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    "# 第二十五讲：复习二\n",
    "\n",
    "* 我们学习了正交性，有矩阵$Q=\\Bigg[q_1\\ q_2\\ \\cdots\\ q_n\\Bigg]$，若其列向量相互正交，则该矩阵满足$Q^TQ=I$。\n",
    "* 进一步研究投影，我们了解了Gram-Schmidt正交化法，核心思想是求法向量，即从原向量中减去投影向量$E=b-P, P=Ax=\\frac{A^Tb}{A^TA}\\cdot A$。\n",
    "* 接着学习了行列式，根据行列式的前三条性质，我们拓展出了性质4-10。\n",
    "* 我们继续推导出了一个利用代数余子式求行列式的公式。\n",
    "* 又利用代数余子式推导出了一个求逆矩阵的公式。\n",
    "* 接下来我们学习了特征值与特征向量的意义：$Ax=\\lambda x$，进而了解了通过$\\det(A-\\lambda I)=0$求特征值、特征向量的方法。\n",
    "* 有了特征值与特征向量，我们掌握了通过公式$AS=\\Lambda S$对角化矩阵，同时掌握了求矩阵的幂$A^k=S\\Lambda^kS^{-1}$。\n",
    "\n",
    "微分方程不在本讲的范围内。下面通过往年例题复习上面的知识。\n",
    "\n",
    "1. *求$a=\\begin{bmatrix}2\\\\1\\\\2\\end{bmatrix}$的投影矩阵$P$*：$\\Bigg($由$a\\bot(b-p)\\rightarrow A^T(b-A\\hat x)=0$得到$\\hat x=\\left(A^TA\\right)^{-1}A^Tb$，求得$p=A\\hat x=A\\left(A^TA\\right)^{-1}A^Tb=Pb$最终得到$P\\Bigg)$$\\underline{P=A\\left(A^TA\\right)^{-1}A^T}\\stackrel{a}=\\frac{aa^T}{a^Ta}=\\frac{1}{9}\\begin{bmatrix}4&2&4\\\\2&1&2\\\\4&2&4\\end{bmatrix}$。\n",
    "    \n",
    "    *求$P$矩阵的特征值*：观察矩阵易知矩阵奇异，且为秩一矩阵，则其零空间为$2$维，所以由$Px=0x$得出矩阵的两个特征向量为$\\lambda_1=\\lambda_2=0$；而从矩阵的迹得知$trace(P)=1=\\lambda_1+\\lambda_2+\\lambda_3=0+0+1$，则第三个特征向量为$\\lambda_3=1$。\n",
    "    \n",
    "    *求$\\lambda_3=1$的特征向量*：由$Px=x$我们知道经其意义为，$x$过矩阵$P$变换后不变，又有$P$是向量$a$的投影矩阵，所以任何向量经过$P$变换都会落在$a$的列空间中，则只有已经在$a$的列空间中的向量经过$P$的变换后保持不变，即其特征向量为$x=a=\\begin{bmatrix}2\\\\1\\\\2\\end{bmatrix}$，也就是$Pa=a$。\n",
    "    \n",
    "    *有差分方程$u_{k+1}=Pu_k,\\ u_0=\\begin{bmatrix}9\\\\9\\\\0\\end{bmatrix}$，求解$u_k$*：我们先不急于解出特征值、特征向量，因为矩阵很特殊（投影矩阵）。首先观察$u_1=Pu_0$，式子相当于将$u_0$投影在了$a$的列空间中，计算得$u_1=a\\frac{a^Tu_0}{a^Ta}=3a=\\begin{bmatrix}6\\\\3\\\\6\\end{bmatrix}$（这里的$3$相当于做投影时的系数$\\hat x$），其意义为$u_1$在$a$上且距离$u_0$最近。再来看看$u_2=Pu_1$，这个式子将$u_1$再次投影到$a$的列空间中，但是此时的$u_1$已经在该列空间中了，再次投影仍不变，所以有$u_k=P^ku_0=Pu_0=\\begin{bmatrix}6\\\\3\\\\6\\end{bmatrix}$。\n",
    "    \n",
    "    上面的解法利用了投影矩阵的特殊性质，如果在一般情况下，我们需要使用$AS=S\\Lambda\\rightarrow A=S\\Lambda S^{-1} \\rightarrow u_{k+1}=Au_k=A^{k+1}u_0, u_0=Sc\\rightarrow u_{k+1}=S\\Lambda^{k+1}S^{-1}Sc=S\\Lambda^{k+1}c$，最终得到公式$A^ku_0=c_1\\lambda_1^kx_1+c_2\\lambda_2^kx_2+\\cdots+c_n\\lambda_n^kx_n$。题中$P$的特殊性在于它的两个“零特征值”及一个“一特征值”使得式子变为$A^ku_0=c_3x_3$，所以得到了上面结构特殊的解。\n",
    "    \n",
    "2. *将点$(1,4),\\ (2,5),\\ (3,8)$拟合到一条过零点的直线上*：设直线为$y=Dt$，写成矩阵形式为$\\begin{bmatrix}1\\\\2\\\\3\\end{bmatrix}D=\\begin{bmatrix}4\\\\5\\\\8\\end{bmatrix}$，即$AD=b$，很明显$D$不存在。利用公式$A^TA\\hat D=A^Tb$得到$14D=38,\\ \\hat D=\\frac{38}{14}$，即最佳直线为$y=\\frac{38}{14}t$。这个近似的意义是将$b$投影在了$A$的列空间中。\n",
    "\n",
    "3. *求$a_1=\\begin{bmatrix}1\\\\2\\\\3\\end{bmatrix}\\ a_2=\\begin{bmatrix}1\\\\1\\\\1\\end{bmatrix}$的正交向量*：找到平面$A=\\Bigg[a_1,a_2\\Bigg]$的正交基，使用Gram-Schmidt法，以$a_1$为基准，正交化$a_2$，也就是将$a_2$中平行于$a_1$的分量去除，即$a_2-xa_1=a_2-\\frac{a_1^Ta_2}{a_1^Ta_1}a_1=\\begin{bmatrix}1\\\\1\\\\1\\end{bmatrix}-\\frac{6}{14}\\begin{bmatrix}1\\\\2\\\\3\\end{bmatrix}$。\n",
    "\n",
    "4. *有$4\\times 4$矩阵$A$，其特征值为$\\lambda_1,\\lambda_2,\\lambda_3,\\lambda_4$，则矩阵可逆的条件是什么*：矩阵可逆，则零空间中只有零向量，即$Ax=0x$没有非零解，则零不是矩阵的特征值。\n",
    "\n",
    "    *$\\det A^{-1}$是什么*：$\\det A^{-1}=\\frac{1}{\\det A}$，而$\\det A=\\lambda_1\\lambda_2\\lambda_3\\lambda_4$，所以有$\\det A^{-1}=\\frac{1}{\\lambda_1\\lambda_2\\lambda_3\\lambda_4}$。\n",
    "    \n",
    "    *$trace(A+I)$的迹是什么*：我们知道$trace(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33}+a_{44}=\\lambda_1+\\lambda_2+\\lambda_3+\\lambda_4$，所以有$trace(A+I)=a_{11}+1+a_{22}+1+a_{33}+1+a_{44}+1=\\lambda_1+\\lambda_2+\\lambda_3+\\lambda_4+4$。\n",
    "    \n",
    "5. *有矩阵$A_4=\\begin{bmatrix}1&1&0&0\\\\1&1&1&0\\\\0&1&1&1\\\\0&0&1&1\\end{bmatrix}$，求$D_n=?D_{n-1}+?D_{n-2}$*：求递归式的系数，使用代数余子式将矩阵安第一行展开得$\\det A_4=1\\cdot\\begin{vmatrix}1&1&0\\\\1&1&1\\\\0&1&1\\end{vmatrix}-1\\cdot\\begin{vmatrix}1&1&0\\\\0&1&1\\\\0&1&1\\end{vmatrix}=1\\cdot\\begin{vmatrix}1&1&0\\\\1&1&1\\\\0&1&1\\end{vmatrix}-1\\cdot\\begin{vmatrix}1&1\\\\1&1\\end{vmatrix}=\\det A_3-\\det A_2$。则可以看出有规律$D_n=D_{n-1}-D_{n-2}, D_1=1, D_2=0$。\n",
    "\n",
    "    使用我们在差分方程中的知识构建方程组$\\begin{cases}D_n&=D_{n-1}-D_{n-2}\\\\D_{n-1}&=D_{n-1}\\end{cases}$，用矩阵表达有$\\begin{bmatrix}D_n\\\\D_{n-1}\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}1&-1\\\\1&0\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}D_{n-1}\\\\D_{n-2}\\end{bmatrix}$。计算系数矩阵$A_c$的特征值，$\\begin{vmatrix}1-\\lambda&1\\\\1&-\\lambda\\end{vmatrix}=\\lambda^2-\\lambda+1=0$，解得$\\lambda_1=\\frac{1+\\sqrt{3}i}{2},\\lambda_2=\\frac{1-\\sqrt{3}i}{2}$，特征值为一对共轭复数。\n",
    "    \n",
    "    要判断递归式是否收敛，需要计算特征值的模，即实部平方与虚部平方之和$\\frac{1}{4}+\\frac{3}{4}=1$。它们是位于单位圆$e^{i\\theta}$上的点，即$\\cos\\theta+i\\sin\\theta$，从本例中可以计算出$\\theta=60^\\circ$，也就是可以将特征值写作$\\lambda_1=e^{i\\pi/3},\\lambda_2=e^{-i\\pi/3}$。注意，从复平面单位圆上可以看出，这些特征值的六次方将等于一：$e^{2\\pi i}=e^{2\\pi i}=1$。继续深入观察这一特性对矩阵的影响，$\\lambda_1^6=\\lambda^6=1$，则对系数矩阵有$A_c^6=I$。则系数矩阵$A_c$服从周期变化，既不发散也不收敛。 \n",
    "\n",
    "6. *有这样一类矩阵$A_4=\\begin{bmatrix}0&1&0&0\\\\1&0&2&0\\\\0&2&0&3\\\\0&0&3&0\\end{bmatrix}$，求投影到$A_3$列空间的投影矩阵*：有$A_3=\\begin{bmatrix}0&1&0\\\\1&0&2\\\\0&2&0\\end{bmatrix}$，按照通常的方法求$P=A\\left(A^TA\\right)A^T$即可，但是这样很麻烦。我们可以考察这个矩阵是否可逆，因为如果可逆的话，$\\mathbb{R}^4$空间中的任何向量都会位于$A_4$的列空间，其投影不变，则投影矩阵为单位矩阵$I$。所以按行展开求行列式$\\det A_4=-1\\cdot-1\\cdot-3\\cdot-3=9$，所以矩阵可逆，则$P=I$。\n",
    "\n",
    "    *求$A_3$的特征值及特征向量*：$\\left|A_3-\\lambda I\\right|=\\begin{vmatrix}-\\lambda&1&0\\\\1&-\\lambda&2\\\\0&2&-\\lambda\\end{vmatrix}=-\\lambda^3+5\\lambda=0$，解得$\\lambda_1=0,\\lambda_2=\\sqrt 5,\\lambda_3=-\\sqrt 5$。\n",
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    "    我们可以猜测这一类矩阵的规律：奇数阶奇异，偶数阶可逆。"
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