1. 模型哈密顿量

在一维Kitaev链基础上 H=∑j[−μcj†cj+(−tcj†cj+1+Δcj+1†cj†+H.c.)] H=\sum_{j}\left[-\mu c_{j}^{\dagger} c_{j}+\left(-t c_{j}^{\dagger} c_{j+1}+\Delta c_{j+1}^{\dagger} c_{j}^{\dagger}+H . c .\right)\right] 引入在位势能及跃迁振幅中均引入调制函数。

  • 在位势能调制函数

Vj=Vcos⁡(2παj+φV) V_{j}=V \cos \left(2 \pi \alpha j+\varphi_{V}\right)

  • 跃迁振幅调制函数

tj=t[1+λcos⁡(2παj+φλ)] t_{j}=t\left[1+\lambda \cos \left(2 \pi \alpha j+\varphi_{\lambda}\right)\right]

在这些调制函数中, 如果 α\alpha 取为无理数，得到Aubry-André-Harper(AAH)模型 H=∑j=1NVjcj†cj+∑j=1N−1[−tjcj+1†cj+Δcj+1†cj†+H.c.]. H=\sum_{j=1}^{N} V_{j} c_{j}^{\dagger} c_{j}+\sum_{j=1}^{N-1}\left[-t_{j} c_{j+1}^{\dagger} c_{j}+\Delta c_{j+1}^{\dagger} c_{j}^{\dagger}+H . c .\right] . 为方便讨论, 这里我们取 α=1/2,φV=φλ=φ\alpha=1 / 2, \varphi_{V}=\varphi_{\lambda}=\varphi 。 H=−Vcos⁡φ∑j(c2j−1†c2j−1−c2j†c2j)−t∑j[(1−λcos⁡φ)c2j†c2j−1+(1+λcos⁡φ)c2j+1†c2j+H.c.]+Δ∑j(c2j†c2j−1†+c2j+1†c2j†+H.c.) \begin{aligned} H=&-V \cos \varphi \sum_{j}\left(c_{2 j-1}^{\dagger} c_{2 j-1}-c_{2 j}^{\dagger} c_{2 j}\right) \\ &-t \sum_{j}\left[(1-\lambda \cos \varphi) c_{2 j}^{\dagger} c_{2 j-1}+(1+\lambda \cos \varphi) c_{2 j+1}^{\dagger} c_{2 j}+H . c .\right] \\ &+\Delta \sum_{j}\left(c_{2 j}^{\dagger} c_{2 j-1}^{\dagger}+c_{2 j+1}^{\dagger} c_{2 j}^{\dagger}+H . c .\right) \end{aligned} 极限

  • 当 μ=Δ=0\mu=\Delta=0 时, 该模型可简化为 SSHSSH 模型;
  • 如果 λ=0\lambda=0, 则可简化为常规的一维 Kitaev 模型。

2. 拓扑性质

2.1. 能谱

将哈密顿量在动量空间中表示出来，写成矩阵形式 H=12∑qΨ†H(q)Ψ H=\frac{1}{2} \sum_{q} \Psi^{\dagger} H (q) \Psi 其中

  1. 基底算符

Ψ=[cqA†cqB†c−qAc−qB]T, \Psi=\left[\begin{array}{llll} c_{q A}^{\dagger} & c_{q B}^{\dagger} & c_{-q A} & c_{-q B} \end{array}\right]^{T},

  1. 哈密顿量矩阵

H(q)=(−Vcos⁡φg(q)0h(q)g∗(q)Vcos⁡φ−h∗(q)00−h(q)Vcos⁡φ−g(q)h∗(q)0−g∗(q)−Vcos⁡φ) H (q)=\left(\begin{array}{cccc} -V \cos \varphi & g(q) & 0 & h(q) \\ g^{*}(q) & V \cos \varphi & -h^{*}(q) & 0 \\ 0 & -h(q) & V \cos \varphi & -g(q) \\ h^{*}(q) & 0 & -g^{*}(q) & -V \cos \varphi \end{array}\right)

其中

  • g(q)=−t[(1−λcos⁡φ)+(1+λcos⁡φ)e−iq]g(q)=-t\left[(1-\lambda \cos \varphi)+(1+\lambda \cos \varphi) e^{-i q}\right]
  • h(q)=−Δ(1−e−iq)h(q)=-\Delta\left(1-e^{-i q}\right)

对角化矩阵，得到的本征值即系统的本征能量为 E2(q)=(Vcos⁡φ)2+∣g(q)∣2+∣h(q)∣2±2(Vcos⁡φ)2∣h(q)∣2+4Δ2t2(λcos⁡φ)2(cos⁡q−1)2 E^{2}(q)=(V \cos \varphi)^{2}+|g(q)|^{2}+|h(q)|^{2} \pm 2 \sqrt{(V \cos \varphi)^{2}|h(q)|^{2}+4 \Delta^{2} t^{2}(\lambda \cos \varphi)^{2}(\cos q-1)^{2}}

2.2. 对称性

  1. 时间反演对称
  2. 子晶格对称性
  3. 粒子-空穴对称性

系统是时间反演对称的 TH(q)T−1=H(−q) T H (q) T ^{-1}= H (-q) 当 V=0V=0 时, 系统还具有子晶格对称性 C1H(q)C1−1=−H(q) C _{1} H (q) C _{1}^{-1}=- H (q) 粒子-空穴对称性

BDI 拓扑类的拓扑不变量为整数 ZZ 。

2.3. 拓扑量子数

V=0V=0 的情开，系统的拓扑量子数定义为 N1=Tr⁡∫−ππdq4πiC1G−1∂qG, N_{1}=\operatorname{Tr} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{d q}{4 \pi i} C _{1} G ^{-1} \partial_{q} G ,

3. 局域化现象

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