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    "# 第三十三讲：单元检测3复习\n",
    "\n",
    "在上一次复习中，我们已经涉及了求特征值与特征向量（通过解方程$\\det(A-\\lambda I)=0$得出$\\lambda$，再将$\\lambda$带入$A-\\lambda I$求其零空间得到$x$）。\n",
    "\n",
    "接下的章节来我们学习了：\n",
    "\n",
    "* 解微分方程$\\frac{\\mathrm{d}u}{\\mathrm{d}t}=Au$，并介绍了指数矩阵$e^{At}$；\n",
    "* 介绍了对称矩阵的性质$A=A^T$，了解了其特征值均为实数且总是存在足量的特征向量（即使特征值重复特征向量也不会短缺，总是可以对角化）；同时对称矩阵的特征向量正交，所以对称矩阵对角化的结果可以表示为$A=Q\\Lambda Q^T$；\n",
    "* 接着我们学习了正定矩阵；\n",
    "* 然后学习了相似矩阵，$B=M^{-1}AM$，矩阵$A,B$特征值相同，其实相似矩阵是用不同的基表示相同的东西；\n",
    "* 最后我们学习了奇异值分解$A=U\\varSigma V^T$。\n",
    "\n",
    "现在，我们继续通过例题复习这些知识点。\n",
    "\n",
    "1. *解方程$\\frac{\\mathrm{d}u}{\\mathrm{d}t}=Au=\\begin{bmatrix}0&-1&0\\\\1&0&-1\\\\0&1&0\\end{bmatrix}u$*。\n",
    "\n",
    "    首先通过$A$的特征值/向量求通解$u(t)=c_1e^{\\lambda_1t}x_1+c_2e^{\\lambda_2t}x_2+c_3e^{\\lambda_3t}x_3$，很明显矩阵是奇异的，所以有$\\lambda_1=0$；\n",
    "    \n",
    "    继续观察矩阵会发现$A^T=-A$，这是一个反对称矩阵（anti-symmetric）或斜对陈矩阵（skew-symmetric），这与我们在第二十一讲介绍过的旋转矩阵类似，它的特征值应该为纯虚数（特征值在虚轴上），所以我们猜测其特征值应为$0\\cdot i,\\ b\\cdot i,\\ -b\\cdot i$。通过解$\\det(A-\\lambda I)=0$验证一下：$\\begin{bmatrix}-\\lambda&-1&0\\\\1&-\\lambda&-1\\\\0&1&\\lambda\\end{bmatrix}=\\lambda^3+2\\lambda=0, \\lambda_2=\\sqrt 2i, \\lambda_3=-\\sqrt 2i$。\n",
    "    \n",
    "    此时$u(t)=c_1+c_2e^{\\sqrt 2it}x_2+c_3e^{-\\sqrt 2it}x_3$，$e^{\\sqrt 2it}$始终在复平面单位圆上，所以$u(t)$及不发散也不收敛，它只是具有周期性。当$t=0$时有$u(0)=c_1+c_2+c_3$，如果使$e^{\\sqrt 2iT}=1$即$\\sqrt 2iT=2\\pi i$则也能得到$u(T)=c_1+c_2+c_3$，周期$T=\\pi\\sqrt 2$。\n",
    "    \n",
    "    另外，反对称矩阵同对称矩阵一样，具有正交的特征向量。当矩阵满足什么条件时，其特征向量相互正交？答案是必须满足$AA^T=A^TA$。所以对称矩阵$A=A^T$满足此条件，同时反对称矩阵$A=-A^T$也满足此条件，而正交矩阵$Q^{-1}=Q^T$同样满足此条件，这三种矩阵的特征向量都是相互正交的。\n",
    "    \n",
    "    上面的解法并没有求特征向量，进而通过$u(t)=e^{At}u(0)$得到通解，现在我们就来使用指数矩阵来接方程。如果矩阵可以对角化（在本例中显然可以），则$A=S\\Lambda S^{-1}, e^{At}=Se^{\\Lambda t}S^{-1}=S\\begin{bmatrix}e^{\\lambda_1t}&&&\\\\&e^{\\lambda_1t}&&\\\\&&\\ddots&\\\\&&&e^{\\lambda_1t}\\end{bmatrix}S^{-1}$，这个公式在能够快速计算$S,\\lambda$时很方便求解。\n",
    "\n",
    "2. 已知矩阵的特征值$\\lambda_1=0,\\lambda_2=c,\\lambda_3=2$，特征向量$x_1=\\begin{bmatrix}1\\\\1\\\\1\\end{bmatrix},x_2=\\begin{bmatrix}1&-1&0\\end{bmatrix},x_3=\\begin{bmatrix}1\\\\1\\\\-2\\end{bmatrix}$：\n",
    "    \n",
    "    *$c$如何取值才能保证矩阵可以对角化？*其实可对角化只需要有足够的特征向量即可，而现在特征向量已经足够，所以$c$可以取任意值。\n",
    "    \n",
    "    *$c$如何取值才能保证矩阵对称？*我们知道，对称矩阵的特征值均为实数，且注意到给出的特征向量是正交的，有了实特征值及正交特征向量，我们就可以得到对称矩阵。\n",
    "    \n",
    "    *$c$如何取值才能使得矩阵正定？*已经有一个零特征值了，所以矩阵不可能是正定的，但可以是半正定的，如果$c$去非负实数。\n",
    "    \n",
    "    *$c$如何取值才能使得矩阵是一个马尔科夫矩阵？*在第二十四讲我们知道马尔科夫矩阵的性质：必有特征值等于$1$，其余特征值均小于$1$，所以$A$不可能是马尔科夫矩阵。\n",
    "    \n",
    "    *$c$取何值才能使得$P=\\frac{A}{2}$是一个投影矩阵？*我们知道投影矩阵的一个重要性质是$P^2=P$，所以有对其特征值有$\\lambda^2=\\lambda$，则$c=0,2$。\n",
    "    \n",
    "    题设中的正交特征向量意义重大，如果没有正交这个条件，则矩阵$A$不会是对称、正定、投影矩阵。因为特征向量的正交性我们才能直接去看特征值的性质。\n",
    "\n",
    "3. 复习奇异值分解，$A=U\\varSigma V^T$：\n",
    "\n",
    "    先求正交矩阵$V$：$A^TA=V\\varSigma^TU^TU\\varSigma V^T=V\\left(\\varSigma^T\\varSigma\\right)V^T$，所以$V$是矩阵$A^TA$的特征向量矩阵，而矩阵$\\varSigma^T\\varSigma$是矩阵$A^TA$的特征值矩阵，即$A^TA$的特征值为$\\sigma^2$。\n",
    "    \n",
    "    接下来应该求正交矩阵$U$：$AA^T=U\\varSigma^TV^TV\\varSigma U^T=U\\left(\\varSigma^T\\varSigma\\right)U^T$，但是请注意，我们在这个式子中无法确定特征向量的符号，我们需要使用$Av_i=\\sigma_iu_i$，通过已经求出的$v_i$来确定$u_i$的符号（因为$AV=U\\varSigma$），进而求出$U$。\n",
    "    \n",
    "    *已知$A=\\bigg[u_1\\ u_2\\bigg]\\begin{bmatrix}3&0\\\\0&2\\end{bmatrix}\\bigg[v_1\\ v_2\\bigg]^T$*\n",
    "    \n",
    "    从已知的$\\varSigma$矩阵可以看出，$A$矩阵是非奇异矩阵，因为它没有零奇异值。另外，如果把$\\varSigma$矩阵中的$2$改成$-5$，则题目就不再是奇异值分解了，因为奇异值不可能为负；如果将$2$变为$0$，则$A$是奇异矩阵，它的秩为$1$，零空间为$1$维，$v_2$在其零空间中。\n",
    "\n",
    "4. *$A$是正交对称矩阵，那么它的特征值具有什么特点*？\n",
    "\n",
    "    首先，对于对称矩阵，有特征值均为实数；然后是正交矩阵，直觉告诉我们$|\\lambda|=1$。来证明一下，对于$Qx=\\lambda x$，我们两边同时取模有$\\|Qx\\|=|\\lambda|\\|x\\|$，而**正交矩阵不会改变向量长度**，所以有$\\|x\\|=|\\lambda|\\|x\\|$，因此$\\lambda=\\pm1$。\n",
    "    \n",
    "    *$A$是正定的吗？*并不一定，因为特征向量可以取$-1$。\n",
    "    \n",
    "    *$A$的特征值没有重复吗？*不是，如果矩阵大于$2$阶则必定有重复特征值，因为只能取$\\pm1$。\n",
    "    \n",
    "    *$A$可以被对角化吗？*是的，任何对称矩阵、任何正交矩阵都可以被对角化。\n",
    "    \n",
    "    *$A$是非奇异矩阵吗？*是的，正交矩阵都是非奇异矩阵。很明显它的特征值都不为零。\n",
    "    \n",
    "    *证明$P=\\frac{1}{2}(A+I)$是投影矩阵*。\n",
    "    \n",
    "    我们使用投影矩阵的性质验证，首先由于$A$是对称矩阵，则$P$一定是对称矩阵；接下来需要验证$P^2=P$，也就是$\\frac{1}{4}\\left(A^2+2A+I\\right)=\\frac{1}{2}(A+I)$。来看看$A^2$是什么，$A$是正交矩阵则$A^T=A^{-1}$，而$A$又是对称矩阵则$A=A^T=A^{-1}$，所以$A^2=I$。带入原式有$\\frac{1}{4}(2A+2I)=\\frac{1}{2}(A+I)$，得证。\n",
    "    \n",
    "    我们可以使用特征值验证，$A$的特征值可以取$\\pm1$，则$A+I$的特征值可以取$0,2$，$\\frac{1}{2}(A+I)$的特征值为$0,1$，特征值满足投影矩阵且它又是对称矩阵，得证。"
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