TODO: 本篇内容似乎也还没完成

试求所有的实系数多项式 \(p(x)\), 使得对满足 \(ab + bc + ca = 0\) 的所有实数 \(a、b、c\), 均有:
\[
p(a - b) + p(b - c) + p(c - a) = 2p(a + b + c).
\]

先给解答

令 \(a=b=c=0\), 有
\[
p(0)=0 .
\]
令 \(b=c=0\), 有
\[
p(a)=p(-a),\quad \forall a \in \mathbb R .
\]
故 \(p(x)\) 是偶函数, 所有奇次项系数为 \(0\). 不妨设
\[
p(x) = a_nx^{2n} +a_{n-1}x^{2n-2}+\cdots +a_1x^2, \quad a_n \ne 0 .
\]

【前方高能预警】

令 \(b=2a\), \(c=-\dfrac 23a\), 有
\[
p(-a) + p \left( \dfrac 83 a \right) + p \left( -\dfrac 53a \right) = 2p \left( \dfrac 73a \right),
\]
即
\[
a_n \cdot \left[1+ \left(\dfrac83\right)^{2n} + \left(\dfrac 53\right)^{2n} - 2 \left(\dfrac 73\right)^{2n} \right] \cdot a^{2n} +
\cdots + a_1 \cdot \left[ 1 + \left(\dfrac 83\right)^{2} + \left(\dfrac 53\right)^{2} - 2 \left(\dfrac 73\right)^{2} \right] \cdot a^2 = 0
\]
这个等式对任意 \(a\in \mathbb R\) 都成立, 故所有 \(a^k\) 项的系数均为 \(0\).

注意到 \(8^6>2\times 7^6\), 故当 \(n\ge 3\) 时, \(\left(\dfrac87\right)^{2n}\ge \left(\dfrac87\right)^6>2\), 故 \(8^{2n}>2\times 7^{2n}\), 从而 \(1 + \left(\dfrac83\right)^{2n} + \left(\dfrac53\right)^{2n} - 2\left(\dfrac73\right)^{2n} > 0\). 因此必须是相应的 \(a_n = 0\).

【预警解除】可以放松一下

也就是说 \(p(x)\) 中不可能有 \(6\) 次或更高次的项, 可设 \(p(x) =\alpha x^4 +\beta x^2\), 不难验证无论 \(\alpha,\beta\) 取何值, 这个式子都满足要求.

简析

上面解答中的这一步

令 \(b=2a\), \(c=-\dfrac 23a\), 有 ...

这种做法不太像是正常人能想出来的. 其实这个题在高等数学里面有更一般的处理方法: 线性空间理论.

基本思路

注意题中的函数方程
\[
p(a - b) + p(b - c) + p(c - a) = 2p(a + b + c)
\]
是线性齐次的, 即

如果有两个多项式 \(p_1 (x)\) 和 \(p_2 (x)\) 都满足此函数方程, 则它们的任意线性叠加 \(\lambda_1 p_1 (x) + \lambda_2 p_2 (x)\) 也满足这个方程.

(这个线性齐次性质甚至都不依赖于 \(ab+bc+ca=0\) 这个约束条件.)

这样, 我们只需要考虑最基本, 最简单的多项式 \(x^n\) (\(n=1,2,\dots\)) 即可.

这种处理方法实际上是将全体多项式构造成一个无穷维线性空间, 以 \(\{1,x,x^2,x^3,\dots\}\) 作为基底; 然后将函数方程的解空间看作上述多项式空间的子空间, 尝试确定这个子空间的基底. 根据这里已经得到的结论, 这个解空间是 2 维的, 基底是 \(\{x^2, x^4\}\). 下面我们用正常一点的方法 (但是也不算简单) 来导出这个结论.

确定满足条件的基本多项式

其实要做的事情也很简单, 就是把 \(p(x) = x^n\), \(n=1,2,\dots\), 一个一个代进去尝试, 看看在
\[
\sum_{cyc} ab = 0
\]
的条件下, 下面这个等式
\[
\sum_{cyc} p(a-b) = 2 p \left( \sum_{cyc} a \right)
\]
是否成立. 其中 \(\sum\limits_{cyc}\) 表示按 \(a,b,c\) 轮换的循环和.

上面的解答过程中已经证明了 \(p(x)\) 必须是偶函数, 故只需要考虑 \(p(x) = x^{2n}\) 的情形即可.

首先看 \(p(x) = x^2\) 的情形,
\[
\begin{aligned}
\sum_{cyc} p(a-b)
&= \sum_{cyc} (a-b)^2 \\
&= 2 \sum_{cyc} a^2 - 2 \sum_{cyc} ab = 2 \sum_{cyc} a^2 \\
&= 2 \sum_{cyc} a^2 + 4 \sum_{cyc} ab \\
&= 2 \left( \sum_{cyc} a \right)^2 = 2 p \left( \sum_{cyc} a \right)
\end{aligned}
\]
\(p(x) = x^2\) 满足条件.

再看 \(p(x) = x^4\) 的情形. 在上一种情形中, 我们已经得到了
\[
\sum_{cyc} (a-b)^2 = 2 \sum_{cyc} a^2 = 2 \left( \sum_{cyc} a \right)^2
\]
各式同时平方可得
\[
\begin{aligned}
\left( \sum_{cyc} (a-b)^2 \right)^2
&= \sum_{cyc} (a-b)^4 + 2\sum_{cyc} (a-b)^2 (b-c)^2 \\
&= 4 \left( \sum_{cyc} a^2 \right)^2 = 4 \left( \sum_{cyc} a \right)^4
\end{aligned}
\]
接下来看 (第一行右侧第二项)
\[
\begin{aligned}
\sum_{cyc} (a-b)^2 (b-c)^2
&= \sum_{cyc} (ab+bc-ac-b^2)^2 = \sum_{cyc} (-2ac-b^2)^2 \\
&= \sum_{cyc} (4a^2c^2+4ab^2c+b^4) \\
&= \left( 2 \sum_{cyc} a^2c^2 + 4 \sum_{cyc} ab^2c \right) + \left( \sum_{cyc} a^4 + \sum_{cyc} 2 a^2b^2 \right) \\
&= 2 \left( \sum_{cyc} (ab)^2 + 2 \sum_{cyc} ab \cdot bc \right) + \left( \sum_{cyc} (a^2)^2 + 2 \sum_{cyc} a^2b^2 \right) \\
&= 2 \left( \sum_{cyc} ab \right)^2 + \left( \sum_{cyc} a^2 \right)^2 = \left( \sum_{cyc} a^2 \right)^2
\end{aligned}
\]
于是
\[
\left( \sum_{cyc} (a-b)^2 \right)^2 = 2 \left( \sum_{cyc} a^2 \right)^2 = 2 \left( \sum_{cyc} a \right)^4
\]
\(p(x) = x^4\) 也满足条件.

待续