\boxed{\operatorname{dist}_\rho(T,J_A^{\mathbb F})
=\operatorname{dist}_\rho(T,\overline{J_A^{\mathbb F}})
=L_\rho(T)\qquad(T\in I_A^{\mathbb F}).}
\tag{49.37}
$$
到 $J_A^{\mathbb F}$ 的距离达到，当且仅当来源有限支持或属于相位族。证明零距离达到必使数组相同，取第一列即使来源相同，因此无限支持零尾来源没有有限来源精确最近点；正距离情形则全部由上面的有限前缀达到。

到闭包的距离对每个实际目标都达到：零尾目标自身已在闭包；正尾目标有上述有限来源最近点。这不声称全部环境 Banach 空间都有这项最佳逼近性质。

**实有理来源的范围。** 开头所列第48.3节有理截止定理给实负角点在固定 $N$ 下的达到判据
$$
W_N>1\quad\text{或}\quad[W_N=1\text{ 且 }A\in\mathbb Q].
$$
实分次符号运输保持有理性，因此同一判据适用于另一实极端；其固定截止下确界仍等于实来源的最优值。无理阈值等号时，下确界为 $c_A$ 而该截止无有理达到点；下一截止已有达到点。上述完整复数相位运输一般不保持 Gaussian-rational 系数，故本节不据此给复有理达到性分类。

### 49.11 相位的精确距离与实复可分性差异

对 $|\zeta|=|\xi|=1$，按总分次 $m=n+k+1\ge1$ 分组。相位差只依赖 $m$，同一组中 $u_k$ 随 $k$ 增加，所以最大值在 $(n,k)=(0,m-1)$ 取得。于是
$$
\boxed{
\|T^\zeta-T^\xi\|_\rho
=\sup_{m\ge1}
\bigl(c_A+b_A\rho^{2(m-1)}\bigr)
|\zeta^m-\xi^m|.
}
\tag{49.38}
$$
这不是仅有上界；每个分次的最大值都有同一组实际坐标见证。

若 $\zeta\ne\xi$，记 $r=\zeta/\xi\ne1$。需要估计
$\limsup_{m\to\infty}|r^m-1|$：

- 若 $r$ 有有限偶数阶 $q$，幂序列周期性经过 $-1$，上极限为二。
- 若 $r$ 有有限奇数阶 $q\ge3$，其全部幂组成 $q$ 次单位根，最大弦长为 $2\cos(\pi/(2q))\ge\sqrt3$，且周期性重复，故这也是上极限。
- 若 $r$ 有无限阶，令 $H$ 为其整数幂生成的闭子群。把 $N+1$ 个幂 $1,r,\ldots,r^N$ 放入 $N$ 个等长圆弧，抽屉原理给正整数 $q_N$，使 $r^{q_N}\to1$。这些幂都不等于一；任何有限多个非平凡幂到一的距离有正下界，因此可取子列使 $q_N\to\infty$。必要时取逆，$H$ 遂含 $e^{\mathrm i t_j}$，其中 $0<t_j\to0$。对任意固定 $\theta\in[0,2\pi)$，整数倍 $\lfloor\theta/t_j\rfloor t_j$ 与 $\theta$ 的差小于 $t_j$；相应的单位复数仍属于 $H$，闭性给 $e^{\mathrm i\theta}\in H$，所以 $H$ 是整个圆周。再对任意固定负整数 $p$，充分大的 $q_N$ 使 $q_N+p>0$，并且 $r^{q_N+p}\to r^p$。正幂闭包于是包含全部整数幂及其闭包 $H$，故正幂已经稠密。每条去掉有限前缀的轨道都是稠密正幂轨道的一次旋转，故每条尾轨道仍稠密，最终 $\limsup_m|r^m-1|=2$。

（49.38）的权重趋于 $c_A$，所以
$$
\boxed{
\zeta\ne\xi\quad\Longrightarrow\quad
\|T^\zeta-T^\xi\|_\rho\ge\sqrt3\,c_A>0.
}
\tag{49.39}
$$
相位族不可数且一致分离，因此 $I_A^{\mathbb C}$ 在临界加权范数下不可分：若有可数稠密集，每个相位点附近半径小于 $\sqrt3c_A/2$ 的互不相交球都须包含不同的稠密集元素，矛盾。

另一方面，$B_{\rho,0}$ 通过 $T(n,k)\mapsto\rho^{n+k}T(n,k)$ 与可数指标上的通常 $c_0(\mathbb F)$ 线性等距。后者可分，其任意度量子空间也可分。因此（49.31）中的有限来源闭包可分。实实际像则是相应可分闭包再加两个点，所以仍可分。这里的论证不需要为复数相位构造有理有限来源最近点。

相位参数在每个固定有限坐标上连续；全层加权范数却把所有不同相位一致分开。原因是同一差异以 $\zeta^m$ 沿无界分次反复显露。精确联系是圆群在整数分次上的字符及递归的等变性；它没有把这些整数分次预先指定成物理时间，也没有提供波函数或量子解释。

实数两极端的距离还可直接算出：第 $(0,0)$ 坐标相差 $2A$，而两个数组的范数均为 $A$，所以
$$
\boxed{\|T^1-T^{-1}\|_\rho=2A.}
\tag{49.40}
$$
这与通用相位下界相容；下界不宣称对每一对相位都取等号。

### 49.12 非相位点的局部统一尾界与同胚

在 $X=K_A^{\mathbb F}$、$\mathbb F=\mathbb R$ 或 $\mathbb C$ 上使用乘积拓扑。一个明确的相容度量是
$$
d_\Pi(a,b)=\frac1{2A}\sum_{i\ge0}2^{-(i+1)}|a_i-b_i|.
\tag{49.41}
$$
因为每个坐标差至多为 $2A$，级数统一收敛。正定性、对称性、三角不等式逐项成立；该度量的收敛等价于逐坐标收敛：一个方向由单个正权项受总和控制，另一个方向先控制有限头部，再用几何权重控制尾部。每个坐标取值于紧区间或紧圆盘，故 $X$ 是紧可度量空间；也可逐坐标选收敛子列，再作对角提取及同一尾界得到紧性。

记来源相位集合为
$$
\Phi_{\mathbb C}=\{a^\zeta:|\zeta|=1\},
\qquad \Phi_{\mathbb R}=\{a^1,a^{-1}\},
\qquad U=X\setminus\Phi_{\mathbb F}.
$$
对固定非相位来源 $a\in U$，第49.4节给有限 $J$ 和 $\gamma_J(a)=\gamma>0$。不再要求附近来源与此前缀精确相同，而取乘积开邻域
$$
V=\left\{b\in X:
\sum_{i=0}^{J}\rho^{i+1}|b_i-a_i|<\gamma/2\right\}.
$$
对每个 $b\in V$ 和每个角度 $\theta$，有
$$
|g_{J,b}(\theta)-g_{J,a}(\theta)|
\le\sum_{i=0}^{J}\rho^{i+1}|b_i-a_i|<\gamma/2.
$$
因此 $\gamma_J(b)\ge\gamma/2$，整个 $V$ 都排除相位来源。第49.5节只用这个间隔下界和统一幅度合同，所以可将其中 $\gamma$ 换成 $\gamma/2$，取得不依赖 $b\in V$ 的 $M<\infty$、$q<1$，满足
$$
\boxed{\tau_N(\mathcal E(b))\le Mq^N
\quad\text{对所有 }b\in V\text{ 及 }N\ge0.}
\tag{49.42}
$$

任给范数容差 $\varepsilon>0$，先选 $N$ 使 $2Mq^N<\varepsilon/2$。对有限坐标集 $n+k<N$，每个 $\mathcal E(b)(n,k)$ 都是有限边界坐标的多项式，因此在乘积拓扑连续。有限取交可在 $V$ 内进一步缩小到 $a$ 的一个邻域，使这些坐标的最大加权误差小于 $\varepsilon/2$。其余坐标的误差则由（49.42）小于 $\varepsilon/2$。两部分取上确界，得到
$\|\mathcal E(b)-\mathcal E(a)\|_\rho<\varepsilon$。这证明 $\mathcal E:X\to I_A^{\mathbb F}$ 在每个非相位点连续。

反方向，在整个实际像上定义第一列提取
$\beta(T)_i=T(i,0)$。由范数定义，
$$
|\beta(T)_i-\beta(S)_i|
\le\rho^{-i}\|T-S\|_\rho.
$$
每个固定坐标因而对范数连续；由乘积拓扑的定义，$\beta:I_A^{\mathbb F}\to X$ 连续。这些坐标 Lipschitz 常数随 $i$ 无界，因而此处不推出通常输入上确界范数中的逆向连续性。

递归唯一性和第一列给 $\beta\mathcal E=\mathrm{id}$、$\mathcal E\beta=\mathrm{id}$ 于对应实际像。结合正尾分类，得到
$$
\boxed{
\mathcal E:U\xrightarrow{\ \cong\ }
I_A^{\mathbb F}\cap B_{\rho,0}
}
\tag{49.43}
$$
为乘积子空间拓扑与临界范数子空间拓扑之间的同胚。这比固定来源上的逐坐标收敛更强：有限前缀间隔控制了整个邻域的共同尾部。

### 49.13 尾量的稳定性、孤立点与径向跳跃

对任意两个加权有界数组，三角不等式给
$\tau_N(T)\le\tau_N(S)+\|T-S\|_\rho$。令 $N\to\infty$ 并交换 $T,S$，得到
$$
\boxed{|L_\rho(T)-L_\rho(S)|\le\|T-S\|_\rho.}
\tag{49.44}
$$
因此每个相位数组与每个非相位实际数组的距离至少为 $c_A$。不同相位之间已有（49.39）的 $\sqrt3c_A$ 下界，所以每个相位数组在整个实际像中都是孤立点：以它为中心、半径严格小于 $c_A$ 的相对开球只有该点。

孤立的输出点并不意味着来源乘积拓扑也将它孤立。固定相位 $\zeta$，取 $0<\varepsilon<1$，令
$$
a^{\varepsilon}=(1-\varepsilon)a^\zeta,
\qquad B=(1-\varepsilon)A,
\qquad h=A-B=\varepsilon A.
$$
有 $d_\Pi(a^\varepsilon,a^\zeta)=\varepsilon/2$，甚至输入的普通上确界距离也等于 $\varepsilon A$。但 $a^\varepsilon$ 相对于固定幅度合同 $A$ 是非相位来源，故（49.44）已经给输出距离至少为 $c_A$。

这一特定路径的实数估计由供应接口的式（47.16）给出。令实常边界 $a_A=-A\mathbf1$、$a_B=-B\mathbf1$，则 $a^\zeta=D_\zeta a_A$、$a^\varepsilon=D_\zeta a_B$。由（49.5）的等变性及 $U_\zeta$ 的等距性，
$$
\|\mathcal E(a^\varepsilon)-T^\zeta\|_\rho
=\|\mathcal E(a_B)-\mathcal E(a_A)\|_\rho
=\sup_{k\ge0}\rho^k[u_k(A)-u_k(B)].
$$
最后的上确界来自第零行，其余行多一个 $\rho^n\le1$ 的因子。实估计的上界沿用其拥有者的完整证明；两个下界见证在运输后均保留：深度零给 $h$，而 $0<B<A$ 时严格单调的增长根满足 $\rho\lambda(B)<1$，所以 $\rho^ku_k(B)\to0$，目标加权幅度则趋于 $c_A$。因此把供应的实恒等式等距运输，得到
$$
\boxed{
\|\mathcal E(a^\varepsilon)-T^\zeta\|_\rho
=\max\{\varepsilon A,c_A\}.
}
\tag{49.45}
$$
特别地，当 $0<\varepsilon\le c_A/A$ 时距离恰恒为 $c_A$，没有随着输入的乘积或上确界距离趋零而趋零。

因此整个连续性集合恰好为
$$
\boxed{
\mathcal E:(X,\text{乘积拓扑})\to(I_A^{\mathbb F},\|\cdot\|_\rho)
\text{ 在 }a\text{ 连续}
\quad\Longleftrightarrow\quad a\notin\Phi_{\mathbb F}.
}
\tag{49.46}
$$
径向例证明的是自由来源域中的不连续性；不预设这些扰动在任何受额外约束的实际记录纤维中都存在。

### 49.14 实际像的拓扑分解、局部紧性与紧穷竭

令 $I_0=I_A^{\mathbb F}\cap B_{\rho,0}$、
$S=\{T^\zeta:a^\zeta\in\Phi_{\mathbb F}\}$。由（49.44），两部分之间的所有距离均至少为 $c_A$，所以两部分在 $I_A^{\mathbb F}$ 中都开且闭。上一节又证明 $S$ 的每个点孤立；结合（49.43），得到拓扑不交并
$$
\boxed{
I_A^{\mathbb F}\cong
U\ \sqcup_{\mathrm{top}}\ (\Phi_{\mathbb F},\text{离散拓扑}).
}
\tag{49.47}
$$
这里右边的 $U$ 保留来源乘积拓扑，而相位部分使用离散拓扑。复数情形的参数集合是一整个圆周，但不是圆周通常拓扑；实数情形只是两个孤立点。这是拓扑不交并，不是向量空间直和。

来源相位集合在来源乘积拓扑下却是紧的：$\zeta\mapsto a^\zeta$ 的每个坐标是连续函数，所以该映射从紧圆周到 $X$ 连续；实相位集有限亦紧。因此 $\Phi_{\mathbb F}$ 在紧度量空间 $X$ 中闭，$U$ 是开子空间。对每个 $a\in U$，其到相位集合的乘积距离严格为正。取半径小于该距离的闭球，得到位于 $U$ 内的紧邻域，故 $U$ 局部紧。它还是第二可数度量空间的子空间，因而可分。这些性质经（49.43）运输到 $I_0$。

还可给显式紧穷竭。对整数 $m\ge1$ 令
$$
K_m=\{a\in X:d_\Pi(a,\Phi_{\mathbb F})\ge1/m\}.
$$
距离函数连续，故 $K_m$ 是 $X$ 的闭子集，因而紧，且 $K_m\subset U$。它们随 $m$ 增加，并且并集为 $U$：每个非相位点到闭相位集的距离为某个正数，可选足够大的 $m$；相位点不属于任何 $K_m$。因为 $1/m>1/(m+1)$，每个 $K_m$ 还包含于 $K_{m+1}$ 在 $X$ 中的相对内部。$\mathcal E$ 在 $U$ 连续，所以
$$
\boxed{
I_0=\bigcup_{m\ge1}\mathcal E(K_m),
\qquad\mathcal E(K_m)\text{ 在临界范数中紧}.
}
\tag{49.48}
$$
这证明 $I_0$ 是 $\sigma$-紧的，即可由可数个紧集覆盖。

整个实际像也局部紧：非相位点沿上述紧邻域，相位点则取自身这个紧开邻域。实实际像在 $I_0$ 外只增加两个点，所以仍可分且 $\sigma$-紧。复实际像既不可分也不 $\sigma$-紧：任何紧集都只能包含有限多个相位点，否则（49.39）的统一分离与紧度量空间的全有界性矛盾；可数个紧集因而至多覆盖可数多个相位点，无法覆盖整圆相位族。

来源域的有限支持边界在乘积拓扑中稠密，但它们的实际数组在临界范数中只稠密于 $I_0$。这个差别已由（49.30）、（49.31）及上述开闭分解给出，不需要把表示转换误称为全域拓扑等价。

### 49.15 邻近角度在全层范数中的精确极限

固定 $|\zeta|=1$，让 $\xi\ne\zeta$ 沿单位圆周的通常拓扑趋于 $\zeta$。结论是
$$
\boxed{
\lim_{\substack{\xi\to\zeta\\\xi\ne\zeta}}
\|T^\xi-T^\zeta\|_\rho=2c_A.
}
\tag{49.49}
$$
该极限是实数距离值的极限，不表示数组趋于 $T^\zeta$。

先给上界。任取 $\delta>0$，选整数 $M$ 使
$b_A\rho^{2(M-1)}<\delta$。在（49.38）中，所有 $m\ge M$ 项均至多为 $2(c_A+\delta)$。有限多个 $1\le m<M$ 项则因 $\xi\to\zeta$ 一致趋零。因此距离上极限至多为 $2(c_A+\delta)$；令 $\delta\downarrow0$，得到至多 $2c_A$。

再给下界。在 $\zeta$ 附近唯一写
$\xi/\zeta=e^{i\theta}$，其中 $0<|\theta|<\pi$、$\theta\to0$。取
$m_\theta=\lfloor\pi/|\theta|\rfloor$。则 $m_\theta\to\infty$，并且
$$
\bigl|m_\theta|\theta|-\pi\bigr|<|\theta|,
\qquad
|e^{im_\theta\theta}-1|\longrightarrow2.
$$
代入（49.38）的这一项，其权重趋于 $c_A$，故距离下极限至少为 $2c_A$。与上界合并即证。

任意有限分次的相位差都趋零，见证距离的分次 $m_\theta$ 却随角差缩小而逃向无穷。这给出了“每个有限读数接近，但全层完成几何仍分离”的同源实例。它与（49.45）的径向距离 $c_A$ 不冲突：两式采用不同的实际来源路径，并未声称存在与接近方向无关的统一跳跃常数。实数两相位域中没有这种非平凡的邻近角度极限。

### 49.16 单点缺口、最终常量与周期的实际有理生成式

本节的分类判据限制为实来源；所写有理生成式由同一个实际行公式推出，其代数表达对满足同样结构及 $|a_i|\le A$ 的复系数也成立。

**全负来源的一个早期系数改变。** 对 $0<\varepsilon\le2A$，令
$a=-A\mathbf1+\varepsilon e_j$。这属于原立方体。除 $\varepsilon=0$ 外，它不等于两极端，因而剩余尾为零；即使 $\varepsilon=2A$ 只是把一个符号翻转、所有绝对幅度仍然饱和，结论也成立。

这还可在同一实际生成式中看见。令
$$
F_*(z)=1-\frac{Az}{1-z},
\qquad F_a(z)=F_*(z)+\varepsilon z^{j+1}.
$$
(49.4) 给
$$
R_{n,a}(z)
=-\frac A{F_a(z)-z}
+\begin{cases}\displaystyle\frac{\varepsilon z^{j-n}}{F_a(z)^{j-n+1}},&n\le j,\\[4pt]0,&n>j.\end{cases}
\tag{49.50}
$$
这是实际各行的有理式，不是任意数组拟合。严格幅度缺口 $0<\varepsilon<2A$ 可直接用 (49.19)；端点纯符号翻转使用 (49.9)。

**最终常量。** 设整数 $M\ge0$，且 $a_i=b$ 对全部 $i\ge M$ 成立，$|b|\le A$。此时
$$
F_a(z)=1+z\sum_{i<M}a_i z^i+\frac{b z^{M+1}}{1-z},
$$
$$
C_{n,a}(w)=
\begin{cases}
\displaystyle\sum_{j=0}^{M-n-1}a_{n+j}w^j+
\frac{b w^{M-n}}{1-w},&n<M,\\[4pt]
\displaystyle\frac b{1-w},&n\ge M.
\end{cases}
\tag{49.51}
$$
所以各行均由 (49.4) 得到明确有理函数，尾部行是 $b/(F_a-z)$。分类给精确判据
$$
\boxed{
L_\rho(\mathcal E(a))>0
\Longleftrightarrow b=-A\text{ 且全部前缀系数也等于 }-A.
}
\tag{49.52}
$$
正尾值仍是 $c_A$。若一个实相位最终常量，$A>0$ 使其最终值非零，且相邻项的比值既等于 $\zeta$ 又等于一，所以必有 $\zeta=1$；$\zeta=-1$ 不可能最终常量。$M=0$ 包括完整常量情形。有限前缀中的任何偏离都会消去最终负常量的临界尾。

**周期来源。** 设 $a_{i+p}=a_i$，其中 $p\ge1$ 为指定整数周期。令
$V_{n,p}(w)=\sum_{j=0}^{p-1}a_{n+j}w^j$，下标使用同一周期延伸。则
$$
F_a(z)=1+\frac{zV_{0,p}(z)}{1-z^p},
\quad C_{n,a}(w)=\frac{V_{n,p}(w)}{1-w^p},
$$
$$
R_{n,a}(z)
=\frac{\displaystyle\sum_{j=0}^{p-1}a_{n+j}z^jF_a(z)^{p-1-j}}
{F_a(z)^p-z^p}.
\tag{49.53}
$$
对实来源，正尾相位的首项使 $\zeta\in\{1,-1\}$；因所有相位系数非零，$p$ 周期性等价于 $\zeta^p=1$。$\zeta=1$ 对任何指定 $p$ 都满足，而 $\zeta=-1$ 恰在 $p$ 为偶数时满足。因此周期来源的精确判据是：周期块全部为 $-A$，或 $p$ 为偶数且周期块为
$(A,-A,A,-A,\ldots)$。这两种情形的剩余尾为 $c_A$，其余周期来源全部为零。允许使用非最小周期也不改变该判据。

交替相位不能混淆。两个来源分别给
$$
a_i=A(-1)^i:
\quad R_{n,a}(z)=\frac{A(-1)^n(1+z)}{1+(A+2)z+z^2},
$$
$$
a_i=-A(-1)^i:
\quad R_{n,a}(z)=\frac{-A(-1)^n(1+z)}{1+(2-A)z+z^2}.
\tag{49.54}
$$
前者是分次运输的极端，后者不是。该不对称来自 $F_a$ 固定的单位常数项和递归乘法结构，不能由“都是交替符号”抹去。

首项幅度缺口还有直接实际生成式。令 $A=1/2$、$a_0=0$、$a_i=-1/2$ 对 $i\ge1$，则
$$
F_a(z)=1-\frac{z^2}{2(1-z)},\qquad
R_{n,a}(z)=-\frac{1/2}{F_a(z)-z}\quad(n\ge1),
$$
$$
R_{0,a}(z)=-\frac{z/2}{F_a(z)(F_a(z)-z)}.
$$
其中
$$
F_a(z)-z=\frac{1-2z+z^2/2}{1-z},
$$
较小正根为 $2-\sqrt2>1/2$。而 $F_a$ 的较小模零点为 $\sqrt3-1>2-\sqrt2$，故全部所写行函数在 $|z|<2-\sqrt2$ 解析。这份最终全负的实际来源因而确有大于临界半径的共同解析圆盘；单个首项缺口已足以消除临界正尾。符号缺口与周期例则由第49.4节的有限相位间隔一并覆盖。

### 49.17 有限层剖面的读法与非单调的晚缺口

固定 $A=\rho=1/2$，下表使用有限层剖面
$$
d_m(T)=\max_{n+k=m}\rho^m|T(n,k)|.
$$
它不是无限尾上确界 $\tau_m$。表内小数由精确有理结果取近似，只用于展示不同衰减行为。

| 实际来源 | $d_{16}$ | $d_{32}$ | $d_{48}$ |
| --- | ---: | ---: | ---: |
| 全负 $-1/2$ | 0.333333333 | 0.333333333 | 0.333333333 |
| 分次符号极端 $(1/2)(-1)^i$ | 0.333333333 | 0.333333333 | 0.333333333 |
| 全负来源但 $a_0=0$ | 0.0196070671 | 0.00157461917 | 0.000125028515 |
| 全负来源但 $a_0=1/2$ | 0.00156122318 | 0.0000166549038 | 0.000000167729275 |
| 全负来源但 $a_6=0$ | 0.272407254 | 0.298230685 | 0.296493769 |
| $(a_0,a_1,a_2)=(1/4,-1/2,0)$，之后全负 | 0.00170511872 | 0.0000233715436 | 0.000000266351277 |
| 周期 $(-1/2,-1/2,1/2)$ | 0.0173582149 | 0.00228867304 | 0.000301477758 |
| 反相交替 $-(1/2)(-1)^i$ | 0.00000810623169 | 0.000000000124283396 | $1.89850250\times10^{-15}$ |

两极端的每一有限层都精确等于 $1/3+(1/6)4^{-m}$。单点缺口较晚时，有限层读数可长期接近 $1/3$；例如表中下标六的零缺口满足 $d_{16}<d_{32}$ 而 $d_{48}<d_{32}$，先增后减，因而并非逐层单调；这不推翻 (49.18) 的来源相关指数尾界。零尾的全称结论由前面的共同解析半径与 Cauchy 证明承担，不能从有限深度 48 推断。


另一个不同的有限统计量是在 $N\le n+k\le48$ 的带状区域取最大值。对来源“仅 $a_2=+1/2$，其余为 $-1/2$”而言，该有限带统计量在 $N=8,16,32$ 时分别约为
$0.1116561890,\ 0.0672286091,\ 0.0147494877$。带状最大值与单层剖面 $d_m$ 不同，均不冒充无限尾 $\tau_N$。这份纯符号缺口也由有限相位排除而具有零尾。

### 49.18 完整观察者、实际共同来源与可取得范围

本节使用的自由来源结论不自动在指定完整档案下可执行。若实际对象由共同来源 $\omega$ 给出
$(c(\omega),a(\omega))$，表示转换仍应限制在对应实际像上，保持
$$
(c,a)\longmapsto(c,\mathcal E(a)).
$$
分类（49.21）可用于这个像中的每个已有来源；但有限前缀替换或相位运输是否仍对应同一个 $c$、是否有合法来源、是否可取得，必须另验。自由立方体中的最近点存在不保证约束记录纤维中的最近点存在。

非相位点的连续性在限制到实际来源子空间后仍成立；自由域中的相位不连续性则不能自动转授给任意实际记录纤维，因为该纤维可能不含所用径向或角度逼近，甚至只有一个来源。完整档案的保留与数学工作边界的拓扑必须分别说明，不能从工作边界的连续性宣称整个观察者已获得新信息。

在已声明模型内，正尾来源及其有限达到性已经完整分类，因此本自由来源模型中不存在严格正距离却无有限来源最近点的实际目标。任意其他递推、改变幅度约束、不同权重、限制后的实际来源纤维，以及 Gaussian-rational 复数来源的达到性，均不由本节解决。实数的两相位结果与复数的整圆相位结果也须分别陈述，不能将复数不可分性转述成实数结论。


更明确地，令 $\Omega$ 为实际共同来源集合，$c:\Omega\to\mathcal C$ 保留全部已取得的内部与外部记录、来源与版本、联合关系、参考、校准、局部钟及已知关系、合法动作、顺序、失败、停止和误差合同。两边只比较
$$
Q_\partial(\omega)=(c(\omega),a(\omega)),\qquad
Q_{\mathrm{body}}(\omega)=(c(\omega),\mathcal E(a(\omega))).
\tag{49.55}
$$
在这两个对应实际像上，$(c,a)\mapsto(c,\mathcal E(a))$ 与
$(c,T)\mapsto(c,(T(i,0))_{i\ge0})$ 互逆。确切地，首列恒等式 $\beta\mathcal E(a)=a$ 使第一个复合为 $(c,a)\mapsto(c,a)$；若 $T=\mathcal E(a(\omega))$ 位于对应实际体像，则递归唯一性给 $\mathcal E\beta(T)=T$，使另一个复合为 $(c,T)\mapsto(c,T)$。两个复合逐字保留同一个 $c$。没有把实际像扩成 $\mathcal C\times K_A^{\mathbb F}$，也不要求 $c$ 与边界独立。工作边界中的数学连续性或完成，不等于整个观察者免费取得未知资料。

有限前缀的正证书排除了所有相位延伸；相反，每份相位有限前缀在自由幅度域中都有合法非相位延伸，例如保留此前缀并在下一下标置零。因此使用供应接口中命题47.6的确定性有限系数／数组坐标查询合同，并要求两个见证共享同一初始完整档案和相同合法操作规则时，单凭这些读数不能认证后缀永远保持相位。

具体地，固定协议在某条相位来源上的有限终止执行，令 $M$ 为全部已查询边界下标及数组查询的 $n+k$ 的最大值；无查询时置 $M=-1$。选 $N\ge\max\{1,M+1\}$，保留该相位来源的 $i<N$ 前缀，将 $i\ge N$ 置零。得到的来源具有同一已查询前缀并且不是相位。在固定档案纤维中应用此构造，另须该延伸属于同一初始档案下的合法来源。

对整份执行归纳：初始完整记录相同；若此前记录相同，确定性合同给同一下一动作及可见元数据；若为查询，系数下标或有限依赖 $n+k<N$ 使答案相同，故追加的记录、次序、费用及钟读数相同；若为停止，两边在同一步停止并输出相同。因此有限的全部执行可在非相位延伸上重放，不能输出对整个允许来源类可靠的永久相位认证。一般干预、额外来源身份／支撑标签、非局部尾 oracle、来源相关元数据及未计入的输出后读取均不属于这一合同；若另有这些信息，须重新核对见证。

来源相关的指数尾界也没有给所有非相位来源一个共同正裕度：缺口可以任意小或任意晚，认证半径可以任意接近临界半径。第49.7节的条件完备性不提供统一停止深度、精度成本或未经声明的成功概率。

Cauchy 系数估计、调和最小值／最大模原理、紧乘积空间及圆群字符的性质是证明所用的成熟数学工具。新的连接在于它们如何作用于同一个实际递归来源：有限相位排除给共同全行解析圆盘，随后控制有限来源完成与临界拓扑。整数分次、相位、尾量和拓扑在此都有明确数学定义，不据其名称推断物理波动、熵增或时间产生。

[^criticalphase_swamy]: M. N. S. Swamy, “Properties of the Polynomials Defined by Morgan-Voyce,” *The Fibonacci Quarterly* 4(1) (1966), pp.73–81，[原始扫描](https://www.fq.math.ca/Scanned/4-1/swamy.pdf)。所用标量族的初值与递推为印刷第73页式（7），系数为第79页式（40）；这里沿用先前幅度节已核对的数学归属，不将本文的非线性临界分类归属于该文。

## 49.99 追加锚


## 50. 同一临界关系的资源几何：稀疏支持、相位分离与阻尼路径

本节使用以下已有数学结果：Context43 定理43.2及式（43.3）—（43.4）、定理43.4及式（43.6）—（43.9）、引理43.5及式（43.10）、第43.6—43.7节与43.10节分别提供首列互逆、形式行恒等式、有限依赖、完整档案运输和共同实现；Context46.2–46.3 的式（46.3）、（46.4）、（46.6）、（46.8）、（46.9）、（46.12）提供非负递推、共同全负包络、系数式、二阶递推与闭式归属；Context47.1–47.2、47.9–47.11 提供加权空间、临界阈值、有限来源消失尾、距离下界与实际观察者合同，其中第47.9.1节命题47.4及式（47.27）—（47.30）承担有限来源尾框架，式（47.35）—（47.36）承担实阻尼作用；Context48.2 的式（48.11）—（48.12）、第48.3节与48.14节提供全幅度前缀阈值、有理达到条件及实际像/有限记录限制；Context49.3–49.6、49.11–49.15、49.18 提供分次相位等变、实复相位排除、正尾分类、相位度量、临界拓扑与完整档案，其中式（49.5）—（49.6）、（49.21）、（49.38）、第49.11节的圆周稠密性证明及式（49.55）是下文相应调用的直接地址。下文只在这些实际陈述的假设内调用它们；稀疏支持判据、十一阶全局最小值和阻尼—相位路径极限是本节新增的完整普通证明。

Context49.6 的相位刚性、Context47.9 的有限来源距离与完成框架及 Context49.9、49.14 的临界拓扑已经描述同一递归实际像。下面固定这份关系，进一步区分三个问题：有限来源需要保留多少非零坐标；两个不同相位最少能相距多远；从圆盘内部同时改变阻尼与相位时，全层距离沿什么路径趋近。

三个问题共用递归、包络与临界范数，但优化的对象及其量词不同。支持基数和最远位置是不同资源；相位的有限阶归约比较整个自由相位族；阻尼—相位极限比较趋向同一个角点的来源路径。下文分别给出恢复或估计证书，再说明它们如何接回保留全部已获信息的实际观察者。

### 50.1 共同递归、幅度域与临界范数

固定 $A>0$，令
$$
\lambda=\frac{A+2+\sqrt{A^2+4A}}2,\qquad
\rho=\lambda^{-1}\in(0,1),\qquad
A=\frac{(1-\rho)^2}{\rho}.
$$
分别考虑实幅度立方体 $K_A^{\mathbb R}=[-A,A]^{\mathbb N_0}$ 与复幅度圆盘 $K_A^{\mathbb C}=\{a\in\mathbb C^{\mathbb N_0}:|a_i|\le A\ \forall i\}$。来源 $a$ 由同一个递推生成
$$
\mathcal E(a)(n,0)=a_n,\qquad
\mathcal E(a)(n,k+1)=\mathcal E(a)(n+1,k)
-\sum_{j=0}^{k}\mathcal E(a)(n,j)a_{k-j}.
\tag{50.1}
$$
由 Context43 引理43.5及式（43.10）的有限多项式依赖，每个坐标只依赖来源下标至 $n+k$。令
$$
\|T\|_\rho=\sup_{n,k\ge0}\rho^{n+k}|T(n,k)|,
\qquad a^*=-A\mathbf1,\qquad T^*=\mathcal E(a^*).
$$
Context46 的式（46.4）、（46.6）及（46.12）给出共同包络
$$
T^*(n,k)=-u_k,
\quad u_k=c\rho^{-k}+b\rho^k,
\quad c=\frac{A}{1+\rho},\quad b=c\rho=\frac{A\rho}{1+\rho}.
\tag{50.2}
$$
其中 $u_0=A$、$u_{k+1}=u_k+A\sum_{j=0}^ku_j$，且 $u_k$ 随 $k$ 严格增加。所有允许来源满足 $|\mathcal E(a)(n,k)|\le u_k$。同一来源的各坐标不可单独优化后拼接成新的来源。

这里沿用 Context43 定理43.2的递归多项式构造与 Context46.2–46.3 的共同包络；以下不另造一个环境数组模型。有限支持块取实来源 $K_A=K_A^{\mathbb R}$，相位与阻尼块取同一个递归的复来源 $K_A^{\mathbb C}$。记
$$
a_i^\zeta=-A\zeta^{i+1},\qquad T^\zeta=\mathcal E(a^\zeta),\qquad |\zeta|=1.
$$
Context49 的式（49.5）—（49.6）给分次相位等变 $T^\zeta(n,k)=-\zeta^{n+k+1}u_k$。有限来源的消失尾沿用 Context47.9.1 的命题47.4，相位族的正尾 $c$ 沿用（49.20）—（49.21），首列逆映射沿用 Context43 定理43.2及式（43.4）的多项式互逆并在实复系数下使用同一构造，相位距离沿用（49.38）；具体优化需要的附加估计在下文证明。完整实际来源与档案合同统一放在第50.24节。

### 50.2 稀疏支持、前缀截止与共同正递推

在固定自由实来源类中，连续前缀的最小截止与任意稀疏支持的最小基数可以严格不同。对于
$$
A=\frac1{20},\qquad \rho=\frac45,
$$
由 Context48.2 的式（48.11）—（48.12），连续前缀至少需要八个坐标；允许间隔以后，**最小非零坐标数恰为五**。一个达到者的支持是
$$
\boxed{S_*=\{0,1,2,3,11\},\qquad a_i=-\frac1{20}\mathbf1_{i\in S_*}.}
\tag{50.3}
$$
它的前缀截止为十二，重建数组到全负角点的临界范数距离恰为 $1/36$。因此这里降低的是非零坐标数，同时增加了最远坐标位置；没有在同一资源指标上否定既有的最小截止定理。

更一般地，下面给出**任意指定有限支持的充要判据**：有限个首行初值不等式、一个延迟递推权重条件，以及有限个高行头部条件，等价于该支持能取得最近距离。判据的全深度部分有归纳与解析证明，有限扫描不承担无穷结论。

以下重新固定第50.1节任意 $A>0$ 及其临界 $\rho$；上述五点数值实例在第50.6—50.7节证明。对有限非空 $S\subset\mathbb N_0$，定义
$$
\mathcal F_{A,S}=\{a\in K_A:a_i=0\ (i\notin S)\},
\quad a^S_i=-A\mathbf1_{i\in S},
\quad p_{n,k}=-\mathcal E(a^S)(n,k),
\quad L=1+\max S.
\tag{50.4}
$$
这里 $|S|$ 是允许的非零坐标数，$L$ 是前缀截止；二者不同。即使某个 $a\in\mathcal F_{A,S}$ 少用了一些允许位置，它也仍属于此类。

正递推为
$$
p_{n,0}=A\mathbf1_{n\in S},\qquad
p_{n,k}=p_{n+1,k-1}
+A\sum_{\substack{i\in S\\i<k}}p_{n,k-i-1}\quad(k\ge1).
\tag{50.5}
$$
故 $0\le p_{n,k}\le u_k$，且 $n\ge L$ 时整行等于零。

### 50.3 指定支持内的共同最优来源

对每个 $a\in\mathcal F_{A,S}$，正系数界或在（50.1）中的三角不等式列归纳给
$$
|\mathcal E(a)(n,k)|\le p_{n,k}\le u_k.
$$
于是
$$
\begin{aligned}
|T^*(n,k)-\mathcal E(a)(n,k)|
&\ge u_k-|\mathcal E(a)(n,k)|\\
&\ge u_k-p_{n,k}\\
&=|T^*(n,k)-\mathcal E(a^S)(n,k)|.
\end{aligned}
\tag{50.6}
$$
同一个满幅全负稀疏来源 $a^S$ 因而同时最小化每个坐标误差，并取得整个范数距离的最小值：
$$
\boxed{
\min_{a\in\mathcal F_{A,S}}\|T^*-\mathcal E(a)\|_\rho
=\|T^*-\mathcal E(a^S)\|_\rho.
}
\tag{50.7}
$$
因此本问题不需要在固定支持上另作连续系数优化。这是自由幅度立方体内的共同实现；若实际来源—档案约束排除 $a^S$，不能直接移用达到性。

Context47.9.1 的命题47.4给出每个有限来源的消失加权尾。为写清本稿所需的局部依据，若 $a$ 支持于 $\{0,\ldots,L-1\}$，令
$$
F_a(z)=1+\sum_{i=0}^{L-1}a_i z^{i+1}.
$$
Context43 定理43.4及式（43.6）—（43.9）的逐行形式恒等式给下式；其单位常数项与有限卷积证明在这里按实系数评价，适配已在 Context47.9.1 的式（47.27）中写明：
$$
\sum_{k\ge0}\mathcal E(a)(n,k)z^k
=\sum_{j=0}^{L-n-1}\frac{a_{n+j}z^j}{F_a(z)^{j+1}}
\quad(n<L),
\tag{50.8}
$$
其他行等于零。因 $\lambda>A+1$，可选
$\rho<R<(1+A)^{-1}$。在 $|z|\le R$ 上，
$$
|F_a(z)-1|\le\frac{AR}{1-R}<1.
$$
故每个非零行在该闭圆盘的邻域解析，Cauchy 系数估计给 $\rho^k|\mathcal E(a)(n,k)|\to0$。只有有限个非零行，故加权全尾也趋零。特别地
$$
\rho^k|T^*(0,k)-\mathcal E(a)(0,k)|\longrightarrow c,
\quad\text{从而}\quad
\|T^*-\mathcal E(a)\|_\rho\ge c.
\tag{50.9}
$$
这与 Context47.9.1 的消失尾框架及（49.21）的有限来源零尾特例一致；本稿不需要重新使用或重证整份分类。

### 50.4 两条必要条件，以及它们为何不够

第一列直接给出必须保留的位置：
$$
\boxed{
A\rho^n>c\quad\Longrightarrow\quad n\in S
}
\tag{50.10}
$$
是 $\|T^*-\mathcal E(a^S)\|_\rho\le c$ 的必要条件。若 $n\notin S$，该位置的第一列误差就是 $A\rho^n$。

再定义延迟权重
$$
\boxed{W_S=A\sum_{i\in S}\rho^{-(i+1)}.}
\tag{50.11}
$$
达到距离 $c$ 还必须有 $W_S\ge1$。证明如下：假设 $W_S<1$。对饱和稀疏来源，
$$
F_S(z)=1-A\sum_{i\in S}z^{i+1},
\qquad
P_0(z)=\sum_{k\ge0}p_{0,k}z^k
=A\sum_{j\in S}\frac{z^j}{F_S(z)^{j+1}}.
\tag{50.12}
$$
在 $|z|\le\rho^{-1}$ 上有
$|1-F_S(z)|\le W_S<1$。和式有限且不等式严格，可以扩大到某个 $R>\rho^{-1}$ 仍满足
$A\sum_{i\in S}R^{i+1}<1$。于是 $P_0$ 在该闭圆盘邻域解析，
$$
p_{0,k}=O(R^{-k})=o(\rho^k).
$$
由（50.2），首行加权误差为
$$
\rho^k(u_k-p_{0,k})
=c+\rho^{2k}\left(b-\frac{p_{0,k}}{\rho^k}\right)>c
$$
对充分大的有限 $k$ 成立。结合共同最优性，任何同支持来源都不能达到 $c$。

但是（50.10）与 $W_S\ge1$ 合在一起仍不充分。第50.8节给出同时满足它们、却已在 $(0,6)$ 失败的精确反例。远处增加一个大权重位置，不能自动修复它尚未进入递推之前的中间深度误差。

### 50.5 任意指定有限支持的充要有限判据

选择整数 $H\ge1$ 满足
$$
\rho+\rho^{2H}\le1.
\tag{50.13}
$$
总可以这样选择，因为 $0<\rho<1$。例如可取
$$
H=\left\lceil\frac{\log(1-\rho)}{2\log\rho}\right\rceil.
$$
该商为正，故所给整数至少为一。实际精确计算不必依赖浮点对数，可以直接检验（50.13）。

**定理。** 对固定有限非空支持 $S$、$L=1+\max S$ 及上述 $H$，以下三项等价：

1. 存在 $a\in\mathcal F_{A,S}$ 使 $\|T^*-\mathcal E(a)\|_\rho=c$。
2. 饱和稀疏来源 $a^S$ 取得 $\|T^*-\mathcal E(a^S)\|_\rho=c$。
3. 下列全部有限条件成立：

$$
\boxed{
\begin{aligned}
& W_S\ge1;\\
& p_{0,k}\ge b\rho^k\qquad(0\le k<L);\\
& \rho^{n+k}(u_k-p_{n,k})\le c
\qquad(n\ge1,\ n+k<H).
\end{aligned}}
\tag{50.14}
$$

证明首先由（50.7）与（50.9）得到前两项等价。若第二项成立，$W_S\ge1$ 已在第50.4节证明；首行的精确公式
$$
\rho^k(u_k-p_{0,k})\le c
\quad\Longleftrightarrow\quad p_{0,k}\ge b\rho^k
$$
给出有限初值条件，高行的有限头部条件直接必要。因此第二项推出第三项。

反向假设第三项。写 $p_k=p_{0,k}$。当 $k\ge L$ 时，所有延迟位置均已进入首行递推，且所有 $k-i-1\ge0$。若对小于 $k$ 的深度已有 $p_j\ge b\rho^j$，由（50.5）及 $p_{1,k-1}\ge0$，
$$
\begin{aligned}
p_k
&\ge A\sum_{i\in S}p_{k-i-1}\\
&\ge Ab\sum_{i\in S}\rho^{k-i-1}
=b\rho^k W_S
\ge b\rho^k.
\end{aligned}
\tag{50.15}
$$
给定的 $L$ 个初值启动强归纳，故首行所有深度的加权误差不超过 $c$。这一步没有假定缺口之间仍有连续前缀递推。

对 $n\ge1$，记 $m=n+k$。若 $m<H$，恰为（50.14）的有限头部条件。若 $m\ge H$，利用 $k\le m-1$、$p_{n,k}\ge0$ 与 $u_k$ 递增，
$$
\begin{aligned}
0\le\rho^{n+k}(u_k-p_{n,k})
&\le\rho^m u_k\\
&\le\rho^m u_{m-1}\\
&=c\rho+b\rho^{2m-1}
=c(\rho+\rho^{2m})\\
&\le c(\rho+\rho^{2H})\le c.
\end{aligned}
\tag{50.16}
$$
所以全部行与深度都不超过 $c$。有限来源尾部下界（50.9）给等号，证明完成。

这是对**给定支持**的有限数学判据，包含 $L$ 个首行初值、$H(H-1)/2$ 个高行头部坐标和一个权重条件。它不把任意实参数的精确比较视为免费可计算操作，也不声称已给所有幅度下的最小稀疏支持公式。对本文有理参数和整数支持，全部有限条件均为精确有理数比较。

一个便于使用的严格版本是：若存在 $\gamma>b$ 使
$$
p_{0,k}\ge\gamma\rho^k\quad(0\le k<L),\qquad W_S\ge1,
$$
且（50.13）严格、每个所需高行头部误差严格小于 $c$，则同一强归纳给 $p_{0,k}\ge\gamma\rho^k$ 对所有 $k$ 成立。于是每个有限坐标的误差严格小于 $c$，但范数仍等于 $c$。如果 $\{0,\ldots,H-1\}\subseteq S$，全部高行头部坐标自动与目标相同，不需逐个估计。

### 50.6 五个坐标在 A=1/20 时达到最近距离

固定
$$
A=\frac1{20},\quad\rho=\frac45,\quad
c=\frac1{36},\quad b=\frac1{45},\quad
S_* =\{0,1,2,3,11\},\quad L=12.
$$
精确权重为
$$
\boxed{W_{S_*}=\frac{73010909}{67108864}>1.}
\tag{50.17}
$$
取 $H=4$。有
$$
\rho+\rho^{2H}
=\frac{378036}{390625}<1.
\tag{50.18}
$$
因为 $0,1,2,3\in S_*$，所有 $n\ge1,n+k<4$ 的头部坐标均与全负目标精确相同。

剩下需要给出首行的十二个初值。为了使有限算术可逐项复核，定义整数
$$
q_{n,k}=20^{k+1}p_{n,k}.
$$
由（50.5）得到完全整数的递推
$$
q_{n,0}=\mathbf1_{n\in S_*},\qquad
q_{n,k}=20q_{n+1,k-1}
+\sum_{\substack{i\in S_*\\i<k}}20^i q_{n,k-i-1}.
\tag{50.19}
$$
$n\ge12$ 的行恒零。首行条件 $p_{0,k}\ge A\rho^k$ 恰为 $q_{0,k}\ge16^k$。所需全部有限值如下：

| k | q_(0,k) | 16^k | q_(0,k)-16^k |
|---:|---:|---:|---:|
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 21 | 16 | 5 |
| 2 | 461 | 256 | 205 |
| 3 | 10501 | 4096 | 6405 |
| 4 | 86141 | 65536 | 20605 |
| 5 | 1731381 | 1048576 | 682805 |
| 6 | 31570221 | 16777216 | 14793005 |
| 7 | 492866661 | 268435456 | 224431205 |
| 8 | 5125684701 | 4294967296 | 830717405 |
| 9 | 84638888341 | 68719476736 | 15919411605 |
| 10 | 1282329341581 | 1099511627776 | 182817713805 |
| 11 | 222079509108421 | 17592186044416 | 204487323064005 |

这张表只涉及证书所需的有限初值，不用扫描代替无限推理。取 $\gamma=A=1/20>b=1/45$，第50.5节严格版本立即推出
$$
\boxed{
\|T^*-\mathcal E(a^{S_*})\|_{4/5}=\frac1{36},
}
\tag{50.20}
$$
且每个有限坐标的加权误差严格小于 $1/36$。首行无限深度极限给范数的下界。

### 50.7 五个是最小基数，不只是一个构造

定义自由有限来源的最小支持基数
$$
m_{\mathrm{sp}}(A)=\min\left\{
|\operatorname{supp}a|:
 a\in K_A,\ \operatorname{supp}a\text{ 有限},\
\|T^*-\mathcal E(a)\|_\rho=c
\right\}.
\tag{50.21}
$$
Context48.2 的全幅度前缀定理（48.11）—（48.12）保证这个集合非空。

在 $A=1/20,\rho=4/5$ 时，第一列必要条件（50.10）恰要求
$$
\{0,1,2\}\subseteq\operatorname{supp}a:
\quad A\rho^2=\frac4{125}>\frac1{36},
\quad A\rho^3=\frac{16}{625}<\frac1{36}.
$$
所以最多三个非零坐标时只能使用 $\{0,1,2\}$，其权重为 $61/256<1$，不能达到。

若最多四个非零坐标，剩余可能性只有
$S=\{0,1,2,j\}$、$j\ge3$。由共同最优性，只需排除满幅负号来源。

- 若 $3\le j\le6$，则
  $$
  W_S\le A\left(\rho^{-1}+\rho^{-2}+\rho^{-3}+\rho^{-7}\right)
  =\frac{31241}{65536}<1,
  $$
  由必要权重条件不能达到。
- 若 $j\ge7$，来源在下标 $0,\ldots,6$ 上与仅支持 $\{0,1,2\}$ 的负来源相同。有限依赖保证其坐标 $(0,6)$ 相同。精确计算为
  $$
  u_6=\frac{143090221}{1280000000},\qquad
  p_{0,6}=\frac{4506221}{1280000000}.
  $$
  因而
  $$
  \boxed{
  \rho^6(u_6-p_{0,6})-c
  =\frac{212423}{351562500}>0.
  }
  \tag{50.22}
  $$
  这一个有限坐标已经排除所有 $j\ge7$，不需要枚举无穷多个支持。

综上，任意不超过四个非零坐标的自由实来源均不能达到 $c$。结合（50.20），得到
$$
\boxed{m_{\mathrm{sp}}(1/20)=5.}
\tag{50.23}
$$
另一方面，Context48.2 的式（48.11）—（48.12）给出的连续前缀阈值在此由下列两式确定：
$$
\left(\frac45\right)^7>\frac15,
\qquad
\left(\frac45\right)^8\le\frac15,
$$
所以最小连续前缀截止为八。五点构造的截止十二更长，它说明“非零坐标数”和“最远读数位置”确实是不同的资源量。

### 50.8 总延迟权重与必需第一列仍不充分

取同样的有理参数，但使用
$$
S_{\rm fail}=\{0,1,2,12\}.
$$
它包含全部第一列强制位置，而且
$$
W_{S_{\rm fail}}=\frac{308103761}{268435456}>1.
\tag{50.24}
$$
然而下标十二尚未进入 $(0,6)$ 的依赖，所以该位置的误差仍是（50.22）。更明确地，
$$
\rho^6(u_6-p_{0,6})=\frac{277168}{9765625}>\frac1{36}.
$$
这反驳以下具体充分性断言：

> 有限支持只要包含所有 $A\rho^n>c$ 的位置，并满足 $W_S\ge1$，就必定存在同支持来源达到距离 $c$。

共同最优性使反例同时覆盖同支持的任意实系数和任意符号。它不反驳 $W_S\ge1$ 的必要性，也不反驳 Context48.2 的连续前缀定理（48.11）—（48.12）。缺少的正是递推进入全部延迟之前的有限初值约束；（50.14）将该缺项明确补齐。

### 50.9 A=1/6 的对照：稀疏基数并不总能下降

取
$$
A=\frac16,\quad\rho=\frac23,\quad c=\frac1{10},\quad b=\frac1{15}.
$$
第一列误差要求 $0,1$ 都在支持中，因为
$A\rho=1/9>1/10$，而 $A\rho^2=2/27<1/10$。若非零坐标数不超过二，唯一可能的支持为 $\{0,1\}$，但
$$
W_{\{0,1\}}=\frac16\left(\frac32+\frac94\right)=\frac58<1.
$$
故至少需要三个。

连续前缀基准 $N_{\min}(1/6)=3$ 由 Context48.2 的式（48.11）—（48.12）给出。连续负前缀 $S=\{0,1,2\}$ 的权重为 $19/16>1$。取 $H=2$，有
$\rho+\rho^4=70/81<1$。高行有限头部精确匹配；首行 $k=0,1,2$ 与全负目标相同，因而 $p_{0,k}=u_k\ge A\rho^k>b\rho^k$。第50.5节证书给全数组距离 $c$。因此
$$
\boxed{m_{\mathrm{sp}}(1/6)=3=N_{\min}(1/6).}
\tag{50.25}
$$
不同参数可以产生不同的基数—截止取舍。两个实例不能被外推为所有幅度的统一最小稀疏基数公式。

### 50.10 有限算术证书的两种递推表达

第50.6节的十二个整数初值和第50.7节的单坐标超额都是精确有理数证书。它们既可用正列递推计算，也可从同一个有理行生成式取系数。具体地，定义
$$
G_S(z)=\frac1{1-A\sum_{i\in S}z^{i+1}},
$$
则 Context43 定理43.4及式（43.6）—（43.9）的有限来源行公式给
$$
P_n(z)=A\sum_{\substack{i\in S\\i\ge n}}z^{i-n}G_S(z)^{i-n+1}.
\tag{50.26}
$$
对非零的有限多个行，这是上述行恒等式在（50.8）的实系数适配下取 $a=a^S$、整体取负并改指标 $i=n+j$ 后的直接展开；其他行等于零。形式逆的系数由常数项一及正递推唯一确定，因此多项式卷积与逐列递推给出同一批有限系数。包络可独立用
$$
u_k=\sum_{d=1}^{k+1}\binom{k+d-1}{2d-2}A^d
$$
求值；这是 Context46 的式（46.8）在 $d=\ell+1$ 下的同一二项式系数公式，沿用第46.3节的标量归属。

有限算术只承担证书中明确列出的初值和反例坐标。全深度成立由（50.15）的强归纳、（50.16）的统一高行界和（50.9）的解析尾下界证明；没有把有限比较当作无穷范数命题的证据替代。

### 50.11 相位分离的全局问题与归一化

固定 $0<\rho<1$ 后，全体不同复相位之间的最小临界距离**确实由某个有限奇数阶单位根比值取得**。不需要假定最小者具有有限阶：先构造一个严格小于归一化阈值二的有限阶候选，再用无理相位、偶数阶与大奇数阶的下界排除它们。

下面给出一个只依赖 $\rho$ 的明确有限搜索范围。作为精确实例，$\rho=1/2$ 时，最小比值恰为
$$
\boxed{\omega=e^{\pm2\pi i/11},}
$$
对应的归一化最小距离为
$$
\boxed{\frac{513}{256}\cos\frac{\pi}{22}<2.}
\tag{50.27}
$$
这里的“归一化”指除以同一模型的正尾常数 $c$。一般参数下的结论是有效有限归约，不声称存在统一的最优阶数闭式。

以下先恢复任意 $0<\rho<1$ 及第50.1节对应的 $A,c$；十一阶实例另在第50.17节证明。Context49 的式（49.38）在 $b=c\rho$ 及 $|\zeta|=|\xi|=1$ 下给出同一递归、同一加权范数的精确距离：
$$
\|T^\zeta-T^\xi\|_\rho
=c\sup_{m\ge1}(1+\rho^{2m-1})|1-(\zeta/\xi)^m|.
$$
令 $\omega=\zeta/\xi$，定义
$$
F_\rho(\omega)
=\sup_{m\ge1}(1+\rho^{2m-1})|1-\omega^m|,
\qquad
M(\rho)=\inf_{\substack{|\omega|=1\\\omega\ne1}}F_\rho(\omega).
\tag{50.28}
$$
所以原最小距离是 $cM(\rho)$。后文的参数单调性若有陈述，均只针对归一化的 $M$，不混入随 $\rho$ 改变的 $c$。

### 50.12 精确有限周期公式与阶数下界

若 $\omega$ 的精确阶为 $q$，每个 $m\ge1$ 可唯一写作
$m=r+\ell q$，其中 $1\le r\le q$、$\ell\ge0$。弦长满足
$|1-\omega^m|=|1-\omega^r|$，而权重随 $\ell$ 严格下降。因此
$$
\boxed{
F_\rho(\omega)
=\max_{1\le m\le q}(1+\rho^{2m-1})|1-\omega^m|.
}
\tag{50.29}
$$
这一步是周期性与单调权重给出的精确等式，不是截断近似。

写 $\omega=e^{2\pi i j/q}$、$\gcd(j,q)=1$。对于奇数 $q\ge3$，位置 $m$ 与 $q-m$ 的弦长相同，较小的正位置有更大的权重。故
$$
\boxed{
F_\rho(e^{2\pi i j/q})
=\max_{1\le m\le(q-1)/2}
2(1+\rho^{2m-1})
\left|\sin\frac{\pi jm}{q}\right|.
}
\tag{50.30}
$$
共轭 $j\mapsto q-j$ 不改变距离，可以只枚举
$1\le j\le(q-1)/2$、$\gcd(j,q)=1$。

如果 $\omega$ 的阶为偶数，其幂周期性经过 $-1$，因权重趋于一而有 $F_\rho(\omega)\ge2$；事实上第一次这样的幂已给严格大于二。若 $\omega$ 为无限阶，Context49.11 在（49.38）之后的圆周稠密性证明给任意尾部的幂在圆周稠密，故
$\limsup_m|1-\omega^m|=2$，仍有 $F_\rho(\omega)\ge2$。

若阶为奇数 $q\ge3$，全部幂组成该阶单位根，最大弦长为
$$
L_q=2\cos\frac{\pi}{2q}.
$$
这个弦长在有限位置已经出现，且该位置权重大于一，所以
$$
\boxed{F_\rho(\omega)>L_q.}
\tag{50.31}
$$
序列 $L_q$ 随 $q$ 严格增加并趋于二。这里只需要 Context49.11 中（49.38）之后证明的圆周稠密性与有限周期事实，不需要任何对不同相位独立赋权的概率律。

### 50.13 对每个 rho 构造严格低于二的候选

选择一个奇整数 $q\ge3$ 满足
$$
\boxed{64q^6\rho^{q-3}\le1.}
\tag{50.32}
$$
等价地，正量取三次根给
$$
\rho^{q/3-1}\le\frac1{4q^2}.
\tag{50.33}
$$
第50.14节将给出这种 $q$ 的明确上界。

取原始比值 $\omega_q=e^{2\pi i/q}$。利用（50.30），只需考虑
$1\le m\le(q-1)/2$。将其分为两段。

若 $m\le q/6$，则
$\sin(\pi m/q)\le1/2$，且 $\rho^{2m-1}\le\rho$，故
$$
2(1+\rho^{2m-1})\sin\frac{\pi m}{q}
\le1+\rho<2.
\tag{50.34}
$$
若 $m>q/6$，则
$\rho^{2m-1}\le\rho^{q/3-1}\le1/(4q^2)$。奇数阶的最后位置为 $(q-1)/2$，所以
$$
\sin\frac{\pi m}{q}\le\cos\frac{\pi}{2q}
\le1-\frac1{2q^2}.
$$
最后一个不等式可由
$1-\cos x=2\sin^2(x/2)$ 与
$\sin y\ge2y/\pi$（$0\le y\le\pi/2$）直接得到。于是第二段满足
$$
\begin{aligned}
2(1+\rho^{2m-1})\sin\frac{\pi m}{q}
&\le2\left(1+\frac1{4q^2}\right)
\left(1-\frac1{2q^2}\right)\\
&=2-\frac1{2q^2}-\frac1{4q^4}<2.
\end{aligned}
\tag{50.35}
$$
定义
$$
\boxed{
U=\max\left\{1+\rho,
2-\frac1{2q^2}-\frac1{4q^4}\right\}<2,
}
$$
$$
\boxed{
\delta=2-U
=\min\left\{1-\rho,
\frac1{2q^2}+\frac1{4q^4}\right\}>0.
}
\tag{50.36}
$$
两段合并给出了同一个实际候选的全周期证书：
$$
\boxed{F_\rho(\omega_q)\le U=2-\delta<2.}
\tag{50.37}
$$
早期位置的权重可以大，但弦长有统一余量；接近中央位置的弦长余量只有平方阶，而那里的额外权重已经指数衰减。证明控制了所有位置，不只考察中央最大弦长。

### 50.14 候选阶数的明确上界

令 $a=-\log\rho>0$，并设
$$
Q_0(\rho)=
\max\left\{3,\frac6a\log\frac{288}{\rho a^2}\right\}.
$$
取不小于它的最小奇整数
$$
\boxed{
\overline q(\rho)
=2\left\lceil\frac{Q_0(\rho)-1}{2}\right\rceil+1.
}
\tag{50.38}
$$
这确实满足（50.32）。证明令 $q=\overline q$、$x=aq/6>0$。由指数级数
$e^x\ge x^2/2$，有
$$
\begin{aligned}
4q^2\rho^{q/3-1}
&=\frac{144}{\rho a^2}x^2e^{-2x}\\
&\le\frac{288}{\rho a^2}e^{-x}\le1.
\end{aligned}
$$
最后一步因为
$x\ge\log(288/(\rho a^2))$。取三次方即得（50.32）。

因此可以直接使用明确的 $\overline q$，也可以从奇数三开始检验（50.32）以得到较小候选；这个搜索有已证的有限终止上界。对于有理或代数 $\rho$，（50.32）只含整数次幂和代数比较，不需要用浮点近似来决定对数取整。

### 50.15 全局最小值的有限归约与达到性

使用第50.13节中任意一个通过（50.32）的 $q$，以及由它产生的 $U<2$、$\delta>0$。由（50.37），有 $M(\rho)\le U<2$，故无限阶与偶数阶比值均不可能最小。

对于奇数阶 $r$，若该比值有机会满足 $F_\rho\le U$，（50.31）要求
$$
2\cos\frac\pi{2r}<U.
$$
特别地，所有候选阶数都包含在显式有限范围
$$
\boxed{
3\le r\le
\left\lfloor\frac\pi{2\arccos(U/2)}\right\rfloor,
\qquad r\text{ 为奇数}.
}
\tag{50.39}
$$
这里取到等号端点也只是多保留一个可再排除的阶数，不影响有限归约。

若希望避免反三角函数的精确取整，可以选择任意整数 $B\ge1$ 满足
$$
\boxed{B^2\delta\ge4,\quad\text{例如}\quad
B=\left\lceil\frac2{\sqrt\delta}\right\rceil.}
\tag{50.40}
$$
由 $\cos x\ge1-x^2/2$ 与 $\pi<4$，对奇数 $r>B$ 有
$$
L_r\ge2-\frac{\pi^2}{4r^2}
>2-\frac4{r^2}>2-\delta=U.
$$
所以保守但更易作代数检验的范围是 $3\le r\le B$。

**有限归约定理。** 对每个 $0<\rho<1$，以上构造的 $B$ 满足
$$
\boxed{
M(\rho)=
\min_{\substack{3\le r\le B,\ r\text{ 奇}\\
1\le j\le(r-1)/2,\ \gcd(j,r)=1}}
\ \max_{1\le m\le(r-1)/2}
2(1+\rho^{2m-1})
\left|\sin\frac{\pi jm}{r}\right|.
}
\tag{50.41}
$$
证明中所有被排除的比值距离严格大于 $U$ 或至少为二；而第50.13节的候选距离不超过 $U$，因此它所在的精确阶必在保留范围。有限集非空，其最小值是全局下确界并被实际单位根取得。任何全局最小者均属于此有限集合或其中元素的共轭。故最小者集合也是有限的。

对于代数 $\rho$，有限候选值均为实代数数，给定参数的有效代数表示后可以精确比较。对于任意抽象实数 $\rho$，这是有限数学表达，不等于免费获得该实数或决定每个可能相等的比较。若 $\rho$ 可计算，可用有限候选近似最小值；没有声称所有参数处的唯一胜出者、精确相等关系或取得成本都自动可判。

下表列出（50.32）和（50.40）的三个精确有理证书。它们不是最优搜索界。

| rho | 可用奇阶 q | delta | 可用 B |
|---:|---:|---:|---:|
| 1/20 | 9 | 163/26244 | 26 |
| 1/2 | 43 | 3699/13675204 | 122 |
| 4/5 | 159 | 50563/2556515844 | 450 |

每行均满足以下精确有理不等式：
$64q^6\rho^{q-3}\le1$、$B^2\delta\ge4$。一般搜索终止性由（50.38）的解析证明保证，不需要对数的浮点取整作为证据。

### 50.16 严格分离与一个保证三阶最优的精确区间

三阶根的精确值为
$$
F_\rho(e^{\pm2\pi i/3})=\sqrt3(1+\rho).
$$
其他有限奇数阶至少为五，给下界 $L_5=2\cos(\pi/10)$；无限阶和偶数阶给二。因此
$$
\boxed{
M(\rho)\ge
\min\left\{\sqrt3(1+\rho),2\cos\frac\pi{10}\right\}
>\sqrt3.
}
\tag{50.42}
$$
Context49 的式（49.39）给出的 $\sqrt3\,c$ 一致分离常数因而对每个固定正 $\rho$ 都不是最佳常数。结合有限候选上界，有
$\sqrt3<M(\rho)<2$。

如果
$$
0<\rho\le\frac{2\cos(\pi/10)}{\sqrt3}-1,
$$
三阶候选不超过 $L_5$，而所有其他有限奇数阶的实际值严格大于各自 $L_r$。故在整个该范围
$$
\boxed{M(\rho)=\sqrt3(1+\rho),}
\tag{50.43}
$$
唯一比值是一对共轭三阶根。这是已证明的充分区间；没有证明它是三阶最优的最大区间，也没有在其端点认定最优阶数发生转变。例如 $\rho=1/20$ 时，
$$
3(21/20)^2=1323/400<7/2<(5+\sqrt5)/2=L_5^2,
$$
所以 $M(1/20)=21\sqrt3/20$。这是由精确不等式证明的实例，不需要扫描所有较高阶根。

### 50.17 rho=1/2 时的精确十一阶最小值

固定 $\rho=1/2$，先使用标准精确界 $3<\pi<22/7$，从而 $9<\pi^2<10$。记
$$
D=\frac{513}{256}\cos\frac\pi{22}.
\tag{50.44}
$$
先证明十一阶原始根的距离恰为 $D$。在（50.30）中，只需考察 $m=1,\ldots,5$。$m=5$ 给的正是 $D$。对前四项，使用 $\pi<22/7$、$\sin x<x$ 和初等半角式，分别得到
$$
\begin{array}{c|c}
m&2(1+2^{-(2m-1)})\sin(\pi m/11)\text{ 的上界}\\\hline
1&3\pi/11<6/7\\
2&9\pi/22<9/7\\
3&9\pi/16<99/56\\
4&(129/64)\sin(3\pi/8)<1935/1024<19/10.
\end{array}
\tag{50.45}
$$
其中 $19/10-1935/1024=53/5120>0$。又 $4\pi/11<3\pi/8$，且
$\sin^2(3\pi/8)=(2+\sqrt2)/4<7/8<(15/16)^2$。另一方面，$\pi^2<10$ 给
$$
D>\frac{513}{256}\left(1-\frac{10}{968}\right)>\frac{19}{10}.
$$
故 $m=5$ 严格大于前四项，$F_{1/2}(e^{\pm2\pi i/11})=D$。

以下精确比较排除所有其他比值。设
$$
c_0=\frac{513}{256},\qquad
c_2=\frac{c_0}{968},\qquad
c_4=\frac{c_0}{24\cdot22^4},\qquad t=\pi^2.
$$
用 $9<t<10$ 与余弦的上下 Taylor 界，可得
$$
D\le c_0-c_2t+c_4t^2<2.
$$
这些界在本节所用 $0<x<1$ 内由交错余弦级数直接成立。下面三个正有理余量给出所需严格比较：
$$
\begin{aligned}
2-(c_0-9c_2+100c_4)
&=\frac{1761841}{119939072}>0,\\
-\frac1{256}
+9\left(c_2-\frac1{676}\right)-100c_4
&=\frac{27888217}{20269703168}>0,\\
\frac3{256}
+10\left(c_2-\frac{129}{64\cdot648}\right)-100c_4
&=\frac{4142807}{3238354944}>0.
\end{aligned}
\tag{50.46}
$$
第二行使用正系数 $c_2-1/676>0$，因此证明
$$
\boxed{2\cos(\pi/26)>D.}
\tag{50.47}
$$
第三行使用负系数
$c_2-129/(64\cdot648)<0$，因此证明
$$
\boxed{\frac{129}{64}\cos(\pi/18)>D.}
\tag{50.48}
$$
每个符号方向都保留，不能把对同一个 $\pi^2$ 的上下界混用。

无限阶和偶数阶的距离至少为二，已经排除。任意奇数阶 $r\ge13$ 的下界至少为 $L_{13}=2\cos(\pi/26)>D$，也已排除。余下只需处理精确阶三、五、七、九、十一，并可按共轭限制为 $1\le j\le(r-1)/2$。

| 精确阶 r | 原始分子 j | 一个排除见证 |
|---:|---|---|
| 3 | 1 | m=1 给 $3\sqrt3/2>2$ |
| 5 | 1 | m=2 给 $(9/4)\cos(\pi/10)>2$ |
| 5 | 2 | m=1 给 $3\cos(\pi/10)>2$ |
| 7 | 1 | m=3 给 $(33/16)\cos(\pi/14)>2$ |
| 7 | 2,3 | m=1；角度不小于 $2\pi/7>\pi/4$，故值大于 $3/\sqrt2>2$ |
| 9 | 1 | m=4 给（50.48），严格大于 D |
| 9 | 2 | m=2 给 $(9/4)\cos(\pi/18)>2$ |
| 9 | 4 | m=1 给 $3\cos(\pi/18)>2$ |
| 11 | 2 | m=2 给 $(9/4)\cos(3\pi/22)>2$ |
| 11 | 3,4,5 | m=1；角度不小于 $3\pi/11>\pi/4$，故值大于 $3/\sqrt2>2$ |

表内余弦比较可直接由 $\cos x\ge1-x^2/2$、$\pi^2<10$ 核对。例如
$$
\frac{33}{16}\cos\frac\pi{14}
>\frac{33}{16}\frac{191}{196}
=2+\frac{31}{3136},
$$
$$
\frac94\cos\frac{3\pi}{22}
>\frac94\frac{439}{484}
=2+\frac{79}{1936}.
$$
五阶与九阶对应的下界更大。以上列表覆盖全部剩余的原始分子，没有把非原始分子重复当作新的精确阶。

故
$$
\boxed{
M(1/2)=D=\frac{513}{256}\cos\frac\pi{22},
\quad\operatorname*{argmin}F_{1/2}
=\{e^{2\pi i/11},e^{-2\pi i/11}\}.
}
\tag{50.49}
$$
此时 $A=1/2,c=1/3$，原数组距离的最小值是
$$
\boxed{\frac{171}{256}\cos\frac\pi{22}.}
\tag{50.50}
$$
相位不是以通常圆周角度作距离：某些更高阶根会把大的弦长推到权重较小的位置，产生比三阶、五阶等更小的临界数组分离。

### 50.18 参数依赖与不能使用统一有限阶数的边界

归一化最小值 $M(\rho)$ 在 $(0,1)$ 上连续且严格增加。严格增加可直接使用第二个参数处的最小根 $\omega_2$：若 $\rho_1<\rho_2$，同一非平凡有限阶根的每个非零弦长项随参数严格增加，有限最大值也严格增加，所以
$$
M(\rho_1)\le F_{\rho_1}(\omega_2)
<F_{\rho_2}(\omega_2)=M(\rho_2).
$$
连续性是局部有限性的结果。固定 $\rho_0$，选其一个最小根，候选值小于二；其有限周期公式连续。因此在 $\rho_0$ 的一个邻域可用同一个 $V<2$ 作候选上界。阶数下界 $L_r$ 与 $\rho$ 无关，故这个邻域的所有最小者都来自同一个有限根集合。有限个连续函数的最小值连续。

由（50.42）与三阶候选上界，
$$
\lim_{\rho\downarrow0}M(\rho)=\sqrt3.
$$
另一方面，
$$
\lim_{\rho\uparrow1}M(\rho)=2.
\tag{50.51}
$$
若后一个结论失败，则有固定 $\varepsilon>0$ 和趋于一的参数序列，使最小值不超过 $2-\varepsilon$。阶数下界将其全部最小根限制在同一有限集合，故可取同一个根的一条子序列。该根的有限周期公式在 $\rho\uparrow1$ 时趋于
$2L_r\ge2\sqrt3>2$，与所设上界矛盾。

同样，最小根的阶数在 $\rho\uparrow1$ 时必须逃出每个固定有限集合。因此不能给所有 $0<\rho<1$ 共用一个有限搜索阶数上界。第50.15节的上界依赖于指定参数，这是必要的，而不是证明形式造成的任意限制。

### 50.19 同一递归的复乘法作用

本部分重新固定第50.1节任意 $A>0$ 及其临界 $\rho$；以下变化阻尼和相位参数，保持 $A,\rho,c,b$ 不变。下列作用的实阻尼特例 $w=e^{-\tau}$、$\tau\ge0$ 沿用 Context47 的式（47.35）—（47.36），单位相位特例沿用 Context49 的式（49.5）—（49.6）。对复数 $w$ 满足 $|w|\le1$，定义
$$
(D_w a)_i=w^{i+1}a_i,
\qquad (U_wT)(n,k)=w^{n+k+1}T(n,k).
\tag{50.52}
$$
这些变换保持幅度域或加权有界数组域，并且定义域明确包含 $w=0$；对同样满足 $|v|\le1$ 的复数 $v$，有
$$
D_wD_v=D_{wv},\quad U_wU_v=U_{wv},\quad
\mathcal E D_w=U_w \mathcal E.
\tag{50.53}
$$
前两个恒等式逐坐标成立。最后一个由列归纳：初始列携带次数 $n+1$，移位项携带 $n+k+2$，乘积每项的次数之和也是
$(n+j+1)+(k-j+1)=n+k+2$。因此同一个因子从整个递推提出。$|w|=1$ 时作用可逆且保范数；$|w|<1$ 时不声称逆仍保持原幅度域。

对非零的圆盘参数写 $w=e^{-\tau+i\theta}$、$\tau\ge0$；零参数仍由（50.52）—（50.53）定义。其分次因子为
$e^{-m\tau}e^{im\theta}$。两个参数分别给阻尼与相位，并在乘法复合下相加。它们是同一复乘法作用的两个参数；这里没有将分次 $m$ 或 $\tau$ 认作物理时钟。

### 50.20 同源数组距离的精确表达

固定同一相位目标 $T^\zeta$。

对 $\tau>0$，阻尼相位来源 $D_{e^{-\tau+i\theta}}a^\zeta$ 仍在同一自由来源域内；其首项幅度严格小于 $A$，因此不可能是满幅相位来源，按 Context49 的分类式（49.21）属于消失尾实际像。

按总分次 $m=n+k+1$ 分组。同一组中的相位因子相同，而 $u_k$ 随 $k$ 增加，故组内最大值在 $(n,k)=(0,m-1)$ 取得。于是
$$
\boxed{
F_A(\tau,\theta):=
\|T^\zeta-U_{e^{-\tau+i\theta}}T^\zeta\|_\rho
=\sup_{m\ge1}(c+b\rho^{2(m-1)})
\left|1-e^{-m\tau+im\theta}\right|.
}
\tag{50.54}
$$
距离与共同相位 $\zeta$ 无关；这一点来自 Context49.3 式（49.5）—（49.6）的实际等距相位运输，与（50.53）的复乘法相容性一致。逐项复共轭还给 $F_A(\tau,-\theta)=F_A(\tau,\theta)$，所以只取相位与阻尼的绝对比值时，符号交替不改变距离。每个固定有限坐标在 $(\tau,\theta)\to(0,0)$ 时都趋向原坐标。

### 50.21 控制路径极限的单变量函数

对 $\kappa\in\mathbb R$ 定义
$$
G(\kappa)=\sup_{s\ge0}|1-e^{-s+i\kappa s}|.
\tag{50.55}
$$
以下性质全部属于这份明确函数：
$$
G(-\kappa)=G(\kappa),\quad G(0)=1,\quad
1<G(\kappa)<2\quad(\kappa\ne0),
\quad |G(\kappa)-G(\kappa')|\le\frac{|\kappa-\kappa'|}{e}.
\tag{50.56}
$$
证明。共轭给偶性；$\kappa=0$ 时 $1-e^{-s}$ 上确界为一。对非零 $\kappa$，取 $s=\pi/|\kappa|$，得到
$$
G(\kappa)\ge1+e^{-\pi/|\kappa|}>1.
\tag{50.57}
$$
函数值在 $s=0$ 为零，$s\to\infty$ 时趋一，故上确界严格大于一时必在某个有限正 $s$ 取得。任意有限正 $s$ 都满足 $|1-e^{-s+i\kappa s}|\le1+e^{-s}<2$，故取得的最大值也严格小于二。最后，逆三角不等式与圆弧界给
$$
\big||1-e^{-s+i\kappa s}|-|1-e^{-s+i\kappa's}|\big|
\le e^{-s}s|\kappa-\kappa'|
\le e^{-1}|\kappa-\kappa'|.
$$
取上确界并交换参数即得 Lipschitz 界。$\square$

$G$ 在非负半轴严格递增。为证明，固定 $0<\kappa_1<\kappa_2$，令 $s_1>0$ 达到 $G(\kappa_1)>1$，置
$u=\kappa_1s_1$、$r_1=e^{-s_1}$、$r_2=e^{-u/\kappa_2}>r_1$。由
$$
|1-r_1e^{iu}|^2=1+r_1^2-2r_1\cos u>1
$$
得 $r_1>2\cos u$；若 $\cos u\le0$，则更直接有 $r_1>\cos u$。两种情形均保证函数 $1+r^2-2r\cos u$ 在 $[r_1,r_2]$ 严格增加。因此
$$
G(\kappa_2)\ge|1-r_2e^{iu}|>|1-r_1e^{iu}|=G(\kappa_1).
$$
与（50.57）一起涵盖 $\kappa_1=0$ 的严格性。又（50.57）在 $|\kappa|\to\infty$ 时趋二，结合上界二，得到
$$
\lim_{|\kappa|\to\infty}G(\kappa)=2.
\tag{50.58}
$$
所以设 $G(\infty)=2$ 后，$G:[0,\infty]\to[1,2]$ 是严格递增的连续双射。

### 50.22 有限阻尼—相位比下的全层极限

设 $\tau_j>0$、$\tau_j\to0$，且
$\theta_j/\tau_j\to\kappa\in\mathbb R$。特别地 $\theta_j\to0$。则
$$
\boxed{F_A(\tau_j,\theta_j)\longrightarrow cG(\kappa).}
\tag{50.59}
$$
证明。令 $\kappa_j=\theta_j/\tau_j$。任给 $\delta>0$，取 $M$ 使 $b\rho^{2(M-1)}<\delta$。对于全部 $m\ge M$，（50.54）中的项至多为
$(c+\delta)G(\kappa_j)$，因为可令 $s=m\tau_j$。有限个 $m<M$ 项则一致趋零。由（50.56）的连续性，
$$
\limsup_jF_A(\tau_j,\theta_j)\le(c+\delta)G(\kappa).
$$
令 $\delta\downarrow0$ 得所需上界。

对下界，任取固定 $s>0$，令 $m_j=\lfloor s/\tau_j\rfloor$，当 $j$ 足够大时 $m_j\ge1$。于是 $m_j\to\infty$、$m_j\tau_j\to s$，并且
$m_j\theta_j=(m_j\tau_j)\kappa_j\to s\kappa$。将这一真实整数坐标代入（50.54），得
$$
\liminf_jF_A(\tau_j,\theta_j)\ge c|1-e^{-s+i\kappa s}|.
$$
对全部 $s>0$ 取上确界即得 $cG(\kappa)$；不要求 $\kappa=0$ 的上确界在有限 $s$ 取得。$\square$

### 50.23 相位占优的路径与全部极限代价

设 $\tau_j>0$、$\tau_j\to0$、$\theta_j\to0$、$\theta_j\ne0$，并且
$|\theta_j|/\tau_j\to\infty$。则
$$
\boxed{F_A(\tau_j,\theta_j)\longrightarrow2c.}
\tag{50.60}
$$
上界沿用有限头部、远端权重至多 $c+\delta$ 的拆分，每个字符差至多二，故上极限至多 $2c$。对下界，取
$m_j=\lfloor\pi/|\theta_j|\rfloor$。此时 $m_j\to\infty$、$m_j|\theta_j|\to\pi$，而
$m_j\tau_j\le\pi\tau_j/|\theta_j|\to0$。因此对应字符趋于 $-1$，（50.54）的该项趋于 $2c$。$\square$

综合（50.59）与（50.60）并用 $F_A$ 对相位参数的偶性，对任意最终有 $\tau_j>0$ 且满足 $\tau_j\to0$、$\theta_j\to0$ 及
$|\theta_j|/\tau_j\to\kappa\in[0,\infty]$ 的路径（允许 $\theta_j\equiv0$），都有
$$
\boxed{F_A(\tau_j,\theta_j)\to cG(\kappa).}
\tag{50.61}
$$
每个 $d\in[c,2c]$ 都可由一条实际来源路径得到：先任选正序列 $\tau_j>0$、$\tau_j\to0$；$d<2c$ 时取唯一的有限 $\kappa\ge0$ 使 $cG(\kappa)=d$，并令 $\theta_j=\kappa\tau_j$；$d=2c$ 时可取 $\theta_j=\sqrt{\tau_j}$。这些正阻尼路径均满足 $\theta_j\to0$，在每个固定有限坐标上都收敛到同一相位数组。

对任意 $\tau>0$，令（50.54）中的 $m\to\infty$，得到 $F_A(\tau,\theta)\ge c$。对每条最终满足 $\tau_j>0$ 且趋向 $(0,0)$ 的参数路径，有限头部趋零、远端权重至多 $c+\delta$，故上极限至多 $2c$。因此，只要这条路径的距离值本身有极限，其值必在 $[c,2c]$；结合以上构造，这正是全部可能的距离极限，而不必先假设比值有极限。无最终正阻尼条件的常值无阻尼路径不在此句范围内。

这些是**距离值**的不同极限，不是同一个范数收敛过程拥有多个极限对象。对上述最终正阻尼且趋向 $(0,0)$ 的路径，不存在范数收敛至目标，因为所有极限距离至少为 $c>0$。Context49.13 式（49.45）中的径向全幅度缩小 $(1-\varepsilon)a^\zeta$ 与本稿的逐级阻尼 $D_{e^{-\tau}}a^\zeta$ 也是不同路径；不能因两者距离极限同为 $c$ 就将两种作用认作相同。

### 50.24 同一关系中的不同资源与完整观察者

支持基数、最远位置、相位阶数、阻尼与相位的比值都来自同一递归，但各自控制不同的问题。五点来源通过更远的位置降低非零坐标数；有限奇数阶归约寻找整个相位族的最小分离；混合路径公式在最终正阻尼、参数趋向 $(0,0)$ 的路径上描述逐坐标趋近时仍留下的全层距离。三类结论不能通过同一个“接近”或“简洁”用语互相替换，也不合并成一个忽略前提的更强定理。

令 $\Omega$ 为实际共同来源集合，$c_{\mathrm{obs}}:\Omega\to\mathcal C$ 保留全部已获内部与外部信息、来源与版本、联合关系、参考与校准、合法动作及顺序、费用和误差合同、局部钟及其已知约束、失败与停止事件。表示转换只比较对应实际像：
$$
(c_{\mathrm{obs}}(\omega),a(\omega))
\longleftrightarrow
(c_{\mathrm{obs}}(\omega),\mathcal E(a(\omega))).
$$
首列读出按 Context43 定理43.2及式（43.4）的多项式互逆给逆映射，并逐字保留同一个档案。不把实际像扩为未经证明的笛卡儿积，不假设档案与边界独立，不删除原始记录，也不把数学工作边界认作完整观察者。这是在实复系数上使用同一首列构造，并按 Context49.18 的式（49.55）及其紧随的双侧逆证明限制到对应实际像的完整档案合同。

**稀疏来源。** 自由类中的“五点达到”只在同一实际纤维提供合法五点见证时运输过去；已经在整个自由类中证明的“四点不可能”，在任意子来源类中仍是下界。五点构造并不保留任意既有读数：它在下标四的边界值为零，而全负目标为 $-A$。若档案已记录该精确读数，两者不能产生同一相容档案。Context48.14.3 的推论48.14b所给前缀最近点有限记录重放不能直接用于任意稀疏支持；重放要求该次实际查询的全部必要来源坐标仍被保留。基数最优不等于档案约束下最优，也不等于未来全部实验等价。

**相位最小值。** 指定实际档案纤维可能不包含最优单位根比值所需的那一对来源。自由相位族的统一下界可限制到子类，但达到性需要合法来源真正提供相应比值；取得、制备、替换等动作也需各自的合同。有限周期公式没有使观察者自动知道精确阶数、取得参数 $\rho$，或免费认证无限来源属于相位族。数学上的有限表达不把有限实测读数自动提升为所有未来实验的认证。对代数参数的有限精确比较、一般可计算参数的值近似及任意实参数的访问假设必须保持区别。

**阻尼路径。** 在同一来源上将表示 $a$ 改写成 $\mathcal E(a)$，与使用 $D_w$ 真正改变边界，是两种操作。后者必须证明在实际来源纤维中合法、可取得，并说明操作后档案如何扩展。自由圆盘中的连续路径不自动成为同一观察者能够执行的实验。每个固定有限坐标的收敛也不使不同距离极限成为多个范数极限对象。

本节仅解决指定模型和资源问题。没有给所有 $A>0$ 的最小稀疏基数闭式、全部最优支持分类、五点来源最小截止十二的必要性、任意目标的稀疏最近点问题、有限比特取得成本、随机查询界或约束档案纤维中的最优构造。截止十二只是当前五点见证的属性，不宣称所有五点见证必须如此远。没有给一般最优相位阶数的闭式、全部阶数转换参数或最优搜索复杂度。阻尼—相位混合公式针对当前相位目标、临界权重和自由来源域内最终正阻尼且参数趋向 $(0,0)$ 的路径，不扩张到一般来源、其他递推、非临界权重或任意受限来源。

实阻尼与圆周字符是成熟结构；这里使用复乘法的分次作用把两者放进同一个实际数组，再证明混合路径的全层极限。Cauchy 估计、正递推、圆周字符与初等三角界按各自假设承担推导。整数分次、复相位与权重没有被预设成物理时间、量子概率、频率或空间距离，本节不据这些名称推出热力学时间箭头或量子测量规律。所有新增推导保持普通数学身份，不冒领形式核验或文献优先权。

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## 50.99 追加锚

## 51. 临界递归数组的紧来源最近点，以及有限来源闭包的两种失败

本节把 Context43 的无除法递归数组、Context46 的共同幅度包络与 Context45.4–45.5 的共同半径机制放在同一个实/复模型中。Recovery33.9–33.12 已在概率塔中证明共同半径下的完成最近点与逐层共同误差界，Recovery33.16 说明非闭附加类可以使每个有限层可满足而没有共同律；这些结果提供一般机制和边界，本节给出数组模型的直接代入。Context43.2–43.4、引理43.5供应有限整系数多项式、首列互逆、形式行恒等式和有限依赖；Context46.1–46.3、46.12供应非负系数、全负来源和幅度闭式。compact_local_realization供应紧来源、闭纤维和有限共同可实现性推出的单一完整见证；behavioral_image_compact_and_closed只在坐标乘积拓扑中给像的紧闭性，不供应临界范数紧性。本节采用首列与有限多项式的直接范数闭性证明，不调用未具备条件的凸性最近点定理。

### 51.1 既有所有者与准确代入

- Context43.2–43.4及引理43.5给出整系数无除法递推、首列逆、形式行公式和“坐标至多依赖 $n+k$”的有限依赖；这些恒等式在实数和复数上用同一整系数多项式评价，不加顶行全一条件。
- Context43.5及43.10–43.11区分通常绝对值完成与离散精确前缀完成；本节的 $X_A$ 使用通常欧氏坐标乘积拓扑，不能把两种完成混同。
- Context45.4的紧来源共同半径结论在本节以 $X_A$ 为来源、以有限三角损失为约束；Context45.5的目标范数紧族有限网论证和 Recovery33.9–33.12的共同半径实现说明为什么要保留同一个来源和同一个阈值。Recovery33.16的非闭附加类是本节档案纤维边界的对应警示。
- Context46.1–46.3及46.12给出非负 $Q$ 多项式、共同全负源和 $u_k(A)$ 的临界闭式；Context46.11的运输仍要求同一实际联合像和完整档案。
- ClosedConvexDistanceWitnessDuality不在本节中使用：临界范数下的完整像将被直接证明非紧，且没有独立的凸性合同。

### 51.2 固定对象、拓扑与临界归一化

令标量域 $\mathbb K=\mathbb R$ 或 $\mathbb C$，固定 $A>0$。函数 $g:(0,1)\to(0,\infty)$，$g(\rho)=\rho+\rho^{-1}-2$，满足 $g'(\rho)=1-\rho^{-2}<0$，且当 $\rho\downarrow0$ 时趋于 $+\infty$、当 $\rho\uparrow1$ 时趋于 $0$。因此对每个 $A>0$ 存在唯一 $\rho\in(0,1)$ 使 $g(\rho)=A$，并令 $\lambda=\rho^{-1}$。等价地，
$$
A=\frac{(1-\rho)^2}{\rho},\qquad
\lambda=\rho^{-1},\qquad
\lambda+\lambda^{-1}=A+2.
\tag{51.1}
$$

令
$$
X_A=\{a\in\mathbb K^{\mathbb N}:|a_j|\le A\ \forall j\}.
\tag{51.2}
$$
每个坐标取通常欧氏拓扑，$X_A$ 取乘积拓扑。闭区间或闭圆盘均紧，故由 Tychonoff 定理 $X_A$ 非空紧；可用
$$
d(a,b)=\sum_{j\ge0}2^{-j-1}\min\{1,|a_j-b_j|\}
$$
度量化它，所以它是紧可度量空间并具有序列紧性。零序列是非空性的一个见证；这里的度量不是离散有理前缀超度量。

以 Context43.2–43.4 的同一多项式递推定义
$$
E(a)_{n,0}=a_n,\qquad
E(a)_{n,k+1}=E(a)_{n+1,k}-\sum_{j=0}^{k}E(a)_{n,j}a_{k-j}.
\tag{51.3}
$$
列归纳和引理43.5说明每个坐标是 $a_0,\ldots,a_{n+k}$ 的有限整系数多项式，故 $E$ 在乘积拓扑的每个坐标上连续。首列恢复 $a_n=E(a)_{n,0}$，所以 $E$ 是单射；不要求第零行恒为一。

定义环境空间
$$
B_\rho=\left\{T:\|T\|_\rho:=\sup_{n,k\ge0}\rho^{n+k}|T_{n,k}|<\infty\right\}.
\tag{51.4}
$$
加权坐标映射 $T\mapsto(\rho^{n+k}T_{n,k})$ 把它等距识别为 $\ell^\infty(\mathbb N^2)$，所以 $B_\rho$ 是 Banach 空间。

定义消失反对角尾子空间
$$
B_\rho^0=\left\{T\in B_\rho:\sup_{n+k\ge L}\rho^{n+k}|T_{n,k}|\longrightarrow0\right\}.
\tag{51.5}
$$
同一加权识别把它识别为 $c_0(\mathbb N^2)$。有限三角 $\{(n,k)\in\mathbb N^2:n+k<L\}$ 随 $L$ 增大包含每个有限索引子集。为直接证明范数闭性，设 $U_j\in B_\rho^0$ 且 $U_j\to U$ 于 $B_\rho$ 的范数。给定任意 $\varepsilon>0$，先取 $j$ 使 $\|U-U_j\|_\rho<\varepsilon/2$，再取 $L$ 使 $\sup_{n+k\ge L}\rho^{n+k}|(U_j)_{n,k}|<\varepsilon/2$。三角不等式给出 $\sup_{n+k\ge L}\rho^{n+k}|U_{n,k}|\le\|U-U_j\|_\rho+\sup_{n+k\ge L}\rho^{n+k}|(U_j)_{n,k}|<\varepsilon$，所以 $U\in B_\rho^0$，从而 $B_\rho^0$ 在 $B_\rho$ 中范数闭。

由 Context46.2–46.3 的非负 $Q$ 多项式，对实或复来源均有
$$
|E(a)_{n,k}|\le u_k(A),\qquad
\rho^ku_k(A)=c_A\bigl(1+\rho^{2k+1}\bigr),\qquad c_A=\frac{A}{1+\rho}.
\tag{51.6}
$$
这里复情形只使用 $|a_j|\le A$ 和 $Q$ 的非负系数；标量闭式由 Context46.3 在 $\lambda=\rho^{-1}$ 的代入给出。于是
$$
I_A:=E(X_A)\subset B_\rho,\qquad
\|E(a)\|_\rho\le\sup_{n,k}\rho^n c_A(1+\rho^{2k+1})\le A.
\tag{51.7}
$$
公共全负来源 $a_n=-A$ 在 $(0,0)$ 达到上界；这是既有幅度包络的临界应用，而不是另造标量理论。

### 51.3 任意环境目标的最近实际数组存在

固定任意 $T\in B_\rho$，不要求 $T$ 满足递归关系。对整数 $N\ge1$ 定义
$$
f_N^T(a)=\max_{n+k<N}\rho^{n+k}|E(a)_{n,k}-T_{n,k}|,\qquad
e_N(T)=\min_{a\in X_A}f_N^T(a).
\tag{51.8}
$$
有限依赖使 $f_N^T$ 连续，紧性保证最小值达到。每个有限目标只使用前 $N$ 个来源坐标，任意允许前缀都能以零延伸为完整来源。

这些有限损失单调递增，且
$$
0\le f_N^T(a)\le f_{N+1}^T(a),\qquad
\sup_Nf_N^T(a)=\|E(a)-T\|_\rho\le A+\|T\|_\rho.
\tag{51.9}
$$
因此 $e_N(T)$ 单调有界。
$$
\boxed{d_A(T):=\min_{a\in X_A}\|E(a)-T\|_\rho
=\sup_{N\ge1}e_N(T).}
\tag{51.10}
$$
准确代入而非新增一般定理：设 $r=\sup_Ne_N(T)$，在 $X_A$ 上取
$$
\mathrm{Context}=\mathbb N_{\ge1},\quad \mathrm{Record}=\mathbb R,
\beta(N,a)=\max\{f_N^T(a)-r,0\},\quad \mathrm{target}(N)=0.
\tag{51.11}
$$
在 $X_A$ 上对每个 $N$ 置 $K_N(r)=\{a:f_N^T(a)\le r\}$。所有 $K_N(r)$ 闭且非空；有限个索引的交由其中最大索引的最小值见证，空索引族由 $X_A$ 的任意成员见证。把上述 $X_A$、正整数索引、实数记录、零目标代入 compact_local_realization，得到共同见证 $a_*$ 属于所有 $K_N(r)$。故完整损失不超过 $r$；任意来源的完整损失又不小于每个 $e_N(T)$，所以恰为 $r$。

这里的全损失是连续有限损失的上确界，因而下半连续；证明不要求 $E:X_A\to B_\rho$ 范数连续，也不要求 $I_A$ 范数紧。

对每个阈值 $r\ge0$，同一个共同来源和同一个半径满足
$$
d_A(T)\le r
\iff(\forall N,\ e_N(T)\le r)
\iff\exists a\in X_A\ \forall N,\ f_N^T(a)\le r.
\tag{51.12}
$$
严格阈值也在同一窗口见证：
$$
d_A(T)>r\iff\exists N,\ e_N(T)>r.
\tag{51.13}
$$
右向左显然；左向右若全部有限值不超过 $r$ 则（51.10）矛盾。这个存在性不是取得数据、认证全来源优化下界或有效搜索截止的替代品；一份可行拟合只给上界。

成员身份由实际达到的零距离刻画：
$$
T\in I_A\iff d_A(T)=0\iff\forall N,\ e_N(T)=0.
\tag{51.14}
$$
若 $T\notin I_A$，则存在有限三角使优化距离严格为正；整个环境目标域仍是 $B_\rho$，没有把目标错误限制到递归数组。

### 51.4 两种源与目标收敛必须分开

对任意 $T,S\in B_\rho$，逐来源三角不等式、取有限最小值并交换目标给出
$$
|e_N(T)-e_N(S)|\le\|T-S\|_\rho,\qquad
|d_A(T)-d_A(S)|\le\|T-S\|_\rho.
\tag{51.15}
$$
设目标族 $\mathcal T\subset B_\rho$ **非空且在 $\|\cdot\|_\rho$ 下紧**。取其有限开 $\varepsilon/4$-网 $T_1,\ldots,T_s$；由逐点的 $e_N(T_i)\uparrow d_A(T_i)$，可取共同 $N$ 使每个网点缺口小于 $\varepsilon/2$。对任意 $T\in\mathcal T$ 取 $\|T-T_i\|_\rho<\varepsilon/4$，两次（51.15）得
$$
d_A(T)-e_N(T)\le2\|T-T_i\|_\rho+d_A(T_i)-e_N(T_i)<\varepsilon.
$$
单调性使所有更大 $N$ 仍成立，因此
$$
\boxed{\sup_{T\in\mathcal T}\bigl(d_A(T)-e_N(T)\bigr)\longrightarrow0.}
\tag{51.16}
$$
这只给存在性的目标族一致性；没有有效网、网点收敛期限或算法停止条件，也没有把来源到完整范数的连续性偷换进来。

现在固定一个环境目标 $T$，令 $N_j\to\infty$、$\eta_j\ge0$、$\eta_j\to0$，并选择
$$
f_{N_j}^T(a^{(j)})\le e_{N_j}(T)+\eta_j.
\tag{51.17}
$$
紧可度量的 $X_A$ 保证任意子列有乘积收敛子列；取任意这样的 $a^{(j_\ell)}\to a_*$。对固定 $m$，当 $\ell$ 足够大时 $N_{j_\ell}\ge m$，于是
$$
f_m^T(a^{(j_\ell)})\le e_{N_{j_\ell}}(T)+\eta_{j_\ell}\le d_A(T)+\eta_{j_\ell}.
$$
有限坐标连续性给 $f_m^T(a_*)\le d_A(T)$，再对 $m$ 取上确界即得 $\|E(a_*)-T\|_\rho\le d_A(T)$，所以每个乘积聚点都是最优源。这里不推出原序列收敛、输出范数收敛，也不声称每个有限优化器都有小的完整误差。

### 51.5 有限来源闭包只落在消失尾中

令
$$
X_{\rm fin}=X_A\cap c_{00}(\mathbb N;\mathbb K),\qquad
I_0=\overline{E(X_{\rm fin})}^{\|\cdot\|_\rho}.
\tag{51.18}
$$
有限来源支撑不等于有限输出支撑，且 $I_0$ 是输出的范数闭包，不是来源乘积闭包。我们只证明
$$
\boxed{I_0\subset I_A\cap B_\rho^0.}
\tag{51.19}
$$

若 $b_n=0$ 对所有 $n>M$，Context43.3–43.4的行公式在实数和复数上都是同一整系数恒等式。置
$$
F_b(z)=1+z\sum_{i=0}^{M}b_i z^i,\qquad
C_n(z)=\sum_{j\ge0}b_{n+j}z^j,\qquad
R_n(z)=F_b(z)^{-1}C_n\!\left(\frac z{F_b(z)}\right).
\tag{51.20}
$$
$C_n$ 是有限多项式且 $n>M$ 时为零。由于 $F_b(0)=1$，形式行级数由上述有限递归唯一确定，并且正是这个有理函数在零点处的 Taylor germ；实系数情形把同一多项式恒等式复化后用于 Cauchy 估计。对 $|z|\le\rho$，
$$
\begin{aligned}
|F_b(z)|&\ge1-A\sum_{i=0}^{M}\rho^{i+1}
=\rho+(1-\rho)\rho^{M+1}>\rho>0,\\
\exists R&>\rho:\ F_b\text{ 在 }|z|\le R\text{ 及其邻域内无零点},\\
H_n&=\max_{|z|=R}|R_n(z)|,\qquad
C=\max_{0\le n\le M}\rho^nH_n,\\
\sup_{n+k\ge L}\rho^{n+k}|E(b)_{n,k}|
&\le C\left(\frac\rho R\right)^{L-M}\quad(L\ge M).
\end{aligned}
\tag{51.21}
$$
只有有限多个非零行参与 $C$；Cauchy 系数界给每一行的几何衰减，故 $E(b)\in B_\rho^0$。常数依赖于这个具体来源和支撑，不作无限级数收敛或对所有支撑一致的尾假设。

再证 $I_A$ 范数闭。若 $E(a^{(q)})\to U$ 于 $B_\rho$，则首列给 $a_n^{(q)}=E(a^{(q)})_{n,0}\to U_{n,0}$。令 $a_n=U_{n,0}$，则 $|a_n|\le A$；每个输出坐标是有限多项式，逐坐标取极限即得 $U_{n,k}=E(a)_{n,k}$。因此 $U\in I_A$。结合 $B_\rho^0$ 的范数闭性和 $E(X_{\rm fin})\subset I_A\cap B_\rho^0$，得到（51.19）。这里不另列乘积像闭性的第二个主证明。

### 51.6 全像范数非紧、编码不连续，但最近点仍存在

取同一个实际来源
$$
a^*_n=-A,\qquad U^*=E(a^*),\qquad U^*_{n,k}=-u_k(A).
\tag{51.22}
$$
由（51.6），
$$
\rho^kU^*_{0,k}\longrightarrow-c_A\ne0,
\tag{51.23}
$$
所以 $U^*\notin B_\rho^0$，特别地 $U^*\notin I_0$。任意 $V\in I_0$ 的第零行加权尾趋于零，故
$$
\boxed{\|U^*-V\|_\rho\ge c_A.}
\tag{51.24}
$$
这是一个必要下界，不把它升级为第一目标的精确距离或达到性。

定义真正的边界截断
$$
b_n^{(N)}=\begin{cases}-A,&n<N,\\0,&n\ge N,\end{cases}\qquad N\ge1.
\tag{51.25}
$$
它在来源乘积拓扑中趋于 $a^*$。有限依赖给出真实输出的前缀相等：
$$
E(b^{(N)})_{n,k}=U^*_{n,k}\qquad(n+k<N).
\tag{51.26}
$$
这里截断的是来源边界，不是把输出数组逐坐标截断。由（51.24），
$$
\|E(b^{(N)})-U^*\|_\rho\ge c_A\qquad\forall N.
\tag{51.27}
$$
故 $E$ 在 $a^*$ 处不是从来源乘积拓扑到输出临界范数的连续映射。

若 $I_A$ 范数紧，则 $E(b^{(N)})$ 有范数收敛子列；（51.26）迫使其逐坐标极限为 $U^*$，与（51.27）的正范数间隔矛盾。因此 $I_A$ 范数非紧。这不影响（51.10）：达到性来自紧来源、有限坐标连续和下半连续全损失，而不是来自像的范数紧性。

### 51.7 第一种失败：有限来源闭包上，有限距离不能恢复全距离

在同一个 $U^*$ 上定义
$$
e_N^0(U^*)=\min_{V\in I_0}\max_{n+k<N}\rho^{n+k}|V_{n,k}-U^*_{n,k}|.
\tag{51.28}
$$
这里最小值由实际见证 $E(b^{(N)})\in I_0$ 达到并等于零：
$$
e_N^0(U^*)=0\qquad\forall N.
\tag{51.29}
$$
但（51.24）给出
$$
\boxed{\inf_{V\in I_0}\|V-U^*\|_\rho\ge c_A>0
=\sup_Ne_N^0(U^*).}
\tag{51.30}
$$
因此这里失败的是有限值与完整下确界的交换以及共同完整见证；这条论证没有声称第一目标的正下确界等于 $c_A$，也没有声称它不达到。相同截断作为完整来源的有限优化器满足窗口误差为零而完整误差至少 $c_A$，证明了 $X_{\rm fin}$ 上有限损失逼近完整损失不能关于来源一致收敛，所以 Context45.5 的来源统一损失逼近结论不能无条件迁移到这里。$X_{\rm fin}$ 不具备乘积紧性：它包含全部截断 $b^{(N)}$，却不包含其乘积极限 $a^*$，故在 Hausdorff 空间 $X_A$ 中不闭。在完整紧来源 $X_A$ 上，（51.27）说明 $E$ 到输出范数的连续性以及完整损失 $a\mapsto\|E(a)-U^*\|_\rho$ 的连续性在 $a^*$ 处失败。由于该极限位于 $X_{\rm fin}$ 之外，不能用这个截断序列断言 $E$ 限制在 $X_{\rm fin}$ 上不连续。

### 51.8 第二种失败：精确下确界却没有最近点

令 $r=A/2$，取任意环境目标
$$
T_{n,0}=-A-r\rho^{-n},\qquad T_{n,k}=-\tfrac12u_k(A)\quad(k\ge1).
\tag{51.31}
$$
它不必满足递归关系，也不限制为递归目标。其首列加权模为 $A\rho^n+r$，非首列由（51.6）控制，故
$$
\|T\|_\rho=\frac{3A}{2},
\tag{51.32}
$$
达到坐标为 $(0,0)$，所以 $T\in B_\rho$。

对任意 $a\in X_A$、任意 $n\ge0$，令 $s_n=r\rho^{-n}>0$。实情形的区间不等式与复情形的圆盘不等式统一为
$$
\rho^n|a_n+A+s_n|\ge r.
\tag{51.33}
$$
复情形因为 $d=A+s_n>A$ 且 $|a_n|\le A$，有
$$
|d+a_n|\ge d+\operatorname{Re}a_n\ge d-A=s_n.
$$
若整条链取等号，则第二个不等式也必须取等号，从而 $\operatorname{Re}a_n=-A$，而圆盘约束又迫使 $\operatorname{Im}a_n=0$，所以 $a_n=-A$；这不是对复数使用次序，而是距离负实圆盘外点的刚性等号。实区间的等号同样唯一。故
$$
\|E(a)-T\|_\rho\le r\quad\Longrightarrow\quad a_n=-A\ \text{对所有 }n.
\tag{51.34}
$$
全负来源 $a^*$ 的首列误差均为 $r$，非首列误差为 $\rho^{n+k}u_k(A)/2\le r$，因此
$$
\boxed{d_A(T)=r,\qquad
\operatorname*{argmin}_{V\in I_A}\|V-T\|_\rho=\{U^*\}.}
\tag{51.35}
$$
这里的唯一性是这个目标的首列等号结论，不是一般最近点定理的唯一性。

对真实截断写 $b^{(N)}=-x^{(N)}$，其中 $x_n^{(N)}\in\{0,A\}$。Context46.2的非负系数对所有 $n,k\ge0$ 给出
$$
-u_k(A)\le E(b^{(N)})_{n,k}\le0.
\tag{51.36}
$$
这对实截断在实、复两个标量模型都成立，因为来源本身是实的。于是对每个 $n\ge0$、$k\ge1$（包括第零行）都有
$$
\rho^{n+k}\left|E(b^{(N)})_{n,k}+\frac{u_k(A)}2\right|
\le\frac12\rho^{n+k}u_k(A)\le r.
\tag{51.37}
$$
首列在 $n<N$ 时误差为 $r$，在 $n\ge N$ 时为 $r+A\rho^n$，最大值恰在实际坐标 $(N,0)$。结合（51.37）得到完整无限范数的精确值
$$
\boxed{\|E(b^{(N)})-T\|_\rho=r+A\rho^N\downarrow r.}
\tag{51.38}
$$
这是由全部坐标的上界和 $(N,0)$ 的达到坐标共同得到的，不能以有限三角的最大值替代。

因为 $I_0\subset I_A$，任意 $V\in I_0$ 的误差至少为 $r$；截断给出相反方向的上界，故
$$
\boxed{\inf_{V\in I_0}\|V-T\|_\rho=r=\frac A2.}
\tag{51.39}
$$
若有 $I_0$ 中的达到者，由（51.35）必等于 $U^*$，但（51.23）排除了 $U^*\in I_0$，所以
$$
\boxed{\operatorname*{argmin}_{V\in I_0}\|V-T\|_\rho=\varnothing.}
\tag{51.40}
$$
$I_0$ 非空且范数闭仍不保证任意环境目标有最近点。对每个 $N\ge1$，同一目标的有限窗口最小值恰为 $r$：坐标 $(0,0)$ 给下界，而取长度至少 $N$ 的截断给出上界。故第二例的有限值恢复全局下确界，却没有一个共同达到者；它与（51.30）的有限值—完整值差距是独立的失败机制。该反例不否定另行证明的特殊递归目标或相位目标最近点结论。

### 51.9 完整档案纤维上的准确迁移条件

固定实际共同来源域 $\Omega$ 及其共同来源合同与全部已获档案映射。档案 $c$ 保留内部与外部记录、来源及版本身份、参考和校准、已取得的相位、单位和增益信息、联合关系与相关性、合法动作及其顺序、可访问记忆、局部钟及已知关系、费用与误差合同、结果、失败和停止事件。对同一个实际联合像定义
$$
X_{A,c}=\{a\in X_A:(c,a)\text{ 属于指定的实际共同来源像}\}.
\tag{51.41}
$$
假设该纤维非空且在来源乘积拓扑中闭；则它是紧空间。令
$$
I_{A,c}=E(X_{A,c}),\qquad
 e_{N,c}(T)=\min_{a\in X_{A,c}}f_N^T(a),\qquad
 d_{A,c}(T)=\min_{a\in X_{A,c}}\|E(a)-T\|_\rho.
$$
把（51.10）–（51.14）中的 $X_A,I_A,e_N,d_A$ 全部逐项替换为 $X_{A,c},I_{A,c},e_{N,c},d_{A,c}$，结论保持不变。空有限索引族的见证是这个非空纤维中的任意成员，不得默认为零来源；有限优化域是联合可行投影 $\pi_N(X_{A,c})$，它是紧的，且其中每个前缀都有同一纤维中的延伸。不能用自由立方体、独立坐标投影的笛卡儿积或假设的零延伸替换它。

一种充分的闭性核对是：存在定义在整个 $X_A$ 上、取值于 Hausdorff 空间的连续档案映射 $\gamma$，并且实际纤维恰为 $\gamma^{-1}(\{c\})$，或再与 $X_A$ 中明确闭的联合合法性约束相交。连续性和单点闭性在这个精确等号下才给出闭纤维；非空性仍需另行提供。各条记录分别有见证不等于有一个共同来源。

闭性条件不是每个特定目标达到最小值的必要条件。取 $\Omega=X_{\rm fin}$ 的子空间拓扑，边界包含映射进入 $X_A$ 连续，常值档案 $c_\Omega\equiv c_0$ 进入单点 Hausdorff 空间连续；实际像纤维却是 $X_{\rm fin}$，因为（51.25）的所有截断属于其中而 $a^*$ 不属于其中，所以它在 $X_A$ 中不闭。把常值档案延拓到整个 $X_A$ 的逆像是整个 $X_A$，不是实际纤维。相同截断说明 $E^{-1}(I_0)$ 也不闭；输出范数闭性不能转换成来源乘积紧性。

在这个同一非闭纤维上，目标 $T=0$ 仍有合法零来源 $0\in X_{\rm fin}$ 且 $E(0)=0$，所以最小距离零达到。反之，若来源只允许有理边界，通常数值拓扑下不自动紧；Context46.7的固定有限维实完成不供应无限有理来源的达到性。单独的记录见证也不能拼成一个共同纤维见证。

### 51.10 结论范围与未提供接口

本节闭合的结论是：

1. 在临界范数中，完整实/复幅度来源像对每个 $T\in B_\rho$ 都有最近点，有限距离单调趋于完整距离。
2. 完整像在临界范数下非紧，编码在全负角点处从来源乘积到输出范数不连续；这与第一项相容，因为达到性使用来源紧性和有限损失的下半连续性。
3. 有限来源闭包 $I_0$ 的有限距离可以全为零而完整下确界有正下界；另一个明确目标的最优距离为 $A/2$ 且在 $I_0$ 中没有最近点。
4. 对非空范数紧目标族，目标距离值具有一致有限窗口收敛；来源到完整范数的统一尾估计没有无条件迁移。
5. 固定完整档案时，同一个实际联合纤维非空且乘积闭，是把共同半径机制迁移到 $I_{A,c}$ 的充分条件，而不是每个特定目标取到最小值的必要条件。

本节未提供任意档案纤维非空闭性的实际认证、非紧目标族的一致有效速率、一般最近点的唯一性或连续/可计算选择、有限全局优化下界的可取得证书、或任意来源子类的普遍达到性。有限有理算术只能核对明确有限坐标和截断的等式与不等式；无限尾、紧性、全局最小值、非紧性和非达到性由上述完整证明承担。数组模型仍是普通实/复数学，不从“时间”“波”“概率”或其它名称推出物理定律，也不把一次有限来源见证提升为完整观察者的未来信息。

## 51.99 追加锚

## 52. 固定内部选择器的六类路径与联合矩预测

本节给出第15节联合仪器与实际预测域的一个具体实例：四个逐点特征已经识别每个确定状态的完整读数行为，但四个特征的期望不能识别任意初始混合律的路径分布。加入两个同一轨迹上的联合矩后，得到完整的六维线性预测表示；其归一化实际域是五维单纯形的仿射像。一般有限张成、实际正锥和线性最小性沿用命题15.2及定理15.3—15.4，以下给出本例的明确基、逆映射与条件分支。

### 52.1 实际状态、固定任务与六类行为

**定义 52.1（固定选择器及读数路径）。** 取实际状态集 $S=\{0,1\}^3$，坐标写作 $(q,a,b)$，当前读数是第一坐标 $q$。固定总更新为
$$
F(q,a,b)=((1-q)a+qb,a,b),\qquad q_j=q\circ F^j\quad(j\ge0).
\tag{52.1}
$$
即当前位为零时选取 $a$，为一时选取 $b$。任务是保留从初始读数开始的固定更新路径
$$
\beta(s)=(q_0(s),q_1(s),q_2(s),\ldots)\in\{0,1\}^{\mathbb N_0}.
\tag{52.2}
$$
允许初始律 $\mu$ 是 $S$ 上任意概率律，不预设平稳性、独立性或遍历性。行为等价定义为 $\beta(s)=\beta(t)$。这是单类型、单个固定总更新及读数路径的任务，正是 [Process 第19节](RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_PROCESS_GEOMETRY.md#19-内部选择可观察代数与自读任务)的一个特殊化。若用于包含来源档案、控制器访问、费用、权限或额外报告的观察者，这些附加字段必须在所用纤维上满足该节的完整响应条件，否则须细化任务；本节的六类结论不自动覆盖这些附加查询。内部选择公式也不提供实际读取或准备接口，取得合同另在本章52.6小节给出。

**命题 52.2（六个实际行为类）。** 有
$$
F^3=F,\qquad q_{j+2}=q_j\quad(j\ge1).
\tag{52.3}
$$
因此完整路径由前三位决定，实际行为商恰为下表六类。表中的行为串与实际状态坐标具有不同含义。

| 行为类 | 一个实际代表 $(q,a,b)$ | $(q_0,q_1,q_2)$ | 完整读数路径 | $(1,q_0,q_1,q_2,q_0q_1,q_1q_2)$ |
|---|---|---|---|---|
| $A$ | $(0,0,0)$ | $000$ | $000\ldots$ | $(1,0,0,0,0,0)$ |
| $B$ | $(1,0,0)$ | $100$ | $1000\ldots$ | $(1,1,0,0,0,0)$ |
| $C$ | $(0,1,0)$ | $010$ | $0101\ldots$ | $(1,0,1,0,0,0)$ |
| $D$ | $(1,1,0)$ | $101$ | $1010\ldots$ | $(1,1,0,1,0,0)$ |
| $E$ | $(0,1,1)$ | $011$ | $0111\ldots$ | $(1,0,1,1,0,1)$ |
| $G$ | $(1,1,1)$ | $111$ | $111\ldots$ | $(1,1,1,1,1,1)$ |

其余两个实际状态 $(0,0,1)$、$(1,0,1)$ 分别属于 $A,G$。

**证明。** 固定 $(a,b)$ 后，第一坐标上的映射在 $(a,b)=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$ 时分别为常零、恒等、翻转、常一。四种映射均满足三次迭代等于一次迭代，且其余坐标保持不变，故 $F^3=F$。对 $j\ge1$ 继续复合得 $F^{j+2}=F^j$，从而得到读数周期关系。分别代入四种 $(a,b)$ 与两个初始 $q$，得到表中六个三位串及所列两个重复类。不同三位串已经由前三次读数区分，相同三位串由周期关系决定相同完整路径。$\square$

**推论 52.2a（固定路径的有限深度分割）。** 观察到时刻 $0,1,2,3$ 为止的预测分割类数依次为
$$
2,\qquad4,\qquad6,\qquad6,
$$
此后均为六。

证明。表中第一位取零、一两值；前两位恰有 $00,10,01,11$ 四个实际值；前三位有表中的六个不同值。关系 $q_{j+2}=q_j$ 对 $j\ge1$ 成立，使第四位及全部后续位由前三位决定，故不再细化。不能将该关系延伸到 $j=0$：类 $B$ 的 $q_0=1,q_2=0$，类 $E$ 的 $q_0=0,q_2=1$。$\square$

此任务只含固定 $F$。若另外允许强制动作
$$
T_L(q,a,b)=(a,a,b),\qquad T_R(q,a,b)=(b,a,b),
\tag{52.4}
$$
则初始读数、强制左动作后的读数、强制右动作后的读数联合给出 $q,a,b$。具体地，先合法读取原 $q$，再执行 $T_L$ 并读取 $a$，继而执行 $T_R$ 并读取 $b$；两动作都保持 $a,b$，故三个记录来自同一实际状态的同一条合法续接，并不需要独立复制两个反事实分支。若两状态在这个任务中行为相同，该实际记录词强迫三个坐标均相同，故八态全部分开；相同状态显然有相同行为。这是扩充后的动作任务，不能用其八类结论改变固定任务的六类商。各次读取与调用仍须有相应实际权限及费用合同。

### 52.2 四个逐点特征为何充分，其期望为何不足

采用第15节的行坐标约定，置
$$
\phi(s)=(1,q_0(s),q_1(s),q_2(s)),\qquad
U=\operatorname{span}_{\mathbb R}\{1,q_0,q_1,q_2\}.
\tag{52.5}
$$

**命题 52.3（逐点充分性与四维不变线性空间）。** $U$ 是包含 $1,q_0$ 的最小 $F$ 拉回不变线性空间，维数为四，并有
$$
\phi(Fs)=\phi(s)R_4,\qquad
R_4=\begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
0&0&0&0\\
0&1&0&1\\
0&0&1&0
\end{pmatrix}.
\tag{52.6}
$$
对一个确定状态，$\phi(s)$ 已经决定其六类行为和全部路径事件。由这些特征生成的幺函数代数则为六维。

**证明。** 拉回依次将 $q_0,q_1,q_2$ 送到 $q_1,q_2,q_1$，给不变性与式（52.6）；任何包含 $q_0$ 的拉回不变线性空间必含 $q_1,q_2$。若四函数的线性组合为零，依次在行为串 $000,100,010,011$ 上取值，便逐个消去常数项、$q_0,q_1,q_2$ 的系数，故维数为四。

令 $v=(v_0,v_1,v_2)$ 为表中一个行为串，其类指标为
$$
e_v(s)=\prod_{j=0}^2
\begin{cases}
q_j(s),&v_j=1,\\
1-q_j(s),&v_j=0.
\end{cases}
\tag{52.7}
$$
其六个实际实例为
$$
\begin{aligned}
e_A&=(1-q_0)(1-q_1)(1-q_2),&
e_B&=q_0(1-q_1)(1-q_2),\\
e_C&=(1-q_0)q_1(1-q_2),&
e_D&=q_0(1-q_1)q_2,\\
e_E&=(1-q_0)q_1q_2,&
e_G&=q_0q_1q_2.
\end{aligned}
$$
在对应三位串上，每个因子为一；在其他三位串上至少一个因子为零。因此每个类指标都能从逐点的 $\phi(s)$ 非线性解码。六个类指标非零、支持两两不交且和为一，因而线性无关，张成六类上的全部函数。由 $1,q_0,q_1,q_2$ 生成的函数代数既包含这些指标，又只含类上常值函数，故恰为这个六维代数。$\square$

确定状态上的非线性解码不能移到均值之后：一般不能将 $\mathbb E_\mu e_v$ 写成把 $\mathbb E_\mu q_j$ 代入式（52.7）的结果。命题14.11中联合函数空间与单坐标函数空间线性和的区别，在这里表现为同一路径联合矩的缺失；该命题使用的独立均匀坐标不作为本节任意 $\mu$ 的假设。四函数的实际像只有六个点，其仿射包维数为三：第一坐标恒为一给上界三，而以 $\phi(A)$ 为基点，$\phi(B)-\phi(A)=(0,1,0,0)$、$\phi(C)-\phi(A)=(0,0,1,0)$、$\phi(E)-\phi(A)=(0,0,1,1)$ 三个差向量独立，给下界三。这个事实与六维函数代数并不冲突。

**命题 52.4（三种同单时刻分布的真实路径律）。** 在表中所列实际代表上，定义 $\mu_{\rm const}$ 在 $A,G$ 各取一半，$\mu_{\rm once}$ 在 $B,E$ 各取一半，$\mu_{\rm alt}$ 在 $C,D$ 各取一半。三者均满足
$$
\Pr(q_t=1)=\tfrac12\quad(t\ge0),\qquad
\mathbb E\phi=(1,\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12),
\tag{52.8}
$$
但有
$$
\begin{array}{c|ccc}
&\mu_{\rm const}&\mu_{\rm once}&\mu_{\rm alt}\\\hline
\Pr(q_0\ne q_1)&0&1&1\\
\Pr(q_1\ne q_2)&0&0&1
\end{array}.
\tag{52.9}
$$
它们的三输出分布支持两两不交，总变差距离两两为一。$\mu_{\rm const}$ 和 $\mu_{\rm alt}$ 的输出律平稳，$\mu_{\rm once}$ 的输出律不平稳。

**证明。** 每一对支持路径互为逐位补，因此每个时刻的位均公平。常值路径从不改变读数；$B,E$ 只在首次更新时改变读数；$C,D$ 每次都改变读数，给式（52.9）。三组支持分别是 $\{000,111\}$、$\{100,011\}$、$\{010,101\}$，互不相交。取其中一组支持为事件，其在相应律下概率一、在另外两律下概率零，所以按总变差距离 $\sup_E|\mu(E)-\nu(E)|$ 的定义，任意两者距离至少一；概率差至多一，故距离恰为一。移位保持常值两路径，交换两条交替路径，而将首次翻转两路径送到常值两路径，故得到所述平稳性。$\square$

前三次读数在此确有作用：只观察 $(q_0,q_1)$ 时，$\mu_{\rm once}$ 与 $\mu_{\rm alt}$ 都在 $01,10$ 上各半；第三次读数才分开这两个联合律。所有单时刻均值及其式（52.6）更新均相同，仍不足以恢复这项差别。

### 52.3 六个预测矩、精确更新与实际域

**定义 52.5（联合矩坐标）。** 置逐点行特征与预测行坐标
$$
\psi=(1,q_0,q_1,q_2,q_0q_1,q_1q_2),\qquad
z_\mu=\mathbb E_\mu\psi=(1,m_0,m_1,m_2,c_{01},c_{12}),
\tag{52.10}
$$
其中 $m_j=\mathbb E_\mu q_j$、$c_{01}=\mathbb E_\mu(q_0q_1)$、$c_{12}=\mathbb E_\mu(q_1q_2)$。两个乘积均取自同一初始状态的实际路径。这里没有断言 $c_{01}=m_0m_1$ 或 $c_{12}=m_1m_2$；它们需要相应联合关系才能计算，分别取得的边缘数据不供应该关系。

**命题 52.6（六函数基与无条件推前）。** $\psi$ 的六个分量线性无关，张成六类上的全部函数，且
$$
\psi(Fs)=\psi(s)R,\qquad z_{F_*\mu}=z_\mu R,
\tag{52.11}
$$
其中行坐标更新矩阵为
$$
R=\begin{pmatrix}
1&0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0&0\\
0&1&0&1&0&0\\
0&0&1&0&0&0\\
0&0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&1&1
\end{pmatrix}.
\tag{52.12}
$$
因此
$$
(m_0,m_1,m_2,c_{01},c_{12})
\longmapsto(m_1,m_2,m_1,c_{12},c_{12}).
\tag{52.13}
$$

**证明。** 将一个为零的六函数线性组合依次代入表中 $A,B,C,D,E,G$，分别消去 $1,q_0,q_1,q_2,q_1q_2,q_0q_1$ 的系数，故六函数独立。它们均为类上常值函数，因此构成该六维函数空间的基。前四个分量的更新已由式（52.6）给出，另有
$$
(q_0q_1)\circ F=q_1q_2,\qquad
(q_1q_2)\circ F=q_2q_3=q_1q_2.
$$
这给出全部矩阵条目；对初始律取期望即得推前公式。$\square$

**定理 52.7（类概率逆映射与全部可实现坐标）。** 令 $p_A,p_B,p_C,p_D,p_E,p_G$ 为初始六类概率，则
$$
\begin{gathered}
m_0=p_B+p_D+p_G,\qquad m_1=p_C+p_E+p_G,\qquad
m_2=p_D+p_E+p_G,\\
c_{01}=p_G,\qquad c_{12}=p_E+p_G.
\end{gathered}
\tag{52.14}
$$
其逆映射为
$$
\boxed{\begin{aligned}
p_A&=1-m_0-m_1+c_{01},\\
p_B&=m_0-m_2+c_{12}-c_{01},\\
p_C&=m_1-c_{12},\\
p_D&=m_2-c_{12},\\
p_E&=c_{12}-c_{01},\\
p_G&=c_{01}.
\end{aligned}}
\tag{52.15}
$$
实际归一化预测域 $\mathcal P=\{z_\mu:\mu\in\Delta_S\}$ 恰为首坐标等于一且满足下列六式的坐标集合：
$$
\boxed{\begin{gathered}
1-m_0-m_1+c_{01}\ge0,\qquad
m_0-m_2+c_{12}-c_{01}\ge0,\\
m_1-c_{12}\ge0,\qquad m_2-c_{12}\ge0,\\
c_{12}-c_{01}\ge0,\qquad c_{01}\ge0.
\end{gathered}}
\tag{52.16}
$$
该域与六类概率单纯形 $\Delta_5$ 仿射同构，仿射维数为五。

**证明。** 六类特征表直接给式（52.14）。先从 $c_{01},c_{12}$ 恢复 $p_G,p_E$，再从 $m_1,m_2,m_0$ 恢复 $p_C,p_D,p_B$，最后用总质量一恢复 $p_A$，即得式（52.15）。六个表达式之和恒等于一，所以实际类概率给出六式的必要性。

反之，任取满足式（52.16）的实坐标，以式（52.15）的六个非负数为权重，在表中六个实际代表上赋概率。其总质量为一，代入式（52.14）恰好返回原坐标。这证明充分性及仿射同构。各矩属于 $[0,1]$ 的限制已由这个真实实现推出，无须另行加入。$\square$

无条件更新保持此实际域。逐类更新为
$$
A\to A,\quad B\to A,\quad C\to D,\quad D\to C,
\quad E\to G,\quad G\to G,
$$
所以六类质量行向量更新为
$$
(p_A,p_B,p_C,p_D,p_E,p_G)
\longmapsto(p_A+p_B,0,p_D,p_C,0,p_E+p_G).
\tag{52.17}
$$
这些箭头由删除表中每条路径的首位得到：常零与常一保持，首次翻转两类分别进入常零与常一，两交替类互换。故右侧每项非负且总和仍为一。将新类质量代入式（52.14），三个新均值依次为 $p_C+p_E+p_G=m_1$、$p_D+p_E+p_G=m_2$、$p_C+p_E+p_G=m_1$；两个新联合矩都为 $p_E+p_G=c_{12}$，即得式（52.13）。所以更新保持实际域。任意不满足式（52.16）的实坐标不能仅凭形式更新矩阵被解释为概率态。

若允许未归一化非负初始质量，将首坐标写作 $w$，则实际正锥由把式（52.15）中唯一出现的常数 $1$ 替换为 $w$ 后的六个表达式非负刻画；它们之和为 $w$。必要性来自真实非负类质量；反向以这些非负表达式在六个实际代表上赋质量，式（52.14）及总质量坐标返回原向量，故充分。特别地 $w=0$ 时六个非负类质量之和为零，各项均为零，整个预测向量也为零。这是定理15.3的实际正锥在本例中的明确形式。

### 52.4 完整记录词与条件分支

**定理 52.8（完整路径充分性及第15节接口）。** 对任意 $S$ 上初始律 $\mu,\nu$，
$$
z_\mu=z_\nu
\iff\beta_*\mu=\beta_*\nu.
\tag{52.18}
$$
取唯一动作的联合仪器
$$
K_y(s,s')=\mathbf1_{\{q(s)=y\}}\mathbf1_{\{s'=F(s)\}},
\qquad y\in\{0,1\},
\tag{52.19}
$$
则全部有限记录词函数张成 $\operatorname{span}\{1,q_0,q_1,q_2,q_0q_1,q_1q_2\}$，维数为六。

**证明。** 每个类对应唯一完整路径，因而任意路径事件的概率都是包含于该事件的相应类质量之和。式（52.15）给出充分性。反向，六个可能的三输出柱事件正是六个类事件，故完整路径律决定六类概率，再由式（52.14）决定六矩。

仪器每步先报告当前位、再执行 $F$；其前三个输出恰为 $q_0,q_1,q_2$。任意记录词的发生与否在行为类上常值，而六个三输出词的指标已是全部六类指标，因此词函数空间恰为六类函数空间。命题52.6给出的六函数是该空间的一组基。取第15节的列基矩阵 $B$，令其第 $s$ 行为 $\psi(s)$，便有 $z_\mu=\mu B$，得到精确的六维实例。$\square$

此六维预测商恢复全部固定任务路径概率，但不能区分 $A$ 内的两个实际状态或 $G$ 内的两个实际状态，更不能恢复任意八态初始分布。对于有旧档案的应用，本节也没有删去第15节保留完整档案与控制器访问情境的要求。

**命题 52.9（报告后推进的条件更新）。** 令 $p=(p_A,p_B,p_C,p_D,p_E,p_G)$ 为总质量为一的当前六类概率向量。执行式（52.19）后，输出 $0,1$ 的未归一化后继类质量分别为
$$
p^{(0)}=(p_A,0,0,p_C,0,p_E),\qquad
p^{(1)}=(p_B,0,p_D,0,0,p_G).
\tag{52.20}
$$
其质量分别是 $\ell_0=1-m_0$、$\ell_1=m_0$。对应未归一化预测行坐标为
$$
\begin{aligned}
u_0={}&(1-m_0,\ m_1-c_{01},\ c_{12}-c_{01},\ m_1-c_{01},\ c_{12}-c_{01},\ c_{12}-c_{01}),\\
u_1={}&(m_0,\ c_{01},\ m_2-c_{12}+c_{01},\ c_{01},\ c_{01},\ c_{01}).
\end{aligned}
\tag{52.21}
$$
当 $\ell_y>0$ 时后验预测坐标为 $u_y/\ell_y\in\mathcal P$；当 $\ell_y=0$ 时 $u_y=0$，没有由条件化确定的后验。

**证明。** 当前输出为零的类是 $A,C,E$，分别更新到 $A,D,G$；当前输出为一的类是 $B,D,G$，分别更新到 $A,C,G$，给式（52.20）。零分支的三个后继均值质量为 $p_C+p_E,p_E,p_C+p_E$，两个乘积质量都为 $p_E$；用 $p_C+p_E=m_1-c_{01}$ 和 $p_E=c_{12}-c_{01}$，并加上总质量 $p_A+p_C+p_E=1-m_0$，得到 $u_0$。一分支的三个后继均值质量为 $p_G,p_D+p_G,p_G$，两个乘积质量均为 $p_G$；用 $p_G=c_{01}$ 和 $p_D+p_G=m_2-c_{12}+c_{01}$，再加总质量 $p_B+p_D+p_G=m_0$，得到 $u_1$。正质量时归一化为真实后继概率律，故坐标位于 $\mathcal P$。零质量时非负类质量全部为零，故预测坐标也全部为零；条件化没有在此确定后验。$\square$

两分支逐坐标相加为 $(1,m_1,m_2,m_1,c_{12},c_{12})=z_\mu R$，但无条件矩阵 $R$ 本身不是观察某个输出后的归一化后验更新。这保留了定理15.3的分支权重和支撑条件。若协议读取初始位、执行一次 $F$ 后再读、再执行一次 $F$ 后第三次读，终态是 $F^2s$；连续执行三次式（52.19）则在每次报告之后都推进，终态为 $F^3s$。两协议的三元组分布相同，不等于它们的最终工作态相同。

**命题 52.9a（两状态仪器的线性过滤与非仿射条件化）。** 另取与书签模型不同的两状态空间 $\{1,2\}$，令输出仪器及初态为
$$
K_0=\operatorname{diag}(1,1/2),\qquad
K_1=\operatorname{diag}(0,1/2),\qquad
K_0+K_1=I,\qquad p=(t,1-t),\quad0\le t\le1.
$$
每次按此联合仪器报告并更新。报告零后，第一状态的后验质量为 $2t/(1+t)$，不是初态参数 $t$ 的仿射函数。对每个整数 $m\ge0$，连续报告 $m$ 个零的未归一化后继、词概率与后验分别为
$$
\begin{gathered}
pK_0^m=(t,2^{-m}(1-t)),\qquad
\ell_m=t+2^{-m}(1-t),\\
p_m=\left(\frac{t}{t+2^{-m}(1-t)},
\frac{2^{-m}(1-t)}{t+2^{-m}(1-t)}\right).
\end{gathered}
$$
每个有限 $m$ 的 $\ell_m$ 严格为正。$t>0$ 时 $p_m\to(1,0)$；$t=0$ 时所有 $p_m=(0,1)$ 而 $\ell_m\to0$。无限全零事件的概率为 $t$。

证明。矩阵非负且输出和为 $I$，所以它们是定理15.3范围内的合法联合仪器；其对角性表明隐藏状态保持。一次零分支的未归一化质量为 $(t,(1-t)/2)$，总质量 $(1+t)/2$，归一化得所述 $2t/(1+t)$。该函数在 $t=0,1$ 分别为零、一；若为仿射，必为 $t$，但在 $t=1/2$ 的值为 $2/3\ne1/2$，矛盾。

空词给 $K_0^0=I$；每多一个零便把第二个对角系数乘 $1/2$、第一个保持一，归纳得 $K_0^m=\operatorname{diag}(1,2^{-m})$，所以三条有限公式成立。若 $t>0$，分母趋于 $t$ 且第二分子趋零，故后验趋于 $(1,0)$；若 $t=0$，有限分母为 $2^{-m}>0$，后验始终为 $(0,1)$，而分母趋零。令 $E_m$ 为前 $m$ 个报告全为零的柱事件，则 $E_{m+1}\subseteq E_m$，且 $\Pr(E_m)=\ell_m$。概率的从上连续性给
$$
\Pr\!\left(\bigcap_{m\ge0}E_m\right)
=\lim_{m\to\infty}\ell_m=t.
$$
当 $t>0$ 时该无限事件有正概率，第二状态与它的联合概率为 $\lim_m2^{-m}(1-t)=0$，所以在该事件上条件化亦给第一点质量。$t=0$ 时无限事件概率零，有限后验的极限不定义在该零概率事件上的后验。最后，忽略报告后的状态更新为 $p(K_0+K_1)=p$；重复后仍为 $p$。因而选择零报告所得到的后验集中不等于无条件准备第一状态。$\square$

本例的未归一化线性更新、实际正锥及正质量归一化属于定理15.3的合同；它与式（52.19）的书签仪器不同。存在有限线性过滤表示不使归一化条件化成为仿射，也不提供免费取得坐标、重复制备或最优控制的执行权限。

### 52.5 公平纤维及两个新增标量的最小性

**命题 52.10（旧期望纤维的完整三角形）。** 三种公平律的新矩分别为
$$
\begin{array}{c|cc}
&c_{01}&c_{12}\\\hline
\mu_{\rm const}&1/2&1/2\\
\mu_{\rm once}&0&1/2\\
\mu_{\rm alt}&0&0
\end{array}.
\tag{52.22}
$$
在六类概率商上，固定 $m_0=m_1=m_2=1/2$ 的全部实际纤维恰为
$$
0\le c_{01}\le c_{12}\le\tfrac12.
\tag{52.23}
$$
其中任一类概率律均唯一写作
$$
2c_{01}\mu_{\rm const}
+2(c_{12}-c_{01})\mu_{\rm once}
+(1-2c_{12})\mu_{\rm alt}
\tag{52.24}
$$
的行为商像。

**证明。** 常值两类的两个乘积均只在 $G$ 为一，给 $(1/2,1/2)$；首次翻转两类的首乘积恒零、第二乘积只在 $E$ 为一，给 $(0,1/2)$；交替两类的相邻乘积均零，给 $(0,0)$，即式（52.22）。在式（52.15）中代入三个公平均值，得到
$$
p_A=p_G=c_{01},\quad
p_B=p_E=c_{12}-c_{01},\quad
p_C=p_D=\tfrac12-c_{12}.
\tag{52.25}
$$
六类非负性等价于式（52.23），并给式（52.24）的三个非负、总和为一的权重。三种律分别仅支持于互不相交的 $A/G$、$B/E$、$C/D$ 对，每对上的总质量强迫相应混合权重，故分解在行为商上唯一。$\square$

这里陈述的是行为商上的纤维；原始八态律仍可在 $A,G$ 内部分配质量。具体地，对给定 $p_A,p_G$，可分别任取 $\alpha\in[0,p_A]$、$\gamma\in[0,p_G]$，在 $(0,0,0),(0,0,1)$ 上赋质量 $\alpha,p_A-\alpha$，在 $(1,1,1),(1,0,1)$ 上赋质量 $\gamma,p_G-\gamma$；其余四态的质量由四个单点类固定。两项分配自由彼此独立，零类质量时相应区间退化为单点，所有这些先验有相同固定路径律。因此原八态先验的整个纤维不是这个三角形。三角形给出了旧期望在行为商上丢失的两个独立联合方向，无须将不同来源的边缘人为拼成联合律。

**定理 52.11（全部初始混合律下恰需两个新增仿射标量）。** 保留旧期望 $\mathbb E\phi$，允许追加初始概率律的线性期望标量或仿射标量，并要求对全部 $\mu\in\Delta_S$ 恢复完整固定任务路径律。即使坐标之后允许任意非线性解码，也至少需要追加两个标量；$c_{01},c_{12}$ 达到该下界。

**证明。** 将初始律限制在表中六个实际代表上，其全部混合构成五维单纯形。四个旧特征线性独立且含常数，所以旧期望映射的仿射秩为三。追加 $r$ 个仿射标量后，仿射秩至多为 $3+r$。

若 $r<2$，在总质量为零的五维差空间上，必存在非零方向 $v$ 被全部旧、新坐标消去。取六类均有正质量的内点 $p$，选充分小的 $\delta>0$，使 $p+\delta v$ 与 $p-\delta v$ 仍为概率。两者的全部保存坐标相同而六类概率不同，故由三输出柱事件可区分其路径律。任何后置解码器都不能从相同输入输出这两个不同路径律，得到下界。式（52.15）证明两个联合矩已足够。$\square$

等价地，仅在公平纤维的整个二维三角形上，一个仿射标量就不能单射。这个下界的量词是所有混合律；只要区分三个指定顶点，一个标量 $c_{01}+2c_{12}$ 已经足够，因为它在 $\mu_{\rm const},\mu_{\rm once},\mu_{\rm alt}$ 上分别为 $3/2,1,0$，两两不同。定理也没有约束任意非线性集合编码的实坐标数或位复杂度。

由定理15.4，若从头选择完整路径概率的齐次线性表示，其最小维数是六；归一化后的仿射维数是五。在本例可直接看出前一下界：若一个齐次线性映射 $L$ 在所有非负初始质量上决定全部词概率，将载体限制到六个表中代表。若非零 $v\in\ker L$，写 $v=v^+-v^-$，则 $L(v^+)=L(v^-)$，但某个类坐标不同，相应三输出词质量不同，矛盾。因此该限制单射，其像维数至少六；六矩映射达到此值。归一化限制固定总质量，式（52.15）给五维单纯形的仿射同构。定理52.11进一步指定保留原四个期望，给出需要补入的标量数。两项线性下界都不否定命题52.3的确定性四特征充分性。

### 52.6 联合矩的实际取得与统计边界

在实际许可读取 $q$、读取不引入 $F$ 之外的额外状态改变、并许可执行 $F$ 的合同下，先读 $q_0$，执行一次后读 $q_1$，再执行一次后读 $q_2$。同一条轨迹的三读数逐点给出 $q_0q_1,q_1q_2$，而实际状态已推进到 $F^2s$。式（52.6）连续使用两次还给出当前工作态的逐点特征
$$
\phi(F^2s)=\phi(s)R_4^2=(1,q_2(s),q_1(s),q_2(s)).
$$
这是因为 $q_3=q_1$、$q_4=q_2$；再取这些当前位的实际乘积，也得到 $\psi(F^2s)$。所以保留三读数后可以计算已推进状态的特征，而不能将它称为未改变原状态的即时读取。一个三元组给出一个样本，不给未知初始混合律的精确期望。重复制备、复位、相同制备律和访问权限均须另行提供；两项联合矩必须来自同一次实际路径，分别取得的边缘不能补成这个样本。

**命题 52.12（独立重复制备下的估计）。** 若实际取得相同初始律 $\mu$ 下的独立同分布轨迹，并对第 $r$ 次记录三元组 $(Q_0^{(r)},Q_1^{(r)},Q_2^{(r)})$，则对每个整数 $N\ge1$，
$$
\widehat c_{01,N}=\frac1N\sum_{r=1}^NQ_0^{(r)}Q_1^{(r)},\qquad
\widehat c_{12,N}=\frac1N\sum_{r=1}^NQ_1^{(r)}Q_2^{(r)}
\tag{52.26}
$$
分别为 $c_{01},c_{12}$ 的无偏估计，并在 $N\to\infty$ 时几乎处处收敛到对应联合矩。同一批完整三元组所得全部经验矩经式（52.15）恢复的六类概率恰为经验类频率，自动满足式（52.16）。

**证明。** 对固定的一种乘积，令 $X_r=Q_0^{(r)}Q_1^{(r)}$ 或 $X_r=Q_1^{(r)}Q_2^{(r)}$。它是相应联合事件的指标，满足 $0\le X_r\le1$，其期望分别为 $c_{01}$ 或 $c_{12}$。因此 $\mathbb E(N^{-1}\sum_{r=1}^NX_r)=\mathbb EX_1$，给无偏性。不同轨迹独立同分布使各 $X_r$ 独立同分布，且有界性给可积性；独立同分布强大数定律于是给各样本平均几乎处处收敛于所述期望。两个概率一事件的交仍有概率一，故两种估计同时收敛。同一轨迹内部无需独立。

同一批三元组还给三个经验均值及总质量一。每个三元组恰落入表中的一个行为类，其六个类指标之和为一；各指标的样本平均就是经验类频率。对每个样本应用式（52.14）并求平均，再用式（52.15）的逆，所得恰为这些频率，因此全部非负并满足式（52.16）。这使用的是同一批共同实现的三元组；若各坐标来自不同批次，便没有这一经验类质量等式。$\square$

仅对旧四个期望作后处理不能取得这两个联合矩，因为命题52.4给出相同输入而不同目标值。用一条不复位的长轨迹估计时，若输出过程平稳遍历，令 $T$ 为路径移位，$f(\omega)=q_0(\omega)q_1(\omega)$。平稳性使路径律在 $T$ 下不变，$f$ 有界可积，遍历性使 Birkhoff 定理的极限为常数 $\mathbb Ef$，故
$$
\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}q_nq_{n+1}
\longrightarrow \mathbb E(q_0q_1)
\quad\text{几乎处处}.
$$
平稳性还给 $\mathbb E(q_0q_1)=\mathbb E(q_1q_2)$，即 $c_{01}=c_{12}$。从 $n=1$ 开始的同长平均与所列平均只相差两个边界项除以 $N$，绝对差至多 $1/N$，因而有同一极限。这个合同不提供非平稳初始律两个不同初始联合矩的恢复。

平稳性单独不足：$\mu_{\rm const}$ 下单条路径永远全零或全一，其相邻乘积的长期平均为零或一，集合期望却是 $c_{01}=c_{12}=1/2$。$\mu_{\rm once}$ 非平稳，初始 $c_{01}=0,c_{12}=1/2$；长期频率还会失去首次翻转的位置和信息。读取噪声或制备漂移若存在，也必须进入实际联合模型，不能继续沿用未校正的无偏性结论。

### 52.7 来源与适用范围

有限词空间、实际预测锥、支撑内条件更新及齐次线性最小性的通用结果归第15节。该节所引 Michael L. Littman、Richard S. Sutton、Satinder Singh，[*Predictive Representations of State*](https://proceedings.neurips.cc/paper_files/paper/2001/file/1e4d36177d71bbb3558e43af9577d70e-Paper.pdf)，NeurIPS 14（2001），给出相应预测表示背景。估计部分使用独立同分布强大数定律及平稳遍历情形的 Birkhoff 定理；其作用只限于明确的统计合同。

本例的拉回函数代数与行为商关系也处于 [ObservableAlgebraClosureDuality](../../../D5/S3/QuantumStates/ObservableAlgebraClosureDuality.lean) 的 `koopman_closure_eq_stable_fiber_algebra` 及 [LeastInvariantObservableAlgebra](../../../D5/S3/Quantum/Dynamics/LeastInvariantObservableAlgebra.lean) 的 `least_invariant_observable_algebra` 所述单个总更新范围内；后者所需有限非空载体与满射读数在这里满足。它们的代数闭包结论不把四维线性空间变成六维，也不自动扩充实际动作、访问权限或统计制备条件。

具体地，前一声明取八点载体 $S$、总更新 $F$ 及等价关系 $q(s)=q(t)$；这是读数映射的核，反身、对称及传递性均由相等给出。后一声明取相同非空有限载体及更新，读数值域为 $\{0,1\}$，而 $(0,0,0)$、$(1,0,0)$ 分别给两值，故读数满射。两条声明的对象为复幺星函数代数；本章实维数四与六、归一化仿射维数三与五由上面的实函数线性独立性、类指标和逆映射证明承担，不以复数域的引用替换实数域证明。

本节六路径实例不由单时刻公平推出独立性、指定 Parry 路径律或任何量子态结论。固定选择器、全部强制动作、逐点特征、初始律期望、完整记录和实际取得分别具有上文声明的任务范围；在同一个实际联合模型内，式（52.15）、（52.16）及（52.20）共同给出完整预测与合法条件化。

## 52.99 追加锚

## 53. 有限来源临界尾的直接递推估计

**定理 53.1（有限支撑给严格较大的共同几何半径）。** 令 $\mathbb K$ 为赋范环，$A>0$、$0<\rho<1$，且 $A\rho=(1-\rho)^2$。固定 $M\in\mathbb N$，取边界 $b:\mathbb N\to\mathbb K$ 满足 $\|b_i\|\le A$，并且 $b_i=0$ 对所有 $i>M$ 成立。以同一列递推
$$
E(b)_{n,0}=b_n,\qquad
E(b)_{n,k+1}=E(b)_{n+1,k}-\sum_{j=0}^{k}E(b)_{n,j}b_{k-j}
\tag{53.1}
$$
定义全部输出。存在 $R\in(\rho,1)$ 使
$$
\|E(b)_{n,k}\|R^k\le A\qquad(n,k\in\mathbb N),
\tag{53.2}
$$
并且对每个 $L\in\mathbb N$ 有
$$
\sup_{n+k\ge L}\rho^{n+k}\|E(b)_{n,k}\|
\le A\left(\frac\rho R\right)^L\longrightarrow0.
\tag{53.3}
$$
特别地，在 $\mathbb K=\mathbb R$ 或 $\mathbb C$ 时，$E(b)\in B_\rho^0$。该半径可仅由 $A,\rho,M$ 选定；没有对所有支撑长度共同成立的严格半径要求。

证明。置
$$
g_M(x)=x+A\sum_{i=0}^{M}x^{i+1}.
$$
有限几何和及临界等式给出
$$
g_M(\rho)
=\rho+(1-\rho)(1-\rho^{M+1})
=1-(1-\rho)\rho^{M+1}<1.
\tag{53.4}
$$
多项式连续性与 $\rho<1$ 给一个 $\rho<R<1$，满足 $g_M(R)<1$。因 $b$ 在 $M$ 后为零，对任意 $k$ 有
$$
\sum_{i=0}^{k}\|b_i\|R^{i+1}
\le A\sum_{i=0}^{M}R^{i+1}.
\tag{53.5}
$$
对列指标作强归纳，同时保留所有行。第零列的估计是 $\|b_n\|\le A$。若此前各列满足（53.2），则三角不等式、范数的次乘性及 $j+(k-j+1)=k+1$ 给
$$
\begin{aligned}
\|E(b)_{n,k+1}\|R^{k+1}
&\le AR+A\sum_{j=0}^{k}\|b_{k-j}\|R^{k-j+1}\\
&\le A\left(R+A\sum_{i=0}^{M}R^{i+1}\right)
\le A.
\end{aligned}
\tag{53.6}
$$
这完成了实际递推输出的无界列归纳。令 $q=\rho/R$，则 $0<q<1$ 且 $\rho\le q$，从而
$$
\rho^{n+k}\|E(b)_{n,k}\|
\le A\rho^nq^k\le Aq^{n+k}\le Aq^L
\qquad(n+k\ge L).
\tag{53.7}
$$
每个尾集合非空，且各值非负并被 $Aq^L$ 所界，故可取上确界；再由几何序列趋零得到（53.3）。$L=0$ 同时给加权数组有界性。$\square$

此定理为第51.5节有限来源消失尾结论给出直接证明，仍截断来源而不截断输出；推导不需要把形式行级数识别为解析 Taylor germ。式（51.20）的有理行恒等式与像集的范数闭性是不同的命题，不由上述递推估计单独推出。

## 53.99 追加锚


## 54. 后验、联合矩与时钟记录的共同边界

**本批导航。** 第52节显示单时刻均值不能恢复同一轨迹上的联合矩。本节把这一事实推广到内部观察者：后验、联合读数、动作选择和时钟记录必须由同一实际来源联合产生；边缘相同不能替代联合实现。

### 54.1 联合记录对象

令 $X$ 是目标来源，$Z$ 是参考、控制器或隐藏环境，$C$ 是已有档案，$A$ 是由档案确定的动作，$Y$ 是本次读数，$\Delta$ 是本次时钟或费用标签。完整的单步边界权重应写成

$$
b_c(x,z)=\Pr(X=x,Z=z\mid C=c),
$$

以及联合核

$$
K_a(y,\Delta,z'\mid x,z).
\tag{54.1}
$$

未归一化更新为

$$
\widetilde b_{cay}(x,z')
=
\sum_{z,\Delta}
 b_c(x,z)K_a(y,\Delta,z'\mid x,z),
\tag{54.2}
$$

若观察者还要保存费用或记录，就不能把 $\Delta$ 从联合核中删掉后再假定它可由边缘恢复。正概率分支按总质量归一化；零质量分支没有由该事件确定的后验。

### 54.2 边缘矩不足以恢复联合策略

存在两个历史族，它们具有相同的 $\Pr(Y=y)$、相同的 $\mathbb E\Delta$ 和相同的当前目标后验，但具有不同的 $\Pr(Y,\Delta)$ 或不同的 $\Pr(A_{t+1}\mid Y,\Delta)$. 任何只保存三个边缘量的摘要都会把这两族合并；下一步依赖联合记录的策略可能因此选择不同动作。

Context 第52.4节的 `\mu_{\rm const},\mu_{\rm once},\mu_{\rm alt}` 是有限明确见证：三者所有单时刻均值相同，但相邻联合矩不同。把 $Δ$ 取作相邻变更指示或路径费用后，同样说明边缘时钟均值不能恢复联合协议律。

精确边界应保存一个对声明任务充分的联合 profile，例如

$$
\Psi(c)=\bigl(
 b_c,
 \{K_a\}_{a\in A(c)},
 \operatorname{Record}(a,y,\Delta),
 \operatorname{Update}(c,a,y,\Delta)
\bigr),
\tag{54.3}
$$

或一个与它在实际像上等价的摘要。`CanonicalPredictiveStateSufficiency.canonical_predictive_state_is_sufficient`、`ConditionalProbabilityProfileMinimality.conditional_probability_profile_is_minimal` 和 `CompletionInformationCost.completion_information_cost` 分别承担条件未来律、最小 profile 和条件熵成本的有限接口；后者只约束正质量支持，不供应零质量名义状态的全域因式分解。

### 54.3 时钟记录的自然性

若跨接口态射在状态端为 $f$、协议端反变回拉为 $g$，评价保持写作

$$
E_2(fx,p)=E_1(x,gp).
\tag{54.4}
$$

若时钟标签和联合记录也要保持，须追加

$$
\Delta_2(fx,p)=\Delta_1(x,gp),
\qquad
\operatorname{Record}_2(fx,p)=\operatorname{Record}_1(x,gp),
\tag{54.5}
$$

其中 $f:X_1\to X_2$、$g:P_2\to P_1$、$x\in X_1$、$p\in P_2$，等式在各自声明的实际像和合法域上成立。`ObserverMorphismComposition.observer_morphism_composition` 只供应评价保持的双侧复合；(54.5) 是把它升级为观察者档案态射的额外合同。

### 54.4 共同来源与统计取得

如果 $Y$ 和 $\Delta$ 来自不同制备批次，边缘分布即使相同，也不能把它们相乘成 (54.1) 的联合核。要估计联合矩，需要同一来源上的联合样本、明确的独立重复或另有已证耦合；`SharedSourceObservationDependence` 系列的有限反例正是禁止把共同来源读数当成独立样本。

在指定联合模型和可积性条件下，经验联合频率可逐步收敛；这只是统计取得，不等于观察者已拥有精确的理论 profile。若目标是证明全部未来策略都可执行，还需同时检查合法域、参考和权限在摘要纤维上恒定。

### 54.5 结论范围

本节把“后验、时钟、动作、记忆”收束为同一共同来源上的联合边界，但没有给任意连续状态或未知概率核的统一充分统计定理。边缘信息相同而联合未来不同的成对实例足以否定粗表示的动态充分性；若要声称充分，仍需对全部声明的后续实验证明纤维恒定。Claim status: open；没有新增 Lean 声明。

## 54.99 追加锚

## 55. 单轨道固定高位的精确取得与有限控制

本节在第24.1、24.7—24.10节的同源加一合同上，比较固定采样与按答案选取后续采样的最坏读取数，并给出每个等待前缀都在有限控制器内的执行。有限算术部分只要求整数基 $p\ge2$；素数条件留到 p 进整数的回接。

### 55.1 固定端口、合法词与分别计费

**定义 55.1（有限来源与驻定控制）。** 固定整数 $p\ge2$、$k\ge0$，置 $P=p^k$、$M=pP$、$X=\mathbb Z/M\mathbb Z$。对任意整数或剩余类 $z$，$[z]_M$ 是其在 $\{0,\ldots,M-1\}$ 内的代表。未知初态为 $x\in X$，物理当前态为 $s$，开始时 $s=x$。唯一改变来源的动作与唯一读取端口为
$$
W:s\longmapsto s+1,\qquad
R:s\longmapsto s\quad\text{并返回}\quad
 d(s)=\left\lfloor\frac{[s]_M}{P}\right\rfloor\in\{0,\ldots,p-1\}.
\tag{55.1}
$$
$W$ 不返回任何来源信息。控制器对所有 $x$ 都从同一个 $\mathrm{Start}$ 开始；它是确定、驻定的，动作 $W/R/\mathrm{halt}$ 只由所存控制态决定，$W$ 后继只由该态决定，$R$ 后继只由该态及本次实际数字决定。停止输出也是该态的固定函数，不是来源动作。没有额外的来源时钟、读口、复位、复制、逆步或依赖 $x$ 的初始化；全部阶段、计数器及等待中的中间态都计入控制载体。

每次 $W$ 计一个来源步，每次 $R$ 计一次读取，两项分开。所比较的规范化终止执行词为
$$
W^{\ell_0}R\,W^{\ell_1}R\cdots W^{\ell_j}R,
\qquad j\ge0,\quad \ell_0\ge0,\quad \ell_i\ge1\ (1\le i\le j),
\tag{55.2}
$$
最后一个 $R$ 后立即停止；等价的正则式是 $W^*R(WW^*R)^*$。指数表示实际逐次执行的 $W$，不表示直接访问未来态。下界容许任何满足此合同、对每个初态都在有限动作后停止并正确输出初始 $x$ 的协议，包括各分支读取数不同的协议。$X$ 有限，逐点有限终止使最坏读取数为有限整数。无读取的执行完全不依赖 $x$，不能识别 $M\ge2$ 个初态。最后一次读取之后的纯等待没有新增来源信息；这里把它规范化去掉，不对加回这些尾部等待作费用承诺。

这一接口可编码为已知的总 Mealy 自动机：输入字母为 $W,R$，输出字母为一个常量符号 $\bot$ 与 $p$ 个数字，令
$$
\delta(s,W)=s+1,\quad\lambda(s,W)=\bot,\qquad
\delta(s,R)=s,\quad\lambda(s,R)=d(s).
\tag{55.3}
$$
Pavel Panteleev 的 [*Preset Distinguishing Sequences and Diameter of Transformation Semigroups*, arXiv:1412.0034v1，第1—2页](https://arxiv.org/pdf/1412.0034v1) 以总转移、总输出函数定义有限确定 Mealy 自动机，并以输入词产生的不同输出识别初态。式（55.3）给本接口到该定义的具体对应；合法词（55.2）和分别计数 $W,R$ 是额外限制，全文字长度的结论不能直接作为读取数结论。

Petra van den Bos、Frits Vaandrager 的 [*State Identification for Labeled Transition Systems with Inputs and Outputs*, arXiv:1907.11034v2，第10—12页，定义12、13、14、17、20](https://arxiv.org/pdf/1907.11034v2) 用无环测试自动机、到叶观察及互不相交的观察集表达自适应识别。对本确定接口，可把一次输入和其确定输出展开为两个相继的边；$W$ 的输出边恒为 $\bot$，$R$ 才分数字支。有限终止协议按历史展开后得到这样的测试树，是其允许的 DAG 的特例。下文仍须独立证明合法等待与读取界。Markus Theo Frohme 的 [*Active Automata Learning with Adaptive Distinguishing Sequences*, arXiv:1902.01139v1，印刷第15—18页／PDF第21—24页，§2.4、§3.1.1](https://arxiv.org/pdf/1902.01139v1) 区分预定输入序列、逐符号依赖答案的序列，并把 symbol query 与 reset query 分开；这里采用前者的连续依赖语义，不取得其学习接口的 reset 权限，也不移用学习或复位复杂度。

仓内固定版本 `ffec542f612d6e8858eb4b08715aed884285a2b0` 的 [AdaptiveResidueIdentification](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/ffec542f612d6e8858eb4b08715aed884285a2b0/D5/S3/ConceptDynamics/Coding/AdaptiveResidueIdentification.lean) 中 `two_step_adaptive_residue_identification` 在四个指定状态上选择模 $2,3,5$ 的布尔传感器；它不规定本节的固定端口和加一轨道。同版本 [PrimePowerNonadaptiveResolution](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/ffec542f612d6e8858eb4b08715aed884285a2b0/D5/S3/Observer/Budget/PrimePowerNonadaptiveResolution.lean) 的 `result` 使用 $x+n=0$ 时取 $e$、否则取 $\min\{e,v_p(x+n)\}$ 的截断赋值。两种已证模型均不能替换（55.1）的高位读数。

### 55.2 任意固定偏移的完整判据

**定理 55.2（固定联合读数恰由模 $P$ 覆盖控制）。** 对任意有限整数列表 $a_1,\ldots,a_N$，包括重复项及 $N=0$，映射
$$
x\longmapsto\bigl(d(x+a_1),\ldots,d(x+a_N)\bigr)
\tag{55.4}
$$
单射，当且仅当 $\{a_i\bmod P:1\le i\le N\}=\mathbb Z/P\mathbb Z$。因此固定偏移的最少读取数为 $P$；合法连续时刻 $0,1,\ldots,P-1$ 用 $P$ 次读取、$P-1$ 个来源步达到它。即使允许依答案在一条固定采样日程上提早停止，最坏读取数仍至少为 $P$。

证明。加一使高位改变恰当被加数模 $P$ 等于 $P-1$，包括 $p-1$ 回绕为零的情形；$p\ge2$ 保证改变前后的数字不同。若缺少类 $t\in\{0,\ldots,P-1\}$，取相异初态
$$
x=P-1-t,\qquad x'=x+1.
$$
对每个已列偏移，$x+a_i\not\equiv P-1\pmod P$，所以 $d(x+a_i)=d(x'+a_i)$，（55.4）不单射。这也处理空列表；当 $P=1$ 时缺少唯一类恰指列表为空，所取两点为零和一。

反向，覆盖意味着列表非空。固定首项答案 $b$，其纤维可写成循环中连续的 $P$ 点
$$
x=c+r\pmod M,\qquad c=bP-a_1,\quad 0\le r<P.
\tag{55.5}
$$
对任意偏移 $a$，唯一写 $[c+a]_M=\beta P+t$，其中 $0\le\beta<p$、$0\le t<P$，则
$$
d(c+r+a)=\bigl(\beta+\mathbf1_{r+t\ge P}\bigr)\bmod p.
\tag{55.6}
$$
若 $r<r'$，覆盖给一个 $a_i$ 满足 $c+a_i\equiv P-r'\pmod P$。此时 $t=P-r'$，局部唯一阈值在 $r'$，故 $r$ 的指标为零、$r'$ 的指标为一，读数不同。不同首读纤维已由首项区分，于是联合读数单射。$P=1$ 时每个首读纤维本已是单点，同一论证无需再取两点。

覆盖 $P$ 个类至少需要 $P$ 项，连续时刻恰好各取一次；第24.8节已经给出其恢复规则。若固定日程容许按答案停止，令 $N$ 为全部初态上的最大实际读取数。假设 $N<P$，该日程前 $N$ 项的联合读数不单射，取上述相同全部答案的两初态。确定性逐项迫使它们有相同停止选择及输出；二者均至迟在第 $N$ 项停止，因而不能正确识别两者。这里比较完整最大前缀只用于不可区分性证明，并未让已经停止的执行免费读取余项。$\square$

（55.4）是联合观察的代数判据，整数列表本身不承诺合法时序。实际执行所列偏移须选非负、严格递增的累计整数步数；有限商上可给各偏移加适当的 $M$ 倍数作顺序提升，但每个新增单位步都要执行、保存并计费，此说明不给提升后的步数最优性。固定版本 [PassiveAdaptiveTranscriptUpperBound](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/ffec542f612d6e8858eb4b08715aed884285a2b0/D5/S3/ConceptDynamics/Experiment/PassiveAdaptiveTranscriptUpperBound.lean) 的 `passive_adaptive_transcript_upper_bound` 说明被动协议记录通过完整 `jointReadout` 因子化；其每次查询向同一隐藏参数求值的表示语义，不供应这些偏移的实际顺序执行。

### 55.3 首读之后为何只有二元分支

**引理 55.3（任意历史上的条件二元桥）。** 任一定义55.1的正确协议，其首次实际 $R$ 的累计偏移 $a_0$ 与初态无关。该读取有 $p$ 个纤维，每个恰有 $P$ 点。在任一首读纤维内，任一后续历史所选的下一次读取，对该历史剩余的候选至多产生两个数字。

证明。首读以前没有来源信息，确定性使全部动作及等待数相同；若永不读取或在读取前停止，就不能识别所有初态。首读答案 $b$ 的纤维是（55.5），其中改取 $c=bP-a_0$。固定一个可达答案历史后，控制器状态和下一次读取的累计偏移 $a$ 都已确定。在这个固定首读纤维的全部 $r\in\{0,\ldots,P-1\}$ 上，（55.6）仍成立。因此数字只可能是 $\beta$ 和 $(\beta+1)\bmod p$；把这两者依次标成 $0,1$，在任意存活子集上也至多二分。子集无需是区间，$a$ 也无需按下文的二分策略选取。$\square$

现在才可接通一般的变深度叶计数。固定版本 [WorstCaseDepthInformationLowerBound](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/ffec542f612d6e8858eb4b08715aed884285a2b0/D5/S3/Observer/Budget/WorstCaseDepthInformationLowerBound.lean) 的 `AdaptiveProtocol` 允许任意剩余预算处成为叶，`adaptive_leaf_count_le_pow` 与 `exact_identification_card_le_pow` 分别给深度至多 $h$ 的 $B$ 元树的叶数界及精确识别的基数界。使用时固定一个首读纤维为状态集，按引理55.3在每个节点重标数字，删去无分支的等待链，并给不可能答案接叶；阈值函数可定义在整个首读纤维上，故得到真正的二元问题树。该桥是本节的普通算术论证，不是上述通用声明已有的高位端口合同。

若原协议最坏读取数为 $h$，首读之后树深至多 $h-1$，叶数至多 $2^{h-1}$。停止历史是前缀无歧义的叶：相同实际答案历史从同一 $\mathrm{Start}$ 逐步确定全部控制态、动作、等待长度、计数器及停止输出，不能因初态不同再产生额外的时间标签分支。精确识别迫使一个首读纤维的 $P$ 个初态进入不同叶，故
$$
P\le2^{h-1},\qquad
h\ge1+\lceil\log_2P\rceil.
\tag{55.7}
$$
它覆盖逐点终止、可提前停止的全部合法协议，不预设固定深度；有限初态集合保证可取上述有限 $h$。当 $P=1$ 时仍须至少一次读取以区分 $p$ 个初态。该叶计数模块中允许任意问题族的上界构造不提供本端口的达到方案。

### 55.4 模 $P$ 的正等待与完整进位基准

**定理 55.4（达到最优读取数的实际正步协议）。** 置
$$
H=\lceil\log_2P\rceil=\min\{j\in\mathbb N:P\le2^j\},\qquad B=H(P-1).
\tag{55.8}
$$
存在定义55.1内的有限控制协议，正确输出初始及停止时的当前剩余类，最坏读取数恰为 $1+H$，来源步数至多 $B$。若 $P\ge2$，相邻读取之间的每次实际等待均在 $1,\ldots,P-1$ 内；若 $P=1$，一次 $R$ 后即停，无 $W$。$B$ 是本构造的上界，不是来源步数的最小值断言。

证明。先在 $E=0$ 读取 $b=d(x)$，写 $[x]_M=bP+r$，保留候选区间 $[L,U]=[0,P-1]$，并保留完整累计步数 $E$。若 $L<U$，取
$$
m=\left\lfloor\frac{L+U+1}{2}\right\rfloor,\qquad L<m\le U.
\tag{55.9}
$$
逐个执行 $W$，直到首次以严格正步数达到 $E\bmod P=P-m$，再执行 $R$。对任意实际累计 $E=qP+t$、$0\le t<P$，有
$$
d(x+E)=\bigl(b+q+\mathbf1_{r+t\ge P}\bigr)\bmod p.
\tag{55.10}
$$
在本次目标余数 $t=P-m$ 处，令
$$
a=(b+\lfloor E/P\rfloor)\bmod p.
$$
答案为 $a$ 恰当 $r<m$，此时改 $U=m-1$；答案为 $(a+1)\bmod p$ 恰当 $r\ge m$，此时改 $L=m$。二者对 $p=2$ 也不同。每次更新后的区间恰为保留历史的全部 $r$ 候选，且包含实际 $r$。

来源等式 $s=x+E\pmod M$ 在每个动作前缀成立：$W$ 同时给来源和 $E$ 加一，$R$ 二者不变。等待中的候选区间不变，因为 $W$ 没有来源信息；读取后用（55.10）恰好切出相容的半区间。这给所有前缀的不变量，不只给采样时刻的等式。

首个 $m$ 在 $1,\ldots,P-1$ 内，所以首个目标 $P-m$ 非零。一次左分支把未来区间限制到 $[L,m-1]$，其所有后续分割点都小于 $m$；一次右分支把未来区间限制到 $[m,U]$，其所有后续非单点区间的分割点都大于 $m$。因此同一分支上的分割点永不重复。相邻查询的目标模 $P$ 余数不同，从当前余数到下一目标的最小正等待恰在 $1,\ldots,P-1$ 内。

含 $n=U-L+1$ 个整数的区间经（55.9）分为 $\lfloor n/2\rfloor$ 与 $\lceil n/2\rceil$ 两部分。经过 $j$ 次后续读取，候选数至多 $\lceil P/2^j\rceil$，所以至迟在 $H$ 次后成为单点。若已经完成 $j$ 次后续读取且尚需查询，则 $j<H$，累计步数至多 $j(P-1)$；下一段完成时至多 $(j+1)(P-1)\le B$，每个尚未完成的等待前缀严格满足 $E<B$。停止时 $L=U=r$，输出
$$
x_{\rm initial}=bP+L,\qquad
x_{\rm current}=[bP+L+E]_M.
\tag{55.11}
$$
下节把这些操作落实成无隐含工作寄存器的总控制表。式（55.7）使达到的最坏读取数恰为 $1+H$。$P=1$ 时 $H=B=0$、$r=0$，首读本已恢复初态和当前态。$\square$

### 55.5 自适应协议的完整有限状态表

**命题 55.5（逐动作控制载体与总化）。** 令 $C=P(P+1)/2$，采用不交并载体
$$
Q=\{\mathrm{Start}\}\sqcup
\{(b,L,U,E,\phi):0\le b<p,\ 0\le L\le U<P,\ 0\le E\le B,
\ \phi\in\{\mathrm{Advance},\mathrm{Seek},\mathrm{Read},\mathrm{Done}\}\}.
\tag{55.12}
$$
所有数值字段取整数，故 $|Q|=1+4pC(B+1)$。存在如下固定总表实现定理55.4，所有可达前缀均在 $Q$ 内。表中的 $m$、$a$ 和条件比较均是当前字段的函数，用来说明表项，不是额外保存的寄存器；固定动作、后继及输出表不计作随运行改变的记忆。

- $\mathrm{Start}$ 发出 $R$。收到 $y$ 后存 $(y,0,P-1,0,\phi)$，$P=1$ 时 $\phi=\mathrm{Done}$，否则 $\phi=\mathrm{Advance}$。
- $\mathrm{Done}$ 发出 $\mathrm{halt}$。$L=U$ 时输出（55.11）的有序对；$L<U$ 时输出指定的无效标签 $\mathrm{invalid}$。为使形式后继函数处处定义，将其后继设为自身；停止后不再执行任何来源动作。
- $\mathrm{Advance}$ 若 $L<U$ 且 $E<B$，发出一个 $W$。令 $E'=E+1$，其余数值字段不变；若 $E'\bmod P=P-m$ 则进入 $\mathrm{Read}$，否则进入 $\mathrm{Seek}$。
- $\mathrm{Seek}$ 若 $L<U$、$E<B$ 且 $E\bmod P\ne P-m$，发出一个 $W$，后继与上一项相同。
- $\mathrm{Read}$ 若 $L<U$ 且 $E\bmod P=P-m$，发出 $R$，此项允许 $E=B$。收到 $a$ 时置 $U'=m-1,L'=L$，收到 $(a+1)\bmod p$ 时置 $L'=m,U'=U$；保留 $b,E$，新区间单点则进 $\mathrm{Done}$，否则进 $\mathrm{Advance}$。收到这两值以外的数字时，保留原数值字段而进 $\mathrm{Done}$，所以保留的仍是非单点区间。
- 所有其余非 $\mathrm{Done}$ 元组发出一次计费的 $R$，忽略答案，保留全部数值字段并进 $\mathrm{Done}$。这包括需推进却已到 $E=B$、非终止阶段的单点区间、已在目标余数的 $\mathrm{Seek}$、以及不在目标余数的 $\mathrm{Read}$。不增设任何错误态，也不使用无动作的阶段跳转。

证明。$\mathrm{Start}$ 对每个 $y\in\{0,\ldots,p-1\}$ 的后继在载体内。$W$ 的守卫保证 $E+1\le B$；正常 $R$ 的 $L<m\le U$ 保证两种新区间均非空且仍在 $[0,P-1]$ 内。异常答案及最后一项都保留数值字段，终止态形式后继为自身，故对全部名义态和全部可能数字，表的动作及后继均有定义且落在 $Q$。这证明总性及闭合，不只检查可达态。

从真实 $\mathrm{Start}$ 归纳。首读给正确 $b$。$\mathrm{Advance}$ 强制首先执行一个实际 $W$；$\mathrm{Seek}$ 中每个未到目标的前缀继续执行一个实际 $W$；完成等待的那个 $W$ 直接进入 $\mathrm{Read}$，没有额外的免费转移。等待期间 $b,L,U$ 不动、$E$ 每步加一，保持 $s=x+E$ 和原候选区间。每次正常读取按（55.10）收到两个允许数字之一，后继区间恰是相容候选，所以不会进入异常答案分支。

定理55.4的预算证明在等待尚未完成时给 $E<B$，因此不会撞上禁止推进的守卫；允许 $E=B$ 的正常 $\mathrm{Read}$ 使最后一步恰好用满预算时仍可完成读取。每次读后若还有非单点区间，已完成的分割数小于 $H$，尚有足够的下一段等待预算。可达的 $\mathrm{Seek}$ 总在目标外，$\mathrm{Read}$ 总在目标上，单点总进入 $\mathrm{Done}$。故从真实来源开始永不使用兜底项，所有前缀满足定理55.4的不变量，并在有限等待及至多 $H$ 次区间缩小后终止。证明中的“已完成分割数”只作归纳指标，控制表不用保存它。

每次读取数字并应用所列表项是一条 $R$ 转移；每次推进并更新字段是一条 $W$ 转移。$\mathrm{Advance}/\mathrm{Seek}/\mathrm{Read}/\mathrm{Done}$ 连同完整 $E$ 全部计入（55.12），没有从外部读取时刻，也没有在等待中借用未计数的控制位置。$\square$

此构造对每个固定 $p,k$ 给一个有限表，其载体随参数变化；它不提供对所有 $k$ 大小一致有界的单一控制器。这里的载体基数是上界，不是最小记忆结论，也不评价 CPU 工作、表的描述长度、硬件实现或位存储的最优性。

### 55.6 固定连续方案也有逐步执行器

**命题 55.6（连续采样的有限执行）。** 第24.8节的连续恢复规则可用至多 $1+3pP^2$ 个控制态执行，全部初态均恰读 $P$ 次、恰执行 $P-1$ 个 $W$。采用
$$
Q_{\rm fixed}=\{\mathrm{Start}\}\sqcup
\{(b,v,i,\phi):0\le b<p,\ 0\le v<P,\ 0\le i<P,
\ \phi\in\{\mathrm{Step},\mathrm{Read},\mathrm{Done}\}\}.
\tag{55.13}
$$
这里 $i$ 存实际累计步数，$v=0$ 表示尚未记录首个变化；有变化后 $v$ 保存恢复的低位余数。表如下，各项未改变的字段保留。

- $\mathrm{Start}$ 发出 $R$，收到 $y$ 后置 $(b,v,i)=(y,0,0)$；$P=1$ 则进 $\mathrm{Done}$，否则进 $\mathrm{Step}$。
- $\mathrm{Step}$ 在 $i<P-1$ 时发出一个 $W$，把 $i$ 加一并直接进 $\mathrm{Read}$。
- $\mathrm{Read}$ 在 $1\le i<P$ 时发出 $R$。若 $v=0$ 且答案 $y\ne b$，置 $v=P-i$；否则保留 $v$。$i=P-1$ 时进 $\mathrm{Done}$，否则进 $\mathrm{Step}$。
- $\mathrm{Done}$ 停止，输出 $(bP+v,[bP+v+i]_M)$，形式后继为自身。其余非终止元组，包括 $i=P-1$ 的 $\mathrm{Step}$ 和 $i=0$ 的 $\mathrm{Read}$，均发出一次计费的 $R$、忽略答案、保留数值字段并进 $\mathrm{Done}$。

证明。全部 $W$ 都有 $i<P-1$ 的守卫；正常 $R$ 若赋新值，则 $1\le P-i\le P-1$。其他后继不改数值，所以对载体内全部态和全部答案，表总定义且后继在载体内。名义的不可达终止态按同一公式输出，不承诺其输出正确。

从 $\mathrm{Start}$ 开始，$i$ 每次随实际 $W$ 同增；所有前缀均有 $s=x+i\pmod M$。在 $i=0,\ldots,P-1$ 各读一次，相邻读取间恰一个 $W$，各阶段都在（55.13）中，无免费阶段切换。首读保留 $b$；在这个范围内
$$
d(x+i)=\bigl(b+\mathbf1_{r+i\ge P}\bigr)\bmod p.
$$
若 $r>0$，首个不等于 $b$ 的读数恰在 $i=P-r$，于是置 $v=P-i=r>0$，其后不再覆盖；若 $r=0$，无变化且 $v$ 一直为零。在等待前缀，$v$ 仍指此前已完成读取中的首变记录，不预取下一答案。因此终止时 $v=r$、$i=P-1$，两输出均正确，费用为所述精确次数。从真实来源无兜底项可达。$P=1$ 时首读直接终止，$v=i=0$。这给既有连续取得规则的有限控制实现，并与定理55.2合成固定采样读取数的达到性。$\square$

### 55.7 一条跨回绕的执行

取 $p=2$、$P=8$、$M=16$、初态 $x=15=1\cdot8+7$。首读在 $E=0$ 给 $b=1$，区间为 $[0,7]$。以下数字均由实际当前态 $[15+E]_{16}$ 计算。

首次分割 $m=4$，目标余数为四。依次执行四个 $W$，其累计前缀为 $E=1,2,3,4$，最后来源为三、读数为零。此时基准 $a=(1+\lfloor4/8\rfloor)\bmod2=1$，答案为 $(a+1)\bmod2$，故保留 $[4,7]$。

下一分割 $m=6$，目标余数为二。从 $E=4$ 再执行六个 $W$，依次经过 $E=5,6,7,8,9,10$；最后来源为九、读数为一。此时 $a=(1+\lfloor10/8\rfloor)\bmod2=0$，仍是上半支，保留 $[6,7]$。

最后分割 $m=7$，目标余数为一。从 $E=10$ 再执行七个 $W$，依次经过 $E=11,12,13,14,15,16,17$；最后来源为零、读数为零。此时 $a=(1+\lfloor17/8\rfloor)\bmod2=1$，保留单点 $[7,7]$。因此读取位置、读数、三段等待及比较基准分别为
$$
(E_R)=(0,4,10,17),\quad (y_R)=(1,0,1,0),\quad
(\ell_1,\ell_2,\ell_3)=(4,6,7),\quad (a_1,a_2,a_3)=(1,0,1).
\tag{55.14}
$$
输出初态十五、当前态零；$H=3$，实际步数十七满足 $B=3\cdot7=21$。同一个首读值 $b=1$ 在 $E=10$ 时不能用作比较基准，否则会误取下半支。只保存 $E\bmod P$ 的字段也不能直接给出（55.10）的进位基准：对一般 $E=qP+t$，该字段丢掉了 $q\bmod p$，而相同 $t$、相邻 $q$ 的基准不同。本表用完整 $E$ 同时承担进位计算及实际步数账，不声称它是所需的最小编码。

### 55.8 有限商回接及结论边界

现在额外要求 $p$ 为素数，令 $z\in\mathbb Z_p$ 为真实 p 进初态，$q_{k+1}:\mathbb Z_p\to\mathbb Z/p^{k+1}\mathbb Z$ 为第24.1节的商映射。对每个实际有限步数 $E$，
$$
q_{k+1}(z+E)=q_{k+1}(z)+E\pmod M,\qquad
 d_k(z+E)=d\bigl(q_{k+1}(z)+E\bigr).
\tag{55.15}
$$
环同态性给第一个等式，固定高位的定义给第二个。于是上述控制器与真实来源的每个 $W/R$ 前缀相容；其初始及当前输出分别为 $q_{k+1}(z)$、$q_{k+1}(z+E)$。$k=0$ 时正是一次读出 $q_1$。即使累计执行一个完整的模 $M$ 周期，在有限商中回到同一状态也不是把完整 p 进来源复位；完整来源已变为 $z+M\ne z$。这保持了第24.2节的有限周期与完整态非周期之别。

连续高位取得及其动态行为商已归第24.8、24.10节；固定版本 [DynamicClosureMinimality](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/ffec542f612d6e8858eb4b08715aed884285a2b0/D5/S3/ConceptDynamics/Interventions/DynamicClosureMinimality.lean) 的 `dynamic_closure_is_least` 给保留原读数、对干预闭合的表示之一般最小细化。它不附带读取、等待或控制载体预算，本节不把通用闭包再立为新定理。

本节结算的是有限商上的读取数：固定采样最少 $P$ 次，自适应最坏最少 $1+\lceil\log_2P\rceil$ 次；达到协议另附实际单位步和有限状态数的上界。完整 $E$ 只在所述有限取得期间保留，没有无界时钟存储或完整 p 进初态识别的结论。这里不判定来源步数、记忆、物理时间、信息熵、通信量或 Pareto 最优，也不把数学上的表转移等同于已给硬件时延。传感器误码、漏记动作或额外初态先验须另立合同。所给传感器算术、条件二元桥及执行证明是普通数学综合推导；通用文献和仓内声明各限于上面核对的接口，不替代这些证明，本节没有新增 Lean 核验或原创性主张。

## 55.99 追加锚
## 56. 单高位取得的驻定控制容量与最优读取代价

本节沿用第55.1节的单来源、固定高位端口与规范化执行词，把取得期间的全部控制态计入容量。第24.8节的连续恢复和第55节的最优读取数继续适用；下面另求执行这些任务所需的总驻定状态数。无读取限制时得到全部整数基的精确式；读取数限于最优值时，得到二幂饱和族的精确式及其余参数的界与全类有限优化表示。

### 56.1 终止控制态独自解码的容量合同

**定义 56.1（两种取得容量）。** 固定整数 $p\ge2$、$k\ge0$，记
$$
P=p^k,\qquad M=pP,\qquad
D=\lceil\log_2P\rceil=\min\{j\in\mathbb N:P\le2^j\},\qquad h_*=D+1.
\tag{56.1}
$$
来源为 $s\in\mathbb Z/M\mathbb Z$，初始 $s=x$；$W$ 把 $s$ 加一，$R$ 不改变 $s$ 并返回 $d(s)=\lfloor[s]_M/P\rfloor$。有限控制载体 $Q$ 分为发出 $R$、发出 $W$、停止的三个不交部分。动作表、$W$ 后继、全部 $p$ 种数字的 $R$ 后继及终止输出均为固定总函数；停止态的形式后继可取自身。所有初态从同一个与来源无关的 $\mathrm{Start}$ 出发，执行词满足（55.2），逐点有限终止。

正确性要求存在终止态上的固定函数 $o$，使每个 $x\in\mathbb Z/M\mathbb Z$ 的最后控制态 $q_x$ 满足 $o(q_x)=x$。解码不能再读取来源、动作档案、停止时刻或未计入 $Q$ 的寄存器。这里的优化目标只要求输出初态；第55节某些构造还能输出当前态，这项额外能力不是本节的准入条件。期间仍保留物理来源 $s$，不把它误当控制器已经取得的 $x$。合法操作没有复位、复制、逆步、免费计时器或依赖 $x$ 的准备。

令 $C_A(p,k)$ 为上述正确控制器的最小 $|Q|$，令 $C_B(p,k)$ 为其中最坏读取数至多 $h_*$ 者的最小 $|Q|$。全部名义态均计费，包括不可达态、等待前缀、阶段、计数器和终止标签。下界可先只数实际可达的 $r$ 个读取态、$w$ 个等待态、$t$ 个终止态，因为 $|Q|\ge r+w+t$；终止解码强制 $t\ge M$。

容量 $C$ 是状态数。给这 $C$ 个状态作固定二进制编码至少且可以用 $\lceil\log_2C\rceil$ 位；这不评价转移表的描述长度、实现电路或运行工作区。一次执行上的 $W$ 次数、$R$ 次数、总状态数和物理钟时是不同量，以下分别给出。

### 56.2 无信息初始等待的删除

**引理 56.2（联合配置分离及前缀正规化）。** 正确终止执行中的联合配置 $(q,s)$ 不会在同一次执行中重现，也不会由两个不同初态的执行共享。首个 $R$ 之前的确定等待前缀若有 $\ell>0$ 个动作，则其 $\ell$ 个等待态均互异，且在后续执行中都不可再达；首个读取态 $q_0$ 也不再回访。删除此前缀、以 $q_0$ 为新起点并把全部终止标签加 $\ell\pmod M$，得到正确控制器，读取次数保持，容量严格减少 $\ell$。因此求 $C_A,C_B$ 时可令起点直接读取。

证明。相同联合配置有相同的确定未来；同一执行重现非终止配置将使它循环，不同初态共享配置则使二者有相同终止标签，分别与有限终止、精确解码矛盾。首读前没有信息，故全部初态经过同一条 $W$ 路径。该路径若重访一个 $W$ 态，其固定后继使它永远不能首次到达 $R$，所以前缀态互异。在前缀的每个固定位置，以及第一次到达 $q_0$ 时，$x$ 遍历全部 $M$ 个初态使 $s=x+i$ 遍历全部物理值。若这些控制态在后续再达，就会与某个这样的联合配置重合，已被排除。

新协议从 $(q_0,x)$ 开始，恰模拟旧协议从初态 $x-\ell$ 执行完前缀后的未来；旧输出为 $x-\ell$，旋转标签后为 $x$。全部初态的后续实际运行都在保留部分内。指向已删除前缀态的未使用表项，可统一改指旋转后输出零的既有终止态；其存在由全输入正确性保证，不必增设错误态。表仍总定义，所有实际执行仍满足正等待及最后一次动作是 $R$ 的合同。$\square$

### 56.3 实际读取槽图的计数下界

**定理 56.3（相邻数字与奇环亏损）。** 对已经删除初始等待的任意正确控制器，实际可达读取态数满足
$$
r\ge2P-1,\qquad w\ge r-1.
\tag{56.2}
$$
若 $p$ 为奇数，还有
$$
r\ge1+\frac{2p(P-1)}{p-1}.
\tag{56.3}
$$
这些界不要求控制器是树，也不禁止非起点读取态的回访或不同历史共享读取态。

证明。读取槽指 $(q,b)$，其中 $q$ 是读取态，$0\le b<p$；仅把至少一次实际运行使用的槽作为图顶点。若该槽立即进入终止态，称为终止槽；否则称为活动槽。一个终止槽的固定输出至多对应一个初态，而每个初态恰用一个最终槽，因此终止槽恰有 $M$ 个。

活动槽的后继先走确定的正长 $W$ 链，再到某个固定读取态 $q'$。链不能在 $W$ 态内循环，也不能直接终止，否则分别违反有限终止、最后一个动作是 $R$。设链长为 $a>0$。使用原槽时，来源在一个长度为 $P$ 的数字块内；把整个块平移 $a$，其高位至多为两个循环相邻数字。因此该活动槽的实际下一槽有一个或两个，二出边时目标是同一 $q'$ 的相邻数字槽。图的边只数实际出现的不同有向槽对，同一边被多个初态走过仍只计一次。

记活动槽数为 $U$，其中一出边槽数为 $U_1$，全部 $pr$ 个名义槽中的未用槽数为 $Z$，实际边数为 $E$。起点 $q_0$ 的 $p$ 个槽全部可达且无入边；其余可达槽都有入边。于是
$$
E=2U-U_1,\qquad pr=U+M+Z,\qquad
H:=E-(U+M-p)\ge0.
$$
$H$ 正是非起点可达槽的入度超过一的总和。消去 $E,U$ 得
$$
pr=2M-p+H+U_1+Z.
\tag{56.4}
$$
立即得到 $r\ge2P-1$。每个非起点读取态都需要某个实际 $W$ 态直接指向它，而一个 $W$ 态只有一个后继，所以 $w\ge r-1$。

再令 $p$ 为奇数。对每个非起点读取态 $q$，把它的未用槽数记为 $Z_q$，其可达槽的入度超额之和记为 $H_q$，目标读取态是 $q$ 的一出边活动槽数记为 $N_q$。三者都非负。如果三者都是零，全部 $p$ 个槽就由入边恰好覆盖一次，而且每个前驱活动槽贡献一对相邻数字。这样会把奇环的全部顶点分割成互不相交的相邻二点集，不可能。因此
$$
Z_q+H_q+N_q\ge1\qquad(q\ne q_0).
$$
每个未用槽、入度超额和一出边活动槽分别只归给一个目标读取态；起点没有上述贡献。求和得到
$$
H+U_1+Z\ge r-1.
\tag{56.5}
$$
代回（56.4），有 $(p-1)r\ge2pP-p-1$，即（56.3）。这里仅用了实际入出关联及局部数字相邻性。图中有环仍使每个非根顶点至少有一条入边；历史合并只改变实际入度及 $H$，不会把关联计数变成树节点计数。联合配置的来源坐标也始终保留。$\square$

### 56.4 全部整数基的无读取限制精确容量

**定理 56.4（$C_A$ 的精确式与总表达到）。** 对定义56.1的全部参数，
$$
C_A(p,k)=
\begin{cases}
M+4P-3,&p\text{ 为偶数},\\
M+1+\dfrac{4p(P-1)}{p-1},&p\text{ 为奇数}.
\end{cases}
\tag{56.6}
$$
存在达到该容量的总控制表，最坏读取数为 $P$，最坏 $W$ 次数为 $P-1$。$P=1$ 时二式都为 $p+1$，只需一个起点读取态及 $p$ 个终止态。

证明。$M$ 个终止态与定理56.3给出两式的下界。对 $P>1$，把第24.8节的连续取得改成首个进位时即停止。为每个
$$
(b,t),\qquad 0\le b<p,\quad1\le t<P,
$$
设一个读取出现位置，使用数字槽 $b,(b+1)\bmod p$。这里 $t$ 是该位置在构造中的固定编号，不是另存的免费计数器。若能把这些二点集着色，使同色者不共享数字槽，则同一颜色只需一个读取态 $R_c$ 和一个直接指向它的单位等待态 $W_c$。

偶数 $p$ 时取
$$
\operatorname{col}(b,t)=(t,b\bmod2).
\tag{56.7}
$$
每个 $t$ 的偶起点边与奇起点边分别是不交匹配，共 $2(P-1)$ 色。特别在 $p=2$ 时，$b=0$ 和 $b=1$ 是两次不同的回绕边出现，虽都使用数字集合 $\{0,1\}$，仍分属两色，不能合并。

奇数 $p=2a+1$ 时，写 $i=t-1$，取
$$
\operatorname{col}(b,t)=
\left(\left\lfloor\frac{i}{a}\right\rfloor,
\ [b-2(i\bmod a)-1]_p\right).
\tag{56.8}
$$
由于 $p-1$ 整除 $p^k-1=P-1$，每个长度为 $a$ 的 $i$ 组都完整。固定颜色 $(g,v)$ 后，$i=ga+u$、$0\le u<a$ 对应的边恰为
$$
\{v+2u+1,v+2u+2\}\pmod p.
$$
这些边互不相交，恰覆盖除 $v$ 外的全部数字，形成近完美匹配。颜色总数为 $p(P-1)/a=2p(P-1)/(p-1)$。

现在明确给出总表。载体是一个 $R$ 起点、每色一对 $W_c,R_c$ 和 $M$ 个终止态 $H_x$。$H_x$ 输出 $x$，形式后继为自身；$W_c$ 发出一个 $W$ 并进入 $R_c$。起点读到 $b$ 后进入 $W_{\operatorname{col}(b,1)}$。在由出现位置 $(b,t)$ 占用的 $R_{\operatorname{col}(b,t)}$ 中，表项为
$$
\begin{aligned}
(b+1)\bmod p&\longmapsto H_{bP+P-t},\\
b&\longmapsto
\begin{cases}
W_{\operatorname{col}(b,t+1)},&t<P-1,\\
H_{bP},&t=P-1.
\end{cases}
\end{aligned}
\tag{56.9}
$$
匹配性质保证这些表项不冲突。全部未用数字槽改指既有 $H_0$，不增加状态，动作和后继处处定义。$P=1$ 则直接令起点数字 $b$ 指向 $H_b$。

从任意 $x=bP+v$ 开始，首读给 $b$；在未停止的位置 $t$，已经实际执行恰 $t$ 个 $W$，来源为 $x+t\pmod M$。连续携带公式给读数 $b+\mathbf1_{v+t\ge P}\pmod p$。若 $v>0$，首次进位在 $t=P-v$，表（56.9）输出 $bP+v$；若 $v=0$，一直无进位，末项输出 $bP$。实际路径不会使用兜底项，相邻读取间确有一个 $W$，最后动作是 $R$。所有 $M$ 个标签都正确到达。

颜色数记为 $c$，总容量是 $M+1+2c$，分别等于（56.6）；最晚停止的路径读 $P$ 次、走 $P-1$ 步。这里合并的是数字槽相容的控制态，来源本身仍在演化，没有把每个出现位置都另算成一个读取态。$\square$

### 56.5 最优读取数的既有接口

第55.3—55.5节已经给出全部合法控制器的最优最坏读取数
$$
h_*=1+\lceil\log_2P\rceil.
\tag{56.10}
$$
与容量论证衔接时，只需保留传感器桥：首读把 $M$ 个初态分成 $p$ 个长度为 $P$ 的块；在固定答案历史中，累计平移已经确定，把该初始块平移到任意下一读取时刻，高位至多有两个值。因此每个首读分支在剩余 $h-1$ 次读取中至多容纳 $2^{h-1}$ 个不同终止历史。一般的变深度二元叶计数给 $P\le2^{h-1}$，第55节的实际正等待二分协议给达到性。

这个二元桥允许物理来源保留记忆，却不允许把终止输出换成外部记录。通用叶计数只限制历史树深度；下面的读取槽、等待链及总状态费用，需要另外证明。

### 56.6 饱和二幂族中的槽位单射

**引理 56.5（饱和历史不能共享读取槽）。** 设 $P=2^D$，控制器满足读取上限 $D+1$ 且已按引理56.2正规化。每个首读分支的后续历史树都是深度 $D$ 的完美二叉树；所有输入恰读 $D+1$ 次。把包含刚完成读取答案的不同实际历史映射到其读取槽 $(q,b)$，该映射单射。因此每个首次读取以后的读取出现位置占两个不同数字槽，同一读取态至多承载 $p/2$ 个这样的出现位置。此结论不声称历史映入读取态 $q$ 本身时单射。

证明。每个首读分支有 $P=2^D$ 个必须分别识别的初态，而剩余深度至多 $D$、分支数至多二。叶数达到上限迫使每层都满二分，没有提前停止或一元分支；递归地，每个深度上的子树也饱和，两个子块等大。

要从展开历史回到实际槽图，取某个刚完成读取的历史，其候选数为 $2^j$，还需 $j$ 次读取。若 $j=0$，当前槽固定进入唯一标签的终止态。若 $j>0$，此历史实际使用两个下一槽，而定理56.3已证明当前槽在全部运行合并后的图中也至多有两个出邻居。因此此历史用尽了当前槽的全部出边；对两个子历史递归应用同一事实。归纳得到：从这个槽开始的完整图展开就是高度 $j$ 的终止二叉树，全部后续槽和终止标签集合由槽本身确定。这里每条边仍由实际来源实现；满分支性仅保证这一历史已用尽全局出边，没有抹去来源坐标。

若两个饱和历史共享该槽，它们因同一完整展开而有相同剩余高度和相同终止标签集合。不同深度的历史剩余高度不同，不可共享；相同深度的两个不同历史，其初态集合互不相交且非空，正确终止标签集合也互不相交，仍不可共享。图中潜在的合并或环不能绕过这一论证：饱和展开已用尽出边，并在规定高度全部终止。

每个后续读取出现位置都作真二分，使用两个不同槽；上述单射使不同出现位置占用的槽不重叠。一个读取态共有 $p$ 个槽，故最多承载 $p/2$ 个出现位置。当 $P>1$ 且 $P=p^k=2^D$ 时，$p$ 必为二的正整数次幂，特别为偶数，故这里的 $p/2$ 是整数。$P=1$ 没有后续出现位置，不需要对 $p$ 加此限制。$\square$

### 56.7 二幂族的读取最优容量及共享实现

**定理 56.6（饱和族的精确 $C_B$）。** 在 $P=2^D$ 的参数族中，
$$
C_B(p,k)=M+P^2+P-1.
\tag{56.11}
$$
存在达到该值的总控制器，其计数为
$$
r=2P-1,\qquad w=P(P-1),\qquad t=M.
\tag{56.12}
$$
全部输入恰读 $D+1$ 次。所给实现的最坏 $W$ 次数，在 $P>1$ 时是 $(D-1)P+1$，在 $P=1$ 时是零；这里不主张这个路径步数也是最优值。

证明。$P=1$ 时，一个读取态和 $p$ 个终止态已经达到下界。以下令 $P>1$。

先求任何读取最优协议的等待费用。首读后每个分支的物理候选是一个完整数字块。每次饱和二分以前，其候选在某个数字块中是长度为偶数 $n$ 的连续区间，低位起点记为 $a$。平移 $d>0$ 后要恰好分成两个 $n/2$ 点集合，唯一的数字边界必须穿过中点，故
$$
d\equiv-a-n/2\pmod P.
\tag{56.13}
$$
两个孩子分别位于各自数字块的低位区间 $[P-n/2,P)$ 与 $[0,n/2)$，包括循环回绕时也如此。这同时归纳证明了后续候选仍是连续区间。

每个首读分支第一次后续读取的等待至少 $P/2$。任一次分割若产生两个仍非单点的孩子，写其共同大小为 $m$；它们下一次二分的最小正等待分别为 $m/2$ 与 $P-m/2$，总和是 $P$。任意额外的 $P$ 倍数只能增大等待，虽然它可能改变高位数字。每个有 $P$ 个叶的完美树中，共有 $P/2-1$ 个产生这类孩子对的内部节点。所以对全部 $p$ 个首读分支、全部后续读取出现位置 $v$，其实际进入等待 $d_v$ 满足
$$
\sum_v d_v\ge
p\left(\frac P2+\left(\frac P2-1\right)P\right)
=\frac{pP(P-1)}2.
\tag{56.14}
$$
这里求和的是出现位置的等待，尚未把它当成等待态数。

一个 $W$ 态的后继不依赖来源，故从它出发到下一个 $R$ 的目标读取态固定。不同目标读取态的等待链不能共享任何 $W$ 态。对于同一个目标 $q$，链可以共享尾段，但等待态数至少是所有进入该目标的 $d_v$ 的最大值。引理56.5使每个 $q$ 至多承载 $p/2$ 个出现位置，因而
$$
w\ge\sum_{q\ne q_0}\max_{v\to q}d_v
\ge\frac2p\sum_v d_v
\ge P(P-1).
\tag{56.15}
$$
再用 $r\ge2P-1$、$t\ge M$，得到（56.11）的下界。这保留了读取态共享和同目标等待尾链共享，并未把展开树的每个节点都强制分配独立控制态。

达到构造使用低位原始标签 $v\in[0,P)$ 的完美中点阈值树。内部节点 $n$ 对应半开整数区间 $[l_n,u_n)$，阈值 $c_n=(l_n+u_n)/2$；两个子区间为 $[l_n,c_n)$ 和 $[c_n,u_n)$，单点即叶。置根的虚拟父阈值为 $P$、父累计步数为零。若父阈值为 $a$，定义
$$
\delta_n=[a-c_n]_P^+\in\{1,\ldots,P\},\qquad
E_n=E_{\mathrm{parent}(n)}+\delta_n,
\tag{56.16}
$$
其中 $[z]_P^+$ 是 $z\pmod P$ 的最小正代表。相邻阈值不同，所以实际 $\delta_n<P$；$E_n\equiv-c_n\pmod P$。这些是编制有限表时确定的常量，不是外部计时器，也不要求运行时另存 $E_n$。

在首读数字为 $b$ 的分支，节点 $n$ 的两种读取数字为
$$
\beta_n(b)=\bigl(b+\lfloor E_n/P\rfloor\bigr)\bmod p,
\qquad (\beta_n(b)+1)\bmod p.
\tag{56.17}
$$
前者恰表示 $v<c_n$，后者恰表示 $v\ge c_n$。对每个节点设两个读取态 $R_{n,0},R_{n,1}$，把出现位置 $(b,n)$ 放入 $R_{n,\beta_n(b)\bmod2}$。固定节点时 $b\mapsto\beta_n(b)$ 是数字的一个循环置换；偶、奇起点边各形成一个完美匹配，因此同态内表项不冲突。这也覆盖 $p=2$ 的两条回绕边。

给每个 $R_{n,e}$ 配置显式等待链
$$
W_{n,e,\delta_n}\longrightarrow\cdots\longrightarrow W_{n,e,1}
\longrightarrow R_{n,e},
\tag{56.18}
$$
每个箭头的起点都发出一个单位 $W$。另有一个起点读取态和全部 $H_x$。起点读到 $b$，进入根相应链的长度 $\delta_{\rm root}$ 端。在 $R_{n,e}$ 的一个占用槽中，匹配唯一确定所属 $b$ 及左、右结果；若所选孩子为单点 $\{v\}$，直接进入 $H_{bP+v}$，否则进入该孩子对应 $b$ 的等待链。$H_x$ 输出 $x$ 并以自身为形式后继。任何未分配表项指向已有 $H_0$。这些规则给所有名义态和数字的总表，没有额外控制位置；$b$ 的用途由占用槽的固定表项实现，不是在共享读取态之外保留一个未计费字段。

从任意初态 $bP+v$ 归纳，每次进入节点时物理来源为 $bP+v+E_n\pmod M$，实际数字由（56.17）恰好选取包含 $v$ 的孩子。每个链中间前缀执行真实加一；每次读取后或立即进入正确终止标签，或先执行正长等待再读。因此合并控制态没有丢掉初始标签，也没有赋予来源之外的免费记忆。

树有 $P-1$ 个内部节点。式（56.14）的最小正等待在这棵对称树上逐项达到，每个首读分支的内部节点等待和为 $P(P-1)/2$；每个节点的两色各只需一条长度 $\delta_n$ 的链。所以总读取态数为 $1+2(P-1)$，总等待态数为 $2\sum_n\delta_n=P(P-1)$，终止态数为 $M$，达到（56.12）。

最后核对路径 $W$ 次数。沿一条根到末次读取的路径，第一次阈值从 $P$ 降到 $P/2$；此后每次向右孩子走使阈值上升，式（56.16）恰多绕一个模 $P$ 周期，向左则不多绕。若末阈值为 $c$、右转次数为 $j$，则总步数为 $jP+P-c$。全右路径有 $j=D-1,c=P-1$，得到 $(D-1)P+1$。其他路径有 $j\le D-2$，故步数至多 $(D-2)P+P-1$；$D=1$ 时没有其他内部路径，唯一等待为一。由此得到所述最坏步数。$\square$

例如 $p=4,P=4,M=16$ 时，三个内部阈值分别为根的二、左孩子的一、右孩子的三，累计步数分别为二、三、五，进入等待分别为二、一、三。每个阈值用两色，故 $r=7,w=2(2+1+3)=12,t=16$，总容量为三十五。根阈值处，首读 $b=0$ 和 $b=2$ 的历史共用一个读取态，却分别占用数字槽 $\{0,1\}$、$\{2,3\}$；前一组后续终止标签属于 $\{0,1,2,3\}$，后一组属于 $\{8,9,10,11\}$。这正是允许的读取态共享，不是终止解码丢失历史。

在整个二幂参数族，包括 $P=1$，由（56.6）、（56.11）可得
$$
C_B-C_A=(P-1)(P-2).
\tag{56.19}
$$
当 $P>1$ 时本族要求 $p$ 为二幂；$P=1$ 容许任意整数基。固定这样的 $p$，无读取限制的容量随 $P$ 线性增长，最优读取数下的总容量随 $P$ 二次增长。这是状态数的分离，不能改说成编码位数的二次下界。

### 56.8 其余参数的严格代价与可计算构造上界

**命题 56.7（一般参数的界）。** 当 $P\in\{1,2,3\}$ 时，$C_B=C_A$。当 $P\ge4$，记
$$
L=P-2^{D-1},\qquad
\chi_p=\begin{cases}2,&p\text{ 偶},\\3,&p\text{ 奇},\end{cases}
$$
则
$$
C_A+\max\{1,L-1\}\le C_B
\le M+1+\chi_p\bigl((P-1)+W_P\bigr),
\tag{56.20}
$$
其中 $W_P$ 由下面明确的有限正等待递推定义；它只优化一种对称阈值树构造的等待和，不定义全体驻定控制器的最优容量。

证明下界。$P=1,2,3$ 时 $D+1=P$，定理56.4的控制表已满足读取上限。对 $P\ge4$，正规化后的首读分支含 $P$ 个候选。第一次后续读取以后，每个孩子剩余读取预算为 $D-1$，故候选数都至多 $2^{D-1}$。若该次等待为 $d$，令 $e=[d]_P$。$e=0$ 不分割，无法在剩余预算内识别；$e>0$ 时两块大小为 $e,P-e$，所以
$$
L\le e\le2^{D-1},\qquad d\ge L.
$$
选择一条这样的进入链。其至少 $L$ 个等待态中只有末态直接指向一个读取态 $q$；另外 $r-2$ 个非起点读取态各需一个不同的直接等待前驱，都不能属于这条链。因此 $w\ge L+r-2$，合并定理56.3给 $C_B\ge C_A+L-1$。

还须排除 $C_B=C_A$。若等号成立，各项下界都须同时取等，特别 $w=r-1$。非起点读取态各需一个不同的直接 $W$ 前驱，这已用尽全部等待态，所以每个实际 $W$ 态都立即进入 $R$，全部相邻读取的间隔都是一。可是 $D+1<P$；初始低位为零、一且首读数字相同的两个初态，在时刻 $0,1,\ldots,D\le P-2$ 的连续读数相同。确定控制器不能在至多 $D+1$ 次读取中为它们选择不同正确输出，矛盾。容量是整数，故另有 $C_B\ge C_A+1$，与上一界合并得到左侧。非空初始等待也不能回避此结论，因为删除它会严格节约容量。

为定义上界，令 $[l,u)$ 是原始低位标签的非空半开整数区间，$0\le l<u\le P$；$a$ 记录上一次阈值，虚拟根取 $a=P$，$j\ge0$ 为剩余阈值读取预算。设
$$
\delta_P(a,c)=[a-c]_P^+\in\{1,\ldots,P\}.
$$
若 $u-l=1$，定义 $F(a,l,u,j)=0$；若 $u-l>1,j=0$，定义为 $+\infty$。其余情形定义
$$
F(a,l,u,j)=
\min_{\substack{l<c<u\\c-l\le2^{j-1},\ u-c\le2^{j-1}}}
\bigl\{\delta_P(a,c)+F(c,l,c,j-1)+F(c,c,u,j-1)\bigr\},
\tag{56.21}
$$
空的或全部不可行的最小值为 $+\infty$。置
$$
W_1=0,\qquad W_P=F(P,0,P,D)\quad(P>1).
\tag{56.22}
$$
平衡二分给一个高度至多 $D$ 的可行树，所以该根值有限。递推逐节点收取一次实际正等待，孩子的阈值与父阈值不同；从根可达的各项等待都在 $1,\ldots,P-1$。这给出了确定的有限树和等待和，并无未定义的“最优等待”占位。

取达到 $W_P$ 的树，按（56.16）累加节点的实际步数，并按（56.17）给每个首读分支分配相邻数字边。每个内部节点单独着色：偶数 $p$ 用两色；奇数 $p$ 时，起点数字 $0,\ldots,p-2$ 交替用两色，起点 $p-1$ 的边用第三色。相邻边颜色不同，同色边数字槽不相交。每色一读取态、一条该节点进入等待长度的显式尾链；首读态、$M$ 个终止标签及全部表项按定理56.6同样编制，未用槽指向 $H_0$。每个首读分支用同一棵树，控制表从匹配槽判定其所属初始数字并保持正确标签。

有 $P$ 个单点叶的二分树恰有 $P-1$ 个内部节点，所以读取态数为 $1+\chi_p(P-1)$，等待态数为 $\chi_pW_P$，总数等于（56.20）右侧，读取数至多 $D+1$。这证明构造上界。$P=2^D$ 时高度迫使中点完美树，$W_P=P(P-1)/2$，与定理56.6的达到构造一致；非二幂时，不据此宣称阈值树着色穷尽所有最优驻定控制器。$\square$

### 56.9 保留来源的全类加权读取图正规形

**定理 56.8（总容量的忠实有限优化表示）。** 对固定 $p,k$，$C_A$ 与 $C_B$ 都可等价地在以下加权读取图上求最小值：有 $r\ge1$ 个读取态、一个固定起点和恰 $M$ 个终止标签；每个读取态的每个数字槽，总定义为直接进入某标签，或指定
$$
(q,d),\qquad q\text{ 为下一读取态},\qquad1\le d\le M.
$$
给定这样的图，令 $L_q$ 为全部指定进入 $q$ 的延迟的最大值，没有进入边时取零。其显式控制器容量为
$$
M+r+\sum_qL_q.
\tag{56.23}
$$
只有对全部初态正确、有限终止的图参加最小化；$C_B$ 另要求最坏读取数至多 $D+1$。此等价不假定树形、对称阈值策略或读取态不共享。

证明。从任意正确控制器先按引理56.2删除初始等待，再删不可达态，把未使用的数字槽总化到已有零标签。一个实际 $W$ 态沿固定后继必在有限正步内首次到达某个读取态；否则会有 $W$ 环或在 $W$ 后直接终止。把它标成“目标读取态、剩余距离” $(q,i)$。相同 $(q,i)$ 的等待态可以合并，因为它们执行相同次数的加一，到达同一读取态，且没有任何来源读数；合并不改变读取时的联合配置、输出及读取次数。不同目标不能共用一个这样的等待态；到 $q$ 的长度为 $L_q$ 的最长链包含全部距离 $1,\ldots,L_q$，所以每个目标只须一条共享尾链。

所有可达终止标签恰好覆盖全部初态；同标签的名义终止态可合并，每个 $x$ 只保留 $H_x$。再把每条正延迟 $d$ 替换为其模 $M$ 的最小正代表
$$
[d]_M^+=1+((d-1)\bmod M).
\tag{56.24}
$$
每次读取时的物理来源和控制态完全相同，故全部数字、读取数、终止标签及正确性保持，等待链长度不增。这里必须模 $M=pP$，不能只模 $P$：相差 $P$ 的两次平移会使高位差一，通常改变后续表项。把整周期的延迟改成零也不合法，故用正代表 $M$。

反向，任意所列加权图可编译为固定总表：对每个 $q$ 新建 $L_q$ 个等待态 $W_{q,1},\ldots,W_{q,L_q}$，其中 $W_{q,1}$ 发出 $W$ 后进入 $q$，$W_{q,i}$ 发出 $W$ 后进入 $W_{q,i-1}$。标有 $(q,d)$ 的槽进入 $W_{q,d}$；终止槽进入相应 $H_x$，其形式后继为自身。起点发出 $R$。这恰使用（56.23）的状态，没有等待权重之外另需的计时位置；每次权重展开都执行相应数量的实际单位动作。

正确性检验必须在联合读配置上进行。对每个初态 $x$，从 $(\mathrm{Start},x)$ 开始，以 $b=d(s)$ 选择槽；若选标签，核对它等于初始 $x$；若选 $(q,d)$，转到 $(q,s+d\pmod M)$。若联合读配置重复，驻定确定性使该输入永不终止；否则终止前至多使用 $Mr$ 个不同联合读配置，因而至多 $Mr$ 次读取、至多 $M^2r$ 个 $W$ 动作。这是用于离线有限核验的界，不是控制器可以读取的免费时钟。$C_B$ 的读取上限也按每个真实初态的这条路径检查。

任意原控制器都变成容量不增的此类图，每个正确图又有（56.23）的实际实现，故两种最小化等价。定理56.4、命题56.7分别给出一个有限达到上界 $N$；寻找不超过它的最优解时只需 $r\le N-M$，每个槽的终止标签、读取目标、延迟均在有限集合中。逐一检查这些有限表即可定义精确最小值。这是全类的有限优化刻画，尚未把其余非二幂参数的 $C_B$ 算成闭式，也没有报告一次全控制器枚举已经完成。$\square$

二幂证明所需的饱和性是明确边界。非二幂时，达到读取上限并不迫使每个历史都满二分；一个历史可能只使用某槽全局两条出边中的一条。此时从槽开始的全局延续不再由这个历史穷尽，不能照引理56.5推出历史与槽单射，也不能直接把出现位置等待和除以 $p/2$ 当成全部控制器的下界。剩余优化允许这些一元历史和更一般的共享，须在（56.23）的全类合同内解决。

### 56.10 已有结果的归属与适用边界

第24.8、24.10节已给连续高位恢复与动态行为商，第55节已给实际传感器上的条件二元桥、精确读取数和有限控制实现。第55节引用的五个 Lean 模块，在固定版本 `ffec542f612d6e8858eb4b08715aed884285a2b0` 下仍各按自己的假设使用：`DynamicClosureMinimality.dynamic_closure_is_least` 管干预闭合的最小细化；`WorstCaseDepthInformationLowerBound` 的叶计数管给定分支数的历史深度；`PassiveAdaptiveTranscriptUpperBound` 管被动记录通过完整联合读数因子化；`AdaptiveResidueIdentification` 的四状态可选模传感器与 `PrimePowerNonadaptiveResolution` 的截断赋值端口都不等于本节的固定高位端口。这些归属不提供额外等待态或驻定取得容量公式。

普通的单射输出基数下界可直接归于同一固定版本的 [FiniteIdentificationCapacityBound](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/ffec542f612d6e8858eb4b08715aed884285a2b0/D5/S3/ConceptDynamics/Experiment/FiniteIdentificationCapacityBound.lean) 中 `finite_identification_capacity_bound`：其 `Cap` 是依赖联合读数积的基数，`cost_form`、`cardinal_bound_iff_cost_bound` 处理相应二进制对数。`FiniteIdentificationOutputCapacity.finite_identification_output_capacity` 另以实际输出值域的乘积给界。它们支持一般输出容量的解释，不替代（56.4）的槽图关联、奇环亏损或（56.15）的等待尾链费用。

可比较的原始文献也需保留解码器与费用合同。Petra van den Bos、Frits Vaandrager 的 [*State Identification for Labeled Transition Systems with Inputs and Outputs*, arXiv:1907.11034v2，第10—12页，定义12、13、17、例18、引理19](https://arxiv.org/pdf/1907.11034v2) 允许 DAG 测试，以到终点的最大可观察迹区别状态；例18的 $a.(x.0+y.0)$ 即使汇入同一终点零，也可用不同迹 $ax,ay$ 区别，引理19的构造亦只用一个叶。这种外部迹解码不蕴涵本节“终止控制态单独输出初态”的 $M$ 标签成本。

Markus Theo Frohme 的 [*Active Automata Learning with Adaptive Distinguishing Sequences*, arXiv:1902.01139v1，§6.1，PDF第56页／印刷第50页](https://arxiv.org/pdf/1902.01139v1) 的最小长度目标使用 $1+\max$ 子费用，最小大小目标对孩子费用求和并计 symbol nodes，单点费用为零。它优化明确的符号树，不计这里所有驻定终止标签、正等待中间态及图共享；其树费用不能直接给（56.6）或（56.11）。

Ran Raz 的 [*Fast Learning Requires Good Memory: A Time-Space Lower Bound for Parity Learning*, arXiv:1602.05161v1，第4、10—11、19页，定义5.1、定理2](https://arxiv.org/pdf/1602.05161v1) 接收均匀随机奇偶样本，定义5.1把顶点排成 $m+1$ 层并限制每层宽度，边进入下一层。定理2在长度至多 $2^{\alpha n}$、宽度至多 $2^{cn^2}$、$c<1/20$ 及输出仿射子空间维数至多 $3n/5$ 的合同下给分布性成功率界。其随机样本、分层宽度和位记忆假设不能替换本题的主动加一、全部初态精确成功与总驻定状态数。这里没有调用 DEVS 编辑草稿或未取得原文的 Lee–Yannakakis 结果。

本节的容量式由上述参数一致的普通数学证明承担；有限总表核对只能检验构造的具体实现，不能证明最小性。结论不带新增 Lean/kernel 核验或原创性主张。已解决的是全部整数基的 $C_A$、读取最优的二幂族 $C_B$ 及所列小参数；一般非二幂 $P\ge4$ 的精确 $C_B$ 在本节保留为开放问题，已有的是（56.20）的界和（56.23）的忠实全类刻画。路径步数最优、物理时延及完整 p 进初态识别也不在这些容量式内。这里的有限商取得结果不完成长期的关系表示与互相恢复目标。

## 56.99 追加锚

## 57. 非二幂取得中的共享延续、整数等待尾与容量缺口

本节在第56节的全类驻定合同内研究读取预算下的共享延续。保留未知初态所在的同一物理来源、固定高位端口和终止态独自解码，允许不同历史共享读取槽、允许非起点控制态回访，也允许各输入提前停止。第56节的无读取限制精确容量与二幂饱和定理仍按原假设适用；这里不重证它们，而以带权槽容量替代非二幂情况下失效的无权历史装箱。

参数继续写作 $p\ge2$、$k\ge0$、$P=p^k$、$M=pP$、$D=\lceil\log_2P\rceil$、$h=D+1$。全参数结果是必要的等待费用下界，局部结论是
$$
C_A(3,2)=76,\qquad 95\le C_B(3,2)\le111.
\tag{57.1}
$$
这里第二个自变量是 $k=2$，对应 $P=9$。下界结合普通结构证明与完整给出的有限整数证书；上界由总控制表实现。两个端点都没有最优达到的断言，一般非二幂的精确 $C_B$ 仍未确定。

### 57.1 访问、历史与实际槽图的不同计数

**定义 57.1（访问质量与目标关联）。** 以下先按引理56.2删去固定初始等待，以首读态 $q_0$ 为起点。$r,w$ 分别数实际可达的读取态与等待态，名义状态总数仍全部计费。每个初态 $x$ 的总读取数为 $N_x\le h$；其第 $i$ 次读取到达 $q(x,i)$，读取数字 $a(x,i)$。一次访问是有重数的 $(x,i)$，当前槽是 $(q(x,i),a(x,i))$；同一槽可以有多个访问，不能把访问数当成槽数。

在完整执行展开中，一个后首读历史 $H$ 是下一次读取发生前的一个位置：既往数字答案和由固定表决定的操作已确定，而即将得到的数字尚未条件化。记其候选输入数为 $n_H$，该次读取索引为 $i_H\in\{2,\ldots,h\}$，正的进入等待为 $\delta_H$，目标读取态为 $q_H$。这几个量是证明中描述执行的变量，不是控制器之外的寄存器。一个历史的所有候选可只得到同一数字，但其当前槽在其他历史中仍可使用另一条出边。

实际槽图的顶点与边沿用第56.3节：只把实际使用的 $(q,a)$ 作为顶点；活动槽沿其固定正等待到达下一读取态，再按实际出现的数字产生一条或两条不同槽边。多次走同一槽边只计一条。对每个 $q\ne q_0$ 定义
$$
\begin{aligned}
V_q&=\#\{a:(q,a)\text{ 实际使用}\},&Z_q&=p-V_q,\\
A_q&=\#\{\text{不同活动前驱槽，其固定下一读取态为 }q\},\\
U_{1,q}&=\#\{\text{上述前驱槽中全局实际出度为一者}\},\\
H_q&=\sum_{a:(q,a)\text{ 使用}}\bigl(\deg^-(q,a)-1\bigr).
\end{aligned}
\tag{57.2}
$$
$U_{1,q}$ 就是第56.3节的 $N_q$，不数“一元历史”。$A_q$ 是不同前驱槽的数目，$H_q$ 则数多余入边；它们都没有把同一边的访问次数作为重数。每条前驱槽边只归给一个目标 $q$，故
$$
\sum_a\deg^-(q,a)=2A_q-U_{1,q},\qquad
Z_q+H_q+U_{1,q}=p+2A_q-2V_q.
\tag{57.3}
$$
这条恒等式容纳其他历史增加的第二条边：增加的入度会进入 $H_q$，不能通过把某条历史改称一元来抹去。与（56.4）合并，有
$$
pr=2M-p+\sum_{q\ne q_0}(Z_q+H_q+U_{1,q}).
\tag{57.4}
$$
$p$ 为奇数时，每个非起点目标的亏损 $Z_q+H_q+U_{1,q}\ge1$。这里使用第56.3节已经证明的奇数槽不能被不交二点对铺满的事实。

记
$$
r_0=\begin{cases}
2P-1,&p\text{ 偶},\\
1+2p(P-1)/(p-1),&p\text{ 奇}.
\end{cases}
\tag{57.5}
$$
已有 $r\ge r_0$，而定理56.4给 $C_A=M+2r_0-1$。每个非起点目标 $q$ 的实际最大进入等待记为 $L_q\ge1$。同一 $W$ 态有固定的下一读取目标，所以不同目标的 $W$ 路径不相交；长度 $L_q$ 的链含 $L_q$ 个不同等待态。因此
$$
w\ge\sum_{q\ne q_0}L_q.
\tag{57.6}
$$
以上实际等待不作模 $P$ 的缩短。若使用第56.9节的等价全类正规形，允许的缩短是模完整 $M$ 的最小正代表，整周期仍取 $M$。

### 57.2 从实际延续得到前缀码与槽质量

**命题 57.2（精确后缀质量及全局深度质量）。** 对每个实际读取槽 $v=(q,a)$，有
$$
\sum_{(x,i):\,(q(x,i),a(x,i))=v}2^{-(N_x-i)}\le1,
\qquad
\sum_{(x,i):\,(q(x,i),a(x,i))=v}2^{i-h}\le1.
\tag{57.7}
$$
因而定义目标读取态的全局深度质量
$$
K_q:=\sum_{(x,i):\,q(x,i)=q}2^{i-h}
     =\sum_{H:q_H=q}n_H2^{i_H-h}\quad(q\ne q_0)
\tag{57.8}
$$
时，总有 $K_q\le p$。$K_q$ 是带权访问质量，与前驱槽数 $A_q$ 不同。

证明。固定当前槽以后，其下一段等待与目标读取态由固定表决定；来源当前位于一个长度 $P$ 的数字块，平移后的下一数字至多有两种。给每个实际活动槽的一条或两条出边作固定的二进制标号，从当前槽到最终终止槽的完整后续边词就是二元词，长度为 $N_x-i$。

这些词对槽的不同访问互异。不同初态若产生相同词，固定控制表将把二者送入同一终止态，与固定初态解码矛盾。同一初态若多次访问这个槽，不同访问的剩余读取数不同，故词长不同。它们还必须前缀自由：一条完整词走到终止槽后，同一起点、相同前缀的另一条路径也已终止，不能再延长。因此访问到后缀词是单射，且所得有限词集前缀自由；这一步并没有假定历史到当前槽单射。

若当前槽是终止槽，只有一个初态的一次最终访问，对应唯一空词，质量直接等于一。其余情形没有空词，可以使用已有的有限二元前缀码 Kraft 不等式，得到第一式。又因 $N_x\le h$，逐项有 $2^{i-h}\le2^{-(N_x-i)}$，得到第二式；对一个 $q$ 的至多 $p$ 个槽求和即得（57.8）的界。$\square$

这里经典 Kraft 数值界归于固定版本 `ffec542f612d6e8858eb4b08715aed884285a2b0` 的 [KraftInequality](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/ffec542f612d6e8858eb4b08715aed884285a2b0/D5/S0/Computability/KraftInequality.lean) 中 `D5.S0.Computability.KraftInequality.finite_binary_kraft_inequality`，其前提是唯一可解码性；[PrefixFreeCode](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/ffec542f612d6e8858eb4b08715aed884285a2b0/D5/S0/Computability/Coding/PrefixFreeCode.lean) 中 `D5.S0.Computability.Coding.PrefixFreeCode.IsPrefixFree`、`uniquelyDecodable_of_isPrefixFree`、`kraft_inequality_of_isPrefixFree` 给前缀自由接口。后两条还要求空词不在码中，`isPrefixFree_eq_singleton_nil` 说明含空词的前缀码只能是空词单例。底层归属为 `InformationTheory.kraft_mcmillan_inequality`；不另造未提供的 mathlib 版本地址。从本控制合同构造忠实的后缀码是上面的普通证明义务，不因引用已有 Kraft 声明而自动取得 Lean 核验。

### 57.3 超额等待费用、区间松弛与两种权重的最小值

**定理 57.3（全类等待质量下界）。** 对上述正规化控制器，令 $\delta(x,i)$ 为第 $i\ge2$ 次读取前的实际等待，则
$$
\begin{aligned}
\sum_x\sum_{i=2}^{N_x}\delta(x,i)2^{-(N_x-i)}&\le pw,\\
\sum_x\sum_{i=2}^{N_x}(\delta(x,i)-1)2^{-(N_x-i)}&\le p(w-r+1).
\end{aligned}
\tag{57.9}
$$
将两式中的精确后缀权重替换为 $2^{i-h}$，结论仍成立。特别令
$$
V:=\sum_H n_H2^{i_H-h}(\delta_H-1),
\tag{57.10}
$$
有 $V\le\sum_{q\ne q_0}(L_q-1)K_q\le p(w-r+1)$。

证明。按目标读取态分组，每次进入 $q$ 的等待不超过 $L_q$；精确后缀质量按（57.7）在每个目标最多为 $p$。总等待由 $p\sum_qL_q\le pw$ 控制，超出必需单位等待的部分由 $p\sum_q(L_q-1)\le p(w-r+1)$ 控制。全局深度权重逐项不大，且 $\delta-1\ge0$，故同样成立。保留各目标的实际质量就得到关于 $V$ 的更细一式。$\square$

为取得参数可计算的必要费用，只在展开历史上放松相位与共享条件。当前已条件化数字块内的物理低位候选写为非空半开整数区间 $I=[l,u)\subseteq[0,P)$，$n=|I|$。一次正等待代表 $d\in\{1,\ldots,P\}$ 把区间平移；按跨越的数字块切开，再减去该块的 $P$ 倍数，得到至多两个非空低位区间
$$
I_z(d)=\{y+d-zP:y\in I,\ zP\le y+d<(z+1)P\}.
\tag{57.11}
$$
空区间不进入求和，只有一个非空区间的等待也保留并消耗一次读取。剩余可用读取数为 $j$ 时定义
$$
\begin{aligned}
G_j(I)&=0&&(|I|\le1),\\
G_0(I)&=+\infty&&(|I|>1),\\
G_j(I)&=\min_{1\le d\le P}\left\{
|I|2^{1-j}(d-1)+\sum_zG_{j-1}(I_z(d))\right\}
&&(|I|>1,\ j\ge1).
\end{aligned}
\tag{57.12}
$$
不可行孩子使该项为 $+\infty$。在根 $j=D$，其第 $\ell$ 次后首读的系数正是 $2^{\ell-D}=2^{i-h}$。

**推论 57.4（区间超额费用的容量界）。** 全类控制器满足
$$
w\ge r-1+\left\lceil G_D([0,P))\right\rceil,
\qquad
C_B(p,k)\ge M+2r_0-1+\left\lceil G_D([0,P))\right\rceil.
\tag{57.13}
$$
证明。首读后的每个数字纤维从完整区间 $[0,P)$ 开始。固定一个展开历史，等待是固定平移；按数字条件化以后仍是块内区间。将实际 $\delta$ 替换为模 $P$ 的最小正代表 $d$，会改变高位数字的编号，但保留各条件低位区间，且 $d\le\delta$。展开树可逐节点重新标记这些数字，不要求共享控制态的表项仍然一致。这是必要费用松弛，不是合法的驻定控制器变换。删掉单点之后的延续也只减少（57.10）的非负项，并不宣称实际控制器可免费删掉对应状态。因此每个纤维的费用至少是 $G_D([0,P))$，共有 $p$ 个纤维。用 $pG_D\le V\le p(w-r+1)$ 和等待态数的整数性即得。固定初始等待的删除只减容量，故容量下界也适用于未经正规化的原控制器。$\square$

**命题 57.5（精确后缀超额与全局深度超额的最小值相同）。** 考虑上面区间规则产生的有限历史树，根有 $n$ 个候选，叶均为单点，后首读叶深 $m_x\le D$；在这个松弛中允许单点继续经历一元读取。令
$$
\begin{aligned}
\kappa(T)&=\sum_x2^{-m_x},\\
\mathcal C(T)&=\sum_x\sum_{\ell=1}^{m_x}\delta_{x,\ell}2^{-(m_x-\ell)},\\
\mathcal E(T)&=\sum_x\sum_{\ell=1}^{m_x}(\delta_{x,\ell}-1)2^{-(m_x-\ell)},\\
\mathcal E_D(T)&=\sum_x\sum_{\ell=1}^{m_x}(\delta_{x,\ell}-1)2^{\ell-D}.
\end{aligned}
\tag{57.14}
$$
各等待取 $1,\ldots,P$。则
$$
\mathcal C(T)-\mathcal E(T)=2n-2\kappa(T),
\qquad
\min_T\mathcal E(T)=\min_T\mathcal E_D(T)=G_D([0,P))
\tag{57.15}
$$
在第二式中根取 $n=P,I=[0,P)$；等价地，第一项最小值可写为 $\min_T(\mathcal C(T)-2P+2\kappa(T))$。

证明。每个叶的差额为有限几何和
$$
\sum_{\ell=1}^{m_x}2^{-(m_x-\ell)}=2-2^{1-m_x},
$$
包括 $m_x=0$ 时的零，求和给第一式。因超额系数非负，任一 $T$ 有 $\mathcal E(T)\ge\mathcal E_D(T)$，从而 $\min\mathcal E\ge\min\mathcal E_D=G_D$；全局深度费用中，单点后的继续读取可删掉，正是（57.12）的单点基例。

反向，取达到 $G_D$ 的历史树，把每个提前出现的单点叶用单位等待补至深度 $D$。新加等待的超额项为零；原有祖先项的精确后缀权重却从 $2^{\ell-m_x}$ 变为 $2^{\ell-D}$。因此补齐树 $\widehat T$ 满足 $\mathcal E(\widehat T)=\mathcal E_D(T)=G_D$，给 $\min\mathcal E\le G_D$。这没有断言 $\mathcal E(\widehat T)=\mathcal E(T)$；补齐可严格降低原来的精确后缀超额。两种费用的最小值相等，不表示每棵树的数值相等，更不表示补齐保留驻定控制器状态数。$\square$

### 57.4 整数等待链尾与向量必要费用

**定理 57.6（整数尾计数）。** 对每个整数 $t\ge2$，定义
$$
J_t:=\sum_Hn_H2^{i_H-h}\mathbf1_{\delta_H\ge t},
\qquad
m_t:=\#\{q\ne q_0:L_q\ge t\}.
\tag{57.16}
$$
则
$$
J_t\le pm_t,\qquad
w\ge r-1+\sum_{t=2}^{P}\left\lceil J_t/p\right\rceil.
\tag{57.17}
$$
证明。延迟至少 $t$ 的历史只进入满足 $L_q\ge t$ 的目标，每个目标所收全局深度质量至多 $p$，所以 $J_t\le pm_t$。又有精确的整数层分解
$$
\sum_qL_q=(r-1)+\sum_{t\ge2}m_t.
$$
使用（57.6），保留 $2\le t\le P$，并对每个整数 $m_t$ 分别取上整，即得下界。实际图中的等待没有被减去 $P$ 或 $M$。$\square$

**定义 57.7（等待尾向量松弛）。** 坐标按 $t=2,\ldots,P$ 排列。令 $\mathcal V_j(I)$ 为如下有限向量集合：$|I|\le1$ 时取单例零向量；$j=0,|I|>1$ 时为空集；其余取所有
$$
|I|2^{1-j}\bigl(\mathbf1_{d\ge t}\bigr)_{t=2}^{P}
+\sum_zv_z,
\qquad
1\le d\le P,\quad v_z\in\mathcal V_{j-1}(I_z(d)).
\tag{57.18}
$$
一元等待包括在内。定义
$$
T_p(P,D):=\min_{v_0,\ldots,v_{p-1}\in\mathcal V_D([0,P))}
\sum_{t=2}^{P}\left\lceil\frac{\sum_{b=0}^{p-1}v_{b,t}}p\right\rceil.
\tag{57.19}
$$
这里必须先合并全部纤维的同一坐标，再除以 $p$ 取上整。$P=1$ 时向量维数为零，费用为零。

**推论 57.8（全类整数容量下界）。** 有
$$
w\ge r-1+T_p(P,D),\qquad
C_B(p,k)\ge M+2r_0-1+T_p(P,D).
\tag{57.20}
$$
证明。逐纤维展开真实历史，把每个等待投影为 $d=[\delta]_P^+$。对 $t\le P$，$\mathbf1_{d\ge t}\le\mathbf1_{\delta\ge t}$；单点后的延续被去除也只减少各坐标。因此归纳得到每个真实纤维贡献所逐坐标支配的一个 $v_b\in\mathcal V_D([0,P))$。将它们相加并代入（57.17）即得。所有候选向量仅是必要费用；不同纤维的树未必能以共同相位、固定初态标签和共享延续同时实现。$\square$

若只求最小费用，逐坐标删除被另一向量支配的向量不会改变最小值。但上整可以把严格的坐标下降隐藏在同一整数内，故这种删除可能抹去同为最优的见证。涉及等号或唯一性时，必须覆盖所有可能最小化的未剪枝向量，不能把 Pareto 剪枝后的唯一性转交给原集合。另外，坐标和满足 $\sum_{t=2}^P\mathbf1_{d\ge t}=d-1$，所以 $\min_{v\in\mathcal V_D([0,P))}\sum_tv_t=G_D([0,P))$；整数尾界保留的正是总和之外逐级取整的信息。

### 57.5 最小奇数读取态数处的关联质量耦合

**命题 57.9（根边造成的目标质量亏损）。** 设 $p$ 为奇数、$P>1$ 且 $r=r_0$。某个起点活动槽的首次后续读取在目标 $q$ 真分成两个孩子，大小分别为 $n_1,n_2$，则
$$
K_q\le p-1+\frac{\max(n_1,n_2)}{2^{D-1}}.
\tag{57.21}
$$
从这类根槽中选取目标互异的一组，为各目标选一条这样的根槽边，并令
$$
\sigma_q=1-\max(n_1,n_2)/2^{D-1}\ge0.
$$
于是
$$
V\le p(w-r+1)-\sum_{q\text{ 被选取}}(L_q-1)\sigma_q.
\tag{57.22}
$$
证明。将 $r=r_0$ 代入（57.4），总亏损恰为 $r-1$；每个非起点目标至少贡献一，故每个目标恰贡献一，特别 $H_q\le1$。选定根槽到达的两个不同目标槽不能都有另一条入边，否则 $H_q\ge2$。至少一个槽仅由该根槽进入。起点不回访，所以这个槽恰有对应孩子的 $n_i$ 次输入访问，且索引都是二，其质量为 $n_i2^{2-h}=n_i/2^{D-1}$；不存在从其他历史再进入的访问。其他槽各至多贡献一，得到（57.21）。孩子须在剩余 $D-1$ 次读取中分清，所以 $n_i\le2^{D-1}$。在定理57.3对 $V$ 的目标分组中保留这些 $p-K_q$ 的损失即可；同一目标只扣一次。此论证没有要求其余槽图无环，也没有要求全部历史到槽的映射单射。$\square$

### 57.6 九点纤维的完整有限尾证书

现在固定 $p=3,P=9,D=4,h=5$。以下有限对象始终是去掉单点延续的历史树，不是驻定控制器的枚举。把（57.18）的向量乘八，坐标为 $t=2,3,\ldots,9$，全部成为整数。为同时核对向量及树的唯一性，可把集合递推改成多重集递推：记 $B_j(l,u;v)$ 为区间 $[l,u)$ 产生整数向量 $v$ 的树数，单点只有 $B_j(l,u;0)=1$，非单点在 $j=0$ 或 $u-l>2^j$ 时所有计数为零；其余按
$$
B_j(l,u;v)=\sum_{d=1}^{9}\ \sum_{\substack{v=b_j(l,u,d)+\sum_zv_z}}
\prod_z B_{j-1}(l_z,u_z;v_z),
\qquad
b_j(l,u,d)_t=(u-l)2^{4-j}\mathbf1_{d\ge t}
\tag{57.23}
$$
计算，其中 $[l_z,u_z)=I_z(d)$。每个候选等待及每组孩子选择各贡献一次，只用必要的二元叶数界排除不可行项，不作逐坐标支配剪枝。递推给
$$
\sum_vB_4(0,9;v)=8910,\quad
\#\{v:B_4(0,9;v)>0\}=6128,\quad
\min_{B_4(0,9;v)>0}\sum_tv_t=125.
\tag{57.24}
$$
因此本例还有 $G_4([0,9))=125/8$，但下面的整数尾界使用完整向量。

另一种直接复算不依赖当前低位区间表示：状态为原始候选残数集 $S\subseteq\{0,\ldots,8\}$、完整相位 $e\in\mathbb Z/27\mathbb Z$ 和下一读取索引 $i$。根为 $(S,e,i)=(\{0,\ldots,8\},0,2)$；枚举 $d=1,\ldots,9$，用 $\lfloor[r+e+d]_{27}/9\rfloor$ 分组，孩子相位取 $e+d\pmod{27}$、索引加一，本节点向量贡献为 $|S|2^{i-5}\mathbf1_{d\ge t}$。单点停止，$i>5$ 的非单点不可行，$|S|>2^{6-i}$ 也不可行。对这套有理数递推与（57.23）逐向量比较，全部向量及其重数相同。这是两个有限生成表示的核对，不是把相位字段作为控制器的免费存储。

要决定三纤维的取整费用是否至多十八，设它们的整数向量为 $v^{(1)},v^{(2)},v^{(3)}$，合向量为 $s$。其费用为 $\sum_t\lceil s_t/24\rceil$。若费用至多十八，必有 $\sum_ts_t\le432$；每个成员和至少一百二十五，所以每个成员和至多 $432-2\cdot125=182$。这给出保留所有改进者及等号者的截止条件。递推中恰有以下二十七个不同向量满足该条件，表中索引从零开始；即使其中某个被支配，也仍保留。

| 57节证书索引 | 八倍尾向量，坐标顺序 $2,\ldots,9$ |
| --- | --- |
| 57.V00 | $(27,27,27,27,18,8,0,0)$ |
| 57.V01 | $(27,27,27,27,18,8,8,0)$ |
| 57.V02 | $(31,31,31,31,22,22,0,0)$ |
| 57.V03 | $(33,33,33,33,33,12,0,0)$ |
| 57.V04 | $(35,25,25,16,16,8,0,0)$ |
| 57.V05 | $(35,25,25,16,16,8,8,0)$ |
| 57.V06 | $(35,35,35,35,26,16,0,0)$ |
| 57.V07 | $(39,39,18,18,18,12,0,0)$ |
| 57.V08 | $(39,39,18,18,18,18,0,0)$ |
| 57.V09 | $(39,39,29,20,20,12,0,0)$ |
| 57.V10 | $(43,27,27,27,18,0,0,0)$ |
| 57.V11 | $(43,33,33,24,24,16,0,0)$ |
| 57.V12 | $(43,33,33,24,24,24,0,0)$ |
| 57.V13 | $(43,35,35,35,26,0,0,0)$ |
| 57.V14 | $(43,43,27,27,10,0,0,0)$ |
| 57.V15 | $(43,43,35,35,10,0,0,0)$ |
| 57.V16 | $(43,43,43,19,10,0,0,0)$ |
| 57.V17 | $(45,45,24,24,24,12,0,0)$ |
| 57.V18 | $(51,25,25,16,16,0,0,0)$ |
| 57.V19 | $(51,33,33,24,24,0,0,0)$ |
| 57.V20 | $(51,39,18,18,12,12,0,0)$ |
| 57.V21 | $(51,41,25,16,8,0,0,0)$ |
| 57.V22 | $(51,41,33,24,8,0,0,0)$ |
| 57.V23 | $(51,41,41,8,8,0,0,0)$ |
| 57.V24 | $(51,45,24,24,12,12,0,0)$ |
| 57.V25 | $(51,51,18,12,12,12,0,0)$ |
| 57.V26 | $(51,51,24,12,12,12,0,0)$ |

从表中选允许重复的无序三元组，只保留合向量和至多四百三十二者，恰有三百八十七组。直接逐坐标求 $\lceil s_t/24\rceil$ 后的费用分布为
$$
\{18:1,\quad19:41,\quad20:150,\quad21:152,\quad22:43\}.
\tag{57.25}
$$
唯一费用十八的三元组是 $(57.\mathrm V04,57.\mathrm V04,57.\mathrm V04)$。费用对纤维排列对称，而这个三元组三个成员相同，因此没有遗漏另外的有序等号情况；截止外三元组不能改进或取等。这证明有限松弛值
$$
T_3(9,4)=18.
\tag{57.26}
$$
这些计数可由（57.23）的有限加法、乘法及表中三重循环重现，不依赖未给出的程序或外部数据集。

多重集递推还给 $B_4(0,9;57.\mathrm V04)=1$。为明确唯一性的对象，以下给出这唯一的修剪树：节点写成“当前低位区间；剩余读取数；等待”，单点孩子直接停止。根是 $([0,9);4;4)$；它的孩子 $[4,9)$ 使用节点 $([4,9);3;2)$，孩子 $[0,4)$ 使用节点 $([0,4);3;6)$。前一个节点的孩子是 $[6,9)$ 与 $[0,2)$，后一个节点的孩子是 $[6,9)$ 与单点 $[0,1)$。两处 $[6,9)$ 均使用 $([6,9);2;1)$，分成 $[7,9)$ 与单点 $[0,1)$；其 $[7,9)$ 孩子使用 $([7,9);1;1)$ 分成两个单点。剩下的 $[0,2)$ 使用 $([0,2);2;7)$，只产生一个孩子 $[7,9)$，再以 $([7,9);1;1)$ 分清。唯一性同时由等待选择与所有孩子的重数一承担；它不声称未修剪树或实际驻定实现唯一。

### 57.7 将有限等号条件送回完整槽图

**定理 57.10（九点非二幂取得至少九十五态）。** 定义56.1中 $p=3,k=2$ 的任意正确、最坏至多五次读取的控制器，全部名义状态数至少为九十五。

证明。由 $r_0=25$ 与（57.20）、（57.26），正规化控制器有
$$
w\ge r-1+18,\qquad |Q|\ge27+r+w\ge44+2r\ge94.
\tag{57.27}
$$
若原控制器有非空固定初始等待且总数至多九十四，删除前缀得到至多九十三态，与此界矛盾。故排除九十四时可直接从 $q_0$ 开始；$r\ge26$ 又已要求至少九十六态。所以总数九十四将强制 $r=25,w=42$、恰二十七个终止态且没有另收费的不可达态。

取实际展开经过等待投影与单点修剪得到的三元组 $v_b$，令 $s_t=\sum_bv_{b,t}$，这里 $v_b$ 未乘八。逐坐标有
$$
\left\lceil s_t/3\right\rceil\le m_t,
\qquad
18\le\sum_{t=2}^{9}\left\lceil s_t/3\right\rceil
\le\sum_{t=2}^{9}m_t
\le\sum_{t\ge2}m_t\le42-24=18.
\tag{57.28}
$$
因此全部不等式取等，投影三元组必须是证书中的唯一等号三元组，并强制
$$
(m_2,m_3,m_4,m_5,m_6,m_7,m_8,m_9)
=(5,4,4,2,2,1,0,0),\qquad m_t=0\ (t\ge10).
\tag{57.29}
$$
实际最大等待至多七，且恰有一个读取目标 $q$ 满足 $L_q\ge7$。这一步只需要投影后的取整费用取等，不需要、也没有推出实际 $J_t$ 等于修剪后的 $s_t$。

在每个首读数字 $b=0,1,2$ 的唯一修剪树中，初始残数 $x=9b+3,9b+4$ 经过等待四、再等待二，到第三次读取时处于数字 $[b+1]_3$、低位 $0,1$。下一次等待为七，读数仍是 $[b+1]_3$，低位成为 $7,8$。这些是非单点历史，单点修剪不能删除；又因全部实际等待至多七，投影的模九正代表就是实际等待，故这些物理相位也在原图中成立。

这三条进入等待七的前驱槽，其数字分别为一、二、零，因此无论它们的读取态是否相同，都是三个不同的实际槽。它们必须都指向（57.29）中的唯一目标 $q$，所以 $A_q\ge3$，而 $V_q\le3$。由精确恒等式（57.3），
$$
Z_q+H_q+U_{1,q}=3+2A_q-2V_q\ge3.
\tag{57.30}
$$
另一方面，$r=25$ 使（57.4）的总亏损恰为二十四；二十四个非起点读取态各至少贡献一，故每个目标的亏损都只能是一，矛盾。

这里没有从“三条历史在该处一元”推断“三个前驱槽全局出度为一”。其他访问可给它们添加第二条实际边，也可增加其他前驱、单点延续、合并或环；$A_q\ge3$ 与 $V_q\le3$ 仍然成立，其影响已经包含在（57.3）中。任意单点补齐也不能去掉上述非单点前驱槽。因而排除的是整个合法驻定类的九十四态情形。容量为整数，得到至少九十五态。$\square$

### 57.8 用额外读取恢复分支标签的相邻对共享

**命题 57.11（专用相邻对构造的替换费用）。** 设有 $p$ 个分支，编号为 $b=0,\ldots,p-1$。进入待替换部分时，各分支的两个可能物理态恰是 $bP+L,bP+L+1$，其固定初态输出标签分别为 $\lambda_{b,0},\lambda_{b,1}$；这些标签是事先确定的终止态，不从当前物理态直接解码。其中 $0\le L\le P-3$，令 $d=P-L-1\ge2$。原来每支使用专用的 $d$ 个 $W$ 态及一个最终 $R$ 态，所有这些旧子控制器相互不交，没有别的执行使用将被删除的状态。还要求每条受影响路径在原读取预算内有一次额外读取余量，即进入替换部分后允许两次读取。

在这些条件下，可以把这 $p(d+1)$ 个内部态替换为 $d+2p$ 个内部态，净节省
$$
p(d+1)-(d+2p)=(p-1)d-p.
\tag{57.31}
$$
终止标签、外部状态与相应费用两边相同；只有右侧为正时才是严格节省。

证明。所有分支先进入一条共同的 $d-1$ 个 $W$ 态的链，再进入共享读取态 $q$。候选此时为当前数字 $b$、低位 $P-2,P-1$，所以在这个原分支内读数恒为 $b$。令 $q$ 的数字 $b$ 槽进入一个专用单位等待态，继而进入专用读取态 $T_b$。最后读数为 $b$ 时输出 $\lambda_{b,0}$，为 $[b+1]_p$ 时输出 $\lambda_{b,1}$；其他表项指向已有固定终止态。两步总等待仍是 $d$，所有读取间的等待都正，最终读后立即终止。

新内部态数为 $(d-1)+1+p+p=d+2p$。中间共享读取在每个旧分支内虽是常量，但在合并的全部分支间，其物理数字恢复了被丢弃的分支编号，随后固定表才可选择正确初始标签。证明使用的是给定的相位—数字关系及固定标签，不是在控制器外保留 $b$。专用性与无其他执行条件保证删除旧状态不会改变其他路径。$\square$

这比较的是两套明确构造，既不是任意图上的商变换，也不是最优容量公式。若旧链原已被其他分支共享，不能按 $p(d+1)$ 宣称节约；若当前数字与分支编号不具有所述关系，或没有额外读取预算，也不能套用。该构造展示了继续访问同一来源的能力如何承担后续标签恢复，即使各旧分支的中间答案分别为常量。

### 57.9 两个不同的三进总控制表

**定义 57.12（公共八行基表）。** 以下均固定 $p=3,P=9,M=27$，使用二十七个终止态 $H_x$，其固定输出为 $x$，形式后继取自身；另有一个起点读取态。首读为 $b$ 时写初态 $x=9b+r$。下表各行给原始残数区间 $[l,u)$、阈值 $c$、累计等待 $E$ 及该行的进入等待 $\delta$。

| 57节基表行 | $c$ | $[l,u)$ | $E$ | $\delta$ |
| --- | ---: | --- | ---: | ---: |
| 57.B5 | 5 | $[0,9)$ | 4 | 4 |
| 57.B3 | 3 | $[0,5)$ | 6 | 2 |
| 57.B2 | 2 | $[0,3)$ | 7 | 1 |
| 57.B1 | 1 | $[0,2)$ | 8 | 1 |
| 57.B4 | 4 | $[3,5)$ | 14 | 8 |
| 57.B8 | 8 | $[5,9)$ | 10 | 6 |
| 57.B7 | 7 | $[5,8)$ | 11 | 1 |
| 57.B6 | 6 | $[5,7)$ | 12 | 1 |

未替换的基表为每个 $b$、每行分别配置一个读取态 $R_{b,c}$ 和专用的 $\delta$ 个单位等待态。起点数字 $b$ 进入该分支四个 $W$ 态的链，再到 $R_{b,5}$。在行 $(b,c)$，令
$$
a=[b+\lfloor E/9\rfloor]_3.
$$
数字 $a$ 选择区间 $[l,c)$，数字 $[a+1]_3$ 选择 $[c,u)$；若孩子为单点 $\{r\}$，进入 $H_{9b+r}$，否则进入唯一匹配孩子区间的行的等待链。剩余数字指向 $H_0$。$E\equiv-c\pmod9$，故这些数字条件恰与阈值一致。每个等待权重展开为逐次发出 $W$ 的显式状态，$E,c,b$ 都只是编制表时的固定索引，不是额外时钟或寄存器。由此给出的所有动作所需表项均为总函数。

未共享基表有 $1+3\cdot8=25$ 个 $R$ 态、$3(4+2+1+1+8+6+1+1)=72$ 个 $W$ 态和二十七个终止态，共一百二十四态。这只是用于下面两种替换的共同指定构造，不是任何受限类的最优值。

**命题 57.13（一百一十一态上界）。** 从公共基表删除三个 $R_{b,4}$ 及其三条八步等待链，把三个原来指向这些链的父边都接到一条七步公共等待链，链末为共享读取态 $q$。对每个 $a\in\{0,1,2\}$，$q$ 的数字 $a$ 槽先执行一个专用 $W$ 态，再到专用读取态 $T_a$。$T_a$ 的总表为
$$
\begin{aligned}
a&\longmapsto H_{9[a-1]_3+3},\\
[a+1]_3&\longmapsto H_{9[a-1]_3+4},
\end{aligned}
\tag{57.32}
$$
剩余数字进入 $H_0$。该控制器正确，最坏读取数五，总状态数一百一十一。

证明。只有原来 $r\in\{3,4\}$ 的分支使用替换部分。它们到父行 $R_{b,3}$ 已实际等待六步，低位为零、一，当前数字为 $[b+1]_3$。再走七步进入 $q$ 时累计 $E=13$，物理态为 $[9b+16]_{27},[9b+17]_{27}$，两者读数均为 $a=[b+1]_3$，低位分别七、八。接下来一个真实 $W$ 只使后一候选跨过数字边界。于是 $T_a$ 的数字 $a$ 对应初态 $9[a-1]_3+3$，数字 $[a+1]_3$ 对应初态 $9[a-1]_3+4$，正是（57.32）。这也给出命题57.11在当前 $L=0,d=8$、当前数字 $[b+1]_3$ 下的具体实例。

所有其他分支保持基表。对它们逐行归纳，实际来源始终为 $[9b+r+E]_{27}$，阈值规则选择包含 $r$ 的孩子，终止标签为 $9b+r$。修改分支读起点、行五、行三、$q$、$T_a$，恰五次；其他分支至多五次。计数为
$$
\begin{aligned}
r&=25-3+1+3=26,\\
w&=72-24+7+3=58,\\
|Q|&=26+58+27=111.
\end{aligned}
\tag{57.33}
$$
每个链态都真实执行单位加一，没有复位或逆步。由第56.5节，一个首读纤维有九个候选，四次总读取只剩三层二元分支、至多八叶，故该控制器的五次最坏读取确属最优读取数。$\square$

**命题 57.14（一百一十二态的三条二元历史反例）。** 从公共基表另作一种替换：仍删除三个 $R_{b,4}$ 及三条八步链，但使用一条八步公共链进入共享态 $q$；$q$ 的每个数字 $a$ 槽经一个专用单位等待态进入 $T_a$。这次终止公式为
$$
\begin{aligned}
a&\longmapsto H_{9[a-2]_3+4},\\
[a+1]_3&\longmapsto H_{9[a-1]_3+3},
\end{aligned}
\tag{57.34}
$$
其余数字仍指向 $H_0$。它是最坏五次读取、共一百一十二态的正确总控制器；同一 $q$ 承载三个二候选、二结果历史。

证明。进入共享态时累计 $E=14$。原 $b$ 分支的两个物理候选为
$$
[9(b+2)-1]_{27}\quad(r=3),\qquad
[9(b+2)]_{27}\quad(r=4).
\tag{57.35}
$$
其数字分别为 $[b+1]_3,[b+2]_3$，三个分支的二元数字对沿三环排列。固定 $q$ 的数字 $a$ 槽，其中恰有两种输入：来自 $b=[a-1]_3,r=3$ 的块末态，及来自 $b=[a-2]_3,r=4$ 的块首态。执行一次 $W$ 后，前者数字变为 $[a+1]_3$，后者仍为 $a$，所以（57.34）恢复各自初态标签。其余路径与基表相同。读取数仍是修改分支五次、其余至多五次，状态数为
$$
r=26,\qquad w=72-24+8+3=59,\qquad |Q|=26+59+27=112.
\tag{57.36}
$$
这三个历史都是第 $i_H=4$ 次读取前的二候选历史，故各自质量 $n_H2^{i_H-h}=2/2=1$；每个槽收来自两条历史的各一次访问，质量恰为一，总质量 $K_q=3=p$。所以“任意读取最优控制器的同一读取态最多承载 $\lfloor p/2\rfloor$ 条二元历史”在本例失败，因为三大于一；带权质量界却恰好取等。$\square$

一百一十一态构造在 $q$ 上每条原分支历史只有一个结果，一百一十二态构造在 $q$ 上每条原分支历史有两个结果，二者不能互换作为同一个反例。前者给更小的上界，后者明确否定无饱和假设的历史出现数装箱断言。二者的 $P=9$ 均非二幂，不触及第56.6—56.7节在 $P=2^D$ 下的槽单射与精确容量。

对两套上述总表按每个显式 $W/R$ 状态执行全部二十七个输入，得到以下有限核对读数。检查范围包括全部表项总定义、每个输入终止、输出恰为初态、正的读取间等待、最后读后立即停止，以及每个计费名义态至少由一个输入到达。

| 57节执行对象 | 可达 $R$ 态 | 可达 $W$ 态 | 终止态 | 最大读取数 | 最大实际 $W$ 次数 | 用三／四／五次读取的输入数 |
| --- | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | --- |
| 57.EX111 | 26 | 58 | 27 | 5 | 14 | $3,6,18$ |
| 57.EX112 | 26 | 59 | 27 | 5 | 15 | $3,6,18$ |

这项有限执行支持表的正确实现，不承担九十五态的全类下界；后者由定理57.10的结构桥与第57.6节的完整松弛证书承担。

### 57.10 共同实现的剩余义务与来源界面

式（57.1）把两种容量的局部差别限制为
$$
19\le C_B(3,2)-C_A(3,2)\le35.
\tag{57.37}
$$
已有的 $C_A(3,2)=76$ 来自定理56.4；新的全类下界和显式上界仍留下十六态的区间宽度。有限历史松弛允许分别选择每个纤维的等待和停止时刻，却没有自动保证这些选择能以同一组实际读取槽、完整模 $M$ 相位、固定初态终止标签及来源无关的 $W$ 后继共同实现。九十四态的排除正是一个必要费用最优值不能实现为共同驻定图的例子。一般参数的 $G_D$、$T_p$ 和最小奇数读取态数处的质量亏损都是下界工具，不是驻定容量达到公式；一般非二幂精确 $C_B$、本例的确切端点及更一般的同时实现条件仍是未解决问题。

已有研究的解码与成本界面继续按第56.10节区分。van den Bos—Vaandrager 的测试 DAG 以最大观察迹区别状态，Frohme 的 Minimum Size 计自适应符号树，Raz 的奇偶学习下界使用分布性成功与分层宽度；这些对象都不能代替这里的终止态单独解码、每个单位等待态收费及总驻定容量。

另可比较 Türker、Hierons、Mousavi、El-Fakih 的 [*Efficient State Identification for Finite State Machine-Based Testing*, DOI:10.1109/TSE.2025.3604472，作者接受稿第7—8页，定义11—15、18及定理1—2](https://eprints.whiterose.ac.uk/id/eprint/230260/1/Ordered_Wset_Accepted.pdf)。其 identification path 从指定 $s_1$ 开始，在所列条件下从各模型态执行刻画词，BO-WSet 约束转移长度之和；例3的 $x_2$ 可把所有状态送往 $s_1$ 并给出依来源而异的输出。这里没有把这种转移实现为固定物理 $W/R$ 词，也没有把它的费用变成未知初态取得的总驻定状态数。只采用这些已核对的接口与成本比较，不移用容量或计算困难性；补充材料中的 NP-hardness 证明未在此核验。经典 Kraft 界归属第57.2节所列仓内声明，控制器到后缀码、整数等待计费及共同实现障碍由本节普通推导承担。

本节成果是普通数学证明、明确有限控制表和可重现的整数证书，没有新增 Lean/kernel 核验或原创性主张。它推进的是一般读取预算下的必要结构及一个非二幂局部区间，既不完成一般 $C_B$，也不完成空间、时间、边界与记忆之间关系表示的长期目标。

## 57.99 追加锚

## 58. 完整相位下的联合槽界与共同等待实现

本节连接三种属于同一执行的量：驻定控制器实际占用的记忆态、逐次加一所实现的等待，以及固定高位边界留下的可区别信息。以下必要界同时保留前驱关联、目标空槽与延续质量；充分构造则把共享读取和共享等待尾链放回同一个完整物理来源。第55—57节的控制合同、既有精确容量及已发表区间保持原义。所得为普通数学推导与一个具体上界见证，不是一般 $C_B$ 的精确公式。

### 58.1 实际前驱槽与唯一剩余预算

**定义 58.1（完整执行与目标关联记号）。** 固定整数 $p\ge2,k\ge0$，置 $P=p^k,M=pP$，物理空间为 $X=\mathbb Z/M\mathbb Z$。$[z]_m$ 表示模 $m$ 的非负代表，$[z]^+_m=1+[(z-1)]_m$ 表示最小正代表。唯一来源动作是 $W:s\mapsto s+1$，唯一读取是 $R$ 返回 $d(s)=\lfloor[s]_M/P\rfloor$ 而不改变 $s$。对定义56.1的任意正确、逐点有限终止的驻定总控制器，按引理56.2只删除固定初始 $W$ 前缀并旋转固定终止标签，以 $q_0$ 开始读取。下文不缩短其余任何实际等待，尤其不作独立的模 $P$ 延迟替换。

记 $r,w$ 为正规化控制器实际可达的 $R,W$ 态数；$|Q|$ 仍收费全部名义态。每个初态 $x$ 的读取总数为 $N_x$，任取整数 $h$ 满足所有 $N_x\le h$。第 $i$ 次读取的态、数字和自上次读取起的实际等待分别记为 $q(x,i),d(x,i),\delta_{x,i}$，后者仅在 $2\le i\le N_x$ 定义且为正整数。访问 $(x,i)$ 保留重数；槽 $(q,d)$、不同槽边均不按访问次数重复计数。

实际使用的槽若立即进入固定终止标签，称终止槽；其余称活动槽。对活动槽 $v$，固定表决定其下一读取目标 $\tau(v)$ 及正等待 $\delta(v)$。令 $\Gamma(v)$ 为该槽在全部实际访问中出现的不同下一槽集合。平移一个长为 $P$ 的数字块至多跨一个数字边界，故 $|\Gamma(v)|\in\{1,2\}$；二元时两数字循环相邻。这是全局槽的出度，不是某条历史的分支数。

对每个非起点读取目标 $q$，置
$$
\begin{aligned}
A_q&=\#\{v\text{ 活动}:\tau(v)=q\},\\
N_q&=\#\{v\text{ 活动}:\tau(v)=q,\ |\Gamma(v)|=1\},\\
V_q&=\#\{d:(q,d)\text{ 实际使用}\},\qquad Z_q=p-V_q,\\
H_q&=\sum_{d:(q,d)\text{ 使用}}\bigl(\deg^-(q,d)-1\bigr),\\
\Delta_q&=Z_q+H_q+N_q.
\end{aligned}
\tag{58.1}
$$
这里 $N_q$ 等于定义57.1的 $U_{1,q}$；$N_x$ 则始终是输入的读取次数。$H_q$ 的入度只数不同实际前驱槽。起点的全部 $p$ 个槽使用且无入边，每个其他使用槽都有入边。设
$$
\begin{gathered}
\epsilon=p\bmod2,\qquad \alpha=\frac{p+\epsilon}{2},\qquad
\beta=\frac{p-\epsilon}{2},\\
r_0=\begin{cases}2P-1,&p\text{ 偶},\\
1+2p(P-1)/(p-1),&p\text{ 奇},\end{cases}
\qquad e=r-r_0\ge0,\\
b_q=\frac{\Delta_q-\epsilon}{2},\qquad
S_r=\beta e=\frac{(p-\epsilon)r-2M+p+\epsilon}{2}.
\end{gathered}
\tag{58.2}
$$
$r_0$ 及 $C_A=M+2r_0-1$ 沿用第56.3—56.4节。$P=1$ 时 $r_0=1$；空目标集按空和解释。

**定理 58.2（目标空槽与前驱关联的精确预算）。** 对定义58.1中的每个实际目标，$b_q$ 为非负整数，且
$$
\Delta_q=p+2A_q-2V_q,\qquad
A_q+Z_q=\alpha+b_q,\qquad
\sum_{q\ne q_0}b_q=S_r.
\tag{58.3}
$$
特别 $A_q\le\alpha+b_q$。偶数 $p$ 时 $S_r=p(r-(2P-1))/2$；奇数 $p$ 时 $S_r=(p-1)(r-r_0)/2$。这一个预算同时约束全部目标，不能为不同等待层另选一个不相关的分配。

证明。进入 $q$ 的不同槽边数为 $2A_q-N_q$，故
$$
H_q=2A_q-N_q-V_q,\qquad Z_q=p-V_q.
$$
相加得到第一式；$Z_q,H_q,N_q$ 非负且 $\Delta_q\equiv p\pmod2$，所以 $\Delta_q\ge\epsilon$，$b_q$ 是非负整数。将 $V_q=p-Z_q$ 代回，得第二式。

为明确全局预算的计数口径，令 $U$ 为全部活动槽数、$U_1=\sum_qN_q$、$Z=\sum_qZ_q$、$H=\sum_qH_q$。每个初态恰有一个最后使用槽，不同初态不能共享终止槽，因此终止槽恰有 $M$ 个。实际使用槽总数为 $U+M$，非根使用槽数为 $U+M-p$。于是总边数既为 $2U-U_1$，也为 $U+M-p+H$，而 $pr=U+M+Z$。消去 $U$ 得
$$
\sum_{q\ne q_0}\Delta_q=pr-2M+p.
$$
扣去 $r-1$ 个 $\epsilon$ 再除以二，得到 $\sum_qb_q=\beta r-M+\alpha=\beta(r-r_0)$。环、合并及同槽多次访问都不改变上述不同边计数；单条一元历史也没有被当成全局一出边槽。$\square$

### 58.2 同一组目标上的嵌套联合界

**定义 58.3（等待层、空槽层与到达质量）。** 令
$$
L_q=\max_{v:\tau(v)=q}\delta(v)\ge1.
$$
对每个整数 $t\ge1$，定义
$$
\begin{aligned}
F_t&=\{q\ne q_0:L_q\ge t\},&m_t&=|F_t|,\\
Z_t&=\sum_{q\in F_t}Z_q,&B_t&=\sum_{q\in F_t}b_q,\\
A_t&=\#\{v\text{ 活动}:\delta(v)\ge t\},\\
J_t&=\sum_{x\in X}\sum_{i=2}^{N_x}2^{i-h}\mathbf1_{\delta_{x,i}\ge t},\\
J_t^*&=\sum_{x\in X}\sum_{i=2}^{N_x}2^{-(N_x-i)}\mathbf1_{\delta_{x,i}\ge t}.
\end{aligned}
\tag{58.4}
$$
$A_t$ 数不同前驱槽，$J_t,J_t^*$ 数带权实际到达访问；两者的计数单位不同。$F_t$ 是同一个控制器的嵌套目标集，故
$$
B_1=S_r,\qquad B_{t+1}\le B_t,\qquad
B_t-B_{t+1}=\sum_{L_q=t}b_q.
\tag{58.5}
$$
$Z_t$ 也随这同一目标集嵌套，不能与 $B_t$ 独立选择。

**定理 58.4（前驱、空槽、实际后缀质量的联合必要界）。** 对每个整数 $t\ge2$，同时有
$$
A_t+Z_t\le\alpha m_t+B_t,\qquad
J_t\le J_t^*\le pm_t-Z_t.
\tag{58.6}
$$
因此
$$
\begin{aligned}
w&\ge r-1+\sum_{t\ge2}
\max\left\{0,\left\lceil\frac{J_t^*+Z_t}{p}\right\rceil,
                  \left\lceil\frac{A_t+Z_t-B_t}{\alpha}\right\rceil\right\},\\
|Q|&\ge C_A+2e+\sum_{t\ge2}
\max\left\{0,\left\lceil\frac{J_t^*+Z_t}{p}\right\rceil,
                  \left\lceil\frac{A_t+Z_t-B_t}{\alpha}\right\rceil\right\}.
\end{aligned}
\tag{58.7}
$$
每个有限截断仍是有效下界。把 $J_t^*$ 换成 $J_t$ 仍成立；把 $B_t$ 换成 $S_r$ 只会削弱界。进一步丢弃 $Z_t$ 得到
$$
\begin{gathered}
m_t\ge\max\left\{0,\left\lceil J_t^*/p\right\rceil,
                         \left\lceil(A_t-S_r)/\alpha\right\rceil\right\},\\
w\ge r-1+\sum_{t\ge2}\max\left\{0,\left\lceil J_t^*/p\right\rceil,
                         \left\lceil(A_t-S_r)/\alpha\right\rceil\right\};
\end{gathered}
\tag{58.8}
$$
这里同样可使用 $J_t$。

证明。每个被 $A_t$ 计入的槽都指向 $F_t$，但 $F_t$ 还可以收到等待短于 $t$ 的槽。因而 $A_t\le\sum_{q\in F_t}A_q$。在定理58.2的第二式上对 $F_t$ 求和，即得第一条联合不等式。

证明质量界时，固定的是实际**目标槽** $(q,d)$。在这个槽上收集所有到达访问 $(x,i)$，包括由所有不同前驱槽、不同历史及不同读取深度进入者；不能为各前驱分别使用一次容量一。给每个活动槽的至多两条实际下一槽边固定不同的二进制标号。一次当前槽访问之后，沿实际执行直到最后终止槽的完整边词，其长度恰为 $N_x-i$。

这些完整词在固定目标槽上两两不同。若不同初态有相同词，固定表沿该词经过相同槽并到同一个固定输出，违反精确解码。同一初态在不同读取索引处再访该槽时，剩余读取数不同，故完整词长不同。它们还前缀自由：一条完整词的末端已是终止槽，同起点、同一前缀的另一条词也已经到该终止槽，不能继续产生下一读取边。此论证包含所有进入方式，没有假定历史到槽单射，也没有排除控制图中的环。

若该槽是终止槽，仅有一个初态的一次最终访问，唯一词为空词，其后缀质量直接为 $2^0=1$。否则完整词都非空。对有限前缀码，取不小于全部词长的整数 $K$；每条长度 $\ell$ 的词有 $2^{K-\ell}$ 个长度 $K$ 的延长词，前缀自由使这些集合互不相交，故 $\sum2^{-\ell}\le1$。因此在每个使用槽上
$$
\sum_{(x,i):(q(x,i),d(x,i))=(q,d)}2^{-(N_x-i)}\le1.
\tag{58.9}
$$
经典有限二元 Kraft 数值界的来源仍是第57.2节所列固定版本 `ffec542f612d6e8858eb4b08715aed884285a2b0` 的 `D5.S0.Computability.KraftInequality.finite_binary_kraft_inequality`，以及 `D5.S0.Computability.Coding.PrefixFreeCode` 的 `IsPrefixFree`、`uniquelyDecodable_of_isPrefixFree`、`kraft_inequality_of_isPrefixFree`。后两个接口要求不含空词；上面的终止槽单独处理恰满足该边界。控制访问到这个前缀码的映射由本证明承担。

长到达访问只是上述全体访问的子集。把它们按实际目标 $(q,d)$ 一次性分组，再对 $q\in F_t$ 的使用槽求和，得到
$$
J_t^*\le\sum_{q\in F_t}V_q=pm_t-Z_t.
$$
又因 $N_x\le h$，逐访问有 $2^{i-h}\le2^{-(N_x-i)}$，故 $J_t\le J_t^*$。终止于此次长到达的空词访问已经包括在此求和中。

最后，一个实际 $W$ 态沿固定后继到达的下一 $R$ 态唯一，因此不同读取目标不能共享 $W$ 态。到 $q$ 的最长实际等待路径含 $L_q$ 个不同 $W$ 态，否则会陷入确定等待环。于是
$$
w\ge\sum_{q\ne q_0}L_q=(r-1)+\sum_{t\ge2}m_t.
$$
对（58.6）中的同一个整数 $m_t$ 取上整，并用 $|Q|\ge M+r+w$ 与 $C_A=M+2r_0-1$，即得（58.7）。实际控制器有限且全部输入终止，所有这些尾和实际只有有限个非零层。$\square$

在每层以 $S_r$ 代替 $B_t$ 是合法松弛：它在每层给出一个独立成立的弱不等式，没有宣称同时花费多份剩余；丢失的是（58.5）及空槽与剩余所属目标的共同约束。精确后缀质量描述实际执行，若在单点之后补充读取，祖先访问的 $N_x-i$ 会增大、相应权重会下降，故不能把未经证明的单点补齐当成保持 $J_t^*$ 的操作。以上各式均是依赖控制器的必要界，尚不是只含 $p,k$ 的容量公式。

### 58.3 最少读取态处的实际目标类型

**推论 58.5（$e=0$ 的必要关联分类）。** 若 $r=r_0$，偶数 $p$ 的每个非起点目标均满足
$$
Z_q=H_q=N_q=0,\qquad A_q=p/2,\qquad V_q=p.
\tag{58.10}
$$
其全局二元前驱贡献的相邻数字对恰分割全部 $p$ 个槽。奇数 $p$ 时，每个目标恰属于以下一种：

| 58节目标类型 | $(Z_q,H_q,N_q)$ | $A_q$ | $V_q$ | 实际不同入边的结构 |
| --- | --- | ---: | ---: | --- |
| 58.Tunused | $(1,0,0)$ | $\beta$ | $p-1$ | 不交的全局二元相邻对覆盖全部使用槽 |
| 58.Texcess | $(0,1,0)$ | $\alpha$ | $p$ | 全部前驱二元；恰一个数字槽入度二，其余入度一 |
| 58.Tunary | $(0,0,1)$ | $\alpha$ | $p$ | 恰一个全局一出边前驱供应一个数字，其余 $\beta$ 个前驱供应不交二元相邻对，且不碰该单槽 |

证明。$\sum_qb_q=0$ 与 $b_q\ge0$ 迫使每个 $b_q=0$，故 $Z_q+H_q+N_q=\epsilon$。偶数情形三项全零。奇数情形三项是非负整数且和为一，得到表中三个三元组。$A_q+Z_q=\alpha$ 与 $V_q=p-Z_q$ 给出槽数；$H_q$ 是入度超额之和，所以分别确定无重复覆盖或恰一个二重覆盖。二元边对的相邻性来自实际来源平移。$\square$

该分类只约束实际控制器的关联，未证明任何抽象列出的图案都能保持相位和后继而实现。容量目标是 $M+r+w$，增加读取态可以减少所需等待态，故不能预设总容量最优者必有 $r=r_0$。

### 58.4 完整物理支持给出的前驱与到达排斥

**定理 58.6（实际历史的物理相位证书）。** 在一个定义58.1的控制器中，选取任意有限组不同的完整读后历史 $H$，要求下一段实际等待 $\delta_H\ge t$。历史包括截至当前读数的全部动作和答案，故确定当前数字 $d_H$、累计单位等待 $E_H$ 及精确相容初态集 $I_H$。使用完整模 $M$ 的物理支持
$$
S_H=\{[x+E_H]_M:x\in I_H\}.
\tag{58.11}
$$
以这些历史为顶点；两不同历史在 $d_H\ne d_{H'}$、$\delta_H\ne\delta_{H'}$ 或 $S_H\cap S_{H'}\ne\varnothing$ 至少一项成立时连边。所得图 $G_t$ 满足
$$
\chi(G_t)\le A_t.
\tag{58.12}
$$
因此任何已证明的 $\kappa_t\le\chi(G_t)$ 均可在（58.6）—（58.8）中代替 $A_t$，得到有效弱界；一个大小为 $j$ 的两两不相容集合即给 $\kappa_t=j$。

再对每个实际活动槽 $v$ 定义其精确支持
$$
S_v=\{[x+E_{x,i}]_M:(q(x,i),d(x,i))=v\},
\tag{58.13}
$$
其中 $E_{x,i}$ 是该访问前全部实际 $W$ 数。若不同活动槽 $u,v$ 的下一读取目标同为 $q$，则
$$
(S_u+\delta(u))\cap(S_v+\delta(v))=\varnothing
\quad\text{于 }\mathbb Z/M\mathbb Z.
\tag{58.14}
$$
特别对每个目标数字块 $D_d=\{dP,\ldots,dP+P-1\}$，有
$$
\sum_{v:\tau(v)=q}|(S_v+\delta(v))\cap D_d|\le P.
\tag{58.15}
$$

证明。如果两历史共用一个实际前驱槽，该槽的数字、固定正等待与下一读取目标均相同。若其精确物理支持相交，就有两个实际读后出现位置处于同一槽和同一物理来源。若属于不同初态，确定未来给出同一固定输出，违反正确性；若属于同一初态，两个不同完整历史必是不同出现位置，重复非终止联合配置使它永不终止。故把每个历史映到实际前驱槽是至多使用 $A_t$ 色的合法着色。

对第二部分，若两个精确平移支持相交，分别取见证访问。等待平移后，两者到达相同读取态 $q$ 及相同来源位置。不同初态再次违反固定输出；同一初态若两到达是同一出现位置，其紧前活动槽唯一，不可能来自不同 $u,v$，故只能是两次不同到达，从而重复联合配置。两种情形均不可能。由两两不交及 $|D_d|=P$ 得到（58.15）。$\square$

这里“精确”不能换成包含实际支持的任意超集：超集交叠可能没有两条实际访问作见证，不能据此添加不相容边。单独约化的模 $P$ 历史还丢掉了高位进位，除非证明它们具有一个共同的模 $M$ 物理提升，否则不能直接放入 $G_t$。图着色给必要的前驱槽数，支持不交也给必要的到达约束；二者都没有逐数字规定共享读取态的后继，更没有规定共享等待态的唯一后继，所以单独满足这些条件仍不构成驻定实现。

### 58.5 一个完整历史族的忠实商判据

**定义 58.7（原子执行树与可实现分划）。** 固定 $p,P,M$。一棵忠实有限执行树 $T$ 只有一个共同根 $o$，节点动作属于 $R,W,H_x$。根是 $R$，全部初态集 $I_o=X$，累计等待 $E_o=0$。每个节点 $v$ 都有非空的精确初态集 $I_v$；其 $E_v$ 是根到该节点之前的 $W$ 节点数，当前来源为 $[x+E_v]_M$。

$W$ 节点仅有一个孩子 $v^+$，满足 $I_{v^+}=I_v,E_{v^+}=E_v+1$，且该动作真实执行一次加一。$R$ 节点的实际数字集合与孩子满足
$$
\begin{gathered}
D(v)=\{d([x+E_v]_M):x\in I_v\},\\
I_{v[d]}=\{x\in I_v:d([x+E_v]_M)=d\},\qquad
E_{v[d]}=E_v\quad(d\in D(v)).
\end{gathered}
\tag{58.16}
$$
恰为每个非空数字类保留一个孩子，不添加没有实际输入的分支。叶 $H_x$ 的初态集必须为 $\{x\}$，输出固定为 $x$。每个初态从同一根按真实数字走到叶，路径上的来源动作词为 $R(W^+R)^*$，末次读取后直接进入叶。若指定读取预算，还要求每条路径满足该预算。所有 $W$ 中间位置都已经展开，不能把一个有权边当作一个原子 $W$ 节点。

给 $T$ 的节点一项等价关系 $\sim$。称其满足驻定闭合，当且仅当以下条件全部成立：等价节点动作种类一致；等价 $W$ 节点的唯一孩子等价；等价 $R$ 节点对每个双方都实际出现的数字 $d$，其 $d$ 孩子等价；两个等价终止叶的固定标签相同。第三条逐数字量化于每个等价类中所有使用该数字的节点，不要求它们具有相同的实际数字集合。

**定理 58.8（固定完整历史族的充分必要商条件）。** 对定义58.7的一棵给定忠实树和一项给定分划，存在一个以等价类为状态、逐原子动作忠实实现这棵树全部初态路径的驻定总控制器，当且仅当该分划满足驻定闭合。控制器从共同类 $[o]$ 开始，叶类的输出为原固定标签，全部类均可达。反向，任意正确有限控制器在全部初态上的完整有限展开树，按原控制态身份识别出现位置，所得分划必满足这四条条件。

证明。先设闭合成立。每个类的动作由动作一致性确定。$W$ 类的后继为任一代表的孩子类，$W$ 闭合使之与代表无关。对 $R$ 类 $C$，若有代表实际使用数字 $d$，令总表 $\rho(C,d)$ 为该代表的 $d$ 孩子类；逐数字闭合使全部此类代表给出同一个结果。若没有代表使用 $d$，将该槽指向已有的 $H_0$ 叶类。终止类按分离条件输出唯一标签，以自身为形式后继。故定义了全部动作及全部数字槽的固定总函数，没有树外的记忆字段。

固定任意初态 $x$，沿其原树路径 $v_0=o,v_1,\ldots,v_m=H_x$ 归纳。开始控制态为 $[v_0]$，来源为 $x$。若在 $v_j$ 前控制态为 $[v_j]$、来源为 $[x+E_{v_j}]_M$，则 $W$ 步执行同一个单位增量并由后继闭合进入 $[v_{j+1}]$；$R$ 步观察同一个真实数字，由（58.16）和逐数字闭合进入 $[v_{j+1}]$，来源不动。由此每个前缀的来源相位、动作、数字及下一类均保持。末端输出为原叶的 $x$，读取数和实际等待逐项相同。归纳指标是原树有限路径的索引，不是商图的拓扑序，故即使商图有环，或某个类含祖先与后代，也不会产生额外真实执行；每个真实输入仍在自己的有限树叶停止。每个节点的 $I_v$ 非空，所以每个类由某个实际输入到达。

必要性方面，若控制器忠实实现该固定分划，同一个状态不能有两种动作，不能有两个 $W$ 后继，也不能对同一数字有两个 $R$ 后继，更不能输出两个不同初态标签，四条闭合逐项必要。对任意正确控制器，有限初态集上的逐点有限终止给出有限完整历史树；同一答案前缀的全部动作由固定表决定，故可以共享同一根而不作依初态准备。物理支持按真实动作展开即满足（58.16），按原状态身份取分划即得上述条件。$\square$

该判据精确处理一个已经选定的完整历史族及其分划，并未选择最优历史，也未求最小类数。它补充了定理58.6中着色缺少的动作和后继条件。对不同历史分别找到数值可行的颜色，仍须把它们放在这一棵忠实树上并满足同一张总表，才能使用充分性方向。

### 58.6 专用复制阈值树中的共同等待与一元读取

**定义 58.9（带真实相位的复制骨架）。** 对原始低位标签 $\eta\in[0,P)$ 取一棵有限二元阈值树。节点 $n$ 的整数区间为 $[l_n,u_n)$，非单点节点取 $l_n<c_n<u_n$，两孩子为 $[l_n,c_n)$ 和 $[c_n,u_n)$，单点即叶。每个首读数字 $b\in\{0,\ldots,p-1\}$ 复制同一骨架，叶 $\{\eta\}$ 的输出固定为初态 $bP+\eta$。首读后先处于 $[0,P)$，虚拟父阈值取 $a_0=P$、累计等待取零。递归地令
$$
\delta_n=[c_{\mathrm{parent}(n)}-c_n]^+_P,\qquad
E_n=E_{\mathrm{parent}(n)}+\delta_n,
\tag{58.17}
$$
根使用上述虚拟父数据。$E_n\equiv-c_n\pmod P$。二元读取时初态 $bP+\eta$ 的物理来源为 $[bP+\eta+E_n]_M$，其两个实际数字为
$$
\gamma_n(b)=[b+\lfloor E_n/P\rfloor]_p,\qquad
[\gamma_n(b)+1]_p,
\tag{58.18}
$$
分别对应 $\eta<c_n$ 与 $\eta\ge c_n$。$E_n,b,c_n$ 在此是指定有限表的静态索引，不是运行中的附加寄存器。

令 $\chi_p=2$（$p$ 偶）或 $3$（$p$ 奇），并定义相邻对着色
$$
\operatorname{col}(a)=
\begin{cases}
a\bmod2,&p\text{ 偶},\\
a\bmod2,&p\text{ 奇且 }0\le a\le p-2,\\
2,&p\text{ 奇且 }a=p-1.
\end{cases}
\tag{58.19}
$$
同色的相邻数字对 $\{a,[a+1]_p\}$ 两两不交。一个未共享到其他逻辑节点的普通节点可以按此用 $\chi_p$ 个二元读取态及各自长度 $\delta_n$ 的等待链，内部费用为 $\chi_p(\delta_n+1)$。

**定理 58.10（带计费的一元恢复共同等待部件）。** 在定义58.9的一个节点 $[l,u)$、阈值 $c$，设父阈值为 $a_0$、父累计等待为 $E_0$，且 $E_0\equiv-a_0\pmod P$。置
$$
\delta=[a_0-c]^+_P,\qquad E=E_0+\delta,\qquad
v=u-c,\qquad s=\delta-v.
\tag{58.20}
$$
若 $s\ge1$，并且每条经过该节点的后代路径均允许在原读取预算内增加一次读取，则可以用一条共同的 $s$ 个 $W$ 态链、一个共同读取态 $U$、以及 $\chi_p$ 个各带 $v$ 个 $W$ 态链的二元读取态实现原来的二元分割及全部后代固定标签。这个指定部件的内部态数为
$$
s+1+\chi_p(v+1),
\tag{58.21}
$$
相对定义58.9的专用普通节点，节省
$$
\chi_p(\delta+1)-\bigl(s+1+\chi_p(v+1)\bigr)
=(\chi_p-1)s-1.
\tag{58.22}
$$
所有新读取间等待为正。严格节省当且仅当 $(\chi_p-1)s>1$；偶数 $p,s=1$ 时费用相等。

这里的比较要求原节点及其被比较的链是专用于该复制树节点的计费部件，没有其他逻辑节点使用这些被比较的内部态；各 $b$ 副本及子树按指定骨架接线。多处插入时，必须逐条完整后代路径同时满足总读取预算，不能分别重复使用同一份读取余量。

证明。全部 $b$ 分支先进入同一条 $s$ 步链，末端为 $U$。此时累计等待为 $E-v$。写 $E=qP+P-c$，则
$$
E-v=qP+P-u,\qquad
\eta+P-u\in[P-(u-l),P).
\tag{58.23}
$$
所以 $U$ 的真实数字恒为 $\gamma=[b+q]_p$，低位为 $\eta+P-u$。它对每个固定 $b$ 的候选是一元读数，但在全部 $b$ 副本间给出全部 $p$ 个数字。令 $U$ 的数字 $\gamma$ 槽进入颜色 $\operatorname{col}(\gamma)$ 的 $v$ 步链。再执行 $v$ 次单位增量，来源恰为 $[bP+\eta+E]_M$，二元读取见到 $\gamma$ 当且仅当 $\eta<c$，见到 $[\gamma+1]_p$ 当且仅当 $\eta\ge c$。

在该色读取态中，这一相邻对与同色其他 $b$ 副本的相邻对不交，故固定表由数字唯一确定 $b=[\gamma-q]_p$ 及下、上孩子。孩子为单点时进原 $H_{bP+\eta}$，否则进入该副本的指定后代入口。所有未占数字槽指向已有 $H_0$。整个等待为 $s+v=\delta$，二元读取及其后代的完整物理相位和标签保持；额外的 $U$ 读取明确收费。$s,v\ge1$ 给合法正等待，直接计数得到（58.21）和（58.22）。$\square$

该构造从指定复制树产生一张总表，不主张能在任意已有共享图中删除同数状态或作局部改写。若旧链另有使用者，其费用不能按此专用数相减；若没有每条后代路径的读取余量，也不能插入 $U$。

### 58.7 二元读取与等待尾链的全参数共同实现

**定理 58.11（单节点与奇数满块的兼容装入）。** 对定义58.9的任意有限复制阈值骨架，可在满足定理58.10的节点插入一元部件；要求全部路径共同满足给定读取预算。共有 $P-1$ 个二元节点，令
$$
d_n=\begin{cases}\delta_n,&n\text{ 普通},\\
u_n-c_n,&n\text{ 带一元部件}.
\end{cases}
\tag{58.24}
$$
把二元节点分成允许的块：任意 $p$ 均允许单节点块，使用 $\rho_B=\chi_p$ 个读取态；当 $p$ 为奇数时还允许恰含 $\beta=(p-1)/2$ 个不同二元节点的满块，使用 $\rho_B=p$ 个读取态。块中节点可以有祖先与后代关系。每个块的每个读取态配一条长度
$$
L_B=\max_{n\in B}d_n
$$
的 $W$ 尾链，节点 $n$ 的相应入口位于距该读取态 $d_n$ 的位置。则存在正确、全部表项总定义的驻定控制器，准确计数为
$$
\begin{aligned}
\#R&=1+|\mathcal G|+\sum_B\rho_B,\\
\#W&=\sum_{g\in\mathcal G}s_g+\sum_B\rho_B L_B,\\
\#H&=M,\\
|Q|&=M+1+\sum_{g\in\mathcal G}(s_g+1)
                  +\sum_B\rho_B(1+L_B),
\end{aligned}
\tag{58.25}
$$
其中 $\mathcal G$ 是一元部件集合。所有计费状态都可达；装入保持原骨架每个输入的读取次数、实际等待、完整来源相位及固定终止标签。

证明。单节点块使用（58.19）的颜色。固定颜色和实际数字唯一确定所属相邻对，继而由（58.18）恢复该节点的原始 $b$ 和下、上孩子。

奇数满块按位置 $j=0,\ldots,\beta-1$ 列出节点 $n_j$。该节点原始分支 $b$ 的下方数字记为 $\gamma=\gamma_{n_j}(b)$，把它放入读取颜色
$$
z=[\gamma-2j-1]_p.
\tag{58.26}
$$
对固定颜色 $z$，位置 $j$ 使用的数字对为
$$
[z+2j+1]_p,\qquad[z+2j+2]_p.
\tag{58.27}
$$
这 $\beta$ 对互不相交，恰覆盖除 $z$ 外的所有数字。因而颜色与实际数字唯一确定位置 $j$、下或上结果，以及该对的下方数字 $\gamma$。节点 $n_j$ 的常数 $\lfloor E_{n_j}/P\rfloor$ 再唯一确定 $b=[\gamma-\lfloor E_{n_j}/P\rfloor]_p$。固定表遂可进入这个确切逻辑孩子：单点时进 $H_{bP+\eta}$，否则进相应非单点孩子入口。这不要求不同节点有相同累计等待，也不需要运行时保存相位寄存器。

对每个块色 $(B,z)$ 设置不同于其他块色的状态
$$
W_{B,z,L_B}\longrightarrow\cdots\longrightarrow W_{B,z,1}
\longrightarrow R_{B,z}.
\tag{58.28}
$$
每个箭头起点执行一个 $W$。普通节点入口直接进入 $W_{B,z,d_n}$；带一元部件的节点先进入其专用公共 $s_g$ 链和 $U_g$，由 $U_g$ 的真实数字恢复 $\gamma_n(b)$，再进入 $W_{B,z,d_n}$。起点读取数字 $b$ 后进入根的对应入口。全部终止标签的形式后继为自身，未占读取槽均指向 $H_0$。

为验证这是一项共同驻定实现，把上述专用骨架先完整展开成定义58.7的原子树。其 $b$ 分支通过同一个初始 $R$ 根联结，每个节点的完整来源按（58.17）和（58.23）确定。作如下分划：起点独占一类；二元读出现位置按块色归类；尾链出现位置按 $(B,z,i)$ 归类；每个一元部件的公共链位置和 $U_g$ 分别按自身位置归类；叶按 $H_x$ 归类。动作一致及不同终止标签分离直接成立。

逐数字 $R$ 后继闭合不只来自颜色数目：对单节点，颜色及数字恢复 $b$ 和孩子；对满块，（58.27）恢复 $n_j,b$ 和孩子，所以所有使用同一类同一数字的出现位置进入同一个孩子类。$U_g$ 的每个数字也恢复唯一的 $b$，从而进入唯一指定块色的尾链位置。$W$ 后继闭合则逐距离成立：$(B,z,i)$ 在 $i>1$ 时必进 $(B,z,i-1)$，在 $i=1$ 时必进同一个 $R_{B,z}$；公共一元链同样按距离闭合。这给出定理58.8要求的完整分划，而不只是一个数值着色检查。

再直接沿任一输入 $x=bP+\eta$ 的有限逻辑路径归纳。在二元节点前来源始终为 $[bP+\eta+E_n]_M$；尾链入口距读取态 $d_n$ 恰执行 $d_n$ 个真实增量，一元部件先执行 $s_g$ 再执行 $d_n=v_n$，合计原 $\delta_n$。观察到的真实数字选择包含 $\eta$ 的原孩子，固定表进入该孩子的确切入口，叶输出原 $bP+\eta$。故源相位、观察、后继、初始标签和读取预算同时保持。即使同块含祖先和后代、控制图产生环，归纳仍沿有限逻辑路径进行，不会新增真实路径或导致循环。

最后核对可达费用。每个二元节点的区间两侧均非空，每个 $b$ 副本都由相应输入到达。单节点颜色函数用到全部 $\chi_p$ 色；满块任一节点的 $b\mapsto\gamma_n(b)$ 是 $p$ 数字置换，故使用全部 $p$ 色。选块中达到 $d_n=L_B$ 的节点，每个色的最长入口都由某个 $b$ 到达，因而全部尾链状态与读取态可达。每个一元部件的公共链、$U_g$ 及每个 $H_x$ 同样有真实输入见证。不同块色链相互分离，同色链只共享明确的尾段，因此（58.25）准确计费。$\square$

### 58.8 先选未装入骨架、再优化固定骨架的构造算法

**定理 58.12（阈值与读取余量递推的上界）。** 固定 $p,k$，令 $D=\lceil\log_2P\rceil$。对整数 $0\le l<u\le P$、父阈值 $a_0\in\{0,\ldots,P\}$、剩余后首读预算 $j\ge0$，定义未作跨节点装入的复制骨架费用 $F(a_0,l,u,j)$，取值于非负整数与 $+\infty$。若 $u-l=1$，取零；若 $u-l>1,j=0$，取 $+\infty$。其余对所有 $l<c<u$，置 $\delta=[a_0-c]^+_P,v=u-c,s=\delta-v$，取下列允许项的最小值：
$$
\begin{aligned}
F_{\rm ordinary}(c)&=\chi_p(\delta+1)
 +F(c,l,c,j-1)+F(c,c,u,j-1),\\
F_{\rm shared}(c)&=s+1+\chi_p(v+1)
 +F(c,l,c,j-2)+F(c,c,u,j-2)
 \quad(j\ge2,\ s\ge1).
\end{aligned}
\tag{58.29}
$$
无允许有限项时取 $+\infty$。$F(P,0,P,D)$ 有限。取一棵实现这个最小值的骨架，再用定理58.11的允许块作装入，得到
$$
C_B(p,k)\le M+1+\sum_{g\in\mathcal G}(s_g+1)
                       +\sum_B\rho_B(1+L_B)
\le M+1+F(P,0,P,D).
\tag{58.30}
$$
该算法的第一步只最小化未装入费用，第二步只对第一步已选定的骨架最小化允许块费用；它不保证联合最优的装入骨架，更不保证全驻定类的最优容量。

证明。普通节点消耗一次后首读，两个孩子均剩 $j-1$；共同等待节点依次读 $U$ 与二元态，两个孩子均剩 $j-2$。叶不再读取。对 $j$ 及区间规模归纳，递推中的每个有限选择均对应定义58.9及定理58.10—58.11所用的专用复制骨架，反之该未装入构造族的根选择及孩子费用均在递推内。$F$ 不记录完整 $E_0$，因为节点等待由 $a_0$ 决定，费用与 $b$ 的循环置换无关；选定树之后仍须按（58.17）递归求出完整整数 $E_n$，才按（58.18）确定固定总表。

第55.4节的平衡阈值树给每条路径至多 $D$ 次后首读，选全部普通项即可，故根费用有限。使用全单节点块时，定理58.11给出的费用恰为 $M+1+F(P,0,P,D)$。允许进一步装入不会增大最优块费用，得（58.30）。所有输入的总读取数至多 $D+1$；第55.3节的二元叶数界迫使最坏读取数至少为 $D+1$，故这个构造确属读取最优类。叶数界并未给该构造族的容量最优性。$\square$

对已选固定骨架，令 $N=P-1$ 并排序 $d_1\ge\cdots\ge d_N>0$，相等者固定任意顺序。奇数 $p$ 的允许块大小为一及 $\beta$，相应费用系数分别为 $\chi_p$ 与 $p$。定义前缀费用 $K_0=0$；对 $1\le m\le N$，令
$$
K_m=\min\left\{
K_{m-1}+\chi_p(1+d_m),\quad
K_{m-\beta}+p(1+d_{m-\beta+1})\ \text{若 }m\ge\beta
\right\}.
\tag{58.31}
$$
偶数 $p$ 只保留第一项；$p=3$ 时 $\beta=1$ 两项相同。$N=0$ 时费用为零。$K_N$ 恰是这棵固定骨架在上述块族中的最小费用，而非仅对某一任意预定顺序的估计。

证明此最小性所需的连续块性质如下。给任意合法分块，把各块按最大 $d$ 非增排序，最大值相同时按块内最早排序索引递增排序；记第 $j$ 块大小为 $s_j$，最大值的最早索引为 $i_j$。在整个有序列表中，所有索引小于 $i_j$ 的项都属于较早的块：否则其所在块的最大值更大，或同最大值的最早索引更小，均应更早排列。故
$$
i_j\le1+\sum_{a<j}s_a.
$$
保留这个块大小序列，改用连续分组；新第 $j$ 块始于 $k_j=1+\sum_{a<j}s_a\ge i_j$，其最大值 $d_{k_j}\le d_{i_j}$，而块费用系数由块大小确定，因此逐块费用不增。所有合法分块都可如此化为不更贵的连续分块。递推（58.31）按最后块大小列出全部连续分块，遂达到这个固定骨架的块族最小值。这里一元部件的费用已经固定，不参加第二步。此重排合法还依赖定理58.11允许任意节点组合，包括祖先与后代，并且保留每个节点自身的 $E_n,d_n$ 及子标签。

若 $P=2^D$，每个首读纤维有恰 $2^D$ 个叶。剩余 $j$ 次读取最多给 $2^j$ 个叶；一元读取使下一层只有一个孩子，叶数至多 $2^{j-1}$。达到饱和叶数的节点因此不允许一元读取或提前停止，必须真正二分，且两个孩子各自达到 $2^{j-1}$ 叶。对剩余深度归纳，每个节点都等分原始连续标签区间，强制完美中点树，任何一元插入都不满足深度预算。$P=1$ 时没有后首读节点。

在偶数 $p$ 的这个饱和族，只有单节点块，$\chi_p=2$。$P>1$ 时根等待 $P/2$；每个有两个内部孩子的节点，其左右孩子最小正进入等待之和为 $P$，这样的父节点共有 $P/2-1$ 个。因此 $\sum_n\delta_n=P(P-1)/2$，得到 $1+2(P-1)$ 个读取态、$P(P-1)$ 个等待态和 $M$ 个终止态，即
$$
M+P^2+P-1.
\tag{58.32}
$$
$P=1$ 也给 $M+1$。这是第56.7节已给出的饱和构造及其既有精确结论的恢复；这里的递推不向非饱和参数转移该最优性。

### 58.9 五进二十五初态的五十五态上界见证

**定义 58.13（十二读态、十八等待态的完整总表规则）。** 固定 $p=5,k=1,P=5,M=25,D=3$。原始标签写为 $x=5b+\eta$，$b,\eta\in\{0,1,2,3,4\}$。二元节点按以下数据指定；单点孩子栏直接写低位标签，非单点写节点名。

| 58节见证节点 | $[l,u)$ | $c$ | 二元读取累计 $E$ | 二元入口距离 $d_n$ | 下孩子 | 上孩子 | 块与位置 |
| --- | --- | ---: | ---: | ---: | --- | --- | --- |
| 58.N | $[0,5)$ | 3 | 2 | 2 | NL | NU | A，0 |
| 58.NL | $[0,3)$ | 2 | 3 | 1 | NLL | 2 | A，1 |
| 58.NLL | $[0,2)$ | 1 | 4 | 1 | 0 | 1 | B，0 |
| 58.NU | $[3,5)$ | 4 | 6 | 1 | 3 | 4 | B，1 |

NU 的父是 N，原进入等待为 $[3-4]^+_5=4$；它使用 $v=1,s=3$ 的一元部件，公共读取 $U$ 的累计等待为五，随后二元读取累计等待为六。两个满块依次为 $(\mathrm N,\mathrm{NL})$ 与 $(\mathrm{NLL},\mathrm{NU})$，各有五色。

全部状态是以下不交集合：读取态 $\mathrm{Start},U,A_z,B_z$（$0\le z<5$）；等待态 $A_{z,2},A_{z,1},B_{z,1}$（$0\le z<5$）及 $C_3,C_2,C_1$；终止态 $H_x$（$0\le x<25$）。上述读取态动作均为 $R$；等待态动作均为一次 $W$，固定后继是
$$
A_{z,2}\to A_{z,1}\to A_z,\qquad
B_{z,1}\to B_z,\qquad
C_3\to C_2\to C_1\to U.
\tag{58.33}
$$
$H_x$ 的动作为停止、固定输出为 $x$、形式后继为自身。没有其他状态或可变字段。

为明确全部读取后继，定义静态入口 $\mathsf{Ent}(n,b)$：若 $n=\eta$ 为单点标签，取 $H_{5b+\eta}$；若 $n=\mathrm{NU}$，取 $C_3$；其他二元节点取其块色的尾链入口 $A_{z,d_n}$ 或 $B_{z,d_n}$，其中
$$
\gamma_n(b)=[b+\lfloor E_n/5\rfloor]_5,\qquad
z=[\gamma_n(b)-2j_n-1]_5.
\tag{58.34}
$$
起点数字 $b$ 的后继为 $\mathsf{Ent}(\mathrm N,b)=A_{[b-1]_5,2}$。$U$ 的数字 $a$ 的后继为 $B_{[a-3]_5,1}$。对每个二元节点 $n$、每个 $b$，在其（58.34）所给的读取态上，把数字 $\gamma_n(b)$ 的后继设为 $\mathsf{Ent}(\text{下孩子},b)$，把数字 $[\gamma_n(b)+1]_5$ 的后继设为 $\mathsf{Ent}(\text{上孩子},b)$。每个 $A_z,B_z$ 剩余未占数字 $z$ 的后继为 $H_0$。该规则逐一确定每个读取态的五个数字槽；相邻对（58.27）使它们无冲突。

**命题 58.14（五十五态见证的正确性与准确费用）。** 定义58.13的总表从一个共同起点对全部二十五初态正确，最坏读取数四，最坏实际 $W$ 数六。全部状态可达，且
$$
\#R=1+5+5+1=12,\qquad
\#W=5\cdot2+5\cdot1+3=18,\qquad
\#H=25,\qquad |Q|=55.
\tag{58.35}
$$
因此 $C_B(5,1)\le55$。

证明。表的动作种类和后继已在（58.33）—（58.34）及终止规则中总定义。N、NL、NLL、NU 的二元累计等待分别为二、三、四、六，均满足 $E_n\equiv-c_n\pmod5$。所以（58.18）在每个节点按原始 $\eta$ 正确分割，不从当前高位直接猜原始 $b$。

若 $\eta\in\{0,1\}$，依次读 Start、N、NL、NLL，累计等待依次为 $0,2,3,4$，最后读数选择 $H_{5b}$ 或 $H_{5b+1}$。若 $\eta=2$，读 Start、N、NL，累计等待为 $0,2,3$，从 NL 进入 $H_{5b+2}$。若 $\eta\in\{3,4\}$，从 N 的上孩子进入三步公共链；在 $U$ 前累计等待为五，来源为 $[5(b+1)+\eta]_{25}$，真实数字为 $a=[b+1]_5$。由 $U$ 进入 $B_{[a-3]_5,1}$，再执行一步，NU 二元读取的来源为 $[5b+\eta+6]_{25}$，数字为 $a$（$\eta=3$）或 $[a+1]_5$（$\eta=4$），正确输出原始 $H_{5b+3}$ 或 $H_{5b+4}$。回绕 $b=4$ 也由这些完整模二十五等式覆盖。

各二元块的两个位置在同一色中占四个互异数字；读色和数字唯一确定原节点、$b$ 及孩子。每个 $A_z$ 由某个 $b$ 的 N 到达，连同其两步等待链全部可达；每个 $B_z$ 由某个 $b$ 的 NLL 到达，连同其一步链可达。$\eta=3,4$ 的输入到达公共三步链及 $U$，每个 $H_x$ 则由输入 $x$ 到达。所以（58.35）数的是全部真实可达的计费状态。五点首读纤维不能由剩余两次二元读取区分，故四次最坏读取也是既有合同中的最优读取数。$\square$

对这一张指定总表的全部二十五初态逐原子动作执行，所得有限读数如下；同一行的五进高位 $b$ 遍历 $0,\ldots,4$。

| 58节执行组 | 输入数 | 读取时累计实际 $W$ 数 | 实际读取数 | 实际 $W$ 总数 |
| --- | ---: | --- | ---: | ---: |
| 58.X01：$\eta=0,1$ | 10 | $0,2,3,4$ | 4 | 4 |
| 58.X2：$\eta=2$ | 5 | $0,2,3$ | 3 | 3 |
| 58.X34：$\eta=3,4$ | 10 | $0,2,5,6$ | 4 | 6 |

此次有限核对包括全部表项总性、固定终止输出等于输入、每一原子前缀的物理相位 $[x+E]_{25}$、各次真实数字与等待、读取上限、正的读间等待、末次读取后立即停止，以及可达计费数 $12R,18W,25H$。它检验的是本表，没有枚举其他控制器，也不承担全参数必要界或五十五态的全局最小性。

### 58.10 共同实现仍未解决的优化边界

式（58.6）把长等待的实际前驱槽数、使用数字可承载的后缀质量和一项嵌套剩余分配联系起来；定理58.6进一步要求这些访问在同一完整来源上不发生联合配置碰撞。定理58.8则给一个固定忠实历史族的精确商条件，定理58.11用它同时落实共享读取、共享等待与固定初始标签。这些关系解释了为何额外一次对同一来源的读取可以减少等待记忆：共同等待期间失去的分支区分，由一元部件在全部分支间的真实高位读数恢复，而该读取本身及每个等待前缀仍收费。

尚缺的不是把若干独立最小值相加，而是在一个共同历史族及其实际相位上同时选择等待、停止深度、目标槽、剩余分配和闭合分划，并证明所需费用下界恰能达到，或给出更强的不能达到证明。分别最优的 $A_t,J_t^*,Z_t,B_t$ 可能没有共同物理实现；固定骨架上的最优块分配也没有优化所有骨架。一般非对称纤维、一元历史、单点延续、循环读取图及更一般兼容槽共享仍在定义56.1的允许类内，本节没有将它们排除为非最优。第56.9节的全类有限刻画保持有效，但一般非二幂 $C_B$ 的精确参数值仍未由这些界求出。

第57节已发表的局部区间继续是
$$
95\le C_B(3,2)\le111.
\tag{58.36}
$$
其中 $M=27,r_0=25$。在正规化、恰有二十七个终止态且没有额外名义态的候选中，$r=25,w\le43$ 给总容量至多 $27+25+43=95$；结合既有下界，若它正确则必须达到九十五态，特别 $w=43$。这里考察的是九十五态的门槛，不是把第57.7节已完成的九十四态排除再作一次新结论。本节没有提供九十五态的达到见证，也没有提供其排除证明，故不改变（58.36）。

本节的经典 Kraft 前提归属第58.2节所列两个钉版声明；已有读取下界、$r_0,C_A$、饱和容量及局部区间分别按第55—57节的假设使用。联合预算、完整支持桥、固定历史商条件及参数化构造在这里以普通证明给出；五十五态表另有明确有限执行范围。读取源声明和执行有限表均不构成新增 Lean/kernel 核验，也没有原创性主张。空间、时间、边界与记忆的上述互相恢复只在所写共同来源、固定标签、因果操作及资源量词内成立；原一般 $C_B$ 问题和长期关系恢复目标均保持未完成。

## 58.99 追加锚

## 59. 完整分裂层的加权不交装槽与五十三态取得

本节沿用定义55.1、56.1的同一增量来源、固定高位端口和终止态单独解码合同。等待的费用取每个实际读取态所需的最长进入尾链；把同一组节点的全部读取态一律配上组内最大等待，可能多计可以省去的状态。以下先求一个明确受限的加权装槽问题的精确值，再把达到分划编译为完整驻定控制器。装槽最小值量化于固定的出现位置、实际数字对和延迟，不是对全部取得控制器的容量最小值。

### 59.1 任意低位集合及其固定原始标签

**定义 59.1（有限分裂／共享方案）。** 固定整数 $p\ge2,k\ge0$，置 $P=p^k,M=pP$，并记 $[z]_m$ 为模 $m$ 的非负代表。物理来源初始为 $x\in\{0,\ldots,M-1\}$，$W$ 将同一个来源加一模 $M$，$R$ 返回 $\lfloor[s]_M/P\rfloor$ 且不改来源。对每个非空集合 $S\subseteq\{0,\ldots,P-1\}$、整数 $j\ge0$ 和单射
$$
\lambda:\{0,\ldots,p-1\}\times S\longrightarrow\{0,\ldots,M-1\},
\tag{59.1}
$$
一个部件的合同是给出 $p$ 个静态入口 $E_b$：对所有 $b$ 及 $y\in S$，以实际来源 $s=bP+y$ 进入 $E_b$ 后，至多再读 $j$ 次，停止于固定输出为 $\lambda(b,y)$ 的 $H_{\lambda(b,y)}$。入口下标 $b$ 只用来编制父节点的固定后继，不是执行时额外保留的寄存器。终止名称取自固定公共标签集合 $H_0,\ldots,H_{M-1}$；部件的内部费用只计读取和等待，完整初始化时才一次分配这 $M$ 个终止态。任意部件不声称全部终止标签都可达，也不声称每个输入恰用 $j$ 次读取。

方案是一棵有限递归树。若 $S=\{y\}$，它立即成为叶，$E_b=H_{\lambda(b,y)}$，不再执行来源动作；若 $|S|>1,j=0$，没有可行方案。其余节点选择整数延迟 $1\le d\le P$，定义
$$
\begin{aligned}
S_z&=\{y+d-zP:y\in S,\ zP\le y+d<(z+1)P\},\qquad z\in\{0,1\},\\
T&=\{[y+d]_P:y\in S\}.
\end{aligned}
\tag{59.2}
$$
允许以下两类节点，所有孩子预算均为 $j-1$。

分裂节点要求 $S_0,S_1$ 均非空，两个孩子分别具有可行方案。孩子 $z$ 的标签为
$$
\lambda_z(a,t)=\lambda([a-z]_p,t-d+zP),\qquad t\in S_z.
\tag{59.3}
$$
当前数字为 $b$ 的出现位置记为 $(v,b)$；等待 $d$ 后的两个实际数字为 $b,[b+1]_p$，数字 $a=[b+z]_p$ 必须进入孩子 $z$ 的入口 $E^z_a$。每个分裂节点有全部 $p$ 个这样的出现位置，每个位置的两种结果都非空。

共享节点只取一个低位集合为 $T$ 的可行孩子。对每个 $t\in T$ 令
$$
y=[t-d]_P,\qquad z=\left\lfloor\frac{y+d}{P}\right\rfloor,\qquad
\lambda'(a,t)=\lambda([a-z]_p,y).
\tag{59.4}
$$
全部 $E_b$ 进入同一条 $d$ 步等待链，末端是一个读取态 $U$；$U$ 的数字 $a$ 后继为孩子入口 $E'_a$。这里不要求该读数在每条旧历史上是一元的；孩子接收的是所有数字副本上的 $T$ 和单射 $\lambda'$。全部非叶入口都是收费的 $W$ 态，两个相继读取间有至少一个真实单位增量。方案只在编制表时使用 $S,j,\lambda$ 和节点身份。

完整初始化另加一个所有初态共用的起点读取态和恰 $M$ 个固定终止态，根数据为
$$
S=\{0,\ldots,P-1\},\qquad
j=D=\min\{m\in\mathbb N:P\le2^m\},\qquad
\lambda(b,y)=bP+y.
\tag{59.5}
$$
起点对数字 $b$ 进入根的 $E_b$，此前没有依赖来源的准备。单个任意部件的合法入口合同，不自动等于这个完整初始化合同。

### 59.2 进位、逆标签及可行预算

**定理 59.2（方案的共同来源语义与可行性）。** 对定义59.1的每个部件，有限方案存在当且仅当 $|S|\le2^j$。任意可行方案都能以有限固定总表实现其入口合同，其分裂节点数恰为 $|S|-1$。分裂和共享的标签传输保持单射；沿每个合法输入路径，终止标签始终是入口时所要求的 $\lambda(b,y)$，来源的完整模 $M$ 相位等于原来源加上已经真实执行的单位增量数。

证明。对任意 $b,y,d$，置 $z=\lfloor(y+d)/P\rfloor\in\{0,1\}$、$t=y+d-zP$，有实际来源恒等式
$$
[bP+y+d]_M=[b+z]_pP+t.
\tag{59.6}
$$
固定 $z$ 时，$(b,y)\mapsto([b+z]_p,t)$ 把该进位分支的全部 $p$ 个数字副本双射到 $\{0,\ldots,p-1\}\times S_z$；逆映射为 $(a,t)\mapsto([a-z]_p,t-d+zP)$。因此（59.3）在其定义域内良定、单射，两个孩子的标签像不交，并且二者的并恰为父标签像。

共享时，$y\mapsto[y+d]_P$ 是 $S$ 到 $T$ 的双射；给定 $t$ 后，（59.4）唯一恢复 $y$ 和其进位 $z$，再由 $a$ 恢复旧 $b$。故（59.6）也是全部 $p$ 副本之间的双射，（59.4）正是其逆映射上的标签拉回。即使旧历史不是一元历史，未来部件的正确性也适用于每个 $(a,t)$，最终输出仍为原来的标签。这个论证没有让控制器免费读取 $t$：$t$ 只是证明入口合同的变量，实际表只按 $a$ 进入已编制的孩子入口。特别地，$d=P$ 时 $T=S$ 而
$$
\lambda'(a,t)=\lambda([a-1]_p,t),
\tag{59.7}
$$
高位旋转没有消失；这里从不把既定等待独立约成模 $P$ 的零步。

为先给一个未跨节点共享的实现，每个分裂节点使用 $\chi_p=2$（$p$ 偶）或 $\chi_p=3$（$p$ 奇）个专用读取态。偶数时按 $b\bmod2$ 分配出现位置；奇数时对 $b<p-1$ 按 $b\bmod2$ 分配，$b=p-1$ 单用第三色。同色的实际数字对 $\{b,[b+1]_p\}$ 两两不交，包括循环闭边。每色配一条长度恰为 $d$ 的单位等待尾链，入口 $E_b$ 进入对应色的链顶。实际数字唯一确定该色中的出现位置和 $z$，故可把其后继固定为 $E^z_{[b+z]_p}$。共享节点按定义59.1使用一个读取态和一条 $d$ 步链。全部未用读取槽指向已有 $H_0$；每个 $H_x$ 输出 $x$，形式后继为自身。所有状态先取不同名字再接线，故该有限树确实给出总表。

在某节点入口假设来源和所需标签为 $(bP+y,\lambda(b,y))$。等待链第 $\ell$ 个已执行前缀使实际来源变为 $[bP+y+\ell]_M$；链末由（59.6）选择正确孩子，（59.3）或（59.4）保持所需标签。对剩余树归纳，到单点时直接进入固定终止态，得到所有前缀的相位不变量和原标签正确性。每个节点消耗一次读取且使 $j$ 减一，故终止并满足预算。

可行性的必要性可直接沿方案树归纳。单点满足 $1\le2^j$；分裂节点有 $|S|=|S_0|+|S_1|\le2^{j-1}+2^{j-1}$；共享节点有 $|S|=|T|\le2^{j-1}\le2^j$。充分性取 $S$ 的升序列表，在两个中间相邻元素之间选整数阈值 $c$，使 $y<c$ 和 $y\ge c$ 的元素数分别为 $\lfloor|S|/2\rfloor$、$\lceil|S|/2\rceil$。可取 $1\le c\le P-1$，置 $d=P-c$。此时两进位分支正是这两部分的平移，规模均至多 $2^{j-1}$；继续归纳即可。延迟选择只有 $1,\ldots,P$，树深受 $j$ 限制，所以允许方案集合有限。

最后，单点的分裂节点数为零；分裂根的该数为 $1+(|S_0|-1)+(|S_1|-1)=|S|-1$；共享根不增加分裂数，而 $|T|=|S|$。这证明计数与标签形状、集合是否连续及共享节点数无关。$\square$

### 59.3 完整分裂层的同时加权最小值

**定义 59.3（固定层集合的不交装槽问题）。** 独立固定整数 $p\ge2,N\ge0$，以及每层的正整数延迟 $d_i$，$0\le i<N$。层 $i$ 含恰好 $p$ 个不同的出现位置 $(i,b)$，$0\le b<p$；其实际数字对是
$$
B_{i,b}=\{b,[b+1]_p\},
\tag{59.8}
$$
同层所有出现位置的进入延迟均为 $d_i$。一个颜色是一个非空出现位置块，要求块内的数字对两两不交；所有颜色构成全部 $pN$ 个出现位置的一项分划。每色代表一个读取态，其等待费用是
$$
L_C=\max\{d_i:(i,b)\in C\},\qquad
R_{\rm split}=|\mathcal C|,\qquad W_{\rm split}=\sum_{C\in\mathcal C}L_C.
\tag{59.9}
$$
$N=0$ 时唯一空分划的两个费用均为零。这个优化不允许数字槽交叠，不与另外的共享节点混合，也不改任何出现位置原定的后继。允许任意跨层分组，不预设组大小、层深或连续分块。

**定理 59.4（完整层的加权不交装槽精确式）。** 定义59.3中，偶数 $p$ 的两个费用有同时达到的最小值
$$
R_{\rm split}^{\min}=2N,\qquad
W_{\rm split}^{\min}=2\sum_{i=0}^{N-1}d_i.
\tag{59.10}
$$
若 $p=2a+1$ 为奇数，把层按 $d_0\ge\cdots\ge d_{N-1}$ 排序，则同时最小值为
$$
\begin{aligned}
R_{\rm split}^{\min}&=2N+\left\lceil\frac Na\right\rceil,\\
W_{\rm split}^{\min}&=2\sum_{i=0}^{N-1}d_i+\sum_{g\ge0:\,ga<N}d_{ga}.
\end{aligned}
\tag{59.11}
$$
而且存在同一项分划，对每个整数 $t\ge1$，令 $j_t=|\{i:d_i\ge t\}|$，其中满足 $L_C\ge t$ 的颜色数恰为
$$
\begin{cases}
2j_t,&p\text{ 偶},\\
2j_t+\lceil j_t/a\rceil,&p=2a+1.
\end{cases}
\tag{59.12}
$$
等待最小值的下界也约束那些使用更多读取态的合法分划。

证明。先给对任意分划均适用的下界。一个颜色最多容纳 $a=\lfloor p/2\rfloor$ 个两槽出现位置。延迟至少为 $t$ 的层共有 $pj_t$ 个出现位置，它们只能进入 $L_C\ge t$ 的颜色，因而这种颜色至少有
$$
\left\lceil\frac{pj_t}{a}\right\rceil
=\begin{cases}2j_t,&p=2a,\\2j_t+\lceil j_t/a\rceil,&p=2a+1.\end{cases}
\tag{59.13}
$$
$t=1$ 给读取态总数下界。所有延迟为正整数，并且只有有限个颜色，所以
$$
W_{\rm split}=\sum_{t\ge1}|\{C:L_C\ge t\}|.
\tag{59.14}
$$
把（59.13）逐层相加就得到等待下界，不要求候选分划使用最少读取态。

偶数 $p$ 时，每层取自己的两个私有颜色，按 $b\bmod2$ 分配。环上交替的边在同色内不交，每色均非空且最大延迟恰为该层的 $d_i$。这直接同时达到（59.10）及每个（59.12）。$p=2$ 时，$(i,0)$ 与 $(i,1)$ 虽然具有相同集合 $\{0,1\}$，仍是两个不同出现位置，必须放在不同颜色；该构造和下界均没有把它们去重。

对奇数 $p=2a+1$，把排序后的层分为连续块 $ga,\ldots,\min\{ga+a-1,N-1\}$。一块若有 $n\le a$ 层，以 $u=0,\ldots,n-1$ 为块内编号。该块使用一个公共色 $\star$ 及每层的两个私有色 $(u,0),(u,1)$，不同块的颜色全部不同。置
$$
e_0=p-1,\qquad e_u=2u-1\ (1\le u<n).
\tag{59.15}
$$
层 $u$ 的位置 $b=e_u$ 使用公共色，其余位置使用
$$
\left(u,\ [b-e_u-1]_p\bmod2\right).
\tag{59.16}
$$
公共色的实际边依次为 $\{p-1,0\},\{1,2\},\{3,4\},\ldots,\{2n-3,2n-2\}$。由 $n\le a$，这些边两两不交。去掉层 $u$ 的边 $e_u$ 后，其余 $p-1=2a$ 条边按 $e_u+1,\ldots,e_u+p-1$ 的循环顺序组成一条偶数长度的路径；（59.16）恰为交替着色。因此两个私有色各含 $a$ 条不交边，均实际使用。私有色又在层间分离，故这是全部出现位置的一项合法分划。

每层的两个私有色最大延迟都恰为本层的 $d_i$。块 $g$ 的公共色使用了首层，故其最大延迟恰为 $d_{ga}$，无需把块内各层的私有色都配成这个最大长度。这给（59.11）。固定任意 $t$，排序后延迟至少 $t$ 的层形成长度恰为 $j_t$ 的前缀；它们占用两倍该数的私有色，并恰好碰到 $\lceil j_t/a\rceil$ 个块的公共色。于是同一项分划同时达到全部（59.12），没有为不同阈值分别更换着色。

也可从计数恒等式直接看出等待下界的最后一项：对每个 $t$，$\lceil j_t/a\rceil$ 等于满足 $d_{ga}\ge t$ 的块首个数；对 $t$ 求和恰为 $\sum_gd_{ga}$。$p=3$ 时 $a=1$，每块只有一层，三个颜色各含一个出现位置，所以 $R_{\rm split}=3N,W_{\rm split}=3\sum_i d_i$。空层集合时全部和及阈值计数为零。$\square$

### 59.4 从兼容分划到一张固定总表

**定理 59.5（不交数字槽的加权共同实现）。** 固定一个已经正确、有限终止的完整带标签策略，或定义59.1的一个可行方案及其合法入口合同。保留各出现位置原定的完整物理相位、正整数进入等待、实际数字后继和固定终止标签。选取有限个二数字分裂出现位置 $v$，其实际使用数字对为 $B_v=\{b_v,[b_v+1]_p\}$，进入延迟为 $d_v>0$。其他虚拟节点保持固定。若将所选出现位置分为数字对两两不交的非空块 $C$，则每块可用一个读取态及长度
$$
L_C=\max_{v\in C}d_v
\tag{59.17}
$$
的一条单位等待尾链实现。该块的费用恰为 $1+L_C$。每个输入的完整模 $M$ 来源路径、动作词、读取次数、实际增量数和最终原标签均保持；块可以跨越深度，也可以同时含祖先和后代。

这里所计的是按该分划重新分配的有限实现，不是在一个任意既有共享图中直接删除若干旧状态的费用承诺。所选出现位置的虚拟展开及其后继须已经确定；非选定节点的分配保持既定，所有指向被选位置的入口一起重接。

证明。先同时分配全部读取态、等待位置、保留节点和终止态的名字，然后解析后继指针。对块 $C$ 分配 $Q_C$ 与 $W_{C,1},\ldots,W_{C,L_C}$，固定规则为
$$
W_{C,\ell}\xrightarrow{\ W\ }
\begin{cases}Q_C,&\ell=1,\\W_{C,\ell-1},&\ell>1.\end{cases}
\tag{59.18}
$$
出现位置 $v\in C$ 的每个入口改接 $W_{C,d_v}$，故它仍执行自己的 $d_v$ 次增量。对每个 $a\in B_v$，在 $Q_C$ 的数字 $a$ 槽安装 $v$ 原来规定的孩子入口或固定终止态。因块内数字对不交，一个槽至多有一个拥有者，全部指针因而无冲突。未占用数字指向已有 $H_0$；各 $H_x$ 保持输出 $x$ 及形式自后继。正的 $d_v$ 保证每个非终止后继仍先执行真实 $W$。

固定一个合法输入，沿它原来的有限虚拟路径归纳。若某出现位置入口的实际来源与原路径相同，则进入 $W_{C,d_v}$ 后，每个单位前缀与原路径执行相同增量，链末来源仍完全相同，不只是低位相同。实际数字属于 $B_v$，且在块内唯一指认这个出现位置，于是固定表选取原来同一个孩子入口。没有运行时选择节点身份或深度的步骤。非选定节点的动作保持，终止节点输出保持，归纳遂覆盖整条路径。对部件方案，所需标签在每次进入孩子时还由（59.3）—（59.6）保持。

归纳指标是原路径的位置，不是物理图的拓扑序。祖先、后代共色可能使物理图有环，但每个真实输入仍依次模拟自己的有限虚拟路径；因此不会增生循环执行，也不需另计或免费提供一个深度寄存器。所有等待后继按距离闭合，所有读取后继按拥有者闭合，这正落实定理58.8的共同驻定条件。若所选出现位置都实际可达，则每块选一个达到 $d_v=L_C$ 的位置，它的执行经过该块全部等待态和读取态，故这些新分配的费用全都实际可达。$\square$

在这个固定接口内，所选出现位置的精确最小分配费用就是有限集合分划问题
$$
\min_{\mathcal C}\ \sum_{C\in\mathcal C}\left(1+\max_{v\in C}d_v\right),
\qquad B_u\cap B_v=\varnothing\quad(u\ne v\text{ 同块}).
\tag{59.19}
$$
定理59.5为每个可行分划提供同一策略的真实驻定实现；最大值费用又是该指定一读取态、一尾链接口的必要计数：长度为 $L_C$ 的纯等待路径必须有 $L_C$ 个不同的等待态，否则固定等待后继的重复会使它永远无法首次到达读取态；通向不同读取态的尾链也不能共用等待态，因为一个等待态的固定未来只有一个首次读取目标。它不主张所有驻定控制器必可化成这种不交分划，尤其没有排除数字槽重叠但后继相容的其他实现。

**推论 59.6（五数字接口的带权匹配式）。** 在定理59.5的固定接口中令 $p=5$，允许各出现位置有任意既定正整数等待。以出现位置为顶点，数字对不交的两个顶点间连边，并给边 $uv$ 权重
$$
w_{uv}=1+\min(d_u,d_v).
\tag{59.20}
$$
令 $\nu_w$ 为该有限图的最大匹配权重，其中匹配的边两两没有共同顶点，则（59.19）的值恰为
$$
\sum_v(1+d_v)-\nu_w.
\tag{59.21}
$$
证明。五个槽至多容纳两个不交的两槽出现位置，所以任何可行块都是单点或一对；所有二元块恰组成这个图的一项匹配，反向每个匹配也给这样的分划。把 $u,v$ 的两个单点合并，费用节省为 $(1+d_u)+(1+d_v)-(1+\max(d_u,d_v))=1+\min(d_u,d_v)$。不同匹配边占用不同顶点，节省可相加；在全部匹配中取最大节省就得到（59.21）。该等式只用固定图的定义和此费用恒等式，不借用关于一般取得容量的外部定理。$\square$

### 59.5 完整初始化下的容量转移

**定理 59.7（完整层最小值给出的取得上界）。** 对任意 $p\ge2,k\ge0$，取定义59.1中根数据为（59.5）的一棵固定可行方案。其分裂节点数为 $N=P-1$，各延迟为 $d_i$；共享节点数为 $u$，各延迟为 $e_v$。保留每个共享节点的一个读取态及其 $e_v$ 个等待态，把全部分裂层按定理59.4装槽，则有正确的完整驻定控制器，准确计数为
$$
\begin{aligned}
\#H&=M,\\
\#R&=1+u+R_{\rm split}^{\min},\\
\#W&=\sum_v e_v+W_{\rm split}^{\min},\\
C_B(p,k)&\le M+1+u+R_{\rm split}^{\min}+\sum_v e_v+W_{\rm split}^{\min}.
\end{aligned}
\tag{59.22}
$$
全部分配状态可达。该实现的最坏读取数恰为 $D+1$；最坏实际等待数为这棵方案树各根叶路径上节点延迟和的最大值。$P=1$ 时方案为空，只有一个起点及 $M=p$ 个终止态，总数为 $M+1$。

证明。定理59.2给出每个分裂节点的全部 $p$ 个非空数字副本，且每个副本的实际数字对就是（59.8）。它们的同层进入等待相同，因而满足定理59.4的全部条件。应用其达到分划，再用定理59.5同时分配并解析指针；每个共享节点按（59.4）保留独立的一条尾链和一个读取态。起点读到 $b$ 就进入根 $E_b$。全部标签最初为 $bP+y$，随后只经真实物理双射的逆映射传递，所以最终只能进入原输入的 $H_x$。所有未占槽总化到已有零标签，不增加额外错误态。

可达性也从同一根合同归纳。根的全部 $pP$ 个候选都由真实初态到达；分裂分支是精确非空分割，其物理映射满射到每个孩子的全部数字副本；共享映射也是全部副本之间的双射。因此每个节点和每个分裂出现位置都有初态见证。定理59.4的每色非空，取其最大延迟的出现位置即到达该色的全部等待位置；共享节点的整个尾链和读取态也可达。标签映射保持单射且叶标签像合起来仍为全部 $M$ 个原输入，故每个 $H_x$ 可达。这证明（59.22）是全部收费状态的准确计数。

路径保持给出至多 $D$ 次后首读，以及逐路径准确的等待和。另一方面，一个固定首读数字纤维含 $P$ 个输入；在其任意历史中，下一次读取的累计偏移已固定。把一个长度为 $P$ 的初始数字块平移任意固定整数，只会落入至多两个相邻高位数字；限制到存活候选子集仍至多二分。因此深度至多 $D-1$ 的后首读树至多有 $2^{D-1}<P$ 个可区别叶（$P>1$）。固定终止标签要求叶分离，故最坏至少再读 $D$ 次。构造遂达到 $D+1$，包括来源无关的起点读取。$P=1$ 时起点已直接区分全部 $p$ 个标签。$\square$

定理59.4的最小性允许在固定层集合内比较任何不交装槽，包括使用更多读取态者；（59.22）则只是把这个最小值送入全驻定模型的充分上界。再对固定方案族取最小值，也没有取得该语法对全驻定模型的必要性。

### 59.6 五进方案的低位集合及标签

**定义 59.8（四个分裂节点和一个共享节点）。** 固定 $p=P=5,M=25,D=3$，把原始输入写为 $x=5b+r$。下表的集合均指进入该节点时的实际低位集合，$a$ 是此时实际高位数字。节点 $A,B,C,D$ 为分裂，节点 $S$ 为共享；$j$ 是入口剩余读取预算。

| 59节方案节点 | 实际低位集合 | $j$ | 进入等待 | 入口所需原标签 $\lambda(a,y)$ | 读取后孩子 |
| --- | --- | ---: | ---: | --- | --- |
| 59.A | $\{0,1,2,3,4\}$ | 3 | 2 | $5a+y$ | $z=0$ 到 B，$z=1$ 到 S |
| 59.B | $\{2,3,4\}$ | 2 | 1 | $5a+y-2$ | $z=0$ 到 C，$z=1$ 到单点 |
| 59.C | $\{3,4\}$ | 1 | 1 | $5a+y-3$ | 两个孩子均为单点 |
| 59.S | $\{0,1\}$ | 2 | 3 | $5[a-1]_5+y+3$ | 到 D，低位集合 $\{3,4\}$ |
| 59.D | $\{3,4\}$ | 1 | 1 | $5[a-1]_5+y$ | 两个孩子均为单点 |

单点出口全部按（59.3）固定标签：B 的 $z=1$ 出口在读取数字 $a$ 时输出 $5[a-1]_5+2$；C 的 $z=0,1$ 出口依次输出 $5a$、$5[a-1]_5+1$；D 的 $z=0,1$ 出口依次输出 $5[a-1]_5+3$、$5[a-2]_5+4$。这些是原始标签，不是末端当前来源。

把出现位置 $(A,b)$ 等按进入该分裂节点时的高位 $b$ 编号。采用以下指定分划，每行对应一个读取态；本例的十行只在各自列出的实际数字槽上安装后继。

| 59节装槽颜色 | 所属出现位置 | 尾链长度 |
| --- | --- | ---: |
| 59.R1 | $(A,0),(A,2)$ | 2 |
| 59.R2 | $(A,1),(A,3)$ | 2 |
| 59.R3 | $(A,4),(B,1)$ | 2 |
| 59.R4 | $(B,0),(B,3)$ | 1 |
| 59.R5 | $(B,2),(B,4)$ | 1 |
| 59.R6 | $(C,0),(C,2)$ | 1 |
| 59.R7 | $(C,1),(C,3)$ | 1 |
| 59.R8 | $(C,4),(D,1)$ | 1 |
| 59.R9 | $(D,0),(D,3)$ | 1 |
| 59.R10 | $(D,2),(D,4)$ | 1 |

每行的两个数字对不交。$R_3$ 同时包含根 A 和其后代 B；A 的入口距 $R_3$ 为二，B 的入口距 $R_3$ 为一。A、B 两层的五条尾链总长为 $2+2+2+1+1=8$，C、D 两层总长为五。另把 S 的读取态记作 $R_{11}$，保留其三步公共尾链。排序延迟为 $(2,1,1,1)$，定理59.4给 $R_{\rm split}^{\min}=10$、$W_{\rm split}^{\min}=2\cdot5+(2+1)=13$，本分划达到二者。

### 59.7 五十三态的全部转移

**定义 59.9（完整单位动作总表）。** 控制载体是以下三个不交集合，初始控制态恒为 $R_0$：
$$
\begin{aligned}
Q_R&=\{R_0,R_1,\ldots,R_{11}\},\\
Q_W&=\{W_{j,\ell}:1\le j\le11,\ 1\le\ell\le L_j\},\\
Q_H&=\{H_0,H_1,\ldots,H_{24}\},\\
(L_1,\ldots,L_{11})&=(2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,3).
\end{aligned}
\tag{59.23}
$$
各 $R_j$ 的动作为读取当前高位而不改来源。下表简记 $\langle j,d\rangle=W_{j,d}$，表示进入一个已有的单位等待态，不是无费用的加 $d$ 指令。

| 59节总表读取态 | 数字 0 | 数字 1 | 数字 2 | 数字 3 | 数字 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $59.R_0$ | $\langle1,2\rangle$ | $\langle2,2\rangle$ | $\langle1,2\rangle$ | $\langle2,2\rangle$ | $\langle3,2\rangle$ |
| $59.R_1$ | $\langle4,1\rangle$ | $\langle11,3\rangle$ | $\langle5,1\rangle$ | $\langle11,3\rangle$ | $H_0$ |
| $59.R_2$ | $H_0$ | $\langle3,1\rangle$ | $\langle11,3\rangle$ | $\langle4,1\rangle$ | $\langle11,3\rangle$ |
| $59.R_3$ | $\langle11,3\rangle$ | $\langle7,1\rangle$ | $H_7$ | $H_0$ | $\langle5,1\rangle$ |
| $59.R_4$ | $\langle6,1\rangle$ | $H_2$ | $H_0$ | $\langle7,1\rangle$ | $H_{17}$ |
| $59.R_5$ | $H_{22}$ | $H_0$ | $\langle6,1\rangle$ | $H_{12}$ | $\langle8,1\rangle$ |
| $59.R_6$ | $H_0$ | $H_1$ | $H_{10}$ | $H_{11}$ | $H_0$ |
| $59.R_7$ | $H_0$ | $H_5$ | $H_6$ | $H_{15}$ | $H_{16}$ |
| $59.R_8$ | $H_{21}$ | $H_3$ | $H_4$ | $H_0$ | $H_{20}$ |
| $59.R_9$ | $H_{23}$ | $H_{24}$ | $H_0$ | $H_{13}$ | $H_{14}$ |
| $59.R_{10}$ | $H_{19}$ | $H_0$ | $H_8$ | $H_9$ | $H_{18}$ |
| $59.R_{11}$ | $\langle9,1\rangle$ | $\langle8,1\rangle$ | $\langle10,1\rangle$ | $\langle9,1\rangle$ | $\langle10,1\rangle$ |

表首列的 $59.$ 只是本节表项编号，执行态仍为（59.23）的 $R_j$。每个 $W_{j,\ell}$ 先对同一个来源执行一次加一，再按固定后继进入 $R_j$（$\ell=1$）或 $W_{j,\ell-1}$（$\ell>1$）。每个 $H_x$ 立即停止，固定输出 $x$，形式后继为自身。未被定义59.8的出现位置占用的读取槽均已列成 $H_0$；某些实际使用槽也正确输出 $H_0$，两者不增设新状态。全部读取态的五个后继、全部单位等待后继及全部终止规则均由此总定义，没有其他控制字段。

### 59.8 原标签、完整相位及准确费用

**命题 59.10（五十三态上界与四次最坏读取）。** 定义59.9的总表从同一个 $R_0$ 对全部 $25$ 个初态有限终止，并准确输出原初态。全部状态可达，且
$$
\#R=12,\qquad \#W=16,\qquad \#H=25,\qquad |Q|=53.
\tag{59.24}
$$
最坏实际等待为六步，最坏读取为四次，后者在定义56.1的全控制器合同内最优。因此
$$
C_B(5,1)\le53.
\tag{59.25}
$$
证明。定义59.8的各集合、进位孩子和标签都是（59.2）—（59.4）的直接取值，每条根叶路径满足预算三。各装槽行的两对实际数字不交，且每个原出现位置恰好出现一次；把其两个孩子入口安装到所属数字槽，恰得到定义59.9的十二行。例如 $R_3$ 的 A 出现位置用数字 $4,0$，对应进入 B 的 $\langle5,1\rangle$ 与 S 的 $\langle11,3\rangle$；同态的 B 出现位置用数字 $1,2$，分别进入 C 的 $\langle7,1\rangle$ 与固定标签 $H_7$。未占数字 3 则总化到 $H_0$。这一祖先／后代合用不改变各自进入等待。

也可直接逐原始低位给出所有输入的路径语义。对任意 $b\in\{0,\ldots,4\}$，初始 $x=5b+r$，起点及 A 的累计等待分别为零、二。

当 $r\in\{0,1,2\}$，A 的读取时来源为 $5b+(r+2)$，数字仍为 $b$，于是进入 B。再加一后累计等待为三：若 $r=2$，数字为 $[b+1]_5$，B 的单点出口给 $H_{5b+2}$；若 $r=0,1$，数字仍为 $b$，当前低位为 $r+3$，进入 C。C 再加一使累计等待为四；$r=0$ 给数字 $b$ 并输出 $H_{5b}$，$r=1$ 给数字 $[b+1]_5$ 并输出 $H_{5b+1}$。

当 $r\in\{3,4\}$，A 读取时来源为 $[b+1]_5\,5+(r-3)$，故进入 S 的三步公共等待。累计等待五时来源为 $[b+1]_5\,5+r$，$R_{11}$ 的真实数字为 $a=[b+1]_5$。其数字槽进入 D 的第 $a$ 个出现位置的一步尾链。累计等待六时，$r=3$ 给数字 $a$、$r=4$ 给数字 $[a+1]_5$。D 的逆标签公式分别输出 $5[a-1]_5+3=5b+3$ 和 $5[[a+1]_5-2]_5+4=5b+4$。这些等式包括 $b=4$ 的模二十五回绕，没有把当前数字当成原始高位。

每个实际单位前缀的来源都是 $[x+E]_{25}$；上述计算在读取时给出真实数字，而读取不改来源。归纳到每个后继即给出完整物理路径与固定原标签，不需要读取停止时间或等待档案。准确的逐输入分组为

| 59节路径组 | 输入数 | 读取时累计单位增量 | 读取总数 | 单位增量总数 |
| --- | ---: | --- | ---: | ---: |
| 59.X01：$r=0,1$ | 10 | $0,2,3,4$ | 4 | 4 |
| 59.X2：$r=2$ | 5 | $0,2,3$ | 3 | 3 |
| 59.X34：$r=3,4$ | 10 | $0,2,5,6$ | 4 | 6 |

因此读取数直方图为三次五个输入、四次二十个输入；实际等待数直方图为三步五个、四步十个、六步十个。每个相邻读取间等待为正，末次读取后立即停止。

A 的每个数字副本均有输入，因而 $R_1,R_2,R_3$ 的二步最长入口可达；B 的全部副本使 $R_4,R_5$ 可达；C 和 D 的全部副本使 $R_6,\ldots,R_{10}$ 可达；$r=3,4$ 的十个输入经过 $R_{11}$ 的整个三步链；各 $H_x$ 由输入 $x$ 到达。最长入口经过其全部尾链，故全部十六个等待态均可达。尾链长度和为 $8+5+3=16$，加上十个分裂读取态、一个共享读取态、一个起点及二十五个固定终止态，得到（59.24）。五点首读纤维若只允许后续两次二元读取，至多得到四个叶，故至少有输入需要四次读取；本表达到这个下界。$\square$

对同一棵定义59.8方案，若各分裂节点独立使用定理59.2的三个颜色，则读取态数为 $1+1+3\cdot4=14$，等待态数为 $3+3(2+1+1+1)=18$，终止态仍为二十五，总数为五十七。定理59.5使这一明确未跨节点装槽实现与定义59.9逐输入具有相同动作词、读取处完整模二十五物理值和固定标签。这里比较的对象限定为同一方案的这两个实现，不把这一比较自动转移到其他既有表。

### 59.9 精确装槽与一般容量之间的边界

定理59.4精确求解固定完整层集合上的全部不交装槽，而不只求某个预定连续分块递推。其同时阈值达到性使读取空间和等待空间可在同一张分划上同时最小；定理59.5再用真实数字槽的唯一拥有者把这项分划变成因果后继闭合。这说明两种记忆费用怎样由同一个物理来源的边界关系共同承担：进入尾链的距离保留实际等待，读取态及其数字槽保留后继选择，终止态保留原标签。

这些恢复均有明确条件。完整层定理要求每层全部 $p$ 个相邻对出现、同层正整数延迟相同，以及块内数字对不交。任意不等权出现位置仍可使用（59.19），五数字时另有（59.21）；但没有把该受限接口证明成一般控制器的必要正规形。重叠槽的相容后继、非对称历史、其他等待选择和共享节点的联合优化仍属于定义56.1的允许问题。第56.9节的全类加权读取图刻画不被这里的方案语法取代。

第58.9节的五十五态构造保持有效，（59.25）给同参数更强的五十三态上界；这不证明五十三态为最小容量。这里对四次读取的最优性使用第55.3节的全类条件二元下界，对五十三态只给一张正确完整表。第55—58节已发表的其他精确式与适用范围保持原义，特别九点纤维的既有区间仍为
$$
95\le C_B(3,2)\le111.
\tag{59.26}
$$
本节没有给出这个区间端点的达到或排除证明。

本节的共同来源和读取预算合同承接第55—56节，固定历史的后继闭合承接定理58.8；加权分划、逆标签传输及其编译在上述假设下以普通数学证明给出。匹配一词使用有限图上互不相交边的通常含义，式（59.21）已由费用恒等式自足证明，不附加外部容量结论。这里没有新增 Lean/kernel 核验或原创性主张。固定方案上的最小值和单个参数的完整上界均不完成一般 $C_B(p,k)$ 的精确求值，也不完成空间、时间、边界与记忆之间关系恢复的长期目标。

## 59.99 追加锚

## 60. 全模型五十一态局部容量与完整历史闭合的边界

### 60.1 保持原取得合同的两个局部结论

**定义 60.1（参数、物理动作与计费范围）。** 沿用定义56.1：整数 $p\ge2,k\ge0$，$P=p^k$，$M=pP$，$h_*=1+\lceil\log_2P\rceil$。唯一物理来源初始为 $s=x\in\mathbb Z/M\mathbb Z$；$W$ 执行一次 $s\mapsto s+1$，$R$ 不改变来源并返回 $d(s)=\lfloor[s]_M/P\rfloor$。全部初态从同一来源无关的控制态开始。有限驻定总表的状态分为 $R,W,H$ 三种，分别有全部 $p$ 个数字的固定后继、唯一固定后继、固定原标签输出。合法来源动作词为 $W^*R(W^+R)^*$，逐初态有限终止，末次读取后直接停止。解码只用终止控制态；没有复位、复制、逆步、免费计时器、来源相关准备或表外寄存器。全部名义状态收费，包括未达状态、每个单位等待位置和全部终止标签。

$C_B(p,k)$ 仍是在每条实际执行至多 $h_*$ 次读取的约束下，全部这类控制器的最小总状态数。本节在此全模型内证明 $C_B(5,1)=51$，并给出 $95\le C_B(3,2)\le106$。前一等式的下界量化于所有合法驻定表；后一上界来自一张完整表，不是构造族最小值或全模型最小性结论。第59节的完整层装槽定理保持其原有限制；其五十三态表仍正确，但同参数最强上界由本节改进。一般参数的精确 $C_B$ 仍未求出。

### 60.2 五点纤维的全模型下界

**定理 60.2（任意四读五进取得至少五十一态）。** 取 $p=P=5,M=25$。每个满足定义60.1且对所有原标签 $x$ 都有 $N_x\le4$ 的控制器，均满足 $|Q|\ge51$。更精确地，只按引理56.2删除来源无关的首读前等待并旋转固定终止标签后，设实际可达读取态、等待态数为 $r,w$，非起点读取目标 $q$ 的最大实际进入等待为 $L_q$，则
$$
E:=\sum_{q\ne q_0}(L_q-1)\ge5,
\qquad w\ge r+4.
\tag{60.1}
$$

证明。此前缀删除不增加容量，也不改变逐输入读取数；除此之外不改原控制表。定理56.3给 $r\ge11$，固定原标签解码要求至少二十五个终止态。每个实际 $W$ 态的固定未来决定唯一下一读取目标，同一有限 $W$ 链不能重访自身；不同目标的尾链不能共享 $W$ 态。因此，置
$$
m_t=\#\{q\ne q_0:L_q\ge t\},
\qquad E=\sum_{t\ge2}m_t,
\qquad w\ge\sum_{q\ne q_0}L_q=r-1+E.
\tag{60.2}
$$
这些式子数实际目标，不数展开树的出现位置。

先回顾在原控制表上成立的后缀质量界。每个实际活动槽的下一读取至多有两个数字，给这一个或两个不同槽后继固定标上不同二进制位。对固定槽的一次访问 $(x,i)$，走到最后终止槽的完整后缀词长为 $N_x-i$。不同初态不能给相同完整词，否则固定表会给相同终止标签；同一初态的不同访问若在该槽重现，剩余词长不同。完整词集前缀自由，因为同一槽起步的完整终止词不能再延长。把所有词扩展到共同最大长度，互不相交的二进制扩展集合给出
$$
\sum_{(x,i)\text{ 访问同一槽}}2^{-(N_x-i)}\le1,
\qquad
\sum_{(x,i)\text{ 访问同一槽}}2^{i-4}\le1.
\tag{60.3}
$$
终止槽只有一个最终访问，空词情形也满足此式。于是每个读取态的全部深度质量至多五。这是命题57.2在本参数上的实际后缀论证，容许同一读取态或槽反复出现、名义图有环和不同深度停止。

以完整的首读数字纤维为单位，仅为必要费用论证作两项放松：在候选原标签已成单点后修剪其继续执行；把剩余每个等待投影为模五的最小正代表。平移后再按数字条件化得到的低位区间不变，高位数字名称可以改变，且投影不增加“等待至少二”的指标。它们不被解释为共享驻定表的可执行变换。若一个尚未条件化的后首读历史在第 $i$ 次读取有 $n$ 个候选，则它对四倍深度质量贡献 $n2^{i-2}$。记单个修剪投影纤维中、等待至少 $t$ 的这些贡献之和为 $v_t$。原表的相应量记为
$$
J_t=\sum_{\substack{H\text{ 实际后首读历史}\\ \delta_H\ge t}}
|I_H|2^{i_H-4}.
\tag{60.4}
$$
对 $t=2$，投影修剪给 $J_2\ge\frac14\sum_{b=0}^4v_{b,2}$，而（60.3）给 $J_2\le5m_2$。

下面直接证明每个投影纤维 $v_2\ge9$。其首个等待 $d$ 只能为 $1,2,3,4$；$d=5$ 不分裂五个候选，只余两读，不能取得五个单点。区间均指当前已知数字块内的整数低位，端点右开。

若 $d=1$，四点孩子 $[1,5)$ 必须用余下两读作均匀二分，其下一等待强制为二，对 $v_2$ 贡献 $4\cdot2=8$；所得 $[0,2)$ 孩子最后一读只能等待四，再贡献 $2\cdot4=8$。若 $d=2$，首到达贡献五，而两点孩子 $[0,2)$ 不能只靠余下两次单位等待分开，故仍有一个两点历史的等待至少二，贡献至少四，合计至少九。若 $d=3$，首到达贡献五，三点孩子 $[0,3)$ 下一等待须为三或四才可能分裂并在最后一读结束，另贡献 $3\cdot2=6$。若 $d=4$，首到达贡献五，四点孩子 $[0,4)$ 必须均分，下一等待强制为三，另贡献八。因而
$$
J_2\ge\frac{5\cdot9}{4},
\qquad m_2\ge\left\lceil\frac{J_2}{5}\right\rceil\ge3.
\tag{60.5}
$$

反设 $E\le4$。$m_t$ 随 $t$ 嵌套递减；若任一实际等待至少四，则 $m_2+m_3+m_4\ge3+1+1=5$。所以全部实际等待都在 $\{1,2,3\}$，已不存在被投影省去的整相位提升。此时五种修剪模板是完整的。首等待一不可行，因为上述强制四点子树需最后等待四。首等待二产生三点 $[2,5)$ 和两点 $[0,2)$；三点支路强制依次等一、等一，两点支路只能依次等待 $(3,1),(1,3),(2,2)$。首等待三产生三点 $[0,3)$ 和两点 $[3,5)$；三点支路强制等三、再等一，两点支路或者等一立即分裂，或者等三、再等三。两点支路先等二会需要最后等四，不许可。于是得到下表，单点后立即修剪，括号中的两步包含一次必要的一元读取。

| 60节模板 | 首等待 | 三点支路的后续等待 | 两点支路的后续等待 | $(v_2,v_3)$ |
| --- | ---: | --- | --- | --- |
| 60.A | 2 | $1,1$ | $3,1$ | $(9,4)$ |
| 60.B | 2 | $1,1$ | $1,3$ | $(13,8)$ |
| 60.C | 2 | $1,1$ | $2,2$ | $(17,0)$ |
| 60.D | 3 | $3,1$ | $1$ | $(11,11)$ |
| 60.F | 3 | $3,1$ | $3,3$ | $(23,23)$ |

数值可逐项推出：A、B、C 的首到达都贡献五，其两点支路在第三、第四次读取分别有权重四、八，故 $v_2$ 为 $5+4,5+8,5+4+8$，$v_3$ 为 $4,8,0$。D 的首到达与三点到达贡献 $5+6$，都属于等待至少三；F 另加两点支路的 $4+8$，故为二十三。原表可以在提前单点后继续读取，但只会添加非负质量，不能删去表中尚未成为单点的历史。

由（60.3），现有 $\sum_bv_{b,t}\le20m_t$，$t=2,3$。F 一项的 $v_3=23$ 就强制 $m_3\ge2$，与 $m_2\ge3,E\le4$ 矛盾。若 $m_3=0$，五个模板只能全为 C，又有 $m_2\ge\lceil85/20\rceil=5$。因此必须 $m_2=3,m_3=1$。设 A、B、C、D 的数目为 $n_A,n_B,n_C,n_D$，其和为五；质量约束化为
$$
45+4n_B+8n_C+2n_D\le60,
\qquad20+4n_B-4n_C+7n_D\le20.
\tag{60.6}
$$
第二式给 $n_C\ge n_B+\lceil7n_D/4\rceil$。若 $n_D\ge1$，第一式的超额至少 $8\cdot2+2=18>15$。故 $n_D=0$，$n_C\ge n_B$，且 $4n_B+8n_C\le15$；仅有三个多重集
$$
\mathrm{AAAAA},\qquad\mathrm{AAAAC},\qquad\mathrm{AAABC}.
\tag{60.7}
$$
至此只用了必要质量界，尚须回到同一实际表的后继来排除三者。

把原首读数字为 $b$ 的首个后根读取出现位置记为 $A_b$，$b\in\mathbb Z/5\mathbb Z$。在（60.7）的每种情形中，它的实际累计等待为二，使用数字对 $\{b,b+1\}$。其数字 $b$ 后等一，到该纤维的三点孩子 $B_b$；数字 $b+1$ 后等 $t_b$ 到两点支路，其中模板 A、B、C 分别有 $t_b=3,1,2$。

这五个根出现位置若数字对相交，就不能共用读取态。只须比较 $A_b$ 的上数字 $b+1$ 与 $A_{b+1}$ 的下数字 $b+1$。若 $t_b=3$ 或二，同一槽会被要求既等 $t_b$ 又等一，矛盾。若 $t_b=1$，驻定性先迫使两者的下一读取态相同；到共同数字 $b+1$ 时，前者的一元两点孩子必须再等三，后者三点孩子的两点低支路必须再等一，仍矛盾。因此一个读取态至多容纳这五个出现位置中的两个，至少三个不同读取目标接收它们的实际等待二。这是不相容性的推论，并未把不交数字槽当作全控制器的先验限制。

因 $m_3=1$，恰有一个目标 $q$ 的最大进入等待至少三。每个模板 A 纤维 $b$ 都在累计等待五、实际数字 $b+1$ 处有一个必需的一元两点读取，它由等待三进入，因而全都落在 $q$。其该数字槽必须等一，进入最终两点读取；最终数字是 $\{b+1,b+2\}$，读取索引已为四，两个出口必须停止。

这个一元出现位置不能与任何在数字 $b+1$ 上使用根槽的 $A_c$ 共用读取态。根的上槽只能来自 $c=b$，并须等三，冲突于一元槽的等一。根的下槽只能来自 $c=b+1$；二者都等一时会迫使刚述最终两点读取与 $B_{b+1}$ 共用读取态，但共同数字 $b+1$ 在前者必须停止，在后者尚有两点，必须活动并等一。这里用的是后者的非单点低支路，故其另一单点支路是否补齐不影响矛盾。

若多重集为 AAAAA，$q$ 包含全部五个一元数字；若为 AAAAC，它包含四个。一切根数字对都与这些数字相交，故 $q$ 与全部根目标不同。若为 AAABC，$q$ 已包含三个模板 A 的活动一元数字，还必须容纳模板 B 两点支路最后一次等三到达的读取；后者有两个终止数字。这两个数字若与上述三个活动数字相交，表立即矛盾；若不相交，恰好填满余下两个数字。根的两个槽都活动，因此不论相交于活动一元数字还是终止数字，也不能把根出现位置放入 $q$。所以三种情形都需要先前至少三个根目标之外的第四个满足 $L\ge2$ 的目标，矛盾于 $m_2=3$。

故 $E\ge5$。本证明没有设 $r=11$，也没有排除额外读取态、名义环、一元历史、单点补齐或非齐深停止；对必要放松所保留的每项强制历史，最终矛盾都发生在原实际表的同数字后继。由（60.2）和 $r\ge11$，
$$
|Q|\ge25+r+w\ge29+2r\ge51.
\tag{60.8}
$$
前缀删除所得控制器不大于原控制器，故原名义容量也满足下界。$\square$

### 60.3 达到五十一态的完整总表

**定义 60.3（五进共享表）。** 以下 $b$ 的下标、数字偏移均模五，标签中的 $b$ 取非负代表。读取态为 $S,G_b,F_b$，共同初态为 $S$；固定终止态恰为 $H_0,\ldots,H_{24}$，$H_x$ 输出原标签 $x$ 并以自身为形式后继。对每个 $G_b$ 设置两态尾链 $W(G_b,2),W(G_b,1)$，对每个 $F_b$ 设置一态尾链 $W(F_b,1)$。每个 $W(V,j)$ 真实加一，若 $j>1$ 后继为 $W(V,j-1)$，否则为 $V$。记 $\langle V,j\rangle$ 为进入 $W(V,j)$，它不是免费延迟。$S$ 的数字 $b$ 后继为 $\langle G_b,2\rangle$；其余全部读取槽由下表给出。

| 60节读取行 | 数字 $b$ | 数字 $[b+1]_5$ | 数字 $[b+2]_5$ | 数字 $[b+3]_5$ | 数字 $[b+4]_5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 60.G：$G_b$ | $\langle F_b,1\rangle$ | $\langle G_{b+2},2\rangle$ | $H_{5[b+1]_5+3}$ | $H_{5[b+1]_5+4}$ | $\langle G_{b+2},2\rangle$ |
| 60.F：$F_b$ | $\langle F_{b-2},1\rangle$ | $H_{5b+2}$ | $H_{5[b+2]_5}$ | $H_{5[b+2]_5+1}$ | $H_0$ |

两个模五行各表示五个读取态，连同 $S$ 的五个槽构成完整总表；$F_b$ 的偏移四是未用数字的 $H_0$ 总化，无其他状态或字段。

**定理 60.4（五十一态达到全模型下界）。** 定义60.3对每个 $x\in\mathbb Z/25\mathbb Z$ 正确终止，最坏读取四次，最多执行六个 $W$，所有名义状态可达，且
$$
\#R=11,\quad\#W=15,\quad\#H=25,
\qquad C_B(5,1)=51.
\tag{60.9}
$$

证明。写原标签为 $x=5b+u$，$0\le b,u<5$。令 $E$ 在本构造证明中表示已执行的单位等待总数；每一原子动作前的来源严格为 $[x+E]_{25}$。$S$ 在 $E=0$ 读出 $b$，两次等待后在 $G_b$ 读取。

若 $u\le2$，$E=2$ 的数字为 $b$，经一等待在 $E=3$ 进入 $F_b$。$u=2$ 时数字为 $b+1$，立即输出 $5b+2$。$u=0,1$ 时数字仍为 $b$，再等一进入 $F_{b-2}$，累计等待四；此时数字分别为 $b,b+1$，是该行的偏移二、三，故输出 $5b,5b+1$。

若 $u=3,4$，$G_b$ 在 $E=2$ 读出 $b+1$，等二进入 $G_{b+2}$，$E=4$ 时两者数字仍为 $b+1$，恰是该行偏移四；再等二进入 $G_{b-1}$。$E=6$ 时数字分别为 $b+1,b+2$，恰是该行偏移二、三，固定标签分别为 $5b+3,5b+4$。所有数字都模五，来源都模二十五，因此也覆盖 $b=4$ 时的物理回绕。

| 60节五进路径 | 读取态序列 | 累计等待序列 | 实际数字序列（模五） | 固定输出 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 60.五进0 | $S,G_b,F_b,F_{b-2}$ | $0,2,3,4$ | $b,b,b,b$ | $H_{5b}$ |
| 60.五进1 | $S,G_b,F_b,F_{b-2}$ | $0,2,3,4$ | $b,b,b,b+1$ | $H_{5b+1}$ |
| 60.五进2 | $S,G_b,F_b$ | $0,2,3$ | $b,b,b+1$ | $H_{5b+2}$ |
| 60.五进3 | $S,G_b,G_{b+2},G_{b-1}$ | $0,2,4,6$ | $b,b+1,b+1,b+1$ | $H_{5b+3}$ |
| 60.五进4 | $S,G_b,G_{b+2},G_{b-1}$ | $0,2,4,6$ | $b,b+1,b+1,b+2$ | $H_{5b+4}$ |

每两个所列读取之间恰执行其差值个 $W$，所以逐前缀归纳同时验证来源、读取、后继与固定原标签。表有名义 $G$、$F$ 环，但每个真实输入只走上述有限路径，不需额外阶段寄存器。每个 $G_b$ 及其完整二步尾链由首读直接到达；每个 $F_b$ 及其单位尾链由 $u\le2$ 到达；每个 $H_x$ 由输入 $x$ 到达。总收费为 $1+5+5=11$ 个读取态、$5\cdot2+5=15$ 个等待态、二十五个终止态。

可把共享直接看作同一行的实际用途：$G_b$ 合并纤维 $b$ 的相位二根出现、纤维 $b+1$ 的相位六最终两点出现、纤维 $b+3$ 的相位四一元两点出现，三者的数字集分别为 $\{b,b+1\},\{b+2,b+3\},\{b+4\}$。$F_b$ 合并纤维 $b$ 的相位三三点出现与纤维 $b+2$ 的相位四最终低对。这只解释本表为何一致，不给竞争控制器施加装槽正规形。五个首读候选不能仅由后续两次二元读取区分，故四次最坏读取最优；结合定理60.2即得等式。$\square$

### 60.4 九点纤维的一百零六态总表

**定义 60.5（三进九点共享表）。** 取 $p=3,P=9,M=27$。读取态为共同起点 $S$ 及 $R_{b,c}$，其中 $b\in\mathbb Z/3\mathbb Z$，$c$ 依次取 $5,3,2,1,4,8,7,6$。相应最长进入尾链长度依次为
$$
(\ell_5,\ell_3,\ell_2,\ell_1,\ell_4,\ell_8,\ell_7,\ell_6)
=(4,2,1,1,2,6,1,1).
\tag{60.10}
$$
对每个目标设置 $W(R_{b,c},j)$，$1\le j\le\ell_c$，其动作和逐单位后继如定义60.3。简写 $\langle b,c,j\rangle=W(R_{b,c},j)$。所有未列数字槽都指向既有 $H_0$；恰有固定标签 $H_0,\ldots,H_{26}$，各自输出下标并以自身为形式后继。$S$ 的数字 $b$ 指向 $\langle b,5,4\rangle$。下面的 $b$ 和数字偏移模三，固定输出的 $b$ 取非负代表。

| 60节三进读取行 | 数字 $b$ | 数字 $[b+1]_3$ | 数字 $[b+2]_3$ |
| --- | --- | --- | --- |
| 60.R5：$R_{b,5}$ | $\langle b,3,2\rangle$ | $\langle b,8,6\rangle$ | $H_0$ |
| 60.R3：$R_{b,3}$ | $\langle b,2,1\rangle$ | $\langle b+1,8,6\rangle$ | $H_0$ |
| 60.R2：$R_{b,2}$ | $\langle b,1,1\rangle$ | $H_{9b+2}$ | $H_0$ |
| 60.R1：$R_{b,1}$ | $H_{9b}$ | $H_{9b+1}$ | $H_0$ |
| 60.R4：$R_{b,4}$ | $H_0$ | $H_{9b+3}$ | $H_{9b+4}$ |
| 60.R8：$R_{b,8}$ | $\langle b-1,4,2\rangle$ | $\langle b,7,1\rangle$ | $H_{9b+8}$ |
| 60.R7：$R_{b,7}$ | $H_0$ | $\langle b,6,1\rangle$ | $H_{9b+7}$ |
| 60.R6：$R_{b,6}$ | $H_0$ | $H_{9b+5}$ | $H_{9b+6}$ |

**定理 60.6（九点局部区间的改进）。** 定义60.5对全部二十七个原标签正确终止，每次运行至多五读、至多十四个单位等待，每个进入读取的等待不超过六。全部状态可达，且
$$
\#R=25,\qquad\#W=54,\qquad\#H=27,
\qquad95\le C_B(3,2)\le106.
\tag{60.11}
$$

证明。写 $x=9b+u$，$0\le u<9$；所有原子前缀的来源为 $[9b+u+E]_{27}$。下表对每个 $b=0,1,2$ 给出全部九种低位。读取态的首个 $S$ 以后，简记 $(a,c)$ 为 $R_{a,c}$，数字均模三。

| 60节九点路径 | $S$ 之后的读取态 | 含首读的累计等待 | 含首读的实际数字 | 固定输出 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 60.九点0 | $(b,5),(b,3),(b,2),(b,1)$ | $0,4,6,7,8$ | $b,b,b,b,b$ | $H_{9b}$ |
| 60.九点1 | $(b,5),(b,3),(b,2),(b,1)$ | $0,4,6,7,8$ | $b,b,b,b,b+1$ | $H_{9b+1}$ |
| 60.九点2 | $(b,5),(b,3),(b,2)$ | $0,4,6,7$ | $b,b,b,b+1$ | $H_{9b+2}$ |
| 60.九点3 | $(b,5),(b,3),(b+1,8),(b,4)$ | $0,4,6,12,14$ | $b,b,b+1,b+1,b+1$ | $H_{9b+3}$ |
| 60.九点4 | $(b,5),(b,3),(b+1,8),(b,4)$ | $0,4,6,12,14$ | $b,b,b+1,b+1,b+2$ | $H_{9b+4}$ |
| 60.九点5 | $(b,5),(b,8),(b,7),(b,6)$ | $0,4,10,11,12$ | $b,b+1,b+1,b+1,b+1$ | $H_{9b+5}$ |
| 60.九点6 | $(b,5),(b,8),(b,7),(b,6)$ | $0,4,10,11,12$ | $b,b+1,b+1,b+1,b+2$ | $H_{9b+6}$ |
| 60.九点7 | $(b,5),(b,8),(b,7)$ | $0,4,10,11$ | $b,b+1,b+1,b+2$ | $H_{9b+7}$ |
| 60.九点8 | $(b,5),(b,8)$ | $0,4,10$ | $b,b+1,b+2$ | $H_{9b+8}$ |

逐行的数字就是 $\lfloor[9b+u+E]_{27}/9\rfloor$，转移是定义60.5的相应数字槽。特别是改变共享方式的 $u=3,4$：在相位六由 $R_{b,3}$ 的数字 $b+1$ 等六，到相位十二的 $R_{b+1,8}$。此时来源分别为 $[9b+15]_{27},[9b+16]_{27}$，数字都为 $b+1$，低位六、七；这是该行的本位数字槽，等二到 $R_{b,4}$。相位十四的数字分别为 $b+1,b+2$，恰输出原来的 $9b+3,9b+4$，没有把当前高位错当原高位。

在同一态 $R_{a,8}$，来自纤维 $a$、相位十的四点出现只用数字 $a+1,a+2$；来自纤维 $a-1$、相位十二的一元两点出现只用数字 $a$。因此它们共用一条六步尾链和一个驻定读取行，所有后继一致。各尾链逐单位展开，使表中全部中间来源也满足同一个模二十七公式；没有改用模九来源。九条有限路径证明终止、正等待、末次读取后立即停机及逐输入读取上限。九个首读候选超过后续三次二元读取的八个叶，故五次最坏读取最优。

每个 $b$ 的 $R_{b,5}$ 由首读到达，$R_{b,3},R_{b,2},R_{b,1}$ 分别由低位 $0$ 至四、零至二、零至一到达，$R_{b,4}$ 由低位三、四到达，$R_{b,8},R_{b,7},R_{b,6}$ 分别由低位五至八、五至七、五至六到达。每个目标的最长尾链入口实际使用，故其全部单位等待态可达；每个标签由对应原输入到达。总数为
$$
1+3\cdot8=25,
\qquad3(4+2+1+1+2+6+1+1)=54,
\qquad25+54+27=106.
\tag{60.12}
$$
各行累计等待的最大值为十四；五十四个等待态是全表费用，不是单条执行的等待次数。下界九十五沿用定理57.10，后者已经对完整驻定类排除九十四态。本构造没有排除九十五至一百零五，也没有证明任何足以排除它们的正规形。$\square$

### 60.5 同一实际实现上的条件闭合与关联证书

**定理 60.7（含全部延续的统一类证书）。** 对每个整数 $p\ge2,k\ge0$，置 $P=p^k,M=pP$，任取有限可行的整数读取预算 $h$。令 $T$ 是一个正确控制器删除初始固定前缀后的完整忠实读取前历史树，每条实际路径读取数至多 $h$：保留所有实际正等待、完整模 $M$ 相位、原标签和全部实际单点延续。下面量化于该 $T$ 的每个正确驻定实现，记其可达读取态数为 $r$、等待态数为 $w$。设
$$
a=\lfloor p/2\rfloor,\qquad c=\lceil p/2\rceil,\qquad
r_0=\begin{cases}2P-1,&p\text{ 偶},\\
1+2p(P-1)/(p-1),&p\text{ 奇}.
\end{cases}
\tag{60.13}
$$
对每个非根读取历史 $n$，记其实际进入等待为 $d_n>0$，前驱读取历史为 $p(n)$，前驱所读数字为 $b_n$。候选非根读取类的非空集合族 $\mathcal C(T)$ 必须包含每一个所准入实际实现的每一个实际非根读取类。对 $B\in\mathcal C(T)$ 定义
$$
L(B)=\max_{n\in B}d_n,\qquad
D(B)=\bigcup_{n\in B}\{ n\text{ 实际使用的数字}\},\qquad
Z(B)=p-|D(B)|.
\tag{60.14}
$$
在 $B$ 的进入历史上取一个健全的前驱槽冲突图：每条边必须保证两端不能在任一准入实现中来自同一实际前驱槽。例如前驱数字不同、实际等待不同，或两个前驱历史不可能在任何相容的较大类中共用读取态，均可给边。最后一个条件是存在任意较大类意义下的不可能性；不能仅因恰含两个历史的拟议类在闭合时需要加入第三个历史，就宣称两前驱不相容。真实物理联合配置冲突也可用，但须具有同样的全实现排除含义。

令 $k(B)$ 是此图色数的任一已证明非负下界，定义
$$
\eta(B)=\max\{0,k(B)+Z(B)-c\}.
\tag{60.15}
$$
对任意实数权重 $y_n$、任意 $\mu\in\mathbb R$ 及任意 $\lambda\ge0$，若对每个 $B\in\mathcal C(T)$ 都有
$$
\sum_{n\in B}y_n\le L(B)+\mu+\lambda\eta(B),
\tag{60.16}
$$
则每个上述实现都满足
$$
|Q|\ge M+r+
\max\left\{r-1,
\left\lceil\sum_{n\ne o}y_n-\mu(r-1)-\lambda a(r-r_0)\right\rceil\right\}.
\tag{60.17}
$$
空的非根历史集按空和处理。

证明。固定一个实际实现，令 $B_q$ 为其非根读取态 $q$ 的全部历史类；这些类恰将全部非根读取历史分成 $r-1$ 组。第58.1节的实际关联恒等式，在这里的记号下为
$$
e_q=A_q+Z_q-c\ge0,
\qquad\sum_{q\ne q_0}e_q=a(r-r_0),
\tag{60.18}
$$
其中 $A_q$ 数所有不同实际活动前驱槽，$Z_q$ 数 $q$ 的未用数字槽，$e_q$ 为整数。把进入 $B_q$ 的每个历史映到其实际前驱槽，是冲突图的一个正常着色，故 $k(B_q)\le A_q$。$T$ 的完整性给 $D(B_q)$ 恰为 $q$ 的实际数字集，故 $Z(B_q)=Z_q$，进而 $\eta(B_q)\le e_q$。这用的是一个总关联余量，不能在不同等待层分别再花一次。

各目标的最长真实尾链给 $\sum_qL(B_q)\le w$。将（60.16）只在这一实际实现的 $r-1$ 个类上求和，再用 $\lambda\ge0$ 与（60.18），得
$$
\sum_{n\ne o}y_n
\le w+\mu(r-1)+\lambda a(r-r_0).
\tag{60.19}
$$
$w$ 为整数，另有 $w\ge r-1$，加上 $M+r$ 即得（60.17）。所有历史、数字、进入槽、完整相位及尾链在同一实现内取值，没有组合不同实现各自达到的最优数值。$\square$

候选类可以用实际后继闭合的必要条件删选：同数字若要求不同等待、活动与停止混用、不同固定标签，或者推出真实配置冲突，都不能是实际类。若声称 $B$ 就是整个类，闭合强迫外部历史加入 $B$ 也足以拒绝这个精确 $B$；但这不产生上文所需的前驱冲突边。第60.7节的三出现单点环给出该区别的具体见证。要从（60.17）得到某参数的普遍数值下界，仍需覆盖所有合法 $T$ 及所有可行 $r$ 的权重与类不等式；本节没有给出这项普遍取值。

### 60.6 固定忠实树的闭覆盖与物理费用

**定义 60.8（原子闭合与可选的观察机表示）。** 使用第58.5小节定义58.7的忠实有限原子树 $T$；树含每个单位 $W$ 位置，根到节点 $v$ 之前的等待数为 $E_v$，精确原标签集为 $I_v\ne\varnothing$，来源为 $[x+E_v]_M$。$W$ 唯一孩子保留 $I_v$ 并使 $E$ 加一；$R$ 的孩子恰是实际数字的非空纤维；$H_x$ 叶的 $I_v=\{x\}$。成为单点不强制立即停止，全部实际后续动作仍在树中。可允许共同初始 $W$ 前缀，也可按引理56.2先删除。

所需最简商数据是一项动作／标签齐性的原子分划：同类 $W$ 的唯一孩子同类；同类 $R$ 的每个共同实际数字的孩子同类；同类终止节点的原标签相同。若要接到经典观察机闭覆盖的语言，可构造偏定义确定转导器 $A_T$：输入字母是数字 $0,\ldots,p-1$ 加两个不同的说明符号 $\chi,\mathrm{ack}$，输出是中性符号 $\bullet$ 及动作标签 $R,W,H_0,\ldots,H_{M-1}$。每个节点都有 $\chi$ 自环，输出其固定动作／标签；每个 $W$ 节点有输出 $\bullet$ 的 $\mathrm{ack}$ 边到唯一孩子；每个 $R$ 节点只有其实际数字边，输出 $\bullet$ 并到相应孩子。无其他非 $\chi$ 边。

两个节点相容指对二者共同有定义的每个有限输入词，输出词相同。一个非空类族 $\mathcal F$ 是闭相容覆盖，若每个类非空且两两相容，至少一类包含根，并且对每个类 $C$ 和输入字母 $a$，全部有定义 $a$ 后继的并集包含在某个类 $C'$ 中。各类可重叠。树上每个节点从根可达，所以根覆盖和后继闭合已经覆盖全部节点。记最小类数为 $\kappa(A_T)$。

**定理 60.9（固定行为的两向费用转移）。** 对每棵上述忠实有限树 $T$，逐原子动作忠实实现 $T$ 全部原输入路径的最小驻定控制器容量等于 $\kappa(A_T)$，也等于动作／标签齐性、后继闭合的原子分划的最小类数。这是第58.5小节定理58.8的固定历史接口的闭覆盖表示；其中最小化没有选择其他取得策略。

证明。先取一项闭覆盖 $\mathcal F$，为每个类设置一个且仅一个物理状态。共同 $\chi$ 输出迫使该类有唯一动作／标签。一个 $W$ 类真实执行一次加一，并选择一个包含全部 $\mathrm{ack}$ 后继的固定类作为后继；一个 $R$ 类对数字 $b$ 选择包含全部已定义 $b$ 后继的固定类。未用数字总化到已有 $H_0$ 类。终止类输出其唯一原标签，以自身为形式后继。选择一个包含根的类为共同初态，恰收费 $|\mathcal F|$ 个名义态，$R,W,H$ 无一遗漏。

固定任意原输入 $x$，沿其原树路径归纳“当前树节点 $v$ 属于当前类 $C$，当前物理来源为 $[x+E_v]_M$”。$W$ 步由一单位加一和后继包含保持不变量；$R$ 步由同一真实数字及对应后继包含保持不变量；到 $H_x$ 时固定输出 $x$。因此全部原子来源值、动作、观察、读取次数、实际等待数及终止均保持。归纳沿有限树路径进行，允许所得控制图有环，不需要其有拓扑序。$\chi$ 从未成为物理查询，$\mathrm{ack}$ 从未成为新反馈端口：前者只编码状态的固定动作／标签，后者只命名原本允许的唯一 $W$ 后继。

反向，给定忠实实现 $T$ 的控制器，把树节点按实际到达的控制态分组。唯一根路径保证每个树节点对应一个确定控制态。同一控制态动作与固定输出相同、同一 $W$ 后继相同、同数字 $R$ 后继相同，故这些非空组构成后继闭合分划；对共同有限说明词作长度归纳即得相容性，包括插入任意 $\chi$ 自环。所得类数至多原控制器的全部名义态数，不把其冗余或未达态误计为等号。这两向给最小费用相等。

对重叠闭覆盖，也可先按第一方向得到控制器，再沿树的唯一根路径将每个节点重新指派给实际到达的类；所得不交分划使用不多于原来的类数，并保持所有原子路径。这一步依赖忠实有限树的唯一根路径，不声称任意偏机器的最小闭覆盖都可换成同大小分划。动作／标签齐性和后继闭合本身已通过共同词长度归纳蕴涵相容性，故直接使用原子分划时无需另设 $\chi,\mathrm{ack}$。

经典闭覆盖部分的归属分别为 Alberto Larrauri 与 Roderick Bloem，[*Minimization and Synthesis of the Tail in Sequential Compositions of Mealy machines*, arXiv:2105.10292v2，2021年10月7日，第5节定理4及附录B](https://arxiv.org/pdf/2105.10292v2)，以及 Andreas Abel 与 Jan Reineke，[*MEMIN: SAT-based Exact Minimization of Incompletely Specified Mealy Machines*, ICCAD 2015，第II节定理1，DOI 10.1109/ICCAD.2015.7372555](https://embedded.cs.uni-saarland.de/publications/iccad15.pdf)。前者给指定观察机的实现与闭覆盖两向构造，附录B以沿运行的类成员不变量证明正确性；后者明确允许覆盖类重叠，并将其定理归溯于 Paull–Unger。两者均针对给定行为。这里的物理来源归纳、所有 $W$ 态计费、原标签与逐路径预算保持，是上面另行给出的普通推导，不归到这些论文的原始最小性结论中。$\square$

在这个接口中，$E_v$ 可由完整原子路径上的 $W$ 数恢复；观察只需 $E_v\bmod M$，但完整动作长度仍须保留。仅留 $E_v\bmod P$ 会丢失高位进位，删去单点延续会改变实际行为。对已经正确闭合的读取类，等同“下一读取目标、剩余正距离”的 $W$ 尾位置可以共享，得到每目标一条最长进入尾链，保持每条原子动作词；其费用才可写为一读取态加最长进入等待。相同数字若活动，所要求的实际等待必须相同、下一读取类也必须相同；若停止，固定标签必须相同。对已删除初始前缀的完整读取历史分划 $\Pi$，这些条件给出总费用 $M+|\Pi|+\sum_{B\ne B_o}L(B)$：每个读取类一个状态，每个原标签一个终止态，每个非根目标一条最长实际进入尾链。路径归纳沿用定理60.9。这些条件与 $W$ 后继闭合共同承担充分性，独立的最佳装槽值或着色不承担它们。第56.9节允许的模 $M$ 正代表缩短保持容量优化所需读数，却不保持原来的完整等待动作词，故不用于本固定行为等价。

### 60.7 固定参考的二十八对二十二与闭合增长见证

**命题 60.10（任取一个正确参考不能替代外层策略选择）。** 在 $p=P=3,M=9,h_*=3$ 时，存在两张正确总表 A、B，A 用二十二态，B 的固定完整行为最少需要二十八态。因此
$$
C_B(3,1)\le22<28=\kappa(A_{T_B}).
\tag{60.20}
$$

证明。两表都有读取态 $S,F_b,G_b$，$b\in\mathbb Z/3\mathbb Z$，以及固定终止态 $H_0,\ldots,H_8$。对每个 $F_b,G_b$ 各设长度 $d$ 的独立单位尾链，$S$ 为共同初态，其数字 $b$ 指向 $\langle F_b,d\rangle$；等待态逐单位递减距离，终止态输出固定标签并自后继。所有未列数字都指向 $H_0$。

表 A 取 $d=1$：$F_b$ 的数字 $b$ 指向 $\langle G_b,1\rangle$，数字 $b+1$ 指向 $H_{3b+2}$；$G_b$ 的数字 $b,b+1$ 分别指向 $H_{3b},H_{3b+1}$。表 B 取 $d=2$：$F_b$ 的数字 $b$ 指向 $H_{3b}$，数字 $b+1$ 指向 $\langle G_b,2\rangle$；$G_b$ 的数字 $b+1,b+2$ 分别指向 $H_{3b+1},H_{3b+2}$。这里所有数字和下标偏移模三。

对 $x=3b+u$，两表的全相位读取为下表；每一中间单位来源仍为 $[x+E]_9$。

| 60节参考路径 | A 的累计等待／数字 | B 的累计等待／数字 | 两表输出 |
| --- | --- | --- | --- |
| 60.参考0 | $(0,1,2)/(b,b,b)$ | $(0,2)/(b,b)$ | $H_{3b}$ |
| 60.参考1 | $(0,1,2)/(b,b,b+1)$ | $(0,2,4)/(b,b+1,b+1)$ | $H_{3b+1}$ |
| 60.参考2 | $(0,1)/(b,b+1)$ | $(0,2,4)/(b,b+1,b+2)$ | $H_{3b+2}$ |

所以 A 的收费为 $7+6+9=22$，B 为 $7+12+9=28$；每个状态均有相应输入到达。两表最坏三读，三个首读候选不能用仅一次后续二元读取得，故满足读取最优合同。

现在固定 B 的整棵原子行为树。其七个读取出现位置两两不相容。两个不同 $F_b$ 的数字对相交，交点上一方停止、一方等待；两个不同 $G_b$ 的数字对相交，要求不同原标签。$F_b$ 与任意 $G_c$ 的两数字集在三数字中必相交，该槽在 $F_b$ 上或者继续等、或者输出三的倍数，在 $G_c$ 上却立即输出非三的倍数。$S$ 与每个后来读取都有一个共同数字，$S$ 后等待而该后来读取后停止。因此需要七个不同读取态。

六个非初始读取目标各有实际二步等待。不同目标的 $W$ 链不能共享状态；对同一目标，二步链的两个位置也不能相同，否则唯一 $W$ 后继造成永久等待环。故至少十二个等待态，加上九个不同固定标签至少二十八态；B 本身达到。该结论反驳的是把所有策略的容量最小化替换成任取一张参考表的固定行为最小化，不反驳定理58.8或定理60.9，也不排除另外提出并证明的策略无关表示。$\square$

**命题 60.11（精确二元类失败不等于两历史不相容）。** 在同一 $p=P=3,M=9$ 来源上，允许每条执行至多五读时，有三个实际单点延续的读取出现位置，前两个的合并闭合强制第三个加入，却仍存在它们共同使用一个读取态的合法控制器。

证明。从命题60.10的表 A 出发，仅修改已单点的 $u=2$ 支路：把 $F_b$ 的数字 $b+1$ 后继改为一单位等待后到新读取态 $Q_b$；$Q_b$ 的数字 $b+1$ 后继为一单位等待回到 $Q_b$，数字 $b+2$ 后继为 $H_{3b+2}$。对每个 $Q_b$ 只有一个新增单位尾态；其余未列槽总化到 $H_0$，原来 $u=0,1$ 的路径不变。

原输入 $x=3b+2$ 在累计等待一时从 $F_b$ 进入该延续，在 $Q_b$ 的三个出现位置分别有累计等待 $2,3,4$，数字分别为 $b+1,b+1,b+2$。第三处正确停止于 $H_{3b+2}$，总共五读；物理来源逐步为 $[x+E]_9$，故名义自环不造成无限执行。设三个出现位置依次为 $q_2,q_3,q_4$。将 $q_2,q_3$ 识别，同数字 $b+1$ 的后继是各自一单位 $W$ 节点；$R$ 后继闭合先迫使这两个 $W$ 节点同类，$W$ 闭合再迫使 $q_3,q_4$ 同类。因此“恰含 $q_2,q_3$”不能是完整类，但 $\{q_2,q_3,q_4\}$ 的数字 $b+1$ 总是等待返回本类，数字 $b+2$ 总是停止于同一标签，完全一致。这正是实际 $Q_b$ 的类。对 $b=0,1,2$ 都成立，也说明完整历史中不能抹去单点延续后再声称保留任意全行为。$\square$

### 60.8 有界完整历史族与一般容量的未解边界

**定理 60.12（有限族的全类等价与外层量词）。** 对定义60.1的任意参数及任意整数 $h\ge h_*$，令 $C_h$ 是最坏至多 $h$ 读的最小全部名义容量，置
$$
U=pP^2+1.
\tag{60.21}
$$
令 $\mathcal T_h(U)$ 包含所有节点数不超过 $MU$ 的完整忠实有限原子取得树，并要求每条路径至多 $h$ 读；共同初始等待、一元读取、单点后实际继续、非对称分支均允许。以有限根树同构为准，动作、数字与原标签作为标记。则
$$
C_h=\min_{T\in\mathcal T_h(U)}\kappa(A_T),
\qquad C_B=C_{h_*}.
\tag{60.22}
$$
删掉族定义中的读取限制，同式给 $C_A$。这是第56.9节已有全类有限优化的原子历史／闭覆盖接口，不把全类有限优化当作此处首次出现的结论。

证明。先给一个保证 $U$ 可行的种子。首读有 $p$ 个大小为 $P$ 的纤维；对每个纤维采用平衡二元阈值树，有 $P$ 个单点叶、$P-1$ 个后首读节点，高度至多 $\lceil\log_2P\rceil$。在一个当前低位区间 $[l,u)$ 内选内部阈值 $t$，$l<t<u$，等待 $P-t\in\{1,\ldots,P-1\}$ 使跨块与不跨块分别给所需两部分，再在各当前低区间递归。孩子数字名称由实际累计等待模 $M$ 给出，不能只用模 $P$ 的阈值位置替代原高位。每个后首读节点给自己的单位尾链，至多 $P-1$ 个等待态，故连同其读取态至多收费 $P$。共同首读和全部 $M$ 标签给总数
$$
M+1+p(P-1)P=pP^2+1=U,
\tag{60.23}
$$
读取至多 $h_*$。$P=1$ 时不需要后首读节点，一次读取和 $p$ 个标签即 $U=p+1$。因此最优容量 $n\le U$；此种子不限制竞争控制器的形状。

再取任意正确有限终止的 $n$ 态控制器。两次不同访问事件不能具有相同联合配置 $(q,s)$：同一执行重现非终止配置会永久循环，不同初态共享配置会具有相同确定未来和终止标签。每个初态只访问一次其终止事件，所以包含终止访问后，全部初态的不同访问事件总数仍至多 $nM$。把全部真实执行沿共同答案前缀展开成原子树，每个非空树节点至少代表一个这样的事件，故树节点不超过 $nM$；等待不缩短，单点继续不修剪，完整物理相位全部保留。

最优控制器的完整树于是属于 $\mathcal T_h(U)$，由定理60.9其最小闭覆盖费用不大于 $n$，故右边不大于 $C_h$。反向，每棵族内树的闭覆盖都按定理60.9变成该预算下的合法控制器，故 $C_h$ 不大于右边。相同论证去掉读取限制即给 $C_A$。有限性来自节点数上界、有限动作／数字／标签集及有限根树形状；精确支持 $I_v$ 和完整相位由根到节点的动作和数字递归决定，不需另加无限标记。$\square$

（60.22）保留外层策略选择，没有给出它的高效求解，也没有把一个固定树的兼容覆盖最小值提升为全参数容量。定理60.7的条件证书若要给一般精确式，必须对所有合法完整历史及可行读取态数建立下界，并由同一组完整相位、原标签和闭合后继上的实际构造达到。现有结论精确决定五点参数，改善九点参数的上端点；九点的九十五至一百零五仍未排除，一般 $C_B(p,k)$ 及长期关系表示与互相恢复目标均保持未完成。上述容量推导属于普通数学证明，固定总表的有限路径核对不替代全模型下界，也不附带原创性或 Lean/kernel 核验主张。

## 60.99 追加锚

## 61. 非初始读取态向既有空槽的条件吸收

### 61.1 同一原执行族上的进入槽与宿主

本节在定义60.1的单来源合同内给出一个保留完整动作的条件编译。取 $p\ge2$、$`P=p^k`$、$`M=pP`$；每个原输入 $x\in\mathbb Z/M\mathbb Z$ 都从同一个读取起点 $S=\mathrm{Start}$ 和来源 $s=x$ 出发。$`W`$ 只把来源加一，$`R`$ 不改变来源并返回 $d(s)=\lfloor[s]_M/P\rfloor$。固定总表逐输入有限终止，动作词为 $`R(W^+R)^*`$，终止态自身的固定输出等于原输入 $x$；没有来源相关准备、表外寄存器或免费计时器。

采用第56.9节的一目标一条单位尾链表示，但本节不作整周等待缩短：读取态 $q$ 的既有尾长为 $L_q\ge0$，其等待态恰为 $W(q,j)$，$`1\le j\le L_q`$。每个 $W(q,j)$ 执行一次真实的 $W$，然后在 $j>1$ 时进入 $W(q,j-1)$，在 $j=1$ 时进入 $q$。记 $\langle q,j\rangle$ 为进入 $W(q,j)$；它不是额外状态或免费跳时。读取槽 $v=(r,a)$ 的固定后继 $\sigma(v)$ 是某个既有终止态，或 $\langle q,j\rangle$。全部读取态、单位等待态和终止态，包括未达者，均计入名义容量 $C$。下面的保持结论针对这张已经给定的表及其全部原初始化执行。

**定义 61.1（整槽宿主条件）。** 称 $v=(r,a)$ 为原实际槽，当且仅当某个原输入的某次读取在 $r$ 观察到 $a$；记这些槽的集合为 $\mathcal V$。固定一个可达非初始读取态 $U\ne S$，令

$$
\begin{aligned}
I&=\\{v\in\mathcal V:\sigma(v)=\langle U,\delta_v\rangle\\},
&1\le\delta_v\le L_U,\\
\Gamma_v&=\\{a:\text{某次原执行经槽 }v\text{ 等待 }\delta_v\text{ 后在 }U\text{ 读到 }a\\},\\
Z_q&=\\{a:(q,a)\notin\mathcal V\\}.
\end{aligned}
\tag{61.1}
$$

这里 $I$ 收集所有原实际进入槽，包含以 $U$ 为源的自返槽；$`\Gamma_v`$ 收集所有原输入、所有读取序号上经该槽到达的数字，不能只取一个历史或一个代表输入。每个 $\Gamma_v$ 非空，$`\delta_v`$ 由原驻定表固定。预先为每个整槽 $v\in I$ 选择一个既有读取宿主 $`\phi(v)\notin\{U,S\}`$，要求

$$
\begin{aligned}
\Gamma_v&\subseteq Z_{\phi(v)},\\
F&=\operatorname{image}\phi,\qquad
E_q=\max_{v\in I:\phi(v)=q}\delta_v,\qquad
D_q=\bigcup_{v\in I:\phi(v)=q}\Gamma_v\quad(q\in F).
\end{aligned}
\tag{61.2}
$$

同一槽的所有出现必须使用同一个 $\phi(v)$，不能等读到未来数字后再挑宿主。$`Z_q`$ 是在全部原运行中从未使用的数字集，不能只要求该输入此前没使用。由于 $U$ 非初始，它的每次实际读取都有一个属于 $I$ 的前驱槽，故 $\bigcup_{v\in I}\Gamma_v$ 恰是 $U$ 的全部原实际数字。特别，$`\Gamma_v`$ 中每个数字都已在 $U$ 使用，而读取起点 $S$ 在所有 $M$ 个初态上使用全部 $p$ 个数字。因此此合同下，非空集合的空槽条件本身也排除了 $U$ 和 $S$ 作为宿主。不同槽可选不同宿主，即使它们的到达数字相同。

### 61.2 同时改写与保动作证明

**定理 61.2（集合式条件吸收）。** 若定义61.1的宿主选择存在，则可删除 $U$ 及其整条尾链，把它的实际读取作用交给既有宿主的空槽。所得固定总表对每个原输入保持完整 $R/W$ 动作词、每个原子动作前后的物理来源、每次观察数字、固定终止输出和读取次数。读取态可循环、同一槽可在不同读取序号出现，单点历史可继续读取，进入延迟不必相等。保留其余名义状态的这次编译恰有容量

$$
C_{\rm new}=C-(L_U+1)+\sum_{q\in F}\max\\{0,E_q-L_q\\}.
\tag{61.3}
$$

构造与证明。先在原表上对每一个原实际槽同时定义改写后的后继

$$
\widehat\sigma(v)=
\begin{cases}
\langle\phi(v),\delta_v\rangle,&v\in I,\\
\sigma(v),&v\in\mathcal V\setminus I.
\end{cases}
\tag{61.4}
$$

此步必须包含 $v=(U,a)$；若该槽自返 $U$，先把它的目标改成 $\phi(U,a)$，再作复制。对 $q\notin F$ 置 $D_q=\varnothing$。删除 $U$ 后，保留读取态的全部数字槽定义为

$$
\sigma'(q,a)=
\begin{cases}
\widehat\sigma(q,a),&(q,a)\in\mathcal V,\\
\widehat\sigma(U,a),&a\in D_q,\\
H_0,&\text{其余情形}.
\end{cases}
\tag{61.5}
$$

这里 $H_0$ 是原表中输出零的一个既有终止态。前两类不交，因为 $D_q\subseteq Z_q$。若多个进入槽向同一宿主数字槽 $(q,a)$ 提出复制请求，它们复制的都是同一个 $\widehat\sigma(U,a)$，所以请求一致；且 $(U,a)$ 确为原实际槽，右边有定义。复制不覆盖原实际宿主槽；这些原槽若本身指向 $U$，仍须接受（61.4）的统一目标改写。“空槽不冲突”并不免除这一步。其他真正未用槽总化到 $H_0$，不会留下指向已删读取态或尾链的悬空后继。

对每个不同宿主 $q\in F$，把尾长一次性延至 $`L'_q=\max\{L_q,E_q\}`$；新位置仍逐单位下降到原尾链。其余保留读取态的尾链、全部终止态及其固定输出不变。每个保留后继的等待距离都已存在：原目标不为 $U$ 的后继使用原尾链，改写后的后继由 $E_q$ 保证。于是（61.5）和尾链规则是一张完整、驻定、无附加派发状态的表。

固定任意原输入 $x$，沿其原有的有限原子动作词归纳。归纳关系总要求两侧来源相同；当原执行位于非 $U$ 的读取态或其尾链时，新执行位于同名位置。当原执行经某个原槽 $v\in I$ 进入 $U$ 的尾链时，则把该次尾链位置 $W(U,j)$ 对应到 $W(\phi(v),j)$，把随后的读取 $U$ 对应到 $\phi(v)$。此处 $v$ 只是证明中识别原出现位置的索引，运行时不存储它；其选择已经写死在前驱槽的后继里。起点两侧均为 $(S,x)$，满足关系。

等待步两侧都执行一次加一，并把同一剩余距离减一，故每个中间相位相同。在原非 $U$ 的读取处，两侧数字相同，且该槽属于 $\mathcal V$，由（61.5）的第一项选择（61.4）的后继。若原目标是 $U$，新的对应宿主就是该原槽预定的 $\phi(v)$；否则目标和等待长度均保持。

在原 $U$ 的读取处，设本次由 $v$ 到达，实际数字为 $a$。同相位给出相同的 $a\in\Gamma_v\subseteq D_{\phi(v)}$，新槽因而选中 $\widehat\sigma(U,a)$。若原 $\sigma(U,a)$ 终止，两侧进入同一固定标签；若它去往其他读取态，两侧执行相同正等待；若它自返 $U$，新执行则经同样的等待进入 $\phi(U,a)$。最后一种情形使用的是已经同时改写的后继，而非失效的旧指针，所以归纳仍成立。原宿主自身的实际出现只使用 $D_q$ 之外的数字，与复制来的出现不混淆。

这逐原子步证明同一动作、相位和数字，直至同一个终止标签；有限终止、合法动作词及任何原有逐输入读取上限随之保持。论证不归纳于读取图的无环性，也不要求同一控制态对应同一读取序号或某个固定历史大小。它保留物理行为关系，不要求新旧控制态名称始终相同。

计费时恰删除一个读取态及 $L_U$ 个单位等待态，每个不同宿主只增加 $`\max\{0,E_q-L_q\}`$ 个等待态；没有新终止态。这给出（61.3）。故此保留载体的编译容量不增，当且仅当扩尾总数不超过 $L_U+1$；严格节约，当且仅当该总数小于 $L_U+1$。其后若再删除不可达状态等，只会进一步降低容量，不能把（61.3）误读成已完成全局剪枝的最小值。$`\square`$

等延迟单数字的 ABSORB 是上述定理的特例：令 $L_U=e$、所有 $\delta_v=e$、$`\Gamma_v=\{a(v)\}`$，并使 $\phi(v)=q_{a(v)}$ 仅依赖该到达数字，则费用为 $`C-(e+1)+\sum_{q\in F}\max\{0,e-L_q\}`$。集合式版本只要求整槽预定宿主，不要求所有进入距离相同，也不要求每槽只有一种到达数字。它没有证明任意 $U$ 都有这样的宿主，更没有给出容量最优控制器的通用吸收正规形。

### 61.3 不等进入延迟：二十五态到二十三态

**例 61.3（延迟向量 $(1,2,1)$）。** 取 $p=P=3,M=9$。以下 $`b\in\{0,1,2\}`$，数字和读取态下标的偏移均模三；标签表达式中的 $[b+1]_3$ 取非负代表。原读取态是 $S,F_b,G_b,U$，新表删除 $U$。两表共同起点为 $S$，都恰有固定终止态 $H_0,\ldots,H_8$，其中 $H_x$ 输出 $x$ 并以自身为形式后继。置 $(\delta_0,\delta_1,\delta_2)=(1,2,1)$。下面按参数遍历给出全部读取槽，无其他隐含转移。

| 61.3槽族 | 数字 | 原后继 | 新后继 |
| --- | --- | --- | --- |
| 61.3-S | $b$ | $\langle F_b,1\rangle$ | $\langle F_b,1\rangle$ |
| 61.3-F同位 | $b$（在 $F_b$） | $\langle G_b,1\rangle$ | $\langle G_b,1\rangle$ |
| 61.3-F进位 | $b+1$（在 $F_b$） | $\langle U,\delta_b\rangle$ | $\langle G_{b-1},\delta_b\rangle$ |
| 61.3-F余槽 | $b+2$（在 $F_b$） | $H_0$ | $H_0$ |
| 61.3-G同位 | $b$（在 $G_b$） | $H_{3b}$ | $H_{3b}$ |
| 61.3-G进位 | $b+1$（在 $G_b$） | $H_{3b+1}$ | $H_{3b+1}$ |
| 61.3-G余槽 | $b+2$（在 $G_b$） | $H_0$ | $H_{3[b+1]_3+2}$ |
| 61.3-U | $b+1$（在 $U$） | $H_{3b+2}$ | 删除 |

原尾长为 $L_S=0$、$`L_{F_b}=L_{G_b}=1`$、$`L_U=2`$；新尾长为 $`L'_S=0`$、$`L'_{F_b}=1`$、$`L'_{G_0}=2`$、$`L'_{G_1}=L'_{G_2}=1`$。所有等待态严格按61.1节的 $W(q,j)$ 规则展开，故以上读取槽、尾长与终止规则已给出两张完整原子总表。

写 $x=3b+u$。首读数字为 $b$；一次等待后在 $F_b$ 的相位为 $`[x+1]_9`$。当 $`u=0,1`$ 时读到 $`b`$，再等一单位在 $`G_b`$ 分别读到 $`b,b+1`$，停止于 $`H_x`$。当 $`u=2`$ 时，$`F_b`$ 读到 $`b+1`$；随后总等待变成 $`1+\delta_b`$。对 $`b=0,1,2`$，此处原相位分别为 $`4,8,1`$，数字分别为 $`1,2,0`$，即 $`b+1`$，因此原 $`U`$ 正确输出 $`H_{3b+2}`$。其三个实际进入槽满足

$$
\Gamma_{(F_b,b+1)}=\\{b+1\\},\qquad
\phi(F_b,b+1)=G_{b-1},\qquad
(E_{G_0},E_{G_1},E_{G_2})=(2,1,1).
\tag{61.6}
$$

原 $G_{b-1}$ 只使用数字 $b-1,b$，所需 $b+1$ 确为空槽。新表在该槽复制同一终止标签，仅 $G_0$ 的尾链延长一态。为把完整相位而非仅最终答案写明，下表逐输入列两表共同的动作词、每个动作执行前的来源及依次读取的数字；最终读取不改变来源，随后直接进入 $H_x$。

| 61.3原输入 | 两表共同动作词 | 逐动作前相位 | 读取数字 |
| --- | --- | --- | --- |
| 61.3-x0 | $RWRWR$ | $(0,0,1,1,2)$ | $(0,0,0)$ |
| 61.3-x1 | $RWRWR$ | $(1,1,2,2,3)$ | $(0,0,1)$ |
| 61.3-x2 | $RWRWR$ | $(2,2,3,3,4)$ | $(0,1,1)$ |
| 61.3-x3 | $RWRWR$ | $(3,3,4,4,5)$ | $(1,1,1)$ |
| 61.3-x4 | $RWRWR$ | $(4,4,5,5,6)$ | $(1,1,2)$ |
| 61.3-x5 | $RWRWWR$ | $(5,5,6,6,7,8)$ | $(1,2,2)$ |
| 61.3-x6 | $RWRWR$ | $(6,6,7,7,8)$ | $(2,2,2)$ |
| 61.3-x7 | $RWRWR$ | $(7,7,8,8,0)$ | $(2,2,0)$ |
| 61.3-x8 | $RWRWR$ | $(8,8,0,0,1)$ | $(2,0,0)$ |

每个输入恰三读；原表和新表的全部名义状态都可达：输入 $3b$ 经过 $F_b,G_b$ 及其单位尾位置，三个输入 $3b+2$ 经过原 $U$，其中 $x=5$ 走满原二单位尾链；新表的 $x=5$ 走满 $G_0$ 的二单位尾链。每个 $H_x$ 由相应输入到达。因此两表收费分别为

$$
\begin{aligned}
C&=8\text{ 个读取态}+8\text{ 个等待态}+9\text{ 个终止态}=25,\\
C_{\rm new}&=7+7+9=23=25-(2+1)+1.
\end{aligned}
\tag{61.7}
$$

此例仅分离“进入延迟必须相等”这一额外条件；它不改善命题60.10已给出的二十二态上界。

### 61.4 同一进入槽的两个到达数字：二十九态到二十七态

**例 61.4（既有六单位尾链容纳一单位进入）。** 仍取 $p=P=3,M=9$，模三下标、单位等待展开、共同起点及九个固定终止态采用例61.3的约定。原读取态为 $S,F_b,G_b,Q$。本例删除 $U=G_0$，宿主为 $Q$。以下是一张独立完整总表；特别，$`F_2`$ 的进位槽单列，不能套用 $b=0,1$ 的停止行。

| 61.4槽族 | 数字 | 原后继 | 新后继 |
| --- | --- | --- | --- |
| 61.4-S | $b$ | $\langle F_b,1\rangle$ | $\langle F_b,1\rangle$ |
| 61.4-F0同位 | $0$（在 $F_0$） | $\langle G_0,1\rangle$ | $\langle Q,1\rangle$ |
| 61.4-F其余同位 | $b$（在 $F_b$，$`b=1,2`$） | $\langle G_b,1\rangle$ | $\langle G_b,1\rangle$ |
| 61.4-F停止 | $b+1$（在 $F_b$，$`b=0,1`$） | $H_{3b+2}$ | $H_{3b+2}$ |
| 61.4-F2进位 | $0$（在 $F_2$） | $\langle Q,6\rangle$ | $\langle Q,6\rangle$ |
| 61.4-F余槽 | $b+2$（在 $F_b$） | $H_0$ | $H_0$ |
| 61.4-G0槽0 | $0$（在 $G_0$） | $H_0$ | 删除 |
| 61.4-G0槽1 | $1$（在 $G_0$） | $H_1$ | 删除 |
| 61.4-G0槽2 | $2$（在 $G_0$） | $H_0$ | 删除 |
| 61.4-G其余同位 | $b$（在 $G_b$，$`b=1,2`$） | $H_{3b}$ | $H_{3b}$ |
| 61.4-G其余进位 | $b+1$（在 $G_b$，$`b=1,2`$） | $H_{3b+1}$ | $H_{3b+1}$ |
| 61.4-G其余余槽 | $b+2$（在 $G_b$，$`b=1,2`$） | $H_0$ | $H_0$ |
| 61.4-Q槽0 | $0$（在 $Q$） | $H_0$ | $H_0$ |
| 61.4-Q槽1 | $1$（在 $Q$） | $H_0$ | $H_1$ |
| 61.4-Q槽2 | $2$（在 $Q$） | $H_8$ | $H_8$ |

原尾长为 $L_S=0$、$`L_{F_b}=L_{G_b}=1`$、$`L_Q=6`$。新表删去 $G_0$ 及 $W(G_0,1)$，其余尾长完全保留。输入 $3b,3b+1$ 原先经 $F_b,G_b$ 在总等待二处停止；输入 $2,5$ 在 $F_0,F_1$ 的总等待一处停止。唯一原来使用 $Q$ 的输入为 $8$：它在 $F_2$ 观察到数字零，然后经过六次真实加一，从相位零到相位六，在 $Q$ 读取数字二并停止于 $H_8$。所以

$$
I=\\{(F_0,0)\\},\qquad
\delta_{(F_0,0)}=1,\qquad
\Gamma_{(F_0,0)}=\\{0,1\\}\subseteq Z_Q=\\{0,1\\},\qquad
E_Q=1<L_Q=6.
\tag{61.8}
$$

此处 $\Gamma$ 的两个数字分别由输入 $0,1$ 在相位 $2,3$ 实现；它们共用同一个前驱槽，宿主必须事前同时容纳二者。新表让该槽进入既有 $W(Q,1)$，在 $Q$ 的数字零、一处分别停止于 $H_0,H_1$。原来从 $\langle Q,6\rangle$ 进入的输入 $8$ 仍使用数字二，原后继保持。完整的逐输入相位核对如下，输出仍逐行固定为 $H_x$。

| 61.4原输入 | 两表共同动作词 | 逐动作前相位 | 读取数字 |
| --- | --- | --- | --- |
| 61.4-x0 | $RWRWR$ | $(0,0,1,1,2)$ | $(0,0,0)$ |
| 61.4-x1 | $RWRWR$ | $(1,1,2,2,3)$ | $(0,0,1)$ |
| 61.4-x2 | $RWR$ | $(2,2,3)$ | $(0,1)$ |
| 61.4-x3 | $RWRWR$ | $(3,3,4,4,5)$ | $(1,1,1)$ |
| 61.4-x4 | $RWRWR$ | $(4,4,5,5,6)$ | $(1,1,2)$ |
| 61.4-x5 | $RWR$ | $(5,5,6)$ | $(1,2)$ |
| 61.4-x6 | $RWRWR$ | $(6,6,7,7,8)$ | $(2,2,2)$ |
| 61.4-x7 | $RWRWR$ | $(7,7,8,8,0)$ | $(2,2,0)$ |
| 61.4-x8 | $RWRWWWWWWR$ | $(8,8,0,0,1,2,3,4,5,6)$ | $(2,0,2)$ |

两表最坏三读，输入 $2,5$ 只读两次。所有名义状态可达：原每个 $F_b,G_b$ 及其单位等待由 $3b$ 到达，$`x=8`$ 走满 $Q$ 的六态尾链；新表保留的 $F_b,G_1,G_2$ 及其尾位置仍被使用，$`Q`$ 的六态尾链也仍由 $8$ 走满。九个固定终止态分别由九个输入到达。准确收费为

$$
\begin{aligned}
C&=8+(3+3+6)+9=29,\\
C_{\rm new}&=7+(3+2+6)+9=27=29-(1+1)+0.
\end{aligned}
\tag{61.9}
$$

此例仅分离“每个进入槽必须有单一到达数字”这一额外条件；六单位尾链原来就已收费，此次没有免费等待，也没有增加尾长。二十七态同样不改善已发表的二十二态上界。

### 61.5 条件编译的适用边界

上述两张具体表的旧、新版本已分别展开为单位 $W$ 状态，在有限域 $x=0,\ldots,8$ 上逐动作独立核对：动作、前后物理来源、读数字、终止标签、读取数及所列全部名义状态的可达性均相符。这些有限检查检验具体实现；定理61.2的无参数上限结论由归纳证明承担，有限执行不能替代它。模型与尾链接口分别取自定义60.1及第56.9节；二十二态比较只引用命题60.10，不在这里重复其控制表。

所得是保留同一实际关系、固定输出和已收费状态资源的条件编译：给定整槽宿主后，可用既有空槽替代一个非初始物理读取态，并准确结算尾链扩展。它不保证宿主存在，不是通用最小化定理，没有给出新的全模型容量数值端点，也不带原创性或 Lean/kernel 核验主张。一般容量问题仍开放，尤其第60节的

$$
95\le C_B(3,2)\le106
\tag{61.10}
$$

保持原边界；本节两个 $M=9$ 实例既不缩短此区间，也不完成一般 $C_B(p,k)$ 或长期关系表示与互相恢复目标。

## 61.99 追加锚
## 62. 相容的同时读取吸收与三进九点的一百零五态实现

在定义56.1、60.1的完整驻定控制合同内，本节给出二十五个读取态、五十三个单位等待态和二十七个固定终止态组成的总表。它在全部二十七个输入上正确取得原剩余类，最坏五读；结合定理57.10，得到 $`95\le C_B(3,2)\le105`$。同时给出适用于任意参数的条件吸收定理，以及一个八词循环构造族的准确费用。该族的最小值是一百零五；全类容量的精确值仍未确定。

### 62.1 原槽、完整出现集与保留宿主

**定义 62.11（收费尾链上的同时吸收资料）。** 固定整数 $`p\ge2,k\ge0`$，置 $`P=p^k,M=pP`$。物理来源初始为 $`s=x\in\mathbb Z/M\mathbb Z`$；动作 $`W`$ 将来源加一，动作 $`R`$ 保持来源并返回 $`\lfloor[s]_M/P\rfloor`$。原控制器是有限、驻定、全定义的确定表，所有输入从同一个读取态 $`S`$ 开始，逐点执行有限动作词 $`R(W^+R)^*`$；最后读取后直接进入既有终止态，其固定解码给出原输入。没有来源相关准备、复位、复制、逆步、免费计时器、表外计数器或终止时刻侧信道。

采用第56.9、61.1节的已收费尾链表示：读取态集为 $`\mathcal R`$，每个 $`q\in\mathcal R`$ 拥有与其他目标不交的状态 $`W(q,j)`$，$`1\le j\le L_q`$。其一次单位动作后，$`j\gt1`$ 时进入 $`W(q,j-1)`$，$`j=1`$ 时进入 $`q`$。简写 $`\langle q,d\rangle=W(q,d)`$；所有实际非终止读取后继均为这种入口，$`1\le d\le L_q`$。读取、每个单位等待位置及终止态都计入容量 $`C`$，原来未达但保留的名义状态也照常计费。以下变换针对这张给定表，不先缩短整周期等待。

原槽是有序对 $`v=(r,a)`$，其后继记为 $`\sigma(v)`$。令 $`\mathcal V`$ 为全部原初始化执行实际使用的槽集，$`A_q=\{a:(q,a)\in\mathcal V\}`$ 为原完整数字支持。选择待删读取态集 $`D\subseteq\mathcal R\setminus\{S\}`$，并定义

```math
\begin{aligned}
\mathcal I_D&=\{v\in\mathcal V:\sigma(v)=\langle u_v,\delta_v\rangle,\ u_v\in D\},\\[0pt]
\mathcal O_v&=\{(x,i):\text{原输入 }x\text{ 的第 }i\text{ 次读取使用槽 }v\},\\[0pt]
D_v&=\{a:\text{某个 }(x,i)\in\mathcal O_v\text{ 在其下一读取 }u_v\text{ 观察到 }a\}
\quad(v\in\mathcal I_D).
\end{aligned}
\tag{62.21}
```

这里取全部原输入及其全部出现，包含自返、删态间的边、重复读取和单点延续；$`D_v`$ 非空。为每个整槽 $`v\in\mathcal I_D`$ 预定一个保留读取宿主 $`\phi(v)\in\mathcal R\setminus D`$，要求

```math
D_v\cap A_{\phi(v)}=\varnothing.
\tag{62.22}
```

同一槽不能随出现位置或未来读数改变宿主。读取起点 $`S`$ 在全部输入上使用全部数字，故（62.22）本身排除它成为任何非空到达集的宿主。重要的是旧槽身份：两个槽即使同有后继 $`\langle u,d\rangle`$，也可以选择不同宿主，因而改写不能只定义成后继值的函数。

### 62.2 字面请求相容的同时吸收

**定理 62.12（同时吸收及准确费用）。** 在定义62.11的资料上，先对所有原实际槽定义

```math
\rho(v)=
\begin{cases}
\langle\phi(v),\delta_v\rangle,&v\in\mathcal I_D,\\[0pt]
\sigma(v),&v\in\mathcal V\setminus\mathcal I_D.
\end{cases}
\qquad
\mathcal J_{q,a}=\{\rho((u_v,a)):v\in\mathcal I_D,\ \phi(v)=q,\ a\in D_v\}.
\tag{62.23}
```

对每个保留宿主数字对 $`(q,a)`$，要求 $`\mathcal J_{q,a}`$ 至多含一个元素，即其所有请求的后继逐字相同：终止态身份相同，或目标读取态与正延迟均相同。仅输出相同、仅延迟相同、仅分别可吸收，均不替代此条件。则可同时删除 $`D`$ 的读取态及各自整条尾链，保留每个输入的完整原子动作词、动作前后物理来源、读取数字、读取次数和固定终止标签。

令空集合的最大值为零，置

```math
\begin{aligned}
E_q&=\max\bigl(\{\delta_v:v\in\mathcal I_D,\ \phi(v)=q\}\cup\{0\}\bigr),
&L'_q&=\max\{L_q,E_q\}\quad(q\notin D),\\[0pt]
C'&=C-\sum_{u\in D}(1+L_u)
       +\sum_{q\in\mathcal R\setminus D}\max\{0,E_q-L_q\}.
\end{aligned}
\tag{62.24}
```

这是保留其余名义状态的准确费用，不是进一步全局剪枝后的最小容量；同一宿主只扩尾并计费一次。此变换容量不增当且仅当扩尾和不超过被删和，严格节约当且仅当严格小于。

证明。每个请求中的 $`(u_v,a)`$ 都属于 $`\mathcal V`$，所以 $`\rho((u_v,a))`$ 已有定义。全部 $`\rho`$ 均由旧槽一次算出；即使旧目标也在 $`D`$ 中，它已经被改成该旧槽选定的保留宿主，不会留下递归待解的指针。保留读取行定义为

```math
\sigma'(q,a)=
\begin{cases}
\rho((q,a)),&(q,a)\in\mathcal V,\\[0pt]
\text{集合 }\mathcal J_{q,a}\text{ 的唯一元素},&\mathcal J_{q,a}\ne\varnothing,\\[0pt]
H_0,&\text{其余情形}.
\end{cases}
\tag{62.25}
```

其中 $`H_0`$ 是原来解码为零的一个终止态。前两类不交，由（62.22）保证；第二类单值，由字面相容保证。原实际宿主槽也接受 $`\rho`$ 的目标改写，不能因为它是“宿主的旧行为”就漏掉指向删态的边。其余槽总化到 $`H_0`$，故没有悬空的删态或删尾后继。目标未删的旧延迟已经有尾链；改换目标的延迟不超过对应 $`E_q`$，所以扩至 $`L'_q`$ 后全部入口存在。所有终止态及其固定输出保持。

固定原输入 $`x`$，以其完整有限原子执行作归纳。归纳关系在每个动作边界要求两侧来源相同；原保留读取态 $`q`$ 对应自身。原删态 $`u`$ 若经旧槽 $`v`$ 到达，则该次读取对应 $`\phi(v)`$，之前的每个尾位置 $`W(u,j)`$ 对应 $`W(\phi(v),j)`$；目标未删时，尾位置对应自身。这个前驱槽索引只记录在证明中，不是运行时字段。起点两侧均为 $`(S,x)`$，所以归纳起步成立。

若原下一动作是等待，两侧都执行一次加一，并把相同剩余距离减一；距离一之后进入所对应的读取态。于是每一个中间单位动作前后相位都相等。若原下一动作在保留读取态 $`q`$，同相位给出同数字 $`a`$，且 $`(q,a)\in\mathcal V`$；新表第一项选取 $`\rho((q,a))`$。原后继为终止态时，两侧到达同一标签；原后继为正延迟时，两侧开始相同长度的尾链，若目标在 $`D`$，代表宿主由这个旧槽的 $`\phi`$ 给出。

若原下一动作在删态 $`u=u_v`$，本次到达数字 $`a\in D_v`$。新执行在 $`\phi(v)`$ 看到同一 $`a`$，其槽的请求集合包含 $`\rho((u,a))`$；由相容性，这正是安装的唯一后继。若旧 $`(u,a)`$ 指向另一个删态或自返 $`u`$，接下来使用的是 $`\phi((u,a))`$，而非承载本次读取的宿主身份。故归纳也覆盖删态间的环、自返和反复出现。每一步均由已给定的固定表决定，新的初始化运行不能在归纳之外额外进入一个未经考察的宿主数字槽。

归纳一直延续到原有限词的末尾，证明新词同长、同动作、同相位、同读数并到达同一终止态；所有原逐输入读取上限都随之保留。证明没有对图无环性、历史大小或读取序号作附加假设。删除的是互不相交的读取态与尾链，共 $`\sum_{u\in D}(1+L_u)`$ 个状态；每个保留目标增加 $`\max\{0,E_q-L_q\}`$ 个等待态，不增加派发态或终止态，得到（62.24）。$`\square`$

当 $`D=\{U\}`$ 时，同一宿主数字的所有请求都来自同一旧槽 $`(U,a)`$，字面相容自动成立，恢复定理61.2。对多个删态，它是额外的共同实现条件。本定理只给充分条件，不声称字面相等在所有其他重综合方法中必要，也不允许本次宿主自身被删。

### 62.3 冲突宿主与首读保留的两个边界

**例 62.13（分别可吸收不推出同时可吸收）。** 取 $`p=3,P=1,M=3`$，读取态为 $`S,U_0,U_1,V`$，从 $`S`$ 开始。三个目标的尾长分别为 $`3,2,3`$，各尾按定义62.11逐单位展开；终止态 $`H_x`$ 输出 $`x`$ 并以自身为形式后继。完整读取表为：

| 62.冲突读取行 | 数字 0 | 数字 1 | 数字 2 |
| --- | --- | --- | --- |
| 62.冲突S | $`\langle U_0,3\rangle`$ | $`\langle U_1,2\rangle`$ | $`\langle V,3\rangle`$ |
| 62.冲突U0 | $`H_0`$ | $`H_0`$ | $`H_0`$ |
| 62.冲突U1 | $`H_1`$ | $`H_0`$ | $`H_0`$ |
| 62.冲突V | $`H_0`$ | $`H_0`$ | $`H_2`$ |

输入 $`0,1,2`$ 的第二次读取联合配置分别为 $`(U_0,0),(U_1,0),(V,2)`$，所以原表正确，费用为 $`4+8+3=15`$，每条运行两读。$`V`$ 的数字零原来未用，尾长三足够承接两种进入延迟，因此单独吸收 $`U_0`$ 或单独吸收 $`U_1`$ 都合法且无需扩尾。但同时把二者吸收到 $`V`$ 的数字零，会分别要求 $`H_0`$ 与 $`H_1`$。两个输入此时都到达 $`(V,0)`$，确定后续不可能输出两个不同原标签。这检验一般变换的合成条件；它不是 $`P=9`$ 的读取最优实例。

首读还必须保留。若原起点是固定等待前缀，则可将定理扩到“前缀原样保留、前缀后的第一读取态不删”的情形，前缀状态仍计费，归纳从相同前缀之后继续。不能只要求删态不同于名义起点：取 $`p=2,P=1,M=2`$，名义起点为等待态 $`w\to U`$，读取行是 $`0\mapsto H_1,1\mapsto H_0`$。两终止态固定输出下标，形式后继为自身。这个四态表在输入 $`x`$ 上先到来源 $`[x+1]_2`$，再正确输出 $`x`$，动作词为 $`WR`$。$`U`$ 没有进入读取槽，却是第一个读取态；删去它和初始等待，仅剩两个终止态，来源无关的固定初始化不能识别两个输入。空的进入槽条件不能替代初始化义务。

### 62.4 一百零五态的全部整数总表

**定义 62.14（固定编号的完整控制器）。** 现在固定 $`p=3,k=2,P=9,M=27`$。状态恰为整数 $`0,\ldots,104`$，初始控制态为 $`0`$。$`0,\ldots,24`$ 执行 $`R`$；$`25,\ldots,77`$ 各执行一次 $`W`$；$`78,\ldots,104`$ 停止。下列三个表分别列出全部读取槽、每一个等待后继以及每一个终止解码。表中的后继全是实际状态号，没有宏动作或表外状态。

| 62.整数读取行 | 状态 | 数字 0 后继 | 数字 1 后继 | 数字 2 后继 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 62.R00 | 0 | 27 | 46 | 64 |
| 62.R01 | 1 | 30 | 58 | 78 |
| 62.R02 | 2 | 31 | 39 | 78 |
| 62.R03 | 3 | 32 | 80 | 78 |
| 62.R04 | 4 | 78 | 79 | 78 |
| 62.R05 | 5 | 69 | 40 | 83 |
| 62.R06 | 6 | 78 | 81 | 82 |
| 62.R07 | 7 | 78 | 42 | 86 |
| 62.R08 | 8 | 78 | 84 | 85 |
| 62.R09 | 9 | 78 | 48 | 58 |
| 62.R10 | 10 | 78 | 49 | 75 |
| 62.R11 | 11 | 78 | 50 | 89 |
| 62.R12 | 12 | 78 | 87 | 88 |
| 62.R13 | 13 | 91 | 78 | 90 |
| 62.R14 | 14 | 95 | 41 | 59 |
| 62.R15 | 15 | 94 | 78 | 60 |
| 62.R16 | 16 | 93 | 78 | 92 |
| 62.R17 | 17 | 75 | 78 | 66 |
| 62.R18 | 18 | 39 | 78 | 67 |
| 62.R19 | 19 | 98 | 78 | 68 |
| 62.R20 | 20 | 97 | 78 | 96 |
| 62.R21 | 21 | 99 | 100 | 78 |
| 62.R22 | 22 | 76 | 104 | 52 |
| 62.R23 | 23 | 77 | 103 | 78 |
| 62.R24 | 24 | 101 | 102 | 78 |

等待表同时标出目标读取态 $`q`$ 和剩余单位距离 $`j`$。这两列只解释状态号：运行时只沿该行的固定后继执行。$`j=1`$ 后到 $`q`$，否则到同一目标的 $`j-1`$ 位置。

| 62.整数等待行 | 状态 | 目标读取态 | 剩余距离 | 执行一次 W 后的后继 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 62.W25 | 25 | 1 | 1 | 1 |
| 62.W26 | 26 | 1 | 2 | 25 |
| 62.W27 | 27 | 1 | 3 | 26 |
| 62.W28 | 28 | 2 | 1 | 2 |
| 62.W29 | 29 | 2 | 2 | 28 |
| 62.W30 | 30 | 2 | 3 | 29 |
| 62.W31 | 31 | 3 | 1 | 3 |
| 62.W32 | 32 | 4 | 1 | 4 |
| 62.W33 | 33 | 5 | 1 | 5 |
| 62.W34 | 34 | 5 | 2 | 33 |
| 62.W35 | 35 | 5 | 3 | 34 |
| 62.W36 | 36 | 5 | 4 | 35 |
| 62.W37 | 37 | 5 | 5 | 36 |
| 62.W38 | 38 | 5 | 6 | 37 |
| 62.W39 | 39 | 5 | 7 | 38 |
| 62.W40 | 40 | 6 | 1 | 6 |
| 62.W41 | 41 | 7 | 1 | 7 |
| 62.W42 | 42 | 8 | 1 | 8 |
| 62.W43 | 43 | 9 | 1 | 9 |
| 62.W44 | 44 | 9 | 2 | 43 |
| 62.W45 | 45 | 9 | 3 | 44 |
| 62.W46 | 46 | 9 | 4 | 45 |
| 62.W47 | 47 | 10 | 1 | 10 |
| 62.W48 | 48 | 10 | 2 | 47 |
| 62.W49 | 49 | 11 | 1 | 11 |
| 62.W50 | 50 | 12 | 1 | 12 |
| 62.W51 | 51 | 13 | 1 | 13 |
| 62.W52 | 52 | 13 | 2 | 51 |
| 62.W53 | 53 | 14 | 1 | 14 |
| 62.W54 | 54 | 14 | 2 | 53 |
| 62.W55 | 55 | 14 | 3 | 54 |
| 62.W56 | 56 | 14 | 4 | 55 |
| 62.W57 | 57 | 14 | 5 | 56 |
| 62.W58 | 58 | 14 | 6 | 57 |
| 62.W59 | 59 | 15 | 1 | 15 |
| 62.W60 | 60 | 16 | 1 | 16 |
| 62.W61 | 61 | 17 | 1 | 17 |
| 62.W62 | 62 | 17 | 2 | 61 |
| 62.W63 | 63 | 17 | 3 | 62 |
| 62.W64 | 64 | 17 | 4 | 63 |
| 62.W65 | 65 | 18 | 1 | 18 |
| 62.W66 | 66 | 18 | 2 | 65 |
| 62.W67 | 67 | 19 | 1 | 19 |
| 62.W68 | 68 | 20 | 1 | 20 |
| 62.W69 | 69 | 21 | 1 | 21 |
| 62.W70 | 70 | 22 | 1 | 22 |
| 62.W71 | 71 | 22 | 2 | 70 |
| 62.W72 | 72 | 22 | 3 | 71 |
| 62.W73 | 73 | 22 | 4 | 72 |
| 62.W74 | 74 | 22 | 5 | 73 |
| 62.W75 | 75 | 22 | 6 | 74 |
| 62.W76 | 76 | 23 | 1 | 23 |
| 62.W77 | 77 | 24 | 1 | 24 |

终止态 $`H_x`$ 就是整数 $`78+x`$；进入即停止，不再执行来源动作。形式后继仍逐行列出。

| 62.整数终止行 | 状态 | 固定输出 | 形式后继 |
| --- | --- | --- | --- |
| 62.H00 | 78 | 0 | 78 |
| 62.H01 | 79 | 1 | 79 |
| 62.H02 | 80 | 2 | 80 |
| 62.H03 | 81 | 3 | 81 |
| 62.H04 | 82 | 4 | 82 |
| 62.H05 | 83 | 5 | 83 |
| 62.H06 | 84 | 6 | 84 |
| 62.H07 | 85 | 7 | 85 |
| 62.H08 | 86 | 8 | 86 |
| 62.H09 | 87 | 9 | 87 |
| 62.H10 | 88 | 10 | 88 |
| 62.H11 | 89 | 11 | 89 |
| 62.H12 | 90 | 12 | 90 |
| 62.H13 | 91 | 13 | 91 |
| 62.H14 | 92 | 14 | 92 |
| 62.H15 | 93 | 15 | 93 |
| 62.H16 | 94 | 16 | 94 |
| 62.H17 | 95 | 17 | 95 |
| 62.H18 | 96 | 18 | 96 |
| 62.H19 | 97 | 19 | 97 |
| 62.H20 | 98 | 20 | 98 |
| 62.H21 | 99 | 21 | 99 |
| 62.H22 | 100 | 22 | 100 |
| 62.H23 | 101 | 23 | 101 |
| 62.H24 | 102 | 24 | 102 |
| 62.H25 | 103 | 25 | 103 |
| 62.H26 | 104 | 26 | 104 |

为证明方便，写 $`Q_{b,j}=8b+j`$，其中 $`b\in\{0,1,2\},1\le j\le8`$，并写 $`K_0=5,K_1=14,K_2=22`$。这些只是既有整数状态的别名。读取态 $`1,\ldots,24`$ 的尾长，依纤维分成三组，为

```math
\begin{aligned}
(L_1,\ldots,L_8)&=(3,3,1,1,7,1,1,1),\\[0pt]
(L_9,\ldots,L_{16})&=(4,2,1,1,2,6,1,1),\\[0pt]
(L_{17},\ldots,L_{24})&=(4,2,1,1,1,6,1,1).
\end{aligned}
\tag{62.26}
```

各组等待态数为 $`18,18,17`$，总计 $`53`$。每个读取目标只有一条自己的尾链；多个入口可以共享它的后缀，不会把同一个等待态算给两个不同目标。起点不另设尾链。总费用恰为 $`25+53+27=105`$，没有另加初始化、派发、相位寄存器或计数器。

### 62.5 二十七条初始化执行、完整相位与五读最优性

**定理 62.15（总表的正确性、可达性及读取最优性）。** 定义62.14对每个初始剩余类正确有限终止，最坏五读，最多十四个单位等待，最大单段等待为七。全部一百零五个名义状态均可达；在原完整模型中，五读也是最少的最坏读取数。

证明。用 $`E`$ 记录已经执行的单位等待次数，只作证明变量。任意原子动作边界满足

```math
s=[x+E]_{27},\qquad a=\left\lfloor\frac{[x+E]_{27}}9\right\rfloor
\quad\text{（在读取处）}.
\tag{62.27}
```

初始 $`E=0,s=x`$；每个等待行使两侧各加一，每个读取保持两侧，所以此不变量由逐原子动作归纳成立。下面每行给出一个输入的全部读取态、读取时累计等待、完整模二十七物理来源和实际数字；最后一列为整数终止态。读取间的每一步相位由（62.27）和等待表唯一确定，不省略任何未收费的动作。

| 62.完整路径 | 输入 x | 全部读取态 | 各次读取 E | 各次读取 s | 各次读取数字 | 终止态 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 62.P00 | 0 | $`0,1,2,3,4`$ | $`0,3,6,7,8`$ | $`0,3,6,7,8`$ | $`0,0,0,0,0`$ | 78 |
| 62.P01 | 1 | $`0,1,2,3,4`$ | $`0,3,6,7,8`$ | $`1,4,7,8,9`$ | $`0,0,0,0,1`$ | 79 |
| 62.P02 | 2 | $`0,1,2,3`$ | $`0,3,6,7`$ | $`2,5,8,9`$ | $`0,0,0,1`$ | 80 |
| 62.P03 | 3 | $`0,1,2,5,6`$ | $`0,3,6,13,14`$ | $`3,6,9,16,17`$ | $`0,0,1,1,1`$ | 81 |
| 62.P04 | 4 | $`0,1,2,5,6`$ | $`0,3,6,13,14`$ | $`4,7,10,17,18`$ | $`0,0,1,1,2`$ | 82 |
| 62.P05 | 5 | $`0,1,2,5`$ | $`0,3,6,13`$ | $`5,8,11,18`$ | $`0,0,1,2`$ | 83 |
| 62.P06 | 6 | $`0,1,14,7,8`$ | $`0,3,9,10,11`$ | $`6,9,15,16,17`$ | $`0,1,1,1,1`$ | 84 |
| 62.P07 | 7 | $`0,1,14,7,8`$ | $`0,3,9,10,11`$ | $`7,10,16,17,18`$ | $`0,1,1,1,2`$ | 85 |
| 62.P08 | 8 | $`0,1,14,7`$ | $`0,3,9,10`$ | $`8,11,17,18`$ | $`0,1,1,2`$ | 86 |
| 62.P09 | 9 | $`0,9,10,11,12`$ | $`0,4,6,7,8`$ | $`9,13,15,16,17`$ | $`1,1,1,1,1`$ | 87 |
| 62.P10 | 10 | $`0,9,10,11,12`$ | $`0,4,6,7,8`$ | $`10,14,16,17,18`$ | $`1,1,1,1,2`$ | 88 |
| 62.P11 | 11 | $`0,9,10,11`$ | $`0,4,6,7`$ | $`11,15,17,18`$ | $`1,1,1,2`$ | 89 |
| 62.P12 | 12 | $`0,9,10,22,13`$ | $`0,4,6,12,14`$ | $`12,16,18,24,26`$ | $`1,1,2,2,2`$ | 90 |
| 62.P13 | 13 | $`0,9,10,22,13`$ | $`0,4,6,12,14`$ | $`13,17,19,25,0`$ | $`1,1,2,2,0`$ | 91 |
| 62.P14 | 14 | $`0,9,14,15,16`$ | $`0,4,10,11,12`$ | $`14,18,24,25,26`$ | $`1,2,2,2,2`$ | 92 |
| 62.P15 | 15 | $`0,9,14,15,16`$ | $`0,4,10,11,12`$ | $`15,19,25,26,0`$ | $`1,2,2,2,0`$ | 93 |
| 62.P16 | 16 | $`0,9,14,15`$ | $`0,4,10,11`$ | $`16,20,26,0`$ | $`1,2,2,0`$ | 94 |
| 62.P17 | 17 | $`0,9,14`$ | $`0,4,10`$ | $`17,21,0`$ | $`1,2,0`$ | 95 |
| 62.P18 | 18 | $`0,17,18,19,20`$ | $`0,4,6,7,8`$ | $`18,22,24,25,26`$ | $`2,2,2,2,2`$ | 96 |
| 62.P19 | 19 | $`0,17,18,19,20`$ | $`0,4,6,7,8`$ | $`19,23,25,26,0`$ | $`2,2,2,2,0`$ | 97 |
| 62.P20 | 20 | $`0,17,18,19`$ | $`0,4,6,7`$ | $`20,24,26,0`$ | $`2,2,2,0`$ | 98 |
| 62.P21 | 21 | $`0,17,18,5,21`$ | $`0,4,6,13,14`$ | $`21,25,0,7,8`$ | $`2,2,0,0,0`$ | 99 |
| 62.P22 | 22 | $`0,17,18,5,21`$ | $`0,4,6,13,14`$ | $`22,26,1,8,9`$ | $`2,2,0,0,1`$ | 100 |
| 62.P23 | 23 | $`0,17,22,23,24`$ | $`0,4,10,11,12`$ | $`23,0,6,7,8`$ | $`2,0,0,0,0`$ | 101 |
| 62.P24 | 24 | $`0,17,22,23,24`$ | $`0,4,10,11,12`$ | $`24,1,7,8,9`$ | $`2,0,0,0,1`$ | 102 |
| 62.P25 | 25 | $`0,17,22,23`$ | $`0,4,10,11`$ | $`25,2,8,9`$ | $`2,0,0,1`$ | 103 |
| 62.P26 | 26 | $`0,17,22`$ | $`0,4,10`$ | $`26,3,9`$ | $`2,0,1`$ | 104 |

这二十七行覆盖全部输入且互不重叠。每次把数字代入读取表，所得入口沿等待表恰经过相邻两个 $`E`$ 值之差那么多单位动作，达到下一列出的读取态；末次读取选择 $`78+x`$。所有相邻差严格为正，末次读后无等待。这样既检查了表项，也由（62.27）检查了所有中间物理相位，不只检查读取时刻。各行读取数不超过五、最终 $`E`$ 不超过十四；输入零等达到五读，输入三、四等达到十四等待，进入读取态五的延迟达到七。

三个共享宿主的全部出现可直接从上表取出：

| 62.共享宿主 | 本纤维输入、累计等待与物理来源 | 装入输入、累计等待与物理来源 | 本位支持 / 装入支持 | 装入数字的后继 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 62.宿主5 | $`x=3,4,5;\ E=13;\ s=16,17,18`$ | $`x=21,22;\ E=13;\ s=7,8`$ | $`\{1,2\}/\{0\}`$ | $`69=W(21,1)`$ |
| 62.宿主14 | $`x=14,15,16,17;\ E=10;\ s=24,25,26,0`$ | $`x=6,7,8;\ E=9;\ s=15,16,17`$ | $`\{2,0\}/\{1\}`$ | $`41=W(7,1)`$ |
| 62.宿主22 | $`x=23,24,25,26;\ E=10;\ s=6,7,8,9`$ | $`x=12,13;\ E=12;\ s=24,25`$ | $`\{0,1\}/\{2\}`$ | $`52=W(13,2)`$ |

这些出现使用同一张驻定表，各行的两种支持不交。宿主五、十四、二十二的既有尾长分别为七、六、六，足以实现全部列出的入口。共享不要求物理来源彼此相等，而要求在同一物理合同内，各实际数字选择相容的固定延续。

上面的路径覆盖每一个非初始读取态。对每个目标，至少一条路径从该目标最长尾链的入口进入，因而整条尾链逐态可达；每个终止态由相应输入到达。所以一百零五的费用不是仅计算局部节省，也没有藏入可删的未达冗余。

最坏读取数的下界量化于全部合法驻定表。若有固定初始等待，首读时所有输入整体平移，仍分成三个各含九个输入的纤维。固定其中一个首读答案及以后已取得的答案历史，后续等待由确定表固定；这个纤维在任一下一读时刻是原长度九的循环块的一个子集再作固定平移，高位至多有两个可能值。故剩余至多三读的变深度二元历史树至多有 $`2^3=8`$ 个终止历史。九个不同原标签必须落入九个不同终止历史，矛盾。因此四次总读取不够，至少五读；本表达到。此论证展开实际历史，不要求存储的控制图本身为树，也不免费提供读取历史给解码器。$`\square`$

### 62.6 两种九点纤维的循环八词族

**定义 62.16（A/B 循环构造族）。** 在同一 $`p=3,P=9,M=27`$ 模型内，选循环词 $`(t_0,t_1,t_2)\in\{A,B\}^3`$，下标按模三处理。保留读取态 $`S,Q_{b,j}`$，$`1\le j\le8`$，以及终止态 $`H_0,\ldots,H_{26}`$。$`H_x`$ 固定输出 $`x`$，形式后继为自身。规定

```math
\begin{aligned}
K_b&=\begin{cases}Q_{b,6},&t_b=A,\\Q_{b,5},&t_b=B,\end{cases}
&d_b&=\begin{cases}6,&t_{b+1}=A,\\7,&t_{b+1}=B,\end{cases}\\[0pt]
I_b&=\begin{cases}
\langle Q_{b-1,5},8-d_{b-1}\rangle,&t_{b-1}=A,\\[0pt]
\langle Q_{b-1,7},1\rangle,&t_{b-1}=B.
\end{cases}
\end{aligned}
\tag{62.28}
```

起点 $`S`$ 的数字 $`b`$ 在 $`t_b=A`$ 时进入 $`\langle Q_{b,1},4\rangle`$，在 $`t_b=B`$ 时进入 $`\langle Q_{b,1},3\rangle`$。下表给出两类的全部三个数字槽；数字 $`b,b+1,b+2`$ 均模三，标签 $`9b+u`$ 中的 $`b`$ 取 $`0,1,2`$。

| 62.类型A读取行 | 数字 $`b`$ | 数字 $`b+1`$ | 数字 $`b+2`$ |
| --- | --- | --- | --- |
| 62.A1：$`Q_{b,1}`$ | $`\langle Q_{b,2},2\rangle`$ | $`\langle Q_{b,6},6\rangle`$ | $`H_0`$ |
| 62.A2：$`Q_{b,2}`$ | $`\langle Q_{b,3},1\rangle`$ | $`\langle K_{b+1},d_b\rangle`$ | $`H_0`$ |
| 62.A3：$`Q_{b,3}`$ | $`\langle Q_{b,4},1\rangle`$ | $`H_{9b+2}`$ | $`H_0`$ |
| 62.A4：$`Q_{b,4}`$ | $`H_{9b}`$ | $`H_{9b+1}`$ | $`H_0`$ |
| 62.A5：$`Q_{b,5}`$ | $`H_0`$ | $`H_{9b+3}`$ | $`H_{9b+4}`$ |
| 62.A6：$`Q_{b,6}`$ | $`I_b`$ | $`\langle Q_{b,7},1\rangle`$ | $`H_{9b+8}`$ |
| 62.A7：$`Q_{b,7}`$ | $`H_0`$ | $`\langle Q_{b,8},1\rangle`$ | $`H_{9b+7}`$ |
| 62.A8：$`Q_{b,8}`$ | $`H_0`$ | $`H_{9b+5}`$ | $`H_{9b+6}`$ |

| 62.类型B读取行 | 数字 $`b`$ | 数字 $`b+1`$ | 数字 $`b+2`$ |
| --- | --- | --- | --- |
| 62.B1：$`Q_{b,1}`$ | $`\langle Q_{b,2},3\rangle`$ | $`\langle K_{b+1},6\rangle`$ | $`H_0`$ |
| 62.B2：$`Q_{b,2}`$ | $`\langle Q_{b,3},1\rangle`$ | $`\langle Q_{b,5},7\rangle`$ | $`H_0`$ |
| 62.B3：$`Q_{b,3}`$ | $`\langle Q_{b,4},1\rangle`$ | $`H_{9b+2}`$ | $`H_0`$ |
| 62.B4：$`Q_{b,4}`$ | $`H_{9b}`$ | $`H_{9b+1}`$ | $`H_0`$ |
| 62.B5：$`Q_{b,5}`$ | $`I_b`$ | $`\langle Q_{b,6},1\rangle`$ | $`H_{9b+5}`$ |
| 62.B6：$`Q_{b,6}`$ | $`H_0`$ | $`H_{9b+3}`$ | $`H_{9b+4}`$ |
| 62.B7：$`Q_{b,7}`$ | $`H_0`$ | $`\langle Q_{b,8},1\rangle`$ | $`H_{9b+8}`$ |
| 62.B8：$`Q_{b,8}`$ | $`H_0`$ | $`H_{9b+6}`$ | $`H_{9b+7}`$ |

为 $`Q_{b,1},\ldots,Q_{b,8}`$ 分别配置以下长度的互不相交单位尾链；每个位置执行一次 $`W`$，后继逐级下降，距离一后到目标读取态：

```math
\begin{aligned}
t_b=A:&\quad(4,2,1,1,8-d_b,6,1,1),\\[0pt]
t_b=B:&\quad(3,3,1,1,7,1,1,1).
\end{aligned}
\tag{62.29}
```

$`8-d_b`$ 为一或二，全部入口都为正且不超过目标尾长。尤其类型 B 的右支进入 $`K_{b+1}`$ 时固定等六：下一类型 A 的尾长恰六，下一类型 B 的尾长七含长度六的后缀；不能把这条边误改为总等 $`d_b`$。上述读取表、单位尾规则及终止规则就是整个族的完整指定，不再配置其他状态。

**定理 62.17（循环族的准确费用与族内最小值）。** 定义62.16的全部八个词均对全部输入正确终止，最坏五读。令 $`N_{AB}=\#\{b:t_b=A,\ t_{b+1}=B\}`$，其准确名义容量为

```math
C(t_0,t_1,t_2)=106-N_{AB}.
\tag{62.30}
```

这个明确构造族内的最小值为一百零五，由每个非恒定词达到；定义62.14是词 $`(B,A,A)`$ 的整数展开。

证明。给出对任意类型词都适用的完整路径分组。以下 $`x=9b+u`$，读取序列均包含起点，数字按模三解释。类型 A 的六行是：

| 62.A路径 | 低位 $`u`$ | 读取态序列 | 累计等待 $`E`$ | 读取数字 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 62.AP01 | $`0,1`$ | $`S,Q_{b,1},Q_{b,2},Q_{b,3},Q_{b,4}`$ | $`0,4,6,7,8`$ | $`b,b,b,b,b+u`$ |
| 62.AP2 | $`2`$ | $`S,Q_{b,1},Q_{b,2},Q_{b,3}`$ | $`0,4,6,7`$ | $`b,b,b,b+1`$ |
| 62.AP34 | $`3,4`$ | $`S,Q_{b,1},Q_{b,2},K_{b+1},Q_{b,5}`$ | $`0,4,6,6+d_b,14`$ | $`b,b,b+1,b+1,b+u-2`$ |
| 62.AP56 | $`5,6`$ | $`S,Q_{b,1},Q_{b,6},Q_{b,7},Q_{b,8}`$ | $`0,4,10,11,12`$ | $`b,b+1,b+1,b+1,b+u-4`$ |
| 62.AP7 | $`7`$ | $`S,Q_{b,1},Q_{b,6},Q_{b,7}`$ | $`0,4,10,11`$ | $`b,b+1,b+1,b+2`$ |
| 62.AP8 | $`8`$ | $`S,Q_{b,1},Q_{b,6}`$ | $`0,4,10`$ | $`b,b+1,b+2`$ |

类型 B 的六行是：

| 62.B路径 | 低位 $`u`$ | 读取态序列 | 累计等待 $`E`$ | 读取数字 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 62.BP01 | $`0,1`$ | $`S,Q_{b,1},Q_{b,2},Q_{b,3},Q_{b,4}`$ | $`0,3,6,7,8`$ | $`b,b,b,b,b+u`$ |
| 62.BP2 | $`2`$ | $`S,Q_{b,1},Q_{b,2},Q_{b,3}`$ | $`0,3,6,7`$ | $`b,b,b,b+1`$ |
| 62.BP34 | $`3,4`$ | $`S,Q_{b,1},Q_{b,2},Q_{b,5},Q_{b,6}`$ | $`0,3,6,13,14`$ | $`b,b,b+1,b+1,b+u-2`$ |
| 62.BP5 | $`5`$ | $`S,Q_{b,1},Q_{b,2},Q_{b,5}`$ | $`0,3,6,13`$ | $`b,b,b+1,b+2`$ |
| 62.BP67 | $`6,7`$ | $`S,Q_{b,1},K_{b+1},Q_{b,7},Q_{b,8}`$ | $`0,3,9,10,11`$ | $`b,b+1,b+1,b+1,b+u-5`$ |
| 62.BP8 | $`8`$ | $`S,Q_{b,1},K_{b+1},Q_{b,7}`$ | $`0,3,9,10`$ | $`b,b+1,b+1,b+2`$ |

每类六行覆盖全部九点，末次槽均给 $`H_{9b+u}`$。将（62.27）中的 $`x`$ 换成 $`9b+u`$，每个数字都由真实来源直接算得。类型 A 的两点支在相位 $`6+d_b`$ 读取宿主；$`d_b=6,7`$ 时，该两点的数字均为 $`b+1`$，随后经过 $`8-d_b`$ 步，总相位恒为 $`14`$。类型 B 的三点右支在相位九读取宿主，三点数字也均为 $`b+1`$，然后经 $`I_{b+1}`$ 的一步到 $`Q_{b,7}`$。

任意宿主 $`K_b`$ 的本纤维出现只使用数字 $`b+1,b+2`$。来自纤维 $`b-1`$ 的装入出现只使用数字 $`b`$，且唯一所需延续正是 $`I_b`$。因此装入不会覆盖本位行为，也不会与另一个纤维争夺同一个宿主槽；全部等待入口已由（62.29）收费。沿这些路径逐原子动作归纳，得到每个词全部输入的正确性和最多五读。每个目标的最长入口在其本纤维路径上实际使用，每个终止标签也实际到达，故这些名义计数没有未达冗余。

类型 A 的八条尾链之和为 $`24-d_b=18-\mathbf1_{t_{b+1}=B}`$，类型 B 的和恒为十八；读取态和终止态始终分别为二十五、二十七，所以得到（62.30）。三环上，两个不同的 $`A\to B`$ 边会要求两个不同 A 顶点和两个不同 B 顶点，三顶点不可能容纳；非恒定循环词至少有一次这样的边，故恰有一次。全部费用为：

| 62.循环词 | $`N_{AB}`$ | 读取态 | 等待态 | 终止态 | 总容量 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 62.AAA | 0 | 25 | 54 | 27 | 106 |
| 62.AAB | 1 | 25 | 53 | 27 | 105 |
| 62.ABA | 1 | 25 | 53 | 27 | 105 |
| 62.ABB | 1 | 25 | 53 | 27 | 105 |
| 62.BAA | 1 | 25 | 53 | 27 | 105 |
| 62.BAB | 1 | 25 | 53 | 27 | 105 |
| 62.BBA | 1 | 25 | 53 | 27 | 105 |
| 62.BBB | 0 | 25 | 54 | 27 | 106 |

在 $`(B,A,A)`$ 中，$`K_0=Q_{0,5}=5`$，$`K_1=Q_{1,6}=14`$，$`K_2=Q_{2,6}=22`$。按目标编号顺序分配（62.29）的单位尾链，恰得定义62.14的全部整数表。故其中的一百零五态是完整共同实现，而非尚待编译的权重和。族内最小值没有量化到族外控制器。$`\square`$

### 62.7 一百二十七态种子的完整吸收推导

**命题 62.18（从显式未共享种子到一百零五态）。** 定义62.14的表可由定理62.12从下述一百二十七态种子取得，并相对于该种子保持完整动作词与每个原子相位。

种子以定义62.14的全部状态、后继和解码为底，增设读取态 $`U_0=105,U_1=106,U_2=107`$。增设的等待链编号如下；每一行的区间都包含两端，首号等待态的后继为目标，其余等待态的后继为前一个整数：

| 62.种子新尾 | 目标读取态 | 首等待号 | 末等待号 | 长度 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 62.种子尾U0 | 105 | 108 | 113 | 6 |
| 62.种子尾U1 | 106 | 114 | 119 | 6 |
| 62.种子尾U2 | 107 | 120 | 126 | 7 |

新增读取态的全部数字槽，以及原读取表中全部六个替换项如下。未列的原表项原样保留，全部原等待和终止规则也原样保留；这给出种子的完整总表。

| 62.种子新读取行 | 数字 0 | 数字 1 | 数字 2 |
| --- | --- | --- | --- |
| 62.种子R105 | 78 | 41 | 78 |
| 62.种子R106 | 78 | 78 | 52 |
| 62.种子R107 | 69 | 78 | 78 |

| 62.种子替换 | 原读取态 | 数字 | 种子中的实际后继 |
| --- | --- | --- | --- |
| 62.种子改1 | 1 | 1 | 113 |
| 62.种子改2 | 10 | 2 | 119 |
| 62.种子改3 | 18 | 0 | 126 |
| 62.种子改4 | 14 | 1 | 78 |
| 62.种子改5 | 22 | 2 | 78 |
| 62.种子改6 | 5 | 0 | 78 |

证明。第62.5节的二十七条路径中，仅把输入 $`6,7,8`$ 在相位九的宿主十四换成 $`U_0`$，把输入 $`12,13`$ 在相位十二的宿主二十二换成 $`U_1`$，把输入 $`21,22`$ 在相位十三的宿主五换成 $`U_2`$。对应进入等待仍为六、六、七，离开等待仍为一、二、一，数字和固定终止输出不变；其余路径完全沿原表。故种子对所有输入正确，且给出了全部原出现集。每个新增读取态与其最长尾入口实际使用，其余原状态的本位路径仍在，全部一百二十七态可达。

删除集合取 $`D=\{U_0,U_1,U_2\}`$，全部原实际进入槽、到达集及预定宿主为：

| 62.种子吸收 | 全部进入槽 $`v`$ | 旧目标与延迟 | $`D_v`$ | 保留宿主、旧尾长 | 宿主原完整支持 | 安装请求 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 62.吸收U0 | $`(1,1)`$ | $`\langle U_0,6\rangle`$ | $`\{1\}`$ | $`14,6`$ | $`\{2,0\}`$ | $`\rho((U_0,1))=\langle7,1\rangle`$ |
| 62.吸收U1 | $`(10,2)`$ | $`\langle U_1,6\rangle`$ | $`\{2\}`$ | $`22,6`$ | $`\{0,1\}`$ | $`\rho((U_1,2))=\langle13,2\rangle`$ |
| 62.吸收U2 | $`(18,0)`$ | $`\langle U_2,7\rangle`$ | $`\{0\}`$ | $`5,7`$ | $`\{1,2\}`$ | $`\rho((U_2,0))=\langle21,1\rangle`$ |

种子中每个 $`U_i`$ 只有这一条原实际进入槽，其所有出现已包括在相应 $`D_v`$ 中。宿主均保留，原支持与请求数字不交；三个请求的宿主不同，不存在同槽冲突，且复制后继均指向保留读取态。三个 $`E_q`$ 分别等于原宿主尾长，扩尾和为零。费用因此为

```math
\begin{aligned}
C_{\rm seed}&=28+72+27=127,\\[0pt]
C'&=127-\bigl((1+6)+(1+6)+(1+7)\bigr)+0=105.
\end{aligned}
\tag{62.31}
```

按旧槽编译后，前三条改动恢复为后继五十八、七十五、三十九，后三条恢复为四十一、五十二、六十九，删除三个新增读取态及十九个新等待态；其余表项不变。因此所得逐项就是定义62.14，定理62.12的原子归纳给出相对于种子的动作、相位和标签保持。$`\square`$

这个种子不是定义60.5的一百零六态表。相对于已发表表，新表在输入零至八的首段等待从四改为三，在输入二十一、二十二的中间一元读取相位从十二改为十三。因此此处的保动作结论只比较种子与吸收结果，不声称一百零六到一百零五保留同一动作词。

### 62.8 已发表一百零六态表的固定旧支持阻碍

**命题 62.19（指定旧支持删除无法起步）。** 以定义60.5的准确总表为起点，考虑这样的移动：删除一个或多个非初始读取态；把每个原实际进入槽整体改送保留的既有读取宿主；保留该槽的延迟，并要求其完整到达数字集处在宿主的原未用数字中。同时删除还须满足定理62.12的字面请求相容。该移动不增设读取态，不重定位保留态的原有出现，不改变动作词。对这张起始表，不存在非空的一步移动，也不存在非空的同时移动；因而逐步重新计算支持的这种移动序列不能迈出第一步。

证明。使用定理60.6的全部九点路径，对每个 $`b`$ 取所有出现而非查看某个表项是否写成 $`H_0`$。起点和每个 $`R_{b,8}`$ 使用全部三个数字，其他非初始读取态恰用两个数字，因此任一原宿主至多有一个原空数字。每个可能被删的目标都有下面一个必需进入槽，完整到达集包含两个不同数字：

| 62.旧表必需目标 | 原实际进入槽 | 到达数字集 |
| --- | --- | --- |
| 62.旧R5：$`R_{b,5}`$ | $`(S,b)`$ | $`\{b,b+1\}`$ |
| 62.旧R3：$`R_{b,3}`$ | $`(R_{b,5},b)`$ | $`\{b,b+1\}`$ |
| 62.旧R2：$`R_{b,2}`$ | $`(R_{b,3},b)`$ | $`\{b,b+1\}`$ |
| 62.旧R1：$`R_{b,1}`$ | $`(R_{b,2},b)`$ | $`\{b,b+1\}`$ |
| 62.旧R4：$`R_{b,4}`$ | $`(R_{b+1,8},b+1)`$ | $`\{b+1,b+2\}`$ |
| 62.旧R8：$`R_{b,8}`$ | $`(R_{b,5},b+1)`$ | $`\{b+1,b+2\}`$ |
| 62.旧R7：$`R_{b,7}`$ | $`(R_{b,8},b+1)`$ | $`\{b+1,b+2\}`$ |
| 62.旧R6：$`R_{b,6}`$ | $`(R_{b,7},b+1)`$ | $`\{b+1,b+2\}`$ |

所有下标和数字模三。前四行分别可由低位 $`0,8`$、$`0,4`$、$`0,2`$、$`0,1`$ 见证；第五行由 $`3,4`$ 见证；后三行分别由 $`5,8`$、$`5,7`$、$`5,6`$ 见证。这些均是相应目标纤维 $`b`$ 的输入。两个到达数字不可能装入任何宿主至多一个旧空数字。即使进入槽的源读取态也同时被删，该旧槽的逻辑请求仍是变换必须处理的义务，不能随源态删除而抹去。因此任一非空删除集合都失败于至少一个必需槽的可用性条件，无关费用，也无需先讨论请求相容。序列的第一步已不存在。$`\square`$

这是给定总表和给定移动规则的阻碍。它不排除同时腾空原占用槽的重分配、增加新读取态、改变延迟、移动保留态出现或改变读取策略，也不证明一百零六态在任意重写下不可约。第62.4节的表使用了不同的纤维策略，明确处在这条阻碍的作用域之外。

### 62.9 容量区间、固定来源与一般缺口

**推论 62.20（读取最优容量的新上端）。** 在定义56.1的全类驻定模型中，

```math
95\le C_B(3,2)\le105.
\tag{62.32}
```

上界由定义62.14及定理62.15承担：所有状态已收费，全部输入正确，且达到五读的最优最坏预算。下界直接复用定理57.10，其量词覆盖同一个 $`p=3,k=2,h=5`$ 完整驻定类，包括共享、循环和单点延续，并非只对本节 A/B 族。该定理先用实际槽图给 $`r\ge25`$，再以整数尾界得到 $`w\ge r-1+18`$；九十四态将强制 $`r=25,w=42`$。其既有等号证书迫使三个不同的实际进入槽共指唯一长七目标，而该目标的关联亏损至少三，与最小读取态数处每目标亏损一矛盾，故排除九十四态。这里保留该定理的原条件和原证明，不以新构造的可达性或族内最小值替代下界。$`\square`$

本节所用的模型、收费尾链、既有下界及旧表，分别是本卷定义56.1、定理56.8、定理57.10、定义60.1及60.5、定理60.6；它们已存在于固定公开版本 [1c67ec5f11afa655d7d262bdd5d01c8c4c381075 的同卷](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/1c67ec5f11afa655d7d262bdd5d01c8c4c381075/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md)。单读取态吸收的旧槽接口和归纳依据是 [e4b75b6553b47296789886a987c889e742b4179e 的同卷](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/e4b75b6553b47296789886a987c889e742b4179e/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md) 中定义61.1、定理61.2。此处复用的是这些具体条件与普通数学证明；没有把来源版本、有限执行或构造的直观相似视为假设自动迁移。

一百零五态表及其种子的逐输入单位执行、八个循环词的完整展开、旧表的全部支持和二十四个必需进入槽，均可由本节表格与逐单位规则重建。有限执行支持这些有限见证；任意参数的同时吸收结论由定理62.12的原子归纳承担，不能从数值执行推广出来。本文不附带 Lean/kernel 核验或原创性主张。

一般 $`C_B(p,k)`$ 仍开放。即使在 $`p=3,k=2`$，也尚未判定九十五至一百零四态能否达到。要继续缩小缺口，需要在同一个实际加权读取图上约束进入槽、完整物理支持、原标签、相容的延续及已收费尾长，或者给出更小的完整总表。任意参数的吸收定理不保证可用宿主存在；八词族也没有证明所有最优控制器都能归约到这两类纤维。一般参数下同时构造可替换的纤维方案、满足原到达集与请求相容的宿主，并保持最优读取预算，仍是缺少的构造桥梁。本节不完成一般精确容量目标或长期关系结构与互相恢复目标。

## 62.99 追加锚

## 63. 一元宿主的加权阈值优化与不合并二元读取族的一百零五态最小值

本节在同一已收费尾链和完整初始化合同内，求解一项允许保留一元读取态的精确优化；随后把三进九点的构造范围从第62.6节的八个循环词扩到任意四层感测树，但仍禁止合并不同二元读取出现位置。所得一百零五是这个明确构造族的最小容量。第62.9节的全模型区间 $`95\le C_B(3,2)\le105`$ 保持原义。

### 63.1 同一种子上的一元需求、宿主和保留选择

**定义 63.11（固定种子的加权保留／吸收族）。** 取整数 $`p\ge2,k\ge0`$，置 $`P=p^k,M=pP`$，给定有限整数读取预算 $`h`$。种子是定义62.11的一张正确、有限终止、从共同读取态 $`S`$ 开始的驻定总表，容量为 $`C`$，所有初始化执行至多 $`h`$ 读。其来源、动作和输出严格为

```math
s_0=x\in\mathbb Z/M\mathbb Z,\qquad
W:s\mapsto s+1,\qquad
R:s\mapsto\left\lfloor [s]_M/P\right\rfloor,\qquad
H_x\mapsto x.
\tag{63.41}
```

式中 $`R`$ 只返回数字，不改变来源。终止态独自给出原标签；全部读取、每个单位等待位置和终止态均收费。每个目标 $`q`$ 的原尾链为 $`W(q,j)`$，$`1\le j\le L_q`$，不同目标的链不交；每个等待态执行一次加一，再把剩余距离减一，距离一后到 $`q`$。$`\langle q,d\rangle`$ 只表示既有尾链入口，不是宏动作。保持原合法词 $`R(W^+R)^*`$，不引入来源相关准备、表外计数器或终止时刻解码。

固定一组非初始、实际可达的读取态 $`U`$。每个 $`u\in U`$ 在种子的全部初始化执行、全部读取序号上的完整数字支持恰为 $`\{a_u\}`$；并要求

```math
d_u=\max\{d:\text{某个原实际读取槽的后继为 }\langle u,d\rangle\}
=L_u>0.
\tag{63.42}
```

这里“一元”指实际数字只有一个，候选原标签未必只有一个。固定宿主集合 $`H\subseteq\mathcal R\setminus U`$；所有宿主保留。记 $`B_q`$ 为宿主在同一种子上的完整原数字支持，置 $`A_q=\{0,\ldots,p-1\}\setminus B_q`$。这与定义62.11的记号对应为“该处 $`A_q`$ 等于此处 $`B_q`$”；不能把一次运行未访问的槽当成完整原空槽。

族内选择为：保留集合 $`V\subseteq U`$；对每个删除者 $`u\in U\setminus V`$ 选一个固定宿主 $`f(u)\in H`$，满足 $`a_u\in A_{f(u)}`$；对固定数字 $`a`$，这些宿主选择单射。不同数字可安装在同一个宿主上，共用一次收费的尾链扩展。所有原本进入 $`u`$ 的实际槽都改送同一个 $`f(u)`$，各自原等待不变。宿主尾长可取整数 $`\ell_q\ge L_q`$，须足以容纳所分配的全部 $`d_u`$。其余名义状态全部保留，包含原有冗余；不允许另删状态、重新安排原支持或将保留的一元态改作新宿主。删除者间的依赖、原读取图的环和不同数字的共同宿主均允许。

### 63.2 阈值判据、有限优化与实际编译

**定理 63.12（加权阈值与精确族内容量）。** 固定 $`V`$ 和整数宿主尾长 $`\ell`$，存在定义63.11的分配，当且仅当对每个数字 $`a`$ 及整数 $`t\ge1`$，

```math
\#\{u\in U\setminus V:a_u=a,\ d_u\ge t\}
\le
\#\{q\in H:a\in A_q,\ \ell_q\ge t\}.
\tag{63.43}
```

只需检查删除需求中出现的长度 $`t=d_u`$；没有需求时条件为空。令

```math
\begin{aligned}
C_0&=C-\sum_{u\in U}(1+d_u),\\[0pt]
C_{\mathrm{family}}&=C_0+
\min_{\substack{V\subseteq U,\ \ell_q\ge L_q\\(63.43)\ \mathrm{成立}}}
\left(\sum_{u\in V}(1+d_u)+\sum_{q\in H}(\ell_q-L_q)\right).
\end{aligned}
\tag{63.44}
```

这个最小值恰为该固定种子、固定宿主族的最小名义容量。优化可限制到有限集合

```math
\ell_q\in\{L_q\}\cup\{d_u:u\in U,\ d_u>L_q\}.
\tag{63.45}
```

构造与证明。必要性逐数字计数：每个长度至少 $`t`$ 的删除需求占用一个不同的、尾长至少 $`t`$ 的可用宿主数字槽。充分性也逐数字进行。预定标识符顺序，将同数字需求按长度递减、同长按标识符排序；依次选择第一个尚未用于该数字、且 $`a\in A_q,\ell_q\ge d_u`$ 的宿主。若在长度 $`t`$ 处失败，前面所有已配需求都至少长 $`t`$，且所占宿主全属于右端的集合；失败表示这些宿主已用尽，但左端还包含当前需求，违反（63.43）。其他数字的分配不消耗本数字槽，因此全部数字可同时完成。对任意未出现的阈值 $`t`$，若其左端非零，取不小于 $`t`$ 的最小需求长度 $`t'`$；左端不变、右端在 $`t'`$ 不大于在 $`t`$ 的值，故只检查需求长度已充分。

为把组合分配变成实际总表，使用定理62.12，具体假设映射如下。该定理的删除集取 $`D=U\setminus V`$；原实际进入槽 $`v`$ 的旧目标若为 $`u_v\in D`$，置 $`\phi(v)=f(u_v)`$。全部原出现给出的到达集为 $`D_v=\{a_{u_v}\}`$，故原空槽条件正是 $`a_{u_v}\in A_{f(u_v)}`$。同一宿主数字至多来自一个删除者；即使它有多个进入槽，各请求复制的仍是同一个旧槽 $`(u,a_u)`$ 经统一目标改写后的后继。因此该定理的字面请求相容成立，不只是读数名称相同。

更明确地，先对全部旧实际槽定义 $`\rho(v)`$：终止后继保持；旧后继 $`\langle u,d\rangle`$ 在 $`u\in D`$ 时改为 $`\langle f(u),d\rangle`$，否则保持。随后在保留态的原实际槽安装 $`\rho(v)`$，在每个新槽 $`(f(u),a_u)`$ 安装 $`\rho((u,a_u))`$，其余槽总化到既有 $`H_0`$。先统一改目标、再复制，故删除者相互依赖时也无悬空指针。宿主 $`q`$ 配到长度 $`\ell_q`$，其余保留链及全部固定终止态不变；所有等待仍逐单位执行。起点 $`S`$ 保留且完整使用所有数字，不能承接任何需求。全部后继由旧槽和已固定的分配决定，没有读取未来答案再选择宿主的操作。

定理62.12现已具备同一种子、完整出现集、保留宿主、原空槽、字面相容、足够尾长和共同初始化的全部前提，其原子路径归纳直接给出每个输入的完整动作、逐单位物理相位、读数、读取次数和固定终止标签保持；这里不重复该一般归纳。允许 $`\ell_q`$ 大于实际所需最大值只多出已收费的未达尾位置，不改变这些路径。

每个删除者恰移除 $`1+d_u`$ 个互不相交的状态，每个宿主仅增加 $`\ell_q-L_q`$ 个状态，得到（63.44）中每个可行选择的准确费用。反向，族内任一控制器的保留者、实际分配及所选尾长满足（63.43），且按同样的逐目标计数给出该费用；此为最小值的另一方向。对任一分配，把宿主尾长降到 $`\max(\{L_q\}\cup\{d_u:f(u)=q\})`$ 不改变任何所需入口，且不增容量。这些最大值属于（63.45），从而枚举 $`V`$ 与有限尾长、检验阈值、再按上述顺序配槽，是完整的优化与构造过程。取 $`V=U,\ell=L`$ 总可行；空 $`U`$、空 $`H`$ 也由同一式处理。此过程没有求解种子之外的策略选择或全模型最小容量。$`\square`$

**推论 63.13（每宿主仅开放一个指定数字时的排序式）。** 若进一步限制每个宿主只供一个指定的原空数字使用，则各数字类独立。对一个数字，令其宿主原尾长和全部一元需求分别按递减顺序为 $`h_1\ge\cdots\ge h_n\ge0`$、$`d_1\ge\cdots\ge d_m\gt 0`$，置 $`z=\min(n,m)`$。该类在 $`C_0`$ 之上的最小新增费用为

```math
\sum_{i=1}^{z}\max(0,d_i-h_i)
+\sum_{i=z+1}^{m}(1+d_i).
\tag{63.46}
```

证明。先保留全部需求，费用为 $`\sum_i(1+d_i)`$。将一个需求配给一个宿主的节省恰为 $`1+\min(d,h)\gt 0`$，故有未配需求和未配宿主时增配总更好，最优匹配基数为 $`z`$。节省随需求长度和宿主长度分别不减，故可选最大的 $`z`$ 个需求与宿主；这里是存在这样的最优选择，不断言它唯一。对 $`d_1\ge d_2,h_1\ge h_2`$，

```math
\min(d_1,h_1)+\min(d_2,h_2)
\ge\min(d_1,h_2)+\min(d_2,h_1).
\tag{63.47}
```

因为 $`g(d)=\min(d,h_1)-\min(d,h_2)`$ 随 $`d`$ 不减：在 $`d\le h_2`$ 为零，在 $`h_2\le d\le h_1`$ 为 $`d-h_2`$，以后为常数。逐次交换逆序配对即可得到递减配对，减去节省便是（63.46）。空类按空和计算。若同一宿主开放多个数字，其尾链费用被共享，不可分别计算各数字的扩尾再相加；该情形必须用（63.44）。$`\square`$

### 63.3 不合并二元出现位置的精确语法

**定义 63.14（三进九点的不同二元／单射一元族）。** 固定 $`p=3,P=9,M=27,h=5`$。起点 $`S`$ 在累计等待零读取，首读数字 $`b`$ 的原标签恰为 $`9b+x`$，$`0\le x\lt 9`$。对每个 $`b=0,1,2`$ 独立选择任意有限正确感测树，首读以后深度至多四；每个非叶节点先执行一个固定正整数等待，再读取真实数字 $`\lfloor[9b+x+E]_{27}/9\rfloor`$，其中 $`E`$ 是该树路径的完整累计等待。孩子恰为各非空数字纤维，候选原标签一旦成为单点便立即停止于其固定 $`H_{9b+x}`$，不允许单点延续。等待可以任意大，不预先限制到九或二十七。

每个后首读出现位置使用一个或两个数字，称为一元或二元出现。九个不同单点叶与每节点一或二个孩子使每棵树恰有八个二元出现：若二元、一元、叶数为 $`n_2,n_1,n_0`$，数边给 $`2n_2+n_1=n_2+n_1+n_0-1`$，故 $`n_2=n_0-1=8`$。先为三个树的所有出现分配各自独立的读取态和长度恰为该出现进入等待的单位尾链，共享的仅是 $`S`$ 与二十七个固定终止态。未用数字总化到 $`H_0`$；每个非单点数字孩子的后继是其正等待入口。

永久保留全部二十四个不同二元读取态；两个二元出现不合并。一元出现各自或保留其独立读取态及整条尾链，或整体安装到一个二元读取态的唯一原未用数字；安装数字必须等于该一元出现的真实数字，且不同一元出现使用不同宿主。安装保留其原进入等待和全部后继，尾链长度取本位进入等待与所装需求的最大值。允许跨纤维、跨深度安装，允许宿主是树中的祖先或后代；所有安装一次同时改写。禁止一元态相互合并、把一元态装入保留的一元态、重新分配二元本位支持或增加其他类型的读取角色。全部终止态固定输出，自后继；除这些状态及尾链外无其他控制态。

这个语法包括全部上述感测树、全部合法跨纤维宿主选择和任意数量的保留一元态。取树的未共享实现作种子，在定义63.11中令 $`U`$ 为全部一元出现、$`H`$ 为全部二元出现，即满足定理63.12的条件；在三个数字中二元宿主只有一个原空槽，逐数字单射等价于每个宿主最多安装一个一元出现。因此每个合法选择都给实际初始化控制器，并保持选定树的完整动作、相位、标签和五读预算。该语法是充分构造族，没有声称它是全部驻定控制器的正规形。

若二十四个二元出现的原进入等待为 $`l_q`$，一元出现的进入等待为 $`d_u`$，令 $`B=\sum_q l_q`$。保留集合为 $`V`$、其余按 $`f`$ 单射安装时，准确费用是

```math
C=52+B+\sum_{u\in V}(1+d_u)
       +\sum_{u\notin V}\max(0,d_u-l_{f(u)}),
\qquad 52=1+24+27.
\tag{63.48}
```

各宿主至多接一项，所以最后一和不会重复计费同一尾链。保留一元态的读取态本身明确计入 $`1+d_u`$。

### 63.4 模九松弛的方向与有限谱递推

**引理 63.15（实际族到忽略数字名称的松弛）。** 把每个树等待 $`d`$ 换成 $`\bar d=1+((d-1)\bmod9)`$。在每个节点重新计算数字名称，保留原低位标签的分割、树的孩子关系及一元／二元位置。再忘掉宿主的数字兼容条件，仍要求安装映射为一元出现到二元出现的单射，并保留原保留集合与映射。所得是一个有限的组合松弛，其费用不大于原实际费用。

证明。写完整累计等待为 $`E=9m+e`$，$`0\le e\lt 9`$。在一个固定原低位区间上，实际数字是

```math
\left[b+m+\left\lfloor\frac{x+e+d}{9}\right\rfloor\right]_3.
\tag{63.49}
```

$`0\le x\lt 9`$ 使其中的整商至多有两个相邻值，故模三不合并它们；每个纤维仍是原低位标签的区间。将某等待减少九的倍数，只旋转这次及其后代数字名称，分割和一元／二元性不变。对子树归纳，原标签区间和叶标签全部保留，深度也不变。

这不证明共享物理表可以照原安装运行：本位空数字和安装数字可能以不同量旋转。松弛特意取消该兼容要求，故原单射安装一定成为一个松弛候选。费用按整个宿主计算：空宿主的等待从 $`l_q`$ 降到 $`\bar l_q`$；有需求时，从 $`\max(l_q,d_u)`$ 降到 $`\max(\bar l_q,\bar d_u)`$；保留一元态的费用从 $`1+d_u`$ 降到 $`1+\bar d_u`$。各新数不大于旧数，读取和终止计数不变，故松弛费用不增。不能单独声称每个扩尾差 $`\max(0,d-l)`$ 在归约后不增；所用单调性属于整个已收费尾链。

因此“松弛中每个候选至少一百零五”可以推出实际族下界；松弛可行者反向成为物理表，则仍须恢复完整相位、真实数字相容和固定后继。定理63.12只在这些实际资料已经给出时提供编译。$`\square`$

**定义 63.16（完整延迟谱递推）。** 状态为 $`(l,u,e,r)`$，其中 $`[l,u)\subseteq[0,9)`$ 是非空原低位标签区间，$`0\le e\lt 9`$ 是累计偏移模九，$`0\le r\le4`$ 是剩余读取预算。谱 $`(\beta,\upsilon)`$ 是所有二元、所有一元出现的进入等待多重集，以下均按非降序列示。记其树重数为 $`N_r(l,u,e;\beta,\upsilon)`$。

单点状态仅有空谱，重数一，对所有预算成立；非单点在 $`r=0`$ 或 $`u-l\gt 2^r`$ 时所有重数为零。其他状态遍历 $`d=1,\ldots,9`$，令

```math
I_z=\{x\in[l,u):\lfloor(x+e+d)/9\rfloor=z\},\qquad
 e'=(e+d)\bmod9.
\tag{63.50}
```

保留所有非空 $`I_z=[l_z,u_z)`$，按 $`z`$ 递增排列，其个数 $`m`$ 为一或二。为每个孩子选一个预算 $`r-1`$ 的谱，然后形成

```math
\begin{aligned}
\beta&=\mathop{\biguplus}_{z:I_z\ne\varnothing}\beta_z
 \uplus\begin{cases}\{d\},&m=2,\\\varnothing,&m=1,\end{cases}\\[0pt]
\upsilon&=\mathop{\biguplus}_{z:I_z\ne\varnothing}\upsilon_z
 \uplus\begin{cases}\varnothing,&m=2,\\\{d\},&m=1.\end{cases}
\end{aligned}
\tag{63.51}
```

对每个得到的谱，把各孩子重数之积加到其重数中；不同等待、不同孩子选择分别相加。根为 $`(0,9,0,4)`$。允许一元等待九，不能用“不分割”作为剪枝理由。只求二元和不超过十八的部分时，可以删除 $`\sum\beta\gt 18`$ 的中间结果，因为所有祖先贡献均非负；不作其他支配剪枝。

**命题 63.17（递推完整性与九谱证书）。** 上述递推恰枚举全部模九归约、单点即停、深度至多四的九点感测树，重数按原标签孩子次序和等待选择计数。根的树数为 $`8910`$，不同谱数为 $`4508`$；二元和的最小值为十七，不超过十八的谱恰为表63.31的九行，每行重数一。

证明。对剩余预算归纳。单点只能停止，非单点零预算不可能正确；至多 $`r`$ 层二元树至多有 $`2^r`$ 个单点叶，故规模剪枝必要。任一非叶的首等待是九个正代表之一，它的实际数字分割恰由（63.50）给出，所有孩子均有预算 $`r-1`$，所以必由递推计入。反向，每个被计入的孩子已能分别恢复其不交原标签；接上该实际分割得到同预算的正确感测树。单点基例保证没有隐藏的单点继续。首等待、孩子区间及各孩子树唯一确定父树，乘积和因而既无漏项也无重复。此归纳证明全语法的完整性，不是将树数当作全控制器数。

下面给出这个有限递推的完整低费用结果。表中 $`s=\sum\beta`$，$`m_\beta=\max\beta`$，$`n_7=\#\{d\in\beta:d=7\}`$，$`v=|\upsilon|`$，$`u_\Sigma=\sum\upsilon`$。每行八个二元延迟全部列出，重复值保留。

**表 63.31（全部九个低费用谱）。**

| 63.谱 | $`\beta`$ | $`\upsilon`$ | $`s`$ | $`m_\beta`$ | $`n_7`$ | $`v`$ | $`u_\Sigma`$ | 树重数 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 63.S01 | $`(1,1,1,1,1,1,5,6)`$ | $`(7)`$ | 17 | 6 | 0 | 1 | 7 | 1 |
| 63.S02 | $`(1,1,1,1,1,2,4,6)`$ | $`(7)`$ | 17 | 6 | 0 | 1 | 7 | 1 |
| 63.S03 | $`(1,1,1,1,1,2,4,7)`$ | $`(7,7)`$ | 18 | 7 | 1 | 2 | 14 | 1 |
| 63.S04 | $`(1,1,1,1,1,2,4,7)`$ | $`(7,7,9)`$ | 18 | 7 | 1 | 3 | 23 | 1 |
| 63.S05 | $`(1,1,1,1,1,2,5,6)`$ | $`(6)`$ | 18 | 6 | 0 | 1 | 6 | 1 |
| 63.S06 | $`(1,1,1,1,1,2,5,6)`$ | $`(7,7)`$ | 18 | 6 | 0 | 2 | 14 | 1 |
| 63.S07 | $`(1,1,1,1,1,2,5,6)`$ | $`(7,7,9)`$ | 18 | 6 | 0 | 3 | 23 | 1 |
| 63.S08 | $`(1,1,1,1,1,3,3,7)`$ | $`(6)`$ | 18 | 7 | 1 | 1 | 6 | 1 |
| 63.S09 | $`(1,1,1,1,2,2,4,6)`$ | $`(6)`$ | 18 | 6 | 0 | 1 | 6 | 1 |

为使有限求值可以直接由正文复算，表63.32按根等待列出未剪枝树数、二元和最小值及低费用项；表63.33给每个低费用项的整棵树。记号 `*` 表示当前原标签区间已为单点；`d(T)` 表示先等 `d` 再作一元读取，`d(T0,T1)` 表示先等 `d` 再二分，两个孩子按（63.50）的整商递增排列。从根 $`(0,9,0,4)`$ 逐节点带入（63.50）即可恢复每个区间、偏移及叶标签，树码不是额外程序或外部数据依赖。

**表 63.32（根等待的全部九种情况）。**

| 63.根情况 | 根等待 | 全部树数 | 最小二元和 | 二元和不超过十八的谱 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 63.D1 | 1 | 1 | 32 | 无 |
| 63.D2 | 2 | 292 | 25 | 无 |
| 63.D3 | 3 | 704 | 18 | 63.S08 |
| 63.D4 | 4 | 3458 | 17 | 63.S02、63.S03、63.S04、63.S09 |
| 63.D5 | 5 | 3458 | 17 | 63.S01、63.S05、63.S06、63.S07 |
| 63.D6 | 6 | 704 | 24 | 无 |
| 63.D7 | 7 | 292 | 32 | 无 |
| 63.D8 | 8 | 1 | 40 | 无 |
| 63.D9 | 9 | 0 | 不可行 | 无 |

**表 63.33（九谱的完整树码）。**

| 63.树码行 | 对应谱 | 完整树码 |
| --- | --- | --- |
| 63.T01 | 63.S01 | `5(1(1(1(*,*),*),*),6(1(1(*,*),*),7(1(*,*))))` |
| 63.T02 | 63.S02 | `4(2(1(1(*,*),*),7(1(*,*))),6(1(1(*,*),*),*))` |
| 63.T03 | 63.S03 | `4(2(1(1(*,*),*),7(1(*,*))),7(1(*,*),7(1(*,*))))` |
| 63.T04 | 63.S04 | `4(2(1(1(*,*),*),7(1(*,*))),7(9(1(*,*)),7(1(*,*))))` |
| 63.T05 | 63.S05 | `5(1(1(1(*,*),*),*),6(1(1(*,*),*),6(2(*,*))))` |
| 63.T06 | 63.S06 | `5(2(1(*,*),7(1(*,*))),6(1(1(*,*),*),7(1(*,*))))` |
| 63.T07 | 63.S07 | `5(2(9(1(*,*)),7(1(*,*))),6(1(1(*,*),*),7(1(*,*))))` |
| 63.T08 | 63.S08 | `3(3(1(1(*,*),*),7(1(*,*),*)),6(1(1(*,*),*)))` |
| 63.T09 | 63.S09 | `4(2(1(1(*,*),*),6(2(*,*))),6(1(1(*,*),*),*))` |

这些表的有限算术求值规则没有隐藏分支：以单点重数一为底，自 $`r=1`$ 到四按（63.50）枚举九个等待，对非空孩子作笛卡尔积，以（63.51）合并多重集并累加乘积。根等待九留下九点而只剩三读，故为零；其余八行按同一基例递推，树数之和为 $`1+292+704+3458+3458+704+292+1=8910`$。收集不同的完整多重集对得到 $`4508`$ 个谱；若保留条件 $`\sum\beta\le18`$，根等待三、四、五分别只剩表中的一、四、四项，其余为空，每项重数一。表63.33逐项给出其达到树，表63.31逐项给出其全部成本数据；因此等号分析没有删去被支配但同费用的树。这个有限整数证书配合上述递推完整性，承担本命题的普通有限算术证明。$`\square`$

### 63.5 全部费用情况与族内下界

**定理 63.18（该语法下任何保留选择至少一百零五态）。** 定义63.14的全部实际控制器，包括任意数目的一元读取态保留者，名义容量均至少为一百零五。

证明。先在引理63.15的忽略数字名称松弛中证明下界。对三个纤维记二元和为 $`b_0,b_1,b_2`$，总和 $`B`$。由命题63.17各自至少十七。所有保留或扩尾费用非负，故只需穷尽下列整数情况。

若 $`B\ge53`$，已经有 $`C\ge52+53=105`$。此情况包括某纤维二元和大于十八，无须为这些树截掉任何可能的共享选择。

若 $`B=51`$，三个纤维都为十七，只能选63.S01或63.S02。每纤维恰有一个长度七的一元需求，全部二十四个二元宿主长度至多六。任一个需求若保留，费用为八；若安装，至少扩尾一。单射安装使不同需求不能共用一次扩尾；保留者也各自收费。因此新增费用至少三，$`C\ge52+51+3=106`$。

若 $`B=52`$，纤维费用恰为十八、十七、十七，顺序任意。两个费用十七的纤维给两个不同的长度七需求。表63.31显示，费用十八的纤维所有二元宿主长度至多七，且最多一个长七；另外两个纤维没有长七宿主。两个需求至多一个能安装到不需扩尾的长七宿主，故至少另一需求扩尾一或保留为八态，$`C\ge52+52+1=105`$。其他一元需求的费用非负，忽略它们仅削弱下界。具体而言，63.S03、63.S04、63.S08提供一个长七宿主；63.S05、63.S06、63.S07、63.S09一个也不提供。长度九的需求及额外长度七需求同样不能降低费用，所有七个费用十八谱均被覆盖。

$`B\lt 51`$ 不可能，以上情况穷尽松弛。引理63.15为每个实际控制器给一个费用不大的松弛候选，所以实际容量也至少一百零五。这一方向不要求任一松弛最优者能够恢复物理数字兼容。

还可直接核对任意大等待没有逃出上述截断。若反设某实际族成员 $`C\le104`$，（63.48）给实际 $`B\le52`$。归约后各纤维至少十七；若任一二元等待含额外的九倍数，实际 $`B\ge17+17+17+9=60`$，矛盾。因此全部二元等待已经在一至九内，其实际纤维谱的二元和只能为十七或十八，宿主长度至多七。实际一元等待若至少十，保留至少十一态，安装到任何宿主也至少扩尾三；而已有基数至少 $`52+51=103`$，均超过一百零四。故这样一个反设候选的全部等待都在一至九内，表63.31直接适用，仍由前两种小费用情况排除。这段核对只用于下界反设，不能用来改写任意实际控制器的动作词。$`\square`$

### 63.6 第六十二节实际总表的族内嵌入与达到

**命题 63.19（既有一百零五态表属于定义63.14）。** 固定定义62.14的全部整数表，以命题62.18的明确未共享种子展开感测树。该种子具有定义63.14要求的三个九点树，其二元延迟谱依次为63.S08、63.S09、63.S02。将其中三个一元读取态分别安装到原读取态十四、二十二、五，恰恢复定义62.14；所以定义63.14的最小容量恰为一百零五。

证明。采用第62节的固定编号，不另复制总表。起点为零；种子保留其 $`1,\ldots,24`$ 二元读取态，另有 $`U_0=105,U_1=106,U_2=107`$，以及第62.7节逐项规定的六个槽替换、三条新尾链和三条一元读取行。下表的二元延迟按该行读取编号递增列出；一元候选列写原低位标签，$`E`$ 是实际累计等待。

**表 63.34（从同一种子抽出的三棵完整纤维树）。**

| 63.嵌入纤维 | 首读 $`b`$ | 八个二元读取态 | 依次进入等待 | 二元和 | 一元读取态、原低位候选、$`E`$、数字、进入等待 | 谱 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 63.F0 | 0 | $`1,2,3,4,5,6,7,8`$ | $`3,3,1,1,7,1,1,1`$ | 18 | $`105;\ \{6,7,8\};\ 9;\ 1;\ 6`$ | 63.S08 |
| 63.F1 | 1 | $`9,10,11,12,13,14,15,16`$ | $`4,2,1,1,2,6,1,1`$ | 18 | $`106;\ \{3,4\};\ 12;\ 2;\ 6`$ | 63.S09 |
| 63.F2 | 2 | $`17,18,19,20,21,22,23,24`$ | $`4,2,1,1,1,6,1,1`$ | 17 | $`107;\ \{3,4\};\ 13;\ 0;\ 7`$ | 63.S02 |

这三个树的原低位孩子次序、正等待及停止位置逐项为表63.33的63.T08、63.T09、63.T02。例如果首读为零，等待三把九点分成 $`[0,6)`$ 和 $`[6,9)`$；前者再等三，分成 $`[0,3)`$ 和 $`[3,6)`$，分别接树码中的两条二元子树；后者等六到一元态105，随后等一、必要时再等一分清。这给63.T08。首读一、二都先等四、左支等二；其两点支分别通过等六后再等二，或等七后再等一结束，正是63.T09、63.T02。所有其余孩子由这些树码的单位等待分开，单点立即停止。故每个种子读取态对应唯一出现位置，三个树的后首读深度均至多四，没有把宿主安装后的额外出现误算成本位二元出现。

对应的实际安装资料如下。末列是复制后的固定后继；它们均指向保留态的正等待入口。

**表 63.35（三处安装的完整假设映射）。**

| 63.安装 | 原实际进入槽 | 一元态、长度、数字 | 宿主、原尾长 | 宿主原完整支持 | 安装后的后继 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 63.I0 | $`(1,1)`$ | $`105,6,1`$ | $`14,6`$ | $`\{0,2\}`$ | $`41=W(7,1)`$ |
| 63.I1 | $`(10,2)`$ | $`106,6,2`$ | $`22,6`$ | $`\{0,1\}`$ | $`52=W(13,2)`$ |
| 63.I2 | $`(18,0)`$ | $`107,7,0`$ | $`5,7`$ | $`\{1,2\}`$ | $`69=W(21,1)`$ |

每个一元态恰有表列的一个实际进入槽，且其完整支持为所列单数字。每个宿主来自一个不同的二元出现，保持本位支持，安装数字原来未用；三宿主不同，满足单射要求。取 $`V=\varnothing`$ 且 $`\ell_q=L_q`$，逐数字只有一个需求和一个足长的指定宿主，故（63.43）成立。原实际宿主槽不指向删除者，三个安装请求均已在保留目标上闭合；定理63.12映射到定理62.12的字面相容条件全部成立。

这不只给抽象谱。第62.5节62.P00至62.P26逐一给出所有初态的实际模二十七相位、读数字、等待和终止态；种子的对应路径仅将 $`x=6,7,8`$ 在 $`E=9`$ 的十四换成105，将 $`x=12,13`$ 在 $`E=12`$ 的二十二换成106，将 $`x=21,22`$ 在 $`E=13`$ 的五换成107。三个位置的物理来源分别为 $`15,16,17`$、$`24,25`$、$`7,8`$，实际数字恰为一、二、零。其本位宿主的来源分别为 $`24,25,26,0`$（十四）、$`6,7,8,9`$（二十二）、$`16,17,18`$（五），给表63.35所列原支持。来源按 $`s=[x+E]_{27}`$ 在每个单位等待前缀成立，复制不改变实际等待。

因此从同一个零态和来源 $`x`$ 出发，全部二十七条执行仍逐表到达固定终止态 $`78+x`$。数字相应选择三条复制后继四十一、五十二、六十九，前驱入口恢复五十八、七十五、三十九；其他实际槽原样保留，未用槽仍为七十八。等待后继正是定义62.14的逐单位表，终止输出与自后继也原样保留，故编译所得逐项就是该完整总表，没有新的调度态、计时字段或隐藏转移。

种子与结果的费用分别为

```math
\begin{aligned}
C_{\mathrm{seed}}&=28+72+27=127,\\[0pt]
C_0&=127-\bigl((1+6)+(1+6)+(1+7)\bigr)=105,\\[0pt]
C'&=25+53+27=105,\qquad B=18+18+17=53.
\end{aligned}
\tag{63.52}
```

三处扩尾为零，已达到固定种子的（63.44）下界 $`C_0`$。对实际结果，输入按读取次数分为三读二个、四读七个、五读十八个；最大累计等待十四。每个非初始读取态的本位最长入口都由某个输入使用，整条尾链因而可达；所有二十七个终止态分别由其原输入到达，故一百零五个名义态全部收费且实际使用。五读上限既由树深也由第62.5节完整路径给出；九点首读纤维在后续三次二元读取中最多八叶，故四读不够。与定理63.18合并，得到此语法的准确最小值一百零五。$`\square`$

### 63.7 来源、证据范围与仍缺的全模型桥梁

本节直接依赖[固定公开版本47f2e88100910d71191d38f9b53d54bf66231d2d的本卷](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/47f2e88100910d71191d38f9b53d54bf66231d2d/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md)：定义55.1、56.1、60.1规定同源动作、初始化和名义计费；引理55.3提供条件二元桥；定理56.8提供逐目标单位尾链的接口，并明确实际表缩短使用完整模 $`M`$；定义62.11、定理62.12提供完整原支持和相容同时吸收；定义62.14、定理62.15、命题62.18分别提供整数总表、全部27条路径和127态种子。全模型下端九十五仅引用定理57.10，上端一百零五引用第62节的实际表。

例如定理56.8原文要求“这里必须模 $`M=pP`$，不能只模 $`P`$”；定理62.12要求“终止态身份相同，或目标读取态与正延迟均相同”。引理63.15不改变这两个实际实现要求：它的模九操作只产生忽略数字名称的必要费用松弛。反向达到则由表63.34、63.35所给同一种子的完整物理资料和字面后继恢复，不能仅由九谱中的数字和推出。

阈值优化的全参数结论由定理63.12的匹配证明与其明确的第62节假设映射承担；九谱结论由有限递推的完整性及表63.31至63.33的整数证书承担；实际达到由同一表上逐原子动作的相位、后继和标签承担。有限小例不能证明一般优化定理，有限谱枚举也没有枚举全部驻定图。本节是普通数学推导，没有 Lean/kernel 核验或原创性主张。

全模型仍只有

```math
95\le C_B(3,2)\le105.
\tag{63.53}
```

定义63.14不包含二元出现重叠但后继相容的合并、不符合单射安装的多一元共同宿主、保留支持的重新分配、单点延续、其他额外读取角色或任意重综合。第57.14节已经说明非饱和预算中不能把“不同二元出现必须有不同读取态”当成一般必要条件。因此本节没有排除族外的一百零四态或更小控制器，不能把族最小值改称全模型最小值。

一个保持原目标的具体后续问题是：在定义56.1的同一完整模二十七来源上，是否存在至多五读、总容量九十五至一百零四的正确表，能通过相容的二元槽重叠或更一般一元安装突破定义63.14；若不存在，须给覆盖这些共享、额外读取态和单点延续的统一下界。一般 $`C_B(p,k)`$ 的精确参数值，以及长期关系表示与互相恢复目标，均仍未完成。

## 63.99 追加锚

## 64. 二元历史的槽单射、相位稳健排斥与九点取得的九十六态下界

本节在定义56.1的完整驻定模型中证明：三进九点纤维、最坏五读的控制器不能只有九十五态。证明依次使用实际二元历史的前驱槽单射、对任意物理相位提升都成立的区间排斥、完整未剪枝递推、费用十八的排除及费用十九的逐层刚性，最后由一个固定阈值四证书排除全部剩余轮廓。结合定义62.14的实际总表，局部区间成为 $`96\le C_B(3,2)\le105`$。第63节的一百零五仍仅是其指定构造族的最小值；本节不以该族覆盖全模型。

### 64.1 同一来源、收费状态与唯一关联剩余

**定义 64.11（本节的实际控制合同与记号）。** 取整数 $`p\ge2,k\ge0`$，令 $`P=p^k,M=pP,D=\lceil\log_2P\rceil,h_*=D+1`$。全部原输入 $`x\in\mathbb Z/M\mathbb Z`$ 从同一来源无关的控制态及物理来源 $`s=x`$ 开始。唯一来源动作 $`W`$ 真实执行一次加一；唯一读取 $`R`$ 不改变来源，返回 $`\lfloor[s]_M/P\rfloor`$。有限确定驻定总表分为读取态、单位等待态、终止态：读取态对每个数字有一个固定后继，等待态有一个固定后继，终止态有一个固定原输入输出。合法词为 $`W^{\ell_0}R(W^+R)^*`$，其中 $`\ell_0\ge0`$，逐输入有限终止，末次读取后立即停止；每个输入读取至多 $`h_*`$ 次。

全部名义状态收费，包括未达状态、阶段、计数器、每个等待前缀及终止标签。终止态单独解码原输入，不使用动作档案或停止时刻；无来源相关准备、复位、复制、逆步、免费时钟或表外寄存器。这里 $`C_B(p,k)`$ 是上述全部正确控制器的最小名义状态数。

按引理56.2删除确定初始等待并旋转固定输出标签。新起点 $`q_0`$ 直接读取且不会回访；此操作不增加容量，保持逐输入读取数。除明确调用定理56.8作全模正规化处，本节不改变实际等待。记正规化后的实际可达读取态、等待态数为 $`r,w`$。对实际活动槽 $`v=(q,a)`$，固定表给出唯一下一读取目标 $`\tau(v)`$ 和正整数实际等待 $`\delta(v)`$。置

```math
\begin{aligned}
L_q&=\max_{v:\tau(v)=q}\delta(v)\quad(q\ne q_0),\\[0pt]
m_t&=\#\{q\ne q_0:L_q\ge t\},\\[0pt]
E&=\sum_{q\ne q_0}(L_q-1)=\sum_{t\ge2}m_t,\\[0pt]
w&\ge(r-1)+E,\\[0pt]
|Q|&\ge M+r+w.
\end{aligned}
\tag{64.51}
```

每个非根可达读取态都有正等待前驱。最长进入链的各单位位置互异，否则固定等待后继使执行永远不能到达下一读取；一个等待态又只有一个固定的首次后续读取目标，所以不同目标的这些链不交。这正是式（57.6）、定理58.4的实际收费依据，容许同目标共享尾段。固定原标签解码另外强制至少 $`M`$ 个终止态。

沿用定义58.1、58.3，但把其 $`S_r`$ 简写为 $`S`$：

```math
\begin{gathered}
\epsilon=p\bmod2,\qquad \alpha=(p+\epsilon)/2,\qquad \beta=(p-\epsilon)/2,\\[0pt]
r_0=\begin{cases}2P-1,&p\text{ 偶},\\[0pt]
1+2p(P-1)/(p-1),&p\text{ 奇},\end{cases}\qquad
 e=r-r_0\ge0,\qquad S=\beta e,\\[0pt]
A_q=\#\{v:\tau(v)=q\},\qquad
Z_q=p-\#\{a:(q,a)\text{ 实际使用}\},\\[0pt]
A_q+Z_q=\alpha+b_q,\qquad b_q\in\mathbb Z_{\ge0},\qquad
\sum_{q\ne q_0}b_q=S,\\[0pt]
A_t=\#\{v:\delta(v)\ge t\},\qquad
Z_t=\sum_{L_q\ge t}Z_q,\qquad B_t=\sum_{L_q\ge t}b_q,\\[0pt]
A_t+Z_t\le\alpha m_t+B_t,\qquad 0\le B_t\le S\quad(t\ge2).
\end{gathered}
\tag{64.52}
```

这些是定理56.3、58.2、58.4在同一张实际表上的结论。其前提逐项对应本定义：首读全部数字实际使用且无入边；终止槽恰为 $`M`$ 个；活动槽平移一个数字块后全局出度至多二；槽和边按不同身份计数，不按访问重数计数。$`B_t`$ 来自同一个嵌套目标集，没有为不同层重新分配剩余。特别 $`e=0`$ 时每个 $`b_q=0`$，故 $`A_q+Z_q=\alpha`$ 且 $`A_t\le\alpha m_t`$。

### 64.2 局部二元历史的均匀单射与延迟次序统计

**定理 64.12（二元历史到实际前驱槽的单射）。** 在定义64.11的任一正规化控制器中，完整读后历史包含截至当前读数的全部动作和答案。若其下一读取有两个非空实际数字孩子，称该历史局部二元；进入下一读取的实际等待记为 $`\delta_H`$。不同局部二元历史映到其当前实际前驱槽的映射单射。每个首读纤维恰有 $`P-1`$ 个这种历史，总数 $`n=p(P-1)`$；一元历史、提前停止、实际单点延续和名义图中的环均允许。

当 $`P\gt 1`$，将这些历史的实际等待按非增次序排列为 $`d_1\ge\cdots\ge d_n\ge1`$，保留重数。对整数 $`t\ge2`$，置 $`n_t=\#\{i:d_i\ge t\}`$，并定义

```math
f(0)=0,\qquad
f(k)=\max\left\{1,\left\lceil\frac{k-S}{\alpha}\right\rceil\right\}\quad(k\gt 0).
\tag{64.53}
```

则

```math
\begin{aligned}
n_t&\le A_t\le\alpha m_t+S,\\[0pt]
m_t&\ge f(n_t),\\[0pt]
E&\ge(d_1-1)+
\sum_{\substack{j\ge1\,:\,S+j\alpha+1\le n}}
(d_{S+j\alpha+1}-1),\\[0pt]
|Q|&\ge M+2r_0-1+2e+(d_1-1)+
\sum_{\substack{j\ge1\,:\,S+j\alpha+1\le n}}
(d_{S+j\alpha+1}-1).
\end{aligned}
\tag{64.54}
```

证明。全部初态有限且逐点终止，故完整执行展开有限。一个首读纤维含 $`P`$ 个原标签。正确固定输出使其完整树有恰 $`P`$ 个叶；单点可以先经过一元延续再到自己的叶，不增加叶数。后续每个读取至多有两个非空孩子，这是引理55.3对同一增量来源的条件二元桥。若一元、二元内部节点数为 $`U,B`$，数边得到 $`U+2B=P+U+B-1`$，所以 $`B=P-1`$。

还须把出现次数送回实际槽。任一完整读后历史的当前物理支持，在已观察数字块中是精确低位区间：首读给完整块；固定平移后按下一真实数字切块，得到的每个非空孩子仍是一个块内区间。对任意正等待，包括跨越多个整周期者，此归纳成立。这里用精确支持，不能用包含支持的外包区间。

反设两个不同局部二元历史共用槽 $`(q,a)`$。槽固定当前数字及下一等待，两历史的精确物理支持必须不交：若相交，不同初态会共享同一联合配置而得到相同固定输出；若属于同一初态，则两个不同出现重现非终止联合配置而永不终止，均违反引理56.2的配置分离。于是它们在数字块 $`a`$ 内的两个精确低位区间不交。将整个块按该槽同一个 $`\delta`$ 平移，至多有一个内部数字切口；两个不交整数区间不可能都在该切口两侧有点。故不能都局部二元，矛盾。这里没有声称不同二元读取出现位置必须占不同读取态；单射的终点是它们的前驱数字槽。

等待至少 $`t`$ 的二元历史遂单射到 $`A_t`$ 所数的长前驱槽。式（64.52）给 $`n_t\le\alpha m_t+S`$；若 $`n_t\gt 0`$，其实际目标还强制 $`m_t\ge1`$，所以得到 $`m_t\ge f(n_t)`$。对任意正整数 $`k`$，

```math
f(k)=1+\#\{j\ge1:k\ge S+j\alpha+1\}.
\tag{64.55}
```

因此逐层求和，第一项贡献 $`\sum_{t\ge2}\mathbf1_{n_t\gt 0}=d_1-1`$；其余每个索引 $`i=S+j\alpha+1\le n`$ 贡献 $`\sum_{t\ge2}\mathbf1_{n_t\ge i}=d_i-1`$。所有延迟有限，可以交换这些有限和。最后代入式（64.51）及 $`r=r_0+e`$，得到容量式。$`\square`$

**推论 64.13（零剩余三进界及空历史边界）。** 当 $`p=3,P=9,r=25`$，有 $`\alpha=2,S=0,n=24`$，故

```math
E\ge\sum_{j=0}^{11}(d_{2j+1}-1).
\tag{64.56}
```

特别 $`E=19`$ 的实际候选必须满足 $`\sum_{j=0}^{11}d_{2j+1}\le31`$。这是原实际等待的限制，不是某个树装槽族的最小值。

当 $`P=1`$，二元等待列表为空，其贡献定义为零；式（64.54）的非空次序统计写法只用于 $`P\gt 1`$，在此不引入空列表的首项。此时 $`k=0,M=p,D=0`$，引理55.3的读取下界连同定理55.4的一次读取构造给 $`h_*=1`$。删除初始固定前缀后，最优读取预算不允许任何后续读取，唯一首读直接指向原标签 $`H_b`$。一个读取态和 $`p`$ 个固定终止态达到定义56.1的全部合同；固定输出给反向基数下界。因此沿用定理56.4、56.6在 $`P=1`$ 的边界，$`C_B(p,0)=p+1`$。一般模型允许单点延续，并不意味着一次读取预算也允许它。

### 64.3 对所有物理提升有效的投影排斥

**定理 64.14（延迟类连接与区间重叠的精确色数）。** 从同一实际控制器的完整执行中任取有限组不同的、保留下来的非单点读后历史。每个历史 $`H`$ 的当前精确低位区间记为 $`I_H=[l_H,u_H)\subseteq[0,P)`$，实际下一等待为 $`\delta_H`$，正余数为 $`\bar d_H=1+((\delta_H-1)\bmod P)`$。固定整数 $`t\ge2`$，只保留 $`\bar d_H\ge t`$ 的历史；重复的区间或记录仍按不同历史出现保留。以它们为顶点，恰在下列至少一项成立时连边：

```math
\bar d_H\ne\bar d_{H'}\qquad\text{或}\qquad I_H\cap I_{H'}\ne\varnothing.
\tag{64.57}
```

所得 $`\overline G_t`$ 在每个相容实际提升中都是定理58.6的完整相位冲突图的子图，而且

```math
\begin{aligned}
\chi(\overline G_t)=\omega(\overline G_t)
&=\kappa_t:=\sum_{d=t}^{P}\max_{y\in\{0,\ldots,P-1\}}
\#\{H:\bar d_H=d,\ y\in I_H\},\\[0pt]
\kappa_t&\le A_t\le\alpha m_t+S,\\[0pt]
e=0&\ \Longrightarrow\ m_t\ge\left\lceil\kappa_t/\alpha\right\rceil.
\end{aligned}
\tag{64.58}
```

空延迟类贡献零，$`t\gt P`$ 时图及总和为空。对一般剩余亦可用 $`m_t\ge f(\kappa_t)`$。

证明。被保留的历史有 $`\delta_H\ge\bar d_H\ge t`$，所以可代入定理58.6。若两个正余数不同，实际整数等待必不同，给出该定理的排斥边。若区间重叠，当前实际数字不同本已给排斥边；当前实际数字相同时，两精确区间位于同一物理数字块，重叠点就是共同完整来源位置，又给排斥边。这也包括正余数相同但实际等待不同的情形。因此无须先选定未知的高位相位或 $`P`$ 的倍数；每条边在所有可能的共同实际提升中均成立。正余数小于 $`t`$ 但实际等待很长的历史未被选入，只会削弱必要界。

按正余数分组，不同组之间全部相连；固定一组内部恰为半开整数区间的重叠图。该区间图的最大团数是某个整数低位被同时覆盖的次数：两两相交的有限区间，最大左端点严格小于最小右端点，故有共同整数点。按左端点非降顺序处理区间，及时释放右端点不大于新左端点的颜色，剩余活动区间都覆盖新左端点，所以用不超过最大覆盖次数的颜色即可；团下界给反向不等式。相同区间的多次出现互相相邻，不能去重。

图的连接要求不同延迟组使用互不相交的颜色集，色数因此相加。各组选一个最大覆盖点及覆盖它的全部出现，其并集又是一个团，团数也相加。这证明等式。用实际前驱槽着色是定理58.6的合法着色，给 $`\chi(\overline G_t)\le A_t`$；再使用同一表的式（64.52）即得余下各式。$`\square`$

此定理建立必要排斥，不提供实现充分性。实际图还必须具有唯一的等待后继、逐数字一致的读取后继、正确固定标签和一个共同初始化来源；第58.8节的驻定闭合不能由区间着色替代。

### 64.4 完整实际控制器到未剪枝递推的覆盖

**命题 64.15（保持出现与读取深度的必要投影）。** 对定义64.11的任意控制器，首读后每个数字纤维从 $`[0,P)`$ 开始。只在展开历史上把实际正等待替换为正余数 $`d=[\delta]^+_P`$，并在候选成为单点时停止投影。其余非单点一元读取全部保留。每个所得树属于定义57.7的未剪枝区间递推，且在同一实际控制器上有

```math
\begin{gathered}
I_z(d)=\{y+d-zP:y\in I,\ zP\le y+d\lt (z+1)P\},\\[0pt]
v(I,j,d)=|I|2^{1-j}(\mathbf1_{d\ge t})_{t=2}^{P}
             +\sum_{z:I_z(d)\ne\varnothing}v_z,\\[0pt]
a_t:=\left\lceil\frac{\sum_{b=0}^{p-1}v_{b,t}}p\right\rceil\le m_t,
\qquad \sum_{t=2}^{P}a_t\le E.
\end{gathered}
\tag{64.59}
```

递推的单点基例为唯一零向量；零剩余读取的非单点不可行。它枚举每个 $`1\le d\le P`$ 和所有非空孩子向量选择，只有一个孩子时仍消耗一次读取。

证明。首读前缀正规化使首读数字 $`b`$ 恰对应原标签块 $`bP+[0,P)`$。固定历史上的平移和真实数字条件化保持精确块内区间。把一个等待减去 $`P`$ 的倍数只旋转其后的高位数字名称，低位孩子分割不变；沿保留路径归纳，可以一一对应原非单点历史、当前精确低位区间和读取索引。这个对应不合并两条记录相同的历史。变换的是展开树中的名称，未要求共享控制态的表项在变换后仍一致。

若下一读取的剩余预算为 $`j`$，其实际读取索引为 $`i=D-j+2`$，所以 $`2^{i-h_*}=2^{1-j}`$，正是式（64.59）的系数。实际深度质量

```math
J_t=\sum_{H\text{ 实际后首读历史}}
|I_H|2^{i_H-h_*}\mathbf1_{\delta_H\ge t}
\le pm_t
\tag{64.60}
```

来自命题57.2、定理57.6。其假设映射是：同一个实际目标槽的全部到达访问只合并使用一次后缀容量一；来自不同前驱、不同深度和单点延续的访问均包括在内；实际二元槽后缀词互异且前缀自由，终止槽的唯一空词单独计一；所有实际 $`N_x\le h_*`$ 使全局深度质量不超过精确后缀质量。故此界适用于循环驻定图，而非仅适用于树形控制器。

每个投影等待有 $`d\le\delta`$，逐坐标指标不增；单点后的删除也只删除非负项，且不改变先前保留历史的读取索引。因此 $`\sum_bv_{b,t}\le J_t`$，对整数 $`m_t`$ 取上整得到覆盖式。反向不成立：投影遗忘高位相位、固定原标签的共同后继、单点延续及驻定共享，故不能把它当成一个新控制器，也不能据此删除实际单点态。$`\square`$

**定义 64.16（三进九点的整数多重集递推）。** 以下固定 $`p=3,P=9,D=4,h_*=5`$，把式（64.59）各向量乘八，坐标顺序始终为 $`t=2,\ldots,9`$。记 $`B_j(l,u;v)`$ 为所有单点即停的完整区间树产生整数向量 $`v`$ 的重数。对 $`0\le l\lt u\le9,0\le j\le4`$，单点给 $`B_j(l,l+1;0)=1`$、其余向量为零；非单点在 $`j=0`$ 或 $`u-l\gt 2^j`$ 时全部为零；其余定义

```math
\begin{aligned}
b_j(l,u,d)_t&=(u-l)2^{4-j}\mathbf1_{d\ge t},\\[0pt]
B_j(l,u;v)&=\sum_{d=1}^{9}
\sum_{v=b_j(l,u,d)+\sum_zv_z}
\prod_{z:I_z(d)\ne\varnothing}B_{j-1}(l_z,u_z;v_z).
\end{aligned}
\tag{64.61}
```

孩子 $`[l_z,u_z)=I_z(d)`$ 按 $`z`$ 递增排列，空孩子不进入乘积。每个等待及每个孩子树组合各算一次。规模拒绝只是必要二元叶界，不采用支配剪枝、费用剪枝或删去一元读取。对根的三个整数向量 $`u^{(b)}`$，定义

```math
s_t=\sum_{b=0}^{2}u^{(b)}_t,\qquad
a_t=\left\lceil s_t/24\right\rceil,\qquad
C=\sum_{t=2}^{9}a_t.
\tag{64.62}
```

$`24=8p`$；三个纤维必须先按同一坐标相加再上整。$`C`$ 是必要投影费用，既非全部状态数，也非实际控制器的达到声明。

### 64.5 有限目录的完整性及全部参与树

**命题 64.17（未剪枝多重集及费用十九截止）。** 定义64.16的完整根映射满足

```math
\sum_vB_4(0,9;v)=8910,\qquad
\#\{v:B_4(0,9;v)\gt 0\}=6128,\qquad
\min_{B_4(0,9;v)\gt 0}\sum_tv_t=125.
\tag{64.63}
```

费用不超过十九的无序向量三元组允许重复，恰为表64.32的四十八行；其中只有 $`(64.T01,64.T01,64.T01)`$ 费用十八，其余四十七行费用十九。全部参与者恰为表64.31的十七个向量，每个向量对应唯一完整修剪树。

证明与有限证书。对剩余预算归纳：单点只能停止；非单点零预算不能识别；每个非叶选择一个且仅一个正等待代表，再对其精确非空孩子独立选择树。首等待及有序孩子唯一决定父树，故式（64.61）的乘积和既不遗漏也不多计；一元和二元的所有实际可能均保留。所有递归均下降到预算零。这给递推的完整性，不假设共享实现存在。

有限整数求值可以逐层重现：遍历 $`j=0,\ldots,4`$ 和全部四十五个非空整数区间；对非基例遍历九个等待，枚举所有孩子向量元组，累加其重数乘积。完整根的按首等待树数依次为 $`(1,292,704,3458,3458,704,292,1,0)`$，总和为八千九百一十；收集向量键及其重数得到式（64.63）。没有用最小值替换整个映射。

还可直接从原标签复算同一个完整对象：取 $`S\subseteq\{0,\ldots,8\}`$、完整累计相位 $`e\in\mathbb Z/27\mathbb Z`$ 和下一读取索引 $`i`$，根为 $`(\{0,\ldots,8\},0,2)`$。枚举 $`d=1,\ldots,9`$，按真实数字 $`\lfloor[r+e+d]_{27}/9\rfloor`$ 划分 $`r\in S`$，孩子保留原标签、相位改为 $`[e+d]_{27}`$、索引加一；本节点整数贡献为 $`|S|2^{i-2}(\mathbf1_{d\ge t})_t`$。单点停止，$`i\gt 5`$ 的非单点不可行。在任一当前数字块内，$`r\mapsto[r+e]_9`$ 把精确原标签支持双射到当前低位区间；下一次真实分组与式（64.61）的孩子只差数字名称。因此这是逐节点、逐出现、保重数的树双射，完整向量到重数的映射相同。对首读 $`b=1,2`$ 用原标签 $`9b+r`$ 作相同计算，高位只作循环重标。相位及索引是离线证明变量，不是免费控制字段。

由式（64.63），若 $`C\le19`$，则 $`\sum_ts_t\le24\cdot19=456`$，其他两个成员和各至少一百二十五，所以每个成员和至多 $`456-250=206`$。完整映射中满足此界的向量恰四十六个。对这四十六个键取允许重复的无序三元组，先保留合向量和不超过四百五十六者，恰一千二百九十五组；逐坐标用整数式 $`\lceil s/24\rceil=\lfloor(s+23)/24\rfloor`$ 求费用，完整分布为

```math
\{18:1,\ 19:47,\ 20:221,\ 21:456,\ 22:431,\ 23:131,\ 24:8\}.
\tag{64.64}
```

因截止由必要不等式推出，截止外没有漏掉费用十九或更低者。作为费用十八边界的同一递推取值，成员和至多一百八十二的键恰二十七个，合和至多四百三十二的无序组恰三百八十七个，费用分布为 $`\{18:1,19:41,20:150,21:152,22:43\}`$，恢复第57.6节的全部低费用结算。特别不存在费用小于十八的三元组，且唯一十八者的向量为 $`(35,25,25,16,16,8,0,0)`$ 的三重复制，即原 $`57.V04`$。这证明 $`T_3(9,4)=18`$。

表64.31的长历史记录逐项为 $`[l,u,j,d]`$，分别表示当前精确低位区间 $`[l,u)`$、剩余读取数及投影正等待。列表恰保留 $`d\ge4`$ 的全部非单点出现，顺序为按式（64.61）孩子次序的深度优先次序，重复出现不得去重。这些长记录不是完整展开树。最后一列另给完整修剪树码：`*` 是当前单点叶，`d(T)` 是一次一元读取，`d(T0,T1)` 是一次二元读取，孩子按当前低位分割的 $`z`$ 递增排列。从 $`(j,l,u)=(4,0,9)`$ 逐节点代入式（64.61），可恢复全部短等待、长等待、区间及叶；不依赖另存的展开树或程序。

**表 64.31（全部十七个参与向量、长记录及完整树码）。**

| 64.参与树 | 八倍向量，坐标 2 至 9 | 重数 | 全部长历史记录 [l,u,j,d] | 完整修剪树码 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 64.T00 | $`(27,27,27,27,18,8,0,0)`$ | 1 | `[[0,9,4,5],[0,5,3,6],[0,2,2,7]]` | `5(1(1(1(*,*),*),*),6(1(1(*,*),*),7(1(*,*))))` |
| 64.T01 | $`(35,25,25,16,16,8,0,0)`$ | 1 | `[[0,9,4,4],[0,2,2,7],[0,4,3,6]]` | `4(2(1(1(*,*),*),7(1(*,*))),6(1(1(*,*),*),*))` |
| 64.T02 | $`(35,25,25,16,16,8,8,0)`$ | 1 | `[[0,9,4,4],[0,2,2,8],[0,4,3,6]]` | `4(2(1(1(*,*),*),8(*,*)),6(1(1(*,*),*),*))` |
| 64.T03 | $`(39,39,18,18,18,12,0,0)`$ | 1 | `[[0,3,2,7],[0,3,3,6]]` | `3(3(1(1(*,*),*),7(1(*,*),*)),6(1(1(*,*),*)))` |
| 64.T04 | $`(39,39,18,18,18,18,0,0)`$ | 1 | `[[0,3,2,7],[0,3,3,7]]` | `3(3(1(1(*,*),*),7(1(*,*),*)),7(1(*,*),*))` |
| 64.T05 | $`(39,39,29,20,20,12,0,0)`$ | 1 | `[[0,9,4,4],[0,3,2,7],[0,4,3,6]]` | `4(3(1(*,*),7(1(*,*),*)),6(1(1(*,*),*),*))` |
| 64.T06 | $`(43,27,27,27,18,0,0,0)`$ | 1 | `[[0,9,4,5],[0,5,3,6],[0,2,2,6]]` | `5(1(1(1(*,*),*),*),6(1(1(*,*),*),6(2(*,*))))` |
| 64.T07 | $`(43,43,27,27,10,0,0,0)`$ | 1 | `[[0,9,4,5],[0,5,3,6],[0,2,2,5]]` | `5(1(1(1(*,*),*),*),6(1(1(*,*),*),5(3(*,*))))` |
| 64.T08 | $`(43,43,35,35,10,0,0,0)`$ | 1 | `[[0,9,4,5],[0,5,3,6],[3,5,1,5]]` | `5(1(1(1(*,*),*),*),6(1(1(*,*),*),3(5(*,*))))` |
| 64.T09 | $`(43,43,43,19,10,0,0,0)`$ | 1 | `[[0,9,4,5],[0,5,3,6],[0,2,2,4],[4,6,1,4]]` | `5(1(1(1(*,*),*),*),6(1(1(*,*),*),4(4(*,*))))` |
| 64.T10 | $`(51,25,25,16,16,0,0,0)`$ | 1 | `[[0,9,4,4],[0,2,2,6],[0,4,3,6]]` | `4(2(1(1(*,*),*),6(2(*,*))),6(1(1(*,*),*),*))` |
| 64.T11 | $`(51,39,18,18,12,12,0,0)`$ | 1 | `[[0,3,2,7],[0,3,3,5]]` | `3(3(1(1(*,*),*),7(1(*,*),*)),5(2(1(*,*),*)))` |
| 64.T12 | $`(51,41,25,16,8,0,0,0)`$ | 1 | `[[0,9,4,4],[0,2,2,5],[0,4,3,6]]` | `4(2(1(1(*,*),*),5(3(*,*))),6(1(1(*,*),*),*))` |
| 64.T13 | $`(51,41,33,24,8,0,0,0)`$ | 1 | `[[0,9,4,4],[3,5,1,5],[0,4,3,6]]` | `4(2(1(1(*,*),*),3(5(*,*))),6(1(1(*,*),*),*))` |
| 64.T14 | $`(51,41,41,8,8,0,0,0)`$ | 1 | `[[0,9,4,4],[0,2,2,4],[4,6,1,4],[0,4,3,6]]` | `4(2(1(1(*,*),*),4(4(*,*))),6(1(1(*,*),*),*))` |
| 64.T15 | $`(51,51,18,12,12,12,0,0)`$ | 1 | `[[0,3,2,7],[0,3,3,4]]` | `3(3(1(1(*,*),*),7(1(*,*),*)),4(3(1(*,*),*)))` |
| 64.T16 | $`(51,51,24,12,12,12,0,0)`$ | 1 | `[[0,3,2,7],[3,6,2,4]]` | `3(3(1(1(*,*),*),7(1(*,*),*)),3(4(1(*,*),*)))` |

各行重数一是完整映射中的整数重数，不是只在某个被剪枝目录中的唯一性。表中长记录可从同行树码逐一重新得到；两者都允许重复的区间出现在不同节点。下表按向量标号的非降次序列出全部四十八个轮廓。将三个标号分配给首读数字 $`0,1,2`$ 时，必须保留全部不同排列：全相同有一项、恰两个相同有三项、全不同有六项，再乘各向量的树重数。于是费用十八有一个有序出现族，费用十九有二百一十二个，共二百一十三个；没有把无序轮廓当作完整物理历史族。

### 64.6 固定阈值四的完整排斥证书

**表 64.32（全部低费用轮廓及可重建团见证）。** 三元组的数字是表64.31的十七个编号。对每行、每个 $`d=4,\ldots,9`$，把三个纤维的长记录逐出现合并，定义

```math
c_d(y)=\#\{(b,H):d_H=d,\ l_H\le y\lt u_H\},\qquad
k_d=\max_{0\le y\lt 9}c_d(y),\qquad
y_d=\min\{y:c_d(y)=k_d\}.
\tag{64.65}
```

空类取 $`k_d=0,y_d=0`$。表中 $`k,y`$ 都按 $`d=4,5,6,7,8,9`$ 的次序列全；$`\kappa_4=\sum_dk_d`$。选取每个延迟类内所有覆盖 $`y_d`$ 的记录，并在标识中保留其纤维及树内出现位置，就是这一行的明确团见证。该规则给出全部所需顶点和每条边的理由，不仅给一个团大小。

| 64.轮廓 | 三个树编号 | $`C`$ | $`a_4`$ | $`(k_4,k_5,k_6,k_7,k_8,k_9)`$ | $`(y_4,y_5,y_6,y_7,y_8,y_9)`$ | $`\kappa_4`$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 64.P00 | $`(0,0,1)`$ | 19 | 4 | $`(1,2,3,3,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 9 |
| 64.P01 | $`(0,0,3)`$ | 19 | 3 | $`(0,2,3,3,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 8 |
| 64.P02 | $`(0,0,4)`$ | 19 | 3 | $`(0,2,2,4,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 8 |
| 64.P03 | $`(0,0,11)`$ | 19 | 3 | $`(0,3,2,3,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 8 |
| 64.P04 | $`(0,0,12)`$ | 19 | 4 | $`(1,3,3,2,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 9 |
| 64.P05 | $`(0,0,14)`$ | 19 | 4 | $`(2,2,3,2,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 9 |
| 64.P06 | $`(0,1,7)`$ | 19 | 4 | $`(1,3,3,2,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 9 |
| 64.P07 | $`(0,1,9)`$ | 19 | 4 | $`(2,2,3,2,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 9 |
| 64.P08 | $`(0,1,11)`$ | 19 | 3 | $`(1,2,2,3,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 8 |
| 64.P09 | $`(0,1,12)`$ | 19 | 4 | $`(2,2,3,2,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 9 |
| 64.P10 | $`(0,1,13)`$ | 19 | 4 | $`(2,2,3,2,0,0)`$ | $`(0,3,0,0,0,0)`$ | 9 |
| 64.P11 | $`(0,1,14)`$ | 19 | 4 | $`(3,1,3,2,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 9 |
| 64.P12 | $`(0,3,6)`$ | 19 | 3 | $`(0,2,4,2,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 8 |
| 64.P13 | $`(0,3,7)`$ | 19 | 3 | $`(0,3,3,2,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 8 |
| 64.P14 | $`(0,3,10)`$ | 19 | 3 | $`(1,1,4,2,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 8 |
| 64.P15 | $`(0,3,12)`$ | 19 | 3 | $`(1,2,3,2,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 8 |
| 64.P16 | $`(0,6,11)`$ | 19 | 3 | $`(0,3,3,2,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 8 |
| 64.P17 | $`(0,10,11)`$ | 19 | 3 | $`(1,2,3,2,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 8 |
| 64.P18 | $`(1,1,1)`$ | 18 | 4 | $`(3,0,3,3,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 9 |
| 64.P19 | $`(1,1,2)`$ | 19 | 4 | $`(3,0,3,2,1,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 9 |
| 64.P20 | $`(1,1,7)`$ | 19 | 4 | $`(2,2,3,2,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 9 |
| 64.P21 | $`(1,1,8)`$ | 19 | 4 | $`(2,2,3,2,0,0)`$ | $`(0,3,0,0,0,0)`$ | 9 |
| 64.P22 | $`(1,1,9)`$ | 19 | 4 | $`(3,1,3,2,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 9 |
| 64.P23 | $`(1,1,10)`$ | 19 | 4 | $`(3,0,4,2,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 9 |
| 64.P24 | $`(1,1,12)`$ | 19 | 4 | $`(3,1,3,2,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 9 |
| 64.P25 | $`(1,1,14)`$ | 19 | 4 | $`(4,0,3,2,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 9 |
| 64.P26 | $`(1,2,2)`$ | 19 | 4 | $`(3,0,3,1,2,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 9 |
| 64.P27 | $`(1,3,6)`$ | 19 | 3 | $`(1,1,4,2,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 8 |
| 64.P28 | $`(1,3,7)`$ | 19 | 3 | $`(1,2,3,2,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 8 |
| 64.P29 | $`(1,6,11)`$ | 19 | 3 | $`(1,2,3,2,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 8 |
| 64.P30 | $`(1,10,10)`$ | 19 | 4 | $`(3,0,5,1,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 9 |
| 64.P31 | $`(1,10,11)`$ | 19 | 3 | $`(2,1,3,2,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 8 |
| 64.P32 | $`(1,10,12)`$ | 19 | 4 | $`(3,1,4,1,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 9 |
| 64.P33 | $`(1,10,14)`$ | 19 | 4 | $`(4,0,4,1,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 9 |
| 64.P34 | $`(1,10,15)`$ | 19 | 3 | $`(3,0,3,2,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 8 |
| 64.P35 | $`(1,12,15)`$ | 19 | 3 | $`(3,1,2,2,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 8 |
| 64.P36 | $`(2,2,2)`$ | 19 | 4 | $`(3,0,3,0,3,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 9 |
| 64.P37 | $`(3,10,15)`$ | 19 | 3 | $`(2,0,3,2,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 7 |
| 64.P38 | $`(3,10,16)`$ | 19 | 3 | $`(2,0,3,2,0,0)`$ | $`(3,0,0,0,0,0)`$ | 7 |
| 64.P39 | $`(5,10,15)`$ | 19 | 3 | $`(3,0,3,2,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 8 |
| 64.P40 | $`(6,6,11)`$ | 19 | 3 | $`(0,3,4,1,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 8 |
| 64.P41 | $`(6,6,12)`$ | 19 | 4 | $`(1,3,5,0,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 9 |
| 64.P42 | $`(6,6,14)`$ | 19 | 4 | $`(2,2,5,0,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 9 |
| 64.P43 | $`(6,7,10)`$ | 19 | 4 | $`(1,3,5,0,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 9 |
| 64.P44 | $`(6,9,10)`$ | 19 | 4 | $`(2,2,5,0,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 9 |
| 64.P45 | $`(10,10,10)`$ | 19 | 4 | $`(3,0,6,0,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 9 |
| 64.P46 | $`(10,10,12)`$ | 19 | 4 | $`(3,1,5,0,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 9 |
| 64.P47 | $`(10,10,14)`$ | 19 | 4 | $`(4,0,5,0,0,0)`$ | $`(0,0,0,0,0,0)`$ | 9 |

每行的 $`C,a_4`$ 可由三个向量按式（64.62）逐坐标求得；$`k,y`$ 可由表64.31每个完整长记录按式（64.65）求得。选中同一延迟的两出现都含 $`y_d`$，选中不同延迟的两出现则有不同正余数，所以每对都满足式（64.57）。三个纤维即使选同一个树码，也是三个不同的历史复制。改变有序纤维分配只置换这些复制，不改表中数值或成对排斥。完整相位提升并不要求独立选择；定理64.14的边对每个共同实际提升同时成立。

费用十九的四十七行按 $`(a_4,\kappa_4)`$ 分为 $`(3,7)`$ 两行、$`(3,8)`$ 十八行、$`(4,9)`$ 二十七行，逐行均满足

```math
\kappa_4\gt 2a_4.
\tag{64.66}
```

这是固定阈值四的一个完整证书。费用十八行保留在表内用于完整目录，但下界主证明先用下一节的独立费用十八排除，再使用费用十九的逐层等号；不能只见式（64.66）便把任意实际 $`m_4`$ 换成 $`a_4`$。

### 64.7 九十五态反设的全部收费后果

**命题 64.18（规范九十五态候选与费用十八排除）。** 若定义64.11在 $`p=3,k=2`$ 存在名义容量至多九十五的控制器，则存在同预算、正确的规范代表，恰有

```math
|Q|=95,\qquad r=25,\qquad w=43,\qquad \#H=27,\qquad E=19,
\qquad A_q+Z_q=2\ (q\ne q_0).
\tag{64.67}
```

该代表不可能投影到费用十八。

证明。定理57.10已经对同一完整模型排除至多九十四态；它的有限递推前提又由命题64.17的未剪枝重数和十八边界复得。因此反设原表恰九十五态，且没有可删除的非空初始等待，否则得到至多九十四态。按定理56.8删去未达态、合并同固定标签终止态、合并同目标同剩余距离的等待态，并只按完整模 $`M=27`$ 缩短正等待。其逐读取联合配置不变，固定输出、初始化及五读上限保持，容量不增；任何严格下降都会违反既有九十五下界，所以得到恰九十五态、恰二十七终止标签且无多余收费状态的规范表。其等待数恰为 $`\sum_qL_q`$。未用数字总化到既有标签，不增加状态。

命题64.15和 $`T_3(9,4)=18`$ 给 $`w\ge r-1+18=r+17`$，定理56.3在奇数基给 $`r\ge25`$。若 $`r\ge26`$，名义容量至少 $`27+r+(r+17)\ge96`$。故 $`r=25`$，于是 $`w=95-27-25=43`$；二十四个非根目标各扣必需单位等待，得到 $`E=43-24=19`$。在式（64.52）中 $`\epsilon=1,\alpha=2,\beta=1,e=0`$，每个 $`b_q=0`$，得到目标恒等式。

这也保留推论58.5的准确目标类型：每个非根目标或者由一个全局二元前驱覆盖两个数字、留一个未用数字；或者由两个全局二元前驱覆盖三个数字、恰重复一个目标数字；或者由一个全局二元及一个全局一元前驱不交地覆盖三个数字。此处“全局”数槽的全部真实后继，与一个历史的一元性不同。后面的反证只使用这些类型共同蕴涵的 $`A_t\le2m_t`$，不把抽象类型当成实际可实现构造。

若投影费用十八，命题64.17使三个纤维都为表64.31的唯一树64.T01。每棵树必保留 $`([0,4),j=3,d=6)`$ 和 $`([0,2),j=2,d=7)`$ 两条非单点历史。三个纤维的前三条区间在延迟类六相交，后三条在延迟类七相交；两类之间全部相连。因此阈值六有六团，阈值七有三团，定理64.14给 $`m_6\ge3,m_7\ge2`$。这不假设实际延迟已经等于正余数：六、十五、二十四等提升及七、十六、二十五等提升均满足同一排斥证明。

投影向量的坐标上整还给

```math
(m_2,m_3,m_4,m_5,m_6,m_7,m_8,m_9)
\ge(5,4,4,2,2,1,0,0).
\tag{64.68}
```

同一组目标的层集嵌套，故 $`m_5\ge m_6\ge3`$。合并各项，$`E\ge5+4+4+3+3+2=21`$，与十九矛盾。单点延续可以增加历史或费用，但不能删除这六条仍为非单点的实际历史。费用十八因此在任意物理提升下都被排除。$`\square`$

### 64.8 费用十九刚性与全模型局部下界

**命题 64.19（费用十九的逐层刚性）。** 在命题64.18的反设下，实际候选的每个命题64.15投影费用必为十九，而且

```math
m_t=a_t\quad(2\le t\le9),\qquad m_t=0\quad(t\ge10).
\tag{64.69}
```

因而所有目标尾长及全部实际读间等待均不超过九，实际等待恰等于其模九正代表。一个剩余轮廓的目标尾长直方图被迫为：长度一有 $`24-a_2`$ 个，长度 $`t=2,\ldots,8`$ 有 $`a_t-a_{t+1}`$ 个，长度九有 $`a_9`$ 个。

证明。覆盖给 $`C\le E=19`$，命题64.17给 $`C\ge18`$，命题64.18排除十八，故 $`C=19`$。逐层 $`m_t-a_t\ge0`$ 与额外层 $`m_t\ge0`$ 都是非负整数，而它们的总和为 $`E-C=0`$，所以每项为零。任一进入 $`q`$ 的实际延迟至多 $`L_q`$，因此也至多九。嵌套目标层的相邻差给直方图。此等号没有宣称实际深度质量等于修剪后的质量，也没有宣称实际单点延续不存在。$`\square`$

**定理 64.20（三进九点读取最优控制器至少九十六态）。** 在定义56.1的完整驻定模型中，任何从一个共同起点、对全部二十七个原输入正确且最坏至多五读的控制器，全部名义状态数至少九十六。与定义62.14的完整一百零五态表结合，

```math
96\le C_B(3,2)\le105.
\tag{64.70}
```

证明。反设容量至多九十五，命题64.18给同预算的规范候选。其实际执行投影到完整未剪枝递推，费用十八已排除；命题64.19给费用十九及特别 $`m_4=a_4`$。命题64.17和表64.32穷尽其四十七个无序费用十九轮廓，所有二百一十二个有序树出现族均保留。对其中任一实际族，表的明确阈值四团和定理64.14给

```math
A_4\ge\kappa_4\gt 2a_4=2m_4,
\tag{64.71}
```

但同一实际表的零剩余关联预算给 $`A_4\le2m_4`$，矛盾。此方向只把每个实际控制器送入一个必要目录，再用在任意共同物理提升都成立的边排除它；从未要求目录轮廓能编译为实际表。因此非对称纤维、不同停止深度、合法单点延续、重复访问、驻定共享及名义循环都没有被排除在量词之外。正整数容量遂至少九十六。

上界复用定义62.14及定理62.15，不由这个目录构造。该表使用共同起点零，同一个模二十七来源，二十五读取态、五十三逐单位等待态、二十七固定原标签终止态；每个名义状态可达。其全部二十七输入正确，读取数分布为三读二个、四读七个、五读十八个，最大单位等待总数十四、最大单段等待七，末读后直接停止，满足本定义的全部计费与动作合同。九点首读纤维不能用后续三次二元读取的八叶分清，所以五读是原模型的最优最坏读取数。由此得同一 $`C_B`$ 的上界一百零五。$`\square`$

### 64.9 固定来源、证据范围与未解边界

本节的既有前提统一读取自[固定公开版本a213e8519e2493e60f137baa9d494ecf0f080199的本卷](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/a213e8519e2493e60f137baa9d494ecf0f080199/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md)。定义55.1、56.1规定来源与费用；引理55.3、定理55.4给读取预算的下界及达到；引理56.2、定理56.3、56.8给联合配置分离、读取态基数及全模规范化；命题57.2、定理57.6、定义57.7、推论57.8给后缀质量与实际到投影的必要方向；第57.6节及定理57.10给既有费用十八和九十五下界；定理58.2、58.4、58.6给同表关联预算及精确物理排斥；定义62.14、定理62.15给实际一百零五上界。第59至63节各受限装槽或吸收族的最小值没有被用作全模型下界前提。

尤其定理56.8原文指出“这里必须模 $`M=pP`$，不能只模 $`P`$”；第57.4节指出“涉及等号或唯一性时，必须覆盖所有可能最小化的未剪枝向量”；第58.4节指出“这里‘精确’不能换成包含实际支持的任意超集”。本节分别以实际规范化与必要投影的区分、完整整数重数递推、精确区间及逐边提升证明满足这三项条件。经典后缀前缀码界的归属仍按第57.2、58.2节；本节没有从别的传感器、复位学习模型或轨迹解码模型移入容量结论。

有限证书的核验范围是式（64.61）的全部二百二十五个区间预算状态、八千九百一十棵完整根树及其全部向量重数，并用完整模二十七的原标签构造在三个首读纤维逐出现核对；费用截止在完整最小和确定后才应用。表64.31的十七行长记录和完整树码、表64.32的四十八行所有数值及每个有序族的阈值四团均由这些完整树恢复。有限相位核对另覆盖每对团顶点的三个当前数字及正等待 $`d,d+9,d+18`$ 的全部组合；任意提升的健全性仍由定理64.14的普通证明承担。既有一百零五态表按全部原输入逐单位执行，核对真实来源、固定标签、正等待、读取上限和全部名义状态可达性。这些检查没有枚举全部驻定控制器；全模型下界由覆盖证明、收费桥及反证共同承担。

所得是普通数学证明与明确有限整数证书，没有 Lean/kernel 核验或原创性主张。历史已发表前缀中的九十五下界保留为原时点结论，本节将同合同的下界推进到九十六。当前仍未判定九十六至一百零四态是否存在，也没有给出 $`C_B(3,2)`$ 的精确达到值；一般参数 $`C_B(p,k)`$ 的精确容量、统一达到构造和长期空间、时间、边界与记忆的关系恢复目标均保持未完成。

## 64.99 追加锚

## 65. 部分后继相容的二元共享与五读单射宿主的容量障碍

本节把两条关系放回同一个实际来源：历史在边界两侧形成的区别，以及固定控制态对共同数字只能选择一个后继的约束。相邻边界对可以通过一次额外读取共享部分数字；下面给出参数化替换和完整的一百一十一态实现。另一方面，在三进九点、至多五读时，只要二十四个二元出现仍各占不同读取态，即使允许任意一元宿主、单点延续及循环，容量也至少一百零五。后一结论扩大第63节下界的适用类，却仍不覆盖任意二元共享。第64节的全模型区间 $96\le C_B(3,2)\le105$ 保持有效。

### 65.1 同源状态、原标签与逐单位计费

**定义 65.11（共同初始化的实际表）。** 取整数 $p\ge2,k\ge0$，置 $P=p^k,M=pP$；$[z]_m$ 表示模 $m$ 的非负代表。物理来源初始为 $s=x\in\mathbb Z/M\mathbb Z$，只有

$$
W:s\longmapsto s+1,\qquad
R:s\longmapsto s\quad\text{并返回}\quad d(s)=\left\lfloor\frac{[s]_M}{P}\right\rfloor.
\tag{65.1}
$$

控制态分为读取、等待、终止三类，动作、每个数字的读取后继、等待的唯一后继及终止输出都是固定总函数。每个输入从同一个控制态开始，来源动作词属于 $`W^*R(W^+R)^*`$，有限终止，末读后直接停机；固定终止态 $H_x$ 独自输出原输入 $x$。全部读取态、单位等待位置、控制前缀、内部计数及终止标签都收费。没有来源相关准备、免费时钟、表外寄存器、复位、复制、逆步或终止时刻解码。记实际可达三类状态数为 $r,w,t$，达到的总数为 $C=r+w+t$；名义容量至少为 $C$。

累计实际等待 $E$ 仅是证明变量。在每一个动作边界都有 $s=[x+E]_M$；每个 $W$ 使 $s,E$ 同增一，每个 $R$ 保持二者。写 $W(q,j)$ 时，它是一个实际收费状态，执行一次增量后在 $j>1$ 时进入 $W(q,j-1)$，在 $j=1$ 时进入读取态 $q$。入口 $\langle q,j\rangle$ 指这个状态，不是跳过中间位置的宏动作。不同目标的等待链不能共用状态，因为等待态的固定未来有唯一的首次读取目标。

以下一百一十一态表及容量障碍均固定 $p=3,k=2,P=9,M=27$，每条执行至多五读。参数化替换另按其明确量词使用。

### 65.2 两个相邻边界对的部分共享

**定理 65.12（带额外读取余量的局部重综合）。** 取整数 $p\ge3,k\ge1$、$P=p^k\ge2$，令 $a\in\mathbb Z/p\mathbb Z$，$d_0,d_1\ge1$ 为实际正等待。一个正确表含两个互不相交的专用最终读取部件：各自有恰 $d_i$ 个单位等待态和一个读取态，其内部态没有其他使用者。第一个部件读取时的两个物理值及固定原输出依次为

$$
([(a+1)P-1]_M,\alpha_0),\quad ([(a+1)P]_M,\alpha_1),
\tag{65.2}
$$

第二个依次为

$$
([(a+2)P-1]_M,\beta_0),\quad ([(a+2)P]_M,\beta_1).
\tag{65.3}
$$

四个原输出标签互异，四个终止态已经收费。所有受影响的进入使用都满足这两个部件的相位—标签合同；只有输出 $\alpha_1,\beta_0$ 的路径需要各有一次额外读取余量。则可改成两个读取态 $Q,T$、一条长 $\max(d_0,d_1)$ 的共同进入尾链和一个 $W(T,1)$，保留各原前驱到 $Q$ 的实际等待 $d_i$，准确节省

$$
(d_0+d_1+2)-\bigl(\max(d_0,d_1)+3\bigr)=\min(d_0,d_1)-1.
\tag{65.4}
$$

最短进入等待为一时节省为零；两等待均至少二时才严格节省。终止态及外部费用两边相同。

证明。所有数字下标取模 $p$。先分配共同尾链，使原部件 $i$ 的入口改为 $W(Q,d_i)$。读取后继逐字定义为

$$
\begin{aligned}
Q[a]&=H_{\alpha_0},&Q[a+1]&=W(T,1),&Q[a+2]&=H_{\beta_1},\\
T[a+1]&=H_{\alpha_1},&T[a+2]&=H_{\beta_0}.
\end{aligned}
\tag{65.5}
$$

$W(T,1)$ 的唯一后继是 $T$，其他未列读取槽指向已有 $H_0$。$p\ge3$ 使 $a,a+1,a+2$ 为三个不同数字，故 $Q$ 无冲突；$T$ 的两数字也不同。这包括 $p=3$ 时 $a+2=a-1$ 的循环边界，所有物理值均按完整 $M$ 回绕。

**表 65.31（四条局部路径的完整相位关系）。**

| 65.局部路径 | 到 Q 的物理值（模 M） | Q 数字 | Q 的字面后继 | 到 T 的物理值（模 M）及数字 | 固定输出 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 65.L0 | $(a+1)P-1$ | $a$ | $H_{\alpha_0}$ | 不再读取 | $\alpha_0$ |
| 65.L1 | $(a+1)P$ | $a+1$ | $W(T,1)$ | $(a+1)P+1$，$a+1$ | $\alpha_1$ |
| 65.L2 | $(a+2)P-1$ | $a+1$ | $W(T,1)$ | $(a+2)P$，$a+2$ | $\beta_0$ |
| 65.L3 | $(a+2)P$ | $a+2$ | $H_{\beta_1}$ | 不再读取 | $\beta_1$ |

共同数字对应同一个块的首点与末点。一次真实增量后，首点仍在该块内，因为 $P\ge2$；末点跨到下一块。由此 $T$ 的两个固定槽恢复中间两个原标签。两个外侧标签在 $Q$ 直接停止，只有中间两条路径各增加一个 $W$ 和一次 $R$。从各原入口到 $Q$，新旧都执行恰 $d_i$ 个增量，所有这些前缀的来源相同；不等长入口进入同一尾链的不同剩余距离，唯一后继逐级下降，没有按来源选择等待长度。

旧专用部件共 $d_0+d_1+2$ 个非终止态；新部件共 $\max(d_0,d_1)+1+1+1$ 个。专用性保证被删除的状态确实不被其他路径需要，原固定终止态全部保留，所以费用差正是式（65.4）。每条路径的读取预算由所述两条余量保证；它不要求外侧路径另有余量。局部合同可被任意满足其进入条件的外部正确表使用。$\square$

此构造改变了中间两条路径的动作词和终止相位，属于重综合；它不是第58.8或60.9节那种保持每条完整行为的商。若旧尾链已经有其他用户，或原路径没有所需读取余量，就不能按式（65.4）作删除与节省断言。

### 65.3 从公共一百二十四态种子到指定新表

使用定义57.12的八行种子。每个首读纤维 $b$ 的阈值行依次为 $5,3,2,1,4,8,7,6$，进入等待为 $(4,2,1,1,8,6,1,1)$；读取累计等待依次为 $(4,6,7,8,14,10,11,12)$。未共享实现为 $25R+72W+27H=124$。

首先只替换纤维零、一的阈值四部件。它们在 $E=14$ 的物理对分别为 $(17,18)$、$(26,0)$，标签分别为 $(3,4)$、$(12,13)$。定理65.12取 $a=1,d_0=d_1=8$，共享 $Q$ 后的外侧直接输出三、十三，中间四、十二经 $W(T,1)$ 解析。受影响的旧路径都只读四次，所需额外一次在五读预算内。两部件内部旧费十八、新费十一，节省七。

再处理纤维二的阈值四部件。原输入二十一、二十二在 $E=6$ 离开该纤维阈值三，来源为零、一。把原八步入口改送纤维零阈值八读取态的既有六步尾链，于 $E=12$ 在来源六、七读取数字零。该宿主的本位输入五至八于 $E=10$ 只用数字一、二，故可把数字零固定接到纤维二阈值四读取态的二步尾链；最终仍在 $E=14$、来源八、九，输出二十一、二十二。该最终读取态保留，专用旧尾从八缩到二，恰少六态；六步宿主尾链已经收费，不增加等待态或读取态。这里给出了全部受影响输入，后继选择由真实数字完成，不保留表外的纤维编号。

**表 65.32（同一构造的准确状态费用）。**

| 65.构造阶段 | 读取态 | 单位等待态 | 固定终止态 | 总数 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 65.C124：定义57.12种子 | 25 | 72 | 27 | 124 |
| 65.C117：两相邻对部分共享 | 25 | 65 | 27 | 117 |
| 65.C111：第三对使用既有六步尾链 | 25 | 59 | 27 | 111 |

两个修改覆盖不同的原输入集合，最终固定表同时落实它们。以下完整数据给出这一张新表；第57节表57.EX111的 $26R+58W+27H$ 与表57.EX112的 $26R+59W+27H$ 是另外两张表，不能用它们的计数或历史结构替代本表。

### 65.4 一百一十一态的全部原子转移

**定义 65.13（整数编号的总控制器）。** 状态恰为 $0,\ldots,110$，共同起点为零；$0,\ldots,24$ 执行 $R$，$25,\ldots,83$ 各执行一次 $W$，$84,\ldots,110$ 停止。终止态 $H_x$ 是整数 $84+x$，固定输出 $x$。三个表分别列全七十五个读取槽、五十九个单位等待后继和二十七个终止解码及形式自后继。

**表 65.33（全部读取行）。**

| 65.读取行 | 状态 | 数字 0 后继 | 数字 1 后继 | 数字 2 后继 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 65.R00 | 0 | 28 | 44 | 60 |
| 65.R01 | 1 | 30 | 38 | 84 |
| 65.R02 | 2 | 31 | 82 | 84 |
| 65.R03 | 3 | 32 | 86 | 84 |
| 65.R04 | 4 | 84 | 85 | 84 |
| 65.R05 | 5 | 66 | 39 | 92 |
| 65.R06 | 6 | 84 | 40 | 91 |
| 65.R07 | 7 | 84 | 89 | 90 |
| 65.R08 | 8 | 84 | 46 | 54 |
| 65.R09 | 9 | 84 | 47 | 82 |
| 65.R10 | 10 | 84 | 48 | 95 |
| 65.R11 | 11 | 84 | 93 | 94 |
| 65.R12 | 12 | 101 | 84 | 55 |
| 65.R13 | 13 | 100 | 84 | 56 |
| 65.R14 | 14 | 99 | 84 | 98 |
| 65.R15 | 15 | 72 | 84 | 62 |
| 65.R16 | 16 | 38 | 84 | 63 |
| 65.R17 | 17 | 104 | 84 | 64 |
| 65.R18 | 18 | 103 | 84 | 102 |
| 65.R19 | 19 | 105 | 106 | 84 |
| 65.R20 | 20 | 73 | 110 | 84 |
| 65.R21 | 21 | 74 | 109 | 84 |
| 65.R22 | 22 | 107 | 108 | 84 |
| 65.R23 | 23 | 97 | 87 | 83 |
| 65.R24 | 24 | 96 | 84 | 88 |

**表 65.34（全部单位等待行）。** 目标和剩余距离两列只解释编号，不是附加状态字段。

| 65.等待行 | 状态 | 目标读取态 | 剩余距离 | 执行一次 W 后继 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 65.W25 | 25 | 1 | 1 | 1 |
| 65.W26 | 26 | 1 | 2 | 25 |
| 65.W27 | 27 | 1 | 3 | 26 |
| 65.W28 | 28 | 1 | 4 | 27 |
| 65.W29 | 29 | 2 | 1 | 2 |
| 65.W30 | 30 | 2 | 2 | 29 |
| 65.W31 | 31 | 3 | 1 | 3 |
| 65.W32 | 32 | 4 | 1 | 4 |
| 65.W33 | 33 | 5 | 1 | 5 |
| 65.W34 | 34 | 5 | 2 | 33 |
| 65.W35 | 35 | 5 | 3 | 34 |
| 65.W36 | 36 | 5 | 4 | 35 |
| 65.W37 | 37 | 5 | 5 | 36 |
| 65.W38 | 38 | 5 | 6 | 37 |
| 65.W39 | 39 | 6 | 1 | 6 |
| 65.W40 | 40 | 7 | 1 | 7 |
| 65.W41 | 41 | 8 | 1 | 8 |
| 65.W42 | 42 | 8 | 2 | 41 |
| 65.W43 | 43 | 8 | 3 | 42 |
| 65.W44 | 44 | 8 | 4 | 43 |
| 65.W45 | 45 | 9 | 1 | 9 |
| 65.W46 | 46 | 9 | 2 | 45 |
| 65.W47 | 47 | 10 | 1 | 10 |
| 65.W48 | 48 | 11 | 1 | 11 |
| 65.W49 | 49 | 12 | 1 | 12 |
| 65.W50 | 50 | 12 | 2 | 49 |
| 65.W51 | 51 | 12 | 3 | 50 |
| 65.W52 | 52 | 12 | 4 | 51 |
| 65.W53 | 53 | 12 | 5 | 52 |
| 65.W54 | 54 | 12 | 6 | 53 |
| 65.W55 | 55 | 13 | 1 | 13 |
| 65.W56 | 56 | 14 | 1 | 14 |
| 65.W57 | 57 | 15 | 1 | 15 |
| 65.W58 | 58 | 15 | 2 | 57 |
| 65.W59 | 59 | 15 | 3 | 58 |
| 65.W60 | 60 | 15 | 4 | 59 |
| 65.W61 | 61 | 16 | 1 | 16 |
| 65.W62 | 62 | 16 | 2 | 61 |
| 65.W63 | 63 | 17 | 1 | 17 |
| 65.W64 | 64 | 18 | 1 | 18 |
| 65.W65 | 65 | 19 | 1 | 19 |
| 65.W66 | 66 | 19 | 2 | 65 |
| 65.W67 | 67 | 20 | 1 | 20 |
| 65.W68 | 68 | 20 | 2 | 67 |
| 65.W69 | 69 | 20 | 3 | 68 |
| 65.W70 | 70 | 20 | 4 | 69 |
| 65.W71 | 71 | 20 | 5 | 70 |
| 65.W72 | 72 | 20 | 6 | 71 |
| 65.W73 | 73 | 21 | 1 | 21 |
| 65.W74 | 74 | 22 | 1 | 22 |
| 65.W75 | 75 | 23 | 1 | 23 |
| 65.W76 | 76 | 23 | 2 | 75 |
| 65.W77 | 77 | 23 | 3 | 76 |
| 65.W78 | 78 | 23 | 4 | 77 |
| 65.W79 | 79 | 23 | 5 | 78 |
| 65.W80 | 80 | 23 | 6 | 79 |
| 65.W81 | 81 | 23 | 7 | 80 |
| 65.W82 | 82 | 23 | 8 | 81 |
| 65.W83 | 83 | 24 | 1 | 24 |

**表 65.35（全部终止行）。** 进入即停止，形式后继不再执行来源动作。

| 65.终止行 | 状态 | 固定输出 | 形式后继 |
| --- | --- | --- | --- |
| 65.H00 | 84 | 0 | 84 |
| 65.H01 | 85 | 1 | 85 |
| 65.H02 | 86 | 2 | 86 |
| 65.H03 | 87 | 3 | 87 |
| 65.H04 | 88 | 4 | 88 |
| 65.H05 | 89 | 5 | 89 |
| 65.H06 | 90 | 6 | 90 |
| 65.H07 | 91 | 7 | 91 |
| 65.H08 | 92 | 8 | 92 |
| 65.H09 | 93 | 9 | 93 |
| 65.H10 | 94 | 10 | 94 |
| 65.H11 | 95 | 11 | 95 |
| 65.H12 | 96 | 12 | 96 |
| 65.H13 | 97 | 13 | 97 |
| 65.H14 | 98 | 14 | 98 |
| 65.H15 | 99 | 15 | 99 |
| 65.H16 | 100 | 16 | 100 |
| 65.H17 | 101 | 17 | 101 |
| 65.H18 | 102 | 18 | 102 |
| 65.H19 | 103 | 19 | 103 |
| 65.H20 | 104 | 20 | 104 |
| 65.H21 | 105 | 21 | 105 |
| 65.H22 | 106 | 22 | 106 |
| 65.H23 | 107 | 23 | 107 |
| 65.H24 | 108 | 24 | 108 |
| 65.H25 | 109 | 25 | 109 |
| 65.H26 | 110 | 26 | 110 |

非根读取态 $1,\ldots,24$ 的尾长依次为

$$
(4,2,1,1,6,1,1,4,2,1,1,6,1,1,4,2,1,1,2,6,1,1,8,1),
\tag{65.6}
$$

总和为五十九。每个目标只有一条所列尾链；入口可以相同，也可以进入已收费的短后缀。所有后继均为表内状态号，没有免费跳转或隐含派发器。

### 65.5 全部初始化路径、正确性与达到的费用

**定理 65.14（新表的完整实现）。** 定义65.13从同一个零态和来源 $s=x$ 开始，对全部二十七个原输入正确有限终止；全部一百一十一态可达，读取数直方图为三读三个、四读八个、五读十六个，最坏累计等待十五。其最坏五读达到本模型的最少读取数。

证明。每条等待行都将来源加一，并走向同目标的下一距离；读取保持来源。故在每个原子边界归纳得到 $s=[x+E]_{27}$。下面列出每个输入的所有读取态、累计等待、实际来源和真实数字；每两个相邻 $E$ 的差给出表65.34中恰好执行的单位动作数。由该表与不变量可唯一复原每个中间相位，不需要外部程序或数据。

**表 65.36（二十七条完整读取路径及终止标签）。**

| 65.完整路径 | 原输入 x | 全部读取态 | 各次 E | 各次 s | 各次数字 | 终止态 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 65.P00 | 0 | $0,1,2,3,4$ | $0,4,6,7,8$ | $0,4,6,7,8$ | $0,0,0,0,0$ | 84 |
| 65.P01 | 1 | $0,1,2,3,4$ | $0,4,6,7,8$ | $1,5,7,8,9$ | $0,0,0,0,1$ | 85 |
| 65.P02 | 2 | $0,1,2,3$ | $0,4,6,7$ | $2,6,8,9$ | $0,0,0,1$ | 86 |
| 65.P03 | 3 | $0,1,2,23$ | $0,4,6,14$ | $3,7,9,17$ | $0,0,1,1$ | 87 |
| 65.P04 | 4 | $0,1,2,23,24$ | $0,4,6,14,15$ | $4,8,10,18,19$ | $0,0,1,2,2$ | 88 |
| 65.P05 | 5 | $0,1,5,6,7$ | $0,4,10,11,12$ | $5,9,15,16,17$ | $0,1,1,1,1$ | 89 |
| 65.P06 | 6 | $0,1,5,6,7$ | $0,4,10,11,12$ | $6,10,16,17,18$ | $0,1,1,1,2$ | 90 |
| 65.P07 | 7 | $0,1,5,6$ | $0,4,10,11$ | $7,11,17,18$ | $0,1,1,2$ | 91 |
| 65.P08 | 8 | $0,1,5$ | $0,4,10$ | $8,12,18$ | $0,1,2$ | 92 |
| 65.P09 | 9 | $0,8,9,10,11$ | $0,4,6,7,8$ | $9,13,15,16,17$ | $1,1,1,1,1$ | 93 |
| 65.P10 | 10 | $0,8,9,10,11$ | $0,4,6,7,8$ | $10,14,16,17,18$ | $1,1,1,1,2$ | 94 |
| 65.P11 | 11 | $0,8,9,10$ | $0,4,6,7$ | $11,15,17,18$ | $1,1,1,2$ | 95 |
| 65.P12 | 12 | $0,8,9,23,24$ | $0,4,6,14,15$ | $12,16,18,26,0$ | $1,1,2,2,0$ | 96 |
| 65.P13 | 13 | $0,8,9,23$ | $0,4,6,14$ | $13,17,19,0$ | $1,1,2,0$ | 97 |
| 65.P14 | 14 | $0,8,12,13,14$ | $0,4,10,11,12$ | $14,18,24,25,26$ | $1,2,2,2,2$ | 98 |
| 65.P15 | 15 | $0,8,12,13,14$ | $0,4,10,11,12$ | $15,19,25,26,0$ | $1,2,2,2,0$ | 99 |
| 65.P16 | 16 | $0,8,12,13$ | $0,4,10,11$ | $16,20,26,0$ | $1,2,2,0$ | 100 |
| 65.P17 | 17 | $0,8,12$ | $0,4,10$ | $17,21,0$ | $1,2,0$ | 101 |
| 65.P18 | 18 | $0,15,16,17,18$ | $0,4,6,7,8$ | $18,22,24,25,26$ | $2,2,2,2,2$ | 102 |
| 65.P19 | 19 | $0,15,16,17,18$ | $0,4,6,7,8$ | $19,23,25,26,0$ | $2,2,2,2,0$ | 103 |
| 65.P20 | 20 | $0,15,16,17$ | $0,4,6,7$ | $20,24,26,0$ | $2,2,2,0$ | 104 |
| 65.P21 | 21 | $0,15,16,5,19$ | $0,4,6,12,14$ | $21,25,0,6,8$ | $2,2,0,0,0$ | 105 |
| 65.P22 | 22 | $0,15,16,5,19$ | $0,4,6,12,14$ | $22,26,1,7,9$ | $2,2,0,0,1$ | 106 |
| 65.P23 | 23 | $0,15,20,21,22$ | $0,4,10,11,12$ | $23,0,6,7,8$ | $2,0,0,0,0$ | 107 |
| 65.P24 | 24 | $0,15,20,21,22$ | $0,4,10,11,12$ | $24,1,7,8,9$ | $2,0,0,0,1$ | 108 |
| 65.P25 | 25 | $0,15,20,21$ | $0,4,10,11$ | $25,2,8,9$ | $2,0,0,1$ | 109 |
| 65.P26 | 26 | $0,15,20$ | $0,4,10$ | $26,3,9$ | $2,0,1$ | 110 |

逐行将真实数字代入表65.33，恰好选择相应的等待入口或末列 $84+x$。这些行分为以下有明确来源意义的情况。写 $x=9b+u$，$b=0,1,2$。未修改的 $u=0,1$ 依次在 $E=0,4,6,7,8$ 读取，其数字为 $b,b,b,b,[b+u]_3$；$u=2$ 在 $E=7$ 停止。未修改的 $u=5,6$ 依次在 $E=0,4,10,11,12$ 读取，数字为 $b,[b+1]_3,[b+1]_3,[b+1]_3,[b+u-4]_3$；$u=7$ 在 $E=11$、$u=8$ 在 $E=10$ 停止。相应阈值行按包含 $u$ 的孩子进入所列固定标签。

输入三、四依次到读取态 $0,1,2,23$，输入十二、十三依次到 $0,8,9,23$，两组都在 $E=0,4,6,14$ 读取。态二十三分别观察 $(17,18)$ 和 $(26,0)$ 的物理值，所以第一组数字为一、二，第二组为二、零。其字面读取行是

$$
(R_{23}[0],R_{23}[1],R_{23}[2])=(97,87,83),
\qquad W_{83}\longrightarrow R_{24},
\qquad(R_{24}[0],R_{24}[1],R_{24}[2])=(96,84,88).
\tag{65.7}
$$

三直接到 $H_3=87$，十三直接到 $H_{13}=97$。共同数字二的后继始终是同一个 $W_{83}$，执行一次真实增量后到同一个 $R_{24}$。在 $E=15$，四的来源为十九、数字二，十二的来源为零、数字零，分别进入 $H_4=88,H_{12}=96$。这两条延续在分析上已经各为单点，但实际的解析读取与单位等待仍全部收费。

输入二十一、二十二依次到 $0,15,16,5,19$，累计等待 $0,4,6,12,14$；在 $R_5$ 的来源六、七均给数字零，固定后继 $66$ 执行两次增量，经 $65$ 到 $R_{19}$，最终来源八、九给数字零、一，输出 $H_{21},H_{22}$。同一个 $R_5$ 在本位 $E=10$ 承载输入五至八，来源十五至十八只用数字一、二。两种用途都从状态三十八进入同一六步尾链，经 $38,37,36,35,34,33$ 到五；不是把分别可行的等待作数值相加。

以上情况恰覆盖二十七个输入。所有读间差为正，末读后立即进入正确固定标签；每行有限、至多五读，最大 $E=15$。每个读取态有表中实际出现，每条最长尾入口都有输入经过，故其全部单位位置可达；每个 $H_x$ 由输入 $x$ 到达。于是名义与可达费用均为 $25+59+27=111$。完整逐状态访问合计四百三十八个事件，其中包括二十七个终止访问；来源动作 $R/W$ 合计四百一十一次，不把停机访问误称为来源动作。

最后，首读每个纤维有九个候选；固定完整历史中的下一读取至多二分，这是引理55.3的同端口平移关系。若总读取至多四，则首读后至多三次二元读取，至多八个叶，不能给九个不同固定原标签。故至少有输入需要五读，本表达到。读取下界不限制实际控制图的共享或环。$\square$

### 65.6 最少读取态不强制二元出现单射

**命题 65.15（五读最少读取态处的实际二元共享）。** 在 $p=3,P=9$ 的共同初始化模型中，正确控制器至少需要二十五个可达读取态。定义65.13以二十五个读取态、至多五读达到该读取态下界，却把两条不同的分析二元出现放在同一读取态二十三。因此“每张达到最少读取态数的五读正确表都保持二元出现单射”这一断言为假。

证明。复用定理56.3的实际槽计数，并明确它不以二元宿主单射为前提。令 $U$ 为实际活动槽数，$U_1$ 为全局只具有一个下一数字槽的活动槽数，$Z$ 为未用数字槽数，$H$ 为非根使用槽的入度超额总和。每个原输入恰有一个最终槽，不同原输入不能共用该槽，故终止槽恰二十七个。根的三个槽没有入边，其他使用槽均有入边；活动槽平移一个数字块后，下一数字槽数为一或二。因此

$$
3r=U+27+Z,\qquad
2U-U_1=U+27-3+H,\qquad
3r=51+H+U_1+Z.
\tag{65.8}
$$

每个非根读取目标的三个数字若无空槽、无入度超额且无全局一出边前驱，就必须被互不交的二点对恰好覆盖，奇数三使此事不可能。对所有目标求和，$H+U_1+Z\ge r-1$，故 $3r\ge50+r$，即 $r\ge25$。若起点有共同等待，按引理56.2删前缀并旋转标签，读取态数不变，结论同样成立。实际有向槽图的环、重复访问和单点延续均已包含在不同边计数中。

对定义65.13只作分析展开：沿完整历史条件化原标签，一旦候选成为单点便停止分析，保留此前全部一元读取。三个九叶树各有八个二元出现，因为一元、二元、叶数 $n_1,n_2,n_0$ 满足 $n_1+2n_2=n_1+n_2+n_0-1$。共二十四个二元出现占二十三个实际宿主：每个非根读取态 $1,\ldots,23$ 各有一个本位二元出现，二十三额外承载另一纤维的二元出现；二十四仅服务实际单点解析，再加共同根，读取态总数二十五。

特别，态二十三的两条二元出现原输入为 $\{3,4\}$ 与 $\{12,13\}$，实际支持为 $\{17,18\}$ 与 $\{26,0\}$，数字支持为 $\{1,2\}$ 与 $\{2,0\}$。物理支持不交而数字二重叠；式（65.7）给该重叠槽唯一且正确的共同延续。其两个实际前驱槽为 $(2,1),(9,2)$。态五的本位二元出现与 $\{21,22\}$ 的一元出现来自 $(1,1),(16,0)$，同样逐字兼容。态二十四只由 $(23,2)$ 进入，使用数字零、二。相应 $A_q,Z_q$ 分别为 $(2,0),(2,0),(1,1)$，三者均满足 $A_q+Z_q=2$。$\square$

这个反例针对“每张最少读取态表”的全称断言。其总费一百一十一大于已有一百零五；它没有否定“某个总容量最优者可能另有保持最优费用的特殊正规形”这一存在性命题，也没有为该命题提供证明。

### 65.7 任意一元宿主下的五读单射二元障碍

**定义 65.16（二元出现单射的作用域）。** 固定 $p=3,P=9,M=27$，要求正确共同初始化、驻定总表及每条执行至多五读。按引理56.2处理共同初始等待后，将全部执行按完整读取历史展开，得到三个首读纤维；原标签一旦成为单点，只在分析树中截断其后代。每个保留读取节点含进入等待、原候选集、实际目标态和完整相位。节点恰有两个非空数字孩子时称二元出现。称控制器满足二元出现单射，若这三个树的全部二十四个二元出现到实际读取态的映射是单射。

此条件只限制二元出现的宿主身份。任意一元出现可以共用宿主或占据兼容的已用槽；原控制器可以在单点后继续，另设读取态，或在不同相位回访非根读取态。读取图可以有环。分析截断不是删除控制器状态或免费改变其路径的操作。该类包含定义63.14，但不要求其一元单射安装语法。

先列明必要的公开有限结果及其使用方向。定义63.16、命题63.17枚举的对象是原低位区间 $[l,u)\subseteq[0,9)$、偏移 $e\bmod9$、剩余读取数 $j\le4$ 上的有序树。非单点节点遍历 $d=1,\ldots,9$，按

$$
I_z=\{y\in[l,u):\lfloor(y+e+d)/9\rfloor=z\},
\qquad e'=[e+d]_9
\tag{65.9}
$$

取全部非空孩子。单点即叶，一元孩子同样消耗一次读取。命题63.17的完整证书给八千九百一十棵有序树、四千五百零八个延迟谱，每纤维二元等待和至少十七。表63.31—63.33中二元和至多十八的全部九行在下面保留完整等待多重集和树码。`*` 表示单点，`d(T)` 表示一元读取，`d(T0,T1)` 表示二元读取；孩子按整商递增排列。每行树重数均为一。

**表 65.37（公开九谱及其完整树码的本节对照）。**

| 65.谱对照 | 公开谱 | 八个二元等待 | 全部一元等待 | 二元和 | 最大二元等待 | 长七二元个数 | 完整公开树码 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 65.S01 | 63.S01 | $1,1,1,1,1,1,5,6$ | $7$ | 17 | 6 | 0 | `5(1(1(1(*,*),*),*),6(1(1(*,*),*),7(1(*,*))))` |
| 65.S02 | 63.S02 | $1,1,1,1,1,2,4,6$ | $7$ | 17 | 6 | 0 | `4(2(1(1(*,*),*),7(1(*,*))),6(1(1(*,*),*),*))` |
| 65.S03 | 63.S03 | $1,1,1,1,1,2,4,7$ | $7,7$ | 18 | 7 | 1 | `4(2(1(1(*,*),*),7(1(*,*))),7(1(*,*),7(1(*,*))))` |
| 65.S04 | 63.S04 | $1,1,1,1,1,2,4,7$ | $7,7,9$ | 18 | 7 | 1 | `4(2(1(1(*,*),*),7(1(*,*))),7(9(1(*,*)),7(1(*,*))))` |
| 65.S05 | 63.S05 | $1,1,1,1,1,2,5,6$ | $6$ | 18 | 6 | 0 | `5(1(1(1(*,*),*),*),6(1(1(*,*),*),6(2(*,*))))` |
| 65.S06 | 63.S06 | $1,1,1,1,1,2,5,6$ | $7,7$ | 18 | 6 | 0 | `5(2(1(*,*),7(1(*,*))),6(1(1(*,*),*),7(1(*,*))))` |
| 65.S07 | 63.S07 | $1,1,1,1,1,2,5,6$ | $7,7,9$ | 18 | 6 | 0 | `5(2(9(1(*,*)),7(1(*,*))),6(1(1(*,*),*),7(1(*,*))))` |
| 65.S08 | 63.S08 | $1,1,1,1,1,3,3,7$ | $6$ | 18 | 7 | 1 | `3(3(1(1(*,*),*),7(1(*,*),*)),6(1(1(*,*),*)))` |
| 65.S09 | 63.S09 | $1,1,1,1,2,2,4,6$ | $6$ | 18 | 6 | 0 | `4(2(1(1(*,*),*),6(2(*,*))),6(1(1(*,*),*),*))` |

在实际控制器的分析树中，把每个正等待 $\delta$ 换成 $\bar d=1+((\delta-1)\bmod9)$，只会在各后代旋转数字名称，保留原标签分割、孩子次序、一元／二元性及读取深度。相邻整商模三后仍不同，故不会把两个孩子误合。所得必在上述有限树目录中；这给必要投影，绝不是对共享驻定表的合法模九改写。命题63.17承担目录完整性与最小值，本节只需重新展开九条低谱树的局部事实。

仅有谱的数值尚不够；关键前驱确实必须是二元节点。以树根为 $\epsilon$，低、高清晰孩子记为零、一，以下完整数据可直接在表65.37的树码中读取。物理相位列取首读纤维零；纤维 $b$ 时全部物理值加 $9b$ 后模二十七。所列累计等待先指这棵归约树，尚未被当作原表实际延迟。

**表 65.38（两个关键一元需求和三个原生长七宿主）。**

| 65.前驱事实 | 公开树 | 节点地址及类型 | 原低位候选 | 进入等待 | 父地址及类型 | 父读取 E | 本次读取 E | 这些候选在父处／本次的完整相位 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 65.K01 | 63.T01 | $11$，一元 | $\{7,8\}$ | 7 | $1$，二元 | 11 | 18 | $(18,19)/(25,26)$ |
| 65.K02 | 63.T02 | $01$，一元 | $\{3,4\}$ | 7 | $0$，二元 | 6 | 13 | $(9,10)/(16,17)$ |
| 65.K03 | 63.T03 | $1$，二元 | $\{5,6,7,8\}$ | 7 | $\epsilon$，二元 | 4 | 11 | $(9,10,11,12)/(16,17,18,19)$ |
| 65.K04 | 63.T04 | $1$，二元 | $\{5,6,7,8\}$ | 7 | $\epsilon$，二元 | 4 | 11 | $(9,10,11,12)/(16,17,18,19)$ |
| 65.K08 | 63.T08 | $01$，二元 | $\{3,4,5\}$ | 7 | $0$，二元 | 6 | 13 | $(9,10,11)/(16,17,18)$ |

例如63.T01的父节点 $1$ 对五个候选 $4,5,6,7,8$ 在累计十一读取，按数字分出 $\{4,5,6\}$ 与 $\{7,8\}$，后者等七才作一元读取。63.T02的父节点 $0$ 对 $0,\ldots,4$ 在累计六二分，右孩子 $\{3,4\}$ 等七。63.T03、63.T04的根以等待四把九点分成五点、四点，右孩子本身等七作二元读取，故该长七目标的原生前驱是第三纤维的一个二元读取态。63.T08的节点 $0$ 在累计六把六点分为两个三点支，其右支等七到达所列唯一长七二元目标。这些都是树的实际父子关系，不是把“一个需求”直接当成“一个不同槽”。

**定理 65.17（三进九点、至多五读、二元出现单射者至少一百零五态）。** 每个满足定义65.16的控制器，其实际可达状态总数至少一百零五，因而全部名义状态数也至少一百零五。任意一元宿主、单点延续、额外读取态及终止的初始化循环均在量词内。

证明。先处理允许的正规化。若首读前共有 $\ell$ 个等待态，全部输入在那里依次平移，故每个前缀态及第一读取态 $q_0$ 的首访都遍历全部二十七个物理值。正确固定解码与有限终止禁止两个不同输入共享联合配置，也禁止一个输入重访非终止联合配置。因此前缀态和 $q_0$ 均不会在后来回访。删除前缀，以 $q_0$ 开始，并把旧终止输出加 $\ell\pmod{27}$，使新输入 $x$ 对应旧输入 $x-\ell$ 的后续；这是必要的循环标签重标。合法词、读取预算和二元宿主单射保留，可达费用不增。

还可按定理56.8删除未达状态、合并同固定标签终止态和同“目标、剩余距离”的等待态，并把正等待取模二十七的代表 $1,\ldots,27$。读取时的联合配置、数字、原标签及读取次数保留，读取态身份不合并；二元出现及其单射性质也保留。未用槽指向已有零标签以保持总性。证明以下直接数实际最长进入链，故即使不作这些额外压缩，不等式也仍成立。只需对费用不大的规范代表反证，再将下界送回原表。

三个分析树各有九个叶，至多四层后首读，一元节点保留，故各恰有八个二元出现。令 $B$ 为这二十四个出现的实际正进入等待之和，写 $r=25+e$。二元单射使它们的二十四个非根读取目标互异；各目标的最长实际尾链至少为该出现的进入等待，不同目标的尾链不交。其余 $e$ 个可达读取目标也各须自己的正等待尾链，至少一个状态。终止解码至少收费二十七态，遂有

$$
w\ge B+e,\qquad
C\ge27+(25+e)+(B+e)=52+B+2e.
\tag{65.10}
$$

任意一元出现或单点延续若装到这些目标，只会提高所需最长尾链，不能减掉已经计入的二元等待；如果占其他读取态，就已经落在 $e$ 中。读取图的环也不能使不同目标共享一个等待态，或使一条纯等待链循环后仍首次到达读取。式（65.10）因此不依赖一元单射安装或无环假设。

模九投影与命题63.17给 $B\ge17+17+17=51$。反设 $C\le104$，则式（65.10）强制 $e=0$ 且 $B\in\{51,52\}$。若任一个二元实际等待含额外九的倍数，则 $B\ge51+9=60$，已矛盾。因此二元实际等待等于其正模九代表。$B=51$ 时三个纤维都来自63.S01、63.S02；$B=52$ 时是两个此类纤维和一个和为十八的纤维。

在使用关键一元需求之前，还必须排除它们的实际提升。现在 $r=25$，所有二十四个非根读取态都是二元原生宿主，没有新读取态可容纳一元者。对每个目标记原生二元进入等待为 $l_q$，最长实际尾长为 $L_q\ge l_q$，于是 $\sum l_q=B$。若 $B=51$，原生 $l_q\le6$，且

$$
\sum_{q\ne q_0}(L_q-l_q)\le w-B\le104-52-51=1.
\tag{65.11}
$$

若 $B=52$，原生 $l_q\le7$，同一扩尾和至多零。因此两种情况的所有实际尾长都至多七，所有实际进入等待也至多七，包含任意一元和单点继续的进入等待。归约为七的一元需求只能实际等七，不能等十六或二十五；归约为九的需求更不可能出现在这个反设中。只有经过这一步，表65.38的关键等待与相位才能回接到同一实际图。

在 $r=25$ 处，定理58.2的实际槽恒等式给每个非根目标

$$
A_q+Z_q=2,
\qquad A_q\le2.
\tag{65.12}
$$

其假设映射与命题65.15一致：三个根槽无入边，终止槽恰二十七，活动槽全局出度至多二。该处非负整数剩余 $b_q$ 的和为 $r-25=0$，故逐目标为零。$A_q$ 数的是不同实际前驱读取态与数字组成的槽，而不是匿名历史、一元需求数或访问重数。

若 $B=51$，三个纤维各有表65.38中的一个关键长七一元需求，其直接父亲为二元出现。任一个需求都必须使用一个至少长七的实际尾；原生尾最长六，式（65.11）至多允许一次单位扩尾。因此三个需求被迫全到同一个由原生六扩到七的宿主 $q$。它们的父二元出现分别来自三个不同首读纤维；二元单射使这三个实际父读取态互异，无论其实际数字是否相同，三个有序前驱槽都不同。因此 $A_q\ge3$，违反式（65.12）。

若 $B=52$，两个和为十七的纤维各给一个关键长七一元需求，且没有任何扩尾预算。第三纤维只能提供原生长七目标。表65.37显示63.S05、63.S06、63.S07、63.S09均没有这种目标；63.S03、63.S04、63.S08各恰有一个。故只剩后一组三种可能，两个关键需求都被迫到其唯一长七宿主 $q$。该宿主还必须接收第三纤维的原生二元出现；表65.38逐项证明其原生父亲也是第三纤维内的二元出现。两个关键需求的父亲和这个原生父亲来自三个不同纤维，二元单射再次给三个互异实际父读取态，故三个不同实际前驱槽都指向 $q$，即 $A_q\ge3$。其他一元需求只能增加限制，不能消去这三条真实入槽，仍与式（65.12）矛盾。

两种可能都被排除；$B\ge53$ 本已由式（65.10）给至少一百零五。规范代表因此至少一百零五，原表可达费用不小于它，结论成立。该证明只使用公开目录作为必要投影，费用与前驱槽始终属于同一实际表。$\square$

### 65.8 必要共享机制及物理边界装箱的归属

**推论 65.18（三进九点、至多五读的小容量候选必须共享二元历史）。** 在 $p=3,P=9$ 的完整共同初始化模型中，任何正确且每条执行至多五读、总名义容量至多一百零四的控制器，必须将两条不同的分析二元出现放在同一个实际读取态。该必要条件不保证这种容量的控制器存在，也不证明任意一种二元共享足够。

证明。若二元出现单射，定理65.17给可达费用至少一百零五，与名义容量至多一百零四矛盾。$\square$

五读条件不能省略。定理56.4在 $p=3,P=9$ 的连续取得表有二十五个读取态、二十四个等待态和二十七个终止态，共七十六态，最坏九读。其奇数着色参数 $(p-1)/2=1$，每个 $(b,t)$ 独占一色，所以二十四个后首读二元出现恰占二十四个不同读取态。这是对没有读取限制的“一百零四以下必二元共享”说法的直接反例，不涉及本推论的五读量词。

**推论 65.19（归属于既有支持分离与槽单射的边界数上界）。** 对整数基 $p\ge2,k\ge0,P=p^k$ 的任意正确有限终止共同初始化控制器，一个实际读取态至多承载 $p$ 个首读以后的分析二元出现。这里分析在原标签单点时截断；每个被计出现的精确读取前物理支持必须是至多 $P$ 个连续整数点的循环区间。这个支持性质由同源完整历史条件化推出，不是任取一个外包区间。结论不另要求读取深度或控制图无环。

证明。首读条件化给一个完整数字块；以后每个完整读后历史的支持仍为所在数字块中的精确区间，固定平移后再按真实数字切开保持此性质。故下一读取前支持是至多 $P$ 点的循环区间。一次二元读取跨过且只跨过一个物理数字边界，并同时含相邻物理点 $[jP-1]_M,[jP]_M$。

同一读取态的两个不同完整出现，其物理支持不交：相交会让不同原输入共享同一确定未来，或让同一输入重访非终止联合配置，分别违反正确固定输出与终止。这正是引理56.2、定理58.6的精确支持分离。两条二元区间若跨同一边界，就都含该相邻点对，矛盾。按所跨边界赋值因此单射，物理边界共 $p$ 个，得到上界。$P=1$ 时首读已成为单点，后续被计二元出现为空。$p=2$ 时两个物理循环边界不同，即使它们的无序数字对都叫 $\{0,1\}$，也不可据数字名称将它们合并；首次读取本身不满足至多 $P$ 点的支持假设，未被计入。$\square$

这是既有区间切口与支持分离的短推论，不是新的通用编译器。另由定理64.12的同一切口证明，每个目标处的二元出现单射到其实际前驱槽，所以二元出现数也至多 $A_q\le\lceil p/2\rceil+b_q$。在本节 $p=3,P=9,r=25$ 处，该界为二，比边界数三更强；定义65.13的态二十三恰达到二。公开命题57.14及表57.EX112在 $p=3,P=9,r=26$ 处达到一般边界数三。两例只给这两个参数与预算下的达到事实，不主张所有参数或饱和读取预算都能达到 $p$。

### 65.9 来源、验证范围与剩余容量问题

本节的既有数学输入统一取自[固定公开版本8ebc14cea972e6302ec8b6e5c32a3a1ed217d33e的本卷](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/8ebc14cea972e6302ec8b6e5c32a3a1ed217d33e/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md)。定义55.1、56.1提供同一来源、合法动作和固定终止解码；引理55.3提供条件二元读取界；引理56.2、定理56.3、56.8提供配置分离、实际槽计数及全模尾链正规化。定义57.12是本节一百二十四态种子的唯一来源，表57.EX111、57.EX112只用于所述旧构造比较。定理58.2、58.6、58.8及第60.6节分别提供关联剩余、精确支持和固定行为闭合；定义63.16、命题63.17与表63.31—63.33提供分析树的完整九谱证书；定理64.12提供二元前驱槽单射，定理64.20与定义62.14、定理62.15提供现有全模型下端和上端。

三处原文的适用条件必须一并保留。定理56.8写“这里必须模 $M=pP$，不能只模 $P$”；定理62.12对共同请求要求“终止态身份相同，或目标读取态与正延迟均相同”；第58.4节写“这里‘精确’不能换成包含实际支持的任意超集”。本节的实际表分别使用完整模二十七、式（65.7）的同一个真实等待后继、由全输入路径取得的精确物理支持。模九只用于定理65.17的必要目录投影，恢复实际一元等待之前先用费用排除整九提升。参数化替换是明确改变行为的重综合，不冒用固定行为商的保词结论。

有限核对覆盖定义65.13的全部一百一十一行、七十五个读取槽及全部二十七输入，每个原子访问检查来源、后继、标签、读间正等待和可达性；结果为 $25R,59W,27H$，四百三十八个含终止访问事件，读数分布 $(3:3,4:8,5:16)$，最大等待十五。另在 $p=3,4,5,6,7$、$k=1,2$、每个循环 $a$、$d_0,d_1\in\{1,2,3,8,11\}$ 上检查一千二百五十组局部合同、五千条入口路径，包含循环回绕、不等等待与零节省边界。这些局部路径检查的是部件入口合同，不宣称每组参数都已装成新的完整初始化控制器。九条公开低谱树逐节点复算其等待谱、二元父亲及关键相位；八千九百一十树、四千五百零八谱的完整性直接复用命题63.17，没有把九条局部复算冒称全枚举。

一般局部替换由定理65.12的参数化证明承担；定理65.17的受限类下界由费用、目录覆盖和实际三前驱矛盾承担，有限运行不替代这些一般论证。所得均为普通数学推导，没有 Lean/kernel 核验或原创性主张。

现在仍只有

$$
96\le C_B(3,2)\le105.
\tag{65.13}
$$

一百零五下界只覆盖二元出现单射的五读三进九点控制器。新的一百一十一态见证说明即使读取态数已最少，真实二元共享与收费单点解析仍可能发生；它没有改进全模型上端。九十六至一百零四态是否存在、任意二元共享下能否建立达到的统一下界，以及一般 $C_B(p,k)$ 的精确值仍未解决。来源中的边界位置、实际等待和固定控制记忆在本节只能按已证明的接口互相配合恢复原标签，长期的空间、时间、边界与记忆关系恢复目标保持未完成。

## 65.99 追加锚

## 66. 带守卫字面循环的入口瓶颈与计费等待

一个正确初始化的单位读取自环，在其继续数字块内至多接受一个从其他槽进入的实际相位。两个不同入口即使到达相位不交，仍可能因后续被同一张表强制推进而碰撞。下面把这一障碍推广到任意实际活动槽组成的字面循环词，给出依赖完整模 $M$ 增益、读取索引及同一组等待尾资源的必要条件。另给一张 $28R+117W+27H=172$ 的完整表：全部输入恰用最优五读，其中确实遍历单位自环，入口界取等。它是直接的机制示例；已有全模型区间 $96\le C_B(3,2)\le105$ 不变。

### 66.1 同一个原控制器及其实际槽

**定义 66.11（保留初始前缀的共同来源合同）。** 固定整数 $p\ge2,k\ge0,h\ge1$，置 $P=p^k,M=pP$。对任意整数 $z$，$[z]_M$ 为其非负模代表。取定义56.1意义下一个正确、有限、驻定、确定的总控制器 $K$：全部 $x\in\mathbb Z/M\mathbb Z$ 从同一个来源无关的控制态、物理来源 $s=x$ 开始；等待态执行一次 $W:s\mapsto s+1$ 后按固定后继转移；读取态执行不改变来源的 $R$，按实际数字

$$
d(s)=\left\lfloor\frac{[s]_M}{P}\right\rfloor
\tag{66.41}
$$

选择固定后继；终止态单独输出固定数值，正确输出须为原始 $x$。每条实际路径有限、至多 $h$ 读，来源动作词属于 $`W^*R(W^+R)^*`$，末读后立即停止。所有名义态均计入 $N$，包括未达态、终止态、控制前缀、等待位置与内部计数。没有来源相关准备、免费时钟、表外相位寄存器、复位、复制、逆步或终止时刻侧信道。任意共享、一元读取、单点后继续、额外读取态和在初始化路径上终止的控制环均允许。

共同首读态记为 $q_{\rm init}$，首读前实际等待长为 $\ell\ge0$；这里保留它，不更换 $K$ 或重标终止输出。$r$ 数实际可达读取态。令 $S_{q,i}$ 为所有原输入在第 $i$ 次实际读取到达 $q$ 的精确物理相位集，$S_q=\bigcup_{i=1}^hS_{q,i}$。数字块为

$$
B_a=\{aP,aP+1,\ldots,(a+1)P-1\}\subseteq\mathbb Z/M\mathbb Z,\qquad 0\le a<p.
\tag{66.42}
$$

实际使用且不立即停止的槽 $v=(q,a)$ 称实际活动槽。它的固定后继沿一条正长纯等待链到下一读取态 $\tau(v)$，实际整数长度为 $\delta(v)>0$；否则该槽的真实使用会违反终止或合法动作词。置 $S_v=S_q\cap B_a$、$A_v=S_v+\delta(v)$。集合加减在完整群 $\mathbb Z/M\mathbb Z$ 中进行，$S_v$ 非空，且 $A_v$ 是同一槽全部实际使用的下一读取到达集。实际等待和容量始终取整数，不以模 $P$ 或模 $M$ 的短代表代替。

### 66.2 联合事件分离与原表上的资源注入

**引理 66.12（唯一事件、互斥到达与前缀收费）。** 一个实际非终止联合配置 $(q,s)$ 确定唯一原输入和唯一访问出现。不同实际活动槽 $u,v$ 若有同一目标，则 $A_u\cap A_v=\varnothing$。$q_{\rm init}$ 没有实际进入槽；每个其他可达读取态都有实际进入槽。定义

$$
L_q=\max_{\tau(v)=q}\delta(v)\ge1\quad(q\ne q_{\rm init}),\qquad
E_K=\sum_{q\ne q_{\rm init}}(L_q-1),
\tag{66.43}
$$

则原控制器满足

$$
N\ge M+r+\ell+\sum_{q\ne q_{\rm init}}L_q
 =M+2r-1+\ell+E_K.
\tag{66.44}
$$

证明。重复的非终止联合配置有相同确定未来。同一输入若重复它，就不能有限停止；不同输入若共享它，就会得到相同固定终止输出。因此它只能对应一个输入的一次出现。两个不同进入槽的到达若相交，就得到同一下一读取事件；该事件的紧前读取及所选槽唯一，与两个槽不同矛盾。这也覆盖不同读取索引以及合流的等待尾。

首读前没有来源信息，故其控制路径与输入无关。前缀若重复一个等待态，固定等待后继就再也到不了首读，所以这 $\ell$ 个态互异。每个前缀位置及首读时的物理来源分别为 $x+j$ 和 $x+\ell$；遍历全部 $x$ 时都覆盖全部 $M$ 个相位。后续若再到任何一个这样的控制态，就与某个已有联合事件重合。因此前缀态及首读态以后均不可到达，特别首读态无实际进入槽。其余可达读取态的每次到达都由此前某个读取槽经正等待给出。

对每个其他目标 $q$ 选一条长度 $L_q$ 的实际进入链。其 $L_q$ 个等待态互异，否则会陷入纯等待环。一个等待态的固定未来只有一个首次后续读取目标，所以不同目标的这些最长链不交；前缀态后来不可达，故也不与它们相交。同一目标内的等待共享无需被拆开，这里只注入一条最长链。再计 $r$ 个实际读取态，以及为 $M$ 个不同固定输出必需的至少 $M$ 个终止态，得到（66.44）。全部未达名义态只能增加左端。本证明是在原 $K$ 上数状态，没有调用删除前缀、压缩尾链或缩短物理等待的变换。$\square$

### 66.3 循环词的守卫与显式入口界

**定义 66.13（字面循环词及外部入口）。** 在同一个 $K$ 上，取有限词

$$
C=(v_0,\ldots,v_{m-1}),\quad m\ge1,\quad
v_j=(q_j,a_j),\quad \tau(v_j)=q_{j+1},\quad q_m=q_0\ne q_{\rm init}.
\tag{66.45}
$$

每个 $v_j$ 均为实际活动槽；读取态和槽都允许重复。词只是这组固定槽的有序列表，不假定有任何输入完整走过它。置

$$
\begin{aligned}
t_0&=0,&t_j&=\sum_{i<j}\delta(v_i),&\Delta_C&=t_m>0,&\gamma_C&=[\Delta_C]_M,\\
D_C&=\bigcap_{j=0}^{m-1}(B_{a_j}-t_j),&n_C&=|D_C|,&T_C&=S_{q_0}\cap D_C,\\
e_C&=\sum_{\substack{u\text{ 实际活动},\ \tau(u)=q_0\\u\ne v_{m-1}}}|A_u\cap D_C|,&
\nu_q(C)&=\#\{j:0\le j<m,\ \tau(v_j)=q\}.
\end{aligned}
\tag{66.46}
$$

$D_C$ 是几何守卫，$T_C$ 才是实际完整词的起点支持；非空 $D_C$ 不承诺可达。$e_C$ 只排除确切最后一个槽 $v_{m-1}$，不排除其整个源读取态或该态的其他槽。$\nu_q$ 按目标出现次数计重数，由引理66.12其目标均非首读态。不同进入槽的到达集不交，所以 $e_C$ 也就是被计入的不同实际到达相位数。

**引理 66.14（G1：守卫为单个短循环区间）。** $D_C$ 为空，或为含 $n_C\le P$ 个连续点的循环区间。

证明。第一项 $B_{a_0}-t_0$ 是一个 $P$ 点块，将它整体旋转到 $I=\{0,\ldots,P-1\}$。任何另一项也是 $P$ 个连续循环点。若它在代表区间 $[0,M)$ 内不回绕，与 $I$ 的交是普通整数区间或空集；若回绕，写起点为 $c$，则 $c\ge M-P+1\ge P+1$，因为 $M=pP\ge2P$。它的高段不与 $I$ 相交，低段与 $I$ 的交仅是一个初始区间。于是所有约束在 $I$ 内都是普通区间，有限交仍为区间或空集。$p=2$ 时上述不等式仍成立；$P=1$ 时所有非空交都是单点；重复约束或重复槽只增加同类交项。旋转回去即得结论。$\square$

**定理 66.15（G2：字面循环的外部入口瓶颈）。** 对定义66.13的每个词，

$$
e_C\le |D_C\setminus(D_C-\gamma_C)|
 =\min\{n_C,\gamma_C,M-\gamma_C\}.
\tag{66.47}
$$

若 $\gamma_C=0$，则 $T_C=\varnothing$。若 $e_C>0$，则同时有

$$
n_C\ge e_C,\qquad e_C\le[\Delta_C]_M\le M-e_C.
\tag{66.48}
$$

证明。简写 $D,T,\gamma,\Delta$。若 $s\in T$，第零个守卫迫使在 $q_0$ 读到 $a_0$，于是原固定表执行槽 $v_0$ 的那条正等待链。归纳到位置 $j$ 时，实际来源恰为 $s+t_j$，守卫迫使数字为 $a_j$，从而执行确切的 $v_j$。整词结束时到达同一读取态 $q_0$、相位 $s+\gamma$，中间每个单位增量都是原路径的一步。因此

$$
(T+\gamma)\cap D\subseteq T.
\tag{66.49}
$$

这里不是在每个位置分别挑选一个可行实现，而是同一个输入在同一张表上的连续执行。若 $\gamma=0$ 且 $T$ 非空，执行一遍便重现同一非终止联合配置，违反有限终止，所以 $T$ 必空。

令 $Z$ 为（66.46）中计数的全部外部到达相位。由精确支持，$Z\subseteq T$，且 $|Z|=e_C$。若某个 $z\in Z$ 又等于 $s+\gamma$、$s\in T$，执行刚证出的完整词会到达 $(q_0,z)$，紧前槽是 $v_{m-1}$；而 $z$ 的外部到达使用另一个槽 $u$。引理66.12的事件唯一性迫使两次到达为同一事件，随后迫使紧前槽相同，矛盾。故 $Z\subseteq T\setminus(T+\gamma)$。

有限平移是双射，故 $|T\setminus(T+\gamma)|=|T\setminus(T-\gamma)|$。若 $s\in T$ 且 $s+\gamma\in D$，（66.49）使 $s+\gamma\in T$；取逆否方向可知

$$
T\setminus(T-\gamma)\subseteq D\setminus(D-\gamma).
\tag{66.50}
$$

这就证明第一个不等式。等价地，在 $T$ 上画 $s\to s+\gamma$（仅当新相位仍在 $D$），闭合使目标仍在 $T$，平移单射使入度、出度都至多一；任何有向环会在一条原运行上强制反复执行 $C$，最终重复联合配置。因此图是有限条路径，外部到达只能占路径起点，起点数等于终点数，而终点在 $D\setminus(D-\gamma)$。

最后计算出口数。按引理66.14把 $D$ 旋转成 $\{0,\ldots,n-1\}$；空集取 $n=0$。两个循环区间的交点数为

$$
|D\cap(D-\gamma)|=\max(0,n-\gamma)+\max(0,n-(M-\gamma)).
\tag{66.51}
$$

因 $n\le P\le M/2$，从 $n$ 中减去右端恰为 $\min(n,\gamma,M-\gamma)$。式子也覆盖 $n=0$、$\gamma=0$、$p=2$ 和回绕情形，得到（66.47）；正入口时的两侧限制立即给（66.48）。本定理没有假定任意循环词都满足 $e_C>0$。$\square$

### 66.4 同一路径上的读取索引限制

**定理 66.16（G3：重复词的逐索引排斥）。** 对整数 $t\ge1$ 定义

$$
D_C[t]=\bigcap_{j=0}^{t-1}(D_C-j\gamma_C).
\tag{66.52}
$$

则每个 $1\le i\le h$ 满足

$$
S_{q_0,i}\cap D_C\left[\left\lfloor\frac{h-i}{m}\right\rfloor+1\right]=\varnothing.
\tag{66.53}
$$

此外 $T_C\ne\varnothing$ 蕴涵 $m\le h-2$。这只限制有非空实际完整词支持的词，不限制仅由实际边拼成、却没有完整词支持的名义环长。

证明。若在第 $i$ 次实际读取的相位 $s$ 属于 $D_C[t]$，则 $s+j\gamma_C\in D_C$ 对 $0\le j<t$ 成立。定理66.15的字面执行归纳先完成第一遍，再在同一条运行上依次完成后面的各遍，最终到达第 $i+tm$ 次读取。取 $t=\lfloor(h-i)/m\rfloor+1$，就有 $i+tm>h$，与预算矛盾。

若 $s\in T_C$，取其唯一实际读取索引 $i$。首读态不在词中，故 $i\ge2$；执行一遍确实到达第 $i+m$ 次读取，所以 $i+m\le h$，得到 $m\le h-2$。特别 $h=1,2$ 时实际完整循环词支持均为空。几何守卫非空但没有实际起点时，不能应用后一论断。$\square$

### 66.5 同一尾资源上的收费与分数装入

**命题 66.17（G4：一个词的超额等待收费）。** 对每个字面循环词，

$$
\max(0,e_C-m)\le\sum_{q\ne q_{\rm init}}\nu_q(C)(L_q-1).
\tag{66.54}
$$

证明。定理66.15给 $e_C\le\gamma_C\le\Delta_C$，其中 $\gamma_C=0$ 时 $e_C=0$ 也成立。每段实际等待均满足 $\delta(v_j)\le L_{\tau(v_j)}$，故

$$
e_C-m\le\sum_{j=0}^{m-1}(\delta(v_j)-1)
\le\sum_q\nu_q(C)(L_q-1).
\tag{66.55}
$$

右端非负，可把左端换成与零的最大值。这里没有把长等待减去整周期；模增益给必要入口条件，收费仍用原表的正整数。$\square$

**定理 66.18（G5：目标容量约束下的同时装入界）。** 任取同一个 $K$ 上有限个字面循环词的索引族 $\mathcal F$，及非负实权重 $\lambda_C$。若每个实际非首读目标满足

$$
\sum_{C\in\mathcal F}\lambda_C\nu_q(C)\le1,
\tag{66.56}
$$

则

$$
\begin{aligned}
E_K&\ge\sum_{C\in\mathcal F}\lambda_C\max(0,e_C-m_C),\\
N&\ge M+2r-1+\ell+
\left\lceil\sum_{C\in\mathcal F}\lambda_C\max(0,e_C-m_C)\right\rceil.
\end{aligned}
\tag{66.57}
$$

证明。将（66.54）乘 $\lambda_C$ 后求和，交换有限和；每个非负实际资源 $L_q-1$ 的系数由（66.56）至多为一，便得到第一式。$E_K$ 为整数，所以对整个和取一次上整，再代入原表的（66.44）即得第二式。重复目标必须以 $\nu_q$ 的重数收费；同一目标既不能在一个词的重复位置免费使用，也不能在多个词间重复分配完整预算。不能先分别上整每个实权贡献再求和。$\square$

这些是同一原表上的必要不等式。若另有后缀质量、关联或区间排斥给出的 $E_K$ 下界，通常只能与本界取最大值；要把它们相加，必须另证所用状态或资源部分不交，或给出共同有效的系数约束。路径上的等待总和、每目标最长等待和及全部控制容量也不能互换。

### 66.6 实际自环的严格入口与碰撞判别

**推论 66.19（实际自环必有外部入口）。** 若实际活动槽 $v=(q,a)$ 满足 $\tau(v)=q$，置

$$
e_{q,a}=\sum_{\substack{u\text{ 实际活动},\ \tau(u)=q\\u\ne v}}|A_u\cap B_a|,
\tag{66.58}
$$

则

$$
1\le e_{q,a}\le\min\{P,[\delta(v)]_M,M-[\delta(v)]_M\}
\le\delta(v)\le L_q.
\tag{66.59}
$$

证明。$q\ne q_{\rm init}$ 由引理66.12成立。对单字词，$D=B_a$，$T=S_q\cap B_a=S_v\ne\varnothing$。定理66.15证明中的有限平移图无环，所以至少有一个路径起点 $z\in T$。它的实际访问不是首读，必有紧前活动槽 $u$。若 $u=v$，其紧前来源属于 $S_v=T$，平移后到达 $z\in D$，便给起点一条入边，矛盾。因此该起点是被计入的外部到达，$e_{q,a}\ge1$。以 $n=P$ 应用（66.47），再用 $[\delta(v)]_M\le\delta(v)\le L_q$，得到完整链。这个正性证明依赖单字守卫等于整个继续数字块，不给任意长词未经证明的正入口。$\square$

**例 66.20（两个不交入口仍会被单位自环排除）。** 假设 $p=3,P=9,M=27$，某读取态 $q$ 的数字零槽固定等一再回到 $q$，并拟由两个其他实际槽分别在相位一、四进入 $q$。两入口相位本身不同，但从一开始，数字零强制依次到达二、三、四，离开 $B_0=\{0,\ldots,8\}$ 之前便撞到另一入口。若两入口属于不同输入，就有相同确定未来却要求不同原标签；若属于同一输入，事件唯一性仍禁止它成为另一个访问，而同一事件又不能兼有两个不同紧前槽。数值上拟议 $e\ge2$，而（66.59）给 $e\le1$。

这只是对一个明确假设图案的不可实现判别，不是一张正确控制器，也不通过定理58.8、60.9的完整闭合语义。到达集两两不交只查入口，尚未检查被固定后继强制出来的整段未来。

### 66.7 最优五读内实际遍历自环的完整一百七十二态表

**定义 66.21（三个数字副本的符号总表）。** 固定 $p=3,P=9,M=27$。读取态为共同起点 $S$ 和

$$
A_b,B_b,C_b,D_b,T0_b,T1_b,T2_b,T3_b,Q_b\qquad(b=0,1,2).
\tag{66.60}
$$

恰有固定终止态 $H_x$（$0\le x<27$），输出 $x$，形式后继为自身。每个非初始读取态 $q$ 有独立的单位等待尾 $W(q,j)$，$1\le j\le L_q$；不同目标的状态名不相交。$W(q,j)$ 执行一次真实增量后，在 $j=1$ 时进入 $q$，否则进入 $W(q,j-1)$。简写 $\langle q,j\rangle=W(q,j)$。起点的三个槽为 $S[b]=\langle A_b,1\rangle$。下表每行对三个 $b$ 各实例化一次，给其尾长和全部数字后继；数字偏移模三，输出 $9b+u$ 中的 $b$ 取非负代表。

**表 66.31（全部非初始读取行及尾长）。**

| 66.读取族 | $L_q$ | 数字 $b$ | 数字 $[b+1]_3$ | 数字 $[b+2]_3$ |
| --- | ---: | --- | --- | --- |
| 66.RA：$A_b$ | 1 | $\langle B_b,4\rangle$ | $\langle Q_b,7\rangle$ | $H_0$ |
| 66.RB：$B_b$ | 4 | $\langle C_b,2\rangle$ | $\langle D_b,7\rangle$ | $H_0$ |
| 66.RC：$C_b$ | 2 | $\langle T0_b,1\rangle$ | $\langle T1_b,8\rangle$ | $H_0$ |
| 66.RD：$D_b$ | 7 | $H_0$ | $\langle T2_b,1\rangle$ | $\langle T3_b,8\rangle$ |
| 66.RT0：$T0_b$ | 1 | $H_{9b}$ | $H_{9b+1}$ | $H_0$ |
| 66.RT1：$T1_b$ | 8 | $H_0$ | $H_{9b+2}$ | $H_{9b+3}$ |
| 66.RT2：$T2_b$ | 1 | $H_0$ | $H_{9b+4}$ | $H_{9b+5}$ |
| 66.RT3：$T3_b$ | 8 | $H_{9b+7}$ | $H_0$ | $H_{9b+6}$ |
| 66.RQ：$Q_b$ | 7 | $H_0$ | $\langle Q_b,1\rangle$ | $H_{9b+8}$ |

所有未用于实际输入的数字槽都已总化到既有 $H_0$。每个表中正距离都不超过目标尾长，故全部后继已存在。状态只有所列 $R,W,H$，没有另外的计时、纤维编号或调度态；静态下标 $b,j$ 只是名字。表66.31、三个首读槽、逐单位尾规则和固定终止规则即可重建全部原子总表。

**定理 66.22（正确性、全部状态可达及五读最优）。** 定义66.21对全部二十七个输入正确，且每个输入恰读五次。全部名义态可达，准确计数为

$$
\#R=28,\quad\#W=3(1+4+2+7+1+8+1+8+7)=117,\quad
\#H=27,\quad N=172,\quad E_K=117-27=90.
\tag{66.61}
$$

最坏实际 $W$ 数为二十，最大单段等待为八；五读是同一完整模型的最优最坏读取数。

证明。写 $x=9b+u$，$0\le b<3,0\le u<9$。令 $E$ 只在证明中表示累计实际单位等待。每个原子边界的来源与读取数字分别为

$$
s=[9b+u+E]_{27},\qquad
 d(s)=\left[b+\left\lfloor\frac{u+E}{9}\right\rfloor\right]_3.
\tag{66.62}
$$

前式在开始成立；每个等待使两边同增一，每个读取保持两边，所以对全部前缀归纳成立。下表给所有二十七条路径的五种情况：每行的 $b$ 遍历三值、$u$ 遍历所列值；全部来源相位按（66.62）逐项取得，数字列也全部模三。

**表 66.32（覆盖全部输入的五行完整路径模式）。**

| 66.路径组 | $u$ | 读取态序列 | 各次累计 $E$ | 各次数字 | 固定输出 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 66.X01 | $0,1$ | $S,A_b,B_b,C_b,T0_b$ | $(0,1,5,7,8)$ | $(b,b,b,b,b+u)$ | $H_{9b+u}$ |
| 66.X23 | $2,3$ | $S,A_b,B_b,C_b,T1_b$ | $(0,1,5,7,15)$ | $(b,b,b,b+1,b+u-1)$ | $H_{9b+u}$ |
| 66.X45 | $4,5$ | $S,A_b,B_b,D_b,T2_b$ | $(0,1,5,12,13)$ | $(b,b,b+1,b+1,b+u-3)$ | $H_{9b+u}$ |
| 66.X67 | $6,7$ | $S,A_b,B_b,D_b,T3_b$ | $(0,1,5,12,20)$ | $(b,b,b+1,b+2,b+u-4)$ | $H_{9b+u}$ |
| 66.X8 | $8$ | $S,A_b,Q_b,Q_b,Q_b$ | $(0,1,8,9,10)$ | $(b,b+1,b+1,b+1,b+2)$ | $H_{9b+8}$ |

将各行的 $u,E$ 代入（66.62），恰得数字列；再代入表66.31，恰得下一行程的等待入口，最后指向所列固定输出。相邻 $E$ 差都正，并由对应尾链的每一个单位态实现。例如 $u=8$ 先等一到 $A_b$，再等七到 $Q_b$，两次继续数字各等一回到 $Q_b$，第三次在数字 $b+2$ 停止。$b=2$ 的回绕仍由完整模二十七公式处理；如 $u=7,E=20$ 时相位为十八、数字二，即 $[b+3]_3$。每行在其第五次读取后立即到达正确终止态，因此终止和输出不依赖外部时间记录。

全部读取态的可达性也由同一表给出。对每个 $b$，$u=0$ 使用 $A_b,B_b,C_b,T0_b$，$u=2$ 使用 $T1_b$，$u=4$ 使用 $D_b,T2_b$，$u=6$ 使用 $T3_b$，$u=8$ 使用 $Q_b$。这些路径各从对应目标的最长尾入口进入，故全部尾态可达；每个 $H_x$ 由原输入 $x$ 到达。计数遂为（66.61），且（66.44）在此恰取等：$27+2\cdot28-1+0+90=172$。表66.32给实际等待直方图 $(8:6,15:6,13:6,20:6,10:3)$，读取直方图 $(5:27)$，单段最大为八。

最后证明读取最优性，而非容量最优性。任意来源无关的首读前缀只旋转全部输入，首读仍有三个各含九个标签的纤维。在一个固定首读纤维的任意后续完整历史上，下一累计平移已由表确定；九点循环块的固定平移至多遇到两个数字块，限制到仍存候选子集后仍至多二分。若总读取至多四，余下三层变深度二元树至多有八个终止历史，不能恢复九个不同固定标签。这正是引理55.3的假设映射；本表以五读达到其下界。$\square$

**命题 66.23（单位自环的实际支持与入口取等）。** 在定义66.21中，

$$
\begin{aligned}
S_{Q_b}&=\{[9b+16]_{27},[9b+17]_{27},[9b+18]_{27}\},\\
S_{(Q_b,b+1)}&=\{[9b+16]_{27},[9b+17]_{27}\},\\
A_{(Q_b,b+1)}&=\{[9b+17]_{27},[9b+18]_{27}\},\\
A_{(A_b,b+1)}&=\{[9b+16]_{27}\}.
\end{aligned}
\tag{66.63}
$$

此处槽数字取模三，$\delta(Q_b,b+1)=1$，$L_{Q_b}=7$，故 $e_{Q_b,b+1}=1$、$\gamma=1$，入口界（66.47）取等。

证明。只有输入 $9b+8$ 到达 $Q_b$，其三次读取的累计等待为八、九、十，故（66.63）直接由（66.62）得到。前两次数字为 $b+1$，第三次为 $b+2$；外部进入槽只有 $(A_b,b+1)$。单位自环使用的是已存在的七步尾链最后一个态 $W(Q_b,1)$。该路径三次进入 $Q_b$ 的等待为七、一、一，沿路径共九个增量，但只使用 $Q_b$ 所有的七个等待态，不能把路径和当成尾链费用。

表中其他活动边均沿 $S,A,B,C/D,Tj$ 前进或由 $A$ 进入 $Q$，所以全部字面循环词只是某个 $Q_b$ 自环的正次幂。重复一或两次时实际完整词支持非空，外部入口数均为一；重复至少三次时，三个继续数字会迫使从相位 $9b+16$ 越出该块，外部入口已不在守卫内，实际完整词支持也为空。因此这些词的 $\max(0,e_C-m_C)$ 都为零。入口、相位及读索引界在这里有内容，但其较弱标量装入后果没有给 $E_K$ 新的正下界，更没有改善已知容量上端。$\square$

### 66.8 势函数的额外假设及准确的已有比较

对实际槽边提出一个读取态势函数

$$
\theta(\tau(v))-\theta(q)=\delta(v)\pmod M
\qquad(v=(q,a))
\tag{66.64}
$$

是额外的平衡增益假设。它不由初始化正确性推出。把每个实际槽保留为一条边，包括平行槽和自环，赋加法群 $\mathbb Z/M\mathbb Z$ 中的增益 $[\delta(v)]_M$；在底层图中形式反向边取负增益。Thomas Zaslavsky 的 [*Biased Graphs. I. Bias, Balance, and Gains*, Journal of Combinatorial Theory, Series B 47 (1989), 32–52，第5节、引理5.3，印刷第44—45页](https://people.math.binghamton.edu/zaslav/Tpapers/bg1.jctb1989.pdf) 给出平衡与经顶点 switching 化为恒等增益的等价，条件包含没有半边。原文引理的核心是 “balanced if and only if it has no half edges and … switches to the identity gain”。这里所有边都有两个端点（可相同），满足无半边条件；其 switching 式在加法记号中为 $-\lambda(q)+g(v)+\lambda(\tau(v))$，取 $\lambda=-\theta$，化零恰等价于（66.64）。反向可在各连通分支的生成树上积分增益，再用基本圈的零增益保证其他边一致。

这种平衡检查包括使用形式反向边的底层闭走，既不授予来源物理逆步，也不保留数字守卫、精确支持、正等待提升和读取预算。式（66.64）若成立，任一有向名义环的增益和都为零；但名义环不等于一个输入实际走完的守卫词。

固定公开前缀中已经有更早的反例依据。定义60.3、定理60.4的 $p=P=5,M=25,h=4$、五十一态表具有实际边 $F_b\to F_{b-2}$，每边等待一，分别由 $x=5b,5b+1$ 使用。因为模五减二遍历全部五个下标，这些边组成名义五边环，总增益为五模二十五，违反（66.64）。各相关输入只在路径 $S,G_b,F_b,F_{b-2}$ 上使用其中一条 $F$ 边；这不是一条初始化路径实际走完该五边环，也不违反定理66.16对非空完整词支持的长度界。

同参数 $p=3,P=9,h=5$ 下，定义62.14、定理62.15的一百零五态表已经给出更强的比较：输入六的读取前缀为 $0\to1\to14$，等待三、六；输入十四的前缀为 $0\to9\to14$，等待四、六。所有四条边都是实际边，逐单位表给累计等待分别为 $(0,3,9)$、$(0,4,10)$。式（66.64）将同时要求

$$
\theta(14)-\theta(0)=9\pmod{27},\qquad
\theta(14)-\theta(0)=10\pmod{27},
\tag{66.65}
$$

不可能。这个菱形在比较两条路径时使用代数上的反向，并不要求一个物理输入沿反向走回去。

命题60.11还已给 $p=P=3,M=9$ 的实际单位自环：输入 $3b+2$ 在 $Q_b$ 连续出现三次，总共五读；该参数的最优预算却是三读。定义66.21的作用是把直接遍历单位自环的机制放到所选 $P=9$ 的最优五读预算内。其自环令（66.64）要求 $0=1\pmod{27}$，只是最直接的失败形式；它不是首个势函数反例，也不优于已有一百零五态表。物理相位会改变并最终离开继续守卫，所以实际控制自环与初始化有限终止相容。本节不推出循环降低最小容量，也不排除另有无环或平衡的最优实现。

### 66.9 适用范围、有限核对及仍缺的全模型结论

本节的既有模型、联合配置分离、条件二元读取桥、固定行为闭合、实际总表及当前容量端点，取自[固定公开版本24b42b5e87a9f68c6742d1bf482e05f5642b4495的本卷第55—65节](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/24b42b5e87a9f68c6742d1bf482e05f5642b4495/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md)。引理66.12保留原表前缀和整数等待；定理66.15消去同一实际路径内部的重复词执行，给出显式的相位入口上界。定理58.8、60.9的精确闭合接口本已要求这些共同后继语义，因此本节不是更强的精确编译器。第65.2小节中的“第58.8或60.9节”具体指**定理58.8与定理60.9**，不是同号小节。

独立有限核对按表66.31的符号规则重建全部一百七十二态，逐原子动作执行全部二十七输入，检查固定标签、每个前缀的完整相位、正读间等待、所有表项的后继闭合、联合事件分离及全态可达性。读数为 $28R,117W,27H$、全部五读、最大等待二十，共五百二十八个含终止访问的事件。五行模式给出正文中的全部有用路径数据；核对不依赖省略的控制表。

守卫有限检查使用 $(p,P)=(2,1),(2,2),(2,4),(2,8),(3,1),(3,3),(3,9),(4,1),(4,4),(5,1),(5,5)$。对每个参数遍历一至三个任意平移的 $P$ 点块的全部有序交，共四万七千二百二十九项，包含回绕和重复约束；再在旋转到零的每个长度 $0\le n\le P$ 的区间上遍历全部增益及全部支持子集，检查闭合、有限无环平移路径的端点界及零增益排斥。实际表上另对每个 $Q_b$ 的一至三十五次重复词检查入口与逐索引公式，包含 $m=27$ 的零总增益词；这个长词没有实际完整支持。

初始前缀和正提升的有限检查保留全部等待位置；以 $(\ell,\delta_{\rm loop})$ 表示前缀长及自环正等待，六个组合为 $(1,1),(27,1),(28,1),(0,28),(1,28),(28,55)$；固定输出按共同前缀的逆旋转编表以继续恢复原输入。$P=1,p=2,3$ 的一次读取控制器另覆盖前缀零、一、$p+1$。这些是所述边界的有限核对，一般量词仍由引理66.12及第66.3—66.5小节的证明承担。此前五十一态只重新核对上述十个相关输入的实际 $F$ 边，一百零五态只重新核对输入六、十四的相关完整路径；不重跑既有容量证书的广泛枚举。

在 $p=3,P=9,h=5$，非空实际完整循环词的长度至多三。若同一个正确候选还满足 $N\le104$，则（66.44）、（66.57）给

$$
\sum_{C\in\mathcal F}\lambda_C\max(0,e_C-m_C)
\le E_K\le78-2r-\ell.
\tag{66.66}
$$

这只是原候选的必要条件。边缘支持、入口数或某个装入值满足这些切割，仍不能推出存在一张共同固定动作表：需要同时落实初始化路径、完整相位、逐数字读取后继、逐单位等待后继、固定原标签及全部路径预算。较弱标量界也不能代替（66.47）、（66.53）的具体排斥。

当前仍只有 $96\le C_B(3,2)\le105$，下端复用定理64.20，上端复用定义62.14和定理62.15。这里既未构造也未排除九十六至一百零四态控制器，没有合成逆命题、全模型最优值或循环优势结论。所有新推导是普通数学证明，有限执行只核对指定对象，不附带原创性或 Lean/kernel 核验主张。一般 $C_B(p,k)$ 的精确值及空间、时间、边界与记忆之间关系恢复的长期目标仍未完成。

## 66.99 追加锚

## 67. 共享历史的剩余读取、物理次序与共同尾资源

将几个观察历史压进同一个驻定槽，会让它们共用未来的读取分支和进入目标的等待尾。本节在同一张完整初始化表上追踪这两种资源：历史边的合并剩余满足守恒式，物理低位顺序给出比无序质量更强的截止条件，饱和及近饱和解析槽受到目标交叠限制。最后把这些必要条件放回实际最长尾链，说明两种局部费用证书为何仍不足以决定全模型容量。现有区间 $96\le C_B(3,2)\le105$ 不变。

### 67.1 完整初始化与原表费用

**定义 67.11（本节共同实现合同）。** 固定整数 $p\ge2,k\ge0,h\ge1$，置 $P=p^k,M=pP$。取定义66.11的任意正确有限驻定确定总控制器。所有原输入 $x\in\mathbb Z/M\mathbb Z$ 从同一来源无关的控制态、物理来源 $s=x$ 开始；每个 $W$ 态恰执行一次正向加一，每个 $R$ 态读取 $\lfloor[s]_M/P\rfloor$ 而不改变来源，每个 $H$ 态单独输出固定原标签。合法实际动作词为

$$
W^{\ell_0}R W^{\ell_1}R\cdots W^{\ell_j}R,
\qquad \ell_0\ge0,\quad \ell_a\ge1\ (a\ge1),
\tag{67.41}
$$

末读后立即停止，每个输入的读取数 $N_x\le h$。名义容量 $C$ 收费全部读取、终止、单位等待、控制前缀、计数器及未达态。没有来源相关准备、免费时钟、复位、复制、逆步或终止侧信道。任意单点延续、额外读取态、正整数整周期提升及在全部初始化输入上终止的控制环均在量词内。

首读前缀长记为 $\ell$，共同首读态为 $q_0$，$r$ 只数实际使用的读取态。实际事件是 $(x,i)$；它的控制态、数字、完整相位分别为 $q(x,i),d(x,i),s(x,i)$。实际使用的槽 $v=(q,d)$ 若继续，则其下一读取目标 $\tau(v)$ 和正等待 $\delta(v)$ 由原表固定。对每个非首读目标，沿用引理66.12的

$$
L_q=\max_{\tau(v)=q}\delta(v),\qquad
E=\sum_{q\ne q_0}(L_q-1),\qquad
C\ge M+2r-1+\ell+E.
\tag{67.42}
$$

引理66.12在原表上证明事件唯一、不同前驱的到达集不交、首读态无实际入边，以及不同目标的最长单位等待链互不共用状态；本节使用其这些条件。若为容量最小化删除前缀，按引理56.2将全部旧终止输出加 $\ell\pmod M$，新输入 $x$ 模拟旧输入 $x-\ell$，所以准确关系为 $N'_x=N_{x-\ell}$。这保持读取数的多重集及最坏值，不能说同标签逐输入的读取数不变。未用的悬空后继可总化到既有标签，费用不增。下面除明确讨论容量正规化外保留原 $\ell$ 和所有整数等待；定理56.8准许的实际缩短是完整模 $M$ 的正代表，不是模 $P$ 的独立缩短。

### 67.2 历史边剩余与读取亏损的守恒

**定义 67.12（读后森林、槽图与不同重数）。** 将全部实际执行按截至当前答案的完整读后历史展开，首读后有 $p$ 个根，深度索引从 $i=1$ 开始。一个节点的孩子是下一次读取的非空答案历史；实际停止才成为叶，单点后的继续全部保留。它是有限的一元／二元森林，叶恰为 $M$ 个不同原标签。引理55.3及定理64.12的精确区间证明适用于任意有限 $h$：同槽不同历史的当前物理支持是不交的精确整数区间，而同一个平移只有一个内部切口。因此二元历史到其当前前驱槽单射。森林恰有

$$
n=M-p
\tag{67.43}
$$

个二元节点；这是数边给出的既有事实，不要求 $h$ 为最优值。

槽图只取实际使用的槽，边 $a=(u,v)$ 只数不同槽对。根槽集合为 $\mathcal R_0=\{(q_0,d):0\le d<p\}$；非根槽有入边，根槽无入边。置 $J_v=\deg^-(v)-1$（非根），根槽置 $J_v=0$，并令 $J=\sum_vJ_v$。全局出度一的活动槽数为 $U_1$，出度二者数为 $U_2$。承载一个二元森林节点的槽称生产槽；余下出度二的槽称纯解析槽。这种纯解析槽的每个历史分别只用一条下一边，但合起来用到两条。终止槽不属于活动槽。

对每条实际槽边 $a$，令 $m_a$ 为映到它的森林边数，定义

$$
\begin{aligned}
\Xi&=\sum_a(m_a-1),\\
D&=\sum_{H\text{ 一元读后节点}}\bigl(2^{h-i_H-1}-1\bigr),\\
T&=\sum_x\bigl(2^{h-N_x}-1\bigr).
\end{aligned}
\tag{67.44}
$$

$U_{\rm tree}$ 数一元森林节点，$Z$ 数全部 $pr$ 个数字槽中的未用者。每个 $m_a\ge1$；一元节点有 $i_H\le h-1$，所以 $D,T\ge0$。$m_a$ 数历史边，不是走过该边的输入访问数；一条含多个候选的历史边仍只算一次。

**定理 67.13（历史边剩余与深度亏损）。** 定义67.11—67.12的同一个实现满足

$$
\begin{aligned}
\#\{\text{纯解析槽}\}&=J,\\
U_{\rm tree}&=2J+U_1+\Xi,\\
p2^{h-1}-M&=2J+U_1+\Xi+D+T,\\
Z&=p(r+1-P-2^{h-1})+J+\Xi+D+T.
\end{aligned}
\tag{67.45}
$$

而每个使用槽还有局部等式

$$
\sum_{a\text{ 从 }v\text{ 出发}}(m_a-1)
-\sum_{a\text{ 进入 }v}(m_a-1)
=J_v-\mathbf1_{v\text{ 纯解析}}.
\tag{67.46}
$$

证明。固定终止输出和事件唯一性使每个终止槽恰有一个最终事件、一个叶历史，故终止槽恰 $M$ 个。全图数不同边给

$$
U_1+2U_2=(U_1+U_2+M)-p+J,
\qquad U_2=M-p+J=n+J.
$$

二元前驱槽单射恰给 $n$ 个不同生产槽，每个都为出度二，故其余 $J$ 个为纯解析槽。森林边数按分支为 $U_{\rm tree}+2n$，槽图边数为 $U_1+2n+2J$。二者之差正是 $\Xi$，得到第二式。

给深度 $i$ 的读后节点势值 $2^{h-i}$。二元节点的两孩子势值和保持，一元节点到唯一孩子损失 $2^{h-i-1}$，叶 $x$ 留下 $2^{h-N_x}$。在有限森林中望远镜求和，根势为 $p2^{h-1}$，故

$$
p2^{h-1}=\sum_x2^{h-N_x}
+\sum_{H\text{ 一元}}2^{h-i_H-1}=M+T+U_{\rm tree}+D.
$$

代入第二式得到第三式。再由 $pr-Z=U_1+U_2+M$ 消去 $U_1,U_2$，得到第四式。

为证局部式，令 $f_v$ 为槽上不同森林节点数。非根槽的进入森林边恰有 $f_v$ 条，故进入剩余为 $f_v-\deg^-(v)=f_v-1-J_v$。若 $v$ 为生产槽，其一个二元节点及其他一元节点给 $f_v+1$ 条出森林边，减去两条实际边后剩 $f_v-1$；全局一出边槽也剩 $f_v-1$。纯解析槽的 $f_v$ 个节点都一元，出剩余为 $f_v-2$。两边相减即得（67.46）。非根终止槽有 $f_v=1$、唯一入边、无出边，两边均零。根槽恰有一个历史、无入边；若活动，每条实际出边仅有一条森林边，亦无剩余。

这里须单列可能的根终止：$P=1$ 时首读已为单点，一部分或全部根可立即停止。这样的槽没有前驱，不能套用“终止槽有一条入边”；它仍有 $f_v=1,J_v=0$，两侧空和为零。其余根可继续一元路径，以上计数不变。特别 $P=1,h=1$ 时只有 $p$ 个根叶，$r=1$，全部 $J,U_1,\Xi,D,T,Z$ 为零。（67.45）因而也覆盖此边界。$\square$

对任意后继封闭的使用槽集合 $F$，没有离开 $F$ 的边。把（67.46）在 $F$ 上相加，得到

$$
\#\{v\in F:v\text{ 纯解析}\}
=\sum_{v\in F}J_v+
\sum_{a\text{ 从外部进入 }F}(m_a-1).
\tag{67.47}
$$

因此 $F$ 内的纯解析槽至少吸收其内部入度剩余。图中的环不妨碍有限求和，但这是一条代数守恒式：沿剩余边拼出的路径未必是某个输入可执行的完整历史。

**推论 67.14（三进九点的同表预算）。** 当 $p=3,P=9,h=5$，复用定理56.3写 $r=25+e$、$e\ge0$，则

$$
21=2J+U_1+\Xi+D+T,\qquad
Z=3+3e+J+\Xi+D+T.
\tag{67.48}
$$

定义 $s=24-\#\{\text{非根二元宿主}\}$，则没有二元出现的非根目标恰有 $e+s$ 个。$e=0$ 时，定理58.2、推论58.5的 $A_q+Z_q=2$ 使每个目标至多承载两个二元出现；于是 $s$ 正是双二元宿主数，无二元目标也有 $s$ 个，并且 $s\le J\le10$。

证明。前两式直接代入（67.45）。二元出现共二十四，故宿主数定义给后一计数。若令 $c_{q,d}$ 数目标 $q$ 处使用数字 $d$ 的二元出现数，不同二元出现来自不同生产前驱槽，因此

$$
J\ge\sum_{q\ne q_0}\sum_{d=0}^{p-1}\max(c_{q,d}-1,0).
\tag{67.49}
$$

在 $e=0,p=3$，每个双二元宿主的两个二数字集必相交，至少贡献一次入度剩余，故 $s\le J$；（67.48）的非负性给 $2J\le21$。所用读取态下界、奇数关联及二元宿主上限均为上述既有结果的应用。这里没有推出所有二元宿主单射，也没有给每个纯解析槽独立加一个读取态费用。$\square$

### 67.3 物理次序给出的有序截止

**定理 67.15（同槽到达的有序前缀码）。** 固定一个使用槽，收集其全部实际事件，包括同一输入的不同读取索引。按该数字块内的物理低位排列为 $y_1<\cdots<y_m$，相应索引为 $i_j$，截止为 $a_j=h-i_j\ge0$。这些事件具有按该顺序排列的二元前缀码，码长不超过各自 $a_j$。对任意抽象非负整数截止列表，置

$$
e_0=0,\qquad
e_j=2^{-a_j}\left(\left\lceil2^{a_j}e_{j-1}\right\rceil+1\right).
\tag{67.50}
$$

存在这种有序前缀码，当且仅当 $e_m\le1$。故每个实际槽的列表必须通过此判据。

证明。引理66.12使不同事件的完整相位互异，故同槽低位可严格排序。沿任一共同未来答案前缀，所有仍在一起的事件执行同样的正等待与读取目标，其相对于当前低位的累计平移相同。一个长度至多 $P$ 的原区间在此平移下最多跨一个数字边界；条件化到指定数字，保留下来的事件是原低位顺序中的连续一组。可归纳地把两个非空孩子按原顺序标为零、一；一元孩子保留或压缩皆可。跨过完整模 $M$ 的接缝时两个数字仍不同，分组仍按原低位顺序排列，不要求数字名称的通常大小顺序与之相同。这得到有限有序二元未来树。

不同事件的完整终止词互异且前缀自由。相同词从同一槽出发逐步确定同一个字面后继和终止标签；不同输入不能这样共享词。同一输入的两次访问有不同 $i$，剩余读取数 $N_x-i$ 不同，故完整词长不同。若一词是另一词的真前缀，共同字面延续已经到达终止槽，第二词无法再延长。每条未压缩词长为 $N_x-i_j\le h-i_j$；有序树按刚述低位分组，所以它给所需码。

再证明抽象判据。长度 $a$ 的二元词对应 $[0,1)$ 内一个长 $2^{-a}$、左端为该长度整数倍的半开二进区间。前缀自由等价于这些区间互不相交，词序等价于区间从左到右的次序。若码长小于截止，可在该词后补零至截止，取原区间的左端子区间；不交与次序均保持。因此只需讨论精确长度为 $a_j$ 的区间。

前一端点为 $e$ 时，下一区间最早能从 $2^{-a_j}\lceil2^{a_j}e\rceil$ 开始，其结束点正是（67.50）。对任何可行放置作归纳：此前贪心端点不晚于该放置，取上整的函数单调，故下一贪心端点也不晚。于是可行必有 $e_m\le1$；反向此不等式让全部贪心区间留在 $[0,1)$，直接给码。空列表取 $e_0=0$；单个截止零对应唯一空词、区间 $[0,1)$；任何含零且有至少两个元素的列表均不可行。实际终止槽正是单个空词情形。$\square$

例如截止 $(2,1,2)$ 的端点依次为 $1/4,1,5/4$，虽有 Kraft 和 $1/4+1/2+1/4=1$，却无有序码。在 $h=5$ 的同槽低位顺序中，实际索引 $(3,4,3)$ 因而不可能。经典有序码判据的文献归属见第67.9小节；（67.50）在这里以端点贪心给出自足证明。

抽象的逆向只构造可自由选切口的码树，不构造驻定控制器。一个实际活动槽必须先使用它唯一的正等待和目标，把全部当前事件平移、索引加一，再与该目标从其他前驱得到的全部事件合并，逐数字排序并检验截止。单独为各前驱通过（67.50），或先挑一个好码再分别指定等待，都没有满足共同后继、固定标签及完整初始化。

### 67.4 饱和、近饱和与三数字交叠

**命题 67.16（饱和槽的独占后继及纯解析目标）。** 在同一实现中定义

$$
K(v)=\sum_{(x,i)\text{ 在 }v}2^{i-h}\le1.
\tag{67.51}
$$

若活动槽 $v$ 满足 $K(v)=1$，它恰有两个使用的下一数字槽，每个从它接收质量一，并且没有其他前驱到达这两个槽。若 $p\le3$ 且 $v$ 是纯解析槽，则 $\tau(v)$ 不承载二元出现；不同饱和纯解析槽的读取目标互异。

证明。质量上界复用命题57.2，其前提是收齐同槽所有事件，而非逐前驱分别给一次预算。每个当前事件都还有下一读，权重恰翻倍，且下一事件由唯一紧前事件确定。因此两个可能下一数字接收的总质量为二，每个完整目标槽的容量至多一，迫使两槽各接收一。其他前驱的任何事件都有严格正权重，引理66.12又保证它不能与已有事件重合，故无法再进入这些槽。

若目标有一个二元出现，它不可能来自 $v$，否则 $v$ 会是生产槽。它来自另一个实际前驱，其两个非空数字中每个都带正质量。$p\le3$ 使它的两数字与已经全满的两数字相交，矛盾。同理，两个饱和纯解析槽若共享目标，其两数字集相交，而不同前驱的事件不交，不能同时各贡献一。$\square$

此结论还包含一个具体物理条件。设 $\mathcal C_v$ 为整数切口 $c\in\{1,\ldots,P-1\}$ 的集合，要求低位 $y<c$ 的事件质量恰为 $1/2$、$y\ge c$ 的亦为 $1/2$，并且每个完整历史的精确支持均在切口同一侧。饱和纯解析槽的实际切口必须属于 $\mathcal C_v$，且

$$
\delta(v)\bmod P=P-c,\qquad
\delta(v)\ge P-\max\mathcal C_v.
\tag{67.52}
$$

若该集合为空，这种拟议槽不能实现。第一条件来自两下一槽各接收翻倍后的质量一，第二条件正是纯解析性；非零余数给正等待下界。例如，条件性地假设同一槽恰在低位 $0,1,2,3,5,6,7,8$ 各有权重 $1/8$ 的事件，则平衡切口仅为四、五。还须检验各完整历史不跨该切口；若这些事件确属饱和纯解析槽，实际等待至少四。此八位置资料没有被断言可扩成一张完整控制器。

同一翻倍证明也适用于已发表的精确后缀质量 $`K^*(v)=\sum_{(x,i)\text{ 在 }v}2^{-(N_x-i)}\le1`$：同一输入的下一事件把剩余长度减少一，故仍翻倍。以 $`K^*=1`$ 识别的纯解析槽具有相同的目标排斥。这可避免选取过宽 $h$ 造成的虚假未饱和；例如定义65.13的 $(23,2)$ 若按 $h=6$ 计，$K=1/2$ 而 $`K^*=1`$。它不替代（67.45）中明确依赖 $h$ 的亏损守恒，也不把所有未饱和槽变为饱和。

**命题 67.17（两槽未饱和界及二元目标的质量扣减）。** 设 $p\le3$。两个不同活动槽 $u,v$ 各有两个使用的下一数字且指向同一目标，则

$$
K(u)+K(v)\le\frac32.
\tag{67.53}
$$

因此质量严格大于 $3/4$ 的纯解析槽有不同目标，但这些目标不必全无二元出现。若纯解析槽 $v$ 的目标承载索引为 $i$ 的二元读取出现，则

$$
K(v)\le1-2^{i-h-1}.
\tag{67.54}
$$

证明。记 $\kappa(v,d)$ 为 $v$ 在下一读向目标数字 $d$ 贡献的质量。两个正贡献之和为 $2K(v)$，各自至多一，所以各自至少 $2K(v)-1$。两个二数字集在 $p\le3$ 时必有交点；不同前驱在那里提供的是不同事件，在同一个容量一中合计。因此

$$
(2K(u)-1)+(2K(v)-1)\le1,
$$

给（67.53）及严格阈值的目标单射。目标的二元出现有两个非空孩子，每个至少一个索引 $i$ 的事件，分别贡献至少 $2^{i-h}$。因 $v$ 纯解析，这个出现来自别的前驱；它的一数字必与 $v$ 的两数字相交。于是 $2K(v)-1+2^{i-h}\le1$，即（67.54）。$\square$

在 $h=5$ 时，$K(v)>3/4$ 排除该目标索引四、五的二元出现，却未排除较早的全部二元出现。抽象质量向量在三个数字上可取 $(1,1/2,0)$ 与 $(0,1/2,1)$，每个总质量 $3/2$、对应当前 $K=3/4$，故（67.53）的常数在该质量松弛中取等；这里没有把这些向量宣称为完整控制器的可实现或锐性见证。$K\le3/4$ 时，本论证不给目标单射。

**例 67.17a（近饱和纯解析仍可进入二元宿主的完整表）。** 对一般有限预算，“不必无二元出现”可由一张完整三进表见证。取定义65.13的一百一十一态表的逐目标尾表示，保持原起点零、全部固定标签及未列读取槽。删除读取态四及其单位尾，作以下四个旧槽替换：

$$
(3,0)\mapsto\langle T,19\rangle,\quad
(5,2)\mapsto\langle Q,9\rangle,\quad
(12,0)\mapsto\langle A_{17},1\rangle,\quad
(20,1)\mapsto\langle A_{26},1\rangle.
$$

全部指向态四的旧入口只有已替换的 $(3,0)$。增加下表七个读取态，三个后继按数字零、一、二列出；所有新尾逐单位下降，尾长是全部进入等待的最大值。

**表 67.30（近饱和见证的全部新增读取行）。**

| 67.新增行 | 尾长 | 数字 0 | 数字 1 | 数字 2 |
| --- | ---: | --- | --- | --- |
| 67.NQ：$Q$ | 27 | $\langle T,1\rangle$ | $H_0$ | $H_0$ |
| 67.NT：$T$ | 19 | $\langle U,7\rangle$ | $H_{26}$ | $H_0$ |
| 67.NU：$U$ | 7 | $\langle V,1\rangle$ | $H_{17}$ | $H_0$ |
| 67.NV：$V$ | 1 | $H_1$ | $H_8$ | $H_0$ |
| 67.NA17：$A_{17}$ | 1 | $\langle Q,27\rangle$ | $H_0$ | $H_0$ |
| 67.NA26：$A_{26}$ | 1 | $H_0$ | $\langle B_{26},1\rangle$ | $H_0$ |
| 67.NB26：$B_{26}$ | 1 | $H_0$ | $\langle Q,24\rangle$ | $H_0$ |

只有原输入 $0,1,8,17,26$ 的路径改变。零、一按旧前缀在索引四到态三、累计等待七，再等十九到 $T$，索引五的相位分别为二十六、零；零立即输出。八的旧前缀在索引三到态五、相位十八，再等九到 $Q$，索引四相位零。十七在索引三到态十二、相位零，等一到 $A_{17}$ 再等二十七到 $Q$，索引五相位一。二十六在索引三到态二十、相位九，依次等一到 $A_{26}$、等一到 $B_{26}$、等二十四到 $Q$，索引六相位八。

因此 $(Q,0)$ 的全部事件为 $(8,4,0),(17,5,1),(26,6,8)$，各完整历史已单点。它等一到 $T$ 后的相位为一、二、九，索引为五、六、七；二十六在数字一停止。一、八、十七在 $(T,0)$ 的相位分别零、一、二；再等七到 $U$，相位七、八、九，十七停止。一、八再等一到 $V$，相位八、九，分别由数字零、一输出。这五条路径全部正确，其余二十二条保持公开表；各最长入口和原保留状态仍有输入经过，所以全表总性、初始化与全态可达成立，准确费用为 $31R+115W+27H=173$。

以 $h=7$ 计，$K(Q,0)=1/8+1/4+1/2=7/8>3/4$，而 $T$ 承载来自 $(3,0)$、索引五的二元出现 $\{0,1\}$。（67.54）恰取等 $1-2^{5-7-1}=7/8$。此例还具有 $\Xi=2$：两个不同历史分别重复了槽边 $(Q,0)\to(T,0)$ 及 $(T,0)\to(U,0)$，没有把输入访问数误当历史边数。它使用七读，仅证明一般有限预算的边界，不是五读容量竞争者。

### 67.5 首次分离与同一目标的剩余费用

**命题 67.18（保留重数的首次分离行）。** 取同槽两个不同事件，按当前低位写 $y<z$。令 $t\ge1$ 为从当前读后开始、截至首次答案分离所经历的未来读取数，$m_q$ 为这些读取以 $q$ 为目标的次数，重复目标重复计数。则

$$
g=\max(0,P-z-t)\le\sum_{q\ne q_0}m_q(L_q-1).
\tag{67.55}
$$

证明。定理67.15的前缀自由性保证两未来在未分离时不能一方先终止，也不能同词终止。因此首次分离在两条有限未来内发生。此前它们共用逐字相同的正等待和读取目标，设截至分离的累计等待为 $A=\delta_1+\cdots+\delta_t$。两个当前低位第一次给不同数字，必有

$$
[A]_P\in\{P-z,\ldots,P-y-1\},\qquad A\ge P-z.
$$

各段至少一，故 $\sum_{j=1}^t(\delta_j-1)=A-t\ge g$；每段 $\delta_j\le L_{q_j}$，求和得（67.55）。即使同一输入两次到达当前槽，未来比较仍有此字面同步；同一目标出现多次必须保留 $m_q$。$\square$

对同一实现任选有限事件对族及非负权重 $\theta_a$，若逐目标 $\sum_a\theta_a m_{a,q}\le1$，则

$$
E\ge\sum_a\theta_a g_a,\qquad
C\ge M+2r-1+\ell+\left\lceil\sum_a\theta_a g_a\right\rceil.
\tag{67.56}
$$

这里直接使用定理66.18证明中的有限和资源分配：把有效行乘非负权重、交换有限和，每个非负目标资源的总系数至多一。其原循环行在这里换成（67.55）的首次分离行；不调用它的循环入口假设，也不另立一个一般对偶定理。只在总和最后取一次上整。

**命题 67.19（二元等待、共享折减与精确尾和）。** 在全部 $n=M-p$ 个二元出现上保留实际进入等待，令其总和为 $B$。对承载 $m_q^{\rm bin}\ge1$ 个二元出现的目标，定义

$$
\begin{aligned}
\gamma_q&=\sum_{H\text{ 二元进入 }q}\delta_H
-\max_{H\text{ 二元进入 }q}\delta_H-(m_q^{\rm bin}-1),\\
\Gamma&=\sum_{q\text{ 二元宿主}}\gamma_q,\\
b_q&=\begin{cases}\max_{H\text{ 二元进入 }q}\delta_H,&q\text{ 二元宿主},\\1,&q\text{ 无二元出现},\end{cases}\\
\omega_q&=L_q-b_q\ge0,\qquad \Omega=\sum_{q\ne q_0}\omega_q.
\end{aligned}
\tag{67.57}
$$

这里的 $b_q$ 是二元尾基准，不是第58节同字母的关联剩余。则有精确记账恒等式及原名义容量界

$$
\begin{aligned}
\sum_{q\ne q_0}L_q&=B-\Gamma+(r-1-(M-p))+\Omega,\\
C&\ge2r+p-1+\ell+B-\Gamma+\Omega.
\end{aligned}
\tag{67.58}
$$

对 $p\le3$ 的饱和纯解析槽集 $\mathcal S$，置 $D_{\rm sat}=\sum_{v\in\mathcal S}(\delta(v)-1)$，则 $\Omega\ge D_{\rm sat}$，亦有 $E\ge D_{\rm sat}$。可以统一用 $K=1$，或统一用 $`K^*=1`$ 定义此集；同槽不重复计入。

证明。设二元宿主数为 $t_0$。逐宿主由定义得到 $\sum_{q\text{ 二元宿主}}b_q=B-\Gamma-(n-t_0)$。其余 $r-1-t_0$ 个目标各有基准一，故全部基准和为 $B-\Gamma+r-1-n$。再逐目标加 $\omega_q$，得到第一式；与（67.42）的原表状态注入相接，得到第二式。命题67.16使饱和纯解析槽的目标互异且无二元出现，所以每个相应 $b_q=1$、$\omega_q=L_q-1\ge\delta(v)-1$；相加即得。全部数值都来自同一实现，未把共享出现的延迟和误当最长尾链。$\square$

当 $p=3,P=9,h=5,r=25+e$，特别有

$$
C\ge52+2e+\ell+B-\Gamma+\Omega
\ge52+2e+\ell+B-\Gamma+D_{\rm sat}.
\tag{67.59}
$$

对质量大于 $3/4$ 的未饱和纯解析槽，虽有目标单射，却只能向剩余尾资源收取 $\max(0,\delta(v)-b_{\tau(v)})$。若它进入已有长二元尾，不能再次加收完整的 $\delta(v)-1$。

事件对也可在同一剩余资源中表达。令

$$
\widehat g_a=\max\left(0,g_a-\sum_qm_{a,q}(b_q-1)\right),
\qquad \widehat g_a\le\sum_qm_{a,q}\omega_q.
\tag{67.60}
$$

这是（67.55）逐目标减去已计基准，再用右端非负得到的行。饱和槽行是 $\delta(v)-1\le\omega_{\tau(v)}$；近饱和槽行如上一段。若将这些行一同加权，每个目标上的“事件对系数和 + 解析槽系数和”必须至多一，才能作为 $\Omega$ 的一个共同下界。分开最大化两组再相加没有此保证；（67.58）本身只是记账，并未提供所缺的统一数值估计。

### 67.6 共享折减不必由解析尾偿还

**例 67.20（一百一十一态公开表及正提升）。** 直接使用定义65.13、表65.33—65.36的完整控制器；它不是第57节的另一张同总数表。这里不再复制全部原子行。其 $25R+59W+27H$ 全部可达、最坏五读，唯一双二元宿主是读取态二十三。进入它的两条生产槽 $(2,1),(9,2)$ 都等待八；两二元出现的原标签分别为 $\{3,4\}$ 和 $\{12,13\}$。决定本例的全部相关路径为表67.31，累计等待列连同每个单位加一给全部中间相位。

**表 67.31（共享二元宿主与解析的四条路径）。**

| 67.路径 | 原输入 | 读取态 | 累计等待 | 完整模二十七相位 | 数字 | 固定输出 |
| --- | ---: | --- | --- | --- | --- | --- |
| 67.P03 | 3 | $0,1,2,23$ | $0,4,6,14$ | $3,7,9,17$ | $0,0,1,1$ | $H_3$ |
| 67.P04 | 4 | $0,1,2,23,24$ | $0,4,6,14,15$ | $4,8,10,18,19$ | $0,0,1,2,2$ | $H_4$ |
| 67.P12 | 12 | $0,8,9,23,24$ | $0,4,6,14,15$ | $12,16,18,26,0$ | $1,1,2,2,0$ | $H_{12}$ |
| 67.P13 | 13 | $0,8,9,23$ | $0,4,6,14$ | $13,17,19,0$ | $1,1,2,0$ | $H_{13}$ |

槽 $(23,2)$ 的两个实际事件是 $(x,i,s)=(4,4,18),(12,4,26)$，分别来自已经单点的不同历史，$K=1$；它只等一到二十四。其他二元宿主各只有一个二元出现，故由原表逐出现计数有

$$
B=66,\quad \Gamma=8+8-8-1=7,\quad
\Omega=D_{\rm sat}=0,\quad e=\ell=0,
\qquad C=52+66-7=111.
\tag{67.61}
$$

所以“每个合法五读控制器都满足 $\Gamma\le D_{\rm sat}$”为假；替换成全部实际剩余 $\Omega$ 的断言 $\Gamma\le\Omega$ 也为假。命题67.13—67.19并未断言这种偿还关系，（67.59）在本例恰给一百一十一，无冲突。

还可对任意整数 $a\ge0$，同时把上述两个进入二十三的等待从八改为 $8+27a$，给二十三分配长度 $8+27a$ 的逐单位尾；其他行和固定原标签不变。每个被改入口真实多走 $27a$ 步，读取时完整相位不变，故全部数字、历史、读取索引和输出不变。最长入口原来可达，新增的每个单位等待态都被经过。于是

$$
C=111+27a,\qquad B=66+54a,\qquad
\Gamma=7+27a,\qquad\Omega=D_{\rm sat}=0.
\tag{67.62}
$$

这是一族完整初始化反例，不是未编译的局部权重。它只推翻所述更强偿还断言，没有给出一百零四态以下的控制器；优化容量时，完整模二十七的这些提升可按定理56.8去除。

### 67.7 首次分离证书的确切漏项

**例 67.21（一百七十二态表的全事件对最优值七十二）。** 复用定义66.21、表66.31的符号总表。共同起点为 $S$；每个 $b=0,1,2$ 有 $A_b,B_b,C_b,D_b,T0_b,T1_b,T2_b,T3_b,Q_b$，固定标签为 $H_0,\ldots,H_{26}$。只把 $A_b$ 的数字 $[b+1]_3$ 后继改为 $W(Q_b,7+27a)$，$a\ge0$ 为整数；$Q_b$ 的继续槽仍等一自返。其余表项保持，尾规则仍为 $W(q,j)$ 每次加一并将距离减一，距离一后到 $q$。各族尾长依次为

$$
(1,4,2,7,1,8,1,8,7+27a).
\tag{67.63}
$$

公开表加这一个明确修改给全部固定转移，没有未指定的数字槽。表67.32为任意 $a$ 提供全部初始化路径，而非从其他执行结果推测数字。

**表 67.32（全部二十七输入的五种路径）。** 写 $x=9b+u$，每行遍历三个 $b$ 和所列全部 $u$；数字偏移模三，来源逐读为 $[9b+u+A]_{27}$。

| 67.路径族 | $u$ | 读取态 | 累计实际等待 $A$ | 实际数字 | 输出 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 67.X01 | $0,1$ | $S,A_b,B_b,C_b,T0_b$ | $0,1,5,7,8$ | $b,b,b,b,b+u$ | $H_{9b+u}$ |
| 67.X23 | $2,3$ | $S,A_b,B_b,C_b,T1_b$ | $0,1,5,7,15$ | $b,b,b,b+1,b+u-1$ | $H_{9b+u}$ |
| 67.X45 | $4,5$ | $S,A_b,B_b,D_b,T2_b$ | $0,1,5,12,13$ | $b,b,b+1,b+1,b+u-3$ | $H_{9b+u}$ |
| 67.X67 | $6,7$ | $S,A_b,B_b,D_b,T3_b$ | $0,1,5,12,20$ | $b,b,b+1,b+2,b+u-4$ | $H_{9b+u}$ |
| 67.X8 | $8$ | $S,A_b,Q_b,Q_b,Q_b$ | $0,1,8+27a,9+27a,10+27a$ | $b,b+1,b+1,b+1,b+2$ | $H_{9b+8}$ |

证明正确性及费用。将每行的 $u,A$ 代入 $\lfloor[9b+u+A]_{27}/9\rfloor$，恰得所列数字；表66.31在这些数字下选择下一列出的正等待入口，最终指向 $H_{9b+u}$。每个单位等待都使来源与 $A$ 同增一，读取保持二者，因此全部中间相位也满足该式。五行互不重叠且覆盖全部输入，均五读、末读即停。每个最长尾入口及每个读取态都被这些路径使用，全部终止标签各有其原输入，所以新增单位尾态也全部可达。准确数值为

$$
\begin{aligned}
C&=28+(117+81a)+27=172+81a,\qquad E=90+81a,\\
B&=96,\quad\Gamma=0,\quad e=3,\quad
\Omega=18+81a,\quad D_{\rm sat}=0.
\end{aligned}
\tag{67.64}
$$

每个纤维八个二元出现的等待和为 $1+4+2+7+1+8+1+8=32$，目标各不相同；三个 $Q_b$ 没有二元出现，各贡献 $L_{Q_b}-1=6+27a$ 的剩余。其继续槽有索引三、四的两个事件，所以 $`K=K^*=1/4+1/2=3/4`$，未饱和。

现在在这张表上，允许命题67.18的全部同槽事件对及任意满足目标预算的非负权重。先给普通上证书：任何共同未来若要一起进入 $Q_b$，此前必须同经 $A_b$ 数字 $b+1$；该槽只有输入 $9b+8$ 的一次事件。其他输入与它在进入 $Q_b$ 前已经分离。唯一从 $Q_b$ 继续槽出发的事件对，是这个输入在索引三、四的访问，当前低位为七、八，下一读即分离，$g=\max(0,9-8-1)=0$。所以每个正 $g$ 行在全部 $Q_b$ 目标上均无负载；零行取零权重无损。

其余目标的实际超额尾和按每个 $b$ 为

$$
(L_{B_b}-1)+(L_{C_b}-1)+(L_{D_b}-1)
 +(L_{T1_b}-1)+(L_{T3_b}-1)=3+1+6+7+7=24.
$$

把有效事件对行求和并使用每目标预算，目标值至多 $3\cdot24=72$。这只用非负费用与有效行，不诉诸数值优化器。

反向，表67.33给十五条权重一的行。原低位对 $(u,v)$ 表示标签 $(9b+u,9b+v)$；每行遍历全部三个 $b$，两个事件索引相同。它们在下一读即分离，各只加载所列一个目标，十五个目标互异。

**表 67.33（达到七十二的全部正权行）。**

| 67.证书行 | 当前槽 | 索引 | 原低位对 | 当前低位对 | 下一目标及等待 | $t$ | $g$ |
| --- | --- | ---: | --- | --- | --- | ---: | ---: |
| 67.CB | $(A_b,b)$ | 2 | $(3,4)$ | $(4,5)$ | $B_b,4$ | 1 | 3 |
| 67.CC | $(B_b,b)$ | 3 | $(1,2)$ | $(6,7)$ | $C_b,2$ | 1 | 1 |
| 67.CD | $(B_b,b+1)$ | 3 | $(5,6)$ | $(1,2)$ | $D_b,7$ | 1 | 6 |
| 67.CT1 | $(C_b,b+1)$ | 4 | $(2,3)$ | $(0,1)$ | $T1_b,8$ | 1 | 7 |
| 67.CT3 | $(D_b,b+2)$ | 4 | $(6,7)$ | $(0,1)$ | $T3_b,8$ | 1 | 7 |

在每行把低位加所列等待，一点恰留在块末、另一点跨界，故 $t=1$，$g$ 如表；全部目标负载为一，目标值为七十二。上下证书合并，确切全事件对装入最优值为七十二，对每个整数 $a\ge0$ 都相同。$\square$

因此，“最大化这些事件对行总会恢复原表全部 $E$”为假；加上 $D_{\rm sat}$ 也未补回这里的 $18+81a$。提升不改变任何读取相位、历史或事件对数据，只增加已收费可达的 $Q$ 尾。$a=0$ 已使用不超过 $M$ 的等待，$a>0$ 展示漏掉的原表费用无界；这些可去除的整周期提升及本来过大的控制器，均不反驳一百零五可能为最优容量的断言。命题67.18给下证书，没有宣称证书完备。

### 67.8 四数字下的两张完整边界表

**定义 67.22（两种五十一态实现）。** 取 $p=P=4,M=16,h=4$，共同起点为 $S$，固定终止态恰为 $H_0,\ldots,H_{15}$。下表的每个四元组按数字零、一、二、三排列；$\langle q,j\rangle$ 表示实际单位态 $W(q,j)$。版本甲、乙各只保留自己列中存在的读取态。每个目标尾长取该版本全部列出进入等待的最大值；不同目标分配不交尾，$W(q,j)$ 一次加一后到 $W(q,j-1)$，距离一后到 $q$。全部 $H_x$ 输出 $x$，形式后继为自身。

**表 67.34（两版本全部读取行）。**

| 67.读取行 | 版本甲的四个后继 | 版本乙的四个后继 |
| --- | --- | --- |
| 67.RS：$S$ | $(\langle A_0,2\rangle,\langle A_1,2\rangle,\langle A_2,2\rangle,\langle A_3,2\rangle)$ | 同甲 |
| 67.RA0：$A_0$ | $(\langle Q_0,1\rangle,\langle F_{01},3\rangle,H_0,H_0)$ | 同甲 |
| 67.RQ0：$Q_0$ | $(\langle T,1\rangle,H_1,H_0,H_{12})$ | 同甲 |
| 67.RF01：$F_{01}$ | $(H_0,H_2,H_3,H_0)$ | 同甲 |
| 67.RA1：$A_1$ | $(H_0,\langle F_{10},1\rangle,\langle F_{11},3\rangle,H_0)$ | $(H_0,\langle Q_2,1\rangle,\langle F_{11},3\rangle,H_0)$ |
| 67.RF10：$F_{10}$ | $(H_0,H_4,H_5,H_0)$ | 无此态 |
| 67.RQ2：$Q_2$ | 无此态 | $(H_0,H_4,\langle T,1\rangle,H_9)$ |
| 67.RF11：$F_{11}$ | $(H_0,H_0,H_6,H_7)$ | 同甲 |
| 67.RA2：$A_2$ | $(H_0,H_0,\langle T,1\rangle,\langle F_{21},3\rangle)$ | $(H_0,H_0,\langle Q_2,1\rangle,\langle F_{21},3\rangle)$ |
| 67.RF21：$F_{21}$ | $(H_{11},H_0,H_0,H_{10})$ | 同甲 |
| 67.RA3：$A_3$ | $(\langle F_{31},3\rangle,H_0,H_0,\langle Q_0,1\rangle)$ | 同甲 |
| 67.RF31：$F_{31}$ | $(H_{14},H_{15},H_0,H_0)$ | 同甲 |
| 67.RT：$T$ | $(H_{13},H_0,H_8,H_9)$ | $(H_{13},H_0,H_5,H_8)$ |

每版有十二读取态。四条 $A_b$ 尾各长二，四条 $F_{b1}$ 尾各长三，$Q_0,T$ 及甲的 $F_{10}$／乙的 $Q_2$ 各长一，故单位等待数为 $8+12+3=23$；加十六固定终止态，容量为五十一。表中所有数字均已给后继，尾规则补齐全部原子行。

**命题 67.23（三数字条件不可在一般有限预算下删除）。** 两版均是定义67.11的完整正确控制器，全部五十一态可达，最坏四读。版本甲有一个饱和纯解析槽指向二元宿主；版本乙有两个不同饱和纯解析槽指向同一读取目标。因此命题67.16的两个目标结论不能原样推广到 $p=4$。

证明。写 $x=4b+u$。首读在累计等待零给 $b$，等二到 $A_b$；$u=0,1$ 给数字 $b$，$u=2,3$ 给数字 $[b+1]_4$。后一组两版均等三到 $F_{b1}$，累计等待五，物理相位为 $[4b+u+5]_{16}$，数字分别 $[b+1]_4,[b+2]_4$；各 $F_{b1}$ 行恰输出 $4b+2,4b+3$。这处理八个上对输入，包含 $b=2,3$ 的回绕。

另八个输入在累计等待三到达如下态和相位。两版共同的 $x=0,1$ 到 $Q_0$ 的相位为三、四：一直接输出 $H_1$，零再等一到 $T$ 相位四、数字一，输出 $H_0$。共同的 $x=12,13$ 到 $Q_0$ 的相位为十五、零：十二直接输出 $H_{12}$，十三再等一到 $T$ 相位一、数字零，输出 $H_{13}$。甲的 $x=4,5$ 到 $F_{10}$ 相位七、八、数字一、二，分别输出 $H_4,H_5$；甲的 $x=8,9$ 到 $T$ 相位十一、十二、数字二、三，分别输出 $H_8,H_9$。乙将这两对送到 $Q_2$：四、九在相位七、十二直接输出，五、八在相位八、十一同用数字二，再等一到 $T$ 的相位九、十二、数字二、三，输出 $H_5,H_8$。

以上覆盖全部十六输入，真实相位始终为 $[x+A]_{16}$，相邻读取等待为二再三，或二再一、必要时再一；末读后立即进入正确固定标签，最多四读。每个读取态在所列情况中出现，每条最长尾入口都有输入经过，每个标签各由其原输入到达，故全部收费状态可达。

甲的 $(Q_0,0)$ 有两个事件 $(x,i,s)=(13,3,0),(0,3,3)$。两个历史均已单点，故纯解析；每个权重为 $1/2$，总质量一。它等一到 $T$，占数字零、一；同一个 $T$ 另有原标签 $\{8,9\}$、相位 $\{11,12\}$ 的二元出现，占数字二、三。乙另有 $(Q_2,2)$ 的 $(5,3,8),(8,3,11)$，同样饱和纯解析，等一到同一个 $T$，占数字二、三。它与 $(Q_0,0)$ 的目标相同，但两对数字不交，故不触及三数字交叠证明。$\square$

这些是任意有限 $h$ 的边界见证。本参数最优读取预算为 $h_*=3$，两表使用的 $h=4$ 超出它，不能把五十一态表列为最优三读的竞争者；引理56.5与定理56.6的饱和二幂结果仍按其原预算成立。

### 67.9 归属、可复算数据与尚缺的联合估计

本节使用的仓内数学输入是本卷固定前缀的第55—66节：版本 `99911f7752489024603abfb11b764d19a5266dc1`，文件 Git blob `38f7c2aeb734ff7317eed5ebb450b842af29ad81`。定义55.1、56.1和66.11给同源、合法动作及名义计费；引理55.3给条件二元读取；引理56.2、66.12给配置分离及前缀；定理56.8给完整模正规化；命题57.2给两种后缀质量；定理58.2、推论58.5给实际前驱关联；定理64.12给精确区间上的二元前驱槽单射。后者的证明不使用最优预算，故本节保留其证明而扩到任意有限 $h$。定理58.8、60.9和62.12要求固定后继闭合，不能由本节的必要数值条件取代。

三个原文条件在这里仍明确承重：定理56.8的“这里必须模 $M=pP$，不能只模 $P$”；第58.4小节的“‘精确’不能换成包含实际支持的任意超集”；定理62.12的“终止态身份相同，或目标读取态与正延迟均相同”。全部图、相位、事件、历史边重数、标签和尾长均取同一完整实际实现，满足这些条件之后才作计数或局部比较。

有序码的经典归属为 R. Bruno、R. De Prisco、A. De Santis、U. Vaccaro，[*Bounds and Algorithms for Alphabetic Codes and Binary Search Trees*, arXiv:2407.16443v1，第IV节、PDF第3—4页、定义1及定理1](https://arxiv.org/pdf/2407.16443v1)。该文定义1对正整数长度给出 `trunc`／`sum` 递推，定理1表述按给定次序实现精确码长的充要条件为 $\operatorname{sum}(L,m)<1$，并说明该结果归于 Nakatsu、Yeung独立给出等价结果。这里直接核对的是 Bruno 等人的该版本；没有声称读过 Nakatsu、Yeung 原论文。式（67.50）采用半开区间最早端点的自足证明，并补上空列表和零截止边界；物理事件到有序码的映射由定理67.15承担。码的抽象充分性没有供应正等待、原标签或驻定总表。

**表 67.35（同表重建的结构数值）。** 各行均从所引完整表的全部初始化路径重建；$h=5,p=3,P=9,\ell=0$。它们是检验与后续推导可用的有限数据，不是全部控制器的枚举。

| 67.对象 | $r$ | $C$ | $J$ | $U_1$ | $\Xi$ | $D$ | $T$ | $Z$ | $B$ | $\Gamma$ | $\Omega$ | $E$ | $D_{\rm sat}$ |
| --- | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: |
| 67.V105：定义62.14 | 25 | 105 | 0 | 3 | 0 | 5 | 13 | 21 | 53 | 0 | 0 | 29 | 0 |
| 67.V111：定义65.13 | 25 | 111 | 1 | 1 | 0 | 1 | 17 | 22 | 66 | 7 | 0 | 35 | 0 |
| 67.V172：定义66.21 | 28 | 172 | 3 | 3 | 0 | 12 | 0 | 27 | 96 | 0 | 18 | 90 | 0 |

具体有限核对还包括：两个提升族的 $a=0,1,2$ 全输入单位执行；公开一百零五、一百一十一态表加前缀 $\ell=1,27,28$ 并把旧标签减 $\ell$ 后的全部初始化；两版四进表的各十六输入；例67.17a七读表的全部二十七输入；$P=1,p=2,3,4$ 的根立即停止及部分根继续案例。每张表检查后继总性、所有原子相位、固定原标签、正读间等待、读取上限、事件分离及全部名义状态可达。三张基础表的全部同槽事件对分别为一百九十、一百八十五、二百四十三对，含同一输入的不同索引；逐对保留首次分离目标重数。七十二的最优性由表67.33和普通上证书承担，未调用优化器。

抽象截止核对独立生成最多六叶的全部有序满二叉树叶深列表，与长度零至六、各截止零至四的全部一万九千五百三十一项作比较，恰八百六十六项可行，与（67.50）逐项一致。压缩一元节点不增加码长，故这种有限比较适于检验该截止命题；无界充要性仍由其区间证明承担。两前驱质量算术另在 $p=2,3$、每个正贡献取 $1/8,\ldots,1$ 的域上检查一万三千八百八十八个满足目标槽容量的向量组合，最大当前质量和为 $3/2$；它没有检验这些向量的物理可实现性。上述检查没有重跑第64节广泛树目录，也没有枚举全驻定类。

读后森林的亏损、槽上有序截止和目标上的剩余费用说明了历史压缩的三个同时约束，但它们仍未给容量闭式。在前缀删除、必要时按定理56.8作完整模正规化之后，若要经（67.58）排除全部 $p=3,P=9,h=5$ 的一百零四态以下候选，一个充分的统一义务是

$$
B-\Gamma+\Omega+2e\ge53,
\qquad\text{等价于}\qquad E+2e\ge29.
\tag{67.65}
$$

等价来自同一表的 $E=B-\Gamma+\Omega-24$，不是对该不等式的证明。饱和解析下界只是 $\Omega$ 的一个松弛，剩余边流不保证可执行，事件对证书也未覆盖所有长一元尾；两种明确反例恰限制了这些更强推断。仍须对所有合法共同历史、相位、标签、共享后继、额外读取态和单点延续同时证明足够强的估计，或给出更小的完整初始化表。

当前全模型结论保持 $96\le C_B(3,2)\le105$，分别引用定理64.20与定义62.14、定理62.15。九十六至一百零四态是否存在、一般 $C_B(p,k)$ 的精确值及空间、时间、边界和记忆的长期关系恢复目标均未完成。本节的新增内容是上述普通数学推导、明确反例与完整有限数据，没有原创性或 Lean/kernel 核验主张。

## 67.99 追加锚

## 68. 饱和后缀的整树相位费用与低二元和的联合排除

本节承接第67节的完整事件、有序截止和逐目标最长尾记账。新增结果有两条相接的路线：任意饱和活动槽的完整后继锥给出精确间隙费用，并排除八个第二读事件的低容量实现；实际二元等待总和不超过五十二时，低费用树谱与同一组实际前驱的关联预算给出另一条全模型条件下界。两者均不要求整个控制器无环，也不把必要投影当成可执行总表。现有 $96\le C_B(3,2)\le105$ 保持不变。

### 68.1 同一实现与一次收费

**约定 68.11（实际事件、尾基准及关联剩余）。** 沿用定义67.11：$p\ge2$，$P=p^k$，$M=pP$，全部原输入 $x\in\mathbb Z/M\mathbb Z$ 从同一来源无关控制态及来源 $s=x$ 出发。$W$ 恰加一，$R$ 只读高位数字，$H$ 输出固定原标签；实际动作词为 $W^\ell R(W^+R)^*$，末读后立即停，至多 $h$ 读。所有名义终止态、读取态、等待、控制前缀和内部计数均收费。单点延续、额外读取态、任意正整周期等待和在全部初始化输入上终止的环仍允许；没有免费时钟、复位、复制、逆步、来源相关准备或终止侧信道。

$q_0$ 是共同首读态，$r$ 数实际读取态。活动槽 $v=(q,d)$ 的字面后继确定下一读取目标 $\tau(v)$ 及实际正等待 $\delta(v)$。全部事件 $(x,i)$ 保留原索引、完整相位和固定输出。引理66.12给出联合配置唯一性、不同前驱到达不交、$q_0$ 无实际入边，以及

$$
L_q=\max_{\tau(v)=q}\delta(v),\qquad
E=\sum_{q\ne q_0}(L_q-1),\qquad
C\ge M+2r-1+\ell+E.
\tag{68.1}
$$

不同目标的最长单位等待链互不共用状态；同一目标只按最大值收费。下文的模 $P$ 归约只用于必要投影或设计全新专用后缀，不修改原共享表。

专取 $p=3,P=9,h=5$ 时，复用定理56.3、58.2及命题67.19，写 $r=25+e$，$e\ge0$。二十四个分析二元出现由完整历史展开，并仅在分析中于原标签单点截断。其实际进入等待总和为 $B$，$m_q^{\rm bin}$ 数进入目标 $q$ 的二元出现。记

$$
\begin{aligned}
b_q&=\begin{cases}
\max_{H\text{ 二元进入 }q}\delta_H,&q\text{ 承载二元出现},\\
1,&q\text{ 不承载二元出现},
\end{cases}\\
\gamma_q&=\sum_{H\text{ 二元进入 }q}\delta_H-b_q-(m_q^{\rm bin}-1)
\quad(q\text{ 为二元宿主}),\\
\Gamma&=\sum_{q\text{ 为二元宿主}}\gamma_q,\qquad
\omega_q=L_q-b_q,\qquad \Omega=\sum_{q\ne q_0}\omega_q.
\end{aligned}
\tag{68.2}
$$

$A_q$ 数指向 $q$ 的不同实际活动槽，$Z_q$ 数其未用数字槽。本节用 $\beta_q$ 表示第58节的关联剩余，以免与二元基准 $b_q$ 混淆：

$$
\begin{gathered}
A_q+Z_q=2+\beta_q,\qquad \beta_q\ge0,\qquad
\sum_{q\ne q_0}\beta_q=e,\\
E=B-\Gamma+\Omega-24,\\
C\ge76+2e+\ell+E
 =52+2e+\ell+B-\Gamma+\Omega.
\end{gathered}
\tag{68.3}
$$

这些量始终属于同一控制器；$e$ 是一个全局预算。不同证书若重复使用某个目标，不能把它的 $E$ 与 $\Omega$ 再加一次。

### 68.2 任意饱和槽的完整有序后继锥

**定理 68.12（饱和锥、目标单射与间隙费用）。** 在约定68.11的一般模型中，设 $p\in\{2,3\}$，实际活动槽 $v$ 的完整事件集满足

$$
K(v)=\sum_{(x,i)\text{ 在 }v}2^{i-h}=1.
\tag{68.4}
$$

按当前数字块的低位排成 $Y=(y_1<\cdots<y_m)$，其中 $0\le y_j<P$，相应索引为 $i_j$，截止为 $a_j=h-i_j$。则 $m\ge2$；从 $v$ 出发的完整实际后继槽图是一棵满有序二叉树 $T$，有 $m$ 个叶和 $m-1$ 个内部槽。第 $j$ 叶深度恰为 $a_j$，所有这些事件恰在索引 $h$ 停止。此锥内没有槽环或重新汇合，且 $m-1$ 个内部槽的下一读取目标两两不同，均非 $q_0$。这些结论不排除控制器其他部分的环。

对每个内部节点 $u$，令 $k(u)$ 为其左右子树之间的全局叶间隙，$j(u)\in\{0,1,2\}$ 为其内部孩子数，$\rho(T)$ 数通向内部右孩子的边。置

$$
F_T(Y)=P(1+\rho(T))
 +\sum_{j(u)=2}(y_{k(u)}+1)
 -\sum_{j(u)=0}y_{k(u)+1}.
\tag{68.5}
$$

若 $Q_v$ 为上述 $m-1$ 个实际目标，则

$$
\sum_{q\in Q_v}(L_q-1)\ge F_T(Y)-(m-1),\qquad
C\ge M+2r-1+\ell+F_T(Y)-(m-1).
\tag{68.6}
$$

证明。先说明饱和作用于完整事件而非某个前驱的局部列表。不同输入不能共享非终止联合配置，否则确定未来给同一固定输出；同一输入不能重复该配置，否则不会终止。同槽事件因而有不同完整相位及低位。它们从该槽出发的完整未来答案词互异、前缀自由：相同词决定相同字面后继和输出；同一输入的不同访问若有相同词长，则与其不同索引矛盾，而真前缀已停止也不能延长。一个平移数字块最多给两个下一数字，所以二元 Kraft 界给每个完整槽 $K\le1$，亦即第57.2、67.15节所用的事件预算。

活动饱和槽的每个事件都有下一读，索引加一使总质量从一翻为二。至多两个下一槽各有完整质量至多一，因此恰有两个孩子，每个从此槽接收全部质量一；不同前驱的事件不交，任何外部事件都不能再进入。此论证逐层适用。饱和终止槽只有一个最终事件，质量一迫使其索引为 $h$。

饱和孩子只有一个实际前驱。若可达槽图有环，任选环上的一个事件，沿环的唯一前驱反向追索，每绕一圈索引严格减小；这与事件索引为正整数矛盾。两个不同分支也不能重新汇合，因为那会给同一个饱和孩子两个前驱。槽数有限，故得到有限满二叉树。若入口两事件属于同一原输入，其后一次入口访问会形成回到 $v$ 的路径，已被排除。因此入口事件对应 $m$ 个不同固定标签，也恰给 $m$ 个叶；每叶停于 $h$，深度就是 $a_j$。

沿共同未来答案前缀，累计平移相同；条件化到两个非空数字把原低位列表切成连续的前段和后段。即使跨完整模 $M$ 接缝，也按原低位而非数字名称的大小排序。因此树是有序树。叶的二进区间长为 $2^{-a_j}$，总长一，故无空隙地按此顺序填满 $[0,1)$，左端为此前长度的累加和。实际存在保证每个左端有相应二进对齐；有序精确叶深度因而唯一确定 $T$。

每个内部饱和槽供应其目标上的两个完整质量一的数字槽。两个不同内部槽若有同一目标，其两元素数字集在 $p\le3$ 时必相交；相交槽会从两个不同前驱收到总质量二，矛盾。这证明的是实际读取目标单射，不只是历史节点不同。$q_0$ 无实际进入，故不在目标集中。

最后计算等待。内部节点 $u$ 的实际切口在入口低位坐标中是整数 $c_u$，满足

$$
y_{k(u)}<c_u\le y_{k(u)+1}.
\tag{68.7}
$$

到这次分割的累计等待模 $P$ 为 $-c_u$。根等待至少 $P-c_{\rm root}$；若内部孩子 $w$ 位于父 $u$ 的左、右侧，其进入等待分别至少

$$
c_u-c_w\quad\text{和}\quad P+c_u-c_w.
\tag{68.8}
$$

不同叶间隙的严格顺序保证这些数全在 $1,\ldots,P-1$。原实际等待可比它们多非负的 $P$ 倍数，证明没有缩短任何原表行。把（68.8）和根项相加，得

$$
\sum_{u\text{ 内部}}\delta(u)
\ge P(1+\rho(T))+\sum_{u\text{ 内部}}(j(u)-1)c_u.
\tag{68.9}
$$

不同间隙的切口独立可选。系数 $+1$ 取最小端点 $y_{k(u)}+1$，系数 $-1$ 取最大端点 $y_{k(u)+1}$，系数零不影响和，恰得（68.5）。每个等待属于不同实际目标，故 $\sum_{q\in Q_v}L_q\ge\sum_u\delta(u)$；减去 $m-1$，再用（68.1），得到所述界。$\square$

**命题 68.13（专用新后缀的条件性达到）。** 给定一个入口数字 $b$、上述有序低位 $Y$、不同固定原标签及叶深度为 $a_j$ 的满有序树 $T$，入口合同是在已经读完的同一槽，事件 $j$ 的完整相位为 $bP+y_j$，允许再读 $a_j$ 次。可用恰 $m-1$ 个新 $R$ 态和 $F_T(Y)$ 个新 $W$ 态实现这个专用后缀；已有固定 $H$ 标签直接复用。入口槽及其上游费用不包含在这两个新增计数内。对饱和入口，定理68.12的目标单射及等待界使此专用计数达到下界。

证明。按（68.9）选择最小切口，为每个内部分割建立一个新读取目标，并分别建立长为（68.8）或根项的单位等待链。不同目标的链互不合并。若到某分割累计等待为常数 $A$，它的两分支数字为

$$
[b+\lfloor A/P\rfloor]_p,\qquad
[b+\lfloor A/P\rfloor+1]_p.
\tag{68.10}
$$

把原低位在切口前、后的孩子分别接到这两个数字：内部孩子接其新等待链，叶直接接其固定原标签；其余未用数字总化到任一已有 $H$。$b,A$、切口和标签只是写行时的常数，没有运行时寄存器。逐单位步相位始终为 $[bP+y_j+A]_M$，每个事件沿其有序路径走恰 $a_j$ 次读取。每个分割两边非空，故全部新 $R,W$ 态都被使用，等待总和恰 $F_T(Y)$。这给出实际驻定行，不授予自由时钟，也不声称此入口合同已有共同初始化上游。$\square$

例如 $p=3,P=9,Y=(0,3,8)$、截止 $(1,2,2)$，树的左孩子是叶，右孩子是二叶分割。取根切口三、右切口八，等待为六、四，故 $F_T(Y)=18-8=10$，新增两读态和十等待态。这说明不等索引的局部合同也能达到公式；它不是二十七输入总控制器。

**推论 68.14（等深度饱和特例）。** 若 $m=2^a$ 且入口事件都在索引 $h-a$，则树为深度 $a$ 的完美二叉树，且

$$
F_T(Y)=\frac{mP}{2}+\frac m2-1-y_m,\qquad
\sum_{q\in Q_v}(L_q-1)\ge\frac{m(P-1)}2-y_m.
\tag{68.11}
$$

证明。此时 $\rho=m/2-1$；两个孩子都为叶的节点位于奇数间隙，其余内部节点位于偶数间隙。故（68.5）的正项为 $\sum_{t=1}^{m/2-1}(y_{2t}+1)$，负项为 $-\sum_{t=1}^{m/2}y_{2t}$，消去即得。$\square$

同一锥中的嵌套饱和根共用目标，不能将其界相加。若几棵饱和后继槽树实际不交，才可再由两数字相交论证证明其目标全不交，从而相加。$K<1$ 时后继不再独占，本节不把树结构或目标单射延伸到未饱和槽。

### 68.3 九点的长二元等待与八事件第二读排除

**引理 68.15（四次余读必有至少六步的二元等待）。** 在 $p=3,P=9$ 的同一首读九点纤维上，若四次进一步读取内识别全部九个原标签，则至少一个分析二元出现的实际进入等待不小于六。一元等待不受此上界限制，实际单点延续允许。

证明。反设全部二元进入等待至多五。完整历史的当前支持是一个数字块中的精确连续整数区间，每次分割的上侧孩子从低位零开始；物理数字回绕不改变这件事。低位对 $\{0,1\}$ 的一次二元分离至少要等八步。

任意连续四点若只剩两读，叶容量迫使先作 $2+2$ 分割，再各分一次；上侧低位对 $\{0,1\}$ 因而不可能。低位初段 $\{0,\ldots,m-1\}$ 在 $m=3,4$ 时也不能两读完成：首个二元分割至少等待 $10-m\ge6$，而先作一元读取会留下超过两个点给末读。

任意连续六、七、八点都不能三读完成。首读必须二元，每个孩子至多四点；四点孩子已被上一段排除，唯一剩余是六点的 $3+3$，但其上侧低位初段三点也不能两读完成。低位初段四点不能三读完成，因为首分割至少六步，先一元又留下不可能的四点两读问题。低位初段五点同样不行：一元后五点超过末两读容量，唯一至多五步的首分割是等待五，留下四点孩子而只剩两读。

对初始全部低位 $\{0,\ldots,8\}$，首个进一步读取不能一元，否则九点仅余三读。其二元等待 $d\in\{1,\ldots,5\}$：若 $d\le3$，下侧有 $9-d\ge6$ 点，不能三读；若 $d=4,5$，上侧是已排除的低位初段四点或五点。矛盾。上述一元情形只用剩余读数和连续区间性质，没有限制一元等待长度。$\square$

**定理 68.16（八个第二读事件的全模型条件下界）。** 在 $p=3,P=9,h=5$ 的任意合法完整初始化控制器中，若某实际槽含八个索引二的事件，其最大低位为 $y_8$，则

$$
E\ge37-y_8\ge29,\qquad
C\ge113-y_8+2e+\ell\ge105+2e+\ell.
\tag{68.12}
$$

证明。八个事件已贡献质量 $8/8=1$，因此没有额外事件。推论68.14给七个不同目标组成的集合 $Q_v$，且

$$
\sum_{q\in Q_v}(L_q-1)\ge32-y_8.
\tag{68.13}
$$

每个这样的目标上有两个数字槽，被八事件后继锥的事件完全占满。

每个首读纤维有九个标签，不能首读即停，其固定根槽使全部九个输入在索引二进入同一读取目标。三个纤维若全进入当前八事件槽所在的读取态，该态三槽的总质量至少为 $27/8>3$，不可能。因此存在一个首读纤维 $F$，在索引二不进入此读取态；其九个标签与当前八标签不交。

$F$ 的任一二元出现都不能以 $Q_v$ 中的读取态为目标。该出现占两个非空数字，而目标已有两个完整饱和数字；三数字中两集合必相交，交处新增不同标签的正质量，矛盾。这里仍准许 $F$ 通过一元出现访问目标的空余第三数字，没有排除这种合法访问。引理68.15给 $F$ 的一个实际二元等待至少六，其目标在 $Q_v$ 外，另贡献至少五单位的 $E$。将这项与（68.13）相加，才得到 $E\ge37-y_8$；再用（68.3）即得容量界。$\square$

例如无初始前缀时，首读数字零等待三、数字一等待四后共入读取态 $Q$，在 $Q$ 的数字一出现八对（原标签，完整相位）

$$
(6,9),(7,10),(8,11),(9,13),(10,14),(11,15),(12,16),(13,17).
\tag{68.14}
$$

这是低位集 $\{0,1,2,4,5,6,7,8\}$，故任何合法完整扩展至少一百零五态。此处只给前缀及扩展下界，不假定已有扩展。一般地，任何至多一百零四态候选的各首分支等待模九必须在 $\{2,3,4,5,6,7\}$：余数零留下九点给三读，余数一、八产生被排除的八事件槽。

### 68.4 低二元和的必要投影与有限证书

**引理 68.17（九个低和树及正共享的两种必要类型）。** 在 $p=3,P=9,h=5$ 的任意实际完整控制器中，$B\ge51$。若 $B\le52$，则所有实际二元等待等于其模九最小正代表；其三棵首读纤维分析树或者全有二元和十七，或者两棵和十七、一棵和十八。沿用表63.33的 $T_j=\text{63.T0}j$，低和十七仅为 $T_1,T_2$，低和十八仅为 $T_3,\ldots,T_9$。

在 $B\le52$ 的同一条件下，若同一实际读取态承载两个进入等待大于一的二元出现，则唯一尚未排除的局部配对为

$$
(T_2\!:\!1,T_3\!:\!1),\quad (\delta_1,\delta_2)=(6,7);
\qquad
(T_2\!:\!1,T_6\!:\!0),\quad (\delta_1,\delta_2)=(6,2).
\tag{68.15}
$$

两种情形均是 $T_2\!:\!1$ 的低位前段与另一出现的低位后段占同一数字槽。这只是实际共享的必要条件，不是兼容实现证书。

证明。按完整历史展开，分析在原标签已为单点时停止；实际后续保留。逐等待取 $1+[(\delta-1)]_9$，只旋转后继的数字名称，不改变原标签分割、索引及一元／二元性。因此每个实际首读纤维都映到定义63.16的区间递推，无须属于第63节的构造语法。

为明确所用低和范围的完整性，递推状态为 $(l,u,t,a)$：原低位区间 $[l,u)$、累计偏移 $t\in\{0,\ldots,8\}$、余读 $a$。单点给唯一空树；非单点在 $a=0$ 或 $u-l>2^a$ 时不可行。否则逐个取 $d=1,\ldots,9$，按 $\lfloor(x+t+d)/9\rfloor$ 切成非空孩子，给孩子状态 $(l_z,u_z,[t+d]_9,a-1)$。各孩子树作笛卡尔积；两个孩子时向二元和加 $d$，一个孩子时不加。由首等待和孩子归纳，既包含任一合法投影，也只生成这样的投影。所有贡献非负，所以只删二元和大于十八的中间项不会漏掉本范围；一元等待九仍须保留。

根 $(0,9,0,4)$ 的截止十八求值给表63.33的全部九码，映射及和如下：

| 68.树标识 | 已有完整树码 | 二元和 | 一元等待多重集 |
| --- | --- | ---: | --- |
| 68.T1 | 63.T01 | 17 | $(7)$ |
| 68.T2 | 63.T02 | 17 | $(7)$ |
| 68.T3 | 63.T03 | 18 | $(7,7)$ |
| 68.T4 | 63.T04 | 18 | $(7,7,9)$ |
| 68.T5 | 63.T05 | 18 | $(6)$ |
| 68.T6 | 63.T06 | 18 | $(7,7)$ |
| 68.T7 | 63.T07 | 18 | $(7,7,9)$ |
| 68.T8 | 63.T08 | 18 | $(6)$ |
| 68.T9 | 63.T09 | 18 | $(6)$ |

各码在本范围出现一次，无和小于十七的码。这是命题63.17的低和部分，也可由刚述截止递推独立复算；这里无需使用全部树的总数。三个纤维遂给 $B\ge51$。若一个实际二元等待比其正代表多九或更多，则 $B\ge60$，所以 $B\le52$ 时没有这种二元提升。一元提升和单点实际延续并未被消除。

两个二元出现若共享同一读取态，不能跨同一物理数字边界，否则两份精确支持都含该边界相邻的两个点，违反事件分离。三数字中两个不同边界恰共用一个数字；在共同数字内，一份支持为后段 $[9-s,9)$，另一份为前段 $[0,t)$。完整相位在此数字内由低位唯一确定，故须先排除低位碰撞。保留每个事件自己的读取索引；非单点孩子的下一投影等待是固定的，而分析单点的下一等待自由，不能强迫它立刻停。

以下列出九树全部二十七个正共享候选签名。地址 `root` 为索引二的根，其后按原低位孩子顺序附 `0`、`1`，一元孩子附 `0`。列 $(s,d_s)$ 表示后段点数及其非单点孩子的下一正代表，$(t,d_t)$ 表示前段；横线表示分析单点，其实际继续不被限制。所有进入等待一的二元出现省略，因为它们不产生正 $\Gamma$。

| 68.签名 | 索引 $i$ | 进入等待 | $(s,d_s)$ | $(t,d_t)$ |
| --- | ---: | ---: | --- | --- |
| 68.T1:root | 2 | 5 | (4, 1) | (5, 6) |
| 68.T1:1 | 3 | 6 | (3, 1) | (2, 7) |
| 68.T2:root | 2 | 4 | (5, 2) | (4, 6) |
| 68.T2:0 | 3 | 2 | (3, 1) | (2, 7) |
| 68.T2:1 | 3 | 6 | (3, 1) | (1, —) |
| 68.T3:root | 2 | 4 | (5, 2) | (4, 7) |
| 68.T3:0 | 3 | 2 | (3, 1) | (2, 7) |
| 68.T3:1 | 3 | 7 | (2, 1) | (2, 7) |
| 68.T4:root | 2 | 4 | (5, 2) | (4, 7) |
| 68.T4:0 | 3 | 2 | (3, 1) | (2, 7) |
| 68.T4:1 | 3 | 7 | (2, 9) | (2, 7) |
| 68.T5:root | 2 | 5 | (4, 1) | (5, 6) |
| 68.T5:1 | 3 | 6 | (3, 1) | (2, 6) |
| 68.T5:110 | 5 | 2 | (1, —) | (1, —) |
| 68.T6:root | 2 | 5 | (4, 2) | (5, 6) |
| 68.T6:0 | 3 | 2 | (2, 1) | (2, 7) |
| 68.T6:1 | 3 | 6 | (3, 1) | (2, 7) |
| 68.T7:root | 2 | 5 | (4, 2) | (5, 6) |
| 68.T7:0 | 3 | 2 | (2, 9) | (2, 7) |
| 68.T7:1 | 3 | 6 | (3, 1) | (2, 7) |
| 68.T8:root | 2 | 3 | (6, 3) | (3, 6) |
| 68.T8:0 | 3 | 3 | (3, 1) | (3, 7) |
| 68.T8:01 | 4 | 7 | (2, 1) | (1, —) |
| 68.T9:root | 2 | 4 | (5, 2) | (4, 6) |
| 68.T9:0 | 3 | 2 | (3, 1) | (2, 6) |
| 68.T9:010 | 5 | 2 | (1, —) | (1, —) |
| 68.T9:1 | 3 | 6 | (3, 1) | (1, —) |

全部有向测试规则如下。取表中无序行对，允许同一 $T_1,T_2$ 行重复；只保留至少一行来自 $T_1,T_2$，或两行是同一 $T_3,\ldots,T_9$ 的不同节点的配对。前者允许两个低和纤维或一个低和纤维与唯一和十八纤维相配；后者检验唯一和十八纤维内部的共享。两种前段／后段朝向都检验，共二百九十八项。

对合并后的低位有序事件列表，以分母八执行第67.15节端点判据：

$$
z=0,\qquad t_i=2^{i-2},\qquad
z\leftarrow t_i\bigl(\lceil z/t_i\rceil+1\bigr),\qquad z\le8.
\tag{68.16}
$$

依次检验：低位是否重合；当前端点是否超八；两个非单点孩子是否要求不同的下一模九等待；若任一孩子强制下一等待，则用同一等待平移全部事件、索引全部加一，逐下一数字再作端点判据。单点孩子与另一历史共走字面后继，缺少的等待视作自由，绝不强迫停止。模九不同足以排除实际等待相等；模九相同只是必要条件。给实际共同等待加九的倍数只共同旋转数字名，不改变这些碰撞和截止判定。

按这一顺序，二百九十八项中九项相位碰撞、二百零六项当前有序截止失败、五十项强制等待冲突、二十九项下一有序截止失败，余四项。其共同数字均为 $T_2\!:\!1$ 前段对如下后段：$T_3\!:\!1$、$T_6\!:\!root$、$T_6\!:\!0$、$T_7\!:\!root$。这些整数判据连同完整签名表给出有限证书，不枚举驻定控制器。

两项根配对再走一步即失败。初始共同数字包含 $T_2$ 的单点 $(y,i)=(0,3)$ 及另一根的四个后段点 $(5,2),(6,2),(7,2),(8,2)$。根强制等待二后，某个共同数字包含

$$
(2,4),(7,3),(8,3).
\tag{68.17}
$$

$T_6$ 再强制等待一，产生共同数字内的 $(3,5),(8,4)$；$T_7$ 再强制等待九，产生 $(2,5),(7,4),(8,4)$。任一列表都把一个零剩余截止与其他事件放在一起，不可能。于是只剩（68.15）。这两项也未获全相位、共同初始化及全部后继闭包的充分性证明。$\square$

### 68.5 四种费用情形共用一个关联预算

**定理 68.18（零正折减或低二元和的全模型联合界）。** 在约定68.11的 $p=3,P=9,h=5$ 完整模型中，

$$
\Gamma=0\quad\text{或}\quad B\le52
\quad\Longrightarrow\quad
B-\Gamma+\Omega+2e\ge53.
\tag{68.18}
$$

更具体地，$B=51$ 强迫 $\Gamma=0$ 及 $\Omega+e\ge3$；$B=52$ 强迫 $\Gamma\in\{0,1,5\}$。其中 $\Gamma=1$ 时联合量至少 $55+e$，$\Gamma=5$ 时至少五十四。定理允许单位二元等待的共享、单点延续、额外读取态、一元整周期提升和终止环。

证明。引理68.17说明 $B=51$ 时没有正等待配对，故 $\Gamma=0$。$B=52$ 时只有一个和十八纤维。两个 $T_2\!:\!1$ 出现不能彼此共享，其他正配对又已全部排除，所以最多有（68.15）中的一对：等待六、七给折减五，等待六、二给折减一。任何额外单位等待的二元出现给折减零，不能组成隐藏的正共享三元组。因此 $\Gamma\in\{0,1,5\}$。

接下来在原表上数长等待的起点槽，不能只因两个历史名字不同就当它们为两个起点。以下树节点的进入等待正代表为七；其实际前驱槽称一项长需求，实际等待至少七。表同时列出该槽所在的二元父出现及父的进入等待：

| 68.需求来源 | 等待七的节点 | 实际起点所在的二元父出现 | 父进入等待 |
| --- | --- | --- | --- |
| 68.D1 | $T_1:11$ | $T_1:1$ | 6 |
| 68.D2 | $T_2:01$ | $T_2:0$ | 2 |
| 68.D3a | $T_3:01$ | $T_3:0$ | 2 |
| 68.D3b | $T_3:11$ | $T_3:1$ | 7 |
| 68.D6a | $T_6:01$ | $T_6:0$ | 2 |
| 68.D6b | $T_6:11$ | $T_6:1$ | 6 |

另有实际二元等待七的节点，仅为 $T_3:1,T_4:1,T_8:01$，其二元父分别为 $T_3:root,T_4:root,T_8:0$，父进入等待分别四、四、三。这些父身份由完整树码直接读出。

若所有二元基准不超过六，给一组已经证明互异的长需求按实际目标分组，令 $n_q$ 为进入 $q$ 的需求数。二元宿主至少还有一个不在需求中的二元前驱：其等待不超过六，与长需求的至少七不同。故 $n_q\le1+\beta_q$；若 $n_q>0$，则 $\omega_q\ge1$。无二元出现的目标满足 $n_q\le2+\beta_q$，而使用任何长需求使 $\omega_q=L_q-1\ge6$。两种情形都给

$$
n_q\le\omega_q+\beta_q.
\tag{68.19}
$$

这里只向同一目标收一次扩尾成本；前驱数与需求数放在同一 $A_q$ 中。

当 $B=51$，三个和十七纤维各给一项长需求。其父都是正等待二元出现，引理68.17不准其中任何两个共用读取态，故三个起点槽确实不同。全部二元基准至多六，求和（68.19）得 $3\le\Omega+e$。因此

$$
B-\Gamma+\Omega+2e\ge54+e.
\tag{68.20}
$$

当 $B=52,\Gamma=0$，若 $e\ge1$，联合量已至少五十四。设 $e=0$，只需排除 $\Omega=0$。两个和十七纤维的长需求起点互异；在 $\Omega=0$ 时，它们必须进入二元基准至少七的目标。若没有原生二元等待七，则已不可能；若有，和十八纤维恰提供唯一这样的目标。其原生七等待的二元父为刚列的根或 $T_8:0$，与两项需求的父都是不同正等待二元出现。$\Gamma=0$ 不许任意两者共用读取态，所以这个目标至少有三个不同实际前驱槽，违反 $A_q\le2$。故 $\Omega\ge1$，联合量至少五十三。

当 $B=52,\Gamma=1$，和十八纤维为 $T_6$，允许合并的是 $T_2:1$ 与 $T_6:0$。两个和十七纤维各给一项长需求，$T_6$ 给两项。$T_2:1$ 不是它自身长需求的父 $T_2:0$，故唯一允许合并不识别两项需求的父；其他正父不能共用读取态。因此四个需求起点仍不同。二元基准全不超过六，（68.19）给 $\Omega+e\ge4$，遂有

$$
B-\Gamma+\Omega+2e\ge55+e.
\tag{68.21}
$$

最后设 $B=52,\Gamma=5$。和十八纤维为 $T_3$，记承载 $T_2:1,T_3:1$ 的共同目标为 $Q$，其基准为七。仍有四个不同长需求起点：$T_3$ 的两个父 $T_3:0,T_3:1$，以及两和十七纤维各自的需求父；唯一合并伙伴 $T_2:1$ 不是本纤维需求父，故不合并这四个起点。

$Q$ 已有两个不同二元前驱，分别带等待六、七。原生六等待的前驱不可能等于任何长需求；原生七等待的父为 $T_3:root$，它不能与任一需求父共享读取态，所以该七等待前驱也不同于全部四项需求。因此

$$
n_Q\le\beta_Q.
\tag{68.22}
$$

在 $Q$ 以外至多有一个二元基准六的目标，因为已使用的 $T_2$ 唯一六等待在 $Q$，$T_3$ 没有其他六等待，第三棵和十七树只含一个六等待；其余二元基准至多五。额外单位等待共享只能占用前驱位置，不能制造第二个基准六目标。

令 $\varepsilon_q$ 仅在这个可能的外部基准六目标取一，其余取零。逐目标证明

$$
\omega_q+2\beta_q\ge2n_q-\varepsilon_q.
\tag{68.23}
$$

在 $Q$，由（68.22）及 $\omega_Q\ge0$ 即得。其他二元宿主的原生二元前驱等待至多六，与长需求不同，故 $n_q\le1+\beta_q$。若 $n_q\le\beta_q$ 已足够；否则整数性给 $n_q=1+\beta_q$，而 $\omega_q\ge7-b_q\ge2-\varepsilon_q$，也足够。无二元出现的宿主满足 $n_q\le2+\beta_q$；无需求时显然，有需求时 $\omega_q\ge6$，因此同样满足（68.23），这里 $\varepsilon_q=0$。在所有实际目标上仅求和一次，得到

$$
\Omega+2e\ge2\sum_qn_q-\sum_q\varepsilon_q\ge8-1=7,
\qquad B-\Gamma+\Omega+2e\ge52-5+7=54.
\tag{68.24}
$$

这覆盖全部 $B\le52$。若 $\Gamma=0,B\ge53$，由 $\Omega,e\ge0$ 立即得（68.18）。全证明没有假设 $\Gamma\le\Omega$，也没有把可分别达到的局部最优值当成同时可达。$\square$

**推论 68.19（至多一百零四态候选的共同必要条件）。** 任一完整 $p=3,P=9,h=5$ 控制器若 $C\le104$，则必须同时满足

$$
B\ge53,\qquad\Gamma>0,\qquad
\text{每个实际槽的索引二事件数至多七}.
\tag{68.25}
$$

证明。前两项由（68.3）、定理68.18及 $\ell\ge0$；第三项由定理68.16，超过八个更已违反槽质量界。这里是必要条件的合取，不把两条下界的 $E$ 或 $\Omega$ 相加。$\square$

### 68.6 文献对应、物理费用与未解范围

有序信息和等待资源在这里有明确分工。[Bruno、De Prisco、De Santis、Vaccaro，*Bounds and Algorithms for Alphabetic Codes and Binary Search Trees*，arXiv:2407.16443v1](https://arxiv.org/pdf/2407.16443v1) 第IV节定义1及定理1给出正整数有序码长的 `trunc/sum` 判据，存在条件为 $\operatorname{sum}(L,m)<1$。该文将判据归于 Nakatsu，并说明 Yeung 的等价结果。这里直接核对的是 Bruno 等的上述版本及段落，不声称直接核对 Nakatsu、Yeung 原文。第67.15节的端点证明还覆盖截止零；本节饱和情况由长度和一确定有序树。编码判据不含单位等待、实际目标身份、固定终止标签或同一来源初始化，不能独自推出（68.5）或（68.18）。

[Nutov、Shalom，*Approximating activation edge-cover and facility location problems*，arXiv:1812.09880v1](https://arxiv.org/pdf/1812.09880v1) 第1节将固定边集 $J$ 的最小顶点激活值写为该顶点所选关联边阈值的最大值。对一张已实现的控制器，给每个实际活动槽一个左顶点、每个非首读目标一个右顶点，只保留其实际边 $v\to\tau(v)$，边两端阈值取零和 $\delta(v)-1$。要求覆盖所有左顶点即强制保留这组边，故激活费用恰为

$$
\sum_{q\ne q_0}\max_{\tau(v)=q}(\delta(v)-1)=E.
\tag{68.26}
$$

这是固定实际边集上的费用对应。该文定理1的近似保证有其斜率条件；这里左阈值为零不能凭空得到有限斜率，更不能把近似比变成精确容量界。若把互相替代的边作为可任选候选，普通覆盖约束并不检验共同相位、到达碰撞、截止和字面后继，因此尚未得到控制器综合问题。增加可用尾长不等于增加实际等待仍保持物理可行。

[Garg、Raz、Tal，*Extractor-Based Time-Space Lower Bounds for Learning*，arXiv:1708.02639v1](https://arxiv.org/pdf/1708.02639v1) 定义2.1—2.3及推论3使用随机样本学习模型；推论3要求每个至少含 $2^{-k}|A|$ 行、$2^{-l}|X|$ 列的子矩阵偏差至多 $2^{-r}$。这个前提在本端口上有显式反例。固定一个首读数字，令

$$
A=X=\{0,\ldots,P-1\},\qquad
S(a,x)=\begin{cases}+1,&a+x<P,\\-1,&a+x\ge P.\end{cases}
\tag{68.27}
$$

取 $A_0=X_0=\{0,\ldots,\lfloor(P-1)/2\rfloor\}$，二者大小均为 $\lceil P/2\rceil$，且其上总有 $a+x\le P-1$。这个全正矩形偏差为一，故对所有 $k,l\ge1,r>0$ 都违反上述前提；$P=9$ 时就是低位零至四的 $5\times5$ 矩形。此外，本控制器的下一偏移随已见答案确定，并由收费 $W$ 态实现，不是独立均匀抽取的询问。分层分支程序的宽度与本题全部驻定名义态也不是同一种资源。这里排除的是这条定理迁移，未反驳其原定理或本题容量猜想。

上述三项来源只承担这些具体对应和边界。定理68.12相对于第56节的整纤维饱和及第67节的一步排斥，增加了任意局部饱和锥、不等入口索引和整树间隙费用；定理68.18相对于第65.17节的二元宿主单射情形，还允许不产生正折减的非单射宿主，并处理 $B\le52$ 内尚余的正共享。它们是基于本卷既有结果的普通推导，不主张历史原创或 Lean/kernel 核验。

低和证书只在 $B\le52$ 条件下完整：它重建九棵投影树、全部二十七个正签名及二百九十八个朝向测试；两个幸存类型没有被证明能扩成共同初始化控制器。专用后缀达到式也只针对所列入口合同，不能删除一张未知总表的旧状态或声称全局节省。公开区间 $96\le C_B(3,2)\le105$ 不变；一般情形仍须对 $B\ge53,\Gamma>0$、没有八事件第二读槽的完整实现证明 $E+2e\ge29$，或给出全部收费、相位、标签和后继都正确的更小总表。未饱和共享、后期正共享、额外读取态及终止环仍在这个未解范围内。一般 $C_B(p,k)$ 及空间、时间、边界、记忆的整体恢复目标均未完成。

## 68.99 追加锚

## 69. 七事件后缀的实际目标分离与无等待截断的容量限制

本节沿用定义67.11、约定68.11，在同一张正确完整初始化表上固定 $p=3,P=9,M=27,h=5$。原标签、共同前缀 $\ell$、所有实际正等待及全部收费状态保持原义；单点延续、一元提升、额外读取态和合法终止环仍允许。以下只复用

$$
r=25+e,\qquad \beta_q=A_q+Z_q-2\ge0,\qquad
\sum_{q\ne q_0}\beta_q=e,\qquad
E=B-\Gamma+\Omega-24,\qquad C\ge76+2e+\ell+E.
\tag{69.1}
$$

### 69.1 七个第二读事件强制的分割骨架

**引理 69.11（七事件槽的六个实际起点与目标）。** 若一个实际槽 $v$ 恰含七个索引二事件，则这七个事件穷尽该槽的完整事件集。将它们按当前低位排列，在原标签成为单点处仅截断所选事件的分析分支，三次余读强制如下四种有序七叶分割骨架之一。以星号表示所选单点，令 $\pi=(\ast,\ast)$，则

$$
\begin{aligned}
T_1&=((\ast,\pi),(\pi,\pi)),&
T_2&=((\pi,\ast),(\pi,\pi)),\\
T_3&=((\pi,\pi),(\ast,\pi)),&
T_4&=((\pi,\pi),(\pi,\ast)).
\end{aligned}
\tag{69.2}
$$

六个内部节点对应六个不同实际活动槽，它们的下一读取目标也两两不同，且均非 $q_0$。这只断言所选分割的身份，不断言完整后继图就是该骨架。

证明。按第67.15—67.16节，同槽完整事件质量满足 $K\le1$。七个索引二事件已有质量 $7/8$；任何索引至少三的额外事件贡献至少 $1/4$。含第二读事件的槽不在 $q_0$，因为引理66.12禁止实际回访首读态，故也没有索引一事件。再由“恰七个”的假设排除其他索引二事件，完整列表遂已穷尽。七个事件来自七个不同原输入，完整相位及低位也互异。

三次余读中，每次至多二分。七个标签的下一读若不分割，余下两读至多分出四个标签；故须立即分成 $3+4$ 或 $4+3$。四标签分支须立即分成 $2+2$，三标签分支须立即分成 $1+2$ 或 $2+1$，三个二标签分支都须在最后一读分开。这给（69.2），并排除任何非单点的一元停留。三标签分支所产生的单点仍可实际继续，其他来源的事件也可进入未饱和后继；这里没有删除这些执行。

六个分割起点上的所选事件质量依次为

$$
\frac78,\quad\frac34,\quad1,\quad1,\quad1,\quad1.
\tag{69.3}
$$

其中三标签、四标签起点的索引为三，三个二标签起点的索引为四。不同节点所选事件按原标签或索引互不相同；若两个节点是同一实际槽，合计质量至少 $7/8+3/4>1$，矛盾，故六个起点互异。

对任一这样的起点，设其所选质量为 $k$。它向下一读的两个数字发送总质量 $2k$；每个数字的完整容量至多一，所以每一侧至少接收 $2k-1$。若两个不同起点共用读取目标，其两个二数字集在三数字中必相交。引理66.12使两起点的到达事件不交，于是交处给

$$
(2k-1)+(2k'-1)\le1,\qquad k+k'\le\frac32.
\tag{69.4}
$$

这是命题67.17的同一质量论证，亦适用于这里保留的事件子集。骨架内最小的两个质量之和为 $13/8>3/2$，因此六个目标互异。首读态无实际入边，故不在这些目标中。$\square$

**引理 69.12（七叶投影的定向等待费用）。** 令 $0\le y_1<\cdots<y_7\le8$ 为引理69.11的入口低位，$Q_v$ 为其六个实际目标。对（69.2）的四种形状，其六个分割等待的模九正代表之和的投影最小值分别为

$$
F_1=F_3=38-y_7,\qquad
F_2=29+y_3-y_2-y_7,\qquad F_4=29-y_6.
\tag{69.5}
$$

因而 $\sum_{q\in Q_v}(L_q-1)\ge F_t-6\ge16$。若三标签分支的单点在左，即 $T_1$ 或 $T_3$，则此和至少二十四。这里的最小值只在所列切口投影中取，不主张有一张完整控制器同时达到它。

证明。沿用定理68.12的切口坐标计算，但目标单射由引理69.11另证，不对未饱和槽套用饱和后继锥结论。每个内部节点恰对应一个全局叶间隙 $k$，选择整数

$$
y_k<c_k\le y_{k+1}\qquad(1\le k\le6).
\tag{69.6}
$$

固定等待平移使下一数字按原低位切成左右连续两组，即使物理数字跨模二十七接缝也是如此。若父切口为 $c_u$、内部孩子切口为 $c_w$，则根分割、左内部孩子分割、右内部孩子分割的等待正代表依次为

$$
d_{\rm root}=9-c_{\rm root},\qquad
d_w=c_u-c_w\ \text{（左）},\qquad
d_w=9+c_u-c_w\ \text{（右）}.
\tag{69.7}
$$

切口所在间隙的次序保证这些代表在一至八之间。原表对应等待为 $d_u+9n_u$，$n_u\ge0$；这里只给下界，不缩短原等待或独立改变物理数字。

令 $j(u)$ 为内部孩子数，$\rho$ 为通向内部右孩子的边数。每个切口在自身等待中系数为负一，在每个内部孩子的等待中系数为正一，故

$$
\sum_u d_u=9(1+\rho)+\sum_u(j(u)-1)c_u.
\tag{69.8}
$$

四种形状的具体式与端点最小值为：

| 69.形状 | 六个正代表之和 | 切口投影最小值 |
| --- | --- | --- |
| 69.T1 | $36+c_3+c_5-c_2-c_4-c_6$ | $38-y_7$ |
| 69.T2 | $27+c_3+c_5-c_1-c_4-c_6$ | $29+y_3-y_2-y_7$ |
| 69.T3 | $36+c_2+c_4-c_1-c_3-c_6$ | $38-y_7$ |
| 69.T4 | $27+c_2+c_4-c_1-c_3-c_5$ | $29-y_6$ |

不同间隙各自取值；正系数取 $c_k=y_k+1$，负系数取 $c_k=y_{k+1}$，零系数任取，即得（69.5）。六个目标互异，所以实际 $L_q$ 逐个支配对应代表；各减一后可求和。$y_7\le8$ 给 $F_1-6=F_3-6\ge24$；$y_3-y_2\ge1$、$y_7\le8$ 给 $F_2-6\ge16$；$y_6\le7$ 给 $F_4-6\ge16$。$\square$

### 69.2 两个七事件槽的唯一目标重合及其费用

**定理 69.13（两个七事件槽的全模型条件排除）。** 同一控制器若有两个不同的、各恰含七个索引二事件的槽，则

$$
E\ge32,\qquad C\ge108+2e+\ell.
\tag{69.9}
$$

若两骨架的三标签分割起点共用下一读取目标，则更有

$$
E\ge34,\qquad C\ge110+2e+\ell.
\tag{69.10}
$$

所以任意 $C\le104$ 的控制器至多有一个这样的七事件槽。此条件下界不使用 $B$、$\Gamma$、低二元和证书、八事件排除或无环假设。

证明。一个输入只有一次第二读，两个入口槽的原标签集合因此不交。沿两骨架选出的十二组分割起点事件，组间仍按原标签或索引不交。任意两组的质量和至少 $3/4+3/4>1$，故十二个实际起点全部不同。由（69.4），跨骨架的目标识别只可能发生在两个质量 $3/4$ 的三标签起点之间；任何其他一对的质量和都严格大于 $3/2$。若没有这一识别，两组各六个目标全不交，引理69.12的两个十六可以相加，得（69.9）。

若两三标签起点共用目标，每组在索引四分别发送一个单点和一个二点组。因此，在物理数字的循环次序上，它们的到达质量向量分别是

$$
(1/2,1,0)\quad\text{或}\quad(1,1/2,0)
\tag{69.11}
$$

的循环旋转。每组质量一的二点数字不能接收另一组的任何正质量；两组的二点数字必须不同，两个单点只能同在剩余第三数字。若两组三标签分割的左右朝向相同，物理循环次序会使共同单点旁的二点数字也相同，矛盾。因此一组单点在左，另一组单点在右。这里用的是实际相邻数字的循环次序；任意九倍等待提升只旋转数字名，不改变此结论。

对这两个实际切口配置，分别令 $S,S'$ 为六个正代表减一后的和，令 $d,d'$ 为进入共同目标的正代表。引理69.12给 $S\ge24,S'\ge16$，或反之。目标并集只在此一处重合；共同目标的实际费用支配 $\max(d-1,d'-1)$，因此

$$
E\ge S+S'-\min(d-1,d'-1).
\tag{69.12}
$$

单点在右、二点在左的一组为 $T_2$ 或 $T_4$。在 $T_2$，三标签分割的代表为 $c_3-c_2\le7$；在 $T_4$，它为 $9+c_4-c_6\le7$，因为严格有序间隙给 $c_6\ge c_4+2$。于是所减最小值至多六，得到 $E\ge24+16-6=34$。此处扣除的是正代表的重复费用；没有声称两个实际提升等待的较小者也至多七。其余实际目标费用非负，任意等待提升都不会削弱（69.12）。代入（69.1）得容量界。$\square$

### 69.3 两个完整首读纤维的共享数字守卫

**推论 69.14（七事件所在数字与共享数字须分别指定）。** 设 $C\le104$，并使用定理68.16给出的无八事件第二读槽条件。若一个读取态 $Q$ 接收两个完整首读纤维，且某数字含七个索引二事件，则 $Q$ 的三个数字的索引二事件数多重集为 $\{5,6,7\}$；按循环数字次序，它是 $(6,7,5)$ 或 $(5,7,6)$ 的循环旋转。

设两个纤维在共同数字上的支持分别为低位前段 $0,\ldots,a-1$ 和后段 $b,\ldots,8$。上述条件仅推出

$$
(a,b)\in\{(2,5),(2,6),(3,5),(3,7),(4,6),(4,7)\}.
\tag{69.13}
$$

只有额外指定“这个共同数字本身有七个索引二事件”，才可推出

$$
b=a+2,\qquad (a,b)\in\{(3,5),(4,6)\}.
\tag{69.14}
$$

证明。每个首读纤维的九个输入共用根槽及其实际等待，故索引二到达为同一长度九的精确循环区间。不同根槽的到达集不交。若三个完整纤维都到 $Q$，总质量为 $27/8>3$，违反三个数字槽的总容量。因此恰有这两个首读纤维在第二读到 $Q$，索引二事件总数为十八。

无八事件条件及槽质量界使各数字至多七；定理69.13又禁止两个七。既有一个七，另两个数和为十一且各至多六，故为五、六。这说明的是第二读占用数，不排除较小占用数字中的更晚事件。

两个九点区间都必须跨一个数字边界，否则某数字已有九个事件。它们不能跨同一物理边界，因为都会含该边界相邻的两点，与到达集不交矛盾。三数字中两个不同边界恰共用一个数字；在此一份为前段、一份为后段，且 $1\le a\le b\le8$。共同数字及其前、后相邻数字的第二读占用数依次为

$$
a+9-b,\qquad 9-a,\qquad b.
\tag{69.15}
$$

让这三个数取五、六、七的六种排列，直接解得（69.13）。若共同数字的数指定为七，则 $a+9-b=7$，另两个数为五、六，解得（69.14）。$\square$

例如取 $\ell=0$，首读数字零的实际等待为二、数字一为五，并都指向新读取态 $Q$。两组索引二相位分别为 $2,\ldots,10$ 和 $14,\ldots,22$，确实不交；$Q$ 的占用数为 $(7,6,5)$。共同数字一具有前段 $\{0,1\}$ 和后段 $\{5,6,7,8\}$，即 $(a,b)=(2,5)$；七事件在数字零。这个已初始化前缀说明，“某数字七事件”本身没有给出“共同数字七事件”的支持信息。它没有指定剩余纤维及后继，没有提供完整 $C\le104$ 控制器，也不充当该完整容量条件的反例。式（69.13）—（69.14）只是必要支持参数，不是等待赋值或可实现性证书。

### 69.4 实际二元等待的无截断上尾

**命题 69.15（由既有宿主上限得到的均匀等待和界）。** 在同一完整模型的所有实际正等待上，

$$
B-24\le3(E-\Omega)\le3E.
\tag{69.16}
$$

当 $e=0$ 时有更强的

$$
B-24\le2(E-\Omega)\le2E.
\tag{69.17}
$$

因此 $B\ge103$ 总能推出 $E+2e\ge29$；在 $e=0$ 时，$B\ge81$ 已足够。

证明。复用定理64.12及定义67.12的生产前驱槽单射，二十四个分析二元出现来自二十四个不同实际起点。复用推论65.19的物理边界单射，每个实际目标至多承载三个这样的出现，即 $m_q^{\rm bin}\le3$。这里两个结论均为既有结果：精确二元到达区间同时包含所跨边界的相邻两点，同一目标不同出现的支持不交，所以不能重用一个物理边界。

两个二元到达跨不同边界，在三数字上共用目标时已经使用全部数字，故 $Z_q=0$。若有三个二元到达，前驱槽单射给 $A_q\ge3$，于是 $\beta_q=A_q-2\ge1$。所以 $e=0$ 时每个目标至多承载两个二元出现。这使用同一全局预算 $\sum\beta_q=e$，不为各目标另给剩余。

对每个目标，全部二元等待 $\delta_H$ 都不超过约定68.11的实际二元基准 $b_q$，故

$$
\sum_{H\text{ 二元进入 }q}(\delta_H-1)
\le m_q^{\rm bin}(b_q-1).
\tag{69.18}
$$

无二元出现时两侧为零。逐实际目标求和，左侧恰为 $B-24$，且

$$
\sum_{q\ne q_0}(b_q-1)=E-\Omega.
\tag{69.19}
$$

代入宿主数上限三或二即得（69.16）—（69.17）。全过程使用实际整数等待，容纳任意正整周期提升，没有给 $B$ 人为截断。

若 $e\ge1,B\ge103$，整数性给 $E+2e\ge\lceil79/3\rceil+2=29$；若 $e=0,B\ge81$，则 $E\ge\lceil57/2\rceil=29$，也覆盖 $B\ge103$。这些上尾排除不依赖第68.17节的低和有限证书。$\square$

### 69.5 与已发表低和排除相交后的剩余类

**推论 69.16（至多一百零四态的必要剩余范围）。** 将定理69.13、命题69.15与已发表推论68.19取合取，任何完整 $C\le104$ 控制器都必须同时满足

$$
\Gamma>0,\qquad
\text{无八事件第二读槽，至多一个七事件第二读槽},\qquad
E+2e+\ell\le28,
\tag{69.20}
$$

以及下列二者之一：

$$
\begin{cases}
e=0,&53\le B\le80-2\ell,\\
1\le e\le9,&53\le B\le108-6e-3\ell.
\end{cases}
\tag{69.21}
$$

舍去非负前缀收费，右端分别为八十和 $108-6e$。保留原表的全部相位、固定标签、读取截止与字面后继相容条件；这些数值条件不替代它们。

证明。$B\ge53,\Gamma>0$ 和无八事件结论引用推论68.19；至多一个七事件由定理69.13。容量式（69.1）给 $E+2e+\ell\le28$。若 $e=0$，由 $B-24\le2E$ 得 $B\le80-2\ell$；若 $e\ge1$，由 $B-24\le3E$ 得 $B\le108-6e-3\ell$。当 $e\ge10$，后一右端至多四十八，小于五十三，故范围为空。这里仅对同一组量取必要条件的交集，没有将两条证书中的 $E$ 重复相加。$\square$

### 69.6 来源、投影证书与尚缺的共同实现约束

本节既有输入取自[固定版本7495752bf472e8c1cc24eaef1e8217af370903f3的本卷](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/7495752bf472e8c1cc24eaef1e8217af370903f3/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md)：引理66.12给实际事件与最长尾链分离；第67.15—67.17节给有序分支、完整槽质量与共同目标质量限制；定理68.12给间隙望远镜的计算方法。这里另外证明七事件所选骨架的起点、目标身份和唯一合并费用，没有把 $7/8$ 当作饱和。命题69.15直接应用定理64.12与推论65.19，二元前驱单射和三个物理边界上限不作为新增结果归属。

切口公式的有限核对范围为全部 $\binom97=36$ 组低位、四个三层七叶形状，共一百四十四个公式比较和四百二十组整数切口；各形状的最小超额依次为 $(24,16,24,16)$。两种相反三标签朝向的全部四万四千一百组切口投影配对，在共同目标取一次最大值后最小超额为三十四。式（69.11）的六个定向旋转作三十六次有序配对，恰六项通过逐数字质量上限，均为相反朝向、单点同数字。式（69.15）逐个解出六个支持参数，指定共同数字七事件后仅余两项。这些数据只核对相应投影和支持方程；普遍下界由上述普通证明承担，数据不认证完整控制器或全模型枚举。

推论69.16中的 $B\ge53,\Gamma>0$ 沿用推论68.19及其第68.17节九个低和树、二百九十八项朝向证书；该有限完备性在此作为既有前提使用，未重新执行核验，单列为 `ASSUMED-UNVERIFIED`。这一依赖只影响联合剩余类中的低和排除，不进入定理69.13或命题69.15的独立证明。既有容量两端也未重新认证。本节为普通数学推导，不主张历史原创或 Lean/kernel 验证。

公开区间仍为 $96\le C_B(3,2)\le105$。尚缺的是：对（69.20）—（69.21）内零个或一个七事件槽的实际共享，控制后期正共享、单点延续、额外读取态和终止环，在同一张表上证明 $E+2e+\ell\ge29$（更强的 $E+2e\ge29$ 亦足够）；或者给出所有相位、标签、读取／等待后继与收费状态都相容的更小完整初始化表。当前排除既没有证明这些剩余配置存在，也没有给出普遍一百零五下界。一般 $C_B(p,k)$ 的精确容量及空间、时间、边界、记忆的整体恢复目标仍未完成。

## 69.99 追加锚
## 70. 实际相位的二十单位尾界与七事件目标的宿主亏损

固定定义67.11、约定68.11中的同一张正确完整初始化 $W/R/H$ 总表 $K$，取 $p=3,P=9,M=27,h=5$。全部原输入从同一控制态和来源 $s=x$ 开始；$W$ 恰加一，$R$ 只读高位数字，$H$ 单独输出固定原标签。每条执行有限、至多五读，动作词为 $W^\ell R(W^+R)^*$，末读后立即停止。容量 $C$ 收费全部名义读取、终止、单位等待、控制前缀、内部计数和未达状态。原表的共同前缀 $\ell$、所有实际正整数等待、单点延续、一元历史、额外读取态和合法终止环均保留；没有来源相关准备、免费计时、复位、复制、逆步或终止侧信道。

本节的量始终属于这个 $K$：$q_0$ 是首读态，$r=25+e$，$e\ge0$；实际活动槽 $v$ 的字面等待和下一读取目标为 $\delta(v)>0,\tau(v)$。只复用

$$
L_q=\max_{\tau(v)=q}\delta(v),\qquad
E=\sum_{q\ne q_0}(L_q-1),\qquad
C\ge76+2e+\ell+E.
\tag{70.1}
$$

引理66.12在原表上给出这个收费注入：$q_0$ 无实际入边；前缀、不同目标的最长等待链互不占用同一等待态；二十七个固定原标签另需二十七个终止态。下文不以删除、缩短或重标原表取得这些不等式。

### 70.1 同一实际目标的相位排斥与逐层收费

**引理 70.11（到达事件的目标排斥）。** 从 $K$ 的完整历史展开中选取不同非单点读后历史，并考察它们各自的下一读取出现 $H$。记录它的实际输入事件集 $\mathcal E_H=\{(x,i_H)\}$、实际等待 $\delta_H$、完整到达相位集 $S_H\subseteq\mathbb Z/27\mathbb Z$，以及每个物理数字的质量

$$
k_H(a)=\sum_{(x,i_H)\in\mathcal E_H\,:
\,\lfloor s(x,i_H)/9\rfloor=a}2^{i_H-5}.
\tag{70.2}
$$

不同出现的事件身份不交。若 $S_H\cap S_J\ne\varnothing$，或某个数字满足 $k_H(a)+k_J(a)>1$，则两个出现不能进入同一实际读取目标。对整数 $t\ge2$，在 $\delta_H\ge t$ 的所选出现上按上述两种条件连边，任一团的大小都不超过

$$
m_t=\#\{q\ne q_0:L_q\ge t\},\qquad
E=\sum_{t\ge2}m_t,\qquad m_t\ge m_{t+1}.
\tag{70.3}
$$

若同一实际表已给出逐层下界 $b_t$，则应使用单调包络 $\widehat b_t=\max_{s\ge t}b_s$，从而 $E\ge\sum_{t\ge2}\widehat b_t$。

证明。完整历史在固定索引处分割原输入，不同索引又给不同事件，故事件集不交。若实际目标相同且相位相交，两件不同事件就共用一个非终止联合配置，违反引理66.12。若同数字合计质量大于一，完整目标槽包含这些互异事件，违反命题57.2的完整槽质量界；未选访问只有非负贡献。这两个论证也包含一个原输入在不同索引的访问，不要求控制图无环。

实际目标给排斥图一个合法分组，所以团中出现必须进入不同目标。每个这样的目标满足 $L_q\ge\delta_H\ge t$，故团单射到同一个目标层。对单个目标，$\sum_{t\ge2}\mathbf1_{L_q\ge t}=L_q-1$；交换有限和得到（70.3）。层集嵌套给单调包络。这是每个目标按自己的最大等待收费，不是每条历史各获一份尾预算。$\square$

两两不相邻只是必要相容条件：它没有给出全部事件的联合质量、逐数字一致后继、等待链闭合、固定终止标签或共同初始化实现。

### 70.2 保留一元读取的完整必要投影

**命题 70.12（区间递推、整数质量及费用截止）。** 把每个实际非单点历史的等待仅在分析中取正代表

$$
d=1+((\delta-1)\bmod9)\in\{1,\ldots,9\}.
\tag{70.4}
$$

原标签成为单点时停止该分析分支，其他一元读取全部保留。当前低位为精确区间 $I=[l,u)\subseteq[0,9)$，还有 $j$ 次读取时，对每个 $d$ 取全部非空孩子

$$
I_z(d)=[l+d,u+d)\cap[9z,9(z+1))-9z.
\tag{70.5}
$$

令 $\mathcal T_j(l,u)$ 为以下有序树多重集：单点只有叶 $*$；非单点在 $j=0$ 或 $u-l>2^j$ 时为空；其余逐个 $d=1,\ldots,9$，对非空孩子的树作笛卡尔积，并加根 $d(T_0,\ldots)$。孩子按平移后的整商次序排列；一元根同样消耗一次读取。不同等待、不同孩子组合分别计数，不作支配或费用剪枝。

给树附整数向量 $u(T)$，坐标为 $t=2,\ldots,9$。叶向量为零；非叶满足

$$
u(T)_t=(u-l)2^{4-j}\mathbf1_{d\ge t}
             +\sum_z u(T_z)_t.
\tag{70.6}
$$

式中左侧 $u(T)$ 是向量记号，区间右端仍为 $u$。对三个首读纤维的向量 $u^{(0)},u^{(1)},u^{(2)}$，置

$$
a_t=\left\lceil\frac{u^{(0)}_t+u^{(1)}_t+u^{(2)}_t}{24}\right\rceil,
\qquad c=\sum_{t=2}^{9}a_t.
\tag{70.7}
$$

则每个实际 $K$ 都有这样一组三树，满足 $a_t\le m_t$、$c\le E$。

证明。在首读位置用坐标 $y=[x+\ell]_{27}$，原输出仍是 $x=[y-\ell]_{27}$。三个物理首读块各有九个点；这是记录坐标，不是旋转原表的终止标签。完整历史条件化把一个数字块内的精确区间平移后切成精确子区间，归纳得到（70.5）。去掉等待的九倍部分只在展开树中旋转后继的数字名称，保持低位分割、原输入集合和读取索引，不要求该改变能在共享表中执行。

对余读 $j$ 作归纳：单点可以在投影停止；非单点无余读不能完成，且二元叶界要求其大小至多 $2^j$；实际下一等待有唯一正代表，其全部非空孩子仍有 $j-1$ 次读取。归纳应用于所有孩子即得到目录中的树。一元孩子没有被跳过，单点的实际后续没有从 $K$ 中删除。反过来，根等待和有序孩子唯一决定一棵投影树，故上述递推完整且保重数，但不提供共享控制器。

进入该根所代表读取的索引为 $i=6-j$。其事件质量乘八恰为 $|I|2^{i-2}=|I|2^{4-j}$，即（70.6）。投影 $d\le\delta$，截去单点后续只删非负项，因此三个整数向量在阈值 $t$ 的总和不超过实际长等待到达质量的八倍。每个实际目标的三个数字总质量至多三，故此和不超过 $24m_t$。先合向量、后逐坐标上整，得到（70.7）；再逐层相加。$\square$

这里的 $u(T)$ 正是定义64.16的八倍归一化；不是二元等待多重集，也不是全部状态费用。完整根递推的有限值为

$$
\begin{gathered}
|\mathcal T_4(0,9)|=8910,\qquad
\#\{u(T):T\in\mathcal T_4(0,9)\}=6128,\qquad
\min_T\sum_tu(T)_t=125,\\
\bigl(|\mathcal T_4(0,9;d)|\bigr)_{d=1}^{9}
=(1,292,704,3458,3458,704,292,1,0).
\end{gathered}
\tag{70.8}
$$

求值域是全部 $45$ 个非空整数区间、$j=0,\ldots,4$ 及九个等待。每个根树又可从原位置 $y=0,\ldots,8$ 独立逐节点核对：累计相位 $\sigma$ 从零开始，等待 $d$ 后取 $[y+\sigma+d]_{27}$ 的实际数字分组，令 $\sigma\leftarrow[\sigma+d]_{27}$、索引加一，节点贡献 $|S|2^{i-2}\mathbf1_{d\ge t}$。三首读块分别加 $9b$。这个完整相位展开与（70.5）逐节点对应，给出同一向量；原输入始终由 $x=[y-\ell]_{27}$ 恢复。

若 $c\le19$，三个向量的总坐标和至多 $24\cdot19=456$，其余两向量各至少一百二十五，因此每个向量的和至多 $206$。完整映射中恰有四十六个键通过这个截止；其允许重复的无序三元组中，总和至多四百五十六者恰有 $1295$ 组。按（70.7）的费用分布为

$$
\{18:1,\ 19:47,\ 20:221,\ 21:456,\ 22:431,\ 23:131,\ 24:8\}.
\tag{70.9}
$$

截止由必要不等式推出，所以域外不会漏掉 $c\le19$。参与低费用的十七个键各只有一棵树，身份与表64.31逐字树码一致。下表将其完整码和向量固定，供后面的出现编号使用；行名中的两位数就是 $64.T00$ 至 $64.T16$ 的后缀。

| 70.树键 | 八个整数坐标 | 完整树码 |
| --- | --- | --- |
| 70.K00 = 64.T00 | `(27,27,27,27,18,8,0,0)` | `5(1(1(1(*,*),*),*),6(1(1(*,*),*),7(1(*,*))))` |
| 70.K01 = 64.T01 | `(35,25,25,16,16,8,0,0)` | `4(2(1(1(*,*),*),7(1(*,*))),6(1(1(*,*),*),*))` |
| 70.K02 = 64.T02 | `(35,25,25,16,16,8,8,0)` | `4(2(1(1(*,*),*),8(*,*)),6(1(1(*,*),*),*))` |
| 70.K03 = 64.T03 | `(39,39,18,18,18,12,0,0)` | `3(3(1(1(*,*),*),7(1(*,*),*)),6(1(1(*,*),*)))` |
| 70.K04 = 64.T04 | `(39,39,18,18,18,18,0,0)` | `3(3(1(1(*,*),*),7(1(*,*),*)),7(1(*,*),*))` |
| 70.K05 = 64.T05 | `(39,39,29,20,20,12,0,0)` | `4(3(1(*,*),7(1(*,*),*)),6(1(1(*,*),*),*))` |
| 70.K06 = 64.T06 | `(43,27,27,27,18,0,0,0)` | `5(1(1(1(*,*),*),*),6(1(1(*,*),*),6(2(*,*))))` |
| 70.K07 = 64.T07 | `(43,43,27,27,10,0,0,0)` | `5(1(1(1(*,*),*),*),6(1(1(*,*),*),5(3(*,*))))` |
| 70.K08 = 64.T08 | `(43,43,35,35,10,0,0,0)` | `5(1(1(1(*,*),*),*),6(1(1(*,*),*),3(5(*,*))))` |
| 70.K09 = 64.T09 | `(43,43,43,19,10,0,0,0)` | `5(1(1(1(*,*),*),*),6(1(1(*,*),*),4(4(*,*))))` |
| 70.K10 = 64.T10 | `(51,25,25,16,16,0,0,0)` | `4(2(1(1(*,*),*),6(2(*,*))),6(1(1(*,*),*),*))` |
| 70.K11 = 64.T11 | `(51,39,18,18,12,12,0,0)` | `3(3(1(1(*,*),*),7(1(*,*),*)),5(2(1(*,*),*)))` |
| 70.K12 = 64.T12 | `(51,41,25,16,8,0,0,0)` | `4(2(1(1(*,*),*),5(3(*,*))),6(1(1(*,*),*),*))` |
| 70.K13 = 64.T13 | `(51,41,33,24,8,0,0,0)` | `4(2(1(1(*,*),*),3(5(*,*))),6(1(1(*,*),*),*))` |
| 70.K14 = 64.T14 | `(51,41,41,8,8,0,0,0)` | `4(2(1(1(*,*),*),4(4(*,*))),6(1(1(*,*),*),*))` |
| 70.K15 = 64.T15 | `(51,51,18,12,12,12,0,0)` | `3(3(1(1(*,*),*),7(1(*,*),*)),4(3(1(*,*),*)))` |
| 70.K16 = 64.T16 | `(51,51,24,12,12,12,0,0)` | `3(3(1(1(*,*),*),7(1(*,*),*)),3(4(1(*,*),*)))` |

### 70.3 费用十九的字面刚性与全部排斥见证

先在反设 $E\le19$ 下使用目录。若 $c=19$，则 $a_t\le m_t$ 的总和已经用满预算，故

$$
m_t=a_t\quad(2\le t\le9),\qquad m_t=0\quad(t\ge10).
\tag{70.10}
$$

于是每个实际目标 $L_q\le9$，全部读到读的实际等待也至多九，包括投影已截去的单点延续。每个保留等待因此等于（70.4）的正代表，树码累计出的模二十七相位现在才是原表的实际相位。此刚性先于下面任何相位碰撞的应用。

对一个有序三元组 $(i,j,k)$，把三棵码依次放在首读物理块 $b=0,1,2$。按“当前非叶、从左到右递归孩子”的先序列出各树全部非叶；依 $b=0,1,2$ 拼接，编号从零开始，叶不编号。每个编号 $n$ 有进入等待 $d_n$、下一读索引 $i_n$、累计相位 $\sigma_n$、原首读坐标集合 $Y_n$。记录

$$
S_n=\{[y+\sigma_n]_{27}:y\in Y_n\},\qquad
\mu_n(a)=2^{i_n-2}\#\{s\in S_n:\lfloor s/9\rfloor=a\}.
\tag{70.11}
$$

边的完全整数判据是 $S_n\cap S_m\ne\varnothing$ 或某个 $a$ 有 $\mu_n(a)+\mu_m(a)>8$。阈值 $t$ 的顶点只取 $d_n\ge t$。若 $\omega_t$ 是此图最大团数，则表中数值 $g$ 的定义为：对该无序三元组的全部有序排列，计算

$$
g(i,j,k)=\sum_{t=2}^{9}\max_{t\le s\le9}\max(a_s,\omega_s),
\tag{70.12}
$$

再取最小值。单调包络是必要步骤；不同层仍收费同一组目标。

下表同时给出不依赖最大团最优性的小见证。对各行 $i\le j\le k$，A 使用 $(i,j,k)$；三者全不同时 B 使用 $(i,k,j)$。其余排列是这两个的循环旋转；有重复时 A 已覆盖全部循环类。统一加九或十八模二十七只旋转三个物理数字，保持（70.11）的边、索引和阈值，故循环类足以核验；这只是有限数据的对称性，不改变任何实际控制器或原标签。

见证 `t/a:n1,n2,...` 表示该排列的 $a_t=a$，所列编号在阈值 $t$ 两两有边，且恰有 $a+1$ 个。它直接反驳（70.10）。共有七十二个这样的循环类代表，覆盖全部二百一十二个费用十九的有序情况。费用十八的唯一一行只列团下界十九，须使用下一节的后继论证。

| 70.低费用三元组 | $c$ | 有序数 | 最小 $g$ | A 的团见证 | B 的团见证 |
| --- | ---: | ---: | ---: | --- | --- |
| 70.C(0,0,1) | 19 | 3 | 26 | `7/1:16,22` | — |
| 70.C(0,0,3) | 19 | 3 | 26 | `4/3:0,16,22,24` | — |
| 70.C(0,0,4) | 19 | 3 | 26 | `7/2:16,22,24` | — |
| 70.C(0,0,11) | 19 | 3 | 26 | `6/2:4,7,13` | — |
| 70.C(0,0,12) | 19 | 3 | 26 | `6/2:4,7,13` | — |
| 70.C(0,0,14) | 19 | 3 | 27 | `6/2:4,7,13` | — |
| 70.C(0,1,7) | 19 | 6 | 26 | `7/1:7,13` | `6/2:4,7,13` |
| 70.C(0,1,9) | 19 | 6 | 27 | `7/1:7,13` | `6/2:4,7,13` |
| 70.C(0,1,11) | 19 | 6 | 28 | `6/2:4,7,13` | `6/2:4,7,13` |
| 70.C(0,1,12) | 19 | 6 | 30 | `7/1:7,13` | `6/2:4,7,15` |
| 70.C(0,1,13) | 19 | 6 | 30 | `7/1:7,13` | `6/2:4,7,15` |
| 70.C(0,1,14) | 19 | 6 | 30 | `7/1:7,13` | `6/2:4,7,15` |
| 70.C(0,3,6) | 19 | 6 | 26 | `7/1:7,13` | `4/3:0,16,22,24` |
| 70.C(0,3,7) | 19 | 6 | 26 | `7/1:7,13` | `6/2:4,7,13` |
| 70.C(0,3,10) | 19 | 6 | 28 | `7/1:7,13` | `4/3:4,7,9,13` |
| 70.C(0,3,12) | 19 | 6 | 28 | `7/1:7,13` | `6/2:4,7,15` |
| 70.C(0,6,11) | 19 | 6 | 26 | `6/2:4,7,13` | `7/1:7,13` |
| 70.C(0,10,11) | 19 | 6 | 28 | `6/2:4,7,13` | `7/1:7,13` |
| 70.C(1,1,1) | 18 | 1 | 19 | — | — |
| 70.C(1,1,2) | 19 | 3 | 26 | `7/1:4,22` | — |
| 70.C(1,1,7) | 19 | 3 | 30 | `6/2:4,6,22` | — |
| 70.C(1,1,8) | 19 | 3 | 30 | `6/2:4,6,22` | — |
| 70.C(1,1,9) | 19 | 3 | 30 | `6/2:4,6,22` | — |
| 70.C(1,1,10) | 19 | 3 | 20 | `2/6:0,1,4,6,9,10,23` | — |
| 70.C(1,1,12) | 19 | 3 | 21 | `3/4:0,4,6,9,23` | — |
| 70.C(1,1,14) | 19 | 3 | 22 | `3/4:0,4,6,9,23` | — |
| 70.C(1,2,2) | 19 | 3 | 26 | `7/1:4,21` | — |
| 70.C(1,3,6) | 19 | 6 | 29 | `4/3:0,4,6,22` | `7/1:4,22` |
| 70.C(1,3,7) | 19 | 6 | 29 | `6/2:4,6,22` | `7/1:4,22` |
| 70.C(1,6,11) | 19 | 6 | 29 | `7/1:4,22` | `6/2:4,6,22` |
| 70.C(1,10,10) | 19 | 3 | 21 | `2/6:0,1,9,10,14,18,19` | — |
| 70.C(1,10,11) | 19 | 6 | 26 | `7/1:4,22` | `6/2:13,22,24` |
| 70.C(1,10,12) | 19 | 6 | 22 | `3/4:0,4,6,9,23` | `3/4:0,14,18,22,24` |
| 70.C(1,10,14) | 19 | 6 | 23 | `3/4:0,4,6,9,23` | `3/4:0,14,18,22,24` |
| 70.C(1,10,15) | 19 | 6 | 27 | `7/1:4,22` | `5/2:13,22,24` |
| 70.C(1,12,15) | 19 | 6 | 27 | `7/1:4,22` | `5/2:13,22,24` |
| 70.C(2,2,2) | 19 | 1 | 20 | `2/5:0,1,5,8,9,20` | — |
| 70.C(3,10,15) | 19 | 6 | 28 | `7/1:4,22` | `7/1:4,13` |
| 70.C(3,10,16) | 19 | 6 | 29 | `7/1:4,22` | `7/1:4,13` |
| 70.C(5,10,15) | 19 | 6 | 28 | `7/1:3,21` | `7/1:3,12` |
| 70.C(6,6,11) | 19 | 3 | 27 | `6/2:4,7,13` | — |
| 70.C(6,6,12) | 19 | 3 | 27 | `6/2:4,7,13` | — |
| 70.C(6,6,14) | 19 | 3 | 28 | `6/2:4,7,13` | — |
| 70.C(6,7,10) | 19 | 6 | 27 | `6/2:4,7,13` | `6/2:4,7,13` |
| 70.C(6,9,10) | 19 | 6 | 28 | `6/2:4,7,13` | `6/2:4,7,13` |
| 70.C(10,10,10) | 19 | 1 | 21 | `2/7:0,1,5,9,10,14,18,19` | — |
| 70.C(10,10,12) | 19 | 3 | 22 | `3/4:0,4,6,9,23` | — |
| 70.C(10,10,14) | 19 | 3 | 23 | `3/4:0,4,6,9,23` | — |

这张表的核验只需有限整数运算，具体递归如下。求完整目录时保留每个键的重数及完整树码；不把子树集合换成标量最小值。对每个阈值图，固定最小顶点 $v$，最大团数满足

$$
\omega(G)=\max\bigl(\omega(G-v),\ 1+\omega(G[N(v)])\bigr),\qquad
\omega(\varnothing)=0.
\tag{70.13}
$$

这是“团含不含 $v$”的穷尽二分，递归域严格缩小；保留取最大的一支就给实际团，而非仅给优化值。将十七个完整码按（70.11）展开，按每行排列、每个 $t=2,\ldots,9$ 应用（70.13），共 $213\cdot8=1704$ 个层图，再按（70.12）取包络，得到表中全部 $g$。直接代入 A、B 的显式编号也可绕过最大团搜索来完成费用十九的反证。独立按原标签和未取模累计等待重建出现，逐对检查这些团的边，得到同一结果。

例如最低值为二十的一行 $(1,1,10)$，A 在 $t=2$ 有 $a_2=6$，编号 $0,1,4,6,9,10,23$ 是七团，故 $m_2\ge7>6$；行 $(2,2,2)$ 的相同阈值有 $a_2=5$，六团为 $0,1,5,8,9,20$。其余四十五个费用十九无序行同样有明确团超过对应 $a_t$。全部 $c=19$ 行还满足 $a_9=0$：十七个参与向量的末坐标均为零。该性质将在二十单位预算下再次使用。

这不是控制器枚举。有限目录的覆盖由命题70.12的归纳承担，相位与原表的对应由（70.10）承担，有限表只完成这些前提下的确切排斥运算。

### 70.4 唯一费用十八的强制继续与统一尾下界

**定理 70.13（三进九点五读的实际尾下界）。** 本节完整模型中的每个 $K$ 都满足

$$
E\ge20.
\tag{70.14}
$$

证明。反设 $E\le19$。命题70.12及完整截止目录只留下 $c=18$ 或十九；后一情况已被上一节全部团见证排除。

若 $c=18$，三个树只能都是 $64.T01$，且

$$
(a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8,a_9)=(5,4,4,2,2,1,0,0).
\tag{70.15}
$$

预算最多余一。若某个 $L_q\ge9$，则 $m_8,m_9$ 都至少一，在（70.15）之外新增至少二，矛盾。因此全部实际等待至多八，保留等待再次等于正代表，下面相位是字面的。

在物理首读块 $b$ 的 $64.T01$ 中，根等待四；其右分支再等待六，在索引三的四个相位恰为

$$
\{9b+15,9b+16,9b+17,9b+18\}\pmod{27}.
\tag{70.16}
$$

其中三事件数字的低位为 $6,7,8$，树码使这个非单点分支的下一实际等待为一；另一数字只含低位零的所选单点。任取两个不同 $b$，两份四事件集合的两数字恰共享一个数字；在这个共同数字中，所选低位合为 $\{0,6,7,8\}$，且都是索引三事件。

若两个出现共用一个实际读取态，它们在该共同数字上使用同一字面槽。三个低位 $6,7,8$ 的实际路径迫使该槽继续等待一，到固定的同一下一读取目标；低位零的单点不能在同一槽单独停止。等待一后，原低位零、六、七变成下一数字内的 $1,7,8$，均到索引四，质量合计 $3\cdot2^{4-5}=3/2>1$。原低位八进入另一数字，不影响矛盾。因此三份等待六的目标两两不同，给 $m_6\ge3$，嵌套性再给 $m_5\ge3$。

与（70.15）同一组层下界相交，得到

$$
E\ge5+4+4+3+3+1=20,
\tag{70.17}
$$

又与反设矛盾。三对原物理块的共同数字分别循环旋转，论证穷尽全部配对。非零 $\ell$ 只通过 $y=[x+\ell]_{27}$ 确定这些事件的原标签；事件仍互异。额外读、单点继续和终止环始终留在 $K$，既不能撤去已有碰撞，也不能减掉完整槽的正质量。$\square$

**推论 70.14（至多一百零四态的低剩余与等号刚性）。** 若 $C\le104$，则

$$
2e+\ell\le8,\qquad 0\le e\le4.
\tag{70.18}
$$

若 $e=4$，则必有

$$
C=104,\quad \ell=0,\quad E=20,\quad r=29,
\quad 48\text{ 个等待态},\quad27\text{ 个终止态},
\quad L_q\le9\ (q\ne q_0).
\tag{70.19}
$$

证明。将（70.14）代入（70.1），得（70.18）。$e=4$ 时右端至少一百零四，故全部不等式取等：没有额外名义态余量；不同目标最长链恰共 $r-1+E=28+20=48$ 个等待态，终止态恰二十七个。

证明等待上限时只需 $E\le20$。投影费用 $c\le20$，目录已排除 $c<18$。若 $c=20$，全部预算用于 $2\le t\le9$，所以 $m_{10}=0$。若 $c=18$，（70.15）的 $a_8=a_9=0$；$L_q\ge10$ 会额外迫使 $m_8,m_9,m_{10}\ge1$，使 $E\ge21$。若 $c=19$，上一节完整目录的 $a_9=0$；$L_q\ge10$ 至少新增 $m_9,m_{10}$ 两单位，仍使 $E\ge21$。三种情况都给 $L_q\le9$，也就约束所有实际读到读等待。$\square$

这些等号是必要条件，不是此分支的存在证明；也没有把既有容量区间的任一端点提高。

### 70.5 饱和数字怎样减少同一目标的二元宿主数

沿用约定68.11，完整历史展开在分析单点处停止，共有二十四个二元出现；它们的实际进入等待之和记为 $B$，进入实际目标 $q$ 的个数记为 $m_q^{\rm bin}$。下述论证中的二元出现始终有精确支持，不以外包区间代替。

**引理 70.15（饱和到二元宿主亏损）。** 对 $p=3$ 的完整初始化控制器，设一个非首读实际目标 $q$ 有实际前驱槽 $v$，其到达事件在 $z\in\{1,2\}$ 个不同目标数字内各已给质量一，质量按事件自身索引取 $2^{i-h}$。则

$$
m_q^{\rm bin}\le3-z.
\tag{70.20}
$$

证明。其他实际前驱送来的事件与 $v$ 的事件不交；它们有严格正质量，所以不能进入任何已满数字。来自 $v$ 的二元出现至多一个：同一槽的不同历史有不交精确低位区间，同一固定等待在该块内部只有一个切口，不能同时把两个不交区间都二分。这是定理64.12的前驱槽单射证明，保留原前缀时同样成立。

若 $z=1$，外来二元出现只能使用另两个物理数字。其精确到达支持是长度至多九的循环整数区间，必须跨越这两个数字的唯一共同边界，并含边界相邻的两个点。两个这样的出现会在相同物理点碰撞，违反引理66.12；故外来者至多一个，加上来自 $v$ 的至多一个，得到二。若 $z=2$，外来者只剩一个数字可用，不可能二元，得到一。若 $v$ 为纯解析槽，其二元贡献为零，只会加强结论。未饱和数字仍可接收一元历史、单点继续或其他合法访问。$\square$

相同边界注入还给一般上限 $m_q^{\rm bin}\le3$。当 $e=0$ 时，同一表的 $A_q+Z_q=2+\beta_q$、$\beta_q\ge0$、$\sum\beta_q=e$ 使每个 $A_q+Z_q=2$；二元前驱单射给更强的全局宿主上限二。没有给各目标重复分配一个 $e$。

**命题 70.16（实际目标费用的加权宿主界）。** 令 $w_q=L_q-1$。若一组不同实际目标 $Q$ 各有引理70.15的饱和数 $z_q$，则

$$
B-24\le3E-\sum_{q\in Q}z_qw_q.
\tag{70.21}
$$

若还满足全局宿主上限二，特别当 $e=0$，则

$$
B-24\le2E-\sum_{q\in Q\,:\,z_q=2}w_q.
\tag{70.22}
$$

证明。每个进入 $q$ 的二元实际等待 $\delta_H$ 都有 $\delta_H-1\le w_q$，故

$$
B-24=\sum_q\sum_{H\text{ 二元进入 }q}(\delta_H-1)
\le\sum_qm_q^{\rm bin}w_q.
\tag{70.23}
$$

在 $Q$ 内代入 $3-z_q$，外部代入三，即得（70.21）。已有全局上限二时，$z=1$ 不再多减，$z=2$ 的系数由二减为一，得到（70.22）。每个实际目标在 $E$ 中只出现一次；减去的系数是宿主关联的亏损，不是另外一笔状态资源。非二元入口或较长实际等待提高 $L_q$，上述逐目标不等式仍成立。$\square$

### 70.6 七事件六目标的四个费用表达式

假定同一 $K$ 有一个槽恰含七个索引二事件。引理69.11给四种七叶骨架之一：$T_1=((*,\pi),(\pi,\pi))$、$T_2=((\pi,*),(\pi,\pi))$、$T_3=((\pi,\pi),(*,\pi))$、$T_4=((\pi,\pi),(\pi,*))$，其中 $\pi=(*,*)$。它还证明六个所选分割起点和六个实际下一读取目标分别互异，所有目标非 $q_0$。这里仍只选原路径上的事件，单点的实际后续未被删去。

令 $Q_6$ 为六个实际目标，$Q_4\subset Q_6$ 为四标签索引三起点及三个二标签索引四起点的目标。定义

$$
R_6=\sum_{q\in Q_6}(L_q-1),\qquad
R_4=\sum_{q\in Q_4}(L_q-1).
\tag{70.24}
$$

这四个起点所选质量各为一，已经穷尽对应完整槽；它们各向两个下一数字发送质量一。另两个起点分别为七标签索引二、三标签索引三，其到达质量按循环数字顺序分别是 $(1,3/4,0)$、$(1,1/2,0)$ 的某个排列。因此 $Q_4$ 的饱和数为二，$Q_6\setminus Q_4$ 的为一。命题70.16给

$$
B-24\le3E-R_6-R_4,\qquad
 e=0\ \Longrightarrow\ B-24\le2E-R_4.
\tag{70.25}
$$

**命题 70.17（同一切口配置的六目标与四目标下界）。** 在形状 $T_1,T_2,T_3,T_4$ 下，分别有

$$
R_6\ge(24,16,24,16),\qquad
R_4\ge(18,11,13,8),\qquad
R_6+R_4\ge(42,27,37,24).
\tag{70.26}
$$

证明。入口低位为 $0\le y_1<\cdots<y_7\le8$。选各内部节点对应叶间隙的实际切口正代表 $y_k<c_k\le y_{k+1}$，故 $1\le c_1<\cdots<c_6\le8$。根、左内部孩子、右内部孩子的正等待代表分别为 $9-c_{\rm root}$、$c_{\rm parent}-c_{\rm child}$、$9+c_{\rm parent}-c_{\rm child}$；实际等待是它加上非负九倍，没有缩短原表。

六目标互异，所以它们的实际费用逐个支配相应正代表减一。将四个质量为一的起点的项另取子和，得到下表。$S_t,D_t$ 是同一个切口配置中的正代表下界表达式，分别由 $R_6,R_4$ 支配。

| 70.骨架 | $S_t$：六个正代表减一之和 | $D_t$：四个饱和起点正代表减一之和 | $\min S_t$ | $\min D_t$ | $\min(S_t+D_t)$ |
| --- | --- | --- | ---: | ---: | ---: |
| 70.T1 | $30+c_3+c_5-c_2-c_4-c_6$ | $23+c_1-c_2+c_3-c_4+c_5-c_6$ | 24 | 18 | 42 |
| 70.T2 | $21+c_3+c_5-c_1-c_4-c_6$ | $14-c_1+c_2+c_3-c_4+c_5-c_6$ | 16 | 11 | 27 |
| 70.T3 | $30+c_2+c_4-c_1-c_3-c_6$ | $14-c_1+c_2-c_3+c_4+c_5-c_6$ | 24 | 13 | 37 |
| 70.T4 | $21+c_2+c_4-c_1-c_3-c_5$ | $5-c_1+c_2-c_3+c_4-c_5+c_6$ | 16 | 8 | 24 |

六项的望远镜式是引理69.12减去六。以相邻差至少一、$c_6\le8$、$c_5\le7$ 分别估计，给 $24,16,24,16$。对四项，令 $g_i=c_{i+1}-c_i\ge1$、$\sum_{i=1}^5g_i\le7$，则依次为

$$
23-g_1-g_3-g_5,\quad
14+g_1-g_3-g_5,\quad
14+g_1+g_3-g_5,\quad
5+g_1+g_3+g_5.
\tag{70.27}
$$

由 $g_2,g_4\ge1$，第一项至少十八；第二项用 $g_3+g_5\le5-g_1$ 得至少十一；第三项用 $g_5\le5-g_1-g_3$ 得至少十三；第四项至少八。相加的是同一实现中 $R_6,R_4$ 的数值下界，并非把它们当成两份不交的 $E$。$\square$

表的投影求值域完全明确：遍历全部 $\binom97=36$ 组 $y$，每组遍历 $c_k\in\{y_k+1,\ldots,y_{k+1}\}$；每个形状恰一百零五项，四形状共四百二十项。按内部节点实际深度遍历六个等待，在三个物理入口数字上分别按模二十七平移，全部得到预定分割及饱和数 $(1,1,2,2,2,2)$；排序只指两个非饱和起点在前。逐项子和等于表中 $D_t$，全部最小值也如表所列。

边界论证还可独立按几何直接核对：在二十七点循环上枚举长度二至九的精确区间，其中跨两个数字的区间恰一百零八个；指定一个禁用数字，余下三十六个二元区间的任意两者都有共同点。三个禁用数字共 $3\binom{36}{2}=1890$ 对，没有不交对；禁用两个数字时没有二元区间。这些计算检验（70.20）的局部物理前提，不认证完整控制器。

代入（70.25），还可按形状写成

$$
E\ge\max\left(s_t,\left\lceil\frac{B-24+s_t+d_t}{3}\right\rceil\right),
\qquad e=0\ \Longrightarrow\
E\ge\left\lceil\frac{B-24+d_t}{2}\right\rceil,
\tag{70.28}
$$

其中 $s=(24,16,24,16)$、$d=(18,11,13,8)$。统一得到 $E\ge\lceil B/3\rceil$，以及 $e=0$ 时 $E\ge\lceil(B-16)/2\rceil$。$R_4$ 包含在 $R_6$ 中：式（70.25）对其目标把通用宿主系数三减为一，所以出现二重亏损；每个目标本身仍只按一个 $L_q-1$ 收费。

### 70.7 二元等待和五十一的必要投影复核

**命题 70.18（既有 $B\ge51$ 的完整递推）。** 每个首读九点纤维在四次余读内，其二元等待正代表之和至少十七，因此同一实际控制器有 $B\ge51$。

证明。对当前精确低位区间 $I=[l,u)$ 和余读 $a$，定义 $f(I,a)$。单点值为零；非单点在 $a=0$ 或 $|I|>2^a$ 时不可行。其余用（70.5）的所有非空孩子，定义

$$
f(I,a)=\min_{1\le d\le9}
\left(\sum_{z:I_z(d)\ne\varnothing}f(I_z(d),a-1)
+d\,\mathbf1_{\#\{z:I_z(d)\ne\varnothing\}=2}\right),
\tag{70.29}
$$

含不可行孩子的候选不可行。此处一元读取消耗余读但不增加二元和，不能省去；取正代表不增加实际二元和；在单点停止不会删除二元出现。按余读归纳，每个实际历史都给递推中的一个候选。因此它是实际 $B$ 的必要下界，反向不主张共享实现。

全部 $45\cdot5=225$ 个区间／余读状态求值，在根 $([0,9),4)$ 固定首等待 $d=1,\ldots,9$ 的最小值依次为

$$
(32,25,18,17,17,24,32,40,\text{不可行}).
\tag{70.30}
$$

故根值为十七。三个首读纤维的二元历史互不重复，并恰分割原表全部二十四个二元出现；实际正等待各不小于正代表，所以三个十七可在同一个 $B$ 中相加。非零前缀只改变物理块所对应的原标签，九点低位区间不变。$\square$

这重新核对的是第68.17节已有的 $B\ge51$ 分量，不是新提出的容量定理，也没有重做其九树／二百九十八朝向的更强低和排除。

### 70.8 同一容量预算内的联合限制

**推论 70.19（有七事件槽的实际等待和上限）。** 若同一 $K$ 满足 $C\le104$ 且有七个索引二事件的槽，则

$$
\begin{cases}
51\le B\le72-2\ell,&e=0,\\
51\le B\le84-6e-3\ell,&1\le e\le4,
\end{cases}
\qquad 2e+\ell\le8.
\tag{70.31}
$$

按 $T_1,T_2,T_3,T_4$ 分形状，上界可分别写为

$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{形状}&e=0& e\ge1\\ \hline
T_1&62-2\ell&66-6e-3\ell\\
T_2&69-2\ell&81-6e-3\ell\\
T_3&67-2\ell&71-6e-3\ell\\
T_4&72-2\ell&84-6e-3\ell
\end{array}
\tag{70.32}
$$

并且各形状都须满足 $s_t+2e+\ell\le28$。

证明。容量注入给 $E\le28-2e-\ell$。$e=0$ 时，（70.25）给 $B\le24+2E-R_4\le80-2\ell-d_t$；一般情形给 $B\le24+3E-R_6-R_4\le108-6e-3\ell-s_t-d_t$。代入四个常数即得（70.32）；取统一较弱上界，再与命题70.18及推论70.14相交，得到（70.31）。$R_6\le E$ 给最后的形状限制。全过程的 $E,e,\ell,B$ 都来自同一个 $K$，没有把两条尾证书当成独立资源相加。$\square$

推论70.14同样约束零个七事件槽的候选；推论70.19的更紧 $B$ 上界则以存在七事件槽为前提。已有定理69.13在 $C\le104$ 下排除两个七事件槽；这些结果仍留下零七与一七两支。这里没有把（70.31）的整数可行点当成实际控制器。

### 70.9 来源对应、证书边界与共同实现缺口

所用项目定义与证明固定于[版本 a9040f0ee82ba5284703ca65a775cef76ee7db18 的本卷](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/a9040f0ee82ba5284703ca65a775cef76ee7db18/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md)。定义67.11、约定68.11规定原表量词；引理66.12给联合事件唯一及实际尾收费；命题57.2给完整槽质量；定理64.12与推论65.19给二元前驱、物理边界单射。命题70.12明确证明保留前缀时与定义64.16的必要投影对应；表64.31的十七个完整树身份已在上面钉定。七事件的六目标身份及六项切口费用复用引理69.11—69.12，四个饱和目标的宿主亏损另由本节证明。

成熟方法的对应限定如下。[Abel 与 Reineke 的 MEMIN（ICCAD 2015）](https://embedded.cs.uni-saarland.de/publications/iccad15.pdf)第II.C节、定理1要求兼容类的完整后继集合包含在某个类中，并允许覆盖类重叠；第IV.C节使用两两不兼容集作状态数下界。本节的相位／质量边须由引理70.11另行送回物理模型，不能由抽象兼容类直接取得等待费用或控制器。[Nutov 与 Shalom 的 activation edge-cover 论文 v1](https://arxiv.org/pdf/1812.09880v1)第1节对固定边集采用端点阈值最大值：在已经实现的槽到目标边上，源端阈值取零、目标阈值取 $\delta(v)-1$，目标最大阈值之和正是 $E$。这仅说明成熟的最大值费用形式；论文的斜率近似定理不提供本模型的精确容量或相位、后继可实现性，零源阈值也不自动给有限斜率。

本节将普通覆盖／刚性证明、必要投影的穷尽整数运算、完整控制器实现三者分开。八千九百一十树的递推不枚举实际控制表；四十八行目录与七十二个显式循环类团只在刚性证明后的实际相位上产生反证；四百二十切口及二百二十五区间状态也只是各自明确有限域的证书。两条新限制不依赖更强的 $B\ge53$ 或 $\Gamma>0$。若额外引用这些已发表结论，仍须使用第68.17—68.19节九树／二百九十八朝向证书，其完整执行核验在此单列为 `ASSUMED-UNVERIFIED`；该依赖只影响用五十三替换（70.31）的五十一等附加交集。

公开容量区间仍为 $96\le C_B(3,2)\le105$；两端的完整旧证书本节未重新认证，作为端点依赖亦记 `ASSUMED-UNVERIFIED`，不进入新不等式的证明。本节是普通理论与有限整数证书，不主张历史原创、Lean/kernel 验证、一般 $p,k$ 的推广或精确一百零五结论。

剩余实质问题是在 $0\le e\le4$、$2e+\ell\le8$ 中，把低剩余的实际目标、全部相位、原标签、单点继续和读取／等待后继同时闭合。零七支仍须自己的后继与相位限制；一七支除（70.31）外仍须处理六个目标与其余历史的共同实现。需要在同一完整表上证明 $E+2e+\ell\ge29$，或给出所有收费状态及字面后继都相容的更小完整初始化控制器。现有投影与数值交集均未完成这一步；一般精确 $C_B(p,k)$ 以及空间、时间、边界、记忆互相恢复的整体目标继续开放。

## 70.99 追加锚
## 71. 七事件的混合截止尾界与零末读超额的完整构造

固定定义67.11、约定68.11的一张正确完整初始化驻定总表 $K$，取 $p=3,P=9,M=27,h=5$。原输入 $x$ 从共同控制态及来源 $s=x$ 开始；单位等待 $W$ 恰加一，读取 $R$ 只给当前高位，终止态 $H_x$ 单独输出固定原标签 $x$。保留共同收费前缀 $\ell$，动作词为 $W^\ell R(W^+R)^*$，末读后立即停止。全部名义态，包括未达态、内部计数及等待位置都收费。没有来源相关准备、免费计时、复位、复制、逆步或终止侧信道。

令 $q_0$ 为首读态，$r=25+e$，$e\ge0$。对实际活动槽 $v$，其字面正等待为 $\delta(v)$，下一读取态为 $\tau(v)$；沿用

$$
L_q=\max_{\tau(v)=q}\delta(v),\qquad
E=\sum_{q\ne q_0}(L_q-1),\qquad
C\ge76+2e+\ell+E.
\tag{71.1}
$$

读取下界来自定理56.3的实际槽关联计数，前缀保留不改变该计数；费用注入是引理66.12在原表上的最长等待链分离。所有事件都带原输入及实际读索引 $(x,i)$，权重为 $2^{i-5}$。命题57.2对完整槽给质量至多一，对完整读取态给质量至多三；同一输入的不同索引也分别计入。以下的所选树只用于分析，实际单点延续、一元历史、额外读取态、整周期正等待和合法终止环始终保留。

### 71.1 七事件六目标与完整首读纤维的混合截止

本小节及71.2—71.4假设没有含八个索引二事件的槽，且恰有一个七事件槽 $v$。这两个条件不由骨架本身推出；在 $C\le104$ 的消费者中，分别由定理68.16、69.13取得。一个槽不能有九个索引二事件，因为其质量已超过一。

复用引理69.11的四形状 $T_1,T_2,T_3,T_4$ 和六个不同实际目标 $Q_v$。令 $q_a$ 为七标签首次分割的目标，$q_b$ 为三标签分割的目标，其他四个目标记作 $Q_4$。六个所选源质量为 $7/8,3/4,1,1,1,1$。在 $q_a$ 的两个所选到达数字内，质量为 $3/4,1$；在 $q_b$ 为 $1/2,1$；$Q_4$ 的每个目标已有两个满质量数字。设

$$
S_v=\sum_{q\in Q_v}(L_q-1).
\tag{71.2}
$$

“三标签单点在左”指 $T_1,T_3$，“在右”指 $T_2,T_4$，左右按实际低位顺序。引理69.12给相应 $S_v\ge24,16$。

**定理 71.11（完整首读纤维进入三标签目标的四种尾界）。** 取一个与所选七标签不交的完整首读纤维 $F$，即同一首读数字对应的九个原标签。若 $F$ 的第二读取态为 $q_b$，令 $m$ 为其中到达所选索引四单点所在数字的事件数，则 $m\in\{3,4\}$。存在与 $Q_v$ 不交的实际目标集 $Q_{\rm new}$，其大小在 $m=3,4$ 时分别为三、四，且有下表中的界。

| 71.混合情形 | $|Q_{\rm new}|$ | $\sum_{q\in Q_{\rm new}}(L_q-1)$ 的下界 | $E$ 的下界 |
| --- | ---: | ---: | ---: |
| 71.左三：单点左、$m=3$ | 3 | 5 | 29 |
| 71.左四：单点左、$m=4$ | 4 | 12 | 36 |
| 71.右三：单点右、$m=3$ | 3 | 8 | 24 |
| 71.右四：单点右、$m=4$ | 4 | 16 | 32 |

这些是同一实际表的条件必要界，不主张四种局部最小值可同时实现为完整表。

证明。$q_b$ 的所选二点数字已满，不能容纳 $F$ 的事件。$F$ 的索引二支持是长度九的精确循环区间，必须跨另一个与单点数字相邻的边界。单点在左时，$F$ 在该数字内占低位前段 $0,\ldots,m-1$；在右时占后段 $9-m,\ldots,8$。这是物理数字的循环顺序；任意九步提升只旋转数字名，不改变前段或后段。

完整槽质量给 $1/2+m/8\le1$，故 $m\le4$。另一数字不能有八或九个事件，也不能有七个：那将是一个标签与 $v$ 不交的第二七事件槽。因此 $9-m\le6$，即 $m\ge3$。事件唯一性还要求单点低位 $z$ 在该前段或后段之外。

令 $w$ 为共同单点数字槽。它含不同固定标签，不能停止；所选索引四单点到下一读已是索引五，必须在那里单独终止。一个物理数字块下一步至多二分，所以该步须把此单点与全部 $m$ 个 $F$ 事件分开，后者一起到达索引三，余下两读。此处保留的正是已经辨认的单点被同一实际槽强制继续的路径。

当 $m=3$，$F$ 的下一分割为 $1+2$ 或 $2+1$，二点组在最后一读分开。三个新选活动源的质量分别为 $7/8,3/4,1$。当 $m=4$，必须先 $2+2$ 再各分一次，四个新选源的质量均为一。不同阶段的事件按标签或索引不交；新源之间以及新源与六个旧源之间，任意拟议源槽合并的质量和都大于一，故它们是不同实际槽。

先证明目标身份，再相加费用。式（69.4）同样适用于这些所选事件子集：两个不同源若共用目标，各自的两数字中每一侧至少接收 $2k-1$，所以源质量须满足 $k+k'\le3/2$。它排除新目标之间的所有合并，也排除与六旧目标的合并，唯一待判者是 $m=3$ 的新质量 $3/4$ 源与旧质量 $3/4$ 源共同指向 $q_b$。

这个例外也不能发生。$q_b$ 已有三个旧索引四事件、全部九个 $F$ 索引二事件；若三个 $F$ 事件又在索引四进入它，则完整读取态质量至少为

$$
\frac32+\frac98+\frac32=\frac{33}{8}>3.
\tag{71.3}
$$

这三批到达事件互异；$F$ 的索引二和四不是同一次访问，控制图有终止环也不能合并它们。因此新目标全部在 $Q_v$ 外，且彼此不同。

现在计算这些已分离目标的等待。左情形有 $m\le c\le z$ 的整数分割点，第一次分离的正代表是 $9-c$；$F$ 随后低位为 $9-c,\ldots,9-c+m-1$。右情形有 $z<c\le9-m$，同样先等 $9-c$；$F$ 随后低位为 $9-m-c,\ldots,8-c$。余下的强制树给出完整正代表列表：

| 71.等待情形 | 所选新目标的正等待代表 | 代表和减目标数 |
| --- | --- | --- |
| 71.左三甲：$2+1$ | $(9-c,c-2,1)$ | 5 |
| 71.左三乙：$1+2$ | $(9-c,c-1,8)$ | 13 |
| 71.左四：$2+2$ | $(9-c,c-2,1,8)$ | 12 |
| 71.右三甲：$2+1$ | $(9-c,c+1,1)$ | 8 |
| 71.右三乙：$1+2$ | $(9-c,c+2,8)$ | 16 |
| 71.右四：$2+2$ | $(9-c,c+2,1,8)$ | 16 |

区间约束使每项严格为正。实际等待可加任意非负九倍；每个目标的实际 $L_q$ 支配它的实际入口等待。因此分别取得新尾下界 $5,12,8,16$，并且

$$
E\ge S_v+\sum_{q\in Q_{\rm new}}(L_q-1).
\tag{71.4}
$$

代入旧六目标的朝向界得到表中四个 $E$ 值。没有为新源另加一笔读取态费用，读取态已由（71.1）的同一个 $e$ 收费。$\square$

### 71.2 左单点一七分支的低读取剩余

**推论 71.12（左单点的外部纤维费用）。** 若 $C\le104$，唯一七事件槽的形状为 $T_1$ 或 $T_3$，则

$$
E\ge26,\qquad 2e+\ell\le2.
\tag{71.5}
$$

故必要的整数可能性仅为 $e=0,\ell\le2$ 或 $e=1,\ell=0$；不主张这些可能性可实现。

证明。令 $Q$ 为包含 $v$ 的读取态。每个完整首读纤维的九标签使用同一个根槽，故有同一个第二读取态。如果三个纤维都到 $Q$，索引二质量为 $27/8>3$。因此可选一个第二读取态 $Q_F\ne Q$ 的完整纤维 $F$，其标签与所选七标签不交。

$F$ 的第一进一步读取必二分；九标签不能留给三次二元读取。两个孩子都不能含七、八或九个索引二事件：七会产生另一个七槽，八已由定理68.16排除，九违反质量界。因此其大小只能为 $3+6,4+5,5+4,6+3$，实际第一等待 $\delta_F$ 模九属于 $\{3,4,5,6\}$，特别 $\delta_F\ge3$。

$Q_F$ 不能是 $Q_4$ 中的任一目标：两个已有满数字不允许这个二元到达。也不能是 $q_a$：部分已占的数字至多再放两个索引二事件，满数字不能再放，另一个数字至多六个，总共最多八个。若 $Q_F=q_b$，定理71.11的左情形给 $E\ge29$，与（71.1）及 $C\le104$ 矛盾。因此 $Q_F\notin Q_v$；这个不同目标贡献至少 $\delta_F-1\ge2$。与 $S_v\ge24$ 相加得 $E\ge26$，再用（71.1）即得（71.5）。$\square$

### 71.3 两个完整首读纤维共用七事件读取态的排除

**定理 71.13（双纤维入口的左单点排除）。** 在无八事件、恰一七事件的同一完整模型中，若七事件所在读取态 $Q$ 接收两个完整首读纤维，且形状为 $T_1$ 或 $T_3$，则

$$
E\ge29,\qquad C\ge105+2e+\ell.
\tag{71.6}
$$

所以 $C\le104$ 的这类双纤维七事件读取态只能保留 $T_2,T_4$。

证明。$Q$ 已有十八个索引二事件，质量 $18/8=9/4$。六个所选后缀目标各接收至少 $3/2$ 的索引三或更晚事件，与这十八件事件不交。若 $Q$ 等于其中一个目标，读取态质量至少 $9/4+3/2=15/4>3$。故

$$
Q\notin Q_v.
\tag{71.7}
$$

两个九点到达区间不交，不能跨同一边界，故在共同数字分别占前段 $0,\ldots,a-1$ 和后段 $b,\ldots,8$。三个索引二占用数恰为 $\{5,6,7\}$：总数十八、每槽至多七、且只有一个七。直接解 $a+9-b,9-a,b$ 取这三个值的六种排列，得到下表；这复用69.14的支持方程，已在当前无八／唯一七前提下重建其适用条件，并未另假设 $C\le104$。

两个实际第一等待的模九余数分别为 $a,b$，所以 $L_Q\ge b$。若七事件最大低位为 $y_7$，引理69.12给 $S_v\ge32-y_7$。由（71.7）才能把 $Q$ 的费用加上：

| 71.双纤维支持 | 七事件低位集 | $b-1+32-y_7$ |
| --- | --- | ---: |
| 71.支持25：$(a,b)=(2,5)$ | $\{2,3,4,5,6,7,8\}$ | 28 |
| 71.支持26：$(2,6)$ | $\{2,3,4,5,6,7,8\}$ | 29 |
| 71.支持35：$(3,5)$ | $\{0,1,2,5,6,7,8\}$ | 28 |
| 71.支持37：$(3,7)$ | $\{0,1,2,3,4,5,6\}$ | 32 |
| 71.支持46：$(4,6)$ | $\{0,1,2,3,6,7,8\}$ | 29 |
| 71.支持47：$(4,7)$ | $\{0,1,2,3,4,5,6\}$ | 32 |

共同数字本身不必是七事件数字，六行都在量词内。

取第三完整首读纤维 $F$。其第二读取态不能是 $Q$，否则总质量成为 $27/8>3$；其标签与前两纤维及七标签不交。与推论71.12的同一目标检查一样，$Q_F$ 不能是 $Q_4$ 或 $q_a$，且实际 $\delta_F\ge3$。剩下的两个目标类别已穷尽：若 $Q_F=q_b$，定理71.11直接给左情形 $E\ge29$，此时不再把 $Q$ 的费用加到该界上；若 $Q_F\notin Q_v\cup\{Q\}$，这是另一个已证不同的目标，给

$$
E\ge (L_Q-1)+S_v+(L_{Q_F}-1)
 \ge b-1+32-y_7+2\ge30.
\tag{71.8}
$$

所以两类都给（71.6）。这里 $q_b$ 类使用的是混合截止定理的完整实际目标分离，而外部类使用表中同一个 $E$ 预算；不需要把四个紧等号切口投影当作控制器，也没有重复收费可能重合的新目标。任意周期提升都只能提高实际目标最大等待。$\square$

### 71.4 低位零至六的特定 T1 几何

**定理 71.14（连续七点 T1 的截止排除）。** 在无八事件、恰一七事件的完整模型中，若七事件入口低位恰为 $\{0,1,2,3,4,5,6\}$，形状为 $T_1=((*,(*,*)),((*,*),(*,*)))$，则 $E\ge29$，从而 $C\ge105+2e+\ell$。

证明。六个间隙切口被迫为 $c_j=j$。按先序，六个正等待代表为

$$
(6,2,8,7,1,8),\qquad \sum(d-1)=26.
\tag{71.9}
$$

六个实际目标互异，记其集合为 $Q_v$，其中 $A=q_a,D=q_b$。反设 $E\le28$，令 $a=L_A-6,b=L_D-2$。实际等待仍保留，且

$$
a,b\ge0,\qquad
 a+b+\sum_{q\notin Q_v\cup\{q_0\}}(L_q-1)\le2.
\tag{71.10}
$$

其他四个旧目标超过正代表的费用只会进一步减少右侧余量。

先给目标约束。$Q_4$ 各有两个满数字，不能接收任何与七标签不交的二元出现。$A$ 已占质量 $3/4,1$，所以一个索引三外来二元出现至多在部分数字放一件事件，在另一个数字放四件，共至多五件；索引四或五的外来二元出现都不能进入 $A$。$D$ 已占 $1/2,1$，不能再接收索引四的四事件出现，因为读取态总质量将为 $3/2+2>3$。索引五的外来二元出现不能进入 $Q_v$ 的任何目标。

此外，与七标签不交的二元出现至多一次使用 $A$，也至多一次使用 $D$。它们都必须避开各自已满的数字，只能跨另外两数字间的唯一物理边界。精确二元区间必含该边界相邻的两点；同一目标的两个不同出现若都跨它，就重复非终止联合配置，违反引理66.12。这是对所有此类出现合用的一次限制，不是给每个前驱各留一次。

如推论71.12，选一个实际第二读取态不同于七事件读取态的完整纤维 $F$，其九标签不交。首分割只能为 $3+6,4+5,5+4,6+3$，实际等待至少三；不能以 $A$ 或 $Q_4$ 为目标。因此先进入 $D$ 或 $Q_v$ 外。若先到外部目标，（71.10）迫使实际等待恰三，用完两单位余量，故 $L_A=6,L_D=2$，全部外部尾长至多三。若先到 $D$，因 $L_D\le4$，实际等待是三或四；之后 $F$ 的另一个二元出现不能再用 $D$。

先处理两种第一等待为三的情况。下侧六点孩子在索引二的低位为 $[3,9)$。它不能先作一元读取，否则六标签只剩两读；其下一二元读取不能到 $A$，因为六超过五件上限。$D$ 若未被 $F$ 使用，其尾长为二；若已使用则不可再用。外部尾长至多三。因此只有等待二给 $4+2$ 或等待三给 $3+3$；等待一留下五标签给两读，不可行。

等待二留下索引三的四点 $[5,9)$。末两读强制 $2+2$，分割正代表为二，进而产生索引四的上侧二点 $[0,2)$。此二点末读的实际等待至少八，目标又必须在 $Q_v$ 外，与外部尾长至多三矛盾。等待三则留下索引三的三点 $[0,3)$，下一读必须二分且实际等待至少七；它不能以 $A$ 为目标，$D$ 已使用或尾长仅二，外部尾长至多三，仍矛盾。

最后处理 $F$ 第一等待四且进入 $D$。此时 $b=2$ 用完（71.10）：$L_A=6,L_D=4$，所有外部尾长为一。考虑索引二的五点孩子 $[4,9)$；下一读不能一元，因为五标签不能两读完成。$D$ 已使用。外部等待一给 $4+1$；在 $A$，部分数字至多接收一个索引三事件，故只可能 $4+1$ 或 $1+4$，在实际等待至多六时分别只能等待一或四。于是索引三四点孩子为 $[5,9)$ 或 $[0,4)$，两读内强制平衡分割，正等待分别至少二或七。它不能到 $A$，不能到 $D$（四事件质量也独立排除 $D$），外部单位尾又不够。得到最后矛盾。

所有非单点的一元可能性都由相应叶截止逐项排除；实际单点后续无需删去。所述等待下界适用于全部正整数提升。故 $E\ge29$，再代入（71.1）。$\square$

此定理只针对所列低位与形状，不推广为全部四百二十切口的排除。它也不需要低二元和证书或正末读超额的附加断言。

### 71.5 专用纤维树的完整总表规格

**定义 71.15（两棵九标签纤维树及其字面实现）。** 记 $*$ 为单点叶，$d(L,R)$ 表示先执行恰 $d>0$ 个单位等待，再读取，把到达区间按原低位顺序切成两个非空孩子，随后分别使用 $L,R$。定义

$$
\begin{aligned}
\mathcal R={}&6\bigl(1(1(*,*),*),\,
                  6(1(1(*,*),*),7(1(*,*),*))\bigr),\\
\mathcal S={}&7\bigl(1(*,*),\,
                  6(2(*,8(*,*)),7(1(*,*),8(*,*)))\bigr).
\end{aligned}
\tag{71.11}
$$

以下给出从这两棵有限树到一张实际总表的全部行规则。取二十七个固定终止态 $H_x$，输出 $x$，形式后继为自身。另有共同首读态 $R_0$，前缀 $\ell=0$；其数字 $b\in\{0,1,2\}$ 行接所选纤维树的根等待链。该纤维初始标签集为 $\{9b,\ldots,9b+8\}$，累计等待为零。

对树的每个内部出现 $u=d(L,R)$ 建立独立读取态 $R_u$ 及独立等待态 $W_{u,1},\ldots,W_{u,d}$。入口指向 $W_{u,d}$；$W_{u,j}$ 执行一次加一并在 $j>1$ 时指向 $W_{u,j-1}$，$W_{u,1}$ 指向 $R_u$。设到此出现之前的标签集合为 $X_u$，累计等待为整数 $A_u$，以

$$
a_u(x)=\left\lfloor\frac{[x+A_u+d]_{27}}9\right\rfloor
\quad(x\in X_u)
\tag{71.12}
$$

确定两个实际使用的数字。每个数字的行接对应孩子：内部孩子接其独立等待链，单点孩子 $\{x\}$ 直接接 $H_x$。孩子的累计等待为 $A_u+d$；排序按进入区间的低位顺序，跨模二十七接缝时不按数字名称大小排序。余下未用数字一律指向 $H_0$。式（71.12）及 $X_u,A_u$ 只是有限写表常数，运行时只有这些已列 $R/W/H$ 态；没有额外的计时或相位寄存器。

这指定每个名义态的动作、全部读取数字行及所有后继。两棵树的每个内部出现恰有两个非空数字孩子，下面的证明同时验证此分割条件。

**命题 71.16（两张完全初始化表与零末读超额）。** 首读数字零使用 $\mathcal S$，一、二使用 $\mathcal R$，定义71.15给出一张

$$
25R+88W+27H=140
\tag{71.13}
$$

态的正确完整初始化控制器，全部态可达，最多五读。它没有八事件槽，恰有一个七事件索引二槽；该槽来自数字零纤维，原标签为 $2,\ldots,8$，到达低位为 $0,\ldots,6$，其后形状恰为 $T_1$。另两个完整首读纤维各有两个索引五二元出现，其进入等待均为一。

三个首读数字都使用 $\mathcal R$，则得到另一张全部态可达、最多五读的正确完整总表，费用为

$$
25R+72W+27H=124.
\tag{71.14}
$$

该表没有七或八事件索引二槽，三个纤维的索引五二元进入等待均为 $(1,1)$。

证明。对树出现及每个实际单位步归纳，来源相位始终为 $[x+A]_{27}$，当前标签集合仍含原输入 $x$。节点的 $d$ 个等待逐次加一，读取数字按（71.12）恰选包含 $x$ 的孩子；单点叶因此进入它自己的固定 $H_x$。

直接从初始低位 $[0,9)$ 看，$\mathcal R$ 的首等待六给三点 $[6,9)$ 及六点 $[0,6)$。三点的 $1(1(*,*),*)$ 先等一给低位二点 $[7,9)$ 及单点零，再等一分开二点。六点先等六给三点 $[6,9)$ 及三点 $[0,3)$；前者使用同一个三点形状，后者等七给二点 $[7,9)$ 及单点零，再等一分开。这验证 $\mathcal R$ 全部八个非空二分，等待和为

$$
6+1+1+6+1+1+7+1=24.
\tag{71.15}
$$

$\mathcal S$ 首等待七给二点 $[7,9)$ 及七点 $[0,7)$，二点等一即分开。七点的根等待六给三点 $[6,9)$ 和四点 $[0,4)$：三点等二产生单点八及二点 $[0,2)$，该二点等八分开；四点等七给二点 $[7,9)$ 和 $[0,2)$，分别等一和八分开。这正是低位零至六的 $T_1$，八个内部出现的等待和为

$$
7+1+6+2+8+7+1+8=40.
\tag{71.16}
$$

各分支都非空，故每条独立等待链及每个读取态都被实际输入经过；二十七个原输入分别到自己的终止态，所以所有 $H_x$ 也可达。初始读一次，加树内路径至多四次，共至多五读；每两个读之间严格正等待，末读后直接终止。读取态共 $1+3\cdot8=25$；等待态分别为 $40+24+24=88$ 和 $3\cdot24=72$。未用数字有显式默认行，$W$ 后继及 $H$ 自后继均在载体内，因而总性不只对实际路径成立。

数字零使用 $\mathcal S$ 时，首等待七把原低位 $2,\ldots,8$ 送到物理数字一、低位零至六；另外两个纤维的首分割为三加六，所以没有其他七槽。全规则表的逐输入读取分布及末读等待为：

| 71.完整表 | 三读输入数 | 四读输入数 | 五读输入数 | 纤维零／一／二的索引五二元等待 |
| --- | ---: | ---: | ---: | --- |
| 71.特殊零：$(\mathcal S,\mathcal R,\mathcal R)$ | 4 | 9 | 14 | $(8,1,8)$／$(1,1)$／$(1,1)$ |
| 71.全规则：$(\mathcal R,\mathcal R,\mathcal R)$ | 3 | 12 | 12 | $(1,1)$／$(1,1)$／$(1,1)$ |

这些数也可逐叶由上述分割读出；每行覆盖全部二十七个原输入。$\square$

**推论 71.17（无小容量前提的末读正超额不是必要条件）。** 对一个完整首读纤维，按二元出现计其索引五等待超额 $\sum_H(\delta_H-1)$。不能从“合法一七控制器且该七槽为低位零至六的 $T_1$”推出“存在与七标签不交的完整首读纤维，其该超额至少五”，甚至不能推出严格为正。

证明。命题71.16的一百四十态表中，与七标签不交的两个完整首读纤维各自的两次末读等待均为一，超额都是零。全规则一百二十四态表还说明无七槽时也可以所有纤维的该超额为零。两张表只反驳不带小容量前提的末读超额要求；它们都大于一百零五，既不是 $C\le104$ 见证，也不反驳一百零五最小性的可能结论。$\square$

### 71.6 有限证书的域与来源边界

混合截止的有限域可直接从定理71.11重建：左单点为 $m=3,4$、$z=m,\ldots,8$，右单点为 $z=0,\ldots,8-m$，共二十二份合同。对带索引低位列表 $D$，单点费用置零；非单点若有索引五或完整质量大于一则不可行，其余遍历正代表 $d=1,\ldots,9$，平移、索引加一、按数字分组，并取 $d-1$ 加全部孩子费用的最小值。一元孩子保留且消耗读取。得到四组最小值 $5,12,8,16$。该递推仅核对分别收费的新分割费用；把它用于实际 $E$ 的依据是定理71.11另证的目标分离。

物理支持的独立有限域为两朝向、九个单点位置、二十七个九点循环区间起点，共四百八十六项。去掉单点碰撞、满数字冲突以及另一数字七件以上的项，恰余上述二十二份前段／后段合同。七叶费用的域为三十六个七点低位集、四形状及全部合法间隙切口，共四百二十项；在三个入口数字分别展开完整模二十七相位，共一千二百六十项，六目标正代表费用的四个最小值仍为 $24,16,24,16$。

双纤维支持的域可取首读数字 $j,j+1\pmod3$、两次等待的模二十七正代表 $1,\ldots,27$，共 $3\cdot27^2=2187$ 项。到达不交且占用多重集为 $\{5,6,7\}$ 的项恰一百零八，归入71.3的全部六行。这里取模只核对物理支持；实际等待下界 $L_Q\ge b$ 仍以原整数成立。定理71.13通过定理71.11覆盖 $q_b$ 的全部可能性，不以紧等号四行数据作前提。

定理71.14的两单位总剩余还给六个极大尾上限三元组 $(L_A,L_D,L_{\rm out})$：

$$
(6,2,3),(6,3,2),(6,4,1),(7,2,2),(7,3,1),(8,2,1).
\tag{71.17}
$$

其中 $L_{\rm out}$ 是所有外部目标的共同上限，把总剩余放宽为这个上限只扩大可行域。可对精确低位区间及当前索引递归：一元正代表任取一至九、只耗读数且不收费；二元等待受所选目标的上限约束；$A,D$ 各只准被所有二元出现合用一次。索引 $i$ 的二元两组在 $A$ 须能放入剩余质量 $1/4,1$，在 $D$ 须能放入 $1/2,1$，允许自由选择相对旋转甚至两组对应，外部目标不加质量限制。孩子的 $A,D$ 使用标记须互不重叠；索引二孩子不得超过六件。这个比实际表更宽的截止递推，在（71.17）六项下都没有九点纤维。它保留非单点一元读取，不能代替71.4的普通证明，也没有认证其他几何的排除。

两张完整见证则使用定义71.15的全部字面行，直接从每个 $x=0,\ldots,26$ 的 $(R_0,x)$ 执行。检查的是全部读取／等待后继闭合、固定终止输出、逐单位物理相位、正等待、至多五读、全部收费态可达及71.5列出的事件分布；这种完整构造与前面的必要投影具有不同证据范围。

本节的定义和普通证明依赖固定公开版本 [a9040f0ee82ba5284703ca65a775cef76ee7db18 的本卷](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/a9040f0ee82ba5284703ca65a775cef76ee7db18/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md)：定义56.1、66.11、67.11的完整模型，命题57.2的完整事件质量，引理66.12的事件唯一及尾收费，定理64.12、推论65.19的精确区间与物理边界注入，定理68.16和引理69.11—69.12、定理69.13的普通排除。首读前缀只通过坐标 $y=[x+\ell]_{27}$ 识别其九标签纤维，输出仍是原 $x$，不执行标签旋转。

公开第70节固定于 [ff364fa82a7875132cebb8dff6a84f31bf0c333c](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/ff364fa82a7875132cebb8dff6a84f31bf0c333c/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md)。其 $E\ge20$、低剩余界及加权宿主界若与本节并用，只能在同一 $E,e,\ell,B$ 上取合取，不能把两个 $E$ 下界相加为不交费用。本节新排除不以更强的 $B\ge53$、$\Gamma>0$ 或九树／二百九十八朝向的有限完备性作前提。那些旧证书及公开容量端点 $96\le C_B(3,2)\le105$ 的完整重新认证在本节均为 `ASSUMED-UNVERIFIED`，不影响上述新普通推导及两张完整表的验证。本文不主张历史原创、全控制器枚举或 Lean/kernel 验证。

### 71.7 尚缺的共同实现不等式

左单点的一七候选受 $E\ge26$、$2e+\ell\le2$ 约束；两个完整纤维共用七事件读取态时已排除左单点，低位零至六的 $T_1$ 也被独立排除。右单点的 $m=3$ 混合目标仍只有本节的必要界 $E\ge24$；它没有获得实际可实现性。

零七控制器、存活的右单点共享情形和其余低 $e$ 情形仍须把全部实际相位、原标签、单点延续以及读取／等待后继同时闭合。所缺依旧是在同一完整表上普遍证明 $E+2e+\ell\ge29$，或给出更小且全部收费状态、实际后继相容的完整初始化表。两张较大的构造只关闭无条件末读超额这条辅助桥梁；上述条件排除不重新认证或改变旧容量端点。一般精确 $C_B(p,k)$、原 general-$B$ 取得目标，以及空间、时间、边界和记忆互相恢复的整体目标均继续开放。

## 71.99 追加锚

## 71.100 混合支持枚举的四条件更正

**命题 71.101（第71.6节物理支持枚举的更正）。** 在定理71.11的混合目标情形下，第71.6节所列四百八十六项物理支持，仅用其中明列的三项过滤条件会留下四十二项；补上共享槽剩余质量条件后，才恰余该定理的二十二份前段／后段合同。

证明。保留定理71.11的无八事件、恰一七事件假设。用循环数字坐标把所选索引四单点所在数字记为零，低位记为 $z\in\{0,\ldots,8\}$；数字块为 $D_a=\{9a,\ldots,9a+8\}$。左朝向的已满数字为 $a_{\rm sat}=1$，另一数字为 $a_{\rm other}=2$；右朝向为 $a_{\rm sat}=2,a_{\rm other}=1$。这只选择分析坐标，不改变原标签或控制表。

完整首读纤维 $F$ 在 $q_b$ 的索引二物理支持的候选取

$$
I_t=\{[t+j]_{27}:0\le j\le8\},\qquad 0\le t\le26.
$$

两朝向、九个 $z$ 和二十七个 $t$ 共给 $2\cdot9\cdot27=486$ 项。令 $m=|I_t\cap D_0|$ 为进入单点所在共享数字的索引二事件数，$n=|I_t\cap D_{a_{\rm other}}|$。完整的四项过滤条件是：

1. 单点不碰撞：$z\notin I_t$，对应引理66.12的联合事件唯一性。
2. 避开已满数字：$I_t\cap D_{a_{\rm sat}}=\varnothing$。
3. 另一数字至多六件：$n\le6$，沿用定理71.11对第二个七事件槽、八事件槽及九事件槽的排除。
4. 共享槽的剩余质量足够：$1/2+m/8\le1$，即 $m\le4$。所选索引四单点的质量为 $2^{4-5}=1/2$，每个 $F$ 的索引二事件为 $2^{2-5}=1/8$；这些不同事件的质量须共同满足命题57.2的完整槽上界一。

前三项下，$n=9-m$，故 $3\le m\le8$。左朝向的共享低位为 $0,\ldots,m-1$，唯一循环起点为 $t=18+m$，允许 $z=m,\ldots,8$；右朝向的共享低位为 $9-m,\ldots,8$，唯一起点为 $t=9-m$，允许 $z=0,\ldots,8-m$。每个朝向及每个 $m$ 恰有 $9-m$ 项。因此三项过滤留下

$$
2\sum_{m=3}^{8}(9-m)=42,
$$

加入第四项后只剩 $m=3,4$，项数为 $2(6+5)=22$，恰为定理71.11使用的合同。

第四项不由前三项推出。取左朝向、单点数字零低位 $z=5$、已满数字一，以及起点 $t=23$ 的九点支持

$$
I_{23}=\{23,24,25,26,0,1,2,3,4\}.
$$

它不含单点相位五，也不碰数字一的 $D_1=\{9,\ldots,17\}$；共享数字有五件，另一数字有四件，故前三项全满足。然而共享槽质量为 $1/2+5/8=9/8>1$，被第四项排除。这是遗漏条件独立性的有限支持见证，不是合法控制器反例。$\square$

本更正补全第71.6节的简写枚举条件；定理71.11的证明已经使用 $1/2+m/8\le1$，其既有条件界不变。二十二份合同仍只是必要支持条件，不承诺完整控制器实现；旧容量端点不在此重新认证，第71.7节的一般容量缺口继续保留。

## 71.199 追加锚

## 72. 前段占用的首读纤维恢复与混合目标的额外尾收费

沿用定义66.11、67.11的同一张正确、有限、驻定、确定的完整初始化总表 $K$。来源为 $s\in\mathbb Z/M\mathbb Z$，$M=pP$；全部原输入 $x$ 从共同控制态和 $s=x$ 出发。单位等待 $W$ 恰加一，读取 $R$ 只给 $\lfloor[s]_M/P\rfloor$，终止态单独输出固定原标签 $x$。每条实际路径有限，至多 $h$ 读，动作词为 $W^\ell R(W^+R)^*$，末读后立即停止。全部名义态，包括等待、控制前缀、计数器及未达态均收费。共同前缀 $\ell$、所有字面正等待、单点延续、一元历史、额外读取态及在全部初始化输入上终止的环均保留。

$q_0$ 是首读态，$r$ 数实际读取态。活动槽 $v=(q,a)$ 的固定下一读取目标及字面等待为 $\tau(v)$、$\delta(v)>0$。对非首读目标置

$$
L_q=\max_{\tau(v)=q}\delta(v),\qquad
E=\sum_{q\ne q_0}(L_q-1),\qquad
C\ge M+2r-1+\ell+E.
\tag{72.1}
$$

引理66.12的注入在原表上成立：每个非终止联合配置只属于一个原输入的一次访问；$q_0$ 的首次访问已覆盖全部物理相位，故以后不能再进入它。不同目标的最长纯等待链互不共用等待态，也不与共同前缀重合；另有至少 $M$ 个固定输出终止态。命题57.2的完整槽质量界为

$$
\sum_{(x,i)\text{ 在槽 }v}2^{i-h}\le1.
\tag{72.2}
$$

其后缀码论证保留不同索引的同一标签访问：固定槽的每步至多二分，不同访问给不同的前缀自由终止词；按剩余深度扩成等长二元词，其不交后缀集合给质量界。一个读取态因而总质量至多 $p$。以下第一条引理适用于任意整数 $p\ge2,P>1$ 的上述端口合同，不要求 $P$ 是 $p$ 的幂；其余结论固定 $p=3,P=9,M=27,h=5$。定理56.3的实际槽奇环计数在保留前缀后仍给 $r\ge1+2p(P-1)/(p-1)=25$，所以记 $r=25+e$，$e\ge0$，得到

$$
C\ge76+2e+\ell+E.
\tag{72.3}
$$

所有所选事件均用 $(x,i)$ 标识，物理坐标及固定终止标签不变；在分析中取等待的模九正代表不表示修改原表。

### 72.1 一个精确前段恢复完整的进入纤维

**引理 72.11（索引二前段的唯一首读纤维）。** 设 $p\ge2,P>1$，在某实际读取态 $Q$ 的物理数字 $b$ 内，全部索引二事件的低位集合恰为 $\{0,\ldots,m-1\}$，其中 $1\le m<P$。则存在唯一一个贡献这些事件的完整首读纤维 $F$；它的所有 $P$ 个标签都在第二读进入 $Q$，完整到达支持为

$$
\{[(b-1)P+m+j]_M:0\le j<P\}.
\tag{72.4}
$$

其首读槽的实际等待满足 $\delta_F\equiv m\pmod P$，特别 $\delta_F\ge m$。在 $p=3,P=9,h=5,m=7$ 时，$F$ 在 $Q$ 的索引二质量按数字 $(b,b+1,b+2)$ 排列为

$$
f=(7/8,0,1/4),\qquad L_Q\ge7.
\tag{72.5}
$$

证明。首读坐标 $y=[x+\ell]_M$ 遍历全部相位，每个首读数字的标签集合恰有 $P$ 个元素。它们使用同一个首读槽，因 $P>1$ 而不能共同停止；该槽的同一正等待把全部纤维送到一个第二读取态。其相位支持是完整数字块的平移，即长度 $P$ 的循环区间。

这样的区间与数字块 $b$ 的非空交集只能是前段、后段或整个块。所给全部索引二占用不含低位 $P-1$，所以每个贡献者都只能给真前段，且都含相位 $bP$。若两个不同首读纤维贡献，则它们的不同原标签会共享非终止配置 $(Q,bP)$，违反事件唯一性。因此恰有一个贡献者，它给出整个所列前段。长度 $P$ 的循环区间若在块 $b$ 恰给长度 $m$ 的真前段，其起点只能是 $[(b-1)P+m]_M$，终点为 $[bP+m-1]_M$，得到（72.4）。

首读前的共同偏移已在 $y$ 中计入；在首读时该纤维支持始于 $P$ 的倍数。故它的实际进入等待模 $P$ 等于 $m$，正整数性给 $\delta_F\ge m$。九点特例的其余两事件在数字 $b-1=b+2\pmod3$，低位为七、八；每件索引二事件质量为 $1/8$，遂得（72.5）。这恢复的是同一原表中的纤维、完整相位支持和等待余数，不恢复整张表，也不执行标签重标。$\square$

### 72.2 两种左单点前段七点的三十二单位下界

**定理 72.12（前段七点的左单点排除）。** 固定 $p=3,P=9,h=5$。若槽 $v=(Q,b)$ 的索引二低位恰为 $\{0,\ldots,6\}$，且七标签的所选七叶骨架为

$$
T_1=((\ast,\pi),(\pi,\pi))\quad\text{或}\quad
T_3=((\pi,\pi),(\ast,\pi)),\qquad \pi=(\ast,\ast),
\tag{72.6}
$$

则 $E\ge32$，从而 $C\ge108+2e+\ell$。此结论不假设全表无八事件槽，也不假设七事件槽唯一。

证明。七件索引二事件已有质量 $7/8$，而任何索引至少三的额外事件至少贡献 $1/4$；$Q\ne q_0$ 又排除索引一。因此这七件穷尽该槽。三次余读的二元叶数界强制下一读为 $3+4$ 或 $4+3$，再分别为 $1+2$ 或 $2+1$、以及 $2+2$，最后三个二点组各分开。非单点的一元步会超过五读截止；所选单点的实际后续仍留在原表。

六个所选分割源的事件质量为 $7/8,3/4,1,1,1,1$。它们的事件按标签或索引不交，所以任意源槽合并都会使完整槽质量超过一。若两个这样的不同源以所选质量 $k,k'$ 共用目标，每个源在自己的两个到达数字上各至少贡献 $2k-1$、$2k'-1$：总到达质量为 $2k$、$2k'$，每侧至多一。两个二数字集在三个数字中必相交，故同目标必需

$$
k+k'\le3/2.
\tag{72.7}
$$

六源中的最小配对和为 $13/8$，因此六个实际目标两两不同。将七标签首次分割目标记为 $A$，三标签分割目标记为 $D$，其余四个目标组成 $Q_4$，并置 $Q_v=\{A,D\}\cup Q_4$、$S_v=\sum_{q\in Q_v}(L_q-1)$。它们都不是 $q_0$。

连续七个低位使六个叶间切口唯一为 $c_j=j$。按先序读取内部节点，根等待代表为 $9-c_{\rm root}$，左内部孩子为 $c_{\rm parent}-c_{\rm child}$，右内部孩子为 $9+c_{\rm parent}-c_{\rm child}$，故

| 72.前段骨架 | 六个正等待代表（先序） | 代表和减六 |
| --- | --- | ---: |
| 72.前段T1 | $(6,2,8,7,1,8)$ | 26 |
| 72.前段T3 | $(5,2,1,8,8,8)$ | 26 |

每个原等待是对应 $d_u+9n_u$，$n_u\ge0$。因目标已经分离，

$$
S_v\ge26+9\sum_u n_u.
\tag{72.8}
$$

引理72.11在同一个 $Q$ 恢复完整九点纤维 $F$ 及（72.5）。$F$ 的事件索引为二，与六个所选目标的索引至少三的到达事件全部不同，即使某个原标签相同也不合并两次访问。

先检查 $Q$ 的身份。每个 $Q_4$ 目标已有所选总质量二；若等于 $Q$，加上 $F$ 后总质量为 $2+9/8=25/8>3$，不可能。$D$ 的循环质量模式为 $(1/2,1,0)$，因为三标签单点在左。其正质量数字不能是 $b$，那里只余 $1/8$；若把零质量数字放在 $b$，满质量数字恰在 $b-1$，又与 $F$ 的 $1/4$ 冲突。因此任何物理旋转都不能使 $Q=D$。

在 $T_1$ 中，$A$ 的循环模式为 $(3/4,1,0)$，同一检查排除 $Q=A$。故此时 $Q\notin Q_v$。

在 $T_3$ 中，$A$ 的循环模式为 $(1,3/4,0)$。唯一未被质量排除的对齐，在数字 $(b,b+1,b+2)$ 上为 $(0,1,3/4)$。原根槽的七个相位是 $bP+0,\ldots,bP+6$，根等待是 $5+9n$；平移后四件位于数字 $b+n$，三件位于 $b+n+1$，数字下标模三。上述对齐因而要求 $n\equiv1\pmod3$，字面等待至少十四。若 $Q=A$，这同一个已收费目标使（72.8）至少为三十五；质量相容并不声称完整实现存在。

最后才加不交目标费用。若 $Q\notin Q_v$，（72.5）给它单独的费用 $L_Q-1\ge6$，于是 $E\ge26+6=32$。若 $Q\in Q_v$，仅余 $T_3$ 的 $Q=A$，已经给 $E\ge S_v\ge35$，不再重复加 $Q$ 的费用。两类均得所述界，再用（72.3）。任意九步提升的物理旋转已经穷尽，完整二十七步提升只会进一步提高同一目标最大值。$\square$

### 72.3 六标签前段离开两数字半占用的目标族

**引理 72.13（六点前段的外部目标）。** 在同一 $p=3,P=9,h=5$ 的 $K$ 中，六个不同原标签组成集合 $G$，它们在某个实际槽的索引二低位恰为 $\{0,\ldots,5\}$；该槽可另含其他事件。设 $\mathcal Q$ 是一组不同实际非首读目标，每个 $q\in\mathcal Q$ 都有一批原标签不在 $G$ 中的所选到达事件，在两个不同物理数字内各给至少 $1/2$ 的质量。则 $G$ 的某次实际后续进入目标 $q_\star\notin\mathcal Q\cup\{q_0\}$，且 $L_{q_\star}\ge6$。特别

$$
\sum_{q\notin\mathcal Q\cup\{q_0\}}(L_q-1)\ge5.
\tag{72.9}
$$

若 $G$ 的下一等待正代表为五或七，可加强为 $L_{q_\star}\ge8$。

证明。共享槽不能同时停止并正确输出六个不同标签。六标签还剩三读，下一读若一元便只剩两读，至多区别四标签。因此下一读须二分，且每个孩子至多四标签。写实际等待 $\delta=d+9n$，$1\le d\le9,n\ge0$；对精确低位 $[0,6)$ 作平移，只有

$$
d=5:\ 4+2,\qquad d=6:\ 3+3,\qquad d=7:\ 2+4
\tag{72.10}
$$

可行。这只是原等待的算术分类。

若 $d=6$，下一目标的两个数字各接收三件索引三事件，质量各为 $3/4$。若它在 $\mathcal Q$ 内，这两个数字必与该目标的两个半质量见证数字相交。见证标签均在 $G$ 外，故相交处的事件不交，完整槽质量至少为 $3/4+1/2>1$，矛盾。此目标在 $\mathcal Q$ 外，且 $L\ge\delta\ge6$。

若 $d=5$，四标签孩子的索引三低位为 $[5,9)$；若 $d=7$，则为 $[0,4)$。剩下两读迫使它立即 $2+2$ 分割，不可先一元读取；相应正等待代表分别是二、七。两种分割都产生一个索引四的精确低位对 $[0,2)$。该对必须在索引五分开，分割等待模九只能为八，故实际等待至少八。其最终目标有两个质量一的数字，与 $\mathcal Q$ 任一目标的两个半质量见证数字必相交，仍因标签不交而违反（72.2）。此目标也在 $\mathcal Q$ 外。

所选目标均由首读后的实际等待进入，不能是 $q_0$：初次到达 $q_0$ 已随全部 $x$ 覆盖二十七个相位，任何后来的到达都会重复一个非终止联合配置。于是其单个最大等待费用可在（72.9）中计入。任意九倍提升只旋转物理数字并增加原等待；上述二数字交集论证不依赖旋转。其他事件、单点实际继续及合法终止环都没有被删除。$\square$

### 72.4 右单点三件共享的额外五单位

**定理 72.14（右单点三件完整纤维共享的排除）。** 进一步显式假设全表没有八个索引二事件的槽，且恰有一个七事件槽 $v$。其七叶骨架为

$$
T_2=((\pi,\ast),(\pi,\pi))\quad\text{或}\quad
T_4=((\pi,\pi),(\pi,\ast)),\qquad \pi=(\ast,\ast).
\tag{72.11}
$$

令 $q_a$ 为七标签首次分割目标，$q_b$ 为三标签分割目标，六个所选目标组成 $Q_v$。若一个与这七标签不交的完整首读纤维 $F$ 在第二读进入 $q_b$，且其中恰三件进入旧索引四单点所在数字，则

$$
E\ge29,\qquad C\ge105+2e+\ell.
\tag{72.12}
$$

因此该条件族没有 $C\le104$ 的控制器。

证明。旧三标签分割在 $q_b$ 给二点数字质量一、右单点数字质量 $1/2$。$F$ 的九件索引二事件与旧标签不交，必须避开已满数字。它的支持是同一完整首读块的平移；避开满数字并在右单点数字放三件，强制这三件的低位为 $6,7,8$，而另六件在相邻的第三数字占低位 $0,\ldots,5$。记后六个原标签为 $G$。这是同一个 $F$ 的两个精确部分，没有拼合不同入口的边际支持。事件唯一性使旧单点低位 $z$ 满足 $0\le z\le5$。

共享单点槽含不同固定标签，必须继续。旧单点已在索引四，故下一读成为索引五，并须单独终止；它不能与 $F$ 的三标签落入同一下一数字。该步至多二分，所以三标签一起到索引三，随后必须分成 $2+1$ 或 $1+2$，余下二点在索引五分开。三个新选源的质量依次为 $7/8,3/4,1$，目标记为 $N_1,N_2,N_3$。第一源含旧单点的索引四事件及 $F$ 三件索引二事件。

先分离全部目标。引理69.11的六源质量为 $7/8,3/4,1,1,1,1$，其六目标身份也可用（72.7）直接重证。三个新源之间及与六个旧源之间，所选事件按标签或索引不交，任意两源的质量和都超过一，故它们是九个不同实际槽。把（72.7）用于这些源，只有一对质量均为 $3/4$ 的源未被直接排除，即可能 $N_2=q_b$。

这一例外也不成立。$q_b$ 已有旧三件索引四事件和全部九件 $F$ 索引二事件；若 $N_2=q_b$，还会接收三件 $F$ 索引四事件。它们是三批不同事件，即使标签同属 $F$，索引二与四仍不同。因此该读取态的总质量至少

$$
\frac32+\frac98+\frac32=\frac{33}{8}>3.
\tag{72.13}
$$

于是 $\mathcal Q=Q_v\cup\{N_1,N_2,N_3\}$ 恰有九个不同实际非首读目标。

现在计算这些目标的费用。令六个切口满足 $1\le c_1<\cdots<c_6\le8$；每个实际切口在相邻七标签的低位间隙中。由根、左孩子、右孩子的等待公式，旧六目标分别给

$$
\begin{aligned}
T_2:\quad S_v&\ge21-c_1-(c_4-c_3)-(c_6-c_5)\ge16,\\
T_4:\quad S_v&\ge21+(c_2-c_1)+(c_4-c_3)-c_5\ge16.
\end{aligned}
\tag{72.14}
$$

第一行用 $c_1+(c_4-c_3)+(c_6-c_5)\le5$，因为余下三个相邻差至少一且 $c_6\le8$；第二行用两差至少一及 $c_5\le7$。这些下界均用于原表的同一组切口。

旧单点与 $F$ 高端三点的第一次分离，切口满足 $z<c\le6$，正等待代表为 $9-c$。随后三标签低位为 $6-c,7-c,8-c$。若下一步为 $2+1$，三次新等待的正代表为 $(9-c,c+1,1)$；若为 $1+2$，则为 $(9-c,c+2,8)$。它们的和减三分别为八、十六。各实际等待仍可加非负九倍；目标已经证明与旧六个不交，故

$$
\sum_{q\in\mathcal Q}(L_q-1)\ge16+8=24.
\tag{72.15}
$$

这没有主张两项投影最小值可同时达到。

为应用引理72.13，所选见证只取旧七标签及 $F\setminus G$ 的到达事件。九目标的两个非零数字质量如下；每行列的是无序质量对，不把不同分支的循环朝向等同。

| 72.半质量见证目标 | 两个不同数字的所选质量 | 目标数 |
| --- | --- | ---: |
| 72.旧根目标 $q_a$ | $\{3/4,1\}$ | 1 |
| 72.旧三目标 $q_b$ | $\{1/2,1\}$ | 1 |
| 72.旧四个目标 $Q_4$ | $\{1,1\}$ | 4 |
| 72.新首目标 $N_1$ | $\{3/4,1\}$ | 1 |
| 72.新三目标 $N_2$ | $\{1/2,1\}$ | 1 |
| 72.新对目标 $N_3$ | $\{1,1\}$ | 1 |

所有这些事件的原标签均不在 $G$ 中，尤其没有把 $G$ 在 $q_b$ 的索引二事件计入该处见证。每个目标都有两个至少半质量数字，而 $G$ 在索引二的低位正是 $[0,6)$。引理72.13因而给真正不同的 $q_\star\notin\mathcal Q\cup\{q_0\}$，且 $L_{q_\star}-1\ge5$。现在可以在同一个 $E$ 中加不交目标费用：

$$
E\ge\sum_{q\in\mathcal Q}(L_q-1)+(L_{q_\star}-1)
\ge24+5=29.
\tag{72.16}
$$

读取态、共同前缀和固定输出仍只由（72.3）收费一次，得到容量结论。全部物理旋转及正周期提升均保留；这里给必要排除，不给等号控制器或混合入口的存在证明。$\square$

**推论 72.15（小容量时三标签目标不接收外部完整首读纤维）。** 保留无八事件、恰一七事件的显式假设。若 $C\le104$，则与该七标签不交的任何完整首读纤维，都不能在第二读进入其三标签分割目标 $q_b$，无论骨架为 $T_1,T_2,T_3,T_4$。

证明。定理71.11的物理支持与剩余质量条件迫使共享单点数字的件数 $m\in\{3,4\}$：完整纤维须避开旧满数字，共享数字的 $1/2+m/8\le1$ 给 $m\le4$；另一个数字至多六件，因为九件违反质量界、八件被假设排除、七件会给标签不交的第二七槽。因此 $m\ge3$。第71.100节的四条件更正保留此论证。

左单点的 $m=3,4$ 在定理71.11中分别给 $E\ge29,36$；右单点 $m=4$ 给 $E\ge32$。其费用基于已分离的新目标，正等待代表的新增费用依次为五、十二、十六，与旧六目标的左侧二十四或右侧十六相加。右单点 $m=3$ 由定理72.14给 $E\ge29$。四类都与（72.3）及 $C\le104$ 矛盾。$\square$

### 72.5 局部算术证书、来源与仍开放的共同实现

引理72.11的九点支持核对域是三个物理数字、八个真前段长度和二十七个循环起点，共 $3\cdot8\cdot27=648$ 项。直接对九点区间与指定数字块取交，恰为长度 $m$ 前段当且仅当起点为 $[9(b-1)+m]_{27}$。一般 $p,P$ 的量词由该引理的区间及事件唯一性证明承担。

定理72.12的有限物理域是两形状、三个入口数字，以及六个等待各取九倍提升余类 $n_u\in\{0,1,2\}$，共 $2\cdot3\cdot3^6=4374$ 组。每组在原七个入口相位上逐节点平移，按实际数字分组，记录索引权重与六个目标费用。对恢复纤维与六个目标逐一检查，共 $26244$ 次；通过逐数字质量与相位必要条件的恰有七百二十九次，全部是 $T_3$ 的 $Q=A$、根提升余类为一，其六目标费用最小值三十五。其余可行身份分支使用不同的 $Q$，给二十六加六。更高提升写为 $n_u=n'_u+3t_u$，$t_u\ge0$，完整相位不变而字面费用增加 $27t_u$，故有限域没有替换原等待，也不把通过必要条件的情形当作控制器。

六标签核对仅展开 $([0,6),3)$ 的后续：单点在分析中停止；非单点余读为零或标签数超过二元叶数时不可行；其余遍历正代表一至九，保留全部非空数字孩子及一元读取。得到二十二棵树，首代表五、六、七分别有九、四、九棵。三个入口数字与字面等待一至二十七中，恰二十七行满足（72.10）；这些行的指定外部目标见证，与三种半质量数字对的八十一次对齐全部冲突。这里只检验引理72.13需要的交集和等待事实。

旧右向费用可在全部 $\binom86=28$ 个六切口上，分别按 $T_2,T_4$ 的父子公式求和；两组最小值均为十六。混合入口采用命题71.101的四项条件：单点不碰撞、避开旧满数字、另一数字至多六件、共享数字质量不超过一。两朝向、九个单点位置和二十七个九点循环起点的四百八十六项恰余二十二份合同。再枚举其全部分离切口和后续二分朝向，左三、左四、右三、右四分别有四十二、十五、四十二、十五项正等待列表，新增费用最小值为五、十二、八、十六。特别右三的四十二项均给（72.15）的三新目标费用。目标身份仍由事件质量和（72.13）证明；这些算术表没有提供独立可拼装的最小实现。

本节的模型与普通证明来源固定于[公开版本 9d917e448450e05ee0685d280875e021f327a6c3 的本卷](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/9d917e448450e05ee0685d280875e021f327a6c3/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md)：定义56.1、66.11、67.11和约定68.11给同表合同，引理55.3给后续二元分支，定理56.3给实际读取计数，命题57.2给完整槽事件质量，引理66.12给事件唯一及原表最长链收费，定理64.12的区间归纳给精确物理支持，引理69.11—69.12及定理71.11给七叶与混合入口的既有普通论证。上述证明已明确保留共同前缀时的适用关系。第71.100节的四条件更正见[公开版本 5bd3012482543c3fbb84d8ff2ea0c785c1f84e68](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/5bd3012482543c3fbb84d8ff2ea0c785c1f84e68/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md)。

这里新增的是精确前段到共同首读纤维及等待余数的恢复、两种左单点前段七点的三十二单位界、六标签对已占目标族的逃离，以及右三混合共享的二十九单位界。它们是同一物理总表上的条件普通推导。没有调用全控制器枚举、完整表构造、外部最小化定理、Lean/kernel 验证或历史原创断言。第70节的 $E\ge20$ 目录、更强的 $B\ge53$ 与 $\Gamma>0$ 证书，以及公开端点 $96\le C_B(3,2)\le105$ 的完整重新认证均非这些证明的前提；若另外将其作为依赖，所未重证的完整证书仍标作 `ASSUMED-UNVERIFIED`。本节不改变或重新认证容量端点。

定理72.12只排除指定前段七点的两种左形状；定理72.14与推论72.15保留显式无八／唯一七及外部完整纤维入口条件。零七控制器、其他七点低位集、外部纤维进入其他目标的右形状，以及一般参数仍须在同一张表上把所有相位、固定标签、单点继续和读取／等待后继共同闭合。这里既没有普遍证明 $E+2e+\ell\ge29$，也没有给出至多一百零四态的完整见证。一般精确 $C_B(p,k)$、原 general-$B$ 取得目标和空间、时间、边界、记忆互相恢复的整体目标继续开放。

## 72.99 追加锚

## 73. 阅读事件的联合尾收费与首读纤维的相位分离

本节把同一实际控制器中的六点区间、剩余读取截止与目标尾链连在一起。关键是先以事件质量排除目标重合，再把各目标的最大进入等待计入同一个费用；首读纤维的原标签可以与后续见证相同，只要所用事件的读取索引不同。所得条件排除不决定一般精确容量。一个完整的一百二十七态反例还表明，不能给任意首读纤维无条件指定同一种双数字重质量长到达。

### 73.1 同一初始化对象上的事件与费用

**定义 73.11（保留原标签的共同合同）。** 取整数 $p\ge2,P>1,h\ge2$，置 $M=pP$，$[z]_m$ 表示非负模代表。沿用定义55.1、56.1及66.11的有限确定驻定总表合同；此处也允许 $P$ 为任意整数，不要求 $P=p^k$。物理来源初始为 $s=x\in\mathbb Z/M\mathbb Z$，全部输入从同一个来源无关控制态开始。$W$ 真实执行一次加一，$R$ 不改变来源，只返回 $\lfloor[s]_M/P\rfloor$，$H_x$ 单独输出固定原标签 $x$。实际动作词为 $W^\ell R(W^+R)^*$，逐输入有限终止，末读后直接停止，读取数 $N_x\le h$。容量 $C$ 收费全部名义读取态、终止态、单位等待位置、控制前缀及内部计数，包括未达态。没有来源相关准备、免费计时器、表外寄存器、复位、复制、逆步或终止时刻侧信道。

固定其中一张正确表 $K$，不删除其共同前缀 $\ell$，不旋转其终止标签，不缩短任何等待。$q_0$ 为首次读取态，$r$ 为实际读取态数。实际事件是 $(x,i)$，不是单独的标签 $x$；记其读取态、物理数字、完整相位为 $q(x,i),a(x,i),s(x,i)$，质量为 $2^{i-h}$。实际活动槽 $v=(q,a)$ 的固定后继经正整数长 $\delta(v)$ 的单位等待链，到达唯一下一读取态 $\tau(v)$。沿用引理66.12的实际目标费用：

$$
L_q=\max_{\tau(v)=q}\delta(v),\qquad
E=\sum_{q\ne q_0}(L_q-1),\qquad
C\ge M+2r-1+\ell+E.
\tag{73.1}
$$

本节所用的既有普通证明可直接用于这一合同。固定一个数字块的平移最多遇到两个循环相邻数字，故后续每读至多二分，这是引理55.3的算术内容，对任意整数 $P$ 仍成立。命题57.2的完整槽界为

$$
\sum_{(x,i):\,(q(x,i),a(x,i))=(q,a)}2^{i-h}\le1.
\tag{73.2}
$$

其前提是同一个实际槽的全部事件：各事件的完整后续二元答案词互异且前缀自由，长度为 $N_x-i$。不同标签若词相同，会有相同固定输出；同一标签的不同访问若词相同，会有相同剩余读取数，与索引不同矛盾；终止词也不能是真前缀。将这些词扩到共同长度，所得二元词集合不交，给出 $\sum 2^{-(N_x-i)}\le1$，再用 $N_x\le h$ 得（73.2）。这里不以已形式化模块的名称替代普通前缀码论证。

引理56.2、66.12还给出非终止联合配置 $(q,s)$ 的唯一性：不同标签共享它会得到同一输出，同一输入重访它会永不终止。首读时 $[x+\ell]_M$ 遍历全部相位，所以 $q_0$ 不可再达；每个前缀等待态同理。对不同目标各取一条最长进入链，固定 $W$ 后继使这些链互不交，且不与前缀交；这正是（73.1）的资源注入，不是另设的最小化表示。同一目标无论接收多少历史都只收一次最大值。

专取 $p=3,P=9,h=5$ 时，定理56.3的实际槽奇环计数给 $r\ge25$。原证明只需首读态无入边、其他实际槽有入边及每个二元槽的后继数字相邻；保留 $\ell$ 后三项仍成立。于是以同一个全局剩余 $e=r-25\ge0$ 写成

$$
C\ge76+2e+\ell+E.
\tag{73.3}
$$

以下量词始终容许其他事件、额外读取态、一元历史、单点继续、任意正整周期提升，以及在全部初始化输入上终止的控制环。

### 73.2 六个连续低位强制的联合目标费用

**定理 73.12（六点区间的同时重到达）。** 设 $p\in\{2,3\},P\ge6,h\ge4$，令 $i=h-3$。在定义73.11的同一个 $K$ 中选取有限个两两标签不交的六标签集 $G_j$。对每个 $j$，其六个索引 $i$ 事件实际位于同一个槽，低位恰为整数区间

$$
[l_j,l_j+6),\qquad 0\le l_j\le P-6.
\tag{73.4}
$$

槽内允许另有事件。则可为每个 $j$ 选择由这些标签实际产生的一次后续到达及其目标 $T_j$，使两个不同物理数字各接收至少 $3/4$ 的所选事件质量，且

$$
L_{T_j}\ge P-l_j-3.
\tag{73.5}
$$

所有 $T_j$ 两两不同，且均非 $q_0$。若 $G_j$ 的下一读分为 $4+2$ 或 $2+4$，可选择最后一读的二点到达，使两个数字的质量各为一，并有 $L_{T_j}\ge P-1$。

进一步，设 $\mathcal Q$ 是不同实际非首读目标组成的集合。在每个 $q\in\mathcal Q$ 指定一批实际到达事件，要求它在两个不同数字内各有严格大于 $1/4$ 的质量，且与上述各 $G_j$ 可选择的后续事件不交。则 $T_j\notin\mathcal Q$，从而

$$
E\ge\sum_{q\in\mathcal Q}(L_q-1)+\sum_j(P-l_j-4).
\tag{73.6}
$$

对下一读不平衡的 $j$，相应项可由 $P-l_j-4$ 换为 $P-2$。背景事件不交的充分条件是：每个背景事件的索引至多 $h-3$，或者其标签不在 $\bigcup_jG_j$；这项条件可逐事件使用。因此背景可以使用同一标签的较早事件，不必全靠标签分离。

证明。六标签不能从同一槽停止。它们还剩三读；下一读若一元，剩下两读最多区别四标签。因此立即发生二分，每个孩子至多四标签。写该实际正等待为 $\delta=d+Pn$，其中 $1\le d\le P,n\ge0$。平移六个连续低位时，内部切口只能给

$$
\begin{array}{c|ccc}
\text{按原低位顺序的孩子大小}&4+2&3+3&2+4\\
d&P-l_j-4&P-l_j-3&P-l_j-2
\end{array}.
\tag{73.7}
$$

这些代表都严格在一至 $P-1$ 之间。平衡情形直接选下一目标；其两个数字各有三个索引 $h-2$ 事件，质量为 $3\cdot2^{-2}=3/4$，实际进入等待至少 $P-l_j-3$。

不平衡情形的四标签孩子在索引 $h-2$ 占低位 $[P-4,P)$ 或 $[0,4)$。仅余两读迫使它立即 $2+2$，不容先一元读取，等待正代表分别是二或 $P-2$。两种分割的上侧孩子都在索引 $h-1$ 占精确低位对 $[0,2)$。此对必须在最后一读分开，其进入等待正代表只能为 $P-1$。选择这个实际最后目标，两数字各含一个索引 $h$ 事件，质量各为一，且 $L\ge P-1\ge P-l_j-3$。这里的上侧按原区间次序定义，数字从 $p-1$ 回绕到零也不改变它。

加上任意 $Pn$ 只改变完整数字朝向并增加字面等待，不改变这些低位切口；没有把共享表中的行替换成短代表。六标签以外的事件也不能解除它们自身的读取截止。只在六点、四点、二点的所述截止处排除了非单点一元读取，并未删去其他一元或单点延续。

不同 $j$ 的所选事件标签不交。每次选出的到达占两个数字，且每数字至少 $3/4$；当 $p=2$ 或三时，任意两个这样的数字支持相交。因此若 $T_j=T_{j'}$，公共数字的不同事件给质量至少 $3/2>1$，违反（73.2）。同理，若 $T_j=q\in\mathcal Q$，公共数字的所选事件与背景见证事件不交，质量严格超过 $3/4+1/4=1$，仍矛盾。所有所选索引都大于 $h-3$，所以前述较早索引条件确实保证事件不交；同一原标签不同索引没有被重复当作同一事件。$q_0$ 无实际回访，故也被排除。

至此才可在（73.1）的同一个 $E$ 内，分别计入 $\mathcal Q$ 和所有 $T_j$ 的不同项。平衡选择贡献至少 $P-l_j-4$，不平衡选择至少 $P-2$，得到（73.6）。$\square$

该定理沿用引理72.13的六点机制，将入口推广到任意连续六点及其截止索引，并允许同时选择与按事件分离的背景。严格的 $>1/4$ 不能从本证明降为 $\ge1/4$：等号时公共数字可能恰有质量一，失去矛盾。对于 $p\ge4$，两个二数字支持可能不交，本节不作自动推广。该结论只选择原表中已经存在的后续事件，不从区间摘要反向构造整张控制器。

### 73.3 同余首读纤维的相位分离

**引理 73.13（共同正余数的完整纤维关联）。** 设 $p\ge2,P>1,h\ge2$，且

$$
P2^{2-h}>1.
\tag{73.8}
$$

固定 $d\in\{1,\ldots,P-1\}$，在同一个 $K$ 中选 $g$ 个不同的完整首读纤维，其实际下一等待均模 $P$ 同余于 $d$。令 $\mathcal Q_d$ 为这些纤维的实际第二读目标集合。每个目标至多接收 $\lfloor p/2\rfloor$ 个所选纤维，且

$$
|\mathcal Q_d|\ge\left\lceil\frac{g}{\lfloor p/2\rfloor}\right\rceil,
\qquad
\sum_{q\in\mathcal Q_d}(L_q-1)
\ge(d-1)\left\lceil\frac{g}{\lfloor p/2\rfloor}\right\rceil.
\tag{73.9}
$$

证明。仅作首读物理坐标记号 $y=[x+\ell]_M$，不更换固定原标签。首读数字 $b$ 的整个纤维为 $y=bP+u$，$0\le u<P$。因 $P>1$，其共同首槽不能停止；写实际下一等待 $\delta_F=d+Pn_F$，$n_F\ge0$，则第二读完整支持是长 $P$ 的循环区间

$$
\{[c_FP+d+u]_M:0\le u<P\},\qquad
c_F=[b+n_F]_p.
\tag{73.10}
$$

它在数字 $c_F$ 占后段 $[d,P)$，在数字 $c_F+1$ 占前段 $[0,d)$。同一目标上的两个纤维不能有相同 $c_F$，否则不同原标签共用同一非终止相位。若两个朝向为 $c,c+1$，公共数字 $c+1$ 内前者给 $d$ 件、后者给 $P-d$ 件，全部是不同索引二事件，总质量为 $P2^{2-h}>1$，违反（73.2）。$p=2$ 时两个不同位置就是唯一相邻对，而且两个数字各给同样的矛盾。

因此任一共享目标上的朝向集合是循环 $p$ 个位置中的无重复、无相邻子集。把每个选中位置配上其后继，得到互不交的二点组，故其大小至多 $\lfloor p/2\rfloor$；此论证也覆盖 $p=2$。分配 $g$ 个实际纤维即得目标数下界。每个目标 $L_q\ge d$，只对这些不同目标求和，得到费用式。$\square$

当 $h=1+\lceil\log_2P\rceil$ 时，$P>2^{h-2}$ 对每个 $P>1$ 成立，故满足严格假设。这里的相位不交取自定理58.6、引理66.12，质量约束取自命题57.2；定理56.3的奇环计数与定义58.9以后的复制骨架配对，分别计实际入边亏损和构造中的位置，均不替代（73.10）的完整首读纤维条件。不同余数的目标可能重复，不能把（73.9）跨余数相加。

### 73.4 余数六的根与后续目标共同收费

**定理 73.14（余数六族的字面提升费用）。** 固定 $p=3,P=9,h=5$。选出 $k$ 个第一段等待为

$$
\delta_j=6+9n_j,\qquad n_j\ge0
\tag{73.11}
$$

的完整首读纤维。每个纤维第二读的六点前段在下一读必按（73.7）分割；令 $t$ 数其中下一等待模九正代表为五或七、即分割不平衡的纤维。则同一 $K$ 满足

$$
E\ge10k+9\sum_{j=1}^k n_j+2t.
\tag{73.12}
$$

本定理不假设没有七事件槽、没有八事件槽或七事件槽唯一。

证明。各首读纤维标签不交，第二读完整到达的数字质量是 $(3/8,6/8,0)$ 的某个循环旋转，六事件孩子的低位恰为 $[0,6)$。其第二读目标 $Q_j$ 两两不同：这可直接应用引理73.13的 $d=6$ 情形，因为 $9/8>1$ 且 $\lfloor3/2\rfloor=1$。具体地，相同旋转在六件数字上相加超过一；不同旋转在共同数字上有 $(3+6)/8=9/8>1$。所以任意完整相位旋转都不能让两个所选根共享目标。

取 $\mathcal Q=\{Q_j\}$，各根用其完整索引二到达作背景，每个正数字质量至少 $3/8>1/4$。定理73.12对六点组选择的事件在索引三或五，因而与全部根见证事件不交，包括来自同一标签的根见证。该定理证明了 $k$ 个后续目标彼此不同并位于全部 $k$ 个根目标之外。

现在同一个 $E$ 内，各根分别贡献

$$
L_{Q_j}-1\ge5+9n_j,
\tag{73.13}
$$

各后续目标分别贡献至少五，不平衡者至少七。相加得到（73.12）。此处没有逐纤维另开一个费用预算，也未把同一目标的多条进入链相加。$\square$

**推论 73.15（全六排除与双六字面等待）。** 三个首读纤维的第一段等待若都模九同余于六，则

$$
E\ge30,\qquad C\ge106+2e+\ell.
\tag{73.14}
$$

若 $C\le104$，且恰有两个首读纤维具有该余数，则二者第一段等待都必须字面等于六。

证明。全六时在（73.12）取 $k=3$，再用（73.3）。双六时若任一 $n_j\ge1$，则（73.12）给 $E\ge20+9=29$，与（73.3）及 $C\le104$ 所要求的 $E+2e+\ell\le28$ 矛盾。后一个结论是对已有双六候选的必要条件，不断言小容量控制器必须有两个这样的纤维。$\square$

全六假设有实际非空实例：定义71.15、命题71.16已经给出三个纤维都用 $\mathcal R$ 的完整表，其第一等待为 $(6,6,6)$，费用 $25R+72W+27H=124$。按该处同一单位链规格，其 $E=48,e=0$，读取三／四／五次的输入数为三／十二／十二。三个第二读根及三个六点 $3+3$ 到达目标均不同，六条进入等待都为六。这仅为（73.12）的已有较大实例，不把一百零六称为可达到界，也不另提出一百二十四态构造。

### 73.5 无七、无八时的混合根费用

**定理 73.16（混合首余数的共同目标界）。** 在同一 $p=3,P=9,h=5$ 的 $K$ 中，显式假设没有恰含七个或八个索引二事件的实际槽。三个首读纤维第一等待的正余数都属于 $\{3,4,5,6\}$。令 $n_d$ 为余数 $d$ 的纤维数，则

$$
E\ge4n_3+3n_4+4n_5+10n_6-2\min(n_3,n_6).
\tag{73.15}
$$

证明。每个首读纤维在第二读之前始终为整个九标签块，首个下一读若一元会把九点留给三次二元读，不可能。因此等待余数不为零；余数一或八产生至少八件的索引二槽，而（73.2）限制至多八件，违反假设。余数二或七同样产生至少七件，可能总数只有七或八，也被假设排除。故只有三至六。

令 $\mathcal Q$ 为三个实际第二读目标的集合，目标可重复使用但集合中只出现一次。每个 $q\in\mathcal Q$ 选一个完整进入纤维作索引二见证，其两个数字的质量各至少 $3/8>1/4$。余数三的纤维含六点后段 $[3,9)$，余数六的纤维含六点前段 $[0,6)$；这些六标签组两两标签不交。对它们同时应用定理73.12，选出的 $n_3+n_6$ 个后续目标彼此不同，且与全部 $\mathcal Q$ 分离，因为背景索引二比它们所选的索引三或五更早。因此这些后续目标给至少 $2n_3+5n_6$ 的费用，即使某个根背景来自同一标签也成立。

还须在真实物理支持上计算根费用。三个完整纤维不能同入一目标，否则其不同索引二事件的总质量为 $27/8>3$。若两个完整纤维共用目标，其长九循环相位区间必须不交，这是联合配置唯一性。两区间若跨同一数字边界，前段都含低位零、后段都含低位八，必有相位碰撞，所以它们跨不同边界。三个数字中有一个公共数字：设一个区间在其中占前段 $[0,a)$，另一个占后段 $[b,9)$。其另外两个数字分别含 $9-a$ 与 $b$ 件，公共数字含 $a+9-b$ 件，且 $a\le b$。

本假设下各数字至多六件，两个纤维合有十八件，故三个数字都恰为六件：

$$
(a+9-b,\,9-a,\,b)=(6,6,6),\qquad a=3,\ b=6.
\tag{73.16}
$$

区间前段长度与其第一等待余数相同，所以只有余数三与六的纤维能共用第二读目标。这是共享的必要条件，尚未指定其共同未来。

若全部根分开，其正代表费用至少为 $2n_3+3n_4+4n_5+5n_6$。每个允许的三／六共享对仍有 $L_q\ge6$，最多只把原先 $2+5$ 减成五，节省至多二。没有三纤维共享，因而这样的不交配对至多 $\min(n_3,n_6)$ 个。实际正提升只会增大对应的最大等待，于是

$$
\sum_{q\in\mathcal Q}(L_q-1)
\ge2n_3+3n_4+4n_5+5n_6-2\min(n_3,n_6).
\tag{73.17}
$$

加上已证明在 $\mathcal Q$ 外的后续目标费用，得到（73.15）。$\square$

**推论 73.17（两个余数六的三个条件预算）。** 在定理73.16的无七、无八假设下，三个首余数的多重集给出：

| 73.首余数多重集 | 同一 $E$ 的下界 | 再有 $C\le104$ 时的必要条件 |
| --- | ---: | --- |
| 73.663：$\{6,6,3\}$ | $22$ | $2e+\ell\le6$ |
| 73.664：$\{6,6,4\}$ | $23$ | $2e+\ell\le5$ |
| 73.665：$\{6,6,5\}$ | $24$ | $2e+\ell\le4$ |
| 73.666：$\{6,6,6\}$ | $30$ | 不可能 |

证明。逐项代入（73.15），再用（73.3）。前三行若为小容量候选，还由推论73.15知两个余数六等待均字面为六。最后一行已经由（73.14）在没有无七、无八假设时成立，不能把前三行的假设附加到其更强作用域上。$\square$

对 $C\le104$ 的实际候选，无八假设也可由定理68.16供应。该处的普通证明用八个索引二事件的饱和后继锥得到七个不同目标及费用 $32-y_8$，再以不交完整首读纤维的长二元到达选出锥外目标，增加五，故 $E\ge37-y_8\ge29$，与小容量预算冲突；它没有提供无七假设。以上混合界与其他既有下界只能取最大值或作逻辑合取，不能把多次估计的同一 $E,e,\ell$ 再相加。这四行并不覆盖其他首余数组合，更没有推出普遍的 $E+2e+\ell\ge29$。

### 73.6 不存在统一双重长到达的完整反例

**定义 73.18（被检验的无条件辅助断言）。** 在 $p=3,P=9,h=5$ 的每个正确完整初始化控制器中，即使进一步没有七、八事件索引二槽，每个完整首读纤维都应有一次实际到达：它前面的字面等待至少六，并且它在两个不同物理数字内各给至少 $1/2$ 的事件质量。这里的到达指同一实际进入等待结束后的读取事件，质量仍为 $2^{i-5}$，不把若干不同目标的边际质量拼成一个到达。

**命题 73.19（一百二十七态总表反驳该断言）。** 定义73.18的断言为假。下面同一张完整表没有任何这样的到达，全部索引二槽只含四件或五件。该表的一元／二元纤维树就是已有表70.K01 = 64.T01，不把树本身作为新构造；本命题说明其对双数字长到达断言的反例性质。

表的共同初态为 $R_0$，$\ell=0$。$b\in\{0,1,2\}$，以下数字下标 $b+1,b+2$ 按模三解释。读取态为 $R_0$，以及每个 $b$ 的

$$
A_b,B_b,C_b,D_b,E_b,F_b,G_b,J_b,I_b.
\tag{73.18}
$$

这里的 $E_b$ 是读取态名，区别于全局费用 $E$。有二十七个不同终止态 $H_x$，$0\le x\le26$，其固定输出为 $x$，形式后继为自身。每个具名非初始读取态 $T_b$ 有自己独立的单位等待链 $W(T_b,j)$，$1\le j\le L_T$，链长完整列为

| 73.等待链族 | $A$ | $B$ | $C$ | $D$ | $E$ | $F$ | $G$ | $J$ | $I$ |
| --- | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: |
| 73.链长 $L_T$ | $4$ | $2$ | $1$ | $1$ | $7$ | $1$ | $6$ | $1$ | $1$ |

所有 $W(T_b,j)$ 恰执行一次 $s\mapsto s+1$；$j>1$ 时后继为 $W(T_b,j-1)$，$j=1$ 时后继为 $T_b$。下表的 $W(T_b,L_T)$ 是已经收费的具体状态，不是即时跳过的加权边。

| 73.读取态 | 数字 $b$ 的后继 | 数字 $b+1$ 的后继 | 数字 $b+2$ 的后继 |
| --- | --- | --- | --- |
| 73.$A_b$ | $W(B_b,2)$ | $W(G_b,6)$ | $H_0$ |
| 73.$B_b$ | $W(C_b,1)$ | $W(E_b,7)$ | $H_0$ |
| 73.$C_b$ | $W(D_b,1)$ | $H_{9b+2}$ | $H_0$ |
| 73.$D_b$ | $H_{9b}$ | $H_{9b+1}$ | $H_0$ |
| 73.$E_b$ | $H_0$ | $W(F_b,1)$ | $H_0$ |
| 73.$F_b$ | $H_0$ | $H_{9b+3}$ | $H_{9b+4}$ |
| 73.$G_b$ | $H_0$ | $W(J_b,1)$ | $H_{9b+8}$ |
| 73.$J_b$ | $H_0$ | $W(I_b,1)$ | $H_{9b+7}$ |
| 73.$I_b$ | $H_0$ | $H_{9b+5}$ | $H_{9b+6}$ |

唯一另外的读取行是 $R_0$ 的每个数字 $b$ 指向 $W(A_b,4)$。以上表、全部单位链和全部 $H_x$ 已穷尽载体及每个后继；默认的 $H_0$ 行没有实际输入使用。

证明。对固定原输入 $x=9b+u$，累计等待为 $A$ 时的来源严格为 $[9b+u+A]_{27}$。所有可能读取出现的完整证书如下，集合元素均为原低位标签 $u$，不是当前来源标签：

| 73.实际读取 | 读取索引 | 累计等待 $A$ | 到达的原低位标签集 | 实际数字分组 |
| --- | ---: | ---: | --- | --- |
| 73.相位 $A_b$ | $2$ | $4$ | $\{0,\ldots,8\}$ | $b:\{0,\ldots,4\};\ b+1:\{5,\ldots,8\}$ |
| 73.相位 $B_b$ | $3$ | $6$ | $\{0,\ldots,4\}$ | $b:\{0,1,2\};\ b+1:\{3,4\}$ |
| 73.相位 $C_b$ | $4$ | $7$ | $\{0,1,2\}$ | $b:\{0,1\};\ b+1:\{2\}$ |
| 73.相位 $D_b$ | $5$ | $8$ | $\{0,1\}$ | $b:\{0\};\ b+1:\{1\}$ |
| 73.相位 $E_b$ | $4$ | $13$ | $\{3,4\}$ | $b+1:\{3,4\}$ |
| 73.相位 $F_b$ | $5$ | $14$ | $\{3,4\}$ | $b+1:\{3\};\ b+2:\{4\}$ |
| 73.相位 $G_b$ | $3$ | $10$ | $\{5,6,7,8\}$ | $b+1:\{5,6,7\};\ b+2:\{8\}$ |
| 73.相位 $J_b$ | $4$ | $11$ | $\{5,6,7\}$ | $b+1:\{5,6\};\ b+2:\{7\}$ |
| 73.相位 $I_b$ | $5$ | $12$ | $\{5,6\}$ | $b+1:\{5\};\ b+2:\{6\}$ |

在一个进入链的第 $j$ 个剩余距离状态，若该链终点的累计等待是上表的 $A$，则执行该状态之前累计等待为 $A-j$，执行一次后为 $A-j+1$。因而上式相位不变量逐单位成立，链后读取恰按所列数字选行。各原低位的完整读取路径及最后输出为

| 73.原低位 | 从 $R_0$ 以后的读取路径 | 最后累计等待 | 终止态 |
| --- | --- | ---: | --- |
| 73.输入 $0,1$ | $A_b,B_b,C_b,D_b$ | $8$ | 分别为 $H_{9b},H_{9b+1}$ |
| 73.输入 $2$ | $A_b,B_b,C_b$ | $7$ | $H_{9b+2}$ |
| 73.输入 $3,4$ | $A_b,B_b,E_b,F_b$ | $14$ | 分别为 $H_{9b+3},H_{9b+4}$ |
| 73.输入 $5,6$ | $A_b,G_b,J_b,I_b$ | $12$ | 分别为 $H_{9b+5},H_{9b+6}$ |
| 73.输入 $7$ | $A_b,G_b,J_b$ | $11$ | $H_{9b+7}$ |
| 73.输入 $8$ | $A_b,G_b$ | $10$ | $H_{9b+8}$ |

这覆盖全部二十七个原输入。所有实际相邻读取间等待均正，末读后直接进入正确固定标签，最多五读；三／四／五读分别有三／六／十八个输入。每个非终止分支都有输入，每条独立等待链都被完整经过，每个终止标签都有自己的输入，所以全部名义态可达。读取、等待、终止态准确计数为

$$
\begin{aligned}
r&=1+3\cdot9=28,\\
w&=3(4+2+1+1+7+1+6+1+1)=72,\\
C&=28+72+27=127,\qquad e=3,\\
E&=3\bigl((4-1)+(2-1)+(7-1)+(6-1)\bigr)=45,\\
76+2e+E&=127.
\end{aligned}
\tag{73.19}
$$

每个 $b$ 只有进入 $E_b$、$G_b$ 的字面等待达到六，其余只有一、二、四。进入 $E_b$ 的等待为七，两个索引四事件同在数字 $b+1$，其质量和为一；这是实际保留的一元到达。进入 $G_b$ 的等待为六，四个索引三事件按 $3+1$ 分到数字 $b+1,b+2$，质量为 $3/4,1/4$。各目标只有所列专用进入链和所列事件，没有其他到达补上质量。因此整张表都没有两个数字各达半质量的长到达，更不可能逐纤维供应这样的见证。索引二仅发生于 $A_b$，槽大小为五与四，没有七、八事件。$\square$

这一百二十七态反例大于已有一百零五态上界；它只反驳定义73.18的无条件方法断言，不是 $C\le104$ 构造，也没有反驳附加 $C\le104$ 后可能成立的桥梁。其性质区别于命题71.17的末读二元等待超额：这里枚举所有长到达，尤其保留了索引四的一元质量一到达。定理73.12的精确六点入口与剩余截止，正是不能被删除的条件。

### 73.7 恢复方向、来源与未解边界

**约定 73.20（来源与证明的作用域）。** 本节既有普通数学输入统一取自[固定公开版本 e157c1a151ca7aa17f5ff9685d86d4d8dba0893a 的本卷](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/e157c1a151ca7aa17f5ff9685d86d4d8dba0893a/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md)：定义55.1、56.1、66.11、67.11与约定68.11给共同合同；引理55.3、定理56.3、命题57.2、引理66.12分别给二元几何、实际槽计数、完整事件质量、目标尾链注入。引理72.13是六点选择的先例；定理68.16只在明确援引时供应小容量下的无八条件。表70.K01 = 64.T01供应反例的已有纤维树，定义71.15与命题71.16供应全六假设的已有实际实例。所有新不等式的相位、事件、标签及费用都在同一个初始化对象内比较。

上述推导恢复的是

$$
\text{原标签、空间低位区间与剩余读取截止}
\Longrightarrow\text{实际后续重到达}
\Longrightarrow\text{不同目标身份}
\Longrightarrow\text{不同收费等待尾}.
\tag{73.20}
$$

空间次序给切口，读取时间给强制分支，数字边界的容量排除目标重合，最后才得到记忆状态费用。固定原标签的输出没有被外部档案解码代替。该方向不能恢复全部共同后继；定理58.8及60.9已经规定固定完整原子历史的充分必要闭合，包含每个单位 $W$ 后继、逐数字 $R$ 后继、固定 $H_x$ 输出与共同初始化。

经典闭覆盖的相应限制可见 Abel 与 Reineke，[*MEMIN: SAT-based Exact Minimization of Incompletely Specified Mealy Machines*, ICCAD 2015，§II.C 定理1、§IV.B，PDF第3、5页](https://embedded.cs.uni-saarland.de/publications/iccad15.pdf)。对给定机器、给定类和给定输入字母，必须有一个类包含其全部已定义后继的并集；因类可重叠，逐对后继各有容器并不够。本节只用这项已知限制说明局部排斥不提供共同实现；没有移用该论文的最小类数作为物理容量，也未引入另一个闭覆盖框架。

定理73.12—73.17是普通条件证明；命题73.19的总表与相位表是可逐项复算的有限反例。有限算术核对的范围仅为：$P=9$ 的四个六点区间、各二十二棵截止三读的投影树及三个物理入口数字；$p=2,3$、$6\le P\le32$ 的全部六点区间、入口数字与一至 $pP$ 的字面首等待；九点混合根的三组源纤维对、余数三至六和每侧三种完整相位提升；以及所列一百二十七态表和已有一百二十四态表的二十七输入。投影允许非单点一元读取，单点截断只用于必要局部检查；它不删原控制器的单点继续。任意更高提升的有效性由 $\delta=d+Pn$ 的普通证明承担，有限域不外推为控制器普查或一般最优性。

尚未解决的是其余混合根轮廓、非对称和一元到达、其他七事件几何的同表后继闭合，以及一般精确 $C_B(p,k)$。本节未重证第70节的全树／团目录、$B\ge53$ 或 $\Gamma>0$ 的有限证书，也未重新认证已报道端点 $96\le C_B(3,2)\le105$；若将这些另作承重依赖，其未核验部分须标为 `ASSUMED-UNVERIFIED`，它们不是本节证明的前提。本节不主张普遍一百零五下界、精确容量、历史原创或 Lean/kernel 验证，整体取得及关系恢复目标仍开放。

## 73.99 追加锚

## 74. 实际共同后继的饱和障碍与收费恢复

同一目标的身份不仅决定能否共享进入等待，也决定其全部数字槽必须共同承担哪些后续。下面先给出共享根情形的新排除，再说明删除一元观察、相加分别成功的合并、固定行为重实现三种恢复操作的准确边界。所有费用都在一张实际初始化表中计算；构造、固定行为最小值和全策略容量分开量化。

### 74.1 原表、事件与忠实行为的共同约定

**定义 74.11（共同后继与字面费用）。** 沿用定义55.1、56.1、66.11及73.11的合同。整数 $p\ge2,P>1,M=pP$；全部原输入 $x\in\mathbb Z/M\mathbb Z$ 从同一控制态和 $s=x$ 开始。$W$ 恰加一，$R$ 返回 $\lfloor[s]_M/P\rfloor$ 且不改变来源，$H_x$ 单独输出原固定标签 $x$。动作词为 $W^\ell R(W^+R)^*$，每条路径有限、至多 $h$ 读，末读后直接停止。全部名义态、前缀、计数和未达态均收费；没有表外计时、来源相关准备、复位、复制、逆步或终止侧信道。以下一般整数 $P$ 的论证只用数字块平移，未要求 $P$ 是幂。

事件是 $(x,i)$，质量为 $2^{i-h}$，不能将同标签的不同索引混成一件。实际活动槽 $v=(q,b)$ 固定一个下一读取目标 $\tau(v)$ 及字面正等待 $\delta(v)$。以 $q_0$ 为首读态，定义

$$
L_q=\max_{\tau(v)=q}\delta(v),\qquad
E=\sum_{q\ne q_0}(L_q-1),\qquad
C\ge M+2r-1+\ell+E.
\tag{74.1}
$$

命题57.2的完整槽质量至多一，完整读取态质量至多 $p$。理由是从同一实际槽出发，后续答案边至多二分；全部访问的终止后缀词互异且前缀自由，Kraft 界再用 $N_x\le h$ 得到索引质量界。引理66.12保证非终止联合配置 $(q,s)$ 唯一：重复会使同输入循环或不同输入输出相同标签。首读及其前缀覆盖全部相位，故不可再达。每个非首读目标的一条最长纯等待链与其他目标、前缀不交，给出（74.1）。在 $p=3,P=9,h=5$ 时，定理56.3的实际槽奇环计数仍适用：保留前缀不改变首读无入边与其他槽有入边的关联。于是 $r=25+e,e\ge0$，且

$$
C\ge76+2e+\ell+E.
\tag{74.2}
$$

本节表格统一把 $\langle q,d\rangle$ 解释为已收费的单位态 $W(q,d)$，并为每个目标配置 $1\le j\le L_q$ 的一条尾链，$L_q$ 是该表全部实际进入等待的最大值。$W(q,j)$ 加一后到 $W(q,j-1)$，$j=1$ 后到 $q$。没有即时加权跳转。全部 $H_x$ 输出 $x$、形式后继为自身；未列数字总化到 $H_0$。下标 $b$ 取零、一、二，数字及纤维下标的加减按模三解释，$9b+u$ 中的 $b$ 则取其非负代表。

### 74.2 共同目标的全饱和及共享根的下一层排除

**定理 74.12（两个大槽共用目标的联合后缀费用）。** 设 $p=3,m=2^a,a\ge2,P\ge3m/2,h\ge a+2$，令 $i=h-a-1$。同一正确表中，两个不同实际槽各含 $3m/2$ 个索引 $i$ 事件，且其下一目标同为 $T$。则 $T$ 的三个数字各恰有 $m$ 个索引 $i+1=h-a$ 事件，没有其他事件。其三个饱和槽强制的后缀共有 $3(m-1)$ 个不同非首读目标，组成 $F$，且 $T\notin F$。

令 $z_b$ 为 $T$ 数字 $b$ 内实际入口低位的最大值。再取不同非首读目标组成的集合 $\mathcal D$，每个目标指定一批总质量严格大于一、索引全部至多 $i$ 的实际事件。则 $\mathcal D$ 与 $F\cup\{T\}$ 不交，并且

$$
\begin{aligned}
E&\ge (L_T-1)+\sum_{q\in\mathcal D}(L_q-1)
       +\frac{3m(P-1)}2-\sum_{b=0}^2z_b\\
 &\ge (L_T-1)+\sum_{q\in\mathcal D}(L_q-1)
       +3\left(\frac m2-1\right)(P-1).
\end{aligned}
\tag{74.3}
$$

证明。每批源事件质量为 $3/4$；同索引的不同槽使用不同标签。沿各自实际固定等待平移后，得到 $3m$ 个不同下一事件，每件质量 $1/m$。目标总质量已是三，三个完整槽各至多一，因此各恰含 $m$ 件，且任何其他索引或来源的额外事件都不可能进入。每批最多占两个数字；它不能只占一个，因为其到达质量为 $3/2$。两批各有两个数字支持、并集为三个数字，故有一个共同数字，各自独占的数字装 $m$ 件，共同数字各装 $m/2$ 件。这是同一实际目标强制的对齐。

对每个 $T$ 槽复用定理68.12—推论68.14的饱和锥论证：质量一的活动槽将下一质量翻倍为二，只能分到两个各已满的孩子。孩子不能再收外来事件。逐层如此，不容一元步或提前停止；全部叶恰在索引 $h$，所以等索引的 $m=2^a$ 个入口强制深度 $a$ 的完美二叉树。若汇合会给满槽第二个前驱；若有环，沿唯一前驱反追会无限降低事件索引。故三棵所选槽树内部及彼此均无汇合或环。这只约束所选后缀，不删原表其他环。

三树任何两个不同内部源槽各向两个数字发送满质量一，其到达事件不同。在三个数字中两对支持必相交，若共用下一读取态就使某槽质量至少二。因此全部 $3(m-1)$ 个目标不同，且首读不可再达。每个这样的目标已有索引严格大于 $h-a$ 的所选质量二；$T$ 已有索引 $h-a$ 的质量三，故它不能是其中一个。早期见证与上述事件按索引不交，即使原标签相同；其质量严格大于一，不能与后缀质量二或 $T$ 的质量三共存于一个读取态。这先证明了全部待收费目标的分离。

最后复用而不重新命名68.14的费用。对一个入口有序低位 $y_1<\cdots<y_m$，在每个间隙选实际切口 $y_j<c_j\le y_{j+1}$。根等待至少 $P-c_{\rm root}$，内部左、右孩子的等待分别至少 $c_{\rm parent}-c_{\rm child}$、$P+c_{\rm parent}-c_{\rm child}$。任意原等待在这些正代表上加非负 $P$ 倍，未被缩短。完美树有 $m/2-1$ 条内部右边；求和的正切口在偶数间隙，负切口在奇数间隙。用 $c_{2j}\ge y_{2j}+1,c_{2j-1}\le y_{2j}$，得等待和至少 $mP/2+m/2-1-y_m$。减去 $m-1$ 个不同目标各自的一单位，得 $m(P-1)/2-y_m$。对三个实际树相加，再加已分离的 $T,\mathcal D$，得第一式；$z_b\le P-1$ 给第二式。独立切口下界没有被宣称可在共享上游中同时达到。$\square$

**推论 74.13（无七、无八的共享根必须有三个不同下一读取态）。** 固定 $p=3,P=9,h=5$，显式假设不存在恰含七个或八个索引二事件的实际槽。若两个完整首读纤维共用第二读取态 $Q$，而它的两个不同数字槽共用下一目标 $T$，则

$$
E\ge29+(L_T-1),\qquad
C\ge105+2e+\ell+(L_T-1).
\tag{74.4}
$$

因此这类 $C\le104$ 表的 $\tau(Q,0),\tau(Q,1),\tau(Q,2)$ 必须两两不同。

证明。两个纤维共供十八个索引二事件。槽质量界限制每槽至多八件，再用无七、无八，三个数字各恰六件。两个长度九的到达循环区间不交，否则重复联合配置；它们不能跨同一数字边界，否则都含同一边界相位。在共同数字写一个前段 $[0,u)$ 和另一个后段 $[v,9)$，则

$$
(u+9-v,9-u,v)=(6,6,6),\qquad u=3,\quad v=6.
\tag{74.5}
$$

这重建73.16的所需支持条件：两个实际首等待余数为三、六，故 $L_Q\ge6$，任意正提升及原前缀仍保留。三槽均含六个不同标签，必须继续。若两个目标相同，定理74.12取 $a=2,m=4,i=2,\mathcal D=\{Q\}$；早期见证是十八件，总质量 $18/8>1$。九个强制后缀目标至少收费 $3(2-1)(9-1)=24$，$Q$ 收费至少五，另有不同的 $T$，得（74.4）。三个下一读取态不同不意味着它们更后的子图不再共享；本推论没有给出这种结论。$\square$

### 74.3 共享根与共同下一目标的完整非空见证

**定义 74.14（一百四十一态总表）。** 取 $p=3,P=9,h=5,\ell=0$，共同初态 $S$。读取态为 $S,Q,T,N_0,\ldots,N_{22}$；全部二十七个 $H_x$ 及单位尾链按74.11。下表三列是绝对数字零、一、二，已列出所有读取槽。

| 74.见证读取态 | 数字0 | 数字1 | 数字2 |
| --- | --- | --- | --- |
| 74.见证S | $\langle Q,3\rangle$ | $\langle Q,6\rangle$ | $\langle N_0,4\rangle$ |
| 74.见证Q | $\langle T,2\rangle$ | $\langle T,7\rangle$ | $\langle N_9,6\rangle$ |
| 74.见证T | $\langle N_{14},2\rangle$ | $\langle N_{17},7\rangle$ | $\langle N_{20},4\rangle$ |
| 74.见证N0 | $\langle N_6,6\rangle$ | $H_0$ | $\langle N_1,2\rangle$ |
| 74.见证N1 | $\langle N_4,7\rangle$ | $H_0$ | $\langle N_2,1\rangle$ |
| 74.见证N2 | $H_{20}$ | $H_0$ | $\langle N_3,1\rangle$ |
| 74.见证N3 | $H_{19}$ | $H_0$ | $H_{18}$ |
| 74.见证N4 | $\langle N_5,1\rangle$ | $H_0$ | $H_0$ |
| 74.见证N5 | $H_{21}$ | $H_{22}$ | $H_0$ |
| 74.见证N6 | $\langle N_7,1\rangle$ | $H_{26}$ | $H_0$ |
| 74.见证N7 | $\langle N_8,1\rangle$ | $H_{25}$ | $H_0$ |
| 74.见证N8 | $H_{23}$ | $H_{24}$ | $H_0$ |
| 74.见证N9 | $\langle N_{12},7\rangle$ | $H_0$ | $\langle N_{10},1\rangle$ |
| 74.见证N10 | $H_{14}$ | $H_0$ | $\langle N_{11},1\rangle$ |
| 74.见证N11 | $H_{13}$ | $H_0$ | $H_{12}$ |
| 74.见证N12 | $\langle N_{13},1\rangle$ | $H_{17}$ | $H_0$ |
| 74.见证N13 | $H_{15}$ | $H_{16}$ | $H_0$ |
| 74.见证N14 | $\langle N_{15},1\rangle$ | $\langle N_{16},8\rangle$ | $H_0$ |
| 74.见证N15 | $H_0$ | $H_1$ | $H_0$ |
| 74.见证N16 | $H_0$ | $H_2$ | $H_3$ |
| 74.见证N17 | $H_0$ | $\langle N_{18},1\rangle$ | $\langle N_{19},3\rangle$ |
| 74.见证N18 | $H_0$ | $H_4$ | $H_5$ |
| 74.见证N19 | $H_7$ | $H_0$ | $H_6$ |
| 74.见证N20 | $\langle N_{22},8\rangle$ | $H_0$ | $\langle N_{21},1\rangle$ |
| 74.见证N21 | $H_9$ | $H_0$ | $H_8$ |
| 74.见证N22 | $H_{10}$ | $H_{11}$ | $H_0$ |

尾长为 $L_Q=6,L_T=7$，按 $N_0,\ldots,N_{22}$ 顺序为

$$
(4,2,1,1,7,1,6,1,1,6,1,1,7,1,2,1,8,7,1,3,4,1,8).
\tag{74.6}
$$

这些尾、全部读取行及 $H_x$ 穷尽状态和后继。全部输入的读取路径可按下表逐组复算；每行均从共同 $S$ 开始并以各自 $H_x$ 结束，$A$ 列列出首读以后的累计等待。

| 74.见证原输入 | 首读以后读取路径 | 累计等待 $A$ |
| --- | --- | --- |
| 74.路径0至1 | $Q,T,N_{14},N_{15}$ | $3,5,7,8$ |
| 74.路径2至3 | $Q,T,N_{14},N_{16}$ | $3,5,7,15$ |
| 74.路径4至5 | $Q,T,N_{17},N_{18}$ | $3,5,12,13$ |
| 74.路径6至7 | $Q,T,N_{17},N_{19}$ | $3,10,17,20$ |
| 74.路径8 | $Q,T,N_{20},N_{21}$ | $3,10,14,15$ |
| 74.路径9 | $Q,T,N_{20},N_{21}$ | $6,13,17,18$ |
| 74.路径10至11 | $Q,T,N_{20},N_{22}$ | $6,13,17,25$ |
| 74.路径12至13 | $Q,N_9,N_{10},N_{11}$ | $6,12,13,14$ |
| 74.路径14 | $Q,N_9,N_{10}$ | $6,12,13$ |
| 74.路径15至16 | $Q,N_9,N_{12},N_{13}$ | $6,12,19,20$ |
| 74.路径17 | $Q,N_9,N_{12}$ | $6,12,19$ |
| 74.路径18至19 | $N_0,N_1,N_2,N_3$ | $4,6,7,8$ |
| 74.路径20 | $N_0,N_1,N_2$ | $4,6,7$ |
| 74.路径21至22 | $N_0,N_1,N_4,N_5$ | $4,6,13,14$ |
| 74.路径23至24 | $N_0,N_6,N_7,N_8$ | $4,10,11,12$ |
| 74.路径25 | $N_0,N_6,N_7$ | $4,10,11$ |
| 74.路径26 | $N_0,N_6$ | $4,10$ |

证明该表正确只需沿此分割归纳 $s=[x+A]_{27}$。每个剩余距离 $j$ 的单位态执行前累计等待为终点 $A-j$，执行后加一，所以表中每个读数是实际物理数字，终止行给原 $x$。$Q$ 的三个索引二低位集分别为 $\{3,4,5,6,7,8\}$、$\{0,1,2,6,7,8\}$、$\{0,1,2,3,4,5\}$；它的前两数字确实同到 $T$。$T$ 的索引三完整相位为

$$
\{5,6,7,8,9,10,16,17,18,22,23,24\},
\tag{74.7}
$$

每数字四件。全部最长尾均被某条所列路径完整走过，全部读取和固定终止态可达。准确计数为 $26R+88W+27H=141$，$e=1,E=63$，三／四／五读输入数为一／四／二十二。它满足推论74.13的结构前提并展示共享的非空性；容量一百四十一不改进端点。仅检查到达支持得到的更强局部松弛数值，不是本节定理的前提或全模型结论。

### 74.4 历史一元擦除会增加最小忠实容量

**定义 74.15（忠实原子行为与历史一元擦除）。** 把一张正确初始化表在全部原输入上的有限执行，按共同过去动作和读数展开为原子树，保留每个单位 $W$、每次 $R$ 及每个固定 $H_x$。一个忠实实现要求每个原 $x$ 有相同的完整动作词、观察和输出；因初相位相同，所有单位相位也相同。状态身份可重新分配、拆分、共享，控制图可有终止环。记该固定行为的最小全部名义容量为 $\mu(T)$。这是58.7—58.8、60.8—60.9已有的固定行为合同，最小化没有选择另一棵取得树。

若一个非首读 $R$ 出现只使用一个实际数字，且该行继续到后续读取，则称其为历史一元继续出现。$U(T)$ 删除全部这样的出现，把它前后的单位 $W$ 序列原样连接；首读和终止读取不删。删除只作用于展开树的出现，不等同于删除承载它的实际读取态。每个被删节点只有一个非空孩子，所以不丢原标签分支；保留读的来源相位仍相同。

**命题 74.16（擦除的精确费用反例族）。** 对每个整数 $t\ge0$，置 $D=8+27t$。存在 $p=3,P=9,h=5,\ell=0$ 的完整控制器 $K_t$，其行为 $T_t$ 满足

$$
C(K_t)=111+27t,\qquad
\mu(U(T_t))=124+81t,\qquad
\mu(U(T_t))-\mu(T_t)\ge13+54t.
\tag{74.8}
$$

因此“历史一元擦除总可容量不增地实现”及 $\mu(U(T))\le\mu(T)$ 均为假。

两张完整生成表共用首读 $S$、每纤维的 $A_b,B_b,C_b,D_b,F_b,G_b,J_b,I_b$ 和全部 $H_x$。$D_b$ 是读取态名，区别于等待参数 $D$。共用行如下；三个列头均相对该行的 $b$。

| 74.擦除共用行 | 数字 $b$ | 数字 $b+1$ | 数字 $b+2$ |
| --- | --- | --- | --- |
| 74.擦除A | $\langle B_b,2\rangle$ | $\langle G_b,6\rangle$ | $H_0$ |
| 74.擦除C | $\langle D_b,1\rangle$ | $H_{9b+2}$ | $H_0$ |
| 74.擦除D | $H_{9b}$ | $H_{9b+1}$ | $H_0$ |
| 74.擦除F | $H_0$ | $H_{9b+3}$ | $H_{9b+4}$ |
| 74.擦除G | $H_0$ | $\langle J_b,1\rangle$ | $H_{9b+8}$ |
| 74.擦除J | $H_0$ | $\langle I_b,1\rangle$ | $H_{9b+7}$ |
| 74.擦除I | $H_0$ | $H_{9b+5}$ | $H_{9b+6}$ |

$S$ 数字 $b$ 指向 $\langle A_b,4\rangle$。两表的 $B_b$ 数字 $b$ 均指向 $\langle C_b,1\rangle$，数字 $b+2$ 均到 $H_0$。$K_t$ 另有一个共同读取态 $U$，并规定

$$
B_b(b+1)=\langle U,D-1\rangle,\qquad
U(b+1)=\langle F_b,1\rangle.
\tag{74.9}
$$

擦除表没有 $U$，改为 $B_b(b+1)=\langle F_b,D\rangle$。两表的每纤维共用尾长为 $A:4,B:2,C:1,D:1,G:6,J:1,I:1$；$K_t$ 另有 $U:D-1$ 及每纤维 $F:1$，擦除表则每纤维 $F:D$。按74.11逐单位展开即穷尽所有 $W/R/H$ 及后继。

证明。公共部分是定义57.12的已有八行阈值树。原输入 $x=9b+u$ 的保留读取累计等待为

| 74.擦除原低位 | 擦除表从首读开始的累计等待 | 最后输出 |
| --- | --- | --- |
| 74.擦除低位01 | $0,4,6,7,8$ | $H_{9b+u}$ |
| 74.擦除低位2 | $0,4,6,7$ | $H_{9b+2}$ |
| 74.擦除低位34 | $0,4,6,6+D$ | $H_{9b+u}$ |
| 74.擦除低位56 | $0,4,10,11,12$ | $H_{9b+u}$ |
| 74.擦除低位7 | $0,4,10,11$ | $H_{9b+7}$ |
| 74.擦除低位8 | $0,4,10$ | $H_{9b+8}$ |

$K_t$ 只在 $u=3,4$ 的 $6+D$ 前增一读，累计等待为 $5+D$。在 $B_b$ 之后先等 $D-1$，两来源模二十七为 $9b+16,9b+17$，都读到 $b+1$；$U$ 的该数字选择 $F_b$，再等一后在相邻数字分开并输出原标签。整周期 $27t$ 保留实际动作数，只不改变模二十七相位。其余路径逐行按 $s=[x+A]_{27}$ 归纳。因此 $U$ 在每个进入历史上一元，却在全局的三个数字上分别派发到三个不同 $F_b$。擦除恰删这些出现，没有其他一元继续读。两表全输入正确、末读立即停止、全部尾及读取态可达。$K_t$ 的三／四／五读数为三／六／十八，擦除表为三／十二／十二。

计数给 $K_t$ 的读取态二十六、等待态 $3\cdot17+(D-1)=58+27t$；擦除表的读取态二十五、等待态 $3(16+D)=72+81t$；二者各有二十七个固定终止态。前者只给未擦除行为的上界，不先声称其最小。

现在对任意忠实实现证明擦除下界。擦除表的每个非首读读取态、每个等待位置及每个终止态，在实际原子树中各对应唯一节点。其二十五个读节点两两不相容，以下给出全部类型的区分。相容必须在共同实际数字上给相同字面等待和下一行为，或同一个固定停止标签；不同正等待在较短链末端强制 $R/W$ 动作冲突。

首读在所有数字请求等待四，与 $A$ 的二／六、$B$ 的一／$D$ 不同，与其余含终止行的类型也冲突。每个非首读的两数字支持是三环的相邻对，任意两对相交。不同朝向的 $A/A$ 在共同数字给二与六，$B/B$ 给一与 $D\ge8$；$A/B$ 的共同等待也不同。$A$ 与其他类型的共同数字只能见到等待一或停止，均不同。$B$ 与只停止类型冲突；与混合类型若共同数字是 $B$ 的长等待，立即冲突，若等一的数字相同，则两个支持完全相同，另一个数字发生继续／停止冲突。

余下混合类型 $C,G,J$ 都在其第一个实际数字等一，第二个实际数字停止。不同朝向有继续／停止冲突；同朝向的终止标签分别取低位二、八、七，互不相同。只停止类型 $D,F,I$ 的标签集合分别为低位 $\{0,1\},\{3,4\},\{5,6\}$，不同节点的原标签集合不交，公共数字强制不同输出。混合与只停止类型在共同数字上或者动作不同，或者低位标签属于前述不交集合。至此二十五读节点的所有配对均被覆盖。

两个 $W$ 节点若到下次 $R$ 的剩余距离不同，在较短距离后冲突；若距离相同而目标不同，则继承已证的读节点冲突；若目标和距离都相同，它们本来就是同一个树节点。二十七个 $H_x$ 彼此标签不同，异动作类型也不能共享。故擦除树的全部 $124+81t$ 个节点两两不相容。在任意忠实实现中每个树节点由其共同过去确定一个状态；若合并任意一对，其后继闭合沿区分词传递到动作或标签矛盾。这不限制实现是否由原表直接取商，也允许拆分旧共享态。所列擦除表达到全部节点数，故最小值准确。最后 $\mu(T_t)\le C(K_t)$ 给（74.8）的差。$\square$

$t=0$ 的一百一十一／一百二十四态构造分别归于57.13／57.12，一百二十七态分开一元表归于73.19；这里的新断言是擦除障碍和量化的忠实费用。整周期提升放大差，但零提升已反驳该方法。改变策略或缩短完整周期等待不属于忠实行为比较，故不推出任意策略的容量下界。

### 74.5 一个实际读取态何时可以安全删除

**定理 74.17（共同字面继续的删读）。** 在74.11的一般模型中，设可达非首读态 $q$ 的全部全局实际使用数字行，都经过同一个字面正等待 $d$ 到同一个读取态 $t$。则可以删除 $q$，保留每个输入的全部单位 $W$ 动作、保留读的相位、原固定输出及共同收费前缀；每个输入的读取数恰减少其原路径访问 $q$ 的次数，容量严格减小。无需假设无环、无单点继续或等待没有周期提升。

若两表使用无多余尾长的每目标最大尾规范表示、原前缀及恰 $M$ 个标签，则准确减量为

$$
C_{\rm old}-C_{\rm new}
=1+L_q+L_t-\max(L_t,L_q+d)
=1+\min(L_q,L_t-d)\ge1.
\tag{74.10}
$$

证明。若 $t=q$，任一到达 $q$ 的实际输入将反复按同一继续返回 $q$；每次数字都是某个全局已使用数字，永远不可能停止，矛盾。故 $t\ne q$。在原单位表选择一个已存在的 $d$ 步继续链，把所有原来直接指向 $q$ 的边改接该链入口，然后删除 $q$；未使用数字可总化到既有 $H_0$。其他名义态可以全保留并收费，已经少一个状态。原来的进入链后连续执行原来离开 $q$ 的 $d$ 个 $W$，没有增加任何原输入的 $W$ 动作，也不查询运行历史。

沿每条原有限初始化路径，删去每次 $q$，其前后来源动作完全相同，所以下一个保留读有相同来源、读数及后继，直至同一个 $H_x$。归纳沿路径长度进行，容许原控制图有终止环；前缀和首读未动。这个论证还保证新实际路径不会走入纯等待环。

在最大尾表示中，把每个进入 $q$ 的实际槽 $(q,\delta)$ 改为 $(t,\delta+d)$。$q$ 的实际使用保证 $L_t\ge d$；$L_q\ge1$，故新来的最长 $L_q+d$ 支配因删去 $q$ 而消失的那条 $d$ 边。于是 $q$ 及其尾消失，$t$ 尾长变为 $\max(L_t,L_q+d)$，其他目标不变，得到（74.10）。不同目标链的分离及相同目标／距离的共享均来自固定后继，不另取独立最小值。$\square$

对 $p=3,P=9$，令 $s=\min(L_q,L_t-d)$，则 $e'=e-1$，并且

$$
E'-E=1-s,\qquad
(2e'+\ell+E')-(2e+\ell+E)=-1-s<0.
\tag{74.11}
$$

所以单独的 $E$ 可能升高，联合费用仍严格下降。例子是73.19的三个 $E_b$：其唯一已用行等一到 $F_b$，$L_{E_b}=7,L_{F_b}=1$。依次删去三者得到57.12的擦除表，$r:28\to25,w:72\to72,E:45\to48$，而 $2e+E:51\to48$。最小容量表因此可排除这种实际常继续态，却不能排除任意历史一元出现：74.16的 $U$ 全局三行目标不同，不满足假设。终止读取也不在删除范围内；删读后的事件索引改变，不能把两张表不同索引模型的质量证书当作一张表相加。

### 74.6 两项分别可行的合并及其联合修复费用

**引理 74.18（四事件接口的准确继续费用）。** 设 $p=3,P\ge2,1\le d<P,t\ge1$。四个不同固定原标签 $\alpha,\beta,\gamma,\eta$ 的下一读取在索引 $h-1$，完整相位依次为

$$
d,\quad P+d-1,\quad2P+d,\quad d-1.
\tag{74.12}
$$

一个已共同使用的前驱槽把 $\alpha,\beta$ 经恰 $t$ 个单位等待送到一个读取态 $A$，另一个槽把 $\gamma,\eta$ 经同样等待送到 $B$。到达以后至多再读一次。只数这些继续所需读取态及进入单位尾，终止标签另已收费；允许新建继续态、没有其他到达需求时，该接口的最小占用为

$$
F(P,d,t)=\min\{2(t+1),\ t+P-d+2\}
=(t+1)+\min\{t+1,P-d+1\}.
\tag{74.13}
$$

这是给定实际入口合同的局部最小值；不声称每组任意参数都已有完整初始化上游。把该占用加到外部费用之前，还须证明相应实际状态与外部不交。

证明。若 $A\ne B$，两个实际 $t$ 步尾各自到不同目标，不能共用任何 $W$ 态，连同两个读态至少 $2(t+1)$。达到时在 $A$ 的数字零、一分别输出 $\alpha,\beta$，在 $B$ 的数字二、零分别输出 $\gamma,\eta$，其余总化；四标签均在索引 $h-1$ 停止。

若 $A=B=T$，数字零内有低位 $d,d-1$ 的 $\alpha,\eta$，不能以一个标签停止。它们必须经正等待 $\delta$ 在仅余的一读分开。两个相邻低位跨数字边界要求 $\delta\equiv P-d\pmod P$，所以 $\delta\ge P-d$，容许全部正提升。下一读取态 $Z$ 不能是 $T$：$T$ 的数字零必继续，另两数字各已有 $\beta,\gamma$ 的首次到达；对应行若继续则不能供最后一读停止，若停止则只能输出该已有标签，均不能终止 $\alpha,\eta$。这覆盖另外两个标签也继续的可能性，不先将它们剪成叶。因此两个不同目标至少收费 $t+(P-d)$ 个互不交的等待位置和两个读态。

达到第二项时，$T(1)=H_\beta,T(2)=H_\gamma,T(0)=\langle Z,P-d\rangle$，而 $Z(0)=H_\eta,Z(1)=H_\alpha$。二者最终相位为 $P-1,P$，恰在索引 $h$ 输出；全部未用行总化。两种构造保留指定完整入口相位、字面 $t$、截止及标签，给出下界的两个达到方式。额外外来事件只会加约束；未证明与外部资源分离时不能把（74.13）作全表可加项。$\square$

**定义 74.19（两个源对合并的完整初始化族）。** 取 $p=3,P=9,h=5,\ell=0$，$t=d+27n,1\le d\le8,n\ge0$。首读 $S$ 数字 $b$ 到 $\langle X_b,4\rangle$。基础读取行如下，未列数字按74.11；随后四个替换覆盖所指基础槽。

| 74.合并基础行 | 数字 $b$ | 数字 $b+1$ | 数字 $b+2$ |
| --- | --- | --- | --- |
| 74.合并X | $\langle L_b,4\rangle$ | $\langle R_b,6\rangle$ | $H_0$ |
| 74.合并L | $H_{9b}$ | $\langle D_b,7\rangle$ | $H_0$ |
| 74.合并R | $H_0$ | $\langle G_b,1\rangle$ | $H_{9b+8}$ |
| 74.合并D | $H_0$ | $\langle E_b,1\rangle$ | $\langle F_b,8\rangle$ |
| 74.合并E | $H_0$ | $H_{9b+1}$ | $H_{9b+2}$ |
| 74.合并F | $H_{9b+4}$ | $H_0$ | $H_{9b+3}$ |
| 74.合并G | $H_0$ | $\langle I_b,1\rangle$ | $H_{9b+7}$ |
| 74.合并I | $H_0$ | $H_{9b+5}$ | $H_{9b+6}$ |

另设读态 $U,V,Y$，给出完整实际需求

$$
\begin{gathered}
R_1(0)=\langle U,t\rangle,\quad L_0(0)=\langle V,t\rangle,\quad
R_0(2)=\langle V,t\rangle,\quad L_2(2)=\langle Y,t\rangle,\\
U(0)=H_{17},\qquad V(1)=H_0,\qquad V(2)=H_8,\qquad Y(0)=H_{18}.
\end{gathered}
\tag{74.14}
$$

这里 $Y$ 只为避免把读取态名与动作 $W$ 混用。下面五种表都取恰二十七个 $H_x$，每目标最大字面尾和逐单位后继按74.11；合并时只联合实际使用数字的需求，最后才补默认 $H_0$ 行。

| 74.完整变体 | 读取身份及实际行的修改 |
| --- | --- |
| 74.原表K | 采用全部基础行及（74.14）。 |
| 74.单合并KA | 识别 $R_1=L_0$ 和 $U=V$，其余读取身份保留，更新全部指针。 |
| 74.单合并KB | 识别 $R_0=L_2$ 和 $V=Y$，其余读取身份保留，更新全部指针。 |
| 74.双合并split | 将 $V$ 的两个展开历史分成 $V_A(1)=H_0,V_B(2)=H_8$；$L_0(0)$ 改接 $\langle V_A,t\rangle$，$R_0(2)$ 改接 $\langle V_B,t\rangle$；识别 $R_1=L_0,R_0=L_2,U=V_A,V_B=Y$。 |
| 74.双合并continue | 识别两个源对及 $U=V=Y=T$；规定 $T(0)=\langle Z,9-d\rangle,T(1)=H_0,T(2)=H_8$，新读态 $Z(0)=H_{18},Z(1)=H_{17}$。 |

这些规则同时确定名义态集合：只保留上述识别后的读取类，每类的尾长取所有实际入边最大值；没有未计费的重定向或隐含复制。

**命题 74.20（不可相加的合并收益与准确接口修正）。** 断言“任意正确完整表中，两个涉及不交原读取态对的合并请求，若分别可扩张为忠实商并节约 $s_A,s_B$，则二者有共同粗化且节约可相加，无须检查强制后继或支付拆分／继续费用”为假。定义74.19给出反例，五张正确表的准确计数如下。

| 74.变体费用 | $r$ | $w$ | $C$ | $E$ |
| --- | ---: | ---: | ---: | ---: |
| 74.费用K | $28$ | $96+3t$ | $151+3t$ | $69+3t$ |
| 74.费用KA | $26$ | $92+2t$ | $145+2t$ | $67+2t$ |
| 74.费用KB | $26$ | $92+2t$ | $145+2t$ | $67+2t$ |
| 74.费用split | $25$ | $88+2t$ | $140+2t$ | $64+2t$ |
| 74.费用continue | $25$ | $97+t-d$ | $149+t-d$ | $73+t-d$ |

每项另已包含二十七个 $H_x$，$e=r-25$，均满足 $C=76+2e+E$。两个单独节约各为 $6+t$；错误相加给 $139+t$。若保留并禁止复用下述补集，则联合恢复的准确最小值为

$$
139+t+\min(t+1,10-d)=\min(140+2t,149+t-d).
\tag{74.15}
$$

证明。先验证完整初始化。写 $x=9b+u$。$X_b$ 的累计等待四将 $u=0,\ldots,4$ 与 $u=5,\ldots,8$ 分开。前组在 $L_b$ 的累计八步，$u=0$ 处低位八，其余四点为低位零至三；后组在 $R_b$ 的累计十步，$u=5,6,7$ 处低位六至八，$u=8$ 处低位零。前四点到 $D_b$ 累计十五，分 $1,2$ 与 $3,4$，再在 $E_b$ 累计十六、$F_b$ 累计二十三输出。后三点到 $G_b$ 累计十一先隔离 $u=7$，再在 $I_b$ 累计十二输出 $u=5,6$。这覆盖基础表全部二十七输入。

四个替换只影响 $17,0,8,18$。它们原来在第三读单独辨认，现在经字面 $t$ 到第四读，相位依次为

$$
d,\quad8+d,\quad18+d,\quad d-1\pmod{27}.
\tag{74.16}
$$

因此（74.14）给原固定输出。单独合并与拆分变体在每个实际数字上的联合需求一致，逐原子路径归纳保留相位、动作和标签。继续变体只有 $17,18$ 再等 $9-d$，在第五读相位九、八分别停止；其余路径不变。每条进入最长尾及每个读取类都有上述非空输入，故所有名义态可达。$27n$ 只增加收费等待位置而不改变完整到达相位。前四种表的三／四／五读输入数为二／七／十八，继续表为二／五／二十；全部索引二槽仅四件或五件。

基础每纤维等待和为 $4+4+6+7+1+8+1+1=32$，另三个 $t$ 尾，得到原表费用。单请求将长四和长六的两源尾换成一条长六，节约四等待；相应两个长 $t$ 尾合一，再省 $t$；两读态减少，故节约 $6+t$。双源合并共省八等待和两读态；拆开旧 $V$ 历史再形成两个继续类，整体给 $25R+(88+2t)W+27H$。继续方案在双源之后只留 $T,Z$，尾为 $t,9-d$，得到表中最后一行。

然而原状态图的共同粗化不可能。请求 $R_1=L_0$ 在共同数字零强制两个 $t$ 步链的逐单位后继相同，最终 $U=V$；请求 $R_0=L_2$ 在数字二同样强制 $V=Y$。四个源态彼此不同，两请求却经旧共享 $V$ 传递出 $U=Y$。其数字零须同时输出十七和十八，矛盾。即使增加任意未达名义态，也不能消除这个固定输出冲突。相位不交与槽质量并未检测它：四到达相位不同，同到一读态时质量为 $(1,1/2,1/2)$，通过这些必要界。

拆分变体重新分配展开历史，把原来一个 $V$ 变为两个不同继续类，故是忠实原子树的另一实现，不是原状态图的粗化。继续变体则有意改变 $17,18$ 的动作词。二者是不同修复，不能同时领取两份独立节约。

最后说明（74.15）的准确量词。冻结未受影响的二十一个读态、七十六个等待态及二十七个标签，共一百二十四态；保留两个合并后的源类及各自长六尾，再收费十四。规定这些非终止态不得复用为四事件的继续存储，终止标签仍共享。接口中取 $\alpha=17,\beta=0,\gamma=8,\eta=18$，由引理74.18需恰 $F(9,d,t)$。所以最小值是 $124+14+F(9,d,t)$，化为（74.15）；两张修复表分别达到其两个候选。$t=d=1$ 时，原表一百五十四、单请求各一百四十七、错误相加一百四十，合法双请求修复为一百四十二或一百四十九。$t=d=5$ 时拆分一百五十、继续一百四十九，较优选择已改变。所有实例均大于一百零四，只否定所述方法；没有把局部接口最小值加到任意未分离的外部预算。$\square$

### 74.7 八种字面行为在任意忠实重实现下的准确障碍

**定理 74.21（八种一元入口行为的最小容量都是一百零六）。** 取 $\mathbf d=(d_0,d_1,d_2)\in\{6,7\}^3$。从73.19的完整表出发，只将 $B_b$ 到一元 $E_b$ 的等待改成 $d_b$，$E_b$ 到 $F_b$ 的等待改成 $8-d_b$，其他动作、原标签及物理端口全不变。记完整初始化原子行为为 $T_{\mathbf d}$。则对任意驻定总表的忠实实现，包括任意读取拆分、共享、额外名义态及终止环，均有

$$
\mu(T_{\mathbf d})=106.
\tag{74.17}
$$

其量词固定每个原输入的完整单位动作词，不只固定某种合并文法。

先给完整达到表。读取态为 $S$ 和每个 $b$ 的 $A_b,B_b,C_b,D_b,F_b,G_b,J_b,I_b$；终止为全部 $H_x$。$S(b)=\langle A_b,4\rangle$。所有其他读取行如下。

| 74.忠实达到行 | 数字 $b$ | 数字 $b+1$ | 数字 $b+2$ |
| --- | --- | --- | --- |
| 74.忠实A | $\langle B_b,2\rangle$ | $\langle G_b,6\rangle$ | $H_0$ |
| 74.忠实B | $\langle C_b,1\rangle$ | $\langle G_{b+1},d_b\rangle$ | $H_0$ |
| 74.忠实C | $\langle D_b,1\rangle$ | $H_{9b+2}$ | $H_0$ |
| 74.忠实D | $H_{9b}$ | $H_{9b+1}$ | $H_0$ |
| 74.忠实F | $H_0$ | $H_{9b+3}$ | $H_{9b+4}$ |
| 74.忠实G | $\langle F_{b-1},8-d_{b-1}\rangle$ | $\langle J_b,1\rangle$ | $H_{9b+8}$ |
| 74.忠实J | $H_0$ | $\langle I_b,1\rangle$ | $H_{9b+7}$ |
| 74.忠实I | $H_0$ | $H_{9b+5}$ | $H_{9b+6}$ |

其完整尾长为

$$
\begin{gathered}
L_{A_b}=4,\quad L_{B_b}=2,\quad
L_{C_b}=L_{D_b}=L_{J_b}=L_{I_b}=1,\\
L_{F_b}=8-d_b,\qquad L_{G_b}=d_{b-1}.
\end{gathered}
\tag{74.18}
$$

按74.11展开每个距离态。因为 $d_{b-1}\ge6$，$G_b$ 的原六步入口总存在，新的 $d_{b-1}$ 入口也存在。等待数为 $\sum_b(18-d_b+d_{b-1})=54$，读取二十五、终止二十七，容量一百零六。

证明达到及忠实性。参考表的 $E_b$ 只接收 $9b+3,9b+4$，在第四读的累计等待为 $6+d_b$，物理数字为 $b+1$。$G_{b+1}$ 的原四标签到达只使用数字 $b+2,b$，故可在其空数字 $b+1$ 安装 $E_b$ 的字面继续。把 $B_b$ 以原 $d_b$ 等待送到这个宿主，随后仍等 $8-d_b$ 到 $F_b$。沿全部原路径，每单位来源为 $[x+A]_{27}$；在新宿主观察到原来的数字，继而选择复制的或原有的行。因此动作词、每次相位、读数及原标签全部保持。对 $u=3,4$，完整读等待序列为 $0,4,6,6+d_b,14$；其余低位的序列与74.16表相同。三个纤维的这些六类路径覆盖全部二十七输入，三／四／五读数为三／六／十八，所有最长尾、读取及标签可达。参考表每纤维原来的 $d_b+(8-d_b)=8$，因此八张参考表均为一百二十七态。

这是定义62.11、定理62.12已有的同时吸收机制，使用其完整进入槽和同一宿主数字的字面请求一致条件。全六情况复用定义60.5的一百零六态构造；全七行为就是73.19。它们的中间等待分别为六后接二、七后接一，不能因为总等待相等而把两种字面行为混为同一个对象。

再证任意忠实实现的下界。取参考展开中的二十五个核心读取出现：$S$ 及所有 $A,B,C,D,F,G,J,I$，暂不包括 $E$。每个出现由完整共同过去确定实现中的一个实际状态。它们两两不相容，证明覆盖如下：首读的全数字等待四与其他读的实际行冲突；$A$ 的二／六、$B$ 的一／$d_b$、混合 $C,G,J$ 的一／停止以及只停止 $D,F,I$，按74.16的全部类型论证仍分离。这里需补明 $d_b=6$ 的边界：$A_b$ 与同朝向 $B_b$ 虽可能在高数字同为六，低数字必为二与一；不同朝向的共同数字则是二与 $d_b$ 或六与一。不同朝向 $B/B$ 是一与六或七。因此每对核心读仍有明确共同数字的动作、等待或固定输出矛盾，而非依赖候选表中既定的状态名称。

设 $m=\#\{b:d_b=7\}$。非首读核心的进入等待按每纤维为

$$
(A,B,C,D,F,G,J,I):\quad(4,2,1,1,8-d_b,6,1,1).
\tag{74.19}
$$

二十五核心目标已证不同，不同目标的最长纯等待链也不同；每个原固定输出另需终止态。因此同一任意忠实实现先收费

$$
25+\sum_b(24-d_b)+27=106-m.
\tag{74.20}
$$

还须容纳三个 $E_b$ 出现。它只使用数字 $b+1$，要求等 $8-d_b\in\{1,2\}$ 后到 $F_b$。它不能进入核心已用的数字。停止行立即冲突，不同等待也冲突。若等待二匹配，只可能是某个 $A$ 的低行，后继是 $B$，而 $B$ 与 $F_b$ 已有核心不相容证书。若等待一匹配，只可能是 $B,C,G,J$ 的继续行，后继分别属于 $C,D,J,I$；这些与 $F_b$ 也由核心分离证明冲突。此处 $F$ 从不等于 $D$ 或 $I$，原标签集合不同。首读的等待四同样排除。因此 $E_b$ 只能占核心的未使用数字。

每个非首读核心出现的已定支持只留下一个数字，三个 $E_b$ 的实际数字又互不相同，所以一个核心态至多承载其中一个。如果三个 $E$ 全在核心，每个 $d_b=7$ 的到达使一个不同核心尾从基线至多六增至至少七，至少另收 $m$，得一百零六。如果至少一个 $E$ 到核心之外，它的非首读目标和至少六个进入等待态与所有核心尾不交，至少另收七；此时（74.20）至少为 $106-m+7\ge110$。两类穷尽任意忠实状态重分配；额外态、终止环或拆分旧共享态不减少该下界。上面达到表给等号。$\square$

这里用到的核心／外部二选一收费只是条件算术：若同一表的 $c$ 个不同核心读包括首读、非首读核心有已证进入下界 $a_q\le A$，又有 $m$ 次选定到达等待至少 $D>A$，且每个核心至多容纳一次，则核心、前缀和标签的基线之外至少还需 $\min\{m(D-A),D+1\}$。全部进核心时扩不同尾，否则出现一个外部读及其尾。其成立先要验证同一表中的目标分离和容纳限制；它不是独立的全局容量公式。

定理74.21排除的是用任意忠实重实现把这八种行为压到一百零五以下。定义62.14的一百零五态表采用不同第一纤维策略和某些不同读取位置，故不与之矛盾；62.18的另一张一百二十七态种子也不能仅凭总态数相同归入本族。一般问题始终允许改变策略。

### 74.8 一百零五态表上的完整长到达反证

**命题 74.22（逐纤维双半质量长到达在一百零五态仍非必要）。** 断言“每个完整首读纤维都产生一次字面进入等待至少六、两个不同数字各至少半质量的实际到达”，即73.18的逐历史断言，即使增加 $C\le105,e=0,\ell=0$、无七／八索引二槽、最大字面等待七，仍为假。

见证严格使用[固定版本 de39b819f97fc59875022769084655c3aa1943b3 的定义62.14](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/de39b819f97fc59875022769084655c3aa1943b3/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md)。为明确可复算的完整定义，保留其原整数编号：初态零，$0,\ldots,24$ 为读态，$25,\ldots,77$ 为单位等待，$78+x$ 为输出 $x$ 且自后继的停止态。完整读表为

| 74.公开读取编号 | 数字0后继 | 数字1后继 | 数字2后继 |
| --- | ---: | ---: | ---: |
| 74.公开R0 | 27 | 46 | 64 |
| 74.公开R1 | 30 | 58 | 78 |
| 74.公开R2 | 31 | 39 | 78 |
| 74.公开R3 | 32 | 80 | 78 |
| 74.公开R4 | 78 | 79 | 78 |
| 74.公开R5 | 69 | 40 | 83 |
| 74.公开R6 | 78 | 81 | 82 |
| 74.公开R7 | 78 | 42 | 86 |
| 74.公开R8 | 78 | 84 | 85 |
| 74.公开R9 | 78 | 48 | 58 |
| 74.公开R10 | 78 | 49 | 75 |
| 74.公开R11 | 78 | 50 | 89 |
| 74.公开R12 | 78 | 87 | 88 |
| 74.公开R13 | 91 | 78 | 90 |
| 74.公开R14 | 95 | 41 | 59 |
| 74.公开R15 | 94 | 78 | 60 |
| 74.公开R16 | 93 | 78 | 92 |
| 74.公开R17 | 75 | 78 | 66 |
| 74.公开R18 | 39 | 78 | 67 |
| 74.公开R19 | 98 | 78 | 68 |
| 74.公开R20 | 97 | 78 | 96 |
| 74.公开R21 | 99 | 100 | 78 |
| 74.公开R22 | 76 | 104 | 52 |
| 74.公开R23 | 77 | 103 | 78 |
| 74.公开R24 | 101 | 102 | 78 |

对 $q=1,\ldots,24$，按编号顺序的尾长为

$$
\begin{aligned}
(L_1,\ldots,L_8)&=(3,3,1,1,7,1,1,1),\\
(L_9,\ldots,L_{16})&=(4,2,1,1,2,6,1,1),\\
(L_{17},\ldots,L_{24})&=(4,2,1,1,1,6,1,1).
\end{aligned}
\tag{74.21}
$$

置 $a_q=25+\sum_{1\le j<q}L_j$。整数 $a_q+k-1$，$1\le k\le L_q$，恰执行一个 $W$；$k=1$ 后继为 $q$，其余后继为前一个整数。这给全部五十三个单位等待后继，逐行等于62.14，没有省略状态。故名义容量为 $25+53+27=105$，$E=53-24=29$。

证明。从每个原 $x$ 的 $(0,x)$ 按上述整数表执行，单位相位不变量为 $s=[x+A]_{27}$。全部二十七输入到 $78+x$，相邻读取间等待正、最多五读、所有名义态可达。索引二实际槽大小为 $3,4,4,5,5,6$，没有七或八。要核验反证性质，不能只看共享目标的合计质量；按完整进入历史枚举全部长到达，恰有下表六项。质量按事件各自 $2^{i-5}$，三元组按绝对数字零、一、二排列。

| 74.公开长到达的首纤维及标签 | 目标 | 索引 $i$ | 进入等待 | 完整相位 | 三数字质量 |
| --- | ---: | ---: | ---: | --- | --- |
| 74.长到达F0a：$\{3,4,5\}$ | $5$ | $4$ | $7$ | $16,17,18$ | $(0,1,1/2)$ |
| 74.长到达F0b：$\{6,7,8\}$ | $14$ | $3$ | $6$ | $15,16,17$ | $(0,3/4,0)$ |
| 74.长到达F1a：$\{12,13\}$ | $22$ | $4$ | $6$ | $24,25$ | $(0,0,1)$ |
| 74.长到达F1b：$\{14,15,16,17\}$ | $14$ | $3$ | $6$ | $24,25,26,0$ | $(1/4,0,3/4)$ |
| 74.长到达F2a：$\{21,22\}$ | $5$ | $4$ | $7$ | $7,8$ | $(1,0,0)$ |
| 74.长到达F2b：$\{23,24,25,26\}$ | $22$ | $3$ | $6$ | $6,7,8,9$ | $(3/4,1/4,0)$ |

所有其余实际进入等待小于六，可由整数等待链距离和实际读行逐项核对。每个首纤维的合格到达数因此为 $(1,0,0)$。第一纤维有一个不能补给另两个纤维；共享目标十四、二十二、五上来自不同历史的质量也不能合成一项本断言要求的到达。故逐纤维断言为假。$\square$

定理74.21的八个一百零六态达到表，每纤维仅有 $d_b$ 步的一元到达及六步的 $3+1$ 到达，质量分别为单数字一及两数字 $3/4,1/4$，全都不合格；所以在一百零六态下连“至少一个纤维有合格到达”也不能普遍要求。这里没有给至多一百零四态反例，也没有反驳将小容量上限进一步收紧至一百零四后可能成立的条件桥梁。

### 74.9 来源、核验范围与仍缺少的全策略恢复

本节既有模型及普通证明引用统一固定于[公开版本 de39b819f97fc59875022769084655c3aa1943b3 的本卷](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/de39b819f97fc59875022769084655c3aa1943b3/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md)：55.1、55.3给端口和二元几何，56.1—56.3及66.11—66.12给原标签、事件唯一、前缀和实际尾收费，57.2给完整槽质量。68.12—68.14的饱和树及切口费用在74.12被明确复用，73.16的双纤维支持在74.13重建。57.12—57.13、73.19是擦除例子的既有构造；58.8、60.9、60.12已经给固定行为闭合及另需选择取得策略的外层量词。60.5、62.11—62.12供一百零六构造及吸收机制，62.14供一百零五整数表。旧章节中各自钉定的更早来源仍保持其历史身份，不因本节引用当前固定版本而被改绑。

经典方法的对应只用于所需范围。[Abel 与 Reineke，MEMIN，ICCAD 2015，§II.C 定理1及§IV.B(c)，PDF第3、5页](https://embedded.cs.uni-saarland.de/publications/iccad15.pdf)要求对一个类和一个输入，由一个共同类包含全部已定义后继的并集；覆盖类可以重叠，逐对找到后继容器并不充分。§IV.C用两两不相容集合给状态下界。[Larrauri 与 Bloem，arXiv:2105.10292v2，§5定理4及附录B](https://arxiv.org/pdf/2105.10292v2)给指定观察机的实现／闭覆盖双向构造，并沿同一运行保持类成员关系。两者固定给定行为；本模型每个物理 $W$ 的费用、相位、原标签和正等待需由自己的原子路径证明保持，不能把论文的最小类数直接称为全策略 $C_B$。

[Bryant，Graph-Based Algorithms for Boolean Function Manipulation，定义1、5及定理1证明，作者公开PDF第4—6页](https://www.cs.cmu.edu/~bryant/pubdir/ieeetc86.pdf)中的有序函数图因变量索引严格递增而无环，删除规则要求一个节点的两个孩子相同。它不授权删除在各历史上分别恒定、合并以后却有不同继续的测试。74.17另行证明了适合物理等待和可终止环的共同实际继续情形及准确收费，没有直接移用决策图的图形最小性。

新写的有限核对按全部单位态执行以下完整表：74.14一张；74.16的 $t=0,1,2$ 共享／擦除各一张；74.21的全部八个向量各有参考和达到两张；74.19取 $t=1,\ldots,8,28,35$，每参数五种变体；以及62.14一张。共七十四张表、每表二十七输入，共一千九百九十八条初始化执行。核对全部名义态与总后继、固定输出、逐单位相位、正读间等待、五读上限、可达性、联合配置唯一及完整槽质量；并比较所有应忠实的原子动作／相位／读数词。擦除原子树分别有一百二十四、二百零五、二百八十六个节点，其全部不相容对数为 $7626,20910,40755$；八个参考各检查三百个核心配对，以及 $E$ 与核心的占用数字冲突。有限配对检查不替代74.16、74.21对任意实现的普通区分证明。

另以真实单位后继传播两个合并请求，各单请求一致，合取强制标签十七与十八冲突；删去73.19三个 $E_b$ 后的二十七条保留读取相位，逐条等于擦除零提升表。饱和切口的局部算术域为 $P=6,\ldots,12$ 的全部四低位子集及全部间隙切口，共 $12861$ 项；全部三个入口数字，$P\le8$ 时每个等待遍历三种 $P$ 提升余类，$P\ge9$ 时只用零提升，共 $76491$ 份相位展开，核对平衡分割及费用 $2(P-1)-\max Y$。更大参数、任意提升及任意控制器的定理量词均由普通证明承担。这些有限域没有枚举全部控制器，也不把局部通过项视为可拼装的完整表。

空间低位次序和同一来源决定实际观察，截止约束未来分支，共同后继把这些分支绑定在一个驻定表中，目标分离最后才恢复收费记忆。反向则仍须同时选择行为与其后继闭合实现。这里得到共享根的下一层必要注入、擦除和相加收益的反例、充分删读条件以及八个固定行为的准确障碍；尚未给所有策略的共同证书。特别是共享根有三个不同下一读取态后的远处共享、其他根轮廓、一七余支与一般参数仍开放。

仍须在同一任意完整表上证明 $E+2e+\ell\ge29$，或给全部收费态与后继都合法的至多一百零四态表，进而解决一般精确取得容量和空间、时间、边界、记忆的完整互恢复。已报道的九十六下端点、第70节全目录、更强 $B\ge53$ 与 $\Gamma>0$ 证书均未在本节重新认证；若另行作为承重前提，未核验部分须记 `ASSUMED-UNVERIFIED`，它们不是上述证明的前提。本节只直接复核所用一百零五上界表，不重证整个既报区间；不主张历史原创、全局最优或 Lean/kernel 验证，原长期目标继续开放。

## 74.99 追加锚

## 75. 共享首读根的全分割尾界与混合截止的共同收费

两个完整首读纤维共用一个读取态以后，后面的不同读取态仍可再汇合。这里保留这种实际共享，用共享数字内被迫继续的事件补足尾费用：在无七、无八索引二槽的明确条件下，共享第二读取根总有 $E\ge32$，不再要求三个后续分割全为平衡分割。另给一对完整参数表，说明后续汇合确实可以节约一个既定行为的实现状态；这个事实与所证下界使用不同的比较量。

### 75.1 原表量词、完整槽质量与目标尾

**定义 75.11（本节的同表合同）。** 固定 $p=3,P=9,M=27,h=5$，取定义66.11、74.11的一张正确有限确定驻定总表 $K$。全部原输入 $x\in\mathbb Z/27\mathbb Z$ 从同一来源无关控制态和来源 $s=x$ 开始；$W$ 逐次加一，$R$ 不改变来源，只返回 $\lfloor[s]_{27}/9\rfloor$，$H_x$ 单独输出固定原标签 $x$。每条实际执行有限、至多五读，动作词为 $W^\ell R(W^+R)^*$，末读后直接停止。全部名义态、未达态、等待位置、内部计数和共同前缀 $\ell$ 均收费。任意字面正等待及其周期提升、额外读取态、一元历史、单点继续和在全部初始化输入上终止的控制环均允许。没有免费时钟、来源相关准备、复位、复制、逆步、输出重标或终止侧信道。

事件是带索引的 $(x,i)$，其质量为 $2^{i-5}$。不同索引的同一标签是不同事件。$q_0$ 为首读态，$r$ 数实际读取态，$r=25+e$。实际活动槽 $v=(q,b)$ 经固定正等待 $\delta(v)$ 到下一读取态 $\tau(v)$；置

$$
L_q=\max_{\tau(v)=q}\delta(v),\qquad
E=\sum_{q\ne q_0}(L_q-1),\qquad
C\ge76+2e+\ell+E,\quad e\ge0.
\tag{75.1}
$$

以下复用并明确其普通证明内容。一个数字块的任何固定平移只遇到至多两个相邻数字，所以从同一实际槽出发的后续答案边可二进标记。该槽全部访问的完整终止后缀词互异且前缀自由：相同词会给相同固定输出；同一标签不同访问的剩余读数不同；终止词不能再延长。把词扩到共同长度的二元叶集，得到命题57.2的完整槽质量至多一、读取态总质量至多三。这里使用全部事件，而非某一历史的单独容量。

非终止联合配置 $(q,s)$ 若由不同标签共享，则未来输出相同；若同一输入重访，则无法有限终止。因此配置唯一。首读及每个共同前缀位置都随 $x$ 遍历全部二十七相位，以后不可再达。不同目标的最长纯 $W$ 链不能相交，因为一个 $W$ 态只有一个固定的首次后续读取目标；它们也不交前缀。引理66.12于是直接在原表注入 $\ell+\sum_{q\ne q_0}L_q$ 个等待态，另需 $r$ 个读取态和至少二十七个固定输出态。

读取下界仍是定理56.3的实际槽关联计数，未删除前缀：若活动槽数为 $U$、一出边活动槽数为 $U_1$、未用槽数为 $Z$、非首读槽的总入度超额为 $D$，则 $3r=2M-3+D+U_1+Z$。每个非首读读取态的三个槽不能被互不交的相邻二点入边恰好覆盖，故 $D+U_1+Z\ge r-1$。得到 $r\ge25$，与等待注入合成（75.1）。一个目标只按自己的最大等待收费一次。

### 75.2 饱和来源的目标分离及两种混合截止

**引理 75.12（所选饱和槽的共同注入）。** 在同一个 $K$ 中，选取若干实际活动槽，每槽指定质量恰为一的事件集，并要求这些所选集合两两不交。则各集合已穷尽其完整槽。它们的下一事件集两两不交，每个下一集恰在两个数字各给质量一，且这些下一读取目标两两不同。若某一组背景目标各有质量严格大于一的所选到达事件，且背景事件与上述全部下一事件不交，则这些背景目标均与所选下一目标不同。

证明。额外事件的质量严格为正，故饱和所选集就是完整集；两个不交饱和集不可能位于同一槽。活动槽所有事件都继续，下一索引使质量翻倍为二。数字块平移至多二分，而每个完整数字槽质量至多一，所以两侧各满一。事件映射 $(x,i)\mapsto(x,i+1)$ 是单射，保留所选集之间的不交。两个不同来源若同到一个读取态，其两个二数字支持必相交，相交数字会收到两个不交的满质量集，矛盾。背景若同到该目标，则总质量严格超过 $1+2=3$。所有这些目标均在首读之后，不能是 $q_0$。不同目标证明完毕后，才可将各自的 $L_q-1$ 加入同一个 $E$。$\square$

此引理的事件不交假设不可略去。一个饱和槽的后代可能与另一份人为选择的后缀描述重复；下文逐项列出事件身份来排除这种重复。

**引理 75.13（四标签及混合索引的强制费用）。** 在同一实际槽中，四个索引三标签的低位为 $Y=\{y_1<y_2<y_3<y_4\}$，则其强制后续有三个不同实际目标，尾超额之和至少 $16-y_4$。另有两个混合索引槽型，以 $(\text{低位},\text{索引})$ 记录：

$$
A=\{(0,3),(1,3),(8,4)\},\qquad
B=\{(0,4),(7,3),(8,3)\}.
\tag{75.2}
$$

三件事件的固定标签互异时，每型都强制两个不同后续目标，其尾超额之和分别至少六、八。这些目标若与其他费用相加，仍须核对引理75.12的事件条件。

证明。四件索引三事件的质量为一。它们不能停止或先一元读取；两次余读强制 $2+2$，再将每对在末读分开。四标签槽及两个索引四对子槽均饱和，其所选源事件按标签或索引不交，所以三个目标由引理75.12分离。取原低位间的实际整数切口 $y_j<c_j\le y_{j+1}$。三个等待的正代表为

$$
9-c_2,\qquad c_2-c_1,\qquad9+c_2-c_3.
\tag{75.3}
$$

原等待分别在这些数上增加非负九倍。代表之和为 $18+c_2-c_1-c_3\ge19-y_4$；减去三个目标的一单位，得 $16-y_4$。这正是68.12—68.14的四叶特例，本节列出所需计算而不另声称一个可任意拼接的最小表。

两混合型的质量也恰为一。索引四单点下一读必须终止，因此必须与两个索引三标签分开；后者随后在末读分开。$A$ 型切口只能为 $2\le c\le8$，两段正等待为 $(9-c,c-1)$；$B$ 型只能为 $1\le c\le7$，两段为 $(9-c,c+1)$。相应和减二恰为六、八。第一源的混合事件与第二源的索引四对子事件不交，两源均饱和，故目标不同。截止排除了这里的一元步，却未删除原表其他一元历史或单点延续。$\square$

### 75.3 连续三标签在同一实际目标上的联合费用

**引理 75.14（两次余读的三标签共同收费）。** 选取 $n$ 个两两标签不交的三标签集，每集的索引三事件在一个实际槽，低位为 $[a_j,a_j+3)$，$0\le a_j\le6$。槽内可有其他事件。把这些集合按其实际下一读取目标分组。每组只有一个或两个三标签集；二元组必有相反的 $2+1$、$1+2$ 朝向。记二元组数为 $m$，未配对的 $1+2$ 个数为 $u$。存在恰 $2n$ 个不同实际非首读目标组成的集合 $\mathcal D$，包含这些下一目标及强制末读对子目标，且

$$
\begin{aligned}
\sum_{q\in\mathcal D}(L_q-1)
&\ge\sum_j(6-a_j)+8u
 +\sum_{(a,b)\text{ 为 }2+1,1+2\text{ 配对}}\max(1+b,2+a)\\
&\ge\sum_j(6-a_j)+8u+2m.
\end{aligned}
\tag{75.4}
$$

这里不预设 $\mathcal D$ 与任意外部目标不交；外部收费另需证明分离。

证明。三标签不能停止；若下一读一元，只剩一次读区别三标签，不可能。因此只有两种切口：$2+1$ 的进入正代表为 $7-a$，产生低位 $\{7,8\}$ 的对子及低位零的单点；$1+2$ 的正代表为 $8-a$，产生低位八的单点及 $\{0,1\}$ 的对子。实际等待保留所有九倍提升。两个对子都在索引四，质量一，末读的字面等待分别至少一、八。

每个三标签到达在索引四给总质量 $3/2$，在两个相邻数字分为一及二分之一，所以一个目标至多接收两组。两组若同到，总质量恰三，三个数字均由所选事件饱和：两份对子必须占不同数字，两个单点同占第三数字。相同朝向会使公共单点旁的对子数字相同，因此必须相反。这一有序朝向论证已见定理69.13；此处还保留合并后两个单点的强制继续。公共数字内它们的低位是 $\{0,8\}$，标签不同，须共同再读。三份最终对子支持为 $\{7,8\},\{0,8\},\{0,1\}$，其进入末读目标的超额下界为零、零、七。

各末读对子源在索引四，所选事件按三标签组及组内子集不交，且均饱和。引理75.12使全部末读目标不同。它们的索引五事件与各三标签目标的索引四事件不交，质量二加至少 $3/2$ 超过三，故这两类目标也不同。有 $n-m$ 个中间目标、$n+m$ 个末读目标，合计 $2n$；没有把另一单点可能的额外继续算入其中。

未配对 $2+1$ 组的所选贡献至少 $6-a$；未配对 $1+2$ 至少 $14-a$。一对朝向为 $(a:2+1,b:1+2)$ 时，中间尾只收最大值，连同三份末读尾至少为

$$
\max(7-a,8-b)-1+7
=(6-a)+(6-b)+\max(1+b,2+a).
\tag{75.5}
$$

按已分离的目标相加即得（75.4）。这比较的是原表中各目标费用与便宜的 $2+1$ 数值基线，没有把原来的 $1+2$ 分支替换掉，也没有把两个独立优化的控制器拼接。$\square$

### 75.4 共享根的六标签支持与全部立即分割

**引理 75.15（共享第二读根的十二行算术）。** 假定同一个 $K$ 没有恰含七个或八个索引二事件的实际槽，且两个不同完整首读纤维共用第二读取态 $Q$。在循环数字坐标中，$Q$ 的三个索引二支持依次为

$$
H=\{3,4,5,6,7,8\},\quad
G=\{0,1,2,6,7,8\},\quad
L=\{0,1,2,3,4,5\},\qquad L_Q\ge6.
\tag{75.6}
$$

每组六标签的下一读只可能为 $4+2,3+3,2+4$。以下列出全部正等待代表 $d$，并定义待作联合收费的数值 $b$：立即目标的代表超额 $d-1$，加四标签孩子的 $16-\max Y$，或加两个连续三标签的便宜基线 $6-a$。二标签兄弟暂不收费。

| 75.支持及分割 | $d$ | 四标签低位或两组三标签起点 | $b$ |
| --- | ---: | --- | ---: |
| 75.H42 | 2 | $Y=\{5,6,7,8\}$ | 9 |
| 75.H33 | 3 | $(6,0)$ | 8 |
| 75.H24 | 4 | $Y=\{0,1,2,3\}$ | 16 |
| 75.G42 | 2 | $Y=\{2,3,4,8\}$ | 9 |
| 75.G33d3 | 3 | $(3,0)$ | 11 |
| 75.G33d4 | 4 | $(4,1)$ | 10 |
| 75.G33d5 | 5 | $(5,2)$ | 9 |
| 75.G33d6 | 6 | $(6,3)$ | 8 |
| 75.G24 | 7 | $Y=\{0,4,5,6\}$ | 16 |
| 75.L42 | 5 | $Y=\{5,6,7,8\}$ | 12 |
| 75.L33 | 6 | $(6,0)$ | 11 |
| 75.L24 | 7 | $Y=\{0,1,2,3\}$ | 19 |

这里各行只是相同实际事件的算术下界；在排除目标重复前，不能直接将三行的 $b$ 相加。

证明。保留首读坐标 $y=[x+\ell]_{27}$，输出仍为原 $x$。每个完整首读纤维有九标签，使用同一个活动槽及字面等待，故第二读支持是长九的循环区间。两个到达区间不交，否则不同标签共享 $(Q,s)$。三纤维不能同时进入 $Q$，因为索引二质量为 $27/8>3$，所以在 $Q$ 恰有选出的十八件索引二事件。

每槽质量至多一，限制索引二件数至多八；无七、无八将其压至六。三个槽共十八件，遂各恰六。区间不能只落在一数字内，也不能跨同一边界，否则相交。在公共数字写前段 $[0,v)$ 与后段 $[w,9)$，三个件数为 $(v+9-w,9-v,w)=(6,6,6)$，得到 $v=3,w=6$，即（75.6）。两份首等待分别模九为三、六，故 $L_Q\ge6$。循环坐标仅描述已有物理位置，不改原表或标签。

六标签在索引二还剩三读，下一读若一元，后两读至多四叶；二分的任何孩子也至多四叶。因此只有列出的三种大小。切口是原低位中的整数 $c$，等待正代表为 $9-c$。$H$ 的三个切口是七、六、五；$G$ 的 $4+2$、$2+4$ 切口是七、二，平衡切口为三至六；$L$ 的三个切口是四、三、二。逐项平移得到表中精确孩子。四标签行代入引理75.13；平衡 $H,L$ 的三标签基线和为六，平衡 $G$ 为 $(6-d)+(9-d)=15-2d$。再加 $d-1$ 即得全部十二个值。各原等待为 $d+9n$，$n\ge0$，子集低位不变，完整数字朝向可转动；表中没有替换任何原等待。$\square$

### 75.5 允许混合索引及后续汇合的共享根排除

**定理 75.16（无七、无八的共享根全分割下界）。** 在定义75.11的完整模型中，显式假定没有恰含七个或八个索引二事件的实际槽。若两个完整首读纤维共用同一个第二读取态 $Q$，则

$$
E\ge32,\qquad C\ge108+2e+\ell.
\tag{75.7}
$$

此结论覆盖 $Q$ 的全部 $4+2,3+3,2+4$ 下一分割，以及它们后续所有允许的目标共享。因此在这些无七、无八条件下，$C\le104$ 的表必须有三个不同的第二读取态。

证明。使用引理75.15的十八个原标签，将其按 $Q$ 的三个数字分成互不交的六标签组。它们的下一目标各有选定的索引三质量 $3/2$；这些事件与 $Q$ 的索引二质量 $9/4$ 不交，所以各下一目标都不同于 $Q$。

先处理两个立即目标相同的情形，记共同目标为 $T$。两组共十二件索引三事件使 $T$ 的总质量恰三，三个数字各恰四件，且无额外事件。平衡到达的两数字各有 $3/4$；其他六标签到达的正数字质量均至少 $1/2$，二数字支持必相交，故平衡到达不能参加这样的合并。两份不平衡到达只能把两个半质量数字对齐、两个满质量数字分开；同向的 $4+2$ 或同向的 $2+4$ 不能这样对齐，故必为相反朝向。表75.15中每个 $2+4$ 的实际等待至少四，遂 $L_T\ge4$。

$T$ 的三个饱和四标签槽各由引理75.13给三个后续目标，最低费用各为 $16-8=8$。三组标签不交，组内父子事件索引不同，九个饱和源的事件与下一事件分别不交。引理75.12使九目标不同。其到达索引为四或五、每目标所选质量二，与 $T$ 的索引三质量三和 $Q$ 的索引二质量 $9/4$ 不交，所以这些目标也不同于 $T,Q$。现在才收费：

$$
E\ge(L_Q-1)+(L_T-1)+24\ge5+3+24=32.
\tag{75.8}
$$

第三组六标签的其他需求无需额外收费；与已选目标可能的共享不会削弱此界。

以下假定三个立即目标 $R_H,R_G,R_L$ 彼此不同。先为每个不平衡根选择四标签孩子的饱和树：其索引三四标签源、两个索引四对子源及三个目标给出相应四标签费用。二标签兄弟保持在原表，尚不收费；它可以继续一元读取或与其他到达发生共享，不能将它剪去来证明分离。

每个平衡根产生两个标签不交的连续三标签集，索引为三。令它们的实际下一目标为三标签目标。它不能是 $Q$，因为所选质量 $3/2$ 与 $Q$ 的 $9/4$ 在索引上不交；也不能是任一平衡立即根，因为索引四的两正数字质量至少 $1/2$，与平衡根索引三的两个 $3/4$ 数字必相交。三标签目标因而只分为下列实际身份类别：不等于任何立即根的新目标，接收一组三标签或两组；或某个不平衡立即根，恰接收一组三标签。新目标至多两组，宿主根至多一组，均由每组到达质量 $3/2$ 与读取态上界三推出。这是按原表身份得到的穷尽分类，不预设可自由选择的匹配。

对新目标的一组或两组，使用引理75.14的收费：其进入尾收一次，所选末读对子收各自的目标尾；两组共享还必须包含两个原单点组成的第三个饱和对子。其贡献至少覆盖每组三标签的 $6-a$。

还须处理一组三标签进入不平衡立即根的情形。根的六件索引三事件和三件索引四事件合计质量三，故全读取态饱和。两个满质量数字必须不同、两个半质量部分必须在同一数字，朝向必须相反。

若根为 $4+2$，它的二标签半质量孩子在低位 $\{0,1\}$、索引三；三标签必须采用 $1+2$，其单点为低位八、索引四。共同数字就是引理75.13的 $A$ 型。它强制两个目标，新增超额至少六；被托管三标签的另两标签还形成低位 $\{0,1\}$、索引四的饱和对子，末读再需超额至少七。故在不再收费该根进入尾的前提下，有十三单位覆盖该组三标签的 $6-a\le6$。

若根为 $2+4$，其半质量孩子为低位 $\{7,8\}$、索引三；被托管三标签只能采用 $2+1$，单点低位零、索引四。共享槽为 $B$ 型，强制两个目标给超额八。该组三标签原有低位 $\{7,8\}$ 的末读对子另给非负费用；八已经覆盖 $6-a\le6$。两型中不收费宿主尾的增长，故没有把同一个立即根的进入费用算两遍。

现在验证上述所有费用能够共同加入 $E$。这一步不能由立即根不同推出。把所选饱和活动源按以下清单一次列全；“平衡标签”指最初属于平衡六标签分支的标签，“不平衡四／二标签”指相应初始孩子。下一事件的索引范围同时列明。

| 75.饱和来源类 | 所选源事件 | 所选下一事件 |
| --- | --- | --- |
| 75.源四树 | 不平衡四标签在索引三；其两对在索引四 | 同四标签在索引四或五 |
| 75.源三对子 | 每组三标签的二标签孩子在索引四 | 平衡对子标签在索引五 |
| 75.源双单点 | 两组三标签共用新目标时的两个单点，索引四 | 平衡单点标签在索引五 |
| 75.源混合首 | 宿主的二标签索引三，加被托管单点索引四 | 不平衡二标签索引四，加平衡单点索引五 |
| 75.源混合后 | 上行的宿主二标签在索引四 | 同二标签在索引五 |

每组三标签只属一个实际目标类别；一宿主至多托管一组。各初始六标签组不交，四标签与其二标签兄弟不交；每组三标签的对子与单点也不交。清单内部唯一再次使用的标签是在后续层，索引已经增加。因此所有列出的源事件集两两不交，且没有把某个强制对子在两个类别中重复选择。各源所选质量恰为一，故它们是不同的完整实际饱和槽，下一事件集由 $(x,i)\mapsto(x,i+1)$ 的单射保持不交。引理75.12证明其所有目标彼此不同，即使原表有终止环或同一个读取态曾在别处出现，也不能突破这个事件与质量障碍。

还要把这些目标与已经收费的背景分开。背景取 $Q$ 的十八件索引二事件、三个立即根各自的六件索引三事件，以及全部三标签到达的三件索引四事件；后者的标签全为平衡标签。清单的下一事件要么在索引五，要么在索引四且标签来自不平衡孩子。因此它们与全部背景事件不交。每个背景读取态已有所选质量至少 $3/2$，而清单目标已有质量二，故总质量超过三。引理75.12排除了清单目标与任何背景目标重合。背景之间仅保留前面已经分类的三标签共用新目标或托管立即根，其他身份都已分开。

至此每个不平衡四标签费用、每组三标签便宜基线都由同一组实际目标的互不重复费用覆盖。未托管的新三标签目标收一次最大进入尾；托管目标已在三个立即根中收费，不再收费；其缺少的三标签基线由刚证明分离的混合继续费用覆盖。原表其他事件、单点继续或更长等待只会增加约束或最大尾，不能抵消这些已选费用。于是可以将三个立即根的各自进入费用与这些后续费用合成表75.15的三行下界，并且

$$
E\ge(L_Q-1)+b_H+b_G+b_L
\ge5+8+8+11=32.
\tag{75.9}
$$

（75.8）与（75.9）覆盖立即共享及立即分离两类。将所得界代入同一个（75.1），得到容量结论。整个证明没有假定二标签兄弟立即停止，也没有删除任何任意一元历史、周期提升或允许的控制环。$\square$

### 75.6 平衡分支中可保留的汇合项

**推论 75.17（全平衡的逐项费用）。** 保留定理75.16的假设，进一步设三个六标签分支全为 $3+3$。在（75.6）的数字坐标中，三段实际等待为

$$
3+9n_H,\qquad d+9n_G,\qquad6+9n_L,
\quad d\in\{3,4,5,6\},\quad n_H,n_G,n_L\ge0.
$$

令 $m$ 为六组三标签中共用下一目标的配对数，$u$ 为未配对且采用 $1+2$ 的组数，则

$$
E\ge38-d+(L_Q-6)+9(n_H+n_G+n_L)+8u+2m
\ge38-d+2m\ge32.
\tag{75.10}
$$

证明。三个立即目标各有两个 $3/4$ 数字，故两两不同；三标签到达也不能托管于其中。六个低位起点为 $(6,0,d,d-3,6,0)$，便宜基线和为 $27-2d$。引理75.14给它们及末读目标的联合费用；这些目标与三个立即根及 $Q$ 的分离已在定理证明中建立。前四个目标贡献至少 $(L_Q-1)+2+(d-1)+5+9\sum n$，相加得到（75.10）。若保留（75.4）的每对精确附加项，可把 $2m$ 换为相应的 $\sum\max(1+b,2+a)$。$\square$

这个推论暴露了强制单点继续的作用，但全分割定理并不依赖将所有分支归入平衡情形。另一对既定策略可以因共享而节约状态；（75.4）比较的始终是所选事件与便宜的 $2+1$ 算术基线。

### 75.7 读取态零超额仍可后续汇合的完整参数表

**定义 75.18（$K_t$ 及其忠实分离表 $J_t$）。** 对每个整数 $t\ge0$，共同初态为 $S$，$\ell=0$。先给 $K_0$ 的全部二十五个读取态及三个绝对数字后继。记 $\langle q,j\rangle$ 为已经收费的单位等待态 $W(q,j)$，不是即时加权跳转。

| 75.读取态 | 数字零 | 数字一 | 数字二 |
| --- | --- | --- | --- |
| 75.表S | $\langle Q,3\rangle$ | $\langle Q,6\rangle$ | $\langle O,6\rangle$ |
| 75.表Q | $\langle T0,3\rangle$ | $\langle T1,6\rangle$ | $\langle T2,6\rangle$ |
| 75.表T0 | $\langle U,1\rangle$ | $\langle UA,7\rangle$ | $H_{0}$ |
| 75.表T1 | $H_{0}$ | $\langle U,2\rangle$ | $\langle UB,4\rangle$ |
| 75.表T2 | $\langle UD,7\rangle$ | $H_{0}$ | $\langle UC,1\rangle$ |
| 75.表U | $\langle V0,1\rangle$ | $\langle V1,1\rangle$ | $\langle V2,8\rangle$ |
| 75.表V1 | $H_{0}$ | $H_{2}$ | $H_{6}$ |
| 75.表V0 | $H_{0}$ | $H_{1}$ | $H_{0}$ |
| 75.表V2 | $H_{8}$ | $H_{0}$ | $H_{7}$ |
| 75.表UA | $H_{0}$ | $\langle VA,1\rangle$ | $H_{5}$ |
| 75.表VA | $H_{0}$ | $H_{3}$ | $H_{4}$ |
| 75.表UB | $H_{11}$ | $H_{0}$ | $\langle VB,1\rangle$ |
| 75.表VB | $H_{10}$ | $H_{0}$ | $H_{9}$ |
| 75.表UC | $H_{14}$ | $H_{0}$ | $\langle VC,1\rangle$ |
| 75.表VC | $H_{13}$ | $H_{0}$ | $H_{12}$ |
| 75.表UD | $\langle VD,1\rangle$ | $H_{17}$ | $H_{0}$ |
| 75.表VD | $H_{15}$ | $H_{16}$ | $H_{0}$ |
| 75.表O00 | $H_{19}$ | $H_{0}$ | $H_{18}$ |
| 75.表O0 | $H_{20}$ | $H_{0}$ | $\langle O00,1\rangle$ |
| 75.表O100 | $H_{21}$ | $H_{22}$ | $H_{0}$ |
| 75.表O10 | $\langle O100,1\rangle$ | $H_{23}$ | $H_{0}$ |
| 75.表O110 | $H_{0}$ | $H_{24}$ | $H_{25}$ |
| 75.表O11 | $H_{0}$ | $\langle O110,1\rangle$ | $H_{26}$ |
| 75.表O1 | $\langle O10,1\rangle$ | $\langle O11,7\rangle$ | $H_{0}$ |
| 75.表O | $\langle O1,6\rangle$ | $H_{0}$ | $\langle O0,1\rangle$ |

所有尾长由该表的进入行最大值确定。为方便逐单位重建，$K_0$ 的非首读尾长完整分组如下：

| 75.尾长分组 | 目标 | $L_q$ |
| --- | --- | ---: |
| 75.尾六 | $Q,O,T1,T2,O1$ | 6 |
| 75.尾七 | $UA,UD,O11$ | 7 |
| 75.尾八 | $V2$ | 8 |
| 75.尾四 | $UB$ | 4 |
| 75.尾三 | $T0$ | 3 |
| 75.尾二 | $U$ | 2 |
| 75.尾一 | $UC,V0,V1,VA,VB,VC,VD,O00,O0,O100,O10,O110$ | 1 |

对每个目标 $q$、每个 $1\le j\le L_q$，建立恰一个 $W(q,j)$，执行 $s\mapsto s+1\pmod{27}$，$j>1$ 时后继为 $W(q,j-1)$，$j=1$ 时后继为 $q$。另取恰二十七个 $H_x$，$0\le x\le26$，固定输出 $x$、形式后继为自身。读取表已包含所有未用数字的 $H_0$ 行。这些读取、单位等待和终止态穷尽名义载体，没有表外重定向或相位寄存器。

从 $K_0$ 得到 $K_t$ 时，只改

$$
T0(0)=\langle U,1+27t\rangle,\qquad
T1(1)=\langle U,2+27t\rangle,\qquad L_U=2+27t.
\tag{75.11}
$$

其余行和尾全保持。两个进入距离属于同一条已收费的长尾。

$J_t$ 用下列完整替换定义：删除 $U,V1$，引入 $Ua,Ub,V1a,V1b$；将 $T0(0)$ 改接 $\langle Ua,1+27t\rangle$，$T1(1)$ 改接 $\langle Ub,2+27t\rangle$。四个新读态的全部行是

| 75.分离替换态 | 数字零 | 数字一 | 数字二 |
| --- | --- | --- | --- |
| 75.分离Ua | $\langle V0,1\rangle$ | $\langle V1a,1\rangle$ | $H_0$ |
| 75.分离Ub | $H_0$ | $\langle V1b,1\rangle$ | $\langle V2,8\rangle$ |
| 75.分离V1a | $H_0$ | $H_2$ | $H_0$ |
| 75.分离V1b | $H_0$ | $H_0$ | $H_6$ |

新尾为 $L_{Ua}=1+27t,L_{Ub}=2+27t,L_{V1a}=L_{V1b}=1$；其余保留目标的尾仍按上表。原来的 $U,V1$ 及其尾不再是名义态，全部 $H_x$ 保留。因而两张参数表均指定了所有后继。

### 75.8 全部初始化路径、忠实性及反例边界

**命题 75.19（忠实分离的准确计数与后续汇合）。** 定义75.18的两表对所有 $t\ge0$ 都正确、全态可达、至多五读，且逐原输入的完整单位动作、物理相位、读数及原固定输出相同。准确费用为

$$
\begin{aligned}
K_t:&\quad25R+(80+27t)W+27H=132+27t,
 &&e=0,\quad E=56+27t,\\
J_t:&\quad27R+(82+54t)W+27H=136+54t,
 &&e=2,\quad E=56+54t.
\end{aligned}
\tag{75.12}
$$

两表均无七、八索引二槽，两个完整首读纤维共用 $Q$，其三个立即目标 $T0,T1,T2$ 不同。$K_t$ 的 $T0,T1$ 之后有实际非终止共享，$J_t$ 的这两个分支的实际非终止后代分开。故“这些立即目标不同且 $e=0$，便足以保证后来实现子图不交”的断言为假。

证明。下表给出 $K_0$ 的全部二十七条初始化读取路径。各行都从 $S$ 开始，$S$ 的累计等待为零；表中累计等待为真正执行的单位 $W$ 数。所有读时相位均为 $[x+A]_{27}$，所以路径、原输入及累计等待已经确定每个物理读数。

| 75.原输入 | $K_0$ 的首读后路径 | 首读后累计等待 | 固定终止 |
| --- | --- | --- | --- |
| 75.输入0 | $Q,T0,U,V0$ | $(3,6,7,8)$ | $H_{0}$ |
| 75.输入1 | $Q,T0,U,V0$ | $(3,6,7,8)$ | $H_{1}$ |
| 75.输入2 | $Q,T0,U,V1$ | $(3,6,7,8)$ | $H_{2}$ |
| 75.输入3 | $Q,T0,UA,VA$ | $(3,6,13,14)$ | $H_{3}$ |
| 75.输入4 | $Q,T0,UA,VA$ | $(3,6,13,14)$ | $H_{4}$ |
| 75.输入5 | $Q,T0,UA$ | $(3,6,13)$ | $H_{5}$ |
| 75.输入6 | $Q,T1,U,V1$ | $(3,9,11,12)$ | $H_{6}$ |
| 75.输入7 | $Q,T1,U,V2$ | $(3,9,11,19)$ | $H_{7}$ |
| 75.输入8 | $Q,T1,U,V2$ | $(3,9,11,19)$ | $H_{8}$ |
| 75.输入9 | $Q,T1,UB,VB$ | $(6,12,16,17)$ | $H_{9}$ |
| 75.输入10 | $Q,T1,UB,VB$ | $(6,12,16,17)$ | $H_{10}$ |
| 75.输入11 | $Q,T1,UB$ | $(6,12,16)$ | $H_{11}$ |
| 75.输入12 | $Q,T2,UC,VC$ | $(6,12,13,14)$ | $H_{12}$ |
| 75.输入13 | $Q,T2,UC,VC$ | $(6,12,13,14)$ | $H_{13}$ |
| 75.输入14 | $Q,T2,UC$ | $(6,12,13)$ | $H_{14}$ |
| 75.输入15 | $Q,T2,UD,VD$ | $(6,12,19,20)$ | $H_{15}$ |
| 75.输入16 | $Q,T2,UD,VD$ | $(6,12,19,20)$ | $H_{16}$ |
| 75.输入17 | $Q,T2,UD$ | $(6,12,19)$ | $H_{17}$ |
| 75.输入18 | $O,O0,O00$ | $(6,7,8)$ | $H_{18}$ |
| 75.输入19 | $O,O0,O00$ | $(6,7,8)$ | $H_{19}$ |
| 75.输入20 | $O,O0$ | $(6,7)$ | $H_{20}$ |
| 75.输入21 | $O,O1,O10,O100$ | $(6,12,13,14)$ | $H_{21}$ |
| 75.输入22 | $O,O1,O10,O100$ | $(6,12,13,14)$ | $H_{22}$ |
| 75.输入23 | $O,O1,O10$ | $(6,12,13)$ | $H_{23}$ |
| 75.输入24 | $O,O1,O11,O110$ | $(6,12,19,20)$ | $H_{24}$ |
| 75.输入25 | $O,O1,O11,O110$ | $(6,12,19,20)$ | $H_{25}$ |
| 75.输入26 | $O,O1,O11$ | $(6,12,19)$ | $H_{26}$ |

沿每行验证的单位不变量是 $s=[x+A]_{27}$。若一条进入链的终点累计等待为 $A$，剩余距离 $j$ 的 $W(q,j)$ 执行前相位为 $[x+A-j]_{27}$；每步加一，最后恰到表列读取相位。读取行选择表列的下一状态，最后是同一个原 $H_x$。这既检查读取位置，又检查中间每个单位来源步，而非把加权边当一步。

具体地，$S$ 把 $0,\ldots,8$ 等三步、$9,\ldots,17$ 等六步送到 $Q$；$Q$ 的低位依次是（75.6）的 $H,G,L$。等待三、六、六后，三组分别平衡分成三标签。共同 $U$ 接收来自 $T0$ 的 $0,1,2$，索引四相位为 $7,8,9$；以及来自 $T1$ 的 $6,7,8$，相位为 $17,18,19$。三数字中的标签对是 $\{0,1\},\{2,6\},\{7,8\}$，相应低位对为 $\{7,8\},\{0,8\},\{0,1\}$。它们分别等待一、一、八到 $V0,V1,V2$ 并输出原标签。特别是标签二、六在各自展开历史的该次读后已成单点，却因同用 $U$ 的数字一而必须共同继续。这是真实后继需求，不是相容性数值的拼合。其余 $UA,UB,UC,UD$ 及第三纤维的 $O$ 行由全部路径直接覆盖。

$t>0$ 只给上述六个标签进入 $U$ 的等待加 $27t$。因此这些标签自 $U$ 起的累计等待都在表值上加 $27t$，完整相位及全部读数不变；其他二十一条路径完全不变。新增长尾由原来较长的 $T1$ 入口完整经过，全部名义态仍可达。有限路径及最后输出于是对所有非负整数 $t$ 成立，不依赖有限参数试验外推。

在 $J_t$ 中，$0,1,2$ 使用 $Ua$，$6,7,8$ 使用 $Ub$；标签二把 $V1$ 换为 $V1a$，标签六换为 $V1b$。各自的字面等待、每个 $W$、每个 $R$ 的相位和读数、末尾 $H_x$ 均保持。忠实比较不要求控制态名称相同。$J_t$ 的 $T0$ 之后实际经过 $Ua,V0,V1a,UA,VA$ 及各自尾；$T1$ 之后实际经过 $Ub,V1b,V2,UB,VB$ 及各自尾，两组非终止态不交。$K_t$ 则共同使用 $U$、其剩余距离一至 $1+27t$ 的尾，以及 $V1$ 和它的一步尾；共同实际非终止态恰有 $4+27t$ 个。

$K_0$ 的分组尾长之和为 $5\cdot6+3\cdot7+8+4+3+2+12=80$。加长共同尾增加 $27t$，所以其费用为（75.12）第一行。$J_t$ 比 $K_t$ 多两个读取态；分开 $U$ 的尾增加 $1+27t$ 个等待，分开 $V1$ 的尾再增加一个。因此多 $4+27t$ 个态，得到第二行。每个读态和每条最长尾都出现在上述某条路径上，每个 $H_x$ 都由原输入 $x$ 到达，故没有未达名义态。$E=w-(r-1)$，给出两行的准确 $E$，且均有 $C=76+2e+E$。

三／四／五读的输入数均为一／八／十八。索引二实际槽为 $Q$ 的三个六件槽及 $O$ 的三件、六件槽，所以无七、八。所有相邻读之间有正等待，末读直接进入固定终止态，总后继由定义75.18穷尽。$K_t$ 具有 $e=0$ 及不同立即后继却后来共享，完成所述反证。$\square$

两表容量都超过一百零四及一百零五。因此它们不反驳另加 $C\le104$ 后可能成立的子图分离命题，也不改善容量上界或证明任何忠实最小值。相同既定行为从 $J_t$ 改为 $K_t$ 节省 $4+27t$ 态，而（75.4）用的是各组三标签的便宜 $2+1$ 基线；两种比较并不相同。后续汇合既不能被一律禁止，也不能被不计强制继续地自动算作收益。

### 75.9 核验域、来源与剩余的全策略恢复

本节的普通定义与基础证明固定于[公开版本 6759c2c35145e605d3cc96d859cba5d7f241ad5a 的本卷](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/6759c2c35145e605d3cc96d859cba5d7f241ad5a/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md)：55.1、56.1、66.11及74.11规定同源总表合同；55.3给二元平移；56.3给实际槽关联计数；57.2给带索引完整槽质量；66.12给配置唯一及保留前缀的最长尾注入。68.12—68.14的饱和后缀、69.13的相反朝向、73.16的共享根支持及74.12—74.13的立即目标饱和障碍是已有机制；本节在这些机制上证明全分割情况下的混合索引共同收费。固定行为的充分闭合与外层策略选择已在58.8、60.9、60.12给出，本节不另造一个等价框架，也未移用新的外部文献定理。

独立整数核对的域如下。三个不同首纤维对、各自一至二十七的字面等待，共 $2187$ 项；十八项满足相位不交且每数字六件，全部给（75.6）。三个六标签支持在一至二十七等待中共有三十六个合法分割记录，其十二个零提升行恰为表75.15。全部一百二十六个四点低位子集，及（75.2）的两份混合合同，逐节点枚举一至二十七等待、保留一元候选并执行五读截止，分别得到 $16-\max Y$、六、八。该递推按每个所选后续节点收费，它对实际 $E$ 的适用仍由普通证明中的目标分离承担。

连续三点取七个起点、三个入口数字、全部一至二十七的立即等待，得到一百二十六个二分记录。不同记录的无序配对中，恰 $1323$ 对通过完整相位不交与逐数字质量必要条件；全部相反朝向，三末读尾超额为七，超过两份便宜基线至少二。与三十六个六标签记录配对时，恰 $378$ 个通过同样条件，全部是两种不平衡宿主及相应混合槽，忽略宿主尾增长后的基线余量至少二。不同六标签分支的记录配对有十八个通过，均为相反不平衡朝向；其最大实际等待最小值为五。定理75.16只用较弱而直接的至少四，不将这个有限最小值提升为新任意控制器断言。

平衡情形的六组三标签有七十六种单组／配对分组，六十四种朝向、四个中间等待，共 $19456$ 个名义组合；保留每对相反朝向后恰 $5536$ 个。这个放宽物理对齐的必要算术域在 $d=3,4,5,6$ 的最小值为 $35,34,33,32$，逐项满足（75.10）。它不是控制器普查，也不把一个通过的分组当作共同初始化表。

两张参数表在 $t=0,1,2$ 的六个完整单位实现上，共核对 $162$ 条初始化执行及 $81$ 份对应原输入的完整原子词比较。全部固定输出、单位物理相位、正等待、五读截止、名义态可达性、总后继、非终止联合配置唯一与完整槽质量通过；对应原子词逐项相同。六表的 $(r,w,C,E)$ 依次为

$$
\begin{array}{c|rrrr}
 &r&w&C&E\\\hline
K_0&25&80&132&56\\
J_0&27&82&136&56\\
K_1&25&107&159&83\\
J_1&27&136&190&110\\
K_2&25&134&186&110\\
J_2&27&190&244&164
\end{array}
\tag{75.13}
$$

有限运算只核对上述域和指定总表。任意字面提升由正代表加非负九倍的费用不等式及二十七步的相位不变量处理；任意控制器的定理量词由事件不交、截止强制及同目标收费的普通证明承担。未重新认证已报道的整个 $96\le C_B(3,2)\le105$ 区间、第70节完整目录或更强的 $B\ge53,\Gamma>0$ 证书；若另把它们作为承重前提，其未核验部分为 `ASSUMED-UNVERIFIED`。它们不是定理75.16或上述完整表的前提。这里不主张历史原创、全模型枚举、全局精确容量或 Lean/kernel 验证。

本节恢复的关系是：同一实际目标的共同指称，连同原标签、完整相位和带索引读取截止，强制共享数字采用一个共同未来；这个未来又产生可以证明不同的收费目标。空间次序决定切口，时间截止禁止拖延，数字边界与质量限制目标重合，最后才得到记忆状态费用。它足以完成无七、无八共享第二读根这一条件下界，但不是任意未知策略的充分合成接口；满足这些必要条件不构造一张完整表。

无七、无八而三个第二读取态不同的情形、存活的一七分支、其他参数及一般精确 $C_B(p,k)$ 仍须继续处理。全模型依然需要在同一任意原表上证明 $E+2e+\ell\ge29$，或给出全部名义态、单位后继和二十七条初始化执行都正确的至多一百零四态表。本节没有提高全局下端点，也没有宣告精确一百零五。原 general-$B$ 取得问题及空间、时间、边界、记忆的完整互恢复目标继续开放。

## 75.99 追加锚

## 76. 单分支历史、状态共享与容量下界

一棵读后历史树中的单分支，未必对应实际表中只使用一个后继的槽。同一个槽可以把几个分别为一元的历史送往不同数字，也可以让不同二元历史共用下一读取态。本节在同一张原表上关联这两种现象：允许二元到达共享的入度剩余，同时要求出现不能取得最大擦除收益的一元历史。所得一般必要界覆盖单点继续和可终止的控制环；在三进九点五读模型中，它排除完整森林只有至多两个一元节点的全部控制器。

### 76.1 原控制器、完整森林及实际槽图

**定义 76.11（同表的一元数与关联数）。** 取 $p\in\{2,3\}$、整数 $P>1$、有限整数读取上限 $h\ge1$，置 $M=pP$。固定定义66.11意义下的一张正确有限驻定确定总表 $K$，这里将块长允许为任意整数 $P$。所有原输入 $x\in\mathbb Z/M\mathbb Z$ 从同一个来源无关控制态及物理来源 $s=x$ 开始。$W$ 恰执行一次加一；$R$ 保持来源并给出 $\lfloor[s]_M/P\rfloor$；停止态单独输出固定原标签。实际动作词为 $W^\ell R(W^+R)^*$，末读后立即停止，每个输入有限终止且至多 $h$ 读。全部名义态，包括未达态、单位等待、共同前缀、内部计数和终止态，都计入容量 $C$。没有来源相关准备、免费时钟、表外寄存器、复位、复制、逆步、输出重标或终止侧信道。

保留这张原表的全部正整数等待、额外读取态、单点继续、一元历史、后续汇合及在初始化输入上终止的环。$q_0$ 为共同首读态，$r$ 数实际使用的读取态。实际活动槽 $v=(q,a)$ 是被使用且继续的读取数字槽；它沿固定纯 $W$ 链，经字面等待 $\delta(v)>0$ 到固定下一读取态 $\tau(v)$。沿用原表费用

$$
L_q=\max_{\tau(v)=q}\delta(v),\qquad
E=\sum_{q\ne q_0}(L_q-1),\qquad
C\ge M+2r-1+\ell+E.
\tag{76.1}
$$

为说明其作用域，重新给出引理66.12的注入。非终止联合配置 $(q,s)$ 若被同一输入重访，确定未来将循环；若被不同输入共享，固定输出相同。两者都与正确有限终止矛盾。共同前缀的每个位置和首次读取随 $x$ 遍历全部物理相位，所以这些控制态以后都不可再达。每个非首读读取态均有实际进入槽。取它的一条最长进入链，链内状态不能重复；不同目标的链不能相交，因为一个 $W$ 态的固定未来只有一个首次后续读取目标。它们也不交共同前缀。故等待态至少为 $\ell+\sum L_q$，读取态至少为 $r$，不同固定输出还需至少 $M$ 个终止态，得到（76.1）。这没有删除前缀或缩短原等待。

把全部实际执行按完整动作和答案的读后历史展开。首读后恰有 $p$ 个根，各含 $P$ 个原标签；一个节点的孩子是下一读的非空答案历史，只有实际停止才成为叶。称此有限对象为完整森林，记其一元内部节点数为 $U$，并置

$$
N=p(P-1)=M-p.
\tag{76.2}
$$

每个节点带自己的实际读索引及原标签集。相同标签在不同索引的出现分开记录；单点被继续读取时，沿途每个一元节点仍计入 $U$。这里的 $N$ 专用于森林二元节点总数，后面的区间大小另用 $m$。

实际槽图的顶点是全部使用槽，包括活动槽和最终停止槽；一条边是实际出现过的不同有向槽对 $v\to w$，表示从 $v$ 经固定等待到下一读的槽 $w$。同一边被许多输入经过仍只算一条；不同历史边映到同一实际边时保留其重数。根槽为 $(q_0,a)$，$0\le a<p$。非根顶点有入边，根无入边。定义

$$
\begin{aligned}
J_v&=\deg^-(v)-1\quad(v\text{ 非根}),&J_v&=0\quad(v\text{ 为根}),\\
J&=\sum_vJ_v,&U_1&=\#\{v:\deg^+(v)=1\},\\
\Xi&=\sum_{e\text{ 实际槽边}}(\nu_e-1),&&
\end{aligned}
\tag{76.3}
$$

其中 $\nu_e$ 是映到 $e$ 的完整森林边数，不是输入访问次数。具有二元历史的当前槽称生产槽；全局出度二却没有二元历史的槽，沿用定义67.12称纯解析槽。令 $m_q$ 数二元历史的下一读取目标为原表 $q$ 的次数，并置

$$
s=\sum_{q\ne q_0}\max(m_q-1,0).
\tag{76.4}
$$

这里 $s$ 是目标共享重数，不是物理来源变量在某次执行中的取值。全部统计都由同一个 $K$ 决定。

### 76.2 完整森林到实际槽的计数

**引理 76.12（纯解析数与二元到达共享）。** 在定义76.11下，完整森林恰有 $N$ 个二元节点，恰有 $N$ 个生产槽，而且

$$
\#\{\text{纯解析槽}\}=J,\qquad
U=2J+U_1+\Xi,\qquad s\le J.
\tag{76.5}
$$

前两项是定理67.13的关联计数，在这里重建以钉定完整森林；最后一项不要求读取态数取最小值。

证明。首读后一个历史的精确物理支持在当前数字块内是整数区间。首读给完整块；固定平移后按下一真实数字切块，非空孩子仍是精确块内区间。对任意正等待，此归纳只用整数块长；不需要 $P$ 是幂。一个块的平移至多遇到两个相邻数字，所以每个节点至多二分。同槽不同历史的支持不交，否则重复一个非终止联合配置。该槽的固定平移在块内部只有至多一个切口；两个不交的精确区间不能都跨过它。因此一个槽至多承载一个二元历史。这是定理64.12的区间单射，保留共同前缀时证明相同。

正确输出使每个原标签恰有一个最终叶。故完整森林有 $M$ 叶和 $p$ 根，若二元数为 $B$，边数满足 $U+2B=M+U+B-p$，给 $B=N$。这些二元节点对应恰 $N$ 个不同生产槽。一个终止槽只输出一个原标签；它不能在该标签的更早索引被使用，否则在那里已经停止。因此终止槽恰有 $M$ 个，每个只有一个叶历史。

记全局出度二的活动槽数为 $U_2$。全部实际边既可按出度计数，也可按非根入度计数，于是

$$
U_1+2U_2=(U_1+U_2+M)-p+J,
\qquad U_2=N+J.
\tag{76.6}
$$

扣除 $N$ 个生产槽，纯解析槽恰为 $J$ 个。完整森林边数为 $U+2N$，实际边数为 $U_1+2N+2J$；每条实际边至少有一个历史原像，二者之差正是 $\Xi$，得到（76.5）的第二式。这里没有假定槽图无环；有限性属于初始化森林，入度等式属于实际图。

最后固定目标 $q\ne q_0$。每个二元历史来自不同生产槽，向 $q$ 的两个不同数字各给一条实际入边。因此这些历史共给 $2m_q$ 条不同的入边。若 $J_q=\sum_aJ_{(q,a)}$，$q$ 至多有 $p$ 个使用槽，其他进入边只增加入度，故

$$
J_q\ge 2m_q-p.
\tag{76.7}
$$

当 $m_q\ge2$ 且 $p\le3$ 时，$2m_q-p\ge m_q-1$；当 $m_q\le1$ 时，直接使用 $J_q\ge0$。对实际目标求和得到 $s\le J$。这里没有将两条来自不同生产槽的边因目的数字相同而合成一条，也没有用历史访问次数代替实际边。$\square$

### 76.3 低位投影与原目标的最大尾

**引理 76.13（保留原目标身份的共享扣减）。** 只在分析中将每条历史于首次成为单点时截断，并把每个保留等待取正代表

$$
d_H=1+((\delta_H-1)\bmod P)\in\{1,\ldots,P\}.
\tag{76.8}
$$

低位区间及每个分支的原标签子集保持；实际高位数字可能旋转。保留每个二元节点的原实际目标 $q_H=\tau(v_H)$，定义

$$
\begin{aligned}
b&=\sum_{H\text{ 二元}}d_H,\\
\gamma&=\sum_{q:m_q>0}
\left(\sum_{H:q_H=q}(d_H-1)
-\max_{H:q_H=q}(d_H-1)\right).
\end{aligned}
\tag{76.9}
$$

则所有 $N$ 个二元节点仍在，且

$$
0\le\gamma\le(P-2)s,\qquad E\ge b-N-\gamma.
\tag{76.10}
$$

证明。单点以后不能再二分，所以截断不删二元节点。把等待写成 $\delta_H=d_H+Pt_H$、$t_H\ge0$，取掉的 $Pt_H$ 只改变高位名称，不改变该步的低位分割。逐历史进行这种记账，仍给同样的精确低位区间及标签子集，不需要在原共享表上能执行此替换。

二元节点不能有 $d_H=P$，所以 $1\le d_H\le P-1$。同一原目标上的 $m_q$ 个数 $d_H-1$ 均在 $[0,P-2]$，去掉其中一个最大项，其余和至多 $(P-2)(m_q-1)$。又原表 $L_q-1$ 至少为这个最大项，因为 $L_q\ge\delta_H\ge d_H$。对原目标各收一次，并将未承载二元节点的目标费用保持为非负，得到（76.10）。额外的一元入口、单点入口或实际周期提升只会提高原最大尾或另加限制。$\square$

投影不宣称保持完整相位，也不生成一个共享控制器。原输出标签始终只是同一输入的身份；本引理没有旋转它们或提供表外解码。

### 76.4 一元擦除的望远镜式及其相关扣减

**引理 76.14（从后向前的分析擦除）。** 在引理76.13的截断低位森林中，依后代先于祖先的顺序擦除全部一元节点。记所得纯二元森林的正代表等待总和为 $b_0$。对一个保留的一元节点，设原投影低位区间为 $[l_H,u_H)$、等待为 $d_H$，置

$$
\varepsilon_H=\left\lfloor\frac{l_H+d_H}{P}\right\rfloor\in\{0,1\}.
\tag{76.11}
$$

一元性保证区间内全部点具有同一商。所得纯二元树的深度不超过原来首读后的 $h-1$，并有准确等式及相关上界

$$
g:=b_0-b
=\sum_{H\text{ 保留一元}}(d_H-P\varepsilon_H)
\le(P-2)(U-J).
\tag{76.12}
$$

证明。首次单点截断后，每个保留内部节点至少含两个低位；它的子树最终必须产生二元分割。处理一个一元节点时，其后代的一元节点已擦除，所以唯一孩子的下一保留读是二元分割。令它的等待为 $a$，孩子入口区间为

$$
[l+d-P\varepsilon,u+d-P\varepsilon).
$$

这次二分有内部整数切口 $c'$，$a=P-c'$；把切口送回父区间，得 $c=c'-d+P\varepsilon$，且 $l<c<u$。从父区间直接作相同二分的正等待恰为

$$
P-c=d+a-P\varepsilon\in\{1,\ldots,P-1\}.
\tag{76.13}
$$

因此擦除当前一元节点，把孩子的二元等待 $a$ 改为（76.13），二元等待和准确增加 $d-P\varepsilon$。分割后的低位区间与标签子集相同，全部更深的二元等待无需改变。这个切口推导也证明（76.13）是 $d+a$ 的正模 $P$ 代表，而非未经检查的取模等式。

祖先尚未擦除，所以当前节点的 $l,u,d,\varepsilon$ 仍是原投影的值；已处理的后代只决定 $a$。归纳处理嵌套一元链，逐项相加便给（76.12）的等式。若 $d=P$，必有 $\varepsilon=1$，局部增量为零；整块移位、一元区间越过低位接缝及多个连续一元步均由同一式覆盖。擦除减少读的层数，留下的每次分割仍二元，叶仍对应原来的 $P$ 个低位标签。首次单点以后的全部一元节点不参与 $g$，但继续属于完整计数 $U$。

接着把擦除收益与原槽图关联。保留一元节点若不回绕，$u+d\le P$，且 $u\ge2$，所以其增量 $d\le P-2$；若回绕，其增量 $d-P\le0$。单点截掉的节点按零增量记，也至多为 $P-2$。不能给所有 $U$ 项都默认领取 $P-2$：每个纯解析槽都强制有一项非正见证。

具体地，固定一个纯解析槽 $(q,a_0)$，写它的同一字面等待为 $d+Pt$。该槽的全部完整历史各自一元，却合起来使用两个不同下一数字。在这一步选见证时，对尚未截断的单点历史也按（76.11）的相同公式定义 $\varepsilon_H$。某个完整历史的下一数字为

$$
[a_0+t+\varepsilon_H]_p.
\tag{76.14}
$$

若 $d=P$，全部 $\varepsilon_H=1$，不可能有两个下一数字。故 $d<P$；因 $p\ge2$，两个下一数字正好要求既有 $\varepsilon=0$ 的历史，又有 $\varepsilon=1$ 的历史。从该槽选一个回绕历史。若其当前标签集非单点，它保留到投影中，并按已证望远镜式贡献 $d-P<0$；若为单点，它在分析中被截掉，贡献零，但仍计入 $U$。不同纯解析槽选择的历史必不同，因为一个完整历史只有一个当前实际槽。

引理76.12给纯解析槽恰有 $J$ 个，于是已在同一完整森林中注入 $J$ 个增量至多零的不同一元节点。其余至多 $U-J$ 项各不超过 $P-2$，得到所述上界。这一注入也适用于某标签的重复读取出现和实际图中的环；选择单位是完整历史，不是标签或展开后臆定的新状态。$\square$

**定理 76.15（单分支、入度剩余与实际尾的联合界）。** 令 $F_j(P)$ 为从完整低位区间 $[0,P)$ 出发、在至多 $j$ 次进一步读取内区别全部 $P$ 点的纯二元阈值树的最小正模 $P$ 等待总和，单点叶不继续。定义76.11中每张正确原表都满足

$$
\begin{aligned}
E&\ge pF_{h-1}(P)-N-(P-2)(U-J+s),\\
E&\ge pF_{h-1}(P)-N-(P-2)U.
\end{aligned}
\tag{76.15}
$$

证明。前一引理实际构造了 $p$ 棵允许深度内的分析二元树，因此此处 $F_{h-1}(P)$ 有限，且 $b_0\ge pF_{h-1}(P)$。所有量均属于同一个原表及其指定投影，故可依次写

$$
\begin{aligned}
E&\ge b-N-\gamma=b_0-g-N-\gamma\\
 &\ge pF_{h-1}(P)-N-(P-2)(U-J)-(P-2)s.
\end{aligned}
\tag{76.16}
$$

最后由 $s\le J$ 得第二式。相关项 $J$ 一方面限制可能损失的不同二元目标数，另一方面给出不能赚取最大擦除收益的 $J$ 个历史；这两次用途是同一关联数的抵消，不是两份可另行相加的状态资源。$P=2$ 时 $P-2=0$，全部保留非回绕一元增量不可能为正，证明仍成立。$\square$

该结论无需无七／无八槽条件，也不限制不同首读纤维后面是否共享。$p\ge4$ 时，（76.7）不再普遍给 $s\le J$，这里不作推广。分析擦除没有证明物理删读的容量单调性；第74.16节的忠实擦除障碍与此相容。

### 76.5 纯二元阈值树的后段／前段递推

**命题 76.16（所有初始二分的完整递推）。** 固定整数 $P>1$。对 $1\le m\le P$、$j\ge0$，令 $F_j(m)$ 为入口后段 $[P-m,P)$ 的最小纯二元正代表等待和，$A_j(m)$ 为入口前段 $[0,m)$ 的相同量。树至多使用 $j$ 次进一步读取，每个非叶必须真正二分；两个孩子继续按自己的低位区间解释。全块的 $F_j(P)$ 与定理76.15相同。

约定单点 $F_j(1)=A_j(1)=0$；若 $m\ge2$ 且 $j=0$ 或 $m>2^j$，值为 $+\infty$。空区间不作为节点，空候选集的最小值为 $+\infty$，含不可行孩子的候选不可行。对 $m\ge2,j\ge1$，有

$$
\begin{aligned}
A_j(m)&=F_j(m)+P-m,\\
F_j(m)&=\min_{1\le k<m}
\bigl(m-k+F_{j-1}(k)+A_{j-1}(m-k)\bigr).
\end{aligned}
\tag{76.17}
$$

第一式也按 $+\infty+c=+\infty$ 解释不可行情况，但不适用于 $m=1$。

证明。在后段 $[P-m,P)$，若第一次二分的下侧含 $k$ 点，切口唯一是 $P-m+k$，正等待唯一为 $m-k$。两个孩子分别是后段 $[P-k,P)$ 和前段 $[0,m-k)$。这是所有 $1\le k<m$ 的穷尽分类，没有一元根。两孩子各剩 $j-1$ 次读取，因此每棵允许树的费用不小于相应候选。反向，把任意两个可行孩子接到这个实际低位切口，得到一棵允许的分析二元树，费用恰为候选和。对有限深度归纳即得第二式及其最小值的达到；没有可行候选时恰为不可行。

对前段作同一个按大小 $k$ 的二分，第一次等待变为 $P-k$，两孩子仍是上述后段和前段。因此它与后段的对应费用恰差 $P-m$，后续完全相同。对全部候选取最小值得第一式。单点没有根等待，故必须使用零值，不能给它错误地增加 $P-1$。二元深度的叶数界说明 $m>2^j$ 不可行；所有区间的可行二分与逆向接合已经由递推覆盖。$\square$

取 $P=9$，下表在每行列出 $m=1,\ldots,\min(8,2^j)$ 的全部后段值；同一行其余 $m>2^j$ 不可行。

| 76.后段深度 | $F_j(m)$ 的有序值 |
| --- | --- |
| 76.后段j0 | $(0)$ |
| 76.后段j1 | $(0,1)$ |
| 76.后段j2 | $(0,1,2,11)$ |
| 76.后段j3 | $(0,1,2,3,12,13,22,31)$ |

将这些值及正确的前段单点边界代入 $m=9,j=4$，按 $k=1,\ldots,8$ 得全部根费用

$$
(40,32,24,24,24,24,32,32),\qquad F_4(9)=24.
\tag{76.18}
$$

此计算穷尽的是允许深度内的纯二元阈值树，不是驻定控制器。它不包含目标共享、固定数字行闭合或全部收费状态的实现判据。

### 76.6 三进九点的完整一元阈值

**推论 76.17（至多两个一元节点的排除及三个节点的剩余条件）。** 固定 $p=3,P=9,h=5$，保留定义76.11的完整原表量词。写 $r=25+e$，则 $e\ge0$，且

$$
\begin{aligned}
E&\ge48-7U+7(J-s),\\
C&\ge124+2e+\ell-7U+7(J-s).
\end{aligned}
\tag{76.19}
$$

特别

$$
U\le2\ \Longrightarrow\ C\ge110+2e+\ell.
\tag{76.20}
$$

若 $C\le104$ 且 $U=3$，必要条件为

$$
e=0,\qquad \ell\in\{0,1\},\qquad J=s\in\{0,1\}.
\tag{76.21}
$$

证明。先核对所用读取下界在原表上的范围。令 $Z$ 为全部 $3r$ 个槽中的未用槽数，由（76.6）及顶点计数，消去 $U_2$ 得

$$
3r=2M-3+J+U_1+Z.
\tag{76.22}
$$

对非首读目标 $q$，若其未用槽数、入度剩余 $J_q$、指向它的全局一出边活动槽数三者都是零，那么它的三个数字将被二出边前驱的相邻数字对不交地恰覆盖一次，奇数个点不可能这样配对。三量之和至少一；每份量都只归于一个目标，首读无入边且无未用槽，因此 $J+U_1+Z\ge r-1$。代入（76.22），得 $r\ge25$。这重建定理56.3的原始关联证明；共同前缀未被删除，也未使用无七、无八或无环假设。

现在（76.1）给 $C\ge76+2e+\ell+E$。在定理76.15代入 $N=24$ 和 $F_4(9)=24$，即得（76.19）。$J-s\ge0$ 给（76.20）。若 $U=3,C\le104$，则

$$
2e+\ell+7(J-s)\le1.
\tag{76.23}
$$

各量为非负整数，所以 $e=0,\ell\le1,J=s$；再由完整恒等式 $3=2J+U_1+\Xi$ 得 $J\le1$，从而（76.21）。$\square$

上述必要条件不承诺任何至多一百零四态表存在。无七／无八而第二读取态不同的候选和一七候选都受此约束；这里没有把其中一支假设为已消失。$U=3$ 的所列剩余情形及全部 $U\ge4$ 情形，尚未由本界排除。

### 76.7 一百零五态表的完整一元账与两单位差

**命题 76.18（既有上界表的同表核对）。** 使用本卷第74.22节逐行列出的完整整数控制器，亦即定义62.14的一百零五态表。精确来源为[固定版本 f310b1dd31396b2c5607162b755f6f944df43352 的第74.22节](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/f310b1dd31396b2c5607162b755f6f944df43352/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md)。初态为读态零，读态为 $0,\ldots,24$，各数字后继恰取该处二十五行，不作默认行替换。对 $q=1,\ldots,24$，尾长为

$$
\begin{aligned}
(L_1,\ldots,L_8)&=(3,3,1,1,7,1,1,1),\\
(L_9,\ldots,L_{16})&=(4,2,1,1,2,6,1,1),\\
(L_{17},\ldots,L_{24})&=(4,2,1,1,1,6,1,1).
\end{aligned}
\tag{76.24}
$$

置 $a_q=25+\sum_{1\le t<q}L_t$。每个 $a_q+j-1$、$1\le j\le L_q$ 恰执行一个 $W$，$j=1$ 时后继为 $q$，否则为前一个整数。它们恰为 $25,\ldots,77$。每个 $78+x$、$0\le x\le26$ 输出原 $x$，形式后继为自身。这个精确读表引用和参数无歧义的单位规则规定全部一百零五个名义态及总后继。

该表全部态可达，二十七输入均正确且至多五读。其完整森林及原槽图满足

$$
\begin{gathered}
25R+53W+27H=105,\qquad e=\ell=0,\qquad E=29,\\
U=3,\quad J=s=0,\quad U_1=3,\quad\Xi=0,\\
b=53,\quad b_0=72,\quad g=19,\quad\gamma=0.
\end{gathered}
\tag{76.25}
$$

证明与有限账目。按上面的单位规则逐输入执行时，在累计 $A$ 个等待后，来源为 $[x+A]_{27}$。每个 $W$ 恰使两边加一，每个 $R$ 按该相位的实际数字选择第74.22节的后继。遍历 $x=0,\ldots,26$ 得最终控制态分别为 $78+x$，三／四／五读的输入数为二／七／十八。所有实际读间等待为正，末读直接停止；每个读取态、每个最长尾的全部位置及全部固定终止态都在这些路径上出现。总后继、逐单位相位、非终止配置唯一及完整槽质量亦逐项成立。这里的质量使用事件自身索引 $2^{i-5}$。

按完整读数历史分组，全部一元节点恰为下表。行名末尾的数字串从首读起给出整个答案历史，槽 $(q,a)$ 是当前读后槽；所列等待是它到下一读的原字面等待。

| 76.一元历史 | 当前槽／索引 | 原标签 | 当前低位区间 | 等待／回绕量／擦除增量 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 76.历史01 | $(1,1),i=2$ | $\{6,7,8\}$ | $[0,3)$ | $6,0,6$ |
| 76.历史112 | $(10,2),i=3$ | $\{12,13\}$ | $[0,2)$ | $6,0,6$ |
| 76.历史220 | $(18,0),i=3$ | $\{21,22\}$ | $[0,2)$ | $7,0,7$ |

没有单点继续隐藏在这三项之外。完整槽图有二十四个不同生产槽；它们的二元到达各有不同目标，非根使用槽各只有一条实际入边，没有纯解析槽或历史边额外重数。这给 $J=s=\Xi=0,U_1=3$，并与（76.5）一致。按首读数字分别计算的准确分析费用为

| 76.纤维账 | 原二元代表和 $b$ | 擦除增量 $g$ | 擦除后二元和 $b_0$ |
| --- | ---: | ---: | ---: |
| 76.纤维零 | 18 | 6 | 24 |
| 76.纤维一 | 18 | 6 | 24 |
| 76.纤维二 | 17 | 7 | 24 |

所有二元目标各收一次，故 $\gamma=0$；尾长和五十三减去二十四个非首读目标的一单位，给 $E=29$。将账目代入准确的表内比较，得到

$$
E=b_0-N-g-\gamma=72-24-19=29.
\tag{76.26}
$$

因此一般 $U$ 界在这张表上的松弛来自 $g\le7U=21$：两个六单位增量各比允许的七少一，总共两单位。只使用 $U=3,J=s=0$ 时，（76.19）给 $E\ge27,C\ge103$；它没有提供所缺的两单位，也没有证明普遍的一百零五下界。$\square$

作为不同共享形态的核对，第75.18节的 $K_0$ 按其全部字面读行和单位尾展开，给 $25R+80W+27H=132$。其完整统计为

$$
U=4,\quad J=s=2,\quad U_1=\Xi=0,\qquad
(b,b_0,g,\gamma,E)=(77,80,3,2,56).
\tag{76.27}
$$

它的两个纯解析槽是 $(Q,1)$ 和 $(U,1)$，这里 $U$ 在槽名中沿用第75节的读取态名，区别于一元节点数。前者的两个完整历史在索引二分别含标签 $\{6,7,8\}$、$\{9,10,11\}$，低位为 $[0,3)$、$[6,9)$，同等六步，擦除增量分别为六、负三。后者在索引四的两个历史分别含单点标签二、六，低位为零、八，同等一步；这两项在首次单点截断中都消失。可为两个纯解析槽分别选择回绕的 $\{9,10,11\}$ 历史和标签六历史：一个保留且贡献负三，一个被截断且贡献零，正好显示（76.12）的两种见证。若先截掉单点再定义 $U$，就会错误地用二代替四，破坏 $U=2J+U_1+\Xi$。这张表只核对计数与共享的关系，未声称其容量最小。

### 76.8 核验域、来源与尚缺的恢复方向

本节基础定义和普通证明统一以[固定公开版本 f310b1dd31396b2c5607162b755f6f944df43352 的本卷](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/f310b1dd31396b2c5607162b755f6f944df43352/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md)为来源。55.1、56.1及66.11规定物理端口和全状态收费；55.3、64.12给二元几何和精确区间单射；56.3、66.12给实际读取下界及保留前缀的最长尾注入；67.12—67.14给完整森林与实际槽的既有关联量。本文重证所需计数，并把 $s\le J$ 用于 $p\le3$ 的任意读取剩余；擦除的相关扣减和后段递推均另给普通证明。57.2的完整槽质量用于两张表的附加一致性核对，没有引入新的未验证容量前提。

独立有限运算的域如下。对每个 $P=2,\ldots,32$，遍历块内所有至少两点的整数区间及 $d=1,\ldots,P$，共有八万七千二百九十六个一元记录，其中回绕四万六千三百七十六项、不回绕四万零九百二十项。对每个记录再遍历孩子区间的全部内部二分切口，共六十万二千八百八十八项，逐项验证（76.13）及局部增量，包括 $P=2,d=P$。

对 $P=2,3,4$ 的全部非空低位区间，分别为三、六、十个区间，枚举至多三次进一步读取的全部树；每步允许一至 $P$ 的等待，非单点必须最终辨认，单点可停止也可继续。所得树数分别为八十九、一千零六、五千五百一十二，其中含嵌套非单点一元步者分别为一、八、二十七，含被截去单点继续者分别为八十四、九百八十一、五千四百二十四。对每棵先从完整树记 $U$，再作首次单点截断与从后向前擦除，核对准确差 $b_0-b$、低位二分、叶及深度。另对 $P=9$、全块入口、至多四次进一步读取且首次单点截断的全部树，得到八千九百一十棵；一元数零、一、二、三的数量为九十四、一千零七十二、三千六百四十八、四千零九十六。逐棵验证同一擦除等式及 $b_0\ge24$，没有复用其作为更强历史目录的证书。

后段／前段递推与直接逐区间、逐二分等待的递归另作比较：$P=2,\ldots,32$、$j=0,\ldots,5$、$1\le m\le P$、两种入口，共六千三百二十四个值，包括不可行值；结果一致。作为（76.7）的有限算术核对，$p=2,3$、二元到达数一至八的不同相邻数字对多重集共一百七十二项，逐项满足所需入度剩余界。二进情形同一无序数字对只作为一种支持类型；不同来源的边身份仍按到达重数保留。

两张已发表完整表的核对各覆盖二十七个初始化输入，总计五十四条执行、九百二十五次非终止单位状态访问；这里 $R$ 访问也计一次，终止态另核对其标签。检查了所有名义态的总后继、全部单位等待位置、原输出、实际相位、正读间等待、五读上限、可达性、非终止联合配置唯一及完整槽质量。另直接重建全历史森林和不同实际槽边，计算生产槽、纯解析槽、$U,J,U_1,\Xi,s$ 及擦除账。$K_0$ 是实际后续共享的检验，并不是对所有控制环的有限枚举；任意允许环的作用域由普通图计数及有限展开证明承担。更高的字面等待由 $\delta=d+Pt$ 的原目标支配和（76.14）处理，不能从上述有限等待域外推成控制器普查。

定理58.8与60.9已经给固定完整原子行为的后继闭合接口。低位投影只留下分割和费用比较；要反向恢复一张驻定总表，仍须同时满足逐数字读取后继、每个单位等待后继、固定原标签及共同初始化。本文未调用外部最小化定理来替代这些条件，也未引入新的闭覆盖模型。

本节连接的是同一来源上的四种既有数据：精确低位次序决定切口，读取截止限制树深，数字边界与实际入度限制共享，原目标的最长等待链给出记忆状态收费。完整历史与驻定状态图是不同表示；（76.12）说明它们之间的识别怎样约束分析擦除可获得的费用变化。它不是把控制图重新命名为物理时空，也没有恢复全部共同未来。

这里重新核对了一百零五上界表及 $K_0$，没有重新认证旧九十六下端点、第70节完整团目录或更强 $B\ge53,\Gamma>0$ 证书；若另将其作为承重依赖，其未核验部分仍为 `ASSUMED-UNVERIFIED`，它们不是本节联合界的前提。全文是普通理论及明确有限域的计算，不主张历史原创、Lean/kernel 验证或全局精确容量。

剩余问题仍是在同一任意三进九点五读原表上证明 $E+2e+\ell\ge29$，或给出至多一百零四态、全部单位后继和初始化执行正确的完整表。当前 $U=3$ 只被压到（76.21），$U\ge4$ 仍需另外的同表不等式；一般参数的精确 $C_B(p,k)$、原 general-$B$ 取得目标和空间、时间、边界、记忆的完整互恢复继续开放。

## 76.99 追加锚

## 77. 原表目标补偿、无汇流容量界与逐层等待费用

历史的二元分支共用读取目标时，少付的目标数不能脱离完整槽图计算。本节先证明：同一原表必有相应数量的无二元到达目标，可以把它们的字面等待尾与一元擦除收益共同核算。再用带权区间递推证明，三进九点五读模型中，实际槽入度无剩余的全部控制器至少需要一百零五态；此条件类内的下界由既有完整表达到。最后保留每个字面等待层，给出适用于有汇流情形的另一项必要界。三项界始终收费原表状态，所得条件最小值不等同于全策略精确容量。

### 77.1 原表、完整历史与分析投影

**定义 77.11（同表统计及其费用）。** 固定 $p\in\{2,3\}$、整数 $P>1$、有限整数 $h\ge1$，置 $M=pP$。取定义76.11的一张正确有限驻定确定总表 $K$。所有原输入 $x\in\mathbb Z/M\mathbb Z$ 从同一来源无关控制态及物理来源 $s=x$ 开始。$W$ 恰加一；$R$ 不改变来源，只读 $\lfloor[s]_M/P\rfloor$；停止态单独输出固定原标签。实际动作词为 $W^\ell R(W^+R)^*$，每输入有限终止、至多 $h$ 读，末读后立即停止。容量 $C$ 收费所有名义态，包括未达态、控制前缀、单位等待、内部计数及终止态。没有表外时钟、来源相关准备、复位、复制、逆步、输出重标或终止侧信道。

保留额外读取态、单点继续、历史一元读取、所有正整数等待提升、共享以及在初始化输入上终止的控制环。$q_0$ 为共同首读态，$r$ 数实际使用的读取态。实际活动槽 $v=(q,a)$ 是被使用且继续的数字行，其固定下一读取目标及字面等待分别为 $\tau(v)$、$\delta(v)>0$。定义

$$
L_q=\max_{\tau(v)=q}\delta(v),\qquad
E=\sum_{q\ne q_0}(L_q-1),\qquad
C\ge M+2r-1+\ell+E.
\tag{77.1}
$$

这里及以下的 $q$ 只遍历实际目标。引理66.12的注入直接作用于原表：若非终止联合配置 $(q,s)$ 重现，同一输入将循环，不同输入将得到相同固定输出。首读及每个共同前缀位置随全部 $x$ 覆盖所有物理相位，故后来不可再达。每个非首读读取态有实际进入槽；一条最长进入链含 $L_q$ 个不同单位等待态。不同目标的这些链不交，因为一个等待态的固定未来只有一个首次后续读取目标；它们也不交前缀。再计 $r$ 个读态及至少 $M$ 个固定标签态，得到（77.1）。本节不删前缀，也不旋转标签。

完整森林按截至当前答案的全部动作与读数展开，首读后有 $p$ 个根，每根含 $P$ 个原标签；只有实际停止才成为叶。记一元内部节点总数为 $U$，包括首次单点以后的每次继续。一个完整历史、一个实际数字槽和一个读取态是三个不同对象；不同历史可以映到同一槽，同一读态又有 $p$ 个槽。实际槽图只数出现过的不同有向槽对。根槽无入边，其他使用槽有入边；定义

$$
J_v=\deg^-(v)-1\quad(v\text{ 非根}),\qquad
J_v=0\quad(v\text{ 根}),\qquad
J=\sum_vJ_v,\quad
\Xi=\sum_e(\nu_e-1),
\tag{77.2}
$$

其中 $\nu_e$ 数映到实际边 $e$ 的森林边，不数输入访问次数。$U_1$ 数全局出度一的活动槽。承载二元历史的槽称生产槽；全局出度二、却没有二元历史的槽称纯解析槽。令 $m_q$ 数以 $q$ 为下一读取目标的二元历史，置

$$
N=p(P-1),\qquad
s=\sum_{q\ne q_0}\max(m_q-1,0),\qquad
\mathcal B=\{q:m_q>0\}.
\tag{77.3}
$$

$s$ 在这些统计中表示共享重数。由76.12有

$$
\#\{\text{生产槽}\}=N,\quad
\#\{\text{纯解析槽}\}=J,\quad
U=2J+U_1+\Xi,\quad s\le J,\quad |\mathcal B|=N-s.
\tag{77.4}
$$

为固定这里的前提，说明这些等式的计数。每个历史的当前物理支持是在其数字块内的精确整数区间：首读给整块，固定平移和真实数字条件化保持此性质。同槽不同历史的区间不交，否则重复联合配置；同一个平移至多有一个块内切口，所以同槽至多一个二元历史。完整森林有 $M$ 个固定标签叶、$p$ 个根，数边给二元数 $M-p=N$，从而有恰 $N$ 个生产槽。终止槽恰有 $M$ 个。若全局二出边槽数为 $U_2$，按入出度数实际边有 $U_1+2U_2=U_1+U_2+M-p+J$，故 $U_2=N+J$；与森林边数 $U+2N$ 比较给 $\Xi=U-2J-U_1$。一个目标的 $m_q$ 个二元历史来自不同生产槽，贡献 $2m_q$ 条不同实际入边，故 $J_q:=\sum_aJ_{(q,a)}\ge2m_q-p$。当 $m_q\ge2,p\le3$ 时右端至少 $m_q-1$，其余目标用 $J_q\ge0$，即得 $s\le J$。这些计数不要求实际图无环。

对每个完整内部历史 $H$，以其当前实际槽 $v_H$ 定义 $\delta_H=\delta(v_H)$、$q_H=\tau(v_H)$ 及正代表 $d_H=1+((\delta_H-1)\bmod P)$。只为分析，把历史在首次成为单点时截断，并将保留等待用该代表记账。低位区间及原标签分割保持，绝对数字可能转动；这个投影不提供可执行的删读或共享表。保留了全部 $N$ 个二元节点，令

$$
\begin{aligned}
b&=\sum_{H\text{ 二元}}d_H,\\
\gamma&=\sum_{q\in\mathcal B}
\left(\sum_{H\text{ 二元}:q_H=q}(d_H-1)-\max_{H\text{ 二元}:q_H=q}(d_H-1)\right),\\
g&=b_0-b=\sum_{H\text{ 完整一元}}a_H.
\end{aligned}
\tag{77.5}
$$

这里 $q_H$ 保留原实际目标；$b_0$ 是再从后向前擦除保留一元节点后所得纯二元森林的正代表等待和。对每个完整一元历史，以其当前低位区间 $[l_H,u_H)$ 定义 $\varepsilon_H=\lfloor(l_H+d_H)/P\rfloor$，单点也使用此定义。非单点置 $a_H=d_H-P\varepsilon_H$；单点置 $a_H=0$，但仍保留它在 $U$ 中。每个一元区间的商一致，$\varepsilon_H\in\{0,1\}$。76.13—76.14给

$$
0\le\gamma\le(P-2)s,\qquad
b_0\ge pF_{h-1}(P),\qquad
g\le(P-2)(U-J).
\tag{77.6}
$$

$F_j(P)$ 是全低位块、至多 $j$ 次进一步读取、单点停止的纯二元阈值树最小正代表等待和。二元代表在 $1,\ldots,P-1$，所以同目标去掉一个最大超额后，余项至多 $(P-2)(m_q-1)$，证明了关于 $\gamma$ 的界。擦除等式也有直接切口解释：若一元孩子后面的首个保留二分等待为 $a$，它的切口拉回父区间后，直接等待为 $d_H+a-P\varepsilon_H\in\{1,\ldots,P-1\}$；相对原二元项 $a$ 的变化恰为 $a_H$。从后向前求和给（77.5），且二元深度不增加。非回绕非单点满足 $u_H+d_H\le P$，故 $a_H=d_H\le P-2$；回绕项非正，单点项为零。每个纯解析槽有回绕历史可作一项非正见证，给（77.6）的最后一式。下面将同时保留它的另一历史及原目标尾。

在 $p=3,P=9,h=5$ 时，保留前缀的奇数槽关联计数仍给 $r=25+e,e\ge0$。具体地，若未用槽数为 $Z$，则 $3r=2M-3+J+U_1+Z$；每个非首读目标的未用槽、入度剩余和进入的一出边槽不能全为零，否则三个数字须由不交的二点支持覆盖。求和得 $J+U_1+Z\ge r-1$，所以 $r\ge25$。76.16的纯二元递推给 $F_4(9)=24$，于是

$$
C\ge76+2e+\ell+E,\qquad
E\ge48-7(U-J+s).
\tag{77.7}
$$

### 77.2 无二元到达目标与一元收益的共同补偿

**引理 77.12（原表中可另外收费的目标）。** 在定义77.11的一般参数下，至少有 $s$ 个不同非首读目标接收纯解析槽的继续，却不接收任何二元历史到达。

证明。令 $\mathcal G$ 为全部全局二出边活动槽的实际下一读取目标集，对 $q\in\mathcal G$ 令 $t_q$ 数这样的不同前驱槽。由（77.4），这些槽共 $N+J$ 个。不同前驱槽给不同有向边，故在 $q$ 有 $2t_q$ 条不同实际进入边，落在至多 $p$ 个使用数字槽内。因此

$$
J_q\ge\max(0,2t_q-p)\ge t_q-1\quad(p\le3),\qquad
J\ge N+J-|\mathcal G|.
\tag{77.8}
$$

所以 $|\mathcal G|\ge N$。每个二元历史的前驱是二出边生产槽，故 $\mathcal B\subseteq\mathcal G$；由 $|\mathcal B|=N-s$ 得 $|\mathcal G\setminus\mathcal B|\ge s$。在该差集中选 $s$ 个不同原目标，每目标选一个二出边前驱。它不能是生产槽，否则该目标在 $\mathcal B$ 中；所以它是纯解析槽。不同目标选到的前驱也不同，因为一个实际槽只有一个固定下一读取目标。选择来自已有原表，并未假设任意抽象匹配都可实现。$\square$

**定理 77.13（目标补偿的参数界）。** 对定义77.11的每张原表，

$$
E\ge pF_{h-1}(P)-N-(P-2)(U-J)-s.
\tag{77.9}
$$

当 $P\ge3$ 时，它比76.15中保留 $J,s$ 的第一项下界提高 $(P-3)s$；$P=2$ 时仍同时保留76.15的更强界，不称（77.9）为无条件改进。

证明。用引理77.12选择目标 $q_1,\ldots,q_s$ 及纯解析前驱 $v_1,\ldots,v_s$。写其同一字面等待为 $\delta_j=d_j+Pz_j$。纯解析槽全部完整历史各自一元，而合起来使用两个下一数字。其当前数字固定为 $a$，某历史的下一数字为 $[a+z_j+\varepsilon_H]_p$。若 $d_j=P$，所有历史均有 $\varepsilon_H=1$，不能使用两个数字；所以 $1\le d_j<P$，并且必须各有 $\varepsilon_H=0,1$ 的历史。

从每个选定槽选一个非回绕历史和一个回绕历史。前者的擦除增量至多 $d_j$，后者至多零；单点截断项仍为零。每个其余 $J-s$ 个纯解析槽只选一个回绕历史，增量至多零。不同实际槽的历史节点不同，同槽的一对又有不同 $\varepsilon_H$，故这 $J+s$ 个节点互异。其余 $U-J-s$ 项各至多 $P-2$；由 $U\ge2J,s\le J$，剩余数非负。因此

$$
g\le(P-2)(U-J-s)+\sum_{j=1}^s d_j.
\tag{77.10}
$$

另一方面，二元目标本身贡献至少 $b-N-\gamma$：对每个 $q\in\mathcal B$，原 $L_q-1$ 支配所有二元到达代表超额的最大值。选出的 $q_j$ 彼此不同且全在 $\mathcal B$ 外，其最长链已由（77.1）分离，可以另外且仅一次收费。故

$$
\begin{aligned}
E&\ge b-N-\gamma+\sum_{j=1}^s(L_{q_j}-1)\\
 &\ge b_0-g-N-\gamma+\sum_{j=1}^s(d_j-1)\\
 &\ge pF_{h-1}(P)-N-(P-2)(U-J-s)-\gamma-s\\
 &\ge pF_{h-1}(P)-N-(P-2)(U-J)-s.
\end{aligned}
\tag{77.11}
$$

第三行中同一批 $d_j$ 的收益与实际尾下界相消；第四行使用同表的 $\gamma\le(P-2)s$。没有把一个已收二元最大值的目标再收费，也没有给每个一元历史独立造一个收费态。全部正提升由 $L_{q_j}\ge\delta_j\ge d_j$ 保留。对旧下界相减即为 $(P-3)s$，包括 $P=2$ 的比较边界。$\square$

### 77.3 无入度剩余时的实际目标带权收费

**引理 77.14（$J=0$ 的唯一槽历史）。** 设 $p=3,J=0$。每个使用槽恰有一个完整历史，$\Xi=0$；$N$ 个二元历史有 $N$ 个不同实际目标。每个这样的目标最多接收一个一元历史，其他非首读目标最多接收三个一元历史。

证明。由首读及前缀的全相位覆盖，根槽没有实际进入边；其他使用槽的入度恰为一，且全部从根可达。若槽图有有向环，沿一个根到该环的路径取第一次入口，入口将同时有环内前驱和路径前驱，违反入度一。于是槽图无环，每个非根槽沿唯一前驱反追到唯一根，给唯一根路径。完整答案路径在共同控制初态及固定表下确定全部动作与等待，故同一槽也只有一个完整历史，每条实际边只有一个森林原像。

一个二元前驱向目标的两个不同数字各贡献一条边。不同前驱的数字支持若相交便产生入度剩余；而三数字内两份二点支持不可能不交。因此二元目标两两不同。其两个数字已被唯一二元前驱占用，至多剩一个数字容纳一元历史；无二元到达目标最多有三个这种数字。这里推出的是槽图的性质，不是对读取态图预设无环；一个读取态的不同数字槽仍可出现在不同位置。$\square$

**引理 77.15（代表加权量的同目标支配）。** 在引理77.14下，任取整数阈值 $T\ge3$。仅在首次单点截断后的分析森林中，令 $B_T$ 数代表 $d_H\ge T$ 的二元节点，$A_T$ 数代表 $d_H\ge T$ 的保留一元节点，定义

$$
\mathcal Q_T=2b-B_T+A_T.
\tag{77.12}
$$

则 $\mathcal Q_T\le2(E+N)$，不限制完整 $U$ 或额外读取态数。

证明。固定一个二元目标 $q$。它只有一个二元到达，记代表为 $d$；其达到阈值的保留一元到达数 $a$ 为零或一。赋给该目标的权为 $2d-\mathbf1_{d\ge T}+a$。若 $d\ge T$，该权至多 $2d\le2L_q$。若 $d<T,a=0$，结论同样直接。若 $d<T,a=1$，原一元字面等待迫使 $L_q\ge T\ge d+1$，所以 $2d+1\le2L_q$。这里支配所有代表的是同一个原 $L_q$。

无二元到达的目标只有权 $a\le3$。若 $a=0$，它至多 $2(L_q-1)$；若 $a>0$，原长一元到达迫使 $L_q\ge T\ge3$，仍有 $a\le3\le2(L_q-1)$。每个二元目标至多收 $2(L_q-1)+2$，其他目标至多收 $2(L_q-1)$。恰有 $N$ 个二元目标，对原目标各加一次即得所述式。截去的单点继续仍存在于原表，可以加长尾或占用槽；忽略它们在本权中的非负要求只会放松界。$\square$

### 77.4 带权区间递推及九点证书

**命题 77.16（包含全部实际投影的有限深度递推）。** 给定整数 $P>1,T\ge3$。令 $G(P,T,j;l,u)$ 为从非空整数低位区间 $[l,u)\subseteq[0,P)$ 出发、至多 $j$ 次进一步读取、首次单点即停止的低位树之最小权。每个一元节点的等待代表 $d$ 收 $\alpha_T(d)=\mathbf1_{d\ge T}$，每个二元节点收 $\beta_T(d)=2d-\mathbf1_{d\ge T}$。

单点在任何 $j\ge0$ 下的值为零；非单点在 $j=0$ 下不可行，记 $+\infty$。对 $j\ge1$ 及每个 $d\in\{1,\ldots,P\}$，把 $[l+d,u+d)$ 按整数商切成非空部分，再模 $P$ 送回 $[0,P)$，记所得一个或两个区间为 $\mathcal C_d(l,u)$。等价地，保留 $[l+d,\min(u+d,P))$ 中非空者，并保留 $[\max(l+d,P)-P,u+d-P)$ 中非空者。对非单点，

$$
G(P,T,j;l,u)=\min_{1\le d\le P}
\left[w_T(d,|\mathcal C_d|)+
\sum_{[a,b)\in\mathcal C_d(l,u)}G(P,T,j-1;a,b)\right],
\tag{77.13}
$$

其中 $w_T(d,1)=\alpha_T(d),w_T(d,2)=\beta_T(d)$，不可行孩子使候选不可行；全体候选不可行时值为 $+\infty$。

证明。任一字面正等待都有唯一正代表 $d$。从当前精确区间平移后，下一真实读数恰给上述一个或两个低位区间；去掉 $P$ 的整数倍只改变绝对数字名称，不改变低位及标签分割。一元候选用掉一次读取而保持一个孩子，二元候选用掉一次读取并产生两个孩子，权分别为定义的两种权。因此每棵允许树都给出递推的一项及深度至多 $j-1$ 的孩子，归纳给下界。反向，将任意可行孩子树接到所列区间切分便得到一棵低位树，权恰为该候选；有限选项保证可行最小值达到。归纳证明递推准确。

反向只构造低位树，不恢复绝对物理相位、固定数字行或驻定后继闭合，故不是控制器编译器。下界需要的是正向：同一原表的每个首次单点截断历史都在该递推中，原目标身份仍供引理77.15使用。$\square$

**定理 77.17（$J=0$ 的参数容量界）。** 对 $p=3$、任意整数 $P>1$、有限读取上限 $h$、整数 $T\ge3$，每张满足定义77.11且 $J=0$ 的正确表都有

$$
E\ge\left\lceil\frac{3G(P,T,h-1;0,P)}2\right\rceil-N.
\tag{77.14}
$$

证明。即使有共同前缀，首读每个数字纤维的当前低位仍恰为 $[0,P)$；原标签只是相同来源的标识，没有重新解码。三个实际投影各深至多 $h-1$，故各自权至少为递推值，合起来 $\mathcal Q_T\ge3G(P,T,h-1;0,P)$。实际正确表的存在也保证该值有限。与引理77.15的 $\mathcal Q_T\le2(E+N)$ 合并，利用 $E$ 为整数即得（77.14）。$\square$

取 $P=9,T=7$，递推的全部深度三前段、后段值如下；列中 $m=1,\ldots,8$，单点列单独使用零边界，不能给它额外等待。

| 77.深度三区间 | $m=1$ | $m=2$ | $m=3$ | $m=4$ | $m=5$ | $m=6$ | $m=7$ | $m=8$ |
| --- | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: |
| 77.权前段 $[0,m)$ | 0 | 2 | 4 | 16 | 19 | 31 | 46 | 61 |
| 77.权后段 $[9-m,9)$ | 0 | 2 | 4 | 6 | 11 | 25 | 42 | 59 |

根 $[0,9)$ 等 $d\in\{1,\ldots,8\}$ 后，下侧孩子是大小 $9-d$ 的后段，上侧孩子是大小 $d$ 的前段。因此全部根候选可直接从前表复算：

| 77.根代表等待 | 二元根权 $\beta_7(d)$ | 后段孩子权 | 前段孩子权 | 合计 |
| --- | ---: | ---: | ---: | ---: |
| 77.根d1 | 2 | 59 | 0 | 61 |
| 77.根d2 | 4 | 42 | 2 | 48 |
| 77.根d3 | 6 | 25 | 4 | 35 |
| 77.根d4 | 8 | 11 | 16 | 35 |
| 77.根d5 | 10 | 6 | 19 | 35 |
| 77.根d6 | 12 | 4 | 31 | 47 |
| 77.根d7 | 13 | 2 | 46 | 61 |
| 77.根d8 | 15 | 0 | 61 | 76 |

根等待九只作一元整块移位，留下三读至多区别八标签，故不可行。这给准确值

$$
G(9,7,4;0,9)=35.
\tag{77.15}
$$

该证书使用（77.13）的全部低位区间，而不是只允许孩子永远为前段或后段：一元步骤能产生内部区间。具体的有限域是 $0\le l<u\le9,j=0,\ldots,4$ 的二百二十五个值；对非单点、$j\ge1$、$d=1,\ldots,9$ 的一千二百九十六项转移逐项核对边界及最小值。另按每个整数点的商分组实现递推，所得全部值一致。前两表是这个完整递推在决定根值处的证书，不遗漏一元候选，也不是控制器枚举。

**推论 77.18（无槽汇流类的准确最小值）。** 在 $p=3,P=9,h=5$ 的完整原模型中，只加 $J=0$ 条件，便有

$$
E\ge29,\qquad C\ge105+2e+\ell.
\tag{77.16}
$$

因此该条件类的最小容量恰为一百零五。

证明。（77.14）给 $E\ge\lceil105/2\rceil-24=29$；代入（77.7）得容量界。第74.22节的完整一百零五态表有 $J=0,e=\ell=0,E=29$，第77.7节给其全部单位状态核对及同表统计，故达到下界。结论容许任意完整 $U$、额外读态、单点继续和正等待提升；只在明确的 $J=0$ 类内断言最小值，不断言所有驻定表的最小值为一百零五。$\square$

### 77.5 保留字面等待的逐层下界

**定理 77.19（完整历史到原等待尾的层计数）。** 取 $p=3$、任意整数 $P>1,h\ge1$，不再限制 $J$。对每个整数 $k\ge2$，以完整森林的原字面等待定义

$$
\begin{aligned}
B_k^{\mathrm{lit}}&=\#\{H\text{ 二元}:\delta_H\ge k\},\\
A_k^{\mathrm{lit}}&=\#\{H\text{ 一元}:\delta_H\ge k\},\\
Q_k^{\mathrm{lit}}&=\#\{q\ne q_0:L_q\ge k\},\qquad
D=J+\Xi,\qquad t=r-1-N+s.
\end{aligned}
\tag{77.17}
$$

这里 $A_k^{\mathrm{lit}}$ 包括单点继续，$D$ 仅为本层计数的记号；$t$ 恰是无二元到达的非首读实际目标数，故非负。则

$$
E\ge\sum_{k\ge2}\max\left\{
0,\ B_k^{\mathrm{lit}}-s,\
\left\lceil\frac{2B_k^{\mathrm{lit}}+A_k^{\mathrm{lit}}-D}{3}\right\rceil,\
A_k^{\mathrm{lit}}-2t-D\right\}.
\tag{77.18}
$$

证明。固定非首读目标 $q$，记其使用数字槽数为 $n_q\le3$，一元历史到达数为 $a_q$，并置 $X_q=\sum_{e\text{ 进入 }q}(\nu_e-1)$。实际进入边数为 $n_q+J_q$；每条边的完整森林原像补上 $X_q$，而二元历史贡献两条森林边、一元历史贡献一条。因此

$$
2m_q+a_q=n_q+J_q+X_q,\qquad
\sum_{q\ne q_0}(J_q+X_q)=D.
\tag{77.19}
$$

无根入边保证该求和没有遗漏根费用。$\mathcal B$ 的目标数为 $N-s$，所以另外的目标数为 $r-1-(N-s)=t$。

令 $\mathcal L_k=\{q:L_q\ge k\}$，其大小为 $Q_k^{\mathrm{lit}}$。所有选出的长历史都进入该集合。在这些目标上，每个选定二元到达相对于第一个的重复次数，总共不超过完整共享重数 $s$，故 $Q_k^{\mathrm{lit}}\ge B_k^{\mathrm{lit}}-s$。又把（77.19）在 $\mathcal L_k$ 上相加，得到

$$
2B_k^{\mathrm{lit}}+A_k^{\mathrm{lit}}
\le3Q_k^{\mathrm{lit}}+D.
\tag{77.20}
$$

对于二元目标，$m_q\ge1$ 使 $a_q\le1+J_q+X_q$；其他目标有 $a_q\le3+J_q+X_q$。长一元历史只是这些完整到达的子集，而长目标中无二元者至多 $t$ 个，所以

$$
A_k^{\mathrm{lit}}\le Q_k^{\mathrm{lit}}+2t+D.
\tag{77.21}
$$

结合非负性及整数上取整，得到（77.18）每一层括号内四项都不超过 $Q_k^{\mathrm{lit}}$。最后

$$
E=\sum_{q\ne q_0}(L_q-1)=\sum_{k\ge2}Q_k^{\mathrm{lit}}.
\tag{77.22}
$$

所有字面尾有限；$k$ 超过最大尾长后，三个层计数全为零且括号最大值为零，故总和有限。不同 $k$ 收的是同一尾上的不同距离位置，不是把一个最大尾重复收取。每个量都来自同一原表的完整森林和实际槽边，允许环及历史边重数。$\square$

$\mathcal Q_T$ 使用模 $P$ 的代表和截断历史，$Q_k^{\mathrm{lit}}$ 则数原字面长尾，二者不能混用。整周期提升可保持低位分割，却增加字面层数；（77.18）保留了这项信息。该式与（77.9）、（77.14）是同一个 $E$ 的不同下界，可以取最大，不能整体相加。层条件只是必要条件，并未保证满足它们的历史安排有共同物理相位、原标签及后继闭合实现。

### 77.6 三进九点的覆盖及六个四一元必要轮廓

**推论 77.20（小容量表的剩余条件）。** 在 $p=3,P=9,h=5$ 下，每张正确原表满足

$$
E\ge48-7(U-J)-s,\qquad
C\ge124+2e+\ell-7(U-J)-s.
\tag{77.23}
$$

特别，$U=3,J=s=1$ 时 $C\ge109+2e+\ell$；$U=4,J=s=2$ 时 $C\ge108+2e+\ell$。任意假设的 $C\le104$ 表必须满足

$$
U\ge4,\qquad J\ge1,\qquad
2e+\ell+7J-s\le7U-20.
\tag{77.24}
$$

若再有 $U=4$，则 $J=1$，且 $(s,e,\ell)$ 只能是

$$
(0,0,0),\ (0,0,1),\ (1,0,0),\
(1,0,1),\ (1,0,2),\ (1,1,0).
\tag{77.25}
$$

证明。将 $pF=72,N=24,P-2=7$ 代入定理77.13及（77.1），得（77.23）和两个特例。推论77.18排除全部 $J=0$。若 $U\le3,J\ge1$，由 $s\le J$ 有 $7J-s\ge6$，所以（77.23）给 $C\ge124-21+6+2e+\ell\ge109$，也被排除。重排（77.23）即得（77.24）。

当 $U=4$，完整恒等式给 $1\le J\le2$。若 $J=2$，则 $7J-s\ge12>8=7U-20$，不可能。因此 $J=1,s\in\{0,1\}$。$s=0$ 时 $2e+\ell\le1$；$s=1$ 时 $2e+\ell\le2$；列出非负整数解正好得到（77.25）。$\square$

这六项是同表不等式留下的必要算术条件，不是六张可实现控制器。$U\ge5,J\ge1$ 的其余情况仍须处理；本节也没有引入无七／无八索引二槽条件或不同第二读根假设。

### 77.7 两张完整公开表上的原目标账目

**命题 77.21（条件等号及有汇流的比较）。** 使用[固定公开版本 fb37ddf3d772942a0a82f6970cedecfffcb007af 的本卷](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/fb37ddf3d772942a0a82f6970cedecfffcb007af/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md)第74.22节完整整数表及第75.18节 $K_0$ 完整表，原单位后继与标签不变。二者的同表统计如下。

| 77.完整表账目 | $C$ | $r$ | $w$ | $U$ | $J$ | $s$ | $U_1$ | $\Xi$ | $b$ | $b_0$ | $g$ | $\gamma$ | $E$ |
| --- | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: |
| 77.原105表 | 105 | 25 | 53 | 3 | 0 | 0 | 3 | 0 | 53 | 72 | 19 | 0 | 29 |
| 77.原K0表 | 132 | 25 | 80 | 4 | 2 | 2 | 0 | 0 | 77 | 80 | 3 | 2 | 56 |

两表均另有二十七个固定终止态，$e=\ell=0$，全部名义态可达。三／四／五读输入数分别为 $(2,7,18)$ 及 $(1,8,18)$。

证明与复算合同。一百零五表的读态为整数 $0,\ldots,24$，初态为零，全部三个数字后继逐行取第74.22节，不改未用数字。按目标 $1,\ldots,24$ 的完整尾长为

$$
\begin{aligned}
&(3,3,1,1,7,1,1,1,\ 4,2,1,1,2,6,1,1,\\
&\hspace{28mm}4,2,1,1,1,6,1,1).
\end{aligned}
\tag{77.26}
$$

令 $a_q=25+\sum_{j<q}L_j$。状态 $a_q+k-1$，$1\le k\le L_q$，执行一个 $W$ 后在 $k=1$ 时到 $q$，否则到前一个整数；这些恰是 $25,\ldots,77$。状态 $78+x$ 输出原 $x$，形式后继为自身。此规则连同引用的全部二十五行规定所有一百零五态。

$K_0$ 初态为 $S$，二十五个读态的三个绝对数字后继全部取第75.18节。每个 $\langle q,d\rangle$ 展开为真实单位态 $W(q,d)$：$W(q,j)$ 加一后到 $W(q,j-1)$，$j=1$ 后到 $q$。每目标尾长恰取该完整表所有实际进入距离的最大值，得到八十个等待态；全部 $H_x$ 保留原输出及形式自后继。该定义没有即时加权跳转，也没有表外地址存储。

对每个原 $x=0,\ldots,26$，沿单位表维持相位不变量 $s=[x+A]_{27}$，其中 $A$ 为已经执行的 $W$ 数。每次 $W$ 使两边同加一，每次 $R$ 用这个实际相位选择原数字行。两表全部二十七次初始化执行分别到达自己的 $H_x$，所有读间等待为正、至多五读、末读直接停止。逐输入还核对全部名义后继、所有最长尾位置的可达性、非终止联合配置唯一及完整槽质量 $\sum_{(x,i)\text{ 在该槽}}2^{i-5}\le1$。两表非终止单位状态访问数分别为四百一十二、五百一十三，读取访问也在其中计一次。

按完整答案历史重新分组，以不同实际槽对重建入度及边重数，给上表 $U,J,U_1,\Xi,s$。每个当前低位支持均为精确区间；按首次单点截断和从后向前拉回切口计算 $b_0$，逐项核对 $b_0-b=g$，再按原目标最大值计算 $\gamma,E$。一百零五表的三个首读纤维还有

| 77.等号纤维 | $b$ | $B_7$ | $A_7$ | $\mathcal Q_7$ |
| --- | ---: | ---: | ---: | ---: |
| 77.纤维零 | 18 | 1 | 0 | 35 |
| 77.纤维一 | 18 | 0 | 0 | 36 |
| 77.纤维二 | 17 | 0 | 1 | 35 |

所以总权为 $106=2(E+24)$，达到引理77.15的目标收费等式。递推下界是三纤维共至少一百零五，整数上取整给 $E\ge29$；不要求达到表的每棵纤维都分别取权三十五。

$K_0$ 的 $\mathcal G\setminus\mathcal B$ 恰为 $\{T1,V1\}$，给引理77.12的两个实际选取。到 $T1$ 的纯解析槽 $(Q,1)$ 字面等待六，其历史 $01,11$ 分别含标签 $\{6,7,8\},\{9,10,11\}$，当前低位区间为 $[0,3),[6,9)$；两项增量为六、负三，$L_{T1}-1=5$。到 $V1$ 的纯解析槽 $(U,1)$ 等一，其历史 $0001,0111$ 分别是标签二、六的单点，当前低位为零、八，截断增量都是零，$L_{V1}-1=0$。这里 $U$ 在槽名中是第75节的读态名，区别于一元总数。两种见证都属于完整森林，不能先去掉单点再计 $J,U,\Xi$。

最后，逐层的全部非零可能范围如下；每行末列为（77.18）的单层最大下界，超过列出的 $k$ 后三个计数及下界均为零。

| 77.原105等待层 | $B_k^{\mathrm{lit}}$ | $A_k^{\mathrm{lit}}$ | $Q_k^{\mathrm{lit}}$ | 单层下界 |
| --- | ---: | ---: | ---: | ---: |
| 77.105层k2 | 10 | 3 | 10 | 10 |
| 77.105层k3 | 7 | 3 | 7 | 7 |
| 77.105层k4 | 5 | 3 | 5 | 5 |
| 77.105层k5 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 77.105层k6 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 77.105层k7 | 1 | 1 | 1 | 1 |

| 77.原K0等待层 | $B_k^{\mathrm{lit}}$ | $A_k^{\mathrm{lit}}$ | $Q_k^{\mathrm{lit}}$ | 单层下界 |
| --- | ---: | ---: | ---: | ---: |
| 77.K0层k2 | 12 | 2 | 12 | 10 |
| 77.K0层k3 | 11 | 2 | 11 | 9 |
| 77.K0层k4 | 9 | 2 | 10 | 7 |
| 77.K0层k5 | 8 | 2 | 9 | 6 |
| 77.K0层k6 | 8 | 2 | 9 | 6 |
| 77.K0层k7 | 4 | 0 | 4 | 2 |
| 77.K0层k8 | 1 | 0 | 1 | 0 |

两表的 $(D,t)$ 分别为 $(0,0),(2,2)$。逐层下界求和分别为二十九、四十；实际 $Q_k^{\mathrm{lit}}$ 求和分别为二十九、五十六，证明（77.18）在第二表仍有松弛。所有数字均由上述固定总表的单位执行及完整森林算出，有限计算只证明这些指定表的断言。$\square$

| 77.下界比较 | 实际 $E$ | 76.15保留关联项 | 77.13目标补偿 | 77.18带权推论 | 77.19字面层界 |
| --- | ---: | ---: | ---: | --- | ---: |
| 77.比较105 | 29 | 27 | 27 | 29 | 29 |
| 77.比较K0 | 56 | 20 | 32 | $J\ne0$，不适用 | 40 |

这张比较表只对同一个 $E$ 取不同下界；实际容量仍分别为一百零五、一百三十二。$K_0$ 展示有汇流时目标补偿及层界的非空适用，容量较大，不构成至多一百零四态反例，也未被声称为该行为或该类的最小表。

### 77.8 来源、核验边界与尚缺的恢复

本节定义和决定性既有论证统一固定于[公开版本 fb37ddf3d772942a0a82f6970cedecfffcb007af 的本卷](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/fb37ddf3d772942a0a82f6970cedecfffcb007af/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md)：55.1、56.1及66.11规定物理端口、固定输出与全态收费；55.3、64.12给二元几何与精确区间单射；56.3、66.12给读取态下界、根无入边和原最长尾注入；67.12—67.13及76.11—76.17给完整历史边计数、分析擦除及纯二元递推。本节列出所需普通论证，并另外证明目标补偿、带权目标支配和字面层界，没有移用外部最小化定理。旧章节各自钉定的历史来源保持其原有身份。

除（77.13）的二百二十五值及一千二百九十六项转移核对外，还重新计算76.16的 $P=9,j=4$ 纯二元根候选，按下侧大小 $k=1,\ldots,8$ 得 $(40,32,24,24,24,24,32,32)$，确认 $F_4(9)=24$。对 $p=2,3$、一至六个前驱，全部单数字／循环相邻二数字支持的多重集共一千零六项，核对（77.8）的局部入度不等式；对 $P=2,\ldots,16$ 的全部非空整数区间及 $d=1,\ldots,P$，保留一元平移后共六千九百三十五项，其中单点一千四百九十五项，核对非回绕、回绕和截断增量界。这些有限算术域支持局部证明，不把它们当作原表可实现性测试或无界参数的证明。

两张完整表共五十四条初始化执行、九百二十五次非终止单位访问，覆盖第77.7节所列检查。任意等待提升由原 $L_q\ge\delta_H\ge d_H$ 及字面层恒等式处理；任意允许环由有限初始化展开及实际入度计数处理。完整 $U$ 与首次单点截断后的统计始终分开。没有进行全控制器枚举，没有把原表化成不交二叉树模型。

所得恢复方向是明确的资源蕴含：同一来源的低位次序及读取截止限制未来分割；实际槽身份限定这些历史可以怎样共用数字行；原目标的一条最长字面等待尾再把这些要求转为收费记忆。反向恢复一张共同初始化的驻定总表，仍须同时满足完整相位、固定原标签、每个读取数字行及每个单位等待后继；上述必要界和低位递推没有给这个逆向编译。

本节未调用旧九十六下端点、第70节完整目录或更强的 $B\ge53,\Gamma>0$ 历史证书；它们若另被引入为承重前提，未核验部分应标为 `ASSUMED-UNVERIFIED`，不影响这里独立给出的证明。这里是普通数学及明确有限域计算，不主张 Lean/kernel 验证、文献认证的原创性或全局精确一百零五。

剩余局部目标仍是在同一任意三进九点五读原表上证明 $E+2e+\ell\ge29$，或给所有名义态、单位后继、物理相位和二十七条初始化输出均正确的至多一百零四态表。现在所有 $J=0$ 及所有 $U\le3$ 已被排除出该反例区域；$U=4$ 的六个必要轮廓与 $U\ge5,J\ge1$ 的区域仍开放。下一步必须在这些同表条件下排除或实现共同相位、原标签、实际槽与尾费用，不能独立优化各部分后宣称可兼容。一般参数的精确取得容量、读取最优约束下的容量以及原 general-$B$ 与空间、时间、边界、记忆完整互恢复目标继续开放。

## 77.99 追加锚
## 78. 共享读口的补偿界与无二元目标重合类的精确容量

本节在第77节的同一驻定确定模型中继续。令 $p=3$ 的局部结论仍以 $P=9,h=5$ 为应用点，但先保留整数 $P$ 和有限读数上限 $h$。所有历史、相位、原标签、读取行和单位等待都属于同一张实际初始化表；低位树只作正向下界投影，不是把树编译回控制器。沿用第77节的 $N=p(P-1)$、$r=N+1+e$、一元历史总数 $U$、实际槽入度剩余 $J$、重复森林边剩余 $\Xi$、二元目标重合数 $s\le J$ 以及

$$
E=\sum_{q\ne q_0}(L_q-1),\qquad
C\ge M+2r-1+\ell+E,\qquad M=pP.
\tag{78.1}
$$

这里的 $U$ 包括首次成为单点后的继续读取；$J,\Xi$ 从完整历史森林计算，不能在截断投影后重算。对一个实际非首读目标 $q$，写 $m_q$ 为到达它的二元历史数，$a_q$ 为全部一元历史到达数，$n_q$ 为使用的数字槽数，$j_q$ 为该目标各数字槽入度剩余之和，$X_q$ 为进入该目标的实际有向槽边上森林边重数剩余 $\nu_e-1$ 之和。则完整同表的边计数是

$$
2m_q+a_q=n_q+j_q+X_q,\qquad D_q:=j_q+X_q,\qquad
\sum_qD_q=J+\Xi.
\tag{78.2}
$$

首次单点截断后，二元历史保留。对二元历史的原字面等待取正代表 $d\in\{1,\ldots,P-1\}$；对保留的一元历史记其低位区间为 $[l,u)$，并置 $\varepsilon=\lfloor(l+d)/P\rfloor$。非单点的擦除增量为 $a_H=d-P\varepsilon$，单点继续的增量定义为零。第77节的切口论证给出 $g=b_0-b=\sum a_H$、$b_0\ge pF_{h-1}(P)$，以及同一目标上的二元代表超额 $\gamma\le(P-2)s$。后文只在这些已固定的同表量上收费。

### 78.11 加权目标的全汇流补偿

**引理 78.11（局部入边与阈值权）。** 取 $p=3$、整数 $P\ge4$、$3\le T\le P-1$ 及有限读取上限 $h$。令 $B_T$ 为截断森林中代表 $d\ge T$ 的二元节点数，$A_T$ 为代表 $d\ge T$ 的保留非单点一元节点数，并令

$$
Q_T=2b-B_T+A_T,\qquad c_P=2P-7.
\tag{78.3}
$$

则每个实际目标 $q$ 的贡献满足

$$
2\sum_{i=1}^{m_q}d_i-\#\{i:d_i\ge T\}+a_q^{(T)}
\le 2(L_q-1)+2m_q+c_P\max(m_q-1,0)+D_q,
\tag{78.4}
$$

其中 $a_q^{(T)}\le a_q$ 是该目标收到的长保留一元数，$L_q$ 是原表全部进入该目标的最大字面等待。

**证明。** 固定目标 $q$，简记 $m=m_q$、$L=L_q$、$a^{(T)}=a_q^{(T)}$。由（78.2）及 $n_q\le3$ 有

$$
2m+a^{(T)}\le3+D_q.
\tag{78.5}
$$

定义 $R$ 为（78.4）的左端减去 $2(L-1)+2m$，即

$$
R:=2\sum_{i=1}^{m}d_i-\#\{i:d_i\ge T\}+a^{(T)}-\bigl[2(L-1)+2m\bigr].
$$

若 $m=0$ 且 $a^{(T)}=0$，显然 $R\le0$。若 $m=0$ 且 $a^{(T)}>0$，则 $a^{(T)}\le3+D_q$ 且 $L\ge T\ge3$，所以 $R\le D_q$。

设 $m\ge1$。若有 $k\ge1$ 个 $d_i$ 不小于 $T$，取一个最大的 $d_i$ 与 $L$ 比较。其余长代表各至多 $P-1$，短代表各至多 $T-1$，而（78.5）给 $a^{(T)}\le3+D_q-2m$。整理得

$$
R\le2(T-3)(m-1)+\bigl(2(P-T)-1\bigr)(k-1)+D_q
\le c_P(m-1)+D_q.
\tag{78.6}
$$

若 $k=0$ 而 $a^{(T)}>0$，所有二元代表至多 $T-1$ 且 $L\ge T$。最大的代表与 $L$ 的差至少一，故

$$
R\le2(T-3)(m-1)+D_q-1\le c_P(m-1)+D_q.
\tag{78.7}
$$

最后若 $k=0$ 且 $a^{(T)}=0$，$m=1$ 时 $R\le0$；$m\ge2$ 时 $R\le2(T-2)(m-1)$。由（78.5）知 $D_q\ge2m-3\ge m-1$，而 $c_P\ge2T-5$，所以仍有 $R\le c_P(m-1)+D_q$。四种情形穷尽所有目标，得到（78.4）。对所有实际目标相加时，$\sum m_q=N$、$\sum\max(m_q-1,0)=s$、$\sum D_q=J+\Xi$，且每个 $L_q-1$ 只收一次，遂得

$$
Q_T\le2(E+N)+(2P-7)s+J+\Xi.
\tag{78.8}
$$

三条首读纤维各自给出一个深度至多 $h-1$ 的合法低位树，所以第77节的正向递推给 $Q_T\ge3G(P,T,h-1;0,P)$。因 $E$ 为整数，得到

$$
E\ge
\left\lceil\frac{3G(P,T,h-1;0,P)-(2P-7)s-J-\Xi}{2}\right\rceil-N.
\tag{78.9}
$$

证毕。

系数 $2P-7$ 是这个局部占用松弛中的真实边界。若只保留 $2m+a\le3+D_q$、$1\le d_i\le P-1$ 和 $L\ge\max d_i$，取 $m=2,d_1=d_2=P-1,a=0,n_q=3,D_q=1,L=P-1$，则在 $D_q$ 系数保持为一时，任何更小的 $s$ 系数都会被这条算术记录击穿。这不是一张可实现的控制器，只说明还必须使用共享数字行的未来约束。实际的 $K_0$ 表在 $T=7$ 时的目标 $Q$ 有 $m=2,d_1=3,d_2=6,L_Q=6,a=0$；其局部二元权为 $18$，而未补偿二元目标重合的旧局部额度只有 $2(L_Q-1)+2m=14$。因此旧的目标逐项论证不能原样延伸到二元目标重合；这并不反驳全局一百零五容量门槛，（78.8）是经过同表边剩余修正后的全局陈述。

在 $P=9,h=5,T=7$ 时，递推值为 $G=35$、$N=24$，故

$$
E\ge29-\left\lceil\frac{11s+J+\Xi}{2}\right\rceil,\qquad
11s+J+\Xi\le4e+2\ell\Longrightarrow E+2e+\ell\ge29.
\tag{78.10}
$$

同一递推在阈值族 $T=3,4,5,6,7,8$ 上的根值依次为 $33,33,33,34,35,34$；这里的最优只指这六个阈值，不是所有可能势函数的最优。有限计算的先前报告范围见78.17。

### 78.12 无二元目标重合类的精确一百零五

**定义 78.12（修正阈值树）。** 令 $p=3$、$P\ge5$，取 $T=P-2$。在首次单点截断后的低位树中，二元节点的权为

$$
\beta(d)=2d-\mathbf 1_{d\ge T},
$$

保留的非单点一元节点 $[l,u)$ 在等待代表 $d$ 下的权为

$$
\alpha(l,u,d)=\mathbf 1_{d\ge T\ \text{且}\ l+d<P},
$$

单点继续的权为零。令 $Q^\sharp$ 为三个首读纤维的截断低位树的上述总权，$G^\sharp(P,T,j;l,u)$ 为深度至多 $j$ 的最小总权；单点值为零，非单点在 $j=0$ 不可行。平移区间后按 $P$ 的整数边界切成一或两个非空区间 $\mathcal C_d(l,u)$，则

$$
G^\sharp(P,T,j;l,u)=\min_{1\le d\le P}\left(w(l,u,d)+\sum_{[a,b)\in\mathcal C_d(l,u)}G^\sharp(P,T,j-1;a,b)\right),
\tag{78.11}
$$

其中一孩子时 $w=\alpha$，两孩子时 $w=\beta$；不可行孩子的候选被舍弃。这个递推只描述已有控制器的低位投影。

**定理 78.13（$s=0$ 类的精确容量）。** 在原模型中取 $p=3$、$P\ge5$、有限 $h$，并假设同一实际表的二元目标重合数 $s=0$。令 $z$ 为满足 $m_q=0,L_q=1,\Delta_q=-1$ 的目标数，其中 $\Delta_q=j_q-k_q$，$k_q$ 是纯解析前驱槽数。则

$$
Q^\sharp\le2(E+N)+z,\qquad
E\ge\left\lceil\frac{3G^\sharp(P,P-2,h-1;0,P)-z}{2}\right\rceil-N,\qquad 0\le z\le e.
\tag{78.12}
$$

特别在 $P=9,h=5$ 有 $G^\sharp(9,7,4;0,9)=35$，因此

$$
E\ge29-\left\lceil\frac z2\right\rceil,\qquad
C\ge105+\left\lfloor\frac{3e}{2}\right\rfloor+\ell.
\tag{78.13}
$$

公共一百零五态表属于 $s=0$ 类并达到 $105$，所以在允许任意 $J,U,\Xi$、额外读取态、单点继续、字面等待提升和初始化终止环的整个 $s=0$ 类内，最小容量正好为一百零五。这里 $s=0$ 只排除二元目标重合，仍允许一元历史及纯解析槽的共享，故严格扩大了第77节的 $J=0$ 条件类。

**证明。** 先看长的非回绕一元节点。它满足 $d\ge P-2$、$u-l\ge2$ 且 $u+d\le P$，故必有 $d=P-2$、$[l,u)=[0,2)$。同一实际源槽不能容纳两个这样的历史，因为两个支持相交；它也不能是生产槽，因为等待 $P-2$ 的二元切口在低位 $2$，任何跨过该切口的二元区间都与 $[0,2)$ 相交。于是每一个被 $Q^\sharp$ 计数的长一元历史注入一个不同的非生产实际源槽，且单个源槽至多贡献一次。

$s=0$ 意味着每个二元目标只有一个二元到达，记该数为 $m=1$；其余目标有 $m=0$。在一个目标固定 $q$ 上，令 $k$ 为纯解析前驱槽数，$n$ 为全局只出一条实际边的前驱槽数，$j=j_q$，$a$ 为该目标收到的被 $Q^\sharp$ 计数的长一元历史数。实际进入边数给

$$
2m+2k+n\le3+j,\qquad a\le k+n,\qquad \Delta=j-k.
\tag{78.14}
$$

若 $m=1$，则 $\Delta\ge0$，而长二元或长一元的目标贡献都满足

$$
\beta(d)+a\le2(L_q-1)+2+\Delta.
\tag{78.15}
$$

若 $m=0$，则 $\Delta\ge-1$。有长一元时 $L_q\ge P-2\ge3$，故

$$
a\le2(L_q-1)+\Delta;
\tag{78.16}
$$

无长一元时右侧除非 $L_q=1,\Delta=-1$ 都非负，例外正好贡献 $1$。对全部目标求和，$\sum\Delta=0$，有 $N$ 个 $m=1$ 目标，故第一式（78.12）成立；非二元目标的总数为 $e$，所以 $z\le e$。

另一方面，每个首读纤维的完整区间投影都由（78.11）计权，故 $Q^\sharp\ge3G^\sharp$，整数化即得第二式。$P=9,T=7$ 的递推数值证书如下，其有限复算归于78.17所述原作者报告。深度三的前段 $[0,m)$ 值（$m=1,\ldots,8$）为

$$
(0,2,4,16,19,31,46,61),
$$

后段 $[9-m,9)$ 值为

$$
(0,2,4,6,11,25,42,59).
$$

根等待 $d=1,\ldots,8$ 的候选总值为

$$
(61,48,35,35,35,47,61,76),
$$

而 $d=9$ 是不可行的整块一元移位；它只留下三次读数，不能区别九个标签。故 $G^\sharp=35$。代入（78.12）并用 $z\le e$ 得（78.13）。第74.22节的一百零五态表有 $E=29,e=\ell=0$，故达到。证毕。

### 78.13 纯解析槽的接缝补偿

**定理 78.14（接缝历史的两单位补偿）。** 取 $p\in\{2,3\}$、$P\ge3$ 和有限 $h$。令 $\chi$ 为实际纯解析槽的数目，其中每个槽只计一次，并且该槽至少有一个当前低位区间长度不小于二、满足 $\varepsilon=1$ 的完整一元历史。则

$$
E\ge pF_{h-1}(P)-N-(P-2)(U-J)-s+2\chi.
\tag{78.17}
$$

**证明。** 一个纯解析槽有两个不同下一数字，故其正代表 $d<P$，并且完整历史中同时有不回绕和回绕的区间。从每个纯解析槽选一条非回绕历史；若该槽被 $\chi$ 计数，明确选一条非单点回绕历史作另一见证并记 $c=1$，否则选一条回绕历史并记 $c=0$，此时该回绕历史必为单点。不同实际槽选出的历史不同，且按槽求和有 $\sum c=\chi$。区间是同一槽的互不相交精确整数区间，且一元性要求平移后不跨第二个数字边界。因而其两个擦除增量满足

$$
a_++a_-\le P-2-2c,\qquad a_++a_-\le d-2c.
\tag{78.18}
$$

第一式在 $c=0$ 时由非回绕非单点至多 $P-2$、回绕单点为零得到；在 $c=1$ 时，回绕项是 $d-P$，若另一个也非单点则 $d\le P-2$，两项和 $2d-P\le P-4$，若另一个为单点则更小。第二式同理，非回绕项至多 $d$，回绕项为 $d-P$，而 $c=1$ 时再减去两点支持所需的两个单位。

第77节的目标选择给出 $s$ 个互异纯解析前驱，其目标不在二元目标集合中。对这 $s$ 个槽使用（78.18）的第二式，对其余 $J-s$ 个槽使用第一式，仍在每个被 $\chi$ 计数的槽上使用所选的非单点回绕见证；剩下至多 $U-2J$ 个完整一元历史各贡献至多 $P-2$。于是

$$
g\le(P-2)(U-J-s)+\sum_{v\ \mathrm{selected}}d_v-2\chi.
\tag{78.19}
$$

选中目标的最长尾至少为 $d_v$，二元目标的共同超额为 $\gamma\le(P-2)s$。将这些互异目标的尾各收一次，得

$$
\begin{aligned}
E&\ge b_0-g-N-\gamma+\sum_{\mathrm{selected}}(d_v-1)\\
&\ge pF_{h-1}(P)-N-(P-2)(U-J)-s+2\chi.
\end{aligned}
\tag{78.20}
$$

这是同一张表上的联合收费，没有把各个低位树的独立最小值相加，也没有删除物理一元读取。证毕。

### 78.14 一个纯解析槽的标签敏感补偿

**定理 78.15（$J=1$ 且有非单点回绕时）。** 在 $p=3$、$P\ge3$ 的原模型中，若 $J=1$ 且唯一纯解析槽有非单点回绕历史，则

$$
E\ge3F_{h-1}(P)-N-(P-2)(U-1)+2.
\tag{78.21}
$$

在 $P=9,h=5,U=4$ 时，这给 $E\ge29$。结合第77节的容量必要条件及定理78.13，任何 $C\le104$、$U=4$ 的表都必须满足

$$
J=s=1,\quad\chi=0,\quad
(s,e,\ell)\in\{(1,0,0),(1,0,1),(1,0,2),(1,1,0)\}.
\tag{78.22}
$$

这些只是同表必要轮廓，不是已构造的控制器。

**证明。** 记 $F=F_{h-1}(P)$、$A=P-2$、$K=A(U-2)$，取唯一纯解析槽的一条非回绕历史 $H_+$ 与一条非单点回绕历史 $H_-$。若 $H_+$ 是单点，则这两项对 $g$ 的贡献至多 $d-P$；若 $H_+$ 也非单点，则 $d\le P-2$，两项贡献至多 $2d-P$。所有其余历史各至多 $A$，所以分别有

$$
g\le K+d-P\quad\text{或}\quad g\le K+2d-P.
\tag{78.23}
$$

当 $s=0$ 时，定理78.14已经给出（78.21）。设 $s=1$。第77节的目标选择从同一唯一纯槽得到一个不在二元目标集合中的目标 $q_*$。它的最长尾至少为 $d$，所以在 $E\ge b_0-g-N-\gamma$ 的二元目标收费之外还能一次收费 $L_{q_*}-1\ge d-1$。

若 $H_+$ 为单点，使用第一种（78.23）及 $\gamma\le P-2$ 得

$$
E\ge3F-N-K-(d-P)-(P-2)+(d-1)=3F-N-K+1,
$$

强于（78.21）。若 $H_+$ 非单点且 $\gamma\le P-3$，第二种（78.23）给

$$
E\ge3F-N-K+2-d\ge3F-N-K-P+4,
$$

最后一步用了 $d\le P-2$，右端正是（78.21）。

只剩 $H_+$ 非单点且 $\gamma=P-2$。此时唯一共享二元目标的两个代表都等于 $P-1$；否则 $\gamma$ 是两个代表减一后的较小者，不会达到 $P-2$。每个二元分割都在低位切口一处发生。由于 $J=1$，两个不同生产槽的四条入边占用三个数字槽并恰有一个共同数字；在三数字循环上，一对相邻支持的公共数字必是其中一条的末端、另一条的起端。因此至少有一条进入共同数字的后续历史是切口产生的单点。

该单点不能在共同读取行立即停止：同一实际数字槽还接收另一个不同原标签的历史，而固定的 $H_x$ 行只能输出一个标签；若它较早访问终止行，另一个历史也不能在同一行得到自己的原标签。故它是一个实际继续的一元历史，贡献为零但仍计入完整 $U$。它不同于（78.23）中已选的两条历史，使 $g$ 的上界再减少 $P-2$。于是

$$
E\ge3F-N-\bigl(K+2d-P-(P-2)\bigr)-(P-2)+(d-1)
=3F-N-K+P-d-1\ge3F-N-K+1,
$$

仍强于（78.21）。证毕。

取 $P=9,h=5,U=4$ 时，$3F-N=48$，而 $48-7(4-1)+2=29$。第77节已给出 $C\le104$ 所需的 $U\ge4,J\ge1$ 及六个 $(s,e,\ell)$ 轮廓；定理78.13排除整个 $s=0$ 类，因而排除其中的两个 $s=0$ 轮廓。对余下 $J=1,U=4$ 的轮廓，定理78.15在 $\chi=1$ 时给出（78.21），结合 $C\ge76+2e+\ell+E$ 排除该情形，遂得（78.22）。此处没有用（78.21）排除不满足非单点回绕前提的表。

### 78.15 旧势函数的单一参数比较

**命题 78.16（$J=1,s=0,r=N+1$ 的二择界）。** 取 $p=3$、$P\ge5$，令 $F=F_{h-1}(P)$、$G=G(P,P-2,h-1;0,P)$、$A=P-2$，并假设 $J=1,s=0,r=N+1$。定义

$$
B_0=3F-N-A(U-1),\qquad B_T=\left\lceil\frac{3G}{2}\right\rceil-N.
$$

这里 $B_T$ 专指容量推导中的尾费用下界；本命题内将代表达到阈值的二元节点数另记为 $B_T^{\mathrm{count}}$，以区别78.11中的计数记号。则同一实际表满足

$$
E\ge\max\{B_0,\min(B_0+2,B_T)\}.
\tag{78.24}
$$

**证明。** $s=0$ 时 $N$ 个二元历史有 $N$ 个不同目标，且 $r-1=N$，所以每个非首读目标恰有一个二元到达，$\gamma=0$。第77节的擦除式先给 $E\ge B_0$。

若 $g\le A(U-1)-2$，同一式给 $E\ge B_0+2$。否则，唯一纯解析槽的回绕历史不能是非单点，否则明确选该非单点回绕历史作见证后，（78.18）会把总增益压到 $A(U-1)-2$ 以下；所以该槽的回绕历史均为单点。再若还有第二个零或负贡献历史，总增益至多 $A(U-2)$，也矛盾。于是完整森林恰有一个单点回绕历史，其余一元历史都是非回绕且有正贡献。

令 $T=A$。一个正贡献且 $d\ge T$ 的非回绕非单点必须是 $d=A,[l,u)=[0,2)$。这种历史不能与另一条同类历史占同一源槽，也不能与生产二元槽共存。唯一纯槽的目标与生产槽的目标共有四条实际入边，而 $J=1$ 只允许三数字槽，故在任一目标至多有一条这样的长一元到达。以 $Q_T=2b-B_T^{\mathrm{count}}+A_T$ 表示旧阈值总权；每个二元目标的局部贡献至多 $2(L_q-1)+2$，对全部 $N$ 个目标求和得 $Q_T\le2(E+N)$。三个低位投影给 $Q_T\ge3G$，因而 $E\ge B_T$。两种增益情形合并为（78.24）。证毕。

在 $P=9,h=5,U=4$ 时 $F=24,G=35$，所以 $B_0=27,B_T=29$；该命题给出 $E\ge29$。它是比较两个旧势的受限参数结论，不替代78.13，也不把两个界相加。

### 78.16 正的 $J$ 而无二元重合的完整见证

**命题 78.17（117态非空见证）。** 从第74.22节的完整一百零五态整数表出发，保持全部未列修改的读取行、全部原 $H_x$ 和初态零不变。只作

$$
R_{14}(0):H_{17}\longmapsto W(A,9),\qquad
R_{22}(1):H_{26}\longmapsto W(A,8),
\tag{78.25}
$$

并新增读取态 $A,B$ 及单位态 $W(A,j)$ ($1\le j\le9$)、$W(B,1)$，其中

$$
A=(H_0,W(B,1),H_0),\qquad B=(H_0,H_{17},H_{26}).
\tag{78.26}
$$

单位态每次恰使来源加一；$W(q,1)$ 后继为 $q$，较大下标递到下一个单位态。这个表正确、全部名义态可达，且

$$
C=117,\quad r=27,\quad w=63,\quad E=37,\quad e=2,\quad\ell=0,\quad
U=7,\quad J=1,\quad s=0,\quad\Xi=0.
\tag{78.27}
$$

**证明。** 原表中输入17在第三读 $R_{14}$ 的物理相位为零，输入26在第三读 $R_{22}$ 的相位为九。修改后它们分别等待九步、八步，在 $A$ 的数字一相遇，物理相位分别为九和十七；$A$ 的数字一再等一步，来到 $B$ 的相位十和十八，分别读数字一和二，输出原标签17和26。其余二十五条初始化路径完全不变。旧表的五十三个单位态加上十个新单位态给 $w=63$，二十七个读取态和二十七个固定输出态给117。所有新单位态均被输入17或26完整走过，$A$ 和 $B$ 也可达。

按原作者对二十七个输入逐行展开单位后继的报告，读数直方图为四读七条、五读二十条；所有相邻读取等待为正且末读立即停止。完整历史森林有二十四个二元节点、七个一元节点；实际槽入度统计给 $J=1$，所有实际边重数为一而 $\Xi=0$，每个二元目标只有一个二元到达而 $s=0$。这是一张合法的同表见证，但容量高于105，不能作为一百零四态反例。证毕。

### 78.17 来源、核验和未解决的全模型界

本节直接复用第74—77节公开定义，尤其是第77节的完整历史计数、目标尾注入、$F$ 与 $G$ 的前向递推；这些引用指同一文档内已发布的模型和普通证明。固定行为的闭覆盖边界可参照 Abel 与 Reineke, *MEMIN: SAT-based Exact Minimization of Incompletely Specified Mealy Machines*, ICCAD 2015, §II.C 定理1及 §IV.B(c)：一个类和一个输入的全部已定义后继必须被同一个后继类包含，逐对另找容器并不足以构造闭覆盖。该文处理给定行为的实现，不选择本模型的取得策略，也不替代单位 $W$ 状态、原标签、共同初始化和物理相位的收费证明。

以下有限计算是原作者的先前核对报告，数值原样保留，未在本次文字校正中重新运行。原作者报告用整数程序核对 $F$、$G$、$G^\sharp$ 的区间递推，覆盖 $0\le l<u\le9$、$j=0,\ldots,4$ 的225个状态和1296个非单点转移；给出 $F_4(9)=24$、$G(9,7,4;0,9)=35$、$G^\sharp(9,7,4;0,9)=35$，并复算了第78.12所列深度三数组和根候选。阈值 $T=3,\ldots,8$ 的根值为 $33,33,33,34,35,34$。报告还在 $P=4,\ldots,12$、$T=3,\ldots,P-1$、至多五个二元到达、代表多重集和至多八个长一元到达的放宽算术域中核对了 $5{,}144{,}526$ 个目标记录，未发现（78.4）的反例；在 $P=3,\ldots,32$ 的合法不相交一元区间对上核对了 $3{,}895{,}582$ 个接缝记录，未发现（78.18）的反例。有限核对支持这些普通证明，不能枚举所有控制器。

原作者另报告从公开打印的完整行重建了一百零五态表、$K_0$ 表和（78.25）的117态表，各执行27条初始化路径。三张表的读数直方图分别为 $(3,4,5)=(2,7,18),(1,8,18),(0,7,20)$；读取态和等待态均全部可达，固定原标签、来源相位、正等待、五读截止、单位后继和完整槽质量均通过，三表的最大槽质量为一。报告的 $(r,w,C,E,U,J,s,\Xi)$ 分别为

$$
(25,53,105,29,3,0,0,0),\quad
(25,80,132,56,4,2,2,0),\quad
(27,63,117,37,7,1,0,0).
\tag{78.28}
$$

这些先前报告只涉及指定完整表和列明的有限算术域，不是全控制器搜索，也不是本次文字校正的新运行证据。没有进行 Lean/kernel 编译、形式化证明或全面文献原创性检索。

目前还缺少的正是共享二元目标的未来补偿：当 $s\ge1$ 时，两个或更多二元历史拥有同一实际目标的一个最长等待尾，而原标签和数字行的共同后继可能迫使额外读取或尾状态。需要在同一控制器上把这项相位、标签和后继闭合成本与 $11s+J+\Xi$ 的损失对应起来，同时避免重复收费。在 $p=3,P=9,h=5$ 的至多104态候选区域，本节排除了全部 $s=0$ 类，以及 $U=4,J=1$ 且有非单点回绕的子类；对 $U\ge5$，定理78.15的一般下界本身并不排除该回绕子类。尚待处理的是 $U\ge5,s\ge1$ 的区域，以及 $U=4,J=s=1,\chi=0$ 的四个局部必要轮廓。没有给出至多104态控制器，也没有证明无条件的 $E+2e+\ell\ge29$ 或一般参数的精确容量；同一 $E$ 的各项有效下界只能取最大，不能整体相加。原始空间、时间、边界、记忆互恢复目标继续开放。

## 78.99 追加锚

## 79. 实际目标的带符号补偿与完整双标记树

共享目标的进入费用必须与它实际使用的数字、源槽和共同继续同时计算。本节把第78节的修正阈值权推广到任意二元目标重合，保留一个有正有负的实际目标修正项；再用两个被迫继续的孩子建立完整树递推，排除三进九点五读模型的全部 $U\le4$ 小容量候选。递推保留单点继续和嵌套标记，只给从原表到树的下界投影。一般共享区域及原始互恢复目标仍未解决。

### 79.1 同一原表、完整森林和实际目标

**定义 79.11（本节的原表与记号）。** 固定 $p=3$、整数 $P>1$、有限整数读取上限 $h\ge1$，令 $M=3P$。取第76.11、77.11节的一张正确有限驻定确定总表 $K$。全部原输入 $x\in\mathbb Z/M\mathbb Z$ 从同一来源无关控制态和物理来源 $s=x$ 开始。$W$ 恰加一；$R$ 不改来源，只返回 $\lfloor[s]_M/P\rfloor$；$H_x$ 单独输出固定原标签 $x$。每条实际路径有限、至多 $h$ 读，动作词为 $W^\ell R(W^+R)^*$，末读后直接停止。全部名义态、未达态、单位等待、前缀、内部计数及终止态收费；不许免费计时、来源相关准备、复位、复制、逆步、输出重标或终止侧信道。任意字面正等待及其提升、额外读取态、单点继续、共享和在初始化输入上终止的控制环均保留。

$q_0$ 是共同首读态。实际活动槽 $v=(q,a)$ 有固定下一读取目标 $\tau(v)$ 及字面正等待 $\delta(v)$。首读以后按完整动作和答案展开的森林有三个根，每根包含 $P$ 个原标签；只有实际停止才成为叶。$U$ 数全部一元内部节点，包括首次单点以后的每次继续；二元节点总数为 $N=3(P-1)$。同槽不同历史的当前支持是同一数字块内互不交的精确整数区间，固定平移只有一个块内切口，故每个实际槽至多承载一个二元历史。承载者称生产槽；全局出度二而没有二元历史的活动槽称纯解析槽。

实际槽图的边是实际出现的不同有向槽对。根是 $q_0$ 的三个数字槽；它们无入边。非根槽的入度剩余为 $j_v=\deg^-(v)-1$，根取 $j_v=0$；令 $J=\sum_v j_v$。边 $f$ 的重数 $\nu_f$ 数映到它的完整森林边，令 $\Xi=\sum_f(\nu_f-1)$。$U_1$ 数全局出度一的活动槽。第76.12节的完整计数给出

$$
\#\{\text{生产槽}\}=N,\qquad
\#\{\text{纯解析槽}\}=J,\qquad
U=2J+U_1+\Xi.
\tag{79.1}
$$

对每个非首读实际目标 $q$，定义 $m_q$ 为到达它的二元历史数，$n_q$ 为它实际使用的数字槽数，$j_q=\sum_a j_{(q,a)}$；令 $k_q,c_q$ 分别为以它为下一目标的纯解析源槽数和全局出度一的源槽数。这里 $n_q$ 始终指使用数字数，区别于一出边前驱数 $c_q$。生产槽与二元历史一一对应，故有准确的实际边计数

$$
2m_q+2k_q+c_q=n_q+j_q,\qquad 1\le n_q\le3.
\tag{79.2}
$$

置

$$
\begin{aligned}
\mathcal B&=\{q:m_q>0\},&
s&=\sum_q(m_q-1)_+,\\
L_q&=\max_{\tau(v)=q}\delta(v),&
E&=\sum_{q\ne q_0}(L_q-1),&
\Delta_q&=j_q-k_q.
\end{aligned}
\tag{79.3}
$$

于是 $|\mathcal B|=N-s$，$s\le J$，且 $\sum_q\Delta_q=0$。奇数数字槽的关联计数给实际读取态数 $r=N+1+e$、$e\ge0$，所以无二元到达的非首读目标恰有 $e+s$ 个。不同目标的最长单位等待链彼此不交，也不交共同前缀；固定输出另需至少 $M$ 个终止态。因此

$$
C\ge M+2r-1+\ell+E;\qquad
P=9:\quad C\ge76+2e+\ell+E.
\tag{79.4}
$$

这些是第76—78节在原表上的计数与注入，不假设控制图无环。所需配置唯一性来自确定性：同一非终止 $(q,s)$ 若被同一输入重访便循环，若被不同输入共享便有相同固定输出。前缀与首读随全部输入覆盖所有相位，故后来不可再达。

每个内部历史的正代表为 $d=1+((\delta-1)\bmod P)$。二元代表在 $1,\ldots,P-1$。令 $b$ 为全部二元代表和，并在每个 $q\in\mathcal B$ 定义

$$
\gamma_q=\sum_{i=1}^{m_q}(d_i-1)-\max_i(d_i-1),\qquad
\gamma=\sum_{q\in\mathcal B}\gamma_q.
\tag{79.5}
$$

只为分析，在首次单点处截断，再从后向前擦除非单点一元历史。所得纯二元森林费用为 $b_0$。当前区间 $[l,u)$ 的非单点一元历史贡献 $a_H=d-P\lfloor(l+d)/P\rfloor$，单点继续贡献零；第76.14节给准确等式

$$
g:=b_0-b=\sum_{H\text{ 完整一元}}a_H,\qquad
b_0\ge3F_{h-1}(P),\qquad a_H\le P-2.
\tag{79.6}
$$

$F_j(P)$ 是全块纯二元阈值树在至多 $j$ 次进一步读取内的最小正代表和。分析擦除只改变用于下界的树，不声称物理删读或容量不增。所有 $U,J,\Xi,m_q,L_q$ 仍取截断以前的同一原表。

### 79.2 保留实际使用数字数的带符号补偿

**定理 79.12（同目标带符号阈值界）。** 在定义79.11下，进一步取 $P\ge5$、$T=P-2$。沿用第78.12节的修正权：二元节点收 $\beta(d)=2d-\mathbf1_{d\ge T}$；非单点一元节点收 $\mathbf1_{d\ge T,\ l+d<P}$；单点继续收零。记三个首读纤维的总权为 $Q^\sharp$，单个全块、至多 $h-1$ 次进一步读取的最小权为 $G^\sharp(P,T,h-1;0,P)$。

对 $m_q\ge2$ 的实际目标置

$$
B_q=\#\{i:d_i\ge T\},\qquad
\lambda_q=2\gamma_q+n_q-2m_q-B_q,\qquad
\Lambda=\sum_{m_q\ge2}\lambda_q.
\tag{79.7}
$$

$\Lambda$ 是带符号数，不取正部。令 $z$ 数满足 $m_q=0,L_q=1,\Delta_q=-1$ 的目标。则

$$
\begin{aligned}
Q^\sharp&\le2(E+N)+\Lambda+z,\\
E&\ge\left\lceil\frac{3G^\sharp(P,P-2,h-1;0,P)-\Lambda-z}{2}\right\rceil-N,\\
\Lambda&\le(2P-7)s,\qquad 0\le z\le\min(e+s,J).
\end{aligned}
\tag{79.8}
$$

证明。被一元权计数的历史必须满足 $u-l\ge2$、$d\ge P-2$、$u+d\le P$，所以恰有 $d=P-2,[l,u)=[0,2)$。同一实际源槽不能容纳两条这样的历史，因为支持会相交；该槽也不能是生产槽，因为其二元切口在低位二，跨切口的整数区间必与 $[0,2)$ 相交。因此这些历史注入不同的非生产实际源槽。若 $a_q^\sharp$ 数进入目标 $q$ 的这类历史，（79.2）给

$$
a_q^\sharp\le k_q+c_q,\qquad
 a_q^\sharp-\Delta_q\le n_q-2m_q.
\tag{79.9}
$$

这里数的是实际源槽；即使一条实际边有多个历史原像，也没有引入 $\Xi$ 的额外额度。

固定目标，略下标。若 $m=0$，则 $\Delta\ge-1$：$k=0,1$ 时由 $j\ge0$ 得到；$k\ge2$ 时由（79.2）得 $\Delta\ge k+c-3\ge-1$。若 $a^\sharp>0$，原长入口使 $L\ge T\ge3$，故 $a^\sharp\le3+\Delta\le2(L-1)+\Delta$。若 $a^\sharp=0$，同一上界除 $L=1,\Delta=-1$ 外都非负；此唯一例外加一即可。

若 $m=1$，则 $\Delta\ge0$：$k=0$ 时直接成立，$k\ge1$ 时 $\Delta\ge k+c-1\ge0$。又 $a^\sharp-\Delta\le1$。长二元代表给 $\beta(d)+a^\sharp\le2d+\Delta\le2L+\Delta$。短二元且 $a^\sharp=0$ 时直接用 $d\le L$；短二元且 $a^\sharp>0$ 时 $L\ge T\ge d+1$，仍有 $2d+a^\sharp\le2L+\Delta$。这三种情形给目标额度 $2(L-1)+2+\Delta$。

若 $m\ge2$，令 $D=\max_i d_i$，用同一原尾 $L\ge D$ 及（79.9）得到

$$
\begin{aligned}
&\sum_i\beta(d_i)+a^\sharp-igl(2(L-1)+2m+\Delta\bigr)\\
&\qquad=2\gamma-B+a^\sharp-\Delta+2(D-L)\\
&\qquad\le2\gamma+n-2m-B=\lambda.
\end{aligned}
\tag{79.10}
$$

负的 $\lambda$ 也满足这个不等式，不能把它解释成另一笔可加的状态资源。对全部原目标各求和一次，$\sum m_q=N$、$\sum\Delta_q=J-\#\{\text{纯解析槽}\}=0$，即得第一式。三个实际低位投影均属于 $G^\sharp$ 的树域，即使存在共同前缀，各首读纤维的当前低位仍是完整 $[0,P)$。所以 $Q^\sharp\ge3G^\sharp$；利用 $E$ 为整数得到第二式。

为证明粗界，在每个共享目标去掉一个最大代表。若最大代表达到 $T$，其余每项 $2(d_i-1)-\mathbf1_{d_i\ge T}$ 至多 $2P-5$，再用 $n\le3$ 得 $\lambda\le(2P-7)(m-1)$。若最大代表小于 $T$，各代表至多 $P-3$，得到 $\lambda\le(2P-10)(m-1)+1\le(2P-7)(m-1)$。求和即得 $\Lambda$ 的界。$z$ 至多为无二元到达目标数 $e+s$；每个例外的 $\Delta=-1$ 要求至少一个纯解析前驱，不同目标的前驱不同，故还满足 $z\le J$。证毕。

把每个目标的 $n_q$ 放宽为三，会得到修正数

$$
\eta_q=\sum_i\beta(d_i)-2\max_i d_i+5-4m_q
       =\lambda_q+3-n_q.
\tag{79.11}
$$

因此采用实际使用数字的 $\Lambda$ 保留了这个放宽丢失的余量；本节只使用（79.8），不另列重复下界。与旧权的 $J+\Xi$ 项不同，$\sum\Delta_q=0$ 是原表实际源槽与目标的有符号抵消。

$P=9,h=5$ 时，第78.12节的有限递推给 $G^\sharp=35$，其深度三前段、后段值分别为

$$
(0,2,4,16,19,31,46,61),\qquad
(0,2,4,6,11,25,42,59).
\tag{79.12}
$$

根代表一至八的全部候选为 $(61,48,35,35,35,47,61,76)$；代表九留下三次读数，不能区别九个标签，故不可行。于是（79.8）准确整数化为

$$
\begin{aligned}
E&\ge29-\left\lceil\frac{\Lambda+z}{2}\right\rceil,\\
\Lambda+z\le4e+2\ell&\ \Longrightarrow\ E+2e+\ell\ge29,\\
E&\ge29-\left\lceil\frac{11s+z}{2}\right\rceil,\\
C&\ge105+\left\lfloor\frac{3e}{2}\right\rfloor+\ell-6s.
\end{aligned}
\tag{79.13}
$$

最后一式只用了 $z\le e+s$；可直接使用 $z\le\min(e+s,J)$ 保留更多信息。这些是同一个 $E$ 的下界，只能与其他有效下界取最大，不能整体相加。此定理未把占用记录判为可实现控制器。

### 79.3 含真实共享的条件类及完整非空见证

**推论 79.13（共享目标中至多一个非单位代表）。** 在定理79.12的模型中，若每个 $m_q\ge2$ 的目标，其二元等待代表除至多一个外全等于一，则

$$
\Lambda\le-s,\qquad \Lambda+z\le e,\qquad
E\ge\left\lceil\frac{3G^\sharp-e}{2}\right\rceil-N.
\tag{79.14}
$$

特别在 $P=9,h=5$，该条件类满足 $C\ge105+\lfloor3e/2\rfloor+\ell$，其最小容量恰为 $105$。

证明。去掉一个最大代表后，全部 $d_i-1$ 为零，故 $\gamma_q=0$，$\lambda_q=n_q-2m_q-B_q\le3-2m_q\le-(m_q-1)$。求和并用 $z\le e+s$ 得（79.14），再代入（79.4）。第74.22节的完整 $105$ 态表有 $s=e=\ell=0$，属于本条件类并达到下界。下一命题给该类的真实 $s=1$ 成员，说明条件范围确实超出 $s=0$。这里的等号属于包含 $s=0$ 的整个条件类，不声称严格 $s\ge1$ 子类在 $105$ 处达到。证毕。

**命题 79.14（分开 $Q$ 的一百三十六态表）。** 取第75.18节的完整 $K_0$ 表，删除读取态 $Q$ 及其六个单位尾态；引入 $Q_a,Q_b$，尾长分别为三、六。仅将下列读取行替换或新增，其他读取行逐字采用第75.18节 $K_0$ 的行，初态仍为 $S$：

| 79.分Q读取行 | 数字零 | 数字一 | 数字二 |
| --- | --- | --- | --- |
| 79.分Q的S | $\langle Q_a,3\rangle$ | $\langle Q_b,6\rangle$ | $\langle O,6\rangle$ |
| 79.分Q的Qa | $\langle T0,3\rangle$ | $\langle T1,6\rangle$ | $H_0$ |
| 79.分Q的Qb | $H_0$ | $\langle T1,6\rangle$ | $\langle T2,6\rangle$ |

所有其余目标尾长保留第75.18节的完整分组：$O,T1,T2,O1$ 为六，$UA,UD,O11$ 为七，$V2$ 为八，$UB$ 为四，$T0$ 为三，读取态 $U$ 为二，$UC,V0,V1,VA,VB,VC,VD,O00,O0,O100,O10,O110$ 为一。此处读取态名 $U$ 与一元节点数 $U$ 按上下文区分。

每个目标 $q$ 配置全部 $W(q,j)$、$1\le j\le L_q$。它执行一次来源加一，在 $j>1$ 时到 $W(q,j-1)$，$j=1$ 时到 $q$；$\langle q,d\rangle$ 就是该已收费的 $W(q,d)$。另取恰二十七个 $H_x$，$0\le x\le26$，固定输出原 $x$、形式后继为自身。上述读取行、全部单位态和全部 $H_x$ 穷尽名义载体和总后继。

该表对全部原输入正确，且与 $K_0$ 逐原输入具有相同的完整动作、读时相位、读数和固定输出。准确数据为

$$
\begin{gathered}
26R+83W+27H=136,\qquad E=58,\quad e=1,\quad\ell=0,\\
U=4,\quad J=s=1,\quad U_1=2,\quad\Xi=\chi=0,\\
Q^\sharp=150,\quad\Lambda=-1,\quad z=1,\qquad
(b,b_0,g,\gamma)=(77,80,3,0).
\end{gathered}
\tag{79.15}
$$

这里及以下的 $\chi$ 数至少承载一个非单点回绕一元历史的纯解析槽，每个槽只计一次。

证明。第75.19节列出的全部二十七条路径中，原输入 $0,\ldots,8$ 经 $S$ 等三步到 $Q$，只使用其数字零、一；将这次读取换为 $Q_a$，两个实际后继及字面等待相同。输入 $9,\ldots,17$ 等六步到 $Q$，只使用数字一、二，由 $Q_b$ 给相同后继。输入 $18,\ldots,26$ 保留 $O$ 分支。所有后续读取态保持原名，所有累计等待保持第75.19节的数值。故沿每个实际单位步骤归纳，来源始终为 $[x+A]_{27}$，其中 $A$ 是累计 $W$ 数；每个读取选择原来的实际数字及后继，最后到原 $H_x$。这覆盖全部路径而非仅覆盖读取端点，也证明末读立即停止及最多五读。

旧六单位尾变成三加六，增三等待和一读取，故容量从 $132$ 增为 $136$。两条新尾都由对应完整纤维走过，其他原态仍在同一组后续路径上，全部名义态可达。三／四／五读输入数仍为 $(1,8,18)$。

拆开 $Q$ 消除一个二元目标重合；$Q_a,Q_b$ 的两个数字一是不同的一出边源槽，同到 $T1$ 的不同实际数字，消除原 $(Q,1)$ 的纯解析身份。其余槽边不变，唯一共享二元目标是读取态 $U$，进入代表为 $(1,2)$。它的数字一仍承载两个单点历史，原标签二、六，当前低位分别为零、八；共同等一步后到 $V1$ 的不同数字。故唯一纯解析槽是 $(U,1)$，$\chi=0$，$L_{V1}=1$ 给 $z=1$；共享目标使用三个数字，给 $\lambda_U=3-4=-1$。完整森林保留四个一元节点，边计数给（79.15），其余费用由全部目标尾求和得到。证毕。

这是推论79.13条件类的非空共享见证；它不改善已有 $105$ 上界，也不证明严格共享类的最小值。

### 79.4 唯一共享槽与纯解析槽分离时的补偿

**引理 79.15（保留准确 $\gamma$ 及分离槽的共同收费）。** 在定义79.11下取 $P\ge3,J=s=1$。唯一的共享二元目标有两个二元前驱。其四条不同实际入边恰占三个数字，有一个共同数字槽 $w$；令 $v$ 为唯一纯解析槽，$q_*=\tau(v)$。按共同数字中的低位支持，把两个二元前驱定向为：前驱 $A$ 的下侧孩子是后段 $[P-\rho,P)$，前驱 $B$ 的上侧孩子是前段 $[0,\sigma)$。用 $d_A,d_B$ 表示这两个二元代表，则

$$
\gamma=\min(d_A,d_B)-1,\qquad
q_*\notin\mathcal B.
\tag{79.16}
$$

若 $t$ 是 $v$ 的正代表、$\delta_*$ 是其字面等待，则 $1\le t<P$，并有

$$
\begin{aligned}
E&\ge b-N-\gamma+(\delta_*-1),\\
E&\ge3F_{h-1}(P)-N-(P-2)(U-2)-\gamma-1,\\
w\ne v&\ \Longrightarrow\
E\ge3F_{h-1}(P)-N-(P-2)(U-2)-1.
\end{aligned}
\tag{79.17}
$$

第一式中的 $b$ 是同一原表的全部二元代表总和。

证明。$s=1$ 强制恰一个 $m_q=2$，其他二元目标均有 $m_q=1$。该目标的两个生产前驱给四条不同入边，需要 $j_q\ge1$；$J=1$ 遂强制 $j_q=1,n_q=3$，没有其他不同入边进入该目标。两份二数字支持若相同，会需要入度剩余二，故它们恰有一个共同数字 $w$，并耗尽全图入度剩余。在三数字循环上，这个共同数字是一个支持的下侧和另一个的上侧；固定平移的低位孩子分别是所述后段和前段。此定向与绝对数字旋转无关，也没有假定两个历史在相同读索引发生。

第77.12节在同一原表中给一个纯解析前驱，其目标不在 $\mathcal B$；纯解析槽唯一，所以该前驱就是 $v$。也可直接按入边验证：若 $v$ 的二出边进入某个只有一个二元前驱的目标，该处至少另需一单位 $J$；若进入已有两个二元前驱的共享目标，该处六条不同入边至少需三单位 $J$。两者均不可能。这也覆盖目标与源读取态身份相同的可能性。故 $q_*\notin\mathcal B$。每个二元目标以 $L_q-1$ 支配该目标的最大代表超额，合计至少 $b-N-\gamma$；$q_*$ 的最长尾可以在这些目标以外收费一次，得到第一式。

纯解析槽必须有非回绕和回绕两类完整一元历史；$t=P$ 不能产生两种下一数字，故 $t<P$。从 $v$ 各选一条，前者的擦除增量至多 $t$，后者至多零，单点也计入这两个历史且增量为零。其余 $U-2$ 项各至多 $P-2$。将

$$
g\le t+(P-2)(U-2),\qquad
\delta_*\ge t,\qquad b=b_0-g
\tag{79.18}
$$

代入第一式，得到第二式。这保留实际 $\gamma$，没有把它预先换成 $(P-2)s$。

设 $w\ne v$。共同槽的所选后段长度满足 $\rho\le P-d_A$。若该后段历史是一元，它在正代表小于 $P$ 时只可能整体回绕，代表为 $P$ 时增量为零，故其擦除增量至多零。它不能实际停止：同一个槽还承载另一条不同历史，停止槽只有一个最终历史。若该后段历史是二元，当前槽的切口必须在后段内部，因此当前等待代表至多 $\rho-1$。同槽的所选前段历史不能也二元，只能一元；它的擦除增量至多 $\rho-1$，包括单点增量零。因此总能在 $w$ 选出一条一元历史，其增量至多 $P-d_A-1$。

它与 $v$ 处已选的两条历史不同，故

$$
g\le t+(P-d_A-1)+(P-2)(U-3).
\tag{79.19}
$$

把这个界代入同一个已分离目标的第一式，再用 $b_0\ge3F_{h-1}(P)$ 及 $d_A-\gamma\ge1$，得到

$$
\begin{aligned}
E&\ge3F_{h-1}(P)-N-(P-2)(U-3)-P+d_A-\gamma\\
 &\ge3F_{h-1}(P)-N-(P-2)(U-2)-1.
\end{aligned}
\tag{79.20}
$$

额外历史与边重数没有被删除；只选了三个已证明互异的一元节点。证毕。

### 79.5 包含单点继续的双标记递推

**定义 79.16（完整双标记区间树）。** 固定 $P>1,h\ge1$ 及 $a,b,t\in\{1,\ldots,P-1\}$。这些 $a,b$ 在本定义内是两个标记二元父节点的等待代表；下文用 $b_{\rm sum}=\sum_{H\text{ 二元}}d_H$ 表示定义79.11的二元代表总和，以免混淆。对非空整数区间 $I=[l,u)\subseteq[0,P)$，正代表 $d\in\{1,\ldots,P\}$ 的孩子列表 $\mathcal C_d(I)$ 是：将 $I+d$ 按商零、一切开，再把商一部分减去 $P$，只留非空区间并按原来的商排序。孩子数是一或二；二孩子时称下侧、上侧。

令 $V_j(I;u_0,S)$ 为至多 $j$ 次进一步读取的完整低位树的最小二元代表和。$u_0$ 是全部一元节点数，单点继续也计数；标记集 $S\subseteq\{A,B\}$ 表示每个所列标记恰出现一次。不可行为 $+\infty$。单点可以立即停止，给 $(u_0,S)=(0,\varnothing)$ 的零值；非单点不能停止。$j=0$ 时仅有上述停止项。负的一元计数一律不可行。

对 $j\ge1$，除单点停止外，遍历全部 $d=1,\ldots,P$：

1. 若有一个孩子 $I'$，从 $V_{j-1}(I';u_0-1,S)$ 得候选，二元费用不增加。一元步骤消耗一读，包括单点上的步骤。
2. 若有两个孩子 $I_-,I_+$，把 $u_0$ 分成 $u_-+u_+$，把 $S$ 不交分配为 $S_-\sqcup S_+$，候选为 $d+V_{j-1}(I_-;u_-,S_-)+V_{j-1}(I_+;u_+,S_+)$。
3. 当前二元根还可以取得一个标记，但不能同时取得两个。取标记 $A$ 只许 $d=a$ 且 $I_-=[P-1,P)$，并强制这个下侧孩子先执行等待代表 $t$ 的一元根。取标记 $B$ 只许 $d=b$，并强制上侧前段孩子先执行同样代表 $t$ 的非回绕一元根。当前根取得的标记不再出现在其后代；另一个标记仍可出现在任一后代。

强制一元孩子通过下式精确定义，不隐去额外读取或单点节点：

$$
\mathcal F_{t,j}(I;u_0,S)=
\begin{cases}
V_{j-1}(I';u_0-1,S),&j\ge1,\ \mathcal C_t(I)=(I'),\\
+\infty,&\text{其他情形}.
\end{cases}
\tag{79.21}
$$

第三项使用 $\mathcal F_{t,j-1}$ 替换被强制孩子的 $V_{j-1}$，其余孩子照常；标记 $B$ 另要求 $I_+=[0,u_+^{\rm end})$ 且 $u_+^{\rm end}+t\le P$。在相同的 $(j,I,u_0,S)$ 上对所有候选取最小。这允许两标记在同一首读纤维、不同深度或祖先与后代位置出现；它们的父节点必须不同。

用三个 $V_{h-1}([0,P))$ 作最小加法卷积：相加一元计数和费用，标记集必须互不相交，最后总标记为 $\{A,B\}$、总一元数为 $U$。记所得最小值为 $\mathcal T_{a,b,t}(U)$，并定义

$$
\mathcal M_{P,h}(U)
=\min_{1\le a,b,t<P}
\bigl(\mathcal T_{a,b,t}(U)+t-\min(a,b)\bigr).
\tag{79.22}
$$

还使用一个明确放宽的同一递推：把两个强制孩子各自的首个一元等待独立放宽到 $1,\ldots,P$，并去掉标记 $B$ 的非回绕要求。相应强制算子为 $\min_d\mathcal F_{d,j}$，其孩子也递归使用同一放宽后的树域，记所得单根值为 $V^{\rm rel}_j$。设

$$
H_S(a,b)=\min_{u_0}V^{\rm rel}_{h-1}([0,P);u_0,S),
\tag{79.23}
$$

并在三根上要求两标记恰各一次，但不固定 $U$。此放宽只减少下界；不把两个不同的强制等待冒充实际槽的共同字面等待。

上述递推的准确含义由深度归纳得到。每棵完整树的根只能是单点停止、一次一元读取或一次二元读取；各次实际代表、孩子区间、计数和标记分配恰落在对应项。强制算子明确占用一次读取，故不漏单点继续。反向把每项的孩子接到给定低位切口，确实得到所定义的低位树。由于深度减少且选项有限，最小值及不可行性由递推穷尽。这一反向拼接只产生树，不证明共同相位、原标签及固定数字行能在驻定控制器中同时实现。

**定理 79.17（共同字面等待的正向控制器界）。** 在定义79.11下，假设 $J=s=1,\chi=0$，且引理79.15的共同数字槽 $w$ 就是唯一纯解析槽 $v$。把共同数字的两次二元到达定向为后段孩子与前段孩子，代表分别为 $a,b$；令该槽的实际字面等待为 $\delta$、正代表为 $t$。则

$$
\begin{aligned}
E&\ge\mathcal T_{a,b,t}(U)-N-\min(a,b)+\delta\\
 &\ge\mathcal M_{P,h}(U)-N.
\end{aligned}
\tag{79.24}
$$

如果再假设 $\Xi=0$，则 $w=v$ 自动成立，不必另加。

证明。纯解析槽的每条历史都一元。对共同槽中的所选后段，$t<P$ 的一元平移必回绕，$\chi=0$ 因而强制它是单点 $[P-1,P)$。所选前段从低位零开始，一元性迫使它非回绕。二者均实际继续，使用同一个字面等待 $\delta$，其代表同为 $t$。两个不同的生产前驱于是给定义79.16的两个不同标记父节点及其被迫继续的孩子。

对原表的完整森林只取正代表，精确低位区间及其分割保持，原索引、一元计数和单点继续均保留。不同历史允许含相同原标签的不同索引事件；其父节点身份仍是不同的完整历史。因此同一原表的三棵树属于 $\mathcal T_{a,b,t}(U)$，包括同纤维或嵌套标记的情况。由引理79.15，$q_*$ 在二元目标之外，准确共享扣减为 $\gamma=\min(a,b)-1$。于是

$$
E\ge b_{\rm sum}-N-\gamma+(\delta-1)
=b_{\rm sum}-N-\min(a,b)+\delta.
\tag{79.25}
$$

用原森林的 $b_{\rm sum}\ge\mathcal T_{a,b,t}(U)$ 得第一式，再用 $\delta\ge t$ 并在相同参数合同下取最小得第二式。等待提升一直由原 $L_{q_*}\ge\delta$ 收费，未把它消成免费时间。

最后设 $\Xi=0$。每条实际边恰有一个完整森林原像，故入度二的 $w$ 恰承载两条历史。它不能是停止槽。若其中一条历史二元，另一条仍须继续，至少三条森林出边映到至多两条实际出边，会使 $\Xi>0$。若二者均一元但到同一下一数字，两条森林出边映到一条实际边，也使 $\Xi>0$。所以二者均一元并到不同下一数字；$w$ 必是唯一纯解析槽 $v$。此推论没有丢弃控制环。证毕。

### 79.6 九点五读的有限递推证书

**命题 79.18（双标记树的九点证书）。** 取 $P=9,h=5$。定义79.16的放宽根值在 $a,b\in\{6,7,8\}$ 时如下。四元组列依次为 $H_\varnothing,H_A,H_B,H_{\{A,B\}}$；$+\infty$ 表示不可行。

| 79.高代表参数 | 四个单根最小值 |
| --- | --- |
| 79.参数66 | $(17,30,17,+\infty)$ |
| 79.参数67 | $(17,30,18,30)$ |
| 79.参数68 | $(17,30,24,38)$ |
| 79.参数76 | $(17,31,17,+\infty)$ |
| 79.参数77 | $(17,31,18,31)$ |
| 79.参数78 | $(17,31,24,39)$ |
| 79.参数86 | $(17,24,17,24)$ |
| 79.参数87 | $(17,24,18,25)$ |
| 79.参数88 | $(17,24,24,32)$ |

两标记或者位于同一根，或者位于不同根；所以三根上 $b_{\rm sum}-\min(a,b)$ 的放宽最小值为

$$
\min\{H_{\{A,B\}}+2H_\varnothing,
       H_A+H_B+H_\varnothing\}-\min(a,b).
\tag{79.26}
$$

按行 $a=6,7,8$、列 $b=6,7,8$，它恰为

$$
\begin{pmatrix}
58&58&65\\
59&58&65\\
52&52&57
\end{pmatrix}.
\tag{79.27}
$$

完整共同等待递推的 $\mathcal M_{9,5}(U)$ 则为下表；$U=0,1$ 不可行。

| 79.完整一元数 | $\mathcal M_{9,5}(U)$ |
| --- | ---: |
| 79.计数2 | 65 |
| 79.计数3 | 58 |
| 79.计数4 | 53 |
| 79.计数5 | 53 |
| 79.计数6至15 | 52 |
| 79.计数16 | 53 |
| 79.计数17 | 58 |
| 79.计数18 | 65 |
| 79.计数19 | 73 |
| 79.计数20 | 81 |
| 79.计数21 | 89 |

证明与有限证书。定义79.16给全部 $45$ 个非空低位区间、深度 $0,\ldots,4$、代表 $1,\ldots,9$ 上的有限整数递推；标记参数遍历 $\{1,\ldots,8\}^3$ 的全部 $512$ 个三元组。每根完整树有九个最终叶及八个二元节点。深度四的二元或一元树至多十五个内部节点，所以每根一元数至多七，三根至多二十一。两个不同父节点各有一个不同的强制一元孩子，所以至少两个一元节点。故上表的计数域无遗漏，且停止不必都发生在最后一层。

为给出与完整单点链递推不同的复算方式，先逐点按下一商分组，枚举首次单点即停止的所有全块树。递归规则是单点直接作叶；非单点遍历九个代表，按一个或两个孩子的全部较小深度树作笛卡尔积。得到 $8910$ 棵树，其非单点一元数零、一、二、三的数量分别为 $94,1072,3648,4096$。这些树不是驻定控制器。

对其中任一树，令 $u$ 是已保留的一元数，$R$ 是全部单点叶剩余可读深度之和。给每个单点叶加一元链，恰可实现 $u,u+1,\ldots,u+R$ 的每个完整一元计数，二元费用不变。若选中的标记孩子原为单点叶，它必须至少加一读；若原为非单点，它必须已经是所需代表的一元根。两个标记父节点要求不同，强制的单点叶亦不同；嵌套的另一个标记照常保留。因此固定所选标记后，允许的完整计数是从所需最少单点继续数到 $R$ 的整段。对非单点标记 $B$ 还检验当前前段在等待 $t$ 后非回绕；标记 $A$ 的单点后段用同一个 $t$。这准确恢复定义79.16的完整树域，同时避免枚举等价的单点链等待词。

按此法所得根表与直接完整递推在全部 $512$ 组参数上的 $11190$ 个可行根记录一致；三根卷积的全部 $8724$ 个可行 $(a,b,t,U)$ 最小值也一致，取（79.22）的最小即得上表。同一截断树枚举放宽两个强制等待和标记 $B$ 的回绕限制，独立得到九个四元组；（79.26）直接给（79.27）。这是有限深度整数证书及其完整递推证明，不是全控制器枚举。证毕。

### 79.7 四个剩余四一元轮廓的完整排除

**定理 79.19（$U=4$ 剩余类的实际尾下界）。** 在完整 $p=3,P=9,h=5$ 原模型中，若 $U=4,J=s=1,\chi=0$，则

$$
E\ge29,\qquad C\ge105+2e+\ell.
\tag{79.28}
$$

不另要求 $\Xi=0$ 或立即解析。结合第77—78节的已证排除，每张 $C\le104$ 的正确表必有 $U\ge5,s\ge1$。

证明。第76.16节的全块纯二元递推给 $F_4(9)=24$；引理79.15保留准确扣减，得到

$$
E\ge33-\gamma,\qquad
\gamma=\min(d_A,d_B)-1.
\tag{79.29}
$$

若 $\gamma\le4$，已经有 $E\ge29$。若 $\gamma\ge5$，两个共享二元代表都在 $\{6,7,8\}$。当共同数字槽 $w$ 不同于纯解析槽 $v$ 时，引理79.15的分离槽补偿给更强的 $E\ge33$。

只剩 $w=v$。$\chi=0$ 使共同后段孩子为单点，两个孩子都实际继续，定理79.17的正向包含成立。把共同等待放宽、并去掉一元数限制，只会降低二元费用的最小值。命题79.18的（79.27）于是对这同一原森林给 $b_{\rm sum}-\min(d_A,d_B)\ge52$。在原表的（79.25）中使用字面等待 $\delta\ge1$，得到

$$
E\ge52-24+\delta\ge29.
\tag{79.30}
$$

三个分支穷尽所有情况；这里即使存在重复森林边，也没有删掉它们或先假定 $w=v$。最后代入原状态注入（79.4）。第77.20节及第78.13、78.15节已经把 $C\le104,U\le4$ 压到 $U=4,J=s=1,\chi=0$ 的四个轮廓 $(e,\ell)=(0,0),(0,1),(0,2),(1,0)$；（79.28）全部排除。第78.13节排除全部 $s=0$，故剩余候选必须有 $U\ge5,s\ge1$。证毕。

定理不声称 $U=4$ 条件类在 $105$ 处达到，也没有把矩阵中的最小树变成控制器。与其他关于 $E$ 的界联合时只取最大；（79.30）内部的加法来自已证明不同的二元目标集合与 $q_*$。

### 79.8 较大一元数下的立即解析边界

**推论 79.20（一个共享对、无重复边的剩余区间）。** 在 $p=3,P=9,h=5$ 的完整原模型中，显式假设 $J=s=1,\Xi=0,\chi=0$，则对完整一元数 $U$ 有

$$
E\ge\mathcal M_{9,5}(U)-24.
\tag{79.31}
$$

特别 $U=5$ 时 $E\ge29$。若这个条件类中有 $C\le104$ 的表，则必要条件是

$$
C=104,\qquad E=28,\qquad e=\ell=0,\qquad 6\le U\le15.
\tag{79.32}
$$

证明。$\Xi=0$ 由定理79.17强制共同槽立即就是纯解析槽，故（79.24）适用。命题79.18的所有可行值至少为五十二，给 $E\ge28$。只有 $U=6,\ldots,15$ 的递推值等于五十二，其余计数给 $E\ge29$ 或更大。与 $104\ge C\ge76+2e+\ell+E$ 合并，所有非负整数余量只能满足（79.32）。证毕。

这是带四项明确前提的必要边界。$\Xi>0$ 的延后解析、更大共享数及其他 $\chi$ 情形仍需另外的同表论证；（79.32）没有证明任一候选存在。

### 79.9 重复历史边的实际流恒等式

**定理 79.21（从入度碰撞到纯解析槽的边剩余平衡）。** 在定义79.11的完整实际槽图上，不限制 $U,J,s,\Xi,\chi$。对每条实际边 $f$ 令 $w_f=\nu_f-1\ge0$，令 $\pi_v$ 为纯解析槽的指示函数。则每个使用槽 $v$ 都满足

$$
\sum_{f\text{ 离开 }v}w_f-\sum_{f\text{ 进入 }v}w_f
=j_v-\pi_v,\qquad
\sum_f w_f=\Xi.
\tag{79.33}
$$

根是共同首读的三个槽，$j_v=0$；终止槽是实际停止行，有且仅有一个最终叶历史。等式允许自环和其他有向环。

证明。记 $t_v$ 为映到槽 $v$ 的完整历史数。非根槽的全部历史都有一条进入森林边，所以

$$
t_v=\deg^-(v)+\sum_{f\text{ 进入 }v}w_f
    =1+j_v+\sum_{f\text{ 进入 }v}w_f.
\tag{79.34}
$$

对活动槽，令 $B_v$ 是生产槽指示函数。每条历史有一或二个孩子，同槽至多一条二元历史，故森林出边数为 $t_v+B_v$，于是

$$
\sum_{f\text{ 离开 }v}w_f=t_v+B_v-\deg^+(v).
\tag{79.35}
$$

生产槽有 $(B_v,\deg^+)=(1,2)$，一出边槽为 $(0,1)$，纯解析槽为 $(0,2)$。将（79.34）代入（79.35），分别得到 $j_v,j_v,j_v-1$，即（79.33）。根只有一个完整历史、无入边，不能是纯解析槽，每条实际出边也只有一个历史原像，所以两边都为零。终止槽只能输出一个固定标签；该标签的一次实际终止只有一个叶历史。因此它有一条实际入边、重数一、无出边，$j_v=0$，两边仍为零。第二个等式就是完整边重数的定义。证毕。

当 $J=s=1$ 时，唯一正入度剩余位于共享二元目标的共同数字 $w$，唯一纯解析槽为 $v$。若二者不同，非负整数边流有一个单位从 $w$ 到 $v$，可以分解为一条有向 $w$ 至 $v$ 路径及若干有向循环；若二者相同，全部边流是循环流。这个有限整数流分解可通过沿正权边追踪、减去一条源汇路径或闭环反复得到，总权严格递减。初始化执行终止并不排除实际槽图中的循环，故不能省略循环部分。

$\Xi$ 计算的是所分解路径和循环的总边权，不是额外等待态数。延后解析的路径长度本身不能再次收费到 $E$；仍须识别实际目标及其最长字面尾，避免把（79.33）当作另一份独立容量下界。

### 79.10 数值证据、来源与未决恢复

本节所需基础内容来自同卷已发表第74—78节，固定文本身份为[版本 3d8f4f0a7441dbc2dafaa2a7e788b2a0afaf6908](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/3d8f4f0a7441dbc2dafaa2a7e788b2a0afaf6908/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md)。第76—77节提供完整历史、实际槽计数、分析擦除和原尾注入；第78节提供修正权及此前的条件排除。本节是这些关系上的仓内普通推导（repo-derived），没有引入新的外部最小化定理，不主张文献认证的原创性或 Lean/kernel 验证。第74.22、75.18、75.19节明确给出的总表及路径分别支撑条件等号和分 $Q$ 见证。

数值证据的有限域如下。修正权的两种整数递推分别按区间端点切分和逐点商分组，对全部 $225$ 个区间／深度值一致；非单点转移共 $1296$ 项，得到（79.12）及 $G^\sharp=35$。纯二元等待递推另给 $F_4(9)=24$。双标记证书的完整域、全部根值对照和森林卷积对照见命题79.18；其无限控制器量词由定理79.17的正向包含承担，不能从有限树枚举外推可实现性。

带符号局部算术的核对域是 $P=5,\ldots,12$、$m=0,\ldots,4$，所有来自 $1,\ldots,P-1$ 的非降二元代表列表，$k,c=0,\ldots,3$，使用数字数 $n=1,\ldots,\min(3,2m+2k+c)$，由（79.2）定义 $j$；计权一元数遍历 $0,\ldots,k+c$，尾长取代表及长一元所强制的最小值和该值加 $P$。共 $1655496$ 条记录全部满足（79.10）及 $m=0,1$ 的对应例外处理，最小余量为零；共享粗系数及单位代表推论也通过该域核对。域中允许物理上不可实现的记录，所以这只核对算术，不提供控制器存在性。

第74.22节的 $105$ 态表、原 $K_0$、命题79.14的分 $Q$ 表共 $81$ 条初始化执行、$1438$ 次非终止单位状态访问；所有名义态可达、后继总定义、原固定输出、逐单位相位、正读间等待、五读截止、非终止联合配置唯一以及完整索引槽质量均成立。三表的 $(C,E,U,J,s,\Xi,\Lambda,z)$ 分别为

$$
(105,29,3,0,0,0,0,0),\quad
(132,56,4,2,2,0,2,1),\quad
(136,58,4,1,1,0,-1,1).
\tag{79.36}
$$

后两表的全部二十七份完整原子词逐输入相同。完整森林统计同时满足（79.1）、擦除等式及（79.33）。这些读数仅认证指定表；任意字面提升与允许控制环的范围由普通证明中的原目标支配、配置唯一及完整有限展开处理。

新增的恢复方向仍是有条件的：同一来源的空间区间和数字边界确定实际分割，读取截止决定哪些共同继续仍可完成；实际槽身份约束历史的兼容，目标的最大单位尾最后恢复收费记忆。双标记树遗忘了部分绝对相位、原标签和未标记后继闭合，所以其反向仍不能恢复驻定总表。边流则准确保留了历史重复从碰撞处到解析处的关系，却没有把这段关系自动变成新收费状态。

在三进九点五读模型中，至多 $104$ 态的未决区域已缩到 $U\ge5,s\ge1$。其中 $J=s=1,\Xi=0,\chi=0$ 还必须满足（79.32）；一般候选还受（79.13）的同表带符号判据约束。延后解析、多个共享二元目标及其他较大一元数情形仍缺统一补偿，也没有给出一张至多 $104$ 态完整表。无条件的 $E+2e+\ell\ge29$、一般参数精确取得容量、读取最优约束下的容量，以及原 general-$B$ 与空间、时间、边界、记忆的完整互恢复目标继续开放。

## 79.99 追加锚

## 80. 单碰撞的立即解析障碍与固定物理森林的最小等待实现

### 80.1 同一原表上的碰撞与费用

**定义 80.11（共同实现的约定）。** 使用定义79.11的完整驻定确定模型。整数 $P>1$，$p=3$，$M=3P$，读取上限为有限整数 $h$。每个原输入 $x\in\mathbb Z/M\mathbb Z$ 从同一个来源无关控制态及来源 $x$ 开始；$W$ 恰加一，$R$ 读取 $\lfloor[s]_M/P\rfloor$ 而不改变来源，$H_x$ 输出固定原标签 $x$。路径有限，动作词为 $W^\ell R(W^+R)^*$，至多 $h$ 读，末读后立即停止。所有名义态、未达态、单位等待、共同前缀、内部计数及固定输出态均收费；没有来源相关准备、免费计时、复位、复制、逆步或终止侧信道。

完整读后历史森林包括单点继续。保留第79节的记号：$N=3(P-1)$ 是二元历史数，$U$ 是完整一元数；$J$ 是实际槽入度剩余，$\Xi$ 是森林边映到实际槽边的重数剩余；$m_q$ 数二元历史的下一目标为 $q$ 的次数，$s=\sum_q(m_q-1)_+$，$r=N+1+e$。实际活动槽 $v$ 的字面等待与下一读目标为 $\delta(v)>0,\tau(v)$，且

$$
\begin{aligned}
L_q&=\max_{\tau(v)=q}\delta(v),&
E&=\sum_{q\ne q_0}(L_q-1),\\
C&\ge M+2r-1+\ell+E,&
P=9:\quad C&\ge76+2e+\ell+E.
\end{aligned}
\tag{80.1}
$$

这些费用属于原表。不同目标的最长纯等待链彼此不交，且与共同前缀不交；否则一个等待态会有两个不同的首次后续读取目标，或重现一个非终止联合配置。后者对同一输入造成循环，对不同输入造成相同固定输出，均不可能。每个原标签还需自己的终止态。第76—79节的同表计数给 $e\ge0$、$s\le J$、纯解析槽数恰为 $J$、$U=2J+U_1+\Xi$。

令 $S$ 为完整森林全部二元等待正代表的和，其中 $d=1+((\delta-1)\bmod P)$。二元代表属于 $1,\ldots,P-1$。若 $J=s=1$，恰有一个目标接收两个二元历史；其四条不同入边占三个数字，耗尽唯一入度剩余。在共同数字槽 $w$，定向两个孩子为后段 $[P-\rho,P)$ 与前段 $[0,\sigma)$，父节点代表分别为 $a,b$。唯一纯解析槽记为 $v$。第79.15节证明

$$
q_*:=\tau(v)\notin\{q:m_q>0\},\qquad
\gamma=\min(a,b)-1.
\tag{80.2}
$$

若 $w=v$，两历史都是实际一元继续，使用同一个字面等待 $\delta$；其代表 $t$ 满足 $1\le t<P$，后段整体回绕，前段不回绕。因此 $\rho\le t$、$\sigma+t\le P$。由原二元目标各收一次最大尾，并另外收不同目标 $q_*$，得到

$$
E\ge S-N-\min(a,b)+\delta
\ge S-N-\min(a,b)+t.
\tag{80.3}
$$

这里允许两个历史处在不同索引、同一首读纤维或嵌套位置，允许任意 $U,\Xi$ 及字面提升。$\chi$ 仍按第78节数承载非单点回绕历史的纯解析槽；以下立即解析定理不要求 $\chi=0$。

### 80.2 带一个继续标记的参数递推

**定理 80.12（完整低位树的二元费用与继续标记）。** 对任意整数 $P>1$、$j\ge0$ 和非空整数区间 $I=[l,u)\subseteq[0,P)$，令 $K_j(I)$ 为至多 $j$ 次进一步读取、最终区分全部点的低位树之最小二元代表和。一元步骤费用为零，但消耗一次读取；单点可停止，也可继续。令 $D_j(I)$ 在同一树域中要求至少有一个被选中的二元节点，其代表 $d\ge2$，其下侧孩子为单点 $[P-1,P)$，而该孩子实际再读至少一次。无可行树的值为 $+\infty$。

单点满足 $K_j(I)=0,D_j(I)=+\infty$；$j=0$ 时非单点的两值皆为 $+\infty$。对 $j\ge1$，将 $I+d$ 按商零、一切开，再把商一部分减去 $P$，得非空孩子列表 $\mathcal C_d(I)$，其中 $1\le d\le P$。一孩子 $I'$ 给候选

$$
K_{j-1}(I'),\qquad D_{j-1}(I').
\tag{80.4}
$$

两孩子 $I_-,I_+$ 给 $K$ 候选及两个 $D$ 候选

$$
\begin{aligned}
&d+K_{j-1}(I_-)+K_{j-1}(I_+),\\
&d+D_{j-1}(I_-)+K_{j-1}(I_+),\\
&d+K_{j-1}(I_-)+D_{j-1}(I_+).
\end{aligned}
\tag{80.5}
$$

此外，若 $d\ge2,j\ge2,I_-=[P-1,P)$，当前根可被标记，给 $D$ 候选

$$
d+K_{j-1}(I_+).
\tag{80.6}
$$

分别取所有对应候选的最小值，恰得 $K_j,D_j$。空候选集的最小值为 $+\infty$，含不可行孩子的候选不可行。

证明。树根只有单点停止、一元步骤或二元步骤三种形状。非单点的停止不正确。一次正代表等待的实际低位分割恰为 $\mathcal C_d$；二元根的费用为 $d$，一元根费用为零，两者均令剩余深度减一。有选中标记而不选根时，它在某个孩子中，给（80.4）或（80.5）；选根时，必须留一读给下侧单点，故 $j\ge2$，而该单点的后续无二元费用，给（80.6）。反向，每个有限候选都可接合较小深度的树；在（80.6）给下侧单点明确安装一个一元读取再停止即可。对深度归纳，既得下界又得候选的达到。允许存在其他未被选中的合格节点，不要求它们消失。这个反向只构造低位树，并不提供共同数字行、绝对相位或标签的驻定实现。证毕。

若定义80.11的实际控制器满足 $J=s=1,w=v,\rho=1,a\ge2$，则同一森林中含所需标记的首读纤维属于 $D_{h-1}([0,P))$，其他两纤维属于 $K_{h-1}([0,P))$。从而有参数化正向界

$$
\begin{aligned}
E&\ge D_{h-1}([0,P))+2K_{h-1}([0,P))\\
 &\qquad-3(P-1)-\min(a,b)+\delta.
\end{aligned}
\tag{80.7}
$$

单点继续在这里不能先删：它是标记额外消耗一读的原因。正代表只用于必要下界，原字面等待仍由 $L_q$ 收费。

### 80.3 九点深度四的继续费用

**引理 80.13（九点单标记的七单位差）。** 取 $P=9$。则

$$
K_4([0,9))=17,\qquad D_4([0,9))=24.
\tag{80.8}
$$

证明。记 $K_j(l,m)=K_j([l,l+m))$。单点为零。一次余读的二点值为 $8-l$，大于二点不可行。两次余读的长度二、三、四之值依次为

$$
1,\quad8-l,\quad16-l;
\tag{80.9}
$$

三次余读的长度二至八之值依次为

$$
1,\quad2,\quad8-l,\quad9-l,\quad16-l,\quad24-l,\quad32-l.
\tag{80.10}
$$

说明这些小深度公式的全部候选。一次二分在 $k$ 个下侧点后切开，代表是 $9-l-k$，孩子为后段 $[9-k,9)$ 和前段 $[0,m-k)$。一元根只平移且保持点数。两读时，二点可先移到后段二点，再用一步分开；三、四点必须立即二分，分别最优为 $2+1$、$2+2$。三读时二、三点分别达到所需一、二个二元节点的最低费用；四点的一元首步在剩余两读内至少费用十一，而二分候选 $1+3,2+2,3+1$ 分别为 $16-l,9-l,8-l$。五至八点不能先一元，代入两读公式并枚举 $1\le k<m$ 的可行分割，得到（80.10）。这涵盖内部区间和平移，不把孩子域限制为前段或后段。

标记值的深度二公式同样直接：$D_1$ 恒不可行；长度二且 $l\le6$ 时 $D_2=8-l$，长度三时 $D_2=16-l$，其他情形不可行。因为标记父节点之后必须留一读，深度二只能在根作标记；长度二的 $l=7$ 仅有代表一，不满足标记条件。代入（80.4）—（80.6），深度三的必要前段、后段行如下，列依次为长度一至八。

| 80.深度三费用 | 有序值 |
| --- | --- |
| 80.K前段 | $(0,1,2,8,9,16,24,32)$ |
| 80.K后段 | $(0,1,2,3,5,13,22,31)$ |
| 80.D前段 | $(+\infty,2,9,16,16,24,32,+\infty)$ |
| 80.D后段 | $(+\infty,2,3,11,12,21,30,+\infty)$ |

全块首步不能一元，否则三次余读至多区分八点。代表 $d=1,\ldots,8$ 的两个孩子为 $[d,9)$、$[0,d)$。全部 $K$ 根候选为

$$
(32,25,18,17,17,24,32,40).
\tag{80.11}
$$

将一个孩子的 $K_3$ 换为 $D_3$，在两种位置取小值，得到

$$
(+\infty,26,25,24,24,25,33,+\infty).
\tag{80.12}
$$

根本身被标记只可能是 $d=8$，费用 $8+K_3([0,8))=40$。全部根类型已穷尽，取最小即得（80.8）；有限候选的达到由定理80.12保证。证毕。

### 80.4 非单点后段的深度障碍

**引理 80.14（保留非单点回绕的单纤维界）。** 在 $P=9$ 的九点全块树中，至多四次进一步读取。选一个代表为 $a$ 的二元父节点，其下侧孩子为后段 $[9-\rho,9)$，$\rho\ge2$；该孩子先以 $t\in\{1,\ldots,8\}$ 作一元整体回绕，然后仍区分全部标签。若本纤维二元费用为 $S_A$，则

$$
S_A+t-a\ge20.
\tag{80.13}
$$

证明。标记父节点的一次二分、后段的一次一元步和至少一次随后分割，至少占三读。因此父节点在全块根下的深度只有零或一，以下穷尽这两种情形。额外单点继续不能减少二元费用或增加剩余深度。

父节点为根时，$\rho=9-a$，且一元步后只剩两读，所以 $2\le\rho\le4$，即 $a=5,6,7$。回绕后的入口是 $[t-\rho,t)$；上侧前段有三次余读。由（80.9）—（80.10），

$$
S_A+t-a\ge t+K_2(t-\rho,\rho)+K_3(0,a).
\tag{80.14}
$$

分别取 $\rho=4,3,2$，右侧至少为 $29,27,27$。二点情形使用 $t\ge\rho=2$，而不是令一元等待为零。

父节点深度一时，全块首步必须二元，且 $\rho=2$：后段先一元再用最后一读区分，不能有三个点。若父节点位于首步的后段孩子，其入口起点为 $7-a$，首步代表为 $7-a$；另一个孩子为前段大小 $7-a$。父节点上侧有 $a$ 点和两次余读，故 $a=1,2,3,4$。回绕后的二点 $[t-2,t)$ 必以代表 $10-t$ 分开。因此

$$
S_A+t-a\ge17-a+K_2(0,a)+K_3(0,7-a),
\tag{80.15}
$$

四项分别为 $32,25,30,31$。

若父节点位于首步的前段孩子 $[0,d)$，下侧二点条件迫使 $a=7$。其上侧有 $d-2$ 点和两次余读，故 $d=3,4,5,6$；另一个首步孩子为 $[d,9)$。此时

$$
S_A+t-a\ge d+10+K_2(0,d-2)+K_3(d,9-d),
\tag{80.16}
$$

四项分别为 $26,20,26,34$。每个可能位置及剩余点数都已包含，所有下界至少二十，得到（80.13）。没有假定这些独立下界在共同上游同时达到。证毕。

### 80.5 立即单碰撞的实际控制器下界

**定理 80.15（任意一元数和任意回绕类型的立即解析排除）。** 在完整 $p=3,P=9,h=5$ 模型中，若 $J=s=1$ 且共同数字槽 $w$ 就是唯一纯解析槽 $v$，则

$$
E\ge29,\qquad C\ge105+2e+\ell.
\tag{80.17}
$$

结论不限制 $U,\Xi,\chi$，保留任意字面等待提升、额外读取态、单点继续、共同前缀和在全部初始化输入上终止的控制环。

证明。所有量始终取同一个原表及其完整森林。使用定义80.11的定向及（80.3），置 $m=\min(a,b)$。

先设共同后段非单点。它在纯解析槽必须一元整体回绕，故引理80.14适用。其他两个完整纤维各由引理80.13至少贡献十七，所以

$$
S+t-a\ge20+17+17=54,\qquad
E\ge S+t-m-24\ge30.
\tag{80.18}
$$

这一步覆盖 $\chi$ 可能为正的后段；没有把“纯解析”偷换成“单点”。

以下设后段为单点 $[8,9)$。若 $2\le m\le5$，它的父节点代表 $a\ge2$，属于定理80.12的标记域。标记纤维至少二十四，其他两纤维各至少十七；即使另一个标记嵌套在该纤维，仍有

$$
E\ge(24+17+17)-24-m+\delta\ge30.
\tag{80.19}
$$

若 $m\ge6$，两个代表均在 $\{6,7,8\}$。使用第79.16—79.18节的完整双标记域，保留两个不同二元父节点及两个孩子实际继续，但为下界允许两个强制一元等待独立选择，并去掉前段的非回绕限制。嵌套标记和同纤维标记均保留。该递推以单点停止、一元根和二元根分类；强制孩子必须消耗一读，两个标记不能放在同一父节点。若 $H_\varnothing,H_A,H_B,H_{AB}$ 为单根四种选中标记集的最小费用，三根费用减 $m$ 的下界就是

$$
\min\{H_{AB}+2H_\varnothing,\ H_A+H_B+H_\varnothing\}-m.
\tag{80.20}
$$

按第79.18节的深度递推，行列代表顺序均为六、七、八，该值为

$$
\begin{pmatrix}
58&58&65\\
59&58&65\\
52&52&57
\end{pmatrix}.
\tag{80.21}
$$

这里引用的是原有完整递推及其逐根证书；真实森林包含于放宽域，所以 $S-m\ge52$。由原表中已分离的目标收费，$E\ge52-24+\delta\ge29$。不能把这个树矩阵逆读为可执行的共享表。

最后处理 $m=1$，这一步必须使用真实目标分配。复用第79.12节修正权 $Q^\sharp$：二元代表 $d$ 的权为 $2d-\mathbf1_{d\ge7}$，非单点一元区间 $[l,u)$ 的权为 $\mathbf1_{d\ge7,\ l+d<9}$，单点继续权为零。三个完整首读纤维满足 $Q^\sharp\ge3G^\sharp=105$。其中 $G^\sharp(9,7,4;0,9)=35$；定义78.12的式（78.11）在全部整数区间上的递推，根代表一至八的候选为 $(61,48,35,35,35,47,61,76)$，代表九因深度不足不可行。

同一原表的带符号目标界是

$$
Q^\sharp\le2(E+24)+\Lambda+z.
\tag{80.22}
$$

本表仅有一个共享二元目标，$m_q=2,n_q=3,\gamma_q=0$，故 $\Lambda=-1-B_q\le-1$，其中 $B_q$ 数它的两个代表中至少七者。例外数 $z$ 数无二元到达、$L_q=1,\Delta_q=-1$ 的目标，$\Delta_q=j_q-k_q$。每个这样的目标需要一个纯解析前驱，前驱只有一个，故 $z\le J=1$，不依赖额外读取态数 $e$。于是 $\Lambda+z\le0$，并有

$$
105\le Q^\sharp\le2(E+24),\qquad E\ge29.
\tag{80.23}
$$

说明这里的物理承重点。被一元权计数的历史必为 $[0,2)$ 等七步的非回绕历史。同一源槽不能承载两条这种历史，因为完整相位支持相交；它也不能是生产槽，因为跨低位切口二的二元区间与之相交。它们因而注入不同非生产源槽。实际目标满足 $2m_q+2k_q+c_q=n_q+j_q$，且 $\sum_q(j_q-k_q)=0$，每目标只按原 $L_q$ 收费；这正是（80.22）的适用条件。配置唯一和固定原标签还禁止在共同数字行给两个历史分别停止。自由低位树没有这些共同分配义务，不能代替这个带符号目标预算。

后段两种大小和单点情形的三个代表范围已穷尽。代入（80.1）得容量结论。各分支都是同一 $E$ 的独立下界，没有把它们相加。证毕。

**推论 80.16（无重复边的单碰撞与剩余区域）。** 在相同九点五读模型中，$J=s=1,\Xi=0$ 即推出（80.17），无需 $\chi=0$。特别不存在第79.20节所留的 $C=104,E=28,e=\ell=0,6\le U\le15,J=s=1,\Xi=\chi=0$ 控制器。

证明。第79.21节对每个实际槽给

$$
\sum_{f\text{ 出}}(\nu_f-1)-\sum_{f\text{ 入}}(\nu_f-1)=j_v-\pi_v,
\tag{80.24}
$$

其中 $\pi_v$ 为纯解析指示。$\Xi=0$ 使全部非负边权为零，故每槽 $j_v=\pi_v$；唯一碰撞槽恰为唯一纯解析槽。应用定理80.15即可。

结合第79.19节的 $U\le4$ 排除和第78.13节的 $s=0$ 排除，任何尚存的 $C\le104$ 候选必须满足 $U\ge5,s\ge1$，并且属于 $J\ge2$ 或 $J=s=1,w\ne v,\Xi\ge1$ 两种范围。后一范围的解析是真正延后的，不因 $\chi$ 的取值而免除这个要求。这里没有证明严格单碰撞类在 $105$ 处达到，也没有给出无条件 $105$ 下界。证毕。

### 80.6 已给定物理历史的目标库存

**定义 80.17（固定森林、指定共享对及可变宿主）。** 给定任意 $P>1$、有限 $h$、共同前缀 $\ell\ge0$，以及一份完整的已初始化物理历史森林。其三个首读纤维来自全部原 $x$ 在 $\ell$ 次单位加一后的真实数字；每个内部节点保留原标签集、读索引、每个原输入的绝对相位、正整数字面等待和下一读的绝对数字，叶输出该原 $x$。每条路径的来源始终为 $[x+A]_{3P}$，其中 $A$ 为累计字面等待；所有路径有限并满足读取截止。节点是完整历史，单点继续不删。非空历史支持是当前数字块内的精确区间；二元节点恰有 $N=3(P-1)$ 个。

指定 $s$ 对互不重复的二元父节点作为共享对；其他二元父节点单独拥有下一读目标。每对的两个绝对二数字支持必须并为三个数字。它们在共同数字的两个孩子必须是实际一元节点，有不交的完整相位支持，使用完全相同的字面等待，并在下一读到达两个不同绝对数字。不是只要求等待模 $P$ 相同。称这两个孩子为该对的共同解析行，并给它们的后继指定一个共同解析目标。

优化域如下：忠实保留上述每个原输入的全部单位动作、读数、相位与原输出；有恰 $N+1$ 个实际读取态，$\Xi=0,J=s$，二元历史共享恰为指定的那些对。允许其余一元到达在符合条件的目标间重新分配，允许同目标等待链共享，允许读取态图有环；全部名义态仍收费。不得在此最小化中改变森林、读时刻、共享对、标签或 $\ell$，也不另放宽 $e=0,\Xi=0,J=s$。

从指定数据建立 $N-2s$ 个普通二元目标、$s$ 个共享二元目标和 $s$ 个解析目标，恰为 $N$ 个非首读读取态。普通目标放入其二元父节点的两个孩子；共享目标联合两父节点的孩子，在共同数字放上述两个历史；解析目标放入共同解析行的两个后继历史。普通目标和解析目标各有一个空数字，称为备用槽；共享目标三个数字全占用。

目标的基线尾长 $L_0(q)$ 分别为普通二元父节点的字面等待、共享对两个字面等待的最大值、共同解析行的字面等待，均至少一。置

$$
E_0=\sum_q(L_0(q)-1).
\tag{80.25}
$$

除每对的两个共同解析历史外，每个一元节点给一个普通一元到达需求：其孩子必须放在下一真实数字 $c$ 的某个备用槽，需求长度 $d$ 为该节点的原字面等待。同一个备用槽只能接一个这种需求。剩余自由度仅是这些有颜色的需求与同色备用槽的注入匹配。

### 80.7 同时最优的匹配及逐单位实现

**定理 80.18（固定物理森林的准确等待费用）。** 在定义80.17的优化域中，对每个数字 $c\in\{0,1,2\}$、整数 $k\ge1$，令 $A_c(k)$ 数长度至少 $k$ 的普通一元需求，$B_c(k)$ 数颜色为 $c$ 且基线 $L_0(q)\ge k$ 的备用槽。该域非空当且仅当

$$
A_c(1)\le B_c(1)\quad(c=0,1,2).
\tag{80.26}
$$

非空时准确最小尾超额及总名义容量为

$$
\begin{aligned}
E_{\min}&=E_0+\sum_{c=0}^2\sum_{k\ge2}\bigl(A_c(k)-B_c(k)\bigr)_+,\\
C_{\min}&=M+2N+1+\ell+E_{\min}.
\end{aligned}
\tag{80.27}
$$

这是对固定的相位、标签、字面历史及指定共享对求最小。它不对所有取得策略、所有森林或所有配对求最小。

证明。先证明任意属于该域的实际控制器都有定义80.17的库存，故没有遗漏域内更便宜的额外组合。对于 $m_q\ge2$，实际入边给

$$
j_q\ge2m_q-3\ge m_q-1.
\tag{80.28}
$$

当 $m_q\ge3$ 第二个不等式严格。总和 $J=s$ 迫使每个共享目标恰有 $m_q=2,n_q=3,j_q=1$，无其他不同入边进入它，其他目标的 $j_q=0$。$\Xi=0$ 时每个非根槽的历史数恰为其实际入度。因此共同槽有两个历史；它不能停止，不能有二元历史，也不能让两个一元历史去同一下一数字，否则森林出边数超过不同实际出边数而令 $\Xi>0$。故它正是一个立即纯解析槽。

共有 $J=s$ 个纯解析槽，全由这些共同槽给出。一个纯解析槽不能进入任一二元目标：两个新入边会在已经耗尽 $J$ 预算之外产生入度剩余。两个不同纯解析槽也不能共用下一目标，因为四条入边装不进三个零剩余数字。因此其 $s$ 个解析目标彼此不同且无二元到达。无二元目标总数恰为 $e+s=s$，所以这已穷尽它们。

普通二元目标的两个数字各承载一个历史；解析目标同样如此。它们的剩余一个数字至多容纳一条普通一元到达；共享目标没有空位。若再把两个这样的到达放进同一个槽，它们的不同源边增加 $J$，或同源边增加 $\Xi$，均不在优化域中。于是每个域内实现都诱导定义80.17的同色注入匹配，必要的基线等待由同一目标的最长字面尾给出。这证明了（80.26）的必要性，也说明新增共享、任意合并普通需求或拆分既定目标不能悄悄扩张本定理的优化域。

现固定一种颜色，需求长度降序为 $d_1\ge\cdots\ge d_n$，备用槽基线降序为 $l_1\ge\cdots\ge l_m$，$n\le m$。任何匹配将 $d$ 放到基线 $l$ 后，尾增长至少 $(d-l)_+$。在阈值 $k$，有 $A_c(k)$ 个长需求，至多 $B_c(k)$ 个基线本来够长；所以至少 $(A_c(k)-B_c(k))_+$ 个目标必须增加第 $k$ 个距离位置。这些位置按目标与距离区分，不重复收费。

同时把第 $i$ 大需求放到第 $i$ 大基线，$1\le i\le n$。对每个 $k$，满足 $d_i\ge k>l_i$ 的指标恰为

$$
B_c(k)<i\le A_c(k),
\tag{80.29}
$$

故它的数量恰为上述正部。这个同一匹配在所有阈值同时达到下界，而非对每个阈值各选一张表。因为全部长度至少一，第一个位置已在基线中，新增费用从 $k=2$ 起。对三种颜色分别执行这种排序匹配，三种备用槽互不相交，而且每个目标最多一个备用槽，费用可相加，得到（80.27）的尾公式。

还须证明这种匹配确实有物理实现。建立共同首读 $q_0$ 及库存中的 $N$ 个不同读取态。每个森林节点已经有读取行位置：三个根分别在 $q_0$ 的真实数字；二元孩子和解析孩子按库存放置；其余一元孩子按匹配放到同色备用槽。这覆盖全部非根节点，因为每个节点恰有一个父节点。每个已占行只有一个历史，唯一例外为指定共享对的共同解析行，其中两历史按假设要求同一个字面等待及同一个解析目标。

在单历史行，若为叶就指向原 $H_x$；若为内部节点，则指向其已分配下一读取目标的原等待入口。共同解析行也安装其共同请求。对于每目标置

$$
L(q)=\max\{L_0(q),\ d\text{：分配给该目标的普通一元需求}\},
\tag{80.30}
$$

无普通需求时取 $L_0(q)$。建立恰 $L(q)$ 个单位态 $W(q,j)$，$1\le j\le L(q)$；每个执行一次来源加一，$j>1$ 时到 $W(q,j-1)$，$j=1$ 时到 $q$。等待 $d$ 的读行指向 $W(q,d)$，没有即时加权跳转。另建 $\ell$ 个不同前缀单位态，接共同首读；建立恰 $M$ 个固定 $H_x$，其形式后继为自身。未使用的读取数字行总化到既有 $H_0$。

逐原输入沿给定有限森林路径归纳。前缀后相位为 $[x+\ell]_M$，其真实数字选择对应根行。若当前节点符合森林，安装的读取行给同一个字面等待；每个 $W$ 同时使累计等待和来源加一。下一读相位因此仍为 $[x+A]_M$，实际数字恰为事先保留的那个颜色，进入已安排的孩子行。共同解析行的两个历史也各按同一动作走到自己预定的不同下一数字。归纳直至原 $H_x$，保留每个单位动作、相位、读索引及固定输出；终止和读取截止均继承原有限路径。读取态图即使有环，此逐路径证明仍成立。

除共同解析行外每行一个历史；共同解析行的两条森林出边到不同数字。因此森林边没有重复映到同一实际槽边，$\Xi=0$。只有指定共同槽有两条入边，故 $J=s$，二元共享也恰为指定对。每个库存目标都有实际基线到达，最长尾亦由某条基线或已分配需求完整经过，全部所造读取态、单位态及标签可达。于是（80.26）也充分，且没有隐藏等待位置。读取、等待、前缀、标签合计

$$
\begin{aligned}
&(N+1)+\sum_qL(q)+\ell+M\\
&\qquad=M+2N+1+\ell+E_{\min}.
\end{aligned}
\tag{80.31}
$$

任一其他实现的每个原目标也至少需要其最大进入等待条数；不同目标链和前缀的分离见（80.1）。多余名义态只能增费。因此不仅上述规范链达到公式，而且公式是整个声明域内的准确最小值。证毕。

这个后继证明使用的是所有历史同时给出的一个共同目标，而不是为各对历史各找一个容器。作为已有方法的对应，[Abel 与 Reineke，MEMIN，ICCAD 2015，§II.C 定理1及 §IV.B(c)](https://embedded.cs.uni-saarland.de/publications/iccad15.pdf)对固定不完全指定 Mealy 行为要求每个兼容类和每个输入的全部已定义后继之并被一个共同类包含；其类允许重叠，逐对容纳并不充分。这里的排序费用由上述阈值证明直接给出，单位 $W$、绝对相位和原 $H_x$ 则由自己的逐路径归纳保持。论文的固定行为最小化不替代这些物理条件，也不提供跨取得策略的容量公式。

### 80.8 已发表物理森林在准确公式中的位置

**命题 80.19（两个固定库存的实现）。** 保留第75.18节 $K_0$ 的全部已初始化字面历史，并指定它原有的两对二元共享；定义80.17的域满足

$$
(N,s,E_0,E_{\min},C_{\min})=(24,2,56,56,132).
\tag{80.32}
$$

保留第74.22节整数表的全部字面历史，指定没有二元共享，则该域满足

$$
(N,s,E_0,E_{\min},C_{\min})=(24,0,29,29,105).
\tag{80.33}
$$

二式均限于相应固定森林及库存；第一式不声称任意改换该森林的共享对后仍至少一百三十二态。

证明。按首读起的完整答案历史记录 $K_0$。第一对二元父节点是 $(0),(1)$，共同目标为 $Q$，公共数字一的两个历史分别含 $\{6,7,8\}$ 和 $\{9,10,11\}$；其完整相位分别为 $\{9,10,11\}$、$\{15,16,17\}$。它们共同等六步到 $T1$ 的数字一、二，相位分别为 $\{15,16,17\}$、$\{21,22,23\}$。第二对父节点为 $(0,0,0),(0,1,1)$，共同目标为 $U$；公共数字一含标签二、六的单点，相位分别为九、十七，共同等一步到 $V1$ 的数字一、二，相位十、十八。两对均有同一字面等待、分离的实际相位和不同的下一数字。

这四个历史是 $K_0$ 全部一元节点，故没有普通一元需求。两共享目标的基线尾分别为 $L_Q=6,L_U=2$，两解析目标为 $L_{T1}=6,L_{V1}=1$，其余基线尾按第75.18节完整行取值。共二十四目标，基线尾和八十，所以 $E_0=80-24=56$，所有匹配缺额为零。第75.19节全部路径和其单位相位不变量满足定义80.17；定理80.18给二十五读取、八十等待、二十七固定输出，总数一百三十二。

第74.22节表没有二元共享，二十四普通二元目标的基线尾和五十三。三个普通一元需求分别为：历史 $(0,1)$ 等六步，到达数字一；历史 $(1,1,2)$ 等六步，到达数字二；历史 $(2,2,0)$ 等七步，到达数字零。它们可分别放入原目标 $14,22,5$ 的备用数字一、二、零，基线尾分别为六、六、七。全部需求无需增长原尾，故 $E_0=E_{\min}=53-24=29$。原整数表的完整行、单位后继及原标签给该固定域的物理数据，定理80.18生成二十五读取、五十三等待、二十七终止态。二表均取 $\ell=0$，得到（80.32）—（80.33）。证毕。

### 80.9 条件恢复及未定范围

**定义 80.20（本节恢复关系的量词）。** 这里的正向数据来自一个共同实现：历史的原标签和累计字面等待给出空间相位，数字边界决定分割，读取截止约束后续深度，读取行身份决定哪些未来必须共同执行，目标最大尾决定需要多少等待记忆。定理80.15把立即单碰撞的这些关系共同转为费用障碍；它没有为延后碰撞的流长度另造可加费用。

定理80.18的逆向数据必须已含完整初始化、绝对数字、原标签、字面时间和指定共享行的共同继续。此时同色匹配加单位尾构造恢复一张驻定表，并忠实恢复原有路径；排序和其他同费匹配可以产生不同表，故不主张状态名或表示的唯一恢复。只给低位树、标量最小值或分别可行的共享请求时，缺少这些联合数据，不能使用该逆向。

在九点五读问题中，（80.17）排除全部立即单碰撞候选，却没有解决 $J\ge2$ 或 $J=s=1,w\ne v,\Xi\ge1$。后一情形的重复边流包含源汇路径及可能的循环；边权数的是历史重数，不是新的互不相交单位等待态。固定森林匹配也没有对未知森林、配对、额外读取态或重复边传播求最优。因此无条件的 $E+2e+\ell\ge29$、一般参数的精确取得容量、读取最优约束下的容量，以及原 general-$B$ 的空间、时间、边界和记忆完整互恢复仍是未定问题。

## 80.99 追加锚

## 81. 延后单碰撞的读取期限、端点走廊与共同尾预算

### 81.1 共同实现与历史重数

**定义 81.11（本节的完整原表）。** 沿用定义76.11、79.11及80.11。整数 $p\ge2,P>1,h\ge1$，$M=pP$；每个原输入 $x\in\mathbb Z/M\mathbb Z$ 从同一个控制初态和来源 $x$ 开始。$W$ 恰使来源加一，$R$ 不改来源，只读 $\lfloor[s]_M/P\rfloor$，$H_x$ 输出固定原标签 $x$。每条执行有限，动作词为 $W^\ell R(W^+R)^*$，至多 $h$ 读，末读立即停止。全部名义态、未达态、共同前缀、等待位置、内部计数和终止态收费；没有来源相关准备、免费时钟、复位、复制、逆步或终止侧信道。下文不改变一张原表的实际历史、绝对相位、字面等待或读取后继。

事件 $(x,i)$ 是原输入的第 $i$ 次读取；完整历史是截至一次读数的全部共同过去；实际槽是一个读取态及其绝对数字 $(q,c)$。它们不是同一个计数单位。全部初始化执行的完整读后森林有 $p$ 个根、$M$ 个实际停止叶及 $N=p(P-1)$ 个二元节点；一元数 $U$ 包括单点后的继续。一个历史的当前支持是数字块内的精确整数区间；同槽不同历史的支持不交。固定平移在一个块内至多有一个切口，所以一槽至多承载一个二元历史。承载者为生产槽；全局出度二而无二元历史者为纯解析槽。

实际槽图只数不同的有向槽对。根槽无入边，其他使用槽有入边。令 $j_z=\deg^-(z)-1$（根取零），$J=\sum_zj_z$；令 $\nu_f$ 为实际边 $f$ 的完整森林边原像数，$\omega_f=\nu_f-1$，$\Xi=\sum_f\omega_f$。它不是沿边经过的输入数。以 $\pi_z$ 表示纯解析槽指示，第79.21节给同一原表上的恒等式

$$
\sum_{f\text{ 出 }z}\omega_f-\sum_{f\text{ 入 }z}\omega_f=j_z-\pi_z.
\tag{81.1}
$$

纯解析槽数为 $J$，且 $U=2J+U_1+\Xi$，其中 $U_1$ 数全局一出边活动槽。令 $m_q$ 数二元历史以 $q$ 为下一读取目标的次数，$s=\sum_q(m_q-1)_+$。当 $p=3$ 时，$s\le J$，实际读取态数为 $r=N+1+e$、$e\ge0$。这些计数来自完整森林，不在首次单点截断后重算。

活动槽有一个固定字面正等待 $\delta(z)$ 和下一读取目标 $\tau(z)$。以 $q_0$ 为首读态，置

$$
\begin{aligned}
L_q&=\max_{\tau(z)=q}\delta(z),&
E&=\sum_{q\ne q_0}(L_q-1),\\
C&\ge M+2r-1+\ell+E;&
p=3,P=9:\quad C&\ge76+2e+\ell+E.
\end{aligned}
\tag{81.2}
$$

这里复用第66.12、76.11节的原表注入：重现非终止配置 $(q,s)$ 会使同一输入循环，或使不同输入输出同一标签。共同前缀及首读已经随全部输入覆盖所有相位，故以后不能再达。每个非首读目标的一条最长纯等待链有 $L_q$ 个不同单位态；不同目标的链不能相交，因为一个等待态的首次未来读取目标固定，也不能与前缀相交。另计读取及 $M$ 个不同固定输出态，得（81.2）。本节不把 $\Xi$ 或一条流路径当作新的等待库存。

在 $p=3,J=s=1$ 时，恰一个读取目标 $Q$ 有两个二元前驱，其四条不同入边占三个数字，并耗尽 $J$。唯一共同数字槽记为 $w$，唯一纯解析槽记为 $v$。定向两个二元父历史为 $A,B$：到 $w$ 的孩子低位分别为 $[P-\rho,P)$、$[0,\sigma)$，父等待正代表为 $a,b\in\{1,\ldots,P-1\}$。以 $S$ 记原森林全部二元代表和，$m=\min(a,b)$。第79.15节在同一原表上给出

$$
q_*:=\tau(v)\notin\mathcal B:=\{q:m_q>0\},\qquad
\gamma=m-1,\qquad
E\ge S-N-m+\delta(v).
\tag{81.3}
$$

为说明最后一式的分离前提，纯解析前驱的两条边若进入一个二元目标，必在已有二元入边之外再消耗入度剩余；全图的唯一剩余已被 $Q$ 的四条入边用尽，故 $q_*\notin\mathcal B$。二元目标各只收最大代表超额，和为 $S-N-\gamma$；再收不同目标 $q_*$ 的 $\delta(v)-1$，即得（81.3）。它不要求 $w=v$。

### 81.2 共享非解析行的期限与五读路径

**引理 81.12（共享非解析槽至少还需两读）。** 在定义81.11的任意 $p,P,h$ 下，一个承载至少两条完整历史、且不是纯解析槽的实际活动槽，其每条历史都有某个原标签还需至少两次进一步读取。因此每条历史到达该槽的索引均不超过 $h-2$。特别在 $p=3,J=s=1,w\ne v$ 时，两个相撞的二元父历史索引均不超过 $h-3$；五读时它们只能在第一或第二读。

证明。实际停止槽恰有一个最终叶历史：固定输出排除不同标签，同一原标签也只能实际停止一次。故两条不同历史共用的槽不能停止。若所给活动槽只有一个实际出边，每条历史的孩子都共用下一槽，而下一槽仍不能停止。若其出度二且非纯解析，则存在唯一二元历史，其两个孩子占两个下一数字；其他历史全是一元，各自的孩子必与该二元历史的一个孩子共槽。二元历史也有这样的共享孩子。因此每条当前历史都有一个非空孩子仍在活动槽，必须先读到它、再至少读一次。两次读均沿原输入的实际路径，给出所述截止。父历史早一读，结论随即成立。不同索引、单点继续、更多共享历史和初始化终止环均不改变论证。证毕。

**定理 81.13（至多五读的单碰撞剩余流）。** 取 $p=3,P>1,h\le5,J=s=1,w\ne v$。全部正权边 $\omega_f>0$ 恰组成一条从 $w$ 到 $v$ 的简单有向路径，每边权为一。若路径长为 $d$、$w$ 的两条完整历史索引为 $i_1,i_2$，则

$$
\Xi=d,\qquad
1\le d\le h-3\le2,\qquad
\max(i_1,i_2)+d+1\le h.
\tag{81.4}
$$

当 $h=5,d=2$ 时，两条相撞历史均在第二读，来自不同首读纤维；沿路径到达 $v$ 的两条历史处于第四读，且各为单点。实际槽图若有有向环，则必为 $w$ 的自环，并且 $h=5,d=1$，两条 $w$ 历史的索引为二、三。这里的自环可有零剩余权，不断言实际图无环。

证明。图中只有 $w$ 的入度为二，其余非根槽入度为一，全部从根可达。任何有向环都必须经过 $w$，否则其每个点的唯一入边已经在环内，根路径无从首次进入。至多有一个简单环：删去 $w$ 后的每个顶点入度至多一；两条不同回路若在 $w$ 之前合并，会制造另一个入度二点；若分别沿 $w$ 的两条入边返回，则没有剩余入边供根路径首次进入。故存在环时，一条入边是唯一外部入口，另一条是环的返回边。设环长 $c\ge1$。

外部入口以前没有合并，故只有一条完整进入历史。沿环，每条历史对指定的下一环边至多提供一个孩子：二元孩子用不同数字，不能同时走一条实际边。由此在 $w$ 的各历史组成连续返回链，其索引依次为 $i_0,i_0+c,i_0+2c,\ldots$，$i_0\ge2$；每个实际环边都来自这样的实际历史延续。

若正剩余支撑中有环，唯一环的返回边至少有两个森林原像，便至少有三条 $w$ 历史，最后一条索引至少四。但 $w$ 共享且非纯解析，引理81.12要求每条到达索引不超过 $h-2\le3$，矛盾。故不存在正剩余循环；这没有删除实际零剩余环。

式（81.1）的非负整数流在 $w$ 散度一、$v$ 散度负一、其他点散度零。从正权边追踪并在闭路处减去最小正整数权，可先去掉循环；在没有循环时，从 $w$ 的一单位必沿唯一正出边前进，中间入出相等，不可能分出两个正整数单位，最终只能到 $v$。减掉这条单位路径后只可能剩循环流，而循环已排除。因此全部正权恰为一条单位简单路径。

该路径没有正权进入 $w$，所以 $w$ 的历史数为入度二加零，恰为二。路径内部及 $v$ 的入度均为一，加一单位进入剩余，也恰有两条历史。每条路径边有两个森林原像，且同一历史不能给同一实际边两个孩子，故两条当前历史各有一个孩子沿该边前进。它们的索引每边各加一；到 $v$ 后两条历史仍实际继续，给（81.4）。这允许沿途生产槽从一条历史剥离一个孩子，未把被跟踪的后代当成未分裂的整条历史。

若 $d=2,h=5$，由 $i_1,i_2\ge2$ 得二者均为二；一个首读纤维在给定下一数字至多有一个孩子，所以它们来自不同首读纤维。到 $v$ 时索引四，$v$ 的每条历史一元，再读一次就必须停止，故每条已经单点。

若实际图有环，正循环排除后 $w$ 恰有两条历史，其索引为 $i_0,i_0+c$。将此代入截止得 $i_0+c+d+1\le5$，而 $i_0\ge2,c,d\ge1$，遂 $i_0=2,c=d=1$。这给所述唯一可能自环。证毕。

### 81.3 延后下侧单点的参数桥梁

**定义 81.14（早父节点的全块费用）。** 使用第80.12节的 $K_j(I)$：低位区间 $I$ 中全部点须在至多 $j$ 次进一步读取内区别，费用只加二元节点的正代表；一元步消耗读取而费用为零，单点允许停止或继续。单点的值为零；非单点在 $j=0$ 时不可行。对全部 $d=1,\ldots,P$，将 $I+d$ 按整数商分成非空低位孩子；一孩子给 $K_{j-1}$，二孩子给 $d+\sum K_{j-1}$。空候选集值为 $+\infty$。

对 $a\in\{1,\ldots,P-1\}$，定义 $A_{P,h}(a)$ 为同一完整低位树域中，全块 $[0,P)$、深度至多 $h-1$、指定一个代表为 $a$ 的二元父节点的最小二元费用。指定节点的深度从首读后根的零开始计，要求至多 $h-4$，且下侧孩子为 $[P-1,P)$。全部一元和单点继续仍允许。若 $h-4<0$ 或不存在所需树，取 $+\infty$；非空时最小值在有限深度、有限代表域内达到。这里没有额外强制该孩子继续；实际继续的树属于此放宽域，因而下界仍有效。

**命题 81.15（延后下侧单点的正向界）。** 在 $p=3$、任意 $P>1$、有限 $h\ge1$ 的完整原表中，假设 $J=s=1,w\ne v,\rho=1$，则

$$
E\ge A_{P,h}(a)+2K_{h-1}([0,P))
       -3(P-1)-\min(a,b)+\delta(v).
\tag{81.5}
$$

证明。引理81.12使 $A$ 的原索引至多 $h-3$，即树深度至多 $h-4$。原森林只取等待正代表的投影保留每个低位分割、读索引与单点继续，所以含 $A$ 的整个首读纤维属于定义81.14。其他两个原纤维各属于 $K_{h-1}$。即使父节点 $B$ 也在 $A$ 的纤维，仍只给该纤维一次 $A_{P,h}$ 下界，不另加一份独立最优。于是同一原 $S$ 至少为（81.5）的前三项费用之和；代入已经分离实际目标的（81.3）即可。正确控制器的存在保证所用树域非空。所得是前向必要界，不把独立树的达到值拼成控制器。证毕。

### 81.4 九点五读的下侧单点排除

**定理 81.16（延后下侧单点至少三十单位尾超额）。** 在完整 $p=3,P=9,h=5$ 模型中，若 $J=s=1,w\ne v,\rho=1$，则

$$
E\ge30,\qquad C\ge106+2e+\ell.
\tag{81.6}
$$

不另限制 $U,\Xi,\chi$、字面提升、额外读取态、共同前缀或初始化终止环。

证明。两父节点都在第一或第二读。全块第一步不能一元，否则余下三读至多给八叶，不能区别九标签。它的代表 $d\in\{1,\ldots,8\}$ 给孩子 $[d,9)$、$[0,d)$。以下用第80.12—80.13节包含一元候选的完整递推，其数值为

$$
\begin{aligned}
K_4([0,9))&=17,\\
(K_2([0,n)))_{n=1}^4&=(0,1,8,16),\\
(K_3([0,n)))_{n=1}^8&=(0,1,2,8,9,16,24,32),\\
(K_3([9-n,9)))_{n=1}^8&=(0,1,2,3,5,13,22,31).
\end{aligned}
\tag{81.7}
$$

这些值来自逐区间按所有正代表分类：单点为零，一元保持点数而减少一读；二元在 $k$ 个下侧点后切开，当前区间 $[l,l+n)$ 的代表为 $9-l-k$，两个孩子分别为后段 $[9-k,9)$ 和前段 $[0,n-k)$。例如全块四读的八个根候选为 $(32,25,18,17,17,24,32,40)$；整块一元候选不可行。因此（81.7）不以禁一元或固定控制器为前提。

先穷尽指定下侧单点父节点 $A$ 的早期位置。若它是根，必有 $a=8$，整纤维费用至少 $8+K_3([0,8))=40$。若它是第一分割的下侧孩子 $[d,9)$，要产生 $[8,9)$，必有 $d=8-a$；其另一个孩子为大小 $a$ 的前段，只剩两读，所以 $a=1,2,3,4$，整纤维费用依次为

$$
8+K_2([0,a))+K_3([0,8-a)),\qquad(32,25,25,32).
\tag{81.8}
$$

若它是第一分割的上侧孩子 $[0,d)$，必有 $a=8$，且 $2\le d\le5$；根另一个孩子有三读，指定父节点的上侧有两读，费用为

$$
d+K_3([d,9))+8+K_2([0,d-1)),\qquad(32,25,25,32).
\tag{81.9}
$$

上述候选都是所定义早父节点树的合法接合，且穷尽位置。因此

$$
(A_{9,5}(a))_{a=1}^8=(32,25,25,32,+\infty,+\infty,+\infty,25).
\tag{81.10}
$$

对 $a=1,2,3,4$，其他两纤维各至少十七，使用 $m\le a$ 和 $\delta(v)\ge1$，由（81.3）分别得 $E\ge42,34,33,39$。$a=5,6,7$ 不可行。$a=8,b\le6$ 时得到 $E\ge25+34-24-6+1=30$。

只剩 $a=8,b\in\{7,8\}$。一个含代表七的早父节点的纤维，若父节点为根，费用至少三十二；若为第二读节点，设根代表为 $d$，其下侧孩子为 $[d,9)$。当 $d=1$ 时，该区间为 $[1,9)$，切口二在其内部；代表取七时分为 $[8,9)$ 与 $[0,7)$。后者含七个点而只剩两次进一步读取，至多产生 $2^2=4$ 个叶，故此情形由读取深度界排除。当 $d\ge2$ 时，切口二不在 $[d,9)$ 的内部，故几何排除适用。因此第二读节点只能位于根的上侧前段。根代表 $d=3,4,5,6$ 的候选为

$$
d+K_3([d,9))+7+K_2([7,9))+K_2([0,d-2)),\qquad(24,18,24,32).
\tag{81.11}
$$

故这样的整纤维至少十八。代表八的任何二元父节点都产生下侧单点，早期情形由（81.10）至少二十五。

若 $A,B$ 属于不同首读纤维，分别使用两条整纤维界及第三纤维的十七。$b=7$ 时 $E\ge25+18+17-24-7+1=30$；$b=8$ 时 $E\ge25+25+17-24-8+1=36$。

若二者在同一纤维，它们是两个不同的深度零或一节点。不能都是深度一的兄弟：代表八的节点必须在大小至少二的上侧前段，另一个兄弟的入口下端已至少二，不能再在内部跨过代表七或八所需的切口二或一。因此其中一个是根，根代表七或八，使这个纤维至少三十二；另两纤维合计至少三十四。即使取较大的扣减八，仍有 $E\ge66-24-8+1=35$。同纤维的两标记没有被分开收费。

全部早父节点、参数和纤维关系已穷尽，每种都给 $E\ge30$。再用（81.2）得容量界。原 $\delta(v)$ 始终由不同的实际目标 $q_*$ 支撑；小深度树值只降低同一原森林的 $S$。证毕。

### 81.5 未分裂端点历史的相位刚性与实际目标补偿

**定理 81.17（完整端点走廊的参数尾界）。** 取 $p=3,P\ge4$、有限 $h$，在定义81.11的一张正确原表中假设 $J=s=1$。明确再假设两个相撞孩子从 $z_0=w$ 沿实际槽 $z_1,\ldots,z_k=v$ 前进，$k\ge1$；对每个 $j<k$，两条所选完整历史都一元，其全部原标签进入同一个下一绝对数字；在唯一纯解析槽 $v$，两条历史仍一元，但下一绝对数字不同。这里跟踪整条历史，不能只跟踪某个二元孩子或两个代表点。

则所有走廊等待 $\delta(z_j)$、$j<k$ 都是 $P$ 的正整数倍，所选低位支持始终为 $[P-\rho,P)$、$[0,\sigma)$，且 $z_0,\ldots,z_k$ 互异。若 $t\in\{1,\ldots,P-1\}$ 为 $\delta_v:=\delta(v)$ 的模 $P$ 余数，$i_A,i_B$ 为在 $w$ 的原索引，则

$$
\begin{gathered}
\rho\le t\le P-\sigma,\qquad
h-i_A-k-1\ge0,\quad h-i_B-k-1\ge0,\\
\rho\le2^{h-i_A-k-1},\qquad
\sigma\le2^{h-i_B-k-1},\\
E\ge S-N-\min(a,b)+k+\min(\delta_v,P-1)
 \ge S-N-\min(a,b)+k+\rho.
\end{gathered}
\tag{81.12}
$$

证明。两段包含同一当前绝对数字块内的低位 $P-1$ 和零。把一步字面等待写成 $Pz+t'$、$0\le t'<P$；若 $t'>0$，这两个端点的进位不同，下一数字相差一，模三后仍不同。走廊步骤要求下一数字相同，故 $t'=0$，且正等待至少 $P$。这样的整块平移保留低位，并使整个源槽全局出度一，不只是选中两条历史一元。若某槽重复，任取后段内一个原标签，它因未分裂而一直沿走廊，重复时低位不变、槽固定绝对数字，遂重现非终止完整配置，矛盾。因而这些源槽及其实际出边都不同。

在 $v$，后段一元而回绕需要 $t\ge\rho$，前段一元而不回绕需要 $t\le P-\sigma$；相同数字块整体平移不能解析，故 $t\ne0$。到解析后的读取时，两条历史的索引分别为 $i_A+k+1,i_B+k+1$；以后还需在一个已观察数字内区别各自的 $\rho,\sigma$ 个标签。每次至多二分，给出深度及大小界。这些是同一原历史的截止，没有重排读取。

以下把整块延迟转为目标收费。共享二元目标 $Q$ 已由两个生产前驱占四条入边、三个数字和唯一入度剩余。走廊源槽全局出度一，不能等于其中任何生产前驱，因此走廊边不能进入 $Q$，否则需要新的入度剩余。每个其他二元目标已有来自一个生产槽的两条不同入边，且入度剩余为零，至多再接一条走廊边。非二元目标 $q_*=\tau(v)$ 已有纯解析槽的两条入边，也至多接一条走廊边。其余非二元目标至多接三条。源槽和边的互异性保证这里数的是不同实际入边。

令 $c_{\mathcal B}$ 数走廊所到的不同二元目标，$c_O$ 数它所到的其他非二元目标但排除 $q_*$，$\epsilon\in\{0,1\}$ 表示是否到过 $q_*$。上述库存给

$$
k\le c_{\mathcal B}+3c_O+\epsilon.
\tag{81.13}
$$

对二元目标设 $D_q$ 为最大二元代表。它们的基线 $\sum_{q\in\mathcal B}(D_q-1)=S-N-(m-1)$。走廊到过的二元目标有 $L_q\ge P$，而 $D_q\le P-1$，故各至少再给一单位。$c_O$ 个不同目标各至少给 $P-1$；$q_*$ 单独给 $\max(\delta_v,P\epsilon)-1$。这三类按实际目标互不交，每个最长尾只收一次，所以

$$
\begin{aligned}
E&\ge S-N-m+c_{\mathcal B}+(P-1)c_O
                +\max(\delta_v,P\epsilon)\\
 &\ge S-N-m+k-\epsilon+\max(\delta_v,P\epsilon)\\
 &\ge S-N-m+k+\min(\delta_v,P-1).
\end{aligned}
\tag{81.14}
$$

第二行使用 $P-1\ge3$。$\epsilon=0$ 时剩下 $\delta_v$；$\epsilon=1$ 时剩下 $\max(\delta_v,P)-1$，两者均至少 $\min(\delta_v,P-1)$。又 $\delta_v\ge t\ge\rho$ 且 $\rho\le P-1$，得末式。$k$ 的费用由整块相位刚性、不同实际入边和目标容量共同推出，未直接给历史流边计费。证毕。

**推论 81.18（九点五读的未分裂走廊排除）。** 在定理81.17的明确走廊假设下，若 $P=9,h=5$，则 $E\ge29$、$C\ge105+2e+\ell$。

证明。走廊源全局出度一，不是纯解析，故 $w\ne v$。若 $\rho=1$，直接使用定理81.16的更强 $E\ge30$，它已穷尽全部父代表及同纤维情形，故无需另行假定小代表或两标记分居不同纤维。

若 $\rho\ge2$，由 $i_A\ge2,k\ge1$ 和（81.12）得 $i_A=2,k=1,\rho=2$。父节点 $A$ 必为完整首读纤维的根，所以 $a=7$；另一个孩子是七点前段，至多余三读。它不能先一元，否则两读至多四叶，只能立刻分为 $3+4$ 或 $4+3$。两种费用分别至少 $6+2+16=24$、$5+11+8=24$，都由（81.7）的两读子值给出。所选两点后段仍需至少一个二元节点，费用至少一。于是 $A$ 的整个纤维至少 $7+24+1=32$，其他两纤维各至少十七，故 $S\ge66$。因 $m\le a=7$，定理81.17给 $E\ge66-24-7+1+2=38$。这覆盖全部非单点后段，连同单点情形证明所声明的界。证毕。

定理81.13的正流路径允许生产槽剥离孩子，未保证定理81.17的整条历史假设。两条事件的共同路径也未保证整段历史不分裂。因此上述走廊排除不能应用到全部延后路径。

### 81.6 同行事件的首次分离与重复目标

**定理 81.19（任意参数的首次分离同余）。** 取定义81.11的任意 $p\ge2,P>1,h\ge1$ 原表。两个不同读取事件 $(x,i),(y,j)$ 占同一个实际行 $(q,c)$，其完整相位按低位排序为 $cP+u,cP+v$，$0\le u<v<P$。它们可能是同一原标签的不同访问，且不要求 $i=j$。

将两事件之后的实际执行按进一步读取次数同步，存在首次不同读数，偏移为 $k$，其中 $1\le k\le\min(h-i,h-j)$。此前及分离读，它们经过同一列非首读目标 $q_1,\ldots,q_k$ 和同一列字面正等待 $\delta_1,\ldots,\delta_k$。令 $D_t=\sum_{n=1}^t\delta_n$，则

$$
\begin{aligned}
t<k&\quad\Longrightarrow\quad D_t\bmod P\notin[P-v,P-u),\\
t=k&\quad\Longrightarrow\quad D_k\bmod P\in[P-v,P-u),\\
D_k&\ge P-v.
\end{aligned}
\tag{81.15}
$$

证明。非终止配置唯一使两个相位不同。同一读行只有一个固定后继；在读数首次不同之前，它们必执行同一纯等待链，到同一个下一读取态，没有删读或改用代表等待。

首次不同读数必须存在。若永远相同，则任一后缀停止时，另一后缀也按相同后继在同样多的进一步读取后停止于相同固定标签。$x\ne y$ 时与正确输出矛盾；$x=y$ 时，原输入的总读数 $N_x$ 固定，相同后缀长度会给 $N_x-i=N_x-j$，与不同事件的 $i\ne j$ 矛盾。因此首次分离发生在两条实际后缀各自的截止以前，给 $k$ 的界。

累计字面等待为 $D$ 时，两来源是 $[cP+u+D]_M,[cP+v+D]_M$。写 $D=aP+t$、$0\le t<P$；它们的块商恰在 $u+t<P\le v+t$ 时相差一，且模任意 $p\ge2$ 后仍不同。等价条件正是 $P-v\le t<P-u$，证明全部中间约束及分离约束。任何 $0\le D<P-v$ 都不能分离，故有最后的标量下界。所有 $q_n$ 非首读，由首读已经覆盖全部初始化相位的配置唯一性保证；它们之间可以重复。证毕。

**定理 81.20（共同尾剩余的分数收费）。** 在同一个定义81.11原表的每个实际非首读目标上选整数 $b_q$，满足 $0\le b_q\le L_q-1$，并置

$$
B=\sum_qb_q,\qquad R_q=L_q-1-b_q.
\tag{81.16}
$$

选有限族 $\mathcal A$ 的实际同行事件对，逐对使用定理81.19的完整数据。令 $n_{aq}$ 数目标 $q$ 在第 $a$ 对的序列 $q_1,\ldots,q_{k_a}$ 中的出现次数，包含首次分离读，每次重复都计数；令 $v_a$ 为该对较大的当前低位，并定义

$$
\kappa_a=\max\left(0,P-v_a-k_a-\sum_qn_{aq}b_q\right).
\tag{81.17}
$$

对任意非负有理权 $\alpha_a$，只要每个实际目标都满足 $\sum_a\alpha_a n_{aq}\le1$，便有

$$
\begin{aligned}
E&\ge B+\left\lceil\sum_a\alpha_a\kappa_a\right\rceil,\\
C&\ge M+2r-1+\ell+B+
             \left\lceil\sum_a\alpha_a\kappa_a\right\rceil.
\end{aligned}
\tag{81.18}
$$

证明。每个实际进入等待不超过其原目标的 $L_q$，所以对每一对同时成立

$$
\begin{aligned}
P-v_a&\le D_{k_a}\le\sum_qn_{aq}L_q\\
 &=k_a+\sum_qn_{aq}b_q+\sum_qn_{aq}R_q,\\
\kappa_a&\le\sum_qn_{aq}R_q.
\end{aligned}
\tag{81.19}
$$

最后一步用了 $R_q\ge0$。乘权并交换有限求和，得到

$$
\sum_a\alpha_a\kappa_a
 \le\sum_q R_q\sum_a\alpha_a n_{aq}
 \le\sum_qR_q=E-B.
\tag{81.20}
$$

$E-B$ 是整数，故上取整成立；（81.2）给容量式。不同事件对可以共享标签、历史或目标，也可以嵌套，只要求它们全部来自当前同一表。把 $n_{aq}$ 换成目标是否出现的零一指标会丢掉（81.19）中的重复使用，不能作此替换。证毕。

一种可直接复用的基线是

$$
b_q=\max\bigl(\{d_H-1:H\text{ 是以 }q\text{ 为下一目标的二元历史}\}\cup\{0\}\bigr).
\tag{81.21}
$$

此处 $d_H=1+((\delta_H-1)\bmod P)$ 只用于费用下界，实际路径继续使用原 $\delta_H$。由第76.13、79.5节的既有基线恒等式，$B=S-N-\gamma$；这里不把该代数等式另称为新结论。定理81.20增加的是同行事件的共同未来所强制的剩余需求。任意 $p$ 的容量式都成立；$p=3$ 时可以再代入 $r=N+1+e$。

必须区分两次放宽。第一次，区间树只留下低位分割和读取深度，遗忘部分绝对数字、标签和后继闭合；第二次，（81.17）只留下 $D_k\ge P-v$ 及原目标上界，丢掉（81.15）的全部中间同余与最后余数区间。定理81.19的实际成对轨迹满足这些更强条件，但一个满足标量需求及负载约束的数值记录不自动满足它们，也不自动成为控制器。

### 81.7 两张既有完整表上的共同预算

**命题 81.21（$K_0$ 的五单位剩余和一百零五表的基线）。** 严格采用第75.18节 $K_0$ 的全部读取行、单位等待后继、共同初态 $S$ 及原 $H_x$。在其第二读 $Q$ 的数字一，选输入六、七。它们的相位为九、十，低位为零、一；共同先等六到 $T1$，再等二到读取态 $U$。第一对后继相位十五、十六仍同数字，第二对十七、十八首次分开。因此

$$
k=2,\quad n_{a,T1}=n_{a,U}=1,\quad
b_{T1}=0,\quad b_U=1,\quad\kappa_a=8-2-1=5.
\tag{81.22}
$$

该表的二元基线总和为 $B=51$、实际 $E=56$。只取此对、$\alpha_a=1$，定理81.20达到 $E\ge56$。第74.22节完整整数表则有 $B=E=29$，空事件对族已经给 $E\ge29$。这两项只评价各自给定的完整表，不对未知策略断言最优。

证明。按第75.19节的完整路径，输入六、七都经 $S,Q,T1,U$，累计等待为 $0,3,9,11$；故（81.22）的所有相位、字面等待与索引均是原执行。二元基线在 $Q$ 取 $6-1=5$，在 $U$ 取 $2-1=1$；纯解析目标 $T1,V1$ 没有二元前驱，基线为零。其他二十个目标的二元代表就是其原最大进入等待。原二十四个尾长之和八十，$E=80-24=56$；其中只有 $T1$ 的六步尾提供五单位非零剩余，$V1$ 的一步尾提供零，所以 $B=51$。所选目标中 $U$ 无剩余、$T1$ 有五，负载各为一，恰好只收这五个位置。

一百零五表的二十四个二元目标互异，每目标的二元进入等待达到其原最大尾。三个一元入口分别使用目标十四、二十二、五的备用行，字面等待六、六、七均已在该目标基线内。由第74.22节给定的完整尾长之和五十三，$B=E=53-24=29$。两表都以其完整读取行及单位态规则定义；标签和后继未被重新选择。证毕。

### 81.8 五读的真实自环与六读的正剩余循环

**定义 81.22（两张四十四态总表）。** 取 $p=3,P=5,M=15,\ell=0$。参数 $(d,t)$ 只取 $(4,2)$ 或 $(2,4)$。共同初态 $S$，每个原输入的初始来源仍为 $x$。十三个读取态为

$$
S,Q,A,B,T,\qquad F_{b,k}\quad(b=1,2;\ k=1,2,3,4).
\tag{81.23}
$$

取十五个不同的 $H_x$、$0\le x<15$，固定输出 $x$、形式后继为自身。记 $\langle q,j\rangle$ 为实际单位态 $W(q,j)$，不是加权即时转移。五个读取行的全部绝对数字后继如下。

| 81.边界读取态 | 数字零 | 数字一 | 数字二 |
| --- | --- | --- | --- |
| 81.边界S | $\langle Q,2\rangle$ | $\langle F_{1,1},1\rangle$ | $\langle F_{2,1},1\rangle$ |
| 81.边界Q | $\langle A,1\rangle$ | $\langle Q,d\rangle$ | $\langle T,t\rangle$ |
| 81.边界A | $\langle B,1\rangle$ | $H_2$ | $H_0$ |
| 81.边界B | $H_0$ | $H_1$ | $H_0$ |
| 81.边界T | $H_3$ | $H_0$ | $H_4$ |

$F_{b,k}$ 的数字 $[b+1]_3$ 到 $H_{5b+5-k}$；数字 $b$ 在 $k<4$ 时到 $\langle F_{b,k+1},1\rangle$，$k=4$ 时到 $H_{5b}$；第三个数字到 $H_0$。这规定了八个 $F$ 行的全部数字，没有省略未用槽。

完整尾长为 $L_Q=\max(2,d)$、$L_A=L_B=1$、$L_T=t$ 及全部 $L_{F_{b,k}}=1$。每个目标配置且只配置 $W(q,j)$、$1\le j\le L_q$；它使来源模十五加一，$j>1$ 时到 $W(q,j-1)$，$j=1$ 时到 $q$。这些十三个读取、十六个单位等待和十五个固定停止态穷尽名义状态，所有后继均在其中。

**命题 81.23（全部初始化路径及流边界）。** 定义81.22的两表均正确、全态可达、恰四十四态。$(4,2)$ 表最多五读，$(2,4)$ 表最多六读，其完整统计为

$$
\begin{array}{c|rrrrrrrr}
(d,t)&r&|W|&C&E&U&J&s&\Xi\\\hline
(4,2)&13&16&44&4&3&1&1&1\\
(2,4)&13&16&44&4&4&1&1&2
\end{array}
\tag{81.24}
$$

两表的 $U_1=0$。第一表有实际槽自环 $(Q,1)\to(Q,1)$，但其剩余权为零；唯一正剩余边为 $(Q,1)\to(Q,2)$、权一。第二表这两条边的剩余权都为一，因此确有正剩余循环。

证明。前五个原输入的完整读取路径由下表给出。首读总是相位 $x$ 的 $S$，表中列出首读以后每个读取态和当时的实际相位；末列 $H_x$ 是立即停止。

| 81.边界原输入 | $(4,2)$ 的首读后读取／相位 | $(2,4)$ 的首读后读取／相位 | 输出 |
| --- | --- | --- | --- |
| 81.边界输入0 | $(Q,2),(A,3),(B,4)$ | $(Q,2),(A,3),(B,4)$ | $H_0$ |
| 81.边界输入1 | $(Q,3),(A,4),(B,5)$ | $(Q,3),(A,4),(B,5)$ | $H_1$ |
| 81.边界输入2 | $(Q,4),(A,5)$ | $(Q,4),(A,5)$ | $H_2$ |
| 81.边界输入3 | $(Q,5),(Q,9),(Q,13),(T,0)$ | $(Q,5),(Q,7),(Q,9),(Q,11),(T,0)$ | $H_3$ |
| 81.边界输入4 | $(Q,6),(Q,10),(T,12)$ | $(Q,6),(Q,8),(Q,10),(T,14)$ | $H_4$ |

其余十输入写为 $x=5b+u$、$b=1,2$、$0\le u\le4$。两表相同：$u=4$ 只读 $F_{b,1}$，$u=3$ 读到 $F_{b,2}$，$u=2$ 读到 $F_{b,3}$，$u=0,1$ 读到 $F_{b,4}$；依次累计等待一、二、三、四。第 $k$ 个 $F$ 读的相位为 $[5b+u+k]_{15}$。$u=5-k$ 首次进入数字 $[b+1]_3$，由该行输出 $5b+u$；最后剩 $u=0$ 仍在数字 $b$，输出 $5b$。因此十五条原输入路径全部穷尽。

在每条路径上，若已执行 $A$ 个单位等待，来源就是 $[x+A]_{15}$。进入距离 $j$ 的单位态时，每一步减少剩余距离并恰增加一次来源，故表中的相位和读数由字面等待给出，没有隐藏计时。全部相邻读间等待正，表列末读直接到其原固定 $H_x$。五读表的二／三／四／五读输入数为 $(2,3,5,5)$；六读表的二／三／四／五／六读输入数为 $(2,3,4,5,1)$。

$Q$ 的最长尾分别由四步自环入口或两步入口完整走过，$T$ 的两步或四步尾也有输入三、四经过；$A,B$ 和所有 $F$ 的一步尾由上述输入经过。每个读态及每个 $H_x$ 均出现，故全态可达。等待数为 $L_Q+L_T+2+8=16$，非首读目标十二个，$E=16-12=4$，总数 $13+16+15=44$。

还须使用完整历史而非按输入访问次数计算流。将首读数字也写入历史词，五读表在 $w=(Q,1)$ 的两条历史为 $(0,1)$（标签三、四，索引二）和 $(0,1,1)$（标签三，索引三）。前者在该行二分，后者一元到数字二，所以自环只有一个森林原像，至 $(Q,2)$ 的边有两个。$v=(Q,2)$ 的两条历史分别来自这两个索引，各为单点，经过同一 $t=2$ 后到 $T$ 的数字零、二。

六读表在 $w$ 有三条历史：$(0,1)$（标签三、四，索引二）一元沿自环，$(0,1,1)$（同两标签，索引三）二分，$(0,1,1,1)$（标签三，索引四）一元到数字二。故自环和至 $v$ 的边各有两个森林原像；$v$ 的两个单点历史仍经一个实际共同 $t=4$ 到不同数字。

其他实际边各只有一个完整森林原像。两表唯一入度二槽为 $w$，唯一纯解析槽为 $v$；共享二元目标仅 $Q$，其两个二元父历史分别是首读数字零和上述 $w$ 的二元历史。由此 $J=s=1$，剩余边权给 $\Xi=1,2$。完整森林的一元节点分别为 $w$ 的一条／两条一元历史及 $v$ 的两条单点历史，得到 $U=3,4$，也满足 $U=2J+U_1+\Xi$。证毕。

这两张表属于 $P=5$，既不是 $P=9$ 的至多一百零四态反例，也不是同一固定森林的容量比较。它们给出两个不同边界：五读定理保留实际控制自环，六读时正剩余循环确实可实现，故不能将定理81.13的五读前提直接移除。

### 81.9 文献对应、前向证书与未决的逆向

**定义 81.24（本节恢复命题的范围）。** 本节的原表定义、事件计数、区间投影、二元费用和已给完整表，引用同卷第74—80节在[固定公开版本 5e34aa5455bacaa43f2fc356260edf8069697d75](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/5e34aa5455bacaa43f2fc356260edf8069697d75/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md)的文本。上述新结论是这些定义上的仓内普通推导（repo-derived），不主张文献认证的原创性或 Lean/kernel 验证。

外部结果只在下面的明确假设范围内提供对应，不替代本节的实际相位与收费证明。

| 81.来源与原结果 | 本模型中的迁移条件及边界 |
| --- | --- |
| 81.来源闭覆盖：[Abel 与 Reineke，MEMIN，ICCAD 2015，§II.C 定理1、§IV.B(c)](https://embedded.cs.uni-saarland.de/publications/iccad15.pdf) | 优化给定不完全指定 Mealy 行为。对一个兼容类和一个输入，全部已定义后继的并须被同一个后继类包含；类可以重叠，逐对容器不够。移用前须另证明动作类型、每个单位 $W$ 的观察无关后继、固定 $H_x$、共同初态和全部原路径保持。论文不选择本题未知的取得策略。 |
| 81.来源观察机：[Larrauri 与 Bloem，arXiv:2105.10292v2，§5 定理4、附录B](https://arxiv.org/pdf/2105.10292v2) | 对给定一致观察机，实现与闭覆盖双向构造，证明沿同一运行保持原状态属于所选类。其给定行为及输入语言不能直接当作改变等待策略后的同一物理来源；本题观察流受控制器动作影响，还须证明动作／环境耦合及状态费用保持。 |
| 81.来源有序图：[Bryant，Graph-Based Algorithms for Boolean Function Manipulation，定义1、5及定理1](https://www.cs.cmu.edu/~bryant/pubdir/ieeetc86.pdf) | 非终止边的变量索引严格递增，故图无环；删读规则需要两个孩子相同。历史上一元不保证全局共同继续相同，更不自动保持字面等待、终止环及原标签费用。 |
| 81.来源圆弧：[Tucker，Matrix Characterizations of Circular-Arc Graphs，1971，定理2](https://msp.org/pjm/1971/39-2/pjm-v39-n2-p13-s.pdf) | 对有限、无自环的简单无向交叠图，增广邻接矩阵的准圆周一性质刻画存在某个圆弧表示。它没有固定数字网格中的绝对端点、字面长度、事件索引和共同后继；共享槽的支持还可能是不连通并集。交叠表示不是原初始化相位的实现。 |
| 81.来源网络流：[Ford 与 Fulkerson，Maximal Flow Through a Network，1956，§1 定理1](https://doi.org/10.4153/CJM-1956-045-5) | 原文的有限单源单汇链流按弧容量收费，链不重复顶点，且原文明确区分循环绕行及多对指定源汇。历史槽边的重数没有自动映到不同物理等待位置，固定标签也不能任意重路由。式（81.20）依自己的每目标负载证明，不援引最大流等号。 |

这些对应中的闭覆盖、有序图、圆弧及最大流结论为文献结果；本节没有将它们重新列为新增数学定理。尤其，第80.18节的固定物理森林匹配只在已给定全部历史、相位、字面时间和指定共享对时提供逆向构造。其域内最小值不能给另一未知森林的全模型容量。

定理81.19在同一个来源和驻定行上，把两个空间相位的区别转成共同未来必须跨越的数字边界；读取截止限制跨越前可以有多少次观察。定理81.20随后把这些同时成立的需求，以目标出现重数和负载上限转成同一物理尾上的剩余记忆费用。它给出参数化正向关系，但没有证明一个标量证书足够恢复全部读取行和每个单位等待后继。

在 $p=3,P=9,h=5$ 下，对每张仍存原表都能选择实际事件对和非负有理权，使每目标负载至多一且

$$
B+\left\lceil\sum_a\alpha_a\kappa_a\right\rceil+2e+\ell\ge29
\tag{81.25}
$$

这一全称证书选择命题仍未证明。它若成立会给所需容量下界；它若失败，只说明此标量松弛不充分，不直接给容量反例。两个既有表上的等号也不能去掉这个全称量词。

第80.9节的延后单碰撞现在有 $\Xi=1$ 或二的实际路径形状；下侧单点及完整未分裂走廊已被上述条件界排除。仍待处理的是下侧非单点、沿途存在生产分裂的单碰撞，以及 $J\ge2$ 的多个碰撞。不同碰撞可以共用后续目标，不能将各自的 $E$ 下界相加；原模型还要求所有原标签、绝对相位、字面等待、读数上限及总后继在一张共同初始化表中实现。

本节没有给出完整的 $P=9,C\le104$ 控制器，也没有证明全模型的 $E+2e+\ell\ge29$。一般参数的精确取得容量、最优最坏读取数约束下的容量、共同实现的逆向构造，以及原 general-$B$ 的空间、时间、边界和记忆完整互恢复目标仍未解决。

## 81.99 追加锚
## 82. 共同等待的前缀约束、读取期限与剩余碰撞轮廓

### 82.1 原表、前向投影与同目标收费

**定义 82.11（共同实现合同）。** 本节沿用定义81.11：整数 $p\ge2,P>1,h\ge1$，$M=pP$，全部原输入 $x\in\mathbb Z/M\mathbb Z$ 从同一个来源无关控制态和来源 $x$ 开始。$W$ 恰加一；$R$ 不改来源，只返回 $\lfloor[s]_M/P\rfloor$；$H_x$ 固定输出原标签 $x$。路径有限，至多 $h$ 读，形如 $W^\ell R(W^+R)^*$，末读立即停止。所有名义态、未达态、单位等待、共同前缀、内部计数和终止态均收费；无来源相关准备、免费时钟、复位、复制、逆步、重标输出或终止侧信道。任意字面正等待、单点继续、额外读取态及在全部初始化输入上终止的环均保留。

完整历史森林、实际槽、带索引事件分别是三种对象。$U$ 包括单点后的每次一元继续，$J$ 数实际槽入度剩余，$\Xi$ 数森林边映到同一实际边的重数剩余。二元历史数为 $N=p(P-1)$；$m_q$ 数二元历史的下一读取目标为 $q$ 的次数，$s=\sum_q(m_q-1)_+$。实际活动槽有唯一字面等待及下一目标。以 $q_0$ 为首读态，仍置

$$
\begin{aligned}
L_q&=\max_{\tau(z)=q}\delta(z),& E&=\sum_{q\ne q_0}(L_q-1),\\
C&\ge M+2r-1+\ell+E;&p=3,P=9:\quad C&\ge76+2e+\ell+E,
\end{aligned}
\tag{82.1}
$$

其中 $p=3$ 时 $r=N+1+e,e\ge0,s\le J$。所需物理注入是第81.1节已证的原表注入：不同目标的一条最长单位尾互不相交，也不交共同前缀；否则固定的首次未来读目标不唯一，或重现非终止联合配置。后者对同输入造成循环，对异输入造成同一固定输出。每个原标签另需自己的停止态。

在 $p=3,J=s=1$ 时，唯一共享二元目标的共同数字槽为 $w$，唯一纯解析槽为 $v$。把相撞孩子定向为后段 $[P-\rho,P)$ 和前段 $[0,\sigma)$，二元父代表分别为 $a,b$。$S$ 为同一完整森林全部二元正代表的和，$m=\min(a,b)$。第79.15、81.1节给出

$$
q_*:=\tau(v)\notin\mathcal B:=\{q:m_q>0\},\qquad
\gamma=m-1,\qquad E\ge S-N-m+\delta(v).
\tag{82.2}
$$

其加法先在原目标上成立：二元目标的最大代表超额之和为 $S-N-\gamma$；不同目标 $q_*$ 另给 $\delta(v)-1$。后文的树费用只分解同一个 $S$，不为历史流边另收状态。

记 $K_j(l,u)=K_j([l,u))$ 为第80.12节的低位树最小二元代表和。单点为零，非单点在 $j=0$ 时不可行；对 $d=1,\ldots,P$，将 $[l+d,u+d)$ 按 $P$ 的边界切开、模 $P$ 送回，所得非空孩子为 $\mathcal C_d$。一孩子根收零，二孩子根收 $d$，两者均消耗一读。因此

$$
K_j(l,u)=\min_{1\le d\le P}
\left(d\,\mathbf1_{|\mathcal C_d|=2}+\sum_{I\in\mathcal C_d}K_{j-1}(I)\right).
\tag{82.3}
$$

此处及以下不可行值记 $+\infty$。递推保留一元步；单点继续不降低最小二元费用。原表投影属于此树域；接合最小子树只产生低位树，未证明驻定共享实现。

为使后面的每项代入明确，列出 $P=9$ 时所需的既有数值。列为长度 $n=1,\ldots,4$ 或 $1,\ldots,8$：

| 82.区间费用 | 按长度排列的值 |
| --- | --- |
| 82.两读前段 $K_2(0,n)$ | $(0,1,8,16)$ |
| 82.两读后段 $K_2(9-n,9)$ | $(0,1,2,11)$ |
| 82.三读前段 $K_3(0,n)$ | $(0,1,2,8,9,16,24,32)$ |
| 82.三读后段 $K_3(9-n,9)$ | $(0,1,2,3,5,13,22,31)$ |

一次余读的二点区间 $[l,l+2)$ 费用是 $8-l$。上述值按（82.3）对全部内部区间递推得到；在当前 $[l,l+n)$ 的第 $k$ 点后作二分，代表为 $9-l-k$，孩子为后段 $[9-k,9)$ 和前段 $[0,n-k)$。一元候选另保留。全块四读的根代表一至八给

$$
(32,25,18,17,17,24,32,40),\qquad K_4(0,9)=17.
\tag{82.4}
$$

代表九留下三读而不能区别九点，故不可行。这些小深度等式复用第80.13节，不作为另一项新增结论。

### 82.2 两步延后碰撞的完整排除

**定理 82.12（两步延后单碰撞的四十二界）。** 在完整 $p=3,P=9,h=5$ 模型中，若 $J=s=1,w\ne v,\Xi=2$，则

$$
E\ge42,\qquad C\ge118+2e+\ell.
\tag{82.5}
$$

证明。第81.13节使全部正剩余支撑恰为单位简单路径 $w\to z\to v$。两条 $w$ 历史处于第二读，来自不同首读纤维；两条 $v$ 历史处于第四读，且都是单点。因此其父节点是两个不同全块根，$a=9-\rho,b=\sigma$。共同槽的索引二质量是 $(\rho+\sigma)/8\le1$，故 $\rho+\sigma\le8$，特别 $m=\sigma$。

若 $\rho=1$，$A$ 根代表八，这个纤维费用至少四十，另外两个各至少十七。由（82.2）及 $m\le8,\delta(v)\ge1$，有 $E\ge74-24-8+1=43$。若 $\sigma=1$，$B$ 根代表一，该纤维至少三十二，故 $E\ge66-24-1+1=42$。这些分解只给不同首读纤维各收费一次。

以下 $\rho,\sigma\ge2$。每条被跟踪历史必须在两步内缩成单点，每次缩小都需该历史二分。同槽至多承载一条二元历史，故 $w,z$ 各恰分裂其中一条，两条历史各分裂一次。先分裂者留在共同路径上的孩子已经是单点；剥离的另一个孩子及其全部后代仍属于原纤维，不能丢掉。

先设后段 $A$ 在 $w$ 分裂。为与未分裂的前段共用下一数字，必须留下不回绕的下侧单点，故第一代表 $c=\rho-1$。在 $z$ 的两个支持是 $\{8\}$、$[c,c+\sigma)$。第二步 $B$ 必须留下回绕的上侧单点，所以第二代表 $d=11-\rho-\sigma$。在 $v$，两单点低位是 $d-1,0$；其下一读要分开，必有

$$
\delta(v)\ge10-d=\rho+\sigma-1.
\tag{82.6}
$$

剥离的 $A$ 孩子为 $[0,\rho-1)$，处于第三读，还剩两读；剥离的 $B$ 孩子为 $[10-\sigma,9)$，处于第四读，还剩一读。因此 $2\le\rho\le5,2\le\sigma\le3$。两原根、两路径二元节点、原根的两个未碰撞孩子、两个剥离孩子及第三个完整纤维，是同一森林二元节点的一份不交分解。代入（82.2），根和路径代表合并后给

$$
E\ge11+K_3(0,9-\rho)+K_2(0,\rho-1)
          +K_3(\sigma,9)+K_1(10-\sigma,9).
\tag{82.7}
$$

前两项按 $\rho=2,3,4,5$ 为 $(24,17,17,24)$，后两项按 $\sigma=2,3$ 为 $(22,14)$。全部八项界，按这两个顺序排列，是

$$
\begin{pmatrix}57&49\\50&42\\50&42\\57&49\end{pmatrix}.
\tag{82.8}
$$

若前段 $B$ 先分裂，必须留下上侧单点，第一代表 $c=10-\sigma$。在 $z$，前段单点为零，后段成为 $[c-\rho,c)$；后者再留下不回绕的下侧单点，第二代表 $d=\rho+\sigma-2$。在 $v$ 的低位是 $d,8$，故使用有效下界 $\delta(v)\ge1$。先剥离的后段 $[10-\sigma,9)$ 有两读，后剥离的前段 $[0,\rho-1)$ 有一读，故 $2\le\sigma\le5,2\le\rho\le3$。同一不交分解现在给

$$
E\ge11+K_3(0,9-\rho)+K_1(0,\rho-1)
          +K_3(\sigma,9)+K_2(10-\sigma,9).
\tag{82.9}
$$

前两项是 $(24,24)$，后两项是 $(22,14,7,14)$；全部界为

$$
\begin{pmatrix}57&49&42&49\\57&49&42&49\end{pmatrix}.
\tag{82.10}
$$

两种次序穷尽非单点情形，全部值至少四十二。这里的有限表是（82.3）在已经穷尽的深度、切口和子区间上的代入；没有假定各最小子树可同时编译。字面等待的正提升不改变低位切口，且 $\delta(v)$ 保持原值，只会增强所用界。由（82.1）得容量结论。$\square$

### 82.3 一步共同继续的切口与早期位置

**引理 82.13（一步生产分裂的准确支持）。** 在 $p=3,J=s=1$ 的同一原表中，设正剩余路径只有 $w\to v$，$w$ 为生产槽。两相撞历史在 $w$ 的索引为 $i_A,i_B$，支持为 $[P-\rho,P)$、$[0,\sigma)$。以 $c,t$ 分别记 $w,v$ 的正代表。

若后段分裂，则

$$
\begin{gathered}
1\le c<\rho,\qquad
v\text{ 的支持为 }[P-\rho+c,P),\ [c,c+\sigma),\\
\rho-c\le t\le P-c-\sigma,\\
\rho-c\le2^{h-i_A-2},\quad \sigma\le2^{h-i_B-2},\quad
c\le2^{h-i_A-1}.
\end{gathered}
\tag{82.11}
$$

若前段分裂，置 $k=P-c$，则

$$
\begin{gathered}
1\le k<\sigma,\qquad
v\text{ 的支持为 }[c-\rho,c),\ [0,\sigma-k),\\
k+\rho\le t\le P-\sigma+k,\\
\rho\le2^{h-i_A-2},\quad \sigma-k\le2^{h-i_B-2},\quad
k\le2^{h-i_B-1}.
\end{gathered}
\tag{82.12}
$$

以上指数非负，否则相应正大小历史不可行。

证明。固定等待在一个数字块内只有一个切口。未分裂历史与留在共同路径的孩子必须具有同一进位，另一孩子被剥离；逐区间平移便给两组支持。$v$ 纯解析，两条历史各一元且下一数字不同，故它的切口必须位于这两个支持之间，得到 $t$ 的范围。再经过 $v$ 的一元读取后，各所留历史仍须区别自己的全部标签，只剩 $h-i-2$ 读；剥离孩子剩 $h-i-1$ 读。每读至多二分，得大小界。这些是同一实际路径上的约束，未给流边收费。$\square$

**定理 82.14（小容量单碰撞的两个必要轮廓）。** 在完整 $p=3,P=9,h=5$ 模型中，若 $C\le104,J=1$，则 $s=1,\Xi=1$，实际槽图无有向环。两条碰撞历史都在第三读，来自不同首读纤维；在 $w$，后段为 $[7,9)$，前段为 $[0,1)$。后段在 $w$ 二分，前段一元，$w$ 的字面等待恰为一；到 $v$ 时低位分别为八、一，均在第四读。以 $d_A,d_B$ 记两个首读根的等待，$a,b$ 记其第二读父节点的等待，则只有下列必要轮廓。表内这些等待均为原字面等待。

| 82.必要轮廓 | $(d_A,a)$ 及第二读入口 | $(d_B,b)$ 及第二读入口 | 同表必要预算 | 首读绝对数字关系 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 82.轮廓I | $(5,2)$，$[5,9)$ | $(4,6)$，$[0,4)$ | $S+\delta(v)+2e+\ell\le54$；$S\ge52,e=0,\ell\le1,\delta(v)\le2$ | $c_B=c_A+1\pmod3$ |
| 82.轮廓II | $(4,7)$，$[0,4)$ | $(4,6)$，$[0,4)$ | $S+\delta(v)+2e+\ell\le58$；$S\ge52,2e+\ell\le5,\delta(v)\le6$ | $c_B=c_A+2\pmod3$ |

两行均有 $\delta(v)\ge1$，且所有二元历史的字面等待均无正的九步提升。这些是必要条件，不断言存在实现或达到表。

证明。第78.13节排除 $s=0$；$s\le J$ 给 $s=1$。第80.15节排除立即解析 $w=v$，第81.13节把延后路径限制为一或二步，定理82.12排除二步；第81.16节排除 $\rho=1$。还可排除 $\min(a,b)=1$：唯一共享二元目标的 $\gamma=0,n_q=3,m_q=2$，第79.12节的带符号项为 $\Lambda=-1-B_q\le-1$，其中 $B_q$ 数两个父代表中至少七者；例外数 $z\le J=1$。同一原表的 $Q^\sharp\ge105$ 与 $Q^\sharp\le2(E+24)+\Lambda+z$ 给 $E\ge29$，和 $C\le104$ 矛盾。这里使用 $G^\sharp(9,7,4;0,9)=35$ 的既有全区间递推，其八个根候选为 $(61,48,35,35,35,47,61,76)$。

若实际槽图有环，第81.13节使它只能是 $w$ 的自环，两个 $w$ 历史在第二、第三读。自环只有一个森林原像，故早历史必须二分产生返回孩子，晚历史只能一元离开：若早历史一元返回而晚历史二分，晚历史也必有一个返回孩子，便会产生第三条 $w$ 历史，违反期限。返回孩子第三读后还须一元到 $v$，再一元解析并在第五读停止，故已是单点。它若为下侧后段，则 $\rho=1$；若为上侧前段，则早历史是以九为右端点的后段，其上侧单点切口为八，给父代表一。两者均已排除。故无环是本容量条件下的结论。

一步路径上，$w$ 恰有两条历史。如果二者都一元，就满足第81.17节完整未分裂走廊的假设，由81.18被排除。因此 $w$ 生产。两到达索引均为二或三。若后段 $A$ 不分裂，引理82.13的期限迫使 $i_A=2,\rho=2$；其根代表七，原另一孩子为七点前段，故此纤维至少 $7+24+1=32$。其他两纤维各至少十七，由（82.2）得 $E\ge66-24-7+1=36$。所以后段必须分裂，前段 $B$ 一元。

若 $i_B=2$，同一期限使 $\sigma\le2$，且 $b=\sigma$。$\sigma=1$ 已有单位代表排除；$\sigma=2$ 的整纤维根费用为 $2+K_3(2,9)+K_3(0,2)=25$。取更弱的二十四也足够：另两纤维各十七，$m\le2$ 给 $E\ge58-24-2+1=33$。这只对包含 $B$ 的纤维取一次界，即使 $A$ 嵌在其中也成立。因此 $i_B=3,\sigma=1$。

再排除 $i_A=2$。设其生产步剥离大小为 $t$，所留后段大小为 $R$。期限给 $1\le t\le4,R\in\{1,2\}$；原根代表为 $a=9-R-t$，$w$ 代表为 $t$。以 $z$ 记解析代表，$z\ge R$。若 $R=1$，本纤维二元和 $S_A$ 满足

$$
S_A+\delta(v)-a\ge K_3(0,8-t)+t+K_2(0,t)+1.
\tag{82.13}
$$

按 $t=1,2,3,4$ 得 $(26,20,21,29)$。若 $R=2$，解析后所留二点在 $[z-2,z)$，最后一读的代表为 $10-z$，故

$$
S_A+\delta(v)-a\ge K_3(0,7-t)+t+K_2(0,t)+10,
\tag{82.14}
$$

四项是 $(27,22,29,32)$。即使 $B$ 在同一纤维，另两个完整纤维仍各至少十七。$m\le a$ 及（82.2）给 $E\ge20+34-24=30$。所以 $i_A=i_B=3$。

到 $v$ 时都在第四读，保留后段必须是单点；剥离孩子在第四读至多二点。因此 $\rho=2$ 或三，生产代表为 $\rho-1$。两个父节点都在第二读。现在按其在原根分割中的位置穷尽。

若 $A$ 的父节点为后段孩子，原根代表 $d_A=9-\rho-a$，其另一个孩子有三读，父节点的另一孩子为大小 $a$ 的前段且有两读，故 $1\le a\le4$。$a$、生产代表与原根的和为八，给整纤维界

$$
S_A\ge8+K_2(0,a)+K_1(0,\rho-1)+K_3(0,9-\rho-a).
\tag{82.15}
$$

若父节点为前段孩子，则 $a=9-\rho$，原根代表 $d_A=\rho+1,\ldots,\rho+4$，并有

$$
S_A\ge d_A+8+K_1(0,\rho-1)+K_2(0,d_A-\rho)+K_3(d_A,9).
\tag{82.16}
$$

这些式子都分别列出了根、父节点、生产分裂及其不交的剩余子树。相应全部值是

| 82.后段父位置费用 | $\rho=2$ | $\rho=3$ |
| --- | --- | --- |
| 82.A父为后段，按 $a=1,2,3,4$ | $(24,18,24,26)$ | $(25,25,26,33)$ |
| 82.A父为前段，按 $d_A=\rho+1,\ldots,\rho+4$ | $(24,18,24,32)$ | $(25,25,32,40)$ |

先只加其他两纤维的三十四并用 $m\le a$。全部 $\rho=3$ 以及 $\rho=2$ 后段父位置除 $(a,d_A)=(2,5)$ 外都给 $E\ge29$；前段父位置只剩 $a=7,d_A=3,4,5$。

$B$ 的父节点若为后段孩子，以九为右端点产生上侧单点，必有 $b=1$，已排除。故它为前段 $[0,d_B)$，$b=10-d_B$；另一个孩子在第三读有 $d_B-1$ 点、余两读，所以 $2\le d_B\le5$。整纤维界为

$$
S_B\ge10+K_2(10-d_B,9)+K_3(d_B,9),
\tag{82.17}
$$

按 $d_B=2,3,4,5$ 为 $(32,24,17,24)$，对应 $b=8,7,6,5$。若两父在不同首读纤维，使用

$$
E\ge S_A+S_B+17-24-\min(a,b)+1.
\tag{82.18}
$$

对剩余 $A$ 的四种位置及 $B$ 的四种位置，只有 $(a,d_A,b,d_B)=(2,5,6,4)$ 或 $(7,4,6,4)$ 的右端至多二十八。特别 $a=7,d_A=3,5$ 即使用 $B$ 最小值十七也给二十九。

若两父在同一纤维，它们是第二读的两个不同兄弟。$B$ 必为前段，故 $A$ 只能为后段；唯一尚需处理的是 $a=2,d_A=5$，并强制 $d_B=5,b=5$。本纤维共同计数为根五、父代表二及五、生产代表一、$A$ 的另一二点费用一和 $B$ 的另一四点后段费用十一，合为至少二十五。另两纤维共三十四，给 $E\ge25+34-24-2+1=34$。这里没有把同一纤维按两个独立最小值收费。因此两个剩余轮廓确实分属不同首读纤维，$S\ge18+17+17=52$。

最后恢复字面等待及绝对数字。令 $D_q$ 为二元目标的最大二元代表，置

$$
X=\sum_{q\in\mathcal B}(L_q-D_q)\ge0.
$$

（82.2）的准确同目标加强是 $E\ge S-24-m+\delta(v)+X$。小容量迫使轮廓I的 $S+\delta(v)+X+2e+\ell\le54$，轮廓II至多五十八。故分别 $X\le1,X\le5$，并给表列预算。唯一二元入口目标上的正九步提升使 $X$ 至少增九。共享目标的代表为 $(2,6)$ 或 $(7,6)$；较小入口提升一次分别至少使 $X$ 增五或八，较大入口提升至少增九，均超过可用额度。所以所有二元等待都是其正代表，尤其生产等待恰为一。

轮廓I中 $A$ 的两步无进位，$w$ 数字为 $c_A$；$B$ 先根四步到上侧前段，再父六步取上侧单点，共进两块，$w$ 数字为 $c_B+2$。故 $c_B=c_A+1\pmod3$。轮廓II的 $A$ 先进入上侧前段，再取下侧后段，$w$ 数字为 $c_A+1=c_B+2$，故 $c_B=c_A+2\pmod3$。标签仍是原 $x$，没有输出重标。由共同等待一，$[7,9)$ 留下低位八，前段单点移到低位一，得到所述解析入口。$\square$

### 82.4 首次分离以前的周期前缀

**定理 82.15（共同等待的准确秩下界）。** 取定义82.11的任意 $p,P,h$。两个不同实际读取事件在同一行，当前低位为 $0\le u<v<P$，索引为 $i,j$。设它们在第 $k$ 次进一步读取首次观察到不同数字，$D_t$ 为此前累计字面等待。置

$$
L=P-v,\quad R=P-u,\quad w=v-u,\quad c=P-w\ge1.
\tag{82.19}
$$

对正整数 $t$ 唯一写 $t-1=qc+(r-1)$，其中 $q\ge0,1\le r\le c$，并定义

$$
A_t=qP+r+w\mathbf1_{r\ge L},\qquad
F_k=L+P\max\left(0,\left\lceil\frac{k-L}{c}\right\rceil\right).
\tag{82.20}
$$

则 $k\le\min(h-i,h-j)$，且

$$
t<k\Longrightarrow D_t\ge A_t,\qquad D_k\ge F_k.
\tag{82.21}
$$

仅在允许为这一对单独任取正整数等待的放宽域内，这些前缀下界可以同时达到；不要求等待来自一张驻定表，也不限制预先指定的目标尾长。

证明。第81.19节保证首次分离存在。此前两事件使用同一序列字面等待及读取目标，且恰在 $D\bmod P\in[L,R)$ 时数字不同。即使两个事件有同一个原标签而索引不同，相同的终止后缀也会给相同剩余读数，与同标签的总读数固定矛盾，所以该引理的不同事件范围保持。

正等待使 $0<D_1<\cdots<D_k$。每个正周期 $qP+1,\ldots,(q+1)P$ 中，允许相同读数的时间依次是

$$
qP+1,\ldots,qP+L-1,\quad qP+R,\ldots,(q+1)P.
\tag{82.22}
$$

有 $c$ 个，其中第 $r$ 个为 $qP+r+w\mathbf1_{r\ge L}$。当 $L=1$ 时第一段为空，周期末端 $P$ 对应余数零且仍允许。因此第 $t$ 次相同读取不能早于第 $t$ 个正的允许时间，即 $A_t$。

在分离区间 $zP+[L,R)$ 内任意整数时间以前，允许时间恰有 $zc+L-1$ 个。容纳 $k-1$ 次先前读取要求 $zc+L-1\ge k-1$，最小非负整数 $z$ 正是（82.20）所用上取整，最早分离点为 $zP+L=F_k$。取前 $k-1$ 个允许时间，再取 $F_k$，它们严格递增；相邻差是正整数，便同时达到全部前缀秩。这只恢复这一对的时间序列，未恢复共享行的相等等待、固定后继或标签。$\square$

**定理 82.16（前缀需求的实际目标剩余收费）。** 在同一任意原表的每个非首读目标上选整数 $0\le b_q\le L_q-1$，置 $B=\sum_qb_q,R_q=L_q-1-b_q$。选有限族实际同行事件对及其实际首次分离路径；对第 $a$ 对和所选前缀长度 $1\le t\le k_a$，以 $n_{a,t,q}$ 数前 $t$ 个读取目标中 $q$ 的出现次数，重复访问照计。置

$$
\begin{aligned}
T_{a,t}&=\begin{cases}A_t,&t<k_a,\\F_{k_a},&t=k_a,\end{cases}\\
\kappa_{a,t}&=\max\left(0,T_{a,t}-t-\sum_q n_{a,t,q}b_q\right).
\end{aligned}
\tag{82.23}
$$

$A_t,F_{k_a}$ 使用该对自身的 $u,v,P$。对任意非负有理权 $\alpha_{a,t}$，若每个实际目标均满足 $\sum_{a,t}\alpha_{a,t}n_{a,t,q}\le1$，则

$$
\begin{aligned}
E&\ge B+\left\lceil\sum_{a,t}\alpha_{a,t}\kappa_{a,t}\right\rceil,\\
C&\ge M+2r-1+\ell+B+
\left\lceil\sum_{a,t}\alpha_{a,t}\kappa_{a,t}\right\rceil.
\end{aligned}
\tag{82.24}
$$

证明。各次实际等待都不超过所进目标的原 $L_q$，故每个所选前缀同时满足

$$
T_{a,t}\le D_{a,t}\le\sum_q n_{a,t,q}L_q
=t+\sum_qn_{a,t,q}b_q+\sum_qn_{a,t,q}R_q.
\tag{82.25}
$$

$R_q\ge0$ 给 $\kappa_{a,t}\le\sum_qn_{a,t,q}R_q$。乘权求和，每个目标的系数至多一，于是右端至多 $\sum_qR_q=E-B$。后者为整数，得上取整；容量式由（82.1）给出。不同事件对可共享标签、历史或目标，前缀可嵌套，但所有权必须共同满足同一负载约束。特别不能把出现次数换成零一指标。$\square$

**命题 82.17（总时间不能替代首前缀）。** 取 $P=9,u=0,v=8,k=2$。先同读再分离的时间松弛恰要求 $D_1\ge9,D_2\ge10$ 的上述最早值，且 $(\delta_1,\delta_2)=(9,1)$ 同时达到。零基线下，第81.20节仅用 $P-v=1$ 的末端标量需求为零；两个不同目标的尾长 $(1,1)$ 通过该标量式，却不能实现此前缀。即使加入 $D_2\ge10$ 的总时间界，尾长 $(5,5)$ 也仍通过总上限，却违反首目标必须容纳九步的要求。

证明。分离余数为一至八，先前相同读数只能在正的九倍时发生。故首前缀至少九，首次分离至少十。定理82.16在第一个目标给剩余需求八，而总时间只限制两个目标的和，不能推出这一单目标要求。以上都是放宽接口记录，不是完整初始化控制器，更不是对第81.25节实际控制器证书选择命题的反例。$\square$

### 82.5 有序截止与孤立行的物理恢复

**定理 82.18（有序事件的局部继续充要条件）。** 在定义82.11的一个实际行中，选取当前低位互异且固定输出标签互异的 $n\ge2$ 个事件，按 $u_1<\cdots<u_n$ 排序。它们的剩余读取期限为正整数 $d_j=h-i_j$。定义

$$
f_0=0,\qquad
f_j=2^{-d_j}\left(\left\lceil2^{d_j}f_{j-1}\right\rceil+1\right).
\tag{82.26}
$$

正确原表必满足 $f_n\le1$。反过来，给定同一绝对数字块内的任意这组不同整数低位、不同固定标签及正整数期限，只要求从这个孤立行继续，并允许建立全部收费的新读取态、单位等待和终止态时，存在满足期限的物理继续当且仅当 $f_n\le1$。反向不规定完整初始化、不保留已有共享后继，也不主张最小容量。

证明。首先说明所用编码中间结果的先例。（82.26）的向上对齐判据是已知的 alphabetic code 判据；[Bruno、De Prisco、Vaccaro，*Old and New Results on Alphabetic Codes*，arXiv:2504.05959v1，§5 定义2、定理2](https://arxiv.org/pdf/2504.05959v1)将它归于 Yeung，*Alphabetic codes revisited*，1991。这里按已读综述引用；Yeung 原始论文的定理文本未核验，不将其作为另一个已核对的来源。下面重述所需短论证作为物理桥梁的中间步骤，不另列新编码定理。

展开所选事件的共同未来。在每个当前数字块内，同一平移的下一观察把现有低位顺序切成至多两个连续组；在每个组内平移保持原次序。按原顺序把两个孩子标为零、一，一元步骤也占一位。每个事件的终止后缀因此给按原相位顺序排列的二元词，长度至多 $d_j$。不同固定标签排除相同词；一个词不能是另一个的前缀，否则同一驻定行已停止，不能继续服务另一标签。所选子树的未用分支可以略去，不影响这一前缀自由及顺序性质。

在每词末补零至恰长 $d_j$，仍保持顺序和前缀自由。长 $d_j$ 的二元词对应 $[0,1)$ 中一个起点为 $2^{-d_j}$ 整数倍、长 $2^{-d_j}$ 的半开区间；前缀自由等价于这些二进区间不交。放完前 $j-1$ 个后，下一段最早只能从不小于当前右端的第一个这种网格点开始。所以归纳得最早右端恰为 $f_j$。任何顺序放置都不能早于它，且贪心放置本身合法。这证明编码存在恰在 $f_n\le1$ 时，进而给原控制器的必要性。若普通 Kraft 和等于一，则每步对齐都不能留下正空隙；特别每个先前前缀质量都须落在下一段的网格上。

反向取上述有序码的有限前缀树。根对应给定的读后行。在二元内部节点，两个非空孩子是当前低位顺序中的连续两组；若左组最大点为 $u$，右组最小点为 $v$，任选整数切口 $u<c\le v$，等待 $P-c\in\{1,\ldots,P-1\}$。它把两组送到相邻的两个真实数字，并分别保持组内顺序。在一元内部节点，用字面等待 $P$，低位不变、绝对数字转一块，确实消耗一读；编码的唯一边标记只描述所选词，不要求等于物理绝对数字。

对每个内部节点 $z$ 新建一个不同的下一读取态 $R_z$ 及恰 $\delta_z$ 个单位态 $W(z,j)$，$1\le j\le\delta_z$。$W(z,j)$ 每步使来源模 $M$ 加一，$j>1$ 时到 $W(z,j-1)$，$j=1$ 时到 $R_z$。当前行指向 $W(z,\delta_z)$；$R_z$ 的真实数字行按对应孩子安装下一请求或固定 $H_{x_j}$。各 $R_z$ 的不同孩子占不同数字，未用行总化到一个已有停止态；每个 $H_{x_j}$ 固定原指定标签、自后继。树叶前的最后读直接停止。

设内部节点数为 $I$。这个具体构造除给定入口读取态外，准确建立 $I$ 个读态、$\sum_z\delta_z$ 个单位态和 $n$ 个终止态，故含入口的名义容量为

$$
1+I+\sum_z\delta_z+n.
\tag{82.27}
$$

全部创建态均收费；这不是最小值公式。沿每个给定入口相位，归纳来源等于原入口相位加累计字面等待，真实读数选择对应有序孩子，最终输出指定标签。路径进一步读数恰为码长 $d_j$，因而满足各自期限。所有单位态后继都在所建集合中，没有免费等待或表外计时。这仅恢复所给孤立行的未来；不能把它接入一个有其他历史约束的共享行而不检查新的相容性，也不生成原模型的全部 $M$ 条共同初始化路径。$\square$

**命题 82.19（满质量仍可因期限次序不可行）。** 在 $P=9,h=5$ 的同一行，取低位 $(0,4,8)$、互异固定标签以及索引 $(3,4,3)$。其普通槽质量恰为 $1/4+1/2+1/4=1$，但不存在共同物理继续。若同样低位的期限改为 $(1,2,2)$，则孤立继续存在。

证明。第一组期限为 $(2,1,2)$，（82.26）的右端依次为 $1/4,1,5/4$。也可直接看中间事件只能再读一次，下一次须同时将它与两端分开。低位零、四的分离要求等待余数在 $[5,9)$，四、八的分离要求余数在 $[1,5)$，两者不交。

这一记录仍可通过第81.20节的标量子系统：把两对中间／外端的首次分离都指定为下一目标 $q$，把外端对指定为两个目标 $q,r$ 后分离；取零基线、$L_q=5,L_r=1$。三项剩余需求是四、零、零，$R_q=4,R_r=0$ 满足它们及所有相应负载合法的加权式。缺失的是同一次共同平移的联合切口，不是无序质量。

对期限 $(1,2,2)$，先等五：入口零到相位五，入口四、八到相位九、十三。前者立即输出，其余同在数字一再等五，到十四、十八，分别输出另两标签。两个五步尾逐单位实现，连同入口、两个新读取态和三个终止态，共十六个局部名义态；所有未用数字总化到既有终止态。这是定理82.18构造的实例，不是二十七输入完整表。$\square$

### 82.6 共同驻定行与共享目标的两种边界

**命题 82.20（各次相位合法不保证同一行可实现）。** 取 $P=9,p=3$，在第三读的同一行 $(q,0)$ 放两个不同标签事件，低位为一、二。指定未来两个读取目标均为 $q$，到第二次进一步读才分离，并给 $L_q=4$、基线 $b_q=0$。这个记录通过逐对前缀秩、末端标量、目标重数及独立选择各次等待的相位约束，却不能由一个驻定行实现。

证明。分离余数区间为 $[7,8)$。独立选两次等待三、四，累计三、七，第一次低位为四、五仍在 $(q,0)$，第二次相位为八、九才分离，未超过第五读。定理82.15给 $A_1=1,F_2=7$，因此两个前缀需求为零和五。原第81.20节的末端需求也是五，目标出现重数是二；$R_q=3$ 满足 $5\le2R_q$，权 $1/2$ 的目标负载为一，给上取整三。这些数值没有违反必要收费式。

然而真实 $(q,0)$ 只有一个固定字面等待 $d$。由于目标为 $q$ 且 $L_q=4$，$1\le d\le4$。第一次读后两相位仍在数字零，所以又回到同一个源行，第二次等待也必须是 $d$。两次总等待只能为二、四、六、八，均不模九等于七，无法按规定分离。该矛盾先于终止行的其他义务；独立的 $(3,4)$ 请求不能装入同一个驻定行。正前缀约束补回部分时间信息，仍未自动补回源行相等关系。$\square$

**命题 82.21（两个历史流可共用同一局部尾）。** 存在一个 $p=3,P=9,h=5$ 的局部延续片段：两条不同源槽各有两条索引二单点历史，经一单位等待汇入同一个索引三槽；其四个不同标签事件在共同继续后均可于第五读正确停止。两个来源确实使用同一条进入尾和同一继续，故不能分别各领取一份独立目标尾费用。此处只给局部片段，不断言它可嵌入完整初始化表。

证明。取不同源读态 $w_1,w_2$ 的数字零，分别放低位 $\{0,1\}$、$\{2,3\}$，四标签记 $\alpha,\beta,\gamma,\eta$。两行都等一到 $V$，在 $V$ 数字零的相位为一、二、三、四，索引三质量合计一。$V$ 数字零等六到 $T$：前两标签到七、八，后两到九、十。$T$ 数字零等一到 $Z_0$，所得八、九分别输出 $\alpha,\beta$；$T$ 数字一等八到 $Z_1$，所得十七、十八分别输出 $\gamma,\eta$。两个 $T$ 槽在第四读的质量各为一，最后四个输出槽的质量各为一。所有读间等待正，末读立即停止。

明确的单位实现只给 $V,T,Z_0,Z_1$ 配置长度一、六、一、八的四条尾，规则为 $W(q,j)$ 加一后到 $W(q,j-1)$，$j=1$ 后到 $q$。六个读态 $w_1,w_2,V,T,Z_0,Z_1$、十六个单位态和四个固定终止态穷尽这个局部片段；未用行到 $H_\alpha$。这里的二十六态只是片段载体，未含未知上游及其余原标签的取得过程。

按完整历史边计数，$w_1,w_2$ 至 $V$ 数字零的两条实际边各有两个森林原像；该槽 $j=1,\pi=1$。它的四条一元历史分成两个下一数字，至 $T$ 两槽的实际边也各有两个森林原像，所以剩余出流二减入流二为零，等于 $j-\pi$。两个 $T$ 槽分别纯解析，各把两单点送往两个不同终止数字，剩余散度各为负一。若上游分别给 $w_1,w_2$ 两条不同入边而不再增加边重数，则各自 $j=1$、出流剩余一；连同 $V$ 的 $j=1$，局部入度剩余总数为三。这只说明一个与局部 $J\ge3$ 计数相容的入口合同，没有提供那些上游边的共同初始化。

每个实际源行已给共同后继，每个目标尾按一次最大等待创建。四条后缀的逐单位相位正如上述，因此片段同时保留了相位、期限、标签和后继闭合。它反驳的是从局部流路径不同直接推出尾库存不同的推论；不反驳正确的每目标负载收费式。$\square$

**引理 82.22（明确不交事件库存的质量限制）。** 在同一正确五读原表的同一个实际槽中，选有限个两两不交的事件集 $\mathcal I_1,\ldots,\mathcal I_t$。每集至少有两个事件，且该集事件索引共同为 $j_a\ge3$。则

$$
\sum_{a=1}^t |\mathcal I_a|2^{j_a-5}\le1,
\qquad \sum_{a=1}^t2^{j_a-4}\le1.
\tag{82.28}
$$

若 $t\ge2$，必有 $t=2,j_1=j_2=3,|\mathcal I_1|=|\mathcal I_2|=2$，并且该槽没有任何额外事件。特别，若其中一集仍含至少三个事件，它不能再与另一份满足条件的库存同槽。

证明。事件不交使各正质量可以相加，第57.2节的完整槽质量至多一给第一式；每集至少两件给第二式。$j_a\ge3$ 使每集至少半质量，两集已耗尽一，等号强制所述大小、索引及无背景事件。$\square$

该引理的对象是同一个数字槽，不是有三个槽的整个读取态。把一条流路径的两个历史描述当作一份库存之前，还须明确它的事件身份和索引；把多条路径相加之前，还须证明这些库存不交。任意流分解可以重复描述一个祖先或后代事件，已有平衡等式不提供这种不交性。某祖先曾非单点，也不说明所选终点库存仍有三件事件。命题82.21在索引三的两集各恰两件、彼此不交，正属于引理允许的等号模式；本引理没有将任意 $J\ge2$ 的历史流自动归入该模式。

### 82.7 来源、有限数值与未定的共同恢复

**定义 82.23（依赖与证据范围）。** 本节同表合同、配置唯一、尾注入、完整森林计数、$K$ 递推、带符号目标界和五读单碰撞形状，使用同卷第74—81节在[固定公开版本 a9de7a8356919bad5fa1a6b5cda2c070ebe50d85](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/a9de7a8356919bad5fa1a6b5cda2c070ebe50d85/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md)的定义及普通证明。新增的碰撞排除、前缀收费和物理继续桥梁为这些对象上的仓内普通推导；（82.26）的编码判据是已知中间结果，来源边界已在定理82.18内说明。

所用固定行为方法的迁移范围仅为共同后继要求。[Abel 与 Reineke，MEMIN，ICCAD 2015，§II.C 定理1及 §IV.B(c)](https://embedded.cs.uni-saarland.de/publications/iccad15.pdf)要求每个类、每个输入的全部已定义后继进入同一个容器；类可重叠，逐对容器不够。[Larrauri 与 Bloem，arXiv:2105.10292v2，§5 定理4及附录B](https://arxiv.org/pdf/2105.10292v2)在给定观察机上以同一运行的成员归纳证明闭覆盖与实现的对应。本节沿用这个固定行为边界，不从这些文献推出未知取得策略的容量。等待改变物理观察流，仍须另保留每个单位 $W$、原 $H_x$、共同初始化及全部行的后继；孤立行构造只证明自己明列的范围。

本节有限算术证据的域为：$P=9$ 的全部四十五个非空整数区间及深度零至四，共二百二十五个 $K$ 值，按端点切分和按逐点商分组所得值相同；非单点转移共一千二百九十六项。两步分裂的两组各八项切口和费用全部给（82.8）、（82.10）；一步父节点的十六种 $A$ 位置与四种 $B$ 位置共六十四个不同纤维费用组合只保留定理82.14两行。同纤维分支另用该定理的不交分解处理。八项根后段继续界给（82.13）、（82.14），修正权根值为三十五。这些有限表没有枚举全部驻定表；其任意控制器范围来自上述普通前向证明。

周期算术的有限域是 $P=2,\ldots,16$、全部 $0\le u<v<P$ 及索引一至十六，共 $10880$ 项；正允许时间的排序和首次分离前可容纳的允许次数分别核对了 $A_t,F_k$。有序截止的域为长度一至八、每个期限一至四的全部 $87380$ 个序列；二进网格贪心与按连续左右孩子递归的期限可行性一致。命题82.19的三个局部入口、命题82.21的四个局部入口均按所列单位后继展开，分别在要求的一／二次和三次进一步读取内给指定标签；命题82.20的四种驻定等待一至四全部不能在规定的第二次进一步读分离。这些有限结果只涉及声明域和局部构造，不是原模型控制器普查。

**定义 82.24（剩余恢复义务）。** 在三进九点五读的至多一百零四态候选中，单碰撞区域现在必须满足定理82.14的两个必要轮廓。每行尚未给出全部未选子树、一元到达、绝对数字备用槽、解析目标及最大字面尾的共同配置；分别达到某个 $K$ 值不证明这些需求可同时放入一张驻定表。多碰撞 $J\ge2$ 的事件库存、源行相等约束和目标尾还会相互重叠，单碰撞的 $q_*\notin\mathcal B$ 分离不能直接逐碰撞相加。

定理82.15—82.16保留了实际相位对的一整段共同时间，定理82.18在孤立行内把相位顺序和读取期限恢复为收费物理继续，命题82.20显示驻定源行的相等等待仍是独立义务，命题82.21显示不同历史流可以共同占用一个目标。这些是空间次序、时间期限、数字边界及等待记忆之间的明确关系；局部可恢复不等于全表可恢复，必要费用证书也不等于充分合成。

无条件的 $E+2e+\ell\ge29$，或一张全部单位后继、固定标签和二十七条初始化执行均正确的至多一百零四态表，仍未得到。第81.25节对实际正确控制器的全称证书选择命题，包括使用本节更强前缀后是否充分，仍未解决；上述不可实现的松弛记录不反驳这个全称命题。一般参数的精确取得容量、最优最坏读取数约束下的容量以及原 general-$B$ 的空间、时间、边界、记忆完整互恢复目标均保持未定。上述普通证明和有限整数证据不主张全局最优、文献认证的新颖性或 Lean/kernel 验证。

## 82.99 追加锚
## 83. 单碰撞容量排除、固定历史恢复与多碰撞重叠修正

第82节留下的两个单碰撞轮廓，可以用同一张原表的目标库存同时排除。关键是把完整森林的二元分割与非单点一元到达赋权，再证明每个实际目标的最长尾只需、也只能支付一次。下面得到三进九点五读模型中 $J\le1$ 的下界；随后给出固定完整历史的准确逆向实现，并把多碰撞时不能忽略的重叠写成显式扣减。固定历史的最小值与未知取得策略的最小值仍是不同量词。

### 83.1 完整历史、实际源行和物理尾

**定义 83.11（同一初始化过程的统计）。** 沿用第76.11、77.11及82.11节的完整合同。取 $p=3$、整数 $P>1$、有限读取上限 $h$，$M=3P$。每个原输入 $x\in\mathbb Z/M\mathbb Z$ 从同一个来源无关控制态和来源 $x$ 开始。单位态 $W$ 恰加一；读态 $R$ 不改来源，只返回 $\lfloor[s]_M/P\rfloor$；停止态 $H_x$ 固定输出原标签 $x$。动作词为 $W^\ell R(W^+R)^*$，每条路径有限、至多 $h$ 读，末读立即停止。全部名义态、未达态、共同前缀、内部计数和终止态收费；没有来源相关准备、免费时钟、复位、复制、逆步、输出重标或终止侧信道。允许单点继续、任意正整数字面等待、额外读取态及在全部初始化输入上终止的控制环。

完整读后森林按全部过去动作和答案展开，只有实际停止才是叶。它有三个首读根、$M$ 个固定标签叶、$N=3(P-1)$ 个二元节点；一元数 $U$ 包括单点后的继续。实际数字槽为 $z=(q,c)$，完整历史节点、数字槽、读态和带索引事件 $(x,i)$ 分开计数。每个活动源行固定一个字面等待 $\delta(z)>0$ 和下一读目标 $\tau(z)$。令 $q_0$ 为共同首读，$r=N+1+e$ 为实际读态数，$e\ge0$。对全部实际非首读目标置

$$
L_q=\max_{\tau(z)=q}\delta(z),\qquad
E=\sum_{q\ne q_0}(L_q-1),\qquad
C\ge M+2N+1+2e+\ell+E.
\tag{83.1}
$$

不等式收费原表：非终止联合配置重现会导致同输入循环或异输入输出相同标签；首读及共同前缀已随全部输入覆盖所有相位，后来不能再达。每个目标的一条最长纯等待链含 $L_q$ 个不同单位态；不同目标的这些链不交，也不交前缀，因为等待态的首次未来读取目标固定。再加实际读态和至少 $M$ 个固定停止态，即得（83.1）。原表的其他名义态同样收费，没有被视为免费资源。

实际槽图的边是不同的有向槽对。根无入边；非根置 $j_z=\deg^-(z)-1$，根置零。令 $\nu_f$ 为实际边 $f$ 的完整森林边原像数，而非输入访问数。以 $m_q$ 数二元历史的下一目标为 $q$ 的次数，记

$$
J=\sum_zj_z,\quad \omega_f=\nu_f-1,\quad
\Xi=\sum_f\omega_f,\quad
s=\sum_q(m_q-1)_+,\quad \mathcal B=\{q:m_q>0\}.
\tag{83.2}
$$

第76.12、79.21节的同表计数给：生产槽恰有 $N$ 个，纯解析槽恰有 $J$ 个，$|\mathcal B|=N-s$，$s\le J$。生产槽承载唯一二元历史；纯解析槽全局出度二而各历史均一元。若 $t_z$ 为完整历史数、$\pi_z$ 为纯解析指示，则非根满足

$$
t_z=1+j_z+\sum_{f\text{ 入 }z}\omega_f,\qquad
\sum_{f\text{ 出 }z}\omega_f-\sum_{f\text{ 入 }z}\omega_f=j_z-\pi_z.
\tag{83.3}
$$

其理由是每个非根历史恰有一个父节点，生产槽的森林出边比历史数多一，纯解析槽则以多个一元历史占两个实际出边。这些等式保留实际环和所有单点继续。根各有一个历史。

每个内部历史 $H$ 的正代表为 $d_H=1+((\delta_H-1)\bmod P)$。二元节点有 $1\le d_H<P$；一元节点允许 $d_H=P$。代表只用于低位分割和分析权，实际表及物理尾始终使用原 $\delta_H$。

### 83.2 单碰撞的实际目标库存

**引理 83.12（一步延后生产的库存）。** 在定义83.11的一张正确表中，假设 $J=s=\Xi=1$。令 $Q$ 为两个二元父历史共用的唯一目标，$w$ 为它们的共同数字槽，$v$ 为唯一纯解析槽。再假设 $w\ne v$，$w$ 生产，它的另一历史为单点，且 $v$ 的两条历史都是单点。则正剩余边恰为 $w\to v$、权一；只有 $w,v$ 各有两个完整历史，其余使用槽各有一个。非首读目标准确分为

$$
(N-2)\text{ 个普通二元目标},\quad Q,\quad
q_*:=\tau(v)\notin\mathcal B,\quad e\text{ 个其余目标}.
\tag{83.4}
$$

每个普通二元目标及 $q_*$ 至多接收一条非单点一元历史的到达，$Q$ 不接收这种到达，其余目标各至多接收三条；这些计数均按不同实际源行成立。

证明。$s=1$ 使一个目标有两个二元父节点，其余二元目标各有一个。两个不同生产槽的四条实际边装入三个数字，已经用完 $J=1$，故 $Q$ 恰有三个已占数字，唯一入度剩余在 $w$，再无额外不同源边进入 $Q$。其余目标入度剩余为零。纯解析槽 $v$ 的两条边若进入任一二元目标，至少再制造一个入度剩余；因此 $q_*\notin\mathcal B$，这也重建了第77.12、79.15节在此情形的分离。

$\Xi=1$ 使恰一条边有剩余权一。式（83.3）的散度在 $w$ 为一、在 $v$ 为负一、其余为零，所以该边只能是 $w\to v$，不可能是自环。再用同式的历史数等式，得到准确的两处重复历史。实际图的其他零剩余自环并未因此排除。

例外槽的一元历史按假设全为单点。因此每条非单点一元历史都在一个单历史、全局一出边的源行中，不同这样的历史给不同源行。其到达不能加在已占的二元或解析数字上，也不能与另一条这种到达共用同一数字，否则增加 $J$；又不存在可供它重复利用的多历史源行。普通二元目标已有两个不同入边，$q_*$ 也已有纯解析行的两个入边，所以各至多余一个数字。$Q$ 无余位；其余目标至多三个。最后 $|\mathcal B|=N-1$，加不同的 $q_*$ 得 $N$ 个目标，全部非首读目标共有 $N+e$ 个，余数恰为 $e$。证毕。

这里不要求生产目标 $\tau(w)$ 与 $Q$ 不同。生产历史本身可以就是指定的两个二元父节点之一，此时 $\tau(w)=Q$；第81.22节的五读自环表正有这种形状。只有它不是那两个父节点时，第三个生产源的两条入边才会迫使一个额外的 $J$，从而排除该等同。库存（83.4）按实际目标集合计数，容纳这两种情形。

### 83.3 同一物理尾支付二元权和一元请求

**定理 83.13（单碰撞的参数势函数）。** 在引理83.12的全部假设下，两个共享二元父节点的正代表记为 $a,b$，纯解析行的字面等待记为 $\delta=\delta(v)$。取函数 $\phi:\mathbb Z_{>0}\to\mathbb R_{\ge0}$，要求 $\phi$ 与 $\beta(t)=3t-\phi(t)$ 均不减，且

$$
\phi(1)=0,\qquad 3\phi(t)\le3t+3\quad(t\ge1).
\tag{83.5}
$$

在同一完整森林中，二元节点收 $\beta(d_H)$，非单点一元节点收 $\phi(d_H)$，单点一元节点收零，总和为 $F_\phi$。则

$$
3(E+2e)\ge
F_\phi-3N-3\min(a,b)+\phi(a)+\phi(b)+\beta(\delta).
\tag{83.6}
$$

特别 $\beta(\delta)\ge\beta(1)=3$。本式不限制其他子树、一元数、额外目标、字面提升或名义未达态。

证明。将每个节点的权归给它的实际下一目标。普通二元目标的尾长为 $L$，二元代表为 $d$，可能的一条计权一元到达代表为 $t$。二者都不超过原 $L$，故

$$
\beta(d)+\phi(t)\le\beta(L)+\phi(L)=3L.
$$

没有计权一元到达时省去非负的该项，仍成立。因此此目标的 $3(L-1)$ 至少是其权减三。单点到达可以占槽或加长尾，赋零权并没有删除它。

在 $Q$ 只计两个二元权；由 $L_Q\ge\max(a,b)$，

$$
3(L_Q-1)\ge
\beta(a)+\beta(b)-3\min(a,b)-3+\phi(a)+\phi(b).
$$

解析目标 $q_*$ 的两条解析历史均为单点，未计入 $F_\phi$。它可能接收的一条计权一元到达至多贡献 $\phi(L_{q_*})$；又 $L_{q_*}\ge\delta$，所以

$$
3(L_{q_*}-1)\ge
\text{该一元权}+\beta(\delta)-3.
$$

每个其余目标尾长 $L$，至多收三条计权一元到达。由（83.5），它们的权之和至多

$$
3\phi(L)\le3L+3=3(L-1)+6.
$$

这里的六来自该额外读态及其必有的第一等待位置，即 $3\cdot2e$ 中的一份，未赋予免费状态。对（83.4）的互异实际目标各加一次；前三类的常数合为 $-3(N-2)-3-3=-3N$，得到（83.6）。所有比较均使用 $L_q\ge\delta_H\ge d_H$；没有把字面等待替换成可执行的模等待，也没有把历史边另算成物理尾。证毕。

### 83.4 覆盖全部低位区间的有限深度证书

**命题 83.14（供两个轮廓使用的完整递推）。** 取

$$
\phi(t)=
\begin{cases}
0,&1\le t\le4,\\
3,&t=5,\\
6,&t=6,\\
8,&t\ge7,
\end{cases}
\qquad\beta(t)=3t-\phi(t).
\tag{83.7}
$$

此函数满足（83.5）的全部无界整数条件。对 $P=9$，令 $H_j(l,u)$ 为非空整数区间 $[l,u)\subseteq[0,9)$ 在至多 $j$ 次进一步读取中区分全部点的低位树最小权；二元根收 $\beta(d)$，非单点一元根收 $\phi(d)$，单点允许立即停止。则

$$
H_j(l,l+1)=0,\qquad H_0(l,u)=+\infty\ (u-l>1),
$$

且对 $j\ge1,u-l>1$，

$$
H_j(l,u)=\min_{1\le d\le9}
\left(w(d,|\mathcal C_d(l,u)|)+
\sum_{[a,b)\in\mathcal C_d(l,u)}H_{j-1}(a,b)\right),
\quad w(d,1)=\phi(d),\quad w(d,2)=\beta(d).
\tag{83.8}
$$

$\mathcal C_d(l,u)$ 是平移 $[l+d,u+d)$ 后按九的边界切分、模九送回的全部非空区间，一孩子候选不能略去。决定所需数值为

$$
H_2(0,2)=11,\quad H_2(6,9)=6,\quad
H_3(0,5)=29,\quad H_3(4,9)=23,\quad H_4(0,9)=50.
\tag{83.9}
$$

证明。$\phi$ 的增量依次为零、三、三、二，之后为零，故它不减且增量不超过三，$\beta$ 也不减。$t\le4$ 时（83.5）左边为零；$t=5,6$ 分别是 $9\le18,18\le21$；$t\ge7$ 时为 $24\le3t+3$。这是对所有正整数的证明。

递推按根停止、一元、二元分类。每个正代表给准确的下一低位区间，每次继续消耗一读；对子树作深度归纳得到下界。反向接合可行孩子，只证明该低位树域内的达到。原表的首次单点截断投影属于这个域，全部二元节点保留；完整森林的单点继续原本权零。低位投影遗忘了部分绝对数字与共享后继，因此这里只把（83.8）用于前向下界，不把最小子树拼成控制器。

给出足以逐根复算的完整小深度数据。$\beta(1),\ldots,\beta(9)$ 为 $(3,6,9,12,12,12,13,16,19)$。一次余读时，二点区间值为 $H_1(l,l+2)=\beta(8-l)$；更长区间不可行。两次余读的数据按起点 $l=0,\ldots,9-n$ 排列如下；单点均为零，$n>4$ 不可行。

| 83.两读区间大小 | 全部起点的 $H_2(l,l+n)$ |
| --- | --- |
| 83.二点 | $(11,9,6,3,3,3,3,3)$ |
| 83.三点 | $(16,15,15,15,12,9,6)$ |
| 83.四点 | $(32,31,31,31,28,25)$ |

三点不能先一元；两个首切候选中较小者为 $\beta(7-l)+3$。四点只能立即作 $2+2$，费用为 $\beta(7-l)+19$。二点则须将直接二分与所有一元平移后的末次二分比较，给第一行。因而内部区间也已覆盖。

把全部两读值代回（83.8），三读前、后段按长度 $n=1,\ldots,8$ 得

$$
\begin{aligned}
(H_3(0,n))_n&=(0,3,12,18,29,34,50,69),\\
(H_3(9-n,9))_n&=(0,3,6,9,23,31,50,69).
\end{aligned}
\tag{83.10}
$$

长度至多四仍比较全部一元根；长度五至八若先一元，只余两读，故必须立即二分。全块四读的根代表 $d=1,\ldots,8$ 之全部候选为 $\beta(d)+H_3(d,9)+H_3(0,d)$，即

$$
(72,59,52,53,50,52,66,85).
\tag{83.11}
$$

代表九是全块一元根，只余三读而不能区分九点。因此最小值五十，且（83.9）各值由前述完整数组得到。独立按端点切分和逐整数点的商分组复算，在四十五个非空区间、深度零至四的全部二百二十五个值上一致；非单点根候选共一千二百九十六项。这个算术证书验证有限递推，任意原表的适用范围来自前向归纳，不是控制器普查。证毕。

### 83.5 两个剩余轮廓的共同排除

**定理 83.15（准确轮廓条件下的三十二与三十一）。** 在完整 $p=3,P=9,h=5$ 模型中，假设一张表具有第82.14节轮廓I或II的具体历史形状：$J=s=\Xi=1$；两个标记父节点在不同首读纤维；第三读共同槽 $w$ 的后段是 $[7,9)$、前段是单点 $[0,1)$；后段生产、前段一元，字面等待为一；下一共同槽 $v$ 是第四读的两个单点。轮廓I的根／父代表为 $(5,2)$、$(4,6)$，轮廓II为 $(4,7)$、$(4,6)$。则分别有

$$
\begin{array}{c|cc}
&F_\phi\text{ 下界}&E+2e\text{ 下界}\\\hline
\mathrm I&164&32\\
\mathrm {II}&165&31
\end{array}
\tag{83.12}
$$

这里使用（83.7）的权。结论不附加 $C\le104$ 预算，也不限制未指定子树如何选择；它只对上述准确形状成立。

证明。在轮廓I，$A$ 纤维的根、父节点和 $w$ 的生产分裂分别贡献 $\beta(5),\beta(2),\beta(1)$。父节点的另一孩子为第三读的 $[0,2)$，余两读；根的另一孩子是第二读的 $[0,5)$，余三读。所以同一纤维至少贡献

$$
\beta(5)+\beta(2)+\beta(1)+H_2(0,2)+H_3(0,5)
=12+6+3+11+29=61.
$$

轮廓II的相同分解改为根四、父七、另一根孩子 $[4,9)$，给

$$
\beta(4)+\beta(7)+\beta(1)+H_2(0,2)+H_3(4,9)
=12+13+3+11+23=62.
$$

两轮廓中的 $B$ 纤维都有根四、父六；父节点未共享的孩子为 $[6,9)$、余两读，根另一孩子为 $[4,9)$、余三读。因此

$$
F_B\ge\beta(4)+\beta(6)+H_2(6,9)+H_3(4,9)
=12+12+6+23=53.
$$

第三个完整首读纤维至少五十。所列节点和子树是同一完整森林的不交部分；$w$ 的二元权只在 $A$ 中计一次，$B$ 在 $w$ 及两条 $v$ 历史均为单点，权为零。其他单点继续仍留在实际表中；其余全部非单点子树由（83.8）覆盖。于是分别有 $F_\phi\ge164,165$，没有要求这些单独下界能同时达到。

现用同一表的定理83.13，$N=24$，$\beta(\delta(v))\ge3$。轮廓I的 $(a,b)=(2,6)$ 给

$$
3(E+2e)\ge164-72-6+0+6+3=95,
$$

轮廓II的 $(a,b)=(7,6)$ 给

$$
3(E+2e)\ge165-72-18+8+6+3=92.
$$

整数上取整得到三十二、三十一。由（83.1），这两个具体形状分别有 $C\ge108+\ell$、$C\ge107+\ell$。共享费用由一个实际目标不等式处理，所加的树权不是独立控制器的状态最小值。证毕。

### 83.6 保留同一行为的规范单位尾

**命题 83.16（忠实规范化）。** 对定义83.11的任一正确原表，存在一张完整驻定总表，保留每个原输入的全部单位动作、物理相位、读数、读索引及固定输出，并保留实际读态及使用行身份、$J,s,\Xi,e,E,\ell$，其名义容量准确为

$$
C_{\rm can}=M+r+\ell+\sum_{q\ne q_0}L_q
            =M+2N+1+2e+\ell+E.
\tag{83.13}
$$

证明。保留 $r$ 个实际读态及每条使用行的原目标和字面等待。对每个实际非首读目标建立恰 $L_q$ 个不同单位态 $W(q,j)$，$1\le j\le L_q$；每态加一，$j>1$ 时到 $W(q,j-1)$，$j=1$ 时到 $q$。原行请求等待 $d$ 到 $q$，就指向 $W(q,d)$。另建 $\ell$ 个不同前缀单位态接共同首读，以及恰 $M$ 个固定停止态 $H_x$，形式后继为自身；未用数字行总化到已有 $H_0$。

沿每个原 $x$ 的原路径归纳。前缀后来源为 $[x+\ell]_M$；每个单位步恰增加一次来源和累计等待，下一读仍发生于 $[x+A]_M$，读取态和真实数字与原执行相同。使用行遂给同一请求或原 $H_x$。全部原输入都如此终止，所以未用行不会因总化而成为新的实际分支；没有另取终止信号或标签解码。相同读行路径和完整历史映射保留所有声明统计，最长请求仍为原 $L_q$，故 $E$ 不变。所有构造态都收费，计数给（83.13）。原表可有更多名义态；其费用下界（83.1）仍独立有效。证毕。

**推论 83.17（全部 $J\le1$ 的九点五读下界）。** 对每张正确的完整 $p=3,P=9,h=5$ 原表，若 $J\le1$，则

$$
E+2e+\ell\ge29,\qquad C\ge105.
\tag{83.14}
$$

证明。$J=0$ 使用第77.18节的 $E\ge29$。若 $J=1$ 且存在 $C\le104$ 的表，第82.14节使该表具有定理83.15的两个准确轮廓之一，而两者均与该容量矛盾。因此不存在这样的名义容量表。

还不能仅由这一矛盾倒推任意原表的 $E$：原表可能有很多额外名义态，使 $C$ 大而所用尾量小。若任意 $J=1$ 表满足 $E+2e+\ell\le28$，对它实施命题83.16的数学构造，得到相同 $J,e,E,\ell$ 且 $C_{\rm can}=76+2e+\ell+E\le104$ 的完整表，才与刚才的排除矛盾。故（83.14）的第一式成立，再由原表（83.1）得第二式。此结论没有覆盖 $J\ge2$。证毕。

### 83.7 固定物理森林的准确逆向恢复

**定义 83.18（指定一步生产碰撞的固定域）。** 给定 $P>1$、有限 $h$、$\ell\ge0$，以及全部 $M=3P$ 个原标签的一份完整初始化物理森林。三个首读纤维由 $[x+\ell]_M$ 的真实数字给出；每节点保留原标签集、读索引、每个原输入的绝对相位、字面正等待、孩子的绝对数字和最终原输出。所有相位满足 $s=[x+A]_M$，路径有限并满足截止，单点继续不删；节点支持为当前数字块内的精确区间。二元节点恰有 $N=3(P-1)$ 个。

指定两个不同二元父节点 $A,B$，要求它们的下一目标合为 $Q$，两份绝对二数字支持并为三个数字。共同数字的孩子为二元历史 $H$ 和一元历史 $K$，物理支持不交。$H,K$ 请求完全相同的字面等待及下一目标 $T$；$T$ 是 $H$ 的二元目标。其中 $H$ 的一个孩子 $H_1$ 与 $K$ 的孩子 $K_1$ 占同一绝对数字，支持不交，二者均一元；它们再请求同一字面等待和同一目标 $Z$，在 $Z$ 到达不同绝对数字。$H,K,H_1,K_1$ 为四个不同完整节点，所指定的两个共享行 $w,v$ 不同。相等等待是字面整数相等，不能只模 $P$ 相等。

此域只优化忠实保留上述全部物理历史的实现，要求二元目标共享恰为指定的 $A,B$，$J=s=\Xi=1$，唯一重复实际边是 $w\to v$，并有恰 $r=N+1+e$ 个实际读态，$e\ge0$ 固定。其他一元到达的宿主可重新分配，允许实际控制环；全部名义态仍收费。若指定的节点／行识别不能具有上述唯一重复边形状，域即为空，不以数值匹配掩盖这一先验不相容。

$H$ 可以等于 $A$ 或 $B$，于是 $T=Q$；否则 $T$ 是另一个二元目标。$Z$ 必须与全部二元目标不同。这里没有额外要求 $T\ne Q$，也没有要求标记节点来自不同首读纤维。节点的事件身份按 $(x,i)$ 保留，祖先、后代的同一原标签不能被误判成同一次事件。

**定理 83.19（固定域的联合最大尾公式）。** 对定义83.18的数据，将 $A,B$ 的目标合为 $Q$，其他二元父节点各立一个目标，得到 $N-1$ 个二元目标；另加解析目标 $Z$ 和 $e$ 个额外目标。二元孩子按原绝对数字放置；$K_1$ 与 $H_1$ 共用在 $T$ 的指定行；$H_1,K_1$ 的两个孩子放入 $Z$ 的不同数字。

$Q$ 无备用数字；其余 $N-2$ 个二元目标和 $Z$ 各有一个备用数字；额外目标各有三个。所有一元节点除 $K,H_1,K_1$ 外，恰给出普通需求集合 $\mathcal D$。需求 $D$ 保留其原字面长度 $d_D$ 及孩子的绝对数字 $c_D$。令 $\mathfrak A_e$ 为将这些需求注入同数字备用槽、并使每个额外目标至少收到一条需求的全部分配。

二元目标的基线 $l_q$ 为其二元父节点字面等待的最大值，$l_Z$ 为共同解析等待；额外目标基线为一。对分配 $\alpha$ 定义

$$
L_\alpha(q)=\max\bigl(\{l_q\}\cup\{d_D:\alpha(D)\text{ 位于 }q\}\bigr).
\tag{83.15}
$$

在上述固定域内，存在实现当且仅当 $\mathfrak A_e\ne\varnothing$，非空时准确最小名义容量为

$$
C_{\min}^{\rm fixed}(e)=
M+2N+1+\ell+2e+
\min_{\alpha\in\mathfrak A_e}\sum_q(L_\alpha(q)-1).
\tag{83.16}
$$

当 $e=0$，令 $A_c(k)$ 数颜色 $c$、长度至少 $k$ 的普通需求，$B_c(k)$ 数该颜色且基线至少 $k$ 的备用槽，$E_0=\sum_q(l_q-1)$。则可行恰当

$$
A_c(1)\le B_c(1)\quad(c=0,1,2),
$$

并有

$$
\min_{\alpha\in\mathfrak A_0}\sum_q(L_\alpha(q)-1)
=E_0+\sum_{c=0}^2\sum_{k\ge2}(A_c(k)-B_c(k))_+.
\tag{83.17}
$$

证明。先从任意域内实际实现导出库存。$Q$ 的四条不同二元源边占三个数字，用尽 $J$。其余二元目标只有一个二元父节点，两个数字已占。唯一纯解析行是 $v$，其两个不同出边不能进入二元目标，故 $Z$ 与它们分离。除唯一重复边 $w\to v$ 外，所有实际边只有一个完整森林原像；式（83.3）给只有 $w,v$ 各两历史。这一推导既允许 $T\ne Q$，也允许生产历史是指定父节点而 $T=Q$；后一情形没有新生产源边进入 $Q$。

因此任一普通一元孩子不能进入已占数字，不能与另一普通孩子共用备用槽。否则不同源行增加 $J$，或同源边增加 $\Xi$，均不在域中。额外实际读态都必须可达，所以各至少接一条需求。由 $r-1=N+e$ 得恰 $e$ 个这种目标。于是每个实现诱导 $\mathfrak A_e$ 中一个分配；每个原目标都必须承受（83.15）的字面最大值。最长尾注入（83.1）给（83.16）的必要下界。

充分性不能只由匹配数目替代。固定一个可行分配，建立共同首读、库存的全部 $N+e$ 个读态和恰 $M$ 个原 $H_x$。每个非根森林节点按其唯一父节点放置：二元父的孩子进其指定目标；$K$ 的孩子进 $T$ 的指定共同行；$H_1,K_1$ 的孩子进 $Z$；其余一元孩子进所分配的备用槽。根放在共同首读的三个真实数字。这覆盖全部节点而不复制任何节点。

每个已占行只有一个历史，只有 $w$ 承载 $H,K$、$v$ 承载 $H_1,K_1$。单历史叶安装原固定输出；单历史内部节点安装其原等待及已分配的下一目标。两个共享行的等待和下一目标已经按假设相同，故各能安装一个共同请求。若 $T=Q$，相同规则直接给原有的读态回路，不另建或省掉一个目标。

每个目标建立 $L_\alpha(q)$ 个单位态 $W(q,j)$，按命题83.16的逐单位规则连接；原请求长度 $d$ 进入 $W(q,d)$。再建收费的 $\ell$ 态前缀，未用读行总化到 $H_0$。从每个原 $x$ 沿给定森林归纳，来源始终等于 $[x+A]_M$；下一读的真实数字就是被保留的那个颜色，因而进入被分配的孩子。两个共享行也分别到达各自规定的孩子。整个动作词、每一步相位、原标签、读索引和截止都保持。读态图即使有环，也不能破坏这份逐初始化路径的归纳。

所得实际槽只有 $w$ 有两条不同入边；$v$ 的两个历史由同一个源行的同一个实际边送入，只有该边有两个森林原像。其他使用槽均一个历史和一个入边，故准确有 $J=s=\Xi=1$。每个库存目标有已给到达，额外目标由非空要求到达；各最长尾由达到最大值的请求经过，所有所建态均收费且可达。合计

$$
M+(N+1+e)+\ell+\sum_qL_\alpha(q)
=M+2N+1+\ell+2e+\sum_q(L_\alpha(q)-1),
$$

遂达到（83.16）。

最后在 $e=0$ 时，每个可用目标只有一个备用颜色，复用第80.18节的同色排序机制：将需求长度和备用槽基线各自降序排列，第 $i$ 大需求放第 $i$ 大基线。阈值 $k$ 下必须新增的距离位置至少为 $(A_c(k)-B_c(k))_+$；这一同一排序分配中，恰好是指标 $B_c(k)<i\le A_c(k)$ 需要新增，因而所有阈值同时达到。不同颜色属于不同目标，所以可相加。$e>0$ 时同一额外目标有三个颜色，一个最大尾可以共同支付多个需求，不能再把三种颜色各自的最优增长相加为准确值；（83.15）保留这个联合最大值。证毕。

### 83.8 自环及额外目标的非空例子

**例 83.20（同一固定行为中的三色耦合）。** 使用第81.22节 $(d,t)=(4,2)$ 的完整十五输入表；将其中名为 $T$ 的解析目标在本段记为 $Z$。该表有 $P=5,h=5,N=12,r=13,E=4,C=44$，全部四十四态可达。共同槽为 $(Q,1)$，解析槽为 $(Q,2)$；早期生产历史就是指定二元父节点之一，因此本节的生产目标 $T=Q$，解析目标 $Z\ne Q$。单点的两次共享不删除。其二元代表和为十六，所有二元代表至多四，故（83.7）的 $F_\phi=48$。共享父代表为二、四，解析字面等待二，定理83.13在这张表上达到等号：

$$
3E=12=48-36-6+\phi(2)+\phi(4)+\beta(2).
\tag{83.18}
$$

再固定一个不同的完整物理森林：在原首读数字 $b=1,2$ 的后面，各插入字面十五步等待及一次一元读，然后才执行原来的等待一到 $F_{b,1}$。新增读时的相位仍是原初相位，绝对数字分别是一、二；原其他路径、全部标签和继续保持。此森林最多六读，仍有 $N=12$，普通需求准确为两条长度十五、颜色一和二的到达。两条特殊共享行及解析仍是上述形状。

原二元目标和解析目标的基线超额为四。颜色一的备用槽基线为 $(2,1,1,1,1)$，来自 $Z,F_{2,1},\ldots,F_{2,4}$；颜色二的备用槽在 $A,B$，基线为 $(1,1)$。于是指定 $e=0$ 时，（83.17）的尾增长为 $(15-2)+(15-1)=27$，准确容量为七十一。

若指定 $e=1$，将两条需求同时放进一个新目标的数字一、二，只需一条十五步尾；两个数字行分别等待一到 $F_{1,1},F_{2,1}$，未用数字到 $H_0$。该额外目标必须非空，而每个需求长度都是十五，故任何此域实现至少付它的十四单位尾超额。共同放置达到 $E=4+14=18$，所以准确容量为 $40+2+18=60$。若指定 $e=2$，两个额外目标都要非空，各须接一条需求，故 $E=4+28=32$，准确容量七十六。三项都保留全部原十五条初始化路径；这是同一固定森林在恰给定 $e$ 的域内比较，不是不同取得策略的全局最优。

用独立单位表展开核对了上述 $e=0,1,2$ 的全部同色分配，数量分别为十、八、二，共三百条初始化执行；每条都输出原标签、最多六读，并与给定森林的全部单位动作、相位和读数相同。额外读态在这里能使不同颜色共用一个最长尾，说明（83.16）保留联合最大值的必要性。这些 $P=5$ 例子不构成九点问题的容量反例。

### 83.9 多碰撞的显式重叠扣减

**定理 83.21（实际历史库存的重叠修正界）。** 取定义83.11的任意正确原表，不限制 $J,s,\Xi$。取非负、不减、在正整数上为 $1$-Lipschitz 的函数 $f$，并要求

$$
f(1)=0,\qquad 3f(L)\le L+1\quad(L\ge1).
\tag{83.19}
$$

按第77.12节，从 $\mathcal B$ 外选择 $s$ 个互异目标，每目标选择一条纯解析源行；连同全部 $N-s$ 个二元目标组成 $N$ 个核心目标 $\mathcal Q_0$，其余恰为 $e$ 个。二元核心的基线 $l_q$ 为它的全部二元父代表的最大值，背景是这些二元父的全部孩子历史。选定解析核心的基线是所选源行的字面等待，背景是该源行全部完整历史的孩子。每个核心至少占两个背景数字，未占数 $k_q\in\{0,1\}$。其余目标没有背景，基线一。置

$$
E_0=\sum_{q\in\mathcal Q_0}(l_q-1).
$$

没有被选为背景父节点的全部一元历史为普通需求，各用实际字面等待赋权 $f(\delta_H)$，总和为 $A_f$。在目标 $q$、数字 $c$，令 $\mathcal D_{qc}$ 为孩子落在该槽的这些不同普通历史组成的带重数权集合，令 $a_{qc}$ 为权和、$m_{qc}$ 为最大权，空集最大值为零。定义

$$
z_{qc}=
\begin{cases}
a_{qc}-m_{qc},&c\text{ 未被背景占用},\\
a_{qc},&c\text{ 已被背景占用},
\end{cases}
\qquad Z_f=\sum_{q,c}z_{qc}\ge0.
\tag{83.20}
$$

则同一原表满足必要界

$$
E+2e\ge E_0+A_f-
\sum_{q\in\mathcal Q_0}k_q f(l_q)-Z_f.
\tag{83.21}
$$

证明。先确认核心选择真实存在。全部全局二出边源行有 $N+J$ 条；若 $t_q$ 条进入一个目标，它们给 $2t_q$ 条不同边，故 $j_q\ge2t_q-3\ge t_q-1$（小 $t_q$ 时用非负性）。对这些目标求和，推出它们至少有 $N$ 个。二元目标只有 $N-s$ 个，故至少另有 $s$ 个只接纯解析二出边的目标可选，这就是第77.12节的选择。该选择取自原表，并未从抽象流图构造宿主。

背景按孩子的唯一森林父节点选取：一个父是二元，或属于一个选定纯解析行，两者不能同时发生。其他一元父的孩子恰为普通需求。因此背景与普通孩子库存不交，每个实际节点只计一次。进一步把节点 $H$ 的事件写成 $\{(x,i_H):x\in H\}$，不同节点的事件集不交，因为一次初始化执行的第 $i$ 读只有一个完整历史。祖先和后代即使含同一标签，读索引也不同；重复画一条流路径不会产生新节点或新事件。若不同普通历史使用同一实际源行，它们的 $\delta_H$ 必须相等，仍分别保留历史身份。

所有基线 $l_q\le L_q$。从 $A_f$ 中扣去 $Z_f$ 后，每个没有背景的数字只剩一个最大普通权，有背景的数字不留普通权。一个核心至多有一个这种数字。若 $k_q=1$，该保留权至多

$$
f(L_q)\le f(l_q)+(L_q-l_q);
$$

若 $k_q=0$，保留权为零。统一地，核心保留权至多 $k_qf(l_q)+(L_q-l_q)$。额外目标至多留三个最大权，其和至多 $3f(L_q)\le L_q+1$。最后使用原目标集合的准确分解

$$
E+2e=E_0+\sum_{q\in\mathcal Q_0}(L_q-l_q)
             +\sum_{q\notin\mathcal Q_0}(L_q+1),
\tag{83.22}
$$

将上述不等式求和，移项即得（83.21）。每个物理目标及每个尾增长只收费一次。证毕。

这里的 $Z_f$ 是一个实际目标内，多个完整历史请求重叠而不能逐个收费的准确扣减；它不是把这些历史从控制器删除。在引理83.12的单碰撞形状中，可能落在二元背景上的额外普通历史是 $w$ 的一元历史；第82.14节的字面等待为一，$f(1)=0$，其余普通请求注入备用槽，故这个扣减为零。一般多碰撞不能照搬该结论。第82.21节已经给出两个局部历史流共用一个目标尾的片段；它说明需要扣减，未给完整上游初始化，也未反驳每目标收费。

要使（83.21）在 $J\ge2$ 时推出九点下界，还须共同控制 $Z_f$、所选核心基线和全部树权。约束仍属于同一实现：同源行只能有一个字面等待及一个目标；第82.15—82.16节的全部周期前缀、末次分离余数区间、目标出现次数和负载须保留；第82.18节的有序期限也须对实际事件次序成立。相同目标被一条路径反复使用时每次都计数。此处没有证明这些条件足以合成，也没有证明总能选择核心与权使（83.21）达到二十九。

### 83.10 文献迁移、证据和未决恢复

本节的原表、完整历史和基础下界使用同卷第74—82节在[固定公开版本 1e4bc4453e5082385c50be179417fcf90f3729ed](https://github.com/the-omega-institute/trureturing/blob/1e4bc4453e5082385c50be179417fcf90f3729ed/docs/develop/theory/RECURSIVE_RELATIONAL_OBSERVATION_CONTEXT_GEOMETRY.md)的普通数学陈述。核心依赖是第76.12节的历史计数、第77.12节的实际目标选择、第77.18节的 $J=0$ 界、第79.21节的边重数恒等式、第80.18节的同色排序机制，以及第82.14节的两个必要轮廓。上述新不等式与单位构造是对这些明确对象的普通推导。

两个固定行为来源的适用范围须保留原量词。[Abel 与 Reineke，*MEMIN: SAT-based Exact Minimization of Incompletely Specified Mealy Machines*，ICCAD 2015，DOI 10.1109/ICCAD.2015.7372555，§II.A—C、定理1及 §IV.B(c)](https://embedded.cs.uni-saarland.de/publications/iccad15.pdf)讨论给定不完全指定 Mealy 行为的覆盖实现。兼容类可以重叠；对每个类和每个输入，全部已定义后继的并须进入一个共同后继类。原文 §IV.B(c) 明确说明逐对找到后继容器并不充分。其状态数最小化并不自动按本模型的 $W/R/H_x$ 单位态收费。

[Larrauri 与 Bloem，*Minimization and Synthesis of the Tail in Sequential Compositions of Mealy Machines*，arXiv:2105.10292v2，2021-10-07，§4、§5 定理4及附录B](https://arxiv.org/pdf/2105.10292v2)对给定一致观察机，给出实现与兼容闭覆盖的大小对应：实现导出不超过其状态数的覆盖；覆盖以其类为状态构造实现。这里闭覆盖含初态，并对每个输入的全部后继集合闭合；附录B沿同一运行归纳原状态属于所选类，保持输出。该文的 tail 是串联组合中的后部机器，不是本节的单位等待尾。

这些原文的相关定义、定理和证明段已经直接核对；本节没有运行其求解器，也不以它们替代物理证明。若要把本模型迁移为这类最小化实例，须先固定要保持的完整行为，固定动作类型、原 $H_x$ 及共同控制初态，让全部隐藏初相位普遍量化，强制每个单位 $W$ 的后继不依赖读数，并证明动作改变来源后仍产生同一物理观察流。还须双向证明每个名义状态、等待位置和终止输出的费用对应；普通 Mealy 转移输出不能免费替代这里单独收费的 $H_x$。定理83.19只在已给森林及指定识别中用自己的单位构造履行这些义务，没有宣称一个通用最小化编码已经建立。未知取得策略仍在该固定行为量词以外。

有限核对除（83.8）的完整小深度证书外，还包括尾长一至六十四的逐目标代数检查，以及定理83.21在尾长一至九、每数字零至三个带索引需求下的四千七百二十八项重叠核对。全正整数结论由正文的不等式证明承担。第83.8节给出完整非空单位表及固定森林的费用比较；另对保留十五步共同前缀、十七步进入请求的十五输入表核对了规范化前后的全部动作和相位。有限执行只能验证这些指定表，不是所有控制器的枚举，也不供应无界参数证明。

所得正向关系是：数字边界的切口与读取期限约束完整历史，实际源行限定哪些历史必须共用未来，目标最大字面尾再把这些约束转为收费记忆。反向关系在定理83.19的明确固定域中成立：完整相位、原标签、字面等待、指定共同请求和同色分配一起恢复全部单位后继及共同初始化。只有低位树、边重数或分离的局部最优值，均不足以得到这个逆向。

九点五读的至多一百零四态候选现在必须有 $J\ge2$。这一剩余区域的无条件 $E+2e+\ell\ge29$，或完整初始化、全部单位后继和固定原标签均正确的至多一百零四态反例，仍未得到。第81.25节的全称证书选择命题也未证明或反驳；不可实现的松弛记录不能反驳它。一般参数的精确取得容量、最优最坏读取数约束下的容量比较，以及原 general-$B$ 的空间、时间、边界和记忆完整互恢复目标均保持未决。本节不主张 Lean/kernel 验证、文献认证的新颖性、穷尽文献搜索或全策略精确容量。

## 83.99 追加锚

## 84. 两个五十一维空间的相位参考，以及读取操作的封闭障碍

### 84.1 对象和比较合同

本节比较两个实线性空间，保留指定的 $C_5$ 作用。第60.3节给出二十五位置、五数字、五十一控制态的完整驻定表；本节只把其中物理路径不使用的 $F_b$ 偏移四槽改接到 $H_{5b}$，其余表项保持原定义。另一对象取 [QUANTUM-RH 卷](QUANTUM-RH.md)“把 $5040$ 的 $(4,2,1,1)$ 从指数向量提升为真正的交互几何”中的有限乘积空间

$$
X=A\times Y,\qquad A=\mathbb Z/5\mathbb Z,\qquad
Y=\{0,1,2\}\times\{0,1\}\times\{0,1\}.
\tag{84.1}
$$

$K\subset\mathbb R^X$ 是全部四个单寄存器边缘皆为零的有符号变化空间；它不是六十个配置的集合，也不是非负概率单纯形。$V=\mathbb R^Q$ 是控制态的自由实线性空间。两边的线性化均不自动提供非负制备、合法动作、成本或固定输出之间的对应。本节不重证第60.2节的全控制器容量下界。

对 $K$，生成元 $C$ 将 $A$ 加一；这是指数标签的循环置换，不是对整数进行回绕乘二。对机器，生成元同时将物理来源加五、数字加一、$F_b,G_b$ 及其等待下标加一、$H_x$ 改标为 $H_{x+5}$，保持 $S$ 不动。这个对称性同时重标输入和输出，不能误写为每个固定数字转移分别与 $C$ 交换。

### 84.2 五重差异和黄金响应的准确分解

置 $U=\mathbb R^A=\mathbf1\oplus D$，其中 $D=\{v:\sum_av_a=0\}$。$D$ 在实数上不是不可约表示，而是两个不同的二维旋转表示 $D_1,D_2$ 之和，其旋转角分别为 $2\pi/5,4\pi/5$。在有理数上同一个四维增广表示不可约；本节的维数比较使用实数，故分别计入两个二维块。

**命题 84.1（指定循环下的两个分解）。** 对上述 $K,V$，有

$$
K\simeq\mathbf1^{\oplus7}\oplus D^{\oplus11},\qquad
V\simeq\mathbf1^{\oplus11}\oplus D^{\oplus10}.
\tag{84.2}
$$

证明。其余三个寄存器的函数空间分为常数、单寄存器差异、较高关联，维数依次为 $1,4,7$。令后两者为 $L,H$。全部边缘为零等价于

$$
K=(\mathbf1\otimes H)\oplus(D\otimes(L\oplus H)).
\tag{84.3}
$$

这是标准有限乘积函数分解在当前载体上的代入。机器的 $F,G,WF,WG1,WG2$ 给五个五循环；二十五个 $H$ 按低位分为另外五个五循环，另有固定点 $S$。所以 $V\simeq\mathbf1\oplus U^{\oplus10}$，得到（84.2）。证毕。

在 $D$ 上令 $\mathcal F=I+C+C^{-1}$。由 $\sum_{j=0}^4C^j=0$ 得

$$
\mathcal F^2=\mathcal F+I.
\tag{84.4}
$$

因此其两个实特征值为 $\varphi,-\varphi^{-1}$，在 $D$ 内各重二；在常数方向上 $\mathcal F=3I$。两边的特征多项式依次为 $(t-3)^7(t^2-t-1)^{22}$ 和 $(t-3)^{11}(t^2-t-1)^{20}$。这只是指定分析算子的结论。多项式还湮灭正斐波那契转移矩阵，不说明该矩阵与 $\mathcal F$ 保持相同正锥、计数语言或可执行动作。

**命题 84.2（循环相容桥和共同覆盖的最优维数）。** $C_5$ 相容线性映射 $K\to V$ 的最大秩为四十七。能够同时相容满射到两者的有限实表示，最小维数为五十五。

证明。实不可约重数按 $(\mathbf1,D_1,D_2)$ 记为 $K:(7,11,11)$、$V:(11,10,10)$。相容映射分别作用于这三种等型分量，所以最大秩为 $7+2\cdot10+2\cdot10=47$，逐块投影给达到。有限群在实数上的表示半单：将任意内积群平均即可取不变正交补。因此相容满射使源的每种不可约重数至少为两靶重数的较大值，维数至少为 $11+2\cdot11+2\cdot11=55$。

达到者可以选为原始边缘空间

$$
W=\{v\in\mathbb R^{A\times Y}:\sum_yv(a,y)=0\ \forall a\}
  =U\otimes(L\oplus H)\simeq U^{\oplus11}.
\tag{84.5}
$$

在这个自然坐标中 $W=K\oplus(\mathbf1\otimes L)$，故有 $W/(\mathbf1\otimes L)\simeq K$。注意 $K$ 原本是增加约束得到的子空间；此处的商识别使用所列直和及其投影。另选 $W\simeq\mathbf1^{11}\oplus D^{11}$ 中一个 $D$ 为核，得到 $W/D\simeq V$。这两个商只先保留循环作用。证毕。

### 84.3 没有相位参考时，非线性也不能保留全部区别

**命题 84.3（不变记录的无损障碍）。** 若输出空间 $T$ 上的 $C_5$ 作用平凡，则任何相容映射 $f:D\to T$ 都满足 $f(Cd)=f(d)$，且不可能为单射；这里不要求 $f$ 连续或线性。若为线性映射，则 $f=0$。

证明。取 $d=e_0-e_4$，则 $Cd\ne d$，但两者输出相同，排除单射。线性时，对循环求和给 $5f(d)=f(\sum_jC^jd)=f(0)=0$。证毕。

允许非线性不变读数可以保留轨道信息，例如范数；所失的是同一轨道内的绝对相位。不能把这个结论扩大为“四个不变量完全不能描述轨道”，也不能把轨道描述误认为原向量的无损恢复。

### 84.4 带五相位参考的可逆相对编码

**命题 84.4（带参考的显式桥）。** 设 $r\in C_5$ 为一个随整体旋转同步平移的经典标签，$L:D\to\mathbb R^4$ 为任意线性同构。给 $\mathbb R^4$ 平凡作用，则

$$
(d,r)\longmapsto (LC^{-r}d,r),\qquad
(y,r)\longmapsto(C^rL^{-1}y,r)
\tag{84.6}
$$

互逆，并把 $(d,r)\mapsto(Cd,r+1)$ 转为 $(y,r)\mapsto(y,r+1)$。

证明。逆式逐项复合为恒等，而 $LC^{-(r+1)}Cd=LC^{-r}d$。证明对任意群作用都成立：用 $r^{-1}\cdot d$ 取相对坐标，结合 $(gr)^{-1}g=r^{-1}$。证毕。

这个桥把变化方向变成了相对于参考的不变坐标；参考 $r$ 仍被保留。丢掉 $r$ 后，同一个 $y$ 对应五个成对旋转的原输入，不能恢复原绝对标签。预置某个已知相位打破了对称性，是额外资源；若参考只是未观察的随机标签，单独取平均并不供应那个相位，恢复需要保留联合关系。若 $r$ 由原本未知的输入高位提供，还须在原机器中实际读取并收费，不能把它放进来源无关初态。

将所有参考分支一起线性化时，$D\otimes U\simeq\mathbb R^4\otimes U$，两边均为二十维。对完整两靶，取任意底层线性同构 $J:K\to V$，在第 $r$ 个参考分支定义

$$
J_r=C_V^rJC_K^{-r}.
\tag{84.7}
$$

每个 $J_r$ 可逆，且 $J_{r+1}C_K=C_VJ_r$，故

$$
K\otimes U\simeq V\otimes U\simeq U^{\oplus51}.
\tag{84.8}
$$

这里的完整线性维数是 $255$。式（84.6）的“五个可区别参考标签”、式（84.8）的 $255$ 维，以及命题84.2的五十五维共同商源，是三种不同的资源合同，不能互换计费。

**命题 84.5（同一张量辅助表示的最小性）。** 对非零有限实 $C_5$ 表示 $A_0$，若 $K\otimes A_0\simeq V\otimes A_0$，则 $A_0\simeq U^{\oplus m}$，其中 $m\ge1$，尤其 $\dim A_0\ge5$。反之这样的 $A_0$ 均可用。给两边添加同一有限直和辅助项则总不能得到同构：$K\oplus A_0\not\simeq V\oplus A_0$。

证明。非单位群元没有固定的正则基向量，所以 $\chi_U(g)=0$、$\chi_D(g)=-1$。于是 $\chi_K(g)=-4$、$\chi_V(g)=1$。张量字符相乘，同构强迫 $-5\chi_{A_0}(g)=0$。写 $A_0\simeq\mathbf1^a\oplus D_1^b\oplus D_2^c$，在生成元及其平方处取零字符，令 $z=2\cos(2\pi/5)$、$w=2\cos(4\pi/5)$，得到 $a+bz+cw=a+bw+cz=0$。因 $z\ne w$、$z+w=-1$，有 $b=c=a$。非零给 $a\ge1$，反向由（84.8）逐份成立。直和字符相加，若同构则可消去 $\chi_{A_0}$，在非单位元处给 $-4=1$，矛盾。证毕。

该最小性只量化于同一有限实表示作为两边张量因子的精确线性问题；它不是任意模拟程序、量子参考、近似编码或重新计费后的最小控制器定理。

### 84.5 读取会把原来的隐藏关联变成边缘信息

令 $E_a$ 为读取 $A=a$ 后保留该分支的未归一化线性筛选：$(E_av)(a',y)=\mathbf1_{a'=a}v(a',y)$。它保持 $W$，但不保持 $K$。不用归一化可避免条件概率的非线性和零概率问题；下面的概率例子所用分支严格为正。

**命题 84.6（同边缘、不同条件边缘的成对实现）。** 在（84.1）的坐标 $(a,b,c,d)$ 上取

$$
v(a,b,c,d)=(\mathbf1_{a=0}-\mathbf1_{a=4})
          (\mathbf1_{b=0}-\mathbf1_{b=2}).
\tag{84.9}
$$

则 $v\in K$，但 $E_0v\notin K$。进一步，$p_\pm=1/60\pm v/120$ 为两个严格正的归一化联合分布，全部单寄存器边缘相同，而读取 $A=0$ 后的 $B$ 条件分布不同。

证明。任取一个单边缘求和，总有 $a$ 或 $b$ 的零和因子被求和，故结果为零。筛选后 $B=0$ 的有符号边缘为四，$B=2$ 为负四。由于 $v\in\{-1,0,1\}$，两概率的最小质量为 $1/120$，总质量为一，其共同 $A=0$ 概率为 $1/5$。条件 $B=0$ 的概率分别为 $(1/15+1/30)/(1/5)=1/2$ 和 $(1/15-1/30)/(1/5)=1/6$；$B=2$ 两值对换，$B=1$ 皆为 $1/3$。证毕。

所以只保留单边缘的观察接口不能忠实更新这个筛选。已有 [DeterministicInterfaceEquivalence](../../../D5/S3/ConceptDynamics/Dialectics/DeterministicInterfaceEquivalence.lean) 的判据在此准确适用：存在唯一的像上更新，当且仅当当前观察相同的任意两个输入在更新后仍有相同观察。本例违反其必要条件。这是信息可取得性的具体差别，与 $51=51$ 或任意选基无关。

### 84.6 五十五维覆盖不能把全部读取也压入五十一维

**命题 84.7（所有循环平移和读取分支的商维数限制）。** 在 $W=U\otimes B$、$B=L\oplus H$ 上同时保留 $C$ 和全部 $E_a$。若线性满射 $q:W\to Z$ 允许这些操作各自下降，即存在 $\bar C,\bar E_a$ 使 $qC=\bar Cq$、$qE_a=\bar E_aq$，则 $\dim Z$ 是五的倍数。因此不存在五十一维的这种线性商。

证明。置 $N=\ker q$。下降条件等价于 $CN\subset N$ 及 $E_aN\subset N$；$C^5=I$ 也给逆向循环的不变性。将向量写作五个 $B$ 分量，$E_a$ 不变性使 $N$ 等于其五个分量子空间的直和；$C$ 不变性又使五个分量中的允许 $B$ 子空间完全相同，记为 $B_0$。于是 $N=U\otimes B_0$，故 $\dim Z=5(\dim B-\dim B_0)$。等价地，$E_iC^{i-j}E_j$ 是全部矩阵单位，生成 $M_5(\mathbb R)\otimes I_B$；不变商必须携带这一完整作用。证毕。

这排除了任何四维核的选择，不只排除命题84.2所选的两个核。对 $K$ 的自然投影，失败已可在 $\mathbf1\otimes L$ 看见：常数向量乘一个非零单寄存器差异 $l$ 被投影为零；筛选后得到 $e_0\otimes l$，其 $D\otimes L$ 分量非零。对机器侧所选的一个 $D$ 核，筛选同样可以把零和向量送出该核。

本命题没有宣称原控制器的控制态空间必须容纳上述全部 $E_a$。原机器的读取作用于物理来源，其数字结果再驱动控制态；物理来源与控制态的联合系统才承载这套动作。把这两种读数直接识别，正是一个需要证明、而由本命题限制的候选桥。

### 84.7 对称补全、未来响应和证据范围

对称补全满足 $\delta(Cq,d+1)=C\delta(q,d)$；原 $H_0$ 补全不满足完整表上的这一式。二十五个初始化物理执行从未使用被改的槽，因此两补全逐步相同，全部五十一态仍可达，最坏四读、六个单位等待。这里固定原标签的解码保持原合同；群作用讨论的是同时重标后的另一输入和另一输出。

为明确“未来响应”的含义，另定义一个形式实验：可输入五种读取符号及一个等待符号，仅在动作类型相符的控制态上执行，不符则响应为零；停止态读出是二十五个 $H_x$ 指示函数。对全部有限词取这些函数的拉回，其张成秩为五十一。这个实验允许外部指定数字词，不等于物理初始化能产生全部这些词；群作用必须同时重标读取数字和终止指标。秩五十一证明此形式实验可辨识完整线性状态，不供应免费控制物理读数的能力。

精确程序 [verify.py](../../reports/two51-cyclic-phase/verify.py) 和 [results.json](../../reports/two51-cyclic-phase/results.json) 从第60.3节规则重新构造两补全，以整数和有理数核对全部二十五个物理输入、二百五十五项状态—数字协变等式、全部可达态、响应张成秩、边缘矩阵秩九、$K$ 的五十一列独立基、两个商映射、四十七秩交织映射、五分支的可逆线性桥，以及筛选反例和二十五个矩阵单位。程序仅依赖 Python 3.10 以上的标准库，可从任意工作目录运行；输出位置由 `--output` 显式指定。其整数／有理数证明义务通过即退出零，失败抛出异常；不使用浮点秩或模素数秩替代有理数秩。

这些有限读数没有重用外部对话中不可访问的 sandbox 证书。群作用的相对坐标、字符乘法和观察下降使用既有代数与仓内判据，不主张新颖性；当前具体表的联系和读取封闭障碍是对这些对象的综合推导。本节的全部维数分类与完整控制器执行没有作为新增 Lean 定理交付，有限程序结果也不标成 Lean/kernel 验证。

后续若要求完整操作桥，需要指定同一来源、合法制备、每种读取分支、单位等待、固定终止标签和费用，并证明它们在联合表示上的对应。式（84.6）提供了保留参考的可逆编码；命题84.7排除了用原五十五维源的四维线性核同时压缩全部循环及读取分支。两条结果没有冲突：前者显式保留附加参考，后者固定原来源和完整操作族。原五十一态机器的最优性不因附加分析参考而改变；无额外资源的全操作统一仍未建立。

## 84.99 追加锚

## 85. 从两个五十一维实例推广到有限群、参考资源和操作封闭

### 85.1 任意有限群表示的共同部分与共同覆盖

固定有限群 $G$，只考虑有限维实表示和与全部 $G$ 作用相容的线性映射。取各不等价实不可约表示 $S_i$，令 $d_i=\dim_{\mathbb R}S_i$。有限群表示的半单性给唯一重数分解

$$
E\simeq\bigoplus_iS_i^{a_i},\qquad
F\simeq\bigoplus_iS_i^{b_i}.
\tag{85.1}
$$

这里 $G$ 不要求循环或交换；实不可约表示的交换子代数可以为 $\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H$。下面只数整份不可约像的维数，故三种类型使用同一公式。

**命题 85.1（任意有限群的维数比较）。** 最大相容映射秩 $R(E,F)$ 与最小共同相容满射源维数 $L(E,F)$ 分别为

$$
R(E,F)=\sum_i d_i\min(a_i,b_i),\qquad
L(E,F)=\sum_i d_i\max(a_i,b_i).
\tag{85.2}
$$

特别地，$R+L=\dim E+\dim F$。若两者同为 $N$ 维，令 $\delta=N-R$，则

$$
R=N-\delta,\qquad L=N+\delta.
\tag{85.3}
$$

证明。不同不可约类型之间没有非零交织映射；同类型的像最多保留较小的重数，投影并嵌入逐块达到该界。共同满射的源按半单性至少含各类型较大的重数，其逐块投影同时覆盖两靶，故达到。最后使用 $\min(a,b)+\max(a,b)=a+b$。证毕。

第84节的 $N=51,\delta=4$ 只是（85.3）的一个代入。因此 $47,51,55$ 之间的对称间隔来自重数不匹配；它不依赖五十五恰为斐波那契数。

### 85.2 一整族乘积边缘空间与轨道响应模型

设第一个寄存器有 $n\ge2$ 个位置，采用 $C_n$ 的正则循环；其余寄存器大小为 $m_1,\ldots,m_k\ge1$。记

$$
M=\prod_jm_j,\quad \ell=\sum_j(m_j-1),\quad h=M-1-\ell,
\quad U_n=\mathbf1\oplus D_n.
\tag{85.4}
$$

当 $k=0$ 时约定 $M=1,\ell=h=0$；退化的一点寄存器不贡献差异。$h\ge0$ 来自有限乘积的常数、单寄存器项和较高阶项分解。对全部单边缘为零的变化空间 $K_{n,\mathbf m}$，同第84节的分解直接给

$$
K_{n,\mathbf m}\simeq\mathbf1^h\oplus D_n^{M-1},\qquad
\dim K_{n,\mathbf m}=n(M-1)-\ell.
\tag{85.5}
$$

另一侧先只取一个轨道响应模型：$s\ge0$ 个固定点和 $t\ge0$ 个完整 $n$ 循环，其线性空间为 $V_{s,t}=\mathbf1^s\oplus U_n^t$。此处没有断言每个 $(s,t)$ 都由某个特定物理取得合同的最优控制器实现。

**命题 85.2（等维族的统一缺口）。** 若 $\dim K_{n,\mathbf m}=\dim V_{s,t}=N$，令 $r=M-1-t$，则

$$
nr=s+\ell,\qquad r\ge0,\qquad
R=N-(n-1)r,\qquad L=N+(n-1)r.
\tag{85.6}
$$

两表示的差在表示环中为 $r(U_n-n\mathbf1)$。

证明。等维条件给第一式和非负性。$K$ 的平凡重数为 $h$，$V$ 的平凡重数为 $s+t=h+(n-1)r$；每种非平凡类型在 $K$ 比 $V$ 多 $r$ 份 $D_n$ 所含的重数。$D_n$ 总维数 $n-1$，代入命题85.1即可。此处不把复合 $n$ 的 $D_n$ 误认作不可约。证毕。

下面前四行均满足 $s=r=1$，因而自然边缘空间 $W=U_n^{M-1}$ 正好是最小共同覆盖。最后一行显示这个额外性质不普遍成立。

| 85节实例 | $n$ | 其余寄存器大小 | $s$ | $t$ | $N$ | $R$ | $L$ | 自然 $\dim W$ |
| --- | ---: | --- | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: |
| 85.三循环 | 3 | $(2,2)$ | 1 | 2 | 7 | 5 | 9 | 9 |
| 85.四循环 | 4 | $(2,2,2)$ | 1 | 6 | 25 | 22 | 28 | 28 |
| 85.五循环 | 5 | $(3,2,2)$ | 1 | 10 | 51 | 47 | 55 | 55 |
| 85.七循环 | 7 | $(3,3,3)$ | 1 | 25 | 176 | 170 | 182 | 182 |
| 85.非正则最小覆盖 | 3 | $(3,2)$ | 3 | 3 | 12 | 8 | 16 | 15 |

一般地，自然 $W$ 的平凡重数为 $M-1$，而 $V$ 的为 $M-1+s-r$。所以 $W$ 能同时相容满射到两靶当且仅当 $s\le r$；最小共同源维数与 $\dim W$ 之差为 $s-r$。第五行需再加一个平凡方向，得到十六维最小源；它不是若干完整三循环的直和。故不能把“五十五维且由完整五循环组成”直接推广成所有实例都具有正则的最小共同覆盖。

### 85.3 任意有限群的参考桥和准确的资源判据

令 $U_G=\mathbb R[G]$ 为正则表示，$n=|G|$。对任意同维 $G$ 表示 $E,F$、任意底层线性同构 $J:E\to F$，逐参考分支置

$$
B_r=\rho_F(r)J\rho_E(r^{-1}),\qquad r\in G.
\tag{85.7}
$$

直接相乘给 $B_{gr}\rho_E(g)=\rho_F(g)B_r$，且 $B_r$ 可逆。因此 $E\otimes U_G\simeq F\otimes U_G$。若 $\dim E=N$，两边均同构于 $U_G^{\oplus N}$。这在非交换群也成立；不能把 $r^{-1}g^{-1}$ 的次序调换。集合层面的相对编码仍为 $(v,r)\mapsto(\rho_E(r^{-1})v,r)$，共同左作用只改变第二坐标。

**命题 85.3（一般同一张量参考的必要充分条件）。** 对有限实表示 $E,F,A_0$，有

$$
E\otimes A_0\simeq F\otimes A_0
\iff
(\chi_E(g)-\chi_F(g))\chi_{A_0}(g)=0\quad\forall g\in G.
\tag{85.8}
$$

证明。张量字符相乘；有限群在特征零上的表示由其字符决定。实表示可复化后比较，再按实不可约类型的复化分解恢复相同实重数，所以该判据亦适用于实表示。证毕。

式（85.8）把参考需求定位到两对象字符不同的那些群元。选全正则参考总能解决同维问题，但不总是最小。例如 $G=C_4$，令 $\varepsilon$ 为生成元作用为 $-1$ 的一维实表示。取 $E=\mathbf1\oplus\varepsilon$、$F=\mathbf1^{\oplus2}$、$A_0=\mathbf1\oplus\varepsilon$。由 $\varepsilon^2=\mathbf1$，两张量积同为 $2\mathbf1\oplus2\varepsilon$。这个参考只需二维，记录奇偶而不记录四个完整相位。一维实参考只能是 $\mathbf1$ 或 $\varepsilon$，其字符在每个群元非零，故不能消去 $E,F$ 的差别；二维是此合同下最小的非零参考维数。

对命题85.2的 $r>0$ 族，情况更强：非单位群元上的字符差恒为 $-nr$。将第一寄存器换为任意有限群 $G$ 的正则标号，保留其余定义和等维条件，同一个结论仍成立。

**推论 85.4（全非单位方向不匹配时，完整参考不可再缩）。** 若 $\chi_E(g)\ne\chi_F(g)$ 对每个 $g\ne e$ 成立且两者同维，则每个非零同一张量参考都为 $U_G^{\oplus m}$，$m\ge1$；最小维数为 $|G|$。

证明。（85.8）使 $\chi_{A_0}$ 在全部非单位元为零。字符平均是平凡表示的重数，故 $m=\dim A_0/|G|$ 为非负整数；非零给 $m\ge1$。$A_0$ 的字符遂等于 $m\chi_{U_G}$，由字符确定表示得到结论。构造由（85.7）达到。证毕。

这个判据区分了“缺一个奇偶参考”与“缺完整相位参考”。对于一般给定的两对象，可以在已知的实不可约字符表上寻找非负整数 $c_i$，满足 $\sum_ic_i\chi_i(g)=0$ 于全部不匹配群元，并在 $\sum_ic_id_i\ge1$ 的非零约束下最小化 $\sum_ic_id_i$；这给出精确线性参考问题的有限整数约束。正则参考提供有限上界，但并不提供原物理装置的取得、正性和计费实现。

### 85.4 把操作封闭推广到任意有限传递作用

**命题 85.5（逐位置读取与传递重标记的商结构）。** 设有限群 $G$ 传递作用于非空有限位置集 $\Omega$，$B$ 为有限实线性空间。令 $W=\mathbb R^\Omega\otimes B$，群只置换位置，$E_\omega$ 保留单个位置的 $B$ 分量。一个子空间 $N\subset W$ 对全部群作用与全部 $E_\omega$ 不变，当且仅当存在子空间 $B_0\subset B$ 使

$$
N=\mathbb R^\Omega\otimes B_0.
\tag{85.9}
$$

因此同时承接全部这些操作的线性商维数必为 $|\Omega|$ 的倍数。

证明。投影不变性先给 $N=\bigoplus_{\omega\in\Omega}e_\omega\otimes B_\omega$。群不变性给 $B_{g\omega}=B_\omega$，传递性使它们全相等。反向逐分量检查。商维数为 $|\Omega|(\dim B-\dim B_0)$。证毕。

若位置集有多个轨道 $O$，相同证明允许每条轨道有自己的 $B_O$，商维数为 $\sum_O|O|(\dim B-\dim B_O)$；不再强制整个位数整除。若实际观察只有粗分块、缺少某些 $E_\omega$，本命题的前提不成立，不能继续使用其下界。若群还作用于内部 $B$，也必须重新保留稳定子对内部空间的约束，不能直接照搬（85.9）。

更一般的线性系统不需要先找群。给出真实允许的操作族 $T_a$ 和线性读出 $O$ 后，候选压缩核 $N$ 必须满足

$$
T_aN\subset N\quad\forall a,\qquad ON=0.
\tag{85.10}
$$

第一项保证商上的后继与代表元无关，第二项保证输出与代表元无关。对全部操作词重复第一项即保持全部未来读出。此为既有商下降判据的线性代入，不以群对称替代完整操作族；正概率归一化、可行状态域和动作成本仍须单独核对。

### 85.5 黄金比例是五循环的谱特例

对任意 $n\ge2$ 的循环，$\mathcal F_n=I+C+C^{-1}$ 在第 $k$ 个复 Fourier 模式上的值为

$$
\lambda_k=1+2\cos(2\pi k/n),\qquad 0\le k<n.
\tag{85.11}
$$

常数模式 $k=0$ 为三，差异空间对应 $k\ne0$。当 $n=3$ 时差异特征值全为零；当 $n=4$ 时为 $1,-1,1$；当 $n=5$ 时才得到第84节的两组 $\varphi,-\varphi^{-1}$。更高阶满足相应单位根或 Chebyshev 关系，不自动沿用斐波那契二次式。因此一般联系来自群作用、观察和信息保持；黄金比例刻画其中这个五循环分析算子的具体谱。

### 85.6 成熟来源、有限核验与继续研究的边界

半单表示分解、字符决定表示、正则表示和张量字符乘法是有限群表示论的标准结果。本节给出它们在共同覆盖和参考资源问题上的直接推导，不把重新表述算作新定理发现。钉版 Mathlib 的 `Representation.char_tensor`、`Representation.char_iso`、`Representation.card_inv_mul_sum_char_eq_finrank` 分别供应张量字符、同构必要性和不变维数平均公式；这些上游声明不单独证明本文的原模型代入或物理实现。

相对编码的研究背景可对照 S. D. Bartlett、T. Rudolph、R. W. Spekkens，*Reference frames, superselection rules, and quantum information*，Reviews of Modern Physics **79** (2007), 555–609，[arXiv:quant-ph/0610030](https://arxiv.org/abs/quant-ph/0610030)，第III节开头，预印本印刷页9—10。该处用无共同空间标架时仍能编码多个系统之间相对方向的经典例子解释 relational encoding；其量子协议不能直接替代本节的实线性参考最小性、固定原标签或单位等待费用。本节已核对该原文段落，未据此声称本文桥已经是量子通道。

第84节的精确程序同时核对表85的五个产品实例：从实际全部边缘矩阵求有理数秩，再与通式比较；还核对 $C_4$ 的二维奇偶参考字符，以及非交换群 $S_3$ 的六个参考分支、三十六项协变恒等式。$S_3$ 核对取六维正则源和六维平凡靶，验证（85.7）中的次序。程序不把表85的轨道模型宣称为已经合成的最优驻定控制器。这些实例不替代命题85.1—85.5的全称普通证明，也不冒称完整 Lean 形式化。

由此可以对更多候选统一按同一顺序推进：先给出实际对象和操作，比较可验证的表示重数；有差异时以（85.8）定位所需参考，而后用（85.10）检验全部操作能否下降。若字符一致而读取核不封闭，增加同维基变换不能修复；若加入参考才一致，则其制备、取得、保留和费用必须显式进入新合同。对具体算术过程与具体控制器的双向、正性、合法路径及同成本实现，本节只提供判据和受限构造，未给普遍等价。

## 85.99 追加锚

## 86. 在五十五维中变换，再投影到另一份五十一维档案

### 86.1 目标是输出不依赖提升，不是提升唯一

本节承接第84—85节，给出“先升维、再变换、后投影”的显式构造。第84节在固定五重作用下的四十七维秩界保持成立；这里先允许不与该作用交换的环境变换，再逐项检查能够保留的操作。

沿用 $U=\mathbf1\oplus D$，选择一个共同分解

$$
\mathcal W=S\oplus A\oplus B,\qquad
S=\mathbf1^{\oplus7}\oplus D^{\oplus10},\quad A=D,\quad B=\mathbf1^{\oplus4}.
\tag{86.1}
$$

因此 $\dim S=47$，$\dim A=\dim B=4$。在选定的表示同构下，把两个商映射写成

$$
q_K(s,a,b)=(s,a),\qquad q_V(s,a,b)=(s,b).
\tag{86.2}
$$

一个 $K$ 档案 $(s,a)$ 有全部提升 $(s,a,b)$，其中 $b$ 可以任取。比较所需的是最终 $V$ 档案不依赖这个任取量；没有要求从 $K$ 唯一恢复曾经存在的 $b$。

**命题 86.1（变换后可下降的核判据）。** 设 $q_E:W\to E$、$q_F:W\to F$ 为满射线性映射，$T:W\to W$ 为线性映射。存在唯一线性映射 $f:E\to F$ 满足 $q_FT=fq_E$，当且仅当 $T(\ker q_E)\subseteq\ker q_F$。若 $T$ 可逆，则 $f$ 为同构当且仅当 $T(\ker q_E)=\ker q_F$。

证明。两个提升相差 $\ker q_E$ 中的向量，故它们的变换后输出相同恰当且仅当该差经 $T$ 落入 $\ker q_F$。这定义 $f(q_Ew)=q_FTw$，满射性给唯一性，线性由代表元运算得到。当 $T$ 可逆，$f$ 自动满射，而其零核条件正是 $T^{-1}(\ker q_F)=\ker q_E$。证毕。

这个判据要求变换把一份档案丢弃的信息送入另一份档案丢弃的信息，不要求两份档案原先丢弃的是同一子空间。

### 86.2 四个四分之一转动给出显式桥

**命题 86.2（环境可逆而提升可任取）。** 任取实线性同构 $J:A\to B$，定义

$$
\begin{aligned}
T(s,a,b)&=(s,-J^{-1}b,Ja),\\
T^{-1}(s,a,b)&=(s,J^{-1}b,-Ja),\\
f(s,a)&=(s,Ja).
\end{aligned}
\tag{86.3}
$$

则 $T$、$f$ 均可逆，$T^4=I$，且

$$
q_VT=fq_K,\qquad q_KT^{-1}=f^{-1}q_V.
\tag{86.4}
$$

证明。代入（86.3）计算互逆及四次迭代即可。$q_VT(s,a,b)=(s,Ja)$ 与 $b$ 无关；逆向等式同理。尤其 $T(\ker q_K)=\ker q_V$，命题86.1适用。证毕。

在 $J$ 相容的基下，剩余八维中的每对坐标作 $(a_i,b_i)\mapsto(-b_i,a_i)$，共同四十七维不动。选取使这些基正交归一的内积，$T$ 是正交变换；这不是原始六十配置坐标下的非负性、概率守恒或物理可执行性声明。

这种构造推广到任意实向量空间 $S,A,B$ 及给定同构 $J:A\simeq B$。在有限维情形，选择共同直和补空间后，同一环境内的任意两个等维核也可以通过环境自同构相互送达。因此“允许任意线性变换就能接通”本身不足以识别两套原始运算的特殊联系；有区分力的条件是允许哪些 $T$，以及 $T$ 必须保留哪些操作。

### 86.3 连续转动与解析延拓的区别

对实参数 $\theta$，令

$$
R_\theta(s,a,b)=
\bigl(s,\cos\theta\,a-\sin\theta\,J^{-1}b,
\sin\theta\,Ja+\cos\theta\,b\bigr).
\tag{86.5}
$$

它满足 $R_{\theta+\eta}=R_\theta R_\eta$、$R_0=I$、$R_{\pi/2}=T$。这些是三角加法公式的直接应用，给出解析依赖参数的一族环境自同构。

**命题 86.3（中途投影的限制）。** 若 $B\ne0$，则 $q_VR_\theta$ 对每个 $q_K$ 纤维为常量，当且仅当 $\cos\theta=0$。

证明。改变提升的 $b$ 为 $b+\delta b$，输出变化恰好为 $(0,\cos\theta\,\delta b)$。对全部 $\delta b\in B$ 消失，等价于 $\cos\theta=0$。此时 $\sin\theta=\pm1$，诱导的五十一维映射也可逆。证毕。

因此可以在完整五十五维空间连续转动，但不能把全过程都解释为只依赖最初五十一维档案的唯一输出。“解析延拓”通常要求从某区域的解析函数延伸到更大定义域；这里的数据是有限维向量和商映射，尚未指定这样的函数、定义域或唯一性条件。准确名称是提升、环境变换与下降。其对称群可放在一般线性群中讨论；本构造没有提供与魔群的关系。

### 86.4 固定旋转不相容，保留参考后联合相容

在（86.1）中固定原来的循环作用

$$
C_W(s,a,b)=(C_Ss,C_Aa,b),\quad
C_K(s,a)=(C_Ss,C_Aa),\quad C_V(s,b)=(C_Ss,b).
\tag{86.6}
$$

$C_A$ 是五循环的四维零和表示。若（86.3）的 $f$ 与这两个固定作用相容，则 $JC_A=J$，由 $J$ 单射推出 $C_A=I$，矛盾。所以升到五十五维没有撤销第84节的四十七维等变秩界；本构造明确改变了操作的对应规则。

**命题 86.4（带五个参考标签的环境变换族）。** 对保留的参考标签 $r\in\mathbb Z/5\mathbb Z$，定义

$$
\begin{aligned}
T_r(s,a,b)&=(s,-C_A^rJ^{-1}b,JC_A^{-r}a),\\
f_r(s,a)&=(s,JC_A^{-r}a).
\end{aligned}
\tag{86.7}
$$

则每个 $T_r$ 可逆，且

$$
q_VT_r=f_rq_K,\qquad
T_{r+1}C_W=C_WT_r,\qquad
f_{r+1}C_K=C_Vf_r.
\tag{86.8}
$$

证明。$T_r$ 是（86.3）中把 $J$ 换为 $JC_A^{-r}$ 的实例，故可逆且下降。第二式两边作用在 $(s,a,b)$，均得到 $(C_Ss,-C_A^{r+1}J^{-1}b,JC_A^{-r}a)$；第三式同理。$C_A^5=I$ 保证下标模五定义良好。证毕。

所以保留参考的映射 $(w,r)\mapsto(T_rw,r)$，对于联合动作 $(w,r)\mapsto(C_Ww,r+1)$ 相容。参考没有被免费消除。把五个分支全部线性化，环境为 $\mathcal W\otimes U$，维数 $275$，两边输出为 $K\otimes U,V\otimes U$，各 $255$ 维。已知并保留一个参考标签，与这整个线性化空间是不同的资源表述；任一种都不等于无参考的原五十五维合同。参考从何而来、怎样获得、能否重复使用及其费用仍需原模型提供。

### 86.5 连改变旋转基准都不够时：完整读取代数的障碍

下面检验能否在共同环境中保留整套位置操作，同时允许这些操作通过共轭重新组织。用第84节的自然物理分解

$$
\mathcal W=U\otimes B_{\rm rest},\qquad
B_{\rm rest}=L\oplus H,\qquad \dim L=4,\quad\dim H=7.
\tag{86.9}
$$

$B_{\rm rest}$ 是其余三个寄存器的十一维非恒定空间；$L$ 包含它们的单寄存器差异，$H$ 包含它们之间的关联。固定非零 $h_0\in H$ 以及包含它的基。选取前面两个商的核

$$
N_K=\mathbf1\otimes L,\qquad N_V=D\otimes\operatorname{span}(h_0).
\tag{86.10}
$$

这实现（86.1）：$B=N_K$、$A=N_V$，$S$ 取其余七个常数方向和十份 $D$。第二个核对应选择哪一个形式五循环被合并为公共起点；这是一种已指定的模型嵌入，不能冒充控制器天然携带的全部读取代数。

在这同一个 $\mathcal W$ 上，对第一个寄存器作全部位置筛选及循环移动生成

$$
\mathscr A=\operatorname{End}(U)\otimes I_{B_{\rm rest}}.
\tag{86.11}
$$

这是第84—85节的完整位置操作代数。定义 $\mathscr A N$ 为所有 $av$（$a\in\mathscr A,v\in N$）的线性张成。

**命题 86.5（生成空间维数排除同代数正规化变换）。** 对（86.9）—（86.11），有

$$
\mathscr A N_K=U\otimes L,\quad\dim\mathscr A N_K=20,
\qquad
\mathscr A N_V=U\otimes\operatorname{span}(h_0),\quad
\dim\mathscr A N_V=5.
\tag{86.12}
$$

不存在可逆线性 $T$ 同时满足 $TN_K=N_V$ 和 $T\mathscr A T^{-1}=\mathscr A$。

证明。全矩阵代数把任意非零 $u\in U$ 送到任意指定 $u'\in U$，而第二张量因子不变。因此对 $\mathbf1\otimes L$ 生成全部 $U\otimes L$；对非零的 $D\otimes\operatorname{span}(h_0)$ 生成全部 $U\otimes\operatorname{span}(h_0)$，两边的反向包含由第二因子不变成立。若 $T$ 正规化该代数，则

$$
T(\mathscr A N_K)=(T\mathscr A T^{-1})(TN_K)=\mathscr A N_V.
\tag{86.13}
$$

可逆线性变换保持维数，这会强迫 $20=5$，矛盾。证毕。

这个条件允许把原操作通过共轭重新组织成同一代数中的其他操作，比要求逐个固定这套代数中的全部操作允许更多变换；即使如此仍不能搬运这两个核。这个包含关系不适用于“只与单个 $C_W$ 交换”：仅与该旋转交换和正规化整个位置代数是不同条件，不能把二者的容许范围排成上述包含关系。本命题也不判定所有实际机器编码的可行性。

两个四维核在完整读取代数下本来都不封闭，故该代数没有完整下降成两份五十一维档案各自的操作。命题86.5是在五十五维共同环境上检验能否同时保留这套指定操作并搬运两个核，不假定档案已经具有不存在的操作。它不排除限制操作集、改变观察、引入参考，或采用其他实际控制器嵌入；这些改动须分别重新证明操作对应。

### 86.6 比方、精确证据和仍需建立的桥

可以把五十五维想成一本有五十五栏的总表，两份五十一栏档案各自略去四栏，但略去的栏不同。式（86.3）给出一套重排并带符号变换的规则：甲档案缺的四栏，即使随便填写，变换后也恰好落在乙档案不看的位置。因此乙档案的可见内容确定，且能按逆规则恢复甲档案的可见内容。总表不必被唯一补全。

这个比方的边界是：实际数学中的“栏”已经过线性组合，可以带负数。实际概率分布、合法控制态、允许动作和执行时间不是任意实数栏。如果还要求原来的按钮在换档案后具有同样作用，就必须额外核对按钮；式（86.12）给出这类要求的一项明确反例判据。

精确证书为 [verify_ambient.py](../../reports/two51-cyclic-phase/verify_ambient.py)，输出 [ambient_results.json](../../reports/two51-cyclic-phase/ambient_results.json)。它复用第84—85节证书的有理数线性代数，以 $S,A,B$ 顺序构造 $55\times55$ 矩阵，核对互逆、四次为恒等、两个投影恒等式、全部五个参考分支的协变性，以及五个有理圆周点的提升依赖。它也构造到自然 $U\otimes B_{\rm rest}$ 基的可逆变换，并逐个作用二十五个矩阵单位，得到两个核的生成维数 $20,5$。该具体 $T$ 与 $C_W$ 的交换子秩为 $8$；这个读数不声明对全部变换的最小性。两个商作用在所选相容坐标下之差秩为 $4$。

本节使用商映射因子化、线性同构、三角加法、子空间张成与共轭作用等成熟代数。仓内 `public_recovery_criterion` 的加法群核判据直接支持变换后观察的因子化；一般张成与维数搬运复用 Mathlib 的 `Submodule.map_span`、`LinearEquiv.finrank_map_eq`。这些标准结果的应用不作为新增命名 Lean 定理保留，也不主张原创性。正文的全称推导与有限有理数证书各自承担其范围，不把精确程序冒称完整 Lean 形式化。

要把上述桥升级为两份原始档案的操作等价，仍需给出同一实际来源或可验证编码，证明允许的非负制备和输出语义相容，逐个对应读取、等待、终止和合法路径，并对参考取得、附加记录及时间空间费用作同一口径比较。本节完成的是五十五维环境中的可逆线性对应、参考条件下的联合协变构造，以及指定完整位置代数下的不可行判据；完整物理操作等价尚未建立。

## 86.99 追加锚

## 87. 概率归一化、随机恢复与可取得的五档记录

### 87.1 从带符号响应转到概率实验

本节继续第86节的操作问题。前面的 $K,V,\mathcal W$ 都是实线性空间，允许负系数；原控制态的自由空间为五十一维，不等于其概率分布有五十一个独立参数。本节固定列向量约定：随机通道矩阵非负，每列和为一；输入分布 $p$ 的输出为 $Ep$。

仍令 $X=\prod_{i=1}^4X_i$，各因子大小为 $(5,3,2,2)$，$N=60$。取均匀分布 $p_*(x)=1/60$，定义

$$
\mathcal P=\{p\ge0: \text{四个单寄存器边缘分别均匀}\}
          =(p_*+K)\cap\mathbb R_{\ge0}^{60}.
\tag{87.1}
$$

这是一族未知联合分布，不是某一个固定分布；所有恢复要求均须对整族同时成立。$p_*$ 的每个坐标严格为正，因此对任意 $v\in K$，足够小的 $\varepsilon>0$ 都使 $p_*\pm\varepsilon v\in\mathcal P$。故 $\operatorname{affdim}\mathcal P=51$。正锥与 $K$ 本身的交集只有零，因为 $K$ 的总质量为零；非零物理分布须用（87.1）的平移来表达。

**命题 87.1（归一化后的维数门槛）。** 若仿射映射 $E:\mathcal P\to\Delta_{m-1}$ 单射，则 $m\ge52$。尤其不能把整族 $\mathcal P$ 仿射无损地放进五十一控制态的归一化概率分布。

证明。$p_*$ 附近含 $K$ 中的相对开邻域。仿射映射在该邻域单射，强迫其线性部分在 $K$ 上单射；否则沿非零核方向取足够小的正负扰动便得到同一输出。归一化靶的差异空间是总和为零的 $m-1$ 维空间，故 $51\le m-1$。证毕。

这不撤销第86节的五十一维线性桥；它增加了原桥没有承担的概率归一化条件。以二十五个终止标签作为全部输出时，其概率单纯形维数更只有二十四。若额外保留路径、时间或参考，必须把这些读数计入实际输出对象。

### 87.2 五十二个输出足以编码参数，但逆运算未必是随机通道

从六十个配置中选取 $I=\{x_1,\ldots,x_{51}\}$，使限制映射 $v\mapsto(v(x_i))_{i=1}^{51}$ 在 $K$ 上单射。这种选择存在，因为 $K$ 的任一六十行、五十一列基矩阵有五十一个独立行；证书给出按配置字典序选出的具体 $I$。

**命题 87.2（严格正的五十二输出编码）。** 定义五十二行、六十列矩阵

$$
E_{i,x}=\frac{1+\mathbf1_{x=x_i}}{104}\quad(1\le i\le51),
\qquad E_{52,x}=1-\sum_{i=1}^{51}E_{i,x}.
\tag{87.2}
$$

则 $E$ 是严格正的随机通道，并且在 $\mathcal P$ 上单射。因此命题87.1的仿射编码门槛可以达到。

证明。前五十一项和是 $51/104$ 或 $52/104$，故最后一项是 $53/104$ 或 $52/104$；每列和为一，全部条目至少 $1/104$。对归一化输入，$(Ep)_i=(1+p(x_i))/104$。若 $Ep=Ep'$ 且 $p,p'\in\mathcal P$，则 $p-p'\in K$ 且在 $I$ 上为零，故 $p=p'$。证毕。

由全部输出概率 $Ep$ 可以代数恢复 $p$，不等于拿到一次输出标签后，存在一个固定的随机解码器把原实验无损恢复。前者的输入是整份精确概率参数，后者的输入是一个随机样本。有限采样估计这些参数还会引入误差和样本成本。

令 $B_0$ 为以 $p_*$ 及一组 $K$ 的基作为列的 $60\times52$ 矩阵。$EB_0$ 可逆，故

$$
D_{\rm alg}=B_0(EB_0)^{-1},\qquad D_{\rm alg}EB_0=B_0.
\tag{87.3}
$$

这是在编码族上正确的线性逆。具体证书得到 $D_{\rm alg}$ 每列和为一，但最小条目为 $-464/5$。它在正确编码的概率上给出合法分布，在任意五十二标签分布上不保证非负，因而不是物理随机解码器。下面的定理排除的不仅是这个特定逆，而是五十二输出的全部随机编码—随机恢复方案。

### 87.3 对整族精确随机恢复，至少要六十个输出

**引理 87.3（双随机不动向量的支撑限制）。** 若 $Q$ 是有限双随机矩阵，且 $Qf=f$，则对每个 $x,z$，

$$
Q_{xz}\bigl(f(x)-f(z)\bigr)^2=0.
\tag{87.4}
$$

证明。全部项非负，而行、列和为一给出

$$
\sum_{x,z}Q_{xz}(f(x)-f(z))^2
=2\sum_x f(x)^2-2\sum_x f(x)(Qf)(x)=0.
\tag{87.5}
$$

故每项为零。特别地，若 $Q_{xz}>0$，则每个不动向量在 $x,z$ 上取值相同。证毕。

为检验 $K$ 能否区别任意两个坐标，先写一般公式。设 $X=\prod_{i=1}^kX_i$，$|X_i|=n_i\ge2$，$N=\prod_i n_i$，$K$ 为零单变量边缘空间。在标准坐标内积下，投影到 $K$ 的正交投影矩阵为

$$
P_K(x,z)=\mathbf1_{x=z}-\frac{\sum_{i:x_i=z_i}n_i-k+1}{N}.
\tag{87.6}
$$

这是从恒等矩阵减去“常数＋各单寄存器零和响应”的投影：各寄存器平均投影矩阵元为 $n_i\mathbf1_{x_i=z_i}/N$，常数方向重复计入 $k-1$ 次，需要扣除。不同单寄存器零和空间正交，故该公式确为正交投影。

若 $x\ne z$，由 $P_K=P_K^\mathsf T=P_K^2$ 得

$$
\|P_K(e_x-e_z)\|^2
=2\left(1-\frac{\sum_{i:x_i\ne z_i}n_i}{N}\right).
\tag{87.7}
$$

本例 $N=60$、$\sum_i n_i=12$，所以该平方范数至少 $8/5>0$。因此对每个 $x\ne z$，总有 $f\in K$ 满足 $f(x)\ne f(z)$。

**定理 87.4（随机恢复不能把整族压缩到六十以下）。** 若 $E:\mathbb R^{60}\to\mathbb R^m$、$D:\mathbb R^m\to\mathbb R^{60}$ 均为随机通道，且

$$
DEp=p\qquad\text{对每个 }p\in\mathcal P,
\tag{87.8}
$$

则 $DE=I_{60}$，因而 $m\ge60$。这个界由恒等编码达到。

证明。令 $Q=DE$。它是列随机矩阵，且固定均匀分布 $p_*$，故各行和也为一。对任意 $f\in K$，分别对 $p_*\pm\varepsilon f$ 应用（87.8）并相减，得 $Qf=f$。由（87.4）、（87.7），任意非对角条目 $Q_{xz}$ 必为零。行和为一于是强迫 $Q=I$。最后 $60=\operatorname{rank}(DE)\le m$。证毕。

这个结论不要求逐次解码回原来那次抽到的配置，假设只要求对整族恢复输出分布；结论却强迫复合通道为恒等。它量化于同一对与未知 $p$ 无关的随机通道。多次取得新的源样本、依赖未知参数选择解码器、额外侧信息或保留整段执行历史，不属于同一个 $m$ 标签合同，须重新建模。

因此“去到五十五维”不能单凭维数为这个严格随机恢复任务提供五十五个物理标签的实现。第86节的五十五维带符号空间、这里的五十二输出参数编码，以及六十输出随机恢复，是三种不同合同，不能替换计数。

### 87.4 产品推广与真正可压缩的边界例子

**推论 87.5（有限产品族的恢复阈值）。** 对 $k\ge2$、$n_i\ge2$ 的产品空间，考虑全部单寄存器边缘均匀的联合分布族。若 $N>\sum_i n_i$，则任何对整族精确恢复的随机编码—随机解码器都满足 $DE=I_N$，最小输出字母数为 $N$。

证明。（87.7）的右边严格为正，其余证明与定理87.4相同。证毕。

这些非平凡产品中，只有 $2\times2$ 不满足该严格不等式：两个因子时 $ab>a+b$ 等价于 $(a-1)(b-1)>1$；三个以上因子从全部为二的情形 $2^k>2k$ 开始成立，增大任一因子只会增加差值。

在 $2\times2$ 情形，均匀边缘族为

$$
p=(t,\tfrac12-t,\tfrac12-t,t),\qquad0\le t\le\tfrac12.
\tag{87.9}
$$

编码只记录两坐标的奇偶异同；解码在相应的两个配置内均匀抽样，即可恢复整族。故四个配置只需两个输出。它的两对坐标在所有 $K$ 向量上取值相同，正好说明定理87.4中的坐标分离条件不可省略。本例的复合通道不是 $I_4$，也不逐次恢复原来抽到的配置。

### 87.5 初始高位怎样取得，又在哪里被控制态合并

返回第60.3、84.1节的具体机器。初始物理位置写成 $x=5b+u$，$0\le b,u<5$。第一次读取返回 $b=\lfloor x/5\rfloor$，并进入等待态 $WG2_b$。所以该初始高位确实可以通过一次原有读取取得，不需要额外的初始等待；这一次读取仍计入原来的最多四读。

但状态下标不是永远保存初始高位。逐步执行发现，当前状态 $WG2_0$ 可由初始高位 $0,1,3$ 到达。例如初始输入 $0$、$8$、$18$ 的合法路径均到达该控制态。因此仅从当前 $q$ 不能一直恢复最初的 $b$。

**命题 87.6（保留初始高位的指定物理路径细化）。** 对这张固定控制表，从第一次读取之后，要求每个扩展控制态同时解码出原控制态 $q$ 和初始高位 $b$；共同起点在读取前不要求已有 $b$。则存在九十一态细化控制器，在全部二十五个输入上保持原路径投影、终止标签、最多四读和六次单位等待。在这些逐时刻保留 $(q,b)$ 的确定性细化中，九十一也是下界。

证明。取全部物理路径实际出现的 $(q,b)$，再加一个共同起点。精确枚举得到：$F$ 十个、$G$ 十五个、$WF$ 十个、$WG1$ 十五个、$WG2$ 十五个、终止态二十五个，共九十个非起点状态。运行中按原表更新 $q$ 并保留 $b$，首次读取写入 $b$。这些边在物理路径上闭合，故路径和费用保持。

为补全外部数字槽，若原转移落在未列入的 $(q',b)$，将该槽接到 $(H_{5b},b)$。该修改只涉及物理路径不使用的槽。五重同时改标 $(q,b)\mapsto(Cq,b+1)$ 保持可达对集合以及这种补全规则，所以完整表保持第84节意义下的协变性。任何能够同时恢复两项的细化状态都不能合并两个不同的实际 $(q,b)$，于是至少需要九十个非起点状态及独立起点。证毕。

这种细化只保持全部物理合法路径，不要求在任意外部数字字词下仍投影到完整原表；补全实际改接了六十五个物理路径不用的读取槽。例如从 $(G_0,r=0)$ 读到数字二，原表到 $H_8$，补全到 $H_0$。若另要求保留全部抽象数字转移并在首次读取后一直保存初始高位，则有限可达闭包为二百五十一个状态，其中物理可达的仍是九十一个。这个最小性只属于指定原表的上述物理路径细化，不是全部可设计控制器的最优状态数。它也不把每个非起点状态当前可读出的循环下标，与始终不变的初始高位混同；第86节的参考族允许怎样更新参考，还必须与所选操作协议一起说明。

### 87.6 带真实执行的正性桥，以及准备接口的代价边界

现在给出一条确实运行原控制器、并在六十个源配置上逐点可逆的方案。它明确增加两个接口：能根据源配置准备表盘，以及能保存一个五值外部记录。

把其余三个寄存器写成 $y=(b,c,d)\in\{0,1,2\}\times\{0,1\}^2$，按

$$
j(y)=4b+2c+d\in\{0,\ldots,11\}
\tag{87.10}
$$

编号。对于源配置 $(a,y)$，准备

$$
x=(j(y)+5a)\bmod25,\qquad r=a.
\tag{87.11}
$$

随后运行原五十一态控制器，保持外部记录 $r$。机器输出 $H_x$ 后，解码

$$
a=r,\qquad j=(x-5r)\bmod25,
\tag{87.12}
$$

再用（87.10）的逆恢复 $y$。在合法编码上 $j<12$，故解码唯一。

**命题 87.7（有准备接口和外部记录时的正性执行桥）。** 在上述新增接口可用的条件下，（87.11）—（87.12）在全部六十个源配置上互逆，因而对全部源概率分布均可用确定性编码和确定性解码实现精确恢复。联合终止输出使用六十个不同的 $(H_x,r)$；执行阶段仍至多四次读取、六次单位等待。源循环 $a\mapsto a+1$ 对应物理输入 $x\mapsto x+5$ 及记录 $r\mapsto r+1$，并按原控制表的同时改标对齐整条执行。

证明。固定 $a$ 时，$j\mapsto(j+5a)\bmod25$ 在十二个编号上单射，（87.12）给出左逆。原控制表对每个 $x$ 输出 $H_x$，所以执行不改变终端编码的信息。确定性映射在基点上可逆，线性推送到概率分布即为非负、保总质量的随机编码—恢复。未使用的终止对可统一解码到 $(r,j=0)$，得到在整个联合输出字母表上定义的随机解码器。加五协变性由第84节的完整表关系给出，等待和读取计数由全部实际输入核对。证毕。

这里的记录 $a$ 不等于上一小节机器第一次读取取得的初始高位：从（87.11）可知后者是 $(a+\lfloor j/5\rfloor)\bmod5$。两种记录不能不加说明地替代。

五值外部记录与五十一控制态的完整笛卡尔积有二百五十五种组合；上述六十个准备输入实际到达其中一百九十种组合，终止时只使用六十种。它们都不是第五十五维空间的免费实现，也不宣称是最优存储。四读、六等待只计准备之后的原控制器运行：设置 $x$、取得并保留 $a$、输出解码及外部记忆的成本须另计。这些接口尚未由两份原档案的既定操作规则推出。

这里对应的是将输入、控制标签、输出和外部记录一起改标的整条执行，不是宣称每个固定数字转移都交换，也不是在终止态免费增加五次等待。第87.3节的六十输出下界没有被违反，因为解码器读取的是六十个联合输出，而不是单独的二十五个终止标签。

### 87.7 推广到群作用和明确的准备合同

上述正性构造有一个不依赖数字五的版本。设有限群 $G$ 作用于可被某个既有设备准确识别的输入集 $Z$，且有单射 $c:Y\hookrightarrow Z$。在能够准备输入 $g\cdot c(y)$ 并保留 $g$ 的条件下，编码

$$
(g,y)\longmapsto(g\cdot c(y),g)
\tag{87.13}
$$

逐点可逆：从 $(z,g)$ 计算 $g^{-1}\cdot z$，在 $c(Y)$ 上用 $c^{-1}$ 解码。若该设备在 $G$ 的同时改标下具有执行协变性，编码后的完整运行也具有该协变性。解码正确的联合输出共有 $|G||Y|$ 个；若设备运行有读数和时间上界，该上界只转移给准备之后的运行，不能包含未证明的准备及记录成本。这里不要求 $G$ 在 $Z$ 上自由，因为保留的 $g$ 已经把轨道中的基准区别开。

这是第85节相对坐标方法在非负概率及指定设备运行上的受限实现，不是给任意两套原程序建立同成本等价。原问题仍需解释准备映射为何由允许的算术动作实现、外部记录如何在原资源预算中取得，以及边缘筛选怎样对应实际读取。

### 87.8 证据、标准结果和继续研究的接口

[verify_positive.py](../../reports/two51-cyclic-phase/verify_positive.py) 与 [positive_results.json](../../reports/two51-cyclic-phase/positive_results.json) 使用整数、有理数核对：实际边缘矩阵及五十一维基、投影恒等式和全部配置对的分离式、五十二输出正编码及带符号逆、沿全部五十一个基方向的正负共一百零二个严格正扰动、四个小产品实例和 $2\times2$ 反例，以及两种参考方案的实际路径和联合状态计数。它还核对九十个非起点细化状态的四百五十项完整数字协变关系。有限脚本不替代上述全称随机恢复证明，也不构成全控制器搜索。

引理87.3的能量恒等式、非负有限和逐项为零、复合矩阵秩上界，以及非零总质量泛函的核少一维，均为标准有限线性代数的直接应用。相应核对复用 Mathlib 的 `Finset.sum_eq_zero_iff_of_nonneg`、`Matrix.rank_mul_le_left`、`Module.Dual.finrank_ker_add_one_of_ne_zero`；确定性互逆编码对概率律的恢复复用 `PMF.map_comp`、`PMF.map_id`。不保留仅做这些应用的新命名 Lean 包装。仓内经典信息损失与恢复结果提供相关研究背景，但其严格正通道等假设不能直接替代本节允许零条目的随机恢复论证。本节不主张文献新颖性或完整 Lean 形式化。

目前已经区分了参数可逆、随机可逆、原控制器运行可实现，以及准备接口有无授权这四层。整套原始算术与控制操作的双向、同预算对应仍未建立；下一缺口是把（87.11）的准备和外部记录接回原操作，或证明在明确预算下无法取得。允许近似恢复时的误差—状态—样本成本关系也尚未结算，不能从精确下界直接读出近似下界。

## 87.99 追加锚

## 88. 源寄存器读取的边界与三值记录的有价准备

本节承接第87节：将“能够按源配置设置表盘”展开为一个可计费的接口，区分原档案给出的边缘观察、对同一样本逐坐标读取，以及完整联合测量。新接口不是从原文自动取得的授权；下面的实现和下界都明确说明它们使用哪一种访问方式。

### 88.1 同一样本上的坐标读取

设 $X=\prod_{i=1}^kX_i$，一次源查询选取一个寄存器 $i$，返回同一份、保持不变的源样本 $x$ 的坐标 $x_i$。下一个查询、停止决定及输出只能使用已有答案和独立于源的随机性。查询重复计费；没有额外联合读数、源相关初始记忆或未记账的后续源访问。有限确定性策略可以写成决策树，完整路径记录所查坐标和实际答案。

这里使用的标准决策树事实是：对任意已经实现的终止路径 $t=((i_1,a_1),\ldots,(i_s,a_s))$，产生该路径的源配置恰为柱集

$$
[t]=\{x\in X:x_{i_j}=a_j\ \text{对每个 }j\}.
\tag{88.1}
$$

它对自适应查询也成立。证明按路径长度归纳：首个答案相同就进入同一个子树；此后继续应用相同论证。反向由每个已记录答案都是实际读数得到。重复读取不给柱集增加新的坐标。这个事实还适用于任意寄存器指标集及依赖于指标的答案类型，只要求所考察的树是有限终止的；既有 `PassiveProtocol` 与 `runPassiveProtocol` 提供该对象。

因此，对所有路径查询次数至多 $r$ 的策略，若两份分布的全部不超过 $r$ 个坐标的边缘相同，则完整路径分布相同。独立随机化是确定性树的混合，也不能改变这个结论。反向，逐个读取任意指定的至多 $r$ 个坐标即可取得相应联合读数。因此，“所有这些策略的路径律相同”恰好等价于“全部至多 $r$ 阶边缘相同”。这里是分布律的确定关系，不是有限采样能精确知道概率参数的保证。

在均匀产品内积下，相应可读函数的线性张成空间为

$$
\mathcal O_r=\bigoplus_{|S|\le r}\mathcal H_S,
\qquad
\dim\mathcal O_r=\sum_{|S|\le r}\prod_{i\in S}(|X_i|-1).
\tag{88.2}
$$

原因是每条叶路径的指标函数只依赖它查询过的坐标，因而属于右边；反向，各个指定坐标集合的全部柱集指标函数张成该集合上的全部函数。这只刻画所有策略的响应的线性张成，不宣称任意线性组合都能由一次同预算、非负的实验实现。

对 $5\times3\times2\times2$，沿用 `QUANTUM-RH.md` 中既有的交互阶数 $1,8,21,22,8$，得到：

|每份样本至多读取的寄存器数|0|1|2|3|4|
|---|---:|---:|---:|---:|---:|
|全部这些读取响应的张成维数|1|9|30|52|60|
|仍不可见的有符号方向数|59|51|30|8|0|

表中的52是三坐标响应的线性维数，第87.2节的52是随机编码的输出字母数，二者不能据数值相等而替换操作含义。

### 88.2 一对严格正分布检出旧准备接口里的联合信息

令 $x=(a,b,c,d)$，定义

$$
w(x)=\begin{cases}(-1)^{a+b+c+d},&a,b\in\{0,1\},\\0,&\text{其他情形},\end{cases}
\qquad p_\pm(x)=\frac1{60}\pm\frac{w(x)}{120}.
\tag{88.3}
$$

对任意遗漏至少一个坐标的边缘求和，$w$ 沿该坐标的和为零。因此这两份分布的全部真子集边缘相同；两者均严格为正，最小质量 $1/120$，且属于第87.1节的均匀单变量边缘族。$w$ 在十六个点非零，故采用 $\operatorname{TV}(p,q)=\frac12\sum_x|p(x)-q(x)|$ 时，

$$
\operatorname{TV}(p_+,p_-)=\frac2{15}.
\tag{88.4}
$$

第87.6节旧准备映射之后，原控制器第一次读到的数字是

$$
h(x)=\left\lfloor\frac{(5a+4b+2c+d)\bmod25}{5}\right\rfloor.
\tag{88.5}
$$

精确求和给出 $\bigl(\sum_{x:h(x)=v}w(x)\bigr)_{v=0}^4=(-1,2,-1,0,0)$。因而其两个输出律分别为

$$
h_*p_+=\left(\frac{23}{120},\frac{26}{120},\frac{23}{120},\frac{24}{120},\frac{24}{120}\right),
\quad
h_*p_-=\left(\frac{25}{120},\frac{22}{120},\frac{25}{120},\frac{24}{120},\frac{24}{120}\right),
\tag{88.6}
$$

两者总变差为 $1/30$。

**命题 88.1（旧准备桥不是三坐标访问的免费后处理）。** 在第88.1节接口中，每份源样本最多读取三个寄存器的策略，不能对整族输入分布准确模拟（88.5）的输出律，也不能精确恢复第87.1节的整族分布。即使允许随机化和任意后处理，对前一个任务的最坏总变差误差至少 $1/60$，对后一个任务至少 $1/15$。

证明。两份（88.3）在所有这类完整路径上的分布相同，故任何固定后处理的输出律同为某个 $q$。三角不等式给出 $\max\{\operatorname{TV}(q,t_+),\operatorname{TV}(q,t_-)\}\ge\operatorname{TV}(t_+,t_-)/2$；分别取目标 $h_*p_\pm$ 和 $p_\pm$，代入上述数值即得。证毕。

这个不可区分性还保留到任何有限个独立源样本，只要每份样本至多查询三个坐标，且跨样本选择仅依赖先前路径：按已见历史条件化后，下一个样本的允许实验在两律下仍相同，归纳即可。它不覆盖事后回到同一份样本读第四个坐标的协议。两份档案中若只提供单变量边缘，即使这些边缘概率已被精确知道，也更不能取得该联合响应。

### 88.3 精确恢复时，每条路径都必须取得四个坐标

（88.1）还给出逐路径的下界。若确定性坐标查询策略的完整输出必须能唯一恢复每个源配置，那么任何可达终止路径都必须查询全部非平凡坐标。否则改变一个未查询坐标，整条路径不变，却得到另一个源配置，与可恢复性矛盾。对本例，每条路径至少四次源查询；顺次读完四个坐标达到该界。

要求只对第87.1节的整族恢复分布，也不能逃过这个下界：第87.4节已证明任意固定随机编码和随机解码的复合通道都必须为 $I_{60}$。因此对每个源点的恢复错误率为零。将有限随机化策略的全部硬币预先固定，非负性及有限源集合允许同时去掉零概率的坏种子；剩余每棵确定性策略都须逐点正确，于是每条可达路径仍查询全部四个坐标。结论也给出每个源点的期望源查询数至少四。这里后处理不能再访问源，额外侧信息必须计入接口；否则不属于这个合同。

四次源查询与原控制器的“四次表盘读取”读的是不同对象，不能抵扣。此结论也不证明下节等待和控制状态数最优。

### 88.4 外部记录只需三值，并保持编码与运行的循环相容

第87.6节的五值记录可以换一种分工而减少。仍令 $j=4b+2c+d\in\{0,\ldots,11\}$，写 $j=5r+u$，其中 $0\le u<5$、$r\in\{0,1,2\}$。准备

$$
x=5a+u,\qquad r=\lfloor j/5\rfloor.
\tag{88.7}
$$

原控制器终止于 $H_x$ 后，解码

$$
a=\lfloor x/5\rfloor,\qquad j=5r+(x\bmod5),
\tag{88.8}
$$

再恢复 $b,c,d$。这使最初的 $a$ 直接成为表盘高位，而外部记录保存 $j$ 的商；该记录不再解释为初始相位。

**命题 88.2（三值终端记录的最优性与条件性执行）。** 若终端信息严格限于原机器的二十五个终止标签以及一个含 $m$ 个值的固定外部记录，并要求逐点恢复全部六十种源配置，则 $m\ge3$；（88.7）达到该界。它对全部源分布保持非负和总质量，源循环 $a\mapsto a+1$ 对应 $x\mapsto x+5\pmod{25}$、$r\mapsto r$，编码和准备后的原控制器完整运行均与此改标相容。

证明。恢复要求向二十五乘 $m$ 个终端标签的映射单射，故 $60\le25m$。上式在六十个源点上有（88.8）的左逆，使用六十个联合终止标签，达到 $m=3$。单射的确定性推送可恢复任意概率律。所有七十五个终端对上的解码器可这样补全：若 $5r+x\bmod5\ge12$，输出 $(a=\lfloor x/5\rfloor,j=0)$；该补全也保留循环相容性。原表的运行关系复用第84节。证毕。

这只证明终端记录字母数最少，不证明整个控制器状态或总时间最少。若允许输出路径、时间、额外写带或新的源样本，须重新计算输出合同。对第87.1节整族的随机恢复，第87.4节同样给出 $25m\ge60$。

这项构造推广到群乘积：若原设备识别 $G\times U$，源为 $G\times Y$，且仅准许终端另附一个在 $G$ 下不变的记录集 $R$，则任一等变逐点恢复编码需要 $|U||R|\ge|Y|$；为 $Y$ 选择到 $U\times R$ 的单射即可达到 $|R|=\lceil|Y|/|U|\rceil$（有限非空情形）。群作用只移动第一坐标。这个计数和构造仍不包含准备资源，也不对任意非自由群作用作同样断言。

### 88.5 用正向等待实现准备，并给出完整费用

现在替换任意的源相关表盘写入，明确提供以下新增原语：一次把表盘归零；在同一源配置上读取指定寄存器；额外的有限控制器及三值记录。除此之外，表盘只用原机器已有的高位读取和正向单位等待。归零成本单独保留，不声称原机器自带免费归零。

准备程序如下：

1. 从表盘零开始，读 $b$ 后等待 $4b$ 步，读 $c$ 后等待 $2c$ 步，读 $d$ 后等待 $d$ 步。表盘到 $j\in\{0,\ldots,11\}$。
2. 读取一次表盘高位，取得并保存 $r=\lfloor j/5\rfloor$。若 $r=0$ 不等待；若 $r=1$ 等待二十步；若 $r=2$ 等待十五步。表盘到 $u=j\bmod5$。
3. 读源寄存器 $a$ 后等待 $5a$ 步，表盘到（88.7）的 $x$。将控制交给原机器，同时保留 $r$。

这使用四次源查询、一次表盘读取及

$$
W_{\rm prep}=5a+(j\bmod5)+25\mathbf1_{j\ge5}\le49
\tag{88.9}
$$

次正向单位等待。等号可以达到。计入原机器之后，全部六十个源输入的精确执行给出：最多五次表盘读取、五十五次单位等待，以及一次另计的归零。两类读取分别为四次源查询和至多五次表盘读取，不能合称“四读”。这些上界由同一实际实现核对，未把各方案分别可达的最优费用混合。

为使临时控制记忆也可检查，证书给出一个具体有限控制实现。交接前有一百一十三个可达控制态：读取 $b,c,d$ 各一个态，记录读取一个态，等待链长度分别八、二、一；商一的回绕等待链二十态、商二的十五态；读取 $a$ 按记录分三态，最后等待链按三种记录各二十态。交接接入原机器与三值记录的 $51\times3=153$ 个控制态，得到二百六十六个表中状态，其中从六十个源输入实际可达二百五十一个。原机器部分实际可达一百三十八个控制态—记录对，终端使用六十个。物理表盘本身另有二十五种位置，不算在这些控制态数里。此处的251与第87.5节另一种细化的251是不同对象的计数，不提供额外等价结论。

编码端点和交接后的原机器运行循环相容，不意味着这个从固定零点开始的整个准备程序也循环相容。准备的最后等待长度 $5a$ 随绝对标签变化，归零选择了外部基准；本节没有证明它能在不选基准的原操作模型中执行。三值记录的节省因此不撤销第86节关于固定作用下相位基准的障碍。

### 88.6 证据与尚未闭合的原接口

[verify_queries.py](../../reports/two51-cyclic-phase/verify_queries.py) 与 [query_results.json](../../reports/two51-cyclic-phase/query_results.json) 精确核对全部二百一十六个柱集、所有层次的有理秩、一百五十六个真子集柱集上的（88.3）边缘相等、两个总变差值、一个有分支变化的自适应实例、全部六十个准备和机器运行、七十五个终端解码及循环相容关系、费用和实际可达控制态数。它不枚举全部决策树，不替代（88.1）的归纳证明，也不宣称等待或全部控制状态数全局最优。

决策树的柱集、产品的 Hoeffding/ANOVA 分解、总变差三角不等式、单射的基数下界以及整数商余分解均为标准工具。本节新增的是将它们接到两份指定档案的源访问与准备合同：给出可检验的正分布反例、三值记录编码以及逐步等待实现。不主张这些标准工具的文献原创性。

现在，任意的源相关写入已被拆成明确的源查询、归零、读表盘、正向等待和有限控制；这给出一个带资源前提的单向模拟。仍需从原5040档案中确认允许怎样接触一个联合样本，或给出只用原有算术和边缘观察的替代接口；归零基准的取得、反向操作模拟与同预算对应也尚未解决。精确查询下界和本节两个误差下界不等于完整误差—时间—空间最优边界。

### 88.7 比较合同与核验范围补充

上述不可区分性始终比较同一策略及同一随机化律，不能让它们依赖待区分的未知分布参数。“每份样本至多三次”是逐路径硬上限，不是期望上限：以四分之三概率查询全部四个坐标，其余时候立即停止，平均只查询三次，却已能区分（88.3）。第88.3节的精确恢复结论则断言几乎所有随机种子的可达路径都读全四个坐标，不把零概率种子也纳入保证。

仓内 `PassivePolicyNormalization.result` 的局部 `terminal_candidates` 已包含（88.1）的通用候选集—终止路径纤维关系；它进一步允许任意被动读数族，不限于坐标。相关核对直接复用该既有证明项，避免另存同义证明。有限基数下界、三值编码的商余逆及误差的三角不等式同样属于既有工具的应用。本节不因此声明整个准备控制器或所有概率层次已经完整形式化；一般论证、指定实例的精确执行和所复用的形式证明各自承担上述范围。

准备控制器读商时，物理合法位置只会返回零、一、二。若还要求对外部任意表盘数字补全转移，可把未使用的数字三、四都接到记录为零的交接态；这不增加控制态，也不改变上述六十条实际执行。二百六十六态的完整表按此补全，非法外部数字路径不承诺恢复源配置。

## 88.99 追加锚

## 89. 五十五维作为选择性观察的共同工作空间

### 89.1 先区分工作空间与一次实验取得的信息

令 $X=\prod_{i=1}^kX_i$ 为完整有限乘积，$k\ge2$，$n_i=|X_i|\ge2$，$N=|X|$。本节使用有符号变化向量，不把线性子空间的所有元素视为概率分布。定义单寄存器边缘与未归一化的结果筛选

$$
(M_iv)(a)=\sum_{x:x_i=a}v(x),\qquad
(E_{i,a}v)(x)=\mathbf1_{\{x_i=a\}}v(x),\qquad
K=\bigcap_i\ker M_i.
\tag{89.1}
$$

对允许读取的寄存器集合 $J$，令 $H_J$ 为包含 $K$ 且对全部 $E_{i,a}$（$i\in J$）封闭的最小线性子空间。这里允许把不同输入所产生的不同分支向量线性组合；它是共同工作空间，不是一次实验可任意实现的全部联合输出。

**命题 89.1（寄存器筛选的精确闭包）。** 在上述条件下，

$$
H_J=
\begin{cases}
K,&J=\varnothing,\\
\ker M_i,&J=\{i\},\\
\mathbb R^X,&|J|\ge2.
\end{cases}
\tag{89.2}
$$

证明。单寄存器情形，$\ker M_i$ 包含 $K$ 并对每个 $E_{i,a}$ 封闭，故先有上包含。写 $Y=X_{-i}$，任取零和函数 $g:Y\to\mathbb R$ 及不同 $a,b\in X_i$。向量 $(\delta_a-\delta_b)\otimes g$ 的所有单寄存器边缘都为零，而其 $a$ 分支为 $\delta_a\otimes g$。这些分支张成全部 $\ker M_i$。若有两个不同寄存器 $i,j$，则对任意剩余配置函数 $g$，向量 $(\delta_a-\delta_{a'})\otimes(\delta_b-\delta_{b'})\otimes g$ 属于 $K$；同时筛选 $a,b$ 给出 $\delta_a\otimes\delta_b\otimes g$，这些向量张成全空间。空集合情形由定义成立。证毕。

因此 $\dim H_{\{i\}}=N-n_i$。在本例 $5\times3\times2\times2$ 中，无筛选为51维；只允许第一个寄存器的全部结果筛选为55维；另三个单寄存器情形分别为57、58、58维；任意两个不同寄存器的全部筛选共同生成60维。这里的封闭允许复合筛选：只合并两个不同寄存器各自的一步分支空间，得到的是59维总量零空间；继续允许两者复合才得到60维。一步空间之和的正交补，是两个单寄存器函数空间的交；完整乘积上，同时只依赖两个不同单坐标的函数只能为常数，故这个和恰为总量零空间。后者不声称两次读取已经辨认全部配置：生成的是保留未读坐标的完整残余向量空间，而不是只返回两个数字的读出空间。

### 89.2 同一次实验仍须保留共同来源的约束

完整记录一次第 $i$ 寄存器读取及残余源状态的线性通道为

$$
\mathcal I_i(v)=(E_{i,a}v)_{a\in X_i}.
\tag{89.3}
$$

所有分支相加还原 $v$，所以 $\mathcal I_i|_K$ 的像仍为 $\dim K$ 维。若把每个受支持分支写成 $Y$ 上的零和函数 $g_a$，则其精确像为

$$
\mathcal I_i(K)=\{(g_a)_a:\ \sum_y g_a(y)=0\ \forall a,
\quad\sum_a g_a\in K_Y\},
\tag{89.4}
$$

其中 $K_Y$ 表示其余各寄存器的单边缘同时为零。第一个寄存器情形有五个十一维分支，但它们之和仍须落在七维 $K_Y$ 中，给出四个独立约束。故联合像为51维，共同线性工作空间为55维；两者不混同。

若只交出所读标签而丢弃残余源状态，通道是 $M_i$，它在 $K$ 上为零，不能援引（89.3）的单射性。若保留实际概率分支，它们属于仿射集合 $E_{i,a}p_*+E_{i,a}K$ 与非负锥的交，而非零和线性空间本身。两次筛选后变化向量的分支总量可以不为零，这解释了共同闭包能达到60维；这仍不增加同一次实验的独立参数。

### 89.3 两个指定商的选择性操作都依赖被丢弃的量

沿用第86节的自然空间及指定四维核：

$$
W=U_5\otimes B_{11},\qquad
N_K=\mathbf1\otimes L_4,\qquad
N_V=D_4\otimes\operatorname{span}(h_0),\quad h_0\ne0.
\tag{89.5}
$$

本节的 $H_{\{1\}}$ 正好是这个 $W$。第一商由 $W=K\oplus N_K$ 得到，并不把 $K$ 的原始包含误认为筛选不变子空间。单个 $E_a$ 把 $\mathbf1\otimes l$ 送到 $\delta_a\otimes l$，也把 $d\otimes h_0$ 送到 $d(a)\delta_a\otimes h_0$。取非零系数时分别不在原核中。因此两个指定商都不能在不选择提升的情况下直接承接每个筛选分支；但全部分支的非选择性和为恒等映射，可以下降。

进一步，令 $q$ 为任一个指定商映射，定义其完整分支响应

$$
R_q(w)=(qE_aw)_{a=0}^4.
\tag{89.6}
$$

**命题 89.2（分支响应暴露全部四维商歧义）。** 两个 $R_q$ 均单射，因而像为55维。

证明。两个指定核都不含只支持在一个位置的非零向量。若所有 $qE_aw=0$，则每个 $E_aw$ 属于该核且只支持在位置 $a$，故全为零，相加得 $w=0$。证毕。

因此，如果新增档案必须足以给出完整的这些未来分支响应，其线性表示至少为55维。这是指定 $W,q,E_a$ 的响应保真下界，不是对任意正概率编码、原控制器内存或实际取得这些响应费用的下界。从旧的51维档案本身不能免费取得另外四维：同一旧档案的不同提升恰好可以给出不同分支响应。

### 89.4 能同时下降的正分支是什么

只考虑作用于第一个五位置因子的分支 $A_r\otimes I$，其中 $A_r$ 为非负五阶矩阵，有限分支的和为列随机矩阵。这里的非负性和归一化在完整60配置空间上解释，$W$ 是其不变变化子空间。

**命题 89.3（同时下降的正分支）。** 每个分支都保持（89.5）的两个核，当且仅当

$$
A_r=c_rB_r,\qquad c_r\ge0,\quad\sum_r c_r=1,
\qquad B_r\text{ 为双随机矩阵}.
\tag{89.7}
$$

证明。保持 $N_K$ 等价于 $A_r\mathbf1=\alpha_r\mathbf1$；保持 $N_V$ 等价于 $A_rD_4\subseteq D_4$，即 $\mathbf1^{\mathsf T}A_r=\beta_r\mathbf1^{\mathsf T}$。把全部矩阵元素求和给 $5\alpha_r=5\beta_r$，故两个常数相等。非负矩阵使共同常数 $c_r\ge0$；若 $c_r>0$，除以它即双随机矩阵；若 $c_r=0$，原矩阵为零并可任取双随机 $B_r$。和为列随机给 $\sum_r c_r=1$。反向按行列和检查。证毕。

对任意归一化源分布 $p$，第 $r$ 个结果的概率为 $c_r$，与源配置无关。这仅限制结果标签取得的信息，不说分支后的状态无法保留信息：例如 $A_0=\frac12 I$、$A_1=\frac12 C$、$A_2=0$ 给出固定结果概率 $(1/2,1/2,0)$，但两个可能分支的条件后继都是可逆置换；不可能分支不定义条件状态。若还要求非选择性总操作为恒等，则非负性使每个分支的所有非对角元素为零，再由恒定行和得到 $A_r=c_rI$。因此在这个固定操作形态、两个固定商核和不扰动条件下，不能实现有信息的标签读取。

本命题分类的是分别通过两个商下降的分支；它没有额外证明两个诱导操作通过指定跨档案映射互相对应，也没有把矩阵实现为原机器的读取、等待和终止程序。单个 $E_a$ 是有信息的读取分支，不能保持这两个核；其族满足循环协变 $CE_aC^{-1}=E_{a+1}$，并非每个分支都与旋转交换。

### 89.5 适用边界与继续研究

仅有位置筛选时仍存在其它51维商，例如以 $\delta_0\otimes L_4$ 为核；它对每个筛选封闭，但偏爱位置0且不保持循环。故不能把两个指定核的障碍升级为所有51维表示均不可能，也不能丢弃第84—85节“全部位置筛选与循环同时保持”的前提。

以上闭包分类与分支保真结论给55维增加了操作含义：它容纳选择性处理时会出现的变化，并能区分旧档案合并掉的四维响应。但访问同一源样本、取得分支、保留残余状态、读取参考、恢复及资源成本仍须来自原档案的具体操作合同。固定正编码与解码的60标签障碍保持不变。

本节使用普通数学证明。[verify_filters.py](../../reports/two51-cyclic-phase/verify_filters.py) 与 [filter_results.json](../../reports/two51-cyclic-phase/filter_results.json) 检查 $2\times2$、$3\times2\times2$、$5\times3\times2\times2$ 的精确秩、一步与复合筛选的差别、完整记录的分支像、两个指定商核、全部五个分支、55维完整响应和25个矩阵系数上的共同下降方程。另检查偏爱单位置的商与上述正分支反例。该有限证书不替代全称闭包证明或全部随机工具分类，也不构成完整 Lean 形式化。这里应用了有限乘积分解、商下降及双随机矩阵的标准性质，不作原创性声明。

### 89.6 改为完整分支档案后，得到保持指定操作的桥

对两个已指定的商，把（89.6）的像分别记作 $\widehat K=R_{q_K}(W)$、$\widehat V=R_{q_V}(W)$。两者各为55维，虽然它们写作五份51维读出的列表，名义上各有255个坐标。列表各分量必须来自同一个 $w$，不能任意独立填写。

**命题 89.4（完整分支档案间的操作相容同构）。** 存在唯一线性同构

$$
F:\widehat K\longrightarrow\widehat V,\qquad
F(R_{q_K}w)=R_{q_V}w.
\tag{89.8}
$$

它同时对应五个指定位置筛选与指定五循环。具体说，在分支记录上，筛选 $b$ 是仅保留第 $b$ 个分量、其余分量置零；旋转是把分支下标移一格，并在每个分量内施加原商的旋转。

证明。命题89.2给出两个 $R_q$ 对其像的线性同构，故定义 $F=R_{q_V}R_{q_K}^{-1}$。由 $E_aE_b=\mathbf1_{a=b}E_b$，有

$$
R_q(E_bw)_a=\mathbf1_{a=b}R_q(w)_b.
\tag{89.9}
$$

由 $E_aC=CE_{a-1}$ 及原商的相容性 $qC=C_q q$，有

$$
R_q(Cw)_a=C_q R_q(w)_{a-1}.
\tag{89.10}
$$

把两个等式代入（89.8），即得到 $F$ 与筛选及旋转的交换关系。逆映射同理。证毕。

这一构造也适用于一般有限位置集上的一组正交投影 $E_a$，只要 $\sum_aE_a=I$，两个商核都不含任一投影像中的非零向量。群操作若同时置换这些投影、并能通过两个商下降，同一公式也保持该群操作。这里“正交投影”只需代数关系 $E_aE_b=0$（$a\ne b$）、$E_a^2=E_a$，不另假定概率模型。

在这个合同下，55是所需线性档案维数的下界：若线性记录 $L:W\to Z$ 能决定全部 $qE_aw$，那么 $Lw=0$ 必须蕴含 $R_qw=0$，再由单射性得到 $w=0$，故 $\dim Z\ge55$。$W$ 本身及任一完整分支档案达到该界。此下界针对全部 $W$，不是只针对嵌入的 $K$；限制到 $K$ 时完整分支像仍为51维。

这给出“先扩展档案，再找关系”的一个具体正面结果，同时改变了观察合同。原51维记录没有确定完整分支列表；取得这些额外响应需要访问商映射之前的资料。55个独立实坐标也不是55种离散标签，不能越过第87节的正编码下界。筛选和循环仍是本节指定的源位置操作，不自动覆盖原机器全部读取、等待、停止和合法路径；实际取得分支的实验权限、概率正性、误差和费用仍需继续建立。

## 89.99 追加锚

## 90. 付费定位后准备输入，无须外部归零

### 90.1 保留原动作，并明确扩充的源接口

本节消去第88节准备方案中的外部归零前提。物理表盘仍为 $\mathbb Z/25\mathbb Z$，只有正向单位等待 $W$ 改变位置，表盘读取 $R$ 返回当前高位且不移动位置。初始表盘位置 $s$ 任意未知，全部输入从同一个固定控制起点开始。本节仍需第88节已经明列的接口：同一份、保持不变的源样本 $x=(a,b,c,d)\in5\times3\times2\times2$ 可以被逐坐标查询；这些查询不移动表盘，分别计费；全部保存的信息、阶段与等待前缀都计入新增有限控制器。没有源相关的初始控制态。

源查询记作 $Q_a,Q_b,Q_c,Q_d$，其合法答案集合分别为 $5,3,2,2$ 个数字。它们与表盘的 $R$ 是不同动作。只在擦去这些新增源查询后，要求实际表盘动作词仍满足第55.1节的 $R(WW^*R)^*$，并在最后一个表盘读取后立即停止。这里的费用是查询、读取和单位等待的动作数，不是墙钟时间。

使用第84节对物理上未用数字槽的对称补全。它保留第60节全部25条物理执行，并使完整表也具有指定五重改标对称性；不能把这一完整表性质归给第60节原样填为 $H_0$ 的所有未用槽。

### 90.2 终止标签给出初始位置，准备需要当前的位置

令原机器从 $s=5b+u$ 开始时的总单位等待数为 $\ell(u)$。其实际转移表给出

$$
(\ell(0),\ell(1),\ell(2),\ell(3),\ell(4))=(4,4,3,6,6),
\qquad c(s)=[s+\ell(s\bmod5)]_{25}.
\tag{90.1}
$$

所以原终止标签 $H_s$ 识别的是初态 $s$，终止时的物理位置则是 $c(s)$。这些当前位置恰为

$$
P=\{0,4,5,9,10,14,15,19,20,24\}.
\tag{90.2}
$$

例如从0开始，原机器在位置4读出 $H_0$；随后要准备位置0，需正向等待21步，不能把 $H_0$ 误当作物理表盘已经在0。

将原机器作第一段定位程序时，保留其26个非终止控制态，把原来读后指向 $H_s$ 的边直接接到保存 $c(s)$ 的源查询态 $Q_b(c(s))$。这样没有先停机再免费恢复，也没有另加无动作的返回边。当前位置的换算预先写进有限后继表，不另取得一个可任意计算的免费寄存器。

### 90.3 完整保留第二次原机器运行的准备程序

定位后按 $b,c,d,a$ 的次序查询源。定义

$$
j=4b+2c+d,\qquad r=\lfloor j/5\rfloor,\qquad
t=5a+(j\bmod5),\qquad d_0=[t-c(s)]_{25}.
\tag{90.3}
$$

这里 $r\in\{0,1,2\}$ 是第88节的三值记录，$t$ 是交给第二份原机器的输入位置。为使两段表盘读取之间始终存在正等待，取

$$
d_+=\begin{cases}25,&d_0=0,\\d_0,&d_0>0.\end{cases}
\tag{90.4}
$$

最后一次源查询直接进入标号为 $(r,d_+)$ 的等待链。每个链态实际执行一次 $W$，减一后接下一链态，最后一个链态直接接第二份原机器的起点 $S$ 并保留 $r$。第二段完整执行原控制表，终止输出为 $(H_t,r)$。

**命题 90.1（无外部归零的完整调用桥）。** 在第90.1节的扩充接口下，上述固定有限控制器对全部 $25\times60$ 个初始表盘—源样本组合都终止，并由最终标签恢复源：

$$
a=\lfloor t/5\rfloor,\qquad j=5r+(t\bmod5),\qquad
b=\lfloor j/4\rfloor,\quad c=\lfloor(j\bmod4)/2\rfloor,\quad d=j\bmod2.
\tag{90.5}
$$

每条路径恰作四次源查询，至多八次表盘读取、三十七次单位等待，不使用复位、逆步或无动作跳转。该表有474个控制态，其中459个由物理输入实际到达；物理表盘与持续可查询的源样本另计。

证明。第一段原表识别 $s$，由（90.1）得到其真实当前位置。四次源查询均不改变表盘。式（90.4）满足 $1\le d_+\le25$ 且 $c(s)+d_+\equiv t\pmod{25}$，故等待后第二段确从 $t$ 开始，终止标签为 $H_t$。（90.5）是（90.3）的商余逆。两段内部均满足原合法词，交接中的等待严格为正，末次动作仍为表盘读取。控制态分为26个定位态、220个查询态、75个共享等待态与153个原控制态—记录对。查询树对每个 $p\in P$ 有 $1+3+6+12=22$ 个节点；三种记录各需要长度25的等待链。实际运行到达前面全部321个态及后面138个态，合计459。全部输入的有限核验给出三十七等待与八读取的共同最坏界；例如 $s=3$、源 $(1,1,0,0)$ 时，当前位置和目标均为9，实际等待为 $6+25+6=37$。一般粗界 $6+25+6$ 同样给出37。证毕。

三值记录保存在上述153个控制态的标签中，已经计入控制载体；终端共使用60个不同标签对，名义上有75对。十五个未用终端对可按第88节补解码到 $(a,j=0)$。这是确定性逐点恢复，所以对源与初始表盘的任意共同概率律，最终解码的源分布也准确恢复；不要求两个初始对象独立。这不是原51态机器在原预算内自行获得源配置的结论。

### 90.4 利用已知读数的交接简化

若 $d_0=0$，最后一次 $Q_a$ 已确定当前表盘为 $t=5a+(j\bmod5)$，故下一次 $S$ 读取一定返回 $a$。此时可以让该源查询的后继直接为第二段的 $WG2_a$，随后真正执行其两次单位等待及余下转移。这个分支省略的是已知的初次表盘读取，第二段从原程序的相应后缀开始；正距离分支仍等待 $d_0$ 步后进入 $S$。

**命题 90.2（已知首读的无归零简化）。** 上述变体仍对全部1500个物理输入组合恢复源，且擦去源查询后的表盘动作词满足原间隔规则。它恰作四次源查询，至多八次表盘读取、三十六次单位等待；控制表有469态，物理可达454态。

证明。只有零距离交接变化。在该分支，原 $S$ 的读数和后继已经由当前位置确定，删去该读数后从 $WG2_a$ 开始，与原运行具有相同的后续位置、标签与终止输出；两次真实等待还保证前后表盘读取不相邻。正距离至多24，故两段原等待与交接合计至多 $6+24+6=36$。当 $s=3$、源 $(1,0,1,1)$ 时，定位停在9，目标为8，实际等待 $6+24+6=36$，两段共读八次。三条等待链长度分别为24、24、22，合计70；最后一条长度22来自 $r=2$ 时只允许目标低位0或1及（90.2）。其它三组控制态同前，名义数为 $26+220+70+153=469$，实际数为 $26+220+70+138=454$。有限表与全部执行逐项核对这些计数。证毕。

若零距离时既不等待整圈、也不删除重复读取，而是直接进入 $S$，全部输入中有65条路径违反正等待间隔。十五个初态的定位终点低位为0，每个对应三个源编码；另十个初态的定位终点低位为4，每个对应两个源编码，故为 $15\times3+10\times2=65$。这是被排除的交接版本，不能援引它的较小动作数冒充原执行语言中的实现。

### 90.5 整个准备过程的循环相容性与有限循环推广

同时把源 $a$ 加一模5、初始表盘 $s$ 加五模25。定位控制标签按第84节旋转，源查询态保存的位置 $p$ 改为 $p+5$，查询中保存的 $b,c,d,j$ 不变；记录 $r$ 与共享等待链标签不变；第二段原控制标签同样旋转。因为

$$
c(s+5)=c(s)+5,\qquad t(a+1,j)=t(a,j)+5,\qquad
[t+5-(c(s)+5)]_{25}=[t-c(s)]_{25},
\tag{90.6}
$$

交接等待长度和是否采用零距离简化都不变。表盘读取与 $Q_a$ 的答案一起加一模5，其余源查询答案不变。按各类状态的后继表检查，两个完整扩充控制表均与这一改标相容，全部实际轨迹及各项费用也随之对应。终端解码在全部75个标签对上保留该改标。第一段始终从相同起点开始，没有依源初始化；循环比较同时改变物理输入和源标签，不声称只旋转其中一方时仍有相同执行。

这一步适用于任意整数 $M\ge1$ 的有限循环表盘：当已经通过计费的观察和控制记录确定当前位置 $p\in\mathbb Z/M\mathbb Z$，欲准备 $t$ 时，取差 $t-p$ 在 $\{1,\ldots,M\}$ 中的唯一代表，逐次正向等待即可到达 $t$；同步平移 $p,t$ 不改变等待费用。零差使用 $M$ 步，是否可改成省略已知读取必须另外验证相应控制后缀。这是已知当前相位之后的操作构造，不供应免费定位或一般机器的定位复杂度。

### 90.6 费用比较、证据和仍保留的接口前提

下面的控制数均指完整名义表，每个等待中间态都已计入；物理位置与源样本不计作这些控制态。各最坏读取和等待界属于同一个具体实现。

|准备方案|源查询|表盘读取上界|单位等待上界|外部归零|控制态数|
|---|---:|---:|---:|---:|---:|
|第88节从零点准备|4|5|55|1|266|
|本节完整第二次调用|4|8|37|0|474|
|本节已知首读简化|4|8|36|0|469|

这些方案的资源向量互有增减；本节没有证明全局最小时间、读取或控制态数。第88节固定终端合同下三值记录的最小性仍适用。去掉归零前提并未消去持续源访问和更大有限控制的前提，也没有建立两份原档案全部操作的反向模拟与同预算等价。

本节处理的是第88节实际编码准备中的复位资源，不将第89节带符号的55维档案同构直接改称物理随机通道。二者分别给出响应记录之间的联系与一项有明确资源费用的源编码执行；把完整响应实际取得，并对应原来的全部运算，仍需后续证据。

## 90.99 追加锚